Diseños Factoriales

INTRODUCCION A LOS DISEÑOS FACTORIALES 1

SEMANA 7

Diseños Factoriales 2



Referencia en el Texto: Capítulo 5



Principios generales de los experimentos factoriales



El factorial con dos factores con efectos fijos



La ANOVA para factoriales



Extensiones a más de dos factores



Factores Cuantitativos y Cualitativos - curvas y

superficies de respuesta

Diseños Factoriales 3

El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés en todos los factores

En el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones

Los factores pueden ser cualitativos, cuantitativos o mixtos

Es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada factor.

Definiciones Básicas 4

Definición del efecto de un factor: El cambio en la respuesta promedio cuando el factor es cambiado de nivel bajo a alto.

Líneas paralelas

Efecto de la Interacción Baja

A

yA

yA

B

yB

yB

AB

52 20 2

40 52 2 30 52 2 30 40 2

20 30 21 2 20 40 11 2 1

El caso de la Interacción 5

Líneas se intersecan

A

yA

yA

B

yB

yB

AB

12 20 2

50 12 2 40 12 2 40 50 2

20 40 1 2 20 50 9 2 29

Efecto de A depende del nivel que se elige para el factor B

Efecto de la Interacción Alta

Diseños Factoriales (Ejemplo) 6

Problema 

Un vendedor de plástico para empaques flexibles esta ayudando a uno de sus clientes, el que reclama que el plástico que este le vende, no sella bien.



La forma de medir este sello es por medio de la fuerza requerida para separarlo, y las unidades con las que esto se mide son: gramos entre centímetros cuadrados.

Diseños Factoriales (Ejemplo) 7

El proceso de sellado

Diseños Factoriales (Ejemplo) 8



De acuerdo con su experiencia, el vendedor considera que el cierre de este material depende de las siguientes características: Temperatura  Presión  Grueso del plástico  Tiempo de sellado. 



Y ha definido las siguientes variables para realizar un experimento.

Diseños Factoriales (Ejemplo) 9

Ho: efecto de temperatura = 0 A esto se le conoce por matriz de arreglo H1: efecto de temperatura 0 factorial …

Variable respuesta: Factor

Y: fortaleza del sello (gr/cm2) Nivel alto (+1)

Nivel bajo (-1)

Temperatura (°C)

300

250

Presión (psi)

100

80

Grueso del material Pulgadas)

0.03

0.02

Tiempo sellado (s)

0.2

0.1

Diseños Factoriales (Ejemplo) 10

Se realiza el experimento en la planta del cliente y se obtuvo los siguientes datos Temperatura -1

Presión -1

Grosor -1

Tiempo -1

Fuerza 150

-1 -1

-1 -1

-1 1

1 -1

158 141

-1 -1 -1 -1 -1

-1 1 1 1 1

1 -1 -1 1 1

1 -1 1 -1 1

163 160 164 147 168

1 1 1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1

-1 -1 1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1

153 159 149 160 170 163 171

1

1

1

1

178

Promedio temperatura baja: 156.38

Promedio temperatura alta: 162.88

Diseños Factoriales (Ejemplo) 11

Diseños Factoriales (Ejemplo) Efecto de un factor: es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor.

153

El efecto de “Temperatura”= 162.88 – 156.38 = 6.5

149 160 170 163 171 178 162.88

Promedio

150 158 141 163

160 164 147

Temperatura baja

Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores

159

Temperatura alta

12

168 156.38

Promedio

Diseños Factoriales (Ejemplo) 13

Diseños Factoriales (Ejemplo) 14

Temperatura Presión

Fuerza

1

-1

153

1

-1

159

1

-1

149

1

-1

160

155.25

Diseños Factoriales (Ejemplo) 15

Temperatura Presión -1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

Fuerza 150 158

141 163

153

Diseños Factoriales (Ejemplo) 16

Temperatura Presión -1

1

-1

1

-1

1

-1

1

Fuerza 160 164

147 168

159.75

Diseños Factoriales (Ejemplo) 17

Temperatura Presión

Fuerza

1

1

170

1

1

163

1

1

171

1

1

178

170.5

Principios Básicos 18

Estudios de los efectos de dos o más factores

Diseños factoriales En cada ensayo o réplica se estudian todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores

Principios Básicos 19

 Son

ampliamente utilizados y de gran valor cuando se sabe poco sobre los niveles óptimos de los factores o no se sabe qué factores son importantes.

 De

gran valor en campos de estudio donde se sabe que la interacción de los factores es importante.

Ventajas y Desventajas 20



Ventaja de los diseños factoriales 

Permite obtener más información que en un experimento de un solo factor, se estudian efectos principales, efectos cruzados y de interacción de los factores.



Desventaja de los diseños factoriales 

Se requiere un mayor número de unidades experimentales que en experimentos con un solo factor.



Se obtendrán resultados de combinaciones que pueden no ser de interés para el investigador.

Definición del experimento factorial

21



Un experimento factorial queda definido por el número de factores y niveles de cada factor.



Un experimento con 3 niveles del factor A, 4 del factor B y 2 del factor C, puede ser

denotado por:  3A4B2C  3X4X2

Tipos de interacciones 22

Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores Efecto simple: Es el efecto de un factor, en un nivel de los demás factores Efecto de Interacción: Está dado por la variación que tiene un efecto simple de un factor al pasar de un nivel a otro de otro factor Efecto cruzado: Esta dado por las combinaciones cruzadas de dos factores. Veamos de que se trata…

Tipos de interacciones 23

Ejemplo: Datos de un experimento factorial 2x2

Niveles factor A

a1

a2

Niveles factor B

b1

b2

b1

b2

Medias

54

38

45

56

Tipos de interacciones 24

Niveles factor A

a1

a2

Niveles factor B

b1

b2

b1

b2

Medias

54

38

45

56

Tipos de interacciones 25

+

Tipos de interacciones 26

Tipos de interacciones 27

Recuerde: Efecto de interacción sobre la variable de respuesta es el que se produce cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro.

Cada línea corresponde a un efecto simple, y la interacción puede notarse cuando las líneas tienen pendientes diferentes.

Tipos de interacciones 28

Ejemplos en los que NO hay interacción

Modelo de Regresión y la Superficie de Respuesta Asociada 29

y

x

0

1 1

2

x2

xx

12 1 2

The least squares fit is yˆ

35.5 10.5 x1

5.5 x2

0.5 x1 x2 35.5 10.5 x1

5.5 x2

El efecto de la Interacción en la Superficie de Respuesta 30

Suponer que se añadió un término de interacción al modelo:

yˆ 35.5 10.5 x1 5.5 x2 8x1 x2 Interacción es en realidad una forma de curvatura

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175) 31



Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo que se someterá a temperaturas extremas. El único parámetro de diseño es el material de la placa o ánodo de la batería.



El ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas a las que operará el dispositivo, pero las puede controlar en el laboratorio, para efectos de experimentación.

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175) 32

A = Tipo Material; B = Temperatura 1. Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura en la vida útil? 2.

Existe una escogencia de material que daría larga vida, a pesar de la temperatura (un producto robusto) ?

El Experimento General de Dos Factores 33

a niveles de factor A; b niveles de factor B; n réplicas Este es un diseño completamente aleatorizado

El Experimento General de Dos Factores 34

Modelo estadístico (efectos):

yijk

i

i 1, 2,..., a j

(

)ij

ijk

j 1, 2,..., b k 1, 2,..., n

Otros modelos (modelo de medias, modelo de regresión) pueden ser útiles

Extensión de ANOVA a Factoriales (Caso de Efectos Fijos) – pg. 178 35

a

b

n

a

( yijk

y... ) 2

( yi .. y... ) 2 an

bn

i 1 j 1 k 1

b

i 1 a

j 1 b

n

a

( yij .

yi..

y. j .

i 1 j 1

SST

SS A

SS B

y... ) 2

( y. j .

SS AB

y... )

b

n

2

( yijk i 1 j 1 k 1

SS E

df breakdown: abn 1 a 1 b 1 (a 1)(b 1) ab (n 1)

yij . ) 2

Tabla ANOVA – Caso Efectos Fijos 36

Texto da detalles del cálculo manual – ver pp. 180 & 181

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175) 37

Fuentes de Variación

Cuadrado Medio

Suma de Cuadrados

F0

Valor P

Tipos de Materiales

SSA

10683.72

a-1

2

5341.86

7.91

0.002

Temperatura

SSB

39118.72

b-1

2

19559.36

28.97

0.0001

Interacción

SAB

9613.78

(a-1)(b-1)

4

2403.445

3.56

0.0186

Error

SSE

18230.75

ab(n-1)

27

675.212963

Total

SST

77646.97

abn-1

35

Grados de Libertad

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175) Resuelto con Minitab 38

Se debe definir la interacción de las variables en el modelo (A*B)

Ejemplo 5.1 Salida Minitab 39

Modelo lineal general: Vida de la batería vs. Tipo de Mate, Temperatura Factor Tipo de Material Temperatura

Tipo Niveles Valores fijo 3 A1, A2, A3 fijo 3 15, 70, 125

Análisis de varianza para Vida de a batería, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Tipo de Material Temperatura Tipo de Material*Temperatura Error Total

GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P 2 10683.7 10683.7 5341.9 7.91 0.002 2 39118.7 39118.7 19559.4 28.97 0.000 4 9613.8 9613.8 2403.4 3.56 0.019 27 18230.8 18230.8 675.2 35 77647.0

S = 25.9849 R-cuad. = 76.52% R-cuad.(ajustado) = 69.56% Observaciones inusuales de Vida de a batería Vida de a Residuo Obs batería Ajuste Ajuste SE Residuo estándar 3 74.000 134.750 12.992 -60.750 -2.70 R 4 180.000 134.750 12.992 45.250 2.01 R R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Conclusione s?

Ejemplo 5.1 Salida Minitab 40

Análisis Residual – Ejemplo 5-1 41

DESIGN-EXPERT Plot Life

Normal plot of residuals

DESIGN-EXPERT Plot Life

Residuals vs. Predicted 45.25

99

95 18.75

80 70

Res iduals

Norm al % probability

90

50 30 20

-7.75

10 -34.25

5

1 -60.75

-60.75

Conclusiones?

-34.25

-7.75

Res idual

18.75

45.25

49.50

76.06

102.62

Predicted

129.19

155.75

Análisis Residual – Ejemplo 5-1 42 DESIGN-EXPERT Plot Life

Residuals vs. Material 45.25

Conclusiones?

DESIGN-EXPERT Plot Life

Res iduals

18.75

Residuals vs. Run

-7.75

-34.25

45.25

DESIGN-EXPERT Plot Life

-60.75

18.75 2

45.25

3

Material

18.75

-7.75

Res iduals

Res iduals

1

-34.25

Residuals vs. Temperature

-7.75

-34.25

-60.75 -60.75

1

6

11

16

21

26

31

36 1

Run Num ber

2

Tem perature

3

Ejemplo 5.1 Salida Minitab 43

La temperatura posee una relación indirectamente proporcional con respecto a la vida útil, cuando aumenta la temperatura la vida de la batería disminuye Cuál es la mejor combinación ? Podríamos decir que el material A3 y la temperatura a 15? El tipo de Material es un factor significativo en el diseño de las baterías

Ejemplo 5.1 Salida Minitab 44

Hay que tomar en cuenta que si el lugar a donde se va a utilizar es mayor a 70 grados centígrados el material adecuado es el 3

Analizando el efecto de la interacción, el cuál no se logra analizar en el gráfico de efectos principales se puede concluir para los datos evaluados que la combinación que maximiza la vida de la batería es el tipo de material 2 a 15

Factores Cuantitativos y Factores Cualitativos 45



El procedimiento básico ANOVA trata cada factor como si fueran cualitativos



Algunas

veces

un

experimento

involucra

factores

cuantitativos y cualitativos, como el Ejemplo 5.1 

Esto puede ser tomado en cuenta en el análisis para producir un modelo de regresión para los factores cuantitativos en cada nivel (o combinación de niveles)

de los factores

cualitativos. 

Estas curvas de respuesta y/o superficies de respuesta son de considerable ayuda en las interpretaciones prácticas de los resultados.

Factoriales con más de dos factores 46





Procedimiento básico es similar al caso de dos factores; todos los abc…kn combinaciones de tratamientos son corridos en orden aleatorio ANOVA es también similar:

SST

SS A SSB  SS AB SS ABC  SS ABK



SS AC  SSE

Ejemplo completo de tres factores en Sección 5-4 del texto

Otras consideraciones para el diseño factorial de dos factores 47

•

Cuando se concluye que una interacción de dos factores tiene un efecto estadísticamente importante sobre la respuesta, su interpretación tiene prioridad sobre los efectos principales, aunque estos también sean significativos.

•

La verificación de la adecuación del modelo: mediante el análisis residual

ya conocido (supuestos de normalidad, varianza constante e independencia de los residuos) •

En el caso de no asegurarse la normalidad y homogeneidad en los residuos, se pueden utilizar métodos de análisis alternativos: no paramétricos; modelos lineales generalizados y de análisis de respuesta transformada. Estas situaciones exceden el alcance del curso, pero pueden ser objeto de estudio individual posterior.

49

Diseño factorial general

Diseño factorial general 50 

Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden aplicarse al caso general: 

a niveles del factor A, b niveles del factor B, c niveles del factor C. Dispuestos en un diseño general.



Habrá abc…n observaciones totales si se hacen n réplicas del experimento total.



Se necesitan al menos n≥2 para determinar una suma de cuadrados debida al error si todas las interacciones están incluidas en el modelo (si n=1 la varianza del error es no estimable, es decir, no se puede separar el efecto de la interacción del del error experimental)

Diseño factorial general 51



El Modelo del análisis de varianza de tres factores es yijkl

i

j

Dónde: i = 1,2,3,… , a. j = 1,2,3,… , b. k = 1,2,3,… , c. l = 1,2,3,… , n.

k

ij

ik

jk

ijk

ijk

Tabla del análisis de varianza del modelo de tres factores con efectos fijos 52

Tabla de la página 195 del Montgomery, Tabla 512.

Práctica en grupos para la casa 53

A continuación se presenta los tiempos de supervivencia en horas de animales asignados aleatoriamente a tres venenos (v1, v2, v3) y tres antídotos (a1, a2, a3). El experimento fue parte de una investigación para combatir los efectos de ciertos agentes tóxicos y fue un diseño

completamente al azar.

Práctica en grupos para la casa 54

a)

b) c)

Efectúe el análisis de varianza y analice sus efectos con respecto al enunciado. Realice el análisis gráfico de la interacción. Se cree que el antídoto a2 es más efectivo que el a1 para contrarrestar el veneno v1, verifíquelo.

55

Superficies de respuesta Modelos de efectos aleatorios

Superficie de respuesta 56



Hasta el momento nos hemos enfocado en experimentos que permiten:  Identifican

unas pocas variables importantes de un gran número de candidatos.  Asegurar cómo unas pocas variables impactan una respuesta. Pero, ¿cuáles son los niveles de estas variables que generan una respuesta óptima?.. Responder esto es lo que se busca con las superficies de respuesta.

Superficie de respuesta 57



Cuando varios de los factores de un experimento factorial son cuantitativos, puede utilizarse una superficie de respuesta para modelar la relación entre “y” y los factores de diseño.



Las gráficas se obtienes por medio de ecuaciones lineales o cuadráticas. La forma más fácil de obtener estas ecuaciones es por medio de software especializado.

Superficie de respuesta 58

Cuando al menos dos de los factores son cuantitativos, resultan útiles para predecir la respuesta a niveles intermedios entre los factores

59

Superficie de respuesta (Ejemplo) 

Se desea conocer el % de conversión de una sustancia química

como

consecuencia

de

tres

factores

(temperatura, tiempo y % de catalizador.  El ingeniero desea conocer

a

profundidad el impacto de los factores en la variable respuesta.

60

Superficie de respuesta (Ejemplo) Comentarios ?

Cómo se predice el comportamiento de la variable respuesta ?

Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno) 61

Qué pasa cuando el % del catalizador pasa de 2.50 a 3? Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversión Design Points 97

Conversión 90.00

88 86

51 88.00

84

Actual Factor C: Catalizador = 2.50

Nos ayuda a entender el impacto de los factores en la variable respuesta, la simbología de los colores representan el impacto en la variable respuesta

Es la proyección de la superficie de respuesta

B : T e m p e ra tu ra

X1 = A: Tiempo X2 = B: Temperatura

82

86.00

6 84.00

80 80 82.00

78

80.00 40.00

42.00

44.00

A: Tiempo

46.00

48.00

50.00

Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno) 62 Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversión Design Points 97

Conversión 90.00

51 88.00

Actual Factor C: Catalizador = 3.00

Se puede observar en la gráfica de contorno como los colores más cálidos se alcanza más rápido, con los mismos niveles de tiempo y temperatura.

El % de Canalización es significativo e interactúa con los demás factores

B : T e m p e ra tu ra

X1 = A: Tiempo X2 = B: Temperatura

70 86.00

90 80 84.00

82.00

80.00 40.00

42.00

44.00

A: Tiempo

46.00

48.00

50.00

Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno) 63

Superficie de respuesta 64 Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversión Design points above predicted value Design points below predicted value 97 51 95

X1 = A: Tiempo X2 = B: Temperatura 90

C o n v e rs ió n

Actual Factor C: Catalizador = 2.50

85

80

75

90.00 40.00

88.00 42.00

86.00

44.00

84.00

46.00

A: Tiempo

82.00

48.00 50.00

80.00

B: Temperatura

Superficie de respuesta (Cubo) 65 Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversion X1 = A: time X2 = B: temperature X3 = C: catalyst

Cube Conversion 69.1696

87.2617

B : te m p e ra tu re

B+: 90.00

B-: 80.00 75.6805 A-: 40.00

98.2265

70.8186 6

73.0885

93.6454

C+: 3.00

C: catalyst

A: time

C-: 2.00 50.7374 A+: 50.00

66

¿Cómo se maneja el experimento factorial si la programación de producción del ejemplo de la selladora, no permite correr todas las muestras en la misma máquina?

67

Formación de Bloques en un diseño Factorial

Cuando no es factible o práctico hacer la aleatorización completa de las corridas, utilizamos bloques.

Formación de bloques en un diseño factorial 68





yijkl

Las máquinas de sellado se convierten en una restricción sobre la aleatorización o un bloque. El modelo de los efectos para este nuevo diseño es: i

j

k

ij

ik

jk

ijk

m

ijkm

Donde: δm: es el efecto del m-ésimo bloque. Es importante que dentro de cada bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está totalmente aleatorizadas

Formación de bloques en un diseño factorial 69



Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante.



Si estas interacciones existen no pueden separarse del error.

Tabla del análisis de varianza de un diseño factorial de dos factores en bloques completos aleatorizados 70

Tabla de la página 208 del Montgomery, Tabla 518.

Práctica en grupos para la casa 71

Se realizó un experimento con un arreglo factorial 2A3B en 4 campos de cultivo, para evaluar el efecto en el rendimiento de maíz obtenido con dos tipos de abono (a1 y a2) y tres dosis (b1=20, b2=30, b3=40 kg/ha). Los resultados obtenidos en TM/ha se presentan a continuación:

Práctica en grupos para la casa 72

Realice el análisis de los efectos y el análisis de varianza para este caso. ¿A qué conclusiones se puede llegar?

GRACIA S 73

SEMANA 7