Distribucion de fallas y la Confiabilidad

Universidad Gran Mariscal de Ayacucho Facultad de Ingeniería Escuela de Mantenimiento Industrial Núcleo Cumaná Cátedra- Mantenimiento IV Período II 2010

Realizado por: Jiménez Yuleangi C.I: 19.237.749

Cumaná, Noviembre de 2010

Definición de Confiabilidad Es la probabilidad de que un equipo cumpla una misión específica bajo condiciones de uso determinadas en un período determinado. El estudio de confiabilidad es el estudio de fallos de un equipo o componente. Si se tiene un equipo sin fallo, se dice que el equipo es ciento por ciento confiable o que tiene una probabilidad de supervivencia igual a uno. Al realizar un análisis de confiabilidad a un equipo o sistema, obtenemos información valiosa acerca de la condición del mismo: probabilidad de fallo, tiempo promedio para fallo, etapa de la vida en que se encuentra el equipo.

La confiabilidad tiene muchos significados técnicos diferentes, pero uno de los más amplios es el siguiente: la confiabilidad es la característica de un elemento expresada por la probabilidad de que cumpla sus funciones específicas durante un tiempo determinado, cuando se coloca en las condiciones del medio exterior. La definición también se puede expresar como la probabilidad de que un equipo no falle mientras esté en servicio durante un período dado.

La confiabilidad como parámetro adaptado al criterio de mantenimiento se define como la probabilidad de que un equipo no falle estando en servicio dentro de un período de tiempo determinado y su principal característica está definida por la rata de fallas, R (t), expresada en unidades de fallas por hora la cual se obtiene a partir del comportamiento histórico de la información generada del equipo.

La rata de fallas se define como la probabilidad de falla casi inmediata de un equipo de edad T, donde:

R (T ) =

P (T ) PS (T )

Donde, P (T): es la probabilidad casi inmediata de fallar. PS (T): es la probabilidad de supervivencia.

La rata de fallas está dada usualmente en fallas por hora.

Como la confiabilidad es un parámetro que depende de los tiempos de operación, podemos definir la media de estos valores como la sumatoria: TPS = ∑i =1 n

TO ( I ) N

Donde, N: es el número de datos o muestras. TPS: es el tiempo promedio de operación o servicio.

Análisis de la Confiabilidad La ejecución de un análisis de la confiabilidad en un producto o un sistema debe incluir muchos tipos de exámenes para determinar cuan confiable es el producto o sistema que pretende analizarse.

Una vez realizados los análisis, es posible prever los efectos de los cambios y de las correcciones del diseño para mejorar la confiabilidad del ítem.

Los diversos estudios del producto se relacionan, vinculan y examinan conjuntamente, para poder determinar la confiabilidad del mismo bajo

todas las

perspectivas posibles, determinando posibles problemas y poder sugerir correcciones, cambios y/o mejoras en productos o elementos.

Mantenimiento Centrado en la Confiabilidad El RCM es uno de los procesos desarrollados durante 1960 y 1970 con la finalidad de ayudar a las personas a determinar las políticas para mejorar las funciones de los activos físicos y manejar las consecuencias de sus fallas. Tuvo su origen en la Industria Aeronáutica. De éstos procesos, el RCM es el más efectivo.

El Mantenimiento RCM pone tanto énfasis en las consecuencias de las fallas como en las características técnicas de las mismas, mediante: •

Integración de una revisión de las fallas operacionales con la evaluación de aspecto de seguridad y amenazas al medio ambiente, esto hace que la seguridad y el medio ambiente sean tenidos en cuenta a la hora de tomar decisiones en materia de mantenimiento.

•

Manteniendo mucha atención en las tareas del Mantenimiento que más incidencia tienen en el funcionamiento y desempeño de las instalaciones, garantizando que la inversión en mantenimiento se utiliza donde más beneficio va a reportar.

Factores Universales En la práctica, la confiabilidad puede apreciarse por el estado que guardan o el comportamiento que tienen cinco factores llamados universales y que se consideran existe en todo recurso por conservar; estos factores son los siguientes:

1. Edad del equipo. 2. Medio ambiente en donde opera. 3. Carga de trabajo. 4. Apariencia física. 5. Mediciones o pruebas de funcionamiento.

Los diversos estudios del producto se relacionan, vinculan y examinan conjuntamente, para poder determinar la confiabilidad del mismo bajo

todas las

perspectivas posibles, determinando posibles problemas y poder sugerir correcciones, cambios y/o mejoras en productos o elementos.

Disminución ó pérdida de la función del componente con respecto a las necesidades de operación que se requieren para un momento determinado. Es la incapacidad de cualquier elemento físico de satisfacer un criterio de funcionamiento deseado. Esta condición puede interrumpir la continuidad o secuencia ordenada de un proceso, donde ocurren una serie de eventos que tienen más de una causa. Existen dos tipos de falla, las cuales son explicadas a continuación:

Falla funcional: Es la capacidad de cualquier elemento físico de satisfacer un criterio de funcionamiento deseado. Por ejemplo, un equipo deja de funcionar totalmente.

Fallas Parciales (Potenciales): Se definen como las condiciones físicas identificables que indican que va a ocurrir una falla funcional. Estas fallas están por encima o por debajo de los parámetros identificados para cada función. Por ejemplo, el elemento no cumple un estándar o parámetro establecido de su servicio.

Idealmente, deben reconocerse las siguientes políticas al organizar las actividades de confiabilidad.

1. Un programa de confiabilidad ha de comenzar en la fase conceptual de un proyecto y continuar durante el diseño y desarrollo, producción, ensayos, evaluación en el campo de utilización y uso en servicio. Significa que el programa no puede restringirse a un punto de la organización, sino que ha de cubrir todas las secciones que afecten a la confiabilidad final en su lugar de uso. 2. Hay que proveer fondos adecuados para un programa de confiabilidad y dichos fondos han de determinarse durante la fase, de propuesta. Esto significa que hay que desarrollar durante la preparación de la propuesta un programa completo de confiabilidad con suficiente detalle para poder estimar el coste. 3. La ejecución de un programa de confiabilidad implica tanto tareas técnicas como una la tarea de dirección. Las tareas técnicas consisten en los esfuerzos para diseñar la confiabilidad y mantenerla durante la producción y la utilización con una degradación mínima. La tarea de dirección consiste en integrar todos los esfuerzos técnicos y controlarlos para asegurarse de que se dan todos los pasos necesarios a fin de conseguir la confiabilidad requerida. 4. Los resultados de confiabilidad solo pueden ser alcanzados mediante acciones realizadas por la organización de línea: El diseñador, el personal de producción, el de compras, el especialista en confiabilidad etc., proporcionan guía y asistencia al personal de línea para ejecutar sus tareas fundamentales de confiabilidad. 5. El programa para cada proyecto ha de incluir un plan escrito y especificar responsabilidades, procedimientos y cuadro de fechas. 6. El programa ha de incluir controles que detectan y comuniquen a la dirección todas las desviaciones entre los planes y la actuación real. 7. El programa ha de abarcar tanto a los proveedores como a las operaciones internas de la empresa.

8. La integración y evaluación totales del programa de confiabilidad han de ser realizadas por una organización que sea independiente de aquellos que tienen la responsabilidad de dar los pasos detallados necesarios para alcanzar la confiabilidad requerida.

Distribución de Fallas Una distribución de fallas es la forma en general de como fallan los equipos y los productos. Es decir algunos tipos pueden fallar mayoritariamente en forma prematura y otros en forma mucho más tardía. Está relacionado íntimamente con los estudios estadísticos y las leyes que lo rigen.

Para encontrar la confiabilidad de maquinaria y equipos se requiere conocer los parámetros de diseño y de actuación, y procesarlos en distintos ambientes. Una segunda respuesta importante es planificar una serie de tareas que deben asignarse a todos los departamentos asociadas con el uso de las facilidades instaladas y su mantenimiento. En la actualidad en producción no solo se operan los equipos, también se asocian tareas de mantenimiento. Incluyendo revisiones periódicas a maquinaria y equipos de alta confiabilidad. Este proceso proporciona la nueva información, la cual se usa en el desarrollo de sistemas. La planificación de la confiabilidad exige la comprensión de las definiciones fundamentales. 1. Cuantificación de la confiabilidad en términos de probabilidad. 2. Clara definición de lo que es un buen funcionamiento. 3. Del ambiente en que el equipo ha de funcionar. 4. Del tiempo requerido de funcionamiento entre fallos.

Si no es así, la probabilidad es un número carente de significado para los sistemas y productos destinados a funcionar a lo largo del tiempo. Confiabilidad de los sistemas

Se presentan a continuación las dos maneras más sencillas de combinar unidades individuales en un sistema y el tratamiento de sus respectivas confiabilidades.

Para que un sistema de n componentes independientes acoplados en serie funcione, todos los componentes deben funcionar. Por lo tanto si uno falla, el sistema no funciona.

En consecuencia, la confiabilidad del sistema es menor que la confiabilidad de cualquiera de sus componentes, siendo la función de confiabilidad del sistema completo.

En el caso de que los componentes estén conectados en paralelo, el sistema deja de funcionar sólo si todos los componentes dejan de funcionar; suponiendo que los componentes funcionan independientemente.

La confiabilidad de este sistema será mayor que cualquiera de los componentes siendo la función de confiabilidad del sistema completo,

Por la sencilla razón de que el acoplamiento en paralelo aumenta la confiabilidad del sistema es de uso más frecuente una operación en paralelo.

Es posible definir una nueva variable denominada “factor de seguridad”, que físicamente representa la relación entre la resistencia de una estructura y la fuerza aplicada a la misma. Si el cociente es menor a 1, la estructura fallará.

La ley normal de falla

La conducta de algunos componentes puede describirse a través de la ley normal de falla. Si T es la duración de un artículo, que obviamente vamos a considerar que es mayor o igual a cero, su fdp, también conocida como distribución de Gauss, está dada por

Siendo σ (Desviación Estándar) > 0

La distribución exponencial Para el caso de que l (t) sea constante nos encontramos ante una distribución de fallos de tipo exponencial y la fiabilidad tendrá la expresión siguiente

R (t) = exp (-l t) para t ³ 0 La expresión de la infiabilidad será para éste caso:

Matemáticamente podremos escribir la función exponencial de densidad de probabilidad de fallo: f (t) = l exp (-l t) cuando t ³ 0 f (t) = 0 cuando t > 0

En las expresiones anteriores la constante l (tasa de fallos) tiene las dimensiones de (tiempo)-1, exp es la base de los logaritmos neperianos o naturales (2,71828...) t es el tiempo de funcionamiento para el que se desea conocer la fiabilidad.

La tasa de fallos se expresa, según se ha visto, en unidades inversas a las que expresan el tiempo t, generalmente en horas. La fiabilidad R (t) representa en éste caso la probabilidad de que el dispositivo, caracterizado por una tasa de fallos constante, no se averíe durante el tiempo de funcionamiento t.

Esta fórmula de fiabilidad se aplica correctamente a todos los dispositivos que han sufrido un rodaje apropiado que permita excluir los fallos infantiles, y que no estén afectados aún por el desgaste. Distribución de Weibull La distribución de Weibull complementa a la distribución exponencial y a la normal, que son casos particulares de aquella, como veremos. A causa de su mayor complejidad sólo se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejor describe la distribución de fallos o cuando se han producido muchos fallos (al menos 10) y los tiempos correspondientes no se ajustan a una distribución más simple. En general es de gran aplicación en el campo de la mecánica.

Aunque existen dos tipos de soluciones analíticas de la distribución de Weibull (método de los momentos y método de máxima verosimilitud), ninguno de los dos se suele aplicar por su complejidad. En su lugar se utiliza la resolución gráfica a base de determinar un parámetro de origen (t0). Un papel especial para gráficos, llamado papel de Weibull, hace esto posible. El procedimiento gráfico, aunque exige varios pasos y una o dos iteraciones, es relativamente directo y requiere, a lo sumo, álgebra sencilla.

La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiempo normal de uso. El método no determina cuáles son las variables que influyen en la tasa de fallos, tarea que quedará en manos del analista, pero al menos la distribución de Weibull facilitará la identificación de aquellos y su consideración, aparte de disponer de una herramienta de predicción de comportamientos. Esta metodología es útil para aquellas empresas que desarrollan programas de mantenimiento preventivo de sus instalaciones.

Características generales Sabemos que la tasa de fallos se puede escribir, en función de la fiabilidad, de la siguiente forma:

ó R (t) = exp [ - ∫ λ (t) d t ] siendo: λ (t) - Tasa de fallos R (t) - Fiabilidad F (t) - Infiabilidad o Función acumulativa de fallos t - Tiempo

En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple que podía representar una gran variedad de datos reales podía obtenerse escribiendo :

por lo que la fiabilidad será:

siendo : t0 - parámetro inicial de localización η - parámetro de escala o vida característica ß - parámetro de forma

Se ha podido demostrar que gran cantidad de representaciones de fiabilidades reales pueden ser obtenidas a través de ésta ecuación, que como se mostrará, es de muy fácil aplicación.

La distribución de Weibull se representa normalmente por la función acumulativa de distribución de fallos F (t):

siendo la función densidad de probabilidad:

La tasa de fallos para esta distribución es:

Las ecuaciones (1), (2) y (3) sólo se aplican para valores de (t - t 0) ≥ 0. Para valores de (t - t0) < 0, las funciones de densidad y la tasa de fallos valen 0. Las constantes que aparecen en las expresiones anteriores tienen una interpretación física:

•

t0 es el parámetro de posición (unidad de tiempos) 0 vida mínima y define el punto de partida u origen de la distribución.

•

η es el parámetro de escala, extensión de la distribución a lo largo, del eje de los tiempos. R

(t)

Cuando =

exp

-

(t (1)ß

-

=

η

1/exp

1ß

t0) =

la =

fiabilidad 1

/

2,718

viene =

dada

0,368

por:

(36,8%)

Entonces la constante representa también el tiempo, medido a partir de t0 = 0, según lo cual dado que F (t) = 1 - 0,368 = 0,632, el 63,2 % de la población se espera que falle, cualquiera que sea el valor de ß ya que como hemos visto su valor no influye en los cálculos realizados. Por esta razón también se le llama usualmente vida característica. •

ß es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo el grado de variación de la tasa de fallos.

Las variaciones de la densidad de probabilidad, tasa de fallos y función acumulativa de fallos en función del tiempo para los distintos valores de ß, están representados gráficamente en la Figura 1.

Fig. 1: Variación de la densidad de probabilidad f (t), tasa de fallos λ (t) y la función acumulativa de fallos F(t) en función del tiempo para distintos valores del parámetro de forma ß

Representación de los modos de fallo mediante la distribución de weibull En el estudio de la distribución se pueden dar las siguientes combinaciones de los parámetros de Weibull con mecanismos de fallo particulares: a. t0 = 0: el mecanismo no tiene una duración de fiabilidad intrínseca, y: o

si ß < 1 la tasa de fallos disminuye con la edad sin llegar a cero, por lo que podemos suponer que nos encontramos en la juventud del componente con un margen de seguridad bajo, dando lugar a fallos por tensión de rotura.

o

si ß = 1 la tasa de fallo se mantiene constante siempre lo que nos indica una característica de fallos aleatoria o pseudo-aleatoria. En este caso nos encontramos que la distribución de Weibull es igual a la exponencial.

o

si ß > 1 la tasa de fallo se incrementa con la edad de forma continua lo que indica que los desgastes empiezan en el momento en que el mecanismo se pone en servicio.

o

si ß = 3,44 se cumple que la media es igual a la mediana y la distribución de Weibull es sensiblemente igual a la normal.

b. t0 > 0: El mecanismo es intrínsecamente fiable desde el momento en que fue puesto en servicio hasta que t = t0 , y además: o

si ß < 1 hay fatiga u otro tipo de desgaste en el que la tasa de fallo disminuye con el tiempo después de un súbito incremento hasta t0 ; valores de ß bajos ( ~ 0,5 ) pueden asociarse con ciclos de fatigas bajos y los valores de b más elevados (~ 0,8) con ciclos más altos.

o

si ß > 1 hay una erosión o desgaste similar en la que la constante de duración de carga disminuye continuamente con el incremento de la carga.

c. t0 < 0. Indica que el mecanismo fue utilizado o tuvo fallos antes de iniciar la toma de datos, de otro modo o

si ß < 1 podría tratarse de un fallo de juventud antes de su puesta en servicio, como resultado de un margen de seguridad bajo.

o

si ß > 1 se trata de un desgaste por una disminución constante de la resistencia iniciado antes de su puesta en servicio, por ejemplo debido a una vida propia limitada que ha finalizado o era inadecuada.

Análisis de Weibull Uno de los problemas fundamentales de la distribución de Weibull es la evaluación de los parámetros ( t0, η , ß) de esta distribución. Para ello se dispone de dos métodos: a través únicamente del cálculo mediante el método de los momentos o el de máxima verosimilitud, en el que intervienen ecuaciones diferenciales difíciles de resolver, por lo que se utilizan poco, y mediante la resolución gráfica, que utiliza un papel a escala

funcional llamado papel de Weibull o gráfico de Allen Plait que es el que vamos a desarrollar. Resolución gráfica

El papel de Weibull (fig. 2 y 3) está graduado a escala funcional de la siguiente forma: En el eje de ordenadas se tiene: In In [ 1 / 1 - F (t) ] (Doble logaritmo neperiano) En el eje de abscisas, tenemos: In (t - t0) Existen tres casos posibles en función del valor de t0

Fig. 2: Muestra del papel de Weibull

Fig. 3: Lectura de los parámetros h y ß en el papel de Weibull

Para determinar los parámetros ß y η se utiliza el papel de Weibull. •

Cálculo de ß: ß es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta. Para calcularlo, se hace pasar una recta paralela a la recta obtenida con la representación gráfica de los datos de partida por el punto 1 de abscisas y 63,2 de ordenadas pudiendo leer directamente el valor de ß en una escala tabulada de 0 a 7. Ver gráfico en fig. 3.

•

Cálculo de η : η es el parámetro de escala y su valor viene dado por la intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas correspondiente al 63,2 % de fallos acumulados. En efecto se demuestra que para la ordenada t0 = 0, F (t) = 63,2. Y = In In 1 / [1 - F (t)] = 0

In 1 / [1 - F (t)] = 1; 1 / [1 - F (t)] = e; 1 - F (t) = 1/e; F (t) = 1 - [ 1/e ] = 1 - [1/2,7183] = 1 - 0,3679 = 0,6321 (63,21 %) de donde para t0 = 0 tendremos que AX + B = 0; como según hemos visto anteriormente: A = ß B = - ß In η tendremos que se cumple: ß X - ß In η = 0; ß X = ß In η ; X = In η Como X = In t, tenemos que t = η . η es el valor leído directamente en el gráfico de Allen Plait para la ordenada 63,2, ya que la escala de abscisas está como ya se ha indicado en In t. •

Tiempo medio entre fallos (MTBF) o media: el tiempo medio entre fallos o vida media se calcula con la ayuda de la tabla 1, que nos da los valores de gamma y vale: E ( t ) = MTBF = η Γ ( 1 + 1 / ß )

•

Desviación estándar o variancia σ : se calcula también con la ayuda de la tabla 1 y vale: (σ / η ) 2 = Γ ( 1 + 2 / ß ) - [Γ ( 1 + 1 / ß ) ] 2

Tabla 1: Fiabilidad

Distribución Lognormal La distribución lognormal tiene, principalmente, las siguientes aplicaciones: a. Representa la evolución con el tiempo de la tasa de fallos, λ (t), en la primera fase de vida de un componente, la correspondiente a los fallos infantiles en la "curva de la bañera" entendiéndose como tasa de fallos la probabilidad de que un componente que ha funcionado hasta el instante t, falle entre t y t + dt. En este caso la variable independiente de la distribución es el tiempo (figura 1). b. Permite fijar tiempos de reparación de componentes, siendo también en este caso el tiempo la variable independiente de la distribución.

c. Describe la dispersión de las tasas de fallo de componentes, ocasionada por diferente origen de los datos, distintas condiciones de operación, entorno, bancos de datos diferentes, etc. En este caso la variable independiente de la distribución es la tasa de fallos.

Fig. 1: Curva típica de la evolución de la tasa de fallos

Características de la distribución La distribución lognormal se obtiene cuando los logaritmos de una Variable se describen mediante una distribución normal. Es el caso en el que las variaciones en la fiabilidad de una misma clase de componentes técnicos se representan considerando la tasa de fallos λ aleatoria en lugar de una variable constante.

Es la distribución natural a utilizar cuando las desviaciones a partir del valor del modelo están formadas por factores, proporciones o porcentajes más que por valores absolutos como es el caso de la distribución normal.

La distribución lognormal tiene dos parámetros: m* (media aritmética del logaritmo de los datos o tasa de fallos) y σ (desviación estándar del logaritmo de los datos o tasa de fallos).

Propiedades

La distribución lognormal se caracteriza por las siguientes propiedades: •

Asigna a valores de la variable < 0 la probabilidad 0 y de este modo se ajusta a las tasas y probabilidades de fallo que de esta forma sólo pueden ser positivas.

•

Como depende de dos parámetros, según veremos, se ajusta bien a un gran número de distribuciones empíricas.

•

Es idónea para parámetros que son a su vez producto de numerosas cantidades aleatorias (múltiples efectos que influyen sobre la fiabilidad de un componente).

•

La esperanza matemática o media en la distribución lognormal es mayor que su mediana. De este modo da más importancia a los valores grandes de las tasas de fallo que una distribución normal con los mismos percentiles del 5% y 50% tendiendo, por tanto, a ser pesimista. Esta propiedad se puede apreciar en la figura 2.

Fig. 2: Comparación entre una distribución normal y una lognormal con los mismos percentiles del 5% y 50%. (Distribución normal normalizada a 1, distribución lognormal con el mismo factor)

Variable independiente: el tiempo La distribución lognormal se ajusta a ciertos tipos de fallos (fatiga de componentes metálicos), vida de los aislamientos eléctricos, procesos continuos (procesos técnicos) y datos de reparación y puede ser una buena representación de la distribución de los tiempos de reparación. Es también una distribución importante en la valoración de sistemas con reparación.

La distribución lognormal es importante en la representación de fenómenos de efectos proporcionales, tales como aquellos en los que un cambio en la variable en cualquier punto de un proceso es una proporción aleatoria del valor previo de la variable. Algunos fallos en el programa de mantenimiento entran en esta categoría.

Según hemos visto, la distribución lognormal es aquella en que el logaritmo de la variable está distribuido normalmente. Por tanto podemos obtener la función densidad de probabilidad de la distribución lognormal a partir de la distribución normal mediante la transformación:

τ = In t (1)

Donde t está distribuida normalmente. La función densidad de probabilidad de la distribución normal es:

Para la distribución normal el parámetro de localización, τ

0

es también la media,

por lo que se cumple que:

τ

0

=τ

m

(3)

Donde τ

0

= parámetro de localización

τ

m

= media

En la transformación de cualquier distribución estadística se debe satisfacer la siguiente. Condición:

f (t) d t = f (τ ) d τ (4) y por tanto:

Teniendo en cuenta la transformación (1) se tiene:

Entonces la distribución lognormal puede ser obtenida sustituyendo las igualdades (1), (2) y (6) en la (5) obteniéndose:

siendo σ = desviación estándar en la distribución normal tm = tiempo medio t = tiempo La ecuación (7) también puede escribirse de la siguiente forma:

Se puede resaltar que el parámetro de localización de la distribución normal original se ha convertido ahora en un parámetro de escala coincidente con la media. La dispersión a es también un parámetro de forma según se puede ver en la figura 3, donde aparece la función densidad de probabilidad de la distribución lognormal para distintos valores de σ (0,4; 0,6; 1,0 y 1,4).

Fig. 3: Función densidad de probabilidad para distintos valores de σ (0,4 a 1,4)

Para valores medios y altos de σ , la distribución lognormal es significativamente asimétrica, pero a medida que a decrece la distribución es más simétrica. Si σ se acerca a la unidad, la distribución lognormal es equivalente aproximadamente a la distribución exponencial negativa. También se puede observar que para valores de σ < 0,2 la distribución lognormal se aproxima a la distribución normal. (Ver figura 4).

Fig. 4: Comparación entre la distribución lognormal y las distribuciones normal y exponencial

Variable independiente: la tasa de fallos La aplicación más importante de la distribución lognormal es la descripción de la dispersión existente en los datos de tasas de fallos de componentes. La función densidad de λ , se puede escribir a partir de la ecuación (7) de la siguiente forma:

con λ > 0; σ > 0; - ∞ < m* < ∞ En la ecuación (13) m* y σ

2

son la esperanza o media y la varianza, respectivamente, de

los logaritmos de las tasas de fallos. Sus valores se obtienen mediante las siguientes estimaciones:

Siendo N el número total de valores de la tasa de fallos de un componente.

Referencias Bibliográficas •

http://www.monografias.com/trabajos16/confiabilidad/confiabilidad.shtml

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http://www.gobierno.pr/NR/rdonlyres/CC1286A8-310F-48CF-AB2CD30417D9AF78/0/15confiabilidad.pdf

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http://www.solomantenimiento.com/m_confiabilidad_crm.htm

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http://www.mantenimientoplanificado.com/j%20guadalupe %20articulos/MANTENIMIENTO%20CENTRALIZADO%20EN%20LA %20CONFIABILIDAD.pdf

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http://www.carlosruizbolivar.com/articulos/archivos/Curso%20CII%20%20UCLA %20Art.%20Confiabilidad.pdf

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http://www.jmcprl.net/ntps/@datos/ntp_316.htm

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http://www.jmcprl.net/ntps/@datos/ntp_331.htm

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http://www.jmcprl.net/ntps/@datos/ntp_418.htm