Diseño Practico de Cimentaciones

A mi mejor amiga y compañera, a mi esposa Lupín, por su paciencia, comprensión y cariño, por el mucho tiempo que le he robado para la realización de este trabajo. A mis hijos Marisol y Josemaría y a mi yerno Gerardo. Y por supuesto a mi futura nieta Lucía, que ya la esperamos con mucho amor.

ACLARACIONES La intención de éste trabajo es mostrar al lector como diseñar una cimentación de concreto reforzado pare maquinaria por medio de un procedimiento práctico. Se considera que este forma de diseño tendrá utilidad debido a la poca Información existente sobre el tema, sirviendo tanto a los estudiantes de ingeniería como a los Ingenieros que requieran una guía para el diseño de este tipo de problemas. Es importante destacar le importancia de un diseño satisfactorio en este tipo de cimentaciones pues las fallas en éstas acarrean pérdidas económicas tales como daño a la maquinaria, interrupción de le producción, etc. En el diseño se he seguido un procedimiento práctico sin profundizar en la teoría matemática de vibraciones ni en le dinámica de cuerpos sólidos, sino recurriendo a Diagramas, Figuras y Tablas que se apoyen en dichos estudios para estar en condiciones de dar une solución aceptable al problema. Este trabajo esta apoyado en su mayoría en el texto ”Foundations For Reciprocants Machines” de K. Irish y W. P. Welker (lnglaterra, 1967). El texto y gran parte de este trabajo ha sido readaptado y vuelto a analizar por el Ing. José Roberto Zetina Muñoz, basado en otros trabajos previos (ver Bibliografía). México, D.F. Enero 2011

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DEFINICIONES A lo largo de este trabajo se usarán varios términos los cuales es necesario entender en su significado exacto. VIBRACIONES.- Vibración es un estado continuo de oscilación el cual ocurre a intervalos o períodos constantes, es decir con una frecuencia regular. CICLO.- Un ciclo describe una oscilación completa esto es, un modelo completo de amplitud de vibración descrita en cada ciclo. FRECUENCIA.- La frecuencia (fx, fy, fz, f, f y f) es el número de ciclos repetidos en unidades de tiempo, y se expresa en ciclos por minuto (c.p.m.) AMPLITUD.- La amplitud de vibración (Ax, Ay, Az, A A y A) describe la máxima extensión del movimiento producido, es decir, el máximo desplazamiento de la posición de reposo (ver Fig. 1 (a)). Este movimiento es a veces predominantemente vertical u horizontal, o puede ser descompuesto en estos vectores. VIBRACIÓN LIBRE.-La vibración libre se inicia por una sola aplicación de una fuerza externa. Continúa a una frecuencia constante pero con una amplitud cada vez menor. VIBRACIÓN FORZADA.- La vibración forzada es una vibración, la cual es mantenida constante por Ia aplicación de una fuente de energía externa. Esta sustituye a la energía perdida dentro del sistema debido a la disminución de la amplitud de onda interna y es el tipo de vibración experimentada con la maquinaria industrial. FRECUENCIA NATURAL.- Es la frecuencia con la cual un cuerpo vibra naturalmente cuando esta sujeto a la aplicación de una fuerza externa. Un buen ejemplo es la vibración de una horquilla la cual, independientemente de la magnitud del soplo, dará la misma nota, esto es, vibrará a la misma Frecuencia. FRECUENCIA DE FORZAMIENTO.- La frecuencia de forzamiento o frecuencia excitante es la frecuencia de la Fuerza la cual causa la excitación del sistema. José Roberto Zetina Muñoz

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RESONANCIA.- Cuando un sistema es accionado por una tuerza externa cuya frecuencia coincide con la frecuencia natural del sistema, entonces teóricamente la amplitud de vibración aumentaría y continuaría incrementándose hasta el infinito. En la mayoría de los sistemas prácticos existe un grado de amortiguamiento de la amplitud de ondas internas y un máximo finito de máxima transmisibilidad se logra. El sistema maquinacimentación puede sufrir daños a menos que se garantice una adecuada disminución de la amplitud de onda para guardar la transmisibilidad de la resonancia dentro de los límites permisibles. RAZÓN DE FRECUENCIAS.- Es la relación entre la frecuencia de excitación y la frecuencia natural de la cimentación. La resonancia ocurre cuando la relación de frecuencias es uno. ALTA Y BAJA FRECUENCIA.- Una cimentación con alta frecuencia natural es aquella cuya frecuencia natural es mayor que la frecuencia de excitación, es decir, que la relación de frecuencia es menor que la unidad. Una cimentación con baja frecuencia natural es aquella cuya frecuencia natural es menor que la frecuencia de excitación, es decir, que la relación de frecuencias es mayor que la unidad. MÁQUINAS RECIPROCANTES.- Son aquellas en las que el movimiento, debido generalmente a la expansión violenta de un gas, se logra mediante la combinación de émbolos, bielas y manivelas. EI movimiento alternante generalmente armónico simple, del émbolo, se transforma por la acción de la biela en un movimiento circular de la manivela. Generalmente son máquinas de baja velocidad. Ejemplo: máquinas de vapor, motores Diesel y de gasolina, compresoras de émbolo, etc. MÁQUINAS ROTATORIAS.- En máquinas de éste tipo, el desplazamiento de casi todas las partes móviles describe una trayectoria circular. El movimiento generalmente obedece a la ley de la acción y reacción al desplazarse un fluido entre los álabes de una o más ruedas. En otros casos el movimiento se debe a la existencia de un conductor dentro de un campo magnético variable. Generalmente son máquinas de alta velocidad. Fundamentalmente las máquinas de este tipo son turbinas o motores eléctricos.

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NOTACIÓN Y UNIDADES Símbolo

Concepto

a A Ax, Ay Az AA A B Cx,Cy

Sección transversal de un pilote Área de cimentación Amplitud horizontal Amplitud vertical Amplitud de oscilación Amplitud de torsión Término sin dimensiones Coeficiente de desplazamiento uniforme Coeficiente de compresión uniforme Coeficiente de compresión no uniforme Coeficiente de desplazamiento no uniforme Constante de amortiguamiento Módulo elástico dinámico del suelo Módulo elástico dinámico del material del pilote Fuerza horizontal fuera de balance Fuerza vertical fuera de balance Frecuencia horizontal Frecuencia vertical Frecuencia de oscilación Frecuencia de torsión Aceleración de la gravedad Ver figura 3 Momento de inercia de área de una base plana (sobre el eje en un plano perpendicular al plano del momento o fuerza aplicado) Momento de inercia polar de área de una base sobre el eje vertical que pasa a través del centro del área de contacto.

Cz CC C  E Ep Fx, Fy Fz fx, fy fz ff f g  I’x,y

I’z

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Unidades Métricas cm2 cm2 cm cm cm cm Kg/cm3

Unidades Inglesas plg2 plg2 plg plg plg plg lb/pug3

Kg/cm3 Kg/cm3

lb/pug3 lb/pug3

Kg/cm3

lb/pug3

Kg/cm2 Kg/cm2

lb/pug2 lb/pug2

kg kg c.p.m. c.p.m. c.p.m. c.p.m. cm/seg2 cm cm4

lb lb c.p.m. c.p.m. c.p.m. c.p.m. plg/seg2 plg plg4

cm4

plg4

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NOTACIÓN Y UNIDADES Símbolo Ip

Concepto Momento de inercia de área de un pilote

I’px,y

Momento de inercia de área de un grupo de pilotes (sobre el eje en un plano perpendicular al plano del momento o fuerza aplicado) I’’p Momento de inercia polar de área de un grupo de pilotes (l'px + l’py) sobre el eje vertical que pasa a través del centro del grupo de pilotes (ver Apéndice 2) Jx,y Momento de inercia de masas de la cimentación y máquina sobre el eje en un plano perpendicular al plano del momento o fuerza aplicado. Js Momento de inercia de masas de Ia cimentación y máquina sobre la base plana (con respecto al eje en un plano perpendicular al plano del momento o fuerza aplicada) Jz Momento de inercia polar de la masa sobre el eje vertical que pasa a través del centro de gravedad combinado de la cimentación y máquina. K1, K2, K3, Términos varios; ver texto y K4, K5, K6 Diagramas correspondientes. l Longitud del pilote l1 Longitud efectiva del pilote Mx,y Momento total vertical fuera de balance Mz Momento horizontal fuera de balance m masa de la cimentación y máquina José Roberto Zetina Muñoz

Unidades Métricas cm4

Unidades Inglesas plg4

cm4

plg4

cm4

plg4

kg-cm /seg2

lb-plg /seg2

kg-cm /seg2

lb-plg /seg2

kg-cm /seg2

lb-plg /seg2

-

-

cm cm kg-cm

plg plg lb-plg

kg-cm

lb-plg

kg-seg2 /cm

lb-seg2 /plg

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NOTACIÓN Y UNIDADES Símbolo m1 N

n o C R t  W  2 x ,y2 z2 2,2 2  v 

Concepto

Unidades Métricas kg-seg2 /cm

Unidades Inglesas lb-seg2 /plg

masa de partes rotativas (máquinas centrífugas) Velocidad de la máquina para fuerza r.p.m. r.p.m. primaria o velocidad secundaria de la máquina para fuerza secundaria Número de pilotes Excentricidad fuera de balance cm plg (máquinas centrifugas) Coeficiente elástico en fórmulas (9a) kg/cm lb/plg a (9c) Radio de la cimentación cm Plg 2 Resistencia del terreno T/m Kips/ft2 Relación de Poisson del suelo Peso de la cimentación y maquinaria kg lb Amplificador dinámico 2 -2 (Frecuencia horizontal límite) seg seg-2 (Frecuencia vertical límite) 2 seg-2 seg-2 (Frecuencia de oscilación límite) 2 seg-2 seg-2 (Frecuencia torsional límite) 2 seg-2 seg-2 Densidad de la masa del suelo kg-seg2 /cm4 lb-seg2 /plg4 Factor relacionado con el espaciamiento de pilotes adimensional adimensional Velocidad angular del movimiento radianes/seg radianes/seg circular

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CAPÍTULO 1.- INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes El diseño de cimentaciones de maquinaria pesada de cualquier tipo es un problema sumamente complejo. Aún en los países más industrializados se acostumbra diseñar estas cimentaciones por medio de recetas más o menos empíricas desarrolladas localmente y, por tanto, aplicables solamente a las características de la maquinaria y del suelo para las que fueron deducidas. Esta por demás decir que estas recetas (del tipo: tantos metros cúbicos de concreto para cada kilo watt de potencia de la máquina) además de antieconómicas pueden llevar y han llevado a fracasos lamentables. Es relativamente poca la información sobre diseño de cimentaciones sujetas a fuerzas y momentos dinámicos. Por otra parte, es indudable la importancia de un diseño correcto de este tipo de cimentaciones. La complejidad del problema que nos ocupa se debe a tres factores fundamentales: a).- Se desconocen las perturbaciones a que va estar sujeto el sistema cimentación—suelo. Aunque los fabricantes de maquinaria suministran datos referentes a fuerzas y momentos de desbalanceo en sus máquinas, estos datos son puramente analíticos. En la práctica los valores reales de estas fuerzas y momentos de desbalanceo son mucho más elevados debido a excentricidades accidentales y a la imprecisión propia del acabado de los elementos de la máquina. No es raro encontrar momentos de desbalanceo que sean 10 a 30 veces mayores que los teóricos. b).- Se desconocen las características dinámicas y de amortiguamiento de los suelos. Aún con la hipótesis simplificadora de comportamiento linealmente elástico del suelo hasta determinado nivel de esfuerzos, queda la incertidumbre del módulo de elasticidad y la relación de Poisson aplicables en condiciones dinámicas.

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c).- Se desconoce la respuesta del suelo con las características mencionadas en el inciso b), cuando un bloque rígido de base rectangular desplantado directamente sobre la superficie y que esté sujeto a las solicitaciones mencionadas en el inciso a). En nuestro medio no ha dejado de utilizarse lo que podríamos llamar método estático de diseño de cimentaciones para maquinaria, consistente en incrementar al peso propio de la máquina con un factor de impacto, y diseñar la cimentación sujeta únicamente a la carga estática incrementada. Sin embargo, aunque de esta manera se logre un diseño que cumpla las condiciones de capacidad de carga y asentamientos admisibles, no es difícil imaginar la posibilidad de que la frecuencia de vibración correspondiente a la velocidad de operación de la máquina o alguna de sus componentes armónicas coincida con la frecuencia natural de vibración del sistema suelo— cimentación produciéndose un fenómeno de resonancia en que las amplitudes de vibración resultante pueden ser intolerables. También se debe visualizar el caso de que la vibración inducida por la máquina produzca modificaciones inadmisibles en el suelo sobre el que descansa la cimentación, tales como la densificación de arenas sueltas o el remoldeo de arcillas sensitivas. Estas razones, entre otras, resaltan la necesidad de recurrir a un método de diseño de cimentaciones de maquinaria que tome en cuenta la naturaleza eminentemente dinámica del fenómeno. EI método estático podría utilizarse únicamente como un primer tanteo.

1.2 Formulación del Problema El diseño de la cimentación de una máquina debe satisfacer los requisitos generales siguientes: a) Los esfuerzos dinámicos inducidos en la cimentación por la operación de la máquina, en combinación con los esfuerzos debidos a otras fuentes, no deben exceder los límites permisibles para el material que constituye la cimentación.

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b) El suelo debe ser capaz de soportar las fuerzas periódicas que se transmiten a través de la superficie de contacto, o a través de pilotes en cimentaciones piloteadas, sin sufrir asentamientos importantes. c) El movimiento de la cimentación y del terreno en que descansa, para cualquier modo de vibración y cualquier combinación de cargas y velocidades de operación no debe ser objetable para la máquina misma, ni para máquinas, conexiones o estructuras vecinas, para las personas que se encuentren en lugares inmediatos.

1.3 Características de las Máquinas Las vibraciones causadas por las fuerzas fuera de balance pueden determinarse si se conocen las características de la máquina, de la cimentación y del suelo. Las características de la cimentación y del suelo pueden ser estimadas por el diseñador y las características de la maquinaria se obtienen del fabricante. La información que se requiere de la maquinaria, para lograr un diseño satisfactorio es la siguiente:

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TABLA DE DATOS DE REQUERIDOS AL FABRICANTE DE LOS EQUIPOS Conceptos requeridos del equipo para el diseño de la cimentación Peso de los equipos Velocidad de los equipos Posición del centro de gravedad *

Tipo de Máquina y Equipos Motor Compresor otros

kg (c.p.m) X (cm)

Y Z Fxp

(Kg)

(Kg)

Momentos por desbalanceo de las velocidades secundarias

(Kg-m)

Fuerzas por desbalanceo de las velocidades secundarias

Momentos de Inercia de las masas de los equipos

Kg-cm x seg2

Momentos por desbalanceo de las velocidades primarias

(Kg-m)

Fuerzas por desbalanceo de las velocidades primarias

Unidades y variables

Fyp Fzp Mxp Myp Mzp Fxs Fys Fzs Mxs Mys Mzs Jx Jy Jz

* Deberán ser relacionados con respecto a tres ejes coordenados de referencia.

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1.4 Modos de Vibración En una cimentación se consideran 6 grados de libertad; esto quiere decir, que una cimentación puede vibrar en los planos horizontal y vertical y además, puede torcerse (ver Fig. 1).

Una cimentación, vibra únicamente por la presencia de las fuerzas fuera de balance, así, en las cimentaciones en donde la línea de acción de cualquier fuerza fuera de balance no pase por el centro de gravedad de la combinación entre la masa de la cimentación y la máquina, el bloque de la cimentación tiende a girar debido al momento causado por esa fuerza. Los momentos causados por las fuerzas verticales fuera de balance son frecuentemente insignificantes, mientras que los momentos causados por las fuerzas horizontales fuera de balance, invariablemente tienen efectos significativos en la amplitud de vibración. Esto se debe a los momentos causados por las fuerzas horizontales, ya que dichas fuerzas tienden a girar la cimentación alrededor del eje vertical con la menor resistencia para girar en el otro sentido; las fuerzas verticales que causan momentos debidos a la José Roberto Zetina Muñoz

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excentricidad de su línea de acción, generalmente tienden a girar alrededor del eje horizontal con la mayor resistencia al giro por la presencia directa del suelo. A pesar de esto sin embargo, es siempre aconsejable investigar los efectos de todas las fuerzas fuera de balance y sus momentos.

1.5 Regla del 5 % Debe aclararse que las fórmulas que se utilizan en este trabajo para obtener las frecuencias naturales y amplitudes de la cimentación son correctas solamente cuando la distancia del centro de gravedad del sistema cimentación-maquinaria al centro del área de contacto del bloque de la cimentación con el suelo, o el centro del área de un conjunto de pilotes es menor que el 5% de la dimensión correspondiente de la cimentación. Esta regla deberá siempre comprobarse antes del inicio de un análisis mas detallado.

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1.6 Amplitudes Permisibles Debido a los efectos adversos que produce la vibración en las cimentaciones, se aconseja revisar las amplitudes de vibración forzada en la etapa del diseño preliminar para asegurar que estarán bajo limites aceptables. Aunque se ha publicado mucho con respecto a les efectos de vibración, muy poco se ha publicado sobre las amplitudes permisibles de vibración forzada. El Diagrama A muestra la amplitud máxima permisible que se sugiere para la vibración vertical a la velocidad de operación de la máquina y en la condición de resonancia. Para la vibración horizontal, los límites del Diagrama A serían bastante conservadores, por lo que a velocidades de operación se permite una amplitud de vibración del doble de la cantidad indicada por la línea inferior del Diagrama A. Las amplitudes permisibles indicadas no son de ningún modo las máximas que pueden ser toleradas; estas amplitudes han sido escogidas para asegurar que la cimentación de la maquinaria funcione de manera aceptable en su velocidad de operación.

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1.7 Tipos de Cimentaciones. Las cimentaciones para maquinaria de movimiento continuo pueden tener varias formas, dependiendo estas del tipo de suelo, del tipo de maquinaria, de las limitaciones que imponen las instalaciones subterráneas etc. Los principales tipos de cimentaciones son: a) Cimentaciones en bloque; esto es, cimentaciones descansando directamente sobre el suelo. b) Cimentaciones soportadas por pilotes de fricción a pilotes de punta.

1.8 Factores que Afectan la Selección de Cimentaciones En el diseño de cimentaciones para soportar cargas estáticas, el paso inicial consiste en seleccionar el tipo mas apropiado de cimentación. En el diseño de cimentaciones para soportar cargas dinámicas se procede de una manera semejante. Para decidir sobre el tipo de cimentación más adecuada deben tomarse en cuenta varios factores, algunas de los cuales son los siguientes: a) El tipo de suelo b) Instalaciones subterráneas c) Resistencia del suelo d) Proximidad de edificios e) Presencia de un estrato rígido Cuando se va a seleccionar la cimentación todos los factores en juego son importantes y se deben considerar. Por razones de economía, generalmente es preferible instalar cimentaciones en bloque en lugar de cimentaciones soportadas por pilotes, sin embargo, esto no siempre es posible.

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1.9 Condiciones del Suelo A continuación se da un método que sirve de guía para obtener una indicación sobre el tipo de cimentación que es necesario proporcionar, dependiendo de ciertos puntos que deben ser considerados. Enseguida se muestra una Tabla, la cual contiene una tabulación de puntos para varias condiciones del suelo, los cuales deben seleccionarse con gran cuidado. José Roberto Zetina Muñoz

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TABLA DE PUNTUACION PARA VARIAS CONDICI0NES DEL SUELO. CONCEPTO

PUNTOS

EVALUACIÓN

Nivel Freático Si el nivel Freático (Z) está arriba de lado inferior de la base Si Z es mayor que B (ver Fig. 2) Si Z está entre B y 2B Si Z esta entre 2B y 3B

5 4 2 1

Estrato Rígido Si el estrato rígido esta a una profundidad de la base3B, y el estrato está nivelado Si el estrato rígido esta a una profundidad de la base 3B, y el estrato esta desnivelado

2 3

Presión Aplicada sobre el Suelo Si la presión aplicada sobre el suelo excede el 50% del esfuerzo permisible del suelo Si la presión aplicada está entre el 40% y 50% del esfuerzo permisible del suelo Si la presión aplicada esta entre el 30% y 40% del esfuerzo permisible del suelo

10 3 2

Suelo Arenoso Densidad relativa alta Densidad relativa media a) equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones Profundas apoyadas directamente en el suelo b) equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones poco profundas apoyadas directamente sobre el suelo c) equipo o construcciones en un radio de 200m (600 pies) que tengan cimentaciones apoyadas directamente en el suelo d) cuando todas las edificaciones de alrededor están apoyadas sobre pilotes

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0

4

3

3 0

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TABLA DE PUNTUACION PARA VARIAS CONDICI0NES DEL SUELO (Contn….). CONCEPTO

PUNTOS

EVALUACIÓN

Densidad Relativa Baja Equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones profundas apoyadas directamente en el suelo Cuando existe cualquiera de las tres condiciones anteriores siguientes a, c, d

5 4

Suelo Arcilloso Si puede suponerse un acomodo no uniforme del suelo arcilloso Si puede suponerse un acomodo uniforme del suelo arcilloso sobre ¼" (6 mm) Si puede suponerse un acomodo uniforme del suelo arcilloso menor ¼" (6 mm) Si el acomodo del suelo es despreciable

6 4 2 0 TOTAL

CONCLUSIONES Si la suma de los puntos atribuidos a los factores considerados en el problema en cuestión excede de 10, lo indicado es una cimentación apoyada sobre pilotes. Si el total es 5 o menos, lo indicado es una cimentación en bloque, y Si el total de puntos se encuentra en el rango de 6 a 10 es necesario hacer otra selección más cuidadosa tomando en cuenta otros factores. Este método de selección es sólo una guía; si después de una selección y análisis detallado se encuentra que las amplitudes de vibración son todavía excesivas y resulta difícil o antieconómico reducirlas, debe hacerse una reevaluación. José Roberto Zetina Muñoz

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1.10 Método de Diseño. Relación de Masas Como anteriormente se dijo muchas veces se acostumbra diseñar una cimentación de maquinaria adoptando una aproximación extremadamente simple, como por ejemplo el método de diseño siguiente: Se propone una cimentación cuyo peso sea de 3 a 5 veces el peso de la maquinaria; esto es algo que resulta nocivo y antieconómico en la mayoría de los casos, solamente que la maquinaria que va a ser instalada esté perfectamente balanceada, se garantizará una amplitud de vibración aceptable. Esto es, en realidad, un método de relación de masas en el cual se garantiza para trabajar y provee una cimentación con suficiente masa para asegurar una amplitud de vibración aceptable, aun si el sistema de cimentación esta en una condición de resonancia con la maquina. El Diagrama B muestra la relación de peso total de la cimentación y maquinaria a la fuerza vertical fuera de balance para varias velocidades de operación, Io cual seria necesario para garantizar la amplitud aceptable en el modo vertical de vibración. Puede observarse del Diagrama C que éste método puede ser extremadamente antieconómico, porque se ha supuesto que la cimentación y maquinaria están en resonancia. Sin embargo para maquinaria grande este método puede ser satisfactorio debido a que su base necesariamente tiene que ser amplia, o sea, tendrá suficiente masa la cual es más que suficiente para limitar las amplitudes de vibración, aunque tengan la misma frecuencia cimentación y maquinaria. El Diagrama B esta Basado en una constante de amortiguamiento de 0.1 la cual es la mínima que puede ser esperada en la práctica. Para una cimentación de pilotes el Diagrama B puede ser utilizado directamente.

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Para una cimentación en bloque el Diagrama B puede ser extremadamente conservador, debido a que la constante de amortiguamiento puede ser tan alta como 0.8.

La más fácil aproximación para estimar la constante de amortiguamiento es usando el Diagrama K y con el Diagrama C se obtiene el nuevo amplificador dinámico, determinándose la relación de masa requerida para limitar la amplitud de vibración de la siguiente forma.

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1.11 Procedimiento de Diseño Existen varias aproximaciones para el diseño de cimentaciones para maquinaria de vibración continua, siendo el mas común aquel que establece los valores de la rigidez de la cimentación para cada uno de los varios modos de vibración y, usando estos valores se determinan las frecuencias naturales y las amplitudes de vibración. Este método particular de análisis ha sido adoptado en este trabajo porque es sin duda el más simple y es también el más rápido y practico de aplicar. Para determinar la rigidez, para cimentaciones en bloque es necesario hacer primeramente una estimación de las propiedades elásticas del suelo y, para cimentaciones de pilotes, las propiedades elásticas de los pilotes en sus medios ambientes de trabajo. Adicionalmente, para ambos tipos de cimentación, es necesario obtener un valor aproximado de la cantidad del suelo participante en la vibración. Usando estas propiedades elásticas, la rigidez de la cimentación puede ser establecida para cada modo de vibración y, habiendo obtenido la rigidez, las frecuencias naturales pueden ser calculadas de las expresiones generales siguientes: Frecuencia 

60 Rigidez ……….……………fórmula N° 1  Masa

Para los modos de vibración vertical y horizontal, donde la rigidez es igual a, k

Carga Aplicada , Deflexión Resultante

o dentro del límite elástico Frecuencia 

60 Rigidez  Inercia

Para el balanceo y el modo de vibración torsional, donde la rigidez es igual a k

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Momento Aplicado Desplazamiento Angular Resultante Página 20 de 125

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Siempre que sea posible, las cimentaciones-en bloque y a base de pilotes deben diseñarse de tal modo que las frecuencias naturales de la cimentación difieran de la frecuencia de excitación por lo menos en 50%. Los cálculos de las frecuencias naturales y la estimación de la cantidad del suelo participante en la vibración para los dos tipos de cimentación son tratados con detalle en los capítulos 2 y 3. Una vez que estos valores han sido establecidos la advertencia del análisis es idéntica. Habiendo obtenido las frecuencias naturales del bloque de cimentación para los diferentes modos de vibración, los correspondientes cuadrados de las frecuencias límite pueden ser calculados usando las Formulas (2a) a (2d) de la Tabla No. 1. Estos valores y las fuerzas fuera de balance y momentos son usados para calcular la amplitud de vibración forzada en la velocidad de operación de la maquinaria con las Formulas (3a) a (3d) de la Tabla No. 1. En las fórmulas (3a) a (3b) a la masa o inercia debe incrementarse la masa o inercia del suelo participante en vibración cuando éste se tome en cuenta, dichas formulas son validas cuando la frecuencia natural difiere de la frecuencia de excitación en un 50% o más. EI término Myz en las Fórmulas (3c) y (4d) es el total del momento vertical aplicado.

1.12 Amplitudes en Resonancia Cuando una cimentación es diseñada con una frecuencia natural numéricamente más pequeña que la frecuencia de operación de la maquinaria, en este caso las amplitudes de vibración deben ser revisadas para asegurar que la amplitud excesiva no ocurra durante el tiempo que esté funcionando la maquinaria. Si la fuerza fuera de balance es constante, la amplitud máxima ocurrirá en una frecuencia la cual es numéricamente igual a la frecuencia natural de la cimentación. Cuando la fuerza fuera de balance varía con el cuadrado de la José Roberto Zetina Muñoz

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velocidad de la maquinaria, en este caso la amplitud máxima ocurrirá en alguna frecuencia que esté entre los límites de la frecuencia natural de la cimentación y la velocidad de operación de la maquinaria. El único camino seguro para establecer a que categoría pertenece una máquina particular, es obtener de los fabricantes de maquinaria un diagrama o una gráfica que muestre las fuerzas fuera de balance y momentos durante el funcionamiento de la maquina. Cuando ha sido establecido, o ha sido supuesto, que las fuerzas fuera de balance y momentos son constantes la amplitud máxima lo cual ya ha sido señalado, ocurre cuando la velocidad de la maquinaria coincide con la frecuencia natural de la cimentación, esta amplitud máxima o amplitud en resonancia se puede determinar como sigue: Habiendo establecido las frecuencias naturales de la cimentación y el valor de la constante de amortiguamiento , puede consultarse el Diagrama C que en resonancia (relación de frecuencias = 1) puede obtenerse un valor para el amplificador dinámico  Conociendo la fuerza fuera de balance, la frecuencia natural de la cimentación (que en este caso es igual a la frecuencia excitante de la maquina) y el valor del amplificador dinámico, la amplitud de resonancia puede ser calculada de la expresión. Amplitud =  x Ast Donde Ast son valores para los varios modos de vibración, pueden ser obtenidos de las fórmulas (4a) a (4d) de la Tabla No. 1. Cuando las fuerzas fuera de balance varían con la velocidad de la maquinaria, la amplitud en resonancia debe ser calculada como esta esquematizado en la parte V.

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DIAGRAMA C.- AMPLIFICADOR DINÁMICO,RAZÓN DE FRECUENCIAS Y CONSTANTE DE AMORTIGUAMIENTO 5.00

3.00

AMORTIGUAMIENTO

Amplificador Dinámico

4.00

Evitar diseñar en esta zona

2.00

1.00

z= 0.9 z= 0.8 z= 0.7 z= 0.6 z= 0.5 z= 0.4 z= 0.3 z= 0.2 z= 0.1 z= 1.0 z= 0.0

0.00 0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Razón de Frecuencias = Frecuencia de excitación / frecuencia natural

Diagrama C.- Amplificador Dinámico, Razón de frecuencia y Constante de amortiguamiento

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Unidades

N° de Fórmula

=

(rad/seg)-2

2a

(frecuencia Horizontal Límite)2

x,y =

(rad/seg)-2

2b

(frecuencia de Balanceo Límite)2



(rad/seg)-2

2c

(rad/seg)-2

2d

(mm), plg

3a

(mm), plg

3b

 

Radianes

3c

Amplitud de Torsión

Ψ

Radianes

3d

Para vibración Vertical

st

(mm), plg

4a

(mm), plg

4b

Concepto (frecuencia Vertical Límite)2

A

Símbolo

Sección

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 z

(frecuencia de Torsión Límite)2

 Ψ

Amplitud Vertical

z

Fórmula

= =

x,Ay Amplitud Horizontal B

C Amplitud de Vibración (amortiguamiento)=Ast

Amplitud de Balanceo

Para vibración Horizontal

st

Para vibración de Balanceo

st

Radianes

4c

Para vibración de Torsión

st

Radianes

4d

TABLA 1.- Frecuencias y Amplitudes Los momentos de vibración horizontal y de balanceo tienden a combinarse, si el ancho de la cimentación es menor a 3h o mayor que h/2, las amplitudes de vibración pueden calcularse como se muestra en el Apéndice 1. José Roberto Zetina Muñoz

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Unidades.- Los términos seg-2 y radianes pueden aplicarse a ambos sistemas de unidades siempre que los factores de cada fórmula sean consistentes; las amplitudes estarán en pulgadas si Fx, Fy, Fz y m están en lbs-plg y de la misma manera si Fx, Fy, Fz y m están en kg-mm las amplitudes serán en mm.

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Cimentaciones Valores del Módulo de Elasticidad "E" y Modulo de Reacción "Ks1" para diferentes tipos de suelos. Tipo de suelo

E kg/cm²

Ks1 kg/cm³

Ks1 #/in³

11 a 33 0.16 H a 0.48 H 0.48 H a 1.60 H 1.60 H a 3.20 H 1.07 H a 1.33 H 1.33 H a 1.60 H 1.60 H a 2.00 H 2.00 H a 2.66 H 2.66 H a 5.32 H

0.50 a 1.50 1.20 a 3.60 3.60 a 12.0 12 a 24 8 a 10 10 a 12 12 a 15 15 a 20 20 a 40

18 a 54 43 a 130 130 a 433 433 a 866 289 a 360 360 a 433 433 a 541 541 a 720 720 a 1440

Arcilla blanda (t 0.25 a 0.50 kg/cm2) (**)

15 a 30

0.65 a 1.30

23 a 47

Arcilla media (t 0. 50 a 2.00 kg/cm2) (**)

30 a 90

1.30 a 4.00

47 a 144

Arcilla compacta (t 2.00 a 4.00 kg/cm2) (**)

90 a 180

4a8

144 a 288

Arcilla margosa dura (t 4.00 a 10.00 kg/cm2) Marga arenosa rígida Arena de miga y tosco Marga Caliza margosa alterada

180 a 480 480 a 1000 500 a 2500 500 a 50000 3500 a 5000

8 a 21 21 a 44 22 a 110 22 a 2 200 150 a 220

20000 a 800000 700 a 200000 40000 a 800000

885 a 36 000 30 a 9 000 1700 a 3 600

288 a 757 757 a 1588 794 a 3970 757 a 79408 5414 a 1299414 31944 a 1299415 1083 a 324853 61361 a 129941

Suelo fangoso (**) Arena seca o húmeda, suelta (Ns 3 a 9) (*) Arena seca o húmeda, media (Ns 9 a 30) (*) Arena seca o húmeda, densa (Ns 30 a 50) (*) Grava fina con arena fina (*) Grava media con arena fina (*) Grava media con arena gruesa (*) Grava gruesa con arena gruesa (*) Grava gruesa firmemente estratificada (*)

Caliza sana Granito meteorizado Granito sano Notas: H profundidad de desplante de la cimentación, cm

t resistencia del suelo

Ns Número de golpes de penetración (**) Valores considerados corresponden a cargas de corta duración. Se consideran cargas permanentes que produzcan consolidación, se multiplicarán los valores E y ks de la tabla por 0.25. (*) Los terrenos granulares si están sumergidos se tomarán con una ks1 igual a los de la tabla multiplicados por 0.60.

TABLA 2.- Datos del Suelo (Módulos de Sub grado o de Reacción Ks1 y del Módulo de Elasticidad Dinámico del Suelo E)

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CAPÍTULO 2.- CIMENTACIONES EN BLOQUE Con objeto de determinar las frecuencias naturales de una cimentación que descansa directamente sobre el suelo, primero es necesario obtener una estimación razonable de las propiedades elásticas de ese suelo particular. Estas propiedades son usadas para calcular los parámetros del suelo requeridos, con los cuales, junto con las propiedades geométricas de la cimentación, pueden ser determinadas las frecuencias naturales. 2.1.- Propiedades Elásticas del Suelo Sumando a la información normalmente requerida del suelo para diseñar grandes cimentaciones, los siguientes datos también se requieren cuando se pretende diseñar una base la cual estaré sujeta a alguna forma de carga dinámica. a) Módulo elástico dinámico del suelo. Existen por lo menos cuatro definiciones aplicables a la determinación de un módulo de deformación relacionado con la respuesta elástica de los suelos a cargas repetidas. Para fines de diseño de cimentaciones de maquinaria se obtienen buenos resultados utilizando el módulo de deformación recuperable. Este módulo es la pendiente E de la curva esfuerzo axial (z) contra deformación axial recuperable (ze) determinada como se indica en la Figura 3. El módulo E puede obtenerse en el laboratorio a partir de pruebas de compresión triaxial con carga repetida. La deformación axial recuperable resulta de sustraer a la deformación total la deformación remanente en cada ciclo. Se recomienda utilizar el valor medio de E determinado mediante pruebas triaxiales con presión confinante, en probetas inalteradas del material que se encuentra desde el nivel de desplante de la cimentación hasta una profundidad de una y media veces la dimensión máxima de la base. En suelos con permeabilidad mayor de aproximadamente 10-4 cm/seg, estas pruebas deben ser no drenadas con presión confinante efectiva al principiar el incremento de (1-3). José Roberto Zetina Muñoz

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Las lecturas deben ser tomadas tan rápido como sea posible para eliminar los efectos de deslizamiento y con un poco de práctica los incrementos de carga pueden ser aplicados correctamente y las lecturas resultantes del marcador tomadas en intervalos tan pequeños como 15 seg. La pendiente E es sobrepuesta sobre las curvas cuando la deformación axial adicional por ciclo llega a ser uniforme o cercanamente uniforme como para ser virtualmente inapreciable. Este es un método útil y barato de obtener un valor aproximado de E. La presión límite usada en la prueba triaxial debe ser tan cercana como sea posible a las condiciones de trabajo. La Tabla No. 2 muestra valores de E. b) Relación de Poisson Para la determinación de la relación de Poisson,  existen varios procedimientos. Para los fines de este trabajo se recomienda el siguiente: 1) determinar el módulo de elasticidad E. 2) realizar una prueba de compresión confinada (bajo condiciones de deformación lateral nula) con lo que se determine el modulo de deformación confinada Mc = (z/EZ ) donde z denota el esfuerzo vertical y Ez la deformación unitaria vertical inmediata. 3) calcular la relación de Poisson mediante la expresión Mc  E  Mc  E  Mc  E      4Mc 2Mc  4Mc  2

Si no se dispone de los resultados de una prueba de compresión confinada se pueden utilizar los valores que se muestran en la Tabla No. 2

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c) Densidad de masa. Se entiende por densidad de masa de un suelo es el cociente de su peso volumétrico en estado natural (determinado por cualquiera de los procedimientos usuales), entre le aceleración de le gravedad. Es importante hacer notar que la densidad de la masa en problemas de dinámica de suelos no se debe confundir con la densidad de sólidos del suelo que es siempre mayor. En la densidad de masa se tome en consideración los huecos del suelo que pueden contener la fase líquida y la fase gaseosa del mismo. 2.2 Parámetros del Suelo Habiendo estimado las propiedades elásticas del suelo, los diversos parámetros del suelo pueden ser calculados como sigue: EI coeficiente de compresión uniforme se obtiene usando la fórmula (5a) de la Tabla 3. El coeficiente de compresión no uniforme se obtiene de la fórmula (5b) de la Tabla 3. Los factores Kz y K usados en las fórmulas (5a) y (5b) se obtienen del Diagrama D y dependen de la razón entre el largo y el ancho de le cimentación. El coeficiente de desplazamiento uniforme se obtiene de la fórmula (5c) de la Tabla 3. El factor Kz también depende de la razón L/B de la cimentación y se obtiene de la Tabla 3. El coeficiente de desplazamiento no uniforme se obtiene usando la fórmula (5d) de la Tabla 3. Efectos de la distribución de la presión debajo de la cimentación Los parámetros del suelo calculados mediante les fórmulas (5a) a (5d) se basan en una distribución de esfuerzos abajo de le cimentación como se muestra en le Figura 4a.

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En la práctica, en la mayoría de los casos se tiene una distribución de esfuerzos de este tipo, particularmente las cimentaciones en suelos cohesivos. Cuando la distribución de los esfuerzos es parabólico como se muestra la figura 4b. los valores obtenidos de la fórmula (5a) a (5d) deben ajustarse da acuerdo con la información mostrada en el Diagrama E. La distribución de presión bajo una cimentación apoyada sobre un suelo nocohesivo generalmente se efectúa según los extremos mostrados en la figura 4. Si la cimentación se diseña con una frecuencia natural mayor que la frecuencia de excitación a la velocidad de operación, la presión de operación debe suponerse tal como se muestra en la figura 4b y los valores de los parámetros del suelo por lo tanto deben ajustarse. Cuando la cimentación se diseña en una frecuencia natural menor que la frecuencia de excitación a la velocidad de operación, para aplicar su distribución de esfuerzos debe suponerse el más desfavorable de los casos. Para una distribución parabólica de esfuerzos; los valores obtenidos de la 2

x fórmula (5a) a la (5d) deben multiplicarse por la relación   , donde x e y se  y

obtienen del diagrama E con b como se calculó en la fórmula (6a) en la Tabla 3. 2.3 Participación del Suelo Cuando una cimentación vibra, una cierta cantidad de suelo vibra en afinidad con ella, la magnitud de la porción de este suelo depende del peso y medida de la cimentación y también da la densidad da los suelos adyacentes. Para determinar las frecuencias naturales y amplitudes de la vibración de la cimentación, hay dos métodos de análisis los cuales pueden ser adoptados: primeramente considerando al suelo como una cama de resortes linealmente elásticos y sin masa; en segunda considerando el suelo como un medio José Roberto Zetina Muñoz

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elástico, homogéneo, isótropo y semi-infinito, tomando cuenta el peso del suelo participante en la vibración. EI método y análisis adoptado, depende la masa del suelo participante en vibración, si es grande en comparación con la masa del sistema cimentaciónmáquina, debe tomarse en cuenta en los cálculos. Por lo tanto, antes de intentar analizar la cimentación debemos primero determinar si la masa del suelo tendrá algún efecto significante. La magnitud del suelo participante en la vibración depende del valor numérico dado en las fórmulas (6a), (6b) y (6c) en la Tabla 3 y del valor de la relación de Poisson. Puede ser visto en el Diagrama F que si para los modos vertical y horizontal de vibración el valor numérico para b es mayor que 10, luego la masa del suelo participante en la vibración será menor del 20% de la masa del sistema cimentación-maquinaria. De manera similar para los modos de vibración oscilantes y de torsión si el valor numérico de b es mayor que 2, la inercia del suelo será menor del 20% de la inercia del sistema cimentación-máquina. Por lo tanto, cuando los valores de b sean mayores que 10, 2 y 2 en las fórmulas (6a), (6b) y (6c) respectivamente, el efecto del suelo puede ser despreciado y la cimentación puede ser diseñada como si estuviera descansando sobre un medio sin peso. En estas circunstancias el error en el diseño no excede del 10%. Cuándo los valores de b son menores que los previamente establecidos, la cantidad de suelo participante en la vibración debe ser tomado en cuenta.

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Unidades

N° de Fórmula

lb / cm3

5a

K , Cz Kz

lb / cm3

5b

Fórmula KzE (1  v 2 ) A

Compresión Uniforme

Cz 

Compresión No Uniforme

C , 

Desplazamiento Uniforme

Cx, y 

KrCz Kz

lb / cm3

5c

Desplazamiento No Uniforme

C  1.5Cx, y

lb / cm3

5d

adimensional

6a

adimensional

6b

adimensional

6c

Para la Traslación

b

m  R3

Para el Balanceo

b

Js x , y

Para la Torsión

b

 R5 Jz  R5

Valores a Kr Razón 0.5 1.0 1.5 2.0 L/R 0.1 1.04 1.00 1.01 1.02 0.2 0.99 0.938 0.942 0.945 0.3 0.926 0.868 0.864 0.870 0.4 0.844 0.792 0.770 0.784 0.5 0.770 0.704 0.692 0.686

Relación de Poisson 

C

Participación del Suelo

B

Datos Numéricos

A

Concepto

Coeficiente del Suelo

Sección

3.0

5.0

10

1.05 1.15 1.25 0.975 1.05 1.17 0.906 0.950 1.04 0.806 0.850 0.940 0.700 0.732 0.940

TABLA 3.- Parámetros y Características del Suelo Para los propósitos de calcular K o K y Kr, tomar L como el largo de la cimentación medida perpendicularmente a la fuerza o momento aplicado y José Roberto Zetina Muñoz

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no es, necesariamente mayor que B. Para vibración vertical, es decir, calculando Kz, se considera que L es mayor que B Unidades.- Los coeficientes del suelo se consideran en kg/cm3, si E y A, están en unidades de kilogramos y centímetros y sí los coeficientes del suelo están en lb/pulg3, si E y A, están en unidades de libras y pulgadas. 1.0 9

1.1

Valores de Kz 1.2 1.3

1.4

1.5

3.5

4.0

8

Rázón L/B

7 6 5 Kz

K Ø,

4 3 2 1 1.5

2.0

2.5

3.0

Valores de K Ø,

Diagrama D.- Valores Kz y KK El diagrama D puede usarse en problemas con unidades métricas e inglesas, siempre que las unidades para L y B sean consistentes.

Diagrama E.- Corrección de Partes El diagrama E es adimensional

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DIAGRAMA F.- Masa del Suelo o Inercia Unidades.- Las “Razones” son adimensionales si las “masas” están en unidades consistentes. El coeficiente b es adimensional si m, , R e “Inercia” están en unidades consistentes.  = relación de Poisson

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2.4 Determinación de Frecuencias Naturales

Concepto Frecuencia Vertical

Símbolo fz

Unidades

N° de Fórmula

CzgA W

c.p.m.

7a

Fórmula 60 2

Frecuencias Horizontales

fx,fy

60 2

Cx, y gA W

c.p.m.

7b

Frecuencias de Balanceo

f

60 2

C , gI ' Js

c.p.m.

7c

Frecuencia de Torsión

f

60 2

CgI ' z Jz

c.p.m.

7d

TABLA 4.- Frecuencias Despreciando la masa del suelo participante. La frecuencia vertical se obtiene aplicando la fórmula (7a). La frecuencia horizontal se obtiene aplicando la fórmula (7b). La frecuencia oscilante se obtiene aplicando la fórmula (7c). La frecuencia torsional se obtiene aplicando la fórmula (7d). Para los modos de vibración horizontal y vertical, K4 es la carga por unidad de área (W/A) debajo de la cimentación y, obteniendo este valor de las fórmulas, las gráficas pueden ser representadas, tal como las del Diagrama G para la frecuencia vertical y el Diagrama H para la horizontal. La frecuencia se representa contra el apropiado parámetro del suelo y puede ser determinada directamente para cualquier intensidad de carga. De manera similar, para los modos de vibración torsional y de oscilación, variables conocidas pueden obtenerse de las fórmulas ( 7c ) y ( 7d ) es decir, Js / I'x,y, para oscilación (K5) y Jz / l'z, para torsión K6.

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Nuevamente, las curvas pueden ser representadas con frecuencia contra parámetro del suelo, como en el Diagrama l para la frecuencia de oscilación y el Diagrama J para la frecuencia de torsión. Tomando en consideración la masa del suelo participante. Usando los valores de b obtenidos de las fórmulas (6a) a (6c) en la Tabla 3, puede obtenerse una estimación de la masa e inercia del suelo que participará en la vibración mediante el Diagrama F. Las fórmulas (3a) a (3d) y (7a) a (7d) son todas aplicables con las siguientes correcciones. La masa es ahora, la masa total, esto es, la masa de la cimentación y de la máquina mas la masa del suelo. La inercia es ahora, la inercia total, esto es, la inercia de la cimentación y de la máquina más la inercia del suelo. Los Diagramas G, H, I y K pueden todavía ser usados con las siguientes correcciones:

K4 

W  W suelo  A

K5 

Js  Js suelo  I'

K6 

Jz  Jz suelo  I'z

Para una cimentación rectangular:

R

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BL

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DIAGRAMA G.- Frecuencia Vertical

K4 

Peso Total Libras o Kg  Área de contacto p lg 2 o cm 2





Unidades: Este diagrama puede ser usado directamente para el sistema inglés o métrico indistintamente. José Roberto Zetina Muñoz

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DIAGRAMA H.- Frecuencia Horizontal Pura

K4 

Peso Total Libras o Kg  Área de contacto p lg 2 o cm 2





Unidades: Este diagrama puede ser usado directamente para el sistema inglés o métrico indistintamente siempre que las unidades sean consistentes.

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DIAGRAMA I.- Frecuencia de Balanceo

K5 

Js I ' x, y

Js = Momento de Inercia de la Masa de la Cimentación y el de la máquina con respecto a la base plana y con respecto al eje plano del momento o fuerza aplicada.

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Diseño Práctico de Cimentaciones Sujetas a Vibración Producida por Maquinaria I’x,y = Momento de Inercia del Área de la base plana con respecto al eje plano perpendicular al plano del momento o de la fuerza aplicada.

Unidades: Este diagrama puede ser usado directamente para el sistema inglés o métrico indistintamente siempre que las unidades sean consistentes.

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DIAGRAMA J.- Frecuencia Torsional

K6 

Jz I 'z

Jz =Momento de Inercia polar de la Masa de la Cimentación y el de la máquina con respecto a con respecto a un eje vertical que pasa por el centro combinado de la cimentación y la máquina.

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Diseño Práctico de Cimentaciones Sujetas a Vibración Producida por Maquinaria I’z = Momento de Inercia polar del área de la base con respecto al eje vertical que pasa a través del centro del área.

Unidades: Este diagrama puede ser usado directamente para el sistema inglés o métrico indistintamente siempre que las unidades sean consistentes.

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2.5 Constantes de amortiguamiento. Usando los valores de b de las fórmulas (6a), (6b) y (6c) en la Tabla 3 y recurriendo al Diagrama K puede obtenerse un valor para la constante de amortiguamiento  para cada modo de vibración. Con este valor y con la razón de frecuencias, puede obtenerse un valor del amplificador dinámico n mediante el Diagrama C. Esta amplitud puede luego ser calculada como se bosqueja en los ejemplos 1 y4 El valor de la constante de amortiguamiento  en el Diagrama K es exacto para suelos cohesivos, pero para suelos granulares los valores de  deben ser divididos entre 2 antes de determinar el amplificador dinámico del Diagrama C.

DIAGRAMA K.- Constantes de Amortiguamiento Unidades.- Este diagrama es adimensional y puede ser aplicado directamente a problemas en el sistema inglés o el métrico siempre y cuando las unidades para , m, I y R sean consistentes José Roberto Zetina Muñoz

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2.6 Presión de Sustentación Permisible. Es obligatorio que las siguientes reglas sean estrictamente observadas: a) que la carga total aplicada no exceda del 50% del esfuerzo permisible del suelo. b) del esfuerzo debido a la carga viva no debe ser mayor que el 50% del esfuerzo debido a la carga muerta. 2.7 Imprecisiones en el Diseño. Las fórmulas en la sección A de las Tablas 1 y 3 y las fórmulas de la Tabla 4 no toman en cuenta el empotramiento de la cimentación con el suelo, que puede existir. Los efectos de empotramiento crean uno de los más grandes obstáculos para llegar a un diseño satisfactorio, poco se ha publicado sobre la determinación de los efectos que se pueden presentar, todo lo que se sabe es que el empotramiento crea una diferencia substancial a la amplitud de vibración supuesta. En este acoplamiento de la cimentación con el suelo se debe señalar que, teóricamente, el empotramiento no necesariamente reducirá las amplitudes de vibración las cuales han sido calculadas por las fórmulas de éste trabajo, en algunos casos el empotramiento puede incrementar las amplitudes. En la práctica, sin embargo, el efecto es usualmente reducir la amplitud de vibración. Debido a la completa carencia de información en esta cuestión cualquier cimentación profundamente empotrada en el suelo tendrá una cantidad indeterminada de empotramiento; por otra parte, las cimentaciones que son grandes en área plana y poco profundas con toda probabilidad no son afectadas por empotramiento. La nueva generación de grandes compresores de movimiento alternativo generalmente tienen cimentaciones las cuales caen dentro de esta categoría, esto es porque el área plana de la cimentación es usualmente escogida de tal forma que todos los soportes cilíndricos y equipo auxiliar sean apoyados en el bloque principal, como resultado de esta cimentación el área plana es de amplias proporciones. José Roberto Zetina Muñoz

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CAPÍTULO 3.- CIMENTACIONES DE PILOTES Cuando la capacidad de carga del terreno no permita cimentaciones de superficie o cuando exista el peligro de compactación de suelos granulares por vibración o pérdida de resistencia por remoldeo en suelos cohesivos, es preciso recurrir a cimentaciones piloteadas. Para calcular las frecuencias naturales de los pilotes de cimentación, primero se requiere una estimación de la rigidez de los pilotes y una estimación de la masa efectiva del sistema suelo-cimentación. La rigidez del pilote es simplemente la carga requerida para producir una deflexión unitaria, dentro del límite elástico. Solamente hay un modo realmente efectivo para determinar la rigidez de un pilote y es probar el pilote vertical y horizontalmente. Cuando ya se tiene experiencia en este tipo de diseño, algunas veces es posible tener un criterio razonable del estudio del reporte del suelo y del tipo de pilote que va a ser usado, pero es mucho mas deseable que la prueba sea llevada a cabo siempre que sea posible. 3.1 Pruebas de Carga. Para el análisis completo de cimentaciones soportadas por pilotes de fricción o pilotes de punta, se requieren los resultados de las pruebas de carga verticales y horizontales; ambas pruebas se aplican a un pilote aislado. Para las pruebas de carga verticales, la carga se aplica en incrementos, hasta la carga muerta máxima, es decir, hasta que se logra la carga muerta máxima que actuará sobre el pilote en su medio ambiente de trabajo. Entonces se quita la carga tan pronto como puede ser leída. La carga viva que actuará en el pilote en su medio de trabajo es menor que 1 tonelada, la carga fluctuante usada en la prueba del pilote debe ser una tonelada. Esto es únicamente con el fin de facilitar la seguridad en las lecturas de las medidas de deflexión.

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En la prueba de carga horizontal se aplica una carga nominal en incrementos al pilote, seguido por una serie de cargas como en el caso de la prueba vertical. La carga nominal inicial es, desde luego, para remplazar la carga muerta como si no hubiera carga muerta horizontal sobre el pilote en su medio de trabajo. El valor de la carga que puede aplicarse al pilote horizontalmente para los propósitos de la prueba de carga debe convenirse con el contratista antes de dar forma a los pilotes. Esto es porque conviene trabajar con cargas de digamos, 2 toneladas de acuerdo con el contratista esto puede lograrse. La rigidez del pilote se obtiene de la pendiente de la línea ’a - a' en la Fig. 5, las unidades están en kg/mm o en lb/plg.

Figura 5.- Gráfica de Resultados de Pruebas

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3.2 Cálculo de Frecuencias. Habiendo obtenido la rigidez vertical del pilote, las frecuencias vertical y de balanceo pueden calculares aplicando las Formulas (9a) y (9c) respectivamente de la Tabla 5, la rigidez vertical medida de la prueba de carga es substituida en el término c en esas dos fórmulas. La rigidez horizontal es usada para calcular las frecuencias, horizontal y torsional. La frecuencia horizontal está dada por la expresión:

60 2

Rigidez

horizontal  n Masa

(r.p.m.)

n = número de pilotes, y la frecuencia torsional por:

60 2

Rigidez

horizontal  I " p (r.p.m.) Js

I"p= Inercia polar de un grupo de pilotes. A la masa e inercia Jz debe incluirse el suelo participante en vibración. Debe recordarse que, cuando el pilote es probado horizontalmente está sujeto en una condición articulada en un extremo; sin embargo, debe proporcionarse una debida tolerancia para cualquier empotramiento, el cual puede presentarse cuando la cimentación esta colada. Si el empotramiento completo se presenta, entonces la medida de la rigidez debe ser multiplicada por 4 antes de calcular las frecuencias y una vez que estas frecuencias han sido establecidas la amplitud de vibración puede ser calculada como se describe en la parte 1.

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3.3 Diagramas de Diseño. Se considera que la idea de basar un diseño incluyendo pruebas de carga sobre pilotes de cualquier clase no es conveniente pues el tiempo requerido entre el colado de los pilotes curando, probando, interpretando resultados y finalizando el diseño es a veces tan largo que ha hecho la idea totalmente impractica. Cuando se va a colocar una cimentación aislada no se justifica la secuela que implica las pruebas de carga. Sin embargo, cuando es considerable el número de cimentaciones a base de pilotes, las pruebas de carga puede ser una proposición razonable. Con el fin de reducir el tiempo entre las pruebas de carga y el suministro de las especificaciones de diseño de los pilotes al contratista que va a construirlos, algunas veces puede ser usando un Diagrama de prediseño y dependiendo de la complejidad del diseño puede lograrse incluso en unas horas. Usando el Diagrama de diseño puede tomarse una decisión a los pocos minutos de terminada la prueba del pilote. La Tabla 6 muestra una tabulación del diseño para un compresor de 2 cilindros opuestos horizontalmente teniendo los ángulos de la manivela a 180°. Con este tipo de máquina, la única fuerza que actúa en el bloque de la cimentación es en la forma de un par o momento en el plano horizontal. Por lo que, el análisis dinámico es solamente necesario para el modo de vibración torsional. Como puede verse de la Tabla 6, ha sido adoptado un rango de deflexiones dentro del cual la deflexión efectiva según medida debe disminuir. Habiendo seleccionado un área proyecto y una profundidad de cimentación, la inercia polar ha sido calculada y la cimentación se he diseñado con una serie de arreglos diferentes de pilotes para asegurar que la amplitud de vibración máxima permisible no exceda de 50 micrones, 0.05 mm (0.02"). Como la amplitud dada por la fórmula (3d) esta en radianes los cálculos de amplitud mostrados en la última columna han sido multiplicados por la distancia del centro de la cimentación a la esquina extrema para predecir la amplitud máxima en pulgadas.

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Habiendo obtenido un deflexión por tonelada como se describe previamente en esta parte, la deflexión efectiva sería comparada con le deflexión supuesta y entonces una cimentación apropiada se puede determinar. 3.4 Diseño de Proyectos. Aunque el método de análisis de prueba del pilote es conveniente y relativamente económico, muchos calculistas pretieren usar un método cálculo de diseño basado en la rigidez estimada. Este es un punto de vista muy limitado el cual en la mayoría de los casos es antieconómico y, cuando se aplica por un calculista sin experiencia puede ser peligroso. Sin embargo para la estimación o propósito del proyecto puede ser aproximado de la siguiente manera. 3.5 Pilotes de punta. Para los propósitos de este trabajo, un pilote de punta es un pilote que descansa principalmente sobre un punto de apoyo para sus propiedades de carga y se establecen las siguientes suposiciones para el análisis. a) que no existe deflexión elástica del estrato del suelo directamente bajo el pilote. b) que el empotramiento complete o la completa articulación pueden ser considerados en la cabeza del pilote. La primera suposición es razonablemente segura cuando el estrato del suelo de la capa baja tiene un módulo elástico de alrededor de 500,000 lbs / pulg2 (35,000 kg / cm2) pero donde el módulo elástico es menor que esto, el análisis puede ser impreciso. Sin embargo, en estas circunstancias, el análisis es todavía relativamente correcto, la única deferencia es que la deflexión total puede ser estimada para calcular las frecuencias naturales; esto es, la deflexión total es igual al acortamiento del pilote bajo carga, más la deflexión elástica del estrato del suelo abajo del pilote. La segunda suposición se hace solamente por conveniencia ya que ninguna de las condiciones establecidas es usualmente lograda; generalmente se obtiene una condición intermedia. José Roberto Zetina Muñoz

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3.6 Cálculo de Frecuencias naturales.

Pilotes de Fricción

Pilotes de Punta

Concepto

Símbolo

La Tabla 5 muestra las fórmulas para determinar las frecuencias naturales.

Unidades

N° de Fórmula

Ep  g esfuerzo  l

c.p.m.

8a

Fórmula 60 2

Frecuencia Vertical

fz

Frecuencia Horizontal

fx,y

60 2

Ep  g l13  K1

c.p.m.

8b

Frecuencia de Balanceo

f

60 2

Ep l  K2

c.p.m.

8c

Frecuencia Torsional

f

60 2

Ep l  K3

c.p.m.

8d

Frecuencia Vertical

fz

60 2

nCv ** m

c.p.m.

9a

Frecuencia Horizontal

fx,y

Como 8b o mayor*

c.p.m.

9b

Frecuencia de Balance

f

C I' p v ** Js

c.p.m.

9c

Frecuencia Torsional

f

Como 8d o mayor *

c.p.m.

9d

60 2

3 1

TABLA 5. Cimentación de pilotes: Frecuencias *.- Esta fórmula solamente es usada en diseño preliminares. **.- La masa e inercia deberá incluir la suma de la participación del suelo en la vibración Unidades: Esta tabla puede ser aplicada a problemas en unidades métricas o unidades de libras-pulgadas, siempre que las unidades de cada uno de los términos sean consistentes.

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Para el modo vertical de vibración el esfuerzo W/(a x n) es una variable la cual depende enteramente de la carga muerta y puede ser considerada como una constante conocida. El Diagrama L muestra los valores de esfuerzos representados contra la longitud del pilote. Constantes similares conocidas han sido tomadas de las fórmulas para las frecuencias naturales en los otros modos de vibración y los valores de estas constantes son representados contra la longitud del pilote en los Diagramas M, N y O. Las expresiones para determinar las constantes son los siguientes:

Extremo empotrado K1 

W 12 Ip n

Para la vibración horizontal Extremo articulado K1 

Balanceo

W 3 Ip n

K2 

Extremo empotrado K 3 

Js Ip' a

Jz 12 Ip Ip"

Torsión

Extremo articulado K 3 

Jz 3 Ip Ip"

En esta consideración la masa e inercia, W, JS, y JZ debe incluir la cantidad de suelo participante en la vibración como está descrito el capítulo 2.

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DIAGRAMA L.- Cimentación de Pilotes: Frecuencia Vertical Esfuerzo = W / a n = Peso de la cimentación + la maquinaria / (área de la sección transversal del pilote x número de pilotes) [lb/plg2 o kg/cm2] W = Peso de la cimentación + la maquinaria [lb o kg] a = área de la sección transversal del pilote [plg2 o cm2] n = número de pilotes [adimensional] Unidades.- Este diagrama puede ser aplicado directamente a problemas en el sistema inglés o el métrico siempre y cuando las unidades sean consistentes.

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DIAGRAMA M.- Cimentaciones de Pilotes: Frecuencia Horizontal Para extremos empotrados: K1 = W/12 Ip n Para extremos articulados: K1 = W/3 Ip n Dónde: W = Peso de la cimentación y maquinaria (lb o kg) 4 4 Ip = Momento de Inercia de área de un pilote (plg o cm ) n = Número de pilotes 4 4 K1 = Coeficiente (lb/plg o kg/cm ) Unidades: Este diagrama puede ser aplicado directamente a problemas en el sistema inglés o el métrico siempre y cuando las unidades sean consistentes. José Roberto Zetina Muñoz

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DIAGRAMA L.- Cimentación de Pilotes: Frecuencia Vertical Js K2  ' I pa K2 = Coeficiente (lb-seg2 plg-3 o kg-seg2 cm-3) Js = Momento de inercia de la masa de la cimentación y maquinaria con respecto a la base plana y con respecto al eje en un plano perpendicular al plano del momento o fuerza aplicada (lb-plg-seg2 o kg-cm-seg2) I’p = Momento de inercia del área de un grupo de pilotes con respecto al eje en un plano perpendicular al plano del momento o fuerza aplicada (plg2 o cm2). a = Área de la sección transversal de un pilote (plg2 o cm2) Unidades.- Este diagrama puede ser aplicado directamente a problemas en el sistema inglés o el métrico siempre y cuando las unidades sean consistentes.

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DIAGRAMA O.- Cimentación de Pilotes: Frecuencia de Torsión Js ; donde Ip = Momento de Inercia del área de 12 IpI '' p un pilote (plg4 o cm4) Js K3  Para extremos articulados Js = Momento polar de inercia de masa 3IpI '' p con respecto al eje vertical que pasa a través del centro de gravedad combinado de la cimentación y máquina (lb-plg-seg2 ó kg-cm-seg2) Para extremos empotrados K 3 

I’’p = Momento polar de inercia del área de un grupo de pilotes con respecto al eje vertical que pasa a través del centro de gravedad combinado de la cimentación y máquina. K3 = Coeficiente (lb-seg2 /plg5 ó kg-seg2/cm5) Unidades.- Este diagrama puede ser aplicado directamente a problemas en el sistema inglés o el métrico siempre y cuando las unidades sean consistentes. José Roberto Zetina Muñoz

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De los Diagramas M, N y 0 los valores de las frecuencias naturales pueden obtenerse directamente para cada modo de vibración para concreto, acero y pilotes de madera. Con el propósito de coleccionar estos Diagramas los valores del módulo elástico dinámico E para cada material, se ha supuesto como sigue: Para el acero 2’100,000 kg/cm2 (30'000,000 lbs/pulg2). Para el concreto 210,000 kg/cm2 (3'000,000 lbs/pulg2). Para la madera 84,000 kg/cm2 (1'200,000 lbs/pulg2) 3.7 Pilotes de Fricción Para los propósitos de éste trabajo un pilote de Fricción es un pilote el cual se apoya casi enteramente sobre la fricción entre el material del pilote y el suelo que lo rodea. Para el propósito del diseño preliminar el desplazamiento elástico dado en la Tabla 7 puede ser usado para los modos de vibración vertical y balanceo. Los valores menores limite son válidos para pilotes cortos (cerca de 6 m) y los valores del limite superior son para pilotes largos (cerca de 12 m). Los extremos de los pilotes se suponen que estén apoyados sobre un subsuelo estable. EI coeficiente elástico C está dado por 2,000/ (unidades inglesas). La frecuencia vertical se obtiene de la fórmula (9c) en la Tabla 5, en la cual ves el factor de la Tabla 8, el cual depende de la razón de espaciamiento al diámetro de los pilotes. La frecuencia de balanceo se tiene de la fórmula (9c) en la Tabla 5. El modo horizontal y el modo torsional de vibración son calculados para pilotes de punta de las fórmulas (8b) y (8d) respectivamente en la Tabla 5. José Roberto Zetina Muñoz

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TABLA 6.- Tabla de Pre diseño para una cimentación de Pilotes José Roberto Zetina Muñoz

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Capacidad del Pilote [T.] 25 50 80 100

Desplazamiento elástico por incremento de carga [ T. ] () Pulgadas Milímetros 0.004 a 0.006 0.10 a 0.15 0.002 a 0.004 0.05 a 0.10 0.008 a 0.002 0.02 a 0.05 0.0002 a 0.0008 0.05 a 0.02

Razón de espaciamiento de pilotes a tamaño de pilotes

Factor v



TABLA 7.- Desplazamiento Elástico de Pilotes (de Rausch, 1959)

1.00

6 4.5 3

0.65 0.58 0.40

TABLA 8.- Cimentación de Pilotes: Factor v

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Las fórmulas para el modo horizontal y el modo torsional de vibración para pilotes de fricción y pilotes de punta hacen uso del largo efectivo del pilote. EI largo efectivo es una cantidad indeterminada y su valor solo puede ser obtenido mediante la experiencia. 3.8 Participación del suelo. Poco se conoce sobre la cantidad de suelo que participa en la vibración de una cimentación de pilotes, se cree sin embargo que la cantidad de suelo participante será mayor que en una cimentación en bloque de similares proporciones. Debido a la incapacidad para evaluar esta cantidad de suelo se recomienda que las cimentaciones de pilotes sean diseñadas suponiendo que la cantidad de suelo participante será la misma que para una cimentación en bloque de medida similar. EI error en esta suposición en la mayoría de los casos será pequeño y en casos extremos el error máximo no debe exceder del 50%. Puede observarse que la masa, como ya se dijo, no puede estimarse exactamente, por lo tanto es ilógico ir a tales extremos con pruebas de pilotes para obtener la rigidez; sin embargo cuando se señala que la rigidez particularmente para el modo horizontal, puede variar para el mismo tipo y medida de pilote hasta 2O veces, dependiendo del tipo de suelo; viene a ser obvio, que para obtener alguna suposición, las pruebas de pilote son particularmente importantes para los modos torsional y horizontal de vibración. 3.9 Imprecisiones de Diseño. En los análisis previamente descritos los efectos siguientes han sido despreciados. a) empotramiento. b) cualquier soporte adicional debido al suelo en contacto con la parte interior de la cimentación. Los efectos del suelo en contacto con la parte inferior de la base son por otro lado, solo aplicables al diseño de cimentaciones de pilotes. José Roberto Zetina Muñoz

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Debe incrementar la rigidez en algún grado desconocido y en consecuencia elevar la frecuencia natural de la cimentación. Por esta razón se recomienda que la cimentación de pilotes sea cada vez que esto sea posible, diseñada como cimentación con alta frecuencia natural, esto es lógico pues en cimentaciones, con alta frecuencia natural cualquier incremento en frecuencia encabezará una reducción en amplitud de vibración, consecuentemente cuando despreciamos el efecto del suelo en contacto con la parte interior de la base, se incorpora al diseño un factor adicional de seguridad. Las cimentaciones con alta frecuencia natural pueden ser usualmente instaladas para maquinaria con frecuencias excitantes abajo de 500 r.p.m. Desafortunadamente, sin embargo con frecuencias naturales mayores, viene a incrementarse con dificultad y frecuentemente es imposible prever una cimentación con alta frecuencia natural, y por lo tanto tiene que considerarse un diseño de cimentación con baja frecuencia natural. 3.10 Cimentaciones con baja frecuencia natural. Los factores principales que afectan el comportamiento de una cimentación han sido ya esbozados, y hay algunos otros factores menores los cuales también tienen un efecto. Uno de estos es la rigidez sumada a la cimentación por la presencia de una losa a nivel del piso (losa colada monolíticamente con la base a nivel del piso). Cualquier estimación de las frecuencias naturales hará que debido a todos esos factores previamente establecidos, una cimentación con alta frecuencia natural estará del lado de la seguridad con un incremento en la frecuencia natural debido a que habrá una reducción en la amplitud de vibración. Sin embargo, una cimentación con baja frecuencia natural la situación es inversa, cualquier incremento en la frecuencia natural se acercará más a la velocidad de operación. Se recomienda por Io tanto, que el diseño de cimentaciones de pilotes con baja Frecuencia natural debe ser llevado a cabo por un experto en el campo de cimentaciones sujetas a vibración. Para cualquier cálculo preliminar se puede suponer un factor de amortiguamiento de 0.05 para calcular la amplitud de resonancia.

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3.11 Diseño Estructural de la Cimentación En la actualidad no existe un procedimiento riguroso para diseñar un bloque masivo de concreto sujeto al estado de esfuerzos que se presentan en cimentaciones de maquinaria. Sin embargo, los esfuerzos son generalmente pequeños, por lo que basta proporcionar al bloque un refuerzo nominal por temperatura y colocar parrillas de acero de refuerzo bajo las concentraciones de carga. Para el refuerzo de temperatura se recomienda Io especificado en el Reglamento de Construcciones para el Departamento del Distrito Federal. Se aconseja también revisar el diseño por aplastamiento según lo indicado en el mismo Reglamento. En el diseño estructural de los pilotes es preciso tomar en cuenta los efectos de fricción negativa que pudieran presentarse por asentamiento de los estratos. En general se recomienda diseñar estos pilotes como columnas cortas.

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CAPÍTULO 4.- CIMENTACIONES MACIZAS PARA MAQUINARIA CENTRÍFUGA La maquinaria centrifuga puede ser montada sobre cualquier cimentación maciza o, o de manera alternada, con cimentaciones estructuradas con marcos; el diseño de este tipo de cimentaciones no es discutido en este trabajo, el cual sólo trata con cimentaciones macizas. Los generadores de motor, turbogeneradores y otro tipo de maquinaria similar, frecuentemente son montadas sobre este tipo de cimentación, las cuales son usualmente grandes bloques con oquedades para las partes individuales de la maquinaria o equipo auxiliar. Las cimentaciones de esta naturaleza son hechas de una sección superior construidas como una caja rígida y una base inferior la cual esta en contacto con el suelo. La sección superior esta hecha con varias unidades estructurales individuales, vigas y columnas pesadas, muros y losas. Las frecuencias naturales de estas unidades deben revisarse para asegurar que cada una de ellas este cuando menos un 50% arriba de la frecuencia excitadora: Para estos cálculos las fórmulas para sistemas teniendo un solo grado de libertad pueden ser usadas; las cargas vivas no deben ser tomadas en cuenta cuando se calculan las frecuencias naturales de esos elementos individuales. 4.1 Diseño Las cimentaciones macizas para maquinaria centrífuga se diseñan de una manera similar a la maquinaria con movimiento constante y las frecuencias naturales pueden establecerse usando la misma teoría. Las amplitudes de vibración pueden ser calculadas del mismo modo, pero los valores de las fuerzas fuera de balance y momentos no son fáciles de obtener de los fabricantes de maquinaria. 4.2 Fuerzas Fuera de Balance Teóricamente, las máquinas eléctricas y turbogeneradores están dinámicamente balanceados. En realidad existe siempre desbalanceo, en virtud de que los centros de masa de las partes en rotación no coinciden con el eje de rotación. Este desbalanceo produce vibraciones sobre la cimentación. José Roberto Zetina Muñoz

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La magnitud de las fuerzas excitadoras es proporcional a:

a).- A la excentricidad de las partes rotatorias. b).- La magnitud de la masa de las partes de rotación. c).- El cuadrado de la frecuencia de rotación de la máquina.

El criterio del diseño dinámico de estas cimentaciones se establece en términos de amplitudes de vibración permisibles. La excitación sobre la estructura puede descomponerse en una fuerza centrífuga F debida a la excentricidad de las partes rotatorias respecto al eje, y a un momento excitador M producido por la no coincidencia del plano vertical, transversal al eje, que contiene a la fuerza F y el plano vertical que pasa por el centro de masa de la instalación completa. De las consideraciones anteriores se tiene: M = FIs M = Al momento excitador total Como F es una fuerza de inercia, girará a la misma velocidad de rotación  de la máquina, por lo que sus componentes vertical y horizontal están dados por las ecuaciones: Fz = r0 m0 2 sen t Fx = r0 m0 2 cos t Donde: r0 es la excentricidad del rotor, y m0 es la masa del rotor.  es la velocidad angular o frecuencia de rotación. Descomponiendo el momento excitador en un plano vertical y uno horizontal. Se ha podido observar que las amplitudes de vibración debidas al José Roberto Zetina Muñoz

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momento excitador en un plano vertical, son importantes: El momento excitador con el que se analiza la cimentación es: Mz = Fx Is Los datos requeridos en el cálculo de Fz, Fx y M son todos conocidos excepto la excentricidad r0. Se propone la siguiente fórmula para estimar la excentricidad. Se propone la siguiente fórmula para estimar la excentricidad se puede utilizar el diagrama P para su determinación. Análogamente, el Diagrama Q muestra valores para fuerzas fuera de balance para valores variables de velocidad de maquinaria y excentricidades. 4.3 Método alternativo para determinar el modo de vibración.

Considerando el funcionamiento de la maquinaria en las velocidades normales de operación, habiendo predeterminado el valor para una amplitud de vibración permisible correspondiente a la velocidad normal de operación por referencia al Diagrama A; se puede, usando el Diagrama R, determinar el valor de la razón del peso total de la cimentación y maquinaria a la fuerza fuera de balance. El Diagrama R esta basado en la suposición que la frecuencia natural de la cimentación es 0 (cero), de aquí que hay una imprecisión para su uso pero para maquinaria operando en y sobre 3000 rpm., esta imprecisión puede ser despreciada, pero para maquinaria debajo de 3000 rpm, esta imprecisión es de gran significancia y la razón W/F debe ser multiplicada por los factores de corrección siguientes:

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Factores de Corrección Frecuencia natural de la cimentación

Velocidad de la maquina 1,500 rpm 2,000 rpm

500 750 1,000

1.13 1.34 1.81

1.07 1.16 1.32

Si la relación es adoptada como un criterio de diseño, la amplitud en la frecuencia de operación se supondrá al seleccionar la razón W/F 4.4 Cimentaciones de baja frecuencia natural Debido a la alta velocidad de operación de algunas de estas máquinas. Las cimentaciones son frecuentemente diseñadas como de baja frecuencia natural, esto es, cuando la cimentación se diseña con una frecuencia menor a la frecuencia de excitación, y cuando este es el caso, las amplitudes de vibración durante el funcionamiento deben establecerse. Si las fuerzas fuera de balance son constantes la máxima amplitud durante el funcionamiento ocurre cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural de la cimentación. Sin embargo cuando la magnitud de la fuerza fuera de balance varía con el cuadrado de la velocidad de la maquinaria , como es usual en la maquinaria centrífuga y, realmente, con alguna maquinaria de movimiento continuo, y como la cimentación esta diseñada con una frecuencia natural del 50% de la frecuencia de excitación, la máxima amplitud de vibración forzada ocurrirá en algún lugar entre la frecuencia natural de la cimentación y la velocidad de peración de la maquinaria, y puede ser calculada como sigue: Cuando la relación de frecuencias es menor de 0.5 o mayor de 1.5 la amplitud aproximada se calcula aplicando las fórmulas de la sección B de la Tabla 1. Cuando la relación de frecuencias se encuentra entre 0.5 y 1,5 la amplitud debe ser calculada aplicando las fórmula de la sección de la Tabla 1; sin embargo los términos , deben ser remplazados por la velocidad angular de la maquinaria correspondiente a la relación de la frecuencia particular bajo consideración. Debe notarse que, para una cimentación José Roberto Zetina Muñoz

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dada, la frecuencia natural es constante pero la frecuencia de excitación varía. Al calcular las amplitudes por la fórmula de la sección C de la Tabla 1, el Diagrama S, debe usarse para obtener valores del amplificador dinámico 



DIAGRAMA P.- Excentricidades fuera de Balance

DIAGRAMA Q.- Fuerzas fuera de balance José Roberto Zetina Muñoz

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DIAGRAMA R.- Razón de Peso a Fuerza fuera de Balance Unidades.- Este diagrama puede ser aplicado directamente a problemas en el sistema inglés o el métrico siempre y cuando las unidades sean consistentes.

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DIAGRAMA S.- AMPLIFICADOR DINÁMICO 5.00

4.00

z = 0.8 AMORTIGUAMIENTO

Amplificador Dinámico

z = 0.9

3.00

Evitar diseñar en esta zona 2.00

z = 0.7 z = 0.6 z = 0.5 z = 0.4 z = 0.3 z = 0.2 z = 0.1 z = 0.0

1.00

0.00 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Razón de Frecuencias = Frecuencia de excitación / frecuencia natural

DIAGRAMA S.- Amplificador dinámico

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CAPÍTULO 5.- PROBLEMAS DE DISEÑO.

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Ejemplo 1.- Revisar la frecuencia vertical para el siguiente compresor reciprocante de dos tiempos siguiente:

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UBICACIÓN DE LOS CENTROS GEOMÉTRICOS Y DE MASAS, BASADOS EN LA SUPERFICIE DE CONTACTO AL TERRENO José Roberto Zetina Muñoz

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CÁLCULO DE LOS CENTROS GEOMÉTRICOS Y DE MASAS Dimensiones del Skid

Dimensiones del Base Concreto

Holgura entre bases

Bskid =

251.40

cm

98.98

pulg

Bcomp =

558.80

cm

220.00

pulg

Difbases

yy

=

153.70

cm

Lskid =

175.59

cm

69.13

pulg

Lcomp =

330.20

cm

130.00

pulg

Difbases

xx

=

77.30

cm

Esp comp = 20.00 cm Momentos del equipo Mxm = 0.00 kg-cm Mxc = 2,536,824.88 kg-cm Mxb = 1,462,250.49 kg-cm

7.87

Brazo de Palanca ym = 0.00 yc = 0.00 yb = 0.00

Pesos del equipo + Cimentación Wm = 0.00 kg Wc = 13,166.00 kg Wt = 13,166.00 kg Wt base = 8,856.76 kg

WT =

zmotor =

0.00

zcomp. =

72.01

22,022.76 kg

Xs =

WT =

22,022.76 kg

e yy =

0.00 cm

e xx =

16.49 cm

181.59 cm

Momentos del equipo + Cimentación Mym = 0.00 kg-cm Myc = 0.00 kg-cm Myb = 0.00 kg-cm Ys =

0.00 cm

Revisando el Equilibrio en el eje x-x

Pesos del equipo Wm = 0.00 kg Wc = 13,166.00 kg Wt base = 8,856.76 kg

SJxx = 0.00 Revisando el Equilibrio en el eje y-y

Brazo de Palanca xm = 0.00 xc = 192.68 xb = 165.10

pulg Mmxx = 0.00 kg-cm Mcxx = 2,536,824.88 kg-cm Mbxx = 1,462,250.49 kg-cm MRxx = -3,999,075.37 kg-cm S Mxx = 0.00 kg-cm Mbyy = Mcyy = Mbyy =

0.00 kg-cm 0.00 kg-cm 0.00 kg-cm

MRyy = S Myy =

0.00 kg-cm 0.00 kg-cm SJyy = .00

Jxx

NOTA.Las casillas en rojo llenar con los datos requeridos

MASA INERCIALES

Jxm =

0.00 kg-seg2 -cm

mm =

0.00 kg-seg2 / cm

Jxc =

498,262.40 kg-seg2 -cm

mc =

13.42 kg-seg2 / cm

Jxb =

246,093.33 kg-seg2 -cm

mb =

9.03 kg-seg2 / cm

Xm =

22.45 kg-seg2 / cm MOMENTO INERCIALES POLARES m Total =

182.09 cm Jyy

Jym =

0.00 kg-seg2 -cm

Jxx =

Jyc =

0.00 kg-seg2 -cm

Jyy =

0.00 kg-seg2 -cm

Jyb = Ym =

0.00 kg-seg2 -cm 0.00 cm

J=

744,355.73 kg-seg2 -cm

em xx = em yy = em zz =

744,355.73 kg-seg2 -cm

Jzz =

70,494.68 kg-seg2 -cm

Js = J+ Jzz =

814,850.42 kg-seg2 -cm

EXCENTICIDADES DE LA MASA 16.49 cm < 16.51 cm OK 0.00 cm < 27.94 cm OK 56.04 cm

VISTA EN PLANTA Razón Radial = raiz(e xx 2 +e yy 2 ) / raiz(5%L 2 +5%B 2 ) = Regla del 5%

5%L =

16.51

cm

e xx =

16.49

cm

5%B =

27.94

cm

e yy =

0.00

cm

Razón e xx/5%L = Razón e yy /5%B =

0.50806131

1.00 e result Radial=

16.49

<

32.45

cm

0.00 Bajo la regla del 5% estamos al límite pero se puede pensar en diseñar esta cimentación en Bloque

F sísmica Comp =

4,739.76 F R = 7,928.19

Z

Ym

Base de Concreto

0.00

Zc = 72.01 Zs = eszz = 56.04 Zb = 10.00

F sísmica Base =

3,188.43

y

VISTA EN ELEVACIÓN

Pesos del equipo + Cimentación Wm = 0.00 kg Wc = 13,166.00 kg Wt = 13,166.00 kg Wt base = 8,856.76 kg WT =

Jxx

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Fsm = Fsc = Fsb =

Fuerzas Sísmicas 0.00 kg 4,739.76 kg 3,188.43 kg

FR =

7,928.19 kg

0.00 kg-seg2 -cm

Jxc =

69,591.85 kg-seg2 -cm

Jxb =

902.83 kg-seg2 -cm 56.04 cm

Sacando momento con relación al fondo de la base Msm = Msc = Msb = S M= Zs = es zz =

22,022.76 kg

Jxm =

Zm =

Coeficiente Sismico Cs = 0.36

Revisando el Equilibrio en el eje z-z

Brazo de Palanca Zm = 0.00 Zc = 72.01 Zb = 10.00

0.00 kg-cm 341,305.38 kg-cm 31,884.32 kg-cm 373,189.70 kg-cm 47.07 cm

Mbzz =

31,884.32 kg-cm

Mczz =

341,305.38 kg-cm

Mmzz =

0.00 kg-cm

MRzz =

-444,274.13 kg-cm

SMzz =

-71,084.43 kg-cm

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TABLA DE PUNTUACION PARA VARIAS CONDICI0NES DEL SUELO. CONCEPTO

PUNTOS

EVALUACIÓN

Nivel Freático Si el nivel Freático (Z) está arriba de lado inferior de la base Si Z es mayor que B (ver Fig. 2) Si Z está entre B y 2B Si Z esta entre 2B y 3B

5 4 2 1

1

Estrato Rígido Si el estrato rígido esta a una profundidad de la base3B, y el estrato está nivelado Si el estrato rígido esta a una profundidad de la base 3B, y el estrato esta desnivelado

2

0

3

Presión Aplicada sobre el Suelo Si la presión aplicada sobre el suelo excede el 50% del esfuerzo permisible del suelo Si la presión aplicada está entre el 40% y 50% del esfuerzo permisible del suelo Si la presión aplicada esta entre el 30% y 40% del esfuerzo permisible del suelo

10 0 3 2

Suelo Arenoso Densidad relativa alta Densidad relativa media a) equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones Profundas apoyadas directamente en el suelo b) equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones poco profundas apoyadas directamente sobre el suelo c) equipo o construcciones en un radio de 200m (600 pies) que tengan cimentaciones apoyadas directamente en el suelo d) cuando todas las edificaciones de alrededor están apoyadas sobre pilotes

José Roberto Zetina Muñoz

0

4

3

3 0

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TABLA DE PUNTUACION PARA VARIAS CONDICI0NES DEL SUELO (Contn….). CONCEPTO

PUNTOS

Densidad Relativa Baja Equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones profundas apoyadas directamente en el suelo.

5

Cuando existe cualquiera de las tres condiciones anteriores siguientes a, c, d

4

EVALUACIÓN

3

Suelo Arcilloso Si puede suponerse un acomodo no uniforme del suelo arcilloso Si puede suponerse un acomodo uniforme del suelo arcilloso sobre ¼" (6 mm) Si puede suponerse un acomodo uniforme del suelo arcilloso menor ¼" (6 mm) Si el acomodo del suelo es despreciable

6 0 4 2 0 TOTAL

4

Por lo que el total es menor de 5 puntos, lo indicado es una cimentación en bloque.

José Roberto Zetina Muñoz

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EJEMPLO 1 REVISANDO PARA LA FRECUENCIA VERTICAL Largo de la cimentación L=

3.30 m

Ancho de la cimentación B=

5.59 m

Espesor de la cimentación D=

0.20 m

Área de la Cimentación A = L x B = Peso de la Cimentación

18.45 m

Nomenclatura: Letras Azules son Cálculos Letras Rojas son Datos Letras Negras son Consultas a Tablas 2

Wcim. = conc. x L x B x D =

8,856.76 Kg

Peso del Equipo Weq.=

13,166.00 Kg

Peso Total (equipo + cimn.) WT=

22,022.76 kg 2

Masa de Cimentación Wcim./g =

902.83 kg-seg /m

Masa Equipo Weq. / g =

1,342.10 kg-seg /m

MASA TOTAL = m = Mcim. + Meq. =

2 2

22.45 kg-seg /cm

Esfuerzo Actuante faest = P/A est=

1.19 T/m2 vs terrenoest =

8.00 T/m

2

Esfuerzo Actuante fadin = P/A din=

1.55 T/m2 vs terrenodin =

6.00 T/m

2

Relación (largo/Ancho) = L/B=

0.59

Kz = Módulo de elasticidad dinámico del Suelo E=

0.50 Del Diagrama D con L/B

100.00

Kg/cm

Módulo de Poisson =

0.30

Coeficiente de compresión uniforme 1/2 Cz = KzE/[(1-) A ]

0.13

kg/cm

Densidad especifica del suelo  =

1,670.00

kg/m

Densidad de la masa del suelo /g= Radio de la Cimentación R= (A/)

José Roberto Zetina Muñoz

1/2

=

0.0000017 242.35

2

3

3 2

4

kg-seg /cm cm

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EJEMPLO 1 (Cont´n…. ) REVISANDO PARA LA FRECUENCIA VERTICAL Coeficiente Adimensional b= m/R =

0.93

Relación de masa suelo/(masa cim. + masa eq.) =

1.30

Del Diagrama F

(masa cim. + masa eq.) =

22.45

kg-seg /cm

masa del Suelo =

29.18

kg-seg /cm

masa total =

51.63

kg-seg /cm

La Presión Efectiva del Terreno K4 = (W + W suelo)/A =

0.27

kg/cm

3

Frecuencia natural vertical fv= rpm del Compresor = rpm del Motor =

2 2 2

2

230.00 c.p.m. 595.00 r.p.m. (datos del Equipo) = 1,190.00 r.p.m. (datos del Equipo) =

  = 2fv/60 =

580.11

seg

frecuencia Natural para fuerza primaria p = 2 fveq/60

62.31

rad/seg

2

p =  frecuencia Natura para fuerza secundarias =2 x 2 fveq./60 =  

 s=  

2

del Diagrama G

3,882.32 124.62 15,529.27

3.83

Hz

9.92

Hz

19.83 Hz

-2

para fuerza primaria

seg

para fuerza primaria

rad/seg

para fuerza secundaria

-2

seg

0.00

T (Datos del Equipo)

Fuerza Secundaria Fsv =

0.49

T (Datos del Equipo)

Fuerza Primaria Fph =

0.00

T (Datos del Equipo)

Fuerza Secundaria Fsh =

1.46

T (Datos del Equipo)

José Roberto Zetina Muñoz

T/m < Res. dinámica 2 del suelo = 6.00 T/m

-2

Fuerza Primaria Fpv =

Amplitud primaria calculada 2 2 Azp = Fpv /[m ( -  p)] = Amplitud secundaria calculada 2 2 Azs = Fsv /[m ( -  s)] = Amplitud Total Acumulada Az = Azp +Azs =

2.75

para fuerza secundaria

0.0000

cm

0.0000 micrones

-0.0028

cm

-28.5 micrones

-0.0028

cm

-28.5 micrones

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EJEMPLO 1 (Cont´n…. ) REVISANDO PARA LA FRECUENCIA VERTICAL Del Diagrama A Del Diagrama A

Amplitud sugerida = Amplitud de resonancia =

23.0 100.0

micrones, Razón de Frecs. = micrones, Razón de Frecs. =

1.24 OK 0.28 OK

Como se observa, para el movimiento vertical desacoplado, las amplitudes están dentro de las tolerancias, tanto para la amplitud sugerida, en donde el cálculo nos da un 24 % mayor que esta y para el caso de la resonancia para este modo de vibrar, estamos alejados de ella en un 62 %. Por lo que bajo esta revisión en el diseño se puede quedar así la cimentación.

FIN DEL EJEMPLO.

José Roberto Zetina Muñoz

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Ejemplo 2.- Diseño de un compresor soportado en pilotes

Datos de la Figura 2B José Roberto Zetina Muñoz

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Datos de la máquina (proporcionados por el Fabricante) Compresor de dos cilindros opuestos horizontalmente 180° al brazo de la manivela; motor eléctrico de inducción directa. Velocidad compresor = 486 r.p.m. Velocidad motor = 486 r.p.m. Peso del compresor = 5.0 ton. Peso base del compresor = 1.26 ton. Peso motor = 3.0 ton. Peso base del motor = 1.79 ton. Características Fuera de balance: Momento primario horizontal = 45,000 lb.-plg (50,000 kg-cm) Nota.- Los pesos en toneladas inglesas son aproximadamente equivalentes a los pesos en toneladas métricas (Una tonelada inglesa o tonelada corta equivale a 907.18474 kg =1,998 lb ≈ 2,000 lb que es la que se usará para este ejemplo).

José Roberto Zetina Muñoz

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Solución: La presión permisible del suelo s = 0.25 ton/pie2 (2.7 ton/m2) es demasiado baja (ver Tabla de puntuación para varias condiciones del suelo en el capítulo 1), por lo tanto se requiere de una cimentación sobre pilotes. Observando los datos en la Fig. 2B se diseñara la cimentación para el momento que actúa en el plano horizontal. La cimentación será diseñada usando los resultados obtenidos de las pruebas especiales de pilotes descritas en capítulo 3 haciendo uso, en este ejemplo, de un Diagrama de prediseño Fig. 2D similar a la Tabla 6. Propiedades geométricas. Para cálculos preliminares y considerando las medidas y colocación de la maquinaria, se supone una cimentación con las siguientes medidas: 12.5 x 12.5 x 3 pies Peso volumétrico del concreto = 150 lb/pie3 = 2,400 kg/m3 Peso de la cimentación = 12.5 x 12.5 x 3 x 150 = 70,300 lb Peso de la base de la maquinaria = (4 x 3.58 x 1.87 x 150)+(4.75 x 2.5 x 1.58 x 150) = 6,830 lb Masa de la cimentación = 70,300 / 386.4

= 182 lb-seg2/plg

Masa de la base de la maquinaria = 6,830 / 386.4 = 17.7 lb-seg2/plg Masa del compresor = 5 x 2,000 / 386.4 José Roberto Zetina Muñoz

= 26 lb-seg2/plg Página 82 de 125

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Masa del motor, = 3 x 2,000 / 386.4

= 15.5 lb-seg2/plg

Momento de inercia de la cimentación con respecto al eje polar (ver fórmulas apéndice 2) JZ = Mcimentación / 12 (x2 + y2) Jz = 182/12 (1502 + 1502) = 682,500 lb-seg2plg x = 12.5 pies = 150 plg y = 12.5 pies = 150 plg. Como este valor no toma en cuenta la masa de la base de la máquina hay que incrementar en un 20 % la inercia polar para cálculos del diseño preliminar. Jz = 682,500 x 1.20 = 819,000 lb seg2 plg Deflexiones de pilotes.- Después de un estudio del suelo se observaron deflexiones mayores de 0.01 plg., pero menores a 0.08 plg, cuando se probaron pilotes de 19 plg., de diámetro con una carga horizontal de una tonelada (Fig. 2D) Participación del suelo.- En ausencia de datos referentes a la cantidad del suelo participante en la vibración de una cimentación sobre pilotes se toma una cantidad igual a la que participaría en una cimentación en bloque de medidas similares. De la fórmula (6c) en la Tabla 3 b = Jz / R5 ; peso específico del suelo 105 lb/pie3 => Peso específico / g = 105 / 386.4 x 1/12 3 = 0.000157 lb seg2/plg4 Jz = 819,000 lb seg2 plg R = (A/)1/2 = (BL/)1/2 = ((12.5 x 12.5)/)1/2 7.05 pies = 85 plg Por lo tanto, José Roberto Zetina Muñoz

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b = 819,000/0.000157/855 = 1.17 Del Diagrama F (en el capítulo 2) con b = 1.17 y = 0.35 se determina la siguiente relación: Inercia del suelo = 0.32 Inercia de la cimentación + maquinaria Por lo tanto Inercia del suelo = 0.32 x 819,000 = 245,700 lb-seg2 plg, De esta manera, la inercia total es igual: Jz = 819,000 + 245,700 = 1’064,700 lb-seg2 plg Amplitudes.- Si la máxima amplitud de vibración en la esquina del bloque de la cimentación está limitado a 0.002 plg la amplitud de vibración aceptable de vibración en radianes es de: 0.002/ 106 = 0.0000189 radianes El término 106 en este caso es la distancia en el plano horizontal del centro de la cimentación a la esquina extrema. De la formula (3d) en la Tabla 1

A 

Mz Jz (2   2 )

Se recomienda que la cimentación sea diseñada con una frecuencia natural del 50 % mayor que la frecuencia de excitación (486 r.p.m.), esto es de 729 r.p.m., donde su correspondiente cuadrado es:





 = (2/ 60 x 729)2 = 5 829 seg-2

,y

= (2/60 x vel. de operación)2 = (2/60 x 486)2 = 2,590 seg-2

A = 45000/[1064700 (5829-259O)] = 0.0000 13 radianes Menor que 0.0000189 radianes que es el permisible. O.K.

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Frecuencias naturales. En esta etapa, es aconsejable checar si es posible que con un rango supuesto de deflexiones de pilotes y la medida supuesta de la base, proporcionen una cimentación con una frecuencia natural mayor de 729 r.p.m.

Frecuencia Torsional 

60 2

Rigidez Horizontal por pilote  I ' ' p Jz

Igualando la frecuencia torsional con la frecuencia natural de la cimentación supuesta 729 r.p.m. para determinar la rigidez

729 

60 2

Rigidez Horizontal por pilote  I ' ' p Jz

Por lo tanto: (Rigidez horiz. por pilote) x I”p = (729 x 2/60)2 Jz Por lo que: (Rigidez horiz. por pilote) x I”p = (729 x 2/60)2 x 1064700 = = 6,206’000,000 lb-plg El producto de la rigidez horizontal por pilote y Ip" no debe ser menor que 6,206’000,000 lb pulg. Esto significa que debe ser posible proporcionar una rigidez total de 6,206’000,000 lb plg para tener una cimentación con una frecuencia natural de 729 r.p.m. Del Diagrama de la Fig. 2D, desde un punto de vista práctico, la más grande inercia polar de un grupo de pilotes (Ip") es de 60,800 plg2 por lo que Rigidez horizontal por pilote = 6206000000 / 60800 = 102074 lb / plg De la columna 3 de la Fig. 2D se puede ver que esta rigidez puede ser ejecutada si el pilote tuviera una deflexión de 0.06 plg o menos.

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Se puede ver de los cálculos en la Fig. 2D, que para obtener una frecuencia natural de 729 r.p.m. es en el caso de cuando un pilote tiene una deflexión 0.07 o 0.08 plg., cuando es sometido a una carga horizontal de 1 ton. y un valor de estos dos puede ser tomado. Esto significa que seria necesario proveer una cimentación con un espesor de 2.5 pies, y para estos dos casos Se requeriría una cimentación con una inercia polar (incluyendo inercia polar del suelo) de 880,000 lb-seg2 plg Resultados de la prueba de carga.- Dos pilotes fueron instalados y una carga horizontal fue aplicada poniendo un gato entre ellos. Un pilote tuvo la deflexión de 0.025 plg/ton y el otro 0.03 plg/ton; consecuentemente como se observa en la Fig. II D, se requiere una cimentación sobre 6 pilotes teniéndose una frecuencia natural de 831 r.p.m. mayor que 729 r.p.m. Medida de la cimentación.- Para determinar el espesor exacto requerido de la cimentación para tener una inercia polar del sistema de cimentación de 1O64700 Ib-seg2 / plg se procede como sigue. De la información del fabricante se tiene Inercia polar del motor Inercia polar del compresor

= 4,000 lb seg2 plg = 185,000 (incluyendo cilindros)

Suponiendo la orilla de la cimentación que esté a 2 pies 8 plg (ver Fig. 2C) de la orilla de afuera de la base del compresor y tomando momentos sobre esa línea base se tiene. [(47 x 5)+(47x1.26)+(120x3)+(122.5x1.79)+(75x3139)]/42.44 = 76 plg Se determinan las coordenadas de las unidades individuales con respecto al centro de masa común (ver Fig. 2C). Aplicando las fórmulas del apéndice 2 tenemos:

JZ de la base del compresor = = m (L2 + B2)/12 = 731 (302 + 572)/12 = 2,527 lb-seg2 plg José Roberto Zetina Muñoz

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JZ de la base del motor = 10.39 (482 + 432)/12 = 3,596 lb-seg2 plg Para determinar el momento de inercia de masa de le cimentación con respecto al eje z-z es conocido que si el total Jz es 1’064,700 lb seg2 plg Las coordenadas “x” son todas cero; por lo tanto sólo las coordenadas “y” deben considerarse. Refiriéndose a la Fig. 2C tenemos que:

Jz  S( J  MS 2 ) 1’064,700 = [Momento de inercia de masa de la baset + (182 x 12)] + (cimentación-suelo) 2 + (3,596 + (10.39 X 46.5 )] + [2,527 + (7.31 + 292)] + [4,000 + (17.4 X 442)} + [185,000 + (29 x 292)] Por lo tanto el Momento de inercia de masa de le baset = (cimentación-suelo) = 1’064,700 – 281,993 = 782,707 lb seg 2 plg Ya que el momento de inercia de masa del suelo calculado previamente es 245,700 lb. seg2 plg, por Io tanto la inercia de le cimentación es igual a 782,707 – 245,700 = 537,007 lb. seg2 plg Sabemos por el apéndice II que: Jz =m (L2+B2)/12 = 537,007 = m (1502 +1502)/12 Por lo que: m = 12 x 537,007 /(1502+1502) = 143.2 lb seg2 plg Por lo tanto el peso de le cimentación es: Peso cimentación = m g = 143.2 x 386.4 = 55 300 lb José Roberto Zetina Muñoz

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Volumen de cimentación = Peso de la cimentación/peso específico 12.5 x 12.5 x e = 55,300/150 Y la excentricidad e = 55,300/150/12.52 = 2.36 pies Espesor Final (2.36 pies) < Espesor Supuesto (3 pies) La razón de esto es debido a que en los cálculos preliminares la inercia de la masa de la base de la maquinaria fue supuesta de un 20 % del momento de inercia de masa de la base de cimentación propuesta.

FIN DEL EJEMPLO

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Ejemplo 3.- Procedimiento de evaluación de las dimensiones de una cimentación por medio del “Método de diseño por relación de masas”

DATOS DE LA CIMENTACIÓN DE LA MAQUINARIA

Datos de la maquinaria Velocidad del Compresor Motor Peso del Compresor Motor Base del motor

330 330 66 11 91

r.p.m r.p.m.

Toneladas Toneladas Toneladas

Características fuera de Balance: Fuerza Primaria Vertical Fuerza Secundaria Vertical Fuerza Primaria Horizontal Fuerza Secundaria Horizontal José Roberto Zetina Muñoz

900 Lb = 409 kg 0 lb 4100 lb = 1861 kg 820 lb = 372 kg Página 91 de 125

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Observando el orden de las fuerzas fuera de balance hay una posibilidad para que la cimentación para esta maquinaria pueda ser diseñada por el método descrito en el capítulo 1 bajo el subtitulo “Método de diseño por relación de masas”. Basándonos en el Diagrama B del capítulo 1, y asumiendo que el equipo es sumamente pesado tomaremos la curva superior por lo que la frecuencia es de 330/100 = 3.3, entonces de la gráfica, la razón del: peso total de la cimentació n  maquinaria  165 fuerza fuera de balance

Y despejando de esa fórmula el peso Total de la cimentación + maquinaria, y sustituyendo la fuerza horizontal primaria fuera de balance que es de 1,861.00 kg Peso Total de la cimentación + maquinaria = 165 x 1861 = 307,065 kg = 307 Toneladas Medida de la Cimentación.- Proponiendo dimensiones tales que todos los accesorios de la máquina estén apoyadas sobre esta, la medida requerida sería de una superficie de 8.5 x 8.5 m, (ver figura) Los pesos obligados son: Peso del Compresor Motor Base del motor TOTAL

66 11 91 168

Toneladas Toneladas Toneladas Toneladas

La cimentación debe tener un peso de 307 -168 = 139 Toneladas El espesor de la base requerida no debe ser menor que

Peso estimado de la base 139   0.80 m   Area 2.4  8.5 2

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Por lo el espesor de la cimentación pudiese estar entre 0.80 y 1.0 metros para la curva con relación de masas igual a 5 o entre 0.3 y 0.4 m con relación de masas igual a 3, un análisis más fino nos daría realmente entre que rango la cimentación debe de estar para que no sea antieconómica. Como se mencionó anteriormente este método puede ser satisfactorio para maquinaria grande debido a que su base necesariamente tiene que ser amplia, o sea tendrá suficiente masa, la cual es más que suficiente para limitar las amplitudes de vibración aunque tengan la misma frecuencia la cimentación y la maquinaria

FIN DEL EJEMPLO.

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EJEMPLO 4.- Diseño De La Cimentación Para Un Compresor Reciprocante Axial

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TABLA DE PUNTUACION PARA VARIAS CONDICI0NES DEL SUELO. CONCEPTO

PUNTOS

EVALUACIÓN

Nivel Freático Si el nivel Freático (Z) está arriba de lado inferior de la base Si Z es mayor que B (ver Fig. 2) Si Z está entre B y 2B Si Z esta entre 2B y 3B

5 4 2 1

1

Estrato Rígido Si el estrato rígido esta a una profundidad de la base3B, y el estrato está nivelado Si el estrato rígido esta a una profundidad de la base 3B, y el estrato esta desnivelado

2

0

3

Presión Aplicada sobre el Suelo Si la presión aplicada sobre el suelo excede el 50% del esfuerzo permisible del suelo Si la presión aplicada está entre el 40% y 50% del esfuerzo permisible del suelo Si la presión aplicada esta entre el 30% y 40% del esfuerzo permisible del suelo

10 0 3 2

Suelo Arenoso Densidad relativa alta Densidad relativa media a) equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones Profundas apoyadas directamente en el suelo b) equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones poco profundas apoyadas directamente sobre el suelo c) equipo o construcciones en un radio de 200m (600 pies) que tengan cimentaciones apoyadas directamente en el suelo d) cuando todas las edificaciones de alrededor están apoyadas sobre pilotes

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0

4

3

3 0

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TABLA DE PUNTUACION PARA VARIAS CONDICI0NES DEL SUELO (Contn….). CONCEPTO

PUNTOS

Densidad Relativa Baja Equipo o construcciones en un radio de 50m (150 pies) con cimentaciones profundas apoyadas directamente en el suelo.

5

Cuando existe cualquiera de las tres condiciones anteriores siguientes a, c, d

4

EVALUACIÓN

3

Suelo Arcilloso Si puede suponerse un acomodo no uniforme del suelo arcilloso Si puede suponerse un acomodo uniforme del suelo arcilloso sobre ¼" (6 mm) Si puede suponerse un acomodo uniforme del suelo arcilloso menor ¼" (6 mm) Si el acomodo del suelo es despreciable

6 0 4 2 0 TOTAL

4

Por lo que el total es menor de 5 puntos, lo indicado es una cimentación en bloque.

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FIGURA 4A.- Vista del Compresor que se analizará José Roberto Zetina Muñoz

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FIGURA 4B.- Plantilla de la base de la cimentación José Roberto Zetina Muñoz

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FIGURA 4C

(Ubicación de centroides de masa y de gravedad)

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FIGURA 4D (Ubicación de Fuerza Estáticas y Dinámicas) José Roberto Zetina Muñoz

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FIGURA 4E (Ubicación de cargas y centroides) José Roberto Zetina Muñoz

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Cálculo de Centroides.-

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Revisión de la Frecuencia Vertical.-

Revisión de las Frecuencias Restantes.José Roberto Zetina Muñoz

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De los 6 modos de vibrar en al menos 3 encontramos problema por estar las frecuencias muy cercanas a la resonancia por lo que debemos aumentar las dimensiones de la base para reducir los efectos que se provocan por la falta de masa y el tipo de suelo, se hizo un intento con el doble del espesor actual pero aun así no fue suficiente así que aumentamos el espesor al triple del actual y publicamos adelante sus resultados: Revisión nuevamente de las frecuencias con el espesor nuevo.José Roberto Zetina Muñoz

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FIN DEL EJEMPLO. José Roberto Zetina Muñoz

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ANEXOS

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APENDICE I Combinación de Diferentes Modos de Vibración. Los modos de vibración horizontal ed y balanceo se combinan, excepto cuando la cimentación es muy angosta se determina la amplitud y frecuencia horizontal ed y amplitud y frecuencia de balanceo como se indica en los Capítulos 1, 2 y 3 respectivamente. El efecto de combinar estos dos modos es para disminuir la frecuencia límite menor y aumentar el límite superior de frecuencia. Los valores ajustados se obtienen de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

2 ,  2 x , y 2 ,  2 x , y     0   4

2

Ecuación 1

Donde



J Js

Ecuación 2

 Js  J  ms2

Ecuación 3

El valor de s puede obtenerse de la Figura 3a en el Capítulo 1 Usando la ecuación cuadrática (1) se obtienen los valores de 21 y 22, de los cuales las frecuencias horizontal y de balanceo son fácilmente calculadas. Sin embargo los Diagramas T ydU pueden ser usados para obtener valores de 21 y 22 directamente. Siendo  = 2x,y / 2con lo cual los valores 1 y 2 pueden ser obtenidos de los Diagramas T y U respectivamente.

21 =  [seg-2] 22=  [seg-2] José Roberto Zetina Muñoz

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Por lo tanto: Ecuación 4 frecuencia

horizontal  f x, y 

60 2  2 c. p.m. 2

frecuencia

balanceo  f , 

60 2  1 c. p.m. 2

Ecuación 5

Las frecuencias derivadas de las fórmulas (4) y (5)dnecesitan solo diferir de las frecuencias existentes un 25% ya que se ha considerado más de un modo de vibración. Amplitud horizontal





1  (rigidez de balanceo )  Ws  S 2 (rigidez horizontal )  J 2  Ax     2 Fx  MyzS (rigidez horizontal )  Ecuación 6 Unidades.- Pulgadas Los valores de S se deben tomar de la sección apropiada de la Figura 3. Para el diseño de cimentaciones en bloque, la rigidez horizontal es Cx,y A y la rigidez de balanceo es C I'. Para el diseño de cimentaciones de pilotes, el cual está basado en los resultados de pruebas, las siguientes expresiones son apropiadas. Rigidez horizontal = (rigidez horizontal de un pilote) n Rigidez de balanceo = (rigidez vertical de un pilote) I’ Para diseño preliminar

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Rigidez horizontal

12 Ep Ipn I 31

Para extremos articulados

Rigidez horizontal

3 Ep Ipn I 31

Para extremos empotrados

Rigidez de balanceo

a Ep I ' p I

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DIAGRAMA T.- Valores de 1 Unidades: Adimensional José Roberto Zetina Muñoz

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DIAGRAMA U.- Valores de 2 Unidades: Adimensional José Roberto Zetina Muñoz

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APENDICE 2 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS MOMENTOS DE INERCIA.

DE

CIMENTACIONES.

Bloque Rectangular El momento de inercia de una cimentación rectangular en bloque como se muestra en la Figura 1 de este apéndice está dado por las expresiones siguientes:

Con respecto al eje y-y

m 2 (L  B2 ) 12

Con respecto al eje x-x

m 2 (L  D2 ) 12

Con respecto al eje z-z

m 2 (B  D 2 ) 12

m = Masa de la cimentación Bloque Complejo El momento de inercia de masa J de una cimentación de bloque complejo como se muestra en la figura 2 de este apéndice se calcula como sigue: Con respecto al eje x-x [(Momento de inercia de la base con respecto al eje x-x) + (masa de la base) (yd base 2 + z base2)]d + [(Momento de inercia de la base de la máquina con respecto al eje x-x) + (masa de la base de la máquina) (y base de la maquina2 + zbase de la máquina2)] + [(momento de inercia de la máquina con respecto al eje xx) + (masa de la máquina) (ymáquina2 + zmáquina2)]

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Con respecto al eje y-y [(Momento de inercia de la base con respecto al eje y-y) + (masa de la base) (xbase2 + zbase2)] + [(Momento de inercia de la base de la máquina con respecto al eje y-y) + (masa de la base de la máquina) (xbase de la máquina2 + zbase 2 de la máquina )] + momento de inercia de la máquina con respecto al eje y-y) + (masa de la máquina) (xmáquina2 + zmáquina2)] Con respecto al eje z-z Es decir, momento de inercia de masa polar Jz [(Momento de inercia de la base con respecto al eje z-z)d+ (masa de la base) (xbase2 + d ebase2) ] + (Momento de inercia de la base de la máquina con respecto al eje z-z) + (masa de la base de la máquina) (xmasa de la máquina2 + ybase 2 de la máquina )] + [(Momento de inercia de la máquina con respecto al eje z-z) + (masa de la máquina) (xmáquina2 + ymáquina2)] Los momentos de inercia de masa con respecto a la base plana de la cimentación están dados por la expresión: Js = J d+masa (total) S2 Los valores de S pueden obtenerse de la Figura 3a. Momentos de Área Los momentos de área de una cimentación en bloque son como sigue:

I' con respecto al eje y-y:

BL3/12

I' con respecto al eje x-x:

LB3/12

I’z = (I' con respecto al eje y-y) + (I' con respecto al eje x-x) José Roberto Zetina Muñoz

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Los momentos de área de una cimentación de pilotes son como sigue: I’p con respecto al eje y-y = S x2 I’p con respecto al eje x-x = S y2

Las dimensiones x e y están medidas de la línea-centro del grupo de pilotes. I"p = (I'p con respecto al eje x-x) + (l’p con respecto al eje y-y)

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Los centros de masa deben ser acotados a los 3 ejes X,Y y Z, con el fin de encontrar finalmente el centro de masas de todo el sistema, el cual se comparará con el centro de masa de la cimentación, obteniendo las excentricidades en el plano X-Y (exx y eyy) verificando con esto la regla del 5% José Roberto Zetina Muñoz

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(ver Figura 3). Para la cota Z (ver Figura 4), puede ser considerada como la cota entre el centro de masas de la cimentación y el centro de masas de todo el sistema, o bien, como la cota medida desde el plano de superficie que se forma en la proyección de la cimentación en contacto con el terreno y el centro de masas de todo el sistema (esto es más conservador). R5%  5%L2  5%B 2

FIGURA 4.- Proyección de la base de la cimentación del compresor indicando la regla del 5% y una combinación de ambas denominado como (R5%), el radio del 5%.

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BIBLIOGRAFIA

K. Irish and W. P. Walker,

"Foundations for Reciprocating Machines". Inglaterra (1967)

Barkan, D. D.,

"Dynamics of Bases and Foundations" (1962)

Major, A.,

"Vibration Analysis and Design of Foundations for Machines and Turbines", (1962)

Nieto, J. A. y Reséndiz, D.,

"Criterios de Diseño para Cimentaciones de Maquinaria". Revista Ingeniería, Vol. 37, 3 de julio 1967

T. William L. and R. V. Whitman

"Mecánica de Suelos"

Hernández García A. y García Merlín F. Tesis Profesional “Diseño Práctico de Cimentaciones de Concreto Reforzado para Maquinaría”, 1975 K.G Bathia Foundations for Industrial Machines Handbook for Practising Engineers, 2008

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CONTENIDO Página DEFINICIONES

1

NOTACIÓN Y DEFINICIONES

3

CAPÍTULO 1.- INTRODUCCION

6

1.1 Antecedentes 1.2 Formulación del problema 1.3 Características de las máquinas 1.4 Modos de vibración 1.5 Regla del 5% 1.6 Amplitudes permisibles 1.7 Tipos de cimentaciones 1.8 Factores que afectan la selección de cimentaciones 1.9 Condiciones del suelo 1.10 Método de diseño. Relación de masas 1.11 Procedimiento de diseño 1.12 Amplitudes de resonancia

6 7 8 10 11 12 14 14 15 18 20 21

CAPÍTULO 2.-CIMENTACIONES EN BLOQUE

27

2.1 Propiedades elásticas de1 suelo 2.2 Parámetros del suelo 2.3 Participación del suelo 2.4 Determinación de frecuencias naturales 2.5 Constantes de amortiguamiento 2.6 Presión de sustentación permisible 2.7 Imprecisiones en el diseño

27 29 31 36 44 45 45

CAPÍTULO 3 CIMENTACIONES DE PILOTES

46

3.1 Pruebas de carga 3.2 Cálculo de Frecuencias 3.3 Diagramas de Diseño 3.4 Diseño de Proyectos

46 48 49 50

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3.5 Pilotes de Punta 3.6 Cálculo de Frecuencias Naturales 3.7 Pilotes de fricción 3.8 Participación del suelo 3.9 Imprecisiones del diseño 3.10 Cimentaciones con baja frecuencia natural 3.11 Diseño estructural de la cimentación

50 51 57 60 60 61 62

CAPÍTULO 4 CIMENTACIONES MACIZAS PARA MAQUINARIA CENTRIFUGA

63

4.1 Diseño 4.2 Fuerzas fuera de balance 4.3 Método alternativo para determinar el modo de vibración 4.4 Cimentaciones de baja frecuencia natural

63 63 65 66

CAPÍTULO 5.- PROBLEMAS DE DISEÑO

70

Ejemplo 1 Revisar la frecuencia vertical para el siguiente compresor reciprocante de dos tiempos

71

Ejemplo 2 Diseño de un compresor soportado en pilotes

80

Ejemplo 3 Procedimiento de evaluación de las dimensiones de una cimentación por medio del “Método de diseño por relación de masas”

91

Ejemplo 4 Diseño De La Cimentación Para Un Compresor Reciprocante Axial

94

ANEXOS

112

APENDICE 1

113

APENDICE 2

118

BIBLIOGRAFÍA

123

CONTENIDO

124

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