Dispensa Dinamica delle Strutture

Università degli Studi di Trieste Facoltà di Ingegneria Civile

Appunti di

DINAMICA DELLE STRUTTURE Prof. Sandra Rajgelj

A.A. 2008/2009 Adriano Rosin

INDICE

Capitolo 1 : INTRODUZIONE 1.

Analisi dinamica strutturale

Capitolo 2 : SISTEMI DICRETI SDOF 1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Oscillatore semplice Oscillatore semplice lineare Oscillatore semplice non lineare Equazioni del moto 4.1. Equazione del moto 4.1.1. Metodo dell’equilibrio diretto o dinamico 4.1.2. Principio dei lavori virtuali 4.1.3. Principio di Hamilton 4.2. Equazione del moto con carichi gravitazionali 4.3. Equazione del moto con movimento della base 4.4. Equazione di bilancio dell’energia Oscillatore semplice generalizzato 5.1. Oscillatore semplice generalizzato di tipo A 5.1.1. Esempi 5.2. Oscillatore semplice generalizzato di tipo B 5.2.1. Esempi Vibrazioni libere 6.1. Vibrazioni non smorzate 6.2. Vibrazioni smorzate Vibrazioni forzate da forzante armonica 7.1. Vibrazioni non smorzate 7.2. Vibrazioni smorzate 7.2.1. Rapporto di smorzamento Risposta ad un carico dinamico di breve durata 8.1. Carico di breve durata a gradino 8.1.1. Esempi 8.2. Carico di breve durata sinusoidale 8.3. Spettri di risposta Risposta ad un carico dinamico periodico 9.1. Carico periodico in serie reale di Fourier 9.2. Carico periodico in serie complessa di Fourier 9.3. Metodo di analisi nel dominio delle frequenze Risposta ad un carico dinamico generico 10.1. Integrale di Duhamel 10.2. Spettri di risposta con movimento della base Isolamento delle vibrazioni 11.1. Trasmissibilità di forze 11.2. Trasmissibilità di spostamenti

12.

11.2.1. Spostamenti assoluti 11.2.2. Spostamenti relativi 11.2.3. Esempi Metodi numerici passo-passo 12.1. Equazione incrementale linearizzata del moto 12.2. Metodi numerici passo-passo 12.2.1. Metodo di Eulero-Gauss 12.2.2. Metodo di Newmark 12.2.3. Metodo di Newmark-Beta 12.2.4. Metodo delle differenze centrali 12.3. Errori computazionali

Capitolo 3 : SISTEMI DISCRETI MDOF 1. 2. 3. 4. 5.

6.

7.

8.

9.

Oscillatore multiplo Oscillatore multiplo lineare Oscillatore multiplo non lineare Equazioni del moto Matrici delle proprietà strutturali 5.1. Matrice di rigidezza 5.1.1. Telaio piano shear-type 5.1.2. Telaio piano generico 5.2. Matrice di massa 5.2.1. Matrice di massa coerente (consistent mass matrix) 5.2.2. Matrice di massa concentrata (lumped mass matrix) 5.3. Matrice di smorzamento 5.4. Carichi equivalenti nodali 5.5. Metodo della condensazione statica 5.5.1. Matrice di rigidezza condensata 5.5.2. Matrice di massa condensata 5.5.3. Matrice di smorzamento condensata Vibrazioni libere 6.1. Vibrazioni non smorzate 6.2. Vibrazioni smorzate Vibrazioni forzate 7.1. Vibrazioni non smorzate 7.2. Vibrazioni smorzate 7.2.1. Smorzamento viscoso classico 7.2.2. Smorzamento viscoso alla Rayleigh 7.2.3. Smorzamento viscoso alla Caughy-Kelly 7.3. Vibrazioni smorzate con movimento della base 7.3.1. Smorzamento viscoso classico Metodi numerici passo-passo 8.1. Equazione incrementale linearizzata del moto 8.2. Metodi numerici passo-passo 8.2.1. Metodo di Wilson 8.3. Errori computazionali Analisi modale con iterazioni matriciali 9.1. Metodo di Jacobi

9.2. Metodo di Stodola 9.3. Metodo di Rayleigh

Capitolo 4 : SISTEMI CONTINUI 1. 2.

3.

Vibrazioni flessionali in travi uniformi Vibrazioni libere 2.1. Modello di Eulero-Bernoulli 2.1.1. Trave in doppio appoggio 2.1.2. Trave incastrata 2.2. Modello di Timoshenko 2.2.1. Trave incastrata Vibrazioni forzate 3.1. Modello di Eulero-Bernoulli 3.1.1. Trave in doppio appoggio 3.2. Modello di Timoshenko

Capitolo 1 INTRODUZIONE

-1-

1 - ANALISI DINAMICA STRUTTURALE

L’obiettivo della analisi dinamica strutturale è valutare la risposta strutturale in strutture soggette a carichi dinamici. Per risposta strutturale si intende una grandezza vettoriale funzione del tempo che identifica una struttura dal punto di vista dinamico (spostamento, caratteristica della sollecitazione, energia, …). Per carico dinamico si intende una grandezza vettoriale funzione del tempo che identifica una condizione di carico. In un problema dinamico le azioni esercitate su un sistema ed i loro effetti su tale sistema variano entrambi nel tempo. Per storia di carico si intende l’andamento nel tempo delle azioni esercitate su un sistema; per storia della risposta si intende l’andamento nel tempo degli effetti delle azioni esercitate su un sistema. L’analisi dinamica strutturale può essere condotta secondo due approcci: 1. approccio deterministico: la storia di carico è nota in senso deterministico; 2. approccio statistico: la storia di carico è nota in senso statistico. Nella trattazione dell’analisi dinamica strutturale da noi seguita viene considerato solo l’approccio deterministico. Esistono le seguenti tipologie di carichi dinamici deterministici: ƒ carichi periodici: − carico armonico semplice:

− carico generico:

ƒ

carichi non periodici: − carico impulsivo di breve durata:

− carico impulsivo di lunga durata:

-2-

Risulta importante ricordare che all’interno della dinamica classica trova validità il principio di D’Alambert secondo il quale ogni problema di dinamica può essere visto come un problema di statica se alle forze esterne si aggiungono le forze di inerzia. L’analisi dinamica strutturale può essere effettuata con riferimento a due modelli: a) modello continuo: → la struttura presenta un numero infinito di gradi di libertà dinamici; → si ricorre ad equazioni alle derivate parziali; b) modello discreto: o approccio a masse concentrate: → le masse e le relative forze di inerzia vengono concentrate in punti discreti della struttura; → la struttura presenta un numero finito di gradi di libertà dinamici; o approccio a spostamenti generalizzati: → la deformata della struttura viene vista come combinazione lineare di forme o deformazioni assegnate: N

u (x , t ) = ∑ b n (t ) ⋅ φ n (x ) n =1

b n (t ) = coefficiente incognito della combinazione lineare ⎛ nπ ⎞ φ n (x ) = sin ⎜ x ⎟ = funzione di forma . ⎝ L ⎠ Le funzioni di forma devono rispettare i vincoli della struttura.

→ il metodo agli elementi finiti costituisce un particolare tipo di approccio a spostamenti generalizzati nel quale la struttura viene suddivisa in un numero finito di elementi connessi fra loro in dei punti detti nodi ed il campo degli spostamenti dell’intera struttura viene espresso in funzione dei campi degli spostamenti dei singoli nodi.

-3-

Capitolo 2 SISTEMI DISCRETI SDOF

-1-

1 - OSCILLATORE SEMPLICE

Nella realtà le strutture sono sistemi continui con masse distribuite e quindi esse presentano un numero infinito di gradi di libertà dinamici. Esistono però casi in cui le strutture possono essere modellizzate come sistemi discreti con un solo grado di libertà dinamico. Un sistema discreto con un solo grado di libertà dinamico viene definito oscillatore semplice o “single degree of freedom system” (SDOF system). Ad esempio una torre piezometrica con serbatoio in quota può essere modellizzata come un oscillatore semplice se si fanno le seguenti ipotesi semplificative: ƒ la massa della colonna sia trascurabile rispetto alla massa del serbatoio; ƒ gli spostamenti verticali, le rotazioni attorno ad assi orizzontali e le rotazioni torsionali attorno all’asse della colonna siano trascurabili rispetto agli spostamenti orizzontali; ƒ il serbatoio sia una massa puntiforme in grado di spostarsi solamente lungo una direzione orizzontale.

-2-

2 - OSCILLATORE SEMPLICE LINEARE

Un oscillatore semplice lineare è un oscillatore semplice composto dai seguenti elementi: • una massa m indeformabile in grado di traslare in un una sola direzione; • una molla elastica lineare con rigidezza k (positiva) e di massa trascurabile; • uno smorzatore viscoso lineare con coefficiente di smorzamento c (positivo) e di massa trascurabile. Le unità di misura adottate per i parametri m, k, c sono le seguenti: [m] = kg [k ] = N [c] = N ⋅ s . m m Le forze da considerare nell’analisi dinamica di un oscillatore semplice lineare sono: ♦ la forza di inerzia FI(t) della massa m; ♦ la reazione FS(t) della molla elastica lineare; ♦ la reazione FD(t) dello smorzatore viscoso lineare; ♦ la forzante (o azione) F(t).

-3-

3 - OSCILLATORE SEMPLICE NON LINEARE

Un oscillatore semplice non lineare è un oscillatore semplice composto dai seguenti elementi: • una massa m indeformabile in grado di traslare in un una sola direzione; • una molla elastica non lineare o elastoplastica di massa trascurabile; • uno smorzatore viscoso lineare o non lineare di massa trascurabile.

-4-

4 - EQUAZIONI DEL MOTO

Il problema dell’analisi dinamica di un oscillatore semplice lineare viene ricondotto a quello di un sistema con una grandezza di input e una grandezza di output. La grandezza di input è rappresentata dalla legge di variazione della forzante F(t); la grandezza di output è rappresentata dalla legge di variazione dello spostamento u(t) della massa m rispetto alla configurazione di equilibrio sotto i carichi statici e questa legge definisce la risposta del sistema in termini di spostamento.

4.1 - EQUAZIONE DEL MOTO L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare assume la forma: ..

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F(t ) . Tale equazione può essere scritta anche in forma contratta, considerando un operatore differenziale lineare del secondo ordine funzione dei parametri m, c, k: d2 d L = m 2 + c + k → L u (t ) = F(t ) . dt dt La rappresentazione sistemistica dell’analisi dinamica di un oscillatore semplice lineare consente una formulazione sintetica dei seguenti tre problemi: 1) problema diretto: noti i parametri m, c, k e la forzante F(t) si determina la risposta u(t): u (t ) = L−1F(t ) con L-1 operatore inverso di L; 2) problema inverso: noti i parametri m, c, k e la risposta u(t) si determina la forzante F(t): F(t ) = Lu(t ) ; 3) problema di identificazione strutturale: nota la forzante F(t) e la risposta u(t) si determinano i parametri m, c, k. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare può essere ricavata alternativamente con tre modalità operative: 1. metodo dell’equilibrio diretto o dinamico; 2. principio dei lavori virtuali; 3. principio di Hamilton.

4.1.1 - METODO DELL’EQULIBRIO DIRETTO O DINAMICO Il problema dinamico viene ricondotto ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche la forza di inerzia (principio di D’Alambert) e si esegue l’equilibrio di tutte le forze agenti sulla massa m ad ogni istante. Si ottiene:

..

FI (t ) = − m u (t )

.

FD (t ) = −c u (t )

FS (t ) = − k u (t ) -5-

FI (t ) + FD (t ) + FS (t ) + F(t ) = 0 ..

.

− m u (t ) − c u (t ) − k u (t ) + F(t ) = 0 ..

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F(t ) .

4.1.2 - PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Il problema dinamico viene ricondotto ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche la forza di inerzia (principio di D’Alambert) e si impone che il lavoro virtuale di tutte le forze agenti sulla massa m sia nullo per ogni spostamento virtuale (spostamento infinitesimo compatibile con le condizioni di vincolo). Si ottiene:

..

.

FI (t ) = − m u (t )

FD (t ) = −c u (t )

FS (t ) = − k u (t )

FI (t ) δu + FD (t ) δu + FS (t ) δu + F(t ) δu = 0 ..

.

− m u (t ) δu − c u (t ) δu − ku (t ) δu + F(t ) δu = 0 .. . ⎛ ⎞ ⎜ − m u (t ) − c u (t ) − ku (t ) + F(t )⎟ δu = 0 ⎝ ⎠

..

∀ δu

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F(t ) .

4.1.3 - PRINCIPIO DI HAMILTON Il problema dinamico viene ricondotto ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche la forza di inerzia (principio di D’Alambert) e si ricerca il moto naturale della massa m. Il moto naturale di un corpo soggetto a forze esterne risulta essere quel moto compatibile con i vincoli che rende stazionario il funzionale Q* su un generico intervallo temporale. Il funzionale Q* viene definito come segue: Q* = T − V + Wnc T = energia cinetica V = energia potenziale Wnc = lavoro delle forze non conservative . Si ottiene:

∫

t2 t1

δQ*dt = 0

∫ δ(T − V + W ) dt = 0 t2

nc

t1

∫

∫ ∫

t2 t1

t2 t1 t2 t1

δ(T − V ) dt + ∫ δWnc dt = 0 t2

t1

. ⎛ ⎛ 1 ⎛ . ⎞2 1 ⎞⎞ t ⎜ δ⎜ m⎜ u (t )⎟ − k (u (t ))2 ⎟ ⎟ dt + 2 ⎛⎜ ⎛⎜ − c u (t ) + F(t )⎞⎟ δu ⎞⎟ dt = 0 ∫ ⎟⎟ t1 ⎜ ⎜2 ⎝ ⎠ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ . . t2 ⎛ ⎛ ⎛ . ⎞ ⎞ ⎞ ⎜ m u (t ) δ u − k u (t ) δu ⎟ dt + ∫ t ⎜ ⎜ − c u (t ) + F(t )⎟ δu ⎟ dt = 0 1 ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝⎝

.

m u (t ) δu

t2 t1

.. t2 ⎛ t2 t2 ⎛ . ⎞ ⎞ − ∫ ⎜ m u (t ) δu ⎟ dt − ∫ (k u (t ) δu ) dt − ∫ ⎜ c u (t ) δu ⎟ dt + t1 t1 t1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-6-

+∫

t2 t1

(F(t ) δu ) dt = 0 .

m u (t ) δu

t2

=0

t1 .. . ⎛⎛ ( ) ( ) (t ) + F(t )⎞⎟ δu ⎞⎟ dt = 0 − m u t − k u t − c u ⎜ ⎜ ∫ t1 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ .. . ⎛ ⎞ ∀ δu ⎜ − m u (t ) − k u (t ) − c u (t ) + F(t )⎟ δu = 0 ⎝ ⎠ t2

..

∀ t1 , t 2

.

− m u (t ) − k u (t ) − c u (t ) + F(t ) = 0 ..

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F(t ) . Applicando il principio di Hamilton ad un problema statico privo di forze non conservative si ottiene il principio di stazionarietà dell’energia potenziale totale: ⎧T = 0 t2 t2 ⎪ → ∫ δQ*dt = ∫ δ(V − Wnc ) dt = 0 → δ(V − Wnc ) = 0 problema statico → ⎨ d t1 t1 ⎪⎩ dt = 0 assenza forze non conservative →

Wnc = 0

problema statico + assenza forze non conservative ⇒

δV = 0 .

4.2 - EQUAZIONE DEL MOTO CON CARICHI GRAVITAZIONALI L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare può essere scritta prendendo come riferimento la configurazione di equilibrio sotto i carichi statici e considerando soli i carichi dinamici. In virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, valido per i sistemi lineari, la risposta totale di un oscillatore semplice lineare la si ottiene sovrapponendo la risposta statica e quella dinamica. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare soggetto al carico statico gravitazionale W ed al carico dinamico generico p(t) assume la forma: .. . m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = W + p(t ) .

Lo spostamento totale dell’oscillatore può essere scomposto nella somma dello spostamento Δst dovuto al carico statico gravitazionale W e dello spostamento ū(t) dovuto al carico dinamico generico p(t): -7-

u (t ) = u (t ) + Δ st . Con questa scomposizione dello spostamento totale dell’oscillatore l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare soggetto al carico statico gravitazionale W e al carico dinamico generico p(t) assume la forma: ..

.

..

.

(

)

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) + Δ st = W + p(t )

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) + k Δ st = W + p(t ) . Prendendo come riferimento la configurazione di equilibrio sotto il carico statico gravitazionale W e considerando solo il carico dinamico generico p(t) tale equazione del moto diventa: ..

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = p(t ) .

4.3 - EQUAZIONE DEL MOTO CON MOVIMENTO DELLA BASE Le tensioni e le deformazioni in una struttura possono essere indotte anche da movimenti del supporto su cui la struttura stessa risulta essere fondata. Questo accade solitamente negli edifici soggetti ad azioni sismiche. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare con movimento della base assume la forma: .. . m u t (t ) + c u (t ) + k u (t ) = 0 .

Lo spostamento assoluto ut(t) dell’oscillatore può essere scomposto nella somma dello spostamento assoluto ug(t) della base e dello spostamento relativo u(t) dell’oscillatore rispetto alla base: u t (t ) = u g (t ) + u (t ) .

Con questa scomposizione dello spostamento assoluto ut(t) dell’oscillatore l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare con movimento della base risulta essere: .. . ⎛ .. ⎞ m⎜ u (t ) + u g (t )⎟ + c u (t ) + k u (t ) = 0 ⎝ ⎠ ..

.

..

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = −m u g (t ) .

-8-

4.4 - EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ENERGIA Se l’equazione del moto di un oscillatore semplice lineare viene moltiplicata per uno spostamento infinitesimo ed integrata nello spostamento si ottiene l’equazione di bilancio dell’energia di un oscillatore semplice lineare: ..

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F(t )

∫

0

..

.

m u (t ) du + ∫ c u (t ) du + ∫ k u (t ) du = ∫ F(t ) du

u

u

u

0

u

0

0

.

. . . t u du 1 ⎛. ⎞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m u t du = m u t dt = m u t u t dt = m u t d u = m ⎜ u (t ) ⎟ ∫0 ∫0 ∫0 ∫0 dt 2 ⎝ ⎠ u

..

..

t

..

2

u . u u 1 ⎛. ⎞ m⎜ u (t )⎟ + ∫ c u (t ) du + ∫ k u (t ) du = ∫ F(t ) du 0 0 0 2 ⎝ ⎠

E K (t ) + E D (t ) + E S (t ) = E I (t ) 1 ⎛. ⎞ con E K (t ) = m⎜ u (t )⎟ 2 ⎝ ⎠

2

.

E D (t ) = ∫ c u (t ) du u

0

E S (t ) = ∫ k u (t ) du u

0 u

E I (t ) = ∫ F(t ) du . 0

-9-

2

5 - OSCILLATORE SEMPLICE GENERALIZZATO

Un oscillatore semplice generalizzato è un oscillatore semplice che risulta essere composto da un insieme di corpi rigidi e/o deformabili assemblati fra loro. Un oscillatore semplice generalizzato viene detto di tipo A se risulta essere composto solo da corpi rigidi, mentre viene detto di tipo B se risulta essere composto solo da corpi deformabili. L’analisi dinamica di un oscillatore semplice generalizzato viene condotta facendo riferimento ad un oscillatore semplice equivalente strutturalmente semplificato.

5.1 - OSCILLATORE SEMPLICE GENERALIZZATO DI TIPO A Un oscillatore semplice generalizzato di tipo A presenta le seguenti particolarità: o composto dall’assemblaggio di corpi rigidi; o deformazioni concentrate in elementi molla privi di massa; o unica forma di spostamento possibile.

5.1.1 - ESEMPI Esempio 1 Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo A si vuole determinare la sua equazione del moto.

Dati: massa specifica dell’asta rigida: μ a ; massa specifica del disco rigido: μ d ; coefficiente viscoso dello smorzatore viscoso lineare: c ; rigidezza della molla elastica lineare: k . Svolgimento: La massa e il momento di inerzia dell’asta rigida valgono: m a = μ a 4L Ia = μ a

(4L )3 12

. - 10 -

La massa e il momento di inerzia del disco rigido valgono: m d = μ d πR 2 Id = μ d

(πR )3

. 4 Come unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: θ (t ) . Le forze generalizzate di inerzia dell’asta rigida valgono: ..

R I a (t ) = m a θ(t ) L

(verso il basso)

..

(antiorario) . M I a (t ) = I a θ(t ) Le forze generalizzate di inerzia del disco rigido valgono: ..

R I d (t ) = m d θ(t ) L

(verso l’alto)

..

(antiorario) . M I d (t ) = I d θ(t ) La forza esercitata dallo smorzatore viscoso lineare vale: u D (t ) = θ(t ) L (verso l’alto) .

.

u D (t ) = θ(t ) L

(verso l’alto) .

.

→ FD (t ) = c u (t ) = c θ(t ) L (verso il basso) . La forza esercitata dalla molla elastica lineare vale: (verso l’alto) u S (t ) = θ(t ) 2L → FS (t ) = k u (t ) = k θ(t ) 2L (verso il basso) . La forzante e la sua distanza dall’appoggio valgono: f (t ) L (verso l’alto) F(t ) = 2 L 7 d = 2L + = L . 3 6 Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene l’equazione del moto: L.V. = 0 .. .. ⎛ ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ .. ⎞ − ⎜ m a θ(t ) L ⎟ (δθ L ) − ⎜ I a θ(t )⎟ (δθ ) − ⎜ m d θ(t )L ⎟ (δθ L ) − ⎜ I d θ(t )⎟ (δθ ) + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . ⎛ f (t ) L 7 ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ c θ(t )L ⎟ (δθ L ) − (k θ(t ) 2L )(δθ 2L ) + ⎜ L ⎟ (δθ ) = 0 ⎝ ⎠ ⎝ 2 6 ⎠ .. .. ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎢− ⎜ m a θ(t ) L ⎟ (L ) − ⎜ I a θ(t )⎟ − ⎜ m d θ(t ) L ⎟ (L ) − ⎜ I d θ(t )⎟ + ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎛ f (t ) L 7 ⎞⎤ ⎛ . ⎞ − ⎜ c θ(t ) L ⎟ (L ) − (k θ(t ) 2L )(2L ) + ⎜ L ⎟⎥ (δθ ) = 0 ⎝ ⎠ ⎝ 2 6 ⎠⎦ .. .. .. .. . ⎡ 2 2 ( ) ( ) (t ) L2 + m θ L I θ m θ t L I θ t c θ − − − − − a a d d ⎢⎣ 7 ⎤ − k θ(t ) 4L2 + f (t ) L2 ⎥ (δθ ) = 0 ∀ δθ 12 ⎦

..

..

..

..

.

− m a θ(t ) L2 − I a θ(t ) − m d θ(t ) L2 − I d θ(t ) − c θ(t ) L2 − k θ(t ) 4L2 +

- 11 -

7 f (t ) L2 = 0 12

(m ⇒

a

)

( )

..

(

.

)

L2 + I a + m d L2 + I d θ(t ) + c L2 θ(t ) + k 4L2 θ(t ) = ..

7 f (t ) L2 12

.

m* θ(t ) + c* θ (t ) + k * θ(t ) = F* (t ) con m * = m a L2 + I a + m d L2 + I d c* = c L2 k * = k 4L2 7 F* = f (t ) L2 . 12

Esempio 2 Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo A si vuole determinare la sua equazione del moto.

Dati: massa specifica dell’asta rigida: μ a ; massa specifica del disco rigido: μ d ; coefficienti viscosi degli smorzatori viscosi lineari: c1 , c 2 ; rigidezze delle molle elastiche lineari: k1 , k 2 . Svolgimento: La massa e il momento di inerzia dell’asta rigida valgono: m a = μ a 4a

(4a )3

(4a )2

4 2 a . 12 12 3 La massa e il momento di inerzia del disco rigido valgono: m d = μ d πR 2 Ia = μ a

Id = μ d

= ma

= ma

(πR )3

. 4 Come unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: u E (t ) . Le forze generalizzate di inerzia dell’asta rigida valgono: ⎛ 1 .. ⎞ (verso il basso) R I a (t ) = m a ⎜ u E (t )⎟ ⎝2 ⎠ u (t ) φ a (t ) = E 4a

..

u E (t ) φ a (t ) = 4a ..

(antiorario)

- 12 -

⎛ .. ⎞ ⎜ u E (t ) ⎟ M I a (t ) = I a φ a (t ) = I a ⎜ (orario) . ⎜ 4a ⎟⎟ ⎝ ⎠ Le forze generalizzate di inerzia del disco rigido valgono: ⎛ 2 .. ⎞ (verso il basso) R I d (t ) = m d ⎜ u E (t )⎟ ⎝3 ⎠ ..

..

u E (t ) φ d (t ) = (orario) 3a ⎛ .. ⎞ .. ⎜ u E (t ) ⎟ M I d (t ) = I d φ d (t ) = I d ⎜ (antiorario) . ⎜ 3a ⎟⎟ ⎝ ⎠ Le forze esercitate dagli smorzatori viscosi lineari valgono: ⎛1 . ⎞ (verso il basso) FD1 (t ) = c1 ⎜ u E (t )⎟ ⎝4 ⎠ ⎛. ⎞ (verso il basso) . FD 2 (t ) = c 2 ⎜ u E (t )⎟ ⎝ ⎠ Le forze esercitate dalle molle elastiche lineari valgono: ⎛3 ⎞ (verso il basso) FS1 (t ) = k1 ⎜ u E (t )⎟ ⎝4 ⎠ ⎛1 ⎞ (verso il basso) . FS 2 (t ) = k 2 ⎜ u E (t )⎟ ⎝3 ⎠ La forzante vale: f (t ) 4a (verso l’alto) . F(t ) = = f (t ) 2a 2 Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene l’equazione del moto: L.V. = 0 ⎡ ⎛ .. ⎞⎤ ⎡ ⎛ 1 .. ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎢ ⎜ u E (t ) ⎟⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 2 .. ⎞⎤ ⎛ 2 ⎞ − ⎢m a ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ δu E ⎟ + I a ⎜ δ u ⎜ ⎟ − ⎢m d ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ δu E ⎟ + E ⎟ ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎢ ⎜ 4a ⎟⎥ ⎝ 4a ⎠ ⎣ ⎝3 ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎣ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ .. ⎞⎤ ⎞ ⎡ ⎛1 . ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛. ⎞⎤ ⎜ u E (t ) ⎟⎥ ⎛ 1 ⎢ ( ) − Id ⎜ − δ u c u t δ u E ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ E 1 E ⎟ − ⎢c 2 ⎜ u E (t )⎟ ⎥ (δu E ) + ⎢ ⎥ ⎟ ⎢ ⎜ 3a ⎟⎥ ⎝ 3a ⎠⎦ ⎠ ⎣ ⎝4 ⎠⎦ ⎝ 4 ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛3 ⎞⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎡ ⎛1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ − ⎢k1 ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ δu E ⎟ − ⎢k 2 ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ δu E ⎟ + (f (t ) 4a ) ⎜ δu E ⎟ = 0 ⎠⎦ ⎝ 4 ⎠ ⎣ ⎝3 ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎣ ⎝4 .. ⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎪ ⎡ ⎛ 1 .. ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎢ ⎜ u E (t ) ⎟⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 2 .. ⎞⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ − ⎢ m d ⎜ u E (t ) ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ + ⎨− ⎢m a ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ ⎟ + I a ⎜ ⎟ ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎢ ⎜ 4a ⎟ ⎥ ⎝ 4a ⎠ ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎪ ⎣ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎩ u (t ) φ d (t ) = E 3a

..

⎡ ⎛ .. ⎞⎤ ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ . ⎞⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎞⎤ ⎡ ⎛ 3 ⎜ u E (t ) ⎟⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 1 . ⎢ − Id ⎜ c u t ( ) − E ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ − ⎢c 2 ⎜ u E (t )⎟⎥ − ⎢k1 ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ ⎟ + 1 ⎢ ⎟ ⎢ ⎜ 3a ⎟⎥ ⎝ 3a ⎠ ⎣ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎝ 4 ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ 4 ⎠ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎫ − ⎢k 2 ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ ⎟ + [f (t ) 4a ] ⎜ ⎟⎬ (δu E ) = 0 ∀ δu E ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭ ⎣ ⎝3 - 13 -

⎡ ⎛ .. ⎞⎤ ⎡ ⎛ 1 .. ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎢ ⎜ u E (t ) ⎟⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 2 .. ⎞⎤ ⎛ 2 ⎞ − ⎢m a ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ ⎟ + I a ⎜ m u − E (t ) ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ d ⎢ ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎢ ⎜ 4a ⎟⎟⎥ ⎝ 4a ⎠ ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎣ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ .. ⎞⎤ ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ . ⎞⎤ ⎜ u E (t ) ⎟⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 1 . ⎢ ( ) − Id ⎜ c u t − E ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ − ⎢c 2 ⎜ u E (t )⎟⎥ + 1 ⎢ ⎟ ⎢ ⎜ 3a ⎟⎥ ⎝ 3a ⎠ ⎣ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ 4 ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛3 ⎞⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ − ⎢k1 ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ ⎟ − ⎢k 2 ⎜ u E (t )⎟⎥ ⎜ ⎟ + [f (t ) 4a ] ⎜ ⎟ = 0 ⎠⎦ ⎝ 4 ⎠ ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝2⎠ ⎣ ⎝4 ..

..

. 1 .. u E (t ) 4 .. u E (t ) 1 . − m a u E (t ) + I a − m d u E (t ) − I d − c1 u E (t ) − c 2 u E (t ) + 9 9a 16 4 16 a 9 1 − k1 u E (t ) − k 2 u E (t ) + f (t ) 2a = 0 16 9

I 4 m d I d ⎞ .. ⎛c ⎞. ⎛9k k ⎞ ⎛ ma − a2+ + ⎟ u E (t ) + ⎜ 1 + c 2 ⎟ u E (t ) + ⎜ 1 + 2 ⎟ u E (t ) = f (t ) 2a ⎜ 9 9a ⎠ 9 ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 16 ⎝ 4 16 a

⇒

..

.

m* u E (t ) + c* u E (t ) + k * u E (t ) = F* (t ) ma I 4 md Id − a2+ + 4 16 a 9 9a c c* = 1 + c 2 16 9 k1 k 2 + k* = 16 9 F* = f (t ) 2a .

con m * =

Esempio 3

Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo A si vuole determinare la sua equazione del moto.

Dati: massa specifica della lastra rigida: μ ; coefficiente viscoso dello smorzatore viscoso lineare: c ; rigidezza della molla elastica lineare: k . Svolgimento: La massa e il momento di inerzia della lastra rigida valgono: m = μ bh - 14 -

(

)

⎛ bh 3 b 3 h ⎞ bh 3 + b 3h ⎟⎟ = μ + I = μ ⎜⎜ . 12 ⎝ 12 12 ⎠ Come unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: u (t ) . Il baricentro della lastra subisce i seguenti spostamenti generalizzati: u (t ) b u (t ) (traslazione verso il basso) = u v (t ) = b 2 2 u (t ) h (traslazione verso destra) u h (t ) = b 2 u (t ) (rotazione in senso orario) . φ (t ) = b Le forze generalizzate di inerzia della lastra rigida valgono: ..

u (t ) FI v = m 2

(verso l’alto)

..

u (t ) h FI h = m (verso sinistra) b 2 u (t ) (antiorario) . MI = I b La forza esercitata dalla molla elastica lineare vale: u (t ) h u S (t ) = b u (t ) → FS (t ) = k u S (t ) = k h . b La forzante e la sua distanza dal punto A valgono: F(t ) d=b . Con l’equilibrio alla rotazione intorno al punto A si ottiene l’equazione del moto: MA = 0 b h − FI v (t ) − FI h (t ) − M I (t ) − FS (t ) h + F(t ) b = 0 2 2 .. ⎛ ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎜ u (t ) ⎟ b ⎜ u (t ) h ⎟ h ⎜ u (t ) ⎟ ⎛ u (t ) ⎞ −⎜m − m − I −⎜k h ⎟ h + F(t ) b = 0 2 ⎟⎟ 2 ⎜⎜ b 2 ⎟⎟ 2 ⎜⎜ b ⎟⎟ ⎝ b ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 .. ⎛ b ⎛ h ⎞ h I⎞ ⎜⎜ m + m + ⎟⎟ u (t ) + ⎜⎜ k ⎟⎟ u (t ) = F(t ) b 4b b ⎠ ⎝ 4 ⎝ b ⎠ ⇒

..

m* u (t ) + k *u (t ) = F* b h2 I con m* = m + m + 4 4b b 2 h k* = k b * F = F(t ) b .

- 15 -

Esempio 4

Siano dati i seguenti oscillatori semplici generalizzati lineari di tipo A:

Per le molle elastiche lineari in parallelo si ha quanto segue: F(t ) = (k1 + k 2 + k 3 ) u (t ) = k *u (t ) con k * = k1 + k 2 + k 3 . Per le molle elastiche lineari in serie si ha quanto segue: k1 k 2 k 3 F(t ) = u (t ) = k *u (t ) k1 + k 2 + k 3 k1 k 2 k 3 ; con k * = k1 + k 2 + k 3 ⎧ F ⎪u 1 = k1 ⎪ F ⎪ . ⎨u 2 − u 1 = k2 ⎪ ⎪u − u = F 2 ⎪ 3 k3 ⎩

5.2 - OSCILLATORE SEMPLICE GENERALIZZATO DI TIPO B Un oscillatore semplice generalizzato di tipo B presenta le seguenti particolarità: o composto dall’assemblaggio di corpi deformabili; o deformazioni continue; o molteplici forme di spostamento possibili.

5.2.1 - ESEMPI Esempio 1

Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo B si vuole determinare la sua equazione del moto.

- 16 -

Dati: massa specifica: μ = μ(x ) ; coefficiente viscoso: c = c(x ) ; momento di inerzia: I = I(x ) ; modulo elastico normale o di Young: E ; carico esterno: q = q(x, t ) . Svolgimento: Come unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: u (x , t ) . Scomponendo tale variabile nel prodotto di una funzione dipendente solo dalla ascissa x per una funzione dipendente solo dal tempo t si ottiene: u (x , t ) = φ (x ) u (t ) ⎛ π ⎞ con φ(x ) = 1 − cos⎜ x⎟ ⎝ 2L ⎠ ⎧φ(0) = 0 ⎪ ⎨φ(L ) = 1 ⎪φ I (0) = 0 ⎩ . ∂u (x , t ) = φ (x ) u (t ) ∂t 2 .. .. ∂ u (x, t ) ( ) (t ) . u (x, t ) = = φ x u ∂t 2 Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una traslazione orizzontale della massa distribuita dell’oscillatore viene calcolato come segue: dm(x ) = μ(x ) dx .

u (x , t ) =

..

FI (x, t ) = dm(x ) u (x , t ) .. ⎡ ⎤ = [ μ (x ) dx ] ⎢φ(x ) u (t )⎥ ⎣ ⎦ .. = μ (x ) dx φ(x ) u (t )

δu(x, t ) = φ(x ) δu (t ) L V I = ∫ [FI (x, t ) δu (x, t )] L

0

.. L⎧ ⎡ ⎫ ⎤ = ∫ ⎨ ⎢μ (x ) dx φ(x ) u (t )⎥ [φ(x ) δu (t )]⎬ 0 ⎦ ⎩⎣ ⎭

- 17 -

.. L⎡ ⎤ = ∫ ⎢μ (x ) dx φ 2 (x ) u (t ) δu (t )⎥ 0 ⎣ ⎦ ..

[

]

= u (t ) δu (t ) ∫ μ (x ) φ 2 (x ) dx L

0

..

= u (t ) δu (t ) m* ..

= m* u (t ) δu (t ) ⇒

m* = ∫

L 0

[ μ(x ) φ (x )]dx . 2

Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una traslazione orizzontale di eventuali masse concentrate dell’oscillatore viene calcolato come segue: u i (x, t ) = φi (x ) u i (t ) . ∂u i (x , t ) = φ i (x ) u i (t ) ∂t 2 .. .. ∂ u i (x, t ) ( ) u i (x , t ) = = φ x u i (t ) i ∂t 2 .

u i (x , t ) =

..

FI i (x, t ) = m i u i (x, t ) .. ⎡ ⎤ = m i ⎢φ i (x ) u i (t )⎥ ⎣ ⎦

..

= m i φ i (x ) u i ( t )

δu i (x, t ) = φi (x ) δu i (t ) n

L V I = ∑ [FI i (x , t ) δu i (x , t )] i =1

n .. ⎧⎡ ⎫ ⎤ = ∑ ⎨ ⎢m i φ i (x ) u i (t )⎥ [φ i (x ) δu i (t )]⎬ ⎦ ⎭ i =1 ⎩ ⎣ n .. ⎡ ⎤ = ∑ ⎢m i φ i2 (x ) u i (t ) δu i (t )⎥ ⎦ i =1 ⎣ n

..

[

]

= u i (t ) δu i (t ) ∑ m i φ i2 (x ) i =1

..

= u i (t ) δu i (t ) m* ..

= m* u i (t ) δu i (t ) ⇒

n

[

]

m * = ∑ m i φ i2 (x ) . i =1

Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una rotazione nel piano di inflessione di eventuali masse concentrate dell’oscillatore viene calcolato come segue: u i (x, t ) = φi (x ) u i (t ) . . ∂u (x , t ) = φ i (x ) u i (t ) u i (x , t ) = i ∂t - 18 -

.. ∂ 2 u i (x, t ) = φ i (x ) u i (t ) 2 ∂t ∂u i (x , t ) γ i (x , t ) = = φ iI (x ) u i (t ) ∂x . . ∂γ (x , t ) = φ iI (x ) u i (t ) γ i (x , t ) = i ∂t .. .. ∂γ (x , t ) = φ iI (x ) u i (t ) γ i (x , t ) = i ∂t ..

u i (x , t ) =

..

M I i (x , t ) = I i (x ) γ i (x , t ) .. ⎡ ⎤ = I i ⎢φ iI (x ) u i (t )⎥ ⎣ ⎦

..

= I i φ iI (x ) u i (t )

δγ i (x, t ) = φ iI (x ) δu i (t ) n

L V I = ∑ [M I i (x , t ) δγ i (x , t )] i =1

[

]

n .. ⎧⎡ ⎫ ⎤ = ∑ ⎨ ⎢I i φ iI (x ) u i (t )⎥ φ iI (x ) δu i (t ) ⎬ ⎦ ⎭ i =1 ⎩ ⎣

(

)

n 2 .. ⎡ ⎤ = ∑ ⎢I i φ iI (x ) u i (t ) δu i (t )⎥ ⎦ i =1 ⎣ n

..

[

)]

(

= u i (t ) δu i (t ) ∑ I i φ iI (x ) i =1

2

..

= u i (t ) δu i (t ) m* ..

= m* u i (t ) δu i (t ) ⇒

[

m* = ∑ Ii (φ iI (x )) n

i =1

2

].

Il coefficiente m* dell’equazione del moto relativo alla forza di inerzia che si genera in seguito ad una traslazione orizzontale della massa distribuita e delle eventuali masse concentrate dell’oscillatore ed in seguito ad una rotazione nel piano di inflessione di eventuali masse concentrate dell’oscillatore viene calcolato come segue: ⇒

m* = ∫

L 0

[ μ(x ) φ (x )]dx + ∑ [ m n

2

i =1

i

]

[

φ i2 (x ) + ∑ Ii (φ iI (x )) n

i =1

2

].

Il coefficiente c* dell’equazione del moto relativo alla forza di smorzamento viscoso che si genera a causa dello smorzamento viscoso lineare distribuito dell’oscillatore viene calcolato come segue: dc(x ) = c(x ) dx .

FD (x , t ) = dc(x ) u (x , t ) . ⎡ ⎤ = [c(x ) dx ] ⎢φ(x ) u (t )⎥ ⎣ ⎦

.

= c(x ) dx φ(x ) u (t ) - 19 -

δu(x, t ) = φ(x ) δu (t ) L V D = ∫ [FD (x, t ) δu (x, t )] L

0

. L⎧ ⎡ ⎫ ⎤ = ∫ ⎨ ⎢c(x ) dx φ(x ) u (t )⎥ [φ(x ) δu (t )]⎬ 0 ⎦ ⎩⎣ ⎭ . L⎡ ⎤ = ∫ ⎢c(x ) dx φ 2 (x ) u (t ) δu (t )⎥ 0 ⎣ ⎦ .

[

]

= u (t ) δu (t ) ∫ c(x ) φ 2 (x ) dx L

0

.

= u (t ) δu (t ) c* .

= c* u (t ) δu (t )

[

]

c* = ∫ c(x ) φ 2 (x ) dx . 0 L

⇒

Il coefficiente k* dell’equazione del moto relativo alla forza elastica che si genera a causa della elasticità lineare distribuita dell’oscillatore viene calcolato come segue: ∂u (x , t ) γ (x , t ) = = φ I (x ) u (t ) ∂x ∂γ(x, t ) ∂ 2 u (x, t ) χ (x, t ) = = = φ II (x ) u (t ) ∂x ∂x 2

M(x, t ) = E I(x ) χ (x, t ) = E I(x ) u II (x, t )

[

]

= E I(x ) φ II (x ) u (t ) = E I(x ) φ II (x ) u (t ) R (x , t ) =

Oss.:

dx 2

1 dx 1 dx ≅ = ⎛ dγ(x , t ) ⎞ 2 dγ(x , t ) dγ (x , t ) sen ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠

1 = χ (x , t ) R (x , t ) d γ (x , t ) ⇒ χ (x , t ) = dx

δ[dγ(x, t )] = δ[ χ (x, t ) dx ]

{[

]

= δ φ II (x ) u (t ) dx

[

= δ φ II (x ) u (t ) dx = φ II (x ) δu (t ) dx

]

→ dγ(x, t ) = χ (x, t ) dx

}

L V S = ∫ {M(x, t ) δ[dγ(x, t )] } L

0 L

{ [ E I(x ) φ (x ) u(t )][φ (x ) δu(t ) dx ] } = ∫ [ E I(x ) (φ (x )) u (t ) δu (t ) dx ] = u (t ) δu (t ) ∫ [ E I(x ) (φ (x )) ]dx =∫

II

0 L

II

II

2

0

L

II

2

0

- 20 -

→

1 dγ(x, t ) ≅ R (x, t ) dx

= u (t ) δu (t ) k * = k * u (t ) δu (t ) ⇒

k* = ∫

L 0

[ E I(x ) (φ (x )) ] dx . II

2

Il coefficiente k* dell’equazione del moto relativo alla forza elastica che si genera a causa di eventuali molle elastiche lineari dell’oscillatore viene calcolato come segue: u i (x, t ) = φi (x ) u i (t ) . ∂u i (x , t ) = φ i ( x ) u i (t ) ∂t 2 .. .. ∂ u i (x, t ) u i (x , t ) = = φ i (x ) u i (t ) 2 ∂t .

u i (x , t ) =

FS i (x, t ) = k i u i (x, t )

= k i [φ i (x ) u i (t )] = k i φi (x ) u i (t )

δu i (x, t ) = φi (x ) δu i (t ) n

L V S = ∑ [FS i (x , t ) δu i (x , t )] i =1 n

= ∑ { [k i φ i (x ) u i (t )] [φ i (x ) δu i (t )] } i =1 n

[

]

= ∑ k i φ i2 (x ) u i (t ) δu i (t ) i =1

n

[

]

= u i (t ) δu i (t ) ∑ k i φ i2 (x ) i =1 *

= u i (t ) δu i (t ) k = k *u i (t ) δu i (t ) ⇒

n

[

]

k * = ∑ k i φ i2 (x ) . i =1

Il coefficiente k* dell’equazione del moto relativo alla forza di elastica che si genera a causa della elasticità lineare distribuita dell’oscillatore ed a causa di eventuali molle elastiche lineari dell’oscillatore viene calcolato come segue: ⇒

k* = ∫

L 0

[ E I(x ) (φ (x )) ] dx + ∑ [k φ (x )] . II

2

n

i =1

i

2 i

*

Il coefficiente F dell’equazione del moto relativo alla forzante dell’oscillatore viene calcolato come segue: Q(x, t ) = q(x, t ) dx

δu(x, t ) = φ(x ) δu (t ) L V F = ∫ [Q(x, t ) δu (x, t )] L

0 L

= ∫ [q(x, t ) dx ] [φ(x ) δu (t )] 0

- 21 -

= ∫ [q(x, t ) dx φ(x ) δu (t )] L

0

= δu (t ) ∫ [q(x, t ) φ(x )] dx L

0 *

= δu (t ) F = F* δu (t ) ⇒

F* = ∫ [q(x, t ) φ(x )] dx . 0 L

Esempio 2

Dato il seguente oscillatore semplice generalizzato lineare di tipo B si vuole determinare la sua equazione del moto in assenza di smorzamento viscoso.

Dati: massa specifica: μ = μ(x ) ; momento di inerzia: I = I(x ) ; modulo elastico normale o di Young: E ; ..

accelerazione suolo: u g (t ) . Svolgimento: Come unica variabile indipendente dell’oscillatore si assume: u (x , t ) . Scomponendo tale variabile nel prodotto di una funzione dipendente solo dalla ascissa x per una funzione dipendente solo dal tempo t si ottiene: u ( x , t ) = φ (x ) u ( t ) ⎛ π ⎞ con φ(x ) = 1 − cos⎜ x⎟ ⎝ 2L ⎠ ⎧φ(0) = 0 ⎪ ⎨φ(L ) = 1 ⎪φ I (0) = 0 ⎩ . ∂u (x , t ) = φ (x ) u (t ) ∂t 2 .. .. ∂ u (x, t ) ( ) (t ) . u (x, t ) = = φ x u ∂t 2 .

u (x , t ) =

- 22 -

Ricordando che lo spostamento assoluto ut(x,t) dell’oscillatore risulta essere dato dalla somma dello spostamento assoluto ug(t) della base e dello spostamento relativo u(x,t) dell’oscillatore rispetto alla base si ottiene: u t (x, t ) = u g (t ) + u (x, t ) = u g (t ) + [φ(x ) u (t )]

= u g (t ) + φ(x ) u (t ) .

Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene l’equazione del moto in assenza di smorzamento viscoso: → dm(x ) = μ(x ) dx ..

FI (x, t ) = dm(x ) u t (x, t ) .. ⎡ .. ⎤ = [ μ (x ) dx ] ⎢u g (t ) + φ(x ) u (t )⎥ ⎣ ⎦ .. .. ⎡ ⎤ = μ (x ) dx ⎢u g (t ) + φ(x ) u (t )⎥ ⎣ ⎦

δu(x, t ) = φ(x ) δu (t )

→

∂u (x , t ) = φ I (x ) u (t ) ∂x ∂γ(x, t ) ∂ 2 u (x, t ) χ (x, t ) = = = φ II (x ) u (t ) 2 ∂x ∂x γ (x , t ) =

M(x, t ) = E I(x ) χ (x, t ) = E I(x ) u II (x, t )

[

]

= E I(x ) φ II (x ) u (t ) = E I(x ) φ II (x ) u (t )

δ[dγ(x, t )] = δ[ χ (x, t ) dx ]

{[

]

= δ φ II (x ) u (t ) dx

[

= δ φ II (x ) u (t ) dx = φ II (x ) δu (t ) dx

L V I+S = ∫ [FI (x, t ) δu (x, t )] + ∫ L

L

0

0

]

}

{ M(x, t ) δ[dγ(x, t )] }

.. L⎧ ⎡ ⎫ ⎛ .. ⎞⎤ = ∫ ⎨ ⎢μ (x ) dx ⎜ u g (t ) + φ(x ) u (t )⎟⎥ [φ(x ) δu (t )]⎬ + 0 ⎝ ⎠⎦ ⎩⎣ ⎭

+∫

L 0

{ [E I(x ) φ (x ) u(t )][φ (x ) δu(t ) dx ] } II

II

.. .. L⎧ ⎡ ⎫ L⎧ ⎡ ⎫ ⎤ ⎤ = ∫ ⎨ ⎢μ (x ) dx u g (t )⎥ [φ(x ) δu (t )]⎬ + ∫ ⎨ ⎢μ (x ) dx φ(x ) u (t )⎥ [φ(x ) δu (t )]⎬ + 0 0 ⎦ ⎦ ⎩⎣ ⎭ ⎩⎣ ⎭

+∫

L 0

{ [E I(x ) φ (x ) u(t )][φ (x ) δu(t ) dx ] } II

II

.. .. L⎡ L⎡ ⎤ ⎤ = ∫ ⎢μ (x ) dx u g (t ) φ(x ) δu (t )⎥ + ∫ ⎢μ (x ) dx φ(x ) u (t ) φ(x ) δu (t )⎥ + 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[

+ ∫ E I(x ) φ II (x ) u (t ) φ II (x ) δu (t ) dx L

0

- 23 -

]

..

..

= u g (t ) δu (t ) ∫ [μ (x ) φ(x )] dx + u (t ) δu (t ) ∫ L

0

[

)]

(

L 0

[ μ(x ) φ (x )]dx + 2

+ u (t ) δu (t ) ∫ E I(x ) φ II (x ) dx L

0

..

2

..

= u g (t ) δu (t ) L* + u (t ) δu (t ) m* + u (t ) δu (t ) k * con L* = ∫ [μ (x ) φ(x )] dx L

0

[ μ(x ) φ (x )]dx = ∫ [E I(x ) (φ (x )) ]dx

m =∫ *

k*

L.V. = 0

L

2

0 L

2

II

0

..

..

→ u g (t ) δu (t ) L* + u (t ) δu (t ) m* + u (t ) δu (t ) k * = 0 ..

∀ δu (t )

..

u g (t ) L* + u (t ) m* + u (t ) k * = 0 ..

..

L* u g (t ) + m* u (t ) + k *u (t ) = 0 ..

..

m* u (t ) + k *u (t ) = − L* u g (t ) L* g* ≡ * = m

∫ [ μ(x ) φ(x )] dx ∫ [ μ(x ) φ (x )]dx L

0 L

2

= coefficiente di partecipazione

0

μ (x ) = cost

L* → g ≡ *= m *

∫ φ(x ) dx ∫ φ (x ) dx L

0 L

2

0

⇒

..

..

m* u (t ) + k *u (t ) = − g*m* u g (t ) .

- 24 -

6 - VIBRAZIONI LIBERE

Un oscillatore semplice lineare si trova in regime di vibrazioni libere quando si muove in assenza di alcuna forzante F(t).

6.1 - VIBRAZIONI NON SMORZATE In assenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere assume la forma: ..

m u (t ) + k u (t ) = 0 .

Si definiscono le seguenti grandezze: ƒ frequenza circolare naturale o pulsazione naturale: k [rad s] ; ω≡ m ƒ frequenza ciclica naturale: ω 1 k f≡ = s −1 ; 2π 2π m ƒ periodo naturale: 1 2π m [s] . T≡ = = 2π f ω k

[ ]

In assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere risulta essere: u (t ) =

Infatti:

v0 sen (ωt ) + u 0 cos(ωt ) . ω ..

m u (t ) + k u (t ) = 0 ..

u (t ) + ω 2 u ( t ) = 0 Eq. caratteristica :

λ2 + ω 2 = 0 λ2 = −ω 2 λ1, 2 = ± iω - 25 -

u (t ) = C1e iωt + C 2 e − iωt Formule di Eulero: eiωt = cos(ωt ) + i sen (ωt ) e − iωt = cos(ωt ) − i sen (ωt ) u (t ) = A sen(ωt ) + B cos(ωt ) Condizioni iniziali:

u (0) = u 0 .

u (0 ) = v 0

v0 e B = u0 ω v ⇒ u (t ) = 0 sen (ωt ) + u 0 cos(ωt ) . ω A=

Tale soluzione può essere scritta alternativamente come segue:

u (t ) = ρ cos(ωt − θ ) 2

⎛v ⎞ 2 con ρ = ⎜ 0 ⎟ + (u 0 ) ω ⎝ ⎠

Infatti :

⎛ v ⎞ θ = arctg⎜⎜ 0 ⎟⎟ . ⎝ u 0ω ⎠ v u (t ) = 0 sen (ωt ) + u 0 cos(ωt ) = C sen (ωt + α ) = C cos(ωt − β ) ω C sen(ωt + α ) = C sen(ωt ) cos(α ) + C cos(ωt ) sen(α ) v C cos(α ) = A = 0 e C sen (α ) = B = u 0 ω 2

⎛u ω⎞ ⎛v ⎞ ⎛B⎞ 2 C = A + B = ⎜ 0 ⎟ + (u 0 ) e α = arctg⎜ ⎟ = arctg⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝A⎠ ⎝ω⎠ ⎝ v0 ⎠ C cos(ωt − β ) = C cos(ωt ) cos(β ) + C sen(ωt ) sen(β ) v C sen (β ) = A = 0 e C cos(β ) = B = u 0 ω 2

2

2

⎛ v ⎞ ⎛v ⎞ ⎛A⎞ 2 C = A + B = ⎜ 0 ⎟ + (u 0 ) e β = arctg⎜ ⎟ = arctg⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝B⎠ ⎝ω⎠ ⎝ u 0ω ⎠ u (t ) = ρ cos(ωt − θ ) 2

⇒

2

2

⎛v ⎞ 2 con ρ = C = ⎜ 0 ⎟ + (u 0 ) ⎝ω⎠ ⎛ v ⎞ θ = β = arctg⎜⎜ 0 ⎟⎟ . ⎝ u 0ω ⎠

In conclusione in assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere risulta essere un moto armonico semplice.

- 26 -

6.2 - VIBRAZIONI SMORZATE In presenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere assume la forma: ..

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = 0 .

Si definisce rapporto di smorzamento la seguente grandezza: c [ ]. ξ≡ 2mω A seconda del valore assunto dal rapporto di smorzamento ξ l’oscillatore semplice lineare può essere definito in modi diversi: • ξ = 1 : oscillatore con smorzamento critico; • ξ > 1 : oscillatore sovrasmorzato (“overdamped”); • ξ < 1 : oscillatore sottosmorzato (“underdamped”). In presenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere risulta essere: Se ξ = 1 : u (t ) = (u 0 (1 − ωt ) + v 0 t ) e − ωt ⎛ ⎛ v + u ξω ⎞ ⎞ Se ξ > 1 : u (t ) = ⎜⎜ ⎜ 0 ' 0 ⎟ senh (ω' t ) + u 0 cosh (ω' t )⎟⎟ e −ξωt ω ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ⎛ v + u 0 ξω ⎞ ⎟⎟ sen (ω D t ) + u 0 cos(ω D t )⎟ e −ξωt Se ξ < 1 : u (t ) = ⎜⎜ ⎜⎜ 0 ⎟ ωD ⎠ ⎠ ⎝⎝ - 27 -

oppure u (t ) = ρ cos(ω D t − θ ) e − ξωt 2

⎛ v + u 0 ξω ⎞ ⎟⎟ + (u 0 )2 con ρ = ⎜⎜ 0 ωD ⎝ ⎠ ⎛ v + u 0 ξω ⎞ ⎟⎟ . θ = arctg⎜⎜ 0 ⎝ ωD u 0 ⎠ Infatti:

..

.

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = 0 ..

.

u (t ) + 2ξω u (t ) + ω2 u (t ) = 0 Eq. caratteristica: λ2 + 2ξωλ + ω 2 = 0

(ξω)2 − ω2

λ1, 2 = −ξω ± Se ξ = 1 :

λ1, 2 = −ξω = −ω

= −ξω ± ω ξ 2 − 1

(radici reali coincidenti)

u (t ) = (A + B t ) e − ωt Condizioni iniziali:

u (0) = u 0 .

u (0) = v 0 e B = v0

A = u 0 (1 − ωt ) ⇒ Se ξ > 1 :

u (t ) = (u 0 (1 − ωt ) + v 0 t ) e − ωt

λ1, 2 = −ξω ± ω ξ 2 − 1

(radici reali distinte)

ω' = ω ξ 2 − 1

λ1, 2 = −ξω ± ω'

u (t ) = C1e (−ξω+ω ) t + C 2e (− ξω−ω ) t '

(

'

'

'

)

= C1e ω t + C 2e − ω t e − ξωt = (A senh (ω' t ) + B cosh (ω' t )) e − ξωt Condizioni iniziali: u (0) = u 0 .

u (0 ) = v 0

v 0 + u 0 ξω e B = u0 ω' ⎛ ⎛ v + ξωu ⎞ ⇒ u (t ) = ⎜⎜ ⎜ 0 ' 0 ⎟ senh ω' t + u 0 cosh ω' t ω ⎠ ⎝⎝ A=

( )

Se ξ < 1 :

λ1, 2 = −ξω ± iω 1 − ξ 2

( )⎞⎟⎟ e

− ξωt

⎠

(radici complesse coniugate)

ωD = ω 1 − ξ 2 λ1, 2 = −ξω ± iω D

u (t ) = C1e(− ξω+ iωD ) t + C 2 e (− ξω−iωD ) t = C1ei ω D t + C 2 e − i ωD t e − ξωt = (A sen (ω D t ) + B cos(ω D t )) e − ξωt Condizioni iniziali: u (0) = u 0

(

)

.

u (0) = v 0 - 28 -

A= ⇒

v 0 + u 0 ξω e B = u0 ωD ⎞ ⎛ ⎛ v + u 0 ξω ⎞ ⎟⎟ sen (ω D t ) + u 0 cos(ω D t )⎟ e −ξωt u (t ) = ⎜⎜ ⎜⎜ 0 ⎟ ωD ⎠ ⎠ ⎝⎝ − ξωt u (t ) = ρ cos(ω D t − θ ) e 2

⎛ v + u 0 ξω ⎞ ⎟⎟ + (u 0 )2 con ρ = A + B = ⎜⎜ 0 ωD ⎝ ⎠ 2

2

⎛ v + u 0 ξω ⎞ ⎛A⎞ ⎟⎟ . θ = arctg⎜ ⎟ = arctg⎜⎜ 0 ⎝B⎠ ⎝ ωD u 0 ⎠ In conclusione in presenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni libere risulta essere un moto dipendente dal rapporto di smorzamento ξ: • se ξ = 1 : → oscillatore semplice lineare con smorzamento critico; → la risposta non è oscillatoria e ha un andamento del seguente tipo:

•

→ in un sistema con smorzamento critico si ha il livello più basso di smorzamento della risposta senza che si verifichino oscillazioni. se ξ > 1 : → oscillatore semplice lineare sovrasmorzato (“overdamped”); → la risposta non è oscillatoria e ha un andamento del seguente tipo:

•

→ con l’aumentare del rapporto di smorzamento ξ il ritorno alla posizione di equilibrio diventa sempre più lento. se ξ < 1 : → oscillatore semplice lineare sottosmorzato (“underdamped”); → la risposta è oscillatoria e ha un andamento del seguente tipo: - 29 -

2

⎛ω ⎞ ξ +⎜ D ⎟ 1 :

(ξω)2 − ω2

− ωt

λ1, 2 = −ξω ± ω ξ 2 − 1

(radici reali distinte)

ω' = ω ξ 2 − 1

λ1, 2 = −ξω ± ω' ' ' u o (t ) = C1e (− ξω+ ω ) t + C 2 e (− ξω−ω ) t

(

'

'

)

= C1e ω t + C 2e − ω t e − ξωt = (A senh (ω' t ) + B cosh (ω' t )) e − ξωt Se ξ < 1 :

λ1, 2 = −ξω ± iω 1 − ξ 2

(radici complesse coniugate)

ωD = ω 1 − ξ 2 λ1, 2 = −ξω ± iω D

u o (t ) = C1e (− ξω +iω D ) t + C 2 e (− ξω −iω D ) t

(

)

= C1e ωD t + C 2 e − ωD t e − ξωt = (A sen (ω D t ) + B cos(ωD t )) e − ξωt u o (t ) = ρ cos(ω D t − θ ) e − ξωt con ρ = A 2 + B 2 ⎛A⎞ θ = arctg⎜ ⎟ ⎝B⎠ La soluzione u o (t ) rappresenta la parte transitoria della risposta. Soluzione particolare dell’equazione completa: u p (t ) = C 3 sen (ωt ) + C 4 cos(ωt ) (forma legata alla tipologia del carico dinamico) .

u p (t ) = ω C3 cos(ωt ) − ω C 4sen (ωt ) ..

u p (t ) = −ω C3sen(ωt ) − ω C 4 cos(ωt ) = −ω u p (t ) 2

2

..

2

.

Sostituzione: m u p (t ) + c u p (t ) + k u p (t ) = p 0sen(ωt ) - 34 -

..

.

u p (t ) + 2ξω u p (t ) + ω 2 u p (t ) =

p0 sen (ωt ) m

− ω u p (t ) + 2ξωω (C 3 cos(ωt ) − C 4sen (ωt )) + ω 2 u p (t ) = 2

(ω

2

−ω

2

)(C

3

sen(ωt ) + C 4 cos(ωt )) +

+ 2ξωω (C 3 cos(ωt ) − C 4 sen (ωt )) =

(

)

p0 sen (ωt ) m

p0 sen (ωt ) m

p ⎧ 2 2 ⎪ ω − ω C3 − 2ξωω C 4 = 0 m ⎨ ⎪⎩2ξωω C3 + ω 2 − ω 2 C 4 = 0 p p0 1− β2 2ξβ C3 = 0 e C = − 4 2 k 1 − β 2 + (2ξβ )2 k 1 − β 2 2 + (2ξβ )2

(

(

)

)

(

)

⎛p ⎞ ⎛ ⎞ 2ξβ 1 − β2 ⎟ sen(ωt ) + ⎜ − p 0 ⎟ cos(ωt ) u p (t ) = ⎜ 0 2 2 ⎜ k (1 − β 2 ) + (2ξβ )2 ⎟ ⎜ k (1 − β 2 ) + (2ξβ )2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

u p (t ) = ρ sen (ωt + θ )

con ρ = C 32 + C 24 =

p0 1 2 k 1 − β 2 + (2ξβ )2

(

)

⎛C ⎞ ⎛ − 2ξβ ⎞ ⎟ θ = arctg⎜⎜ 4 ⎟⎟ = arctg⎜⎜ 2 ⎟ ⎝1− β ⎠ ⎝ C3 ⎠ La soluzione u p (t ) rappresenta la parte stazionaria della risposta. Soluzione generale dell’equazione completa: u (t ) = u o (t ) + u p (t ) ⎡⎛ p ⎤ ⎞ ⎛ ⎞ 1− β2 2ξβ ⎟ sen (ωt ) + ⎜ − p 0 ⎟ cos(ωt )⎥ u (t ) = u o (t ) + ⎢⎜ 0 2 2 ⎜ k 1 − β 2 2 + (2ξβ )2 ⎟ ⎢⎣⎜⎝ k 1 − β 2 + (2ξβ ) ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠

(

)

(

u (t ) = u o (t ) + ρ sen (ωt + θ ) p 1 con ρ = 0 2 2 k (1 − β ) + (2ξβ )2

⎛ − 2ξβ ⎞ ⎟ θ = arctg⎜⎜ 2 ⎟ 1 β − ⎝ ⎠ Condizioni iniziali: u (0) = u 0 .

u (0 ) = v 0

Se ξ = 1 :

A = ... e B = ... ⇒ u (t ) = ...

Se ξ > 1 :

A = ... e B = ... ⇒ u (t ) = ...

Se ξ < 1 :

A = ... e B = ... ⇒ u (t ) = ...

- 35 -

)

A regime la risposta dell’oscillatore semplice lineare coincide con la sua parte stazionaria, perché la sua parte transitoria ha raggiunto l’esaurimento: u (t ) = u p (t ) = ρ sen (ωt + θ )

con ρ =

p0 1 2 2 k 1 − β + (2ξβ )2

(

)

⎛ − 2ξβ ⎞ ⎟ = θ(β, ξ ) . θ = arctg⎜⎜ 2 ⎟ 1 β − ⎝ ⎠

Ne consegue che a regime la risposta di un oscillatore semplice lineare ha un andamento sinusoidale. L’andamento sinusoidale della risposta a regime risulta essere posticipato rispetto all’andamento sinusoidale della forzante di un angolo di fase pari a θ . Rappresentando graficamente lo sfasamento θ tra la risposta a regime e la forzante in funzione del rapporto di frequenza β per valori costanti del rapporto di smorzamento ξ si ottiene il seguente diagramma:

Da questo diagramma si può osservare quanto segue: → se β = 1 la risposta a regime e la forzante risultano essere sfasate di un angolo θ = π/2; → imponendo ξ = 0 se β > 1 la risposta a regime e la forzante sono in opposizione di fase, mentre se β < 1 la risposta e la forzante sono in fase.

- 36 -

Rappresentando graficamente il coefficiente di amplificazione dinamica D in funzione del rapporto di frequenza β per valori costanti del rapporto di smorzamento ξ si ottiene il seguente diagramma:

Da questo diagramma si può osservare quanto segue: → avendo ξ > 0.7 segue D < 1 qualunque sia il valore di β; → in via approssimativa nelle strutture reali si può considerare che il valore massimo di D sia raggiunto per β = 1, ma in realtà la presenza di uno smorzamento viscoso fa si che esso venga raggiunto per un valore di β inferiore all’unità: ⎧β = 1 − 2ξ 2 ⎪ 1 . ⎨D = con 1 − ξ 2 ≅ 1 max 2 ⎪ 2ξ 1 − ξ ⎩ Si nota anche che la massima ampiezza della risposta a regime di un oscillatore semplice lineare risulta essere: p 1 δ = u st ⋅ D = 0 . k (1 − β 2 )2 + (2ξβ )2 In conclusione in presenza di smorzamento viscoso la risposta a regime di un oscillatore semplice lineare in regime di vibrazioni forzate da forzante armonica risulta essere un moto dipendente dal rapporto di frequenza β e dal rapporto di smorzamento ξ: • se β = 1 : → zona di risonanza del grafico β-D; → la risposta e la forzante sono in condizioni di risonanza; → la risposta è controllata dallo smorzamento; → l’ampiezza della risposta è inversamente proporzionale al rapporto di smorzamento ξ secondo la relazione: 1 D= . 2ξ • se β >> 1 : → zona sismografica del grafico β-D; → ω è grande e D è prossimo a 0; → la risposta è controllata dalla massa; → la forzante varia cosi rapidamente che la struttura non riesce a seguire la sua variazione. • se β 0.50 . T 0.35 s Poiché il rapporto appena calcolato assume un valore superiore a 0.5 ne consegue che la risposta massima del telaio risulta essere raggiunta nella fase di vibrazioni libere. Il coefficiente di amplificazione dinamica vale: D=2 . La risposta massima vale: p 100 ⋅103 N u max = 2 0 = 2 = 0.03 m . k 2 ⋅ 3 ⋅106 N m La forza statica che induce una risposta pari quella indotta dal carico dinamico vale: ω=

(

)

F = k u max = 2 ⋅ 3 ⋅10 6 N m (0.03 m ) = 200 kN .

8.2 - CARICO DI BREVE DURATA SINUSOIDALE Un carico dinamico di breve durata sinusoidale è un carico che può essere rappresentato con una funzione temporale sinusoidale del seguente tipo: p(t ) = p 0sen(ωt ) con 0 ≤ t ≤ t1

La risposta di un oscillatore semplice lineare non smorzato soggetto all’azione di un carico dinamico di breve durata sinusoidale presenta una prima fase di vibrazioni forzate lunga quanto l’intervallo temporale di applicazione del carico e una seconda fase di vibrazioni libere.

- 42 -

Nella fase di vibrazioni forzate si ha la seguente risposta: p0 1 (sen(ωt ) − βsen(ωt )) k 1− β2 ω T con β = = ω 2t1

u (t ) =

→ u (t 1 ) = u 1 .

.

u (t 1 ) = u 1 . Nella fase di vibrazioni libere si ha la seguente risposta: u (t ) = A sen(ωt ) + B cos(ωt ) Condizioni iniziali: u (t1 ) = u1 .

.

u (t 1 ) = u 1 .

u1 u (t ) = sen(ω(t − t1 )) + u1 cos(ω(t − t1 )) . ω Supponendo che la risposta massima si realizzi nella fase di vibrazioni forzate si ottiene quanto segue: du (t ) p 0 1 (ω cos(ωt ) − ω cos(ωt )) = dt k 1− β2 du (t ) = 0 → cos(ωt ) = cos(ωt ) → ωt = 2πn ± ωt con n = 0, ±1, ±2, … . dt

8.3 - SPETTRI DI RISPOSTA La risposta massima di un oscillatore semplice lineare non smorzato soggetto all’azione di un carico dinamico di breve durata dipende unicamente dal rapporto tra il tempo di applicazione t1 del carico dinamico e il periodo naturale T dell’oscillatore stesso. Plottando il coefficiente di amplificazione dinamica D in funzione di tale rapporto si ricavano gli spettri di risposta in termini di coefficiente di amplificazione dinamica (detti anche spettri di shock) dell’oscillatore. Questi spettri di risposta vengono usati per predire la risposta massima di strutture semplici sollecitate da diverse tipologie di carichi dinamici di breve durata. Conoscendo la riposta massima di una struttura soggetta all’azione di un carico dinamico di breve durata si riesce a determinare la forza statica che applicata alla struttura induce nella struttura stessa una risposta pari a quella massima indotta dal carico dinamico di breve durata.

- 43 -

Tra i carichi dinamici di breve durata che possono sollecitare una struttura vanno considerati anche quelli dovuti all’eventuale movimento della base della struttura stessa: .. .. u g (t ) → − m u g (t ) . In presenza di movimento della base di una struttura si ottiene il seguente coefficiente di amplificazione dinamica: ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ .. m⎜ u t (t )⎟ ⎜ u t (t )⎟ (u (t ))max = (u (t ))max = k (u (t ))max = ⎝ S ⎠ max ⎠ max ⎝ D= = .. a = .. .. .. .. u st ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m u g (t ) m u g (t ) m u g (t ) ⎜ u g (t ) ⎟ ⎜ u g (t ) ⎟ ⎝ ⎠ max ⎝ ⎠ max k con Sa = pseudoaccelerazione.

- 44 -

9 - RISPOSTA AD UN CARICO DINAMICO PERIODICO

Un carico dinamico periodico è un carico che può essere rappresentato con una funzione temporale periodica p(t) di periodo T: p(t ) = p(t + kT ) ∀ t ∈ [a , b] ⊂ ℜ ∨ k = 1,2,... .

Lo studio della risposta di un oscillatore semplice lineare soggetto all’azione di un carico dinamico periodico viene condotto considerando lo smorzamento viscoso.

9.1 - CARICO PERIODICO IN SERIE REALE DI FOURIER La funzione temporale periodica p(t) può essere espressa tramite il suo sviluppo in serie reale di Fourier: ∞ ⎛ ⎛ 2πn ⎞ ⎛ 2πn ⎞ ⎞ p(t ) = a 0 + ∑ ⎜⎜ a n cos⎜ t ⎟ + b n sen⎜ t ⎟ ⎟⎟ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠⎠ n =1 ⎝ 2π = armonica fondamentale ω1 = T 2 πn ωn = = ω1n = armonica n-esima T ∞

p(t ) = a 0 + ∑ (a n cos(ω n t ) + b n sen (ω n t )) . n =1

I coefficienti della serie reale di Fourier della funzione p(t) sono calcolati come segue: 1 t1 + T a0 = ∫ p(t ) dt T t1 2 t1 + T an = ∫ p(t ) cos(ω n t ) dt T t1 2 t1 + T bn = ∫ p(t ) sen (ω n t ) dt . T t1 con t1 = istante temporale generico (solitamente assunto pari a 0 oppure a π/2). Si osserva che il coefficiente a0 rappresenta la media integrale della funzione p(t) nell’intervallo temporale [t1 , t1 + T ] . - 45 -

Un carico dinamico periodico può quindi essere scomposto, secondo la teoria di Fourier, nella somma di un carico dinamico costante con valore pari al carico medio e di diversi carichi dinamici sinusoidali con frequenza pari alle armoniche ωn. L’equazione del moto per un oscillatore semplice lineare smorzato soggetto all’azione di un carico dinamico periodico espresso tramite il suo sviluppo in serie reale di Fourier assume la forma: ∞ .. . 1⎛ ⎞ u (t ) + 2ξω u (t ) + ω 2 u (t ) = ⎜ a 0 + ∑ (a n cos(ω n t ) + b n sen (ω n t ))⎟ m⎝ n =1 ⎠ ..

.

u (t ) + 2ξω u (t ) + ω 2 u (t ) =

∞ 1⎛ ⎞ ⎜ a 0 + ∑ c n sen (ω n t + φ n )⎟ m⎝ n =1 ⎠

con c n = a 2n + b 2n

⎛b ⎞ φ n = arctg⎜⎜ n ⎟⎟ . ⎝ an ⎠ Nell’ambito di validità del principio di sovrapposizione degli effetti la risposta a regime di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ 2 segue D < 1 (cioè la forza trasmessa al supporto risulta inferiore all’ampiezza della forzante) qualunque sia il valore di ξ; → per β > 2 all’aumentare di ξ aumenta l’efficacia dell’isolamento e viceversa. Per contenere la forza trasmessa dalla macchina rotante al supporto rigido bisogna utilizzare un isolatore caratterizzato da valori bassi sia della rigidezza k (questo permette di ottenere valori bassi della frequenza circolare naturale ω) che del rapporto di smorzamento ξ. In questo modo si ottiene infatti una trasmissibilità T bassa.

- 56 -

11.2 - TRASMISSIBILITA’ DI SPOSTAMENTI Supponiamo che la fondazione rigida di un opera monolitica di massa m sia soggetta a delle oscillazioni verticali dannose per l’opera e pari a: u g (t ) = u g 0 sen (ωt − θ ) . Rendendo l’opera monolitica parte di un oscillatore semplice lineare sottosmorzato (ξ < 1) vincolato alla fondazione rigida le oscillazioni verticali a cui risulta essere soggetta la fondazione inducono nell’oscillatore una risposta a regime che può essere calcolata in termini di spostamento assoluto oppure in termini di spostamento relativo.

11.2.1 - SPOSTAMENTI ASSOLUTI

L’equazione del moto assume la forma: .. . ⎛. ⎞ m u t (t ) + c⎜ u t (t ) − u g (t )⎟ + k (u t (t ) − u g (t )) = 0 ⎝. ⎠ .. . m u t (t ) + c u t (t ) + k u t (t ) = k u g (t ) + c u g (t ) = k u g 0 sen (ωt − θ ) + cω u g 0 cos(ωt − θ ) 2

⎛ cω ⎞ = k u g 0 1 + ⎜ ⎟ sen (ωt − θ + α ) ⎝ k ⎠

= k u g 0 1 + (2ξβ ) sen (ωt − θ + α ) . 2

La risposta massima a regime risulta essere: u t (t ) = u g 0 1 + (2ξβ ) D sen (ωt − θ + α − ψ ) 2

u t (t )

1 + (2ξβ )

2

= u g 0 1 + (2ξβ ) D = u g 0 2

max

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

2

.

Si definisce trasmissibilità assoluta TA il rapporto tra l’ampiezza di oscillazione a regime dell’oscillatore semplice lineare e l’ampiezza di oscillazione della fondazione: 1 + (2ξβ )

2

TA =

u t (t ) u g0

u g0 max

=

TA = D 1 + (2ξβ ) = 2

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

2

u g0

1 + (2ξβ )

2

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

2

1 + (2ξβ )

2

=

. - 57 -

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

2

Per contenere lo spostamento assoluto dell’opera monolitica causato dal moto oscillatorio della fondazione rigida bisogna utilizzare un isolatore caratterizzato da valori bassi sia della rigidezza k (questo permette di ottenere valori bassi della frequenza circolare naturale ω) che del rapporto di smorzamento ξ. In questo modo si ottiene infatti una trasmissibilità relativa TA bassa.

11.2.2 - SPOSTAMENTI RELATIVI

L’equazione del moto assume la forma: .. . ⎛ .. ⎞ m⎜ u (t ) + u g (t )⎟ + c u (t ) + k u (t ) = 0 ⎝ ⎠ ..

.

..

m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = −m u g (t ) 2 = −mω u g 0sen (ωt − θ ) . La risposta massima a regime risulta essere: 1 2 u (t ) = − mω u g 0 D sen (ωt − θ + α ) k m 2 = − ω u g 0 D sen (ωt − θ + α ) k 2 ω = − 2 u g 0 D sen (ωt − θ + α ) ω = − β 2 u g 0 D sen(ωt − θ + α )

u (t )

max

= β2u g0D .

Si definisce trasmissibilità relativa TR il rapporto tra l’ampiezza di oscillazione a regime dell’oscillatore semplice lineare e l’ampiezza di oscillazione della fondazione: TR =

u (t )

max

u g0

TR = D β = 2

=

β2u g0D u g0

=

β2

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

β2

(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2

2

2

.

Rappresentando graficamente la trasmissibilità relativa TR in funzione del rapporto di frequenza β per valori costanti del rapporto di smorzamento ξ si ottiene il seguente diagramma:

- 58 -

Da questo diagramma si può osservare quanto segue: → per β = 1 (zona di risonanza del grafico) si verifica il fenomeno della risonanza; → per β > 1 (zona di sismografica del grafico) il moto dell’oscillatore risulta essere di entità comparabile a quella del moto della fondazione qualunque sia il valore di ξ. Per contenere lo spostamento relativo dell’opera monolitica causato dal moto oscillatorio della fondazione rigida rispetto alla fondazione stessa bisogna utilizzare un isolatore caratterizzato da valori bassi sia della rigidezza k (questo permette di ottenere valori bassi della frequenza circolare naturale ω) che del rapporto di smorzamento ξ. In questo modo si ottiene infatti una trasmissibilità relativa TR bassa.

11.2.3 - ESEMPI Esempio 1

Un opera monolitica viene sollecitata da una azione sismica sussultoria del suo terreno di fondazione. Tra l’opera monolitica ed il terreno di fondazione risulta essere interposto un isolatore. Si vuole determinare la accelerazione massima assoluta sussultoria del sistema oscillatore semplice composto dall’opera monolitica e dall’isolatore. Dati: .. ampiezza della accelerazione sismica sussultoria: u g 0 = 0.1 g ; frequenza ciclica dell’accelerazione sismica sussultoria: f = 10 Hz = 10 s -1 ; peso dell’opera monolitica: W = 500 N ; rigidezza elastica dell’isolatore: k = 15 kN m ; rapporto di smorzamento: ξ = 10 % . Svolgimento: La massa dell’opera monolitica vale: W 500 N m= = = 50.97 kg . g 9.81 m s 2 La frequenza circolare naturale dell’oscillatore vale: k 15 kN m ω= = = 17.16 rad s . m 50.97 kg Il coefficiente di smorzamento viscoso dell’oscillatore vale: kg rad N s rad . c = 2 ξmω = 2 (10 % )(50.97 kg )(17.16 rad s ) = 174.93 = 174.93 s m La frequenza circolare dell’accelerazione sismica sussultoria vale: ω = (2π rad ) f = (2π rad ) (10 s -1 ) = 62.8 rad s .

La legge di variazione temporale della accelerazione sismica sussultoria vale: ..

..

u g (t ) = u g 0 sen (ωt ) = (0.1 g ) sen[(62.8 rad s ) t ] .

Il rapporto di frequenza vale: - 59 -

ω 62.8 rad s = = 3.66 . ω 17.16 rad s La trasmissibilità assoluta vale: β=

1 + (2ξβ )

2

TA =

(1 − β )

2 2

2 + (2ξβ )

=

1 + [2 (10 % )(3.66 )]

[1 − (3.66) ]

2 2

2

+ [2 (10 % )(3.66 )]

2

= 0.0998 .

La massima accelerazione assoluta sussultoria dell’oscillatore vale: ..

..

u t max = TA u g 0 = (0.0998)(0.1 g ) = 0.00998 g .

Si nota che per ottenere una accelerazione massima assoluta sussultoria dell’oscillatore che sia di entità inferiore a quella appena ricavata si può agire aumentando la massa dell’opera monolitica oppure diminuendo i valori dei parametri k e c dell’isolatore.

12 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO - 60 -

Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore semplice significa dividere in passi temporali l’intervallo temporale sul quale si vuole analizzare l’equazione del moto e calcolare la risposta dell’oscillatore su ciascun passo temporale in modo approssimato utilizzando uno dei metodi numerici passo-passo forniti dall’analisi numerica. Generalmente l’ampiezza Δt dei passi temporali viene presa uguale per tutti i passi di uno stesso intervallo temporale, ma viene scelta in funzione del metodo numerico passo-passo da utilizzare. Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore semplice risulta essere necessario se l’oscillatore presenta delle proprietà non lineari, ma può essere vantaggioso anche se l’oscillatore presenta esclusivamente proprietà lineari.

12.1 - EQUAZIONE INCREMENTALE LINEARIZZATA DEL MOTO Scrivendo l’equazione del moto di un oscillatore semplice con il metodo dell’equilibrio diretto a inizio e fine di ogni passo temporale si ottengono le seguenti due espressioni: (FI )i−1 + (FD )i−1 + (FS )i−1 = (F)i−1

(FI )i + (FD )i + (FS )i = (F)i

.

L’equazione incrementale del moto di un oscillatore semplice viene ottenuta per ciascun passo temporale facendo la differenza tra le due espressioni sopra scritte: ΔFI + ΔFD + ΔFS = ΔF con ΔFI = (FI )i − (FI )i −1 ΔFD = (FD )i − (FD )i −1 ΔFS = (FS )i − (FS )i −1 ΔF = (F)i − (F)i −1 . L’equazione incrementale linearizzata del moto per un oscillatore semplice viene ottenuta per ciascun passo temporale dall’equazione incrementale del moto considerando i parametri propri dell’oscillatore costanti all’interno di ciascun passo temporale e pari al loro valore di inizio passo: ..

.

m Δ u + ci −1 Δ u + k i −1 Δu = ΔF ⎛ dF ⎞ .. .. con m Δ u = ⎜ ..I ⎟ Δ u ≅ ΔFI ⎜ ⎟ ⎝ du ⎠ . . ⎛ dF ⎞ c i −1 Δ u = ⎜ D. ⎟ Δ u ≅ ΔFD ⎜ ⎟ ⎝ d u ⎠i −1 ⎛ dF ⎞ k i −1 Δu = ⎜ S ⎟ Δu ≅ ΔFS . ⎝ du ⎠i −1

12.2 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO - 61 -

I metodi numerici passo-passo utilizzati per risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore semplice sono i seguenti: ƒ metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante; ƒ metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare; ƒ metodo di Newmark-Beta; ƒ metodo delle differenze centrali.

12.2.1 - METODO DI EULERO-GAUSS

Il metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una accelerazione che presenta un andamento costante e pari alla media tra i valori di accelerazione di inizio e fine passo. Questo metodo è un metodo incondizionatamente stabile.

In corrispondenza di un istante τ interno ad un passo temporale (0 < τ < Δt) si ha quanto segue: ..

..

..

u i − u i −1 .. Δu u (τ ) = u i −1 + = u i −1 + = cost 2 2 ..

..

..

Δu u (τ ) = u i −1 + ∫ u (τ ) dτ = u i −1 + u i −1 τ + τ i −1 2 .

.

.

..

i

..

..

..

u i −1 2 Δ u 2 u (τ ) = u i −1 + ∫ u (τ ) dτ = u i −1 + u i −1 τ + τ + τ . i −1 2 4 In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale (τ = Δt) si ha quanto segue: i

.

.

..

Δu u (Δt ) = u i −1 + 2 ..

..

..

Δu u (Δt ) = u i −1 + u i −1 Δt + Δt 2 .

.

..

..

..

u i −1 2 Δ u 2 Δt + Δt . u (Δt ) = u i −1 + u i −1 Δt + 2 4 Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale si ottiene quanto segue: .

- 62 -

.. 4 4 . − u − 2 u Δ u i − 1 i −1 Δt 2 Δt . . 2 Δ u = Δu − 2 u i −1 . Δt Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione unicamente dell’incremento di spostamento sul passo temporale: .. . 4 . ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ m⎜ 2 Δu − u i −1 − 2 u i −1 ⎟ + c i −1 ⎜ Δu − 2 u i −1 ⎟ + k i −1Δu = ΔF Δt ⎝ Δt ⎠ ⎝ Δt ⎠ ..

Δu =

k *Δu = ΔF*

4 2 + c i −1 2 Δt Δt . .. . ⎛ 4 ⎞ ΔF* = ΔF + m⎜ u i −1 + 2 u i −1 ⎟ + c i −1 2 u i −1 . ⎝ Δt ⎠ L’incremento di spostamento sul passo temporale viene calcolato come segue:

con k * = k i −1 + m

ΔF* . k*

Δu =

Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare immediatamente lo spostamento e la velocità alla fine del passo temporale:

u i = u i −1 + Δu .

.

.

.

u i = u i −1 + Δ u = u i −1 +

. 2 . Δ u − 2 u i −1 . Δt

L’accelerazione alla fine del passo temporale viene invece ricavata inserendo lo spostamento e la velocità alla fine del passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto: ..

ui =

1 ((F)i − (FD )i − (FS )i ) . m

Il metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante risulta quindi essere caratterizzato dal seguente algoritmo: .

..

u i −1 ; u i −1 ; u i −1 m; ci −1 ; k i −1 ΔF

⇒

k * ; ΔF* ; Δu; u i . . Δ u; u i .. k i ; ci ; u i .

12.2.2 - METODO DI NEWMARK

Il metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una accelerazione che presenta un andamento lineare. Questo metodo è un metodo condizionatamente stabile: stabilità ↔ Δt < Δt cr =

3 T = 0.55 T . π

- 63 -

In corrispondenza di un istante τ interno ad un passo temporale (0 < τ < Δt) si ha quanto segue: ..

..

..

.. u i − u i −1 Δu τ u (τ ) = u i −1 + τ = u i −1 + Δt Δt ..

..

..

Δu 2 τ u (τ ) = u i −1 + ∫ u (τ ) dτ = u i −1 + u i −1 τ + i −1 2Δt .

.

.

..

i

..

..

..

u i −1 2 Δ u 3 τ . u (τ ) = u i −1 + ∫ u (τ ) dτ = u i −1 + u i −1 τ + τ + i −1 2 6Δt In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale (τ = Δt) si ha quanto segue: i

..

.

.

..

u (Δt ) = u i ..

Δu u (Δt ) = u i −1 + u i −1 Δt + Δt 2 .

.

..

..

..

u i −1 2 Δ u 2 u (Δt ) = u i −1 + u i −1 Δt + Δt + Δt . 2 6 Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale si ottiene quanto segue: .

..

Δ u = ... . . Δt .. 3 Δ u = Δu − 3 u i −1 − u i −1 . 2 Δt Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione unicamente dell’incremento di spostamento sul passo temporale: k *Δu = ΔF*

6 3 + c i −1 2 Δt Δt . .. Δt .. ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ . ΔF* = ΔF + m⎜ u i −1 + 3 u i −1 ⎟ + c i −1 ⎜ 3 u i −1 + u i −1 ⎟ . 2 ⎝ Δt ⎠ ⎝ ⎠

con k * = k i −1 + m

L’incremento di spostamento sul passo temporale viene calcolato come segue:

- 64 -

ΔF* Δu = * . k Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare immediatamente lo spostamento e la velocità alla fine del passo temporale:

u i = u i −1 + Δu .

.

.

u i = u i −1 + Δ u .

L’accelerazione alla fine del passo temporale viene invece ricavata inserendo lo spostamento e la velocità alla fine del passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto: ..

ui =

1 ((F)i − (FD )i − (FS )i ) . m

Il metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare risulta quindi essere caratterizzato dal seguente algoritmo: .

..

u i −1 ; u i −1 ; u i −1 m; ci −1 ; k i −1 ΔF

⇒

k * ; ΔF* ; Δu; u i . . Δ u; u i .. k i ; ci ; u i .

12.2.3 - METODO DI NEWMARK-BETA

Il metodo di Newmark-Beta prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una velocità ed uno spostamento che presentano degli andamenti espressi in funzione dei due parametri reali γ e β. In generale questo metodo è un metodo condizionatamente stabile: stabilità ↔ Δt < Δt cr =

1 π 2

1 T . γ − 2β

In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale (τ = Δt) si ha quanto segue: .

.

..

..

u (Δt ) = u i −1 + (1 − γ ) Δt u i −1 + γ Δt u i . .. .. ⎛1 ⎞ u (Δt ) = u i −1 + Δt u i −1 + ⎜ − β ⎟ Δt 2 u i −1 + β Δt 2 u i . ⎝2 ⎠ Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale si ottiene quanto segue: ..

Δ u = ... . ⎛ γ γ . γ ⎞ .. Δu = Δu − u i −1 + Δt ⎜⎜1 − ⎟⎟ u i −1 . βΔt β ⎝ 2β ⎠ Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione unicamente dell’incremento di spostamento sul passo temporale: k *Δu = ΔF*

con k * = k i −1 + m

1 γ + ci −1 2 βΔt βΔt - 65 -

⎛γ . ⎛ 1 . ⎛ 1 .. ⎞ γ ⎞ .. ⎞ ΔF* = ΔF + m⎜⎜ u i −1 + u i −1 ⎟⎟ + ci −1 ⎜⎜ u i −1 − Δt ⎜⎜1 − ⎟⎟ u i −1 ⎟⎟ . 2β ⎝ βΔt ⎠ ⎝ 2β ⎠ ⎝β ⎠ L’incremento di spostamento sul passo temporale viene calcolato come segue: ΔF* Δu = * . k Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare immediatamente lo spostamento e la velocità alla fine del passo temporale:

u i = u i −1 + Δu .

.

.

u i = u i −1 + Δ u .

L’accelerazione alla fine del passo temporale viene invece ricavata inserendo lo spostamento e la velocità alla fine del passo temporale nell’equazione incrementale linearizzata del moto: ..

ui =

1 ((F)i − (FD )i − (FS )i ) . m

Il metodo di Newmark-Beta risulta quindi essere caratterizzato dal seguente algoritmo: .

..

u i −1 ; u i −1 ; u i −1 m; ci −1 ; k i −1 ΔF

⇒

k * ; ΔF* ; Δu; u i . . Δ u; u i .. k i ; ci ; u i .

Solitamente ai parametri reali γ e β si assegnano i seguenti valori: 1 γ= 2 1 1 β= ÷ . 6 4 Si osserva che prendendo β = 1/6 si ottiene il metodo di Newmark o dell’accelerazione lineare, mentre prendendo β = 1/4 si ottiene il metodo di Eulero-Gauss o dell’accelerazione media costante.

12.2.4 - METODO DELLE DIFFERENZE CENTRALI

Il metodo delle differenze centrali prevede di assumere all’interno di ciascuna coppia di passi temporali adiacenti uno spostamento che presenta un andamento quadratico. Questo metodo è un metodo condizionatamente stabile: stabilità ↔ Δt < Δt cr =

T = 0.32 T . π

La funzione quadratica utilizzata per rappresentare lo spostamento in corrispondenza di un istante τ interno ad una coppia di passi temporali adiacenti (-Δt < τ < Δt) assume la forma: û (τ ) = a τ 2 + b τ + c

- 66 -

Condizioni al contorno: û (− Δt ) = u i −1 û (0) = u i û (Δt ) = u i +1 u − 2u i + u i +1 → a = i −1 2Δ t 2 u − u i −1 b = i +1 2 Δt c = ui . In corrispondenza di un istante τ a metà di una coppia di passi temporali adiacenti (τ = 0) si ha quanto segue: u (0) = c = u i . u −u ⎛ dû ⎞ u (0) ≅ ⎜ ⎟ = b = i +1 i −1 2Δt ⎝ dτ ⎠ τ =0 .. ⎛ d2û ⎞ u − 2u i + u i +1 u (0 ) ≅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 2a = i −1 . Δt 2 ⎝ dτ ⎠ τ =0 L’equazione del moto espressa in corrispondenza di un istante τ a metà di una coppia di passi temporali adiacenti (τ = 0) risulta essere: u − 2u i −1 + u i u − u i−2 + c i −1 i + k i −1u i −1 = Fi −1 m i −2 2 Δt 2 Δt Dall’equazione del moto sopra scritta risulta possibile ricavare lo spostamento in corrispondenza di un istante τ a metà di una coppia di passi temporali adiacenti (τ = 0):

ui =

⎡ 2Δt 2 2m ⎞ ⎛ ⎛ m c ⎞⎤ Fi −1 − u i −1 ⎜ k i −1 − 2 ⎟ − u i − 2 ⎜ 2 − i −1 ⎟⎥ . ⎢ 2m + ci −1Δt ⎣ Δt ⎠ 2Δt ⎠⎦ ⎝ ⎝ Δt

Per inizializzare la procedura numerica si calcolano gli spostamenti u -1 e u1 con l’ausilio delle seguenti condizioni iniziali sul moto: . u − u −1 u0 = 1 2 Δt .. . 1⎛ ⎞ u − 2u 0 + u1 . u 0 = ⎜ F0 − c 0 u 0 − k 0 u 0 ⎟ = −1 m⎝ Δt 2 ⎠

12.3 - ERRORI COMPUTAZIONALI L’accuratezza di un metodo numerico passo-passo dipende essenzialmente dall’ampiezza scelta per il passo temporale di integrazione numerica. L’ampiezza del passo temporale di integrazione numerica deve infatti essere sufficientemente piccola da consentire una buona rappresentazione dei seguenti tre fattori: 1) storia di carico; 2) proprietà non lineari dei materiali; 3) periodo naturale di vibrazione della struttura. Per storie di carico non particolarmente complesse le proprietà non lineari dei materiali non costituiscono un fattore decisivo nella scelta del passo temporale di integrazione numerica che quindi viene scelto solo in funzione del periodo naturale di vibrazione della struttura. Generalmente si assume un passo temporale di integrazione numerica pari a: - 67 -

T . 10 Una scelta poco idonea del passo temporale di integrazione numerica porta alla crescita di quegli errori computazionali intrinseci di tutte le soluzioni numeriche che amplificano nelle soluzioni numeriche i seguenti fenomeni privi di alcuna origine fisica: ƒ decadimento dell’ampiezza di oscillazione (“numerical damping”); ƒ allungamento o accorciamento del periodo di oscillazione. Δt ≤

- 68 -

Capitolo 3 SISTEMI DISCRETI MDOF

-1-

1 - OSCILLATORE MULTIPLO

Nella realtà le strutture sono sistemi continui con masse distribuite e quindi esse presentano un numero infinito di gradi di libertà dinamici. Esistono però casi in cui le strutture possono essere modellizzate come sistemi discreti con più gradi di libertà dinamici. Un sistema discreto con più gradi di libertà dinamici viene definito oscillatore multiplo o “multi degree of freedom system” (MDOF system).

-2-

2 - OSCILLATORE MULTIPLO LINEARE

Un oscillatore multiplo lineare è un oscillatore multiplo composto dai seguenti elementi: • un numero finito di masse mi indeformabili in grado di traslare in un una sola direzione; • un numero finito di molle elastiche lineari con rigidezze ki (positive) e di masse trascurabili; • un numero finito di smorzatori viscosi lineari con coefficienti di smorzamento ci (positivi) e di masse trascurabili. Le unità di misura adottate per i parametri mi, ki, ci sono le seguenti: [mi ] = kg [k i ] = N [ci ] = N ⋅ s . m m Le forze da considerare nell’analisi dinamica di un oscillatore multiplo lineare sono: ♦ le forze di inerzia FIi(t) delle masse mi; ♦ le reazioni FSi(t) delle molle elastiche lineari; ♦ le reazioni FDi(t) degli smorzatori viscosi lineari; ♦ le forzanti (o azioni) Fi(t).

-3-

3 - OSCILLATORE MULTIPLO NON LINEARE

Un oscillatore multiplo non lineare è un oscillatore multiplo composto dai seguenti elementi: • un numero finito di masse mi indeformabili in grado di traslare in un una sola direzione; • un numero finito di molle elastiche non lineari o elastoplastiche con masse trascurabili; • un numero finito di smorzatori viscosi lineari o non lineari con masse trascurabili.

-4-

4 - EQUAZIONE DEL MOTO

Il problema dell’analisi dinamica di un oscillatore multiplo lineare viene ricondotto a quello di un sistema con delle grandezze di input e altrettante grandezze di output. Le grandezze di input sono rappresentate dalle leggi di variazione delle forzanti Fi(t); le grandezze di output sono rappresentate dalle leggi di variazione degli spostamenti ui(t) delle masse mi rispetto alla configurazione di equilibrio sotto i carichi statici e queste leggi definiscono la risposta del sistema in termini di spostamento. L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni differenziali ed assume la forma: ..

.

M u (t ) + Cu (t ) + K u (t ) = F(t ) ..

con u (t ) = vettore delle accelerazioni; .

u (t ) = vettore delle velocità;

u (t ) = vettore degli spostamenti; M ≡ matrice di massa; C ≡ matrice di smorzamento; K ≡ matrice di rigidezza;

F(t ) = vettore delle forzanti. L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare può essere ricavata utilizzando il metodo dell’equilibrio diretto o dinamico. Questo metodo prevede di ricondurre il problema dinamico oggetto di analisi ad un problema statico aggiungendo alle forze esterne anche le forze di inerzia (principio di D’Alambert) e successivamente di eseguire gli equilibri di tutte le forze agenti su ciascuna massa mi ad ogni istante. Si ottiene:

..

..

..

..

FIi (t ) = M i1 u1 (t ) + M i 2 u 2 (t ) + ... + M in u n (t ) → FI (t ) = M u (t ) .

.

.

.

FDi (t ) = Ci1 u1 (t ) + Ci 2 u 2 (t ) + ... + Cin u n (t ) → FD (t ) = Cu (t ) FSi (t ) = K i1 u1 (t ) + K i 2 u 2 (t ) + ... + K in u n (t ) → FS (t ) = K u (t )

FIi (t ) + FDi (t ) + FSi (t ) = Fi (t ) → FI (t ) + FD (t ) + FS (t ) = F(t ) ..

.

M u (t ) + Cu (t ) + K u (t ) = F(t ) .

-5-

5 - MATRICI DELLE PROPRIETA’ STRUTTURALI

L’insieme delle matrici delle proprietà strutturali comprende le seguenti matrici: ♦ matrice di rigidezza; ♦ matrice di massa; ♦ matrice di smorzamento.

5.1 - MATRICE DI RIGIDEZZA La matrice di rigidezza risulta essere una matrice simmetrica e definita positiva: T K=K 1 T 1 T u (t ) FS (t ) = u (t ) ( K u (t )) ≥ 0 . 2 2 Ne consegue che la matrice di rigidezza può essere invertita e la sua inversa viene detta matrice di flessibilità: −1 F ≡ K → FS (t ) = K u (t ) V=

u (t ) = K FS (t ) = F FS (t ) . -1

La matrice di flessibilità risulta essere anch’essa simmetrica e definita positiva: T F≡F

(

)

(

)

1 T 1 1 T 1 T T T u (t ) FS (t ) = (F FS (t )) FS (t ) = FS (t ) F FS (t ) = FS (t ) F FS (t ) ≥ 0 . 2 2 2 2 Il generico elemento Kij della matrice di rigidezza rappresenta la reazione della molla elastica lineare corrispondente alla massa i-esima dovuta ad uno spostamento unitario della massa j-esima; il generico elemento Fij della matrice di flessibilità rappresenta lo spostamento della massa i-esima dovuto ad una reazione unitaria della molla elastica lineare corrispondente alla massa j-esima. V=

5.1.1 - TELAIO PIANO SHEAR-TYPE Un telaio piano shear-type è un telaio piano a nodi spostabili che presenta le seguenti particolarità: ƒ nodi incastro tra travi e pilastri; ƒ pilastri incastrati alla base; ƒ travi flessionalmente ed assialmente indeformabili (EJ = ∞ e EA = ∞); ƒ pilastri flessionalmente deformabili ed assialmente indeformabili (EJ < ∞ e EA = ∞); ƒ masse dei pilastri trascurabilmente piccole rispetto alle masse delle travi. La matrice di rigidezza di un telaio piano shear-type può essere costruita con il metodo degli spostamenti (o delle deformazioni) a partire dalle rigidezze di piano che valgono: 12 E n ° pil. k i = 3 ∑ (J r i ) . h i r =1

-6-

La matrice di rigidezza risulta essere una matrice a banda larga la cui colonna j-esima contiene i seguenti elementi non nulli: K j−1, j = − k j K j, j = k j + k j+1 K j+1, j = − k j+1 .

Ad esempio per un telaio piano shear-type con tre piani e due ritti si ha la seguente matrice di rigidezza: 0 ⎤ − k2 ⎡k1 + k 2 ⎢ K = ⎢ − k2 k 2 + k 3 − k 3 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 k 3 ⎥⎦ − k3

La matrice di flessibilità di un telaio piano shear-type può essere costruita con il metodo degli spostamenti (o delle deformazioni) a partire dalle flessibilità di piano che valgono: 1 h 3i 1 . fi = = n ° pil. k i 12 E ∑ (J r i ) r =1

Ad esempio per flessibilità: ⎡1 ⎢ ⎢ k1 1 F=⎢ ⎢ k1 ⎢1 ⎢ ⎢⎣ k1

un telaio piano shear-type con tre piani e due ritti si ha la seguente matrice di 1 k1

1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2

⎤ ⎥ ⎥ 1 1 ⎥ . + k1 k 2 ⎥ 1 1 1⎥ + + ⎥ k1 k 2 k 3 ⎦⎥ 1 k1

-7-

5.1.2 - TELAIO PIANO GENERICO

Un telaio piano generico è un telaio piano a nodi spostabili che presenta le seguenti particolarità: ƒ nodi incastro tra travi e pilastri; ƒ pilastri incastrati alla base; ƒ travi flessionalmente ed assialmente deformabili (EJ < ∞ e EA < ∞); ƒ pilastri flessionalmente ed assialmente deformabili (EJ < ∞ e EA < ∞); ƒ masse delle travi e dei pilastri confrontabili tra loro. La matrice di rigidezza di un telaio piano generico viene costruita con il metodo degli elementi finiti. Il metodo degli elementi finiti prevede di dividere il telaio oggetto di analisi in un numero finito di elementi piani di trave che vengono connessi fra loro in dei punti detti nodi e la matrice di rigidezza del telaio viene calcolata per assemblaggio delle matrici di rigidezza dei singoli elementi piani di trave.

Il campo degli spostamenti flessionali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo degli spostamenti flessionali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da spostamenti flessionali nei nodi I e J di estremità:

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la seguente relazione: '

'

Q =kq

' '

con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '

k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema locale; '

q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale.

-8-

Tenendo in considerazione le deformazioni associate ai soli spostamenti flessionali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente quattro. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore degli spostamenti flessionali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore degli spostamenti flessionali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica e risultano essere dei polinomi Hermitiani cubici: EJ φ IV (x ' ) = 0 φ III (x ' ) = a φ II (x ' ) = ax ' + b

(x ) φ (x ) = a 2 I

' 2

'

(x ) φ(x ) = a 6

' 3

'

+ bx ' + c

(x ) +b

' 2

2

+ cx ' + d .

I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento flessionale nodale e nulla in corrispondenza degli altri spostamenti flessionali nodali: 3 2 ⎧ 2 3 x' x' ' ⎛ x' ⎞ ⎛ x' ⎞ +b + cx ' + d ⎪φ1 x = a ' → φ1 (x ) = 1 − 3 ⎜⎜ ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎨ 6 2 ⎝L⎠ ⎝L⎠ ⎪φ (0) = 1, φ I (0) = 0, φ (L ) = 0, φ I (L ) = 0 1 1 1 ⎩ 1

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3 2 ⎧ x' x' ' +b + cx ' + d ⎪φ 2 x = a ⎨ 6 2 ⎪φ (0) = 0, φ I (0) = 1, φ (L ) = 0, φ I (L ) = 0 2 2 2 ⎩ 2

⎛ x' ⎞ → φ 2 x = x ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ L⎠

3 2 ⎧ x' x' ' +b + cx ' + d ⎪φ 3 x = a 6 2 ⎨ ⎪φ (0 ) = 0, φ I (0 ) = 0, φ (L ) = 1, φ I (L ) = 0 3 3 3 ⎩ 3

⎛ x' ⎞ ⎛ x' ⎞ → φ 3 x = 3 ⎜⎜ ⎟⎟ − 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝L⎠ ⎝L⎠

( ) '

( )

2

'

2

3

'

3 2 ⎧ 2 x' x' ' ( x' ) ⎛ x' ⎞ +b + cx ' + d ⎪φ 4 x = a ' ⎜⎜ − 1⎟⎟ . → ( ) φ x = ⎨ 6 2 4 L ⎝L ⎠ ⎪φ (0) = 0, φ I (0) = 0, φ (L ) = 0, φ I (L ) = 1 4 4 4 ⎩ 4 Il vettore degli spostamenti flessionali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore degli spostamenti flessionali nodali nel sistema di riferimento locale:

( )

( )

4

v x ' = ∑ φi x ' qi '

i =1

( )

( )

'

( )

'

( )

'

( )

'

v x ' = φ1 x ' q 1 + φ 2 x ' q 2 + φ 3 x ' q 3 + φ 4 x ' q 4 .

-9-

Gli elementi della matrice di rigidezza flessionale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale: L

[

( ) ( )]

k ij' = ∫ EJ φ iII x ' φ IIj x ' dx ' . 0 Infatti ad esempio per il termine k’14 si ha quanto segue: Imponendo una rotazione unitaria nel nodo J si ottiene: q '4 = 1 →

( )

( ) = φ (x ) q + φ (x ) q + φ (x ) q + φ (x ) q = φ (x ) q = φ (x ) δ v(x ) = ∑ φ (x ) δq = φ (x ) δq + φ (x ) δq + φ (x ) δq + φ (x ) δq = φ (x ) δq Q = {k , k , k , k } . 4

v x ' = ∑ φi x ' qi '

i =1

'

'

1

'

4

'

'

2

1 '

'

'

3

2

'

'

4

3

4

4

'

→

4 4

'

i =1

i

'

'

'

1 '

' 24

' 34

1

1

→

'

'

'

i

'

'

2

'

'

3

2

3

'

4

1

' 14

T ' 44

Il momento flettente e la variazione di curvatura valgono quindi: M (x ' ) = EJ φ II4 (x ' )

( )

( )

δχ x ' = φ1II x ' δq . Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: ' ' L VE = k14 δ q1

[

](

)

L VI = ∫ M(x ' ) d δχ (x ' ) L

0

L VE = L VI

[ ]( ) = ∫ [EJ φ (x )] φ (x ) dx δq

' δq1 = ∫ M(x ' ) d δχ (x ' ) → k14 '

'

' k14 δq1

L

0 L

0

II 4

'

- 10 -

II 1

'

'

'

1

' 4

[

]

' k14 δq1 = δq1 ∫ EJ φ II4 (x ' ) φ1II (x ' ) dx ' '

L

'

0

[

]

' k14 = ∫ EJ φ II4 (x ' ) φ1II (x ' ) dx ' L

0

⇒

[

'

∀ δ q1

]

' k14 = ∫ EJ φ II4 (x ' ) φ1II (x ' ) dx ' .

Nel caso di un elemento piano di l’asse di riferimento la matrice di essere: 3L −6 ⎡6 ⎢ 3L 2L2 − 3L 2 EJ ' k = 3 ⎢ 6 L ⎢− 6 − 3L ⎢ 2 − 3L ⎣ 3L L

L

0

trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo rigidezza flessionale nel sistema di riferimento locale risulta 3L ⎤ L2 ⎥⎥ . − 3L⎥ ⎥ 2L2 ⎦

Il campo degli spostamenti assiali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo degli spostamenti assiali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da spostamenti assiali nei nodi I e J di estremità:

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la seguente relazione: '

'

Q =kq

' '

con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '

k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema locale; '

q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale. Tenendo in considerazione le deformazioni associate ai soli spostamenti assiali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente due. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore degli spostamenti assiali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore degli spostamenti assiali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica e risultano essere dei polinomi Hermitiani lineari: EA φ II (x ' ) = 0 φ I (x ' ) = a

φ(x ' ) = ax ' + b .

I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento assiale nodale e nulla in corrispondenza dell’altro spostamento assiale nodale: ⎧φ1 x ' = ax ' + b x' ' → φ x 1 ( ) = − ⎨ 1 L ⎩φ1 (0 ) = 1, φ1 (L ) = 0

( )

- 11 -

( )

⎧φ 2 x ' = ax ' + b x' → φ 2 (x ' ) = . ⎨ L ⎩φ 2 (0 ) = 0, φ 2 (L ) = 1 Il vettore degli spostamenti assiali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore degli spostamenti assiali nodali nel sistema di riferimento locale:

( )

( )

2

u x ' = ∑ φi x ' q i '

i =1

u (x ' ) = φ1 (x ' ) q1 + φ 2 (x ' ) q 2 . '

'

Gli elementi della matrice di rigidezza assiale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale:

[

]

k ij' = ∫ EA φiI (x ' ) φ Ij (x ' ) dx ' . 0 L

Infatti ad esempio per il termine k’12 si ha quanto segue: Imponendo una traslazione unitaria nel nodo J si ottiene: q '2 = 1 → u (x ' ) = ∑ φ i (x ' ) q i 2

'

i =1

= φ1 (x ' ) q1 + φ 2 (x ' ) q 2 '

'

( ) = φ (x ) δ u (x ) = ∑ φ (x ) δq = φ (x ) δq + φ (x ) δq = φ (x ) δq Q = {k , k } . '

= φ2 x' q2 '

→

2 2

'

'

'

i

i =1

i

'

'

'

1 '

1

1

'

'

2

' 2

1

T ' 22

→ La forza normale e la variazione di spostamento assiale valgono quindi: ' 12

N(x ' ) = EA φ I2 (x ' )

( )

( )

'

δ u x ' = φ1 x ' δq1 .

Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: ' ' L VE = k12 δ q1

[

]

L VI = ∫ N(x ' ) d(δu (x ' )) L

0

L VE = L VI

[ ] k δq = ∫ [EA φ (x )] φ (x ) dx δq k δq = δq ∫ [EA φ (x )] φ (x ) dx k = ∫ [EA φ (x )] φ (x ) dx ⇒ k = ∫ [EA φ (x ) φ (x )] dx .

' δq1 = ∫ N(x ' ) d(δu (x ' )) → k12 '

L

' 12

'

0 L

1

0

' 12

'

'

1

1

' 12

I 2

L

0

' 12

L

L

0

I 2

0

I 2

I 1

'

I 1

'

I 2

'

- 12 -

'

'

1

I 1

'

'

'

'

'

I 1

'

'

'

'

∀ δ q1

Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di rigidezza assiale nel sistema di riferimento locale risulta essere: EA ⎡ 1 − 1⎤ ' k = . L ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ Il campo degli spostamenti totali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ricavato sommando i campi degli spostamenti flessionali ed assiali nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da spostamenti flessionali ed assiali nei nodi I e J di estremità:

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la seguente relazione: '

'

Q =kq

' '

con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '

k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema locale; '

q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale. Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia agli spostamenti flessionali che a quelli assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei. Gli elementi della matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati combinando gli elementi delle matrici di rigidezza flessionale ed assiale nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento locale risulta essere: ⎤ ⎡ AL2 AL2 0 0 0 0 ⎥ − ⎢ J ⎢ 0J 12 6 L 0 − 12 − 6L ⎥⎥ ⎢ 2 EJ ⎢ ' 0 6L 2L2 ⎥ . k = 3 ⎢ 0 2 6L 4L 2 ⎥ AL L − AL 0 0 0 0 ⎥ ⎢ J ⎥ ⎢ J 0 12 6 L 0 12 − 6L ⎥ − − ⎢ ⎢⎣ 0 6L 2L2 0 − 6L 4L2 ⎥⎦ Il campo degli spostamenti totali nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ottenuto dal campo degli spostamenti totali del medesimo elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale tramite le seguenti trasformazioni di coordinate per le azioni nodali e gli spostamenti nodali: '

'

Q =RQ e q =Rq con R = matrice di rotazione. '

Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; - 13 -

'

q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema globale. ⎡ cos(α ) sen (α ) ⎢− sen (α ) cos(α ) ⎢ ⎢ 0 0 R≡⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos(α ) sen (α ) 0 − sen (α ) cos(α ) 0 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥⎦

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale vale quindi la seguente relazione: Q=kq con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; k = matrice di rigidezza dell’elemento di trave nel sistema globale; q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema globale. Infatti:

'

'

Q =k q

'

( R Q )= k ( R q ) Q = R ( k ( R q )) '

T

(

'

T

'

)

Q= R k R q ⇒

Q=kq .

Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia agli spostamenti flessionali che a quelli assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei. Gli elementi della matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati trasformando opportunamente gli elementi della matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento locale del medesimo elemento piano di trave. Il campo degli spostamenti totali nel sistema di riferimento globale di un telaio piano generico viene determinato per assemblaggio dei campi degli spostamenti totali nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di trave componenti il telaio. Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale vale la seguente relazione: - 14 -

q=CU

con q = vettore degli spostamenti nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; C ≡ matrice di connessione o congruenza nel sistema globale; U = vettore degli spostamenti nodali del telaio nel sistema globale. La matrice di rigidezza totale nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene ricavata assemblando le matrici di rigidezza totali nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di trave componenti il telaio: K=

∑ (C

n ° elem. i =1

Infatti:

T i

T

)

'

R i k i R i Ci .

Le forze nodali sono: F e Q i' . Gli spostamenti virtuali sono: δ U e δq i' . Applicando il principio dei lavori virtuali al telaio piano generico si ottiene: T L VE = (δ U ) F L VI =

∑ [(δq ) Q ]

n ° elem. i =1

L VE = L VI

' T

'

i

i

→

[(δq ) Q ] (δ U ) F = ∑ [(δq ) ( k q )] (δ U ) F = ∑ [( R δq ) ( k R q )] n ° elem.

(δ U )T F = ∑ T

T

'

i

i

i =1 n ° elem.

i =1 n ° elem. i =1 n ° elem.

T

'

' T

'

'

i

i

i

T

'

i

i

i

i

Ci δ U

) (k

(δ U )T F = ∑

[( R

(δ U )T F = ∑

{[ (δU ) C

i =1 n ° elem. i =1

T

[( C

n ° elem.

(δ U )T F = (δ U )T ∑ F=

∑ [( C

n ° elem. i =1

i =1

T i

)( k

T

Ri

[(

' i

T

T

T

Ri

i

T i

i

T

Ri

' i

i

R i Ci U

]( k R '

i

)( k

R i Ci U

⎧ n °elem. ⎫ T T ' F = ⎨ ∑ Ci R i k i R i Ci ⎬ U ⎩ i =1 ⎭ n ° elem. F T T ' = ∑ Ci R i k i R i Ci U i =1 F n °elem. T T ' = ∑ Ci R i k i R i Ci U i =1

[(

)]

)(

(

⇒

K=

)

∑ (C

n ° elem. i =1

5.2 - MATRICE DI MASSA - 15 -

T i

T

'

)

R i k i R i Ci .

Ci U

R i Ci U

)]

)]

)(

' i

i

)]

)} )]

La matrice di massa risulta essere una matrice definita positiva: T . 1⎛ . ⎞ T = ⎜ u (t ) ⎟ M u ( t ) ≥ 0 . 2⎝ ⎠ Il generico elemento Mij della matrice di massa rappresenta la forza di inerzia specifica (per unità di accelerazione) corrispondente alla massa i-esima dovuta ad una accelerazione unitaria della massa j-esima. Esistono due tipologie di matrice di massa: ƒ matrice di massa coerente (o consistent mass matrix): → la massa di un telaio piano viene considerata distribuita lungo tutti gli elementi che compongono il telaio stesso; → matrice coerente per costruzione alla matrice di rigidezza di un telaio piano generico. ƒ matrice di massa concentrata (o lumped mass matrix): → la massa di un telaio piano viene considerata concentrata in determinati punti del telaio stesso.

5.2.1 - MATRICE DI MASSA COERENTE (CONSISTENT MASS MATRIX)

La matrice di massa coerente di un telaio piano viene costruita con il metodo degli elementi finiti. Il metodo degli elementi finiti prevede di dividere il telaio oggetto di analisi in un numero finito di elementi piani di trave che vengono connessi fra loro in dei punti detti nodi e la matrice di massa coerente del telaio viene calcolata per assemblaggio delle matrici di massa coerente dei singoli elementi piani di trave. Il calcolo delle matrici di massa coerente dei singoli elementi piani di trave viene condotto supponendo che la massa di ciascun elemento piano di trave sia distribuita lungo lo sviluppo del medesimo elemento. Il campo delle accelerazioni flessionali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo delle accelerazioni flessionali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da accelerazioni flessionali nei nodi I e J di estremità:

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la seguente relazione: ⎛ .. ⎞ Q = mC ⎜ q ⎟ ⎝ ⎠ '

'

'

'

con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '

m C = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema locale; '

⎛ .. ⎞ ⎜ q ⎟ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale. ⎝ ⎠ - 16 -

Tenendo in considerazione le deformazioni associate alle sole accelerazioni flessionali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente quattro. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore delle accelerazioni flessionali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore delle accelerazioni flessionali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica e risultano essere dei polinomi Hermitiani cubici: EJ φ IV (x ' ) = 0 φ III (x ' ) = a φ II (x ' ) = ax ' + b

(x ) φ (x ) = a 2 I

' 2

'

(x ) φ(x ) = a 6

' 3

'

+ bx ' + c

(x ) +b

' 2

2

+ cx ' + d .

I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento flessionale nodale e nulla in corrispondenza degli altri spostamenti flessionali nodali: 3 2 ⎧ 2 3 x' x' ' ⎛ x' ⎞ ⎛ x' ⎞ +b + cx ' + d ⎪φ1 x = a ' → φ1 (x ) = 1 − 3 ⎜⎜ ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎨ 6 2 ⎝L⎠ ⎝L⎠ ⎪φ (0) = 1, φ I (0) = 0, φ (L ) = 0, φ I (L ) = 0 1 1 1 ⎩ 1

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3 2 ⎧ x' x' ' +b + cx ' + d ⎪φ 2 x = a ⎨ 6 2 ⎪φ (0) = 0, φ I (0) = 1, φ (L ) = 0, φ I (L ) = 0 2 2 2 ⎩ 2

⎛ x' ⎞ → φ 2 x = x ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ L⎠

3 2 ⎧ x' x' ' +b + cx ' + d ⎪φ 3 x = a 6 2 ⎨ ⎪φ (0 ) = 0, φ I (0 ) = 0, φ (L ) = 1, φ I (L ) = 0 3 3 3 ⎩ 3

⎛ x' ⎞ ⎛ x' ⎞ → φ 3 x = 3 ⎜⎜ ⎟⎟ − 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝L⎠ ⎝L⎠

( ) '

2

'

2

( )

3

'

3 2 ⎧ 2 x' x' ' ( x' ) ⎛ x' ⎞ +b + cx ' + d ⎪φ 4 x = a ' ⎜⎜ − 1⎟⎟ . → ( ) φ x = ⎨ 6 2 4 L ⎝L ⎠ ⎪φ (0) = 0, φ I (0) = 0, φ (L ) = 0, φ I (L ) = 1 4 4 4 ⎩ 4

Il vettore delle accelerazioni flessionali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore delle accelerazioni flessionali nodali nel sistema di riferimento locale: 4 .. ⎛ .. ⎞ v(x ' ) = ∑ φ i (x ' ) ⎜ q i ⎟ ⎝ ⎠ i =1

'

'

'

'

'

⎛ .. ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ .. ⎞ v(x ) = φ1 (x ) ⎜ q1 ⎟ + φ 2 (x ' ) ⎜ q 2 ⎟ + φ 3 (x ' ) ⎜ q 3 ⎟ + φ 4 (x ' ) ⎜ q 4 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Gli elementi della matrice di massa coerente flessionale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale: ..

'

m 'Cij = ∫

'

L 0

[ μ φ (x ) φ (x )]dx '

i

'

j

'

.

Infatti ad esempio per il termine k’14 si ha quanto segue: Imponendo una accelerazione angolare unitaria nel nodo J si ottiene: - 17 -

'

⎛ .. ⎞ v(x ) = ∑ φ i (x ) ⎜ q i ⎟ ⎝ ⎠ i =1

⎛ .. ⎞ ⎜ q4 ⎟ = 1 → ⎝ ⎠

..

4

'

'

'

'

'

'

⎛ .. ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ .. ⎞ ⎛ .. ⎞ = φ1 (x ) ⎜ q1 ⎟ + φ 2 (x ' ) ⎜ q 2 ⎟ + φ 3 (x ' ) ⎜ q 3 ⎟ + φ 4 (x ' ) ⎜ q 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

'

'

⎛ .. ⎞ = φ 4 (x ) ⎜ q 4 ⎟ ⎝ ⎠

'

'

= φ 4 (x ' )

→ δ v(x ' ) = ∑ φ i (x ' ) δq i' 4

i =1

( ) = φ (x ) δq

( )

'

( )

'

'

( )

'

= φ1 x ' δq1 + φ 2 x ' δq 2 + φ 3 x ' δq 3 + φ 4 x ' δq 4 '

1

' 1

→ Q = {m 'C14 , m C' 24 , m C' 34 , m 'C 44 } . La forza di inerzia e la variazione dello spostamento flessionale valgono quindi: '

f I (x ' ) = μ (x ' ) v(x ' ) ..

( )

( )

'

δ v x ' = φ1 x ' δq1 .

Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: ' L VE = m 'C14 δq1

[

]

L VI = ∫ f I (x ' ) d(δ v(x ' )) L

0

L VE = L VI

[ ] δq = ∫ [ μ φ (x )] φ (x ) dx δq δq = δq ∫ [ μ φ (x )] φ (x ) dx = ∫ [ μ φ (x )] φ (x ) dx m = ∫ [ μ φ (x ) φ (x )] dx .

→ m 'C14 δq1 = ∫ f I (x ' ) d(δ v(x ' )) m C' 14 m 'C14 m C' 14 ⇒

'

L

'

0 L

1

0

'

'

L

1

1

0

L

1

'

'

1

4

'

'

'

'

∀ δ q1

'

1

L

0

'

'

1

4

0

' C14

'

'

4

'

4

'

'

1

Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di massa coerente flessionale nel sistema di riferimento locale risulta essere: 22L 54 − 13L ⎤ ⎡ 156 ⎢ 22L 2 4L 13L − 3L2 ⎥⎥ μL ⎢ ' mC = . 13L 156 − 22L ⎥ 420 ⎢ 54 ⎢ 2 2 ⎥ ⎣− 13L − 3L − 22L 4L ⎦ Il campo delle accelerazioni assiali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia flessionale variabile viene espresso in funzione del campo delle accelerazioni assiali dei nodi nelle estremità di tale elemento utilizzando delle opportune funzioni di forma. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da accelerazioni assiali nei nodi I e J di estremità: - 18 -

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la seguente relazione: ⎛ .. ⎞ Q = mC ⎜ q ⎟ ⎝ ⎠ '

'

'

'

con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '

m C = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema locale; '

⎛ .. ⎞ ⎜ q ⎟ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale. ⎝ ⎠ Tenendo in considerazione le deformazioni associate alle sole accelerazioni assiali nodali i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente due. Le funzioni di forma utilizzate per esprimere il vettore delle accelerazioni assiali dell’elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale in funzione del vettore delle accelerazioni assiali nodali nel sistema di riferimento locale vengono ottenute integrando l’equazione della linea elastica e risultano essere dei polinomi Hermitiani lineari: EA φ II (x ' ) = 0 φ I (x ' ) = a

φ(x ' ) = ax ' + b .

I coefficienti incogniti contenuti nelle funzioni di forma vengono esplicitati imponendo che la funzione di forma sia unitaria in corrispondenza di un certo spostamento assiale nodale e nulla in corrispondenza dell’altro spostamento assiale nodale: ⎧φ1 x ' = ax ' + b x' ' → φ x 1 ( ) = − ⎨ 1 L ⎩φ1 (0 ) = 1, φ1 (L ) = 0

( )

( )

⎧φ 2 x ' = ax ' + b x' ' → φ 2 (x ) = . ⎨ L ⎩φ 2 (0) = 0, φ 2 (L ) = 0 Il vettore delle accelerazioni assiali nel sistema di riferimento locale dell’elemento piano di trave viene determinato moltiplicando le funzioni di forma per il vettore delle accelerazioni assiali nodali nel sistema di riferimento locale: 2 .. ⎛ .. ⎞ u (x ' ) = ∑ φ i (x ' ) ⎜ q i ⎟ ⎝ ⎠ i =1

'

'

⎛ ⎞ ⎛ u (x ) = φ (x ) ⎜ q ⎟ + φ (x ) ⎜ q

'

⎞ ⎟ . 1 2 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Gli elementi della matrice di massa coerente assiale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono calcolati tramite la seguente relazione integrale: ….. . Infatti ad esempio per il termine k’12 si ha quanto segue: ….. . ..

'

'

..

'

..

- 19 -

Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di massa coerente assiale nel sistema di riferimento locale risulta essere: μL ⎡140 70 ⎤ ' mC = . 420 ⎢⎣ 70 140⎥⎦ Il campo delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ricavato sommando i campi delle accelerazioni flessionali ed assiali nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Consideriamo un generico elemento di trave sollecitato da accelerazioni flessionali ed assiali nei nodi I e J di estremità:

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale vale la seguente relazione: ⎛ .. ⎞ Q = mC ⎜ q ⎟ ⎝ ⎠ '

'

'

'

con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; '

m C = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema locale; '

⎛ .. ⎞ ⎜ q ⎟ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale. ⎝ ⎠ Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia alle accelerazioni flessionali che a quelle assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei. Gli elementi della matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento locale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati combinando gli elementi delle matrici di massa coerente flessionale ed assiale nel sistema di riferimento locale di tale elemento piano di trave. Nel caso di un elemento piano di trave caratterizzato da una sezione trasversale costante lungo l’asse di riferimento la matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento locale risulta essere: 0 0 70 0 0 ⎤ ⎡140 ⎢ 0 156 22L 0 54 − 13L ⎥⎥ ⎢ 22L 4L2 0 13L − 3L2 ⎥ μL ⎢ 0 ' mC = ⎥ . ⎢ 0 0 140 0 0 ⎥ 420 ⎢ 70 ⎢ 0 54 13L 0 156 − 22L⎥ ⎥ ⎢ 2 0 − 22L 4L2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − 13L − 3L Il campo delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave con asse rettilineo ed a inerzia variabile viene ottenuto dal campo delle accelerazioni totali del medesimo elemento piano di trave nel sistema di riferimento locale tramite le seguenti trasformazioni di coordinate per le azioni nodali e le accelerazioni nodali: '

.. ⎛ .. ⎞ Q = R Q e ⎜q⎟ = R q ⎝ ⎠ '

- 20 -

con R = matrice di rotazione. '

Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; '

⎛ .. ⎞ ⎜ q ⎟ = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema locale; ⎝ ⎠ ..

q = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale. ⎡ cos(α ) sen (α ) ⎢− sen (α ) cos(α ) ⎢ ⎢ 0 0 R≡⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos(α ) sen (α ) 0 − sen (α ) cos(α ) 0 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ . 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥⎦

Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale vale quindi la seguente relazione: ..

Q = mC q con Q = vettore delle azioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; mC = matrice di massa coerente dell’elemento di trave nel sistema globale; ..

q = vettore delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale. Infatti:

⎛ .. ⎞ Q = mC ⎜ q ⎟ ⎝ ⎠ '

'

'

( R Q )= m

⎛ .. ⎞ ⎜R q⎟ C ⎝ ⎠ '

.. ⎞⎞ T ⎛ ' ⎛ Q = R ⎜ mC ⎜ R q ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝

(

T

'

)

..

Q = R mC R q ..

Q = mC q . Tenendo in considerazione le deformazioni associate sia alle accelerazioni flessionali che a quelle assiali nei nodi i gradi di libertà dell’elemento piano di trave risultano essere complessivamente sei. - 21 -

Gli elementi della matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave vengono ricavati trasformando opportunamente gli elementi della matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento locale del medesimo elemento piano di trave. Il campo delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene determinato per assemblaggio dei campi delle accelerazioni totali nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di trave componenti il telaio. Relativamente ad un generico elemento piano di trave nel sistema di riferimento globale valgono le seguenti relazioni: ..

..

q=CU e q=CU ..

con q , q = vettori degli spostamenti e delle accelerazioni nodali dell’elemento di trave nel sistema globale; ..

U , U = vettori degli spostamenti e delle accelerazioni nodali del telaio nel sistema globale; C ≡ matrice di connessione o congruenza nel sistema globale. La matrice di massa coerente totale nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene ricavata assemblando le matrici di massa coerente totale nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di trave componenti il telaio: MC =

Infatti:

∑ (C

n ° elem. i =1

T i

T

)

'

R i m Ci R i C i .

Le forze nodali sono: F e Q i' . Gli spostamenti virtuali sono: δ U e δq i' . Applicando il principio dei lavori virtuali al telaio piano si ottiene: T L VE = (δ U ) F L VI =

∑ [(δq ) Q ]

n ° elem. i =1

L VE = L VI

' T

'

i

i

→

n ° elem.

(δ U )T F = ∑ i =1

[(δq ) Q ] '

T

i

'

i

⎡ ' T ⎛ ' ⎛ .. ⎞ ' ⎞⎤ (δ U ) F = ∑ ⎢ δq i ⎜⎜ m Ci ⎜ q i ⎟ ⎟⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎠⎥⎦ i =1 ⎢ ⎝ ⎣ n ° elem. .. (δ U )T F = ∑ ⎡⎢ R i δq i T ⎛⎜ m 'Ci R i q i ⎞⎟⎤⎥ ⎝ ⎠⎦ i =1 ⎣ n ° elem. .. (δ U )T F = ∑ ⎡⎢ R i Ci δ U T ⎛⎜ m 'Ci R i Ci U ⎞⎟⎤⎥ ⎝ ⎠⎦ i =1 ⎣ T

n ° elem.

( ) (

)

(

)

[

]

.. ⎧ ⎞⎫ T T T ⎛ ' ⎨ (δ U ) Ci R i ⎜ m Ci R i Ci U ⎟⎬ ⎝ ⎠⎭ i =1 ⎩ n ° elem. .. (δ U )T F = (δ U )T ∑ ⎡⎢ CiT R iT ⎛⎜ m 'Ci R i Ci U ⎞⎟⎤⎥ ⎝ ⎠⎦ i =1 ⎣ n ° elem.

(δ U )T F = ∑

(

- 22 -

)

F=

⎡ ∑ ⎢⎣( C

n ° elem. i =1

[(

)

.. ⎞⎤ T ⎛ ' R m R C U ⎜ ⎟⎥ i Ci i i i ⎝ ⎠⎦ ⎫ .. T T ' Ci R i m Ci R i Ci ⎬ U ⎭ T

[(

)(

(

⇒

MC =

)]

)(

⎧ n ° elem. F=⎨ ∑ ⎩ i =1 F n °elem. T T ' = ∑ C i R i m Ci R i C i .. i =1 U F n °elem. T T ' = ∑ C i R i m Ci R i Ci .. i =1 U

)]

)

∑ (C

n ° elem. i =1

T i

T

'

)

R i m Ci R i C i .

5.2.2 - MATRICE DI MASSA CONCENTRATA (LUMPED MASS MATRIX)

La matrice di massa concentrata di un telaio piano viene costruita con il metodo degli elementi finiti. Il metodo degli elementi finiti prevede di dividere il telaio oggetto di analisi in un numero finito di elementi piani di trave che vengono connessi fra loro in dei punti detti nodi e la matrice di massa concentrata del telaio viene calcolata per assemblaggio delle matrici di massa concentrata dei singoli elementi piani di trave. Il calcolo delle matrici di massa concentrata dei singoli elementi piani di trave viene condotto supponendo che la massa di ciascun elemento piano di trave sia concentrata nei nodi di estremità del medesimo elemento. Le masse degli elementi piani di trave di un telaio piano vengono trasferite ai nodi di estremità dei medesimi elementi utilizzando le regole delle statica. A ciascun nodo di un telaio piano resta quindi associata una massa che risulta essere pari alla somma dei contributi delle masse degli elementi piani di trave connessi da quel nodo.

- 23 -

La matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento locale relativa ad un generico elemento piano di trave risulta essere una matrice diagonale semidefinita positiva con elementi nulli in corrispondenza dei gradi di libertà rotazionali ed elementi pari alle masse associate ai nodi in corrispondenza dei gradi di libertà traslazionali: 0 0⎤ ⎡m I 0 0 0 ⎢0 m 0 0 0 0⎥⎥ I ⎢ ⎢0 0 0 0 0 0⎥ ' mL = ⎢ ⎥ . 0 0 m J 0 0⎥ ⎢0 ⎢0 0 0 0 m J 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 La matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento globale di un generico elemento piano di trave viene ricavata trasformando opportunamente la matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento locale del medesimo elemento piano di trave. Similmente a quanto visto per la matrice di massa concentrata anche la matrice di massa concentrata totale nel sistema di riferimento globale di un telaio piano viene ricavata assemblando le matrici di massa concentrata totale nel sistema di riferimento globale dei singoli elementi piani di trave componenti il telaio: ML =

∑ (C

n ° elem. i =1

T i

T

'

)

R i m Li R i Ci .

5.3 - MATRICE DI SMORZAMENTO La matrice di smorzamento viene costruita sulla base dei rapporti di smorzamento e risulta essere una matrice definita positiva. Il generico elemento Cij della matrice di smorzamento rappresenta la reazione specifica (per unità di velocità) dello smorzatore viscoso lineare corrispondente alla massa i-esima dovuta ad una velocità unitaria della massa j-esima.

5.4 - CARICHI EQUIVALENTI NODALI Un carico distribuito flessionale o assiale agente su un generico elemento piano di trave può essere trasformato con il principio dei lavori virtuali in un insieme di carichi concentrati equivalenti agenti sui nodi di estremità di tale elemento piano di trave. Consideriamo per esempio quanto segue: Il carico distribuito flessionale agente su un elemento piano di trave sia: p(x ' ) . I carichi concentrati equivalenti agenti sui nodi dell’elemento piano di trave siano: P1' , P2' , P3' , P4' . Gli spostamenti virtuali siano: ' δq1 - 24 -

δ v(x ' ) = φ1 (x ' ) δq1 . '

Applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: ' L VE = P1' δq1

L VI = ∫

L 0

[ p(x ) ]d v(x )

L VE = L VI

'

'

[ p(x ) ]d v(x ) P δq = ∫ [ p(x ) ] (φ (x ) dx δq ) P δq = δq ∫ [ p(x ) ] (φ (x ) dx ) P = ∫ [ p(x ) ] (φ (x ) dx ) P = ∫ [ p(x ) φ (x ) ] dx . '

L

'

0 L

→ P1' δq1 = ∫ ' 1

' 1

' 1

' 1

1

'

'

'

'

0

'

'

L

1

1

0

L

0 L 0

'

1

'

1

'

'

'

1

'

'

'

1

'

'

'

1

5.5 - METODO DELLA CONDENSAZIONE STATICA Il metodo della condensazione statica è un metodo numerico che permette di ridurre l’onere computazionale associato all’implementazione numerica delle matrici delle proprietà strutturali tramite un riarrangiamento dei gradi di libertà ad esse associati. Questo metodo risulta essere molto efficiente nell’analisi dinamica di un singolo elemento strutturale ma porta a consistenti errori nell’analisi dinamica di intere strutture in quanto modifica la forma delle matrici delle proprietà strutturali (ed in particolare della matrice di rigidezza).

5.5.1 - MATRICE DI RIGIDEZZA CONDENSATA

Il vettore degli spostamenti può essere scritto scomponendo spostamenti primari e secondari: ⎧u (t )⎫ u (t ) = ⎨ S ⎬ ⎩u P (t )⎭ con u(t ) = vettore degli spostamenti; T u P (t ) = {u1 , u 2 , ...} = vettore degli spostamenti primari. T u S (t ) = {γ1 , γ 2 , ...} = vettore degli spostamenti secondari. Generalmente in un telaio piano shear-type si considerano primari gli spostamenti di traslazione orizzontale delle travi e secondari gli spostamenti di rotazione dei nodi. Ipotizzando che il vettore delle azioni sia diverso da zero solo in corrispondenza degli spostamenti primari si ha: ⎧ 0 ⎫ F(t ) = ⎨ ⎬ ⎩FP (t )⎭ con F(t ) = vettore delle azioni; FP (t ) = vettore delle azioni primarie.

- 25 -

La matrice di rigidezza risulta essere ripartita in quattro sottomatrici e per l’equilibrio dinamico si può scrivere: F(t ) = K u (t ) ⎧ 0 ⎫ ⎡ K SS K SP ⎤ ⎧ u S (t )⎫ ⎬=⎢ T ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎩F P (t )⎭ ⎣⎢K SP K PP ⎦⎥ ⎩u P (t )⎭ (1) ⎧⎪0 = K SS u S (t ) + K SP u P (t ) T ⎨ (2) ⎪⎩F P (t ) = K SP u S (t ) + K PP u P (t ) con K SS = sottomatrice dei momenti dovuti a rotazioni unitarie;

K SP = sottomatrice dei momenti dovuti a traslazioni unitarie; K PP = sottomatrice delle forze dovute a traslazioni unitarie. Si osserva che nel caso di un telaio piano la matrice di rigidezza e le sue sottomatrici presentano le seguenti dimensioni: K → [n° nodi × n° piani] ;

K SS → [n° nodi × n° nodi] ;

K SP → [n° piani × n° nodi] ;

K PP → [n° piani × n° piani] . −1

Moltiplicando l’equazione (1) per K SS si ottiene:

(

)

0 = K SS K SS u S (t ) + K SP u P (t ) −1

− K SS K SP u P (t ) = K SS K SS u S (t ) −1

−1

− K SS K SP u P (t ) = I u S (t ) −1

∧

T ≡ − K SS K SP → [n° nodi × n° piani] −1

∧

T u P (t ) = u S (t ) ∧

u S (t ) = T u P (t ) . Sostituendo nell’equazione (2) quanto appena ottenuto dall’equazione (1) si ottiene: F P (t ) = K SP u S (t ) + K PP u P (t ) T

∧ T ⎛ ⎞ F P (t ) = K SP ⎜ T u P (t )⎟ + K PP u P (t ) ⎝ ⎠ ∧ ⎛ T ⎞ F P (t ) = ⎜ K SP T + K PP ⎟ u P (t ) ⎝ ⎠

T

∧

T

−1

K cond. ≡ K SP T + K PP = K PP − K SP K SS K SP ≡ matrice di rigidezza condensata

FP (t ) = K cond. u P (t ) . Il vettore degli spostamenti può quindi essere scritto come segue: ∧ ⎧ u S (t )⎫ ⎡T ⎤ u (t ) = ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ u P (t ) = T u P ( t ) ⎩u P (t )⎭ ⎢⎣ I ⎥⎦

- 26 -

⎡∧⎤ con T ≡ ⎢T ⎥ = matrice di trasformazione → ⎢⎣ I ⎥⎦ Per l’equilibrio dinamico si può quindi scrivere: F(t ) = K u (t )

[(n° nodi + n° piani)× n° piani].

F(t ) = K ( T u P (t )) F(t ) = K T u P (t ) .

Moltiplicando per T l’equazione appena scritta e ricordando che FP (t ) = K cond. u P (t ) si giunge ad ottenere la matrice di rigidezza condensata: T

T F(t ) = T K T u P (t ) T

T

⎡∧ ⎤ ⎧ 0 ⎫ T ⎢⎣T I⎥⎦ ⎨F (t )⎬ = T K T u P (t ) ⎩ P ⎭ T FP (t ) = T K T u P (t ) ⇒

T

K cond. ≡ T K T .

5.5.2 - MATRICE DI MASSA CONDENSATA

Procedendo analogamente a quanto fatto per ricavare la matrice di rigidezza condensata si giunge ad ottenere anche la matrice di massa condensata: ..

FP (t ) = M cond. u P (t ) ⇒

T

M cond. ≡ T M T .

5.5.3 - MATRICE DI SMORZAMENTO CONDENSATA

Procedendo analogamente a quanto fatto per ricavare la matrice di rigidezza condensata si giunge ad ottenere anche la matrice di smorzamento condensata: .

FP (t ) = C cond. u P (t ) ⇒

T

C cond. ≡ T C T .

- 27 -

6 - VIBRAZIONI LIBERE

Un oscillatore multiplo lineare si trova in regime di vibrazioni libere quando si muove in assenza di alcuna forzante.

6.1 - VIBRAZIONI NON SMORZATE In assenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere assume la forma: ..

M u (t ) + K u (t ) = 0 . Supponendo che in assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere sia di tipo sinusoidale l’equazione del moto risulta fornire un problema agli autovalori ed autovettori detto problema dell’analisi modale (o problema delle vibrazioni) nel quale gli autovalori sono le frequenze circolari naturali e gli autovettori sono i modi di vibrare: ..

M u (t ) + K u (t ) = 0

u (t ) = û sen(ωt + α ) .

u (t ) = ω û cos(ωt + α ) ..

u (t ) = −ω 2 û sen (ωt + α ) = −ω 2 u (t )

( ) M (− ω û ) + K (û ) = 0

M − ω2 û sen(ωt + α ) + K (û sen(ωt + α )) = 0 2

Equazione caratteristica:

(K − ω M ) û = 0 2

⎡ k11 − ω 2 m11 ⎢ 2 ⎢k 21 − ω m 21 ⎢ ... ⎢ ... ⎢⎣

(

k12 − ω 2 m12 k 22 − ω2 m 22 ... ...

)

⎤ ⎧ û1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ... ... ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ... ... ⎥ ⎪⎨û 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ 0 ⎪⎬ ⎥ ⎪ ... ⎪ ⎪...⎪ ... ... ⎥ ... k nn − ω 2 m nn ⎥⎦ ⎪⎩û n ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭

Autovalori: det K − ω2 M = 0

ω1 ≤ ω2 ≤ ... ≤ ωn con ωi = frequenza circolare naturale i-esima ( ω1 viene definita frequenza circolare naturale fondamentale) Autovettori:

( K − ω M)û 2 i

(1)

( 2)

(i )

û , û , ..., û

=0

(n)

(i )

con û = modo di vibrare i-esimo

( K − ω M)û 2 i

(i )

=0 - 28 -

(K

−1

)

−1

K − ωi2 K M û

(i )

=0

moltiplicando per K

−1

−1

D ≡ K M ≡ matrice dinamica

(I − ω D) û 2 i

(i )

(i )

I û − ωi2 D û û

(i )

Dû

= ωi2 D û (i )

−1

D û

=

(i )

=0 (i )

=0

(i )

1 (i ) û ωi2

= ωi2 û

(i )

(forma normale) .

Gli autovalori possono essere espressi in funzione degli autovettori secondo la seguente relazione detta quoziente di Rayleigh: û

(i )

→ Kû û

(i )

(i )T

= ωi2 M û (i )

=û

û

(i ) T

Kû

(i )

û

(i ) T

Mû

(i )

Kû

ωi2 =

(i )

(i ) T

ωi2 M û

(i )

moltiplicando per û

(i )T

.

Risulta importante osservare che per un oscillatore multiplo lineare a molti gradi di libertà dinamici il problema agli autovalori ed autovettori appena esposto rimane risolvibile solo numericamente. Relativamente a due modi di vibrare generici e distinti di un oscillatore multiplo lineare vale la seguente condizione di ortogonalità rispetto alla matrice di massa: û Infatti:

(i ) T

Mû

( j)

=0

con i ≠ j .

Le equazioni caratteristiche per due generici e distinti modi di vibrare sono: ⎧⎪K û (i ) = ωi2 M û ( i ) con i ≠ j . ⎨ ( j) ( j) 2 ⎪⎩K û = ω j M û Moltiplicando ciascuna di tali equazioni per il modo di vibrare dell’altra equazione si ottiene: ⎧⎪û ( j) T K û (i ) = û ( j) T ωi2 M û (i ) (1) con i ≠ j . ⎨ (i )T ( j) (i ) T 2 ( j) (2) ⎪⎩û K û = û ω j M û Sottraendo l’equazione (2) dall’equazione (1) si ottiene: 0 = (ωi2 − ω 2j ) û

ωi2 ≠ ω 2j

⇒

(i )T

Mû

( j)

û

(i ) T

Mû

û

(i ) T

Kû

( j)

( j)

=0 =0 .

I modi di vibrare di un oscillatore multiplo lineare sono definiti a meno di una costante in quanto rappresentano solo delle forme di spostamento e possono quindi essere normalizzati: (i ) (i ) (i ) û → φ con û = modo di vibrare i-esimo (i )

φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo.

- 29 -

Generalmente la normalizzazione dei modi di vibrare viene eseguita imponendo unitaria all’interno di ciascun modo di vibrare una tra le seguenti grandezze: ƒ il primo termine; ƒ il termine maggiore (cosi facendo tutti i coefficienti del modo di vibrare risulteranno essere compresi tra 1 e -1); ƒ la norma euclidea: (i ) T (i ) û û =1 ; ƒ la massa generalizzata (cosi facendo i coefficienti del modo di vibrare risulteranno essere molto piccoli): (i )T (i ) φ M φ =1 φ

(i )T

(i )

K φ = ωi2 û

→ φ (i ) =

û

(i ) T

(i )

Mû

.

(i )

Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore:

[

A≡ û

(1)

û

( 2)

... û

(n )

] ≡ matrice modale

T

→ A M A = aI T

A K A = bI

[

con a , b ∈ ℜ .

Φ≡ φ

(1)

φ

( 2)

... φ

(n)

] ≡ matrice modale normalizzata

T

→ Φ M Φ = aI T

Φ KΦ=Ω con a ∈ ℜ

Ω = ω I = { ω12 , ω22 , ..., ω2n } I . T

In assenza di smorzamento viscoso la risposta di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere risulta essere: n

n

i =1

i =1

{

u (t ) = ∑ [ u i (t ) ] = ∑ φ

(i )

[A i sen (ωi t ) + Bi cos(ωi t )] }

1 T ⎧ (k) ⎪A k = ω v 0 M φ con ⎨ k ⎪B = u T M φ ( k ) 0 ⎩ k

Infatti:

n

n

i =1

i =1

con i = k .

[

]

n

{

u (t ) = ∑ [ u i (t ) ] = ∑ φ C i sen (ωi t + α i ) = ∑ φ

Condizioni iniziali:

(i )

u (0) = u 0 .

.

u (0) = u 0 = v 0

- 30 -

i =1

(i )

[A i sen (ωi t ) + Bi cos(ωi t )] }

(

)

⎧n (i ) ⎪∑ φ B i = u 0 ⎪ i =1 ⎨n (i ) ⎪ φ ωi A i = v 0 ∑ ⎪⎩ i =1 n ⎧ (i ) = u φ Bi ∑ ⎪ 0 ⎪ i =1 ⎨ n (i ) ⎪v = φ ωi A i ⎪⎩ 0 ∑ i =1 n ⎧ T (k) (i )T (k) = u M φ φ M φ Bi ∑ ⎪ 0 ⎪ (k) i =1 trasponendo e moltiplicando per M φ ⎨ n (i )T (k) ⎪v T M φ ( k ) = ωi φ M φ A i ∑ 0 ⎪⎩ i =1 T (k ) ⎧⎪u 0 M φ = B k ponendo i = k ⎨ T (k) ⎪⎩v 0 M φ = ω k A k 1 T ⎧ (k ) ⎪A k = ω v 0 M φ ⇒ ⎨ con i = k . k ⎪B = u T M φ ( k ) 0 ⎩ k

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare dell’oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso.

6.2 - VIBRAZIONI SMORZATE Nell’analisi dinamica in regime di vibrazioni libere di una struttura civile gli smorzamenti viscosi non vengono presi in considerazione in quanto i loro effetti sulle frequenze circolari naturali e sui modi di vibrare della struttura stessa risultano essere trascurabili. Infatti per una struttura civile si ha in generale quanto segue: • rapporti di smorzamento molto piccoli; • variazioni nelle frequenze circolari naturali prodotte dagli smorzamenti viscosi molto minori di quelle prodotte dalle incertezze sulle proprietà strutturali (masse, moduli elastici, …).

- 31 -

7 - VIBRAZIONI FORZATE

Un oscillatore multiplo lineare si trova in regime di vibrazioni forzate quando si muove in presenza di una forzante.

7.1 - VIBRAZIONI NON SMORZATE In assenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni forzate assume la forma: ..

M u (t ) + K u (t ) = F(t ) . L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni differenziali complete che possono essere accoppiate o disaccoppiate. Se tali equazioni differenziali complete sono accoppiate per determinare la risposta dell’oscillatore multiplo lineare si addotta la tecnica della sovrapposizione modale che vale esclusivamente per i sistemi lineari e permette di trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali complete accoppiate ad un sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate. Con questa tecnica si passa quindi da un problema nel quale bisogna determinare la risposta di un oscillatore multiplo lineare a n gradi di libertà dinamici ad un problema nel quale bisogna determinare le risposte di n oscillatori semplici lineari. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore:

[ Φ ≡ [φ A≡ û

(1)

û

( 2)

... û

(n )

(1)

φ

( 2)

... φ

(n)

] ≡ matrice modale ] ≡ matrice modale normalizzata

(i )

con û = modo di vibrare i-esimo (i ) φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce vettore delle coordinate modali (oppure vettore delle coordinate normali oppure vettore delle coordinate naturali) il vettore delle ampiezze dei modi di vibrare dell’oscillatore: T z(t ) ≡ {z1 (t ), z 2 (t ), ..., z n (t )}

con z i (t ) = ampiezza del modo di vibrare i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare soggetto all’azione di un carico dinamico generico le componenti del vettore delle coordinate modali possono essere determinate utilizzando l’integrale di Duhamel in forma non smorzata: 1 t z i (t ) = f i (τ ) e −ξ iωi ( t − τ ) sen[ω Di (t − τ )] dτ ∫ 0 ω Di ξ i = 0 → ωDi = ωi

{

}

- 32 -

z i (t ) =

1 ωi

∫ { f (τ ) sen[ω (t − τ )] }dτ . t

i

0

i

Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate modali: n

n

i =1

i =1

(

)

u (t ) = ∑ ( u i (t )) = ∑ φ i z i (t ) = Φ z(t ) .

Applicando la tecnica della sovrapposizione modale ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate: ..

M u (t ) + K u (t ) = F(t ) n

[

]

u ( t ) = ∑ φ z i ( t ) = Φ z (t ) i =1 n

(i )

. . ⎡ (i ) . ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ n .. .. ⎡ ( i ) .. ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ .. ⎛ ⎞ M ⎜ Φ z(t )⎟ + K (Φ z(t )) = F(t ) ⎝ ⎠

..

M Φ z(t ) + K Φ z(t ) = F(t ) ..

Φ M Φ z(t ) + Φ K Φ z(t ) = Φ F(t ) T

T

..

T

moltiplicando per Φ

T

I z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) ..

T

z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) T

⎧ .. 2 ⎪z.. 1 (t ) + ω1 z1 (t ) = f1 (t ) ⎪z 2 (t ) + ω 2 z (t ) = f (t ) 2 2 2 ⎨ ⎪... ⎪ .. 2 ⎩z n (t ) + ω n z n (t ) = f n (t ) ..

z i (t ) + ωi2 z i (t ) = f i (t )

con i = 1, 2, ..., n .

La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso.

- 33 -

7.2 - VIBRAZIONI SMORZATE Nell’analisi dinamica in regime di vibrazioni forzate di una struttura civile gli smorzamenti viscosi vengono presi in considerazione in quanto i loro effetti sulle frequenze circolari naturali e sui modi di vibrare della struttura stessa risultano considerevoli. In presenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni forzate assume la forma: ..

.

M u (t ) + C u (t ) + K u (t ) = F(t ) . Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore:

[ Φ ≡ [φ A≡ û

(1)

û

( 2)

... û

(n )

(1)

φ

( 2)

... φ

(n)

] ≡ matrice modale ] ≡ matrice modale normalizzata

(i )

con û = modo di vibrare i-esimo (i ) φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice di dissipazione modale la seguente matrice: * T C =Φ CΦ . Per un oscillatore multiplo lineare si definisce vettore delle coordinate modali (oppure vettore delle coordinate normali oppure vettore delle coordinate naturali) il vettore delle ampiezze dei modi di vibrare dell’oscillatore: T z(t ) ≡ {z1 (t ), z 2 (t ), ..., z n (t )} con z i (t ) = ampiezza del modo di vibrare i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare soggetto all’azione di un carico dinamico generico le componenti del vettore delle coordinate modali possono essere determinate utilizzando l’integrale di Duhamel in forma smorzata: 1 t z i (t ) = f i (τ ) e −ξ iωi ( t − τ ) sen[ω Di (t − τ )] dτ . ω Di ∫ 0

{

}

L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni differenziali complete che possono essere accoppiate o disaccoppiate. Se tali equazioni differenziali complete sono accoppiate per determinare la risposta dell’oscillatore multiplo lineare si addotta la tecnica della sovrapposizione modale che vale esclusivamente per i sistemi lineari e permette di trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali complete accoppiate ad un sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate. Con questa tecnica si passa quindi da un problema nel quale bisogna determinare la risposta di un oscillatore multiplo lineare a n gradi di libertà dinamici ad un problema nel quale bisogna determinare le risposte di n oscillatori semplici lineari. La tecnica della sovrapposizione modale funziona però esclusivamente se la matrice di dissipazione modale presenta forma diagonale. Se la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale per adottare la tecnica della sovrapposizione modale risulta essere necessario costruire una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale utilizzando uno dei seguenti metodi: ƒ metodo di Rayleigh; ƒ metodo di Caughey-Kelly. - 34 -

Si parla di smorzamento viscoso classico quando la matrice di dissipazione modale reale presenta forma diagonale, mentre si parla di smorzamento viscoso alla Rayleigh o Caughey-Kelly quando la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale e si costruisce una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale con il metodo di Rayleigh o Caughey-Kelly.

7.2.1 - SMORZAMENTO VISCOSO CLASSICO

Per un oscillatore multiplo lineare la matrice di dissipazione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico risulta essere: 0 0 0 ⎤ ⎡2ξ1ω1 ⎢ 0 2ξ 2 ω 2 0 0 ⎥⎥ * T C =Φ CΦ = ⎢ . ⎢ 0 0 ... 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 2ξ n ω n ⎦ ⎣ 0

Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate modali: n

n

i =1

i =1

(

)

u (t ) = ∑ ( u i (t )) = ∑ φ i z i (t ) = Φ z(t ) .

Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate: ..

.

M u (t ) + C u (t ) + K u (t ) = F(t ) n

[

]

u ( t ) = ∑ φ z i ( t ) = Φ z (t ) i =1 n

(i )

. . ⎡ (i ) . ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ n .. .. .. ⎡ (i ) ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ .. . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ M ⎜ Φ z(t )⎟ + C ⎜ Φ z(t )⎟ + K (Φ z(t )) = F(t ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

..

.

M Φ z(t ) + C Φ z(t ) + K Φ z(t ) = F(t ) ..

.

Φ M Φ z(t ) + Φ C Φ z(t ) + Φ K Φ z(t ) = Φ F(t ) T

..

T

T

.

T

I z(t ) + C z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) ..

* .

T

z(t ) + C z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) *

T

- 35 -

moltiplicando per Φ

T

. ⎧ .. 2 z 1 (t ) + 2ξ1ω1 z1 (t ) + ω1 z1 (t ) = f1 (t ) ⎪ .. . ⎪z 2 (t ) + 2ξ ω z 2 (t ) + ω 2 z (t ) = f (t ) 2 2 2 2 2 ⎨ ⎪... . ⎪ .. 2 ⎩z n (t ) + 2ξ n ω n z n (t ) + ω n z n (t ) = f n (t ) ..

.

z i (t ) + 2ξ i ωi z i (t ) + ωi2 z i (t ) = f i (t )

con i = 1, 2, ..., n .

La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso.

7.2.2 - SMORZAMENTO VISCOSO ALLA RAYLEIGH

Il metodo di Rayleigh considera una matrice di smorzamento che dipende dalle matrici di massa e rigidezza secondo la seguente relazione lineare: C = α M +β K con α, β ∈ ℜ . La matrice di dissipazione modale ottenuta dalla matrice di smorzamento considerata dal metodo di Rayleigh risulta essere diagonale e assume la forma: *

C = α I+β Ω *

con α, β ∈ ℜ . T

C =Φ CΦ

Infatti:

= Φ (α M + β K ) Φ T

= Φ (α M ) Φ + Φ (β K ) Φ T

T

T

T

= α Φ M Φ +β Φ K Φ con α, β ∈ ℜ

= α I+β Ω

I e Ω diagonali → C* diagonale . Supponendo che la matrice di smorzamento dipenda in modo lineare solo dalla matrice di massa l’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere iperbolico equilatero. Ne consegue che ad una frequenza circolare naturale bassa corrisponde un rapporto di smorzamento elevato e viceversa. Infatti: C=αM *

T

C =Φ CΦ

= Φ (α M ) Φ T

T

=αΦ MΦ =αI *

elemento generico di C : 2ξ i ωi = α ξi =

α . 2 ωi - 36 -

Supponendo che la matrice di smorzamento dipenda in modo lineare solo dalla matrice di rigidezza l’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere lineare crescente. Ne consegue che ad una frequenza circolare naturale bassa corrisponde un rapporto di smorzamento basso e viceversa. Infatti: C=βK *

T

C =Φ CΦ

= Φ (β K ) Φ T

T

=βΦ KΦ =βΩ *

elemento generico di C : 2ξ i ωi = β ωi2 β ωi . 2 La matrice di smorzamento considerata dal metodo di Rayleigh dipende in modo lineare sia dalla matrice di massa che dalla matrice di rigidezza e l’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere dato dalla somma degli andamenti sopra esposti. Infatti: C = α M +β K ξi =

*

C = α I+β Ω *

elemento generico di C : 2ξ i ωi = α + β ωi2 ξi =

α β ωi + . 2 ωi 2

I coefficienti α e β vengono determinati fissando i rapporti di smorzamento in corrispondenza di due modi di vibrare generici e distinti: ⎧⎪2ξ i ωi = α + β ωi2 ⎨ 2 ⎪⎩2ξ jω j = α + β ω j

→

α= β=

2 ωi ω j (ξ i ωi − ξ jω j ) ωi2 − ω 2j

2 (ξ i ωi − ξ jω j ) ωi2 − ω 2j

.

Si parla di smorzamento strutturale nel caso in cui il rapporto di smorzamento sia indipendente dalla frequenza circolare naturale. In condizioni di smorzamento strutturale i coefficienti α e β risultano essere dati dalle seguenti relazioni: α= β=

2 ωi ω j (ξω i − ξω j ) ω −ω 2 i

2 j

2 (ξωi − ξω j ) ω −ω 2 i

2 j

=

=

2 ωi ω j ξ ωi + ω j

2ξ . ωi + ω j

- 37 -

L’ordinanza ministeriale OPCM 3274 indica quali sono i valori del rapporto di smorzamento da adottare per diverse tipologie di strutture in condizioni di smorzamento strutturale:

. Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate modali: n

n

i =1

i =1

(

)

u (t ) = ∑ ( u i (t )) = ∑ φ i z i (t ) = Φ z(t ) .

Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento viscoso alla Rayleigh ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate: ..

.

M u (t ) + C u (t ) + K u (t ) = F(t ) n

[

]

u (t ) = ∑ φ z i (t ) = Φ z (t ) i =1 n

(i )

. . ⎡ (i ) . ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ n .. .. .. ⎡ (i ) ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ ⎛ .. ⎞ ⎛ . ⎞ M ⎜ Φ z(t )⎟ + C ⎜ Φ z(t )⎟ + K (Φ z(t )) = F(t ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

..

.

M Φ z(t ) + C Φ z(t ) + K Φ z(t ) = F(t ) ..

.

Φ M Φ z(t ) + Φ C Φ z(t ) + Φ K Φ z(t ) = Φ F(t ) T

..

T

T

.

T

I z(t ) + C z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) ..

*

T

.

z(t ) + C z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) *

T

. ⎧ .. 2 z 1 (t ) + 2ξ1ω1 z1 (t ) + ω1 z1 (t ) = f1 (t ) ⎪ .. . ⎪z 2 (t ) + 2ξ ω z 2 (t ) + ω 2 z (t ) = f (t ) 2 2 2 2 2 ⎨ ⎪... . ⎪ .. 2 ( ) z t + 2 ξ ω z n n n n ( t ) + ω n z n ( t ) = f n (t ) ⎩ ..

.

z i (t ) + 2ξ i ωi z i (t ) + ωi2 z i (t ) = f i (t )

con i = 1, 2, ..., n .

- 38 -

moltiplicando per Φ

T

La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso.

7.2.3 - SMORZAMENTO VISCOSO CAUGHEY-KELLY

Il metodo di Caughey-Kelly considera una matrice di smorzamento che dipende dalle matrici di massa e rigidezza secondo la seguente relazione: n

[

(

C = M ∑ αk M K k =1

−1

)] k

con α k ∈ ℜ .

Si osserva che per n = 2 si ottiene la matrice di smorzamento considerata dal metodo di Rayleigh. La matrice di dissipazione modale ottenuta dalla matrice di smorzamento considerata dal metodo di Caughey-Kelly risulta essere diagonale e assume la forma:

⎡ n ⎤ C = ⎢ ∑ α k ωi2⋅k ⎥ I ⎣ k =1 ⎦ *

Infatti:

(

)

con α k ∈ ℜ .

Il termine k-esimo della matrice di smorzamento è:

[

C(k ) = M α k M K −1

]

k

.

In corrispondenza di due modi di vibrare generici il termine k-esimo della matrice di dissipazione modale risulta essere:

C*(i , jk ) = φ

( j )T

[

−1

M αk M K

]

k

φ

(i )

∀ i, j .

Per k = 3 (per semplicità di conti) si può quindi scrivere:

[

]

C (3 ) = M α 3 M K C*(i , j3) = φ

( j)T

=φ

( j )T

=φ

( j)T

=φ

( j )T

=φ

( j)T

=φ

( j )T

=φ

( j )T

−1

3

[ ] φ( ) [ M K ][ M K ][ M K ] φ( ) [ M (ω M)][ M (ω M)][ M (ω M)] φ( ) [ω M M ][ω M M ][ω M M ] φ( ) 3

−1

M α3 M K M α3 M α3 M α3

i

−1

−1

−1

−1

−1

2 i

−1

2 i

[ ][ ][ ] [ω ][ω ][ω ] φ( )

M α 3 ωi2 I ωi2 I ωi2 I φ M α3

2 i

2 i

M α 3 ωi2⋅3 φ

(

= α 3 ωi2⋅3 φ

( j )T

−1

2 i

−1

2 i

i

2 i

i

2 i

−1

i

(i )

i

2 i

(i )

Mφ

(i )

)

∀ i, j .

Il termine k-esimo della matrice di dissipazione modale risulta essere diverso da zero solo in corrispondenza di due modi di vibrare coincidenti: i ≠ j → C*(i , jk ) = φ

( j )T

i = j → C*(i ,ik ) = φ

(i )T

[ [M

−1

] K]

M αk M K M αk

−1

- 39 -

(i )

( ( ) M φ( ) ) = 0 ( φ( ) M φ( ) ) = α

k

φ = α k ωi2⋅k φ

k

φ = α k ωi2⋅k

(i )

jT

i

i T

i

k

ωi2⋅k .

Dunque si ottiene quanto segue:

⎡ n ⎤ * T C = Φ C Φ = ⎢ ∑ α k ωi2⋅k ⎥ I ⎣ k =1 ⎦

(

(

n

)

)

C*i ,i = ∑ α k ωi2⋅k = α1ωi2⋅1 + ... + α k ωi2⋅k + ... + α n ωi2⋅n k =1

I diagonale → C* diagonale . L’andamento del rapporto di smorzamento in funzione della frequenza circolare naturale risulta essere esponenziale. Ne consegue che ad una frequenza circolare naturale bassa corrisponde un rapporto di smorzamento basso e viceversa. Infatti: n

[

(

C = M ∑ αk M K k =1

−1

)] k

⎤ ⎡ n * C = ⎢ ∑ α k ωi2⋅k ⎥ I ⎣ k =1 ⎦

(

)

elemento generico di C : 2ξ i ωi = ∑ (α k ωi2⋅k ) n

*

k =1

⎛ α ω(2⋅k −1) ⎞ ⎟⎟ . ξ i = ∑ ⎜⎜ k i 2 k =1 ⎝ ⎠ n

Gli n coefficienti αk vengono determinati fissando i rapporti di smorzamento in corrispondenza di n modi di vibrare generici e distinti. Ad esempio nel caso di un telaio shear-type a quattro piani si ha quanto segue: ⎧2ξ1ω1 = α1ω12 + α 2 ω14 + α 3ω16 + α 4 ω18 ⎪ 2 4 6 8 ⎪2ξ 2ω 2 = α1ω 2 + α 2 ω 2 + α 3ω 2 + α 4 ω 2 ⎨ 2 4 6 8 ⎪2ξ 3ω3 = α1ω3 + α 2 ω3 + α 3ω3 + α 4 ω3 ⎪⎩2ξ 4ω 4 = α1ω 24 + α 2 ω 44 + α 3ω64 + α 4 ω84 ⎡ ω1 ω13 ⎢ 1 ⎢ω 2 ω32 2 ⎢ω3 ω33 ⎢ 3 ⎢⎣ω 4 ω 4 ⎧ α1 ⎫ ⎪α ⎪ ⎪ ⎪ → ⎨ 2⎬ . ⎪α 3 ⎪ ⎪⎩α 4 ⎪⎭

ω15 ω52 ω53 ω54

ω17 ⎤ ⎧ α1 ⎫ ⎧ ξ1 ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω72 ⎥ ⎪α 2 ⎪ ⎪ξ 2 ⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ω37 ⎥ ⎪α 3 ⎪ ⎪ξ 3 ⎪ ⎥ ω74 ⎥⎦ ⎪⎩α 4 ⎪⎭ ⎪⎩ξ 4 ⎪⎭

Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale normalizzata per il vettore delle coordinate modali: n

n

i =1

i =1

(

)

u (t ) = ∑ ( u i (t )) = ∑ φ i z i (t ) = Φ z(t ) .

- 40 -

Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento alla CaugheyKelly ad un oscillatore multiplo lineare si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate: ..

.

M u (t ) + C u (t ) + K u (t ) = F(t ) n

[

]

u (t ) = ∑ φ z i (t ) = Φ z (t ) i =1 n

(i )

. . ⎡ (i ) . ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ n .. .. .. ⎡ (i ) ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ .. . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ M ⎜ Φ z(t )⎟ + C ⎜ Φ z(t )⎟ + K (Φ z(t )) = F(t ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

..

.

M Φ z(t ) + C Φ z(t ) + K Φ z(t ) = F(t ) ..

.

Φ M Φ z(t ) + Φ C Φ z(t ) + Φ K Φ z(t ) = Φ F(t ) T

..

T

T

.

T

moltiplicando per Φ

T

I z(t ) + C z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) ..

*

T

.

z(t ) + C z(t ) + Ω z(t ) = Φ F(t ) *

T

. ⎧ .. 2 z 1 (t ) + 2ξ1ω1 z1 (t ) + ω1 z1 (t ) = f1 (t ) ⎪ .. . ⎪z 2 (t ) + 2ξ ω z 2 (t ) + ω 2 z (t ) = f (t ) 2 2 2 2 2 ⎨ ⎪... . ⎪ .. 2 ( ) z t + 2 ξ ω z n n n n ( t ) + ω n z n ( t ) = f n (t ) ⎩ ..

.

z i (t ) + 2ξ i ωi z i (t ) + ωi2 z i (t ) = f i (t )

con i = 1, 2, ..., n .

La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso.

7.3 - VIBRAZIONI SMORZATE CON MOVIMENTO DELLA BASE In presenza di smorzamento viscoso l’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare con movimento della base assume la forma: .. . ⎛ .. ⎞ M u (t ) + C u (t ) + K u (t ) = − M ⎜ u g (t ) ⋅ r ⎟ ⎝ ⎠ con r ≡ vettore di trascinamento.

Infatti:

..

.

M u t (t ) + C u (t ) + K u (t ) = 0

con u t (t ) = u (t ) + u g (t ) ⋅ r - 41 -

.. . ⎛ .. ⎞ M u (t ) + C u (t ) + K u (t ) = − M ⎜ u g (t ) ⋅ r ⎟ . ⎝ ⎠ Il vettore di trascinamento rappresenta lo spostamento statico che interessa un oscillatore multiplo lineare in presenza di uno spostamento unitario della base. Generalmente il vettore di trascinamento viene assunto unitario: T r = {1, 1, ..., 1} .

Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice modale la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare dell’oscillatore e matrice modale normalizzata la matrice che raccoglie per colonne i modi di vibrare normalizzati dell’oscillatore:

[ Φ ≡ [φ A≡ û

(1)

û

( 2)

... û

(n )

(1)

φ

( 2)

... φ

(n)

] ≡ matrice modale ] ≡ matrice modale normalizzata

(i )

con û = modo di vibrare i-esimo (i ) φ = modo di vibrare normalizzato i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare si definisce matrice di dissipazione modale la seguente matrice: * T C =Φ CΦ . Per un oscillatore multiplo lineare si definisce vettore delle coordinate modali (oppure vettore delle coordinate normali oppure vettore delle coordinate naturali) il vettore delle ampiezze dei modi di vibrare dell’oscillatore: T z(t ) ≡ {z1 (t ), z 2 (t ), ..., z n (t )} con z i (t ) = ampiezza del modo di vibrare i-esimo. Per un oscillatore multiplo lineare in presenza di movimento della base le componenti del vettore delle coordinate modali possono essere determinate utilizzando l’integrale di Duhamel in forma smorzata: 1 t ⎧⎛ .. ⎫ ⎞ −ξ ω ( t − τ ) z i (t ) = sen[ωDi (t − τ )]⎬ dτ . ⎨⎜ u gi (τ )⎟ e i i ∫ 0 ωDi ⎩⎝ ⎠ ⎭

L’equazione del moto per un oscillatore multiplo lineare risulta essere un sistema di equazioni differenziali complete che possono essere accoppiate o disaccoppiate. Se tali equazioni differenziali complete sono accoppiate per determinare la risposta dell’oscillatore multiplo lineare si addotta la tecnica della sovrapposizione modale che vale esclusivamente per i sistemi lineari e permette di trasformare l’equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali complete accoppiate ad un sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate. Con questa tecnica si passa quindi da un problema nel quale bisogna determinare la risposta di un oscillatore multiplo lineare a n gradi di libertà dinamici ad un problema nel quale bisogna determinare le risposte di n oscillatori semplici lineari. La tecnica della sovrapposizione modale funziona però esclusivamente se la matrice di dissipazione modale presenta forma diagonale. Se la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale per adottare la tecnica della sovrapposizione modale risulta essere necessario costruire una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale utilizzando uno dei seguenti metodi: ƒ metodo di Rayleigh; ƒ metodo di Caughey-Kelly. Si parla di smorzamento viscoso classico quando la matrice di dissipazione modale reale presenta forma diagonale, mentre si parla di smorzamento viscoso alla Rayleigh o Caughey-Kelly quando la matrice di dissipazione modale reale non presenta forma diagonale e si costruisce una matrice di dissipazione modale apposita di forma diagonale con il metodo di Rayleigh o Caughey-Kelly. - 42 -

7.3.1 - SMORZAMENTO VISCOSO CLASSICO

Per un oscillatore multiplo lineare la matrice di dissipazione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico risulta essere: 0 0 0 ⎤ ⎡2ξ1ω1 ⎢ 0 2ξ 2 ω 2 0 0 ⎥⎥ * T ⎢ C =Φ CΦ = . ⎢ 0 0 ... 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 2ξ n ω n ⎦ ⎣ 0 Secondo la tecnica della sovrapposizione modale la risposta di un oscillatore multiplo lineare può essere espressa come il prodotto della matrice modale per il vettore delle coordinate modali: n

n

i =1

i =1

(

)

u (t ) = ∑ ( u i (t )) = ∑ φ i z i (t ) = Φ z(t ) .

Applicando la tecnica della sovrapposizione modale in condizioni di smorzamento viscoso classico ad un oscillatore multiplo lineare con movimento della base si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali complete disaccoppiate: .. . ⎛ .. ⎞ M u (t ) + C u (t ) + K u (t ) = − M ⎜ u g (t ) ⋅ r ⎟ ⎝ ⎠ n

[

]

u (t ) = ∑ φ z i (t ) = Φ z (t ) i =1 n

(i )

. . ⎡ (i ) . ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ n .. .. ⎡ ( i ) .. ⎤ u (t ) = ∑ ⎢φ z i (t )⎥ = Φ z(t ) ⎦ i =1 ⎣ .. . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ .. ⎞ M ⎜ Φ z(t )⎟ + C ⎜ Φ z(t )⎟ + K ( Φ z(t )) = − M ⎜ u g (t ) ⋅ r ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

..

.

..

M Φ z(t ) + C Φ z(t ) + K Φ z(t ) = − M u g (t ) ⋅ r ..

.

..

Φ M Φ z(t ) + Φ C Φ z(t ) + Φ K Φ z(t ) = − Φ M r ⋅ u g (t ) T

..

T

T

.

T

..

I z(t ) + C z(t ) + Ω z(t ) = − Γ ⋅ u g (t ) *

T

Γ ≡ Φ M r ≡ vettore dei fattori di partecipazione ..

.

..

z ( t ) + C z ( t ) + Ω z (t ) = − Γ ⋅ u g ( t ) *

⎧ G1 ⎫ ⎪G ⎪ ⎪ ⎪ Γ = ⎨ 2⎬ ⎪ ... ⎪ ⎪⎩G n ⎪⎭ ⎡m1 0 0 0 ⎤ ⎧ 1 ⎫ ⎧ m1 ⎫ ⎢ 0 m 0 0 ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪m ⎪ 2 ⎥ ⎪⎨ ⎪⎬ = ⎪⎨ 2 ⎪⎬ Mr=⎢ ⎢0 0 ... 0 ⎥ ⎪...⎪ ⎪ ... ⎪ ⎥ ⎢ 0 0 m n ⎦ ⎪⎩ 1 ⎪⎭ ⎪⎩m n ⎪⎭ ⎣0 - 43 -

moltiplicando per Φ

T

⎡ φ1(1) ⎢ ( 2) φ T Φ Mr=⎢ 1 ⎢ ... ⎢ (n ) ⎣⎢φ1

T

Γ=Φ Mr

φ (21) φ (22) ... φ (2n )

... φ (n1) ⎤ ⎧ m1 ⎫ ⎧ φ1(1) m1 + φ (21) m 2 + ... + φ (n1) m n ⎫ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ... φ (n2 ) ⎥ ⎪m 2 ⎪ ⎪ φ1( 2) m1 + φ (22 ) m 2 + ... + φ (n2) m n ⎪ ⎬ ⎨ ⎬=⎨ ... ... ... ⎥ ⎪ ... ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ... φ (nn ) ⎦⎥ ⎪⎩m n ⎪⎭ ⎪⎩φ1( n ) m1 + φ (2n ) m 2 + ... + φ (nn ) m n ⎪⎭

⎧ G1 ⎫ ⎧ φ1(1) m1 + φ (21) m 2 + ... + φ (n1) m n ⎫ ⎪ ⎪G ⎪ ⎪ ( 2 ) ( 2) ( 2) ⎪ ⎪ ⎪ φ m + φ 2 m 2 + ... + φ n m n ⎪ → ⎨ 2⎬ = ⎨ 1 1 ⎬ ... ⎪ ⎪ ... ⎪ ⎪ ⎪⎩G n ⎪⎭ ⎪⎩φ1( n ) m1 + φ (2n ) m 2 + ... + φ (nn ) m n ⎪⎭

→ G i = ∑ (φ (ji ) m j ) n

j=1

. .. ⎧ .. 2 z 1 (t ) + 2ξ1ω1 z1 (t ) + ω1 z1 (t ) = − G1 u g 1 (t ) ⎪ .. . .. ⎪z 2 (t ) + 2ξ ω z 2 (t ) + ω 2 z (t ) = − G u g 2 (t ) 2 2 2 2 2 ⎨ ⎪... . .. ⎪ .. 2 ( ) ( ) ( ) z t + 2 ξ ω z t + ω z t = − G u n n n n n n n g n (t ) ⎩ ..

.

..

z i (t ) + 2ξ i ωi z i (t ) + ωi2 z i (t ) = − G i u g i (t )

con i = 1, 2, ..., n .

Il vettore dei fattori di partecipazione rappresenta il contributo di partecipazione al movimento della base di ciascuno modo di vibrare dell’oscillatore multiplo lineare. La risposta di un oscillatore multiplo lineare risulta essere influenzata essenzialmente dai primi modi di vibrare di tale oscillatore. La tecnica del troncamento modale prevede di ridurre l’onere computazionale associato al calcolo della risposta di un oscillatore multiplo lineare troncando la risposta teorica dell’oscillatore multiplo lineare in corrispondenza dei termini relativi ai soli primi modi di vibrare dell’oscillatore stesso. Se invece di conoscere l’accelerogramma della base si conoscesse lo spettro di risposta in termini di pseudoaccelerazione dell’oscillatore multiplo lineare si avrebbe quanto segue: pseudoaccelerazione relativa al modo di vibrare i-esimo: Sa i G i ; spostamento spettrale relativo al modo di vibrare i-esimo: S G Sd i = a i 2 i ; ωi ampiezza massima relativa al modo di vibrare i-esimo: S G z i max = Sd i = a i 2 i ; ωi risposta massima dell’oscillatore relativa al modo di vibrare i-esimo: (i ) (i ) Sa i G i . u i max = φ z i max = φ ωi2

- 44 -

8 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO

Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo significa dividere in passi temporali l’intervallo temporale sul quale si vuole analizzare l’equazione del moto e calcolare la risposta dell’oscillatore su ciascun passo temporale in modo approssimato utilizzando uno dei metodi numerici passo-passo forniti dall’analisi numerica. Generalmente l’ampiezza Δt dei passi temporali viene presa uguale per tutti i passi di uno stesso intervallo temporale, ma viene scelta in funzione del metodo numerico passo-passo da utilizzare. Risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo risulta essere necessario se l’oscillatore presenta delle proprietà non lineari, ma può essere vantaggioso anche se l’oscillatore presenta esclusivamente proprietà lineari.

8.1 - EQUAZIONE INCREMENTALE LINEARIZZATA DEL MOTO Scrivendo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo con il metodo dell’equilibrio diretto a inizio e fine di ogni passo temporale si ottengono le seguenti due espressioni: (FI )i−1 + (FD )i−1 + (FS )i−1 = (F)i−1

(FI )i + (FD )i + (FS )i = (F)i .

L’equazione incrementale del moto di un oscillatore multiplo viene ottenuta per ciascun passo temporale facendo la differenza tra le due espressioni sopra scritte:

ΔFI + ΔFD + ΔFS = ΔF con ΔFI = (FI )i − (FI )i −1 ΔFD = (F D )i − (F D )i −1 ΔFS = (FS )i − (FS )i −1 ΔF = (F)i − (F)i −1 . L’equazione incrementale linearizzata del moto per un oscillatore multiplo viene ottenuta per ciascun passo temporale dall’equazione incrementale del moto considerando i parametri propri dell’oscillatore costanti all’interno di ciascun passo temporale e pari al loro valore di inizio passo: ..

.

M Δ u + Ci −1 Δ u + K i −1 Δu = ΔF ⎛ d F ⎞ .. .. con M Δ u = ⎜ ..I ⎟ Δ u ≅ ΔFI ⎜ ⎟ ⎝ du ⎠ ⎛ dF ⎞ . . Ci −1 Δ u = ⎜ .D ⎟ Δ u ≅ ΔFD ⎜ ⎟ ⎝ d u ⎠i −1 ⎛ dF ⎞ K i −1 Δu = ⎜⎜ S ⎟⎟ Δu ≅ ΔFS . ⎝ d u ⎠ i −1

- 45 -

8.2 - METODI NUMERICI PASSO-PASSO Per risolvere numericamente passo-passo l’equazione del moto di un oscillatore multiplo si utilizza principalmente un metodo numerico passo-passo detto metodo di Wilson.

8.2.1 - METODO DI WILSON

Il metodo di Wilson prevede di assumere all’interno di ciascun passo temporale una accelerazione che presenta un andamento lineare definito su un passo temporale esteso di ampiezza Δt ·θ. Il metodo di Wilson è un metodo incondizionatamente stabile per θ ≥ 1.37.

In corrispondenza di un istante τ interno ad un passo temporale esteso (0 < τ < Δt ·θ) si ha quanto segue: ∧ ..

Δu u (τ ) = u i −1 + τ Δt ⋅ θ ..

..

∧ ..

Δu 2 u (τ ) = u i −1 + ∫ u (τ ) dτ = u i −1 + u i −1 τ + τ i −1 2 Δt ⋅ θ .

.

τ

..

.

..

..

∧ ..

u Δu 3 u (τ ) = u i −1 + ∫ u (τ ) dτ = u i −1 + u i −1 τ + i −1 τ 2 + τ . i −1 2 6 Δt ⋅ θ In corrispondenza di un istante τ coincidente con la fine di un passo temporale esteso (τ = Δt ·θ) si ha quanto segue: τ

..

..

.

.

∧ ..

u (Δt ⋅ θ ) = u i −1 + Δ u

∧ ..

Δu (Δt ⋅ θ ) u (Δt ⋅ θ ) = u i −1 + u i −1 (Δt ⋅ θ ) + 2 .

.

..

..

∧ ..

u Δu 2 (Δt ⋅ θ )2 . u (Δt ⋅ θ ) = u i −1 + u i −1 (Δt ⋅ θ ) + i −1 (Δt ⋅ θ ) + 2 6 Esprimendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale esteso in funzione dell’incremento di spostamento sul passo temporale esteso si ottiene quanto segue: ∧ .. ∧ .. 6 6 . Δu = Δ u − u − 3 u (Δt ⋅ θ ) i−1 i−1 (Δt ⋅ θ )2 . ∧ . (Δt ⋅ θ ) u.. . 3 ∧ Δu = Δ u − 3 u i −1 − i −1 (Δt ⋅ θ ) 2 Sostituendo gli incrementi di accelerazione e velocità sul passo temporale esteso sopra scritti nell’equazione incrementale linearizzata del moto si giunge ad avere l’equazione pseudostatica .

- 46 -

incrementale linearizzata del moto e questa equazione risulta essere funzione esclusivamente dell’incremento di spostamento sul passo temporale esteso: ∧ .. . ⎞ ⎛ 6 ⎛ 3 ∧ (Δt ⋅ θ ) u.. ⎞⎟ + K Δ∧ u = Δ∧ F 6 . ⎟ ⎜ M ⎜⎜ Δ u u 3 u C Δ u 3 u + − − − − − − − i 1 i 1 i 1 i −1 ⎟ 2 ⎟ i −1 i −1 ⎜ (Δt ⋅ θ ) 2 ⎠ ⎝ (Δt ⋅ θ ) ⎠ ⎝ (Δt ⋅ θ ) *

∧

∧

K Δu = ΔF

*

*

con K = M

6 3 + C i −1 +K 2 (Δt ⋅ θ ) i−1 (Δt ⋅ θ )

.. ⎛ 6 . ⎞ (Δt ⋅ θ ) u.. ⎞ + Δ∧ F . ⎛ . Δ F = M ⎜⎜ u i −1 + 3 u i −1 ⎟⎟ + Ci −1 ⎜ 3 u i −1 + i −1 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ (Δt ⋅ θ ) ⎠ L’incremento di spostamento sul passo temporale esteso viene calcolato come segue: *

∧

( )

∧

Δu = K

∧ * −1

*

ΔF .

Calcolato l’incremento di spostamento sul passo temporale si possono ricavare gli incrementi di accelerazione, velocità e spostamento sul passo temporale originario: ∧ .. 6 . 6 Δu = Δ u − u − 3 u i − 1 i −1 (Δt ⋅ θ ) (Δt ⋅ θ )2 ∧ ..

..

Δu (Δt ) Δ u = u i −1 (Δt ) + 2 .

∧ ..

Δu → Δu = θ ..

..

..

..

u Δu 2 (Δt )2 . Δ u = u i −1 (Δt ) + i −1 (Δt ) + 2 6 Calcolati gli incrementi di velocità e spostamento sul passo temporale originario si possono ricavare immediatamente la velocità e lo spostamento alla fine del passo temporale originario: .

.

.

.

u i = u i −1 + Δ u

u i = u i −1 + Δu . L’accelerazione alla fine del passo temporale originario viene invece ricavata inserendo la velocità e lo spostamento alla fine del passo temporale originario nell’equazione incrementale del moto: ..

ui = M

−1

[(F)i − (FD )i − (FS )i ]

.

8.3 - ERRORI COMPUTAZIONALI L’accuratezza di un metodo numerico passo-passo dipende essenzialmente dall’ampiezza scelta per il passo temporale di integrazione numerica. L’ampiezza del passo temporale di integrazione numerica deve infatti essere sufficientemente piccola da consentire una buona rappresentazione dei seguenti tre fattori: 1) storia di carico; 2) proprietà non lineari dei materiali; 3) periodo naturale di vibrazione della struttura.

- 47 -

Per storie di carico non particolarmente complesse le proprietà non lineari dei materiali non costituiscono un fattore decisivo nella scelta del passo temporale di integrazione numerica che quindi viene scelto solo in funzione del periodo naturale di vibrazione della struttura. Generalmente si assume un passo temporale di integrazione numerica pari a: T Δt ≤ min . 10 Una scelta poco idonea del passo temporale di integrazione numerica porta alla crescita di quegli errori computazionali intrinseci di tutte le soluzioni numeriche che amplificano nelle soluzioni numeriche i seguenti fenomeni privi di alcuna origine fisica: ƒ decadimento dell’ampiezza di oscillazione (“numerical damping”); ƒ allungamento o accorciamento del periodo di oscillazione.

- 48 -

- 49 -

9 - ANALISI MODALE CON ITERAZIONI MATRICIALI

Un problema agli autovettori ed autovalori generico può essere espresso nella seguente forma: con A = matrice quadrata generica; Aû=λû λ = autovalore; û = autovettore. Supponendo che la risposta di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso sia di tipo sinusoidale l’equazione del moto risulta fornire un problema agli autovalori ed autovettori detto problema dell’analisi modale (o problema delle vibrazioni) nel quale gli autovalori sono le frequenze circolari naturali e gli autovettori sono i modi di vibrare: eq. caratteristica: K − ω2 M û = 0

(

Dû -1

(i )

=

(i )

)

1 (i ) û ωi2 (i )

D û = ωi2 û (forma normale) . Dato che il prodotto di matrici simmetriche non genera necessariamente una matrice simmetrica si ottiene che la matrice dinamica di un oscillatore multiplo lineare pur essendo data dal prodotto di due matrici simmetriche in generale risulta essere una matrice quadrata non simmetrica: −1 D≡K M . Il problema dell’analisi modale di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso può essere affrontato con delle procedure matriciali iterative molto più efficienti della procedura classica basata sullo sviluppo del determinante della matrice presente nell’equazione caratteristica. Queste procedure matriciali iterative sono riassumibili nei seguenti metodi operativi: ƒ metodo di Jacobi; ƒ metodo di Stodola; ƒ metodo di Rayleigh. L’accuratezza con la quale questi metodi operativi forniscono le frequenze circolari naturali risulta essere tanto maggiore quanto più gli autovalori sono elevati. Per questo motivo il problema dell’analisi modale viene considerato in termini di matrice dinamica per la determinazione della frequenza fondamentale ed in forma normale per la determinazione della frequenza più elevata. Si osserva inoltre che i metodi operativi sopra elencati risultano essere estendibili anche alla tecnica della sovrapposizione modale per un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni forzate ed in assenza o presenza di smorzamento viscoso. Dato un problema agli autovalori ed autovettori generico risulta valere quanto segue: ¬ le matrici reali simmetriche presentano autovalori ed autovettori reali; ¬ le matrici reali non simmetriche e le matrici complesse presentano autovalori ed autovettori complessi; ¬ una matrice reale diagonale presenta i propri autovalori sulla diagonale e gli autovettori ad essi associati risultano essere di modulo unitario; ¬ piccole perturbazioni negli elementi di una matrice reale simmetrica inducono solo piccole perturbazioni negli autovalori di tale matrice;

- 50 -

¬ piccole perturbazioni negli elementi di una matrice reale non simmetrica o una matrice complessa possono indurre grandi perturbazioni negli autovalori di tale matrice.

9.1 - METODO DI JACOBI Il metodo di Jacobi è un metodo che prevede di determinare tutti gli autovalori ed autovettori della matrice associata ad un problema agli autovalori ed autovettori applicando a tale matrice una successione di trasformazioni ortogonali che la rendono diagonale senza alterarne gli autovalori. Un importante teorema dell’algebra lineare afferma che data una matrice A reale simmetrica gli autovalori della matrice A sono reali ed esiste una matrice R ortogonale tale che la trasformazione RT A R fornisce una matrice diagonale con gli autovalori della matrice A sulla diagonale. Si osserva che la matrice ortogonale R generalmente risulta essere una matrice di rotazione. Il metodo di Jacobi si basa sul teorema sopra enunciato e prevede di diagonalizzare la matrice A di un problema agli autovalori ed autovettori usando la seguente procedura matriciale iterativa: 1) Si annullano iterativamente uno alla volta gli elementi non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi adottando delle trasformazioni ortogonali specifiche per ciascun elemento non diagonale della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi. L’elemento non diagonale della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi da annullare ad ogni iterazione viene scelto procedendo in ordine per righe all’interno della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi (anche se sarebbe meglio individuare l’elemento con massimo valore assoluto all’interno della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi). La trasformazione ortogonale (k+1)-esima che consente di annullare l’elemento (i,j) non diagonale della matrice A nel suo stadio evolutivo k-esimo risulta essere: A

( k +1)

=R

(k ) T

(k )

A R

(k )

(k )

con A = matrice A nel suo stadio evolutivo k-esimo A

( k +1)

= matrice A nel suo stadio evolutivo (k+1)-esimo

⎡ ⎢ ⎢ ⎢i (k ) ⎢ R =⎢ ⎢j ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 0 0 0 0

i 0 cos(α ) 0 sen (α ) 0

α tale che: α =

π 4

0 0 1 0 0

j 0 − sen (α ) 0 cos(α ) 0

0 0 0 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = matrice di rotazione k-esima ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

per A i(,ki ) = A (jk, j)

tan (2α ) =

2 A i(,kj)

per A i(,ki ) ≠ A (jk, j) . A i(,ki ) − A (jk, j) 2) Si controlla che durante la procedura iterativa di annullamento degli elementi non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi alcuni valori non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi che sono stati annullati in precedenza non tornino ad essere - 51 -

diversi da zero e si continua a ripetere la procedura iterativa di annullamento degli elementi non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi fino a quando non si ottiene una matrice diagonale. Supponendo che per ottenere una matrice diagonale sia necessario eseguire (m+1) iterazioni si ottiene quanto segue: (1) T A =R AR (2 )

(1) T

(1)

(1)

(1) T

T

(1)

A =R A R =R R ARR ….. ( m +1) (m ) T (m ) (m ) (m ) T T (m ) *T * A =R A R =R ... R A R ... R = R A R ⇒

A

( m +1)

*T

=R AR

con R

*T

=R

*

*

(m ) T

R = R ... R

(R

*T

*

... R

(m )

)

T

= matrice modale (matrice degli autovettori)

R =I .

Per controllare i valori assunti dagli elementi diagonali e non diagonali della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi bisogna eseguire alla fine di ogni trasformazione ortogonale i seguenti test: ƒ test di accoppiamento (o di diagonalizzazione): A i2, j A i ,i A j, j ƒ

≤ε

con i, j = 1, 2, ..., n ;

test di convergenza:

A i(,ki ) − A i(,ki −1) A i(,ki −1)

≤ε

con i = 1, 2, ..., n .

Il test di accoppiamento (o di diagonalizzazione) della matrice A nei suoi diversi stadi evolutivi viene eseguito in quanto gli elementi non diagonali della matrice A nel suo stadio evolutivo finale non devono necessariamente essere nulli ma basta che siano trascurabilmente piccoli rispetto ai valori diagonali della matrice A nel suo stadio evolutivo finale.

9.2 - METODO DI STODOLA Il metodo di Stodola è un metodo che prevede di determinare le frequenze circolari naturali ed i modi di vibrare associati al problema dell’analisi modale di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso usando la seguente procedura matriciale iterativa: 1) Si assume un primo vettore di spostamento unitario di tentativo: T u1 (t ) = {1, 1, ..., 1} . 2) Si costruiscono iterativamente altri vettori di spostamento moltiplicando il precedente per la matrice dinamica: u 2 (t ) = D u1 (t ) ….. - 52 -

u k (t ) = D u k −1 (t ) .

3) Moltiplicando un generico vettore di spostamento per la matrice dinamica si individua una trasformazione lineare che trasforma il generico vettore di spostamento originario in un altro vettore ad esso proporzionale. Inoltre considerando ciascun generico vettore di spostamento come una combinazione lineare dei modi di vibrare si ottiene: (1) (2 ) (i ) (n ) u1 (t ) = c1 û + c 2 û + ... + c i û + ... + c n û u 2 (t ) = D u 1

(

(1)

(2 )

(1)

+ c2 D û

= D c1 û + c 2 û = c1 D û = c1

(i )

+ ... + ci û + ... + c n û (2 )

+ ... + c i D û

(i )

(n )

)

+ ... + c n D û

(n )

1 (1) 1 (2 ) 1 (i ) 1 (n ) û + c 2 2 û + ... + c i 2 û + ... + c n 2 û 2 ω1 ω2 ωi ωn

u 3 (t ) = D u 2 (t ) = D D u1 (t )

[ ( ( ) ( ) + ... + c û ( ) + ... + c û ( ) )] () ( ) () ( ) = D [c D û + c D û + ... + c D û + ... + c D û ] 1

= D D c1 û + c 2 û

2

1

1

i

n

i

n

2

i

2

n

i

(1)

= c1 D D û + c 2 D D û

(2 )

n

(i )

+ ... + ci D D û + ... + c n D D û

(n )

1 (n ) 1 (1) 1 (2 ) 1 (i ) û + c 2 D 2 û + ... + c i D 2 û + ... + c n D 2 û 2 ω1 ω2 ωi ωn 1 1 1 1 (1) (2 ) (i ) (n ) = c1 2 D û + c 2 2 D û + ... + c i 2 D û + ... + c n 2 D û ω1 ω2 ωi ωn 1 1 (1) 1 1 (2 ) 1 1 (i ) 1 1 (n ) = c1 2 2 û + c 2 2 2 û + ... + c i 2 2 û + ... + c n 2 2 û ω2 ω2 ωi ωi ωn ωn ω1 ω1 = c1 D

….. . 4) Con il progredire delle iterazioni sopra descritte i vettori di spostamento tendono a divenire paralleli al primo modo di vibrare. Risulta quindi possibile determinare il primo modo di vibrare (anche normalizzato) e la relativa frequenza circolare naturale fondamentale: (1) (1) (1) lim u k = û e û → φ k →∞

lim

k →∞

uk u k +1

= ω12 .

5) I modi di vibrare successivi e le relative frequenze circolari naturali vengono determinate imponendo ai modi di vibrare la condizione di ortogonalità rispetto alla matrice di massa con i modi i vibrare precedenti e operando in modo analogo a quanto fatto nei punti 2), 3) e 4) per il primo modo di vibrare ma sostituendo alla matrice dinamica il suo prodotto per una matrice detta sweeping matrix: II modo di vibrare: φ

(1) T

(1)

M u k (t ) = 0 (1) (1) T

S ≡ I−φ φ

M ≡ sweeping matrix

u kc (t ) = S u k (t ) (1)

= I u k (t ) − φ φ

(1) (1) T

M u k (t ) - 53 -

= u k (t ) − φ φ

M u k (t )

= u k (t ) − φ φ

M c1 φ + c 2 φ

= u k (t ) − φ φ

M c1 φ

(1) (1) T

(1) (1) T (1) (1) T

= u k (t ) − c1 φ

(1)

= u k (t ) − c1 φ

(1)

(

(φ( )

1 T

(1)

(2 )

(i )

+ ... + ci φ + ... + c n φ

(n )

)

(1)

Mφ

(1)

) ( ()

)

u1 (t ) → u1c (t ) = S u1 (t ) → u 2 (t ) = D u1c (t ) = D S u1 (t ) = D S u1 (t ) (1)

1

(1)

u k (t ) → u k +1 (t ) = D S u k (t ) . (1)

III modo di vibrare: φ

(1) T

(2 )

S

M u k (t ) = 0 e φ (1) (1) T

≡ I−φ φ

(2 ) T

M u k (t ) = 0

(2 ) (2 ) T

M−φ φ

M ≡ sweeping matrix

u kc (t ) = S u k (t ) (2 )

= I u k (t ) − φ φ

(1) (1) T

M u k (t ) − φ φ

(2 ) (2 ) T

= u k (t ) − φ φ

M u k (t ) − φ φ

= u k (t ) − φ φ

M c1 φ + c 2 φ

(1) (1) T (1) (1) T

(2 ) (2 ) T

−φ φ

(

(2 ) (2 ) T

(

(1)

(1)

M c1 φ + c 2 φ

= u k (t ) − φ φ

(1) (1) T

= u k (t ) − c1 φ

(1)

(1)

(2 )

(2 )

1 T

Mφ

= u k (t ) − c1 φ − c 2 φ (1)

(1)

M u k (t ) (i )

+ ... + ci φ + ... + c n φ (i )

+ ... + ci φ + ... + c n φ

(2 ) (2 ) T

M c1 φ − φ φ

(φ( )

M u k (t )

)− c

2

φ

(2 )

M c2 φ

(φ( )

2 T

(n )

(n )

)

)+

(2 )

Mφ

(2 )

)

(2 )

(()

)

u1 (t ) → u1c (t ) = S u1 (t ) → u 2 (t ) = D u1c (t ) = D S u1 (t ) = D S u1 (t ) (2 )

2

(2 )

u k (t ) → u k +1 (t ) = D S u k (t ) . (2 )

Anche per il primo modo di vibrare e la relativa frequenza circolare naturale fondamentale si può pensare di operare con una matrice data dal prodotto della matrice dinamica per una matrice detta sweeping matrix solo che in questo caso la sweeping matrix risulta essere la matrice identità: (0 )

S

=I

u kc (t ) = S u k (t ) (0 )

= I u k (t )

= u k (t )

u k (t ) → u k +1 (t ) = D S u k (t ) . (0 )

- 54 -

9.3 - METODO DI RAYLEIGH La relazione del quoziente di Rayleigh per il calcolo della frequenza circolare naturale i-esima di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso assume la forma: ωi2 =

Infatti:

û û

(i )T (i )T

Kû

(i )

Mû

(i )

.

I vettori di spostamento e di velocità che corrispondono al modo di vibrare i-esimo di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso sono: (i ) u i (t ) = û sen (ω i t ) .

u i (t ) = ωi û cos(ωi t ) . (i )

Le energie potenziale e cinetica del moto di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso valgono: 1 T Vi (t ) = ( u i (t )) K u i (t ) 2 T . 1⎛ . 1 ⎞ T Ti (t ) = ⎜ u i (t )⎟ M u i (t ) = ωi2 ( u i (t )) M u i (t ) . 2⎝ 2 ⎠ Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica (energia potenziale + energia cinetica) al moto di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso si ottiene: 1 1 T T Vi (t ) + Ti (t ) = (u i (t )) K u i (t ) + ωi2 (u i (t )) M u i (t ) = cost 2 2 T 1 (i ) ⎧ (i ) û Kû ⎪Vi (t ) = Vi max = 2 ⎨ ⎪⎩Ti (t ) = 0

( )

( )

1 2 (i ) T ⎧ (i ) Mû ⎪Ti (t ) = Ti max = ωi û 2 ⎨ ⎪⎩Vi (t ) = 0

⇒

Vi max = Ti max 1 (i ) T 1 (i ) (i ) T (i ) û K û = ωi2 û Mû 2 2 (i )T (i ) û Kû ωi2 = (i )T (i ) . û Mû

( )

( )

Il metodo di Rayleigh è un metodo che prevede di determinare le frequenze circolari naturali ed i modi di vibrare associati al problema dell’analisi modale di un oscillatore multiplo lineare in regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso usando la seguente procedura matriciale iterativa: 1) Si assume un modo di vibrare unitario di tentativo: (1) T û = {1, 1, ..., 1} .

- 55 -

2) Si calcola la frequenza circolare naturale associata al modo di vibrare unitario di tentativo con la relazione del quoziente di Rayleigh: (1) T (1) û Kû 2 ω1 = (1) T (1) . û Mû 3) Si determinano i vettori di spostamento, velocità ed accelerazione: (1) u (t ) = û sen (ω1t ) .

u (t ) = ω1 û cos(ω1t ) (1)

..

u (t ) = −ω12 û sen (ω1t ) . (1)

4) Si calcolano la forza di inerzia e la forza di inerzia massima: ..

FI = M u (t ) = − M ω12 û sen (ω1t ) (1)

(1)

F I max = − M ω12 û . 5) Si individua un nuovo modo di vibrare: (2 ) −1 û (t ) = K F I max =K

−1

(

(− M ω

2 1

û

(1)

(1)

)

)

= F − M ω12 û . 6) Si calcola la frequenza circolare naturale associata al nuovo modo di vibrare utilizzando la relazione del quoziente di Rayleigh: (2 ) T (2 ) û Kû 2 ω 2 = (2 ) T (2 ) û Mû () ( û = () (û

= = =

û

û

1 T

M

û û

T

T

( K F )M û

T

T

T

M F IMû T

T

T

T

M F Mû T

1

(1)

(1)

(1)

M F MFMû T

1

T

M F MFMû

(1) T

(1) T

T

M F

(1) T

(1) T

T

T

(1) T

û û

M F K FMû

(1) T

T

) ( ( )) F )M ( F M û )

1 T

(1)

(1)

M F MFMû

(1)

.

7) Si riprende dal punto 3) usando il modo di vibrare dell’iterazione precedente e si continua fino a quando la frequenza circolare naturale calcolata con il quoziente di Rayleigh non incomincia ad assumere un valore approssimativamente sempre uguale.

- 56 -

Capitolo 4 SISTEMI CONTINUI

-1-

1 - VIBRAZIONI FLESSIONALI IN TRAVI UNIFORMI

Lo studio delle vibrazioni flessionali in travi snelle uniformi può essere condotto analizzando le travi secondo il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli oppure secondo il modello comportamentale di Timoshenko. Il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli ipotizza che le sezioni trasversali di una trave rimangano sempre rette, mentre il modello comportamentale di Timoshenko assume che le sezioni trasversali di una trave possano ruotare a causa di deformazioni taglianti.

-2-

2 - VIBRAZIONI LIBERE

Una trave snella uniforme si trova in regime di vibrazioni libere quando vibra in assenza di alcuna forzante.

2.1 - MODELLO DI EULERO-BERNOULLI In regime di vibrazioni libere l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli risulta essere una equazione differenziale omogenea alle derivate parziali del quarto ordine:

∂ u (x , t ) ∂V(x , t ) ⎞ ⎛ V(x, t ) − ⎜ V(x , t ) + dx ⎟ − μ dx =0 ∂t 2 ∂x ⎝ ⎠ ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x , t ) dx + μ dx =0 ∂x ∂t 2 ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x, t ) +μ =0 ∂x ∂t 2 ∂ 2 u (x , t ) M (x , t ) = EJ = EJ u II (x , t ) 2 ∂x ∂M (x , t ) ∂ 3 u (x , t ) V(x, t ) = = EJ = EJ u III (x , t ) ∂x ∂x 3 ∂ 4 u (x , t ) ∂ 2 u (x , t ) EJ + μ =0 ∂x 4 ∂t 2 2

..

EJ u IV (x, t ) + μ u (x , t ) = 0 con E = modulo di elasticità normale o modulo di Young; J = momento di inerzia della sezione trasversale rispetto all’asse neutro baricentrico. In regime di vibrazioni libere la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e detto modo di vibrare per un termine f(t) dipendente solo dal tempo: ..

EJ u IV (x, t ) + μ u (x , t ) = 0

∂ 4 u (x , t ) ∂ 2 u (x , t ) + μ =0 ∂x 4 ∂t 2 ∂ 4 φ (x ) ∂ 2 f (t ) EJ f (t ) + μ φ (x ) = 0 ∂x 4 ∂t 2 ∂ 4 φ (x ) 1 ∂ 2 f (t ) 1 EJ + μ =0 ∂x 4 φ(x ) ∂t 2 f (t ) EJ

con la sostituzione u (x, t ) = φ(x ) ⋅ f (t ) dividendo per (φ(x ) ⋅ f (t )) -3-

EJ φ IV (x )

.. 1 1 + μ f (t ) =0 φ(x ) f (t ) ..

φ IV (x ) f (t ) EJ +μ =0 φ(x ) f (t ) ..

EJ φ IV (x ) f (t ) =− μ φ (x ) f (t ) ..

EJ φ IV (x ) f (t ) =− = ω 2 = cost μ φ (x ) f (t )

→

per avere una identità

EJ φ IV (x ) = ω2 μ φ(x ) φ IV (x ) − α 4 φ(x ) = 0

μω2 EJ Eq. caratteristica: con α 4 =

s4 − α4 = 0 s4 = α4 s1, 2 = ± α e s 3, 4 = ± iα

φ(x ) = C1e αx + C 2 e − αx + C 3e iαx + C 4 e − iαx

e ± αx = cosh (αx ) ± senh (αx ) e ± iαx = cos(αx ) ± i sen (αx ) φ(x ) = A sen(αx ) + B cos(αx ) + C senh(αx ) + D cosh(αx )

Formule di Eulero:

..

→

f (t ) − = ω2 f (t ) ..

f (t ) + ω 2 f (t ) = 0 Eq. caratteristica :

f ( t ) = C 5 e i ωt + C 6 e − i ωt

λ2 + ω 2 = 0 λ2 = −ω 2 λ1, 2 = ± iω

Formule di Eulero: e ± iωt = cos(ωt ) ± i sen (ωt ) f (t ) = E sen(ωt ) + F cos(ωt ) ⇒

u (x, t ) = φ(x ) ⋅ f (t ) .

2.1.1 - TRAVE IN DOPPIO APPOGGIO In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme in doppio appoggio risulta essere: ∞ ∞ ∞ ⎧ ⎛ nπ ⎞ ⎫ u (x, t ) = ∑ [u n (x, t )] = ∑ [φ n (x ) ⋅ f n (t )] = ∑ ⎨sen⎜ x ⎟ ⋅ [E n sen (ω n t ) + Fn cos(ω n t )]⎬ . ⎝ L ⎠ n =1 n =1 n =1 ⎩ ⎭

-4-

Infatti:

Le condizioni imposte dai vincoli sono: u (0, t ) = 0 e M (0, t ) = 0 u (L, t ) = 0 e M (L, t ) = 0 Dalle condizioni imposte dai vincoli discendono le seguenti condizioni sulla forma: φ(0) = 0 e φ II (0) = 0

φ(L ) = 0 e φ II (L ) = 0 Dalle condizioni sulla forma nell’estremo x = 0 si ottiene: ⎧φ(0) = 0 ⎨ II ⎩φ (0 ) = 0 ⎧B = 0 ⎨ ⎩D = 0 Dalle condizioni sulla forma nell’estremo x = L si ottiene: ⎧φ(L ) = 0 ⎨ II ⎩φ (L ) = 0 ⎧A sen (αL ) + C senh (αL ) = 0 ⎨ 2 2 ⎩− α A sen (αL ) + α C senh (αL ) = 0 ⎧A sen (αL ) + C senh (αL ) = 0 ⎨ ⎩− A sen (αL ) + C senh (αL ) = 0 ⎧A sen (αL ) + C senh (αL ) = 0 ⎨ ⎩2C senh (αL ) = 0 ⎧A sen (αL ) + C senh (αL ) = 0 ⎨ ⎩C = 0 ⎧A sen (αL ) = 0 ⎨ ⎩C = 0 La seguente equazione matriciale riassume quanto ottenuto fini a questo momento: 0 1 0 ⎡ ⎢ 0 −1 0 ⎢ ⎢ sen (αL ) 0 senh (αL ) ⎢ ⎣− sen (αL ) 0 senh (αL )

1⎤ ⎧A ⎫ ⎧0⎫ 1⎥⎥ ⎪⎪ B ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ 0⎥ ⎪ C ⎪ ⎪0⎪ ⎥ 0⎦ ⎪⎩D ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭

Risulta importante considerare quanto segue: A sen(αL ) = 0 → A ≠ 0 altrimenti si avrebbe come unica soluzione φ(x ) = 0 nπ → sen(αL ) = 0 → α = α n = con n = 1,2,... L Esistono quindi infiniti modi di vibrare del seguente tipo: ⎛ nπ ⎞ φ n (x ) = sen ⎜ x ⎟ con n = 1,2,... ⎝ L ⎠ La frequenza circolare naturale viene calcolata come segue: ⎧ 4 μω2 ⎪⎪α = EJ → ω = ω = n 2 π 2 EJ con n = 1,2,... ⎨ n 4 μ L n π ⎪α = ⎪⎩ L -5-

Si osserva che per determinare le frequenze circolari naturali ωn ed i rispettivi modi di vibrare φn(x) bisogna risolvere un problema agli autovalori ed autovettori nel quale gli autovalori sono le frequenze αn espresse in funzione delle frequenze circolari naturali ωn e gli autovettori sono i modi di vibrare φn(x).

Le infinite risposte in termini di spostamento trasversale che derivano dagli infiniti modi di vibrare presentano la forma seguente: u n ( x , t ) = φ n (x ) ⋅ f n ( t ) ⎛ nπ ⎞ = sen ⎜ x ⎟ ⋅ [E n sen (ω n t ) + Fn cos(ω n t )] con n = 1,2,... ⎝ L ⎠ La risposta totale in termini di spostamento trasversale risulta essere data dalla somma delle infinite risposte relative agli infiniti modi di vibrare: ∞

u (x , t ) = ∑ [u n (x , t )] n =1 ∞

= ∑ [φ n (x ) ⋅ f n (t )] n =1

∞ ⎧ ⎛ nπ ⎞ ⎫ = ∑ ⎨sen⎜ x ⎟ ⋅ [E n sen (ω n t ) + Fn cos(ω n t )]⎬ ⎝ L ⎠ n =1 ⎩ ⎭

Le costanti En e Fn vengono determinate per ogni frequenza circolare naturale sulla base delle condizioni iniziali del moto: ∞ ⎛ nπ ⎞ u (x,0 ) = u 0 (x ) → ∑ Fn sen ⎜ x ⎟ = u 0 (x ) ⎝ L ⎠ n =1 2 L⎡ ⎛ nπ ⎞⎤ Fn = ∫ ⎢u 0 (x ) sen⎜ x ⎟⎥ dx L 0⎣ ⎝ L ⎠⎦ ∞ . . ⎛ nπ ⎞ . u (x,0 ) = u 0 (x ) → ∑ E n ω n sen ⎜ x ⎟ = u 0 (x ) ⎝ L ⎠ n =1 2 L⎡. ⎛ nπ ⎞⎤ En = u 0 (x ) sen⎜ x ⎟⎥ dx ⎢ ∫ 0 ωn L ⎣ ⎝ L ⎠⎦ Si osserva che le costanti En e Fn di fatto sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni che descrivono le condizioni iniziali del moto. Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono -6-

un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa. I modi di vibrare di una trave snella uniforme in semplice appoggio coincidono con le deformate critiche della stessa trave soggetta ad instabilità flessionale per carico di punta. Infatti l’equazione del problema agli autovalori ed autovettori che si presenta nella determinazione delle frequenze circolari naturali ωn e dei modi di vibrare φn(x) risulta essere la stessa di quella che si presenta nella determinazione dei carichi critici di punta Pn e delle deformate critiche vn(x): per equilibrio nella configurazione deformata Pv = − EJv II derivando due volte l’equazione di equilibrio Pv II = − EJv IV 2 P P − v + EJv IV = 0 con la sostituzione v II = − v EJ EJ 2 P v IV − v=0 (EJ )2 v IV − α 4 v = 0 P2 4 . con α = (EJ )2 Relativamente a due modi di vibrare generici e distinti di una trave snella uniforme in semplice appoggio vale la seguente condizione di ortogonalità:

∫ [ μ φ (x ) φ (x )] dx = 0 L

0

Infatti:

n

con n , m = 1,2,... e n ≠ m .

m

La forza di inerzia per unità di lunghezza di una trave uniforme in corrispondenza del generico modo di vibrare n-esimo viene calcolata come il prodotto della massa unitaria per l’accelerazione: .. FIn (x, t ) = μ u n (x, t ) = μ ω 2n u n (x, t ) = μ ω 2n φ n (x ) f n (t ) = μ ω 2n φ n (x ) [E n sen (ω n t ) + Fn cos(ω n t )] ; Applicando il teorema di Betti sui lavori mutui relativamente a due modi di vibrare generici e distinti si ottiene quanto segue:

∫ [F ∫ [F

u m (x, t )] dx = ∫ [FIm u n (x, t )] dx

L

0 L

L

In

0

φ m (x ) f m (t )] dx = ∫ [FIm φ n (x ) f n (t )] dx L

In

0

0

f m (t ) ∫ [FIn φ m (x )] dx = f n (t ) ∫ [FImφ n (x )] dx f m (t ) ∫

L

L

0 L

0

0

[μ ω

2 n

f m (t ) f n (t ) ω 2n

]

φ n (x ) f n (t ) φ m (x ) dx = f n (t ) ∫

L 0

[μ ω

2 m

]

φ m (x ) f m (t ) φ n (x ) dx

2 ∫0 [ μ φ n (x ) φ m (x )] dx = f n (t ) f m (t ) ωm ∫0 [ μ φ m (x ) φ n (x )] dx L

L

∫ [ μ φ (x ) φ (x )] dx = ω ∫ [ μ φ (x ) φ (x )] dx (ω − ω ) ∫ [ μ φ (x ) φ (x )] dx = 0 ⇒ ∫ [ μ φ (x ) φ (x )] dx = 0 con n , m = 1,2,... e n ≠ m . ω2n

L

n

0

2 n

2 m

2 m

m

L

0

L

n

0

m

L

0

n

m

-7-

m

n

Si definisce massa modale la seguente grandezza:

Mn ≡ ∫

L 0

[ μ φ (x )]dx . 2 n

I modi di vibrare di una trave snella uniforme in semplice appoggio sono definiti a meno di una costante in quanto rappresentano esclusivamente delle forme di spostamento. Essi possono quindi essere normalizzati e generalmente la loro normalizzazione viene eseguita imponendo unitaria una tra le seguenti grandezze: ƒ lo spostamento trasversale in una ben determinata sezione trasversale; ƒ lo spostamento trasversale massimo; ƒ la massa modale. In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la forma: ..

f n (t ) + ω 2n f n (t ) = 0 Infatti:

con n = 1,2,... .

I modi di vibrare soddisfano l’equazione differenziale seguente: 4 φ IV n (x ) − α φ n (x ) = 0 μω2n EJ IV EJ φ n (x ) = ω 2n μ φ n (x ) con α 4 =

con n = 1,2,...

Sostituendo tale equazione differenziale nell’equazione differenziale del moto di un concio infinitesimo di trave si ottiene: ..

EJ u IV n ( x , t ) + μ u n (x , t ) = 0

∂ 4 u n (x , t ) ∂ 2 u n (x , t ) + μ =0 ∂x 4 ∂t 2 ∂ 4 φ n (x ) ∂ 2 f n (t ) ( ) EJ f t + μ φ n (x ) = 0 n ∂x 4 ∂t 2

EJ

..

EJ φ IV n (x ) f n (t ) + μ f n (t ) φ n (x ) = 0

(ω

2 n

)

..

μ φ n (x ) f n (t ) + μ f n (t ) φ n ( x ) = 0 ..

μ ω 2n φ n (x ) f n (t ) + μ f n (t ) φ n (x ) = 0

-8-

con n = 1,2,...

Se l’equazione differenziale ottenuta viene moltiplicata per φn(x) ed integrata in x si ottiene: L ⎡ .. L ⎤ 2 2 2 ( ) ( ) + μ ω φ x f t dx n n n ∫0 ∫0 ⎢⎣μ f n (t ) φ n (x )⎥⎦ dx = 0

[

]

ω 2n f n (t ) ∫

L 0

[ μ φ (x )]dx + f

..

2 n

(t ) ∫0 [ μ φ 2n (x )] dx = 0 L

n

..

ω 2n f n (t ) M n + f n (t ) M n = 0 ..

ω 2n f n (t ) + f n (t ) = 0 ..

f n (t ) + ω 2n f n (t ) = 0 .

⇒

In regime di vibrazioni libere ed in presenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la forma: ..

.

f n (t ) + 2ξ n ω n f n (t ) + ω 2n f n (t ) = 0

con n = 1,2,... .

Le sollecitazioni interne di momento flettente e taglio in una trave snella uniforme in doppio appoggio vengono calcolate con le seguenti equazioni: ∂ 2 u (x , t ) M (x, t ) = EJ = EJ u II (x , t ) 2 ∂x ∂M (x , t ) ∂ 3 u (x , t ) V(x, t ) = = EJ = EJ u III (x , t ) . ∂x ∂x 3 Si osserva che i modi di vibrare relativi alle frequenze circolari naturali più elevate inducono nella trave piccoli spostamenti trasversali ma elevate sollecitazioni interne di momento flettente e taglio.

2.1.2 - TRAVE INCASTRATA In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme incastrata risulta essere: ∞

∞

n =1

n =1

u (x , t ) = ∑ [u n (x , t )] = ∑ [φ n (x ) ⋅ f n (t )] .

Infatti:

Le condizioni imposte dai vincoli sono: u (0, t ) = 0 e M (0, t ) = 0 M (L, t ) = 0 e V (L, t ) = 0 Dalle condizioni imposte dai vincoli discendono le seguenti condizioni sulla forma: φ(0) = 0 e φ II (0) = 0

φ II (L ) = 0 e φ III (L ) = 0 Dalle condizioni sulla forma si ottiene: ⎧A = ... ⎪B = ... ⎪ ⎨ ⎪C = ... ⎪⎩D = ... Risulta importante considerare quanto segue: … -9-

Esistono quindi infiniti modi di vibrare del seguente tipo: φ n (x ) = ... con n = 1,2,... La frequenza circolare naturale viene calcolata come segue: ⎧ 4 μω 2 ⎪α = EJ → ω = ω n = ... con n = 1,2,... ⎨ ⎪α = ... ⎩ Si osserva che per determinare le frequenze circolari naturali ωn ed i rispettivi modi di vibrare φn(x) bisogna risolvere un problema agli autovalori ed autovettori nel quale gli autovalori sono le frequenze αn espresse in funzione delle frequenze circolari naturali ωn e gli autovettori sono i modi di vibrare φn(x).

Le infinite risposte in termini di spostamento trasversale che derivano dagli infiniti modi di vibrare presentano la forma seguente: u n (x, t ) = φ n (x ) ⋅ f n (t ) con n = 1,2,... La risposta totale in termini di spostamento trasversale risulta essere data dalla somma delle infinite risposte relative agli infiniti modi di vibrare: ∞

∞

n =1

n =1

u (x , t ) = ∑ [u n (x , t )] = ∑ [φ n (x ) ⋅ f n (t )] .

Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa. In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme incastrata assume la forma: ..

f n (t ) + ω 2n f n (t ) = 0 Infatti:

con n = 1,2,... .

I modi di vibrare soddisfano l’equazione differenziale seguente: 4 φ IV n (x ) − α φ n (x ) = 0 - 10 -

μω2n EJ IV EJ φ n (x ) = ω 2n μ φ n (x ) con α 4 =

con n = 1,2,...

Sostituendo tale equazione differenziale nell’equazione differenziale del moto di un concio infinitesimo di trave si ottiene: ..

EJ u IV n (x , t ) + μ u n (x , t ) = 0

∂ 4 u n (x , t ) ∂ 2 u n (x , t ) + μ =0 ∂x 4 ∂t 2 ∂ 4 φ n (x ) ∂ 2 f n (t ) ( ) EJ f t + μ φ n (x ) = 0 n ∂x 4 ∂t 2

EJ

..

EJ φ IV n (x ) f n (t ) + μ f n (t ) φ n (x ) = 0

(ω

2 n

)

..

μ φ n (x ) f n (t ) + μ f n (t ) φ n ( x ) = 0 ..

μ ω 2n φ n (x ) f n (t ) + μ f n (t ) φ n (x ) = 0

con n = 1,2,...

Se l’equazione differenziale ottenuta viene moltiplicata per φn(x) ed integrata in x si ottiene: L L ⎡ .. ⎤ 2 2 2 ( ) ( ) μ ω φ x f t dx + n n n ∫0 ∫0 ⎢⎣μ f n (t ) φ n (x )⎥⎦ dx = 0

[

]

ω 2n f n (t ) ∫

L 0

[ μ φ (x )]dx + f

..

2 n

(t ) ∫0 [ μ φ 2n (x )] dx = 0 L

n

..

ω 2n f n (t ) M n + f n (t ) M n = 0 ..

f n (t ) + ω 2n f n (t ) = 0 .

⇒

In regime di vibrazioni libere ed in presenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme incastrata assume la forma: ..

.

f n (t ) + 2ξ n ω n f n (t ) + ω 2n f n (t ) = 0

con n = 1,2,... .

Le sollecitazioni interne di momento flettente e taglio in una trave snella uniforme incastrata vengono calcolate con le seguenti equazioni: ∂ 2 u (x , t ) M (x, t ) = EJ = EJ u II (x , t ) 2 ∂x ∂M (x , t ) ∂ 3 u (x , t ) V(x, t ) = = EJ = EJ u III (x , t ) . 3 ∂x ∂x Si osserva che i modi di vibrare relativi alle frequenze circolari naturali più elevate inducono nella trave piccoli spostamenti trasversali ma elevate sollecitazioni interne di momento flettente e taglio.

- 11 -

2.2 - MODELLO DI TIMOSHENKO In regime di vibrazioni libere l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko risulta essere una equazione differenziale omogenea alle derivate parziali del secondo ordine:

∂V(x , t ) ⎞ ∂ 2 u (x , t ) ⎛ V(x, t ) − ⎜ V(x , t ) + dx ⎟ − μ dx =0 ∂x ∂t 2 ⎝ ⎠ ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x , t ) dx + μ dx =0 ∂x ∂t 2 ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x, t ) +μ =0 ∂x ∂t 2 GA ∂u (x , t ) GA I V(x, t ) = − =− u (x , t ) χ ∂x χ GA ∂ 2 u (x , t ) ∂ 2 u (x , t ) − + μ =0 χ ∂x 2 ∂t 2 −

.. GA II u (x, t ) + μ u (x , t ) = 0 χ

con G = modulo di elasticità tangenziale o modulo di Coulomb; A = area della sezione trasversale; χ = fattore di taglio. In regime di vibrazioni libere la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e detto modo di vibrare per un termine f(t) dipendente solo dal tempo: .. GA II − u (x , t ) + μ u (x, t ) = 0 χ

− −

GA ∂ 2 u (x , t ) ∂ 2 u (x , t ) + μ =0 χ ∂x 2 ∂t 2

GA ∂ 2 φ(x ) ∂ 2 f (t ) ( ) f t + μ φ(x ) = 0 χ ∂x 2 ∂t 2

GA ∂ 2 φ(x ) 1 ∂ 2 f (t ) 1 − +μ =0 χ ∂x 2 φ(x ) ∂t 2 f (t ) .. GA II 1 1 − φ (x ) + μ f (t ) =0 χ φ (x ) f (t )

con la sostituzione u (x, t ) = φ(x ) ⋅ f (t ) dividendo per (φ(x ) ⋅ f (t ))

..

GA φ II (x ) f (t ) − +μ =0 χ φ (x ) f (t ) ..

GA φ II (x ) f (t ) − =− χ μ φ (x ) f (t )

- 12 -

..

GA φ II (x ) f (t ) − =− = ω 2 = cost χ μ φ(x ) f (t )

→

per avere una identità

GA φ II (x ) = ω2 χ μ φ(x ) II φ (x ) + α 2 φ(x ) = 0 −

μω2 con α = GA χ Eq. caratteristica: 2

s2 + α2 = 0 s 2 = −α 2 s1, 2 = ± iα

φ(x ) = C1e iαx + C 2 e − iαx Formule di Eulero: e ± iαx = cos(αx ) ± i sen (αx ) φ(x ) = A sen(αx ) + B cos(αx ) ..

→

f (t ) − = ω2 f (t ) ..

f (t ) + ω 2 f (t ) = 0 Eq. caratteristica :

f (t ) = C 3e iωt + C 4 e − iωt

λ2 + ω 2 = 0 λ2 = −ω 2 λ1, 2 = ± iω

Formule di Eulero: e ± iωt = cos(ωt ) ± i sen (ωt ) f (t ) = C sen(ωt ) + D cos(ωt ) ⇒

u (x, t ) = φ(x ) ⋅ f (t ) .

2.2.1 - TRAVE INCASTRATA In regime di vibrazioni libere ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme in doppio appoggio risulta essere: ∞ ∞ ∞ ⎧ ⎛ π (2n − 1) x ⎞⎟ ⋅ [C n sen(ωn t ) + D n cos(ωn t )]⎫⎬ . u (x, t ) = ∑ [u n (x , t )] = ∑ [φ n (x ) ⋅ z n (t )] = ∑ ⎨cos⎜ ⎝ 2L ⎠ n =1 n =1 n =1 ⎩ ⎭

Infatti:

Le condizioni imposte dai vincoli sono: u (0, t ) = 0 V (L, t ) = 0 Dalle condizioni imposte dai vincoli discendono le seguenti condizioni sulla forma: φ(0) = 0 φ I (L ) = 0

- 13 -

Dalle condizioni sulla forma si ottiene: ⎧φ(0 ) = 0 ⎨ I ⎩φ (L ) = 0 ⎧B = 0 ⎨ ⎩A α cos(αL ) = 0 ⎧B = 0 ⎨ ⎩A cos(αL ) = 0 Risulta importante considerare quanto segue: A cos(αL ) = 0 → A ≠ 0 altrimenti si avrebbe come unica soluzione φ(x ) = 0 π → cos(αL ) = 0 → α = α n = (2n − 1) con n = 1,2,... 2L Esistono quindi infiniti modi di vibrare del seguente tipo: ⎛ π (2n − 1) x ⎞⎟ con n = 1,2,... φ n (x ) = cos⎜ ⎝ 2L ⎠ La frequenza circolare naturale viene calcolata come segue: ⎧ 4 μω2 ⎪α = GA ⎪ GA π → ω = ωn = (2n − 1) con n = 1,2,... χ ⎨ μ χ 2 L ⎪ π ⎪α = (2n − 1) 2L ⎩ Si osserva che per determinare le frequenze circolari naturali ωn ed i rispettivi modi di vibrare φn(x) bisogna risolvere un problema agli autovalori ed autovettori nel quale gli autovalori sono le frequenze αn espresse in funzione delle frequenze circolari naturali ωn e gli autovettori sono i modi di vibrare φn(x).

Le infinite risposte in termini di spostamento trasversale che derivano dagli infiniti modi di vibrare presentano la forma seguente: u n (x , t ) = φ n (x ) ⋅ f n (t ) ⎛ π (2n − 1) x ⎞⎟ ⋅ [C n sen (ω n t ) + D n cos(ω n t )] con n = 1,2,... = cos⎜ ⎝ 2L ⎠ La risposta totale in termini di spostamento trasversale risulta essere data dalla somma delle infinite risposte relative agli infiniti modi di vibrare: ∞

u (x , t ) = ∑ [u n (x , t )] n =1 ∞

= ∑ [φ n (x ) ⋅ f n (t )] n =1

- 14 -

∞ ⎧ ⎛ π (2n − 1) x ⎞⎟ ⋅ [C n sen(ωn t ) + D n cos(ωn t )]⎫⎬ = ∑ ⎨cos⎜ ⎝ 2L ⎠ n =1 ⎩ ⎭

Le costanti Cn e Dn vengono determinate per ogni frequenza circolare naturale sulla base delle condizioni iniziali del moto: ∞ ⎛ π u (x,0 ) = u 0 (x ) → ∑ D n cos⎜ (2n − 1) x ⎞⎟ = u 0 (x ) ⎝ 2L ⎠ n =1 2 L⎡ ⎛ π (2n − 1) x ⎞⎟⎤⎥ dx D n = ∫ ⎢u 0 (x ) cos⎜ 0 L ⎣ ⎝ 2L ⎠⎦ ∞ . . . ⎛ π u (x,0 ) = u 0 (x ) → ∑ C n ω n cos⎜ (2n − 1) x ⎞⎟ = u 0 (x ) ⎝ 2L ⎠ n =1 2 L⎡. ⎛ π ⎞⎤ ( Cn = u 0 (x ) cos⎜ 2n − 1) x ⎟⎥ dx ⎢ ∫ ωn L 0 ⎣ ⎝ 2L ⎠⎦ Si osserva che le costanti Cn e Dn di fatto sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni che descrivono le condizioni iniziali del moto. Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa.

- 15 -

3 - VIBRAZIONI FORZATE

Una trave snella uniforme si trova in regime di vibrazioni forzate quando vibra in presenza di una forzante.

3.1 - MODELLO DI EULERO-BERNOULLI In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli risulta essere una equazione differenziale completa alle derivate parziali del quarto ordine: ∂V(x , t ) ⎞ ∂ 2 u (x , t ) ⎛ V (x , t ) − ⎜ V (x , t ) + dx ⎟ + p(x, t ) dx − μ dx =0 ∂x ∂t 2 ⎝ ⎠ ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x , t ) dx + μ dx = p(x, t ) dx ∂x ∂t 2 ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x , t ) +μ = p (x , t ) ∂x ∂t 2 ∂ 2 u (x , t ) M (x, t ) = EJ ∂x 2 ∂M (x , t ) ∂ 3 u (x , t ) V (x , t ) = = EJ ∂x ∂x 3 ∂ 4 u (x, t ) ∂ 2 u (x, t ) EJ +μ = p (x , t ) ∂x 4 ∂t 2 ..

EJ u IV (x , t ) + μ u (x , t ) = p(x, t ) con E = modulo di elasticità normale o modulo di Young; J = momento di inerzia della sezione rispetto all’asse neutro baricentrico. In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Eulero-Bernoulli può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e detto modo di vibrare per un termine z(t) dipendente solo dal tempo: .. EJ u IV (x, t ) + μ u (x , t ) = p(x , t ) ⇒

u (x, t ) = φ(x ) ⋅ z(t ) .

- 16 -

3.1.1 - TRAVE IN DOPPIO APPOGGIO In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito ed in assenza di smorzamento viscoso la risposta totale in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme in doppio appoggio risulta essere: ∞

∞

n =1

n =1

u (x , t ) = ∑ [u n (x , t )] = ∑ [φ n (x ) ⋅ z n (t )] .

Rimane comunque importante osservare che anche se nella teoria i modi di vibrare associati ad una struttura sono infiniti, nella pratica solamente i primi modi di vibrare associati alla struttura offrono un contributo significativo alla risposta totale in termini di spostamento trasversale della struttura stessa. Si definisce forza modale la seguente grandezza:

Fn ≡ ∫

L 0

[p(x, t ) φ n (x )] dx

.

In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito ed in assenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la forma: ..

z n (t ) + ω 2n z n (t ) =

Infatti:

Fn Mn

con n = 1,2,... .

I modi di vibrare soddisfano l’equazione differenziale seguente: 4 φ IV n (x ) − α φ n (x ) = 0 μω2n EJ IV EJ φ n (x ) = ω 2n μ φ n (x ) con α 4 =

con n = 1,2,...

Sostituendo tale equazione differenziale nell’equazione differenziale del moto di un concio infinitesimo di trave si ottiene: ..

EJ u IV n (x , t ) + μ u n (x , t ) = 0

∂ 4 u n (x , t ) ∂ 2 u n (x , t ) + μ =0 ∂x 4 ∂t 2 ∂ 4 φ n (x ) ∂ 2 z n (t ) EJ z n (t ) + μ φ n (x ) = 0 ∂x 4 ∂t 2 EJ

..

EJ φ IV n (x ) z n (t ) + μ z n (t ) φ n (x ) = 0

(ω

2 n

)

..

μ φ n (x ) z n (t ) + μ z n (t ) φ n (x ) = 0 ..

μ ω 2n φ n (x ) z n (t ) + μ z n (t ) φ n (x ) = 0

con n = 1,2,...

Se l’equazione differenziale ottenuta viene moltiplicata per φn(x) ed integrata in x si ottiene: L L ⎡ .. L ⎤ 2 2 2 ( ) ( ) μ ω φ x z t dx + μ z n (t ) φ n (x ) dx = n n n ∫0 ∫0 ⎢⎣ ∫0 [ p(x, t ) φ n (x )] dx ⎥⎦

[

ω 2n z n (t ) ∫

]

L 0

[ μ φ (x )]dx + z 2 n

..

(t ) ∫0 [ μ φ 2n (x )]dx = ∫0 [ p(x, t ) φ n (x )] dx L

n

- 17 -

L

..

ω 2n z n (t ) + z n (t ) = Fn ..

z n (t ) + ω 2n z n (t ) =

⇒

Fn . Mn

In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito ed in presenza di smorzamento viscoso l’equazione modale del moto di una trave snella uniforme in doppio appoggio assume la forma: ..

.

z n (t ) + 2ξ n ω n z n (t ) + ω 2n z n (t ) =

Fn Mn

con n = 1,2,... .

Le sollecitazioni interne di momento flettente e taglio in una trave snella uniforme in doppio appoggio vengono calcolate con le seguenti equazioni: ∂ 2 u (x , t ) M (x, t ) = EJ = EJ u II (x , t ) 2 ∂x ∂M (x , t ) ∂ 3 u (x , t ) V(x, t ) = = EJ = EJ u III (x , t ) . ∂x ∂x 3 Si osserva che i modi di vibrare relativi alle frequenze circolari naturali più elevate inducono nella trave piccoli spostamenti trasversali ed elevate sollecitazioni interne di momento flettente e taglio.

3.2 - MODELLO DI TIMOSHENKO In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito l’equazione del moto del generico concio infinitesimo di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko risulta essere una equazione differenziale completa alle derivate parziali del secondo ordine: ∂V(x , t ) ⎞ ∂ 2 u (x , t ) ⎛ V (x , t ) − ⎜ V (x , t ) + dx ⎟ + p(x, t ) dx − μ dx =0 ∂x ∂t 2 ⎝ ⎠ ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x , t ) dx + μ dx = p(x, t ) dx ∂x ∂t 2 ∂V(x, t ) ∂ 2 u (x , t ) +μ = p (x , t ) ∂x ∂t 2 GA ∂u (x , t ) GA I V(x, t ) = − =− u (x , t ) χ ∂x χ

−

GA ∂ 2 u (x, t ) ∂ 2 u (x , t ) + μ = p(x , t ) χ ∂x 2 ∂t 2

−

.. GA II u (x , t ) + μ u (x, t ) = p(x, t ) χ

con G = modulo di elasticità tangenziale o modulo di Coulomb; A = area della sezione trasversale; χ = fattore di taglio.

- 18 -

In regime di vibrazioni forzate da un carico flessionale distribuito la risposta in termini di spostamento trasversale di una trave snella uniforme rappresentata con il modello comportamentale di Timoshenko può essere ottenuta dall’equazione del moto con il metodo di separazione delle variabili. Secondo questo metodo la risposta u(x,t) può essere vista come il prodotto di un termine φ(x) dipendente solo dalla posizione e detto modo di vibrare per un termine z(t) dipendente solo dal tempo: .. GA II u (x, t ) + μ u (x, t ) = p(x , t ) χ u (x, t ) = φ(x ) ⋅ z(t ) . ⇒

−

- 19 -