Diseño de un controlador PID para una planta de luz mediante Matlab Escuela Politécnica del Ejército Departamento de Ciencias de la Energía y Mec ánica Ingeniería Mecatrónica Sangolquí, Ecuador, 2012 Jorge P. Sánchez A.
[email protected]
Diego W. Vera A.
[email protected]
Resumen – Este artículo trata sobre el control de una planta de luz utilizando un algoritmo en Matlab de
un controlador clásico PID. La propuesta del diseño del controlador pretende superar los inconvenientes del controlador PID siempre y cuando el sistema lo requiera, tales como el windup, debido a la saturación y las respuestas a las perturbaciones. Para esto se ha armado una planta de luminosidad con led’s que le permita obtener valores de luminosidad luminosidad con respecto al valor valor que el sensor nos entrega y así probar en varias situaciones posibles la eficiencia y las fallas del controlador. Palabras Claves -- Controlador, PID, LDR, LED, PWM, Windup, Matlab Abstract -- This article is about the control of a power plant using an algorithm in Matlab of a classic PID
controller. The proposed design of the controller aims to overcome the drawbacks of the PID controller provided that the system requires it, such as the windup, due to saturation and the response to disturbances. For this we have assembled a plant with bright LEDs that lets you get brightness values relative to the sensor value and sample Delivery us in various situations possible efficiency and controller failures. Keywords -- Controller, PID, LDR, LED, PWM, Windup, Matlab
1. Introducción
El controlador PID es el algoritmo de control
muestreo del sistema de limita el ancho de banda y las ganancias en lazo cerrado.
más común y más usado generalmente en la
A continuación desarrollaremos varios puntos
mayoría de procesos. Existen varios métodos de
donde se desarrollara el controlador PID
sintonización y son asumidos bajo condiciones
tomando en cuenta las condiciones necesarias
ideales, como por ejemplo ancho de bandas y
para que la planta se estabilice en el set point
ganancias infinitas. De hecho, en la mayoría de
ingresado. A continuación hablaremos sobre el
las aplicaciones, la medición del ruido, la gama
controlador PID básico, en el tercer punto se
de la variable manipulada y la frecuencia de
describirán los componentes de nuestra planta
1
y como se obtuvo la función de transferencia y
del Matlab como el pidtool para sistemas de
el control.
mayor orden.[1]
2. Controlador PID Básico
3. Problemas del controlador PID
En general, el controlador PID toma como
El controlador PID presenta dos problemas el
entrada el error o la diferencia deseada entre el
windup y el derivative kick. El windup se
set point y la salida, a la vez es un controlador
presenta por saturación del integrador lo cual
efectivo para sistemas lineales,
hace que el error se incremente haciendo que
pero no es
capaz de controlar un sistema no lineal. Los
controladores
PID
consistes
el controlador falle. Para poder prevenir este en
tres
términos:
efecto se puede limitar el valor máximo del suturador y reiniciarlo cuando llegue al máximo. Para el derivative kick se debe tener en cuenta
-
La acción proporcional.
el tiempo de muestro ya que tiempos muy
-
La acción derivativa, la cual da una
pequeños van a llegar a llenar la memoria y el
respuesta más rápida.
proceso se volverá mas lento y se puede llegar a
La acción integral que elimina el error
colgar por otro lado tiempos de muestreo muy
en estado estacionario.
grandes pueden llegar a perder datos, para
-
calcular el tiempo de muestreo adecuado Una
implementación
un
podemos dividir el tiempo de establecimiento
controlador digital PID puede ser expresado
para 8 o para 10, o sino sumar los tiempos de
como:
procesamiento
= ∗ + − +
∗
típica
+∗∗
de
− −
Donde:
de
los
datos
del
microcontrolador mas las pausas que se da en la programación. 4. Descripción de la planta
Kp: Constante Proporcional
4.1 LDR
Td: Tiempo Derivativo
Es un componente electrónico cuya resistencia
Ti: Tiempo Integral e(k): Error Actual e(k-1): Error Anterior
disminuye con el aumento de intensidad de luz incidente perpendicular a la cara. Para un control de luz se puede adaptar la iluminación a los requerimientos visuales e interpretar la arquitectura, siendo así para
ui(k-1): Sumatoria de las áreas T: Tiempo de Muestreo
nuestra planta la LDR lo ubicamos en la parte superior (esquina de la caja), tomando en cuenta la dirección que va a tomar la LDR con
Los métodos para encontrar un controlador PID
respecto a la luz para que pueda captar la
para sistemas de primer orden es Ziegler –
mayor luminosidad de la planta y así obtener un
Nichols de lazo abierto y Ziegler – Nichols de
rango de voltaje coherente para el control.
lazo cerrado. También se pueden usar métodos analíticos como LGR o utilizando herramientas 2
“La ventaja de los sistema de control de luz especiales radica en su orientación a los requisitos que exige la creación de proyectos de iluminación y su complejidad menor en comparación con los extensos sistemas para el control de edificios” [2]
4.3 Comunicación Serial
Para la comunicación entre el microcontrolador y la computadora se uso un protocolo RS-232 muy
conocido
en
el
uso
de
diferentes
aplicaciones. En este caso se envía un dato a través de la computadora, es decir nuestro set point de luminosidad, la planta recibe y
4.2 Acondicionamiento del sensor
transmite el valor sensado en forma bytes de El acondicionamiento que se realizo para
información, la computadora recibe, procesa el
nuestro sensor resistivo fue con el fin de
dato y transmite un nuevo dato a la planta. [3]
obtener un voltaje puro a la salida, como fue el caso de tener una variación de 0 – 5V, este
El tipo de conector que se utilizo es un DB9,
rango este dado por el efecto que tiene la LDR
usando
frente al aumento (oscuro) y disminución (claro)
3(recepción) y 5(tierra), logrando así en nuestra
de la resistencia, para ello fue necesario realizar
comunicación un modo Half Duplex, en el que la
un divisor de voltaje para enviar una señal al PIC
transmisión de datos se realiza en ambos
siempre y cuando se mantenga dentro de la
sentidos, se envían datos del emisor a receptor
tensión mencionado. Para mejorar la señal, el
y viceversa, pero no al mismo tiempo.
seguidor de tensión es aquel circuito que proporciona a la salida la misma tensión que a
solo
los
pines
2(transmisión),
5. Modelamiento del Sistema
la entrada, independientemente de la carga que
Para modelar el sistema se saco primero la
se le acopla, es importante en la amplificación
ecuación del sensor y luego la relación para
de señales que teniendo un buen nivel de
poder obtener una entrada en porcentaje de
tensión son de muy baja potencia y por tanto se
luminosidad y una salida en porcentaje de
atenuarían
luminosidad.
en
el
caso
de
conectarlas
a
amplificadores y microcontroladores.
Fig. 2. Gráfico de adquisición de datos. Fig. 1. Circuito de acondicionamiento para una ldr.
3
-
Sistema de Primer orden con retardo (P1D) Kp G(s) = ---------- * exp(-Td*s) 1+Tp1*s
Kp = 1.1485 Tp1 = 0.001 Td = 24.008 -
Sistema de Segundo Orden (P2) Kp G(s) = -----------------(1+Tp1*s)(1+Tp2*s)
Fig. 3. Seguimiento de la regresión lineal con una nueva toma de datos.
Con
esto
utilizamos
la
herramienta
de
identificación de sistemas de Matlab en la cual exportamos nuestros datos en dominio del tiempo y lo procesamos ajustando a un sistema de primer orden, sistema de primer orden con
Kp = -3.937e+007 Tp1 = 5.0831e+006 Tp2 = 6.2305e+006
retardo y un sistema de segundo orden. Luego
de
analizar
las
diferentes
aproximaciones, se ha seleccionado el sistema de primer orden (P1) la cual es estable y podemos
analizar
utilizando
los
métodos
analíticos, ya que el sistema con retardo no presenta la forma necesaria para sintonizarlo por Ziegler – Nichols y el sistema de segundo orden al tener la ganancia negativa es inestable. 6. Diseño del Controlador
Para obtener las constantes del controlador se analizaron diferentes métodos analíticos tales Fig. 4. Ajuste de datos a diferentes modelos de sistemas
como:
p1, p2, p3.
-
LGR y PID analítico
Sistema de Primer orden (P1) Luego del desarrollo de cada método, para Kp G(s) = ---------1+Tp1*s
Kp = 1.0226 Tp1 = 5.5199
obtener las constantes más deseadas se pudo llegar a la conclusión, de que para LGR y PID analíticos nos es muy conveniente,
ya que
nuestra planta seleccionada del ident es de primer orden, por lo que no es muy necesario 4
analizar por estos dos tipos de métodos, ya que
Dando
son usadas para sistemas de segundo orden.
proporcional de 1.22, la constante integral y
-
Ziegler Nichols (lazo abierto y lazo cerrado)
como
resultado
una
constante
derivativa son 0, cabe resaltar que estabilizar una
planta
sin
conocer
su
función
de
transferencia es muy complicado en especial
Por lazo abierto: No tiene la forma de “S”
porque las plantas de luz son muy sensibles
característica, lo cual no permite ser analizada.
ante las perturbaciones.
Por lazo cerrado: Al ser de primer orden la planta, y tener un sistema sobreamortiguado ( >1),
oscila,
lo
que
no
permite
ser
analizada.[4],[5]
-
Por aproximaciones
En este caso los factores que se pudo tener fue la imposición de los parámetros de desempeño para el desarrollo del método, lo que involucra un desarrollo empírico lo que tampoco resulto ser conveniente par nuestro controlador.
Fig. 5(a). Determinación de constante de
También se hizo uso de herramientas de
proporcionalidad.
software para la sintonización de las constantes tales como:
-
Por pidtool
Al usar la herramienta del matlab pidtool las constantes que nos da como resultado son demasiado grandes y el sistema se estabiliza en un tiempo demasiado grande. Además cuando el sistema es físicamente imposible de ser controlado la grafica de control effort no aparece.
-
Por sisotool
En el sisotool de matlab podemos calcular un controlador
por
los
métodos
clásicos
y
manipular los polos o ceros para poder encontrar
un
controlador
satisfagan
las
Fig. 5(b). Diagramas de bode y LG registrada por el sisotool.
necesidades para la planta de luz.
5
mejora el error en estado estacionario pero
7. Resultados
Luego de analizar las graficas de los diferentes controladores que hemos diseñado, se puede observar que el controlador proporcional es suficiente ya que la planta es estable, lo que le hace es oscilar y la vuelve más rápida, el
tampoco la hace cero esto es debido a los diferentes factores externos que tiene nuestra planta, ya sea por ruido o por el tiempo de respuesta
que
se
esta
utilizando
en
la
transmisión de datos.
controlador proporcional integral mejora el error en estado estable. La planta tiene como resultado el tipo de controlador que al final de la identificación y análisis de sintonización se selecciono, basta con hacer un seguimiento de luminosidad con respecto
a
la
regresión
que
se
realizó
obtenemos un error mínimo con respecto una de
la
otra
gráfica.
Estas
pruebas
nos
permitieron ver los parámetros necesarios par mejorar nuestro control, resultado que implico mejorar el error solo con un proporcional, luego de este análisis se pudo concluir que el uso de una sola constante mejoraría el controlar para
Fig. 6(b). Gráfica para un proporcional – integral (PI).
8. Conclusiones
la planta de luz, cabe señalar también que la planta
responde
establemente
frente
a
cualquier perturbación.
- Para tener un respaldo de las constantes del controlador se analizó analíticamente por varios métodos para la sintonización de las mismas, pero no siempre lo teórico o los métodos conocidos
no
fueron
lo
suficientemente
garantizados ya que las constantes que nos daban eran muy elevadas, lo que provocaba una mayor oscilación y a la vez nunca el sistema se llegaba a estabilizar, por tal motivo se analizo el sistema por medio de la herramienta sisotool, pero por este medio tampoco lo estabilizaba, lo que involucro una nueva sintonización de prueba y error para llegar a estabilizar toda la planta. Ya en la práctica se pudo observar como mejora el parámetro de desempeño del error Fig. 6(a). Gráfica para un proporcional (P).
Más allá de evaluar las constantes con métodos empíricos como es el de prueba y error, se pudo visualizar que una constante integral nos
en estado estacionario cuando se trabaja con un proporcional, mientras que con un PI trata el sistema de hacer el error totalmente cero pero, por factores externos este no lo permite, solo tiende a cero. 6
9. Referencias
[1] Handbook of PI and PID controller tuning rules. [2] U.R.L:www.erco.com [3]U.R.L:www.webelectronica.com.ar/news26/ nota01.htm [4]U.R.L://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519 /teaching/caut1/Apuntes/C07.pdf [5] Feedback Control Systems, Phillips & Harbor, 3ra Edición.
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