Distancia de Hausdorff

 

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Distancia de Hausdorff  La distancia de Hausdorff  mide   mide cuan lejos lejos están uno de otro dos subconjunt subconjuntos os compactos compactos de un espacio métrico. Vea Vea convergencia de Gromov-Hausdorff para un desarrollo adicional.

Definiciones Sean  X   y Y  dos Sean X    dos subconjuntos compactos de un espacio métrico  M . Entonces la distancia de Hausdorf  d  (X, Y) es Y)  es el mínimo número r  tal   tal que alguna r -vecindad -vecindad cerrada de X  de  X  contiene   contiene a Y  y   y alguna r -vecindad -vecindad  H  cerrada de Y  contiene  contiene a X  a X . Es decir, si dist( x,  x y) , y) denota la distancia en M  en M  entonces:  entonces:

Esta función de distancia convierte al conjunto de todos los subconjuntos compactos de  M  en   en un espacio métrico, digamos F(M) digamos  F(M).. La topología de F(M) de  F(M) depende  depende solamente de la topología de M  de  M . Si M  Si  M  es   es compacto entonces así es F(M) es F(M).. Otra manera alternativa de expresar la distancia de Hausdorff es:

donde:

Se puede comprobar el que conjunto de todos los conjuntos compactos de un espacio métrico con esta distancia forma un espacio métrico completo. La distancia de Hausdorff se puede definir de la misma manera para subconjuntos cerrados no compactos de , pero en este caso la distancia pueden tomar valor infinito y la topología de  F(M)  F(M) comienza  comienza a depender de la métrica particular de M  de  M  (no  (no solamente de su topología). La distancia de Hausdorff entre los subconjuntos no cerrados se puede definir como la distancia de Hausdorff entre sus clausuras. Da una pre-métrica (o seudométrica) en el conjunto de todos los subconjuntos de M  de  M  (la   (la distancia de Hausdorff entre cualesquiera dos conjuntos y con las mismas clausuras es cero). En geometría euclidiana a menudo se utiliza su análogo, distancia de Hausdorff módulo isometría . Es decir, sean  X   y Y   dos figuras compactas en un espacio euclidiano, euclid iano, entonces  D H (X, Y)   es el mínimo de d  sobre todas las isomet isometrías rías I del espacio espacio  H (I(X), Y)   sobre euclidiano. Esta distancia mide cuan lejos están X  están X  y  y Y  de  de ser isométricos.

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