Distancia Entre Dos Planos en El Espacio

 

Distancia entre dos planos en el espacio  Dificultad:

Para calcular la distancia entre dos planos π   y y π ′ cualesquiera, hay que tener en cuenta su  posición relativa:    





Si los planos son coincidentes o secantes, la distancia entre ellos es cero, d(π ,π ′)=0. Si los planos son paralelos, la distancia entre ellos se calcula tomando un punto cualquiera de uno de ellos y calculando la distancia de dicho punto al otro plano.

d(π ,π ′)=d( P   P ,π ′)=d(π  P   ,P ′)  donde P ∈π   y y P ′∈π ′. Cuando nos referimos a la distancia entre dos planos, éstos han de ser paralelos  , porque si son coincidentes o secantes, la distancia es cero.  Recuerda que dos planos son paralelos: 1) Si el rango de la matriz de coeficientes vale 1 y el de la ampliada 2 

2) Cuando , si  A, B, C y A’,  B’,C’  son los coeficientes de las variables de cada plano.  plano.  3) los coeficientes de las variables son iguales (incluido el signo) que es lo mismo que decir que el sistema es incompatible, que no se puede resolver. Tienes a continuación los puntos cada plano paralelo.

y

correspondientes a dos puntos de

La distancia será la perpendicular entre los dos puntos si ambos ocupan los mismos lugares referidos a las variables. El problema es sencillo de resolver. Basta calcular un punto de un plano y hallar la distancia desde éste al 2º plano.

 

24.20 Calcula la distancia entre los planos 

Respuesta: 1,62 u. 

Solución Primero comprobamos si los planos son paralelos.

Sí lo son porque En segundo lugar hallamos un punto del plano α y para ello le damos a  a  y   y a z el  y valor 0:

Hemos calculado el punto P(-3,0,0)   del primer plano, nos queda hallar la distancia  del desde este punto al plano π y para ello hacemos uso de la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

24.21 Calcula la distancia entre los planos:  

Respuesta: 1,67 u.  24.22 Calcula la distancia entre los planos 

Respuesta: 0 u. porque los planos no son paralelos.  

 

24.23 ¿Cuál es la ecuación general de un plano que contiene a la recta?: 

y es paralelo a la recta:

Respuesta: 6x

 6z + 6 = 0

–

Solución Anteriormente estudiamos que para obtener la ecuación general del plano recurrimos al determinante:

Son las componentes de los tres vectores que necesitamos para hallar la ecuación general del plano. La 1ª línea del determinante representa a un vector cuyas componentes las calculamos:

Q   es  es

un punto cualesquiera del plano y P  es  es un punto concreto determinado por el

valor de sus componentes Siendo O el origen de coordenadas. La 2ª y 3ª líneas del determinante están formadas por las componentes de los vectores directores

y

.

Un plano tiene el mismo vector director del que tiene una recta paralela al mismo.

 

Sustituimos valores en el determinante y haciendo operaciones paso a paso tenemos:

24.24 En el problema anterior ¿cuál es la distancia entre la recta s y el plano que contiene a la recta r  ?  Respuesta: 0,7 u. 

Solución Conocemos el plano que contiene a la recta r :  que lo llamamos π y su ecuación es

cuya ecuación es:

Según observamos de los numeradores de la ecuación de la recta s   en su forma  en continua, un punto de la recta s es: (– (– 1, 1, 1).

istancia entre planos paralelos Para calcular la di st an ci a en t re dos pl an os paral el os , se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

También se puede calcular de esta otra forma:

 

  Ejem pl o:  

Calcular planos

la

y

distancia

entre .

los

Los dos planos son paralelos.

Transformamos Transformamo s la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

Distancia entre recta y plano

Fijémonos en las posiciones relativas entre una recta y un plano para calcular la distancia entre ellos:  



Si la recta esta incluida en el plano o si la recta y el planos son secantes, la distancia entre ambos es cero, d(r ,π )=0 )=0 

 



Si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ambos se calcula tomando un punto P  de  de la recta y calculando la distancia de P  al  al plano.

d(r ,π )=d( )=d( P   P ,π ) donde P ∈r   Ejemplo Encontrad la distancia entre la recta

r : x  x−2= y= z +1 +1 y el plano π : x  x+ y−2 z +3=0 +3=0.

 

Comprobamos que el plano y la recta son paralelos mediante el producto escalar entre el vector director v  de la recta y el vector normal al plano n . Si recta y plano son paralelos dicho producto escalar será nulo:

v ⋅n =(1,1,1)⋅(1,1,−2)=1+1−2=0  Efectivamente son paralelos así que buscamos un punto de la recta, Q=(2,0,−1), y aplicamos la fórmula:

d(r ,π )=d( )=d( P   P ,π )=|1 )=|1⋅2+1⋅0−2⋅(−1)+3|12+12+(−2)2−−−−−−−−−−−−−√ =7 6√