Diseño Mecanico 2: Universidad Antonio Nariño Neiva – Huila 2017

DISEÑO MECANICO 2 UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO NEIVA – HUILA 2017

Usualmente, los árboles son cilindros escalonados, con el fin de que los hombros o resaltos sirvan para ubicar axialmente los diferentes elementos. Además, los hombros sirven para transmitir cargas axiales. En los árboles se usan diferentes elementos para la transmisión de potencia o para posicionar o fijar las piezas que se montan sobre éstos. Algunos métodos utilizados para transmitir pares de torsión y potencia son las cuñas o chavetas, ejes estriados, espigas o pasadores, ajustes a presión, ajustes ahusados (con superficies cónicas) y conectores ranurados.

Para evitar movimientos axiales de las piezas se usan, por ejemplo, hombros, tornillos de fijación o prisioneros, anillos de retención, pasadores, collarines de fijación, tornillos y manguitos. Algunos métodos sirven tanto para fijar axialmente las piezas, como para transmitir par de torsión (por ejemplo, los pasadores). Las chavetas y los pasadores actúan como  “fusibles”,  es decir, son elementos   “débiles”  (y baratos) que tienden a fallar en caso de una sobrecarga, protegiendo así las piezas caras.

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Selección del material  Diseño constructivo (configuración geométrica) Verificación de la resistencia:

- Estática - a la fatiga - a las cargas dinámicas (por ejemplo cargas pico) •

Verificación de la rigidez del árbol:

- deflexión por flexión y pendiente de la elástica - deformación por torsión •

 Análisis Modal (verificación de las frecuencias naturales del  árbol)

El material  más utilizado para árboles y ejes es el  acero. Se recomienda seleccionar un acero de bajo o medio carbono, de bajo costo. Si las condiciones de resistencia son más exigentes que las de rigidez, podría optarse por aceros de mayor resistencia. Puede ser de acero al carbono SAE 1020 a 1050 (por ejemplo, 1035, 1040 ó 1045), los cuales son de bajo costo. Cuando los criterios de resistencia resulten dominantes sobre aquellos de las deformaciones, puede seleccionarse un acero de mayor resistencia como los aceros aleados SAE 3140, 4140 ó 4340 (también 3150, 5140, 1340, 1350 y 8650). Para aplicaciones en las cuales un árbol y alguna o algunas piezas como engranes se fabrican de una sola pieza, se puede utilizar hierro fundido o hierro nodular, por facilidad de construcción. Para aplicaciones marinas o con ambientes corrosivos se podría utilizar bronce o acero inoxidable.

Es necesario hacer el   diseño constructivo  al inicio del proyecto, ya que para poder hacer las verificaciones por resistencia, por rigidez y de las frecuencias críticas, se requieren algunos datos sobre la geometría o dimensiones del árbol. Por ejemplo, para verificar la resistencia a la fatiga en una sección determinada es necesario tener información sobre los concentradores de esfuerzos que estarán presentes en dicha sección, así como algunas relaciones entre dimensiones. El diseño constructivo consiste en la determinación de las longitudes y diámetros de los diferentes tramos o escalones, así como en la selección de los métodos de fijación de las piezas que se van a montar sobre el árbol. En esta etapa se deben tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos:

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Fácil montaje, desmontaje y mantenimiento. Los árboles deben ser compactos, para reducir material tanto en longitud como en diámetro. Permitir fácil aseguramiento de las piezas sobre el árbol para evitar movimientos indeseables. Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas. Evitar discontinuidades y cambios bruscos de sección, especialmente en sitios de grandes esfuerzos.

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Generalmente los árboles se construyen escalonados para el mejor posicionamiento de las piezas. Generalmente los árboles se soportan sólo en dos apoyos, con el fin de reducir problemas de alineamiento de éstos. Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos flectores. Mantener bajos los costos de fabricación. Basarse en árboles existentes o en la propia experiencia, para configurar el árbol (consultar catálogos y analizar reductores y sistemas de transmisión de potencia)

Después del diseño constructivo puede procederse a verificar la resistencia del árbol. Los árboles deben tener la capacidad de soportar las cargas normales de trabajo y cargas eventuales máximas, durante la vida esperada. Entonces, se debe verificar la resistencia del árbol a la fatiga y a las cargas dinámicas; estas últimas son generalmente las cargas producidas durante el arranque del equipo

Debe hacerse también un análisis de las frecuencias naturales (críticas) del árbol. Todo sistema tiende a oscilar con una gran amplitud cuando se excita con determinadas frecuencias; esto se denomina resonancia. Los árboles, junto con las piezas que se montan sobre ellos, tienden también a vibrar excesivamente cuando giran a las velocidades críticas. El diseñador debe asegurar que la velocidad de rotación del árbol sea bastante diferente de cualquier velocidad que produzca resonancia; de lo contrario, las deflexiones o deformaciones del árbol tenderían a ser grandes y a producir la falla.

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Finalmente, los árboles deben tener suficiente  rigidez, con el objetivo de evitar que las deformaciones excesivas perjudiquen el buen funcionamiento de las piezas que van montadas sobre éstos. Por ejemplo, deformaciones excesivas en los árboles pueden hacer que el engrane de un par de ruedas dentadas no sea uniforme o no se extienda en toda la altura de trabajo del diente. Por otro lado, los cojinetes (de contacto rodante o deslizante) se pueden ver afectados si las pendientes del árbol en los sitios de los cojinetes son muy grandes. Como los aceros tienen esencialmente igual módulo de elasticidad, la rigidez de los árboles debe controlarse mediante decisiones geométricas.

ESFUE ESFUERZ RZOS OS EN LOS ARBOLE ARBOLES S

Los elementos de transmisión de po pottenci enciaa com omo o las las rued ruedas as dentadas, poleas y estrellas transmiten a los árboles fuerzas radiales, axiales y tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el árbol se producen gener eneral alm mente esfu esfuer erzzos po porr fle flexión xión,, torsi orsión ón,, car carga axial xial y cortante.

Esfuerzos cortantes  producidos por el par de torsión en ejes

de sección circular solida:

donde T , c , J  y  y d  son  son el par de torsión, la distancia desde el eje neutro hasta los puntos de mayor esfuerzo, el momento polar de iner nercia cia y el di diám áme etro tro, respe espect ctiivamen amentte, de la secc secció ión n transversal que se esté analizando.

Esfuerzos normales por carga axial 

donde F  y A   son son la fuerza axial y el área transversal, respectivamente, respectivamente, de la sección de d e análisis. El signo  “+”  indica que el esfuerzo es de tracción y se toma si F  es de tracción; el signo “–” se toma si  F  es  es de compresión.

Si el árbol es “esbelto”, una carga de compresión puede tratar de flexionarlo (pandearlo), produciéndose esfuerzos por carga axial y flexión combinadas. Como el esfuerzo máximo en una columna esbelta es mayor, debemos utilizar una ecuación diferente. Faires propone calcular un esfuerzo equivalente, SeF  (que es diferente al esfuerzo real máximo) para el caso de columnas:

Esfuerzos normales   producidos por el momento flector, el esfuerzo normal SM  es máximo en las fibras mas alejadas del

eje neutro y está dado por:

donde M, c  e I   son el momento flector, la distancia desde el eje neutro hasta las fibras más alejadas y el momento rectangular de inercia, respectivamente, de la sección de análisis. En general, existirán dos valores de c , uno para los puntos a tracción y otro para los puntos a compresión.

Algunas veces se tienen dos componentes del momento flector, M xy  y M xz, donde x   es la dirección axial y y  y z son direcciones cartesianas paralelas a la sección del árbol. Como generalmente interesa el momento resultante, éste se puede obtener mediante:

El análisis estático de un árbol consiste en verificar que éste no fallará inmediatamente después de aplicar ciertas cargas. Este análisis podría efectuarse para: (a) Comprobar su resistencia “estática” a las cargas nominales. Esto es poco usual ya que debe verificarse la resistencia a la fatiga de los árboles cubren también las fallas  “estáticas”. (b) Comprobar su resistencia estática a las cargas dinámicas (cargas pico). Esta comprobación sí debe hacerse ya que normalmente en los arranques o cuando hay sobrecargas, los árboles están sometidos a esfuerzos mayores a los nominales. Como se prevé que estas cargas se repiten un número muy pequeño de veces, éstas no tenderían a producir falla por fatiga, siendo suficiente el análisis de diseño estático.

Nótese que para S se toman, ya sea los dos signos positivos o los dos negativos; la razón de esto es que el punto crítico de un árbol de sección circular y material uniforme es aquel en el cual actúa el esfuerzo normal máximo, es decir, en donde se suman los esfuerzos por carga axial  y por flexión. No importa si el esfuerzo resultante es de tracción o de compresión, ya que la resistencia estática de un material uniforme es igual para estos dos tipos de esfuerzo.

A un material dúctil se le aplica la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo (TECM) o la teoría de  Von Mises-Hencky  (teoría de la energía de distorsión), la cual es equivalente a la Teoría del Esfuerzo Cortante Octaédrico (TECO). Las ecuaciones de diseño de estas teorías, para el estado de esfuerzo de nuestro punto crítico, están dadas por:

Reemplazando con

Reemplazando con

Si no existe fuerza axial en la sección de análisis, las ecuaciones se reducen a:

Ejemplo:

El árbol escalonado de la figura transmite una potencia de 10  kW  a  1200 r/min  y está apoyado en dos rodamientos de bolas  A y C . La potencia es suministrada por un piñón a la rueda helicoidal B, a través del punto de contacto indicado. La potencia sale por la polea D, la cual tiene dos ranuras en “V” (transmisión por correas en “V”). La fuerza en el lado tenso de la correa, F 1 , es tres veces la del lado flojo, F 2. Las componentes de la fuerza de contacto en el engrane B están relacionadas así: F a = 0.2F t  y F r  = 0.27F t . Los diámetros primitivos de la rueda y de la polea son DB=132 mm y DD=162 mm, respectivamente. El árbol es de acero SAE 1045 laminado en frío.

Determinar el diámetro mínimo que debe tener la sección más cargada del árbol (que no necesariamente es la más crítica), para que resista tanto las cargas nominales (al menos unas pocas veces antes de la falla por fatiga) como las cargas pico. Suponer que estas últimas son el doble de las cargas nominales. Usar la   TECO/von Mises   con un factor de seguridad   N=1.5, tanto para las cargas nominales como para las pico.

Solución: Debido a que las cargas nominales son variables, la falla ocurriría por fatiga; por lo tanto, el análisis por fatiga es más adecuado que el análisis estático para estas cargas (no se requiere análisis estático para las cargas nominales). Como las cargas dinámicas (pico) son mayores que las nominales, debe verificarse la resistencia del árbol a las cargas pico.

Esto se hace mediante el procedimiento de diseño estático ya que las cargas pico no tienden a producir falla por fatiga si se repiten muy pocas veces durante la vida útil del árbol. Para determinar la sección que está sometida a las mayores cargas, deben construirse los diagramas de par de torsión, momento flector y fuerza axial; pero antes se deben calcular todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y las reacciones en los apoyos (rodamientos).

Diagrama de cuerpo libre

Al analizar un árbol, es conveniente hacer diagramas de cuerpo libre para las diferentes solicitaciones, es decir, hacer un diagrama para los pares de torsión, uno para las fuerzas axiales y otros dos para las cargas transversales y momentos flectores que actúan en dos planos perpendiculares.

Para facilitar el entendimiento de este procedimiento, la figura presenta el diagrama de cuerpo libre completo del árbol. La reacción en cada apoyo podría tener componentes en x , y  y z. Sin embargo, en el montaje se tiene que decidir cuál rodamiento soportará carga axial, ya que cualquiera de los dos o ambos lo pueden hacer.

Por facilidad de montaje, es conveniente que el rodamiento C  soporte la carga axial y que el otro quede “libre” axialmente. Si el rodamiento A soportara dicha carga, tendría que tener un ajuste a presión para evitar su movimiento. Esto no ocurre con C , ya que el hombro soporta la fuerza y no se requiere un ajuste a presión especial. Además, de esta manera parte del árbol queda a compresión, lo cual inhibe la fatiga. Nótese que los pequeños ángulos que las fuerzas F 1 y F 2 que forman con el eje z se han despreciado.

Calculo del par de torsión y diagrama de par de torsión:

Como el sistema tiene una sola entrada y una sola salida de potencia, se requiere calcular un solo par de torsión, T , el cual depende de la potencia, P , y de la frecuencia de giro, n. Donde el par de torsión pico es el doble del nominal. Si la frecuencia de giro está en revoluciones por minuto y la potencia en watt, el par de torsión nominal T , en N  x m, está dado por la ecuación:

Se deduce que las fuerzas que producen momentos con respecto al eje del árbol (eje x ) son F t , F 1 y F 2. Por la rueda entra toda la potencia; entonces, el par de torsión producido por la fuerza pico F t  debe ser igual a T  (par pico). Similarmente, por la polea sale toda la potencia; entonces, el par de torsión total producido por las fuerzas F 1 y F 2 es igual T . Los pares de torsión en B y D   tienen sentidos contrarios (F 1 > F 2); por lo tanto, la suma de estos es igual a cero (sistema en equilibrio, el árbol rota a velocidad constante).

La figura muestra el diagrama de cuerpo libre de pares de torsión y el diagrama de par de torsión del árbol.

Nótese que los rodamientos en A y C  no tienen reacciones, ya que ellos permiten la rotación libre del árbol. Según la figura, en el tramo AB  no hay par de torsión interno y el tramo más cargado a torsión es el BCD, con un par constante de  159.15 N  x m.

Calculo de fuerzas externas:

En la rueda dentada, la única componente que produce torsión en el árbol es la fuerza tangencial, F t . El par de torsión producido por esta fuerza está dado por:

De acuerdo al enunciado:

En la polea ambas fuerzas, F 1 y F 2, producen pares de torsión. Dichos pares tienen sentidos contrarios y, por lo tanto, se deben restar y multiplicar por el radio primitivo de la polea para calcular el par de torsión. Entonces, el par de torsión resultante producido por las fuerzas en la polea está dado por:

Calculo de las reacciones:

Ecuaciones de equilibrio:

Diagramas de fuerza cortante y momento flector:

Con los resultados anteriores se construyen los diagramas de fuerza cortante, de momento flector y de carga axial. Como normalmente las fuerzas cortantes no se tienen en cuenta en el diseño, los diagramas de fuerza cortante sólo interesan para la construcción de los de momento flector. Como interesa el momento total en las diferentes secciones (no sus componentes en xy  y xz), se construye, además, un diagrama de momento flector resultante.

Diagrama de fuerza cortante en  “y” :

Diagrama de momento flector en  “xy” :

Diagrama de fuerza cortante en  “z” :

Diagrama de momento flector en  “xz” :

Diagrama de fuerza axial 

Diagrama de momento flector resultante

Calculo del diámetro en sección mas cargada:

la

De los diagramas de la figuras se concluye que la sección más cargada es la C , ya que para esta sección todas las cargas son máximas. La sección C   está sometida a un momento flector  M=117.89 Nm, un par de torsión  T=159.15 Nm y una fuerza axial de compresión F=482.275 N.

Utilizamos las ecuaciones   TECO/Von Mises  para calcular el diámetro de la sección C :