Dispensa Immunizzazione

Università degli Studi “LA SAPIENZA” di Roma Facoltà di Economia Corso di Matematica Finanziaria Prof. Paolo De Angelis

Dispensa ad uso degli studenti

“Teorie Semi-deterministiche di Immunizzazione Finanziaria”

1

TEORIE SEMI-DETERMINISTICHE DI IMMUNIZAZIONE

L’immunizzazione è stata discussa da Redington in riferimento al problema dell’equilibrio finanziario di un portafoglio complesso, costituito da operazioni di investimento (attivo) e di debito (passivo), che descrive lo stato di fatto di un generico investitore (persona o istituzione). Le variabili del problema sono ridotte al flusso di cassa generato dalle operazioni attive, al flusso del passivo (essendo i flussi caratterizzati da importi e scadenze noti con certezza) e alla struttura per scadenza dei rendimenti che, nell’istante di valutazione, si assume “espressiva” del mercato. I portafogli di investimento e di debito si considerano in equilibrio finanziario, e quindi l’investitore è “solvibile”, nell’istante di valutazione t, se i valori attuali dei flussi di attivo e passivo, valutati in base alla struttura dei rendimenti di mercato (espressiva all’istante t), sono tali da determinare un valore netto non-negativo del portafoglio totale. La situazione di equilibrio dipende quindi dalla distribuzione temporale dei flussi e dalla struttura a termine utilizzata per il calcolo dei valori attuali; anche se la distribuzione dei flussi non subisce variazioni (se la si consideri in un periodo temporale in cui non vanno a scadenza poste attive e/o passive), perturbazioni della struttura dei rendimenti possono mutare uno stato di equilibrio in uno stato di disequilibrio: è ovvio, ma significativo, che flussi di investimento ed indebitamento, che siano in condizione di matching perfetto con flusso di spread non-negativo, mantengono una situazione di solvibilità, in ogni istante, indipendentemente dalle possibili perturbazioni della struttura dei rendimenti. L’immunizzazione finanziaria è definita (in riferimento al matching) come un metodo che consenta di rendere le due distribuzioni temporali delle poste di attivo e passivo quanto più possibili “simili” e perciò “ugualmente vulnerabili” rispetto ad una perturbazione aleatoria (“general change” nell’espressione di Redington) della struttura dei tassi di interessa. Flussi il più possibile simili (al limite coincidenti, in allineamento perfetto) sono ugualmente vulnerabili nel senso che una variazione dei tassi d’interesse provoca un analogo (al limite lo stesso) disavanzo di valore sia sull’attivo che sul passivo, lasciando immune il valore netto del portafoglio e conservando la solvibilità dell’investitore. La definizione (pur con tutte le originarie “inesattezze”) evoca efficacemente il senso del metodo, poiché evidenzia nel “general change” della struttura dei tassi di interesse un nodo logico essenziale. L’immunizzazione finanziaria può essere strutturata in una metodologia decisionale soltanto se si specifica il modello evolutivo della struttura a termine, che configuri l’opinione dell’investitore sul futuro del mercato; evidentemente, il tipo di atteggiamento che si assume di fronte all’incertezza è una delle principali determinati della qualità del metodo di immunizzazione. Redington , a fini esemplificativi, aveva caratterizzato l’immunizzazione finanziaria considerando una struttura dei rendimenti nota all’istante di valutazione t, rappresentata da un’intensità istantanea di interesse costante sull’intero periodo di attività dell’investitore, che potesse evolvere soltanto per una traslazione (shift-variazione dei tassi di interesse) di ampiezza aleatoria, con effetto immediatamente successivo a t; l’ipotesi sul futuro è quindi molto semplicistica, il modello evolutivo della struttura dei rendimenti è deterministico riguardo alla forma della funzione intensità di interesse, al tipo e istante di perturbazione, l’incertezza pesa soltanto sull’ampiezza (e sul segno) dello shift additivo. L’ipotesi, proposta originariamente per semplice esempio, ha finito per ispirare un atteggiamento metodologico ed una vasta classe di schemi gestionali; Fisher e Weil, anche se in chiave critica, hanno ripreso il modello dello shift additivo con una struttura dei rendimenti nota in t, ma noncostante; è stata proposta una casistica su possibili tipi alternativi di incertezza, ipotizzando 2

altrettanti tipi di shift (moltiplicativo, additivo- moltiplicativo), che agiscono sull’intensità istantanea di interesse. Su questa linea, le strategie di immunizzazione mantengono comunque una valenza parziale, garantita nell’ambito della particolare ipotesi sul tipo di shift, prescelta “come se” fosse certa. Un punto critico di svolta nei fondamenti del metodo si ha (sulla base dei risultati di Fong e Vasicek) ridefinendo l’immunizzazione senza limitarsi a riconoscere valido un unico modello evolutivo ad hoc della struttura per scadenza dei tassi di interesse; ne risulta una strategia che consente di selezionare portafogli immunizzati dall’effetto di shift additivi e che sono “a minimo rischio” rispetto a shift di tipo “qualsiasi” . Resta da segnalare che tutte le impostazioni cui è finora fatto riferimento non considerano le aspettative degli agenti economici sul futuro del mercato: in questo senso, rappresentano il nucleo semi-deterministico della teoria dell’immunizzazione finanziaria; si parlerà di immunizzazione classica (in riconoscimento alle impostazioni pionieristiche di Redington e Fisher e Weil) ad intendere lo schema basato sull’ipotesi di shift additivo o comunque di tipo particolare.

1. L’immunizzazione classica. Copertura di uscita singola 1.1 L’ipotesi di “shift additivi” La struttura del mercato al tempo t è stata identificata con la struttura dei corsi v(t,s), t ≤ s, che fornisce le ragioni di scambio fra beni monetari caratterizzati dalla data di esigibilità. La struttura dei corsi può essere esplicitata in riferimento all’intensità istantanea di interesse  t, s  , essendo: s

[1]



  ( t ,u ) du

v(t , s )  e

t

Nell’impostazione classica si ipotizza che la struttura a termine vari a seguito di traslazioni rigide della curva dei rendimenti, intendendo che il grafico della funzione  t, s  possa subire, al variare del tempo t, soltanto spostamenti (shift) “paralleli”, in senso verticale, di ampiezza e segno incogniti. L’ipotesi, cosiddetta di “shift additivi”, può essere schematizzata ponendo, per ogni t '  t e per ogni s  t' : [2]

 (t ' , s )   (t , s )  Z (t , t ' ),

dove Z è una variabile aleatoria, indipendente da s, che rappresenta l’ampiezza dell shift additivo, subito dalla curva dei rendimenti nell’intervallo di tempo tra t e t ' . L’intensità definita nell’istante t ' (successivo a t ) assumerà quindi in ogni istante s (successivo a t ' ) lo stesso valore che in s era assunto dall’intensità definita in t, a meno di un termine additivo Z: proprio per l’indipendenza di Z da s, le perturbazioni avvenute tra t e t ' non alterano la forma della curva  t, s  , ma provocano traslazioni di ampiezza casuale Y (verso l’alto o verso il basso) che influenzano identicamente le intensità istantanee di interesse di qualsiasi scadenza.

Esempio L’ipotesi (su cui si basano le formulazioni originarie, proposte da Redington e da Fisher e Weil) di shift additivo che perturba una struttura di rendimenti piatta (rappresentata da una intensità di interesse costante) si traduce nella forma: 3

[3]

 (t ' )   (t )  Z , t '  t.

La funzione  (t , s )   (t ), che rappresenta l’intensità in vigore nell’istante t, è una retta parallela all’asse dei tempi; l’intensità definita nell’istante t ' sarà parallela alla  (t ) (e all’asse dei tempi), traslata rispetto al livello  (t ) di un’ampiezza Z (negativa, nulla o positiva).

1.2 La definizione di immunizzazione finanziaria classica Per formalizzare l’analisi dell’equilibrio finanziario di un portafoglio composto da operazioni di investimento (attivo) e di debito (passivo), si consideri il flusso di cassa attivo x, con importi x1 , x2 ,, xm , il flusso del passivo y con importi y1 , y 2 ,, y m , entrambi i flussi siano definiti rispetto ad uno scadenzario t  t1 , t 2 ,,, t m  ; sia t l’istante di valutazione (t  t1  t 2    t m ) e  (t , s), s  t , l’intensità istantanea di interesse corrispondente alla struttura dei rendimenti osservata al tempo t. L’immunizzazione finanziaria classica si può strutturare in un corpo teorico organico ricercando le condizioni sui flussi di attivo e passivo per cui un portafoglio (descritto, nella sua forma più generale da x e y) in equilibrio finanziario all’istante di valutazione t sia tale da conservare l’equilibrio e quindi la solvibilità sino all’istante immediatamente successivo al primo shift additivo, che avrà effetto dopo t. Come ipotesi di lavoro, iniziale, si considereranno shift additivi che abbiano effetto nell’istante t  , immediatamente successivo t   lim (t  t ) . L’ipotesi classica di evoluzione della struttura a t 0

termine dei rendimenti sarà data quindi, per ogni s  t  , dalla: [4]

 (t  , s )   (t , s )  Y ,

essendo Y l’ampiezza aleatoria dello shift che ha effetto in t  . Nell’istante di valutazione t i flussi sono in equilibrio finanziario rispetto alla struttura dei rendimenti, rappresentata da  (t , s) , se hanno lo stesso valore attuale: [5]

W (t , x)  W (t , y );

si definiscono immunizzati (in senso classico), e il portafoglio sarà solvibile, rispetto all’eventuale shift in t  , se il valore post-shift del flusso attivo è non-minore del valore post-shift del passivo: [6]

W (t ' , x)  W (t ' , y );

o, in modo equivalente, se è non-negativo il valore netto del portafoglio: [7]

WN (t  )  W (t ' , x)  W (t ' , y )  0,

essendo i valori attuali post-shift calcolati con l’intensità di interesse  (t  , s ), s  t  , osservata in t  . Da questo segue che il bilancio di un intermediario finanziario, ad esempio, è in equilibrio (e quindi è solvibile) se e solo se il valore delle attività è uguale al valore delle passività. Ipotizzando che il flusso di importi x rappresenti cedole di un portafoglio di titoli che è posto a copertura di un flusso di importi y, il quale descrive le poste degli impegni passivi. Si avrà che, se: 4

[8]

W (t , x)  W (t , y ) ,

l’impresa è solvibile. Una situazione di perfetto equilibrio si può realizzare quando le poste x k risultano  y k , k . Si arriva ad una situazione di “matching perfetto” quando ogni posta del flusso dell’attivo risulta essere non inferiore, per ciascuna scadenza, ad ogni posta del flusso del passivo. Il “nodo centrale” della teoria dell’immunizzazione finanziaria è proprio il controllo del rischio di tasso di interesse (variazioni sulla curva dei tassi di interesse di intensità diversa sul flusso di attivo e sul flusso del passivo); nel caso di un perfetto allineamento temporale delle poste di entrambi i flussi, non si verificherà il rischio di tasso di interesse.

1.3 Il teorema di Fisher Weil Tradizionalmente, per caratterizzare l’equilibrio finanziario di portafogli di puro investimento, ci si riferisce al teorema di immunizzazione di Fisher Weil, che è formulato, nell’ipotesi classica, utilizzando il valore terminale del flusso di cassa generato dal portafoglio, relativo al periodo di attività dell’investitore; un portafoglio di titoli obbligazionari si dice immunizzato da uno shift additivo, su un certo orizzonte temporale, se il reddito prodotto a fine periodo (reddito da reinvestimento più valore di smobilizzo), nel caso abbia avuto effetto lo shift, è comunque nonminore del reddito che sarebbe stato prodotto in assenza di shift. Con formulazione equivalente, in termini di rendimento (holding period return), se il portafoglio è immunizzato, il rendimento exante (il cosiddetto rendimento programmato) è non-minore del rendimento ex-post. La definizione di immunizzazione finanziaria, nel senso di Fisher e Weil, può essere riformulata nello schema di Redington (con riferimento ai valori attuali) considerando un portafoglio composto dal flusso attivo x, generato da redditi dei titoli, e da un flusso passivo costituito da un unico importo, esigibile in una scadenza prefissata. Il portafoglio totale è in equilibrio, nell’istante di valutazione t, se il valore attuale del flusso di investimento (attivo) è uguale al valore dell’unica posta passiva (liability); risulterà immunizzato, rispetto ad uno shift della struttura dei rendimenti che abbia effetto in t  , se il valore netto, nell’istante successivo allo shift, sarà non-negativo.

Osservazione. Evidentemente, l’importo passivo può essere anche soltanto virtuale e costituire un target (obiettivo) di reddito per il lusso di puro investimento sull’orizzonte di attività fissato dalla scadenza dell’importo target.

Il problema di caratterizzare un portafoglio di puro investimento (portafoglio titoli) che abbia reddito immune dall’effetto di shift additivi, su un orizzonte strategico prefissato, è equivalente al problema di costruire un portafoglio attivo a copertura di un’unica uscita (target di reddito) localizzata nell’istante finale dell’orizzonte strategico (dell’investitore). Il teorema di Fisher Weil fornisce una condizione necessaria e sufficiente attraverso la quale si può andare ad individuare sul mercato finanziario quel flusso di importi x che consente di pagare L senza per questo incorrere nel rischio di tasso di interesse. Questo teorema può, quindi, essere riformulato nella forma:

5

TEOREMA. Sia  (t, s ) l’intensità istantanea di interesse corrispondente alla struttura a termine osservata al tempo t, sia L > 0 un importo esigibile al tempo H > t (impegno passivo), x un flusso di importi non negativi (impegni attivi) con scadenza t1 , t 2 ,, t m (t  t1  t 2    t m ) il cui valore al tempo t uguagli il valore al tempo t di L: [9]

W (t , x)  W (t , L)

(condizione di equilibrio finanziario).

Nell’ipotesi che la curva dei rendimenti subisca, nell’istante t  immediatamente successivo a t, uno shift additivo di ampiezza aleatoria (eventualmente nulla), allora il valore post-shift del flusso x sarà non-minore del valore post-shift di L: [10]

W (t  , x)  W (t  , L)

(condizione per la quale il flusso x risulta immunizzato tra t e t  )

se e solo se la durata media finanziaria di x ,calcolata al tempo t, è uguale alla vita a scadenza in t (maturity) di L: [11]

D(t , x)  H  t .

(condizione di duration)

In questo modo si sfruttano le proprietà baricentrali della durata media finanziaria, per porre condizioni utilizzabili ai fini della scelta del flusso x che sia perfettamente immunizzato con la posta L. Sostanzialmente questo teorema dice che a fronte di un impegno passivo pari a L, collocato in H, è sufficiente, per garantire l’immunizzazione finanziaria del portafoglio, andare a scegliere sul mercato un flusso x che abbia in t lo stesso valore e la stessa durata media finanziaria della posta L.

Osservazione. Il valore di un generico flusso x calcolato in un istante s è pari alla somma di due componenti: [12] W ( s, x)   x k (1  i ) s tk   x k (1  i )  ( tk  s ) , tk  s

tk  s

il montante rappresentato dalla prima sommatoria, e il valore di smobilizzo, dalla seconda; come conseguenza dei movimenti del tasso di interesse (rischio di tasso) queste due componenti sono soggette a due distinti tipi di rischi, che si muovono in maniera inversa rispetto a variazioni sulla curva dei tassi d’interesse:  rischio di reimpiego: all’aumentare (diminuire) del tasso di interesse, il montante aumenta (diminuisce);  rischio di prezzo: all’aumentare (diminuire) del tasso di interesse, il valore di smobilizzo diminuisce (aumenta). Poiché la duration è il baricentro della distribuzione normalizzata dei valori attuali delle poste del flusso x, essa, supponendo pesi, per ogni scadenza, pari a x k v(t , t k ) / W (t , x) , k , è proprio la distanza da t del punto di equilibrio dei pesi. La duration è,dunque, l’orizzonte temporale “privilegiato”, ovvero, la scadenza intermedia ove si ha perfetto bilanciamento tra gli effetti dei due rischi opposti.

6

Dimostrazione. Sia Q(t , x, L) il rapporto tra i valori attuali d x e di L, al tempo t: Q(t , x, L) 

[13]

W (t , x) ; W (t , L)

per il vincolo di bilancio, si avrà: Q(t , x, L)  1. Si deve dimostrare che, se nell’istante t  (immediatamente successivo a t) la struttura dei rendimenti subisce uno shift additivo di ampiezza aleatoria Y, cioè se:

 (t  , s)   (t , s)  Y , s  t  ,

[14]

allora la condizione D(t , x)  H  t è necessaria e sufficiente affinché il rapporto Q(t  , x, L) tra i valori post-shift sia maggiore o uguale a 1. In ogni istante t  t1 , si ha: tk



  ( t  , u ) du

m

Q (t , x , L ) 

[15]



k 1

xk e

H

t



H



  ( t , u ) du

Le

1 L

m



k 1

  ( t ,u ) du x k e tk ;

t

quindi il valore post-shift del quoziente Q sarà una funzione di Y del tipo:

[16] H

H

  (t 1 m Q(t  , x, L, Y )   x k e t k L k 1



,u ) du

 1 m   xk e tk L k 1

H

( ( t ,u ) Y ) du

 1 m   xk e tk L k 1

H

 ( t ,u ) du

 Ydu

 e tk

H

 1 m   xk e tk L k 1

 ( t ,u ) du

e Y ( H t k ) ,

essendo Q = 1 per Y = 0,poiché il secondo fattore del prodotto diventa uguale a 1. Se si calcolano la derivata prima e seconda di Q(t  ) rispetto a Y, si ha: H

[17]

 1 Q' (Y )   ( H  t k ) xk e tk L k 1

[18]

 1 Q' ' (Y )   ( H  t k ) 2 xk e tk L k 1

m

 ( t ,u ) du

e Y ( H t k ) , H

m

 ( t ,u ) du

e Y ( H t k ) .

Risulta sempre Q' ' (Y )  0 (l’uguaglianza vale soltanto nel caso degenere di flusso di x concentrato in H). Il rapporto tra i valori attuali post-shift di x ed L è quindi una funzione convessa (concavità verso l’alto) dell’ampiezza Y e vale 1 per Y = 0. Allora, essendo una funzione convessa, il punto in cui si annulla la derivata prima è sicuramente il punto di minimo assoluto, al di sopra del quale tutti i valori sono maggiori di 1, e quindi, affinché la funzione Q(t  ) assuma valore maggiore o uguale ad 1 per qualsiasi valore dell’ampiezza dello shift (diversa da zero), occorrerà che sia uguale a zero la sua derivata prima, rispetto a Y, calcolata in Y = 0; cioé: 7

H

Q ' ( 0) 

[19]

 1 tk ( H  t ) x e  k k L k 1 m

 ( t ,u ) du

 0,

ovvero tk

m

 ( H  t k ) xk e [20]



  ( t ,u ) du

m

t



k 1

H



 ( H  t k ) xk v(t , t k ) k 1

Lv(t , H )

  ( t ,u ) du

Le

m



 H ( xk v(t , t k )) k 1

Lv(t , H )

m



t k 1

k

( xk v(t , t k ))

Lv(t , H )

 0,

t

H non dipende dalla sommatoria e quindi può essere portata fuori: m

 H ( xk v(t , t k )) [21]

k 1

Lv (t , H )

m



 t k ( xk v(t , t k )) k 1

Lv (t , H )

m

H

 ( xk v(t , t k )) k 1

Lv (t , H )

m



t k 1

k

( x k v(t , t k ))

Lv(t , H )

 0;

W (t , x) , che per la condizione di equilibrio W (t , L) iniziale, W (t , x)  W (t , L) , risulta essere pari a 1, e quindi si avrà:

il rapporto che moltiplica H può essere scritto come

m

t [22]

k 1

k

xk v(t , t k )

Lv (t , H )

H,

sottraendo ad entrambi i membri t, si ottiene: m

 (t

k

 t ) x k v(t , t k )

 H t W (t , x) che equivale alla condizione D(t , x)  H  t .

[23]

k 1

Questa dimostrazione si fonda su due ipotesi: 1. sia nota e perfettamente identificabile la struttura dei rendimenti a scadenza. 2. parte da un vincolo strutturale che è quello di aver prefissato un impegno passivo identificato dall’importo L con scadenza in H: dunque questo impegno è unico e determinato sia nell’ammontare che nella scadenza.

Osservazione. Il rapporto

L ci fornisce il fattore di capitalizzazione che consente di W (t , L) 1

 L  H t  determinare un rendimento di periodo facendo:   1  T .I .R. . Si può quindi rileggere il  W (t , L)  teorema di Fisher Weil in modo alternativo:

8

la condizione di esistenza della posta L e la condizione per la quale il prezzo di L è espresso come W (t , L) (tale che si abbia W (t , x)  W (t , L) ) fanno si che, attraverso il teorema, si possano fissare 1

 L  H t  1. condizioni per garantire un rendimento minimo pari   W (t , L)  Se il teorema 1 può essere rivisto in questo modo, allora esso (attraverso la durata media finanziaria e la condizione di equilibrio) afferma anche che se si deve garantire un rendimento sul passivo, si dovrà essere certi che sul mercato si possa trovare un flusso di importi (avente uguale prezzo e uguale duration della posta L) che garantisca lo stesso rendimento che si riconosce sul flusso passivo, quindi la garanzia di copertura può essere interpretata ed utilizzata come garanzia sulla redditività periodale.

Si voglia selezionare in t, un portafoglio a copertura dell’importo L esigibile in H (t < H) scegliendo le quote di copertura 1 e  2 per due titoli a capitalizzazione integrale, con valore facciale unitario e rimborso ai tempi t1  H e t 2  H rispettivamente; sia v(t,s) la struttura dei corsi osservata al tempo t e siano ipotizzabili soltanto shift additivi in t  . Il vincolo di bilancio e la condizione di duration sono espresse, rispettivamente, dalle: [24]

 1v( It , t1 )   2 v(t , t 2 )  Lv(t , H )

[25]

(t1  t ) 1v(t , t1 )  (t 2  t ) 2 v(t , t 2 )  ( H  t ) Lv (t , H )

che costituiscono un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite  1 e  2 . La soluzione, unica, al problema di immunizzazione (selezione del portafoglio di copertura o a rendimento minimo garantito) sarà quindi data da: [26]

1 

Lv(t , H )(t 2  H ) v(t , t1 )(t 2  t1 )

[27]

2 

Lv(t , H )( H  t1 ) . v(t , t 2 )(t 2  t1 )

Esempio Si consideri l’istante di valutazione come origine dei tempi (t=0). Si voglia garantire disponibilità di un importo L=100 unità di capitale al tempo H=3 anni, potendo comporre il portafoglio di copertura con titoli a cedola nulla, di valore facciale unitario con scadenza t1  2anni e t 2  5anni rispettivamente, nell’ipotesi che la curva dei rendimenti osservata sia costante ad un tasso d’interesse i=9% (annuo) e che possa subire soltanto traslazioni rigide (in 0  ) . Utilizzando lo schema discusso nell’esempio precedente, si ricava che il portafoglio immunizzato avrà composizione data da:

 1  (100 1.09 3  2) /(1.09 2  3)  61.16  2  (100 1.09 3 ) /(1.09 5  3)  39.60; in altri termini, il flusso x sarà costituito dalle poste x1  61.16 e x2  39.60 con scadenza t1  2 e t 2  5 , avrà un valore in t=0 di 77.22 di cui 51.48 unità di capitale impegnate nel titolo a 2 anni e 25.74 nel titolo a 5 anni (51.48 rappresenta l 61.16% del valore attuale 100*v(0,2) dello zero9

coupon bond che paga 100 in t=2; analogamente per la quota residua). Il portafoglio soddisfa, per costruzione, la condizione di immunizzazione, che si verifica facilmente su casi particolari: per uno shift di ampiezza 1% positivo (corrispondente ad una traslazione della funzione  di ampiezza + 0.00919 risulta infatti W (0  , x)  75.1339,W (0  , L)  75.1314; nel caso di uno shift negativo dell’1% (  traslata di - 0.0092) si W (0  , x)  79.3859,W (0  , L)  79.3832. La garanzia della copertura dell’impegno di 100 euro in H=3 equivale ad aver garantito un reddito minimo (di 100 euro dopo 3 periodi) al portafoglio x di valore iniziale 77.22, quindi almeno un rendimento del (100/77.22)-1 = 29.50% su un orizzonte di attività di H-t = 3 anni.

2. L’immunizzazione classica. Copertura di uscite multiple 2.1 Il teorema di Redington Le condizioni analitiche per la costruzione di un flusso di cassa a copertura di un singolo impegno interpretate nell’ottica del teorema di immunizzazione di Fisher e Weil o, analogamente, come ricerca del tempo ottimo di smobilizzo, hanno un significato operativo autonomo e rilevante. Sulla base del teorema è possibile selezionare e gestire (in modo dinamico) portafogli di investimento (in particolare portafogli titoli), con flusso di cassa deterministico, che abbiano reddito immunizzato sull’holding period, rispetto a shift additivi (eventualmente, multipli sull’orizzonte di attività) della struttura a termine dei rendimenti. In riferimento alla definizione di immunizzazione finanziaria (come formulata da Redington) la copertura di una singola uscita appare la soluzione di un caso semplificato, rispetto al problema più generale della copertura di un flusso di impegni scadenzati nel tempo. Risulta naturale quindi, sulla linea dimostrativa del teorema , impostare la ricerca di condizioni analitiche che garantiscano la protezione del valore di due generici flussi di attivo e passivo, nella prospettiva di definire uno schema per la selezione e la gestione di un portafoglio complesso, composto da operazioni di investimento e di debito. Un primo passo, euristico, consiste nel verificare che il vincolo di bilancio e la condizione di duration applicate ai flussi x e y, non sono sufficienti a garantire l’immunizzazione da shift additivi della struttura dei rendimenti, come risulta dal seguente esempio.

Esempio Sia, per semplicità, t=0 l’istante di valutazione; le scadenze degli importi dei flussi siano tutte misurate in riferimento a t. Il flusso y degli importi sia assegnato e costituito da 100 unità di capitale dopo 3 anni e da 50 unità di capitale dopo 4.5 anni. Il flusso di copertura x possa essere realizzato selezionando due titoli di puro sconto, con valore facciale unitario e scadenza a 3 anni e a 4 anni rispettivamente; si indichino con 1 e  2 le poste attive da determinare. In riferimento ad un’unica griglia temporale , avremo quindi: y  100,0,50 , x   1 , 2 ,0 con scadenza t  3,4,4.5 . Si supponga che sia in vigore, nell’istante di valutazione, l’intensità istantanea di interesse  (0, s )   (0)  0.1 , costante sull’intero orizzonte di attività. Se le quote  1 e  2 vengono selezionate sulla base del teorema 1, imponendo il vincolo di bilancio e la condizione di duration ai flussi x e y, le quote di copertura si ricavano dal sistema:

 1e 30.1   2 e 40.1  100e 30.1  50e 4.50.1 10

3 1e 30.1  4 2 e 40.1  3 100e 30.1  4.5  50e 4.50.1 e risultano date da:

 1  78.4823, 2  71.3422 . E’ facile verificare che la copertura non è immunizzata da shift additivi della curva dei rendimenti (ipotesi classica dell’esempio 3.2). Infatti, se ad esempio in 0  l’intensità istantanea di interesse subisce uno shift additivo di ampiezza Y=- 0.03, la condizione di immunizzazione (3.7) del teorema 1 non è soddisfatta, poiché risulta W (0  , x)  117.536,W (0  , y )  117.548 e quindi, per il valore netto, si ha: WN (0  )  0.012078 . Il valore Y=- 0.03 non costituisce l’unica ampiezza dello shift che falsifichi la condizione di immunizzazione; il profilo di WN (0  ) assume valori negativi qualunque sia l’ampiezza dello shift che porti l’intensità istantanea di interesse ad un livello diverso da 0.1.

TEOREMA. Sia  (t , s) l’intensità istantanea di interesse corrispondente alla struttura a termine osservata al tempo t, siano x e y due flussi ad elementi non negativi con scadenze t1 , t 2 ,, t m (t  t1  t 2    t m ) e valori uguali al tempo t: [28]

W (t , x)  W (t , y ) .

(condizione di equilibrio)

Se la curva dei rendimenti subisce nell’istante t  , immediatamente successivo a t, uno shift additivo di ampiezza aleatoria infinitesima, allora il valore post-shift del flusso x sarà non-minore del valore post-shift di y: [29]

W (t  , x)  W (t  , y )

se la durata media finanziaria di x è uguale alla durata media finanziaria di y: [30]

D(t , x)  D(t , y )

e se il momento di second’ordine di x è non-minore del momento di second’ordine di y: [31]

D 2 (t , x)  D 2 (t , y ) .

Dimostrazione Si indichi con WN (t ) il valore netto dei flussi x e y, calcolato con la  (t , s) ; sia quindi: tk

m

[32]

W N (t )  W (t , x)  W (t , y )   ( xk  y k )e



  ( t ,u ) du t

.

k 1

Se in t  ha effetto uno shift di ampiezza aleatoria Y, risulterà:  (t  , s)   (t , s )  Y , ed il valore netto post-shift sarà una funzione di Y, della forma: 11

tk

m

[33]

WN (t  , Y )   ( xk  y k )e



  ( t  ,u ) du t

k 1

tk

m

  ( x k  y k )e



  ( t ,u )du t

k 1

m

e Y ( tk t )   ( xk  y k )v(t , t k )e Y ( tk t ) . k 1

Le derivate prima e seconda di WN rispetto a Y sono date dalle: m

[34]

W N' (Y )   (t k  t )( xk  y k )v(t , t k )e Y ( tk t ) , k 1 m

[35]

WN'' (Y )   (t k  t ) 2 ( xk  y k )v(t , t k )e Y ( tk t ) . k 1

Se si considera lo sviluppo in serie di Taylor della funzione WN (t ) , intorno a Y=0, arrestato al second’ordine, che consente di scomporre l’incremento che una funzione subisce in seguito all’incremento della variabile indipendente, in componenti rappresentate dalla derivata prima e seconda, si ha: [36]

W N (Y )  WN (0)  YWN' (0)  (1 / 2)Y 2WN'' (0).

Il vincolo di bilancio (condizione iniziale di equilibrio) assicura che sia WN (0)  0 ; inoltre, il secondo termine della serie di Taylor, fornisce il numeratore della durata media finanziaria del flusso netto, che per la condizione di duration è uguale a 0 ( D(t , x)  D(t , y )  0 ), e quindi si garantisce che WN' (0)  0 . Con questo, l’immunizzazione locale (cioè la condizione WN (Y )  0 , per valori di Y appartenenti ad un intorno dello zero) sarà conseguita se il terzo termine nella [36] risulta non-negativo, cioè se si ha: [37]

m

m

k 1

k 1

 t k  t 2 xk v(t , t k )   (t k  t ) 2 yk v(t , t k );

per il vincolo di bilancio si può scrivere m

 (t [38]

k 1

k

 t ) 2 x k v(t , t k )

W (t , x)

m



 (t k 1

k

 t ) 2 y k v(t , t k )

W (t , y )

che equivale alla condizione D 2 (t , x)  D 2 (t , y ) . Il teorema ripropone lo schema originario di Redington, esteso al caso di struttura a termine qualsiasi (  non necessariamente costante); è formulato su una linea logica analoga a quella proposta per il teorema di Fisher Weil: la copertura del flusso di impegni è garantita dal vincolo di bilancio, dalla condizione di duration con l’aggiunta di una condizione di non-negatività sul momento di second’ordine del flusso netto, o sulla dispersione netta.

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Dal confronto tra il teorema di Fisher Weil e il teorema di Redington emergono alcune osservazioni: 

il teorema di Redington risolve il problema di immunizzazione nel caso in cui si abbia un portafoglio complesso, dove il flusso y ha almeno due scadenze con importi diversi da 0, altrimenti ricadrebbe nel teorema 1;  nel teorema di Redinton la linea dimostrativa condotta fonda sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione valore del flusso netto, questo implica che il teorema fornisce condizioni necessarie e sufficienti di immunizzazione finanziaria rispetto a shift di ampiezza infinitesima: tanto più è ampia la dimensione del salto, tanto maggiore è il grado di approssimazione, tanto più si indebolisce l’immunizzazione finanziaria di un portafoglio complesso;  entrambi i teoremi forniscono condizioni di immunizzazione che sono valide dal momento in cui si esegue la valutazione al momento in cui va in scadenza la prima posta di attivo o passivo. Dire che i due teoremi forniscono condizioni valide su intervalli di tempo circoscritti significa che non interviene alcuno shift prima della scadenza di una delle poste, le condizioni di immunizzazione rimangono valide fino a detta scadenza; giunti alla prima scadenza utile sarà necessario ricostruire le condizioni di immunizzazione andando a ricalcolare le durate medie finanziarie tenendo conto della situazione di struttura dei tassi di interesse in vigore in t1 , e il momento secondo (nel caso si utilizzi il teorema di Redington). A questo punto verranno anche ricalibrati i flussi di attivo in modo tale da soddisfare nuovamente le condizioni. Tutto questo significa che usare le tecniche di immunizzazione finanziaria allo scopo di costruire portafogli immunizzati al rischio di tasso di interesse comporta una gestione dinamica degli attivi. “Gestione dinamica” signifa, infatti, andare ad operare delle ricalibrature in occasione delle scadenze.

Riferimenti Bibliografici

De Felice, M., Moriconi, F., La teoria dell’immunizzazione finanziaria. Modelli e strategie, Bologna, Il Mulino, 1991(a).

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