Diseño Estructural en Madera

Informe Técnico N° 182

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA 2ª Edición

INSTITUTO FORESTAL 2014

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Informe Técnico N° 182

INSTITUTO FORESTAL UNIDAD DE TÉCNOLOGÍA E INDUSTRIAS DE LA MADERA

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Autores Mario Wagner M.1 Marcelo González R.2 Luís Vásquez V.3 Gonzalo Hernández C. 4 Colaboradora Javiera Padilla R.5

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Ingeniero Civil. [email protected] Instituto Forestal. [email protected] 3 Instituto Forestal. [email protected] 4 Instituto Forestal. [email protected] 5 Estudiante Ingeniería Civil. [email protected] 2

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INSTITUTO FORESTAL - Chile 2014 Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera Informe Técnico N° 182 Primera edición 2011 Segunda edición 2014 Unidad de Tecnología e Industria de la Madera, INFOR, Sede Bio Bio. Publicación financiada por el Contrato de Desempeño INFOR-MINAGRI 2013. ISBN N° 978-956-318-097-8

www.infor.cl www.construccionenmadera.cl

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PRÓLOGO Estados Unidos (90/95%), Canadá (80/90%), Suecia, Noruega y Finlandia (75/85%) son los países que a nivel mundial más emplean la madera en la construcción de sus viviendas. Estos países promueven su uso en consideración a una serie de aspectos: los bosques contribuyen a mitigar el cambio climático (captura de carbono); la madera presenta bajos consumos de energía en su ciclo de vida (producción, transporte, construcción, operación de la vivienda y demolición); la madera es un material reciclable; biodegradable; presenta un buen comportamiento frente a los sismos; y los sistemas constructivos permiten fabricar viviendas en menos tiempo. La realidad internacional está muy alejada de lo que sucede en Chile, donde las viviendas con estructura de madera rondan el 19%. El bajo consumo de madera en la construcción de viviendas en Chile se explica por una serie de factores: (a) La escasa disponibilidad de mano de obra calificada (carpinteros); (b) Número reducido de profesionales de Arquitectura, Ingeniería Civil y Construcción Civil con especialización en la especificación, construcción, y diseño de estructuras de madera (c) Oferta no estandarizada de madera para la construcción, aspecto que no incentiva su uso por parte de las empresas constructoras; (d) Falta de laboratorios de control de calidad de materiales de la construcción que certifiquen la calidad estructural de la madera, (e) Ausencia de un programa de difusión masivo del uso de la madera en la construcción; (f) Número reducido de empresas PYME dedicadas a la industrialización de componentes; (g) Falta de material técnico de apoyo para la formación de profesionales de la construcción en madera. La publicación “Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera”, financiada con recursos del Convenio de Desempeño 2011 suscrito entre la Corporación de Fomento de la Producción (CORFO) y el Instituto Forestal (INFOR), cubre una de las falencias detectadas que limitan el uso de la madera en la construcción, transformándose en un valioso material de apoyo para la formación de profesionales ligados a la construcción en madera. El autor principal de esta publicación es el Ingeniero Civil Sr. Mario Wagner Muñoz, quien también participó en la elaboración de la norma chilena de construcciones en madera. Además participaron de este estudio los profesionales de la Unidad de Tecnología e Industrias de la Madera del INFOR, Ingenieros Srs. Gonzalo Hernández, Luis Vásquez y Marcelo González. Finalmente, esta publicación contó con la colaboración de la Srta. Javiera Padilla, estudiante de Ingeniería Civil de la Universidad Católica de la Santísima Concepción.

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INTRODUCCIÓN La norma chilena NCh 1198: Madera – Construcciones en madera – Cálculo, establece los métodos y procedimientos de diseño estructural que determinan las condiciones mínimas que deben cumplir los elementos y las uniones en las construcciones con madera aserrada, laminada, y de sección circular. La presente publicación pone a disposición de los estudiantes y profesionales relacionados con el diseño de estructuras, ejemplos prácticos de cálculo y diseño estructural en madera. En el desarrollo de ellos se expone la metodología y procedimientos de diseño basados en la última versión de la norma chilena de construcciones en madera NCh 1198 oficial 2006, cuyo texto se requiere para el adecuado desarrollo de los ejemplos. En algunos ejemplos se incorpora información que no se encuentra contenida en la norma, ya sea porque considera materiales que a nivel nacional no han sido suficientemente caracterizados, o bien, porque con posterioridad a la última revisión del documento se dispuso de información que probablemente se incorporará al texto normativo en su próxima redacción. En el caso específico de ejemplos que consideran uso de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata, y con el propósito de no alargar excesivamente el desarrollo de los ejemplos, sus propiedades admisibles se han estimado en forma conservadora con respecto a la estricta aplicación de las especificaciones de la norma correspondiente, NCh 2165: Tensiones admisibles para la madera laminada estructural de Pino radiata. Se ha asumido una materialización híbrida cuando no se mencione específicamente algo distinto; es decir, láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura de la sección transversal y láminas Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales de la altura. En el Anexo C se entrega un detalle de las situaciones consignadas. Para los ejemplos que consideran uso de tableros contrachapados, y dado que los fabricados en el país no se encuentran aún caracterizados desde el punto de vista de las propiedades mecánicas requeridas para el cálculo estructural, se hace uso de los resultados obtenidos en el proyecto desarrollado en 1990 por la Corporación Chilena de la Madera, cofinanciado por CORFO a través del Fondo de Desarrollo Productivo, y cuyos resultados prácticos se resumen en el Anexo E. Finalmente se incorpora en el Anexo K una serie de erratas al texto de la última versión de la norma de construcciones en madera, las que han sido consideradas en la reciente revisión del documento próximo a oficializarse como NCh 1198 Of.2014.

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ÍNDICE EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño .............................................. 1 EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado estructural ........................ 2 EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería ........................................................................ 5 EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna ..................................................................................... 9 EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no espaciada ...................... 12 EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada .......................................... 18 EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna ................................................................................... 23 EJEMPLO 8: Columna bipartita.................................................................................................... 27 EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso ....................................................................... 35 EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón .......................................................................................... 40 EJEMPLO 11: Viga enrejada......................................................................................................... 46 EJEMPLO 12: Envigado maestro de techo con vigas clavadas de alma llena entablada y cordones de madera laminada encolada. ................................................................................... 54 EJEMPLO 13: Diseño de pie derecho de una tabiquería exterior ............................................... 69 EJEMPLO 14: Sistema de moldaje de muros ............................................................................... 74 EJEMPLO 15: Moldaje losa .......................................................................................................... 82 EJEMPLO 16: Diseño de unión con pasadores ............................................................................ 92 EJEMPLO 17: Diseño de unión con tirafondos ............................................................................ 98 EJEMPLO 18: Diseño de empalme clavado ............................................................................... 104 EJEMPLO 19: Diseño de unión clavada ..................................................................................... 109 EJEMPLO 20: Unión con clavos lanceros ................................................................................... 114 EJEMPLO 21: Diseño de uniones clavadas en una cercha ......................................................... 118 EJEMPLO 22: Diseño de uniones con placas dentadas en una cercha ...................................... 133 EJEMPLO 23: Diseño de uniones con conectores dentados en una cercha .............................. 147 EJEMPLO 24: Diseño de unión de alero de estructura de techo construida con conectores anulares ..................................................................................................................................... 163 EJEMPLO 25: Uniones de contacto: embarbillado .................................................................... 172 EJEMPLO 26: Unión de embarbillado en tracción ..................................................................... 176 EJEMPLO 27: Diseño de sistema de techo con vigas rectas de madera laminada .................... 179 EJEMPLO 28: Sistema de techo a dos aguas con vigas de madera laminada de canto inferior recto .......................................................................................................................................... 184 EJEMPLO 29: Sistema de techo a dos aguas simétrico con vigas de madera laminada con bordes inclinados ...................................................................................................................... 192 EJEMPLO 30: Marco triarticulado de madera laminada ........................................................... 203 9

ANEXO A: Propiedades físicas especies madereras comerciales .............................................. 214 ANEXO B: Tensiones Admisibles y Módulos Elásticos madera aserrada de Pino radiata ........ 215 ANEXO C: Tensiones admisibles de piezas homogéneas e híbridas de madera laminada encolada de pino radiata (estimación conservadora) ............................................................... 217 ANEXO D: Expresiones para la estimación de deformaciones verticales en vigas de madera laminada encolada de altura variable. ...................................................................................... 220 ANEXO E: Tensiones admisibles para tableros contrachapados estructurales ......................... 222 ANEXO F: Medios de unión (NCh 1198) .................................................................................... 226 ANEXO G: Especificaciones de diseño y ejecución de uniones con clavos fabricados según norma NCh 1269. ...................................................................................................................... 228 ANEXO H: Propiedades de diseño placas dentadas GN 20 A (Gang Nail) ................................ 230 ANEXO I: Uniones con conectores. De presión Tipo C (EN 1995-1-1) ....................................... 234 ANEXO J: Cargas inducidas por el hormigón fresco sobre los moldajes (American Concrete Institute EEUU) .......................................................................................................................... 245 ANEXO K: Erratas consideradas en la revisión de la norma a oficializarse como NCh 1198.Of 2014........................................................................................................................................... 248

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño Determinar la tensión de diseño de flexión y el módulo elástico de diseño de vigas de lenga aserradas en bruto de sección 50 x 150 mm, Grado Estructural N°2 según NCh 1970 Parte 1, con un contenido de humedad 22 %, para un estado de carga con duración acumulada de 1 año durante la vida útil de la construcción. Solución: El contenido de humedad de las vigas es H = 22% ≥ 20 % De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 3, dado que H > 20% corresponde considerar condición verde para la determinación de las tensiones admisibles y del módulo de elasticidad. Además, de acuerdo con NCh 1198 Anexo A, en condición verde la lenga se asigna al Agrupamiento E5. De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 6, a un Grado estructural N°2 y especies asignadas al Agrupamiento E5 le corresponde una Clase Estructural F8. En Tabla 4 de NCh 1198 sección 5.2.4, a la Clase estructural F8 se asigna una tensión admisible de flexión 𝐹𝑓 = 8,6 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura h = 50 mm) y un módulo de elasticidad E = 6.900 Mpa. Aplicación de factores de modificación. i) Por duración de la carga, NCh 1198, sección 6.1.2  𝐷 = 1 𝑎ñ𝑜 = 365 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 31.536.000 𝑠

𝐾𝐷 =

1,747 1,747 + 0,295 = + 0,295 = 0,784 + 0,295 = 1,08 0,0464 𝐷 31.536.0000,0464

ii) Por altura, NCh 1198, sección 7.2.2.3 Como h =150 mm 9

𝑘ℎ𝑓 = √

50 9 50 =√ = 0,885 ℎ 150

Propiedades de diseño: 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾ℎ𝑓 = 8,6 ∗ 1,08 ∗ 0,885 = 8,2 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 = 6.900 𝑀𝑃𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado estructural Determinar una combinación aceptable de especie forestal (NCh 1990) y grado estructural (NCh 1970) que permita verificar una disposición regular de columnas de 4 m de largo, escuadría 145 x 145 mm, con un contenido de humedad H = 18 %, dispuestas según un reticulado en planta, módulo 3 m, y que deben soportar una densidad de carga q = 4,5 kN/m 2. La duración acumulada del estado de carga condicionante del diseño es 6 meses. Solución: Área tributaria que descarga sobre cada columna. 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 3 ∗ 3 = 9 𝑚2 Fuerza de compresión que solicita cada columna. 𝑁 = 𝑞 ∗ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 4,5 ∗ 9 = 40,5 𝑘𝑁 = 40.500 𝑁 Tensión de trabajo por compresión paralela. 𝑓𝑐 =

𝑁 40.500 = = 1,93 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝑥ℎ 145 ∗ 145

La condición óptima establece la igualdad de la tensión de trabajo con la tensión de diseño de compresión paralela (Ver NCh 1198, Sección 7.3.2: 𝑓𝑐 = 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆

Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198, Sección 6.1.2 𝐷 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 6 ∗ 30,5 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 15811.200 𝑠 𝐾𝐷 =

1,747 1,747 + 0,295 = + 0,295 = 0,810 + 0,295 = 1,105 𝐷 0,0464 15.811.2000,0464

Factor de modificación por contenido de humedad. NCh 1198, Sección 6.1.1, Tabla 8. Gradiente de humedad con respecto a la condición seca Δ𝐻 = 𝐻 − 12 = 18 − 12 = 6% 𝐾𝐻,𝐹𝑐𝑝 = (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝑅𝑐𝑝 ) = 1 − 6 ∗ 0,043 = 0,742 𝐾𝐻,𝐸 = (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝐸) = 1 − 6 ∗ 0,0148 = 0,911 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

El factor de modificación por pandeo se estimará tentativamente asumiendo una Clase Estructural F8. De NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4, para F8, Fcp=6,6 MPa ; E=6.900 MPa y conservadoramente se asumirá un factor de proporcionalidad c=0,80. 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,6 ∗ 1,105 ∗ 0,742 = 5,41 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 6.900 ∗ 0,911 = 6.287 𝑀𝑃𝑎 Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3 Esbeltez reguladora del diseño 𝜆=

𝐿𝑝 ∗ √12 4.000 ∗ √12 = = 95,6 𝑏 145

Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión 𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 6.287 = = 2,48 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 95,62

𝐹𝑐𝐸 2,48 = = 0,458 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 5,41 𝐹𝑐𝐸 𝜆 95,6 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,458 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 1,048 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,458 𝐵= = = 0,573 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,048 − √1,0482 − 0,573 = 0,323

Planteando la condición óptima 𝑓𝑐 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆 ⇒ 1,93 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323 ⇒ 𝐹𝑐𝑝 ≥

1,93 = 7,28 𝑀𝑃𝑎 1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323

Examinando Tabla 4 de NCh 1198, Sección 5.2.4, se requiere una Clase Estructural F11, que brinda I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝑝 = 8,3 𝑀𝑃𝑎 > 7,28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝐸 = 7.900 𝑀𝑃𝑎

Comprobación: 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,3 ∗ 1,105 ∗ 0,742 = 6,8 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.900 ∗ 0,911 = 7.198 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 7.198 = = 2,84 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 95,62

𝐹𝑐𝐸 2,84 = = 0,417 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 6,8 𝐹𝑐𝐸 𝜆 95,6 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,417 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 1,01 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,417 𝐵= = = 0,521 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,01 − √1,012 − 0,521 = 0,304 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 6,8 ∗ 0,303 = 2,07 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,93 𝑀𝑃𝑎

Para cumplir con la exigencia de F11 en condición seca, de acuerdo con Tabla 7 de NCh 1198, 5.2.6; se requiere un Grado 4 del Agrupamiento de especies ES4, o un Grado 3 del Agrupamiento ES5. Es alternativa válida con mayor razón un Grado 2 del Agrupamiento ES6. De NCh 1198, Anexo A y mencionando solo 2 alternativas de especies por agrupamiento: ES4: coigue, lenga ES5: Pino oregón, olivillo ES6: álamo, ciprés de la guaitecas

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EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería Diseño de pie derecho de tabiquería de pared interior (no expuesta al viento) de una vivienda de 1 piso que soporta la estructura de techo.

Determinar la escuadría y grado estructural adecuados para un pie derecho de espesor nominal de 2 pulgadas, asumiendo condiciones de servicio secas (H ≤ 12 %). El pie derecho tiene un largo de 2,44 m, se encuentra simplemente apoyado en sus extremos y resiste cargas de peso propio: 2,12 kN y sobrecarga de servicio de techo: 1,18 kN. El revestimiento brinda apoyo lateral completo a los pies derechos en el plano de la tabiquería. Verifique el aplastamiento ejercido por los pies derechos sobre la solera basal de la misma escuadría de los pies derechos. Solución: Determinación de la combinación de cargas crítica. Para la componente de estado de carga de naturaleza permanente KD = 0,90 (ver NCh 1198, anexo G) Para la componente de estado de carga de sobrecarga de techo KD = 1,25 (ver NCh 1198, anexo G) 𝐶𝑝𝑝 2,12 = = 2,36 𝑘𝑁 𝐾𝐷 0,9 𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐 2,12 + 1,18 = = 2,64 𝑘𝑁 ⇒ Combinación de cargas crítica 𝐾𝐷 1,25 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Tanteo con pieza de escuadría nominal 2x3 de Pino radiata Grado G2: Largo

: 2,44 m

Ancho

: 65 mm (NCh 2824)

Espesor

: 41 mm (NCh 2824)

Área sección (S) = ancho * espesor = 65*41 = 2.665 mm2

Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b. 𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm) 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,80

Factores de modificación: 𝐾𝐻 = 1,0

(Condición de servicio seca H ≤ 12 % , NCh 1198, Sección 6.1.1)

𝐾𝐷 = 1,25 ℎ

4

(Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G) 4

65

𝐾ℎ,𝐸 = √180 = √180 = 0,775 (NCh 1198, Sección 7.2.4.2) 4

150 𝑙

𝐾𝑐𝑛 = √

4

150

= √ 41 = 1,38

(NCh 1198, Sección 7.5.3.2)

Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3: Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 6,5 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 8,13 𝑀𝑃𝑎

Módulo de elasticidad de diseño, NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 1,0 ∗ 0,775 = 6.898 𝑀𝑃𝑎

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Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198 Sección 7.3.1.2 𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 2,44 = 2,44 𝑚

Esbeltez reguladora del diseño, NCh 1198, Sección 7.3.2.2 𝜆=

𝐿𝑝 ∗ √12 2.440 ∗ √12 = = 130 ℎ 65

Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión 𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 6.899 = = 1,47 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 1302

𝐹𝑐𝐸 1,47 = = 0,181 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 8,13 𝐹𝑐𝐸 𝜆 ∗ (1 + ) + 1 0,181 ∗ (1 + 130) + 1 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 200 200 𝐴= = = 0,811 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,181 𝐵= = = 0,226 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,811 − √0,8112 − 0,226 = 0,154 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8,13 ∗ 0,154 = 1,25 𝑀𝑃𝑎

Verificación: Tensión de trabajo por compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.1 𝑓𝑐𝑝 =

𝑁 (2,12 + 1,18) ∗ 1.000 = = 1,24 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 𝑆 2.665

Verificación aplastamiento basal: Tensión de diseño en compresión normal a la fibra, NCh 1198, Sección 7.5.2 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,38 = 3,46 𝑀𝑃𝑎

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Tensión de trabajo por aplastamiento 𝑓𝑐 =

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𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡 (2,12 + 1,18) ∗ 1.000 = = 1,24 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ℎ∗𝑙 65 ∗ 41

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EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna Estimar la carga de diseño máxima que puede soportar un cuartón de escuadría nominal 4 x 4, y largo 4,20 m, de madera aserrada en bruto de Pino radiata Grado G2. El contenido de humedad de la pieza es 20 %, y la solicitación que condiciona el diseño la originan el peso propio del sistema y una sobrecarga de servicio con una duración acumulada de 1 año. Los extremos del cuartón se encuentran impedidos de desplazarse lateralmente.

Solución: Condiciones geométricas Largo

: 4,20 m

Ancho

: 94 mm (NCh 2824)

Espesor

: 94 mm (NCh 2824)

Área Sección (S) = ancho * espesor = 94*94 = 8.836 mm2

Propiedades mecánicas admisibles asociadas al grado G2, NCh 1198, Tabla 4 b 𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)

𝑐 = 0.80

Factor de modificación por contenido de humedad verde (H≥20%), NCh 1198, Sección 6.1.1, Tabla 9 (Ver anexo B de este publicación) 𝐾𝐻,𝐹𝑐𝑝 = 𝐾𝐻,𝐸 =

2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻 2,75 − 0,0833 ∗ 22 = = 0,524 1,75 1,75

1,44 − 0,02 ∗ 𝐻 1,44 − 0,02 ∗ 22 = = 0,833 1,2 1,2

Toda pieza con contenido de humedad H ≥ 20 % se asume en condición verde, la que para la aplicación de estas correcciones se refleja considerando H = 22 % en las expresiones de los factores de modificación.

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Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198 Sección 6.1.2 D = 1 año =365*24*60*60 = 31.536.000 s 𝐾𝐷 =

1,747 1,747 + 0,295 = + 0,295 = 1,08 0,0464 𝐷 31.536.0000,0464

Factor de modificación por altura para módulo elástico, Nch 1198, Sección 7.2.4.2 4

𝐾ℎ,𝐸 = √

4 94 ℎ =√ = 0,85 180 180

Verificación Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2:

Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198, Sección 7.3.1.2, Tabla 16, Caso 4 𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 4,20 = 4,20 𝑚

Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 6,5 ∗ 0,524 ∗ 1,08 = 3,68 𝑀𝑃𝑎

Módulo elástico de diseño, NCh 1198, Sección 7.1.1 y 7.2.4.2 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 0,833 ∗ 0,85 = 6.305 𝑀𝑃𝑎

NCh 1198 Sección 7.3.2.2 𝜆=

𝐿𝑝 ∗ √12 4.200 ∗ √12 = = 154,8 ℎ 94

𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 6.302 = = 0,947 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 154,82

𝐹𝑐𝐸 0,947 = = 0,258 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 3,678 10

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝐸 𝜆 ∗ (1 + ) + 1 0,258 ∗ (1 + 154,8) + 1 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 200 200 𝐴= = = 0,911 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,258 𝐵= = = 0,322 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,911 − √0,9112 − 0,322 = 0,198 Tensión de diseño en compresión paralela considerando inestabilidad lateral, NCh 1198, Sección 7.3.2.2, parte b. 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 3,68 ∗ 0,198 = 0,73 𝑀𝑃𝑎 𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑆 = 0,73 ∗ 8.836 = 6.448 𝑁 = 6,448 𝑘𝑁

Por lo tanto, la carga de diseño del cuartón asciende a 6,45 kN.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no espaciada La diagonal interior DF de una cercha de techo de longitud internodal de 1,65 m (en el modelo reticular análogo), queda solicitada por una fuerza de compresión axial de 15 kN y consiste de una pieza central de sección 41 x 90 mmm y dos piezas laterales de sección 33 x 65 mm, de acuerdo con la estructuración indicada en la figura. Se debe diseñar una ligazón por medio de clavos de calibre 4,3 x 100 mm (4”). Se dispone de piezas de pino Radiata estructural del Grado C24 acondicionadas a un contenido de humedad H = 12 %.

Solución: Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b 𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)

𝑐 = 0,85 Factor de modificación por contenido de humedad 𝐾𝐻 = 1 12

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Factor de modificación por duración de carga Por incorporar el estado de carga la sobrecarga de servicio del techo 𝐾𝐷 = 1,25 Análisis con respecto al eje x-x: Factor de modificación por altura para módulo elástico 4

4 65 ℎ1 =√ = 0,775 ⇒ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,1 ∗ 𝐸 = 0,775 ∗ 10.200 = 7.907 𝑀𝑃𝑎 180 180

4

4 90 ℎ2 =√ = 0,841 ⇒ 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,2 ∗ 𝐸 = 0,841 ∗ 10.200 = 8.577 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸𝑟𝑒𝑓 180 180

𝐾ℎ,1 = √

𝐾ℎ,2 = √

𝑛1 =

𝐸1 7.907 = = 0,922 𝐸𝑟𝑒𝑓 8.577

𝑛2 =

𝐸2 8.577 = = 1,0 𝐸𝑟𝑒𝑓 8.577

Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección K.2, Anexo K 𝐿𝑝𝑥 = 0,8 ∗ 𝐿 = 0,8 ∗ 1,65 = 1,32 𝑚 = 1.320 𝑚𝑚 Propiedades estáticas de la sección: 𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 33 ∗ 65 = 2.145 𝑚𝑚2 𝐴2 = 𝑏2 ∗ ℎ2 = 41 ∗ 90 = 3.690 𝑚𝑚2 𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 + 𝐴2 = 2 ∗ 2.145 + 3.690 = 7.980 𝑚𝑚2 𝐼1,𝑥

𝑏1 ∗ ℎ13 33 ∗ 653 = = = 755.219 𝑚𝑚4 12 12

𝐼2,𝑥 =

𝑏2 ∗ ℎ23 41 ∗ 903 = = 2.490.750 𝑚𝑚4 12 12

𝐼𝑥 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 = 2 ∗

𝑖𝑥 = √

33 ∗ 653 41 ∗ 903 ∗ 0,922 + ∗ 1 = 3.883.374 𝑚𝑚4 12 12

𝐿𝑝,𝑥 1.320 𝐼𝑥 3.883.374 =√ = 22,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑥 = = = 59,8 𝐴 7.980 𝑖𝑥 22,1

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Análisis con respecto al eje y-y: Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección K.2, Anexo K 𝐿𝑝𝑦 = 𝐿 = 1,65 𝑚 = 1.650 𝑚𝑚 𝑎1 =

𝑏1 + 𝑏2 33 + 41 = = 37 𝑚𝑚 2 2

Se disponen los clavos en dos hileras espaciados a 100 mm en cada hilera (Clavado de a mitades desde ambos lados) Clavos 4,3 x 100 mm: Penetración efectiva de la punta del clavo en el último madero 𝑝𝑒𝑓 = 𝐼𝑐𝑙 − 𝑏1 − 𝑏2 = 100 − 33 − 41 = 26 𝑚𝑚 𝑝𝑒𝑓 26 𝑁 = = 6,04 > 4 ⇒ 𝐶𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 ⇒ 𝐶 = 700 𝑑𝑐𝑙 4,3 𝑚𝑚

(𝑁𝐶ℎ 1198, 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 14)

4

4 33 𝑏1 =√ = 0,654 ⇒ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,1 ∗ 𝐸 = 0,654 ∗ 10.200 = 6.674 𝑀𝑃𝑎 180 180

4

4 41 𝑏2 =√ = 0,691 ⇒ 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,2 ∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.200 = 7.047 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸𝑟𝑒𝑓 180 180

𝐾ℎ,1 = √

𝐾ℎ,2 = √

Momento de inercia eficaz 𝑛1 =

𝐸1 6.674 = = 0,947 𝐸𝑟𝑒𝑓 7.047

𝑛2 =

𝐸2 7.047 = = 1,0 𝐸𝑟𝑒𝑓 7.047

𝑘1 =

𝜋 2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠⁄𝑛) 𝜋 2 ∗ 6.674 ∗ 2.145 ∗ (100⁄2) = = 3,707 700 ∗ 1.6502 𝐶 ∗ 𝐿2𝑝,𝑦

⇒ 𝛾1 = 𝐼1,𝑦 = 𝐼2,𝑦 14

1 1 = = 0,212 1 + 𝑘 1 + 3,707

𝑏13 ∗ ℎ1 333 ∗ 65 = = 194.659 𝑚𝑚4 12 12

𝑏23 ∗ ℎ2 413 ∗ 90 = = = 516.908 𝑚𝑚4 12 12 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐼𝑒𝑓,𝑦 = 2 ∗ 𝐼1,𝑦 ∗ 𝑛1 + 𝐼2,𝑦 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾1 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12 = 2 ∗ 194.659 ∗ 0,947 + 516.908 ∗ 1 + 2 ∗ 0,212 ∗ 0,947 ∗ 2.145 ∗ 372 = 368.754 + 516.908 + 1.181.773 = 2.067.434 𝑚𝑚4 𝑖𝑦,𝑒𝑓 = √

2.067.434 7.980

= 16,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦,𝑒𝑓 =

1.650 16,1

= 102,5 > 𝜆𝑥

Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2: 𝐹𝑐𝐸𝑦 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 7.047 = = 2,41 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 102,52

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 2,41 = = 0,241 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 10 𝐹𝑐𝐸 𝜆 102,5 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,241 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 0,803 2∗𝑐 2 ∗ 0,85 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,241 𝐵= = = 0,284 𝑐 0,85 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,803 − √0,8032 − 0,284 = 0,202 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,202 = 2,02 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐 =

𝐶 15.000 = = 1,88 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 𝐴 7.980

Control ligazón elástica, NCh 1198, Sección 7.3.3.2: 𝑄𝑖 =

𝐶 15.000 = = 1.236 𝑁 𝑘𝜆 ∗ 60 0,202 ∗ 60

⇒ 𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥 =

𝛾 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎1 0,212 ∗ 1.236 ∗ 2.145 ∗ 37 = = 9,54 𝑁/𝑚𝑚 𝐼𝑦,𝑒𝑓 2.067.434

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación disposición de clavado NCh 1198, Sección 9.6.1.6, d: Clavos calibre 4” : 100*4,3 mm 𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚 Se analizará la situación de las uniones entre dos piezas laterales de espesor 33 mm con la pieza central de 41 mm. Resistencia al aplastamiento en clavos, NCh 1198, Sección 9.6.3.3.3 𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 en todos los maderos 𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 /1000)1,84 = 115 ∗ (450⁄1000)1,84 = 26,5 Mpa Tensión de fluencia en los medios de unión, NCh 1198, Sección 9.6.2.3 𝑏1 = 𝑙𝑙 = 33 𝑚𝑚 𝑏𝑐 = 𝑙𝑐 = 41 𝑚𝑚 D = 4,3 mm < 6,4 mm  𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎 Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de fluencia II y IIIc no son aplicables. La capacidad de carga admisible de los clavos se estimará sobre la base de la capacidad de carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple. NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2 Modos de fluencia: Modo Ic: 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = = = 2.121 𝑁 𝐹𝐴 2,2 Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

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𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5 = = 1.707 𝑁 𝐹𝐴 2,2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo IIIl: 𝑅𝑒 = 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ⁄𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 26,5⁄26,5 = 1,0

2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷2 𝑘3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙2 2 ∗ (1 + 1) 2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32 = −1 + √ + = 1,198 1 3 ∗ 26,5 ∗ 332 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5 = = 681 𝑁 (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐹𝐴 (2 + 1) ∗ 2,2

Modo IV: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 𝐷2 4,32 2 ∗ 26,5 ∗ 647 ∗ √ = ∗ √ = 635 𝑁 𝐹𝐴 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2,2 3 ∗ (1 + 1)

∴ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.121; 1.709; 681; 635) = 635 𝑁

Capacidad de carga admisible de la superficie de cizalle adyacente a la punta del clavo: Penetración del clavo en el tercer madero 𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙 + 𝑏𝑐 ) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚 De acuerdo con NCh 1198, 9.6.1.6.f): 𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚 < 𝑝 < 8 ∗ 𝐷 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 = 𝑝𝑚 ⇒ 𝑃′𝑒𝑙,𝑎𝑑 𝑐𝑑 = (0,75 ∗

𝑝 26 ) ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = (0,75 ∗ ) ∗ 635 = 360 𝑁 𝑃𝑚 34,4

La capacidad de carga admisible promedio en cada junta de contacto asciende a: 𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0,5 ∗ (635 + 360) = 497𝑁 𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ 𝑘𝐷 = 498 ∗ 1,25 = 622𝑁 Densidad media de clavado requerida para neutralizar el flujo de cizalle (𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥 ) inducido por la ligazón elástica: 𝑒′𝑟𝑒𝑞 =

𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠 622 𝑒 100 = = 65,1 𝑚𝑚 > 𝑒′𝑒𝑓 = = = 50 𝑚𝑚 𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥 9,54 2 2

La disposición de clavado permite neutralizar el flujo de cizalle. I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada Columna de sección transversal compuesta espaciada de madera laminada encolada de pino Radiata (constitución híbrida) con tacos de separación, que recibe una carga de techo de 100 kN. La madera se encuentra en condición seca (H ≤ 15%).

Solución: 𝐿𝑝𝑥 = 𝐿𝑝𝑦 = 4,50 𝑚 𝐴 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 65 ∗ 225 = 29.250 𝑚𝑚2 Verificación respecto el eje x-x: La columna funciona como una columna de sección transversal simple de espesor 130 mm y altura 225 mm. 𝜆𝑥 =

𝐿𝑝𝑥 ∗ √12 4.500 ∗ √12 = = 69,3 ℎ1 225

Verificación respecto del eje y-y: De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c 𝑏1 = 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥 = 60 ∗ 𝑖1 = 60 ∗

65 √12

= 1.126 𝑚𝑚

Número de subdivisiones: N=𝐿

𝐿𝑝𝑦 𝑝1,𝑚á𝑥

= 1.126 = 4 Þ N = 5 4.500

Se disponen tacos en los extremos y en los puntos cuartos del largo de columna

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Fijación de tacos a piezas mediante pernos PØ1/2” + 2 Conectores de hinca Tipo C, calibre 62 mm + 2 golillas Ø55*5 mm. De Anexo I, para este calibre Sbcp=Sp=120 mm y de acuerdo con NCh 1198, Tabla 18, el factor de flexibilidad f = 2,5. Asumiendo se disponen 2 pernos alineados, la longitud de los tacos resulta 𝑙𝑡 = 2 ∗ 𝑠𝑏𝑐𝑝 + 𝑠𝑝 = 2 ∗ 120 + 120 = 360 𝑚𝑚 𝐿𝑝1 =

𝐿 − 𝑙𝑡 4.500 − 360 = = 828 𝑚𝑚 𝑁 5

𝜆1 =

𝐿𝑝𝑙 ∗ √12 828 ∗ √12 = = 44,1 < 60 𝑏1 65

𝐼𝑦 =

ℎ1 ∗ ((2 ∗ 𝑏1 + 𝑎)3 − 𝑎3 ) 225 ∗ ((2 ∗ 65 + 135)3 − 1353 ) = = 302.798.438 𝑚𝑚4 12 12

𝐼𝑦 302.798.438 𝑖𝑦 = √ = √ = 102 𝑚𝑚 𝐴 29.250 𝜆𝑦 =

𝐿𝑝𝑦 4.500 = = 44,2 𝑖𝑦 102

𝑚 = 2 (n° de piezas individuales que conforman la sección transversal) 𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆2𝑦 + 𝑓 ∗

𝑚 2 2 ∗ 𝜆1 = √44,22 + 2,5 ∗ ∗ 44,12 = 82,6 > 𝜆𝑥 2 2

Madera laminada de pino Radiata: Control del pandeo condicionado por laminación vertical. De Anexo C. 𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9 Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo: 𝑘𝐷 = 1,25 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,0 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝐸 =

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 7.700 = = 5,64 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 82,62

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 5,64 = = 0,564 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 10 𝐹𝑐𝐸 𝜆 82,6 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 300) + 1 0,564 ∗ (1 + 300 ) + 1 𝐴= = = 0,955 2∗𝑐 2 ∗ 0,9 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,564 𝐵= = = 0,627 𝑐 0,9 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,955 − √0,9552 − 0,627 = 0,421 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,421 = 4,21 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

100.000 = 3,42 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 29.250

Diseño fijación tacos de separación, Nch 1198, Sección 7.3.3.2, letra F 𝑄𝑖 =

𝐶 100.000 = = 3.961 𝑁 𝐾𝜆 ∗ 60 0,421 ∗ 60

2 ∗ 𝑎1 = 65 + 135 = 200 𝑚𝑚 𝑇1 =

𝑄𝑖 3.961 ∗ 𝐿𝑝1 = ∗ 828 = 16.399 𝑁 2 ∗ 𝑎1 200

Se disponen 2 conectores Tipo C D62 por junta de contacto: De Anexo I. Para conectores calibre 62: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 7.000 𝑁 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 2 ∗ 7.000 ∗ 1,25 = 17.500 𝑁 > 𝑇1 𝑓𝑐𝑧,𝑡𝑎𝑐𝑜 ≈

20

1,5 ∗ 𝑇1 1,5 ∗ 16.399 = = 0,30 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ℎ1 ∗ 𝑙𝑡 225 ∗ 360

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

En la figura se plantea una distribución triangular de tensiones de compresión normal entre el taco separador y las piezas individuales. El efecto neto de estos aplastamientos debe neutralizar el momento inducido por las fuerzas de corrimiento T en los planos de contacto. Planteando la condición de equilibrio de momentos en el cuerpo libre constituido por el taco y para la distribución tensional de la figura: 𝑇∗𝑎 =𝐶∗𝑍 Como 𝐶=

1 ∗𝑓 ∗ℎ ∗𝑙 4 𝑐𝑛 1 𝑡

y 𝑍=

2 ∗𝑙 3 𝑡

Despejando la tensión máxima de compresión normal, resulta: 𝑓𝑐𝑛 =

6 ∗ 𝑇1 ∗ 𝑎 6 ∗ 16.399 ∗ 135 = 0,456 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,5 𝑀𝑝𝑎 2 = 225 ∗ 3602 ℎ1 ∗ 𝑙𝑡

Cada perno queda solicitado por una tracción Ft = C/2. En los comentarios de la norma alemana de diseño de construcciones de madera DIN 1052 se recomienda incrementar esta fuerza en el 25% de la fuerza que traspasa cada conector, para incorporar la neutralización del momento volcante que induce el mecanismo de traspaso de fuerzas entre el taco y las piezas de madera por parte de los conectores. Consecuentemente la tracción que solicita cada perno es: I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑡 =

𝐶 𝑇1 1 1 + 0,25 ∗ = ∗ (𝑓𝑐𝑛 ∗ ℎ1 ∗ 𝑙𝑡 + 𝑇1 ) = ∗ (0,456 ∗ 225 ∗ 360 + 16.399) 2 2 8 8 = 6.662 𝑁

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎

𝜋 ∗ 𝐷2 𝜋 ∗ 12,72 = 0,8 ∗ = 0,8 ∗ = 101 𝑚𝑚2 4 4

𝑓𝑡 =

22

𝐹𝑡 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎

=

6.662 = 65,7 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 100 𝑀𝑝𝑎 101

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EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna Verificar que el puntal tripartito AD de la columna de marco construido con madera laminada encolada de Pino radiata (constitución híbrida), esquematizada en la figura, tiene la capacidad de diseño para las solicitaciones originadas por el estado de carga : peso propio + sobrecarga de servicio de techo: Ctramo inferior = 140 kN y Ctramo superior = 45,4 kN. El punto C, que divide los dos tramos del puntal, se encuentra apoyado fuera del plano del marco. La madera se encuentra en condición seca ( H ≤ 15%)

Solución: Geometría sección transversal: 𝑏1 = 65 𝑚𝑚 𝑏2 = 115 𝑚𝑚 ℎ1 = ℎ2 = ℎ = 185 𝑚𝑚 𝑎 = 65 𝑚𝑚 (Separación entre piezas) Verificación con respecto eje x-x: 𝐿𝑝𝑥 = 3,4 𝑚 = 3.400 𝑚𝑚 𝐼𝑥 =

(2 ∗ 𝑏1 + 𝑏2 ) ∗ ℎ3 (2 ∗ 65 + 115) ∗ 1853 = = 129.270.677 𝑚𝑚4 12 12

𝐴 = ℎ ∗ (2 ∗ 𝑏1 + 𝑏2 ) = 185 ∗ (2 ∗ 65 + 115) = 45.325 𝑚𝑚2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑖𝑥 = √

𝜆𝑥 =

𝐼𝑥 129.270.677 =√ = 53,4 𝑚𝑚 𝐴 45.325

𝐿𝑝𝑥 3.400 = = 63,7 𝑖𝑥 53,4

Verificación con respecto eje y-y: 𝐼𝑦 =

ℎ 185 ((2 ∗ (𝑏1 + 𝑎) + 𝑏2 )3 − (2 ∗ 𝑎 + 𝑏2 )3 + 𝑏23 ) = (3753 − 2453 + 1153 ) 12 12 = 609.715.677 𝑚𝑚4

𝐼𝑦 609.715.677 𝑖𝑦 = √ = √ = 116 𝑚𝑚 𝐴 45.325 𝜆𝑦 =

𝐿𝑝𝑦 3.400 = = 29,3 𝑖𝑦 116

De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c 𝑏1 = 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥 = 60 ∗ 𝑖1 = 60 ∗

65 √12

= 1.126 𝑚𝑚

Número de subdivisiones: 𝑁=𝐿

𝐿 𝑝1,𝑚á𝑥

⇒ 𝐿𝑝1 ≈ 𝜆1 =

3.400

= 1.126 = 3,1 → 5 (se elige el impar inmediatamente mayor)

3.400 = 680 𝑚𝑚 5

𝐿𝑝1 ∗ √12 680 ∗ √12 = = 36,2 𝑏1 65

Los tacos separadores se fijan mediante P Ø1/2” + conectores Tipo C, calibre D50 (Ver Anexo I) ⇒ 𝑓 = 2,5 Columna tripartita: m = 3 𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆2𝑦 + 2,5 ∗

𝑚 2 3 ∗ 𝜆1 = √29,32 + 2,5 ∗ ∗ 36,22 = 76,1 2 2

Crítica

(Control del pandeo condicionado por laminación vertical)

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Madera laminada de pino radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh 2150 (Ver anexo C): 𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9 Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo: 𝑘𝐷 = 1,25 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,0 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 =

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 7.700 = = 6,66 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 76,12

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 6,66 = = 0,666 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 10 𝐹𝑐𝐸 𝜆 ∗ (1 + ) + 1 0,666 ∗ (1 + 76,1) + 1 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 300 300 𝐴= = = 1,019 2∗𝑐 2 ∗ 0,9 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,666 𝐵= = = 0,740 𝑐 0,9 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,019 − √1,0192 − 0,740 = 0,472 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,472 = 4,72 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

140.000 = 3,09 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 45.325

Diseño fijación tacos de separación, NCh 1198, sección 7.3.3.2, letra f 𝑄𝑖 =

𝐶 140.000 = = 4.940 𝑁 𝐾𝜆 ∗ 60 0,472 ∗ 60

2 ∗ 𝑎1 = 65 + 0,5 ∗ (65 + 115) = 155 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑇1 =

0,5 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐿𝑝1 0,5 ∗ 4.940 ∗ 680 = = 10.837 𝑁 2 ∗ 𝑎1 155

Se disponen 2 conectores Tipo C D50 por junta de contacto: 𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 2 ∗ 1,25 ∗ 5.000 = 12.500 𝑁 < 𝑇1

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 8: Columna bipartita Columna bipartita con ligazón transversal materializada con celosías. Debe resistir una compresión C = 20 kN, cubriendo una altura de 4,15 m. Sus extremos se encuentran impedidos de desplazarse lateralmente. La sección transversal consiste de 2 piezas de madera laminada encolada de pino radiata de sección: 115 x 210 mm. La vinculación estructural de ambas secciones se materializa con celosías diagonales, también bipartitas de madera aserrada de pino Radiata, Grados C24, de escuadría: 33 x 115 mm, fijadas con clavos de 3 ½”: 3,9 x 90 mm a las piezas principales, de acuerdo con el detalle que se indica en las figuras. El contenido de humedad de la madera durante la construcción y en servicio no supera el nivel H = 15%. El estado de carga condicionante del diseño tiene una duración acumulada de 10 años.

Solución: 𝐼𝑝𝑥 = 𝐼𝑝𝑦 = 4,15 𝑚 Verificación con respecto al eje x-x: 𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2 𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 = 2 ∗ 124.150 = 48.300 𝑚𝑚2 𝐼𝑥 =

2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ13 2 ∗ 115 ∗ 2103 = = 177.502.500 𝑚𝑚4 12 12

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑖𝑥 = √

𝐼𝑥 177.502.500 =√ = 60,6 𝑚𝑚 𝐴 48.300

⇒ 𝜆𝑥 =

𝐿𝑝𝑥 4.150 = = 68,5 𝑖𝑥 60,6

Verificación con respecto al eje y-y: Esta verificación condiciona para las piezas laminadas una flexión en laminación vertical. Las piezas se amarran en ambos extremos con 2 piezas de 33 x 115 mm. De acuerdo con figura: 𝑙𝑝𝑙 ≈

𝐿 − 2 ∗ ℎ1 4.150 − 2 ∗ 115 = = 1.307 𝑚𝑚 3 3

𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2 𝐼1 =

ℎ1 ∗ 𝑏13 210 ∗ 1153 = = 26.615.312 𝑚𝑚4 12 12

𝐿𝑝𝑙 1.307 𝐼1 26.615.312 𝑖1 = √ = √ = 33,2 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆1 = = = 39,4 < 60 𝐴1 24.150 𝑖1 33,2 𝑎1 =

𝐻 − ℎ1 965 − 115 = = 425 𝑚𝑚 2 2

965 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) = 55,9° ⇒ 𝑠𝑒𝑛(55,9) = 0,828 1.307/2 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 55,9) = 0,928

Se disponen en total 12 clavos funcionando en cizalle simple en los extremos de las diagonales, tal como se aprecia en la figura siguiente:

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑝𝑒𝑓 = 𝐼𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 90 − 33 = 57 𝑚𝑚 𝐶 = 600 𝑁/𝑚𝑚 𝑚 = 2 (la sección transversal se compone de 2 piezas) 𝐼𝑦 =

210 (9653 − 7353 ) = 8.777.418.125 𝑚𝑚4 12

𝐼𝑦 8.777.418.125 4.150 𝑖𝑦 = √ = √ = 426 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦 = = 9,74 𝐴 48.300 426

𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦 2 +

4 ∗ 𝜋 2 ∗ 𝐸𝑦 ∗ 𝐴1 𝑚 4 ∗ 𝜋 2 ∗ 7.700 ∗ 24.150 2 ∗ = √9,742 + ∗ 𝑎1 ∗ 𝑛𝑐𝑙 ∗ 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 2 425 ∗ 12 ∗ 600 ∗ 0,928 2

= 51,8 < 𝜆𝑥

Entonces, 𝜆𝑚á𝑥 = 𝜆𝑥 = 68,5 Madera laminada de pino Radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh 2150, considerando laminación horizontal (Ver anexo C): 𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐾𝐷 = 1,00 𝐾𝐻 = 1,00 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,0 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 9.000 ∗ 1,0 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 =

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 9.000 = = 9,6 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 68,52

𝐹𝑐𝐸 9,6 = = 1,20 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 8,0 𝐹𝑐𝐸 𝜆 68,5 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 300) + 1 1,2 ∗ (1 + 300 ) + 1 𝐴= = = 1,375 2∗𝑐 2 ∗ 0,9 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 1,2 𝐵= = = 1,334 𝑐 0,9 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,375 − √1,3752 − 1.334 = 0,629 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8 ∗ 0,629 = 5,03 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

200.000 = 4,14 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 48.300

Diseño uniones celosía: Las uniones deben neutralizar el esfuerzo de corte Qi, condicionado por 𝜆𝑦,𝑒𝑓 = 51,8. Por lo que se debe considera las piezas de madera laminada híbrida, considerando laminación vertical (ver anexo C): 𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9 Dado que 𝐾𝐷 = 1,00 y 𝐾𝐻 = 1,00 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 = 30

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 7.700 = = 14,37 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 51,82 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝐸 14,37 = = 1,797 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 8,0 𝐹𝑐𝐸 𝜆 51,8 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 300) + 1 1,797 ∗ (1 + 300 ) + 1 𝐴= = = 1,726 2∗𝑐 2 ∗ 0,9 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 1,797 𝐵= = = 1,996 𝑐 0,9 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,726 − √1,7262 − 1,996 = 0,735 𝑄𝑖 =

𝐶 200.000 = = 4.537 𝑁 0,735 ∗ 60 0,735 ∗ 60

fuerza que solicita las diagonales: ⇒ 𝐹𝐷 =

𝑄𝑖 4.537 = = 5.479 𝑁 𝑠𝑒𝑛(55,9°) 0,828

Derivación de la capacidad de carga de diseño de clavos 3,9 x 90 mm (3 ½”). Para pino radiata, de NCh 1198, Anexo E 𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1,84

𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (

1000

)

450 1,84

= 115 ∗ (1000)

= 26,5 MPa

𝐷 = 3,9 𝑚𝑚 𝐼𝑐𝑙 = 90 𝑚𝑚 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,9 = 670 𝑀𝑃𝑎 𝑙𝑙 = 𝑏𝐷 = 33 𝑚𝑚 𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 90 − 33 = 57 𝑚𝑚 < 𝑒𝑐 = 210 𝑚𝑚

Modos de fluencia: 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 26,5 = =1 𝑅𝑎𝑝,𝑙 26,5

𝑅𝑡 =

𝑙𝑐 57 = = 1,727 𝑙𝑙 33

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2

𝐾1 =

=

√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒 2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2 ) + 𝑅𝑡2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡 ) 1 + 𝑅𝑒 √1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,727 + 1,7272 ) + 1,7272 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,727) = 0,599 1+1

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) +

= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +

2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2

2 ∗ 670 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,92 = 1,058 3 ∗ 26,5 ∗ 572

2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝐾3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 1) 2 ∗ 670 ∗ (2 + 1) ∗ 3,92 = −1 + √ + = 1,17 1 3 ∗ 26,5 ∗ 332 Modo Ic: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 3,9 ∗ 57 ∗ 26,5 = = 2.674 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5 = = 1.548 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo II: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 0,599 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5 = = 927 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo IIIc: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 32

𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,058 ∗ 3,9 ∗ 57 ∗ 26,5 = = 943 𝑁 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo IIIl: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,17 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5 = = 603 𝑁 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2

Modo IV: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 3,92 𝐷2 2 ∗ 26,5 ∗ 670 ∗√ = ∗√ = 531 𝑁 (1 ) 𝐹𝐴 3 ∗ + 𝑅𝑒 2,2 3 ∗ (1 + 1)

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.674; 1.548; 927; 943; 603; 531) = 531 𝑁 𝐾𝐷 = 1,0 𝐾𝐻𝑈 = 1,0 𝑁𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻𝑈 = 531 ∗ 1 ∗ 1 = 531 𝑘𝑁

Capacidad de carga de diseño fijación de extremos diagonales celosía 𝐷𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 12 ∗ 531 = 6.372 𝑁 > 𝐹𝐷 = 5.479 𝑁

Verificación diagonal: 𝑙𝑝 =

2 ∗ 𝑎1 2 ∗ 425 = = 1.026 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(55,9°)

𝐴𝐷 = 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 33 ∗ 115 = 3.795 𝑚𝑚2 𝐼𝐷,𝑚í𝑛 =

ℎ𝐷 ∗ 𝑏𝐷3 115 ∗ 333 = = 344.396 𝑚𝑚4 12 12

𝐼𝐷,𝑚í𝑛 344.396 𝑖𝐷 = √ =√ = 9,53 𝑚𝑚 𝐴𝐷 3.795 ⇒ 𝜆𝐷 =

𝑙𝑝,𝐷 1.026 = = 107,8 𝑖𝐷 9,53

Para pino radiata, grado C24: 𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,85 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐾𝐷 = 1,00 𝐾𝐻 = 1,00 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8 𝑀𝑃𝑎 4

𝐾ℎ,𝐸 = √

4 33 ℎ =√ = 0,65 ≥ 0,67 180 180

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 10.200 ∗ 0,67 = 6.834 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 6.834 = = 2,12 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 107,82

𝐹𝑐𝐸 2,12 = = 0,265 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 8,0 𝐹𝑐𝐸 𝜆 107,8 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,265 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 0,828 2∗𝑐 2 ∗ 0,85 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,265 𝐵= = = 0,312 𝑐 0,85 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,828 − √0,8282 − 0,312 = 0,216

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8 ∗ 0,216 = 1,73 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

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𝐶𝐷 5.479 = = 1,44 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 𝐴𝐷 3.795

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso Determinar la máxima luz que pueden cubrir vigas de piso de Pino radiata de escuadría nominal 2 x 8, Grado C24, espaciadas cada 610 mm, que deben resistir una carga de peso propio de 1,5 kN/m2 y una sobrecarga de servicio de 1,5 kN/m2. Las vigas sirven de apoyo de la base de piso consistente de tableros contrachapados de espesor 18 mm. Se acepta una deformación máxima de 1/300 avo de la luz para la acción combinada del peso propio y la sobrecarga, con un máximo de 15 mm y una deformación máxima inducida por la sobrecarga de servicio de 1/360 avo de la luz. Para la luz determinada estimar la longitud de apoyo requerida en los extremos de las vigas.

Solución: Solicitación de peso propio: 𝑞𝑝𝑝 = 1,5 𝑘𝑁⁄𝑚2 𝑞𝑝𝑝 = 𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁⁄𝑚 = 0,915 𝑁⁄𝑚𝑚 ̅̅̅̅̅ 𝐾𝐷 = 0,9

Sobrecarga de servicio: 𝑞𝑠𝑐 = 1,5 𝑘𝑁⁄𝑚2 𝑞𝑠𝑐 = 𝑞𝑠𝑐 ∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁⁄𝑚 = 0,915 𝑁⁄𝑚𝑚 ̅̅̅̅ 𝐾𝐷 = 1,0

Carga de diseño: 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 = 0,915 + 0,915 = 1,83 𝑘𝑁⁄𝑚 = 1,83 𝑁⁄𝑚𝑚 𝐾𝐷 = 1,0

Condiciones geométricas: Ancho: 185 mm

(NCh 2824)

Espesor : 41 mm

(NCh 2824)

Sección = espesor * ancho = 41*185 = 7.585 mm2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑊= 𝐼=

𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 2 41 ∗ 1852 = = 233.871 𝑚𝑚3 6 6

𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 3 41 ∗ 1853 = = 21.633.052 𝑚𝑚4 12 12

Propiedades mecánicas asociadas al Grado C24, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b 𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≤90 mm)

𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm)

𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

Factores de modificación: Factor de modificación por contenido de humedad, NCh 1198, Sección 6.1.1 𝐾𝐻 = 1,0

Condición de servicio seca H ≤ 12 %

𝐾𝐷 = 1,0

Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G

Factor de modificación por altura, NCh 1198, Sección 7.2.2.3 5

𝐾ℎ,𝑓 = √

90 5 90 =√ = 0,866 ℎ 185

Factor de modificación por altura para módulo elástico, NCh 1198, Sección 7.2.4.2 𝐾ℎ,𝐸 = 1,0

h ≥180 mm

Factor de modificación por trabajo conjunto en flexión, NCh 1198, Sección 6.1.3 𝐾𝑐 = 1,15

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Espaciamiento ≤ 610 mm y vinculación por medio de placa de piso

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Factor de modificación por volcamiento, NCh 1198, Sección 7.2.2.4 𝐾𝜆𝑣 = 1,0

Volcamiento impedido por la cubierta de piso

Factor de modificación por longitud de aplastamiento para el extremo de la viga, NCh 1198, Sección 7.5.3.3 𝐾𝑐𝑛 = 0,8

Factor de modificación por longitud de aplastamiento para solera basal, NCh 1198, Sección 7.5.3.2 4

𝐾𝑐𝑛 = √

150 4 150 =√ = 1,383 𝑙 41

Capacidad de momento de diseño: 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,866 ∗ 1,15 = 9,26 𝑀𝑃𝑎 𝑀𝑑𝑖𝑠 = 𝑊 ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 233.871 ∗ 9,26 = 2.165.645 𝑁 ∗ 𝑚𝑚 𝑀𝑚á𝑥

𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿2𝑚á𝑥 1,83 ∗ 𝐿2𝑚á𝑥 = = = 0,2288 ∗ 𝐿2𝑚á𝑥 8 8

En el óptimo, 𝑀𝑑𝑖𝑠 = 𝑀𝑚á𝑥 ⇒ 𝐿𝑚á𝑥 = √

2.165.645 = 3.077 𝑚𝑚 0,2288

Restricción por deformaciones 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 10.200 ∗ 1 ∗ 1 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 𝑞̅𝑝𝑝 𝑔 0,915 = = = 0,5 𝑞 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 1,83 De acuerdo con NCh 1198, Sección 7.2.4.11, se desprecia efecto del creep en la estimación de la flecha.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Control deformación inducida por la carga total 𝛿=

5 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿4𝑚á𝑥 𝐿𝑚á𝑥 ∗ ≤ 384 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 300 3

⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √

3 384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 =√ = 3.137 𝑚𝑚 1.500 ∗ 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 1.500 ∗ 1,83

Control deformación absoluta 𝛿=

5 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿4𝑚á𝑥 ∗ ≤ 15 𝑚𝑚 384 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 4

⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √

384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 ∗ 15 3 384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 ∗ 15 =√ = 3.433 𝑚𝑚 5 ∗ 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 5 ∗ 1,83

Control deformación inducida por la sobre carga de servicio 𝛿𝑠𝑐 =

5 𝑞̅𝑠𝑐 ∗ 𝐿4𝑚á𝑥 𝐿𝑚á𝑥 ∗ ≤ 384 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 360 3

⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √

384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 3 384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 =√ = 3.719 𝑚𝑚 1.800 ∗ 𝑞̅𝑠𝑐 1.800 ∗ 0,915

Por lo tanto, la máxima luz que se puede cubrir queda condicionada por la tensión de diseño en flexión y asciende a 3,08 m.

Longitud de apoyo requerida: Dado que en el caso de apoyo de vigas la superficie de aplastamiento sobre el canto inferior de las vigas limita con el borde de la pieza, por lo que de acuerdo con NCh 1198 Sección 7.5.3.3 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 0,8 = 2,0 𝑀𝑃𝑎 𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 = 0,5 ∗ 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥 = 0,5 ∗ 1,83 ∗ 3.080 = 2.815 𝑁

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐴𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 = 𝑏 ∗ 𝑙𝑟𝑒𝑞 = 41 ∗ 𝑙𝑟𝑒𝑞 𝑓𝑐𝑛 =

𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 2.815 ≤ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ⇒ 𝑙𝑟𝑒𝑞 = = = 34,3 𝑚𝑚 ⟶ 35 𝑚𝑚 𝐴𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 41 ∗ 2

NOTA: desde el punto de vista de la solera basal, la tensión de diseño en compresión normal es 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,38 = 3,46 𝑀𝑃𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón Viga de piso de una vivienda, armada mediante clavado según esquema de la figura. Diseño de la ligazón elástica por medio de clavado y verificación estática de la viga compuesta, sección cajón, que debe cubrir una luz de 4,20 m y resistir una carga uniformemente distribuida de 3 kN/m, consistente de las cargas de peso propio y la sobrecarga de servicio. El descenso máximo de la viga no debe exceder el límite L/300, con L: luz. Se dispone de piezas de madera aserrada Pino Radiata Grado G1 o mejor, según NCh 1207Of.2006, y clavos 4,3 x 100 mm (calibre 4”) con Pel,ad=635 N.

Solución: Sección transversal viga armada clavada 𝑄𝑚á𝑥 = 0,5 ∗ 𝑞 ∗ 𝐿 = 0,5 ∗ 3 ∗ 4,2 = 6,3 𝑘𝑁 𝑀𝑚á𝑥 =

𝑞 ∗ 𝐿2 3 ∗ 4,22 = = 6,615 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 8 8

Propiedades estáticas 𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 138 ∗ 41 = 5.658 𝑚𝑚2 𝑎1 = 0,5 ∗ (ℎ1 + ℎ2 ) = 0,5 ∗ (41 + 185) = 113 𝑚𝑚 𝐴2 = 2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ2 = 2 ∗ 41 ∗ 185 = 15.170 𝑚𝑚2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑎2 = 0 𝑚𝑚 𝑆1 = 𝐴1 ∗ 𝑎1 = 5.658 ∗ 113 = 639.354 𝑚𝑚3 𝑆2 =

2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ22 2 ∗ 41 ∗ 1852 = = 350.806 𝑚𝑚3 8 8

Propiedades mecánicas asociadas a pino radiata grado G1 o mejor, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b: 𝐹𝑓 = 9,5 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≤ 90 mm)

𝐹𝑐𝑛 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10.100 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm)

Factores de modificación 𝐾𝐻 = 1,0

Condición de servicio seca H≤12%

𝐾𝐷 = 1,0

Carga de diseño de 10 años

5

𝐾ℎ2,𝑓 = √

90 5 90 =√ = 0,866 ℎ 185

𝐾ℎ,𝐸 = 1,0 𝐾𝜆𝑣 = 1,0 𝐾ℎ,𝐸,𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠

Volcamiento impedido por la cubierta de piso

𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠

4 ℎ 4 41 1 =√ =√ = 0,691 180 180

𝐸1 = 𝐾ℎ,𝐸,í𝑒𝑧𝑎𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎 ∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.100 = 6.979 𝑀𝑃𝑎

Verificación tensional: 𝐸𝑟𝑒𝑓 = 𝐸2 = 10.100 𝑀𝑃𝑎 𝑛1 =

𝐸1,𝑑𝑖𝑠 6.979 = = 0,691 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 10.100

𝑛2 =

𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 1,00 𝐸2,𝑑𝑖𝑠

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Se considera un clavado con espaciamiento 80 mm entre clavos consecutivos. 𝜋 2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠⁄𝑛) 𝜋 2 ∗ 6.979 ∗ 5.658 ∗ (80⁄2) = = 1,473 𝐶 ∗ 𝐿2 600 ∗ 4.2002

𝑘=

⇒ 𝛾=

1 1 = = 0,404 1 + 𝑘 1 + 1,473

𝐼1 =

𝑏1 ∗ ℎ13 138 ∗ 413 = = 792.592 𝑚𝑚4 12 12

𝐼2 =

2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ23 2 ∗ 41 ∗ 1853 = = 43.266.104 𝑚𝑚4 12 12

𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12 = 2 ∗ 792.592 ∗ 0,691 + 43.266.104 ∗ 1 + 2 ∗ 0,404 ∗ 0,691 ∗ 5.658 ∗ 1132 = 1.095.362 + 43.266.104 + 40.337.524 = 84.733.317 𝑚𝑚4

Tensiones de trabajo: Dado que el clavado directo no debilita la sección transversal Ii= Iin, entonces: 𝑀𝑚á𝑥 6.615.000 = = 0,0781 𝐼𝑒𝑓 84.372.104

𝑓𝑓1 =

𝑀𝑚á𝑥 ℎ1 ∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 + ) ∗ 𝑛1 = 𝐼𝑒𝑓 2

= 0,0781 ∗ (0,404 ∗ 113 +

𝑓𝑡𝑔1 =

𝑀𝑚á𝑥 ∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 ∗ 𝑛1 = 0,0781 ∗ 0,404 ∗ 113 ∗ 0,691 = 2,46 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 5,5 𝑀𝑃𝑎 𝐼𝑒𝑓

𝑓𝑓2 = 0,0781 ∗

42

41 ) ∗ 0,691 = 3,57 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,5 𝑀𝑃𝑎 2

5 90 185 = 7,22 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,5 ∗ √ = 8,2 𝑀𝑃𝑎 2 185

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑓𝑐𝑧,𝑚á𝑥 =

𝑄𝑚á𝑥 ∗ (𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝑠1 + 𝑠2 ) 2 ∗ 𝑏2 ∗ 𝐼𝑒𝑓

=

6.300 ∗ (0,404 ∗ 0,691 ∗ 639.354 + 350.806) 2 ∗ 41 ∗ 84.372.104

= 0,48 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,1 𝑀𝑃𝑎

Capacidad admisible de carga para clavos de 4,3 x 100 mm (4”) Para el pino radiata, de NCh 1198, Anexo E 𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1,84

𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (

1000

)

450 1,84

= 115 ∗ (1000)

= 26,5 MPa

𝐷 = 4,3 𝑚𝑚 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎 𝑙𝑙 = 𝑏1 = 41 𝑚𝑚 𝑙𝑐 = 𝑃 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏1 = 100 − 41 = 59 𝑚𝑚 𝑏𝑚𝑖𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 𝑚𝑚 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑚𝑖𝑛,𝑒𝑓 = 41 𝑚𝑚

Modos de fluencia: 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 26,5 = =1 𝑅𝑎𝑝,𝑙 26,5

𝑅𝑡 =

𝑙𝑐 59 = = 1,439 𝑙𝑙 41

Nch 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2

𝐾1 =

=

√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒 2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2 ) + 𝑅𝑡2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡 ) 1 + 𝑅𝑒 √1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,439 + 1,4392 ) + 1,4392 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,439) = 0,519 1+1

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) +

= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +

2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2

2 ∗ 647 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 4,32 = 1,064 3 ∗ 26,5 ∗ 592

2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝐾3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 1) 2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32 = −1 + √ + = 1,130 1 3 ∗ 26,5 ∗ 412

Modo Ic: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 4,3 ∗ 59 ∗ 26,5 = = 3.051 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5 = = 2.121 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo II: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 0,519 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5 = = 1.101 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo IIIc: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,064 ∗ 4,3 ∗ 59 ∗ 26,5 = = 1.082 𝑁 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2

Modo IIIl: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 44

𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,130 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5 = = 799 𝑁 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo IV: 2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 4,32 𝐷2 2 ∗ 26,5 ∗ 647 ∗√ = ∗√ = 635 𝑁 𝐹𝐴 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2,2 3 ∗ (1 + 1)

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(3.051; 2.121; 1.101; 1.082; 799; 635) = 635 𝑁

Control flujo de cizalle 𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,1 = = 𝑠′𝑟𝑒𝑞 =

𝑄𝑚á𝑥 ∗ 𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝑠1 𝐼𝑒𝑓 6.300 ∗ 0,404 ∗ 0,691 ∗ 639.354 = 13,3 𝑁⁄𝑚𝑚 84.733.317 𝑚𝑚4

𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 2 ∗ 635 𝑠 80 = = 96 𝑚𝑚 > 𝑠′𝑒𝑓 = = = 40 𝑚𝑚 𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,1 13,3 𝑛 2

Control deformación 𝜋 2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠⁄𝑛) 𝜋 2 ∗ 6.979 ∗ 5.658 ∗ (80⁄2) 𝑘𝛿 = = = 1,18 1,25 ∗ 𝐶 ∗ 𝐿2 1,25 ∗ 600 ∗ 4.2002 ⇒ 𝛾𝛿 =

1 = 0,459 1 + 1,18

𝐼𝑒𝑓,𝛿 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾𝛿 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12 = 2 ∗ 792.592 ∗ 0,691 + 43.266.104 ∗ 1 + 2 ∗ 0,459 ∗ 0,691 ∗ 5.658 ∗ 1132 = 1.095.362 + 43.266.104 + 45.829.019 = 90.192.360 𝑚𝑚4

𝛿𝑓 =

5 𝑞 ∗ 𝐿4 5 3 ∗ 4.2004 ∗ = ∗ = 13,3 𝑚𝑚 384 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑒𝑓,𝛿 384 10.100 ∗ 90.192.360

𝛿𝑄 =

𝑀𝑚á𝑥 6.615.000 = = 0,7 𝑚𝑚 0,065 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴2 0,065 ∗ 10,100 ∗ 15.170

𝛿𝑡𝑜𝑡 = 𝛿𝑓 + 𝛿𝑄 = 13,7 + 0,7 = 14 𝑚𝑚 ≈ I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

4.200 = 14 𝑚𝑚 300

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 11: Viga enrejada Verificación de la viga enrejada de la figura, que cubre una distancia entre apoyos de 4,64 m y diseño de las uniones de las diagonales con los cordones. La viga soporta un sistema de techo, que apoya lateralmente la cuerda superior, y recibe una densidad de carga de 2,5 kN/m. El descenso máximo se limita a 1/300 avo de la luz. Se dispone de piezas de madera aserrada estructural de Pino radiata Grado C24 de sección 41*135 mm para los cordones y 33*115 mm para las diagonales. El contenido de humedad de la madera es 12 %. Las uniones se ejecutan con clavos de 90 x 3,9 mm (3 ½”).

Solución: 𝑀𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿2 2,5 ∗ 4,642 = = 6,728 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 = 6.728.000 𝑁 ∗ 𝑚𝑚 8 8

𝑄𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿 2,5 ∗ 4,64 = = 5,80 𝑘𝑁 = 5.800 𝑁 2 2

fueza máxima en diagonales 𝐷𝑚á𝑥 =

46

𝑄𝑚á𝑥 5.800 = = 8.202 𝑁 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 45°

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

fijación mediante clavos de 3 ½” : 90*3,9 mm Capacidad admisible de carga según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3 𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 ⁄1.000)1,84 = 115 ∗ (450⁄1.000)1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎

Tensión de fluencia de los clavos, Nch 1198, sección 9.6.2.3. Como D < 6,4, ⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,9 = 670 𝑀𝑃𝑎 Se analizará la situación de las uniones entre dos piezas laterales de espesor de 41 mm con la pieza central de 33 mm. Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de fluencia II y IIIc no son aplicables. La capacidad de carga admisible de los clavos se estimará sobre la base de la capacidad de carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple. Modos de fluencia 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 26,5 = =1 𝑅𝑎𝑝,𝑙 26,5

𝑅𝑡 =

𝑙𝑐 33 = = 0,805 𝑙𝑙 41

De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36: Kd=2,2 para D < 4,3 mm Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2 2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝐾3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 1) 2 ∗ 670 ∗ (2 + 1) ∗ 3,92 = −1 + √ + = 1,111 1 3 ∗ 26,5 ∗ 412 Modo Ic: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5 = = 1.548 𝑁 𝐹𝐴 2,2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 3,9 ∗ 41 ∗ 26,5 = = 1.923 𝑁 2 ∗ 𝐹𝐴 2,2

Modo IIIl: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,111 ∗ 3,9 ∗ 41 ∗ 26,5 = = 713 𝑁 (2 + 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (2 + 1) ∗ 2,2

Modo IV: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 3,92 𝐷2 2 ∗ 26,5 ∗ 670 ∗√ = ∗√ = 531 𝑁 𝐹𝐴 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2,2 3 ∗ (1 + 1)

⇒ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(1.548; 1.923; 713; 531) = 531 𝑁

Penetración del clavo en la pieza opuesta del cordón

𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏1 − 𝑏𝐷 = 90 − 41 − 33 = 16 𝑚𝑚 4 ≤

𝑝 16 = = 4,1 ≤ 8 𝐷 3,9

𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑎𝑑 = 𝑁𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ (1 + 0,75 ∗

𝑝 ⁄𝐷 4,1 ) = 736 𝑁 ) = 531 ∗ (1 + 0,75 ∗ 8 8

Estado de carga incorpora sobrecarga de servicio en techo, NCh1198, Anexo G: 𝐾𝐷 = 1,25 𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑑𝑖𝑠 = 𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 736 ∗ 1,25 = 920 𝑁

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝐷𝑚á𝑥 8.202 = = 8,9 ⇒ 9 𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑑𝑖𝑠 920

En los cordones se respeta 𝑠𝑝.𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,9 = 39 𝑚𝑚 𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 3,9 = 27,3 𝑚𝑚 En las diagonales se respeta 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 30⁄𝑠𝑒𝑛 45° = 42,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,9 = 39 𝑚𝑚 𝑠𝑛𝑒𝑓 = 45 ∗ 𝑐𝑜𝑠 45° = 31,8 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 45⁄𝑠𝑒𝑛 45° = 63,6 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,9 = 58,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 0,5 ∗ (115 − 90 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°) = 25,7 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚

Propiedades mecánicas asociadas a pino radiata grado C24, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b 𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑝𝑎

(Aplicable a piezas de altura ≤ 90 mm)

𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable a piezas de altura ≥ 180 mm)

Propiedades estáticas de la sección transversal 𝑎1 =

𝐻 − ℎ1 450 − 135 = = 157,5 𝑚𝑚 2 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

4 4 135 ℎ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 10.200 ∗ √ = 10.200 ∗ √ = 9.492 𝑀𝑃𝑎 180 180

𝐴1 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 41 ∗ 135 = 11.070 𝑚𝑚2

Propiedades estáticas de la sección diagonal 4

𝐸𝐷 = 10.200 ∗ √

4 115 ℎ = 10.200 ∗ √ = 9.119 𝑀𝑃𝑎 180 180

𝐴𝐷 = 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 33 ∗ 115 = 3.795 𝑚𝑚2

Dado que p=16 mm: 4≤

𝑝 16 = = 4,1 ≤ 8 𝑑𝑐𝑙 3,9

𝐶𝑒𝑓 = 𝐶 ∗ (1 + 0,75 ∗

𝑝⁄𝐷 ) 8

= 900 ∗ (1 + 0,75 ∗

4,1 ) 8

= 1.246 𝑁⁄𝑚𝑚

Para vigas enrejadas con diagonales, NCh 1198, sección 7.2.7.2: 1 1 𝑎1 1 = [ + ] 𝐶𝑒𝑞 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 𝐴𝐷 ∗ 𝐸𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑛𝐷 ∗ 𝐶𝑒𝑓 1 1 157,5 1 = + ⌊ ⌋ = 9,560 ∗ 10−5 𝐶𝑒𝑞 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 45° 3.795 ∗ 9.119 ∗ 𝑠𝑒𝑛45° 9 ∗ 1.246 𝐶𝑒𝑞 =

1 = 10.460 𝑁⁄𝑚𝑚 9,560 ∗ 10−5

𝑘=

𝜋 2 ∗ 𝐸1 𝑙𝑙 𝜋 2 ∗ 9.492 1.160 ∗ 𝐴 ∗ = ∗ 11.070 ∗ = 5,342 1 2 2 𝐿 𝐶𝑒𝑞 4.640 10.460

𝛾=

1 1 = = 0,158 1 + 𝑘 1 + 5,342

𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ1 ∗ 𝑎12 ∗ (

ℎ12 1352 2 + 𝛾) = 2 ∗ 82 ∗ 135 ∗ 157,5 ∗ + 0,158) ( 12 ∗ 157,52 12 ∗ 𝑎12

= 120.226.370 𝑚𝑚4 50

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑀 6.728.000 = = 0,056 𝐼𝑒𝑓 120.226.370 Tensiones axiales en los centroides de los cordones 𝑓𝑐𝑝⁄𝑡𝑝,𝑔1 = ±

𝑀 ∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 = ±0,056 ∗ 0,158 ∗ 157,5 = ±1,39 MPa ≪ F𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 ≪ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 𝐼𝑒𝑓

Tensiones máximas de flexión en los cordones 𝑓𝑓 = ±

𝑀 ℎ1 135 ∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 + ) = ±0,056 ∗ (0,158 ∗ 157,5 + ) = ±5,17 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 𝐼𝑒𝑓 2 2

Control de deformación máxima 𝐶𝛿 = 1,25 ∗ 𝐶𝑒𝑓 = 1,25 ∗ 1.246 = 1.558 𝑁⁄𝑚𝑚

1 1 𝑎1 1 = [ + ] 2 𝐶𝑒𝑞 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝐴𝐷 ∗ 𝐸𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑛𝐷 ∗ 𝐶𝑒𝑓 =

1 157,5 1 + ⌊ ⌋ = 7,777 ∗ 10−5 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 45° 3.795 ∗ 9.119 ∗ 𝑠𝑒𝑛45° 9 ∗ 1.558

=

1 = 12.859 𝑁⁄𝑚𝑚 7,777 ∗ 10−5

𝑘=

𝜋 2 ∗ 𝐸1 𝑙𝑙 𝜋 2 ∗ 9.492 1.160 ∗ 𝐴 ∗ = ∗ 11.070 ∗ = 4,345 1 2 2 𝐿 𝐶𝑒𝑞 4.640 12.859

𝛾=

1 1 = = 0.187 1 + 𝑘 1 + 4,345

𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ1 ∗ 𝑎12 ∗ (

ℎ12 1352 2 + 𝛾) = 2 ∗ 82 ∗ 135 ∗ 157,5 ∗ + 0,187) ( 12 ∗ 157,52 12 ∗ 𝑎12

= 136.369.783 𝑚𝑚4 𝛿𝑚á𝑥

5 𝑞 ∗ 𝐿4 5 2,5 ∗ 4.6404 = ∗ = ∗ 384 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑒𝑓 384 9.492 ∗ 136.369.783 = 11,7 𝑚𝑚 <

𝐿 4.640 = = 15,5 𝑚𝑚 300 300

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51

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación diagonal 𝑙𝑝 =

2 ∗ 𝑎1 2 ∗ 157,5 = = 445 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(45°)

⇒ 𝜆=

𝑙𝑝 ∗ √12 445 ∗ √12 = = 46,8 𝑏 33

Para pino radiata, grado C24: 𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,85 𝐾𝐷 = 1,25 𝐾𝐻 = 1

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1 = 10 𝑀𝑃𝑎 4

𝐾ℎ,𝐸 = √

4 33 ℎ =√ = 0,65 ≥ 0,67 180 180

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 10.200 ∗ 0,67 = 6.834 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 6.834 = = 11,25 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 46,82

𝐹𝑐𝐸 11,25 = = 1,125 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 10 𝐹𝑐𝐸 𝜆 46,8 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 1,125 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 1,405 2∗𝑐 2 ∗ 0,85 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 1,125 𝐵= = = 1,324 𝑐 0,85 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,405 − √1,4052 − 1,324 = 0,599

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,599 = 5,99 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

𝐶𝐷 8202 = = 2,16 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 𝐴𝐷 3.795

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 12: Envigado maestro de techo con vigas clavadas de alma llena entablada y cordones de madera laminada encolada. Envigado maestro de techo que recibe tijerales dispuestos cada 80 cm y que apoyan lateralmente la cuerda superior, materializado como viga de alma llena. Los cordones se consisten de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata (constitución híbrida) de sección 65 x 115 mm, y el alma se construye disponiendo dos estratos contrapuestos de tablas de pino radiata grado G2, de escuadría 21 x 118 mm, dispuestas inclinadas en 45° con respecto al eje de la viga. Cada tijeral descarga 4 kN al apoyarse sobre las vigas y el peso propio estimado de estas últimas es de 0,5 kN/m. La madera se encuentra al 12% de contenido de humedad. Sistema y dimensiones:

𝑃1 = 4 𝑘𝑁 𝑞 = 0,5 𝑘𝑁⁄𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Solución: Por tratarse de un estado de carga que incorpora cargas permanentes y sobrecarga de servicio de techo, 𝐾𝐷 = 1,25 Por encontrarse la madera en condición seca (H ≤ 12 %), 𝐾𝐻 = 1,0

Esfuerzos interno del sistema 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =

𝑛 ∗ 𝑃1 𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝐿 7 ∗ 4 0,5 ∗ 6,4 + = + = 15,6 𝑘𝑁 2 2 2 2

𝑀𝑘 =

𝑃1 ∗ 𝐿 𝑛 + 1 − 𝑘 𝑞 ∗ 𝑥𝑘 ∗𝑘∗ + ∗ (𝐿 − 𝑥𝑘 ) 2 𝑛+1 2

𝑀1 =

4 ∗ 6,4 8 − 1 0,5 ∗ 0,8 ∗1∗ + ∗ (6,4 − 0,8) = 12,32 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2 8 2

𝑀2 =

4 ∗ 6,4 8 − 2 0,5 ∗ 1,6 ∗2∗ + ∗ (6,4 − 1,6) = 21,12 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2 8 2

𝑀3 =

4 ∗ 6,4 8 − 3 0,5 ∗ 2,4 ∗3∗ + ∗ (6,4 − 2,4) = 26,40 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2 8 2

𝑀4 =

4 ∗ 6,4 8 − 4 0,5 ∗ 3,2 ∗4∗ + ∗ (6,4 − 3,2) = 28,16 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2 8 2

Desarrollo del esfuerzo de corte Q y del momento flector M en las vigas principales

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Diseño de sección transversal Viga de alma llena entablada con cordones bipartitos de madera laminada encolada de pino radiata. Para este tipo de vigas el adecuado control de las deformaciones requiere de una altura de sección de al menos 𝐻=

𝐿 6.400 = = 640 𝑚𝑚 10 10

Cordones: 2 / b1 * h1 = 2 / 65*115 mm Alma: Entablado de piezas aserradas en bruto 1 x 5: 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 21 ∗ 118 𝑚𝑚 Pino radiata, Grado G2 o mejor según NCh1207. Clavos: 65*3,1 mm (2 ½”) para fijación de las tablas del alma a los cordones Clavos: 50*2,8 mm (2”) para clavado recíproco de las tablas del alma a nivel del eje neutro Las vigas se arman de a mitades clavando las tablas del alma contra los cordones, y posteriormente se ensamblan por medio del clavado de las almas.

Momento de inercia eficaz: Sólo se considera el aporte de los cordones Área sección transversal cordones 𝐴1 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 65 ∗ 115 = 14.950 𝑚𝑚2 𝑎1 =

𝐻 − ℎ1 640 − 115 = = 262,5 𝑚𝑚 2 2

Viga híbrida en laminación horizontal. De anexo C, para alturas de sección transversal no superiores a 375 m: 𝐹𝑓 = 8,9 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐸1 = 9.000 𝑀𝑃𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Tensiones de diseño: 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,9 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 11,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 5,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 10,0 𝑀𝑃𝑎

Clavos 65*3,1 mm (2 ½”): 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 65 − 21 = 44 𝑚𝑚 𝐶 = 900 𝑁⁄𝑚𝑚 𝑠 = 32 𝑚𝑚 𝑛 = 2 ⇒ 𝑠′ =

𝑠 32 = = 16 𝑚𝑚 𝑛 2

De NCh 1198, Sección 7.2.5.5 𝑘=

𝜋 2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠 ′ 𝜋 2 ∗ 9.000 ∗ 14.950 ∗ 16 = = 0,576 𝐶 ∗ 𝐿2 900 ∗ 6.4002

⇒𝛾 = 𝐼1 =

1 1 = = 0,634 1 + 𝑘 1 + 0,576

𝑏1 ∗ ℎ13 65 ∗ 1153 = = 8.238.073 𝑚𝑚4 12 12 𝑛

𝐼𝑒𝑓 = ∑(𝑛𝑖 ∗ 𝐼𝑖 + 𝛾𝑖∗ 𝑛𝑖 ∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2 ) = 4 ∗ 8.238.073 + 2 ∗ 0,634 ∗ 14.950 ∗ 262,52 𝑖=1

𝐼𝑒𝑓 = 1.339.940.854 𝑚𝑚4 𝑀𝑚á𝑥 28.160.000 = = 0,0210 𝐼𝑒𝑓 1.339.940.854

Tensión de flexión máxima en los cordones 𝑓𝑓,1 = ±

𝑀 𝐴1 ℎ1 𝐼1 ∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 ∗ + ∗ ) 𝐼𝑒𝑓 𝐴1𝑛 2 𝐼1𝑛

= ±0,021 ∗ (0,634 ∗ 262,5 ∗ 1 + I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

115 ∗ 1) = ±4,71 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Tensión axial máxima en el centroide de los cordones 𝑓𝑐⁄𝑡,𝑔 = ±

𝑀 𝐴1 ∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 ∗ 𝐼𝑒𝑓 𝐴1𝑛

= ±0,021 ∗ 0,634 ∗ 262,5 ∗ 1 = ±3,50 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝 Diseño del clavado Se disponen 2 hileras de 4 clavos por tabla, de acuerdo con el esquema de la figura:

En los cordones se respeta: 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 32 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚 𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 3,1 = 21,7 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

En el entablado de alma se respeta: 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 32⁄𝑠𝑒𝑛 45° = 45,3 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚 𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 32 ∗ 𝑠𝑒𝑛45° = 22,6 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 50⁄𝑠𝑒𝑛45° = 70,7 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,1 = 46,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Flujo de cizalle Cada cordón recibe la mitad del flujo de cizalle 𝑆1 = 𝐴1 ∗ 𝑎1 = 14.950 ∗ 262,5 = 3.924.375 𝑚𝑚3 𝑡𝑒𝑓 =

𝑄𝑚á𝑥 ∗ 𝛾 ∗ 𝑆1 15.600 ∗ 0,634 ∗ 3.924.375 = = 29,0 𝑁⁄𝑚𝑚 𝐼𝑒𝑓 1.339.940.854

Fuerza de corrimiento desarrollada sobre cada tabla 𝑇1,𝑒𝑓 =

𝑡𝑒𝑓 29,0 ∗ ℎ𝐷 ∗ √2 = ∗ 118 ∗ √2 = 2.418 𝑁 2 2

Exigencia de clavado Capacidad admisible de carga a extracción lateral: clavo 65*3,1 mm. Para el pino radiata, de NCh 1198, Anexo E 𝜌0 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 Luego, según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3 𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 ⁄1.000)1,84 = 115 ∗ (450⁄1.000)1,84 = 26,5 𝑀𝑝𝑎 Tensión de fluencia de los clavos, Nch 1198, sección 9.6.2.3: 𝐷 = 3,1 𝑚𝑚 𝑙𝑐𝑙 = 65 𝑚𝑚 Como D < 6,4 mm, entonces: 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,1 = 716 𝑀𝑃𝑎 𝑙𝑙 = 𝑏𝑎 = 21 𝑚𝑚 𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝑎 = 65 − 21 = 44 𝑚𝑚 < 𝑏𝑐 = 65 𝑚𝑚 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modos de fluencia: 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 26,5 = =1 𝑅𝑎𝑝,𝑙 26,5

𝑅𝑡 =

𝑙𝑐 44 = = 2,095 𝑙𝑙 21

De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm Luego, para D < 6,4 mm → FA=Kd ⇒ FA=2,2 𝐾1 =

=

√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2 ) + 𝑅𝑡2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡 ) 1 + 𝑅𝑒 √1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 2,095 + 2,0952 ) + 2,0952 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 2,095) = 0,709 1+1

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) +

= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +

2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2

2 ∗ 716 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,12 = 1,066 3 ∗ 26,5 ∗ 442

2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝐾3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 1) 2 ∗ 716 ∗ (2 + 1) ∗ 3,12 = −1 + √ + = 1,276 1 3 ∗ 26,5 ∗ 212

Modo Ic: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

60

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 3,1 ∗ 44 ∗ 26,5 = = 1.641 𝑁 𝐹𝐴 2,2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 3,1 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 783 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo II: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 0,709 ∗ 3,1 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 555 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo IIIc: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,066 ∗ 3,1 ∗ 44 ∗ 26,5 = = 583 𝑁 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (1 + 2 ∗ 1)2,2

Modo IIIl: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,276 ∗ 3,1 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 333 𝑁 (2 + 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (2 + 1) ∗ 2,2

Modo IV: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 3,12 𝐷2 2 ∗ 26,5 ∗ 716 ∗√ = ∗√ = 347 𝑁 𝐹𝐴 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2,2 3 ∗ (1 + 1)

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(1.641; 783; 555; 583; 333; 347) = 333 𝑁 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝑘𝑑 = 333 ∗ 1,25 = 416 𝑁 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝑇1,𝑒𝑓 2.420 = = 5,81 < 𝑛𝑒𝑓 = 8 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 416

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Traspaso del flujo de acoplamiento. La dualidad del flujo de cizalle genera un flujo de cizalle que a su vez induce una fuerza de acoplamiento que debe ser adecuadamente neutralizada

𝑎=

𝑡𝑒𝑓 29,0 = = 14,5 𝑁⁄𝑚𝑚 2 2

Fuerza de acoplamiento 𝑇1,𝑒𝑓 = 𝑎 ∗ ℎ𝐷 ∗ √2 = 14,5 ∗ 118 ∗ √2 = 2.418 𝑁

Las tablas del alma se clavan entre sí mediante 9 clavos de 2” en los cruces inmediatamente adyacentes a los cordones.

Verificación de la cantidad de clavos requerida, clavo 50 x 2,8 mm, 𝐷 = 2,8 𝑚𝑚 𝑙𝑐𝑙 = 50 𝑚𝑚 𝑙𝑙 = 𝑏𝑎 = 21 𝑚𝑚

l c = mín(p = l cl - ba = 50 - 21 = 29 mm;ba = 21mm) = 21 mm Como D < 6,4 mm, según NCh 1198, sección 9.6.2.3: 62

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 2,8 = 734 𝑀𝑃𝑎 Modos de fluencia: 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 26,5 = =1 𝑅𝑎𝑝,𝑙 26,5

𝑅𝑡 =

𝑙𝑐 21 = =1 𝑙𝑙 21

De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2 √𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2 ) + 𝑅𝑡2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡 ) 𝐾1 = 1 + 𝑅𝑒 =

√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1 + 1) + 1 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1) = 0,414 1+1

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) +

= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +

2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2

2 ∗ 734 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,82 = 1,233 3 ∗ 26,5 ∗ 212

2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝐾3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 1) 2 ∗ 734 ∗ (2 + 1) ∗ 2,82 = −1 + √ + = 1,233 1 3 ∗ 26,5 ∗ 212

Modo Ic: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 707 𝑁 𝐹𝐴 2,2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 707 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo II: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 0,414 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 293 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo IIIc: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,233 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 291 𝑁 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (1 + 2 ∗ 1)2,2

Modo IIIl: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 1,233 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5 = = 291 𝑁 (2 + 𝑅𝑒 )𝐹𝐴 (2 + 1) ∗ 2,2

Modo IV: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 2,82 𝐷2 2 ∗ 26,5 ∗ 734 ∗√ = ∗√ = 287 𝑁 𝐹𝐴 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2,2 3 ∗ (1 + 1)

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(707; 707; 293; 291; 291; 287) = 287 𝑁 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 287 ∗ 1,25 = 359 𝑁 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

64

𝑇1,𝑒𝑓 2.420 = = 6,7 < 𝑛𝑒𝑓 = 9 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 359

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación del entablado del alma 𝑇=𝐶=±

𝑡𝑒𝑓 𝑡𝑒𝑓 ∗ 𝑏 𝑏 ∗ =± 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝛼)

Como en este caso 𝛼 = 45° 𝑇 = 𝐶 = ±𝑡𝑒𝑓 ∗ ℎ𝐷 = 29,0 ∗ 118 = 3.420 𝑁 𝑓𝑡 = 𝑓𝑐 =

𝐶ó 𝑇 3.420 = = 1,38 𝑀𝑃𝑎 𝑏∗ℎ 21 ∗ 118

Propiedades mecánicas admisibles asociadas al grado G2, NCh 1198, Tabla 4 b 𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura no superior a 90 mm)

𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)

𝑐 = 0,80

Verificación diagonales traccionadas 5 90 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ √ = 4,74 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑡 118

Verificación diagonales comprimidas Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198 Sección 7.3.1.2 Tabla 16, Caso 4 𝐿𝑝 =

𝐻 − 2(ℎ1 + ℎ𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼) 640 − 2 ∗ (115 + 118 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°) = = 344 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛45°

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,5 ∗ 1,25 ∗ 1 = 8,13 𝑀𝑃𝑎 4

𝐾ℎ,𝐸 = √

4 21 ℎ =√ = 0,58 > 0,67 180 180

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 1 ∗ 0,67 = 5.963 𝑀𝑝𝑎 𝜆=

𝐿𝑝 ∗ √12 344 ∗ √12 = = 56,7 ℎ 21

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 5.963 = = 6,67 𝑀𝑝𝑎 𝜆2 56,72

𝐹𝑐𝐸 6,67 = = 0,821 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 8,13 𝐹𝑐𝐸 𝜆 56,7 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,821 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 1,284 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,821 𝐵= = = 1,027 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,284 − √1,2842 − 1,027 = 0,495 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8,13 ∗ 0,495 = 4,03 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,38 MPa

Control del pandeo fuera del plano del cordón comprimido (Eje y-y) 𝐶 = 600 𝑁⁄𝑚𝑚 𝑠 ′ = 16 𝑚𝑚 Viga híbrida en laminación vertical. De Anexo C 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 65 ∗ 115 = 7.475 𝑚𝑚2 𝑎1 = 𝑘=

𝑏1 65 + 𝑏𝐷 = + 21 = 53,5 𝑚𝑚 2 2

𝜋 2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠 ′ 𝜋 2 ∗ 7.700 ∗ 7.475 ∗ 16 = = 23,7 𝐶 ∗ 𝐿2 600 ∗ 8002

⇒ 𝛾= 𝐼1 =

1 1 = = 0,041 1 + 𝑘 1 + 23,7

𝑏13 ∗ ℎ1 653 ∗ 115 = = 2.631.823 𝑚𝑚4 12 12 𝑛

𝐼𝑒𝑓 = ∑(𝑛𝑖 ∗ 𝐼𝑖 + 𝛾𝑖∗ 𝑛𝑖 ∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2 ) = 2 ∗ 2.631.823 + 2 ∗ 0,041 ∗ 7.475 ∗ 53,52 𝑖=1

= 6.998.197 𝑚𝑚4 66

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐼𝑦,𝑒𝑓 6.998.197 𝑖𝑦,𝑒𝑓 = √ =√ = 21,6 𝑚𝑚 2 ∗ 𝐴1 2 ∗ 7.475 𝜆𝑦,𝑒𝑓 = 𝐹𝑐𝐸 =

𝐿𝑝𝑦 800 = = 37 𝑖𝑦,𝑒𝑓 21,6

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 7.700 = = 28,2 𝑀𝑝𝑎 𝜆2 372

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 10 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 28,2 = = 2,816 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 10 𝐹𝑐𝐸 𝜆 ∗ (1 + ) + 1 2,816 ∗ (1 + 37 ) + 1 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 300 300 𝐴= = = 2,313 2∗𝑐 2 ∗ 0,9 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 2,816 𝐵= = = 3,129 𝑐 0,9 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 2,313 − √2,3132 − 3,129 = 0,823

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,823 = 8,23 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,38 𝑀𝑃𝑎 NOTA: el procedimiento aplicado queda levemente por el lado de la inseguridad, dado que no considera la flexibilidad de la ligazón entre los estratos de tablas que conforman el alma.

Verificación funcionalidad La flecha máxima no debe exceder el límite L/300. Momento de inercia eficaz: de acuerdo con NCh 1198, sección 7.2.5.9 para el cálculo de deformaciones se puede asumir un módulo de corrimiento mayorado. 𝐶𝛿 = 1,25 ∗ 900 = 1.125 𝑁⁄𝑚𝑚 𝑘=

𝜋 2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠 ′ 𝜋 2 ∗ 9.000 ∗ 14.950 ∗ 16 = = 0,461 𝐶 ∗ 𝐿2 1.125 ∗ 6.4002

⇒ 𝛾=

1 1 = = 0,684 1 + 𝑘 1 + 0,461

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑛

𝐼𝑒𝑓 = ∑(𝑛𝑖 ∗ 𝐼𝑖 + 𝛾𝑖∗ 𝑛𝑖 ∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2 ) = 4 ∗ 8.238.073 + 2 ∗ 0,684 ∗ 14.950 ∗ 262,52 𝑖=1

= 1.443.056.396 𝑚𝑚4

Rigidez flexional 𝐸 ∗ 𝐼𝑒𝑓 = 9.000 ∗ 1.443.056.396 = 1,299 ∗ 1013 𝑁 ∗ 𝑚𝑚2 Para la configuración de cargas de la figura, la flecha a mitad de luz asciende a: 𝛿=

𝑃∗𝑐 ∗ (3 ∗ 𝑙 2 − 4 ∗ 𝑐 2 ) 24 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼

Para las disposiciones de tijerales del problema: 𝛿1 =

4.000 ∗ 800 ∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 8002 ) = 1,2 𝑚𝑚 24 ∗ 1,299 ∗ 1013

𝛿2 =

4.000 ∗ 1.600 ∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 1.6002 ) = 2,3 𝑚𝑚 24 ∗ 1,299 ∗ 1013

𝛿3 =

4.000 ∗ 2.400 ∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 2.4002 ) = 3,1 𝑚𝑚 24 ∗ 1,299 ∗ 1013

𝛿4 =

4.000 ∗ 6.4003 = 1,7 𝑚𝑚 48 ∗ 1,299 ∗ 1013

𝛿5 =

5 50 ∗ 6,44 ∗ = 0,8 𝑚𝑚 384 1,299 ∗ 1013

𝛿𝑚á𝑥 = 1,2 + 2,3 + 3,1 + 1,7 + 0,8 = 9,1 𝑚𝑚 <

68

𝐿 6.400 = = 21,3 𝑚𝑚 300 300

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 13: Diseño de pie derecho de una tabiquería exterior Diseño de pie derecho de una tabiquería de pared exterior de primer piso de una vivienda de 2 pisos.

Determinar la escuadría y grado adecuados de un pie derecho de escuadría nominal de 2 pulgadas de espesor, asumiendo condiciones de servicio secas. El pie derecho tiene un largo de 2,44 m se encuentra simplemente apoyado en sus extremos y resiste cargas de peso propio: 4,8 kN, sobrecarga de servicio de techo: 2,5 kN, sobrecarga de servicio de segundo piso: 1,65 kN y momento flector debido a carga de viento 0,318 kN*m. El revestimiento brinda apoyo lateral completo a los pies derechos en el plano de la tabiquería. Verifique el aplastamiento ejercido por los pies derechos sobre la solera basal, construida con la misma sección del pie derecho.

Solución: Determinación de la combinación de cargas crítica. De NCh 1198, anexo G: Para la componente de estado de carga de naturaleza permanente KD = 0,90 Para la componente de estado de carga de sobrecarga de techo KD = 1,25 Para la componente de estado de carga de sobrecarga de piso KD = 1,00

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐶𝑝𝑝 4,8 = = 5,33 𝑘𝑁 𝐾𝐷 0,9 𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜 4,8 + 2,5 + 1,65 = = 7,16 𝑘𝑁 𝐾𝐷 1,25

Crítica

𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜 4,8 + 1,65 = = 6,45 𝑘𝑁 𝐾𝐷 1,00 Adicionalmente se verifica el estado de carga Cpp + Csc,piso + Mviento considerando KD=1,6

Tanteo con pieza de escuadría nominal 2 x 5 de Pino radiata, Grado C16 Largo

: 2,44 m

Ancho

: 115 mm

(NCh 2824)

Espesor

: 41 mm

(NCh 2824)

Sección = ancho x espesor = 115 x 41 = 4.715 mm2

Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Tabla 4 b 𝐹𝑓 = 5,2 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≤ 90 mm)

𝐹𝑐𝑝 = 7,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 7.900 𝑀𝑃𝑎

(Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)

𝑐 = 0,80

Factores de modificación: Verificación de la solicitación axial crítica: KH=1,0

(Condición de servicio seca H =12 %, NCh 1198, Sección 6.1.1)

KD=1,25

(Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G)

4

𝐾ℎ,𝐸 = √ 70

4 115 ℎ =√ = 0,894 180 180

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

4

𝐾𝑐𝑛 = √

150 4 150 =√ = 1,383 𝑙 41

Verificación Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.1.2, Tabla 16 𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 2,44 = 2,44 𝑚 NCh 1198 Sección 7.3.2.2 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 7,5 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 9,38 𝑀𝑃𝑎 NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 7.900 ∗ 1,0 ∗ 0,894 = 7.063 𝑀𝑃𝑎 NCh 1198 Sección 7.3.2.2 𝜆=

𝐿𝑝 ∗ √12 2.440 ∗ √12 = = 73,5 ℎ 115

𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 7.063 = = 4,71 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 73,52

𝐹𝑐𝐸 4,71 = = 0,502 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 9,38 𝐹𝑐𝐸 𝜆 73,5 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,502 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 1,054 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,502 𝐵= = = 0,628 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,054 − √1,0542 − 0,628 = 0,359 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 9,38 ∗ 0,359 = 3,36 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

𝐶𝑐𝑟í𝑡 8.950 = = 1,9 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 𝑆 4.715

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación aplastamiento basal 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,383 = 3,46 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

𝐶𝑐𝑟í𝑡 8.950 = = 1,9 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ℎ ∗ 𝑙 115 ∗ 41

Estado de carga que considera solicitación de viento. 𝐶 = 6,45 𝑘𝑁 𝑀 = 0,318 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

Verificación de la solicitación axial crítica: KH=1,0

Condición de servicio seca H ≤ 12 %, NCh 1198, Sección 6.1.1

KD=1,6

Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G

Kc=1,15

NCh 1198, Seción 6.1.3

5 90 𝐾ℎ,𝐹𝑓 = √ = 0,952 115

4

𝐾ℎ,𝐸 = √

4 115 ℎ =√ = 0,894 180 180

Condiciones geométricas 𝑊= 𝐼=

𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2 41 ∗ 1152 = = 90.371 𝑚𝑚3 6 6

𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎3 41 ∗ 1153 = = 5.196.323 𝑚𝑚3 12 12

NCh 1198 Sección 7. 2.2 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 5,2 ∗ 1,6 ∗ 1 ∗ 0,952 ∗ 1,15 = 9,11 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑓𝑐,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆𝑣 ∗ 𝐾𝑐 = 5,2 ∗ 1,6 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1,15 = 9,57 𝑀𝑃𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

NCh 1198 Sección 7.3.2.2 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,5 ∗ 1,6 ∗ 1,0 = 12,0 𝑀𝑃𝑎

NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 7.900 ∗ 1,0 ∗ 0,894 = 7.063 𝑀𝑃𝑎 𝜆 = 73,5 𝐹𝑐𝐸 = 4,71 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 4,71 = = 0,392 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 12 𝐹𝑐𝐸 𝜆 73,5 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,392 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 0,96 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,392 𝐵= = = 0,49 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,96 − √0,962 − 0,49 = 0,303 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 12 ∗ 0,303 = 3,64 𝑀𝑃𝑎

Control de interacción compresión y flexión, NCh 1198, Sección 7.6.2 𝐹𝑐𝐸 = 4,71 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐 =

𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜 6.450 = = 1,37 𝑀𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 4.715

𝑓𝑓 =

𝑀 0,318 ∗ 1.000.000 = = 3,52 𝑀𝑃𝑎 𝑊 90.371

(

𝑓𝑐 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

2

) +

𝑓𝑓 𝑓 (1 − 𝐹 𝑐 ) ∗ 𝐹𝑓𝑐,𝑑𝑖𝑠

< 1,0

𝑐𝐸

1,37 2 3,52 ( ) + < 1,0 1,37 3,64 (1 − 4,71) ∗ 9,57 0,142 + 0,519 = 0,66 < 1,0 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 14: Sistema de moldaje de muros Un sistema de moldaje de muros se estructura por medio de una disposición abatida de tableros contrachapados estructurales de Pino radiata, rigidizados por medio de costillas y largueros de madera aserrada estructural de Pino radiata del Grado C24, según NCh 1207, de acuerdo con el esquema de la figura. Determinar las separaciones máximas que se deben respetar entre costillas, largueros y amarras de largueros. Estime la fuerza de tracción que deben neutralizar las amarras. Las deformaciones laterales máximas aceptadas ascienden a 1/360 avo de la distancia entre ejes de apoyos. Se considera el vaciado de un hormigón vibrado internamente colocado a razón de 0,91 m/h. La temperatura del hormigón es 21° C. Para moldajes de uso repetitivo y teniendo presente que la presión máxima del hormigón fluido es de moderada duración se considera un factor de modificación por duración de la carga KD=1,25.

Las presiones ejercidas por el hormigón fluido sobre los moldajes se estiman de acuerdo con las recomendaciones del American Concrete Institute, ACI, que se presentan en el Anexo J. Los tableros contrachapados se fabrican respetando los procedimientos establecidos en la norma U.S. Product Standard PS 1, y tienen dimensiones 1.200 x 2.400 mm, se asignan al nivel tensional S-2 (uso de chapas Grado B en caras y trascaras y Grado C en el interior). 74

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Solución: Presión del hormigón contra las superficies de los tableros (ACI): 𝑝 = 𝑀í𝑛 {7,181 +

1.413,3 ∗ 𝑅 ; 95; 75; 24 ∗ ℎ} 1,8 ∗ 𝑇 + 32

𝑝 = 𝑀í𝑛 {7,181 +

1.413,3 ∗ 0,91 ; 95; 75; 24 ∗ 2,7} 1,8 ∗ 21 + 32

𝑝 = 𝑀í𝑛{25,6; 95; 75; 64,8} = 25,6 𝑘𝑁/𝑚2

Para todos los materiales de madera se asumirán condiciones verdes, esto es, contenidos de humedad superiores al 19%, dado que se trata de confinar hormigón fluido y las estructuras quedan expuestas a la intemperie. Para los tableros contrachapados se considera una condición de servicio verde y una disposición con la dirección de las fibras de las chapas de cara y trascara normal a las líneas de apoyo brindadas por las costillas. De Anexo E, Tabla E1, para un contrachapado de Pino radiata del Grado S-2 en condición verde: 𝐹𝑓 = 9,2 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧,𝑟 = 0,3 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10.400 𝑀𝑃𝑎

De Anexo E, Tabla E2 para un tablero de espesor 16 mm 𝐴𝑝 = 6.800 𝑚𝑚2 ⁄𝑚 𝐼𝑝 = 241.068 𝑚𝑚4 ⁄𝑚 𝐾𝑊𝑝 = 25.613 𝑚𝑚3 ⁄𝑚 𝐼𝑏⁄𝑄 = 10.667 𝑚𝑚2 ⁄𝑚

Condicionante por flexión: Se analiza el problema por metro de ancho de tablero 𝑞 = 25,6 𝑘𝑁/𝑚2 ∗ 1 𝑚 = 25,6 𝑘𝑁/𝑚 = 25,6 𝑁/𝑚𝑚 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Asumiendo continuidad sobre al menos 3 tramos 𝑀=

𝑞 ∗ 𝑙 2 25,6 ∗ 𝑙 2 = = 2,56 ∗ 𝑙 2 𝑁 ∗ 𝑚𝑚 10 10

𝑓𝑓 =

𝑀 2,56 ∗ 𝑙 2 = = 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 = 9,2 ∗ 1,25 = 11,5 𝑀𝑃𝑎 𝑊𝑝 25.613

25.613 ∗ 11,5 ⇒𝑙 ≤√ = 339 𝑚𝑚 2,56

Condicionante por deformación: 𝛿=

𝑞 ∗ 𝑙4 25,6 ∗ 𝑙 4 𝑙 = ≤ 145,25 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼𝑝 145,25 ∗ 10.400 ∗ 241.068 360 3

⇒𝑙 ≤ √

145,25 ∗ 10.400 ∗ 241.068 = 341 𝑚𝑚 360 ∗ 25,6

𝑙𝛿 = 𝑙 − 6,4 + 𝑏 = 341 − 6,4 + 42 = 376 𝑚𝑚

Condicionante por cizalle rodante: 𝑓𝑐𝑧,𝑟 = 0,6 ∗ 𝑞 ∗ 𝑙 ∗

𝑄 0,6 ∗ 25,6 ∗ 𝑙 𝑙 = = ≤ 𝐹𝑐𝑧𝑟,𝑑𝑖𝑠 = 0,3 ∗ 1,25 = 0,375 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝐼 10.667 694,47

⇒ 𝑙 ≤ 694,47 ∗ 0,375 = 260 𝑚𝑚 ⇒ 𝑙𝑐𝑧 ≤ 𝑙 + 𝑏 = 260 + 42 = 302 𝑚𝑚 𝑎 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓 ; 𝑙𝛿 ; 𝑙𝑐𝑧 ) = 𝑀í𝑛(339; 376; 302) = 302 𝑚𝑚

Las costillas se disponen cada 300 mm 𝑎≈

𝐿𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜 + 3 2.400 + 3 = = 300,4 𝑚𝑚 8 8

NOTA: se considera una separación de 3 mm entre tableros para considerar dilataciones por humedecimiento.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Espaciamiento máximo entre apoyos brindados a las costillas por los largueros. Costillas de Pino radiata C24 2 x 6: 42 x 138 mm. NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4b: Para G1 y Mejor, 𝐹𝑓 = 9,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10,100 𝑀𝑃𝑎

Factores de modificación KD=1,25 𝐾𝑐 = 1,15

(NCh 1198, Sección 6.1.3)

Condición de servicio verde. Considerar H=22% en fórmulas de KH. 𝐾𝐻,𝐹𝑡 =

1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻 1,75 − 0,0333 ∗ 22 = = 0,754 1,35 1,35

𝐾𝐻,𝐸 =

1,44 − 0,02 ∗ 𝐻 1,44 − 0,02 ∗ 22 = = 0,833 1,2 1,2

𝐾𝐻,𝑐𝑧 =

1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻 1,33 − 0,0167 ∗ 22 = = 0,852 1,13 1,13

𝐾𝐻,𝑐𝑛 =

2 = 0,667 3

5 90 5 90 𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √ = √ = 0,918 ℎ 138

4

𝐾ℎ,𝐸 = √

4 138 ℎ =√ = 0,936 180 180

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,5 ∗ 1,25 ∗ 0,754 ∗ 0,918 ∗ 1,15 = 9,45 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝐻,𝐸 = 10.100 ∗ 0,833 ∗ 0,936 = 7.876 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,852 = 1,17 𝑀𝑃𝑎

𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 42 ∗ 138 = 5.796 𝑚𝑚2 𝑊= 𝐼=

𝑏 ∗ ℎ2 42 ∗ 1382 = = 133.308 𝑚𝑚3 6 6

𝑏 ∗ ℎ3 42 ∗ 1383 = = 9.198.252 𝑚𝑚3 12 12

Considerando caso de viga continua sobre tres tramos Condicionante por flexión 𝑞 ′ = 𝑞 ∗ 𝑎 = 25,6 ∗ 0,3 = 7,68 𝑘𝑁⁄𝑚 = 7,68 𝑁⁄𝑚𝑚 𝑞 ′ ∗ 𝑙 2 7,68 ∗ 𝑙 2 = = 0,768 ∗ 𝑙 2 10 10 𝑀 0,768 ∗ 𝑙 2 𝑓𝑓 = = ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,45 𝑀𝑃𝑎 𝑊 133.308 𝑀=

133.308 ∗ 9,45 ⇒ 𝑙≤√ = 1.280 𝑚𝑚 0,768

Condicionante por deformación 𝛿𝑚á𝑥 = 3

𝑞′ ∗ 𝑙4 7,68 ∗ 𝑙 4 𝑙 = ≤ 145,23 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 145,25 ∗ 7.896 ∗ 9.198.252 360

⇒𝑙 ≤ √

78

145,25 ∗ 7.896 ∗ 9.198.252 = 1.561 𝑚𝑚 7,68 ∗ 360

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Condicionante por corte 𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞 ′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 7,68 ∗ 𝑙𝑄 = 4,61 ∗ 𝑙𝑄 ⇒ 𝑓𝑐𝑧 =

𝑙𝑄 1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥 1,5 ∗ 4,61 ∗ 𝑙𝑄 = = ≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,17 𝑀𝑃𝑎 𝐴 5.796 838,3

𝑙𝑄 = 838,3 ∗ 1,17 = 982 𝑚𝑚 NCh 1198, Sección 7.2.3.2a ⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ ℎ + 𝑏 = 982 + 2 ∗ 138 + 42 = 1.300 𝑚𝑚

De Sección 7.2.3.2a 𝑏 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓 ; 𝑙𝛿 ; 𝑙𝑄 ) = 𝑀í𝑛(1.280; 1.561; 1.300) = 1.280 𝑚𝑚

Los largueros horizontales se disponen cada 1,20 m = b Largueros: 2 piezas de 42 x 138 mm

Verificación aplastamiento entre costillas y largueros. 𝑃𝑎𝑝 = 𝑞 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 25,6 ∗ 0,3 ∗ 1,2 = 9,216 𝑘𝑁 𝑆𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑏 = 42 ∗ 2 ∗ 42 = 3.528 𝑚𝑚2 𝑓𝑎𝑝 =

𝑃𝑎𝑝 9.216 = = 2,61 𝑀𝑃𝑎 𝑆𝑎𝑝 3.528

4

𝐾𝑐𝑛 = √

150 4 150 =√ = 1,156 𝑙𝑎𝑝 2 ∗ 42

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 0,667 ∗ 1,156 = 1,93 𝑀𝑃𝑎 La tensión de aplastamiento excede en 36 % el valor de diseño. Se acepta por tratarse de una estructura provisoria en la que los aplastamientos no comprometen la seguridad y la funcionalidad.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Aun cuando en estricto rigor la descarga de las costillas sobre los largueros consiste de cargas concentradas uniformemente espaciadas, para efectos de simplificación se asumirá que estos últimos reciben el efecto de una carga uniformemente distribuida. 𝐴 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2 ∗ 42 ∗ 138 = 11.592 𝑚𝑚2 𝑊= 𝐼=

2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ2 2 ∗ 42 ∗ 1382 = = 266.616 𝑚𝑚3 6 6

2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ3 2 ∗ 42 ∗ 1383 = = 18.396.504 𝑚𝑚4 12 12

Considerando caso de viga continua sobre tres tramos Condicionante por flexión 𝑞 ′ = 𝑞 ∗ 𝑏 = 25,6 ∗ 1,20 = 30,7 𝑘𝑁/𝑚 = 30,7 𝑁/𝑚𝑚 ⇒ 𝑀=

𝑞 ′′ ∗ 𝑙 2 30,7 ∗ 𝑙 2 = = 3,07 ∗ 𝑙 2 10 10

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,5 ∗ 1,25 ∗ 0,754 ∗ 0,918 ∗ 1,0 = 8,22 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑓 =

𝑀 3,07 ∗ 𝑙 2 = ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 8,22 𝑀𝑃𝑎 𝑊 266.616

266.616 ∗ 8,22 ⇒ 𝑙≤√ = 844 𝑚𝑚 3,07

Condicionante por deformación 𝛿𝑚á𝑥 =

𝑞′ ∗ 𝑙4 30,7 ∗ 𝑙 4 𝑙 = ≤ 145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 145,25 ∗ 7.876 ∗ 18.396.504 360

3

⇒𝑙 ≤ √

145,25 ∗ 7.876 ∗ 18.396.504 = 1.239 𝑚𝑚 30,7 ∗ 360

Condicionante por corte 𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞 ′′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 30,7 ∗ 𝑙𝑄 = 18,44 ∗ 𝑙𝑄 ⇒ 𝑓𝑐𝑧 =

𝑙𝑄 1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥 1,5 ∗ 18,44 ∗ 𝑙𝑄 = = ≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,17 𝑀𝑃𝑎 𝐴 2 ∗ 5.796 419,2

𝑙𝑄 = 419,2 ∗ 1,17 = 491 𝑚𝑚 80

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 = 491 + 150 ∗= 641 𝑚𝑚 *: Longitud de placa supuesta

𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓 ; 𝑙𝛿 ; 𝑙𝑄 ) = 𝑀í𝑛(844; 1.239; 641) = 641 𝑚𝑚 Se disponen amarras cada 640 mm = c

Fuerza de tracción sobre amarras (estimación conservadora): 𝑃 = 1,20 ∗ 𝑞 ′′ ∗ 𝑐 = 1,2 ∗ 30,7 ∗ 0,64 = 23,6 𝑘𝑁

Superficie de aplastamiento requerida: Se considera que el contenido de humedad de la superficie exterior de los largueros es menor que 20 %, por lo que, 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝑆=

𝑃 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠

=

23,6 ∗ 103 = 9.440 𝑚𝑚2 2,5

Dado que el ancho de aplastamiento asciende a 2 x b = 2 x 42 mm = 84 mm 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 ≥

𝑆 9.440 = = 112,4 𝑚𝑚 2 ∗ 𝑏 2 ∗ 42

Se especifica una placa de apoyo de acero de 85 mm x 150 mm x 15 mm.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 15: Moldaje losa Determinación las separaciones máximas a, b y c que se deben respetar entre costillas (42 x 138 mm), largueros (2 piezas adosadas de 42 x 185 mm) y columnas (94 x 94 mm) para el moldaje de losa y alzaprimado de la figura. La losa tiene un espesor de 200 mm y corresponde al segundo nivel de una vivienda. El radier de primer piso aún no se ha hormigonado de manera que las columnas se deben apoyar sobre tablones (57 x 235 mm) que a su vez se apoyan sobre un relleno granular compactado de grano fino con una capacidad de soporte de 100 kN/m2, cuya longitud mínima se debe determinar. La distancia desde la superficie de relleno y el nivel superior de losa es de 3,00 m. Para el hormigonado se contempla el uso de equipos de transporte no motorizados.

La carga inducida por el hormigón fluido sobre el moldaje se estima de acuerdo con las recomendaciones del ACI indicadas en el Anexo J y se asume una duración efectiva de la carga de 7 días por cada uso de los elementos constitutivos del sistema. Para la madera aserrada de costillas y largueros y para los tableros se consideran 10 usos, mientras que para las columnas 50 usos. Peso de moldajes asumido: 0,50 kN/m2. Las piezas de madera aserrada estructural de Pino radiata corresponden a piezas cepilladas del Grado Mecánico C24, excepto los cuartones, que son aserrados en bruto y del Grado G2 según NCh 1207; Los tableros contrachapados de espesor 18 mm se fabrican también de Pino Radiata respetando los procedimientos establecidos en la norma U.S. Product Standard PS 1, y tienen dimensiones 1.200 x 2.400 mm, se asignan al nivel tensional S-2 (uso de chapas Grado B en caras y trascaras y Grado C en el interior). La deformación de las componentes que funcionan como vigas no debe exceder 1/360 avo de la distancia entre apoyos.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

La solución debe considerar adicionalmente el diseño de un sistema de estabilización horizontal del enmaderado, el que no se solicita en este ejercicio.

Solución: Estimación de solicitaciones: Losa

: 𝑞 = 26 ∗ 0,20 + 2,4 = 7,6 𝑘𝑁⁄𝑚2

Moldajes

: 0,5 𝑘𝑁⁄𝑚2

Carga total

: 8,1 𝑘𝑁⁄𝑚2

Para todos los tableros contrachapados y costillas se asumirán condiciones verdes, esto es, contenidos de humedad superiores al 19%, mientras que para largueros y cuartones se considera un contenido de humedad 18%.

Separación máxima entre líneas de apoyo de tableros (costillas de 42 x 90 mm) Para una franja de moldaje de ancho unitario: 𝑞𝑡𝑜𝑡 ⁄𝑚 = 8,1 ∗ 1,0 = 8,1 𝑘𝑁⁄𝑚 Para los tableros contrachapados se considera una condición de servicio verde y una disposición con la dirección de las fibras de las chapas de cara y trascara normal a las líneas de apoyo brindadas por las costillas. De Anexo E Tabla E1, para tableros de Pino radiata del Grado S-2 en condición verde 𝐹𝑓 = 9,2 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧,𝑟 = 0,3 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10.400 𝑀𝑃𝑎 y para el espesor 18 mm, de anexo E, Tabla E2 𝐾𝑊𝑝 = 32.927 𝑚𝑚3 ⁄𝑚 𝐼𝑝 = 348.638 𝑚𝑚4 ⁄𝑚 𝐼𝑏⁄𝑆𝑝 = 12.000 𝑚𝑚2 ⁄𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Control tensional: Flexión: 𝐾𝐷 : 10 𝑢𝑠𝑜𝑠 ∗ 7 𝑑í𝑎𝑠 = 70 𝑑í𝑎𝑠 = 6.048.000 𝑠 De NCh 1198, Sección 6.1.2 𝐾𝐷 =

1,747 + 0,295 = 1,141 6.048.0000,0464

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 = 9,2 ∗ 1,141 = 10,5 𝑀𝑃𝑎 𝑀𝑑𝑖𝑠 ⁄𝑚 = 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑘𝑊𝑝 = 10,5 ∗ 32.927 = 345.792 𝑁 ∗ 𝑚𝑚 Asumiendo para los tableros funcionamiento de viga continua sobre al menos 3 tramos 𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙 2 8,1 ∗ 𝑙 2 𝑀𝑒𝑓 ⁄𝑚 = = = 0,81 ∗ 𝑙 2 10 10 𝑀𝑑𝑖𝑠 ⁄𝑚 = 𝑀𝑒𝑓 ⁄𝑚 345.792 ⇒ 𝑙=√ = 653 𝑚𝑚 0,81

Control funcional: 𝛿𝑚á𝑥 =

𝑞 ∗ 𝑙34 8,1 ∗ 𝑙34 𝑙34 𝑙3 = = ≤ 9 145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑝 145,25 ∗ 10.400 ∗ 349.638 65,2 ∗ 10 360

3 65,2 ∗ 109 ⇒ 𝑙3 ≤ √ = 565 𝑚𝑚 360

𝑙 = 𝑙3 − 6,4 + 𝑏 = 565 − 6,4 + 42 = 601 𝑚𝑚

Control cizalle rodante Considerando caso de viga continua sobre tres tramos 𝑄𝑑𝑖𝑠 ⁄𝑚 = 0,6 ∗ 𝑞 ∗ 𝑙 2 = 0,6 ∗ 8,1 ∗ 𝑙2 = 4,86 ∗ 𝑙2 𝑓𝑐𝑧 ⁄𝑚 = (𝑄𝑑𝑖𝑠 ⁄𝑚)⁄(𝐼 ∗ 𝑏⁄𝑆)𝑝 = (4,86 ∗ 𝑙2 )⁄12.000 = 𝑙2 ⁄2.469 (𝑓𝑐𝑧 ⁄𝑚) ≤ 𝐹𝑐𝑧,𝛾,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧,𝛾 ∗ 𝐾𝐷 = 0,3 ∗ 1,141 = 0,342 𝑀𝑃𝑎 84

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

⇒ 𝑙2 ≤ 2.469 ∗ 0,342 = 846 𝑚𝑚 𝑙 = 𝑙2 + 𝑏 = 846 + 42 = 888 𝑚𝑚

𝑎 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓 ; 𝑙𝛿 ; 𝑙𝑐𝑧 ) = 𝑀í𝑛(653; 601; 888) = 601 𝑚𝑚

Las costillas se disponen en los puntos cuartos de la longitud de los tableros, esto es, cada 600 mm, ⇒𝑎 ≈

𝐿𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜 +3 4

=

2.400+3 4

= 601 𝑚𝑚

NOTA: se considera una separación de 3 mm entre tableros para considerar dilataciones por humedecimiento.

Separación máxima entre apoyos de costillas (largueros de 2 / 42 x 138 mm) Para piezas de Pino radiata C24 de escuadría 42 x 138 mm en condición verde: 𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 𝐾𝐷 = 1,141 Condición de servicio verde ⇒ considerar H=22% en fórmulas de KH. 𝐾𝐻,𝐹𝑡 =

1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻 1,75 − 0,0333 ∗ 22 = = 0,754 1,35 1,35

𝐾𝐻,𝐸 =

1,44 − 0,02 ∗ 𝐻 1,44 − 0,02 ∗ 22 = = 0,833 1,2 1,2

𝐾𝐻,𝑐𝑧 =

1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻 1,33 − 0,0167 ∗ 22 = = 0,852 1,13 1,13

𝐾𝐻,𝑐𝑛 =

2 = 0,667 3

5 90 5 90 𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √ = √ = 0,918 ℎ 138

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

4

𝐾ℎ,𝐸 = √

4 138 ℎ =√ = 0,936 180 180

𝐾𝑐 = 1,15 (Las costillas se disponen cada 600 mm < 610 mm y quedan vinculadas entre sí por los tableros: NCh 1198, Sección 6.1.3)

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1,141 ∗ 0,754 ∗ 0,918 ∗ 1,15 = 8,45 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐻,𝐸 = 10.200 ∗ 0,833 ∗ 0,936 = 7.954 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,141 ∗ 0,852 = 1,07 𝑀𝑃𝑎

Considerando caso de viga continua sobre tres tramos 𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 42 ∗ 138 = 5.796 𝑚𝑚2 𝑊= 𝐼=

𝑏 ∗ ℎ2 42 ∗ 1382 = = 133.308 𝑚𝑚3 6 6

𝑏 ∗ ℎ3 42 ∗ 1383 = = 9.198.252 𝑚𝑚4 12 12

𝑞 ′ = 𝑞 ∗ 𝑎 = 8,1 ∗ 0,601 = 4,87 𝑘𝑁⁄𝑚 = 4,87 𝑁⁄𝑚

Condicionante por flexión: 𝑞 ′ ∗ 𝑙 2 4,87 ∗ 𝑙 2 𝑀= = = 0,487 ∗ 𝑙 2 10 10 𝑀 0,487 ∗ 𝑙 2 𝑙2 = = ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 8,45 𝑀𝑃𝑎 𝑊 133.308 273.951

⇒ 𝑓𝑓 =

⇒ 𝑙 ≤ √273.951 ∗ 8,45 = 1.521 𝑚𝑚

Condicionante por deformación 𝛿𝑚á𝑥 =

𝑞′ ∗ 𝑙4 4,87 ∗ 𝑙 4 𝑙4 𝑙 = = ≤ 12 145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 145,25 ∗ 7.954 ∗ 9.198.252 2,184 ∗ 10 360

3

⇒ 𝑙≤√ 86

2,184 ∗ 1012 = 1.824 𝑚𝑚 360 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Condicionante por corte 𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞 ′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 4,87 ∗ 𝑙𝑄 = 2,92 ∗ 𝑙𝑄 ⇒ 𝑓𝑐𝑧 =

𝑙𝑄 1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥 1,5 ∗ 2,92 ∗ 𝑙𝑄 = = ≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,07 𝑀𝑃𝑎 𝐴 5.796 1.323

𝑙𝑄 = 1.323 ∗ 1,07 = 1.416 𝑚𝑚 ⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ (ℎ + 𝑏) = 1.416 + 2 ∗ (138 + 42) = 1.734 𝑚𝑚

𝑏 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓 ; 𝑙𝛿 ; 𝑙𝑄 ) = 𝑀í𝑛(1.521; 1.824; 1.734) = 1.521 𝑚𝑚

Los largueros se disponen cada 1.500 mm = b Largueros: 2 piezas de 42*138 mm Verificación aplastamiento entre costillas y largueros. 𝑃𝑎𝑝 = 𝑞 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 8,1 ∗ 0,601 ∗ 1,5 = 7,302 𝑘𝑁 𝑆𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑏 = 42 ∗ 2 ∗ 42 = 3.528 𝑚𝑚2 𝑓𝑎𝑝 =

𝑃𝑎𝑝 7,302 ∗ 103 = = 2,07 𝑀𝑃𝑎 𝑆𝑎𝑝 3.528 4

𝐾𝑐𝑛 = √

150 4 150 =√ = 1,156 𝑙𝑎𝑝 2 ∗ 42

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 0,667 ∗ 1,156 = 1,93 𝑀𝑃𝑎 La tensión de aplastamiento excede en 7 % el valor de diseño, lo que es aceptable, dado que en esta aplicación la hipótesis de condición verde para esta superficie resulta excesivamente conservadora.

Separación máxima entre apoyos de largueros (columnas de 94 x 94 mm). Se considera un adosamiento de dos piezas de sección 42*185 mm.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Considerando caso de viga continua sobre dos tramos: 𝐴 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2 ∗ 42 ∗ 185 = 15.540 𝑚𝑚2 𝑊= 𝐼=

2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ2 2 ∗ 42 ∗ 1852 = = 479.150 𝑚𝑚3 6 6

2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ3 2 ∗ 42 ∗ 1853 = = 44.321.375 𝑚𝑚4 12 12

Contenido de humedad H=18% 𝐾𝐻,𝑓 =

1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻 1,75 − 0,0333 ∗ 18 = = 0,852 1,35 1,35

𝐾𝐻,𝐸 =

1,44 − 0,02 ∗ 𝐻 1,75 − 0,02 ∗ 18 = = 0,9 1,2 1,2

𝐾𝐻,𝑐𝑧 =

1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻 1,33 − 0,0167 ∗ 18 = = 0,911 1,13 1,13

K H,cn =1 5 90 5 90 𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √ = √ = 0,866 ℎ 185

𝐾ℎ,𝐸 = 1 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1,141 ∗ 0,852 ∗ 0,866 = 7,83 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 10.200 ∗ 0,9 ∗ 1 = 9.180 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,141 ∗ 0,911 = 1,14 𝑀𝑃𝑎

Condicionante por flexión 𝑞 ′′ = 𝑞 ∗ 𝑏 = 8,1 ∗ 1,5 = 12,15 𝑘𝑁⁄𝑚 = 12,15 𝑁⁄𝑚𝑚 𝑀=

𝑞 ′′ ∗ 𝑙 2 12,15 ∗ 𝑙 2 = = 1,519 ∗ 𝑙 2 8 8

⇒ 𝑓𝑓 =

𝑀 1,519 ∗ 𝑙 2 𝑙2 = = ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 7,83 𝑀𝑃𝑎 𝑊 479.150 315.490

⇒ 𝑙 ≤ √315.490 ∗ 7,83 = 1.572 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Condicionante por deformación 𝑞 ′′ ∗ 𝑙 4 12,15 ∗ 𝑙 4 𝑙4 𝑙 = = ≤ 12 184,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 184,6 ∗ 9.180 ∗ 44.321.375 6,182 ∗ 10 360

𝛿𝑚á𝑥 =

3

⇒ 𝑙≤√

6,182 ∗ 1012 = 2.580 𝑚𝑚 360

Condicionante por corte 𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞 ′′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 12,15 ∗ 𝑙𝑄 ⇒ 𝑓𝑐𝑧 =

𝑙𝑄 1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥 1,5 ∗ 7,29 ∗ 𝑙𝑄 = = ≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,14 𝑀𝑃𝑎 𝐴 15.540 1.421

𝑙𝑄 = 1.421 ∗ 1,14 = 1.626 𝑚𝑚 ⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ ℎ + 𝑏 = 1.626 + 2 ∗ 185 + 42 = 2.038 𝑚𝑚

𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓 ; 𝑙𝛿 ; 𝑙𝑄 ) = 𝑀í𝑛(1.572; 2.580; 2.038) = 1.572 𝑚𝑚 Los largueros se apoyan cada 1,50 m

Capacidad de carga de columnas 94 x 94 mm 𝑆 = 𝑏 ∗ ℎ = 94 ∗ 94 = 8.836 𝑚𝑚2

Pino radiata Grado G2, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4b 𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,8 4

𝐾ℎ,𝐸 = √

𝐾𝐻,𝑐𝑝 = 𝐾𝐻,𝐸 =

4 94 ℎ =√ = 0,850 180 180

2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻 2,75 − 0,0833 ∗ 18 = = 0,715 1,75 1,75

1,44 − 0,02 ∗ 𝐻 1,44 − 0,02 ∗ 18 = = 0,9 1,2 1,2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐾𝐻,𝑐𝑛 = 1 𝐾𝐷 : 50 usos * 7 días = 350 días = 30.240.000 s 𝐾𝐷 =

1,747 + 0,295 = 1,081 30.240.0000,0464 4

𝐾𝑐𝑛 = √

150 4 150 =√ = 1,124 𝑙 94

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,5 ∗ 1,081 ∗ 0,715 = 5,02 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 8.900 ∗ 0,9 ∗ 0,85 = 6.809 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1,124 = 2,81 𝑀𝑃𝑎 (En los apoyos contra largueros y tableros basales) 𝑙𝑝 = 𝑁𝑆𝐿 ∗∗ −(𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 + 𝑡𝑙𝑜𝑠𝑎 + 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜 + ℎ𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎 + ℎ𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜 ) **: NSL = nivel superior losa

𝑙𝑝 = 3,0 − (0,05 + 0,20 + 0,018 + 0,138 + 0,185) = 2,409 𝑚

𝜆=

𝑙𝑝 ∗ √12 2.409 ∗ √12 = = 88,8 𝑏 94

𝐹𝑐𝐸 =

3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 3,6 ∗ 6.809 = = 3,11 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 88,82

𝐹𝑐𝐸 3,11 = = 0,62 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 5,02 𝐹𝑐𝐸 𝜆 88,8 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 200) + 1 0,62 ∗ (1 + 200 ) + 1 𝐴= = = 1,184 2∗𝑐 2 ∗ 0,8 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,62 𝐵= = = 0,775 𝑐 0,8 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,184 − √1,1842 − 0,775 = 0,392

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 5,02 ∗ 0,392 = 1,97 𝑀𝑃𝑎 90

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴 = 1,97 ∗ 8.836 = 17.381 𝑁 por efecto de viga continua se asume 𝐶𝑒𝑓 = 1,2 ∗ 𝑞 ′′ ∗ 𝑐 = 1,2 ∗ 12,15 ∗ 1,50 = 21,87 𝑘𝑁 > 𝐶𝑑𝑖𝑠

La distancia entre cuartones debe reducirse a 𝑐=

𝐶𝑑𝑖𝑠 17.381 = = 1.431 𝑚𝑚 ⇒ 1.40 𝑚 𝑞′′ 12,15

Control aplastamiento En el apoyo de largueros sobre columnas: 𝑆𝑎𝑝 = 𝑏𝑐𝑜𝑙 ∗ (2 ∗ 𝑏𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠 ) = 94 ∗ 2 ∗ 42 = 7.896 𝑚𝑚2 𝐶𝑎𝑝 = 𝑆𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 7.896 ∗ 2,81 = 22.188 𝑁 = 22,2 𝑘𝑁 > 𝐶𝑑𝑖𝑠

En el tablón de apoyo basal 2 𝑆𝑎𝑝 = 𝑏𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 = 942 = 8.836 𝑚𝑚2 > 𝑆𝑎𝑝,𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠

Longitud requerida de tablones de apoyo de columnas: 𝑏𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 = 235 𝑚𝑚 = 0,235 𝑚 ⇒ 𝐿𝑟𝑒𝑞 =

𝐶𝑑𝑖𝑠 17,381 = = 0,74 𝑚 𝑏𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 ∗ 𝐹𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜 0,235 ∗ 100

Se especifican tablones de 75 cm de largo como bases de apoyo.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 16: Diseño de unión con pasadores Determinar la carga admisible de la unión con pasadores Ø12*160 mm esquematizada en Figura considerando las dos disposiciones, a y b. Considere que la unión consiste de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata elaborada con láminas Grado A con un contenido de humedad H = 12 %.

Solución: Capacidad de carga de los pasadores Para el Pino radiata, NCh 1198, Anexo E: 𝜌0 = 450 𝐾𝑔⁄𝑚3 ⇒ En todos los maderos NCh 1198, sección 9.6.2.2.1, como D ≥ 6,4mm, se tiene: Pieza central, 𝑏𝑐 = 𝑙𝑐 = 70 𝑚𝑚 Desangulación solicitación pasadores con respecto a la dirección de la fibra, 𝛼𝑐 = 90° 92

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑅𝑎𝑝,𝑛 =

212 ∗ (𝜌0 ⁄1.000)1,45 √𝐷

=

212 ∗ (450⁄1.000)1,45 √12

= 19,2 𝑀𝑃𝑎

Piezas laterales, 𝑏𝑙 = 𝑙𝑙 = 42 𝑚𝑚 Desangulación solicitación pasadores con respecto a la dirección de la fibra, 𝛼𝑐 = 0° 𝑅𝑎𝑝,𝑝 = 77,2 ∗ (𝜌0 ⁄1.000) = 77,2 ∗ (450⁄1.000) = 34,7 𝑀𝑃𝑎 NOTA: La norma permite un incremento del 20% de las resistencias de aplastamiento cuando se emplean pasadores. Esta cláusula se eliminará en la nueva redacción de la norma ya que no se ha justificado experimentalmente a nivel nacional, por lo que dicho incremento no se aplicará en este problema.

Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene: D=12 mm > 9,5 mm ⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 310 𝑀𝑃𝑎 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 19,2 = = 0,553 𝑅𝑎𝑝,𝑙 34,7

Según NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 se tiene: Para D ≥ 6,4 mm ⇒ 𝐾𝛼 = 1 +

𝛼𝑚á𝑥 90 =1+ = 1,25 360 360

Según NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 35 se tiene: Por tratarse de pasadores que trabajan en cizalle doble, los modos de fluencia II y IIIc no son aplicables. Modo Ic: 4 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 12 ∗ 70 ∗ 19,2 = = 3.230 𝑁 4 ∗ 𝐾𝛼 4 ∗ 1,25

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 2 ∗ 12 ∗ 42 ∗ 34,7 = = 7.004 𝑁 4 ∗ 𝐾𝛼 4 ∗ 1,25

Modo IIIl: 2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝑘3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 0,553) 2 ∗ 310 ∗ (2 + 0,553) ∗ 122 = −1 + √ + = 1,803 0,553 3 ∗ 19,2 ∗ 122 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 2 ∗ 1,803 ∗ 12 ∗ 42 ∗ 19,2 = = 3.420 𝑁 (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼 (2 + 0,553) ∗ 3,2 ∗ 1,25

Modo IV: 3,2 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑

2 ∗ 𝐷 2 2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 2 ∗ 122 2 ∗ 19,2 ∗ 310 √ √ = = = 3.641 𝑁 3,2 ∗ 𝐾𝛼 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 3,2 ∗ 1,25 3 ∗ (1 + 0,553)

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(3.230; 7.004; 3.420; 3.641) = 3.230 𝑁

Duración acumulada estado de carga de 10 años (NCh 1198, Anexo G), 𝐾𝐷 = 1,0 Madera seca H=12%, 𝐾𝐻 = 1,0 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 3.230 ∗ 1 ∗ 1 = 3.230 𝑁

Corrección por espaciamiento: 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 100 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 𝑠𝑝 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 12 = 84 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 40 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 3 ∗ 𝑑 = 3 ∗ 12 = 36 𝑚𝑚 𝑠𝑛 = 40 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 3 ∗ 𝐷 = 3 ∗ 12 = 36 𝑚𝑚 ⇒ No se corrige por espaciamiento 94

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

n = 2 ⇒ no se corrige por longitud 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 4 ∗ 3.230 = 12.920 𝑁

Verificación madera Pasadores: NCh 1198, sección 7.4.3, tabla 19, 𝐾𝑐𝑡 = 0,80 𝐾𝐻 = 1,0 𝐾𝐷 = 1,0 Láminas grado A: 𝐹𝑡𝑝 = 5,6 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 5,6 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,8 = 4,48 𝑀𝑃𝑎 Área neta maderos laterales, Aneta: 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ (ℎ − 2 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗 ) = 2 ∗ 42 ∗ (140 − 2 ∗ 12) = 9.744 𝑚𝑚2 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 4,48 ∗ 9.744 = 43.653 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

Desgarro hileras, piezas laterales 𝑠𝑚í𝑛 = 100 𝑚𝑚 𝑡 = 2 ∗ 𝑏𝑙 = 2 ∗ 42 = 84 𝑚𝑚 𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 = 𝑛𝑖 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑡 ∗ 𝑠𝑚í𝑛 = 2 ∗ 1,1 ∗ 84 ∗ 100 = 18.480 𝑁 Para 2 hileras 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 18.480 = 36.960 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Desgarro de bloque piezas laterales 𝑇𝑑𝑖𝑠,ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = 2 ∗ 2 ∗

𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑡 ∗ 𝑠𝑚í𝑛 1,1 ∗ 84 ∗ 100 =2∗2∗ = 18.480 𝑁 2 2

𝑇á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 = 2 ∗ (𝑠𝑛 − 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜𝑠 ) ∗ 𝑏𝑙 ∗ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ (60 − 12) ∗ 42 ∗ 4,48 = 18.063 𝑁 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑑𝑒𝑠𝑔𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = 18.480 + 18.063 = 36.543 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑞𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

Análisis control de desgarro pieza central Caso a. 𝑎 = 500 − 100 = 400 𝑚𝑚 𝐻 = 450 𝑚𝑚 𝑎⁄𝐻 = 0,89 > 0,70 ⇒No se requiere esta verificación ∴ 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

Caso b. 𝑎 = 250 − 100 = 150 𝑚𝑚 𝑎⁄𝐻 = 0,333 < 0,70 𝑐=

4 𝑎 𝑎 3 4 ∗ √ ∗ (1 − ) = ∗ √0,333 ∗ (1 − 0,333)3 = 0,419 3 𝐻 𝐻 3

𝑤𝑒𝑓 = √𝑤 2 + (𝑐 ∗ 𝐻)2 = √602 + (0,419 ∗ 450)2 = 198 𝑚𝑚 𝑏𝑒𝑓 = 2 ∗ 6 ∗ 𝐷 = 12 ∗ 12 = 144 𝑚𝑚 ≤ 𝑏 = 70 𝑚𝑚 𝐴𝑒𝑓 = 𝑤𝑒𝑓 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 198 ∗ 70 = 13.851 𝑚𝑚2 −0,2 𝐹𝑡𝑛 = 3,33 ∗ 𝐴−0,2 = 0,494 𝑀𝑃𝑎 𝑒𝑓 = 3,33 ∗ 13.860

𝑓1 (𝑎⁄𝐻 ) =

𝑓2 (ℎ𝑖 ⁄ℎ) =

96

1 1 = = 1,35 𝑎2 𝑎 3 1 − 3 ∗ (0,333)2 + 2 ∗ (0,333)3 1 − 3 ∗ (𝐻 ) + 2 ∗ (𝐻 ) 𝑛 2

ℎ ∑ ( 1) ℎ𝑖

=

2 = 1,28 1 + (300⁄400)2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑎 ℎ1 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝑓1 ( ) ∗ 𝑓2 ( ) = 13.851 ∗ 0,494 ∗ 1,35 ∗ 1,28 = 11.835 𝑁 𝐻 ℎ𝑖 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 11.835 𝑁 < 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

∴ 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 11.835 𝑁

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 17: Diseño de unión con tirafondos Determinar la cantidad “n” de tirafondos TF Ø5/8”*6” requeridos para anclar una viga de madera laminada encolada de Pino radiata de sección 115*480 mm a un muro de hormigón armado usando un flanche de acero Grado A36-24 de sección 6*100 mm, de acuerdo con el esquema de la figura. La fuerza de anclaje, de magnitud 20 kN, corresponde a una solicitación sísmica y su línea de acción se considera orientada paralela al eje de la viga. Nota: La excentricidad en el traspaso de la fuerza genera efectos de segundo orden que deben ser analizados debidamente. El propósito del ejemplo se centra en el funcionamiento de los tirafondos.

Solución: Tirafondo Ø5/8”*6”, de NCh 1198, Anexo M: 𝑙 = 152,4 𝑚𝑚 𝐷 = 15,9 𝑚𝑚 𝐷𝑟 = 11,9 𝑚𝑚 𝑘 = 9,5 𝑚𝑚 98

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene: D=15,9 mm > 9,5 mm ⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 310 𝑀𝑃𝑎

Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E: 𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 De NCh 1198, Tabla 33, para efecto de las uniones, el Pino radiata corresponde al Grupo B. Colocación de tornillos con perforación guía de diámetro: 𝜙 ≈ 0,65 ∗ 𝐷 = 0,65 ∗ 15,9 = 10,33 ⇒ 10,5 𝑚𝑚 Desangulación fuerza-fibra NCh 1198, sección 9.6.2.2.1, como D≥6,4mm, se tiene que para solicitaciones paralelas a la fibra: 𝜃 = 0° ⇒ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 77,2 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 ⁄1.000) = 77,2 ∗ (450⁄1.000) = 34,7 𝑀𝑃𝑎 𝐾𝛼 = 1

Flanche de acero Grado A37-24 ES: 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 1,375 ∗ 𝑅𝑡𝑢 = 1.375 ∗ 370 = 509 𝑀𝑃𝑎 𝑙𝑡 = 𝑡 = 6 𝑚𝑚 Penetración del tirafondo en la madera. De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.6.1.4 y designaciones de Figura 26. 𝑝 = 𝑙 − 𝑡 − 𝑘 = 152,4 − 6 − 9,5 = 136,9 𝑚𝑚 > 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 15,9 = 63,6 𝑚𝑚 𝑙𝑐 = min(𝑏𝑐 ; 𝑝𝑒𝑓 ) = min(480; 136,9) = 136,9 𝑚𝑚 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 34,7 = = 0,068 𝑅𝑎𝑝,𝑙 509

𝑅𝑡 =

𝑙𝑐 136,9 = = 22,8 𝑙𝑙 6

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Capacidades de carga admisibles: Los tirafondos trabajan en cizalle simple. Modos de fluencia: 𝑘1 =

=

√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2 ) + 𝑅𝑡2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡 ) 1 + 𝑅𝑒 √0,068 + 2 ∗ 0,0682 ∗ (1 + 22,8 + 22,82 ) + 22,82 ∗ 0,0683 − 0,068 ∗ (1 + 22,8) 1 + 0,068 = 0,635

𝑘2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) +

2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2

= −1 + √2 ∗ (1 + 0,068) +

2 ∗ 310 ∗ (1 + 2 ∗ 0,068) ∗ 11,92 = 0,479 3 ∗ 34,7 ∗ 136,92

2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝑘3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 0,068) 2 ∗ 310 ∗ (2 + 0,068) ∗ 11,92 = −1 + √ + = 7,93 0,068 3 ∗ 34,7 ∗ 62 Modo Ic: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 11,9 ∗ 136,9 ∗ 34,7 = = 14.149 𝑁 4 ∗ 𝐾𝛼 4,0 ∗ 1

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 11,9 ∗ 6 ∗ 509 = = 9.081 𝑁 4 ∗ 𝐾𝛼 4,0 ∗ 1

Modo II: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 100

𝑘1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 0,635 ∗ 11,9 ∗ 6 ∗ 509 = = 6.406 𝑁 3,6 ∗ 𝐾𝛼 3,6 ∗ 1 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo IIIc: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 0,479 ∗ 11,9 ∗ 136,9 ∗ 34,7 = = 7.455 𝑁 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 ) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼 (1 + 2 ∗ 0,068) ∗ 3,2 ∗ 1

Modo IIIl: 3,2 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 7,93 ∗ 11,9 ∗ 6 ∗ 34,7 = = 2.972 𝑁 (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼 (2 + 0,068) ∗ 3,2 ∗ 1

Modo IV: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 𝐷2 11,92 2 ∗ 34,7 ∗ 310 ∗√ = ∗√ = 3.629 𝑁 3,2 ∗ 𝐾𝛼 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 3,2 ∗ 1 3 ∗ (1 + 0,068)

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(14.149; 9.081; 6.406; 7.455; 2.972; 3.629) = 2.972 𝑁 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻𝑈 ∗ 𝐾𝐷 = 2.972 ∗ 1,0 ∗ 1,6 = 4.755 𝑁 Cantidad de tirafondos requerida: 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝐻 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠

=

20.000 = 4,21 ⇒ 5 4.755

Por alinearse más de 2 tirafondos según la dirección de la fuerza, NCh 1198, sección 9.4.5 requiere considerar adicionalmente un factor de modificación por longitud de hilera. Módulo de corrimiento de tirafondos: 𝐶 = 370 ∗ 𝐷1,5 = 370 ∗ 15,91,5 = 23.458 𝑁/𝑚𝑚 𝐸𝑐 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑐 = 𝑏𝑐 ∗ ℎ𝑐 = 115 ∗ 480 = 55.200 𝑚𝑚2 𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐 = 9.000 ∗ 55.200 = 496.800.000 𝑁 𝐸𝑙 = 210.000 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑙 = 𝑏𝑙 ∗ ℎ𝑙 = 100 ∗ 6 = 600 𝑚𝑚2 𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙 = 210.000 ∗ 600 = 126.000.000 𝑁 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐 496.800.000 = = 3,94 𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙 126.000.000 𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙 126.000.000 = = 0,254 𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐 496.800.000

Espaciamiento entre medios de unión 𝑠𝑝 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 15,9 = 79,5 → 80 𝑚𝑚 𝑠 1 1 𝑢 =1+𝐶∗ ∗[ + ] 2 𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐 𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙 = 1 + 23.458 ∗

80 1 1 ∗[ + ] = 1,009 2 496.800.000 126.000.000

𝑚 = 𝑢 − √𝑢2 − 1 = 1,009 − √1,0092 − 1 = 0,875

𝑚(1 − 𝑚2𝑛 ) 1 + 𝑅𝐸𝐴 𝑘𝑢 = [ ]∗[ ] 𝑛 2𝑛 𝑛 ∗ [(1 + 𝑅𝐸𝐴 ∗ 𝑚 ) ∗ (1 + 𝑚) − 1 + 𝑚 ] 1−𝑚 0,875(1 − 0,8752∗5 ) 1 + 0,254 =[ ]∗[ ] = 0,933 5 2∗5 5 ∗ [(1 + 0,254 ∗ 0,875 ) ∗ (1 + 0,875) − 1 + 0,875 ] 1 − 0,875

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻𝑈 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝑘𝑢 = 2.972 ∗ 1,0 ∗ 1,6 ∗ 0,936 = 4.437 𝑁

𝐻𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 5 ∗ 4.437 = 22.186 𝑁 > 𝐻𝑒𝑓 = 20.000 𝑁

Diseño de unión: Distancia al borde cargado según la dirección de la fibra 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 15,9 = 111,3 → 120 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Gramil de borde extremo en el flanche (recomendación DIN 18.800) 𝑎≥

𝐻 2 20.000 2 + ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = + ∗ (15,9 + 1) = 22,8 → 30 𝑚𝑚 2 ∗ 𝑡 ∗ 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 3 2 ∗ 6 ∗ 0,6 ∗ 240 3

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EJEMPLO 18: Diseño de empalme clavado La estructura de un techo se construye con cerchas según el esquema de figura, dispuestas cada 1,2 m, utilizando piezas cepilladas de Pino radiata, Grado Estructural G1, cuyo contenido de humedad H es 15%. Se solicita: Diseñar el empalme D del cordón inferior, esquematizado en la segunda figura, utilizando clavos de 4,3*100 mm (4“), optimizando el espacio disponible. Determine la máxima tracción que puede resistir su diseño, cuando se respetan las especificaciones de la norma NCh 1198.

Solución: Estimación de la capacidad de carga de diseño del empalme: Clavos 4,3*100 mm ⇒ d = 4,3 mm; L = 100 mm Bordes horizontales son bordes descargados 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝑑 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 𝑚𝑚 104

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Número de hileras: 𝑛𝐻 = [

𝐻 − 2 ∗ 𝑠𝑏𝑑𝑛 138 − 2 ∗ 21,5 ]+1 = [ ] + 1 = [4,4] + 1 = 5 𝑠𝑛 21,5

Bordes verticales son bordes cargados 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝑑 = 15 ∗ 4,3 = 64,5 → 65 𝑚𝑚 𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝑑 = 12 ∗ 4,3 = 51,6 → 55 𝑚𝑚 Número de filas: 𝐿 − 2 ∗ 𝑠𝑏𝑐𝑝 260 − 2 ∗ 65 𝑛𝑓 = [ ]+1=[ ] + 1 = [2,36] + 1 = 3 𝑠𝑝 55 En consecuencia, respetando los espaciamientos normativos mínimos entre clavos y a los bordes, a lo más se pueden disponer 3*5 = 15 clavos.

Estimación de la capacidad admisible de carga a extracción lateral de los clavos: 𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝑑 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚 Resistencia de aplastamiento en las piezas de madera Para el Pino radiata, NCh 1198, Anexo E: 𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D 𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝑑 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚] ⇒ 𝑃𝑒𝑙,2,𝑎𝑑 = (1 + 0,75 ∗

𝑝 26 ) ∗ 𝑃𝑒𝑙 = (1 + 0,75 ∗ ) ∗ 635 = 995 𝑁 𝑝𝑚 34,4

H=15 % ⇒ Condición de servicio seca para la unión KD = 1,25 Por tratarse de una estructura de techo se considera sobrecarga de servicio para el techo. NCh 1198, Anexo G KD = 1,25 ⇒ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,2,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 995 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 1.243 𝑁

Capacidad de carga de la unión: 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑛ℎ ∗ 𝑛𝑓 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 5 ∗ 3 ∗ 1.243 = 18.647 𝑁

Capacidad de carga de diseño de la madera: Pino radiata G1: 𝐹𝑡𝑝 = 5,0 𝑀𝑃𝑎 𝐾𝐷 = 1,25 𝐾𝐻 =

1,75 − 0,033 ∗ 𝐻 1,75 − 0,033 ∗ 15 = = 0,93 1,35 1,35 5

𝐾ℎ = √

90 5 90 =√ = 0,918 ℎ 138

𝐾𝑐𝑡 = 0,80

(perforaciones de clavos, NCh 1198, sección 7.4.3, tabla 19)

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⇒ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 5,0 ∗ 1,25 ∗ 0,93 ∗ 0,918 ∗ 0,8 = 4,27 𝑀𝑃𝑎 ⇒ 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 4,27 ∗ 138 ∗ 41 = 24.144 𝑁 = 24,144 𝑘𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑙𝑎𝑣𝑜𝑠 = 18,647 𝑘𝑁

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 19: Diseño de unión clavada Estimar la capacidad de carga de diseño de la unión de la figura. Las piezas son de madera aserrada de Pino radiata y se construyen con un contenido de humedad 22 %, secándose hasta un 18 % una vez puestas en servicio. Se utilizan dos flanches de acero de sección 85*3 mm y 12+12 clavos corrientes de calibre 65*3,1 mm, clavados de a mitades desde ambos lados de la unión, de acuerdo con el esquema indicado en la figura. La carga es de naturaleza permanente.

Solución: Clavos 65*3,1 mm: D = 3,1 mm De NCh 1198, Anexo G, Sección G3 𝐾𝐷 = 0,9 De NCh 1198, sección 9.4.3, Tabla 26, Nota 1

KUH = 0, 70

Control de espaciamientos En el madero horizontal: 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 < 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚 , sin embargo, se acepta ya que no existe componente de fuerza ejercido por los clavos según la dirección de la fibra. I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 70 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 3,1 = 21,7 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 185 − (2 ∗ 30 + 70) = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

En el madero vertical 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,1 = 46,5 𝑚𝑚 𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 0,5 ∗ (115 − 3 ∗ 20) = 27,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

Control riesgo de falla por tracción normal borde cargado pieza horizontal 𝑎 130 𝑎 = 2 ∗ 30 + 70 = 130 𝑚𝑚 ⇒ ( ) = = 0,703 > 0,70 ℎ 185 De acuerdo con NCh 1198, sección 9.2.1.5, se obvia este control

Derivación de la capacidad de carga de diseño de los clavos. Para el acero: 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 1,375 ∗ 𝑅𝑡𝑢 = 1,375 ∗ 370 = 508,8 𝑀𝑃𝑎

Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E : 𝜌0 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D < 6,4mm, se tiene: 𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 115 ∗ (𝜌0 ⁄1000)1,84 = 115 ∗ (450⁄1000)1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎 Clavos 3”: 𝐷 = 3,1 𝑚𝑚 𝑙𝑐𝑙 = 65 𝑚𝑚

110

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene: Como D < 6,4 mm, entonces: 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,1 = 716 𝑀𝑃𝑎 𝑙𝑙 = 𝑡 = 3 𝑚𝑚 𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑡 = 65 − 3 = 62 𝑚𝑚 < 𝑒𝑐 = 90 𝑚𝑚 Modos de fluencia: 𝑅𝑒 =

𝑅𝑎𝑝,𝑐 26,5 = = 0,052 𝑅𝑎𝑝,𝑙 508

𝑅𝑡 =

𝑙𝑐 62 = = 20,7 𝑙𝑙 3

De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2 𝑘1 =

√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2 ) + 𝑅𝑡2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡 ) 1 + 𝑅𝑒

√0,052 + 2 ∗ 0,0522 ∗ (1 + 20,7 + 20,72 ) + 20,72 ∗ 0,0523 − 0,052 ∗ (1 + 20,7) =

1 + 0,052 = 0,444

𝑘2 = −1 + √2 + (1 + 𝑅𝑒 ) +

2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2

= −1 + √2 + (1 + 0,052) +

3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2 2 ∗ 716 ∗ (1 + 2 ∗ 0,052) ∗ 3,12 = 0,468 3 ∗ 26,5 ∗ 622

2 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒 ) ∗ 𝐷 2 𝑘3 = −1 + √ + 𝑅𝑒 3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2 2 ∗ (1 + 0,052) 2 ∗ 716 ∗ (2 + 0,052) ∗ 3,12 = −1 + √ + = 7,94 0,052 3 ∗ 26,5 ∗ 32

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111

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Modo Ic: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 3,1 ∗ 62 ∗ 26,5 = = 2.312 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 3,1 ∗ 3 ∗ 508 = = 2.151 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo II: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝑘1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 0,444 ∗ 3,1 ∗ 3 ∗ 508 = = 954 𝑁 𝐹𝐴 2,2

Modo IIIc: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 0,468 ∗ 3,1 ∗ 62 ∗ 26,5 = = 979 𝑁 (1 + 2 ∗ 0,052) ∗ 2,2 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒 )𝐹𝐴

Modo IIIl: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 794 ∗ 3,1 ∗ 3 ∗ 26,5 = = 433 𝑁 (2 + 0,052) ∗ 2,2 (2 + 𝑅𝑒 )𝐹𝐴

Modo IV: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓 3,12 𝐷2 2 ∗ 26,5 ∗ 508 ∗√ = ∗√ = 479 𝑁 𝐹𝐴 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒 ) 2,2 3 ∗ (1 + 0,052)

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.312; 2.151; 954; 979; 433; 479) = 433 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 433 ∗ 0,7 ∗ 0,9 = 273 𝑁 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 12 ∗ 273 = 3.274 𝑁 112

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación flanche de acero 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = (𝑏 − 4 ∗ (𝐷 + 0,2)) ∗ 𝑡 = (90 − 4 ∗ (3,1 + 0,2)) ∗ 3 = 230 𝑚𝑚 𝑓𝑓 =

𝑇𝑑𝑖𝑠 3.274 = = 14,2 𝑀𝑃𝑎 ≪ 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 230

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 20: Unión con clavos lanceros Una tabiquería de pared exterior expuesta a la acción de una presión de viento de 1,5 kN/m 2 se estructura con pies derechos de pino Radiata de escuadría 41 x 138 mm (2 x6) de 3,20 m de altura espaciados cada 410 mm. Cada pie derecho se fija a la solera basal y a la carrera superior por medio de 2 clavos lanceros de 3,5x75 mm (3”). Se debe determinar si esta solución es adecuada.

Solución: Solicitación por clavo: Carga de viento de viento sobre pies derechos: 𝑞𝑣 = 𝑣 ∗ 𝑑 = 1.500 ∗ 0,41 = 615 𝑁⁄𝑚 Reacciones en extremos de pie derecho: 𝐻𝑠𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎 = 𝐻𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎 =

𝑞𝑣 ∗ 𝐿 615 ∗ 3,2 = = 984 𝑁 2 2

Cada clavo lancero debe traspasar una carga 𝑃𝑒𝑙,𝑒𝑓 = 114

𝐻 984 = = 492 𝑁 2 2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Derivación de la capacidad de carga de diseño de los clavos. 𝐾𝐷 = 1,6

(estado de carga que incorpora efectos de viento, NCh 1198, anexo G)

𝐾𝐻 = 1,0

(madera seca durante construcción y servicio)

Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E 𝜌0 = 450 𝑘𝑔⁄𝑚3 NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D 𝑠𝑝 𝑠𝑒𝑛(22,8°)

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 =

35 = 90,3 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 𝑠𝑒𝑛(22,8°)

Los restantes espaciamientos se impusieron al delimitar las zonas de borde

Nudo B Esquema de equilibrio estático

Organización de las piezas de madera

En la junta de contacto actúan las componentes de compresión 𝐶 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3°) = 3.011 𝑁 y de cizalle 124

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑇 = 3.127 ∗ 𝐶𝑜𝑠(74,3°) = 844 𝑁 Verificación del traspaso de la componente C por contacto entre maderos 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑓𝑐𝑛 =

ℎ3 90 = = 93,5 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(74,3°) 0,963

𝐶 3.011 = = 0,79 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,0 𝑀𝑃𝑎 𝑏 ∗ 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 41 ∗ 93,5

Traspaso de la fuerza T Se dispone un taco equivalente a un embarbillado de medio talón, por lo que el extremo de contacto con el puntal se inclina en: (180 − 74,3) ≈ 53° 2 con respecto al canto del tijeral . Por definición en NCh 1198, Sección 10.2.1: 𝛾 = 90 − 53 = 37

Desangulación de la fuerza normal al plano de embarbillado con respecto a la dirección de la fibra en el puntal diagonal 𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾 = 74,3 − 37 = 37,3 Desangulación fuerza normal al plano de embarbillado con respecto a la dirección de la fibra del taco 𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜 = 90 − 53 = 27 𝛿 = max(𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 ; 𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜 ) = max(37,3; 27) = 37,3 𝐹𝑐,𝛿 = =

0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝛿 + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛿 0,75 ∗ 10 ∗ 2,5 = 5,53 𝑀𝑃𝑎 0,75 ∗ 10 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 37,3 + 2,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 37,3

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125

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Altura de sección requerida para el taco. De NCh 1198, Sección 9.10.2 𝑡𝑟 = 41 𝑚𝑚 ≥

𝑃 ∗ cos(𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾) 3.127 ∗ cos(74,3 − 37) = = 11,0 𝑚𝑚 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,𝛿 41 ∗ 5,53

El taco se fija con clavos 100*4,3 mm., que funcionan en cizalle simple NCh 1198, sección 9.6.2.3 Clavos 4”: D = 4,3 mm; 𝑙𝑐𝑙 = 100 𝑚𝑚 Como D 𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 𝑚𝑚 5+1

Del diseño del nudo A 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝐷 = 51,6 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 65 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 64,5 𝑚𝑚

Diagonal comprimida: 41*90 mm: En la junta de contacto actúan las componentes de compresión, 𝐶 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(51,6°) = 2.450 𝑁

Y de cizalle, 𝑇 = 3.127 ∗ cos(51,6°) = 1.942 𝑁

Verificación del traspaso de C por contacto entre maderos. Longitud efectiva de aplastamiento sobre el canto del tirante

𝑢=

ℎ𝑡𝑎𝑐𝑜 41 = = 45,6 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(64°) 0,899

𝑣 = 𝑢 ∗ cos(51,6 − (90 − 64)) = 41,2 𝑚𝑚 130

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑤 = ℎ − 𝑣 = 90 − 40,1 = 48,9 𝑚𝑚 𝑙𝑎𝑝 =

𝑤 48,9 = = 62,4 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(51,6°) 0,784

𝑓𝑐𝑛 =

𝐶 2.450 = = 0,96 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝑏 ∗ 𝑙𝑎𝑝 41 ∗ 62,4

Traspaso de fuerza T: Se dispone un taco equivalente a un embarbillado de medio talón, por lo que el extremo de contacto con el puntal se inclina en, (180 − 51,6) = 64° 2 Con respecto al canto de la cuerda inferior, 𝛾 = 90 − 64 = 26° Desangulación fuerza normal con dirección de la fibra en el puntal diagonal, 𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾 = 51,6 − 26 = 25,6° Desangulación fuerza normal con dirección de la fibra taco 𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 90 − 64 = 26° 𝛿 = max(𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 ; 𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜 ) = max(25,6; 26) = 26° 𝐹𝑐,𝛿 =

0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝛿 + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛿

=

0,75 ∗ 10 ∗ 2,5 = 5,42 𝑀𝑃𝑎 0,75 ∗ 10 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 26 + 2,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 26

Altura de sección requerida para el taco. De NCh 1198, Sección 9.10.2 𝑡𝑟 = 41 𝑚𝑚 ≥

𝑃 ∗ cos(𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾) 3.127 ∗ cos(51,6 − 26) = = 12,6 𝑚𝑚 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,𝛿 41 ∗ 5,42

El taco se fija con clavos 100*4,3 mm., que funcionan en cizalle simple Cantidad de clavos requerida 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝑇 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠

=

1.942 = 2,5 ⟶ 4 794

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131

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

La unión se asegura lateralmente clavándose a las piezas laterales de la diagonal traccionada que converge al nudo

Diagonal traccionada: 2 / 33 x 90 mm Cantidad de clavos requerida 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝐹 5.204 = = 4,2 ⟶ 6 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 1.244

Se disponen 2 hileras de 3 clavos 𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 =

132

ℎ 𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 + 1

=

90 = 22,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 21,5 𝑚𝑚 3+1

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 22: Diseño de uniones con placas dentadas en una cercha Diseñar las uniones y empalme con placa dentada indicadas en la cercha de la figura, solicitada por densidades de carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁⁄𝑚2y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁⁄𝑚2 que actúan directamente sobre los tijerales, de escuadría nominal 2 x 6, y la cuerda inferior, de escuadría nominal 2 x 5, respectivamente, considerando un espaciamiento entre cerchas de 0,80 m. Se dispone de madera aserrada estructural, cepillada de pino Radiata (NCh 2824), Grado C24, en condición seca y se utilizan placas GN 20 A Gang Nail (Automated Buildings).

Esfuerzos internos y reacciones:

Solución: Nudo A: alero.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Se selecciona un par de placas 100*225 mm

𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 100 = = 238 𝑚𝑚 > 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 225 𝑚𝑚 tan(𝛾) 0,42 Posición balanceada de placas ⇒ Δ = 0,5 ∗ (238 − 255) = 6,5 𝑚𝑚 𝑑𝐸 = (𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 − Δ ∗ tan(𝛾)) ∗ cos(𝛾) = (100 − 6,5 ∗ 0,42) ∗ 0,922 = 89,7 𝑚𝑚 𝑏𝑒𝑓 =

𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 225 = = 244 𝑚𝑚 ⇒ 0,55 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 134 𝑚𝑚 > 𝑑𝐸 cos(𝛾) 0,922

La totalidad de la superficie de anclaje es efectiva al cizalle De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.4 𝐴1 = 𝐴2 = 0,5 ∗ 100 ∗ 225 = 11.250 𝑚𝑚2 𝑃3𝑛 = 1.633 ∗ cos(22,8°) = 1.506 𝑁 𝑃3𝑡 = 1.633 ∗ 𝑠𝑒𝑛(22,8°) = 632 𝑁 𝐹𝑛 = 1.506 𝑁 𝐹𝑡 = 𝐶 + 𝑃3𝑡 = 16.853 + 632 = 17.485 𝑁

Solicitación de anclaje sobre el dentado: De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.3 𝑓𝑎,𝑁⁄2 = 𝑓𝑎,𝑐𝑧 =

0,5 ∗ 1.506 𝑁 = 0,034 2 ∗ 11.250 𝑚𝑚2

17.485 𝑁 = 0,777 2 ∗ 11.250 𝑚𝑚2

𝑓𝑎 = √0,0342 + 0,7772 = 0,778 𝑁⁄𝑚𝑚2 134

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Desangulación respecto a la junta de contacto 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0,034⁄0,777) = 2,5 °

Desangulación fuerza eje axial de placa 𝛼 = 𝛿 + 𝛾 = 2,5 + 22,8 = 25,3° Desangulación fuerza-fibra tijeral, 𝛽𝑡𝑖𝑗 = 𝛿 = 2,5° Desangulación fuerza-fibra cuerda inferior, 𝛽𝑐𝑖 = 𝛿 + 𝛾 = 2,5 + 22,8 = 25,3° Condiciona la capacidad admisible de carga de anclaje

De Anexo H, Tabla H1 𝐹25,3°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹25,3°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎 Interpolando para 𝛽 = 2,5° 𝐹∝,𝛽 =

𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛 𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽

𝐹𝑎,𝛼𝛽 =

1,1 ∗

1,1 ∗ 0,74 = 1,01 𝑀𝑃𝑎 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (2,5°)

𝑠𝑒𝑛2 (2,5°) +

Para el nudo de alero, de acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.4 si 𝛿 = 22,8° ⇒ 𝜂 = 0,85 −

12 ∗ 𝑡𝑎𝑛(22,8°) − 2 = 0,70 20

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝜂 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,7 = 0,956 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación placa 𝑓𝑐 =

0,5 ∗ 𝐹𝑛 0,5 ∗ 1.506 = = 1,54 𝑁⁄𝑚𝑚 2 ∗ 𝑏𝑒𝑓 2 ∗ 244

𝑓𝑐𝑧 =

𝐹𝑡 17.485 = = 35,8 𝑁⁄𝑚𝑚 2 ∗ 𝑏𝑒𝑓 2 ∗ 244

𝛾 = 22,8° De Anexo H, Tabla H 2 𝐹𝑝,𝑐 = 36 𝑁⁄𝑚𝑚 𝐹𝑝,𝑐𝑧 = 𝐹𝑝,𝑐𝑖𝑧,15 + = 33 +

(𝛾 − 15) ∗ (𝐹𝑝,𝑐𝑖𝑧,30 − 𝐹𝑝.𝑐𝑖𝑧,15 ) 15

(25,3 − 15) ∗ (40 − 33) = 36,6 𝑁/𝑚𝑚 15

Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3 2

2

𝑓𝑐 𝑓𝑐𝑧 1,54 2 35,8 2 + = ( ) + ( ) = 0,958 < 1 ( ) ( ) 𝐹𝑝,𝑡 𝐹𝑝,𝑐𝑧 36 36,6

Nudo B Se selecciona un par de placas 65*150 mm

En la junta de contacto actúan las componentes de compresión, 𝐶 = 𝐶3𝑛 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3) = 3.011 𝑁 136 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Y de cizalle, 𝑇 = 𝐶3𝑡 = 3.127 ∗ 𝑐𝑜𝑠(74,3°) = 844 𝑁

Verificación del traspaso de C por contacto entre maderos 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑓𝑐𝑛 =

ℎ3 90 = = 93,5 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(74,3°) 0,963

𝐶 3.011 = = 0,79 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,0 𝑀𝑃𝑎 𝑏 ∗ 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 41 ∗ 93,5

Solicitación de anclaje sobre el dentado: 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 150 𝑚𝑚 𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 65 𝑚𝑚 𝑑𝐸 =

𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3°) = 75 ∗ 0,963 = 72,2 𝑚𝑚 2

𝑠 = 𝑙𝐸 =

𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 65 = = 67,5 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(74,3°) 0,963

0,55 ∗ 𝑙𝐸 = 0,55 ∗ 67,5 = 37,1 𝑚𝑚 < 𝑑𝐸 𝐴𝑎 =

65 ∗ 150 − 10 ∗ 67,5 = 4.200 𝑚𝑚2 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐴𝑐𝑧 = 67,5 ∗ (37,1 − 10) = 1.831 𝑚𝑚2

Solicitación de dentado, De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.3 para la verificación del anclaje de placa se considera el 50 % de 𝐶3𝑛 𝑓𝑎,𝐶⁄2 = 𝑓𝑎,𝑐𝑧 =

0,5 ∗ 3.011 = 0.18 𝑀𝑃𝑎 2 ∗ 4.200

844 = 0,23 𝑀𝑃𝑎 2 ∗ 1.829

𝑓𝑎 = √0,182 + 0,232 = 0,29 𝑀𝑃𝑎 𝛿 = arctan(0,18⁄0,23) = 37,9°

Fijación al tijeral, Desangulación fuerza-eje de placa ∝= 74,4 − 37,9 = 36,5° Desangulación fuerza-fibra 𝛽 = 𝛿 = 37,9° De Anexo H, Tabla H1 𝐹30°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹30°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎 𝐹60°;0° = 1,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹60°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎

138

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑎36,5;0 = 𝐹𝑎30;0 + 𝐹𝑎36,5;0 = 1,1 +

(𝛼 − 30) ∗ (𝐹𝑎60;0 − 𝐹𝑎30;0 ) 30

(36,5 − 30) ∗ (1,1 − 1,0) = 1,08 𝑁/𝑚𝑚2 30

Interpolando para 𝛼 = 36,5° y 𝛽 = 37,9° 𝐹∝,𝛽 =

𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛 𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽

𝐹𝑎36,3,38 =

1,08 ∗

1,08 ∗ 0,74 = 0,92 𝑀𝑃𝑎 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (37,9°)

𝑠𝑒𝑛2 (37,9°) +

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,25 ∗ 0,92 = 1,15 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎

Fijación a la diagonal ∝= 𝛽 = 74,3 − 37,8 = 36,5° Interpolando para 𝛼 = 36,3° y 𝛽 = 36,3° 𝐹∝,𝛽 = =

𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛 𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 1,08 ∗

1,08 ∗ 0,74 = 0,93 𝑀𝑃𝑎 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (36,3°)

𝑠𝑒𝑛2 (36,3°) +

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ⇒ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,25 ∗ 0,93 = 1,16 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎

Verificación solicitación de placa: 𝑠 = 𝑙𝑒 = 65 𝑚𝑚 𝑓𝑐 =

𝐶 ⁄2 1.506 = = 11,2 𝑁⁄𝑚𝑚 2 ∗ 𝑠 2 ∗ 67,5

𝑓𝑐𝑧 =

𝑇 844 = = 6,25 𝑁⁄𝑚𝑚 2 ∗ 𝑠 2 ∗ 67,5

𝛾 = 180 − 74,3 = 105,7°

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139

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

De Anexo H, Tabla H2. 𝐹𝑝,𝑐 105,7 = 𝐹𝑝,𝑐 105 +

(𝐹𝑝,𝑐 105 − 𝐹𝑝,𝑐 120 ) ∗ (105,7 − 105) 15

(60 − 48) ∗ (105,7 − 105) = 59,5 𝑁/𝑚𝑚 15

= 60 +

𝐹𝑝,𝑐𝑧 105,7 = 𝐹𝑝,𝑐𝑧 105 + = 25,5 +

(𝐹𝑝,𝑐𝑧 105 − 𝐹𝑝,𝑐𝑧 120 ) ∗ (105,7 − 105) 15

(25,5 − 24) ∗ (105,7 − 105) = 25,4 𝑁/𝑚𝑚 15

Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3 2

(

2

𝑓𝑐 𝑓𝑐𝑧 11,2 2 6,25 2 ) +( ) = 0,096 < 1 ) +( ) =( 𝐹𝑝,𝑐 𝐹𝑝,𝑐𝑧 59,5 25,4

Nudo C Se selecciona un par de placas 100*175 mm

Solicitaciones de nudo: Descarga de cielo, 𝑃𝑡𝑛 = 1.627 𝑁

Fuerza axial cuerda inferior, 𝑇 = 15.538 − 10.359 = 5.179 𝑁

140

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Detalles de nudo:

Verificación de tensiones de anclaje: Superficies efectivas de anclaje

Cuerda inferior: 0,55 ∗ 𝑙𝐸 = 0,55 ∗ 175 = 96,25 𝑚𝑚 > 𝑑𝐸 = 40 𝑚𝑚 𝐴𝑎 = (40 − 10) ∗ 175 = 5.250 𝑚𝑚2 𝐴𝑐𝑧 = 𝐴𝑎 = 5.250 𝑚𝑚2 Solicitación dentado:

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑓𝑎,𝑇 =

1.627 = 0,155 𝑀𝑃𝑎 2 ∗ 5.250

𝑓𝑎,𝑐𝑧 =

5.179 = 0,493 𝑀𝑃𝑎 2 ∗ 5.250

𝑓𝑎 = √0,1552 + 0,4932 = 0,52 𝑀𝑃𝑎 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0,155⁄0,493) = 17,4° 𝛼 = 𝛽 = 17,4° De Anexo H, Tabla H1 𝐹17,4°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹17,4°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎 𝐹∝,𝛽 = =

𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛 𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 1,1 ∗ 0,74 = 1,05 𝑀𝑃𝑎 1,1 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 (17,4°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (17,4°)

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ⇒ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,25 ∗ 1,05 = 1,31 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎

Diagonal 3 𝐴𝑎,3 = (80 − 10)(60 − 10) − 0,5 ∗ 23 ∗ 29 = 3.167 𝑚𝑚2 𝑓𝑎 =

3.127 = 0,494 𝑀𝑃𝑎 2 ∗ 3.167

𝛼 = 51,6° 𝛽 = 0° Por medio de interpolaciones en Tabla H1 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ⇒ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,25 ∗ 1,05 = 1,31 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎 𝐹𝑎51,6°;0° = 𝐹𝑎30°;0° − = 1,1 −

142

𝛼 − 30 ∗ (𝐹𝑎60°;0° − 𝐹𝑎30°;0° ) 30

51,6−30 ∗ 30

(1,1 − 1,0) = 1,03 𝑁/𝑚𝑚2 > 𝑓𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Diagonal 4 𝐴𝑎,3 = (95 − 10)(60 − 10) − 0,5 ∗ 38 ∗ 48 = 3.339 𝑚𝑚2 𝑓𝑎 =

5.204 = 0,78 𝑀𝑃𝑎 2 ∗ 3.339

𝛼 = 51,6° 𝛽 = 0° De Anexo H, Tabla H1 𝐹30°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹60°;90° = 1,00 𝑀𝑃𝑎 Interpolando 𝐹𝑎51,6°;0° = 𝐹𝑎30°;0° − = 1,1 −

𝛼 − 30 ∗ (𝐹𝑎60°;0° − 𝐹𝑎30°;0° ) 30

51,6−30 ∗ 30

(1,1 − 1,0) = 1,03 𝑁/𝑚𝑚2 > 𝑓𝑎

Verificación solicitación de placa: 𝑠 = 175 𝑚𝑚 𝑓𝑡 =

𝑃𝑡𝑛 1.627 = = 4,65 𝑁⁄𝑚𝑚 2 ∗ 𝑠 2 ∗ 175

𝑓𝑐𝑧 =

𝑇 5.179 = = 14,8 𝑁⁄𝑚𝑚 2 ∗ 𝑠 2 ∗ 175

𝛾 = 0° De Anexo H, Tabla H2 𝐹𝑝,𝑡 = 36 𝑁⁄𝑚𝑚 𝐹𝑝,𝑐𝑧 = 26 𝑁⁄𝑚𝑚 Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3, 2

(

2

𝑓𝑡 𝑓𝑐𝑧 4,65 2 14,8 2 ) +( ) = 0,341 < 1 ) +( ) =( 𝐹𝑝,𝑡 𝐹𝑝,𝑐𝑧 36 26

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación contra desgarro de cuerda inferior:

𝑙𝑖 = 𝑙𝑑 = 4 ∗ (𝑑𝐸 − 10) = 4 ∗ (40 − 10) = 120 𝑚𝑚 𝑓𝑡𝑛 =

𝑃 𝑏 ∗ (𝑤 + 4(𝑑𝐸 − 𝑐))

=

1.627 = 0,13 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎 41 ∗ (175 + 120)

Se debe reforzar la cuerda inferior el entorno de la unión por medio de tornillos de costura de rosca larga, o definir una longitud de placa no inferior a 250 mm, o incrementar simultáneamente los parámetros 𝑑𝐸 y 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 hasta reducir la tensión nominal de tracción normal a la fibra por debajo del correspondiente valor de diseño.

Empalme cuerda inferior. Disponiendo la placa con su eje axial paralelo al eje de la cuerda inferior ⇒ 𝛼 = 0°. Dado que 𝛽 = 0°, Anexo H, Tabla H1 ⇒ 𝐹𝑎 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎

Si se dispone el empalme en el tercio central de la cuerda 𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞 =

144

𝑇 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠

=

10,359 ∗ 103 = 3.767 𝑚𝑚2 2 ∗ 1,375

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Se selecciona un par de placas de ancho 100 mm dispuestas centradas con respecto al eje del cordón. 𝐵𝑒𝑓 = 115 − 2 ∗ 10 = 95 𝑚𝑚 < 𝐵 = 100 𝑚𝑚 𝐼𝑎,𝑟𝑒𝑞 =

𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞 3.767 = = 39,7 ⇒ 40 𝑚𝑚 𝐵𝑒𝑓 95

⇒ 𝐿 = 2 ∗ (𝑙𝑎 + 10) = 2 ∗ (40 + 10) = 100 𝑚𝑚

Verificación placa: 𝛾 = 90° ⇒ 𝐹𝑝,𝑡 = 73 𝑁⁄𝑚𝑚 Anexo H, Tabla H2 𝑓𝑝,𝑡 =

𝑇 10,359 ∗ 103 = = 51,8 𝑁⁄𝑚𝑚 < 𝐹𝑝,𝑡 2∗𝐵 2 ∗ 100

Si se dispone el empalme en el tercio central de la cuerda, 𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞 = 𝑙𝑎,𝑟𝑒𝑞 =

15.537 = 5.650 𝑚𝑚2 2 ∗ 1,375 5.650 = 59,5 𝑚𝑚 → 60 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿 = 2 ∗ ( 60 + 10 ) = 140 𝑚𝑚 95

Verificación placa: 𝛾 = 90° ⇒ 𝐹𝑝,𝑡 = 73 𝑁⁄𝑚𝑚 Anexo H, Tabla H2 𝑓𝑝,𝑡 =

𝑇 15.537 = = 77,7 𝑁⁄𝑚𝑚 > 𝐹𝑝,𝑡 2 ∗ 𝐵 2 ∗ 100

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Se especifican placas de 115 x 140 mm 𝑓𝑝,𝑡 =

146

𝑇 15.537 = = 67,6 𝑁⁄𝑚𝑚 < 𝐹𝑝,𝑡 2 ∗ 𝐵 2 ∗ 115

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 23: Diseño de uniones con conectores dentados en una cercha Diseñar las uniones con conectores dentados tipo C indicadas en la cercha de la figura solicitada por densidades de carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁⁄𝑚2 y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁⁄𝑚2 que actúan directamente sobre los tijerales y la cuerda inferior, respectivamente, considerando un espaciamiento de 0,80 m. Se dispone de madera aserrada estructural, cepillada 4C de pino Radiata, Grado C24, en condición seca.

𝑃1 = 𝑙1𝑡 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑡 = 2,5 ∗ 0,8 ∗ 1,633 = 3,266 𝑘𝑁 𝑃2 = 𝑙1𝑐 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑐 = (10⁄3) ∗ 0,8 ∗ 0,61 = 1,627 𝑘𝑁 𝑃3 = 0,5 ∗ (𝑃1 + 𝑃2 ) = 1.633 + 813 = 2.446 𝑁 Esfuerzos internos y reacciones:

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

El tijeral y los montantes comprimidos se materializan con piezas de espesor nominal 2” (41 mm), la cuerda inferior combina una disposición de dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33 mm) y piezas de espesor nominal 2” (41 mm), mientras que para las diagonales traccionadas se considera dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33 mm). Las uniones se construyen usando conectores dentados Tipo C.

Solución: Nudo A: alero Esquema de equilibrio estático

Organización de piezas de madera

Determinación fuerza de interfaz F: Se analizará la condición de equilibrio estático del cuerpo libre constituido por la cuerda inferior, considerando las fuerzas externas e internas que actúan sobre él.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Resultante de fuerzas:

𝑅 = √(8.971 − 813)2 + 15.5382 = 17.550 𝑁 8.971 − 813 𝜙 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 ( ) = 27,7° 15.538 La orientación de la fuerza de interfaz determina la naturaleza de bordes del extremo del tirante indicada en la figura,

En el tijeral la fuerza de interfaz F actúa en sentido contrario y desangulada en 𝜙1 = 𝜙 − 𝛼 = 27,7 − 22,8 = 4,9° con respecto al eje de la pieza. Su orientación determina la naturaleza de bordes indicada en la figura,

En las piezas constituyentes de la cuerda inferior se produce la desangulación máxima entre la fuerza de interfaz y la dirección de la fibra de las piezas: 27,7°.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

La unión se diseñará considerando el uso de conectores de hinca tipo C Calibre D 50. Capacidades admisibles de carga: Del anexo I, tabla I.1: 𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁 𝑃𝑛,𝑎𝑑 = 4 𝑘𝑁

𝑃27,7°,𝑎𝑑 =

𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑃𝑛,𝑎𝑑 5∗4 = = 4,744 𝐾𝑁 2 2 2 𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛾 + 𝑃𝑛,𝑎𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛾 5 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (27,7°) + 4 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (27,7°)

𝑃27,7°,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃27,7°,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 4,744 ∗ 1,25 ∗ 1 = 5,93 𝐾𝑁

La solución mínima considera 1 perno y 2 conectores 𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃27,7°,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 5,93 = 11,859 𝑘𝑁

Cantidad de unidades requerida: 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝐹 𝑃22,7°,𝑑𝑖𝑠

=

15.538 = 1,48 ⇒ 2 11.859

Se requiere disponer 2 pares de conectores

Para calibre de conectores se deben respetar los siguientes espaciamientos mínimos: Al borde, cargado o descargado, según la dirección de la fibra, 𝑠𝑝 = 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚

Al borde cargado normal a la dirección de la fibra, 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 50 𝑚𝑚

Al borde descargado normal a la dirección de la fibra, 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 150

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Entre conectores, según la dirección de la fibra, 𝑠𝑝 = 120 𝑚𝑚

Entre conectores, normal a la dirección de la fibra, 𝑠𝑛 = 56 𝑚𝑚 Espesor mínimo de madera, 𝑏𝑚í𝑛 = 40 𝑚𝑚 Se consideran piezas de 65x162 mm para los tijerales, piezas de 65x90 mm para diagonales comprimidas y 3 piezas de 41x90 mm para las diagonales traccionadas. La cuerda inferior se materializa con 2 piezas de 41x138 mm en los tercios laterales, y con una pieza de 65x138 mm en el tercio central.

Diseño de la unión La verificación tensional en tracción de la cuerda inferior se desarrollará en el empalme del elemento. En la cuerda inferior se debe realizar la verificación tensional (tracción normal a la dirección de la fibra) tijeral, según NCh 1198, Anexo T, ya que la desangulación máxima entre la fuerza de interfaz de la unión y la fibra de la madera se manifiesta en este elemento. 𝑎 69 = = 0,5 ℎ 138 𝑊=

𝑐=

𝑠𝑛 62 = = 160 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛 (22,8) 𝑠𝑒𝑛 (22,8)

4 𝑎 𝑎 3 4 ∗ √ ∗ (1 − ) = ∗ √0,5 ∗ (1 − 0,5)3 = 0,333 3 ℎ ℎ 3

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑊𝑒𝑓 = √𝑊 2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √1602 + (0,333 ∗ 138)2 = 167 𝑚𝑚 𝑏𝑒𝑓 = min(2 ∗ 𝑏𝑙 ; 2 ∗ 50 ) = min(2 ∗ 41; 2 ∗ 50) = 82 𝑚𝑚 𝐴𝑒𝑓 = 𝑏𝑒𝑓 ∗ 𝑊𝑒𝑓 = 82 ∗ 167 = 13.660 𝑚𝑚2 𝐹𝑡𝑛 = min(3,33 ∗ 𝐴𝑒𝑓 −0,2 ; 0,53) = min(3,33 ∗ 13.660−0,2 ; 0,53) = min(0,50 ; 0,53) = 0,50 𝑀𝑃𝑎

𝑓1 (𝑎⁄ℎ) =

1 2

3

𝑎 𝑎 1−3∗( ) +2∗( ) ℎ ℎ

𝑓2 (ℎ1 ⁄ℎ𝑖 ) =

𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 ∑(

2

ℎ1 ) ℎ𝑖

=

=

1 = 2,00 1 − 3 ∗ (0,5)2 + 2 ∗ (0,5)3

1 =1 1

Para conectores especiales ⇒ 𝑓3 (𝑀𝑑𝑈) = 1,1 𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1 (ℎ1 ⁄ℎ𝑖 ) ∗ 𝑓2 (ℎ1 ⁄ℎ𝑖 ) ∗ 𝑓3 (𝑀𝑑𝑈) 𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,5 ∗ 13.660 ∗ 2,0 ∗ 1 ∗ 1,1 = 14.902 𝑁

Componente de tracción orientada normal a la dirección de la fibra, 𝑇𝑛 = 𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛(27,7) = 17.550 ∗ 0,465 = 8.158 𝑁 < 𝑇𝑛,𝑎𝑑

Control de espaciamientos En el tijeral 𝑠𝑏𝑛,𝑒𝑓 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚 𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 62 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 56 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

En la cuerda inferior 𝑠𝑏𝑝,𝑒𝑓 = 𝑠𝑝,𝑒𝑓 =

𝑆𝑛,𝑒𝑓,𝑡𝑖𝑗 50 = = 129 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑚𝑖𝑛 = 120 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(22,8°) 0,388

𝑆𝑏𝑛,𝑒𝑓,𝑡𝑖𝑗 62 = = 160 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝,𝑚𝑖𝑛 = 120 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(22,8°) 0,388

𝑠𝑏𝑛,𝑒𝑓 = 69 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚

Nudo B Esquema de equilibrio estático

Organización de las piezas de madera

Por traspasarse las fuerzas de compresión por contacto entre maderos, no se requiere del uso de conectores y la unión se diseñará en forma análoga a la desarrollada en el ejemplo 21 para una cercha con uniones clavadas.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Nudo C Esquema de equilibrio estático

Organización de las piezas de madera

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Se diseñará primero el empalme que permite la transición de la cuerda inferior de sección bipartita 2/41*138 mm, a sección simple 41*138 mm. La subdivisión de esta en tres tramos exige materializar el empalme a la izquierda del nudo. Esquema de cuerpo libre:

Por simple inspección, la fuerza de interfaz F = 15.538 N orientada horizontalmente y solicitando el borde extremo. Los restantes bordes son descargados ya que no existen componentes de fuerza F que los soliciten. Conector Tipo C, calibre D62 (anexo I): 𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 7 𝑘𝑁 𝑆𝑏𝑐𝑝 = 𝑆𝑏𝑑𝑝 = 120 𝑚𝑚 𝑆𝑏𝑐𝑛 = 55 𝑚𝑚 𝑆𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 𝑆𝑝 = 120 𝑚𝑚 𝑆𝑛 = 70 𝑚𝑚

𝑃𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 7 ∗ 1,25 = 8,75 𝑘𝑁 𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 8,75 = 17,5 𝑘𝑁 = 17.500 𝑁

Cantidad de unidades requerida 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝐹 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠

=

15.538 = 0,89 ⇒ 1 17.500

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 69 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 50 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación tensional madera: Para madera laminada encolada de Pino radiata híbrida 𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 En la tabla 19 de la NCh 1198, sección 7.4.3 no se mencionan los conectores de hinca. En la nueva redacción de la norma se definirán valores de 0,6 y 0,7 para el factor de concentración de tensiones asociado al uso de conectores de hinca en uniones traccionadas para madera aserrada y madera laminada encolada, respectivamente. 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 0,7 = 3,5 𝑀𝑃𝑎 Los conectores de hinca tipo C de calibre D62 se usan con pernos de diámetro ½’’, cuya colocación exige el vaciado de agujeros con diámetro mayorado. Se considera conservadoramente un diámetro de agujero de 14 mm. La altura del conector D62 es de 16 mm. Para cada conector D62 se considera un debilitamiento en sección transversal de la pieza de madera de 200 mm2. La sección transversal crítica corresponde a la pieza central de la unión

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑏 ∗ ℎ − 𝑏 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 − 2 ∗ ∆𝐴,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 65 ∗ 138 − 65 ∗ 14 − 2 ∗ 200 = 7.660 𝑚𝑚2 𝑓𝑡 =

𝑇 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎

=

15.538 = 2,0 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 3,5 𝑀𝑃𝑎 7.660

Verificación desgarro bloques de madera:

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Los planos de cizalle de los bloques considerados en el modo de falla se basan en las dimensiones de los conectores D62 indicadas en el Anexo I. La superficie de cizalle en el borde cargado se muestra en la figura y se calcula como el área total limitada por la dimensión exterior del conector menos el área del agujero del perno. Para los planos de cizalle tangentes al borde del conector se asume un ancho equivalente a la penetración de los dientes del conector en la madera. 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 𝑠𝑏 ∗ 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 + 0,5 ∗ = 8.950 𝑚𝑚2 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 =

2 𝜋 ∗ 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝜋 ∗ 622 = 120 ∗ 62 + 0,5 ∗ 4 4

2 𝜋 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 𝜋 ∗ 142 = = 154 𝑚𝑚2 4 4

𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 8.950 − 154 = 8.796 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 𝑠𝑝 ∗ 0,5 ∗ 𝐻𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 2 ∗ 120 ∗ 0,5 ∗ 16 = 1.920 𝑚𝑚2 Cargas de diseño por desgarro de bloque: 𝑇𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 0,5 ∗ 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ (𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 ) = 0,5 ∗ 1,375 ∗ (8.796 + 1.920) = 7.367 𝑁

Dado que existen dos bloques potenciales de desgarro 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑇𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 7.367 = 14.734 𝑁 < 𝑇𝑒𝑓 = 15.538 𝑁

Se debe incrementar el espaciamiento al borde a 130 mm. 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 130 ∗ 62 + 0,5 ∗

𝜋 ∗ 622 = 9.570 𝑚𝑚2 4

𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 9.570 − 154 = 9.416 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 130 ∗ 0,5 ∗ 16 = 2.080 𝑚𝑚2 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 0,5 ∗ 1,375 ∗ (9.416 + 2.080) = 15.806 𝑁 > 𝑇𝑒𝑓 = 15.538 𝑁

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Diagonal comprimida: 41*90 mm

La fijación de la diagonal comprimida se diseña en forma análoga a la solución desarrollada para las uniones clavadas en el ejemplo 21.

Diagonal traccionada: 2/41*115 mm: Esquema de cuerpo libre del extremo de la diagonal traccionada,

Por simple inspección la fuerza de interfaz F = 5.204 N se orienta según el eje de la diagonal y solicita el borde extremo condiciona la naturaleza de bordes indicada en la figura. En la cuerda horizontal la fuerza de interfaz actúa con la misma dirección pero con sentido opuesto, y condiciona la naturaleza de los bordes que se consigna en la figura,

Desangulación máxima entre la fuerza de interfaz y la dirección de la fibra de los maderos involucrados en la unión: 51,6°. 158

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Conector C50: 𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁 𝑃𝑛,𝑎𝑑 = 4 𝑘𝑁 𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗𝑃𝑛,𝑎𝑑

𝑃𝛽,𝑎𝑑 = 𝑃

2 2 𝑝,𝑎𝑑 ∗𝑠𝑒𝑛 𝛽+𝑃𝑛,𝑎𝑑 ∗𝑐𝑜𝑠 𝛽

5∗4

= 5∗𝑠𝑒𝑛2 (51,6°)+4∗𝑐𝑜𝑠2 (51,6°) = 4,335 𝑘𝑁

𝑃51,6°,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃51,6°,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 4,335 ∗ 1,25 = 5,42 𝑘𝑁

La solución mínima considera 1 perno y 2 conectores 𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃51,6°,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 5,42 = 10,838 𝑘𝑁 = 10.838 𝑁

Cantidad de unidades requerida 𝑛𝑟𝑒𝑞 =

𝐹 5.204 = = 0,48 ⇒ 1 𝑃𝑑𝑖𝑠 10.838

Se dispone 1 unidad

Verificación tensional diagonal: Los conectores de hinca tipo C de calibre D50 se usan con pernos de diámetro ½’’, cuya instalación exige el vaciado de agujeros con diámetro mayorado. Se considera conservadoramente un diámetro de agujero de 14 mm. La altura del conector D50 es 12,5 mm. Para cada conector D50 se considera un debilitamiento en sección transversal de la pieza de madera de 90 mm2. Sección transversal crítica de la diagonal, 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2𝑏 ∗ (ℎ − 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 ) − 2 ∗ Δ𝐴𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 2 ∗ 41 ∗ (90 − 14) − 2 ∗ 90 = 6.052 𝑚𝑚2 𝑓𝑡 =

𝑇 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎

=

5.204 = 0,86 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 3,5 𝑀𝑃𝑎 6.052

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación desgarro bloques madera:

Los planos de cizalle de los bloques considerados en el modo de falla se basan en las dimensiones de los conectores D62 indicadas en el anexo I. La superficie de cizalle en el borde cargado se muestra en la figura y se calcula como el área total limitada por la dimensión exterior del conector menos el área del agujero del perno. Para los planos de cizalle tangentes al borde del conector se asume un ancho equivalente a la penetración de los dientes del conector en la madera. 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 120 ∗ 50 + 0,5 ∗

𝜋 ∗ 502 = 6.982 𝑚𝑚2 4

𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 6.982 − 154 = 6.828 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 120 ∗ 0,5 ∗ 12,5 = 1.500 𝑚𝑚2 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 0,5 ∗ 1,375 ∗ (6.828 + 1.500) = 11.541 𝑁 > 𝑇𝑒𝑓 = 5.204 𝑁

Verificación tensional (tracción normal a la dirección de la fibra) de la cuerda inferior, según NCh 1198, anexo T: 𝑎 90 = = 0,652 ℎ 138 𝑤 = 0; ya que la unión consta de una fila 𝑐=

4 𝑎 𝑎 3 4 ∗ √ ∗ (1 − ) = ∗ √0,652 ∗ (1 − 0,652)3 = 0,221 3 ℎ ℎ 3

𝑤𝑒𝑓 = √𝑤 2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √0 + (0,221 ∗ 138)2 = 30,5 𝑚𝑚 160

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑏𝑒𝑓 = min(𝑏 ; 2 ∗ 50) = min(65 ; 100) = 65 𝑚𝑚 𝐴𝑒𝑓 = 𝑏𝑒𝑓 ∗ 𝑤𝑒𝑓 = 65 ∗ 30,5 = 1.981 𝑚𝑚2 𝐹𝑡𝑛 = min(3,33 ∗ 𝐴−0,2 𝑒𝑓 ; 0,53) = min(0,73; 0,53 ) = 0,53 𝑀𝑃𝑎 𝑓1 (𝑎⁄ℎ) =

1 2

3

𝑎 𝑎 1−3∗( ) +2∗( ) ℎ ℎ

𝑓2 (ℎ1 ⁄ℎ𝑖 ) =

𝑛 2

ℎ ∑ ( 𝑙) ℎ𝑖

=

=

1 = 3,59 𝑎 − 3 ∗ (0,652)2 + 2 ∗ (0,652)3

1 =1 1

Para conectores especiales ⇒ 𝑓3 (𝑀𝑑𝑈) = 1,1 𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1 (𝑎⁄ℎ) ∗ 𝑓2 (ℎ1 ⁄ℎ𝑖 ) ∗ 𝑓3 (𝑀𝑑𝑈) 𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,53 ∗ 1.981 ∗ 3,59 ∗ 1 ∗ 1,1 = 4.143 𝑁

Componente de tracción orientada normal a la dirección de la fibra: 𝑇𝑛 = 𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛(51,6) = 5.204 ∗ 0,784 = 4.078 𝑁 < 𝑇𝑛,𝑎𝑑 El diseño definitivo del empalme y el nudo se presenta en la siguiente figura.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Control de espaciamientos: En el madero diagonal 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 =

48 + 50 = 125 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛(51,6°)

𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 40 𝑚𝑚

En la cuerda inferior 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 90 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 40 𝑚𝑚

162

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 24: Diseño de unión de alero de estructura de techo construida con conectores anulares Determinar la capacidad de carga de diseño de la unión de alero de una estructura de techo que se esquematiza en la figura, aplicando las especificaciones de NCh1198 Of.2006. Se dispone de conectores de acero anulares Ø66,5 mm y piezas de madera aserrada en bruto de Lenga correspondiente al grado estructural N°3 (NCh 1970). La madera tiene un contenido de humedad de 25 % durante la construcción y se seca hasta un 15 % en servicio. La inclinación del tijeral es 30°.

Solución: Determinación de la fuerza de interfaz (fuerza que se traspasa efectivamente en la unión). Análisis de cuerpo libre del tirante, considerando la totalidad de las fuerzas externas e internas que actúan sobre él.

∑ 𝐹ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = 0 ⇒ 𝐹 + 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 0 ⇒ 𝐹 = −𝑇𝑑𝑖𝑠 Fuerza de interfaz F: Magnitud Tdis ; Dirección: horizontal ; Sentido: apunta a la izquierda.

Designación de bordes (NCh 1198, Secciones 9.1.2.6 y 9.1.2.7): La orientación de la fuerza de interfaz, que se descompone en el 100% según la dirección de la fibra del tirante, determina la siguiente naturaleza para los bordes del tirante involucrado en la unión. I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

bc: Borde cargado; bd: Borde descargado

Carga de diseño de los conectores En tijeral: Por el principio de acción y reacción, en este madero la fuerza de interfaz apunta hacia la derecha. La descomposición de la fuerza según las direcciones paralela y normal a la fibra de la madera de acuerdo con el siguiente esquema,

Condiciona la designación de bordes, según lo consignado en la siguiente figura:

Geometría disposición de conectores

𝑠𝑐 =

164

65 = 130 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛 30

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Desangulación fuerza ejercida por conectores con respecto a la dirección de la fibra del madero 𝛼 = 30° De NCh 1198, Anexo A, Tabla A.1 Lenga ⇒ Agrupamiento ES4 De NCh 1198, sección 9.7.3 Tabla 41 Para un par de conectores anulares Ø66,5, Grupo ES4 y espesor de madero central 50 mm 𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 = 22,8 𝑘𝑁 𝑃𝑐𝑛,𝑎𝑑 = 8,9 𝑘𝑁 De Sección 9.7.4.2 𝛼 = 30° 𝑃30,𝑎𝑑 =

𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗

𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑃𝑛,𝑎𝑑 2 𝑠𝑒𝑛 (30) + 𝑃𝑛,𝑎𝑑

∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (30)

=

22,8 ∗ 8,9 = 16,4 𝑘𝑁 22,8 ∗ 0,52 + 8,9 ∗ 0,8662

Estructura de techo ⇒ 𝐾𝐷 = 1,25 De Sección 9.4.3, Tabla 26 H > 19% durante la fabricación y H 𝑆𝑐 ⟹ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

b) espaciamiento al borde cargado normal a la dirección de la fibra: De Tabla 43 5∗𝛼 5 ∗ 30 + 45 = + 45 = 61,7 𝑚𝑚 9 9 = 55 𝑚𝑚 > 𝑆𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚

𝛼 = 30° ⟹ 𝑆𝑏𝑐𝑛 = 𝑆𝑏𝑐𝑛 > 𝑆𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓

de sección 9.7.5.4, Tabla 45 𝐾𝑠𝑐 = (1 −

𝑠𝑐,𝑒𝑓 − 45 𝛼 𝛼 30 30 55 − 45 )+ ∗ ( )+ ∗ ( ) = 0,955 ) = (1 − 265 265 𝑠𝑐 − 45 265 265 61,7 − 45

c) espaciamiento al borde descargado normal a la dirección de la fibra De Tabla 43 𝑆𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑆𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 ⟹ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0 𝐾𝑠𝑐,𝑚𝑖𝑛 = 0,955 Capacidad de carga de diseño: 𝑃𝑐30,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑐30,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑈𝐻 ∗ 𝐾𝑠𝑐 = 16,4 ∗ 1,25 ∗ 0,8 ∗ 0,955 = 15,66 𝑘𝑁 Maderos tirante: Desangulación fuerza ejercida por conectores con respecto a la dirección de la fibra del madero 𝛼 = 0°. De NCh 1198, sección 9.7.3 Tabla 41 Para un par de conectores anulares Ø66,5, Grupo ES4 y espesor de maderos laterales 38 mm: 𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 = 27,8 𝑘𝑁

Control de espaciamientos, NCh 1198, Tabla 44 Entre conectores: 𝛼 = 0° ⇒ 𝑠𝑐𝑝 = 175 − 𝑠𝑐𝑛 = 90 +

166

85 ∗ 𝛼 85 ∗ 0 = 175 − = 175 𝑚𝑚 60 60

𝛼 0 = 90 + = 90 𝑚𝑚 3 3

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

De NCh 1198, Sección 9.7.5.4, Tabla 45 𝑠𝑐,𝑒𝑓 = 130 𝑚𝑚 < 𝑆𝑐𝑝 𝑠𝑒𝑓 − 90 130 − 90 ⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 0,75 + 0,25 ∗ ( ) = 0,75 + 0,25 ∗ ( ) = 0,868 𝑠𝑐 − 90 175 − 90

Espaciamiento al borde cargado paralelo a la dirección de la fibra 𝑠𝑏𝑐𝑝𝑙,𝑒𝑓 =

55 = 110 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛 30°

Por tratarse de un borde inclinado, este valor debe reducirse, de acuerdo con lo especificado en párrafo 9.7.5.2, 𝐷 66,5 = = 16,6 𝑚𝑚 4 4 Δ𝑠𝑏𝑝 =

16,6 = 28,8 𝑚𝑚 tan 30°

De NCh 1198, Sección 9.7.5.2 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 110 − 28,8 = 81,2 𝑚𝑚

De NCh 1198, sección 9.7.5.4, Tabla 45 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 145 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 81,2 𝑚𝑚 > 𝑠𝑚í𝑛,𝑏𝑐𝑝 = 70 𝑚𝑚 ⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 0,25 + 0,75 ∗

𝑠𝑐,𝑒𝑓 81,2 = 0,25 + 0,75 ∗ = 0,67 𝑠𝑐 145

Espaciamiento al borde descargado normal a la dirección de la fibra 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 ⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0 𝐾𝑠𝑐,𝑚í𝑛 = 0,67

Capacidad de carga de diseño: 𝑃𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑈𝐻 ∗ 𝐾𝑠𝑐 = 27,8 ∗ 1,25 ∗ 0,8 ∗ 0,67 = 18,626 𝑘𝑁 > 𝑃𝑐30,𝑑𝑖𝑠 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

En consecuencia, desde el punto de vista de los conectores de capacidad de carga de diseño de la unión asciende a: 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 15,66 = 31,32 𝑘𝑁

Verificaciones tensionales en la madera Tirantes: La tensión de diseño en tracción paralela de la lenga Grado estructural N°3 con un contenido de humedad H=15% se interpolará entre la condición verde y la seca para el mismo grado. En condición verde la lenga se asigna al Agrupamiento E5 En condición seca la lenga se asigna al Agrupamiento ES4 E5 y Grado 3 ⇒ Clase Estructural F7 ⇒ Ftp = 4,1 MPa ; Fciz =0,72 MPa ES4 y Grado 3 ⇒ Clase Estructural F14 ⇒ Ftp = 8,4 MPa ; Fciz =1,25 MPa Por interpolación, a H=15% le corresponden Ftp = 7,68 MPa ; Fciz =1,16 MPa

De NCh 1198, Sección 7.2.2.3 50 1⁄9 50 1⁄9 𝐾ℎ𝑓 = ( ) =( ) = 0,885 ℎ 150

De NCh 1198, Sección 7.4.3, Tabla 19 𝐾𝑐𝑡 = 0,50

𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝,15% ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 7,68 ∗ 1,25 ∗ 0,855 ∗ 0,5 = 4,25 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑖𝑧,15% ∗ 𝐾𝐷 = 1,16 ∗ 1,25 = 1,45 𝑀𝑃𝑎

Condicionante por área neta: Los conectores Ø66,5 se usan con pernos Ø1/2” Detalles de la unión, 168

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

De Sección 9.7.1, Tabla 39 Diámetro externo conector D: 66,5 mm Altura conector: 19,0 mm Profundidad de colocación en cada madero: 9,5 mm De Tabla 40, Diámetro interior de ranura colocación: 67,5 mm Ancho de ranura: 4,6 mm Diámetro interior de ranura colocación: 67,5 + 2*4,6 =7 6,7 mm Debilitamiento inducido por el conector en cada pieza de madera: 729 mm2

Diámetro de perno, D: 12,7 mm Diámetro agujero de perno, Da: 14 mm

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2 ∗ {𝑏 ∗ (ℎ − 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 ) − ΔA} = 2 ∗ {38 ∗ (150 − 14) − 729} = 8.878 𝑚𝑚2 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 8.878 ∗ 4,25 = 37.734 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Capacidad de desgarro conectores superiores, 𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 : 𝐴𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 + 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑆𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑆𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 110 𝑚𝑚 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = (2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒) ∗ (𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎) ∗ 2 ∗ (𝑠𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 ) 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = (2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒) ∗ (9,5) ∗ 2 ∗ (110) = 4.180 𝑚𝑚2 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 ) − (𝐴𝑟𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟 ) − (𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜 ) 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (2 ∗ 𝑆𝑐𝑟𝑖𝑡 ∗ 𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛 + 𝜋 ∗ ∗

𝜋 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗,𝑝𝑒𝑟𝑛 2 4

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (2 ∗ 110 ∗ 76,7 + 𝜋 ∗

𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛 2 𝜋 ) − 2 ∗ ∗ (𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛 2 − 𝐷𝑖𝑛𝑡,𝑟𝑎𝑛 2 ) − 2 8 4

76,72 𝜋 𝜋 ) − 2 ∗ ∗ (76,72 − 67,52 ) − 2 ∗ ∗ 142 8 4 4

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 19.103 𝑚𝑚2

𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 + 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 4.180 + 19.103 = 23.283 𝑚𝑚2

𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 = 𝑛𝑖 ∗

𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 1,45 ∗ 23.283 =2∗ = 33.808 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 2 2

Condicionante por desgarro del tijeral, según NCh 1198, Anexo T: Control posibilidad de desgarro borde cargado

170

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑊 = 𝑠𝑐,𝑒𝑓 ∗ cos(30°) = 130 ∗ 0,866 = 112,6 𝑚𝑚 𝑎 55 + 65 = = 0,686 ℎ 175 𝐶=

4 𝑎 𝑎 3 4 ∗ √ ∗ (1 − ) = ∗ √0,686 ∗ (1 − 0,686)3 = 0,195 3 ℎ ℎ 3

𝑊𝑒𝑓 = √𝑊 2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √112,62 + (0,195 ∗ 175)2 = 118 𝑚𝑚

Para conectores sobre ambas caras 𝑏𝑒𝑓 = 2 ∗ 50 = 100 𝑚𝑚 ≤ 𝑏 = 50 𝑚𝑚 𝐴𝑒𝑓 = 𝑊𝑒𝑓 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 118 ∗ 50 = 5.880 𝑚𝑚2 < 10.000 𝑚𝑚2 𝐹𝑡𝑛 = 0,32 𝑀𝑃𝑎 𝑓1 (𝑎⁄ℎ) =

1 1 = = 4,269 2 3 1 − 3 ∗ (𝑎⁄ℎ) + 2 ∗ (𝑎⁄ℎ) 1 − 3 ∗ 0,6862 + 2 ∗ 0,6863

𝑓2 (ℎ𝑙 ⁄ℎ𝑖 ) =

𝑛 2 = = 1,653 2 ∑(ℎ𝑙 ⁄ℎ𝑖 ) 1 + (55⁄20)2

Para conectores especiales ⇒ 𝑓3 (𝑀𝑑𝑈) = 1,0 (estimación conservadora por tratarse de un conector “artesanal”)

𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1 (𝑎⁄ℎ) ∗ 𝑓2 (ℎ𝑙 ⁄ℎ𝑖 ) ∗ 𝑓3 (𝑀𝑑𝑈) 𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,32 ∗ 5.880 ∗ 4,269 ∗ 1,653 ∗ 1,0 = 13.277 𝑁 𝑇𝑑𝑖𝑠 =

𝑇𝑛,𝑎𝑑 13.277 = = 26.553 𝑁 < 𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑛 30° 0,5

La carga de diseño de la unión queda condicionada por el área neta de los tirantes y asciende a 26,55 kN.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 25: Uniones de contacto: embarbillado Estime la máxima compresión C que puede traspasar el puntal inclinado, que soporta un sistema de techo, sobre el madero receptor (ambas piezas de Pino radiata C16 con contenido de humedad 15%) para las tres formas de materialización de embarbillados esquematizadas en la figuras a, b y c. Esta última corresponde a un embarbillado de medio talón (corte frontal según plano bisectriz del ángulo de incidencia del puntal).

Solución: Pino radiata Grado C16 con un contenido de húmeda H=15%. De NCh 1198 Sección 5.2.4, Tabla 4b: 𝐹𝑐𝑝,12% = 7,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛,12% = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧,12% = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑡𝑝,12% = 3,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑓,12% = 5,2 𝑀𝑃𝑎

Factores de modificación: Duración de la carga: Por tratarse de cargas de un sistema de techo, de acuerdo con NCh 1198 Anexo G, Sección G3 𝐾𝐷 = 1,25 172

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Contenido de humedad: H=15% 𝐾𝐻,𝑓 = 𝐾𝐻,𝑡𝑝 = 𝐾𝐻,𝑐𝑝 =

1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻 1,75 − 0,0333 ∗ 15 = = 0,926 1,35 1,35

2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻 2,75 − 0,0833 ∗ 15 = = 0,857 1,75 1,75

𝐾𝐻,𝑐𝑛 = 1,0 𝐾𝐻,𝑐𝑧 =

1,33 − 0,0176 ∗ 𝐻 1,33 − 0,0167 ∗ 15 = = 0,955 1,13 1,13

FM por altura: 5

𝐾ℎ = √

5 90 90 =√ = 0,915 ℎ − 𝑡𝑣 185 − 45

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,5 ∗ 1,25 ∗ 0,857 = 8,04 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 = 2,5 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,955 = 1,31 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 3,5 ∗ 1,25 ∗ 0,926 ∗ 0,915 = 3,71 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 5,2 ∗ 1,25 ∗ 0,926 ∗ 0,915 = 5,51 𝑀𝑃𝑎 Las tensiones de diseño para las superficies de talón frontal se calcularán respetando la indicación de Sección 7.3.4.2 de NCh 1198, que limita las componentes paralelas a la dirección de la fibra de las tensiones de aplastamiento en uniones de contacto al 75% de 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 . 𝐹𝑐,40°

∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 0,75 ∗ 8,04 ∗ 2,5 = ∗ = 2 2 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (40°) + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (40) 0,75 ∗ 8,04 ∗ 0,413 + 2,5 ∗ 0,587

= 3,81 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐,20° =

∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 0,75 ∗ 8,04 ∗ 2,5 = ∗ 2 2 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (20°) + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (20) 0,75 ∗ 8,04 ∗ 0,117 + 2,5 ∗ 0,883

= 5,17 𝑀𝑃𝑎 En los tres casos la profundidad de rebaje tr respeta la condición de NCh 1198 Sección ℎ

9.10.2.2, dado que 𝛼 = 40° < 50° y 𝑡𝑟,𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 < 4 =

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185 4

= 46,3 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Caso a) La desangulación de la fuerza normal, N, de 40° con respecto a la dirección de la fibra del puntal diagonal condiciona la capacidad de carga de la unión. 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 𝑡𝑟 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,40° = 45 ∗ 41 ∗ 3,81 = 7.026 𝑁 𝐶𝑑𝑖𝑠 =

𝑁𝑑𝑖𝑠 7.026 = = 9.171 𝑁 cos(40°) 0,766

Control del cizalle en el saliente 𝐿𝑠 = 200 𝑚𝑚 ⇒ 𝑓𝑐𝑧 =

𝑁𝑑𝑖𝑠 7.029 = = 0,86 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 𝑏 ∗ 𝐿𝑠 41 ∗ 200

Control de la interacción de la tracción y la flexión en la sección crítica 𝑇 = 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 7.029 𝑁 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑏 ∗ (ℎ − 𝑡𝑟 ) = 41 ∗ (185 − 45) = 5.740 𝑚𝑚2 𝑇

𝑓𝑡 =

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎

𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 =

=

7.029 = 1,22 𝑀𝑃𝑎 5.740

𝑏 ∗ (ℎ − 𝑡𝑣 )2 41 ∗ (185 − 45)2 = = 133.933 𝑚𝑚3 6 6

Excentricidad, 𝑒=

ℎ − (ℎ − 𝑡𝑟 ) 185 − (185 − 45) = = 22,5 𝑚𝑚 2 2

𝑀 = 𝑇 ∗ 𝑒 = 7.026 ∗ 22,5 = 158.078 𝑁 ∗ 𝑚𝑚 𝑓𝑓 =

𝑀 158.078 = = 1,18 𝑀𝑃𝑎 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 133.933

Control de interacción en sección transversal crítica: 𝑓𝑡 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠

+

𝑓𝑓 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

=

1,22 1,18 + = 0,330 + 0,214 = 0,544 < 1,0 3,71 5,51

Se obviará este control en los restantes casos 174

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Caso b) La desangulación de la fuerza normal, N, de 40° con respecto a la dirección de la fibra de la pieza receptora condiciona la capacidad de carga de la unión 𝑁𝑑𝑖𝑠 = (

𝑡𝑟 45 ) ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,40° = ( ) ∗ 41 ∗ 3,81 = 9.171 𝑁 cos(20°) 0,766

𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 9.171 𝑁 𝐿𝑠,𝑒𝑓 = 𝐿𝑠 + 𝑡𝑟 ∗ 𝑡𝑎𝑛(40°) = 200 + 45 ∗ 0,839 = 238 𝑚𝑚 𝑓𝑐𝑧 =

𝐶𝑑𝑖𝑠 ∗ cos(40°) 9.171 ∗ 0,766 = = 0,72 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 𝑏 ∗ 𝐿𝑠,𝑒𝑓 41 ∗ 238

Caso c) Embarbillado de medio talón El talón frontal se ejecuta según el plano correspondiente a la bisectriz del complemento del ángulo de incidencia del puntal, 𝛾 =

180°−40° 2

= 70°, con respecto a la dirección horizontal. En

estas condiciones la desangulación de la fuerza normal con respecto a la dirección de la fibra de ambos maderos se iguala y asciende a 20°.

𝑁𝑑𝑖𝑠 = ( 𝐶𝑑𝑖𝑠 =

𝑡𝑟 45 ) ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,20° = ( ) ∗ 41 ∗ 5,17 = 10.159 𝑁 cos(20°) 0,94

𝑁𝑑𝑖𝑠 10.159 = = 10.812 𝑁 cos(20°) 0,94

𝐿𝑠,𝑒𝑓 = 𝐿𝑠 + 𝑡𝑟 ∗ 𝑡𝑎𝑛(20°) = 200 + 45 ∗ 0,364 = 216 𝑚𝑚 𝑓𝑐𝑧 =

𝐶𝑑𝑖𝑠 ∗cos(20°) 𝑏∗𝐿𝑠,𝑒𝑓

=

10.812∗0,94 41∗216

= 1,15 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 26: Unión de embarbillado en tracción Determinar la máxima fuerza de tracción que puede resistir la unión de embarbillados esquematizada en la figura. Las piezas de madera laminada encolada de Pino radiata fabricadas con láminas Grado B se encuentran en condición seca al aire en un clima normal. El estado de cargas condicionante del diseño tiene una duración acumulada de 10 años durante la vida útil de la estructura.

NOTA: las dimensiones se indican en mm

Solución: Madera laminada encolada de Pino radiata con láminas grado B. De acuerdo con NCh 2165 𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎∗ 𝐹𝑡𝑝 = 3,15 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎∗ (Los valores con asterisco son levemente menores a los especificados en NCh 2165)

La eficiencia óptima de los embarbillados de medio talón se alcanza cuando la inclinación del plano de talón frontal de los puntales con respecto al madero vertical receptor se materializa según la bisectriz del complemento del ángulo de incidencia, esto es, según un ángulo 𝛾=

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180 − 𝛼 180 − 45 = = 67,5° 2 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Para esta condición la desangulación de la fuerza normal al plano de contacto del talón frontal con respecto a la dirección fibra madero de ambos maderos se iguala y tiene un valor 𝛿 = 90 − 67,5 = 22,5°

Las tensiones de diseño para las superficies de talón frontal se calcularán respetando la indicación de Sección 7.3.4.2 de NCh 1198, que limita las componentes paralelas a la dirección de la fibra de las tensiones de aplastamiento en uniones de contacto al 75% de 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 𝐹𝑐,22,5° =

0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐹𝑐𝑛 0,75 ∗ 6,5 ∗ 2,5 = 0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 22,5 + 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 22,5 0,75 ∗ 6,5 ∗ 0,3832 + 2,5 ∗ 0,9242 = 4,28 𝑀𝑃𝑎

La profundidad de los rebajes 𝑡𝑟 respeta la condición de NCh 1198 Sección 9.10.2.2, dado que existiendo incidencia de barras desde lados opuestos al madero rebajado 𝑡𝑟,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 <

ℎ 225 = = 37,5 𝑚𝑚 6 6

De acuerdo con NCh 1198, sección 9.10.2.1 a) la capacidad de carga embarbillados: 𝑃𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 =

𝑡𝑟 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,22,5° 35 ∗ 65 ∗ 4,28 = = 11.409 𝑁 𝑐𝑜𝑠 2 𝛿 0,9242

Planteando la condición de equilibrio estático según la dirección vertical resulta 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 = 2 ∗ 𝑃𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 ∗ cos(𝛼) = 2 ∗ 11.409 ∗ 0,707 = 16.134 𝑁

Capacidad de carga de los salientes: 𝑙𝑠 = 150 + 𝑡𝑣 ∗ tan(𝛿) = 150 + 35 ∗ tan(22,5°) = 164,5 𝑚𝑚 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1 ∗ 1 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑙𝑠 = 2 ∗ 𝑙𝑠 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 164,5 ∗ 65 ∗ 1,1 = 23.530 𝑁

Capacidad de carga pendolón como elemento traccionado: 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = (𝑏 − 𝑑𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 ) ∗ (ℎ − 2 ∗ 𝑡𝑟 ) = (65 − 14) ∗ (225 − 2 ∗ 35) = 7.905 𝑚𝑚2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑡𝑝 = 3,15 𝑀𝑃𝑎 𝐾𝐷 = 1 𝐾ℎ = 1 5 5 90 90 𝐾𝐻 = √ =√ = 0,897 ℎ − 2 ∗ 𝑡𝑟 225 − 2 ∗ 35

𝐾𝑐𝑡 = 0,7

𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 3,15 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,897 ∗ 0,7 = 1,98 𝑀𝑃𝑎 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝐹𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7.905 ∗ 1,98 = 15.639 𝑁

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝑀í𝑛(𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 ; 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑙𝑠 ; 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 ) = 𝑀í𝑛(16.134; 23.530; 15.639) = 15.639 𝑁 La capacidad de carga de diseño de la unión asciende a 15,6 kN.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 27: Diseño de sistema de techo con vigas rectas de madera laminada Diseño de un sistema de vigas de techo rectas de madera laminada encolada de Pino radiata que cubre una luz de 15 m y debe resistir una carga de peso propio de 3 kN/m y una sobrecarga de servicio de 3 kN/m. Las condiciones de servicio corresponden a un clima normal, que determina una humedad de equilibrio higroscópico no superior a 15 % para la madera. Las vigas se fabrican combinando láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura de la pieza y láminas Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales. Las vigas sirven de apoyo a una disposición regular de costaneras, espaciada cada 2,50 m y vinculadas a un sistema arriostrante, que apoyan a su vez lateralmente el borde superior de las vigas. En los extremos las vigas se apoyan sobre soleras de escuadría 41*135 mm ancladas a los muros del recinto. Para asegurar un buen comportamiento al fuego se considera un espesor de al menos 135 mm.

Solución: Cálculo de solicitaciones. 𝑞𝑡𝑜𝑡 = 𝑞𝑝𝑝 + 𝑞𝑠𝑐 = 3 + 3 = 6 𝑘𝑁⁄𝑚 = 6 𝑁⁄𝑚𝑚 𝑀𝑚á𝑥 =

𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙 2 6 ∗ 15.0002 = = 168.750.000 𝑁 ∗ 𝑚𝑚 8 8

𝑄𝑚á𝑥 =

𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙 6 ∗ 15.000 = = 45.000 𝑁 2 2

La derivación de la tensión de diseño de flexión de la madera laminada requiere conocer, aparte de las características de las láminas constituyentes, la naturaleza de las solicitaciones, las condiciones de servicio, las condiciones de apoyo lateral del borde flexo comprimido, y otros parámetros geométricos que se pueden definir una vez establecidas las dimensiones de la viga. Para un primer dimensionamiento tentativo es necesario estimar cuantitativamente estos efectos y una vez definidas las dimensiones de la sección transversal se debe comprobar la calidad de las estimaciones.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Diseño tentativo: De las condiciones del problema: Componente de estructura de techo: NCh 1198, Anexo G ⇒ 𝐾𝐷 = 1,25 Contenido de humedad ≤ 15 % NCh 2165 ⇒ 𝐾𝐻 = 1,00 Se asumirá un factor de modificación por volumen 𝐾𝑉 = 0,85 , que cubre además el efecto del volcamiento del borde flexo comprimido.

De Anexo C, para vigas híbridas de altura superior a 375 mm 𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑖𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1,0 ∗ 0,85 = 8,29 𝑀𝑃𝑎

Definiendo 𝑏 = 𝑏𝑚í𝑛 = 135 𝑚𝑚 𝑀

𝑊𝑟𝑒𝑞 = 𝐹 𝑚á𝑥 = 𝑓,𝑑𝑖𝑠

ℎ𝑟𝑒𝑞 = √

168.750.000 8,29

= 20.361.991 𝑚𝑚3

𝑊𝑟𝑒𝑞 ∗ 6 20.361.991 ∗ 6 =√ = 951 𝑚𝑚 𝑏 135

Se define la sección 135*980 mm: 𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 135 ∗ 980 = 132.000 𝑚𝑚2 𝑏 ∗ ℎ2 135 ∗ 9802 𝑊= = = 21.609.000 𝑚𝑚3 6 6 𝐼=

180

𝑏 ∗ ℎ3 135 ∗ 9803 = = 10.588.410.000 𝑚𝑚4 12 12

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificaciones: a. Tensiones de flexión Factor de modificación por volcamiento: 𝑙𝑎 = 2,5 𝑚 = 2.500 𝑚𝑚 𝑙𝑎 2.500 = = 2,55 < 7 ℎ 980

De NCh 1198, Sección 7.2.1.9, Tabla 10 𝑙𝑣 = 2,06 ∗ 𝑙𝑎 = 2,06 ∗ 2.500 = 5.150 𝑚𝑚

De NCh 1198, Sección 7.2.1.8 𝑙𝑣 ∗ ℎ 5.150 ∗ 980 𝜆𝑣 = √ 2 = √ = 16,6 𝑏 1352

Para efectos de volcamiento se debe considerar el módulo de elasticidad en laminación vertical. De Anexo C, para vigas híbridas 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,00 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1,00 = 9,75 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑓,𝐸 =

𝐶𝑓𝐸 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 0,61 ∗ 7.700 = = 17 𝑀𝑃𝑎 16,62 𝜆2𝑣

𝐹𝑓,𝐸 17 = = 1,74 ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 9,75 1+( 𝐾𝜆𝑣 =

𝐾𝜆𝑣

𝐹𝑓,𝐸 ) ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

1,9

2 ∗ ∗ 1 + 𝐹𝑓,𝐸 ⁄𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 (𝐹𝑓,𝐸 ⁄𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 ) √ − [ ] − 1,9 0,95

1 + 1,74 1 + 1,74 2 1,74 √ = − [ = 0,944 ] − 1,9 1,9 0,95

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Factor de modificación por volumen: De NCh 1198, Sección 10.3.1.4 6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 𝐾𝑣 = ( ) ∗( ) ∗( ) 𝐿 ℎ 𝑏 𝐾𝑣 = ( 𝑓𝑓 =

6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 ) ∗( ) ∗( ) = 0,816 (𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜) 15 980 135

𝑀𝑚á𝑥 168.750.000 = = 7,81 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 𝑊 21.609.000

b. Deformaciones 𝛿𝑚á𝑥 =

5 𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙 4 5 6 ∗ 15.0004 𝑙 ∗ = ∗ = 42 𝑚𝑚 ≈ 384 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 384 9.000 ∗ 10.588.410.000 360

Se especifica una contraflecha de desarrollo gradual con un máximo de 1,5 ∗ 𝛿𝑝𝑝 . Dado que: 𝛿𝑝𝑝 = 0,5 ∗ 𝛿𝑚á𝑥 Contraflecha máxima: 1,5*0,5*42≈ 32 mm.

c. Corte 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑖𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 1,38 𝑀𝑃𝑎 1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥 1,5 ∗ 45.000 = = 0,51 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 𝐴 132.300

d. Aplastamiento Se respeta una distancia de 150 mm desde el borde de la zona aplastada hasta el extremo de la viga 𝑙𝑎𝑝 = 135 𝑚𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

De NCh 1198, Sección 7.5.3.2 1⁄4

𝐾𝑐𝑛

150 =( ) 𝑙𝑎𝑝

150 1 =( ) 135

⁄4

= 1,03

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,00 ∗ 1,03 = 2,57 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐𝑛 =

𝑉 45.000 = = 2,47 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 𝑏 ∗ 𝑙𝑎𝑝 135 ∗ 135

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 28: Sistema de techo a dos aguas con vigas de madera laminada de canto inferior recto Un sistema de techo consistente de vigas de madera laminada encolada (MLE) de Pino radiata, de espesor 185 mm, dispuestas cada 6 m y cubre una distancia libre entre apoyos, L, de 19 m. Las vigas son rectas con borde superior inclinado (pendiente: 8,75 %) a dos aguas simétricas y borde inferior recto y apoyan costaneras dispuestas cada 2,40 m (en planta), también de MLE de pino radiata. La base de cubierta de techo se materializa con tableros contrachapados que estabilizan lateralmente los cantos superiores de las vigas. Las vigas de techo se dimensionarán asumiendo un armado de calidad híbrida: uso de láminas Grado A, en los sextos externos de la altura de sección transversal, y láminas Grado B en el interior, verificándose que las tensiones de trabajo en las zonas críticas de cada pieza no excedan las tensiones de diseño y que el descenso máximo, 𝛿, no sobrepase el límite L/240. Como parte de la ingeniería de detalle se estimarán la longitud de aplastamiento requerida en los apoyos, la contraflecha de fabricación, equivalente a la flecha debido al peso propio, y el desplazamiento horizontal del apoyo móvil.

Datos: Peso propio cubierta

: 0,26 kN/m2

(s.d.t.)

Peso propio costaneras+cadenetas

: 0,09 kN/m2

(s.d.t.)

Peso propio vigas (estimado)

: 0,15 kN/m2

(s.d.t.)

Sobrecarga de servicio

: 0,40 kN/m2

(s.p.h.)

NOTA: (s.d.t ): Superficie en el plano del techo (s.p.h): Superficie de proyección horizontal

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Solución: Determinación ángulo de inclinación: 𝑡𝑎𝑛−1 (0,0875) = 5°

Estimación de solicitaciones: Peso propio + Sobrecarga Cubierta:

0,26 kN/m2

(s.d.t)

Costaneras+cadenetas

0,09 kN/m2

(s.d.t)

Sub total

0,35 kN/m2

(s.d.t) =0,35/cos(5°) =0,351 kN/m2 (s.p.h)

Vigas (estimado)

0,15 kN/m2

(s.p.h)

Total peso propio

0,501 kN/m2

(s.p.h)

Sobrecarga

0,40 kN/m2

(s.p.h)

Densidad de carga de diseño

0,901 kN/m2

(s.p.h)

D = 6,0 m ⇒ 𝑞𝑑𝑖𝑠 = 0,901 ∗ 6,0 = 5,408 𝑘𝑁⁄𝑚

Para madera laminada encolada de armado híbrido, de anexo C: 𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑡𝑛 = 0,1 𝑀𝑃𝑎

Por incorporar el estado de carga condicionante del diseño sobrecarga de servicio de techo 𝐾𝐷 = 1,25 𝐾𝑐𝑛 = 1,0 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =

(Hipótesis conservadora) 𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿 5,408 ∗ 19 = = 51,376 𝑘𝑁 2 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑀𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿2 5,408 ∗ 192 = = 244,037 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 8 8

𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎 ℎ𝐴,𝑟𝑒𝑞 =

1,5 ∗ 𝑉𝐴 1,5 ∗ 51.376 = = 302 𝑚𝑚 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 185 ∗ 1,375

Sea ℎ𝑎 = 450 𝑚𝑚

Longitud de apoyo requerida: Se especifica una saliente de 120 mm del extremo de la viga más allá del borde de la placa de apoyo 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐿𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 =

𝑉𝐴 51.376 = = 111 𝑚𝑚 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 185 ∗ 2,5

Sea 𝐿𝑎𝑝 = 160 𝑚𝑚

Altura máxima de viga ℎ𝑚 = ℎ𝐴 + tan(𝜙) ∗ 𝐿⁄2 = 450 + tan(5°) ∗ (19 ∗ 1.000⁄2) = 1.281 𝑚𝑚

Ubicación de la tensión de flexión máxima 𝑥𝑓,𝑚á𝑥 =

𝐿 ∗ ℎ𝐴 19 ∗ 450 = = 3,337 𝑚 2 ∗ ℎ𝑚 2 ∗ 1.281

𝑀𝑓𝑓.𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓,𝑚á𝑥 5,408 ∗ 3,337 ∗ (𝐿 − 𝑥𝑓,𝑚á𝑥 ) = ∗ (19 − 3,337) = 141,318 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2 2

ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑎 ∗ (2 − 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

186

6 ∗ 𝑀𝑓,𝑚á𝑥 𝑏 ∗ ℎ𝑥2𝑓,𝑚á𝑥

ℎ𝑎 450 ) = 450 ∗ (2 − ) = 742 𝑚𝑚 ℎ𝑚 1.281

=

6 ∗ 141,318 ∗ 106 = 8,33 𝑀𝑃𝑎 185 ∗ 7422

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Tensiones adicionales en el borde inclinado según NCh 1198, Sección 10.7.1.6 𝑓𝑐𝑧 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan(𝜙) = 8,33 ∗ tan(5°) = 0,729 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐𝑛 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙) = 8,33 ∗ tan2 (5°) = 0,064 𝑀𝑃𝑎

Control interacción tensional borde inclinado: Tensión admisible de flexión en el borde comprimido. 𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎 𝐾𝐻 = 1,0

(H < 15 %)

𝐾𝜆𝑣 = 1,0

(Volcamiento impedido por diafragma de techo)

Tensión de diseño en el borde flexo comprimido 𝐹𝑓𝑣 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆𝑣 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑓

2

𝑓𝑐𝑛

2

2

𝑓𝑐𝑧 ( ) +( ) +( ) ≤ 1,0 𝐹𝑓𝑣,𝑑𝑖𝑠 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 2,66 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 2 8,33 2 0,064 2 0,729 ( ) +( ) +( ) = 0,77 < 1,0 9,75 2,5 2,66 ∗ 1,375

En el borde flexo traccionado, de acuerdo con NCH 1198, sección 10.3.1.4 6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 𝐾𝑣 = ( ) ∗( ) ∗( ) 𝐿 ℎ 𝑏 𝐾𝑣 = (

6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1 ) ∗( ) ∗( ) 19,0 742 185

⁄10

= 0,794

𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,794 = 7,74 𝑀𝑃𝑎

Como consecuencia de la inclinación del borde superior de la viga la tensión de flexión en el borde inferior recto se incrementa con respecto a la expresión de Navier, efecto que se incorpora por medio de la aplicación del factor de amplificación tensional 𝐾𝑓 . Se aplicará el factor que se define para estos efectos en la norma alemana DIN 1052, que constituye uno de los principales referentes de NCh 1198, pero que se omitió en la actual redacción de la norma nacional, y que probablemente se incorpore en la próxima redacción. I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐾𝑓 = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙) = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (5°) = 1,031 𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 8,33 ∗ 1,031 = 8,58 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,74 𝑀𝑃𝑎

No verifica

Se incrementa la altura en el apoyo a 500 mm: ℎ𝐴 = 500 𝑚𝑚 ℎ𝑚 = ℎ𝐴 + tan(∅) ∗ 𝑙 ⁄2 = 500 + tan(5) ∗ 19.000⁄2 = 1.331 𝑚𝑚 𝑥𝑓,𝑚á𝑥 =

𝐿 ∗ ℎ𝐴 19 ∗ 500 = = 3,57 𝑚 2 ∗ ℎ𝑚 2 ∗ 1.331

𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓,𝑚á𝑥 5,408 ∗ 3,57 ∗ (𝐿 − 𝑥𝑓.𝑚á𝑥 ) = ∗ (19 − 3,57) = 148,889 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2 2

ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑎 ∗ (2 − 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

ℎ𝑎 500 ) = 500 ∗ (2 − ) = 812 𝑚𝑚 ℎ𝑚 1.331

6 ∗ 𝑀𝑓,𝑚á𝑥 6 ∗ 148,889 ∗ 106 = = 7,32 𝑀𝑃𝑎 185 ∗ 8122 𝑏 ∗ ℎ𝑥2𝑓,𝑚á𝑥

Se verificará solamente el borde recto flexo traccionado: 𝐾𝑣 = (

6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 ) ∗( ) ∗( ) 𝐿 ℎ 𝑏

𝐾𝑣 = (

6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 ) ∗( ) ∗( ) = 0,787 19 812 185

𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,787 = 7,67 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 7,32 ∗ 1,031 = 7,54 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,67 𝑀𝑃𝑎 Verifica

Verificación tensional a mitad de luz 𝑓𝑓 =

188

6 ∗ 𝑀𝑚á𝑥 6 ∗ 244,037 ∗ 106 = 4,47 𝑀𝑃𝑎 2 = 185 ∗ 1.331 𝑏 ∗ ℎ𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Borde flexotraccionado 𝑘𝜃 = 1 + 1,4 ∗ tan(∅) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (∅) = 1 + 1,4 ∗ tan(5) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (5) = 1,164

𝑓𝑓𝑡 = 𝑘𝜃 ∗ 𝑓𝑓 = 1,164 ∗ 4,47 = 5,20 𝑀𝑃𝑎 ℎ𝑝𝑟𝑜𝑚 = ℎ𝐴 + ℎ𝑚 = 0,5 ∗ (720 + 1.331) = 915,5 𝑚𝑚 𝐾𝑣 = (

6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 ) ∗( ) ∗( ) = 0,777 19 915,5 185

𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,777 = 7,58 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑓𝑡

Tracciones normales en el plano del eje neutro 𝑘𝑟 = 0,2 ∗ tan(∅) = 0,2 ∗ tan(5°) = 0,0175 𝑓𝑡𝑛 = 𝑓𝑓 ∗ 𝑘𝑟 = 4,47 ∗ 0,0175 = 0,078 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎

Control flecha 𝑔 0,51 = = 0,556 > 0,5 𝑞𝑑𝑖𝑠 0,91 NCh 1198, Sección 7.2.4.11 ⇒ Se debe considerar efecto del creep 𝑘𝑝 =

3 𝑔 3 − = − 0,556 = 0,944 2 𝑞𝑑𝑖𝑠 2

⇒ 𝜌=

1 1 −1= − 1 = 0,06 𝑘𝜌 0,944

𝛿𝑓,𝑓 = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 𝜌 ∗

𝑔 ) = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 0,06 ∗ 0,556) = 1,033 ∗ 𝛿𝑓,0 𝑞𝑑𝑖𝑠

𝛿𝑄,𝑓 = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 𝜌 ∗

𝑔 ) = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 0,06 ∗ 0,556) = 1,066 ∗ 𝛿𝑄,0 𝑞𝑑𝑖𝑠

𝐴𝑎 = 𝑏 ∗ ℎ𝑎 = 185 ∗ 500 = 92.500 𝑚𝑚2 𝐼𝑎 =

𝑏 ∗ ℎ𝑎3 185 ∗ 5003 = = 1.927.083.333 𝑚𝑚4 12 12

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑘𝑓 =

𝛿𝑓 =

𝑘𝑞 =

𝛿𝑞 =

ℎ 3 ( 𝑎) ℎ𝑚 0,15 + 0,85 ∗ (

ℎ𝑎 ) ℎ𝑚

=

500 3 (1.331)

500 0,15 + 0,85 ∗ (1.331)

= 0,113

5 𝑞 ∗ 𝐿4 5 5,408 ∗ 19.0004 ∗ ∗ 𝑘𝑓 = ∗ ∗ 0,113 = 59,7 𝑚𝑚 384 𝐸 ∗ 𝐼𝑎 584 9.000 ∗ 1.927.083.333

2 2⁄ 3

ℎ 1 + ( 𝑚) ℎ𝑎

=

2 2⁄ 3

1.331 1+( ) 500

= 0,685

1,2 ∗ 𝑀𝑚á𝑥 1,2 ∗ 244,037 ∗ 106 ∗ 𝑘𝑞 = ∗ 0,685 = 3,7 𝑚𝑚 𝐺 ∗ 𝐴𝐴 0,065 ∗ 9.000 ∗ 92.500

Deformación total, incorporando efecto de creep: 𝛿𝑡𝑜𝑡 = 1,033 ∗ 𝛿𝑜,𝑓 + 1,066 ∗ 𝛿𝑜,𝑞 = 1,033 ∗ 59,7 + 1,066 ∗ 3,7 = 65,7 𝑚𝑚 𝛿𝑎𝑑 =

𝐿 19.000 = = 79,2 𝑚𝑚 > 𝛿𝑓,𝑡𝑜𝑡 240 240

Componente de flecha inducida por peso propio 𝛿𝑔 = 𝛿𝑓 ∗

𝑔 = 65,7 ∗ 0,556 = 36,5 𝑚𝑚 𝑞𝑑𝑖𝑠

Se recomienda especificar contraflecha de 40 mm, que corresponde aproximadamente a la magnitud de la flecha por concepto de peso propio, para evitar un impacto visual desagradable del rasgo inferior de las vigas en el largo plazo.

Desplazamiento horizontal del apoyo móvil. ℎ1 =

ℎ𝑎 500 = = 250 𝑚𝑚 2 2

ℎ2 =

ℎ𝑚 1.331 = = 666 𝑚𝑚 2 2

𝛿𝐻,𝐵 ≈

190

4 ∗ (ℎ2 − 1,6 ∗ ℎ1 ) 4 ∗ (666 + 1,6 ∗ 250) ∗ 𝛿𝑓 = ∗ 65,7 = 14,7 𝑚𝑚 𝐿 19.000

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación hipótesis de peso propio del sistema de vigas Densidad normal del Pino radiata 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 476 𝑘𝑔⁄𝑚3 Asumiendo un coeficiente de variación 0,10 y una distribución de densidades obedeciendo a un patrón gaussiano normal 𝜌12,𝑝95% = 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ (1 + 0,1645) = 476 ∗ 1,1645 = 555 𝑘𝑔⁄𝑚3

Incrementando este valor en un 5% para incluir el peso de herrajes y medios de unión 𝜌12,𝑑𝑖𝑠 = 1,05 ∗ 554 = 582 𝑘𝑔⁄𝑚3

Volumen viga: 𝑏 ∗ 0,5 ∗ (ℎ𝑎 + ℎ𝑚 ) ∗ 𝑙 = 0,185 ∗ 0,5 ∗ (0,5 + 1,331) ∗ 19 = 3,218 𝑚3 Área tributaria: 𝐷 ∗ 𝑙 = 6 ∗ 19 = 114 𝑚2

𝑞𝑒𝑞 =

𝑉 ∗ 𝜌12,𝑑𝑖𝑠 3,218 ∗ 582 = = 16,4 𝑘𝑔⁄𝑚2 ≈ 𝑞𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0,15 𝑘𝑁⁄𝑚2 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏 114

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 29: Sistema de techo a dos aguas simétrico con vigas de madera laminada con bordes inclinados Un sistema de techo consiste de piezas de madera laminada encolada (MLE) de Pino radiata, de espesor 185 mm, dispuestas cada 6 m y cubre una distancia libre entre apoyos, L, de 19 m. Las vigas son rectas a dos aguas simétricas con bordes superior e inferior inclinados (inclinaciones 17,6 % y 8,7 %, respectivamente) con una transición circular central de 5 m en el borde inferior. Las vigas apoyan costaneras dispuestas cada 2,40 m (en planta), también de MLE de pino radiata, que se encuentran vinculadas a sistemas arriostrantes en el plano de techo. Las vigas de techo se dimensionarán asumiendo un armado de calidad híbrida: uso de láminas Grado A, en los sextos externos de la altura de sección transversal, y láminas Grado B en el interior, verificándose que las tensiones de trabajo en las zonas críticas de cada pieza no excedan las tensiones de diseño y que el descenso máximo, no sobrepase el límite L/240. Como parte de la ingeniería de detalle se estimarán la longitud de aplastamiento requerida en los apoyos, la contraflecha de fabricación, equivalente a la flecha debido al peso propio, y el desplazamiento horizontal del apoyo móvil. Datos:

192

Peso propio cubierta

: 0,26 kN/m2

(s.d.t.)

Peso propio costaneras

: 0,05 kN/m2

(s.d.t.)

Peso propio vigas (estimado)

: 0,16 kN/m2

(s.d.t.)

Sobrecarga de servicio

: 0,40 kN/m2

(s.p.h.)

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Solución. Estimación de solicitaciones: Peso propio + sobrecarga Cubierta:

0,26 kN/m2

(s.d.t)

Costaneras

0,05 kN/m2

(s.d.t)

Vigas (estimado)

0,16 kN/m2

(s.d.t)

Total peso propio

0,47 kN/m2

(s.d.t) = 0,47/cos(10) =0,477 kN/m2 (s.p.h)

Sobrecarga

0,40 kN/m2

(s.p.h)

Densidad de carga de diseño

0,877 kN/m2

(s.p.h)

𝐷 = 6,0 𝑚 ⇒ 𝑞 = 0,877 ∗ 6,0 = 5,264 𝑘𝑁⁄𝑚 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 𝑀𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿 5,264 ∗ 19 = = 50,003 𝑘𝑁 2 2

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿2 5,264 ∗ 192 = = 237,516 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 8 8

Altura requerida en apoyos 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎 ℎ𝐴,𝑟𝑒𝑞 =

1,5 ∗ 𝑉𝐴 1,5 ∗ 50,003 ∗ 103 = = 295 𝑚𝑚 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 185 ∗ 1,375

Sea ℎ𝐴 = 350 𝑚𝑚

Longitud de apoyos requerida: Se define una separación de 120 mm entre el extremo de las vigas y el borde de la superficie de apoyo. 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝑙𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 =

𝑉𝐴 49,59 ∗ 103 = = 107 𝑚𝑚 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 185 ∗ 2,5

Por razones constructivas se define 𝑙𝑎𝑝 = 185 𝑚𝑚 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑐 = 5,00 𝑚 ⇒ 𝑅 =

𝑐 5 = = 28,684 𝑚 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛿) 2 ∗ 0,087

ℎ1 = ℎ𝐴 + 0,5 ∗ 𝐿 ∗ (𝑡𝑎𝑛(𝛾) − 𝑡𝑎𝑛(𝛿)) = 350 + 0,5 ∗ 19 ∗ 103 ∗ (𝑡𝑎𝑛(10°) − 𝑡𝑎𝑛(5°)) = 1.194 𝑚𝑚 ℎ𝑚 = ℎ1 + 0,5 ∗ 𝑐 ∗ tan(𝛿) − 𝑅 ∗ (1 − cos(𝛿)) ℎ𝑚 = 1.194 + 0,5 ∗ 5 ∗ 103 ∗ tan(5°) − 28,684 ∗ 103 ∗ (1 − cos(5°)) = 1.304 𝑚𝑚 𝑅𝑚 = 𝑅 + 0,5 ∗ ℎ𝑚 = 26,684 ∗ 103 + 0,5 ∗ 1.304 = 29.336 𝑚𝑚 ℎ𝐴 ∗ 𝐿 350 ∗ 19 = = 2,785 𝑚 2 ∗ ℎ1 2 ∗ 1.194

𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 = 𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 2

∗ (𝐿 − 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ) =

5,264 ∗ 2,785 ∗ (19 − 2,785) = 118,841 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2

De acuerdo con NCh 1198, Sección 10.7.1.2 𝜙 = 𝛾 − 𝛿 = 10° − 5° = 5° ℎ𝑥∗ 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝐴 + 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ (tan(𝜙)) = 350 + 2,785 ∗ 103 ∗ tan(5°) = 597 𝑚𝑚 ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑥∗ 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ cos(𝜙) = 597 cos([10 + 5]/2) = 592 𝑚𝑚

𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

𝑏 ∗ ℎ2 185 ∗ 5922 = = 10.816.554 𝑚𝑚4 6 6

𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥 𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥

=

118,841 ∗ 106 = 11 𝑀𝑃𝑎 10.816.554

Este valor excede considerablemente la tensión de diseño en flexión. Se incrementa la altura en el apoyo A en 140 mm, por lo que ℎ𝐴 = 490 𝑚𝑚 194

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Consecuentemente las alturas ℎ1 y ℎ𝑚 se incrementan también en 140 mm, por lo que ℎ1 = 1.194 + 140 = 1.334 𝑚𝑚 ℎ𝑚 = 1.304 + 140 = 1.444 𝑚𝑚 𝑅𝑚 = 𝑅 + 0,5 ∗ ℎ𝑚 = 26,684 ∗ 103 + 0,5 ∗ 1.444 = 29.406 𝑚𝑚 ℎ𝐴 ∗ 𝐿 490 ∗ 19 = = 3,49 𝑚 2 ∗ ℎ1 2 ∗ 1.334

𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 = 𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 2

∗ (𝐿 − 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ) =

3,49 ∗ 2,785 ∗ (19 − 3,49) = 142,444 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2

ℎ𝑥∗ 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝐴 + 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ (tan(𝜙)) = 490 + 3,49 ∗ 103 ∗ tan(5°) = 800 𝑚𝑚 ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑥∗ 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ cos(𝜙) = 800 cos([10 + 5]/2) = 793 𝑚𝑚 𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

𝑏 ∗ ℎ2 185 ∗ 7932 = = 19.397.626 𝑚𝑚4 6 6

𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥 𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥

=

142,444 ∗ 106 = 7,34 𝑀𝑃𝑎 19.397.626

De NCh 1198, Sección 10.7.1.6, tensiones adicionales en el borde inclinado. De acuerdo con NCh 1198, Sección 10.7.1.2 𝜙 = 𝛾 − 𝛿 = 10° − 5° = 5°

𝑓𝑐𝑧 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan (𝜙) = 7,34 ∗ tan(5°) = 0,644 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐𝑛 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan2 (𝜙) = 7,34 ∗ tan2 (5°) = 0,056 𝑀𝑃𝑎

Control interacción tensional borde inclinado: Tensión admisible de flexión. 𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑣 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐸𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

En el borde flexo comprimido Verificación estabilidad lateral 𝑙𝑎 = 2,40 𝑚 : Distancia entre costaneras De NCh 1198, Sección 7.2.1.9, Tabla 10 𝑙𝑎 2,4 ∗ 103 = = 3,03 < 7 ⇒ 𝑙𝑣 = 2,06 ∗ 𝑙𝑎 = 2,06 ∗ 2,4 = 4,944 𝑚 ℎ 793 𝑙𝑣 ∗ ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥 4,944 ∗ 103 ∗ 794 √ 𝜆𝑣 = √ = = 10,71 𝑏2 1852 𝐹𝑓,𝐸 =

𝐶𝑓𝐸 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 0,61 ∗ 7.700 = = 41,0 MPa 10,712 𝜆2𝑣

∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎

(

𝐹𝑓,𝐸 41,0 = 4,205 )= ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 9,75 1+(

𝐾𝜆,𝑣 =

𝐹𝑓,𝐸 ) ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

1,9

1+( −

( −

1,9 √(

𝐾𝜆,𝑣

2

𝐹𝑓,𝐸 ) ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

𝐹𝑓,𝐸 ) ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 0,95

)

1 + 4,205 1 + 4,205 2 4,205 √ = − ( ) − = 0,985 1,9 1,9 0,95

𝐹𝑓𝑣 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆,𝑣 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,985 = 9,60 𝑀𝑃𝑎

Control interacción: 𝑓𝑓

2

𝑓𝑐𝑛

2

2

𝑓𝑐𝑧 ( ) +( ) +( ) < 1,0 𝐹𝑓𝑣,𝑑𝑖𝑠 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 2,66 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 2 7,34 2 0,056 2 0,644 ( ) +( ) +( ) = 0,616 < 1,0 9,60 2,5 2,66 ∗ 1,375

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación tensional en el borde flexo traccionado 6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1 𝐾𝑣 = ( ) ∗( ) ∗( ) 𝐿 ℎ 𝑏

⁄10

6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 𝐾𝑣 = ( ) ∗( ) ∗( ) = 0,789 19 793 185 𝐹𝑓𝑡 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,789 = 7,69 𝑀𝑃𝑎

Borde inferior recto ⇒ 𝐾𝑎 = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 𝜙 = 1 + 4 ∗ 0,08752 = 1,031 𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝜃 = 7,34 ∗ 1,031 = 7,57 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,69 𝑀𝑃𝑎 Verifica

Verificación tensional a mitad de luz 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =

𝑀𝑚á𝑥 ∗ 6 237,516 ∗ 106 ∗ 6 = 3,70 𝑀𝑃𝑎 2 = 185 ∗ 1.4442 𝑏 ∗ ℎ𝑚

En la cumbrera 𝜙 = 10° ℎ𝑚 1.444 = = 0,049 𝑅𝑚 29,406 ∗ 103

Borde flexotraccionado ℎ𝑚 𝐾𝜃 = 1 + 1,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙) + (0,35 − 8 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙)) ∗ ( ) + (0,6 + 8,3 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 7,8 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙)) 𝑅𝑚 ℎ𝑚 2 ℎ𝑚 3 ∗ ( ) + 6 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙) ∗ ( ) 𝑅𝑚 𝑅𝑚 𝐾𝜃 = 1 + 1,4 ∗ 0,176 + 5,4 ∗ 0,1762 + (0,35 − 8 ∗ 0,176) ∗ 0,049 + (0,6 + 8,3 ∗ 0,176 − 7,8 ∗ 0,1762 ) ∗ 0,0492 + 6 ∗ 0,1762 ∗ 0,0493 = 1,367

𝑓𝑓𝑡 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝜃 = 3,70 ∗ 1,367 = 5,07 𝑀𝑃𝑎

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Altura de viga en el punto del inicio del sector curvo ℎ𝑐 ∗ = ℎ𝐴 + 0,5 ∗ (

𝑙−𝑐 ) ∗ (tan 𝛾 − tan 𝛿) 2

19 − 5 ℎ𝑐 ∗ = 490 + 0,5 ∗ ( ) ∗ (0,176 − 0,087) ∗ 1.000 = 1.112 𝑚𝑚 2 ℎ𝑐

𝛾+𝛿 = ℎ𝑐 ∗ ∗ 𝑐𝑜𝑠 ( ) = 1.112 ∗ 0,996 = 1.102 𝑚𝑚 2

ℎ𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎 = 0,5 ∗ (ℎ𝑐 + ℎ𝑚 ) = 0,5 ∗ (1.102 + 1.444) = 1.273 𝑚𝑚 𝐾𝑉 = (

6,4 1⁄10 300 1⁄10 135 1⁄10 ) ∗( ) ∗( ) = 0,752 19,0 1.273 185

𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,752 = 7,33 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑓𝑡

Control de tensiones de tracción normales a la fibra en el eje neutro ℎ𝑚 𝐾𝑟 = 0,2 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + (0,25 − 1,5 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + 2,6 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙)) ∗ ( ) + (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙)) 𝑅𝑚 2 ℎ𝑚 2 ℎ 𝑚 ∗ ( ) + (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2 (𝜙)) ∗ ( ) 𝑅𝑚 𝑅𝑚 𝐾𝑟 = 0,2 ∗ 0,176 + (0,25 − 1,5 ∗ 0,176 + 2,6 ∗ 0,1762 ) ∗ 0,049 + (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 0,1762 ) ∗ 0,0492 + (2,1 ∗ 0,176 − 4 ∗ 0,1762 ) ∗ 0,0492 = 0,0391

𝑓𝑡𝑛 = 𝑓𝑓 ∗ 𝑘𝑟 = 3,7 ∗ 0,0391 = 0,145 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎 Las tensiones se deben neutralizar por medio de refuerzos.

Control flecha 𝑔 0,48 = = 0,544 > 0,5 𝑞𝑑𝑖𝑠 0,88 NCh 1198, Sección 7.2.4.11 ⇒ Se debe considerar efecto del creep 𝑘𝑝 = 1,5 −

198

𝑔 = 1,5 − 0,544 = 0,956 𝑞𝑑𝑖𝑠

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

⇒ 𝜌=

1 1 −1= − 1 = 0,046 𝑘𝜌 0,956

𝛿𝑓,𝑓 = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 𝜌 ∗

𝑔 ) = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 0,046 ∗ 0,544) = 1,025 ∗ 𝛿𝑓,0 𝑞𝑑𝑖𝑠

𝛿𝑄,𝑓 = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 𝜌 ∗

𝑔 ) = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 0,046 ∗ 0,544) = 1,05 ∗ 𝛿𝑄,0 𝑞𝑑𝑖𝑠

𝐴𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ𝐴 = 185 ∗ 490 = 90.650 𝑚𝑚2 𝐼𝐴 =

𝑘𝑓 =

𝛿𝑓 = 𝑘𝑓 =

𝛿𝑞 =

𝑏 ∗ ℎ𝐴3 185 ∗ 4903 = = 1.813.755.417 𝑚𝑚4 12 12 ℎ 3 ( 𝐴) ℎ𝑚

ℎ 0,15 + 0,85 ∗ ( 𝐴 ) ℎ𝑚

=

490 3 (1.444)

490 0,15 + 0,85 ∗ (1.444)

= 0,089

5 𝑞 ∗ 𝐿4 5 5,264 ∗ 19.0004 ∗ ∗ 𝑘𝑓 = ∗ ∗ 0,089 = 48,8 𝑚𝑚 384 𝐸 ∗ 𝐼𝐴 384 9.000 ∗ 1.813.755.417 2 2⁄ 3

ℎ 1 + ( 𝑚) ℎ𝐴

=

2 2⁄ 3

1.444 1 + ( 490 )

= 0,655

1,2 ∗ 𝑀𝑚á𝑥 1,2 ∗ 237,516 ∗ 106 ∗ 𝑘𝑓 = ∗ 0,655 = 3,5 𝑚𝑚 (0,065 ∗ 9.000) ∗ 90.650 𝐺 ∗ 𝐴𝐴

Deformación total, incorporando efecto de creep: 𝛿𝑑𝑒𝑓 = 1,025 ∗ 𝛿𝑓 + 1,05 ∗ 𝛿𝑞 = 1,025 ∗ 48,8 + 1,061 ∗ 3,5 = 54 𝑚𝑚 Δ𝑎𝑑 =

𝐿 19.000 = = 79,2 𝑚𝑚 > 𝛿𝑓 240 240

Se recomienda especificar contraflecha de 30 mm, que corresponde aproximadamente a la magnitud de la flecha por concepto de peso propio.

Desplazamiento horizontal del apoyo móvil. ℎ1 =

ℎ𝐴 490 = = 245 𝑚𝑚 2 2

ℎ2 =

ℎ1 − ℎ𝑚 + 𝐿 ∗ tan(𝛽) 490 − 1.444 + 19.000 ∗ 0,176 = = 1.198 𝑚𝑚 2 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝛿𝐻,𝐵 ≈

4 ∗ (ℎ2 − 1,6 ∗ ℎ1 ) 4 ∗ (1.198 + 1,6 ∗ 245) ∗ 𝛿𝑓 = ∗ 54 = 18 𝑚𝑚 𝐿 19.000

Neutralización tensiones de tracción normal a la fibra en el sector curvo. Se aplican las especificaciones de NCh 1198, Anexo U. Refuerzo sector curvo por medio de barras con hilo encoladas con adhesivo epóxico o resina compatible con madera y acero: Se considera refuerzo consistente de barras de acero con hilo Ø5/8”

Sector curvo central. Definiendo 𝑎1 como la mitad central de la longitud de la zona curva del entorno de la cumbrera (5 m), 𝑇𝑡𝑛 =

𝑓𝑡𝑛,𝑚á𝑥 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎1 0,145 ∗ 185 ∗ 0,5 ∗ 5 66,876 = = 𝑘𝑁/𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑛 𝑛 𝑛

Con n: número de barras de acero dispuestas en la mitad central del sector curvo. Se considera el uso de barras de acero con hilo de diámetro nominal Ø5/8” con una capacidad admisible de anclaje 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 A 1,25 m de la cumbrera, la longitud de anclaje efectiva de las barras de costura asciende a 𝐼𝑎,𝑒𝑓 ≥

(0,5 ∗ 𝐿 − 0,25 ∗ 𝑐) 1 ∗ (ℎ𝐴 + (ℎ1 − ℎ𝐴 ) ∗ ) 2 0,5 ∗ 𝐿

𝐼𝑎,𝑒𝑓 =

(0,5 ∗ 19 ∗ 103 − 0,25 ∗ 5 ∗ 103 ) 1 ∗ (490 + (1.334 − 490) ∗ ) = 611 𝑚𝑚 2 0,5 ∗ 19 ∗ 103

En consecuencia la cantidad de barras requerida, n, en el tramo central es 𝑛≥

2 ∗ 𝑇𝑛 2 ∗ 66,876 ∗ 103 = = 3,9 𝑙𝑎,𝑒𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷 ∗ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 622 ∗ 𝜋 ∗ 15,9 ∗ 1,1

Se especifican 4 barras de acero con hilo Ø5/8”

200

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Su disposición satisface la exigencia 0,75 ∗ ℎ𝑚 = 0,75 ∗ 1.444 = 1.083 𝑚𝑚 < 𝑎1 =

2.500 = 625 𝑚𝑚 > 250 𝑚𝑚 4

Verificación tracción en área neta barras con hilo: 𝑓𝑡 =

𝑇𝑛 66,876 ∗ 103 = = 106 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 120 𝑀𝑃𝑎 𝑂𝐾 𝑛 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (𝐷 2 ⁄4) 6 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (15,92⁄4)

Verificación de los cuartos externos del sector curvo. 𝑇𝑡𝑛 =

2 𝑓𝑡𝑛,𝑚á𝑥 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎1 2 0,145 ∗ 185 ∗ 0,25 ∗ 5 22,292 ∗ = ∗ = 𝑘𝑁/𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 3 𝑛 3 𝑛 𝑛

A 2,5 m de la cumbrera 𝐼𝑎,𝑒𝑓 ≥

(𝐿 − 𝑐) 1 ∗ (ℎ𝐴 + (ℎ1 − ℎ𝐴 ) ∗ ) 2 𝐿

𝐼𝑎,𝑒𝑓 =

(19 − 5) 1 ∗ (490 + (1.334 − 490) ∗ ) = 556 𝑚𝑚 2 19

𝑛≥

2 ∗ 𝑇𝑛 2 ∗ 22,292 ∗ 103 = = 1,5 ⇒ 2 𝐼𝑎,𝑒𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷 ∗ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 556 ∗ 𝜋 ∗ 15,9 ∗ 1,1

Se especifican 2 barras de acero con hilo Ø5/8” Verificación tracción en área neta barras con hilo: 𝑓𝑡 =

𝑇𝑛 22,292 ∗ 103 = = 70,4 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 120 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑘 𝑛 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (𝐷 2 ⁄4) 2 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (15,92⁄4)

Verificación hipótesis de peso propio del sistema de vigas: Densidad normal del Pino radiata 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 476 𝑘𝑔⁄𝑚3 Asumiendo un coeficiente de variación 0,10 y una distribución de densidades obedeciendo a un patrón gaussiano normal 𝜌12,𝑝95% = 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ (1 + 0,1645) = 476 ∗ 1,1645 = 555 𝑘𝑔⁄𝑚3 Incrementando este valor en un 5% para incluir el peso de herrajes y medios de unión 𝜌12,𝑠𝑖𝑎 = 1,05 ∗ 555 = 582 𝑘𝑔⁄𝑚3 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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201

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Volumen viga: 𝑉 = 𝑏 ∗ (0,5 ∗ (ℎ𝑎 + ℎ1 ) ∗ 𝑙 + 𝑅 2 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝛿) − 𝑉 = 0,185 ∗ (

𝛿 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅2 ) 180

(0,49 + 1,334) 5 ∗ 𝜋 ∗ 28,6842 ∗ 19 + 28,6842 ∗ 𝑡𝑎𝑛(5) − ) = 3,239 𝑚3 2 180

Área tributaria: 𝐷 ∗ 𝑙 = 6 ∗ 19 = 114 𝑚2 𝑞𝑒𝑞 =

202

𝑉 ∗ 𝜌12,𝑑𝑖𝑠 3,239 ∗ 582 = = 16,5 𝑘𝑔⁄𝑚2 ≈ 𝑞𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0,16 𝑘𝑁⁄𝑚2 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏 114

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

EJEMPLO 30: Marco triarticulado de madera laminada Verificación de las dimensiones del marco triarticulado tipo del galpón de madera laminada encolada de pino Radiata de la figura (armado híbrido; láminas Grado A en los sextos externos de la sección transversal y láminas Grado B en los 2/3 centrales). Se estructura con columnas compuestas tipo “cajón” constituidas por dos tapas laterales de altura variable y dos cordones de borde, a la vez que los tijerales consisten de piezas simples de altura variable que se empalman “en cepo” con las tapas laterales de las columnas en los aleros, conformando una unión rígida. La madera se mantiene seca en servicio (H ≤ 15 %). Como sujesor estructural se considera el uso de conectores de hinca Tipo C (EN 1995-1-1) con pernos y golillas. El diseño de la unión rígida del alero condiciona una altura de sección de 830 mm tanto para las columnas como para los travesaños. La esquina interior del encuentro de columnas y tijerales se encuentra impedido de desplazarse fuera del plano de los marcos mediante la disposición de puntales diagonales que se apoyan a su vez de una costanera de techo. La estructura se diseña para una densidad de carga de peso propio de 0,47 kN/m2 (s.d.t) y una sobrecarga de servicio de 0,4 kN/m2 (s.p.h).

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

2,11 kN/m

Dimensiones en mm

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Solución:

Geometría y solicitaciones Diagramas de esfuerzos internos

Verificación columnas: Por tratarse de piezas híbridas, de acuerdo con Anexo C se considerarán las siguientes propiedades mecánicas admisibles: 𝐹𝑓 = 7,8 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 Por incorporar el estado de carga verificado sobrecargas de servicio de techo, de acuerdo con NCh 1198, Anexo G, 𝐾𝐷 = 1,25 Por respetarse H ≤ 15 %, 𝐾𝐻 = 1,0

a) Análisis c/r eje x-x Estimación de la longitud de pandeo de la columna en el plano del marco. Se aplicará el método presentado en la Sección K6 del Anexo K de NCh 1198. 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑜𝑙 = 25,52 𝑘𝑁 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙 = 0,5 ∗ (18,12 + 13,12) = 15,62 𝑘𝑁 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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205

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 = ℎ𝑎𝑝 + 0,65 ∗ (ℎ𝑎𝑙𝑒𝑟𝑜 − ℎ𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 ) = 400 + 0,65 ∗ (830 − 400) = 679,5 𝑚𝑚 ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣 = ℎ𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎 + 0,65 ∗ (ℎ𝑎𝑙𝑒𝑟𝑜 − ℎ𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎 ) = 350 + 0,65 ∗ (830 − 350) = 662 𝑚𝑚

Ángulo de inclinación del tijeral en el modelo análogo 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(900⁄6.500) = 7,9°

Longitud del tijeral en el modelo análogo 𝑠=

6,5 = 6,56 𝑚 cos 7,9°

𝐼𝑐𝑜𝑙

3 2 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 2 ∗ 65 ∗ 679,53 = = = 3.398.838.190 𝑚𝑚4 12 12

𝐼𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑐=

3 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣 138 ∗ 6623 = = 3.336.351.572 𝑚𝑚4 12 12

𝐼𝑐𝑜𝑙 ∗ 2 ∗ 𝑠 3.398.838.190 ∗ 2 ∗ 6,56 = = 2,523 𝐼𝑡𝑖𝑗 ∗ 𝐻 3.336.351.572 ∗ 5,3

⇒ 𝑙𝑝,𝑥−𝑥 = 2 ∗ 𝐻 ∗ √1 + 0,4 ∗ 𝑐 = 2 ∗ 5,3 ∗ √1 + 0,4 ∗ 2,523 = 15,025 𝑚

𝜆𝑥−𝑥 =

𝑙𝑃,𝑥−𝑥 ∗ √12 15.021 ∗ √12 = = 76,6 ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 679,5

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 10 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 9.000 ∗ 1 = 9.000 𝑀𝑃𝑎

206

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

De NCh 1198, Sección 10.3.1.3 𝐹𝑐𝑥,𝐸 = ⇒

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 9.000 = = 7,67 𝑀𝑃𝑎 𝜆2 76,62

𝐹𝑐𝑥,𝐸 7,66 = = 0,767 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 10

𝐹𝑐𝑥,𝐸 𝜆 76,7 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 300) + 1 0,767 ∗ (1 + 300 ) + 1 𝐴= = = 1,09 1,8 1,8 𝐹𝑐𝑥,𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,767 𝐵= = = 0,852 0,9 0,9 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,09 − √1,092 − 0,852 = 0,51 ⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,51 ∗ 10 = 5,1 𝑀𝑃𝑎

Verificación interacción tensional en nudo alero: De diagramas de esfuerzos internos: 𝑀 = 65,551 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 𝑁 = 25,52 𝑘𝑁 𝐴𝑐𝑜𝑙,𝑐 = 2 ∗ 𝑏𝑙,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑐𝑜𝑙,𝑐 = 2 ∗ 65 ∗ 830 = 107.900 𝑚𝑚2 𝑊𝑐𝑜𝑙,𝑐 =

2 2 ∗ 𝑏𝑙,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑐𝑜𝑙,𝑐 2 ∗ 65 ∗ 8302 = = 14.926.167 𝑚𝑚3 6 6

𝑓𝑐 =

𝑁𝑐 25.520 = = 0,24 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑐 107.900

𝑓𝑓 =

𝑀𝑐 65.551.000 = = 4,39 𝑀𝑃𝑎 𝑊𝑐 14.926.167

Control interacción Por controlarse el borde flexo comprimido y dado que el volcamiento de la unión se encuentra impedido 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎

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207

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝑓𝑐 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

+

𝑓𝑓 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

=

0,24 4,39 + = 0,497 ≪ 1,0 5,1 9,75

b) Análisis c/r eje y-y

Sección transversal equivalente. Se verificará de acuerdo con lo especificado en NCh 1189, sección 7.3.3.2 Conceptualmente la sección funciona como una pieza tripartita simétrica con respecto al eje yy. Ligazón elástica: PØ1/2”+2 Co D50 + 2 GoØ55*5 c/500 mm, en 2 hileras (CoD50: conector Tipo C con endentado bilateral, de diámetro exterior 50 mm, Go Ø55*5: golilla de acero circular diámetro exterior 55 mm, espesor 5 mm).

De Anexo I para los conectores de diámetro exterior 50 mm 𝑁1𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁 𝐾𝐷 = 1,25 𝐶 = 3.333 𝑁⁄𝑚𝑚 𝑁1𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑁1𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 5 ∗ 1,25 = 6,25 𝑘𝑁

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐴1 = 65 ∗ 670 = 43.550 𝑚𝑚2 =679,5 mm)

(Estimación levemente conservadora, ya que h1eq

𝑧 = 0,5 ∗ (𝑏1,𝑐𝑜𝑙 + 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ) = 0,5 ∗ (65 + 138) = 101,5 𝑚𝑚 𝑘=

𝜋 2 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 𝑠 𝜋 2 ∗ 9.000 ∗ 43.550 500 ∗ = ∗ = 10,3 2 2 3.333 ∗ 5.3002 2 𝐶 ∗ 𝑙𝑝,𝑦−𝑦

⇒ 𝛾=

1 1 = = 0,088 1 + 𝑘 1 + 10,3

𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 =

3 3 2 ∗ (ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙 + ℎ𝑐𝑜𝑟𝑑ó𝑛 ∗ 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ) + 2 ∗ 𝛾 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑧 2 12

𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 =

2 ∗ (670 ∗ 653 + 90 ∗ 1383 ) + 2 ∗ 0,088 ∗ 43.550 ∗ 101,52 = 149.296.694 𝑚𝑚4 12

𝐴𝑡𝑜𝑡 = 2 ∗ (𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 + ℎ𝑐𝑜𝑟𝑑ó𝑛 ∗ 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ) = 2 ∗ (65 ∗ 670 + 90 ∗ 138) = 111.940 𝑚𝑚2 𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 149.296.694 𝑖𝑦−𝑦,𝑒𝑓 = √ =√ = 36,5 𝑚𝑚 𝐴𝑡𝑜𝑡 111.940 ⇒ 𝜆𝑦−𝑦 =

𝑙𝑝,𝑦−𝑦 5.300 = = 145,1 𝑖𝑦−𝑦,𝑒𝑓 36,5

𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣 = 7,5 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,5 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,38 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑣 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐸𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑦,𝐸 = ⇒

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 7.700 = = 1,83 𝑀𝑃𝑎 145,12 𝜆2𝑦−𝑦

𝐹𝑐𝑦,𝐸 1,83 = = 0,195 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 9,38

𝐹𝑐𝑥,𝐸 𝜆 145,1 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 300) + 1 0,195 ∗ (1 + 300 ) + 1 𝐴= = = 0,716 1,8 1,8 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝑦,𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,195 𝐵= = = 0,217 0,9 0,9 𝐾𝜆,𝑒𝑓 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,716 − √0,7162 − 0,217 = 0,172 ⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,172 ∗ 9,38 = 1,61 𝑀𝑃𝑎

Conservadoramente se considerará que la compresión es resistida exclusivamente por las piezas laterales: 𝑓𝑐 =

𝐶 25.520 = = 0,29 𝑀𝑃𝑎 ≪ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 2 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 2 ∗ 65 ∗ 670

Verificación ligazón elástica: 𝑄𝑖 =

𝐶 25.520 = = 2.475 𝑁 𝐾𝜆,𝑒𝑓 ∗ 60 0,172 ∗ 60

⇒ 𝑡𝑐𝑖𝑧,𝑒𝑓 = 𝑒𝑟𝑒𝑞 =

𝛾 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑧 0,088 ∗ 2.475 ∗ 43.550 ∗ 101,5 = = 6,47 𝑁⁄𝑚𝑚 𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 149.296.694

𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑁1𝑝,𝑑𝑖𝑠 2 ∗ 6.250 = = 1.932 𝑚𝑚 ≫ 𝑒𝑒𝑓 = 500 𝑚𝑚 𝑡𝑐𝑖𝑧,𝑒𝑓 6,47

Verificación travesaño: 𝑘𝑡 =

𝐼𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑜𝑙 3.336.351.572 ∗ 25,52 = = 1,604 𝐼𝑐𝑜𝑙 ∗ 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑡𝑟𝑎𝑣 3.398.838.190 ∗ 15,62

⇒ 𝑙𝑝,𝑡𝑟𝑎𝑣 = 𝑙𝑝,𝑐𝑜𝑙 ∗ √𝑘𝑡 = 15,02 ∗ √1,6 = 19,03 𝑚 𝜆𝑡𝑟𝑎𝑣 =

𝑙𝑝,𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ √12 19.030 ∗ √12 = = 99,6 ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣 662

𝐹𝑐𝑥,𝐸 =

5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 5 ∗ 7.700 = = 3,88 𝑀𝑃𝑎 99,62 𝜆2𝑡𝑟𝑎𝑣

⇒

𝐹𝑐𝑥,𝐸 3,88 = = 0,388 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 10

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

𝐹𝑐𝑥,𝐸 𝜆 99,6 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ (1 + 300) + 1 0,388 ∗ (1 + 300 ) + 1 𝐴= = = 0,843 1,8 1,8 𝐹𝑐𝑥,𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 0,388 𝐵= = = 0,432 0,9 0,9 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,843 − √0,8432 − 0,432 = 0,315 ⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,315 ∗ 10 = 3,15 𝑀𝑃𝑎

Verificación interacción tensional en el tramo: Reacciones en la cumbrera. 𝐻𝑐 = 13,38 𝑘𝑁 𝑄𝑐 = 𝐻𝑐 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 = 1,835 𝑘𝑁 𝑁𝑐 = 𝐻𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠 7,9 = 13,254 𝑘𝑁

Sector momento flector positivo. 𝑞𝑛 = 𝑞𝑠𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 7,9 + 𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝑐𝑜𝑠 7,9 𝑞𝑛 = 1,80 ∗ 0,981 + 2,11 ∗ 0,991 = 3,86 𝑘𝑁/𝑚

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Punto de momento nulo 𝑙0 = 2 ∗

𝑄𝑐 1,835 =2∗ = 0,952 𝑚 𝑞𝑛 3,86

ℎ𝑙0 = ℎ𝑐 +

(ℎ𝐵 − ℎ𝑐 ) ∗ 𝑙0 (830 − 350) ∗ 0,952 = 350 + = 420 𝑚𝑚 𝑠 6,562

Máximo momento positivo 𝑙0 0,952 = = 0,433 𝑚 ℎ 1 + 420⁄350 1 + 𝑙0⁄ℎ 𝑐

𝑥=

Por simple inspección se descarta la verificación en el tramo de momento positivo, considerándose la sección correspondiente al 65 % de la longitud del travesaño (en el modelo análogo). 𝑥 = 0,65 ∗ 6,52 = 4,265 𝑚 ℎ𝑥 = ℎ𝑐 + 0,65 ∗ (ℎ𝐵 − ℎ𝑐 ) = 350 + 0,65 ∗ (830 − 350) = 662 𝑚𝑚 𝐴 = 𝑏𝑡𝑖𝑗 ∗ ℎ𝑥 = 138 ∗ 662 = 91.356 𝑚𝑚2 𝑊𝑥 =

𝑏𝑡𝑖𝑗 ∗ ℎ𝑥 2 138 ∗ 6622 = = 10.079.612 𝑚𝑚3 6 6

𝑀𝑥 = 𝑄𝑐 ∗ 𝑥 − 𝑞𝑛 ∗

𝑥2 4,2652 = 1,835 ∗ 4,265 − 3,86 ∗ = 27,250 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 2 2

𝑁𝑥 = 𝑁𝑐 + 𝑞𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 ∗ 𝑥 = 13,254 + 3,856 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 ∗ 4,265 = 15,531 𝑘𝑁 𝑓𝑐 =

𝑁𝑥 15,531 ∗ 1.000 = = 0,17 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑥 91.356

𝑓𝑓 =

𝑀𝑥 27,250 ∗ 106 = = 2,70 𝑀𝑃𝑎 𝑊𝑥 10.079.612

Control interacción (

𝑓𝑐 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

)+

𝑓𝑓 𝑓 (1 − 𝐹 𝑐 ) ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 𝑐𝑥,𝐸

212

=(

0,17 2,7 )+ = 0,293 ≪ 1,0 0,17 3,15 (1 − 3,88) ∗ 9,75

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Verificación interacción tensional en nudo alero: 𝑀 = 65,551 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 𝑁 = 18,12 𝑘𝑁 𝐴𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 = 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 = 138 ∗ 830 = 114.540 𝑚𝑚2 𝑊𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 =

2 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 138 ∗ 8302 = = 15.844.700 𝑚𝑚3 6 6

𝑓𝑐 =

𝑁𝑐 18.120 = = 0,16 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑐 114.540

𝑓𝑓 =

𝑀𝑐 65.551.000 = = 4,14 𝑀𝑃𝑎 𝑊𝑐 15.844.700

𝑓𝑐 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

+

𝑓𝑓 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

=

0,16 4,14 + = 0,440 ≪ 1,0 10 9,75

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO A: Propiedades físicas especies madereras comerciales (Anexo E NCh 1198)

especie

densidad anhidra

densidad normal

kg/m3

kg/m3

valor medio

característico

valor medio

característico

Álamo

370

357

399

385

Alerce

460

385

492

412

Canelo

470

440

502

470

Ciprés de la Cordillera

470

393

502

420

Pino radiata

450

370

476

391

Pino oregón

410

326

441

350

Coigüe

650

400

691

425

Laurel

510

427

543

455

Lenga

540

476

573

505

Lingue

596

498

629

526

Mañío

520

435

553

463

Olivillo

550

460

583

488

Raulí

510

426

543

454

Tepa

520

442

552

469

Eucalipto

800

543

830

564

Roble

630

527

668

559

Tineo

700

583

736

613

Ulmo

630

525

660

550

214

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO B: Tensiones Admisibles y Módulos Elásticos madera aserrada de Pino radiata Valores derivados de los resultados del programa experimental desarrollado por la Corporación Chilena de la Madera, CORMA y ensayos realizados por W. Santana para su tesis de título de Ingeniero Civil en la Facultad de CCFF y MM de la U. de Chile (Fcp, Fcn y Fciz)

Grado estructural

Tensiones admisibles de Flexión Ff (MPa)

1

Compresión paralela

1

Tracción paralela

Compresión normal

Fcp

Ftp

Fcn

(MPa)

(MPa)

(MPa)

Cizalle

Módulo de elasticidad en flexión

Fcz

Ef

(MPa)

(MPa)

2

Índice de aplastamiento en compresión normal Ecn,h (MPa/mm)

a. Visual GS

11,0

8,5

6,0

2,5

1,1

10.500

G1

7,5

7,5

5,0

2,5

1,1

10.000

G1 y mejor

9,5

7,8

5,5

2,5

1,1

10.100

G2

5,4

6,5

4,0

2,5

1,1

8.900

5,65

b. Mecánico C24

9,3

8,0

4,7

2,5

1,1

10.200

C16

5,2

7,5

3,5

2,5

1,1

7.900

5,65

1) valores aplicables sobre piezas de altura de sección transversal 90 mm 2) Valores aplicables sobre piezas de altura de sección transversal ≥180 mm. El módulo de elasticidad característico inherente al percentil del 5%, Efk, se puede estimar como 0,60 Ef.

Para escuadrías de altura "h" > 90 mm, considerar

Ff , h  Ff ,90 * 5

90 90 ; Ftp,h = Ftp,90 * 5 h h

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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215

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Para escuadrías de altura "h" < 180 mm, considerar

E f ,h = E f ,180 * 4

h 180

Aquí Ff h , Ff 90 y Ftp h , Ftp 90 corresponden a las tensiones admisibles de flexión y tracción paralela para piezas de altura h [mm] y 90 [mm], respectivamente. Los módulos elásticos deben interpretarse en forma análoga. Las propiedades indicadas se han referido a un contenido de humedad de la madera H = 12%. Para otros contenidos, la norma incorpora factores de modificación calculados de acuerdo con las correspondientes expresiones de la norma ASTM D 2915-84, y que se presentan en lo siguiente:

Tensión admisible de flexión:

K H , Ff = KH, E =

Módulo de elasticidad:

Tensión admisible de compresión paralela: Tensión admisible de tracción paralela: Tensión admisible de cizalle: Tensión admisible de compresión normal:

K H , cp =

[1, 75 - 0, 0333* H ] ; 1, 35

[1, 44 - 0, 02 * H ] 1, 2

[ 2, 75 - 0, 0833* H ] ;

1, 75 [1, 75 - 0, 0333* H ] ; K H , tp = 1,35 [1, 33- 0, 0167* H ] K H , cz = 1,13 KH, cn = 0, 667 si H >19%

Aquí son: H = contenido de humedad al que se desea referir la propiedad admisible, [ % ]. El subíndice "H" designa la referencia a esta última condición de humedad. Expresiones aplicables sólo si H ≤ 22 %. Para contenidos de humedad superiores, considerar H = 22 %. Para valores H menores que 12%, considerar el valor correspondiente a este último límite.

216

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO C: Tensiones admisibles de piezas homogéneas e híbridas de madera laminada encolada de pino radiata (estimación conservadora) Las propiedades mecánicas admisibles que se indican en lo siguiente son aplicables para piezas de dimensiones normales con contenido de humedad no superior a 15 % y estados de carga con duración 10 años.

Piezas híbridas de madera laminada encolada de Pino radiata, laminación horizontal Piezas homogéneas Láminas Grado A

Ff = 9, 3 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e inestabilidad lateral.

Ff = 8, 2 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e inestabilidad lateral.

Fcp = 9, 5 MPa Ftp = 5, 6 MPa

Fcz =1,1 MPa Fcn = 2, 5 MPa Ftn = 0,1 MPa E = 10.000 MPa

Láminas Grado B

Ff = 7, 2 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e inestabilidad lateral.

Ff = 6, 4 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e inestabilidad lateral. Fcp = 6,5 MPa Ftp = 3,15 MPa (No incorpora efectos de volumen) I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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217

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Fcz =1,1 MPa Fcn = 2, 5 MPa Ftn = 0,1 MPa E = 8.000 MPa

Piezas híbridas Excepto cuando indique expresamente en el enunciado del problema, para piezas de madera laminada encolada se asume el uso de vigas de pino radiata que en su fabricación combinan láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura y láminas Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales de la altura de la sección transversal.

Laminación horizontal.

Ff = 8, 9 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen y de inestabilidad lateral.

Ff = 7,8 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen y de inestabilidad lateral.

Fcp = 8, 0 MPa Ftp = 4, 0 MPa (No incorpora efectos de volumen)

E = 9.000 MPa

Fcz =1,1 MPa Fcn = 2, 5 MPa Ftn = 0,1 MPa

218

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Piezas híbridas de madera laminada encolada de Pino radiata, laminación vertical. Vigas constituidas de al menos 4 láminas. Piezas homogéneas Láminas Grado A Ff = 9,5 MPa para vigas de altura no superior a 90 mm. No incorpora efectos de altura e inestabilidad lateral. Fcp = 9,0 MPa E = 9.000 MPa

Láminas Grado B Ff = 5,8 MPa para vigas de altura no superior a 90 mm. No incorpora efectos de altura e inestabilidad lateral.

Fcp = 6, 7 MPa E = 7.000 MPa

Piezas híbridas Ff = 6,2 MPa para vigas de altura no superior a 90 mm. No incorpora efectos de altura e Inestabilidad general Fcp = 7,2 MPa

E = 7.700 MPa Fcz = 0,9 MPa

Fcn = 2, 5 MPa Ftn = 0,1 MPa

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219

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO D: Expresiones para la estimación de deformaciones verticales en vigas de madera laminada encolada de altura variable. Para la estimación de los descensos verticales de este tipo de estructuras se aplican las expresiones que se considera en la literatura técnica alemana para el cálculo de las componentes de flecha por concepto de flexión y de corte. Para vigas de bordes rectos y altura variable según los desarrollos geométricos de la figura D1. La deformación vertical consta de una componente debida a la flexión,  f, y una componente debida al corte,  q . Por exigencias de funcionalidad se debe verificar que:  =  f +  q ≤  ad.

Figura D1: Desarrollo de tensiones axiales y transversales en vigas de altura variable

En forma simplificada se puede considerar

M máx * l2 * kf f= 9,6 * E * Ia

con

con

220

Ia =

b * h 3a 12

 q=

1,2 * M máx * kq G * Aa

Aa = b* h a

y

y

kf =

kq =

æ h a ö3 ç ÷ è hm ø 0,15 + 0,85*

ha hm

2 æ h m ö2 1+ ç ÷ è ha ø

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

3

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

En las expresiones anteriores ha corresponde a la altura de sección en el apoyo y hm a la altura máxima. En vigas con borde inferior inclinado según el segundo esquema de la Figura 1, en lugar de hm se debe considerar h1 = ha + 0,5*L (tg(øt) – tg(øb))

Aunque no resulta evidente, en vigas de altura variable los descensos verticales inducen empujes horizontales inherentes al efecto de arco que alcanza a generarse. Por ello resulta necesario materializar uno de los apoyos con posibilidades de desplazamiento horizontal, de manera de evitar la generación de fuerzas de compresión axial que podrían llegar a comprometer la estabilidad lateral de la viga. Por medio de una modelación simplificada del desarrollo geométrico de la viga y aplicando el principio de trabajos virtuales es posible estimar el desplazamiento horizontal H del apoyo móvil como un ponderado del descenso vertical. La expresión resultante es

dH = 4 *(H2 +1,6 * H1 ) *d L

Dónde: H1 = 0,5*ha

y

H2 = 0,5*ha + 0,5*L*tg(øt) – 0,5*hm

Figura D 2: Desplazamiento del apoyo móvil asociado al descenso vertical

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221

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO E: Tensiones admisibles para tableros contrachapados estructurales E.1 Tensiones Admisibles para tableros contrachapados estructurales (MPa). Proposición sobre la base de resultados obtenidos en Proyecto CORFO-CORMA 1990

Nivel tensional del Grado (1) S-1 S-2 verde seca verde seca

Propiedad

Especie cara

FLEXION DE LA FIBRA

GE1 y PR

10,0

14,0

9,0

13,0

S-3 sólo seca 13,0

GE2

7,5

10,5

6,0

8,5

8,5

GE1 y PR

9,0

13,0

7,5

11,0

11,0

GE2

4,6

6,5

3,7

5,2

5,2

GE1

8,5

15,0

8,0

14,0

14,0

PR

8,5

15,0

7,5

13,0

13,0

GE2

6,0

10,5

5,5

10,0

10,0

GE1

1,05

1,3

1,05

1,3

1,1

PR

0,95

1,20

0,95

1,20

1,0

GE2

0,75

0,95

0,75

0,95

0,80

ESTRUCTURAL I Otros (2)

0,4

0,5

0,4

0,5

-

0,3

0,35

0,3

0,35

0,33

EXTREMA

Ff TRACCIÓN

Ft Fibra de la cara paralela o perpendicular a la luz. (a 45° c/r a la fibra de la cara Use Ft /6) COMPRESIÓN EN EL PLANO

DE LAS

CHAPAS

Fc

Paralela o perpendicular a la fibra de la cara (a 45° de la fibra de cara, Use Fc/3 ) CIZALLE Fcz Paralelo o perpendicular a la fibra de cara (a 45° de la fibra de cara, Use 2 Fv) CIZALLE RODANTE Fcz,r Paralelo o normal a la chapa de cara (a 45° de la chapa de cara use 1-1/3 Fs)

222

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Propiedad APLASTAMIENTO Fcn Perpendicular al plano de las chapas MÓDULO DE CORTE G MÓDULO DE

Nivel tensional del Grado (1) S-1 S-2 verde seca verde seca

GE1

1,5

2,5

1,5

2,5

S-3 sólo seca 2,5

GE2 y PR

1,25

2,0

1,25

2,0

2,0

GE1 y PR

500

625

500

625

565

GE2 GE1

360 10.400

450 12.5000

360 10.400

450 12.5000

450 12.5000

PR

7.500

9.000

7.500

9.000

9.000

GE2

7.500

9.000

7.500

9.000

9.000

Especie cara

ELASTICIDAD EN FLEXIÓN

E Fibra de cara paralela o perpendicular a la luz

(1) Para calificar en el nivel tensional S-1, las líneas de cola deben ser de tipo exterior permitiéndose sólo el empleo de chapas grado N, A, y C (naturales, sin reparaciones) en las caras y trascaras. Para nivel tensional S-2, las líneas de encolado deben ser de tipo exterior, permitiéndose chapas de Grado B, C tapón y D en las caras y trascaras.El nivel tensional S-3 incluye todos los tableros con líneas de encolado interior o intermedio (IMG). (2) Reducir las tensiones en un 25% para tableros de 3 capas (4 o 5 chapas) de espesor superior a 5/8".

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223

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

E.2 Propiedades estáticas efectivas de tableros contrachapados elaborados de acuerdo con especificaciones de armado de norma APA PS 1-95. Proposición sobre la base de resultados obtenidos en Proyecto CORFO-CORMA 1990 GE1 : Roble, Ulmo

Espesor nominal

Solicitación paralela a la fibra de la cara

Solicitación normal a la fibra de la cara

A

I

KW

Ib/Q

A

I

KW

Ib/Q

Sección

Momento de Inercia

Módulo resistente eficaz

Constante de cizalle rodante

Sección

Momento de Inercia

Módulo resistente eficaz

Constante de cizalle rodante

mm

mm2/m

mm4/m

mm3/m

mm2/m

mm2/m

mm4/m

mm3/m

mm2/m

12

4.800

89.723

12.711

8.000

3.200

21.744

3.478

4.133

16

6.800

241.908

25.703

10.667

5.000

61.893

6.890

5.733

18

8.800

349.563

33.014

12.000

5.000

76.707

8.076

6.267

PR : Pino radiata

Espesor nominal

Solicitación paralela a la fibra de la cara

Solicitación normal a la fibra de la cara

A

I

KW

Ib/Q

A

I

KW

Ib/Q

Sección

Momento de Inercia

Módulo resistent e eficaz

Constante de cizalle rodante

Sección

Momento de Inercia

Módulo resistente eficaz

Constant e de cizalle rodante

mm

mm2/m

mm4/m

mm3/m

mm2/m

mm2/m

mm4/m

mm3/m

mm2/m

12

4.800

89.373

12.661

8.000

3.200

20.960

3.400

4.133

16

6.800

241.068

25.613

10.667

5.000

60.081

6.757

5.733

18

8.800

348.638

32.927

12.000

5.000

74.078

7.901

6.267

224

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

GE2 : Tepa, Coigue, Olivillo, Lenga

Espesor nominal

Solicitación paralela a la fibra de la cara

Solicitación normal a la fibra de la cara

A

I

KW

Ib/Q

A

I

KW

Ib/Q

Sección

Momento de Inercia

Módulo resistente eficaz

Constante de cizalle rodante

Sección

Momento de Inercia

Módulo resistente eficaz

Constante de cizalle rodante

mm

mm2/m

mm4/m

mm3/m

mm2/m

mm2/m

mm4/m

mm3/m

mm2/m

12

4.352

89.020

12.611

8.378

2.304

16.992

2.623

4.133

16

6.352

240.354

25.538

11.174

3.600

47.668

5.161

5.733

18

8.016

347.445

32.814

12.569

3.600

59.718

6.078

6.267

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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225

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO F: Medios de unión (NCh 1198) I. Factores de modificación por contenido de humedad de la madera, KUH. Medio de unión

Condición de la madera1 durante la fabricación en servicio

Factor de modificación KUH

Extracción lateral Pernos, tirafondos, pasadores y clavos

Placas metálicas dentadas

Conectores 2)

Tirafondos y tornillos

Clavos

≤ 19 % > 19 %

≤ 19 % ≤ 19 %

1,00 0,40 1)

cualquiera ≤ 19 % > 19 %

> 19 % ≤ 19 % ≤ 19 %

0,70 1,00 0,80

cualquiera ≤ 19 % > 19 %

> 19 % ≤ 19 % ≤ 19 %

0,70 1,00 0,80

cualquiera > 19 % Extracción directa Cualquiera ≤ 19 % Cualquiera > 19 % ≤ 19 % ≤ 19 % > 19 % ≤ 19 % ≤ 19 % > 19 % > 19 % > 19 %

0,70 1,0 0,7 1,0 0,25 0,25 1,0

NOTAS: 1) KUH = 0,7 para medios de unión con diámetro, D, menor que 6,3 mm. KUH = 1,0 para uniones consistentes de: - un único medio de unión, o - dos o más medios de unión dispuestos en una única hilera paralela a la dirección de la fibra, o - medios de unión dispuestos en dos o más hileras paralelas a la fibra, con cubrejuntas individuales para cada hilera 2) En uniones con conectores, las restricciones de humedad rigen hasta 20 mm de la superficie.

226

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

II. Factores de modificación por temperatura, KUt Condición de servicio

KUt T ≤ 38 °C

38°C < T ≤ 52°C

52°C < T ≤ 66°C

Seca 1)

1,0

0,8

0,7

Húmeda

1,0

0,7

0,5

1) Uniones en madera con contenido de humedad ≤ 19%, y usada en condiciones permanentemente secas, como es el caso de la mayoría de las construcciones cubiertas 2) Madera no secada, o parcialmente secada o uniones expuestas a condiciones de servicio húmedas.

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227

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO G: Especificaciones de diseño y ejecución de uniones con clavos fabricados según norma NCh 1269. ESPESORES DE MADERA, PENETRACIONES MÍNIMAS Y CAPACIDADES ADMISIBLES DE CARGA POR SUPERFICIE DE CIZALLE DE CLAVO EN UNIONES CON MADERA DE PINO RADIATA SECA: H ≤ 19%. designación del clavo

espesor mínimo de madero

penetración mínima del clavo

cizalle simple

cantidad de clavos por kilo

Tradicional

NCh 1269

cizalle múltiple

lcl

lcl*dcl

a mín

sm

smm

sm

smm

pulgadas

mm*mm

mm

mm

mm

mm

mm

2

50*2,8

20

33,6

16,8

22,4

11,2

362

2 1/2

65*3,1

22

37,2

18,6

24,8

12,4

222

3

75*3,5

25

42

21

28

14

145

3 1/2

90*3,9

28

46,8

23,4

31,2

15,6

103

4

100*4,3

31

51,6

25,8

34,4

17,2

66

5

125*5,1

36

61,2

30,6

40,8

20,4

37

6

150*5,6

40

67,2

33,6

44,8

22,4

24

SEPARACIONES MÍNIMAS ENTRE CLAVOS Y A LOS BORDES, REFERIDAS A LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA

Método de hinca Clavado directo

al borde cargado

228

perforación guía

Desangulación fuerza-fibra

Espaciamiento mínimo de clavos

entre sí

1

0˚ ≤ α < 30˚

para cualquier

30˚ ≤α< 90˚

diámetro de clavo, d

Desangulación

≤ 4 mm

> 4 mm

≤ 4 mm

> 4 mm

para cualquier diámetro

paralela a la fibra

sp

10*d

12*d

10*d

12*d

5*d

normal a la fibra

sn

5*d

5*d

5*d

5*d

5*d

paralela a la fibra

sbcp

15*d

15*d

15*d

15*d

10*d

normal a la fibra

sbcn

5*d

7*d

7*d

10*d

5*d

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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2

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Método de hinca Clavado directo

perforación guía

Desangulación fuerza-fibra

Espaciamiento mínimo de clavos al borde descarga do

1

0˚ ≤ α < 30˚

para cualquier

30˚ ≤α< 90˚

diámetro de clavo, d

Desangulación

paralela a la fibra

sbdp

7*d

10*d

7*d

10*d

para cualquier diámetro 5*d

normal a la fibra

sbdn

5*d

5*d

5*d

5*d

3*d

Notas: 1: Si durante la construcción H > 25%, incrementar sp, sbcp, sbdp en un 50% 2: De diámetro aproximado 0,85*d

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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229

2

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO H: Propiedades de diseño placas dentadas GN 20 A (Gang Nail)

Designaciones: c: espaciamiento mínimo de clavos “efectivos” a los bordes de madero, c ≥ 10 mm lpl : longitud de anclaje bef :longitud nominal efectiva de placa en la sección más desfavorable de : profundidad de anclaje; de ≥ 50 mm Aa : área de anclaje efectiva para el cálculo de la tensión de anclaje Aciz: área de anclaje efectiva para el cálculo de tensiones de anclaje de cizalle. Se consideran efectivos solo los clavos ubicados a no más de 0,55*de la junta de cizalle α : ángulo entre la fuerza y el eje axial de placa β : ángulo entre fuerza y fibra de la madera 230 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Diseño y verificación a) Control de la tensión de anclaje de los clavos f a  Fa,dis con Fa ,dis  Fa  K D  K H

b) Control de la tensión en las placas

f pt / c / ciz  Fpt / c / ciz

En solicitaciones combinadas de tracción o compresión con cizalle

 f pt / c   Fpt / c 

2

  f p ciz     Fp ciz  

2

  1  

TABLA H1 Capacidades admisibles de anclaje para placas GN 20A en uniones traccionadas, comprimidas y en cizalle con piezas madera de Pino radiata Desangulación fuerza-eje axial placa:

Desangulación fuerza – fibra:

α

β 0°

90°

Fap

Fan

MPa

MPa

0° a 30°

1,1

0,74

60°

1,0

0,74

90°

0,95

0,74

Para 0° < b < 90°

Fa ,  

Fap  Fan Fap  sen 2   Fan  cos 2 

en unión de alero: Fa     Fa

0,65    0,85 

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

12  tg  2  0,85 20

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231

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Tabla H2. Capacidades admisibles de carga para placas GN 20A en tracción, Fp t, (Compresión, Fp c) y cizalle, Fp ciz Desangulación 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150 165° 180°

Fpt (Fpc) N/mm

36

48 60 73 60 48

36

Fpciz N/mm 26 33 40 50 60 44 27 25,5 24 24,5 25 25,5 26

Criterio para determinar la naturaleza del ángulo g en le estimación de la tensión admisible de cizalle de placas , F p ,cz

232

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

TABLA H3 Designaciones verificación de placa. Solicitación de anclaje de placa, fa, para distintos tipos de solicitación. Solicitación de anclaje

caso de aplicación

fa 

C obienT 2  Aa

En uniones de piezas comprimidas (C) o traccionadas (T)

fa 

C 2 2  Aa

En uniones comprimidas de tope rectas y normales cuando la totalidad de la fuerza se traspasa por contacto directo entre maderos

fa 

S 2  Aciz

En el traspaso de una fuerza de cizalle S

2

  

2

2

  

2

 T f a    2  Aa

  S      2  Aciz

 C 2 f a    2  Aa

  S      2  Aciz

En una combinación de solicitaciones de tracción y cizalle

En una combinación de solicitaciones de compresión y cizalle, donde la totalidad de la fuerza de compresión se traspasa por contacto directo entre maderos

Solicitación de placa, fpt,c,ciz , para distintos tipos de solicitación Solicitación de placa

f p,t/c/ciz =

T o bien C o bien S 2 * bef

Caso de aplicación En uniones que transmiten fuerzas de tracción, compresión o cizalle

f p ,c 

C 2 2  bef

En uniones comprimidas de tope rectas y normales cuando la totalidad de la fuerza se traspasa por contacto directo entre maderos

f p ,c 

C 2 2  bef

En solicitaciones combinadas de compresión y cizalle; se debe verificar adicionalmente que la totalidad de la componente de compresión, C, se puede traspasar por contacto directo entre los maderos

f p ,ciz

S 1)  2  bef

bef : longitud nominal efectiva de una placa, en mm, en la sección transversal mas desfavorable 1) componente de fuerza de cizalle I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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233

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO I: Uniones con conectores. De presión Tipo C (EN 1995-1-1) Aun cuando en la norma se considera una sección dedicada a las uniones con conectores, esta se refiere únicamente conectores de precisión que se fabrican recortando tubos de acero y que se deben colocar en vaciados materializados previamente en los maderos de la unión, que en nuestro país prácticamente no se han utilizado. Por otra parte existe en el país una experiencia de más de tres décadas con el uso de conectores importados desde Europa, designados en la categoría C, cuya colocación no requiere de un trabajo de vaciado previo en la madera y cuya capacidad de carga ha sido verificada en estudios realizados en el INFOR y en las universidades de Chile, Santiago y de Concepción. Por esta razón los problemas de uniones con conectores consideran el uso de este tipo de conectores, cuyas características se presentan en lo siguiente. La nueva redacción de la norma incorporará especificaciones relativas a Conectores Tipo C, similares a las que se presentan en lo siguiente.

Metodología de diseño de uniones. En lo siguiente se presenta una metodología sistematizada de diseño de uniones con conectores de presión Tipo C , consistente de 12 pasos y que permite solucionar las situaciones de ocurrencia habitual. 1. Resolver la estructura y definir la disposición de las piezas de madera que convergen en cada una de las uniones y empalmes. 2. En función de las cargas exteriores aplicadas sobre la unión y de las fuerzas interiores de las barras convergentes, resolver estáticamente la unión, determinando claramente en magnitud, dirección y sentido, las fuerzas de interfaz para cada uno de los planos de contacto entre maderos. Para estos efectos se debe decidir primeramente sobre qué maderos actuarán las fuerzas exteriores, para posteriormente descomponer la unión en cuerpos libres y plantear sobre éstos, las condiciones de equilibrio estático. Las fuerzas equilibrantes de cuerpo libre corresponden a las fuerzas de interfaz entre maderos, y son las fuerzas que deben ser transferidas por los conectores. 3. Determinar para cada madero la desangulación entre la fuerza de interfaz y la dirección de la fibra, identificando a continuación la naturaleza ( cargada o descargada ) de los bordes de madero comprometidos en la unión (ver Sección 9.1.2 de NCh1198). 4. Atendiendo a la magnitud de las fuerzas a traspasar y a las dimensiones de los maderos convergentes a la unión, seleccionar el calibre de conector más adecuado. En la tabla 1 se entrega, para los distintos calibres de conectores, información relativa a las dimensiones transversales mínimas exigidas para los maderos y a las capacidades básicas de carga según la dirección de la fibra y normal a la dirección de la fibra, N1p y N1n . Las capacidades básicas de carga se asimilan a condiciones normales de servicio, esto es, madera con un contenido de 234

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

humedad no superior a 19% y duración acumulada de 10 años para el estado de carga condicionante del diseño (ver Secciones 9.3 y 9.4 de NCh 1198) 5. Adecuar la capacidad de carga básica N1 a las condiciones específicas de diseño, a través de la incorporación de los efectos del contenido de humedad de los maderos y de la duración acumulada del estado de carga que condiciona el diseño de la unión o empalme, por medio de la aplicación de los factores de modificación correspondientes (ver Secciones 9.4.2 y 9.4.3 de NCh 1198). Conservadoramente el factor de modificación por duración de la carga se aplica solo sobre la capacidad N1p. Se obtiene así la capacidad de carga de diseño N1,dis . Eventualmente cuando la desangulación fuerza-fibra en algún madero corresponda a un ángulo α, distinto de 0° y 90°, determinar la capacidad de carga aplicando la fórmula de Hankinson

N

=

N1p * N1n N1p * sen2a + N1n * cos2 a Tabla I.1 Características básicas de conectores Tipo C

Tipo de conector

diámetro exterior

D

Circular

Cuadrado

mm 48 o 50 62 75 95 117 140 165 100 130

dimensiones transversales mínimas de maderos ante una disposición unilineal de conectores y desangulación fuerza-fibra 0° a 30° sobre 30° a 90°

capacidad básica de carga

h/b

h/b

Paralela a la fibra N1p

mm / mm 100/40 100/40 120/50 120/50 150/80 170/80 190/80 130/60 160/60

mm / mm 100/40 110/40 120/50 140/50 180/80 200/100 230/110 160/60 190/80

kN 5,0 7,0 9,0 12,0 16,0 22,0 30,0 17,0 23,0

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Normal a la fibra N1n kN 4,0 6,0 8,0 10,5 14,0 18,5 24,0 14,5 19,0

235

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

6. Establecer, para cada plano de contacto entre maderos adyacentes, los que designaremos como "c" y "d", el mayor valor entre los dos cuocientes nc y nd de la fuerza de interfaz Fcd y la capacidad de carga de diseño del conector en cada madero, N1c,dis y N1d,dis. El número de conectores efectivamente requeridos por cada plano de contacto, ncd,ef , se determina como el número entero inmediatamente superior al mayor valor entre nc y nd . 7. Distribuir uniformemente los conectores en los planos de contacto entre maderos, respetando los espaciamientos mínimos entre conectores vecinos, sc, y los espaciamientos mínimos sb entre los conectores perimetrales y los bordes de madero vecinos, tomando debida consideración en este último caso de la naturaleza del borde. En la tabla I.2 se indican los valores de los espaciamientos mínimos básicos, sp y Sbp que se deben respetar según la dirección de la fibra, entre conectores vecinos y al borde, respectivamente, cuando los conectores se disponen en una única hilera y los espaciamientos mínimos a los bordes medidos normal a la dirección de la fibra Sbn. Tabla I.2 Tipo

diámetro

D Circular

Cuadrado

236

mm 48 o 50 62 75 95 117 140 100 130

conectores bilaterales altura espesor H t mm 12,5 16 19,5 24 29,5 31 16 20

mm 1,00 1,20 1,25 1,35 1,50 1,65 1,35 1,50

conectores unilaterales altura espesor diámetro H t Di mm 6,6 8,7 10,3 12,8 16,0

mm 1,00 1,20 1,25 1,35 1,50

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mm 12,9 12,2 16,2 16,2 20,2

espaciamientos mínimos Sp= Sbp mm 120 120 140 140 170 200 170 200

Sbn mm 50 50 70 70 75 85 65 80

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

a) disposición sin alternación

b) disposición alternada Figura I.1: Espaciamientos mínimos en uniones con más de una hilera de conectores

Para uniones con varias hileras (ver figura I.1), los espaciamientos entre conectores vecinos según la dirección de la fibra, scp, las separaciones mínimas entre hileras, scn, y los espaciamientos entre las hileras exteriores y los bordes de madero, sbn, deben respetar las exigencias adicionales establecidas en la tabla I.3. Las restricciones se deben respetar simultáneamente en todos los maderos que convergen en la unión o empalme. El espaciamiento al borde medido según la dirección de la fibra, sp, puede ser reducido a la mitad, cuando dicho borde es de naturaleza descargada. No será aplicable, en este caso, la reducción adicional de espaciamientos planteada en el punto 10 de esta metodología. Los espaciamientos mínimos entre hileras, medidos normal a la dirección de la fibra, scn, indicados en Tabla I.3, rigen también en uniones perpendiculares según el esquema de la figura I.2.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Para esta última situación resulta prudente verificar adicionalmente, en el madero solicitado, la capacidad de tracción perpendicular a la dirección de la fibra (Ver Sección 9.2.1.5 de NCh 1198). Esta verificación podrá obviarse cuando la altura de la pieza solicitada, según la dirección perpendicular a la fibra, no excede de 300 mm y el centroide "G", de la disposición de conectores, se desplaza del borde cargado en al menos la mitad de la altura de la pieza.

Tabla I.3 Espaciamientos mínimos entre conectores y al borde disposición de los conectores

Alineada

Alternada *

espaciamiento mínimo

espaciamiento mínimo

espaciamiento mínimo al borde

scn

scp

sbn

D+Z

sp

h/2

D+Z

sp

D

1,1* sp

0,5*(D + Z)

1,8* sp

h/2

*) las situaciones intermedias se pueden interpolar linealmente

En la tabla anterior, D corresponde al diámetro exterior del conector, y Z , a la penetración efectiva de los dientes en cada madero, valor que se puede estimar en función de la altura, H, y del espesor, t, del conector, especificadas en tabla I.2.

Figura I.2: Espaciamientos mínimos en uniones perpendiculares 238

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8. Cuando se alinean varios unidades individuales de conexión (perno y conectores) según la dirección de la fuerza se debe considerar una cantidad efectiva de unidades nef < n, tal que Pn,dis = nef* P1 ad

La cantidad efectiva de conectores alineados según la dirección de la fuerza se debe estimar como

é æ nö ù ( 90 - q ) q nef = ê2 + ç1- ÷ * ( n- 2)ú * + n* 90 90 ë è 20 ø û

Aquí son: n :cantidad de unidades de conección alineadas según la dirección de la fibra (n > 2)- Para efectos de cálculo n ≤ 10.

q

: desangulación entre la fuerza que cada conector ejerce sobre la madera y la dirección de la fibra de la madera.

Como consecuencia de la corrección anterior, podría resultar necesario incrementar la cantidad de conectores, debiendo rediseñarse la disposición de éstos en la unión.

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239

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

9. Los espaciamientos al borde medidos según la dirección de la fibra en maderos con extremos inclinados, deben medirse sobre un eje desplazado en D/4 del eje de alineamiento de conectores, a la vez que la distancia desde el borde inclinado al eje del conector debe ascender al menos a h/2 , con h definido en Tabla I.1 (Ver Sección 9.7.5 y Figura 42 de NCh 1198). Como una forma de agilizar la determinación de los espaciamientos, en la siguiente tabla se presentan los valores redondeados que resultan de aplicar las restricciones señaladas anteriormente.

Tabla I.4 Valores numéricos de D+Z , scp y sbn Diámetro exterior

espaciamiento entre conectores

D

scn =D+Z

scp

mm 48 o 50 62 75 95 117 140 165 100*100 130*130

mm 54 70 84 106 132 154 180 108 140

mm 120 120 140 140 170 200 230 170 200

espaciamientos al borde Sbn mm 50 50 70 70 90 100 115 80 95

* espaciamientos al borde para espesores de madero no inferiores a 60 mm

En uniones desanguladas los espaciamientos mínimos, medidos según la dirección de la fibra de los maderos, pueden estimarse por medio de un proceso de interpolación entre los valores correspondientes de scp y scn. La figura I.3 indica los espaciamientos mínimos entre conectores y al extremo "E", para una unión inclinada entre un tijeral y vinculada por medio de piezas de acero a una columna, en función de la desangulación α entre tijeral y la columna.

240

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Figura I.3: Espaciamientos mínimos en uniones desanguladas

En lo siguiente se desarrollan las expresiones analíticas de los espaciamientos mínimos s1 y s2, medidos según la dirección de la fibra, según las designaciones de la figura 3.

columna de acero traccionada:

columna de acero comprimida:

s1 = s p

s1 = sp - 0,5* sp *

s2 = scn + (sp - scn)*

a - 90 90

a - 90 90

s2 = scn + (sp - scn)*

Casos especiales: α 90° 135° 180°

Columna de acero traccionada S1 S2 Sp scn Sp 0,5*(scn + sp) Sp sp

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Columna de acero comprimida S1 S2 sp scn 0,75*sp 0,5*(scn + sp) 0,5*sp sp

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

10. Cuando la capacidad de carga de diseño no se aprovecha completamente, se pueden reducir proporcionalmente los espaciamientos medidos según la dirección de la fibra. La forma más rápida de calcular el grado de aprovechamiento de la capacidad de carga de diseño es evaluando el cuociente entre la cantidad de conectores requerida, nij,req , (habitualmente un número fraccionado), y la cantidad de conectores efectivamente decidida, nij,ef, (un número entero). En ningún caso las reducciones de espaciamientos pueden ser superiores al 25%. 11. Especificar los diámetros de pernos y dimensiones de arandelas correspondientes al calibre de conector utilizado, respetando las indicaciones de la Tabla I.5.

Tabla I.5 Tipo

circular

cuadrado

diámetro conector

diámetro perno

diámetro arandela (circular) da

espesor arandela

debilitamiento transversal

d

lado arandela (cuadrada) a

D

ta

A

mm

pulgada

mm

mm

mm

48 o 50 62 75 95 117 140 165 100 130

1/2 1/2 5/8 5/8 3/4 7/8 7/8 3/4 7/8

50 50 60 60 70 95 95 70 95

55 55 65 65 80 105 105 80 105

5 5 6 6 8 8 8 8 8

cm2 0,9 2,0 2,6 4,7 6,9 8,7 11,0 2,7 4,5

12. En las piezas de madera traccionadas cabe verificar la tensión efectiva de tracción, considerando la fuerza solicitante, la sección transversal bruta que resulta de deducir los conectores (ver Tabla 5), y el factor de concentración de tensiones kct definido en Tabla 19 de la Sección 7.4.3 de NCh 1198 modificado para el caso de conectores de hinca ( 0,60 para madera aserrada y 0,70 para madera laminada encolada ), aplicable sobre la tensión admisible de tracción paralela a la fibra de la madera.

242

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

UTILIZACION DE CONECTORES Tipo C UNILATERALES Los conectores unilaterales se emplean preferentemente para uniones de madera con piezas de acero, sean estas planchas o cubrejuntas. Es necesario verificar que el espesor de las piezas de acero asegure una rigidez flexional suficiente como para evitar efectos de volcamiento. En la tabla 6 se indican espesores mínimos, que al ser respetados aseguran el cumplimiento de la exigencia anterior. Las piezas de acero deben cubrir completamente la superficie del conector.

Tabla I. 6 Espesor mínimo para cubrejuntas de acero en uniones con conectores de hinca Tipo C unilaterales. Diámetro o lado del conector (mm) 48 o 50; 62 75 y 95 110 y 117 130; 140 y 165

espesor mínimo (mm) 5 6 8 10

Los agujeros en las cubrejuntas se deben perforar con el diámetro Di de Tabla I.2. Para piezas que se galvanizan con posterioridad a la perforación se acepta un agujero equivalente al diámetro de perno incrementado en 1 mm. La zona roscada del perno puede quedar incorporada en la cubrejunta, en la medida que la proyección de la zona lisa del vástago no sea inferior a 4 mm, para los conectores de diámetro o lado no superior a 117 mm, o a 6 mm, para los calibres superiores. Si por alguna razón excepcional no se cumpliera la restricción anterior y con el propósito de controlar la posibilidad de deformaciones excesivas, las capacidades admisibles de carga de los conectores se deben reducir en un 50%.

Referencias: NCh 1198. OF 2006. Madera - Construcciones en madera - Cálculo DIN 1052 Teil 2, “Holzbauwerke; Mechanische Verbindungen". Brüninghoff et Al. "Eine ausführliche Erläuterung zu DIN 1052 Teil 1 bis Teil 3.Ausgabe April 1988" Beuth. Bauverlag 1. Auflage 1989.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Figura I.4: Conectores Tipo C bilaterales

Figura I.5: Conectores Tipo C unilaterales

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO J: Cargas inducidas por el hormigón fresco sobre los moldajes (American Concrete Institute EEUU) Presiones sobre columnas, p [kN/m2]

ìæ ü 1.413,3* R ö p = miníç 7,181+ ÷;144; 24 * hý 1,8 * T + 32 ø îè þ R T h

velocidad de vaciado [ m/h ] temperatura hormigón [°C] altura de hormigón fresco sobre el punto considerado [ m ] (para velocidades de vaciado de hasta 2,1 m/h considerar h=2,70 m; para velocidades de vaciado superiores considerar h = 1,5 * R[m] )

Presiones sobre paredes, p [kN/m2] R ≤ 2,13 m/h

ìæ ü 1.413,3* R ö p = miníç 7,181+ ÷; 95,75; 24 * hý 1,8 * T + 32 ø îè þ 2,13< R ≤ 3,05 m/h

ìæ ü 2.078 439,7 * R ö p = miníç 7,181+ + ÷; 95,75; 24 * hý 1,8 * T + 32 1,8 * T + 32 ø îè þ R > 3,05 m/h

p = 24 * h

Peso de diseño para el hormigón (incluye enfierraduras) en el diseño de moldajes de losas, q [kN/m2]

q = 26 * t + 2,4 q = 26 * t + 3,6

uso de equipos de transporte no motorizados uso de equipos de transporte motorizados

t : espesor de losa [ m ] Control de deformación (asume condición de viga continua sobre dos tramos)

q* L4 L d= £ £ 6,4 mm 184,6 * E * I 360 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Fórmulas para diseño de moldajes: tensiones de flexión: viga continua sobre 2 tramos : f f =

viga continua sobre 3 tramos : f f =

q* L2 8* KW

q* L2 10 * KW

L: distancia entre ejes de apoyos tension de cizalle interlaminar : fcz =

Vap, i *Q b* I

viga continua sobre 2 tramos

Vap, i = 0, 5*1, 25* q* L2

fcz = 0, 625* q* L2 *

Q b* I

viga continua sobre 3 tramos

fcz = 0, 6 * q* L2 *

Q b* I

L2 : separación libre entre apoyos Control flecha:

d £ L 360 viga continua sobre 2 tramos

viga continua sobre 3 tramos

df =

q* L43 145, 25* E * I

L3 = separación libre + 6,5 mm L3 = separación libre + 16 mm dQ =

b = 41 mm h =1, 5 kN / m b = 90 mm

C* q* t * L 105,833* 0, 91* E* I 2

2 2

C = 120 para tableros dispuestos con fibra cara normal a líneas de apoyo C = 60 para tableros dispuestos con fibra cara paralela a líneas de apoyo

246

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Moldajes de muros Exigencia ACI: Para h ≥ 2,40 m, considerar la situación más desfavorable entre: - h =1, 5 kN / m actuando en el borde superior, normal al muro en ambos sentidos, - presión de viento: 0,5 kPA normal al muro

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247

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

ANEXO K: Erratas consideradas en la revisión de la norma a oficializarse como NCh 1198.Of 2014

Página 22 Línea 20 Dice:

CVE ¾ ≤ 0,11

Debe decir:

CVE ≤ 0,11

Línea 22

Dice:

lV =

lV * h b2

Debe decir:

lV =

lV * h £ 50 b2

Página 38 Última línea Dice:

Tabla 53

Debe decir:

Tabla 46

Página 53 Línea 14 Dice:

lef se puede calcular

Debe decir:

lef se debe calcular

248

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Página 80 Tabla 26 Línea 3 Dice:

Pernos, tirafondos, pasadores y clavos

Debe decir:

Pernos, tirafondos, pasadores, tornillos y clavos

Página 83 Línea 1 Dice: Am y As Debe decir: Ac y Al Eliminar último párrafo: “En el extremo de las piezas traccionadas, unidas mediante pernos … … en los extremos de piezas traccionadas.”

Página 84 Figura 22 (inferior) En el gramil horizontal Dice: g Debe decir: sp

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249

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Página 86 Figura 23 Dice:

Debe decir:

Página 90 Sección d) Eliminar desde “La penetración mínima de la zona roscada del vástago……, hasta se debe reducir mediante el factor de modificación, K pct , de expresión:

Kcpt =

250

p ” 8* D

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Página 92 Sección f) Eliminar desde “La penetración de atornillado p, en mm, ……, hasta se debe reducir mediante el factor de modificación, K pct , de expresión:

Kcpt =

p ” 8* D

Página 95 Sección f) Reemplazarla por: Para efectos de cálculo no se aceptan penetraciones efectivas, p, inferiores a 6*D, en uniones de cizalle simple o inferiores a 4*D en uniones de cizalle múltiple. Si p < 8*D en uniones de cizalle múltiple, la capacidad admisible de carga de la sección de clavo adyacente a la punta se debe reducir mediante el factor de modificación, K pct , de expresión:

Kcpt =

p . 8* D

Página 107 Tabla 35 Fila 3, Columna 2

Dice:

Modo Il

Pel =

2 * D* l l * Rap,l 2 *Ka

Debe decir:

Modo Il:

Pel =

2 * D* l l * Rap,l FA

Línea 7 Dice:

longitud de apoyo del pasador en la pieza principal, mm

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251

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Debe decir:

longitud de apoyo del medio de unión en la pieza principal, mm

Línea 8 Dice:

longitud de apoyo del pasador en la pieza lateral, mm

Debe decir:

longitud de apoyo del medio de unión en la pieza lateral, mm

Página 109 Párrafo 9.6.2.2.1 Línea 8: Eliminar la frase:

Para pasadores se acepta incrementar el valor de Rap en un 20 %.

Página 112 Párrafo 9.6.2.7.2 Agregar: Para l c se considera la proyección de la penetración de la punta del clavo en el madero basal: p* cos30

Página 119 Tabla 41 Línea 3 Dice: Grupos ES 6 y ES 5 Debe decir: Grupos ES 6 y ES 5 y Pino radiata

252

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Página 172 Línea 4 Dice:

l pc = 2 * h*1 1+ 0,4 * c

Debe decir

l pc = 2 * h* 1+ 0,4 * c

Página 133 Párrafo 9.10.13, Línea 5 Dice:

respectivamente:

Fca, dis =

Fcp, dis * Fcn, dis Fcp, dis * sen2a + Fcn, dis * cos2 a

Debe decir:

respectivamente, debiendo reducirse el primero de ellos, de acuerdo con lo

especificado en 7.3.4.2, en un 25 %:

Fca, dis =

0, 75* Fcp, dis * Fcn, dis 0, 75* Fcp, dis * sen2a + Fcn, dis * cos2 a

Página 150 Anexo A Eliminar e los Grupos E6 y ES5 la especie Pino Insigne

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Página 172 Sección K.6, línea 4 Dice:

l pc = 2 * h*1 1+ 0, 4* c

Debe decir:

l pc = 2 * h* 1+ 0, 4* c

Página 199 Párrafo 5, Línea 4 Dice:

330 MPa ¾ Ff ¾ 956 MPa

Debe decir:

330 MPa ≤ Ff ≤ 956 MPa

Página 206 Línea 15 Dice:

ancho efectivo de unión, en cm

Debe decir:

ancho efectivo de unión, en mm

Página 208 Línea 21 Dice:

f1(a/H)

Debe decir:

f1(a/h)

254

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EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Página 164 Anexo H Actualizar párrafos y tabla H.1 Factor de modificación por temperatura. Los valores admisibles deben multiplicarse por los factores de modificación por temperatura, K T , en Tabla H.1 para piezas estructurales de madera que experimentarán una exposición sostenida a temperaturas elevadas de hasta 66°C. Tabla H.1: Factor de modificación por temperatura, K t (NDS for Wood Construction 2006) Propiedad

CH de servicio

T £ 38°C

38°C < T £ 52°C

52 < T £ 66°C

Ft , E, Ek

Seco o verde

1

0,9

0,9

1

0,8

0,7

1

0,7

0,5

Ff , Fciz, Fcp y Fcn Seco (H≤19%) Verde (H>19%)

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255

OFICINA DIAGUITAS Km 5 costado aeródromo La Florida, La Serena Fono / Fax: (56-51) 543627 SEDE METROPOLITANA Sucre 2397, Ñuñoa, Santiago Fono: (56-2) 23667100. Fax: (56-2) 23667131 SEDE BIO BIO Camino a Coronel km 7,5, San Pedro de la Paz, Concepción Fono / Fax: (56-41) 2853260 SEDE VALDIVIA Fundo Teja Norte s/n, Valdivia Fono: (56-63) 218968 OFICINA PATAGONIA Camino Coyhaique Alto km 4, Coyhaique Fono: (56) 98831860

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