DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES CON EL METODO DIRECTO

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DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES CON EL METODO DIRECTO INTRODUCCION:

Las losas armadas en dos direcciones son losas que transmiten las cargas aplicadas a través de flexion en dos sentidos . este comportamiento se observa en losas en las cuales la relación entre su mayor y menor dimensión es menor que 2 . A lo largo del tiempo, los métodos de diseño de este tipo de estructuras han ido variando . en un inicio . el desconocimiento del comportamiento real de este tipo de estructuras llevo a la creación de patentes para su diseño y construcción , antes de entrar en servicio , las losas eran sometidas a pruebas y el proyectista daba una garantía por un periodo determinado de tiempo . los procedimientos de diseño empleados consideraban erradamente, que parte de la carga aplicada sobre losas generaba esfuerzos en una dirección y el resto tenia un efecto similar a la otra . es decir , la carga se repartía en las direcciones principales. TIPOS DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES En un inicio . las losas armadas en dos direcciones se apoyaban sobre vigas en sus cuatro lados dando lugar a los sistemas de vigas y losas , como el mostrado en las figuras siguientes . conforme se fue conociendo mejor el comportamiento de estas estrucuturas se fue prescindiendo de las vigas y se desarrollaron losas planas , flat plate o flat slab (losas planas) , este tipo es eficiente y económico cuando actua bajo cargas de gravedad , sin envargo , su poca rigidez lateral lo hace inconveniente en regiones de alta sismicidad . el encofrado de losas planas es mas económica que el de sistema de vigas y losas . además , son erigidas en menos tiempo y permiten aprovechar mejor el espacio vertical de las edificaciones . el tendido de tuberías es mas sencillo por la ausencia de vigas en el techo . por ello, en zonas de baja sismicidad , las losas planas son muy utilizadas . son económicas para luces mayores de 6m. En ocaciones , las losas planas presentan problemas de punzonamiento alrededor de las columnas . no es posible una adecuada transferencia de las cargas aplicadas sobre la losa hacia la columna . en estas situaciones es posible incrementar el espesor de la losa sobre el apoyo para aumentar la sección de concreto que resiste el corte . este ensanchamiento se denomina CONCRETO ARMADO II

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abaco o panel . también se suele hacer uso de capiteles en las figuras se muestran una losa plana provista de paneles apoyadas en columnas con capiteles. Este sistema es conveniente para luces de 6-9m . sometidos a cargas mayores a 500kg/m2. Al igual que las losas nervadas es una dirección , también existen losas nervadas en dos direcciones como las mostradas . sobre las columnas . la losa es macisas para evitar el punzonamiento . esta estructura permite reducir la carga muerta que sostiene y cubrir luces mayores . su uso es inconveniente en tramos de 7.5 a 12m . el vacio dejado por la reducción de la sección de la losa puede quedar abierto o ser rellenadas por ladrillos.

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PROCEDIMIENTOS DE ANALISIS Y DISEÑO SEGUN LA NORMA E - 060 De acuerdo a la Norma Nacional E-060 el análisis de una losa armada en dos direcciones se puede realizar mediante cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad si se demuestra que cumple con los requisitos de resistencia requerida (amplificación de carga y reducción de capacidad) y las condiciones de servicio relativas a deflexiones y agrietamiento. Para losas armadas en dos direcciones que tienen paños rectangulares ó cuadrados, con ó sin vigas de apoyo, considerando cargas uniformemente repartidas, se pueden utilizar los siguientes métodos aproximados : - Método de los Coeficientes.- ( Solo se puede usar para losas apoyadas en todos sus bordes ). - Método Directo.- ( Se puede usar para losas apoyadas en los bordes y para losas apoyadas solamente en las columnas ).

METODO DIRECTO El Método de Diseño Directo es un procedimiento aproximado para analizar sistemas de losas en dos direcciones solicitados exclusivamente por cargas gravitatorias. Debido a que se trata de un procedimiento aproximado, la aplicación de este método se limita a los sistemas de losas que satisfacen las limitaciones especificadas mas adelante . Los sistemas de losas en dos direcciones que no satisfacen estas limitaciones se deben analizar mediante procedimientos más exactos tal como el Método del Pórtico Equivalente especificado Con la publicación de ACI 318-83, el Método de Diseño Directo simplificó enormemente el análisis de los momentos de los sistemas de losas en dos direcciones, ya que se eliminaron todos los cálculos de las rigideces para determinar los momentos de diseño en un tramo extremo. Las expresiones para calcular la distribución en función de la relación de rigidez αec fueron reemplazadas por una tabla de coeficientes de momento para distribuir los momentos totales en los tramos finales). Otro cambio introducido fue que la anterior ecuación aproximada (13-4) para transferencia de momento no balanceado entre la losa y una columna interior también se simplificó, eliminando el término de αec. A partir de estos cambios el Método de Diseño Directo se transformó en un procedimiento de diseño verdaderamente directo, uno que permite determinar todos los momentos de diseño mediante la aplicación de coeficientes de momento. Además, se incorporó un nuevo artículo 13.6.3.6, que CONCRETO ARMADO II

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contiene un requisito especial para el corte debido a la transferencia de momento entre una losa sin vigas y una columna de borde, y que se aplica cuando se utilizan los coeficientes de momento aproximados.

Definiciones básicas: a. Franja de Columna.- Es una franja de diseño con un ancho a cada lado del eje de la columna igual a 0.25 L2 ó 0.25 L1 , el que sea menor. Las franjas de columna incluyen a la viga si estas existen. b. Franja intermedia.- Es una franja de diseño limitada por 2 franjas de columnas.

Limitaciones : a) Deben tener como mínimo 3 paños continuos en cada dirección. b) Los paños( tableros) deben ser rectangulares con una relación largo a corto ( eje a eje) no mayor de 2. c) Las luces (claros) de los paños sucesivos deben ser parecidas no difiriendo en más de un tercio de la luz mayor. d) Las columnas deben estar alineadas, permitiéndose como máximo un desalineamiento del 10% del claro del paño desde cualquier eje que una los centros de columnas sucesivas. e) Las cargas serán solo de gravedad (cargas verticales ) y serán uniformemente repartidas en todos los paños. f) La sobrecarga o carga viva no excederá 3 veces la carga muerta. g) Para un paño con vigas, la relación de rigideces de las vigas en las dos direcciones no será menor de 0.2 ni mayor de 5.

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Momento estático total para un paño : Para carga uniforme, el momento de diseño total Mo para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático:

siendo wu la combinación mayorada de carga permanente y sobrecargas , wu = 1,2wd+1,6wℓ. La luz libre ℓn (en la dirección de análisis) se define de manera directa si las columnas u otros elementos de apoyo tienen sección transversal rectangular. La luz libre comienza en la cara del apoyo. Mas adelante se define lo que es la cara del apoyo. Una limitación requiere que la luz libre no se tome menor que 65% de la luz medida entre los centros de los apoyos . La longitud ℓ2 es simplemente la luz (entre centros) transversal a ℓn. Sin embargo, cuando se considera un tramo adyacente a un borde y paralelo al mismo, para calcular Mo se debe sustituir ℓ2 por la distancia entre el borde y el eje del panel de losa considerado 

ℓ2=( ℓb+ ℓc)/2



ℓ2= ℓa + ℓb/2

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DISTRIBUCION DEL MOMENTO ESTATICO TOTAL EN MOMENTO POSITIVO Y NEGATIVO (momentos longitudinales) El momento estático total de un tramo se divide en momentos de diseño positivos y negativos como se ilustra en la Figura. En ella se ilustran los momentos en el tramo extremo de una placa plana o una losa plana sin vigas de borde (sistemas de losa sin vigas entre sus apoyos interiores y sin viga de borde). Para otras condiciones el momento estático total Mo se distribuye como se indica en la Tabla 19-1.

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Para paños interiores :  

Momentos negativos : M (-) = 0.65 Mo Momentos positivos : M (+) = 0.35 Mo

Para paños exteriores:

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El caso “normal” y más usado en el Perú será el de losas con vigas, y por tanto :

Los momentos calculados con la tabla 19.1 son también los que actúan en caras de columnas como se en las figuras anteriores. Cuando los momentos no son iguales , como suele suceder en la primera columna interior , se debe diseñar con el momentos mayor , o bien , distribuirlo el momento de desequilibrio entre los miembros que concurren al nudo de acuerdo con su rigidez. Cuando exista vigas de borde perpendiculares a la dirección en que se hace el análisis , los momentos torsionantes a dicha vigas , lo cual debe ser considerado en su diseño . cuando no existen dichas vigas, se debe considerar que una franja de losa que actua como viga de borde resiste el momento torsionante correspondiente . El reglamento del ACI 318-02 especifica que el momento que se transfiere en este caso , debe ser igual al momento resistente de la franja de columnas , como se muestra en la figura siguiente. Una fracción de este momento dado por la ecuación :

√ CONCRETO ARMADO II

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Debe transferirse por flexion entre la losa y la columna, considerando para estos efectos un ancho de losa igual al ancho de la columna en dirección perpendicular a la del momento, C2 , mas una ves y medias el espesor de la losa ,1.5h, a cada lado del paño de columnas . la fracción restante del momento debe ser transferida por excentricidad de la fuerza cortante.

DISTRIBUCION DE LOS MOMENTOS A LO ANCHO DE LA FRANJA 1. Momentos para la franja de columna : Los porcentajes de momentos en la franja completa que corresponden a la franja de columnas se presenta en la tabla siguiente La franja de columna debe diseñarse para resistir los siguientes porcentajes:

- Momento Negativo Interior :

L2 / L1 LL 1 L2 / L1  1  CONCRETO ARMADO II

0.5 75 90

1 75 75

2 75 45

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- Momento Negativo Exterior :

L2 / L1

0.5

1

2

LL t = 0 t2.5 1 L2 / L1  1 t = 0 t  2.5

100 75 100 90

100 75 100 75

100 75 100 45

0.5 60 90

1 60 75

2 60 45

- Momento Positivo :

L2 / L1 LL 1 L2 / L1  1

En todos los casos, se podrá efectuar interpolaciones lineales 2. MOMENTOS EN LA FRANJA CENTRALES: La diferencia entre 100 por ciento y el porcentaje asignado a las franjas de columnas. La porción de momento negativo o positivo no resistido por la franja de columna será resistido por la franja central Cada franja central debe resistir la suma de los momentos asignados a sus dos mitades.

3. MOMENTOS PARA LA VIGA Y PARA LA LOSA COMPRENDIDA EN LA FRANJA DE COLUMNA: Las vigas tomarán el 85% de los momentos asignados para la franja de columna si : 1

Para cuando 1

L2  1.0 L1

L2  0 , no hay vigas, y por lo tanto toda la franja de columna será L1

de losa. CONCRETO ARMADO II

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UNIVERSIDAD RICARDO PALMAPara valores de 1

L2 L1

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mayores de cero y menores de 1 (vigas poco rígidas) se

interpolará entre el 85% y el 0% para obtener el porcentaje que toma la viga. Adicional a estos momentos obtenidos para la viga deberá considerarse los momentos actuantes debido a cargas aplicadas directamente sobre ella.

DEFINICIÓN DE Y T : rigidez a flexión de la losa con un ancho igual a L2 (L2 es igual al promedio de 2 paños si se tienen luces diferentes).



Ec b I b Ec s I s

b = beam (viga) s = Slab (losa)

Normalmente Ecb = Ecs ; por lo tanto  

Ib Is

Si se determina en la dirección L1 se denomina 1 y si se determina en la dirección L2 se denomina 2. t es la relación de la rigidez torsional de la viga de borde (perpendicular a L1) a la rigidez ó flexión de un ancho de losa igual a L2. t 

Ec b C 2 Ec s I s 3

donde

 x x y C   1  0.63  y 3 

Para la viga de borde cuya rigidez a torsión comparamos. Para efectos de calcular C la viga se considera como una viga T.

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A continuación un ejemplo de cálculo del valor c: Viga 30 x 60 y losa h = 15

Definido el ancho de la viga T evaluamos C dividiendo esta en dos rectángulos de lados x e y siendo x < y. a)

b)

Se escoge el mayor valor de "C" Para el cálculo de Lb se considera una viga T con un ancho definido como: el ancho que incluya una porción de losa a cada lado de la viga, igual a lo descrito anteriormente.

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Para el cálculo de " Is " se considera L2 como ancho y por tanto será :

Is

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1 L2 hs3 12

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PERALTES MINIMOS El reglamento del ACI 318-02 especifica que las losas sin vigas interiores deben tener los peraltes totales minimos señalados en la tabla 19.4, pero estos peraltes no serna menores de 12.5cm para losas sin ábacos o con 10cm para losas con ábacos . en forma alternativa, los peraltes totales minimos serna por lo menos iguales a los valores calculados con las ecuaciones 9-16 y 9-17 , el que resulta mayor , aunque no necesitan ser mayores que el calculado con la ecuación d . los peraltes totales minimos de losas con vigas deben calcularse con las ecuaciones 9-16 , 9-17, c en la forma explicada.

En estas ecuaciones , αm es el valor promedio del parámetro α en las vigas que limitan el tablero de losa en consideración ; y β es la relación entre el claro libre mayor y el claro libre menor

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REGLAMENTO A USAR MÉTODO DIRECTO

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EJERCIO DE APLICACION PROBLEMA.

SOLUCION: Paso 1.- Revisión de las limitaciones para poder usar el método: a) Se cumple. Hay 3 claros en una dirección y 4 en la otra. b) Relación entre claro largo y claro corto 6  1 . 5  2 .0 4

Se cumple.

c) Diferencia máxima entre claros sucesivos: 5 – 4 = 1 m < 5 / 3 = 1.7 m. Se cumple. d) Las columnas están alineadas. Se cumple. e) Las cargas son uniformemente repartidas. Se cumple. f) Carga muerta: W (losa) = 2400 x 0.14 = 336 Kg /m² CONCRETO ARMADO II

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UNIVERSIDAD RICARDO PALMAW(recubrimiento) =

QUISPE LEDESMA FREDY 110 Kg / m²

 Carga muerta

446 Kg / m²

Carga viva: 800 Kg /m² w viva 800   1.79  3 w muerta 446

Se cumple.

g) Relación de rigideces I Vigas interiores de 6 m. de largo:

Ib 

1.8  25  60 3  81 .0  10 4 12

b h3 450  14 3   10 .3  10 4 12 12 I 81.0  b   7.9 I s 10.3 Is 

cm 4

cm 4

II Vigas de borde de 6 m de largo:

Ib 

1.55  25  60 3  69.7  104 12

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cm 4

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3

2.62.5  14  6.0  104 12 I 69.7  b   11.6 Is 6.0

Is 

cm 4

III Vigas interiores de 5 m. y 4 m.:

1.5  25  50 3  39  10 4 cm 4 12 312 .5  14 3 Is   7.1  10 4 cm 4 12 I 39  b   5.5 I s 7 .1 Ib 

IV Vigas de borde de 5m. y 4 m.:

1.75  25  50 3  45 .0  10 4 cm 4 12 312 .5  14 3 Is   7.1  10 4 cm 4 12

Ib 



I b 39.0   5.5 Is 7.1

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V Resumen de valores  



  Para el tablero I En la dirección horizontal 1 L22  2 L12



11.6  7.9  5 2 5.5  3.3  6 2

 1.54 ; 0.2  1.54  5.0

OK

En la dirección vertical 1 L22  2 L12



5.5  3.3  6 2 11.6  7.9  5 2

 0.65 ; 0.2  0.65  5.0

OK

Para el tablero II En la dirección horizontal

1 L22 7.9  7.9  4 2   0.80 ; 0.2  0.80  5.0  2 L12 5.5  3.3  6 2

OK

En la dirección vertical 1 L22  2 L12



5.5  3.3  6 2 7.9  7.9  5 2

 1.25 ; 0.2  1.25  5.0

OK

Para el tablero III En la dirección horizontal

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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA1 L22



11.6  7.9  5 2 3.3  3.3  6 2

 2.05 ; 0.2  2.05  5.0

OK



3.3  3.3  6 2 11.6  7.9  5 2

 0.49 ; 0.2  0.49  5.0

OK

 2 L12 En la dirección vertical 1 L22  2 L12

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Para el tablero IV En dirección horizontal

1 L22 7.9  7.9  4 2   1.06 ; 0.2  1.06  5.0  2 L12 3.3  3.3  6 2

OK

En la dirección vertical 1 L22  2 L12





3.3  3.3  6 2 7.9  7.9  4 2

 0.94 ; 0.2  0.94  5.0

OK

En todos los casos se cumple la limitación (g).

2. Revisión del Peralte Mínimo Se verificará el tablero I, por ser el más desfavorable. Ln = 6.00 - .40 = 5.60 m. 

560  1.22 460

s 

Luego:

m 

11.6  7.9  5.5  3.3  7.1 4

65  0.5 6  2  5  2

h

560 800  0.071  4200  1   36,000  5,000  1.22 7.1  0.5 1  0.5 1    1.22   

h = 8.0 cm. h

560 800  0.071 4200 36,000  5,000  1.22 1  0.5

h = 13.6 cm.

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(1)



(2)

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UNIVERSIDAD RICARDO PALMAh

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560 800  0.071 4200 36,000

h = 17.0 cm. Se toma el mayor valor entre ( 1 ) y ( 2 ) y por lo tanto el valor supuesto de 14 cm, es adecuado.

3. MOMENTO ESTATICO TOTAL: Calculo de Wu:

Wu=1.4x451+1.7*900=1981kg/m2=1.98t/m2 Eje A , todos los claros:

Eje B , todos los claros:

Eje 1 , claro AB:

Eje 1 , claro BC:

Eje 2 , claro AB:

Eje 2 , claro BC:

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4. MOMENTOS LONGITUDINALES: Ejes A y D: M1-2(-)=0.16Mo=0.16x20.37=3.26t-m M1-2(+)=0.57Mo=0.57x20.37=11.61t-m M2-1(-)=0.7Mo=0.57x20.37=14.26t-m M2-3(-)=0.65Mo=0.65x20.37=13.24t-m M2-3(+)=0.35Mo=0.35x20.37=7.13t-m M3-2(-)=0.65Mo=0.65x20.37=13.24t-m Ejes B y C: M1-2(-)=0.16Mo=0.16x34.93=5.59t-m M1-2(+)=0.57Mo=0.57x34.93=19.91t-m M2-1(-)=0.7Mo=0.57x34.93=24.45t-m M2-3(-)=0.65Mo=0.65x34.93=22.7t-m M2-3(+)=0.35Mo=0.35x34.93=12.23t-m M3-2(-)=0.65Mo=0.65x34.93=22.70t-m Ejes 1 y 5: MA-B(-)=0.16Mo=0.16x16.37=2.62t-m MA-B(+)=0.57Mo=0.57x16.37=9.33t-m MB-A(-)=0.7Mo=0.57x16.37=11.46t-m MB-C(-)=0.65Mo=0.65x10.02=6.51t-m MB-C(+)=0.35Mo=0.35x10.02=3.51t-m MC-B(-)=0.65Mo=0.65x10.02=6.51t-m Ejes 2,3 y 4: MA-B(-)=0.16Mo=0.16x31.42=5.03t-m

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MA-B(+)=0.57Mo=0.57x31.42=17.91t-m MB-A(-)=0.7Mo=0.57x31.42=21.99t-m MB-C(-)=0.65Mo=0.65x19.25=12.51t-m MB-C(+)=0.35Mo=0.35x19.25=6.73t-m MC-B(-)=0.65Mo=0.65x19.25=12.51t-m

5. REVISION DE EFECTOS DE CARGAS DESFAVORABLE:

Condición a:

I col 

40  40 3  21 .30  10 4 12

cm 4

K col sup . 

I 21 .30  10 4   0.071  10 4 L 300

K col. inf . 

I 21 .30  10 4   0.053  10 4 L 400

En el eje A, columna 1:

Esto sucede en todos los casos para los valores de

En el eje 2, columna B:

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6. DISTRIBUCION DE MOMENTOS LONGITUDINALES A LO ANCHO DE LAS FRANJAS: Calculo del parámetro

:

Constante de torsión C para las vigas de borde del eje A:

Para la condición (a) (

)

(

) C=26.4x104Cm4

Para la condición (b) (

)

(

)

4

C=21.4x10 Cm4