Distribucion de Probabilidad Binomial y Poisson - Copia

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y POISSON 1.

En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas: Solución: Probabilidad = 0.05 n = 12 x=2

2.



P [x = 2] = 0.099

En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio: Solución: 10% no reciben bien el servicio 0.10 n = 15  X es b [15, 0.10] x=3 P [x = 3] = 0.129

3.

Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 10% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 4 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que las 4 estén descompuestas; de 1 a 3 estén descompuestas. Solución:

4.

Descompuesto 10% es  0.10 a=n=4  P [x = 4] = 0+ b=x=4  P [x = 1] + P [x = 2] + P [x = 3] = 0.292 + 0.049 + 0.04 = 0.345 En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que 4 salgan defectuosos; más de 5 tengan fuga de aceite; de 3 a 6 amortiguadores salga defectuosos. Solución:

P = 0.2 n = 20 a) P (X = 4)  X es b (20, 0.2)  P (X = 4) = 0.218 b) P (X > 5)  P (X ≥ 6)  X es B (20, 0.2)  P (X ≥ 6) = 0.196 c) P [3 ≤ X ≤ 6] = P [X ≥ 3] – P [X ≥ 7] = 0.794 – 0.087 = 0.707 5.

Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el código de construcción, ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que ninguna de las casas viola el código de construcción; dos violan el código de construcción; al menos tres violan el código de construcción? X es b (4, 0.33)  P [X = 0] = 0.1975  P [X = 32] = 0.2963  P [X ≥ 3] = P [X = 3] + P [X = 4]

6.

0.240

 0.265



 0.076 + 0.008 0.084

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan las cinco personas; al menos tres personas. Solución: n=5 P = 2 = 0.67 3 X es b (5, 0.67) ≡ X es b (5, 0.33)  P [X = 5] = X es b (5, 0.33) = P [X = 5 – 5 = 0] = 0.168  P [X ≥ 3] = P [X ≥ 2] = 0.472

7.

Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que,

cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? Solución: P = Está comunicado n = 10  X es b (10, 0.2) P [X = 2] = 0.302 8.

 P = 1/5 = 0.2

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico detiene a cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección. Determinar la probabilidad de

que

hayan

cometido

alguna

de

las

dos

infracciones,

exactamente tres conductores: al menos uno de los conductores controlados. Solución: n=5 P1 = 0.05 P2 = 0.10

X es b (5, 0.05) P [X = 3] = 0.001 P [X ≥ 1] = 0.226 X es b (5, 0.10) P [X = 3] = 0.008 P [X ≥ 1] = 0.410

9.

En una ciudad, el 30% de los trabajadores emplean el transporte público urbano. Hallar la probabilidad de que en una muestra de diez

trabajadores

empleen

el

exactamente tres trabajadores, trabajadores. Solución:

transporte

público

urbano:

a)

b) por lo menos tres

P = 0.3 n = 10

 a) P [X = 3] = 0.267 b) P [X ≥ 3] = 0.617

10. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos

almacenes.

Hallar

el

número

esperado

de

artículos

defectuosos, la varianza y la desviación típica. Solución: n = 10 000  P = 0.002 q=1–P 1 – 0.002 = 0.998

Esperanza matemática. E (x) = n.p. = 10 000 x 0.002 = 20. > Varianza: V (x) = n.p.q = 10 000 x 0.002 x

0.998 = 19.96. > Desviación Estándar:

11. El número de clientes que llega a un banco es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos tres clientes? ¿Puede esperarse que la frecuencia de llegada de los clientes al banco sea constante en un día cualquiera? Solución: 120 ------ 60 minutos λ ------ 1 min. λ =2  P [X ≥ 3] = 1 – P [X ≤ 2] = 1 – 0.677 = 0.323 12. El número medio de clientes que entran en un banco durante una jornada, es 25. Calcular la probabilidad de que en un día entren en el banco al menos 35 clientes. Solución: λ = 25 n=1 P [X ≥ 35] = 1 – P [X ≥ 34] = 1 – 0.966 = 0.034

13. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? Solución: P = 1/5 = 0.2 (está comunicado) n = 10

 X es b (10, 0.2) P [X = 2] = 0.302

14. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson con λ = 0.4. Calcular las probabilidades. De que en un determinado día se produzcan dos; a lo sumo dos; por lo menos dos accidentes. De que haya 4 accidentes en una semana. De que haya un accidente hoy y ninguno mañana. Solución: λ = 0.4 n=1  P (X = 2) = P (X ≤ 2) – P (X ≤ 1) 0.992 – 0.938 = 0.054 A lo sumo 2  P (X ≤ 2) = 0.992 Por lo menos 2  P (X ≥ 2) = 1 – P (X ≤ 1) = 1 – 0.938 = 0.062 n=7

λ = 0.4

1

λ

7

λ = 2.8

 P [X = 4] = P [X ≤ 4] – P [X ≤ 3] = 0.848 – 0.692 = 0.156  P [X = 1] = P [X ≤ 1] – P [X ≤ 0]  λ = 0.4 = 0.938 – 0.670 = 0.268  P [X = 0] = 0.449

n=1

 λ = 0.8

15. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y conoce que la probabilidad de que le hagan un pedido en

cada visita es del 0.4. Obtener: El número medio de pedidos por día. La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3. La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos. Solución: n=5 P = 0.4

λ=?

λ=nxP λ = 5 x 0.4 = 2  P [1 ≤ X ≤ 3] = P [X ≤ 3] - P [X ≤ 0] 0.857 – 0.135 = 0.722  P [X ≥ 2] = 1 – P [X ≤ 1] 1 – 0.406 = 0.594 16. Una empresa dedicada a la fabricación y venta de bebidas refrescantes observa que el 40% de los establecimientos que son visitados por sus vendedores realizan compras de esas bebidas. Si un vendedor visita 20 establecimientos, determinar la probabilidad de que por lo menos 6 de esos establecimientos realicen una compra. Solución: P = 0.4 n = 20

X es b (20, 0.4) P [X ≥ 6] = 0.874

17. Un servicio dedicado a la reparación de electrodomésticos en general, ha observado que recibe cada día por término medio 15 llamadas. Determinar la probabilidad de que se reciban más de 20 llamadas en un día. Solución: n=1 λ = 15

P [X ≥ 20] = P [X ≥ 21] = 1 – P [X ≤ 20] = 1 – 0.917 = 0.083

18. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen a lo más 2 mensajes en una hora?

Solución: Variable de mensajes Regla de 3 simple Intervalo de minutos 0.1 1 min. λ = 0.1 minuto λ 60 min. Hallar P [X ≤ 2] con 1 hora λ = 60 x 0.1 = 6 Intervalo horas 1 λ=6 P [X ≤ 2] = 0.062 19. A una oficina de reservaciones de una aerolínea regional llegan 48 llamadas por hora: Calcule la probabilidad de recibir cinco llamadas en un lapso de 5 minutos. Estime la probabilidad de recibir exactamente 10 llamadas en un lapso de 15 minutos. Suponga que no hay ninguna llamada en espera. Si el agente de viajes necesitará 5 minutos para la llamada que está atendiendo ¿cuántas llamadas habrá en espera para cuando él termine? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna llamada en espera? Si en ese momento no hay ninguna llamada ¿cuál es la probabilidad de que el agente de viajes pueda tomar 3 minutos de descanso sin ser interrumpido por una llamada? Solución: λ = 48 P [X = 5]

n = 1 hora λ = 48 -------- 60 min. X -------- 5 min. X=4

λ=4  P [X = 5]

= P [X ≤ 5] – P [X ≤ 4] = 0.785 – 0.629 = 0.156  P [X = 10] λ = 48 -------- 60 min. X -------- 15 min. λ = 12 X = 12 P [X = 10] = =

= P [X ≤ 10] – P [X ≤ 9] 0.347

–

0.242

0.105

Habrán 4 llamadas en espera cuando él termine:  P [X = 0]  λ = 4 = 0.018

λ = 48 -------- 60 min. X -------- 3 min.

 P [X = 0]  λ = 2.4 = 0.091

X = 2.4

20. Los pasajeros de las aerolíneas llegan en forma aleatoria e independiente al mostrador de revisión de pasajeros. La tasa media de llegada es de 10 pasajeros por minuto. Calcule la probabilidad de que a) no llegue ningún pasajero en un lapso de un minuto. b) lleguen tres o menos pasajeros en un lapso de un minuto. c) no llegue ningún pasajero en un lapso de 15 segundos. d) llegue por lo menos un pasajero en un lapso de 15 segundos. Solución: λ = 10 x minuto a) P [X = 0] = aprox. 0 b) P [X ≤ 3] = 0.010 c) λ = 2.5 P [X = 0] = 0.082 d) P [X ≥ 1] = 1 – P [X ≤ 0] = 1 – 0.082 = 0.918.

Regla de 3 simples: 10 -------- 60 seg. X -------- 15 seg. X = 2.5

21. Cada año ocurre en promedio 15 accidentes aéreos. Calcule el número

medio

de

accidentes

aéreos

por

mes.

Calcule

la

probabilidad de que no haya ningún accidente en un mes. De que haya exactamente un accidente en un mes. De que haya más de un accidente en un mes. Solución: λ = 15 -------- 1 año = 12 meses λ -------- 1 mes λ = 1.25 x mes  P [X = 0]  λ = 1.25 ≈ 1.3 = 0.273  P [X = 1] = P [X ≤ 1] – P [X ≤ 0] = 0.627 – 0.273 = 0.354  P [X > 1] = P [X ≥ 2] = 1 – P [X ≤ 1] = 1 – 0.627 = 0.373

P (X ≥ 1) = 1 – P (X ≤ 0) = 1 – 0.273 = 0.727

22. Se estima que los accidentes fuera del trabajo tienen para las empresas un costo de casi $ 200 mil millones anuales en pérdidas de productividad. Con base en estos datos, las empresas que tienen 50 empleados esperan tener por lo menos tres accidentes fuera del trabajo por año. Para estas empresas con 50 empleados ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún accidente fuera del trabajo en un año? ¿De qué haya por lo menos dos accidentes fuera del trabajo en un año? ¿Cuál es el número esperado de accidentes fuera del trabajo en un lapso de seis meses? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún accidente fuera del trabajo en los próximos seis meses? Solución: λ=3  P [X = 0] = 0.050  P [X ≥ 2] = 1 – P [X ≤ 1] = 1 – 0.199 = 0.801  Para los 6 meses (Regla de 3) λ = 3 ------------ 12 meses λ ------------ 6 meses λ = 1.5  en 6 meses  P [X = 0] = 0.223 23. Durante el periodo en que una universidad recibe inscripciones por teléfono, llegan llamadas a una velocidad de una cada dos minutos. ¿Cuál es el número esperado de llamadas en una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres llamadas en cinco minutos? ¿De que no haya llamadas en un lapso de cinco minutos? Solución: λ = 1 ----------- 2 minutos λ ----------- 60 minutos λ = 30  En 1 hora  P λ λ λ

[X = 3] = 1 ------------- 2 minutos ------------- 5 minutos = 2.5

P [X = 3] = P [X ≤ 3] – P [X ≤ 2] = 0.758 – 0.544 = 0.214  P [X = 0] = 0.082