DISEÑO DE UN TRANSFORMADOR TOROIDAL DE POTENCIA.docx

DISEÑO DE UN TRANSFORMADOR TOROIDAL DE POTENCIA (Parte 1) Por Por tran transf sfor orma mado dorr toro toroid ida a de !ote !oten" n"ia ia me refi refier ero o a tran transf sfor orma mado dore ress !e#$ !e#$e% e%os os monof&si"os !ero no destinados a medi"i'n ("orriente) "omo es o #$e ait$amente fari"amos en n$estra em!resa sino en transformadores !ara aimenta"i'n de di*ersos ti!os de "ar+a, "ar+a, transforma transformadores dores monof&si"o monof&si"oss "on*en"iona "on*en"ionaes es "onstr$idos "onstr$idos en n-"eos n-"eos toroida toroidaes es.. Los m/todo m/todoss "on*en "on*en"io "iona naes es son de ti!o ti!o !aso !aso a !aso, !aso, ei+ie ei+iendo ndo "ierto "iertoss !ar&metros "omo !$eden ser as dimensiones de n-"eo 0 en $n !aso si+$iente e "ir"$ito e/"tri"o. La idea de este m/todo !ro!$esto "onsiste en dimensionar en $n !aso -ni"o "ondi"ionando dimensiones (!ro!or"iones) 0 !oniendo os !esos de os "ir"$itos e/"tri"o 0 ma+n/ti"o en f$n"i'n $no de otro tomando "omo "onsi+na os !re"ios reati*os de mer"ado "on a inten"i'n de otener e res$tado '!timo "on e menor "osto !osie.  A#$ !resentamos a !rimera !arte de art"$o.

METODO DE CÁLCULO DE UN TRANSFORMADOR TOROIDAL Criterio Técnico – Económico Luis Octavio Corvalán Diseñador de Máquinas Eléctricas

Introducción: Este trabajo pretende incorporar un criterio técnico integral al diseño de un transformador de tipo toroidal e incorporar en el proceso un criterio económico. as máquinas eléctricas son una combinación de circuitos magnéticos ! circuitos eléctricos ! la potencia aparente "#$% "#$% que entregan es proporcional al producto de dos secciones& sección del n'cleo ! sección del cobre. Desde la definición misma (emos que se pueden obtener resultados técnicamente similares (ariando los  pesos de cada circuito de manera independiente siempre que ese producto de secciones "en cm )% se mantenga constante. *ara no dejar esa libertad de selección al capric+o o gusto del diseñador, este trabajo pretende incorporar un criterio económico. Este criterio (a a condicionar la proporción de material magnético ! de material eléctrico a emplear a los precios relati(os de cada uno. Como tenemos libertad para aumentar o disminuir la cantidad cobre "por nombrar un material clásico de los circuitos eléctricos% siempre que disminu!amos o aumentemos en la proporción adecuada el materi material al del n'cle n'cleo o magnét magnético ico manten mantenien iendo do el produc producto to de seccio secciones nes,, (amos (amos a condic condicion ionar  ar  la proporción ideal de diseño (PID)  a la relación de costos de cada material empleado. Esto nos lle(a a definir la siguiente ecuación& (1)

PID = $cu /$ fe

Donde $cu es el precio por unidad "-ilogramo% de cobre ! $ fe es el precio por -ilogramo del material magnético del n'cleo. Con este criterio incorporado en nuestro proceso de diseño (amos a obtener un 'nico resultado que, siendo técnicamente lo deseado, es a su (e económicamente óptimo. El moti(o de contemplar este aspecto es lograr un 'nico proceso matemático que nos arroje en tiempo real un resultado ! que sea obtenido mediante una planilla de cálculo con(encional ! en un solo paso.

Conc!tos Tóricos: Empecemos por definir las caracter/sticas generales del transformador. a potencia aparente del transformador monofásico se puede definir desde el primario o desde el secundario& (2)

P = U 1 .I 1

(3)

 P = U 2 .I 2

Del método general de diseño de transformadores arrancamos analiando los arrollamientos desde un punto de (ista genérico ! no considerando inicialmente ni el ni(el de tensión ni el ni(el de corriente de un arrollamiento en particular. $ continuación demostramos como llegamos a la definición genérica del circuito eléctrico& Tensión en bornes de un arrollamiento& (4)

U=N.e

Donde e es la tensión0espira que es definida por el circuito magnético !  N  el n'mero de espiras del arrollamiento.

La se""i'n trans*ersa tota de "ore ser& a s$ *e2 a s$ma de a se""i'n de "ada aamre !or a "antidad tota de aamres. Como *emos de as e"$a"iones 3 0 4, a !oten"ia a!arente de transformador est& definida !or os !ar&metros de !rimario o de se"$ndario. Si "onsideramos a amos arroamientos, *emos #$e e tota de "ir"$ito e/"tri"o "ontem!a e doble de a !oten"ia a!arente de transformador. S$!oniendo #$e tanto !rimario "omo se"$ndario tienen a misma !oten"ia a!arente, a se""i'n trans*ersa de "ada arroamiento ser& a misma 0 !odemos ded$"ir #$e a se""i'n trans*ersa tota de "ir"$ito e/"tri"o ser& e doe #$e a se""i'n de $no de os arroamientos. S$!oniendo #$e a se""i'n trans*ersa de $n arroamiento de N  es!iras ser&5 S T1 = S Ø   . N 

(5)

Donde S Ø es a se""i'n de $n aamre. La se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o "om!eto ser& e doe de este *aor5 (6)

S T   = 2 . S T1 = 2 . S Ø   . N 

Tami/n !odemos definir a S Ø,  a se""i'n de $n aamre, en f$n"i'n de a soi"ita"i'n de "ore, o #$e amamos  densidad de corriente "$0o smoo es σ. (7)

S Ø   = I/  σ

De donde des!e6amos e *aor de "orriente5 (8)

I = S Ø   . σ

Si e7!resamos S Ø en f$n"i'n de a se""i'n tota de "ir"$ito e/"tri"o res$tar& de a e"$a"i'n 85 (9)

S Ø   = S T /(2.N)  

Cominando as e"$a"iones 9 "on a : otenemos5 (10)

I = S T /(2.N) . σ  

;emos #$e nos referimos en todo momento a a "orriente efi"a2 nomina de $no de os arroamientos sin es!e"ifi"ar "$a. Nos res$tar& indiferente a i+$a #$e e n-mero de es!iras N "orres!ondiente a ese mismo arroamiento, sea este !rimario o se"$ndario.  Aora introd$"iendo os *aores de as e"$a"iones < 0 1= en a e"$a"i'n de !oten"ia a!arente (!$ede ser a 3 o a 4) otenemos a e7!resi'n si+$iente5 (11)

P = S T /(2.N) .σ.N.e  

Lo #$e e*a a5 (12)

P = ½ . S T   . σ . e

La tensi'n es!ira e #$e de!ende de a soi"ita"i'n de n-"eo se+-n a "ono"ida f'rm$a5 (13)

e = 4,44 . B .  . S e . 1! "4

Donde B es a ind$""i'n en e "ir"$ito ma+n/ti"o medido en Tesas (T),   a fre"$en"ia en (>2) 0S e a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito ma+n/ti"o. Reem!a2ando a e"$a"i'n 14 en a 13 otenemos5 (14)

P = ½ . S T   . σ . 4,44 . B .  . S e . 1! "4

Res$miendo5 (15)

P = 2,22 .  . σ . B . S T   . S e . 1! "4

A#$ tenemos definido el concepto básico de toda máquina eléctrica  0 ser& e !$nto de !artida de n$estro "riterio de dise%o. De a e"t$ra de a e"$a"i'n 1? !odemos *er #$e a !oten"ia a!arente de $n transformador de!ende de a fre"$en"ia  , de a soi"ita"i'n de "ir"$ito e/"tri"o σ, de a soi"ita"i'n de "ir"$ito ma+n/ti"o B 0 de men"ionado !rod$"to de se""iones S T.  S e.

El Proceso de Cálculo:

;amos a definir as medidas +eneraes de $n transformador toroida en f$n"i'n de $na -ni"a medida A #$e "orres!onde a a at$ra a7ia de n-"eo de toroide. Todas as medidas restantes ser&n definidas "omo $na !ro!or"i'n de esta medida. Em!e2ando !or  $n n-"eo de ti!o toroida "om!etamente +en/ri"o s$s medidas son as #$e se oser*an en a fi+$ra 15 Definidas as dimensiones de n-"eo as e7!resamos "omo $na !ro!or"i'n de a dimensi'n # e7!resada en ("ms). Lo+ramos as si+$ientes e7!resiones5

1igura 2

$int   = d . #

(16) (17)

% r   = & . #

$e't = $int   2 . % r = (d  2&) . #

(18)

  Donde d  0 & son "oefi"ientes de !ro!or"ionaidad sin dimensi'n. Definidas estas medidas !odemos definir a se""i'n trans*ersa 0 e *o$men de n-"eo5 S e = # . % r   = # . & . # = & . #2 

(19)

 = * . ($ e't 2  " $int 2  )/ 4 . % r 

(20)

Introd$"iendo os "oefi"ientes !ara e7!resar e *o$men en f$n"i'n de  # res$ta5 (21)

 = * . (&2   d . &) . # +

E !eso de "ir"$ito ma+n/ti"o ser& sim!emente e !rod$"to de *o$men !or e !eso es!e"fi"o  e e7!resado en (+rs@"m 4). E !eso de n-"eo e7!resado en +s ser&5 (22)

- e =  .  e /1!!! 

Como men"ionamos en e ini"io de art"$o, a "antidad de "ore 0 a de ierro tendr&n $na !ro!or"i'n '!tima desde e !$nto de *ista e"on'mi"o 0 est&n rea"ionadas !or a roorcin ideal de dise0o (PI$) de manera #$e se "$m!a5 (23)

- e / - c  = PI$ =  c  / e

A#$ "ondi"ionamos e !eso de "ore 0 !or ende e *o$men 0 a se""i'n trans*ersa a !eso de n-"eo de manera ta de eiminaro "omo *ariae inde!endiente. (24)

- e = PI$ . - c 

Panteado este !ro"eso de "&"$o *amos a in"or!orar a a "onfi+$ra"i'n de transformador toroida as dimensiones #$e *an a definir e *o$men de "ore, "omo !$ede a!re"iarse en a fi+$ra 35

1igura 3

La fi+$ra nos !ermite *in"$ar os *o-menes de "ir"$ito e/"tri"o 0 e ma+n/ti"o "on $na -ni"a medida #$e es e di&metro medio. Para amos "asos es astante a!ro7imado estimar #$e os *o-menes ser&n res$tado de m$ti!i"ar as se""iones trans*ersaes !or a "ir"$nferen"ia media5 (25)

 e = * . $3ed  . S e

Esto en "$anto a *o$men de n-"eo #$e e7!resado en f$n"i'n de  # ser&5

 e = * .(d  &). # . & . # 2 

(26)

 e = * .(d  &) . & . # +

(27)

C$ando *amos a e7!resar e *o$men de "ir"$ito e/"tri"o deemos tener "$idado "on a si+$iente diferen"ia f$ndamenta "$ando aamos de se""i'n trans*ersa. En a fi+$ra 4 oser*amos e re"orrido de os "ond$"tores 0 !or o tanto a se""i'n trans*ersa de estos "ond$"tores est& a 9=B res!e"to de a se""i'n trans*ersa de n-"eo.  esta se""i'n +enerar& e *o$men de "ir"$ito e/"tri"o re"orriendo otra distan"ia #$e se oser*a en a fi+$ra 0 #$e amamos esira 3edia ( 5)  !ero #$e $tii2aremos m&s adeante "$ando "a"$emos os !ar&metros e/"tri"os. Para a eta!a a"t$a de "a"$o en #$e estamos determinando !rimero os !esos de os "ir"$itos, *amos a introd$"ir $n "on"e!to #$e soamente nos ser*ir& de a$7iiar de "&"$o 0 #$e amaremos seccin trans6ersal radial de "ir"$ito e/"tri"o 0 #$e re!resentaremos "on e smoo S rc . Res!e"to de esta se""i'n en !arti"$ar !odemos a!i"ar a e"$a"i'n e#$i*aente a a 3? !ero !ara e *o$men de "ir"$ito e/"tri"o5  c  = * . $3ed  . S rc 

(28)

Como *emos #$e as e"$a"iones 3? 0 3: son id/nti"as sa*o #$e $na se refiere a a se""i'n 0 *o$men de n-"eo 0 a otra a a se""i'n 0 *o$men de "ore, !odemos "on"$ir #$e a rea"i'n de *o-menes entre amos "ir"$itos es i+$a a a rea"i'n de se""iones. Di"o esto, *amos aora a rea"ionar os *o-menes '!timos #$e 0a estamos en "ondi"iones de determinar. Saemos #$e os !esos se rea"ionar&n de manera in*ersa a os "ostos e"on'mi"os mediante e !ar&metro #$e amamos  roorcin ideal de dise0o (PI$) 0 #$e e7!resamos en a e"$a"i'n5 (24)

- e = PI$ . - c 

Enton"es aora !odemos *in"$ar este !ar&metro tami/n a os *o-menes de os dos "ir"$itos. A#$ e e"tor !odr& a"er as ada!ta"iones a os materiaes #$e $sar& en a "onstr$""i'n de n-"eo, #$e !$eden ser m$"os, en !arti"$ar "er&mi"os 0 de aea"iones amorfas *ariasi, !ero en e !resente traa6o *amos a s$!oner !ara e "ir"$ito e/"tri"o e $so e7"$si*o de "ore 0 !ara e "ir"$ito ma+n/ti"o fe6es de +rano orientado. Estos materiaes tienen os si+$ientes !esos es!e"fi"os !romedios5 (29)

7 e = 8,9: ;rs/c3+

(30)

7 c  =  7 = 7 el  /7 3a; 

Notemos #$e a#$ no nos referimos es!e"fi"amente a "ore 0 ierro en os s$ndi"es de os !esos es!e"fi"os sino a e/"tri"oG 0 ma+n/ti"oG !ara a"arar #$e se refieren a os materiaes "onstit$ti*os de esos "ir"$itos, sean "$aes f$eran. Esta oser*a"i'n dee tenerse en "$enta de id/nti"a manera a definir e !ar&metro PI$ #$e a"e referen"ia a os "ostos de os materiaes see""ionados. ;o*iendo a "aso de este art"$o, a relacin de densidades o otenemos de os datos de as e"$a"iones 39 0 4=5 (35)

> 7 = 1,19 

Rees"riiendo a e"$a"i'n 44 !ara estos materiaes res$ta5 (48)

 e = 1,19 . PI$ .  c 

 "omo e7!resamos a "omien2o, as se""iones trans*ersaes tienen i+$a rea"i'n entre eas #$e os *o-menes as #$e !odemos afirmar a "ontin$a"i'n #$e5 (4H)

S e = 1,19 . PI$ . S rc 

 des!e6ando de a#$ S rc  otenemos5 (4:)

S rc = S e@(1,19 . PI$)

(39)

S rc  = &2 .#2  /(1,19 . PI$)

Resumiendo:  A#$ *amos a a"er $na des"ri!"i'n de adonde #$isimos e+ar "on e

desarroo asta aora. >emos *in"$ado !rimero as soi"ita"iones de amos "ir"$itos "on a !oten"ia a!arente de transformador toroida. Esta !oten"ia en a +ran ma0ora de os "asos ser& e dato de !artida !ara e dise%o. A "ontin$a"i'n *in"$amos todas as dimensiones fsi"as de toroide "on $na soa dimensi'n, a at$ra a7ia  #.  !or -timo

emos rea"ionado as se""iones trans*ersaes de os "ir"$itos e/"tri"o 0 ma+n/ti"o entre s "onsiderando os !esos es!e"fi"os 0 e !re"io de mer"ado de momento de os materiaes see""ionados. Lo #$e si+$e a "ontin$a"i'n *a a in"or!orar "onsidera"iones !r&"ti"as #$e a"en a a "onstr$""i'n de transformador 0 s$ in"iden"ia en e !ro"eso de "&"$o. El Circuito Eléctrico

Antes de se+$ir "on e dise%o !ro!iamente di"o *amos a est$diar $n !o"o m&s en !rof$ndidad a "onfi+$ra"i'n fsi"a de "ir"$ito e/"tri"o 0 s$ inf$en"ia en a !oten"ia a!arente de transformador. Re"ordemos siem!re #$e a !oten"ia a!arente P e7!resada en (;A) o en (;A) !ara os transformadores m&s +randes es e dato de !artida de "&"$o.  e o6eti*o de este traa6o es #$e sea e -ni"o dato dis!arador de res$tado #$e !rod$2"a $na !ania de "&"$o $na *e2 definido as !ro!or"iones de toroide (d 0 ) 0 e !re"io de os materiaes (PID). Tami/n !ara no "om!i"ar m&s as "osas rea"ionamos a a se""i'n trans*ersa de n-"eo S e no "on a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o S c   sino "on a se""i'n trans*ersa radia S rc , $n !ar&metro definido soo !ara este est$dio #$e reem!a2aremos m&s adeante. Aora miremos a fi+$ra < #$e detaa a se""i'n trans*ersa de n-"eo S e 0 a se""i'n trans*ersa radia S rc . ;amos a a"er as si+$ientes "onsidera"iones +eom/tri"as5 Para modear e transformador rea, $tii2ar dimensiones !r&"ti"as 0 *in"$ar estas dimensiones "on as se""iones S e ,S c 0 S rc  *amos a introd$"ir os "oefi"ientes si+$ientes5 ?actor de llenado del cobre (@c  )A Es a rea"i'n entre a se""i'n rea neta de "ir"$ito e/"tri"o 0 a se""i'n efe"ti*a #$e o"$!a. De a fi+$ra 3 !odemos e7!resar #$e5 (40)

@c = S rc  /(e . % e " &r .#2  )

donde a#$ *in"$amos a se""i'n trans*ersa radia de "ir"$ito e/"tri"o S rc  #$e se refiere a "ore (o a materia "ond$"tor #$e sea) res!e"to de es!a"io fsi"o rea #$e o"$!a, en n$estro "aso e !rod$"to e . % e. menos a se""i'n de n-"eo. A#$ en $n !rimer momento des!re"iamos a "$r*at$ra de as es#$inas de "ir"$ito e/"tri"o, m&s adeante *eremos "omo inf$0e. ?actor de llenado del &ierro (@e )A Es a ma+n/ti"o 0 a se""i'n efe"ti*a #$e o"$!a. Este !ar&metro o *enamos o*iando en e desarroo asta e momento 0 o se+$iremos des!re"iando en e an&isis #$e resta, !ero "on fines "on"e!t$aes es im!ortante men"ionaro. Para n-"eos eaorados de "er&mi"a, aea"iones amorfas $ otras "onfi+$ra"iones #$e son modeadas e fa"tor @e se "onsidera 1. Para e "aso de n-"eos enroados de +rano orientado, si a fari"a"i'n de n-"eo es "om!a"ta e *aor  de @e *ara entre =,98=,9:. ;amos, !or ra2ones de sen"ie2, a o*iar este !ar&metro ("onsideraro 1) asta tener "om!etamente desarroada a matem&ti"a. A#$ e7!resamos a defini"i'n en t/rminos matem&ti"os5 (41)

2  @e = S e /(# . %  ) r  = S e /(&r  . # )

La sección transversal del circuito eléctrico: >aamos definido !or sen"ie2 $na

se""i'n trans*ersa radia de "ir"$ito e/"tri"o #$e no tiene in"iden"ia en a !oten"ia a!arente de transformador !ero es sen"ia de *in"$ar "on a se""i'n trans*ersa de n-"eo, ta "omo i"imos en a e"$a"i'n 4H. Aora *amos a rea"ionar esta se""i'n a$7iiar "on a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o rea #$e ne"esitamos !ara in"or!orar a a e"$a"i'n 1? #$e ser& a ase de todo n$estro est$dio. Si notamos en a fi+$ra 3, *emos #$e a se""i'n trans*ersa radia (en ro6o) no est& "entrada res!e"to de a se""i'n trans*ersa de n-"eo (en +ris). En a fi+$ra 4 anai2amos en detae esta "ara"tersti"a.

1igura 4

A#$ *emos #$e  in C  e' son distintos. Estos *aores "orres!onden a os es!esores de "ir"$ito e/"tri"o, as at$ras radiaes interior 0 e7terior res!e"to de n-"eo toroida. La rea se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o o forma $no de estos es!esores a des"riir $na "ir"$nferen"ia "om!eta de $n di&metro "orres!ondiente a !$nto medio de ese es!esor. Lamemos $ei  0 $ee a esos di&metros medios "orres!ondientes a !$nto medio de as dimensiones  in 0  e' . A#$ !odemos definir a se""i'n trans*ersa de "ir"$ito e/"tri"o. Como a dis!osi"i'n de "ir"$ito e/"tri"o es ir en*o*iendo a "ir"$ito ma+n/ti"o ta "omo se a!re"ia en a i$stra"i'n a "omien2o de este traa6o, es "orre"to afirmar #$e a se""i'n trans*ersa s$!erior (!or f$era de toroide) 0 a interior deen ser  id/nti"as. (