DISPENSE Di Controlli Automatici - G. Marro

Pisi - Controlli automatici I

CAPITOLO 1 CONCETTI FONDAMENTALI Riduzione degli schemi a blocchi Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con schemi a blocchi, i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso e una sola uscita; i diversi elementi risultano qui collegati fra loro mediante punti di diramazione e giunzioni sommanti. Le regole di semplificazione di seguito illustrate con riferimento a sistemi lineari puramente algebrici (ovvero con legame di semplice proporzionalità tra ingresso e uscita) sono immediatamente estensibili a blocchi relativi a sistemi dinamici sostituendo le funzioni di trasferimento alle costanti di proporzionalità. Tenendo presente le otto regole fondamentali, si possono ridurre schemi a blocchi comunque complessi fino a giungere ad una forma minima data da un numero di blocchi pari al prodotto degli ingressi e delle uscite, ciascuno dei quali rappresenta l’influenza di un particolare ingresso su una particolare uscita.

Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 1, Concetti fondamentali

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Controllo ad azione diretta e in retroazione In sistemi ad un solo ingresso ed una sola uscita è possibile individuare la presenza di: • una variabile di riferimento r o variabile di ingresso (l’obiettivo più diffuso è in genere infatti l’inseguimento, ossia la proporzionalità attimo di ingresso r e uscita c); • un REGOLATORE, che premesso al SISTEMA CONTROLLATO fornisce a quest’ultimo un adeguato ingresso; • una variabile manipolabile m, calibrata dal REGOLATORE in funzione del riferimento, del suo andamento passato, di eventuali disturbi e di informazioni sull’andamento dell’uscita; • un SISTEMA CONTROLLATO, dal quale si vuole ottenere una certa uscita; • una variabile controllata c o variabile di uscita, sul cui andamento si vuole influire; • una CATENA DI RETROAZIONE, che permette all’andamento dell’uscita di influenzare quello della variabile manipolabile m; • eventuali disturbi di, che agiscono tramite proprie funzioni di trasferimento e giunzioni sommanti sulle altre grandezze in gioco; • una o più GIUNZIONI SOMMANTI, come ad esempio quella atta a sottrarre l’informazione retroazionata dell’uscita dal riferimento r prima che questo giunga in ingresso al REGOLATORE. Uno schema di controllo in retroazione negativa (come riportato in figura) prevede infatti di sottrarre al segnale di riferimento l’informazione retroazionata, generando così un segnale di errore e in ingresso al REGOLATORE.

Robustezza statica In regime stazionario, la retroazione è tanto più efficace quanto più elevato è il guadagno di anello, cioè la costante che caratterizza il trasferimento del segnale lungo l’anello, supposto aperto in un qualunque suo punto. „Robustezza ai disturbi: In condizioni stazionarie, indicata con G la costante di proporzionalità data dal prodotto tra quelle di REGOLATORE e SISTEMA CONTROLLATO, risulta...

c(t ) = G e(t ) − Z d (t )

...e...

c(t ) =

G Z r (t ) − d (t ) 1 + GH 1 + GH

...dove, se GH >> 1, risulta possibile approssimare:

c(t ) ≅

1 r (t ) − Z 0 d (t ) H

con

Z 0 > 1, infatti:

c(t ) =

1 1 G ∆c(t ) ≅ r (t ) r (t ) ± 1 + GH 1 + GH H

Comportamento dinamico insoddisfacente Un elevato guadagno di anello (consigliabile, come visto, per ridurre l’influenza di disturbi, nonlinearità e incertezze) può tuttavia produrre un comportamento dinamico non soddisfacente, fino a portare il sistema all’instabilità. Quest’ultima è infatti tipicamente generata dall’inerzia e dai ritardi propri del sistema controllato, per i quali l’azione correttrice sulla variabile manipolabile m tende a manifestarsi per un tempo eccessivo rispetto a quello strettamente necessario; si producendo in tal caso una sovracorrezione e dunque un errore in senso opposto persino superiore, in caso di elevato guadagno, all’errore originale: si innesca così, ad esempio, un regime di oscillazioni di ampiezza crescente. La possibilità di migliorare la risposta di un sistema e/o di stabilizzarlo senza ridurre il guadagno di anello viene allora offerta dall’inserimento nel dispositivo di controllo di opportuni sistemi di correzione del comportamento dinamico: le reti correttrici. Se anche tali reti falliscono, si ricorre infine a schemi misti, cioè ad un’azione diretta grossolano volta a ridurre la sensibilità ai disturbi più importanti seguita da una retroazione più raffinata e che non richieda un eccessivo guadagno di anello, essendo già neutralizzate le maggiori cause d’errore. Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 1, Concetti fondamentali

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CAPITOLO 2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI E TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti Per lo studio dei sistemi di controllo si impiegano modelli matematici dinamici e, finché l’approssimazione è accettabile, lineari. Si ottengono così sovente, in particolare, equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti del tipo...

an

dn dt n

n−1

y (t ) + an−1 dtd n−1 y (t ) +  + a0 y (t ) = bm

...ovvero, con ovvia e più compatta notazione: m

n

∑ a D y(t ) = ∑ b D x(t ) i

i

i

i

i =0

con

dm dt m

m −1

x(t ) + bm −1 dtd m−1 x(t ) +  + b0 x(t )

n≥m

come condizione di causalità e quindi di realizzabilità fisica del modello

i =0

Per la soluzione (o integrazione) di tale equazione differenziale, occorre ovviamente conoscere: • le condizioni iniziali, ossia il valore dell’uscita y(t) e delle sue successive n-1 derivate all’istante t = 0-; • il termine forzante, ossia l’andamento dell’ingresso x(t), supposto limitato e continuo a tratti, per tempi t ≥ 0. I contributi di tali elementi possono inoltre essere considerati separatamente, ottenendo la soluzione come somma di due funzioni ricavate separatamente: • l’evoluzione libera, ossia l’effetto di segnali di ingresso applicati ed esauritisi in tempi precedenti l’istante t = 0-, dei quali rimangono perciò soltanto le condizioni iniziali come effetto visibile; supponendo nullo il segnale di ingresso si determina la funzione yl(t) soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata a quella data. • l’evoluzione forzata, ossia la funzione yf(t) che, supposta nulla insieme alle sue successive n-1 derivate all’istante t = 0-, soddisfa l’equazione differenziale data.

Trasformazioni di Laplace Per la soluzione delle equazioni differenziali sono di notevole utilità le trasformazioni funzionali, cioè le trasformazioni che associano funzioni a funzioni, ed in particolar modo la trasformazione di Laplace. Le trasformazioni funzionali stabiliscono infatti una corrispondenza biunivoca tra funzioni oggetto, normalmente funzioni del tempo, e funzioni immagine di diversa natura, cosicché ad operazioni eseguite sulle funzioni oggetto, come la derivazione, corrispondano operazioni più semplici sulle funzioni immagine: al problema oggetto viene così associato un nuovo problema immagine di più facile soluzione. La trasformata e l’antitrasformata di Laplace sono date dalle relazioni... ∞

F ( s ) := ∫ f (t )e − st dt 0

f (t ) =

1 j 2π

σ 0 + j∞

∫

σ 0 − j∞

F ( s )e + st ds

( )

*

...che, sebbene basilari, non verranno direttamente utilizzate nel seguito, dove si farà invece riferimento solo ad alcune trasformate particolari, senza peraltro riportare gli sviluppi matematici della loro deduzione. ( ) * Essendo la funzione complessa di variabile complessa F(s) definita soltanto in un dominio di convergenza delimitato a sinistra da una retta parallela all’asse immaginario e di ascissa σc, l’integrale di destra si intende eseguito lungo una qualsiasi retta parallela all’asse immaginario e di ascissa σ0> 1

Il diagramma di |G(jω)|, quindi di |HG(jω)|, decresce all’aumentare di ω causa il numero prevalente di poli. Vedi figura, comunque.

„Banda passante a -3dB: Supposta reale la f.d.t. del percorso di retroazione H(s) = H (cosa possibile grazie alla usuale prontezza del corrispondente trasduttore di misura), dove il guadagno di anello è elevato (e quindi, normalmente, per pulsazioni basse rispetto a quella dove tale guadagno è unitario, ossia dove vale G(s)H = 1), la f.d.t. complessiva G0(s) si mantiene costante al variare di ω indipendentemente dall’andamento di G(s):

G0 ( jω ) = 1+GG (( jjωω )) H ≅

1 H

...dove...

G ( jω ) H >> 1

La banda passante ωf0 in retroazione risulta dunque maggiore di quella ωf della risposta armonica ad anello aperto; ωf0 è inoltre circa pari alla pulsazione in cui il guadagno di anello è unitario.

Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 4, Stabilità e sistemi in retroazione

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Errori a regime Per il calcolo degli errori a regime nella risposta ai più importanti segnali tipici (gradino, rampa, parabola) si farà ora riferimento a un sistema con retroazione unitaria, la cui variabile a valle della giunzione sommante E(s) = R(s) - C(s) rappresenta dunque effettivamente lo scostamento della variabile controllata dal riferimento ed il comportamento voluto consiste dunque nell’inseguimento di quest’ultimo. Poiché la molteplicità h di un eventuale polo nell’origine (spesso volutamente introdotto nella f.d.t. diretta G(s) da un opportuno regolatore) caratterizza fortemente l’andamento asintotico dell’errore e(t) = L-1[E(s)] per t tendente all’infinito, si conviene di parlare di sistemi di tipo h a seconda del valore di questa. „Teorema del valore finale: l’andamento per t → ∞ di una f(t) trasformabile secondo Laplace è dato dalla relazione: lim t →∞

f (t ) = lim s →0 s F ( s )

„Principio del modello interno: affinché sia neutralizzato (con errore a regime nullo) un modo corrispondente ad un polo nell’origine di ordine h occorre generare lo stesso modo nel regolatore, che pertanto deve avere un polo nell’origine pure di ordine h o superiore, cioè contenere un modello del sistema elementare 1 / sh che genera quel modo. La verifica di questo principio si ottiene immediatamente applicando il teorema del valore finale all’espressione dell’errore e(t) del sistema considerato:

[

]

E ( s) = R( s) − C ( s ) = R( s) − G0 ( s) R( s ) = 1 − 1+GG( s( s) ) R( s ) =

[

1+ G ( s ) 1+ G ( s )

]

− 1+GG( s( )s ) R( s ) = 1+G1( s ) R(s )

Da cui l’errore a regime er...

er =

lim t →∞

lim e(t ) = lim s →0 s E ( s ) = s→0 s

1 1+G ( s )

R(s )

...che mostra come le trasformate dei segnali tipici (gradino: R(s) =1/s; rampa: R(s) = 1/s2; parabola: R(s) = 1/s3) introducono al denominatore di tale limite dei fattori in s che, se non neutralizzati (vedi punti successivi), lo renderebbero divergente per s → 0. „Errore di posizionamento: E’ così chiamato l’errore a regime in risposta a un gradino di ampiezza cosiddetta costante di guadagno o di posizione Kp:

er = 1+RK0 p

...con...

K p = lim s →0 G ( s )

R0;

per la sua espressione si introduce la

...in quanto...

1 er = lim s →0 s 1+G ( s )

R0 s

= 1+ limR0G ( s ) s→0

A conferma del principio del modello interno, mentre in un sistema di tipo 0 la costante di posizione coincide con il guadagno statico K, in sistemi di tipi superiori risulta Kp = ∞ e dunque er = 0: tali sistemi neutralizzano infatti l’errore di posizione in quanto riproducono al loro interno lo stesso modo ad esso corrispondente; l’errore di posizione si mantiene comunque finito anche in sistemi di tipo 0. „Errore di velocità: E’ così chiamato l’errore a regime in risposta a una rampa di pendenza costante di velocità Kv:

er =

R0 Kv

...con...

Kv =

lim s →0

s G( s)

R0;

per la sua espressione si introduce la

...in quanto...

1 er = lim s → 0 s 1+ G ( s )

R0 s2

=

R0 lim s →0 s

G(s)

A seconda dei poli nell’origine presenti in G(s), un sistema di tipo 0 presenta Kv = 0 e dunque errore di velocità infinito, un sistema di tipo 1 presenta errore di velocità finito e costante di velocità pari al guadagno statico K, un sistema di tipo superiore neutralizza l’errore di velocità grazie alla sua Kv = ∞. „Errore di accelerazione: E’ così detto l’errore a regime in risposta a una parabola, calcolato tramite la costante di accelerazione Ka:

er =

R0 Ka

...con...

Ka =

lim s →0

s 2 G (s)

...in quanto...

1 er = lim s → 0 s 1+ G ( s )

R0 s3

=

R0 2 lim s →0 s

G(s)

A seconda dei poli nell’origine presenti in G(s) valgono considerazioni analoghe alle precedenti, riportate insieme a queste, nella tabella riassuntiva a lato (→).

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Il criterio di Nyquist Permette di valutare per via grafica la stabilità dei sistemi dinamici in retroazione noto quello degli stessi sistemi ad anello aperto e fornisce inoltre, a differenza del criterio di Routh, un’utile strumento per giudicare dell’efficacia di possibili interventi. La sua applicazione viene limitata, per semplicità (vero punto di forza, quest’ultima, del criterio), a sistemi che non presentino né poli né zeri immaginari, salvo un polo semplice o doppio nell’origine. Esso fa inoltre riferimento al tracciamento completo per ω ∈ ]-∞,+∞[ dei diagrammi polari (o, appunto, di Nyquist) della funzione di risposta armonica ad anello aperto F(jω), peraltro immediatamente ottenibile, grazie alla simmetria hermitiana della stessa F(jω), da quello tracciato per pulsazioni positive tramite addizione del suo ribaltamento intorno all’asse delle ascisse. Dal momento, infine, che il criterio fa riferimento a una curva chiusa, si conviene di completare tale diagramma, nel caso di un sistema di tipo 1 o 2, rispettivamente con una semicirconferenza e con una circonferenza all’infinito percorsa in senso orario. „Criterio di Nyquist per sistemi asintoticamente stabili ad anello aperto, a meno di un eventuale polo semplice o doppio nell’origine: Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema in retroazione sia asintoticamente stabile è che il diagramma polare completo di F(jω) non circondi né tocchi il punto critico -1+j0. „Criterio di Nyquist per sistemi instabili ad anello aperto, con un eventuale polo semplice o doppio nell’origine: Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema in retroazione sia asintoticamente stabile è che il diagramma polare completo di circondi il punto critico -1+j0 tante volte in senso F(jω) antiorario quanti sono i poli di F(s) con parte reale positiva; ogni giro in meno in senso antiorario e ogni giro in più in senso orario corrispondono alla presenza, nel sistema in retroazione, di un polo con parte reale positiva.

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Margini di stabilità I diagrammi polari consentono di studiare l’influenza, sulla stabilità del sistema, della costante K della funzione di guadagno di anello (ovvero, di F(jω) = G(jω)H(jω) ): al variare di K varieranno infatti dello stesso fattore tutte le lunghezze dei segmenti che congiungono ciascun punto del diagramma con l’origine. Valutando l’avvicinarsi o l’allontanarsi del diagramma al punto critico -1+j0, il criterio di Nyquist permette dunque, di studiare la stabilità del sistema in retroazione e di determinare i margini di guadagno e di ritardo di fase che si possono in esso introdurre. Quando il diagramma di Nyquist della risposta armonica ad anello aperto di un sistema in retroazione stabile ad anello aperto presenta un andamento con ampiezza funzione monotona decrescente della pulsazione ω, si possono effettuare le seguenti considerazioni sulla sua stabilità: quanto più il diagramma si svolge lontano dal punto critico -1+j0, tanto più lontano dall’instabilità è il sistema, mentre la vicinanza del diagramma al punto critico è normalmente associata ad un comportamento dinamico non soddisfacente. Per meglio descrivere questa situazione, dette... .ωπ = pulsazione di fase pi greco, alla quale arg{F(jω)} vale -π; .ωc = pulsazione di incrocio, alla quale |F(jω)|dB vale 0dB (cioè 1); ...si introducono i seguenti parametri, atti a misurare la cosiddetta stabilità relativa dei sistemi in retroazione: .MA = margine di ampiezza = inverso del modulo del guadagno di anello in corrispondenza del valore -π della sue fase; .MF = margine di fase = angolo da sottrarre, per ottenere -π, alla fase del guadagno di anello in corrispondenza di un valore unitario del suo modulo.

MA =

1 F ( jω π )

M F = arg{F ( jω c )}− (−π )

Esempio: margine di ampiezza e guadagno Con riferimento a un sistema di tipo 0 o 1 (v. figure →), l’avvicinamento del diagramma di F(jω) al punto critico ottenuto aumentando il guadagno statico Kp (nel primo caso) o la costante di velocità Kv (nel secondo) è associato all’avvicinamento all’asse immaginario di una coppia di poli complessi della G0(jω) che passeranno nel semipiano destro quando verrà toccato e oltrepassato il punto critico. Affinché l’incremento non generi dunque instabilità, ∆K quest’ultimo deve mantenersi inferiore al margine di ampiezza:

∆K < M A Esempio: margine di fase e ritardi finiti In sistemi in cui l’uscita e le sue derivate rispondono dopo un tempo t0 dall’applicazione dell’ingresso, tale ritardo ha un’influenza notevolissima sulla stabilità. Detti F(jω) la funzione di risposta armonica ad anello aperto e MA, MF i corrispondenti margini di stabilità, l’introduzione di un ritardo t0 porta, come noto, alla nuova risposta armonica:

Fritardata ( jω ) = F ( jω )e − jω 0t0

La presenza del ritardo modifica dunque il diagramma di Nyquist della F(jω) comportando lo sfasamento in ritardo (ovverosia in senso antiorario, nel piano complesso) di tutti i suoi punti di ω0t0 radianti. Tale sfasamento, onde non generare instabilità, deve ovviamente risultare minore del margine di fase MF; in caso contrario, infatti, il punto F(jωc) di intersezione tra la curva e la circonferenza unitaria, quindi di modulo unitario, verrebbe ruotato fino a toccare ed oltrepassare il punto critico -1+j0:

ω 0t0 < M F Esempio: margine di ampiezza e controllo di tipo integrale Si consideri un sistema di tipo 0 il cui diagramma parte dall’asse reale verso il basso descrivendo una semicirconferenza, per poi dunque riattraversare lo stesso asse in un punto di ascissa compresa tra -1 e 0; sia la condizione normalmente imposta sul guadagno per la stabilità che quella conseguente alla presenza di un eventuale ritardo prevedono per le basse ω un guadagno inaccettabile, in quanto persino inferiore all’unità. Conviene in questi casi introdurre artificialmente, tramite un apposito regolatore inserito nell’anello, un polo nell’origine e affrontare il problema secondo le modalità viste nell’esempio precedente. Approssimanti di Padé Una funzione razionale P(s)/Q(s) in cui P(s) e Q(s) è un approssimante di Padé della funzione sviluppabile in serie di potenze e-s se, posto...

P( s) = b p s p + b p −1s p −1 + b0

Q( s) = aq s q + aq −1s q −1 +  + a0

...i coefficienti di tali polinomi risultano dati dalle relazioni:

bk =

( p + q − k )! p! ( p + q )! k ! ( p − k )! -t0s

(k = 0,, p )

ak =

( p + q − k )! q! ( p + q )! k ! (q − k )!

Le approssimanti di Padé di e Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 4, Stabilità siDisponibile ottengono, ovviamente, sostituendo s ad s nei precedenti polinomi. gratuitamente sut0www.brainetwork.net - e-mail: [email protected]

(k = 0,, q ) e sistemi in retroazione

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Luoghi ad M costante e a N costante Preso un generico punto s = x+jy del piano complesso, è possibile determinare il valore di z = s/1+js eseguendo il rapporto tra i vettori s ed 1+js; volendo poi evidenziare i luoghi di punti z cui compete lo stesso modulo o la stessa fase, ciò che si ottiene è in entrambi i casi un insieme di curve, ognuna corrispondente a un diverso valore: • luoghi a M costante: detto...

M= z =

x + jy 1+ x + jy

x2 + y2

=

(1+ x ) 2 + y 2

• ...si constata, dopo “brevi” passaggi come l’insieme dei punti z aventi lo stesso modulo M è rappresentato dall’equazione di una circonferenza...

x 2 + y 2 + 2 x MM2 −1 + MM2 −1 = 0 2

2

• ...di centro e raggio, rispettivamente:

(x = 0

M2 1− M 2

, y0 = 0

)

...e...

r = |1−MM 2 |

• Per M = 0 la circonferenza degenera nell’origine, per M = 1 nella retta verticale x = - ½, mentre per M → ∞ nel punto critico -1+j0. • luoghi a N costante: posto...

N = tan (arg{z}) =  =

y x (1+ x )+ y 2

• ...si verifica anche qui come il luogo dei punti z aventi la stessa N (quindi la stessa fase) sia rappresentato dall’equazione di una circonferenza...

x 2 + y 2 + x − y N1 = 0 • ...di centro e raggio, rispettivamente:

(x0 = − 12

, y0 = 21N )

...e...

r=

1 2

N 2 +1 N2

• Per N = 0 la circonferenza degenera nell’asse delle ascisse y = 0, mentre per N → ∞ assume raggio r = ½ e centro -½+j0.

Con riferimento ad un sistema di controllo con retroazione unitaria H(jω) ≡ 1, è noto che la risposta armonica ad anello chiuso G0(jω) è legata alla risposta armonica ad anello aperto F(jω) = G(jω)H(jω) = G(jω) dalla relazione:

G0 ( jω ) =

G ( jω ) 1 + G ( jω )

Fissata una generica pulsazione ω0, la determinazione de G0(jω0) risulta notevolmente facilitata se al diagramma di Nyquist di G(jω) viene sovrapposta la carta riportante i luoghi a M e a N costanti, ossia se, per ogni punto G(jω0) = s, vengono indicati l’ampiezza e la fase della relativa G0(jω0) = z. Nel caso la retroazione non sia unitaria, scrivendo...

G0 ( jω ) = 1+ G (Gjω( j)ωH)( jω ) =

G ( jω )H ( jω ) 1 H ( jω ) 1+ G ( jω )H ( jω )

=

1 z H ( jω ) 1+ z

...l’utilizzo della carta polare con luoghi a M e a N costanti risulta ancora possibile, purché il risultato che si ottiene venga diviso per la corrispondente H(jω0).

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Specifiche nel dominio della frequenza Sono specifiche relative a parametri caratteristici della risposta armonica ad anello chiuso G0(jω), spesso enunciati (come nella figura che segue) con riferimento all’andamento tipico relativo a un sistema del secondo ordine (cui molto spesso si può assimilare la risposta armonica in retroazione, per la presenza, in essa, di due poli complessi coniugati dominanti, cioè più vicini all’asse immaginario e pertanto tali da precedere l’intervento degli altri). I più significativi parametri spesso oggetto di specifiche di progetto sono: .Pulsazione di risonanza ωR: pulsazione in corrispondenza della quale |G0(jω)| è massimo; .Picco di risonanza MR: rapporto tra il massimo valore di |G0(jω)| e il valore statico G0(0); .Banda passante o larghezza di banda ωf: pulsazione alla quale |G0(jω)| è inferiore di (corrispondente a un rapporto di 1 a 1/√2 ) al valore statico G0(0);

3 dB

Oltre alla loro relazione con le specifiche nel tempo, la verifica di tali parametri può essere anche agilmente condotta facendo uso dei luoghi a M e a N costanti applicati al diagramma di Nyquist della risposta armonica ad anello aperto F(jω), in quanto... .M0 è il valore corrispondente alla circonferenza ad M costante che interseca il punto F(0) (se il diagramma parte dall’infinito per ω = 0 vale, ovviamente, M0 = 1 ); .F(jωR)

è il punto in cui la curva di F(jω) è tangente alla circonferenza cui compete il più alto valore di M, pari ad Mmax, tra quelle da essa toccate;

.MR si calcola come MR = Mmax /M0; .Mf = M0/√2 è il valore corrispondente alla circonferenza ad M costante da individuare per determinare ωf; .F(ωf)

è il punto in cui la curva di F(jω) circonferenza a M costante pari a Mf;

attraversa la

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CAPITOLO 5 IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI Mentre il criterio di Nyquist e i metodi basati sui margini di stabilità permettono una valutazione operativamente semplice, ma approssimativa, delle caratteristiche dinamiche dei sistemi in retroazione, la conoscenza precisa dei poli di tale sistema e dell’influenza su essi esercitata dai vari parametri presenti permettono di spingersi oltre il livello di un semplice progetto di massima. Il metodo del luogo delle radici, in particolare, permette di osservare graficamente il percorso descritto nel piano complesso dalle radici dell’equazione caratteristica al variare di tali parametri (normalmente, del guadagno di anello).

Luogo delle radici Supponendo G(s)H(s) una funzione razionale fratte della forma...

G (s) H ( s) = K

(1 + τ s )(1 + τ s ) (1 + 2δ ' 1

' 2

(

' 1 1 ω' n1

s h (1 + τ 1s )(1 + τ 2 s ) 1 + 2δ 1

)(

s + ω1' 2 s 2 1 + 2δ 2' ω1' s + ω1' 2 s 2

1 ω n1

n1

)(

s + ω12 s 2 1 + 2δ 2 n1

n2

1 ωn 2

n2

)

s + ω12 s 2 n2

)

...e che la costante di guadagno K sia positiva (ovvero, che il sistema sia in retroazione negativa), al variare di K da 0 a ∞ le radici dell’equazione caratteristica...

1 + G (s ) H (s) = 0

...descrivono, nel piano complesso, una curva cui si dà il nome di luogo delle radici. Esprimendo ora...

G ( s ) H ( s ) = K1 ((ss−−pz11 )()(ss −− zp22))((ss−−zpmn)) = K1G1 ( s )

...con...

...si possono dedurre, a seconda del segno di K1 le due relazioni...

G1 ( s ) =

1 K1

...e...

K1 = K (− 1)

m + k p1 p 2  p k z1 z 2  z m

Considerando tutti e soli i poli pi diversi da zero

arg{G1 ( s )} = (2k + 1)π

...con...

K1 > 0 ,

k ∈Z

arg{G1 ( s )} = (2k )π

...con...

K1 < 0 ,

k ∈Z

oppure

G1 ( s ) = − K11 ...e...

...la seconda delle quali è di per sé sufficiente alla costruzione del luogo, mentre la prima viene utilizzata per la graduazione di quest’ultimo in funzione di K1. Nel caso di un guadagno positivo, ad esempio, preso un generico punto s del piano complesso e detti ϑi e ϕi gli angoli formati, rispettivamente, dai segmenti congiungenti i vari zeri zi e i vari poli pj al punto s stesso, quest’ultimo appartiene al luogo delle radici se e solo è soddisfatta la relazione: m

n

i =1

j =1

∑ϑi − ∑ ϕ j = (2k + 1)π Se questo avviene, detti rispettivamente ri e ρj le lunghezze dei precedenti segmenti, il valore di K1 cui tale punto del luogo corrisponde è dato dalla relazione: n

K1 =

∏ρ

i

i =1 m

∏r

i

i =1

Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 5, Il metodo del luogo delle radici

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Proprietà del luogo delle radici Il luogo delle radici dell’equazione caratteristeristica...

0 = 1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + K1G1 ( s ) ...presenta alcune proprietà che, unitamente a un po’ di esperienza pratica, ne vincolano l’andamento e ne agevolano la costruzione. „Proprietà 1: il luogo delle radici ha tanti rami quanti sono i poli della funzione di trasferimento ad anello aperto K1G1(s), che si intersecano sulle radici multiple; ogni ramo parte da un polo di G1(s) e termina in uno zero di G1(s) o in un punto all’infinito. „Proprietà 2: il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale. „Proprietà 3: se la costante K1 è positiva, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e di poli; se la costante K1 è negativa, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e di poli. „Proprietà 4: se la costante K1 è positiva, l’angolo secondo il quale il luogo delle radici lascia un polo pi è... m

j ≠i

j =1

j∈[1, n ]

(2k + 1)π + ∑ arg{pi − z j }− ∑ arg{pi − p j } ...e l’angolo secondo il quale il luogo tende a uno zero zi è: j ≠i

n

j∈[1, m ]

j =1

(2k + 1)π − ∑ arg{zi − z j }− ∑ arg{zi − p j } Nel caso di una costante K1 si sostituisce (2k) a (2k+1). „Proprietà 5: i rami del luogo delle radici possono avere punti in comune, corrispondenti ai valori di K1 per i quali l’equazione 1+K1G1(s) ammette radici multiple; una radice multipla di ordine h corrisponde ad un punto comune ad h rami del luogo e nel quale, oltre alla precedente equazione, è soddisfatto l’annullarsi delle derivate del guadagno di anello G(s)H(s) fino alla (h-1)-esima. „Proprietà 6: in corrispondenza di una radice di ordine h il luogo presenta h rami entranti e h rami uscenti alternati tra loro e le cui tangenti dividono lo spazio circostante in settori uguali di π/h radianti. ...detto punto di emergenza (ottenibile risolvendo l’equazione che si ottiene „Proprietà 7: gli asintoti del luogo formano una stella di raggi centro nel punto dell’asse di ascissa... derivando quellacon caratteristica e scartando le soluzionireale non appartenenti al luogo)...

σa =

1 n−m

m  n   ∑ pi − ∑ z i  i =1  i =1 

...e formano con l’asse reale gli angoli...

ϑa , v =

(2 k +1)π

ϑa , v =

(2 k )π

n−m

n−m

(ν = 0,1,...,n-m-1)

...se...

K1 > 0

(ν = 0,1,...,n-m-1)

...se...

K1 < 0

Tale proprietà spiega inoltre perché, all’aumentare del guadagno, i poli dominanti (cioè quelli che per primi tendono a passare nel semipiano destro) sono di regola complessi coniugati: gli asintoti di un sistema in retroazione negativa con f.d.t. di anello stabile e a fase minima (cioè con tutti gli zeri e i poli nel semipiano sinistro) intersecano infatti l’asse immaginario in punti diversi dall’origine, quindi complessi coniugati. Il valore di K1 relativo ai punti di intersezione del luogo con l’asse immaginario corrispondono perciò al limite di stabilità del sistema in retroazione; per la loro determinazione si può, ad esempio, impiegare il criterio di Routh, che fornisce il valore di K1 che corrisponde a tale limite. Lo stesso procedimento può essere inoltre utilizzato, sostituendo s-λ a s per trovare i valori di K1 per i quali il luogo delle radici interseca la retta verticale di ascissa λ).

„Altra proprietà: in tutti i casi in cui venga inserito uno zero, il luogo si modifica presentando, rispetto all’andamento preesistente, una distorsione verso sinistra, dato che il nuovo zero ne attrae i rami verso il semipiano sinistro del piano complesso. In generale, l’inserimento di uno zero produce dunque un effetto stabilizzante sul sistema (questa proprietà verrà in seguito utilizzata per la stabilizzazione dei sistemi di controllo mediante le cosiddette reti ad anticipo, caratterizzate appunto dalla presenza di uno o più zeri dominanti).

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Contorno delle radici Il procedimento per la costruzione del luogo delle radici si può applicare anche quando, invece di variare la costante di guadagno, si varia qualche altro parametro della funzione di trasferimento del sistema, come ad esempio la costante di tempo relativa ad un polo reale o ad uno zero reale (o, comunque, qualsiasi altro parametro da cui dipendano linearmente i coefficienti dell’equazione caratteristica). Se in corrispondenza del valore nominale del parametro si varia la costante di guadagno, le radici dell’equazione caratteristica occupano successivamente, come si è visto, un insieme di punti sul piano complesso che prende il nome di “luogo delle radici”; ridisegnando tale luogo in corrispondenza di altri valori del parametro si ottiene una famiglia di curve che contorna il primo luogo disegnato, appoggiandosi ad esso. In conseguenza di questo, fissata la costante di guadagno (quindi le corrispondenti radici del luogo, diciamo, nominale), vengono perciò detti “contorni delle radici” le curve continue descritte dalle radici stesse al variare del parametro.

Metodo per la determinazione del contorno delle radici determinato da una costante di tempo Detto, ad esempio, τ il parametro in questione; riuscendo a riportare l’equazione caratteristica in una forma del tipo...

0 = 1 + τ G2 ( s )

...dunque analoga alla...

0 = 1 + K1G1 ( s ) ...anche la graficazione del contorno delle radici può avvalersi delle 7 regole precedentemente esposte. Il primo passo per conseguire tale obiettivo consiste nel separare, all’interno della forma fattorizzata di G(s)H(s), il contributo dipendente da tale parametro dal resto; si pone, allora: G ( s ) H ( s ) = Γ( s )Τ( s ) ...con se τ è costante di tempo di uno zero Τ( s ) = 1 + τ s

Τ( s ) = 1+1τ s

se τ è costante di tempo di un polo

Segue, quindi, l’equazione caratteristica:

0 = 1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + Γ( s )Τ( s )

È ...nel caso di un polo:

Ì ...nel caso di uno zero:

0 = 1 + Γ( s ) 1+1τ s

0 = 1 + Γ( s )(1 + τ s )

0 = 1 + τ s + Γ( s )

0 = 1 + Γ( s ) + Γ( s )τ s 0 = [1 + Γ( s )] + τ sΓ( s )

0 = [1 + Γ( s )] + τ s τ s

0 = 1 + 1+Γ ( s ) = 1 + τ

0 =1+

= 1 + τ G2 ( s )

s 1+ Γ ( s )

con...

G2 ( s ) =

τ sΓ ( s ) 1+ Γ ( s )

= 1+τ

sΓ ( s ) 1+Γ ( s )

= 1 + τ G2 ( s )

con...

G2 ( s ) = 1s+ΓΓ((ss))

s 1+ Γ ( s )

Esempio: Sono riportati a fianco i contorni delle radici del sistema....

G (s) H ( s) =

K s (1+ s ) 1+τ s

(

)=

1 K s (1+ s ) 1+τ s

(

) = Γ( s ) (1+τ s ) 1

...dunque avente...

G2 ( s ) = 1+ Γs( s ) = 1+ sK = s (1+ s )

s 2 (1+ s ) s (1+ s )+ K

...ed equazione caratteristica, fissato K = K0...

0 = 1 + τ G2 ( s ) = 1 + τ

s 2 (1+ s ) s (1+ s )+ K 0

I tre disegni si riferiscono a valori di K0 corrispondenti a radici “nominali” reali (nel primo caso) e complesse coniugate (negli restanti). E’ da notare come, nel caso di un contorno relativo alla variazione di un polo, sia sempre presente un ramo proveniente dall’infinito: infatti, per τ = 0 si ha un polo in meno (e l’ordine del sistema diminuisce di un’unità) che verrà poi ripristinato per τ > 0 mediante un ramo del luogo proveniente dall’infinito.

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MARRO - CAPITOLO 6 BOLZERN - CAPITOLO 14 IL PROGETTO DEI REGOLATORI Dati di specifica L’analisi armonica e i metodo del luogo delle radici trovano la loro più frequente applicazione nella progettazione dei dispositivi di correzione della risposta: le reti correttrici. I dati di specifica che con tali reti si intendono perseguire e sui quali si basa perciò il progetto di un sistema di controllo, riguardano: • la precisione, ossia: .errori a regime in risposta ai segnali tipici; .comportamento a regime in presenza di determinati disturbi; .comportamento a regime in presenza di determinate variazioni dei parametri; • la stabilità o, meglio (in quanto questa è sempre sottintesa), il comportamento dinamico, caratterizzato da: .massima sovraelongazione nella risposta al gradino; .picco di risonanza; .margini di ampiezza e fase; .coefficiente di smorzamento dei poli dominanti; • la velocità di risposta: .tempo di assestamento; .banda passante. Come è evidente, alcuni di essi sono relativi a risposte nel tempo ai segnali tipici, altri alla funzione di risposta armonica, e molti sono grosso modo equivalenti; poiché il progetto si effettua normalmente considerando la risposta armonica del sistema controllato, occorre allora riportare i parametri nel dominio del tempo a parametri nel dominio della frequenza. Tale operazione, peraltro, non è in generale possibile in modo rigoroso, se non approssimando il comportamento del sistema in retroazione con quello di un sistema del secondo ordine a poli complessi (o che, comunque, abbia un numero limitato di poli dominanti). Con riferimento a sistemi a fase minima, nelle prime fasi è in particolare di notevole utilità la formula di Bode che, collegando l’andamento del diagramma delle fasi a quello delle ampiezze, permette di trarre la seguente conclusione: „Trucchetto di Bode: riuscendo a mantenere una pendenza di circa -1 nelle decadi immediatamente precedente e successiva alla pulsazione di incrocio ωc (rilevabile sul diagramma delle ampiezze), sarà assicurato anche un buon margine di fase MF (leggibile sul diagramma delle fasi). Una volta definito il progetto di massima cercando di soddisfare i dati di specifica sul diagramma di risposta armonica, si opera poi una sua messa a punto impiegando il luogo e il contorno delle radici.

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Vengono nel seguito presentate numerose problematiche e tecniche di risoluzione; indicazione sulla scelta di un particolare sistema di compensazione e sul suo dimensionamento vengono inoltre fornite dal luogo e dal contorno delle radici, che consentono, inoltre, un’accurata verifica della risposta nel dominio del tempo.

Determinazione della costante di guadagno Il primo parametro che si determina in fase di progetto, utilizzando i dati di specifica riferiti alla precisione, è la costante di guadagno (costante di guadagno statico nei sistemi di tipo 0, di velocità nei sistemi di tipo 1). Una volta determinato il valore minimo di tale costante (tramite gli errori a regime voluti) si analizza se il sistema in retroazione soddisfa le specifiche che riguardano stabilità (ad esempio applicando il criterio di Routh) e velocità di risposta; se tali specifiche non sono soddisfatte occorrerà progettare un opportuno dispositivo che, inserito nell’anello (reti correttrici) o collegato ad esso (compensazione ad azione diretta), modifichi le caratteristiche dinamiche del sistema. Con riferimento al “trucchetto” suggerito dalla formula di Bode (evidenziato in verde nella pagina precedente), è evidente come nei sistemi di tipo 0 e 1 la stabilità possa sempre essere ottenuta mediante una diminuzione della costante di guadagno (che ne abbassa i diagrammi di Bode delle ampiezze fino a ricondurre la pulsazione di incrocio nel tratto a pendenza -1). Tuttavia, anche nei casi in cui questa operazione non comporta errori a regime inaccettabili (cioè si riesce ad abbassare K pur rimanendo al di sopra del suo valore minimo), essa avviene comunque a scapito del guadagno di anello, quindi della prontezza in risposta e della insensibilità ai disturbi.

Compensazione ad azione diretta Si applica nel caso i dati riguardanti la precisione impongano un valore della costante di guadagno talmente elevato da non poter ottenere un comportamento dinamico soddisfacente con nessuna delle reti correttrici e delle metodologie di progetto presentate nel seguito. La sua implementazione prescinde dalla presenza della retroazione (v. ad esempio i due casi tipici sotto illustrati), ma va sottolineato che, sebbene un’opportuna scelta dei parametri consentirebbe teoricamente la completa eliminazione degli errori a regime, per la presenza di inevitabili precisioni ed incertezze nella conoscenza del modello questi ultimi vengono solo ridotti dell’ 80 ÷ 90%. Questo risultato può però essere sufficiente per superare eventuali difficoltà nel progetto del sistema in retroazione (dovute, ad esempio, alla richiesta di una costante di guadagno troppo elevata) e costituire dunque un buon punto di partenza per il progetto della rete correttrice da inserire poi, normalmente, nell’anello.

Retroazione tachimetrica Si applica, in particolare, quando un segnale di correzione derivativo si può generare con un opportuno trasduttore sensibile alla derivata della variabile controllata, oppure misurando una grandezza diversa da essa, ma della quale la derivata in questione è funzione. Tale compensazione non viene dunque effettuata sul percorso di segnale diretto, ma su quello di retroazione e comporta in sostanza la modifica della funzione di trasferimento del percorso di retroazione, influendo così sulla costante di velocità. A parità di costante di velocità, tale retroazione porta ad un aumento della pulsazione naturale e, nello stesso rapporto, del coefficiente di smorzamento e conseguentemente, ad una maggiore prontezza di risposta e ad un maggior margine di stabilità.

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Reti correttrici I paragrafi che seguono intendono descrivere, brevemente, le principali tipologie di reti correttrici, i loro scopi e i loro possibili campi di utilizzo; nonostante eventuali riferimento a rappresentazioni grafiche delle loro funzioni di trasferimento, esse non vengono riportate (si fa peraltro riferimento alle illustrazioni, davvero esaurienti e complete, presenti nel 6° capitolo del Marro), ma sommariamente descritte nelle loro caratteristiche essenziali.

Rete integratrice: La sua funzione di trasferimento è del tipo...

G r ( s ) = 1+1τ s ...e non presenta perciò alcuno zero, ma solamente un polo, reale, in posizione - 1/τ. Il suo diagramma di Bode delle ampiezze asintotico è dunque unitario per basse pulsazioni e assume pendenza -1 dopo ω = 1/τ, comportandosi dunque come un filtro passa-basso; quello delle fasi offre invece un ritardo di fase per tutte le pulsazioni finite, tendente a -π/2 al crescere della pulsazione stessa. Il suo diagramma di risposta armonica (una semicirconferenza percorsa in senso orario da 1+j0 a 0+j0, approssima quello di un integratore ideale (una semiretta da 0-j∞ a 0+j0) per pulsazioni elevate: 1 Gr ( jω ) = 1+ 1jωτ ≅ jωτ ω >> 1/τ ...per Uno dei suoi possibili utilizzi è l’aggiunta di un polo molto vicino all’origine per ottenere un errore a regime molto basso in risposta al gradino, ma viene scarsamente utilizzata per la stabilizzazione, in quanto presenta

Rete derivatrice: La sua funzione di trasferimento è del tipo... τ s

G r ( s ) = 1+τ s ...e presenta perciò uno zero nell’origine e un polo, reale, in posizione - 1/τ. Il suo diagramma di Bode delle ampiezze ha pendenza +1 per basse pulsazioni e diventa unitario dopo ω = 1/τ, comportandosi dunque come un filtro passa-alto; quello delle fasi introduce un anticipo di fase decrescente da +π/2 a 0 al crescere della pulsazione. Il suo diagramma di risposta armonica (una semicirconferenza percorsa in senso orario da 0+j0 a 1+j0, approssima quello di un integratore ideale (una semiretta da 0+j0 a 0+j∞) per basse pulsazioni:

Gr ( jω ) = 1+jωτ jωτ ≅ jωτ

...per

ω