Diseño de Vigas Por Flexion y Corte norma ACI 318-14

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DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

INDICE Pág. 1. 1. INTRODUCCIÓN 1.1 1.1 VIGAS 1.2 1.2TIPOS DE VIGAS

2 2 2

2. 2. ANÁLISIS DE VIGAS

3

3. 3. METODOS DE DISEÑO 4. 3.1 PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO POR RESISTENCIA 5. 3.1.1 MÉTODO DE DISEÑO POR RESISTENCIA 6. 3.1.2 RESISTENCIA REQUERIDA 7. 3.1.3 RESISTENCIA DE DISEÑO 8. 3.1.4 HIPOTESIS DE DISEÑO

4 5 5 7 8 10 13 23 23 23 24 25 27

3.1.5 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES 3.2 DISEÑO POR FLEXIÓN 3.2.1 ALTURA MÍNIMA DE LA VIGA 3.2.2 ACERO MÍNIMO 3.2.3 SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE REFORZADAS 3.2.4 SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS 3.2.5 SECCIONES CON PATÍN 9. 4. COMPORTAMIENTO DE CORTE EN VIGAS 10. 4.1 INTRODUCCIÓN 11. 4.2 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGON 12. 4.3 COMPORTAMIENTO Y MODOS DE FALLA 13. 4.3.1 ELEMENTOS SIN REFUERZO EN EL ALMA 14. 4.4 DISEÑO POR CORTANTE 15. 4.4.1 RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO 16. 4.4.2 RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL REFUERZO DE CORTANTE. 17. 4.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL REFUERZO POR CORTANTE. 18. 19. 5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN 20. 5.1 DISEÑO A FLEXIÓN 21. 5.2 DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA 22. 5.3 DISEÑO DE UNA SECCIÓN CON PATÍN (VIGA EN T) 23. 5.4 DISEÑO A CORTANTE 24. 25.

30 30 31 31 32 33 35 36 37 39 39 42 45 47

6. BIBLIOGRAFÍA

52

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DISEÑO DE VIGAS POR FLEXION Y CORTE NORMA ACI 318-14 1. INTRODUCCIÓN.1.1. VIGAS.En ingeniería se denomina viga, a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico. Las vigas de entrepiso son los elementos estructurales que transmiten las cargas del piso a los elementos verticales resistentes. Las vigas de entrepiso se dividen en principales y secundarias. Las vigas principales forman parte del sistema resistente a cargas laterales, reciben la carga tributaria de las losas y de vigas secundarias y las transmiten directamente a las columnas, a las cuales se conectan a través de las “uniones”. Las vigas secundarias reciben las cargas tributarias de las losas y la transmiten a vigas primarias. Las cargas que actúan sobre las vigas son transversales al eje longitudinal de las mismas, generándose principalmente esfuerzos de flexión y cortante. Generalmente no se generan esfuerzos axiales de tensión o compresión que sean significativos, por lo que comúnmente son despreciados en el diseño. Los efectos de torsión toman importancia en las vigas de borde de los tableros de entrepisos, o en vigas interiores cuando las cargas de los tableros adyacentes son bastante diferentes por lo que no están balanceadas. En esta sección se presentan las disposiciones del código ACI para el diseño por flexión, cortante, y torsión de vigas. Además las consideraciones acerca del control de agrietamiento y deflexiones en condiciones de servicio. 1.2. TIPOS DE VIGAS: Viguetas. 2

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Las viguetas son las vigas que están colocadas de forma cercana entre ellas para soportar el techo y el piso de un edificio. Dado que frecuentemente corren a lo largo del exterior de un edificio (junto con el interior, como es estructuralmente necesario) son las vigas que la gente seguramente observa en un edificio sin terminar. Dinteles. Los dinteles son las vigas que se pueden ver sobre las aberturas en una pared de mampostería, tales como ventanas y puertas. Vigas de tímpano. Las vigas de tímpano soportan las paredes exteriores de un edificio y también pueden soportar parte del techo en los pasillos. Por ejemplo, éstas son las vigas que corren hacia arriba a través del núcleo hueco que hacen los ladrillos en una pared, añadiendo soporte adicional y estabilidad al mortero y manteniendo los ladrillos juntos. Vigas de piso. Al contrario de los largueros, las vigas de piso corren perpendiculares al camino, completando el patrón en forma de cruz que ves cuando observas debajo de un puente. Las vigas de piso funcionan para transferir la tensión de los largueros a las armaduras que soportan el puente. 2. ANALISIS DE VIGAS.Las estructuras de concreto reforzado representan, en general, estructuras monolíticas o continuas. Por tanto, una carga aplicada en cualquier sitio de la estructura produce deformaciones y esfuerzos sobre todos los elementos que conforman la estructura. La determinación de las fuerzas y momentos flectores en cada punto de la estructura debido a las cargas externas, se fundamenta por lo general en las teorías del análisis elástico. Sin embargo, antes de la falla, las secciones de concreto reforzado en general son capaces de soportar una rotación inelástica considerable para un momento constante; esto permite una redistribución de momentos elásticos y ofrece las bases para el análisis plástico de vigas, marcos y losas. Los métodos de análisis elásticos suponen que el material es elástico y obedece a la Ley de Hook en todos los puntos, en el intervalo de carga considerado. Por el contrario, el análisis inelástico considera que el material no es elástico y que la relación entre deformaciones y esfuerzos es no lineal para el estado de cargas considerado. Se han desarrollado diversos métodos a lo largo de muchos años para el análisis elástico de vigas y marcos continuos. Durante muchos años el método de distribución de momentos (Hardy Cross, 1932) conformó la herramienta analítica básica para el análisis de estructuras continuas. Sin embargo, la introducción de los métodos matriciales de análisis en los años 1950 – 1960, en combinación con la disponibilidad creciente de computadores, produjo cambios revolucionarios en la práctica de la ingeniería estructural. 3

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La utilización de la teoría matricial hace posible reducir las operaciones numéricas detalladas que se requieren en el análisis de una estructura indeterminada, a procesos sistemáticos de manipulación de matrices que pueden llevarse a cabo automática y rápidamente mediante computadores. El uso de los métodos matriciales posibilitó el análisis de marcos tridimensionales. La mayor parte de estructuras de concreto reforzado se diseñan para momentos, cortantes y fuerzas axiales encontrados mediante la teoría elástica. Sin embargo, el dimensionamiento real de los elementos se lleva a cabo con modelos de resistencia que reconocen que se tendría una respuesta inelástica de la sección y del elemento para estados de sobrecarga. Así, las cargas factorizadas se utilizan en el análisis elástico para determinar los momentos de viga continua después de lo cual las secciones críticas de viga se diseñan con el conocimiento que el acero estaría muy dentro del intervalo de fluencia y que la distribución de esfuerzos en el concreto sería no lineal antes del colapso final. Es evidente que este planteamiento es inconsistente dentro del proceso total de análisis y diseño, aunque se ha demostrado que es seguro y conservador. Cuando se alcanza la falla por fluencia del acero de refuerzo en una sección, se forma una rótula plástica que permite grandes rotaciones con un momento resistente constante y transfiere la carga a otros sitios a lo largo del elemento donde aún no alcanza la resistencia límite. A medida que la carga se incrementa pueden formarse otras rótulas plásticas en varios sitios a lo largo de la luz, que pueden generar de manera eventual el colapso de la estructura, pero sólo después de que se presente una significativa redistribución de momentos. El reconocimiento de la redistribución de momentos puede ser importante porque permite una aproximación más realista a la capacidad verdadera de una estructura para resistir cargas, lo cual conduce a un aumento en la economía. Tanto el código ACI 318 como la Norma Técnica para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto estipulan que todas las estructuras continuas de concreto reforzado se diseñen para resistir los efectos máximos de las cargas factorizadas determinados por la teoría del análisis elástico. Sin embargo, permiten el análisis de la redistribución de momentos bajo ciertas restricciones. 3. MÉTODOS DE DISEÑO. Desde hace mucho tiempo predominan dos criterios de diseño para el concreto reforzado. El primer método fue el llamado “diseño por esfuerzos de trabajo” utilizado desde principios del siglo XX. Sin embargo, desde la publicación de la edición 1963 del código ACI 318, hubo una rápida transición al otro método, “diseño por resistencia última”, debido a que se consideró como un método más racional y realista en su aplicación a la seguridad de las estructuras. En el diseño por esfuerzos de trabajo, los elementos se dimensionan de manera que los esfuerzos en el acero y en el concreto, resultantes de cargas normales de servicio, estén dentro de unos límites especificados. Estos límites son conocidos como esfuerzos admisibles, y son apenas fracciones de los esfuerzos de falla de los materiales (por 4

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'

σ c =0.45 f c , para acero

σ s=0.6 f y ). En este método todos

los tipos de carga se tratan de la misma manera sin importar qué tan diferentes sean su variabilidad individual y su incertidumbre. Asimismo, los esfuerzos se calculan para el rango elástico de deformación. En cuanto a las deflexiones y el agrietamiento, se consideran comúnmente sólo en forma implícita a través de los límites impuestos a los esfuerzos producidos por las cargas de servicio. 3.1. PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO POR RESISTENCIA. 3.1.1. MÉTODO DE DISEÑO POR RESISTENCIA.El método de diseño por resistencia requiere que la resistencia de diseño de un elemento en cualquier sección sea igual o mayor a la resistencia requerida calculada a partir de las combinaciones de carga factorizadas especificadas en las normativas de diseño. En general el criterio básico para el diseño por resistencia se expresa: Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Requerida

ϕ R n ≥ U ( ACI 4.6) La resistencia de diseño es obtenida aplicando un factor de reducción resistencia nominal del elemento. La resistencia nominal

Rn

ϕ

a la

se calcula mediante las

hipótesis y ecuaciones del diseño por resistencia. La resistencia requerida está basada en la combinación más crítica de las cargas factoradas; esto es, las cargas de servicio especificadas son multiplicadas por los factores de carga apropiados. De esta manera, y en términos específicos, para un elemento sometido a carga axial, momento flector, cortante y momento de torsión:

ϕ P n ≥ Pu ϕ M n ≥ Mu ϕ V n≥ V u ϕ T n ≥T u Donde, los subíndices n indican las resistencias nominales a fuerza axial, flexión, cortante y torsión respectivamente, y los subíndices u indican los efectos amplificados de carga axial, momento flector, cortante y momento torsor. Para el cálculo de los efectos de las cargas amplificadas a la derecha de las ecuaciones, los factores de carga pueden 5

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aplicarse ya sea a las cargas de servicio directamente o a los efectos internos de las cargas calculados a partir de las cargas de servicio.

Las siguientes razones fundamentan la utilización de factores de reducción de resistencia y factores de carga en el método de diseño por resistencia: 1. La reducción en la resistencia de los materiales o elementos es necesaria por: a) La resistencia de los materiales puede diferir de las supuestas en el diseño debido a: 

Variación en la resistencia de los materiales. La resistencia a la compresión del concreto así como la resistencia a la fluencia y resistencia última del acero de refuerzo son variables.



El efecto de la velocidad de los ensayos. Las resistencias del concreto y del acero son afectadas por la velocidad de aplicación de las cargas.



Resistencia en obra contra resistencia de especímenes. La resistencia del concreto en una estructura es algo diferente que la resistencia del mismo concreto en un espécimen de control.

b) Los elementos pueden variar de los asumidos, debidas a errores de fabricación y construcción. Los siguientes errores son importantes: 

Las tolerancias de laminación y fabricación de las varillas de refuerzo.



Errores en la geometría de las secciones transversales y errores en la ubicación del acero de refuerzo.

c) Las hipótesis y simplificaciones en las ecuaciones de diseño, tales como el uso del bloque rectangular equivalente de esfuerzos y la suposición de máxima deformación unitaria útil del concreto igual a 0.003, introducen tanto errores sistemáticos como aleatorios. d) El uso de tamaños nominales de varillas da como resultado variaciones de la capacidad real de los elementos. 2. Los factores de carga son necesarios por la posibilidad de sobrecargas debido a: a) Las magnitudes de las cargas pueden variar de las asumidas. Las cargas muertas pueden variar:  

Variaciones en los tamaños de los elementos Variaciones en la densidad del material 6

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

Alteraciones estructurales y no estructurales Las cargas vivas varían de manera considerable en el tiempo y de un edificio a otro.

b) Existen incertidumbres en el cálculo de los efectos de las cargas. Las suposiciones de rigidez, longitudes de claros, etc., y las imprecisiones originadas al modelar las estructuras tridimensionales para el análisis estructural, provocan diferencias entre los esfuerzos que en realidad ocurren en una construcción y los que el diseñador consideró en su análisis. 3. La reducción de la resistencia y el incremento de las cargas también es debido a que las consecuencias de una falla pueden ser graves. Se consideran varios factores: a) El tipo de falla, la advertencia de la misma y la existencia de diferentes condiciones de carga. b) Potencial pérdida de vidas. c) Costos debido a pérdidas de vidas y daños a la propiedad. d) La importancia del elemento en la estructura. e) Costos de reparación de la estructura. 3.1.2. RESISTENCIA REQUERIDA.La resistencia requerida, U, se expresa en términos de cargas factorizadas o de sus fuerzas y momentos internos relacionados. Las cargas factorizadas son las cargas de servicio especificadas en el reglamento general de construcción, multiplicadas por los factores de carga apropiados. La tabla 5.3.1 del código ACI 318-14 prescribe factores de carga para combinaciones específicas de carga. El valor numérico del factor de carga asignado a cada tipo de carga está influido por el grado de precisión con el que la carga normalmente puede ser evaluada, por la variación que se puede esperar en la carga durante la vida de una estructura, y la probabilidad de la ocurrencia simultánea de diferentes tipos de carga. Por lo tanto, las cargas muertas, que normalmente pueden determinarse con mayor precisión y son menos variables, están asociadas con un factor de carga bajo (1.2) a diferencia de las cargas vivas (1.6). También, al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y un nivel máximo controlado, se asocia un factor de 1.2 debido a la menor posibilidad de sobrecarga. Un alto factor de carga (1.6) es requerido para presiones de tierra y de agua subterránea debido a la incertidumbre de su magnitud y variación. Aunque se incluyen la mayoría de las combinaciones usuales, no debe suponerse que todos los casos están cubiertos.

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Tabla 5.3.1 COD.ACI 318-14— Combinaciones de carga

3.1.3 RESISTENCIA DE DISEÑO.La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus uniones con otros elementos, y sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, es igual a la resistencia nominal calculada de acuerdo con las disposiciones y suposiciones del método de diseño por resistencia, multiplicadas por un factor de reducción de resistencia

ϕ

que es menor que la unidad. Las reglas para calcular la

resistencia nominal se basan en estados límite seleccionados conservadoramente para esfuerzos, deformación unitaria, agrietamiento o deterioro, y se derivan de los resultados de las investigaciones de cada tipo de acción estructural.

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Tabla 21.2.1 COD. ACI 318-14 — Factores de reducción de resistencia.

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3.1.4. HIPÓTESIS DE DISEÑO.

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El cálculo de la resistencia de un elemento y de una sección transversal por el Método de Diseño por Resistencia, requiere que se cumplan dos condiciones básicas: (1) El equilibrio estático y (2) la compatibilidad de las deformaciones unitarias. La primera condición requiere que las fuerzas de compresión y las fuerzas de tensión actuando en una sección transversal en la resistencia nominal estén en equilibrio. La segunda condición requiere que la compatibilidad entre las deformaciones en el concreto y el acero de refuerzo en la resistencia nominal sea establecida dentro de las hipótesis de diseño dadas en la sección 22.2 del código ACI 318-14. 3.1.4.1. Hipótesis de diseño para resistencia a flexión y a carga axial 3.1.4.1.1. Equilibrio y compatibilidad de deformaciones

(ACI 22.2.1)



Debe cumplirse con la condición de equilibrio en cada sección.



Las deformaciones unitarias en el concreto y el refuerzo no preesforzado deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. Esta suposición es de primordial importancia en el diseño para determinar la deformación unitaria y el esfuerzo correspondiente en el refuerzo. Numerosos ensayos han confirmado que es razonable suponer una distribución lineal de la deformación unitaria a través de una sección transversal de concreto reforzado (las secciones planas se mantienen planas), aún cerca de la resistencia nominal.

3.1.4.1.2. Suposiciones de diseño para el concreto

(ACI 22.2.2)

11

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La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto debe suponerse igual a 0.003. La máxima deformación unitaria para aplastamiento del concreto por compresión se ha establecido, a través de numerosos ensayos de diferente naturaleza, que varía desde 0.003 hasta valores tan altos como 0.008 bajo condiciones especiales. Sin embargo, las deformaciones unitarias a las cuales se desarrolla la resistencia están usualmente entre 0.003 y 0.004 para miembros de dimensiones, materiales y resistencias normales.



La resistencia a la tracción del concreto debe despreciarse en los cálculos de resistencia a flexión y resistencia axial. La resistencia a la tracción del concreto sometido a flexión (módulo de ruptura) es una propiedad más variable que la resistencia a la compresión y es aproximadamente igual al 10 a 15 por ciento de la resistencia a la compresión. En el cálculo de la resistencia a flexión, conservadoramente la resistencia a la tracción del concreto sometido a flexión no se toma en cuenta. No obstante, la resistencia del concreto en tracción es importante en la evaluación de la fisuración y las deflexiones a nivel de cargas de servicio.



La relación entre los esfuerzos de compresión y la deformación unitaria en el concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que lleve a una predicción de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos representativos. La distribución de los esfuerzos del concreto bajo deformaciones unitarias altas no es lineal (el esfuerzo no es proporcional a la deformación unitaria).La deformación unitaria máxima utilizable para diseño es 0.003. La distribución real del esfuerzo de compresión del concreto dentro de una sección transversal es compleja y, por lo general, no se conoce explícitamente. Sin embargo, las investigaciones han demostrado que las propiedades importantes de la distribución de esfuerzos en el concreto pueden aproximarse adecuadamente si se emplea cualquiera de diferentes suposiciones para la forma de la distribución de los esfuerzos.



La distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto se define por los siguientes puntos: Para diseño, el Reglamento permite el uso de una distribución rectangular equivalente de esfuerzos de comprensión (bloque de esfuerzos) como reemplazo de distribuciones de esfuerzos del concreto más elaboradas.

-

Se debe suponer un esfuerzo de 0.85

f 'c

uniformemente distribuido en una

zona de compresión equivalente, limitada por los bordes de la sección 12

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transversal y por una línea recta paralela al eje neutro, ubicada a una distancia a de la fibra de deformación unitaria máxima en compresión, tal como se calcula con:

a=β1∗c

(ACI 22.2.2.4.1)

La distribución rectangular de esfuerzos equivalente no representa la distribución real de esfuerzos en la zona de comprensión al nivel de resistencia nominal, pero proporciona esencialmente los mismos resultados de las resistencias nominales de flexión y axial que los obtenidos en ensayos (Mattock et al. 1961). -

La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima al eje neutro, c, se debe medir en dirección perpendicular al eje neutro.

-

Los valores de

β 1 deben estar de acuerdo con:

Tabla 22.2.2.4.3 — Valores de

β 1 para la distribución rectangular equivalente de

esfuerzos en el concreto.

f 'c [ kg /cm2 ]

β1

fc ' 170≤

fc ' 280≤

0.85

≤280 0.85 

≤550

fc' ≥550

0.05( f c '  280) 70

0.65

3.1.4.1.3. Suposiciones de diseño para refuerzo no preesforzado -

(ACI 22.2.3)

La relación esfuerzo-deformación unitaria y el módulo de elasticidad para el refuerzo corrugado debe idealizarse de acuerdo con:

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3.1.5. PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES. 3.1.5.1. Resistencia nominal a flexión.La resistencia nominal de un elemento o sección transversal sujeto a flexión o a la acción combinada de flexión y carga axial debe basarse en el equilibrio y en la compatibilidad de las deformaciones, empleando las suposiciones de la sección ACI 22.2. La resistencia nominal de cualquier tipo de sección con cualquier cantidad y distribución del refuerzo se calcula aplicando el equilibrio de fuerza y momento y las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Esto se ilustra a continuación para el caso de una sección rectangular con refuerzo a tensión únicamente, sección con patín (T) con refuerzo a tensión y sección rectangular con refuerzo a tensión y compresión. 3.1.5.1.1. Sección rectangular con refuerzo a tensión (sección simplemente reforzada). Utilizando la distribución rectangular equivalente, y asumiendo que el refuerzo fluye (

ε s> ε y ) antes del aplastamiento en el concreto, la resistencia nominal Mn puede calcularse a través del equilibrio de fuerzas y momentos. A partir del equilibrio de fuerzas:

C=T o,

'

0.85∗f c ∗b∗a= A s∗f y

por tanto 14

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a=

A s∗f y 0.85∗f 'c∗b

Del equilibrio de momentos:

( a2 )= A ∗f ∗( d− a2 )

M n=( C ó T )∗ d−

s

y

y sustituyendo el valor de “a”

(

M n= A s∗f y∗ d−0.59

A s∗f y (ACI 22. 2) f 'c∗b

)

Tipos de falla en secciones simplemente reforzadas: 

Falla dúctil.-Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el

s   y extremo comprimido , o sea cuando en la falla deformación para el cual se inicia la fluencia. 

y , donde

es el valor de la

Falla Balanceada.- Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto, es decir cuando en la falla

s   y ocurre que 

.

Falla Frágil.- Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción,

s   y es decir cuando en la falla 3.1.5.1.2. Sección con patín con refuerzo a tensión únicamente.Cuando el espesor del patín de compresión es igual o mayor que la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos “a”, la resistencia por flexión

Mn

se calcula con la

ecuación de una sección rectangular con un ancho igual al ancho del patín. Cuando el espesor del patín de compresión es menor que “a”, la resistencia nominal a la flexión

M n es:

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h a + A s∗f y∗ d− f ( ACI 22.2) 2 2

( )

M n=( A s− A sf )∗f y∗ d −

(

)

Donde

A sf

= área del refuerzo requerido para equilibrar la resistencia a compresión

de los patines '

= 0.85∗f c ∗(b−b w )¿ hf /f y a=

( A s− Asf )∗ f y /0.85∗f 'c∗bw

b = ancho efectivo del patín (definido en ACI 318-02, 9.2.4). bw = ancho del alma hf = espesor del patín

Distribución de deformación y esfuerzo para una sección con patín (sección T).

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3.1.5.1.3. Sección rectangular con refuerzo a compresión. Para una sección doblemente reforzada con refuerzo a compresión A’s, pueden darse dos condiciones: 1. El refuerzo a compresión

A 's

fluye:

f 's=f y

a=

( A s −A 's )∗f y 0.85∗f 'c ∗b

La resistencia nominal a flexión es:

( a2 )+ A ∗f ∗( d−d )( ACI 22.2)

M n=( A s− A 's )∗f y∗ d−

El refuerzo

A 's

' s

'

y

fluye si se satisface la condición:

d ' ε u −ε y ≤ c εu

Distribución de deformación y esfuerzo para una sección rectangular doblemente reforzada.

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2. El refuerzo a compresión

'

As

no fluye:

c−d ' hf , seguir al paso 3.

3. Calcular el refuerzo requerido

A sf

y la resistencia a momento

ϕ M nf

correspondiente a las alas del patín en compresión:

As=

C f 0.85 f 'c ( b−bw )h f = fy fy

[ ( )]

ϕM nf =ϕ A sf f y d−

hf 2

4. Calcular la resistencia a momento requerido que resiste el alma de la viga:

M uw =M u −ϕM nf 5. Utilizando la ecuación de

ω

calcular el refuerzo

A sw

requerido para la resistencia

del alma:

M uw ϕ f 'c b w d 2

=ωw (1−0.59 ωw )

ω w f 'c b w d A sw = fy

6. Determinar el refuerzo total requerido:

A s =A sf + A sw 32

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7. Revisar si la sección es controlada por tensión, con

c=

ϕ=0.90

aw ; a =1.18 ω w d β1 w

Si c /

dt ≤

Si c /

dt

0.375, la sección es controlada por tensión. > 0.375, agregar refuerzo por compresión.

8. Revisar la capacidad a momento:

[

(

ϕM n =ϕ ( A s−A sf ) f y d −

)]

aw h + A sf f y d− f ≥ M u 2 2

)

(

Donde

0.85 f 'c (b−bw ) hf A sf = fy

a w=

( A s− A sf )∗f y '

0.85∗f c∗b w

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4. COMPORTAMIENTO DE CORTE EN VIGAS 4.1. INTRODUCCIÓN.Las vigas deben tener un margen de seguridad adecuado contra otros tipos de fallas, algunas de las cuales pueden ser más peligrosas que la falla a flexión. Esto se debe a la gran incertidumbre en la predicción de otros modos de colapso o a causa de la naturaleza catastrófica de otros tipos de fallas, cuando éstas ocurren. Un ejemplo de lo anterior es la falla a cortante del concreto reforzado más conocida como falla a tensión diagonal. La falla a cortante es difícil de predecir en forma exacta. A pesar de la investigación experimental llevada a cabo durante muchas décadas y del uso de herramientas analíticas altamente sofisticadas, ésta no se comprende aún completamente. Además, si una viga sin diseño adecuado del refuerzo a cortante se sobrecarga hasta la falla, se puede presentar un colapso por cortante en forma súbita, sin aviso alguno de peligro. Esto está en fuerte contraste con la naturaleza de la falla a flexión. Para vigas comunes sub reforzadas, la falla a flexión se inicia por fluencia gradual del acero a tensión acompañada por agrietamiento obvio del concreto y grandes deflexiones, que dan aviso evidente y la oportunidad de tomar medidas correctivas. A causa de estas diferencias en el comportamiento, por lo general se coloca refuerzo a cortante en las vigas de concreto reforzado para garantizar una falla a flexión antes de que ocurra la falla a cortante en caso de que el elemento se sobrecargue en exceso. Es importante comprender que el análisis y el diseño a cortante no están relacionados realmente con el cortante como tal. En la mayor parte de las vigas, los esfuerzos cortantes están muy por debajo de la resistencia a cortante directa del concreto. La verdadera inquietud tiene que ver con el esfuerzo de tensión diagonal, que surge de la combinación de esfuerzos cortantes y de esfuerzos de flexión longitudinal. Primero se estudian los elementos sin refuerzo en el alma con el fin de establecer la localización y orientación de las grietas, y la carga para la cual ocurre el agrietamiento diagonal. En seguida se desarrollan los métodos para el diseño del refuerzo a cortante de acuerdo con el Código actual del ACI, tanto en vigas comunes como en tipos especiales de elementos.

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4.2 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGON La fuerza cortante viene a ser el resultado de la acción de fuerzas verticales que actúan en una sección determinada de una viga y tiende a cortar la viga, tal como muestra la figura.

La fuerza cortante es la resultante de todas las fuerzas verticales que actúan en la viga en una secciónconsiderada, manteniendo el equilibrio en la sección.V=RL-W1-W2-W3 La figura muestra la representación gráfica de las trayectorias o isostáticas de tensiones principales para una viga simplemente apoyada y con carga uniforme. Las líneas punteadas representan las isostáticas de compresión y las continuas las de tracción. Ambos juegos de curvas cortan al eje X con una inclinación de 45° y siempre se cruzan perpendicularmente entre si terminando la trayectoria en cada uno de los bordes superior e inferior de la viga. 4.3 COMPORTAMIENTO Y MODOS DE FALLA Se describen el comportamiento bajo carga y los modos de falla de elementos de concreto en los cuales la acción de la fuerza cortante es importante. Para facilitar la exposición se agrupan los elementos en tres tipos distintos, según se muestra en la figura a) Vigas o columnas sin refuerzo transversal en el alma, sujetas a combinaciones de fuerza cortante, momento flexionante y carga axial.

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b) Vigas o columnas con refuerzo transversal en el alma, mostrado esquemáticamente en la figura por estribos verticales, y sujetas a las mismas combinaciones de carga que los elementos del inciso a. c) Losas y zapatas, reforzadas y apoyadas en las dos direcciones, sujetas a cargas concentradas o a cargas repartidas. Este tipo de elementos está sujeto a flexión en dos direcciones.

Representación esquemática de los diferentes tipos de falla en elementos en los que predomina la fuerza cortante. 4.3.1 ELEMENTOS SIN REFUERZO EN EL ALMA Secciones rectangulares Considérese un elemento sometido a carga en la forma mostrada en la figura a. En los primeros incrementos de carga no existe diferencia entre el comportamiento de un elemento que falle por efecto de fuerza cortante y el de otro que falle por flexión. Antes de que aparezcan las primeras grietas en la parte inferior, debidas a flexión, el comportamiento del elemento es esencialmente elástico. Al aumentar las cargas, la fuerza cortante puede originar esfuerzos principales que excedan la resistencia a tensión del concreto, produciendo grietas inclinadas a una altura aproximada de medio peralte. Estas 36

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

grietas pueden aparecer súbitamente en puntos donde no exista una grieta de flexión o, muy frecuentemente, pueden presentarse como continuación de una grieta de flexión que gradualmente cambia de inclinación. 4.4 DISEÑO POR CORTANTE. El diseño por cortante está basado en la siguiente expresión:

ϕV n ≥ V u ACI 318−14−9.5 .1 .1 donde

V u = fuerza cortante factorizada en la sección considerada ϕ = factor de reducción de resistencia, igual a 0.75 V n = resistencia nominal al cortante La resistencia nominal a cortante

V n en una dirección se debe calcular como:

V n=V c +V s ACI 318−14−22.5 .1.1 donde

Vc

es la resistencia nominal a cortante proporcionada por el concreto y

Vs

es la resistencia nominal a cortante proporcionada por el refuerzo. Las ecuaciones para la resistencia a cortante del concreto presentadas en el capítulo 22.5 del código ACI son una función de

√f

' c

, y han sido verificadas experimentalmente en

elementos de concreto reforzado con resistencia a la compresión del concreto de hasta 700 kg/cm2. Debido a la falta de pruebas en elementos con 22.5.3.1 limita el valor de

√f

el uso de concretos con

fc

'

' c

f 'c

> 700 kg/cm2, el ACI

a 26.5 kg/cm2. Sin embargo, el ACI 22.5.3.2 no prohíbe > 700 kg/cm2, pero conduce al diseñador a no tomar en

cuenta resistencias mayores para el cálculo de

V c , a menos que una cantidad de

refuerzo mínimo a cortante sea proporcionada. Las dimensiones de la sección transversal deben seleccionarse para cumplir con la ecuación: 37

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

V u ≤ ϕ ( V c +2.2 √ f c ' bw d) ACI 318−14−22.5.1 .2 Para elementos no presforzados, las secciones localizadas a una distancia menor que “d” (peralte efectivo del elemento) desde la cara del apoyo, se pueden diseñar para el mismo cortante

Vu

que el calculado a dicha distancia (sección crítica), siempre que se

cumplan las siguientes condiciones (ACI 9.4.3.2): a) La reacción en el apoyo en dirección del cortante aplicado introduce compresión en las zonas extremas del elemento. b) Las cargas están aplicadas en o cerca de la parte superior del elemento. c) No ocurre ninguna carga concentrada entre la cara del apoyo y la ubicación de la sección crítica. Las condiciones donde se aplica la disposición ACI 9.4.3.2 se ilustran en las figuras a y b, y las condiciones donde no se aplica en las figuras c, d, e y f.

Fig. R9.4.3.2(a) — Diagramas de cuerpo libre en el extremo de la viga.

38

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

Fig. R9.4.3.2(b) — Ubicación de la sección crítica de cortante en un elemento cargado cerca de su cara inferior.

Fig. R9.4.3.2 (c), (d), (e) y (f) — Condiciones típicas del apoyo para localizar la fuerza cortante mayorada

Vu .

4.4.1. RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO.

39

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

Para elementos no presforzados sujetos a cortante y flexión solamente, el código ACI

Vc :

permite el cálculo de la resistencia a cortante del concreto 

De forma simplificada según ACI 22.5.5.1

V c =0.53 λ √ f c ' b w d ACI 318−14−22.5 .5 .1 

De manera detallada,

V c , según la tabla 22.5.5.1

Tabla 22.5.5.1 — Método detallado para calcular

Vc

Vc El menor de (a),(b)y(c)

(

0.5 λ √ f c ' +176 ρ w

Vud b d Mu w

( 0.5 λ √ f c ' +176 ρ w ) bw 0.93 λ √ f c ' bw d

)

d

(a)

(b) (c)

4.4.2. RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL REFUERZO DE CORTANTE. El tipo de refuerzo a cortante más común en vigas son los estribos cerrados colocados perpendicularmente al eje del elemento, por lo que es el único tipo a tratar en esta sección. Estos estribos deben cumplir con lo establecido en el ACI 9.7.6.2.2. El espaciamiento de los estribos utilizados como refuerzo a cortante, colocados perpendicularmente al eje del elemento, no debe exceder de: 

d/2 o 60 cm, si

ϕ V s ≤1.1 √ f 'c bw d



d/4 o 30 cm, si

1.1 √ f 'c b w d< ϕ V s ≤ 2.2 √ f 'c b w d

El valor de

ϕVs

no debe exceder de

2.2 √ f 'c b w d . Para situaciones en que la

resistencia requerida a cortante excede este límite, el tamaño del elemento o la resistencia del concreto debe incrementarse para contar con una mayor resistencia al cortante proporcionada por el concreto.

40

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

Vu

Cuando la fuerza cortante factorizada proporcionada por el concreto (

Vu

excede a la mitad de la resistencia

ϕ V s /2), una cantidad mínima de refuerzo por

>

cortante debe proporcionarse en elementos sujetos a flexión, excepto para losas y zapatas, viguetas y vigas pachas. Cuando se requiera, la cantidad mínima de refuerzo por cortante para elementos no presforzados, donde sea permitido despreciar los efectos de torsión, según el código ACI 318-14 debe cumplir con la tabla 9.6.3.3

A min =0.20 √ f 'c

A min =

bw s ACI 318−14−9.6 .3 .3 fy

3.5 bw s ACI 318−14−9.6 .3 .3 fy

Cuando la fuerza cortante factorizada

Vu

excede la resistencia a cortante del concreto

ϕV u , refuerzo por cortante debe proporcionarse para resistir el cortante en exceso. El código proporciona una ecuación que define la resistencia a cortante del refuerzo en términos del área

A v , resistencia a la fluencia

Vs

f y , y el espaciamiento s del

refuerzo por cortante que consiste en estribos perpendiculares al eje del elemento:

V s=

Av f y d ACI 318−14−22.5.10 .5 .3 s

Sustituyendo

Vs

dentro de ec. ( ACI 318−14−22.5.1 .1 ) y

Vn

dentro de ec. (

ACI 318−14−9.5 .1.1 ¿ , se obtiene: ϕ V c+

ϕ Av f y d ≥Vu s

4.5. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL REFUERZO POR CORTANTE. El diseño de vigas de concreto reforzado por cortante involucra los siguientes pasos: 1. Determinar la fuerza de cortante factorizada máxima

Vu

en las secciones críticas a

lo largo del elemento. 41

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

2. Determinar la resistencia a cortante proporcionada por el concreto

ϕ

(ACI 22.5.5.1) con 3. Calcular (

Vu

-

ϕV c

de la ec.

= 0.75.

ϕV c ) en la sección crítica. Si ( V u

-

ϕV c ) >

2.2 √ f 'c b w d ,

incrementar el tamaño de la sección o la resistencia a compresión del concreto

f 'c .

4. Calcular la distancia desde el apoyo a partir de la cual se requiere refuerzo mínimo por cortante (p. ej. donde

V u= ϕV c ), y la distancia desde el apoyo a partir de la cual el

concreto puede resistir el cortante total (p. ej. donde

V u= ϕV c /2 ).

5. Usar la siguiente tabla para determinar el área requerida de estribos verticales

Av

o

el espaciamiento s. En donde los estribos son necesarios, es más ventajoso seleccionar un tamaño de varilla y determinar el espaciamiento requerido. Si es posible, no más de tres diferentes espaciamientos de estribos deben especificarse, con el primer estribo localizado a 5 cm de la cara del apoyo.

42

CIV-307

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

Los requisitos de resistencia a cortante se ilustran en la figura.

Requisitos de resistencia a cortante. La expresión para la resistencia a cortante proporcionada por el refuerzo a cortante

ϕV s

pueden ser asignadas valores específicos de fuerzas para un tamaño de estribo

dado y resistencia del refuerzo. La selección del refuerzo y espaciamiento puede ser simplificado si el espaciamiento es expresado como función del peralte efectivo en lugar de un valor numérico. Limites prácticos de espaciamientos de estribos generalmente varían de s = d/2 a d/4, desde que espaciamientos menores de d/4 no son económicos con un espaciamiento intermedio en d/3, un valor especifico de

ϕV s

puede ser

derivado para cada tamaño y espaciamiento de estribos como sigue: Para estribos verticales:

ϕ V s=

ϕ Av f y d s

43

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 5.1 DISEÑO A FLEXIÓN.Determinar el refuerzo

A S en la zona de tracción , con los siguientes datos :

Datos

M u=7 ton−m b=25 cm

h=50 cm f 'c =210 kg/cm2 f y =4200 kg /cm2 A S =?

1. Calculo peralte :

d=h−rec .−∅ est .−

∅ long. 1.2 =50−2.5−0.6− =46.3 cm 2 2 d=46.3 cm

2. Calculo de acero mínimo :

A Smin =

0.8∗√ f c '∗b∗d 0.8∗√ 210∗25∗46.3 = =3.195 c m2 fy 4200 A Smin =

14∗b∗d 14∗25∗46.3 2 = =3.86 c m fy 4200

3. Calculo de cuantia : 44

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

Mu ∅∗f c '∗b∗d 2

=ω(1−0.59 ω)

ku =

ku =

Mu ∅∗f c '∗b∗d

2

=

Mu

2

∅∗f c '∗b∗d

2

2

=ω−0.59 ω ∴−0.59 ω +ω=k u

700000 =0.0691 0.9∗210∗25∗46.32 0.59 ω2−ω+0.0691=0

ω1 =1.623 ω2 =0.0722

ρ=

ω f c ' 0.0722∗210 = =0.00361 fy 4200

4. Calculo de

AS

:

A S =ρ∗b∗d=0.00361∗25∗46.3=4.18 c m2 A S =4.18 c m2 5. Calculo de cuantia balanciada :

ρb=0.85

f c' 6000 210 6000 ∗β1∗( )=0.85 ∗0.85∗( )=0.02125 fy fy +6000 4200 4200+6000

ρb=0.02125 6. Calculo de cuantia maxima zona no sismica :

ρmax =0.75∗ρb=0.75∗0.02125=0.0159 7. Calculo de

A max

: 45

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

A Smax =0.0159∗25∗46.3=18.45 c m

2

Como : A max > A S > A Smin 2

2

usar → A s=4.18 c m → usar 4 ∅ 12 mm( A S=4.52c m )

8. Considerando la estática se pueden revisar los cálculos.

T =A s∗f y =4.18∗4200=17556 kg

a=

A s∗f y ' c

0.85∗f ∗b

=

17556 =3.934 cm 0.85∗210∗25

Resistencia de momento de diseño:

[

( a2 )]=0.9∗[ 17.556∗(0.463− 0.03934 )]=7.0047 ton−m 2

∅ M n =∅ A s∗f y ∗ d−

∅ M n =7.0047 ton−m≅ M u =7 ton−mok

46

CIV-307

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

5.2 DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA.Una sección transversal de una viga está limitada por las dimensiones mostradas. Determine el área de refuerzo requerido para el momento Mu=23 ton m Datos

M u=23 ton−m b=20 cm h=45 cm

f 'c =210 kg/cm2

47

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

f y =4200 kg /cm

2

A S =? A 's =? 1.- Determinar si la viga requiere refuerzo a compresión: Cuantía máxima:

ρmax =0.75 ρb '

0.85∗f c 6000 ρb= ∗β 1∗ fy 6000+f y

(

)

ρb=0.02125 ρmax =0.75∗0.02125=0.01594 Cuantía necesaria:

Mu ϕ f 'c b d 2

=ω(1−0.59 ω)

ω=0.5761 ρ=0.0288 Como 0.0288 > 0.01594, refuerzo a compresión necesaria 2.- Determinar el momento resistido solo por la viga y refuerzo a tensión:

(

M max=0.9∗ρ max bd f y d −

ρmax bd f y 1.7∗f 'c b

)

M max=15.663 ton m 3.- Determinar el momento que debe resistir el refuerzo a compresión: 48

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

M 2=M n−M max M 2=7.337 tonm 4.- Determinar si el acero en compresión fluye:

a=

A max f y '

0.85 f c b

a=15 cm c=

a β1

c=17.647 cm

f c−d ' ε= ∗0.003> y c Ey ' s

( )

0.00215>0.0021 → El acero en compresion fluye Por lo tanto:

f 's=f y =4200 Entonces:

A 's =A s 2=

M2 ϕ f 's (d−d ' )

A 's =5.545 cm2 '

A s =A max + A s A s =18.3 cm

2

49

CIV-307

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

usar → A s=18.3 c m2 →usar 6 ∅ 20 mm( A S=18.85 c m2 ) usar → A's=5.545 c m2 →usar 3 ∅16 mm( A's=6.03 c m2 )

50

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

5.3 DISEÑO DE UNA SECCIÓN CON PATÍN (VIGA EN T).Seleccione el refuerzo para la sección T mostrada, para soportar un momento ultimo de Mu=55ton m Datos

M u=55 ton−m b=75 cm h=50 cm

r=2.5 cm b w =25 cm h f =6.25 cm f 'c =280 kg/cm2 f y =4200 kg /cm2

1.- Encontrar la profundidad del bloque rectangular equivalente a, como para una sección rectangular:

0.59 ω2−ω+

Mn ϕ f 'c b d 2

=0

51

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

ω=0.1406

a=

A s∗f y ' c

0.85∗f ∗b

=

ρ∗d∗f y 0.85∗f 'c

=1.18 ωd=1.18∗0.1406∗47.5=7.86 cm

7.86 cm >6.25 cm

Como Calcular

el

refuerzo

requerido

A sf

y

la

resistencia

a

momento

ϕ M nf

correspondiente a las alas del patín en compresión:

C f 0.85 f 'c ( b−bw )h f 2 As= = =17.708 cm fy fy

[

(

ϕM nf =ϕ A sf f y d−

)]

hf =33.004 tonm 2

4. Calcular la resistencia a momento requerido que resiste el alma de la viga:

M uw =M u −ϕM nf =28.107 ton m 5. Utilizando la ecuación de

ω

calcular el refuerzo

A sw

requerido para la resistencia

del alma:

M uw ϕ f 'c b w d 2

A sw =

=ωw (1−0.59 ωw )

ω w f 'c b w d =15.996 cm2 fy

6. Determinar el refuerzo total requerido:

A s =A sf + A sw =33.704 cm 2

2

2

usar → A s=33.704 c m → usar 7 ∅ 25 mm( A S=34.36 c m )

52

CIV-307

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

5.4 DISEÑO A CORTANTE.Determinar el tamaño requerido y espaciamiento de los estribos verticales, para un claro de

9 m , viga simplemente apoyada.

Datos

qu =7 ton /m Col.

30 x 30 cm

b w =35 cm

53

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307

h=35 cm

f 'c =210 kg/cm2 f y =4200 kg /cm2

R A =RB =

q l 7∗9 = =31.5 ton=31500 kg 2 2

Ecuación de

Vx

V x =31500−70( x ) 54

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

CIV-307 1. calculo del peralte .

d=h−rec .−∅ est .−

∅ long. 2 =55−2.5−0.8− =50.7 cm 2 2 d=50.7 cm

Vu

2. calculo de

.

V u en el extremo izquierdo : V u=31500 kg V u a una distancia x=d +

d

de la cara de la columna :

col . 30 =50.7+ =65.7 cm 2 2

V u=31500−70( x) V u=31500−70 ( 65.7 )=26901 kg 3. Determinar la resistencia a cortante proporcionada por el concreto. ϕ V c =ϕ 0.53 λ √ f c ' bw d donde ϕ=0.75 , λ = 1 ϕ V c =0.75∗0.53∗1∗√ 210∗35∗50.7=10221.69 kg=10.22 ton Como :

V u=26901 kg> ϕ V c =10221.69kg Debido a esto, el refuerzo por cortante es requerido. 4. Calcular

V u−ϕ V c

en la sección critica.

V u−ϕ V c =26901−10221.69=16679.31 kg