dispense tecnica delle costruzioni

Dispense del Corso di Tecnica delle Costruzioni Renato Giannini Settembre 2007

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

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Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Indice Prefazione

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1 Analisi della tensione 1.1 Forze interne . . . . . . . . . . 1.2 Resistenza . . . . . . . . . . . . 1.3 Tensione . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Equazione di Cauchy . . 1.3.2 Equilibrio alla rotazione 1.4 Cambiamento di riferimento* .

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1 1 1 4 5 9 9

1.5 Tensioni piane . . . . . . . . . . . 1.5.1 Il cerchio di Mohr . . . . . 1.5.2 Tensioni principali . . . . 1.5.3 Tensioni principali in 3D* 1.6 Equazioni di equilibrio . . . . . . 1.6.1 Equazioni sul contorno . . 1.7 Unit`a di misura . . . . . . . . . .

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11 12 15 17 19 21 22

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35 35 37 38 42 43

2 Analisi della deformazione 2.1 Moto rigido e deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Analisi delle piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dilatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Scorrimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Matrice delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Dilatazione lungo una direzione arbitraria* . . . . 2.2.5 Scorrimento di due direzioni ortogonali* . . . . . 2.2.6 Cambiamento di riferimento* . . . . . . . . . . . 2.2.7 Variazione di volume . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Deformazioni piane. Cerchio di Mohr delle deformazioni 3 Leggi costitutive 3.1 Prova di trazione di una barra di acciaio . . 3.2 Legame elastico lineare . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Stati di tensione pluriassiali . . . . . 3.2.2 Modulo di deformabilit`a volumetrica 3.2.3 Legge di Hooke generalizzata . . . . iii Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

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INDICE

3.2.4 Tensioni e deformazioni piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 La 4.1 4.2 4.3 4.4

trave Le equazioni dei solidi elastici . . . . . . . . . . . . . Il solido di Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . Formulazione del problema di Saint Venant . . . . . . Forza normale e flessione . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Determinazione del campo degli spostamenti* 4.4.2 Sforzo normale centrato . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Flessione semplice retta . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Asse neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.6 Nocciolo di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Sezione circolare cava . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Sezione rettangolare sottile . . . . . . . . . . . 4.5.4 Profili aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Sezioni tubolari di spessore sottile . . . . . . . 4.6 Sollecitazione di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Sezioni rettangolari sottili . . . . . . . . . . . 4.6.2 Sezioni simmetriche di forma arbitraria . . . . 4.6.3 Sezioni a T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Sezioni asimmetriche, centro di taglio . . . . . 4.6.5 Deformazione dovuta al taglio . . . . . . . . . 4.7 Teoria tecnica della trave . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Strutture in acciaio 5.1 Tensione ideale (von Mieses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Analisi limite delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Comportamento delle sezioni in acciaio oltre la soglia elastica . . . . 5.3.1 Materiale elastoplastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Stato limite ultimo delle sezioni inflesse . . . . . . . . . . . . 5.4 Progetto e verifica delle sezioni inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Elementi snelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Non linearit`a geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Stabilit`a dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Stabilit`a dell’equilibrio delle aste compresse: l’asta di Eulero 5.5.4 Pressione eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Verifica delle aste snelle: il metodo ω. . . . . . . . . . . . . . 5.5.6 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.7 Aste presso-inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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109 . 109 . 111 . 113 . 113 . 114 . 118 . 127 . 127 . 129 . 133 . 136 . 139 . 143 . 145

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INDICE

6 Il cemento armato 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Il calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Il cemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Gli aggregati . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 L’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Composizione del calcestruzzo . . . . . . . 6.2.5 Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo 6.3 L’acciaio per il cemento armato . . . . . . . . . . 6.3.1 Aderenza tra acciaio e calcestruzzo . . . .

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7 La trave in cemento armato 7.1 Comportamento in fase I. Omogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Sezione pressoinflessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Il coefficiente di omogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II) . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Comportamento della trave fessurata . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Analisi della sezione inflessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Flessione retta della sezione rettangolare . . . . . . . . . . . 7.2.5 Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Calcolo a rottura (fase III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Momento ultimo di una sezione rettangolare in c.a. soggetta a flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Comportamento in fase I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Comportamento in fase II (sezione fessurata) . . . . . . . . . 7.4.3 Calcolo a rottura della sezione pressoinflessa . . . . . . . . . 7.4.4 Costruzione del dominio di sicurezza . . . . . . . . . . . . . 7.5 Sollecitazione di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Taglio nella trave fessurata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Diagramma dei momenti resistenti. Interazione tra taglio e flessione

165 . 167 . 168 . 171 . 172 . 172 . 174 . 176 . 178 . 180 . 183

8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Le azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Sicurezza strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Valori nominali e caratteristici . . . . . . . . . . . 8.4 Coefficienti di sicurezza, valori di progetto . . . . 8.5 Le Norme Tecniche per le Costruzioni . . . . . . .

223 . 223 . 224 . 224 . 225 . 229 . 231 . 232

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A Geometria delle aree 235 A.1 Momenti statici e baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 A.1.1 Trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

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INDICE

A.1.2 Rotazione degli assi . . . . . . A.1.3 Propriet`a additiva . . . . . . A.1.4 Baricentro . . . . . . . . . . . A.1.5 Significato fisico del baricentro A.2 Momento d’inerzia . . . . . . . . . . A.2.1 Cambiamento di riferimento . A.2.2 Figure composte . . . . . . . A.2.3 Giratori d’inerzia . . . . . . . A.2.4 Momento polare . . . . . . . .

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Elenco delle figure 1.1 L’interruzione della continuit`a porta alla perdita della trasmissione delle forze interne (forze superficiali). . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Due magneti consentono di trasmettere la forza anche in assenza di continuit`a (forze di volume). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Forze di volume (a): ogni punto interagisce con tutti gli altri. Forze di superficie (b): i punti interagiscono solo con quelli pi` u prossimi. . 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Risultati di un ipotetico esperimento di resistenza a trazione. La forza di rottura `e proporzionale all’area del provino. . . . . . . . . . . . . 1.6 Risultati di diverse prove di resistenza a trazione su barre di diversa sezione e per due diversi tipi di materiali. . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Forze esterne ed interne in una barra cilindrica. . . . . . . . . . . . 1.8 Risultante dF (P, n) delle forze interne scambiate attraverso la superficie infinitesima dS di normale n contenente il punto P . . . . . . . 1.9 Tetraedro di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Rapporto tra l’area dA della faccia inclinata e delle sue proiezioni dAx , dAy e dAz sui piani coordinati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Componenti speciali della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Nuova terna di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Componenti speciali della tensione e “tetraedro” di Cauchy nello spazio a due dimensioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Costruzione del cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15 Determinazione del polo K del cerchio di Mohr. . . . . . . . . . . . 1.16 Determinazione dello stato di tensione su di una giacitura arbitraria mediante il cerchio di Mohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17 Tensioni principali per uno stato di tensione piano. . . . . . . . . . 1.18 Cerchio di Mohr e tensioni principali per l’esempio 1.1. . . . . . . . 1.19 Tre cerchi di Mohr per stati di tensione in 3D. . . . . . . . . . . . . 1.20 Tensioni agenti sulle facce di un parallelepipedo con spigoli paralleli agli assi del riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 2.4

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3

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. 8 . 8 . 10 . 11 . 13 . 14 . . . .

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Misura dell’allungamento di una barra sottoposta a trazione. . . . . . Definizione di dilatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spostamento regolare di tre punti che individuano due assi ortogonali. Dilatazione lungo una direzione arbitraria. . . . . . . . . . . . . . . . vii

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15 16 17 20

25 26 27 29

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ELENCO DELLE FIGURE

2.5 Scorrimento di due direzioni ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Cerchio di Mohr relativo ad una deformazione piana. . . . . . . . . . 33 3.1 Grafico forza-allungamento (tensione-deformazione) di una barra di acciaio dolce sottoposta a trazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Macchina universale per prove sui materiali . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Grafici tensione-deformazione relativi a diversi materiali metallici. . . 3.4 Misura della dilatazione assiale e della contrazione trasversale in una prova di trazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Per effetto dell’applicazione di una forza di trazione una barra si allunga nella direzione della forza e si contrae nelle direzioni trasversali 3.6 Cerchio di Mohr relativo ad uno stato di tensione di solo taglio e direzioni principali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Deformazione di un elementino di forma quadrata con diagonali parallele agli assi in presenza di uno stato di tensione di puro taglio. . . 3.8 Deformazioni principali in presenza di puro scorrimento. . . . . . . . 3.9 Lavoro di deformazione: lavoro di dilatazione (a) e di scorrimento (b). 4.1 Superficie di un solido soggetta parzialmente a condizioni di vincolo e parzialmente all’azione di forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cambiamento della configurazione geometrica prodotto dai carichi. . 4.3 Il solido di Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Distribuzione delle tensioni in un prisma diversamente sollecitato sulle basi: (a) forza normale, (b) forza di taglio. Dei tre casi, il primo `e soggetto ad una distribuzione uniforme della forza, il secondo ad una forza concentrata nel baricentro, il terzo a due forze applicate ai bordi. 4.5 Sistema di riferimento usato per il solido di de Saint Venant . . . . . 4.6 Componenti della tensione e sistema di forze risultante agenti sulle basi del solido di de Daint Venant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Equilibrio di un cilindro sollecitato sulle basi con forze di taglio e momenti flettenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Rotazione di una sezione prodotta dalla inflessione della linea d’asse. 4.9 Distribuzione delle tensioni prodotta dalla forza normale e dalla flessione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 La sezione dell’esempio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Sezione dell’esempio 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Estensione del campo delle tensioni normali in una sezione all’intero piano Π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Eccentricit`a e centro di pressione relativi ad una sezione sollecitata a forza normale e flessione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Relazione tra centro di pressione ed asse neutro. . . . . . . . . . . . . 4.15 Noccioli d’inerzia per una sezione convessa ed una non convessa. . . . 4.16 Nocciolo d’inerzia per una sezione rettangolare. . . . . . . . . . . . . 4.17 Nocciolo d’inerzia per una sezione a T. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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36 36 37 38 39 40 41 42 47 50 51 53

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ELENCO DELLE FIGURE

4.18 Anilisi agli elementi finiti di un cilindro con base circolare sollecitato a torsione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19 Analisi agli elementi finiti di un prisma a base quadrata. Modello della struttura (a) e deformazione di un tronco privato di una delle basi (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20 Analisi agli elementi finiti di un prisma con base quadrata. Campo degli spostamenti dei punti delle sezioni (a) e mappa degli spostamenti in direzione x (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.21 Campo degli spostamenti di una sezione di un cilindro soggetto a torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.22 Distribuzione delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezione circolare piena ed in una cava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.23 Sezione rettangolare sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.24 Flusso e risultanti delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezione rettangolare sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.25 Sezioni composte con elementi rettangolari sottili. . . . . . . . . . . . 4.26 Flusso delle tensioni tangenziali prodotte dalla torsione in una sezione tubolare di piccolo spessore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.27 Equilibrio di una parte delle parate di un tubo sollecitato a torsione. . 4.28 Momento risultante delle tensioni tangenziali in una sezione tubolare sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.29 Sezione dell’esempio 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.30 Sezione dell’esempio 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.31 Equilibrio di un concio di trave sollecitata a flessione e taglio. . . . . 4.32 Equilibrio di una parte di un concio di trave. . . . . . . . . . . . . . . 4.33 Distribuzione delle tensioni tangenziali prodotte dal taglio in una sezione rettangolare sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.34 Influenza della variazione dello spessore della sezione sullo stato tensionale prodotto dal taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.35 Sezioni ad I sollecitate a taglio: tensioni nell’anima e nelle ali. . . . . 4.36 Distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione dell’esempio 4.8. 4.37 Effetti del taglio su di una sezione asimmetrica e centro di taglio della sezione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.38 Deformazione prodotta dal taglio in una sezione rettangolare sottile che mostra l’ingobbamento della sezione (a) e scorrimento medio della linea d’asse (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.39 Mesh agli elementi finiti della trave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.40 Curve di livello delle tensioni normali σ x . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.41 Curve di livello delle tensioni σz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.42 Confronto tra le tensioni normali calcolate con la teoria di de Saint Venant e quelle ottenute con l’analisi agli elementi finiti. . . . . . . . 4.43 Curve di livello delle tensioni tangenziali τ xz . . . . . . . . . . . . . . . 4.44 Confronto tra la distribuzione delle tenzioni tangenziali τ xz ad x = l/4 calcolata con la teoria di Jourawsky e quella ottenuta dal modello ad elementi finiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ELENCO DELLE FIGURE

4.45 Diagramma dei momenti di una trave appoggiata con sbalzo soggetta a carico uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.46 Curve di livello della tensione normale σ x nella zona circostante il secondo appoggio della trave di Fig. 4.45. . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.47 Confronto tra le distribuzioni delle tensioni calcolate con la teoria di de Saint Venant e con il metodo degli elementi finiti, in differenti sezioni prossime al secondo appoggio della trave di Fig. 4.45. . . . . . 107 5.1 Legge costitutiva di un acciaio “dolce”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dominio di resistenza di una struttura e punti rappresentativi della domanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Legge costitutiva monoassiale di un materiale elasto-plastico. Legame monotono e ciclico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sequenza delle distribuzioni delle deformazioni e delle tensioni al crescere della curvatura, in una sezione rettangolare con materiale elasto-platico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Posizione dell’asse neutro nelle sezioni inflesse interamente plasticizzate; sezioni simmetriche (a) e non simmetriche (b). . . . . . . . . . . 5.6 Dominio di prima plasticizzazione (linea tratteggiata) e dominio di collasso (linea continua) della sezione HE200B. . . . . . . . . . . . . . 5.7 Tabella per profilati IPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Tabella per profilati HEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Tabella per profilati HEB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Tabella per profilati HEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Tensioni normali e tangenziali in una sezione ad I sollecitata a flessione e taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Schema e diagrammi delle sollecitazioni della trave dell’esempio 5.1. . 5.13 Deformazione di una trave inflessa soggetta ad un carico trasversale distribuito ed a uno forza normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Situazione di equilibrio stabile (A) ed instabile (B) di una massa puntiforme nel campo del peso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15 Analisi della stabilit`a dell’equilibrio di un’asta composta da due corpi rigidi connessi con una molla rotazionale. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16 Soluzione grafica dell’equazione (5.36). . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17 Energia potenziale del sistema in Fig. 5.15 per due valori del rapporto N/4k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18 Asta soggetta ad una forza normale nella configurazione perturbata. . 5.19 Rapporto tra la tensione critica e la resistenza del materiale in funzione della rigidezza ridotta λ/λc dell’asta. . . . . . . . . . . . . . . . 5.20 Asta soggetta ad una compressione eccentrica. . . . . . . . . . . . . . 5.21 Curve γ = σm /fd relative a quattro differenti tipologie di sezione (UNI-CNR 10011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.22 Corrispondenza tra le tipologie delle sezioni e le cirve γ. . . . . . . . . 5.23 Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe360 (curva c). 5.24 Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe430 (curva c).

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

111 113 113

114 116 117 120 121 122 123 124 125 127 129 131 132 133 134 137 137 140 140 142 143

xi

ELENCO DELLE FIGURE

5.25 Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe510 (curva c). 5.26 Coefficiente β in funzione delle rigidezze rotazionali relative κ dei vincoli di estremit`a di una trave, nei casi a nodi fissi e mobili. . . . . 5.27 Telaio dell’esempio 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.28 Sezione del pilastro dell’esempio 5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 145 146 147

6.1 Foto a sinistra (a): il Partenone; `e evidente la piccola distanza tra le colonne permessa dalla resistenza a trazione delle trabeazioni. Foto a destra (b): il grande spazio coperto dalla cupola del Panteon, a Roma.150 6.2 Rappresentazione schematica del processo di idratazione (da AIMAT). 152 6.3 Rappresentazione schematica dell’addensamento degli aggregati. . . . 153 6.4 Miscela degli inerti di un calcestruzzo e confronto con la curva di Fuller154 6.5 Slump test con il cono di Abrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.6 Curve tensione—deformazione di calcestruzzi di differenti classi di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.7 Schema delle prove per la misura della resistenza a trazione del calcestruzzo: flessione (a) e taglio (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.8 Variazione nel tempo della resistenza del calcestruzzo (riferita a quella a 28gg), per diversi tipi di cemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.9 Svilluppo del ritiro nel tempo per un calcestruzzo normale (NSC) ed uno ad alta resistenza (NSC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.10 Sviluppo nel tempo delle deformazioni di un elemento di calcestruzzo compresso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.11 Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ordinario da c.a. . . . 161 6.12 Esempio di barre nervate (aderenza migliorata) per l’armatura delle strutture in c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.13 Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ad alta resistenza . . 162 6.14 Sezione di un elemento in calcestruzzo con annegata una barra in acciaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.15 Diagrammi forza-scorrimento di barre annegate nel calcestruzzo, lisce e sagomate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.16 Fessurazione del calcestruzzo circostante una barra sagomata: (a) per rottura per taglio, (b) rottura dei denti di calcestruzzo. . . . . . . . . 164 7.1 Schema di carico di una trave in c.a. semplicemente appoggiata e digramma carico-abbassamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Sezione di una trave in cemento armato come sovrapposizione della sezione di calcestruzzo (forata) e quella delle barre. . . . . . . . . . 7.3 Apertura di una fessura in una trave in cemento armato. . . . . . . 7.4 Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a sola flessione. . . . . . 7.5 Conservazione delle sezioni piane in una trave in c.a. . . . . . . . . 7.6 Sezione in c.a. sollecitata a flessione in fase II. Campo delle tensioni. 7.7 Flessione di una sezione asimmetrica (a) ed una simmetrica (b) per un momento agente secondo uno degli assi principali d’inerzia della sezione di calcestruzzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

. 166 . . . . .

168 172 173 174 175

. 177

xii

ELENCO DELLE FIGURE

7.8 Sezione rettangolare soggetta a flessione retta. . . . . . . . . . . . . . 7.9 Sezione dell’esempio 7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Risultanti delle tensioni in una sezione inflessa in c.a. con un solo livello di armatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Azione di confinamento esercitata dalle staffe. . . . . . . . . . . . . . 7.12 Leggi tensione—deformazione per l’acciaio (a) e per il calcestruzzo (b) adottate per il calcolo a rottura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13 Meccanismo di collasso di una sezione rettangolare inflessa . . . . . . 7.14 Diagramma rettangolare equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15 Sezione sollecitata a pressoflessione retta di grande eccentricit`a. . . . 7.16 Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta di grande eccentricit`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17 Grafico della funzione (zn ) e delle approssimazioni lineari successive. 7.18 Dominio di collasso di una sezione rettangolare in c.a. armata simmetricamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.19 Situazioni di collasso di una sezione in cemento armato . . . . . . . . 7.20 Famiglia di domini di resistenza normalizzati per sezioni rettangolari. (A0s /As = 1, εy = 2 × 10−3 , d0 /d = 0.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.21 Progetto di una sezione pressoinflessa usando i domini di resistenza adimensionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.22 Verifica della sezione dell’esempio 7.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.23 Quadro fessurativo di una trave soggetta a flessione e taglio. . . . . . 7.24 Cerchi di Mohr per le tensioni in diversi livelli di una sezione rettangolare soggetta a flessione e taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.25 Linee isostatiche in una trave sollecitata a flessione e taglio. . . . . . . 7.26 Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a flessione e taglio. . . . . 7.27 Tipi di staffe nelle sezioni in c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.28 Rappresentazione schematica di staffe e delle barre piegate all’interno di un concio di trave in c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.29 Deduzione del traliccio di M¨orsh dall’andamento delle isostatiche di compressione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.30 Equilibrio di una biella di calcestruzzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.31 Calcolo della tensione media di compressione in una bilella di calcestruzzo di una trave sollecitata a taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.32 Armatura di una trave appoggiata con sbalzo e soggetta ad un carico univorme. Verifica con il diagramma dei momenti resistenti. . . . . . 7.33 Equilibrio delle risultanti di sollecitazione per un concio di trave sezionato ortogonalmente all’asse e quando la sezione `e inclinata. . . .

178 180 181 184 185 186 188 195 196 199 200 201 205 206 207 207 208 209 210 211 212 212 213 214 219 220

8.1 Analisi agli stati limite di due strutture composte con tre aste. . . . . 226 8.2 Analisi della deformazione delle tre aste collegate alle estremit`a. . . . 227 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 A.1 Assi di riferimento e area A del piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

xiii

ELENCO DELLE FIGURE

A.2 Figure geometriche semplici [rettangolo (a), triangolo rettangolo (b)] e relativi assi di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Figura piana riferita a due sistemi di assi rotati. . . . . . . . . . . . A.4 Sezione ad L composta da due sezioni rettangolari. . . . . . . . . . A.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Determinazione del momento d’inerzia di un cerchio. . . . . . . . . A.7 Assi principali e giratori d’inerzia di una figura ad L. . . . . . . . . A.8 Figura simmetrica rispetto all’asse x. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

. . . . . . .

237 238 240 241 244 247 248

xiv

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

ELENCO DELLE FIGURE

Prefazione Queste dispense raccolgono, in forma piuttosto sintetica, gli argomenti del corso di Tecnica delle Costruzioni che svolgo al terzo anno del Corso di Laurea in Scienze dell’Architettura dell’Universit`a degli Studi di Roma Tre. La selezione degli argomenti trattati ovviamente rispecchia le particolarit`a del percorso didattico degli studenti in questa Facolt`a. Nella prima parte vengono introdotti i concetti di tensione e deformazione nei mezzi continui, le equazioni di equilibrio e le condizioni di compatibilit`a; successivamente si discutono gli aspetti pi` u semplici dei legami costitutivi dei materiali strutturali, particolarmente dell’acciaio, schematizzati poi nella legge di Hooke generalizzata ai materiali isotropi. Si passa quindi allo studio del solido di de Saint Venant, i cui risultati sono la base per lo sviluppo della teoria tecnica della trave elastica. Nel capitolo un po’ impropriamente intitolato Strutture in acciaio, i risultati precedenti sono utilizzati per introdurre al dimensionamento delle sezioni in acciaio; viene quindi trattato il caso dell’asta snella soggetta a compressione e si giustifica il metodo ω. I problemi connessi ai collegamenti (saldature, bullonature, ecc.) non sono invece neanche sfiorati. Il capitolo sul Cemento armato descrive sommariamente la tecnologia di questo materiale, le caratteristiche specifiche, le propriet`a meccaniche del calcestruzzo e l’interazione di questo con l’acciaio delle armature. Infine nel capitolo successivo `e affrontato il calcolo delle travi in cemento armato nelle tre fasi che ne caratterizzano il comportamento (stato del calcestruzzo integro, fessurato ed a rottura) per le sollecitazioni di pressoflessione e taglio. Nella trattazione degli argomenti descritti non si fa riferimento a specifiche prescrizioni normative, che pure sono molto importanti nella pratica progettuale. Questa scelta `e stata suggerita da molti fattori: l’opportunit`a di snellire un testo gi`a carico di molti argomenti, il desiderio di prestare maggiore attenzione agli aspetti fisici dei fenomeni e, non ultimo, la difficolt`a che, in Italia, si `e verificata in questi ultimi anni intorno all’emanazione di un testo normativo condiviso. L’ultimo capitolo `e quindi dedicato ad una qualitativa esposizione dei concetti della sicurezza delle strutture, ai format dei codici “semiprobabilistici” e alla definizione di alcune grandezze essenziali, quali i valori caratteristici e di progetto delle resistenze dei materiali e delle intensit`a delle azioni. Poich´e la geometria delle aree `e uno strumento essenziale per l’analisi delle sezioni delle travi, ma la sua trattazione `e sostanzialmente estranea al filo logico seguito per xv Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

xvi

Capitolo 0 Prefazione

lo sviluppo degli altri argomenti del corso, una sintetica esposizione dei suoi aspetti essenziali `e posta in appendice. In qualche, raro, caso, il contenuto di queste dispense ha debordato oltre quello che `e normalmente svolto durante le lezioni del corso. Questi argomenti sono contrassegnati con un asterisco* e per essi `e usato un carattere pi`u piccolo. Il loro studio pu`o essere omesso senza compromettere la comprensione del resto.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Capitolo 1 Analisi della tensione 1.1

Forze interne

Immaginiamo di compiere il semplice esperimento illustrato in Fig. 1.1. Una fune `e tesa mediante l’applicazione di due forze uguali ed opposte. In questa situazione il sistema (la fune ed i due pesi) resta in equilibrio. Se ora tagliamo la fune, il sistema non rimane in equilibrio ed i due pesi cadono verso terra, trascinando con loro i due monconi della fune. Per quanto questo esperimento possa apparire banale e scontato, esso ci indica alcune cose importanti: 1. Le due parti di fune, prima del taglio, si scambiavano una forza pari a quella applicata alle estremit`a. 2. Questa forza agiva esclusivamente sui punti della superficie tagliata; infatti se avesse agito anche su punti pi` u lontani, l’equilibrio sarebbe stato possibile anche dopo il taglio, come avviene ad esempio quando le due parti sono tenute insieme da un magnete. (Fig. 1.2). Possiamo classificare le forze in forze di volume e forze di superficie. Le prime vengono scambiate anche a grande distanza ed agiscono su tutti i punti di un corpo: ne sono esempi la forza peso e la forza che un magnete esercita sui corpi ferrosi. Le seconde sono scambiate solo a breve distanza, tra i punti prossimi ad una superficie: le forze di contatto e le forze interne sono esempi di azioni di questo tipo.

1.2

Resistenza

Lo scopo dell’ingegneria delle strutture `e ideare degli organismi strutturali che siano capaci, per un tempo sufficientemente lungo, di sostenere i carichi e le altre azioni che si produrranno in futuro e quindi verificare, su idonei modelli analitici e numerici, che le strutture progettate abbiano effettivamente queste caratteristiche. Queste verifiche si eseguono confrontando gli effetti delle azioni previste, che chiameremo sollecitazioni, con le resistenze della struttura e degli elementi che la compongono. 1 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

2

Capitolo 1 Analisi della tensione

Figura 1.1: L’interruzione della continuit`a porta alla perdita della trasmissione delle forze interne (forze superficiali).

Figura 1.2: Due magneti consentono di trasmettere la forza anche in assenza di continuit`a (forze di volume). Supponiamo di prendere una barra, per esempio di acciaio, e di sottoporla ad una prova di trazione. La prova consiste nell’applicare alle estremit`a della barra una forza F crescente fino a produrne la rottura (Fig. 1.4). Il valore FR della forza che produce la rottura della barra `e detta forza di rottura o resistenza della barra. Supponiamo ora di ripetere l’esperimento su altre barre, di diverso diametro ma realizzate con lo stesso materiale; troveremo valori diversi della resistenza che, come `e ovvio, crescer`a con il diametro della barra. Se si rappresentano questi risultati in un grafico, riportando sulle ascisse le aree delle sezioni e sulle ordinate le resistenze delle barre, otterremmo un risultato simile a quello illustrato nella Fig. 1.5; i punti rappresentativi delle coppie area—resistenza si disporrebbero attorno ad una retta con inclinazione positiva che, almeno approssimativamente, passa per l’origine. Indicando con FR la resistenza della barra e con A la sua area, l’equazione di una retta di questo tipo `e (1.1) FR = cA dove c indica una costante.

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3

1.2 Resistenza

(a)

(b)

Figura 1.3: Forze di volume (a): ogni punto interagisce con tutti gli altri. Forze di superficie (b): i punti interagiscono solo con quelli pi` u prossimi.

F

F

Resistenza della barra

Figura 1.4:

Area della sezione della barra

Figura 1.5: Risultati di un ipotetico esperimento di resistenza a trazione. La forza di rottura `e proporzionale all’area del provino.

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4

Resistenza della barra

Capitolo 1 Analisi della tensione

Area della sezione della barra

Figura 1.6: Risultati di diverse prove di resistenza a trazione su barre di diversa sezione e per due diversi tipi di materiali. Supponiamo di ripetere ora l’esperimento con un’altra serie di barrette, fatte per`o con un materiale diverso. Riportando i risultati sullo stesso grafico otterremmo quanto rappresentato in Fig. 1.6. La relazione tra resistenza ed area `e ancora del tipo (1.1) ma con un valore diverso della costante c. Generalizzando questi risultati, potremo allora concludere che, per ogni materiale, il rapporto FR A tra la resistenza di una barra sottoposta a trazione e l’area della stessa `e (approssimativamente) costante ed `e una grandezza che dipende dalla natura del materiale e non dalle dimensioni della barra: chiameremo questa grandezza la resistenza a trazione del materiale.

1.3

Tensione

Il rapporto tra la forza F applicata alle estremit`a della barra e l’area A di una sezione normale della stessa barra (Fig. 1.7) `e detta tensione normale media e sar`a indicata con il simbolo σm : F (1.2) σm = A Nel caso della barra tesa, che abbiamo esaminato, le forze interne sono parallele all’asse della barra e quindi normali alle sezioni; inoltre le dimensioni delle sezioni sono piccole rispetto alla dimensione longitudinale e dunque il concetto di tensione media ha un significato intuitivo chiaro. In un caso pi` u complesso, come quello mostrato in Fig. 1.8, le cose non sono cos`ı semplici; le dimensioni della sezione S sono confrontabili con quelle dell’oggetto, di conseguenza l’informazione fornita da una

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5

1.3 Tensione

F

A

Figura 1.7: Forze esterne ed interne in una barra cilindrica. grandezza media diviene meno utile: appare quindi opportuno definire una tensione puntuale. Poich´e in generale questa tensione non sar`a normale alla superficie, la si dovr`a definire come un vettore. Data una superficie S che seziona un corpo ed un punto P su essa, sia dA un’areola contenuta in S e che contiene P (Fig. 1.8). Abbiamo gi`a detto che le forze interne sono forze superficiali e che pertanto ogni punto sulla superficie S scambia forze soltanto con quello omologo sull’altra faccia di S. Sia dF la risultante delle forze che passano per dA; indicando con n la normale ad S in P , faremo la seguente ipotesi (Cauchy): Al tendere a zero delle dimensioni di dA in modo che contenga sempre dF tende ad un vettore di misura finita, detto la tensione P , il rapporto dA nel punto P relativa alla giacitura di normale n. In formule: p (P, n) = lim

dA→P

1.3.1

dF dA

(1.3)

Equazione di Cauchy

La definizione della tensione riportata sopra, mette in evidenza che questa grandezza dipende non soltanto dal punto P , ma anche dalla giacitura (definita mediante il vettore normale) del piano tangente alla superficie S nel punto P . Ora mostreremo che questa dipendenza si pu`o esprimere mediante una semplice legge lineare in funzione delle tensioni agenti su tre giaciture ortogonali. A questo scopo consideriamo un tetraedro infinitesimo con il vertice nel punto P e gli spigoli paralleli agli assi x, y, z di un riferimento ortogonale. Sia p (n) la tensione sulla

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6

Capitolo 1 Analisi della tensione

Figura 1.8: Risultante dF (P, n) delle forze interne scambiate attraverso la superficie infinitesima dS di normale n contenente il punto P . faccia inclinata del tetraedro, di area dA e di normale n e siano p (−x), p (−y), p (−z) le tensioni agenti sulle altre facce del solido, aventi vettori normali diretti in verso opposto agli assi del riferimento (Fig. 1.9). Ricordiamo che la prima equazione cardinale della statica afferma che un corpo `e in equilibrio solo se `e nulla la risultante delle forze agenti su esso; quindi, ricordano la definizione (1.3) della tensione, la forza agente su una generica faccia di area dA e giacitura di normale n `e p (n) dA, e il tetraedro sar`a in equilibrio se p (n) dA + p (−x) dAx + p (−y) dAy + p (−z) dAz + gdV = 0

(1.4)

In questa equazione gdV indica la forza di volume (p.e. il peso) proporzionale al volume dV dell’elemento. Per un tetraedro infinitesimo il volume `e infinitesimo di ordine superiore rispetto all’area (ossia limdA→0 dV = 0) e quindi la forza di volume dA sar`a trascurabile rispetto alle altre. Per il principio di azione e reazione, su facce opposte agiscono forze opposte, quindi p (−x) = −p (x), ecc. Tenendo conto di ci`o, la (1.4) diviene: p (n) dA = p (x) dAx + p (y) dAy + p (z) dAz

(1.5)

dove dAx , dAy e dAz sono le aree delle facce del tetraedro perpendicolari agli assi coordinati. D’altra parte `e facile verificare che (vedi Fig. 1.10) dAx = nx dA dAy = ny dA dAz = nz dA

(1.6)

dove nx , ny , nz sono le componenti del vettore unitario n, perpendicolare a dA. Infatti, come `e mostrato nella figura, ad esempio nz = 1 · cos α, dove α `e l’angolo formato da n con z. Ma α `e anche l’angolo che il piano di normale n forma con quello normale a z, quindi, se h `e l’altezza della faccia inclinata del tetraedro, h cos α `e la sua proiezione sul piano xy e quindi `e l’altezza della faccia di normale z. Poich´e i due triangoli hanno la stessa base, ne segue facilmente che dAz = dA cos α = dAnz .

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7

1.3 Tensione

z n

p(-y)

p(-x) p(n)

dAy dA dAz

x

dAx y

p(-z)

Figura 1.9: Tetraedro di Cauchy Analogamente si dimostrano le altre relazioni (1.6). Sostituendo le (1.6) nella (1.5) si ottiene, dopo aver diviso tutti i termini per dA: p (n) = p (x) nx + p (y) ny + p (z) nz

(1.7)

La (1.7) `e una relazione molto importante, poich´e permette di determinare il vettore della tensione p relativo ad una generica giacitura di normale n, quando siano noti i tre vettori px = p (x)

py = p (y)

pz = p (z)

(1.8)

della tensione su tre giaciture ortogonali. Poich´e ogni vettore ha tre componenti scalari, dalla (1.7) segue che lo stato di tensione in un punto `e completamente definito dalle 3 × 3 = 9 componenti dei tre vettori px , py , pz . Queste componenti, dette componenti speciali della tensione, sono rappresentate sulle facce del parallelepipedo di Fig. 1.11. Come `e consuetudine nella letteratura tecnica, le componenti normali alle facce sono indicate con la lettera σ, quelle parallele con la lettera τ . Le nove componenti si possono raccogliere in una matrice 3×3, in cui ogni colonna `e formata con le tre componenti di ciascun vettore: ⎡ ⎤ σ xx τ yx τ zx T= ⎣ τ xy σ yy τ zy ⎦ (1.9) τ xz τ yz σ zz Con questa notazione, l’equazione di Cauchy (1.7) si scrive: pn = Tn

(1.10)

pnx = σ xx nx + τ yx ny + τ zx nz pny = τ xy nx + σ yy ny + τ zy nz pnz = τ xz nx + τ yz ny + σ zz nz

(1.11a) (1.11b) (1.11c)

o, esplicitamente in forma scalare:

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

8

Capitolo 1 Analisi della tensione

z n

nz = cos(α)

α dAy

α dA

dAx

dAz

y

x

Figura 1.10: Rapporto tra l’area dA della faccia inclinata e delle sue proiezioni dAx , dAy e dAz sui piani coordinati.

z σzz τzx dz

τxz σxx

x

px

τxy

pz

τzy

τyx

τyz py

σyy y

dy dx

Figura 1.11: Componenti speciali della tensione

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

1.4 Cambiamento di riferimento*

9

1.3.2

Equilibrio alla rotazione

Per dimostrare l’equazione di Cauchy (1.7) abbiamo fatto uso della prima delle equazioni cardinali della statica; ma ogni elemento infinitesimo di un mezzo continuo, per essere in equilibrio, deve soddisfare anche la seconda equazione cardinale, che richiede sia nullo il momento risultante. Se allora consideriamo l’equilibrio alla rotazione del parallelepipedo infinitesimo di figura 1.11, poich´e, per il principio di azione e reazione, su facce opposte agiscono tensioni uguali in modulo e direzione ma di verso opposto, le risultanti delle componenti tangenziali τ formano delle coppie con bracci uguali alle lunghezze degli spigoli del parallelepipedo, mentre le componenti normali, avendo la stessa retta di azione, hanno momento risultante nullo. Se ad esempio imponiamo l’equilibrio alla rotazione attorno ad un asse parallelo a z, le sole componenti che danno luogo ad un momento sono le τ xy e le τ yx . Le tensioni agenti sulle facce dydz hanno per risultanti le forze τ xy dydz che formano una coppia di braccio dx; le risultanti delle tensioni τ yx , agenti sulle facce dxdz valgono τ yx dxdz e formano una coppia di braccio dy. Quindi, poich´e le due coppie hanno verso opposto, come `e chiaro dal disegno, la condizione di equilibrio della rotazione attorno a z si scrive: (τ xy dydz) dx = (τ yx dxdz) dy (1.12) da cui, dividendo ambo i membri per dxdydz ricaviamo τ xy = τ yx

(1.13)

Analogamente, imponendo l’equilibrio alla rotazione attorno ad x ed y, potremo dedurre, con simile procedimento, le restanti condizioni di reciprocit`a tra le tensioni tangenziali τ yz = τ zy τ zx = τ xz (1.14) Le (1.13) e (1.14) stabiliscono che la matrice T `e simmetrica e pertanto i termini distinti che la caratterizzano sono sei (tre componenti di tensione normale σ e tre di tensione tangenziale τ ).

1.4

Cambiamento di riferimento*

Abbiamo visto che, in virt` u del teorema di Cauchy, lo stato di tensione in un punto `e determinato dalla matrice T, ovvero, in forma scalare, dalle sue sei componenti distinte (σ xx , σ yy , σ zz , τ xy , τ yz , τ zx ), dette componenti speciali della tensione; il valore di queste componenti, che sono le tensioni sulle facce parallele ai piani coordinati, dipende ovviamente dal riferimento; dunque lo stesso stato di tensione pu` o essere rappresentato da diversi valori delle componenti speciali, a seconda del sistema di assi utilizzato. Vogliamo ora mostrare come queste componenti cambiano quando si passa da un sistema di riferimento ad un altro. Se n1 , n2 , n3 sono tre vettori (di modulo unitario) tra loro ortogonali, possiamo basare su essi una nuova terna di riferimento; vogliamo calcolare i valori delle componenti speciali della tensione (raccolte nella matrice T) relativamente alle facce di un parallelepipedo i

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

10

Capitolo 1 Analisi della tensione

z n3 n2 n1

x

y

Figura 1.12: Nuova terna di riferimento cui spigoli coincidono con gli assi del nuovo riferimento (n1 , n2 , n3 ). Applicando la (1.7) e tenendo conto della (1.8) si ottiene, per ciascuna delle direzioni ni (i = 1, 2, 3):

pi = p (ni ) = px nix + py niy + pz niz

(i = 1, 2, 3)

(1.15)

in cui nix , niy , n iz sono le componenti sugli assi x, y, z del vettore unitario ni . Le componenti di pi nel nuovo riferimento si determinano proiettandolo sui tre assi n1 , n2 , n3 . Moltiplicando scalarmente pi per i tre vettori nj (j = 1, 2, 3), poich´e questi hanno modulo unitario, otterremo tali componenti. I prodotti nti pi forniscono le componenti normali σ ii , mentre i prodotti ntj pi (con j 6= i) forniscono le componenti tangenziali τ ij :

σ ii = nti pi

τ ij = ntj pi

(i 6= j)

(1.16)

Se con i, j, k indichiamo i vettori unitari paralleli agli assi x, y, z del primo riferimento, potremo porre

px = σxx i + τ xy j + τ xz k py = τ yx i + σ yy j + τ yz k pz = τ zx i + τ zy j + σ zz k

(1.17)

nti px = nix σ xx + niy τ xy + niz τ xz nti py = nix τ yx + niy σ yy + niz τ yz nti px = nix τ zx + niy τ zy + niz σ zz

(1.18)

da cui segue che

in quanto, essendo nix , niy , niz le componenti di ni nel vecchio riferimento, si ha nti i = nix , ecc.; sostituendo la (1.15) nelle (1.16) troveremo alla fine

σ ii = nti pi = nti px nix + nti py niy + nti pz niz = (σxx nix + τ xy niy + τ xz niz ) nix + (τ yx nix + σ yy niy + τ yz niz ) niy + + (τ zx nix + τ zy niy + τ zz niz ) niz (1.19) Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

11

1.5 Tensioni piane

Figura 1.13: Componenti speciali della tensione e “tetraedro” di Cauchy nello spazio a due dimensioni. τ ij = ntj pi = ntj px nix + ntj py niy + ntj pz niz = (σ xx njx + τ xy njy + τ xz njz ) nix + (τ yx njx + σ yy njy + τ yz njz ) niy + + (τ zx njx + τ zy njy + τ zz njz ) niz (1.20a) A queste espressioni piuttosto lunghe si pu` o dare una concisa forma matriciale

T0 = Nt TN

(1.21)

in cui T `e la matrice (1.9), T0 `e l’analoga matrice costruita con le componenti σ ii , τ ij relative agli assi del nuovo riferimento ed N `e la matrice 3 × 3 formata con le componenti dei vettori n1 , n2 , n3 relative al vecchio riferimento:

⎤ ⎡ n1x n2x n3x N = ⎣n1y n2y n3y ⎦ n1z n2z n3z

1.5

(1.22)

Tensioni piane

Le relazioni precedenti si semplificano notevolmente quando si analizza un problema piano, nel quale tutte le componenti relative ad un asse (p. es. z) sono nulle e si considerano soltanto giaciture parallele a questo asse, la cui normale `e contenuta nel piano x, y. In questo caso la matrice delle tensioni T diviene 2 × 2 e contiene solamente 3 elementi distinti: le due componenti delle tensioni normali σ xx e σ yy ed un’unica componente della tensione tangenziale τ xy = τ yx = τ (Fig. 1.13 (a)). Se ora consideriamo una generica giacitura e la relativa normale n, questa `e ora individuata dal solo angolo α che la giacitura forma con l’asse y e la normale con l’asse x. Possiamo inoltre definire un altro vettore t, ortogonale ad n e quindi Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

12

Capitolo 1 Analisi della tensione

tangente alla giacitura, in modo che n, t definiscano un altro riferimento ortogonale. Nel piano le componenti dei vettori n e t dipendono solo dall’angolo α e sono: nx = cos α, ny = sin α e tx = − sin α, ty = cos α. Per l’equilibrio dell’elemento triangolare di Fig. 1.13, in direzione di n, otteniamo dx = σ y dx sin α + τ xy dx cos α + σx dx cot α cos α + τ yx dx cot α sin(1.23a) α sin α dx = σ y dx cos α − τ xy dx sin α − σx dx cot α sin α + τ yx dx cot α cos(1.23b) τ nt α sin α σn

dove, per brevit`a, abbiamo indicato con σx e σy (in luogo di σxx e σyy ) le componenti normali della tensione e si `e tenuto conto che dy = dx cot α. Semplificando, risulta σn = σ x cos2 α + σy sin2 α + 2τ xy sin α cos α ¢ ¡ τ nt = (σ y − σ x ) sin α cos α + τ xy cos2 α − sin2 α

(1.24a) (1.24b)

Allo stesso risultato si giunge applicando l’equazione (1.21) ricavata nel paragrafo o esprimere in finzione dell’angolo α: precedente. La matrice N `e ora 2 × 2 e si pu`

∙ ¸ cos α − sin α N= sin α cos α

mentre la matrice delle tensioni `e

∙

σ τ xy T= x τ xy σ y

¸

(1.25)

(1.26)

Sostituendo le (1.25) e (1.26) nella (1.21) otteniamo in forma esplicita le componenti normali e tangenziali della tensione relativamente alla giacitura di normale n:

1.5.1

σ n = σ x cos2 α + σy sin2 α + 2τ xy sin α cos α ¢ ¡ τ nt = (σ y − σ x ) sin α cos α + τ xy cos2 α − sin2 α

(1.24a) (1.24b)

Il cerchio di Mohr

Partendo dalle (1.24) si pu`o sviluppare una costruzione geometrica molto utile per determinare il valore delle componenti principali della tensione relativamente ad una giacitura arbitraria. Per prima cosa si ricordano le seguenti ben note formule della trigonometria: cos2 α =

1 + cos 2α 1 − cos 2α sin2 α = 2 2 2 sin α cos α = sin 2α

Sostituendo queste relazioni nelle (1.24) otteniamo ¶ ¶ µ µ 1 + cos 2α 1 − cos 2α σn = σx + σy + τ xy sin 2α 2 2 (σ y − σ x ) sin 2α + τ xy cos 2α τ nt = 2 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(1.28a) (1.28b)

(1.29a) (1.29b)

13

1.5 Tensioni piane

Figura 1.14: Costruzione del cerchio di Mohr che riscriviamo nella forma: σx − σy σx + σy = cos 2α + τ xy sin 2α 2 2 (σx − σ y ) sin 2α + τ xy cos 2α τ nt = − 2

σn −

(1.30a) (1.30b)

Sommando membro a membro i quadrati delle (1.30), per la nota propriet`a delle funzioni trigonometriche (sin2 α + cos2 α = 1), risulta: ¶2 ¶2 µ µ σx + σy σx − σy 2 + τ nt = + τ 2xy σn − 2 2

(1.31)

In un piano definito da un riferimento cartesiano, in cui si riporta sull’asse delle ascisse il valore di σ n e sulle q ordinate quello di τ nt , la (1.31) `e l’equazione di ¡ σx −σy ¢2 + τ 2xy e centro nel punto di coordinate una circonferenza di raggio r = 2 £ σx +σy ¤ , 0 . I punti di questa circonferenza (nota come cerchio di Mohr ) descrivono 2 lo stato di tensione (normale e tangenziale) di tutte le giaciture ortogonali al piano x, y. Nella Fig. 1.14 `e illustrata la costruzione del cerchio di Mohr delle tensioni. Tracciando, nel piano (σ n , τ nt ) due punti A e B di coordinate (σx , τ xy ) e (σ y , −τ xy ), il cerchio di Mohr `e la circonferenza che passa per questi punti ed ha il centro nell’intersezione tra la loro congiungente e l’asse delle ascisse. Per porre in relazione i punti del cerchio di Mohr con le giaciture dove agiscono le tensioni, indichiamo con 2α0 l’angolo formato dal segmento OA con l’asse delle Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

14

Capitolo 1 Analisi della tensione

τnt A P

2α0 2α O

2(α0−α) σn

α K

Figura 1.15: Determinazione del polo K del cerchio di Mohr. ascisse. Posto che r sia il raggio del cerchio, evidentemente si ha σx − σy = r cos 2α0 2 τ xy = r sin 2α0

(1.32a) (1.32b)

Sostituendo queste nelle (1.30) otteniamo: σx + σy = r cos 2α0 cos 2α + r sin 2α0 sin 2α 2 τ nt = −r cos 2α0 sin 2α + r sin 2α0 cos 2α

σn −

(1.33a) (1.33b)

da cui, utilizzando alcune note relazioni della trigonometria, segue σn −

σx + σy = r cos 2(α0 − α) 2 τ nt = r sin 2 (α0 − α)

(1.34a) (1.34b)

Dalle (1.34) risulta chiaro che il punto P (Fig. 1.15), individuato dall’intersezione della circonferenza con una retta passante per il centro O e che forma un angolo 2 (α0 − α) con l’asse σn , fornisce lo stato di tensione agente su di una giacitura inclinata di α rispetto all’asse y. Poich´e, per definizione, AO forma un angolo 2α0 ˆ = 2α0 − 2 (α0 − α) = 2α; tenendo conto che AOP ˆ e AKP ˆ con σ n , si ha che AOP sono rispettivamente angolo al centro ed alla circonferenza sottesi allo stesso arco ˆ `e la met`a di AOP ˆ , ossia AKP ˆ = α. Prendendo il AP , se ne deduce che AKP punto K di coordinate σ x , −τ xy , la retta KP forma con l’asse verticale un angolo α. Tuttavia, assumendo che gli assi σ n , τ nt siano paralleli ad x, y, la retta KP non risulta parallela alla giacitura, poich´e gli angoli α sono rotati in verso opposto. Per ottenere questa coincidenza occorre ribaltare il riferimento σ n , τ nt in modo che l’asse τ abbia verso opposto ad y. In questo modo la retta KP `e parallela alla giacitura Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

15

1.5 Tensioni piane

−τxy

α

y

K

α σn

σx σn

τnt σn

O

τnt

P

τxy A

τnt

x

σn

τnt

Figura 1.16: Determinazione dello stato di tensione su di una giacitura arbitraria mediante il cerchio di Mohr.

(Fig. 1.16) e le coordinate del punto P forniscono i valori delle tensioni normale e tangenziale agenti sulla giacitura parallela a KP . Il punto K, di coordinate σx , −τ xy `e detto il polo del cerchio di Mohr.

1.5.2

Tensioni principali

Abbiamo mostrato che il cerchio di Mohr ha il centro sull’asse delle σ, pertanto interseca sempre questo asse in due punti diametralmente opposti P1 e P2 di coordinate (σ 1 , 0) e (σ2 , 0) (Fig. 1.17). Alle due giaciture corrispondenti, che si ottengono conducendo per K le rette KP1 e KP2 , sono quindi associati stati di tensione esclusivamente normale, in quanto su queste giaciture risulta τ = 0. Queste due giaciture, ˆ 2 `e un angolo alla dette principali, sono tra loro ortogonali, poich´e l’angolo P1 KP circonferenza che sottende il diametro; `e evidente che le tensioni corrispondenti, σ1 e σ2 , raggiungono il valore massimo e minimo tra quelli corrispondenti a tutte le giaciture relative al punto dato e vengono dette le tensioni principali nel punto. Possiamo facilmente determinare le tensioni principali osservando che σ1 = σO +r e σ2 = σ O − r, dove σO indica l’ascissa del centro O del cerchio ed r `e il raggio. Poich´e per la (1.31)

σx + σy σO = 2 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

r=

sµ

σx − σy 2

¶2

+ τ 2xy

(1.35)

16

Capitolo 1 Analisi della tensione

K (σx,-τxy) α2 α 1 P2

σ1 σ2

P1

σ

O

σ2

σ1

τ

Figura 1.17: Tensioni principali per uno stato di tensione piano. otteniamo σ1 σ2

σx + σy + = 2 σx + σy − = 2

sµ

sµ

σx − σy 2 σx − σy 2

¶2

¶2

+ τ 2xy

(1.36a)

+ τ 2xy

(1.36b)

A queste tensioni sono associate le due giaciture ortogonali determinate dagli angoli ¶ µ σ1 − σx π (1.37) α1 = arctan α2 = α1 − τ xy 2 Dalla Fig. 1.22 risulta anche evidente che il valore massimo della tensione tangenziale si raggiunge per quella giacitura in cui σ n = (σx + σ y ) /2 e risulta τ max = r = q ´ ³ ¡ σx −σy ¢2 |σ x −σ y | 2 + τ xy . Questa giacitura `e definita dall’angolo α = arctan 2(|τ xy |+r) . 2 Linee isostatiche

Lo stato di tensione in ogni punto di un corpo si pu`o descrivere mediante la matrice delle tensioni T o, in modo equivalente, mediante i valori delle tensioni principali e le direzioni corrispondenti. Indicando con n1 la direzione della tensione massima e con n2 la direzione di quella minima, partendo da un punto si possono costruire due curve che ovunque sono tangenti ad n1 ed a n2 , rispettivamente; queste curve sono chiamate linee isostatiche. Partendo da un qualsiasi altro punto non sulle due curve precedenti, si possono costruire altre due linee che ovviamente non intersecano mai le omologhe. Le due famiglie di curve invece si intersecano sempre ortogonalmente, poich´e n1 ed n2 sono tra loro ortogonali. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

17

1.5 Tensioni piane

-80

(σy,−τxy)

K -40

α 0 -80

-40

0

40

80

120

40

(σx,τxy) 80

Figura 1.18: Cerchio di Mohr e tensioni principali per l’esempio 1.1. Esempio 1.1 Dato uno stato di tensione piano σx = 100 MPa, σ y = −30 MPa e τ xy = 50 MPa, costruire il cerchio di Mohr e determinare i valori delle tensioni principali e dell’angolo α che ne individua le giaciture. Dobbiamo costruire una circonferenza che passa per i tre punti di coordinate (100, 50), (100, −50), (−30, −50), ovvero una circonferenza con centro nel punto di coordinate σ= e raggio r=

sµ

σx + σy 100 − 30 = = 35 2 2

σx − σy 2

¶2

+ τ 2xy

=

sµ

100 + 30 2

τ =0 ¶2

+ 502 = 82.006

Il cerchio `e rappresentato in Fig. 1.18; i valori delle tensioni principali si determinano con le (1.36): σ 1 = 35 + 82.006 = 117.006 MPa σ 2 = 35 − 82.006 = −47.006 MPa

³ ´ x Le giaciture delle tensioni principali formano con l’asse y gli angoli α1 = arctan σ1τ−σ = xy ¡ 117.006−100 ¢ = arctan (0.34) = 0.328 rad = 18.784◦ ed α2 = α1 − π2 = −71.216◦ . arctan 50 ¤

1.5.3

Tensioni principali in 3D*

L’equazione di Cauchy (1.11), si pu`o anche formulare in termini di matrici; tenendo conto della definizione (1.9) della matrice T e della sua simmetria, potremo scrivere, ricordando le note regole del prodotto di una matrice per un vettore

pn = Tn Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(1.38)

18

Capitolo 1 Analisi della tensione

Ci chiediamo se esista una direzione n per la quale pn `e ortogonale alla giacitura, ovvero `e parallela ad n. Questa condizione si scrive

Tn =σn

(1.39)

dove σ `e il modulo della tensione ed n la direzione. La (1.39) `e soddisfatta se

(T−σI) n = 0

(1.40)

⎡ ⎤ 1 0 0 I = ⎣0 1 0⎦ 0 0 1

(1.41)

⎡ ⎤ σx − σ τ xy τ xz σy − σ τ yz ⎦ = 0 det (T − σI) = det ⎣ τ yx τ zx τ zy σz − σ

(1.42)

σ 3 − I1 σ 2 + I2 σ − I3 = 0

(1.43)

in cui

`e la matrice unit` a. Come `e noto dall’algebra, il sistema omogeneo di equazioni (1.40) ha soluzioni non nulle solo se il determinante della matrice dei coefficienti `e zero, ossia

Sviluppando il determinante (1.42) si ottiene un’equazione cubica in σ :

dove I1 , I2 , I3 sono detti gli invarianti della matrice delle tensioni, in quanto il loro valore, a differenza di quello dei termini della matrice, non dipende dal riferimento. Esplicitamente:

I1 = Tr (T) = σ x + σ y + σ z (1.44a) £ ¡ ¢¤ 1 I2 = Tr (T)2 − Tr T2 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − τ 2xy − τ 2yz − τ 2zx(1.44b) 2 (1.44c) I3 = det (T) = σx σ y σ z + 2τ xy τ yz τ zx − σ x τ 2yz − σ y τ 2xz − σ z τ 2xy Dal teorema fondamentale dell’algebra sappiamo che l’equazione cubica (1.43) ha tre o dimostrare, che queste radici radici; dalla simmetria della matrice T segue, come si pu` sono tutte reali. Dunque in generale avremo tre valori di σ per cui la (1.42) e la (1.39) sono verificate: σ 1 , σ 2 , σ 3 . Questi sono i valori principali della tensione nel punto esaminato. A ciascun valore principale `e associata una direzione n; `e facile mostrare che per valori distinti di σ i , σ j le direzioni ni ed nj sono ortogonali. Infatti per ipotesi sono verificate entrambe le equazioni:

Tni = σi ni

Tnj = σj nj

(1.45)

Moltiplicando a sinistra la prima per ntj e la seconda per nti si ottiene:

ntj Tni = σi ntj ni

nti Tnj = σj nti nj

(1.46)

Prendendo il trasposto di entrambi i membri della seconda equazione e sottraendola alla prima risulta:

ntj Tni − ntj Tt ni = (σ i − σ j ) ntj ni Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(1.47)

19

1.6 Equazioni di equilibrio

Poich´e T `e simmetrica, Tt = T, quindi il primo membro dell’equazione precedente `e nullo. Se σ i 6= σ j il secondo membro si annulla solo se ntj ni = 0, ovvero le due direzioni sono ortogonali. Le tre direzioni ortogonali ni (i = 1, 2, 3) sono dette le direzioni principali della tensione nel punto. Nel riferimento che utilizza queste tre direzioni come assi, le componenti tangenziali della tensione τ ij sono tutte nulle; pertanto la matrice T `e, in questo riferimento, diagonale ⎤ ⎡

σ1 0 0 ⎣ T = 0 σ2 0 ⎦ 0 0 σ3

In funzione delle tensioni principali i tre invarianti (1.44) assumono una forma particolarmente semplice

I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 I3 = σ 1 σ 2 σ 3

(1.48a) (1.48b) (1.48c)

Cerchi di Mohr nello spazio 3D Consideriamo un riferimento in cui uno degli assi (p.es. z ) coincide con una delle direzioni principali, p.es. n3 . In questo riferimento σ z = σ 3 e quindi τ zx = τ xz = 0 e τ zy = τ yz = 0, poich´e, essendo n3 una delle direzioni principali, le tensioni tangenziali sulla giacitura ortogonale sono nulle. Pertanto su tutte le giaciture che hanno n3 per asse risultano nulle tutte le componenti tangenziali, ad eccezione di τ xy . La situazione `e del tutto analoga a quella che si verifica nel caso di tensioni piane e, per queste componenti della tensione (σ x , σ y , τ xy ), si pu`o costruire un cerchio di Mohr, che avr`a come tensioni principali σ 1 e σ2. Il procedimento pu` o essere ripetuto prendendo come assi n2 , ottenendo un cerchio con tensioni principali σ 1 e σ 3 , ed n1 , per cui le tensioni principali sono σ 2 e σ 3 . Si costruiscono cos`ı tre cerchi di Mohr, ciascuno dei quali passa per due punti corrispondenti ad una coppia di valori delle tensioni principali (Fig. 1.19).

1.6

Equazioni di equilibrio

Prendiamo di nuovo in esame un prisma di dimensioni infinitesime le cui facce sono parallele ai piani coordinati (Fig. 1.20). Sulla faccia che ha per normale uscente l’asse x cambiato di segno agisce la tensione p−x = −px ; sulla faccia opposta, con normale uscente x, agisce la tensione px + dpx , dove dpx `e la variazione infinitesima che subisce la tensione quando ci si sposta della quantit`a dx; la risultante di queste forze `e −px dydz + (px + dpx ) dydz = dpx dydz (1.49a) ossia `e pari alla variazione della tensione dpx per l’area della faccia del prisma dydz. Analoghe osservazioni si possono fare sommando le tensioni agenti sulle facce Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

20

Capitolo 1 Analisi della tensione

σ3 n3 ≡ z τyx

τxy

σy

σx

σ2

σ3

y

σ1

σ

n2

α

x τ

n1

Figura 1.19: Tre cerchi di Mohr per stati di tensione in 3D.

pz+dpz z py+dpy -px dz y px+dpx

g -py dx -pz

dy x

Figura 1.20: Tensioni agenti sulle facce di un parallelepipedo con spigoli paralleli agli assi del riferimento.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

21

1.6 Equazioni di equilibrio

normali agli assi y e z: dpy dxdz

dpz dxdy

(1.49b)

Sul prisma, oltre alle tensioni, possono agire anche le forze di volume: indicando con g la densit`a di forza (forza per unit`a di volume), la forza risultante sul prisma `e gdxdydz; quindi, per la prima delle equazioni cardinali della statica, le condizioni di equilibrio si formulano nel modo seguente: dpx dydz + dpy dxdz + dpz dxdy + gdxdydz = 0

(1.50)

Poich´e dpx indica la variazione di px per uno spostamento dx, dpy indica quella di py per dy, ecc., potremo scrivere: dpx =

∂px dx ∂x

dpy =

∂py dy ∂y

dpz =

∂pz dz ∂z

(1.51)

per cui, sostituendo la (1.51) nella (1.50), abbiamo ∂py ∂pz ∂px dxdydz + dydxdy + dzdxdy + gdxdydz = 0 ∂x ∂y ∂z

(1.52)

Dividendo tutti i termini per il volume dell’elemento dxdydz, otteniamo l’equazione di equilibrio in forma vettoriale ∂px ∂py ∂pz + + +g =0 ∂x ∂y ∂z

(1.53)

La stessa equazione, espressa mediante le componenti dei vettori p, si decompone nelle tre equazioni scalari: ∂σx ∂τ xy ∂τ xz + + + gx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σy ∂τ yz + + + gy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σz + + + gz = 0 ∂x ∂y ∂z

(1.54a) (1.54b) (1.54c)

Queste tre equazioni, note come equazioni di equilibrio indefinite, in condizioni di equilibrio debbono essere verificate in ogni punto interno al corpo.

1.6.1

Equazioni sul contorno

Le equazioni (1.53) o (1.54), come abbiamo detto, devono essere verificate nei punti interni del corpo. Nei punti sulla superficie che delimita il solido (frontiera) dovremo rispettare altre condizioni. Infatti abbiamo visto che oltre alle forze di volume (come la forza peso), su di un corpo agiscono normalmente forze di superficie; le forze che due solidi si scambiano quando vengono a contatto sono, ad esempio, di questo tipo. Le tensioni hanno in effetti le caratteristiche di forze di superficie; per esprimere le condizioni di equilibrio sulla frontiera `e quindi sufficiente assumere che nei punti Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

22

Capitolo 1 Analisi della tensione

di questa superficie, sulle giaciture tangenti ad essa, la tensione uguagli la densit`a della forza esterna. In formule, indicando con f il vettore della densit`a di forza (cio`e la forza per unit`a di superficie) nel punto P ∈ S (S frontiera del corpo), avremo p (n) = f

(1.55)

dove n `e la normale (uscente) ad S in P . Ricordando la formula di Cauchy (1.10) la precedente diviene: Tn = f (1.56) Questa equazione vettoriale `e equivalente alle tre relazioni scalari: σ xx nx + τ yx ny + τ zx nz = fx τ xy nx + σ yy ny + τ yz nz = fy τ xz nx + τ yz ny + σ zz nz = fz

1.7

(1.57)

Unit` a di misura

Anche se in alcuni paesi, particolarmente quelli anglosassoni, vengono comunemente impiegati altri sistemi di misura, la comunit`a scientifica internazionale ha adottato ufficialmente il sistema internazionale (SI) che utilizza come unit`a di riferimento il Metro ( m), il Chilogrammo ( kg) ed il Secondo ( s) (per questo detto MKS), oltre all’Amper, al Grado Kelvin e alla Candela. Tutte le altre grandezze fisiche sono derivate da queste. Le unit`a di misura delle forze sono pertanto unit`a derivate. La relazione che lega le forze alle grandezze di base `e la seconda legge di Newton F = ma, in cui la forza F agente su di un corpo `e espressa come il prodotto della massa per l’accelerazione che la forza stessa le imprime; poich´e l’accelerazione ha a sua volta le dimensioni del rapporto tra una lunghezza ed un tempo al quadrato, si ottiene facilmente che l’unit`a di misura della forza si esprime come [F ] =

[M] [L] [T ]2

dove [M] indica l’unit`a di misura delle masse, [L] quella delle lunghezze, ecc. Nel sistema MKS l’unit`a di misura delle forze `e il Newton 1N =

1 kg · 1 m 1 s2

ovvero un Newton `e la forza che imprime un’accelerazione di un metro al secondo quadrato ad una massa di un Chilogrammo. Poich´e l’accelerazione di gravit`a della terra `e g ' 9.81 m/ s2 , la forza di gravit`a (cio`e il peso) di una massa di 1 Chilogrammo `e circa 9.81 N. Un multiplo del Newton `e il Chilonewton (1 kN = 1000 N) ; La forza di un Chilonewton approssima (per eccesso) il peso di una massa di 100 kg. La tensione `e definita come il rapporto tra forza e superficie: quindi [P ] = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

[F ] [M] 2 = [L] [L] [T ]2

23

1.7 Unit` a di misura

Nel sistema MKS l’unit`a di misura della pressione `e il Pascal ( Pa). Un Pascal `e il rapporto tra un Newton ed un Metro quadrato 1 Pa =

1 kg 1N = 2 1m 1 m · 1 s2

Il Pascal, per i valori in gioco nell’ingegneria civile, `e una grandezza molto piccola; comunemente si utilizzano i suoi multipli, il Chilopascal (1 kPa = 1000 Pa) e, pi` u 6 spesso, il Megapascal (1 MPa = 10 Pa). Nell’ingegneria sono ancora a volte utilizzate le unit`a di misura “tecniche”. In questo caso si usa come unit`a di misura il Chilogrammo-forza (Kgf), definito come il peso della massa di un chilo. Per quanto visto prima, 1Kgf ' 9.81 N.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

24

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Capitolo 1 Analisi della tensione

Capitolo 2 Analisi della deformazione 2.1

Moto rigido e deformazione

Se in due istanti diversi un corpo occupa diverse posizioni nello spazio diremo che ha subito uno spostamento. Lo spostamento si dice rigido se si conservano le distanze tra i punti e gli angoli formati da due rette passanti per tre punti qualsiasi. Di fatto, la prima condizione implica la seconda. Uno spostamento generico si pu`o sempre decomporre in una parte rigida ed una deformazione, che corrisponde a quella parte dello spostamento che altera la distanza trai punti del corpo. Nei solidi, spesso, le deformazioni sono piccole e per molti problemi lo spostamento pu`o essere approssimativamente considerato rigido; ma nei casi che coinvolgono lo studio delle tensioni interne al corpo l’ipotesi di rigidit`a rende il problema indeterminato; `e quindi necessario tenere conto anche di questa parte dello spostamento, sebbene a volte tanto piccola da poter essere rilevata solo con strumenti di precisione. Nelle strutture civili gli spostamenti rigidi globali sono quasi sempre impediti dai “vincoli” esterni (le fondazioni) e gli spostamenti che si manifestano dipendono solo dalle deformazioni. Supponiamo di ripetere l’esperimento di trazione della barra, gi`a illustrato nel capitolo precedente. Ora per`o misuriamo, al crescere della forza, la distanza l tra due punti fissati, la cui distanza iniziale era l0 : osserveremo che la distanza tra i due punti aumenta al crescere della forza. Se durante l’esperimento si misura anche la

l0

F

l

F

Figura 2.1: Misura dell’allungamento di una barra sottoposta a trazione. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

25

26

Capitolo 2 Analisi della deformazione

B’ B

l

n

A l0

Figura 2.2: Definizione di dilatazione distanza tra altri due punti, posti tra loro ad una distanza iniziale l00 diversa da l0 , si trover`a che, a parit`a di forza, l’allungamento ∆l = l − l0 `e diverso da ∆l0 = l0 − l00 , mentre i rapporti ∆l/l0 e ∆l0 /l00 sono approssimativamente uguali. Questo rapporto `e definito come la deformazione media tra i punti: εm =

l − l0 l0

(2.1)

Il caso ora esaminato `e particolarmente semplice, anche se significativo: la forma dell’oggetto consente di trattare il problema come se vi fosse una sola dimensione e, almeno fino ad un certo punto, le condizioni di omogeneit`a fanno s`ı che la deformazione media sia indipendente dalla lunghezza l0 della base di misura. Ma in generale queste condizioni cos`ı restrittive non sono verificate ed il concetto di deformazione deve essere affinato ed ampliato. Per tenere conto che εm pu`o dipendere dalla lunghezza della base di misura, si definisce una deformazione puntuale, come limite per l0 → 0 l − l0 l0 →0 l0

εn = lim

(2.2)

εn `e la deformazione (dilatazione) nel punto A e nella direzione n (Fig. 2.2). Come la tensione, anche la deformazione in un punto dipende dalla direzione considerata; tuttavia la deformazione `e conseguenza degli spostamenti, che dipendono solo dal punto,non dalla direzione; dovremo quindi attenderci che esista una relazione che consenta di calcolare la deformazione in una direzione generica in funzione di quelle relative alle direzioni di riferimento.

2.2 2.2.1

Analisi delle piccole deformazioni Dilatazione

Si analizza il caso piano, perch´e pi` u facilmente rappresentabile, ma i risultati si possono facilmente estendere al caso generale. Si esamini la Fig. 2.3, dove sono indicati tre punti A, B e C posti sugli assi di un riferimento ortogonale x, y in modo da formare un angolo retto in A. Sia dx la distanza AB e dy quella tra A e C; u (P ) indica il campo degli spostamenti, che si assume essere continuo. Se u (A) `e Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

27

2.2 Analisi delle piccole deformazioni

y

∂uy ∂y

∂u x dy ∂y C’

dy u(C)

π C

2

−γ

dy A’ u(A) A

∂uy

B’

B

dx

∂u x dx ∂x

u(B)

dx

∂x

x

Figura 2.3: Spostamento regolare di tre punti che individuano due assi ortogonali. lo spostamento del punto A, lo spostamento in B `e, a meno di infinitesimi di ordine superiore, u (B) = u (A) + ∂u dx ; analogamente lo spostamento di C, distante dy ∂x ∂u da A, `e u (C) = u (A) + ∂y dy. Dopo lo spostamento i punti A, B e C occuperanno le posizioni A0 , B 0 e C 0 . La distanza tra A0 e B 0 `e data da (vedi Fig. 2.3) ¶2 µ ¶2 µ ∂ux ∂uy dx + dx dx = dx + ∂x ∂x 02

(2.3)

Come si `e detto all’inizio, le deformazioni nei solidi sono generalmente piccole nei confronti dell’unit`a. In questo caso, che noi assumeremo sempre valido, esse possono essere trattate come grandezze infinitesime, trascurando i termini in cui compaiono elevate ad una potenza di ordine superiore. Poich´e le deformazioni dipendono direttamente dalle derivate del campo degli spostamenti, altrettanto si potr`a affermare per questi ultimi. Quindi sviluppando i quadrati della (2.3) e tenendo presente quanto sopra detto, si ha: ∂ux 2 dx + dx = dx + 2 ∂x 02

2

¡ ∂ux ¢2

µ

³

¶2

∂uy ∂x

´2

2

dx +

µ

∂uy ∂x

¶2

¶ µ ∂ux dx ≈ dx 1 + 2 ∂x 2

2

(2.4)

dx2 sono stati trascurati perch´e contengono i √ quadrati delle derivate di u. Dalla (2.4), ricordando che se α ¿ 1 si ha 1 + 2α ≈ 1 + α, risulta s ¶ µ ¶ µ ∂u ∂u x x 0 ≈ dx 1 + (2.5) dx = dx2 1 + 2 ∂x ∂x in cui i termini

∂x

dx2 +

∂ux ∂x

Sostituendo la (2.5) nella definizione (2.2) della deformazione, si ottiene che la Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

28

Capitolo 2 Analisi della deformazione

deformazione nella direzione x `e data da εx =

∂ux dx0 − dx = dx ∂x

(2.6)

In modo analogo, esaminando la variazione di lunghezza del segmento AC, troy z e, generalizzando al caso 3D, εz = ∂u . Questi risultati sono viamo che εy = ∂u ∂y ∂z riassunti nelle relazioni seguenti: εx =

2.2.2

∂ux ∂x

εy =

∂uy ∂y

εz =

∂uz ∂z

(2.7)

Scorrimenti

La deformazione non produce soltanto la variazione di distanza tra i punti, ma anche la variazione degli angoli formati dai segmenti, come `e mostrato nella Fig. 2.3. L’angolo tra i segmenti AB e AC, inizialmente retto, varia, a causa della deformazione, della quantit`a γ. Confondendo l’angolo con la sua tangente, come `e lecito per piccole deformazioni, si ha γ xy =

∂uy dx ∂x

dx

+

∂ux dy ∂y

dy

=

∂uy ∂ux + ∂x ∂y

γ xy indica la variazione dell’angolo tra gli assi x ed y. Il risultato ottenuto si estende facilmente al caso tridimensionale, per cui si hanno tre termini di scorrimento γ xy =

2.2.3

∂ux ∂uy + ∂y ∂x

γ yz =

∂uy ∂uz + ∂z ∂y

γ zx =

∂uz ∂ux + ∂x ∂z

(2.8)

Matrice delle deformazioni

Con le sei grandezze definite dalle (2.7) e (2.8) si pu`o costruire una matrice simmetrica, detta matrice delle deformazioni. Per ragioni che saranno chiare in seguito, i termini fuori diagonale della matrice si prendono la met` a degli angoli γ: ⎡ ³ ´ ¡ ¢⎤ ∂uy ∂ux 1 ∂uz ∂ux 1 ∂ux ⎤ ⎡ + + 1 1 ∂x 2 ∂x ∂z ⎥ εx 2 γ xy 2 γ xz ⎢ ³ ∂x ´ 2 ∂y ³ ´ ⎢ ⎥ ∂u ∂u ∂u y y y 1 1 1 ∂u ∂u 1 x z ⎦ γ = + + E = ⎣ 2 γ yx εy ⎢ 2 zy 2 ∂y ∂x ∂y 2 ∂z ∂y ⎥ ⎣ ⎦ ³ ´ 1 1 ¡ ¢ 1 ∂uy ∂uz γ γ εz 1 ∂uz ∂ux ∂uz 2 zx 2 zy + ∂z + ∂y 2 ∂x 2 ∂z ∂z (2.9) Ovviamente, per come sono stati definiti, si ha che γ xy = γ yx e simili; di conseguenza la matrice E `e simmetrica.

2.2.4

Dilatazione lungo una direzione arbitraria*

Esaminiamo ora il caso di un segmento P Q, di lunghezza infinitesima, comunque orientato nello spazio. Dopo lo spostamento i punti P e Q occupano le posizioni P 0 e Q0 , mentre Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

29

2.2 Analisi delle piccole deformazioni

Q’ u(Q) P’ Q dy

u(P) P dx

Figura 2.4: Dilatazione lungo una direzione arbitraria. u (P ) ed u (Q) sono gli spostamenti di questi punti, ovvero i segmenti che uniscono P e Q con P 0 e Q0 rispettivamente (Fig. 2.4). Per la continuit`a degli spostamenti, si pu` o porre

u (Q) = u (P ) +

du dP dP

o, pi` u esplicitamente, in termini delle componenti scalari:

∂ux ∂ux ∂ux dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂uy ∂uy ∂uy uy (Q) = uy (P ) + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂uz ∂uz ∂uz uz (Q) = uz (P ) + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

ux (Q) = ux (P ) +

(2.10a) (2.10b) (2.10c)

A queste espressioni si pu`o dare una formulazione pi` u concisa definendo la matrice

⎡ ∂u

⎤

(2.11)

u (Q) = u (P ) + DdP

(2.12)

x

∂x

⎢ y D = ⎣ ∂u ∂x ∂uz ∂x

per cui le (2.10) sono equivalenti a

£

∂ux ∂y ∂uy ∂y ∂uz ∂y

∂ux ∂z ∂uy ⎥ ∂z ⎦ ∂uz ∂z

¤t

dove dP = Q − P = dx dy dz `e il vettore che congiunge i punti P e Q. Dopo lo spostamento, i punti P 0 e Q0 sono collegati dal vettore dP 0 :

dP 0 = Q0 − P 0 = Q + u (Q) − [P + u (P )] = Q − P + u (Q) − u (P ) Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

30

Capitolo 2 Analisi della deformazione

Tenendo conto della (2.12) si ottiene

dP 0 = dP + DdP = (I + D) dP

(2.13)

dove I indica la matrice unit`a. Il quadrato della lunghezza di dP 0 si calcola eseguendo il prodotto scalare di dP 0 per se stesso:1

¡ ¢ dl02 = dP 0t dP = dP t I + Dt (I + D) dP =

¢ ¡ dP t I + Dt + D + Dt D dP (2.14)

Poich´e la matrice D `e formata con le derivate di u, per quanto detto in precedenza pu` o essere trattata come infinitesima e quindi il prodotto Dt D pu`o essere trascurato nella (2.14): ¢ ¡

dl02 = dP t I + Dt + D dP = dP t (I+2E) dP

(2.15)

Infatti, confrontando la definizione (2.11) di D con quella (2.9) della matrice di deformazione E `e facile verificare che

E= Sviluppando la (2.15) si ottiene

¢ 1¡ t D +D 2

dl02 = dP t dP + 2dP t EdP = dl2 + 2dP t EdP

(2.16)

(2.17)

dl = |dP | `e la lunghezza del segmento P Q. Il rapporto dP = n `e un vettore di lunghezza dl 2 unitaria orientato come P Q. Nella (2.17), ponendo dl a fattore si ha quindi ¢ ¡ dl02 = dl2 1 + 2nt En da cui, con le solite approssimazioni, poich´e nt En ¿ 1, si ha e pertanto

√ ¡ ¢ dl0 = dl 1 + 2nt En ≈ dl 1 + nt En εn =

dl0 − dl = nt En dl

(2.18)

La relazione precedente consente quindi di determinare la dilatazione in qualunque direzione, mediante il prodotto della matrice E per i vettori unitari della direzione. In forma esplicita la (2.18) si scrive

εn = εx n2x + εy n2y + εz n2z + γ xy nx ny + γ yz ny nz + γ zx nz nx

2.2.5

(2.19)

Scorrimento di due direzioni ortogonali*

Per valutare lo scorrimento tra due direzioni ortogonali arbitrariamente orientate, consideriamo due segmenti infinitesimi P Q e P R ortogonali tra loro. Per effetto della deformazione il punto P si sposta in P 0 , Q in Q0 ed R in R0 . Applicando la (2.13) i due vettori 1

Si ricorda che il trasposto del prodotto di due matrici `e uguale al prodotto in ordine inverso delle matrici trasposte: t (AB) = Bt At Se una matrice `e simmetrica coincide con la sua trasposta: At = A. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

31

2.2 Analisi delle piccole deformazioni

R’ y

u(R) Q’

R α’=π/2–γ

u(Q)

dlR P’ u(P)

dy

Q dlQ

P dx

x

Figura 2.5: Scorrimento di due direzioni ortogonali. che uniscono P 0 a Q0 ed R0 , rispettivamente, sono

dQ0 = (I + D) dQ

dR0 = (I + D) dR

(2.20)

Il prodotto scalare tra due vettori `e uguale al prodotto tra i moduli moltiplicato per il coseno dell’angolo formato tra i vettori, quindi: 0t

0

dQ dR =

0 0 dlQ dlR

cos

´

³π

¡ ¢ − γ = dQt I + Dt (I + D) dR = 2 ¢ ¡ dQt dR + dQt Dt +D dR + dQt Dt DdR (2.21)

Trascurando il termine che contiene Dt D e ricordando la (2.16) si ottiene 0t

0

dQ dR =

0 0 dlQ dlR

cos

³π 2

´

− γ = dQt dR + 2dQt EdR

(2.22)

Tenuto conto che dQt dR = 0, in quanto le due direzioni erano, per ipotesi, ortogonali, dQ dQ 0 0 dlR , poich´e dl = nQ `e il vettore dividendo entrambi i membri della (2.22) per dlQ 0 ≈ dl Q Q

a modulo unitario della direzione P Q e

cos

³π 2

dR 0 dlR

≈ nR , risulta

´ − γ = sin (γ) ≈ γ = 2ntQ EnR

(2.23)

Quest’ultima relazione dimostra come la variazione angolare tra due direzioni ortogonali si determina, a meno del fattore 2, moltiplicando la matrice E delle deformazioni per i vettori unitari delle due deformazioni.

2.2.6

Cambiamento di riferimento*

Tre vettori unitari tra loro ortogonali definiscono un nuovo riferimento cartesiano, rispetto al quale le componenti ε e γ della matrice E sono diverse da quelle relative al riferimento Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

32

Capitolo 2 Analisi della deformazione

originale. Tenendo conto delle (2.18) e (2.23), l’espressione della matrice E0 della matrice della deformazione relativa ai nuovi assi `e

E0 = Nt EN

(2.24)

dove N `e la matrice formata con le 9 componenti dei 3 vettori n1 , n2 e n3 definita nella (1.22).

2.2.7

Variazione di volume

Il prisma infinitesimo i cui spigoli sono paralleli agli assi del riferimento e lunghi dx, dy e dz, ha un volume iniziale dV = dxdydz. Dopo la deformazione gli spigoli hanno lunghezza dx (1 + εx ), dy (1 + εy ) e dz (1 + εz ); quindi, confondendo la lunghezza degli spigoli con le altezze, cosa lecita se le deformazioni si considerano infinitesime, si ottiene che il volume del prisma deformato `e dV 0 = dx (1 + εx ) dy (1 + εy ) dz (1 + εz ) ≈ dxdydz (1 + εx + εy + εz ) avendo trascurato i termini quadratici e cubici nelle deformazioni (considerati infinitesimi di ordine superiore). La deformazione volumetrica `e definita come il rapporto tra la variazione di volume ed il volume iniziale. Tenendo conto dei risultati precedenti, si ha εV =

dxdydz (1 + εx + εy + εz ) − dxdydz dV 0 − dV = = εx + εy + εz dV dxdydz

(2.25)

Si ottiene quindi il risultato che, per piccole deformazioni, la deformazione volumetrica `e la somma delle tre dilatazioni.2

2.3

Deformazioni piane. Cerchio di Mohr delle deformazioni

L’equazione (2.24) della legge di variazione della matrice delle deformazioni `e identica alla (1.21) relativa alla matrice delle tensioni. Pertanto tutti i risultati ottenuti nel precedente capitolo, in particolare quelli relativi al caso piano, si possono estendere senza modifiche alle deformazioni. Si potr`a costruire quindi un cerchio di Mohr delle deformazioni nel piano, analogo a quello delle tensioni, riportando in ascisse le dilatazioni assiali ε ed in ordinate gli scorrimenti γ/2. Come unica differenza, se si vuole che la congiungente il polo K con il punto P (ε, γ), rappresentativo dello stato di deformazione sia parallela alla direzione che subisce la dilatazione ε e, rispetto alla sua ortogonale, lo scorrimento ¡ ¢ angolare γ, occorre assumere il polo K nel punto di coordinate ε y , γ xy /2 e non nel ¢ ¡ punto εx , −γ xy /2 come avremmo fatto per similitudine con il caso delle tensioni (vedi Fig. 2.6). 2

La deformazione volumetrica `e la somma dei termini diagonali di E. Questa grandezza `e detta la traccia della matrice e, per quanto visto nel § 1.5.3, `e un invariante della matrice. Questo risultato conferma il fatto che la variazione di volume non deve dipendere dalla scelta del riferimento. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

33

2.3 Deformazioni piane. Cerchio di Mohr delle deformazioni

y εx εn

εy γ nt

O

2

γ

εn

P

α

xy

K

2

α

A

x

γ nt 2

Figura 2.6: Cerchio di Mohr relativo ad una deformazione piana. Si possono quindi facilmente determinare le deformazioni principali e le direzioni corrispondenti. Per queste due direzioni ortogonali la deformazione `e una pura dilatazione mentre gli scorrimenti angolari sono nulli. Si ha pertanto sµ ¶2 ³ γ xy ´2 εx − εy εx + εy + + ε1 = 2 2 2 sµ ¶2 ³ γ xy ´2 εx − εy εx + εy − ε2 = + 2 2 2 Le direzioni delle deformazioni principali formano con x un angolo ⎞ ⎛ γ ⎠ q xy α1 = arctan ⎝ 2 2 εx − εy + (εx − εy ) + γ xy

e α2 = α1 + π/2.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

34

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Capitolo 2 Analisi della deformazione

Capitolo 3 Leggi costitutive 3.1

Prova di trazione di una barra di acciaio

Prendiamo ancora una volta in esame la barretta che abbiamo immaginato di sottoporre a prova nei precedenti capitoli. Ora stabiliamo anche la natura del materiale con cui la barra `e realizzata, supponendo trattarsi di acciaio “dolce”, normalmente utilizzato nelle costruzioni civili. Ripetendo le prove gi`a descritte in precedenza, registriamo i valori simultanei della forza F applicata alla barra e dell’allungamento ∆l relativo a due punti inizialmente a distanza l0 . Riportando su di un grafico, sulle ascisse i valori di ∆l e sulle ordinate quelli di F , otteniamo una curva simile a quella illustrata in Fig. 3.1. Se si fa l’ipotesi di una distribuzione omogenea delle tensioni nella sezione (di area A) e delle deformazioni lungo l’asse della barra, dai valori F della forza si derivano le tensioni σ = F/A e dagli allungamenti ∆l le deformazioni ε = ∆l/l0 ; lo stesso grafico pu`o quindi essere letto in termini di tensioni—deformazioni semplicemente operando un cambiamento delle scale degli assi del riferimento. Nella curva OABCD, il primo tratto, OA, `e praticamente rettilineo; raggiunto il punto A, corrispondente alla deformazione εy e alla tensione fy (valori detti di snervamento del materiale), nel tratto AB le deformazioni aumentano mentre la forza e la tensione restano praticamente costanti. Oltre il punto B, per far crescere la deformazione occorre nuovamente aumentare la forza, ma la pendenza della curva `e ora molto inferiore a quella iniziale e va diminuendo, fino ad annullarsi nel punto C, dove la forza raggiunge il valore massimo Ft e la tensione il valore ft = Ft /A, valori detti di rottura della barra e del materiale, rispettivamente. Facendo crescere le deformazioni oltre C, l’equilibrio `e possibile solo se si riduce la forza applicata; nel punto D infine si raggiunge l’effettiva rottura della barra, in corrispondenza della deformazione ultima εu . Il punto A corrisponde ad un importante cambiamento del comportamento del materiale. Infatti se, prima di raggiungere il punto A, noi portiamo a zero il valore della forza, la curva σ − ε ripercorre lo stesso segmento seguito nella fase precedente e, all’annullarsi della forza, si annullano anche l’allungamento ∆l e la deformazione ε. In questa tratto possiamo quindi affermare che il materiale ha un comportamento reversibile, poich´e cessata l’azione ne scompaiono anche gli effetti. Superato il punto A, invece, se riportiamo la forza a zero, la curva σ−ε percorre un ramo simile ad EF , Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

35

36

Capitolo 3 Leggi costitutive

F F, σ C

Ft, ft Fy, fy

D A

B

E

G

F O

εy

F εp

Δl, ε

Figura 3.1: Grafico forza-allungamento (tensione-deformazione) di una barra di acciaio dolce sottoposta a trazione.

Figura 3.2: Macchina universale per prove sui materiali

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

3.2 Legame elastico lineare

37

Figura 3.3: Grafici tensione-deformazione relativi a diversi materiali metallici. diverso da quello seguito nella fase di carico (OABE); quando la forza si annulla (nel punto F ) rimane una deformazione residua εp corrispondente alla parte plastica della deformazione totale. Applicando nuovamente la forza, viene percorsa una curva F G, poco diversa da quella di scarico, fino al raggiungimento del punto G sulla curva della prova monotona, dopo di che, al crescere della forza, si segue nuovamente il ramo GC, e quindi, al crescere della deformazione, il tratto CD, fino alla rottura del campione.

3.2

Legame elastico lineare

La legge costitutiva dipende notevolmente dalla natura fisico-chimica del materiale; nella Fig. 3.3 sono riportate le curve tensione—deformazione di diversi materiali metallici; differenze ancora pi` u marcate si osserverebbero se queste curve fossero confrontate con quelle dei materiali lapidei o fibrosi (p.es. il legno). Tuttavia, per tutti i materiali `e possibile definire una tensione ed una deformazione limite, tale che per valori inferiori della σ e della ε, si pu`o assumere che vi sia semplice proporzionalit`a tra queste due grandezze. Questo limite `e ben definito per alcuni materiali, come l’acciaio strutturale che abbiamo esaminato prima (tratto OA), mentre per altri la transizione del comportamento `e pi` u graduale e la soglia deve essere definita in modo convenzionale, ma per la maggior parte dei materiali usati nelle costruzioni, per evitare il danneggiamento, le tensioni e le deformazioni devono restare limitate entro il campo di validit`a della legge proporzionale. Nel caso di tensione monoassiale, possiamo quindi assumere la seguente legge di Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

38

Capitolo 3 Leggi costitutive

σ x

εy

y

εx

ε

Figura 3.4: Misura della dilatazione assiale e della contrazione trasversale in una prova di trazione. proporzionalit`a tra le tensioni e le deformazioni (legge di Hooke): σ = Eε

(3.1)

La costante di proporzionalit`a E, che dipende dal tipo di materiale, `e detta modulo elastico (o modulo di Young) del materiale. Si supponga ora di eseguire un esperimento analogo a quello precedente, limitatamente all’intervallo di proporzionalit`a, ma aggiungendo alla misura delle deformazioni lungo l’asse di applicazione del carico (x), anche quella delle deformazioni nella direzione ortogonale (y); il risultato, illustrato in Fig. 3.4, mostra che la forza in direzione x produce, oltre alla deformazione εx , una deformazione εy nella direzione ortogonale y, ancora proporzionale alla tensione, ma di segno opposto alla deformazione longitudinale; il rapporto tra la deformazione trasversale e quella longitudinale ν = |εy /εx | `e denominato il coefficiente di Poisson del materiale, e si ha: ν εy = −νεx = − σx E

3.2.1

(3.2)

Stati di tensione pluriassiali

La linearit`a della legge di Hooke consente di applicare la sovrapposizione degli effetti. Assumiamo intanto che il materiale sia isotropo, ossia abbia lo stesso comportamento in tutte le direzioni. Dato uno stato di tensione arbitrario, per quanto visto nel Cap. 1 `e sempre possibile scegliere un riferimento ortogonale in cui le componenti tangenziali sono nulle (direzioni principali). In questo riferimento le tensioni sono Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

39

3.2 Legame elastico lineare

Figura 3.5: Per effetto dell’applicazione di una forza di trazione una barra si allunga nella direzione della forza e si contrae nelle direzioni trasversali esclusivamente normali e quindi ciascuna di esse produce una deformazione assiale e due deformazioni nelle direzioni ortogonali. Indicando con 1, 2 e 3 i tre assi delle tensioni principali, si ha allora σ2 σ3 σ1 −ν −ν E E E σ3 σ1 σ2 −ν = −ν + E E E σ2 σ3 σ1 = −ν − ν + E E E

ε1 =

(3.3a)

ε2

(3.3b)

ε3

(3.3c)

A queste relazioni si pu`o dare una comoda forma matriciale, raccogliendo le tre deformazioni e le corrispondenti tensioni in due vettori ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ 1 −ν −ν ⎨σ 1 ⎬ ⎨ε1 ⎬ 1 ¯σ ¯ ε = ε2 = ⎣−ν 1 −ν ⎦ σ 2 = C¯ (3.4) ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ E −ν −ν 1 ε3 σ3

¯ `e la matrice di elasticit`a del materiale; la soprallineatura di tutte le grandezze C indica che esse si riferiscono al sistema degli assi delle tensioni principali. Poich´e per quanto visto le tensioni normali producono solo deformazioni assiali e non scorrimenti, ne consegue che, nei materiali isotropi, il sistema di riferimento delle tensioni principali coincide con quello delle deformazioni principali (assenza di scorrimenti). In un sistema di riferimento arbitrario, oltre alle tensioni normali sono presenti anche le tensioni tangenziali che producono la deformazione di scorrimento: tuttavia in un materiale isotropo la deformabilit`a a taglio dipende dai coefficienti E e ν che definiscono la deformabilit`a assiale del materiale. Infatti considerando uno stato di tensione di solo taglio (σ x = σy = 0 Fig. 3.6), dal corrispondente cerchio di Mohr si Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

40

Capitolo 3 Leggi costitutive

Modulo di elasticit`a Modulo di taglio Modulo di Poisson Materiale GPa GPa Leghe di alluminio 72.4 27.5 0.31 Rame 110 41.4 0.33 Acciaio 220 75.8 0.33 Acciaio inossidabile 193 65.6 0.28 Titanio 117 44.8 0.31 Tungsteno 400 157 0.27 Tabella 3.1: Costanti elastiche di alcuni metalli y K

τxy

σ1= τxy

σ2= -τxy

τxy

x

Figura 3.6: Cerchio di Mohr relativo ad uno stato di tensione di solo taglio e direzioni principali. deduce facilmente che sulle giaciture rotate a 45◦ agiscono le tensioni principali σ 1 = τ xy , σ2 = −τ xy . Quindi, lungo queste direzioni si hanno solo deformazioni assiali, come visto in precedenza. Se ora si considera un quadrato con i lati di lunghezza unitaria disposti secondo le direzioni principali, per effetto della deformazione il quadrato si trasforma in un rettangolo i cui lati hanno lunghezza 1 + ε1 e 1 + ε2 , rispettivamente. Tenendo conto delle relazioni (3.3) e del fatto che σ 1 = −σ 2 = τ xy si ottiene che (1 + ν) ε1 = −ε2 = τ xy (3.5) E Per effetto della deformazione, tenendo fermo il punto A, gli altri vertici B, C e D si portano in B 0 , C 0 e D0 , come mostrato nella Fig. 3.7. Poich´e ε1 = −ε2 `e facile verificare che lo spostamento CC 0 `e in direzione y: quindi la deformazione assiale nella direzione dell’asse x `e nulla, mentre √ lo scorrimento di questo asse, che si ottiene dividendo lo spostamento per AC = 2, `e γ xy (|ε1 | + |ε2 |) 1 (1 + ν) = √ √ τ xy = (|ε1 | + |ε2 |) = 2 2 E 2 2 quindi γ xy = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

2 (1 + ν) τ xy E

(3.6)

41

3.2 Legame elastico lineare

ε2√2

y

2 D’

D

1 C’ ε2

τxyγxy/2

x

ε1

A

(|ε1| + |ε2|)/√2

C

1

B’

B

ε1 √2

1

√2 Figura 3.7: Deformazione di un elementino di forma quadrata con diagonali parallele agli assi in presenza di uno stato di tensione di puro taglio. o, inversamente τ xy =

E εxy 2 (1 + ν)

(3.7)

La quantit`a G=

E 2 (1 + ν)

(3.8)

`e detta il modulo di taglio del materiale. La (3.8) mostra che E, ν e G non sono indipendenti: le propriet`a elastiche dei materiali isotropi sono definite da due soli parametri.1 Le relazioni precedenti si possono ricavare in modo pi` u diretto, utilizzando le propriet`a del cerchio di Mohor. Infatti alle deformazioni principali ε1 = −ε2 = τ xy (1 + ν) corrisponde, nel riferimento originale, una deformazione di solo scorriE mento con γ/2 = ε1 , come risulta evidente dalla Fig. 3.8. Da ci`o possiamo dedurre direttamente le (3.6) e (3.7) 1 Per definire le propriet` a di un materiale elastico isotropo vengono spesso utilizzate le costanti di Lam`e λ e μ; queste due costanti sono esprimibili in funzione di E e ν mediante le relazioni:

λ=

Eν (1 + ν) (1 − 2ν)

μ=

E =G 2 (1 + ν)

μ (3λ + 2μ) λ+μ

ν=

λ 2 (λ + μ)

Inversamente: E=

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

42

Capitolo 3 Leggi costitutive

ε1

ε2 γ 2

Figura 3.8: Deformazioni principali in presenza di puro scorrimento.

3.2.2

Modulo di deformabilit` a volumetrica

La (2.25) εV = ε1 + ε2 + ε3 esprime la deformazione di volume in funzione delle tre componenti assiali della deformazione. Sostituendo le (3.3) nella (2.25) otteniamo εV =

1 − 2ν 3 (1 − 2ν) (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = p E E

(3.9)

dove

σ1 + σ2 + σ3 3 `e la tensione normale media agente nel punto considerato. Il valore di p e quello di εV non dipendono dal riferimento adottato poich´e, per qualunque riferimento ortogonale: σ 1 + σ 2 + σ 3 = σx + σ y + σ z e ε1 + ε2 + ε3 = εx + εy + εz . La costante p=

K=

E 3 (1 − 2ν)

(3.10)

`e il modulo di deformabilit`a volumetrica; il termine a denominatore (1 − 2ν) mostra che per ν > 0.5 si ha K < 0, il che comporterebbe una dilatazione dei corpi soggetti ad una pressione idrostatica ed una contrazione di quelli sottoposti ad una trazione uniforme. Questo `e in contrasto con l’ipotesi di comportamento stabile del materiale, quindi dovremo concludere che, nei materiali isotropi, ν ≤ 0.5. Tuttavia, per ν → 0.5, K → ∞, ossia il corpo risulterebbe incomprimibile. Anche questo non `e possibile per i materiali reali, e di conseguenza possiamo assumere che il valore del coefficiente di Poisson `e compreso nell’intervallo (aperto) (0, 0.5): 0 < ν < 0.5 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

43

3.2 Legame elastico lineare

Nella Tabella 3.1 sono riportati i valori di ν (insieme a quelli del modulo di Young e del modulo di taglio G) per alcune leghe metalliche; in generale i valori pi` u comuni del coefficiente di Poisson per i materiali da costruzione oscillano tra 0.2 e 0.3.

3.2.3

Legge di Hooke generalizzata

Sovrapponendo gli effetti delle deformazioni indotte dalle componenti normali (3.3) o (3.4) alle deformazioni prodotte dalle componenti tangenziali (3.6) otteniamo le relazioni generali che forniscono le deformazioni in funzione delle tensioni per un mezzo elastico lineare ed isotropo. εx = E1 [σx − νσ y − νσ z ] εy = E1 [−νσ x + σ y − νσ z ] εx = E1 [−νσ x − νσ y + σ z ] γ xy = 2(1+ν) τ xy E 2(1+ν) γ yz = E τ yz γ zx = 2(1+ν) τ zx E

(3.11)

Per dare forma sintetica a queste relazioni scriviamo ora i vettori completi delle tensioni e delle deformazioni, con le sei componenti distinte di queste grandezze: ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ εx ⎪ σx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y y ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ σz εz ε= (3.12) σ= γ xy ⎪ τ xy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τ yz ⎪ γ yz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ τ zx γ zx

e quindi la matrice 6 × 6 di elasticit`a: ⎡

⎤ 1 −ν −ν 0 0 0 ⎢−ν 1 −ν ⎥ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎢ −ν −ν 1 0 0 0 ⎢ ⎥ C= ⎢ ⎥ 0 0 2 (1 + ν) 0 0 E⎢ 0 ⎥ ⎣ 0 ⎦ 0 0 0 2 (1 + ν) 0 0 0 0 0 0 2 (1 + ν)

(3.13)

Le relazioni (3.11) si possono quindi sintetizzare nella equazione matriciale: ε = Cσ

(3.14)

che prende il nome di legge di Hooke generalizzata. Se ν < 0.5 la matrice C `e non singolare e pertanto la (3.14) pu`o essere invertita. Posto G = C−1 si ha σ = Gε Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(3.15)

44

Capitolo 3 Leggi costitutive

che consente di calcolare le tensioni in funzione delle deformazioni. L’espressione di G `e ⎤ ⎡ 1−ν ν ν 0 0 0 ⎢ ν 1−ν ν 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ν ν 1−ν 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 − 2ν E ⎥ (3.16) ⎢ 0 0 0 0 0 G= ⎥ 2 (1 + ν) (1 − 2ν) ⎢ ⎥ ⎢ 1 − 2ν ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ 2 ⎣ 1 − 2ν ⎦ 0 0 0 0 0 2 Alla (3.14) si pu`o dare la formulazione esplicita: σx = σy = σz =

E (1+ν)(1−2ν) E (1+ν)(1−2ν) E (1+ν)(1−2ν)

τ xy τ xz τ yz

3.2.4

[(1 − ν) εx + νεy + νεz ] [νεx + (1 − ν) εy + νεz ] [νεx + νεy + (1 − ν) εz ] E = 2(1+ν) γ xy E = 2(1+ν) γ xz E = 2(1+ν) γ yz

(3.17)

Tensioni e deformazioni piane

Tensioni piane In un problema “piano” le componenti della grandezza considerata che sono ortogonali al piano, sono nulle. Nel caso delle tensioni piane, assumendo un riferimento in cui gli assi x ed y cadono nel piano, si ha σz = τ xz = τ yz = 0. Annullando questi termini, dalle (3.11) si ottiene εx = E1 [σx − νσ y ] εy = E1 [−νσ x + σ y ] εz = E1 [−νσ x − νσ y ] γ xy = 2(1+ν) τ xy E γ yz = 0 γ zx = 0 Come `e evidente, alle tre componenti di tensione non nulle corrispondono quattro termini della deformazione diversi da zero, in quanto, a causa della deformazione laterale, anche se σ z = 0, si ha εz 6= 0. La componente εz tuttavia si pu`o esprimere in funzione di εx ed εy , quindi, inversamente, le tensioni non nulle si possono calcolare in funzione delle sole corrispondenti componenti della deformazione. Dalla (3.13) eliminando le colonne relative alle componenti nulle della tensione e le corrispondenti righe, si ottiene una matrice 3 × 3, che lega le tensioni piane alle deformazioni ⎡ ⎤ 1 −ν 0 1 ⎦ 0 Ctp = ⎣−ν 1 (3.18) E 0 0 2 (1 + ν) Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

45

3.2 Legame elastico lineare

Il pedice tp indica che la matrice si riferisce al caso delle tensioni piane. La relazione tra tensioni e deformazioni `e εxy = Ctp σ xy £ £ ¤t ¤t dove εxy = εx εy γ xy e σ xy = σx σ y γ xy sono i vettori delle deformazioni e delle tensioni nel piano xy. Invertendo la precedente relazione si ha σxy = C−1 tp εxy = Gtp εxy dove

⎡

1 ν E ⎣ ν 1 Gtp = 1 − ν2 0 0

⎤ 0 0 ⎦

(3.19)

(1−ν) 2

Si osservi che mentre la (3.18) `e una sottomatrice della (3.13), la (3.19) non `e una sottomatrice della (3.16). Questo dipende dal fatto che la deformazione εz , che non compare nella (3.19), non `e nulla e di essa si deve tener conto modificando i valori delle rigidezze dei termini in εx ed εy . Deformazioni piane Se risultano nulle le componenti della deformazione fuori dal piano xy si ha εz = γ yz = γ zx = 0. Annullando queste quantit`a nelle (3.17) si ottiene: E [(1 − ν) εx + νεy ] σx = (1+ν)(1−2ν) E σ y = (1+ν)(1−2ν) [νεx + (1 − ν) εy ] E σ z = (1+ν)(1−2ν) [νεx + νεy ] E τ xy = 2(1+ν) γ xy τ xz = 0 τ yz = 0

quindi la tensione σ z fuori dal piano non `e nulla, perch´e deve contrastare le deformazioni trasversali che nascerebbero per “effetto Poisson”. Nella matrice G (3.16) potremo cancellare le colonne relative alle componenti nulle della deformazione e le corrispondenti righe: ⎤ ⎡ 1−ν ν 0 E ⎢ ν 1−ν 0 ⎥ (3.20) Gdp = ⎦ ⎣ 1 − 2ν (1 + ν) (1 − 2ν) 0 0 2 in modo che

σ xy = Gdp εxy Il pedice dp serve ad indicare che la matrice G si riferisce al caso delle deformazioni piane. Per esprimere le deformazioni in funzione delle tensioni si inverte la matrice Gdp : ⎡ ⎤ 1 − ν −ν 0 1+ν ⎣ −ν 1 − ν 0⎦ (3.21) Cdp = G−1 dp = E 0 0 2 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

46

Capitolo 3 Leggi costitutive

Confrontando la (3.18) con la (3.21) e la (3.19) con la (3.20) si vede che queste matrici sono differenti. Dilatazione laterale impedita. Se tutte le deformazioni sono nulle eccetto la componente assiale εx allora evidenE(1−ν) temente σx = (1+ν)(1−2ν) εx e quindi εx =

(1 + ν) (1 − 2ν) σx E (1 − ν)

questa relazione deve essere confrontata con la εx = σ x /E valida nel caso di de` evidente che quando la deformazione trasversale `e formazione trasversale libera. E impedita quella assiale risulta minore in quanto 2ν 2 (1 + ν) (1 − 2ν) 1 − ν − 2ν 2 = =1− 0 risulter`a σ x < 0 per z < 0 e σ x > 0 per z > 0; pertanto una Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

62

Capitolo 4 La trave

N σx

My

σx z

z

-u0z x

x

z

z

Forza Normale

Flessione retta

Figura 4.9: Distribuzione delle tensioni prodotta dalla forza normale e dalla flessione. parte della sezione sar`a soggetta a tensioni negative (compressione) ed una parte a tensioni positive (trazione). Questo `e ovvio poich´e in assenza di forze normali la risultante delle tensioni deve essere nulla, quindi la risultante delle tensioni positive deve uguagliare, in modulo, quella delle tensioni negative. Esempio 4.1 Calcolare la tensione massima nella sezione di Fig. 4.10, con b = 15 cm e h = 35 cm, soggetta ad un momento My = 50 kN m. Il baricentro della sezione rettangolare si trova nell’intersezione delle mediane. Il momento di inerzia relativo all’asse baricentrico y `e Jy =

bh3 15 · 353 = = 53593.75 cm4 12 12

Le tensioni massime (positive e negative) si raggiungono in corrispondenza dei lati minori, per y = ± h2 = ±17.5 cm; il momento agente `e 5000 kN cm, quindi ⎧ µ ¶ M 5000 h y ⎪ µ ¶ ⎪ = (17.5) = 1.633 kN/ cm2 ⎨ max Jµ 2¶ 53593.75 y σx = My 5000 h min ⎪ ⎪ = (−17.5) = −1.633 kN/ cm2 − ⎩ Jy 2 53593.75 ¢2 ¡ Un kN/ cm2 = 103 / 10−2 = 107 Pa = 10 MPa. Pertanto la tensione calcolata, in valore assoluto, `e 16.33 MPa. ¤

Esempio 4.2 Calcolare i valori della tensione nei vertici della sezione rappresentata in Fig. 4.11 supponendo che sia soggetta ad un momento Mη = 10 kN m. Per determinare le caratteristiche geometriche della sezione si fa prima riferimento agli assi η 0 , ζ 0 . Relativamente a questi assi la figura si pu`o decomporre in due rettangoli, aventi una base coincidente con uno degli assi. Si ha cos`ı, indicando con l1 = 150 mm Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

63

4.4 Forza normale e flessione

σx G h

y

My

b z Figura 4.10: La sezione dell’esempio 4.1 la lunghezza del lato maggiore, l2 = 75 mm quella del lato minore e con s = 10 mm lo spessore del profilato: A = l1 s + l2 s − s2 = 21.5 cm2

l2 s2 + s 1 = 115.75 cm2 2 2 2 s l2 Sζ 0 = (l1 − s) + s 2 = 35.125 cm2 2 2 3 s l3 Jη0 = (l2 − s) + s 1 = 1127. cm4 3 3 3 3 l s + s 2 = 145.29 cm4 Jζ 0 = (l1 − s) 3 3 µ ¶2 µ ¶2 µ 2 ¶2 l1 s l2 s s = + − = 70.06 cm4 2 2 2 Sη0 = (l2 − s)

Jζ 0 η0

Le coordinate del baricentro della sezione, riferite agli assi ζ 0 , η 0 sono Sη0 = 53.837 mm A Sζ 0 η0G = = 16.337 mm A I momenti di inerzia relativi ad un sistema di assi η e ζ, con origine nel baricentro e paralleli ai precedenti, si calcolano applicando la regola del trasporto ζ 0G =

Jη = Jη0 − Aζ 20G = 504.00 cm4 Jζ

= Jζ 0 − Aη 20G = 87.91 cm4

Jζη = Jζ 0 η0 − Aη 0G ζ 0G = −119.04 cm4 L’angolo formato dagli assi principali di inerzia con quelli del riferimento iniziale `e dato dalla formula µ ¶ −2Jζη 1 α = arctan = −14.889 ◦ 2 Jζ − Jη Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

64

Capitolo 4 La trave

75 mm

y η0 10 mm

2

1

3

4

G

η

150 mm

α z ζ 5

6

10 mm ζ0 Figura 4.11: Sezione dell’esempio 4.2. Quindi i momenti relativi a questi assi sono Jy = Jη cos2 α + Jζ sin2 α + Jζη sin (2α) = 535.65 cm4 Jζ = Jη sin2 α + Jζ cos2 α − Jζη sin (2α) = 56.258 cm4 Proiettando il momento Mζ sugli assi principali si ha Mz = Mη sin α = 2.569 kN m My = Mη cos α = 9.664 kN m Per procedere al calcolo della tensione nei vertici della sezione si debbono determinare le coordinate di questi nel riferimento principale. Partendo dal riferimento η 0 , ζ 0 le coordinate dei vertici sono ∙ ¸ ∙ ¸ η0 0 75 75 10 10 0 = mm 0 0 10 10 150 150 ζ0 Nel riferimento traslato nell’origine divengono ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ η 0G −16.337 58.663 58.663 −6.337 −6.337 −16.337 η η0 − = mm = −53.837 −53.837 −43.837 −43.837 96.163 96.163 ζ0 ζ 0G ζ Infine le coordinate vengono proiettate nel riferimento degli assi principali y = η cos α − ζ sin α

z = η sin α + ζ cos α

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

4.4 Forza normale e flessione

65

per cui si ottiene ∙ ¸ ∙ ¸ y −29.622 42.86 45.43 −17.388 18.584 8.92 = mm z −47.832 −67.103 −57.438 −40.737 94.563 97.132 Applicando la (4.23) con N = 0 si calcolano quindi facilmente i valori della tensione normale nei vertici della sezione (le unit` a di misura sono Newton e millimetri): ⎡ ⎤ −221.588 ⎢ 74.684 ⎥ ⎢ ⎥ 6 6 ⎢ 103.856 ⎥ My Mz 9.664 · 10 −2.569 · 10 ⎢ ⎥ MPa z− y= y− z− = ⎢ σx = ⎥ Jy Jz 5.357 · 106 5.629 · 105 ⎢−152.914⎥ ⎣ 255.487 ⎦ 215.984

Poich´e σ x varia linearmente con y e z, i valori estremi si raggiungono nei vertici della sezione, dunque: σ x max = 255.487 MPa σ x min = −221.588 MPa corrispondenti ai vertici 5 e 1, rispettivamente.

4.4.4

¤

Lavoro di deformazione

Nel caso della sollecitazione di flessione vi `e una sola componente non nulla della tensione (σ x ); pertanto l’espressione (3.24) del lavoro di deformazione si riduce, tenendo conto delle (4.22) e (4.23) semplicemente a µ ¶µ ¶ 1 My 1 N Mz N My Mz dLV = εx σ x = + + z− y z− y dV 2 2 EA EJy EJz A Jy Jz da cui, integrando su di un concio di trave di lunghezza dx e ricordando le propriet`a (4.3) degli assi principali di inerzia: µ ¶ Z My2 dx dx N 2 Mz2 + dLV = (4.27) εx σ x dydz = + 2 A 2 EA EJy EJz Lungo tutta la trave, se N, My e Mz sono costanti, il lavoro complessivo `e µ ¶ Z l My2 l N2 Mz2 + LV = dLV = + 2 EA EJy EJz 0

4.4.5

(4.28)

Asse neutro

La formula (4.23) fornisce la tensione prodotta dalla forza normale N e dai due momenti flettenti My ed Mz in ogni punto della sezione. Tuttavia la funzione σ x (y, z) `e definita nell’intero piano yz, anche se il risultato ha senso fisico solo per i punti che appartengono alla sezione. In Fig. 4.12 `e mostrata una sezione S appartenente al piano Π; il grafico delle tensioni σ x `e rappresentato dal piano inclinato; ovviamente i soli valori di σx che hanno significato fisico sono quelli in corrispondenza dei punti di S. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

66

Capitolo 4 La trave

σx

Π

n

S a

Figura 4.12: Estensione del campo delle tensioni normali in una sezione all’intero piano Π. Si definisce asse neutro il luogo dei punti del piano Π nei quali si ha σx = 0. Se N 6= 0, l’equazione (4.23) si pu`o riscrivere ponendo a fattore il termine N/A: µ ¶ My A N Mz A 1+ σx = z− y (4.29) A N Jy N Jz Le quantit`a Mz My ez = (4.30) N N sono le eccentricit`a della forza risultante, la cui retta d’azione interseca il piano Π nel punto C, detto centro di pressione, di coordinate ey , ez . La forza N applicata in G e i momenti My ed Mz sono staticamente equivalenti alla sola forza N applicata in C (Fig. 4.13), poich´e hanno la stessa risultante e, rispetto ad ogni punto, lo stesso momento risultante. Infatti fissando il polo in un generico punto P di coordinate yP , zP , i momenti del primo sistema sono ey = −

MP y = My + zP N

MP z = Mz − yP N

e quelli del secondo MP y = N (ez + zP )

MP z = −N (ey + yP )

Sostituendo ad ey ed ez i rapporti (4.30) si verifica facilmente che questi ultimi momenti coincidono con quelli dell’equazione precedente. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

67

4.4 Forza normale e flessione

x N

Π

My Mz

y

e z=

/N My

N G

C /N z =-M

ey

z

Figura 4.13: Eccentricit`a e centro di pressione relativi ad una sezione sollecitata a forza normale e flessione. I rapporti tra i momenti di inerzia e l’area della sezione Jy = ρ2z A

Jz = ρ2y A

(4.31)

sono i quadrati dei giratori di inerzia; sostituendo le (4.30) nella (4.29) otteniamo µ ¶ ey y ez z N 1+ 2 + 2 σx = (4.32) A ρy ρz Uguagliando σ x a zero si ottiene l’equazione dell’asse neutro; poich´e per ipotesi N 6= 0, la (4.32) si annulla solo se 1+

ey y ez z + 2 =0 ρ2y ρz

(4.33)

Fissate le coordinate del centro di pressione ey , ez , la (4.33) `e evidentemente l’equazione di una retta; ponendo alternativamente z = 0 e y = 0 si determinano i punti di intersezione dell’asse neutro con gli assi del riferimento; si ha: y0 = −

ρ2y ey

z0 = −

ρ2z ez

(4.34)

` evidente che se ey , ez → 0± (cio`e il centro di pressione si avvicina al baricentro E della sezione) y0 , z0 → ∓∞, viceversa se il centro di pressione si allontana (perch´e N → 0) allora y0 , z0 → 0, cio`e l’asse neutro passa per il baricentro: quest’ultimo `e appunto il caso della flessione semplice. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

68

n

Capitolo 4 La trave

α

a

y

α

ρz

G

β

z0

ez

ρy

C

ey y0

z

Figura 4.14: Relazione tra centro di pressione ed asse neutro. La distanza della retta (4.33) dall’origine `e 1 d = r³ ´ ³ ´2 2 ey ez + 2 ρ ρ2 y

(4.35)

z

L’angolo α formato dall’asse neutro con l’asse y si calcola facilmente (vedi Fig. 4.14) µ ¶2 µ ¶2 ρy ez ρy y0 = tan β (4.36) tan α = − = − z0 ey ρz ρz dove β indica l’angolo che la retta GC forma con l’asse y. Dalla (4.36) appare evidente che tan α = tan β (ovvero l’asse neutro `e perpendicolare all’asse di sollecitazione GC) solo se tan β = 0 (β = 0, C `e sull’asse z) ovvero tan β = ∞ (β = π/2, C `e sull’asse y) oppure se ρy /ρz = 1. I primi due casi corrispondono alla pressoflessione retta (il centro di pressione cade su uno degli assi principali di inerzia) il terzo corrisponde al caso delle sezioni con simmetria radiale (sezioni circolari, sezioni quadrate). In tutti gli altri casi l’asse neutro non `e perpendicolare all’asse di sollecitazione. L’equazione (4.33) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti C(ey , ez ) e le rette del piano. Fissato ¡ ¢un punto di coordinate ey , ez , resta determinata una retta di equazione 1 + ey /ρ2y y + (ez /ρ2z ) z = 0. Inversamente, fissata una retta di equazione a0 + a1 y + a2 z = 0 (a0 6= 0) resta definito un punto di coordinate ey =

a1 2 ρ a0 y

ez =

centro di pressione di cui la retta `e asse neutro. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

a2 2 ρ a0 z

(4.37)

69

4.4 Forza normale e flessione

4.4.6

Nocciolo di inerzia

L’asse neutro divide in due il piano della sezione, separando i punti con σ x positiva (trazioni) da quelli con σ x negativa (compressioni). Se la sezione cade interamente in uno di questi due semipiani risulta sollecitata da tensioni dello stesso segno (positive o negative), se invece l’asse neutro attraversa la sezione avremo che parte della sezione sar`a soggetta a sollecitazioni di trazione e parte di compressione. Nel caso della flessione semplice (N = 0), poich´e passa per il baricentro, l’asse neutro taglia sempre la sezione; in presenza di sforzo normale si pu`o presentare un caso o l’altro in funzione della posizione del centro di pressione. Per alcuni materiali che hanno un differente comportamento in trazione e compressione (p.es. il calcestruzzo) `e importante distinguere il caso delle sezioni sollecitate da tensioni di segno omogeneo da quelle che sono parzialmente tese e parzialmente compresse. Per le sezioni convesse 2 la condizione limite si ha quando l’asse neutro `e tangente al bordo della figura; i punti (centri di pressione) associati dall’equazione (4.33) alle rette tangenti al bordo, definiscono una curva chiusa; poich´e se il centro di pressione si avvicina al baricentro l’asse neutro se ne allontana e viceversa, l’insieme dei punti interni a questa curva (che comprende il baricentro), detto nocciolo centrale d’inerzia, `e l’insieme dei centri di pressione il cui asse neutro `e esterno alla sezione, che in tal caso risulta sollecitata da tensioni di segno omogeneo; inversamente, quando il centro di pressione `e esterno al nocciolo, la sezione `e attraversata dall’asse neutro e quindi parzialmente tesa e parzialmente compressa. Nel caso di sezioni di forma non convessa, si pu`o definire una figura convessa inviluppo, come la pi` u piccola figura convessa che racchiude quella data. Il nocciolo di inerzia in questo caso `e delimitato dai centri di pressione corrispondenti alle tangenti al bordo dell’inviluppo convesso (Fig. 4.15). Esempio 4.3 Nocciolo d’inerzia della sezione rettangolare. La sezione rettangolare `e convessa, pertanto il nocciolo `e determinato dalle rette tangenti al contorno. Prendendo in esame una sezione con lati b ed h (Fig. 4.16) i giratori di inerzia valgono ρ2y = ρ2z =

Jz = A Jy = A

1 3 12 hb

b2 bh 12 1 3 bh h2 12 = bh 12 =

La retta 1 − 1, tangente al lato perpendicolare ad y, ha equazione z−

h =0 2

quindi, posto a0 = −h/2, a1 = 0, a2 = 1, dalle (4.37) si ha ey = 0 2

2 2 h2 h ez = − ρ2z = − =− h h 12 6

Una figura piana `e convessa se ogni segmento che unisce due punti interni alla figura `e costituito da soli punti interni. In una figura convessa le rette tangenti al bordo hanno in comune con essa solo punti del bordo. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

70

Capitolo 4 La trave

Sezione convessa

Sezione non convessa e sezione inviluppo convessa

Figura 4.15: Noccioli d’inerzia per una sezione convessa ed una non convessa. corrispondente al punto 1 in Fig. 4.16. Prendendo per asse neutro la tangente al lato ortogonale a y di equazione y + b/2 = 0 si ha a0 = b/2, a1 = 1, a2 = 0, il centro di pressione ha coordinate: 2 b ez = 0 ey = ρ2z = b 6 ed `e rappresentato dal punto 2 sull’asse z. Quando le rette descrivono un fascio intorno ad un punto A i corrispondenti centri percorrono una retta di equazione: yA zA ey + 2 ez + 1 = 0 2 ρy ρz dove yA e zA sono le coordinate del centro del fascio. Poich´e i due assi 1 e 2 appartengono al fascio, la retta passa per questi punti; facendo rotare l’asse intorno allo spigolo, da 1 a 2, il centro di pressione descrive il segmento 1-2. Ripetendo il procedimento per gli altri due lati (e tre vertici) si ottiene il rombo centrato nel baricentro con diagonali h/3 e b/3. Quando il centro di pressione `e interno a questo rombo il rettangolo `e sollecitato da tensioni di uguale segno, quando `e esterno l’asse neutro attraversa la sezione, che risulta in parte tesa ed in parte compressa. ¤

Esempio 4.4 Nocciolo di inerzia di una sezione a T. La sezione a T non `e convessa, pertanto occorre fare riferimento alla figura convessa che la circoscrive, delimitata dalle linee tratteggiate. Per prima cosa si devono determinare le caratteristiche geometriche della sezione (effettiva). Indicando con b la larghezza della soletta, con ss il suo spessore, con h l’altezza della sezione e con sa lo spessore dell’anima, nel caso in questione si ha b = 60 cm h = 50 cm ss = 15 cm sa = 20 cm Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

71 2

4.4 Forza normale e flessione

1 h/6 2

h y

y

b/6 1 2

1

z

z

b (a)

(b)

(c)

Figura 4.16: Nocciolo d’inerzia per una sezione rettangolare. Area A = (b − sa )ss + sa h = 1600 cm2 Momento statico rispetto alla retta tangente la soletta Sya =

¤ 1£ (b − sa ) s2s + sa h2 = 29500 cm3 2

Distanza del baricentro dal bordo superiore dG =

Sya = 18.438 cm A

Momento d’inerzia rispetto alla retta tangente la soletta Jy0 =

¤ 1£ (b − sa ) s3s + sa h3 = 878300 cm4 3

Momento d’inerzia relativo all’asse baricentrico y

Jy = Jy0 − Ad2G = 334400 cm4 Momento d’inerzia relativo all’asse baricentrico z Jz = Raggi di inerzia

r

¤ 1 £ 3 ss b + (h − ss ) s3a = 293300 cm4 12

r Jy Jz ρy = = 13.54 cm ρz = = 14.457 cm A A Asse neutro parallelo a y tangente la soletta: equazione della retta (nel riferimento baricentrico) z = −dG ; coordinate del centro di pressione e1y = 0 e1z = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

1 2 ρ = 11.337 cm dG y

72

Capitolo 4 La trave

G

y

z

Figura 4.17: Nocciolo d’inerzia per una sezione a T. Asse neutro parallelo a z tangente la sezione; eq.: y = b/2 = 30 cm; coordinate centro di pressione 2 2 ρ = −6.111 cm e2z = 0 e2y = −b z Asse neutro coincidente con la linea inviluppo convesso (tratteggiata); `e la linea passante per i punti di coordinate z1 = ss − dG = −3.438 cm y1 = b/2 = 30 cm

z2 = h − dG = 31.563 cm y2 = sa /2 = 10 cm

I coefficienti della retta sono z1 − z2 y2 − y1 = −0.0357 a2 = = −0.0204 a0 = 1 a1 = y1 z2 − y2 z1 y1 z2 − y2 z1 e quindi, per la (4.37) e3y =

a1 2 a2 ρy = −6.539 cm e3z = ρ2z = −4.260 cm a0 a0

Infine, il centro di pressione della tangente al bordo inferiore della sezione, di equazione z = h − dG = 31.563 cm ha coordinate e4y = 0 cm e4z = −6.622 cm Il contorno del nocciolo `e formato dai segmenti che uniscono questi punti e da quelli simmetrici rispetto all’asse y. Il risultato `e mostrato nella Fig. 4.17. ¤

4.5

Torsione

Esaminiamo ora il caso in cui sulle basi del cilindro di Saint Venant agiscano delle forze tangenziali la cui risultante `e un momento che si avvolge intorno all’asse x. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

73

4.5 Torsione

(a)

(b)

Figura 4.18: Anilisi agli elementi finiti di un cilindro con base circolare sollecitato a torsione. Una tale sollecitazione produce una rotazione relativa delle basi che d`a luogo ad una deformazione di torsione della barra; le linee generatrici del cilindro divengono eliche, come mostrato in Fig. 4.18a. Se la sezione del cilindro `e circolare il moto di una sezione generica non troppo vicina alle basi `e una semplice rotazione; i punti su ciascuna sezione subiscono una rotazione rigida attorno all’asse x del cilindro, restando contenuti nel piano della sezione, come `e mostrato nella Fig. 4.18b, dove sono rappresentati i vettori degli spostamenti di alcuni punti della struttura. Se il prisma non ha sezione circolare (come quello mostrato in Fig. 4.19a), i punti delle sezioni, oltre a rotare, subiscono anche degli spostamenti fuori dal piano, in direzione dell’asse x. Questo fatto `e visibile nella Fig. 4.19b, che rappresenta, fortemente amplificata, la deformazione di un tratto del prisma, privato della parte prossima alla base per consentire un confronto con la teoria di Saint Venant. Gli spostamenti fuori dal piano della sezione (ingobbamento) sono resi pi` u evidenti nella Fig. 4.20. In (a) sono riportati i vettori rappresentativi degli spostamenti dei nodi del modello ad elementi finiti: `e evidente che, particolarmente presso gli spigoli, questi vettori non sono contenuti nel piano della sezione, ma hanno una componente ortogonale. Nella Fig. 4.20b `e riportata la mappa a colori di questi spostamenti; si evidenzia facilmente una simmetria rotazionale di π/2, mentre rispetto agli assi paralleli ai lati vi `e una antisimmetria: punti opposti si spostano in versi opposti. Le osservazioni precedenti ci inducono ad assumere, per un prisma sollecitato a torsione, il seguente campo di spostamenti: ux (x, y, z) = ψ (y, z) uy (x, y, z) = −θxz uz (x, y, z) = θxy

(4.38a) (4.38b) (4.38c)

in cui θx `e la rotazione relativa tra la base e la sezione di ascissa x, mentre ψ (y, z) `e una funzione che non dipende da x e descrive gli spostamenti fuori dal piano dei punti della sezione. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

74

Capitolo 4 La trave

(a)

(b)

Figura 4.19: Analisi agli elementi finiti di un prisma a base quadrata. Modello della struttura (a) e deformazione di un tronco privato di una delle basi (b). Applicando le (2.7), (2.8) alle (4.38) determiniamo le deformazioni corrispondenti al campo di spostamenti assegnato εx = εy = εz = γ xy = γ xz = γ yz =

∂ux ∂x ∂uy ∂y ∂uz ∂z ∂uy ∂x ∂uz ∂x ∂uy ∂z

∂ψ =0 ∂x ∂ (−θxz) = =0 ∂y ∂ (θxy) = =0 ∂z ∂ux ∂ (−θxz) ∂ψ ∂ψ + = + = −θz + ∂y ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂ (θxy) ∂ψ ∂ψ + = + = θy + ∂z ∂x ∂z ∂z ∂uz ∂ (−θxz) ∂ (θxy) + = + = −θx + θx = 0 ∂y ∂z ∂y =

(4.39a) (4.39b) (4.39c) (4.39d) (4.39e) (4.39f)

Le sole componenti non nulle sono quindi gli scorrimenti γ xy e γ xz . Utilizzando la legge elastica del materiale (3.17), si verifica facilmente che, in conseguenza delle (4.39), si ha σx = σy = σz = τ yz = 0 ¶ µ ∂ψ τ xy = Gγ xy = G −θz + ∂y ¶ µ ∂ψ τ xz = Gγ xz = G θy + ∂z

(4.40a) (4.40b) (4.40c)

Queste condizioni evidentemente soddisfano le (4.7) con l’ulteriore condizione σx = 0. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

75

4.5 Torsione

(a)

(b)

Figura 4.20: Analisi agli elementi finiti di un prisma con base quadrata. Campo degli spostamenti dei punti delle sezioni (a) e mappa degli spostamenti in direzione x (b).

Come si `e detto le tensioni devono soddisfare le equazioni di equilibrio in ogni punto del corpo, che sono espresse in forma differenziale dalle (4.9). Nel caso in esame, sostituendo le (4.40), si ricava

∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + = ∂x ∂y ∂z

h ³ ∂ G −θz +

∂y h ³ ∂ G −θz +

∂τ xy = ∂x £ ¡ ∂x ∂ G θy + ∂τ xz = ∂x ∂x

∂ψ ∂y

∂ψ ∂y

¢¤ ∂ψ ∂z

´i ´i

£ ¡ ∂ G θy + + ∂z

∂ψ ∂z

¢¤

=

∂2ψ ∂2ψ + 2 =0 ∂y 2 ∂z

=0

=0

Le seconde due equazioni sono identicamente soddisfatte, la prima richiede che la Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

76

Capitolo 4 La trave

Figura 4.21: Campo degli spostamenti di una sezione di un cilindro soggetto a torsione funzione ψ verifichi l’equazione di Laplace3 ∂2ψ ∂2ψ + 2 =0 ∂y 2 ∂z

(4.41)

Oltre all’equilibrio interno le tensioni devono verificare la condizioni al contorno (4.8); sostituendo le (4.40) si ricava che, sul bordo della sezione ¶ ¶ µ µ ∂ψ ∂ψ ny + G θy + nz = 0 τ xy ny + τ xz nz = G −θz + ∂y ∂z da cui si deduce che

∂ψ ∂ψ ny + nz (4.42) ∂y ∂z Infine dobbiamo rispettare le condizioni di equilibrio globale sulle basi (??). Poich´e σ x ≡ 0 si ha ovviamente che N = My = Mz = 0. Le risultanti delle tensioni θ (−ynz + zny ) =

3

Poich´e σ x = 0, la prima delle equazioni di equilibrio si riduce a ∂τ xz ∂τ xy + =0 ∂y ∂z

Le tensioni tangenziali τ xy e τ xz si possono interpretare come le componenti (nel piano yz) di un vettore τ . Si pu`o dimostrare che un vettore le cui componenti soddisfano l’equazione precedente, R rispetta le condizioni di continuit`a, ovvero il flusso totale S τ · n ds che attraversa una linea chiusa S `e sempre nullo (n `e la normale alla linea orientata verso l’esterno). In altre parole il flusso entrante (negativo) uguaglia in modulo quello uscente (positivo). Si definisce linea di flusso una linea che `e ovunque tangente al vettore τ ; per definizione dunque, lungo questa linea, τ · n = 0 (τ e n sono perpendicolari); considerando una parte del piano delimitata da due linee di flusso (tubo di flusso), lungo queste linee non entra n´e esce flusso. Tagliando il tubo con due sezioni trasversali, il flusso attraversa solo queste sezioni e poich´e il flusso totale `e nullo, `e ovvio che quello che entra da una sezione uguaglia quello che esce dall’altra. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

77

4.5 Torsione

tangenziali non nulle sono invece4 Z

Vy =

ZA

Vz =

τ xy dA = 0

(4.43a)

τ xz dA = 0

(4.43b)

A

e Mx =

Z

A

(τ xz y − τ xy z) dA

(4.44)

Diversamente dalla flessione, per la sollecitazione di torsione non esiste una soluzione generale valida per tutte le sezioni, in quanto la funzione di ingobbamento ψ dipende dalla forma della sezione; questa soluzione poi ha un’espressione analitica semplice solo in alcuni casi. Nel seguito saranno illustrate le soluzioni, esatte od approssimate, per alcuni casi di importante interesse pratico.

4.5.1

Sezione circolare

Per una sezione circolare, indicando con R il suo raggio, i punti della linea di bordo hanno coordinate y = R cos α, z = R sin α, dove α `e l’angolo formato dal raggio con l’asse y. Poich´e per una circonferenza la normale passa per il centro, si ha anche ny = cos α, nz = sin α; quindi il primo membro delle (4.42) diviene θ (−ynz + zny ) = θ (−R cos α sin α + R sin α cos α) = 0 Di conseguenza anche il secondo membro `e nullo e si ha µ ¶ ∂ψ ∂ψ ny + nz = 0 G ∂y ∂z Questa equazione e la (4.41) sono certamente verificata se ψ = cost in tutti i punti della sezione. Dunque, a meno di una inessenziale traslazione, si pu`o assumere ` possibile mostrare che, se `e valida la (4.9) La dimostrazione delle (4.43) non `e immediata. E con σ x = 0, allora esiste una funzione φ (y, z) tale che 4

τ xy =

∂φ ∂z

τ xz = −

∂φ ∂y

Se dy, dz sono le componenti di un tratto dl del bordo della sezione, ed ny ,nz sono le componenti del vettore normale a dl, `e facile controllare che ny = dz/dl, nz = −dy/dl. Quindi le (4.8) divengono τ xy ny + τ xz nz =

dφ ∂φ dz ∂φ dy + = =0 ∂z dl ∂y dl dl

da cui si deduce che φ = cost lungo il bordo della sezione. Quindi Z Z Z Z ∂φ dA = − φdy = −φ dy = 0 τ xy dA = A A ∂z C C R dove C `e il contorno della sezione e l’integrale C dy `e nullo poich´e il punto finale Re quello iniziale del percorso di integrazione coincidono. In modo del tutto analogo si mostra che A τ xz dA = 0. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

78

Capitolo 4 La trave

ψ = 0, ovvero la sezioni circolari non si ingobbano per effetto della deformazione indotta dalla torsione. Dalle (4.40) troviamo ora che τ xy = −Gθz

τ xz = Gθy

(4.45)

Sostituendo queste nelle equazioni di equilibrio globale sulle basi (4.43) e (4.44) troviamo: Z Z Vy = τ xy dA = −Gθ zdA = 0 (4.46a) ZA Z A Vz = τ xz dA = Gθ ydA = 0 (4.46b) A

Mx =

Z

A

A

(τ xz y − τ xy z) dA = Gθ

Z

A

¡ 2 ¢ y + z 2 dA = GθJG

(4.47)

Nelle (4.46) gli ultimi integrali sono nulli poich´e coincidono con i momenti statici della sezione relativi ad assi baricentrici; questi risultati confermano quanto anticipato in forma generale nelle (4.43). Nella (4.47) Z Z R πR4 2 (4.48) r dA = 2π r3 dr = JG = 2 A 0 `e il momento d’inerzia polare (relativo al baricentro) della sezione circolare. Dalla (4.47) si trova facilmente che θ=

2Mx Mx = GJG πR4 G

(4.49)

e quindi, sostituendo nelle (4.45), Mx 2Mx z =− 4z JG πR Mx 2Mx = y= y JG πR4

τ xy = −

(4.50a)

τ xz

(4.50b)

Le tensioni tangenziali variano linearmente con la distanza dal centro della sezione e raggiungono il massimo lungo la circonferenza di bordo dove valgono in modulo: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Mx ¯ ¯ 2Mx ¯ ¯ R¯ = ¯ (4.51) τ max = ¯¯ JG ¯ ¯ πR3 ¯

La rigidezza torsionale della trave `e definita come il rapporto tra il momento e la rotazione relativa delle basi da questo prodotta. Poich´e la rotazione `e θl (l lunghezza del cilindro) la rigidezza risulta, tenendo conto della (4.49): Kx =

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

GJG πR4 G Mx = = θl l 2l

(4.52)

79

4.5 Torsione

R R

τmax

τmin

τmax

G Ri

Figura 4.22: Distribuzione delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezione circolare piena ed in una cava.

4.5.2

Sezione circolare cava

Per la sezione anulare valgono le stesse considerazioni fatte per la sezione circolare piena, da cui si pu`o concludere che la funzione di ingobbamento ψ `e nulla. Quindi, applicando l’equilibrio alla rotazione (4.47), si giunge allo stesso risultato, con la sola differenza che in questo caso il momento d’inerzia polare JG `e quello della sezione cava: π (R4 − Ri4 ) JG = 2 dove R `e il raggio esterno ed Ri il raggio del foro. Le tensioni variano linearmente e sono minime in corrispondenza del contorno interno e massime su quello esterno ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2Mx Ri ¯ ¯ 2Mx R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ τ min = ¯ τ max = ¯ (4.53) π (R4 − Ri4 ) ¯ π (R4 − Ri4 ) ¯ Esempio 4.5 Determinare la tensione tangenziale massima e la torsione θ in un cilindro in acciaio di sezione circolare con R = 5 cm soggetto ad un momento torcente Mx = 20 kN m. Determinare le stesse grandezze in un cilindro cavo dello stesso diametro e soggetto alla stessa sollecitazione, con raggio del foro Ri = 3 cm. Applicando la (4.51) si ottiene τ max =

2Mx 2 · 20000 = = 101859000 Pa = 101.859 MPa 3 πR π · 0.053

Per l’acciaio si pu` o assumere E = 205000 MPa e ν = 0.3; il modulo di taglio si calcola applicando la (3.8): G=

E 205000 = = 78850 MPa 2 (1 + ν) 2 (1 + 0.3)

La rigidezza Kx , data dalla (4.52) `e, a meno di l Kx l =

π0.054 · 7.885 · 1010 πR4 G = = 774070 N m2 = 774.07 kN m2 2 2

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

80

Capitolo 4 La trave

e quindi la torsione θ risulta θ=

Mx 20 rad = = 0.026 Kx l 774.07 m

Ripetendo gli stessi calcoli per la sezione cava, con Ri = 3 cm, si ha: 2Mx R ¢ = 117.026 MPa π R4 − Ri4 ¡ ¢ π R4 − Ri4 G = 673.751 kN m2 Kx l = 2 Mx rad θ= = 0.03 Kx l m τ max =

¡

` interessante osservare che sia in termini di tensione massima sia di rigidezza e rotazione, E i valori trovati per la sezione cava sono poco diversi da quella piena, in virt` u dello scarso contributo fornito dalle parti pi` u interne della sezione. Tenendo conto che in termini di area (e quindi di peso) il rapporto tra la sezione cava e quella piena `e 0.64, mentre l’incremento nella τ max `e solo del 15%, si comprende chiaramente che le sezioni cave sono particolarmente efficienti nel sostenere la sollecitazione di torsione. ¤

4.5.3

Sezione rettangolare sottile

Nel caso di una sezione rettangolare, come quella in Fig. 4.23, in cui il rapporto tra i lati hb ¿ 1, possiamo assumere, con l’esclusione di due zone prossime ai lati brevi e di analoga estensione, che la componente τ xz sia nulla. In effetti sui lati lunghi, dove ny = 0, nz = ±1, le condizioni al contorno (4.8) richiedono che τ xz = 0; in virt` u del piccolo spessore della sezione possiamo estendere questa condizione anche ai punti interni; imponendo questa condizione alla (4.40c) si ricava che ¶ µ ∂ψ =0 τ xz = G θy + ∂z da cui integrando ed a meno di una inessenziale costante, segue ψ = −θyz

(4.54)

che evidentemente verifica le equazioni di equilibrio indefinito (4.41). Applicando la (4.54) alla (4.40b) si ricava ¶ µ ∂ψ τ xy = G −θz + = −2Gθz τ xz = 0 (4.55) ∂y Come si `e detto le (4.55) non valgono nelle zone prossime ai lati brevi, dove per le condizioni al contorno, essendo ny = ±1, nz = 0, deve risultare τ xy = 0. Per tener conto di quello che avviene nelle zone terminali, ricordiamo quanto detto nella nota 3 a pag. 76; per la continuit`a le linee di flusso devono essere chiuse e quindi in prossimit`a dei lati brevi roteranno, fino a divenire parallele a z, come mostrato Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

81

4.5 Torsione

z b y h Figura 4.23: Sezione rettangolare sottile.

b

b

Fz

Fz

τmax

b/2

b/2

(2/3)b

Fy

(a)

(b)

(c)

Figura 4.24: Flusso e risultanti delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezione rettangolare sottile. in Fig. 4.24a. avere che, ¯R Per la continuit` ¯ a ¯dovremo ¯ nella sezione contenente l’asse ¯ h/2 ¯ ¯R b/2 ¯ y, si abbia ¯ 0 τ xz (y, 0) dy ¯ = ¯ 0 τ xy (0, z) dz ¯. Questa condizione `e certamente soddisfatta se si assume che le τ xz siano non nulle solo nel triangolo di base b ed altezza b/2 mostrato in Fig. 4.24b e crescano con legge lineare, come illustrato nella stessa figura (c), in modo tale che τ xz max = τ xy max . Per calcolare il valore delle tensioni e la deformazione si impongono le equazioni di equilibrio globale sulle basi. Il momento risultante delle tensioni τ xy , trascurando l’effetto dei tratti terminali, `e Mx(1)

=−

Z

h/2

−h/2

Z

b/2

−b/2

τ xy zdydz = 2Gθ

Z

h/2

−h/2

dy

Z

b/2

−b/2

z 2 dz = Gθh

b3 6

Analogamente anche le tensioni τ xz formano una coppia, con braccio ∼ h; le forze Fz della coppia equivalgono al volume della piramide, illustrata in Fig. 4.24c, di base Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

82

Capitolo 4 La trave

b × τ max e altezza b/2. Per quanto detto τ max = |τ xy (b/2)| = Gθb e quindi b b3 1 Fz = b (Gθb) = Gθ 3 2 6 Dunque il momento risultante delle tensioni sulle basi `e Mx = Mx(1) + Fz h = Gθh da cui deriva θ=

b3 1 b3 + Gθ h = Gθb3 h 6 6 3

3Mx Ghb3

(4.56)

che sostituita nella (4.55) fornisce τ xy = −

6Mx z hb3

(4.57)

Il modulo della tensione massima, che si raggiunge sul bordo della sezione per z = ±b/2, risulta ¯ µ ¶¯ ¯ b ¯ 3Mx ¯ (4.58) τ max = ¯τ xy ± ¯¯ = 2 hb2 La rigidezza della sezione si ottiene applicando la (4.56) alla definizione (4.52): Kx =

4.5.4

Ghb3 Mx = θl 3l

(4.59)

Profili aperti

La soluzione trovata, valida per le sezioni rettangolari sottili, `e molto utile poich´e la sua applicazione pu`o essere estesa a tutti quei profili “aperti”, cio`e semplicemente connessi, che si possono considerare come l’unione di profili rettangolari di piccolo spessore (piatti). Queste sezioni sono molto comuni nelle costruzioni metalliche, poich´e i “profilati metallici” comunemente impiegati (sezioni a doppio T, a T, a C, ad L, ecc.) sono riconducibili a questo schema (vedi Fig. 4.25). Per queste sezioni il flusso delle tensioni tangenziali non `e molto diverso se i piatti sono collegati tra loro, come in (c), ovvero se sono separati, come in (d). Ovviamente, trattandosi di un’unica sezione, l’angolo di torsione θ sar`a lo stesso per tutti gli elementi che la compongono. Quindi la rigidezza complessiva della sezione si ottiene come somma delle rigidezze dei piatti componenti. Indicando con bi , hi le dimensioni del piatto i in cui `e decomposta la sezione, la rigidezza complessiva, applicando la (4.59), `e: Kx =

n X

GX 3 b hi 3l i=1 i n

Kxi =

i=1

(4.60)

Dalla definizione di rigidezza segue che θ= Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

3Mx Mx = Pn 3 lKx G i=1 bi hi

(4.61)

83

4.5 Torsione

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.25: Sezioni composte con elementi rettangolari sottili. dove Mx `e il momento torcente sulla sezione. Poich´e, per ogni profilato, τ max j = |Gθbj |, sostituendo la (4.61), ricaviamo: 3Mx τ max j = Pn 3 bj i=1 bi hi

(4.62)

Di conseguenza la tensione tangenziale massima nella sezione si raggiunge nell’elemento di spessore maggiore.

4.5.5

Sezioni tubolari di spessore sottile

Nelle travi con sezione tubolare, la continuit`a del flusso delle tensioni tangenziali `e conservata facendo circolare le tensioni nella stessa direzione all’interno della parete del tubo, come `e mostrato in Fig. 4.25. La condizione di continuit`a del flusso si R h/2 soddisfa semplicemente imponendo che −h/2 τ xt dh = cost, dove h indica lo spessore £ ¤ della parete del tubo e τ xt `e il modulo del vettore τ = τ xy τ xz che, come sappiamo, `e parallelo alla tangente al bordo della sezione. Questa condizione di continuit`a si pu`o dimostrare direttamente, sulla base delle sole condizioni di equilibrio5 . Sezionando un tratto della parete del tubo di lunghezza dx, lungo le sezioni agiscono le tensioni tangenziali τ xt = τ tx , per reciprocit`a. L’equilibrio del corpo lungo x impone che (vedi Fig. 4.27) Z h1 /2 Z h2 /2 dx τ xt1 dh = dx τ xt2 dh −h1 /2

da cui si ricava immediatamente che l’integrale

−h2 /2

Z

h/2

τ xt dh si conserva in tutti i punti

−h/2

lungo il perimetro della sezione. Se si assume che lo spessore della parete del tubo `e sottile in confronto alle dimensioni della sezione, `e lecito assumere che, attraverso 5

Questo non deve sorprendere, perch´e l’equazione nella nota 3 a pag. 76, da cui derivava la propriet`a generale della continuit`a del flusso era una conseguenza delle sole equazioni di equilibrio. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

84

Capitolo 4 La trave

y

G

z Figura 4.26: Flusso delle tensioni tangenziali prodotte dalla torsione in una sezione tubolare di piccolo spessore.

τxt2 h2 h

x τxt1 G

y

h1 dx (b)

(a) z Figura 4.27: Equilibrio di una parte delle parate di un tubo sollecitato a torsione.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

85

4.5 Torsione

h h

δ

ds y

δ

G

Ω

dΩ

τ⋅ds·h

Mx

(b) (a) z Figura 4.28: Momento risultante delle tensioni tangenziali in una sezione tubolare sottile. lo spessore, τ xt ∼ cost e pertanto

Z

h/2

−h/2

τ xt dh ' τ xt h. La condizione di continuit`a

diviene quindi, ancor pi` u semplicemente, che τ xt h = cost

(4.63)

in tutti i punti lungo il perimetro della sezione. Considerando un tratto della sezione di lunghezza ds (Fig. 4.28b) la risultante delle tensioni agenti su questo tratto `e una forza dF = τ xt hds, tangente alla linea mediana (tratteggiata in Fig. 4.28a) tra il bordo interno e quello esterno della parete. Il momento della forza dF rispetto all’asse x `e dMx = dF δ = τ xt hdsδ = 2τ xt hdΩ

(4.64)

dove con δ si `e indicato il braccio di dF rispetto a G, ovvero la distanza tra G e la retta tangente alla linea media nel punto di applicazione della forza. dΩ = δds/2 `e l’area di un triangolo di base ds ed altezza δ; al variare di ds lungo la linea media questi triangoli, non sovrapposti, riempiono tutta l’area Ω interna alla linea media; quindi integrando la (4.64) lungo tutto il contorno, si ottiene: I I (4.65) Mx = dMx = 2τ xt h dΩ = 2τ xt hΩ in quanto, per la (4.63), τ xt h non varia e quindi pu`o essere posto fuori dal segno di integrale. Dalla (4.65) si deduce quindi facilmente il valore di τ xt : τ xt = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Mx 2hΩ

(4.66)

86

Capitolo 4 La trave

La (4.66), nota come formula di Bredt, mostra come la tensione tangenziale `e inversamente proporzionale allo spessore e raggiunge il massimo nei punti in cui h = min. Le forze di taglio Vy e Vz risultanti delle (4.66) sono ovviamente nulle, come `e facile verificare. Indicando con α l’angolo formato dal vettore τ (e quindi dalla tangente alla linea mediana) con l’asse y si ha τ xy = τ xt cos α e τ xz = τ xt sin α; quindi, calcolando le risultanti si ottiene I I Mx dy = 0 Vxy = (τ xt cos α) hds = 2Ω I I Mx Vxz = dz = 0 (τ xt sin α) hds = 2Ω poich´e ds cos α = dy e ds sin α = dz e l’integrale lungo un percorso chiuso di un differenziale esatto `e sempre nullo. Per valutare la rigidezza torsionale del tubo confrontiamo il lavoro di deformazione con quello delle forze esterne, come indicato nel §3.3. Poich´e le tensioni tangenziali sono le sole non nulle, le deformazioni sono gli scorrimenti γ xt proporzionali a queste tensioni e quindi il lavoro elastico per unit`a di volume `e 1 1 τ 2xt dLV = τ xt γ xt = dV 2 2 G Sostituendo l’espressione (4.66) si τ xt ed integrando su tutto il volume del corpo, si ha: Z I Z I 2 Mx2 l 1 l ds τ xt hds = dLV = dx LV = 2 2 0 G 8Ω G h V

Poich´e per le (4.38) lo spostamento nel piano yz della sezione di ascissa x `e una rotazione di ampiezza θx, il lavoro fatto dalle coppie di momenti opposti, applicati sulle basi del cilindro di lunghezza l `e 1 LF = Mx (θl) 2 Quindi dall’uguaglianza tra il lavoro interno LV e quello esterno LF si ricava facilmente il valore dell’angolo di torsione θ: I Mx ds (4.67) θ= 4Ω2 G h

La rigidezza torsionale della trave, rapporto tra i momento e la rotazione prodotta, `e 4GΩ2 Mx Kx = = I (4.68) θl l ds h Esempio 4.6 Calcolare la tensione massima e la rotazione nella sezione di estremit`a in una mensola lunga 2 m realizzata con un profilato tipo HEB200 soggetta ad un momento Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

87

4.5 Torsione

200

9

15 200 Figura 4.29: Sezione dell’esempio 4.6. torcente Mx = 2.5 kN m.Le dimensioni della sezione (in mm) sono illustrate in Fig. 4.29. Per applicare la (4.62) dobbiamo determinare il fattore 3 X i=1

b3i hi = 200 · 153 · 2 + (200 − 30) · 93 = 1 473 930 mm4

Esprimendo Mx in N mm, poich´e la tensione tangenziale massima si raggiunge negli elementi di spessore maggiore, con la (4.62) otteniamo: 3Mx 3 · 2.5 · 106 τ max = P3 3 bmax = 15 = 76.3 MPa 1473930 i=1 bi hi

La rotazione relativa delle due sezioni di estremit` a, applicando la (4.61) `e θl =

3M 3 · 2.5 · 106 Pn x 3 l = 2000 = 0.129 rad = 7.395 ◦ 78846 · 1473930 G i=1 bi hi

¤

Esempio 4.7 Calcolare la massima tensione tangenziale nella sezione scatolare di Fig. 4.30 soggetta al momento Mx = 2.5 kN m. Determinare il momento che produce la stessa tensione massima dell’esercizio precedente e la rotazione prodotta da quest’ultimo momento se la trave ha lunghezza l = 2 m. L’area Ω racchiusa nella linea mediana dello spessore `e Ω = (200 − 9) (200 − 15) = 35335 mm2 quindi, applicando la (4.66) risulta: τ max =

Mx 2.5 · 106 = = 3.93 MPa 2Ωbmin 2 · 35335 · 9

Invertendo questa relazione si ottiene il valore del momento che produce la tensione raggiunta nella sezione dell’esercizio precedente: ¯ x = 2Ωbmin τ¯max = 2 · 35335 · 9 · 76.3 = 48.592 · 106 N mm = 48.592 kN m M Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

88

Capitolo 4 La trave

200

9

15

200 Figura 4.30: Sezione dell’esempio 4.7. La rotazione tra le sezioni di estremit`a prodotta da questo momento `e data dalla (4.67) con µ ¶ I ds 200 − 9 200 − 15 =2 + = 66.578 h 15 9 e quindi

Mx θl = l 2 4Ω G

I

ds 48.592 · 106 = 2000 66.578 = 0.016 rad = 0.941 ◦ h 4 · 353352 · 78846

¤

I due precedenti esempi mettono bene in luce la forte differenza di comportamento torsionale delle due sezioni, che sono praticamente equivalenti come resistenza flessionale e che hanno aree (e quindi pesi) non molto diverse (75.3 cm2 la prima, 90.6 cm2 la seconda; rapporto 1.20). A parit`a di massima tensione, la seconda sostiene un momento 19.4 volte maggiore, e questo momento produce una deformazione θ che `e 0.129/0.016 = 8.06 volte minore di quella prodotta nella sezione aperta dal momento di 2.5 kN m (a parit`a di momento il rapporto tra le rotazioni `e 8.06 · 19.4 = 156.4).

4.6

Sollecitazione di taglio

Come per la torsione, la soluzione del problema di Saint Venant in presenza di una sollecitazione di taglio Vy o Vz `e piuttosto complessa e comunque dipende dalla forma della sezione. Soluzioni analitiche sono disponibili solo per le geometrie pi` u semplici (p.es. sezione circolare), mentre per altre, come nel caso della sezione rettangolare, esistono pi` u laboriose soluzioni ottenute mediante sviluppi in serie. Fortunatamente, per le sezioni rettangolari sottili, si trova facilmente una soluzione approssimata, ma di ottima accuratezza, che viene generalmente utilizzata nelle applicazioni. L’importanza di questa soluzione deriva, oltre dalla sua semplicit`a, dal fatto che le sezioni Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

89

4.6 Sollecitazione di taglio

My(x)

σx(x)

My(x+dx)

σx(x+dx)

x

x

z Vz(x+dx)

Vz(x) z

z

dx

dx

(a)

(b)

Figura 4.31: Equilibrio di un concio di trave sollecitata a flessione e taglio. in acciaio, composte con piatti profilati, rispondono quasi sempre alle condizioni di validit`a di questa soluzione. In altri casi, ove queste condizioni sono verificate con minor rigore, la soluzione di Jourawski `e generalmente ritenuta un’approssimazione sufficiente ai fini pratici della progettazione. Consideriamo quindi un concio di trave di lunghezza dx soggetto alle sollecitazioni di flessione e di taglio. Per semplicit`a tratteremo il caso della flessione retta, in cui l’asse del momento coincide con uno degli assi principali d’inerzia (y) e la forza di taglio `e diretta secondo l’asse ortogonale (z); la soluzione del caso generale della flessione deviata si ottiene per sovrapposizione di due flessioni rette. Per l’equilibrio del concio di trave otteniamo immediatamente l’equazione seguente −My (x) + My (x + dx) − Vz dx = 0 da cui, poich´e My (x + dx) = My (x) +

dMy dx, dx

si deduce

dMy (4.69) dx la ben nota equazione dell’equilibrio indefinito delle travi. La variazione del momento tra le due sezioni di ascissa x ed x + dx produce una variazione nelle tensioni normali agenti sulle corrispondenti sezioni. Applicando la (4.26) abbiamo My (x) σ x (x) = z (4.70) Jy Supponiamo ora di tagliare il concio con un piano parallelo a xy posto a distanza z¯ dal baricentro, come mostrato nella Fig. 4.32. La risultante delle tensioni normali Fx (x) agenti su quella parte della sezione che ha ordinata z > z¯ `e: Z Z My (x) My (x) ∗ σ x (x, y, z) dA = zdA = Sy (¯ z) (4.71) Fx (x) = Jy Jy A∗ A∗ Vz =

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

90

Capitolo 4 La trave

x

y

G

b( z )

σx(x+dx,y,z) y b( z ) Fx(x+dx)

z τxz

A*

σx(x,y,z)

dx Fx(x)

z

z

(a)

(b)

(c)

Figura 4.32: Equilibrio di una parte di un concio di trave. Nella (4.71)R A∗ indica l’area della sezione al di sotto del piano di ordinata z¯ (Fig. 4.32) e Sy∗ (¯ z ) = A∗ zdA `e il momento statico, relativo all’asse y, di tale area. Sulla parte del concio considerata agiscono, in direzione x, sulle due sezioni contrapposte, le forze −Fx (x) e Fx (x + dx) e, sulla sezione parallela al piano xy, la risultante delle tensioni tangenziali Z b/2 τ xz (x, y, z¯) dy (4.72) dTzx = dx −b/2

Per l’equilibrio del concio dovr`a essere soddisfatta l’equazione: −Fx (x) + Fx (x + dx) − dTzx = 0

x dx, sostituendo si ha, dopo aver Tenendo conto che Fx (x + dx) = Fx (x) + dF dx semplificato dFx dx − dTzx = 0 dx ovvero Z b/2 dT dFx = τ xz (x, y, z¯) dy = dx dx −b/2

Sostituendo l’espressione (4.71) di Fx (x) e tenendo conto della (4.69) otteniamo: Z b/2 z) Sy∗ (¯ z) dMy Sy∗ (¯ τ xz (x, y, z¯) dy = = Vz (4.73) dx Jy Jy −b/2

Indicando con τ¯xz il valore medio della tensione tangenziale lungo lo spessore R b/2 1 della sezione, sar`a τ¯xz (x, z¯) = b(¯ τ (x, y, z¯) dy e, di conseguenza: z ) −b/2 xy τ¯xz (x, z¯) = Vz

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Sy∗ (¯ z) Jy b (¯ z)

(4.74)

91

4.6 Sollecitazione di taglio

τxz

y

z

Figura 4.33: Distribuzione delle tensioni tangenziali prodotte dal taglio in una sezione rettangolare sottile.

4.6.1

Sezioni rettangolari sottili

Nel caso di sezioni rettangolari di piccolo spessore `e ragionevole trascurare la variabilit`a delle tensioni τ xz nello spessore della sezione. Inoltre, sul contorno, essendo nz = 0, la condizione di equilibrio (4.8) diviene τ xy = 0; appare quindi lecito assumere che le componenti τ xy siano ovunque nulle, mentre le componenti τ xz sono date dalla (4.74), che ora diviene Sy∗ (¯ z) τ xz (¯ z ) = Vz Jy b Quindi, poich´e per una sezione rettangolare di dimensioni b, h si ha Sy∗ (¯ z ) = 12 b e Jy =

1 bh3 , 12

la (4.75) diviene:

y) = Vz τ xz (¯

1 b 2

³

h2 4

2

− z¯

1 bh3 b 12

´

" µ ¶2 # 3 Vz 2¯ z = 1− 2 bh h

(4.75) ³

h2 4

− z¯2

(4.76)

Nelle sezioni rettangolari (sottili) la tensione tangenziale varia con legge parabolica che si annulla agli estremi (¯ z = ±h/2) ed `e massima nel baricentro (¯ z = 0), ove si ha Vy (4.77) τ xz max = 1.5 bh L’andamento delle tensioni τ xy in una sezione rettangolare `e illustrato nella Fig. 4.33. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

´

92

Capitolo 4 La trave

τxy

y τxz

z

C Figura 4.34: Influenza della variazione dello spessore della sezione sullo stato tensionale prodotto dal taglio.

4.6.2

Sezioni simmetriche di forma arbitraria

Per le sezioni simmetriche compatte, come quella in Fig. 4.34, si applica la (4.74) che fornisce il valore medio della tensione τ xz tenendo conto dello spessore della sezione in corrispondenza della fibra di ordinata z. Tuttavia, quando il contorno della sezione non ha tangente parallela all’asse z, per rispettare le equazioni (4.8) occorre la presenza anche delle componenti τ xy , come `e chiarito nella Fig. 4.34. Sul bordo il valore di queste componenti si determina facilmente, mediante le (4.8), in funzione del valore medio delle τ xy . Nell’interno della sezione la soluzione approssimata non ci consente di determinare univocamente queste componenti; tuttavia, poich´e per simmetria queste devono annullarsi al centro `e ragionevole assumere che esse raggiungeranno il valore massimo agli estremi; un criterio ragionevole per approssimare queste componenti consiste nell’assumere che i vettori τ delle tensioni agenti nei punti con la stessa ordinata y¯ convergano tutti nello stesso punto C, intersezione delle tangenti alla linea di bordo, come `e mostrato nella Fig. 4.34.

4.6.3

Sezioni a T

Nel caso di sezioni con ali, come le sezioni a T, a doppio T, ad L, a C, ecc., oltre che eseguire sezioni dell’anima con piani paralleli agli assi xy, `e possibile eseguire delle sezioni nelle ali con piani paralleli a xz, come mostrato in Fig. 4.35. Ponendo in equilibrio il concio di trave sezionato si ottiene un’equazione simile alla (4.74) ma ora le tensioni tangenziali che fanno equilibrio alla variazione delle σx sono le τ xy . Sulle ali pertanto agiscono le tensioni τ xz il cui valore, medio sullo spessore, `e Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

93

4.6 Sollecitazione di taglio

x

x y

y

τxz

z

z

τxy

Figura 4.35: Sezioni ad I sollecitate a taglio: tensioni nell’anima e nelle ali. dato dalla formula τ xy (¯ y ) = Vz

Sy∗ (¯ y) Jy a

(4.78)

y ) indica il momento statico, sempre relativo all’asse y, della parte di ala dove Sy∗ (¯ sezionata dal taglio di coordinata y¯, a `e lo spessore dell’ala e gli altri simboli hanno il significato gi`a illustrato in precedenza. Poich´e la distanza dall’asse y del baricentro della parte di ala sezionata non cambia spostando il piano di sezione, il momento statico varia linearmente con y¯ e quindi altrettanto fa τ xy . Sezionando invece l’ala con un piano parallelo a xy ed applicando la (4.74), poich´e b `e molto grande (pari alla larghezza dell’ala) il valore medio della tensione τ xz risulta molto piccolo; al contrario, quando il piano taglia l’anima, il valore di b coincide con lo spessore dell’anima ed il valore di τ xz risulta molto maggiore; avvicinando la linea di sezione al baricentro (dove τ xz raggiunge il valore massimo) la tensione non aumenta molto, poich´e il contributo dominante ad Sy∗ `e dato dalle ali, mentre quello dell’anima `e relativamente modesto. Questi fatti sono illustrati nell’esempio seguente. Esempio 4.8 Determinare il diagramma delle tensioni tangenziali sulla sezione a doppio T HEB 200, le cui dimensioni sono riportate nell’esempio 4.6, soggetta ad una forza di taglio Vz = 100 kN. Tensione nelle ali. La tensione τ xy `e nulla ai bordi e raggiunge il massimo all’attacco dell’ala con l’anima (¯ y = 4 mm). Per questa sezione Sy∗ (¯ y = 4 mm) = 15 · (100 − 4.5) (100 − 7.5) = 132506 mm3 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

94

Capitolo 4 La trave

τxy τxz

200

9

15 200

Figura 4.36: Distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione dell’esempio 4.8. e quindi, poich´e Jy = 5696 cm4 , a = 15 mm τ xy max = 100000

132506 = 15.51 MPa 5.696 · 107 · 15

Tensione τ xz al bordo delle ali. z = 15 mm) = 200 · 15 · (100 − 7.5) = 277500 mm3 Sy∗ (¯ per b = 200 mm τ xz1 = 100000 All’attacco dell’anima, b = 9 mm

277500 = 2.44 MPa 5.696 · 107 · 200

τ xz2 = 100000

277500 = 54.13 MPa 5.696 · 107 · 9

Nel baricentro, Sy∗ (¯ z = 0) = 277500 + 12 9 · (100 − 15)2 = 310012 mm3 τ xz max = 100000

310012 = 60.47 MPa 5.696 · 107 · 9

I diagrammi di queste tensioni sono rappresentati in Fig. 4.36.

¤

Osservando la figura, si nota che nell’anima la tensione tangenziale `e quasi uniforme; inoltre la parte prevalente della forza di taglio `e sostenuta dall’anima; in prima approssimazione, per le sezioni a doppio T, si pu`o dunque porre: Vy bh dove b `e lo spessore dell’anima e h l’altezza della sezione. Nel caso dell’esercizio precedente τ xy ≈

τ xy = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

100000 = 55.5 MPa 9 · 200

95

4.6 Sollecitazione di taglio

∫τ

xy

ey

∫ τ xzdA = Vz

dA = H

ey Vz G

ez h

Ct

ty

Vz

H Figura 4.37: Effetti del taglio su di una sezione asimmetrica e centro di taglio della sezione.

4.6.4

Sezioni asimmetriche, centro di taglio

Nel caso di sezioni simmetriche soggette ad una forza di taglio passante per il baricentro e parallela all’asse di simmetria (p.es. z), il sistema risultante delle tensioni tangenziali calcolate con le formule ricavate in precedenza, ottenute ipotizzando una distribuzione uniforme delle tensioni nello spessore, coincide effettivamente con una forza baricentrica; la soluzione trovata `e quindi in equilibrio con le forze assegnate. Al contrario questo non si verifica quando la sezione non `e simmetrica rispetto all’asse di sollecitazione. Il motivo `e illustrato chiaramente nell’esempio in Fig. 4.37, dove `e mostrato il caso di una sezione a C. Come si vede, per quanto detto nel paragrafo precedente, nell’anima della trave nascono delle tensioni τ xz la cui risultante equilibria la sollecitazione Vz mentre nelle ali si sviluppano delle tensioni τ xy il cui sistema risultante `e una coppia di forze Z H = τ xy dA = h − a (a `e P lo spessore (l’integrale `e esteso all’area di una delle ali) con braccio ezP ` evidente che queste tre risultanti, tali che delle ali). E Fz = Vz , Fy = 0, producono anche un momento non nullo rispetto all’asse x (cio`e torcente) pari a: MxV = Vz ey + Hez

(4.79)

dove ey `e la distanza del baricentro dall’asse dell’anima della trave. Dunque il sistema risultante associato alle tensioni τ xy e τ xz calcolate con le relazioni (4.74) e (4.75) `e una forza Vz ed un momento torcente MxV , dato dalla (4.79). Questo sistema di forze `e anche equivalente ad una forza Vz passante per il punto Ct (detto centro di taglio) di ordinata: ¶ µ MV x H yC = = ey + ez = (ey + ty ) (4.80) Vz Vz Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

96

Capitolo 4 La trave

avendo indicato con ty = Hez /Vz . Dunque, per ottenere lo stato di tensione ipotizzato (τ uniforme nello spessore) occorre che la risultante delle sollecitazioni passi non per il baricentro ma per un altro punto, detto centro di taglio. Se Vz passa per il baricentro, lo stato di tensione non pu`o essere quello calcolato con le formule di Jourawski. Lo stato di tensione effettivo si ottiene invece sovrapponendo alle tensioni calcolate con le formule di Jourawski, quelle prodotte da un momento torcente −MV x . Infatti questi due sistemi di tensioni sono in equilibrio con una forza Vz ed un momento torcente Mx = MV x − MV x = 0, che corrisponde al sistema di forze effettivamente impresso. Come abbiamo verificato su alcuni esempi, le sezioni a profilo aperto sono estremamente sensibili alle sollecitazione di torsione, pertanto una sezione non simmetrica sollecitata da una forza di taglio baricentrica e lasciata libera di torcersi sar`a soggetta ad una sollecitazione tangenziale τ xz molto maggiore di quella che si desume applicando le sole formule di Jourawski, trascurando la torsione “parassita” che nasce perch´e la forza non passa per il centro di taglio. Questo fatto `e notevolmente pericoloso e va dunque evitato: le travi sollecitate a flessione e taglio, a meno che i vincoli ne impediscano la rotazione torsionale, `e opportuno che siano sempre simmetriche rispetto all’asse di sollecitazione. Esempio 4.9 Determinare le massime tensioni tangenziali che si producono in un profilato U100 sollecitato dalla forza di taglio Vz = 30 kN passante per il baricentro. Dimensioni del profilato: altezza h = 100 mm, larghezza delle ali B = 50 mm, spessore dell’anima bw = 6 mm, spessore (medio) delle ali a = 8.5 mm; Momento d’inerzia relativo all’asse y, Jy = 205 cm4 , distanza del baricentro dal filo esterno dell’ala e¯y = 15.5 mm. Calcolo delle tensioni. Applicando la (4.78), la tensione massima nelle ali `e τ (1) xy = Vz

Sy∗ (50 − 6) 8.5 (100 − 8.5) /2 = 30000 = 29.46 MPa aJy 8.5 · 2.05 · 106

La tensione massima nell’anima si calcola similmente, applicando la formula (4.74) relativamente a met`a sezione: τ (1) xz = Vz

Sy∗ (50) 8.5 (100 − 8.5) /2 + 6 (50 − 8.5)2 /2 = 30000 = 60.0 MPa bw Jy 6 · 2.05 · 106

Risultante delle tensioni agenti su ciascuna ala 1 1 H = τ (1) xy (B − bw ) a = 29.46 · (50 − 6) 8.5 = 5509 N 2 2 Momento torcente MxV

¶ µ ¶ µ 6 bw = 5509 (100 − 8.5) + 30000 15.5 − = 879075 N mm = H (h − a) + Vy e¯ − 2 2

Tensioni prodotte dal momento torcente. X b3i hi = 2a3 B + b3w (h − 2a) = 2 · 8.53 50 + 63 (100 − 2 · 8.5) = 79340 mm4 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

97

4.6 Sollecitazione di taglio

γm γm x

Vz

dx (a)

(b)

Figura 4.38: Deformazione prodotta dal taglio in una sezione rettangolare sottile che mostra l’ingobbamento della sezione (a) e scorrimento medio della linea d’asse (b). Nelle ali

Nell’anima

3Mx 3 · 879075 8.5 = 282.5 MPa τ (2) xy = P 3 a = 79340 bi hi 3Mx 3 · 879075 τ (2) 6 = 199.4 MPa xz = P 3 bw = 79340 bi hi

Le tensioni massime che si producono nella sezione, quando la forza non passa per il centro di taglio ma per il baricentro della sezione sono quindi (2) τ xy = τ (1) xy + τ xy = 29.46 + 282.5 = 311.96 MPa (2) τ xz = τ (1) xz + τ xz = 60.0 + 199.4 = 259.4 MPa

¤

Questo esempio dimostra chiaramente come le tensioni prodotte dalla torsione siano molto maggiori di quelle che si avrebbero se l’asse di sollecitazione passasse per il centro di taglio e chiarisce perch´e `e opportuno che questa condizione sia sempre soddisfatta.

4.6.5

Deformazione dovuta al taglio

Nel seguito faremo riferimento alle sezioni simmetriche, per cui sono valide le formule (4.74) e (4.78) ricavate dalla teoria semplificata di Jourawski. Alle tensioni tangenziali τ xz corrispondono proporzionali deformazioni γ xz ; queste deformazioni variano nella sezione in modo analogo alle tensioni, annullandosi agli estremi e raggiungendo il massimo in corrispondenza del baricentro. Un tale Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

98

Capitolo 4 La trave

campo di deformazioni non `e compatibile con l’ipotesi della conservazione delle sezioni piane; in presenza delle forze di taglio le sezioni rette, oltre a rotare, si ingobbano. Il fenomeno `e spiegato qualitativamente dal disegno in Fig. 4.38a. Immaginando di suddividere un concio di trave di lunghezza infinitesima in tante striscioline, le striscioline di estremit`a restano rettangoli, poich´e lo scorrimento `e nullo, quelle pi` u interne invece si deformano maggiormente, raggiungendo la massima deformazione in corrispondenza dell’asse della trave. Ripristinando la continuit`a delle striscioline si ottiene che la sezione assume la forma ad S mostrata nella figura. Quello che `e pi` u importante, tuttavia, `e che la sezione, mediamente, non resta pi` u ortogonale alla linea elastica, come si verificava nel caso della flessione pura, ma subisce una rotazione relativa indicata con γ m nella Fig. 4.38a (In questa figura le linee tratteggiate indicano il piano medio della sezione — quella verticale — e la linea elastica — quella sub-orizzontale —; se non vi fossero scorrimenti la linea elastica coinciderebbe con l’asse x). Per calcolare lo scorrimento medio γ m prodotto dal taglio utilizziamo l’uguaglianza tra il lavoro elastico fatto dalle tensioni τ xz , calcolate con le formule di Jourawski ed il lavoro della forza di taglio Vz calcolato nell’ipotesi che la sezione scorra rigidamente dell’angolo γ m . Ricordando che γ xz = τ xz /G (G = E/ [2 (1 + ν)] `e il modulo di taglio), il lavoro elastico di deformazione `e, in un concio di lunghezza dx Z Z 2 1 dx τ xz dA (4.81) dLV = τ xz γ xz dV = 2 V 2 A G dove l’integrale `e esteso all’area della sezione. Le forze Vz subiscono uno spostamento relativo γ m dx, come si vede nella Fig. 4.38b; il lavoro delle forze di taglio `e 12 Vz γ m dx; uguagliandolo a dLV si trova facilmente che Z 2 1 τ xz dA γm = Vz A G

Utilizzando per τ xz la formula di Jourawski (4.74), dall’equazione precedente si ricava ∙ ¸2 Z 1 1 Vz Sy∗ (z) γm = dA Vz A G Jy b (z) Quindi, portando fuori dall’integrale ci`o che non dipende da y e z e semplificando, si ottiene ¸ Z ∙ ∗ Sy (z) 2 Vz dA (4.82) γm = GJy2 A b (z) A questa espressione si `e soliti dare una forma pi` u sintetica, ponendo A χ= 2 Jy

Z ∙ A

Sy∗ (z) b (z)

¸2

dA

(4.83)

per cui la (4.82) diviene: γm = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Vz Vz χ= GA GAt

(4.84)

99

4.6 Sollecitazione di taglio

dove At = A/χ `e detta area di taglio della sezione. Si osservi che la quantit`a χ `e adimensionale e dipende dalla forma della sezione. Per una sezione rettangolare l’area di taglio si pu`o facilmente calcolare. Infatti per una tale sezione di altezza h e base b si ha " µ 2 ¶ µ ¶2 # 2 h bh 1 3 1 2z − z2 = Sy∗ (z) = b A = bh Jy = bh 1− 12 2 4 8 h Sostituendo queste relazioni nella (4.83) si ha χ=

µ

2

bh h 144 2 6 bh 8

¶2 Z

b/2

dy

−b/2

Z

h/2

−h/2

"

1−

µ

2z h

¶2 #2

dz

Svolgendo i calcoli si ottiene χ = 1.2 Quindi, per una sezione rettangolare, l’area di taglio At = bh/1.2. Per sezioni a doppio T, tenendo conto che in queste sezioni solo l’anima `e interessata a valori significativi della τ xz e che questi sono quasi costanti avremo µ ¶2 Vz 1 1 dx Vz2 dLV ∼ dx bw h = 2 G bw h 2 Gbw h dove bw indica lo spessore dell’anima. Uguagliando questo lavoro a Vz γ m dx/2 si ricava facilmente Vz γm ' Gbw h ovvero l’area di taglio pu`o essere approssimata con l’area dell’anima. Per le travi snelle la deformazione prodotta dal taglio `e molto pi` u piccola di quella prodotta dalla flessione, per cui viene solitamente trascurata. Per convincersi di questo confrontiamo le deformazioni di flessione e taglio prodotte su di una mensola di lunghezza l alla cui estremit`a libera `e applicata una forza Fz . Le sollecitazioni nella mensola, prendendo un riferimento con l’origine nella sezione di incastro sono Vz = Fz

My = Fz (x − l)

La deformazione prodotta dalla flessione `e retta dalla (4.19), che qui riscriviamo My d2 u0z =− 2 dx EJy Sostituendo ad My l’espressione funzione di Fz ed integrando due volte otteniamo Fz d2 u0z =− (x − l) 2 dx EJy ¶ µ Fz x2 du0z = + c1 lx − dx EJy 2 ¶ µ 2 x3 x Fz + c1 x + c2 l − u0z = EJy 2 6 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

100

Capitolo 4 La trave

dove c1 e c2 sono costanti di integrazione che devono essere determinate ¯ per le du0z ¯ condizioni di vincolo. Poich´e per una mensola incastrata u0z (0) = 0 e dx x=0 = 0, dalle precedenti si ottiene c2 = 0 c1 = 0 per cui si ha Fz u0z (x) = EJy

¶ µ 2 x3 x l − 2 6

(4.85)

Lo spostamento massimo si ottiene all’estremit`a libera e vale u0z (l) =

Fz l3 3EJy

(4.86)

Per valutare la deformazione prodotta dal taglio, osserviamo la Fig. 4.38b, da cui si vede che, se indichiamo con dutz lo spostamento relativo delle due facce, si ha dutz = γ m dx, da cui ricaviamo dutz = γm dx Tenendo conto della (4.84) questa relazione diviene Vz dutz = dx GAt

(4.87)

Quindi, poich´e nel caso in esame Vz = Fz = cost, ricaviamo per integrazione utz (x) =

Fz x + c1 GAt

Ma ancora, dalla condizione che utz (0) = 0, segue che c1 `e nullo e quindi utz (x) =

Fz x GAt

(4.88)

Lo spostamento massimo all’estremit`a della mensola `e utz (l) =

Fz l GAt

Confrontiamo ora questo spostamento con quello della flessione (4.86) calcolando il loro rapporto Fz l3 GAt G A l2 u0z (l) = = utz (l) 3EJy Fz l E Jy 3χ Avendo ricordato che At = A/χ. Poich´e G = E/ [2 (1 + ν)] e Jy /A = ρ2z (ρz `e il giratore d’inerzia della sezione nella direzione z) sostituendo si ottiene 1 (l/ρz )2 l2 1 u0z (l) = = utz (l) 2 (1 + ν) ρ2z 3χ 6χ (1 + ν) Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

4.7 Teoria tecnica della trave

101

Per una sezione rettangolare (χ = 1.2) e per un materiale con ν = 0.3, il denominatore di questa espressione vale 9.36 ≈ 10; il numeratore `e invece la snellezza della √ trave; sempre per una sezione rettangolare ρz = h/ 12 e quindi µ ¶2 µ ¶2 12 l l u0z (l) ≈ ≈ utz (l) 10 h h Per definizione la trave `e un solido cilindrico in cui il rapporto tra la dimensione longitudinale l e quella trasversale h `e molto maggiore di uno, quindi (l/h)2 À 1 e questo conferma che, nelle travi snelle, il contributo della deformazione dovuta al taglio `e molto piccolo e pu`o essere trascurato. In taluni casi tuttavia le soluzioni di Saint Venant vengono estese anche alle travi tozze (per le quali l/h ∼ 1); in tali situazioni il contributo della deformabilit`a a taglio diviene paragonabile ed anche maggiore di quello dovuto alla flessione e quindi non pu`o essere trascurato.

4.7

Teoria tecnica della trave

I risultati ottenuti nei precedenti paragrafi dallo studio del problema del solido di Saint Venant (SV) si possono estendere, senza commettere un significativo errore, alle travi reali, ossia a quegli oggetti di forma cilindrica con altezza notevolmente maggiore delle dimensioni delle basi, che sono largamente impiegate nelle costruzioni civili. Ovviamente la validit`a della soluzione ha, per le travi reali, gli stessi limiti di quella del solido di SV e quindi pu`o cadere in difetto in prossimit`a delle basi, quando le condizioni di vincolo non si accordano con lo stato tensionale e deformativo che risulta dalla soluzione di SV. Inoltre la soluzione `e tanto pi` u corretta quanto pi` u la situazione reale meglio approssima quella ideale. Il solido di SV `e sollecitato solo in corrispondenza delle basi, mentre le travi reali sono generalmente caricate lungo il loro asse dal loro peso e dai carichi trasmessi dalle strutture portate (p.es. i solai). Pertanto nel solido di SV il taglio `e uniforme in tutte le sezioni ed il momento varia, al pi` u, con legge lineare. Nelle travi reali invece il taglio pu` o variare per effetto dei carichi distribuiti ed il momento seguire una legge non lineare; tuttavia, se queste variazioni non sono troppo repentine, le tensioni indotte dai carichi nelle sezioni della trave saranno molto simili a quelle calcolate con riferimento al solido di SV in una sezione sollecitata con le stesse risultanti M e V . A titolo di esempio, confrontiamo i risultati ottenuti applicando le soluzioni di SV ad una trave sollecitata dal peso proprio e da un carico uniformemente distribuito, con quelli dedotti dall’analisi di un modello ad elementi finiti, in cui il problema “esatto” viene risolto numericamente, rispettando tutte le effettive condizioni al contorno. Le caratteristiche geometriche della trave, che ha sezione rettangolare, le propriet`a del materiale ed i carichi sono riassunti nelle tabelle seguenti: Luce (m) Base (cm) Altezza (cm) Carico (kN/m) l=4 b=5 h = 20 p0 = 25 Modulo Elastico (MPa) Coeff. di Poisson Densit`a (kg/m3 ) E = 200000 ν = 0.30 γ = 7850 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

102

Capitolo 4 La trave

Figura 4.39: Mesh agli elementi finiti della trave. Il carico complessivo agente sulla trave `e la somma di quello distribuito e del peso proprio. Quest’ultimo risulta pp = bhγg = 0.05 × 0.2 × 7850 × 9.81 = 770 N/ m e quindi p = p0 + pp = 25.77 kN/ m. Il momento in mezzeria della trave `e pertanto My (l/2) =

25.77 × 42 pl2 = = 51.54 kN m 8 8

Le tensioni massime si raggiungono nei punti estremi della sezione, che in questo caso hanno ascissa z1,2 = ±h/2 = ±0.1 m. Il momento di inerzia della sezione rettangolare `e 0.05 × 0.23 bh3 = = 3.33 × 10−5 m4 Jy = 12 12 e di conseguenza i valori estremi delle tensioni in mezzeria saranno ¶ µ h My (l/2) l = σx x = , z = ± z1,2 = 2 2 Jy 51.54 × 103 = (±0.1) = ±1.546 × 108 Pa = ±154.6 MPa 3.33 × 10−5 Ripetendo ¡ ¢ lo stesso calcolo per x = l/4, si ha My (l/4) = 38.655 kN m e quindi σ x 4l , ± h2 = ±115.96 MPa.Nella Fig. 4.39 `e rappresentata met`a trave e la “mesh” con cui `e stata discretizzata. Nella Fig. 4.42 la distribuzione delle tensioni normali σx , sempre per met`a trave, `e rappresentata mediante colori; risulta evidente che l’andamento regolare delle tensioni `e alterato in prossimit`a della base, dove le tensioni devono annullarsi, mentre la componente σ z , mostrata in Fig. 4.41, `e ovunque quasi nulla, come previsto dalla teoria di SV, eccetto nella zona prossima all’appoggio, dove localmente prende anche valori elevati. In modo pi` u quantitativo, i diagrammi delle tensioni normali, calcolati dal modello ad elementi finiti e relativi a due sezioni (x = l/2 ed x = l/4), sono riportati nella Fig. ??. Come si vede l’andamento `e perfettamente rettilineo, come previsto dalla soluzione di SV; inoltre i valori massimi coincidono con quelli calcolati con le formule della flessione. Nella Fig. 4.43 sono rappresentati, con diversi colori, i valori della tensione tangenziale τ xz ; anche in questo caso l’andamento regolare `e turbato in prossimit`a della sezione terminale, dove Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

4.7 Teoria tecnica della trave

103

Figura 4.40: Curve di livello delle tensioni normali σ x .

Figura 4.41: Curve di livello delle tensioni σz . `e evidente una concentrazione verso il punto di appoggio della trave.L’andamento quantitativo di questa tensione nella sezione x = l/4 `e mostrato in Fig. 4.45, ponendo a confronto i valori ottenuti con il modello ad elementi finiti (EF) con la soluzione approssimata di Jourawski del problema di Saint Venant (SV). L’accordo `e buono, anche se non perfetto; in particolare la soluzione EF non si annulla in corrispondenza dei punti estremi della sezione. Tuttavia questo `e un difetto della soluzione numerica con elementi finiti, che non riesce a cogliere esattamente le condizioni sul contorno, dove ovviamente le tensioni tangenziali dovrebbero annullarsi. Anche per questo caso si pu`o dunque concludere che la soluzione relativa al solido di SV si pu`o estendere alla trave reale. Per ampliare i confronti abbiamo preso in esame un’altra trave, di dimensioni identiche alla precedente, ma con l’appoggio terminale spostato di un metro, in modo da ottenere una trave con una luce di 3 m ed uno sbalzo di un metro; nella Fig. 4.45 `e illustrato lo schema statico della trave ed il corrispondente diagramma Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

104

Capitolo 4 La trave

0.2 x = l/2 (analitico) x = l/4 (analitico) x = l/2 (E.F.) x = l/4 (E.F.)

z (m)

0.15

0.1

0.05

0 -200

-100

0 σx (MPa)

100

200

Figura 4.42: Confronto tra le tensioni normali calcolate con la teoria di de Saint Venant e quelle ottenute con l’analisi agli elementi finiti. dei momenti flettenti per il caso che la trave sia soggetta allo stesso carico della precedente, p = 25.77 kN/ m. In corrispondenza dell’appoggio B si verifica una forte concentrazione delle tensioni, dovuta alla reazione vincolare dell’appoggio; questo risulta evidente dalla Fig. 4.46, dove i valori della tensione normale σ x , relativamente ad un tratto di trave vicino all’appoggio, sono rappresentati con una scala di colori. Nel grafico in Fig. ?? sono rappresentati i grafici delle tensioni, calcolate con la teoria di SV, relative a tre sezioni, poste ad intervalli di 5 cm, partendo dalla sezione sopra l’appoggio; nello stesso grafico sono rappresentati, per punti, i valori ottenuti dall’analisi con il metodo degli elementi finiti. Nella sezione in corrispondenza dell’appoggio la soluzione ottenuta con gli elementi finiti si discosta apprezzabilmente da quella del solido di SV, principalmente nella parte inferiore della trave,

Figura 4.43: Curve di livello delle tensioni tangenziali τ xz . Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

105

4.7 Teoria tecnica della trave

0.2

z (m)

0.15

E.F SV

0.1

0.05

0 0

-1

-2 τxz (MPa)

-3

-4

Figura 4.44: Confronto tra la distribuzione delle tenzioni tangenziali τ xz ad x = l/4 calcolata con la teoria di Jourawsky e quella ottenuta dal modello ad elementi finiti.

A

B

-20

M (kNm)

-10 0 10 20 30 0

1

2 x (m)

3

4

Figura 4.45: Diagramma dei momenti di una trave appoggiata con sbalzo soggetta a carico uniforme.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

106

Capitolo 4 La trave

Figura 4.46: Curve di livello della tensione normale σ x nella zona circostante il secondo appoggio della trave di Fig. 4.45. dove maggiore `e l’effetto della reazione vincolare. Tuttavia, a soli 10 cm di distanza dal punto di appoggio, la soluzione con gli elementi finiti praticamente coincide con quella di SV (linee tratto e punto); si deve anche aggiungere che la schematizzazione dell’appoggio con un vincolo puntiforme `e ovviamente un’astrazione; nella realt`a gli appoggi hanno dimensioni finite e questo comporta una minor concentrazione delle tensioni indotte dalla reazione, che quindi producono una minore alterazione del campo delle tensioni previsto dalla teoria di SV. I confronti riportati sopra servono a giustificare la teoria tecnica della trave, in cui i risultati relativi al solido di SV vengono estesi alle travi reali, anche se le condizioni richieste dalla soluzione teorica non sono rigorosamente verificate. Possiamo ora riassumere i principali risultati ottenuti: 1. Forza normale e flessione. I valori della tensione normale σ x prodotta dalla forza normale e dalla flessione sono dati dalla (4.23): σx =

N My Mz + z− y A Jy Jz

(4.23)

L’equazione della linea d’asse della trave deformata si ottiene quindi integrando le equazioni (4.18), (4.19) e (4.21): N du0x = dx EA d2 u0z My = − 2 dx EJy 2 Mz d u0y = 2 dx EJz

(4.18) (4.19) (4.21)

2. Taglio. Per sezioni simmetriche (o comunque quando la risultante delle sollecitazioni passa per il centro di taglio) le tensioni tangenziali prodotte dalla Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

107

4.7 Teoria tecnica della trave

0.2

EF EF EF SV SV SV

z (m)

0.15

x = 3.00 m x = 3.05 m x = 3.10 m x = 3.00 m x = 3.05 m x = 3.10 m

0.1

0.05

0 -80

-40

σx (MPa)

0

40

Figura 4.47: Confronto tra le distribuzioni delle tensioni calcolate con la teoria di de Saint Venant e con il metodo degli elementi finiti, in differenti sezioni prossime al secondo appoggio della trave di Fig. 4.45. sollecitazione di taglio si possono calcolare con la formula approssimata di Jourawski (4.74): Sy∗ (¯ z) (4.74) τ xz (x, z¯) = Vz Jy b (¯ z) (analoga relazione si potrebbe scrivere per la componente di direzione y). Le deformazioni prodotte dal taglio possono spesso essere trascurate in confronto a quelle dovute alla flessione. Quando ci`o non `e possibile, il contributo aggiuntivo alla deformazione della linea d’asse prodotto dalle tensioni di scorrimento `e dato dalla formula approssimata (4.87) Vz dutz = dx GAt

(4.87)

dove At = A/χ `e l’area di taglio della sezione ed il fattore di taglio χ dipende dalla forma della sezione. 3. Torsione. Per la torsione non esiste un’unica formula facilmente applicabile a tutte le sezioni. Per le sezioni circolari (piene e cave) esistono le semplici soluzioni (4.50) e (4.53). Particolarmente importante `e la soluzione approssimata valida per i tubi di piccolo spessore (4.66) τ xt =

Mx 2hΩ

(4.66)

Molto utile `e anche la soluzione ottenuta per le sezioni rettangolari sottili [eq. (4.56) e (4.58)] perch´e pu`o essere impiegata per determinare lo stato tenGiannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

108

Capitolo 4 La trave

sionale e la deformazione di qualsiasi profilo aperto realizzato collegando elementi circa rettangolari di piccolo spessore (4.62); questo caso comprende la maggior parte delle sezioni in acciaio profilate.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Capitolo 5 Strutture in acciaio 5.1

Tensione ideale (von Mieses)

Nel caso che lo stato di sollecitazione sia rappresentato da una sola componente di tensione normale (p.es. σ x ) la verifica che lo stato del materiale sia al di sotto della soglia plastica (eventualmente opportunamente ridotta) `e molto semplice; sar`a sufficiente verificare che fy− < σ x < fy+ (5.1) dove fy+ ed fy− sono i valori delle tensioni di snervamento per tensioni positive (trazioni) e negative (compressioni), che caratterizzano il materiale impiegato. Per gli acciai fy− = −fy+ (la resistenza `e uguale in trazione e compressione) e quindi la (5.1) si pu`o sostituire con |σ x | < fy (5.2) dove fy = fy+ . Quando in un punto si ha uno stato di tensione composto, individuato da pi` u componenti di tensione, normale e tangenziale, la (5.2) non `e pi` u sufficiente a consentire una verifica: si deve quindi determinare una relazione pi` u generale, del tipo σ id < fy (5.3)

dove σ id `e una funzione delle componenti dello stato di tensione, tale che il materiale resta elastico finch´e `e verificata la (5.3). Poich´e il materiale `e isotropo ed ha la stessa resistenza a trazione e compressione, la funzione σ id deve dipendere solo dal valore assoluto delle tensioni principali (vedi § ??) ed inoltre ogni permutazione tra queste non deve modificare la funzione. Infatti se dipendesse direttamente dalle componenti σx , . . . , τ xy , . . . sarebbe sensibile alla scelta dell’orientamento degli assi; quindi il materiale avrebbe caratteristiche differenti in diverse direzioni, contraddicendo l’ipotesi di isotropia. Inoltre l’esperienza mostra che i materiali sono in grado di resistere a valori molto grandi delle pressioni di tipo idrostatico (σ 1 = σ2 = σ3 = p). La funzione deve essere tale che σid = 0 per stati tensionali di questo tipo. Infine, per tensioni monoassiali (p.es. σ 2 = σ3 = 0), la tensione ideale deve coincidere con il valore assoluto della tensione non nulla (σ id = |σ1 |). Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

109

110

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Una funzione che rispetta le condizioni sopra elencate `e: q σid = α (σ 1 − p)2 + (σ 2 − p)2 + (σ 3 − p)2

(5.4)

dove:

σ1 + σ2 + σ3 (5.5) 3 `e la pressione media ed α `e una costante di normalizzazione, necessaria per soddisfare l’ultima condizione. Che la (5.4) soddisfi le condizioni richieste lo si verifica facilmente: infatti dipende solo dal quadrato delle tensioni principali ed `e invariante per permutazioni; infine si annulla se la tensione `e di tipo idrostatico. Sostituendo la (5.5) nella (5.4) otteniamo r 2 2 (σ + σ 22 + σ 23 − σ 1 σ 2 − σ 2 σ 3 − σ 3 σ 1 ) (5.6) σ id = α 3 1 q da cui si deduce facilmente che α = 32 , in modo che l’espressione della tensione ideale diviene q σid = σ 21 + σ 22 + σ 23 − σ 1 σ 2 − σ 2 σ 3 − σ 3 σ 1 (5.7) p=

Nel caso di stati di tensione piani (σ 3 = 0) la (5.7) si semplifica: q σid = σ 21 + σ 22 − σ 1 σ 2

(5.8)

Ricordando le espressioni (1.36) delle tensioni principali, dopo alcune elaborazioni, si ottiene: q (5.9) σ id = σ 2x + σ 2y − σ x σ y + 3τ 2xy Nel caso generale, con passaggi meno semplici e tenendo conto dei risultati del § 1.5.3, dalla (5.7) si perviene alla formula: q ¢ ¡ σ id = σ 2x + σ 2y + σ 2z − σ x σ y − σ y σ z − σ z σ x + 3 τ 2xy + τ 2yz + τ 2zx (5.10)

di cui la (5.9) `e un caso particolare. La formula (5.10), derivata da von Mieses, si `e dimostrata in ottimo accordo con i dati sperimentali per quanto riguarda i materiali metallici, in particolare l’acciaio. Una interessante conseguenza della formula di von Mieses si ha nel caso di una sollecitazione di puro taglio. Eliminando tutte le componenti della tensione eccetto una delle tensioni tangenziali (p.es. τ xy ) e sostituendo la (5.10) nella (5.3) otteniamo q 3τ 2xy < fy (5.11) da cui si deriva la condizione di non superamento della soglia plastica: fy |τ xy | < √ 3

(5.12)

In parole, la resistenza dell’acciaio√alle tensioni tangenziali si ottiene dividendo la resistenza a trazione per il fattore 3. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

111

5.2 Analisi limite delle strutture

σ

R C

A

E

B Q

P

D

ε

Figura 5.1: Legge costitutiva di un acciaio “dolce”.

5.2

Analisi limite delle strutture

Quando in qualche punto di una struttura il materiale supera la soglia entro la quale `e possibile assumere che il legame tra deformazioni e tensioni sia lineare, l’analisi strutturale si complica notevolmente. Infatti non solo le equazioni divengono nonlineari, ma la perdita di linearit`a generalmente implica che non vi `e pi` u corrispondenza biunivoca tra i valori delle forze agenti e lo stato della struttura. In Fig. 5.1 `e mostrato schematicamente un tipico grafico della legge tensione—deformazione di un acciaio dolce. Fino al punto A il comportamento `e lineare elastico; superato questo punto il materiale continua a deformarsi con tensioni praticamente invariate (tratto AB). Oltre B le tensioni aumentano con le deformazioni fino a raggiungere un massimo oltre il quale, per mantenere l’equilibrio, le tensioni devono diminuire; infine, raggiunto un allungamento massimo, nel punto E si ha la rottura della barra. Se prima di raggiungere il punto A si toglie la forza applicata, la deformazione diminuisce proporzionalmente ed il punto rappresentativo dello stato ripercorre la retta iniziale. Al contrario, se la forza viene tolta dopo che il materiale ha superato la soglia plastica, p.es. in C, il sistema percorre la curva CD approssimativamente parallela alla retta elastica e, quando la tensione si annulla, nel materiale rimane la deformazione residua εD . La corrispondenza tra deformazioni e tensioni non `e pi` u biunivoca, infatti ai punti P, Q ed R corrisponde la stessa deformazione ma tre differenti valori della tensione. La stesso avviene alle strutture, quando in qualche parte il materiale supera la soglia di plasticit`a: lo stato tensionale non dipende solo dalla deformazione ma anche dal percorso seguito per raggiungerla; percorso che ovviamente dipende dalla storia con cui sono stati applicati i carichi. L’analisi delle strutture in campo non-lineare risulta quindi complessa, non soltanto per le difficolt`a matematiche, ma anche per l’insufficienza dei dati: `e molto difficile infatti che si conosca la corretta sequenza con cui i carichi e le altre azioni agiranno sulla struttura; questa ignoranza rende di solito poco utile l’impiego di Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

112

Capitolo 5 Strutture in acciaio

raffinati modelli non lineari. Una via pi` u semplice e quindi pi` u percorribile `e quella offerta dall’analisi limite; essa consiste nel confrontare la resistenza massima (in termini di valore massimo della forza che la struttura pu`o sostenere) con i valori massimi previsti delle azioni. Anche in questo caso il confronto `e semplice quando sia l’azione sia la resistenza si possono ricondurre ad una grandezza scalare, cos`ı che indicando con D (domanda) la sollecitazione e con C (capacit`a) la resistenza, la condizione di sicurezza si esprime semplicemente come C≥D

(5.13)

Raramente per un’intera struttura le cose si possono porre in termini cos`ı semplici, inoltre il calcolo della capacit`a di una struttura pu`o risultare complesso. Generalmente si utilizza una formulazione prudenziale, assumendo che la struttura `e sicura se in nessuno dei suoi componenti principali (travi e pilastri di un telaio, aste di una struttura reticolare, ecc.) la domanda ha superato la capacit`a. In formule: Ci ≥ Di

∀i

(5.14)

dove l’indice i si riferisce a tutti i principali elementi della struttura. Anche per i componenti, tuttavia, non `e detto che la condizione di sicurezza si possa porre in una forma cos`ı semplice. Lo stato di sollecitazione di una trave, ad esempio, `e caratterizzato da sei componenti (tre forze e tre momenti), come abbiamo visto nel capitolo 4; tuttavia non sempre tutte queste componenti sono presenti ed in alcuni casi si pu`o trascurare l’interazione tra componenti diverse, riducendo la verifica complessiva a pi` u verifiche separate. Quando questo non `e possibile si pu`o definire la capacit`a mediante un dominio di resistenza: la struttura (o l’elemento strutturale) `e sicura se il punto rappresentativo della domanda appartiene a questo dominio, si ha collasso quando il punto ne giace fuori. Questo `e illustrato simbolicamente nella Fig. 5.2; lo stato di sollecitazione (domanda) rappresentato dal punto D1 `e interno al dominio e quindi per esso la struttura `e verificata; il punto D2 , esterno al dominio, corrisponde invece ad una sollecitazione che porta la struttura al collasso. Nelle verifiche di una struttura allo SLU delle strutture si fa generalmente ricorso all’analisi limite degli elementi che la compongono. Le sollecitazioni (N, Vy , Vz , Mx , My , Mz ) prodotte da diverse combinazioni dei carichi vengono di solito calcolate mediante un’analisi elastica; esse vengono poi confrontate con i domini di resistenza degli elementi. Nei casi pi` u semplici, quando la sollecitazione si riduce ad una sola componente (p.es. momento flettente) la verifica avr`a la forma (5.14): Mmax ≤ Mu , dove Mmax `e il valore massimo del momento (in valore assoluto) tra quelli prodotti nella sezione verificata dalle combinazioni di carico considerate e Mu `e il momento ultimo della sezione, cio`e quello che corrisponde al collasso della sezione. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

113

5.3 Comportamento delle sezioni in acciaio oltre la soglia elastica

Figura 5.2: Dominio di resistenza di una struttura e punti rappresentativi della domanda. σ

σ

fy

−εy

A

E

B

O

εy

ε

-fy

ε

D

C

Figura 5.3: Legge costitutiva monoassiale di un materiale elasto-plastico. Legame monotono e ciclico.

5.3 5.3.1

Comportamento delle sezioni in acciaio oltre la soglia elastica Materiale elastoplastico

Il comportamento reale di un materiale duttile come l’acciaio pu`o essere rappresentato in modo semplificato da un modello elasto-plastico. Per una tensione monoassiale, questa legge costitutiva `e illustrata schematicamente nella Fig. 5.3. Le tensioni sono inizialmente proporzionali alle deformazioni, ma raggiunta la deformazione di plasticizzazione εy = fy /E (punto A), la tensione non varia al crescere (in valore assoluto) delle deformazioni; allo scarico (punto B) il comportamento torna elastico fino al punto C, che corrisponde alla tensione di plasticizzazione di segno opposto, oltre il quale la tensione rimane costante al variare della deformazione.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

114

Capitolo 5 Strutture in acciaio

σ

ε

y

ε

σ

ε

σ

M z

εy

ε > εy

fy (a)

fy

(b)

ε > εy

fy (c)

Figura 5.4: Sequenza delle distribuzioni delle deformazioni e delle tensioni al crescere della curvatura, in una sezione rettangolare con materiale elasto-platico.

5.3.2

Stato limite ultimo delle sezioni inflesse

Supponiamo ora di applicare ad una trave, realizzata con un materiale a comportamento elasto-plastico, una sollecitazione di flessione crescente; sia M il momento agente (secondo uno degli assi principali) nella sezione pi` u sollecitata. Per valori di M non troppo elevati tutte le tensioni risulteranno inferiori alla soglia plastica, quindi sar`a valida la teoria studiata nel capitolo 4 e potremo applicare la (4.26) per determinare le tensioni nella sezione: σx =

M z Jy

(5.15)

Le tensioni variano con legge lineare lungo l’altezza della sezione ed altrettanto avverr`a per le deformazioni: M σx = z (5.16) εx = E EJy Al crescere di M tensioni e deformazioni crescono proporzionalmente fin quando il valore massimo della tensione raggiunge fy ; se la deformazione cresce ulteriormente, la tensione, non potendo crescere, rimane fissata a questo valore. Assumendo che la distribuzione delle deformazioni rimanga lineare anche dopo il superamento della soglia plastica, avviene quanto schematicamente illustrato nella Fig. 5.4. In questa figura `e mostrata una sezione rettangolare soggetta ad un momento flettente M; con (a), (b) e (c) sono contrassegnati i diagrammi delle deformazioni e delle tensioni agenti sulla sezione per livelli crescenti di M. Il primo (a) si riferisce alla situazione in cui la deformazione massima raggiunge la soglia plastica (εy = fy /E); poich´e in tutti i punti si ha σ x ≤ fy , il materiale `e ovunque elastico, e le tensioni e le deformazioni seguono ancora le leggi lineari (5.15) e (5.16). Crescendo il momento le deformazioni aumentano, continuando a seguire una legge lineare, come mostrato in (b). Ma nelle fibre dove |ε| > εy , si ha |σx | = fy ; al crescere delle deformazioni aumenta la parte della sezione dove la tensione ha raggiunto il valore plastico (c); al limite, per εmax → ∞, la sezione risulta per met`a soggetta ad una tensione di ` ovvio che le trazione pari a fy e per met`a alla tensione di compressione −fy . E deformazioni non possono raggiungere un valore infinito, ma, per materiali molto Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

5.3 Comportamento delle sezioni in acciaio oltre la soglia elastica

115

duttili, come l’acciaio, la massima deformazione plastica `e molto maggiore di εy , per cui le differenze tra il diagramma reale, corrispondente al raggiungimento della deformazione massima, e quello ideale, che si raggiungerebbe per ε = ∞, `e molto piccola. Nel caso della sezione rettangolare l’asse neutro non cambia posizione passando dalla fase elastica a quella plastica, ma questo si verifica solo nelle sezioni simmetriche rispetto all’asse y, altrimenti al progredire della plasticizzazione l’asse neutro cambia posizione. Infatti, in una sezione sollecitata dalla sola flessione, la posizione dell’asse neutro `e definita dalla condizione che la risultante delle tensioni normali R deve essere nulla: A σ x dA = 0. Nel caso elastico le tensioni sono proporzionali alla distanza dall’asse neutro; indicando con ζ la distanza da questo asse della fibra generica, possiamo porre σ x = kζ, dove k `e una costante1 . Dalla condizione che N = 0 segue quindi Z Z σ x dA = k

N=

A

ζdA = 0

(5.17)

A

da cui deduciamo, come gi`a ci era noto, che l’asse neutro, nella flessione elastica, passa per il baricentro della sezione. Nel caso della sezione interamente plastica, invece, la tensione vale fy o −fy , secondo la posizione della fibra rispetto all’asse neutro. Potremo dunque porre σ x = fy sign (M) sign(ζ)

(5.18)

in cui sign (·) vale +1 o −1 secondo il segno dell’argomento. Sostituendo questa espressione nell’equazione di equilibrio troviamo Z Z ¡ ¢ σ x dA = fy sign(M) sign (ζ) dA = fy sign (M) A+ − A− = 0 (5.19) N= A

A

dove A+ e A− sono le aree delle due parti in cui l’asse neutro divide la sezione. Dalla (5.19) ricaviamo che A+ = A− , ovvero l’asse neutro, nella sezione inflessa plasticizzata, divide la sezione in due parti di uguale area. Questa condizione coincide con la (5.17) solo quando la sezione `e simmetrica rispetto all’asse y. Determinata la posizione dell’asse neutro si pu`o facilmente calcolare il momento ultimo della sezione. Sostituendo la (5.18) nell’equazione di equilibrio dei momenti, troviamo Z Z σ x ζdA = fy sign (M) sign (ζ) ζdA (5.20) Mu = A

da cui

|Mu | = fy

A

Z

A

¡ ¢ |ζ| dA = fy Sn+ + Sn−

(5.21)

Sn+ ed Sn− sono i momenti statici, relativi all’asse neutro, delle due parti in cui questi suddivide la sezione. Consideriamo ora, ad esempio, una sezione rettangolare di dimensioni b×h, come nella Fig. 5.5 (a). La sezione raggiunge l’inizio della fase plastica quando la tensione 1

Per quanto abbiamo gi`a visto, sappiamo che k =

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

M Jy

116

Capitolo 5 Strutture in acciaio

b s h

a

n

a

n

M

M

fy

fy b

w

z (a)

z (b)

Figura 5.5: Posizione dell’asse neutro nelle sezioni inflesse interamente plasticizzate; sezioni simmetriche (a) e non simmetriche (b). massima, calcolata in fase elastica, raggiunge la tensione di snervamento, ossia My zmax = fy J

(5.22)

u lontana dall’asse neutro e My indica il valore dove zmax `e la distanza della fibra pi` del momento che produce l’inizio della fase plastica. Dall’equazione precedente si ricava: J (5.23) My = fy zmax Per la sezione rettangolare J =

bh3 12

e zmax = h/2, pertanto My = fy

bh2 6

(5.24)

Come abbiamo gi`a osservato, nelle sezioni simmetriche come quella rettangolare, l’asse neutro non cambia posizione nel passaggio dalla fase elastica alla plastica, pertanto, essendo la sezione divisa in due parti uguali, si avr`a µ ¶2 h 1 bh2 + − Sn = Sn = b (5.25) = 2 2 8 pertanto, sostituendo nella (5.21) si trova Mu = fy

bh2 4

(5.26)

Dunque, in una sezione rettangolare, il momento ultimo `e 64 = 1.5 maggiore del momento di prima plasticizzazione My . Per le sezioni a doppio T simmetriche il rapporto Mu /My `e sensibilmente pi` u piccolo. Questo `e dovuto al fatto che in queste sezioni gran parte dell’area resistente Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

117

5.3 Comportamento delle sezioni in acciaio oltre la soglia elastica 800

s M/fy

600

400

200

Dominio collasso Dominio prima plas.

0 -80

-40

0

40

80

N/fy

Figura 5.6: Dominio di prima plasticizzazione (linea tratteggiata) e dominio di collasso (linea continua) della sezione HE200B. `e concentrata nelle ali, che si plasticizzano interamente quando la deformazione massima supera quella di plasticizzazione. Per una IPE 200, ad esempio, (h = 200 mm, b = 100 mm, s = 8.5 mm e w = 5.6 mm) si ha J = 1943 cm4 e pertanto, applicando la (5.23) ed utilizzando i cm come unit`a per le lunghezze: My = fy

J = fy 194 h/2

Il momento statico di met`a sezione `e invece Sn+ = Sn− = 110 cm3 , di conseguenza il momento ultimo risulta: Mu = fy 2Sn = fy 220 Il rapporto tra questi due momenti `e quindi Mu = 1.134 My Ancora pi` u piccolo questo rapporto risulta per i profilati ad ala larga (HE). Considerando il profilato HE200B (h = 200 mm, b = 200 mm, s = 15 mm, w = 9 mm) si ha J = 5696 cm4 ed My = 570fy , mentre Sn = 321 cm3 e quindi Mu = 642fy , in modo che Mu = 1.126 My Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

118

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Materiale Fe360 Fe430 Fe510

fd ( MPa) fd ( MPa) t ≤ 40 mm t > 40 mm 235 210 275 250 355 315 Tabella 5.1:

In Fig. 5.6 sono rappresentati i domini di collasso e di prima plasticizzazione per la sezione HE200B soggetta a forza assiale e flessione. In linea tratteggiata `e il dominio di prima plasticizzazione,tale che ¯ ¯ ¯N ¯ ¯ + M zmax ¯ ≤ fy ¯A ¯ J

mentre in linea continua `e rappresentato il dominio di stato ultimo. Come `e ovvio quest’ultimo include il primo, ma la distanza tra i due non `e grande. I risultati mostrati prima giustificano le disposizioni normative che, per le travi in acciaio, confondono lo stato limite ultimo con quello di prima plasticizzazione. Questo comporta una notevole semplificazione, poich´e rende possibile adoperare i risultati dell’analisi elastica anche nelle verifiche dello stato limite ultimo.

5.4

Progetto e verifica delle sezioni inflesse

Per le condizioni di SLU le tensioni, calcolate con riferimento ad un modello elastico, non devono superare un valore limite definito resistenza di calcolo del materiale. Questa resistenza dipende dalle caratteristiche del materiale; per le Norme italiane del 1996 i valori delle resistenze di calcolo per acciai laminati sono riportati nella tabella 5.1. Per verificare una sezione sollecitata a sola flessione retta `e quindi sufficiente conoscere il valore del momento d’inerzia della sezione relativo all’asse del momento. Se My indica il momento agente e Jy `e il momento d’inerzia della sezione, indicando con zmax la distanza massima del baricentro dai lembi della sezione (nelle sezioni simmetriche zmax = h/2), si ha semplicemente: ¯ ¯ ¯ ¯ My ¯ ¯ (5.27) ¯ Jy zmax ¯ ≤ fd

La verifica della sezione inflessa si svolge quindi confrontando la tensione massima indotta dalla sollecitazione con il valore della resistenza. I rapporti Jy /zmax e Jz /ymax sono chiamati i moduli di resistenza della sezione, nelle due direzioni principali: Wy = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Jy zmax

Wz =

Jz ymax

(5.28)

119

5.4 Progetto e verifica delle sezioni inflesse

la tensione massima prodotta dal momento My `e quindi data da tensioni indotte da Mz ). La (5.27) pu`o essere sostituita dalla

My Wy

|M| ≤ fy W

z (M per le Wz

(5.29)

dove M e W possono indicare sia le grandezze relative all’asse y, sia quelle relative a z2. Spesso nelle strutture metalliche si usano travi realizzate con profilati prodotti negli stabilimenti industriali. Le geometrie di questi elementi sono standardizzate e classificate in vario modo: IPE (profilati a doppio T con ali di larghezza pari a circa met`a dell’altezza), HE (profilati a doppio T con rapporto h/b ∼ 1), angolari ad L, a lati uguali o disuguali. Per le sezioni di questi profilati esistono tabelle che riportano in modo pi` u o meno dettagliato le principali caratteristiche geometriche delle sezioni, compresi i momenti d’inerzia ed i moduli di resistenza. In questi casi non soltanto la verifica della sezione `e immediata (nota la sezione si determina W e si applica la (5.29)), ma `e molto semplice anche il processo inverso. Note la sollecitazione e la resistenza di calcolo del materiale, dalla (5.29) si desume facilmente W ≥

|M| fy

(5.30)

Calcolato il valore minimo di W , applicando la (5.30), e fissato il tipo di profilato (IPE o HE, ad esempio), dalle tabelle si determina facilmente la sezione il cui valore di W meglio approssima per eccesso quello minimo calcolato. Nelle figure 5.7, 5.8, 5.9, 5.10 sono riportate delle tabelle di questo tipo per i principali tipi di sezioni laminate. La sollecitazione di flessione `e generalmente accompagnata da quella di taglio, pertanto nelle sezioni sono presenti contemporaneamente tensioni normali (prodotte dalla flessione) e tensioni tangenziali (prodotte dal taglio). Nei punti di stazionariet`a del momento il taglio `e nullo (poich´e V = dM/dx), ma in presenza di punti di discontinuit`a od in corrispondenza dei vincoli, si pu`o raggiungere il valore massimo sia del taglio sia del momento. Nella sezione, le tensioni normali raggiungono i valori massimi nei punti estremi, dove sono nulle le tensioni tangenziali; le quali, al contrario, sono massime nel baricentro, ove, in assenza di sforzo normale, sono nulle le σx . Pertanto i valori massimi di queste due tensioni non si combinano. Nelle sezioni a doppio T, come quella mostrata in Fig. 5.8, nelle ali `e presente la tensione τ xy che si combina con il valore massimo della tensione normale; inoltre, nella sezione a-a, i valori sia di σ x sia di τ xz non sono troppo discosti dai loro massimi, pertanto la sollecitazione ideale σid , ottenuta combinando σxa e τ xya con la (5.9), in alcuni casi pu`o raggiungere qui il valore massimo. 2

Ovviamente se agiscono simultaneamente entrambi i momenti, la verifica sar`a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ My ¯ ¯ Mz ¯ ¯+¯ ¯ ¯ ¯ Wy ¯ ¯ Wz ¯ ≤ fy

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

120

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Figura 5.7: Tabella per profilati IPE

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

5.4 Progetto e verifica delle sezioni inflesse

Figura 5.8: Tabella per profilati HEA

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

121

122

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Figura 5.9: Tabella per profilati HEB

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

5.4 Progetto e verifica delle sezioni inflesse

Figura 5.10: Tabella per profilati HEM.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

123

124

Capitolo 5 Strutture in acciaio

b τxy

σxmax τxy

a b

a

τxza

τxz τxzmax

G

y

σxa

τxy z Figura 5.11: Tensioni normali e tangenziali in una sezione ad I sollecitata a flessione e taglio. Esempio 5.1 Si deve progettare la trave appoggiata con mensola, soggetta al carico di progetto qd = 55 kN/ m, illustrata nella Fig. 5.12, e quindi verificare che la tensione ideale non superi la resistenza di progetto del materiale. Dimensioni: l = 4.50 m, a = 2.00 m. Materiale: acciaio Fe 430, fd = 275 MPa. Calcolo delle sollecitazioni. Per l’equilibri dei momenti attorno all’appoggio di sinistra, si ha qd (l + a)2 55.0 × (4.5 + 2)2 = = 258.19 kN 2l 2 × 4.5 = qd (l + a) − R2 = 55.0 × (4.5 + 2) − 258.19 = 99.31 kN

R2 = R1

dove R1 ed R2 sono le reazioni vincolari della trave. La sollecitazione di taglio pertanto vale: Appoggio 1 V1 = R1 = 99.31 kN Appoggio 2 - sinistra V2a = V1 − qd l = 99.31 − 55 × 4.5 = −148.19 kN Appoggio 2 - destra V2b = V2a + R2 = −148.19 + 258.19 = 110.00 kN Il taglio si annulla nel punto di ascissa x0 =

R1 = 1.81 m qd

per cui il massimo del momento positivo `e M0 = R1 x0 −

55 × 1.812 qd x20 = 99.31 × 1.81 − = 89.65 kN m 2 2

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

125

5.4 Progetto e verifica delle sezioni inflesse

q=55kN/m 2.0

4.50

V2b

V1

V2a M2 Mx Figura 5.12: Schema e diagrammi delle sollecitazioni della trave dell’esempio 5.1. Il momento massimo negativo si realizza sull’appoggio e vale M2 = R1 l −

qd l2 55 × 4.52 = 99.31 × 4.5 − = −110 kN m 2 2

Dimensioniamo la sezione in base al massimo momento (in valore assoluto): Mmax : |M2 | = 110 kN m. Modulo di resistenza W ≥

11000 kN cm Mmax = = 400 cm3 kN fd 27.5 cm 2

Usando profili IPE, dalla tabella di Fig. 5.7, si determina che la sezione a cui corrisponde un valore di W & 400 cm3 `e IPE270, cui corrisponde W = 429 cm3 . Per questo profilo la tensione normale massima risulta σ x max =

Mmax kN 11000 kN cm = 25.64 = 256.4 MPa = 3 W 429 cm cm2

Nella stessa sezione agisce la sollecitazione di taglio massima, V2 max = |V2a | = 148.19 kN. La tensione tangenziale massima, nel baricentro della sezione, `e τ xz max = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

V2a Sy∗ (0) wJy

126

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Dalla tabella si ricava, per l’IPE270: w = a = 6.6 mm, h = 27 cm, b = 13.5 cm, s = e = 1.02 cm, Jy = 5790 cm3 . Quindi Sy∗ (0) =

∙ µ ¶¸ h 1 bs (h − s) + w −s = 230.27 cm3 2 2

e, di conseguenza 148.19 × 230.27 1 = 89.3 MPa < √ fy = 158.8 MPa 0.66 × 5790 3

τ xz max =

Per calcolare le tensioni tangenziali nelle ali, all’attacco con l’anima (sez. b - b in Fig. ??), si determina il momento statico relativo al baricentro di una delle ali: Sy∗ (y =

w b−w h−s )= s = 85.06 cm3 2 2 2

da cui segue che τ xy max

¡ V2a Sy∗ y = = sJy

w 2

¢

=

148.19 × 85.06 kN = 21.35 MPa = 2.135 1.02 × 5790 cm2

Quindi la tensione ideale ai lembi della sezione `e σ id(b) =

q p σ 2x + 3τ 2xy = 256.42 + 3 × 21.352 = 259.06 MPa

Nel punto di attacco tra l’anima a le ali (sez. a - a in Fig. ??), la tensione normale `e σx =

Mmax Jy

µ

¶ µ ¶ 11000 27 kN h = 237.1 MPa −s = − 1.02 = 23.71 = 2 5790 2 cm2

e la tensione tangenziale τ xz dove

¡ V2a Sy∗ z = = wJy

h 2

¢ −s

¶ µ h−s h Sy∗ z = − s = bs = 178.87 cm3 2 2

e quindi τ xz = 69, 38 MPa La tensione ideale in corrispondenza dell’attacco tra l’anima e l’ala (sez. a - a in Fig. ??) risulta p p σ id(a) = σ 2x + 3τ 2xz = 237.12 + 3 × 69.382 = 265.8 MPa

Il valore massimo della tensione ideale si raggiunge quindi nel punto di attacco tra l’anima e l’ala; si ha comunque σ id max < fd = 275 MPa. ¤ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

127

5.5 Elementi snelli

N

N

q

x z

w(x)

u0

l

R

R

Figura 5.13: Deformazione di una trave inflessa soggetta ad un carico trasversale distribuito ed a uno forza normale.

5.5 5.5.1

Elementi snelli Non linearit` a geometriche

Gi`a in precedenza abbiamo detto che, per rendere lineari le equazioni di equilibrio, `e necessario fare riferimento alla configurazione iniziale della struttura, trascurando gli effetti che gli spostamenti producono sulle sollecitazioni indotte dai carichi. Questa ipotesi `e spesso giustificata dalla piccolezza di questi spostamenti, di solito rilevabili solo con misure di precisione, ma la sua accettabilit`a dipende anche dal tipo di carichi agenti sulla trave. Se ad esempio si esamina la trave in Fig. 5.13 soggetta al solo carico trasversale q (N = 0), la deformazione w indotta dal carico distribuito non modifica direttamente la distribuzione dei momenti lungo la trave. Lo spostamento u0 del carrello `e infinitesimo di ordine superiore a w e quindi la variazione di lunghezza della trave dovuta e questo spostamento, almeno per piccole deformazioni, `e del tutto trascurabile, e la sua influenza sulle sollecitazioni `e quasi nulla. Ma se, oltre al carico q, sulla trave agisce una forza normale N, come quella indicata in figura, lo spostamento della linea d’asse produce un ulteriore momento ∆m1 = Nw il cui effetto si somma a quello prodotto dal carico q; questo ulteriore momento produce a sua volta un incremento della deformazione ∆w1 , che genera un momento ∆m2 = N∆w1 , ecc. La serie w + ∆w1 + ∆w2 + · · · , pu`o convergere ad un valore finito, in modo che la struttura trova una configurazione di equilibrio, seppure diversa da quella di prima approssimazione, calcolata trascurando il contributo di Nw, oppure addirittura divergere, in quanto non esiste una configurazione equilibrata, poich´e, per ogni configurazione, l’aumento del momento esterno `e superiore all’aumento del momento interno dovuto alla deformazione. Per una data trave, il verificarsi di un caso o l’altro dipende dall’entit`a della forza N. Al crescere della forza aumenta il valore degli incrementi di sollecitazione ∆mi ; quindi ci sar`a un valore di N superato il quale non sussiter`a pi` u la convergenza (e quindi l’equilibrio). Questo tuttavia non basta, perch´e l’equilibrio potrebbe raggiungersi per un momento (ed una deformazione) che superano la resistenza della trave. In questo caso, anche se idealmente possibile, l’equilibrio non potr`a raggiungersi Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

128

Capitolo 5 Strutture in acciaio

` importante notare che se N fosse perch´e preceduto dal collasso della struttura. E di segno opposto (cio`e di trazione) il segno dei momenti ∆mi sarebbe opposto a quello prodotto dal carico q e altrettanto gli spostamenti. In questo caso l’equilibrio si raggiungerebbe per una deformazione ed un momento minori di quelli prodotti dal carico distribuito. Appare evidente che l’opportunit`a di considerare o trascurare gli effetti delle deformazioni sulle sollecitazioni dipende notevolmente dalla natura delle forze in gioco. Nella teoria che abbiamo sviluppato nei capitoli precedenti, in una sezione di ascissa x della trave di Fig. 5.13, agiscono le seguenti sollecitazioni: 1. Una forza normale N (di segno negativo). ¡ ¢ 2. Una forza di taglio Vz = q 2l − x . . 3. Un momento flettente M0 = q x(l−x) 2

Una teoria di questo genere, in cui si trascura l’effetto della deformazione w sulle sollecitazioni, `e detta anche teoria del primo ordine; se si accetta questa approssimazione, nelle strutture isostatiche la distribuzione delle sollecitazioni non dipende dalla deformazione; in quelle iperstatiche, se il materiale `e lineare, le equazioni risultano lineari. Se non si accetta questa semplificazione, il punto 3 della precedente lista diviene: 3’ Un momento flettente M1 = q x(l−x) − Nw. 2 Il termine aggiunto −Nw (N `e negativo) complica notevolmente il problema, in quanto w non `e noto, ma a sua volta dipende da M1 ; nelle strutture isostatiche (con materiale lineare) si ottengono equazioni (differenziali) lineari; in quelle iperstatiche le equazioni divengono non lineari. La teoria che tiene conto dell’effetto delle deformazioni sulla distribuzione delle sollecitazioni `e indicata come teoria del secondo ordine. L’opportunit`a di trascurare o di tener conto dei termini del secondo ordine dipende da alcuni fattori fondamentali: 1. Il tipo di azioni. Si `e gi`a visto, nell’esempio considerato, che se la forza N `e nulla o di trazione, gli effetti del secondo ordine sono nulli o benefici; pertanto l’impiego della teoria del primo ordine `e adeguato perch´e a favore di sicurezza. 2. La deformabilit`a della struttura. Se le deformazioni indotte dai carichi (w) sono piccole, anche gli effetti del secondo ordine lo saranno. In questo caso sar`a spesso possibile trascurarli senza commettere errori apprezzabili. Le strutture in acciaio sono spesso snelle (ossia le dimensioni trasversali sono piccole rispetto a quelle longitudinali); questo `e dovuto all’alta resistenza del materiale, che consente di soddisfare le verifiche di resistenza con sezioni di piccola area. Ne consegue che queste strutture sono spesso molto deformabili e quindi, quando le Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

129

5.5 Elementi snelli

z

B

A x Figura 5.14: Situazione di equilibrio stabile (A) ed instabile (B) di una massa puntiforme nel campo del peso. sollecitazioni sono tali da poter indurre effetti del secondo ordine negativi (nel senso che aumentano le sollecitazioni), di essi si deve generalmente tener conto. Il problema generale degli effetti del secondo ordine porta, come si `e detto, alla perdita della linearit`a del problema elastico. Nel seguito noi non ci occuperemo del problema globale relativo all’analisi della struttura nel suo insieme, ma porremo attenzione sul comportamento degli elementi strutturali, in particolare delle travi; anche per questi elementi vi sono diversi fenomeni che dovrebbero essere studiati; noi ne esamineremo con un certo dettaglio solo uno, generalmente il pi` u importante, limitandoci a fare un cenno descrittivo per gli altri.

5.5.2

Stabilit` a dell’equilibrio

Strettamente correlato alle non linearit`a geometriche `e il problema della stabilit`a dell’equilibrio. Osserviamo le due palline rappresentate nella Fig. 5.14, vincolate lungo una superficie curva; entrambe occupano una posizione di equilibrio ma, mentre la pallina nel punto A si trova in condizioni di equilibrio stabile, la pallina in B occupa un punto di equilibrio instabile. Infatti l’equilibrio si definisce stabile se, perturbando il sistema di una piccola quantit`a dalla sua posizione di equilibrio, esso si muove in modo da non allontanarsi dal punto di equilibrio per pi` u di quanto non sia stato perturbato; al contrario l’equilibrio `e instabile se, quando perturbato, il sistema si allontana dal punto di equilibrio, eventualmente muovendosi fino a raggiungere una nuova configurazione. La pallina in A, se allontanata dalla sua posizione, osciller`a intorno a questa e, se il moto dissipa energia, finir`a per tornare di nuovo nella posizione iniziale; la pallina in B invece, se perturbata, si allontaner`a dalla posizione che occupava e non potr`a pi` u tornarci; potr`a invece andare a collocarsi nel punto A, occupando anch’essa una posizione di equilibrio stabile. Vi `e un altro modo, meno generale ma spesso pi` u semplice, per verificare la stabilit`a dell’equilibrio. Nel campo del peso, l’ordinata z della posizione della pallina Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

130

Capitolo 5 Strutture in acciaio

`e proporzionale alla sua energia potenziale E = mgz (m `e la massa, g l’accelerazione di gravit`a); la curva che descrive il vincolo della pallina `e quindi anche il grafico della sua energia potenziale; i punti di equilibrio (A e B) sono punti di stazionariet`a per E: dE =0 (5.31) dx ma il punto A, di equilibrio stabile, `e anche un punto di minimo dell’energia potenziale, mentre B (equilibrio instabile) `e un punto di massimo. Dunque l’equilibrio `e stabile se l’energia potenziale ha, in quel punto, un minimo. Queste condizioni sono espresse dalle relazioni: d2 E > 0 Equilibrio stabile 2 dx 2 dE = 0 Equilibrio indifferente 2 dx d2 E < 0 Equilibrio instabile dx2

(5.32)

(l’equilibrio indifferente si ha quando, a seguito di una perturbazione, il sistema rimane in equilibrio; nell’esempio di Fig. 5.14 corrisponde ad una pallina posta su di un piano orizzontale). In un sistema lineare elastico, se si utilizza una teoria del primo ordine, l’equilibrio risulta sempre stabile. Infatti in tal caso l’energia potenziale `e somma dell’energia potenziale delle forze e dell’energia potenziale elastica. Per quanto gi`a visto, quest’ultima `e una funzione quadratica della deformazione: Z 1 εT GεdV (5.33) Ee = 2 V dove G `e la matrice elastica [eq. (3.16)]. Poich´e le deformazioni ε sono funzioni lineari degli spostamenti, l’energia potenziale elastica `e una funzione quadratica di questi ultimi; `e inoltre possibile dimostrare che, per le propriet`a di G, le derivate seconde di Ee sono sempre positive3 . In una teoria del primo ordine l’energia potenziale delle forze `e una funzione lineare degli spostamenti, le sue derivate seconde sono quindi nulle. Pertanto le derivate seconde dell’energia potenziale totale E = E e + Ef coincidono con quelle di Ee e di conseguenza sono positive. Se si aggiungono i termini non lineari del secondo ordine, il lavoro delle forze non dipende pi` u in modo lineare dalle deformazioni: `e quindi possibile che nel punto di equilibrio l’energia raggiunga un massimo e l’equilibrio sia instabile. In pratica una struttura non pu`o trovarsi mai in una condizione di equilibrio instabile poich´e anche una piccola perturbazione ne produce la perdita di equilibrio. Ma la stabilit`a o l’instabilit`a dipende dall’entit`a delle forze, per cui una posizione di equilibrio stabile pu`o divenire instabile, al crescere delle forze, e questo significa un improvviso collasso della struttura. 3

In breve, per u variabili, la condizione di minimo richiede che la matrice h 2unaifunzione di pi` ∂ E Hessiana H = ∂ui ∂uj sia definita positiva. Poich´e H ∝ G ed `e facile dimostrare che, per ν < 0.5, G `e definita positiva, ne segue quanto affermato. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

131

5.5 Elementi snelli

l k

θ

N

l/2 2θ

l/2

u Figura 5.15: Analisi della stabilit`a dell’equilibrio di un’asta composta da due corpi rigidi connessi con una molla rotazionale. Nella Fig. 5.15 `e rappresentata un’asta di lunghezza l, vincolata alle estremit`a da una cerniera e da un carrello e composta da due elementi rigidi connessi da una cerniera elastica di rigidezza k. Questo significa che se le due mezze aste subiscono una rotazione relativa φ, la cerniera reagir`a con un momento kφ. All’estremo vincolato ` evidente che nella sua posizione con un carrello `e applicata una forza assiale N. E rettilinea l’asta `e in equilibrio; si vuole indagare per quali condizioni l’equilibrio `e stabile e per quali no. Facendo rotare le due aste di un angolo θ, rispetto alla condizione di equilibrio, le due aste roteranno relativamente di un angolo 2θ e quindi nella cerniera sorger`a un momento M = 2kθ. L’energia potenziale elastica `e allora Ee = 12 M · (2θ) = 2kθ2 . A seguito della rotazione il carrello ( e quindi la forza) si sposta della quantit`a u = l − 2 2l cos θ = l (1 − cos θ). Se si trattano gli spostamenti come infinitesimi (teoria del primo ordine) 1 − cos θ ∼ 12 θ2 `e infinitesimo del secondo ordine e pertanto u = 0 a meno di infinitesimi di ordine superiore a θ. Se trattiamo gli spostamenti come finiti lo spostamento non `e nullo e quindi l’energia potenziale della forza varia di Ef = −Nu = N (cos θ − 1), per cui l’energia potenziale complessiva `e E =2kθ2 + N (cos θ − 1)

(5.34)

(si osservi che N `e il modulo della forza, pertanto N > 0). L’equilibrio si verifica quando E `e stazionaria, ossia per dE = 0; sostituendo la dθ (5.34) si ottiene dE = 4kθ − N sin θ = 0 (5.35) dθ ovvero per 4k (5.36) sin θ = θ N La (5.36) `e certamente soddisfatta per θ = 0 (asta rettilinea). Se 4k/N > 1 non vi sono altre soluzioni; ma se 4k/N < 1, la (5.36) ha altre due soluzioni, come mostrato nella Fig. ??. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

132

Capitolo 5 Strutture in acciaio

2

1

0.8

θ 1.2

θ

0

-1

-2 -2

-1

0 θ

1

2

Figura 5.16: Soluzione grafica dell’equazione (5.36). Derivando ancora la (5.35) otteniamo: d2 E = 4k − N cos θ dθ2

(5.37)

2

Nel punto di equilibrio θ = 0, la (5.37) diviene ddθE2 = 4k − N; per quanto visto N prima, l’equilibrio `e stabile solo se 4k − N > 0, ovvero se 4k < 1 ( 4k > 1). Dunque N la condizione di stabilit`a coincide con quella di esistenza di una sola soluzione delle equazioni di equilibrio. La ragione appare chiara osservando le due curve nella Fig. 5.17, che rappresentano, a meno di un fattore positivo, l’energia E dell’eq. (5.34); N 1 1 la curva 1 `e relativa ad un valore di α = 4k = 1.2 , la curva 2 `e relativa ad α = 0.8 . Come si vede la curva 1 ha un solo punto stazionario in A che `e anche un punto di minimo; pertanto in questo caso il punto A `e un punto di equilibrio stabile. La curva 2, invece, ha tre punti stazionari (A, B1 e B2 ), ma in A la funzione dell’energia potenziale raggiunge un massimo, quindi l’equilibrio in A `e instabile. I punti B1 e B2 corrispondono alle altre due soluzioni della (5.36), che esistono se α > 1, e sono punti di equilibrio stabile. Riscriviamo l’equazione di equilibrio (5.35) introducendo il coefficiente α, definito prima: 4k (θ − α sin θ) = 0 (5.38) Poich´e k 6= 0, l’equazione precedente `e equivalente alla: θ − α sin θ = 0 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(5.39)

133

5.5 Elementi snelli

1.2

0.8 1

E 0.4 A 0 2 B2

B1 -0.4 -2

-1

0 θ

1

2

Figura 5.17: Energia potenziale del sistema in Fig. 5.15 per due valori del rapporto N/4k. In prossimit`a del punto di equilibrio θ = 0, si pu`o sostituire sin θ con θ, cos`ı che la (5.39) diviene: θ (1 − α) = 0 |θ| ¿ 1 (5.40) Questa equazione `e soddisfatta anche per θ 6= 0 (purch´e piccolo in valore assoluto) se 1 − α = 0, ossia α = 1. Per tale valore del parametro α l’equilibrio `e indifferente: se il sistema viene (debolmente) turbato dalla sua condizione di equilibrio, resta in equilibrio anche nella nuova configurazione. La configurazione di equilibrio 2 indifferente corrisponde alla transizione tra la condizione stabile ( ddxE2 > 0) e quella instabile.

5.5.3

Stabilit` a dell’equilibrio delle aste compresse: l’asta di Eulero

Il sistema studiato nel precedente paragrafo, anche se, per la sua semplicit`a, `e utile ad illustrare il problema della stabilit`a delle aste compresse, non rappresenta la realt`a in modo sufficientemente accurato, poich´e generalmente la deformabilit`a di un’asta non `e concentrata in un punto, ma diffusa lungo la sua linea d’asse. Prendiamo quindi in esame una trave, con vincoli di semplice appoggio, sollecitata da una forza assiale N di compressione, applicata all’estremit`a vincolata con carrello (Fig. 5.18). La soluzione di questo caso, in una teoria del primo ordine, `e stata trovata nel cap. 4; dalle (4.24) risulta che, in assenza di momenti, gli spostaGiannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

134

Capitolo 5 Strutture in acciaio

l x

N

w(x)

A

B

u z Figura 5.18: Asta soggetta ad una forza normale nella configurazione perturbata. menti della linea elastica nelle direzioni ortogonali all’asse della trave sono nulli e pertanto l’asse della trave rimane rettilineo. Per indagare la stabilit`a dell’equilibrio di questa configurazione, cerchiamo la condizione di equilibrio indifferente, nella quale la trave resta in equilibrio anche in una configurazione debolmente perturbata. Indicando con w (x) la perturbazione, cio`e lo spostamento in direzione z dell’asse della trave, l’equazione di equilibrio tra il momento del secondo ordine, dovuto all’eccentricit`a della forza − |N| w, ed il 2 momento risultante delle tensioni interne −EJy ddxw2 [vedi (4.19)], si scrive: EJy

d2 w + |N| w = 0 dx2

(5.41)

Poich´e il coefficiente EJy non `e nullo, dividendo per esso tutti i termini della (5.41) e ponendo |N| (5.42) α2 = EJy se ne ricava la forma equivalente d2 w + α2 w = 0 2 dx

(5.43)

La soluzione dell’equazione differenziale lineare ed omogenea (5.43) `e ben nota; essa `e: w (x) = C1 sin (αx) + C2 cos (αx) (5.44) dove C1 e C2 sono costanti che devono essere determinate con le condizioni al contorno. Poich´e la trave `e semplicemente appoggiata, queste condizioni sono w (0) = w (l) = 0 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(5.45)

135

5.5 Elementi snelli

Dalla prima segue evidentemente che C2 = 0; dalla seconda, tenendo conto del risultato gi`a ottenuto, abbiamo: w (l) = C1 sin (αl) = 0

(5.46)

Se sin (αl) 6= 0, la sola soluzione della (5.46) `e C1 = 0, da cui segue w (x) = 0 ∀x, ovvero la sola configurazione di equilibrio `e (localmente) quella ad asse rettilineo. Ma se sin (αl) = 0, la (5.46) `e soddisfatta identicamente per qualunque valore di C1 ; siamo quindi nelle condizioni di equilibrio indifferente. La condizione sin (αl) = 0 `e soddisfatta se αl = nπ, con n intero positivo; tenendo conto della (5.42) questo significa n2 π2 |N| = 2 EJy l

(5.47)

Fissate le caratteristiche della trave si pu`o determinare il valore di N che soddisfa la precedente equazione. Come `e evidente ve ne sono infiniti, dipendenti dall’intero n. Poich´e noi siamo interessati alla transizione tra lo stato stabile e quello instabile dell’asta rettilinea, `e ovvio che quello che cerchiamo `e il valore pi` u piccolo per |N |, che si ha per n = 1. Il valore di |N| cos`ı ottenuto `e detto carico critico o carico euleriano e corrisponde alla transizione dalla condizione stabile a quella instabile dell’asta compressa. Il carico euleriano NE `e quindi dato dalla relazione: NE =

π 2 EJ l2

(5.48)

Nell’equazione precedente `e stata omessa l’indicazione dell’asse (y) rispetto al quale `e calcolato l’asse neutro. In generale infatti una simile analisi pu`o essere condotta per entrambe le direzioni degli assi principali; si otterranno quindi due valori del carico euleriano, quello relativo all’asse y e quello per l’asse z; `e ovvio che il carico euleriano della trave coincide con il minore dei due. Se la trave `e vincolata in ugual modo in entrambe le direzioni, il valore di NE `e proporzionale a quello di J, quindi il carico euleriano della trave si ottiene dalla (5.48) prendendo per J il pi` u piccolo dei momenti d’inerzia della sezione. Dividendo il carico euleriano NE per l’area A della sezione si ottiene il valore della tensione normale σ E per cui l’equilibrio diviene instabile. Ricordando la formula (5.48) abbiamo π 2 EJ NE = 2 (5.49) σE = A l A La radice quadrata del rapporto J/A tra il momento d’inerzia e l’area di una sezione ha le dimensioni di una lunghezza ed `e chiamato il giratore d’inerzia della sezione [vedi (A.26)]. Il rapporto tra la lunghezza dell’asta l ed il giratore d’inerzia ρ `e chiamato la snellezza dell’asta in quella direzione; il valore pi` u grande della snellezza, tra quelli corrispondenti alle direzioni degli assi principali, che si ottiene per ρ = ρmin , `e la snellezza dell’asta. l (5.50) λ= ρ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

136

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Tenendo presente queste definizioni, la (5.49) diviene π2E λ2

σE =

(5.51)

La tensione critica euleriana `e dunque funzione solo del modulo elastico del materiale e della snellezza λ. Nelle considerazioni precedenti si `e fatta astrazione dalla resistenza del materiale. La (5.51) mostra che, per valori piccoli di λ, la tensione critica σ E diviene molto grande, superando il valore della resistenza. Vi `e quindi un valore della snellezza λc per la quale la tensione critica euleriana uguaglia la resistenza del materiale fd : σE =

π2E = fd λ2c

da cui segue che λc = π

s

E fd

(5.52)

(5.53)

Facendo il rapporto tra la (5.51) e la (5.52) risulta σE = fd

µ

λc λ

¶2

¯ −2 =λ

(5.54)

¯ = λ/λc `e il rapporto tra la snellezza effettiva λ e quella critica λc . La dove λ (5.54) dimostra che il rapporto tra la tensione euleriana e la resistenza del materiale ¯ Questa curva `e rappresentata in `e un’iperbole cubica della snellezza ridotta λ. Fig. 5.19. La curva `e troncata al valore σ E /fd = 1, per tener conto che la tensione non pu`o superare la resistenza del materiale. Per aste con snellezza minore di quella critica (λ < λc ) si raggiunge la resistenza del materiale prima che l’equilibrio divenga instabile; `e il caso delle aste tozze, in cui la resistenza dell’elemento `e condizionata dalla resistenza del materiale. Se λ > λc l’equilibrio diviene instabile prima che la tensione raggiunga la resistenza del materiale; `e il caso delle aste snelle, in cui la resistenza della struttura `e governata dalla perdita di stabilit`a dell’equilibrio.

5.5.4

Pressione eccentrica

Se la forza N `e applicata eccentricamente rispetto all’asse della trave, essa produce, in una generica sezione di ascissa x, il momento N [e + w (x)], in cui Ne `e il momento del primo ordine, che si ottiene trascurando l’influenza della deformazione, e Nw (x) il contributo aggiuntivo dovuto agli effetti del secondo ordine. Nel caso che la forza N agisca eccentricamente l’equazione (5.41) `e quindi sostituita dalla: EJ

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

d2 w + |N| w = − |N| e dx2

(5.55)

137

5.5 Elementi snelli

1

0.8

σc

/fd

0.6

0.4

0.2

0 0

1

2

λ

3

4

5

/λc

Aste tozze

Aste snelle

Figura 5.19: Rapporto tra la tensione critica e la resistenza del materiale in funzione della rigidezza ridotta λ/λc dell’asta.

l N x

e

w(x)

A

B

u z Figura 5.20: Asta soggetta ad una compressione eccentrica.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

138

Capitolo 5 Strutture in acciaio

La soluzione generale della (5.55) `e

q

w (x) = C1 sin (αx) + C2 cos (αx) − e

(5.56)

dove (5.42) α = |N| . Per determinare i valori delle costanti C1 e C2 si deve tener EJ conto dalle condizioni imposte dai vincoli: w (0) = C2 − e = 0 w (l) = C1 sin (αl) + C2 cos (αl) − e = 0

(5.57a) (5.57b)

Risolvendo questo sistema di due equazioni lineari otteniamo: C2 = e, C1 = e 1−cos(αl) ; sostituendo i valori trovati nella (5.56) abbiamo: sin(αl) ¸ 1 − cos (αl) sin (αx) + cos (αx) − 1 = w (x) = e sin (αl) ∙ ¸ sin (αx) − cos (αl) sin (αx) + cos (αx) sin (αl) =e −1 = sin (αl) ∙ ¸ sin (αx) + sin [α (l − x)] =e − 1 (5.58) sin (αl) ∙

La freccia massima si raggiunge nella mezzeria della trave. Per x = l/2 la (5.58) diviene # " " # ¡ ¢ 2 sin α 2l 1 ¡ l¢ −1 wm = e −1 =e (5.59) sin (αl) cos α 2

Nella sezione di mezzeria agisce quindi il momento massimo che, utilizzando il risultato appena trovato, `e: Mmax = |N| (e + wm ) = |N|

e ¡ l¢ cos α 2

(5.60)

¡ ¢2 , sostituendo nel denominatore Poich´e, per −π/2 < θ < π/2, si ha cos (θ) ≈ 1− 2θ π ¡ αl ¢2 ¡ l¢ della (5.60) cos α 2 con 1 − π , tenendo conto della definizione (5.42) di α e di quella (5.48) del carico euleriano, risulta Mmax ≈

|N| e

1−

|N| EJ

l2 π2

=

|N| e

1−

|N| NE

(5.61)

Il termine a numeratore nella (5.61) `e il momento del primo ordine |N| e, il fattore a denominatore `e la correzione introdotta dagli effetti del secondo ordine. Se |N| ¿ NE questo termine `e circa uno e quindi Mmax ≈ |N| e. Ma quando |N| → NE il denominatore della (5.61) tende a zero e quindi Mmax → ∞. Questo risultato si deduce anche dalla formula non approssimata (5.60), in quanto, per |N| = NE si ha αl = π e quindi cos (αl/2) = cos (π/2) = 0. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

139

5.5 Elementi snelli

5.5.5

Verifica delle aste snelle: il metodo ω.

Un’asta soggetta solo ad una forza assiale `e un’astrazione che non pu`o essere realizzata in pratica. Le cause che inducono eccentricit`a accidentali anche nelle aste idealmente soggette alla sola forza normale sono molteplici; tra le principali possiamo annoverare l’imperfezione dei vincoli, che trasmettono anche una sollecitazione di flessione, la non perfetta rettilineit`a della linea d’asse della trave, dovuta ai processi di fabbricazione, la non perfetta verticalit`a, che produce un non parallelismo tra la forza, generalmente verticale, e la linea d’asse, la presenza di altre forze dirette ortogonalmente all’asse della trave, come la pressione del vento, ecc. Tuttavia queste eccentricit`a sono generalmente piccole e, quando gli effetti sono proporzionali alle cause, possono essere trascurate senza commettere un eccessivo errore. Questo si verifica quando la forza `e di trazione o, se di compressione, `e (in valore assoluto) molto minore del carico euleriano. Infatti dalla (5.61) segue che, se |N| ¿ NE si ha M ' Ne, ovvero vi `e proporzionalit`a tra forza esterna e sollecitazione. Tenendo |N| conto che N = σ|σ|E e che, per i limiti del materiale, |σ| < fd , la condizione precedente E `e sicuramente soddisfatta se σE À fd , ovvero, per la (5.54), se λ ¿ λc . Quando la forza assiale di compressione si avvicina la carico critico, la formula (5.61) dimostra che anche una piccola eccentricit`a produce un momento estremamente grande. Dunque, se la condizione λ ¿ λc non `e soddisfatta, nel progetto delle aste compresse si deve tener conto del termine fornito dalla (5.61), introducendo anche gli effetti delle eccentricit`a accidentali. La verifica di un’asta soggetta ad una forza N con eccentricit`a e si pu`o quindi formulare σ max =

ovvero

|N| |N| e |N| Mmax ´ = + = +³ |N| A W A 1− N W E ⎡ ⎡ ⎤ |N| ⎣ eA eA ´ ⎦ = σm ⎣1 + ³ ³ = 1+ |N| A W 1− N W 1− E σm ≤

fd 1+

 eA  W 1− σσm

|N| NE

⎤

´ ⎦ ≤ fd (5.62) (5.63)

E

|N | A

dove σm = `e la tensione media generata dalla sola forza normale, trascurando l’eccentricit`a. L’equazione precedente si pu`o risolvere rispetto a σm in funzione dell’eccentricit`a casuale e e della tensione euleriana σ E (che dipende dalla snellezza). Fissata l’eccentricit`a casuale (che viene determinata con criteri statistici) si pu`o ottenere una funzione γ (λ), tale che la (5.62) `e soddisfatta se σm ≤ γ (λ) fd

(5.64)

In Fig. 5.21 sono mostrate quattro di tali curve, ottenute per diversi valori di e, dedotte dalle norme UNI-CNR 10011. Le diverse curve, contraddistente con una lettera, si riferiscono a diversi tipi di sezioni, come indicato nella tabella in Fig. 5.22 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

140

Capitolo 5 Strutture in acciaio

1 a b 0.8 c d 0.6 γ=

σm /f y

0.4

0.2

0 0

1

λ/ λc

2

3

Figura 5.21: Curve γ = σm /fd relative a quattro differenti tipologie di sezione (UNI-CNR 10011).

Figura 5.22: Corrispondenza tra le tipologie delle sezioni e le cirve γ. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

141

5.5 Elementi snelli

Tenendo conto della definizione di σ m = N/A, dalla (5.64) deduciamo N ≤ γfd A

(5.65)

Questa relazione si scrive abitualmente portando γ a primo membro. Posto ω = γ1 , si ottiene Nω ≤ fd (5.66) A In questa forma la verifica di un’asta snella soggetta ad un carico assiale si esegue in modo analogo a quello di un’asta tozza, cio`e confrontando la tensione con la resistenza del materiale fd , ma solo dopo aver moltiplicato la forza per il fattore ω. Poich´e, come `e evidente dalla Fig. 5.21, γ ≤ 1, ω, essendone l’inverso, `e maggiore o uguale ad uno; quindi, invece di ridurre la resistenza, si preferisce aumentare la sollecitazione: questo `e in effetti pi` u coerente con la natura del fenomeno, in quanto gli effetti del secondo ordine aumentano le sollecitazioni, ma, ovviamente, non modificano le caratteristiche del materiale. Oltre che dal tipo di sezione, γ e ω sono funzioni di λ/λc e quindi, ricordando la (5.53), anche di E ed fd . Assumendo che il modulo elastico dell’acciaio non cambi in modo significativo insieme alle altre caratteristiche del materiale, rimane che, per ogni tipo di curva, ω `e funzione di λ e di fd . Nelle tabelle riportate nelle Fig. ?? ?? - ??, tratte dalle norme CNR-UNI citate, sono riportati i valori di ω in funzione di λ, per i tre tipi di acciaio previsti nella normativa e relativi alla curva c, che `e valida per la maggior parte dei profili laminati. La normativa attuale non ammette l’impiego di elementi con snellezza maggiore di 200, come elementi principali, e di 250 per gli elementi secondari. Esempio 5.2 Progettare un pilastro in acciaio di lunghezza l = 400 cm, vincolato alle estremit` a con cerniere, e soggetto ad una forza N = 500 kN, utilizzando un profilato HEB ed un acciaio Fe 510 (fd = 355 MPa). Poich´e le dimensioni della sezione non sono note, non conosciamo il valore del giratore d’inerzia ρ e pertanto non possiamo determinare la snellezza λ. Dobbiamo quindi procedere per iterazione: 1. Si fissa un valore di ω di primo tentativo, p.es. ω = 2. 2. Si calcola l’area necessaria (per ω = 2) A=

500 × 2 Nω = = 28.2 cm2 fd 35.5

3. Si cerca il profilo che approssima (per eccesso) l’area trovata. Dalla Fig. 5.9, si trova per HEB120 A = 34.0 cm2 , ρmin = 3.06 cm, pertanto, per questa sezione: λmax =

l ρmin

= 130.72

Nella tabella in Fig. ??, per λ = 131 → ω = 3.87. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

142

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Figura 5.23: Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe360 (curva c). 4. Si verifica la sezione per i dati effettivi σ=

Nω 500 × 3.87 kN > fd = = 56.9 A 34 cm2

Poich´e la sezione non `e verificata si deve iterare il procedimento. Dato che al crescere di ω aumentano le dimensioni della sezione (e quindi ρ), ad una sezione pi` u grande corrisponde una snellezza minore, e dunque anche un minore valore di ω. Pertanto non `e conveniente utilizzare come secondo tentativo il valore di ω trovato, ma uno intermedio tra quello precedente e quello calcolato. 1. Si adotta un nuovo valore di ω =

2+3.87 2

= 2.93.

2. Si calcola l’area corrispondente A=

Nω 500 × 2.93 = 41.3 cm2 = fd 35.5

3. Si cerca il profilo. Per HEB 140 A = 43 cm2 e ρmin = 3.58 cm, e quindi λmax = a cui corrisponde ω = 3.02. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

l ρmin

= 111.7

143

5.5 Elementi snelli

Figura 5.24: Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe430 (curva c). 4. Si verifica la sezione σ=

Nω 500 × 3.02 kN < fd = = 35.1 A 43 cm2 ¤

La sezione `e verificata

5.5.6

Vincoli

Finora abbiamo studiato il caso di un’asta vincolata alle estremit`a con una cerniera ed un carrello. Spesso gli elementi strutturali sono diversamente vincolati. Nei pilastri, ad esempio, le travi circostanti offrono spesso un vincolo che approssima pi` u un incastro che una cerniera; se non vi sono collegamenti ad elementi molto pi` u rigidi, inoltre, una delle estremit`a dell’asta pu`o essere libera di spostarsi. Ad esempio una mensola verticale `e incastrata alla base e completamente libera in sommit`a. I metodi di verifica esposti sopra sono tuttavia ancora utilizzabili, modificando la lunghezza dell’asta. A questo fine si definisce la lunghezza libera di inflessione li = βl

(5.67)

ottenuta moltiplicando la lunghezza effettiva l per coefficiente β dipendente dai vincoli. La verifica si esegue utilizzando la (5.66), ma calcolando il coefficiente ω in funzione della snellezza λ = li /ρ = βl/ρ. Ovviamente, nel caso di travi vincolate Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

144

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Figura 5.25: Valori di ω in funzione della snellezza λ per l’acciaio Fe510 (curva c). con cerniera e carrello risulta β = 1; per altri casi si possono utilizzare i grafici della Fig. ?? , relativi ai casi in cui gli estremi sono fissi o liberi di spostarsi orizzontalmente. Il parametro κ `e il rapporto tra la rigidezza rotazionale del vincolo k (M = kθ) e la rigidezza dell’asta EJ , per cui l κj =

kj l EJ

j = 1, 2

(5.68)

In ciascun grafico, sugli assi sono riportate le rigidezze normalizzate κ dei vincoli ai due estremi delle aste. I punti vicini all’origine corrispondono ad aste incernierate ai due estremi. Nel caso di estremo fisso, si ha il caso dell’asta di Eulero, per cui β → 1; nel caso di estremo libero di spostarsi l’asta diviene labile e quindi β → ∞. Al crescere di κ si va verso la condizione di incastro. I punti sugli assi corrispondono al caso di incastro e cerniera; nel primo grafico β → 0.7, nel secondo β → 2. I punti sulla diagonale per l’origine sono relativi ad aste con vincoli simmetrici; per κ → ∞ (doppio incastro) β → 0.5 nel primo grafico e β → 1 nel secondo. Le norme CNR-UNI 10011 suggeriscono di assumere β = 0.7 (invece di 0.5) nel caso di vincoli di doppio incastro e β = 0.8 (invece di 0.7) nel caso di vincoli di incastro e cerniera. Questa scelta `e ovviamente prudenziale e dipende dalla difficolt`a di realizzare un vincolo di perfetto incastro. Un pilastro pu`o essere vincolato diversamente nelle due direzioni; ad esempio i pilastri del telaio in Fig. 5.27 si possono considerare incastrati alla base e, nella Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

145

5.5 Elementi snelli

10

Estremo Fisso

2

Estremo Libero

2

10

1.

0.525

0.55 0.575 10

1

1.16 1

0.6

10

0.625 0.675

1.3 0.65

0.725

1.47 0.7

0.75

κ2

κ2

0.775

1.66

0.825

1.88

0.8 0.875 10

2.12

0.85

0

2.39

0

10 0.9

2.7

0.925

3.05 0.775

3.44 3.89

0.95

4.39 4.96 5.59

10

-1

-1

-1

10

10

0

10

1

2

10

10

10

-1

κ1

0

1

10

10

2

10

κ1

Figura 5.26: Coefficiente β in funzione delle rigidezze rotazionali relative κ dei vincoli di estremit`a di una trave, nei casi a nodi fissi e mobili. direzione del piano del telaio, parzialmente incastrati in sommit`a, inoltre, a causa dei controventi, si pu`o ritenere che gli spostamenti nel piano siano impediti; pertanto in questa direzione si potr`a ragionevolmente assumere β = 0.7. Nella direzione ortogonale invece la sezione di sommit`a `e libera; pertanto si dovr`a assumere β = 2. Esempio 5.3 Supponendo che il pilastro in Fig. 5.27 abbia lunghezza l = 400 cm e la sezione sia una HEB300, nella direzione del telaio si ha li = βl = 0.7 × 400 = 280 cm e ρ = ρmin = 7.58 cm; pertanto in questa direzione λ1 = 280/7.58 ' 37. Nell’altra direzione li = 2 × 400 = 800, mentre ρ = ρmax = 13; dunque λ2 = 800/13 = 61.5. Dunque la snellezza maggiore si ha nella direzione 2, che corrisponde a quella di maggior rigidezza della sezione, perch´e in questa direzione la lunghezza libera di inflessione `e assai maggiore che nell’altra. ¤

5.5.7

Aste presso-inflesse

Quando lo sforzo normale agente sull’asta ha un’eccentricit`a volontaria e, oltre alle eccentricit`a accidentali di cui si tiene conto tramite il coefficiente ω, la verifica si esegue sommando gli effetti dello sforzo normale a quelli prodotti dal momento Mmax calcolato con la formula (5.61). Si ha quindi σ max =

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

|Ne| |N| ω ´ ≤ fd ³ + |N| A W 1− N E

(5.69)

146

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Figura 5.27: Telaio dell’esempio 5.3. 2

dove NE = πλ2E A `e il carico critico euleriano. ` importante notare che, mentre ω deve essere valutato in base alla snellezza E massima tra quelle delle due direzioni, il carico critico NE si deve calcolare in base alla snellezza relativa alla direzione di azione del momento. Ad esempio, per i pilastri del telaio di Fig. 5.27, il coefficiente ω sar`a valutato in base alla snellezza massima (61.5), mentre, supponendo che nel piano del telaio agisca un momento trasmesso dalla trave, il carico NE che compare nel secondo termine della (5.69) dovr`a essere calcolato in base alla snellezza relativa a quella direzione (λ = 37). Quando il momento (e quindi l’eccentricit`a) varia linearmente lungo l’asse della trave (caso frequente nei pilastri delle strutture intelaiate), si pu`o ancora utilizzare la (5.69), sostituendo all’eccentricit`a costante e un’eccentricit`a equivalente, calcolata con la seguente formula: ½ 0.6e1 + 0.4e2 se |0.6e1 + 0.4e2 | > 0.4 |e1 | (5.70) eeq = 0.4e1 se |0.6e1 + 0.4e2 | ≤ 0.4 |e1 |

dove e1 ed e2 sono le eccentricit`a alle estremit`a dell’asta, ordinate in modo tale che |e1 | ≥ |e2 |.

Esempio 5.4 Un pilastro di un telaio, realizzato mediante un profilato tipo HEB, `e soggetto alle sollecitazioni riportate nella successiva tabella: Sezione N ( kN) My ( kN m) Mz ( kN m) Sup. 300 20 12 Inf. 300 −10 −2 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

147

5.5 Elementi snelli

y

z Figura 5.28: Sezione del pilastro dell’esempio 5.4. ha una lunghezza l = 350 cm ed `e realizzato con acciaio Fe430 (fd = 275 MPa). Il pilastro `e incastrato al piede mentre in sommit` a `e vincolato elasticamente dalle travi circostanti; poich´e il telaio non ha controventi n´e pareti di irrigidimento, si assume che la sommit`a del pilastro sia libera di spostarsi. Si deve dimensionare e verificare il pilastro, assumendo che la direzione di maggior resistenza e rigidezza sia la z (vedi Fig. 5.28); supponendo che le travi in questa direzione siano pi` u rigide, si assumono due diversi coefficienti β: β y = 1.2, 4 β z = 1.5 . Assumiamo ω = 3 e dimensioniamo la sezione solo per forza normale; si ha A=

300 × 3 Nω = = 32.7 cm2 fd 27.5

La sezione HEB120 ha le seguenti caratteristiche: A = 34.0 cm2 , ρy = 5.04 cm, ρz = 3.06 cm. Le lunghezze libere di inflessione sono: liy = β y l = 420 cm, liz = β z l = 525 cm; pertanto le snellezze risultano: λy =

liy liz = 83.3 λz = = 171.5 ρy ρz

Il valore di ω, per il tipo di acciaio e per il valore di λ pi` u grande, `e ω = 4.89; `e evidente che la sezione risulter`a non verificata. Si assume quindi un valore intermedio di ω: ω = (3 + 4.89)/2 = 3.95 e si dimensiona di nuovo la sezione solo per la forza normale: A=

Nω 300 × 3.95 = = 43 cm2 fd 27.5

Assumendo una sezione HEB 160, con le seguenti caratteristiche ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ A cm2 ρy ( cm) ρz ( cm) Wy cm3 Wz cm3 54.25 6.78 4.05 311.5 111.2 risultano le snellezze liy liz λy = = 61.9 λz = = 129.6 ρy ρz 4

Per comodit` a utilizziamo per tutte le grandezze lo stesso p indice del momento flettente e del momento d’inerzia. Poich´e My e Jy hanno per asse y, ρy = Jy /A `e il raggio d’inerzia maggiore e β y indica il coefficiente della lunghezza libera di inflessione nel piano di normale y (cio`e xz). Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

148

Capitolo 5 Strutture in acciaio

Alla snellezza maggiore corrisponde ω = 3.13. Per verificare il pilastro, poich´e il momento varia linearmente lungo l’altezza, calcoliamo il momento equivalente: My∗ = max (0.6 × 20 + 0.4 × (−10) , 0.4 × 20) = max (8.0, 8.0) = 8.0 kN m Mz∗ = max(0.6 × 12 + 0.4 × (−2), 0.4 × 12) = max(6.4, 4.8) = 6.4 kN m

ed i carichi critici nelle due direzioni (E = 200000 MPa) NEy =

π2 E π2 E A = 2791 kN N = A = 637 kN Ez λ2y λ2z

quindi σ max =

M M Nω ³ y ´+ ³ z ´ = 310.6 MPa > fd + N A Wy 1 − NEy Wz 1 − NNEz

La sezione non `e verificata. Si adotta la sezione maggiore HEB180, le cui caratteristiche sono riportate nella tabella seguente: ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ A cm2 ρy ( cm) ρz ( cm) Wy cm3 Wz cm3 65.25 7.66 4.57 425.7 151.4 pertanto λy = 54.8, λz = 114.9 e ω = 2.63. Quindi NEy = 4284 kN e NEz = 974 kN. Da questi dati risulta: σ max =

M M Nω ³ y ´+ ³ z ´ = 202.2 MPa < fd + A Wy 1 − NNEy Wz 1 − NNEz

Le verifiche sono soddisfatte adottando un profilato HEB180.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

¤

Capitolo 6 Il cemento armato 6.1

Introduzione

Nella storia dei processi costruttivi il cemento armato giunge per ultimo, dopo che la muratura ed il legno avevano dominato per millenni, ed anche dopo che le costruzioni in acciaio avevano fatto la loro comparsa alla fine del XVIII secolo. Agli inizi del XX secolo il cemento armato era ancora una tecnica sperimentale, alla fine dello stesso la maggior parte delle costruzioni nel mondo, seppure con proporzioni non uniformi, erano realizzate con questo materiale. Le ragioni di questo successo sono molteplici, particolarmente di natura economica (basso costo) e tecnico-costruttiva (relativa semplicit`a realizzativa, grande flessibilit`a). Oggi l’impiego del cemento armato, particolarmente in Italia, copre un campo assai vasto (probabilmente eccessivo) che va dai piccoli edifici di uno o due piani, ad opere di grande impegno strutturale. Naturalmente il cemento armato trova impieghi anche fuori dal campo dell’edilizia, nelle costruzioni di ponti, dighe, opere idrauliche e marittime, pavimentazioni stradali, ecc. Le strutture in cemento armato sono basate sull’impiego di due materiali: il calcestruzzo e l’acciaio. Il primo, come si vedr`a meglio in seguito, `e un materiale lapideo artificiale, caratterizzato da una rilevante resistenza a compressione ma da una modesta resistenza a trazione. Questa caratteristica, comune alle pietre naturali, ha sempre impedito alle costruzioni in pietra di superare grandi luci mediante l’impiego di travi, a casa delle elevate tensioni di trazione prodotte dalla flessione. Solo con la tecnica dell’arco (o della volta) `e possibile trasferire carichi in punti lontani da quelli di applicazione senza introdurre tensioni di trazione (Fig. 6.1). L’aggiunta dell’armatura, formata da barre in acciaio convenientemente annegate nel calcestruzzo, consente all’insieme calcestruzzo-acciaio (cemento armato, brevemente c.a.1 ) di acquisire anche una sufficiente resistenza a trazione per cui diviene idoneo a sopportare stati di sollecitazione di entrambi i segni. I primi brevetti per sistemi in cemento armato furono registrati da Monier, un produttore di articoli da giardino, che aveva ideato un sistema di rinforzo dei vasi in 1

Sarebbe pi` u corretto parlare di calcestruzzo armato, dizione comune in altre lingue (reinforced concrete, b´eton arm´e, stahlbeton, hormig´ on armado, ecc.). Tuttavia in Italia la locuzione adottata `e quella di cemento armato. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

149

150

Capitolo 6 Il cemento armato

(a)

(b)

Figura 6.1: Foto a sinistra (a): il Partenone; `e evidente la piccola distanza tra le colonne permessa dalla resistenza a trazione delle trabeazioni. Foto a destra (b): il grande spazio coperto dalla cupola del Panteon, a Roma. calcestruzzo mediante un’armatura formata da una rete metallica. Lo stesso Monier, negli anni successivi, estese i suoi brevetti a tubi e serbatoi e quindi ad elementi propri delle costruzioni civili: solette, ponti, scale. Nato in Francia, i cui brillanti progettisti realizzeranno opere ardite (si pensi al ponte Risorgimento a Roma, 100 metri di luce, costruito nel 1910 su progetto Hennebique), il cemento armato trover`a una trattazione teorica pi` u rigorosa soprattutto per merito di ingegneri tedeschi, come Wayss, Bauschinger, M¨orsch, Back e Kleinloghel. Poco dopo le prime applicazioni del cemento armato “ordinario”, venne ideata la precompressione, anche se i materiali dell’epoca non erano ancora adeguati a consentire l’impiego di questa tecnica. La precompressione deve il suo sviluppo particolarmente all’opera del francese Freyssinet, che registr`o numerosi brevetti relativi alle tecniche realizzative. Non `e possibile non ricordare, in questa succinta panoramica, l’opera di Fritz Leonhardt che fu, oltre che acuto studioso delle problematiche del cemento armato, anche progettista di opere di notevole impegno ed arditezza. Il grande sviluppo delle opere in cemento armato, iniziato gi`a nella prima met`a del ’900, ebbe il suo maggiore sviluppo nel periodo successivo alla seconda guerra mondiale, quando le esigenze della ricostruzione diedero grande impulso all’edilizia, ed `e in questo periodo che il cemento armato divenne il “materiale” di gran lunga pi` u utilizzato. Oltre che per i motivi economici e per la grande flessibilit`a, a cui si `e accennato prima, il cemento armato era apprezzato anche per la durevolezza che si supponeva avesse, anche per analogia con le costruzioni lapidee. L’esperienza degli anni successivi ha mostrato che questa previsione era decisamente ottimista; Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

6.2 Il calcestruzzo

151

molte costruzioni in cemento armato di cinquanta o pi` u anni, manifestano notevoli problemi di conservazione. Tuttavia questa deficienza non `e un limite intrinseco, ma dipende soprattutto dalla scarsa qualit`a del calcestruzzo che, specialmente in quegli anni, spesso si veniva a realizzare. Infatti, quello che `e uno dei principali pregi del calcestruzzo, cio`e di essere prodotto, fluido, durante la costruzione e quindi “gettato” nelle cassaforme (il che consente di realizzare forme complesse ed insolite), `e anche il suo punto debole, perch´e `e molto pi` u difficile assoggettarne la produzione a standard uniformi e ad efficaci sistemi di controllo. Allo stato attuale `e possibile, senza eccessive difficolt`a, realizzare calcestruzzi di ottima qualit`a, sia per la resistenza che per la durabilit`a; tuttavia, specialmente nelle opere di minore importanza, i sistemi di controllo non sono ancora sempre cos`ı efficaci da garantire il conseguimento degli standard desiderati.

6.2

Il calcestruzzo

Dei due componenti del cemento armato, il calcestruzzo `e quello prevalente in quantit`a ed `e anche quello che risulta visibile, in quanto l’acciaio rimane nascosto nel getto in cui `e annegato. I componenti basilari del calcestruzzo sono: il cemento, l’acqua e gli inerti (o aggregati). Gli aggregati costituiscono lo scheletro del materiale e ne sono la parte prevalente; generalmente sono realizzati con rocce naturali frantumate (pietrisco) o ghiaia e sabbia. Il cemento svolge la fondamentale funzione di legante, trasformando gli aggregati sciolti in una massa solida, mentre l’acqua `e l’elemento che attiva le reazioni chimiche della “presa” del cemento.

6.2.1

Il cemento

Vi sono diversi tipi di cemento, tutti per`o varianti del capostipite cemento portland. Il cemento portland si ottiene per cottura ad alta temperatura (∼ 1400 ◦ C) di una miscela di rocce calcaree ed argilla; il prodotto di cottura (clinker) viene quindi finemente macinato in mulini a sfere, in modo da ottenere un prodotto che reagisce rapidamente quando posto a contatto con l’acqua. Da un punto di vista chimico il cemento portland `e costituito da una miscela di silicati ed alluminati di calcio; a contatto con l’acqua gli alluminati ed i silicati reagiscono, dando luogo a complesse reazioni che vengono globalmente indicate come idratazione. A seguito di queste reazioni si produce una struttura fibrosa, da cui dipende fondamentalmente la capacit`a collante del cemento (Fig. 6.2). Oltre al cemento portland esistono numerosi altri tipi di cemento, per lo pi` u ottenuti aggiungendo al clinker del portland altre sostanze, naturali od artificiali. Per esempio aggiungendo pozzolana si ottiene il cemento pozzolanico, con l’aggiunta delle scorie di altoforno si ha il cemento d’altoforno; altre miscele si ottengono utilizzando ceneri volanti di silice. I calcestruzzi miscelati si possono giustificare sia per ragioni economiche (il minerale aggiunto costa meno del clinker) sia per ottenere delle particolari caratteristiche (p.es. un pi` u lento sviluppo del calore d’idratazione). Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

152

Capitolo 6 Il cemento armato

Figura 6.2: Rappresentazione schematica del processo di idratazione (da AIMAT).

6.2.2

Gli aggregati

Gli aggregati costituiscono lo scheletro del calcestruzzo e quindi le loro caratteristiche meccaniche e geometriche influiscono sensibilmente sul comportamento del materiale finito. Generalmente gli inerti grossi dovrebbero essere costituiti da rocce che hanno una resistenza meccanica superiore a quella che si vuole ottenere dal calcestruzzo, in modo che la rottura avvenga per rottura dei legami cementizi, non a causa dell’aggregato. Un aspetto fondamentale nella realizzazione del calcestruzzo `e la composizione granulometrica, cio`e le percentuali di inerti grandi, medi e fini che formano la miscela degli aggregati. Infatti una corretta granulometria `e indispensabile per ottenere un riempimento efficace dei vuoti, in modo che si renda minima la quantit`a di cemento necessaria per riempire i vuoti lasciati dagli inerti. La dimensione massima degli aggregati varia a secondo delle caratteristiche del calcestruzzo. Per la realizzazione di oggetti massicci, come spesso capita nelle opere di fondazione, si preferisce usare una dimensione massima degli aggregati elevata, in modo da ridurre il quantitativo di cemento necessario; nei getti di elementi di piccole dimensioni o con un elevato quantitativo di armature, che ostacola la colata del calcestruzzo, si preferisce usare una granulometria di dimensioni minori. In ogni caso la composizione ottimale della miscela di aggregati `e fornita dalla curva di Fuller, che fornisce, in funzione di d, la percentuale P di materiale passante attraverso un setaccio con fori di diametro d (quindi la percentuale di inerti di diametro inferiore a d). La legge di Fuller ha la semplice espressione p P = 100 d/D (6.1) dove D indica il diametro massimo degli inerti. Nella Fig. 6.4 `e rappresentata la curva (6.1) e le percentuali passanti di due componenti, una sabbia ed una ghiaia (da AIMA) mescolati in proporzione del 48 52%.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

6.2 Il calcestruzzo

153

Figura 6.3: Rappresentazione schematica dell’addensamento degli aggregati. Slump (cm) Classe di consistenza Terminologia 0-4 S1 Terra umida 5-9 S2 Plastica 10-15 S3 Semifluida 16-20 S4 Fluida >20 S5 Superfluida Tabella 6.1: Abbassamento al cono di Abrams e classi di consistenza secondo UNI 9858

6.2.3

L’acqua

L’acqua, come si `e detto, ha la funzione di reagire con il cemento, dando luogo alle reazioni di idratazione, da cui derivano la presa e l’indurimento del calcestruzzo. Il quantitativo di acqua strettamente necessario a questo scopo `e di circa il 25% del peso del cemento. In realt`a il quantitativo che normalmente si impiega `e molto superiore, perch´e l’acqua svolge anche la funzione di rendere lavorabile l’impasto. La lavorabilit`a di un calcestruzzo fresco si stima mediante il cono di Abrams, misurando l’abbassamento della massa fresca dopo lo scasseramento (Slump). La norma UNI 9858 definisce cinque classi di consistenza (Tab. 6.1); un calcestruzzo normalmente lavorabile, senza l’impiego di altri accorgimenti, come la vibrazione, dovrebbe appartenere alla classe S3 (o maggiore). La lavorabilit`a del calcestruzzo aumenta al crescere del quantitativo d’acqua in eccesso rispetto a quella richiesta per le reazioni chimiche, ma dipende anche dal tipo di aggregati impiegati. Gli aggregati di piccola granulometria richiedono pi` u acqua di quelli di granulometria maggiore, mentre quelli di forma tondeggiante e liscia ne richiedono meno di quelli scabrosi e di forma allungata. L’aumento del rapporto acqua/cemento (a/c) sfortunatamente produce una raGiannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

154

Capitolo 6 Il cemento armato

Curva di Fuller

Sabbia

Ghiaia

Totale

120

percentuale passante

100

80

60

40

20

0 0

5

10

15

20

25

diametro setaccio (mm)

Figura 6.4: Miscela degli inerti di un calcestruzzo e confronto con la curva di Fuller

pida diminuzione delle prestazioni meccaniche (resistenza) e della durabilit`a del calcestruzzo. Infatti l’acqua in eccesso, rimasta libera, occupa degli spazi che, dopo la fuoruscita dell’acqua, restano vuoti, aumentando notevolmente la porosit`a del materiale. La presenza dei pori riduce la resistenza a compressione del calcestruzzo e ne aumenta la deformabilit`a; amplifica inoltre alcuni fenomeni di deformazioni ritardate, come il ritiro e la viscosit`a. Infine, favorendo la permeazione di agenti esterni e la conseguente alterazione del materiale, ne riduce sensibilmente la durabilit`a.

Figura 6.5: Slump test con il cono di Abrams Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

155

6.2 Il calcestruzzo

Componente Peso (kg) Volume (l) Cemento 370 123 Acqua 200 200 Aggregati 1788 675 Aria 2 Totale 2359 1000 Tabella 6.2: Composizione media di un calcestruzzo Rck = 30 MPa e classe di consistenza S3. Cemento 325, rapporto a/c = 0.54

6.2.4

Composizione del calcestruzzo

Per ottenere un calcestruzzo di classe S3 occorre mediamente un rapporto acqua/cemento di circa 0.5. La resistenza del calcestruzzo cresce con l’aumento della quantit`a di cemento, tuttavia per ottenere calcestruzzi di resistenza molto elevata ( > 50 MPa) occorre ridurre drasticamente il rapporto acqua/cemento, recuperando la lavorabilit`a mediante l’aggiunta di opportuni additivi. A titolo di esempio, nella Tab. 6.2 `e riportata la composizione di un calcestruzzo (classe di resistenza Rck = 30 MPa) e classe di consistenza S3. Le prestazioni dei calcestruzzi si possono fortemente migliorare introducendo nella composizione degli additivi chimici, che l’industria del settore mette a disposizione del progettista. Vi sono vari tipi di additivi, che svolgono differenti funzioni: (fluidificanti, aeranti, acceleranti, ritardanti, ecc.). Gli additivi pi` u importanti, ai fini della resistenza, sono i fluidificanti, che consentono di ridurre drasticamente la quantit`a di acqua in eccesso, e quindi di produrre calcestruzzi con bassissima porosit`a, pur mantenendo all’impasto un’elevata fluidit`a. Tra i calcestruzzi speciali si possono citare i calcestruzzi fibrorinforzati, ottenuti aggiungendo fibre di acciaio (o di altro materiale dotato di resistenza a trazione). La presenza di fibre conferisce al calcestruzzo una resistenza a trazione molto superiore a quella dei calcestruzzi normali. Di comune utilizzo, soprattutto per la realizzazione di elementi non strutturali (p.es. pannelli di tamponatura), sono i calcestruzzi leggeri , ottenuti sostituendo gli inerti naturali con prodotti artificiali di minore peso specifico (generalmente argilla espansa). Alla riduzione del peso corrisponde anche una minor resistenza, per cui generalmente si distingue tra calcestruzzi leggeri strutturali (con densit`a di circa 1800 kg/ m3 ) e calcestruzzi leggeri non strutturali, con densit`a che possono essere anche molto minori.

6.2.5

Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo

Resistenza a compressione u significativo tra quelli che La resistenza a compressione (fc ) `e il parametro pi` definiscono le propriet`a meccaniche del calcestruzzo, e spesso `e l’unico che viene direttamente misurato. La resistenza si misura su campioni di forma cubica, di 15 cm di lato (Resistenza cubica Rc ) o su cilindri con diametro d = 15 cm ed altezza Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

156

Capitolo 6 Il cemento armato

Figura 6.6: Curve tensione—deformazione di calcestruzzi di differenti classi di resistenza doppia (resistenza cilindrica fc ). Le condizioni di prova influenzano sensibilmente il valore della resistenza: mediamente fc = 0.83Rc

(6.2)

Nella Fig. 6.6 sono rappresentate alcune curve tensione—deformazione ottenute su cilindri standard relative a calcestruzzi di differenti classi di resistenza. Si pu`o osservare che in queste curve manca un tratto chiaramente lineare; quindi, raggiunta la tensione massima, per una deformazione prossima a 2 × 10−3 , il calcestruzzo pu`o continuare a deformarsi, ma l’equilibrio `e possibile solo riducendo la forza esterna. Il comportamento `e quindi spiccatamente fragile, tanto pi` u quanto maggiore `e la resistenza. Modulo elastico Anche se manca un ramo iniziale lineare, per valori della tensione sensibilmente minori della resistenza la curva reale pu`o efficacemente essere approssimata da una retta. Si pu`o quindi determinare un modulo elastico del calcestruzzo, anche se esso deve essere definito in modo convenzionale, data l’effettiva non-linearit`a del materiale. Le norme UNI 6556 prevedono che il modulo elastico (secante) sia valutato con l’espressione σ1 − σ0 Ec = (6.3) ε1 − ε0 dove σ 1 ' fc /3 e σ0 ' fc /10 (fc = resistenza a compressione) mentre ε1 ed ε0 sono i corrispondenti valori della deformazione. Dalla Fig. 6.6 appare chiaramente che al crescere della resistenza aumenta anche il modulo elastico. Non vi `e una relazione deterministica tra modulo elastico e resistenza, ma soltanto una correlazione statistica. Tuttavia, poich´e spesso la sola grandezza misurata `e Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

6.2 Il calcestruzzo

157

Figura 6.7: Schema delle prove per la misura della resistenza a trazione del calcestruzzo: flessione (a) e taglio (b). la resistenza, `e opportuno disporre delle relazioni che forniscano, in media, il valore del modulo elastico in funzione della resistenza a compressione. Questa relazione viene normalmente posta nella forma (fib): µ ¶1/3 fc (6.4) Ec = αE Ec0 fc0 dove Ec0 = 215000 MPa, fc0 = 10 MPa e αE `e una costante che dipende dalla natura degli inerti, variabile tra 0.7 e 1.2. Resistenza a trazione La resistenza a trazione del calcestruzzo `e notevolmente inferiore di quella a compressione; inoltre il comportamento `e decisamente fragile, nel senso che, superata la tensione massima, la resistenza decade rapidamente e si annulla all’aumentare della deformazione. A causa di tale fragilit`a, misure dirette della resistenza a trazione sono molto delicate, in quanto anche piccole imprecisioni nella prova, ad esempio non perfetta assialit`a della forza, possono alterare in modo rilevante il risultato della misura. Per questo motivo si preferiscono misure indirette, per esempio a flessione o a taglio su cilindri (prova brasiliana), come illustrato in Fig. 6.7. La resistenza a flessione `e tuttavia maggiore di quella che si ottiene dalle prove di trazione e dipende dalle dimensioni del provino. Per le dimensioni comunemente utilizzate il rapporto fctf /fct `e circa 1.5. La resistenza a trazione aumenta al crescere di quella a compressione, ma anche in questo caso la corrispondenza `e solo di tipo statistico. In media si pu`o assumere che (fib) ¶ µ fc fct = fct0 ln 1 + (6.5) fc0 in cui fct0 = 2.12 MPa e fc0 = 10 MPa. Comportamento del calcestruzzo nel tempo Resistenza Le reazioni chimiche che avvengono nel cemento al momento della presa e, successivamente, durante l’indurimento, si prolungano per molto tempo, per Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

158

Capitolo 6 Il cemento armato

Figura 6.8: Variazione nel tempo della resistenza del calcestruzzo (riferita a quella a 28gg), per diversi tipi di cemento. cui le caratteristiche del calcestruzzo continuano a mutare nel tempo. La resistenza, come mostra il grafico di Fig. 6.8, continua ad aumentare nel tempo, tendendo ad un valore asintotico che si raggiunge dopo diversi anni. La resistenza finale, come si vede, pu`o essere tra il 10 ed il 35% maggiore di quella di riferimento, misurata convenzionalmente dopo 28 giorni dal getto. Ritiro Un altro aspetto del calcestruzzo che si manifesta nel tempo `e il ritiro. Questo `e una riduzione isotropa del volume del getto che si sviluppa nel tempo e si completa dopo alcuni anni. Una parte del ritiro `e dovuta a fenomeni legati al proseguimento delle reazioni di idratazione del cemento. L’entit`a di questo ritiro aumenta quindi con la quantit`a di cemento impiegata e dunque, in sostanza, con le prestazioni meccaniche, inoltre questa parte del ritiro si esaurisce (o quasi) in tempi relativamente brevi (circa 2 mesi). L’altra parte del ritiro `e dovuta all’essiccamento, ossia alla perdita dell’acqua in eccesso rimasta nei pori del materiale. L’entit`a e la rapidit`a di questo fenomeno dipendono ovviamente, oltre che dal rapporto acqua/cemento, dalle condizioni ambientali. In ambiente secco il fenomeno `e rapido e pi` u rimarchevole, mentre in ambiente umido `e pi` u lento e, in condizioni di saturazione (umidit`a 100%), praticamente assente. Come si vede dalla Fig. 6.9, la parte del ritiro dovuta all’essiccamento `e maggiore nei calcestruzzi di bassa o normale qualit`a (per i quali `e maggiore il rapporto a/c) a confronto con quelli di alte prestazioni (rapporto a/c minore). Viscosit` a Quando si applica un carico ad un elemento in calcestruzzo (p.es. un pilastro) questo subisce una deformazione praticamente istantanea; se la tensione Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

6.2 Il calcestruzzo

159

Figura 6.9: Svilluppo del ritiro nel tempo per un calcestruzzo normale (NSC) ed uno ad alta resistenza (NSC).

non `e troppo vicina a quella di rottura, questa deformazione si pu`o calcolare come rapporto tra la tensione ed il modulo elastico del calcestruzzo: εc = σ c /Ec . Se il carico applicato non viene rimosso, ma continua ad agire per un tempo abbastanza lungo, la deformazione non resta costante, ma continua a crescere, pur tendendo verso un valore asintotico che praticamente si raggiunge dopo alcuni anni. Il fenomeno `e quasi irreversibile; se si rimuove il carico dopo un lungo tempo la deformazione elastica viene recuperata solo parzialmente a causa dell’aumento della rigidezza del materiale avvenuta nel tempo, mentre la deformazione viscosa risulta praticamente permanente (si veda Fig. 6.10). La causa principale delle deformazioni ritardate `e dovuta all’acqua in eccesso che, posta in pressione, tende ad essere espulsa dalla massa del calcestruzzo. Anche per la viscosit`a le condizioni ambientali (umidit`a) influiscono sull’evoluzione del fenomeno: non molto sull’entit`a finale della deformazione, ma in modo rilevante sulla rapidit`a con cui si sviluppa. L’entit`a della deformazione finale `e invece prevalentemente dipendente dal rapporto acqua/cemento. Si deve tenere presente che la deformazione viscosa non costituisce una piccola frazione di quella elastica; al contrario, come si vede anche dalla Fig. 6.10, forma la parte prevalente della deformazione complessiva. Mediamente, per un calcestruzzo normale, le deformazioni ultime dovute alla viscosit`a sono circa doppie di quelle elastiche istantanee. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

160

Capitolo 6 Il cemento armato

Figura 6.10: Sviluppo nel tempo delle deformazioni di un elemento di calcestruzzo compresso.

6.3

L’acciaio per il cemento armato

Negli elementi in cemento armato il calcestruzzo rappresenta il costituente che in volume `e largamente prevalente; l’acciaio, anche se impiegato in quantit`a molto minore, svolge tuttavia un ruolo altrettanto importante, perch´e, come si vedr`a meglio nel seguito, ad esso `e affidato il compito di resistere alle sollecitazioni di trazione per le quali, come `e stato mostrato in precedenza, il calcestruzzo ha una resistenza molto limitata. L’acciaio per il cemento armato viene normalmente prodotto in barre o fili (questi ultimi si impiegano solo nel cemento armato precompresso). L’acciaio per il cemento armato ordinario ha, dal punto di vista meccanico, un comportamento notevolmente duttile. Nel diagramma tensioni-deformazioni (Fig. 6.11) si riconosce un tratto elastico lineare, caratterizzato da un modulo elastico Es , fino alla tensione di snervamento fy , dopo di che si verifica lo scorrimento plastico e, successivamente, la fase di incrudimento in cui si raggiunge la resistenza massima ft seguita dal tratto instabile (pendenza negativa) concluso dalla rottura della barra. Negli anni passati venivano impiegati acciai di modesta resistenza allo snervamento (200 ∼ 300 MPa) ma notevole duttilit`a (allungamento a rottura > 20%) e sensibile differenza tra la tensione di snervamento e quella di rottura (ft = 340 ∼ 490 MPa). Questi acciai venivano prodotti in barre tonde, con diametri compresi tra 6 e 30 mm, lunghezze di circa 12 m. Attualmente la produzione si `e concentrata su acciai di maggior resistenza (fy ∼ 500 MPa) ma con minore duttilit`a (allungamento a rottura > 10%) e minore incrudimento ft ∼ 600 MPa. Queste armature sono prodotte in barre circolari ma la cui superficie `e sagomata con opportuni risalti, come mostrato in Fig. 6.12. Questo trattamento serve ad aumentare l’aderenza tra l’acciaio ed il calcestruzzo, come sar`a chiarito meglio nel prossimo paragrafo. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

6.3 L’acciaio per il cemento armato

161

Figura 6.11: Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ordinario da c.a. Poich´e le barre nervate non hanno una sezione perfettamente circolare, per esse si utilizza un diametro convenzionale, ossia quello di una barra perfettamente circolare equipesante. Oltre all’acciaio “ordinario”, nel cemento armato (precompresso) si utilizza anche acciaio ad altissima resistenza; questo viene normalmente prodotto in fili di piccolo diametro, spesso riuniti in trecce o trefoli di pi` u fili. Il comportamento di questo tipo di acciaio `e molto diverso da quello dell’acciaio “dolce”, descritto prima. Infatti in questi acciai mancano completamente lo snervamento e la fase plastica, ed il comportamento ha una transizione graduale dalla fase lineare a quella non-lineare, in cui si raggiunge il valore massimo della tensione (ft ) e quindi la rottura (Fig. 6.13). La resistenza di questi acciai (∼ 2000 MPa) `e nettamente superiore a quella degli acciai ordinari, ma la duttilit`a `e notevolmente inferiore. Mancando lo snervamento, per questi acciai non si pu`o individuare una tensione fy ; convenzionalmente in sua vece si utilizza la tensione f0.2 , che corrisponde ad una deformazione residua dello 0.2%. Il modulo elastico degli acciai `e poco sensibile alle differenze di composizione e di resistenza; esso normalmente varia tra 195 000 e 210 000 MPa, mentre il coefficiente di Poisson si pu`o assumere ν ' 0.3.

6.3.1

Aderenza tra acciaio e calcestruzzo

Nella teoria del cemento armato si assume che i due materiali costituenti, calcestruzzo ed acciaio, siano perfettamente solidali e quindi in due punti molto vicini, uno appartenente ad una barra di acciaio, l’altro al calcestruzzo, le deformazioni non differiscano per pi` u di un infinitesimo della distanza tra i punti (vedi Fig. 6.14). Nel calcestruzzo non fessurato questo `e possibile grazie alla presenza delle forze di aderenza tra acciaio e calcestruzzo. Durante la presa si stabiliscono dei legami di adesione tra il cemento e la superficie della barra che praticamente impediscono lo Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

162

Capitolo 6 Il cemento armato

Figura 6.12: Esempio di barre nervate (aderenza migliorata) per l’armatura delle strutture in c.a.

Figura 6.13: Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ad alta resistenza

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

163

6.3 L’acciaio per il cemento armato

ε(P)

ε (P ) +

∂ε dP ∂P

Figura 6.14: Sezione di un elemento in calcestruzzo con annegata una barra in acciaio.

Figura 6.15: Diagrammi forza-scorrimento di barre annegate nel calcestruzzo, lisce e sagomate. scorrimento relativo dei due materiali. Questi legami sono tuttavia piuttosto deboli e possono essere vinti da forze non troppo elevate. Quando i legami di adesione sono stati spezzati, allo scorrimento di una barra liscia si oppongono solo le forze di attrito che si sviluppano tra la superficie della barra e quella del calcestruzzo circostante, queste forze sono tuttavia assai deboli e diminuiscono con lo scorrimento, come illustrato nel grafico in Fig. 6.15 (“plain bar”). Questi fenomeni sono messi in evidenza dalle prove di sfilamento, in cui una barra annegata in un provino prismatico di calcestruzzo per una lunghezza prefissata viene estratta, misurando la forza e l’entit`a dello scorrimento. Quando la barra `e opportunamente sagomata, dopo la rottura dell’adesione acciaio-calcestruzzo, sono i risalti, incassati nel getto, che si oppongono allo scorrimento, che pu`o avvenire solo dopo la rottura delle bielle di calcestruzzo che ostacolano il movimento della barra. Con questi accorgimenti `e possibile aumentare in modo rilevante la resistenza allo scorrimento, anche se questo avviene a prezzo di spostamenti relativi tra acciaio e Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

164

Capitolo 6 Il cemento armato

Figura 6.16: Fessurazione del calcestruzzo circostante una barra sagomata: (a) per rottura per taglio, (b) rottura dei denti di calcestruzzo. calcestruzzo in realt`a non trascurabili (vedi Fig. 6.15). In tutti i casi l’entit`a delle tensioni massime di aderenza che si trasmettono tra acciaio e calcestruzzo (forza divisa per l’area della superficie di contatto) dipende, per una data geometria, dalla resistenza del calcestruzzo. Infatti l’aderenza iniziale `e dovuta ad un legame che dipende principalmente dal cemento, mentre l’aderenza offerta dai risalti delle barre sagomate `e direttamente legata alla resistenza dei “denti” di calcestruzzo che si oppongono allo scorrimento della barra.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Capitolo 7 La trave in cemento armato Si supponga di aver realizzato una trave in cemento armato, come quella schematicamente rappresentata in Fig. 7.1a, composta da un prisma in calcestruzzo rinforzato con una o pi` u barre di acciaio disposte nella parte inferiore della trave. La trave `e posta su semplici appoggi e caricata con due forze uguali P disposte simmetricamente rispetto al centro. La struttura `e ovviamente isostatica (uno dei due appoggi si deve intendere che funziona come un carrello) e quindi la trave `e soggetta ad una sollecitazione di flessione (e taglio). Il grafico del momento flettente `e rappresentato nella stessa figura: nei tratti compresi tra gli appoggi ed i carichi il momento cresce linearmente e quindi il taglio `e costante (e pari a P ), nel tratto centrale, dove il momento `e costante, il taglio `e ovviamente nullo; in questa zona dunque la trave `e sollecitata a flessione semplice. Si supponga ora di far crescere il carico P partendo da un carico nullo ed inoltre si assuma che il momento prodotto dal peso proprio sia tanto piccolo da potersi trascurare1 . Mediante un opportuno strumento (flessimetro) si supponga di misurare gli abbassamenti che si producono nella mezzeria della trave a seguito dell’applicazione dei carichi e di riportare queste due grandezze (carico e abbassamento) in un grafico. Eseguendo questo esperimento si ottiene un diagramma simile a quello illustrato nella Fig. 7.1b. Il primo tratto (OA) della curva `e praticamente rettilineo e passa per l’origine. Esso corrisponde a quello che si pu`o prevedere dalla teoria della trave studiata nel Cap. 4, considerando la sezione di calcestruzzo come costituita da un materiale elastico di modulo Ec 2 . Infatti, per piccoli valori del carico, la tensione massima indotta nel calcestruzzo `e inferiore alla sua resistenza a trazione e quindi anche la parte tesa della sezione reagisce; il comportamento del calcestruzzo compresso, inoltre, si pu`o assumere con buona approssimazione essere elastico lineare. 1

Questa ipotesi non corrisponde in genere al vero, ma comunque la si pu`o accettare ai fini dell’illustrazione dei fenomeni che si vuole trattare. In generale l’ipotetesi `e sempre meno valida al crescere del fattore di scala. Infatti il momento del peso proprio cresce con la quarta potenza del fattore di scala, mentre il modulo di resistenza W , come si `e visto nei precedenti capitoli, `e proporzionale al cubo delle dimensioni. 2 In realt`a si deve tener conto anche della presenza dell’armatura, che `e costituita da un diverso materiale, dotato di un diverso (pi` u elevato) modulo elastico. Come questo sia possibile sar`a spiegato nei paragrafi successivi. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

165

166

Capitolo 7 La trave in cemento armato

(1) C

P Forza

P

D Fase III

(2) Fase II

A B Fase I

M

O (a)

spostamento (b)

Figura 7.1: Schema di carico di una trave in c.a. semplicemente appoggiata e digramma carico-abbassamento. Raggiunto il carico corrispondente al punto A, in qualche sezione si supera la resistenza a trazione del materiale e quindi una fessura si innesca e si propaga nella parte inferiore (tesa) della sezione. Se la trave fosse di solo calcestruzzo questo ne comporterebbe il collasso, perch´e nella sezione fessurata non sarebbe pi` u possibile realizzare l’equilibrio tra le forze esterne e le tensioni. Ma l’acciaio presente nel cemento armato interviene assorbendo le forze di trazione rilasciate dal calcestruzzo a causa della fessurazione e rendendo l’equilibrio ancora possibile. La fessurazione riduce la rigidezza della sezione, si ha quindi un aumento dello spostamento, anche se il carico non aumenta (od aumenta di poco) e cos`ı si raggiunge il punto B. Da questo punto in poi, la freccia riprende ad aumentare in modo proporzionale agli aumenti del carico, ma pi` u rapidamente, seguendo il segmento BC. La linea tratteggiata (2) in Fig. 7.1b rappresenta gli abbassamenti calcolati nell’ipotesi che tutta la trave, sin dall’inizio, sia composta da sezioni fessurate. Il comportamento reale BC mostra che gli abbassamenti effettivi sono minori, in virt` u del contributo delle parti non fessurate del calcestruzzo, ma anche che la differenza tra i due si riduce all’aumentare del carico e quindi all’avvicinarsi al punto C. La linea BC `e praticamente rettilinea perch´e in questa fase il comportamento della trave `e fortemente condizionato da quello dell’acciaio, che si ritiene sia in fase elastica. Nel punto C si raggiunge lo snervamento dell’armatura ed ha quindi inizio la fase plastica. Poich´e la forza di trazione non pu`o aumentare (almeno fino a quando le deformazioni non raggiungono la fase dell’incrudimento), anche il momento cresce lentamente con l’abbassamento. Ad un certo punto si raggiunge l’incrudimento ed il momento riprende a crescere, ma spesso, prima di giungere a questo, la deformazione del calcestruzzo compresso pu`o essere divenuta tanto grande da produrre il collasso per schiacciamento del materiale (punto D). La fase I (sezione interamente reagente) ha scarso interesse nel caso degli elementi inflessi, perch´e il momento che produce la fessurazione `e generalmente piccolo; gli elementi vengono quindi normalmente progettati per funzionare, in esercizio, nella fase II. Se tuttavia l’elemento `e soggetto, oltre che alla flessione, ad una forza norGiannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.1 Comportamento in fase I. Omogeneizzazione

167

male di compressione (come avviene per i pilastri), allora `e possibile che in esercizio ci si trovi nella fase I, perch´e la sezione risulta interamente compressa (questo `e quello che accade negli elementi in cemento armato precompresso). Nelle travi inflesse il collasso si raggiunge normalmente nella fase III, dopo che `e avvenuta la fessurazione e poi lo snervamento dell’armatura tesa. Negli elementi prevalentemente compressi tuttavia il collasso si pu`o raggiungere senza che la sezione si sia fessurata (perch´e tutta compressa) o, se fessurata, prima che l’acciaio teso si sia snervato, in quanto il collasso avviene per schiacciamento del calcestruzzo.

7.1

Comportamento in fase I. Omogeneizzazione

Nel calcestruzzo non fessurato si pu`o assumere che vi sia una completa aderenza tra l’acciaio ed il calcestruzzo, pertanto, come mostrato nella Fig. 6.14, le deformazioni in due punti contigui (uno nell’acciaio e l’altro nel calcestruzzo) sono le stesse a meno di un infinitesimo dello stesso ordine della loro distanza. Questo vuol dire che il campo delle deformazioni non manifesta discontinuit`a in corrispondenza del passaggio da un punto in un materiale a quello in un altro. Indicando con ε (P ) tale campo, quello delle tensioni sar`a σ (P ) = E (P ) ε (P ) dove il modulo elastico E del materiale `e ora una funzione di P , in quanto dipende dal materiale presente nel punto. La forza ed il momento risultanti delle tensioni nella sezione sono quindi Z N= E (P ) ε (P ) dA (7.1a) Z A M= E (P ) ε (P ) z (P ) dA (7.1b) A

in cui z (P ) `e la distanza del punto P dall’asse del momento. Le (7.1) si possono scrivere in modo differente, introducendo un modulo di riferimento (costante) E0 : Z Z Z E (P ) E0 ε (P ) dA = σ 0 (P ) α (P ) dA = σ 0 (P ) dA∗ (7.2a) N= E0 A A A Z Z Z E (P ) z (P ) E0 ε (P ) dA = z (P ) σ 0 (P ) α (P ) dA = z (P ) σ 0 (P ) dA∗ M= E0 A A A (7.2b) Nelle (7.2) σ0 (P ) = E0 ε (P ) `e la tensione che si avrebbe nel punto P se il modulo elastico del materiale fosse quello di riferimento E0 e α (P ) = E (P ) /E0 `e il rapporto tra il modulo effettivo e quello di riferimento che viene detto coefficiente di omogeneizzazione; nell’ultimo membro si `e poi posto dA∗ = α (P ) dA, quindi dA∗ `e un’area pesata con il coefficiente α (P ). Le due equazioni (7.2) dimostrano che, nell’ipotesi di perfetta aderenza, una sezione composta con parti di diversi materiali Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

168

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Figura 7.2: Sezione di una trave in cemento armato come sovrapposizione della sezione di calcestruzzo (forata) e quella delle barre. si pu`o assimilare ad una realizzata con un unico materiale, avente il modulo elastico E0 , ma in cui le aree sono pesate mediante il coefficiente α (P ) pari al rapporto tra il modulo effettivo nel punto e quello di riferimento. La sezione cos`ı modificata si dice omogeneizzata, in quanto `e resa equivalente ad una omogenea, perch´e composta da un solo materiale. Nel cemento armato abbiamo a che fare con sezioni composte da due soli materiali: il calcestruzzo e l’acciaio. Come materiale di riferimento si assume normalmente il calcestruzzo, per cui se P `e un punto nel calcestruzzo si ha α (P ) = 1. Per l’acciaio il rapporto Es /Ec viene tradizionalmente indicato con la lettera n; inoltre le sezioni delle barre si possono normalmente assimilare a punti, quindi le formule (7.2) divengono semplicemente Z X N= σ c (P ) dA + n σ ci Asi (7.3a) M=

Z

Ac

i

z (P ) σ c (P ) dA + n

Ac

X

zi σ ci Asi

(7.3b)

i

in cui Ac `e l’area della sezione in calcestruzzo, Asi `e l’area della barra i-esima e σ ci `e la tensione che si ha nel calcestruzzo in un punto adiacente a quello relativo al centro della barra i. A rigore l’area del calcestruzzo dovrebbe essere l’area dell’intera sezione depurata delle parti occupate dalle barre, come mostrato in Fig. 7.2. In pratica tuttavia, dato che l’area dell’armatura `e molto pi` u piccola di quella del calcestruzzo, l’area Ac viene presa coincidente con quella dell’intera sezione, a cui si aggiungono le aree delle barre omogeneizzate. In questo modo l’area occupata da una barra viene conteggiata due volte, una come calcestruzzo (con peso 1), l’altra come acciaio, con peso n. Di conseguenza, se si procede in questo modo, il valore del coefficiente di omogeneizzazione realmente usato `e n + 1.

7.1.1

Sezione pressoinflessa

Data una sezione in cemento armato sollecitata da una forza normale N (di compressione) ed un momento di componenti My ed Mz , se ne vuole determinare lo Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

169

7.1 Comportamento in fase I. Omogeneizzazione

stato di tensione assumendo che la sezione sia in fase I (calcestruzzo non fessurato). In una sezione pressoinflessa le tensioni, per quanto visto nel Cap. 4, sono funzioni lineari delle coordinate; si pu`o quindi porre: σ c = σ0 + ay + bz

(7.4)

in cui σ 0 , a e b sono opportune costanti. Dalle equazioni di equilibrio (7.3) si ha quindi N = σ0

"Z

dA + n

Ac

X

+a

#

Asi +

"i Z

ydA + n

Ac

My = σ0

"Z

zdA + n

Ac

+a

X

Mz = −σ 0

−a

"Z

zdA + n

Ac

#

X

zi yi Asi + b

i

X i

#

yi Asi −

y 2 dA + n

Ac

X

"Z

z 2 dA + n

Ac

#

yi2 Asi − b

i

Ac

i

#

(7.5a)

#

(7.5b)

#

(7.5c)

zi Asi

i

"Z

X

zi2 Asi

i

yzdA + n

Ac

X

yi zi Asi

i

Se gli assi del riferimento sono scelti in modo tale che # "Z # "Z "Z X X ydA + n yi Asi = zdA + n zi Asi = Ac

X

zi Asi +

zydA + n

ydA + n

Ac

"Z

yi Asi + b

#

Ac

"Z

#

i

i

"Z

X

zydA + n

Ac

i

X i

#

zi yi Asi = 0 (7.6)

le (??) divengono N = σ0 My = b

"Z

"Z

dA + n

Ac

z 2 dA + n

Ac

Mz = −a Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

"Z

Ac

X

Asi

i

X

X i

(7.7a) #

(7.7b)

yi2 Asi

(7.7c)

zi2 Asi

i

y 2 dA + n

#

#

170

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Ma Z

dA + n

Ac

Asi = Ac + n

i

Z

Z

X

z 2 dA + n

Ac

X

X

Asi = A∗

(7.8a)

i

zi2 Asi = Jy∗

(7.8b)

yi2 Asi = Jz∗

(7.8c)

i

y 2 dA + n

Ac

X i

sono l’area ed i momenti d’inerzia della sezione omogeneizzata. Dalle (7.7) allora segue che N Mz My a=− ∗ b= ∗ σ0 = ∗ A Jz Jy e quindi la (7.4) diviene σc =

N Mz My − ∗y+ ∗z ∗ A Jz Jy

(7.9)

identica alla (4.23) quando si sostituiscano le grandezze geometriche relative alla sezione omogeneizzata a quelle della sezione effettiva. Inoltre le condizioni (7.6) equivalgono all’annullarsi dei momenti statici Z Z X X ∗ ∗ Sz = ydA + n yi Asi Sy = zdA + n zi Asi Ac

Ac

i

i

e del momento centrifugo ∗ Jyz

=

Z

Ac

zydA + n

X

zi yi Asi

i

della sezione omogeneizzata; in sostanza questo equivale a dire che l’origine del riferimento `e nel baricentro e gli assi sono quelli principali d’inerzia della medesima sezione. La (7.9) fornisce le tensioni nel calcestruzzo. Per determinare le tensioni nella i-esima barra d’acciaio basta osservare che le deformazioni sono le stesse, quindi µ ¶ σ ci 1 N Mz My = − ∗ yi + ∗ zi εi = Ec Ec A∗ Jz Jy e, di conseguenza ¶ µ Es N Mz My σ si = Es εi = σ c = nσ ci = n − ∗ yi + ∗ zi Ec i A∗ Jz Jy

(7.10)

avendo tenuto conto che n = Es /Ec . La (7.10) mostra che la tensione in una barra d’acciaio si ottiene moltiplicando la tensione del calcestruzzo nello stesso punto per il coefficiente di omogeneizzazione n. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.1 Comportamento in fase I. Omogeneizzazione

171

Esempio 7.1 Determinare le tensioni, in fase I, nel calcestruzzo e nell’acciaio in una sezione in c.a., rettangolare di lati b = h = 30 cm e con armatura formata da 4 barre ∅20 mm (area As = 3.14 cm2 ), poste alla distanza δ = 4 cm dai bordi, sollecitata con uno sforzo normale N = −250 kN ed un momento flettente My = 150 kN m, assumendo che il modulo elastico dell’acciaio sia Es = 200 000 MPa e quello del calcestruzzo Ec = 33 000 MPa. Verificare l’ammissibilit`a dell’ipotesi assumendo che la resistenza a trazione per flessione del calcestruzzo sia fctf = 1.5 MPa. Il coefficiente di omogeneizzazione `e n = Es /Ec = 200000/33000 ' 6. Per simmetria il baricentro della sezione omogeneizzata coincide con quello della sezione di calcestruzzo, quindi l’area ed il momento d’inerzia baricentrico della sezione omogeneizzata valgono A∗ = bh + 4nAs = 30 × 30 + 4 × 6 × 3.14 = 975.36 cm2 ¶2 µ ¶2 µ 30 h bh3 30 × 303 ∗ + 4nAs −δ = + 4 × 6 × 3.14 − 4 = 76 618. cm4 Jy = 12 2 12 2 Applicando la (7.9) le tensioni ai lembi della sezione sono σc =

−250 15000 0.037 kN/ cm2 = 0.37 MPa ± 15 = −0.55 kN/ cm2 = −5.5 MPa 975.36 76618

mentre usando la (7.10) si calcolano quelle nelle armature ∙ ¸ −250 15000 −0.246 kN/ cm2 = −2.46 MPa ± 11 = σs = 6 −2.83 kN/ cm2 = −28.3 MPa 975.36 76618 La trazione massima σ max = 0.37 MPa `e minore della resistenza (fctf = 1.5 MPa), quindi l’ipotesi che la sezione sia in fase I `e accettabile. ¤

7.1.2

Il coefficiente di omogeneizzazione

Il coefficiente di omogeneizzazione n `e, come `e stato detto, il rapporto tra il modulo elastico dell’acciaio e quello del calcestruzzo. Nei paragrafi precedenti si `e anche visto che nell’acciaio il modulo elastico `e poco variabile e, mediamente, si pu`o assumere pari a 200 000 MPa, mentre nei calcestruzzi varia sensibilmente e si pu`o ritenere funzione crescente con la resistenza; per i calcestruzzi di normale impiego strutturale si pu`o assumere Ec variabile tra 27000 e 37000 MPa; il valore di n pertanto dovrebbe variare tra 7.4 e 5.4, in funzione delle caratteristiche del calcestruzzo. In pratica tuttavia si utilizza di frequente un valore notevolmente maggiore (n = 15); la ragione di questa apparente discrepanza risiede nel fatto che il rapporto calcolato prima si riferisce alle deformazioni istantanee; nel § 6.2.5, illustrando le propriet`a del calcestruzzo, si `e visto come, per carichi di lunga durata, la deformazione del calcestruzzo continua a crescere nel tempo a causa della viscosit`a, per cui le deformazioni totali a lungo termine, relativamente ai carichi permanenti, sono circa il triplo di quelle istantanee. Questo fatto si traduce in un’apparente diminuzione del modulo elastico del calcestruzzo di un uguale fattore; di conseguenza il coefficiente di omogeneizzazione dovrebbe aumentare in proporzione inversa, divenendo compreso tra circa 16 e 22. Questa valutazione `e tuttavia eccessiva, in quanto assume che l’intero carico sia permanente. Se si suppone che solo il 70% del carico totale sia di lunga Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

172

Capitolo 7 La trave in cemento armato

τad

σc

σs

Figura 7.3: Apertura di una fessura in una trave in cemento armato. durata, le deformazioni totali divengono circa 2.4 volte quelle elastiche, ed a questo corrisponde un coefficiente medio n = 2.4 × 6.3 ' 15. Ovviamente questo `e un calcolo forfettario, lecito quando l’effetto delle deformazioni viscose non modifica in modo sostanziale il comportamento dell’elemento; in caso contrario (p.es. nel cemento armato precompresso) occorre tenere separata l’analisi delle deformazioni istantanee da quella degli effetti lenti. In questo caso nel fissare il valore di n ci si dovr`a riferire alla sua definizione originale, come rapporto tra i moduli elastici istantanei dei due materiali, per esempio assumendo n = 6.

7.2 7.2.1

Analisi della sezione fessurata (fase II) Comportamento della trave fessurata

Superata la resistenza a trazione del calcestruzzo in qualche punto della trave, nella sezione corrispondente si apre una fessura. Come si `e gi`a fatto osservare, se la trave fosse realizzata in solo calcestruzzo questo corrisponderebbe alla sua rottura; viceversa, la presenza dell’acciaio consente alla sezione di trovare un’altra configurazione di equilibrio, in cui la forza di trazione, necessaria ad equilibrare il momento, `e assorbita dall’armatura, mentre il calcestruzzo assorbe la corrispondente forza di compressione. La fessura inizia a propagarsi partendo dalla fibra inferiore, maggiormente tesa, e si estende fin quando le tensioni che si sviluppano nell’acciaio non sono in grado di equilibrare la forza rilasciata del calcestruzzo fessurato; quando questo avviene la fessura si stabilizza e la sezione viene a trovarsi nella nuova configurazione. NatuGiannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

173

7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II)

P

P

Figura 7.4: Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a sola flessione.

ralmente, in una trave ben progettata queste fessure sono molto piccole (∼ 0.1 mm) e praticamente non osservabili. Limitare l’ampiezza delle fessure `e molto importante non soltanto per l’estetica, bens`ı anche per conservare una efficace protezione dell’acciaio. Lo studio di cosa avviene nella trave a seguito della fessurazione (analisi della fessurazione) esorbita dai limiti del corso; nel seguito se ne dar`a solo una descrizione qualitativa, quindi si passer`a allo studio della sezione. Nella Fig. 7.3 `e rappresentato schematicamente un tratto di trave in cui si `e aperta una fessura. Ovviamente l’ampiezza della fessura `e fortemente esagerata per rendere visibili i fenomeni che verranno descritti. Quando la fessura si apre, le facce della fessura si scaricano e quindi le corrispondenti tensioni normali devono annullarsi. Al contrario nell’armatura le tensioni aumentano, perch´e l’acciaio deve assorbire anche la forza rilasciata dal calcestruzzo. Questa condizione non `e evidentemente compatibile con quella della perfetta aderenza; al contrario si produce uno scorrimento tra i due materiali, che pone in azione le tensioni di aderenza (τ ad ). Queste tensioni si oppongono allo scorrimento e quindi restituiscono al calcestruzzo la forza perduta nella sezione fessurata. Il fenomeno si stabilizza quando le tensioni nei due materiali sono tornate ai valori che si hanno nella sezione non fessurata. Questo `e qualitativamente mostrato nella Fig. 7.3, dove i diagrammi σ s e σc rappresentano gli andamenti delle tensioni normali nell’acciaio ed in una fibra di calcestruzzo prossima all’armatura. Al crescere del carico (e quindi del momento) la resistenza del calcestruzzo viene vinta anche in altre sezioni, che tuttavia non possono essere troppo prossime alla prima (e tra loro) perch´e, dopo l’aprirsi di una fessura, le tensioni nel calcestruzzo si annullano in prossimit`a di questa. La trave fessurata `e quindi composta da blocchi di calcestruzzo integri separati da fessure, come illustrato in Fig. 7.4. Tuttavia, quando il momento `e sensibilmente maggiore di quello di fessurazione, il contributo alla rigidezza della trave dei blocchi di calcestruzzo tra le fessure `e modesto, perch´e la tensione in questi blocchi risulta al massimo uguale (ma generalmente `e minore) a quella di fessurazione. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

174

Capitolo 7 La trave in cemento armato

εc

εs Figura 7.5: Conservazione delle sezioni piane in una trave in c.a.

7.2.2

Analisi della sezione inflessa

La discussione precedente ci ha portato a concludere che in corrispondenza delle fessure (e nelle zone circostanti) l’ipotesi di perfetta aderenza tra l’acciaio ed il calcestruzzo teso non `e pi` u applicabile, mentre rimane valida per l’armatura presente nella parte compressa della sezione. Il venir meno della condizione di uguali deformazione tra il calcestruzzo fessurato e l’acciaio non `e tuttavia importante, perch´e il calcestruzzo fessurato (che si assume sia coincidente con quello teso) non fornisce resistenza e quindi non `e necessario conoscerne la deformazione per determinare lo stato di tensione (che `e sempre pari a zero). Ci`o che `e necessario assumere, per continuare ad adottare la teoria di Navier — de Saint Venant, `e che per la sezione reagente (calcestruzzo compresso e acciaio) sia sempre valida l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, come `e illustrato nella Fig. 7.5. Stabilite queste ipotesi, la teoria della trave inflessa si pu`o estendere al calcolo elastico della sezione fessurata, con la precisazione che la sezione della trave `e la sezione reagente omogeneizzata, ossia la sezione costituita dalla sola parte compressa del calcestruzzo e dall’acciaio, pesato con il coefficiente di omogeneizzazione n. Il problema risulta tuttavia sensibilmente pi` u complesso che per la sezione integra; infatti quale sia la sezione reagente dipende dalla posizione dell’asse neutro, che `e incognita ed a sua volta dipende da quale sia la sezione reagente. La soluzione del problema richiede quella di un sistema di due equazioni non lineari, le cui incognite sono i due parametri che definiscono l’equazione della retta che coincide con l’asse neutro. Si esamini una generica sezione in c.a. come quella illustrata in Fig. 7.6; sia η un asse coincidente con l’asse neutro della sezione reagente e ζ un asse ad esso ortogonale; inoltre μ, ν siano altri due assi ortogonali, con l’origine in comune ai Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

175

7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II)

η μ

θ M

ν

ζ

Figura 7.6: Sezione in c.a. sollecitata a flessione in fase II. Campo delle tensioni. precedenti, e tali che μ sia l’asse attorno a cui “ruota” il momento, ossia l’asse parallelo al vettore M. Per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane si pu`o porre σ = λζ

(7.11)

dove λ `e una costante e ζ `e la distanza del punto dall’asse neutro. La (7.11) ovviamente si riferisce ai punti della sezione omogeneizzata, composta dal calcestruzzo compresso e dalle barre di armatura pesate con il coefficiente di omogeneizzazione n. Poich´e la sezione `e sollecitata a sola flessione, la risultante delle tensioni normali deve essere nulla, quindi Z Z σdA = λ ζdA = λSη∗ = 0 (7.12) A∗

A∗

da cui si deduce che Sη∗ = 0. Nella (7.12) l’integrale `e esteso all’area reagente omogeneizzata, quindi Sη∗ `e il momento statico relativo a η di questa sezione. Come era prevedibile dalla teoria generale, questo momento statico `e nullo, perch´e in una sezione inflessa l’asse neutro deve passare per il baricentro della sezione, quindi η `e un asse che passa per il baricentro della sezione reagente omogeneizzata3 . Poich´e per ipotesi l’asse μ coincide con la direzione del vettore M, la proiezione di M su ν, perpendicolare a μ, `e nulla; dunque il momento risultante delle tensioni σ rispetto ν deve essere nullo, ossia Z Z σμdA = λ ζμdA = 0 (7.13) A∗

3

A∗

Nel seguito si dir`a brevemente sezione omogeneizzata, intendendo una sezione composta dalla sola parte compressa del calcestruzzo e delle aree di acciaio moltiplicate per n. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

176

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Ma (vedi Fig. 7.6) ζ = ν cos θ + μ sin θ Sostituendo la (7.14) nella (7.13) si ottiene Z Z νμdA + sin θ cos θ A∗

da cui si deduce che

(7.14)

μ2 dA = 0

A∗

∗ −Jμν tan θ = Jν∗

(7.15)

∗ sono rispettivamente il momento d’inerzia rispetto all’asse ν ed il dove Jν∗ e Jμν momento centrifugo relativo a μν della sezione omogeneizzata. Le due equazioni (7.12) e (7.15) permettono di determinare la posizione dell’asse ∗ neutro, ma esse formano un sistema non-lineare, perch´e le grandezze Sη∗ , Jν∗ e Jμν dipendono dalle incognite, p.es. l’angolo θ e la distanza dell’asse neutro da un punto fisso. La soluzione richiede dunque, in genere, una procedura numerica iterativa, che si trova normalmente implementata in diversi programmi per computer. Trovata la posizione dell’asse neutro, la geometria della sezione reagente risulta definita e quindi tutte le sue caratteristiche possono essere facilmente calcolate. L’ultima equazione di equilibrio non ancora utilizzata `e quella tra il momento risultante delle tensioni ed il momento agente M. Poich´e per definizione μ `e proprio l’asse del momento, si avr`a Z Z σνdA = λ ζνdA (7.16) M= A∗

A∗

e sostituendo la (7.14) nella (7.16) si ottiene ∙ ¸ Z Z ¡ ¢ 2 ∗ M = λ cos θ ν dA + sin θ νμdA = λ Jμ∗ cos θ + Jμν sin θ A∗

A∗

da cui segue, tenendo conto della (7.15), che

p ∗2 ∗2 Jν + Jμν M = M λ= ∗ ∗ sin θ ∗2 Jμ cos θ + Jμν Jμ∗ Jν∗ − Jμν

(7.17)

Sostituendo il valore di λ (7.17) nella (7.11) si ottengono le tensioni nel calcestruzzo. Quelle nell’acciaio risultano dalla stessa relazione, ponendo per ζ le coordinate del centro della barra e moltiplicando il valore trovato per n.

7.2.3

Flessione retta

Se l’asse del momento μ coincide con uno degli assi principali d’inerzia della sezione, ∗ allora Jμν = 0 [vedi pag. 6] e dalla (7.15) si trae che θ = 0, quindi l’asse neutro η `e parallelo all’asse del momento. Nel caso della sezione fessurata per`o questa condizione si verifica solo se l’asse del momento coincide con uno degli assi principali della Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

177

7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II)

y* G*

y*

G* a

a

n

G0 n

y

G0

y

z* z

(a)

z

(b)

Figura 7.7: Flessione di una sezione asimmetrica (a) ed una simmetrica (b) per un momento agente secondo uno degli assi principali d’inerzia della sezione di calcestruzzo.

sezione reagente omogeneizzata, la cui geometria dipende dalla posizione dell’asse neutro ed `e quindi a priori incognita. Ad esempio si consideri la sezione in Fig. 7.7 (a) sollecitata da un momento il cui asse `e parallelo all’asse principale d’inerzia (della sezione non fessurata) y. A seguito della fessurazione gli assi della sezione parzializzata (y ∗ e z ∗ ) non coincidono con quelli della sezione intera e quindi l’asse del momento non `e pi` u asse principale d’inerzia, dunque θ 6= 0 e l’asse neutro `e rotato rispetto all’asse della sollecitazione. Nel caso per`o che la sezione sia simmetrica [Fig. 7.7 (b)] e l’asse del momento sia ortogonale a quello di simmetria, allora, restando l’asse neutro parallelo all’asse del momento, la sezione rimane simmetrica e gli assi principali d’inerzia non rotano; quindi ci troviamo nel caso della flessione retta in cui la direzione dell’asse neutro `e nota, ortogonale all’asse di simmetria. In conclusione, nelle sezioni fessurate, possiamo prevedere che la sollecitazione `e di flessione retta solamente se la sezione omogeneizzata `e simmetrica e l’asse del momento `e ortogonale a quello di simmetria. Delle due equazioni (7.12) e (7.15) la seconda `e soddisfatta ponendo θ = 0, la prima (Sη∗ = 0) `e quindi sufficiente per determinare la posizione dell’asse neutro. Il problema risulta perci`o notevolmente semplificato. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

178

Capitolo 7 La trave in cemento armato

b

y

z1 zc

z2

η

h

Asi z3

z Figura 7.8: Sezione rettangolare soggetta a flessione retta.

7.2.4

Flessione retta della sezione rettangolare

Anche nel caso della flessione retta, la determinazione della posizione dell’asse neutro richiede la soluzione di un’equazione non lineare che in generale si pu`o risolvere solo con una procedura numerica iterativa; molti programmi per computer risolvono efficientemente questo problema per sezioni di forma arbitraria. Per sezioni di forma rettangolare, per`o, esplicitando la (7.12) si ottiene un’equazione di secondo grado, di cui esiste una semplice e ben nota soluzione in “forma chiusa”. Nella Fig. 7.8 `e mostrata una sezione di questo tipo, di lati b, h e k livelli di armatura4 , ciascuno di area Asi (i = 1, . . . , k). Si adotta un riferimento in cui l’asse z (asse di simmetria della sezione) `e ortogonale all’asse del momento e ha origine sul bordo della sezione, dalla parte delle fibre compresse. Rispetto a questo riferimento, zi (i = 1, . . . , k) sono le coordinate dei livelli di armatura e zc `e la distanza dall’origine dell’asse neutro η. Con queste posizioni il momento statico della sezione omogeneizzata rispetto all’asse neutro η `e: X 1 = − bzc2 + (zi − zc ) nAsi = 0 2 i=1 k

Sη∗

che si pu`o opportunamente riscrivere zc2 + 2 4

nAs nAs zc − 2 z¯s = 0 b b

(7.18)

Nella flessione retta, un livello d’armatura `e l’insieme delle barre che si trovano alla stessa distanza dall’asse neutro e quindi hanno la stessa deformazione. L’area di un livello `e ovviamente la somma delle aree dello stesso livello. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

179

7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II)

in cui As =

Pk

i=1

Asi `e l’area totale delle armature presenti nella sezione e Pk zi Asi z¯s = Pi=1 k i=1 Asi

(7.19)

`e la distanza dall’origine del baricentro delle armature. La (7.18) `e un’equazione di secondo grado, la cui soluzione positiva `e ! Ãr nAs 2b¯ zs 1+ −1 (7.20) zc = b nAs La (7.20) ci permette quindi di determinare facilmente la posizione dell’asse neutro di una sezione rettangolare inflessa in c.a. sollecitata a flessione retta. Ora, noto zc , non vi sono difficolt`a a determinare le caratteristiche geometriche della sezione reagente. In particolare il momento d’inerzia rispetto all’asse η, che `e baricentrico, risulta k X bzc3 ∗ +n (zsi − zc )2 Asi (7.21) Jη = 3 i=1 ∗ Quindi, applicando la (7.17) (con Jμν = 0) e la (7.11), poich´e μ ≡ η, si ha

σc =

My (z − zc ) Jη∗

(7.22)

che fornisce i valori della tensione nel calcestruzzo compresso (z < zc ). Il valore (assoluto) massimo si raggiunge sul bordo, per z = 0, e si ha: σ c max = −

My zc Jη∗

(7.23)

La tensione nell’acciaio si ottiene calcolando quella di una fibra di calcestruzzo posta alla stessa distanza dall’asse neutro e amplificandola con il fattore n; si ottiene σ si = n

My (zsi − zc ) Jη∗

(7.24)

La massima distanza dal lembo compresso dell’armatura (max {zsi } = d) `e chiamata altezza utile della sezione. Questo nome deriva dal fatto che, nel calcolo a flessione, non contando il calcestruzzo teso, la sezione effettivamente reagente finisce praticamente in corrispondenza della barra pi` u distante dal lembo compresso. Esempio 7.2 La sezione rappresentata in Fig. 7.9 `e soggetta ad un momento flettente My = 120 kN m. Determinare i valori massimi delle tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio (n = 15). La sezione ha due livelli di armatura As1 = 2 × 2.01 = 4.02 cm2 z1 = 4 cm e As2 = 4 × 3.14 = 12.56 cm2 , z2 = 46 cm. L’area totale delle armature `e pertanto As = As1 + As2 = 4.02 + 12.56 = 16.58 cm2 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

180

Capitolo 7 La trave in cemento armato

25 4 2∅16

50

4∅20 4

Figura 7.9: Sezione dell’esempio 7.2. e la distanza dal lembo compresso del loro baricentro `e z¯s =

4.02 × 4 + 12.56 × 46 = 35.82 cm 16.58

quindi nAs /b = 15 × 16.58/25 = 9.948 cm. Applicando la (7.20) si ottiene la posizione dell’asse neutro ! ! Ãr Ãr nAs 2b¯ zs 2 × 35.82 zc = − 1 = 18.54 cm 1+ − 1 = 9.948 1+ b nAs 9.948 Il momento d’inerzia della sezione omogeneizzata `e allora Jη∗ =

h i 25 × 18.543 + 15 4.02 (4 − 18.54)2 + 12.56 (46 − 18.54)2 = 207918 cm4 3

Pertanto, applicando (7.23) e (7.24):

12000 (−18.54) = −1.07 kN/ cm2 = −10.7 MPa 207918 12000 = 15 (46 − 18.54) = 23.77 kN/ cm2 = 237.7 MPa 218478

σ c max = σ s max

¤

7.2.5

Dimensionamento

Le formule precedenti permettono di calcolare le tensioni prodotte dalla sollecitazione quando la geometria della sezione e le armature sono note. Inversamente `e possibile calcolare le dimensioni e l’armatura di una sezione rettangolare in modo tale che, per un dato valore della sollecitazione M, raggiunga prefissati valori della tensione massima nel calcestruzzo e nell’acciaio. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

181

7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II)

σc0 C zc d

δ

T

As

σs0/n b

Figura 7.10: Risultanti delle tensioni in una sezione inflessa in c.a. con un solo livello di armatura. Con riferimento alla Fig. 7.10, che rappresenta una sezione rettangolare con un solo livello di armatura, siano σ c0 e σ s0 i valori assoluti delle tensioni massime che si vuole siano raggiunti nel calcestruzzo e nell’acciaio. La condizione che questo si verifichi `e rappresentata nel grafico nella stessa figura, in cui σ s0 `e divisa per n per tenere conto del diverso modulo elastico dei due materiali. Da una semplice similitudine tra triangoli si deduce allora facilmente che: σc0 zc = d = ψd (7.25) σ c0 + σ s0 /n σ c0 in cui ψ = σc0 +σ `e una quantit`a nota, quando siano fissati i valori di σ c0 , σs0 e s0 /n del coefficiente di omogeneizzazione n. Se C indica il valore assoluto della risultante delle tensioni di compressione e T la risultante delle tensioni di trazione nell’acciaio, poich´e la sollecitazione `e di sola flessione (N = 0), si dovr`a avere C = T . D’altra parte `e evidente che σ ¯ c (ζ) = σ c0 ζ/zc0

dove σ ¯ c (ζ) indica il valore assoluto di σ c all’ascissa ζ. Si ha dunque Z zc Z zc ζ bzc σ ¯ c dζ = bσc0 dζ = σc0 C=b zc 2 0 0

(7.26)

mentre T = As σ s0 . La distanza tra le risultanti C e T `e detta braccio delle forze interne ed `e indicata con δ. La risultante T passa evidentemente nel baricentro delle armature, distante d dal lembo compresso; la risultante delle compressioni C cade invece nel baricentro del triangolo che ha base σc0 ed altezza zc ; si ha pertanto [eq. (7.25)]: µ ¶ ψ zc (7.27) δ =d− =d 1− 3 3 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

182

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Le forze C e T formano una coppia di braccio δ; `e evidente che il momento di questa coppia deve uguagliare il momento M prodotto dalle forze esterne: dunque M = Cδ = T δ

(7.28)

Sostituendo la (7.26) e la (7.27) nella prima delle uguaglianze (7.28), risulta µ ¶ ψ 2ψ 1− M = σ c0 bd 2 3 da cui si ricava immediatamente r ∙ µ ¶¸−1/2 r ψ ψ M M d = σc0 1− =α 2 3 b b dove

∙ µ ¶¸−1/2 ψ ψ α = σc0 1− 2 3

ψ=

σ c0 σ c0 + σ s0 /n

(7.29)

(7.30)

`e un coefficiente che dipende solo dalle propriet`a dei materiali. Sostituendo l’espressione di T e quella di δ nella seconda delle equazioni (7.28), si ha ¶ µ ψ M = σ s0 As d 1 − 3 da cui segue che As =

M ¡ ¢ σ s0 d 1 − ψ3

(7.31)

Le relazioni (7.29) e (7.31) consentono di determinare l’altezza utile d della sezione e l’area dell’armatura tesa, quando sono assegnati i valori massimi delle tensioni e la base della sezione. L’altezza effettiva h si ottiene aggiungendo a d il raggio massimo delle barre pi` u il copriferro (2 ÷ 4 cm). Esempio 7.3 Progettare una sezione rettangolare in c.a. in cui, per l’azione di un momento paria a 200 kN m si raggiungano i seguenti valori massimi delle tensioni: σ c0 = 9 MPa, σ s0 = 280 MPa, n = 15 ed assumendo b = 35 cm. Si ha 9 σ c0 = 0.325 = ψ= σ c0 + σ s0 /n 9 + 280 15 quindi µ ¶¸ ∙ ψ −1/2 ψ cm 1− = (0.9 × 0.145)−1/2 = 2.768 √ α = σ c0 2 3 kN r 20000 d = 2.768 = 66.17 cm 35 20000 2 ¢ ¡ As = 0.325 = 12.1 cm 28 × 66.17 × 1 − 3 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.3 Calcolo a rottura (fase III)

183

In pratica, determinato il valore teorico di d, da esso si ottiene h sommando a d il raggio delle barre che si intende usare ed il copriferro; questo valore viene poi arrotondato almeno al centimetro, spesso anche a 5 centimetri, preferibilmente in eccesso. Nel caso dell’esempio, prevedendo l’impiego di ∅20 ed un copriferro di 3 cm, si ottiene d = 66.17 + 1 + 3 = 70.17 ≈ 70 cm. Da questo valore, inversamente, si trova il valore effettivo di d da inserire nella (7.31). A rigore, se d non `e quello calcolato anche ψ cambia ma, se la differenza `e modesta, la quantit` a 1 − ψ/3 resta praticamente immutata. Nel caso dell’esempio si avrebbe d = 70 − 4 = 66 cm cm e quindi As = 20000/(28 × 66 × 0.891) = 12.15 (in questo caso la differenza `e assai piccola, data la piccola variazione su d, ma in altri casi con arrotondamenti pi` u significativi, la variazione di As pu`o risultare pi` u rilevante). Trovato il valore teorico di As si calcola il numero delle barre necessario, dividendo As per l’area di una barra ed approssimando all’intero positivo superiore. Nel caso dell’esempio, poich´e l’area di un ∅20 `e 3.14 cm2 , si ha nbarre = 12.15/3.14 = 3.87 → 4. L’area effettiva ¤ risulta quindi As = 4 × 3.14 = 12.56 cm2 .

7.3

Calcolo a rottura (fase III)

Nella Fig. 7.10 `e mostrato come il meccanismo resistente di una sezione in c.a. sia riconducibile ad una coppia di forze: una, di compressione, risultante delle tensioni nel calcestruzzo e (se presente) nell’acciaio compresso, l’altra, di trazione, uguale ed opposta alla prima, risultante delle tensioni nell’armatura tesa. Il momento resistente che equilibria quello dovuto carichi `e il prodotto del modulo di queste forze per la distanza tra le loro rette di azione (braccio delle forze interne). Nell’esempio precedente si `e visto che tale braccio risultava approssimativamente 0.9d (per l’esattezza 0.891d). Questo valore `e influenzato dal quantitativo di armatura, ma `e poco variabile; al crescere del carico, quando il comportamento dei materiali non `e pi` u elastico, questo valore tende ad aumentare, ma poich´e evidentemente si avr`a sempre δ < d, il suo campo di variazione resta comunque limitato. Fin quando i materiali restano praticamente elastici δ `e costante e quindi le forze T = C sono proporzionali ad M; quando si supera la soglia di snervamento dell’acciaio la forza T = As σ s non pu`o pi` u crescere (almeno fino all’incrudimento) e poich´e, per quanto detto, il braccio delle forze `e poco variabile, il momento resistente non potr`a aumentare in modo rilevante. Le deformazioni aumentano, portando entrambi i materiali nel campo del comportamento non lineare; poich´e l’acciaio `e molto pi` u duttile del calcestruzzo, normalmente si verifica che la rottura si raggiunge per eccessiva deformazione del calcestruzzo, anche se il limite di resistenza `e posto di fatto dalla tensione di plasticizzazione dell’acciaio. Questo spiega il ramo CD del grafico di Fig. 6.16 (b). Le leggi tensione—deformazione del calcestruzzo e dell’acciaio sono illustrate nelle Fig. 6.6 e 6.11. Si deve per`o tener presente che, per il calcestruzzo, la legge `e influenzata dal confinamento, cio`e dall’azione di dispositivi che ostacolano la dilatazione laterale del calcestruzzo compresso; questo effetto, in misura diversa, `e normalmente presente nelle travi in c.a. a seguito delle staffe, che esercitano, se abbastanza fitte, una tale azione confinante (si veda Fig. 7.11). Il confinamento aumenta la resistenza Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

184

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Figura 7.11: Azione di confinamento esercitata dalle staffe. e la duttilit`a del calcestruzzo, in quanto riduce la pendenza del ramo decrescente della curva σ − ε. Se si vuole una stima accurata della deformabilit`a ultima della sezione occorre effettivamente tener conto delle reali leggi σ−ε dei materiali. Quando per`o l’interesse `e principalmente posto alla valutazione della resistenza ultima (valore massimo del momento), `e possibile adottare delle leggi semplificate, come quelle illustrate nella Fig. 7.12. Per l’acciaio (a), si adotta la legge elasto-plastica perfetta in cui, dopo la fase elastica, si ha un ramo perfettamente plastico (aumento della deformazione a tensione costante) che termina con il punto limite L. Per il calcestruzzo la legge effettiva, mostrata nella Fig. 6.6, viene approssimata con la legge parabola-rettangolo mostrata nella Fig. 7.12 (b), formata da un tratto parabolico fino alla deformazione εc0 ed uno costante fino all’allungamento di rottura εcu . La legge analitica che esprime tale curva `e semplicemente ⎧ ∙ ³ ´ ³ ´¸ 2 ⎨ fc 2 εεc0 − εεc0 per ε ≤ εc0 (7.32) σc (ε) = ⎩ fc per εc0 < ε ≤ εcu I valori di εc0 e εcu che caratterizzano questa curva sono poco variabili con il tipo di calcestruzzo. I valori comunemente adottati sono εc0 = 2 × 10−3

εcu = 3.5 × 10−3

(7.33)

Questi valori si devono intendere in assoluto, poich´e, come `e ovvio, si riferiscono a deformazioni di compressione. Si `e detto in precedenza che gli acciai da c.a. sono molto duttili, per cui se il punto L (Fig. 7.12) dovesse rappresentare l’allungamento di rottura (>10%), il tratto Y L dovrebbe essere almeno 40 volte maggiore di εy . In pratica si adotta spesso una deformazione limite εsl sensibilmente minore, perch´e il collasso si pu`o ritenere raggiunto per eccessiva deformazione dell’acciaio. La vecchia normativa italiana (D.M. LL. PP. 9/1/1996) prevedeva un valore massimo εsl = 0.01. Questo limite Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

185

7.3 Calcolo a rottura (fase III)

σ fy

Y

L

εy

εsl ε (a)

σ fcu

A

B

εc0

εcu

ε

(b)

Figura 7.12: Leggi tensione—deformazione per l’acciaio (a) e per il calcestruzzo (b) adottate per il calcolo a rottura. `e tuttavia alquanto arbitrario, perch´e, come visto prima, la duttilit`a dell’acciaio `e almeno 10 volte maggiore; d’altra parte il rispetto di questo limite pu`o comportare delle complicazioni nei calcoli, senza peraltro che il loro risultato (il momento ultimo) ne sia apprezzabilmente modificato. Le norme europee sul c.a. (eurocodice 2) non pongono limiti alla deformazione dell’acciaio, se si adotta una legge elasto-plastica come quella di Fig. 7.12; se al contrario si adottasse una legge con incrudimento (tratto YL crescente) allora richiedono che le deformazioni siano limitate a εsl = 0.01. In pratica, per le percentuali di armatura normalmente usate, difficilmente l’allungamento ultimo dell’acciaio supera il 2%, valore ancora prudenziale, soprattutto tenendo conto che l’incrudimento in realt`a limita la deformazione dell’acciaio. Nel seguito pertanto si assumer`a che il collasso di una sezione inflessa possa avvenire solo per il superamento della massima deformazione del calcestruzzo εcu senza porre limiti a quella dell’acciaio.

7.3.1

Momento ultimo di una sezione rettangolare in c.a. soggetta a flessione retta

Per le ipotesi fatte, in una sezione inflessa come quella illustrata in Fig. 7.13, il collasso si raggiunge quando la fibra di calcestruzzo maggiormente compressa raggiunge la deformazione ultima εcu . Fissata la posizione dell’asse neutro, ovvero l’altezza della zona compressa zc , il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo ha la forma mostrata in figura, composta da un tratto parabolico, in corrispondenza delle fibre in cui ε < εc0 , e da un tratto costante, dove ε > εc0 . Se fosse nota l’altezza della zona compressa zc , sarebbe facile calcolare la risultante C delle tensioni di compressione. Infatti la lunghezza del tratto parabolico si determina facilmente mediante ³ una´proporzione tra triangoli simili, da cui si ottiene zc1 = (εc0 /εcu ) zc e c0 zc ; quindi, tenendo conto che C `e pari all’area del diagramma moltizc2 = εcuε−ε cu Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

186

Capitolo 7 La trave in cemento armato

As’

ε 's

d’ zc

C2

zc2 zc1

fc

C1

εc0

d

As

2

εsu

εcu

εs

1

εy

σs

T

b Figura 7.13: Meccanismo di collasso di una sezione rettangolare inflessa plicata per lo spessore b della sezione, si ottiene (l’area sottesa dalla parabola `e 2/3 di quella del rettangolo): 2 C1 = zc1 fc b 3

C2 = zc2 fc b

Assegnando a εc0 e εcu i valori (7.33) si ha che zc1 = 0.5714zc e zc2 = 0.4286zc , per cui C1 = 0.381zc bfc C2 = 0.4286zc bfc e pertanto C = C1 + C2 = 0.81zc bfc

(7.34)

Alla risultante delle tensioni nel calcestruzzo si deve aggiungere quella dell’acciaio compresso. Questa risultante C 0 sar`a ½ Es ε0s se |ε0s | < εy 0 0 0 0 0 (7.35) C = As σ (εs ) = As fy se |ε0s | ≥ εy Anche la deformazione dell’acciaio compresso si calcola facilmente, se `e nota la posizione dell’asse neutro; ricorrendo ancora ad una proporzione tra triangoli simili zc − d0 εs = εcu zc 0

(7.36)

dove d0 `e la distanza dell’armatura dal lembo compresso. Tra la posizione dell’asse neutro e la deformazione dell’acciaio teso εs esiste una semplice relazione, anch’essa deducibile da una similitudine di triangoli. Infatti, poich´e la deformazione del calcestruzzo al lembo compresso `e fissata a εcu , si ha (tutte le grandezze sono prese positive) εs = εcu Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

d − zc zc

(7.37)

187

7.3 Calcolo a rottura (fase III)

ovvero, inversamente

εcu (7.38) εcu + εs Normalmente, quando la rottura avviene in fase III, la deformazione dell’acciaio teso ha superato la soglia di snervamento: in questo caso la tensione nell’acciaio non dipende pi` u dalla deformazione ed `e semplicemente fy . Se la sezione fosse molto armata per`o il collasso si potrebbe verificare prima, nella fase II, per schiacciamento del calcestruzzo precedente lo snervamento dell’acciaio teso. Questo corrisponde a meccanismi di collasso rappresentati da diagrammi delle ε che cadono nell’area 1 della Fig. 7.27, mentre i diagrammi relativi ai collassi normali, che avvengono in fase III, cadono nell’area 2 della stessa figura. La separazione tra queste due regioni `e rappresentata dal diagramma tratteggiato in Fig. 7.27, corrispondente al cos`ı detto meccanismo della rottura bilanciata, nel quale la deformazione dell’acciaio teso coincide con il limite di snervamento εy . La corrispondente posizione dell’asse neutro si ottiene dalla (7.38) ponendo εs = εy : zc = d

z¯c = d

εcu εcu =d εcu + εy εcu + Efys

(7.39)

La risultante delle tensioni di compressione sar`a quindi Ct = 0.81fc b¯ zc + A0s σ 0s dove σ0s si pu`o determinare calcolando ε0s con la (7.36) ponendo z¯c al posto di zc . Poich´e per ipotesi l’acciaio teso `e alla soglia dello snervamento, σ s = fy e quindi T = A¯s fy . Dall’equilibrio delle forze (T = Ct ) si ricava che 0.81fc b¯ zc σ0 + A0s s A¯s = fy fy

(7.40)

In pratica, poich´e εcu > εy , dalla (7.39) si deduce che z¯c > 0.5d; quindi, per sezioni in cui il rapporto d0 /d `e abbastanza piccolo, si avr`a anche che d0 ¿ z¯c e allora dalla (7.36) si deduce che ε0s ∼ εcu > εy (si veda Fig. 7.13) per cui σ0s = fy . In tal caso la (7.40) si semplifica e diviene 0.81fc b¯ zc + A0s A¯s = fy Se l’armatura della sezione `e minore di A¯s , la rottura avviene per snervamento dell’acciaio (εs > εy ) nella fase III (sezioni normalmente armate); se invece As > A¯s il collasso del calcestruzzo avviene quando l’acciaio `e ancora elastico, quindi in pratica nella fase II (sezioni fortemente armate). Le rotture di questo tipo sono fragili ed inoltre non consentono di sfruttare tutta la potenzialit`a dell’armatura, quindi andrebbero evitate, particolarmente quando alla trave `e richiesto un comportamento duttile (cio`e che la rottura si raggiunga per grandi deformazioni e spostamenti). Per calcolare il momento di collasso, oltre alle forze Ct = T , occorre conoscere il braccio della coppia, che ovviamente dipende dalla posizione delle risultanti C1 e Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

188

Capitolo 7 La trave in cemento armato

fc C

0.4zc 0.8zc z c

Figura 7.14: Diagramma rettangolare equivalente. C2 delle tensioni del calcestruzzo, oltre che dalla risultante delle tensioni nell’acciaio compresso, la cui posizione per`o `e nota. Dalla Fig. 7.13 si deduce facilmente che la distanza di C2 dal lembo compresso `e zc2 /2, mentre quella di C1 `e zc2 + (3/8)zc1 (il baricentro della figura delimitata dall’arco di parabola `e a 3/8 dalla base). Tenendo conto dei valori di zc1 e zc2 calcolati in precedenza, nonch´e delle espressioni di C1 e C2 , si ha che la distanza della retta d’azione di C dal lembo superiore `e zO =

0.4286 zc C2 2

¡ ¢ + 0.4286 + 38 0.5714 zc C1 = C 0.2143zc × 0.4286zc bfc + .6429zc × 0.381zc bfc ≈ 0.42zc (7.41) 0.81zc bfc

Diagramma rettangolare equivalente I risultati espressi dalle (7.34) e (7.41) mostrano che, con modesta approssimazione, il diagramma parabola-rettangolo, pu`o essere sostituito da un diagramma rettangolare equivalente (si veda Fig. 7.14) esteso ad un’area di altezza 0.8zc . A questo diagramma corrisponde una risultante 0.8zc bfc la cui retta d’azione `e a 0.4zc dal lembo compresso, valori che approssimano con sufficiente precisione quelli ottenuti dal diagramma parabolico. In realt`a non vi `e grande vantaggio nell’uso del diagramma rettangolare in luogo di quello parabola-rettangolo (pr); anche se i coefficienti 0.8 e 0.4 sono altrettanto legittimi di quelli, 0.81 e 0.42, derivati da quest’ultimo diagramma, tenuto conto della convenzionalit`a delle ipotesi. Nel seguito quindi si continuer`a a fare riferimento al diagramma parabola rettangolo. Collasso in fase III: sezioni normalmente armate Data una sezione con due livelli di armatura As ed A0s (come caso particolare si pu`o avere A0s = 0), note le resistenze del calcestruzzo (fc ) e dell’acciaio (fy ), si vuole calcolare il momento ultimo della sezione. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

189

7.3 Calcolo a rottura (fase III)

Se As < A¯s [eq. (7.40)], per quanto visto il collasso avviene nella fase III (zona (2) del diagramma di Fig. 7.13); quindi la deformazione nell’acciaio teso ha superato la soglia di snervamento e la tensione di conseguenza `e pari a fy . Dunque T = As fy `e nota; d’altra parte, per l’equilibrio della sezione, Ct = T e dunque Ct = 0.81zc bfc + A0s σ 0s = T = As fy

(7.42)

Nella (7.42) sono incogniti zc e σ 0s . Tuttavia se ε0s > εy (tutti i valori sono presi in assoluto), allora σ 0s = fy e quindi nella (7.42) l’unica incognita `e zc . Facendo questa ipotesi dalla (7.42) si trae immediatamente zc =

(As − A0s ) fy 0.81bfc

(7.43)

Perch´e la (7.43) sia effettivamente la soluzione della (7.42) occorre per`o verificare che l’ipotesi fatta (ε0s > εy ) sia corretta. Con il valore di zc trovato si determina ε0s utilizzando la (7.36); se effettivamente risulta ε0s ≥ εy , il valore di zc `e corretto e con esso si pu`o calcolare il momento ultimo, come mostrato pi` u avanti. 0 Al contrario, se εs < εy , questo vuol dire che l’acciaio compresso `e in fase elastica e perci`o σ 0s = Es ε0s < fy . In questo caso la (7.42) si pu`o scrivere, tenendo conto anche della (7.36) zc − d0 0.81zc bfc + A0s Es εcu = As fy zc Moltiplicando tutti i termini per zc e dividendoli per 0.81bfc , l’equazione precedente diviene zc2 −

As fy − A0s Es εcu A0 Es εcu d0 zc − s = 0.81bfc 0.81bfc = zc2 − βzc − γ = 0 (7.44)

dove

A0 Es εcu d0 As fy − A0s Es εcu γ= s 0.81bfc 0.81bfc Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene p β + β 2 + 4γ zc = 2 β=

(7.45)

(7.46)

Determinato zc mediante la (7.43) o la (7.46), si pu`o finalmente calcolare il momento ultimo. Poich´e le forze agenti sulla sezione formano un sistema a risultante ` nulla (N = 0), il loro momento risultante non dipende dal polo prescelto5 . E 5

Infatti, se un sistema di forze con risultante F ha momento risultante MP rispetto al punto P , il suo momento rispetto ad un altro polo Q `e MQ = MP + QP ∧ F in cui QP `e il vettore che unisce Q con P e ∧ indica il prodotto vettore. Se F = 0 si ottiene MQ = MP qualunque sia il punto Q. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

190

Capitolo 7 La trave in cemento armato

conveniente assumere il polo coincidente con il punto di applicazione della risultante C; in questo modo hanno braccio non nullo solo le forze nelle armature (tesa e compressa) e pertanto: Mu = As fy (d − 0.42zc ) − A0s σ 0s (d0 − 0.42zc )

(7.47)

dove σ0s = fy se ε0s ≥ εy , altrimenti σ 0s = Es ε0s , in cui ε0s si ottiene in funzione di zc mediante la (7.36)6 . Esempio 7.4 Calcolare il momento ultimo della sezione dell’esercizio di pag. 179, assumendo per i materiali fc = 15 MPa, fy = 400 MPa, Es = 200000 MPa. Per i valori assegnati εy = fy /Es = 2 × 10−3 . Quindi, applicando la (7.39) z¯c = 46

3.5 × 10−3 = 29.27 cm 3.5 × 10−3 + 2 × 10−3

quindi per la (7.36) ¯ε0s = 3.5 × 10−3

29.27 − 4 = 3.02 × 10−3 > εy 29.27

Dunque l’acciaio compresso `e snervato e σ 0s = fy . Dalla (7.40) risulta quindi zc 0.81fc b¯ 0.81 × 1.5 × 25 × 29.27 A¯s = + 4.02 = 26.24 cm2 + A0s = fy 40 L’area dell’armatura effettiva As = 12.56 cm2 `e minore di A¯s , quindi la rottura avviene in fase III, quando l’acciaio teso `e in fase plastica (σs = fy ). Supponendo che anche l’armatura compressa sia in fase plastica, per determinare la posizione dell’asse neutro si applica la (7.43): zc =

(As − A0s ) fy (12.56 − 4.02) 40 = = 11.246 cm 0.81bfc 0.81 × 25 × 1.5

Si deve ora verificare che il risultato sia coerente con l’ipotesi fatta. Dalla (7.36) si ricava la deformazione dell’armatura compressa ε0s = 3.5 × 10−3

11.246 − 4 = 2.25 × 10−3 > εy 11.246

Dunque l’ipotesi `e verificata ed il valore di zc trovato `e quello corretto. Si pu` o ora calcolare 0 il momento ultimo applicando la (7.47) con σ s = fy : Mu = 12.56 × 40 (46 − 0.42 × 11.246) −

4.02 × 40 (4 − 0.42 × 11.246) = 20854 kN cm ¤

Per come sono presi i segni nella (7.47) σ 0s `e positivo se l’armatura `e compressa e negativo se tesa. 6

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

191

7.3 Calcolo a rottura (fase III)

Esempio 7.5 Si vuole calcolare il momento ultimo di una sezione rettangolare 25 × 40

armata con 2∅16 in zona compressa (A0s = 4.02 cm2 , d0 = 4 cm) e con 4∅16 in zona tesa (As = 8.04 cm2 , d = 36 cm) assumendo che le resistenze dei materiali siano le stesse che nell’esercizio precedente. La posizione dell’asse neutro per la rottura bilanciata `e z¯c = 36

3.5 × 10−3 = 22.91 cm 3.5 × 10−3 + 2 × 10−3

a cui corrisponde una deformazione dell’acciaio compresso ¯ε0s = 3.5 × 10−3

22.91 − 4 = 2.89 × 10−3 > εy 22.91

per cui σ ¯ 0s = fy e di conseguenza 0.81 × 1.5 × 25 × 22.91 A¯s = + 4.02 = 21.42 cm2 40 Poich´e As < A¯s la sezione `e normalmente armata; quindi al collasso εs > εy e σ s = fy . Assumendo che anche l’acciaio compresso sia in fase plastica si applica la (7.43), da cui si ottiene (8.04 − 4.02) 40 zc = = 5.294 cm 0.81 × 25 × 1.5 Per verificare la correttezza dell’ipotesi si determina la deformazione dell’acciaio, applicando la (7.36) 5.295 − 4 ε0s = 3.5 × 10−3 = 0.855 × 10−3 < εy 5.294 Dunque la deformazione dell’acciaio compresso `e minore di quella di snervamento: l’ipotesi era errata e quindi la posizione dell’asse neutro si calcola con la (7.46). Applicando le (7.45) risulta β=

As fy − A0s Es εcu 8.04 × 40 − 4.02 × 20000 × 3.5 × 10−3 = = 1.323 0.81bfc 0.81 × 25 × 1.5 A0 Es εcu d0 4.02 × 20000 × 3.5 × 10−3 × 4 = 37.05 γ= s = 0.81bfc 0.81 × 25 × 1.5

e quindi

√ 1.3232 + 4 × 37.05 zc = = 6.785 cm 2 A questa posizione dell’asse neutro corrisponde la deformazione dell’acciaio compresso 1.323 +

ε0s = 3.5 × 10−3

6.975 − 4 = 1.437 × 10−3 6.875

e quindi la tensione σ 0s = Es ε0s = 200000 × 1.437 × 10−3 = 287.3 MPa Infine si calcola il momento ultimo della sezione applicando la (7.47): Mu = 8.04 × 40 × (36 − 0.42 × 6.785) − 4.02 × 28.73 (4 − 0.42 × 6.785) = 10528 kN cm ¤ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

192

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Collasso in fase II. Sezioni fortemente armate Se As > A¯s la rottura avviene nel campo (1) del grafico in Fig. 7.13 con l’acciaio teso che `e ancora elastico. Questo vuol dire che nel grafico di Fig. 7.1 la rottura avviene in un punto del ramo BC con deformazioni ancora piccole e fessure limitate. Si ha quindi un collasso fragile che sarebbe opportuno evitare. Per completezza tuttavia si illustra anche il calcolo del momento ultimo per le sezioni fortemente armate. Poich´e per tali sezioni l’altezza della zona compressa `e grande (in rapporto a d) si ha che ε0s ∼ εcu > εy ; assumeremo quindi che l’acciaio compresso sia in fase plastica con σ0s = fy . Per l’acciaio teso, al contrario, si ha che σs = Es εs , con εs che `e espresso in funzione della posizione dell’asse neutro mediante la (7.37). Dall’equilibrio della sezione si deduce quindi che 0.81zc bfc + A0s fy = As σ s = As Es εcu

d − zc zc

da cui si ricava l’equazione di secondo grado 0.81bfc zc2 + (A0s f +y As Es εcu ) zc − As Es εcu d = 0 che si pu`o riscrivere zc2 + β 1 zc − γ 1 = 0 in cui β1 =

A0s f +y As Es εcu 0.81bfc

γ1 =

As Es εcu d 0.81bfc

(7.48)

Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene l’altezza della zona compressa: zc =

−β 1 +

p 2 β 1 − 4γ 1 2

(7.49)

Il momento ultimo si pu`o calcolare convenientemente ponendo il polo in corrispondenza dell’armatura tesa. In tal caso solo le forze di compressione hanno un braccio non nullo, e si ha Mu = 0.81zc bfc (d − 0.42zc ) + A0s fy (d − d0 )

(7.50)

Esempio 7.6 Determinare il momento ultimo della sezione inflessa 30×35 con armatura compressa 2∅14 (A0s = 3.08 cm2 , d0 = 4 cm) ed armatura tesa 5∅24 (As = 22.61 cm2 , d = 31 cm). Materiali: fc = 15 MPa, fy = 400 MPa, Es = 200000 MPa. L’armatura per la rottura bilanciata `e εcu = 19.73 cm εcu + εy 0.81¯ zc bfc = 21.06 cm2 A¯s = A0s + fy z¯c = d

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione

193

quindi As > A¯s ed il collasso si verifica in fase II. Applicando le (7.48) e (7.49), tenendo conto che Es εcu = 20000 × 0.0035 = 70 kN/ cm2 , si ottiene 3.08 × 40 + 22.61 × 70 = 46.801 cm 0.81 × 30 × 1.5 22.61 × 70 × 34 γ1 = = 1476.3 cm2 0.81 × 30 × 1.5 √ −46.801 + 46.8012 + 4 × 1476.3 zc = = 21.587 cm 2 β1 =

La tensione nell’acciaio `e pertanto σ s = Es εs = Es εcu

d − zc 31 − 21.587 kN = 70 = 30.5 zc 21.587 cm2

Questo conferma che σ s < fy . Infine, applicando la (7.50) si calcola il momento ultimo Mu = 0.81 × 21.587 × 30 × 1.5 (31 − 0.42 × 21.587) + 3.08 × 40 (31 − 4) = 20585 kN cm ¤

7.4 7.4.1

Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione Comportamento in fase I

Negli elementi inflessi il comportamento in fase I (sezione interamente reagente) dipende dalla resistenza a trazione del calcestruzzo; superato il limite di resistenza si innesca una fessura ed il comportamento della sezione `e quello della fase II. Poich´e nella teoria convenzionale del cemento armato la resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata, negli elementi inflessi la fase I non viene considerata e si assume che la sezione sia sempre fessurata. Nel caso che gli elementi, oltre che a flessione, siano sollecitati a sforzo normale, allora `e possibile che la sezione risulti interamente compressa e pertanto anche interamente reagente. Dunque, in questi casi, il comportamento in fase I deve essere preso in considerazione. Per decidere se, sotto determinati carichi, una sezione sia o no interamente compressa `e sufficiente ricordare il significato del nocciolo centrale d’inerzia, introdotto nel § 4.4.6; in quel paragrafo `e stato mostrato che se il centro di pressione, traccia della linea d’asse della risultante sul piano della sezione, `e interno all’area del nocciolo, la sezione risulta sollecitata da tensioni di uguale segno, per cui se la forza N `e di compressione sar`a interamente compressa. In questo caso, essendo la sezione interamente reagente ed assumendo che entrambi i materiali (calcestruzzo e acciaio) seguano una legge costitutiva elastica lineare, lo stato di tensione si calcola con le espressioni (7.9) e (7.10), rispettivamente per il calcestruzzo e per l’acciaio. Ovviamente il nocciolo d’inerzia si deve riferire alla sezione omogeneizzata. Nel caso di una sezione rettangolare, nel § 4.4.6, `e stato mostrato che il nocciolo `e Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

194

Capitolo 7 La trave in cemento armato

un rombo con centro nel baricentro della sezione e diagonali pari ad 1/3 dei lati del rettangolo. Anche nel caso della sezione rettangolare in c.a. il nocciolo `e quadrilatero (un rombo se l’armatura `e simmetrica), ma la lunghezza delle diagonali `e alterata dall’area dell’armatura omogeneizzata. In particolare, indicando con zG la distanza del baricentro dal lembo inferiore della sezione, le distanze degli estremi del nocciolo dal baricentro della sezione omogeneizzata sono z1 =

ρ∗2 z zG

z2 =

ρ∗2 z zG − h

∗ ∗ h essendo l’altezza della sezione e ρ∗2 e il quadrato del giratore d’inerzia z = Jy /A ` della sezione omogeneizzata. Ovviamente se zG = h/2 si ha z1 = −z2 .

Esempio 7.7 Determinare i punti estremi del nocciolo di una sezione rettangolare 30×45 con armatura simmetrica di 4∅16 posti a 4 cm dal bordo della sezione (n = 15). Si ha che As = A0s = 8.04 cm2 , quindi la sezione `e simmetrica e zG = h/2 = 22.5 cm. A∗ = 30 × 45 + 15 × 2 × 8.04 = 1591.2 cm2 30 × 453 Jy∗ = + 15 × 2 × 8.04 (22.5 − 4)2 = 310363.2 cm4 12 Da questo si deduce = ρ∗2 z z1 =

Jy∗ 310363.2 = = 195.05 cm2 ∗ A 1591.2 195.05 = 8.67 cm 22.5

In assenza di armatura z1 = h/6 = 7.5 cm.

¤

L’esempio precedente mostra come il nocciolo della sezione armata sia pi` u ampio di quella non armata; `e chiaro che se il centro di pressione cade all’interno del nocciolo della sezione non armata, a maggior ragione sar`a verificata la condizione per la sezione armata. In questo caso si pu`o assumere senz’altro che la sezione `e interamente compressa e quindi ci si trova nel caso della cos`ı detta piccola eccentricit`a. Analogamente se l’eccentricit`a `e molto maggiore dell’ampiezza del nocciolo della sezione non armata ne potremo dedurre che la sezione sia parzialmente tesa (grande eccentricit`a ) e quindi fessurata. Nei casi intermedi, per stabilire se la sezione `e o no tutta compressa `e necessario determinare l’ampiezza effettiva del nocciolo, nel modo illustrato nel precedente esempio. Esempio 7.8 Verificare se la sezione dell’esempio precedente, sollecitata con N = −400 kN

ed My = 33 kN m, sia interamente compressa e, in caso affermativo, determinare le tensioni estreme nel calcestruzzo e nell’acciaio. L’eccentricit` a `e ez = My /N = 33/400 = 0.0825 m (8.25 cm) valore poco maggiore dell’ampiezza del nocciolo della sezione non armata. Il confronto con il risultato dell’esercizio precedente mostra che in effetti ez < z1 = 8.67 cm, quindi la sezione `e interamente compressa. Usando i risultati dell’esercizio precedente si ha dunque σ c max = min

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

−400 3300 −0.012 kN ± 22.5 = −0.491 cm2 1591.2 310363.2

195

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione

η

N

O

u

σc

zn zc

a

n

ζ σs/n

z Figura 7.15: Sezione sollecitata a pressoflessione retta di grande eccentricit`a. σ s max = 15 min

µ

¶ −400 3300 −0.82 kN ± 18.5 = −6.72 cm2 1591.2 310363.2

I risultati confermano che la sezione `e interamente compressa.

7.4.2

¤

Comportamento in fase II (sezione fessurata)

Se il centro di pressione `e esterno al nocciolo l’asse neutro taglia la sezione che pertanto risulta parzialmente tesa. Poich´e si `e convenuto di trascurare completamente il contributo del calcestruzzo teso (resistenza a trazione nulla), la sezione risulta fessurata e quindi la sua geometria cambia. Anche in questo caso, come in quello della flessione semplice, `e preliminare determinare la posizione dell’asse neutro. Si esamina soltanto il caso della pressoflessione retta, che si verifica quando il centro di pressione appartiene ad un asse di simmetria della sezione. In questo caso la giacitura dell’asse neutro `e nota, perch´e `e perpendicolare all’asse della sollecitazione, e quindi se ne deve determinare solo la posizione. Con riferimento alla Fig. 7.15, si assume un riferimento con origine nel centro di pressione O e l’asse z coincidente con l’asse di simmetria della sezione. Si indica con zn la distanza dell’asse neutro (perpendicolare a z) da O. Sia inoltre ζ un altro asse, ` evidente che ζ = z−zn ; quindi, poich´e parallelo a z ma con origine sull’asse neutro. E le tensioni nella sezione omogeneizzata sono proporzionali alla distanza dall’asse neutro, σ = κζ = κ (z − zn ) (7.51) dove κ `e una costante che dovr`a essere determinata in base alle condizioni di equilibrio. Poich´e l’origine del riferimento `e stata fissata coincidente con il centro di pressione, il momento delle tensioni relativamente ad ogni asse per O deve essere Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

196

Capitolo 7 La trave in cemento armato

η

N

O

u

σc

zn zc

a

n

ζ σs/n

z Figura 7.16: eccentricit`a. nullo; quindi

Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta di grande

Z

A∗

da cui si ottiene l’equazione Sη∗

Jη∗

σzdA = κ

Z

A∗

(z − zn ) zdA = 0

Jη∗ − zn Sη∗ = 0

(7.52)

dove e sono rispettivamente il momento statico ed il momento d’inerzia della sezione fessurata omogeneizzata, relativamente all’asse η, passante per O e perpendicolare a z. L’equazione (7.52) non `e lineare in zn , poich´e da questa grandezza dipendono anche Sη∗ e Jη∗ . Nel caso generale non `e possibile dare una forma esplicita semplice a questa equazione, per cui la soluzione si deve determinare mediante una procedura numerica iterativa. Per la sezione rettangolare (Fig. 7.16), l’espressione (7.52) assume una forma relativamente semplice. Infatti X ¢ 1 ¡ 2 b zn − u2 + n Sη∗ = Asi zsi (7.53a) 2 i X ¢ 1 ¡ 3 b zn − u3 + n Asi zsi (7.53b) Jη∗ = 3 i

dove b `e la base della sezione, u `e la distanza del centro di pressione dal bordo compresso della sezione e zsi = u + di , con di distanza dell’armatura i dal lembo compresso della sezione. Sostituendo le (7.53) nella (7.52) si ottiene: " # X X ¡ ¢ ¢ 1 ¡ 3 1 2 b zn − u3 + n Asi zsi − zn b zn2 − u2 + n Asi zsi = 0 3 2 i i

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione

197

da cui, con alcune manipolazioni " " # # X X 6n 6n 2 Asi zsi − 3u2 zn − Asi zsi − 2u3 = 0 zn3 + b i b i o, in forma pi` u concisa zn3 + pzn − q = 0

(7.54)

in cui 6n X Asi zsi − 3u2 b i 6n X 2 Asi zsi − 2u3 q = b i

p =

(7.55a) (7.55b)

sono coefficienti noti. Dell’equazione cubica (7.54) esiste una formula che ne esprime le soluzioni, ma questa `e notevolmente complessa e di uso poco pratico. La soluzione della (7.54) si ottiene in modo pi` u semplice usando una procedura iterativa, che pu`o essere facilmente programmata, ma anche eseguita manualmente. Determinata la posizione dell’asse neutro come distanza zn dal centro di pressione, anche l’altezza della zona compressa zc = zn − u `e nota, si pu`o quindi passare al calcolo delle tensioni. Dalla (7.51) vediamo che le tensioni nella sezione omogeneizzata dipendono dalla costante κ. Imponendo l’equilibrio tra la risultante delle tensioni e la forza normale N , si ottiene facilmente che Z Z σdA = κ ζdA = κSn∗ N= A∗

A∗

dove Sn∗ `e il momento statico della sezione omogeneizzata relativo all’asse neutro. Si ottiene quindi N κ= ∗ Sn e dunque, per la (7.51), i valori delle tensioni nel calcestruzzo compresso e nell’acciaio si calcolano con le relazioni: σc = σ = σsi = n

N ζ Sn∗

N (di − zc ) Sn∗

(7.56a) (7.56b)

Poich´e la forza normale `e di compressione, si ha N < 0; ma, con i segni degli assi di Fig. 7.16, risulta anche Sn∗ < 0, in modo tale che il coefficiente κ `e positivo. Pi` u semplicemente si pu`o quindi porre κ = |N| / |Sn∗ |.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

198

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Esempio 7.9 Calcolare le tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio della sezione dell’esempio 7.7 soggetta all’azione di una forza normale N = −400 kN e di un momento flettente M = 60 kN m. L’eccentricit` a, relativa al baricentro della sezione non fessurata, `e e = M/N = 0.15 m. Si ha dunque e > z1 = 8.67 cm, per cui il centro di pressione `e esterno al nocciolo e la sezione `e parzializzata. La distanza u del centro di pressione dal bordo compresso `e quindi u=e−

h = 15 − 22.5 = −7.5 cm 2

Applicando le (7.55) si ottiene 6 × 15 [(−7.5 + 4) 8.04 + (−7.5 + 41) 8.04] − 3 (−7.5)2 = 554.85 cm2 30 i 6 × 15 h (−7.5 + 4)2 8.04 + (−7.5 + 41)2 8.04 − 2 (−7.5)3 = 28207.89 cm3 30

p = q =

Per risolvere la (7.54) si parte da un valore di primo tentativo di zn . Poich´e l’asse neutro taglia la sezione risulta certamente zn < h + u = 37.5 cm. Per questo valore di zn = zn1 l’errore della (7.54) (zn ) = zn3 + pzn − q, risulta (37.5) = 1 = 45333.36. Si fissa quindi un secondo valore, sensibilmente minore, per esempio zn = zn2 = 18.75, per cui si ha (18.75) = 2 = −11212.656. Poich´e a questi due valori di zn corrispondono errori di segno opposto, lo zero si trover`a compreso tra i due. Approssimando la funzione con una legge lineare che passa per i due punti risulta: =

1

2− 1 (zn − zn1 ) zn2 − zn1

+

da cui si ottiene la soluzione approssimata zn3 = zn1 −

1 2

−

1

(zn2 − zn1 ) = 37.5−

= 0 per

45333.36 (18.75 − 37.5) = 22.468 cm −11212.656 − 45333.36

Per zn = zn3 si ha (zn3 ) = 3 = −4399.426. Poich´e 3 ha segno opposto a 1 `e conveniente interpolare tra 1 e 3. Si determina cos`ı un valore di zn di seconda approssimazione zn4 = zn1 −

1 3−

1

(zn3 − zn1 ) = 37.5−

a cui corrisponde l’errore si ottiene zn5 = zn1 − per cui

5

1 4

−

1

4

45333.36 (22.468 − 37.5) = 23.798 cm −4399.426 − 45333.36

= −1525.696. Applicando nuovamente la formula precedente,

(zn4 − zn1 ) = 37.5−

45333.36 (23.798 − 37.5) = 24.224 cm −1525.696 − 45333.36

= −552.508. Iterando ancora

zn6 = zn1 −

1 5−

1

(zn5 − zn1 ) = 37.5 −

45333.36 (24.224 − 37.5) = 24.384 cm −552.508 − 45333.36

con un errore 6 = −180.202. Il piccolo valore dell’errore e la piccola variazione di zn nelle ultime iterazioni ci permettono di assumere che la soluzione cos`ı ottenuta `e sufficientemente accurata (la soluzione esatta, nei limiti delle cifre significative considerate, `e 24.461 cm). Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

199

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione

5 .10

4

4 .10

4

3 .10

4

2 .10

errore

4

1 .10

4

0

1 .10

4

2 .10

4

15

20

25

30

35

40

z

Figura 7.17: Grafico della funzione (zn ) e delle approssimazioni lineari successive. Le prime tre iterazioni sono rappresentate graficamente nella Fig. 7.17. L’altezza della zona compressa risulta quindi zc = zn − u = 24.384 + 7.5 = 31.88 cm. Il momento statico, relativo all’asse neutro, della sezione omogeneizzata `e Sn∗ = 15 [8.04 (4 − 31.88) + 8.04 (41 − 31.88)] −

30 × 31.882 = −17507 cm3 2

La tensione massima (in valore assoluto) nel calcestruzzo `e σ c max = e nell’acciaio teso σ s = 15

400 kN 31.88 = 0.728 17507 cm2

400 kN (41 − 31.88) = 3.12 17507 cm2 ¤

7.4.3

Calcolo a rottura della sezione pressoinflessa

Nel caso della flessione la sollecitazione `e espressa da una grandezza scalare (cio`e da un numero): il momento flettente; esiste quindi un valore di questa quantit`a (detto momento ultimo) che provoca il collasso della sezione, inteso come il superamento della massima deformazione del calcestruzzo compresso (o dell’acciaio teso). Quando la sollecitazione `e di forza normale e flessione, occorrono due numeri per definire lo stato di sollecitazione, la forza N ed il momento M (o la forza N e l’eccentricit`a e = M/N); in questo caso non vi `e un solo valore dell’azione che individua le condizioni di collasso. Per esempio si pu`o pensare di far crescere il momento fino Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

200

Capitolo 7 La trave in cemento armato

500

B

Collasso

400

M (KNm)

300

C

200

Sicurezza 100

0 4000

D

A 3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

500

1000

N (kN)

Figura 7.18: Dominio di collasso di una sezione rettangolare in c.a. simmetricamente.

armata

a rottura tenendo costante N, o, inversamente, fissare M e far crescere la forza fino al collasso, oppure far crescere M ed N proporzionalmente, mantenendo costante l’eccentricit`a e. Naturalmente questi sono solo alcuni tra gli infiniti valori delle sollecitazioni che possono provocare il collasso della sezione. Se in un grafico si rappresentano tutte le coppie (N, M) che producono il collasso della sezione, l’insieme di questi punti forma una curva simile a quella rappresentata in Fig. 7.18. Questa curva divide il semipiano in due insiemi: quello sottostante la curva `e costituito dai punti che rappresentano sollecitazioni che non producono il collasso; quello esterno `e costituito dai punti rappresentativi di sollecitazioni che non possono essere equilibrate dalle tensioni, e quindi producono il collasso. I punti sulla curva che separa i due insiemi, rappresentano le sollecitazioni massime che la sezione pu`o sostenere, prima che si verifichi il collasso. Il punto in cui la curva taglia l’asse delle ordinate (N = 0) corrisponde al caso della flessione semplice, i valori di N < 0 si riferiscono ai casi in cui la forza normale `e di compressione. Se di una sezione si dispone della curva che ne delimita il dominio di sicurezza, la sua verifica `e molto semplice: `e sufficiente riportare sul diagramma i punti ( N, M ) che rappresentano le sollecitazioni agenti sulla struttura. Se questi punti cadono all’interno del dominio di sicurezza la sezione risulta verificata, se, al contrario, qualche punto `e esterno, le corrispondenti sollecitazioni producono il collasso dell’elemento, che pertanto non risulta verificato. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

201

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione

d

εc0

εcu

A E

C

h

εc0

fc

εcu

fc

A

O K C D F

b

εy

B

D

σs

B (b)

(a)

εc0

εcu

fc

B

D

εc0

K

A

εcu A

K

εsl C

D

εy B (c)

fy

εsl

εy

fy

C (d)

Figura 7.19: Situazioni di collasso di una sezione in cemento armato

7.4.4

Costruzione del dominio di sicurezza

Nella Fig. 7.19, con riferimento ad una sezione rettangolare, sono illustrate le possibili condizioni di collasso per sforzo normale e flessione di una trave in cemento armato. Nel grafico di (a), il segmento AB rappresenta il diagramma delle deformazioni di rottura per sola forza normale. In questo caso il collasso avviene quando la deformazione del calcestruzzo raggiunge εc0 ; infatti a questo livello di deformazione si raggiunge la tensione massima e, nel caso di deformazione uniforme, la sollecitazione non pu`o aumentare senza provocare il collasso dell’elemento. Aumentando la deformazione del bordo superiore e diminuendo quella inferiore [linea EF nel grafico di Fig. 7.19 (a)] si ottengono diagrammi delle deformazioni non uniformi che corrispondono per`o al caso della sezione interamente compressa (piccola eccentricit`a). Il corrispondente diagramma delle tensioni `e rappresentato a fianco. Si ha ancora un grafico parabola-rettangolo ma privato della parte esterna alla sezione (a tratto e punto nella figura). Facendo rotare il diagramma delle deformazioni intorno al punto O si percorrono tutte le condizioni di collasso relative alla sezione interamente compressa, fino al diagramma CD in cui l’asse neutro diviene tangente alla sezione. Poich´e la deformazione di compressione non pu`o superare εcu , raggiunto questo Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

σc

202

Capitolo 7 La trave in cemento armato

valore la deformazione al lembo superiore non potr`a andare oltre. I diagrammi di rottura sono quindi segmenti che passano per il punto A di Fig. 7.19 (b). La deformazione della fibra inferiore del calcestruzzo diviene di trazione e quindi la sezione si parzializza; al crescere della deformazione anche l’acciaio diviene teso, ma rimane ancora in campo elastico. Un tipico diagramma relativo al collasso in questa regione `e rappresentato dal segmento AD nella Fig. 7.19 (b). Il punto K corrisponde alla deformazione nulla (asse neutro) e separa la sezione nella parte compressa ed in quella tesa. Le tensioni nel calcestruzzo compresso seguono il diagramma parabolarettangolo; l’acciaio compresso `e plasticizzato mentre quello teso `e in campo elastico e quindi la sua tensione `e proporzionale alla deformazione. Quando la deformazione dell’acciaio teso raggiunge lo snervamento [εs = εy , punto C nel diagramma di Fig. 7.19 (b)], la tensione nell’acciaio raggiunge il valore massimo fy . Al crescere della deformazione, la tensione nell’acciaio teso non aumenta, ma l’asse neutro si avvicina alla fibra superiore [punto K nella Fig. 7.19 (c)]; quindi si riduce l’ampiezza della zona compressa, mentre il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo ha sempre la forma parabola-rettangolo. Se si pone un limite alla deformazione dell’acciaio (minore dell’allungamento a rottura) oltre il quale si assume che la sezione sia collassata, quando εs = εsl , si raggiunge lo stato ultimo anche se |εc | < εcu . In questo caso i diagrammi delle deformazioni al collasso sono del tipo illustrato in Fig. 7.19 (d) dal segmento CD. Al diminuire di εc (in valore assoluto) il punto K continua a salire avvicinandosi al lembo superiore. Ora il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo non `e pi` u parabola-rettangolo, perch´e la deformazione massima non raggiunge εcu , la forma effettiva dipende quindi da εc max , come illustrato nella figura prima citata. Quando εc = 0, l’asse neutro raggiunge il lembo superiore e la sezione `e interamente tesa, pertanto la resistenza `e affidata alla sola armatura; quando l’armatura superiore raggiunge lo snervamento si raggiunge anche il massimo della forza normale di trazione che la sezione pu`o sopportare. Fissato un diagramma di rottura, rimane evidentemente definita la funzione ε (z) che fornisce la deformazione nella fibra della sezione determinata dall’ascissa z. Ad esempio, ponendo l’origine nel punto superiore della sezione, nel caso della Fig. 7.19 (a), indicando con εi la deformazione al lembo inferiore (punto F ) e con h l’altezza della sezione, si ha ε (z) = εi − εcu −

εi εcu (εc0 + εi ) εcu z + εc0 εc0 h

(7.57a)

in cui εc0 = 2 × 10−3 ed εcu = 3.5 × 10−3 sono grandezze positive, mentre εi < 0. Per la sezione fessurata, quando εs < εsl , [Fig. 7.19 (b) e (c)], si ha invece ε (z) = −εcu + (εs + εcu )

z d

(7.57b)

dove d indica l’altezza utile della sezione (distanza dell’armatura tesa dal bordo compresso). Infine nel caso rappresentato dalla Fig. 7.19 (d), si ha ε (z) = εc + (εsl − εc ) Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

z d

(7.57c)

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione

203

dove εc `e la deformazione del calcestruzzo al lembo superiore della sezione. La legge costitutiva del calcestruzzo `e la parabola rettangolo; questa legge si pu`o formulare esplicitamente nel modo seguente ⎧ 0 per ε ≥ 0 ⎪ ⎪ ∙ ⎨ ³ ´2 ¸ −2fc 1 − 2 εεc0 σ c (ε) = per −εc0 ≤ ε < 0 (7.58) ⎪ ⎪ ⎩ −fc per −εcu ≤ ε < −εc0 in cui fc , εc0 , εcu sono grandezze positive, mentre ε e σ sono negative se di compressione. Analogamente per l’acciaio, avendo adottato la legge elasto-plastica, si ha ½ Es ε per |ε| < εy = fy /Es σs (ε) = (7.59) fy sign (ε) per |ε| ≥ εy

Fissata una delle leggi (7.57) si pu`o sostituire l’espressione di ε (z) nelle (7.58) e (7.59) per ottenere l’espressione di σc e σ s in funzione di z. Quindi, calcolando gli integrali Z X σ c (z) dA + σ s (zsi ) Asi (7.60a) Nu = A

Mu =

Z

A

i

σ c (z) (z − zG ) dA +

X i

σ s (zsi ) (zsi − zG ) Asi

(7.60b)

si ottengono i valori dello sforzo normale e del momento che producono il collasso secondo il meccanismo prescelto. Nelle (7.60) zG `e l’ascissa del baricento della sezione in calcestruzzo (cui generalmente si fa riferimento), mentre zsi `e l’ascissa dell’i-esimo livello di armatura di area complessiva Asi (per la scelta fatta prima per l’origine del riferimento, zsi = di ). Esplorando diversi meccanismi di collasso si ottengono altrettante coppie Nu , Mu , ciascuna delle quali pu`o rappresentarsi con un punto in un grafico nel piano N, M . Unendo questi punti con una linea continua si ottiene un grafico simile a quello mostrato in Fig. 7.18, che si riferisce ad una sezione rettangolare 40 × 60, simmetricamente armata con 10 cm2 di acciaio per lato (d0 = 4 cm, d = 56 cm), con resistenza del calcestruzzo fc = 13 MPa MPa, e dell’acciaio fy = 380 MPa. In questo grafico il punto A rappresenta il collasso per compressione centrata [diagramma AB in Fig. 7.19 (a)]; il punto B,corrispondente al valore massimo del momento ultimo, si ottiene quando il meccanismo di collasso `e quello rappresentato dal segmento AC in Fig. 7.19 (b), ossia quando la rottura del calcestruzzo `e simultanea allo snervamento dell’acciaio (rottura bilanciata). Il punto in cui la curva interseca l’asse M corrisponde al caso di collasso per sola flessione (N = 0 punto C nella Fig. 7.18). Infine il punto D corrisponde al collasso per semplice trazione, in cui tutta la sollecitazione `e sostenuta dalle armature mentre il calcestruzzo teso non collabora. Domini adimensionali Un dominio di collasso come quello mostrato in Fig. 7.18 `e specifico di una particolare sezione, di date forma, dimensioni e quantit`a di armatura, nonch´e delle Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

204

Capitolo 7 La trave in cemento armato

caratteristiche meccaniche dei materiali. Tale grafico deve quindi essere costruito ogni volta per la sezione in esame; questa operazione `e molto rapida se viene eseguita da un programma di calcolo su computer, ma diviene molto laboriosa se non si dispone di un simile strumento e quindi la curva deve essere costruita con calcoli manuali. Per ovviare questo inconveniente `e possibile costruire domini adimensionali, validi per una vasta famiglia di sezioni. Infatti, fissata la forma della sezione (ad esempio rettangolare) se si definiscono le seguenti grandezze adimensionali: n=

N bdfc

m=

M bd2 fc

(7.61)

i valori delle resistenze ultime adimensionali delle sezioni, nu , mu , dipendono solamente dai seguenti parametri: 1. la percentuale meccanica dell’armatura tesa μ=

As fy bdfc

(7.62)

2. il rapporto tra l’armatura compressa e quella tesa A0s /As 3. il rapporto tra la distanza del lembo compresso delle due armature d0 /d 4. la deformazione di snervamento dell’acciaio εy = fy /Es . Questi parametri sembrano molti ma in pratica, p.es. nei pilastri, l’armatura `e u comunemente usato ha spesso posta simmetricamente (A0s /As = 1) e l’acciaio pi` le stesse caratteristiche meccaniche. Il rapporto d0 /d `e invece variabile con le dimensioni della sezione, poich´e d0 non varia molto (3 − 4 cm), mentre d dipende dalle dimensioni. Tuttavia questo parametro non `e molto influente e, se lo scarto tra il valore effettivo e quello del grafico non `e troppo grande, i valori delle resistenze fornite dal grafico sono una buona approssimazione di quelli esatti; quindi il parametro principale da cui la curva dipende `e la percentuale meccanica di armatura μ; su di un unico grafico si possono quindi tracciare tante curve, ciascuna relativa ad un fissato valore di μ, come quello mostrato in Fig. 7.20, relativo ad una sezione con armatura simmetrica. Questo grafico `e ribaltato intorno all’asse delle ordinate, rispetto a quello in Fig. 7.18, in quanto gli sforzi normali di compressione, come `e frequente nel c.a., sono presi positivi. L’uso del grafico per la verifica di una sezione `e il seguente: stabilito che il grafico `e quello corrispondente al rapporto A0s /As delle aree d’armatura effettive e, almeno approssimativamente, al rapporto d0 /d, ed inoltre che la deformazione di snervamento dell’acciaio sia quella reale, si calcolano la percentuale di armatura tesa μ = As fy /bdfc della sezione e le sollecitazioni di progetto adimensionali ndj = Ndj /bdfc , mdj = Mdj /bd2 fc . Il valore di μ permette di individuare la curva relativa alla sezione; quindi riportando sul grafico i punti di coordinate ndj e mdj , se tutti sono al di sotto della curva, la sezione risulta verificata, altrimenti no. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione

205

Figura 7.20: Famiglia di domini di resistenza normalizzati per sezioni rettangolari. (A0s /As = 1, εy = 2 × 10−3 , d0 /d = 0.1). Il grafico si pu`o usare anche per il progetto delle armature. Fissate le dimensioni (b e d) della sezione e le caratteristiche dei materiali, si possono calcolare le sollecitazioni adimensionali. Riportando i punti corrispondenti sul grafico, resta determinata la curva che li inviluppa tutti, a cui corrisponde un valore della percentuale di armatura μ. Da questo si risale quindi all’area effettiva dell’armatura invertendo la (7.62).

Esempio 7.10 Progettare l’armatura simmetrica di una sezione in c.a. per le seguenti sollecitazioni di progetto: Nd1 = 700 kN Md1 = 250 kN m Nd2 = 500 kN Md2 = 350 kN m

con fc = 14 MPa ed fy = 400 MPa. Assumendo una sezione 30 × 45 cm2 , con d0 = 4 cm si ha d = 45 − 4 = 41 cm e quindi d0 /d = 4/41 ' 0.1. Inoltre per ipotesi A0s /As = 1 e εy = 400/200000 = 2 × 10−3 . Le Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

206

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Figura 7.21: Progetto di una sezione pressoinflessa usando i domini di resistenza adimensionali. sollecitazioni adimensionali risultano (passando a N e mm) nd1 = md1 = nd2 = md2 =

Nd1 700000 = = 0.407 bdfc 300 × 410 × 14 Md1 250000000 = 0.354 = 2 bd fc 300 × 4102 × 14 Nd2 500000 = 0.290 = bdfc 300 × 410 × 14 Md2 350000000 = = 0.496 bd2 fc 300 × 4102 × 14

I punti rappresentativi di queste due coppie sono riportati nel grafico in Fig. 7.21, che rappresenta i domini di resistenza adimensionali per sezioni rettangolari con armatura simmetrica, d0 /d = 0.1 e εy = 2 × 10−3 . Il simbolo x indica la prima sollecitazione e il simbolo + la seconda. Appare evidente che la seconda sollecitazione (minore sforzo normale e maggior momento) `e la pi` u gravosa; infatti per sostenere la prima sarebbe bastata una percentuale di armatura μ = 0.25, per assorbire la seconda occorre μ ' 0.43. Fissato questo valore, l’armatura necessaria da ogni lato `e As = A0s = μ

bdfc 30 × 41 × 1.4 = 0.43 = 18.5 cm2 fy 40

equivalente a 4Ø24 (As = A0s = 18.1 cm2 ). In Fig. 7.22 `e rappresentato il dominio di resistenza (non adimensionale) della sezione ed i due punti relativi ai due stati di sollecitazione. La condizione 2 cade esattamente sulla frontiera del dominio e quindi la sezione si pu` o ritenere correttamente dimensionata. ¤ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

207

7.5 Sollecitazione di taglio

400

M (KNm)

300

200

100

0 1500

1000

500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

N (kN)

Figura 7.22: Verifica della sezione dell’esempio 7.10.

Figura 7.23: Quadro fessurativo di una trave soggetta a flessione e taglio.

7.5

Sollecitazione di taglio

Nei precedenti paragrafi `e stato analizzato il caso di una trave soggetta a flessione e forza normale, sollecitazioni che, come si `e visto, producono solo tensioni normali. In queste condizioni le direzioni delle tensioni principali sono una parallela e l’altra perpendicolare all’asse della trave. Nella parte tesa le tensioni principali di trazione coincidono con σ x , per cui le fessure, che si aprono perpendicolarmente a queste, sono parallele alle sezioni, come indicato in Fig. 7.4. La presenza della sollecitazione di taglio, che accompagna sempre quella di flessione quando il momento non `e uniforme, modifica lo stato tensionale e l’inclinazione delle fessure cambia, come indicato schematicamente nella Fig. 7.23. La spiegazione di questo fenomeno `e illustrata dalla Fig. 7.24. In questa figura sono rappresentati i diagrammi delle tensioni nella sezione di una trave non fessurata, sollecitata a flessione e taglio: le tensioni normali hanno l’andamento lineare (a “farfalla”) mentre le tensioni tangenziali hanno andamento parabolico (la sezione si suppone Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

208

Capitolo 7 La trave in cemento armato

σ

τ

σ 3 K

τ

3 2 1

σ

2

τ K

σ

1

τ

K

Figura 7.24: Cerchi di Mohr per le tensioni in diversi livelli di una sezione rettangolare soggetta a flessione e taglio. rettangolare). In un punto dalla parte delle fibre tese (1) sono presenti una tensione tangenziale σ (positiva) ed una tensione tangenziale anch’essa positiva. Il cerchio di Mohr relativo a questo stato di tensione `e quello indicato con (1); la tensione principale di trazione risulta inclinata verso il basso rispetto all’asse della trave; la tensione di compressione `e ortogonale. In corrispondenza dell’asse neutro (2) σ = 0, quindi il cerchio di Mohr ha il centro nell’origine degli assi σ, τ ; le giaciture principali sono rette a 45◦ rispetto all’asse, con le trazioni rotate verso il basso; le tensioni principali sono in valore assoluto uguali alla τ . Nelle fibre compresse (3), infine, il cerchio di Mohr `e rappresentato da (3); le tensioni principali di trazione sono quasi parallele alla sezione, mentre quelle di compressione sono prossime all’asse della trave. Nella Fig. 7.24 le direzioni delle tensioni principali nei tre punti sono mostrate a fianco dei rispettivi cerchi Mohr, usando il tratteggio per le trazioni ed il tratto e punto per le compressioni. Nella Fig. 7.25 `e abbozzato l’andamento delle linee isostatiche7 nella met`a di una trave appoggiata soggetta ad un carico simmetrico. Le linee di compressione (ortogonali alle trazioni principali, rappresentate a tratto e punto in figura), partono perpendicolari all’asse nelle fibre inferiori, poi si incurvano fino ad intersecare l’asse neutro a 45◦ , come chiarito in precedenza. Sopra l’asse neutro la loro inclinazione aumenta e tendono a divenire, al lembo superiore, parallele all’asse. Poich´e il taglio 7

Le isostatiche sono linee in ogni punto tangenti alle tensioni principali. Per tensioni piane formano una doppia famiglia di curve che, in ogni punto, si intersecano a 90◦ . Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

209

7.5 Sollecitazione di taglio

Compressione

a

n

Trazione Figura 7.25: Linee isostatiche in una trave sollecitata a flessione e taglio. si annulla dove il momento `e massimo, al centro della trave le isostatiche di trazione tendono a divenire parallele all’asse nella zona tesa e perpendicolari in quella compressa; le isostatiche di compressione hanno un andamento opposto. Se si assume che le fessure si aprano in direzione ortogonale a quella delle massime tensioni di trazione, esse dovrebbero seguire l’andamento delle isostatiche di compressione (linea a tratto e punto in Fig. 7.25). Nella realt`a la situazione `e pi` u complessa, perch´e al propagarsi della fessura il regime delle tensioni cambia rispetto a quello calcolato nella condizione di trave non fessurata; in pratica l’esperienza dimostra che le fessure si propagano piuttosto secondo linee approssimativamente rette, come mostrato nella Fig. 7.23.

7.5.1

Taglio nella trave fessurata

Dopo l’apertura di una fessura il calcestruzzo non `e pi` u in grado di trasmettere tensioni normali, pertanto l’equilibrio a flessione non sarebbe possibile se non ci fosse l’armatura nella zona tesa. L’apertura di una fessura di flessione e taglio, almeno fino a certi livelli della sollecitazione, non impedisce la trasmissione di tensioni tangenziali tra le due facce della fessura. Infatti, data la maggior resistenza degli inerti pi` u grandi rispetto alla pasta cementizia, le fessure hanno sempre superfici scabre, che seguono il percorso della pasta cementizia attorno agli inerti. Fino a che l’ampiezza della fessura `e molto piccola, l’ingranamento delle due facce della fessura, una calco dell’altra, non ne consente lo scorrimento relativo e trasmette le forze taglianti attraverso la fessura. Questo fenomeno `e rappresentato schematicamente nella Fig. 7.26, in cui `e evidenziato un altro meccanismo, meno importante, che consente di trasmettere il taglio tra le due facce della fessura, ossia l’effetto spinotto delle armature longitudinali, che si comportano come un perno che si oppone allo scorrimento relativo delle facce. La resistenza del meccanismo di ingranamento `e naturalmente limitata; inoltre, se la fessura si allarga, a causa della plasticizzazione dell’acciaio teso, il meccanismo Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

210

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Figura 7.26: Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a flessione e taglio. dell’ingranamento perde efficacia, fino ad annullarsi quando la distanza tra i lembi della fessura `e maggiore delle scabrosit`a delle facce. Questo fenomeno `e pi` u rilevante nelle travi alte, dove, a parit`a di rotazione tra i due conci, la distanza massima tra le facce `e maggiore. Il fenomeno della resistenza a taglio di una trave fessurata `e molto complesso ed in pratica non vi sono modelli attendibili basati sull’analisi del fenomeno fisico. Si deve ricorrere quindi a formule empiriche, basate sui risultati di numerosi esperimenti eseguiti nei laboratori di tutto il mondo. L’eurocodice 2 fornisce la seguente formula VR1 = [0.25fct k (1.2 + 40ρ1 ) + cσ cp ] bw d

(7.63)

in cui • fct : resistenza a trazione del calcestruzzo (vedi § 6.2.5) • k = max {1.6 − d, 1} (d, altezza utile della sezione, in metri) • ρ1 = Asl /bw d (Asl , armatura longitudinale nella sezione, efficacemente ancorata) • σ cp = N/Ac : tensione normale media nel calcestruzzo (compressione positiva) • c : coefficiente (nell’eurocodice c = 0.15)8 • bw : spessore dell’anima della sezione 8

Nei codici normativi le resistenze dei materiali sono opportunamente ridotte per ragioni di sicurezza, come sar` a chiarito meglio nel prossimo capitolo; per lo stesso motivo anche il coefficiente c `e affetto degli stessi coefficienti di riduzione. Il valore proposto dall’eurocodice tiene gi`a conto di questa riduzione e quindi non `e congruente con gli altri termini, se si intende la (7.63) come una formula per stimare la resistenza a taglio senza la riduzione dei fattori di scurezza. In questo caso un valore pi` u idoneo potrebbe essere c ∼ 0.3. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.5 Sollecitazione di taglio

211

Figura 7.27: Tipi di staffe nelle sezioni in c.a. La resistenza a taglio fornita dalla (7.63) non `e molto elevata; questo comporterebbe una forte limitazione alla resistenza delle travi, se non fosse possibile aumentarne il valore oltre questo limite; aumentando l’armatura longitudinale aumenta la resistenza a flessione, ma se si verificasse la rottura per taglio sotto un carico inferiore a quello che si potrebbe portare per flessione questo sarebbe ovviamente inutile. Quando la resistenza a taglio del solo calcestruzzo `e inferiore alla sollecitazione prodotta dai carichi occorre aumentare la resistenza mediante l’inserimento di opportune armature. Le armature per aumentare la resistenza della trave al taglio devono essere predisposte nell’anima della trave e sono generalmente di due tipi: staffe e barre piegate. Le staffe (Fig. 7.27) sono armature chiuse disposte lungo il perimetro della sezione, in modo da racchiudere al loro interno le armature longitudinali. Le staffe hanno almeno due bracci, ma possono averne di pi` u, come mostrato in Fig. 7.27. Le barre piegate sono generalmente barre dell’armatura longitudinale che vengono piegate (di solito a 45◦ ) in modo da passare da un lembo all’altro della trave (Fig. 7.28). Il traliccio di M¨ orsch Per calcolare la resistenza a taglio fornita dall’armatura d’anima (staffe e barre piegate) si ricorre ad uno schema limite, in cui il comportamento della trave fessurata `e assimilato a quello di una trave a traliccio. Si suppone che le fessure, che si assumono rettilinee e mediamente parallele alle isostatiche di compressione, isolino delle bielle di calcestruzzo compresso che collegano il corrente teso (l’armatura principale) con quello compresso (il calcestruzzo compresso), come illustrato nella Fig. 7.29. Se si assume, come condizione limite, che le bielle di calcestruzzo compresso si comportino come delle aste di una trave reticolare, incernierate agli estremi, l’equilibrio di questa struttura non `e possibile senza l’inserimento di aste tese. In pratica la funzione di asta tesa `e assunta dall’armatura di parete (staffe o barre piegate). In questo modo, se le aste si assumono incernierate alle estremit`a, la struttura `e isostatica e le sole equazioni di equilibrio bastano per determinare le forze in ogni elemento. L’equilibrio dell’asta compressa mostrata nella Fig. 7.30 permette di determinare la resistenza a taglio di una trave con armature di parete. Infatti la tensione Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

212

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Figura 7.28: Rappresentazione schematica di staffe e delle barre piegate all’interno di un concio di trave in c.a.

a

n

Figura 7.29: Deduzione del traliccio di M¨orsh dall’andamento delle isostatiche di compressione. nell’armatura longitudinale, nelle due sezioni distanti ∆x, varia della quantit`a ∆T , che risulterebbe squilibrata se le bielle in parete non trasmettessero lo sforzo al corrente superiore. Imponendo l’equilibrio alla rotazione della biella di calcestruzzo e assumendo come polo dei momenti l’intersezione dell’asse della biella con quello del corrente compresso, si ha: ∆T ζd − (Va + Vd ) ∆x − Mc − Fs (cos α + sin α cot β) ζd = 0

(7.64)

dove ζd (braccio delle forze interne) `e la distanza tra l’asse della risultante delle tensioni di compressione da quello della risultante delle trazioni. Poich´e T = M/ζd, si ha ∆T = ∆M/ζd. Dividendo tutti i termini per ∆x e tenendo conto che, per ∆x → 0, ∆M = V (taglio prodotto dai carichi), dalla 7.64 si ricava ∆x V = Va + Vd + Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Fs Mc + (cos α + sin α cot β) ζd ∆x ∆x

(7.65)

213

7.5 Sollecitazione di taglio

Corrente compresso

Mc

Fs

ζd Va

α β T

Δx

Vd

T+ΔT

Figura 7.30: Equilibrio di una biella di calcestruzzo. Nella (7.65) Va + Vd + Mc /∆x `e il taglio portato dal calcestruzzo in assenza di armatura. Il valore massimo di questo taglio si pu`o calcolare con la formula empirica (7.63). L’ultimo termine della (7.65) fornisce invece il contributo delle armature di parete; il valore massimo di questo termine si raggiunge quando l’armatura si plasticizza e σs = fy . Se l’armatura `e composta da barre di area Asw poste a passo s, in un tratto di lunghezza ∆x, l’area presente sar`a Asw ∆x/s e quindi la forza massima sviluppata da questa armatura risulta: Fs = fy Asw ∆x/s. Tenendo conto di queste considerazioni si ottiene che il taglio ultimo portato dalla trave con armatura d’anima `e VR3 = VR1 +

fy Asw (cos α + sin α cot β) ζd s

(7.66)

Normalmente si assume che l’inclinazione media delle fessure sia β = 45◦ ; in tal caso cot β = 1; le staffe sono normalmente ortogonali all’asse della trave, per cui α = 90◦ , mentre le barre inclinate sono generalmente inclinate a 45◦ ; il braccio delle forze interne, infine, si pu`o prendere approssimativamente pari a 0.9d, cos`ı, per questi due casi frequenti, si ha ½ fy Asw 0.9d nel caso di staffe (7.67) VR3 = VR1 + √ s fy Asw 2 s 0.9d nel caso di barre piegate a 45◦ Si deve tenere presente che, nel caso di staffe, Asw non `e l’area del tondino, ma quella complessiva di tutti i bracci della staffa. Quindi si ottiene moltiplicando l’area del tondino per il numero dei bracci. Oltre alla trazione nell’armatura si genera uno sforzo di compressione nelle bielle di calcestruzzo. Trascurando il contributo degli altri meccanismi, si pu`o costruire il poligono delle forze mostrato in Fig. 7.31, in cui C `e la forza di compressione nella biella di calcestruzzo. Dal teorema dei seni si trae immediatamente che Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

214

Capitolo 7 La trave in cemento armato

ΔT β

α Fs

π−α−β

C

σc

β

α

β

Δx

Figura 7.31: Calcolo della tensione media di compressione in una bilella di calcestruzzo di una trave sollecitata a taglio. sin α sin α C = = ∆T sin (π − α − β) sin (α + β) e pertanto, poich´e ∆T = ∆M/ζd, si ha C=

sin α ∆M ζd sin (α + β)

(7.68)

Ma (Fig. 7.31) C = σ c bw ∆x sin β, in cui bw `e lo spessore dell’anima della sezione e σc `e la tensione normale (di compressione) media nella biella di calcestruzzo. Sostituendo questa espressione di C nella (7.68) σc bw ∆x sin β =

∆M sin α ζd sin (α + β)

da cui, dividendo entrambi i membri per ∆x e ricordando che ∆M/∆x → V , si ricava: V = σc bw ζd sin β

sin (α + β) = σc bw ζd sin β (cos β + cot α sin β) sin α

(7.69)

Il taglio massimo che la sezione pu`o sopportare senza che si verifichi lo schiacciamento del calcestruzzo `e quello che corrisponde a σ c = fc ; questo per`o sarebbe vero solo se le bielle di calcestruzzo si comportassero come le aste di una vera trave reticolare e fossero soggette a semplice forza normale; in pratica la forza pu`o risultare eccentrica, riducendo sensibilmente la resistenza dell’elemento. L’eurocodice 2 assume che σc max = νfc , dove ν ≤ 1 `e un fattore di riduzione che viene dato dalla formula ¾ ½ fc , 0.5 (7.70) ν = max 0.7 − 200 con fc in Megapascal. Cos`ı il taglio massimo a cui la trave pu`o resistere `e VR2 = νζfc bw d sin β (cos β + cot α sin β) Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(7.71)

215

7.5 Sollecitazione di taglio

dove normalmente si pu`o assumere ζ = 0.9. Per β = 45◦ la (7.71) diviene 1 VR2 = νζfc bw d (1 + cot α) 2 che, nel caso di staffe (α = 90◦ ), d`a 1 VR2 = νζfc bw d 2 Nel caso di armature inclinate a 45◦ VR2 = νζfc bw d Il metodo dell’inclinazione variabile delle bielle L’assumere che le fessure (e quindi le bielle di calcestruzzo) siano mediamente inclinate a 45◦ `e una scelta convenzionale e sostanzialmente arbitraria, anche se cautelativa, perch´e l’osservazione sperimentale dimostra che generalmente, nelle fessure critiche, β < 45◦ . In effetti, il taglio portato dalle armature al collasso Vs =

fy Asw (cos α + sin α cot β) ζd s

(7.72)

fornito dalla (7.66) aumenta al diminuire di β e diviene infinito per β = 0. D’altra parte il taglio resistente delle bielle di calcestruzzo (7.71) diminuisce con β e si annulla per β = 0. Se si assume che al momento del collasso il contributo dei meccanismi resistenti del calcestruzzo (ingranamento degli inerti, effetto spinotto, ecc.) diviene trascurabile e quindi tutto il taglio `e portato dalle armature (VR3 = Vs ), la resistenza a taglio della trave `e condizionata dall’elemento pi` u debole tra le bielle compresse e le aste tese, ovvero VR = min {VR2 , VR3 = Vs }. Poich´e, come osservato prima, al diminuire di β Vs aumenta ma VR2 diminuisce, la massima resistenza a taglio dell’elemento si raggiunge per quel valore di β per cui la resistenza delle armature uguaglia la resistenza a compressione delle bielle, ossia per VR2 = Vs . Esplicitamente si ha νζfc bw d sin β (cos β + cot α sin β) =

fy Asw (cos α + sin α cot β) ζd s

da cui si ottiene sin β (cos β + cot α sin β) −

fy Asw (cos α + sin α cot β) = 0 νfc bw s

(7.73)

Si osservi che Asw /bw s = ω `e la percentuale geometrica di armatura d’anima presente nella trave. La quantit`a ωfy fy Asw = μw = νfc bw s νfc `e la percentuale meccanica dell’armatura d’anima. L’equazione (7.73) diviene, con questa posizione: sin β (cos β + cot α sin β) − μw (cos α + sin α cot β) = 0 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

216

Capitolo 7 La trave in cemento armato

la cui soluzione, per 0 < β < π/2 `e cot β =

s

1 − μw sin α μw sin α

In particolare, nel caso di staffe (α = π/2) s cot β =

1 − μw μw

(7.74)

(7.75)

Generalmente μw ¿ 1; ad esempio per una trave armata con staffe ∅8/20 (As = 1.00 cm2 ) con b = 30 cm si ha ω = 1.00/ (20 × 30) = 0.00167; ipotizzando fy = 400 MPa e fc = 15 MPa; per la (7.70) ν = 0.625, risulta μw = 0.00167×400/ (0.625 × 15) = 0.0711, da cui si deduce, nel caso di staffe, cot β = 3.61 (β ≈ 17◦ ). In pratica vi sono dei limiti a valori realmente possibili di β. Ad esempio l’Eurocodice 2 assume che 1 < cot β < 2.5 (7.76) (ovvero 24.2◦ < β < 45◦ ), pertanto, nel caso di elementi non eccessivamente armati a taglio, il limite `e posto dalla (7.76); in questi casi si ha cot β = 2.5 e quindi (per armature realizzate con staffe) VR3 = 2.5 fy As sw ζd. Il valore limite della percentuale d’armatura corrispondente si ottiene facilmente dalla (7.74) ponendo cot β = 2.5; risulta μwl = 0.138/ sin α. Nel caso di elementi con maggiore percentuale di armatura, per cui cot β < 2.5, il taglio massimo portato dall’elemento, che corrisponde alla simultanea rottura delle bielle a compressione e delle armature di taglio, si calcola sostituendo nella (7.72) o nella (7.71) il valore di β trovato. Esempio 7.11 Determinare con il metodo dell’inclinazione variabile delle bielle il taglio ultimo portato da una trave con sezione rettangolare b = 25 cm, h = 55 cm, armata con staffe a due bracci ∅10/15, assumendo fy = 400 MPa ed fc = 15 MPa (ν = 0.625). L’area di 2∅10 `e Asw = 1.57 cm2 quindi ω = 1.57/ (15 × 25) = 0.0419 e di conseguenza μw = 0.0419 × 400/ (0.625 × 15) = 0.179 > μwl . L’angolo β risulta quindi s r 1 − μw 1 − 0.179 cot β = = = 2.14 < 2.5 → β = 27◦ .78 μw 0.179 Dalla (7.72), per α = π/2 e ζ = 0.9 si ottiene (d = 51 cm) VR3 = Vs =

40 × 1.57 0.9 × 51 × 2.14 = 411.2 kN 15

Dalla (7.71) VR2 = νfc bw ζd sin β cos β = 0.625 × 1.5 × 25 × 0.9 × 51 × 0.423 × 0.906 = 412 kN Pertanto VR2 ' VR3 , come era stato imposto. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

¤

217

7.5 Sollecitazione di taglio

Procedura di verifica—progetto con il metodo normale Normalmente, data una trave di fissate dimensioni, si deve verificare se essa `e in grado di sostenere le sollecitazioni di taglio indotte dai carichi e quindi, se necessario, calcolare l’armatura d’anima necessaria. Il primo passo che conviene fare `e determinare VR2 , per verificare se la sezione di calcestruzzo `e in grado di resistere alla sollecitazione. Se risulta che il taglio prodotto dai carichi `e superiore a VR2 , occorre modificare le dimensioni della sezione (p.es. aumentando bw ); se la verifica invece `e soddisfatta si pu`o procedere oltre. Si calcola quindi VR1 e si verifica se `e maggiore o minore del taglio agente. Nel primo caso il solo calcestruzzo `e in grado di resistere al taglio, quindi l’armatura non `e necessaria (a meno di un minimo quantitativo previsto dalle norme) e la procedura termina; nel secondo la differenza V − VR1 deve essere assorbita dalle armature. Utilizzando la (7.66) con β = 45◦ , si ha Asw =

(V − VR1 ) s 0.9fy d cos α + sin α

(7.77)

Perch´e il meccanismo resistente descritto sia sempre efficace occorre che almeno una fessura sia intersecata da un elemento di armatura d’anima (staffa o barra piegata). Assumendo un’inclinazione delle fessure pari a 45◦ , si pu`o ritenere che la distanza tra le armature di taglio (misurata parallelamente all’asse della trave) non deve superare 0.8d. Esempio 7.12 Verificare la resistenza a taglio e, se necessario, progettare l’armatura mediante staffe, nella sezione di una trave in c.a. sollecitata da una forza di taglio V = 150 kN. La sezione ha dimensioni 30 × 50 ed `e armata con 4∅16 (As = 8 cm2 ) in trazione e 2∅14 (A0s = 3.1 cm2 ) in compressione, con una distanza delle armature dai bordi d0 = 4 cm. La resistenza del calcestruzzo `e fc = 15.6 MPa in compressione e fct = 1.12 MPa in trazione; la tensione di snervamento dell’acciaio `e fy = 380 MPa. Assumendo ν = 0.575 dalla (7.77), con α = 90◦ e β = 45◦ , si ha 1 1 VR2 = νfc b0.9d = 0.575 × 1.56 × 30 × 0.9 × 46 = 557.9 kN 2 2 in cui d = h − d0 = 50 − 4 = 46 cm. Poich´e VR2 > V `e possibile proseguire il progetto senza modificare le dimensioni della sezione. Applicando la (7.63) si ottiene il taglio trasmesso dalla sezione non armata. Dai dati si ricava facilmente che As 8 = = 5.8 × 10−3 bd 30 × 46 k = 1.6 − 0.46 = 1.14 > 1 ρ =

Pertanto VR1 = [0.25fct k (1.2 + 40ρ)] bd = [0.25 × 0.112 × 1.14 × (1.2 + 40 × 0.0058)] 30×46 = 63.2 kN Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

218

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Risultando V > VR1 `e necessario prevedere un’armatura idonea a sostenere la differenza a di di forze. Applicando la (7.77) con α = 90◦ , si ottiene l’area necessaria per l’unit` lunghezza Asw 150 − 63.2 (V − VR1 ) cm2 = = = 5.52 s 0.9dfy 0.9 × 0.46 × 38 m

Fissato il diametro del tondino ∅8 area 0.50 cm2 , adottando staffe e due bracci si ha Asw = 2 × 0.50 = 1 cm2 ; pertanto s=

1 = 0.181 m 5.52

Si pu`o pertanto adottare un’armatura formata da staffe ∅8/18 (staffe ∅8 a passo 18 cm). ¤

7.6

Diagramma dei momenti resistenti. Interazione tra taglio e flessione

In una trave inflessa le armature vengono normalmente progettate con riferimento alle sezioni di massimo momento. Poich´e lungo la trave i momenti variano, anche se la geometria della sezione di calcestruzzo viene mantenuta uniforme, l’armatura generalmente viene fatta variare in base alle effettive necessit`a. In particolare si deve tener presente che quando il momento cambia di segno, come avviene in prossimit`a degli appoggi di una trave continua, l’armatura principale (cio`e quella maggiormente tesa) diviene quella posta al lembo superiore della trave. Quindi, a differenza di quanto avviene nel caso delle travi in acciaio, dove, se la sezione `e uniforme e simmetrica, la verifica della sezione pi` u sollecitata garantisce la sicurezza (per eccesso) di tutte le altre, non altrettanto avviene per il cemento armato; la variazione dell’armatura richiede che, virtualmente, in ogni punto sia verificato che la resistenza sia maggiore della sollecitazione. Questa verifica si esegue mediante il diagramma dei momenti resistenti. In pratica, per una sezione inflessa non fortemente armata (cio`e con una quantit`a di armatura tesa minore di quella che `e data dalla (7.40)), essendo l’acciaio plasticizzato, il momento ultimo si pu`o calcolare con la semplice formula Mu = As fy ζd in cui As `e l’area dell’armatura tesa, fy la tensione di snervamento e ζd il braccio delle forze interne, ossia la distanza tra la risultante delle tensioni di trazione da quella delle compressioni. Con buona approssimazione, come si `e gi`a detto, ζ ∼ 0.9; accettando questa semplificazione l’espressione di Mu diviene Mu = As fy 0.9d che si calcola immediatamente quando siano note le dimensioni della sezione e l’area dell’armatura. In una trave con d costante, essendo fy lo stesso in tutti i punti, questa espressione mostra che Mu `e semplicemente proporzionale all’area delle armature tese. Date le armature nelle sezioni di momento massimo, se ne calcola Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.6 Diagramma dei momenti resistenti. Interazione tra taglio e flessione

219

Figura 7.32: Armatura di una trave appoggiata con sbalzo e soggetta ad un carico univorme. Verifica con il diagramma dei momenti resistenti.

facilmente il momento ultimo che, ovviamente deve superare (o almeno non essere minore a) il momento agente. Inoltre, se l’area As `e ottenuta mediante n barre di area As1 , As2 , . . ., si pu`o facilmente calcolare il contributo di ciascuna barra al momento totale, che sar`a semplicemente proporzionale all’area; in particolare, se tutte le barre hanno la stessa sezione e sono quindi di uguale area, il contributo di ciascuna barra `e 1/n-esimo del momento ultimo totale. Si pu`o quindi costruire il diagramma dei momenti resistenti di ciascuna barra, che sar`a formato da tante linee parallele all’asse delle ascisse, ciascuna distante da quella sottostante del momento resistente di quella barra. In Fig. 7.32 `e mostrato il caso di una semplice trave appoggiata con sbalzo, armata, nelle sezioni di massimo momento, in campata e sull’appoggio, con 4 barre di uguale diametro. Quando la linea del momento resistente di una barra interseca il grafico dei momenti agenti, il momento resistente pu`o essere ridotto eliminando la barra in eccesso. In figura questo `e fatto per coppie di barre e l’intersezione non `e riferita al diagramma dei momenti (linea continua) ma ad un diagramma (linea tratteggiata) ottenuto da questo mediante opportuna traslazione. La ragione di questo sar` a chiarita pi` u avanti. Comunque, come si vede, quando il momento resistente delle due barre restanti supera quello agente, le armature possono essere interrotte, perch´e da quel punto in poi quelle restanti risultano sufficienti. Tuttavia nel disegno `e mostrato che la fine effettiva delle barre non coincide con i punti di intersezione dei diagrammi, ma `e traslata di un tratto. La ragione di questo `e che le barre, per essere efficaci, devono essere ancorate nel calcestruzzo e ci`o avviene mediante l’aderenza tra i due Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

220

Capitolo 7 La trave in cemento armato

C

C v

V M0

Vcotα

z

β T

V

α

M1∼ M0+Vzcotβ

T zcotβ

X0

X0

X1

Figura 7.33: Equilibrio delle risultanti di sollecitazione per un concio di trave sezionato ortogonalmente all’asse e quando la sezione `e inclinata. ` quindi necessario prolungare le barre per un tratto pari alla lunghezza materiali. E di aderenza, che garantisce l’efficacia dell’armatura nella zona utile. Il calcolo della lunghezza di aderenza esula i propositi di queste lezioni; prudenzialmente, per barre ad aderenza migliorata, si pu`o assumere questa lunghezza pari a quaranta volte il diametro della barra. Scorrimento del diagramma dei momenti In precedenza `e stato mostrato che il diagramma dei momenti resistenti non viene confrontato direttamente con il diagramma dei momenti agenti prodotto dai carichi, ma con un altro, ottenuto dal precedente mediante traslazione di una quantit`a a. La traslazione deve essere tale che, in una data sezione, il momento del diagramma traslato `e, in valore assoluto, maggiore di quello del diagramma originale. Cos`ı, nei tratti dove il momento `e (in modulo) crescente, il diagramma `e traslato verso sinistra, dove `e decrescente `e traslato a destra, come mostrato nell’esempio in Fig. 7.32. Per giustificare questo e stimare il valore della traslazione a0 , osserviamo la Fig. 7.33. A sinistra `e rappresentato il caso di una sezione retta, in cui la coppia C, T di braccio z equilibria il momento M0 agente nella sezione X0 , per cui la forza agente nell’armatura `e T = M0 /z. Nel caso di una trave attraversata da una fessura inclinata la situazione `e quella rappresentata a destra. Se si impone l’equilibrio del concio, il momento dei carichi sar`a ora quello agente nella sezione X1 , distante z cot β da X0 , per cui il momento agente su questa sezione `e, approssimativamente M1 = M0 + V z cot β. Questo momento deve essere equilibrato dalle forze interne C, T e dalla risultante delle forze agenti sull’armatura di parete. Se si assume che tutto il taglio sia portato dall’armatura, allora tale risultante `e Fs = V / sin α, e si pu`o decomporre in una forza verticale V ed una orizzontale V cot α. Indicando con v la distanza del punto di intersezione di Fs con la fessura dalla retta d’azione di C, per l’equilibrio dei momenti intorno al punto di intersezione di C con X1 , si ottiene: M0 + V z cot β = T z + V cot αv + V v cot β Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

7.6 Diagramma dei momenti resistenti. Interazione tra taglio e flessione

221

da cui si ottiene che T z = M0 + V [(z − v) cot β − v cot α] = M0 + V a dove a = (z − v) cot β − v cot α. La posizione della risultante delle forze nelle armature di parete dipende dal punto in cui queste intersecano la fessura. Ipotizzando una distribuzione sufficientemente uniforme si pu`o assumere, seguendo l’Eurocodice 2, che questo avvenga nel punto medio, per cui v = z/2. In questo caso a=z

(cot β − cot α) 2

(7.78)

In particolare, se si pone β = 45◦ si ha a = z(1−cot α)/2, che diviene semplicemente a = z/2 nel caso che l’armatura sia formata con staffe. Quando β `e calcolato con il metodo dell’inclinazione variabile delle bielle si applica la (7.78), che per α = π/2 diviene a = z cot β/2. Quando la resistenza dell’armatura `e molto minore di quella del calcestruzzo, come si `e visto nel § 7.5.1, cot β = 2.5 e quindi, a = 1.25z.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

222

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Capitolo 7 La trave in cemento armato

Capitolo 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi 8.1

Introduzione

Le forze agenti sui solidi producono all’interno di questi delle sollecitazioni che, se superano la resistenza del materiale, ne producono un certo grado di danneggiamento ed eventualmente la rottura. Scopo dell’ingegneria strutturale `e quello di determinare per quali forze si verificano danno o rottura di una struttura, in modo da poter garantire che quelle progettate si trovino in condizioni sufficientemente lontane da quelle critiche. Nei capitoli precedenti sono stati forniti gli strumenti di base necessari per perseguire questo scopo. Lo studio `e stato in gran parte ristretto ad una categoria di elementi strutturali, le travi, il cui comportamento pu`o essere indagato con strumenti relativamente semplici e che hanno grande importanza, particolarmente nelle costruzioni moderne. In molti casi, ma non sempre, si `e fatta l’ipotesi che la legge costitutiva del materiale (cio`e la legge che esprime le tensioni in funzione delle deformazioni) sia elastica lineare (legge di Hooke). La linearit`a della legge costitutiva riduce notevolmente la complessit`a dei problemi ed inoltre la maggior parte dei materiali impiegati nelle costruzioni, se sollecitata fino ad un livello di tensione sufficientemente lontano da quello di rottura, conserva un comportamento, almeno approssimativamente, elastico lineare. Al comportamento lineare `e anche associata la reversibilit`a del fenomeno, ovvero la scomparsa degli effetti (ad esempio delle deformazioni) quando le azioni vengono rimosse. Per il calcestruzzo la fessurazione costituisce un fenomeno non reversibile; tuttavia, poich´e all’annullarsi delle trazioni le fessure si richiudono, si pu`o assumere che anche il calcestruzzo fessurato, finch´e le tensioni restano limitate, abbia un comportamento praticamente reversibile. La reversibilit`a implica l’assenza di un danno permanente, quindi, almeno finch´e si indaga il comportamento della struttura nel campo del suo buon funzionamento, l’ipotesi di elasticit`a lineare `e sufficientemente realistica. Il progettista di una struttura deve naturalmente garantire che l’organismo da lui ideato sia in grado di sostenere le azioni a cui sar`a soggetto senza danneggiarsi. L’assenza di danno necessariamente implica che la struttura non collassi: in questa Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

223

224

Capitolo 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi

ottica, in un quadro deterministico, il progettista potrebbe quindi limitarsi a verificare che, sotto l’azione dei carichi, in nessun punto della struttura il materiale supera il limite di proporzionalit`a, quindi che il comportamento della struttura resti elastico lineare1 .

8.1.1

Le azioni

Fin qui non si `e posta alcuna attenzione alle cause che generano le forze agenti sulle strutture, n´e sul modo di determinarle. Queste possono essere classificate in base a diversi criteri: la loro natura, le cause che le producono, il modo con cui interagiscono con la struttura. Per quanto riguarda la natura, non sempre le azioni sono forze: ad esempio un cedimento differenziale delle fondazioni, che imprime alla struttura uno stato di coazione, si pu`o rappresentare come uno spostamento imposto ad alcuni vincoli; le deformazioni dovute alle variazioni termiche o dal ritiro del calcestruzzo, se impedite possono produrre stati di coazione che, particolarmente nei materiali fragili, possono danneggiare la struttura. L’azione pi` u comune, sempre presente, `e il peso, sia della struttura stessa, sia di quello che essa sostiene (pavimenti, tramezzi e tamponature, arredi ed infine le persone che utilizzano l’edificio); queste forze sono indotte dall’uomo altre, come ad esempio il peso della neve sui tetti, `e invece un’azione ambientale che sfugge al nostro controllo. La pressione esercitata dal vento `e una forza di natura diversa dal peso, ma anch’essa dipende dalle condizioni ambientale e non dall’uomo. Da questo punto di vista anche le azioni sismiche, che propriamente non sono forze, ma spesso vengono schematizzate come tali, sono azioni ambientali e che naturalmente noi non possiamo controllare. Un altro criterio di classificazione riguarda l’evoluzione nel tempo delle azioni: alcune, come il peso proprio, sono sempre presenti e rimangono praticamente costanti per l’intera vita della struttura; altre, come i cos`ı detti sovraccarichi permanenti (pavimenti, tramezzi, intonaci, ecc.) cambiano assai di rado, spesso mai durante la vita della costruzione. Gli arredi sono carichi che cambiano di rado, mediamente ogni alcuni anni, mentre il peso degli occupanti varia molto pi` u rapidamente; entrambi sono classificati tra le azioni variabili, insieme alla neve ed alla pressione del vento. Le azioni, come i terremoti, le esplosioni, ecc., che si verificano di rado (a volte mai) ma che possono avere conseguenze gravi sulla vita della struttura, sono chiamate eccezionali.

8.1.2

Incertezze

Per eseguire le verifiche di una struttura occorre conoscere in primo luogo la struttura stessa (geometria degli elementi che la compongono, natura e caratteristiche dei materiali costituenti, ecc.) nonch´e il tipo e l’entit`a delle azioni a cui sar`a soggetta. 1

Per il calcestruzzo fessurato si deve anche controllare che l’ampiezza delle fessure resti limitata. Il calcolo dell’ampiezza delle fessure non `e compreso nel programma di questo corso. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

8.2 Sicurezza strutturale

225

Per quanto riguarda le azioni, come visto prima, alcune dipendono dall’azione dell’uomo (p.es. il peso dei pavimenti, dei tramezzi, degli arredi utilizzati, ecc.) e, in via di principio, potrebbero anche essere conosciuti con precisione, ma altre azioni, che dipendono da eventi naturali, come il vento, la neve, i terremoti, ecc., ovviamente non possono essere previste senza un margine pi` u o meno ampio di incertezza. In pratica poi anche le azioni che dipendono dall’uomo non sono esattamente prevedibili; nessuno, ad esempio, pu`o sapere esattamente quali pesi dovr`a sostenere un solaio nell’arco della vita dell’edificio ed perfino i pesi propri, a causa della variabilit`a delle dimensioni degli elementi e del peso specifico dei materiali, possono essere previsti con certezza. Oltre alle azioni, anche le caratteristiche della struttura risultano incerte, sia perch´e tra il progetto e l’eseguito possono esistere delle differenze, sia perch´e le propriet`a dei materiali sono variabili e quindi anche loro non deterministicamente prevedibili. Le misure delle resistenze sono ottenute da prove distruttive: quindi la resistenza di un materiale impiegato nella costruzione non pu`o mai essere misurata direttamente, ma solo indirettamente, su campioni realizzati con un materiale simile. Per gli elementi in acciaio, comprese le barre impiegate per l’armatura nel c.a., essendo prodotti industrialmente prima della costruzione, questo controllo statistico pu`o essere eseguito prima della loro posa in opera; inoltre il materiale risulta generalmente omogeneo e le grandezze di interesse poco disperse. Sul calcestruzzo, che viene realizzato solo al momento della costruzione, i controlli invece si possono eseguire solo molti giorni dopo il getto, dopo che i campioni prelevati hanno raggiunto un giusto grado di maturazione; inoltre, per loro natura, le resistenze e le altre grandezze meccaniche di questo materiale, risultano molto pi` u disperse. L’imprevedibilit`a dei carichi e dei parametri del materiale non sono le uniche fonti di incertezza circa l’effettivo stato di sollecitazione della struttura. Ad esse si devono aggiungere gli errori insiti nell’impiego, per descrivere la struttura, di modelli di calcolo semplificati, il fatto di trascurare alcune azioni che non erano state previste, le incertezze nelle definizioni delle soglie di danno e di collasso.

8.2

Sicurezza strutturale

Se le azioni e le resistenze, oltre agli stessi modelli di calcolo, non sono deterministici, non `e pi` u possibile escludere che, durante la sua storia, una struttura subisca dei danni o che addirittura collassi; si potr`a solo richiedere che questi eventi siano abbastanza rari, in modo tale che il rischio ad essi connesso risulti pi` u piccolo di altri rischi a cui ciascuno `e normalmente esposto. La verifica (probabilistica) di una struttura consiste nel determinare la probabilit`a che si verifichi (in un fissato lasso di tempo) un evento sfavorevole e quindi nel controllare che questa probabilit`a sia minore del rischio ritenuto accettabile. Una tale impostazione, anche se logicamente soddisfacente, risulta notevolmente difficile da svolgere e poco adatta alla prassi progettuale corrente. In pratica, per garantire un adeguato livello di sicurezza si introducono dei margini tra lo stato (medio) della struttura e le condizioni che producono effetti indesiderati; questi margini si ottengono mediante dei coefficienti di sicurezza, che Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

226

Capitolo 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi

σ fy 2

1 2

α

α

ε

F

F (a)

l

(b)

(c)

Figura 8.1: Analisi agli stati limite di due strutture composte con tre aste. riducono le resistenze ed aumentano i valori nominali delle sollecitazioni; si richiede quindi che, in analisi deterministiche eseguite adottando questi valori delle azioni e delle resistenze, lo stato limite non sia superato. L’incremento delle forze e la riduzione delle resistenze si devono intendere riferiti ai valori pi` u probabili (p.es. a quelli medi) delle rispettive grandezze. Questo metodo non garantisce, in termini di probabilit`a, una sicurezza uniforme per tutte le strutture, tuttavia i coefficienti di sicurezza possono essere calibrati in modo da garantire un valore minimo della sicurezza. In precedenza `e stato osservato che una struttura non deve, in condizioni normali, subire danni. Se la struttura `e realizzata con un materiale a comportamento elastoplastico, la condizione di assenza di danno si pu`o far coincidere con il fatto che in ogni punto le tensioni non superino i limiti di plasticit`a. Applicando il metodo dei coefficienti di sicurezza delineato prima, questa verifica si eseguir`a applicando alla struttura dei carichi opportunamente aumentati e assumendo una ridotta resistenza del materiale. ` ovvio che se la struttura non supera la soglia di danno a maggior ragione E non superer`a quella di collasso. Tuttavia la verifica di una sola condizione non `e sufficiente a garantire un adeguato margine di sicurezza dell’altro. Per comprendere questo si pu`o far riferimento al caso delle due semplici strutture illustrate in Fig. 8.1 (a) e (b), composte da tre barre di uguale sezione e costituite da un materiale a comportamento elasto-plastico perfetto (Fig. 8.1 (c)). Nel caso (a) le barre sono parallele, in quello (b) formano un triangolo isoscele con angolo al vertice 2α. Sia F il valore nominale della forza e fy quello della tensione di snervamento del materiale; indichiamo con Fy la forza che produce la prima plasticizzazione (quindi la soglia di danno) e con Fu la resistenza ultima della struttura, che coincide con la forza che produce la plasticizzazione di tutte le aste; infatti quando tutte le barre sono plasticizzate l’equilibrio non `e pi` u possibile per una forza maggiore di Fu . Nel caso della struttura (a) la soluzione del problema `e molto semplice, poich´e ovviamente le tre barre sono ugualmente sollecitate, quindi se A `e l’area di una barra Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

227

8.2 Sicurezza strutturale

2

1

α

2

l

α Q

δ cos α

δ

Q’ F

Figura 8.2: Analisi della deformazione delle tre aste collegate alle estremit`a. si ha semplicemente F 3A in ciascuna di esse. Lo snervamento del materiale si raggiunge simultaneamente nelle tre barre quando σ = fy e pertanto σ=

Fy = Fu = 3fy A Dunque per una simile struttura vi `e lo stesso margine di sicurezza sia nei confronti del danno (Fy ) sia del collasso (Fu ). Il calcolo delle tensioni nella struttura (b) `e un poco pi` u complesso. Per risolvere il problema si utilizza il principio dei lavori virtuali. Assegnando al punto Q uno spostamento δ (Fig. 8.2) l’asta 1 subisce un allungamento δ e quindi una deformazione δ ε1 = l essendo l la lunghezza iniziale della barra. Le aste 2, di lunghezza iniziale l/ cos α, subiscono un allungamento δ cos α e quindi una deformazione ε2 =

δ cos α l cos α

=

δ cos2 α l

Se E `e il modulo elastico del materiale, alle deformazioni ε1 ed ε2 corrispondono le tensioni σ 1 = Eε1 e σ 2 = Eε2 . Quindi, poich´e tensioni e deformazioni sono costanti all’interno delle aste, il lavoro virtuale delle forze interne `e µ ¶ l 2 2 2 = EAl ε1 + ε δLi = σ1 ε1 Al + 2σ2 ε2 A cos α cos α 2 Tenendo quindi conto delle precedenti espressioni di ε1 ed ε2 si ottiene µ 2 ¶ ¢ δ 2 δ2 EA 2 ¡ 4 δ 1 + 2 cos3 α cos α = δLi = EAl 2 + 2 l cos α l l Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

228

Capitolo 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi

Poich´e il lavoro della forza esterna F `e semplicemente F δ, uguagliando il lavoro interno a quello esterno si ricava che F = da cui

¢ EA ¡ δ 1 + 2 cos3 α l

F δ = l EA (1 + 2 cos3 α)

Quindi F δ σ 1 = Eε1 = E = l A (1 + 2 cos3 α) δ F cos2 α 2 σ 2 = Eε2 = E cos α = l A (1 + 2 cos3 α) Poich´e cos2 α ≤ 1, si ha evidentemente σ 2 ≤ σ 1 , pertanto la condizione di prima plasticizzazione si raggiunge quando σ1 = fy , e questo avviene per F = Fy , con ¡ ¢ Fy = fy A 1 + 2 cos3 α

Il collasso si raggiunge invece quando tutte e tre le aste sono plasticizzate, per cui in ciascuna si raggiunge la forza F1y = Afy . Combinando le tre forze con la regola del parallelogramma, si ottiene la risultante Fu = F1y + 2F1y cos α = fy A (1 + 2 cos α) Il rapporto Fu /Fy risulta quindi 1 + 2 cos α Fu ≥1 = Fy 1 + 2 cos3 α

Ad esempio, per α = 30◦ si ha Fu /Fy = 1.188; per α = 45◦ il rapporto diviene 1.414. Dunque, se le due strutture fossero progettate con lo stesso coefficiente di sicurezza rispetto al primo snervamento, avrebbero un differente margine di ricurezza rispetto al collasso, dipendente dall’inclinazione delle barre 2. Data la diversa gravit`a delle conseguenze prodotte dal superamento del limite di danno da quelle relative al superamento del limite di collasso, si accetta un rischio diverso per i due eventi, maggiore per quello meno grave e minore per l’altro. Il diverso livello di rischio accettato si esprime in pratica mediante diversi valori dei coefficienti di sicurezza, maggiori per le verifiche allo stato limite ultimo, minori per quelle degli stati limite di danno. Poich´e, come mostra l’esempio precedente, il rapporto tra la soglia di danno e quella ultima varia da caso a caso, occorre in genere eseguire entrambi i tipi di verifica: le verifiche di esercizio (o di stato limite di danno) garantiscono un accettabile livello di sicurezza contro situazioni che possono compromettere il buon funzionamento della struttura, ma non la sua resistenza; le verifiche allo stato limite ultimo servono a garantire un adeguato livello di sicurezza nei confronti del collasso, anche parziale, della struttura. Il progetto sar`a condizionato da quella verifica che risulta pi` u vincolante. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

229

8.3 Valori nominali e caratteristici

0.06

0.05

0.8

0.04

F(x)

p(x)

0.6 0.03 0.4 0.02 0.2

0.01

0 10

20

30

40

50

60

0 70

x

Figura 8.3:

8.3

Valori nominali e caratteristici

Per le ragioni indicate nell’introduzione, sia le azioni sia le resistenze non si possono rappresentare mediante un valore deterministico; si tratta infatti di grandezze aleatorie, la cui descrizione esauriente richiede la conoscenza della relativa funzione di probabilit`a. Questa funzione, per una variabile continua X, `e tale che pX (x) dx d`a la probabilit`a che il valore di X sia compreso tra x e x + dx: pX (x) dx = Pr (x ≤ X < x + dx)

(8.1)

Integrando la funzione pX (x) nell’intervallo finito [x1 , x2 ) si ottiene la probabilit`a che X sia compresa in questo intervallo; in particolare, integrando tra −∞ e x si ha la probabilit`a che X < x. La funzione che cos`ı si ottiene Z x pX (ξ) dξ (8.2) FX (x) = −∞

`e detta funzione di distribuzione della v.a. X. Poich´e la probabilit`a `e per definizione una grandezza positiva non superiore ad uno, FX (x) `e una funzione non decrescente, compresa tra zero ed uno e tale che FX (∞) = 1. Da questo si deduce anche che: Pr (X ≥ x) = 1 − Pr (X < x) = 1 − FX (x)

(8.3)

Nella Fig. 8.3, a titolo di esempio, sono rappresentati i grafici della funzione di probabilit`a (linea continua) e di distribuzione (linea tratteggiata) di una variabile aleatoria idonea a rappresentare la resistenza di un calcestruzzo. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

230

Capitolo 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi

La descrizione delle grandezze aleatorie mediante le funzioni di probabilit`a o di distribuzione, sebbene logicamente soddisfacente, non `e coerente con il formato della maggior parte delle norme che, per ragioni di semplicit`a, `e deterministico. Occorre quindi, a ciascuna delle grandezze aleatorie che rappresentano i carichi e le resistenze, assegnare un valore deterministico, chiamato valore nominale o valore caratteristico. Il criterio adottato per scegliere questo valore `e il seguente: fissato un livello di probabilit`a (generalmente piccolo) p0 si determinano i due valori (xi , xs ) della variabile aleatoria X tali che FX (xi ) = p0

FX (xs ) = 1 − p0

Questi due valori sono detti frattili (inferiore e superiore) di X per la probabilit`a p0 . In effetti, per come sono definiti, vi `e una probabilit`a p0 che X < xi e che X ≥ xs . Quindi, se p0 `e piccolo, sar`a improbabile che X risulti minore del suo frattile inferiore o maggiore di quello superiore. I valori caratteristici delle grandezze aleatorie (forze e resistenze) sono definiti come opportuni valori frattili. In genere si assume p0 = 0.05 (5%) e si adotta il frattile inferiore per le grandezze da cui dipende in modo positivo la sicurezza della struttura (in particolare le resistenze dei materiali) ed il frattile superiore per quelle che influiscono negativamente sulla sicurezza (generalmente i carichi). A volte i carichi possono agire nei due sensi (diminuire la sicurezza di un elemento ma aumentare quella dell’altro); in questo caso per i carichi si dovranno considerare due valori caratteristici (frattile superiore ed inferiore). I valori caratteristici sono generalmente contrassegnati con il pedice k. Per le resistenze si ha quindi che Xk : FX (Xk ) = 0.05 (8.4) mentre per le azioni, normalmente: Xk : FX (Xk ) = 0.95

(8.5)

Per alcune grandezze, come la resistenza dei materiali, il valore caratteristico si pu`o ricavare su base statistica. Se si dispone di un numero abbastanza grande di misure eseguite su provini confezionati con il materiale impiegato nella costruzione, assumendo che questo abbia caratteristiche sufficientemente omogenee (cio`e non vi sia stato un cambiamento sistematico nella produzione del materiale), il valore caratteristico si pu`o determinare con la relazione Xk = Xm − 1.645sX In cui, indicando con Xi (i = 1, . . . , n) i valori misurati delle resistenze, s n X 1 (Xi − Xm )2 Xm = Xi sX = n i=1 n−1

(8.6)

(8.7)

La formula (8.6) `e valida solo per n & 30. Per valori minori si pu`o adottare la relazione Xk = Xm − k (n) sx (8.8)

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

8.4 Coefficienti di sicurezza, valori di progetto

231

dove k (n) `e un coefficiente che dipende dal numero dei campioni esaminati e che tende ad 1.645 per n → ∞. Alcuni valori di k sono riportati nella tabella seguente: n 6 8 10 14 18 22 26 30 k 1.943 1.860 1.812 1.761 1.734 1.717 1.706 1.697 Per i materiali prodotti in stabilimento e quindi messi in opera, come l’acciaio, il valore caratteristico della resistenza si pu`o determinare applicando le formule precedenti ai dati ricavati da misure eseguite su di un campione significativo del materiale (ad esempio su di un dato numero di monconi di barre prelevate dal lotto di produzione). Il valore caratteristico del materiale si pu`o quindi misurare preventivamente alla sua posa in opera. Per il calcestruzzo la situazione `e differente, perch´e, come si `e fatto osservare prima, il materiale viene realizzato nel momento stesso della costruzione e le prove sui campioni prelevati dal getto si possono eseguire solo diversi giorni dopo. La resistenza non pu`o essere misurata prima, ma si pu`o soltanto verificare a posteriori che il valore caratteristico della resistenza effettiva (misurata sui campioni) sia non minore di quello preventivato nel progetto. I controlli di accettazione hanno quindi il fine di verificare ci`o, con una piccola probabilit`a di errore. Mentre i valori caratteristici delle resistenze dei materiali dipendono dalla qualit`a del processo di produzione e, particolarmente per il calcestruzzo, sono notevolmente variabili, quindi vanno stabiliti caso per caso, i valori caratteristici delle azioni dipendono da altri fattori, ad esempio dalla destinazione d’uso dell’edificio, o dalla sua esposizione a certi eventi naturali (neve, vento, terremoti), la cui probabilit`a di verificarsi dipende dalla localizzazione dell’opera. La definizione dei valori di riferimento (nominali) di queste grandezze (carichi di uso di un edificio, peso della neve, pressione del vento, accelerazione sismica, ecc.) `e notevolmente pi` u complessa, e comunque i fenomeni da cui dipendono non sono controllati dal progettista. I valori di riferimento relativi a queste azioni sono generalmente stabiliti nelle norme, in funzione della destinazione d’uso della costruzione o della sua localizzazione geografica.

8.4

Coefficienti di sicurezza, valori di progetto

I valori caratteristici delle resistenze sono quindi valori per i quali vi `e una piccola probabilit`a che il valore reale della resistenza del materiale risulti inferiore; i valori caratteristici delle azioni, al contrario, sono scelti in modo che sia altrettanto raro che il livello dell’azione, nell’arco della vita convenzionale della struttura, li superi. Progettando con riferimento ai valori caratteristici si ottiene una probabilit`a di superamento dello stato limite che `e dell’ordine della probabilit`a p0 del valore frattile. Poich´e normalmente la probabilit`a di riferimento, come si `e gi`a detto, `e il 5%, da una simile condizione di progetto dovremmo aspettarci valori simili nella probabilit`a di insuccesso del progetto2 . Un tale livello di rischio pu`o essere ragionevole per 2

Questa probabilit` a non `e uniforme. Ad esempio considerando il caso elementare in cui si confronta una resistenza R con una sollecitazione S, in modo che la condizione di stato limite sia Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

232

Capitolo 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi

uno stato limite di danno, certamente non per quello di collasso, le cui conseguenze possono essere estremamente gravi. Nei confronti di tale stato limite occorre quindi aumentare la sicurezza aumentando il margine tra resistenza e sollecitazione. Si introducono pertanto dei coefficienti di sicurezza, quantit`a generalmente maggiori di uno, per i quali si dividono i valori caratteristici delle resistenze e si moltiplicano quelli delle azioni3 . I valori cos`ı ottenuti si chiamano valori di progetto delle grandezze considerate e vengono indicati con il pedice d. Cos`ı se R indica una generica resistenza ed S una sollecitazione, i rispettivi valori di progetto saranno Rd =

Rk γR

Sd = γ S Sk

dove γ R e γ S sono i coefficienti di sicurezza della resistenza R e dell’azione S. I valori di γ dipendono dalla grandezza a cui si riferiscono; ad esempio il coefficiente di sicurezza della resistenza del calcestruzzo `e pi` u grande di quello che si adotta per l’acciaio, per tener conto della diversa dispersione delle resistenze dei due materiali; anche per i carichi i coefficienti dovrebbero avere valori differenti, anche se in pratica, nelle norme attuali, i valori adottati per i diversi tipi di carico non differiscono molto tra loro. I coefficienti di sicurezza dipendono ovviamente dal tipo di verifica. Per le verifiche nei confronti del danno (stati limite di esercizio) generalmente si adottano valori unitari (quindi i valori di calcolo coincidono con quelli caratteristici). Per le verifiche nei confronti dello stato limite ultimo i valori tipicamente adottati nelle norme variano tra 1.2 ed 1.5, in funzione del tipo di materiale e di azione. Ad esempio le norme italiane per le costruzioni del 1996, nella verifica allo stato limite ultimo, per le azioni gravitazionali (pesi) danno i seguenti coefficienti:

Favorevoli Sfavorevoli

Carichi permanenti Carichi variabili 1 0 1.4 1.5

Per i materiali, sempre nelle verifiche allo stato limite ultimo, nelle strutture in cemento armato si adotta un coefficiente di sicurezza 1.6 per il calcestruzzo e 1.15 per le armature in acciaio. Per le strutture in carpenteria metallica, il coefficiente di sicurezza del materiale (acciaio), salvo casi particolari, `e 1.05.

8.5

Le Norme Tecniche per le Costruzioni

La necessit`a di garantire un livello di sicurezza minimo uniforme sul territorio nazionale, ha spinto tutti gli stati moderni, a partire dagli inizi del secolo scorso, a dotarsi R = S, se si progettano R ed S con la condizione Rk = Sk , dove Rk ed Sk sono i valori frattili 5% (inferiore e superiore) di R ed S, rispettivamente, la probabilit`a di superamento dello stato limite pu`o variare tra il 5% e lo 1% (ipotizzando R ed S gaussiane). 3 Nel caso che l’azione agisca favorevolmente allora si assume un coefficiente di sicurezza minore di uno. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

8.5 Le Norme Tecniche per le Costruzioni

233

di norme tecniche relative alle costruzioni. Concettualmente queste norme dovrebbero fornire soltanto alcuni parametri, ad esempio i valori nominali delle azioni ed i coefficienti di sicurezza, la cui scelta dipende ovviamente dal livello di sicurezza minimo che si vuole garantire e sotto il quale non `e lecito scendere, lasciando alla competenza del progettista la scelta dei metodi di verifica delle strutture. In realt`a, poich´e i modelli di calcolo sono sempre delle rappresentazioni approssimate della realt`a, la loro scelta non `e poi indifferente sul livello di sicurezza ottenuto; quindi le norme non si limitano a fornire i parametri necessari per definire i livelli delle azioni ed i coefficienti di sicurezza, bens`ı spesso entrano nei dettagli della modellazione, p.es. fornendo i modelli delle leggi costitutive dei materiali, dando indicazioni circa l’impiego dei modelli di calcolo delle strutture (lineari o non lineari), delle formule da impiegarsi nelle verifiche, ecc. Naturalmente `e lasciata libert`a al progettista di impiegare metodi ritenuti pi` u accurati, ma il risultato del progetto non pu`o fornire soluzioni che non soddisfino le prescrizioni della norma. Poich´e le conoscenze tecniche e scientifiche evolvono continuamente, sia le conoscenze sulla natura di certe azioni (ad esempio i terremoti ed il vento) sia quelle relative al comportamento strutturale e dei relativi modelli di calcolo (notevolmente potenziati dall’impiego di computer sempre pi` u potenti), fanno s`ı che le norme debbano essere continuamente aggiornate per essere in linea con gli sviluppi delle conoscenze. Poich´e in Italia le norme sono, per legge, emanate con decreto del Ministro dei LL.PP., il loro aggiornamento ha spesso incontrato ostacoli di carattere burocratico che non sempre ne hanno consentito un adeguato allineamento al livello degli ultimi risultati della ricerca. Nel 1975, la Commissione delle Comunit`a Europee decise di stabilire un insieme di regole tecniche armonizzate per la progettazione delle opere di costruzione che, in una prima fase, sarebbe servito come alternativa rispetto ai regolamenti nazionali in vigore negli stati membri ed, alla fine, li avrebbe sostituiti. La conclusione di questo progetto ha portato alla stesura di nove Eurocodici, che coprono tutte le principali tipologie strutturali, per materiali, destinazione, natura delle azioni a cui devono resistere. Questi documenti sono costituiti da molte centinaia di pagine ed entrano spesso molto in dettaglio relativamente ai metodi di analisi e di verifica, dovranno quindi essere soggetti ad un processo continuo di aggiornamento. Alcuni dei parametri forniti dalle norme, in particolare quelli dipendenti dalla localizzazione geografica della costruzione (si pensi alla velocit`a del vento, al carico di neve od all’intensit`a del moto sismico) non sono definiti negli Eurocodici e devono essere fissati da ciascun paese mediante opportuni annessi tecnici. Con queste precisazioni i codici europei si possono adottare in alternativa a quelli nazionali, che comunque tendono sempre pi` u, a loro volta, ad allinearsi alle norme comunitarie.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

234

Capitolo 8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Appendice A Geometria delle aree A.1

Momenti statici e baricentro

Definizione 1 Data una figura piana A e due assi ortogonali x, y, (vedi Fig. A.1) si definisce momento statico di A relativo all’asse x il valore dell’integrale Z Sx (A) = ydA (A.1) A

Analogamente, il momento statico relativo ad y `e Z Sy (A) = xdA

(A.2)

A

Esempio A.1 Calcolare i momenti statici delle aree rappresentate in Fig. A.2, relativamente agli assi indicati nel disegno. Rettangolo

Sy

Z

b

Z

h

1 ydy = bh2 2 0 0 Z h Z b 1 = dy xdx = hb2 2 0 0

Sx =

dx

(A.3a) (A.3b)

Triangolo rettangolo Z

Z

h2 ³ x ´2 dx = 1− b 0 0 0 2 Z h Z b(1−y/h) Z h 2³ b y ´2 = dy xdx = dy = 1− h 0 0 0 2

Sx = Sy

Z

b

dx

h(1−x/b)

ydy =

b

h2 b 1 = bh2 2 3 6

(A.4a)

b2 h 1 = hb2 2 3 6

(A.4b)

¤ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

235

236

Appendice A Geometria delle aree

y’

y

A x’

O’ O

x

Figura A.1: Assi di riferimento e area A del piano.

A.1.1

Trasporto

Dati altri due assi x0 , y 0 paralleli ad x, y, le coordinate di un generico punto P , relativamente al nuovo riferimento sono x0 = x − xO0

y 0 = y − yO0

dove xO0 , yO0 sono le coordinate dell’origine del nuovo riferimento rispetto al vecchio. Applicando la definizione: Z Z Z Z 0 0 0 0 y dA = (y − yO ) dA = ydA − yO dA = Sx − yO0 A (A.5a) Sx = dove A =

R

A

A

A

A

A

dA `e l’area della figura. Analogamente Sy0 = Sy − xO0 A

(A.5b)

Remark 2 Il momento statico di una figura A relativo ad un asse x0 , parallelo ad x e distante yO0 da questo, si ottiene sottraendo ad Sx il prodotto dell’area della figura per yO0 .

A.1.2

Rotazione degli assi

Se x, y e x0 , y 0 sono due sistemi di assi ortogonali con la stessa origine ma rotati di un angolo θ (vedi Fig. A.3), si ha x0 = x cos θ + y sin θ y 0 = −x sin θ + y cos θ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(A.6a) (A.6b)

237

A.1 Momenti statici e baricentro

y

y

h

h

x

x

b

b

(a)

(b)

Figura A.2: Figure geometriche semplici [rettangolo (a), triangolo rettangolo (b)] e relativi assi di riferimento. quindi Sx0 =

Z

0

y dA =

A

Z

A

(−x sin θ + y cos θ) dA = Z Z = − sin θ xdA + cos θ ydA = − sin θSy + cos θSx (A.7a) A

Sy0 =

Z

0

x dA =

A

Z

A

(x cos θ + y sin θ) dA = Z Z = cos θ xdA + sin θ ydA = cos θSy + sin θSx (A.7b) A

A.1.3

Propriet` a additiva

Se una figura A `e suddivisa in n figure non sovrapposte Ai e tali che allora, per una nota propriet`a dell’integrale Sx (A) =

Z

A

ydA =

n Z X i=1

Ai

ydA =

n X

Sx (Ai )

Sn

i=1

Ai = A,

(A.8)

i=1

Ossia: Remark 3 Il momento statico di una figura composta `e la somma dei momenti statici delle parti componenti. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

238

Appendice A Geometria delle aree

y y’ x’

A O≡O’

θ x

Figura A.3: Figura piana riferita a due sistemi di assi rotati.

A.1.4

Baricentro

Se si sceglie il punto O0 in modo tale che Sx0 = Sx − yO0 A = 0 Sy0 = Sy − xO0 A = 0

(A.9a) (A.9b)

il punto O0 `e il baricentro della figura A. Per le (A.7) il momento statico di qualunque asse passante per O0 `e nullo.

Definizione 4 Il baricentro G di una figura A `e quel punto tale che, se x `e un asse passante per G, si ha Sx (A) = 0. Dalle (A.9) si ha xG =

Sy A

yG =

Sx A

(A.10)

Esempio A.2 Baricentro del rettangolo. Sostituendo le (A.3) nella (A.10) e poich´e A = bh, si ottiene b h xG = yG = (A.11) 2 2 Baricentro del triangolo rettangolo. Sostituendo (A.4) nella (A.10) e poich´e A = 12 bh, si ottiene b h yG = (A.12) xG = 3 3 ¤ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

239

A.1 Momenti statici e baricentro

Assi di simmetria Si dimostra facilmente la seguente propriet`a: se x `e un asse di simmetria di A, allora G ∈ x. Infatti, indicando con A− e A+ le due parti della figura A che si trovano nel semipiano negativo e positivo individuato dall’asse x, si pu`o porre Z Z Z ydA = ydA + ydA Sx = A−

A

A+

Se x `e un asse di simmetria ed y `e ortogonale ad x, allora Z Z ydA = − ydA A−

A+

e quindi Sx = 0. Ci`o dimostra quanto affermato. Dalle propriet`a enunciate prima risulta evidente che se una figura ha due assi di simmetria, il suo baricentro coincide con il punto di intersezione di questi assi. Da questa propriet`a segue, ad esempio, che il baricentro di un rettangolo si trova nel punto che dista h/2 e b/2 dai lati, come gi`a trovato prima. Il baricentro di un cerchio coincide evidentemente con il suo centro. Determinazione del momento statico Dalle (A.9) segue anche che Sx = yG A

(A.13)

ovvero: il baricentro di una figura rispetto ad un asse x si pu`o determinare moltiplicando l’area A della figura per la distanza yG del baricentro da x. Grazie alla (A.13), se si conoscono l’area e la posizione del baricentro di una figura, il calcolo del suo momento statico rispetto ad un qualsiasi asse si calcola in modo elementare mediante la (A.13). Figure composte Se una figura complessa si pu`o suddividere in figure pi` u semplici di ciascuna delle quali `e nota la posizione del baricentro, allora il momento statico complessivo della sezione si pu`o calcolare sostituendo la (A.13) nella (A.8): Sx =

n X

yGi Ai

(A.14)

i=1

in cui yGi `e la distanza da x del baricentro della figura Ai e Ai ne `e l’area. Determinato il momento statico si determina facilmente anche la distanza da x del baricentro della figura complessa. Infatti Pn Sx i=1 yGi Ai yG = = P (A.15) n A i=1 Ai Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

240

Appendice A Geometria delle aree

y

18

A1 7

A2 x 20

5

Figura A.4: Sezione ad L composta da due sezioni rettangolari. Esempio A.3 Determinare la posizione del baricentro della figura ad L in Fig. A.4. Si decompone la figura in due rettangoli; il calcolo dei momenti statici e del baricentro `e riportato nella seguente tabella: A xG yG Sx Sy A1 5 × 18 = 90 2.5 9 90 × 9 = 810 90 × 2.5 = 225 A2 20 × 7 = 140 15 3.5 140 × 3.5 = 490 140 × 15 = 2100 2325 1300 A 90 + 140 = 230 230 = 10.11 230 = 5.65 810 + 490 = 1300 225 + 2100 = 2325 ¤

A.1.5

Significato fisico del baricentro

Se interpretiamo la figura A come un corpo (piano) dotato di massa uniformemente distribuita di densit`a μ e posto nel campo della forza peso, il momento statico della figura rispetto ad un asse verticale z `e (a meno di μg – g accelerazione di gravit`a –) il modulo del momento delle forze peso agenti sulla figura, calcolato rispetto ad un qualsiasi polo P ∈ z. Infatti dF = gμdA `e il modulo della forza (verticale) agente sull’area dA e di massa μdA per effetto della gravit`a (vedi Fig. A.5). Quindi ydF `e il momento di tale forza relativo ad un qualsiasi punto sulla retta verticale z. Il momento risultante su tutta la sezione `e pertanto Z Z ydF = gμ ydA = gμSz M= A

A

Se l’asse z passa per il baricentro Sz = 0 e di conseguenza M = 0. Se si pensa la figura A incernierata nel baricentro, il momento relativo a qualunque asse per G (e quindi per la cerniera) `e nullo, di conseguenza, comunque si roti la sezione attorno a G, il momento del peso rispetto a G risulter`a nullo; di conseguenza la sezione si trova in equilibrio in qualunque configurazione che rispetti il vincolo in G. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

241

A.2 Momento d’inerzia

G dA P

y

dF=gμdA z

Figura A.5:

A.2

Momento d’inerzia

Definizione 5 Data una figura A come quella mostrata in Fig. A.1, e due assi ortogonali x, y i momenti d’inerzia della figura rispetto agli assi sono Jx = Jy = Jxy =

Z

ZA ZA

y 2 dA

(A.16a)

x2 dA

(A.16b)

xydA

(A.16c)

A

Pi` u propriamente, Jxy `e chiamato il momento centrifugo della sezione rispetto agli assi x, y. Si osservi che Jx e Jy sono quantit`a non negative, mentre Jxy pu`o essere sia positivo sia negativo.

A.2.1

Cambiamento di riferimento

Traslazione Se x0 , y 0 `e un nuovo riferimento parallelo al precedente, con origine nel punto O0 di coordinate xO0 , yO0 , (vedi Fig. A.1) si ha x = xO0 + x0 Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

y = yO0 + y 0

242

Appendice A Geometria delle aree

dove x, y sono le coordinate di un punto P nel vecchio riferimento e x0 , y 0 le coordinate dello stesso punto nel nuovo. Applicando la definizione (A.16) si ottiene Jx =

Z

0 2

A

Jy =

Z

0 2

A

Jxy =

(yO0 + y ) dA =

2 yO 0

Z

x2O0

(xO0 + x ) dA =

0

Z

A

Z

A

dA + 2yO0

Z

0

y dA +

A

dA + 2xO0

Z

y 02 dA =

Z

x02 dA =

A

0

x dA +

A

Z

0

Z

A

2 yO 0 A + 2yO0 Sx0 + Jx0

x2O0 A + 2xO0 Sx0 + Jy0

Z

(xO0 + x ) (yO0 + y ) dA = xO0 yO0 dA + xO0 y 0 dA+ A A A Z Z yO0 x0 dA + x0 y 0 dA = xO0 yO0 A + xO0 Sx0 + yO0 Sy + Jx0 y0 A

A

Se l’origine del nuovo riferimento O0 coincide con il baricentro della sezione G, Sx0 = Sy0 = 0 e pertanto 2 Jx = yG A + JxG 2 Jy = xG A + JyG Jxy = xG yG A + JxGyG

(A.17a) (A.17b) (A.17c)

Le (A.17) dimostrano che il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse x si pu`o calcolare sommando al momento d’inerzia della stessa sezione, relativo ad un asse parallelo ad x passante per il baricentro, il prodotto dell’area per il quadrato della distanza dell’asse x da G. Il momento centrifugo relativo a due assi ortogonali x, y si calcola come somma del momento centrifugo della sezione rispetto agli assi paralleli con origine in G e del prodotto dell’area per le distanze del baricentro dai due assi. I momenti d’inerzia e quello centrifugo relativi ad assi baricentrici sondo detti momenti propri della sezione, mentre i termini che dipendono dalle distanze di G dagli assi sono momenti di trasporto. 2 Poich´e yG A ≥ 0 e x2G A ≥ 0 ed i momenti d’inerzia sono quantit`a positive, i momenti d’inerzia JxG e JyG sono minimi rispetto a tutti i valori relativi ad assi paralleli ad x ed y. Le formule (A.17) si possono usare anche inversamente, per calcolare i momenti baricentrici quando si conoscano i valori dei momenti relativi a due assi opportuni.

Esempio A.4 Calcolare i momenti d’inerzia delle figure in Fig. A.2 relativamente agli assi x, y ed a quelli paralleli passanti per il baricentro. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

243

A.2 Momento d’inerzia

Rettangolo Z

b

Z

h

bh3 3 0 0 Z h Z b 3 b h dy x2 dy = Jy = 3 0 0 Z b Z h b2 h2 Jxy = xdx xdx = 4 0 0 Jx =

dx

y2 dy =

(A.18a) (A.18b) (A.18c)

Momenti baricentrici µ ¶2 bh3 h JxG = 2 12 µ ¶2 3 b h b3 h b = − bh JyG = 3 2 12 µ ¶µ ¶ 2 2 b h b h − bh =0 JxGyG = 4 2 2 bh3 = − bh 3

(A.19a) (A.19b) (A.19c)

Triangolo rettangolo Jx = Jy = Jxy =

Z

Z

b

dx

0

h(1−x/b)

y2 dy =

bh3 12

(A.20a)

x2 dx =

b3 h 12

(A.20b)

b2 h2 24

(A.20c)

0

h

dy

0 Z b 0

Z

Z

b(1−y/b)

0

xdx

Z

h(1−x/b)

0

ydy =

Momenti baricentrici JxG = JyG = JxGyG =

µ ¶2 bh3 h = 3 36 µ ¶ 2 b3 h bh b b3 h − = 12 2 3 36 µ ¶µ ¶ 2 2 b h bh b h b2 h2 − =− 24 2 3 3 72 bh3 bh − 12 2

(A.21a) (A.21b) (A.21c)

¤

Esempio A.5 Calcolare il momento d’inerzia di un cerchio, rispetto ad un asse passante per il centro. Utilizzando coordinate polari (vedi Fig. A.6) si ha x = r cos θ Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

y = r sin θ

dA = rdrdθ

244

Appendice A Geometria delle aree

y dr

y r x

R (a)

dA dθ

θ

x

(b)

Figura A.6: Determinazione del momento d’inerzia di un cerchio. e pertanto

Jxy

2π

Z

R

R4 4 0 0 Z 2π Z R R4 = cos2 θdθ r3 dr = π 4 0 0 Z 2π Z R = cos θ sin θdθ r3 dr = 0

Jx = Jy

Z

2

sin θdθ

0

r3 dr = π

(A.22a) (A.22b) (A.22c)

0

¤

Rotazione Quando due sistemi di assi ortogonali hanno la stessa origine e rotazione relativa θ (vedi Fig. A.3) si applicano le trasformazioni (A.6), che sostituite nelle (A.16) danno

Jx0 =

Z

2

2

Z

2

2

Z

(−x sin θ + y cos θ) dA = sin θ x dA + cos θ y 2 dA A A A Z − 2 sin θ cos θ xydA = sin2 θJy + cos2 θJx − 2 sin θ cos θJxy (A.23a) A

Analogamente Jy0 =

Z

(y sin θ + x cos θ)2 dA = sin2 θJx + cos2 θJy + 2 sin θ cos θJxy

A

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

(A.23b)

245

A.2 Momento d’inerzia

e J

x0 y0

=

Z

(y sin θ + x cos θ) (−x sin θ + y cos θ) dA = µZ ¶ Z Z ¢ ¡ 2 2 0 0 2 2 x y dA + sin θ cos θ y dA − x dA = cos θ − sin θ A

¡

A

¢

A

A

cos2 θ − sin2 θ Jxy + sin θ cos θ (Jx − Jy ) = cos (2θ) Jxy + sin (2θ)

Jx − Jy 2 (A.23c)

Dall’ultima delle (A.23) appare evidente che, se Jx 6= Jy , esiste una rotazione θ0 tale che Jx0 y0 = 0. Infatti, posto Jx0 y0 = 0, dalla (A.23c) si ricava facilmente che tan (2θ0 ) =

2Jxy sin (2θ0 ) = cos (2θ0 ) Jy − Jx

(A.24)

Se Jx = Jy = J, la (A.23c) diviene Jx0 y0 = cos (2θ) Jxy e quindi Jx0 y0 = 0 per 2θ = π/2, ovvero per θ = π/4. Gli assi per i quali Jx0 y0 `e nullo sono tali che i valori di Jx0 e Jy0 sono estremi (massimi o minimi) tra tutti i valori del momento d’inerzia relativi agli assi passanti per O. Definizione 6 Tra tutti gli assi che hanno origine nel baricentro, quelli per i quali si annulla il momento centrifugo (Jxy = 0) sono chiamati assi principali d’inerzia. La (A.19c) mostra che, per una sezione rettangolare, gli assi paralleli ai lati sono assi principali d’inerzia. Dalla (A.22) segue che, per una sezione circolare, ogni asse per il centro `e asse principale d’inerzia. Esempio A.6 Determinare la direzioni degli assi principali d’inerzia di un triangolo rettangolo. Sostituendo le (A.21) nella (A.24) si ricava tan (2θ0 ) =

b2 h2 36

1 bh3 −hb3 36

=

h2

bh − b2

Ponendo b = 20 e h = 35 si ottiene tan (2θ0 ) =

20 × 35 = 0.85 352 − 202

e quindi θ0 = Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

1 arctan (0.85) = 20◦ .16 2

246

Appendice A Geometria delle aree

Poich´e Jx =

bh3 = 23819. 36

Jy =

b3 h = 7778. 36

Jxy = −

b2 h2 = −6806. 72

applicando le (A.23a,b) i momenti principali d’inerzia risultano J1 = Jx cos2 θ + Jy sin2 θ − 2Jxy sin θ cos θ = 26318. J2 = Jx sin2 θ + Jx cos2 θ + 2Jxy sin θ cos θ = 5280.

¤

A.2.2

Figure composte

Anche per i momenti d’inerzia `e valida la propriet`a additiva mostrata per il momento statico. Se J (A) indica il momento d’inerzia della sezione A rispetto ad un asse od il momento centrifugo relativo a due assi ortogonali e Ai (i = 1, . . . , n) `e una partizione della figura A, tale che Ai ∩ Aj = ∅ (∀i, j i 6= j) n [ Ai = A i=1

si ha J (A) =

n X

J (Ai )

(A.25)

i=1

Pertanto i momenti d’inerzia di una figura composta da figure semplici si pu`o calcolare sommando quelli relativi alle sue parti. Spesso non `e conveniente calcolare direttamente il momento relativo al baricentro della figura, perch´e questo complica il calcolo. In questi casi conviene scegliere un sistema di assi rispetto ai quali il calcolo si semplifica e determinare i momenti relativi a questi, quindi trasportare i momenti nel baricentro, facendo uso delle (A.17); successivamente si determina l’angolo delle direzioni principali (A.24) ed infine si calcolano i momenti relativi a questi assi (A.23). Esempio A.7 Determinare i momenti d’inerzia relativi agli assi principali del poligono in Fig. A.4, tenendo conto anche dei risultati dell’esempio A.3. La figura si decompone in due rettangoli, A1 e A2 , come mostrato nella Fig. A.4; rispetto all’asse x entrambi i rettangoli hanno un lato coincidente con l’asse, pertanto si applicano le (A.18), mentre relativamente all’asse y, il rettangolo A2 non ha lati coincidenti con y ed il relativo momento si calcola applicando il teorema del trasporto: Jx = Jy = Jxy =

5 × 183 20 × 73 + = 12006.7 3 3 18 × 53 7 × 203 + + 7 × 20 (10 + 5)2 = 36916.7 3 12 7 52 × 182 + 7 × 20 × × 15 = 9375.0 4 2

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

247

A.2 Momento d’inerzia

Figura A.7: Assi principali e giratori d’inerzia di una figura ad L. Poich´e xG = 10.109 yG = 5.652 e A = 230, i momenti relativi agli assi baricentrici sono JxG = 12006.7 − 5.6522 × 230 = 4658.8

JyG = 36916.7 − 10.1092 × 230 = 13413.9

JxGyG = 9375.0 − 10.109 × 5.652 × 230 = −3766.3 Pertanto l’angolo tra l’asse x ed uno degli assi principali d’inerzia `e µ ¶ 1 −2 × 3766.3 θ = arctan = −0.355 rad = −20.354 ◦ 2 13413.9 − 4658.8 e dunque, poich´e sin(θ) = −0.348, cos(θ) = 0.938, i valori dei momenti principali sono J1 = 4658.8 × 0.9382 + 13413.9 × (−0.348)2 − 2 × (−0.348) × 0.938 × (−3766.3) = 3261.6 J2 = 4658 × (−0.348)2 + 13413.9 × 0.9382 + 2 × (−0.348) × 0.938 × (−3766.3) = 14811.2

¤

Dalla propriet`a additiva segue che ogni asse di simmetria `e un asse principale d’inerzia. Infatti si `e gi`a visto che se x `e asse di simmetria allora G ∈ x; inoltre se y `e un’altro asse baricentrico perpendicolare ad x, ne segue che Z Z Z xydA = xydA + xydA Jxy = A

A−

A+

in cui A− e A+ sono le due met`a della figura A che hanno x come asse di separazione. 0 − Poich´e per ogni punto P ∈ A+ R di coordinateR (x, y) vi `e un punto P ∈ A , di coordinate (x, −y) `e ovvio che A− xydA = − A+ xydA e pertanto Jxy = 0, il che dimostra come gli assi x ed y sono assi principali d’inerzia. Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

248

Appendice A Geometria delle aree

y

P(x,y) A+ C P’(x,-y)

x

A-

Figura A.8: Figura simmetrica rispetto all’asse x.

A.2.3

Giratori d’inerzia

Se x, y sono assi principali d’inerzia, le grandezze r r Jy Jx ρy = ρx = A A

(A.26)

che hanno le dimensioni di una lunghezza, sono i giratori d’inerzia della sezione. L’ellisse che ha assi coincidenti con quelli principali e lunghezza dei semiassi pari a ρx e ρy (vedi Fig. A.7) `e chiamato l’ellisse d’inerzia della sezione.

A.2.4

Momento polare

Indicando con r la distanza di un punto P ∈ A dal baricentro G, si definisce momento d’inerzia polare di A l’integrale Z r2 dA (A.27) JP = A

Se x, y sono una coppia di assi baricentrici ortogonali, `e evidente che r2 = x2 + y 2 , per cui Z ¡ 2 ¢ (A.28) x + y 2 dA = Jy + Jx Jp = A

ovvero il momento polare si pu`o calcolare come somma dei momenti d’inerzia relativi a due qualsiasi assi baricentrici ortogonali.

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

Bibliografia [1] Leone Corradi dell’Acqua: Meccanica delle Strutture. Vol.1. McGraw-Hill. 1992 [2] Ren´e Walther, Manfred Miehlbradt: Progettare in Calcestruzzo Armato. Hoepli. 1994 [3] UNI ENV 1992-1-1: Eurocodice 2. Progettazione delle strutture di calcestruzzo. Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici. 1993 [4] CNR UNI 10011: Costruzioni di acciaio. Istruzioni per il calcolo, l’ esecuzione, il collaudo e la manutenzione. 1988. [5] Robert Park, Thomas Paulay: Reinforced Concrete Structures. J. Wiley & S. 1975 [6] FIB: Structural Concrete. Textbook on Behaviour, Design and Performance. (3 Vol) 1999. [7] AIMAT (a cura di): Manuale dei materiali per l’ingegneria. McGraw-Hill. 1996

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