Dispense Costruzione Di Macchine Vol.1 - Andorno

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1.

Elementi di Costruzione di Macchine

CALCOLO DEGLI ALBERI DI TRASMISSIONE

Gli assi e gli alberi sono elementi di forma allungata sottoposti durante il funzionamento della macchina a un moto di rotazione oppure di oscillazione attorno ad un asse rettilineo. Nella maggioranza dei casi gli assi e gli alberi sono fondamentalmente a sezione circolare. Si usa di solito il nome di asse quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente di flessione, il nome di albero quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente di torsione. In pratica sono sempre presenti, in varia misura, entrambe le sollecitazioni di flessione e torsione. Il dimensionamento viene condotto ipotizzando una sollecitazione ideale che compendi, in modo opportuno, entrambe le sollecitazioni in gioco. In modo del tutto analogo si può anche far riferimento ad una tensione ideale che compendi, in modo opportuno, entrambe le tensioni in gioco. Riportiamo di seguito le espressioni delle tensioni e delle sollecitazioni ideali1. Sollecitazioni ideali

M fi = M 2f + 0.75M t2

M ti = 4 3M 2f + M t2

(1.1)

τ id = σ 2f 3 + τ t2

(1.2)

Tensioni ideali

σ id = σ 2f + 3τ t2

Circa i valori massimi ammissibili per le σ id e le τ id non è possibile indicare se non valori di larga massima dipendendo essi sia dalla natura del materiale, dai trattamenti termici, dal grado di finitura superficiale, dal tipo di sezione (presenza di cave, raccordi…) sia dalle modalità d’applicazione del carico (costante, pulsante, urto lieve/pesante….) Le norme ASME propongono, per un albero pieno con carico assiale trascurabile, di comporre le sollecitazioni definendo un momento torcente ideale in accordo con la seguente equazione2:

M ti =

(k

f

Mf

) + (k M ) 2

t

2

(1.3)

t

dove i coefficienti k devono essere scelti, in funzione della modalità di applicazione del carico, in accordo con la tabella sotto riportata3: Tipo di carico kf kt costante 1.5 1.0 urto lieve 1.5-2.0 1.0-1.5 urto pesante 2.0-3.0 1.5-3.0 Il diametro dell’albero allora dovrà soddisfare la seguente disuguaglianza: 16 M ti d≥3

πτ amm

1

(1.4)

Le espressioni (1.1) e (1.2) sono in accordo con l’ipotesi di rottura, denominata ipotesi dell’energia di distorsione, secondo la quale la rottura non avviene quando raggiunge il massimo tutta l’energia di deformazione, ma solo quella parte di tale energia che corrisponde al cambiamento di forma dell’elemento di volume infinitesimo, e che è uguale a tutta l’energia di deformazione meno la quota parte che produce esclusivamente cambiamento di volume, senza cambiamento di forma. La formalizzazione della teoria si deve a Richard Edler von Mises (Lemberg 19 April 1883 - Boston, 14 July 1953) uno scienziato che fornì importanti contributi nei campi della fluidodinamica, dell’aerodinamica, della statistica e della teoria della probabilità 2 Le norme ASME a cui si fa riferimento, pur essendo superate, forniscono, per un calcolo di massima, valori decisamente attendibili. 3 I coefficienti k , detti anche coefficienti di fatica, tengono conto dell’affaticamento del materiale che dipende, tra l’altro, dalla modalità di applicazione del carico, dalla finitura superficiale e dalle caratteristiche geometriche dell’albero.

1

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Per quanto riguarda il valore della tensione ammissibile da inserire nella (1.4) o nella (1.5), facendo riferimento ad alberi con sedi di linguetta, essa può porsi pari al 22.5% del carico di snervamento senza superare il 13.5% del carico di rottura a trazione.1 Qualora il momento flettente fosse trascurabile, indicata con N la potenza trasmessa in kW, con n la frequenza di rotazione in rpm, il diametro dell’albero, a sola torsione, può progettarsi con la semplice relazione: N d ≥ 365 3 (1.5) n ⋅ τ amm

Tipo Acciai da bonifica

Acciai da cementazione

Caratteristiche meccaniche di alcuni acciai da costruzione§ Sigla D, mm R, MPa Re, MPa A% C40 16-40 640-780 420 17 36CrNiMo4 25 1000 855 15.4 34CrNiMo6 25 1100 960 14.6 C10 11 540-930 345 12 16NiCr4 25 1010 775 12.5 18NiCr5/4 25 1130 910 11 17NiCrMo6 25 1130 900 12

KCU, J 25 90 76 35 74 66 75

§ D diametro del saggio R carico di rottura a trazione Re carico di snervamento a trazione A% allungamento percentuale (prova di trazione) KCU resilienza

1

Ovviamente si tratta di valori puramente indicativi. Nel caso di alberi realizzati con acciaio “ordinario”, ossia con acciaio per il quale non è richiesta alcuna prescrizione particolare legata all’impiego, la τ amm da inserire nella (1.4) può aggirarsi, in un calcolo di massima, intorno 55 e 40 N/mm2 rispettivamente nel caso di assenza o presenza di linguette.

2

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Progetto a rigidità torsionale L’angolo di torsione θ (rad) tra due sezioni distanti L di un albero pieno con diametro costante d, indicato con G il modulo di elasticità tangenziale1 e con Mt il momento torcente (costante), vale2: 32 ⋅ M t L θ= (1.6) π d 4G fissato pertanto l’angolo di torsione massimo ammesso θmax , il diametro dell’albero vale: 32 ⋅ M t L d=4 (1.7) π Gθ max Con riferimento al limite tradizionale di una deformazione torsionale ammissibile di ¼ di grado per metro3, indicata con N la potenza trasmessa in kW e con n la frequenza di rotazione in rpm, si ottiene: N d ≅ 130 4 (1.8) n

1

Il modulo di elasticità trasversale G è legato, tramite il modulo di Poisson v , al modulo di elasticità normale E. G = E / 2(1 + v) Il modulo di Poisson misura, in presenza di una sollecitazione monoassiale longitudinale, il rapporto tra la contrazione trasversale e la deformazione longitudinale. v = −ε t ε n In un materiale perfettamente isotropo il coefficiente di Poisson vale 1/4. Per l’acciaio può porsi v ≅ 0.3 2 Indicata con z l’ascissa di una sezione trasversale generica si ha: M (z) dθ = dz G ⋅ J ( z ) considerando un albero a sezione costante sottoposto all’azione di un momento torcente anch’esso costante tra le sezioni di ascissa 0 e L, l’equazione precedente è facilmente integrabile: L L M ( z ) ⋅ dz M M ⋅L dθ = → ∫ dθ = dz → ∆θ = ∫ G ⋅ J (z) G⋅J 0 G⋅J 0 Poiché, per una sezione circolare piena J = π d 4 32 , è immediato ricavare la (1.7) 3 La deformazione massima ammissibile di ¼ di grado per metro ha più che altro un valore storico: veniva utilizzata, in passato, per il proporzionamento dei lunghi alberi di trasmissione che si usavano negli opifici del tempo.

3

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Esempio 1. 1 Un albero è appoggiato su due cuscinetti posti a distanza L pari a 1524 mm. Una puleggia di massa 90 kg è posizionata equidistante dai due supporti ed è collegata all’albero tramite una linguetta. Sulla puleggia è montata orizzontalmente una cinghia con tensione totale sui due rami pari a 6800 N. Determinare il diametro dell’albero e l’angolo di torsione tra i due cuscinetti, sapendo l’albero stesso riceve 14.7 kW a 150 rpm tramite un giunto flessibile posizionato subito dopo il cuscinetto di destra.

Il momento flettente raggiunge il massimo nella sezione equidistante dagli appoggi dove agisce anche il momento torcente trasmesso dal giunto.: M f max = 345900 2 + 2594250 2 = 2617208 Nmm

106 ⋅ 14.7 ⋅ 60 ≅ 935831 Nmm 2π ⋅ 150 Ipotizzando kt = k f ≅ 1.5 e considerando un albero in acciaio ordinario, quindi con τ max ≅ 42 MPa , il Mt =

diametro minimo dell’albero vale: 2 16 2 d=3 k f M f ) + ( kt M t ) ≅ 80 mm ( π ⋅τ amm L’angolo di torsione tra i due cuscinetti, tenuto presente che il momento torcente sollecita l’albero solo nelle sezioni comprese tra la puleggia e il giunto elastico, vale:

θ=

32 ⋅ M t ( L / 2 )

πd G 4

→

θ≅

32 ⋅ 935831 ⋅ 762 360 ≅ 0.123° π ⋅ 804 ⋅ 82380 2π

4

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Esempio 1. 2 Una puleggia di diametro pari a 610 mm e peso 1360 N, trascinata da una cinghia orizzontale, trasmette, attraverso l’albero, potenza ad un pignone di diametro primitivo pari a 254 mm il quale a sua volta muove una ruota dentata. Configurazione, tensioni di cinghia e componenti delle reazioni della ruota sul pignone sono di seguito rappresentate. Determinare il diametro dell’albero nell’ipotesi che sia realizzato in acciaio ordinario e che i coefficienti di fatica siano kt = 1.5 e k f = 2.5

M V 1 ≅ 1373910 Nmm

M V 2 ≅ 341290 Nmm

M O1 ≅ 1022130 Nmm

M O 2 ≅ 1516200 Nmm

M r1 ≅ 1712200 Nmm

M r 2 ≅ 1556550 Nmm

Il momento torcente, attivo nel tratto d’albero compreso tra la puleggia e il pignone, vale: 254 610 M t = 8710 ⋅ ≅ ( 5440 − 1810 ) ≅ 1107150 Nmm 2 2 La sezione più sollecitata è quella corrispondente alla ruota (1). Con riferimento a tale sezione e considerando un albero in acciaio ordinario, quindi con τ max ≅ 42 MPa , il diametro minimo dell’albero vale: 2 16 2 d=3 k f M r1 ) + ( kt M t ) ≅ 78 mm ( π ⋅τ amm

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Esempio 1. 3 Il rullo industriale mostrato in figura è condotto a 300 rpm. Sulla primitiva di diametro 76 mm del pignone dentato che lo comanda agisce una forza F come indicato. Tale rullo esercita una forza radiale, per unità di lunghezza, di 5 N/mm sul materiale che vi passa sotto. Il coefficiente d’attrito si può supporre pari a 0.40. Scelto con giustificato criterio ogni eventuale dato mancante, si dimensioni in prima approssimazione il diametro dell’albero porta rullo nel tratto compreso tra i cuscinetti O ed A

Si determina la forza totale (radiale) esercitata dal rullo sul materiale: Ptot = 5 ⋅ 200 = 1000 N La forza totale (tangenziale) esercitata dal rullo sul materiale vale: Qtot = 0.4 ⋅ Ptot = 400 N Per l’equilibrio alla rotazione deve essere: 76 100 F cos 20° = Qtot 2 2 Pertanto la forza totale F agente sul dente vale: F ≅ 560 N Indicate con Fz e Fy rispettivamente le proiezioni orizzontali e verticali della forza F e con q e p i carichi uniformante distribuiti corrispondenti alle forze concentrate Q e P, le sollecitazioni agenti sull’albero possono essere schematizzate come di seguito riportato: 45

200

70

45

y

Fy p

x

O

Fz q

A

x z

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Di seguito si riportano i diagrammi di momento flettente e torcente:

(Nmm)

-60000

-50000

Momento flettente Mfxy

-40000

-30000

-20000

-10000

0 0

100

200

300

Ascissa x (mm)

Momento flettente Mfzx

(Nmm)

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0 0

100

200

Ascissa x (mm)

7

300

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Momento flettente Mfr

(Nmm)

80000

60000

40000

20000

0 0

100

200

300

Ascissa x (mm)

Momento torcente Mt (Nmm)

25000

20000

15000

10000

5000

0 0

50

100

150

200

250

300

350

Ascissa x (mm) Si ipotizza di realizzare l’albero con un acciaio C40 bonificato. Inoltre si ritiene che i coefficienti di fatica possano essere assunti pari a k f = kt = 2 .

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La sezione più sollecitata è posta ad un’ascissa pari 167 mm. In tale sezione il momento flettente risultante e il momento torcente assumono i seguenti valori: Mf ≅ 67560 Nmm M t x =167 ≅ 12240 Nmm x =167

Con riferimento ad un acciaio C40 bonificato ( σ R = 670 MPa σ sn = 400 MPa ) può porsi: τ amm ≅ 90 MPa Il diametro dell’albero può pertanto assumersi pari a: 2 16 2 d=3 k f M f ) + ( kt M t ) ≅ 20 mm ( π ⋅τ amm

Bibliografia Giovannozzi R Hall AS et al. Shigley JE et al.

Costruzione di Macchine Costruzione di Macchine Progetto e Costruzione di Macchine

9

vol.1

Patron Etas McGraw-Hill

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2. PERNI DI ESTREMITA’ Si definisce perno quella porzione di asse o albero che, accoppiata con il cuscinetto, viene sostenuta dal supporto in modo da collegarla al telaio. I perni si possono classificare come segue: 1. perni portanti: in cui la spinta esercitata dal cuscinetto sul perno ha direzione radiale; 1.1. perni di estremità: sono posti all’estremità di un asse o di un albero e non sono soggetti a torsione; 1.2. perni intermedi: sono soggetti anche a torsione e si trattano semplicemente come porzioni d’albero; 2. perni di spinta in cui la spinta esercitata dal cuscinetto ha direzione assiale

Nel seguito ci occuperemo della progettazione dei soli perni di estremità Sia: l lunghezza del perno; d diametro del perno; P reazione perno-cuscinetto, ipotizzata concentrata e posizionata nella mezzeria del perno n frequenza di rotazione del perno

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I perni di estremità vengono dimensionati secondo tre criteri:

1. Dimensionamento a flessione Il perno viene schematizzato come una trave incastrata ad un estremo e caricata a metà dello sbalzo da una forza concentrata P pari alla reazione perno cuscinetto. (2.1)(2.2)

d>

16 P l 5P l ≅ πσ amm d σ amm d

(2.1)

Il rapporto caratteristico l/d è tabellato e dipende sostanzialmente dal tipo di utilizzo del perno. Valori di l/d troppo esegui espongono al pericolo di eccessive fuoriuscite laterali di olio; per contro, valori di l/d troppo elevati inducono eccessive inclinazioni del perno nella sua sede. La tensione ammissibile dipende dal tipo di materiale costituente il perno e dal tipo di utilizzo. Orientativamente si possono utilizzare le indicazioni contenute nella tabella sotto riportata. Tipo di acciaio Comune Di qualità Alta resistenza

Tensione amm. (MPa) 50 ÷70 70 ÷ 100 120 ÷ 180

Nel caso di urti utilizzare i ¾ dei valori tabellati.

2. Dimensionamento a pressione Viene confrontata la pressione media p, di seguito definita, con valori tabellati. Tali valori tabellati dipendono dai materiali costituenti la coppia perno-cuscinetto, dal tipo di finitura, dal tipo di trattamento termico, dal tipo di lubrificazione e dal settore di utilizzo del perno.

p≡

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P ≤ pamm l ⋅d

(2.2)

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3. Dimensionamento al riscaldamento Viene verificata la seguente disuguaglianza1: p ⋅v ≤ K (2.3) Dove p è la pressione media (MPa) definita al punto precedente, v è la velocità periferica del perno (m/s) e K è un fattore di riferimento funzione della finitura della coppia, del tipo di lubrificazione e di raffreddamento. Nel caso la disuguaglianza non fosse soddisfatta occorrerà modificare le condizioni di funzionamento della coppia perno-cuscinetto oppure aumentare la lunghezza del perno, mentre sarebbe ininfluente agire sul diametro del perno stesso.

Valori di K da utilizzare nel dimensionamento al riscaldamento di un perno Tipo di lubrificazione e finitura

K (MPa·m/s)

Lavorazione corrente, lubrificazione scarsa con ingrassatore a stoppino, funzionamento in aria calma Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante ad anello o similare, funzionamento in aria calma Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante ad anello o similare, funzionamento in corrente d’aria Lubrificazione abbondante ad anello o similare, funzionamento in corrente d’aria veloce Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante forzata, funzionamento in aria calma Lavorazione accurata, lubrificazione forzata, raffreddamento artificiale dell’olio ¥ fino a 26 secondo l’entità del raffreddamento

0.8÷1.0 1.5÷2.0 3.0÷4.0 5.0÷10.0 3.0÷4.0 8.0÷13.0 ¥

1

La disuguaglianza si giustifica come segue: Il calore sviluppato (calore generato) per attrito dalla coppia perno-cuscinetto, nell’unità di tempo, vale ovviamente: Qɺ gen = f ⋅ P ⋅ v dove f è il coefficiente d’attrito tra perno e cuscinetto e v la velocità periferica del perno

Il calore trasmesso, nell’unità di tempo, all’esterno per conduzione, e in parte per irraggiamento, si può ritenere proporzionale alla superficie del supporto S = π d ⋅ l e alla differenza di temperatura ∆T tra supporto e ambiente. Indicato con α un opportuno coefficiente di trasmissione del calore, il calore trasmesso, nell’unità di tempo verso l’esterno (calore disperso) si può esprimere pertanto con la seguente relazione Qɺ disp = α ⋅ ∆T ⋅ π ⋅ d ⋅ l Uguagliando il calore generato al calore disperso si ottiene la condizione limite di equilibrio termico: P α ⋅ ∆T ⋅ π f ⋅ P ⋅ v = α ⋅ ∆T ⋅ π ⋅ d ⋅ l → v= → pv = K d ⋅l f

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Caratteristiche delle coppie perno-cuscinetto a strisciamento Applicazioni

Materiale Cuscinetto¥

l/d§

G MB G B B;MB G

1÷2

0.8÷1.8

MB BPB

0.8÷1.25 0.8÷1.2

1÷4

MB

0.8÷1.5

1.5

pamm (MPa) accoppiamenti

Trasmissioni meccaniche v < 3.5 m/s v > 3.5 m/s Macchine utensili Apparecchi di sollevamento (pulegge, tamburi, ruote) Pompe, compressori, ventilatori v < 60 m/s Motori elettrici v < 10 m/s Motori a carburazione e Diesel veloci Spinotto Manovella Banco Motori Diesel lenti Testa a croce Manovella Banco Turbine a vapore

BPB BPB BPB BPB MB MB MB

1÷2 4÷6 2 6 12

1.2÷2

20÷30 8÷10 8÷10

0.5÷0.6

0.5÷0.6 1.3÷1.6

40÷60 12÷13 8÷9 0.5÷0.8

¥ G ghisa; MB metallo bianco antifrizione; B bronzo; BPB bronzo al piombo § l/d rapporto caratteristico del perno, l lunghezza del perno e d diametro del perno

13

H7/f7 H7/e8 H7/d9 H7/f7 H7/g6 H7/e8 H7/d9 H8/d10 H6/g5 H7/f7 H7/f7 H6/g5

H7/f7 H7/g5

H7/f7

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Esempio 2. 1 Con riferimento ai dati dell’Esempio 1.3, determinare il diametro del perno accoppiato al cuscinetto O. Il carico sul perno risulta

RO ≅ 327 2 + 5462 ≅ 636 N Fissato un opportuno valore del rapporto caratteristico

( l / d ≅ 1.2 ) si procede ad un

primo

dimensionamento a flessione utilizzando una σ amm ≅ 65 MPa

d>

16 P l ≅ 8.4 → 10 mm πσ amm d

Noto il diametro e il rapporto caratteristico, fissato in precedenza, si verifica il perno a pressione: P p= = 5.3 MPa l ⋅d Il valore è compatibile con una utilizzazione nell’ambito delle macchine utensili. Da ultimo si procede ad una verifica al riscaldamento. La velocità periferica del perno vale: 2π ⋅ n 2 ⋅ π ⋅ 300 v= ⋅r = ⋅ 0.005 ≅ 0.157 m/s 60 60 Il prodotto pv vale pertanto: pv ≅ 0.83 MPa ⋅ m/s Il valore trovato risulta compatibile per un perno con lavorazione corrente, lubrificazione scarsa e funzionamento in aria calma. Pertanto, se la realizzazione è in grado di garantire almeno le condizioni prima definite, il perno è da ritenersi verificato.

Bibliografia Ottani M Pierotti P. Malavasi

Corso di Meccanica Meccanica Vademecum per l’ingegnere Costruttore Meccanico

vol.3 vol.3

Cedam Calderini Hoepli

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3. I GIUNTI I giunti sono organi meccanici deputati al collegamento coassiale (o talvolta complanare) di un albero motore ad un albero condotto. Si distinguono in: 1. Giunti rigidi: non consentono spostamenti relativi tra i due alberi. Richiedono una perfetta coassialità degli alberi e dei relativi sopporti. (giunti a manicotto, giunto Sellers, giunti a dischi, etc.) 2. Giunti semielastici ed elastici: consentono lievi spostamenti assiali e/o angolari resi possibili dall’utilizzo di elementi deformabili elasticamente (giunto Northon, Periflex, Steelflex o Bibby, Hardy, etc.) 3. Giunti articolati: consentono spostamenti relativi di una certa ampiezza senza deformazione di elementi elastici (giunto di Cardano, di Oldham) 4. Giunti omocinetici: sono dei particolari giunti articolati che assicurano, istante per istante, la perfetta identità tra la velocità angolare dell’albero motore e dell’albero condotto (giunto Rzeppa, Tracta etc.). Il tecnico, se non impiegato nel settore specifico, non progetta i giunti, ma si limita semplicemente alla loro scelta a catalogo. Nel seguito, tuttavia, riporteremo alcune indicazioni riguardanti il dimensionamento dei principali organi di collegamento (pioli, bulloni, etc.) avvertendo comunque che le indicazioni avranno un valore relativo rappresentando, il più delle volte, la rielaborazione approssimata dei dati forniti dalle tabelle dei costruttori.

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3.1. GIUNTO A MANICOTTO

Il giunto a manicotto è costituito da due semigusci, generalmente realizzati in ghisa, che vengono serrati mediante bulloni alle estremità degli alberi da collegare. In un calcolo di massima, si può ritenere che il momento torcente Mt si trasmetta dall’albero motore all’albero condotto solo per attrito. Per semplicità supporremo che la pressione radiale p tra albero e manicotto sia costante lungo tutta la superficie di contatto. Con questa assunzione, per l’equilibrio, deve risultare: F p= d ⋅L dove con d si è indicato il diametro dell’albero, con L la lunghezza del manicotto e con F la forza complessiva, esercita dai bulloni, premente i due semigusci. Il momento d’attrito Ma trasmesso da ciascun semiguscio, vale: d L d π⋅f M a = p ⋅ f ⋅π ⋅ ⋅ = F ⋅d 2 2 2 8 dove con f si è indicato il coefficiente d’attrito tra albero e semigusci. Il momento d’attrito trasmesso dai due semigusci vale ovviamente: π⋅f M at = F ⋅d 4 Per l’equilibrio deve essere: M t = M at da cui, indicato con nb il numero dei bulloni, si ricava la forza premente che deve esercitare il singolo bullone: 4M t Fb = π ⋅ f ⋅ d ⋅ nb Il momento torcente applicato al fusto della vite vale1:

1

per viti ordinarie si può porre ( cfr. cap. 4 “Collegamento con viti”): tan (α + ϕ ) ≅ 0.2

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d mv tan (α + ϕ ) ≅ 0.1 ⋅ Fb ⋅ d mv 2 dove d mv è il diametro medio della vite, α l’angolo di inclinazione dell’elica media del filetto, e ϕ è l’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito tra vite e madrevite. Le due sollecitazioni sforzo normale Fb e momento torcente M tv inducono rispettivamente delle tensione normali σ e tangenziali (di torsione) τ che dovranno essere composte, secondo von Mises, in un’unica tensione ideale da confrontarsi con la tensione ammissibile del materiale costituente i bulloni. Indicato con dr il diametro della sezione resistente1 della vite si ha: 4 Fb  σ ≅ π ⋅ d  r → σ id = σ 2 + 3τ 2 ≤ σ amm  16 M tv τ ≅  π ⋅ d r3 M tv = Fb

1

In prima approssimazione sia il diametro medio della vite, sia il diametro della sezione resistente possono essere assunti pari al diametro nominale della vite stessa.

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Esempio 3.1.1 Verificare i bulloni di collegamento di un giunto a manicotto in grado di trasmettere, a regime, una potenza di 15 kW al regime di 250 rpm. Si calcola il momento torcente di regime: N 15 ⋅ 106 ⋅ 60 Mt = ≅ ≅ 573000 Nmm ω 2 ⋅ π ⋅ 250 Il momento torcente di calcolo si ottiene moltiplicando il momento di regime per un coefficiente ψ che tenga conto di eventuali sovraccarichi dinamici. Posto ψ ≅ 1.2 , si ottiene: M tc = ψ M t ≅ 1.2 ⋅ 573000 ≅ 688000 Nmm Il diametro d dell’albero in grado di trasmette il momento torcente M tc può stimarsi in prima approssimazione, e in assenza di dati più precisi, dall’equazione di stabilità torsionale. Assunto una tensione ammissibile convenientemente ridotta ( τ amm ≅ 35 MPa ) si ha:

d≥3

16 ⋅ M tc ≅ 46 mm π ⋅τ amm

Si sceglie pertanto un giunto con diametro esterno D = 130 mm che effettua il serraggio dei semigusci tramite 6 bulloni M12. Assunto che il coefficiente d’attrito tra albero e semiguscio sia pari a 0.25, ogni bullone deve esercitare una forza lungo il proprio asse pari a:

4M t ≅ 12700 N π ⋅ f ⋅ d ⋅ nb Il corrispondente momento torcente sul fusto della vite vale: M tv ≅ 0.1 ⋅ Fb ⋅ d mv ≅ 15240 Nmm dove, senza commettere un grande errore, si è posto il diametro medio pari al diametro nominale della vite. Fb =

Posto il diametro della sezione resistente pari al diametro nominale della vite, le tensioni normali e tangenziali e ideale valgono: 4 Fb  σ = π ⋅ d 2 ≅ 122 MPa  v → σ id = σ 2 + 3τ 2 ≅ 145 MPa  τ = 16 ⋅ M tv ≅ 45 MPa  π ⋅ d v3 Ipotizzando di realizzare il bullone con un acciaio 8.81, si ha un grado di sicurezza rispetto alla rottura pari a: 800 ξ≅ ≅ 5.5 valore che può essere giudicato accettabile. 145

1

Gli acciai per bulloneria si indicano con due numeri interi separati da un punto. Il primo numero corrisponde al carico di rottura minimo a trazione del materiale, espresso in MPa, e diviso per 100, mentre il prodotto dei due numeri corrisponde al carico di snervamento del materiale, espresso in MPa, e diviso per 10. Un acciaio 8.8 sarà pertanto caratterizzato da un carico di rottura pari a 8 ⋅ 100 = 800 MPa e un carico di snervamento pari a

8 ⋅ 8 ⋅ 10 = 640 MPa

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3.2. GIUNTO SELLERS Il giunto Sellers si compone di un manicotto in ghisa, avente la superficie interna bi-troncoconica, con pendenza interna nell'ordine dei 12÷14° (conicità 1:5 ÷ 1:4). Dentro al manicotto sono sistemati i due coni in ghisa (bussole) tagliati lungo un piano assiale che a loro volta sono calettati sugli alberi di trasmissione mediante chiavette. Il momento torcente viene trasmesso da un albero ad una bussola, da questa al manicotto, dal manicotto alla seconda bussola e da quest'ultima al secondo albero, il tutto sempre per effetto dell'attrito tra le superficie a contatto e dal carico assiale indotto in tre tiranti dal serraggio dei dadi. Definito il diametro degli alberi, le principali dimensioni del giunto risultano dall'allegata tabella. La verifica del giunto si conduce determinando le tensioni agenti nei tre tiranti filettati.

Ra T

β N

Sia: f T

β

coefficiente d’attrito tra i semiconi e il manicotto il tiro totale esercitato dai bulloni l’angolo di inclinazione dei semiconi

Per l’equilibrio alla traslazione si ha: T = N sin β + f ⋅ N ⋅ cos β Indicato con Dm il diametro medio dei semiconi, e con M t il momento torcente da trasmettere, dall’equilibrio alla rotazione si ricava: D 2M t Mt = f ⋅ N m → T = ( sin β + f ⋅ cos β ) 2 f ⋅ Dm Ogni bullone esercita una forza assiale pari a: Tb = T 3 Il momento torcente applicato al fusto della vite vale: d M tv = Tb mv tan (α + ϕ ) ≅ 0.1 ⋅ Tb ⋅ d mv 2 dove d mv è il diametro medio della vie, α l’angolo di inclinazione dell’elica media del filetto, e ϕ è l’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito tra vite e madrevite. Le due sollecitazioni sforzo normale Tb e momento torcente M tv inducono delle tensione normali σ e tangenziali (di torsione) τ che dovranno essere composte, secondo von Mises, in un’unica tensione ideale da confrontarsi con la tensione ammissibile del materiale costituente i bulloni.

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4Tb  σ ≅ π ⋅ d  r  16 M tv τ ≅  π ⋅ d r3

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→ σ id = σ 2 + 3τ 2 ≤ σ amm

Tabella di proporziona mento dei giunti SELLERS

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Esempio 3.2.1 Verificare le viti di serraggio di un giunto Sellers in grado di trasmettere a regime una potenza di 20 kW alla velocità di 300 rpm. Il momento di regime vale: 106 ⋅ 30 ⋅ 60 Mt = ≅ 637 Nm 2π ⋅ 300 Fissato un coefficiente ψ di amplificazione dinamica del carico pari a 1.2, il momento di calcolo risulta: M tc = 1.2 ⋅ M t ≅ 764 Nm Il diametro d dell’albero in grado di trasmette il momento torcente M tc può stimarsi in prima approssimazione, e in assenza di dati più precisi, dall’equazione di stabilità torsionale. Assunto una tensione ammissibile convenientemente ridotta ( τ amm ≅ 35 MPa ) si ha:

d≥3

16 ⋅ M tc ≅ 48 mm π ⋅τ amm

Il giunto può pensarsi realizzato1 con 3 bulloni M12. Il diametro medio Dm può essere stimato pari a 96 mm (similitudine geometrica tra il giunto da verificare e il giunto rappresentato nel catalogo) Fissato un coefficiente d’attrito f tra cono e manicotto pari a 0.25, e la pendenza β dei coni pari a 12°, la forza assiale si serraggio di ogni singolo bullone deve essere pari a:

Tb =

2M tc ( sin β + f ⋅ cos β ) ≅ 9600 N 3 ⋅ f ⋅ Dm

Il momento torcente applicato al fusto della vite vale: d M tv = Tb mv tan (α + ϕ ) ≅ 0.1 ⋅ Tb ⋅ d mv ≅ 11500 Nmm 2 dove, senza commettere un grande errore, si è posto il diametro medio pari al diametro nominale della vite. Posto il diametro della sezione resistente al diametro nominale della vite, le tensioni normali e tangenziali e ideale valgono: 4Tb  σ = π ⋅ d 2 ≅ 85 MPa  v → σ id = σ 2 + 3τ 2 ≅ 103 MPa  16 ⋅ M tc τ = ≅ 34 MPa  π ⋅ d v3 Ipotizzando di realizzare il bullone con un acciaio 8.8, si ha un grado di sicurezza rispetto alla rottura pari a: 800 ξ≅ ≅ 7.7 valore che può essere giudicato accettabile. 103

1

come specificato nella tabella di proporziona mento, il diametro dei bulloni può essere espresso in funzione del diametro dell’albero d tramite la seguente relazione: d v ≅ 0.2 ( d + 10 )

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3.3.

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GIUNTO RIGIDO A DISCHI 1

Sia: Dm Dv Mt nv f dmv

diametro medio della fascia di contatto; il diametro della circonferenza a cui appartengono le tracce degli assi delle viti; il momento torcente trasmissibile dal giunto; numero delle viti; coefficiente d’attrito tra le superficie delle flange a contatto. diametro medio delle viti Dalla potenza N e dalla frequenza di rotazione n si determina il momento torcente Mt eventualmente da maggiorare per tener conto di eventuali sovraccarichi dinamici. Noto Mt, dalle tabelle del costruttore, ci si orienta sulla geometria del giunto e sul numero delle viti. Si determina lo sforzo assiale presente su ogni vite con la seguente relazione: 2M t F =ψ fDv nv dove ψ ≅ 1.1 ÷ 2 è un coefficiente che tiene conto di eventuali sovraccarichi dinamici. Si calcola il Momento Mtv da applicare al fusto della vite per generare la forza F : M tv = 0.1 ⋅ Fd mv . Si determinano le tensioni sul fusto delle vite, e infine si calcola la tensione ideale confrontandola con la tensione ammissibile. 16 M tv 4F τ= σ= 2 σ id = σ 2 + 3τ 2 ≤ σ amm 3 π d mv π d mv Nel caso la verifica non sia superata, si aumenta il numero e/o il diametro delle viti o si sceglie un giunto di dimensioni maggiori.

1

Il procedimento di calcolo qui descritto fa riferimento alla trasmissione del momento per attrito. Qualora invece i bulloni potessero lavorare a taglio, il momento massimo trasmissibile M, indicato con Dv il diametro della circonferenza dei centri dei bulloni, sarebbe pari a: 2 π d mv D M = nv τ amm v 4 2 E’ facile rendersi conto che con bulloni lavoranti a taglio possono trasmettersi momenti più che doppi rispetto al caso di quelli lavoranti a trazione. Tuttavia è opportuno ribadire che per poter far effettivamente lavorare tutti i bulloni a taglio (e tutti sottoposti alla medesima forza tagliante) occorre però una costosa lavorazione di precisione, consistente nel rettificare i gambi dei bulloni a un diametro leggermente maggiore di quello del foro, alesare accuratamente e contemporaneamente i fori corrispondenti nei due dischi e infine montare i bulloni a forza battendoli con la mazza. Un sistema ancora più costoso per assicurare il forzamento dei bulloni nei fori è quello usare bulloni conici. Per ragioni di costo, l’impiego dei bulloni calibrati è riservato di solito a diametri di albero oltre i 200-250 mm, pur potendosi ricorrere ad esso anche per diametri inferiori quando le condizioni di funzionamento (urti) siano particolarmente sfavorevoli. (R. Giovannozzi)

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Esempio 3.3.1 Una macchina motrice sviluppante, a regime, la potenza N di 80 kW, è collegata, tramite un giunto a dischi, ad una macchina operatrice il cui momento resistente Mr (comprensivo delle resistenze utili e passive) è pari, a regime, a 400 N m. Fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, si calcolino le dimensioni dei bulloni di collegamento dei dischi del giunto La velocità di rotazione ω del giunto è pari a: N 1000 ⋅ 80 ω= = ≅ 200 rad/s → n ≅ 1910 rpm 400 Mr Il giunto adatto a realizzare la trasmissione assegnata viene scelto “a catalogo”. Si adotta un giunto adatto a trasmettere un momento massimo pari a 500 Nm in grado di sopportare una frequenza massima di rotazione pari a 4000 rpm Il giunto trasmette il momento torcente richiesto tramite il serraggio di 4 viti 12 x 1.25. Il diametro medio della fascia di contatto può essere posto pari a: D + D1 160 + 85 Dm = = = 122.5 mm 2 2 Fissato, in via cautelativa, un coefficiente d’attrito tra le flange pari a 0.2 si ricava la forza assiale F che deve essere esercitata dal singolo bullone Mr 400 ⋅ 1000 F = 2ψ ≅ 2 ⋅ 1.5 ≅ 12245 N nv ⋅ f ⋅ Dm 4 ⋅ 0.2 ⋅ 122.5 Il momento sul fusto della vite indotto da un serraggio tale da assicurare una trazione F sul gambo vale d M tv ≅ F m tan (α + ϕ ) 2 Confondendo in prima approssimazione il diametro medio con il diametro nominale della vite e posto tan (α + ϕ ) ≅ 0.2 si ha: M tv = 14694 Nmm

La tensioni di trazione e torsione massima valgono: 4F 4 ⋅ 12245 σ≅ ≅ ≅ 108 MPa 2 π ⋅d π ⋅ 122 16 ⋅ M tv τ= ≅ 43 MPa π ⋅d3 La tensione ideale, secondo von Mises, risulta:

σ id = σ 2 + 3τ 2 ≅ 131 MPa Ipotizzato di realizzare il bullone con un acciaio 8.8, pertanto con una tensione di snervamento pari a 640 MPa, il coefficiente di sicurezza risulta: 640 ξ= ≅ 4.9 131 Valore decisamente accettabile, anche tenuto presente che si è adottata una sezione resistente pari alla sezione nominale della vite.

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3.4. GIUNTO NORTHON Il giunto è costituito da due dischi che portano, metà ciascuno, una corona di pioli incastrati ad esso ad un estremo. L’incastro dei pioli è normalmente ottenuto montando il loro gambo nel disco con un leggero forzamento e serrando, mediante un dado, un collare. L’appoggio dei pioli sull’altro disco è realizzato elasticamente mediante un blocco di gomma. In ciascun disco i pioli sono alternati ai fori in modo che, a montaggio effettuato, il giunto costituisca un insieme simmetrico ed equilibrato. Giunti di questo tipo vengono usati per accoppiare albero e puleggia del freno degli apparecchi da sollevamento, in modo da attenuare gli effetti provocati da brusche frenature. Di seguito riportiamo un estratto del catalogo dei giunti Northon serie PN (produzione Trans-Moto srl). Il calcolo di resistenza vero e proprio riguarda i pioli. Essi vengono verificati a flessione considerandoli come mensole incastrate nel disco e caricate, in corrispondenza della mezzeria del tratto di appoggio gommato, con una forza concentrata P di intensità pari alla forza periferica trasmessa diviso il numero np dei pioli. Indicato con Mt il momento torcente trasmesso e con Dp il diametro della circonferenza a cui appartengono i centri dei pioli, la forza P che si scarica su un singolo piolo vale: 2M t P= Dp ⋅ n p Indicata con h la distanza tra il punto di applicazione di P e l’incastro del piolo, il momento flettente massimo sul piolo risulta pari a: M f = P⋅h Il diametro minimo del piolo deve pertanto rispettare la seguente disuguaglianza: 32 ⋅ P ⋅ h d≥3 π ⋅ σ amm Per tenere conto di sovraccarichi dovuti ad urti, normalmente la tensione ammissibile si tiene bassa, adottando un grado di sicurezza rispetto alla rottura pari a ξ = 6 ÷ 12 . Nella zona dove il piolo appoggia sulla gomma occorre verificare che la pressione “media” tra piolo e gomma un superi il valore pamm ≅ 1 ÷ 5 MPa . Indicando con l la lunghezza della zona di appoggio e con d1 il diametro del piolo in tale zona, deve risultare: P p= ≤ pamm l ⋅ d1

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Esempio 3.4.1 Una macchina motrice sviluppante, a regime, la potenza N di 80 kW, è collegata, tramite un giunto Northon, ad una macchina operatrice il cui momento resistente Mr (comprensivo delle resistenze utili e passive) è pari, a regime, a 400 N m. Fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, si verifichino i pioli di collegamento del giunto. Dai calcoli svolti nell’ambito dell’Esempio 3.1 si ha: ω ≅ 200 rad/s → n ≅ 1910 rpm Si sceglie un giunto, con 12 pioli, in grado di trasmettere un momento massimo pari a 600 Nm e in grado di sopportare un velocità massima di rotazione pari a 6000 rpm. Posto il diametro dei pioli pari a d ≅ 14 mm, la distanza pari a h = 15 mm e il diametro D p = 127 mm (similitudine geometrica tra il giunto da verificare e il giunto rappresentato nel catalogo), si conduce una prima verifica a flessione: 32 ⋅ P ⋅ h 32 ⋅ 525 ⋅ 15 σ≅ ≅ ≅ 29 MPa π ⋅ d3 π ⋅143 P=

2M t 800 ⋅ 1000 = ≅ 525 N D p ⋅ nP 127 ⋅ 12

Considerato di realizzare un perno in C40 bonificato con ( σ R = 670 MPa σ sn = 400 MPa ) il grado di sicurezza nei confronti della rottura risulta: 670 ξ≅ ≅ 23 del tutto accettabile. 29 Sempre da catalogo si ricava la lunghezza l della zona di appoggio perno-tassello gommato l ≅ 33 mm La pressione media di contatto vale: P 525 p= ≅ ≅ 1.2 MPa pienamente accettabile. l ⋅ d 33 ⋅ 14

Bibliografia Giovannozzi R Pierotti P. Straneo SL et al.

Costruzione di Macchine Meccanica Disegno, progettazione…

vol. 1 vol. 3 vol. 2

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Patron Calderini Principato

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3.5. GIUNTO PERIFLEX Il giunto Periflex è realizzato con un elemento elastico costituito da un collare in gomma di sezione a C i cui bordi sono bloccati a pressione su due flange mediante dischi di pressione serrati tramite viti.

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3.6. GIUNTO BIBBY Il giunto Bibby è costituito da due dischi che portano delle fessure periferiche entro cui sono infilate della lamine di acciaio a sezione costante. Al crescere del carico, e quindi della rotazione relativa dei due semigiunti, la parte di lamina inizialmente libera va avvolgendosi sulla parte curva dei denti per un arco sempre maggiore, aumentando la rigidezza del giunto.

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3.7. GIUNTO HARDY Il giunto flessibile Hardy è in grado di funzionare parzialmente come un giunto cardanico. E’ costituto da dischi gommati che vengono attraversati da perni che sono alternativamente solidali all’albero motore e all’albero condotto. Questi giunti hanno una buna capacità di smorzare le vibrazioni.

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3.8. GIUNTO OLDHAM Il giunto di Oldham si usa per la trasmissione del moto fra assi paralleli non coincidenti. Il rapporto di trasmissione istantaneo di questo giunto è costantemente pari a uno: il giunto è pertanto omocinetico. L’elemento intermedio di collegamento ruota con velocità angolare comune a quella dei due alberi fra cui trasmette il moto, mentre il suo centro descrive una circonferenza, avente per diametro l’eccentricità e fra i due alberi, con velocità angolare doppia di quella degli alberi. Pertanto tale elemento intermedio è soggetto ad una forza centrifuga pari a: e 2 F = m ( 2ω ) = 2m ⋅ e ⋅ ω 2 2 Dove con m si è indicata la massa dell’elemento intermedio, con ω la velocità angolare degli alberi e con e l’eccentricità dei loro assi. Considerato uno spostamento angolare virtuale δθ e detti f il coefficiente d’attrito, l/2 la distanza alla quale si trovano, su ciascuna mezza scanalatura, le risultanti P delle pressioni, il rendimento del giunto ha la seguente espressione Pl ⋅ δθ 1 8 e = ≅ 1− f η= 4e 8 e π l Pl ⋅ δθ + 2 Pf ⋅ 2δθ 1 + f 2π π l

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3.9. GIUNTO DI CARDANO (GIUNTO DI HOOKE) Il giunto di Cardano si utilizza quando occorre trasmettere il moto fra assi concorrenti formanti fra loro un angolo generalmente diverso da zero In seguito affronteremo lo studio cinematico particolareggiato del giunto, ora ci limiteremo ad affermare quanto segue: se l’albero motore forma un angolo δ col prolungamento dell’albero condotto, e se l’albero motore ruota con velocità uniforme, il moto rotatorio dell’albero condotto non è uniforme. Si ha quindi una irregolarità periodica della trasmissione che cresce rapidamente al crescere dell’angolo δ. Quando questa irregolarità non possa essere tollerata, si ricorre al doppio giunto cardanico doppio simmetrico (gli angoli formati dai due alberi concorrenti con il terzo albero devono esser uguali. Il giunto di Cardano doppio e simmetrico si comporta come un giunto omocinetico: le velocità angolari dell’albero motore e dell’albero condotto sono coincidenti istante per istante mentre entrambe differiscono dalla velocità dell’albero intermedio

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Il giunto di Cardano viene usato per collegare due alberi con assi concorrenti formanti fra loro un angolo generalmente diverso da zero.

Per effettuare lo studio cinematico del giunto si faccia riferimento alle viste in pianta e in prospetto della trasmissione.

Calcolo della velocità dell’albero condotto Quando gli alberi ruotano, gli estremi aa della crociera si muoveranno nel piano frontale a descrivere una circonferenza, mentre gli estremi bb della crociera descriveranno un’ellisse (rappresentata con linea a tratti). Se l’albero A ruota di un angolo α (da aa a a1a1), anche la proiezione di bb ruoterà di un angolo α fino a portarsi in b1b1. L’angolo β di rotazione dell’albero condotto B si ricava determinando la vera posizione di b1b1 (ovvero vista lungo l’asse di B)

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Il punto b1 sul piano frontale corrisponde, in pianta, al punto b1’ . Il punto b1’ viene successivamente ribaltato nel piano contenente aa (punto c2). La proiezione di c2 sul piano frontale determina il punto b2 permettendo la definizione dell’angolo β. Valgono allora le seguenti relazioni: tan α =

oc1 b1c1

tan β =

oc2 oc2 = b2 c2 b1c1

tan α oc1 oc1 = = = cos δ tan β oc2 ob1'

tan α = tan β ⋅ cos δ

(3.1)

Derivando entrambi i membri della (3.1) rispetto al tempo si ricava la relazione tra le velocità degli alberi. dα dβ = sec2 β cos δ dt dt sec 2 α ⋅ ωa = sec 2 β ⋅ ωb ⋅ cos δ sec 2 α

sec 2 α ⋅ ωa = (1 + tan 2 β ) ⋅ cos δ  tan 2 α  sec 2 α ⋅ ωa =  1 +  ⋅ ωb ⋅ cos δ 2  cos δ 

ωa =

( cos

2

δ + tan 2 α )

cos δ ωb cos δ = ωa 1 − sin 2 δ ⋅ cos 2 α

⋅ cos 2 α ⋅ ωb (3.2)

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Il rapporto ωb/ωa ha un valore massimo pari a 1/cosδ che viene raggiunto quando cosα = ±1 ovvero quando α vale 0, 180°, etc… Il rapporto ωb/ωa ha invece un valore minimo pari a cosδ che viene raggiunto quando cosα = 0 ovvero quando α vale 90, 270°, etc.. L’irregolarità periodica della trasmissione I , per ωa costante è pari a:

I=

ω  ωb max − ωb min  ωb  1 =  − b  = − cos δ = sin δ ⋅ tan δ ωbmedio  ωa max  ωa min cos δ

L’albero condotto e conduttore hanno la stessa velocità quando:

cos δ =1 1 − sin 2 δ ⋅ cos 2 α 1 − cos δ 1 = cos 2 α = 2 sin δ 1 + cos δ 2 tan α = (1 + cos δ ) ⋅ sin 2 α = cos δ tan α = ± cos δ

(3.3)

Ci sono pertanto quattro angoli di rotazione in corrispondenza dei quali durante ciascun giro la velocità dell’albero condotto uguaglia quella dell’albero motore

Calcolo delle accelerazioni dell’albero condotto Supponendo costante la velocità angolare ωa dell’albero motore, l’accelerazione dell’albero condotto vale:

d ωb dα sin 2 δ ⋅ cos δ ⋅ sin 2α dα = ⋅ ⋅ dt dt (1 − sin 2 δ ⋅ cos 2 α )2 dt d ωb sin 2 δ ⋅ cos δ ⋅ sin 2α = −ωa2 ⋅ 2 dt (1 − sin 2 δ ⋅ cos2 α )

(3.4)

L’accelerazione dell’albero condotto si annulla per valori di α multipli di π/2 e assume valori uguali e opposti per valori di α supplementari. La posizione angolare in corrispondenza della quale si trova il massimo (minimo) dell’accelerazione angolare si calcola ponendo a zero la derivata prima della (3.4)   d sin 2α =0 dt  1 − ( sin 2 δ ⋅ cos 2 α )2   

(1 − sin δ ⋅ cos α ) ⋅ cos 2α = sin 2α ⋅ sin δ (1 − 0.5 ⋅ sin δ (1 + cos 2α ) ) ⋅ cos 2α = (1 − cos 2

2

2

2

2

2

2α ) ⋅ sin 2 δ

2cos 2α − sin 2 δ ⋅ cos 2α − sin 2 δ ⋅ cos 2α = 2sin 2 δ − 2sin 2 δ ⋅ cos 2 2α

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cos 2α =

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sin 2 δ ⋅ ( 2 − cos 2 2α )

(3.5) 2 − sin 2 δ Facendo riferimento ai valori consueti di δ (valori non superiori a 30°) la soluzione della (3.5) fornisce, per α, valori prossimi a 45°. In queste condizioni cos22α è molto piccolo e può senz’altro essere trascurato nei confronti di 2. La (3.5) pertanto può essere semplificata come di seguito proposto: cos 2α ≃

2sin 2 δ 2 − sin 2 δ

(3.6)

Ipotizzando che il valore massimo (minimo) dell’accelerazione si ottenga, come è stato detto in precedenza, in corrispondenza di un angolo di rotazione α pari a 45°, tale massimo (minimo) può essere immediatamente calcolato dalla (3.4): 2  dω b  2 sin δ ⋅ cos δ ≃ ±ω a   2  dt  max/ min  sin 2 δ  1 −  2  

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Determinazione delle reazioni sui cuscinetti

Lo schema sopra rappresentato mostra l’equlibrio del giunto nelle due posizioni angolari estreme. La parte superiore si riferisce ad un angolo di rotazione di zero gradi; mentre la parte inferiore della figura si riferisce all’equilibrio della trasmissione in corrispondenza di un angolo di rotazione di 90°. Angolo di rotazione α = 0° In questa condizione il momento sull’albero motore M1 viene equilibrato da un momento resistente Mn trasmesso dalla crociera e che vale:

M n = − M1 ⋅

M cos δ =− 1 2 2 1 − sin δ ⋅ cos α cos δ

(3.7)

La coppia di cuscinetti montati sull’albero dovrà equilibrare il momento Mr1 (3.8) M r1 = M 1 ⋅ tan δ L’albero condotto, invece, riceve dalla crociera un momento -Mn che viene equilibrato dal momento resistente M2 che, in questa configurazione, risulta avere la stessa direzione. I cuscinetti sull’abero condotto sono pertanto scarichi. Angolo di rotazione α = 90° In questa condizione il momento sull’albero motore viene equilibrato da un momento trasmesso dalla crociera ed avente la stessa direzione. Pertanto i cuscinetti posti sull’albero motore risultano scarichi. Il momento motore Mn viene equilibrato, sull’albero condotto, da un momento resistente M2 che vale:

M 2 = − M1 ⋅

cos δ = − M 1 ⋅ cos δ 1 − sin 2 δ ⋅ cos 2 α

(3.9)

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La coppia di cuscinetti montata sull’albero condotto dovrà sopportare un momento Mr2 pari, in modulo, a: M r 2 = M 2 tan δ = M 1 sin δ

(3.10)

Nelle condizioni estreme considerate, solo una coppia di cuscinetti risulta sollecitata. In una posizione intermedia entrambe le coppie di cuscinetti risulteranno sollecitate con dei momenti pulsanti tra un valore minimo nullo e un valore massimo definito dalle (3.8) e (3.10) rispettivamente per i cuscinetti sull’albero motore e sul condotto. Angolo di rotazione α qualsiasi La determinazione dei carichi sui cuscinetti in corrispondenza di un angolo di rotazione qualsiasi può agevolmente essere effettuata con riferimento alla figura sotto rappresentata.

Indicato al solito con M1 il momento trasmesso dall’albero motore, ruotante a velocità costante, i momenti Mr1 e Mr2 agenti sui cuscinetti montati rispettivamnete sull’albero motore e su quello condotto valgono:

M 1 ⋅ cos δ   1 M r1 =  − M 1 ⋅ cos δ  ⋅ 2 2  1 − sin δ ⋅ cos α  sin δ

(3.11)

M 1 ⋅ cos δ  M  1 Mr2 =  1 − ⋅ 2 2  cos δ 1 − sin δ ⋅ cos α  tan δ

(3.12)

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E’ da notare in particolare che i rapporti Mr1/M1 e Mr2/M1 assumono valori massimi molto prossimi fra loro, ma non coincidenti. Dalla (3.11) ponendo α = 0 si ha: ( M r1 / M 1 )max = tan δ Dalla (3.12) ponendo α = 90° si ottiene: ( M r 2 / M 1 )max = sin δ

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Trasmissione Omocinetica Come è già stato definito ai punti precedenti, il giunto di Cardano semplice non garantisce l’omocinetismo. Il rapporto di trasmissione, infatti, varia al variare dell’angolo di rotazione secondo quanto definito dalla (3.2). Tuttavia una trasmissione omocinetica tra gli alberi estremi può essere ottenuta ricorrendo a una coppia di giunti cardanici, collegati da un albero intermedio, come indicato dalla figure sotto riportate. In tali condizioni, la variazione di rapporto di trasmissione introdotta dal primo giunto viene in ogni istante esattamente compensata da quella dovuta al secondo.

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Esempio 3.9.1 In un giunto di Cardano l’albero motore trasmette un momento torcente pari a 41500 N. 1. determinare il momento torcente sullabero condotto con rifrimento alla disposizione angolare di figura in cui gli alberi giacciono nello stesso paino orizzontale; 2. trovare il diametro dei prerni della crociera nell’ipotesi che la pressione ammissibile, la tensione ammissibile a trazione e la tensione ammissibile a taglio siano rispettivamente pari a 14 MPa e 140 MPa e 70 MPa; 3. calcolare la massima tensione nella sezione E-E che si trova a 50 mm dall’asse Y-Y.

Il momento torcente sull’albero condotto, supposto costante il momento torcente motore, varia in funzione della velocità di rotazione dell’albero condotto. Il momento massimo sull’abero condotto è massimo quando la velcotà di rotazione dell’albero condotto eè minimo ossia in corrispondenza cioè di un angolo α = 90, 270°... Trascurando ogni fenomeno passivo si ha pertanto ω Ma 41500 M aωa = M bωb → M b max = M a a = = ≅ 44163 Nmm ωb min cos δ cos20°

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Le forze massime F agenti sui perni della crociera valgono: M F = b max ≅ 883 N 2 ⋅ 25 Diametro del perno per restere a pressione F 883 d≥ ≅ ≅ 9 mm l ⋅ pamm 6.25 ⋅ 14 Diametro del perno per resitere a flessione F ⋅ 6.35 3 32 ⋅ 883 ⋅ 6.36 d≥3 ≅ ≅ 7.4 mm πσ amm π ⋅140 Diametro del perno per resitere a taglio 4 4⋅ F 4 4 ⋅ 883 d≥ ≅ ≅ 4.6 mm 3 π ⋅ τ amm 3 π ⋅ 70 La sollecitazione più gravosa risulta quella di flessione e il perno dovrebbe essere realizzato con un diametro minimo di 9 mm. La sezione E-E è sottopsta al’azione combinata della compressione e della flessione. La tensione risultante è pari a: 302 883 ⋅ 50 + ≅ 1.93 + 67.8 ≅ 70 MPa σt = σc + σ f = 25 ⋅ 6.25 1 6.25 ⋅ 252 6

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3.10.

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GIUNTO OMOCINETICO RZEPPA

Anche se, come abbiamo visto in precedenza, con l’adozione del giunto cardanico doppio simmetrico si raggiunge la condizione di omocinetismo, soprattutto per ragioni di ingombro, nelle costruzioni automobilistiche, si sono imposti come dispositivi omocinetici altri tipi di giunti più compatti e leggeri. I più comuni sono: il giunto Bendix-Weiss e il giunto Rzeppa (decisamente il più usato nelle costruzioni meccaniche) Il giunto è costituito da due forcelle, solidali con i due alberi, su cui sono ricavate delle superficie sferiche (rispettivamente interna per l’albero motore ed esterna per l’albero condotto) i cui centri O1 e O2 giacciono sugli assi dei due alberi a breve distanza dal loro punto di intersezione O. In ogni gola trovano posto due sfere che, dovendo toccare entrambe le superficie sferiche attive delle due forcelle, hanno una posizione ben definita in modo da assicurare che il loro centro giaccia nel piano bisettore dell’angolo β formato dagli assi degli alberi.

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Bibliografia G. Bongiovanni, G. Roccati R. Giovannozzi J.Hannah, R.C. Stephens Jacazio G, Piombo B. Straneo SL et al.

Giunti fissi, articolati, elastici e di sicurezza Costruzione di macchine vol. I Mechanics of machines Meccanica Applicata alle Macchine vol. 2 Disegno, progettazione… vol. 2

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Levrotto & Bella To Patron Arnold Levrotto & Bella To Principato

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4. COLLEGAMENTO CON VITI Un accoppiamento vite-madrevite può essere analizzato considerando le azioni tra il filetto della vite e quello della madrevite concentrate sull’elica media. Con tale schematizzazione, nell’ipotesi che il filetto sia a pane rettangolare1, lo studio del serraggio di una vite con un momento torcente Mt (attivo lungo il fusto della vite) in grado esercitare una forza assiale F, è del tutto analogo allo studio dell’equilibrio alla salita lungo un piano inclinato di un corpo di peso F soggetto all’azione di una forza orizzontale P.

P

p

α

F π dmv

Il piano inclinato di riferimento, per simulare correttamente l’ accoppiamento vite-madrevite oggetto di studio, deve avere un angolo di inclinazione α pari all’angolo di inclinazione dell’elica media. p α = tan −1 π d mv dove p è il passo e dmv il diametro medio. Indicato con f il coefficiente d’attrito tra il filetto della vite e quello della madrevite, uguale per analogia al coefficiente d’attrito tra corpo e piano inclinato, la condizione di equilibrio è espressa dalla seguente relazione: P cos α = f ⋅ F cos α + F ⋅ sin α + f ⋅ P sin α da cui, indicato con ϕ l’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito f, si ha: P cos α − f ⋅ P sin α = f ⋅ F cos α + F ⋅ sin α     sin ϕ sin ϕ P  cos α − sin α  = F  cos α + sin α  cos ϕ cos ϕ     Nel caso di filetti triangolari con angolo al vertice del triangolo generatore pari a 2θ , vale sempre la (1.9) in cui al posto di ϕ si sostituisca un angolo ϕ * definito dalla relazione: 11

cos α cos β essendo β l’angolo che la normale alla superficie del filetto in corrispondenza all’elica media forma con l’asse della vite, e per la quale vale la relazione: cos θ cos β = cos α 1 − sin 2 α cos 2 θ Data la piccolezza dei valori di θ e α , si può spesso ritenere in pratica α = β e quindi ϕ * = ϕ giustificando l’utilizzazione della (1.9) anche nel caso di filetti a pane triangolare o trapezoidale. tan ϕ * = tan ϕ

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P = F tan (α + ϕ ) (4.1) Moltiplicando primo e secondo membro della (4.1) per il diametro medio della vite si ottiene la relazione tra la forza assiale agente sulla vite e il momento torcente agente sul fusto della vite stessa1: d M tv = F ⋅ mv tan (α + ϕ ) (4.2) 2 In condizioni ordinarie, in mancanza di dati più precisi, si può porre tan (α + ϕ ) ≅ 0.2 da cui si ottiene la seguente relazione approssimata: (4.3) M tv = 0.1 ⋅ F ⋅ d mv

Ribadiamo che nella (1.10) M t non rappresenta il momento di avvitamento M avv bensì soltanto il momento torcente che si scarica sul fusto della vite e che su di essa induce le tensioni τ di torsione. Nel caso di viti con finitura superficiale ordinaria può porsi: M avv ≅ 1.5 ⋅ M tv Una vite serrata è sottoposta a due sollecitazioni: 1. sollecitazione normale il fusto della vite; 2. sollecitazione di momento torcente. Queste due sollecitazioni sono legate, come abbiamo visto dalla seguente relazione d M tv = F ⋅ mv tan (α + ϕ ) 2 La due sollecitazioni, sforzo nomale e momento torcente, generano rispettivamente delle tensioni di trazione σ , dirette lungo l’asse della vite, e di torsione τ giacenti in un piano perpendicolare all’asse della vite. Indicato con d il diametro della sezione resistente della vite (in prima approssimazione d può essere posto pari al diametro medio della vite) Le tensioni massime valgono pertanto: 4F  σ = π d 2  τ = 16M tv  πd3 Ai fini della verifica della vite, queste due tensioni dovranno essere combinate in un’unica tensione ideale che, a sua volta, dovrà risultare inferiore alla tensione ammissibile del materiale costituente la vite stessa. In base alla teoria di von Mises si ha quindi:

σ id = σ 2 + 3τ 2 ≤ σ amm

1

La (1.9) esprime, nel caso di una vite di manovra, il momento torcente da applicare al fusto della vite per sollevare un carico F (avanzamento in contrasto di carico). E’ facile ricavare che il momento da applicare al fusto della vite permettere la discesa del carico F (avanzamento in direzione del carico) è espresso dalla seguente relazione: d M = F m tan (α − ϕ ) 2 Se il momento torcente espresso dalla relazione precedente risulta positivo significa che per abbassare il carico occorre effettivamente applicare un momento esterno, in caso contrario, ovvero con memento negativo, il carico scenderà spontaneamente. E’ evidente che la discesa spontanea (svitamento spontaneo) si ha quando α < ϕ .

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Esempio 4. 1 La vite di figura è mossa da un momento M applicato alla base. Il dado porta il carico W e scorre tra due guide che ne impediscono la rotazione. Nell’ipotesi che l’attrito nel cuscinetto a sfere sia trascurabile, trovare il carico che si può sollevare applicando un momento M = 46000 Nm Caratteristiche della vite: diametro medio d m 50 mm vite a pane quadrato vite a tre principi passo apparente pa 8.5 mm coefficiente d’attrito tra vite e madrevite f = 0.15

Indicato con i il numero di principi della vite, la relazione tra passo reale p e passo apparente pa risulta: p = i ⋅ pa da cui p = 3 ⋅ 8.5 = 25.5 mm L’angolo di inclinazione dell’elica del filetto vale: p 25.5 α = tan −1 = tan −1 ≅ 9.22° π dm π ⋅ 50 L’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente ad un coefficiente d’attrito pari a 0.15 vale: ϕ = tan −1 0.15 ≅ 8.53° Dalla (1.9) si ha immediatamente d 2M 2 ⋅ 46000 M = W m tan (α + ϕ ) → W = = = 5748 N d m tan (α + ϕ ) 50 ⋅ tan ( 9.22 + 8.53) 2

Esempio 4. 2 La vite dell’esempio precedente, sotto l’azione del carico assiale W, può svitarsi spontaneamente? Poiché l’angolo di inclinazione α = 9.22° è superiore all’angolo di semiapertura del cono d’attrito ϕ = 8.53° il dispositivo non risulta spontaneamente reversibile.

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Esempio 4. 3 La bussola di serraggio di figura si aziona ruotando la manovella allo scopo di imprimere alla pinza un moto assiale verso sx in modo da forzarla nella propria sede conica. In tal modo le quattro ganasce della bussola vengono serrate contro il pezzo da lavorare mantenendolo nella corretta posizione. Determinare il momento torcente M da applicare in modo ogni settore conico della pinza eserciti una forza radiale contro il pezzo pari a 450 N nell’ipotesi che: 1. il coefficiente d’attrito tra bussola e sede conica sia pari a f = 0.20 ; 2. il coefficiente d’attrito tra volantino e mandrino sia pari a f ' = 0.15 ; 3. il coefficiente d’attrito tra vite e madrevite sia pari f '' = 0.10 ; 4. diametro medio di contatto volantino mandrino d c = 38 mm ; 5. diametro medio del filetto d m = 23.5 mm ; 6. passo della vite p = 1.6 mm .

Consideriamo l’equilibrio di un singolo settore conico:

1/ 4W = P sin 20° + 0.2 ⋅ P cos 20°   P cos 20° − 0.2 P ⋅ sin 20° = 450 N Risolvendo il sistema si ottiene:

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P ≅ 516 N

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W = 1094 N

Il momento torcente richiesto sul volantino vale: d W M = W m tan (α + ϕ ) + f 'd 2 2 con p α = tan −1 ϕ = tan −1 f ' π dm Sostituendo i valori numerici si ottiene d 23 1094 W 0.15 ⋅ 38 ≅ 4658 Nmm M = W m tan (α + ϕ ) + f ' d c = 1094 tan (1.27 + 5.71) + 2 2 2 2

Esempio 4. 4 Con riferimento al morsetto sotto rappresentato di cui si riportano i dati principali, determinare le tensioni agenti nelle sezioni A-A e B-B nonché la lunghezza L dell’asta di manovra in modo che l’operatore esercitando una forza di 90 N sia in grado di esercitare un carico W = 4540 N . Pane della vite quadrato (assimilabile) Passo filettatura p = 2 mm Diametro medio vite d m = 11.25 mm

Coefficiente d’attrito tra vite e madrevite f = 0.12

Coefficiente d’attrito piattello ed estremità sferica della vite f ' = 0.25

Raggio medio della zona di contatto tra piattello ed estremità sferica della vite e = 6.4 mm Il momento esercitato dall’operatore vale: d W M = W m tan (α + ϕ ) + f 'e ϕ = tan −1 f = 6.84 2 2

α = tan −1

p = 0.057 π dm

11.25 4540 tan ( 6.9 ) + 0.25 ⋅ 6.4 = 3090 + 7240 ≅ 10330 Nmm 2 2 Per sviluppare un momento torcente pari a M = 10330 Nmm con una forza F di 90 N occorre un braccio L pari a: M 10330 L= ≅ ≅ 115 mm F 90 M ≅ M tv + M P = 4540

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Tensioni agenti nella sezione A-A Nella sezione A-A agiscono: 1. Momento torcente M = 10330 Nmm 2. Momento flettente M f = F ⋅ b = 90 ⋅ 152 = 13680 Nmm A cui corrispondono le tensioni:

M d m 10330 ⋅ 11.25 ⋅ 32 ≅ ≅ 37 N/mm 2 π ⋅11.254 ⋅ 2 J 2 F ⋅ b 90 ⋅ 152 ⋅ 32 σ max = = ≅ 98 N/mm 2 4. Tensione di flessione 3 π ⋅11.25 I Le due tensioni possono essere composte, secondo le indicazioni di von Mises, nell’unica tensione ideale:

3. Tensione di torsione

τ max =

σ id = σ 2 + 3τ 2 = 982 + 37 2 ≅ 105 N/mm2 Tensioni agenti nella sezione B-B Nella sezione B-B agiscono: 3. Momento torcente 4. Sollecitazione di compressione A cui corrispondono le tensioni:

M P = 7240 Nmm W = 4540 N

M d m 7240 ⋅ 11.25 ⋅ 32 ≅ ≅ 26 N/mm2 π ⋅11.254 ⋅ 2 J 2 4 ⋅W 4 ⋅ 4540 = ≅ 46 N/mm 2 6. Tensione di compressione σ max = 2 2 π d m π ⋅11.25 Le due tensioni possono essere composte, secondo le indicazioni di von Mises, nell’unica tensione ideale: 5. Tensione di torsione

τ max =

σ id = σ 2 + 3τ 2 = 462 + 262 ≅ 53 N/mm 2

Bibliografia Giovannozzi R Hall A.S. et al. O.Sesini

Costruzione di Macchine Costruzione di Macchine Meccanica Applicata alle Macchine

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vol. 1 Patron Etas vol. 3 Ambrosiana

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5.

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LA A TRASMISSIONE A CINGHIA

Le cinghie sono organi flessibili che si avvolgono su pulegge per trasmettere il moto fra due alberi Si distinguono 1. cinghie piatte 2. cinghie trapezoidali 3. cinghie dentate (sincrone) Nel seguito ci occuperemo soprattutto del calcolo delle cinghie trapezoidali e della loro scelta tramite le indicazioni fornitee dai cataloghi delle case costruttrici. Per comprendere appieno tali indicazioni è tuttavia indispensabile affrontare lo studio teorico della trasmissione che nel seguito viene riportato. Le equazioni di equilibrio Consideriamo un tratto di cinghia cinghia piatta avvolta su di una puleggia di raggio r. Sia m la massa della cinghia per unità di lunghezza e v la sua velocità; la forza centrifuga dF agente su di un tratto di cinghia che si impegna lungo un angolo dθ vale: v2 = mv 2 dθ (5.1) dF = mr ⋅ dθ r Sia Tc è la tensione nella cinghia dovuta all’azione centrifuga, allora per l’equilibrio deve essere: dθ mv 2 dθ = 2Tc → Tc = mv 2 (5.2) 2

Se la cinghia sta trasmettendo potenza, indicando con T1 e T2 la tensione totale sui tratti condotti e conduttori della cinghia, in condizione di incipiente slittamento si ha: dT = f ( dN − dF )

dT = f (Tdθ − mv 2 dθ ) dT = fdθ T − mv 2 e integrando T1 θ dT = ∫ T − mv 2 ∫0 fdθ T2

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T1 − mv 2 = exp ( f θ ) T2 − mv 2

(5.3)

1 Qualora l’azione della forza centrifuga possa essere trascurata t la (5.3) si semplifica nella (5.4):

T1 = exp ( f θ ) T2

(5.4)

Le zone in cui la cinghia non è a contatto con le pulegge vengono suddivise in due tratti: 1. un tratto in cui la tensione vale T1 (ramo più teso); 2. un tratto in cui la tensione vale T2 (ramo meno teso). Gli angoli di avvolgimento e scorrimento Nel tratto di cinghia a contatto con la puleggia la tensione varia, lungo un angolo θ, gradualmente da T1 a T2 secondo quanto definito dalla (55.4) o dalla (5.3).2 L’angolo θ va misurato a partire tire dal punto in cui la cinghia lascia la puleggia. puleggia L’angolo θ rappresenta l’angolo lungo il quale la cinghia trasmette (o riceve) potenza. Quando l’angolo θ (angolo di scorrimento) supera l’angolo di avvolgimento la cinghia inizierà a slittare. Poiché l’angolo l θ è comune alle due pulegge, lo slittamento inizierà sempre sulla puleggia minore ovvero sulla puleggia il cui angolo di avvolgimento risulta minore. L’angolo θ viene definito sia angolo effettivo, sia angolo di scorrimento o angolo di creep.

Sottolineiamo che lungo gli archi che sottendono gli angoli γ e γ’: 1. la tensione della cinghia è costante e vale T2 sulla puleggia condotta e T1 su quella motrice; 2. la cinghia ha la stessa velocità della puleggia; 3. non avviene nessun trasferimento di potenza poten (gli angoli γ e γ’’ vengono pertanto definiti angoli inefficaci o idle angles)

1

In pratica si constata che per velocità periferiche della cinghia cinghia inferiori a 10 m/s l’effetto della forza centrifuga è decisamente trascurabile. D’altro canto, anche per velocità superiori si preferisce trascurare, per semplicità di calcolo, l’effetto della forza centrifuga salvo poi assumere dei carichi di sicurezza sicurezza minori di quelli normalmente ammissibili. 2

Si noti che, diversamente da quanto riportato in figura, nelle cinghie piatte è preferibile tenere il ramo lasco (meno teso) della cinghia sul lato superiore.

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Incostanza del rapporto di trasmissione Per effetto dell’elasticità del materiale la cinghia lungo il tratto più teso (a tensione T1) subirà un allungamento maggiore di quant quanto avviene nel ramo allentato (a tensione T2). Con riferimento alla figura sopra riportata, indicati con e1 ed e2 gli allungamenti rispettivamente nei tratti a tensione T1 e T2, per la costanza della massa si ha: mv1 mv2 = 1 + e1 1 + e 2 Trascurando i prodotti e1e1 ed e2 e1 si ha: v2 1 + e2 1 + e2 1 − e1 = = ≅ (1 + e2 )(1 − e1 ) = 1 − e1 + e2 − e1e2 ≅ 1 − e1 + e2 v1 1 + e1 1 + e1 1 − e1 ovvero (T − T ) v2 (5.5) ≅1− 1 2 v1 AE dove A ed E sono rispettivamente la sezione trasversale e il modulo di elasticità normale della cinghia. Pertanto il rapporto di trasmissione di due pulegge, collegate collegate da una trasmissione a cinghia, non è esattamente pari al rapporto tra i diametri delle pulegge stesse1. Infatti dalla (5.5) indicate con ω le velocità angolari delle pulegge egge si ha: ω2 r1  (T1 − T2 )  (5.6) = 1 −  AE  ω1 r2  Pertanto la trasmissione a cinghia, dato che le tensioni T variano al variare della potenza trasmessa, ha un rapporto di trasmissione che varia al variare della potenza trasmessa. Le cinghie trapezoidali Per aumentare l’aderenza tra cinghia e puleggia si si utilizzano, in luogo delle cinghie piatte, quelle trapezoidali. A parità di ogni altra condizione, una cinghia trapezoidale (con semiangolo di gola pari a β) lavora come una cinghia piatta che faccia affidamento su di un nuovo coefficiente d’attrito maggiorato (fittizio) pari a2: f (5.7) f* = sin β

1

In realtà, agli effetti della trasmissione del moto, nelle cinghie piatte, il diametro delle pulegge è da considerarsi aumentato di due volte s/2 /2 (con s spessore della cinghia). Pertanto nella (5.6) r1 e r2 sono i raggi delle pulegge corrispondenti aumentati di s/2. Nel caso di cinghie trapezoidali, r1 e r2 sono invece i diametri primitivi delle rispettive pulegge. 2

In prima approssimazione, il coefficiente d’attrito f* può porsi pari a circa 0.5 a cui corrisponde un coefficiente d’attrito f pari a circa 0.12-0.14 0.14 (Catalogo Gates Corporation)

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Tensione di pretensionamento Indicata con T0 la tensione di pretensionamento, le tensioni T1 e T2 sui due rami di cinghia, valgono: M T1 = T0 + Tc + t D (5.8) Mt T2 = T0 + Tc − D dove D e Mt sono rispettivamente il diametro della puleggia e il momento torcente da essa trasmesso e Tc la tensione dovuto alla forza centrifuga. Indicato con α l’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore, il tiro di cinghia minimo necessario per trasferire il momento torcente Mt vale: 2 M t exp ( f α ) + 1 2T0 = (5.9) D exp ( f α ) − 1 Infatti 2M t  T1 − T2 = → 2T0 = (T1 + T2 ) − 2Tc D  T1 + T2 = 2T0 + 2Tc 2T0 (T + T ) − 2Tc = (T1 − Tc ) + (T2 − Tc ) = (T1 − Tc ) (T2 − Tc ) + 1 = 1 2 2M t D T1 − T2 (T1 − Tc ) − (T2 − Tc ) (T1 − Tc ) (T2 − Tc ) − 1 2T0 =

2 M t exp ( f α ) + 1 D exp ( f α ) − 1

Sostituendo la(5.9) nelle (5.8) si ottengono le espressioni delle tensioni nei due rami di cinghia in funzione di Tc, di T0 e di α che di seguito sono rappresentate graficamente.

T1 = Tc + 2T0

exp ( f α )

exp ( f α ) + 1

T2 = Tc + 2T0

1 exp ( f α ) + 1

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(5.10)

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Con riferimento alla figura precedentemente riportata, consideriamo una trasmissione funzionante a velocità trascurabile e tesa, inizialmente, con un tiro tale da indurre le tensioni rappresentate dai pallini bianchi: il momento torcente trasmesso è proporzionale ovviamente alla differenza tra le tensioni T1 e T2. Immaginiamo ora che la trasmissione raggiunga una velocità tale indurre un aumento di tensione nei due rami pari a Tc: in questa situazione le tensioni dei rami di cinghia sono individuate dai pallini verdi giacenti sulle corrispondenti rette: il momento torcente trasmesso e l’angolo si scorrimento non cambiano, ma le tensioni nei due rami di cinghia sono aumentate. Volendo mantenere la tensioni statica massima pari alla tensione dinamica massima, dovremo diminuire il pretensionamento in modo tale che le tensioni dinamiche dei due rami di cinghia siano individuate dai rispettivi pallini arancio: in questa situazione tuttavia il momento torcente trasmesso è minore. Per quanto riguarda i valori correnti del pretensionamento ricordiamo che, in prima approssimazione, può porsi1: 2M t  cinghie piatte  2T0 = ( 4 ÷ 5 ) D (5.11)   2T = (1.5 ÷ 2 ) 2M t cinghie trapezoidali  0 D Come garantire i pretensionamento Il pretensionamento della cinghia, indispensabile per consentire la trasmissione di potenza, può essere effettuato sostanzialmente in quattro modi 1. montaggio forzato: si sfrutta l’elasticità dell’elemento flessibile; 2. uso di un rullo tenditore; 3. uso di una puleggia oscillante; 4. uso di una puleggia traslante.

Sollecitazione sulle cinghie Le cinghie sono sottoposte a due sollecitazioni 1. sollecitazione di trazione dovuta alla forza T 2. sollecitazione di avvolgimento (momento flettente) dovuta appunto all’avvolgimento della cinghia sulla puleggia La forza T , indicata con A la sezione trasversale della cinghia, genera una tensione di trazione pari a: T σt = (5.12) A La massima sollecitazione di trazione si nel tratto di cinghia in cui ovviamente T = T1 La tensione di avvolgimento si ricava facilmente ricordando che la relazione tra il raggio di curvatura della deformata e il rispettivo momento flettente vale:

1

Considerando i rami di cinghia quasi paralleli, il valore di 2To corrisponde al carico totale sui perni delle pulegge

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1 M = (5.13) r EJ dove al solito E è il modulo di elasticità normale e J il momento quadratico di superficie della sezione trasversale. Dalla (5.13) si ottiene: EJ M EJ → σf = = (5.14) M= r W f r ⋅W f Il raggio di avvolgimento r, indicato con r1 il raggio della puleggia minore1 e con s lo spessore della cinghia, vale: r = r1 + s 2 sostituendo nella (5.14) si ottiene: E⋅s 2 E⋅s σf = = r1 + s 2 d1 + s

(5.15)

Il tratto di maggior sollecitazione della cinghia è pertanto il tratto, sottoposto a T1, e che si avvolge sulla puleggia minore.

Determinazione della lunghezza teorica di cinghia La lunghezza L di una cinghia che si avvolge su due pulegge di diametro D e d aventi interasse I vale:

D d (π + 2γ ) + (π − 2γ ) + 2 I cos γ 2 2 ∆ R   −1  ∆R  sin γ =   → γ = sin    I   I  L=

(5.16)

Cerchiamo ora una espressione della lunghezza della cinghia che, seppur approssimata, è più maneggevole. Tenuto presente lo sviluppo in serie di Taylor di sin x

1

Ai fini ini della sollecitazione di flessione si è considerata soltanto la puleggia minore in quanto, avente il diametro minore, induce il momento flettente maggiore.

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x 3 x5 xn πn + + .... + sin 3! 5! n! 2 ed arrestando lo sviluppo al primo termine, si ha: D−d γ≅ 2I sin x = x −

(5.17)

Sostituendo la (5.17) nella (5.16) e tenuto presente lo sviluppo in serie di cos x arrestato al secondo termine1, si ha:

( D − d ) + 2I − 2I ( D − d ) D+d π+ 2 2I 4I 2 ⋅ 2 2 D−d) ( D+d L ≅ 2I + π+ 2 4I 2

2

L≅

(5.18)

Questa è l’espressione della lunghezza approssimata della cinghia che viene normalmente riportata sui cataloghi delle ditte costruttrici. La velocità ottima Si definisce ottima la velocità di una trasmissione, la velocità a cui corrisponde, a parità di potenza trasmessa e di ogni altra condizione, la minima sezione trasversale A di cinghia. In condizione di incipiente slittamento, indicato con α l’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore e con m la massa per unità di lunghezza della cinghia, si ha:

D  ( T1 − T2 ) 2 = M t   2  T1 − mv = exp ( f α )  T2 − mv 2

T1 =

2M t exp ( f α ) T + mv 2 → A = 1 = D exp ( f α ) − 1 σ amm

2M t exp ( f α ) + mv 2 D exp ( f α ) − 1

σ amm

Moltiplicando e dividendo per v, indicando con N la potenza trasmessa, si ha:

exp ( f α ) 2M t exp ( f α ) + mv 2 N + mv 3 D exp ( f α ) − 1 exp ( f α ) − 1 v A= = σ amm σ amm v v La massa della cinghia per unità di lunghezza è ovviamente funzione della sezione trasversale. Posto pertanto K = m A , si ottiene:

exp ( f α )

A=

KAv3 σ amm v exp ( f α ) + 1 σ amm v

A−

KAv 2

1

N

σ amm

=

cos x = 1 −

N

+

exp ( f α )

σ amm v exp ( f α ) + 1

x2 x4 xn πn + + ..... + cos 2! 4! n! n!

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exp ( f α )   σ amm − Kv 2  Kv 2  N = A 1 − A   =  σ amm   σ amm  σ amm v exp ( f α ) + 1 exp ( f α ) σ amm N A= σ amm v exp ( f α ) + 1 (σ amm − Kv 2 ) posto

A=

exp ( f α ) N

exp ( f α ) + 1

= C si ha:

C v (σ amm − Kv 2 )

−σ ammC + 3Kv 2C d d C A= = dv dv (σ amm v − Kv 3 ) (σ v − Kv 3 )2 amm

La derivata si annulla pertanto per:

v=

σ amm

(5.19)

3K

La (5.19) fornisce pertanto la velocità ottima, ossia quella velocità che a parità di ogni altra condizione rende minima1 la sezione trasversale della cinghia. Normalmente K ≅ 0.1 kg / ( m ⋅ mm 2 ) e σ amm ≅ ( 2.5 ÷ 3) N / mm 2 per cui la velocità ottima si aggira sui 25-30 m/s. E’ buona norma pertanto raggiungere velocità elevate adottando per le pulegge i massimi diametri compatibili con le esigenze di installazione.

1

La (5.19) esprime una condizione di minimo. Infatti:

< 0 dA  = 0 dv  > 0

v < σ amm 3K v = σ amm 3K v > σ amm 3K

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Esempio 5.1 A pulley of 150 mm effective diameter running at 1500 rev/min drives a follower of 750 mm diameter, the two shafts being parallel, 1 m apart, and the free parts of the belt considered straight. The belt has a mass m of 0.4 kg/m and the maximum tension is to be 720 N. If the coefficient of friction f is equal to 0.4, estimate the maximum tension differences allowing for the inertia of the belt. If the belt has a cross sectional area A of 320 mm2 and E for the material is 300 MN/mm2, estimate the speed of driven pulley at the maximum condition and the power transmitted to it.

Dalla figura sopra riportata si ricava facilmente che: θ 0.375 − 0.075 θ cos = ≅ 0.3 → ≅ 1.266 rad 2 1 2 L’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore vale: θ ≅ 2.532 rad La velocità della cinghia, supposta indeformabile, vale: 2π n 750 2π v= = 1500 ⋅ 0.750 ≅ 11.78 m / s 60 1000 60 La tensione della cinghia, dovuto all’effetto centrifugo vale: Tc = mv 2 = 0.4 ⋅11.782 ≅ 55.6 N Pertanto nelle condizioni limite deve valere la seguente equazione: 720 − 55.6 = exp ( f θ ) = exp ( 0.4 ⋅ 2.532 ) ≅ 2.754 → T2 ≅ 296.8 N T2 − 55.6 da cui T1 − T2 ≅ 720 − 296.8 ≅ 423.3 N

Dalla (5.5) si ha immediatamente 423.2   v2 ≅ 11.78 1 − ≅ 11.728 m / s −6 6   320 ⋅ 10 ⋅ 300 ⋅ 10  La velocità angolare della puleggia condotta vale: v 60 n2 = 2 ≅ 298.6 rpm r2 2π E la potenza trasmessa alla puleggia condotta vale: P = (T2 − T1 ) ⋅ v2 ≅ 423.3 ⋅ 11.728 ≅ 4963 W

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5.1. Il dimensionamento a catalogo di una trasmissione a cinghie trapezoidali Il dimensionamento di una trasmissione a cinghie trapezoidali si conduce rapidamente seguendo le indicazione delle ditte produttrici che, a loro volta, fanno riferimento alle norme UNI 5789-5790.

V dp Dp K

velocità periferica della cinghia diametro primitivo della puleggia minore diametro primitivo della puleggia maggiore rapporto di trasmissione K = D p d p

I Lp

Interasse Lunghezza primitiva della cinghia L p = 2 I + 1.57 ⋅ ( D p + d p

α

(D )+

p

− dp )

2

4I Ampiezza dell'arco di contatto sulla puleggia minore D − dp α = 180 − 57 ⋅ p I

Il fattore di servizio Il fattore di servizio Fs è un coefficiente che, tenuto conto delle condizioni di carico, aumenta opportunamente la potenza che teoricamente dovrebbe essere trasmessa. I valori di Fs vengono stimati secondo le seguenti indicazioni Determinazione del fattore di servizio Fs ore di servizio Carico uniforme medio pesante extra pesante

Motore a coppia di spunto normale 10 16 >16 1.0 1.1 1.2 1.1 1.2 1.3 1.2 1.3 1.4 1.3 1.4 1.5

Motore a coppia di spunto elevata 10 16 >16 1.1 1.2 1.3 1.2 1.3 1.4 1.4 1.5 1.6 1.5 1.6 1.8

Potenza di calcolo La potenza di calcolo PC si ottiene dalla potenza nominale PN dalla seguente relazione: PC = PN ⋅ FS

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Scelta della sezione di cinghia La sezione appropriata di cinghia si sceglie in base alla velocità della puleggia minore e della potenza di calcolo

Le cinghie trapezoidali sono costitute da: (1) un involucro in tessuto gommato resistente all’usura; (2) un nucleo centrale in fibre sintetiche, resistente allo sforzo di trazione; (3) strati in gomma elastica, soggetti a trazione e compressione, che trattengono il nucleo Dimensioni delle cinghie trapezoidali /(mm) UNI 5265 Sezione Y Z A B C D Larghezza di riferimento Wd 5.3 8.5 11 14 19 27 Larghezza nominale W 6 10 13 17 22 32 Altezza nominale T 4 6 8 11 14 19

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E 32 38 25

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Il diametro di riferimento equivalente Si definisce come tale e si indica con de il diametro di riferimento delle due pulegge di una trasmissione con rapporto di trasmissione K=1, equivalente, agli effetti della fatica per flessione della cinghia, alla trasmissione data di uguale interasse. Il valore di de si ottiene moltiplicando il diametro di riferimento della puleggia minore dp per un fattore di correzione Fb, variabile con il rapporto di trasmissione K

Potenza nominale trasmissibile da una cinghia La potenza nominale p1 trasmissibile è quella trasmissibile da una cinghia con angolo di avvolgimento sulla puleggia pari a α = 180° . La potenza p1 dipende dal diametro di riferimento de, dalla velocità periferica V della cinghia e dal tipo di sezione secondo quanto di seguito specificato. Z ⇒ p1 = (0.25V −0.09 −

7.35 − 0.47 ⋅ 10−4 V 2 )V de

A ⇒ p1 = (0.45V −0.09 −

19.61 − 0.76 ⋅ 10−4 V 2 )V de

B ⇒ p1 = (0.79V −0.09 −

51.3 − 1.31 ⋅ 10−4 V 2 )V de

C ⇒ p1 = (1.48V

−0.09

143.2 − − 2.34 ⋅ 10−4 V 2 )V de

D ⇒ p1 = (3.15V −0.09 −

507.2 − 4.76 ⋅ 10−4 V 2 )V de

E ⇒ p1 = (4.57V −0.09 −

951.1 − 7.05 ⋅ 10−4 V 2 )V de

V [m/s]; de [mm]; p1 [kW]

Potenza effettiva trasmissibile da una cinghia La potenza effettiva p, che una cinghia può trasmettere, si ottiene moltiplicando p1 per: 1. un coefficiente Fα di correzione che tiene conto dell'ampiezza α dell'arco di contatto fra cinghia e puleggia minore e che si ottiene dalla tabella di seguito riportata

α Fα

180° 1.00

170° 0.98

Coefficiente di correzione Fα 160° 150° 140° 130° 120° 0.95 0.92 0.89 0.86 0.82

110° 0.78

100° 0.74

90° 0.69

2. un coefficiente di correzione Fe, che tiene conto, a parità di altre condizioni, della frequenza di flessione della cinghia e che si ricava dal diagramma di seguito riportato: p = p1 ⋅ Fα ⋅ Fe

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Esempi di rappresentazione di alcune pulegge per cinghie trapezoidali

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5.1.1.

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Calcolo della cinghia passo passo

Dati: Potenza, frequenza di rotazione, rapporto di trasmissione (Dp/dp), tipo di utilizzo. 1. Fissato il fattore di servizio, si determina la potenza di calcolo. 2. Noti il numero di giri della puleggia minore e la potenza di calcolo si sceglie la sezione appropriata di cinghia (A, B, C….) 3. Si stabilisce il diametro primitivo della puleggia minore (consultare la tabella riportante i diametri minimi) 4. Se l’interasse Ia non è assegnato lo si determini, in prima approssimazione con una delle seguenti relazioni Ia =

Dp − d p 2

+ dp

I a = Dp

se D p < 3d p se D p > 3d p

5. Si determina la lunghezza della cinghia L 6. Si sceglie la lunghezza disponibile Ld più vicina a quella determinata al punto precedente 7. Si calcola l’interasse corretto IC con una delle seguenti relazioni : L − Ld IC = Ia − se L > Ld 2 L −L IC = Ia + d se L < Ld 2 Noto il rapporto di trasmissione si determina il fattore Fb e il diametro primitivo equivalente de Note la sezione di cinghia (A, B, C….) e la sua lunghezza si determina il fattore Fe Si calcola la velocità della cinghia Con la velocità della cinghia, la sua sezione e il diametro primitivo equivalente si determina la potenza nominale p1 trasmissibile da una cinghia 12. In base all’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore si determina il fattore Fα 13. La potenza effettiva p trasmissibile da una cinghia sarà:

8. 9. 10. 11.

p = p1 ⋅ Fe ⋅ Fα

14. Si determina infine il numero di cinghie rapportando la potenza di calcolo alla potenza p determinata al punto precedente. Il numero di cinghie deve essere approssimato all’intero più vicino in difetto o in eccesso

Determinazione del tiro di cinghia Sia Mt il momento torcente trasmesso da una puleggia con raggio pari a R. Il tiro totale F agente sulla puleggia per effetto del pretensionamento della cinghia può essere posto pari a1 : 2M t F = (4 − 5) per cinghie piatte Dp

F = (1.5 − 2)

1

2M t Dp

per cinghie trapezoidali

Si considerano ovviamente i rami di cinghia “quasi paralleli”

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Esempio 5.1.1.1 Si progetti una trasmissione a cinghie trapezoidali che collega un motore elettrico da 3.5 kW, ruotante a 1500 rpm, ad un albero di una macchina utensile ruotante a 1200 rpm. Si determina il fattore di sevizio Fs nell’ipotesi di un servizio giornaliero pari a 8h. Dalla tabella si ricava FS = 1.3 La potenza di calcolo è pertanto pari a: PC = FS ⋅ PN = 1.3 ⋅ 3.5 = 4.55 kW Nota la potenza di calcolo e la frequenza di rotazione della puleggia minore (1500 rpm) si determina la sezione di cinghia. Sezione appropriata: sez. A Si determina il rapporto K tra i diametri delle pulegge K = 1500 1200 = 1.25 Si sceglie il diametro della puleggia minore. Per una sezione di cinghia tipo A, il diametro minimo risulta 90 mm. Riteniamo, per ragioni di ingombro e di efficienza, di adottare una puleggia minore di diametro 140 mm. Il diametro della puleggia maggiore risulta pertanto1: D p = K ⋅ d p = 175 mm Si determina l’interasse approssimato2 Ia: Dp + d p Ia = + d p = 297.5 mm 2 In base all’interasse approssimato determinato al punto precedente, noti i diametri delle pulegge, si determina la lunghezza teorica della cinghia: Lp ≅ 2 I a +

π 2

(D

p

+ dp )

(D +

p

+ dp )

4I a

2

= 1090.8 mm

La lunghezza di cinghia unificata più vicina al valore trovato risulta: Ld = 1100 mm In base al valore della lunghezza di cinghia disponibile si calcola l’interasse corretto: Ld − L p IC ≅ Ia + ≅ 302 mm 2 Si calcola il diametro di riferimento equivalente della puleggia minore: d e = d p ⋅ Fb ( K ) ≅ 140 ⋅ 1.08 ≅ 151.2 mm Con la velocità della cinghia, la sua sezione e il diametro primitivo equivalente si determina la potenza nominale p1 trasmissibile da una cinghia: 2π ⋅ n d 2π ⋅ 1500 140 V= = ≅ 11 m/s 60 2 60 2000 19.61 A ⇒ p1 = (0.45V −0.09 − − 0.76 ⋅ 10−4 V 2 )V ≅ 2.46 kW de

1

La puleggia di diametro 175, in base alla nostra tabella non risulta unificata. Possiamo pertanto scegliere una puleggia da 180 mm rinunciando al vincolo imposto sulla frequenza di rotazione della puleggia condotta (1200 rpm), oppure optare per una puleggia da 175 mm con un prevedile aggravio dei costi di produzione. 2 Ovviamente solo nel caso in cui l’interasse non sia imposto.

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Si calcola l’angolo α di avvolgimento sulla puleggia di diametro minore:  D − dp  α = 180 − 2γ ≅ 173° γ =sin -1  p  ≅ 3.32°  2IC  Si calcola la potenza effettiva trasmissibile da una cinghia: p = p1 ⋅ Fα ⋅ Fe ≅ 2.46 ⋅ 0.98 ⋅ 0.9 ≅ 2.17 kW Si determina infine il numero di cinghie della trasmissione P 4.55 Zc = C ≅ ≅2 p 2.17 La trasmissione verrà pertanto realizzata con due cinghie tipo A.

Una volta definita la trasmissione, possiamo determinare il tiro di cinghia T0 a riposo e le tensioni nei due rami a regime T1 e T2 . Le tensioni a riposo e a regime, ritenuta trascurabile l’effetto della forza centrifuga, sono legate dalle seguenti relazioni: dp  = Mt (T1 − T2 ) 2  T + T = 2T 0  1 2 Facendo affidamento su un coefficiente d’attrito f tra cinghia e puleggia pari a 0.5, e fissando un angolo θ di creep, pari per ragioni di sicurezza all’90% dell’angolo di avvolgimento α sulla puleggia minore, si ha: T1 T 173 ⋅ π   = exp ( f ⋅ θ ) → 1 = exp  0.5 ⋅ 0.9  ≅ 3.89 T2 T2 180  

(T1 − T2 )

dp

= M t → 2.89T2 =

2 T1 = 3.89T2 = 428 N

2 ⋅ 3.5 ⋅ 1000 ⋅ 60 ⋅ 1000 → T2 ≅ 110 N 140 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 1500

La tensione di cinghia a riposo vale: T +T T0 = 1 2 ≅ 269 N 2 La forza che si scarica sui cuscinetti dell’albero per effetto del tiro di cinghia vale: 2T0 = 538 N

Bibliografia Caligaris L et al. Giovannozzi R Hannah J Ottani M. Shigley JE Straneo SL et al.

Manuale di Meccanica Costruzione di macchine (vol.1) Mechanics of machines (advanced theory and examples) Corso di Meccanica (vol.3) Progetto e costruzione di macchine Disegno, progettazione… vol. 2

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6. RUOTE DENTATE E RUOTISMI Prime definizioni e classificazioni Ruota dentata: ruota munita di denti destinata a trascinarne un’altra o a essere trascinata mediante scambio di forze periferiche. Tipi di ruote dentate

Ruote dentate cilindriche a denti diritti: hanno i Ruote dentate cilindriche a denti elicoidali: hanno denti paralleli all’asse di rotazione e sono i denti inclinati rispetto all’asse di rotazione. utilizzate per la trasmissione del moto tra assi Possono essere utilizzate per la trasmissione del paralleli moto sia fra assi paralleli sia fra assi sghembi.

Le ruote dentate coniche: hanno i denti ottenuti su superficie coniche. Si distinguono: • ruote dentate coniche a denti diritti: sono usate per trasmette il moto tra assi concorrenti. • ruote coniche a denti obliqui: sono anch’esse usate per trasmetter il moto tra assi concorrenti • ruote ipoidi: le superficie primitive sono iperbolidi di rotazione. Sono utilizzate per trasmettere il moto tra assi sghembi. Viene impiegata per piccoli scostamenti assiali

Viti senza fine e ruote per viti senza fine: sono utilizzati per trasmettere il moto tra assi sghembi ortogonali fra loro

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Ingranaggio: meccanismo elementare costituito da due ruote dentate fra loro ingrananti Ingranaggi: sono costituti da coppie di ruote munite di denti che ingranano tra loro. Pignone o rocchetto: è la ruota di un ingranaggio con il numero di denti minore z1 Ruota: è la ruota di un ingranaggio che ha il numero di denti maggiore z2 Rapporto di ingranaggio u: rapporto tra il numero di denti della ruota e quello del pignone. Il rapporto di ingranaggio è sempre maggiore o uguale ad uno. Rapporto di trasmissione i: è il rapporto tra le velocità angolari della prima ruota motrice di un ruotismo e quella dell’ultima ruota condotta. Diametro primitivo di funzionamento: diametro del cilindro corrispondente a ruote di frizione che trasmettono il moto con uguale rapporto di trasmissione Diametro primitivo di riferimento: è il diametro del cilindro convenzionale in riferimento al quale sono definite le dimensioni della dentatura di una ruota considerata isolatamente e vale z volte il modulo (z numero di denti della ruota) Con riferimento ad una dentatura ad evolvente di cerchio è ben evidente che al variare dell’interasse, pur variando i diametri primitivi di funzionamento, il loro rapporto di mantiene costante1 assicurando l’invariabilità del rapporto di trasmissione

1

il rapporto dei diametri primitivi, in ogni condizione di funzionamento, risulta sempre pari, in una dentatura ad evolvente, al rapporto tra i diametri delle circonferenze (circonferenze di base) sulle le quali si sono realizzate le evolventi dei fianchi dei denti. Poiché i diametri di base, che rappresentano una caratteristica fisica delle ruota indipendente cioè dalle modalità di funzionamento, sono immutabili, è immediato riconoscere che anche il rapporto di trasmissione rimane costante.

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Diametro di testa da: è il diametro di tornitura esterna della ruota e contiene la sommità dei denti Diametro di piede o di fondo df: è il diametro del cilindro tangente al fondo dei vani. Denti: ciascuno degli elementi sporgenti di una ruota atti ad assicurare, tramite il contatto con i denti di un’altra ruota, il trascinamento. Vano: è lo spazio tra due denti successivi. Fianco: è la porzione della superficie del dente compresa tra la superficie di testa e quella di piede. I profili dei fianchi dei denti delle ruote dentate, per assicurare soprattutto la costanza del rapporto di trasmissione , sono profilati secondo una evolvente di cerchio.1 Passo p: è l’arco di primitiva staccato da due profili omologhi successivi. Il passo è pertanto pari al rapporto tra la circonferenza primitiva e il numero di denti. Modulo2 m: è il rapporto tra il passo e il numero π . Due ruote fra loro ingrananti devono avere lo stesso modulo e quindi lo stesso passo Retta d’azione: è la normale comune ai profili dei due denti nel loro punto di contatto. Secondo questa direzione agiscono, in assenza di attrito, le forze che si scambiano i denti durante l’ingranamento. Con 1

L’evolvente di cerchio è la curva generata da un punto appartenente ad una retta (retta d’azione) che rotola senza strisciare su di una circonferenza (circonferenza di base o fondamentale)

L’equazione dell’evolvente di cerchio, espressa in coordinate polari, può essere ricavata facilmente in base a semplici considerazioni geometriche:

PB  AB ≡ PB tan θ = = ϕ +θ OB ϕ = tan θ − θ ≡ evθ

ϕ = evθ OP =

2

OB cos θ

Nell’industria anglosassone, al posto del modulo, si usa il cosiddetto diametral pitch ovvero il rapporto tra il numero di denti e il diametro primitivo espresso in pollici. A prescindere dalle diverse unità di misura il modulo è il reciproco del diametral pitch.

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riferimento alla dentatura ad evolvente, la retta d’azione corrisponde alla tangente comune alle due circonferenze di base. Angolo di pressione α: è l’angolo compreso tra la retta d’azione e la tangente comune alle due circonferenze primitive. Altezza del dente h: distanza radiale tra il diametro di testa e il diametro di fondo. Addendum ha: distanza radiale tra il diametro di testa e quello primitivo di riferimento. Nel proporzionamento normale l’addendum è pari al modulo Dedendum hf: distanza radiale tra il diametro primitivo di riferimento e quello di fondo. Nel proporzionamento normale il dedendum è paria 1.25 volte il modulo.

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Linea di ingranamento E’ il segmento della staccato dalle troncature esterne sulla retta d’azione.

La generazione e il taglio del profilo ad evolvente Estensione del profilo all’interno del cerchio di base Il profilo ad evolvente, definito in precedenza, non può ovviamente estendersi all’interno del cerchio di base. D’altra parte se si adotta il proporzionamento consueto (addendum pari al modulo e dedendum pari a a1.25 volte il modulo) è facile verificare che solo per numero di denti elevati il profilo risulta tutto esterno al cerchio di base. Infatti, affinché questo accada, occorre che il dedendum sia minore o uguale alla differenza fra il raggio primitivo e il raggio di base, ovvero deve valere la seguente disuguaglianza: zm 2.5 1.25m ≤ (1 − cos α ) → z ≥ 2 1 − cos α Adottando un angolo di pressione α pari a 20° risulta pertanto che il profilo rimane tutto esterno al cerchio di base solo se il numero di denti della ruota è maggiore di 42. Il prolungamento del profilo entro il cerchio di base, necessario in tutti gli altri casi, può essere ottenuto, tramite taglio con fresa, realizzando, all’interno del cerchio di base, un profilo epicicloidale come prolungamento del profilo ad evolvente. Il prolungamento rettilineo in senso radiale, molto semplice da realizzare e molto usato, porta ad uno svantaggioso restringimento del dente alla base.

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Il problema generale dell’interferenza Per comprendere il problema dell’interferenza è bene esaminar esaminaree le due situazioni rappresentate nelle figura sottostante. A destra vediamo un ingranaggio in cui le troncature di testa intersecano la retta d’azione in due punti A e A’ entrambi interni al segmento TT ' . In questo caso non si ha interferenza perché il contatto fra i denti avviene fra profili ad evolvente che hanno istante per istante come normale comune la retta d’azione. A sinistra è rappresentato il caso in cui le troncature di testa tagliano la retta d’azione in punti A e A’ esterni al segmento dei contatti TT ' . In questa condizione il funzionamento non è più normale infatti nei tratti T ' A ' e TA i fianchi dei denti non hanno una normale normale comune, dunque non si può avere un contatto corretto.

Perciò condizione necessaria per evitare l’interferenza è che le troncature di testa taglino la retta d’azione in due punto A e A’’ entrambi interni al segmento TT ' . Consideriamo ora la coppia rocchetto ruota sotto rappresentata. Se si diminuisce il numero di denti del pignone mantenendone costante il diametro primitivo, occorre aumentare parallelamente il modulo della coppia; aumenteranno in tal modo sia l’addendum, sia sia il dedendum dei denti. Al diminuire del numero di denti del pignone, i punti A e A’ si allontaneranno gradualmente da C fino a che il punto A’ verrà a coincidere con il punto T’. ’. Diminuendo ulteriormente il numero di denti, il punto A’ andrà a disporsi esternamente al segmento TT ' rendendo problematico l’ingranamento. Pertanto per ogni coppi

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ruota-rocchetto esiste un numero minimo dei denti del rocchetto zmin f (numero minimo di denti di funzionamento) al di sotto del quale l’ingranamento è problematico. Il valore di zmin f può essere ricavato da semplici considerazioni geometriche.

Nelle condizioni limite sopra raffigurate si ha: T ' C = TT '− TC 2

2

d' d d  d  sin α =  + ha  −  cos α  − sin α 2 2 2  2  tenuto presente che d ' = z ' m d = zm u = z z ' τ =1 u k = ha m (ha addendum della ruota)

zmin f ≥

2kτ 1 + τ ( 2 + τ ) sin 2 α − 1

= 2k

1 + 1 + τ ( 2 + τ ) sin 2 α

( 2 + τ ) sin 2 α

(6.1)

La (6.1) esprime il numero minimo di denti che deve avere un rocchetto per poter ingranare correttamente1 con una ruota formante con esso un rapporto di ingranaggio paria u = 1 τ . E’ ben evidente pertanto che il numero minimo di denti di ingranamento di un rocchetto dipende, oltre che dall’angolo di pressione, dal numero di denti della ruota nonché dal proporziona mento della medesima.. Nel caso particolare di un rocchetto ingranante con una dentiera (assimilabile ad una ruota con numero di denti e raggio primitivo infiniti)2 , dalla (6.1) posto τ = 0 si ha immediatamente: 2k zmin f = 2 (6.2) sin α Il numero minimo denti definito dalla (6.1), una volta che si ponga u = 1 , rappresenta anche il numero minimo di denti intagliabile mediante fresatura. Se i denti sono tagliati per inviluppo (dentiera utensile, 1

Anche in presenza di interferenza, se vi è un gioco notevole tra i denti, la trasmissione del moto non è certamente interrotta, ma il contatto avviene in pessime condizioni, dando luogo a variazioni di velocità, forti vibrazioni e conseguentemente ad un’usura molto rapida. Solo se il gioco fra i denti è nullo o minimo ci può essere inceppamento. 2 La dentiera è può essere considerata una ruota dentata di raggio infinito. Questa particolare ruota dentata ha i fianchi dei denti rettilinei e perpendicolari alla retta di base a sua volta inclinata rispetto alla retta primitiva di un angolo α. Al variare dell’angolo α corrispondono dentiere con denti di particolare inclinazione: l’angolo α serve a caratterizzare un assortimento di ruote e viene chiamato angolo di pressione dell’assortimento. La forma semplice che assume il dente della dentiera profilata ad evolvente (fianco rettilineo) permette la generazione precisa della dentatura servendosi di attrezzi ad essa equivalenti, animati di moto relativo alla ruota da tagliare uguale a quello che si ha durante l’imbocco.

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utensile creatore, stozzatrice Fellows) i numeri di denti intagliabili senza interferenza sono quelli corrispondenti a un rapporto di ingranaggio u → ∞ nel caso di un utensile derivato da una dentiera, e a un rapporto di ingranaggio u pari al numero minimo di denti intagliabile senza interferenza (incognito) e il numero di denti della ruota utensile nel caso di taglio con stozzatrice Fellows. Occorre ancora precisare che il dente dell’utensile, sia esso una ruota o una dentiera, deve avere un addendum pari al dedendum della ruota da tagliare. Pertanto, con riferimento al taglio per inviluppo, il numero minimo di denti intagliabili senza interferenza si determina con le (6.1) e (6.2) una volta che k sia sostituto da kd rapporto tra dedendum e modulo. Nel caso di un proporziona mento normale si ha pertanto:

zmin i ≥

zmin i =

2k d τ 1 + τ ( 2 + τ ) sin 2 α − 1

= 2k d

1 + 1 + τ ( 2 + τ ) sin 2 α

( 2 + τ ) sin 2 α

2k d sin 2 α

(6.3) (6.4)

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Taglio tramite dentiera. Quando si taglia un rocchetto, tramite utensili derivati dalla dentiera, con un numero di denti inferiori a quanto stabilito dalla (6.4) i denti del rocchetto risulteranno scavati alla base per effetto dell’interferenza di taglio. Tali rocchetti possono tuttavia ingranare senza interferenza con qualsiasi ruota. Si hanno così rocchetti con denti scavati anche quando sono destinati a funzionare con ruote di grandezza tale per cui non sarebbe da temere l’interferenza. Si supponga ad esempio di realizzare un ingranaggio con un pignone da 16 denti e una ruota da 32 denti. Se realizziamo il rocchetto tramite un utensile derivato dalla dentiera1, poiché il numero di denti 16 è inferiore al numero minimo di denti intagliabili (18.8 denti) definito dalla (6.4) il rocchetto risulterà con

1

In questo esempio (taglio con dentiera) e nel successivo (taglio con ruota utensile) si è posto kd ≅ 1.1

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denti scavati alla base anche se il numero di denti del rocchetto è superiore al numero minimo di denti (14.16 denti) definito dalla (6.1). Taglio con ruota utensile Quando si taglia il rocchetto con una ruota utensile è possibile costruire rocchetti non indeboliti ovvero realizzati senza interferenza di taglio i quali però possono interferire e al limite non ingranare se accoppiati con ruote aventi un numero di denti maggiori del coltello generatore. Si supponga di realizzare il pignone dell’ingranaggio considerato in precedenza con un coltello Fellows a 32 denti. Il rocchetto non risulterà scavato alla base e ingranerà perfettamente con la ruota dato che il numero minimo di denti di intaglio (15.57 denti) definito dalla (6.3) è inferiore al numero di denti del rocchetto. Tuttavia se il rocchetto venisse accoppiato con una ruota con 160 denti, dato che il numero minimo di denti di funzionamento (16.38 denti) definito dalla (6.1) è superiore al numero di denti del rocchetto (16 denti) si avrebbe, almeno dal punto di vista teorico, interferenza.

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Continuità dell’ingranamento Il segmento AA’, staccato dalle circonferenze di testa sulla retta d’azione, individua tutte le posizioni di contatto tra il dente del pignone e della ruota. Il punto A rappresenta l’inizio del contatto ed è determinato dall’intersezione tra il cerchio di testa del pignone e la retta delle pressioni. Dualmente A’ rappresenta la perdita del contatto tra gli stessi denti ed è individuato dall’intersezione tra il cerchi di testa della condotta e la retta delle pressioni. Il segmento AA’ è chiamato linea di condotta. L’arco di accesso è l’arco di circonferenza e1, misurabile sia sulla circonferenza primitiva della ruota condotta che su quella della ruota motrice, definito a partire dal fianco del dente a inizio ingranamento fino al punto di tangenza P tra le circonferenza primitive. L’arco di recesso è l’arco di circonferenza e2, misurato, su ciascuna circonferenza primitiva, dal punto di tangenza P tra le circonferenze primitive fino al fianco del dente a fine ingranamento. La somma dei due archi rappresenta l’arco di condotta e Evidentemente perché si abbia continuità d’ingranamento, ovvero al distacco di una coppia di denti in presa sia già iniziata la fase di ingranamento della coppia successiva, è necessario che l’arco di condotta sia maggiore del passo: (6.5) e> p

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Definito il rapporto di condotta ε come il rapporto tra l’arco di condotta e il passo, la condizione imposta dalla (6.5) può essere riscritta in modo del tutto equivalente: e ε ≡ >1 (6.6) p Come già accennato, per garantire una efficiente trasmissione del moto ε deve essere maggiore dell'unità perché ciò comporta che, prima che la coppia di denti a contatto si separi, una seconda sia già entrata nell'arco d'azione. Nel caso in cui 1 < ε < 2 l'arco dei contatti risulta diviso in tre parti: · due parti di lunghezza pari a e − p collocate agli estremi dell'arco dei contatti in cui si ha contatto contemporaneamente tra 2 coppie di denti · una parte centrale dell'arco dei contatti di lunghezza pari a 2 p − e in cui si ha il contatto di una sola coppia di denti. In genere si usano valori di ε maggiori di 1.2 e attualmente la tendenza è a salire sopra 2 in modo da avere sempre almeno 2 coppie di denti in contatto.

Per le note proprietà dell’evolvente la (6.6) può essere espressa come rapporto tra i rispettivi archi misurati sulla circonferenza di base anziché sulla primitiva, si può scrivere pertanto: e ε= b (6.7) pb Sempre per la proprietà dell’evolvente è immediato riconoscere che eb = AA ' e pb = p cos α , da cui: AA ' p cos α

ε=

La lunghezza del segmento AA’ può essere ricavata, con riferimento alla figura di seguito riportata, con semplici considerazioni geometriche. AA ' = A 'T + AT ' − TT ' da cui, indicati con R, Ra e Rb , rispettivamente i raggi primitivi, di testa e di base si ha: AA ' =

(R' − R' ) + (R 2 a

2 b2

2 a

+ Rb2 ) − ( R + R ')

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Tenuto presente che  Ra = R + km   Rb = R cos α Si ottiene, dopo alcuni passaggi algebrici, la seguente relazione: 2 2  1   z '+ 2k '   z + 2k  2 2  ε= − z ' + − z − z + z ' tan α ( )      2π   cos α  cos α     E con riferimento al proporzionamento unificato in cui k ' = k = 1 si ha: 2 2  1   z '+ 2   z+2 2 z ' ε= − + − z 2 − ( z + z ') tan α       2π   cos α   cos α   

(6.8)

(6.9)

Il valore di ε , considerando un proporzionamento normale, è indipendente dal modulo, quindi può essere controllato preliminarmente ad inizio progetto. Pertanto in ogni ingranaggio, oltre a controllare che il numero denti del pignone sia superiore al numero di denti zmin f definito dalla (6.1), occorre verificare che il valore di ε definito dalla (6.9), o più in generale dalla (6.8), sia tale da garantire la regolarità del moto, tenuto presente la frequenza di rotazione e il grado di finitura dei fianchi dei denti.

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Dentature corrette Lo spessore del dente di una ruota a profili non spostati tagliata con un certo utensile è fissato in corrispondenza della circonferenza primitiva (di raggio R0) e vale sempre lo stesso s0 caratteristico della dentiera o del creatore. Come si nota dalla figura sottostante però, lo spessore alla base del dente dipende, con una legge di proporzionalità inversa, dal numero di denti. Il pignone è quindi l’elemento più “debole” dell’ingranaggio, in esso infatti le forze scambiate si distribuiscono su una sezione resistente minore.

In molti casi dimensionare in sicurezza la ruota piccola aumentando il modulo della trasmissione comporterebbe l'adozione di un pignone di dimensioni inaccettabili o per questioni di ingombro o per questioni di costo. Molto più conveniente in tali situazioni è ricorrere a ruote a profili spostati ottenuti allontanando il pignone dalla dentiera utensile (spostamento s positivo) e avvicinando la ruota alla dentiera utensile (spostamento s negativo). In genere questi spostamenti vengono rapportati al modulo introducendo il coefficiente di spostamento x come di seguito definito: s x≡ (6.10) m

La correzione sul pignone, con spostamento positivo, mantiene l’altezza totale del dente, ma ne aumenta l’addendum. Per contro, la correzione sulla ruota, con spostamento negativo, mantiene l’altezza del dente ma ne diminuisce l’addendum. La correzione delle ruote induce una modifica sostanziale della resistenza meccanica delle due ruote ottenuta “allargando” i denti del pignone (dimensionati al limite) e “assottigliando” quelli della ruota (sovradimensionati) senza agire sul modulo ossia sulle dimensioni della trasmissione. Per quanto riguarda la scelta dei valori numerici dei coefficienti x, si sottolinea che una soluzione molto usata consiste nello scegliere i coefficienti di spostamento x su ruota e pignone in modo tale che la loro somma algebrica sia nulla. In tale situazione l’interasse dell’ingranaggio corretto coincide con l’interasse nominale.

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Secondo le norme AGMA i coefficienti di spostamento standard sono ±0.25 e ±0.5 che producono un aumento/diminuzione dell’addendum rispettivamente del 25% e del 50%.

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Ruote dentate cilindriche a denti diritti Proporzionamento (vedi dentiera di riferimento UNI 6587): Diam. di testa: d a = d + 2 m Diam. primitivo: d = zm d f = d p − 2.5m

Diam. di fondo:

Serie di moduli unificati 1.375 2.5 3.75 18 0.5 6 10 32 0.75 2.75 6.5 11 36 1.5 4 20 1.75 4.5 7 22 1 3 12 40 1.125 2 3.25 14 45 5 8 25 2.25 3.5 5.5 9 28 1.25 16 50 I moduli in grassetto sono da usare di preferenza; quelli in corsivo devono essere evitati per quanto possibile. Dati da indicare sui disegni

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Controlli I principali controlli che vengono effettuati sui denti delle ruote dentate cilindriche consistono nel verificare i valori della corda e dell’altezza sulla corda nonché lo scartamento W di Wildhaber come di seguito riportatato. Misurazione della corda e dell’altezza sulla corda di una dentatura

90° zm zm s = zm ⋅ sinψ f = ha = m + (1 − cosψ ) (1 − cosψ ) z 2 2 Es.: ruota di modulo 2 e 25 denti: ψ = 3.6° s = 3.1395 mm ha = 2.0493 mm

ψ=

Misura di Wildhaber dello spessore del dente

pb = p ⋅ cos α

sb db 2

=

s d 2

+ 2 ⋅ evα

π  sb = m cos α  + z ⋅ evα  2   Indicato con k il numero di denti inseriti tra i piattelli, si ha:

W = m cos α ( ( k − 0.5) π + z ⋅ evα ) Es.: ruota di modulo 2 e 25 denti (k = 4) W = 21.3652 mm

k range

2

3

5-15

16-23

Numero di denti k compresi nello scartamento W 4 5 6 7 8 9 24-32

33-40

41-49

50-58

85

59-67

68-76

10

11

12

77-85

86-94

95-103

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Spinte prodotte sugli alberi da ingranaggi cilindrici a denti diritti

Calcolo del modulo minimo 1. Calcolo a flessione (Lewis1) Il calcolo a flessione secondo Lewis (1892) considera il dente come una mensola incastrata sollecitata dalla forza N = Q / cos α applicata alla punta del dente. E’ un calcolo di larga massima, di cui riportiamo una giustificazione teorica e le indicazioni finali di progetto.

Dall’equazione di stabilità alla flessione, indicato con W f modulo di resistenza flessionale della sezione maggiormente sollecitata, e con λ m la lunghezza del dente, si ha:

1

W Lewis. 'Investigation of the Strength of Gear Teeth.' Proc. Engng Club, Phil, 1893

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Q ⋅l (6.11) 1 2 (λm)t 6 Sia l sia t sono quantità incognite che, tuttavia, possono essere ritenute proporzionali al modulo m della dentatura. Si può scrivere pertanto: (6.12) l = k1m t = k 2 m

σ max =

M f max Wf

=

Sostituendo la (6.12) nella (6.11) si ottiene: Q Q (6.13) σ max = = 2 λ m 2Y 2  k2  λm    6k1  dove Y è un fattore di forma tabellato in funzione del proporzionamento della ruota, dell’angolo di pressione e del numero di denti. Esprimendo quindi Q in funzione del momento torcente trasmesso e del raggio primitivo si ottiene: 2M t σ max = zλ m3Y da cui la formula di progetto finale: 2M t Mt 2 3 m≥ 3 =3 (6.14) zλY ⋅ σ amm zY λ ⋅ σ amm Il valore della radice cubica contenente il fattore di forma Y può essere approssimato convenientemente come segue: Mt 1 3 m≥ 3 (6.15) 0.22 z − 1.15 λ ⋅ σ amm Si ricorda infine che la tensione ammissibile inserita nella (6.15) è una tensione statica e dovrà essere, come vedremo in seguito, convenientemente ridotta per tenere conto dei sovraccarichi dinamici. Le indicazioni finali di progetto del modulo secondo Lewis possono essere sintetizzate come di seguito riportato. Sia: z numero di denti del pignone (a parità di materiale il pignone è l’elemento più sollecitato) Mt momento torcente sul pignone λ rapporto di fascia (8-20 rispettivamente per ruote grossolane e molto precise). Rapporto tra la lunghezza del dente e il modulo ψ fattore di riduzione dinamica della tensione ammissibile σamm tensione ammissibile statica (vedi tabella)1

1

Per quanto riguarda il valore della tensione ammissibile, occorre tenere presente che non può trattarsi che di valori di larga massima. Orientativamente si può dire che per velocità periferiche piccole e lavorazioni accurate si possono adottare valori uguali alla metà o anche più del carico di rottura del materiale; per costruzioni correnti si adottano valori alquanto minori pari a 1/3 ÷ 1/5 del carico di rottura. Nel caso degli ingranaggi, come per altro nel caso degli alberi e di molti altri organi meccanici, è estremamente difficile, se non impossibile, stabilire dei criteri generali per l’adozione delle tensioni ammissibili: infatti tali criteri dipendono fortemente dal tipo di applicazione considerata. Consideriamo ad esempio i campi delle costruzioni automobilistiche e delle macchine utensili: è evidente che il calcolo di organi meccanici pur simili differisce notevolmente nei due casi. Nelle costruzioni automobilistiche dove sono predominanti i requisiti di elasticità e leggerezza si dovranno prevedere acciai legati e l’adozione di tensioni ammissibili prossime ai carichi di snervamento. Nell’ambito delle macchine utensili invece, dove predominano i requisiti rigidezza e sono per contro trascurabili le esigenze di alleggerimento, si potranno adottare materiali meno pregiati e di tensioni ammissibili convenientemente ridotte.

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Il modulo minimo deve soddisfare la seguente disuguaglianza: Mt 1 A 3 m≥ 3 A= ( 3-15m/s ) con ψ = (6.16) 0.22 z − 1.15 ψλσ amm A+v Dove A è una costante che dipende sostanzialmente dal grado di finitura della ruota (3 m/s per ruote grossolane 15 m/s per ruote di ottima finitura) e v è la velocità periferica del pignone misurata in corrispondenza del diametro primitivo. La disuguaglianza va risolta per tentativi.1 2. Calcolo a pressione Il calcolo a pressione trova la sua giustificazione nel fatto che ben difficilmente la messa fuori servizio di un ingranaggio avviene per la rottura dei denti dovuta a flessione e/o a taglio, bensì per le alterazioni del profilo indotte dall’usura. Tali alterazioni, proporzionali alla pressione tra le superficie a contatto, possono raggiungere livelli tali da compromettere il regolare funzionamento dell’ingranaggio. Per evitare pertanto i danni indotti dall’usura, si dovrà limitare la tensione di contatto nonché garantire una adeguata lubrificazione e finitura superficiale dei fianchi dei denti. La determinazione della pressione di contatto può essere condotta applicando i risultati della teoria di Hertz. In accordo con tale teoria, nel caso di due cilindri di lunghezza l e diametri d1 e d2, l’area di contatto è un rettangolo di ampiezza 2b e lunghezza l , e la tensione massima di contatto vale:

pmax

2F = π bl

2 2 2 F (1 − ν 1 ) E1 + (1 − ν 2 ) E2 b= 1 d1 + 1 d 2 πl

(6.17)

dove con ν ed E si sono indicati rispettivamente il modulo di Poisson e il modulo di elasticità normale dei materiali a contatto

Facendo ora riferimento al punto di contatto tra le due primitive di un ingranaggio, si pone: 2M t Q F= = l = λm cos α d cos α da cui sostituendo nella (6.17) si ottiene: 2M t 1 rb1 + 1 rb 2 2 (6.18) pmax = 2 d cos α ⋅ πλ m (1 − ν 1 ) E1  + (1 − ν 22 ) E2     

1

Sottolineiamo infine che, anche se il metodo di Lewis trascura gli effetti della forza di compressione R, esso tende a sovrastimare il modulo. Le ipotesi semplificative di Lewis implicano, tra l’altro, che i denti non si ripartiscono il carico e che la condizione di maggiore sollecitazione si verifica all’estremità del segmento dei contatti. Di fatto, poiché il rapporto di condotta è sempre maggiore di uno, la condizione di carico corrispondente all’estremità del segmento dei contatti non è la peggiore, in quanto, in questa condizione, un’altra coppia di denti sarà sicuramente in presa.

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in cui rc1 e rc 2 i raggi di curvatura dei profili dei denti, rispettivamente di pignone e ruota, in corrispondenza del punto di contatto tra le primitive. Esprimendo tali raggi di curvatura in funzione dei raggi primitivi e dell’angolo di pressione,dopo alcuni passaggi, si ottiene: 2M t  1 1  1 2 2 = +  pmax 3  2 z1 ⋅ λ m  z1 z2  π cos α sin α (1 − ν 1 ) E1  + (1 − ν 22 ) E2      1 2 si ha: posto K = π cos α sin α (1 − ν 12 ) E1  + (1 − ν 22 ) E2      2M t  1 1  2 pmax = (6.19)  + K z1 ⋅ λ m3  z1 z2  dove K dipende dai moduli di Poisson e di elasticità dei materiali, nonché dall’angolo di pressione dell’ingranaggio. Il valore massimo della pressione ammissibile può essere espresso in funzione della durezza superficiale dei fianchi dei denti e della vita dell’ingranaggio intesa come numero di cicli di carico. Indicati con n la frequenza di rotazione, con h il numero di ore di funzionamento e con HB la durezza Brinell, si giustifica pertanto la seguente relazione: 25 ⋅ HB (6.20) pamm = 6 nh sostituendo la (6.20) nella (6.19) e risolvendo rispetto al modulo si ottiene: m ≥ 0.149 3

K 2 M t1  1 1  9  +  n⋅h HB 2 ⋅ λ ⋅ z1  z1 z2 

(6.21)

Le indicazioni finali di progetto del modulo secondo il calcolo di resistenza a pressione possono essere sintetizzate come di seguito riportato. Il modulo minimo deve soddisfare la seguente disuguaglianza:

m ≥ 0.149 3

K 2 M t1  1 1  9  ±  nh HB 2 λ z1  z1 z2 

(6.22) acciaio/acciaio 473  K = 385 ghisa/acciaio 335 ghisa/ghisa  dove, n la frequenza di rotazione in rpm, HB è la durezza Brinell del materiale ed h le ore di funzionamento previste ( il segno + vale per ruote esterne; il segno – per ruote interne) Di seguito riportiamo i valori delle tensioni ammissibili e delle durezze corrispondenti ad alcuni materiali nonché le ore di funzionamento tipiche di alcune applicazioni.

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Ore di funzionamento (valori orientativi) Macchine a funzionamento continuo 24h/24 (turbine, pompe…) Macchine a funzionamento 8h/24 Macchine a funzionamento intermittente (ascensori…) Funzionamento limitato (autoveicoli, gru d’officina…) Funzionamento molto poco frequente

40000-50000 20000-30000 5000-15000 500-1500 50-100

Valori orientativi del carico di rottura a trazione R, della tensione ammissibile σamm e della durezza HB per il calcolo degli ingranaggi Materiale R, MPa σamm , MPa HB Ghisa G200 180 40 170 Ghisa G250 260 55 210 Fe G 520 520 90 150 Fe 570 600 100 175 Fe 490 490 110 150 Fe 590 590 125 180 Fe 690 690 140 210 C 45 700 135 185 C60 800 150 210 Acc. legato da bonifica 750-1500 180-200 260-400 Acc. al C da cementazione 500 125 640 Acc. legato da cementazione 800-1400 180-200 650 Bronzo 320 120 115

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Esempio 6.1 Eseguire il dimensionamento di un ingranaggio cilindrico a denti diritti con le seguenti caratteristiche: • Potenza nominale sull’albero del pignone N = 240 kW • Frequenza di rotazione del pignone n = 1000 rpm • Rapporto di ingranaggio u=2 • Durata richiesta h = 5000 ore • Materiale pignone/ruota 16CrNi4 cementato e temprato N.B.: si considerino solo i moduli preferenziali Assunzioni per il calcolo secondo Lewis (6.16) • Numero di denti del pignone • Tensione ammissibile • Fattore A • Rapporto di fascia λ Assunzioni per il calcolo a pressione (6.21) • Durezza del fianco del dente • Parametro K (acciaio/acciaio)

z1 = 27 σ amm = 200 MPa A = 12 m/s λ = 20 HB = 650 K = 473

Risultati Progetto a flessione secondo Lewis Dati inseriti Potenza, kW Numero di giri, rpm Rapporto di fascia b/m Costante A Tens. Amm., MPa Numero di denti Angolo dell’elica, °

Potenza, kW Numero di giri, rpm Rapporto di fascia b/m Fattore di amplificazione Tipo di accoppiamento

240 1000 20 12 200 27 0

Risultati Modulo minimo, mm Diametro primitivo, mm Diametro di testa, mm Diametro di piede, mm Forza tangenziale T, N Forza radiale R, N Forza assiale A, N

Verifica a pressione Dati inseriti 240 Numero denti pignone 1000 Numero denti ruota 20 Durezza HB 1 Durata, h acc/acc Ruote esterne

Risultato

Modulo minimo, mm

6 162 174 147 28249 10298 0

27 55 650 5000 SI 5

N.B.: il numero di denti della ruota coniugata stato posto pari a 55 per assicurare un consumo uniforme dei denti.

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Esempio 6.2 Un pignone cilindrico a denti diritti, di modulo 4 mm, con 27 denti trasmette una potenza di 100 kW alla frequenza di 500 rpm ed è montato su di un albero secondo lo schema sotto riportato. Determinare, in prima approssimazione, le reazioni sui sopporti.

Il diametro primitivo del pignone vale: d = zm = 108 mm Il momento torcente trasmesso vale: N 100 ⋅ 1000 ⋅ 60 Mt = = ≅ 1910 Nm ω 2π ⋅ 500 Le forze Q ed R valgono: 2M t Q= ≅ 35368 N R = Q tan α = 12873 N d Da cui è immediato ricavare: Q1 ≅ 19453 N Q2 ≅ 15915 N R1 ≅ 7080 N R2 ≅ 5793 N

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Esempio di un riduttore a ruote cilindriche a denti diritti

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Le ruote dentate cilindriche a denti elicoidali Una ruota dentata cilindrica a denti diritti può pensarsi come il risultato di una traslazione assiale del profilo della ruota. Se questa traslazione assiale viene accompagnata da un moto continuo di rotazione si ha una ruota dentata cilindrica a denti elicoidali. L’angolo dell’elica è lo stesso per le due ruote formanti l’ingranaggio, ma una delle due deve avere un’elica sinistrorsa e l’altra destrorsa.

Mentre il contatto iniziale tra i denti delle ruote cilindriche a denti diritti è un segmento che si estende per tutta la lunghezza del dente, nelle ruote dentate cilindriche a denti elicoidali tale contatto iniziale è un punto che diventa un segmento man mano che i denti entrano gradualmente in presa. Ed è appunto questo ingranamento graduale che dei denti che conferisce alle ruote elicoidali la capacità di trasmettere sforzi elevati ad alte velocità e, soprattutto, con silenziosità elevata. Come vedremo successivamente, le ruote elicoidali sottopongono i cuscinetti dell’albero a carichi radiali e assiali e quando questi ultimi diventano troppo elevati può essere consigliabile adottare ruote bielicoidali1. Queste dentature provocano reazioni assiali uguali e contrarie scaricando assialmente i cuscinetti. Nel caso di profili ad evolvente, il fianco del dente di una ruota dentata cilindrica elicoidale è una porzione di una superficie che può chiamarsi elicoide ad evolvente immaginata generata dall’avvolgimento di un pezzo di carta tagliato ad un estremo secondo un angolo β b rispetto all’asse del cilindro di avvolgimento.

Intersecando l’elicoide con i cilindri primitivo e di base si ottengono eliche di inclinazione rispettivamente β e β b legate fra loro dalla seguente relazione: 1

Queste ruote furono introdotte da Andrè Citroën fondatore dell’omonima casa automobilistica francese il cui logo rappresenta appunto la stilizzazione di una ruota bielicoidale.

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tan βb (6.23) cos α Parametri frontali e normali In una ruota dentata cilindrica a denti elicoidali possono essere considerati due profili: a. profilo frontale: è il profilo che si vede osservando una faccia della ruota, profilo che è lo stesso che si ottiene sezionando la ruota trasversalmente con un piano perpendicolare al proprio asse (sez. B-B); b. profilo normale: è il profilo che si ottiene sezionando la ruota con un piano normale all’elica direttrice della dentatura (sez. A-A) tan β =

Le relazioni intercorrenti tra i parametri dei profili frontali e normali, possono essere facilmente determinate facendo riferimento alla dentiera coniugata. Si ha quindi1: (6.24) pn = p cos β mn = mt cos β tan α n = tan α cos β Proporzionamento Poiché il taglio delle ruote dentate elicoidali avviene generalmente mediante utensili aventi un proporzionamento normale nella sezione normale, il modulo normale (il modulo dell’utensile generatore) dovrà essere scelto all’interno della serie di moduli unificati, mentre il modulo trasversale si ottiene dal modulo normale in funzione dell’angolo di inclinazione dell’elica secondo quanto indicato dalla seconda delle (6.24). Il diametro primitivo d , tenuta presente la definizione di passo, si determina dalla prima delle (6.24) m d = z ⋅ mt = z n cos β L’addendum e il dedendum, sempre con riferimento ad un proporzionamento normale (UNI 6587), valgono: ha = 1 ⋅ mn h f = 1.25 ⋅ mn Pertanto i diametri di testa e di fondo valgono: d a = z ⋅ mt + 2 ⋅ m d f = z ⋅ mt + 2.5 ⋅ mn

1

Si osserva che parlare di angolo di pressione in una sezione normale al dente ha strettamente senso solo per la dentiera, non per la ruota. Il dente della ruota infatti, in tale sezione, non è intersecato secondo una evolvente.

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L’interasse di un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali, indicati con z1 e z2 rispettivamente il numero di denti di pignone e ruota, vale: z + z mn (6.25) a= 1 2 2 cos β La (6.25) è importante perché mostra come, variando opportunamente l’angolo di inclinazione dell’elica, sia possibile rispettare un interasse prefissato. Esempio 6.3 Determinare l’angolo di inclinazione dell’elica di un ingranaggio cilindrico, di modulo normale 5 mm, avente interasse pari a 111.322 mm e numero di denti di rocchetto e ruota pari rispettivamente a 20 e 23. Dalla (6.25) si ricava immediatamente: z +z  β = cos −1  1 2 mn  = 15.057 ° 2 a  

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Dati da indicare sui disegni

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Numero di denti immaginario

In precedenza si è definito il proporzionamento del dente, ma nulla si è detto circa la forma che il dente assume se sezionato con un piano perpendicolare all’elica primitiva1. Per dare una risposta a questo interrogativo immaginiamo di tagliare la ruota appunto secondo un piano perpendicolare alla direzione dell’elica primitiva. Per effetto di una tale sezione si genera un’ellisse primitiva di semiassi a e b pari rispettivamente a: d d a= b= 2cos β 2

1

Per elica primitiva si intende l’elica giacente sul cilindro primitivo

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Quest’ellisse può confondersi, per il piccolo tratto considerato nell’ingranamento, con la sua circonferenza osculatrice1 avente raggio R* pari a: a2 d = R* = (6.26) b 2cos 2 β Su di una tale circonferenza (immaginaria), considerata come primitiva, il modulo è quello normale e il numero di denti corrispondenti è pari a: z (6.27) z* = 3 cos β Ossia il dente di una ruota dentata cilindrica elicoidale se sezionato secondo un piano perpendicolare all’elica media ha una forma corrispondente al dente di una ruota dentata cilindrica a denti diritti avente modulo pari al modulo normale e raggio primitivo e numero di denti pari rispettivamente a R* e z*. z*, appunto perché si riferisce ad una ruota inesistente (ideale), viene detto numero di denti immaginario ed in base ad esso si sceglie la fresa per il taglio della ruota e si calcola il fattore di forma utilizzato nel calcolo a flessione secondo Lewis. Numero minimo di denti intagliabili senza interferenza Sfruttando l’analogia tra la ruota dentata elicoidale e la ruota diritta immaginaria è possibile, per determinare il numero minimo di denti intagliabili, far uso semplicemente delle (6.3) e (6.4), inserendo i parametri della ruota immaginaria, salvo poi, giusta la (6.27), moltiplicare il risultato per cos3 β . Esempio 6.4 Determinare il numero minimo di denti intagliabile senza interferenza di una ruota dentata elicoidale avente proporzionamento normale e angolo di inclinazione dell’elica pari a 25°. Il numero minimo dei denti intagliabile sulla ruota immaginaria, dalla (6.4) posto k d = 1 , vale: 2 * * 3 zmin = 17 → zmin int = zmin i = i cos β ≅ 13 2 sin 20°

Continuità dell’ingranamento Nelle ruote dentate elicoidali la continuità dell’ingranamento è quasi sempre garantita per effetto dell’entrata e del distacco graduale dei denti in presa. Pertanto il controllo del rapporto di condotta ε è, il più delle volte, superfluo.

1

Il cerchio osculatore è il cerchio che meglio approssima la curva in un punto. Il raggio del cerchio osculatore corrisponde al raggio di curvatura nel punto considerato. Sia y = f ( x ) l’espressione di una generica curva. Il raggio di curvatura ρ è pari a:

(1 + y ' ) ρ=

2 3/ 2

y ''

Con riferimento ad un’ellisse di equazione y = b 1 − x 2 a 2 si ha che, nel punto di ascissa nulla, il raggio di curvatura vale ρ = a 2 b . Poiché nel nostro caso a = R / cos β e b = R è immediato ottenere la (6.26)

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Taglio delle ruote tramite utensile creatore

Il taglio si effettua disponendo l’asse del creatore inclinato rispetto all’asse della ruota da intagliare di un angolo γ tale che la tangente all’elica primitiva del creatore, nel punto in cui si toccano i cilindri primitivi della ruota e del creatore , coincida con la tangente all’elica primitiva del dente della ruota nello stesso punto. Con riferimento alla figura sopra riportata si ha pertanto: γ = δ ± βC dove il segno + è da considerarsi quando le eliche di creatore e dentatura sono concordi (entrambe destrorse o entrambe sinistrorse), il segno – nel caso contrario. Spinte prodotte dagli ingranaggi cilindrici a denti elicoidali

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Esempio 6.5 Calcolare le spinte prodotte da una ruota dentata elicoidale che trasmette una potenza di 20 kW alla frequenza di 250 rpm. Caratteristiche della ruota: modulo normale 5 mm mn numero di denti z 27 angolo di pressione normale 20° αn β 25° angolo di inclinazione dell’elica

20 ⋅ 1000 ⋅ 60 ≅ 764 Nm 2π ⋅ 250 m d = z n = 148.96 mm cos β 2M t ≅ 10258 N Q= d A = Q ⋅ tan β ≅ 4783 N Q 10258 tan α n = tan 20° ≅ 4120 N R= cos β cos 25° Mt =

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Calcolo del modulo minimo 1. Calcolo a flessione secondo Lewis Il calcolo a flessione secondo Lewis, quando applicato alle ruote dentate cilindriche elicoidali, porta sostanzialmente agli stessi risultati ottenuti nel caso delle ruote cilindriche a denti diritti. Ricordiamo che, nel caso delle ruote elicoidali, indicato con λ il rapporto tra la lunghezza assiale della ruota e il modulo normale, la lunghezza del dente vale: λ mn l= cos β Facendo riferimento ad una sezione normale, la condizione di carico risulta schematizzabile come di seguito riportato

Dall’equazione di stabilità alla flessione, indicato con W f il modulo di resistenza flessionale della sezione maggiormente sollecitata si ha:

σ max =

M f max Wf

=

F ⋅ h ⋅ cos β 1 ( λ mn ) t 2 6

(6.28)

Sia h, sia t sono quantità incognite che, tuttavia, possono essere ritenute proporzionali al modulo normale della dentatura. Si può scrivere pertanto: h = k1mn

t = k 2 mn

(6.29)

Sostituendo la (6.29) nella (6.28) si ottiene: F ⋅ cos β F ⋅ cos β σ max = = 2 λ mn2Y k  λ mn2  2   6k1 

(6.30)

Dove Y è un fattore di forma tabellato in funzione del proporzionamento della ruota, dell’angolo di pressione α n e del numero di denti z * della ruota immaginaria Esprimendo F in funzione del momento torcente trasmesso e del raggio primitivo si ottiene:

σ max =

2M t ⋅ cos β 2M t = λ mnY ( z ⋅ m ) z ⋅ λ mn3 ⋅ Y

(6.31)

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Da cui la formula di progetto finale:

mn ≥ 3

2M t 2 =3 zλY ⋅ σ amm zY

3

Mt λ ⋅ σ amm

(6.32)

Il valore della radice cubica contenente il fattore di forma Y può essere approssimato convenientemente come segue: mn ≥

1 3

3

Mt

(6.33)

z λσ amm 0.22 z − 1.15 z*

Al solito poi la tensione ammissibile statica σ amm dovrà essere convenientemente ridotta tramite un coefficiente di riduzione ψ funzione della finitura della ruota e della frequenza di rotazione. Mt 1 3 (6.34) mn ≥ 3 z ψλσ amm 0.22 z − 1.15 z* Quindi, in base alla (6.34), il calcolo del modulo minimo del dente di un ruota cilindrica elicoidale può essere condotto con le stesse formule introdotte per il calcolo del dente di una ruota cilindrica a denti diritti con le seguenti precisazioni1: i. il fattore di forma deve essere espresso in funzione del numero di denti immaginario della ruota; ii. il rapporto di fascia λ deve esprimere il rapporto tra la larghezza assiale della ruota e il modulo normale. Ricordiamo infine che il modulo normale ricavato dalla (6.34) dovrà essere arrotondato al valore unificato, mentre il modulo frontale dovrà calcolarsi con la seconda delle (6.24) in base all’angolo di inclinazione dell’elica media. 2. Calcolo a pressione Con le medesime considerazione svolte in precedenza, anche nel calcolo a pressione dei denti di un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali possono usarsi le stesse formule utilizzate per il calcolo dei denti di un ingranaggio cilindrico a denti diritti, con l’unica avvertenza, questa volta, di sostituire i numeri di denti racchiusi entro parentesi nella (6.21) con i rispettivi numeri di denti virtuali definiti dalla (6.27). Si ha pertanto:

mn ≥ 0.149 3

K 2 M t1  1 1 9 ±   nh 2 HB λ z1  z *1 z *2 

(6.35) acciaio/acciaio 473  K = 385 ghisa/acciaio 335 ghisa/ghisa  dove, al solito, HB è la durezza Brinell del materiale, h sono le ore di funzionamento previste, n la frequenza di rotazione in rpm. (il segno + vale per ruote esterne, il segno – per quelle interne).

1

Queste precisazioni hanno un valore formale più che sostanziale. Tenuto presente che ordinariamente cos β ≅ 1 ,

le modificazioni indotte dalla (6.34) rispetto alla (6.16) sono minime se non del tutto trascurabili.

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Esempio 6.6 Eseguire il dimensionamento di un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali con le seguenti caratteristiche: • Potenza nominale sull’albero del pignone N = 240 kW • Frequenza di rotazione del pignone n = 1000 rpm • Rapporto di ingranaggio u = 1.3 • Angolo dell’elica β = 20° • Durata richiesta h = 5000 ore • Materiale pignone/ruota 16CrNi4 cementato e temprato Assunzioni per il calcolo secondo Lewis (6.34) • Numero di denti del pignone • Tensione ammissibile • Fattore A • Rapporto di fascia λ Assunzioni per il calcolo a pressione (6.35) • Durezza del fianco del dente • Parametro K (acciaio/acciaio)

z1 = 27 σ amm = 200 MPa A = 12 m/s λ = 22 HB = 650 K = 473

Risultati Progetto a flessione secondo Lewis Dati inseriti Potenza, kW Numero di giri, rpm Rapporto di fascia b/m Costante A Tens. ammissibile, MPa Numero di denti Angolo dell’elica, °

Potenza, kW Numero di giri, rpm Rapporto di fascia b/m Fattore di amplificazione Tipo di accoppiamento

240 1000 22 12 200 27 20

Risultati Modulo minimo, mm Diametro primitivo, mm Diametro di testa, mm Diametro di piede, mm Forza tangenziale T, N Forza radiale R, N Forza assiale A, N

Verifica a pressione Dati inseriti 240 Numero denti pignone 1000 Numero denti ruota 22 Durezza HB 1 Durata, h acc/acc Ruote esterne

Risultato

Modulo minimo, mm

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6 172.397 184.397 157.397 26588 10298 9677

27 35 650 5000 SI 4

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Riduttore ad assi ortogonali costituito da un ingranaggio conico a denti dititti e due ingranaggi clindrici a denti elicoidali

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Ruote dentate cilindriche elicoidali per trasmissione fra assi sghembi

Gli ingranaggi cilindrici sghembi, a causa della limitata zona di contatto dei denti coniugati, (teoricamente puntiforme), possono trasmettere solamente potenze modeste. Il forte strisciamento, conseguente alla diversa velocità periferica dei denti a contatto, induce un rapido consumo locale e diminuisce notevolmente il rendimento. Come vedremo, per assi sghembi ortogonali e angoli dell’elica comprese tra 20 e 70° il rendimento della coppia varia dal 70 all’80%. Per descrivere la trasmissione del moto tra due ruote elicoidali ad assi sghembi conviene considerare dapprima la ruota elicoidali 1 che ruota attorno al proprio asse e ingrana con la dentiera D1 ad essa coniugata. Analogamente si consideri la ruota dentata elicoidale 2 che ruota attorno al proprio asse, sghembo rispetto all’asse della ruota 1, e ingrana con la propria dentiera D2.

Se i versi di rotazione delle ruote sono quelli indicati nella figura sopra riportata, le due dentiere coniugate traslano anch’esse nelle direzioni indicate in figura. Si noti che i piani primitivi delle due dentiere coniugate, pur essendo coincidenti, si muovono lungo direzioni diverse. Con la schematizzazione proposta, risulta chiaro che si può immaginare la trasmissione del moto come una successione di tre sequenze: 1. trasmissione del moto dalla ruota 1 alla dentiera coniugata D1; 2. trasmissione del moto dalla dentiera D1 alla dentiera D2; 3. trasmissione del moto dalla dentiera D2 alla ruota 2.

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E’ allora evidente che per rendere possibile la trasmissione del moto tra le due dentiere (e quindi quella del moto tra i due assi sghembi) è necessario che i denti delle due dentiere siano fra loro paralleli. In altri termini, per consentire il corretto ingranamento, è necessario che le eliche delle due ruote siano tangenti nel piano tangente comune ai due cilindri primitivi1. Affinché possa essere rispettata tale condizione deve valere la seguente relazione tra l’angolo ψ formato dagli assi delle ruote e gli angoli di inclinazione delle eliche medie β1 e β2.

ψ = β1 + β 2

eliche equiverse

ψ = β1 − β 2

eliche di verso opposto

(6.36)

Sempre con riferimento alle dentiere coniugate è immediato riconoscere che esiste una ulteriore condizione per rendere possibile l’ingranamento, condizione che si esprime osservando che il passo delle due ruote dentate, nella direzione normale alla tangente comune alle due eliche, deve essere il medesimo. pn1 = pn 2 ⇒ mn1 = mn 2 = mn

(6.37)

L’interasse delle ruote vale: d + d 2 z1 ⋅ m1 z2 ⋅ m2 a= 1 = + 2 2 2 e poiché mn = m1 ⋅ cos β1 = m2 ⋅ cos β 2 Sostituendo la (6.39) nella (6.38) si ottiene: m  z z2  a= n 1 +  2  cos β1 cos β 2 

(6.38) (6.39)

(6.40)

1

E’ necessario rilevare che nel caso di ruote elicoidali ad assi sghembi si intendono come cilindri primitivi quei cilindri che sono primitivi nell’ingranamento con le due dentiere coniugate. In realtà questi cilindri non rappresentano affatto le superficie primitive relative all’ingranamento tra le due ruote dentate da cui si sono originate le dentiere coniugate. Le due ruote infatti, nel punto di contatto dei cilindri primitivi prima definiti, hanno velocità diverse.

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Rapporto di trasmissione

Siano z1 e z2 i numeri di denti rispettivamente della ruota motrice e della ruota condotta e si indichi con C il punto di contatto dei due cilindri primitivi giacente sulla retta di minima distanza tra gli assi. Le velocità periferiche del punto C pensato appartenente una volta alla ruota motrice e una volta alla condotta valgono: V1 = r1 ⋅ ω1

V2 =ω2 ⋅ r2

(6.41)

Poiché le eliche sono tangenti in C, le componenti delle velocità nella direzione perpendicolare alla tangente comune devono essere uguali. Si ottiene pertanto la seguente relazione: V1 ⋅ cos β1 = V2 ⋅ cos β 2

(6.42)

Sostituendo la (6.43) nella (6.41) e tenuta presente la definizione di rapporto di trasmissione si ha: ω z i= 1 = 2 (6.44) ω2 z1 Esempio 6.7 Determinare le caratteristiche geometriche principali di un ingranaggio cilindrico, a denti elicoidali (eliche equiverse) e ad assi sghembi, nell’ipotesi che: il rapporto di trasmissione i valga 2 l’interasse a sia pari a 120 mm l’angolo ψ formato dagli assi valga 70° Si scelgono i numeri di denti di ruota e pignone in modo da soddisfare la (6.44) (20,40;30,60; 40,80; etc..) Si definiscono, con vari tentativi, i raggi primitivi delle ruote in modo da soddisfare la (6.38) e la (6.36). Una soluzione potrebbe essere la seguente: z1 = 20 z2 = 40

r1 = 33.9 mm

r2 = 99.1 mm

β1 = 53.845°

β 2 = 63.194°

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Spinte prodotte dagli ingranaggi cilindrici elicoidali ad assi sghembi

Esprimendo le forze in funzione di Q2 si ha:

Q1 = Q2

cos ( β1 − ϕ ) cos α n cos β1 + f sin β1 ≅ Q2 cos α n cos β 2 − f sin β 2 cos ( β 2 + ϕ )

R1 = R2 = Q2

sin α n sin α n ≅ Q2 cos α n cos β 2 − f sin β 2 cos ( β 2 + ϕ )

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A1 = Q2 A2 = Q2

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sin ( β1 − ϕ ) cos α n sin β1 − f cos β1 ≅ Q2 cos α n cos β 2 − f sin β 2 cos ( β 2 − ϕ )

sin ( β 2 + ϕ ) cos α n sin β 2 + f cos β 2 ≅ Q2 cos α n cos β 2 − f sin β 2 cos ( β 2 + ϕ )

Rendimento Il rendimento si calcola facilmente rapportando la potenza resistente alla potenza motrice. Indicate con ω1 e ω2 le velocità angolari delle ruote e con d1 e d2 i rispettivi diametri primitivi, e nell’ipotesi che la ruota 1 sia motrice, si ha pertanto: Q ( d 2 ) ⋅ ω2 η= 2 2 Q1 ( d1 2 ) ⋅ ω1 Tenuta presente poi la (6.44) si ottiene1: cos β1 cos ( β 2 + ϕ ) 1 − f tan β 2 = η= (6.45) cos β 2 cos ( β1 − ϕ ) 1 + f tan β1 Annullando la derivata prima della (6.45) rispetto a β1, tenuto conto che ψ = β1 + β 2 , si trova che, a parità di ψ, il massimo del rendimento si ha per:

β1 − β 2 = ϕ ; β1 =

ψ

+

ϕ

; β2 =

ψ

−

ϕ

⇒ β1 ≅ β 2 ≅

ψ

2 2 2 2 2 Infatti posto β 2 = ψ − β1 e sostituendo nella (6.45) si ha:

η=

1 − f tan (ψ − β1 ) 1 + f tan β1

→

dη f f = 0 → (1 + f tan β1 ) 2 = (1 − f tan (ψ − β1 ) ) 2 d β1 sin (ψ − β1 ) sin β1

f f f sin 2 β1 = cos 2 (ψ − β1 ) − sin 2 (ψ − β1 ) → cos 2 (ψ − β1 ) − cos 2 β1 = ( sin 2 (ψ − β1 ) + sin 2 β1 ) 2 2 2 2sinψ sin ( 2 β1 − ψ ) = 2 f sinψ cos ( 2 β1 −ψ ) → tan ( 2 β1 − ψ ) = f = tan ϕ

cos 2 β1 +

2 β1 −ψ = ϕ → β1 − β 2 = ϕ → β1 =

ψ +ϕ 2

β2 =

ψ −ϕ 2

Esempio 6.8 Un ingranaggio è costituito da due ruote dentate cilindriche elicoidali montate con assi sghembi. Sapendo che le eliche delle ruote sono equiverse e pari rispettivamente a 32 e 45°, determinare il rendimento dell’ingranaggio nell’ipotesi che il grado di finitura delle ruote e il tipo di lubrificazione siano tali da ritenere adottabile un coefficiente d’attrito, tra le superficie dei denti a contatto, pari a 0.2. Il rendimento η della coppia, considerando come motrice la ruota con angolo di inclinazione dell’elica pari a 32°, vale: 1 − f tan β 2 1 − 0.2 ⋅ tan 45 η= = ≅ 0.71 1 + f tan β1 1 + 0.2 ⋅ tan 32 Il rendimento η della coppia, considerando come motrice la ruota con angolo di inclinazione dell’elica pari a45°, vale: 1 − f tan β 2 1 − 0.2 ⋅ tan 32 η= = ≅ 0.73 1 + f tan β1 1 + 0.2 ⋅ tan 45

1

Nel caso invece in cui fosse motrice la ruota 2 si otterrebbe: η =

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1 − f tan β1 1 − f tan β 2

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Ruote coniche a denti diritti Le ruote dentate coniche a denti diritti sono ruote in cui le troncature interne ed esterne e le primitive non appartengono più a delle superficie cilindriche, bensì a delle superficie coniche aventi asse e vertice in comune. I diametri delle ruote variano da punto a punto e le sezioni dei denti decrescono avvicinandosi al vertice. Il diametro primitivo, per convenzione, si assume pari al massimo diametro del cono primitivo. Allo stesso modo il modulo e il passo della dentatura si assumono pari ai loro valori massimi.

Determinazione dell’angolo di apertura dei coni primitivi Assegnato l’angolo Σ compreso tra gli assi a e b ed il rapporto di ingranaggio u, i coni primitivi risultano

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definiti dai valori δ1 e δ 2 dei rispettivi angoli di apertura che si deducono dalle seguenti relazioni: z R sin δ 2 ω1 = u= 2 = 2 = Ω = ω12 + ω22 + 2ω1ω2 cos Σ z1 R1 sin δ1 ω2 ω1 ω Ω = 2 = sin δ 2 sin δ1 sin (π − Σ )

sin δ1 =

sin Σ 1 + u 2 + 2u cos Σ

sin δ 2 =

u ⋅ sin Σ 1 + u 2 + 2u cos Σ

(6.46)

I profili coniugati e l’approssimazione di Tredgold Il moto di un ingranaggio conico, come abbiamo visto in precedenza, può essere studiato facendo riferimento al mutuo rotolamento dei coni primitivi corrispondenti. Durante tale moto l’unico punto fisso è il vertice V dei due coni: il moto di ciascun punto dei due coni è pertanto un moto sferico di centro V e su tale sfera vanno riferiti i profili dei denti delle ruote.

Consideriamo una sfera di centro V e due coni di base B1 e B2 non tangenti e avente vertice comune in V. Le circonferenze cb1 e cb 2 siano le intersezioni di tali coni con la superficie della sfera. Consideriamo ora un piano π tangente ad ambedue i coni, passante per V e avente come intersezione con la sfera il cerchio massimo K. Immaginiamo ora di far ruotare K intorno ad un asse passante per V e perpendicolare a π e che le circonferenze cb1 e cb 2 siano trascinate in rotazione per attrito e senza scorrimenti relativi.

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Le velocità di rotazione dei due coni ω1 e ω 2 sono in rapporto costante infatti, indicate con δ e ψ le aperture dei coni primitivi e di base e con Ω la velocità angolare di K, per l’ipotesi di non strisciamento si ha: (6.47) Ω = ω1 sinψ 1 = ω2 sinψ 2 Indicate con δ le aperture dei coni primitivi a contatto, imponendo la medesima velocità dei punti appartenenti alle generatrici comuni, si ha:

ω1 sin δ1 = ω2 sin δ 2

(6.48)

Gli assi dei coni tagliano la sfera nei punti O1 e O2 . Tracciata sulla sfera la congiungente O1O2 , si individua il punto C come intersezione con la circonferenza K. Il punto C è il centro di istantanea rotazione sulla sfera. L’angolo di pressione α è l’angolo compreso tra la tangente n all’arco A1A2 in C e la tangente comune t’ alle due circonferenze primitive c1 e c2 perpendicolare al piano O1VO2: le due rette n e t’ individuano il piano tangente alla sfera nel punto C. Tra l’angolo di pressione α e le aperture dei coni primitivi e fondamentali, considerati i triangoli sferici rettangoli CA1O1 e CA2O2 e applicando il teorema dei seni, esistono le seguenti relazioni:

sin δ1 =

sinψ 1 cos α

sin δ 2 =

sinψ 2 cos α

(6.49)

I profili dei denti si ottengono, sulla sfera, come traiettorie di un punto appartenente alla circonferenza K rotolante su una delle circonferenze cb1 o cb 2 : si ha in tal modo un’evolvente che giace sulla sfera e che perciò viene detta evolvente sferica. Pertanto facendo rotolare K prima su una e poi sull’altra circonferenza di base si ottengono due superficie coniugate che formano i fianchi dei denti. E’ evidente che, per quanto detto sopra, lo studio del contatto tra i denti e delle condizioni di interferenza dovrebbe essere effettuato con riferimento ai profili dei denti giacenti sulla sfera di centro V. Tale approccio presenta notevoli difficoltà derivanti soprattutto dalla non sviluppabilità della sfera in un piano. Si accetta pertanto la cosiddetta approssimazione di Tredgold1 consistente nell’approssimare la sfera S, per la piccola zona corrispondente all’altezza del dente, con due coni complementari ai due coni primitivi. Sviluppando i coni complementari in un piano, come indicato nella figura sotto rappresentata, ci si riduce alla considerazione di una coppia di ruote piane (ruote fittizie o immaginarie) avente lo stesso modulo2 dell’ingranaggio conico e raggi primitivi pari rispettivamente a:

R *1 =

R1 cos δ1

R *2 =

R2 cos δ 2

(6.50)

Dalla definizione di modulo si ricava immediatamente il numero di denti delle ruote immaginarie:

z *1 =

z1 cos δ1

z *2 =

z2 cos δ 2

(6.51)

e un rapporto di ingranaggio fittizio: 1

Thomas Tredgold (1788-1829), nacque a Brandon, presso Durham il 22 Agosto 1788, e all’età di 14 anni venne assunto come apprendista carpentiere. Fu un autodidatta e fornì un notevole contributo allo studio della resistenza dei materiale e delle macchine. Morì a Londra il 28 gennaio del 1829. Tra i suoi trattati si ricordano: Elementary Principles of Carpentry (1820), Practical Treatise on the Strength of Cast Iron and other Metals (1824), Principles of Warming and Ventilating Public Buildings (1824), Practical Treatise on Railroads and Carriages (1825) e The Steam Engine (1827). 2 Nello sviluppo il passo, e conseguentemente anche il modulo, si conservano.

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u* =

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z2 cos δ1 z1 cos δ 2

(6.52)

Il numero minimo di denti e il rapporto di condotta Con riferimento all’approssimazione di Tredgold, tenute presente pertanto le (6.50)-(6.52), il numero di denti minimo intagliabile senza interferenza e il rapporto di condotta possono determinarsi facendo uso ancora delle (6.1) e (6.9) applicate ovviamente alle ruote fittizie. Indicato al solito con k il rapporto tra l’addendum e il modulo e con τ* il reciproco del rapporto di ingranaggio u*, si ha quindi:

zmin f ≥

ε=

2kτ * ⋅ cos δ1

1 + τ * ( 2 + τ * ) sin 2 α − 1

= 2k ⋅ cos δ1

1 + 1 + τ * ( 2 + τ * ) sin 2 α

( 2 + τ ) sin *

2

2 2    z2* + 2  1   z1* + 2  *2 *2 * * z z z z − + − − + tan α ( 1 2 )      1 2 2π   cos α  cos α    

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α

(6.53)

(6.54)

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Proporzionamento delle ruote coniche Anche per le ruote coniche a denti diritti il dimensionamento viene effettuato in base ad una dentiera di riferimento (UNI 6588) che differisce poco da quella utilizzate per le ruote cilindriche (UNI 6587)

N.B.: la formula per la determinazione del semiangolo del cono primitivo fa implicitamente riferimento ad un ingranaggio conico ad assi perpendicolari.

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Dati da indicare sui disegni

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Spinte prodotte dagli ingranaggi conici a denti diritti

Le spinte prodotte da ruote coniche a denti diritti si possono calcolare, in prima approssimazione, facendo riferimento alla sezione media della ruota e alla corrispondente ruota immaginaria di Tredgold. Esempio 6.8 Una ruota conica a denti diritti di modulo 5 mm e 42 denti, con semiangolo del cono primitivo pari a 40°, trasmette una potenza di 8 kW alla frequenza di 500 rmp. Determinare gli sforzi sul dente in presa. Il diametro primitivo della ruota vale d = z ⋅ m = 210 mm Indicato con ξ il rapporto tra la lunghezza del dente b e la lunghezza della generatrice del cono primitivo, il diametro primitivo medio può essere espresso come segue: d m = d (1 − ξ / 2 ) Da cui, posto in prima approssimazione ξ ≅ 0.3 , si ha: d m ≅ 178.5 mm Il momento torcente trasmesso vale: 1000 ⋅ 1000 ⋅ 8 ⋅ 60 Mt = ≅ 153 Nm 2π ⋅ 500 La forza tangenziale Q, radiale R ed assiale A, con riferimento ad un angolo di pressione α pari a 20°, valgono quindi: 2M t Q= ≅ 1712 N dm R = Q tan α ⋅ cos δ = 1712 ⋅ tan 20° ⋅ cos 40° ≅ 477 N A = Q tan α ⋅ sin δ ≅ 400 N

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Calcolo del modulo minimo La resistenza sia a flessione secondo Lewis, sia alla pressione degli ingranaggi conici può valutarsi con le stesse formule usate per gli ingranaggi cilindrici a denti diritti, purché si faccia ora riferimento al raggio medio e al modulo medio dell’ingranaggio conico e si considerino, in luogo dei numeri di denti effettivi, i numeri di denti immaginari. Dal modulo minimo medio così ricavato si dovrà successivamente determinare il modulo unificato della ruota, ossia il modulo valutato in corrispondenza del diametro primitivo (diametro primitivo massimo). Posta la lunghezza b del dente pari a: dp b≅ξ 2sin δ Il modulo si ricava, in funzione del modulo medio, con la seguente relazione: mm m≅ (6.55) 1− ξ 2 In prima approssimazione può porsi ξ ≅ 0.3 da cui: m m≅ m 0.85 Ricordiamo infine che, nel caso delle ruote coniche il rapporto di fascia λ inserito nella (6.15) e nella (6.21) dovrà essere sostituito dal rapporto λ * tra la larghezza del dente b e il modulo medio, rapporto che si determina noti il numero di denti e il rapporto ξ tra la lunghezza del dente b e la lunghezza R della generatrice del cono primitivo. b ξz λ* = = (6.56) mm 2sin δ ⋅ (1 − ξ 2 ) Esempio 6.9 Si determini il modulo minimo di un pignone conico a denti diritti avente le seguenti caratteristiche: • • • • • •

Potenza nominale sull’albero del pignone Frequenza di rotazione del pignone Rapporto di ingranaggio Angolo di semiapertura del cono primitivo1 Durata richiesta Materiale pignone/ruota

Assunzioni per il calcolo secondo Lewis (6.34) • Numero di denti del pignone • Tensione ammissibile • Fattore A • Rapporto di fascia Assunzioni per il calcolo a pressione (6.35) • Ore di funzionamento • Durezza del fianco del dente • Parametro K (acciaio/acciaio) • Angolo Σ tra gli assi delle ruote • Numero di denti della ruota

N = 25 kW n = 750 rpm u = 35 / 27 δ = 36.647° h = 10000 ore 16CrNi4 cementato e temprato

z1 = 27 σ amm = 250 MPa A = 12 m/s b / R = 0.3 h = 10000 HB = 400 K = 473 Σ = 90° z2 = 35

1

In realtà questo angolo, una volta noti il rapporto di ingranaggio e l’angolo Σ tra gli assi delle ruote risulta, in base alla (6.46), univocamente determinato

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Risultati Progetto a flessione secondo Lewis Dati inseriti Potenza, kW Numero di giri, rpm Rapporto b/R Costante A Tensione ammissibile, MPa Numero di denti Semiangolo cono primitivo, °

Risultati Modulo minimo Numero di denti Dentiera di riferimento Angolo di pressione Addendum Dedendum Diametro primitivo Diametro di testa Diametro di fondo Lunghezza generatrice Semiangolo cono primitivo Semiangolo cono esterno Semiangolo cono interno Angolo di addendum Angolo di dedendum Lunghezza del dente Num. di denti immaginario Raggio immaginario

25 750 0.3 12 250 27 36.647

m z α ha hf d de df R δ δa δf θa θf b z* R*

Forze sul dente Forza tangenziale Q Forza radiale R Forza assiale A

5 27 UNI6588 20 5 6 135 142.66 125.498 110.512 36.647 40.237 34.539 2.590 3.118 33.153 34.1 85.25

5548 1620 1205

Forze espresse in newton Lunghezze espresse in mm Angoli espressi in gradi

Potenza, kW Numero di giri, rpm Rapporto di fascia b/R Fattore di amplificazione Tipo di accoppiamento

Verifica a pressione Dati inseriti 25 Numero denti pignone 750 Numero denti ruota 0.3 Durezza HB 1 Durata, h acc/acc Angolo Σ fra gli assi delle ruote

Risultato

Modulo minimo, mm

121

27 35 400 10000 90 5

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Di seguito esplicitiamo i calcoli principali: Geometria Modulo Diametro primitivo

Addendum Dedendum

m=5 d = zm = 27 ⋅ 5 = 135 mm d = 105.01 mm R= 2sin δ ha = 1 ⋅ m = 5 mm h f = 1.2 ⋅ m = 6 mm

Diametro di testa

d a = d + 2 ( ha ⋅ cos δ ) = 142.918 mm

Generatrice R

Diametro di piede Semiangolo cono esterno Semiangolo cono interno Angolo di addendum

d f = d − 2 ( h f cos δ ) = 125.498 mm

δ a = δ + tan −1 ( ha R ) = 40.237

δ f = δ − tan −1 ( h f R ) = 34.539

θ a = tan −1 ( ha R ) = 2.590

Angolo di dedendum

θ f = tan −1 ( h f R ) = 3.118

Lunghezza del dente Raggio immaginario

b ≅ 0.3R = 33.153 mm R* = ( d 2cos δ ) = 85.25 mm

Numero di denti immaginario

z * = z / cos δ = 34.1

Calcolo del modulo secondo Lewis Momento torcente

Mt = N n =

Modulo medio

mm =

Diametro primitivo medio

d pm

Velocità periferica Fattore di riduzione

25 ⋅ 1000 ⋅ 1000 ⋅ 60 = 318310 Nmm 2π ⋅ 750

m = 4.25 mm 1 − b 2R = z ⋅ mm = 114.75 mm

2π n d pm = 4.5 m/s 60 2000 A 12 ψ= = = 0.73 A + v 12 + 4.5 v=

Condizione di verifica

mm ≥ 3

3

3

Verifica modulo medio 4.25

Mt 1 3 * * 0.22 z − 1.15 ( z z ) ψλ σ amm

1 1 =3 = 0.582 * 0.22 ⋅ 27 − 1.15 ( 27 35.2 ) 0.22 z − 1.15 ( z z )

Mt

ψλ σ amm *

=3

318310 = 6.174 0.73 ⋅ 7.41 ⋅ 250

mm = 4.25 ≥ 0.582 ⋅ 6.74 = 3.6 OK

Sottoponendo a verifica il modulo 4, a cui corrisponde un modulo medio di 3.4 mm, si vede che tale modulo non è verificato. Pertanto si deduce che il modulo 5 è proprio il modulo minimo con cui realizzare il pignone.

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Calcolo a pressione Numero di denti della ruota Numero di ore di funzionamento Materiali della coppia Durezza Verifica a pressione1 mm ≥ 0.149 3 473  K = 385 335 

z2 = 35 h = 10000 ore acciaio/acciaio 400 HB

K 2 M t1  1 1 9 ±   nh = 4.002 2 * HB λ z1  z *1 z *2  acciaio/acciaio ghisa/acciaio ghisa/ghisa

Il modulo medio 4.25 a cui corrisponde un modulo 5 risulta verificato.

Il taglio delle ruote coniche a denti diritti Come per il taglio delle ruote dentate cilindriche si può fare riferimento ad una dentiera fittizia da cui derivare gli utensili, così nel taglio delle ruote dentate coniche ci si può riferire ad una fittizia ruota piano- conica, cioè ad una ruota conica con angolo del cono primitivo di 180°. In effetti, attualmente, gran parte delle ruote coniche vengono tagliate con utensili che, tramite la loro forma e il loro movimento, simulano l’ingranamento della ruota da tagliare con una ruota piano-conica. Se applichiamo alla ruota piano-conica il procedimento di Tredgold per il tracciamento dei denti, si vede che questi ultimi saranno analoghi ai denti di una dentiera ossia avranno i fianchi rettilinei. Quindi, utilizzando una ruota piano-conica con fianchi dei denti rettilinei possiamo realizzare un metodo, seppure approssimato (il metodo di Tredgold è pur sempre una approssimazione), per la realizzazione di ruote coniche a denti diritti.

Adesso vediamo di analizzare dove sta l’approssimazione introdotta, in questo caso, dal metodo di Tredgold e le sue conseguenze. A differenza da quanto avviene nella cremagliera, le superficie attive della ruota piano-conica non sono piane. Il profilo effettivo dei denti della ruota piano-conico presenta infatti un punto di flesso in corrispondenza della primitiva. Pertanto l’adozione di una ruota piano-conica con denti rettilinei indurrà un errore nella generazione del profilo

1

Si tenga presente che per determinare il numero di denti immaginario della ruote occorre calcolare con la (6.46) i corrispondenti angoli di semiapertura dei coni primitivi.

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In effetti le ruote dentate intagliate con metodi che si riferiscono a ruote piano-coniche con fianchi diritti non risultano profilate secondo un’evolvente sferica.

In particolare si vede che la linea d’azione non è un arco del cerchio massimo, ma una curva che presenta un flesso nel punto di tangenza dei cerchi primitivi. Considerando assieme le due linee d’azione possibili, esse formano una specie di otto, per cui alla linea d’azione delle ruote coniche così realizzate si dà il nome di ottoide e per estensione si dà lo stesso nome anche al profilo del dente corrispondente. Tuttavia le differenze tra un profilo corretto (evolvente sferica) e un profilo approssimato (ottoide) sono minime e, per numero di denti consueti, ben inferiori delle usuali tolleranze di lavorazione. Ne consegue che il taglio di ruote dentate coniche a denti diritti con metodi simulanti l’ingranamento con una ruota piano-conica a fianchi diritti permette di realizzare in modo semplice ed economico l’utensile (utensile con fianchi diritti ottenuto con il metodo di Tredgold) introducendo degli errori rispetto al profilo teorico decisamente trascurabili.

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Riduttore ad assi perpendicolari realizzato con un ingranaggio conico a denti diritti

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Ingranaggio a vite L’ingranaggio a vite viene usato quando vi è necessità di trasmettere il moto fra assi ortogonali e con un elevato rapporto di trasmissione. La vite è sempre l’elemento conduttore e la ruota è sempre l’elemento condotto (il meccanismo non è normalmente reversibile).

L’ingranaggio a vite può essere realizzato in tre forme costruttive diverse: 1. Ingranaggio senza gola. Sia la vite, sia la ruota hanno forma cilindrica. Questa soluzione, di fabbricazione più economica, presenta l’inconveniente che il contatto tra i denti è limitato ad una zona molto ristretta (teoricamente un solo punto). 2. Ingranaggio a gola semplice (il tipo più usato). La vite conserva la forma cilindrica mentre la periferia della ruota è concava in modo da abbracciare la vite stabilendo in questo modo una superficie di contatto più ampia. 3. Ingranaggio a doppia gola (globoidale). Sia la vite, sia la ruota hanno forma concava ottenendo oltre che un aumento della zona di contatto, anche un aumento del numero di denti contemporaneamente in presa. Tuttavia sia perché la costruzione dell’ingranaggio risulta alquanto difficoltosa, e sia perché si ha un maggiore attrito dovuto agli strisciamenti multipli, questa soluzione viene raramente usata.

Senza gola

Gola semplice

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Doppia gola

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Rapporto di trasmissione La vite di cui si fa uso può essere a uno o più principi cosicché sarà bene distinguere fra passo della vite pv e passo dell’elica pe. E indicato con zv il numero di principi della vite si ha: (6.57) pe = zv pv

Vite a un principio

Vite a due principi

La vite si comporta cinematicamente come una ruota avente un numero di denti uguali al numero di principi della vite, pertanto il rapporto di ingranaggio1 u dell’ingranaggio a vite senza fine è uguale al rapporto tra il numero di denti della ruota z2 e il numero di principi della vite z1 (6.58) u = z2 z1

Il rapporto di trasmissione ovvero il rapporto tra la velocità di rotazione della vite e della ruota si determina facilmente uguagliando le velocità del punto di contatto P vite ruota immaginandolo prima appartenente alla vite e successivamente appartenente alla ruota.

1

Nell’ingranaggio a vite, dato che la vite stessa è sempre motrice, il rapporto di ingranaggio coincide con il rapporto di trasmissione.

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Punto P appartenente alla vite La velocità del punto P può esprimersi come il rapporto tra il passo dell’elica pe e il tempo t impiegato a compiere una rotazione completa. Indicata con ω1 la velocità angolare della vite si ha: p ω ⋅p z ⋅ p ⋅ω vP1 = e = 1 e = 1 v 1 (6.59) t 2π 2π Punto P appartenente alla ruota Indicati con z2, d2 e ω2 rispettivamente il numero di denti, il diametro primitivo e la velocità angolare della ruota si ha: ω ⋅z ⋅ p d vP 2 = ω2 2 = 2 2 t (6.60) 2 2π Uguagliando la (6.59) con la (6.60) tenuto presente che per il corretto ingranamento il passo della vite deve corrispondere al passo trasversale della ruota si ottiene l’espressione del rapporto di trasmissione. ω z i= 1 = 2 (6.61) ω2 z1 Esempio 6.10 Una riduttore a vite è costituito da una vite a due principi e una ruota da 60 denti. Sapendo che la vite ruota a 1500 rpm trovare velocità di rotazione dell’albero solidale alla ruota. Dalla (6.58) si ha immediatamente: n ⋅ z 1500 ⋅ 2 nr = v v = = 50 rpm zr 60 Proporzionamento

segmento 1-2 2-3 2-4

Dalla figura sopra riportata si vede immediatamente che, verificarsi le seguenti condizioni:

vite Passo trasversale Passo normale Passo assiale

Passo normale Passo trasversale

per il corretto ingranamento devono

1. Il passo trasversale della vite pt1 corrisponde al passo assiale della ruota pa 2 2. Il passo assiale della vite pa1 corrisponde al passo trasversale della ruota pt 2 3. I passi normali di vite pn1 e ruota pn 2 sono coincidenti

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ruota Passo assiale

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Proporzionamento della vite Indicato con β l’angolo di inclinazione dell’elica, con d il diametro medio della vite (impropriamente detto diametro primitivo) e con z1 il numero di principi della vite, si hanno le seguenti relazioni: z ⋅p ma1 = mn / cos β mt1 = mn / sin β tan β = 1 a1 πd (6.62) Noti il modulo normale, il numero di principi della vite e l’angolo di inclinazione dell’elica i diametri medio, di testa e di fondo si calcolano con le seguenti relazioni1: d1 =

z1 ⋅ pa1 z ⋅m = 1 n π ⋅ tan β sin β

d a1 = d1 + 2ha = d + 2mn

d f 1 = d1 − 2h f = d1 − 2.5mn

(6.63)

Proporzionamento della ruota Noto il modulo normale, l’angolo di inclinazione dell’elica e il numero di denti z2 della ruota i diametri primitivo, di testa e di fondo si calcolano nel modo consueto: d 2 = mt 2 ⋅ z2 =

mn z2 cos β

d a 2 = d 2 + 2ha = d 2 + 2mn

d f 2 = d 2 − 2h f = d 2 − 2.5mn

(6.64)

1

In effetti il proporzionamento modulare, come vedremo in seguito, differisce a secondo se l’angolo di inclinazione β è maggiore o minore di 15°.

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Determinazione delle forze agenti sull’ingranaggio a vite

Q forza tangenziale sulla ruota, forza assiale sulla vite A forza assiale sulla ruota, forza tangenziale sulla vite R forza radiale sulla ruota e sulla vite

Q = N cos α n cos β − fN sin β R = N sin α n

(6.65)

A = N cos α n sin β + fN cos β Esprimendo R ed A in funzione di Q si ottiene: sin α n R=Q cos α n cos β − f sin β cos α n tan β + f A=Q cos α n − f tan β

(6.66) (6.67)

La forza Q si determina, al solito, una volta noto il diametro primitivo della ruota e il momento torcente agente sul proprio asse: 2M tr Q= (6.68) d2 L’angolo di pressione α n varia al variare dell’angolo di inclinazione dell’elica secondo le indicazioni fornite dalla tabella sotto riportata: β (°) αn (°)

30 30

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Il rendimento dell’ingranaggio a vite Il rendimento si definisce, al solito, come il rapporto tra la potenza uscente misurata sull’albero della ruota e la potenza entrante misurata sull’albero della vite: N ηVR = R NV Esprimendo ora le potenze come prodotto delle velocità di rotazione per i rispettivi momenti si ottiene: M ω M z ηVR = R R = R1 1 (6.69) M V ωV M V z2 Il momento torcente trasmesso dalla ruota vale: d m ⋅ z2 m ⋅z (6.70) MR = Q 2 = Q =Q n 2 2 2 2cos β Il momento torcente trasmesso dalla vite vale: zm z m cos α n tan β + f d MV = A 1 = A 1 n = Q 1 n 2 sin β sin β cos α n − f tan β Posto cos α n ≅ 1 e ϕ = tan −1 f si ottiene: z m tan β + f z m tan β + tan ϕ zm MV = Q 1 n =Q 1 n = Q 1 n tan ( β + ϕ ) sin β 1 − f tan β sin β 1 − tan β tan ϕ sin β

(6.71)

Sostituendo le (6.70) e (6.71) nella (6.69) si ottiene infine: M z tan β ηVR = R 1 = (6.72) M V z 2 tan ( β + ϕ ) Il rendimento del gruppo ruota-vite, corrispondente alla condizione in cui la ruota sia motrice e la vite condotta, si può dimostrare in modo del tutto analogo che vale1: tan ( β − ϕ ) η RV = (6.73) tan β Il calcolo del modulo della coppia Il calcolo del modulo della coppia si può condurre, tra l’altro, seguendo lo schema semplificato di seguito proposto. Ci riferiremo, per semplicità, al solo caso in cui siano assegnate la potenza utile N2 sull’albero della ruota e le velocità angolari ω1 della vite e ω 2 della ruota. 1. Il numero di principi della vite si determina in base al rapporto di trasmissione secondo la tabella di seguito riportata.

ω1 ω2 z1

>30

15÷29

10÷14

6÷9

1

2

3

4

2. Il numero di denti della ruota si calcola dal rapporto di trasmissione, una volta noto il numero di principi della vite.

z2 =

ω1 z1 ω2

(è opportuno che z2 e z1 siano primi fra loro)

1

La (6.73) può essere ottenuta immediatamente dalla (6.72) una volta che si sostituisca β con ( π/2 – β) ovvero con l’angolo di inclinazione dell’elica della ruota.

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3. Il diametro del nucleo della vite si calcola in base alla presumibile potenza N1 trasmessa dalla vite. La potenza N1 si ottiene dividendo N2 per il rendimento della trasmissione che, in prima approssimazione, può essere stimato in funzione del numero di principi della vite secondo quanto proposto dalla tabella sotto riportata. z1 η N1 =

1 0.6

2 0.7

3 0.78

4 0.8

N2

η Il diametro del nucleo, per acciai di qualità, può essere normalmente calcolato a torsione semplice facendo affidamento su di un carico ammissibile tra 12 e 25 MPa a secondo delle caratteristiche del materiale e soprattutto dalla distanza tra i supporti. dn = 3

16 M V

πτ amm

≅ 365 3

N1 n1 ⋅ τ amm

(6.74)

4. L’angolo di inclinazione β dell’elica media si ricava da formule empiriche. a. per vite di pezzo con l’albero z1 (6.75) tan β = 4 z1 + 3 b. per vite calettata sull’albero z1 tan β = (6.76) 10 + 0.2 ⋅ z1 5. Il diametro primitivo d1 della vite si assume, in prima approssimazione pari a: a. per vite di pezzo con l’albero d1 ≅ 2.5 ⋅ d n b. per vite calettata sull’albero: d1 ≅ 3 ⋅ d n 6. Si calcola ora la velocità di strisciamento vS che verrà utilizzata per determinare la tensione ammissibile. ω ⋅d (6.77) vS = 1 1 2 ⋅ cos β 7. Si calcola il fattore di servizio fS secondo quanto riportato in tabella. Tipo di azionamento Motore elettrico Mot. C.I. a più cil. Mot. C.I. monocil.

Urti Limitati Sensibili Notevoli 1.25 1.50 1.75 1.50 1.75 2 1.75 2 2.25

8. Si fissa il rapporto di fascia λ (rapporto tra la larghezza utile della ruota e il modulo) z (6.78) λ ≅ 2 1+ 1 tan β 9. Si calcola il fattore di forma q2 in funzione del numero di denti della ruota secondo la seguente relazione:

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q2 = 1.85 −

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24 z2

(6.79)

10. Il modulo della coppia si determina, tenendo presenti tre fenomeni: a. La resistenza statica a flessione del dente; b. La resistenza dinamica a fatica della superficie di contatto dei denti; c. Il riscaldamento prodotto per attrito Di seguito proponiamo una semplice formula che, in prima battuta, può essere utilizzata per compendiare correttamente i tre fenomeni sopra descritti (6.80) f S ⋅ Q ≤ pa1 ⋅ b ⋅ σ amm ⋅ q2 Dove: fS è il fattore di sevizio determinato al punto 7 Q è la forza tangenziale sulla ruota coincidente con la forza assiale sulla vite è il passo assiale della vite coincidente con il passo circonferenziale della ruota pa1 q2 è il fattore di forma determinato al punto 9 σamm

è la tensione ammisibile da determinarsi, secondo la tabella sotto riportata, in base al materiale costituente la coppia e alla velocità di strisciamento determinata al punto 6.

Materiali

Funzionamento intermittente o raffreddamento artificiale

A

7 + 0.8 ⋅ vS

B

3.5 + 0.5 ⋅ vS

C

3 + 0.5 ⋅ vS ( vS < 3 m s )

D

2 + 0.3 ⋅ vS

E

6 + 0.8 ⋅ vS

A B C D E

Funzionamento continuo 6.4 + 0.8 ⋅ vS ( vS < 2 m s )

( vS > 2 m s ) 3 + 0.5 ⋅ vS ( vS < 3 m s ) 13.5 / vS ( vS > 3 m s ) 6 (1 + 0.5 ⋅ vS ) ( vS < 3 m s ) 4 / (1 + 0.5 ⋅ vS ) 5.5 + 0.8 ⋅ vS ( vS < 2 m s ) 13.5 / vS ( vS > 2 m s ) 16 vS

vite in acciaio temprato e ruota in bronzo fosforoso vite in acciaio bonificato e ruota in bronzo fosforoso Vite in acciaio e ruota in ghisa vite in ghisa e ruota in ghisa Vite in acciaio e ruota in lega leggera

La formula di progetto del modulo normale della coppia si ricava direttamente, con semplici passaggi dalla (6.80).

mn ≥ 182.5 ⋅ cos β 3

fs ⋅ N2 n1 ⋅ z1 ⋅ λ ⋅ q2 ⋅ σ amm

(6.81)

Dove N2 è la potenza disponibile all’albero della ruota, espressa in kW, e n1 la velocità di rotazione della vite espressa in rpm. Il modulo ottenuto deve essere arrotondato al modulo unificato superiore. 11. Una volta determinato il modulo normale dalla (6.81), si procede al dimensionamento della vite e della ruota secondo quanto di seguito indicato:

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a. Dimensionamento vite 1. Il diametro definitivo d1 viene scelto tra i seguenti valori unificati d1 = ( 6,8,10,14, 20 ) ⋅ mn (6.82) 2. Si calcola il valore definitivo dell’angolo di inclinazione β m ⋅z senβ = n 1 (6.83) d1 3. Il proporziona mento modulare può dipendere dall’angolo di inclinazione dell’elica secondo quanto di seguito riportato.

Addendum Dedendum

β < 15° m 1.2m

β >15° mn 1.2mn

4. La lunghezza L della vite si pone pari a:

(

L = 2m 1 + z 2

)

(6.84)

5. Il valore dell’angolo di pressione αn si sceglie tra quelli proposti dalla tabella seguente.

β (°) αn (°)

< 15 20

15÷25 25÷35 >35 22.5 25 30

b. Dimensionamento ruota 1. Il diametro definitivo d2 risulta: d 2 = m ⋅ z2 2. Il proporzionamento modulare segue gli stessi criteri visti per la vite (addendum e dedendum in funzione dell’angolo di inclinazione dell’elica media) 3. La larghezza totale B della ruota si calcola in funzione della larghezza utile b:   z (6.85) B = b + 2m = 2m  1 + 1 + 1 tan β   12. Calcolo di verifica. Una volta determinati gli elementi geometrici di vite e ruota, si procede a determinare con maggiore precisione il rendimento della dentatura, la velocità di strisciamento, la tensione ammissibile e il rapporto di fascia. Si procede infine al calcolo di verifica ancora con la (6.81). Per quanto concerne il calcolo del rendimento della coppia, espresso dalla (6.72), si tenga presente che il valore dell’angolo d’attrito φ, per buone condizioni di lubrificazione e per velocità di strisciamento inferiori a 1 m/s può porsi pari a: i. Vite in acciaio temprato e ruota in bronzo fosforoso 0.22 tan ϕ = 0.018 + vS ii. Vite in acciaio bonificato e ruota in bronzo fosforoso 0.04 tan ϕ = 0.045 + vS iii. Vite e ruota in ghisa tan ϕ = 0.10

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Esempio 6.11 Progettare un ingranaggio a vite azionato da un motore elettrico. Dati Potenza sull’albero della ruota N2 1.3 kW Frequenza di rotazione della vite n1 1450 rpm Rapporto di trasmissione i 36 Materiale vite acciaio bonificato Materiale ruota bronzo fosforoso Condizioni di funzionamento urti limitati/funzionamento intermittente

In base al rapporto di trasmissione si determina il numero di principi della vite. Con riferimento alla tabella di cui al punto 1 si stabilisce di a un principio, per cui il numero di denti della ruota risulta pari a z2 = 36 Si calcola la potenza sull’albero della vite fissando il rendimento in accordo con la tabella di cui al punto 2. η ≅ 0.6 Assunta per la vite una tensione ammissibile a torsione pari, in prima approssimazione, a 12 MPa, il diametro del nucleo dalla (6.74) risulta pari a: 1.3 d n ≅ 365 3 ≅ 18.2 mm 0.6 ⋅ 1450 ⋅ 12 Nell’ipotesi di realizzare la vite di pezzo, l’angolo di inclinazione dell’elica può assumersi in accordo con la (6.75) pari a: z1 1 tan β = → β = tan −1   ≅ 8.13° 4 z1 + 3 7 Il diametro primitivo della vite, in accordo con quanto definito al punto 5, si assume pari a: d1 = 2.5 ⋅ d n ≅ 46 mm Si calcola la velocità di strisciamento con la (6.77): ω ⋅d vS = 1 1 ≅ 3.53 m/s 2 ⋅ cos β In base al tipo di funzionamento (intermittente) e ai materiali costituenti la coppia, dalla tabella riportata al punto 10, si determina la tensione ammissibile per il calcolo del modulo: σ amm = 3.5 + 0.5 ⋅ vS ≅ 5.26 MPa Si determina il rapporto di fascia λ con la (6.78): z λ = 2 1 + 1 ≅ 5.65 tan β Si calcola il fattore di forma q2 con la (6.79) 24 q2 = 1.85 − ≅ 1.18 z2 Si adotta, in accordo con la tabella proposta al punto 7, un fattore di sevizio fS pari a 1.25.

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Il modulo della coppia si determina con la (6.81) fs ⋅ N2 1.25 ⋅ 1.3 mn ≥ 182.5 ⋅ cos β 3 = 185.5 ⋅ cos ( 8.13) 3 = 5.82 → 6 1450 ⋅ 1 ⋅ 5.65 ⋅ 1.18 ⋅ 5.26 n1 ⋅ z1 ⋅ λ ⋅ q2 ⋅ σ amm Si passa ora al dimensionamento della vite e della ruota 1. Dimensionamento della vite Diametro primitivo d1 = 8 ⋅ m = 48 mm Angolo di inclinazione dell’elica media m ⋅z sin β = n 1 → β = 7.18° < 15° d1 Diametro di testa 6 d a1 = d1 + 2ha = 48 + 2 ⋅ = 60 mm cos ( 7.18 ) Diametro di piede 6 d f 1 = d1 − 2h f = 48 − 2.4 = 33.5 mm cos ( 7.18 ) Lunghezza della vite

(

)

L = 2mn 1 + z2 = 84 mm Angolo di pressione normale β < 15° ⇒ α n = 20° 2. Dimensionamento della ruota Diametro primitivo d 2 = m ⋅ z2 = 217.7 mm Diametro di testa d a 2 = d 2 + 2ha = 229.8 mm Diametro di piede d f 2 = d 2 − 2h f = 203.3 mm Larghezza della ruota   z B = 2m  1 + 1 + 1 = 48 mm tan β   Larghezza utile b = B − 2 m = 36 mm Una volta definiti gli elementi geometrici della coppia possiamo procedere ad un calcolo di verifica. Velocità periferica della vite d v = ω1 1 = 3.64 m/s 2 Velocità di strisciamento v vS = = 3.67 m/s cos β La tensione ammissibile viene rideterminata in base alla nuova velocità di strisciamento σ amm = 3.5 + 0.5 ⋅ vS = 5.33 MPa Angolo d’attrito 0.04 tan ϕ = 0.045 + → ϕ ≅ 3.2° vS

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Rendimento della coppia (stimato precedenza, in prima approssimazione, pari a 0.6) tan β η= =0.69 tan ( β + ϕ )

La verifica del modulo si conduce imponendo il rispetto della (6.80) La forza Q vale: N 2 ≅ 2825 N Q= 2 ω2 d 2 Il passo assiale della vite vale: mn = 19 mm pa1 = π cos β Pertanto poiché f S ⋅ Q ≤ pa1 ⋅ b ⋅ σ amm ⋅ q2 → 1.3 ⋅ 2825 ≤ 19 ⋅ 36 ⋅ 5.33 ⋅ 1.18 ≅ 4302 N il modulo risulta verificato. Resta ancora da verificare il diametro del nucleo della vite1. Con riferimento ad una sollecitazione di pura torsione, la tensione massima risulta pari a: 3653 N 2 τ amm ≅ 3 ≅ 10.5 MPa d n η ⋅ n1 Il diametro della vite risulta verificato

1

Questa verifica ovviamente ha senso solamente quando il rendimento effettivo risulta inferiore a quello stimato nella fase precedente. Nel nostro esempio avendo stimato, in prima battuta, un rendimento di 0.6 a fronte di un rendimento definitivo di 0.69 la verifica è del tutto superflua. Abbiamo esplicitato comunque i calcoli a titolo puramente esemplificativo.

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Disegno complessivo di un riduttore a vite

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Particolare della ruota

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Particolare della vite

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Cenni sulla costruzione della vite senza fine e della ruota Taglio della vite La vite senza fine ad evolvente può essere tagliata: 1) al tornio 2) mediante coltello tipo Fellows 3) mediante creatore I primi due metodi forniscono un profilo esatto mentre il terzo un taglio approssimato Taglio al tornio Il taglio viene effettuato tornio mediante un utensile il cui bordo rettilineo tagliente sia disposto in un piano tangente il cilindro fondamentale inclinato in tale piano di un angolo pari a βf rispetto alla traccia di un piano normale all’asse della vite. In tal modo lo spigolo tagliente assume, nel suo moto elicoidale rispetto alla vite, le successive posizioni della retta generatrice dell’elicoide ad evolvente. Con questo sistema occorre lavorare separatamente i due fianchi dei filetti. Taglio mediante coltello tipo Fellows Il coltello viene montato sulla dentatrice a creatore ove normalmente si dispone il pezzo, ed il pezzo prende il posto del creatore. Si trasmette al pezzo un moto di rotazione, combinandolo con il moto del coltello , in modo da generare il profilo voluto. Il pezzo ha anche un moto di avanzamento assiale Taglio mediante creatore Il creatore viene collocato sull’asse del mandrino normalmente all’inclinazione media del filetto come per la fresatura di un ingranaggio elicoidale. L’errore introdotto da questo tipo di lavorazione aumenta all’aumentare dell’inclinazione del filetto. Per angoli di inclinazione molto elevati occorrerà pertanto utilizzare creatori con profilo opportunamente modificato. La figura sotto rappresentata mostra, a sinistra, il profilo del filetto della vite da fresare (angolo di inclinazione di 42°) e a destra, il profilo del filetto del creatore corrispondente.

La vite viene può essere realizzata, a secondo dell’impegno, con acciaio fuso o con acciai al Cr-Ni da cementazione. La cementazione dovrà essere effettuata dopo il taglio e dovrà essere sempre seguita da una adeguata operazione di rettifica tura.

Taglio della ruota La ruota a gola, da accoppiare ad una vite senza fine, viene realizzata tramite creatore che deve avere lo stesso diametro, passo e senso di rotazione della vite stessa. L’avanzamento del creatore può essere radiale o assiale . L’avanzamento radiale è più veloce ma non esatto, in quanto, iniziando il taglio con la parte esterna del filetto del creatore (meno inclinata), viene asportata una parte dei denti della ruota. Il procedimento con avanzamento assiale è invece corretto: viene effettuato con un creatore avente forma tronco-conica e mosso assialmente per mezzo di una slitta.

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La dentatura della ruota viene normalmente realizzata in bronzo fosforoso con durezza superficiale assai minore di quella della vite, seguendo il principio che uno degli elementi della coppia, il meno costoso, sia più logorabile dell’altro in modo da evitare scheggiature e rigature che si avrebbero se i due elementi avessero la stessa durezza. La ruota, ghisa o in acciaio, viene poi opportunamente collegata alla corona dentata. Tale collegamento può essere realizzato mediante accurato centraggio e bulloni calibrati, oppure mediante forzamento a caldo oppure, infine, tramite fusione diretta della corona sulla ruota.

La realizzazione di una coppia vite senza fine – ruota elicoidale è comunque abbastanza complesso: si pensi ad esempio che, a differenza di quanto accade nel taglio delle ruote cilindriche, la ruota a gola non può essere realizzata da un creatore di modulo assegnato e diametro qualsiasi, bensì solo da un creatore di diametro primitivo uguale, o al più molto prossimo, al diametro primitivo della vite. Ciò comporta che non è facile garantire l’intercambiabilità degli elementi formanti la coppia. Per questo in genere chi costruisce la vite senza fine deve costruire la ruota elicoidale e viceversa garantendo e certificando la coniugazione dell’accoppiamento. Inoltre per evitare possibili problemi con i profili dei denti è consigliabile sostituire sempre la coppa vite senza fine – ruota elicoidale completa recuperando eventualmente, in tempi successivi e con minore urgenza, il particolare da riutilizzare.

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Ruotismi ordinari Si definisce ruotismo, o treno di ingranaggi, la combinazione di più ingranaggi. Si definisce rapporto di trasmissione i il rapporto tra le velocità di rotazione della ruota motrice e la velocità di rotazione della ruota condotta. Consideriamo l’ingranaggio sotto rappresentato e, nell’ipotesi che la ruota 1 sia motrice, determiniamone il rapporto di trasmissione.

Per l’ipotesi di non strisciamento nel punto di contatto delle primitive si ha: V1 = V2 → ω1 ⋅ r1 = ω2 r2 Esprimendo i raggi primitivi in funzione del modulo e del numero di denti si ottiene: z ⋅m z ⋅m ω z ω1 ⋅ r1 = ω2 r2 → ω1 ⋅ 1 = ω2 2 →i ≡ 1 = 2 (6.86) ω2 z1 2 2 Dalla (6.86) quindi il rapporto di trasmissione può essere espresso semplicemente come rapporto tra i numeri di denti delle ruote ingrananti. Nel caso di dentature esterne le velocità di rotazione delle due ruote ingrananti sono opposte e il rapporto di trasmissione si assume di segno negativo. Nel caso di dentature interne, in cui evidentemente le velocità di rotazione delle ruote sono concordi, il rapporto di trasmissione si assume di segno positivo. Pertanto il rapporto di trasmissione di un ingranaggio, in cui la ruota 1 sia motrice, si assume pari a: z i=± 2 (6.87) z1 Dove il segno negativo vale per ingranaggi esterni e il segno positivo per ingranaggi interni Un ruotismo il cui valore assoluto del rapporto di trasmissione è maggiore di uno si comporterà come riduttore di velocità, mentre un ruotismo il cui valore assoluto è minore di uno si compoterà come moltiplicatore

Ruote oziose Fissato il modulo e il rapporto di trasmissione può accadere che i raggi delle circonferenze primitive non siano tali da garantire il rispetto dell’interasse fissato in sede di progetto. Oppure può accadere che la ruota condotta debba avere lo stesso senso di rotazione della conduttrice. Si ricorre in questi casi all’uso di una o più ruote oziose, ruote che funzionano contemporaneamente come conduttrici e condotte. Le ruote oziose devono ovviamente avere lo stesso modulo delle ruote ingrananti, ma possono avere un numero qualsiasi di denti, perché esso non influisce sul rapporto di trasmissione.

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Esempio 6.12

• •

Il ruotismo sopra proposto può essere considerato composto da due ingranaggi: ingranaggio z1-z2 in cui z1 è la ruota motrice e z2 quella condotta ingranaggio z2-z3 in cui z2 è la ruota motrice e z3 quella condotta Il rapporto di trasmissione i del ruotismo è pari, per definizione, al rapporto tra la velocità angolare della prima ruota del ruotismo (ruota 1) e la velocità angolare dell’ultima ruota del ruotismo (ruota 3). Si ha pertanto1: ω z i= 1 = 3 ω3 z1 D’altra parte, considerato il ruotismo come costituito da una serie di due ingranaggi, il suo rapporto di trasmissione può essere determinato come segue: Rapporto di trasmissione dell’ingranaggio z1-z2 z i1− 2 = − 2 z1 Rapporto di trasmissione dell’ingranaggio z2-z3 z i2−3 = − 3 z2 Rapporto di trasmissione del ruotismo  z   z  z i = i1− 2 ⋅ i2 −3 =  − 2  ⋅  − 3  = 3 (6.88)  z1   z2  z1 Dalla (6.88) si deduce pertanto che il rapporto di trasmissione è indipendente dal numero di denti della ruota oziosa2.

1

A questo punto non sappiamo tuttavia ancora se il rapporto di trasmissione sia positivo o negativo, ossia non sappiamo se le velocità di rotazione delle ruote 1 e 3 siano concordi o discordi 2 La ruota oziosa si può a ragione definire come tale, nel senso che serve solo a cambiare il senso di rotazione dell’albero d’uscita, ma non modifica il valore della coppia o della velocità angolare applicata.

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Esempio 6.13 Si determini il rapporto di trasmissione del ruotismo di seguito proposto.

 z  z   z  z ⋅z i =  − 2  − 3   − 4  = − 3 5 z1 ⋅ z4  z1  z2  z5 

(6.89)

Dalla (6.89) si deduce che il rapporto di trasmissione di un ruotismo si ottiene come rapporto tra il prodotto del numero di denti delle ruote condotte rispetto a quello delle ruote conduttrici. Il numero di denti della ruota oziosa, da considerarsi una volta motrice e una volta condotta, comparendo nella (6.89) sia a numeratore, sia denominatore non influenza il rapporto di trasmissione del ruotismo.

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Esempio 6.14 Di seguito è rappresentato il disegno schematico di un cambio automobilistico a cinque marce con la quanta marcia in presa diretta (in rosso magenta il numero di denti delle ruote).

Determinare i rapporti di trasmissione alle varie marce.

55 38 ≅ 2.82 20 37 55 35 ≅ 2.24 20 43 55 25 ≅ 1.375 20 50

Prima marcia

iI

Seconda marcia

iII

Terza marcia

iIII

Quanta marcia

iIV

1

Quinta marcia

iV

55 18 ≅ 0.87 20 57

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Ruotismi epicicloidali Si definiscono ruotismi epicicloidali quei ruotismi nei quali uno o più assi assumono un moto di rivoluzione rispetto ad uno o più assi fissi. Le ruote solidali con gli assi fissi sono dette planetari (solari) Le ruote solidali con gli assi mobili sono dette satelliti. Il telaio che serve a collegare gli assi mobili con gli assi fissi viene detto portatreno. La prima e l’ultima ruota del ruotismo, percorso nel senso dei successivi concatenamenti delle dentature, prendono il nome di ruote principali.

Nel seguito analizzeremo in dettaglio la cinematica di uno riduttori epicicloidali più utilizzati e che di seguito è rappresentato.

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Le due ruote satelliti che ingranano con il pignone centrale (solare o planetario) rotolano sulla corona dentata internamente e muovono la forcella porta satelliti calettata su di un albero che ruota coassialmente al solare. In un ruotismo epicloidale semplice, vale la seguente relazione, nota come formula di Willis, che giustificheremo nelle esemplificazioni seguenti.

ωF − Ω  ωF  = =i*  ωL − Ω  ωL ORD

(6.90)

Dove ω F è la velocità di rotazione del primo elemento del ruotismo, Ω la velocità di rotazione del portatreno, ω L la velocità di rotazione dell’ultimo elemento del ruotismo ed i * è il rapporto di trasmissione del ruotismo reso ordinario. Nel seguito esamineremo delle applicazioni della formula di Willis, relativamente al ruotismo proposto in precedenza, cercando pure di darne una giustificazione almeno intuitiva. 1. Consideriamo il caso in cui la corona sia mantenuta fissa e valutiamo il rapporto di trasmissione del ruotismo.

Il punto A, considerato appartenente al solare di raggio Rso, ha una velocità pari a: VA = ω SO ⋅ RSO Il punto B, considerato appartenente alla corona, è fisso. Il punto O del satellite è dotato pertanto di una velocità pari a: VO = VA 2 Il centro del satellite O dista dal centro del solare di una quantità pari a: R + RSO RP = CO 2 La velocità angolare Ω del portatreno vale pertanto: V RSO VA Ω= O = = ωSO RP RSO + RCO RSO + RCO Ed esprimendo in funzione del numero di denti si ha: ω z + zCO 2 ( zSO + zSA ) i = SO = SO = Ω zSO zSO Allo stesso risultato si può pervenire con un diverso ragionamento.

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(6.91)

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Se dotassimo il ruotismo di una rotazione uguale e contraria a quella del portatreno, il ruotismo stesso verrebbe a comportarsi come un ruotismo ordinario con rapporto di trasmissione i * pari a: z i* = − CO zSO Ma per effetto della rotazione esterna imposta, l’ultima ruota del ruotismo (la corona) assume una velocità pari a –Ω, mentre la prima ruota del ruotismo (il solare) assume una velocità pari a ωSO − Ω . Ricordando la definizione di rapporto di trasmissione si ha pertanto: ωSO − Ω =i* (6.92) −Ω Da cui con pochi passaggi si ottiene: ω 2 ( zSO + zSA ) i= 0 = Ω zSO La (6.92) è il risultato dell’applicazione della formula di Willis nel caso in cui l’ultima ruota del ruotismo sia bloccata ( ωCO = 0 ) .

2. Consideriamo lo stesso ruotismo in cui si mantenga fissa la ruota solare, il moto entri dal portatreno e lo si prelevi dalla corona. Il rapporto di trasmissione del ruotismo reso ordinario rimane sempre quello calcolato al punto precedente (il ruotismo fisicamente è immutato). Dalla formula di Willis, ricordando che in questo caso ω F = 0 , si ha: z −Ω = i* = − CO ωL − Ω zSO Il rapporto di trasmissione del ruotismo epicicloidale vale quindi:

Ω

ωL

=

zCO + zSO zCO

Possiamo ottenere lo stesso risultato tracciando, come in precedenza il triangolo delle velocità del satellite.

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VA = ωCO ⋅ RCO i=

Ω

ωCO

=

VO = VA / 2 =

ωCO ⋅ RCO 2 RP

⋅

1

ωCO

=

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ωCO ⋅ RCO

Ω=

2

VO RP

RCO z + zSO = CO RCO + RSO zCO

Esempio 6.15 Sempre con riferimento al ruotismo epicicloidale esaminato in precedenza si determini la velocità da conferire alla corona affinché il portatreno si mantenga fisso. Affronteremo il problema tramite l’applicazione della formula di Willis e successivamente considerando i triangoli di velocità.

ωF − Ω =i* ωL − Ω Nell’esempio proposto si ha: Ω = 0; ω F = ωSO ; ω L =ωCO ; i* = − z SO zCO Da cui si ricava immediatamente: z ωCO = −ωSO SO zCO Consideriamo ora il problema esaminandi il triangolo della velocità del satellite.

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Affinché il centro O del satellite sia fermo, le velocità dei punti A e B devono essere uguali e contrarie. Deve pertanto essere verificata la seguente uguaglianza. ωSO ⋅ RSO = −ωCO ⋅ RCO Da cui si ha: R z ωCO = −ωSO ⋅ SO = −ωSO SO RCO zCO

Esempio 6.15 Sapendo che la vite ruota a 1500 rpm, determinare la velocità di rotazione dell’albero solidale al portatreno. Dati: Numero principi della vite 1 Numero di denti della ruota a gola 60 Numero di denti del solare 25 83 Numero di denti della corona1

La velocità di rotazione della ruota a gola vale:

1

I numeri di denti zSO, zSA e zCO, rispettivamente del solare dei satelliti e della corona, affinché sia possibile disporre gli m satelliti ad una distanza angolare di 2π/m, devono rispettare la seguente imposizione zCO +z SO = multiplo di m

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nRG =

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1500 = 25 rpm 60

La ruota a gola è solidale con l’albero porta solare la cui velocità vale pertanto: nSO = nRG = 25 rpm La corona del ruotismo epicicloidale è fissata al telaio tramite viti. Pertanto: ωCO = 0 Il rapporto di trasmissione del ruotismo epicicloidale, reso ordinario, vale: z i* = − CO zSO Applicando la formula di Willis (6.90) si ha: ω −Ω ω zSO ωF − Ω 25 = i* → SO = i* → Ω = SO = ωSO → nP = 25 ≅ 5.8 rpm ωL − Ω −Ω 1− i * zSO + zCO 25 + 83

Esempio 6.16 Con riferimento al ruotismo epicicloidale sotto rappresentato e nell’ipotesi che l’albero S2 sia mantenuto fisso, determinare: 1. il rapporto di trasmissione tra i due alberi coassiali (S1 motore, A2 condotto); 2. il modulo e il verso della coppia richiesta per mantenere fisso l’albero S2, nell’ipotesi che sull’albero S1 sia applicata una coppia oraria pari a 300 Nm.

Numero di denti del ruotismo zS1 40 zA1 120 zS2 30 zA2 100

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Consideriamo il primo ruotismo epicicloidale (S1 solare, A1 corona, porta treno solidale con A2) e applichiamo la formula di Willis: ωS 1 − ω A 2 120 = i* = − ω A1 − ω A 2 40 Consideriamo ora il secondo ruotismo epicicloidale (S2 solare fisso, A2 corona, A1 portatreno) e applichiamo la formula di Willis: ωS 2 − ω A1 100 =− ω A2 − ω A1 30 Da cui risolvendo il sistema si ottiene: ωS 1 22 = ω A2 13 La coppia motrice entrante nel ruotismo vale: CS 1 = 300 Nm CS1, essendo una coppia motrice, è diretta come ωS1 La coppia resistente, trascurando ogni fenomeno passivo, si ricava imponendo l’uguaglianza tra potenza entrante e potenza uscente. ω 22 CS 1 ⋅ ωS 1 = C A 2 ⋅ ω A 2 → C A2 = CS 1 S 1 = 300 ≅ 508 Nm ω A2 13 La coppia CA2 essendo resistente ha verso opposto a ωA2

Per l’equilibrio alla rotazione si ha: CS 1 + CS 2 + C A 2 = 0 → CS 2 = −300 + 508 = 208 Nm CS2, risultando positiva, ha la stessa direzione di CS1.

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Una più combinazioni di ruotismi epicicloidali vengono utilizzati nei cambi automatici. Di seguito riportiamo il disegno del cambio automatico in dotazione ad una autovettura (FIAT 130 1970) e la sua rappresentazione schematica.

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Rappresentazione schematica del cinematismo connesso al cambio automatico dell’autovettura FIAT 130

Numero di denti delle ruote dentate Ruota Numero denti

1 33

2 20

3 21

3’ 21

4 81

5 39

Il cambio automatico consiste di due frizioni ( CA e CB), due freni (BC e BD) e un ruotismo epicicloidale composto. Esaminaimo ora le modalità con cui si ottengono i rapporti di trasmissione alle varie marce. Prima marcia Frizione CA e freno BD inseriti Il cinematismo risulta ordinario (il portatreno è bloccato dal freno BD) Il rapporto di trasmissione vale:  z  z   z  z iI =  − 2  − 3   4  = 4 ≅ 2.45  z1  z2  z3  z1

Retromarcia Frizione CB e freno BD inseriti Anche in questo caso il ruotismo risulta ordinario  z  z  z iII =  − 3  4  = − 4 ≅ 2.08 z5  z5  z3  Seconda marcia Frizione CA e freno BC inseriti Il ruotismo è epicicloidale

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Risulta utile sdoppiare il ruotismo epicicloidale. Considerando la parte sx del ruotismo, applicando la formula di Willis e indicando al solito con Ω la velocità angolare del porta treno, si ha: ω1 − Ω = isx * ω5 − Ω

 z  z   z  z isx * =  − 2  − 3   − 5  = − 5 z1  z1  z2  z3'  Da cui z1 Ω = ω1 z1 + z5

(6.93)

Considerando la parte dx del ruotismo, in modo analogo, si ha: ω1 − Ω = idx * ω 4 −Ω

 z  z   z  z idx * =  − 2  − 3   4  = 4  z1  z2  z3  z1 ω1 − Ω z4 = ω 4 −Ω z1

(6.94)

Sostituendo la (6.94) nella (6.93) si ricava il rapporto ω1 ω4 ovvero il rapporto di seconda marcia z z +z  iII = 4  1 5  ≅ 1.473 z1  z5 + z4  Presa diretta La presa diretta si ottiene inserendo contemporaneamente le frizioni CA e CB. In tal modo le ruote 1 e 5 ruotano solidali, pertanto le ruote 3, 3’ e 2 non ruotano attorno ai loro assi di calettamento. In tali condizioni la velocità di rotazione della corona 4 coincide con la velocità comune delle ruote 1 e 5 (presa diretta).

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Esempio 6.17 Lo schema sotto proposto rappresenta un riduttore epicicloidale. Gli alberi A e B sono accoppiati con due motori autofrenanti, mentre l’abero U è accoppiato all’utilizzatore. Dati Motore autofrenante A Potenza 10 kW velocità 800 rpm Motore autofrenante B Potenza 5 kW velocità 1600 rpm Numero denti corona 80 Numero denti solare 22 Numero denti satelliti (3) 29 Numero denti pignone di uscita 43 Numero denti ruota finale 85 Determinare, in assenza di ogni fenomeno passivo; 1. i momenti torcenti trasmessi dall’albero U e le corrispondenti frequenze di rotazione; 2. i momenti torcenti assorbiti dai freni dei due motori

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Schema del cinematismo

1. Motore B in rotazione e motore A frenato In queste condizioni, il ruotismo è reso ordinario (il blocco del motore A implica il blocco del portatreno). La velocità di rotazione dell’utilizzatore vale di conseguenza:  22  29  43  ωUB = ωB  −   −  = 222.6 rpm  29  80  85  Trascurando eventuali fenomeni passivi, la coppia motrice del motore B e la coppia resistente all’utilizzatore, in condizioni di equilibrio, valgono: N N CmB = B ≅ 29.8 Nm CUB = B ≅ 214 Nm

ωB

ωUB

Il satellite è impegnato sia con il solare sia con la corona secondo lo schema sotto riportato.

 43  CUB   C  85  F = mB = rSO rCO dove con rSO e rCO si sono indicati rispettivamente i raggi primitivi di solare e corona.

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E’ evidente pertanto che il momento assorbito dal freno del motore A, indicato con rSA il raggio primitivo del satellite, vale: C z + zSA ≅ 140 Nm C fA = 2 F ( rSO + rSA ) = 2 mB ( rSO + rSA ) = 2CmB SO rSO zSO Allo stesso risultato si può pervenire considerando che la coppia resistente sulla corona vale: z   43   80  CCOB = CUB   = CmB   = CmB  CO   85   22   zSO  diretta secondo Cm. La coppia assorbita dal freno del motore A vale:  z  z + zSA C fA = CmB + CCOB = CmB 1 + CO  = 2CmB SO zSO  zSO  2. Motore A in rotazione e motore B frenato In queste condizioni il ruotismo è epicicloidale con ruota solare ferma. Applichiamo la formula di Willis indicando al solito con Ω la velocità del portatreno e con ωSO e ωCO le velocità di rotazione del solare e della corona. ω  ωSO − Ω 80  29  80  = i* =  SO  =  −   = − ωCO − Ω 22  ωCO ORD  22  29  Poiché ωSO è nulla si ottiene: −Ω 22  22  = − → ωCO = Ω  1 +  ≅ 1020 rpm ωCO − Ω 80  80  La velocità angolare dell’utilizzatore è quindi pari a:  43  ωUA = ωCO  −  ≅ −516 rpm  85  Trascurando ogni fenomeno passivo, la coppia all’utilizzatore vale: C ω 10 ⋅ 1000 ⋅ 60 CmAω A = CUA ⋅ ωUA → CUA = mA A = ≅ 185 Nm ωUA 2π ⋅ 516 La coppia resistente applicata alla corona vale: 43 CCOA = CUA ≅ 93.6 Nm (di verso opposto alla coppia motrice dato che portatreno e corona 85 hanno versi di rotazione concordi) Per l’equilibrio alla rotazione deve essere: C fB + CmA + CCOA = 0 → C fB = 119.4 − 93.6 ≅ 26 Nm Allo stesso risultato si può pervenire considerando le forze scambiate tra i denti .

F=

CmA rso + rsa

FCO =

CCOA rso + 2rsa

C fB = Fr ⋅ rso = F ( rso + rsa ) − FCO ( rso + 2rsa )

C fB = Fr ⋅ rso ≅ ( CmA − CCOA )

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Esempio 6.18 Lo schema di seguito proposto rappresenta un ruotismo epicicloidale utilizzato per variare il passo di un’elica1.

Il motore elettrico mette in rotazione il solare A, mentre le corone C ed H sono solidali alla carcassa. I portatreno sono indipendenti e liberi di ruotare attorno al loro asse comune. La corona J, tramite una coppia conica trasmette il moto di rotazione delle pale. zA 13

zB 56

zC 125

zD 48

zE 117

zF 17

zG 30

zH 77

zI 26

zJ 73

Determinare il rapporto di trasmissione del ruotismo E’ opportuno smembrare il riduttore in blocchi elementari a cui applicare la formula di Willis. Si ha quindi: Ruotismo A, B, C z ωA − Ω  ωA  = = i1 = − C  zA ωC − Ω  ωC ORD Ruotismo A, B, D, E ωA − Ω  ωA  z z = = i2 = − B E  ωE − Ω  ωE ORD z A zD Ruotismo F, G, H ωF − Ω ωE − Ω  ω F  z = = = i3 = − H  zF ω H − Ω ωH − Ω  ωH ORD Ruotismo F, G, I, J z z ωF − Ω ω E − Ω  ωF  = = = i4 = − G J  ωJ − Ω ω J − Ω  ωJ ORD zF z I 1

L’utilizzo di un tale dispositivo è giustificato dal fatto che la coppia richiesta per la rotazione dell’elica è molto elevata e che per ragioni di carattere tecnico-costruttive il motore è di bassa potenza e ruotante a velocità elevata.

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Risolvendo si ottiene: ωJ i4 − i3 i −i 17 1 = 2 1 = ≅ 3 ω A i2 (1 − i1 ) i4 (1 − i3 ) 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 73 8116

Esempio 6.19 La figura sotto riportata illustra un dispositivo atto ad assicurare la sterzatura di un veicolo cingolato.

Marcia rettilinea L’albero di sterzata è fisso e con esso rimangono fissi i solari S1 e S2. L’albero di trazione tramite una coppia conica mette in rotazione le corone C1 e C2. Applicando la formula di Willis al ruotismo epicicloidale si ha: ωS 1,2 zS 1,2 + ωC1,2 zC1,2 z zC1,2 ωS 1,2 − Ω  ωS 1,2  = = − C1,2 → Ω = = ωC1,2  ωC1,2 − Ω  ωC1,2 ORD zS 1,2 zS 1,2 + zC1,2 zS 1,2 + zC1,2 Dove con Ω, ωS e ωC si sono indicate rispettivamente le velocità di rotazione del portareno (solidale con le ruote) del solare e della corona. Sterzata Ruotano l’abero di sterzata e l’albero di trazione. L’albero di sterzata, tramite l’ingranaggio conico, mette in rotazione le ruote T1 e T2 le quali, a loro volta conferiscono velocità, di verso opposto, alle ruote solari. Indicata con ωT la velocità di rotazione dell’albero di sterzata, le velocità di rotazione imposte ai solari S1 e S2 valgono:  z  z  z z ωS1 = −ωT T 1 ωS 2 = ωT  − T 2  − U 2  = ωT T 2 zR 2 z R1  zU 2   z R 2  Se, come avviene: zT 1 zT 2 = z R1 z R 2

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Allora le velocità dei portatreno saranno rispettivamente aumentate e diminuite di una stesso valore ∆ω , quindi un cingolo sarà più veloce dell’altro e il veicolo sterzerà. ∆ω = ωT

zT 1,2 zR1,2

Aumentando ωT si può arrivare all’annullamento della velocità di un cingolo: in tali condizioni il veicolo realizza una traiettoria circolare di raggio pari alla sua carreggiata (distanza tra i cingoli). Bloccando l’albero di avanzamento e mantenendo per contro sempre attivo l’albero di sterzata, si ottengono, sui cingoli, velocità uguali ed opposte. In questa condizione di controrotazione dei cingoli il mezzo può effettuare una piroetta su se stesso (neutral turn) senza descrivere una curva.

Il differenziale automobilistico Consideriamo un’auto che percorre un tratto di strada rettilinea alla velocità v. Quando la stessa auto affronta una curva di raggio R il semiasse esterno ruoterà con una frequenza maggiore del semiasse interno.

Più precisamente, se in curva si vuole mantenere la stessa velocità v che l’auto aveva nella marcia rettilinea, indicate con c la carreggiata, con r il raggio delle ruote, le velocità dei centri delle ruote rispettivamente esterne ed interne devono essere pari a:

R+c 2 R−c 2 vi = v R R E le rispettive velocità angolari dei semiassi esterno ed interno sono pari a: ve = v

ωe = v

R+c 2 R⋅r

ωi = v

R−c 2 R⋅r

Pertanto, indipendentemente dal raggio della curva, la somma delle velocità angolari dei semiassi si mantiene pari al rapporto tra il doppio della velocità v e il raggio r dello pneumatico.

ωe + ωi =

2v = 2Ω r

(6.95)

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Il ruotismo differenziale classico è appunto un ruotismo in grado di garantire il rispetto della (6.95)

Il differenziale a ruote coniche ‘classico’ è costituito da una scatola (portatreno) che riceve il moto dall’albero motore. Nella scatola solo alloggiati quattro perni, realizzanti una crociera, su cui ruotano folli quattro satelliti. Ciascun satellite si impegna contemporaneamente con due solari solidali rispettivamente al proprio semiasse.

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Studio del differenziale (rendimento interno unitario) Valutiamo ora il rapporto di trasmissione del differenziale reso ordinario tramite il blocco del portatreno.

Dallo schema sopra riportato è evidente che tale rapporto vale: ω   z  z  i* =  e  = −  sa  so  = −1  ωi ORD  zso  zsa 

(6.96)

Il segno negativo nella (6.96) sta ad indicare che, con portatreno bloccato, le velocità di rotazione dei semiassi, come si vede immediatamente dallo schema proposto, sono opposte. Noto il rapporto di trasmissione del ruotismo reso ordinario, applichiamo la formula di Willis al differenziale in studio indicando al solito con Ω la velocità angolare del portatreno: ωe − Ω ωe − Ω =i* → = −1 → ωe + ωi = 2Ω (6.97) ωi − Ω ωi − Ω Risulta pertanto dimostrato che il ruotismo proposto (differenziale classico a ruote coniche) è in grado di garantire, come ipotizzato, il rispetto della (6.95). Ipotizzando una trasmissione con rendimento unitario, indicati con Mc, Me e Mi rispettivamente i momenti sulla scatola e sui semiassi, si ha:  M c Ω = M eωe + M iωi → Me = Mi (6.98)  M e + M i = M c Pertanto, in un ruotismo differenziale classico con rendimento unitario, i momenti sui due semiassi si mantengono sempre uguali. Tenuto presente che un semiasse può scaricare la propria coppia solo se trova l’opposizione di un adeguato momento resistente, qualora una ruota dovesse perdere aderenza il rispettivo semiasse non potrebbe scaricare coppia, ma per la (6.98) sarà nulla anche la coppia trasmessa dall’altro semiasse e la trazione si annullerebbe con conseguenze negative per la stabilità del veicolo e per la sua movimentazione.1

1

Il problema si risolve o con il bloccaggio selettivo del differenziale o con l’adozione di differenziali con basso rendimento interno, ovvero differenziali che disperdono una quota di energia non trascurabile quando le velocità dei due semiassi differiscono in misura notevole.

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Studio del differenziale (rendimento interno η) Esaminiamo ora la ripartizione della coppia motrice tenendo conto del rendimento interno del dispositivo.

1. Consideriamo dapprima l’equilibrio del differenziale quando semiassi e portatreno sono fissi. Per l’equilibrio deve essere: (6.99) M rA + M rB + M C = 0 Dove MC è il momento trasmesso dal portatreno ed Mr sono i momenti resistenti ai rispettivi semiassi. 2. Sempre a portatreno fisso e in condizioni di equilibrio, ovvero in condizioni di rispetto della (6.99), si imprima al semiasse B una rotazione concorde con MrB. Il semiasse B si comporta da motore e il semiasse A da condotto. Tra i momenti resistenti vale pertanto la seguente relazione: (6.100) M rA1 = η M rB1 3. Sempre a portatreno fisso e in condizioni di equilibrio, ovvero in condizioni di rispetto della (6.99), si imprima al semiasse A una rotazione concorde con MrA . Il semiasse A si comporta da motore e il semiasse B da condotto. Tra i momenti resistenti vale pertanto la seguente relazione: (6.101) M rB 2 = η M rA 2 Quando i tre elementi del differenziale ruotano alla stessa velocità e in condizioni di equilibrio, non si avranno moti relativi tra di essi fino a che i momenti resistenti sui semiassi sono compresi nei limiti dati dalle due relazioni precedenti.  M rA1 ≤ M rA ≤ M rA2 (6.102)   M rB1 ≤ M rB ≤ M rB 2 Tenuto presente che i momenti motori sono uguali e contrari ai momenti resistenti, nel moto a regime del differenziale si riconoscono le seguenti ripartizioni dei momenti. 1. ω A < Ω ω B > Ω

 M A1 + M B1 = M C 1 → M A1 = M C  1+η  M A1 = η M B1

M B1 = M C

η 1+η

(6.103)

2. ω B < Ω ω A > Ω

 M A2 + M B 2 = M C η → M A2 = M C  1+η  M A2 = M B 2 η

M B2 = M C

1 1 +η

(6.104)

3. ω A = ω B = Ω In questa situazione la ripartizione della coppia è indeterminata. In condizione di regime i momenti sui due semiassi possono variare tra i limiti:

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η 1  M C 1 + η ≤ M B ≤ M C 1 + η   M η ≤ M ≤ M 1 A C  C 1 + η 1+η

(6.105)

Nella marcia in curva sul semiasse che comanda la ruota interna, in accordo con le (6.103) si ha un momento motore: 1 M A = MC 1 +η Mentre sul semiasse che comanda la ruota esterna, sempre in accordo con le (6.103), si ha un momento motore: η M B = MC 1 +η I momenti motori sui semiassi, che nel caso ideale (η=1) erano uguali fra loro e pari alla metà del momento trasmesso dal portatreno, differiscono, nel caso reale ( η ≠ 1 ) nella marcia in curva, della quantità: 1 −η M A − M B = MC 1+η e possono in marcia rettilinea differire al massimo della stessa quantità senza indurre rotazioni relative tra gli elementi del differenziale. Un parametro di confronto fra i due differenziali è il rapporto di bloccaggio b (locking factor) definito come rapporto tra la differenza di coppia tra le due ruote e il momento trasmesso MC : ∆M 1 − η b= = (6.106) MC 1+η Il rapporto di bloccaggio fornisce un’indicazione sulla differenza fra le coppie trasmissibili dalle ruote dello stesso asse e quindi un grado di indipendenza l’una dall’altra. Un rendimento η elevato produce un valore basso di b e dunque una forte dipendenza fra le coppie trasmissibili, viceversa con valori bassi del rendimento. Per un differenziale ordinario con un rendimento η = 0.9 il rapporto di bloccaggio è b ≅ 0.05 ; ciò significa che nel caso particolare in cui una ruota non possa trasmettere coppia la sua coniugata è in grado di trasferire al suolo una coppia pari a bMC e quindi pari al 5% della coppia riversata sull’assale. Di seguito esamineremo il comportamento di un differenziale frenato (Timken), di un differenziale autobloccante a frenatura progressiva e del differenziale Torsen.

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Il differenziale frenato

Le (6.98) riscritte, per tener conto dell’azione della frizione e nel caso di un suo slittamento, diventano:  M c Ω = M eωe + M iωi + M o (ωe − Ω )   M c = M e + M i dove con Mo si è indicato il momento frenante. Tenuto conto della (6.97) si ottiene:  Mc − M0   M c Ω = M eωe + M iωi + M o (ωe − Ω )  M e =  2 →  (6.107) M c = M e + M i M + M0 c   M = ω + ωi  i Ω = e 2  2 La (6.107) dice, tra l’altro, che durante la marcia in curva la ruota interna trasmette al terreno una coppia maggiore di quella trasmessa dalla ruota esterna. In caso di marcia rettilinea , qualora uno dei due semiassi possa trasmettere a terra una coppia limitata al valore Mmin l’altro semiasse avrebbe ancora disponibile una coppia pari a M min + M 0 . In questo caso il momento totale trasmesso alle ruote motrici sarebbe pari a 2M min + M 0 , mentre nel caso di un differenziale normale tale coppia sarebbe solamente pari a 2M min . In effetti in questo configurazione il rapporto di bloccaggio, trascurando il rendimento interno del differenziale, risulta pari a: M b= 0 Mc Nel caso in cui una ruota perda completamente aderenza sull’altra si rende ancora disponibile un momento pari a M0. Di seguito viene riportato il diagramma funzionale del differenziale frenato in cui il semiasse B è collegato alla ruota con scarsa aderenza e il momento massimo trasmissibile dalla frizione M0 è pari al 25% del momento massimo trasmissibile dalla corona del differenziale.

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Nel caso in cui la ruota poco aderente (B) non trasmetta alcuno sforzo al suolo, la ruota che conserva aderenza è in grado di trasmettere al suolo una coppia pari alla coppia massima erogabile dalla frizione (25% MC) . Qualora però la ruota poco aderente (B) sia in grado di trasmettere un qualche sforzo traente, il diagramma fornisce sia la coppia sull’altra ruota, sia lo sforzo totale di trazione. Ad esempio se la ruota poco aderente fornisce il 10%, la coppia su quella aderente sale al 30% e quindi lo sforzo di trazione raggiunge il 40%. Il differenziale autobloccante (self-locking differential) a frizione ZF a frenatura progressiva (LSD1)

Sotto l’azione della coppia applicata la scatola del differenziale (2) porta in rotazione gli spingidisco (3) e i dischi di frizione conduttori (9). Viene inoltre messo in rotazione tutto il complesso dei satelliti (4) e dei planetari (5) tramite i perni (6). Assieme ai planetari (5) ruotano i dischi di frizione (8) collegati ai rispettivi semiassi. Nella marcia normale i semiassi ricevono una coppia di reazione dovuta allo sforzo di avanzamento della vettura. I perni (6) premono sui piani inclinati (3) tendendo a divaricarli e quindi a premere tra di loro i dischi condotti (8) e conduttori (9). Tale pressione è tanto maggiore quanto più elevata è la coppia di reazione sui semiassi. 1

LSD è l’acronimo di Limited Slip Differential

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Se una delle ruote dovesse perdere aderenza, i relativi semiasse planetario tenderebbero a ruotare più velocemente della scatola del differenziale (2), ma ne sono impediti dalla forza di attrito che si sviluppa tra i dischi di frizione condotti (8) e conduttori (9).

Il differenziale Torsen (Torque Sensin)

Il differenziale Torsen è un dispositivo che sfrutta il basso rendimento interno per diversificare le coppie trasmissibili sui due semiassi. Può essere applicato come differenziale centrale nel collegamento tra gli assali anteriore e posteriore di una trasmissione integrale (vedi figura sopra riportata) o può essere applicato nel collegamento tra due ruote motrici. Gli estremi dei due semiassi sono costituiti da viti senza fine e rappresentano i solari. Vi sono poi tre coppie di ingranaggi elicoidali che fungono da satelliti. Questi sono collegati con la scatola del differenziale mediante altrettanti perni e sono costantemente in presa fra loro mediante una coppia di ingranaggi a denti dritti calettati alle estremità. Quando le due ruote dell’asse sentono la stessa resistenza all’avanzamento tutti i satelliti ruotano rigidamente attorno all’asse del differenziale e non vi è strisciamento alcuno tra viti senza fine e ruote elicoidali. Se la differenza fra le aderenze e dunque fra le coppie resistenti fra le due ruote supera la somma degli attriti di primo distacco che caratterizzano i componenti del Torsen, i satelliti iniziano a ruotare su se stessi e dunque ingranano fra loro ed ognuno con la rispettiva vite senza fine. Proprio il basso rendimento che caratterizza l’accoppiamento vite senza fine e ruota elicoidale è alla base del funzionamento di questo differenziale. Ora, con riferimento alla schematizzazione del dispositivo sotto rappresentata, ricaviamo il rendimento interno del differenziale.

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Al solito, a carcassa fissa, imponiamo una rotazione qualsiasi al semiasse B. Il semiasse,tramite la vite senza fine, mette in rotazione la ruota elicoidale satellite con essa impegnata. La ruota elicoidale messa in rotazione dal semiasse B, tramite un ingranaggio con rapporto di trasmissione unitario mette in rotazione la ruota dentata satellite gemella che, a sua volta mette in rotazione la vite senza fine e il semiasse ad essa solidale. Il differenziale Torsen, ai fini del calcolo del rendimento interno, può essere pertanto schematizzato come una coppia vite senza fine − ruota in serie ad una coppia ruota − vite senza fine. Dalle (6.72) (6.73) si ricava pertanto: tan ( β − ϕ ) η = ηVR ⋅η RV ≅ (6.108) tan ( β + ϕ ) dove β è l’angolo di inclinazione dell’elica media della vite e ϕ = tan −1 f con f coefficiente d’attrito tra vite e ruota. L’angolo dell’elica tipico di questo differenziale è circa 40° e, con un coefficiente d’attrito f pari a circa 0.1 si vede come si raggiungano facilmente rendimenti dell’ordine del 60÷70%.1 Dalla (6.104) si ricavano le espressioni delle coppie ai semiassi in funzione del momento trasmesso all’assale. η  M A = M C 1 + η  ωB < ω A (6.109)  M = M 1 C  B 1+η Dalla (6.106) si vede che con i valori di η prima citati si ottiene un rapporto di bloccaggio pari a circa il 66%. Ciò significa che nella peggiore delle ipotesi per cui risulti MA = 0 l’altra ruota può trasmetter fino al 66% della coppia motrice. Dalla (6.105) si deduce infine che, nella marcia rettilinea, le rotazioni dei satelliti iniziano quando una delle coppie resistenti scende sotto il 17% della coppia motrice trasmessa su tutto l’assale.

1

Considerando poi gli attriti di strisciamento prima trascurati (attrito tra perni e cuscinetto, tra gli ingranaggi cilindrici etc…) si arriva comodamente a rendimenti dell’ordine del 20%.

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Differenziali con diverso numero di denti dei solari Come abbiamo visto in precedenza, in un differenziale classico con rendimento unitario, i momenti sui due semiassi si mantengono sempre uguali. Soprattutto nella trazione integrale sovente vi è l’esigenza di ripartire la coppia motrice in modo non simmetrico tra i due semiassi (ad esempio 60% della coppia motrice sul semiasse posteriore e il 40% sul semiasse anteriore)

Il problema potrebbe risolversi agevolmente adottando un differenziale in cui il rapporto tra i numeri denti delle ruote solidali agli alberi colleganti i semiassi sia pari a 1.5. Nella situazione in cui Ω, ωa e ωp assumono lo stesso valore, ovvero in assenza di rotazioni interne, è facile riconoscere che il rapporto tra i momenti Ma ed Mp resi disponibili rispettivamente al semiasse anteriore e posteriore vale: M p zp = (6.110) M a za dove con za e zp si sono indicati i numeri di denti dei solari collegati rispettivamente al semiasse anteriore e posteriore. Dalla (6.110), tenuto conto che la somma dei momenti sui solari deve essere pari al momento MC trasmesso dalla scatola del differenziale si ottiene: z p za  M p = M C 1 + z p za  (6.111)  1 M = M C  p 1 + z p za  Se za = 40 e zp = 60 e MC = 50 Nm, sui due assali, anteriore e posteriore, verranno rese disponibili rispettivamente le coppie Ma = 20 Nm e Mp = 30 Nm.

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Esempio 6.20 Un autocarro affronta alla velocità di 50 km/h una curva di raggio medio 50 m. Determinare, con riferimento allo schema assegnato del ponte posteriore (sezione differenziale),: 1. la frequenza di rotazione dei solari (frequenza coincidente con quella dei semiassi ad essi solidali); 2. la frequenza di rotazione dei satelliti intorno al proprio perno; 3. la frequenza di rotazione della scatola del differenziale; 4. la frequenza di rotazione del pignone in ingresso. Si conoscono i seguenti dati: Carreggiata posteriore c 1835 mm Diametro esterno degli pneumatici dpn 40” Ponte posteriore: del tipo portante a doppia riduzione; una cilindrica e una conica:
rapporto coppia cilindrica 14/59;
rapporto coppia conica 15/29;
rapporto totale di riduzione 1/8.15
numero di denti dei solari 35 numero di denti dei satelliti 30

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Si determinano le velocità dei centri delle ruote motrici esterna ed interna. Indicata con v la velocità dell’autocarro, con R il raggio medio della curva, si ha: R+c 2 R−c 2 ve = v vi = v R R dove ve e vi sono le velocità dei centri rispettivamente della ruota esterna ed interna. Le frequenze di rotazione ne e ni rispettivamente dei semiassi esterno ed interno valgono: 2 ( R + c 2 ) 60 2 ( R − c 2 ) 60 ne = v ni = v R ⋅ d pn 2π R ⋅ d pn 2π Sostituendo i valori numerici ( d pn = 40 ⋅ 25.4 mm ) si ha: ne ≅ 265.9 rpm

ni ≅ 256.3 rpm

La frequenza di rotazione nD della scatola del differenziale vale: n +n nD = e i ≅ 261.1 rpm 2 Tenuto presente il rapporto tra i numeri di denti della coppia cilindrica, la frequenza di rotazione dell’albero intermedio nAI si ottiene da nD : 59 n AI = nD ≅ 1100.35 rpm 14 Tenuto presente il rapporto tra i numeri di denti della coppia conica, la frequenza di rotazione del pignone conico np si ottiene da nAI : 29 n p = nAI ≅ 2127.34 rpm 15 Determinazione della frequenza di rotazione nsa dei satelliti rispetto al perno

Si indichino con ue e ui le velocità, in m/s, dei punti medi di contatto tra satellite e rispettivamente solare esterno ed interno. Siano inoltre m il modulo comune ai solari ed ai satelliti e zso e zsa i numeri di denti rispettivamente dei solari e dei satelliti. Si ha:

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2π zso ⋅ m 2π z so ⋅ m ui = ni 60 2 60 2 e quindi, vedi fig. sopra 2π zso ⋅ m 2π zso ⋅ m ne − ni 60 2 = 2π zso m ( n − n ) ∆u = 60 2 e i 2 60 ⋅ 4 da cui infine: 2π zso m ( ne − ni ) 60 z ( ne − ni ) nsa = 60 ⋅ 4 = so zsa m / 2 2π zsa 2 Sostituendo i valori numerici: 2 ⋅ 35 nsa = ( 265.9 − 256.3) ≅ 5.6 rpm 30 ue = ne

Il satellite è pertanto dotato di due rotazioni 1) rotazione con frequenza nsa attorno al proprio asse; 2) rotazione con frequenza nD attorno ai semimassi. Se l’asserzione al punto 2 è vera deve allora essere vera anche la seguente uguaglianza: u ⋅ 2 60 nD = m zso m 2π Difatti: um ⋅ 2 60 60  2π zso m  ne + ni   ne + ni = = nD  = zso m 2π π zso m  60 ⋅ 2  2   2

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Bibliografia

Amato T Galassini A Gazzaniga L Giovannozzi R Grant G B Guido AR, Della Pietra E Guiggiani M HannaH J, Stephens RC Henriot G. Jacazio B, Piombo B Morelli A Norton RL Ottani M Pierotti P Pollone G. Shigley JE et al. Shih S, Bowerman W Straneo SL et al.

Analisi del comportamento dinamico di veicoli dotati di differenziali (tesi di dottorato) Macchine utensili Il libro degli ingranaggi Costruzione di Macchine A treatise on gear wheels Lezioni di meccanica delle macchine Generazione per inviluppo di ruote dentate ad evolvente Mechanics of Machines Ingranaggi Meccanica Applicata Progetto dell’autoveicolo Machine Design Corso di Meccanica Meccanica Il veicolo Progetto e costruzione di macchine An evaluation of Torque bias and efficiency of Torsen differenzial Disegno, progettazione…

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UNIPI

vol.2 vol.2

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vol.1 vol.2

vol.3 vol.2 -3

Arnold Tecniche Nuove Levrotto & Bella Celid Pearson Cedam Calderini Levrotto & Bella McGraw-Hill SAE

vol. 2

Principato

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APPENDICE: simulazione di prove d’esame finale

Simulazione prova di Meccanica n.1 Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici L’albero motore di figura riceve il moto, tramite una trasmissione a cinghie trapezoidali, da un motore asincrono trifase a due coppie di poli sviluppante una potenza di 10 kW. Sapendo che il rapporto tra i diametri della puleggia maggiore (solidale con il motore) e la puleggia minore è pari a 1.2 e che il rapporto di ingranaggio è 2.5, scegliendo con giustificato criterio ogni altro dato mancante, si richiede di determinare: 1. il numero e il tipo di cinghie della trasmissione, verificando eventualmente che l’angolo di creep si mantenga inferiore all’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore; 2. il diametro minimo dell’albero condotto e dell’albero motore; 3. il modulo minimo dell’ingranaggio (con verifica a flessione e a pressione); 4. iI diametro del perno di estremità A ricavato sull’albero motore (con verifica al riscaldamento).

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Calcolo della trasmissione a cinghia trapezoidale Calcolo della sezione di cinghia

Calcolo del numero di cinghie

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Verifica della trasmissione

Calcolo dell’ingranaggio Calcolo secondo Lewis

Calcolo a pressione

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Calcolo delle reazioni vincolari e dei momenti flettenti Momento torcente sull’albero motore 2 ⋅ π ⋅ n 2 ⋅ π ⋅ 1800 ω= = ≅ 188.5 rad/s 60 60 Il momento torcente Mt, indicata con N la potenza all’albero motore, vale: N 10 ⋅ 1000 ≅ 53 Nm Mt = = ω 188.5 Forze sulla ruota La forza tangenziale T, indicato con dp il diametro primitivo (135 mm) della ruota, vale: 2M t T= ≅ 785 N dp La forza radiale R, indicato con α (20°) l’angolo di pressione, vale: R = T ⋅ tan α ≅ 286 N Tiro di cinghia Il tiro di cinghia 2T0 , indicati con d pul il diametro primitivo della puleggia montata sull’albero motore e con fs il fattore di servizio della trasmissione a cinghia, vale: f ⋅ Mt 2T0 = 4 s ≅ 1379 N d pul Schema di carico dell’albero motore

Vay ≅ 1229 N

Vby ≅ 436 N

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Vaz ≅ 218 N Vbz ≅ 567 N Il momento flettente risultante massimo si trova in corrispondenza della puleggia.

M fR max ≅ 922 + 16.32 ≅ 93.5 Nm

Calcolo dell’albero Posti coefficienti kt e kf pari a 1.5 e la tensione si snervamento pari a 650 MPa, il diametro minimo dell’albero vale1:

Calcolo del perno di estremità Il carico agente sul perno vale:

F = Vay2 + Vbz2 ≅ 1248 N Posto un rapporto caratteristico pari a 1.2 il diametro del perno risulta pari a:

1

La tensione ammissibile a torsione è stata posta pari al 22.5% del carico di snervamento

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Simulazione prova di Meccanica n.2 Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici Un motore elettrico, sviluppante una potenza di 24 kW e con due coppie polari, è collegato, tramite un giunto a dischi, ad una puleggia a gole per cinghie trapezoidali che trasmette il moto ad una puleggia di uguale diametro calettata a sbalzo sull’albero intermedio . Detto albero intermedio, tramite un ingranaggio cilindrico a denti diritti con rapporto di ingranaggio 2.5, trasmette il moto all’utilizzatore. Il candidato, scelto con giustificato criterio ogni eventuale dato mancante, deve: 1. scegliere a catalogo il modello di giunto e verificarne le viti collegamento; 2. scegliere il tipo e il numero di cinghie atte a realizzare la trasmissione, verificando opzionalmente se l’angolo di creep è inferiore all’angolo di avvolgimento; 3. determinare il modulo minimo dell’ingranaggio tramite un calcolo di progetto secondo Lewis (semplificato) e una successiva verifica a pressione; 4. determinare, in prima approssimazione, il diametro minimo dell’albero intermedio e valutare l’angolo di torsione corrispondente.

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Scelta e verifica del giunto

Calcolo della cinghia (definizione del tipo)

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Calcolo della cinghia (scelta del numero delle cinghie)

Calcolo della cinghia (verifica)

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Calcolo del modulo secondo Lewis

Calcolo del modulo a pressione

Momenti flettenti in due piani ortogonali

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Momenti flettenti risultanti M frA = 2982 + 79 2 ≅ 308 Nm

M frB = 340 2 + 1252 ≅ 362 Nm

Momento torcente N 24000 ⋅ 60 Mt = = ≅ 153 Nm ω 2π ⋅1500 Calcolo del diametro minimo dell’albero

Determinazione dell’angolo di torsione 32 ⋅ M t ⋅ L 32 ⋅ 153000 ⋅ 450 θ= = ≅ 0.0061 rad → 0.35° π ⋅d4 ⋅G π ⋅ 354 ⋅ 77000

.

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Simulazione prova di Meccanica n.3 Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici Di un motore Diesel, quadri cilindrico a quattro tempi, sono noti i seguenti dati: 1. Rapporto corsa diametro C/D 1.6 2. Velocità media degli stantuffi vm 4 m/s 3. Velocità di rotazione n 320 rpm 4. Pressione massima nel cilindro pmax 90 bar Assumendo con opportuno criterio ogni altro dato occorrente, si esegua il dimensionamento della biella, a sezione uniforme, a doppio T con lunghezza pari a 0.85 m. Proporzionamento della sezione

s = 0.35 h b=h c = 0.25 h Il tempo impiegato a compire un giro vale: 60 60 t= = = 0.1875 s n 320 In un giro il pistone percorre due corse complete, pertanto si ha: v ⋅t 2C vm = → C = m ≅ 0.375 m t 2 Il diametro, noto il rapporto C/D, vale: C 0.375 D= = ≅ 0.234 m C/D 1.6 Il raggio di manovella è pari alla metà della corsa: C R = = 0.1875 m 2 L’area del pistone vale: π D2 Ap = ≅ 0.043 m 2 4 La forza max sul pistone vale: Fmax = pmax ⋅ Ap = 90 ⋅ 105 ⋅ 0.0043 ≅ 387047 N

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RISOLUZIONE

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Simulazione prova di Meccanica n.4 Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici Una manovella di estremità, di raggio 280 mm e ruotante a 150 rpm, movimenta una pompa a stantuffo monocilindrica a semplice effetto che trasferisce all’acqua una energia H pari 300 J/kg . Nell’ipotesi che lo stantuffo della pompa abbia un diametro Dp pari a 340 mm, scelti convenientemente gli eventuali dati mancanti, il Candidato: 1. determini la pressione di mandata; 2. valuti la potenza assorbita dalla pompa nell’ipotesi che la stessa abbia un rendimento dell’85%; 3. progetti e verifichi la manovella di estremità.

Determinazione della pressione e della potenza assorbita La corsa C dello stantuffo è pari a due volte il raggio di manovella R: C = 2 R = 560 mm In una pompa volumetrica la pressione si mantiene pressoché costante lungo tutta la corsa di mandata. Il lavoro trasferito al fluido, indicata con p tale pressione, vale: π ⋅ DP2 L= p ⋅C 4 Ad ogni giro di manovella, indicata con δ la densità del fluido, viene elaborata una massa d’acqua pari a: π ⋅ DP2 M = δ ⋅C ⋅ ≅ 51 kg 4 Tenuto presente che la pompa trasferisce al fluido una quantità di energia H pari a 300J/kg, si ha:

L → L = M ⋅ H ≅ 15260 J M La pressione di mandata vale ovviamente: 4⋅ L p= ≅ 3 bar π ⋅ DP2 ⋅ C La forza F sul pistone, costante durante la corsa di mandata, vale: π ⋅ DP2 F=p ≅ 27239 N 4 Lla potenza trasferita la fluido è pari al rapporto tra L e il tempo t impiegato a compiere un giro: L 15260 ⋅ 150 Nu = ≅ ≅ 38 kW t 60 La potenza assorbita dalla pompa, noto il suo rendimento, vale: N N a = u ≅ 45 kW η H=

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Progetto e verifica della manovella Calcolo del bottone Il calcolo del bottone viene effettuato, per le pompe volumetriche, considerando un angolo di manovella pari a 90°. In tale posizione, ipotizzando una lunghezza della biella pari a tre volte il raggio di manovella, la forza che si scarica sul perno vale: F 27239 FP = ≅ ≅ 28891 N  −1  R    −1  1   cos  sin    cos  sin     l   3    Ritenuto di realizzare il perno in C40 bonificato, possiamo ipotizzare una tensione ammissibile a flessione pari a 70 MPa e una pressione ammissibile1 perno-cuscinetto pari a 4 MPa. Fissato inoltre il rapporto caratteristico del perno pari a 1.1, si ha infine:

Calcolo dell’albero Il calcolo dell’albero viene effettuato, nelle pompe volumetriche, considerando la biella perpendicolare alla manovella. In tale posizione, indicato con γ l’angolo formato dalla biella con la congiungente il piede di biella con l’asse del perno di banco, le sollecitazioni di momento flettente e torcente agenti sul perno di banco valgono: F F Mf = ⋅a Mt = ⋅R cos γ cos γ dove con a si è indicata la distanza (incognita) tra le mezzerie del perno di manovella e del perno di banco. In prima approssimazione tale distanza a può essere posta pari a quattro volte il diametro del bottone di manovella (calcolato al punto precedente). Si ha pertanto: F 27239 Mf = ⋅a ≅ ⋅ 4 ⋅ 81 ≅ 9303 Nm cos γ  -1  1   cos  tan     3   F Mt = ⋅ R ≅ 8039 Nm cos γ Componendo le tensioni secondo von Mises, il momento flettente ideale risulta pari a:

M fi = M 2f + 0.75M t2 ≅ 11620 Nm Ritenuto di realizzare l’albero in C40 bonificato possiamo ipotizzare una tensione ammissibile a trazione pari a circa 80 MPa. Il diametro dell’albero risulta pertanto pari a:

1

La pressione ammissibile della coppia perno cuscinetto dipende dai materiali formanti la coppia, dal grado di finitura delle superficie e dalle condizioni di funzionamento

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d≥

3

32 ⋅ M fi

≅

3

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32 ⋅ 11620 ⋅ 103 ≅ 114 mm π ⋅ 80

π ⋅ σ amm Dimensionamento e verifica della manovella

Proporzionamento della manovella (mm) d 81 s 65 L 89 D2 217 D1 182 L2 119 L1 130 D 114 b 194 c 204 Verifica del braccio(tensioni ideali), MPa Sezione n-n Fibra 1 18 Fibra 1 16 Sezione m-m Fibra 2 17 Fibra 3

Una volta noti il diametro del perno e dell’albero si proporziona la manovella secondo quanto indicato dai Manuali Tecnici. Una volta proporzionata la manovella si procede alla verifica delle sezioni più sollecitate: le sezioni n-n ed m-m rappresentate in figura. Verifica della sezione n-n

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Tale sezione1 viene verificata ponendo il manovellismo al punto morto superiore e considerando la flessione Mfn composta con l’unica compressione dovuta ad F. Indicata con l la lunghezza del perno si ha: l+s  89 + 65  M fn = F   ≅ 27239 ⋅   ≅ 2097 Nm  2   2  6 ⋅ M fn σ fn = ≅ 15.3 MPa b ⋅ s2 La tensione di compressione vale: F 27239 σ cn = ≅ ≅ 2.16 MPa b ⋅ s 194 ⋅ 65 La tensione totale vale pertanto: σ 1c = σ fn + σ cn ≅ 18 MPa La sezione n-n, considerato di realizzare la manovella con un acciaio Fe490 con tensione ammissibile intorno ai 50 MPa risulta ampiamente verificata. Verifica della sezione m-m In una pompa volumetrica, la verifica va condotta in posizione di quadratura (biella perpendicolare alla manovella). In tale posizione si considerano agenti la torsione e la flessione dovute alla forza F cos γ l +s α ⋅ F ⋅  s   2  ≅ 9.1 MPa τ max1 = α ≅  3 + 1.8  cos γ ⋅ c ⋅ s 2 c   La tensione ideale sulla fibra 1 (punto medio del lato lungo c) vale pertanto σ idm1 = 3 ⋅ τ max1 ≅ 16 MPa La fibra 2, la cui traccia coincide con il punto medio di s, è sottoposta ad una tensione di torsione e di flessione. La tensione di torsione può calcolarsi, in prima approssimazione, in funzione di τ max1 : τ min 2 ≅ 0.8 ⋅ τ max1 ≅ 7.3 MPa La tensione di flessione è generata dall’azione della forza F cos γ agente con un braccio R1 = R − D2 2 F 6 σ fm 2 = ( R − D2 / 2 ) 2 ≅ 11 MPa cos γ s⋅c La tensione ideale sulla fibra 2 vale: 2 σ idm 2 = σ 2fm 2 + 3 ⋅τ min 2 ≅ 17 MPa

Simulazione prova di Meccanica n.5 La sezione n-n ha dimensioni b ⋅ s , con s nota dal proporzionamento scelto, e b ricavabile per via analitica o grafica. 1

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Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici

Un autoveicolo, il cui motore sviluppa una potenza di 55 kW al regime di 5100 rpm, deve essere munito di una frizione del tipo monodisco a secco. Il Candidato, fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, dimensioni l’innesto e le relative molle spingidisco. Schema di una frizione automobilistica caricata con molle elicoidali

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Dimensionamento dell’innesto Determinazione della coppia T in funzione della potenza N e della velocità angolare ω N 55 ⋅ 1000 ⋅ 60 ≅ 103 Nm T= = ω 2π ⋅ 5100 La coppia di calcolo TC deve essere maggiorata per tenere conto di una quantità di eventualità concomitanti (variazione del coefficiente d’attrito dovuto al rialzo termico, cedimenti plastici delle molle, etc..) TC = k ⋅ T ≅ 1.8 ⋅ 103 ≅ 185 Nm Nell’ipotesi di realizzare la frizione con superficie di contatto ferodo/acciaio e funzionamento a secco, si riportano il coefficiente d’attrito f e la pressione specifica ammissibile pmax su cui si può fare affidamento. f ≅ 0.35 pmax ≅ 0.3 MPa Indicato con n il numero di superficie striscianti, il raggio esterno del disco di frizione può essere determinato con la seguente relazione (ipotesi di Reye) 13

13

   3 3 ⋅ 185 ⋅ 1000  3 3 ⋅ TC re =  =   ≅ 90 mm  2n ⋅ π ⋅ p ⋅ f  amm  2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0.3 ⋅ 0.35    A cui corrisponde un diametro esterno di 180 mm. Si sceglie pertanto un disco di frizione normalizzato avente diametro esterno (De) di 184 mm e un diametro interno (Di) pari a 127 mm. La forza minima P necessaria a garantire la trasmissione del momento di calcolo TC vale: 4TC P= ≅ 3400 N f ( De + Di ) ⋅ 2

A cui corrisponde una “pressione media” pari a: 4⋅ P pm = ≅ 0.25 MPa π ( De2 − Di2 ) valore coerente con i dati di letteratura. Dimensionamento delle molle spingidisco Si ipotizza di dotare la frizione di sei molle spingidisco. Ogni molla pertanto dovrà, a frizione inserita1, garantire un carico F pari a: P F = ≅ 567 N 6 Si ipotizza di realizzare la molla in acciaio armonico C98, con un diametro medio D di 30 mm, in grado di esercitare una forza F di 567 N in corrispondenza di un’altezza di lavoro L pari a 30 mm. Si fissano il coefficiente di sicurezza η e il margine di sovraccarico ξ come di seguito riportato: η ≅ 1.2 ξ ≅ 0.15 Il progetto del diametro d del filo si conduce verificando la condizione di blocco senza fare uso dei fattori correttivi di Whal o Bergsträsser. 0.56 ⋅ σ R 8 ⋅ (1 + ξ ) ⋅ F ⋅ D 0.56 2211 49813 ≥ → ≥ → d 2.855 ≅ 56.3 → d ≅ 4 3 1.2 d 0.145 d3 η π ⋅d Si calcola la freccia unitaria ossia la freccia per ogni spira: 1

Si noti che il carico maggiore sulla molla si ha durante la manovra di disinnesto. Nel dimensionamento di massima qui presentato si fa riferimento invece al carico agente sulla molla a frizione inserita.

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f 8 ⋅ F ⋅ D 3 8 ⋅ 567 ⋅ 303 = ≅ ≅ 5.87 mm/spira ia G ⋅d4 81500 ⋅ 44

Il numero di spire attive e la freccia indotta dal carico F, considerando una molla avvolta a freddo, valgono: L − 2d ia = ≅ 4.5 ( f ia ) ⋅ ξ + d

→ f ≅ 26.4 mm

Il numero di spire totali vale: it = ia + 2 = 6.5 La lunghezza libera della molla risulta: L0 = L + f = L + ( f ia ) ⋅ ia ≅ 56.4 mm La lunghezza a blocco vale: Lb = it ⋅ d = 26 mm La rigidezza della molla vale: F k= ≅ 21.5 N/mm L0 − L Una volta dimensionata la molla si deve controllare che la somma dei vuoti interspira S sotto carico sia maggiore della somma minima Smin regolamentare (con riferimento sempre ad una molla avvolta a freddo) S = L − Lb = 30 − 26 = 4 mm

  D2 Smin = ia  0.0015 + 0.1d  ≅ 3.31 mm d   La somma dei vuoti interspira soddisfa le condizioni richieste. Infine si valuta l’instabilità laterale nell’ipotesi che entrambe le estremità siano guidate (ν=0.5)

Poiché

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v

L0 ≅ 0.94 D

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f ≅ 0.88 D

La verifica all’instabilità laterale è da ritenersi soddisfatta. Dimensioni e caratteristica della molla

Materiale d (mm) De (mm) Di (mm) D (mm)

C98 4 34 26 30

ia it L0 (mm) Lb (mm) L (mm)

4.5 6.5 56.4 26 30

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F (N) Fb (N) Δ (mm) k (N/mm) Avvolgim.

567 653 4 21.5 dx

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Simulazione prova di Meccanica n.6 Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici

Una macchina motrice a regime assoluto, sviluppante la potenza di 80 kW, è collegata, tramite un giunto a dischi, ad una macchina operatrice il cui momento resistente (comprensivo delle resistenze utili e passive) è pari, a regime, a 400 N m. Allorché si azzera il carico e viene contemporaneamente interrotta l’erogazione della potenza motrice il sistema ruotante, costituito dalla motrice e dall’operatrice, inizia la fase di decelerazione, fino al completo arresto, per effetto dell’inerzia delle masse ruotanti e delle resistenze passive. Nell’ipotesi che le suddette masse ruotanti realizzino, rispetto all’asse di rotazione, un momento di inerzia I = 0,5 kgm2 e che alle resistenze passive corrisponda un momento (costante) pari a 12 Nm, il candidato determini il tempo che il sistema impiega ad arrestarsi completamente, dall’istante in cui inizia la fase di decelerazione, nonché l’energia dissipata dalle resistenze passive in tale fase. Fissando, inoltre, con opportuno criterio i dati occorrenti, calcoli le dimensioni dei bulloni di collegamento dei dischi del giunto e descriva, infine, il ciclo di lavorazione per la fabbricazione in media serie dei suddetti dischi.

Schema della trasmissione

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MOTORE

UTILIZZATORE

In condizioni di regime (assenza di accelerazione) la coppia motrice Cm deve uguagliare la coppia resistente Cr, ovvero deve essere: Cm = Cr = 400 N m La velocità di rotazione ωi del sistema, a regime, vale:

ωi =

N 80000 = = 200 rad / s Cm 400

dove con N si è indicata la potenza motrice espressa in W. L’energia cinetica del sistema rotante vale:

EC =

1 I ⋅ ω 2 = 10000 J 2

La decelerazione angolare ε del sistema vale:

ε=

Cr ' 12 = = 24 rad / s 2 I 0.5

dove con Cr’ si è indicato il momento frenante corrispondente alle resistenze passive. Il tempo t che il sistema impiega a fermarsi completamente si ricava scrivendo l’espressione della velocità angolare istantanea:

ω f = ωi − ε ⋅ t da cui, ponendo nulla la velocità finale, si ottiene:

t=

ωi 200 = = 8.3 s ε 24

L’energia dissipata dalle resistenze passive durante la fase di decelerazione è pari all’energia cinetica iniziale EC ovvero 10000 J

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Calcolo del giunto Il giunto viene scelto a catalogo e successivamente si verificheranno le viti di collegamento. Il giunto deve trasmettere a regime una coppia pari a 400 Nm. Per tener conto di eventuali sovraccarichi si aumenta la coppia massima trasmissibile Mt ad un valore pari a:

M t = 1.2 ⋅ Cm = 480 Nm Il diametro dell’albero d si calcola, in prima approssimazione, a torsione pura ipotizzando, nel caso dell’utilizzo di un acciaio C40, una tensione ammissibile di torsione1 pari a 40 N/mm2 .

d =3

16 ⋅ M t 3 16 ⋅ 480000 = ≅ 40 mm π ⋅ τ max π ⋅ 40

In base al momento da trasmettere Mt, al diametro ipotizzato dell’albero d e al regime di rotazione si sceglie a catalogo il giunto adatto. Si è scelto il giunto con diametro esterno D pari a 160 mm e dotato di 4 viti M12x1.25. Nel calcolo del giunto si ipotizza che i bulloni non siano sottoposti a taglio e che il momento torcente sia trasmesso esclusivamente per attrito tra le superficie a contatto delle flange. La relazione tra la forza assiale F esercitata dai bulloni di serraggio e il momento trasmissibile Mt, indicato con f il coefficiente di attrito tra le superficie a contatto, con nv il numero dei bulloni e con Dm il diametro medio delle superficie a contatto, vale:

F=

2⋅ Mt f ⋅ nv ⋅ Dm

Dm ≅

D + D1 160 + 75 = = 117.5 mm 2 2

Posto il coefficiente d’attrito pari a 0.3, sostituendo gli altri valori numerici, si ottiene:

F=

2 ⋅ 480000 ≅ 6808 N 4 ⋅ 0.3 ⋅117.5

Il momento torcente Mv indotto sul fusto della vite per effetto del serraggio, atto a generare una forza assiale F, vale:

Mv = F ⋅

α ϕ dm

dm ⋅ tan(α + ϕ ) 2

angolo di inclinazione dell’elica media del filetto angolo di semiapertura del cono d’attrito tra vite e madrevite diametro medio della vite

Il valore di tan( α + ϕ ) può essere approssimato a 0.2 e il diametro medio della vite può essere ritenuto pari al diametro nominale di filettatura.

1

La tensione ammissibile a torsione deve essere, in questa fase, scelta convenientemente bassa per tener conto di eventuali sovraccarichi, degli effetti di intaglio e degli effetti flettenti.

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Mv = F ⋅

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dm 12 ⋅ tan (α + ϕ ) = 6808 ⋅ ⋅ 0.2 = 8170 Nm 2 2

Le tensioni di trazione σ e di torsione τ valgono:

σ=

τ=

4⋅ F 4 ⋅ 6808 ≅ = 60 N mm 2 2 2 π ⋅ d m π ⋅12

16 ⋅ M v 16 ⋅ 8170 ≅ = 24 N mm 2 π ⋅ d m3 π ⋅12 3

La tensione ideale σ i vale, secondo von Mises, vale:

σ i = σ 2 + 3 ⋅τ 2 = 60 2 + 3 ⋅ 24 2 = 73 N mm 2 Ipotizzando che i bulloni siano realizzati in acciaio 8.8, il valore della tensione ideale sopra determinata è ampiamente accettabile. In effetti il coefficiente di sicurezza ξ , nei confronti del carico di snervamento, vale:

ξ=

σ sn 640 = ≅9 σi 73

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Simulazione prova di Meccanica n.7 Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici

La ruota motrice di un ingranaggio conico ad assi concorrenti ed ortogonali è ricavata direttamente dall’albero motore che è montato su due cuscinetti volventi e riceve il moto dal motore tramite un giunto. L’albero con la ruota conica è realizzato in acciaio C40 UNI 7845 ed è costituito dalle seguenti parti in ordine di successione: • tratto cilindrico avente un diametro di 20 mm e lunghezza di 40 mm. Tale tronco presenta nel suo tratto iniziale scanalature longitudinali per il calettamento del semigiunto di trasmissione. Il profilo delle scanalature è del tipo con appoggio medio e centraggio interno UNI221; • tronco cilindrico avente diametro di 25 mm e lunghezza di 15 mm, sede di un anello di tenuta; • gola di alloggiamento di un anello elastico di sicurezza. La gola ha la larghezza di 2.15 mm ed il diametro di fondo di 23.90 mm; • perno avente il diametro di 25 mm e la lunghezza di 22 mm, sede del primo cuscinetto volvente; • tronco cilindrico di raccordo tra le sedi dei cuscinetti avente il diametro di 23 mm e la lunghezza di 40 mm; • perno avente il diametro di 30 mm e la lunghezza di 20 mm, sede del secondo cuscinetto volvente; • tronco conico dentato. La ruota conica, con dentatura normale a denti diritti, con profilo ad evolvente, ha le seguenti caratteristiche: modulo m=4 mm numero di denti z=18 semiangolo del cono primitivo δ=26°34' larghezza della dentatura b=30 mm angolo di pressione α=20° Il candidato, per una potenza trasmessa dal giunto di 4 kW a 900 giri/min, assunto con giustificato criterio ogni altro dato occorrente, esegua: a) la verifica a resistenza della sede del semigiunto ed il calcolo della lunghezza del tratto scanalato; b) la verifica del modulo della ruota dentata; c) il disegno di fabbricazione dell’albero con la ruota conica riportando le tolleranze dimensionali, le rugosità, ed ogni altro particolare costruttivo non indicato nella descrizione fornita (smussi, raccordi, ecc.); d) il ciclo di lavorazione, per una produzione di media serie, dell’organo meccanico disegnato definendo il grezzo di partenza ed indicando, per ogni operazione, la macchina utensile, le fasi, le attrezzature, gli utensili e gli strumenti di misura necessari.

Verifica resistenza della sede del giunto Si considera un profilo scanalato UNI 221 a fianchi paralleli, a centraggio interno e appoggio medio. Ad un diametro esterno D = 20 mm corrisponde un diametro interno d = 16 mm.

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La verifica si conduce pertanto, in via cautelativa, verificando a torsione un albero di sezione circolare piena di 16 mm e realizzato in acciaio C40 UNI 7845. Il momento torcente Mt, indicata con N la potenza in watt e con ω la velocità angolare in rad/s, vale: N 1000 ⋅ 4 ⋅ 60 Mt = = ≅ 42.4 Nm ω 2π ⋅ 900 Dalla equazione di stabilità alla torsione si ha: 16 ⋅ M t τ= ≅ 53 MPa π ⋅d3 Per un acciaio C40 si può fare affidamento su di una tensione di snervamento a trazione intorno ai 420 MPa, a cui corrisponde una tensione di snervamento a torsione intorno ai 237 MPa. σ 420 τ sn ≅ sn ≅ ≅ 237 MPa 3 3 Pertanto, considerando esclusivamente la sollecitazione di torsione, l’albero lavora con un coefficiente di sicurezza pari a:

ξ≡

τ sn ≅ 4.5 τ

valore che può essere considerato accettabile. Verifica del profilo scanalato La verifica del profilo scanalato si conduce valutando se la lunghezza del profilo scanalato L è maggiore del valore minimo stabilito dalla seguente relazione: m⋅Ω lmin ≥ d k dove d è il diametro interno dello scanalato e m e k sono coefficienti di seguito tabellati, mentre Ω è fornito direttamente dalla tabella UNI 221. ( Ω = 0.37 )

Natura delle superficie Ambedue cementate Una o nessuna cementate

Valori del coefficiente m Accoppiamenti fissi o scorrevoli non sotto carico 2.85 2.10

Accoppiamenti scorrevoli sotto carico 2.42 1.75

Valori del coefficiente k Tipo di carico A B Accoppiamenti fissi 1.25 0.96 Accoppiamenti scorrevoli non sotto carico 1.10 0.85 Accoppiamenti scorrevoli sotto carico Ambedue cementate 0.32 0.25 con superficie di contatto Una sola cementata o nessuna 0.25 0.20 A carico costante e senza vibrazioni; condizioni di funzionamento (lubrificazione etc..) ottime; lavorazioni molto precise. B carico variabile e con forti vibrazioni; condizioni di funzionamento (lubrificazione etc..) precarie; lavorazione non molto precisa. Ritenuti m = 2.10 k = 1 si ha pertanto: m⋅Ω 2.10 ⋅ 0.37 = 16 ≅ 12.5 mm lmin ≥ d k 1 Tipo di accoppiamento

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La lunghezza assegnata L = 20 mm è, sotto questo aspetto, del tutto sufficiente1. Verifica del modulo del pignone Rappresentazione di una ruota dentata conica

Si determina il diametro primitivo del pignone: d = z ⋅ m = 72 mm La generatrice R vale: d R= ≅ 80.494 mm 2 ⋅ sin δ

1

Si tenga presente l’importanza di verificare sempre che il rapporto L/d non risulti superiore a 1.5 per appoggio stretto o medio, e compreso fra 1.5 e 2. 5 per appoggio ampio. Queste limitazioni hanno lo scopo di assicurare una ripartizione abbastanza uniforme del carico sui vari denti in senso assiale (R. Giovannozzi Costruzione di Macchine Vol.1 pag.344 Patron)

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Indicato con ξ il rapporto b/R si ha: b ξ = ≅ 0.373 R E’ facile riconoscere che il modulo medio vale: mm = m (1 − ξ 2 ) ≅ 3.25 mm Il diametro primitivo medio vale: d m = z ⋅ mm ≅ 58.58 mm La velocità periferica in corrispondenza del diametro primitivo medio vale: 2π ⋅ n d m ≅ 2.76 m/s vp = 60 2000 Il fattore di riduzione dinamica del carico può essere posto pari a: A 10 ψ= = ≅ 0.784 A + v p 10 + 2.76 Il numero di denti immaginario del pignone vale: z z* = ≅ 20 cos δ Il rapporto tra la larghezza del dente e il modulo medio vale: b λ* = ≅ 9.23 mm Il modulo medio è verificato se è soddisfatta la seguente disuguaglianza: Mt 1 mm ≥ 3 ⋅3 * * 0.22 ⋅ z − 1.15 ⋅ ( z z ) ψ ⋅ λ ⋅ σ amm Posta una σ amm ≅ 180 MPa , è facile verificare che la disuguaglianza è ampiamente soddisfatta. Infatti: 3.25 > 2.23

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Simulazione prova di Meccanica n.7 Tempo di esecuzione 3h E’ consentito solamente l’uso di Manuali Tecnici

Un motore diesel a quattro tempi, funzionante 2200 giri/min, aziona, mediante cinghie trapezoidali, una pompa che a 3000 giri/min elabora 0.030 m3/s di acqua con una prevalenza di 55 m. Il candidato, assumendo con opportuno criterio ogni altro dato occorrente, esegua il proporzionamento della trasmissione, determinando inoltre: • •

la potenza che deve fornire il motore; lo sforzo esercitato dalle cinghie sugli alberi delle pulegge.

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Determinazione utile della pompa La potenza utile della pompa Nup, espressa in kW, vale: γ ⋅ Q ⋅ H 9810 ⋅ 0.030 ⋅ 55 ≅ ≅ 16.2 kW Nup = 1000 1000 dove: γ è il peso specifico del fluido espresso in N/m3 Q la portata volumetrica espressa in m3/s H la prevalenza espressa in m.

Determinazione della potenza assorbita dalla pompa La potenza assorbita dalla pompa Nap, pari alla potenza fornita dal motore Num, si valuta ipotizzando un adeguato rendimento della pompa stessa. Posto un rendimento η pari a circa 0.7 si ha: Nup Num = N ap = ≅ 23 kW

η

Calcolo della trasmissione a cinghia (cinghie trapezoidali)

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Calcolo degli alberi di calettamento delle pulegge Albero calettante la puleggia maggiore Il momento torcente Mt1, indicata con ωm la velocità angolare del motore, vale: N M t1 = um ≅ 100 Nm

ωm

Il momento flettente Mf1, considerato l’albero come una trave a sbalzo incastrata ad un estremo e caricata con una forza 2T0 applicata ad una distanza di 100 mm dall’incastro vale: M f 1 ≅ 244 Nm Ipotizzando di realizzare l’albero in C40 bonificato, tenuto conto della presenza della cava per linguetta, in prima approssimazione, il diametro dell’albero vale:

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Albero calettante la puleggia minore Il momento torcente vale: 2200 M t 2 = M t1 ⋅ ≅ 73.3 Nm 3000 Il momento flettente Mf2, considerato l’albero come una trave a sbalzo incastrata ad un estremo e caricata con una forza 2T0 applicata ad una distanza di 100 mm dall’incastro vale: M f 1 ≅ 244 Nm Ipotizzando di realizzare l’albero in C40 bonificato, tenuto conto della presenza della cava per linguetta, in prima approssimazione, il diametro dell’albero vale:

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