Distribución de Gumbel

Introducción El presente trabajo contiene una breve explicación acerca de distrib distribuci ucione ones s y soluci solución ón de probl problema emas s refer referente entes s a datos datos máxi máximo mos s y míni mínimo mos, s, aquí aquí una una brev breve e expli xplica caci ción ón de este este método: En teorí teoría a de prob probab abil ilid idad ad y esta estadí dísti stica ca la dist distri ribu buci ción ón de Gumbel (llamada así en onor de Emil !ulius Gumbel ("#$"% "$&&' es utiliada para modelar la distribución del máximo (o el mínimo', por lo que se usa para calcular valores extremos) *or ejemplo, sería muy +til para representar la distribución del máxi máxim mo nive nivell de un río río a part partiir de los datos atos de nive nivele les s máximos durante " a-os) Es por esto que resulta muy +til para para pred predec ecir ir ter terremot emotos os,, inun inunda daci cion ones es o cual cualqu quie ierr otr otro desastre natural que pueda ocurrir) .a dist distri ribu buci ción ón de Gu Gumb mbel el a sido sido util utili iad ada a con con buen buenos os resultados para valores extremos independientes de variables meteoroló/icas y parece ajustarse bastante bien a los valores máxi máximo mos s de la prec precip ipit itac ació ión n en dife diferrente entes s inte interv rval alos os de tiempo y después de mucos a-os de uso parece también con0r on0rm mars arse su util utiliidad en los los prob probllemas emas práct ráctiicos de in/en n/enie ierí ría a de dime imensio nsiona nam mient iento o de redes des de dren drenaj aje e y diversas obras idráulicas) En nuestro caso, se puede emplear para el estudio de los perío ríodos de retor torno de las precipitaciones máxi áximas re/is e/istr trad adas as en 12 ora oras, s, así así como como para para el cálc cálcul ulo o de los los periodos de retorno de los caudales de un río) Ejemplo 3e tienen las probabilidades de que aya ", 1, 4, ))) etc, días nubla nublado dos s por por sema semana na en un dete determ rmin inad ado o lu/a lu/ar, r, con con ello ellos s calcule la distribución de probabilidades)

X 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

P(x) 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.08 0.02 1.0

F(x) 0.05 0.20 0.45 0.65 0.80 0.90 0.98 1.00

.a aplicabilidad potencial de la distribución de Gumbel para representar los máximos se debe a la teoría de valores extremos que indica que es probable que sea +til si la muestra de datos tiene una distribución normal o exponencial)

DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I

Es una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia idroló/ico es la distribución /eneral de valores extremos, la cual a sido ampliamente utiliada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos')

Función de densidad

En donde a y b son los parámetros de la distribución)

Esti!ación de "ar#!etros

donde son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra)

Factor de $recuencia

5onde 6r es el periodo de retorno) *ara la distribución Gumbel se tiene que el caudal para un período de retorno de 1)44 a-os es i/ual a la media de los caudales máximos)

L%!ites de con&an'a 7t 8 t("%a' 3e

9  6 es el factor de frecuencia y t("%a' es la variable normal estandariada para una probabilidad de no excedencia de "%a) E!E*.; ": En un río se tienen 4 a-os de re/istros de @) (.eído de la tabla de la normal'

d = 4)$4

7t 8 t("%a' 3e 4)C m4?s 8 (")&2' (4)>#' 12)#4 m4?s 4&)># con0ana para ": 14:44