Distribucion de Bernoulli y Distribucion Binomial, Concepto y Ejercicios

INTRODUCCION Varias de las distribuciones de probabilidad discretas que veremos en este informe se basan en experimentos o procesos en los que se realiza una secuencia de pruebas llamadas pruebas de Bernoulli. Una prueba de Bernoulli tiene uno de dos resultados mutuamente exclusivos, que por lo regular se denotan (éxito y fracaso). Las características de las pruebas de Bernoulli son: La prueba tiene uno de dos resultados mutuamente exclusivos. (Denotamos el resultado uno con éxito y otro con fracaso) Los resultados son exhaustivos es decir, no hay otros resultados posibles. La probabilidad de éxito y fracaso se denotan con p y q.

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Proceso de Bernoulli – Distribución Binomial Experimento de Bernoulli Es un experimento que puede arrojar 2 resultados posibles. A uno de los resultados se lo denomina arbitrariamente "éxito" y al otro "fracaso". El experimento de Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de "éxito"). Veamos el ejemplo siguiente: Ejemplo Si voy a tirar un dado, y lo que voy a observar es si sale o no sale un 5, entonces esto puede ser visto como un experimento de Bernoulli constituido así: Éxito: que salga un 5 Fracaso: que no salga un 5 Probabilidad de éxito: p = 1/6 Probabilidad de fracaso: q = 1-p = 5/6 En ese ejemplo vemos que llamamos "éxito" a que salga un 5, porque justamente estábamos observando si iba a salir o no un 5. El hecho de llamar a algo "éxito" o "fracaso" no tiene nada que ver con que sea "bueno" o "malo" respectivamente, sino con el hecho de que haya dado positiva o negativa la observación que queríamos hacer. Como vimos, p es la probabilidad de éxito, es decir, la probabilidad de que se cumpla la condición que queríamos observar. Y la probabilidad de fracaso, es decir, de no-éxito, 1-p, a menudo se encuentra escrita como q. Proceso de Bernoulli Consiste en hacer n veces un experimento de Bernoulli, teniendo en cuenta: –

Que las condiciones no varían. (Ejemplo: la moneda que arrojo n veces sigue siendo la misma y no se deforma). Es decir, que la

probabilidad p de obtener un éxito en la 5ta vez es la misma que la de obtener un éxito en la 8va vez. –

Que cada uno de los experimentos es independiente (Ejemplo: que haya salido cara en la 5ta vez que tiré la moneda, no me afecta lo que salga en la 8va vez).

Se definen las siguientes variables: n : la cantidad de veces que se hace el experimento p : la probabilidad de que un experimento arroje éxito. k : la cantidad de veces que se obtiene éxito en las n veces que se hace el experimento. Ejemplo Si arrojo una moneda 8 veces, con probabilidad 0,5 de que salga cara (considerando cara como éxito) y sale cara 5 veces, tengo: n=8 p = 0,5 k=5 Generalmente conocemos el valor de p, y entonces nos preguntamos cuántos éxitos obtendremos haciendo el experimento una determinada cantidad de veces, o cuántas veces tendremos que hacer el experimento para obtener una determinada cantidad de éxitos. De esta forma obtenemos 2 distribuciones: –

Binomial: consiste en preguntar por la cantidad de éxitos en n veces. Es decir, dado n, calcular la distribución de k.

–

Pascal: consiste en preguntar por la cantidad de veces necesarias para obtener k éxitos. Es decir, dado k, calcular la distribución de n.

Y además: - Geométrica: caso particular de Pascal cuando k = 1, es decir, consiste en preguntar por la cantidad de veces necesarias para obtener el primer éxito.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

"¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos?" Si X:Bi (n ; p) es decir: X es una variable binomial con parámetros n y p es decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n experimentos de Bernoulli independientes cada uno con probabilidad de éxito p

n es un número natural p es un número real entre 0 y 1

Propiedades reproductivas Si tenemos m variables X i Xi:Bi(ni,p) Xi independiente de X j para i ≠ j

Es decir, la suma de m variables binomiales independientes cada una con igual p y con su propio n resulta ser una variable binomial con el mismo p que las anteriores y n dado por la suma de los n de las variables originales. Estrategia Sabemos que nos encontramos frente a la necesidad de emplear una distribución binomial cuando: –

Nos dan una determinada cantidad de elementos (piezas, intentos, etc.)

–

Cada uno de esos elementos puede o no cumplir con una determinada condición (que la pieza sea defectuosa, que el intento haya salido bien, etc.)

–

Nos dan o es posible calcular la probabilidad de que un elemento cumpla con la condición

–

Nos preguntan cuál es la probabilidad de que determinada cantidad de elementos, de los n que hay en total, cumplan con la condición.

Por lo general estos problemas se resuelven encontrando la forma de calcular la probabilidad de que un elemento cumpla con la condición sin importar cuántos elementos haya. Luego tomaremos una variable X que representará cuántos elementos de los n que hay en total cumplen con la condición. Sus parámetros serán: p: la probabilidad de que un elemento cumpla con la condición n: la cantidad de elementos que hay en total. Siempre comenzaremos por suponer que los n elementos son independientes entre sí, es decir, que el hecho de que un elemento cumpla o no con la condición no afecta la probabilidad de que los demás la cumplan o no. De lo contrario no podríamos usar la distribución binomial porque no estaríamos cumpliendo con las características del proceso de Bernoulli.

Si X está distribuida binomialmente con n y p, P(X = x) tendrá valor no nulo x [0 ; n]. Todos los demás x tienen probabilidad nula. De todas las distribuciones que estudiaremos, ésta es la única que está acotada tanto superior como inferiormente. Aspecto

p pequeño (0,2)

p mediano (0,5)

p grande (0,8)

Vemos que todos los valores entre 0 y n tienen probabilidad no nula, aunque la probabilidad de los valores cercanos a n será muy pequeña si p es chico, y la probabilidad de los valores cercanos al 0 será muy pequeña si p es grande. Ejercicios: 1.- La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas? (4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabili dad de que salgan más caras que cruces.

(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

3.- La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es p 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos , la varianz a y la desviación típica.