DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Jorge Sanchez Miguel Corona
DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Jorge Sanchez Miguel Corona
© José Sánchez, Miguel Corona, 2013 (Versión papel) © José Sánchez, Miguel Corona , 2015 (Versión electrónica)
Reservados todos los derechos. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley ,cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con la autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (art.270 y siguientes del Código Penal). El Centro Español de Derechos Reprográficos (CEDRO) vela por el respeto de los citados derechos. Ediciones Díaz de Santos
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ISBN: 978-84-9969-979-0 (Libro electrónico) ISBN:978-84-9969-561-7(Libro en papel) Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco Diseño de Portada: Aarón González Cabrera
´ Indice Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Cap´ıtulo 1 Conceptos y teoremas elementales
§1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. F´ormulas de sumaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Estimaci´on de Van der Corput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. La funci´on gamma de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6. Funciones enteras de orden finito y producto de Weierstass . . . §7. Lemas sobre funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 3 6 9 11 14
Cap´ıtulo 2 La funci´ on zeta de Riemann
§1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Definici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Ecuaci´on funcional de la funci´on zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . §4. Teoremas acerca de los ceros no triviales de la ζ (s) . . . . . . . . . . . . §5. Representaci´on de la funci´on de Chebyshev a trav´es de una suma sobre los ceros de ζ (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 21 24 27 34
Cap´ ıtulo 3 El teorema de los N´ umeros Primos
§1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Idea de la demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39 40
§3. F´ormula de inversi´on de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Regi´on libre de ceros para ζ (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. La funci´on ψ de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6. Demostraci´on del Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 43 49 52
Cap´ıtulo 4 Teorema del valor Medio de Vinogradov y su aplicaci´ on a la funci´ on ζ (s)
§1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Teorema del valor medio de Vinogradov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Regi´on libre de ceros de ζ (s) dada por Vinogradov . . . . . . . . . . . .
53 55 64
Cap´ ıtulo 5 Densidad de los ceros de ζ (s) y la distribuci´ on de los n´ umeros primos en peque˜ nos intervalos
§1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Teorema de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. N´umeros primos en peque˜nos intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69 69 76
Cap´ ıtulo 6 Conclusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Bibliograf´ ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Introducci´ on
La primera orientaci´ on cient´ıfica sobre el estudio de los n´ umeros enteros, es decir, el origen de la teor´ıa de los n´ umeros, se atribuye generalmente a los griegos. Aproximadamente seis siglos antes de nuestra era, Pit´ agoras y sus disc´ıpulos, entre sus diversas aportaciones, efectuaron un vasto estudio acerca de los enteros. Euclides, en el tercer siglo A. C. demostr´o que existe una infinidad de n´ umeros primos. Un n´ umero primo se define como un entero mayor que uno cuyos u ´nicos divisores son el uno y ´el mismo, es decir, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
··· .
Los n´ umeros que no son primos se llaman compuestos, excepto el n´ u mero 1 que no es ni primo ni compuesto. El Teorema Fundamental de la Aritm´etica establece que todo entero n > 1 se escribe de manera u ´ nica como producto de primos sin importar el orden de los factores. Por esta raz´on, el estudio de las propiedades de los n´ umeros primos siempre ha sido objeto de intenso estudio por matem´ aticos de todas las ´epocas. La distribuci´ on de los n´ umeros primos es muy irregular, se sabe que podemos encontrar espacios tan grandes como se quieran donde no exista ning´ un n´ umero primo; por ejemplo, la sucesi´ on (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, , (n + 1)! + (n + 1)
···
consiste de n enteros consecutivos compuestos. Por otro lado, la conjetura de los primos gemelos afirma la existencia de una infinidad de parejas de primos p y q cuya diferencia es 2, o sea p q = 2.
−
Sin embargo, a pesar de tales fen´ omenos, la distribuci´ o n de los n´ umeros primos obedece a ciertas leyes que estudiaremos m´as adelante.
Introducci´ on
ii
Un problema cl´ asico es saber cu´ antos n´ umeros primos pertenecen al intervalo [1, x]; en la teor´ıa de los n´ umeros la funci´ on π(x) denota a tal cantidad, es decir, π(x) =
1,
p x
≤
donde la sumatoria es tomada sobre los n´ umeros primos. Bajo esta notaci´ on el teorema de Euclides establece que π(x) cuando x .
→∞
→∞
En 1737, L. Euler consider´ o la serie de variable real
∞
n=1
1 , nσ
σ > 1.
´ observ´ El o que tiene lugar la igualdad
∞
−
n=1
1 = nσ
p
1 , 1 p−σ
σ > 1,
donde el producto est´ a tomado sobre todos los n´ umeros primos p. Mediante esta observaci´ on, Euler estableci´ o que la serie 1/p tomada sobre todos los n´ umeros primos diverge, hecho que conduce a una demostraci´on anal´ıtica de la existencia de una infinidad de n´ umeros primos. Euler tambi´en demostr´ o que π(x) = 0, x→∞ x l´ım
esta afirmaci´ o n nos dice que los n´ umeros primos no son tan frecuentes entre los n´ umeros naturales. La distribuci´ on de los n´ umeros primos ha sido objeto de gran estudio apartir del siglo XVIII. En 1798, A. M. Legendre conjetur´ o que para valores grandes de x, π(x) es aproximadamente igual a x (1) , donde A = 1.08366. log x A
−
En 1793, C. F. Gauss propuso una f´ ormula similar a (1), la cual afirma que para valores grandes de x, π (x) es aproximadamente igual a
x
(2)
li(x) =
2
dt , log t
Introducci´ on
iii
lo cual no fue publicado en este a˜ no, sino hasta 1863. Es f´ acil mostrar que (1) y (2) son equivalentes a la f´ ormula (3)
π(x)
∼ logx x ,
es decir, π(x) es aproximadamente igual a x/ log x, para valores grandes de x. La relaci´ on (3) es conocida como el Teorema de los N´ umeros Primos y es el teorema central en la teor´ıa de la distribuci´on de los n´ umeros primos. En 1848, P. L. Chebyshev prob´ o que el mejor valor para la constante A en (1), debe ser 1. En la siguiente Tabla 1 mostraremos las aproximaciones a π(x) propuestas por Gauss, Legendre y Chebyshev para algunos valores de x: x
π(x)
Gauss
1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000
168 1229 9592 78498 664579 5761455 50847534 455052511
178 1246 9630 78628 664918 5762209 50849235 455055614
Legendre
x/(log x
172 1231 9588 78534 665138 5769341 50917519 455743004
− 1)
169 1218 9512 78030 661459 5740304 50701542 454011971
Tabla 1
En 1850, Chebyshev obtuvo el primer progreso verdadero hacia la prueba del teorema de los n´ umeros primos, demostr´ o que existen dos constantes positivas a 10). Ver Rosser and Schoenfeld (1962). Una contribuci´ on fundamental para investigar el problema de la distribuci´ o n de los n´umeros primos fue realizada por B. Riemann en 1859. Motivado por la demostraci´ on
Introducci´ on
iv
anal´ıtica de Euler sobre la existencia de una infinidad de n´ umeros primos, Riemann introdujo la funci´ on de variable compleja ∞ 1 ( = ζ s) , ns
n=1
donde s = σ +it y σ = e s > 1. Esta funci´ on es conocida como la funci´ on zeta de Riemann . La serie converge absolutamente en la regi´ on σ > 1 y de manera uniforme si σ σ 0 , para cualquier σ0 > 1 y por lo tanto ζ (s) representa a una funci´ on anal´ıtica en la regi´ on σ > 1. Riemann demostr´ o que ζ (s) se puede extender anal´ıticamente a una funci´ on meromorfa en todo el plano complejo con un u´nico polo simple de residuo igual a 1 en s = 1. Riemann tambien demostr´ o que ζ (s) satisface una ecuaci´ on funcional. De tal ecuaci´ on se sigue que los enteros pares negativos anulan a ζ (s), tales ceros son conocidos como los ceros triviales. De las condiciones de simetr´ıa de la ecuaci´ on funcional se sigue que los ceros que no son triviales deben estar ubicados en la franja cr´ıtica 0 σ 1, y adem´ as sim´etricamente distribuidos con respecto a la l´ınea cr´ıtica σ = 1/2 y al eje real. Los ceros que est´ an en la franja cr´ıtica son llamados ceros no triviales. Riemann afirm´o sin demostraci´ on que todos ellos deben estar ubicados en la l´ınea cr´ıtica, conjetura a´ un abierta y conocida como la hip´ otesis de Riemann. Riemann encontr´ o una profunda conexi´on entre el problema de la distribuci´on de los ceros no triviales de la funci´on ζ (s) y la distribuci´o n de los n´ umeros primos.
≥
≤ ≤
En 1896, J. Hadamard y C. J. de la Vall´ ee-Poussin independientemente uno del otro demostraron el teorema de los n´ umeros primos totalmente, basados en las ideas desarrolladas por Riemann acerca de la funci´ on ζ (s) y su relaci´ on con π(x). La prueba dada por Hadamard es m´as simple, pero de la Vall´ee-Poussin estudia con m´ as detalle el t´ermino de error. Tambi´en de la Vall´ee-Poussin demostr´ o que (2) es una mejor aproximaci´on que (1), sin importar el valor que le asignemos a la constante A. En 1949, Atle Selberg y Paul Erd¨ os, independientemente demuestran el teorema de los n´umeros primos, sin usar la teor´ıa de las funciones anal´ıticas, sino argumentos elementales. Ver Selberg (1949) y Erd¨ os (1949). El t´ermino de error en el teorema de los n´ umeros primos depende de la regi´ on en el plano complejo en donde la funci´ on zeta de Riemann es libre de ceros. Entre m´as nos podamos extender dentro de la banda cr´ıtica, el t´ermino de error ser´ a menor. En el cap´ıtulo 3 se demuestra que la funci´ on zeta de Riemann es libre de ceros en la regi´on dada por σ
≥ 1 − 8411L(t) ,
Introducci´ on
v
donde L(t) = log t + 11 y t 2. Usaremos esta regi´ on para estudiar la estimaci´ on obtenida por de la Vall´ee-Poussin en 1899, es decir, ´el demostr´ o que
≥
√ log x
π(x) = li(x) + O x e−c
(6)
cuando x , donde c es una constante positiva. Este resultado lo podemos encontrar en de la Vall´ee-Poussin (1899-1900).
→∞
Con mayor precisi´ on J. E. Littlewood demostr´ o que
π(x) = li(x) + O x e−c (log x · loglog x)
(7)
1/2
.
En 1901, H. von Koch demuestra algo m´ as fuerte. El prob´ o que
π(x) = li(x) + O xτ log x
(8) donde τ
∈ R es tal que si σ > τ entonces ζ (σ + it) = 0.
De hecho, si se supone que la Hip´ otesis de Riemann es cierta, entonces la ecuaci´on (8) de von Koch toma la forma (9)
π(x) = li(x) + O
√
x log x .
Finalmente en 1958, Vinogradov demuestra que
3/5
π(x) = li(x) + O x e− (log x)
(10)
−
.
Los resultados (7), (8) y (10), los podemos encontrar en Littlewood (1996), Koch (1901) y Ellison (1985), respectivamente. Del teorema de los n´ umeros primos se sigue que para h π(x + h)
−
x+h π(x) = log(x + h)
−
≤ x tiene lugar la igualdad
x x + o . log x log x
Encontrar h tal que π(x + h) π(x) > 0 implica la existencia de un n´ umero primo en (x, x + h]. Esta observaci´ on motiva a investigar las condiciones sobre h para garantizar la existencia de un n´ umero primo en el intervalo (x, x + h].
−
Bertrand conjetur´ o en 1845 que si h 2, entonces (h, 2h) deber´ıa contener un n´ umero primo. Esta conjetura fue probada por Chebyshev en el a˜ n o 1851 y adem´ as tambi´en 1 prob´o que en el intervalo (x, x + h] hay un n´ umero primo, si x x 0 y h 5 x. De manera natural surgen las siguientes preguntas:
≥
≥
≥
Introducci´ on
vi
• ¿Qu´e tan peque˜no se puede elegir a h = h(x) de tal forma que en el intervalo (x, x + h] exista al menos un n´ umero primo, si x es suficientemente grande?
• ¿Es posible hallar una f´ormula asint´otica para la cantidad de n´umeros primos en el intervalo (x, x + h]?
Este problema es conocido como: El problema de la distribuci´ on de los n´ umeros primos en peque˜ nos intervalos. Una forma de abordar este problema es utilizando (6), esto es, si h x+h
π(x + h)
− π(x) =
x
√ dt + O(xe−c1 log x ), log t
≤ x entonces tenemos
c1 > 0.
De esta forma, basta tomar h = c2 xe−c3
√ log x
;
c2 > 0,
c3 > 0,
para garantizar la existencia de un n´ umero primo en el intervalo (x, x + h]. M´a s a´ un, la cantidad de n´ umeros primos que hay en ese intervalo es asint´ oticamente h/log x. Asumiendo la Hip´ otesis de Riemann, es decir, la ecuaci´ on (9) y procediendo de manera an´ aloga, al elegir 1/2+ε h = x se garantiza la existencia de un n´ umero primo en el intervalo (x, x+x1/2+ε ], para cualquier ε > 0. Adem´as, la cantidad de n´ umeros primos ser´ a asint´ oticamente x 1/2+ε /log x. Por u ´ltimo, utilizando el mejor t´ermino de error, el cual est´ a dado en la ecuaci´on (10), 3/5−ε − log x basta tomar h(x) = xe para garantizar la existencia de un n´ umero primo en el − 3/5 ε 3/5−ε x ], siendo ε > 0 y x x = intervalo (x, x + xe− log x0 (ε) > 0. A pesar de que xe − log − 3/5 ε x o(x) siempre se tiene xe− log x1−δ , para cualesquiera ε , δ > 0 y x x0 (δ ) > 0. Por tal raz´ on, el teorema de los n´ umeros primos no garantiza de manera incondicional la existencia de n´ umeros primos en un intervalo de la forma (x, x + x 1−δ ]. Sin embargo, en la teor´ıa de la funci´ on zeta de Riemann existe una rama muy profunda conocida como la Teor´ıa de la densidad de los ceros no triviales de la funci´ on zeta de Riemann , de la cual se siguen resultados m´ as fuertes que lo que se deriva del teorema de los n´ umeros primos.
≥
≥
≥
Se denota por ρ = β + iγ , a cualquier cero no trivial de ζ (s). Para T funciones
≥ 2, se definen las
N (T )
=
1;
0< m ρ T
≤
N (σ, T )
= 0<
|m ρ|≤T e ρ≥σ
1,
Introducci´ on
vii
es decir, N (T ) cuenta el n´ umero de ceros no triviales de ζ (s) en el rect´angulo 0 < m ρ T y N (σ, T ) cuenta el n´ umero de ceros de ζ (s) en el rect´angulo 0 < m ρ T , con e ρ σ. A la segunda funci´ o n se le conoce como funci´ on de densidad de los ceros no triviales de ζ (s).
≤ ≥
| | ≤
El objetivo fundamental de este libro es estudiar el problema de densidad de los ceros no triviales de la funci´ on ζ (s) y su conexi´on con el problema de la distribuci´ o n de los n´umeros primos en peque˜ nos intervalos. De manera precisa; obtendremos una estimaci´ on 3/4+ε para N (σ, T ), la cual permite establecer que para h(x) x , con ε > 0 y x x0 (ε) > 0, existe un n´ umero primo en el intervalo (x, x + h(x)]. M´a s a´ u n, la cantidad de n´ umeros primos que hay en ese intervalo es asint´ oticamente como h(x)/log x. Adem´as, en el proceso de estudio vamos a aprender c´omo se aplica el Teorema del Valor Medio de Vinogradov para obtener la regi´ on libre de ceros de ζ (s) que de hecho es el mejor resultado conocido en la actualidad. Tambi´ en veremos que la aplicaci´on de este resultado establece (10).
≥
≥
Cap´ıtulo 1
Conceptos y teoremas elementales §1. Introducci´ on
En este cap´ıtulo se dan algunos conceptos y teoremas b´ asicos de la teor´ıa anal´ıtica de los n´ umeros que ser´an necesarios para el estudio de la distribuci´ on de los n´ umeros primos. Las letras p, p 1 , p 2 , , denotan n´ umeros primos.
·· ·
§2. Definiciones b´ asicas
En esta secci´ on se definen algunas funciones aritm´ eticas, en donde entendemos por una funci´ on aritm´etica una sucesi´ on de n´ umeros reales o complejos. on de M¨ obius µ(n), se define por Definici´ on 1.1. La funci´ µ(n) =
−
1, si n = 1; 0, si p 2 n; ( 1)k , si n = p 1 p2 . . . pk .
|
on de von Mangoldt Λ(n), se define en la manera siguiente Definici´ on 1.2. La funci´ Λ(n) =
si n = p k ; si n = p k .
log p, 0,
on aritm´etica f definimos la funci´ on suma de f por Definici´ on 1.3. Para una funci´ F (x) =
n x
≤
f (n),
1. Conceptos y teoremas elementales
2
en donde x es un n´ umero real dado. En el caso particular de la funci´ on aritm´etica f (n) = 1 si n es un n´ umero primo y 0 en otro caso, tenemos
f (n) =
n x
1 = π(x),
p x
≤
≤
donde la segunda suma corre sobre todos los n´ umeros primos. Otro ejemplo de una funci´ on suma es la funci´ on de Chebyshev, la cual est´ a definida como ψ(x) =
Λ(n),
x > 0.
n x
≤
En la siguiente definici´ on se plantea la funci´ on que cuenta todos los divisores de un n´umero natural n. on τ (n) indica la cantidad de divisores Definici´ on 1.4. Para todo entero positivo n, la funci´ de n, es decir, τ (n) =
1.
dn
|
umero real u, definimos la parte entera de u, la cual Definici´ on 1.5. Para cualquier n´ la denotamos por [u] como el entero m´ a s cercano a u tal que u [u] 0. El n´ umero 0 u [u] 0 tal que f (x) cg(x). Por otro lado, se denota f (x) = o(g(x)) para indicar que f (x) l´ım = 0. x→∞ g(x)
|
|≤
Se dice que f (x) es asint´ oticamente igual a g (x) si f (x) = g(x)(1 + o(1)).
1. Conceptos y teoremas elementales
3
§3. F´ ormulas de sumaci´ on
Los siguientes lemas nos proporcionan f´ ormulas para obtener el comportamiento asint´ otico de una suma parcial, al compararla con una integral. on de n´ umeros complejos. on de Abel). Sea cn una sucesi´ Lema 1.7. (F´ormula de Sumaci´
{ }
Sea f (u) una funci´ on continuamente diferenciable en [a, b]. Entonces tiene lugar la igualdad
b
cnf (n) =
a 0 y sea σ > 1. Consideremos al producto parcial
P (X ) =
p X
≤
1 1 p−s
−
2. La funci´ on zeta de Riemann
22
y probemos que P (X ) ζ (s) cuando X serie geom´etrica tenemos
→ ∞. Escribiendo cada factor de P (X ) como una
→
P (X ) =
p X
≤
···
1 1 1 1 + s + 2s + 3s + p p p
.
De esta forma, P (X ) queda expresado como producto de un n´umero finito de series absolutamente convergentes. Al tomar todos los productos de estas series, del Teorema fundamental de la aritm´etica se sigue 1 + R(X ), P (X ) = ns
n X
≤
donde
− R(X )
De esta forma tenemos
ζ (s)
n X
≤
Tomando l´ımite cuando X
n>X
1 ns
1 . nσ
n>X
1 . nσ
→ ∞, se concluye la demostraci´on.
on ζ (s) no se anula en la regi´ on σ > 1. Lema 2.4. La funci´ Demostraci´ on. Observe que
≤ 1 = ζ (s)
o sea ζ (s)
∞
n=1
µ(n) ns
∞
n=1
1 nσ
∞
≤ 1+
1
1 σ = du , uσ σ 1
−
| ≥ (σ − 1)/σ > 0. on ζ (s) admite la Teorema 2.5. Sea N ≥ 1 un entero fijo. Si σ > 1 entonces la funci´ |
representaci´ on
N
(2.6)
ζ (s) =
n=1
1 N 1−s + ns s 1
− −
∞
1 −s N + s 2
ρ(u) du. us+1
N
ormula de sumaci´ on de Euler tenemos Demostraci´ on. Aplicando la f´
N 0 y de manera uniforme si σ σ0 , para todo σ0 > 0. Por tal raz´ on ζ (s) se extiende anal´ıticamente al semiplano complejo σ > 0 salvo el punto s = 1, que es un polo simple con residuo igual a uno.
≥
Lema 2.8. Sea σ0 > 0. Si 0 < σ0
≤ σ ≤ 2 y x ≥ |t|/π, entonces tiene lugar la f´ ormula
(2.9)
ζ (s) =
n x
≤
1 x1−s + + O(x−σ ), s n s 1
−
donde s = σ + it y la constante implicada del simbolo O depende s´ olo de σ0 . Demostraci´ on. Del Teorema 2.5, para N > x se tiene N
ζ (s) =
n=1
(2.10)
=
1 n x
≤≤
1 + ns
Ahora estudiemos a la suma
1 N 1−s + ns s 1
− −
x 0. Por lo tanto, el orden de ξ (s) ≤ 1. ≤
2
20R e
,
Por otro lado, recuerde que ξ (s) = Finalmente, para s = 2n + 1, n ξ (2n + 1)
≥ ≥
s(s − 1)π −s/2 Γ
∈ N, se tiene
s ζ (s). 2
n2 π −n−1 Γ(n + 1) = n2 π −n−1 n! 1
e 100 n log n
≥ eCR log R.
≥e
1 n log n 10
−(n+1)log π
Dado que el orden de la funci´ on entera ξ (s) es 1 y recordando que ξ (0) = 1, en virtud del Teorema 1.24 se tiene el siguiente corolario. ormula Corolario 2.20. Tiene validez la f´ As
(2.21)
ξ (s) = e
− ∞
1
n=1
s ρn
es/ρn ,
donde el producto est´ a tomado sobre todos los ceros no triviales de ζ (s) y A es una constante absoluta. De hecho se puede probar que A = γ/2 1 + 12 log 4π, aqu´ı γ es la constante de Euler. Utilizando el corolario anterior se obtiene el siguiente resultado.
−
−
Corolario 2.22. Sean ρn los ceros no triviales de ζ (s). Entonces
(2.23)
ζ (s) = ζ (s)
1
−s − 1
+
− ∞
n=1
1
s
1 + ρn ρn
+
∞
n=1
1 s + 2n
−
1 2n
+ A0 ,
2. La funci´ on zeta de Riemann
29
donde A0 es una constante absoluta. on e s > 1, tiene lugar la f´ ormula Lema 2.24. En la regi´
(2.25)
ζ (s) = ζ (s)
−
∞
n=1
Λ(n) . ns
Demostraci´ on. Si
e s > 1, entonces
∞
∞
n=1
1 ns
m=1
∞
Λ(m) = ms
l=1
1 ls
Teorema 2.26. Sean ρn = β n + iγ n , n
T
∞
Λ(m) =
l=1
ml
|
log l = ls
−ζ (s).
∈ N, los ceros no triviales de la funci´ on zeta. Si
≥ 2, entonces tiene lugar la estimaci´ on ∞
(2.27)
1 = O(log T ). 1 + (T γ n )2
−
n=1
Demostraci´ on. Para s = 2 + iT tenemos
∞
n=1
| | ≤ − ≤ − − − − − − − ≤ − ≤ − ≤
1 s + 2n
1 2n
n T
≤
1 1 + 2n 2n
+
∞
n>T
s 4n2
log T + 1.
Por lo tanto, aplicando el Corolario 2.22 se tiene ζ (s) e = ζ (s)
− (2.28)
e
∞
1
s
1
c1 log T
n=1
e
1 s + 2n
∞
n=1
1
s
ρn
1 2n
+
B0
e
∞
n=1
1 . ρn
Adem´as, por el Lema 2.24
ζ (s) e ζ (s)
ζ (s) = ζ (s)
∞
n=1
Λ(n) n2+iT
c2 .
1
s
1 + ρn ρn
2. La funci´ on zeta de Riemann
30
Por la desigualdad anterior y (2.28) se tiene que
− ∞
e
1
s
n=1
≤
1 + ρn ρn
c3 log T.
Por otro lado
e s −1 ρn
=
e (2 − β n) +1 i(T − γ n)
=
(2
−
2 β n β n )2 + (T
−
≥
− γ n)2
0.5 . 1 + (T γ n )2
−
Por lo tanto
∞
n=1
−
1 1 + (T γ n )2
e
−
∞
n=1
1
s
1 + ρn ρn
log T.
umero de ceros ρn de la funci´ on zeta de Riemann para los cuales Corolario 2.29. El n´ T
≤ m ρn ≤ T + 1 no sobrepasa a c4 log T .
Demostraci´ on. Note que
1 1 + (T γ n)2
≥
−
donde γ n =
1 1 + (T (T + 1))2
−
≥
1 , 2
m ρn ∈ [T, T + 1]. Entonces
1
T γ n T +1
≤ ≤
∞
≤
n=1
2 1 + (T γ n )2
−
≤ c4 log T.
Corolario 2.30. Para T
≥ 2, se tiene
1 T γ n
2 |T −γ |>1 | − | n
= O(log T ).
Demostraci´ on. En efecto,
1 T γ n
≤ | − | |T −γ |>1 |T −γ |>1 n
2
n
2 1 + T γ n
| −
∞
≤ | 2
n=1
2 1 + T γ n
| − |2
= O(log T ).
2. La funci´ on zeta de Riemann
31
Corolario 2.31. Sea s = σ + it, con 1
− ≤ σ ≤ 2 y |t| > 2. Entonces tiene lugar la igualdad
ζ (s) = ζ (s)
(2.32)
1
|t−γ n|≤1
s
+ O(log t ).
||
− ρn
Demostraci´ on. Como
−1 ≤ σ ≤ 2 y |t| ≥ 2, entonces
∞
n=1
| − ≤ − − −
1 s + 2n
1 2n
n
≤|t|+2
2 + n
n> t +2
||
σ + it n2
| ≤ c log(|t|).
Por lo tanto, del Corolario 2.22, se tiene ζ (s) = ζ (s)
1
s
1
+
∞
1
s
n=1
ρn
+
1 + O(log t ). ρn
||
Al restar en la u ´ ltima igualdad ζ (2 + it)/ζ (2 + it), resulta ζ (s) ζ (s)
−
− ∞
ζ (2 + it) = ζ (2 + it)
1
s
n=1
Dado que
ρn
−
1 2 + it
− ρn
+ O(log t ).
||
ζ (2 + it) = O(1), ζ (2 + it)
entonces
ζ (s) = ζ (s)
(2.33)
− − − − 1
|t−γ n|≤1 +
s
1 2 + it
ρn
1
|t−γ n|>1
s
ρn
− ρn
1 2 + it
− ρn
+ O(log t ).
||
Note que
− − −
|t−γ n|≤1
1 2 + it 1
|t−γ n|>1
s
ρn
ρn
= O(log t );
1 2 + it
||
− ρn
≤
|t−γ n|>1
2 (γ n
1 −σ − t)2 |t−γ |>1 (γ n − t)2 . n
2. La funci´ on zeta de Riemann
32
Sustituyendo estas dos u ´ ltimas estimaciones en (2.33) y aplicando el Corolario 2.30, se concluye
ζ (s) = ζ (s)
1
|t−γ n|≤1
=
|t−γ n|≤1
s
− ρn 1
s
− ρn
+
|t−γ n|>1
1 + O(log t ) (t γ n )2
||
−
+ O(log t ).
||
Definici´ on 2.34. Para T
≥ 2 y 0 ≤ σ ≤ 1, se define la funci´on
N (T ) =
1,
0< m ρ T
≤
es decir, N (T ) es el n´ umero de ceros no triviales de la funci´o n zeta de Riemann en el rect´angulo 0 < m ρ T .
≤
Del Corolario 2.29, se obtiene que N (T ) para T 2, tiene lugar la f´ ormula asint´ otica
≥
(2.35)
N (T ) =
T log T . En 1895 Mangoldt demostr´o que
T T log 2π 2π
−
T + O(log T ). 2π
Teorema 2.36. (C. J. de La Valle Poussin). Existe una constante absoluta c > 0 tal que en
la regi´ on (2.37)
e s = σ
> 1
− log(|tc| + 2) ,
la funci´ on ζ (s) es libre de ceros. on ζ (s) tiene un polo en el punto s = 1 y por lo tanto no tiene Demostraci´ on. La funci´ ceros para cierto n´ umero positivo γ 0 > 0 en el dominio s 1 γ 0 . Sea ρ = β + iγ un cero de ζ (s); claramente γ > γ 0 . Sea 1 < σ 2. Entonces, seg´ un el Lema 2.24 se tiene
| |
≤
− Por lo tanto
| − | ≤
ζ (s) = ζ (s)
∞
n=1
Λ(n) = ns
ζ (s) e = ζ (s)
−
∞
n=1
∞
n=1
Λ(n) −it log n e . nσ
Λ(n) cos(t log n). nσ
2. La funci´ on zeta de Riemann
33
La desigualdad trigonom´etrica 3 + 4 cosφ + cos(2φ) = 2(1 + cos φ)2 φ real. Entonces se tiene (2.38)
3
− − ζ (σ) ζ (σ)
ζ (σ + it) e ζ (σ + it)
+ 4
− +
≥ 0, es v´alida para todo
ζ (σ + i2t) e ζ (σ + i2t)
≥
0.
Dado que σ > 1, entonces tiene lugar la siguiente ecuaci´ on
∞
n=1
Λ(n) = ns
−
− − − ∞
ζ (s) 1 = ζ (s) s 1
1
s
n=1
+ O(log t + 2).
+ O(1)
1 + ρn ρn
||
Si s = σ, tenemos (2.39)
−
− − − ∞
ζ (σ) 1 = ζ (σ) σ 1
n=1
σ
1 β n
−
1 + iγ n β n + iγ n
| | ≥ γ 0, se tiene
≤ σ −1 1
donde c 1 > 0. Para t
−
ζ (σ + it) e = ζ (σ + it)
− − ∞
e
n=1
1
s
1 + ρn ρn
+ c2 log( t + 2),
||
donde c2 > 0. Dado que 0
≤ e ρn = β n ≤ 1, n ∈ N y e s > 1, tenemos e s −1 ρn = e σ − β n +1i(t − γ n) = (σ − β nσ)2−+β (tn − γ n)2 ≥ 0, β n e ρ1n = β 2 + ≥ 0. γ 2 n
n
Por lo tanto (2.40)
ζ (σ + it) e ζ (σ + it)
−
≤ − (σ − β nσ)2−+β (tn − γ n)2
+ c2 log( t + 2).
||
Adem´as (2.41)
e
−
ζ (σ + i2t) ζ (σ + i2t)
≤ c2(log(2|t| + 2).
Sustituyendo las estimaciones (2.39), (2.40) y (2.41) en (2.38), deducimos 3 σ
−1
+ c3 log( t + 2)
||
−
(σ
−
4(σ β n ) β n )2 + (t γ n )2
−
−
≥ 0,
+ c1 ,
2. La funci´ on zeta de Riemann
34
donde c3 > 0. Esta u ´ltima desigualdad se cumple para todo t tal que t Por lo cual, si 1 t = γ n, σ = 1 + , 2c3 log( γ n + 2)
| | ≥ γ 0 y 1 < σ ≤ 2.
| |
entonces
4 σ
Finalmente β n
− β n
≤ 1 −
≤ σ −3 1
+ c3 log( γ n + 2).
| |
1 ; 14 c3 log( γ n + 2)
| |
c =
1 . 14 c3
§5. Representaci´ on de la funci´ on de Chebyshev a trav´ es de una suma sobre los ceros de ζ (s)
on de la forma Definici´ on 2.42. Una serie de Dirichlet es una expresi´
∞
f (s) =
n=1
an , ns
s = σ + it,
donde a n son n´ umeros complejos llamados coeficientes de la serie de Dirichlet. El m´etodo de integraci´ on compleja en particular permite escribir a la funci´ on de Chebyshev en t´erminos de la serie de Dirichlet
−
ζ (s) = ζ (s)
∞
n=1
Λ(n) . ns
umeros reales positivos. Sea Lema 2.43. Sean b, y, T n´ δ (y) =
Si y = 1, entonces
0 1
si si
0 < y 1,
1 I (y, T ) = 2πi
y sea
b+iT
b iT
−
b
y |I (y, T ) − δ (y)| < T | log . y|
ys ds. s
2. La funci´ on zeta de Riemann
35
umero real. Consideremos el Demostraci´ on. Supongamos que 0 < y b es un n´ contorno W dado por el rect´angulo con v´ertices b iT y r en σ > 0, entonces tenemos que ys ds = 0. W s Por lo cual
±
b+iT
r
T
± iT . Como ys/s es holomorfa r
− − − ≤ − ys ds = s
b iT
b
−
Entonces
y t−iT dt + i t iT
b+iT
1 2πi
−T
ys ds s
r
1 2π
b iT
−
y t+iT dt. t + iT
b
T
yt dt + T
b
r
1 = π
y r−it dt r it
r
yr dt + r
−T
yt dt T
b
yt T yr 1 er log y eb log y T yr dt + = + , T rπ Tπ log y rπ
b
yb , cuando r πT log y
lo cual tiende a
|
|
→ ∞. Por lo tanto b
y . |I (y, T ) − δ (y)| < T | log y|
Sea y > 1. Consideremos ahora el contorno W , dado por el rect´ angulo con v´ertices s b iT , r iT . Entonces y /s tiene un polo de orden 1, en el interior de W , con residuo igual a 1. Por lo cual 1 ys ds = 1. 2πi W s Adem´as tenemos que
± − ±
1 1 = 2πi
b+iT
−r+iT
ys ds + s
b iT
ys ds + s
b+iT
−
−r−iT
−r+iT
ys ds + s
b iT
−
ys ds . s
−r−iT
Por lo tanto
1 2πi
b+iT
ys ds s
b iT
−
≤
1 π
− ≤ − − 1
b
−r
1 2π
b
y t+iT dt + t + iT
−r
yt 1 dt + T 2π
T
−T
T
−T
y −r+it dt + r + it
b
−
−r
y t−iT dt t iT
y −r 1 y b y −r y−r T dt = + , r πT log y πr
2. La funci´ on zeta de Riemann
lo cual tiende a
yb cuando r πT log y
|
|
36
→ ∞. Por lo tanto b
y . |I (y, T ) − δ (y)| < T | log y|
umero natural y T Lema 2.44. Sea N un n´
≥ 2. Para la funci´ on de Chebyshev ψ(x) tiene
lugar la identidad b+iT
−
1 ψ(x) = 2πi
ζ (s) x s ds + O(1), ζ (s) s
·
b iT
−
donde x = N + 1/2 y b = 1 + 1/ log x. Demostraci´ on. Del Lema 2.24, para
e s > 1 se tiene
−
Si s var´ıa en el segmento con extremos b
n=1
1 I = 2πi
n=1
− iT , b + iT , entonces
b+iT
Λ(n) xs s ns
xb b
∞
n=1
ζ (s) x s 1 ds = ζ (s) s 2πi
b iT
−
Para x
Λ(n) xs . s ns
≤ ∞ − · · ∞
Por otro lado
∞
ζ (s) xs = ζ (s) s
log n < nb
∞
.
b+iT
Λ(n)
n=1
1 xs ds. s ns
b iT
−
≥ 2 tenemos I =
n x
≤
1 Λ(n) 2πi
b+iT
·
b iT
−
1 xs 1 ds + Λ(n) s s n 2πi n>x
b+iT
·
1 xs ds. s ns
b iT
−
Por el Lema anterior I =
| | | | | | Λ(n) 1 + O
n x
≤
= ψ(x) + O
∞
n=1
( nx )b T log nx log n log nx
nb
+
Λ(n)O
n>x
.
( nx )b T log nx
2. La funci´ on zeta de Riemann
37
Note que
≥ − x log n
m´ın
∞
=
− 1/2 , log n + 1/2 n
1)k 1
−
n
( 1 > k(2n)k 2n
k=1
pues 4n2 > 3n, para n
log
n
1 − 2(2n) 2
>
1 2n
= log 1 +
1 , 3n
∈ N. Finalmente
I = ψ(x) + O
∞
n=1
log n n2
= ψ(x) + O(1).
umero natural. Si 2 Teorema 2.45. Sea x = N + 1/2, para N un n´
ψ(x) =
Λ(n) = x
n x
≤
−
|m ρ|≤T
xρ + O ρ
T
≤ ≤ x log2 x T
x, entonces
,
donde ρ son los ceros no triviales de la funci´ on zeta. Demostraci´ on. Sean b = 1 + log1 x y s = σ + iT 1 , donde
−1/2 ≤ σ ≤ 2 y T ≤ T 1 ≤ T + 1. Aqu´ı T 1 es elegido de tal forma que la distancia de la l´ınea m s = T 1 a el cero m´as cercano de ζ (s) es log−1 T (ver Corolario 2.29). Aplicando el Lema anterior tenemos 1 ψ(x) = 2πi
b+iT 1
− −
ζ (s) xs ds + O(1) ζ (s) s
·
b iT 1
1 = 2πi
−
ζ (s) xs ds ζ (s) s
·
− I 1 − I 2 − I 3
Γ
+ O(1),
donde
−1/2+iT 1 I 1 =
−
ζ (s) x s ds, ζ (s) s
·
b+iT 1
−1/2−iT 1 I2 =
−
ζ (s) x s ds, ζ (s) s
·
b iT 1
−
−
I3 =
−1/2+iT 1
−1/2−iT 1
Por el Corolario 2.22 y del Teorema de Cauchy, se tiene
− − − · − − − · − 1 2πi
−
ζ (s) x s 1 ds = ζ (s) s 2πi
Γ
∞
n=1
1 s + 2n
s
Γ
1 + A0 2n
∞
1
xs ds = x s
1
n=1
1
s
|m ρ|≤T 1
ρn
xρ ρ
+
1 ρn
ζ (0) . ζ (0)
ζ (s) x s ds. ζ (s) s
·
2. La funci´ on zeta de Riemann
38
Estimemos I 1 . Por el Corolario 2.31 tenemos
−1/2+iT 1
−
I 1 =
1 s
|t−γ n|≤1
b+iT 1
Note que s ρn = σ Por lo tanto
− ρn
+ O(log t + 2)
||
·
xs ds. s
| − | | − β n + i(T 1 − γ n)| ≥ c1/log T , donde c 1 es una constante positiva.
−
1
|t−γ n|≤1 s −
xs + O(log t + 2) ρn s
||
Luego I 1 = O Estimemos I 2 . Para s =
Finalmente
x log2 x T
1
|t−γ n|≤1
| | − I 2
s
− ρn
x−1/2+it log T dt 1/2 + it
−T 1
x−1/2 log T 1 +
1
dt t
x log2 T. T
||
+ O(log t + 2)
log T.
T 1
T 1
= I 3 .
−1/2 + it y |t| ≤ T 1, se tiene
ζ (s) = ζ (s)
T 1
x−1/2 log T
1+
1
x−1/2 log2 T
dt
t2 + 1/4
x log2 x . T
Cap´ıtulo 3
El teorema de los n´ umeros primos §1. Introducci´ on
En este cap´ıtulo estudiamos la estimaci´ on obtenida por de la Vall´ ee-Poussin para el t´ermino de error en el Teorema de los N´ umeros Primos, es decir, se demostrara el siguiente teorema. umero de primos que no exceden a x. Entonces Teorema 3.1. Sea π(x) igual al n´ x
π(x) =
2
1 √ dt + O x e− 414 log x log t
cuando
x
→ ∞.
Tambi´ en obtendremos una estimaci´ on expl´ıcita para el t´ermino de error de la funci´ on ψ(x) de Chebyshev. Dicha estimaci´on es expl´ıcita, en el sentido de que se han calculado todas las constantes involucradas en los s´ımbolos de Landau. Para enunciar el siguiente teorema, consideramos primero una modificaci´ on al s´ımbolo de Landau. Definici´ on 3.2. Sea f : R
Escribimos
→ R y sea g una funci´on tal que g(x) > 0 para cada x ∈ R.
f (x) = O∗ g(x) : x 0 siempre que f (x)
|
| ≤ g(x) para cada x ≥ x0.
on ψ(x) de Chebyshev, se cumple que Teorema 3.3. Para la funci´
ψ(x) = x + O∗ 53010 11 + log x
3
1
x e− 292
√ log x
: e40936 .
3. El teorema de los n´ umeros primos
40
§2. Idea de la demostraci´ on
Nuestro punto de partida es la f´ ormula
−
ζ (s) = ζ (s)
∞
n=1
Λ(n) , ns
para
σ > 1,
en donde Λ es la funci´ on aritm´etica de von Mangoldt. Para probar el Teorema 3.3, en la secci´ on 3 probaremos primero una versi´ on efectiva de la f´ ormula de inversi´ on de Perron para la serie de Dirchlet asociada a la funci´ on aritm´etica de von Mangoldt. Es decir, se probar´ a que
§
(3.4)
b+iT
1 ψ(x) = 2πi
−
ζ (s) xs ds + Error, en donde ψ(x) = ζ (s) s
b iT
−
Λ(n),
n x
≤
b > 1, T > 0. En particular, se obtendr´ an estimaciones expl´ıcitas para el “Error” en (3.4). El contorno de integraci´ on en (3.4) es la l´ınea vertical que va desde b iT hasta b + iT . En la secci´ on 6 vamos a usar la teor´ıa de los residuos de Cauchy, para correr este contorno de integraci´ on, a un contorno que yace a la izquierda de la l´ınea vertical σ = 1. Para este fin, en la secci´on 5 se obtiene una regi´ on libre de ceros para la funci´ on zeta de Riemann contenida en la banda cr´ıtica 0 σ 1.
−
§
§
≤ ≤
Finalmente, en la secci´on 7 se usa la informaci´ on obtenida sobre ψ(x) para probar el Teorema 3.1.
§
§3. F´ ormula de inversi´ on de Perron
En la siguiente proposici´ on se calculan las constantes implicadas en el t´ermino de error del Lema 2.44. Para la prueba, nosotros seguimos la exposici´ o n de la f´ ormula de inversi´ on de Perron en Karatsuba (1979). on suma de la funci´ on aritm´etica de von Mangoldt. Sea Proposici´ on 3.5. Sea ψ(x) la funci´ x = N + 1/2 con N
∈ N. Para cada b > 1, se cumple que
1 ψ(x) = 2πi
b+iT
−
b iT
−
ζ (s) xs ds + O∗ ζ (s) s
−
2
x b ζ (b) 2 b + 5x(3 + log x)2 : 1 . T ζ (b) T
3. El teorema de los n´ umeros primos
41
Demostraci´ on. Sea
b+iT
x 1 I , T = n 2πi
x n
s
ds . s
b iT
−
N´otese primero que, ψ(x) =
Λ(n) =
n x
≤
− ∞
n=1
x Λ(n)δ n
∞
=
n=1
x Λ(n)I , T + n
∞
Λ(n) δ
n=1
x n
I
x , T n
.
Puesto que b > 1, entonces el siguiente cambio de suma e integral est´a justificado por la convergencia absoluta de la serie infinita,
∞
n=1
b+iT
∞
x 1 Λ(n)I ( , T ) = n 2πi
Λ(n)
n=1
b+iT
1 = 2πi
x n
ds s
s
b iT
xs s
b it
−
− ∞
n=1
Λ(n) 1 ds = s n 2πi
−
b+iT
xs ζ (s) ds. s ζ (s)
b iT
−
Entonces es suficiente estimar
∞
− Λ(n) I
n=1
Supongamos que n es tal que x n
(3.6) Entonces
≤
1 2
x , T n
δ
x . n
x n
o bien
≥ 2.
≥ − ≤ − ≤
x log2. n Por lo tanto, aplicando el Lema 2.43 tenemos que log
Λ(n) I
≤ x2
n
y adem´as
Λ(n) I
n 2x
≥
x , T n
δ
x , T n
δ
x n
2
x n
2
x b T
x b T
n
≤ x2
n 2x
≥
Λ(n) nb
Λ(n) . nb
3. El teorema de los n´ umeros primos
42
Entonces la contribuci´ on debida a aquellas n para las cuales se cumple (3.6), es
≤
x b 2 T
∞
n=1
Λ(n) = nb
b
−2 xT ζ ζ ((b) . b)
Ahora, en el caso que (3.6) no se cumple, tenemos que
− ≤
x
