Diseño Unifactorial

August 11, 2017 | Author: Luis Dàvila | Category: Analysis Of Variance, Research Methods, Scientific Method, Statistical Theory, Statistics
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2. EL DISEÑO TRATAMIENTOS)

UNIFACTORIAL

(COMPARACION

DE

La idea principal en este capitulo es el inicio a planear los diseño experimentales y su correspondiente análisis estadístico. En este caso iniciaremos con el diseño de un solo factor, que como su nombre lo indica es el estudio de un solo factor con respecto a una variable de respuesta.

2.1 EJEMPLO DE UN DISEÑO DE UN SOLO FACTOR En el desarrollo de un nuevo producto alimenticio se desea comparar el efecto del tipo de envase sobre la vida de anaquel del producto. Para ello existen tres tipos de envases: Envase A, Envase B, y Envase C. En el experimento se realizaron 10 replicas en cada tipo de envase y al final se mide los días de duración del producto. Los datos obtenidos se muestran en la tabla No. 1.

Factor: Tipo de envase

Respuesta: Días de duración

Media

A

23 28 21 27 35 41 37 30 32 36

31

B

35 36 29 40 43 49 51 28 50 52

41.3

C

50 43 36 34 45 52 52 43 44 34

43.3

Tabla No.1 Resultados del experimento En el ejemplo, podemos ver que: LA VARIABLE DE RESPUESTA: Días de duración del producto alimenticio. EL FACTOR CONTROLADO: Tipo de envase (se tienen tres variantes). LOS NIVELES DEL FACTOR: 3 Tipos de envase

19

2.2 MODELO MATEMÁTICO O MODELO ESTADÍSTICO

El modelo matemático del diseño unifactorial se expresa así,

y

Donde

y

ij

es días de duración;

efecto del tipo de envase;



ij



ij



  i

ij

media global o media general;



i

efecto del factor o

error aleatorio.

2.3 HIPOTESIS DEL EXPERIMENTO El planteamiento estadístico corresponde al contrastar las siguientes Hipótesis: Hipótesis Nula:

H

0

: No influye el tipo de envase en la duración de un producto alimenticio

Hipótesis Alternativa:

H

a

: El tipo de envase influye en la duración de un producto alimenticio

2.4 ANALISIS ESTADISTICO DEL DISEÑO DE UN SOLO FACTOR (ANOVA) El Análisis de Varianza (ANOVA) es una técnica estadística muy poderosa para el estudio del efecto de uno o más factores sobre la media de una variable (y la varianza de la variable). La Idea básica es Descomponer la variabilidad total observada de los datos en dos partes; una debido a las diferencias de los tratamientos y otra debido a un error aleatorio. 2.4.1 DESCOMPOSICION DE LA SUMA (DESCOMPOSICION DE LA VARIABILIDAD)

TOTAL

DE

CUADRADOS 20

La variabilidad total de los datos se obtiene mediante la Suma de Cuadrados Totales (SCTOTALES), el cual a su vez se descompone en dos elementos: 1. La Suma de Cuadrados de Tratamientos (SCTRATAMIENTOS), 2. La Suma de Cuadrados del Error (SCerror).

Considerando los datos del ejemplo,

Suma de Cuadrados Total (SCTOTAL): mide la variabilidad total en los datos, y matemáticamente se obtiene así, (23-38.53)2+(34-38.53)2+ ...... +(34-38.53)2= 2409.5 Donde el 38.53 es el promedio general de los treinta datos. Los Grados de libertad totales, se obtienen restándole uno al total de los datos (30-1=29). Suma de Cuadrados de Tratamientos (SCTRATAMIENTOS): mide la variabilidad en los datos asociada a los tratamientos, que en este caso seria asociada a cada tipo de envase, su cálculo se efectúa de la siguiente manera: 10x(31-38.53)2+10x(41.3-38.53)2+10x(43.3-38.53)2= 871.3 Donde el 10 representa el numero de replicas por tratamiento (o tipo de envase); el 31 es el promedio del envase A, el 41.3 es el promedio del envase B y el 43.3 es el promedio del envase C. Los grados de libertad son el numero de tratamientos menos uno, es decir cada tipo de envase es un tratamiento por consiguiente son 3 le restamos uno y obtenemos dos grados de libertad (3-1=2). Suma de Cuadrados Del Error (SCERROR): mide la variabilidad que no es debida a las diferencias entre tipo de envase o tratamientos es la variabilidad interna en los tratamientos o envases, en esta variabilidad se incluye la variabilidad de errores de medición, de experimentador o cualquier fuente externa al experimento. Los cálculos se efectúan de la siguiente manera, (23-31)2+….+(36-31)2 +(35-41.3)2+…+(52-41.3)2 +(50-43.3)2+ ... + (34-43.3)2 = 1538.2 El calculo de sus grados de libertad son el total de datos menos el numero de tratamientos, en este caso, es 30-3=27.

21

Finamente, notemos que SCTOTAL= SCTRATAMIENTO + SCRESIDUAL, es decir 2409.5 = 871.3 + 1538.2

2.4.2 CUADRADOS MEDIOS Una vez obtenidos las sumas de cuadrados se procede a obtener los cuadrados medios, el primero es el Cuadrado Medio de los Tratamientos (CMTRATAMIENTOS), el cual se obtiene dividiendo la SCTRATAMIENTOS entre sus grados de libertad, como se muestra a continuación

CM

TRATAMIENT OS



SC

TRATAMIENT OS

a 1



871.3  435.65 2

Donde a es el numero de tratamientos o envases. El segundo es el Cuadrado Medio del Error (CMerror), que se obtiene dividiendo la suma de cuadrados del error entre sus grados de libertad, su cálculo se efectúa así,

CM

ERROR



SC

ERROR

N a



1538.2  56.97 27

Donde N es el total de datos y a es el numero de tratamientos. 2.4.3 OBTENCION DE LA F CALCULADA O DE LA

F

0

La F-calculada o la F0, se obtiene al dividir el cuadrado medio del tratamiento en tre el cuadrado medio del error, como se muestra a continuación,

F

0

 CM TRATAMIENT O 

CM

ERROR

435.65  7.6 56.97

2.4.4 OBTENCION DE LA F DE TABLAS F(tablas) 22

En las tablas de la distribución F de Fisher (apéndice) podemos ver que para un   0.05 con 2 grados de libertad en el numerador y 27 grados de libertad en el denominador se tiene que el valor de la F(tablas) es 3.35. 2.4.5COMPARACION DE LA Fo CON LA F(tablas) Si el valor de la Fo es mayor que el valor de la F(tablas) entonces se rechaza la hipótesis nula, en los resultados se puede ver que Fo=7.647>F(tablas)=3.35, entonces podemos concluir que si existen diferencias en los tipos de envase. En otras palabras el tipo de envase si influye en la duración de un producto alimenticio. Todos los resultados anteriores se pueden ver en la siguiente tabla llamada Análisis de Varianza. Tabla de Análisis de Varianza, usando el programa Statgraphics Fuente de var.

Suma de Cuad.

Tratamiento

871.3

Error Total

g.l.

cuad. medio F-ratio P-value(7.647)

2

435.63

1538. 2

27

56.97

2409.5

29

7.647

0.0023

Nótese que el análisis de varianza solo nos indica que si existen diferencias entre los envases, pero no establece cual es mejor. Para ello se requiere hacer un análisis complementario conocido como Prueba de Rangos Múltiples. La prueba de rangos múltiples consiste en comparación de medias de los tratamientos. 2.5 COMPARACIÓN DE PAREJAS DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS Existen varios métodos de comparación de tratamientos, los cuales consisten en comparar todas las medias de tratamientos, uno de los más usuales es Método de la Mínima Diferencia Significativa (LSD, del inglés least significant difference). Supongamos que después de haber rechazado la hipótesis nula, con base en una prueba F de análisis de varianza, se desea probar todas las posibles comparaciones de medias de los tratamientos. Para ello se realizan el siguiente procedimiento 1. Se calcula el valor del LSD mediante la siguiente formula

23

LSD = t/2,N -a

2 CM ERROR n

Donde t/2(N-a) es la t-student con un nivel de confianza  y N-a grados de libertad; CMerror es el cuadrado medio del error del análisis de varianza. En el ejemplo el valor del LSD es,

LSD= t (

2 , N a )

2CM Error 2(56.97)  2.052  6.9265 n 10

Donde el valor de t/2(N-a) se obtuvo analizando las tablas de la distribución t-student, para un nivel de confianza  =0.05 y 27 grados de libertad.

2. Se calculan las medias de los tratamientos Tipo de envase A B C

Media 31 41.3 43.3

3. Se calculan el valor absoluto de las diferencias de medias de todos los tratamientos El envase A con el envase B

31  413 .  10.3 El envase A con el envase C

31  43.3  12.3 El envase B con el envase C

413 .  43.3  2 4. Comparación del valor absoluto de la diferencia las medias de los tratamientos con el valor del LSD

.  10.3 > 6.92, por lo tanto el tipo de envase A es diferente al tipo de envase B * 31  413 * 31  43.3  12.3 >6.92, por lo tanto el tipo de envase A es diferente al tipo de envase C 24

* 413 .  43.3  2
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