Diseño Teorico de Controladores Por LGR.

Diseño teorico de controladores Método: lugar geométrico de las raíces

Integrantes: Camilo Aceituno. Carlos Escalona. Arístides Zapata. Asignatura: Control automático de procesos Docente:

Cesar Álvarez

Fecha de realización: 30 de septiembre, 2015

Objetivos de la actividad:    

Identificar las especificaciones de diseño de un sistema en el plano complejo “s”. Reconocer el lugar geométrico de las raíces para la sintonización de controladores. Analizar la respuesta dinámica de los sistemas, mediante el uso del software Matlab. Diseñar controladores, según el método del lugar geométrico de las raíces.

Actividad a realizar I.

Identificar el lugar geométrico de las raíces: 1. Ubicar los polos y ceros del sistema en lazo abierto sobre el plano complejo “S” 2. Determinar y observar los puntos del eje real que pertenecen al lugar de las raíces. 3. Determinar y observar las asíntotas de las ramas del lugar de las raíces. 4. Hallar los puntos de ruptura y confluencia para un valor de ganancia. 5. Hallar los puntos del lugar de las raíces que cruzan el eje imaginario para un determinado valor de “K”. 6. Situar los polos del lazo cerrado en las ramas del lugar de las raíces y determinar el valor de la ganancia K correspondiente.

II.

Analizar el lugar geométrico de las raíces para los siguientes sistemas y observar la respuesta según se varia el valor de la ganancia “K” Análisis dinámico del LGR, de acuerdo a las acciones de control. Diseño de un controlador PID utilizando el LGR.

III. IV.

Para los siguentes sistemas:

G(s)H(s)= I. i. ii. iii.

iv.

v. vi.

1 S +2 S 2

Identificar el LGR: Habrán dos polos y estarán en -2 y 0. Las raíces que se ubicaran en el eje real se moverán desde el 0 al -2 Las asíntotas se encontraran ubicadas en el eje real desde el 0 al -2 y se ubicaran en una línea paralela al eje imaginario como se observa en la figura El punto de ruptura se dará para un valor K > 1 y no habrá un punto de confluencia ya que los ceros del sistema se ubican en la línea paralela al eje imaginario. Ceros de sistemas = ∞ No hay un punto en el que las raíces crucen el eje imaginario Al situar las raíces el valor de “K” será igual 1

Fig.1 lugar geometrico de las raices II.

Análisis del LGR según la respuesta del sistemas mediante la variación de “K” Según se varia el valor de K los polos se mueven hacia el eje paralelo al imaginario y luego se despegan conforme el valor K aumenta se observa lo siguiente  Para un K = 1, habrá un Ts = 5.81s y un SP= 0%  Para un K=2 habrá un Ts= 4.22 y un SP= 4.32%  Para un K=3 habrá un Ts = 3.4 y SP= 10.38%  En conclusión para un K>1 la respuesta se hace subamortiguada, aumenta el overshoot y a su vez disminuye el Ts.

Fig.2 ganancia igual a 2. III.

Análisis dinámico del LGR según el tipo de acción:  Para una acción Integral:

Fig.3 LGR para una acción I De acuerdo a la imagen anterior, el integrador se ubica en -1 en el eje real esta acción introdujo un nuevo polo, el polo ubicado en -2 se

moverá hacia la izquierda y los polos ubicados en 0 y menos -1 se acercaran mediante se aumenta la ganancia.

Fig.4 respuesta del sistema para un K=1 La respuesta del sistema se hará poco favorable en términos de sobre impulso porcentual y tiempo de settling mediante aumentamos la ganancia .

Fig.5 respuesta del sistema para un valor de K=2. SP=38.9% Ts= 16 s



Para una acción Derivativa:

Fig.5 LGR con acción derivativa. Mediante se aumenta el valor de k la respuesta se hace más rápida

Fig.6 Respuesta del sistema con K=2

Fig.7 respuesta del sistema con K=6

Fig.8 respuesta del sistema con K= 11

IV.

Diseño de un controlador PID.

Debido al análisis antes realizado concluyo que el mejor controlador a utilizar es un PD esto porque cumple con los requerimientos de diseño es decir un SP ≤ 5% y un Ts ≤ 2s

Fig.9 respuesta del sistema Ts= 1.74s SP= 0%

Para el siguiente sistema: G(s)H(s)= I. i. ii.

1 s (s +1)(s+ 2)

Identificar el LGR: Habran dos polos y se ubicaran en -2, en -1 y en 0; el sistema no tiene ceros. Los 3 polos se ubicaran en el eje real y su trayectoria variara según se manipule la ganancia, el polo ubicado en -2 se movera por el eje real hacia el infinito mientras que el polo ubicado en cero se movera hacia la izquierda en busca del otro polo en -1 , luego de encontrarse se despegaran describiendo un movimiento por las asintotas del sistema.

iii.

Fig.10 LGR de las raíces y asíntotas. iv.

v. vi.

II.

El punto de ruptura se dará para un K ≥

0.3849 y el punto de

confluencia es indeterminado ya que no hay ceros definidos en el sistema. Cruzaran el eje imaginario con una ganancia K≥6 La situar las polos sobre las ramas de las raíces de obtiene un K= 0.3849

Analizar lugar geométrico de las raíces y observar las respuestas mediante se modifica el valor de “K”. Mediante aumentamos el valor de la ganancia la respuesta temporal se hace subamortiguada, en tanto más se aumente la ganancia más inestable será el sistema, por ejemplo para un valor de K= 6 tendremos una respuesta oscilatoria.

Fig.11 LGR del sistema y respuesta del sistema para un K=0.5

Para un valor de K= 1.5

Fig.12 para un valor de K= 1.5

Para un valor de K= 4

Fig. 13 para un valor de K= 4

III.

Análisis del lugar geométrico de las raíces según las acciones de control. Para una acción Integral:

Fig.14 Ubicación del LGR para el sistema con un integrador en -1.

Mediante desplazamos el integrador hacia la izquierda por el eje real en una unidad, notamos que la ganancia limite o ganancia critica del sistema se comporta de la siguiente forma: Si I = -1; Kcritica= 2.2 Si I = -2; Kcritica= 3 Si I =-3; Kcritica= 4 Si I = -4; Kcritica= 5

Para una valor de ganancia igual a 1, cuando el integrador se ubica en -1 la respuesta del sistema será la siguiente

fig.15 SP= 40.3% Ts= 28.1

Debido al análisis concluyo que para un sistema sin ceros la acción integral no es conveniente ya que las asíntotas tienden a cruzar el eje imaginario en busca de los ceros en el infinito, esto en términos de control implica que la ganancia limite se verá reducida y las características de la respuesta del sistema se empeoraran es decir aumentara el tiempo de settling y aumentara el overshoot. La respuesta se hará inestable.

Para una acción derivativa: Fig.16 LGR real, acción

con un Zero derivativa

De acuerdo a habrá un ubicado en los polos del ubicaran en

la imagen, Zero real -1, y ahora sistema se -2 y en 0.

Mediante aumentemos el sistema mas rápido.

la ganancia responderá

Fig.17 LGR para una ganancia igual a 2 y respuesta del sistema.

Fig.18 LGR para un valor de ganancia igual a 4 y respuesta del sistema.

Fig.19 LGR para un valor de ganancia igual a 8 y respuesta del sistema. Mediante se aumenta la ganancia el sistema tiende a responder más rápido pero a su vez se genera un sobrepaso mayor.

IV.

Diseño de un controlador PID

Mediante el uso de la herramienta en sisotool, de PID tunning se pueden calcular de modo automático los parámetros del controlador, valiéndose de esta herramienta se procede al diseño optimo del controlador.

Para un controlador PI:

Fig.20 Diseño de un controlador PI y respuesta del sistema. De acuerdo a los parámetros de diseño de un SP≤5% y un Ts≤2s Las líneas de color negro indican los márgenes del movimiento de las raíces para cumplir con los requerimientos de diseño, en este caso el controlador PI no logra cumplir con estas características.

Para un PD:

Fig.21 diseño de controlador PD y respuesta del sistema. Al aplicar un controlador PD se obtiene la respuesta deseada, esto porque la respuesta está dentro de los requerimientos es decir tiene un SP= 1.81% y un tiempo de settling igual 1.99 segundos, para lograr esto la ganancia es igual a 2.1309.

Se ubicó automáticamente un Zero real en -0.8 y un polo real en -162.

Para el siguiente sistema:

( s+ 4 )( s +6) G(s)H(s)= (s +3)(s +2)

I. i. ii.

Identificar el LGR. Habrán dos polos ubicados en -2, -3. También tendremos dos ceros ubicados en -4 y -6. Los dos polos y los dos ceros se ubicaran en el eje real, el polo ubicado en -3 se moverá por el eje real en busca del otro polo ubicado en -2, al encontrarse en el punto de ruptura se moverán por las asíntotas del sistemas en busca de los ceros de nuestro sistema.

iii.

Fig. LGR de las raices y asintotas.

iv. v.

vi.

II.

El punto de ruptura se dará para una K ≥

0.5051 y el punto de

confluencia para una k= 4.9495. No existe un valor de ganancia que haga que los polos tiendan a sobrepasar el eje imaginario, haciendo que nuestro sistema se vuelva inestable ya que estos siempre van a tender buscar los ceros del sistema. Al situar las polos sobre las ramas de las raíces de nuestro sistema podemos obtener la siguiente ganancia K=0.5051. Analizar el LGR y observar la respuesta mediante se modifica la ganancia.

Fig.21 Lugar geometrico de las raices.

De acuerdo al análisis:

Mediante aumentamos la ganancia en este sistema el tiempo de asentamiento disminuye, además este posee muy buenas características pues mientras aumentamos la ganancia el sistema no se sobre amortiguada y no se produce sobre impulso. Otra característica de este sistema es que no oscila cuando asignamos más ganancia.

Fig.22 LGR y respuesta del sistema para un K= 1.

Fig.23 LGR y respuesta del sistema para un k=4.

Fig.24 LGR y respuesta del sistema para un K=23.

III.

Analisis del LGR según el tipo de acción. Para un acción Integral:

Fig.25 LGR + integrador.

Según el análisis: De acuerdo a la respuesta del sistema, el sistema sigue manteniendo buenas características pues tiene una respuesta rápida (tiempo de establecimiento), a diferencia del sistema sin integrador este genera un sobrepaso al aumentar la ganancia, por ejemplo para una ganancia de 3.7 se tendrá un overshoot de un 20%, pero al aumentar la ganancia el sistema disminuye su sobrepaso por eso para una ganancia de 100 se obtiene un overshoot de 3.71%. Al aumentar la ganancia disminuye consigo el Ts.

Fig.26. LGR y respuesta para una ganancia igual a 0.5.

Fig.27 LGR y respuesta para una ganancia igual a 10.

Fig.28 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 80.

Para un acción derivativa:

Fig.29 lugar geometrico de las raices del sistema. La acción derivativa en este caso produce que la salida del sistema en el instante 0 alcance su máxima amplitud y en los segundos posteriores la respuesta se estabilice.

Fig.30 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 1

Fig.31 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 4.

Fig.32 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 8.

IV.

Diseño de un PID

Para este sistema se pueden aplicar controladores PI , PD y PID debido a los requerimientos de diseño se aplicara un controlador P ya que su construcción es más sencilla y se cumplen los requerimientos de diseño.

Fig.33 Lugar geometrico de las raices.

Fig.34 respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.54819.

Para el siguente sistema:

( s +2 ) G(s)H(s)= s +2 s+10 2

I. i.

ii.

Identificar el LGR Tendremos dos polos ubicados en -1 del eje real y en -3y 3 del eje imaginario y, también tendremos dos ceros uno ubicado en el infinito y el otro en -2 del eje real. Los dos polos se ubicaran a la izquierda de nuestro sistema sobre el eje real y paralelos al eje imaginario al no haber punto de ruptura su movimiento serán sobre las asíntotas del sistema en busca de los ceros inmediatamente.

iii.

Fig. LGR de las raices y asintotas.

iv.

v.

En este sistema no tendremos un punto de ruptura por lo tanto tampoco una ganancia, si tendremos nuestro punto de confluencia para una ganancia igual a 8.3246. No existe un valor de ganancia que haga que los polos tiendan a sobrepasar el eje imaginario, haciendo que nuestro sistema se

vi.

II.

vuelva inestable ya que estos siempre van a tender buscar los ceros del sistema. Debido a que tenemos dos polos complejos conjugados no tenemos un punto de ruptura en nuestro sistema donde ubicar los polos. Analizar el LGR y observar La respuesta mediante se modifica la ganancia.

Fig.35 Lugar geomerico de las raices.

De acuerdo al análisis: Mediante aumentamos la ganancia se observa que la respuesta en un inicio es sobre amortiguada y tiene un notable sobrepaso, pero mediante el aumento de la ganancia el sistema disminuye su sobrepaso y a la vez disminuye el tiempo de asentamiento.

Fig.36 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 1.

Fig.37 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 4.

Fig.38 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 20.

Fig.39 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 90.

III.

Análisis del Lugar geométrico de las raíces según las acciones. Para una acción Integral:

Fig.40 lugar geometrico de las raices para una accion integral Al aumentar la ganancia el polo se moverá desde el origen (0) hasta la ubicación del Zero en -2, en tanto se aumenta la ganancia el sistema se comportara de la siguiente manera:

Fig.41 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 2.

Fig.42 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 6.

Mediante aumentamos la ganancia el sistema se sub amortiguada pero genera un sobrepaso aun mayor, mientras que el tiempo de asentamiento se mantiene siempre mayor a los 5 segundos, en conclusión un integrador para este sistema no es conveniente pues impide lograr los requerimientos de diseño de un sobre impulsó menor o igual al 5%.

Para una acción derivativa:

Para una acción Derivativa se debe ubicar un Zero real, en este sistema se ubica en -1. Mediante el análisis se determinó que, mientras mayor sea la ganancia menor será el sobre impulso pero el tiempo de asentamiento seguirá siendo mayor a

los 4 segundos. Por ejemplo para una ganancia de 100 se tendrá un overshoot igual al 4.01% y un Ts de 4.44 segundos. Otra característica de este sistema es que en el instante cero el sistema ya alcanzo el peak de la señal decreciendo con el paso del tiempo.

Fig.43LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 100.

IV.

Diseño de un controlador.

Mediante el uso de la herramienta PID tuning se puede determinar que controlador es el más óptimo para el sistema en este caso no son viables los controladores PD y PI, pero se pueden aplicar controladores P y PID.

Controlador P:

Fig.43 respuesta del sistema para una ganancia igual a 42.

Controlador PID

Fig.44 respuesta del sistema para una ganancia igual a 33.19.

Para lograr los requerimientos del sistema se ubicó un Zero real en -2.47, un polo real -49 y el integrador en el origen del plano “s” (0)

Para el siguiente sistema:

( s +10 ) G(s)H(s)= s 3+5 s2 +6 s I. i.

Identificar el lugar geométrico de la raíces. Tendremos tres polos en nuestro sistema ubicados en 0, -2, -3 del eje real también tendremos dos ceros un ubicado en -10 del eje real y el otro ubicado en el infinito al lado izquierdo del eje imaginario.

ii.

Los polos se moverán de la siguiente forma el polo ubicado en -3 del eje real buscara el cero ubicado en -10 del eje real, y los otros dos polos buscaran el otro cero separándose en su punto de ruptura, siguiendo su camino por las asíntotas del sistema.

iii.

iv.

v.

vi.

II.

Tendremos nuestro punto de ruptura cuando la ganancia de nuestro sistema sea 0.2298. no tendremos una ganancia que nos permita observar el punto de confluencia en este sistema. Si nuestro sistema toma una ganancia mayor o igual a 5.8975 estaría volviéndose inestable ya que sobrepasaría el eje imaginario. Al situar las polos sobre las ramas de las raíces de nuestro sistema podemos obtener la siguiente ganancia K=0.2298. Analizar el LGR y observar la respuesta mediante se modifica la ganancia.

Fig.45 Lugar geometrico de las raices.

De acuerdo al análisis: La ganancia crítica de este sistema es igual a 5.89, esto nos indica el punto en que la respuesta del sistema se torna oscilatorio, mientras se respete ese margen la respuesta de comportara de la siguiente manera:

fig.46 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.214.

Fig.47 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.4

Fig.48 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 1.55.

Mientras más aumente la ganancia mayor será el sobre impulsó de la respuesta. III.

Análisis del lugar geométrico según las acciones Para una acción integral.

Fig.49 lugar geométrico de la raíces.

Fig.50 LGR y respusta del sistema para una ganancia igual 0.00381.

Fig.51 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.03. Al aplicar un integrador, los parámetros de ganancia deben ser menores, puesto que al aumentar la ganancia el sistema produce un mayor sobrepaso, esta acción no mejora el sistema.

Acción derivativa:

Fig.52 lugar geométrico de las raíces.

Al introducir el Zero real (acción derivativa) se logra que el tiempo de asentamiento de disminuya drásticamente, dicha acción logra un sistema más rápido. En términos de sobre impulso, la acción derivativa contra resta los efectos obteniendo así una respuesta lo más estable posible y con un mínimo de overshoot.

Fig.53 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 2.33

IV.

Diseño de un controlador: De acuerdo a lo visto y a las configuraciones antes utilizadas, se estimó que el controlador que mejor se ajusta en términos de respuesta y características es el controlador PD puesto que asegura velocidad en la respuesta y no genera un sobre impulso mayor al 10%.

Fig.54 LGR y respuesta del sistema para un controlador PD y ganancia igual a 2.8898.

Para el siguiente sistema:

( s 2−2 s +2 )

G(s)H(s)= (s 3 +4 s 2+ 5 s+2) I. i

ii

iii

Identificar el LGR Tendremos tres polos en nuestro sistema ubicados uno en -2, y los otros dos en -1 del eje real, también tendremos tres ceros, uno ubicado en el semiplano izquierdo en el infinito y un par de ceros complejos conjugados ubicados en 1 en el semiplano derecho El polo ubicado en -2 se moverá hacia la izquierda en busca del cero ubicado en el infinito y los otros dos polos ubicados en -1 se moverán por las asíntotas del sistema en busca de los ceros ubicados en 1 del semiplano derecho.

Fig.55 LGR de las raíces y asíntotas. iv

v vi

I

Tendremos nuestro punto de ruptura cuando la ganancia de nuestro sistema sea 0, no tendremos una ganancia que nos permita observar el punto de confluencia en este sistema. Si nuestro sistema toma una ganancia mayor o igual a 2 este se torna inestable ya que sobrepasaría el eje imaginario. Al situar las polos sobre las ramas de las raíces de nuestro sistema podemos obtener la siguiente ganancia K=0. Analisar el LGR y observar la respuesta mediante se modifica la ganancia.

Fig.56 Lugar geométrico de las raíces.

De acuerdo al análisis: Mediante el aumento de la ganancia se observa que la respuesta en un inicio es sub amortiguada y tiene un notable sobrepaso de un 48.4 % con una ganancia igual a 1, pero mediante el aumento de la ganancia el sistema aumenta su sobrepaso porcentual y el tiempo de asentamiento. al aumentar la ganancia los polos buscan los ceros del sistemas ubicados en el semiplano derecho volviéndose cada vez más inestable teniendo una ganancia critica igual a 2, al sobrepasar esta ganancia tendremos una señal oscilatoria para nuestro sistema.

Fig.57 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 1.

Fig.58LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 1.5.

Fig.59 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 2.

II

Análisis del Lugar geométrico de las raíces según las acciones. Para una acción Integral:

Fig.60 lugar geometrico de las raices para una accion integral, ganancia = 0.

Al aumentar la ganancia el polo se moverá desde el origen por las asíntotas del sistema en busca del Zero en 1 del semiplano derecho , en tanto se aumenta la ganancia el sistema se comportara de la siguiente manera:

Fig.61 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.1.

Fig.62 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.5 Mediante aumentamos la ganancia el sistema se sub amortiguada pero genera un sobrepaso aun mayor, mientras que el tiempo de asentamiento se mantiene siempre mayor a los 5 segundos, en conclusión un integrador para este sistema no es conveniente pues impide lograr los requerimientos de diseño de un sobre impulsó menor o igual al 5%.

Para una accion derivativa:

Para una acción Derivativa se debe ubicar un Zero real, en este sistema se ubica en -1. Mediante el análisis se determinó que, mientras mayor sea la ganancia mayor será el sobre impulsó pero el tiempo de asentamiento seguirá siendo mayor a los 4 segundos. Por ejemplo para una ganancia de 0.5 se tendrá un overshoot igual al 24.7% y un Ts de 6.71 segundos.

.

Fig.63 LGR y respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.5

III

Diseño de un controlador.

Mediante el uso de la herramienta PID tuning se puede determinar que controlador es el más óptimo para el sistema en este caso no son viables los controladores P y PI, pero se pueden aplicar controladores PD y PID. Controlador PD:

Fig.63 respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.22961.

Controlador PID:

Fig.64 respuesta del sistema para una ganancia igual a 0.20518.

Como podemos observar en este sistema no logramos obtener el tiempo deseado con ningun controlador, pero estos dos entregan una respuesta mas sercana a lo solicitado con un overshot menor al 5%.

Conclusiones: El diseño y ajuste de un controlador es un trabajo muy minucioso pues implica conocer además las características del sistema a controlar, existen diversos métodos de sintonización ya sean empíricos o teóricos como lo son los métodos de Zieglers Nichols de oscilación permanente o relación 4:1 entre los métodos empíricos está el método del lugar geométrico de las raíces, es este método el que desarrollamos durante el informe, la actividad consistía en determinar el lugar geométrico y observar las características del sistema mediante la aplicación de una entrada escalón y la manipulación de la ganancia, es mediante la observación de la respuesta que se pueden determinar los distintos tipos de controladores que darán lugar a una respuesta estable y de buenas características, esto muchas veces se traduce en factores como el sobre impulso porcentual y el tiempo de asentamiento. Sin embargo hay sistemas en el que no se logran cumplir los requerimientos de diseño puesto que las características del sistema requieren un ajuste aún más fino de los parámetros del controlador, es sabido que no siempre se pueden obtener los parámetros pero se debe tratar de mejorar todo lo posible la respuesta del sistema pues un buen ajuste implica un buen control del sistema ante perturbaciones.