Diseño de Vigas

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VIGAS Y SU DISEÑO

M. en C. RICARDO CORTEZ OLIVERA

CATEDRATICO DE ESIME IPN

M. en C. RICARDO SANCHEZ MARTINEZ

CATEDRATICO DE ESIME IPN

M. en C. JUAN JOSE MARTINEZ COSGALLA CATEDRATICO DE ESIME IPN

MEXICO 2012

ESIME IPN i

Titulo original de la obra:

VIGAS Y SU DISEÑO

1º Edición 2012 México D. F, © Copyright Editor Agua Mecánica S. A. de C. V. DERECHOS RESERVADOS

MERLUZA 61 COLONIA DEL MAR DELEGACIÓN TLAHUAC 13270 MÉXICO D. F. TEL:21602773

QUEDA ESTRICTAMENTE PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL DE LA PRESENTE EDICIÓN POR CUALQUIER MEDIO CONOCIDO O AQUEL QUE PUDIERA DARSE POR LOS AVANCES TECNOLOGICOS, SIN LA AUTORIZACIÓN DEL EDITOR.

ISBN 978-607-8114-05-4

VIGAS Y SU DISEÑO

INDICE PAGINA

TEMA

CAPITULO I FLEXION Introducción…………………………………………………………………..……………………………………………………………… Antecedentes de la estática……………………………………………………………………………………………………………. Centroides……………………………………………………………………………………………………………………………………… Centroide de una área compuesta…………………………………………………………………………………………………. Momento de inercia ……………………………………………………………………………………………………………………. Teorema de Sterner o de los ejes paralelos …………………………………………………………………………………. Momento de inercia de un área compuesta ……………………………………………………………………………….. Principales hipótesis y principios utilizados en Mecánica de Materiales…………………………………………. Tipos de apoyos y reacciones que absorben…………………………………………………………………………………… Viga………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Flexión……………………………………………………………………………………………………………………………………………. Flexión simple o simétrica………………………………………………………………………………………………………………. Flexión simétrica…………………………………………………………………………………………………………………………… Hipótesis utilizadas para flexión en vigas……………………………………………………………………………………… Clasificación de vigas según su tipo de apoyo…………………………………………………………………………………. Tipos de carga………………………………………………………………………………………………………………………………… Fuerza cortante y momento flexionante en vigas…………………………………………………………………………… Fuerza cortante……………………………………………………………………………………………………………………………… Fuerza axial……………………………………………………………………………………………………………………………………. Momento flexionante…………………………………………………………………………………………………………………….. Signos convencionales……………………………………………………………………………………………………………………. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante…………………………………………………………………... Relación entre carga, fuerza cortante y momento flexionante……………………………………………………….. Determinación del diagrama de fuerza cortante y momento flexionante en vigas…………………………. Vigas isostáticas con diferente tipo de carga……………………………………………………………………..………….. Problemas……………………………………………………………………………………………………………………………………….

2 2 2 4 7 7 9 13 14 14 15 15 15 16 16 17 17 18 19 19 19 20 21 22 27 31

CAPITULO II ESFUERZOS EN VIGAS Introducción…………………………………………………………………………………………………………………………………… Flexión pura…………………………………………………………………………………………………………………………………… Superficie neutra……………………………………………………………………………………………………………………………. Eje neutro………………………………………………………………………………………………………………………………………. Esfuerzo normal en la sección transversal de una viga…………………………………………………………………… Modulo de sección …………………………………………………………………………………………………………………….. Ecuación para dimensionar una viga rectangular………………………………………………………………………….. Selección de la sección transversal de una viga ……………………………………………………………………………. Vigas compuestas de dos materiales ……………………………………………………………………………………………. Esfuerzo cortante en vigas …………………………………………………………………………………………………………… Ecuación para determinar el esfuerzo cortante …………………………………………………………………………….

ii

34 34 35 35 36 40 41 42 44 50 51

VIGAS Y SU DISEÑO Distribución del esfuerzo cortante en al sección transversal de una viga …………………………………….. Distribución del esfuerzo cortante en una viga rectangular ………………………………………………………… Distribución del esfuerzo cortante en el alma de vigas con patines……………………………………………... Análisis de una viga por esfuerzo normal y esfuerzo cortante………………………………………………………… Vigas curvas ………………………………………………………………………………………………………………………………….. Esfuerzos en vigas curvas ……………………………………………………………………………………………………………… Problemas …………………………………………………………………………………………………………………………………….

53 53 55 58 62 62 70

CAPITULO III DEFORMACION DE VIGAS Introducción …………………………………………………………………………………………………………………………………. Calculo de la viga en función de su rigidez …………………………………………………………………………………… Obtención de la ecuación diferencial de la elástica ………………………………………………………………………. Signos a utilizar …………………………………………………………………………………………………………………………….. Método de la doble integración ……………………………………………………………………………………………………. Doble integración por secciones …………………………………………………………………………………………………… Deformación máxima ………………………………………………………………………………………………………………….. Método de la doble integración aplicando funciones de singularidad ………………………………………….. Procedimiento para determinar la deformación de una viga utilizando las funciones de singularidad……………………………………………………………………………………………………… Teoremas de Mohr…………………………………………………………………………………………………………………………. Primer teorema de Mohr……………………………………………………………………………………………………………….. Segundo teorema de Mohr………………………………………………………………………………………………………….. Análisis de vigas por el método de área de momento …………………………………………………………………… Procedimiento de análisis por el método de área de momento …………………………………………………… Análisis de vigas por el método de la viga conjugada ……………………………………………………………………. Procedimiento de análisis utilizado en la viga conjugada……………………………………………………………….. Análisis de una viga en cantiliver mediante la viga conjugada ………………………………………………………. Análisis de una viga de sección variable……………………………………………………………………………………… Problemas…………………………………………………………………………………………………………………………………….

74 74 75 77 78 78 82 83 84 94 94 95 96 97 107 107 114 115 118

CAPITULO IV VIGAS HIPERESTATICAS Introducción …………………………………………………………………………………………………………………………………. Definición de viga hiperestática …………………………………………………………………………………………………….. Viga articulada-empotrada …………………………………………………………………………………………………………… Viga doblemente empotrada ………………………………………………………………………………………………………… Vigas continuas …………………………………………………………………………………………………………………………….. Método de los tres momentos ……………………………………………………………………………………………………… Ecuación general de los tres momentos ……………………………………………………………………………………… Ecuación delos tres momentos para vigas con igual momento de inercia en cada tramo……………… Problemas …………………………………………………………………………………………………………………………………….

121 121 122 126 128 131 131 133 151

CAPITULO V PROCEDIMIENTOS PRACTICOS Introducción ………………………………………………………………………………………………………………………………… Relación entre carga, fuerza cortante y momento flexionante …………………………………………………….

iii

154 154

VIGAS Y SU DISEÑO Diagrama de fuerza cortante ………………………………………………………………………………………………………… Diagrama de momento flexionante………………………………………………………………………………………………. Análisis de una viga hiperestática por el procedimiento de superposición de efectos………………………………………………………………………………………………………….. Problemas…………………………………………………………………………………………………………………………………….

157 158 161 170

CAPITULO VI METODOS ENERGETICOS Introducción ………………………………………………………………………………………………………………………………… Trabajo …………………………………………………………………………………………………………………………………………. Trabajo de una fuerza …………………………………………………………………………………………………………………… Trabajo de un momento ………………………………………………………………………………………………………………. Energía de deformación ………………………………………………………………………………………………………………. Energía de deformación por esfuerzo normal ……………………………………………………………………………… Energía de deformación por esfuerzo cortante ……………………………………………………………………………. Energía de deformación en una viga …………………………………………………………………………………………… Principio del trabajo virtual ………………………………………………………………………………………………………….. Trabajo virtual en una viga (flexión) …………………………………………………………………………………………….. Problemas …………………………………………………………………………………………………………………………………….

173 173 173 174 174 175 175 176 180 181 185

CAPITULO VII ANALISIS DE VIGAS POR EL METODO DEL ELEMENTO FINITO Introducción …………………………………………………………………………………………………………………………………. Antecedentes históricos del M. E. F. ……………………………………………………………………………………………. Fundamentos del método del elemento finito …………………………………………………………………………….. Determinacion de esfuerzos y deformaciones mediante el M. E. F. ……………………………………………. Ejemplos…………………………………………………………………………………………………………………………………. Bibliografia………………………………………………………………………………………………………………………………

iv

187 187 189 203 203 217

VIGAS Y SU DISEÑO

PROLOGO La presente obra se realiza buscando apoyar a los estudiantes de la Carrera de Ingeniería mecánica y afines a entender el comportamiento de los elementos conocidos como vigas y su aplicación. Uno de los principales problemas que tienen los egresados de ingeniería mecánica, es el de no saber aplicar adecuadamente sus conocimientos teóricos en el diseño de ciertos componentes mecánicos, ya que en la actualidad varios de ellos son diseñados con el auxilio de programas computacionales. Este problema se genera, cuando no se cuenta con las bases teóricas necesarias para poder analizar un determinado problema y al establecer un modelo computacional sobre el mismo, la información que se da a la computadora es incompleta o inadecuada por lo que los resultados son incorrectos. Pero también se puede dar el caso de que aunque se de la información adecuada a la computadora no se interpreten adecuadamente los resultados. Una u otra cosa al final lleva a realizar un mal diseño el cual puede fallar o no cumplir las especificaciones que requiere cubrir. Por lo que en esta obra tomando en consideración la importancia que tiene el diseño auxiliado por computadora, se establecen los conocimientos teóricos requeridos en el análisis de una viga y su análisis en forma computacional, de tal forma que sea entendible. Esto se realiza tomando como base los años que los autores han impartido la Asignatura de Mecánica de Materiales en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional.

En el capitulo I, se establecen todos los antecedentes de estática necesarios para poder analizar una viga, entre estos se pueden mencionar los conceptos de centroide, momento de inercia, tipos de apoyos, tipos de apoyos, tipos de carga entre otros. Estableciendo el concepto de viga, los tipos y clasificaciones de las vigas existentes, se establece la teoría de la flexión, se determinan las fuerzas internas que actúan sobre ellas, procediendo a determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que generan estas cargas, los cuales permiten establecer la forma en como varían estos esfuerzos a lo largo de la viga y permiten establecer puntos críticos en la misma, para su análisis. En el capitulo II, se toman los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante ya calculados con el fin de determinar el esfuerzo normal y cortante y su variación en una determinada sección transversal de una viga recta con el fin de diseñar la misma. Para esto se establece lo que es la fibra neutra (eje neutro), el modulo de sección y su importancia en el análisis de la viga.

v

VIGAS Y SU DISEÑO En este mismo capitulo se analizan las vigas de dos materiales y las vigas curvas, en estas ultimas se establece la diferencia que existe con respecto a las vigas rectas en la forma de determinar los esfuerzos. En el capitulo III, se determina la deformación lineal (Flecha) y angular (pendiente) que se presentan en una viga al aplicarle carga, para esto se establece la ecuación de la elástica y los teoremas de Mohr, lo cual permite aplicar el método de la doble integración; el método de área de momento y el método de la viga conjugada. Estableciéndose las ventajas y desventajas de aplicar uno u otro método. En el capitulo IV, se establece que es una viga hiperestática, como se puede clasificar y se aplica el método de los tres momentos para realizar el análisis de las mismas, determinándose los momentos hiperestáticos que se tienen en los apoyos, con el fin de poder determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante y que se utilizaran en el calculo de los esfuerzos se presentan en esta. En muchas ocasiones es importante conocer como varían los esfuerzos y las deformaciones a lo largo de la viga por lo que en el capitulo V, se establecen algunos métodos prácticos que permiten determinar estos en determinado punto de la viga, en una forma sencilla y rápida. Para esto se utilizan tablas en las cuales ya se tiene las ecuaciones que permite determinar la flecha y la pendiente en vigas en las que actúan cargas básicas y que aplicadas en conjunto con la superposición de efectos permiten analizar vigas con mas de un tipo de carga. En el capitulo VI, se establece una forma alternativa de analizar una viga, la cual consiste en utilizar métodos energéticos los cuales contemplan la energía de deformación y el trabajo virtual, por lo que se establece la teoría necesaria para esto y se realizan algunos ejemplos. Como se comento al principio el uso programas computacionales en el área de diseño ya es común por lo que en el capitulo VII, se establece la teoría del elemento finito, las ecuaciones que lo rigen, las propiedades del material que se deben tomar en cuenta para realizar un análisis, los diferentes tipos de elementos que se pueden utilizar en el análisis y diseño de una viga y se realiza el análisis de vigas por el M.E.F. Con lo anterior se pretende que esta obra apoye a toda persona que tenga conocimientos básicos mecánica de materiales y quiera profundizar el estudio de las vigas. Es importante destacar que la realización de este libro conto en todo momento con el apoyo del Instituto Politécnico Nacional y en especial de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Azcapotzalco, a al cual agradecemos el mismos LOS AUTORES

vi

ESIME IPN 1

1

VIGAS Y SU DISEÑO 1

CAPITULO

1 FLEXION

1

VIGAS Y SU DISEÑO INTRODUCCION Al estudiar el efecto que los diferentes tipos de cargas producen sobre un cuerpo, se observa que muchos de estos cuerpos se encuentran sometidos a cargas que generan flexión (una parte del cuerpo se encuentra a compresión y otra a tensión), por lo que es importante su estudio. Entre los elementos que actúa a flexión, tienen gran importancia para la resistencia de materiales o mecánica de materiales las vigas, dado que muchos elementos mecánicos se pueden considerar como vigas, dentro de estos por su importancia se pueden mencionar los ejes o flechas. Para realizar el análisis de una viga es importante conocer las cargas aplicadas, los tipos de apoyo, la cantidad de apoyos que tienen, la forma de su sección transversal, la fuerza cortante y el momento flexionante que actúan a lo largo de la misma, así como los materiales que la constituyen. Por lo anterior en este capítulo se realizara un análisis de los factores antes indicados y de la forma en que afectan a la viga.

ANTECEDENTES DE ESTATICA Cuando se realiza el análisis de una viga, con la finalidad de obtener los esfuerzos que actúan en ella, la deformación angular (pendiente) o la deformación lineal ( flecha), que se generan en ella al aplicársele una carga, se debe de tomar en cuenta los conceptos y leyes de la estática. Bajo este enfoque las vigas se pueden clasificar en: a) estáticamente determinadas (isostáticas), y b) estáticamente indeterminadas (hiperestáticas) En las vigas isostáticas se puede determinar el valor de las reacciones en sus apoyos solamente con las ecuaciones de la estática para elementos en el plano (ecuaciones 1.1, 1.2 y 1.3), mientras que para poder determinar las reacciones en las vigas hiperestáticas al contarse con más valores desconocidos que ecuaciones se tendrán que utilizar las ecuaciones que se establezcan por resistencia de materiales o mecánica de materiales.  FX  0 …………….. (1.1)

F

 0 ………………(1.2)

Y

M

Z

 0 ………….….. (1.3)

Así mismo al tener las vigas diferente forma en su sección transversal (lo que se denomina cara de la viga) y siendo esta utilizada para determinar los esfuerzos y deformaciones en la viga, es necesario poder determinar algunas propiedades geométricas, como pueden ser su centroide (C) y sus momentos de inercia en el plano ( Ix , Iy ), para lo cual se aplican las ecuaciones de equilibrio estático.

CENTROIDE El centroide está definido como el centro geométrico de una figura (línea, área o volumen). Se encuentra indicado mediante un punto C, el cual puede o no estar en la figura. Este se encuentra localizado de tal forma que el momento de primer orden de la figura con respecto a cualquier punto de referencia, es igual a la sumatoria de las diferenciales de área o volumen que forman la figura, multiplicada cada una por su distancia a dicho punto.

2

VIGAS Y SU DISEÑO Para entender lo anterior consideremos la figura 1.1, en donde se muestra una placa cuyo espesor e  , es constante y despreciable. Su área total estará definida por  A .

Figura 1.1

Al tener esta placa (volumen), un espesor constante, se puede considerar como un área. Para determinar su centroide, en primer lugar se establece un sistema de referencia  X  Y  , sobre el mismo se colocara la placa, la cual se divide en pequeñas diferenciales de área. Cada una de estas diferenciales tendrá una distancia hacia el eje Y , así como al eje X como se observa en la figura 1.2. Si cada una de estas diferenciales de área se multiplica por la distancia que tienen hacia el eje X o eje Y , se tendrá un momento de primer orden de área.

Figura 1.2

Por ejemplo si se tiene una diferencial de área (dA ) , se puede considerar que dicha área actúa sobre el eje Z , el cual es perpendicular a plano  X  Y  . Esta área tiene una distancia X hacia el origen de coordenadas, el producto del área que consideramos que actúa sobre eje Z por la distancia que se tiene en X hacia el origen, producirá una rotación sobre el eje Y (momento). Si se realiza la suma de todas las diferenciales de área que componen el cuerpo multiplicadas por su respectiva distancia en X , hacia el origen de los ejes de referencia se tendrá: 1

i n

M Y   xi  dAi  x1  dA1  x2  dA2  x3  dA3  ........  xn  dAn

………..….. (1.4)

i 1

Lo anterior será similar a que se considere el momento generado por el total del área ( A ) del cuerpo concentrada sobre un punto (centroide), el cual se encontrara a una distancia X , del origen de coordenadas, como se indica en la ecuación 1.5. i n

M Y   xi  dAi  A  X

……………...…(1.5)

i 1

Despejando la distancia que se tendrá a este punto se obtiene: i n

X 

 x  dA i

i

i 1

A

…………..… (1.6)

Realizando lo mismo, pero ahora considerando la distancia sobre el eje Y , luego de realizar las operaciones necesarias lo siguiente se tiene: in

Y 

 yi  dAi i 1

A

……….…… (1.7)

Las coordenadas X y Y , definen el centroide del área con respecto al sistema de referencia utilizado. Los centroides de las principales áreas geométricas simples ya fueron determinados y se encuentra indicado en la tabla 1.1, por lo que no es necesario su cálculo.

3

VIGAS Y SU DISEÑO FORMA

FIGURA

AREA

RECTANGULO

bd

AREA TRIANGULAR

bh 2

CUADRANTE . DE AREA CIRCULAR

  r2 4

x

y

1 b 2

1 d 2

h 3

4r 3

4r 3

0

4r 3

  r2

AREA SEMICIRCULAR

2

CUADRANTE . DE AREA ELIPTICA

  ab 4

4a 3

  ab

AREA SEMIELIPTICA

2

AREA PARABOLICA

0

2ah 3

4b 3

3h 5

4ah 3

AREA SEMIPARABOLICA

4b 3

3a 8

3h 5

Tabla 1.1 Centroides de las principales figuras geométricas

CENTROIDE DE UNA AREA COMPUESTA Muchas de las secciones transversales en las vigas tienen formas que son la combinación de varias formas geométricas básicas, estas con conocidas como áreas compuestas, por lo que si se desea determinar el centroide de un área compuesta, este se puede obtener utilizando el procedimiento que se indica a continuación.

4

VIGAS Y SU DISEÑO 1.- Se establece un sistema de coordenadas en el cual se ubica el área compuesta, este sistema de coordenadas servirá como referencia para determinar los momentos (se recomienda que el origen de este sistema de coordenadas se localice en el extremo inferior de la figura). 2.- Se divide el área de la figura en áreas de forma geométrica simple (rectángulos, círculos triángulos, etc.), tratando que las figuras que se obtengan sea lo más sencillas posibles para que él cálculo de cada uno de los centroides sea fácil o ya se encuentren indicado en la tabla 1.1. 3.-Teniéndose dividida la figura en las formas geométricas simples se procede a numerar estas, se determina el valor de las áreas y ubican sus centroides, procediéndose a determinan las distancias que sobre los ejes X y Y tiene el centroide de cada figura con respecto al origen de coordenadas. 4.- Para cada una de estas figuras se determinan los momentos M  x  A y M  y  A , con respecto al origen de coordenadas, teniendo lo anterior se realiza la sumatoria de estos momentos, utilizando la ecuación 1.5. Y

X

5.- Posteriormente se determina el área total de la figura compuesta sumando las áreas de las figuras elementales, teniendo lo anterior se determinan los valores X y Y , utilizando las ecuaciones 1.6 y 1.7. Estos valores nos indican la distancia que con respecto al origen de coordenadas tendrá el centroide del área compuesta con respecto a cada uno de los ejes. Para simplificar el cálculo es conveniente establecer una tabla en donde se indique el número de cada figura, el área de la misma ( A) , la distancia X y Y que tiene su centroide con respecto al origen del sistema de coordenadas, el valor de momento My  x  A y momento Mx  y  A y se establezcan las sumatorias requeridas. Para comprender el procedimiento propuesto se determinara el centroide de una figura compuesta. EJEMPLO 1.1 Para el área de la sección transversal de la viga C centroide.

que se muestra en la figura 1.3 determinar su

Figura 1.3

Paso 1. Se Establece el sistema de referencia en el cual se ubica el área compuesta. Para esta área en particular el sistema de referencia se localizara en la parte inferior izquierda, figura 1.4. Pasó 2. Se divide el área de la figura en áreas simples, procediéndose a numerarlas y a determina su valor, como se observa en la figura 1.5.

Figura 1.4 Figura 1.5

5

VIGAS Y SU DISEÑO A1  8 x86  688 mm 2

x1  4.0 mm

A 2  35x8  280 mm 2

x2  25.5 mm

;

y 2  82.0 mm

A 3  35x8  280 mm 2

x3  25.5 mm

;

y 3  4.0 mm

Pasó 3. Se determinan los momentos M  x  A y

y1  43.0 mm

;

M X  y  A , para cada una de las figuras.

Y

M Y 1  x1  A1  4.0x688  2752 mm 3

Para la figura 1:

M X  y1  A1  43.0 x688  29584 mm 3 1

M Y 2  x2  A2  25.5x280  7140 mm 3

Para la figura 2:

M X 2  y2  A2  82.0 x280  22960 mm 3 M Y 3  x3  A3  25.5x280  7140 mm 3

Para la figura 3:

M X  y1  A1  4.0 x 280  1120 mm 3 1

Aplicando la ecuación 1.5 se realiza la sumatoria de los momentos obteniéndose: i n

M Y   xi  dAi  M Y 1  M Y 2  M Y 3  2752 7140 7140  17032mm 3 i 1

i n

M X   yi  dAi  M X 1  M X 2  M X 3  29584 22960 1120  53664mm 3 i 1

Pasó 4. Se determina el área total y el valor de las distancias X y Y , con respecto al origen, por lo que se realiza la suma de las áreas y se aplican las ecuaciones 1.6. y 1.7. Para realizara los cálculos anteriores en una forma sencilla, como se comentó anteriormente se realiza una tabla en la que se indique las áreas, las distancias x y y , así como el valor de los momentos Mx y My .

FIGURA

AREA

x

My  x  A

y

1

688

4.0

2752

43

29584

2

280

25.5

7140

82

22960

3

280

25.5

7140

4

1120



1248

Mx  y  A

17032

53664

En base a la tabla anterior se tiene: AT  A1  A2  A3  688  280  280  1248mm 2 i n

X

 x  dA i

i 1

AT

i

i n



3

17032mm  13.64 mm 1248mm 2

Y 

 y  dA i

i 1

A

i



53664mm 3  43 mm 1248mm 2

La ubicación del centroide se muestra en la figura 1.6.

Figura 1.6

6

VIGAS Y SU DISEÑO MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia de un área se encuentra definido como: “EL MOMENTO DE ÁREA DE SEGUNDO ORDEN”. Por lo que para el sistema bidimensional se tienen dos momentos de inercia, uno con respecto al eje X y otro con respecto al eje Y los cuales se definen como sigue: I X   y 2  dA

…….…… (1.8)

I Y   x 2  dA

;

………..… (1.9)

Debido a que su definición es matemática no es posible visualizar esta magnitud, de la misma manera que se puede realizar en el primer momento de área, utilizado para la determinación del centroide, sin embargo, él calculo numérico de esta magnitud es una herramienta muy importante para poder determinar los esfuerzos y deformaciones que se generan en una viga al aplicarle una carga. En la práctica de la ingeniería las secciones transversales de las vigas tienen la forma de las áreas geométricas simples o son una combinación de ellas. En consecuencia se dedujeron ecuaciones para los momentos de inercia de las formas simples, los cuales ya se encuentran tabulados tanto para el eje X como para el eje Y , como se muestra en la tabla 1.2. Para secciones de áreas compuestas él cálculo de los momentos se complica un poco, por lo que se determinó el “Teorema de Ejes Paralelos”. Este teorema si se conoce el momento de inercia de un área respecto a un eje que pasa a través de su centroide (momento de inercia centroidal), permite determinar el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo a este.

TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS “EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA AREA CON RESPECTO A CUALQUIER EJE PARALELO A UNO DE SUS EJES CENTROIDALES Y DEL CUAL SE CONOCE SU MOMENTO DE INERCIA, ES IGUAL AL MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO A SU EJE CENTROIDAL, MAS EL PRODUCTO DEL AREA POR EL CUADRADO DE LA DISTANCIA EXISTENTE ENTRE EL EJE CENTROIDAL Y EL EJE AL CUAL SÉ TRASLADA EL MOMENTO” Representándose este teorema para el eje X por medio de la ecuación 1.10.

I X  I X  A  dY …………….…. (1.10) En la figura 1.7 se representa un área en la cual se conoce el momento de inercia centroidal I X , pero se desea trasladar este a un eje paralelo ubicado en la base de la figura I X . Para tal efecto será necesaria la aplicación del teorema de ejes paralelos. 2

Figura 1.7

Si se desea conocer el momento de inercia en un eje paralelo al eje Y se utilizara la ecuación1.11.

I Y  I Y  A  d X ……..…… (1.11) 2

7

VIGAS Y SU DISEÑO _ 1 1 b  h3 ; I Y  b3  h 12 12 1 1 I X  b  h3 ; IY  b3  h 3 3 1 2 2 J C  b  hb  h  12 _

IX 

RECTANGULO

1 b  h3 36 1 I X  b  h3 12 _

IX 

TRIANGULO

1  r4 4 1 IP  J0   r4 2 _

_

I X  IY 

CIRCULO

1   a  b3 4 _ 1 I Y    a3  b 4 1 I P  J 0    a  ba 2  b 2  4 _

IX 

ELIPSE

1 I X  IY    r 4 8 1 IP  J0    r4 4

SEMICIRCULO

1   r4 8 1 I P  J0    r 4 1 4

I X  IY 

  r4 16 1 IP  J0    r 4 8

I X  IY 

CUARTO DE CIRCULO

Tabla 1.2 Momentos de inercia de las figuras geométricas más comunes

8

VIGAS Y SU DISEÑO MOMENTO DE INERCIA DE UNA AREA COMPUESTA Dado que comúnmente las áreas que se utilizan en los análisis de ingeniería son compuestas es necesario poder determinar los momentos de inercia centroidales. Para determinar estos se aplicara el teorema de ejes paralelos. Los pasos para aplicar el mismo son los siguientes: 1.- Se divide el área compuesta en las áreas básicas que componen a la misma y se determina el centroide de cada una de ellas. 2.- Se determina el centroide del área compuesta (figura a analizar), mediante el primer momento de área, antes indicado. 3.- En cada una de las áreas básicas, se indica su centroide y se determinan los momentos de inercia centroidales (las ecuaciones para tal fin se indican en la tabla 1.2) 4.- Utilizando el teorema de ejes paralelos, transportar estos momentos a los ejes centroidales del área compuesta. 5.- Sumar estos momentos de inercia transportados y obtener los momentos de inercia centroidales de la figura compuesta mediante las ecuaciones 1.10 y 1.11. EJEMPLO 1.2 Determinar el centroide y momento de inercia de la sección transversal de una viga “T”, que se muestra en la figura 1.8.

Figura 1.8

PASO 1. Determinar el centroide: Para tal fin se divide el área compuesta en dos rectángulos, como se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9

PASO 2. Después de dividir la figura compuesta en áreas básicas (dos rectángulos), se genera una tabla, la cual se muestra a continuación, en la cual se indican los valores que permitirán determinar de forma rápida el valor de X y Y . FIGURA

AREA



X





XA

Y

YA

1

8*2=16

4

4*16=64

9

9*16=144

2

2*8=16

4

4*16=64

4

4*16=64



32

128

9

208

VIGAS Y SU DISEÑO Con los valores obtenidos en la tabla, se determinan las distancias existentes del origen del sistema de referencia hacia el centroide de la figura, como se muestra en la figura 1.10. in

X

 x  dA i

i 1

A

i

i n



128  4 cm 32

Y 

;

 y  dA i

i 1

A

i



208  6.5 cm 32

Figura 1.10

PASO 3. Conociendo el centroide de la figura compuesta, se procede a determinar los momentos de inercia de cada una de los dos rectángulos que componen la figura. De la tabla 1.2 se tiene que los momentos de inercia centroidal para un rectángulo son los siguientes; IX 

b  h3 12

;

IY 

h  b3 12

Por lo que para nuestro caso se tendrán los siguientes valores para las áreas básicas 1 y 2. b  h 3 8  23   5.333cm 4 12 12 h  b 3 2  83    85.33 cm 4 12 12

IX1  IY 1

IX2 

b  h 3 2  83   85.333cm 4 12 12

IY 2 

h  b 3 8  23   5.33 cm 4 12 12

PASO 4. Para determinar el momento de inercia de la figura compuesta, los momentos de inercia centroidales de las áreas básicas 1 y 2 se trasladan a los ejes centroidales de esta figura mediante el teorema de ejes paralelos, como se muestra en la figura 1.11. Ix  Ix1  A1  dy1  Ix2  A2  dy22 2

Iy  Iy1  A1  dx1  Iy2  A2  dx22 2

;

Figura 1.11

. Por lo que los momentos centroidales de inercia de la figura compuesta serán: Ix  5.33  (16)(2.5) 2  85.33  (16)(2.5) 2  290.666 cm 4 Iy  85.33  (16)(0) 2  5.33  16(0) 2  90.666 cm 4

En forma general cuando se tienen más de dos figuras geométricas básicas que formen la figura compleja, el teorema de ejes paralelos para los ejes X y Y , se pueden definir con las siguientes ecuaciones. i n

I XR   I Xn  An  dYn

i n

2

I YR   I Yn  An  d Xn

;

i 1

2

i 1

Con el procedimiento anterior se puede determinar el centroide y el momento de inercia de cualquier área por complicada que esta sea.

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VIGAS Y SU DISEÑO Puesto que cualquier área se puede dividir en áreas básicas como podrían ser círculos, rectángulos, triángulos, secciones parabólicas, etc., para las cuales ya se encuentran tabulados sus centroides y momentos de inercia centroidales. En Resistencia de Materiales o Mecánica de Materiales la importancia de lo anterior estriba en que las áreas de las secciones transversales de las vigas a estudiar, en su mayoría son áreas compuestas por lo que es necesario usar el primer momento de área para determinar el centroide de la sección transversal y el teorema de ejes paralelos para determinar su momento de inercia, sobre los ejes X y Y . Es importante destacar que también se pueden tener un momento de inercia polar el cual se define en forma general por: I P  r 2 dA ……………(1.12)

Este momento de inercia se utiliza en figuras en las cuales la referencia sea su radio, como se observa en la figura 1.12 (ejemplos de estas secciones transversales son los ejes macizos y huecos).

Figura 1.12

La relación entre los momentos de inercia ( I e I ), con el momento polar de inercia ( I ), se muestra en la ecuación 1.13. I  I  I ………. (1.13) La ecuación anterior indica que el momento de inercia polar es la suma de los momentos de inercia que se tienen sobre los ejes X y Y . Por lo que para la sección transversal de una viga circular se puede comprobar lo anterior. Y

X

P

X

P

Y

1   r4 4 1 1 1 I P  J 0  I X  IY    r 4    r 4    r 4 4 4 2 I X  IY 

EJEMPLO 1.3 La viga compuesta mostrada se construye uniendo una viga de patín ancho y un cubre placas, las cuales son soldadas conjuntamente como se indica en la figura 1.13. Determinar el centroide así como los momentos de inercia centroidales Ix e Iy .

Figura 1.13

Se procede a dividir la figura en áreas básicas como se muestra en la figura 1.14, realizándose la tabulación de datos obtenidos para cada figura, lo anterior con el fin de determinar el centroide del área compuesta.

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VIGAS Y SU DISEÑO FIGURA

AREA

X

Ax

y

Ay

1 2 3 4

4125 2625 2550 2625

137.5 137.5 137.5 137.5

567187.5 360937.5 350625.0 360937.5 1639687.5

207.5 192.5 100.0 7.5

855937.5 505312.5 255000.0 19687.5 1635937.5



Figura 1.14

x

1639687.5  137.5 mm 11925

y

;

1635937.5  137.1mm 11925

Se proceden a determinar los momentos de inercia centroidales, para cada área básica tomando como referencia la figura 1.15.

Figura 1.15

Para determinar los momentos de inercia centroidales por el teorema de ejes paralelos es importante conocer las distancias de los centroides de las figuras básicas al centroide de la figura compuesta. El valor de los momentos de inercia de las figuras básicas y su distancia al centroide de la figura compuesta son: X1  0

X2  0

;

Y1  70.4mm ;

;

Y2  55.4mm ;

X3  0

X4  0

;

Y3  37.1mm ;

I X1 

bh3 27515   77343.75 mm 4 12 12

; I X2 

I X3 

bh3 15170   6141250.00 mm 4 12 12

; I X4 

3

Y4  129.6mm

bh3 17515   49218.75 mm 4 12 12 3

3

bh3 17515   49218.75 mm 4 12 12 3

I Y1 

hb3 15275 hb3 15175   25996093.75 mm 4 ; I Y2    6699218.75mm 4 12 12 12 12

I Y3 

hb3 17015   47812.5 mm 4 12 12

3

3

3

hb3 15175   6699218.75 mm 4 12 12 3

; I Y4 

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VIGAS Y SU DISEÑO Se procede a determinar el momento de inercia centroidal de la figura compuesta utilizando el teorema de ejes paralelos. I XT  I X 1  A1 dy12  I X 2  A2 dy22  I X 3  A3 dy32  I X 4  A4 dy42 I XT  77343.75  412570.4  49218.75  262555.4  6141250 255037.1  49218.75  2625129.6 2

2

2

2

I XT  82417501.75x106 mm 4

I YT  I Y 1  A1 dx12  I Y 2  A2 dx22  I Y 3  A3 dx32  I Y 4  A4 dx42 I YT  25996093.75  0  6699218.75  0  47812.5  0  6699218.75  0 I YT  39.4423x106 mm 4

PRINCIPALES HIPOTESIS Y PRINCIPIOS UTIZADOS EN MECANICA DE MATERIALES Para poder aplicar la teoría de la mecánica de materiales se aceptan una serie de hipótesis y principios sobre la estructura y las propiedades de los materiales, y sobre el carácter de las deformaciones, siendo estos los siguientes.

1.- HIPOTESIS SOBRE LA CONTINUIDAD DEL MATERIAL.

Se supone que el material llena totalmente el volumen que ocupa. La teoría atomista de la composición discreta de la materia no se toma en consideración, puesto que los granos de los materiales son tan pequeños, que se pueden considerar continuos.

2.- HIPOTESIS SOBRE LA HOMOGENEIDAD E ISOTROPIA.

Se supone que las propiedades del material son iguales en todos los puntos, en todas las direcciones. En algunos casos la suposición sobre la isotropía es inaceptable. Por ejemplo, la madera cuyas propiedades son esencialmente diferentes a través y a lo largo de las fibras, es anisótropa. Dicha propiedad la tienen también los materiales armados.

3.- HIPOTESIS SOBRE LA PEQUEÑEZ DE LAS DEFORMACIONES (HIPOTESIS DE LA RIGIDEZ RELATIVA DEL MATERIAL) Se supone que las deformaciones son pequeñas en comparación con las dimensiones del cuerpo deformado. A base de esto se prescinden los cambios en función de las fuerzas exteriores respecto a las partes aisladas del cuerpo durante la deformación, y se establecen las ecuaciones estáticas para un cuerpo no deformado. En algunos casos nos vemos obligados a renunciar a este principio, lo que se acuerda especialmente.

4.- PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE CARGAS. El efecto generado por la aplicación de un sistema de cualesquiera cargas, es igual al originado si se aplicaran las cargas por separado y posteriormente se sumaran sus efectos.

5.- PRINCIPIO DE SAINT-VENANT El valor de las fuerzas interiores en los puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los puntos de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite sustituir un sistema de fuerzas por otro, estáticamente equivalente, con la finalidad de simplificar los cálculos a realizar.

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VIGAS Y SU DISEÑO TIPOS DE APOYOS Y REACCIONES QUE ABSORBEN Los principales tipos de apoyos existentes en las vigas se muestran en la figura 1.16 y son los siguientes: 1) APOYO MOVIL O RODILLO (SOLAMENTE UNA REACCIÓN): Este tipo de apoyo permite la rotación sobre sí, así como desplazamiento sobre uno de sus ejes (en este caso eje x) y su resultante pasa por el centro del rodillo. 2) APOYO FIJO O PASADOR (DOS REACCIONES): Este tipo de apoyo impide el desplazamiento sobre sus dos ejes, pero permite la rotación sobre sí mismo. 3) EMPOTRAMIENTO (DOS REACCIONES Y UN MOMENTO): Este tipo de apoyo impide los desplazamientos sobre sus dos ejes, así como la rotación sobre sí.

Figura 1.16

VIGA Una viga es un elemento que sirve para soportar cargas, en estructuras y elementos de máquinas. Siendo las cargas aplicadas perpendiculares a su eje longitudinal. Sin embargo, en ocasiones las vigas deben soportar todo tipo de cargas paralelas a su sección transversal o en cualquier, dependiendo de la función que realice. Las vigas se pueden clasifican para su estudio en vigas rectas y vigas curvas. Para un diseño satisfactorio de una viga es importante que se conozcan todas las cargas que actúan sobre esta, para que basado en lo anterior se realicen los cálculos necesarios, porque cuando se realiza un diseño inadecuado se corre el peligroso de que se puede provocar la fatiga del material y su falla, mientras que un diseño sobrepasado no es conveniente en el aspecto económico. En ocasiones existen elementos o secciones, principalmente en puentes de acero en donde se suelen diseñar los segmentos como vigas y bajo las especificaciones de algunos códigos de diseño los cuales establecen límites para los esfuerzos permisibles a la flexión en los patines. Es importante destacar la diferencia entre trabe y viga, dado que se puede decir con veracidad que una trabe y una viga pueden tener el mismo significado. Pero también es importante destacar que una trabe es la que soporta el peso de las vigas o que la trabe es llamada “viga principal o maestra”, siendo esta la que se conecta directamente a las columnas o soportes, mientras que una viga es llamada “viga secundaria” dado que comúnmente se conecta entre las trabes, y soportan las cargas aplicadas. Por lo regular las vigas existen en el mercado con propiedades mecánicas y geométricas ya establecida, pero en ocasiones es necesario fabricarlas puesto que los perfiles comerciales que existen en el mercado no satisfacen los requerimientos del diseño. Para fabricar estas vigas especiales es necesario y obligatorio cumplir ciertos requisitos de regulación que establecen ciertos organismos y asociaciones nacionales e internacionales. Las vigas comerciales por lo regular son denominadas vigas laminadas, ya que para su fabricación pasan por un proceso de laminación, el cual consiste en darle forma y dimensiones ya establecidas a los vilet’s de acero para así convertirlos en perfiles estructurales. Cuando se diseñan vigas de longitud mayor a 25 metros es necesario calcular la flecha (deformación), máxima para saber si esta se encuentra dentro de la tolerancia existente. Si existen empalmes de vigas se debe tomar en cuenta una deflexión que con anterioridad debe estar calculada, para proporcionar al encargado de realizar estos empalmes la contra flecha que debe dejar en la unión.

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VIGAS Y SU DISEÑO FLEXION Si en un elemento mecánico las fuerzas que actúan sobre el tienden a producir esfuerzos compresivos sobre una parte de la sección transversal de este elemento y esfuerzos de tensión sobre la parte restante se dice que este elemento se encuentra a flexión. En la figura 1.17 (a) se tiene un elemento plano el cual denominaremos viga, encontrándose este inicialmente apoyado en A y B, no existiendo carga aplicada en el mismo, en la figura 1.17 (b) a esta viga se le aplica gradualmente una carga, lo que origina que en su parte superior esta se comprima, mientras que en su parte inferior esta se tense, por lo que se tendrá el fenómeno de flexión.

Figura 1.17

FLEXION SIMPLE O SIMETRICA La flexión simple se presenta cuando se aplica la carga sobre un eje principal, lo que origina que solo se tengan momentos flexionantes, actuando estos sobre un plano paralelo a dicho eje. En la figura 1.18 se observa cómo se aplica una carga P sobre el eje principal X en dirección Y, lo que original sobre la viga un momento flexionante M que actúa sobre Z.

Figura 1.18

FLEXION ASIMETRICA La flexión asimétrica se presenta cuando se aplican cargas que actúan a cierto ángulo θ con respecto a un eje principal, lo que origina que el plano que contiene al momento generado no es paralelo al eje principal. En la figura 1.19 se observa que la carga P tiene una componente que P cos  Py , que actúa sobre el eje Y la cual origina un momento flexionante Mz , sobre el eje Z, esta carga también tiene una componente Psen  Pz , que actúa sobre el eje Z y que origina un momento flexionante My sobre el eje Y.

Figura 1.19

Lo que origina que estos dos momentos tengan un momento resultante el cual actúa sobre el plano Y-Z.

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VIGAS Y SU DISEÑO HIPOTESIS UTILIZADAS PARA LA FLEXION DE VIGAS Para poder utilizar la teoría de la flexión es importante que se cumplan las hipótesis que se indican a continuación. A) LA VIGA DEBE SER RECTA B) LA VIGA DEBE DE SER DE SECCION CONSTANTE EN TODA SU LONGITUD C) LAS DIMENSIONES DE LA VIGA DEBEN SER TALES QUE LA INTERSECCION DEL PLANO DE CARGAS CON CUALQUIER SECCION TRANSVERSAL DE LA VIGA CONSTITUYA UN EJE DE SIMETRIA

CLASIFICACION DE LAS VIGAS SEGÚN SU TIPO DE APOYO Dependiendo del tipo de apoyo que tengan las vigas se pueden clasificar de la siguiente forma. A – VIGA SIMPLEMENTE APOYADA Estas vigas se encuentran soportadas en sus extremos, mediante un apoyo fijo y un apoyo móvil. Teniendo cuando mucho tres fuerzas desconocidas, las cuales se pueden determinar mediante las ecuaciones de la estática. B – VIGA EN VOLADIZO Estas vigas se encuentran empotradas en uno de sus extremos, no teniendo otro tipo de apoyo sobre todo su claro. En ella sé tienen tres incógnitas (dos fuerzas y un momento). C – VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA Este tipo de viga tiene empotramiento sobre sus dos extremos, lo que origina que se tengan seis incógnitas (cuatro fuerzas y dos momentos), siendo denominada estáticamente indeterminada. D – VIGA CON VOLADIZOS Este tipo de viga puede tener uno o sus dos extremos en voladizo (los apoyos no se encuentran exactamente en sus extremos, sino corridos hacia el centro de la viga), contando con un apoyo móvil y uno fijo. E – VIGA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y SIMPLEMENTE APOYADA EN EL OTRO Al tener esta viga los tipos de apoyo antes indicados (un empotramiento y un apoyo móvil), la cantidad de incógnitas a determinar se eleva a cuatro (tres fuerzas y un momento), considerándose hiperestática. F – VIGA CONTINUA Este tipo de viga cuenta con un apoyo fijo, así como cuando menos con dos apoyos móviles, lo que origina que las incógnitas siempre sean más de cuatro, siendo considerada hiperestática.

Figura 1.20

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VIGAS Y SU DISEÑO TIPOS DE CARGAS La selección para su análisis del tipo de cargas a que se encuentra sometida una viga, es una de las partes más importantes al realizar el diseño de la misma; ya que los cálculos se realizaran sobre la base de la información que se tiene de los tipos apoyos y de cargas existentes, esta cargas se deben de tomar en cuenta por mínima que sean ya que el no tomarlas en cuenta puede ser fatal para el diseño. Las cargas se pueden clasificar desde varios puntos de vista, algunas de estas clasificaciones se indican a continuación.

SEGÚN SU VARIACION CON EL TIEMPO 1) CARGAS VIVAS: Son cargas en donde las fuerzas que estas generan cambian de magnitud y son móviles por cuenta propia, dentro de estas se pueden considerar el peso de personas, camiones, viento, hielo, nieve, trenes, sismos, etc. 2) CARGAS MUERTAS: Son cargas en donde las fuerzas que estas generan siempre permanecen constantes y en la mayoría de las ocasiones son inamovibles. Dentro de este tipo de cargas se considera el peso propio de la estructura, muros, lozas, tuberías (de gas, agua, luz, ventilación, etc.), el mobiliario según sea el tipo de construcción que se requiere. Algunas de estas cargas ya se encuentran especificadas en diversos manuales.

SEGÚN SU FORMA DE ACTUAR Las cargas que soporta una viga en función de la forma en que actúan en una viga se muestra en la figura 1.21, clasificándose como sigue: I).- CARGAS CONCENTRADAS: Las cuales se aplican sobre un punto (una pequeña área) II).- CARGAS UNIFORMEMENTE REPARTIDAS: Estas cargas actúan sobre una parte o sobre toda la viga, siendo su valor constante, de un extremo al otro de ellas. III).- CARGAS UNIFORMEMENTE VARIABLES: La carga más comúnmente asociada a esta es la triangular. El valor en uno de sus extremos es cero y en el otro máximo. IV).- MENSULA: Además de estas cargas, se pueden aplicar a la viga momentos generados por una ménsula.

Figura 1.21

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS Para determinar los efectos que las cargas externas ocasionan en las vigas, en la mayoría de los casos lo primero que se hace es establecer el diagrama de cuerpo libre de la viga, se calculan las reacciones en los apoyos (siempre que sea posible), posteriormente se procede a determinar las fuerzas axiales, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes que actúan a lo largo de la viga. Así mismo se generan los diagramas de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes a lo largo de la viga.

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VIGAS Y SU DISEÑO Obsérvese la figura 1.22 en la cual se muestra una viga sobre la que actúan una carga concentrada, una uniformemente concentrada y una uniformemente variable, las cuales son tres de las cargas básicas comunes. Figura 1.22

Para realizar el análisis de esta viga en primer lugar se realiza el diagrama de cuerpo libre de la viga, se determinan las reacciones que actúan sobre los apoyos, figura 1.23 (a), posteriormente tomando en consideración que un cuerpo que en su conjunto se encuentra en equilibrio, cualquier parte del mismo lo estará también, se procede a cortar a la viga mediante la sección imaginaria Y-Y¨, la cual es tomada perpendicularmente a el eje longitudinal de la viga. Separando a esta viga se obtienen las figuras 1.23 (b) y 1.23 (c), en estas se observa que para mantener el equilibrio de cualquiera de las secciones obtenidas necesitamos aplicar una fuerza vertical, una fuerza horizontal y un momento, en el punto donde se realizó el corte. El valor de las fuerzas y momento que actúan sobre la sección de corte derecha, deberán de ser igual magnitud, dirección pero con sentido contrario, a las fuerzas y momentos que actúan sobre la sección izquierda.

Figura 1.23

FUERZA CORTANTE Para mantener en equilibrio un segmento de la viga como el que se muestra en la figura 1.23 (b), debe existir una fuerza vertical interna en la sección para satisfacer la ecuación  Fy  0 . Esta fuerza interna se representa con la letra V, denominada fuerza cortante (actúa perpendicularmente al eje de la viga). El valor de esta fuerza, será igual al obtenido al realizar la  de las fuerzas externas verticales que actúan sobre el elemento analizado, pero con sentido contrario, con la finalidad de obtener el equilibrio estático. Para determinar el valor de esta, es indiferente analizar la parte izquierda o derecha de la viga seccionada, la selección del tramo a analizar depende básicamente de la dificulta que se tenga para analizar uno u otro, ya sea por la cantidad de cargas existentes o por la complejidad de las mismas para su análisis. En la figura 1.23(c) se puede observar que la fuerza cortante de la sección derecha, actúa en sentido contrario a la de la sección izquierda (equilibrio estático). La acción combinada de estas, tiende a cortar la sección en cualquiera de las dos formas que se indican en la figura 1.24.

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VIGAS Y SU DISEÑO Para entender mejor esto considérese que se tiene una barra de mantequilla y se corta la misma perpendicularmente a su longitud, al realizar esto uno de los tramos obtenidos tendera a desplazarse hacia la parte superior y el otro hacia la inferior.

Figura 1.24

FUERZA AXIAL Si además de la fuerza vertical existen fuerzas horizontales actuando sobre la viga (fuerza Fx en la figura 1.23), tendremos una compresión o tensión sobre la viga. Para referirnos a estas fuerzas se utiliza en término fuerza axial. La línea de acción de la fuerza axial debe pasar por el centroide del área transversal de la viga.

MOMENTO FLEXIONANTE Para satisfacer las ecuaciones de equilibrio de la estática, aparte de que la debe de cumplir también la condición de que la

M

Z

 Fx  0

y la

 Fy  0 , se

 0 . Por lo tanto debe de existir un momento

resistente interno en el área transversal de la sección (momento M en la figura 1.23), para contrarrestar al generado por las fuerzas externas que actúan sobre la viga. De lo que se deduce que el momento externo es igual al momento resistente interno. Para determinar el momento flexionante interno se toma la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto, lo que nos dará el momento en este punto. El momento resistente se puede interpretar físicamente como un par que estira o tensa las fibras superiores de la viga y comprime las inferiores. También puede ocurrir que comprima la parte superior y tense la parte inferior, en tal situación los momentos actuarían en sentido contrario.

SIGNOS CONVENCIONALES Para efectos prácticos los momentos flexionantes se definirán como positivos si producen compresión en la parte superior y tensión en la parte inferior y negativos si produce compresión en la parte inferior y tensión en la superior, como se observa en la figura 1.25

Figura 1.25

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VIGAS Y SU DISEÑO DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE El valor de la fuerza cortante y el momento flexionante se puede calcular en cualquier sección transversal de la viga, y con estos valores se pueden trazar gráficas de sus funciones en diagramas separados. Estos diagramas se generan a partir de una línea base igual a la longitud de la viga en el eje de las abscisas y sobre el eje de las ordenadas se van indicando los valores de la fuerza cortante o momento flexionante calculados. Dichos diagramas son llamados “Diagrama de Fuerza Cortante” y “Diagrama de Momento Flexionante”. Estos se utilizan para conocer la forma de actuar de la fuerza o el momento en determinada sección de una viga, así como para encontrar los puntos en donde se tienen los valores máximos y mínimos de estas funciones, siendo estos puntos de especial interés para el diseño de estas vigas. Considerándose la figura 1.26 en la cual se determinaran los valores de las cargas cortantes y los momentos flexionantes. Esta viga tiene una longitud L entre los puntos A y B, en esta se realiza un corte sobre la sección transversal R-S localizada a una distancia “x” del inicio de la viga.

Figura 1.26

Tomando el tramo izquierdo de la viga, se observa que se tienen que equilibrar las fuerzas que actúan sobre el eje Y , por lo que se tiene:

 Fy  0  RA  P1  P2  Vx



Vx  RA  P1  P2

De lo anterior se concluye, que la fuerza cortante Vx en cualquier sección R-S de la viga es igual a la suma de las fuerzas externas que actúan a un lado de la sección considerada. Por otro lado se observa que en este tramo no se tiene ninguna fuerza que actué sobre el eje X , por lo que se tiene.  FX  0

Realizando la suma de momentos con respecto al punto en donde se cortó la viga (sección transversal R-S) se tiene:

M 

M N

 RA x  0  P1 x  a1   P2 x  a2   Mx  0 Mx  RA x  0  P1 x  a1   P2 x  a2 

………. (1.14)

Por lo que el momento flexionante en una sección cualquiera de una viga, resulta ser igual a la suma de los momentos producidos por las cargas externas a un lado de la sección considerada, siendo dichos momentos tomados con respecto a esta sección, como se indica en la ecuación 1.14.

20

VIGAS Y SU DISEÑO Las cargas cortantes y los momentos flexionantes que actúan en una sección transversal cualquiera, situada a una distancia x del punto que se ha tomado como referencia pueden expresarse en función de x , formando ecuaciones que se establecen para cada uno de los tramos de la carga en la viga, estos tramos se consideran desde el punto de aplicación de una carga hasta el punto de aplicación de la siguiente carga, como se muestra en la figura 1.27.

Figura 1.27

Analizando la viga de izquierda a derecha tenemos tres tramos de carga los cuales son: ; el cual comprende la distancia x . A X  B B  X  C ; El cual comprende la distancia x . C  X  D : El cual comprende la distancia x . Se considera que en donde cambia la carga se tiene una discontinuidad por lo que la función varía, en este caso la función cambia en donde se aplican las cargas P1 y P2 1

2

3

RELACION ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Observemos la viga de la figura 1.28 (a) la cual soporta una carga cualquiera, de esta tomemos una diferencial de longitud, figura 1.28 (b). La acción de las cargas aplicadas a la viga en la parte izquierda del elemento diferencial nos da la carga cortante Vx y el momento flexionante Mx, las cargas aplicadas a la derecha de la viga nos da la misma carga más un aumento dVx, lo mismo ocurre con el momento por lo que este tendrá un valor dMx. El incremento de la carga por ser una diferencial se puede considerar insignificante por lo que la carga se puede considera constante.

Figura 1.28

Aplicando la estática a esta diferencial se obtiene:

 Fy  0  Vx  q  dx  Vx  dVx ; 0  q  dx  dVx

0  Vx  q  dx  Vx  dVx



q-

dVx dx

…..….. (1.15)

De lo anterior se tiene que la carga es la pendiente negativa del diagrama de cortantes. Por otra parte de la  M en el extremo derecho se tiene:  dx 

 M  Mx  Vx  dx  qdx 2   Mx  dMx  0

21

VIGAS Y SU DISEÑO 0  Vx  dx  q  dx2  dMx



Vx 

dMx dx

…….….. (1.16)

Se tiene que dx da un producto muy pequeña que tiende a cero por lo que se puede despreciar. El hecho de que la fuerza cortante sea la pendiente del diagrama de momentos flexionantes, nos permite saber que cuando la fuerza cortante es igual a cero el diagrama de momentos flexionantes presenta un máximo o un mínimo. 2

DETERMINACION DE LOS DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS Para determinar los esfuerzos normales y cortantes que actúan en una viga en cualquier punto a lo largo de la misma es importante conocer el valor de la fuerza cortante y del momento flexionante. Estos se pueden obtener de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que se generan para cada viga. EJEMPLO 1.4 Determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga mostrada en la figura 1.29, en la cual actúa una carga concentrada P.

Figura 1.29

Se proceden a determinar las reacciones en los apoyos, las cuales son: RA 

Pb L

;

RB 

Pa . L

Conociendo las reacciones se procede a realizar el análisis del primer tramo, para esto se realiza un corte en la viga antes de llegar a la carga P, como se observa en la figura 1.30, por lo que la fuerza cortante y momento flexionante que se tienen en este tramo se indica a continuación. P ara el primer tramo : Si 0  x  a Pb Vx  R A  ; L Si x  0 Pb L Si x  a Pb Vx  L

Vx  Figura 1.30

;

Mx  R A  x 

Mx 

; Mx 

Pb x L

Pb ( 0)  0 L

Pb Pba (a)  L L

Para analizar el segundo tramo se observa que ya se tiene la totalidad de la viga por lo que se realiza el corte antes de llegar al apoyo B, como se observa en la figura 1.31, teniéndose:

Figura 1.31

22

VIGAS Y SU DISEÑO Segundo tramo : Si a  x  L Vx  R A  P  

Pa L

;

Mx  R A  x  Px  a  

Pb x  0   P ( x  a ) L

Si x  a Pa L Si x  L

Vx  

Vx  

Pa L

;

Mx 

Pb a   P(a  a)  Pba L L

;

Mx 

Pb L   P( L  a)  Pb  Pb  0 L

En la figura 1.32 se muestran los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que se obtienen para esta viga.

Figura 1.32

EJEMPLO 1.5 Determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida que se muestra en la figura 1.33.

Figura 1.33

En esta viga la carga es simétrica por lo que las reacciones en los apoyos son iguales y tienen un valor de:

RA  R B 

qL 2

Conociendo las reacciones estableceremos las ecuaciones de fuerza cortante y momento flexionante para la carga uniformemente distribuida. En la figura 1.34 (a) se indica una carga q que actúa sobre una longitud L, que representa toda la carga, pero como se requiere tener una la fuerza cortante y el momento que producirá solo un pedazo de la misma en la figura 1.34 (b) se representa la misma carga q actuando solo sobre una distancia x.

Figura 1.34

23

VIGAS Y SU DISEÑO En la figura 1.34 (b) se observa que la(Fe) o fuerza cortante para cualquier sección de esta carga está definida por: Vx  q x , mientras que el momento flexionante con respecto a un extremo de la carga se define por:

x q x2 , siendo estas ecuaciones las que se utilizaran siempre que se tenga este Mx  q x( )  2 2

tipo de carga. Realizando los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, para toda la viga se tendrá como resultado el que se muestra en la figura 1.35. También se establecen las ecuaciones que permiten generar estos diagramas. UNICO TRAMO 0XL qL  q ( x  0) 2 q  ( x  0) 2  L Mx  q   x   2  2

Vx  R A  q  x 

x 0 qL qL Vx   q ( 0  0)  2 2 q  ( 0  0) 2  L Mx  q   0   0 2  2 Si X  L qL qL Vx   q ( L)   2 2 q  ( L) 2  L Mx  q   L   0 2  2

Figura 1.35

Si

El momento flexionante máximo se tendrá cuando el cortante tenga un valor de cero, por lo que de la ecuación de fuerza cortante podemos determinar la distancia a la cual ocurre esto es L/2, como se indica a continuación. Vx 

qL  q( x  0)  0 2

; 0

qL  q( x  0) 2

;

qL  q( x  0) 2

; x

L 2

Para determinar el momento máximo se sustituye esta distancia en la ecuación de momento flexionante, obteniéndose que: Si

L x  2

;

MxMAX

q  ( x  0) 2  L  L   L   q   x    q     2  2  2  2  ql 2  MxMAX  8

L q  ( )2 2 2 q L 2 8

EJEMPLO 1.6 Determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga simplemente apoyada con carga uniformemente variable que se muestra en la figura 1.36.

Figura 1.36

Se procede a determinar las reacciones en los apoyos.

M

A

0 ;

0  RBL 

Q L2  Q L2  L  R BL  2 3  2

;

24

RB 

Q L 3



RA 

Q L 6

VIGAS Y SU DISEÑO En esta viga se observa que la carga varía desde un valor igual a cero en el apoyo A hasta un valor máximo igual a Q en el apoyo B, por lo que se determinara la fuerza equivalente ( ), para cualquier sección de carga, la cual permitirá establecer las ecuaciones de fuerza cortante y momento flexionante para este tipo de carga. Para esto se consideraran dos triángulos como se muestra en la figura 1.37.

Figura 1.37

En la figura 1.38 (a) se observa que el total de la carga es Q , la cual actúa sobre una distancia b, mientras que en la figura 1.38 (b) se tiene solo una parte de la carga indicada por Q actuando sobre una distancia X , relacionando estos dos triángulos mediante el ángulo β, se determina como varia Q . 2

2

Q Q Tg   2 b x 1 : Fe  Q b 2

, Se sabe que

;

Q Q2 ;  b x 1 Fe 2  Q 2 x 2

;

Qx Q2  b



;

Por lo que la fuerza cortante para este tipo de carga será: Vx  Q x

Fe 2 

1 Q x  Q x2  x 2 b  2b

;

2

2b

1  Q x2 1  Q x3 M  Fe2  x    x  2b  3  6 b 3 

El momento flexionante será:

 Mx 

Q x3 6 b

Las ecuaciones para esta viga son: 0xL

 x   x  Q  L  x Q  x 3 QL2  x x 3  Mx  R A  Q2         6 6L 6  L L3   2  3 

Q  x 2 QL Q  x 2 QL  3x 2  x Vx  R A  Q2    R A     1 2L 6 2L 6  L2  2

Aplicando estas ecuaciones en los extremos de la viga se tiene: Si x  0

Si x  L

QL Vx  R A  6

QL  3x 2  QL  3L2  QL 1  1  6  L2  6  L2  3 Mx  0 Vx 

Mx  0

Para determinar el momento máximo se tiene que el cortante se hace cero para: x  momento será:

Si x 

L , por lo que el 3

L 3

QL  x x   x  x  Q  L  x Q  x Mx  R A  Q2         2 3 6 6 L 6  L L3     3

2

3



MxMAX

 L   L  Q  L  Q    3    3  6 6L

3

La ecuación para la fuerza cortante es de segundo grado por lo que la gráfica para esta carga será una parábola de segundo grado, mientras que para el momento se tiene una ecuación de tercer grado por lo que la gráfica será una parábola de tercer grado, como se observa en la figura 1.38.

25

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 1.38

EJEMPLO 1.7 Determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga en voladizo con carga concentrada en el extremo libre, que se muestra en la figura 1.39.

Figura 1.39

Calculando las reacciones en el empotramiento se tiene:

M

B

0

;

0  PL- M b

;

M b  PL

;

RB  P

Como se trata de una carga concentrada, la fuerza cortante es constante desde A hasta B, mientras que el momento varía con la distancia, como se observa en la figura 1.40 0xL Vx  -P Mx   P  x Figura 1.40

Si X  0 Vx  P Mx  0 

Si x  L Vx   P Mx  -P L Mx M AX   PL

EJEMPLO 1.8 Determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionaste para la viga en voladizo con una carga uniformemente repartida que se muestra en la figura 1.41.

Figura 1.41

26

VIGAS Y SU DISEÑO Como es una carga uniformemente distribuida el cortante varia con la distancia en forma lineal y el momento varia con la distancia de forma parabólica, como se observa en la figura 1.42. 0xL Vx  -q  x

Figura 1.42

q  x2 x Mx   q  x     2 2 Si x  0 Vx  0 ; Si x  L

Mx  0

Vx  -qL

;

Mx M AX  

qL2 2

Mx  -

qL2 2

VIGAS ISOSTATICAS CON DIFERENTES TIPOS DE CARGA Comúnmente las vigas isostáticas pueden estar sometidas a más de una carga básica, esto origina que se tengan que combinar los efectos que generan cada una de estas cargas, por lo que cuando se realizan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, se debe tomar en cuenta lo anteriormente indicado, como se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1.9 Realizar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 1.43, sobre la cual actúan las cargas indicadas.

Figura 1.43

En esta viga al actuar más de dos cargas en un punto se debe realizar el análisis por tramos de carga, con el fin de saber cómo actúan las cargas y poder generar los diagramas. Para esto lo primero que se hace es determinar las reacciones en los apoyos, por lo que se tiene:

M M

A

0

; 0  6(1)  12(3)  3(4.5)(2.25)  RB (4.5)

;



R B  16.083 KN

B

0

; 0   R A 4.5  6(3.5)  12(1.5)  3(4.5)(2.25)

;



R A  15.416 KN

Los diagramas que se obtienen se muestran en la figura 1.44.

27

VIGAS Y SU DISEÑO

Analisis de la viga por tramosde carga: TRAMO 1 : 0  x 1 Vx  15.4166  3( x  0) Mx  15.416( x  0) 1 -  Si x  0 m Vx  15.416 KN Mx  0 KN - m

3( x  0) 2 2 Si x  1 m Vx  12.416 KN Mx  13.916 KN - m

TRAMO 2 : 1 x  3 Vx  15.4166  3( x  0)  6  9.4166  3( x  0) 3( x  0) 2  6( x  1) 1 2 Si x  1 m Si x  3 m Vx  6.416 KN Vx  0.4166 KN Mx  13.916 KN - m Mx  20.7498 KN - m

Mx  15.416( x  0) 1 -

Figura 1.44

TRAMO 3 : 3  x  4.5

PARA DERMINAR EL MOMENTO MAXIMO. Este se encuentra donde Vx  0, por lo que : x  3m

Vx  9.4166  3( x  0)  12  2.5834  3( x  0) Mx  15.416( x  0)1 Si x  3 m Vx  11.583 KN Mx  20.749 KN - m

3( x  0) 2  6( x  1)1  12( x  3)1 2 Si x  4.5 m

Por lo que sustituy endo x para el tramode 3  x  4.5 : Mx  15.416( x  0)1 -

Vx  -16.083 KN Mx  0 KN - m

3( x  0) 2  6( x  1)1  12( x  3)1 2

M max  20.749 KN - m

EJEMPLO 1.10 Determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga que se muestra en la figura 1.45

Figura 1.45

Esta viga tiene una ménsula en la cual actúa una carga de 3KN, por lo que lo primero que se hace es sustituir esta ménsula por la carga y momento que esta aporta a la viga, quedando la misma como se muestra en la figura 1.46.

Figura 1.46

Determinando las reacciones en los apoyos se tiene:

28

VIGAS Y SU DISEÑO M M

A

0

B

0

; 0  R B (8)  (3)(1)  3  (5)(2)(4)  (8)(6)

 Fx  0



;

; 0   R A 8  3  (3)(7)  (5)(2)(4)  (8)(2)

;

R B  11.75 KN



R Ay  9.25 KN

; 0  R Ax

Realizando el análisis de la viga por tramos se tienen las ecuaciones indicadas, quedando los diagramas como se muestra en la figura 1.47. TRAMO 1 :

TRAMO 2 : 1 x  3

0  x 1 Vx  R A  9.25 KN

Vx  R A  9.25  3  6.25 KN

Mx  9.21( x  0) KN - m Si x  0 m

Si x  1 m

5x - 3 2 Si x  3 m

Vx  6.25 KN Mx  12.25 KN  m

Vx  6.25 KN Mx  24.75 KN - m

2

1

Mx  9.21( x  0) 1  3(x - 1) 0 - 3(x - 1) 1 -

Si x  1 m

Vx  9.25 KN

Vx  9.25 KN

Mx  0 KN - m

Mx  9.25 KN

TRAMO 3 : 3 x 5 Vx  9.25  3  5( x  3) 1

KN

KN

Si x  3 m ;

Vx  6.25 KN ;

5x - 3 KN - m 2 Mx  24.75 KN - m

Si x  5 m ;

Vx  3.75 KN ;

Mx  27.24 KN - m

2

Mx  9.21( x  0)  3(x - 1) 0 - 3(x - 1) 1 1

TRAMO 4 : 5x6

Vx  9.25  3  10  3.75 KN

Si x  5 m

;

Vx  - 3.75 KN

5x - 3 5x - 5  KN - m 2 2 ; Mx  27.25 KN - m

Si x  6 m

;

Vx  3.75 KN

; Mx  23.5 KN - m

2

2

Mx  9.21( x  0) 1  3(x - 1) 0 - 3(x - 1) 1 -

. Figura 1.47

En la viga se tiene una carga uniformemente distribuida que comienza en 3m y termina en 5m, pero la ecuación para esta carga actúa desde 3m hasta que termina la viga por lo que será necesario restar la carga sobrante, para esto se agrega una carga igual y de sentido contrario desde 5 m hasta que termina la viga, como se indica del tramo 4 en adelante.

TRAMO 5 : 6x 8 Vx  9.25  3  10  8  11.75 KN

5x - 3 5x - 5  - 8(x - 6) 1 KN - m 2 2 Mx  23.5 KN - m Mx  0 KN - m 2

;

2

Mx  9.21( x  0) 1  3(x - 1) 0 - 3(x - 1) 1 -

Si x  6 m ; Si x  8 m ;

Vx  -11.75 KN Vx  11.75 KN

; ;

Para determinar el momento máximo que actúa sobre la viga se debe tomar en consideración que este se encuentra en donde el cortante tiene un valor igual a cero, esto ocurre en el tramo 3  x  5 , por lo que se tiene: Vx  6.25 - 5(x - 3)  0



X  4.666 m 54.66 - 3  28.65 KN - m 2 2

Mx max  9.21(4.66  0)1  3(4.66 - 1) 0 - 3(4.66 - 1)1 -

29

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 1.11 Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la figura 1.48.

Figura 1.48

Como se tiene una viga en voladizo, en el empotramiento se tendrá una reacción y un momento; los cuales son:

 Fy  R

AY

 12  8  0

 RAY  20 klb

;

M

A

 0  M A  12(3)  50  8(10) M A  166 klb pie

Realizando el análisis por tramos se tienen los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes mostrados en la figura 1.49, observándose en las ecuaciones que en el segundo tramo TRAMO 1 : 0x6 Vx  20 - 2(x - 0) Si x  0 pie

;

Si x  6 pie ; TRAMO 2 :

Figura 1.49

 x - 0 2 0 Mx  -166x - 0   20(x - 0) - 2  2 Vx  20 Klb ; Mx  -166 Klb - pie ;

Vx  8 Klb

   

; Mx  -82 Klb - pie

6  x  10 Vx  20 - 12  8 klb

;

 x - 0 2   x - 6 2    2   50 Mx  -166x - 0   20(x - 0) - 2     2   2  Si x  6 pie ; Vx  8 klb ; Mx  32 Klb - pie 0

Si

x  10 pie ;

Vx  8 klb

; Mx  0 Klb - pie

Por lo que el momentomaximoes : M M AX  166 klb  pie

EJEMPLO 1.12 Para la viga que se muestra en la figura 1.50. (a) Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante; (b) Determine la fuerza cortante y el momento flexionante máximo.

Figura 1.50

Determinando las reacciones en los apoyos se tiene:

M M

A

B

 0  2(1)  3(3)(1.5)  (0.5)(3)(4)(5)  RBy (6)

 0  2(7)  RAy 6  3(3)(4.5)  (0.5)(3)(4)(1)

30

RBy  6.917 KN

; ;

RAy  10.083KN

VIGAS Y SU DISEÑO Realizando el análisis por tramos se tienen los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante mostrados en la figura 1.51. TRAMO 0  x 1 Vx  2

1:

Mx  2( X  0)1 Si X  0 m ; Vx  2 KN Si X  1 m ; Vx  2 KN 1

; ;

Mx  0 KN - m Mx  -2 KN - m

TRAMO 2 : 1 x  4 Vx  2  10.083( x  0)1  3( x  1)1 3( x  1) 2 2 Vx  8.083 KN ; Mx  -2 KN - m

Mx  2( X  0)1  10.083( x  1)1  Si X  1 m ; Si X  4 m

Vx  8.083  3(3)1  -0.917 KN Mx  2(4)1  10.083(3)1 

3(3) 2  8.75 KN - m 2

Figura 1.51 TRAMO 3 : 4 x7 Vx  0.917  Si X  4 m Si X  7 m

4( x  4) 2 ; 2(3) ; Vx  -0.917 ;

Mx  2( X  0)1  10.083( x  1)1  KN

;

3( x  1) 2 3( x  4) 2 4( x  4) 3   2 2 6(3)

Mx  8.75 KN - m

4(3) 2 3(6) 2 3(3) 2 4(3) 32 Vx  0.917   -6.917 KN ; Mx  2(7)1  10.083(6)1     0 KN - m 2(3) 2 2 6(3)

El momento máximo se encuentra donde el cortante tiene un valor de cero, en este caso es en el tramo 1  x  4 , por lo que igualara a cero la ecuación de cortante en este tramo para determinar la distancia en la cual se tiene el momento máximo, por lo que se tiene: Vx  8.083  3( x 1)1  0

 8.083  3x  3

Mx  2(3.6943)  10.083(2.6943)  3



x  3.6943m

(2.6043) 2  8.889KN  m 2

PROBLEMAS PROBLEMAS DEL 1.1 AL 1.3

Segundo tramo:

Determinar los momentos de inercia centroidales de la sección de las vigas que se muestran 3  xtransversal  15 en las figura 1.53 a 1.55 Vx  R A  q ( x  3)  13.167  1.5( x  3)

Figura 1.53

 1.5( x  3) 2   Mx  50  R A ( x  3)  q  2    1.5( x  3) 2 Mx  50  13.167( x  3)  1.5 2  Si X  3 ; Vx  13.167 Mx  -50 Si X  15 : Vx  -4.833 Mx  0

Figura 154

Figura 1.55

31

   

VIGAS Y SU DISEÑO PROBLEMAS DEL 1.4 AL 1.9 Para las vigas simplemente apoyadas que se muestran en la figuras 1.56 a 1.60, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

Figura 1.56

Figura 157

Figura 1.57

Figura 1.58

Figura 1.59

Figura 1.60

PROBLEMAS DEL 1.10 AL 1.11 Para las vigas empotrada que se muestran en la figuras 1.61 a 1.62, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

Figura 1.61

Figura 1.62

32

VIGAS Y SU DISEÑO

CAPITULO

2 ESFUERZOS EN VIGAS

33

VIGAS Y SU DISEÑO INTRODUCCION En las estructuras y maquinas en servicios es muy común encontrar elementos sometidos a flexión, la cual puede estar acompañada de tensión, compresión o torsión, lo que genera un estado de esfuerzos conocido como combinado. El análisis de este estado de esfuerzo suele ser complejo, pero utilizado la superposición de efectos, los esfuerzos generados por la flexión se pueden analizar independientemente. Siendo el fin de este capítulo determinar los mismos. Cuando se habla de flexión es común pensar en las vigas, las cuales siempre actúan bajo este efecto, como se indicó anteriormente el análisis de las vigas es de gran importancia en la ingeniería mecánica por la gran cantidad de elementos que se analizan de esta forma. Los momentos flectores generan en la sección transversal de la viga esfuerzos normales, mientras que las fuerzas cortantes generan en estas secciones esfuerzos cortantes o tangenciales. Para determinar el esfuerzo normal que soporta una viga, con la finalidad de seleccionar el tipo de material a utilizar, su forma geométrica y dimensiones, es necesario conocer los siguientes parámetros: momento flexionante máximo aplicado, momento de inercia de la sección transversal de la viga respecto a sus ejes centroidales, así como la distancia de su eje neutro a la fibra más alejada (superior o inferior). Ya conociendo el esfuerzo normal que la aplicación de una carga externa produce en una viga, es importante también conocer el esfuerzo cortante que actúa sobre esta, el cual depende de la fuerza cortante, para comparar los efectos que dichos esfuerzos producen. La fuerza cortante y el momento flexionante se obtienen de los diagramas analizados en el primer capítulo, para determinar el momento de inercia del área transversal de una viga también se ha establecido el procedimiento, por lo que en el presente capítulo se definirá que es el eje neutro de una sección y su ubicación en una viga, con el fin de poder utilizarlo para determinar los esfuerzos normal y cortante existentes. Se darán ejemplos del análisis de una viga para su diseño por esfuerzo normal y esfuerzo cortante, aplicando el módulo de sección. También se analizaran vigas curvas en donde la ubicación del eje centroidal y el eje neutro son diferentes por lo que los esfuerzos se tienen que determinar de diferente forma, así como vigas de dos materiales, realizándose problemas acordes con los temas.

FLEXION PURA Cuando sobre la sección transversal de una viga actúa solamente el momento flexionarte, se dice que existe una condición de “FLEXION PURA”. La flexión pura se desarrolla bajo ciertas condiciones de cargas que no permiten que exista otro tipo de efecto aparte de la flexión. Ha quedado establecido por muchos estudios que en la flexión pura las deformaciones son proporcionales a la distancia al eje neutro; esto parece confirmarse cuando menos con una buena aproximación tanto en el rango elástico como inelástico.

34

VIGAS Y SU DISEÑO SUPERFICIE NEUTRA De la suposición de que las secciones transversales planas antes de la flexión, permanecen planas después de esta, se tiene que al flexionarse una viga las secciones transversales de la misma, se ven sometidas a esfuerzo de tracción y compresión a un lado y otro de una capa que no está sujeta a ningún esfuerzo y por lo mismo se denomina capa neutra o elástica. Sobre el lado de la viga a compresión las fibras de la viga se acortan y sobre el lado en tensión se estiran. Para comprender lo anterior observemos la figura 2.1. En la parte (a) se observa un tramo de viga el cual está dividido en sección de longitud dx , este tramo posteriormente es sometido en sus extremos a la acción de momentos flexionantes M , los que originan que se deforme este tramo como se muestra en la parte (b).

Figura 2.1

Las líneas a-a’ y b-b’ de la superficie de la viga giran cierto ángulo después de la deformación, permaneciendo rectas, mientras que la fibra a-b situada en la parte superior se alarga, lo que demuestra su tensión y la fibra a’-b’ se comprime, demostrándose su compresión. La longitud de la fibra 2-2’ no varía, por lo que no se comprime ni se alarga, siendo la superficie neutra. Si se observa la fibra 1-1’ se podrá ver que esta también se alarga pero en menor medida que la fibra ab, lo mismo sucede con la fibra 3-3’, la cual se comprime menos que la fibra a’-b’. Lo anterior demuestra que las deformaciones mayores de alargamiento o acortamiento suceden en fibras que se encuentran más lejos de la capa o superficie neutra.

EJE NEUTRO La línea a lo largo de la cual los esfuerzos flexionantes son cero es llamada “EJE NEUTRO”. Este se encuentra en la superficie neutra. En la figura 2.2 la superficie neutra se muestra sobre el plano X  Z , encontrándose sobre Z el eje neutro.

Figura 2.2

Al aplicar de la carga P en la parte superior a partir de este eje se tiene compresión y en la parte inferior tensión, teniéndose los esfuerzos normales máximos en los puntos más alejados del eje neutro. En la superficie superior e inferior de la viga respectivamente, como se observa en la figura 2.3.

Figura 2.3

35

VIGAS Y SU DISEÑO ESFUERZO NORMAL EN LA SECCION TRASVERSAL DE UNA VIGA Tomando en consideración que la sección transversal de la figura 2.3 está en equilibrio, la suma de los momentos producidos por las cargas resistentes con respecto del eje neutro debe ser igual al momento flexionante que los origina. Por lo que el momento en la parte superior de la viga con respecto del eje neutro ( Z ), se puede relacionar este momento el cual se encuentra a una distancia Y , con el momento que se tendrá a cualquier distancia y . Para tal efecto se tomara en consideración la figura 2.4. MAX

Figura 2.4

En la figura se tiene que: dA  Área de la fibra localizada a una distancia ” y “ de la capa o eje neutro

YMAX  Distancia a la cara superior de la viga.

Pc = Carga resistente originada por la flexión; La carga Pc    dA , por lo que el momento será: Y

Mx     dA  y   Pc  y Y

Y

Mx     dA  y 

;

o

0

0

De la estática se tiene que: Dónde:

y

2

Y  y   dA  y 2 …….… (2.1) y o y

 dA  I Z

I Z = Momento de inercia respecto al eje Z

Sustituyendo la anterior en la ecuación 2.1, se tiene:

Mx 

Despejando el esfuerzo:



 y

 I Z …………(2.2)

Mx  y ..………(2.3) IZ

La ecuación 2.3 permite determinar el esfuerzo en una viga a cualquier distancia a partir del eje neutro. Por otra parte los esfuerzos en la parte superior de la viga a partir del eje neutro se pueden representar de la forma que se indica en la figura 2.5.

Figura 2.5

36

VIGAS Y SU DISEÑO De la figura 2.5 se tiene:

tg 

 y



 MAX YMAX Mx 

Sustituyendo lo anterior en la ecuación 2.2 se tiene:

YMAX

 IZ

Mx  YMAX ……….. (2.4) IZ

 MAX 

Por lo que el esfuerzo máximo será:

 MAX

La ecuación 2.4 es conocida como “ECUACIÓN DE LA ESCUADRIA”. Si se conoce el momento flexionante máximo en la viga se podrá determinar el esfuerzo normal máximo en la viga, que para fines de diseño es el requerido. Para lo cual se debe de tomar en consideración que este esfuerzo puede ser positivo (tensión) o negativo (compresión), por lo que no se deberá tener solo en cuenta los esfuerzos positivos, sino también los negativos. Para comprender la variación de los esfuerzos en una viga se muestran los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 2.1 Para la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 2.6 calcular el esfuerzo en la fibra extrema superior (  MAX .),

Figura 2.6

Para poder determinar el esfuerzo normal o el esfuerzo cortante se debe determinan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, obteniéndose los mostrados en la figura 2.7. M  M 

Figura 2.7

 0  2(2)  1.8(8)(4)  RB (8)  2(10) A RB  9.2 Klb  0  2(10)  R A (8)  1.8(8)(4)  2(10) B R A  9.2 Klb

Analisis por tramos : 0x2 Vx  2 ; Mx  2 x Si x  0 pie ; Vx  2 Klb - pie ; Mx  0 Klb - pie Si 2  x  10 Vx  2  9.2  1.8( x  2)  7.2  1.8( x  2)

10  x  12 Vx  2  9.2  14.4  9.2  2

1.8( x  2) 2 2 Vx  7.2 Klb ; Mx  -4 Klb - pie Vx  2 Klb ; Mx  4 Klb - pie

Mx  2( x  0)  9.2( x  2)  Si Si

x  2 pie ; x  10 pie ;

x  2 pie ; Vx  2 Klb - pie; Mx  4 Klb - pie

Mx  2( x  0)  9.2( x  2)  14.4( x  6)  9.2( x  10) Si x  10 pie ; Vx  2 Klb ; Mx  -4 Klb - pie Si

37

x  12 pie ;

Vx  2 Klb ;

Mx  0 Klb - pie

VIGAS Y SU DISEÑO Por ser simétricas las cargas el momento máximo según se observa en los diagramas se encuentra a una distancia de 6 pies, por lo que en la ecuación para momento flexionante, en el tramo de 2  x  10 , se sustituirá esta distancia para determinar el valor del momento máximo. 1.8(6  2) 2 ; 2  10.4 Klb - pie  124800 lb - plg

Mx  2(6  0)  9.2(6  2)  

M MAX

Mx  2(6)  9.2(4) 

1.8(4) 2 2

Para determinar el momento de inercia, al tratarse de una sección tubular rectangular, al momento de inercia de la sección externa se le restara el momento de inercia de la sección hueca o interno, por lo que se tiene: IZ 

1 1 1 1 be  he3  bi  hi3  (4)  (6) 3  (2)  (4) 3  61.333 plg4 12 12 12 12

Para obtener el esfuerzo en la fibra extrema superior se tomara en cuenta que este se ubica en la parte superior o inferior de la viga por lo que para este problema se tomara la distancia desde el eje neutro a la superficie superior, por lo que y  3 plg . Teniendo todos los datos se utilizara la ecuación 2.3, para determinar el esfuerzo, por lo que se tiene: 

Mx  y 124800  (3) (lb  p lg)  ( p lg) lb    6104 IZ 61.333 p lg 4 plg 2



 MAX  6.104 KSI

EJEMPLO 2.2 Para la viga que se muestra en la figura 2.8, determine: (a) la distribución del esfuerzo de flexión sobre la sección a-a; (b) calcule y trace la distribución de esfuerzos que actúan sobre la sección antes indicada, para una distancia a partir del eje neutro de 0, 7.5, 25 y 50 milímetros.

Figura 2.8

Por ser simétrica la carga que actúa sobre la viga las reacciones en los apoyos son: RA  80N

R B  80N

y

Determinando los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se tienen los mostrados en la figura 2.9.

Figura 2.9

Del diagrama de momento flexionante se tiene que el momento máximo es: M MAX  32 N - m . Para determinar el momento de inercia que se tiene sobre el eje X, que es el que se utilizara porque también sobre este eje se encuentra el eje neutro, se utilizara el teorema de ejes paralelos, por lo que se I X  I X 1  A1  d 2  I X 2  A2  d 2  I X 3  A3  d 2 tendrá:

0.0150.1

3

IX 

12

0.0750.015

3

0

12

0.0150.1

3

0

38

12

 0  2.5121X 106 m 4

VIGAS Y SU DISEÑO Para el cálculo de los esfuerzos se utiliza la ecuación 2.3, en donde solo varia la distancia Y, por lo que se tendrá: Si Si

320 0 2.521x106 320.025 C   317.4 KP a 2.521x106

y  0 mm ;  A  y  25 mm;

Si Si

y  7.5 mm ; y  50 mm ;

320.0075  95.2 KP a 2.521x106 320.050 D   634.67 KP a 2.521x106

B 

La variación de los esfuerzos sobre la viga se muestra en la figura 2.10.

Figura 2.10

EJEMPLO 2.3 Una viga tiene el perfil y las dimensiones que se muestran en la figura 2.11 y se le aplica una carga concentrada P en su punto medio. Determinar la carga máxima permisible P, si los esfuerzos permisibles en flexión son 20000 PSI a tensión y 12000 PSI a compresión.

Figura 2.11

Como se trata de una carga concentrada ubicada al centro de la viga los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante son los mostrados en la figura 2.12.

10 pie  120 plg M max  0.5P  (120 / 2) Figura 2.12

M max  30P

Para determinar el centroide del área transversal de la viga se tiene: FIGURA

AREA

y

A y

1 2 3

48 16 16 80

9 4 4

432 64 64 560

 Y 

 A  y  560  7 plg  A 80

Figura 2.13

39

VIGAS Y SU DISEÑO Por lo que el centroide se ubica a 7 pulgada de altura con respecto a la base de la sección transversal como se observa en la figura 2.13. Para determinar el momento de inercia centroidal del área de la sección transversal se tiene: I Z! 

1 3  24 2  16 plg4 12

;

IZ2 

I ZC  16  48 2  2 85.33  16  3 2

2

1 3  2 8  85.33 plg4 12

  666.66 plg

4

Si se utiliza la ecuación de esfuerzo normal, se podrá despejar el momento flexionante. En este caso se tendrán dos posibles momentos flexionantes, uno que se obtiene del esfuerzo normal a compresión y otro que se obtiene del esfuerzo normal a tensión. Para la compresión   12000 PSI y la distancia y  3 plg , puesto que por la forma en que se aplica la carga la compresión se tiene en la parte superior, por lo que el momento que se obtiene es: 12000666.66  2.666x106 lb - plg 3 En la tensión   20000PSI y la distancia y  7 plg , dado que la tensión se tiene en la parte que encuentra Mx 

  IZ y



por debajo del eje neutro, obteniéndose el momento que se indica a continuación: Mx 

  IZ y



20000666.66  1.9047x106 lb - plg 7

Como se podrá ver para que no se sobrepase ninguno de los esfuerzos permisibles, se tendrá que tomar el momento menor. Por lo que la fuerza máxima P que se puede aplicar es: P

M max 1.9047x106 lb  p lg  30 30 p lg



P  63.490x103 lb

MODULO DE SECCION Para el diseño de una viga basado en la flexión, cuando el claro de viga relativamente grande, comúnmente se utiliza el módulo de la sección, que es una relación entre el momento de inercia I y la distancia y , este se indica por la letra S .  y  Para obtener este módulo se despeja la ecuación 2.3, obteniéndose que , posteriormente se Z

MX

IZ

determina el inverso a esta igualdad, denominándose a este valor como “Modulo de Sección”, el cual está representado por la ecuación 2.5. S

M XMAX

 PERM



IZ …… …(2.5) y

Dónde: M =Es el momento máximo que se determina del diagrama de momentos de la viga a calcular, tomando el mayor de estos en valor absoluto. = Esfuerzo permisible el cual se especifica del material con el que se realizara la viga o  de algún código de diseño. MAX

PERM

En un principio el peso de la viga se desprecia, pero al seleccionarse el material y forma de la misma se tomara en cuenta para realizar el rediseño. El módulo de la sección está definido por la geometría de la sección transversal. En la tabla 2.1 se indica el valor del módulo de sección para algunas de las formas geométricas más comunes.

40

VIGAS Y SU DISEÑO

FIGURA

MOMENTO DE INERCIA Y MODULO DE SECCION bh3 4 L  12 bh3 2bh3 S  12  h 12h 2 IZ 

IZ 

 d4



IZ 

;

64 S



D

64

  r3 4

4



bh2 3 L  6

yMAX 

d 2

  d3 32

d4 



L  3

y MAX  d  D

  D 3 1    S

S 

4

  



32   D3   d 4 S  32 32  D

IZ  

bh3 36

yMAX  S

D 2

2 h 3

bh2 3 L  24

TABLA 2.1 Módulo de sección de las formas geométricas más comunes

ECUACION PARA DIMENSIONAR UNA VIGA RECTANGULAR En vigas de sección rectangular la aplicación de la ecuación 2.4, así como los valores de y e I , permiten generar una ecuación para calcular la altura de la viga y en consecuencia generar el dimensionamiento de la misma. MAX

Se sabe que el momento de inercia centroidal para una sección rectangular es: I Z  máxima a partir de los ejes centroidales a la parte superior de la viga es: YMAX  Si se sustituyen los valores de Y

MAX

e I en la ecuación 2.4, se tendrá: Z

41

h . 2

b  h3 12

Z

y la distancia

VIGAS Y SU DISEÑO  MAX 

M MAX 

h 2

bh3 12

 MAX 



6MMAX  h bh3

Despejando la altura se obtiene: h 6   M MAX b h3   

 MAX



h 6   M MAX b 3 h   ……….. (2.6)

 MAX

El esfuerzo normal en una sección rectangular se puede representar como se indica en la figura 2.14. En esta se observa que este esfuerzo tiene un valor igual a cero en el centro de la viga (E. N. ) y un valor máximo en los extremos superior e inferior.

Figura 2.14

SELECCIÓN DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UNA VIGA Cuando se desea diseñar una viga es necesario determinar la forma y dimensiones de su sección transversal, las cuales dependerán de las cargas aplicadas y el material a utilizar. Existen tablas publicadas en los diferentes manuales de fabricantes de vigas, los cuales muestran los diferentes tipos de vigas que existen, las dimensiones que tienen, sus momentos de inercia, su módulo de sección, etc. Con la finalidad de que se pueda escoger entre estas la viga más adecuada al requerimiento del diseñador. Cuando se selecciona una viga es importante tener en cuenta que la determinación correcta del momento flexionante máximo y la fuerza cortante máxima que son aplicados, es de gran importancia para lograr la selección de un perfil el cual no esté sobrado pero tampoco pueda generar una falla. El siguiente ejemplo muestra la forma de determinar las dimensiones de la sección transversal de una viga rectangular.

EJEMPLO 2.4 Para la viga rectangular de la figura 2.15 determinar el valor de la base y la altura, si se sabe que la  7MPa . relación entre la base y la altura es: h / b  2 y PERM

Figura 2.15

42

VIGAS Y SU DISEÑO Determinando las reacciones en los apoyos se tiene:

RA  10.084KN ; R B  5.916KN

Conociendo las reacciones se pueden generar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, los cuales se muestran en la figura 2.16 Para cortantes : TRAMO 1 : 0  x  1.5 Vx  -5 Mx  5 - 5(x - 0) Si x  0 m ; Vx  -5 KN ; Mx  5 KN - m Si

x  1.5 m ;

Vx  -5 KN ; Mx  5 - 5(1.5)  -2.5 KN - m

TRAMO 2 : 1.5  x  3.5 Vx  -5  10.084  5.084 Mx  5 - 5(x - 0)  10.084(x - 1.5) Si x  1.5 m ; Vx  5.084 KN ; Mx  -2.5 KN - m Si x  3.5 m ; Vx  5.084 KN ; Mx  7.664 KN - m TRAMO 3 : 3.5  x  7.5 Vx  -5  10.084 - 3 - 2(x - 3.5)  2.084 - 2(x - 3.5)

Figura 2.16

Mx  5 - 5(x - 0)  10.084(x - 1.5) - 3(x - 3.5) -

;

2(x - 3.5) 2 2 ; Mx  7.664 KN - m

Si

x  3.5 m ;

Vx  2.084 KN

Si

x  7.5 m ;

Vx  2.084 - 2(4)  -5.916 KN

;

Mx  0 KN - m

Para determinar el momento máximo determinaremos el punto en donde el cortante se hace cero, el cual se encuentra en el último tramo. TRAMO 3 3.5  x  7.5 Vx  2.084- 2(x - 3.5)  0

;

2(X - 3.5)  0

(X - 3.5)  1.042

;



x  4.542 m

Sustituyendo este valor en la ecuación de momentos en ese tramo se tiene: Si x  4.542m

;

Mx  5 - 5(4.542) 10.084(3.042)- 3(1.042)-

2(1.042)2  8.749KN - m 2

Por lo que la fuerza cortante y el momento flexionante máximos son: V

MAX

 5.916 KN; M MAX  8.7497 KN - m

Se utiliza la ecuación 2.6 para determinar la altura y la base de la sección transversal de la viga, la cual se muestra en la figura 2.17.

h

Figura 2.17



43

3

h 6  M MAX 62(8.7497X 103 ) b 3  0.122 m  MAX 7 X 106 h  12.2 cm

;

b  6.10 cm

VIGAS Y SU DISEÑO VIGAS COMPUESTAS DE DOS MATERIALES Las vigas compuestas están construidas de una combinación de materiales y algunos ejemplos de estas son las bimetálicas y las vigas reforzadas. Estas vigas compuestas pueden analizarse mediante la misma teoría de la flexión utilizada para vigas comunes. Dado que la suposición de que las secciones planas antes de la flexión permanecen planas después de esta. Es válida en flexión pura sin importar el material de que se trate, es decir, que las deformaciones son directamente proporcionales a la distancia a la línea neutra no así los esfuerzos los cuales varían al no ser homogéneo el material. Para el estudio de las vigas compuestas el procedimiento a seguir consiste en realizar una transformación a una viga homogénea equivalente, a la cual se le puedan aplicar directamente las fórmulas de la flexión. Esta transformación se realiza como sigue: Se tomara en consideración una viga de madera reforzada en su cara inferior, con una capa de acero, como se observa en la figura 2.18 (A), estos materiales están firmemente unidos de tal manera que no exista deslizamiento entre ellos cuando la viga se deforme. Al existir dos materiales diferentes en esta viga no se cumplen todas las hipótesis que se establecieron para la flexión, dado que se consideraba que la viga es homogénea, por lo que no se puede aplicar directamente los resultados obtenidos a esta viga. Sin embargo, mediante ciertas modificaciones o transformaciones es posible obtener una sección equivalente, la cual debe ser de alguno de los materiales que conforman la viga para que se puedan aplicar las fórmulas de la flexión.

Figura 2.18

De la figura 2.18 (A) tomemos en consideración una fibra longitudinal de acero en el punto donde se supone que la madera y el acero están firmemente unidos, en este punto las deformaciones de la madera y el acero son iguales    , expresando esta relación en función de los esfuerzos y sus módulos elásticos tenemos: AC

MAD

 AC   AC  E AC  AC 

 MAD   MAD  EMAD

;

 AC

;

E AC  AC E AC



 MAD EMAD

 MAD 

 MAD EMAD

………(2.7)

Esta misma relación se cumple en toda la línea de unión de la madera y el acero. Por otra parte para lograr la equivalencia completa, las cargas soportadas por una fibra de acero y su equivalente de madera han de ser iguales, es decir P  P , lo que en función de las secciones de la fibra de acero y de su equivalente de madera se escribe como: AC

MAD

44

VIGAS Y SU DISEÑO  AC 

PAC AAC

;

 MAD 

PMAD AMAD



 E AAC  AC  EMAD

De las ecuaciones (2.7) y (2.8) se obtiene:

Dividiendo entre  MAD y llamando "n " a la relación

E AC EMAD

A AC   AC  AMAD   MAD

……(2.8)

    MAD  AMAD  MAD 

se tiene:

AMAD  n  AAC …… (2.9)

Lo que significa que el área de la sección equivalente de madera es "n " veces el área de la sección de acero. La forma, dimensión y situación del área equivalente quedan determinadas por la condición básica de que la fibra de madera equivalente a la fibra de acero, tiene que estar a la misma distancia a la línea neutra, para que se verifique la condición de igual deformación en la ecuación 2.7. En resumen la sección de madera equivalente a la de acero es "n " veces más ancha como se indica en la figura 2.16 ( B ) y la sección de acero equivalente a la de madera es "1 / n " veces menos ancha como se indica en la figura 2.16 (C ). En estas condiciones la fórmula de la flexión se puede aplicar directamente a cualquiera de las secciones equivalentes. Si se aplica a la sección equivalente de madera el esfuerzo del acero, es "n " veces el esfuerzo de la madera equivalente. Si se aplica en la sección equivalente en acero el esfuerzo real de la madera será "1 / n " veces el esfuerzo en el acero equivalente a esta madera. En todos los casos la línea neutra pasa por el centro de gravedad de la sección equivalente y el momento de inercia por emplear es el que se tiene en la sección transformada con respecto a la línea neutra. Para entender la aplicación de las ecuaciones obtenidas se realizaran algunos ejemplos.

EJEMPLO 2.5 La viga simplemente apoyada tiene tramo de 6 m soporta una carga uniformemente repartida de 4 KN/m . Esta se representa en la figura 2.19 con su sección transversal. Si n  20 , calcular los esfuerzos máximos en la madera y el acero (la carga incluye su peso propio).

Figura 2.19

Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que se obtienen se muestran en la figura 2.20.

Figura 2.20

Conociendo los diagramas se determina la línea neutra, puesto que esta pasa por el centro de gravedad de la sección equivalente. Transformando la viga original en una viga equivalente de madera.

45

VIGAS Y SU DISEÑO La sección de madera no se altera, pero la sección de acero se transforma a madera por lo que su ancho se debe de multiplicar por la relación "n" , con lo que se tendrá: b  100n  10020  2000mm . Como la viga obtenida es de un solo material el eje neutro debe pasar a través del centroide de la sección, este se calcula como sigue: AY   A y Y 

 A Y A



5162500  89.79 mm 57500

FIGURA

A

y

A y

1 2 

37500 20000 57500

135 3

5 062 500 100 000 5 162 50

El centroide de la viga compuesta se muestra en la figura 2.21. Para determinar el momento de inercia de la sección equivalente con respecto al eje neutro, se utiliza el teorema de Steiner (de los ejes paralelos), lo cual se indica a continuación.

Figura 2.21

bh 3 150250   195312500mm 4 12 12 2 2 A 1  d 1  15025045.21  76647903 mm 4 3

I1 

P ara

(1) :

P ara

(2) : I 2 

bh 3 200010   166666.66 mm 4 12 12 2 2 A 2  d 2  2000  10  84.76  143685152 mm 4 3

I Z  I1  A 1  d 1  I 2  A 2  d 2  195312500 76647903 166666.66  143685152 2

2

I Z  415.812x106 mm 4

 MAD 

El esfuerzo es:

M MAX  y MAX 18X 103 0.170 N   7.359x106 IZ 415.812X 106 m

Para el acero el esfuerzo máximo es:  MAD 

 AC



n

 AC  n   MAD  7359x106 20  147.181x106

N m

  AC  147.181 MPa

EJEMPLO 2.6 La canal de acero se utiliza para reforzar la viga de madera como se muestra en la figura 2.22. Determinar el esfuerzo máximo en el acero y la madera cuando la viga se somete a un momento M  850 lb pie. Si se sabe que: E  29x10 KSI , E  1600 KSI. 3

AC

MAD

Figura 2.22

46

VIGAS Y SU DISEÑO Para determinar el valor de “ ” se relacionan las áreas de ambos materiales. AMAD  n  AAC

E AC 29000  E MAD 1600

n

n  18.125

Si se transforma la sección de madera en acero se tiene: AAC 

AMAD ; n

A AC  bAC  hAC ;

bMAD  hMAD n

bAC  hAC 

Para que no varíe la ubicación de los centroides de la sección equivalente se conservara la altura: 

hAC  hMAD

b AC 

b MAD 15   0.8275 n 18.125

Con lo que se obtiene la viga equivalente mostrada en la figura 2.23.

Figura 2.23

Para la cual se calcula su eje neutro y su momento de inercia, tomando como base las cuatro figuras simples en que se divide la pieza. FIGURA

A

y

A y

1

1.75

2.25

3.9375

2

2.8962

2.25

6.5164

3

1.75

2.25

3.9375

4

8

0.250

2



14.3962

Y

16.3914  1.1385 plg 14.3962

16.3914

Para determinar el momento de inercia I , se calculan los momentos de inercia centroidales de los cuatro rectángulos, teniéndose lo siguiente: z

bh 3 0.53.5   1.7864 plg4  I 3 12 12 3 bh 3 16  0.5 I4    0.1666 plg4 12 12 3

P ara

(1) :

P ara

(4) :

I1 

bh 3 0.8275 3.5   2.9565 plg4 12 12 3

;

P ara

(2) :

I2 

Utilizando el teorema de ejes paralelos se tiene: I Z  I1  A1  d1  I 2  A 2  d 2  I3  A3  d 3  I 4  A 4  d 4 2

2

2

2

I Z  1.7864 0.53.51.1114  2.9565 2.89621.1114 2

2

 1.7864 1.751.1114  0.16666 80.8885  20.9120 plg4 2

2

Para calcular el esfuerzo máximo en el acero, la distancia es:  AC 

yMAX  2.8614 plg .

M MAX  y MAX 102002.8614 lb   1395.67 IZ 20.9120 p lg2

Calculando el esfuerzo en la madera:

 MAD 

 AC n



 MAD  77.00

47

 MAD 

lb plg2

1395.67 lb lb  77.00 18.125 p lg2 plg2

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 2.7

Una viga de concreto es reforzada por las tres varillas de acero como se muestra en la figura 2.24. El módulo de elasticidad es: E  3x10 lb/plg para el concreto y E  30x10 lb/plg para el acero. Usando un esfuerzo admisible   1350lb/plg para el concreto y   20 Klb/plg para el acero, determinar el mayor momento flector positivo que se puede aplicar a la viga. 6

6

2

2

AC

CON

2

2

ADM CON

ADMAC

Figura 2.24

Para resolver este problema primero se determina el valor de “ ”:

n

Conociendo este se determina el área del acero: 2    d 2     7 / 8  A AC  3  3    4  4   

Transformando la sección de acero a concreto:



E AC 30   10 E CON 3

A AC  1.8039 plg2

n  AAC  101.8039  18.039 plg2

Los momentos de área de un lado como del otro del eje neutro se deben equilibrar por lo que es necesario calcular en primer lugar el eje neutro, para tal fin se utilizara la figura 2.25. Figura 2.25

Realizando equilibrio de momentos se tiene: A  X E.N .  A  X E.N .

;

4X 2  252.54  18.039 X  0

X 8     18.03914  X   2 

;

8X 2  18.03914  X  2 X  6 plg

Como el concreto actúa solamente a compresión, para los cálculos debe usarse solamente la porción de la sección transversal ubicada por encima del eje neutro en la sección transformada, como se observa en la figura 2.26

Figura 2.26

Por lo que el momento de inercia será:

48

VIGAS Y SU DISEÑO I

1 2 b  a 3  nAh  a  3

; I

1 863  18.03914  62 3

Para él cálculo de los esfuerzos en primera instancia sé considerada que el concreto actúa a máximo esfuerzo:  CON  1350 lb/plg2 M  1350

Por lo el valor de momento será:

1729  389025 lb  plg 6

Ahora se considera que el acero actúa a esfuerzo máximo, con lo que se tiene:  AC  20000 el esfuerzo equivalente en concreto del acero :  CON 

 AC n



20000 lb  2000 10 p lg2

lb , por lo que p lg2



 1739  M  2000   432250 lb  plg  18 

El valor del momento será:

Para obtener el momento permisible se toma el menor de los dos momentos obtenidos, con la finalidad de M  389.025 Klb plg evitar que alguno de los dos materiales pueda fallar. Por lo que el momento es: EJEMPLO 2.8 Una viga de madera es reforzada en sus costados con placas de acero, como se muestra en la figura 2.27. Si los esfuerzos permisibles son:   125MPa para el acero y   8MPa para la madera. Los módulos elásticos son: E  200GPa para el acero y E  8.5GPa . Determinar el momento AC ADM

MAD ADM

AC

MAD

flexionante máximo permisible, respecto al eje neutro.

Figura 2.27

Para poder resolver este problema lo primero que se realiza es transformar la sección de acero a madera, con la finalidad de trabajar con un solo material, para lo cual primero se determina n . n

E AC 200GPa   23.53 E MAD 8.5GPa

Conociendo esta se procede a multiplica la base de la secciones de acero por n . b EQUIV  nb  15.5 mmx23.53  364.7 mm

Por lo que la base equivalente de las nuevas secciones de madera tendrá una longitud en su base de 364.7 mm, quedando la sección transversal de la viga equivalente como se muestra en la figura 2.28.

Figura 2.28

Determinando el momento de inercia para la viga equivalente.

49

VIGAS Y SU DISEÑO IZ

E.N.



bh3 ((0.3647 0.180 0.3647)m)(0.280m) 3   0.001663m 4 12 12

Determinando el momento flexionante que actúa en la sección de madera, se tiene:  MAD  .

M ADM  YMAX  IZ

M ADNM 

 MAD  I Z

E.N .

YMAX

E.N.



(8 x106 N / m 2 )(0.001663m 4 )  95062.61 N  m 0.14m

El momento obtenido es el máximo que en estas condiciones soporta la madera. Para obtener el máximo momento que soporta el acero se tomara en cuenta la sección transformada de acero.  AC  .

n  M ADM  YMAX IZ E.N.



M ADNM 

 AC

ADM

 IZ

n  YMAX

E.N.



(125x106 N / m 2 )(0.001663m 4 )  63103.33 N  m 23.530.14m

Para obtener el momento flexionante máximo permisible, se tomara el menor de los dos momentos obtenidos, con la finalidad de que en ningunos de los materiales se sobrepase el esfuerzo permisible. Por lo que el momento será: M  63.103 KN  m ADNM

ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS Cuando una viga se somete a carga que genere flexión, en la sección transversal, actúan no solamente un momento flexionante interno sino también una fuerza cortante interna. Esta fuerza cortante V, mostrada en la figura 2.29 es necesaria para el equilibrio de translación y es el resultado de la distribución del esfuerzo cortante transversal, que actúa sobre la sección de la viga.

Figura 2.29

Por reciprocidad de estas fuerzas cortantes se generan fuerzas análogas sobre las secciones longitudinales, las que generan esfuerzos cortantes como se muestra en la figura 2.30 donde se muestran las diferenciales de volumen A, B y C. Los esfuerzos en los puntos A y C localizados en los límites superior e inferior de la viga es cero, puesto que las superficies superior e inferior no se tiene carga aplicada, mientras que en punto B es diferente de cero al contarse con cargas cortantes.

Figura 2.30

A  0

C  0

B  0

Para determinar los esfuerzos cortantes asociados con V, analicemos la diferencial de volumen de la franja donde se encuentra el punto B, la cual se indica en la figura 2.31.

50

VIGAS Y SU DISEÑO Esfuerzos cortantes longitudinales

Figura 2.31 Esfuerzos cortantes transversales

ECUACION PARA DETERMINAR EL ESFUERZO CORTANTE Como se indicó anteriormente para poder equilibrar los esfuerzos cortantes transversales se deben de aplicar esfuerzos cortantes longitudinales de la misma magnitud de los esfuerzos cortantes transversales (equilibrio estático), obteniéndose la siguiente igualdad:  L   T Para establecer la ecuación que nos permita determinar los esfuerzos cortantes se considera una porción de la viga analizada en la figura 2.32. Esta porción debe de encontrarse en equilibrio de fuerza cortante y de momento flexionante. Esta sección se obtiene recortando la viga entre dos secciones adyacentes n-m, y n’- m’, las cuales se encuentran separadas a una distancia dx . La cara inferior de esta sección es la superficie inferior de la viga, encontrándose está libre de esfuerzos, su cara superior es paralela a la superficie neutra y se ubica a una distancia arbitraria y de dicha superficie. Las caras extremas del elemento están sometidas a los esfuerzos normales de flexión  , producidos por los momentos flexionantes. Además, existen esfuerzos cortantes verticales en las caras extremas, pero estos no intervienen en la ecuación de equilibrio del elemento en la dirección horizontal y por tal motivo no se muestran. 1

X

Figura 2.32

En la figura 2.32 se puede observar que:

Si y  

h 2



 0

Si los momentos flexionantes en las secciones transversales n-m, y n’- m’ son iguales se trata de un caso de flexión pura. Por tal motivo los esfuerzos normales que actúan a los lados de n-p y n’-p’ también serán iguales. En consecuencia el elemento se encontrara en equilibrio bajo la acción de estos esfuerzos y por lo tanto el esfuerzo cortante debe ser igual a cero, esta conclusión es obvia ya que no existe fuerza cortante sí la viga está sometida a flexión pura. Si se tiene el caso más general en el cual se cuenta con un momento flexionante variable (flexión no uniforme), se considerara para su análisis que M y M  dM son los momentos flexionante que actúan en las secciones transversales m-n y m’-n’, respectivamente. Si se considera un elemento de área dA a una distancia “ y ” del eje neutro se aprecia que la fuerza normal que actúa sobre este elemento es F    dA , en donde  es el esfuerzo normal obtenido de la ecuación de la flexión. X

X

51

VIGAS Y SU DISEÑO En la figura 2.33 se indica el volumen de la sección que se encuentra por debajo del eje neutro, en la cual se realiza el equilibrio de fuerzas.

Figura 2.33

Si el elemento de área está localizado en la cara izquierda P  n , la fuerza normal es: F1   X  dA 

My  dA IZ

Sumando las fuerzas elementales sobre la cara P  n se obtienen la fuerza horizontal total F que actúa 1

F1  

sobre la cara indicada.

My  dA ………. (2.10) IZ

De igual manera se determina la fuerza total que actúa sobre la cara derecha P' n ’ por lo que tenemos: F2  

M  dM   y  dA ………. (2.11) IZ

Finalmente se obtiene la fuerza horizontal F que actúa sobre la cara superior P  P' . 3

F3    b  dx …….…….… (2.12)

Realizando el equilibrio de estas fuerzas tenemos: F1  F2  F3  0

  b  dx  

Se sabe que:

dM V dx

;

M  dM  y  dA  IZ





My  dA IZ

Por lo que se tiene:





F3  F2  F1



dM  1     y  dA dx  I Z  b  

V y  dA. …….…. (2.13) IZ b 

La integral en esta ecuación representa el primer momento de área de la sección transversal achurada con respecto al eje neutro (eje ). La integral obtenida es el primer momento del área de la sección transversal por debajo del nivel y1 , en el cual actúa el esfuerzo cortante  , cuando y se mide por encima del eje neutro la integral representa el primer momento de área que se encuentre por encima del nivel para el cual se calculó el esfuerzo cortante. Si representamos el primer momento del área por la letra Q podemos plantear la ecuación en la forma: 1



V Q ……..…… (2.14) IZ b

Dónde:

  Esfuerzo cortante en el elemento en un punto a una distancia y del eje neutro. Se supone que este esfuerzo es constante y por consiguiente promedio a través del ancho b del elemento. 52

VIGAS Y SU DISEÑO V = Fuerza resultante interna, determinada con el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio. I Z  Momento de inercia de toda el área de la sección transversal calculado respecto al eje neutro.

b  Ancho de la sección transversal medido en el punto donde  ha de ser determinado. Q   y  dA  y ' A' ,

en donde A'

es la porción superior (o inferior) del área de la sección transversal,

definida por el corte, donde se mide b , y y ' es la distancia al centroide de A' , medida desde el eje neutro.

DISTRIBUCION DEL ESFUERZO CORTANTE EN LA SECCION TRANSVERSAL DE UNA VIGA Los esfuerzos cortantes varían sobre la sección transversal de una viga de diferente manera dependiendo de la forma geométrica de la sección. Por tal motivo se analizaran los dos tipos de sección más representativos de esta variación, siendo las vigas estudiadas rectangular y con patines.

DISTRIBUCION DEL ESFUERZO CORTANTE EN UNA VIGA RECTANGULAR Para aplicar la ecuación 2.14 a una viga rectangular en necesario determinar en primer lugar Q , para tal fin se tomara en consideración la figura 2.34.

Figura 2.34

El primer momento Q para el área achurada se obtiene al multiplicar el área por la distancia comprendida desde el centroide del área antes indicada hasta el eje neutro. h    y1   h   2  Q  b  y1   y1  2  2      



Q

b  h2 2     y1  2  4 

Sustituyendo en la ecuación 2.14, se obtiene la ecuación 2.15, la cual permite determinar en una forma sencilla el esfuerzo cortante a cualquier distancia a partir del eje neutro de la viga. 



V  h2 2    y1  ……….….. (2.15) 2Iz  4 

La ecuación anterior muestra que el esfuerzo cortante en una viga rectangular varia cuadráticamente con la distancia y desde el eje neutro, así cuando se traza a lo largo de la altura de la viga  varía como se 1

indicó en la figura 2.32. Resultando el esfuerzo cero cuando y1  

h y que tiene su valor máximo si 2

y1  0 , como se indica en la misma figura, luego entonces el esfuerzo cortante máximo está definido por:

 MAX 

V  h 2 3 V  …….……. (2.16) 8 IZ 2 A

53

VIGAS Y SU DISEÑO Las ecuaciones anteriores para el esfuerzo pueden emplearse para calcular esfuerzos cortantes verticales y esfuerzos cortantes horizontales que actúan en esa capa de la viga, siendo estas obtenidas sin considerar los signos, para muchos propósitos únicamente se emplean los valores absolutos del esfuerzo y la dirección de los mismos se determina por inspección. Las ecuaciones para esfuerzos cortantes en vigas rectangulares son válidas para las vigas de proporciones usuales y están sujetas a las mismas restricciones que las empleadas en flexión. Estas pueden considerarse exactas para vigas delgadas en donde b  h , pero se vuelven menos precisas a medida que b se incrementa con respecto de h . Por ejemplo cuando b  h el verdadero esfuerzo cortante máximo es alrededor del 13% que el valor dado por la ecuación. En forma general se considera que en el eje neutro de una viga el esfuerzo normal siempre tiene un valor igual a cero, mientras que el esfuerzo cortante es máximo, como se indica en la figura 2.35. EN EL EJE NEUTRO

 NORMAL  0  CORTANTE  Esfuerzo cortantemaximo

Figura 2.35

A continuación se indica un ejemplo de la determinación del esfuerzo cortante en la viga de sección rectangular a diferentes distancias del eje neutro.

EJEMPLO 2.9 La viga en voladizo de longitud L  2m mostrada en la figura 2.36 soporta una carga P  15KN y está hecha de madera con dimensiones de sección transversal 150mm x 200mm . (a) Calcular los esfuerzos cortantes debidos a la carga P en puntos localizados a 25 mm, 50 mm, 75 mm y 100 mm , desde la parte superior de la viga; (b) Trace un gráfico que muestre la variación del esfuerzo sobre la sección transversal de la viga.

Figura 2.36

Para solucionar este problema primero se determinaran los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante con el fin de conocer los máximos valores de estos, como se muestra en la figura 2.37

El valor de la reaccion en A y el momento son : R A  15 KN ;

M A  152  30 KN  m Figura 2.37

54

VIGAS Y SU DISEÑO Para determinar el valor de Q , se tomaran como referencia la figura 2.38, En la cual se representa el área a tomar en cuenta para realizar él calculo a las diferentes distancias indicadas.

Figura 2.38

Determinando el cortante a una distancia de 25 mm., a partir de la parte superior: 10.150.2  0.0003281m 4 ; 12 (15x103 N )0.0003281m 3  N   0.3281x10 6 2 0.15 m0.0001m 4  m 2

Q  (0.025)0.150.0875  0.0003281m 3 ;

 25 mm  

VQ ; bI Z

 25 mm 

IZ 

Determinando el cortante a una distancia de 50 mm. a partir de la parte superior: Q  0.0500.150.075  0.0005625m 3   50 mm  

(15x103 )0.0005625 N  0.5625x106 2 0.15 0.0001 m

Determinando el cortante a una distancia de 75 mm. a partir de la parte superior: Q  0.0750.150.0625  0.000703   75 mm  

(15x103 N )0.0007031m 3  N  0.7031x10 6 2 0.15 m0.0001m 4  m

Determinando el cortante a una distancia de 100 mm. a partir de la parte superior: Q  0.150.050  0.00075 m 3

  100 mm  

(15x103 N )0.00075m 3  N  0.750x106 2 0.15 m0.0001m 4  m

Los resultados obtenidos se indican en la figura 2.39.

Figura 2.39

DISTRIBUCION DEL ESFUERZO CORTANTE EN EL ALMA DE VIGAS CON PATINES Cuando una viga de patín ancho se somete a una fuerza cortante V se desarrollan en ella esfuerzos cortantes, debido al perfil la distribución de esfuerzos es mucho más complicada que en el caso de una viga rectangular. Por ejemplo en los patines de la viga actúan esfuerzos cortantes sobre las secciones transversales en direcciones vertical y horizontal, sin embargo, gran parte de la fuerza cortante V origina esfuerzos cortantes en el alma incluido el cortante máximo. Mediante las mismas técnicas que se emplean para las vigas rectangulares, se determinara la ecuación para esfuerzos cortantes en este tipo de vigas.

55

VIGAS Y SU DISEÑO Empecemos por considerar los esfuerzos cortantes localizados en e  f del alma de la viga representada en la figura 2.40. Realicemos las mismas suposiciones que en el caso de una viga rectangular, es decir, los esfuerzos cortantes actúan paralelos al eje y están uniformemente distribuidos a través del espesor "t" del alma de la viga. Por tal motivo la derivación efectuada anteriormente para esfuerzo cortante permanece valida.

Figura 2.40

Por tanto, la ecuación  

V Q es aplicable en general, sin embargo, el ancho “ b “ es ahora igual al IZ  b

espesor “ t “ del alma ( b  t ), el área empleada para el cálculo de Q es igual al área entre e  f y la orilla inferior de la sección transversal, la cual consiste en dos rectángulos, omitiendo los pequeños chaflanes en la unión del alma y el patín. El primer rectángulo corresponde al patín y tiene un área: h h  APATIN  b  1  2 2

El segundo rectángulo corresponde al alma entre e  f

b-c :

y

h  AALMA  t  1  y1  2  

Los primeros momentos de estas áreas respecto del eje neutro se obtienen al multiplicar las áreas por sus distancias centroidales respecto del eje Z : h1 h h1        y1     h h1   h1 2 2   h1   Q  b     t   y1  y1  2 2  2 2   2 2  2         

Al simplificar Q queda de la siguiente manera Q

:



 



b 2 t 2 2 2 h  h1  h1  4 y1 …………. (2.17) 8 8



Al sustituir en la ecuación 2,14 se tiene:

 

 

V Q V Q V 2 2 2   b h 2  h1  t h1  4 y1 IZ  b IZ  t 8  IZ  t

En esta ecuación se aprecia que el esfuerzo cortante del alma como se indica en la figura 2.40.



b h3  12

 b  t  h

3

1

12





1 3 3 bh3  bh1  th1 12



Podemos replantear ahora la ecuación del esfuerzo y escribirla de la siguiente forma: 



3 V bh2  bh1  th1  4ty1 3 3 2 t bh3  bh1  th1 2



2



56

…. (2.18)

varía en forma cuadrática a lo largo de la altura

Introduciendo la siguiente expresión para el momento de inercia: IZ 



2

 …………. (2.19)

VIGAS Y SU DISEÑO La cual expresa al esfuerzo cortante en términos de las dimensiones de la sección transversal. El esfuerzo cortante máximo se presenta a la altura del eje neutro en donde y  0 y el esfuerzo cortante 1

h mínimo en el alma ocurre en la unión del patín en donde y1   1 , luego encontramos que: 2

 MAX 



 



V 3 V b h 2  b h1  t h1 2 2 b h 2  b h1  t h1  3 3 8 IZ  t 2 t b h3  b h1  t h1

 MIN 





2



2



  ………….. (2.20)

V 3 V  b  h 2  h1 2 h 2  h1  ………. (2.21) 3 3 8 IZ  t 2 t b h3  b h1  t h1



2



De acuerdo con las dimensiones de la viga el esfuerzo cortante máximo en el alma es en general de un 10% a un 60% mayor que el esfuerzo mínimo. El esfuerzo cortante en los patines varia hasta un valor cero en los extremos superior e inferior. La fuerza cortante total soportada por el alma puede determinarse multiplicando el área del diagrama de esfuerzos por el espesor “ t ” del alma, el área del diagrama de esfuerzo consiste de dos partes: un rectángulo de área h   1

MIN

, y un segmento parabólico de área

2 h1  MAX   MIN  , luego entonces la fuerza 3

cortante en el alma es:

VALMA  h1  MIN  t 

2 3

 h  1

MAX

  MIN  ;

VALMA 

t  h1  2 3

MAX

  MIN  ……….. (2.22)

Para vigas de proporciones normales los esfuerzos cortantes en el alma soportan del 90 al 98% de la fuerza cortante total, el resto lo soporta el cortante en los patines. En trabajo de diseño es muy común calcular una aproximación del esfuerzo cortante máximo al dividir la fuerza cortante total entre el área del alma. Este esfuerzo representa el esfuerzo cortante medio en el alma y es:

 MED 

V …………… (2.23) t  h1

Para vigas de patín ancho representativas el esfuerzo cortante medio se encuentra en un rango de 10%  del esfuerzo cortante máximo real. NOTA: La teoría elemental que se ha presentado es bastante precisa cuando se utiliza para calcular los esfuerzos cortantes en el alma, no obstante cuando se considera la distribución de esfuerzos cortantes en los patines, la hipótesis de esfuerzo cortante invariable a lo ancho de “b” no puede establecerse en los mismos. Por ejemplo se aprecia inmediatamente que para

y1 

h1 2

el esfuerzo cortante sobre las superficies libre

a  b y c  d debe ser nulo, mientras que en la unión b  c el esfuerzo es igual a  MIN .

Esta observación indica que en la unión del alma y el patín la distribución de esfuerzos cortantes sigue una ley más complicada que no puede tratarse en un análisis elemental.

57

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 2.10 Calcular el esfuerzo cortante máximo 

MAX

la fuerza cortante aplicada es V=600 lb .

, en el alma de la viga T mostrada en la figura 2.41, en la cual Si: b=10 plg.; t=0.6 plg.; h=8 plg; h1 =7 plg.

Figura 2.41

En primer lugar se determinara la ubicación del centroide de la sección transversal de la viga, tomando como referencia las cotas indicadas, como se muestra en la figura 2.42.

Figura 2.42

Se tiene definido que el centroide de una figura la cual tiene un eje de simetría, se ubica sobre este. Por lo que sobre el eje x , este se encuentra a la mitad (5 plg). Solo resta determinar la distancia a la que se ubica el centroide sobre el eje y , para tal fin se genera la siguiente tabla: FIGURA

AREA

y

A y

1 2

4.2 10 14.2

4.5 0.5

18.9 5 23.9



Figura 2.42

Y

 A  y  23.9  1.6830 plg  A 14.2

Determinando el momento de inercia centroidal se tiene: I Z1 

1 3  (0.6)  7  17.15plg4 12

;

IZ2 

1 3  (10)  1  0.833 plg4 12

Utilizando el teorema de ejes paralelos, se tiene: I ZC  I Z 1  A1  d12  I Z 2  A2  d 22 I ZC  17.15  (4.2)  (2.817) 2  0.833 (10)  (1.183) 2  65.30 plg4

El valor de Q se obtiene de la siguiente forma: Por lo que el esfuerzo cortante es:



Q  A' y'  (0.6)  (6.317)  (3.1585)  11.9713 plg3

lb   p lg3   1833.08 lb V  Q 6000 11.9713   0.6  65.30  p lg   p lg4  b  IZ p lg2   1833.08

lb p lg2

ANALISIS DE UNA VIGA POR ESFUERZO NORMAL Y ESFUERZO CORTANTE Cuando se diseña una viga es necesario definir la máxima carga que podrá soportar, sin sobrepasar el esfuerzo normal y cortante admisible del material con que será hecha. Ante tal circunstancia es necesario analizar a esta viga tomando en consideración estos dos esfuerzos en conjunto.

58

VIGAS Y SU DISEÑO Para determinar la máxima carga que es posible aplicarle sin que esta falle, se realizara un análisis en el cual se tendrán dos posibles cargas máximas, la primera se obtiene considerando que el esfuerzo normal es el que predomina y para determinar la otra se considera que el predominante es el esfuerzo cortante. Lo importante en este análisis es saber determinar adecuadamente, cuál de las dos carga es la que en realidad se puede aplicar, dado que si se aplica la carga incorrecta, la viga estará en el límite de uno de estos esfuerzos pero el otro será sobrepasado con lo que se originara que la viga falle al no soportar la carga aplicada. A continuación se indicas algunos ejemplos en donde se hacen estas consideraciones, al realizar el análisis, para obtener un resultado correcto.

EJEMPLO 2.11 La viga simplemente apoyada de madera que se muestra en la figura 2.43 tiene un esfuerzo flexionante permisible de  PERM  6.5 MPa y un esfuerzo cortante permisible  PERM  500 KPa . Determine sus dimensiones si tiene que ser rectangular y con una relación de altura a ancho de 1.25.

Figura 2.43

Por ser simétrica la viga, el valor de las reacciones es igual:

RA  RB  32 kN

Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se muestra en la figura 2.44.

Figura 2.44

Realizando el análisis de la viga por tramos se tiene: Para :

0x2

Para : 2 x6 Vx  16  R A  8x  2

8  x2 Vx  -8x  ; Mx    4  x 2 2 Si x  0 m ; Vx  0 KN ; Mx  0 Si x  2 m ; Vx  -16 KN ; Mx  -16 KN  m

Mx  16x  1  R A x  2  4x  2

2

Si : x  2 m ; Vx  16 KN ; Mx  -16 KN  m Si : x  6 m ; Vx  -16 KN ; Mx  -16 KN  m

Para : 6 x8 Vx  16  3  32  32  8x  6

;

Mx  16x  1  32x  2  32x  4  32x  6  4x  6 Si : x  6 m ; Vx  16 KN ; Mx  -16 KN  m Si : x  8 m ; Vx  0 KN ; Mx  0 KN  m

2

59

VIGAS Y SU DISEÑO Para determinar el punto en donde se tiene el momento máximo y el momento mínimo, se iguala a cero la ecuación de fuerza cortante del tramo donde el cortante cambia de positivo a negativo. 0  -16  32 - 8x  16

En este caso se trata del tramo: 2  x  6 ; con lo que se tiene: Mx MAX  0

Por tanto:



x 4m .

MxMIN  16 KN  m

;

Los valores máximos del momento y el cortante son:

VMAX  16 KN ; M MAX  16 KN - m

Por esfuerzo normal: Se realizara la determinación de la sección tomando en consideración en primer término el esfuerzo normal, así como el módulo de sección, por lo que se tiene:

S



M





bh3 b(1.25b) 3 I 12 ; S   12  h 1.25b y 2 2

3

16x10 N m  0.002461 m 3 N 6.5x106 2 m

0.002461 0.2604b3

;

b3  0.009452

 b  0.211m

h  0.263m

Por esfuerzo cortante: Conociendo las dimensiones de la viga obtenidas bajo la consideración del esfuerzo normal, se determinan estas mismas tomando en cuenta el esfuerzo cortante permisible. La ecuación de esfuerzo cortante, para una viga de sección rectangular es: 

max

 1.5 

V A

Por lo que se tiene que:   1.5 

V A b  0.160 m

;

A  bh

;

A  b(1.25b)  1.25b 2

h  0.200 m

Se observa que para soportar el esfuerzo normal se tienen requeridas para soportar el esfuerzo cortante.

unas dimensiones mayores que las

Por tal motivo se tomaran las dimensiones que se determinaron en base al esfuerzo normal ya que si se toman las que se obtuvieron por esfuerzo cortante la viga fallaría al aplicarle el esfuerzo normal. 

b  211mm

h  264 mm

EJEMPLO 2.12

La viga simple A-B mostrada en la figura 2.45 tiene una longitud . y soporta una carga uniforme “ ”, que incluye el peso de la viga. La viga se construye de tres placas soldadas entre sí para formar la sección transversal mostrada. Determinar la carga máxima permisible “ ” basada en la flexión y en el cortante, si los esfuerzos permisibles son:   110 MPa Y   70 MPa . PERM

PERM

Figura 2.45

60

VIGAS Y SU DISEÑO Como se trata de una viga con carga uniformemente repartida sobre todo el tramo, la reacción en cualquiera de los dos extremos es: R

A



q  L q 14   7q 2 2

 7q .

; Siendo la fuerza cortante: V MAX

El tipo de carga que existe en la viga genera un momento máximo de: M

MAX

 24.5  q

Con el fin de poder analizar la viga es necesario en primer lugar determinar el momento de inercia de la viga. Para esto se dividirá esta viga en tres figuras geométricas básicas (tres rectángulos). No es necesario calcular el centroide, puesto que este se encuentra en la unión de los dos ejes de simetría de la figura 2.46. 1 0.450.033  1.0125X 106 m 4 12 1 3 I Z 2  0.011.8  4.86 X 103 m 4 12 1 3 I Z 3  0.450.03  1.0125X 106 m 4 12

I Z1 

Figura 2.46

Utilizando el teorema de ejes paralelos para determinar el momento de inercia de la viga se tiene:





I ZR  2 1.0125x106  0.01350.915  4.86x103  0.0180  0.027467 m4 2

2

Realizando en primer lugar el análisis por esfuerzo normal permisible, considerando que este es el esfuerzo que predomina. 

M MAX  yMAX IZ

 M MAX  yMAX    I Z

110x106 0.027467  M MAX  0.93 Se sabe que: M  24.5 q



 M MAX  3248796.77 N m N q  132603.95 m

Realizando en segundo término el análisis por esfuerzo cortante permisible, considerando que este es el que predomina: 

VMAX  Q IZ b

;

Se sabe que: VMAX  7  q

Q  (0.45)(0.03)(0.915)  (0.01)(0.9)(0.45)  0.01640

  I  b 70 x10 6 0.027467 0.01 N VMAX  PERM  Z   1172371.95 Q 0.01640 m 

q

V 1172371.95 N   167481.70 7 7 m

Aunque se tienen dos posibles cargas q , se toma el valor de la carga menor, puesto que con esta se tendrá el valor máximo de uno de los esfuerzos y el otro se encontrara por debajo de su valor máximo. q  132.6

61

KN m

VIGAS Y SU DISEÑO VIGAS CURVAS Se dice que una viga curva es aquel elemento que está sometido a flexión y tiene una curvatura inicial en el plano de carga, tal es el caso de ganchos, anillos; marcos U, eslabones de cadena y otros componentes. Para estos elementos las ecuaciones que se aplican a vigas rectas para determinar sus esfuerzos y deformaciones pueden generar errores muy grandes, dado que en las vigas curvas el eje de simetría no coincide con el eje centroidal de su sección transversa y la distribución de esfuerzo no es lineal. Por lo que en este capítulo se analizar elementos curvos para los que se supone que el área de la sección transversal es constante, que tienen un eje de simetría perpendicular a la dirección del momento aplicado y que los elementos permanecen por debajo del límite de proporcionalidad.

ESFUERZOS EN VIGAS CURVAS Las vigas se pueden clasificar en dos tipos, las vigas rectas y las vigas curvas, la diferencia entre las dos es que se considera una viga recta aquella en la cual la curvatura inicial que pudiera tener es pequeña (su radio de curvatura es grande con respecto a la altura de la sección transversal), mientras que en una viga curva el radio de curvatura y las dimensiones de la sección transversal tienden a ser muy cercanas. Para el análisis de vigas curvas se utiliza un método análisis establecido por E. Winkler, el cual considera un segmento de viga curva el cual es sometido a un momento flexionante puro que se supone en el plano de simetría de la sección transversal, como se observa en la figura 2.47.

Figura 2.47 Dónde: R  Distancia desde el centro de curvatura “O” al eje neutro r  Distancia desde el centro de curvatura “O” al eje centroidal de la sección transversal en donde se desea r  Distancia desde el centro de curvatura al área determinar el esfuerzo e  Excentricidad del eje neutro con respecto al eje neutro   Esfuerzo normal del elemento M  Momento interno, determinado por equilibrio y calculado respecto al eje neutro para la sección transversal. y  Distancia del punto en donde se desea determinar el esfuerzo al eje neutro Se considera que el momento es positivo si tiende a incrementar el radio de curvatura del miembro, esto es si tiende a enderezar el elemento.

Al aplicar los momentos se deforma el material girando  / 2 en cada extremo inferior del tramo en análisis, como se observa en la figura 2.48.

62

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 2.48

El incremento de franja cuando nos encontramos en r es:

 (R - r )

Por lo que el incremento unitario  en esa franja está dado por:

Considerando que: K 

 d



 (R - r) ……. (2.24) r d

Rr  ……… (2.25)  r 

y sustituyéndolo en 2.24 se tendrá:  K   R -r   ……… (2.26)  r 

Se sabe que:   E  ; por lo que se tiene;   E K

Para determinar R del eje neutro de la figura 2.48, se equilibran las fuerzas existentes. En este punto el esfuerzo es cero, por lo que se tiene: Fr   Fx

;

F  A

;  A  0



A

 R-r   dA  0 r 

 EK A

dA

Como E K y R son constantes se tiene: R    dA  0 A r A Por lo que la distancia R desde el centro de curvatura O a la superficie neutra está dada por: R

A ………(2.27) dA A r

La distancia r desde el centro de curvatura O al eje centroidal está dada por: r 

1 r dA ………. (2.28) A

El momento que actúa sobre el elemento es: M   FdA ; La fuerza está dada por: F  y  , por lo que para este caso se tiene: Sustituyendo (2.26) en (2.29) se tiene:

  y  dA  M ……… (2.29)

R-r  y dA  M. ……… (2.30) r 

 EK

63

VIGAS Y SU DISEÑO De la figura 2.47 se observa que: y  R  r ; por lo que sustituyendo el valor anterior en (2.30), se tendrá: EK

(R - r) 2 dA  M. r

Desarrollando el cuadrado en el integrando y simplificado se obtiene: dA   EKR 2   2 RA   rdA  M. ……….. (2.31) r  

Tomando en consideración la ecuación (2.31), se tiene que el primer término del paréntesis es igual a RA , mientras que el último es igual a r A ; por lo que se tiene: EKRA  2RA  rA  EK-RA  rA  M.

EK 

De la figura 2.47 se tiene que.

;

EKAr  R  M.

M ………………(2.32) Ar  R

r - R  e ; por lo que sustituyendo en (2.32), se tiene:

EK 

M …….….. (2.33) Ae

Sustituyendo (2.33) en (2.26) se tiene: 

Como : r  R - y ; se tiene que:

M R-r   Ae  r 

;  

M r  R  …….. (2.34) Ae r

R-r y  ; por lo que sustituyendo en (2.26) se tiene: r R y 

y   ……. (2.35) R  y

  E K

Sustituyendo (2.32) en (2.34) se tiene:   

M  y    A e  R  y 

………. (2.36)

Las ecuaciones (2.34) y (2.36) permiten determinar el esfuerzo normal en una viga curva. La excentricidad del eje neutro con respecto al eje neutro “e”, está definida por :

er R

Para simplificar los cálculos en la tabla 2.2 se indican los valor de R , para algunas de las secciones transversales más comunes.

64

VIGAS Y SU DISEÑO SECCION

A

R

FIGURA

 A

R

RECTANGULO

CIRCULO

R

dA r

h r ln 2 r1



1 r  r 2  c2 2



1 h 2 R r2 r2 ln  1 h r1

TRIANGULO

1 2 h b1  b2  2 R b1 r2  b2 r1 ln r2  h b1  b2  r1

TRAPECIO

R

ELIPSE

TABLA 2.2 Valores de

para algunas secciones transversales

65



2 b r  r 2  a2 a



VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 2.13 A la viga curva que se muestra en la figura 2.49 se le aplica un momento M=25 KN-m. Determine el esfuerzo en: (a) el punto A; (b) el punto B.

Figura 2.49

Para poder realizar el análisis lo primero que se hará es determinar el centroide de la viga en la sección A-B; para tal efecto se tomara como referencia la figura 2.50.

Figura 2.50

Figura 1 2

A 3780 4860 8640

X

x 54 54

Ax 204120 262440 466560

 A x  466560  54 mm  A 8640

Y

;

y 17.5 102.5

Ay 66150 498150 564300

 A y  564300  65.31 mm  A 8640

Para determinar el eje neutro se determinara el valor de R , para tal efecto como se trata de una figura compuesta de dos rectángulos se tendrá que encontrar la resultante de estas figuras. Para realizar esto se tomara como referencia la figura 2.51 en la cual se muestra la sección transversal de la viga con la distancia de cada una de estas figuras rectangulares hacia el centro de curvatura de la viga. R



A  dA r



r1 2



rrr

A r2 2

b1 dr1 b dr  2 2 r1 r2 r



21





 r b1  ln 12  r11

A

  r   b2  ln 22   r   21

   

Figura 2.51

r11  150 mm ;

r12  185mm

;

r21  185mm

;

r22  320mm ; r  215.31mm

8140 8140 R   203.88 mm  185   320  22.6498 19.7267 108  ln   36 ln   150   185 

La separación entre el eje centroidal y el eje neutro es: e  r  R  215.31 203.88  11.43 mm

66

VIGAS Y SU DISEÑO El momento aplicado es negativo con un valor de 25 KN-m, por lo que aplicando 2.34 se tendrá: Para el punto A: A 

M r  R  (25x103 N  m)(0.150m  0.2039m) 1347.5 N m 2   6 2 Aer (8640 x10 m )(0.01143 m)(0.150 m) 1.4813x10 5 m 4

 A  90.9656 x106

Para el punto B: B  

N m2

 A  90.96 MPa

M r  R  (25x103 N  m)(0.320m  0.2039m)  2902.5 N m 2   6 2 Aer (8640 x10 m )(0.01143 m)(0.320 m) 3.1601x10 5 m 4

 B  91.8464 x106

N m2

 B  91.8464 MPa

:

La distribución de esfuerzos se muestra en la figura 2.52

Figura 2.52

EJEMPLO 2.14 La barra mostrada en la figura tiene una sección transversal circular del 0.5 in de diámetro y se le aplica una carga de 60 lb como se muestran en la figura 2.53. Determine: (a) el esfuerzo en el punto A; (b) el esfuerzo en el punto B.

Figura 2.53

Para solucionar este problema lo primero que se debe de determinar son las cargas y los momentos que actúan sobre los puntos A y B. por lo que se cortara la barra en estos puntos y se analizara la parte superior, como se muestra en la figura 2.54.

Figura 2.54

M  60lb(2  0.6  0.25)in  171lb - plg

El área de la sección transversal que existe donde se ubican los puntos A y B es: A   r 2   0.25in  0.1963 plg2 2

67

VIGAS Y SU DISEÑO Para determinar la distancia que se tiene desde el centro de curvatura al eje neutro de la tabla 2.2 se tiene:

R

R





1 r  r 2  c2 2





1 0.85  0.852  0.252  0.8312plg 2

La excentricidad que se tiene es: e  r  R  0.85  0.8312 0.0188 plg

En esta sección se tiene una combinación de efectos, el primero de ellos el efecto de tensión generado por la carga de 60 lb y el segundo el efecto de flexión producido por el momento de 171 lb-in. Por lo que la forma en que actúan estos esfuerzos se muestra en la figura 2.55 y se pueden determinar con la siguiente ecuación.



P M ( r  R)  A Ae r

Figura 2.55

Por lo que para el punto A se tendrá tensión y compresión y un radio r  0.6 plg . A 

P M ( r  R) 60 lb (171lb - plg)(0.6in - 0.8312plg)    A Ae r 0.1963plg2 (0.1963plg2 )(0.0188plg)(0.6plg)

 A  305.57  17850 17544

lb p lg2

Para el punto B se tiene tensión y tensión y un radio r  1.1 plg

B 

P M ( r  R) 60 lb (171lb - plg)(1.1plg - 0.8312plg)    A Ae r 0.1963plg2 (0.1963plg2 )(0.0188plg)(1.1plg)

 B  305.57  11319.0  11013.57

68

lb p lg2

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 2.15 Tres placas se sueldan para formar la viga curva que se muestra en la figura 2.56, y se aplica un momento de 3 KN-m. Determinar: (a) La distancia “ e ” entre el eje neutro y el centroide; (b) el esfuerzo que se genera en el punto A; (c) el esfuerzo que se genera en el punto b.

Figura 2.56

Como primer paso determinamos el centroide de la viga, para esto se tomara en cuenta la figura 2.57, en la cual se divide la sección transversal de la viga en tres figura geométrica básica.

Figura 2.57

FIGURA

A (mm2 )

x (mm)

A x (mm3 )

y (mm)

A y (mm3 )

1 2 3

1040 780 650 2470

0 0 0

0 0 0

79.5 43 6.5

82680 33540 4225 120445



Y

A y A



120445  48.76 (mm) 2470

Por lo que el centroide se ubica a una distancia de 48.76 mm desde la base de la viga como se muestra en la figura 2.58

Figura 2.58

Para determinar la ubicación del eje neutro se determinara el valor de R , para tal efecto como se trata de una figura compuesta de tres rectángulos se tendrá que encontrar la resultante de esta tres figura, para realizar esto se tomara como referencia la figura 2.59 en la cual se muestra la sección transversal de la viga con la distancia de cada una de estas figuras rectangulares hacia el centro de curvatura de la viga.

Figura 2.59

69

VIGAS Y SU DISEÑO El valor de R , que se obtiene para esta sección es: R A

R

dA  A r  b1 dr1 r b2 dr2 r b3 dr3 r   b1  r r r r r r 1 2 3





12

22

32

r1 2

rr

21

31

rrr

A

r  r  r  b1 ln 12   b2 ln 22   b3 ln 32  r r  11   21   r31 





dr1  b2 r1

A r b2 dr2 dr  b 3  r  r3 r r 2 3

r2 2

32

21

31

2470  141.59 186   173  113     (80) ln  13 ln  50 ln  113 100  173    

R  141.59 mm

Por lo que la separación entre el eje neutro y el eje centroidal será: e  r  R  148.76  141.59  7.17mm

Para determinar el esfuerzo que se tiene en el punto A , donde r  100 mm , se utilizara la ecuación (7.12) por lo que se tiene: A  

3x103 N - m0.1m - 0.14159m  70.479x106 N M r  R   2.47x10-3 m2 7.1674x103 m0.1m Ae r m2

 A  70.479 MPa



El esfuerzo que se tiene en el punto B , donde r  186 mm , utilizando la misma ecuación es:

B  

3x103 N - m0.186m - 0.14159m  68.463x106 N M r  R   2.47x10-3 m2 7.1674x103 m0.186m Ae r m2



 B  68.463 MPa

Para determinar el esfuerzo en el centroide de la viga se sabe qué r  148.76 mm ; por lo que se tiene:

 Centroide  

3x103 N - m0.14876m - 0.14159m  8.16x106 N M r  R   2.47x10-3 m2 7.1674x103 m0.14876m Ae r m2

Como se sabe que el esfuerzo normal es cero en el eje neutro de la viga y conociendo los esfuerzos en los puntos antes indicados se puede establecer el perfil del esfuerzo normal que actúa en esta sección de la viga, el cual se muestra en la figura 2.60.

Figura 2.60

70

VIGAS Y SU DISEÑO PROBLEMAS

PROBLEMA 2.1 Determinar el esfuerzo normal máximo que se presenta en la viga que se muestra en la figura 2.61, la cual tiene una sección transversal circular. Figura 2.61

PROBLEMA 2.2 Determinar y trazar la distribución del esfuerzo de flexión que se presenta en el punto C de la viga que se muestra en la figura 2.62

Figura 2.62

PROBLEMA 2.3 Una viga simplemente apoyada de L metros de longitud soporta una carga distribuida uniformemente de a todo su largo y tiene la sección mostrada en la figura 2.63 A) Calcule el valor de L que origine un esfuerzo normal máximo de ; B) Determine el valor del esfuerzo cortante máximo.

Figura 2.63

PROBLEMA 2.4 La viga que se muestra en la figura 2.64 sostiene una carga uniformemente distribuida, y sección transversal como se muestra en la figura. Determine el valor máximo de , que no produzca un esfuerzo normal mayor de o esfuerzo cortante mayor de .

Figura 2.64

PROBLEMA 2.5 En la viga que se muestra en la figura 2.65 actúan las cargas indicadas, determinar el esfuerzo normal y cortante máximo que se presenta en esta viga.

Figura 2.65

71

VIGAS Y SU DISEÑO PROBLEMA 2.6 Para la viga que se muestra en la figura 2.66, determinar el esfuerzo normal máximo que actúa en un corte transversal en C

Figura 2.66

PROBLEMA 2.7 Tres placas se sueldan para formar la viga curva que se muestra en la figura 2.67, y se aplica un momento de . Determinar: (a) La distancia “ e ” entre el eje neutro y el centroide; (b) el esfuerzo que se genera en el punto A; (c)el esfuerzo que se genera en el punto b.

Figura 2.67

72

VIGAS Y SU DISEÑO

CAPITULO

3 DEFORMACION DE VIGAS

73

VIGAS Y SU DISEÑO INTRODUCCION Cuando se realiza el diseño de una viga es importante calcular la deformación lineal (deflexión) de esta, la cual tiene gran importancia; inclusive hay ocasiones en que la deflexión de los elementos de una estructura originada por los momentos flectores máximos rige un diseño estructural. La deflexión siempre existe en cualquier forma en que se cargue una viga, aunque la carga de trabajo sea mínima. Las deflexiones también son conocidas como flechas y estas pueden ocasionar fallas indeseables en los elementos y estructuras como pueden ser las siguientes: a) Desgarre de los patines (en trabes) y concentración de esfuerzo en el alma b) Producir distorsión en las conexiones ocasionando esfuerzos residuales c) Acelerar la fatiga en un periodo relativamente corto de tiempo y por consecuencia originar la disminución de la vida útil de la estructura d) Ocasionar grietas en pisos, techos y muros divisorios previo a un colapso e) Distorsiones en las piezas cuando se diseñan piezas de máquinas, de alta precisión y, por consiguiente, deficientes ajustes. En vigas con patines en ocasiones cuando el cálculo de la flecha se acerca mucho a la tolerancia permitida especificada por organismos de certificación, es conveniente incrementa el alma, trayendo como consecuencia modificar todo el cálculo, sin embargo, si se desea economizar la estructura manteniendo la misma viga, es recomendable colocar atiezadores en los elementos. Tomando en consideración lo antes plateado, en el presente capítulo se determinara un método de cálculo denominado “método de la doble integración”, mediante este se determinaran las ecuaciones que permiten calcular la deformación angular (pendiente) y lineal (flecha) en una viga. Se determinaran estas deformaciones utilizado un en primer instancia un procedimiento definido como “análisis por tramos” y posteriormente con la finalidad de facilitar los cálculos se aplicaran funciones de singularidad. Para comprender las ventajas y desventajas de los procedimientos de cálculo antes indicados se resolverán problemas relativos al tema.

CALCULO DE LA VIGA EN FUNCION DE SU RIGIDEZ Frecuentemente el diseño de algunas vigas, depende más de la rigidez de estas, que de la resistencia. Por tal motivo al diseñar estas vigas, aparte de no sobrepasar los esfuerzos máximos, se debe de controlar la flecha máxima existente, la cual debe permanecer por debajo de un valor permisible. Este caso es muy común en los ejes de transmisión de máquinas herramientas (tornos, cepillos, fresas, rectificadoras), así como en los elementos de brazos mecánicos. Donde una gran deflexión impedirá que estos miembros cumplan con su función íntegramente. En las maquinas herramientas se tendrán interferencias con otros elementos, mientras que en los brazos mecánicos, la función de trayectoria a generar será inadecuada, entre otros problemas existentes. Como se observa es importante tomar en cuenta la rigidez de la viga, en vigas isostáticas, por lo antes indicado. Es importante destacar que aplicando el análisis por rigidez de una viga, junto con las condiciones de equilibrio estático, se pueden resolver problemas estáticamente indeterminados (híper estáticos), los cuales de otra forma serian difíciles de solucionar.

74

VIGAS Y SU DISEÑO Existen varios métodos para determinar las deformaciones de vigas que aunque basados en los mismos principios difieren en su técnica y sus objetivos inmediatos. Estos métodos se pueden clasificar como sigue: a) -

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACION

b) -

METODO DE AREA DE MOMENTOS

c).-

METODO DE SUPERPOSICION

De los métodos antes indicados, el que cuenta con un amplio sustento matemático, es el conocido como el de la doble integración, por tan motivo será el que se estudiara con más detalle. Para tal fin es necesario en primer lugar obtener la ecuación diferencial de la elástica de la viga.

OBTENCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE LA ELASTICA Al aplicarse a una viga cargas externas sobre su sección transversal, se provoca una flexión de la misma, lo que deforma el eje longitudinal de esta, el cual toma la forma de una línea curva. Para entender lo anterior observemos la figura 3.1 en donde se muestra una viga en voladizo ( A  B ), la cual será sometida a una carga concentrada P en su extremo libre.

Figura 3.1

Al aplicar la carga P el eje longitudinal se dobla hasta adquirir la forma de una viga curva como se observa en la figura 3.2. Esta forma obtenida se conoce como “Curva elástica de la viga”. Al desplazamiento del centro de gravedad de la sección transversal normal al eje longitudinal se le designa con el nombre de flecha, deflexión lineal o deformación lineal en nuestro caso se representara con la letra “ y “.

Figura 3.2

El ángulo que gira la sección transversal respecto de su posición inicial se denomina pendiente de flexión angular y se representa por “  “. Tomando en consideración que la sección girada es perpendicular a la elástica de la viga. Se considera que el ángulo de giro, de la sección transversal resulta igual, al ángulo que forma la tangente a la elástica en el punto dado, con el eje original de la viga y por lo tanto se considera a este como la pendiente. Para determinar las ecuaciones que representan lo anteriormente indicado consideremos la figura 3.3, la cual representa un tramo de la viga flexionada, con respecto a su centro de curvatura O .

75

VIGAS Y SU DISEÑO Si se observa la figura aob y cbd .

3.3

se tienen dos triángulos semejantes los cuales se representa como:

Por ser semejantes estos triángulos, sus lados son proporcionales, por lo que sí se relacionan por medio

Figura 3.3

de la función la tangente se obtienen las siguientes ecuaciones: a b cd ……………. (3.1) tg d    oa cb a bd l

De la figura 3.3 se tiene que:

;

o a    c d  d

;

c b  y MAX

Sustituyendo las equivalencias indicadas en la ecuación 3.1 se tiene: dl d   y MAX

y MAX d   dl

;

Agregando el modulo elástico ( E ) en cada lado de la igualdad se tiene: y MAX d E   E ……………(3.2)  dl   E 

De los conocimientos básicos sobre esfuerzo se tiene que: y MAX

Sustituyendo este valor en la ecuación 3.2 obtenemos: M 

Por lo tanto:

E  IZ



E 

 E l

M  y MAX  IZ

………………… (3.3)



Basándonos en el cálculo diferencial se puede definir que:

  dy  2  1       dx    d2y dx 2

3/ 2

2

 dy   tiende a cero, se puede reducir que:  dx 

En la ecuación anterior como 



1 d2y dx 2

Sustituyendo está en la ecuación 3.3 y despejando, se llega a lo siguiente: d2y M  dx2 E  IZ

……………………..…… (3.4)

Debido a que las vigas cargadas transversalmente normalmente deforman hacia abajo del eje longitudinal, este es el sentido que por convección consideraremos positivo para la deformación lineal de la viga.

76

VIGAS Y SU DISEÑO Por lo que despejando la ecuación 3.4 y tomando en cuenta la consideración anterior queda de la

Integrando la ecuación 3.5, se tiene:

De donde:

d2y M dx2

E  IZ 

siguiente manera:

E  IZ 

……………………. (3.5)

d y    M  dx  C1 ……................ (3.6) dx

d y  tg   rad . dx

Integrando de nuevo la ecuación 3.5 se tiene:

E  I Z  y     M  dx  dx  C1  x  C2 …………………..… (3.7)

En donde el significado de los términos que intervienen es el siguiente: E  I Z = Modulo de rigidez de la viga a flexión

;

y = Deformación lineal o flecha

;

E = Modulo de elasticidad

;

 = Pendiente M MAX

;

I Z = Momento de inercia

= Momento flexionante de la viga

C1 y C2 = Constantes de integración a definir

SIGNOS A UTILIZAR Por conveniencia se considerara a las pendientes positivas cuando el giro de la sección sea en sentido horario y negativo en caso contrario. Lo antes enunciado se muestra en la figura 3.4.

Figura 3.4

Con tal de poder mostrar gráficamente las pendientes como las deformaciones lineales, estas se pueden graficar en un sistema de ejes cartesianos como se muestra en la figura 3.5. Tanto la pendiente como las deformaciones lineales pueden graficarse en un sistema de ejes cartesianos, como se muestra en la figura 3.5.

Figura 3.5

77

VIGAS Y SU DISEÑO METODO DE LA DOBLE INTEGRACION Para calcular la deformación y la pendiente en una viga se toman como base la ecuación 3.5, la cual relacionan los momentos de flexión generados en la viga, con la segunda diferencial respecto a la distancia. Si se integra dicha ecuación se obtiene la ecuación 3.6 la cual determina la pendiente, integrado por segunda ocasión se obtiene la ecuación 3.7 la cual representa la flecha o deformación lineal. Por tal motivo la aplicación de dichas ecuaciones se denomina “ Método de la Doble Integración”. El Método de la Doble Integración es una forma analítica para poder resolver problemas de pendientes y flechas en vigas, las cuales pueden ser como se indicó anteriormente isostáticas o hiperestáticas. Por tratarse de un método cien por ciento matemáticos, este es adecuado cuando no se quiere realizar suposiciones, al analizar una viga. Este método se puede aplicar al análisis de la viga por secciones, generando una ecuación de momento para cada tramo. Pero también se puede generar una ecuación de momentos para toda la viga, que represente la totalidad del fenómeno. Para realizar el segundo procedimiento indicado se utilizan como ayuda funciones de singularidad, lo que origina que el análisis resulte ser más sencillo. En este capítulo en primer término se realizara el análisis de la viga por secciones, indicando los pasos a seguir para tal efecto y posteriormente se analizara la viga con una sola ecuación (funciones de singularidad) para establecer la diferencia entre ambos métodos de cálculo.

DOBLE INTEGRACION POR SECCIONES Para determinar la forma que adopta la línea elástica de las vigas aplicando el método de la doble integración se establecerá un procedimiento, el cual consiste en lo siguiente: 1) Determinar las reacciones en los apoyos 2) Determinar las ecuaciones de momentos para cada tramo de carga 3) Efectuar la doble integración de las ecuaciones de momentos para cada tramo 4) Determinar las constantes de integración para cada tramo, relacionando las ecuaciones obtenidas para cada tramo. 5) Definir las ecuaciones finales para cada tramo. 6) Sustituir el valor de la longitud de la viga en las ecuaciones correspondientes, para determinar la pendiente y la flecha en dicho punto. El procedimiento antes descrito se aplicara a la viga que se muestra en la figura 3.6, la cual tiene aplicada una carga concentrada P , la cual se localiza a una distancia “ a ” del apoyo izquierdo y a una distancia “ b ” del apoyo derecho.

Figura 3.6

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VIGAS Y SU DISEÑO PROCEDIMIENTO: 1-. Determinación de las reacciones en los apoyos. RA 

Los valores de estas reacciones ya fueron definidos y son:

Pb L

y

RB 

Pa L

2 -. Determinación de las ecuaciones de momento para cada tramo: En este caso se tienen dos tramos de carga, por lo que para cada uno de ellos se definirá la ecuación de momento flexionante, en función de las cargas que actúen sobre estos. A xC

Para el primer tramo la ecuación es:

Mx 

Pb x L

C x B

Para el segundo tramo es:

Mx 

Pb  x  P x  a  L

3.- Efectuar la doble integración de la ecuación de momentos para cada tramo: Conociendo la ecuación de momento flexionante para cada tramo se procede a realizar la doble integración. Obteniéndose con la primera integración la ecuación para la pendiente de la viga en dicho tramo y con la segunda la deflexión de esta. Al realizar lo anterior aparecen dos constantes de integración en cada tramo, para las cuales se debe de determinar su valor. A xC

EI

dy Pb 2   x  C1 dx 2L

EI y  

C xB

;

d2 y Pb EI 2  -Mx   x dx L

.......... ...( I )

;

......... ...... ( II )

;

EI

d2 y Pb  -Mx    x  P x  a  dx 2 L

dy P b 2 Px - a   x   C3 dx 2L 2

.........( IV )

2

Pb 3  x  C 1  x  C 2 .....( III ) 6L

EI

........( V )

P b 3 Px - a  x   C 3  x  C 4 ....(VI ) 6L 6 3

EI  y  

;

4.- Determinar las constantes de integración: A partir de las condiciones conocidas de la pendiente y la flecha en los puntos de frontera (estos puntos son comúnmente en donde se tienen los apoyos o empotramientos), se determinan las constantes de integración. En este caso las deformaciones son cero en los apoyos, por lo que al sustituir estas condiciones en las ecuaciones de deformación, se obtendrá el valor de C 2 y VII  . Para

x 0

;

0  -0  0  C 2

y  III   0

Para x  L

 C2  0

0

; y V VI   0

- PbL PL - a   6L 6 3

3

 C 3 L  C 4 .....( VII )

Dadas las condiciones de continuidad de la viga, sabemos que la pendiente, así como la deformación lineal con que termina la elástica para un tramo de la viga, es igual a la pendiente y deformación lineal con que se inicia para el siguiente tramo. Por lo que en el punto C (punto común para ambos tramos) se igualan II  y V  . Por lo que cuando se está en el punto C , x  a , teniéndose que : dy dy  dx I 1 dx(V )

- Pba2 Pba 2 Pa - a   C1     C3 2L 2L 2



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VIGAS Y SU DISEÑO De lo anterior se obtiene que:

C1  C 3

Para la deformación se tiene:

Si

x a

y III   yVI 

;

Pba 3 Pba 3 Pa - a   C1  a  C 2     C3  a  C 4 6L 6L 6L 3



De donde se tiene que: Se tiene que: tendrá:

C1  a  C3  a  C 4

b  ( L  a) .

 C3  C1

C 4  0

Sustituyendo este valor y el de las constantes encontradas en ( VII ) , se

- P bL3 Pb    C3 L 6L 6 3 P bL2 Pb  Pb 2 L  b 2  C3   6L 6L 6L

P bL3 Pb  6L 6 Pb L  b L  b C3  6L

3

3

0

C3 L 

; 

Se tiene: a  L  b , por lo que el valor de C y C , será: C 3  C1  3

1

Pba L  b 6L

5.- Establecer las ecuaciones definitivas para cada tramo. Para obtener estas ecuaciones se sustituyen en las ecuaciones ( I ), ( II ), ( III ) y ( IV ) los valores obtenidos de las constantes de integración, con lo que las ecuaciones quedan de la siguiente manera. A xC EI

;

dy P b 2 PabL  b   x  .. ........ ( II' ) ; dx 2L 6L

EI y  

P b 3 PabL  b  x   x .......( III' ) ; 6L 6L

C xB dy PabL  b  P b 2 Px - a   x   ........( IV' ) dx 2L 2 6L 2

EI

PabL  b  P b 3 Px - a  x    x ....( V' ) 6L 6 6L 3

EI  y  

6.- Determinación de la pendiente y la flecha en un punto determinado. Cuando se desea determinar la pendiente y la flecha en una viga en las ecuaciones finales obtenidas para cada tramo. Se sustituye el valor de la distancia “ x ” a la cual se desea realizar este cálculo. Para ilustrar lo anterior en las ecuaciones obtenidas, para la viga con carga concentrada, se determinara la pendiente y la deformación en un punto del primer tramo y en un punto del segundo tramo. Para tal fin se utilizara la viga de la figura 3.6, en la cual se darán valores a las distancias y la carga.

EJEMPLO 3.1 La viga mostrada en la figura 3.7, soporta una carga concentrada. Determinar la pendiente y la flecha para las distancias x  2 m y x  5 m , utilizando el método de doble integración por tramos. Los valores obtenidos quedaran en función del módulo de rigidez EI .

Figura 3.7

80

VIGAS Y SU DISEÑO Para analizar este problema lo primero que se hace es determinar las reacciones, las cuales se muestran en la figura 3.8 Figura 3.8

Se observa en la figura 3.8 que la distancia x  2 m se encuentra en el primer tramo por lo que las ecuaciones que se utilizaran, son las siguientes: EI

dy Pb 2 PabL  b  x  .. ........ ( I I' ) dx 2L 6L

EI y  

;

Pb 3 PabL  b x   x .......( III') 6L 6L

Sustituyendo el valor de “ x ”, se tendrán los valores de la pendiente y la flecha: Si EI

x  2m

dy 5 x10 3 2 5 x10 3 426  2 2  EI    2   3333.33  8888.88  5555.54  dx 26 66

; EI y   

 X 2 m 

5 x10 3 2 5 x10 3 426  2 3 2  - 2222.2  17777.77  15555.55   2  6  6 66

y x  2m 

5555.54KN  m 2  EI

15555.55KN - m 3  EI

La distancia x  5 m se encuentra en el segundo tramo por lo que las ecuaciones que se utilizaran, son las siguientes: dy Pb 2 Px - a  PabL  b Pb 3 Px - a  PabL  b  x   .................( III') ; EI  y   x    x .............( IV' ) dx 2L 2 6L 6L 6 6L 2

EI

3

Sustituyendo el valor de “ x ”, se tendrán los valores de la pendiente y la flecha: Si

x 5m

dy 5x103 2 5x103 6  4 5x103 426  2 2 EI  EI    5   dx 22 2 66 2

EI  20833.33  2500 8888.88  94444.45

 x 5 m  



9444.45KN  m 2  EI

5 x103 2 5 x103 6  4 5 x103 426  2 3  5    5 6 2 2 66 10555.55KN  m 3  EI y  34722.22  833.33  44444.44  10555.55  y x 5 m  EI 3

EI  y  

El valor de la pendiente que se obtiene al aplicar las ecuaciones anteriores siempre está dado en radianes, mientras que el valor de la flecha se indica en unidades de longitud. Para 2 metros la pendiente tiene una deformación angular con respecto a la horizontal que abre en sentido de las manecillas del reloj, obteniéndose un valor positivo en dicho punto, mientras que para 5 metros la deformación angular abre en sentido contrario a manecillas del reloj obteniéndose un valor negativo. En la figura 3.9 se observa cuáles serían las deformaciones angulares (pendientes) y las lineales (flechas) que se tienen a 2 y 5 metros.

Figura 3.9

.

81

VIGAS Y SU DISEÑO DEFORMACION MAXIMA Para determinar la deformación (flecha) máxima en una viga, es necesario tomar en consideración que la pendiente en el punto donde se tiene la flecha máxima es igual a cero, dado que la pendiente en ese punto es horizontal. Así mismo casi nunca se conoce el punto en donde la flecha es máxima, por lo que todas las ecuaciones que determinan las pendientes en cada tramo de la viga se igualan a cero. Posteriormente se procede a despejar para cada tramo el valor de x . Lo que permite determinar la distancia x a la cual se tiene la flecha máxima. Para saber en cual tramo el valor de x , es el adecuado se deberá tomar en cuenta lo siguiente: Cuando al realizar el despeje de x , se tiene valores negativos o imaginarios esto es indicio que en ese tramo no se tiene la flecha máxima, por el contrario cuando se tiene un valor positivo en ese tramo se tendrá la flecha máxima. Cuando se realiza la sustitución se debe tener especial cuidado en determinar adecuadamente el tramo en el cual se tiene la flecha máxima, dado que del tramo que se tome dependerá la ecuación que se deberá utilizar para determinar la flecha. Para que se comprenda más fácilmente la forma de obtener la flecha máxima, a continuación se determinara esta para la viga con carga concentrada que sé a estado utilizando como ejemplo, en este capítulo. Analizando el primer tramo, la ecuación  II'  se igualara a cero con lo que se tiene: EI

dy P b 2 PabL  b   x  0  dx 2L 6L

 833.33 x 2  8888.88  0

EI  

 x2 

5 x103 2 5 x103 426  2 x  0 26 66

8888.88  10.666 833.33

 x  3.266 m

Lo anterior indica que la deformación máxima se encuentra a 3.266 m, a partir del extremo izquierdo (valor de x positivo). Para el análisis del segundo tramo, se utilizara la ecuación

Pb 2 Px - a  PabL  b  5 x10 3 2 5 x10 3 x  4 5 x10 3 426  2 x    x   0 2L 2 6L 26 2 66 2

EI  

 V'  , obteniéndose: 2

0  -833.33  x 2  2500  x  2000  x  4000  8888.88  1666.67  x 2  2000 x  12888.88 KN - m 2

En este tramo las raíces que se obtienen al realizar el despeje son números imaginarios, por lo que no se tiene la deformación máxima. Ante lo cual se puede concluir que el valor de la distancia “ x ” adecuado es: x  3.266 m . Como se indicó anteriormente, la ecuación de deformación a utilizar, dependerá del tramo en el cual se encuentre el valor de x obtenido. En este caso por encontrarse el valor de x en el primer tramo la ecuación que se aplicara es la  II'  . Siendo el valor de la flecha máxima: EI y 

Pb 3 PabL  b 5x103 2 5x103 248 3 x  x 3.2659  6L 6L 66 66

E  I  y  9676.22  29030  19354

 y MAX 

82

19354 KN - m 3 EI

VIGAS Y SU DISEÑO METODO DE LA DOBLE INTEGRACION APLICANDO FUNCIONES DE SINGULARIDAD El análisis por tramos de una viga para determinar la pendiente y la flecha, solo puede utilizarse en forma relativamente fácil, cuando se tienen solo dos tramos de carga (se denomina tramo de carga aquel en el cual la función de momento flector no tiene una variación brusca). Dado que cada tramo de carga introduce dos constantes de integración, si se tuvieran cinco tramos de carga se tendrían diez constantes de integración, con lo que se complica de sobremanera la obtención de la pendiente y la flecha en la viga. En forma general las vigas tienen más de dos tramos de carga, por lo que el método anterior tiene que adaptarse para abarcar todas las posibles condiciones en que se encuentre la viga, así mismo este debe ser fácil de trabajar. Para tal efecto el método de la doble integración es auxiliado por funciones de singularidad. Para determinar la aplicación de estas a cualquier viga consideremos una porción pequeña de una viga como se muestra en la figura 3.10, en la cual, en una sección particular A , actúa la fuerza cortante Q y el momento flector M , en otra sección B a una distancia a en la viga, se aplica una carga concentrada P que cambiara en el momento flector para los puntos que se encuentran después de B .

Figura 3.10

En la figura entre los puntos A y B se tiene: M  EI

d2y  M  Qx dx 2

……….…………... (3.8)

dy x2  Mx  Q  C1 ……………….… (3.9) dx 2 x2 x3 EI  yM Q  C1 x  C 2 ….......(3.10) 2 6 EI

Realizando lo mismo para cualquier punto después de B tendremos: M  EI

EI

d2y  M  Qx - Px - a  dx2

…………..…………. (3.11)

dy x2 x2  Mx  Q P  P  a  x  C3 ……….............…… (3.12) dx 2 2

EI  y  M

x2 x3 x3 x2 Q P  Pa  C3 x  C 4 2 6 6 2

…………. (3.13)

Considerando que en ambos tramos se tiene en común el punto B, en el cual la pendiente es la misma, por lo que las ecuaciones 3.9 y 3.12 se pueden igualar, lo que se muestra a continuación: EI

dy x2 x2 x2  Mx  Q  C1  Mx  Q  P  P  a  x  C3 dx 2 2 2

Pero en el punto B , se sabe que la distancia x  a , por lo despejando la constante C1 , se tendrá: C1  

P a2  P  a 2  C3 2

;

C 3  C1 

Pa2 2

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación 3.12 se tendrá: dy x2 x2 Pa 2  Mx  Q P  P  a  x  C1  dx 2 2 2 dy x2 2 EI  Mx  Q  Px  a   C1 ………………(3.14) dx 2

EI

83

VIGAS Y SU DISEÑO También se tiene la misma flecha en B , por lo que se iguala 3.10 y 3.13. Realizando la misma consideración que para este punto x  a , se tiene: M

a2 a3 a2 a3 x3 a3  Q  C1a  C2  M  Q  P  P   C3 a  C4 2 6 2 6 6 2 x3 a3  Pa2  C1  a  C 2   P  P    C1    a  C4 6 2  2 

; 

x3 a3  P   C3 a  C4 6 2 P a3 C 4  C2  6

C1  a  C 2   P

Sustituyendo en ecuación 3.13 se tiene: x2 x3 x3 x2 P a2 P  a3 Q P  Pa  C1   x  C2  2 6 6 2 2 6 3  x2 x3 x  a EI  y  M Q P  C1  x  C 2 …………….… (3.15) 2 6 6 En vista de que el término Px  a  solo se aplica después de la discontinuidad, esto es cuando x  a , este EI  y  M

solo debe considerarse para esta condición o cuando x  a  sea positivo. De este modo, dichos términos deben ser: Integrados con respecto a sí mismos, y no considerarlos cuando son negativos. Por otra parte estos términos se encierran entre “< >” o llaves, por consiguiente, para toda la viga se tendrá: EI

d2y  M  Q  x  P x  a ……….. (3.16) dx 2

Los términos que se encuentran dentro del paréntesis representan a las “Funciones de Singularidad” o funciones de Macaulay. Algunas de estas funciones se utilizan para expresar las distancias utilizadas para obtener los momentos flectores de las principales cargas básicas que actúan en una viga. Las funciones de Macaulay que se utilizan para denotar los momentos producidos por las cargas básicas que se utilizan en viga, son indicadas en la tabla 3.1.Para la mayoría de las cargas que se presentan en la práctica, el momento flector puede obtenerse combinando algunas de las expresiones dadas para Mx Considerando, además, que las reacciones en los apoyos, así como todas las cargas mostradas anteriormente son de extremos abiertos a la derecha. Una carga distribuida que no se extienda hasta el extremo de la viga o que sea discontinua, debe ser reemplazada por una combinación conveniente de cargas básicas con extremos abiertos.

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA DEFORACION EN UNA VIGA UTILIZANDO LAS FUNCIONES DE SINGULARIDAD La utilización de funciones de singularidad permite la solución de vigas sometidas a varias cargas, utilizando solo una ecuación, puesto que las dos constantes de integración pueden evaluarse mediante la utilización de las condiciones de frontera. Por tal motivo se indica a continuación un procedimiento sencillo para la utilización de este método, los pasos a seguir en este procedimiento son los siguientes: 1. ESTABLECER LAS CONDICIONES INICIALES DE LA VIGA: Calcular las reacciones en los apoyos e identificar las condiciones de frontera en los apoyos. Se debe tomar en consideración que el desplazamiento cero ocurre en todos los apoyos de fijos y móviles, y que la pendiente y desplazamiento nulos se presentan en apoyos empotrados. Establecer x , de modo que se extienda hacia la derecha y con su origen en el extremo izquierdo de la viga. Así mismo asegurarse que las cargas distribuidas se extiendan hasta el extremo derecho de la viga. Si ello no ocurre, utilizar el método de superposición de cargas. 2. ESTABLECER DE LA ECUACION DE MOMENTO: Utilizando las funciones de discontinuidad se debe de expresar la ecuación del momento interno M como función de la distancia x . Utilizando para cada carga la consideración de signos ya indicada anteriormente. Para cada tipo de carga básica en la tabla 3.1 se indica su función de discontinuidad.

84

VIGAS Y SU DISEÑO TIPO DE CARGA

FORMA DE LA CARGA

FORMA DE LA

ECUACION DE LA

FUNCION

FUNCION

PAR PARA: A  x  B

(MOMENTO)

M  -Mo  x - a

0

PARA: A  x  B M  -P  x - a

CARGA CONCENTRADA

1

P

PARA: A  x  B

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA

M  -Q

x -a

2

2

Q

PARA: A  x  B

CARGA UNIFORMEMENTE VARIABLE

M x  -q

xa

3

6L

q

TABLA 3.1 FUNCIONES DE SINGULARIDAD PARA LAS PRINCIPALES CARGAS

3.

DETERMINACION DE LA PENDIENTE Y FLECHA: Sustituir el valor de M en la ecuación EI 

d2y   M , e integrar dos veces para obtener las ecuaciones de la pendiente y la flecha de la dx2

viga. Determinar las dos constantes de integración mediante las condiciones de frontera, conociéndolas sustituirlas en las ecuaciones de la pendiente y flecha (deflexión), para obtener los resultados finales. Cuando estas funciones se evalúan en cualquier punto de la viga, como ya se indicó, la pendiente en el sentido horario se considera “positiva” y el desplazamiento hacia abajo se considera positivo. Se aplicara el procedimiento antes descrito en el ejemplo 3.2, donde se analiza la viga del ejemplo 3.1, con la finalidad de que se observen las ventajas de las funciones de singularidad.

85

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 3.2 Usando las funciones de singularidad para la viga mostrada en la figura 3.11determinar la pendiente y la flecha para las distancias x  2 m y x  5 m .

Figura 3.11

Aplicando el procedimiento indicado, se tiene: 1.- Las reacciones con antelación fueron determinadas y su valor se muestra en la figura 3.12.

Figura 3.12

2.- La ecuación de momentos para la viga es la siguiente: Mx  1.6666x103 x  0  5x103 x  4

3.- Determinación de la pendiente y flecha. La ecuación que se utiliza es: EI

d2y   Mx dx 2

Por lo que sustituyendo la ecuación de momentos se tendrá: EI

d2y  Mx  1.6666x103 x  0  5 x103 x  4 dx 2

Realizando la doble integración: EI

EI

d2y  Mx  1.6666x103 x  0  5 x103 x  4 dx 2

2 2 dy 1.6666x103 5 x103  x0  x  4  C1 dx 2 2

EIy  

.......... ........( I )

.......... .......... (II)

3 3 1.6666x103 5 x103 x0  x  4  C1  x  C 2 .......... ...(III) 6 6

Se sabe que la flecha (y) en los apoyos es cero, por lo que se sustituyen las condiciones de frontera en (III), y tomando en consideración por funciones de singularidad los términos dentro de los corchetes que sean cero o negativos no se toman en cuenta, se determinaran las constantes de integración: ; y0 Si: x  0 0  EIy  

Si:

3 3 1.6666x103 5 x103 00  0  4  C1  0  C 2 6 6

x6 m

;



C2  0

y0

0  EIy  

3 3 1.6666x103 5 x103 60  6  4  C1  6 6 6



C1  8888.88

Sustituyendo el valor obtenido para las constantes en las ecuaciones de la pendiente y la flecha, se tiene:

86

VIGAS Y SU DISEÑO 2 2 dy 1.6666 x10 3 5 x10 3  x0  x  4  8888.88 ....................(II') dx 2 2 3 3 1.6666 x10 3 5 x10 3 EIy   x0  x  4  8888.88  x ...................(III') 6 6

EI

Determinando la pendiente y flecha para: x  2m . Para esto en la ecuación (II´) y (III´), se sustituye el valor de la distancia x. 2 2 dy 1.6666 x10 3 5 x10 3  20  2  4  8888.88 dx 2 2

EI EI

dy  3333.333  8888.88  5555.555 dx EIy  

 X  2m 



dy 5555.555 KN - m 2  dx EI

3 3 1.6666 x10 3 5 x10 3 20  2  4  8888.88  2 6 6

EIy  2222.22  17777.76  15555.54



y X  2m 

15555.54 KN - m 3 EI

Determinando la pendiente y la flecha para: x  5m EI EI

2 2 dy 1.6666 x10 3 5 x10 3  50  5  4  8888.88 dx 2 2

dy  20832.5  2500  8888.88  9443.62 dx EIy  





dy 9443.62 KN - m 2  dx EI

3 3 1.6666 x10 3 5 x10 3 50  5  4  8888.88  5 6 6

EIy  34720.83  833.33  44444.44  10556.9



y

10556.9 KN - m 3 EI

Deformación máxima: Para determinar la deformación máxima la ecuación de la pendiente se iguala a cero, determinándose el valor de x . 0  EI

2 2 dy 1.6666x103 5 x103  x0  x  4  8888.88 dx 2 2

2 2 1.6666x103 5 x103 x  x  4  8888.88  0.83333x103  x 2  2.5x103 x 2  8 x  16  8888.88 2 2 0  1.66667x 2  20x  48.88  x  3.3 m

0

Por lo que la deformación es: EIy  

3 3 1.6666 x10 3 5x10 3 3.3  0  3.3  4  8888.88  3.3 6 6



y

19360 KN - m 3 EI

En la figura 3.13 se muestra la pendiente a 2 metros observándose que abre en sentido de las manecillas del reloj considerándose este sentido positivo, mientras que a tres metros abre en sentido contrario a manecillas del reloj siendo esta negativa, se indica también que la deformación máxima se encuentra a 3.3 metros a partir del apoyo A.

Figura 3.13

87

VIGAS Y SU DISEÑO Como se indicó anteriormente, por cada carga aplicada en la viga, en la ecuación de momentos aparece una función de singularidad, por lo que es importante saber aplicar estas funciones adecuadamente. Para poder utilizar las funciones de singularidad en vigas con cargas variables, es necesario que estas cargas, sean continuas desde el punto donde comienzan hasta el final de la viga, de lo contrario no se podrán utilizar las funciones de singularidad, dado que estas no serían continuas. Cada solicitación de cargas en una viga se analiza de una forma particular, por lo que a continuación se realizaran unos ejemplos tipo, con el fin de conocer la forma de analizar las vigas que son sometidas a los diferentes tipos de cargas.

EJEMPLO 3.3 Obtener las ecuaciones para la pendiente y flecha de la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 3.14. Determinar también la deformación angular (  ) en el apoyo B y la flecha (  ) en el punto D

B

D . Suponer:

E  200GPa ; I  2.50x109 mm 4

Figura 3.14

1.- Establecer las condiciones iniciales de la viga: Para esto se determinaran en primer lugar las reacciones en los apoyos.

 M A  20(10)(5)  12015  RB 20  0  Fy  R A  120  20(10)  RB  0

 R B  140 KN  R A  180 KN

Una de las condiciones para poder utilizar la función de singularidad para una carga uniforme, es que la carga debe de ser continua desde su inicio hasta el final de la viga, por lo que se debe de completar la carga distribuida, para conservar el equilibrio estático se debe aplicar otra carga igual pero en sentido contrario, por lo que la viga equivalente que se utilizara en el análisis será como se muestra en la 3.11.

Figura 3.11

2.- Establecer la ecuación de momento para la viga: En la viga anterior se observa que las cargas que producen momento con respecto al punto B , son: La reacción R , la carga uniforme que se completó A

que empieza en el punto A y termina en el punto B , la carga uniforme que se agregó para conservar el equilibrio estático, la cual empieza en el punto C y termina en el punto B , así como la carga concentrada que actúa sobre el punto D . No se toma en consideración la reacción R , dado que por no existir distancia con respecto al punto B , no genera momento alguno. La ecuación obtenida para esta viga se muestra a continuación. B

M  180 x  0  1

2 2 1 20 20 x0  x  10  120 x  15 2 2

88

VIGAS Y SU DISEÑO 3.- Determinar de la pendiente y flecha: Como se indicó anteriormente la ecuación de momentos se antecede de un signo negativo, por considerarse la flecha es positiva hacia abajo. Este momento se iguala al producto de la segunda derivada con respecto a la distancia x , multiplicada por el módulo de rigidez, por lo que la ecuación anterior queda como se indica. EI

1 2 2 1 d2 y 20 20   M   180 x  0  x0  x  10  120 x  15 dx 2 2 2

...............(I)

Realizando una primera integración de la ecuación anterior, se obtiene la ecuación con la que se puede determinar la pendiente   . EI

2 3 3 2 dy 180 20 20 120  EI    180 x  0  x0  x  10  x  15  C1 ..........(II) dx 2 2 6 6 2

Realizando una segunda integración se determinara la ecuación que permite determinar la flecha  y  . EI  y  

3 4 4 3 180 20 20 120 x0  x0  x  10  x  15  C1  x  C 2 ..............(III) 6 24 24 6

Observando la viga, es fácil determinar que la flecha en los apoyos, al no poder estos subir o bajar, debe de ser cero. Lo anterior permite definir que sí x  0 , sé está en el punto A , con una flecha y  0 , A

mientras que si x  20 m , sé está en el punto B , con una flecha y  0 . Las anteriores consideraciones se conocen como condiciones de frontera. B

Aplicando las condiciones de frontera en la ecuación (III), se determinaran las constantes de integración C y C . Lo cual se muestra a continuación: 1

2

SI

x 0

y0

;

3 4 4 3 180 20 20 120 EI  (0)   00  00  0  10  0  15  C 1  (0)  C 2  C 2  0 6 24 24 6

SI

x  20

EI  (0)  

;

Y0

3 4 4 3 180 20 20 120 20  20  20  10  20  15  C 1  (20) 6 24 24 6



C 1  5625

Para determinar las ecuaciones generales de la pendiente y la flecha para esta viga, el valor de las constantes se sustituye en las ecuaciones (II) y (III). Como se indica a continuación: EI

2 3 3 2 dy 180 20 20 120  EI    180 x  0  x0  x  10  120 x  15  5625 .........(II’) 2 dx 2 6 6 2 3 4 4 3 180 20 20 120 EI  y   x0  x0  x  10  x  15  5625 x ............(III’) 6 24 24 6

Conociendo las ecuaciones (II’) y (III’), es relativamente sencillo determinar la pendiente y la flecha a cualquier distancia x , sobre la viga. Para determinar la pendiente (  ), se utilizara la ecuación (II’), con una distancia x  20 m . B

B 

1 180 - 180 20  0 2  20 20  0 3  20 20  10 3  120120 20  15 2  5625  EI 2 6 6 2  B 

5541.7 x103 KN  m 2  0.011 rad 200x109 0.00250KN  m 2

La flecha en el punto D , se obtiene utilizando la ecuación (3’), con una distancia x  10 m .  yD 

1 180 - 15  0 3  20 15  0 4  20 15  10 4  120 15  15 3  5625  15 EI 6 24 24 6  yD 

24791.66 x10 3 KN  m 3 200 x109 N/m 2 0.00250m 4 

89

;

y D  0.0496 m



VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 3.4 La viga de madera tiene la sección transversal mostrada y se somete a las cargas indicadas en la figura 3.12. Usando funciones de singularidad, determine la ecuación de la curva elástica. Si E  12GPa , determine a flecha y la dependiente en el extremo B . Figura 3.12

Determinando el momento y reacción en el empotramiento A :

 M  M  61.5  44.5  66  0  Fy  R  6  4  6  0 A

A1

A



M A1  63 KN m



R A  16 KN

Para utilizar las funciones de singularidad se necesita completar la carga y restarle el tramo en donde no se tiene carga, obteniéndose la viga equivalente que se muestra en la figura 3.13.

Figura 3.13

Determinando de la ecuación para el momento: por medio de las funciones de singularidad indicadas en la tabla 3.1 se tendrá: M  16 x  0  63 x  0  1

0

2 2 2 2 x  0  x  3  4 x  4.5 2 2

1

Las ecuaciones para la pendiente y la flecha son: 1 0 2 2 1 d2y 2 2  M  16 x  0  63 x  0  x  0  x  3  4 x  4.5 .......(I) dx 2 2 2 2 1 3 3 2 dy 16 2 2 4 EI  EI   x  0  63 x  0  x  0  x  3  x  4.5  C1 ........(II) dx 2 6 6 2

EI

EIy  

3 2 4 4 3 16 63 2 2 4 x0  x0  x0  x  3  x  4.5  C1 x  C2 6 2 24 24 6

....(III)

Sustituyendo las condiciones de frontera, para determinar las constantes de integración, se tiene que en el empotramiento la pendiente y la flecha son cero, por lo tanto, sustituyendo en (II) para la pendiente: SI EI 0  

x 0

 0

;

( Por ser empotrada )

3 2 16 2 2 4 0  0  63 0  0  0  0  0  3  0  4.5  C1  C1  0 2 6 6 2 2

1

3

Sustituyendo en (III) para la flecha: SI

x 0

;

y0

3 2 4 4 3 16 63 2 2 4 EI 0   00  00  00  0  3  0  4.5  C 2  C 2  0 6 2 24 24 6

Calculando el momento de inercia de la viga (sección rectangular): bh 3 0.20.4   1.066 x10 3 m 4 12 12 3

IZ 

90

VIGAS Y SU DISEÑO Para determinar de la flecha  , se sabe que en este punto la distancia B

x  6m , por lo que se tiene:

1   16 6  0 3  63 6  0 2  2 6  0 4  2 6  3 4  4 6  4.5 yB  EI 6 2 24 24 6 yB 

3



661.5 x10   0.05168m  51.688mm 12x10 1.066x10  3

9

3

Determinación de la pendiente  . Por tratarse del mismo punto en donde se obtuvo la flecha x  6m . B

B 

1 16  6  0 2  63 6  0 1  2 6  0 3  2 6  3 3  4 6  4.5 EI 2 6 6 2

B 

2

  157.5 x10

3

157.5 x103  0.01231 rad 12x109 1.066x103 

En la figura 3.14 se muestra la flecha y la pendiente que se tiene en la viga.

Figura 3.14

EJEMPLO 4.5 La viga rígida A  B que se muestra en la figura 3.15, tiene una ménsula DEC , soldada en el punto C . Aplicándosele las tres cargas concentradas mostradas. Determinar: La pendiente (  ) y la flecha y . Se sabe que: E  200GPa ; I  178.1x10 m A

-6

C

4

Figura 3.15

La condición especial en esta viga es la existencia de la ménsula. Para eliminar a esta, se debe de hacer uso de la estática, la cual indica que cualquier fuerza se puede sustituir por una fuerza y un momento el cual actúa en cualquier otro punto. En este caso se trasladara las fuerzas que actúan sobre los puntos D y E , hacia el punto C , por lo que la viga equivalente se muestra en la figura 3.16. Calculo de las reacciones en los apoyos de la viga:

M

B

 RA 4.8  90  1502.4  751.2  0

 R A  112.5 KN ; R B  112.5 KN

Definición de la ecuación de momentos: Las fuerzas que generan momentos son las dos cargas, la reacción

y también se cuenta con el momento en C, por lo que la ecuación tendrá cuatro términos.

91

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 3.16

Mx  112.5 X  0  90 X  2.4  150 X  2.4  75 X  3.6 1

0

1

1

Calculo de las ecuaciones para la pendiente y la deformación: 1 0 1 1 d2y   Mx  112.5 x  0  90 x  2.4  150 x  2.4  75 x  3.6 .......... .(I) dx 2 2 1 2 2 dy 112.5 150 75 EI  ( EI )   x  0  90 x  2.4  x  2.4  x  3.6  C 1 ......(II) dx 2 2 2 3 2 3 3 112.5 90 150 75 EIy   x0  x  2.4  x  2.4  x  3.6  C 1  x  C 2 .......... (III) 6 2 6 6

EI

Aplicando las condiciones de frontera en la ecuación (III), se tiene: SI

x 0m

;

y0

3 2 3 3 112.5 90 150 75 EI (0)   00  0  2.4  0  2.4  0  3.6  C1  (0) x  C2 6 2 6 6

SI

x  4.8 m

EI (0)  

;

 C2  0

y0

2 3 3 112.5 90 150 75 4.8  4.8  2.4  4.8  2.4  4.8  3.6  C1  (4.8) 6 2 6 6 3



C1  301.5

Por lo que de las ecuaciones (II) y (III) se obtienen: ( EI )  

2 1 2 2 112.5 150 75 x  0  90 x  2.4  x  2.4  x  3.6  301.5...... ......(II' ) 2 2 2

3 2 3 3 112.5 90 150 75 x0  x  2.4  x  2.4  x  3.6  301.5  x .......... .(III' ) 6 2 6 6 Determinación de la pendiente  A . Para esto la distancia x  0 , por lo cual:

EIy  

E  I   

2 1 2 2 112.5 150 75 0  0  90 0  2.4  0  2.4  0  3.6  301.5 2 2 2 301.5 x103 A   0.008464 rad 200x109 178.1x106 

Calculo de la flecha y , para esta condición x  2.4 m , por tanto: C

EI  y  

3 2 3 3 112.5 90 150 75 2.4  0  2.4  2.4  2.4  2.4  2.4  3.6  301.5  2.4 6 2 6 6

yC 

464.4 x103  0.013026m  13.026mm  200x109 178.1x106 

92

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 3.6 La viga de

la

figura

3.17,

se encuentra sometida

a

las

cargas

que se

muestran.

Sí

E  200GPa ; EI  3.204x10-6 m . Determinar: (a) La pendiente  B ; (b) La fecha  A .

Figura 3.17

En este problema al encontrase el extremo A en voladizo, no es necesario determinar las reacciones, por lo que en primer lugar se determina la ecuación de momentos, quedando como se indica a continuación: qx3 Mx   Px  6L

Mx  500 x  0 

;

1800 x  0.3 60.9

3

 500 x  0  333.33 x  0.3

3

Determinación de las ecuaciones para calcular la pendiente y la flecha. 3 d2y   Mx  500 x  0  333.33 x  0.3 .......... .......... ......(1) dx 2 2 4 dy 500 333.33 EI  EI  x0  333.33 x  0.3  C1 ... ......(II) dx 2 4 3 5 500 333.33 EIy  x0  333.33 x  0.3  C1 x  C 2 .......... ...(III) 6 20

EI

Se proceden a determinar las constantes de integración, utilizando las condiciones de frontera. Se observa en la viga que en el empotramiento la pendiente y la flecha tienen un valor igual a cero, por lo que se tiene sustituyendo en (II). x  1.2 m ;   0 Si: EI 0 

2 4 500 333.33 1.2  0  333.33 1.2  0.3  C1 2 4

Sustituyendo en (III). Si: x  1.2 m



C1  414.67

; y0

3 5 500 333.33 EI 0  1.2  0  333.33 1.2  0.3  414.671.2  C2 6 20



C 2  343.75

Conociendo el valor de las constantes se determinan las ecuaciones generales: EI

2 4 dy 500 333.33  EI  x0  333.33 x  0.3  414.67 dx 2 4

EIy 

... ......(II' )

3 5 500 333.33 x0  333.33 x  0.3  414.67x  343.75 .......... ...(III' ) 6 20

Calculo de  (la pendiente en B ). B

Para este punto la distancia x  0.3 m ; con lo que se tiene: B

EI B 

500 0.3  0 2

2



B 

4 333.33 333.33 0.3  0.3  414.67  392.17 4

392.17

200x10 640.8x10  9

3

Calculo de  (la deformación en A ). A

93

 0.612x103 rad



VIGAS Y SU DISEÑO Para esta condición x  0 m , por lo que se tiene: A

EIy A 

3 5 500 333.33 00  333.33 0  0.3  414.67(0)  343.75  343.75 6 20

yA 

343.75

200x10 640.8x10  9

3

 0.536x10 3 m  0.536 mm 

TEOREMAS DE MOHR En los anteriores ejemplos, cuando se determina la pendiente y la flecha en cualquier punto de una viga, por el método de la doble integración, se tiene que definir una ecuación general de momentos para la viga. Lo que origina que entre mayor sea el número de cargas que actúan sobre la viga, su análisis se vuelve más complicado. Por tal motivo se aplican métodos alternativos para determinar la pendiente y deformación en un punto determinado de una viga. Estos métodos como se indicó en un principio son: AREA DE MOMENTOS y VIGA CONJUGADA. Para poder utilizar estos métodos es necesario conocer los “TEOREMAS DE MOHR”, dado que son la base de estos. Estos teoremas están basados en el área del diagrama de momento flexionante, por lo que también se les conoce como “Teoremas de las áreas de momentos flexionantes”. Por la importancia que los Teoremas de Mohr tienen, a continuación se determinaran estos.

PRIMER TEOREMA DE MOHR Consideremos una viga originalmente recta que se corta en los puntos B, C y D, la cual se suelda rígidamente como se muestra en la figura 3.18.

Figura 3.18

Las secciones de la viga entre los puntos donde se realizaron los cortes son rectas. La variación de la pendiente entre dos puntos cualesquiera es la suma de las variaciones angulares entre esos puntos. Por ejemplo, el cambio de pendiente entre el segmento A  B y el segmento D  E es igual a:      . B

C

D

Una viga cargada es semejante a la de la figura excepto que tiene una curva continua, el cambio de pendiente entre dos puntos cualesquiera de una viga cargada es también la suma algebraica de las variaciones angulares entre las dos secciones. Una viga cargada tiene un diagrama M / EI contra x , el cual puede ser como se indica en la figura 3.19.

Figura 3.19

94

VIGAS Y SU DISEÑO Partiendo de la ecuación diferencial de la elástica obtenida en el método de la doble integración, se tiene: EI

d2y M dx2

d2y M  dx2 EI

;

M d  EI dx





d 2 y d  dx2 dx

;

d 

M  dx EI



dy  d dx

;



M x EI

Se observa en la figura que la cantidad M / EI  dx , corresponde al área infinitesimal que se encuentra por debajo de la curva indicada en el diagrama. Por lo tanto esta área es igual al ángulo entre dos tangentes (a la curva) consecutivas. d A 

MA  dx EI

d B 

..........(3.17);

Integrando la ecuación para d : B



A

B

d  

A

A/ B 

MB  dx ............. (3.18) EI

Mx  dx   B   A   A/B .........(3.19) EI

1 AREAA A' B' B A .............(3.20) EI

De la ecuación 3.20 se obtiene el primer teorema de Mohr, el cual dice lo siguiente: PRIMER TEOREMA DE MOHR. “LA DIFERENCIA DE PENDIENTE ENTRE DOS SECCIONES CUALQUIERA (A y B), SOBRE LA CURVA ELASTICA DE LA VIGA, ES IGUAL AL AREA BAJO EL DIAGRAMA M / EI COMPRENDIDO ENTRE ESAS DOS SECCIONES (A y B)”. Para vigas de sección transversal constante, el diagrama M / EI tiene la misma forma que el diagrama de momentos.

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR Para la determinación del segundo teorema se analizara de nuevo la viga anterior, pero se le agregaran las distancias indicadas en la figura3.20.

Figura 3.20

Se supone que los ángulos son muy pequeños, por lo que su tangente será igual al ángulo. Para determinar la desviación del punto P con respecto a la tangente trazada por B (distancia P  P ). 2

P  P2   B  x1   C  x 2

P  P2  P  P1  P1  P2

;

P  P1 tg B   x1

;

tg c  

P  P1   B  x1

;

P1  P2   c  x 2

95

P1  P2 x2

VIGAS Y SU DISEÑO Lo anterior indica que la desviación de cualquier punto P, respecto a la tangente trazada por otro punto cualquiera B; es igual al momento estático de cada una de las variaciones angulares comprendidas entre esos dos puntos con respecto al punto P. En una viga cargada la variación angular entre dos secciones cualesquiera es d  (M / EI )  dx . Por tanto, la desviación de cualquier punto situado sobre una viga cargada con respecto a la tangente trazada por cualquier otro punto se observa en la figura 3.21.

Figura 3.21

Esta desviación está definida por la ecuación 3.21. t P / B   d  x   tP / B 

Dónde: t M

 EI dx  x

P/B

M dx  x EI

1 AREAA A' B' B A x .................(3.21) EI

 Desviación de cualquier punto P medida a partir de la tangente trazada en B;

= Momento estático del área bajo el diagrama M / EI comprendido entre los puntos P y B con

respecto a P; x  Distancia del eje vertical que pasa por P al centroide del área bajo la curva entre B y P.

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR. “LA DESVIACION TANGENCIAL DE CUALQUIER PUNTO “P” SITUADO SOBRE LA ELASTICA DE UNA VIGA CON RESPECTO A LA TANGENTE TRAZADA POR CUALQUIER OTRO PUNTO DE LA ELASTICA, ES IGUAL AL MOMENTO ESTATICO, CON RESPECTO A “P”. DEL AREA BAJO EL DIAGRAMA M / EI COMPRENDIDA ENTRE ESOS DOS PUNTOS”.

ANALISIS DE VIGAS POR EL METODO DE AREA DE MOMENTO La determinación de la pendiente y la deflexión de una viga, implican cálculos un poco largos, si se utiliza el método de la doble integración, sin embargo, los principios básicos no son difíciles. Ante tal circunstancia se creó un método semi-grafico que sirve para determinar la pendiente y el desplazamiento lineal en puntos específicos de una viga (pendiente y flecha), denominado “Método de Área de Momento”. Para poder aplicar este método es necesario calcular las áreas asociadas con el diagrama de momento flexionante que se obtienen de la viga. Cuando se utiliza este método se realizaran las mismas suposiciones generales que se aplican en el método de la doble integración. Este método es adecuado cuando únicamente se requiere determinar la flecha o el ángulo de rotación, en un punto determinado de la viga, dado que es posible determinar dichos valores sin necesidad de determinar la ecuación completa de momentos de la viga.

96

VIGAS Y SU DISEÑO La aplicación de este método requiere utilizar los teoremas de Mohr, los cuales nos permiten determinar las pendientes y deformaciones en las vigas. Debido a que estos teoremas están basados en el área del diagrama de momento flexionante, también son conocidos con este nombre.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS POR EL METODO DE AREA DE MOMENTO A continuación se propone un procedimiento a seguir para el cálculo de las deformaciones angulares y lineales en vigas isostáticas, mediante el método de área de momento. Los pasos indicados son en forma general, cada viga tendrá que analizarse antes de aplicar estos pasos, dado que su solución podrá tener alguna variante a lo indicado. 1.-Determinar las reacciones en los apoyos y trazar el diagrama M / EI de la viga. Si la viga soporta cargas concentradas, el diagrama M / EI estará compuesto de una serie de segmentos de línea recta, y las áreas y sus momentos necesarios para la aplicación de los teoremas de área de momento serán relativamente fáciles de calcular. Si la viga soporta una serie de cargas distribuidas, el diagrama M / EI se compondrá de curvas parabólicas de segundo grado o posiblemente de curvas de mayor grado (las ecuaciones para determinar sus áreas y sus centroides se encuentran en la tabla 3.2.).

2.- Trazar una vista exagerada de la curva elástica de la viga. Recordar que los puntos de pendiente y desplazamiento cero siempre se presentan en un empotramiento, y que el desplazamiento cero ocurre en todos los apoyos fijos o móviles. Si se dificulta el trazo de la forma general de la curva elástica utilice el diagrama de momentos M / EI . Se debe tener en cuenta que cuando la viga se somete a un momento positivo, la viga se flexiona cóncava hacia arriba, mientras que un momento negativo, la viga flexiona cóncava hacia abajo. Además, donde el momento en la viga M / EI es cero se presenta un cambio de inflexión o cambio de curvatura. El desplazamiento y la pendiente desconocidos a ser determinados deben indicarse en la curva. Como el teorema es válido solo entre tangentes, se prestara atención con respecto a que tangentes debe trazarse la curva de modo que los ángulos o desviaciones entre ellas conduzcan a la solución del problema. A este respecto, deben considerarse las tangentes en los apoyos, puesto que la viga casi siempre tiene un desplazamiento y/o pendiente cero en ellos. 3.- Aplicar el primer teorema de Mohr para determinar el ángulo entre dos tangentes cualesquiera a la curva elástica y el segundo teorema de Mohr para determinar la desviación tangencial. El signo algebraico de la respuesta puede verificarse con el ángulo o desviación indicada en la curva elástica. Específicamente un  positivo representada una rotación en el sentido anti horario de la tangente de B con respecto a la tangente A, y un t positivo indica que el punto A de la curva elástica queda arriba de la tangente que parte de B. Para entender mejor el método de área de momentos a continuación se realizaran algunos ejemplos donde se aplique este método. B/ A

A/ B

97

VIGAS Y SU DISEÑO

FIGURA

AREA RECTANGULO AREA  bh C

B 2

TRIANGULO RECTANGULO AREA  C

bh 2

b 2

TRIANGULO La a 3 Lb b 3

SEGMENTO DE PARABOLA Y  K  xn AREA  C

bh n 1

b n2

; n  grado de la parabola

TABLA 3.2 Características de las áreas más comúnmente utilizadas en los diagramas de momentos.

EJEMPLO 3.7 En la viga en voladizo que se muestra en la figura3.22, actúa una carga concentrada P , en el extremo B . Determinar la pendiente y la flecha en el punto C y B .

Figura 3.22

La carga P , es la única que actúa sobre la viga, generando un solo diagrama de momento, el cual es un triángulo con centroide C , ubicado a un tercio de su base, como se muestra en la figura 3.23.

Figura 3.23

98

VIGAS Y SU DISEÑO En la primera parte de este problema lo que se desea es determinar la flecha en el punto C , el cual se localiza a una distancia x , del empotramiento A , por lo que al área del momento flexionante obtenida, se le debe restar el área que se tiene del punto C al punto B . Para esto, en la figura 3.24, el área de momentos entre el punto A y el punto C se indica como área 1, mientras que el área que se tiene entre el punto C y el punto B , se indica como el área 2.

Figura 3.24

Para determinar la pendiente se utiliza el primer teorema de Mohr, por lo que utilizando la ecuación 3.20, se tiene:  A/ C   C   A 

Dónde:

AREA1  a c c' a' a

y

1 AREA1  AREA2  EI

AREA2  c b c' c

Si se aplica la condición de frontera, sobre el punto A , se tendrá que por tratarse de un empotramiento   0 , por lo que: A

 A / C  C   A  C  0 C 

2 1  P  L2 P  L  x   1  P  L2 P  L2 2  P  L  x P  x 2        EI  2 2 E  I  2 2 2 2  

 



C

1  Px 2  PLx  EI  2 

Para determinar la flecha en el punto C , se utiliza el segundo teorema de Mohr, por lo que aplicando la ecuación 5.2. y considerando que   0 se tiene: A

t C / A   C  xC   A  x A   C  xC  0  t C  y C ;

yC 

yC 

yC 

2 1  P  L2  L   P L  x   x      EI  2  3  2

2 1  P  L2  L   PL  x   x      EI  2  3  2

1 AREA1  C1  AREA2  C 2  EI

  L  x          3  

 L  x  1  P  L2  x P  L3 PL  x 3         2 6 6  3  EI  

Se sabe que: L  x  L3  3Lx 2  3L2 x  x 3 ; por lo que sustituyendo en la ecuación anterior se tendrá: 3·

yC 

1  PL2 x PL3 PL3 PLx2 PL2 x Px3       EI  2 6 6 6 2 6 



yC 

1  P  L  x2 P  x3   EI  2 6 

En la segunda parte del problema, lo que se pide es determinar la pendiente y la flecha en el punto B . En este punto se tiene que x  L ; Por lo que se utilizara toda el área de momentos.  B/ A   B   A   B  0

99

VIGAS Y SU DISEÑO B 

1 EI

 2 PL2   PL  2    y MAX 

B 



1  PL2  EI  2 

1  PL3 PL3  1  PL3    EI  2 6  EI  3 

t B/ A   B  xB   A  x A   B  xB  0  t B  y B yC 

1 AREATOTAL  CTOTAL  EI

;

yB 

1  PL2 2 L  1  PL3    EI  2 3  EI  3 

EJEMPLO 3.8 Una viga en voladizo A  B soporta dos cargas concentradas, como se muestra en la figura3.25. Calcular las deflexiones en los puntos B y C . Se sabe qué E  200 GPa ; I  20.1x106 m 4 .

Figura 3.25

Para determinar la flecha en el punto B , se debe de tomar en cuenta el área de momentos del punto A al punto B , de la viga. Para esto, al tenerse dos cargas concentradas se tendrán dos diagramas de áreas de momento, los cuales se indican en la figura 3.26.

Figura 3.26

Por lo que la flecha en el punto B , se determinara de la siguiente manera:  B/ A 

AREA 1  -

1   B  A EI



1  B 0 EI



1 1 2.61.3  16.9 KN m 2 ; AREA 2  - 1.31.3  8.45 KN m 2 2 2 1  B   AREA 1  AREA2   25.35 KN m 2 EI M 1  AREA 1 2/32.6  16.92/32.6  29.29 KN m 3

100

VIGAS Y SU DISEÑO M 2  AREA 2   2/31.3  1.3   8.452.166  18.30 KN m 3

B 

M1  M 2 47.59x103 N m 3  200X109 20.1x106  EI

;

 B  0.0118m  11.8 mm

Para determinar  C se calcula el momento que producen las áreas con respecto a este punto, para esto se resta el momento producido por el área que se ubica a la derecha de este punto. Estas áreas son calcular a continuación.

AC1  1 / 22.613  16.9 KN m 2 ;

AC 2  1 / 21.313  8.45KN m 2 ;

AC 3  1 / 26.513  4.225KN m 2

En la figura3.27 se observan las áreas antes calculadas, así como la distancia que tiene el centroide de cada una de estas respecto al punto C . Las áreas 1 y 2 son las que se tenían, mientras que el área 3 es la que se le restara para obtener solo el área del punto A al punto C . Por tal motivo se considera negativa.

Figura 3.27

Los momentos producidos por las áreas son los siguientes: M C1  16.91.733- 1.3  7.3233KN m 3 M C3  4.2251/31.3  1.8308KN m 3

M C2  8.452/31.3  7.3233KN m 3

; ;

M T  7.3233 7.3233  1.8308  16.4974KN m 3

Por lo que la flecha en el punto C , es la siguiente: C 

16.4974x103 N m 3  0.004103 m  4.103mm 200X109 20.1x106 

EJEMPLO 3.9 En la viga mostrada en la figura3.28, calcular la magnitud de la pendiente y la flecha en los puntos C y D , en función del módulo de rigidez EI .

Figura 3.28

101

VIGAS Y SU DISEÑO En primer lugar se determinara la flecha del punto D , tomando en consideración que para el cálculo de esta se tomaran todas las áreas que generan las cargas sobre la viga. Esto se muestra en la figura 3.29.

Figura 3.29

Por lo que la ecuación para determinar la pendiente en D es la siguiente:  Las áreas a utilizar son las siguientes: AREA1  1/2366  108 KN m 2 ;

La pendiente en el punto D es:   D

AREA2  1/2184.5  40.5 KN m 2 ;

D/ A

  D   A    D  0   D 

AREA3 

39  9 KN m 2 3

1 AREA  108  40.5  9  157.5 EI EI EI

La flecha en el punto D se determina de la siguiente manera: M 1  1084  432 KN m 3 ;

D 

M 2  40.54.5  182.25KN m 3 ;

M1  M 2  M 3 EI

M 3  95.25  47.25KN m 3

D 

;

661.5 x103 N - m 3 EI

Para determinar la deformación en el punto C , se debe de calcular el momento que generan las áreas antes indicadas con respecto a este punto, pero también se debe de tomar en cuenta el área que se resta (entre el punto C y el punto D ) , la cual se calcula como sigue: AREA4  1/291.5  6.75 KN  m 2

Esta área se muestra en la figura 3.30.

Figura 3.30

Como se observa el área 4 genera un momento con respecto al punto C , el cual actúa en el mismo sentido que los momentos producidos por las áreas 1,2 y 3. Por lo que la flecha en C , se determina de la siguiente manera:

102

VIGAS Y SU DISEÑO M C1  1082.5  270 KN m 3

; M C2  40.53  121.5 KN m 3

M C 3  93.75  33.75 KN m 3

; M C4  - 6.75- 0.5  3.375 KN m 3

C 

M C1  M C 2  M C 3  M C 4 428.625x103 N m 3  EI EI

Como se observó en los anteriores ejemplos, el método de área de momentos se puede aplicar para calcular las deformaciones de vigas en voladizo, en una forma relativamente fácil, ya que se sabe que en el empotramiento la pendiente siempre es cero. Este método también se puede aplicar para determinar la flecha en vigas simplemente apoyadas, pero en este caso son necesarias más condiciones geométricas que las utilizadas en las vigas de voladizo, puesto que no se conoce el punto en donde la pendiente es igual a cero. Para comprender lo anterior observemos los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 3.10 Para la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura3.31, calcular la flecha en el centro de la misma (punto C ).

Figura 3.31

Como se conoce el punto donde la pendiente es horizontal (deformación máxima determinara indirectamente siendo la relación geométrica:      . C

 MAX ),  C se

C/A

Lo anterior se observa en la figura3.32.

Figura 3.32

Donde  se determina, trazando la tangente al punto A y calculando el valor de obtiene aplicando el segundo teorema de área de momentos.

B  B' =Momento estático de todo el diagrama de momentos con respecto al punto B .

103

B  B' , el cual se

VIGAS Y SU DISEÑO Para tal efecto se utilizaran las áreas de momento indicadas en la figura 3.33.

Figura 3.33

B  B' 

1 360091 / 21 / 39  (3600)(1 / 2)(1 / 3)(3)  1 48600 5400  1 43200 N m 3 EI EI EI

Por triángulos semejantes se tiene: B  B'   9 4.5





1  43200(4.5)  1 3   EI 21600 N m EI  9 

Se determina  aplicando el segundo teorema de área de momentos entre los puntos A y C , con respecto al punto C : C/A

C/ A 

1 18004.51/ 21/ 34.5  1 6075 N m 3 EI EI

C   C / A 

1 21600 6075  1  15525  N m 3 EI EI

El siguiente ejemplo se analizara, considerando en primer término, el diagrama de áreas obtenido en forma general (aplicando todas las cargas en conjunto). Posteriormente se aplicaran las áreas por partes, con la finalidad de que se vea que ya sea por uno u otro método el resultado es el mismo.

EJEMPLO 3.11 En la viga que se muestra en la figura 3.34, calcular la flecha en el punto C , en función de EI . Esta viga se encuentra articulada en el punto D . Las longitudes L están dadas en metros.

Figura 3.34

Lo primero que se realizara será un análisis estático, para esto se indican las reacciones en los apoyos y la fuerza que actúa sobre la ménsula se sustituye por un momento y una fuerza que actúa sobre el punto C. Dado que la viga se encuentra articulada en el punto D , para calcular las reacciones separaremos la viga en dos, la primer sección se muestra en la figura 3.35.

104

VIGAS Y SU DISEÑO

D.C.L. (A-D)

Figura 3.35

Las ecuaciones de equilibrio estático son las siguientes:

 Fx  0   R

AX

 2  Dx ......(1)

M

 Fy  0  R

;

 0   M A  3L  2 L  Dy3L 

A

AY

 3  Dy ....(2)

.......(3)

El segundo tramo de la viga se muestra en la figura 3.36.

D. C. L. (D-F)

Figura 3.36

Las ecuaciones de equilibrio estático para este tramo son las siguientes:

 Fx  0  Dx 

......( 4 )

;

Dy  6 KN

 Fy  0  R EY  Dy  6 ;

R EY  12 KN

.....( 5 ) ; ;

 M E  0  DyL  6L

......( 6 )

Dx  0

Combinando las ecuaciones que se tienen en las dos vigas, se tiene: Sustituyendo en (2): 0  -M A  3L  2 L  63L  R AY  3 KN



M A  13L KN m

;

R AX  2 KN

Se indican las cargas y momentos calculados y se traza el diagrama de momento flexionante, que corresponden a la viga analizada, como se muestra en la figura 3.37.

Figura 3.37

105

VIGAS Y SU DISEÑO La pendiente en el punto A es igual a cero (   0 ), por lo que se tiene: A

C  C / A  C   A

C  C  

1 AREA1  AREA2  AREA3  AREA4 EI

1 1 / 23LL  10LL  1 / 26LL  4LL  1 18.5L2  EI EI

 rad

Las distancias del punto C , al centroide de las áreas que se encuentran a la izquierda de este, son: X1  L  (2 / 3) L  1.666L ; X 2  L  (1 / 2) L  1.5L ; X 3  (2 / 3) L ; X 4  0.5L

Por lo que la flecha en el punto C , será la siguiente: yC 

1 1.5L2 1.666L  10L2 1.5L   3L2 2 / 3L   4L2 0.5L  EI 21.5L3 yC  EI

La otra forma de resolver este problema será considerando las áreas de momentos por partes. Por lo que analizando la viga por partes se tiene la figura3.38

Figura 3.38

Por lo que la flecha en el punto C , será la siguiente: C 

1 AREA1  AREA 2 - AREA 3  1  6L 2L 1 / 2  13L 2L   3L L 1 / 2 EI EI 1 C   6 L2  26 L2  1.5L2 ; A  0 EI

C 

1 1  6 L2 1 / 32 L   26 L2 L   1.5L2 1 / 3L    4 L3  26 L3  0.5L3 EI EI



  



    

C 







21.5L3 EI

Como se observa la deformación es la misma, ya sea utilizando una u otra forma de resolver el problema.

106

VIGAS Y SU DISEÑO ANALISIS DE VIGAS POR EL METODO DE LA VIGA CONJUGADA Mediante la aplicación de los teoremas de Mohr, aparte del método de área de momentos se desarrolló un método de cálculo muy útil, conocido como el “Método de la Viga Conjugada”. Este método está basado en el área del diagrama de momento flexionante y el principio de superposición. En forma general se podría enunciar este método de la siguiente manera “La viga conjugada de una viga real, es otra viga similar a la real, la cual se supone que está cargada con el diagrama de momentos flexionantes de la viga real”. En este método la pendiente se obtiene calculando el valor de la fuerza cortante de la viga conjugada, para el punto en donde se desea, dividiéndose esta fuerza entre el módulo de rigidez de la viga real, por lo que se tiene:   X

V  EI

La flecha se obtiene calculando el valor del momento flexionante de la viga para el punto en donde se desea obtener este. El valor obtenido se divide entre el módulo de rigidez de la viga real con lo que se tiene: y  X

M  EI

.

Como regla general para este método, a todas las cantidades relacionadas con la viga conjugada las encerramos en corchetes a fin de diferenciarla de cualquier otra cantidad. Este método proporciona únicamente valores absolutos por los que todas las cantidades que intervienen en los cálculos deberán de afectarse por el signo que les corresponda. Debido a la dificultad que presenta la localización del centroide del área del diagrama de momentos flexionante, cuando esta se genera por la aplicación de varias cargas, se aplica el principio de superposición para generar diagrama por partes (un diagrama por cada carga o reacción). Bajo esta consideración, se elaboran tantas vigas conjugadas como términos resulten en la ecuación completa de momento flexionante de la viga real analizada. Es importante hacer notar que se tienen dos tipos de reacciones. Las que se originan por la aplicación de cargas a la viga, así como las que se originan por la aplicación del momento flexionante a la viga, las cuales serán diferentes y se encierran en corchetes.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS UTILIZADO EN LA VIGA CONJUGADA A continuación se propone un procedimiento a seguir para el cálculo de las deformaciones angulares y lineales, mediante el método de la viga conjugada. Los pasos indicados son en forma general, cada viga tendrá que analizarse antes de aplicar estos pasos, dado que todas varían, tanto en cargas como en condiciones de apoyo. 1.- Determinar las reacciones en los apoyos de la viga. Estas se determinaran en la mayoría de las veces, mediante las ecuaciones de equilibrio de la estática. 2.- Generar los diagramas de momentos que originan estas cargas y reacciones. Al realizar esto se debe de tomar en cuenta que se pude obtener un solo diagrama, cuando el centroide de la figura geométrica que lo origina no sea difícil de determinar. Pero si la determinación del centroide del diagrama obtenido es muy complicada, se pueden utilizar diagramas por partes (uno por cada carga).

107

VIGAS Y SU DISEÑO Para esto es conveniente determinar la ecuación general de momentos par la viga, dado que esta permitirá determinar la cantidad de diagramas de momentos a generar. 3.- Aplicar a la viga conjugada estos diagramas como carga. Se genera una viga, la cual es similar a la original, con la diferencia, de que esta nueva viga será cargada con los diagramas de momento obtenidos. Al aplicar estos diagramas como cargas, estos tendrán áreas, las cuales pueden ser positivas o negativas (tener cuidado en indicar adecuadamente el signo de cada área), las cuales serán usadas en los cálculos a realizar. 4,- Calcular las reacciones de la viga conjugada. Estas son originadas por los diagramas de momentos obtenidos, encerrando dichos valores entre corchetes, estas reacciones pueden ser positivas o negativas. 5.- Para él cálculo de la pendiente en un punto determinado de la viga, obtener el valor que el diagrama de áreas tenga en dicho punto, para posteriormente dividirlo entre el módulo de rigidez,

X 

V  EI

6.- Para él cálculo de la flecha determinar el momento que el área a la izquierda o la derecha de la viga, produzca con respecto al punto indicado, dividiéndose posteriormente este valor entre el módulo de rigidez de la viga,

yX 

 M . EI

Para entender mejor el método de la viga conjugada continuación se realizaran algunos ejemplos en donde se aplique este método.

EJEMPLO 3.12 Para la viga que se muestra en la figura 3.39, determinar por el método de la viga conjugada, la pendiente en los apoyos y la flecha a la mitad del claro. Considere que E  2x10 kg cm ; I  1x10 cm 6

2

Figura 3.39

1.- Calculo de las reacciones: La ménsula se sustituye por una fuerza y un momento que actúan sobre el punto C.

M M

B

 0  R A 10  10005  2000 

A

 0   R B 10 

5005  5   0 2 3

 R A  908.33 kg

5005 5  3.333  10005  2000 0  R B  1341.66 kg 2

2.- Determinación de los diagramas de las áreas de momento. La ecuación general de momentos de la viga, que se utilizara, será la siguiente:

108

4

4

VIGAS Y SU DISEÑO M  R A X  0  1000 X  5  2000 X  5  1

1

0

100 X 5 6

3

La ecuación anterior indica que se tendrán cuatro diagramas de áreas de momento por partes (cada término de la ecuación representa un diagrama a generar). 3.- Cargar la viga conjugada con cada uno de los diagramas de momento flexionante, que generan las cargas y reacciones, como se muestra en la figura 3.40.

Figura 3.40

Conociendo las áreas de momentos, se determinan los valores de las áreas : AREA1  9080101/ 2  45400 kg m 2

;

AREA 2  -500051/ 2  12500 kg m 2

AREA 3  - 20005  10000 kg m 2

;

AREA 4  - 208351/ 3  2604 kg m 2

4.- Calculo de las reacciones de la viga conjugada:

 M  R 10  454003.333  125001.6667  100002.5  26401  0



 M  R 10  454002 / 310  125005  2 / 35  100007.5  26044  0



B

A

A

B

5.- Calculo de las pendientes en los puntos A y B A 

B 

V 

X 0

EI

V 

X 10

EI



R   10290 kg m 10 A

EI

2 x10

6

2 4 cm2 / m 2   0.0051 rad kg/cm 2 1x10 4 cm4 

R   10006 kg m 10

cm2 / m 2  2 x10 kg/cm 1x104 cm4   0.0050 rad 2

B

EI

6

4

2

6.- Cálculo de la flecha al centro de la viga ( x  5m )

M

 102905  454051/ 25 / 3  32533 kg m 3

y X 5 

32533kg m 3 1x10 6 cm3 / m 3  2 x106 kg/cm 2 1x104 cm4   1.626 cm

X 5

109

R   102889.6 kg A

m2

R   10006.4 kg m B

2

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 3.13 En la viga que se muestra en la figura3.41 calcular por el método de la viga conjugada la pendiente y la flecha en el punto medio. Considerar que: E  105 kg/cm2 ; I  3x105 cm 4

Figura 3.41

Calculo del momento aplicado, las reacciones y la ecuación de momentos:



M  Fxd  6000  0.5  3000 kg - m

M A  0  3000  6RB   0

 R B  500 kg

; R A  500 kg

0

M X  R A X  0  3000 X  4

Trazo de los diagramas de áreas de momentos, de la viga. Cada una de las fuerza que actúan sobre la viga generan un momento con respecto al punto B de la viga, estos se muestra en la figura 3.42.

Figura 3.42

Calculo de las reacciones de la viga conjugada: AREA 1  1/230006  9000 kg m 2

AREA 2  30002  6000 kg m 2

;

 M    0  6R   90002  60001

;

R   2000 kg - m

 M    0  R 6  60005  90004

;

R   1000 kg - m

B

A

A

B

2

A

2

B

Calculo de la pendiente y la flecha al centro de la viga:

V 

X 3

M

X 3

 RA  

 3RA  

15003  250 kg - m 2 2

15003 1  3750 kg - m3 2



  X 3 

y X 3 

M 

110

250kg m 2 1x104 cm 2 / m 2   8.33x105 rad 105 kg/cm2 3x105 cm 4 

X 3

EI



3750kg - m 3 1x106 cm 3 / m 3   0.125 cm  105 kg / cm 2 3x105 cm 4 

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 3.14 Por el método de la viga conjugada calcular la flecha en el punto C de la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura3.43. Suponer: E  200 GPa ; I  1x108 mm4 .

Figura 3.43

Calculo de las reacciones de la viga:

M M

B

A

 0  R A 10  30  703.5  201  202  0

 R A  21.5 KN

 0  30 - 907.5  10R B  2012  0

 R B  88.5 KN

Se generan los diagramas de momentos por parte, cargándose la viga con estos. En esta viga se separa el tramo en voladizo para analizarlo por separado, para posteriormente superponer los efectos como se muestra en la figura 3.44.

Figura 3.44

Determinación de las áreas 215 10  1075 KN m 2 2 AREA 2  - 30 7   210 KN m 2

AREA 1 

; AREA 3 

-245 7  -571.66 KN m

2

3  AREA1  AREA 2  AREA 3  293.34KN m 2

Calculo de la reacción del tramo izquierdo de la viga conjugada en el apoyo B

 M    0  107510/ 3 2 210 6.5  571.663 / 4 7  3 R ' 10 A

B



Calculo de la pendiente del tramo izquierdo de la viga: B '

V '  R '  B

EI

B

EI

108.54x103  5.43x10 4 rad 200x109   1x103 

111

R '  108.54 KN m B

2

VIGAS Y SU DISEÑO En el punto “ B ” el ángulo (pendiente) del tramo izquierdo y el derecho es el mismo, por lo que se puede relacionar estos para determinar cómo afecta el tramo izquierdo al tramo derecho en función de la deformación, como se muestra en la figura 3.45.

yC '  y C '  2 B 2  1  yC '  5.43x10 4 2       1.09 X 10 3  EI 

tg B   B 

Figura 3.45



Analizando el tramo derecho de la viga se tiene que la deformación será la unión de los dos efectos, como se muestra en la figiura3.46.

Figura 3.46

yC  1.09x103  3.66x104   -7.2x10-4 m



 202    402  1.5   1.33   2   3  

yC ' ' 

1 EI

yC ' ' 

1 20  53.3  1 73.32 KN m 3 EI EI

yC ' ' 

200 x10 1x10   3.66 x10

73.32 x10 3 9

4

3

yC  -0.72 mm

EJEMPLO 3.15 Para de la viga de la figura 3.47calcular por el método de la viga conjugada la pendiente en los apoyos y la flecha a la mitad del claro. Considerar: E  1x10 kg/cm ; I  1x104 cm4 . 6

2

Figura 3.47

Cálculo de las reacciones: M A  0  2000(3)  500(5)(5.5)  RB (10)

 M B  R A (10)  2000(7)  500(5)(4.5)

 R B  1975 Kg

 RA 

2000x7 500(5)(4.5)   2525 Kg 10 10

Determinación de la ecuación de momento flexionante: M X  R A  x  0  200  x  3 

500 500 2 2  x  3   x  8 2 2

Los diagramas de áreas de momentos que actúan sobre la viga conjugada se muestran en la figura3.48.

112

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 3.48

Las áreas de estos son: A1  1 / 2(25250)  (10)  126250 kg  m 2

A2  1 / 2(14000)  (7)  49000kg  m 2

;

A 3  (12250)(7)  (1 / 3)  28583.33kg  m 2

;

A4  (1000)(2)(1 / 3)  666.666kg  m 2

AT  49333.33kg  m 2

Determinación de las reacciones en la viga conjugada:

R   A

R   B

1   10  7 7  2  126250     49000     28583.33     666.66    10   3 3 4  4 

R   25681.25 kg - m



1   20   23   33   19  126250     49000     28583.33     666.66    10  3 3 4        2 

2

A



R   23652.09 kg - m

2

B

Determinación del momento que actual al centro de la viga:

Mx

X 5 m

 25681.25  5 

12625  5  5  1000  2  1  400  2  2          2 3 2  3 2 3



Mx

X 5 m

Determinación de la pendiente en los apoyos: A  .

B 

V   R   25681.25kg  m 10 cm / m   0.0257 rad EI EI 10 kg / cm 10 cm  A

2

4

2

2

4

4

2

A

6

V   R   23652.09kg  m 10 cm / m   0.0237 rad. EI EI 10 kg / cm 10 cm  B

2

4

2

2

4

4

2

B

6

Determinación de la flecha a la mitad del claro:

yx 

Mx EI

 cm3   78802.08  (106 )(kg  m3 )  m3    y x 5  106 Kg / cm2 (10 4 cm4 )

; 

y x 5  7.88 cm

113

 78802.08 kg - m 3

VIGAS Y SU DISEÑO ANALISIS DE UNA VIGA EN CANTILIVER MEDIANTE DE LA VIGA CONJUGADA El método de la viga conjugada es aplicable también a las vigas en cantiliver o voladizo, utilizando los mismos principios y conceptos que para la viga simplemente apoyada, solo que es necesario el uso de un artificio, que consiste en lo siguiente: Como se indicó anteriormente la viga conjugada de una viga real, es otra viga cargada con el diagrama de momento flexionante. Este es producido por las cargas aplicadas a la viga real, sin embargo, debido a que en el extremo libre el valor del momento flexionante es nulo y las deformaciones son máximas, es necesario intercambiar el extremo de empotramiento de la viga conjugada. Para entender más adecuadamente lo anterior, analizaremos por el método de la viga conjugada una viga en cantiliver. Para tal efecto se tomara una viga que se encuentre cargada, como se muestra en la figura3.49.

Figura 3.49

Si se analiza la parte (A) de la figura, se observa que en el punto B el valor del momento flexionante es cero, lo cual no tiene sentido, puesto que en dicho punto tanto la pendiente como la flecha son diferentes de cero. Lo que indica que la viga conjugada no puede ser igual a la viga real ya que: B 

V 

B

yB 

;

EI

M 

B

EI

Para poder determinar la pendiente y la flecha en el punto C , a cambiar las condiciones de apoyo, apoyando la viga en el punto B , como se indica en la parte (B), de la figura. Con lo cual se tendrá lo siguiente: C 

1  AREAa c c' a' a  EI

.......... ....(1)

yC 

;

1  AREAa c c' a' a  C .......... ...( 2) EI

De la figura 3.49, se tiene:

V   AREAA C C' A' A

Sustituyendo a (3) en (1) se tiene:

Sustituyendo a (4) en (2) se tiene:

.......... (3)

;

C 

1 V  EI

yC 

1 M  EI

M   AREAA C C' A' A C .......... .(4)

........(5 )

.......... .(6)

Las ecuaciones (5) y (6) demuestran que el método de la viga conjugada es aplicable a la viga en cantiliver o voladizo.

114

VIGAS Y SU DISEÑO ANALISIS DE UNA VIGA DE SECCION VARIABLE En ocasiones por requerimientos del diseño, se construyen vigas en las que la sección transversal de las mismas es variable a lo largo de su eje longitudinal. Dentro de estas se puede citar las vigas cónicas, las vigas estructurales reforzadas y los ejes de flechas de sección variable. En estos elementos la sección transversal no es constante por lo tanto se tienen diferentes momentos de inercia a lo largo de la viga. Las pendientes y flechas de estas vigas se pueden determinar por los métodos de “Área de Momento” o “Viga Conjugada”. La única diferencia con las vigas de momento de inercia constante, es que el diagrama de momento flexionante debe de corregirse con el momento de inercia relativo en lugar del valor real. Para comodidad de los cálculos los momentos de inercia relativos se expresan en función del momento de inercia real de menor valor conocido, como se muestra en los siguientes ejemplos. EJEMPLO 3.15 Para la viga en voladizo que se muestra en la figura 3.50, calcular la pendiente y flecha en su extremo libre. Se sabe que: P  450kg ; I 1  3.2x104 cm 4 ; I 2  1.6x104 cm 4 ; I 3  0.8x104 cm 4 ; E  2.1x106 kg/cm2

Figura 3.50

Para solucionar este problema primero se determinaran las relaciones entre los momentos de inercia de las diversas secciones tomando como base la sección de menor momento de inercia. I 1 3.2  104  4 I 3 0.8  104

;

I 2 1.6  2 I 3 0.8

Se determinan los diagramas de momentos flexionantes, como se observa en la figura 3.51.

Figura 3.51

115

VIGAS Y SU DISEÑO Se obtiene el área de momento como se muestra en la parte (a) de la figura, posteriormente se divide el valor que tienen estas, en los puntos de cambio de momento de inercia (puntos A, C y D), entre la relación obtenida, para cada tramo. En el tramo A  C , la relación es 4, por lo que se tiene: 16200kg - m  4050kg - m 4

En el tramo

;

10800kg - m  2700kg - m 4

C  D , la relación es 2, por lo que se tiene:

10800kg - m  5400kg - m 2

4050kg - m  2025kg - m 2

;

Se determinan las áreas corregidas, por lo que para tal fin se tomara la parte (b) de la figura 3.51. A1  2700(1.2)  324 kg  m2

A2  (4050 2700)(1.2)12   81kg  m2 ; A3  (5400 2025)(1.5)12   253.125kg  m2

;

A4  (2025)(1.5)  303.75 kg  cm2

;

A5  (4050)(0.9)12   182.25 kg  m2

AT  1144.125kg  m2

;

Calculo del momento en el extremo libre: M B  3243  813.2  253.1251.9  303.751.65  182.250.6  2322.675Kg - m 3

Calculo de la pendiente y la flecha en extremo libre:  B 

1144.125kg  m 2 104

cm2 m2

2.1  106 kg / cm 2 (0.8  104 cm 4 )

 0.000681rad.

}

23226.75 kg  m 3 106 cm 3 / m 3  YB   0.1382 cm 2.1x106 kg/cm2 0.8x104 cm 4 

EJEMPLO 3.17 En la viga que se muestra en la figura 3.52, calcular la flecha máxima que se produce, si se trata de un eje de sección circular variable. Se tiene que:   8 cm ,   10 cm ,   8 cm y E  2x10 kg/cm . 6

AC

CD

DB

Figura 3.52

Se determinan las reacciones en los apoyos y la ecuación de momento: R A  RB 

2000  1000kg 2

;

116

Mx  RA( x  0)  1000( X  30)  1000( X  70)

2

VIGAS Y SU DISEÑO Se establece la relación entre los momentos de inercia: I1 

d 4 64

 8

4



 10

4

 201.06cm4

64

Relacion entre momentos: I R 

I2 

;

 490.87cm4

64

I 2 490.87   2.4414 cm4 I1 201.06

Se generan los diagramas del momento general y del momento corregido, mostrándose estos en la figura 3.53.

P ara el momento general:

Figura 3.53

Si :

X0

Si :

X  30 cm ; M X  30000kg - cm

Si :

X  70 cm ; M X  30000kg - cm

Si :

X  100 cm ;

; MX  0

MX  0

P ara el momento corregido: I CD 

30000  12288.03cm 4 2.4414

Calculo de las áreas y de las reacciones en la viga conjugada A1  A3  30000(30)( 12)  450000kg  cm2

A2  12288(20)  245760kg  cm2

;

R   1/10045000080  224576050  45000020 A

R   695760 kg - cm



2

A

RB   RA   695760kg  cm 2 Por simetría: Calculo de la flecha máxima: Por tratarse de un eje simétrico, tanto en forma geométrica como en cargas aplicadas, se puede decir que la deformación máxima se ubica en el centro de la viga, por lo que se tiene lo siguiente: YMAX  YX 50 cm

Mx  50  R   30  A A

1

 10  A2   50  (695760)  30(450000  10(245760))

Mx  18830400kg  cm YMAX 

18830400kg  cm 3 1 Mx  EI1 2  106 kg / cm 2 (201.06cm 4 )

117

3

;

YMAX  0.04682cm.

VIGAS Y SU DISEÑO PROBLEMAS PROBLEMA 3.1 Para la viga que se muestra en la figura 3.54. Calcular la flecha en el punto C, en función del módulo de rigidez EI.

Figura 3.54

PROBLEMA 3.2 Para la viga que se muestra en la figura 3.55, determinar la deformación que se genera en el punto C . Si el valor del módulo elástico es de 13 GPa .

Figura 3.55

PROBLEMA 3.3 En la viga en voladizo que se muestra en la figura 3.56, determinar la deformación que se genera en el punto B, sí E  200 GPa ; I  0.000225 m 4 .

Figura 3.56

PROBLEMA 3.4 Para la viga que se muestra en la figura 3.57, determinar la deformación en el punto B en función de EI.

Figura 3.57

PROBLEMA 3.5 Para la viga que se muestra en la figura 3.58, determinar la deformación en el punto A en función de EI.

Figura 3.58

118

VIGAS Y SU DISEÑO PROBLEMA 3.6 Para la viga de madera que se muestra en la figura 3.59, determine: a) la pendiente en el punto A; b) la flecha en el punto C. Considere .

Figura 3.59

PROBLEMA 3.7 Para la viga que se muestra en la figura 3.60, determinar la flecha en el centro de la misma, así como la pendiente en los apoyos A y B. Si E  200GPa e I  222x106 mm4 .

Figura 3.60

PROBLEMA 3.8 Para la viga que se muestra en la figura 3.61, determinar la deformación en el punto B en función de EI.

Figura 3.61

119

VIGAS Y SU DISEÑO

CAPITULO

4 VIGAS HIPERESTATICAS 120

VIGAS Y SU DISEÑO

INTRODUCCION La determinación de las reacciones y momentos en vigas híper - estáticas, utilizando solamente ecuaciones de la estática no es posible. Ante tal situación se tienen que tomar en cuenta otras ecuaciones y procedimientos auxiliares o complementarios, los cuales permitan solucionar este problema. Estas ecuaciones pueden ser las que se emplean, en la determinación de la pendiente y la flecha en vigas (ecuaciones para determinar deformación angular y lineal). Por lo que con los antecedentes de los capítulos anteriores, en el presente capítulo se establecerán las condiciones necesarias para poder determinar las reacciones, los momentos que actúan en los apoyos y los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en vigas híper-estáticas. Dentro de las mismas se pueden mencionar las vigas articuladas-empotradas y las doblemente empotradas, cuyo análisis se puede realizar de forma sencilla mediante el método de la doble integración y el concepto de superposición de efectos. Aunado a lo anterior en este capítulo se estudiara en forma especial a las vigas denominadas continuas, dado que muchos de los elementos mecánicos se comportan como tales (ejemplos de estas pueden ser las vías del tren y las grúas utilizadas en las naves industriales), para tal fin utilizara el método de Tres Momentos. Para complementar el mismo se darán ejemplos de solución de problemas de este tema.

DEFINICION DE VIGA HIPERESTATICA Se dice que una viga es estáticamente indeterminada o híper - estática, cuando el número de incógnitas que contiene es mayor, al número de ecuaciones de equilibrio con que se cuenta, para determinar estas. Siendo comúnmente las incógnitas las reacciones y los momentos que se generan en los apoyos. En las vigas estáticamente determinadas es posible calcular en primera instancia las reacciones en los apoyos, mientras que en las híper-estáticas se deben agregar otras ecuaciones, para determinar estas reacciones o los momentos en los empotramientos. Las ecuaciones que representan a la pendiente y la flecha en una viga, son las que se ocupan más comúnmente para resolver problemas híper-estáticos. Por tal motivo se deben de tomar especial interés en determinar las ecuaciones que representan el fenómeno de flexión en una viga las cuales en conjunción con las ecuaciones de la estática permitirán obtener sistemas de ecuaciones que permitan solucionar el problema. En forma general existen cuatro tipos de vigas híper-estáticas los cuales se muestran en las figuras 4.1.

(a).- VIGA ARTICULADA – EMPOTRADA

(b).- VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA

121

VIGAS Y SU DISEÑO (c).- VIGA CONTINUA EMPOTRADA EN UN EXTREMO

(d).- VIGA CONTINUA

Figura 4.1

El grado de híper-estaticidad está dado por el número de incógnitas en exceso, por lo que para comprender lo anterior tomaremos en consideración la viga de la figura 4.2.

Figura 4.2

Como se observa en la figura se tienen cuatro incógnitas ( R , R , R , R ) y tres ecuaciones de equilibrio AX

(  Fx,

 Fy,

AY

BX

BY

 M Z ), por lo tanto la viga es híper-estática de primer grado. Para resolver a esta viga en

primer lugar se establecerán las ecuaciones de equilibrio estático.  Fx  0

;

R AX - R BX  0

 Fy  0

;

R Ay  P  RBy  q  c  0 _ _ _ (1)

MA  0

;

- P  a  - q  c  a  b  c 2   RBy L   0 _ _ _ (2)



R AX  RBX

De (1) y (2) se puede determinar el valor de RAY y R By . Los valores de R y R Ax



P   E AT L

Bx

;

se pueden determinar con las siguientes ecuaciones: P  R AX  RBX



;

  AB  AB L  AB

R Ax AB  AB  E At AB



R AX 

y A t  Area de la sección transversal

AB  AB  At  E  RBX AB

Por lo anterior a las vigas simplemente apoyadas, para efectos de equilibrio podemos tomarlas como isostáticas o estáticamente determinadas, siendo la determinación de las reacciones muy sencilla.

VIGA ARTICULADA-EMPOTRADA Como se comentó anteriormente las vigas articuladas – empotradas, son híper-estáticas, puesto que se tienen por los menos cuatro valores desconocidos, tres reacciones y un momento ( R , R , R y M ), como se observa en la figura 4.3. AX

Figura 4.3

Las fuerzas y momentos que actúan en esta viga se indican en la figura 4.4.

Figura 4.4

122

AY

BY

A

VIGAS Y SU DISEÑO La determinación de las reacciones y momentos se puede realizar mediante la aplicación del método de doble integración. Para entender la forma de aplicar este método, se realizaran algunos ejemplos. EJEMPLO 4.1 En viga que se muestra en la figura 4.5, actúa una carga uniformemente distribuida. Mediante el método de la doble integración determinar la reacción en B y la reacción y el momento en el empotramiento A.

Figura 4.5

El diagrama de cuerpo libre ( D. C. L. ) de la viga, se muestra en la figura 4.6

Figura 4.6

Realizando el análisis estático se tiene:  Fy  0

;

R Ay  RBy  qL  0..............(1)

 MB  0

;

- M  R Ay L 

qL2  0............(2) 2

Como se observa en la figura 4.6 la viga es híper - estática, por lo que para poder determinar las reacciones y el momento se aplicara el método de la doble integración. Por tal motivo se determinara en primera instancia, la ecuación de momento y se sustituirá en la ecuación de la doble integración, por lo que se tendrá: 0

Mx  M x  0  RAy  x  0  

EI

q  x  0 2 2

0 d2y q  M x  0  RAy  x  0    x  0  2 dx 2 2

Realizando la doble integración se tiene: 2

RAy x dy q  Mx   x 3  C1 ............. (3) dx 2 6 3 4 Mx2 RAy x qx EI y    C1 x  C2 ...............(4) 2 6 24

EI  EI

Aplicando las condiciones existentes en la primera frontera (empotramiento), se tiene: Si

x0

  A 3   0

Sustituyendo en continuación.

;

y A 4   0

(3) y (4), se determina el valor de las constantes de integración, como se indica a R 0 dy q 3  M 0  Ay   0  C1 ......... (3) dx 2 6 2

EI  EI

0  0 - 0  0  C1



C1  0

2 R 0 q0x 4 M 0  Ay  C1 0  C2 ........(4) 2 6 24 3

;

EI y 

0  0 - 0  0  0  C2

;

Conociendo el valor de las constantes, que en este caso es cero, obteniéndose (5) y (6).

123

C2  0

se sustituye en

(3)

y

(4),

VIGAS Y SU DISEÑO EI    M A x 

R AY  x 2 q 3  x .............(5) 2 6

M A x 2 R AY  x 3 qx   _ _ _ (6) 2 6 24 4

EI  y 

;

Sustituyendo las condiciones en la segunda frontera (apoyo fijo), se tendrá: Si x  L

y 6   0

;

Sustituyendo en la ecuación (6), obtenemos la ecuación (7). 0

M A  L2 RA y  L3 qL4   2 6 24



0  12M - 4R Ay L  qL2 ............(7)

Las ecuaciones (2) y (7) definen un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, como se muestra a continuación:  M A  RAy l 

qL2  0 .............(2) 2

12M - 4R Ay L  qL2  0 .................(7)

;

M A  RAy L 

Despejando la ecuación (2), se obtiene la ecuación (8):

qL2 ..............(8) 2

Sustituyendo (8) en (7) se tendrá:  qL2  12 RAY  L   4RAY  L  qL2  0 2  

Por lo que el valor de RAy será:

;

12RAY  L  6qL2  4RAY  L  qL2  0

RA y 

Sustituyendo (9) en (8), se obtiene el valor de MA 

8RAY  L  5qL2  0

;

5qL ..........(9) 8 MA

:

2 2 2 2 2 2 5qL L - qL  5qL  qL  5qL  4qL  qL 8 2 8 2 8 8



MA 

qL2 8

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación (1), se tendrá el valor de R Ay  RBy  qL  0

;

5qL  RBy  qL  0 8

;

RBy 

8qL 5qL  8 8



RBy 

RBy

.

3qL 8

EJEMPLO 4.2 En la figura 4.7 se muestra la carga que actúa sobre la viga que se encuentra en un piso. P por el método de la doble integración determine las reacciones en los apoyos A y B, así como el momento en el empotramiento.

Figura 4.7

El diagrama de cuerpo libre de esta viga se muestra en la figura 4.8.

Figura 4.8

124

VIGAS Y SU DISEÑO Las ecuaciones que se obtienen por la estática son las siguientes:  Fy  RAy  RBy  30(120)  0

;

RAy  RBy  3600.............(1)

 M B  R Ay (240) - 30(120)(60)  M B  0

;

M B  216000  240R Ay .............(2)

Determinando la ecuación de momento flexionante para la viga se tiene: Mx  R Ay  x  0  

30  x  120  2  M B  x  240  0 2

Al ser una viga hiperestática no se pueden determinar las reacciones solamente con las ecuaciones de la estática por lo que se utilizara el método de la doble integración para determinar la reacción en el apoyo y la reacción y momento en el empotramiento, por lo que se tiene: d2y   RAy  x  0 1 15z  x  120  2 M B  x  240  0 dx 2

EI

EI

R d2y  EI   AY  x  0  2 5  x  120  3  M B  x  240 1 C1 ..........(3) dx 2 2

EI  y  

R AY 5  x  0  3   x  120  4  M B  x  240  2 C1 x  C2 ............(4) 6 4

Aplicando las condiciones de frontera en el punto B , se tendrá: x  240

Si :

 0

;

R 0  - AY  240  2 5  120  3  M B (0)  C1 2



C1  28800R Ay  864 x10 4

Realizando lo mismo, pero ahora en el punto A : x0

Si :

y0

;

R Ay

5 0(0)  (0)  M B (0)  C1 (0)  C2 6 4

 C2  0

Sustituyendo el valor de las constantes en la ecuación (4), se tendrá la ecuación (5): EIy  

R Ay 6

 x  0 3 

5  x  120  4 M B  x  240  2 28800RAY  x  864 x10 4  x  ............(5) 4

Se sabe que la deflexión en B es cero, por lo que se tendrá: si

x  240

0

R Ay 6

;

 240  3 

y0 5  120  4  M B  0  4 28800 R AY  240  864 x10 4  240  4

0  4608 x10 3 R AY  18144 x10 5 RBY  3600  393.75  3206.5 lb

 ;

R Ay  393.75 lb M B  216000  240(393.75)  121500 lb  p lg

125

VIGAS Y SU DISEÑO VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA Otra de las vigas híper - estáticas más común, es la empotrada en sus extremos o doblemente empotrada. Cuando se tiene una viga doblemente empotrada resulta un poco complicado él cálculo de las reacciones y los momentos de empotramiento. Esto sucede porque, aunque a la viga se le aplique la carga más sencilla (carga concentrada actuando solo sobre el eje “y”), por lo menos se tienen cuatro valores desconocidos, los cuales son las dos reacciones sobre el eje “y” ( R , R ), así como los dos momentos de empotramiento ( M y M ). AY

A

BY

B

Si la carga se aplica inclinada aparecen reacciones sobre el eje “x” lo que incrementa en dos los valores desconocidos. Estos valores son R y R , por lo que se tendrán seis valores desconocidos. En la figura 4.9 se observa lo antes indicado. BX

AX

Figura 4.9

Para este tipo de viga el cálculo de los momentos y las reacciones no es posible utilizando solo las ecuaciones de equilibrio de la estática, por lo que se puede utilizar el método de la doble integración o de superposición para esto. Con el fin de que se comprenda lo anterior se realizara un ejemplo, en el cual se analice una viga doblemente apoyada. EJEMPLO 4.3 En la viga que se muestra en la figura 4.10, determine las reacciones y momentos en los empotramientos A y B . Para tal efecto utilice el método la doble integración.

Figura 4.10

El diagrama de cuerpo libre de la viga se muestra en la figura 4.11.

Figura 4.11

En este caso se tienen seis incógnitas, de las cuales las que interesan en este análisis son las reacciones verticales y los momentos en los empotramientos. La ecuación de momento para esta viga es: Mx  RA x  0  M A x  0  3000 1

0

x0 2

2

 20000 x  7

1

Sustituyendo el valor del momento en el método de la doble integración se tiene:

126

VIGAS Y SU DISEÑO x0 1 0 d2y  Mx   RA x  0  M A x  0  3000  20000 x  7 2 dx 2 2

EI 

x0 x7 2 1 R dy  EI   A x  0  M A x  0  3000  20000  C1 dx 2 6 2 3

EI 

1

x0 x0 x7 3 RA x0  MA  3000  20000  C1 x  C2 6 2 24 6 2

EI  y  

2

4

3

Se determinan las constantes de integración, sustituyendo las condiciones de frontera, en extremo izquierdo cuando x  0 , por lo que se tiene: Si:

x0

y0

;

x0 x0 x7 3 RA x0  MA  3000  20000  C1 x  C 2 6 2 24 6 2

EI  y  

4

3

00 00 07 3 R 0   A 00  MA  3000  20000  C1 0  C 2 6 2 24 6 2

Si:

x 0

4

3



C2  0

 0

;

x0 x7 2 1 R EI   A x  0  M A x  0  3000  20000  C1 2 6 2 3

2

00 07 2 1 RA 0  0  M A 0  0  3000  20000  C1 2 6 2 3

EI  

2



C1  0

Por lo que las ecuaciones para la pendiente y la flecha, quedan como sigue: x0 x7 2 1 R dy EI   EI   A x  0  M A x  0  3000  20000 dx 2 6 2 3

x0 x0 x7 3 RA x0  MA  3000  20000 6 2 24 6 2

EI  y  

4

2

.......... ....(1)

3

.......... .......(2)

En las ecuaciones (1) y (2) se sustituirán las condiciones de frontera del lado derecho de la viga ( x  L ), para obtener el valor de las reacciones y momentos. Si: x  10 m ; y0 x0 x0 x7 3 RA x0  MA  3000  20000 6 2 24 6 2

EI  y  

4

10  0 10  0 10  7 3 R 0   A 10  0  M A  3000  20000 6 2 24 6 2

4

3

3

0  -166.666RA  50MA  1250000 90000 0  - 166.666RA  50MA  1340000

Si:

x  10 m

;

.......... .......... .......... .(3)

 0

x0 x7 2 1 R dy  EI   A x  0  M A x  0  3000  20000 dx 2 6 2 3

EI 

127

2

VIGAS Y SU DISEÑO 10  0 10  7 2 1 RA 10  0  M A 10  0  3000  20000 2 6 2 3

0

0  50R A  10M A  500000 90000



2

0  50RA  10M A  590000 .......... ...(4)

Despejando de (4) el momento M , se tiene: A

50RA  590000 MA   5RA  59000 10

.......... .......... ....(5)

Sustituyendo (5) en (3), se tiene: 0  - 166.666RA  505R A  59000   1340000 0  - 166.666RA  250RA  2950000 1340000 0  83.33R A  1610000



R A  19320N

Sustituyendo en (5), el valor de R , se obtendrá M , como se muestra. A

A

M A  519320  59000 37600 N - m

Del equilibrio estático se tiene:

 Fy  0  R

A

 20000 3000(10)  RB  19320 20000 30000

M

IZQ

;



R B  30680N

 0  M A  RB 10  M B  3000(10)(5)  20000(7)

 M B  37600 30680(10)  150000 140000 54400N - m

Las reacciones y los momentos calculados se muestran en la figura 4.13.

Figura 4.13

VIGAS CONTINUAS Dentro de las vigas híper - estáticas las vigas continuas son de gran interés, puesto que es muy común encontrar estas en puentes, estructuras, tuberías, edificios y en otros tipos de elementos. Estas vigas son soportadas en varios puntos por apoyos. Una viga continua se pueden definir como un elemento mecánico recto el cual se encuentra sometido a flexión, estando simplemente apoyado en una o varias secciones intermedias y cuyos extremos se pueden encontrar simplemente apoyados o empotrados. La figura 4.14 representa una viga continua básica, la cual consta de un apoyo fijo y dos apoyos móviles, así como una carga distribuida en todos sus tramos (se denomina tramo a la sección existente entre dos apoyos).

128

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 4.14

Se utilizan las vigas continuas, puesto que estas permiten disminuir los momentos flectores máximos en los tramos, lo que origina que sea más económica que una serie de vigas de longitudes iguales a la de cada tramo, que se encuentren sometidas a las mismas cargas y estén apoyadas independientemente. La viga continua que se muestra en la figura 4.14, consta de dos apoyos móviles y un apoyo fijo, y por tener solo dos tramos de carga se puede analizar mediante el método de la doble integración, de forma un tanto sencilla, esto se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4.4 Mediante el método de la doble integración, determinar las reacciones en los apoyos de la viga mostrada en la figura 4.15.

Figura 4.15

El diagrama de cuerpo libre de la viga se indica en la figura 4.16.

Figura 4.16

La ecuación de momentos para esta viga es: Mx  RA x  0  RB x  L  q

x0

2

2

Aplicando a esta ecuación el método de la doble integración, se tendrá: EI

x0 d2y   Mx   R A x  0  RB x  L  q dx2 2

x0 xL dy EI   RA  RB dx 2 2 2

EIy   R A

x0

3

 RB

6

xL

2

q

3

q

6

x0 6

x0

2

3

 C1

4

24

 C1 x  C 2

Para determinar las constantes de integración se sustituirán las condiciones de frontera para la flecha, en los apoyos A y B , por lo que x  0 y x  L . Si: x0 ; y0 EIy   R A 0  RA

x0 6

00 6

3

 RB

3

 RB

xL 6

0L 6

3

q

3

q

x0 24

00 24

129

4

 C1 x  C 2

4

 C1 (0)  C 2



C2  0

VIGAS Y SU DISEÑO x0

Si:

x0

EIy   R A

0   RA



6

C1 

 RB

6

L0

yL

; 3

3

 RB

xL 6

LL 6

x0

3

q

3

q

4

 C1 x

24

L0

4

 C1 ( L)

24

R A L3 qL4 R A L2 qL3     0.16666R A L2  0.04166qL3 6L 24L 6 24

.......... .......... .(1)

Conociendo el valor de la constante de integración se procede a determinar las reacciones tomando en consideración la condición de frontera restante y las ecuaciones de equilibrio estático. x  1.5L

Si:

0   RA

0

y0

;

1.5L  0 6

3

 RB

1.5L  L 6

3

q

1.5L  0

4

24

 C1 (1.5L)

3.375RA L3 0.125RB L3 5.0624qL4    1.5C1 L 6 6 24



C1  0.375R A L2  0.01388RB L2  0.1406qL3

.......... .......... ..(2)

Igualando (1) y (2): 0.375RA L2  0.01388RB L2  0.1406qL3  0.16666RA L2  0.04166qL3  R B  - 15RA  7.1282qL

.......... .......... ... (3)

Realizando la suma de momentos en C :

M

C

 0  R A 1.5L   RB 0.5L   q(1.5L)(0.75L)

 RB 

 R A (1.5L)  1.125qL2  3R A  2.25qL 0.5L

.......... .....(4)

Igualando (3) y (4): -15RA  7.1282qL  3R A  2.25qL 4.878242qL  12R A



R A  0.406520qL

Sustituyendo en (4), se tiene: R B  3RA  2.25qL  3(0.406520qL)  2.25qL  1.0305qL

Realizando la suma de fuerzas en y , se tiene:  Fy  0  RA  RB  RC  q(1.5L) RC  1.5qL  0.406520qL  1.0305qL  0.063qL

Por lo que el valor de las reacciones es: R A  0.40652qL

;

RB  1.0305qL

130

;

RC  0.063qL

VIGAS Y SU DISEÑO METODO DE LOS TRES MOMENTOS Como se observa, la determinación de las reacciones en este problema, aun por ser la viga continua muy básica, tiende a ser laboriosa. Por lo que sí se quiere analizar una viga continua más complicada es necesario utilizar un método en el cual se pueda realizar el análisis, de una manera más sencilla. Para esto se tomara como referencia a las vigas continuas más comunes, las cuales se muestran en la figura 4.17. En (A) se observa una viga continua con un apoyo fijo y “ n ” apoyos movibles; en (B) la viga tiene un empotramiento y “ n ” apoyos móviles y en (C) la viga tiene un empotramiento, “ n  1 ” apoyos móviles y una corredera.

Figura 4.17

Las longitudes de los tramos de la viga pueden ser variables, así como sus momentos de inercia (diferente área de sección transversal de la viga). En las vigas continuas la rigidez de un tramo dificulta la deformación de los tramos a los lados de este tramo, por lo que cada apoyo actúa como un empotramiento elástico. En estas vigas la acción de los momentos que actúan sobre el tramo i-esimo de longitud Li , afecta al i  1 -esimo tramo de longitud Li  1 , así como al tramo i  1 -esimo de longitud Li  1 .

ECUACION GENERAL DE LOS TRES MOMENTOS El cálculo de una viga continua se simplifica en gran medida eligiendo como incógnitas redundantes a los momentos flectores Mi que actúan sobre los apoyos intermedios de la viga, generándose un sistema de ecuaciones simultaneas en el cual no aparecen más de tres incógnitas en cada ecuación, sin importar el número de incógnitas redundantes. Lo anterior se realiza mediante un método conocido como “Método de los tres momentos”. Una vez conocidos dichos momentos se podrán determinar los diagramas de los momentos flectores para cada tramo y generar una ecuación que los represente. Los esfuerzos cortantes así como la ecuación que los representa se obtienen al derivar la ecuación de momentos flectores. En este método cuando los momentos flectores se retiran de la viga, se interrumpe la continuidad de esta en los apoyos. Por lo que se puede dividir en una serie de vigas simplemente apoyadas, cada una de las cuales está sometida a cargas externas, así como a los momentos redundantes en sus extremos, con lo que se pueden determinar las rotaciones angulares en sus extremos. Para relacionar dos vigas simplemente apoyadas (dos tramos de la viga continua), se debe tomar en cuenta que en el apoyo común el ángulo de rotación debe ser el mismo para ambas vigas.

131

VIGAS Y SU DISEÑO Lo anterior proporciona las ecuaciones necesarias de compatibilidad para calcular los momentos flexionantes desconocidos. Con la finalidad de determinar las ecuaciones que se emplearan en el método de los tres momentos se tomara en consideración el tramo de una viga continua el cual se muestra en la figura 4.18.

Figura 4.18

Tomando los tramos que se tienen entre el apoyo 1 y el apoyo 3 se tiene la viga mostrada en la figura 4.19.

Figura 4.19

En donde se tiene: 1, 2 y 3  Apoyos de la viga I , I = Momentos de inercia de los claros adyacentes en la viga L1 , L 2 = Longitudes de los claros adyacentes M , M y M = Momentos flectores en los apoyos, los cuales se suponen positivos (su sentido verdadero dependerá de las cargas que actúen sobre la viga) 1

2

1

2

3

Separando los tramos y analizándolos por separado se obtiene la figura 4.20 en la cual se observa que sobre cada tramo actúan las cargas externas y los momentos flectores redundantes que se indican. El efecto de estas cargas origina que estos tramos de la viga tengan deformaciones lineales y angulares (flecha y pendientes) y que un tramo afecte al otro.

Figura 4.20

Las pendientes de las dos vigas simples deben corresponderse mutuamente en el punto 2, por lo que el ángulo de rotación sobre el apoyo 2, de la viga de la izquierda  ' y el ángulo de rotación sobre el apoyo 2, de la viga a la derecha  ' ' se consideran iguales, por tratarse de una viga continua . 2

2

Estos ángulos se consideran positivos como se muestra en la figura 4.20, de donde se determina la ecuación de compatibilidad siguiente:

132

VIGAS Y SU DISEÑO 2 '  2 ' '

…………. (4.1)

En la misma figura se muestran los diagramas de momentos flectores asociados con las cargas. En ambos tramos estos generan áreas a las cuales se les pueden determinar su centroide así como la distancia centroidal hacia cualquier extremo de estas. Se indican las áreas como A y A , así como la distancia a la izquierda del centroide C como a y la derecha como b , mientras que a la distancia a la izquierda de del centroide C como a y la distancia a la derecha como b . 1

1

2

2

1

1

2

2

Tomando en consideración el segundo teorema de área de momentos, la contribución de las cargas A1  a1 E  I1  L1

externas al ángulo  ' de la viga 1-2 es: 2

Adicionalmente los momentos M 1 y M2 contribuyen a  ' en las siguientes cantidades: 2

M 1  L1 6  E  I1

Por lo que el ángulo  ' 2

y

M 2  L1 3  E  I1

será: 2 ' 

A1  a1 M L M 2  L1  1 1  E  I1  L1 6  E  I1 3  E  I1

…………. (4.2)

Considerando el claro derecho 2-3 se obtiene en forma análoga la siguiente ecuación para  ' ' : 2

M 3  L2 A b M L  2 ''  2 2  2 2  E  I 2  L2 6  E  I 2 3 E  I2

……………. (4.3)

Los ángulos de rotación en el apoyo 2 se expresan en función de los diagramas M / EI para los dos tramos analizados. Sustituyendo (4.2) ecuación 4.4.

y (4.3)

en (4.1), así como realizando las operaciones necesarias, se tienen la

L  L  L L  6A  a 6A b M 1  1   2M 2  1  2   M 3  3    1 1  2 2 I I I I I1  L1 I 2  L2 2   1  1  3

………… (4.4)

La ecuación anterior se conoce como “ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS PARA VIGAS CON DIFERENTES MOMENTOS DE INERCIA EN CADA TRAMO”. En esta ecuación se debe de tomar en consideración que como los momentos son diferentes para cada tramo se tendrá que encontrar una relación entre estos, con la finalidad de poder determinar el valor de los mismos.

ECUACION GENERAL DE LOS TRES MOMENTOS PARA VIGAS CON IGUAL MOMENTO DE INERCIA EN CADA TRAMO Si todos los claros tienen el mismo momento de inercia queda como: M 1 L1  2M 2 L1  L2   M 3 L2  

I1  I 2 , la ecuación 4.4 se simplifica, con lo cual

6 A1  a1 6 A2  b2  L1 L2

……………. (4.5)

En forma general la ecuación de tres momentos para tramos con igual momento de inercia queda como se indica en la ecuación 4.6, y se muestra en la figura 4.21: M n1 Ln  2M n Ln  Ln1   M n1 Ln1  

6 An  a n 6 An1  bn1  Ln Ln1

133

…………… (4.6)

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 4.21

La ecuación 4.6 se aplica para cada tramo que conste de tres apoyos. Por ejemplo para el tramo 1-2-3, posteriormente en el tramo 2-3-4 y así sucesivamente, lo que permite relacionar los resultados obtenidos. Los valores de



6 An  a n Ln

y



6 An1  bn1 Ln1

, se pueden determinar de los diagramas de áreas de momentos o

se pueden obtener de la tabla 4.1. Para aplicar la ecuación de tres momentos se supone que se tienen apoyos simples, pero se puede tener un empotramiento en uno de sus extremos, lo que originara que se tengan que realizar algunas consideraciones para poder aplicar esta ecuación. Estas consideraciones son las siguientes: a) Se considera que el empotramiento se puede sustituir por un tramo extra de viga con momento de inercia infinito. La finalidad de agregar este tramo de rigidez infinita es evitar la rotación del apoyo 1, que es la misma condición impuesta por el empotramiento 1. b) La longitud del tramo extra es irrelevante, puesto que por no tener carga aplicada en este tramo no se tendrá área de momento flector, lo que origina que en la ecuación de tres momentos no se tome en cuenta. En la figura 4.22 se muestra una viga empotrada y su equivalente para usarse en la ecuación de tres momentos.

Figura 4.22

A continuación se realizan algunos ejemplos para entender el procedimiento de cálculo utilizado en el método de los tres momentos

134

VIGAS Y SU DISEÑO

TIPO DE CARGA SOBRE EL TRAMO

6 Aa L

6 Ab L

Pa 2 L  a 2  L

Pb 2 L  b2  L

qL3 4

qL3 4





q 2 2 b 2L  b 2   a 2 2L2  a 2  4L







q 2 2 d 2 L  d 2   c 2 2L2  c 2  4L

8 3 QL 60

7 QL3 60

7 QL3 60

8 3 QL 60

5 QL3 32

5 QL3 32

M 3a 2  L2  L



M 3b 2  L2  L

TABLA 4.1 6A  a Valores de  n n Ln

y

6A b  n1 n1 Ln1

, para diferentes tipos de carga.

135

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 4.5 En la viga hiperestática que se muestra en la figura 4.23, determinar: (a) los momentos de continuidad en los apoyos. (b)Trazar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes.

Figura 4.23

Solución del inciso (a): En primer lugar se determinaran los momentos en los apoyos con la finalidad de tener la información necesaria que sirva de base para poder trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Recuérdese que lo que interesa para diseño es la fuerza cortante máxima y el momento flexionante máximo. Para esto se sustituyen los apoyos por las reacciones que se generan en ellos y se numeran, como se observa en la figura 4.24.

Figura 4.24

Analizando la viga se observa que consta de dos tramos, sobre el primer tramo (I), se tienen dos cargas, una concentrada y una uniformemente distribuida, mientras que para el segundo (II), solo se tiene una carga uniformemente variable. Como el momento de inercia es constante en la solución del problema se utilizara la ecuación 4.6. M n1 Ln  2M n Ln  Ln1   M n1 Ln1  

6 An  a n 6 An1  b xn1  Ln Ln1

Aplicando esta ecuación en los tramos I y II se tiene: n2 ;

n -1  1

n 1  3

;

M 1 L1  2M 2 ( L1  L2 )  M 3 L2  

6 A1  a 1 6 A2  b2  L1 L2

En la figura 4.24 se observa que el momento en el primer apoyo M  , tiene un valor igual a cero por tener permitida la rotación sobre este punto, lo mismo sucede con el momento M  con lo que la ecuación anterior se reduce a: 1

3

2M 1 (4  3)  

6 A1  a 1 6 A2  b2   L1 L2

14M 1  

6 A1  a 1 6 A2  b2  L1 L2

Conociendo la ecuación a emplear en estos tramos, se realiza un análisis de tramo por tramo.

Analizando el tramo I: En este tramo se tiene una carga uniformemente distribuida y una concentrada. Si se utiliza la tabla 4.1, se debe de tomar en cuenta que en la ecuación de tres momentos, el primer término del lado derecho de la ecuación representa a este tramo.

136

VIGAS Y SU DISEÑO En la tabla se toma la primera columna ya que representa las cargas que actúan en el primer tramo de la viga, estas ecuaciones permiten determinar los efectos que cada carga generan sobre la viga, representándose estas en la figura 4.25.

Figura 4.25

De la tabla 4.1 se ocuparan las ecuaciones que representan a los casos 3 (carga uniformemente distribuida) y 1 (carga concentrada). Carga uniformemente distribuida: Esta no actúa sobre todo el tramo, como se observa en la figura 4.26 y las ecuaciones que la representan son las siguientes: 6 A1  a 1 w 2 2  b (2 L  b 2 )  a 2 (2 L2  a 2 ) L1 4L





6 A1  a 1 600 2  2 (2(4) 2  2 2 )  0 2 (2(4) 2  0 2 ) L1 4(4)



Figura 4.26



6 A1  a 1  37.5(112)  4200 N  m 2 L1

Carga concentrada: Se observa en la figura 4.27 la forma ecuaciones que la representan.

como actúa la carga y se indican las 6 A1  a 1 Pa 2 900(3) 2  (L  a 2 )  (4  32 ) L1 L 4 6 A1  a 1  675(7)  4725 N  m 2 L1

Figura 4.27

En este tramo el valor de

6 A1  a 1 L1

, será la suma de los dos efectos:

6 A1  a 1  4750  4200  8950 N - m 2 L1

Analizando el tramo II: En este tramo se tiene una carga uniformemente variable (triangular), por lo que de la tabla 4.1 se utilizara las ecuaciones del caso 4, por lo que la forma en que actúa la carga se muestra en la figura 4.28. 6 A2  b2 7  q  L3 L2 60 6 A2  b2 7  (1200)  (3) 3  3780 N  m 2 L2 60

Figura 4.28



6 A2  b2  3780 N - m 2 L2

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de tres momentos antes encontrada, podremos determinar el valor del momento M  . 2

6A  a 6A  b 14M 2  1 1  2 2 L1 L2



14M 2  8925  3780  12705



M 2  907.5 N - m

Por tratarse de una viga con apoyo fijo al inicio y móvil al final de la misma, estos permiten la rotación de la misma por lo que los momentos tienen un valor cero. M  0 ; M 0 1

137

3

VIGAS Y SU DISEÑO Solución del inciso (b): Para trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se divide la viga en tramos, procediendo a determinar las reacciones que se produce en cada uno por separado, posteriormente se unen estos tramos y superponer los efectos, con el fin de determinar la reacción en cada apoyo. Conociendo estas reacciones se procede a generar el diagrama de fuerzas cortantes, para determinar el diagrama de momentos flexionantes se establece la ecuación de momentos para la viga y en base a esta se traza. Calculo de las reacciones del primer tramo: Para tal efecto se utilizara la figura 4.29 que representa al primer tramo de la viga a la cual se le agrega el momento de continuidad determinado para el apoyo 2.

M

1

 600(2)(1)  900(3)  907.5  R1 4  0  R 2  1201.875 N

 M 2  600(2)(3)  Ro(4)  900(1)  907.5 

R 1  898.125 N

Calculo de las reacciones en el segundo tramo: Para tal efecto se utilizara la figura 4.30 que representa al segundo tramo de la viga, al cual se le agregara el momento que actúa sobre el apoyo 2, pero en sentido contrario a cómo actúa sobre el primer tramo (por ser el que equilibra al anterior).   M 1  0  1800(2)  R2 (3)  507.5  R2  897.5 N

Figura 4.30   M 2  0  907.5  R1' (3)  1800(1) 

R1'  902.5 N

Conociendo los valores de las reacciones y las cargas que actúan sobre la viga, se proceden a realizar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga continua, sin tomar en cuenta los momentos de continuidad ya que al unirse los tramos de la viga estos pasan a ser internos, por lo que la ecuación de momentos es la siguiente: Mx  898.25( x  0) 

600( x  0) 2 600( x  2) 2 1200( x  4) 3   900( x  3)  2104.37( x  4)  2 2 6(3) 2

2

Mx  898.25 X  0  300 X  0  300 X  2  900 X  3  2104.37 X  4  66.66 X  4

3

Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante obtenidos se muestran en la figura 4.31.

Figura 4.31

138

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 4.6 En la viga continua que se muestra en la figura 4.32, determinar los momentos hiperestáticos en los apoyos y representarlos gráficamente.

Figura 4.32

Para eliminar el empotramiento existente en el extremo izquierdo, se agrega un tramo ficticio, como se muestra en la figura 4.33, a continuación se generan los diagramas de áreas de momentos para cada uno de los tramos. Se procede a calcular el valor de las áreas y el de las distancias a y b para cada tramo de la viga continua.

Figura 4.33

Para determinar el momento en el apoyo 4 se separa el voladizo como se muestra en la figura 4.34, procediendo a determinar en este dicho momento.

M 4  50(2)  100 KN - m

Figura 4.34

Para poder analizar esta viga continua por el método de los tres momentos se deben conocer el área de momento para cada tramo; las ubicación de su centroide y las distancia a y b . Análisis del tramo 0: Como este tramo no tiene carga aplicada no se tiene área de momento por lo que no se tendrá diagrama de momentos: A  0, a  0, y b  0, 0

0

0

Análisis del tramo I: En este tramo se tiene una carga uniformemente distribuida por lo que el área de momentos A1 distancias apoyos.

a1 y

M

1

b1

y la

, se pueden determinar, para esto primero se determinaran las reacciones en los

 (3)(5)(2.5)  R2 55



R 2  7.5 KN

;

M

2

 (3)(5)(2.5)  R1 (5)



R 1  7.5 KN

Por lo que los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para este tramo son como se muestra en la figura 4.35.

139

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 4.35

El área del diagrama de qL3 (3)(5) 3 A1    31.25KN  m ; 12 12

apoyo 1 y

b1  2.5m

momentos para este tipo de carga se puede determinar como sigue: ubicándose el centroide

C1 de

esta área a la distancia

a1  2.5m

con respecto al

con respecto al apoyo 2.

Estos valores permitirán determinar los valores de

6A1 a 1 L1

y

6A1 b1 L1

, con el fin de utilizarlos en la ecuación

de tres momentos. Análisis del tramo II. Como este tramo no tiene carga aplicada no se tiene área de momentos, por lo que:

A2  0,

a 2  0,

y

b 2  0,

Análisis del tramo III: Para analizar este tramo lo primero que se hace es determinar las reacciones en los apoyos.

M M

4

 (1 / 2)40(4.5)2 / 3(4.5)  R3 4.5



R 3  60 KN

3

 (1 / 2)40(4.5)1 / 3(4.5)  R2 4.5



R 4  30 KN

En la figura 4.36, se observa este tramo de la viga, en la parte inferior se genera el diagrama de momento por parte con la finalidad de poder determinar más fácilmente el área y las distancias a 4 y b 4 .

Figura 4.36

Para determinar las distancias a y b , se deben de tomar en consideración las áreas de momento que se mostraron en la figura 4.36, con lo que se tendrá: 3

A3' 

3

135(4.5) 135(4.5)  303.75 KN - m 2 ; A3''    151.78 KN - m 2 2 4  A 3  A3'  A3''  303.75  151.78  151.78 KN - m 2 a3'  (2 / 3)(4.5)  3 m

;

a3''  (4 / 5)(4.5)  3.6 m

m3  303.75(3)  151.78(3.6)  364.82 KN - m 3 a3 

m4 364.82   2.4 m A4 151.78

140

;

b 3  2.1 m

VIGAS Y SU DISEÑO En la figura 4.37 se muestra el área de momento que se obtiene para cada uno de los tramos, así como sus valores.

Figura 4.37

Aplicando la ecuación de los tres momentos para los tramos analizados: M n1 Ln  2M n Ln  Ln1   M n1 Ln1  

6 An  a n 6 An1  bn1  Ln Ln1

Análisis de los tramos 0 - I: Estos tramos se muestran en la figura 4.38, en la cual se indican la carga aplicada, las redacciones en los apoyos y los momentos flectores.

Figura 4.38

Para estos tramos se tiene:

n 1

;

n -1  0

n 1  2

;

M 0 L0  2M 1 L0  L1   M 2 L1  

6 A0  a 0 6 A1  b1  L0 L1

6(0)  (0) 6(312.5)  (2.5)   937.5 (0) (5) 10M 1  5M 2  937.5....................(1) M 0 (0)  2M 1 0  5  M 2 (5)  

Análisis de los tramos I-II: Estos tramos se muestran en la figura 4.39, en la cual se indican la carga aplicada, las redacciones en los apoyos y los momentos flectores.

Figura 4.39

Para estos tramos se tiene:

n2

;

n -1  1

;

n 1  3

141

VIGAS Y SU DISEÑO 6 A1  a 1 6 A2  b2  L1 L2

M 1 L1  2M 2 L1  L2   M 3 L2  

6(312.5)  (2.5) 6(0)  (0)   937.5 (5) (0) 5M 1  20M 2  5M 3  937.5....................(2) M 1 (5)  2M 2 5  5  M 3 (5)  

Tramos II  III : En este caso en el tramo III , no se tiene ninguna carga, por lo que no se tendrá área ni distancias. Para este tramo se tiene:

n3

;

n -1  2

;

n 1  4

M 2 L2  2M 3 L2  L3   M 4 L3  

6 A2  a 2 6 A3  b3  L2 L3

6(0)  (0) 6(151.78)  (2.1)   425.0 (5) (4.5) 5M 2  19M 3  4.5M 4  425.0....................(3) M 2 (5)  2M 3 5  4.5  M 4 (4.5)  

Se genera el siguiente sistema de ecuaciones: 10M 1  5M 2

 937.5

5M 1  20M 2  5.0M 3

 937.5

5M 2  19M 3  4.5M 4  425.0

Se sabe que momentos:

M 4  100 KN - m ,

M 1  79.06 KN - m

por lo que resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene el valor de los ;

M 2  29.38 KN - m

;

M 3  9.05 KN - m

; M 4  100 KN - m

Como se puede observar al aplicar este procedimiento, lo importante es determinar adecuadamente los diagramas de áreas de momentos. En algunas ocasiones por tener más de una carga aplicada en el tramo analizado es complicado determinar las áreas así como su centroide por lo que para evitar las equivocaciones al determinar estas, se establecieron las ecuaciones mostradas en la tabla 4.1, las cuales permiten realizar de una forma más sencilla este tipo de problemas. Por lo que retomando la viga anterior y tomando como referencia la figura 4.33 se realizara el análisis utilizando la tabla 4.1. Análisis de los tramos 0  I : Estos tramos generan una viga como la que se muestra en la figura 4.40.

Figura 4.40

Para poder utilizar la tabla 4.1 lo primero que se hace es realizar el análisis de cada uno de los tramos por separado, por lo que primero se realizara el análisis del tramo 0 .

Para el tramo 0 : Este tramo se muestra en la figura 4.41 y por no tener carga aplicada, no se tiene diagrama de momento, por lo

A0  0 ,

al ser el primer tramo se toman los valores de la primera columna

que se tiene:

142

6 A0 a 0 L0

, por lo

VIGAS Y SU DISEÑO

6 A0 a0 6(0)(0)  0 L0 (0)

Figura 4.41

Para el tramo I : Este tramo es el segundo de la viga y tiene aplicada una carga uniformemente distribuida, la cual se encuentra en la tabla 4.1, como se muestra en la figura 4.42 y se tiene:

Figura 4.42

6 A1b1 qL3 30(5) 3    937.5 L1 4 4

Aplicando la ecuación de los tres momentos estos tramos dela viga se tiene: n 1

;

n -1  0

;

n 1  2

6A  a 6A  b M 0 L0  2M 1 L0  L1   M 2 L1   0 0  1 1 L0 L1 M 0 (0)  2M 1 0  5  M 2 (5)  

6(0)  (0) 30(5) 3   0  937.5 (0) (4)



10M 1  5M 2  937.5....................(1)

Análisis de los tramos I  II : Estos tramos generan una viga como la que se muestra en la figura 4.43.

Figura 4.43

Para el tramo I : En este tramo por ser el primero de la viga y tener carga uniformemente aplicada, utilizando la tabla 4.1, se tiene la figura 4.44 y la ecuación siguiente: 6 A1 a1 qL3 30(5) 3    937.5 L1 4 4

Figura 4.44

Para el tramo II : Este tramo es el segundo de la viga y no tiene aplicada carga, con lo que se tiene la figura 4.45. Figura 4.45

6 A2 b2 6(0)(0)  0 L2 0

La ecuación de los tres momentos para estos tramos de la viga: n2

;

n -1  1

;

n 1  3

6A  a 6A  b M 1 L1  2M 2 L1  L2   M 3 L2   1 1  2 2 L1 L2 M 1 (5)  2M 2 5  5  M 3 (5)  937.5  0



5M 1  20M 2  5M 3  937.5 ....................(2)

Análisis de los tramos II  III :

143

VIGAS Y SU DISEÑO Estos tramos generan una viga como la que se muestra en la figura 4.46.

Figura 4.46

Para el tramo II : Este tramo es el primero en la viga, como se indicó anteriormente no tiene aplicada carga, como se muestra en la figura 4.47. Figura 4.47

6 A2 a2 6(0)(0)  0 L2 0

Para el tramo III : El segundo tramo se encuentra con carga uniformemente variable, como se observa en la figura 4.48, por lo que se tendrá: 6 A3b3 7QL3 7(40)(4.5) 3    425.25 L3 60 60

Figura 4.48

La ecuación de los tres momentos para estos tramos de la viga es: n3 M 2 L2  2M 3 L2  L3   M 4 L3  

n -1  2

;

M4 ,

n 1  4

6 A2  a 2 6 A3  b3  L2 L3

M 2 (5)  2M 3 5  4.5  M 4 (4.5)  0  425.25

Análisis del voladizo: En el actual el momento 4,49.

;



5M 2  19M 2  4.5M 4  425.5 ....................(3)

el cual es generado por la carga de 50KN, como se muestra en la figura

Figura 4.49

M 4  50(2)  100 KN - m

Sustituyendo el valor del momento en la ecuación (3): 5M 2  19M 3  4.5(100)  425.5 5M 2  19M 3  425.5  450  24.75

....................(3' )

Con las ecuaciones obtenidas se genera el siguiente sistema: 10M 1  5M 2

 937.5

5M 1  20M 2  5M 3  937.5 5M 2  19M 3  24.75

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: M 1  79.06 KN - m

;

M 2  29.36 KN - m

;

M3  9.03 KN - m

;

M 4  100 KN - m

El valor de los momentos de continuidad obtenido en las dos variantes del método de los tres momentos, es el mismo.

144

VIGAS Y SU DISEÑO EJEMPLO 4.7 Aplicando la ecuación de tres momentos, calcular los momentos de continuidad que se producen en los apoyos de la viga que se muestra en la figura 4.50. Así mismo trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que se producen en la misma.

Figura 4.50

Para poder determinar los momentos y reacciones que actúan sobre la viga, el empotramiento será sustituido por un tramo ficticio. Se realizara el análisis utilizando los diagramas de área de momento para cada tramo previamente determinados y que se muestran en la figura 4.51, indicándose en los mismos el valor de A, a y b .

Figura 4.51

Tramo I: En este tramo se tiene una carga uniformemente continua, la cual genera un área de momento de tipo parabólico, cuyo valor es: A1 

qL3 15(6)3   270 KN - m 2 12 12

Tramo II: En él se tiene un área trapezoidal generada por las dos cargas concentradas (también se pueden generar dos áreas triangulares, una por cada carga concentrada), esta se compone de dos triángulos y un rectángulo, cuyo valor es: A2  2(1/ 2)(2)(50)  (50)(2)  200 KN - m 2

Tramo III: En el tercer tramo se tienen dos áreas, una de ellas generada por la carga uniformemente continua (forma parabólica), y la otra generada por la carga concentrada (forma triangular). En este tramo no se sobreponen las áreas puesto que la determinación del centroide y las distancias a y b , sería más complicada. A3' 

qL3 15(6)3 Pab 20(3)(3)   270 KN - m 2 A 3''    90 KN - m 2 12 12 2 2 A  A 3'  A3''  270  90  360 KN - m 2

Conociendo el valor de las áreas y las distancias a y b , se Aplica la ecuación de los tres momentos:

145

VIGAS Y SU DISEÑO Para los tramos I  II : La ecuación de los tres momentos para estos tramos es la siguiente: n 1 ;

n -1  0

n 1  2

;

6A  a 6A  b Mo L1  2M 1 ( L1  L2 )  M 2 L2   1 1  2 2 L1 L2 Mo (6)  2M 1 (6  6)  M 2 (6)  

Se sabe que:

MO  0

6(270)(3) 6(200)(3)  6 6



; por encontrarse en este punto un apoyo móvil.

2M 1 (6  6)  M 2 6  810  600



24M 1  6M 2  1410 .........................(1)

Para los tramos II  III : La ecuación de los tres momentos para estos tramos es la siguiente: n2 ;

n -1  1

n 1  3 6 A2  a 2 6 A3  b3 M 1 L 2  2 M 2 ( L2  L3 )  M 3 L3    L2 L3 ;

M 1 (6)  2 M 2 ( 6  6 )  M 3 (6)   M1 6  2 M 2 (6  6 )  M 3 6  600  1080

6(200)(3) 6(360)(3)  6 6



6M1  24 M 2  6M 3  1680 .........................(2)

Para los tramos III  IV : La ecuación de los tres momentos para estos tramos será: n 3 ;

n 1  4 6 A3  a 3 6 A4  b4 M 2 L 3  2 M 3 ( L3  L4 )  M 4 L4    L3 L4 M 2 6  2 M 3 ( 6  0 )  M 4 0  

n -1  2

6(360)(3) 6(0)(0)  6 0

;



6M 2  12 M 3  1080 ............................(3)

Con las ecuaciones obtenidas se genera el siguiente sistema: 24M 1  6M 2 6M1  24 M 2 

 1410 6M 3  1680

6M 2  12 M 3  1080

Por lo que el valor de los momentos es: M0  0

;

M1  48.65 KN - m

; M2  40.38 KN - m

;

M3  69.80 KN - m

Los momentos también se pueden determinar utilizando la tabla 4.1. Por lo que se determinaran estos aplicando la misma. Para tal fin se utiliza la viga mostrada en la figura 4.52, en la cual se elimina el empotramiento.

Figura 4.52

146

VIGAS Y SU DISEÑO ANALISIS DE LOS TRAMOS I -II: Estos tramos se muestran en la figura 4.53.

Figura 4.53

La ecuación de los tres momentos para estos tramos es la siguiente: n 1 ;

n -1  0

;

n 1  2

6A  a 6A  b Mo L1  2M 1 ( L1  L2 )  M 2 L2   1 1  2 2 L1 L2

Se sabe que: como sigue:

MO  0

por encontrarse en este punto un apoyo móvil, por lo que la ecuación queda 2M 1 (6  6)  M 2 6  24M 1  6M 2  

6 A1  a 1 6 A2  b2  L1 L2

En el tramo I se encuentra aplicada una carga uniformemente repartida como se muestra en la figura 4.54, la cual corresponde al caso 2 de la tabla 4.1, al ser el primer tramo de la viga se utilizara las ecuaciones de la primer columna de la tabla, por tanto:

6  A1  a 1 qL3 15  6    810 L1 4 4 3

Figura 4.54

En el tramo II se encuentran aplicadas dos cargas concentradas mostradas en la figura 4.55, las cuales corresponden al caso 1 de la tabla 4.1, al ser el segundo tramo de la viga se utilizara las ecuaciones de la segunda columna de la tabla, por tanto:

Figura 4.55

6  A2  b2 Pb 2 25  4 2 6  4 2   25  2 6 2  2 2   333.33  266.67  600   L  b 2   L2 L 6 6

Sustituyendo los valores obtenidos en los tramos I y II en la ecuación de los tres momentos se tiene: 24M 1  6M 2  801  600  1410 .................(1)

ANALISIS DE LOS TRAMOS II – III: Estos tramos se muestran en la figura 4.56, y sobre uno de los tramos actúan dos cargas concentradas y sobre el otro una carga uniformemente continua y una concentrada.

Figura 4.56

147

VIGAS Y SU DISEÑO La ecuación de los tres momentos para estos tramos es la siguiente: n2 ;

n -1  1

n 1  3 6 A2  a 2 6 A3  b3 M1 L 2  2 M 2 ( L2  L3 )  M 3 L3   L2 L3 ;

M1 6  2 M 2 (6  6 )  M 3 6 

6 A2  a 2 6 A3  b3  L2 L3

En el tramo II se encuentran aplicadas dos cargas concentradas, estas cargas se pueden separar para su análisis como se observa en la figura 4.57, estas corresponden al caso 1 de la tabla 4.1, al encontrarse en el primer tramo de la viga se utilizara las ecuaciones de la primer columna de la tabla, por tanto:

Figura 4.57

6  A2  a 2 Pb 2 25  2 2 6  2 2   25  4 6 2  4 2   266.67  333.333  600   L  b 2   L2 L 6 6

TRAMO III: En el tramo II se encuentran aplicadas dos cargas, una concentrada y una uniformemente distribuida como se muestra en la figura 4.58, las cuales corresponden a los casos 1 y 2 de la tabla 4.1, al encontrarse en el segundo tramo de la viga se utilizara las ecuaciones de la segunda columna, por tanto:

Figura 4.58

6  A3  b3 Pb 2 q  L3 203 2 6  32   15  6  810  270  1080   L  b 2    L3 L 4 6 4 3

Sustituyendo en la ecuación de tres momentos para este tramo, se tiene: 6  M1  2 4  M 2  6  M 3  600  1080  1680 .............(2)

ANALISIS LOS TRAMOS III - IV: En la figura 4.59 se muestran estos tramos, observándose que el segundo no se tiene carga aplicada por lo que no se tendrá área de momento.

Figura 4.59

148

VIGAS Y SU DISEÑO La ecuación de los tres momentos para este tramo es la siguiente: n3 ;

n -1  2

n 1  4 6 A3  a 3 6 A4  b4 M 2 L 3  2 M 3 ( L3  L4 )  M 4 L4   L3 L4 ;

M 2 6  2 M 3 ( 6  0 )  M 4 0 

6 A3  a 3 6 A4  b4  L3 L4

En el tramo III se encuentran aplicadas dos cargas, una concentrada y una uniformemente distribuida, como se muestra en la figura 4.60, las cuales corresponden al caso 1 y 2 de la tabla 4.1, al encontrarse en el primer tramo de la viga se utilizara las ecuaciones de la primer columna, por tanto:

Figura 4.60

6  A3  a 3 Pb 2 q  L3 203 2 2 15  6 6  3    L  a 2     810  270  1080 L3 L 4 6 4 3

El tramo IV se observa en la figura 4.61 y es especial dado que en realidad no existe y no se tienen cargas o momentos actuando sobre el mismo y se agregó para poder realizar el análisis por la ecuación de los tres momentos, por lo que al no tenerse carga

6  A4  b4 0. L4

Figura 4.61

La ecuación de tres momentos para esta sección de la viga es: 6  M  12  M  1080.............(3) Las ecuaciones obtenidas permiten generar un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas como se muestra. 2

24  M 1  6  M 2

3

 -1410

6  M 1  24  M 2  6  M 3  -1680 6  M 2  12  M 3  -1080

Resolviendo el sistema se obtiene el valor de los momentos que actúan en los apoyos: M1  48.65 KN - m

;

M 2  40.38 KN - m

;

M 3  69.80 KN - m

Para poder realizar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante lo primero que se necesita es conocer las reacciones que existen en los apoyos. Calculo de las reacciones en el tramo I: Como se conoce el momento de continuidad que actúa sobre el apoyo 1 se sustituye, quedando este tramo como se muestra en la figura 4.62, procediendo a determinar las reacciones que actúan en este tramo en los apoyos 0 y 1

Figura 4.62

149

VIGAS Y SU DISEÑO  Mo  0  R1 (6)  15(6)(3)  48.65



R 1  53.1KN

 M 1  0  R0 (6)  15(6)(3)  48.65



R 0  36.9KN

Calculo de reacciones tramo II: En este caso además de las fuerzas que actúan sobre este tramo se tienen momentos de continuidad en , 1 y 2, por lo que se tienen que agregar para poder determinar las reacciones R1´ y R , como se observa en la figura 4,63. 2

Figura 4.63

 M 1  0  48.65  25(2)  25(4)  40.38  R2 (6)  M 2  0  48.65  R1 (6)  25(4)  25(2)  40.38

 R2  23.625 KN  R1  26.375 KN ´

Calculo de reacciones tramo III: , Este tramo tiene en los extremos los momentos de continuidad R2´ y 4.64.

R3 ,

como se muestra en la figura

Figura 4.64

 M 2  0  40.4  20(3)  15(6)(3)  69.8  R3 (6)

 R3  59.9 KN

 M 3  0   R2 (6)  40.4  20(3)  15(6)(3)  69.8  R2  50.1 KN

Con los valores obtenidos de las reacciones se determina el diagrama de fuerza cortante y se establece la ecuación de momento flexionante, la cual se indica a continuación. 15 15  x  0  2   x  6  2 79.48  x  6  25  x  8  2 2 15  25  x  10   73.72  x  12    x  12  2 20  x  15  2

Mx  36.9  x  0  

Para trazar el diagrama de momento flexionante se determinara su valor en diferentes puntos de la viga: Si

x0

Mx  36.9  0  0  0

Si

x6

Si

x8

15  6  0  2  48.6 KN m 2 15 15 Mx  36.9  8  0    8  0  2   8  6  2 79.48  8  6  4.16 KN m 2 2 15 15 Mx  36.9  10    10  2   4  2 79.48  4   25  10  8  6.92 KN m 2 2 15 15 Mx  36.9  12    12  2   6  2 79.48  6  25(4)  40.32 KN m 2 2 15 15 Mx  36.9  15    15  2   9  2 79.48  9  25  7  2 2 15  25  5   73.72  3    3  2  42.48 KN m 2 15 15 2 Mx  36.9  18    18    12  2 79.48  12  25  10  2 2 15  25  8   73.72  6    6  2 20  3   - 69.8 KN m 2

Si

x  10

Si

x  12

Si

x  15

Si

x  18

Mx  36.9  6  0  

150

VIGAS Y SU DISEÑO Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que se obtienen se muestran en la figura 4.65.

Figura 4.65

PROBLEMAS PROBLEMA 4.1 Para la viga que se muestra en la figura 4.66, determinar las reacciones y momentos que se generan en los empotramientos.

Figura 4.66

PROBLEMA 4.2 Para la viga que se muestra en la figura 4.67, determinar las reacciones y momentos que se generan en los empotramientos.

Figura 4.67

PROBLEMA 4.3 Determinar los momentos de continuidad que se generan en los apoyos de la viga que se muestra en la figura 4.68.

151

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 4.68

PROBLEMA 4.4 Determinar los momentos de continuidad que se generan en los apoyos de la viga que se muestra en la figura 4.69.

Figura 4.69

PROBLEMA 4.5 Para la viga que se muestra en la figura 4.70, determinar los momentos de continuidad en los apoyos y realizar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

Figura 4.70

PROBLEMA 4.6 Mediante el método de los tres momentos determinar los momentos de continuidad que se generan en los apoyos de la viga mostrada en la figura 4.71 y realizar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

Figura 4.71

PROBLEMA 4.7 Mediante el método de los tres momentos determinar los momentos de continuidad que se generan en los apoyos de la viga mostrada en la figura 4.72 y realizar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Figura 4.72

152

VIGAS Y SU DISEÑO

CAPITULO

5 PROCEDIMIENTOS PRACTICOS 153

VIGAS Y SU DISEÑO

INTRODUCCION La obtención de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, cuyo principal objetivo es encontrar los puntos en donde se tienen los valores máximos, con el fin de determinar los esfuerzos máximos o dimensionar la viga, en algunas ocasiones es relativamente tardada. Por lo que se utilizan una serie de procedimientos prácticos, los cuales son fáciles de utilizar, si se siguen adecuadamente algunas reglas sencillas. En este capítulo obtendremos los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de formas práctica, así mismo, plantearemos el principio de superposición y realizaremos ejemplos relativos a estos temas. Cuando se desea determinar la deformación en vigas hiperestáticas la utilización de la doble integración o los teoremas de Mohr, es insuficiente por lo que se utiliza un procedimiento practico denominado método de superposición de efectos.

RELACION ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Para determinar algunas propiedades de las vigas es importante conocer las relaciones que existen entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante. La ecuación general obtenida para la doble integración no solo permites determinar la pendiente y la deformación, también si se deriva esta se pude determinar la carga y la fuerza cortante que actúan sobre la viga, como se vio en el primer capítulo. En el cual se obtuvieron las siguientes identidades: q

dVx dx

;

154

Vx 

dMx dx

VIGAS Y SU DISEÑO d2y Mx  dx 2 E  IZ

En el cuarto capítulo se obtuvo la ecuación:

Si la ecuación anterior se sigue derivando sucesivamente, se tendrá lo siguiente: dM d3y  dx dx 3 EI Z

;

d3y V  dx3 EIZ

dV d4y dx   dx 4 EI Z

;

d4y q  dx 4 EIZ

EIZ 



EIZ 



d3y  V ...............(5.1) dx3

d4y  q .................(5.2) dx 4

Como se observa las ecuaciones (5.1) y (5.2), son similares a las obtenidas en el primer capítulo para la determinación de la fuerza cortante y la carga aplicada. Pero en estas ya se toma en consideración la forma del elemento y el material con que está hecho E  I  , por lo que se puede considerar que existe una gran relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante. Por lo que las relaciones que se tiene son las siguientes: FLECHA  y MOMENTO FLEXIONANTE 

;

....................(5.3)

M d  dy  d 2 y    EI dx  dx  dx 2

;

................(5.5)

CARGA  -

PENDIENTE 

 EI



FUERZA CORTANTE 

dy dx

...................(5.4)

V d3y d M  ...............(5.7)   EI dx3 dx

q d4y d V  ..................(5.8)  4  EI dx dx

Las anteriores ecuaciones permiten determinar cualquiera de los parámetros como la carga o la fuerza cortante, si se conoce alguno de ellos. El indicar las ecuaciones en la forma anterior es con la finalidad de tener una mejor compresión de las relaciones existentes, dado que en el análisis de vigas mediante los métodos prácticos, es de suma importancia esto. Con la finalidad de ver gráficamente estas relaciones se realizaran el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5.1 La ecuación que define la flecha en la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 5.1, es y

4.5  x 7L4  10L2  x 2  3x 4  . 360  E  I  L

Determinar el valor máximo de la carga uniformemente variable que se le

aplica.

Figura 5.1

Derivando la ecuación de la flecha se tendrá: 4 2 3 5 4.5  x 7L4  10L2  x2  3x4   31.9L  x  45L  x  13.5  x 360  E  I  L 360  E  I  L

FLECHA :

y

PENDIENTE:

θ dy 31.9L4  135L2  x2  67.5  x 4 31.9L4  135L2  x2  67.5  x4     E  I dx 360  E  I  L 360  L

MOMENTO FLEXIONANTE :

M 270L2  x  270  x3  EI 360  E  I  L



155

M

270L2  x  270  x3 360  L

VIGAS Y SU DISEÑO FUERZA CORTANTE :

CARGA :

-

V 270L2  810  x2  EI 360  E  I  L

Q 1620  x  E  I 360  E  I  L



V 

Q

270L2  810  x2 360  L

1620  x x  4.5 360  L L

Conociendo la ecuación que define la carga en la viga, se sustituirán las condiciones de frontera, para determinar su valor: Si: x  L

Si: x  0 Q  4.5

0 0 L

Por lo que la carga máxima será:

Q  4.5

L  4.5 L

Q  4.5

Si en este ejemplo se considera que la longitud tiene un valor de 4 unidades, se podrán obtener el valor de la fuerza cortante, el momento flexionante, la pendiente y la flecha, para cada distancia sobre la viga. Lo anterior se podrá graficar con el fin de conocer la variación de estos con respecto a la distancia x . Por lo que para poder elaborar los diagramas se obtendrán los valores requeridos, para cada 0.5 m , así como para cualquier punto importante.

Para la fuerza cortante tiene:

V

270 L2  810  x 2 360  L

x

V

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 2.31

3.0 2.8 2.4 1.7 0.7 -0.5 -2.1 -3.8 6 0

Para el momento flexionante se tiene:

M

270 L2  x  270  x3 360  L

x

M

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 2.31

0.0 1.5 2.8 3.9 4.5 4.4 3.9 2.4 0.0 4.6

Para la pendiente se tiene:



31.9L4  135L2  x 2  67.5  x 4 360  L

156

x



0 0.5 1.0 1.5

-5.7 -5.3 -4.1 -2.4

VIGAS Y SU DISEÑO 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 2.08

-0.4 1.9 4.1 5.7 6.3 0.0

Para la flecha se tendrá: y

31.9L4  x  45L2  x 3  13.5  x 5 360  L

x



0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 2.08

0.0 -2.9 -5.1 -6.9 -7.6 -7.3 -5.8 -3.3 0.0 7.6

Los diagramas que se obtienen para esta viga se muestran en la figura 5.2.

Figura 5.2

Para determinar el valor de la fuerza cortante y el momento flexionante, en cualquier punto de una viga, sin aplicar el método de la doble integración, la viga conjugada o el método de área de momentos, en forma práctica si se conoce el valor de todas las fuerzas que actúan en una viga, es sencillo la generación de estos diagramas si se tienen las bases teóricas necesarias, dado que se aplicaran los conceptos de funciones de singularidad y área de cortantes.

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE En el análisis realizado por funciones de singularidad para generar los diagramas de fuerza cortante, se observa que la función de fuerza cortante permanece constante mientras que no se le agregue alguna carga. También se observa que cuando en el diagrama de fuerza cortante un tramo de la viga es afectado únicamente por una fuerza concentrada, se genera una línea recta horizontal. Cuando es afectado por una fuerza uniformemente continua se genera una línea recta inclinada, mientras que al ser afectado por una carga uniformemente variable (triangular), se genera una parábola de segundo grado.

157

VIGAS Y SU DISEÑO Lo anterior depende del grado de la función de singularidad que representa a cada tipo de carga, como se vio anteriormente. Estas consideraciones se pueden aplicar a una viga para determinar su diagrama de fuerzas cortantes. Para tal fin se tomara en consideración la viga de la figura 5.3, en la cual actúan una carga concentrada y una uniformemente continua. En esta viga ya se han determinado las reacciones en los apoyos utilizando las ecuaciones de la estática. Aplicando las consideraciones indicadas por las funciones de singularidad se tendrá lo siguiente:

Figura 5.3

TRAMO A  C : En el apoyo A se aplica una carga concentrada positiva de V  5.429KN , la cual permanece constante (línea recta horizontal), por no existir ninguna carga que la altere, hasta el punto C , en donde se aplica la carga concentrada P  5KN , la cual actúa en sentido negativo.

Por lo que en C se tendrá dos valores de fuerza cortante, el primero será el que se tiene en el tramo A  C , para determinar el segundo, a la carga en el tramo A  C , se le resta la carga concentrada que se aplica en C , obteniéndose una fuerza cortante igual a V  5.429  5.000  0.429KN . TRAMO C  D : La fuerza cortante permanece constante desde C hasta el punto D , por lo que se tendrá una línea recta horizontal, el valor de la fuerza se mantiene constante en V  0.429 KN . TRAMO D  B : En el punto D se inicia la aplicación de una carga uniformemente continua de 2 KN/m , la cual actúa desde D hasta B . Al tratarse de una carga uniformemente continua el valor de la misma varia en función de la distancia sobre la que actúa. En el tramo D  B se tiene una longitud de dos metros, Por lo que la carga varia de: 2 KN/m0 m  0 , hasta un valor máximo de: 2 KN/m2 m  4 KN . Esta fuerza es negativa, por lo que sí se agrega a la que se tiene en el punto D , su valor será: V  0.429  0  0.429KN , la fuerza continua decreciendo constantemente (línea recta inclinada) hasta el punto B , en donde termina la carga uniformemente constante, teniendo un valor fuerza cortante de: V  0.429  4  3.571KN . Sobre el punto B se aplica la carga concentrada producida por la reacción, la cual tiene un valor de 3.571KN , sumándola con la fuerza cortante que se tiene en la viga se tendrá V  3.571  3.571  0 . Por lo que el diagrama en el punto B , tendrá dos valores el primero de: V  3.571 , y el segundo de V  0 , mostrándose el mismo en la figura 5.4.

Figura 5.4

158

VIGAS Y SU DISEÑO En la figura 5.4 se observa que aparece un punto (E), en el cual el cortante tiene un valor igual a cero, este punto será de gran interés cuando se determine el diagrama de momento flexionante, dado que cuando el cortante es cero se tendrá un momento máximo en valor absoluto. Para determinar la distancia a la cual se encuentra este punto, se realiza una relación de triángulo, como se indicó en los métodos anteriores, siendo la distancia del punto B al punto E x B  E  1.785m . El análisis anterior se puede realizar para cualquier viga isostática, con la finalidad de determinar las fuerzas cortantes que están actuando en cualquier punto de la misma.

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE En el punto anterior se determinó el diagrama de fuerza cortante para una viga, de forma práctica. En este punto utilizando los valores de fuerza cortante que se encuentran en dicho diagrama, se determinara el diagrama de momento flexionante. Se tomara como antecedente básico la definición de que un momento es igual a una fuerza por una distancia perpendicular a esta. En este caso, en el diagrama de fuerzas cortantes se tiene que la fuerza cortante actúa sobre el eje “y”, siendo perpendicular al eje “x”, en donde se tiene la longitud de la viga. Ante tal consideración, podemos definir que el momento flexionante es igual al área, a la izquierda o derecha de un punto, que se tiene debajo de la curva en la gráfica de fuerza cortante. Por otra parte para generar el diagrama de momento flexionante se debe de tomar en consideración los siguientes puntos. 1.- Cuando en el diagrama de fuerza cortante, el valor de esta en un punto sea igual a cero (pasar de positivo a negativo o lo inverso), se tendrá un valor de momento máximo. 2,- Si no se tiene aplicado ningún momento en los extremos de la viga, el valor del momento en estos es de cero (se tiene fuerza cortante pero no distancia). 3.- Una fuerza concentrada genera en el diagrama de momento flexionante una línea recta inclinada, del punto donde se aplica esta hasta el punto donde se aplica la siguiente carga. 4.- Una fuerza uniformemente continua genera en el diagrama de momento flexionante una parábola de segundo grado, en el tramo donde actúa esta. 5.- Una fuerza uniformemente variable (triangular) genera en el diagrama de momentos flexionantes una parábola de tercer grado, en el tramo donde actúa esta. 6.- Un momento genera en el diagrama de momento flexionante en su punto de aplicación una línea recta vertical y una línea recta horizontal de este punto hasta el punto donde se aplica la siguiente carga. TIPO DE CARGA

FUERZA CORTANTE

FORMA DE LINEA

MOMENTO FLEXIONANTE

FORMA DE LINEA RECTA

NO EXISTE

NO EXISTE

M xa

0

MOMENTO RECTA INCLINADA

RECTA

P xa

P

1

CONCENTRADA RECTA INCLINADA

q xa

PARABOLA DE SEGUNDO GRADO q xa

1

2

159

2

VIGAS Y SU DISEÑO UNIFORMEMENTE REPARTIDA

Q xa

2

PARABOLA DE SEGUNDO GRADO

Q xa

3

PARABOLA DE TERCER GRADO

6L

2L

UNIFORMEMENTE VARIABLE

TABLA 5.1 CARGAS, FUERZA CORTANTE, MOMENTO FLEXIONANTE Y LA FORMA DE LINEA QUE GENERAN En la tabla “a” es la distancia que se tiene a la izquierda de donde se aplica la carga en la viga; “x-a” es la distancia que se tiene desde donde se aplica la carga al punto “N” en donde se desea determinar la fuerza cortante o momento flexionante; “x” es la distancia desde el inicio de la viga hasta el punto donde se desea determinar la fuerza cortante o Momento flexionante, como se indica en la figura 5.5.

Figura 5.5

En resumen para la fuerza cortante y momento flexionante se podrá utilizar la tabla 5.1, de donde se obtendrán la forma de la recta o curva que genera cada carga, en los diagramas de cortante y flexionante. Cuando se tiene más de una carga actuando no se podrá utilizar esta tabla, se tendrá que realizar la superposición de efectos. El análisis para determinar el diagrama de momento flexionante en la viga que se quiera estudiar se puede realizar de izquierda a derecha. Del punto A al punto B , o de derecha a izquierda. El sentido en que se realice el análisis dependerá de lo complicado que resulte este en un sentido u otro. En la viga de la figura 5.3 se realizara el análisis de izquierda a derecha de la viga (de A a B ), con lo que se tiene: Tramo A-C: A la izquierda del punto A no se tiene ninguna distancia, por tanto, el momento flexionante en A tiene un valor de cero. En el tramo A  C , en el diagrama de fuerzas cortantes se tiene un área rectangular cuyo valor de fuerza cortante es constante mientras que la distancia varia. Por lo que sí se tiene una distancia de x  0.20 m , el área generada será el momento de la fuerza Vx  5.429KN por la distancia de 0.20 m , cuyo valor es: M  5.429KN  0.20m  1.08 KN - m . Si se desea determinar el momento en el punto C , la distancia es xC  0.5m , con lo que el momento tendrá un valor de M C1  5.429KN  0.5m  2.714 KN - m , por tratarse de una relación lineal en el diagrama de

momentos se tendrá una línea recta inclinada la cual parte de M A  0 a una distancia x  0 y llega M C1  2.714 KN - m a una distancia x  0.5m . Tramo C-D: Del diagrama de fuerza cortante se observa que en el tramo C  D , la fuerza cortante se mantiene constante con un valor de Vx  0.429 KN , como en el tramo anterior al ser constante la carga el momento solo dependerá de la distancia x , la cual varía desde x  0 a x  1 en el tramo, pero en realidad para la viga la distancia empieza en xC  0.5m y termina en xD  1.5m . Es importante destacar que la continuidad en el diagrama de momentos no se debe de perder y solamente este varia bruscamente cuando se le aplica un momento. En la viga en estudio no se tiene aplicado ningún momento, por lo que el diagrama no varía bruscamente en ningún punto. En el punto C el momento debido al tramo anterior

es:

M C1  2.714 KN - m , el momento debido a la

fuerza cortante que actúa a partir de este punto es M C 2  0.429KN  0 m  0 , por lo que la suma de ambos será el momento a la derecha de este punto M C  M C1  M C 2  2.714 KN - m .

160

VIGAS Y SU DISEÑO Cuando se toma la distancia máxima x  1 , se tendrá el momento total en el tramo C  D , siendo este M C D  0.429KN  1m  0.429 KN - m , por lo que para obtener el momento en el punto D , se sumara el momento obtenido en este tramo, con el momento que sé tenía en C , con lo que se tendrá: M M M  2.714  0.429  3.143 KN - m . También en este tramo se tendrá una línea recta inclinada la cual D

c

C D

comienza en C terminando en D . Del punto C al punto E : En el tramo D  E , se tiene un área triangular, la cual genera un momento igual a: M DE  1/ 20.429KN 0.215m  0.04611 , el que sumado al que se tiene en el punto C , da un valor de: M M M  3.143  0.04611  3.189 KN - m , en el diagrama de cortante se tiene una línea recta inclinada por lo que según la tabla 5.1, el diagrama de momentos en este tramo tendrá la forma de una parábola de segundo grado. Siendo este el momento máximo que se presenta en la viga, bajo estas condiciones de carga. E

C

C E

Del punto E al punto B : Por ultimo en el tramo E  B , se tendrá un área triangular negativa, la cual genera un momento igual a: M E B  1/ 2(3.571)(1.785)  3.189 , lo que al sumarlo con el momento en E , permite determinar el momento en el punto B . Por lo que se tendrá: M B  M E  M EB  3.189  3.189  0 . Con lo que se el diagrama de momento cierra. En el diagrama de cortante en este tramo también se tiene una línea recta inclinada, por lo que en el diagrama de momento se tendrá una parábola de segundo grado. La viga con los diagramas de fuerza cortante y momento flexonante se muestra en la figura 5.6.

Figura 5.6

ANALISIS DE UNA VIGA HIPERESTATICA POR EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE EFECTOS El calculo de las reacciones que se generan al quitar los apoyos, en vigas isostáticas es relativamente fácil ya que con las ecuaciones de equilibrio de la estática se pueden determinar. Esto no sucede las vigas hiperestáticas ya que la aplicación de las ecuaciones de la estática para determinar las reacciones es insuficiente. Se debe de recordar que un elemento hiperestático tiene más incógnitas que ecuaciones, lo que no permite determinar el valor de las incógnitas. En este caso las vigas isostáticas tienen cuando mucho tres incógnitas a determinar, comúnmente dos reacciones y un momento, mientras que en las hiperestáticas se tendrán cuatro o más incógnitas a determinar.

161

VIGAS Y SU DISEÑO Para determinar las reacciones y los momentos de empotramiento en este tipo de vigas, se utiliza unos métodos práctico denominado “Método de superposición de efectos”. En este, se aplica la suposición de que cuando en un elemento actúan un gran número de factores externos, es posible analizar el efecto que estos causan por separado y posteriormente conjuntar todos con el fin de determinar el efecto final sobre la viga. En análisis de vigas hiperestáticas mediante el método de superposición de efectos, es relativamente sencillo si se sigue el procedimiento que a continuación se indica. PROCEDIMIENTO DE ANALISIS: 1. Elaborar el diagrama de cuerpo libre de la viga con el fin de conocer cuáles son las reacciones y momentos que actúan en la viga. 2.- Eliminar una de las reacciones o momentos de empotramiento redundantes, con la finalidad de eliminar la hiperestaticidad y tener una viga isostática en la cual se pueden calcular los desplazamientos y ángulos de rotación en el punto donde se elimina la redundancia (reacción o momento). Es necesario que se seleccione adecuadamente la reacción o momento que se eliminara con el fin de obtener una de las vigas básicas que se muestran en la tabla 5.2. De lo contrario se podría dificultar el cálculo de las reacciones. 3.- Por cada una de las fuerzas o cargas que actúen sobre la viga en estudio se genera una viga con la finalidad de estudiar el efecto de las cargas por separado. Para tal efecto se utilizara la tabla 5.2, en donde se muestran todas las posibles condiciones. CARGA SOBRE LA VIGA

PENDIENTE

 max 

PL 2 EI

FLECHA MAXIMA

y max 

PL3 3EI

ECUACION DE LA FLECHA

y

Px 2 3L  x  6 EI

0  x  L/2

 max 

2

PL 8EI

 max 

y max

qL3 6 EI

5PL3  48EI

ymax 

qL4 8EI

y

Px 2 3 / 2L  x  6 EI

L/2  x  L y

PL2 3x  1 / 2L  24 EI

y

qx 2 x 2  6L2  4Lx  24 EI

0  x  L/2

 max 

ymax 

qL3 48EI

4

7qL 384 EI

y

L/2  x  L y

162

qx 2  3   L  2 Lx  x 2  24 EI  2  qx 3 4 x  L / 2 192 EI

VIGAS Y SU DISEÑO  max 

QL3 24 EI

y max 

QL4 30 EI

 max 

ML EI

y max 

ML2 2 EI

 max 

PL2 16 EI

y max 

PL3 48EI

1 

Pab( L  b) 6 LEI

2 

Pab( L  a) 6 LEI

0 xL y

Qx 2 10L3  10L2 x  5Lx 2  x 2  120 EI

y

Pab ( L2  6 LEI b2  a 2 )

y x a 

Mx 2 2 EI

0 xL y

Px 3L2  4 x 2  48EI

0 xa Px  x 2  b 2  L2  y 6 LEI

TABLA 5.2 Deformaciones angulares (pendientes) y lineales (flechas) para cargas simples

CARGA SOBRE LA VIGA

PENDIENTE

 max 

FLECHA MAXIMA

ECUACION DE LA FLECHA 0 x L

qL3 24 EI

ymax

5qL4  384 EI

y

qx x3  2Lx 2  L3  24 EI

0  x  L/2 3qL3 1  128 EI 7qL3 2  384 EI

y xL / 2 

4

5qL 768EI

qx 16 x3  24Lx 2  9L 384 EI L/2  x  L y

y

qL (8x 3 - 24Lx 2  17L2 x - L3 ) 384 EI

0 xL Qx y (3x 4 - 10L2 x 2  7L4 ) 360 LEI

7QL3 360 EI QL3 2  45EI

1 

ML 3EI ML 2  6 EI

1 

ymax 

ML2 243 EI

CONTINUACION DE TABLA 5.2

163

0 xL y

Mx 2 x  3Lx  2L 6 LEI

VIGAS Y SU DISEÑO

4.- Determinar las ecuaciones que definen a la pendiente y flecha para cada una de las vigas que se obtuvieron. Estas quedaran en función de la carga o fuerza externa que actúe sobre esta viga o tendrán valores determinados. 5.- Conociendo las ecuaciones para cada una de las vigas determinadas, se procede a analizar a esta viga pero aplicando solamente la reacción o momento de empotramiento eliminado, lo que permite determinar otras ecuaciones o valores de la pendiente y flecha. 6.- Se genera la superposición de efectos, realizando la suma de las pendientes y flechas obtenidas en las de una de las vigas. Para tal fin se debe de tomar en consideración las condiciones de frontera existentes en la viga. Por otra parte también se debe toman en consideración que la flecha o pendiente (ángulo de rotación) total es igual a la suma de los parciales. Lo que permitirá obtener ecuaciones en las cuales se puedan despejar las reacciones o momentos de empotramiento, tomando en consideración las condiciones de equilibrio estático. Se recomienda elimina la fuerza o momento sobre un apoyo fijo con la finalidad de que la deformación lineal o flecha sea cero en eses punto, por lo que algunas de las deformaciones serán positivas y otras serán negativas.

EJEMPLO 5.2 En la viga de la figura 5.7 determinar las reacciones que actúan en los apoyos, así como el momento de empotramiento.

Figura 5.7

1.- El diagrama de cuerpo libre de la viga se muestra en la figura 5.8. Figura 5.8

En este diagrama se observan cinco incógnitas (cuatro reacciones y el momento de empotramiento). Si se realiza el análisis estático se tendrá:

 Fy  0  Fx  0

;

- R Ax  RBx  0

;

M

A

0

R Ay  RBy  q  0............(1) 

R Ax  RBx

M A  RBy L  0 ................(2) )

;

164

VIGAS Y SU DISEÑO Por lo que se tendrá más incógnitas que ecuaciones. En este caso no interesan las deformaciones horizontales por lo que no se tomaran en cuenta R  R . Ax

Bx

2.- Eliminar una reacción o momento redundante. En este caso se eliminara R por lo que se obtiene la viga en voladizo mostrada en la figura 5.9. By

Figura 5.9

3.- Generar una viga para cada una de las fuerzas que actúan sobre la viga. Como solo se tiene una carga, solo se genera una viga la cual se muestra en la figura 5.10.

Figura 5.10

4.- Determinar las ecuaciones para la pendiente y la flecha para cada viga obtenida. Sobre esta viga en voladizo solo actúa una carga uniformemente distribuida, la cual genera una deformación como la que se muestra en la figura 5.10. De la tabla 5.2 se tendrá que la deformación sobre el punto siguiente:  B1 

B,

para esta condición de carga es la

q  L4 .....................(3) 8EI

5.- Aplicar sobre la viga solamente la reacción que se había eliminado. Al aplicar esta reacción se obtiene una viga en voladizo en la cual actual en el extremo B una fuerza concentrada R , por lo que le impondrá a la viga una deformación hacia arriba, con se muestra en la figura 5.11. By

Figura 5.11

De la tabla 5.2 se obtiene que esta deformación es:  B2 

PL3 RBY  L3  .....................(4) 3EI 3EI

6.- Relacionar las ecuaciones obtenidas, tomando en consideración las condiciones de frontera existentes en la viga. La deformación vertical en el punto B debe de ser cero, dado que en este punto se tiene un apoyo fijo, que impide el movimiento. En las vigas obtenidas se observa que  se encuentra hacia abajo y  hacia arriba, por lo que aplicando la condición de frontera, la cual indica que en este punto la deformación es cero  , así mismo tomando en consideración las ecuaciones (3) y (4) se tendrá: B1

B2

B

 B   B1   B 2  0 R l3 ql 4  BY 8EI 3EI



165

RBY 

3ql 8

VIGAS Y SU DISEÑO Conociendo el valor de

RBY

RAY 

se procede a sustituir este en (1):

Con lo anterior se obtiene el valor de

:

R Ay

Sustituyendo en (2) se determina el valor de

MA

:

3ql  qL  0 8

RAY 

5ql 8

MA 

q  L2 8

EJEMPLO 5.3 En la figura 5.12 se muestra la carga que actúa sobre una viga. Determinar las reacciones en los apoyos, así como el momento de empotramiento.

Figura 5.12

Lo primero que se hace es eliminar la reacción redundante en la viga, esta es la que se presenta en el apoyo A . Con lo que se obtiene una viga en voladizo con una carga uniformemente continua que actúa sobre la mitad de su claro. Como se observa en el inciso (a) de la figura 5.13.

Figura 5.13

En la tabla 6.2 se indica la deformación en el extremo libre para este tipo de viga, siendo esta: A  1

7qL4 730240 1   18.144 x108  384EI 384EI EI 4

Posteriormente la viga es cargada con la reacción redundante, como se observa en el inciso (b) de la figura 5.13, obteniéndose en el extremo libre una flecha hacia arriba de valor: R PL3 RA L3 RA 240    46.08x105  A 3EI 3EI 3EI EI 3

A  2

La deformación en extremo otra hacia abajo se tendrá:

A

debe de ser cero, por lo que al actuar una deformación hacia arriba y la  A  0   A  A 1



2

166

A   A 1

2

VIGAS Y SU DISEÑO En este caso se considera que la viga se encuentra simplemente apoyada un diagrama para cada una de las cargas aplicadas, aplicando la tabla 6.1, para la pendiente en A y B, de cada uno de los diagramas se tiene: 18.144 x108 

R 1  46.08x105  A EI EI



R A  393.75 lb

Por equilibrio estático se determina la otra reacción y el momento en el empotramiento, como se muestra en la figura 5.14.

 Fy  0  R  R  (30)(120)  M  0  3206.25240  30120180 - M A

A



B

R B  3600  393.75  3206.25 lb 

B

M B  121500 lb - plg

Figura 5.14

Se observa que aplicando este método resulta relativamente fácil determinar las reacciones, pero se tiene que tener especial cuidado en establecer adecuadamente la forma en que se deforma la viga. Puesto que para dos cargas es fácil aplicar este método, pero para una mayor cantidad de cargas se complica si no se realiza un buen análisis de la viga al aplicársele cada carga, por lo que en el ejemplo siguiente se muestra esto.

EJEMPLO 5.4 En la viga de la figura 5.15, determinar las reacciones en los apoyos, así como, los momentos de empotramiento, por el método de superposición.

Figura 5.15

Eliminando el empotramiento en la viga se obtiene una viga como la que se muestra en el inciso (a) de la figura 5.16. Si toma en consideración la superposición de efectos, esta viga se puede dividir en una serie de vigas simplemente apoyadas, en este caso en cuatro diferentes vigas. Siendo estos efectos los siguientes: - El efecto de la carga uniformemente continua, el cual genera una deformación hacia abajo 5.16 (b). -

El efecto de la carga concentrada, el cual genera una deformación hacia abajo 5.16 (c).

-

El efecto del momento que actúa en el extremo derecho de la viga, generando este una deformación hacia arriba 5.16 (d).

-

El efecto del momento que se genera al quitar el empotramiento, ocasionando este una deformación hacia arriba 5.16 (e).

Para este tipo de cargas de la tabla 5.2 se obtiene las ecuaciones que permitirán determinar la deformación angular para cada efecto y la suma de todos estos efectos definirá la deformación final de la viga, lo que permitirá determinar demás incógnitas, mostrándose estas ecuaciones a continuación.

167

VIGAS Y SU DISEÑO  A' 

qL3 24 EI

 A'' 

Pab( L  b) 6 LEI

 A ' ''  

 Figura 5.16

A IV

M BL 6 EI



 A '   A ''  

M AL 3EI

A'''

A  0 IV

 A' 

1.5(8)3 32  24 EI EI

 A '' 

2(6)(2)(8 2) 5.0  6(8) EI EI





A'''

-

A IV

4(8) 5.33  6EI EI



M A (8) 2.666  MA 3EI EI

En este caso se determina la pendiente en el empotramiento A , dado que la pendiente en este tiene un valor de cero, se realiza la suma de las pendientes obtenidas para cada tipo de carga y se iguala a cero, lo que permitirá determinar el valor del momento, conociendo este se procede a determinar el valor de las reacciones.

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

EJEMPLO 5.5 En la viga que se muestra en la figura 5.17, determine las reacciones y momentos en los apoyos A y para tal fin utilice el método de superposición de efectos.

Figura 5.17

168

B,

VIGAS Y SU DISEÑO Como en el problema anterior se sustituyen los empotramientos por las reacciones y momentos que se generan, por lo que la viga queda como se indica en la figura 5.18.

Figura 5.18

En esta figura se observa que se tienen cuatro reacciones, dos momentos, la carga concentrada y la carga uniformemente distribuida en la viga. En este caso no interesan los efectos sobre el eje horizontal por lo que no se tomaran en cuenta las reacciones que actúan en este. Por lo anterior se analizaran solo los efectos de las cargas verticales y los momentos que actúan sobre la viga, como se muestra en la figura 5.19.

Para determinar el valor de las reacciones y los momentos, se analizara las pendientes en los extremos A y B , estas deben de tener un valor de cero. Por lo que la sumatoria de efectos en estos puntos se iguala a cero, procediendo a obtener una ecuación para cada punto con las cuales se genera un sistema, el cual al despejarlo permite determinar alguna de las incógnitas.

Figura 5.19

 A'

qL3 24 EI

 B'

 qL3 24 EI

 A '' 

Pab( L  b) 6 LEI

 B'' 

Pab( L  a ) 6 LEI



A'''

M AL 3EI



 B ''' 

M AL 6 EI

A   IV



Se sabe que en el punto A :

169

B IV

M BL 6 EI



M BL 3EI

VIGAS Y SU DISEÑO A  0





A'   A''   A'''   A IV 

0

ql Pab( L  b) M A L M B L 3x10 (10) 20 x10 (7)(3)(10  3) M A 10 M B 10        0 24 EI 6 LEI 3EI 6 EI 24 EI 6(10) EI 3EI 6 EI 3

3

3

3

0.125 x10 6 0.091x10 6 3.33M A M B (1.66) 0.216 x10 6  1       3.33M A  M B (1.666)  EI EI EI EI EI  EI  0.216 x106  3.33M A  1.666M B ................ (1)

Se sabe que en el punto B :  B 0

-



 B '  B ' '  B ' ' ' 

IV B

0

qL3 Pab( L  a) M A L M B L 3x10 3 (10) 3 20 x10 3 (3)10  77  M A (10) M B (10)        0 24 EI 6 LEI 6 EI 3EI 24 EI 6(10) EI 6 EI 3EI 

0.125 x10 6 0.119 x10 6 1.666M A 3.333M B    0 EI EI EI EI 0.244 x10 6  1.666M A  3.333M B ............... (2)

0.216x10 6  3.333M A  1.666M B

3.333M A  1.666M B  0.216x10 6

0.244x10  1.666M A  3.333M B

1.666M A  3.333M B  0.244x10 6

6

M A  37600 ; M B  54400   M B  0  RA(10)  37600  3000(10)(5)  20000(3)  54400 R A  (37600)  150000  60000  54400)

1  19320 N 10

  M A  0  37600  3000(10)(5)  20000(7)  54400  RB(10) RB   37600  150000  140000  54400

1  30680 N 10

Figura 5.20

PROBLEMAS PROBLEMA 5.1 Mediante los procedimientos prácticos, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga que se muestra en la figura 5.21.

170

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 5.21

. PROBLEMA 5.2 Mediante los procedimientos prácticos, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga que se muestra en la figura 5.22

Figura 5.22

PROBLEMA 5.3 Mediante los procedimientos prácticos, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga que se muestra en la figura 5.23

Figura 5.22

PROBLEMA 5.4 Para la viga que se muestra en la figura 5.23, determinar las reacciones en los apoyos, así como el momento en el empotramiento. Utilizar el procedimiento de superposición de efectos.

Figura 5.23

PROBLEMA 5.5 Para la viga que se muestra en la figura 5.24, determinar las reacciones en los apoyos, así como el momento en el empotramiento. Utilizar el procedimiento de superposición de efectos

Figura 5.24

171

VIGAS Y SU DISEÑO

CAPITULO

6 172

VIGAS Y SU DISEÑO

METODOS ENERGETICOS INTRODUCCION El análisis de vigas mediante métodos energéticos sé a realizados desde hace mucho tiempo, estos tienen como base la conservación de la energía dado que si a un cuerpo se le aplica una energía externa esta se convertirá en una deformación en el mismo. Es importante destacar que se toma como base el concepto de trabajo y energía, dado que si al cuerpo se le aplica una fuerza la cual actúa sobre una distancia, este generara una energía interna que se opondrá a la deformación o desplazamiento. Los métodos energéticos utilizados para determinar la pendiente y flecha en una viga, en relación a los métodos indicados anteriormente suelen ser más complicados si no se tienen bases firmes de matemáticas. Por tal motivos para resolver problemas de vigas de forma manual no eran comúnmente utilizados, por el gran tiempo que se utilizaba en ellos. En la actualidad con la aparición de la computadora y de su cada vez más grande aplicación para ayudar a resolver problemas complejos o muy tardados de solucionar, estos han tomado una gran importancia. Una de las aplicaciones de los métodos energéticos se encuentra en el Método del Elemento Finito (M. E. F.), el cual sirve para realizar el modelado y simulación, de las cargas que se aplican a un cuerpo, con lo anterior se puede determinar los efectos que estas ocasionan el mismo, como podrían ser los esfuerzos y las deformaciones. En el presente capítulo se estudiaran los principales métodos energéticos, su aplicación para determinar la pendiente y flecha en vigas.

173

VIGAS Y SU DISEÑO

TRABAJO Para realizar el análisis de vigas mediante los métodos energéticos en primer instancia es necesario definir lo que es el trabajo producido por una fuerza o un momento, los cuales son aplicados de forma externa al cuerpo en estudio, siendo este trabajo conocido como trabajo externo U  . EXT

TRABAJO DE UNA FUERZA Se genera trabajo cuando una fuerza produce un desplazamiento dx en la misma dirección en que se aplica la fuerza. U EXT  0 F  dx x

Este trabajo se puede definir como:

.......... ...(6.1)

Observemos la figura 6.1, en el inciso (a), se tiene una barra que se encuentra sin esforzar. Si se aplica una fuerza desde cero hasta F  P , en el extremo libre de esta, se producirá un desplazamiento   , en la misma dirección de aplicación de la fuerza, como se indica en el inciso (b).

Figura 6.1

Si el material se encuentra dentro de su zona elástica, la fuerza es directamente proporcional al desplazamiento. Lo anterior se muestra en la figura 6.2, en esta se observa que para cierto valor de P , se tendrá un desplazamiento  . Si se incrementa el valor de P a P , el desplazamiento también se incrementara hasta un valor  . 2

2

Figura 6.2

En forma general, para la fuerza F , se tendrá un desplazamiento x . De la figura se puede obtener que: P F   x

P F    x 



Sustituyendo en la ecuación 6.1 e integrando de 0 a  , se tendrá: U EXT  0 F  dx  0 P /  x  dx  x



P  P  x2  0 x  dx      2

 0

 p 2   2 



U EXT 

1 P .......( 6.2) 2

La ecuación 6.2 indica que el valor del trabajo promedio realizado es igual a la magnitud de la fuerza promedio P / 2 , multiplicada por el desplazamiento   . Si se observa la figura 6.2, se tendrá que el trabajo realizado por la fuerza P , es igual al área que se localiza por debajo de la línea recta (área en

174

VIGAS Y SU DISEÑO gris). Esta área tiene la forma de un triángulo en el cual: A  1/ 2bh  1/ 2P , donde b   es la base y h  P la altura. U  A  1 / 2P . EXT

TRABAJO DE UN MOMENTO Un momento M , realiza un trabajo cuando genera un desplazamiento angular d a lo largo de su línea de acción. Obsérvese la figura 6.3. en donde el punto A pasa la posición A' , después de un desplazamiento angular  .

Figura 6.3

U EXT 

El trabajo está definido por:

1 M  d 2

.......... .....(6.3)

Conociendo las ecuaciones que definen al trabajo realizado por una fuerza o un momento, se podrá hablar de la energía de deformación.

ENERGIA DE DEFORMACION Si a un cuerpo se le aplican cargas este se deformara, alargándose o comprimiéndose. Siempre que no exista perdida de energía en forma de calor, se dice que el trabajo externo realizado por estas cargas se convierte en trabajo interno el cual es llamado “Energía de Deformación”. Esta energía es provocada por la acción del esfuerzo normal o cortante, siendo siempre positiva.

ENERGIA DE DEFORMACION POR ESFUERZO NORMAL

Para poder analizar este tipo de energía obsérvese la figura 6.4, en la cual se muestra una diferencial de volumen, que esta siendo afectada por un esfuerzo normal   . x

Figura 6.4

La fuerza que genera este esfuerzo es:

dFx  x  dA  x  dy  dz

Si esta fuerza se aplica gradualmente desde cero a dFx , el desplazamiento también se incrementara, desde cero hasta d  dx , por lo que el trabajo es: x

x

dU INT 

1 1  dFx d x   x  dy  dz x dx 2 2

.......... .(6.4)

Si el volumen está definido por: dV  dx  dy  dz . Sustituyendo en 6.4, se tendrá: dUINT 

1  x  dy  dz x dx  1  x  dV  x 2 2

En general, si en un cuerpo se somete a un esfuerzo normal que actúa en un solo eje, la energía de deformación será:

175

VIGAS Y SU DISEÑO U INT  V

  2

 dV .......... ...(6.5)

Si el material se encuentra en su zona elástica, se tiene que:   E  . Por lo que sí sé sustituyendo lo anterior en 6.5 se tendrá: 2 U INT  V

2 E

 dV .......... .....(6.6)

La ecuación 6.6 sirve para determinar la energía de deformación producida por un esfuerzo normal.

ENERGIA DE DEFORMACION POR ESFUERZO CORTANTE Cuando una diferencial de volumen se somete a un esfuerzo cortante sufre una deformación angular, como se observa en la figura 6.5.

Figura 6.5

La fuerza que actúa sobre la cara superior del cuerpo es dF   dx  dz , al aplicar esta fuerza esta cara se desplaza una distancia   dz , con respecto a la cara inferior. Las caras laterales solamente giran, por lo que sobre estas caras no se produce trabajo, con lo que la energía de deformación almacenada en el elemento es: 1  dx  dz   dz  1     dV .......... ....(6.7) 2 2 2  Si:   y sustituyendo en 6.7. e integrando se tendrá: U INT  V  dV .......... ....(6.8) G 2G dU INT 

ENERGIA DE DEFORMACION EN UNA VIGA Al aplicarse carga a una viga, se produce un momento flexionante que genera un esfuerzo normal, por lo que en la viga se tiene una energía de deformación almacenada debida a la flexión, por lo que se aplicara la ecuación 6.6. 2 U INT  V

El esfuerzo normal en una viga está dado por:  

2 E

 dV

My . I

Por otra parte el volumen se pude indicar de la siguiente manera:

dV  dA dx .

Sustituyendo los anteriores términos en 6.6, se tendrá: 1 My    dA dx .......... ....(6.9) EI  I  2

U INT  

Esta integral se puede expresar como el producto de una integral sobre el área A , de sección transversal y una integral sobre su longitud L . Así: U INT  0

L

M2  dx 2 E  I2

176

y A

2

 dA  0

L

M2  dx  I 2 E  I2

VIGAS Y SU DISEÑO U INT  0

L

M 2  dx .......... .....(6.10 ) 2 E  I

Para evaluar la energía de deformación, el momento interno debe de expresarse como función de una longitud x . Por lo que sí se toma en consideración la conservación de la energía, se podrá relacionar al trabajo externo con la energía interna de deformación, lo anterior se podrá igualar el trabajo y la energía de deformación por lo que se tiene: U EXT  U INT



2 L M  dx 1  P    0 .......... ...(6.11) 2 2 E  I

La flecha en una viga se puede determinar siguiendo los siguientes pasos: I)

Para la viga en estudio se le determinan las reacciones que actúan en los apoyos.

II)

Se corta la viga en secciones, trazando un diagrama de cuerpo libre

III)

Se determinan las ecuaciones de momentos, para cada una de las secciones, estas se establecen como función de la variable x

IV)

Se sustituyen las ecuaciones de momento encontradas en la ecuación 6.10, para determinar la energía de deformación.

V)

Se sustituyen el valor obtenido en la ecuación 6.11, procediendo a despejar  .

Para comprender mejor la aplicación de estos pasos, en la determinación de la flecha en una viga, se tomara en consideración el ejemplo 3.1, el cual se solucionó aplicando el método de la doble integración. Solo que en este se determinara la flecha en el punto de aplicación de la carga. EJEMPLO 6.1 La viga mostrada en la figura 6.6, soporta una carga concentrada. Determinar la pendiente y la flecha para una distancia x  4 m , utilizando el método de la energía de deformación total. Los valores obtenidos quedaran en función del módulo de rigidez EI .

Figura 6.6

i) Calculo de las reacciones: En este caso las reacciones con anterioridad han sido determinadas, siendo mostradas en la figura 6.6.

II) Determinación de las secciones de análisis: Para esta viga se tiene dos secciones. De izquierda a derecha son, la sección A  D y la sección D  B , dado que la carga se encuentra sobre el punto D . Lo anterior se muestra en la figura 6.7.

Figura 6.7

177

VIGAS Y SU DISEÑO III) Determinación de la ecuación de momentos para cada sección. Se determina el momento de cada sección con respecto al punto D . Para A  D :

M

D

0



0  1.667x103  x 1 - M1

M 1  1.667x103  x1 .......... .....(1)

Para D  B :

M

D

0



0  3.333x103  x 2  M 2 M 2  3.333x103  x2 .......... ......(2)

IV) Determinación de la energía de deformación. Para A  D : U INT  0

L

2 4 M 4  dx M 2  dx 1 1.667x103  x1 2  dx  U AC  0 1  2 E  I 2  E  I 2  EI  0

U AC 

4 x13 1 1  6 2 6 2 . 7788 x 10  x  dx  2 . 7788 x 10  1 2  EI  0 2  EI   3

U AC 

4 0

  

6 2.7788x106 21.33  29.64x10 2  EI  EI

Para D  B : U INT  0

L

2 2 M 2  dx M 2  dx 1 3.333x103  x2 2  dx  U D  B  0 2   0 2 E  I 2  E  I 2  EI 

U DB 

2 x3 1 1  11.111x106  x22  dx  11.111x106  2   0 2  EI  2  EI   3

U CB 

2 0

  

14.8148x106 EI

La energía de deformación interna total es: U INT  U A D  U D B 

VI)

29.84x106 14.81x106 44.45x106   EI EI EI

Determinación de la flecha en D . TRABAJO EXTERNO  ENERGIAINTERNADE DEFORMACION

1 1 44.45x106 P  U INT  5x103    2 2 EI





17780 EI

EJEMPLO 6.2 Para la viga de la figura 6.8, por medio de los métodos energéticos, determinar el desplazamiento del punto B . Se sabe que: E  200 GPa e I  80 x10 6 mm4 .

178

Figura 6.8

VIGAS Y SU DISEÑO

- Calculo de las reacciones:

M M

C

A

 0  RA 8  205

 0  203  RC 8



R A  12.5 KN



R C  7.5 KN

- Seccionando la viga se tiene los diagramas de cuerpo libre que se muestran en la figura 6.9.

Figura 6.9

-

Determinación de la ecuación de momentos para cada sección.

Se determina el momento de cada sección con respecto al punto B .

M

Para A  B :

B

0



0  12.5x103  x 1 - M1

M 1  12.5x103  x1 .......... ...(1)

M

Para B  C :

D

0



0  7.5x103  x 2  M 2

M 2  7.5x103  x2 .......... .....(2)

- Determinación de la energía de deformación. Para A  B : U INT  0

L

2 3 M 3  dx M 2  dx 1 12.5x103  x1 2  dx  U A B  0 1  2 E  I 2  E  I 2  EI  0

U A B 

4 x13 1 1  6 2 6 156 . 25 x 10  x  dx  156 . 25 x 10  1   2  EI  0 2  EI   3

U AC 

4 0

703.125x106 EI

Para B  C : U INT  0

L

2 5 M 5  dx M 2  dx 1 7.5x103  x2 2  dx  U B C  0 2  2 E  I 2  E  I 2  EI  0

U B C 

5 x3 1 1  56.25x106  x22  dx  56.25x106  2   0 2  EI  2  EI   3

179

5 0

  

  

VIGAS Y SU DISEÑO U B C 

1171.87x106 EI

- La energía de deformación interna total es: U INT  U A B  U B C 

U INT 

703.125X 106 1171.875X 106  EI EI

1874.99 X 103 1874.99 X 106 N 2 - m 3  80X 106 m 4 200X 109 N/m2  EI U int  117.1 N - m

-

Determinación de la flecha en B TRABAJO EXTERNO  ENERGIAINTERNADE DEFORMACION 1 1 P  U INT  20x103   117.1 2 2





117.1  0.01171m  11.71mm 10x103

Es importante hacer notar que aunque el método anterior es útil, tiene grandes limitaciones, como las que se indican a continuación: a) Este método es solamente valido para determinar la flecha en el punto de aplicación de la fuerza o momento. b) Si se aplican simultáneamente sobre una viga más de una carga externa, aparece más de una incógnita, haciendo imposible el cálculo de estas. Los problemas anteriores originaron que se desarrollaran métodos alternativos para el análisis de elementos por medio de los métodos energéticos. Estos métodos permiten determinar las pendientes y flechas a cualquier distancia sobre la viga.

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

El Principio del Trabajo Virtual fue desarrollado por Johann Bernoulli en 1717. Para definir a este consideremos la figura 6.10, en la cual se muestra un cuerpo el cual se encuentra apoyado y actúan sobre el, un sistema de fuerzas exteriores.

Figura 6.10

Se considera que estas fuerzas no provocan movimiento del cuerpo sobre los apoyos, pero sobre las otras partes del cuerpo se permite una deformación, la cual, puede ser mas halla de su limite elástico. Supóngase que se desea determinar el desplazamiento del punto A (deformación  ), para esto el cuerpo debe cumplir con el principio de la conservación de la energía, el cual establece que la energía no se crea ni se destruye solo se transforma. En otras palabras el trabajo realizado por las cargas se transforma en energía de deformación como se indica a continuación.

 F     f   .......... ..(6.12)

180

VIGAS Y SU DISEÑO Dónde: f  Carga interna ;

  Desplazamiento interno; F  Carga externa;   Desplazamiento externo

Como en el punto A no existe ninguna fuerza aplicada se aplica una carga imaginaria o virtual F ' 1 antes de aplicar las reales, de tal modo que F ' actúa en la misma dirección de  , Como se observa en la Figura 6.11.

Figura 6.11

Esta carga virtual externa, crea una carga virtual interna f en el cuerpo que sufrirá desplazamientos virtuales. Después se le aplican las cargas reales F , F , F , ......, F , desplazándose el cuerpo una cantidad real  , lo que origina que el elemento se desplace una distancia dL , en consecuencia la fuerza virtual F ' y la carga virtual interna f se desplazan  y dL respectivamente. Generando estas cargas un trabajo virtual externo igual a 1   , en el cuerpo y trabajo virtual interno f  dL en el elemento. 1

2

3

n

Por lo anterior se puede definir que “El trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno realizado en todos los elementos del cuerpo”. Lo anterior se puede representar de la siguiente forma: TRABAJO VIRTUAL EXTERNO  ENERGIA DE DEFORMACION VIRTUAL INTERNA 1  A   f  dL .......... ....(6.13)

Donde: 1  Fuerza virtual unitaria;   Deformación del punto A , en la dirección de la fuerza virtual; f  Fuerza interna de las fibras debidas a la fuerza virtual; dL  Deformación real interna en las fibras debidas a las cargas reales A

La palabra virtual indica que las cargas son hipotéticas y no existen, en sentido real o físico. Una fuerza virtual, es una fuerza ficticia que se incorpora en algún punto de la estructura. Un desplazamiento virtual es un desplazamiento imaginario que se impone a un sistema estructural o mecánico, no es real. La única restricción a que se debe someter la deformación virtual, es que debe representar un perfil deformado que podría ocurrir de hecho físicamente. El cambio de forma virtual debe ser compatible con las condiciones de apoyo para la estructura y debe mantener las condiciones de continuidad entre los elementos de la misma.

TRABAJO VIRTUAL EN UNA VIGA (FLEXION) La flecha en una viga se puede determinar mediante el principio del trabajo virtual, sin importar el punto a lo largo de la viga que se escoja para determinar esta. Lo primero que se hace es determinar el punto donde se desea obtener la flecha. Sobre este se aplica una fuerza ficticia ( F  1 ), en la dirección de la flecha a determinar. Al aplicar esta carga ficticia se genera un momento virtual interno, el producto de este momento por la rotación de la sección sobre la que actúa este, es el trabajo virtual interno. Observemos la figura 6.12, en la cual actúa una fuerza P , en el punto C .

181

Figura 6.12

VIGAS Y SU DISEÑO Supóngase que se desea determinar la flecha en el punto B . Para tal efecto se aplica una fuerza unitaria ficticia  1  en B . Lo anterior se muestra en la figura 6.13.

Figura 6.13

Esta fuerza ficticia produce un momento m , a cada distancia x , como se muestra en la figura 6.14. INT

Figura 6.14

Las cargas reales hacen que la carga vertical sobre la cual actúa m

INT

m

El trabajo interno de la viga es:

INT

gire un ángulo d .

 d .......... ...(6.14)

Se sabe que: d 2 y d M   dx2 dx EI

En la ecuación anterior M  M

EXT



d 

M  dx EI

. Por lo que sí se sustituye lo anterior en 7.14, se tendrá:

m

INT



M EXT  dx .......... .(6.15) EI

Utilizando el principio de conservación de la energía se tendrá: TRABAJO VIRTUAL EXTERNO  ENERGIA DE DEFORMACION VIRTUAL INTERNA 1    mINT  d



1    mINT 

M EXT  dx .......... ..(6.16) EI

Tomando las ecuaciones anteriores como referencia la flecha en un punto determinado de una viga se puede determinar mediante los siguientes pasos:

I).- A la viga descargada se le aplica una fuerza unitaria ficticia en el punto en donde se desea determinar la deformación. Con lo cual se obtiene un diagrama de cuerpo libre. En base a este diagrama de cuerpo libre se procede a determinar las reacciones ficticias, que son generadas por esta fuerza ficticia.

182

VIGAS Y SU DISEÑO II).- Se divide la viga en las secciones necesarias, trazando un diagrama de cuerpo libre, de cada una de estas. Se determina el momento interno m  , que se genera en cada sección, en función de x . INT

III).- A la viga se le carga con las cargas reales, generándose un diagrama de cuerpo libre. en base a este diagrama se determinan las reacciones en los apoyos.

IV).- Se divide la viga en las secciones necesarias, trazando un diagrama de cuerpo libre para cada una de estas. Se determina el momento externo M  , que se genera en cada sección en función de x . EXT

V).- Se sustituyen los momentos obtenidos en la ecuación 6.16, procediendo a despejar el valor de    .

Las secciones necesarias de los pasos II y IV son aquellas que aparecen cada vez que el sistema de cargas produce un cambio en la ecuación básica, ya sea de m o M . INT

EXT

El trabajo virtual puede ser positivo o negativo, el trabajo positivo ocurre cuando el sentido de rotación de m y de d (es decir de M ), tienen la misma dirección. INT

EXT

El trabajo negativo ocurre cuando el sentido de rotación de m comprender la aplicación de este método, se resolverá un ejemplo.

INT

y de M

EXT

son opuestos.

Para

EJEMPLO 6.3 Determinar la flecha en el punto C de la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 6.15, ; I  24x10-6 m4 . mediante el método del trabajo virtual. Suponer que E  200GPa

Figura 6.15

I) Aplicar la fuerza unitaria sobre la viga descargada. En este caso se desea determinar la flecha en el punto C , el cual se ubica a una distancia de 2 m a partir de extremo izquierdo de la viga, por tal motivo en este punto se aplica la fuerza unitaria ficticia, como se indica en la figura 6.16.

Figura 6.16

Calculo de las reacciones en los apoyos:

M M

A

B

 0  12  RB 5



 0   RA 5  (1)(3)

R B  0.4 x103

 R A  0.6 x103

II) La viga se secciona en dos partes, generando los diagramas de cuerpo libre, para cada sección como se muestra en la figura 6.17.

Figura 6.17

183

VIGAS Y SU DISEÑO Se determinan las ecuaciones de momentos internos para cada sección de esta viga. SEGMENTO A  C :

m

0

C

;

m INT 1  0.6 x103  x1

;

m INT 2  0.4 x103  x2

SEGMENTO C  B :

m

C

0

III) Aplicar las cargas reales sobre la viga, esto se muestra en la figura 6.18.

Figura 6.18

Calculo de las reacciones:

 M A  0 R B 5  1833.5  M B  0  R A 5  1831.5

 

R B  37.8 x103 N R A  16.2 x103 N

IV) La viga se secciona en dos partes y se genera un diagrama de cuerpo libre para cada sección como se muestra en la figura 6.19.

Figura 6.19

Se determina la ecuación de momentos externos, para cada tramo de la viga:

SEGMENTO A  C :

M

C

0

;

M EXT 1  16.2 x103  x1

SEGMENTO C  B :

M V)

C

0

;

M EXT 2  37.8 x103  x2 

18x103 x2 2 2

Se sustituyen las ecuaciones de momentos obtenidas en la ecuación de equilibrio de energía.

VI) 1     M INT 

M EXT  dx EI

Para cada tramo de la viga se tendrá una energía de deformación, por lo que se tendrá:

184

VIGAS Y SU DISEÑO 1   C  A mINT  C

1  C 

1 EI

 0.6 x10 C

A

3

M EXT  dx C M  dx  B mINT  EXT EI EI

 x1 16.2 x103  x1   dx 

1 C 0.4 x103  x2 37.8x103  x2  9 x103  x22  dx EI B

1  C 

3 1 2 9.72x103  x12  dx  1 0 15.12x103  x22  3.6 x103  x23  dx EI 0 EI

1  C 

1  9.72x103  x13 EI  3

2 0



15.12x103  x23 3

3 0



3.6 x103  x24 4

3 0

 3   89.1x10 

De esta ecuación se despeja la flecha o deformación lineal en el punto C.

C 

89.1x103  0.0185 m  18.5 mm 200x109 24x106 

PROBLEMAS PROBLEMA 6.1 Para la viga que se muestra en la figura 6.20, determinar la pendiente y la flecha en el punto C, en función de EI, utilizando el método de la energía de deformación total.

Figura 6.20

PROBLEMA 6.2 Para la viga que se muestra en la figura 6.21, determinar la pendiente y la flecha en el punto A, en función de EI, utilizando el método de la energía de deformación total.

Figura 6.21

PROBLEMA 6.3 Determinar la flecha en el punto C de la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 6.22, ; I  24x10-6 m4 . mediante el método del trabajo virtual. Suponer que E  200GPa

Figura 6.22

185

VIGAS Y SU DISEÑO PROBLEMA 6.4 Determinar la flecha en el punto C de la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 6.23, ; I  24x10-6 m4 . mediante el método del trabajo virtual. Suponer que E  200GPa

Figura 6.23

CAPITULO

7 186

VIGAS Y SU DISEÑO

ANALISIS DE VIGAS POR EL METODO DEL ELEMENTO FINITO APLO INTRODUCCION El análisis de problemas de elementos mecánicos en algunas ocasiones tiende a ser difícil, dado que en el intervienen una infinidad de factores externos. En los capítulos anteriores esto se realizo aplicando la superposición de efectos el cual consiste en separar el problema en sus componentes, analizar cada efecto y encontrar la solución y posteriormente unir estas soluciones parciales para obtener una final). Cuando se tienen problemas con un número infinito de elementos implicados se dice que se tiene un problema continuo. Este continuo se tiene que dividir en partes para poder estudiarlo, cada una de estas partes se denomina una región discreta del problema. Esta región discreta se puede analizar en una forma relativamente sencilla aun cuando tenga un gran número de componentes. Bajo este enfoque cada uno de los problemas que se tienen en resistencia de materiales (determinación de esfuerzos, cálculo de deformaciones, efectos de la temperatura en un cuerpo, etc.), puede ser modelado matemáticamente. Este modelado se puede realizar mediante ecuaciones muy sencillas (se tiene un numero finito de componentes) o muy complicadas (se tiene un numero infinito de elementos). Para el análisis y solución de estos modelos se pueden utilizar varios procedimientos entre los cuales se pueden mencionar el Método del Elemento Finito (M. E. F.) o el método de diferencias finitas. En este capitulo utilizaremos el primero para determinar los esfuerzos y las deformaciones existentes en vigas.

187

VIGAS Y SU DISEÑO ANTECEDENTES HISTORICOS DEL M. E. F. El análisis de elementos de geometría complicada en los primeros años del siglo veinte no era posible dado que no se contaba con métodos que permitieran resolver modelos complejos, ya fuera por lo difícil del análisis o por lo tardado del mismo. Ante lo cual se propusieron varios métodos de discretizacion, con el fin de aproximar la solución obtenida a las soluciones reales de un problema continuo. A principios de los 1940 Mc Herry, Hrenikoff y Newmark, demostraron que se puede obtener soluciones razonablemente buenas de un problema continuo sustituyendo pequeñas porciones del continuo por una distribución de barras elásticas simples. También se demostró que se pueden sustituir las propiedades del continuo de un modo más directo, suponiendo que las pequeñas porciones del mismo o “elementos” se comportan de una cierta forma simplificada. Aunado a lo anterior se contaba con los primeros avances en la teoría del elemento finito, la cual tampoco se había desarrollado completamente por la misma problemática de no contar con métodos prácticos para poder realizar los análisis. En el periodo de 1950 - 1960 ante la aparición de las primeras computadoras las cuales podían realizar una infinidad de cálculos rápidamente, se estableció la utilización práctica del Elemento Finito, su aplicación a la teoría de la elasticidad, se trabajó en el continuo refinamiento de este, así como su idealización. La primera referencia del método del elemento finito como tal fue dada por Turner, Clough y Top en 1956, siguieron a esta una serie de artículos en los que se referenciaba la aplicación de este en el estudio de elementos estructurales y sólidos. En 1965 Zienkiewicz y Cheung aplicaron este método a problemas de conducción y transferencia de calor, posteriormente surgió la aplicación de este método a mecánica de fluidos. En la década de los 60´s la enseñanza en ingeniería en los Estados Unidos de América sufrió una orientación hacia una mayor aplicación de las matemáticas, enfocándose en algunos casos a la sustitución de cursos de resistencia de materiales, por cursos de teoría de la elasticidad o mecánica del medio continuo, esta tendencia estimulo que se aplicara la computación con la finalidad de servir a la solución de problemas matemáticos y por consiguiente la utilización en ingeniería del Método del Elemento Finito (M.E.F.). Este se aplico en el diseño de vehículos espaciales en la industria aeroespacial, iniciándose con ello el cambio de estructuras robustas a estructuras de cascarón de bajo peso con altas curvas. También se estudiaron las limitaciones y defectos en la forma de representar los cascarones en el modelado por elemento finito, se examinaron las diferentes curvaturas de los cascarones, se estudiaron diferentes elementos geométricos para representar diversas curvaturas. Se trabajó en la ecuación de esfuerzos - deformación, así como en el campo de desplazamientos.

En 1966 se estableció la representación en forma sencilla de segmentos de cilindros circulares, para utilizarla en el elemento finito y en la etapa de maduración, en 1969, se generan un número importante de elementos finitos para aplicarlos en diferentes tipos de problemas. Esto permitió mejorar las formulaciones existentes, por lo que las actividades teóricas y computacionales se encaminaron en el mismo sentido. Durante los años 70´s se desarrolló su aplicación en el diseño de reactores nucleares, lo que originó que ya no se pensara en elementos de cascaron, sino en elementos que contaran con volumen, originando con esto que trabajara con elementos sólidos. Por lo que el M.E.F. se debió de adecuar a elementos

188

VIGAS Y SU DISEÑO tridimensionales (3-D), modificándose la teoría clásica, para lograr que los cálculos fueran fáciles de realizar por los medios computacionales con los que se contaba, así como a un bajo costo.

En los últimos años se ha utilizado este método con la finalidad de realizar análisis de vibración en piezas de máquinas y miembros de construcciones, puesto que estas pueden generar desgaste excesivo, así como la falla elástica. Se observa que al igual que para el cálculo de esfuerzos y deformaciones, la determinación de los modos de vibración de elementos de membrana, asimétricos resulta muy complicado por lo que para su solución se tiene uno que auxiliar por métodos computacionales como elemento finito o elemento frontera. Entre los trabajos sobre este campo se pueden citar los de Desai -Abel, Phillip L. Gould, D. E. Beskos , en los cuales se definen los modos de vibración de algunos elementos de membrana. En la década de los años noventa se realizaron varios trabajos sobre este tema entre los que se pueden citar los siguientes: -

Elementos de transición cascaron - sólido Evaluación de elementos de cascaron (prueba de rendimiento, entrelazado, nodos falsos) Análisis sobre la biblioteca elemental de elementos de cascaron delgado y grueso (asimétricos y generales, lineales y no lineales, en 2D y 3D). Análisis de propagación de grietas en la Mecánica de fractura Optimización de elementos biomecánicos (prótesis). Análisis estáticos no lineales y dinámicos en cascarones delgados y gruesos (materiales y geometrías no lineales), análisis no lineales de rigideces y cascarones sándwich

Es de interés especial la unión del Método del Elemento Finito (F. E. M.) y el Método del Elemento Frontera (B. E. M.), la cual se basa en la variación de pesos residuales. Ambos métodos numéricos son generalmente utilizados en una gran variedad de problemas de ingeniería. El método del elemento finito da buenos resultados en problemas de dominio finito, como son: membranas, placas delgadas, estructuras de edificios, en dominios donde las propiedades del material son constantes y dominios donde no se tienen conductas no - lineales. En contraste el método del elemento frontera es bueno para dominios infinitos, lográndose con esto reducir la dimensión del problema y simplificar las consideraciones a tomarse en cuenta para el modelado. Cuando se tiene un dominio homogéneo y no lineal, no se utiliza solamente uno de los métodos antes indicados, sino que se utiliza un método híbrido, dado que un método será preferible para una parte del dominio y el otro para la otra parte, lográndose aprovechar mejor el potencial de cada uno de estos métodos. Modelándose la porción del dominio en estudio con elementos finitos y el resto de la región con elementos frontera, generándose una región intermedia llamada región de transición (T R), la cual sirve de interface entre las dos regiones antes mencionadas, para tal fin se cuenta con una función de transición la cual tiene un valor unitario en la interface BE-TR y un valor cero en la interface TR-FE. Lo anterior nos da una idea de la forma en que se va desarrollando el elemento finito, así como la forma en que este se va entrelazando con otros métodos numéricos para mejorar los resultados obtenidos con el y ampliar su campo de aplicación. Se observa que el M.E.F. contempla tener mejoras continuas en los próximos años, r con la finalidad de poder generar una simulación de los efectos que causaría en el elemento en estudio, la variación de las condiciones de trabajo a que estaría expuesto, sin tener que realizar pruebas físicas sobre prototipos del elemento. Por otra parte permite generar un diseño adecuado de un elemento, que sin la ayuda de este método, podría ser muy costoso y económicamente inviable.

189

VIGAS Y SU DISEÑO

Actualmente el M.E.F. es ampliamente aplicado en el análisis de estructuras dinámicas y estáticas (ambas para problemas lineales y no-lineales), análisis de transferencia de calor y fluidodinámica, así como en problemas de acústicas y de electromagnetismo. Estas herramientas se utilizan simultáneamente logrando mezclar problemas de estructuras junto a problemas de transferencia de calor como un todo. Entre los análisis en que se puede aplicar se pueden mencionar; para verificar de cálculos en diseño automotriz, deformaciones en tanques, recipientes a presión, tuberías, vigas, grúas, en la aviación etc. El M.E.F. también se utiliza en el sector de la salud, en específico en la acción del fluido (sangre) en las arterias coronarías, remodelación y crecimiento del tejido de los vasos sanguíneos, aspectos fisiológicos y clínicos en sentido general; funcionamiento del corazón al insertar marcapasos etc. Otras de sus múltiples aplicaciones la podemos encontrar en la ingeniería civil, como por ejemplo en el comportamiento de suelos, cimentaciones, estructuras de hormigón etc., también se usa en ingeniería eléctrica, física y química.

FUNDAMENTOS DEL METODO DEL ELEMENTO FINITO El método del Elemento Finito es un procedimiento general de discretizacion de problemas continuos planteados por expresiones definidas matemáticamente, siendo considerado una técnica numérica que se emplea para obtener una solución aproximada a un problema. El concepto fundamental de método es representar el dominio de un problema complejo (una estructura, unos elementos, una parte de maquinaria, etc.) en un conjunto de subdominios (elementos finitos). Obteniéndose las ecuaciones que modelan cada uno de los subdominios, procediendo posteriormente, a generar con las ecuaciones obtenidas un gran sistema de ecuaciones, el cual es resuelto mediante métodos numéricos, siendo este método es muy aceptado por la facilidad con que las ecuaciones que utiliza pueden ser resueltas por computadoras. En este método es importante conservar la continuidad del dominio, en otras palabras es necesario que un elementos finito este conectado con los elementos finitos adyacentes a este. Estos e logra mediante unos puntos que se encuentran en la periferia del mismo, los cuales son denominados nodos, los cuales pueden ser internos o externos. Estos permiten transmitir la acción exter na que se aplica a un elemento finito a los adyacentes al mismo, el nivel de transmisión del efecto dependerá del tipo de elemento finito utilizado. Nodos externos: Son aquellos situados en las fronteras de los elementos. Estos pueden ser primarios y secundarios. Los primarios representan el comportamiento de la incógnita y se ubican en los vértices del elemento, los secundarios se ubican en las líneas que unen a los nodos primarios y se utilizan para representar el comportamiento de la incógnita con mayor precisión. Nodos internos: Se encuentran en elementos bidimensionales y tridimensionales, utilizándose para lograr una mejor aproximación a la solución. En el análisis de vigas es muy importante determinar los esfuerzos y deformaciones que se presentan, por lo que a continuación se indicara un procedimiento general para realizar un análisis por elemento finito.

A) DETERMINACION DE LAS PROPIEDADES DEL ELEMENTO A ANALIZAR

190

VIGAS Y SU DISEÑO Para poder realizar un análisis por el MEF es necesario que se conozcan las propiedades físicas y geométricas del material, así como el tipo y cantidad de cargas aplicadas. Ente las propiedades físicas se pueden mencionar, el Modulo Elástico del material E  , su Modulo de Poisson   , Coeficiente de expansión térmica (α), Densidad (γ), entre otras. Entre las propiedades geométricas se encuentran, la geometría del elemento, sus dimensiones, sus momentos de inercia, el tipo y ubicación de cargas aplicadas.

B) DISCRETIZACION DEL MEDIO CONTINUO. Después de conocer todas las propiedades requeridas del elemento a analizar se procede a realizar la discretizacion de los mismos. La discretizacion explicándolo en una forma sencilla, consiste en dividir el medio continuo (como se indico anteriormente es el cuerpo solido, estructura o elemento de maquina) que va a ser analizado, en un sistema equivalente de elementos finitos. Estos estas unidos en los puntos nodales generando una red o malla. La determinación de la forma, tamaño y cantidad de elementos que contenga la malla será definida por la experiencia del diseñador que realice el análisis, ya que en lugares donde se considera que se tiene concentración de esfuerzo, esta malla se debe refinar. En otras situaciones para algunas secciones del elemento en análisis se utilizara un tipo de elemento y en otras un tipo diferente, ya sea porque se tienen diferentes condiciones de trabajo, medio ambiente o seguridad. Por otra parte el espesor de los elementos finitos también puede variar, dependiendo de las condiciones del problema. Como se ve no se puede determinar una metodología para el mallado y utilización de los elementos finitos, por lo que en este capitulo lo que se pretende es dar una orientación sobre la aplicación del método en análisis de vigas. Es importante destacar que del tamaño, tipo y numero de elementos finitos utilizados, depende el numero y grado de dificulta de las ecuaciones (polinomios de interpolación) a utilizar y, por consiguiente, los requerimientos computacionales. La buena o mala selección de elementos o tipo de mallado, influyen de gran manera en una buena o mala aproximación a la solución real en un problema. La malla más sencilla es aquella en la cual todos los elementos son iguales en tipo, forma y tamaño. En los análisis prácticos la aplicación de esta malla no es común, dado que se utiliza el análisis por elemento finito cuando la geometría del elemento es complicada o no se tiene una idea clara de los efectos que produce sobre un cuerpo una fuerza externa.

C) SELECCIÓN DE LOS ELEMENTOS O POLINOMIOS DE INTERPOLACION A UTILIZAR En la actualidad existe una gran cantidad de elementos finitos que se pueden utilizar en los análisis a realizar, estos se pueden englobar en la siguiente clasificación. A.- Elemento Finito Unidimensional. Este elemento en forma general consta de dos o tres nodos, si se utilizan dos nodos se tendrá un polinomio lineal, mientras que si se utilizan tres nodos se tiene un polinomio cuadrático. Se utiliza básicamente en problemas unidimensionales, representándose como un segmento de línea, no obstante tiene un área de sección transversal. En el análisis elástico estos elementos se utilizan para representar barras en una armadura o capas finas de material de refuerzo en cuerpos tridimensionales, teniendo la ventaja de que por ser el polinomio que lo representa de bajo grado ocupan poca memoria y el tiempo de análisis es corto. Este elemento se muestra en la figura 7.1. Figura 7.1 Elemento unidimensional

B.- Elemento Finito Bidimensional.

191

VIGAS Y SU DISEÑO Se utilizan en problemas bidimensionales, pudiéndose consideran como membrana delgada, este puede ser rectangular (de la familia de Lagrange y serendipita) o triangular, en los cuales la cantidad de nodos depende del grado del polinomio necesario para lograr la compatibilidad de los elementos. El espesor puede ser constante o variable. Elementos rectangulares: La forma básica consta de cuatro nodos primarios (uno en cada esquina), pudiendo tener un numero mayor de nodos intermedios con el fin de lograr una mejor aproximación a la solución real. Elementos triangulares: Su forma básica consta de tres nodos, pudiendo tener un número mayor de nodos, estos elementos son superiores a los rectangulares para aproximar cualquier contorno, utilizándose para resolver problemas de esfuerzos planos.

Figura 7.2 Elementos bidimensionales

C.- Elemento Finito Tridimensional. Se utiliza en el análisis tridimensional, este es una variación del elemento en dos dimensiones, su empleo más común es para determinar el esfuerzo tridimensional en un cuerpo. Estos se pueden dividir en prismas rectos de la familia “serendipita”, prismas rectangulares de la familia de Lagrange, elementos tetraédricos y prismas rectangulares de la familia “serendipita”.

Figura 7.3 Elementos tridimensionales

192

VIGAS Y SU DISEÑO Es importante destacar que los desplazamientos nodales son de gran importancia para la determinación de las incógnitas, estos desplazamientos dependen de los grados de libertad del nodo. Los máximos grados de libertad que puede tener cualquier nodo son seis (tres translaciones lineales y tres rotaciones o translaciones angulares), estando cada elemento finito ligado a un polinomio de interpolación, que son denominados funciones de forma. Estos polinomios representan la aproximación a una función desconocida, lo cual es aplicado en el método del elemento finito. Por lo que si una aproximación polinomial ux   u i ni x  sustituye a la solución desconocida de una ecuación diferencial, el problema de encontrar una función continua desconocida cambia por el de encontrar el conjunto finito de valores u i que proporcionan la mejor aproximación a la solución. Cuando se establecieron los tipos básicos de elementos finitos que existen, se establecieron como principales los de la familia de Lagrange, ya que estos polinomios de interpolación se pueden generalizar fácilmente a dos y tres dimensiones. Para entender lo que se indico anteriormente, a continuación se obtendrá el polinomio de aproximación para un elemento lineal, el cual está definido por dos nodos y tiene una longitud L . El sistema de coordenadas utilizado es global, como se muestra en la figura 7.4.

Figura 7,4

i

j el segundo. Los valores nodales correspondientes son u i y u j . El origen de coordenadas esta definido por O . La función polinomial para una función escalar

Los nodos son identificados por

el primero y

es:

u  C1  C2 x .........( 7.1 ) Donde:

C1 y C 2 = Coeficientes independientes Los coeficientes



1

y



2

pueden determinarse utilizando las condiciones nodales siguientes:

u  u1 u  u2

si

x  x1 x  x2

si Con las condiciones anteriores se pueden definir las siguientes ecuaciones:

ui  C1  C2 xi

;

u j  C1  C2 x j

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los valores:

C1 

u i x j  u j xi L

C2 

;

Sustituyendo estos valores en (8.1) se tendrá:

193

u j  ui L

VIGAS Y SU DISEÑO  u x  u j xi u   i j L 

  u j  ui      L

  x 

Factorizando y reordenando los términos se obtiene:

 xj  x   x  xi   u i   u    u j .................( 7.2 )  L   L  Las funciones lineales de x en la ecuación anterior, son llamadas funciones de formas o polinomios de interpolación. Estas comúnmente son denotadas por N (funciones de forma) y cada una debe tener el subíndice para denotar con cual nodo esta asociado, siendo en este caso:

x  x Ni   j   L 

……..…..(7.3)

 x  xi  Nj    ……………(7.4)  L 

;

Para poder utilizar la ecuación (7.2) en un método numérico, esta se debe ser escrita en forma matricial, con lo que se tendrá.

u  N i ui  N j u j

;

u  N u 

Donde:

N   N

i

Nj

u i   u j 

u   

Matriz hilera Vector columna

Realizando un análisis de

(7.3) se observa que N i , adquiere los valores de

1

o 0 en xi y

xj

respectivamente.

 x  xi  Ni   j 1  L  De (7.4) para

;

 x  xj  Ni   j 0  L 

;

 x  xi  Nj   j 1  L 

N j en xi y x j , se tendrá:  x  xi  Nj   i 0  L 

Estos son los valores característicos de la función de forma. Es decir, las funciones de forma son iguales a la unidad en su nodo asociado y cero en el otro. Por lo que se podría decir que son la parte más importante en el método del elemento finito. Para poder realizar una mejor manipulación algebraica, es conveniente expresar los valores anteriormente obtenidos en coordenadas locales, al realizar lo anterior las funciones de forma no varían. Un polinomio lineal completo en dos variables independientes (dos dimensiones), contiene todos los términos posibles de grado menor o igual a uno, representándose de la siguiente manera.

u  C1  C2 x  C3 y ………… (7.5) Donde los términos independientes

C1 , C 2

y C 3 , se pueden determinar si se especifican tres valores de

u , lo que explica por qué el triángulo de tres nodos es el elemento lineal natural de dos dimensiones.

194

VIGAS Y SU DISEÑO Un polinomio cuadrático completo en dos dimensiones, con dos variables se puede expresar de la siguiente manera.

u  C1  C2 x  C3 y  C4 x 2  C5 xy  C6 y 2 ………… (7.6) En este caso se deben determinar seis valores de u i , para determinar los términos C i , siendo las funciones de forma ni polinomios cuadrados. El polinomio lineal completo para tres dimensiones, tiene cuatro coeficientes independientes.

u  C1  C2 x  C3 y  C4 z ………….. (7.7) El polinomio cuadrático completo en tres dimensiones tiene diez coeficientes independientes. En la figura 7.5 se muestra una comparación entre la solución exacta y la aproximación, que se logra con los polinomios de interpolación, en una dimensión.

Figura 7.5 Soluciones mediante diferentes polinomios de interpolación

El polinomio de interpolación a utilizar en una aceptable formulación numérica debe converger o tender a la solución exacta del problema. Para tal fin se indican algunos requisitos que se deben cumplir para asegurar que esto suceda. a) Los modelos de desplazamiento deben ser continuos dentro de los elementos y estos desplazamientos deben ser compartibles con los elementos que interactúan con éste. b) Los modelos de desplazamiento deben incluir los posibles modos de desplazamiento del elemento. c) Los modelos de desplazamiento deben incluir las tensiones del elemento.

Para lo anterior se debe considerar que un cuerpo antes de sufrir el efecto de fuerzas externas ya puede tener esfuerzos y deformaciones iniciales. Los polinomios que no tienen números específicos de nodos, dan origen a aproximaciones de polinomios incompletos, en estos polinomios faltan algunos de los términos o algunos de los coeficientes C i , por lo que no son linealmente independientes. La ventaja de un polinomio de aproximación completo esta en que no esta unido a un sistema particular de ejes de coordenadas, por lo que una solución obtenida de elementos utilizando polinomios completos, no se vera afectada por la elección de los ejes coordenados utilizados para definir el problema.

195

VIGAS Y SU DISEÑO D) ECUACIONES A UTILIZAR EN EL METODO DEL ELEMENTO FINITO El procedimiento utilizado en el MEF para realizar un análisis de esfuerzos y deformaciones, contempla en primer instancia que se establezcan las ecuaciones de la energía elástica de deformación y trabajo en función de los desplazamientos y minimizar la energía potencial, lo anterior permite que el problema de resolver ecuaciones parciales de segundo grado se reduzca a un sistema de ecuaciones lineales, con el objeto de obtener los desplazamientos en los nodos. Para realizar lo anterior se aplica la teoría de la Mínima Energía Potencial, la cual aplicada al MEF indica lo siguiente: “De todos los desplazamientos que satisfacen las condiciones de frontera dadas, aquellas que satisfacen las ecuaciones de equilibrio son distinguidas por su valor estacionario (extremo) de la energía potencial” La energía potencial total de un sistema elástico  esta constituida por la energía potencial interna la energía potencial de las cargas aplicadas W p .



y

La energía total se puede representar como:

    Wp …………… (7.8) El trabajo realizado por las cargas es el negativo de su energía potencial o bien:

W  Wp …….. (7.9) Sustituyendo (7.9) en (7.8) se tiene:

    W ………… (7.10) Como la ecuación 7.10 esta escrita para un solo elemento finito, al realizar el análisis para todo el cuerpo, la ecuación puede ser escrita en forma de sumatoria, con lo que esta queda como:

   e  W e     e ……… (7.11) E

E

e 1

e 1

Donde: E  Numero total de elementos en que se ha dividido el continuo e  Un elemento finito Se procede a analizar a (7.11), con el fin de evaluar la energía total del sistema, para minimizarse y de esta forma obtener la solución de problema que se esta analizando. Par tal fin la energía de deformación total para un elemento diferencial de volumen dV esta dada por:

d 

1 T     1  0 T  0  ………….. (7.12) 2 2

Donde:   Deformación unitaria total

 0  Deformación unitaria inicial  T  Transpuesta  0  Esfuerzo inicial

;

d  Es la densidad de la energía de deformación   Esfuerzo

; ;

La energía de deformación total es obtenida mediante la integración de todo el volumen quedando la ecuación como:

 V





1  T     0 T  0  dV ………….. (7.13) 2

196

VIGAS Y SU DISEÑO En forma general se tiene que las deformaciones y los esfuerzos se pueden representar como:

 

T

 

T

   xx

 yy

   xx

 yy

 zz

 xy

 zz

 yz

 xy

Donde:   Esfuerzos normales   Deformaciones lineales

 ………….(7.14)

 xz

 yz

 ………..(7.15)

 xz

  Esfuerzos cortantes   Deformaciones angulares

; ;

La ley de Hooke se puede representar matricialmente como:

   D  D  ……………. (7.16) T

0

Donde: D = Matriz de elasticidad que contiene las propiedades apropiadas del material. Por otra parte las relaciones tridimensionales de la deformación unitaria-desplazamiento se pueden definir como:

 xx 

u ; x

 yy 

v w u v u w ;  zz  ;  xy   ;  yz   ; y z y x z y

 xz 

u w  ....... (7.17) z x

Donde: u , v y w =Componentes de los desplazamientos en las direcciones de las coordenadas La forma general de estos desplazamientos es:

u  N  U  ……….

x, y

y

z.

(7.18)

Donde:

N   Matriz de las funciones de forma U   vector de desplazamientos nodales. 

El vector de deformación  , puede ser escrito en término de los desplazamientos nodales forma general de esta ecuación es:

U . La

   B U  ………… (7.19) Donde:

B  Matriz que contiene las funciones de forma para las deformaciones

B es obtenida por la derivación apropiada de N . El valor real de B depende del tipo de elemento usado y el tipo de problema a resolver. Utilizando (7.16) y (7.19), la energía de deformación escrita como:

e   V





 puede ser e

1 U T B e T D e B e U - U T B e T D e  0e   0e T D e T  0  dV ……….. (7.20) 2

197

VIGAS Y SU DISEÑO El término final de (7.20) no es una función de los valores nodales proceso de minimización y no se considera en cálculos futuros.

U ; así que, no tiene influencia en el

El trabajo realizado por las cargas aplicadas puede ser de tres formas distintas, la primera es debida a las cargas concentradas Wc , la segunda es debida a las componentes de esfuerzo que actúan en la superficie exterior

W p y por último las que son debidas por las fuerzas de cuerpo Wb

Por otra parte, el trabajo realizado por una fuerza concentrada es simplemente el valor de la fuerza multiplicado por su desplazamiento nodal. De modo que el trabajo para una fuerza simple es Denotando a las fuerzas nodales como

P U  .

P, el trabajo realizado esta dado por el producto matricial:

Wc  U 

T

P  P  U  ............. (7.21) T

Esta consideración asume que las fuerzas han sido resueltas dentro de las componentes de los desplazamientos, por lo tanto no está incluido dentro de la sumatoria debido a que las fuerzas son localizadas en los nodos. El trabajo realizado por las fuerzas distribuidas que actúan sobre la superficie es:

W pe   uPxe  vPye  wPze ………… (7.22) xe

Donde: u , v y w = Componentes de los desplazamientos

Px , Py y Pz = Son las componentes de las fuerzas, paralelas a las coordenadas x , y y z La ecuación anterior 7.22, se puede escribir como:

Pxe  N e T Pye  dS ………… (7.23)  e Pz 

 U  E

W pe 

T

Se

El trabajo realizado por las fuerzas del cuerpo

x, y

y

z , esta dado por:

Wbe   u x  v y  wz  dV …………. (7.24) V

Donde: u , v y w = Componentes x , y y z de los desplazamientos La integral es necesaria por que u , v y w junto con x , y y Utilizando (7.18), la ecuación anterior puede ser escrita como:

Wbe 

 U 

T

Ve

z

pueden variar dentro del elemento.

X e  N e T Y e  dV …………. (7.25)  e Z 

El trabajo total será:

W e  Wc  Wpe  Wbe …………(7.26) 198

VIGAS Y SU DISEÑO Por lo que sustituyendo (7.20), (7.21), (7.23), (7.25) en (7.11), se obtiene la siguiente relación, para la energía total del sistema.

   e  W e    e  Wc  Wpe  Wbe  E

E

e 1

e 1

e e 1 U T B e T D e B e U dV   U T B e T D e   0e dV e 1  V 2 V E

   

X e  e  T  T   U  N e  Y e  dV -  U V S  e Z 



e

e

T

e

 Pxe  N e T Pye  dS   U T   e  Pz 

P  0

…….

(7.27)

Para minimizar  se debe de derivar la ecuación de la energía potencial total del sistema con respecto a los desplazamientos y el conjunto de ecuaciones igualarlo a cero, empleando procedimientos variacionales para minimizar la energía. Por lo que (7.27) queda de la siguiente forma: e E  T T e     B e  D e B e U dV   B e  D e   0e dV U  e 1 V V

X e   Pxe  e e     T T    N e  Y e  dV -  N e   Pye  dS   P  0 V S   e  e  Pz  Z  e

………. (7.28)

e

Las integrales de la ecuación anterior definen las matrices de los elementos, que consisten en una matriz de rigidez del elemento forma:



Donde k

e

k 

e

y un vector fuerza del elemento

 f , que se puede expresar en la e

 e  k  e U    f   0 ……………. (7.29) U 

esta dada por:

k    B  D B  dV ……………. T

e

e

e

e

e

(7.30)

V

Por otra parte

 f  es la suma de las demás integrales, quedando la ecuación de la siguiente forma: e

 f    B  e

e T

e

V

X e  Pxe  e   T T D e   0e dV   N e  Y e  dV -  N e  Pye  dS  P  0 V S  e  e Pz  Z 

Por lo que la matriz de rigidez global Donde

e

e

………(7.31)

e

K  y el vector columna F  en forma matricial es: K U   F …………. (7.32)

K  y F  están dadas por las siguientes ecuaciones:  K    k E

e

…………. (7.33)

e 1

 F     f  ………… (7.34) E

e

e 1

199

VIGAS Y SU DISEÑO Para tener una idea de la forma en que se determinan las ecuaciones a utilizar en los problemas que se analizaran se realizara el análisis de un elemento finito unidimensional de una viga. Para tal fin consideremos la viga mostrada en la figura 7.6

Figura 7.6

La deformación que interesa es la curvatura de la misma. Por lo que se tendrá:

   

d 2w …………. (7.35) dx 2

Donde: w  Flecha vertical a determinar (incógnita principal)   Deformación La tensión generalizada (a falta de la deformación por esfuerzo cortante) será el momento flector relacionado con la “deformación”, por:

  M   EI

M

,

d 2w …………….. (7.36) dx 2

La relación esfuerzo y deformaciones lineales esta definida por:

  D   0    0 …………. (7.37) Donde: D  Matriz de elasticidad que contiene las propiedades apropiadas del material. El valor de D , se obtiene al realizar una relación entre esfuerzos y deformaciones para un medio isótropo, siendo su valor el siguiente:

 E  D 1  2  

1





1

0

0

0 0

1 - /2

   

Donde:

  Coeficiente de Poisson Empleando la notación anterior se tendrá:

D  EI .................( 7.39 )

200

...........( 7.38 )

VIGAS Y SU DISEÑO Si se discretiza la flecha, se podrá escribir:

w N a Para todo el sistema o para un elemento individual,

............(7.40)

ij .

Donde: N  Función de forma a  Desplazamientos nodales Las deformaciones se expresan como derivadas segundas de la flecha y es necesario asegurar que tanto w como la derivada primera sean continuas entre elementos, por lo que:

wx 

dw   ...................( 7.41 ) dx

Esto se cumple fácilmente si como parámetros nodales se toman los valores de w y del giro, wx . Así:

w  wi  ai       ..................( 7.42 ) wx i  i  Para las funciones de forma de la deformación se toman dos nodos por elemento (o sea, cuatro variables), por lo que estas funciones de forma vienen dadas por un polinomio de tercer grado, como se indica.

w  C1  C2 x  C3 x 2  C4 x 3 ..........( 7.43 ) Este polinomio define las funciones de forma correspondientes a wi y wxi , tomando para cada una un polinomio de tercer grado que valga uno en los puntos apropiados punto tal como se muestra en la figura 7.7 .

x  0; L y cero en cualquier otro

Figura 7.7

Las expresiones de las funciones de forma para el elemento representado pueden escribirse como:

N i  1  3( x / L2 )  2( x / L )3 ,

L(x/L - 2(x/L)2  ( x / L )3 

N j  3( x / L2 )  2( x / L )3 ,

L(-(x/L)2  ( x / L )3

201



VIGAS Y SU DISEÑO Las funciones de forma para las deformaciones

B , se pueden escribir como:

Bi  

d2 Ni   dx 2

6  12( x / L ),

Bj  

d2 Nj  dx 2

- 6  12( x / L ),

(4 - 6(x/L))L

(2 - 6(x/L))L

/ L

2

/ L

2

Las matrices de rigidez para el elemento se pueden escribir como: L

K ije   BiT E I B j dx .............(7.44) 0

Donde: K ije  Matriz de rigidez del elemento

B T = Transpuesta de la función de forma de las deformaciones Las ecuaciones finales para un nodo i , una vez ensambladas, relacionan entre si tres flechas nodales i , j, k . Estas ecuaciones son para elementos de la misma longitud L .

 12 / L3 , - 6/L2  wk  24 / L3 , 0  wi  EI      EI     2 0 , 8/L   i   6 / L , 2/L   k    12 / L3 , 6/L2   w j    pL / 2  EI       0 .....................(.7.45) 2 2  - 6 / L , 2/L    j    pL / 12 La aproximación por elemento finito permite obtener la solución exacta, por que esta se encuentra representada por un polinomio de tercer grado para una carga uniforme. Para cualquier tipo de carga distribuida la diferencia entre la solución exacta y la aproximación obtenida decrece a medida que la longitud de los elementos tiende a cero.

E) ENSAMBLAJE DE LAS ECUACIONES FINALES. Una vez que se han establecido las ecuaciones de todos los elementos, se tiene la necesidad de agrupar todas estas ecuaciones para formar un sistema de ecuaciones (matriz global) y poder representar el comportamiento físico del cuerpo en estudio por medio de (7.32), (7.33) y (7.34).

 

Es importante destacar que K es la matriz de rigidez global y en ella se agrupan todas las propiedades físicas y geométricas del cuerpo en estudio y tiene las propiedades siguientes: sus dimensiones son, donde N es el número de nodos. Cuando los valores nodales son escalares, es simétrica y es una matriz banda, es decir, todos los elementos fuera de la diagonal principal (banda) son iguales a cero, por tanto, es una matriz singular. En el caso de cantidades vectoriales el número de incógnitas en la ecuación matricial de un elemento es igual al número de puntos nodales en el elemento por el número de grados de libertad de cada uno.

202

VIGAS Y SU DISEÑO

U , se puede decir que se trata de un vector de desplazamientos, es decir, las incógnitas y es aquí en donde se introducen las restricciones o condiciones de frontera, por su parte F  Por lo que respecta a

es el vector de fuerza, en el se indican todas las cargas aplicadas.

F) INTRODUCIR LAS CONDICIONES DE FRONTERA. Al realizar el análisis de un cuerpo este siempre se encuentra unido o apoyado en otro u otros. Por lo que es necesario definir los puntos dentro del cuerpo que no sufrirán deformación longitudinal o angular, en uno u otro eje. La definición de estos parámetros es conocida como condiciones de frontera o condiciones de contorno. Estas se definen en la matriz final ya ensamblada. Al introducir las condiciones de frontera se disminuye el número de términos dentro de la matriz global de rigidez obteniéndose un sistema de ecuaciones reducido, eliminando la singularidad.

G) RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES RESULTANTE. Teniendo ensambladas las matrices globales, de rigidez, desplazamiento y fuerza, se forma un gran sistema de ecuaciones simultáneas, el cual deberá ser resuelto. Para lo anterior se pueden utilizar muchos métodos, pero es importante la utilización de un algoritmo que permita reducir el ancho de banda de la matriz rigidez y aprovechar así mejor la capacidad del sistema de cómputo utilizado. De lo contrario se podrá tener un gran número de ecuaciones lo que originara que se requiera más capacidad del sistema de computo para realiza el mismo calculo. Por último se realizaran las sustituciones adecuadas para poder determinar esfuerzos, deformaciones u otras características que se requieran, en especial en puntos críticos del cuerpo. En la actualidad los programas comerciales de elemento finito como el COSMOS, el ANSYS, etc. Tienen la ventaja que mostrar los resultados tanto en forma numérica, como gráficamente en el cuerpo, en el plano o en tres dimensiones. Para indicar la variación de los esfuerzos en el cuerpo se realiza una variación de color en el mismo, lo que significa la variación. Para indicar la deformación del cuerpo, sobre un fantasma del cuerpo sin deformar, se sobrepone el cuerpo deformado.

DETERMINACION DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL M. E. F. Actualmente se emplean ampliamente los programas computacionales como apoyo en diversas áreas del conocimiento, en ingeniería se sigue la misma tendencia por lo que en la mayoría de los diseños que se realizan se aplican los mismos. Por lo que para entender como se aplica el M. E. F. se resolverán algunos problemas aplicando uno de estos programas computacionales.

EJEMPLO 7.1

203

VIGAS Y SU DISEÑO La viga de madera tiene la sección transversal mostrada y se somete a las cargas indicadas en la figura 7.8. Utilizando el M. E. F. determinar la flecha en el extremo B y el máximo esfuerzo normal que actúa en la misma. E  12GPa . Para esta viga ya se determino la deformación en el extremo B la cual es: Figura 7.8

yB 

661.5x10   0.05168m  51.688mm 12x10 1.066x10  3

3

9

Siendo la flecha en el punto B la que se muestra en la figura 7.9

Figura 7.9

El momento de inercia es: IZ 

bh3 0.20.43   1.066x103 m 12 12

El momento máximo es:

 M A  M A1  61.5  44.5  66  0



MA  M MAX  63 KN - m

El esfuerzo máximo se presenta e el empotramiento de la viga, siendo su valor el siguiente.

 max 





M max  Y 63x103 N  m 0.2m    11.816 x10 6 N/m 2 I 1.066 x10 3 

 max  11.816MPa

ANALISIS MEDIANTE EL M.E.F. Como ya se determinaron la deformación máxima y el esfuerzo normal máximo mediante métodos tradicionales, procederemos a realizar este ejemplo mediante el M.E. F. Por lo que conociendo la forma geométrica que tiene la viga se procede a realizar el modelo y mallar este, buscando que la forma en que se realiza la malla permita realizar un análisis adecuado, esta malla se muestra en la figura 7.9 (a). Teniendo lo anterior se procede a aplicar la condición de frontera (empotrar la villa en el extrema A, por lo que se restringen los desplazamiento lineales y angulares sobre los tres ejes (X, Y, Z ), a un valor de cero. Se tienen dos cargas concentradas las cuales se aplican tal cual, mientras que la carga uniformemente distribuida se aplica como una presión que actúa sobre el tramo en el cual se tiene, esto se muestra en la figura 7.9 (b). 204

VIGAS Y SU DISEÑO

(a) Mallado

(b) Cargas aplicadas Figura 7.9

Teniendo el modelo se procede a indicar cuales son las propiedades mecánicas de este material, en este caso el modulo elástico el cual es de E  12GPa y el modulo de Poisson. Con lo anterior se contar con un modelo completo de la viga, el cual será utilizado por el programa computacional para realizar los cálculos requeridos. Al momento de mallar el programa genera una serie de nodos los cuales están perfectamente definidos mediante ciertos números. En este caso interesa conocer cuales son los nodos que se tienen donde se ubica el apoyo A, los cuales se muestran en la figura 7.10, dado que ahí se tiene el esfuerzo normal máximo y los nodos que se tiene en el apoyo B, que se muestran en la figura 7.11, ya que en este extremo se tiene la deformación máxima.

Figura 7.10 Nodos en extremo A

205

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 7.11 Nodos en extremo B

En el extremo A el cual se encuentra empotrado los nodos son el 2, 62, 63, y 64; mientras que en el extremo B, el cual se encuentra en voladizo los nodos son el 65, 185, 186 y 187. En este caso interesa en numero del nodo ya que comúnmente los programas computacionales en la actualidad permiten obtener los resultados de forma grafica o numérica en cada uno de los nodos. Se procede realizar el cálculo obteniéndose los siguientes resultados:

PARA LA DEFORMACION. Como se indico la máxima deformación se encuentra en el extremo B, por lo que se solicita al programa los resultados de la misma en los nodos 65, 185, 186 y 187. Estos se muestran en la tabla 7.1. En estos nodos como se indica en la tabla el valor de la deformación es: . o (estos datos se encuentran sombreados en la tabla), mientras que teórica las deformación máxima es: yB  51.688 mm Por lo que se puede establecer que los resultados son muy similares, teniéndose una variación entre ellos de menos del 1%. En la tabla 7.1 solo se muestran los valores en los primeros 222 nodos, pero el total de nodos que se tienen en esta viga es de 1042. En esta tabla se muestra sombreados los resultados en los nodos 65, 185, 186 y 187. La representación grafica que se obtuvo se muestra en la figura 7.12. En esta se indica el valor máximo de la deformación ( 0.5188) y la posición en donde se ubica.

NODE UY 1 -0.17146E-01 2 0.0000 3 -0.16655E-01 4 -0.16169E-01 5 -0.15688E-01

PRINT U NODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING ***** LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM MAXIMUM ABSOLUTE VALUES NODE 185 VALUE -0.51822E-01 NODE UY NODE UY NODE UY NODE UY 38 -0.32536E-02 75 -0.62634E-03 112 -0.11168E-01 149 -0.30104E-01 39 -0.30041E-02 76 -0.74865E-03 113 -0.11595E-01 150 -0.30682E-01 40 -0.27637E-02 77 -0.88147E-03 114 -0.12027E-01 151 -0.31263E-01 41 -0.25323E-02 78 -0.10248E-02 115 -0.12466E-01 152 -0.31846E-01 42 -0.23101E-02 79 -0.11786E-02 116 -0.12910E-01 153 -0.32431E-01

206

NODE UY 186 -0.51809E-01 187 -0.51810E-01 188 -0.33610E-01 189 -0.51197E-01 190 -0.50580E-01

VIGAS Y SU DISEÑO 6 -0.15212E-01 7 -0.14741E-01 8 -0.14275E-01 9 -0.13815E-01 10 -0.13360E-01 11 -0.12910E-01 12 -0.12466E-01 13 -0.12028E-01 14 -0.11595E-01 15 -0.11168E-01 16 -0.10748E-01 17 -0.10333E-01 18 -0.99249E-02 19 -0.95231E-02 20 -0.91277E-02 21 -0.87388E-02 22 -0.83568E-02 23 -0.79815E-02 24 -0.76131E-02 25 -0.72520E-02 26 -0.68978E-02 27 -0.65509E-02 28 -0.62117E-02 29 -0.58798E-02 30 -0.55556E-02 31 -0.52393E-02 32 -0.49308E-02 33 -0.46304E-02 34 -0.43383E-02 35 -0.40543E-02 36 -0.37787E-02 37 -0.35119E-02

43 -0.20974E-02 44 -0.18941E-02 45 -0.17004E-02 46 -0.15166E-02 47 -0.13426E-02 48 -0.11787E-02 49 -0.10251E-02 50 -0.88170E-03 51 -0.74885E-03 52 -0.62672E-03 53 -0.51522E-03 54 -0.41454E-03 55 -0.32490E-03 56 -0.24652E-03 57 -0.17977E-03 58 -0.12474E-03 59 -0.81325E-04 60 -0.49245E-04 61 -0.22038E-04 62 0.0000 63 0.0000 64 0.0000 65 -0.51808E-01 66 -0.25851E-04 67 -0.46402E-04 68 -0.81285E-04 69 -0.12440E-03 70 -0.18019E-03 71 -0.24710E-03 72 -0.32525E-03 73 -0.41462E-03 74 -0.51501E-03

80 -0.13424E-02 81 -0.15163E-02 82 -0.17003E-02 83 -0.18939E-02 84 -0.20971E-02 85 -0.23101E-02 86 -0.25321E-02 87 -0.27634E-02 88 -0.30041E-02 89 -0.32534E-02 90 -0.35116E-02 91 -0.37787E-02 92 -0.40541E-02 93 -0.43379E-02 94 -0.46304E-02 95 -0.49307E-02 96 -0.52390E-02 97 -0.55556E-02 98 -0.58796E-02 99 -0.62113E-02 100 -0.65510E-02 101 -0.68976E-02 102 -0.72516E-02 103 -0.76131E-02 104 -0.79813E-02 105 -0.83564E-02 106 -0.87388E-02 107 -0.91275E-02 108 -0.95227E-02 109 -0.99249E-02 110 -0.10333E-01 111 -0.10747E-01

117 -0.13359E-01 118 -0.13815E-01 119 -0.14275E-01 120 -0.14741E-01 121 -0.15212E-01 122 -0.15688E-01 123 -0.16169E-01 124 -0.16655E-01 125 -0.17146E-01 126 -0.17641E-01 127 -0.18141E-01 128 -0.18645E-01 129 -0.19154E-01 130 -0.19668E-01 131 -0.20185E-01 132 -0.20706E-01 133 -0.21232E-01 134 -0.21761E-01 135 -0.22294E-01 136 -0.22831E-01 137 -0.23372E-01 138 -0.23915E-01 139 -0.24463E-01 140 -0.25014E-01 141 -0.25567E-01 142 -0.26125E-01 143 -0.26685E-01 144 -0.27248E-01 145 -0.27814E-01 146 -0.28382E-01 147 -0.28953E-01 148 -0.29528E-01

Tabla 7.1 Deformación de la viga sobre el eje Y

Figura 7.12 Deformación de la viga en voladizo

207

154 -0.33018E-01 155 -0.33606E-01 156 -0.34196E-01 157 -0.34789E-01 158 -0.35382E-01 159 -0.35977E-01 160 -0.36574E-01 161 -0.37172E-01 162 -0.37771E-01 163 -0.38372E-01 164 -0.38974E-01 165 -0.39577E-01 166 -0.40182E-01 167 -0.40787E-01 168 -0.41394E-01 169 -0.42002E-01 170 -0.42610E-01 171 -0.43219E-01 172 -0.43830E-01 173 -0.44441E-01 174 -0.45052E-01 175 -0.45665E-01 176 -0.46278E-01 177 -0.46891E-01 178 -0.47505E-01 179 -0.48120E-01 180 -0.48734E-01 181 -0.49350E-01 182 -0.49964E-01 183 -0.50579E-01 184 -0.51194E-01 185 -0.51822E-01

191 -0.49965E-01 192 -0.49349E-01 193 -0.48734E-01 194 -0.48119E-01 195 -0.47505E-01 196 -0.46891E-01 197 -0.46278E-01 198 -0.45665E-01 199 -0.45052E-01 200 -0.44441E-01 201 -0.43830E-01 202 -0.43219E-01 203 -0.42610E-01 204 -0.42002E-01 205 -0.41394E-01 206 -0.40787E-01 207 -0.40182E-01 208 -0.39577E-01 209 -0.38974E-01 210 -0.38372E-01 211 -0.37771E-01 212 -0.37172E-01 213 -0.36574E-01 214 -0.35977E-01 215 -0.35382E-01 216 -0.34789E-01 217 -0.34197E-01 218 -0.33019E-01 219 -0.32431E-01 220 -0.31846E-01 221 -0.31263E-01 222 -0.30682E-01

VIGAS Y SU DISEÑO PARA EL ESFUERZO MAXIMO. Como se indico el esfuerzo máximo se encuentra en el extremo A, por lo que se solicita al programa los resultados de la misma en los nodos 2, 62, 63, y 64. Estos se muestran en la tabla 7.2. Como se indica en la tabla el valor del esfuerzo máximo se encuentra en el nodo 2 con un valor de , el cual se puede indica también como . El valor del esfuerzo máximo que se obtiene teóricamente es de tiene en donde se ubica en nodo 2.

 max  11.816MPa ; el cual también se

Por lo que se puede establecer que los resultados son muy similares ya que solo se tiene una variación 1.9%. La representación grafica del esfuerzo se muestra en la figura 7.13 y 7,14. En la figura 7.13 se muestra la viga con los esfuerzo que se generan en la misma y en la figura 7.14 se realiza un acercamiento a la sección que interesa observándose con mas precisión la variación de los esfuerzos y la zona critica.

PRINT S NODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL STRESS LISTING ***** PowerGraphics Is Currently Enabled LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 NODAL RESULTS ARE FOR MATERIAL 1

NODE VALUE

62 0.0000

MINIMUM VALUES 62 62 184 -0.24840E+07 -0.12037E+08 51093.

MAXIMUM VALUES NODE 2 2 2 VALUE 0.12041E+08 0.23727E+07 0.0000 NODE S1 S2 S3 SINT SEQV 1 0.45019E+07 0.0000 -5046.6 0.45069E+07 0.45044E+07 2 0.12041E+08 0.23727E+07 0.0000 0.12041E+08 0.11047E+08 3 0.45900E+07 0.0000 -10274. 0.46003E+07 0.45951E+07 4 0.46874E+07 0.0000 -10277. 0.46977E+07 0.46926E+07 5 0.47832E+07 0.0000 -10093. 0.47933E+07 0.47882E+07 6 0.48818E+07 0.0000 -11205. 0.48930E+07 0.48874E+07 7 0.49797E+07 0.0000 -9648.5 0.49893E+07 0.49845E+07 8 0.50781E+07 0.0000 -10428. 0.50885E+07 0.50833E+07 9 0.51786E+07 0.0000 -10034. 0.51886E+07 0.51836E+07 10 0.52792E+07 0.0000 -10052. 0.52892E+07 0.52842E+07 11 0.53811E+07 0.0000 -10424. 0.53915E+07 0.53863E+07 12 0.54840E+07 0.0000 -9938.5 0.54939E+07 0.54890E+07 13 0.55876E+07 0.0000 -10456. 0.55981E+07 0.55928E+07 14 0.56917E+07 0.0000 -9942.9 0.57017E+07 0.56967E+07 15 0.57969E+07 0.0000 -10176. 0.58071E+07 0.58020E+07

ODE 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

208

2 0.12041E+08

S1 0.84819E+07 0.86101E+07 0.87387E+07 0.88683E+07 0.89988E+07 0.91308E+07 0.92641E+07 0.93977E+07 0.95319E+07 0.96678E+07 0.98042E+07 0.99415E+07 0.10080E+08 0.10217E+08 0.10345E+08

S2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

184 45801.

66 0.11659E+08 S3 -10510. -10408. -10413. -9964.3 -9920.1 -10096. -10183. -10333. -10280. -10007. -9797.8 -10357. -10153. -12780. -14214.

SINT SEQV 0.84924E+07 0.84872E+07 0.86205E+07 0.86153E+07 0.87491E+07 0.87439E+07 0.88782E+07 0.88732E+07 0.90087E+07 0.90037E+07 0.91409E+07 0.91358E+07 0.92743E+07 0.92692E+07 0.94080E+07 0.94029E+07 0.95422E+07 0.95370E+07 0.96778E+07 0.96728E+07 0.98140E+07 0.98091E+07 0.99518E+07 0.99466E+07 0.10091E+08 0.10085E+08 0.10230E+08 0.10223E+08 0.10359E+08 0.10352E+08

VIGAS Y SU DISEÑO 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

0.59034E+07 0.60113E+07 0.61192E+07 0.62280E+07 0.63383E+07 0.64495E+07 0.65614E+07 0.66747E+07 0.67890E+07 0.69041E+07 0.70198E+07 0.71366E+07 0.72541E+07 0.73724E+07 0.74925E+07 0.76130E+07 0.77342E+07 0.78566E+07 0.79798E+07 0.81041E+07 0.82289E+07 0.83546E+07

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

-10107. -10393. -10323. -10165. -10100. -10114. -10006. -10060. -10106. -10096. -9930.5 -10239. -10167. -10022. -10049. -10254. -10281. -10236. -9899.3 -10347. -10031. -10083.

0.59135E+07 0.59085E+07 0.60217E+07 0.60165E+07 0.61296E+07 0.61244E+07 0.62382E+07 0.62331E+07 0.63484E+07 0.63434E+07 0.64596E+07 0.64546E+07 0.65714E+07 0.65664E+07 0.66848E+07 0.66798E+07 0.67991E+07 0.67941E+07 0.69142E+07 0.69092E+07 0.70297E+07 0.70247E+07 0.71469E+07 0.71417E+07 0.72643E+07 0.72592E+07 0.73824E+07 0.73774E+07 0.75025E+07 0.74975E+07 0.76232E+07 0.76181E+07 0.77445E+07 0.77394E+07 0.78669E+07 0.78618E+07 0.79897E+07 0.79847E+07 0.81144E+07 0.81093E+07 0.82389E+07 0.82339E+07 0.83647E+07 0.83596E+07

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

0.10471E+08 0.0000 -4573.9 0.10475E+08 0.10473E+08 0.10606E+08 0.0000 -847.01 0.10607E+08 0.10606E+08 0.10771E+08 0.0000 -12592. 0.10784E+08 0.10778E+08 0.10933E+08 0.0000 -27161. 0.10960E+08 0.10946E+08 0.11029E+08 0.0000 -27241. 0.11056E+08 0.11042E+08 0.10998E+08 0.0000 -35782. 0.11033E+08 0.11015E+08 0.10951E+08 0.0000 -73210. 0.11024E+08 0.10988E+08 0.10880E+08 0.0000 -71630. 0.10952E+08 0.10916E+08 0.11217E+08 0.70793E+06 0.0000 0.11217E+08 0.10880E+08 0.0000 -0.24840E+07-0.12037E+08 0.12037E+08 0.11007E+08 0.34615E+07 0.11240E+07 0.0000 0.34615E+07 0.30586E+07 0.0000 -0.11822E+07-0.36635E+07 0.36635E+07 0.32385E+07 0.0000 -19378. -65604. 65604. 58379. 43339. 0.0000 -0.11637E+08 0.11681E+08 0.11659E+08 0.0000 -0.45409E+06-0.10858E+08 0.10858E+08 0.10639E+08 0.16844E+06 0.0000 -0.10892E+08 0.11060E+08 0.10977E+08 0.0000 -3982.3 -0.11017E+08 0.11017E+08 0.11015E+08 25366. 0.0000 -0.10992E+08 0.11017E+08 0.11005E+08 0.0000 -9130.6 -0.10873E+08 0.10873E+08 0.10869E+08 8648.3 0.0000 -0.10787E+08 0.10796E+08 0.10791E+08 0.0000 -1429.5 -0.10656E+08 0.10656E+08 0.10656E+08 6088.4 0.0000 -0.10522E+08 0.10528E+08 0.10525E+08

Tabla 7.2 Esfuerzos nodales que se generan en la vida

Figura 7.13 Esfuerzos que se presentan en la viga

209

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 7.14 Esfuerzos que se presentan en la zona critica (empotramiento)

EJEMPLO 7.2 La viga que se muestra en la figura 7.13 tiene una mensula , soldada en el punto , a esta viga se le aplican las tres cargas mostradas. Determinar: (a) El esfuerzo normal máximo; (b) La flecha en el punto C.

Figura 7.13

Primero se analizara la viga mediante los procedimientos tradicionales, por lo que se determinaran los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, para lo cual se quitara la ménsula sustituyendo las fuerzas aplicadas en ella por una fuerza y un momento el cual actúa en el punto en que esta se encuentra unida a la viga. Lo anterior se muestra en la figura 7.14.

210

VIGAS Y SU DISEÑO Figura 7.14 La ecuación de momentos para esta viga es: (

)

(

)

(

)

(

)

Realizando el análisis por doble integración se obtiene que las ecuaciones para la pendiente y la flecha en esta viga son: (

(

)

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

( )

Para determinar el esfuerzo normal máximo se tiene, que determinar primero el momento de inercia.

IZ 

bh3 0.0750.33   0.00016875 m 4 12 12

Por lo que el esfuerzo normal máximo es:  max 





M max  Y 215.60x103 N  m 0.15m    191.64x106 N/m2 I 0.00016875m

:



 max  191.64 MPa

Para determinar la flecha en el punto C, se tiene que (

(

; por lo que se tiene: ( )

)

)(

)

ANALISIS MEDIANTE EL M.E.F. Como en el problema anterior procederemos a realizar este ejemplo mediante el M.E. F. Por lo que conociendo la forma geométrica que tiene la viga se procede a realizar el modelo y mallar este, buscando que la forma en que se realiza la malla permita realizar un análisis adecuado, esta malla se muestra en la figura 7.15 (a) y (b).

211

VIGAS Y SU DISEÑO

(b) Viga con divisiones Para mallar

(b) Cargas aplicadas Figura 7.15

Teniendo lo anterior se procede a aplicar la condición de frontera, en A se encuentra la viga con un apoyo fijo por lo que se restringen los desplazamiento sobre el eje X y sobre el eje Y. En B se encuentra la viga con un apoyo móvil por lo que solo se restringen los desplazamientos sobre el eje Y. Se encuentran aplicadas dos cargas concentradas sobre la ménsula y una concentrada sobre la viga las cuales son aplicadas sobre el modelo. Las restricciones y cargas que se aplican a la viga se muestran en la figura 7.16.

Figura 7.16

Contándose con el modelo se procede a indicar cuales son las propiedades mecánicas de este material, en este caso el modulo elástico el cual es de E  200GPa y el modulo de Poisson el cual es 0.3. Al mallar se generan nodos los cuales se muestran en la figura 7.17.

212

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 7.17

En esta viga son importantes los nodos que se tienen en el punto C, ya que por métodos tradicionales se estableció que es en donde se tiene la deformación máxima y el esfuerzo máximo por lo que se numeran los nodos en este punto como se muestra en la figura 7.18.

Figura 7.18

En este punto como se observa en la figura 7.18 se tienen los nodos 46, 158, 140 y 201. Por lo que realizando el análisis mediante el M. E. F. se tienen los siguientes resultados. PARA LA DEFORMACION. Como se indico la máxima deformación se encuentra en el punto C, por lo que se solicita al programa los resultados numéricos en los nodos 46, 158, 140 y 201. Estos se muestran en la tabla 7.3., en estos nodos como se muestra en la tabla el valor de la deformación es: . o (estos datos se encuentran sombreados en la tabla), mientras que teórica las deformación máxima es: , por lo que la diferencia es del 4%, el cual es un aceptable porcentaje de error. En la tabla 7.3 solo se muestran los valores en los primeros 222 nodos, pero el total de nodos que se tienen en esta viga es de 275. En esta tabla se muestra sombreados los resultados en los nodos de interés.

213

VIGAS Y SU DISEÑO La representación grafica que se obtuvo se muestra en la figura 7.19 y 7.20, En están observa que se tiene un valor máximo de la deformación de se indica el valor máximo de la deformación ( 0.010378), por lo que el punto C se encuentra muy cerca del punto de máxima deformación.

PRINT U NODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING ***** LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0

NODE UY 1 -0.93005E-02 2 -0.27194E-04 3 -0.91264E-02 4 -0.89261E-02 5 -0.86810E-02 6 -0.83943E-02 7 -0.80670E-02 8 -0.77017E-02 9 -0.73010E-02 10 -0.68675E-02 11 -0.64036E-02 12 -0.59119E-02 13 -0.53949E-02 14 -0.48551E-02 15 -0.42949E-02 16 -0.37176E-02 17 -0.31242E-02 18 -0.25178E-02 19 -0.19024E-02 20 -0.12792E-02 21 -0.65255E-03 22 0.0000 23 -0.26720E-04 24 -0.23759E-04 25 -0.15532E-04 26 0.0000 27 -0.70458E-03 28 -0.13816E-02 29 -0.20538E-02 30 -0.27161E-02 31 -0.33659E-02 32 -0.40002E-02 33 -0.46157E-02 34 -0.52082E-02 35 -0.57750E-02 36 -0.63131E-02 37 -0.68192E-0

THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM MAXIMUM ABSOLUTE VALUES NODE 112 VALUE -0.10331E-01 NODE UY NODE UY NODE UY NODE UY 38 -0.72904E-02 75 -0.60651E-02 112 -0.10331E-01 149 -0.63613E-02 39 -0.77231E-02 76 -0.67762E-03 113 -0.94990E-02 150 -0.68541E-02 40 -0.81143E-02 77 -0.13298E-02 114 -0.96039E-02 151 -0.73135E-02 41 -0.84608E-02 78 -0.19764E-02 115 -0.97263E-02 152 -0.81174E-02 42 -0.87601E-02 79 -0.26134E-02 116 -0.98630E-02 153 -0.84586E-02 43 -0.90051E-02 80 -0.32376E-02 117 -0.10009E-01 154 -0.87542E-02 44 -0.91922E-02 81 -0.38453E-02 118 -0.10159E-01 155 -0.90031E-02 45 -0.93233E-02 82 -0.44350E-02 119 -0.10311E-01 156 -0.91961E-02 46 -0.94079E-02 83 -0.50027E-02 120 -0.10320E-01 157 -0.93331E-02 47 -0.94570E-02 84 -0.55452E-02 121 -0.10314E-01 158 -0.94200E-02 48 -0.94724E-02 85 -0.94705E-02 122 -0.10312E-01 159 -0.94703E-02 49 -0.94492E-02 86 -0.64926E-02 123 -0.95149E-02 160 -0.94853E-02 50 -0.93833E-02 87 -0.69005E-02 124 -0.10191E-01 161 -0.94600E-02 51 -0.92735E-02 88 -0.72800E-02 125 -0.10070E-01 162 -0.93916E-02 52 -0.91223E-02 89 -0.76319E-02 126 -0.99504E-02 163 -0.92835E-02 53 -0.89308E-02 90 -0.79555E-02 127 -0.98359E-02 164 -0.89516E-02 54 -0.86999E-02 91 -0.82501E-02 128 -0.97266E-02 165 -0.87302E-02 55 -0.84305E-02 92 -0.85145E-02 129 -0.96246E-02 166 -0.84719E-02 56 -0.81234E-02 93 -0.87484E-02 130 -0.94844E-02 167 -0.81771E-02 57 -0.77800E-02 94 -0.89509E-02 131 -0.94587E-02 168 -0.78431E-02 58 -0.74011E-02 95 -0.91215E-02 132 -0.94330E-02 169 -0.74661E-02 59 -0.69866E-02 96 -0.92593E-02 133 -0.94069E-02 170 -0.70104E-02 60 -0.65393E-02 97 -0.93638E-02 134 -0.93817E-02 171 -0.65205E-02 61 -0.60581E-02 98 -0.94349E-02 135 -0.93584E-02 172 -0.55479E-02 62 -0.55450E-02 99 -0.94720E-02 136 -0.93360E-02 173 -0.50352E-02 63 -0.50028E-02 100 -0.92810E-02 137 -0.13139E-02 174 -0.45188E-02 64 -0.44354E-02 101 -0.94538E-02 138 -0.94693E-02 175 -0.34721E-02 65 -0.38462E-02 102 -0.94234E-02 139 -0.94354E-02 176 -0.28506E-02 66 -0.32373E-02 103 -0.93983E-02 140 -0.94046E-02 177 -0.21574E-02 67 -0.26130E-02 104 -0.93747E-02 141 -0.13715E-02 178 -0.13981E-02 68 -0.19765E-02 105 -0.93508E-02 142 -0.20512E-02 179 -0.68009E-03 69 -0.13302E-02 106 -0.93273E-02 143 -0.27632E-02 180 -0.59118E-03 70 -0.67922E-03 107 -0.93059E-02 144 -0.34295E-02 181 -0.11977E-02 71 -0.26926E-04 108 -0.92908E-02 145 -0.40708E-02 182 -0.17505E-02 72 -0.15626E-04 109 -0.92827E-02 146 -0.46891E-02 183 -0.23998E-02 73 -0.24093E-04 110 -0.94137E-02 147 -0.52782E-02 184 -0.30914E-02 74 -0.26765E-04 111 -0.93460E-02 148 -0.58361E-0 185 -0.38285E-02

Tabla 7.3 Deformación de la viga con ménsula sobre el eje Y

214

NODE UY 186 -0.44515E-02 187 -0.50138E-02 188 -0.60125E-02 189 -0.64397E-02 190 -0.72168E-02 191 -0.75577E-02 192 -0.79057E-02 193 -0.82196E-02 194 -0.85013E-02 195 -0.87475E-02 196 -0.91365E-02 197 -0.92789E-02 198 -0.93856E-02 199 -0.94557E-02 200 -0.94886E-02 201 -0.94108E-02 202 -0.94018E-02 203 -0.94002E-02 204 -0.93899E-02 205 -0.93842E-02 206 -0.93778E-02 207 -0.93714E-02 208 -0.93648E-02 209 -0.93578E-02 210 -0.95089E-02 211 -0.96063E-02 212 -0.97245E-02 213 -0.98587E-02 214 -0.10017E-01 215 -0.10194E-01 216 -0.10197E-01 217 -0.10074E-01 218 -0.99560E-02 219 -0.98426E-02 220 -0.97238E-02 221 -0.96105E-02 222 -0.94344E-02

VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 7.19 Deformación de la viga con ménsula

Figura 7.20 Deformación en el punto C de la viga con ménsula

PARA EL ESFUERZO MAXIMO. Como se indico teóricamente el esfuerzo máximo se encuentra en el extremo en el punto C y su valor es , los resultados obtenidos en el programa indica que este valor máximo se encuentra en el nodo 3 el cual se ubica muy cerca del punto de unión de la viga con la ménsula y tiene un valor de . Por lo que variación del resultado solo es del 2%. Estos esfuerzos se muestran en la tabla 7.4.

215

VIGAS Y SU DISEÑO PRINT S NODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL STRESS LISTING ***** PowerGraphics Is Currently Enabled LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 NODAL RESULTS ARE FOR MATERIAL 1

NODE VALUE

1 0.0000

MINIMUM VALUES 1 3 119 119 -0.66102E+08 -0.18715E+09 0.17886E+07 0.17829E+07

MAXIMUM VALUES NODE 43 158 27 3 3 VALUE 0.16175E+09 0.77807E+07 0.0000 0.18760E+09 0.18738E+09 NODE S1 S2 S3 SINT SEQV NODE S1 S2 S3 SINT SEQV 1 0.0000 -0.66102E+08-0.13701E+09 0.13701E+09 0.11868E+09 142 0.14856E+08 0.0000 -0.10014E+07 0.15858E+08 0.15382E+08 2 0.0000 -0.37278E+06-0.35719E+07 0.35719E+07 0.34009E+07 143 0.17358E+08 0.0000 -0.12477E+07 0.18606E+08 0.18014E+08 3 0.44948E+06 0.0000 -0.18715E+09 0.18760E+09 0.18738E+09 144 0.18924E+08 0.0000 -0.92291E+06 0.19847E+08 0.19402E+08 4 0.0000 -0.28016E+07-0.15801E+09 0.15801E+09 0.15663E+09 145 0.21690E+08 0.0000 -0.15469E+07 0.23237E+08 0.22504E+08 5 0.82239E+06 0.0000 -0.14959E+09 0.15041E+09 0.15000E+09 146 0.24217E+08 0.0000 -0.10945E+07 0.25312E+08 0.24783E+08 . 147 0.27388E+08 0.0000 -0.96859E+06 0.28356E+08 0.27885E+08 . 148 0.30518E+08 0.0000 -0.88729E+06 0.31405E+08 0.30971E+08 38 0.11506E+09 0.0000 -0.10792E+06 0.11517E+09 0.11511E+09 149 0.33658E+08 0.0000 -0.82443E+06 0.34483E+08 0.34078E+08 39 0.12461E+09 0.0000 -0.12394E+06 0.12473E+09 0.12467E+09 150 0.36781E+08 0.0000 -0.78435E+06 0.37565E+08 0.37179E+08 40 0.13417E+09 0.0000 -44061. 0.13422E+09 0.13419E+09 151 0.39896E+08 0.0000 -0.71376E+06 0.40609E+08 0.40257E+08 41 0.14416E+09 0.0000 -0.15090E+06 0.14431E+09 0.14424E+09 152 0.46014E+08 0.0000 -0.58085E+06 0.46595E+08 0.46307E+08 42 0.15560E+09 0.10464E+07 0.0000 0.15560E+09 0.15508E+09 153 0.48841E+08 0.0000 -0.42344E+06 0.49265E+08 0.49054E+08 43 0.16175E+09 0.0000 -0.28286E+07 0.16458E+09 0.16318E+09 154 0.50759E+08 61121. 0.0000 0.50759E+08 0.50729E+08 44 0.15793E+09 0.0000 -0.45919E+07 0.16252E+09 0.16027E+09 155 0.55910E+08 0.0000 -0.15928E+07 0.57502E+08 0.56723E+08 45 0.14482E+09 0.0000 -0.15841E+07 0.14641E+09 0.14562E+09 156 0.56103E+08 0.0000 -0.10893E+08 0.66996E+08 0.62268E+08 46 0.12880E+09 0.31804E+07 0.0000 0.12880E+09 0.12724E+09 157 0.52132E+08 0.0000 -0.84253E+07 0.60557E+08 0.56815E+08 47 0.12198E+09 0.36585E+07 0.0000 0.12198E+09 0.12019E+09 158 0.44559E+08 0.77807E+07 0.0000 0.44559E+08 0.41223E+08 48 0.12301E+09 0.0000 -0.45923E+06 0.12347E+09 0.12324E+09 159 0.40142E+08 0.71188E+07 0.0000 0.40142E+08 0.37098E+08 49 0.12679E+09 0.0000 -0.20629E+07 0.12885E+09 0.12783E+09 160 0.42015E+08 0.0000 -0.37365E+07 0.45752E+08 0.44002E+08 50 0.12711E+09 0.12438E+06 0.0000 0.12711E+09 0.12705E+09 161 0.43682E+08 0.0000 -0.18472E+07 0.45529E+08 0.44634E+08 51 0.12429E+09 7443.5 0.0000 0.12429E+09 0.12428E+09 162 0.42906E+08 0.0000 -0.11328E+06 0.43020E+08 0.42963E+08 52 0.12116E+09 11855. 0.0000 0.12116E+09 0.12116E+09 163 0.42137E+08 21589. 0.0000 0.42137E+08 0.42126E+08 53 0.11825E+09 20756. 0.0000 0.11825E+09 0.11824E+09 164 0.40566E+08 0.0000 -66706. 0.40633E+08 0.40599E+08 . 165 0.39561E+08 0.0000 -42827. 0.39603E+08 0.39582E+08 . . , 268 0.75526E+07 0.0000 -0.55846E+07 0.13137E+08 0.11420E+08 135 0.0000 -0.55818E+07-0.52528E+08 0.52528E+08 0.49972E+08 269 0.61881E+07 0.0000 -0.66857E+07 0.12874E+08 0.11152E+08 136 0.0000 -0.13646E+06-0.83338E+08 0.83338E+08 0.83270E+08 270 0.26169E+07 0.0000 -0.72020E+07 0.98189E+07 0.88070E+07 137 0.33265E+07 0.0000 -0.11747E+08 0.15074E+08 0.13716E+08 271 0.16473E+06 0.0000 -0.68180E+07 0.69828E+07 0.69019E+07 138 0.86153E+07 0.0000 -0.35028E+08 0.43643E+08 0.40037E+08 272 0.54112E+07 0.0000 -0.71805E+07 0.12592E+08 0.10941E+08 139 0.49420E+07 0.0000 -0.16454E+08 0.21396E+08 0.19403E+08 273 0.51434E+07 0.0000 -0.97406E+07 0.14884E+08 0.13093E+08 140 0.18085E+08 0.0000 -0.43181E+08 0.61266E+08 0.54522E+08 274 0.18977E+07 0.0000 -0.17509E+08 0.19407E+08 0.18531E+08 141 0.97192E+07 0.0000 -0.12102E+07 0.10929E+08 0.10377E+08 275 0.11371E+08 0.79036E+06 0.0000 0.11371E+08 0.10997E+08

Tabla 7.4 Esfuerzos que se tienen en la viga

La representación grafica del esfuerzo que actúa en toda la viga con ménsula se muestra en la figura 7.21, mientras que en la figura 7.22 de la viga en donde se tiene el esfuerzo normal máximo.

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VIGAS Y SU DISEÑO

Figura 7.21 Esfuerzo de Von Misses en la viga

Figura 7.22 Esfuerzo máximo en la viga Ubicado en el nodo 3 Es importante destacar que cuando se realiza el análisis teórico con el fin de simplificar el análisis se sustituye la ménsula por las resultante que actúan sobre la viga, mientras que el M. E. F. toma en consideración la misma por lo que observa que el esfuerzo máximo se encuentra muy cercano al punto de unión de la ménsula con la viga.

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