Diseño y Análisis de Losas de Hormigón Armado Utilizando Métodos Plásticos

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Instituto de Mecánica Estructural y Riesgo Sísmico

HORMIGÓN II Unidad 7:

DISEÑO Y ANÁLISIS DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO MÉTODOS PLÁSTICOS.

Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

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Contenido 7.1 INTRODUCCIÓN. TIPOS DE LOSAS 7.2 DIFERENTES MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS LOSAS 7.3. ANÁLISIS POR LA TEORÍA DE LA PLACA ELÁSTICA 7.3.1 HIPÓTESIS 7.3.2 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA Y ELEMENTO LOSA 7.3.3 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO ELÁSTICO 7.4 CÁLCULO DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO LA TEORÍA PLÁSTICA 7.4.1 GENERALIDADES 7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DÚCTIL PARA LA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS PLÁSTICOS 7.5 MÉTODO DE HILLERBORG 7.5.1 INTRODUCCIÓN 7.5.2 FUNDAMENTO DEL MÉTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG 7.5.3 PROCESO DE DISEÑO 7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO DE HILLERBORG 7.5.5 LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS LOSAS 7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA 7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 1 7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 2 7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA 7.6 MÉTODO DE LAS LÍNEAS DE ROTURA 7.6.1 INTRODUCCIÓN – FUNDAMENTOS 7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA 7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA 7.6.4 COMPORTAMIENTO REAL DE LA LOSA 7.6.5 FORMULACIÓN DE MECANISMOS DE COLAPSO. REGLAS PRÁCTICAS 7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LÍNEAS DE FLUENCIA 7.6.7 DETERMINACIÓN DE LA CARGA ÚLTIMA 7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA ÚLTIMA OBTENIDA POR LAS LÍNEAS DE ROTURA EN LA PRÁCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA 7.6.9 ANÁLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 7.6.9.1 FUNDAMENTOS 7.6.9.2 EVALUACIÓN DEL TRABAJO INTERNO 7.6.9.2.1 TRABAJO A LO LARGO DE LAS LÍNEAS DE FLUENCIA 7.6.9.2.2 EJEMPLO DE APLICACIÓN No1 7.6.9.2.3 DISIPACIÓN DE ENERGÍA EN UNA ZONA RÍGIDA 7.6.9.2.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN No2 7.6.9.2.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN No3

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7.7 APLICACIONES PRÁCTICAS 7.7.1 DEFINICIÓN DE ACCIONES SOBRE LAS LOSAS 7.7.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS 7.7.3 LOSAS EN UNA SOLA DIRECCIÓN. MÉTODOS APROXIMADOS 7.7.4 REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS 7.7.5 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ 7.7.6 CALCULO DE DEFORMACIONES 7.7.6.1 INTRODUCCIÓN 7.7.6.2 DEFORMACIÓN DIFERIDA 7.7.6.3 VIGAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN 7.7.6.4 LOSAS EN DOS DIRECCIONES 7.7.6.4.1 LOSAS SIN VIGAS INTERIORES 7.6.4.2 LOSAS CON VIGAS INTERIORES 7.7.7 REQUISITOS DE ARMADURAS 7.8 FLEXIBILIDAD DE LOS DIAFRAGAMAS 4.8.1 GENERALIDADES 4.8.2 FUERZAS DE INERCIA DE LOS PISOS 4.8.3 DETERMINACIÓN DE LAS ACCIONES DE DIAFRAGMAS 7.9 REFERENCIAS

7.10 APENDICE A: Tablas del ACI-318

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Emisión 1 Mar 1987 53

Emisión 2 Mar 1992 53

Emisión 8 Abril 2008 78

Emisión 9 Octubre 2009 71

Emisión 3 Feb 2001 53

Emisión 4 Abr 2003 34

Emisión 5 Set 2003 47

Emisión 6 Mar 2004 104

Emisión 7 Jun 2007 77

Obs. Apénd. C en excel

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7.1 INTRODUCCIÓN. TIPOS DE LOSAS Las losas son elementos estructurales planos cuyo espesor es pequeño comparado con sus otras dimensiones, y que formando parte de los entrepisos, tienen como función estructural el soporte directo de las cargas que actúan sobre ellos, y la transmisión de las mismas hacia otros elementos estructurales como vigas, columnas y tabiques. El tipo de carga más común que deben soportar las losas son las cargas verticales, provenientes de su peso propio y de elementos que forman parte de los entrepisos designadas como cargas permanentes y cuya notación es D (Dead load) y sobrecargas de uso como el peso de muebles, personas, etc. designadas como cargas de uso o accidentales, con notación L (Live load). Sin embargo, en zonas de alta sismicidad, como la que corresponde a la zona de Cuyo, las losas de hormigón armado tienen una importante misión en cuanto se refiere a la transmisión de acciones inerciales que se generan durante la ocurrencia de movimientos sísmicos. En estos casos, las fuertes aceleraciones que se inducen en un edificio debido a los movimientos de su base, generan fuerzas inerciales, tanto horizontales como verticales, que los entrepisos deben absorber y ser capaces de transmitir a los elementos con suficiente rigidez y resistencia lateral. Las losas pueden clasificarse en general en dos categorías, de acuerdo al tipo de apoyo: (i) (ii)

Losas apoyadas en vigas, ver Fig. 7.1(a) Losas sin vigas (entrepisos sin vigas).

En el caso de losas sin vigas las cargas que ellas soportan son transmitidas a columnas o tabiques, y se distinguen también dos casos, según que la columna posea o no capitel. Las Figs. 7.1(b) y (c) ilustran este tipo de losas. En casos de losas apoyadas sobre vigas, como se muestra en Fig. 7.1(a), las cargas son transmitidas a vigas perimetrales del panel de losa. Dependiendo de la relación Ly/Lx, las losas se pueden armar con armadura principal en una o dos direcciones. Cuando la relación de luces es mayor que 2, en general se puede considerar a la losa formada por un haz de fajas paralelas a la dirección de la menor luz y de ancho unitario. Sin embargo, siempre es colocada una armadura de repartición en dirección perpendicular a la armadura principal. En las fajas adyacentes a las vigas de borde se debe tener en cuenta que aquella hipótesis simplificadora ya no es válida y se debería proveer armadura adicional paralela a la armadura de repartición para compensar los esfuerzos adicionales que allí se generan. Sin embargo, la cantidad y forma de disposición de las barras de acero en las losas será una función de la filosofía de diseño y análisis en sus diversos métodos que más adelante se aplicará en detalle. Es decir entonces que existe otra posible clasificación que es: (i) (ii)

Losas en dos direcciones. Losas en una dirección.

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Fig. 7.1 Distintos tipos de losas.

De acuerdo a los materiales y procedimientos con que son construidas las losas, éstas se clasifican en: (i) (ii) (iii)

losas tipos macizas o sólidas. losas nervuradas. losas tipos alivianadas con elementos prefabricados.

Las losas macizas son aquellas que en todo su espesor, generalmente constante, están constituidas por hormigón con la adecuada cantidad de armadura generalmente dispuesta en dos direcciones perpendiculares y que deben tomar los esfuerzos de tracción generados por los momentos flectores, torsores y el corte. Las losas tipo nervuradas, que son una especie de variante de la losa sólida, están constituidas por nervios de hormigón armado en forma de sección T y separados una distancia entre sí que deben satisfacer ciertos requerimientos para su

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eficacia en resistencia y rigidez. La Fig.7.1(d) indica un esquema de losa tipo nervurada. El uso de este tipo de losa permite una considerable reducción del volumen, y por lo tanto del peso propio de la estructura resistente de la losa, al sustituir por vacío una considerable zona del hormigón que al estar en tracción no colaboraría para la resistencia. Por el contrario, permite el uso de nervios de profundidad considerable que pueden aumentar notablemente no sólo la resistencia sino también la rigidez del entrepiso por lo que su uso es muy atractivo para cubrir grandes luces. Note que la reducción de peso propio también implica reducción de fuerzas inerciales que se pueden inducir durante un sismo. Las losas nervuradas se pueden reforzar con armadura principal en una o dos direcciones, según la relación de luces y especificaciones que se verán más adelante. La Fig. 7.2 muestra un caso utilizado en nuestro medio en losas nervuradas de edificios. Muchas veces en lugar de los elementos cerámicos se colocan elementos de poliestireno expandido, como encofrado perdido, que resultan en una losa mucho más liviana y con muy buenas características de aislación térmica. Esto también es usado en nuestro medio.

Fig. 7.2 Caso de Losa nervurada donde Se usan ladrillos cerámicos como separadores de nervios.

Por último, es importante mencionar el tipo de losas más comúnmente utilizado en nuestro medio para construcciones bajas y que son las losas tipo alivianadas con elementos premoldeados. Podrían considerarse como un caso especial de las losas nervaduras, pero es conveniente colocarlas como un tercer tipo pues existen diferencias constructivas y de funcionamiento entre ellas. Por ejemplo, los nervios, que son viguetas prefabricadas, corren en una sola dirección, teniendo como elementos de relleno entre sí a elementos cerámicos huecos que se los considera como estáticamente inactivos, pero que permiten la composición de una superficie inferior plana sobre la cual puede aplicarse directamente el cielorraso. Además esos elementos de relleno sirven como aislante. La Fig. 7.3(a) indica los componentes de la losa alivianada prefabricada. Las viguetas, elementos (1) en la figura, son generalmente de hormigón armado pretensado. El elemento (2) es generalmente un cerámico, o de poliestireno expandido, que en nuestro medio tiene una altura de12.50 cm o 16.50 cm en casos especiales. El elemento (3) es la capa de

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compresión, generalmente entre 3 a 5 cm de espesor, y que lleva una malla de repartición de acero. Tienen la ventaja de un rápido armado en obra con un sistema de apuntalamiento similar al que se muestra en la Fig. 7.3(b), formando parte de un sistema de piso como se ilustra en la Fig. 7.3(c). La Fig. 4.4 muestra detalles típicos de apoyos en vigas de hormigón armado.

Fig. 4.3(a) Componentes de losas prefabricadas alivianadas.

Fig. 7.3(b) Apuntalamiento en losas alivianadas.

Fig. 7.3(c) Vista del sistema de pisos teniendo como elemento resistente la losa prefabricada.

Fig. 7.4 Detalles típicos de apoyos de losas prefabricadas en vigas.

7.2 DIFERENTES MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS LOSAS En general pueden distinguirse dos filosofías para el análisis y/o diseño de sistemas de losas de hormigón armado: 1. Métodos basados en la teoría elástica. 2. Métodos basados en la teoría plástica o análisis límite.

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Existen además algunos métodos que usan fundamentos de ambas teorías. Cualquiera sea el método elegido, las losas deben satisfacer las siguientes condiciones: (i) (ii)

que bajo cargas de servicio, las deformaciones y fisuras deben permanecer dentro de los límites aceptables. que bajo estados de cargas excepcionales, posean una adecuada ductilidad y coeficiente de seguridad elevado para evitar el colapso de la misma. Es decir, cumplir requisitos de resistencia y ductilidad.

7.3 ANÁLISIS POR LA TEORÍA DE LA PLACA ELÁSTICA 7.3.1 HIPÓTESIS La teoría clásica de análisis elástico se basa en las siguientes hipótesis: a. la losa se comporta como formada de material isótropo, homogéneo y elástico para estados de carga de servicio, y por lo tanto en ese rango es válida la ley de Hooke b. el espesor de la losa es suficientemente pequeño como para que se ignoren las deformaciones por corte, pero a su vez ese espesor es suficiente como para ofrecer resistencia a flexión (y no comportarse como una membrana), y que las deformaciones en su plano sean despreciables c. la flecha en un punto cualquiera de la placa es pequeña con respecto a su espesor La distribución de momentos y corte en las placas obtenidas a partir de esta teoría elástica es tal que: 1. las condiciones de equilibrio son satisfechas en cada punto de la losa 2. se deben satisfacer las condiciones de contorno 3. las tensiones son proporcionales a las deformaciones, o en otras palabras, los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas lo cual implica relación constitutiva seccional lineal 7.3.2 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA Y ELEMENTO LOSA Es importante reconocer el diferente comportamiento y mecanismo de resistencia de un elemento plano como el caso de una viga de un elemento tridimensional como es el caso de un elemento losa, cuando ambos están bajo la acción de, por ejemplo, una carga uniformemente repartida q. La Fig. 7.5 muestra el caso de un elemento de viga en equilibrio. De la Fig. 7.5(a) el equilibrio de cargas verticales nos indica que:

V − q.dx − V − o sea:

dV dx = 0 dx

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dV = −q dx

(7.1)

siendo V el corte sobre las caras del elemento viga. De la Fig. 7.5(b), del equilibrio de momentos respecto al punto A, resulta:

dV  dM    M + q.dx.dx / 2 + V + dx dx −  M + dx  = 0 dx  dx    y despreciando los términos diferenciales de orden superior

dM =V dx

(7.2)

d 2M = −q dx 2

(7.3)

o, para relacionar momento con cargas:

siendo las ecuaciones (7.1) y (7.3) las que definen las relaciones estáticas de un elemento bidimensional sometido a flexión.

Figura 7.5. Equilibrio del elemento de viga Diferente es el estado de equilibrio que se origina al analizar un elemento placa, tridimensional, tal cual se muestra en Fig. 7.6. En ese caso la condición de equilibrio de fuerzas verticales resulta en: dVx dVy + = −q dx dy

(7.4)

y del planteo de la ecuación de equilibrio de momentos según Fig. 7.6(b), se tiene:

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d 2M x d 2 M xy d 2 M y + 2 + = −q dx 2 dxdy dy 2

(7.5)

q

Fig. 7.6. Equilibrio del elemento losa.

Se ven claramente ahora los distintos mecanismos de resistencia al comparar las ecuaciones (7.1) con (7.4) y (7.3) con (7.5). En el caso de viga sólo tenemos un momento M que es el que está en el plano de las cargas. Para el caso del elemento placa tenemos más posibilidades, ya que son tres momentos de resistencia, dos de flexión y uno de torsión. Las ecuaciones vistas anteriormente no resuelven totalmente el problema, pues el mismo se debe completar al establecer la compatibilidad de deformaciones y las relaciones constitutivas.

θ1

dx Por compatibilidad de deformación:

θ2 elástica

ω

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φ = curvatura =

Rotación dθ = unidad de longitud dx

pero

θ=

dw dx

w = desplazamiento según eje Z

por lo tanto

φ=

d 2w dx 2

ecuación de compatibilidad

y por relación constitutiva:

φ=

M EI

∴

d 2w M = EI dx 2

o bien

d 4w d 2M 1 q = = 4 2 dx dx EI EI

De esta manera se llega a establecer la relación entre las flechas w(x,y), y la carga q que actúa sobre el elemento. Para el caso de viga la ecuación es: d 4w q = 4 EI dx

(7.6)

donde EI es el módulo de rigidez flexional de la viga, siendo E = módulo de elasticidad del material (hormigón) I = momento de inercia de la sección. Para el caso del elemento losa, se obtiene la ecuación de Lagrange, que es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden, con dos variables independientes: d 4w d 4w d 4w q + + = 2 D dx 4 dx 2 dy 2 dy 4

(7.7)

donde w = w( x, y ) w es la flecha en un punto cualquiera de la losas de coordenadas (x,y), en la dirección de la carga q. D = rigidez a flexión de la placa = E. h3 / 12 (1- ν) h = espesor de la losa. ν = módulo de Poisson. 7.3.3 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO ELÁSTICO El procedimiento general para solucionar el problema elástico de la viga o de la losa es idéntico en ambos casos, y consiste en determinar la ecuación para la

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deformada de la viga o losa (ecuación de la elástica que define la flecha), y luego por derivación de esa ecuación obtener los esfuerzos internos. La ecuación de la elástica debe satisfacer la ecuación diferencial (7.6) para las vigas y (7.7) para las losas, como así también las condiciones de contorno. Luego entonces los esfuerzos internos quedan determinados a través de las siguientes ecuaciones: a. Momentos de flectores:  d 2w d 2w  M x = − D 2 + ν 2  dy   dx  d 2w d 2w  M y = − D 2 + ν 2  dx   dy

(7.8.a.)

(7.8.b.)

b. Momentos de torsores:  d 2w  .(1 − ν ) M xy = − D  dxdy 

(7.9)

c. Esfuerzos de corte:  dM x dM xy V x =  + dy  dx

  

(7.10.a.)

 dM y dM xy   V y =  + dx   dy

(7.10.b.)

d. Reacciones:  d 3w d 3w R x = D 3 + ( 2 − ν) dxdy 2  dx

  

 d 3w d 3w Ry = D 3 + ( 2 − ν) dydx 2  dy

(7.11.a.)

  

(7.11.b.)

La solución de la ecuación de Lagrange, desafortunadamente no es sencilla, y sólo se han encontrado soluciones para un número limitado de casos. Con los métodos ortodoxos de integración se pudieron al principio resolver casos muy particulares como los de losa rectangular simplemente apoyada o empotrada, placa circular, algunos tipos de placas elípticas y triangulares, todos con carga uniformemente repartida o cargas concentradas simétricamente. Las primeras soluciones para la ecuación de Lagrange fueron encontradas por Navier en 1820, quien usó las series dobles de Fourier para describir las deformaciones y cargas de placas rectangulares simplemente apoyadas y con carga arbitraria, ref. [2]. Una solución más general se obtiene por aplicación del método de Levy, quien propuso un método exacto para el caso de una placa con dos lados opuestos

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simplemente apoyados y pudiendo los otros dos lados admitir condiciones de contorno arbitrarias. Para este caso utilizó series simples de Fourier. También por el método de Levy se pueden obtener soluciones aproximadas para el caso de placas rectangulares muy largas con condiciones de borde arbitrarias en todos sus lados, ref. [2]. Cuando se menciona la palabra método “exacto” hay que reconocer las limitaciones que implica al tratarse de losas de hormigón armado, salvo que estrictamente se hable del estado sin fisuración alguna. La aplicación de los métodos energéticos para la solución de placas fue desarrollado por Ritz, basado en el principio de que la energía total de una placa deformada es mínima cuando existe equilibrio. Los métodos de Rayleigh, Galerkin y Kantorovich están basados en aquel principio. Otras soluciones en el rango elástico para placas han sido los obtenidos a partir del método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos, ref.[9]. Ambos son métodos aproximados derivados de la teoría elástica. Por último es importante destacar el advenimiento de otros métodos aproximados, los que simplificando el planteo matemático llevan a soluciones más generales. Algunos de estos métodos, si bien tienen sus fundamentos en la teoría elástica, tienen en cuenta en forma parcial el efecto de las deformaciones plásticas. Uno de estos procedimientos es el de Marcus y otro de los más utilizados es el de Siess-Newmark. Este último es un procedimiento que se puede comparar directamente con el método de distribución de momentos de Cross utilizado en vigas.

7.4 CÁLCULO DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO LA TEORÍA PLÁSTICA 7.4.1 GENERALIDADES El análisis límite o del estado último reconoce que, debido a la plasticidad, es posible que ocurra una redistribución de los momentos y los cortes más allá de los límites dados por la teoría elástica antes de que se alcance la capacidad última de la losa. Esta redistribución de momentos es factible cuando la sección de hormigón armado no está sobre armada. Una vez alcanzada la resistencia de fluencia, la sección puede incrementar notablemente sus valores de curvatura con poca variación con relación a la resistencia que corresponde al comienzo de plasticidad de la armadura traccionada. De esta forma, el análisis límite permite evaluar la carga última o máxima de la losa y la redistribución de momentos y cortes para esta carga, suponiendo que las secciones de la losa son lo suficientemente dúctiles como para permitir que ocurra la redistribución de esfuerzos internos. Para determinar la carga última de un sistema de losas de hormigón armado existen, de acuerdo a los teoremas de Prager, dos alternativas: un método basado en el límite superior o un método apoyado en los teoremas del límite inferior.

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Los métodos basados en los teoremas del límite inferior dan como resultado una carga última que o bien es la correcta o está por debajo de este valor; es decir, la carga última nunca es sobre estimada: se está del lado de la seguridad. El método más conocido en este grupo es el de las fajas de Hillerborg. Los métodos basados en teoremas del límite superior, por el contrario, llevan a una carga última que es o la correcta o una que supera este valor. A este grupo corresponde el método basado en la teoría de las líneas de fluencia (a veces llamadas líneas de rotura) de Johansen. En éste se postulan una serie de mecanismos de colapso para el sistema de losas en estudio y de su análisis, aquel que conduzca a la menor carga última se toma como el correcto o el más aproximado. Si no fuera el valor correcto la solución sobre estimaría en cierto rango la carga máxima que el sistema puede soportar. Los trabajos de Prager y Hodge sobre análisis límite indican que la solución exacta para placas no es siempre posible de obtener. En general la carga última o de colapso estará comprendida entre estos dos límites, superior e inferior. Una solución rigurosa de una placa en particular tenderá a que las cargas últimas obtenidas por los dos procedimientos converjan, y de ocurrir este caso indicaría que se ha encontrado la solución exacta. Sin embargo, en hormigón armado y en el rango inelástico, hablar de exactitud no es apropiado. Cualquier solución, en la práctica, sólo será aproximada. Como se verá luego, el método de las fajas de Hillerborg es un método de diseño, mientras que el de las líneas de fluencia es de análisis. La Fig. 7.7 indica en forma esquemática el significado de los valores dados por los teoremas de Prager.

Fig. 7.7 Significado de los teoremas de Prager.

7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DÚCTIL PARA LA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS PLÁSTICOS La Fig. 7.8 ilustra la relación constitutiva de una sección de hormigón armado, es decir el diagrama momento-curvaturas a través del factor de rigidez de flexión EI.

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Fig. 7.8 Diagrama Momento vs. Curvatura de una sección dúctil.

De acuerdo a la teoría elástica, los momentos son proporcionales a las curvaturas de las secciones de la losa, y por lo tanto, sólo existe “una” distribución de momentos elásticos para una capacidad de momento determinada. Sin embargo, de acuerdo a la teoría plástica, cualquier número de distribución de momentos es posible, dado que en rango inelástico los momentos no dependen de la curvatura. Es por ello que si se selecciona una distribución de momentos que es diferente a la que resultaría de la aplicación de la teoría elástica, debe ocurrir una redistribución de momentos antes de que se alcance la carga última. Rigurosamente hablando, aun en el diseño por la teoría elástica se requiere de alguna redistribución de momentos a menos que en los momentos usados para diseño de la armadura se haya tenido en cuenta la compleja distribución de rigideces que existen en una losa una vez que el hormigón se ha fisurado en las zonas más solicitadas. Por lo tanto, las soluciones que dan los análisis límites sólo pueden ser aplicados a losas de hormigón armado con secciones razonablemente dúctiles. En la sección 4.6.8 de este trabajo se dan algunos valores de ductilidad en función de la cuantía de las losas. La relación momento curvatura de la Fig. 7.8 es aproximadamente trilineal, en la que las discontinuidades de la curva con el correspondiente cambio brusco de pendiente y reducción de rigidez EI es debida a: (i) fisuración del hormigón en tracción; (ii) primera fluencia del acero en tracción; y (iii) deformación última del hormigón en compresión. El factor de ductilidad de curvaturas, para el caso de material con comportamiento linealmente elástico-perfectamente plástico, LE-PP, está dado por:

µφ =

φu φy

De esta manera con sección de hormigón poco armada, las secciones de la losa tendrán suficiente ductilidad. Es decir, el diagrama M-φ, tendrá un tramo casi horizontal bastante amplio después de la primera fluencia del acero, lo que permitirá la redistribución de momentos de las zonas más solicitadas hacia las que aún están por debajo de momento de fluencia. Esto permite que con la plastificación casi total, se pueda alcanzar la carga última supuesta.

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7.5 MÉTODO DE HILLERBORG 7.5.1 INTRODUCCIÓN Hillerborg sugirió en el año 1956 un método para el análisis de las losas referido como “teoría del equilibrio” y basado en el teorema del límite inferior. Este método de diseño puede ser enunciado así: “Si es posible encontrar una distribución de momentos que satisfaga las ecuaciones de equilibrio de la placa y sus condiciones de borde para una carga externa dada, y siendo la placa capaz de soportar dichos momentos, entonces la carga externa representará un límite inferior a la real capacidad última de la placa”. El objetivo fundamental de Hillerborg fue presentar un método de diseño plástico que fuera simple y arrojara resultados del lado de la seguridad. La solución así obtenida para la placa es tal que: (i) son satisfechas las condiciones de equilibrio en todos los puntos de la placa. (ii) la condición de resistencia a nivel de fluencia My no es excedida en ningún punto de la placa, es decir:

[M (x, y )]qu ≤ [M (x, y )]y siendo el primer miembro el momento actuante en la placa en el punto (x,y) bajo la carga de colapso qu, y el segundo miembro la resistencia de fluencia en ese punto. (iii) son satisfechas además las condiciones de contorno de la placa. Note que el método no habla explícitamente de: a. condiciones de la losa para el estado de servicio b. ductilidad de las secciones pero ambas condiciones son importantes de verificar antes de que se adopte el diseño definitivo. 7.5.2 FUNDAMENTO DEL MÉTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG. Ya se vio anteriormente y quedó expresado en la ecuación (7.5) que el equilibrio de un elemento de placa queda expresado a través de la siguiente ecuación: d 2 M xy d 2 M y d 2M x + 2 + = −q (7.12) dx 2 dxdy dy 2 donde Mx y My son los momentos flectores por ancho unitario en las direcciones x e y, mientras que Mxy es el momento torsor unitario y q la carga uniformemente distribuida por unidad de área en el elemento (dx.dy). De acuerdo a la teoría del límite inferior, cualquier combinación de Mx, My y Mxy que satisfagan la ecuación (7.12) en todos los puntos de la losa y las condiciones de contorno bajo la acción de la carga última qu, será una solución de diseño válida siempre y cuando se provea la armadura capaz de soportar aquellos momentos. Por lo tanto, la carga última puede ser arbitrariamente distribuida entre cada uno de los tres términos de la ecuación de equilibrio antes escrita. Por ejemplo,

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d 2M x d 2M y + = −q dx 2 dy 2

(7.12a)

es la variante más simple del método de Hillerborg y aparece cuando se impone que Mxy=0, es decir que la carga sea totalmente soportada por flexión según las direcciones x e y. Así entonces la losa se puede visualizar como compuesta de dos sistemas de fajas independientes (la torsión ya no las conecta) y que corren en dirección paralela a los ejes x e y. Esto es posible cuando no es condición imprescindible movilizar los mecanismos de resistencia a torsión para que la losa pueda resistir la acción externa, es decir, que si hay torsión la misma es por compatibilidad (no por equilibrio). Este caso se designa como “Método Simple de las Fajas”, para diferenciarlo de un trabajo posterior de Hillerborg que introduce el “Método Avanzado de las Fajas” (1964), en el que se analizan casos más complejos de losas con re-entrantes, orificios, soportes sobre columnas y otros que necesitan considerar la torsión. De esta manera, la Ecuac. (7.12a) se puede reemplazar por dos ecuaciones independientes que representan la acción de las fajas sin interacción de torsión: d 2M x = -γq dx 2 d 2M y = -(1-γ)q dy 2

(7.13a)

(7.13b)

donde γ es un factor de distribución de cargas, seleccionado por el diseñador y que está comprendido entre: 0≤γ≤1 Si γ =1.0 implica que toda la carga es soportada por la flexión de las fajas en la dirección x, y por el contrario, si γ= 0 toda la carga es tomada por flexión de la faja paralela a y. Una característica de este método, presente también en el método de las líneas de fluencia, es que para la distribución de momentos entre las secciones de flexión positiva y negativa, y entre las secciones que se apoyan en dos direcciones, la decisión es dejada al diseñador. Esa libertad que el método provee al proyectista puede ser peligrosa si al no ser adecuadamente utilizada puede conducir al diseño de losas que, aunque satisfagan los requerimientos de resistencia, puede que no cumplan con los requisitos de flecha y de fisuración máximas admisibles para el estado de cargas de servicio. Este es un requisito de rigidez. Se entiende que las secciones de la losa no deben sobre armarse para evitar la posibilidad de roturas frágiles por falta de ductilidad. El hecho de asignar momentos con cierta libertad debe entonces asegurar las condiciones de servicio. En 1972 el código inglés ya recomendaba que cuando se utilizaba el método de las fajas la relación entre momentos negativos y positivos debería estar comprendida entre 1.0 y 1.5.

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7.5.3. PROCESO DE DISEÑO El proceso de diseño es bastante simple y puede ser resumido en los siguientes pasos, los que se grafican en la Fig. 7.9: 1. considerar la losa como formada por una malla de tiras o fajas, paralelas a las direcciones x e y, 2. dividir la losa en regiones o zonas de distribución de las cargas, 3. asignar valores de γ para cada región, y que no necesitan ser estrictamente 0 ó 1, sino intermedios 4. aplicar la carga sobre cada una de las fajas, y en correspondencia con los coeficientes de distribución, 5. separar la faja de la losa y con las condiciones de borde reales y el estado de cargas correspondientes, proceder a la evaluación de los esfuerzos internos, momentos y cortes, y las reacciones, 6. verificar que las deformaciones sean similares para cualquier punto de encuentro de dos fajas perpendiculares. Si las deformaciones difieren demasiado se debe cambiar el sistema de distribución de cargas. 7. proveer la armadura adecuada para soportar los esfuerzos computados.

Fig. 7.9 Etapas para aplicar el método de las fajas de Hillerborg.

7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO DE HILLERBORG. Se aplicará el método descrito para el diseño de una losa cuadrada, simplemente apoyada y que debe soportar una carga uniformemente repartida por unidad de área qu. De las varias soluciones posibles, se presentan tres de muy simple desarrollo. La primer solución puede obtenerse al considerar un coeficiente de distribución γ= 0.50 constante para toda la superficie de la placa, tal cual se muestra en la Fig. 7.10. Esto implica que la mitad de la carga es asignada uniformemente a las fajas en cada dirección. El momento máximo es (qu.l2/16), y tiene un valor constante en las secciones de la mitad de la luz a través de todo el ancho y largo de la losa.

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Fig. 7.10 Losa cuadrada simplemente apoyada. Caso de γ= 0.5

La segunda solución se obtiene al dividir la losa en 3 regiones que corresponden a la zona central, parte media de las fajas laterales y esquinas de la losa, tal cual se ve en la Fig.7.11. Al asignar los valores de γ= 1.0, γ= 0.5 y γ= 0. 0, quedan definidas 3 zonas. Note que en cada región la sumatoria de los coeficientes de la repartición en la dirección x e y debe ser igual a 1.0, es decir que en cada región la carga a distribuir es qu. En esta solución hay sólo dos tipos de fajas, la aa y la bb. Ahora el máximo momento resulta ser (5/64 qu.l2), y la distribución de máximos momentos es ahora constante en la mitad del ancho y en la mitad del largo de la placa, como muestra la figura.

Fig. 7.11. Losa cuadrada simplemente apoyada variando γ según fajas paralelas.

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La tercera solución consiste en dividir la losa en regiones con líneas no paralelas a los ejes x o y. En este caso se toman 2 diagonales, llamadas líneas de discontinuidad, tal como lo muestra la Fig.7.12., quedando la losa fraccionada en 4 triángulos. En este caso se considera que cada región transmite la totalidad de su carga al apoyo más cercano. El momento máximo es ahora [(1/8).qu.l2] y la distribución de los momentos máximos es una función parabólica a través de la luz l de la losa. Fig. 7.12 Losa cuadrada apoyada con distribución triangular de cargas.

Una cuarta variación posible, cuya resolución se deja como ejercicio para el lector, se podría haber obtenido al proponer una distribución de cargas con coeficientes γ escalonados como muestra la Fig. 7.13.

Fig. 7.13 Distinta configuración de valores de γ para distribución de cargas en una losa cuadrada simplemente apoyada.

De las tres soluciones resueltas, se puede observar la variedad de distribución de momentos. Todas satisfacen las condiciones de equilibrio y contorno. Para este caso de losa simplemente apoyada el uso de la estática fue suficiente para la determinación de los esfuerzos que solicitan a la placa, a través de cada faja. Es de interés observar el costo relativo que le corresponde a cada solución con respecto a los requerimientos de acero para los tres casos aquí analizados. El área de armadura es proporcional al momento por ancho unitario. Suponiendo que todas las barras necesarias para los máximos momentos se prolonguen hasta los apoyos,

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y que se use la misma altura de losa, la cantidad de acero requerida en cada caso será proporcional al área del diagrama de momentos máximos (Mx). Esas áreas resultan: 1 (1/16. qu. l3) (3/64.qu .l3 = (1/24.qu.l3) qu l 3 ) 21.33 para las soluciones 1, 2 y 3 respectivamente. La relación entre esas áreas es, entonces, 1.0, 0.75 y 0.67, e indican los costos relativos entre las soluciones. La solución tres aparece como la más económica, pero esta conclusión puede variar si las barras no se continúan en toda la longitud l, sino hasta donde sean necesarias. Además, según la solución tres, las barras deberían colocarse a distancias que variarían en forma continua, lo que no es nada práctico. Lo que realmente se hace es colocar a lo largo y a lo ancho de la placa bandas con cierto ancho práctico y con idéntica armadura, tal cual se verá en ejemplos más adelante. 7.5.5 LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS LOSAS. Las líneas de las losas que indican la distribución de cargas en forma diferente se conocen como líneas de discontinuidad. Estrictamente, estas líneas de discontinuidad pueden entrar a una esquina de losa con cualquier ángulo, pero éstos son seleccionados sobre la base de que los momentos den una mayor economía de armadura y que estén razonablemente de acuerdo con una distribución de momentos elástica. Hillerborg sugirió las siguientes reglas: 1. donde se encuentren los lados simplemente apoyados, o dos empotrados, o con iguales condiciones de borde, la línea de discontinuidad debe ser la bisectriz del ángulo, según indica las Figs. 7.14(a) y 7.14 (b). 2. si un lado es simplemente apoyado y el otro es empotrado, la línea de discontinuidad será como lo indica la Fig. 7.14(c).

Fig. 7.14 Posición de líneas de discontinuidad en las esquinas a 90o. (a) ambos lados simplemente apoyados, (b) ambos lados empotrados y (c) combinación.

Hillerborg comenta en sus trabajos que la distribución de cargas más económica para el caso de una losa rectangular con todos sus lados simplemente apoyados como el caso de la Fig.7.15 ocurre cuando el ángulo para el lado mayor es:

θ = tan −1 ( L x / L y )

para Lx ≥ Ly

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Fig. 7.15 Líneas de discontinuidad.

7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA. El problema que se presenta cuando la armadura es diseñada de acuerdo a los momentos obtenidos del método de las fajas con líneas de discontinuidad originadas por las esquinas de las losas es que sobre una gran porción de la losa, si esta es rectangular, o cuadrada con condiciones de borde diferente en los lados que se encuentran, se requerirá una variación continua del espaciamiento entre las barras de acero. Esto es impracticable, y lo que Hillerborg sugiere es la colocación de la armadura en forma uniforme en bandas de ancho razonable, y con un momento de diseño para cada banda tomando como el momento máximo promedio para las fajas que corresponden a esa banda.

Fig. 7.16 Líneas de discontinuidad que arrojan momentos uniformes en las bandas.

Wood y Armer han señalado que en lugar de complicar los cálculos del momento al usar regiones triangulares o trapezoidales que se originan por las líneas de discontinuidad de las esquinas de las losas, es conveniente trazar aquellas líneas paralelas a los lados de la losa, con lo que no es necesario tomar promedios de los momentos. La Fig.7.16 muestra el esquema para este procedimiento. El ejemplo planteado en la Fig.7.13 es otro caso. Como ejemplo de aplicación se muestra el caso de la losa rectangular simplemente apoyada de la Fig.7.17. Para este caso es conveniente tomar cuatro bandas con un ancho tal que franjas de borde sean ¼ de la luz menor de la losa (en

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este caso Ly/4). Por simple equilibrio de aplicación de la estática (ecuaciones de equilibrio) los momentos en la fajas son resueltos.

Fig. 7.17 Momentos Flectores y reacciones de apoyos para una losa uniformemente cargada con todos los lados simplemente apoyados.

Otro ejemplo es presentado en la Fig.7.18, donde la losa tiene dos lados simplemente apoyados y dos empotrados.

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En este caso, las líneas de discontinuidad se ubican de tal forma de tener en cuenta la mayor capacidad de tracción de cargas del lado fijo con respecto al simple apoyo. Aparece entonces un coeficiente β que indica la extensión de las bandas. Para este ejemplo, Hillerborg sugirió tomar a Ly/2 como ancho de la faja central en la dirección x, y a (Lx-Ly /2) para el ancho de la franja central en la dirección y, como es el caso de las franjas centrales de la losa central simplemente apoyada, según se vio en la Fig. 7.17.

Fig. 7.18 Momentos flectores para una losa uniformemente cargada con dos lados adyacentes empotrados y los otros dos simplemente apoyados.

Pese a que las bandas quedan como estructuras hiperestáticas, los momentos pueden ser fácil y rápidamente calculados al tomar como referencia las secciones donde el corte es nulo. Para el caso de banda en la dirección x, utilizando

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el esquema de la Fig.7.19, se obtienen momentos y reacciones. Para el caso de las fajas centrales en la dirección y, utilizando como base los conocimientos de estática aplicados en la Fig.4.20., y si se toma como distancia del apoyo derecho hasta el punto de corte nulo = máximo momento a β = Ly , entonces el esquema de la Fig. 7.21 servirá para el cálculo de los momentos y reacciones. El valor de β a seleccionar dependerá de la relación entre el momento negativo y el positivo. Se ve claramente en la Fig.7.18. que la relación vale: R = M(-) / M(+) = (1-2 β ) / β 2

(7.14)

por lo que se tiene:

β R

0.366 2.0

0.387 1.5

0.414 1.0

Los valores de β se toman normalmente entre 0.36 y 0.40. La técnica de elegir anchos desiguales para las regiones externas, a los efectos de obtener una zona con momento positivo constante, y a través de un valor de β que es una función de la relación R que el diseñador desea, es sólo necesaria cuando las condiciones de apoyo de cada extremo de la faja son diferentes. Si ambos extremos son fijos o simplemente apoyados β = 0.50, tal cual se ve en la Fig.7.17. Además, la relación entre el máximo momento negativo y el máximo positivo para el caso de ambos extremos empotrados no es una función de β , sino una decisión del diseñador.

Fig. 7.19. Resolución de una faja empotrada y apoyada sometida a carga discontinua qu.

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Fig. 7.20. Solución de faja empotrada y apoyada sometida a carga continua qu.

Fig. 7.21 “Una” solución plástica de viga empotrada y apoyada bajo carga continua qu.

7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 1. Dada la losa rectangular de 9mx6m según la Fig.7.22., con dos lados simplemente apoyados y dos empotrados, sobrecarga de servicio uniformemente repartida de 700 kgr/m2, usar hormigón de f´c= 250 kgr/cm2 y acero de fy= 4200 kgr/cm2. Diseñar el panel con la armadura necesaria. Verificar el corte.

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(c) Armadura Superior

(d) Armadura Inferior Fig. 7.22 Ejemplo No 1

Pasos a seguir: 1. Estimación de altura y peso propio: Según el CIRSOC 2005, la altura mínima, para apoyos sobre vigas de cierta rigidez, debe ser: f   ln  0.8 + y  1400  h≥  ≥ 90mm (7.15) 36 + 9 β h = espesor de la losa. Ln = luz libre mayor de la losa.

f y = resistencia a fluencia de la armadura [MPa].

β = relación de esbeltez de la losa = luz mayor/luz menor.

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Para este caso: Ln = 900 cm

β = 9/6 = 1.5

hmin= 20cm

Se adopta h = 25 cm simplemente para seguir con el ejemplo tomado en ref[1], pues se podría adoptar 200mm de altura total. Entonces resulta la carga por peso propio igual a: 0.25m x 2400 kgr/m3 = 600 Kgr/m2 2. Calcular la carga última para el diseño: Aplicando el criterio del ACI-318, (note que en versión 2005 los factores de amyoracíon de cargas son 1.2 para D y 1.6 para L: se sigue ejemplo de versión anterior) donde qu = 1.4 x qu (D) + 1.7 qu (L) qu = 1.4 x 600 + 1.7 x 700 = 2030 krg/m2 donde qu(D)= carga de peso propio (muerta). qu(L)= sobrecarga de servicio (accidental). 3. Calcular los momentos sobre las fajas: Según Fig. 7.22(b). Para ello hay que definir el coeficiente β , el cual es una función de R. Si se toma esa relación igual a 2, (note que la solución estática daría R= 1.78 según Fig. 7.20), resulta β = 0.336. La Fig.7.22(b) ilustra los diagramas de momentos, y los valores numéricos son dados en la tabla correspondiente a esa figura. 4. Armadura de losas. Es conveniente verificar primero el momento resistente que corresponde a la cuantía mínima, que se define para control de tensiones de retracción y temperatura. Si se toma como cuantía mínima 0.18% (ACI-318-2005) resulta:

ρ min = 0.0018 =

As min 100cm.25cm

Asmin= 4.5 cm2/m utilizando barras de φ 10mm cada 18cm, la armadura es As = [(100/18) + 1] x 0.79 cm2 = 5.17cm2/m y se utilizará el criterio del ACI-318 para determinar la resistencia a flexión, al usar el diagrama de compresión de tensiones equivalentes de Whitney:

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Mu= φ As fy [d – 0.59

As f y bf `c

]

Donde: d = h – r = 25 – 3 =22cm r = recubrimiento de la armadura y para φ = 0.9 como coeficiente de reducción de resistencia, se tiene (Mu min)resist. = 4394 kgrm/m y es claro, entonces, que las únicas fajas que requieren armadura por sobre la mínima son las que están en la banda central 1-1. Para el momento negativo se adopta φ = 12mm cada 9 cm

ρ = 0.0054 = 0.54% A´s = 13.56cm2/m Mu = 11057 Kgrm/m > 9793 kgrm/m Verificar si esta armadura no supera la máxima permitida por requerimientos de ductilidad. Para zonas sísmicas el ACI-318 estipula que

ρ ≤ 0.50 ρ b

(7.16)

0.85. f 'c .1 0.003E s . fy 0.003.E s + f y

(7.17)

donde la cuantía balanceada es:

ρb = y en este caso resulta:

ρ b = 0.024 = 2.4% y

0.5 ρ b = 1.2% > 0.54%

Para calcular hasta donde debe extenderse la armadura superior del momento negativo, un criterio es prolongarla hasta el punto donde el momento se hace nulo y adicionar un tramo igual a h o a 12 φ . En la Fig.7.22(c) se determina la longitud de las barras negativas dentro de la placa (para el apoyo también se debe prolongar). Para h= 25 cm y 12 φ = 14.4 cm la longitud requerida es 1.61m + 0.25 m =1.81 m adoptándose l(-) = 2.0m. Para el momento positivo máximo, dado que es la mitad del M(-)max , se puede adoptar φ 12 mm cada18cm, con lo que As = 6.78cm2/m, y Mu = 5718 kgrm/m > 4896 kgrm/m 5. Detalle de armadura.

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La Fig.7.22(d) indica el detalle de armado. Téngase en cuanta la armadura mínima requerida por especificación de códigos. 6. Verificación al corte. El Código ACI-318-2005 estipula que si el corte demanda o requerido, vu, obtenido a partir del análisis estructural, cumple vu < φvc, no se necesita armadura de corte, donde la tensión de corte requerida o demanda es: vu = Vu / b.d siendo vc el corte aportado por el hormigón solamente y viene dado por: vc = 0.53 f 'c = 0.53 250 = 8.40kgr / cm 2

(note que esta expresión es idéntica a utilizar la de vc = 0.17 f c´ en MPa) y afectado por el factor φ= 0.75 (ACI-318-2005), resulta φvc = 6.30 Kgr/cm2, que es el corte máximo que puede soportar el hormigón sin armadura de corte. vu = (1 - β ) qu . Ly = 7722 kgr/m y entonces resulta: vu = 3.50 kgr/cm2 < 6.30 kgr/cm2 Esto normalmente ocurre en las losas de hormigón armado donde el esfuerzo que controla es el de flexión, y no es necesario en la mayoría de los casos utilizar el acero para soportar esfuerzos de corte, es decir el término vs que corresponde al mecanismo de reticulado, como se verá en el capítulo de corte, no es movilizado. 7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 2. Un panel interior rectangular de una losa continua posee una luz de 4m x 6m, según Fig.7.23. Soporta una carga uniforme de servicio de L=700 kgr/m2 y la carga D es sólo el peso propio de la losa. Usar f´c y fy como Ejemplo No 1. Para este caso β =0.50. 1. Espesor de la losa. para α = 1.5 α s = 1.0 hmin = 13cm

l= 600cm se adopta h = 14 cm

2. Carga última de diseño. qu = 1.7 x 700 + 1.4 x 2400 x 0.15 = 1700 kgr/m2

d = 11cm

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Fig. 7.23. Ejemplo No 2

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3. Determinación de los momentos de diseño para las fajas típicas. En este punto el diseñador debe tomar una decisión con respecto a la relación entre momento negativo máximo y momento positivo máximo. Se adopta una relación de 1.5. De esta manera, los momentos de diseño se pueden determinar obteniendo los momentos estáticos para cada faja y asignando 60% de este al momento negativo y 40% al positivo. faja 1-1 Mestát. = qu LY2/8 = 7650 kgr faja 2-2 Para este caso el momento estático se obtiene al reconocer el esquema de Fig. 7.23, del que resulta: Mest. = q (L1)2/2 , y en este caso es q = qu/2 y L1 = Ly/4 Mest. = qu Ly2/64 = 956 kgrm (note que para la faja 1-1 es q =qu

y

L1 = Ly/2).

faja 3-3 L1 = Ly / 4 q = qu Mest. = qu Ly2/32 = 1912 kgrm faja 4-4 Los momentos son la mitad de los de la faja 3-3. Una vez obtenidos los momentos estáticos, se le asigna el 60% para el momento negativo y el 40% para el positivo, según se ve en la tabla de la Fig. 7.23. 4. Armaduras. Para la cuantía mínima, 0.18%, y adoptando φ 8mm cada 20 cm

Asmin = 2.52 cm2/m As = 2.51 cm2/m

Mu = 1390 kgrm/m La faja 1-1 requiere más armadura que la mínima. Con φ 8mm cada 7cm, As=7.64cm2/m, y corresponden las siguientes resistencias: Mn = 3450 Kgrm/m, resistencia nominal. Md = 0.90 x 3450 = 3105 kgrm/m > Mu = 3090 kgrm/m Para la armadura negativa se adopta φ 10mm cada 7cm, con lo cual As = 12 cm2/m Mn = 5100 Kgrm/m, resistencia nominal. Md = 0.90 x 5100 = 4590 kgrm/m = Mu = 4590 kgrm/m

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5. Detalle de armado. Se muestra en Fig.7.23. 6. Verificación al corte. Vu = qu Ly/2 = 3400 kgr/m vu = 3400 /100 x 11 = 3.09 kgr/cm2 < Vd = 6.30 kgr/cm2 7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA. El método de las fajas simples de Hillerborg no puede resolver el caso de losa con aberturas, entrantes de esquinas y entrepisos sin vigas soportados por columnas, sin el uso de franjas de mayor resistencia que ayuden a distribuir las cargas a los soportes. Una banda o franja de resistencia es una faja de ancho razonable que contiene una concentración de armadura y por lo tanto actúa como una viga dentro de la losa. Esa faja de losa puede tener profundidad mayor que el resto del panel si fuera necesario. El uso de las bandas de resistencia se puede apreciar en los casos presentados en las Figs. 7.24, 7.25, 7.26 y 7.27 Como ejemplo de aplicación se puede consultar a Ref. [1], pág. 242.

Fig. 7.24. Losas con carga uniforme y re entrantes.

Fig. 7.25 Losas triangulares con carga uniforme soportadas en dos lados.

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Fig. 7.26(a ) Losa con carga uniforme y con una columna como soporte (b) Losa con carga uniforme y un lado libre de apoyo.

Fig. 7.27 Losa con carga uniforme, apoyos simples y con aberturas.

7.6 MÉTODO DE LAS LÍNEAS DE ROTURA. 7.6.1 INTRODUCCIÓN – FUNDAMENTOS. El método para el análisis límite de losas de hormigón armado conocido como teoría de las líneas de fluencia fue iniciado por Ingerslev (1923) y luego extendido por Johansen (1943). A diferencia del método de Hillerborg, el método de las líneas de rotura responde a la teoría del límite superior, por lo que teóricamente es un método que tiende a sobreestimar la capacidad resistente de la losa. Esta carga última de la losa es evaluada al postular un mecanismo de colapso que es compatible con las condiciones del borde. El mecanismo de rotura queda “dibujado” al trazar sobre el panel las líneas de articulación plástica o líneas de fluencia. La Fig. 7.28(a) muestra el resultado de un ensayo sobre losa rectangular y la (b) indica un tipo de mecanismo de colapso para un panel de losa cuadrada con apoyo simple. En esas líneas críticas se considera que se han alcanzado los momentos de resistencia últimos de la sección. La carga última es luego evaluada siguiendo el principio de los trabajos virtuales o las

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ecuaciones de equilibrio. Las regiones de la losa comprendidas entre las líneas plásticas no son examinadas para asegurar que en ellas no se excede el límite de resistencia, pero ello únicamente ocurriría si se utilizara un mecanismo de colapso incorrecto. Por lo tanto, al utilizar este método, es necesario examinar “todos” los mecanismos posibles por los que la losa puede fallar para asegurar que, mediante la elección de la carga última menor entre todos los mecanismos, la capacidad de la losa no fue sobre evaluada.

Fig. 7.28 (a) Distribución real fisuras para una losa rectangular simplemente apoyada y sometida a carga uniforme, (b) Líneas de fluencia de una losa cuadrada apoyada y con carga uniforme.

Los mecanismos de colapso correctos para los casos más comunes son bastante conocidos (se han realizado numerosos ensayos al respecto) y por lo tanto el diseñador no se ve confrontado con el problema de dilucidar si existen otros posibles modos de falla como alternativas a los propuestos. Debe quedar muy claro que la teoría de las líneas de fluencia supone un modo de falla por flexión, esto es, que la losa tiene suficiente resistencia al corte como para prevenir una falla por corte. En definitiva el método del límite superior postula un mecanismo de colapso para la losa a carga última tal que: (i) los momentos de las articulaciones plásticas no son mayores que el momento resistente último de la sección. (ii) el mecanismo de colapso es compatible con las condiciones de contorno de la losa. 7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA. La teoría de las líneas de fluencia es aplicable a losas que son armadas en forma uniforme (note la diferencia sustancial respecto del método de Hillerborg). Esto significa que el área seccional de acero por ancho unitario se asume como constante a través de la losa, pero puede ser diferente para la armadura en cada dirección y diferente para la armadura superior e inferior. Para tales losas el momento resistente último por ancho unitario tendrá un valor constante a lo largo de cualquier línea recta en el plano de la losa. Generalmente la armadura es colocada en dos direcciones perpendiculares.

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En cuanto a distancia entre las barras de acero, el código ACI-318-2005, y el CIRSOC-201-2005, establecen que en zonas críticas la armadura principal no debe exceder 2 veces el espesor de la losa h. En cuanto a cuantía, la mínima está dada por la expresión 0.756/fy[MPa]= 0.18% para el acero de fy= 420MPa=4200 kgr/cm2, y en este caso la separación máxima debe ser menor de 5 veces la altura de la losa y no superar 450 mm. Para la cuantía máxima, se impone el límite que c/d≤0.0286, ver luego. Esto es para tener seguridad de que es posible la redistribución de esfuerzos. 7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA. Tal como se mencionó en la sección 7.4.2, es necesario que las secciones sean lo suficientemente dúctiles como para permitir que ocurra la rotación plástica en las zonas críticas mientras que la articulación plástica se va extendiendo a las otras zonas de la losa. Ello posibilitará la significativa redistribución de momentos que es necesaria para que la losa pueda desarrollar el mecanismo de colapso propuesto, es decir que se alcance la plastificación casi total de la losa. Sólo en ese caso es posible evaluar la capacidad a partir de la contribución de todas las líneas que han fluido. Uno de los parámetros más influyentes en la capacidad de absorción y de disipación de energía que tendrá la sección es la cuantía de armadura de tracción. La Fig. 7.36 muestra una sección de losa de hormigón armado que será analizada para dos tipos de acero, fy = 2400 kgr/cm2 y fy = 4200 kgr/cm2 (aceros tipo I y tipo III en nuestro medio), tomando diferentes cuantías para ver su influencia en el valor de la ductilidad de curvaturas. La siguiente tabla resume los resultados de ese análisis: Tabla 7.1 Momentos y Ductilidades para diferentes cuantías de acero y diferentes calidades de acero.

ρ% 0.3 0.5 1 1.5 2

ρ% 0.2 0.3 0.5 1

fy = 240 Mpa = 2400 kgr/cm2 Momentos (tcm) µφ Mcrk My Mu 36 46 49 38 36 75 80 21 37 145 152 9 39 212 216 5 40 277 271 4 fy = 420 Mpa = 4200 kgr/cm2 Momentos (tcm) µφ Mcrk My Mu 36 57 59 18 36 85 88 11 36 137 140 6 38 266 254 3

ε s(%) 5.5 3.1 1.4 0.8 0.5

ε s(%) 4.4 2.8 1.5 0.6

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Estos valores fueron calculados mediante el programa de análisis de secciones de hormigón armado sometido a flexocompresión MOCURDU (MOment – CURvature – DUctility), Ref. [10], según los lineamientos propuestos por Park y Paulay, Ref. [5]. La nueva norma ACI-318-2005, ref.[13] y el CIRSOC-2005, ref.[14], exigen que para usar un coeficiente de reducción de capacidad igual a 0.90, es decir que corresponda a flexión, la deformación del acero en la zona traccionada debe se mayor del 0.50%. Sin embargo, el requerimiento de la norma ACI-318-1999, ref.[15] que exigía para redistribución ρmáx