Diseño de Elementos

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE SEDE LATACUNGA Fecha: 01/02/2016

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Ejercicio 1.7 El pistón de un motor de combustión interna está conectado a su biela con un “pasador”. Obtenga la fuerza sobre el perno, si el pistón de 0.5 kg tiene una aceleración de 2500 g. Datos: cuerpo libre:

Diagrama de

m= 0.5kg

a p =2500 g

F

Desarrollo: Asumimos: La fuerza sobre el pasador debido al peso del pistón es muy pequeña comparada con la fuerza de aceleración.

a p =2500 g

F pasafor =m×

[ ]

a p =2500 9.8

m 2 s

F pasafor =o .5 kg ×

ap

24500

m s2 a p =24500

m s2

F pasafor =12250 N

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Comentario: Para la realización de este ejercicio partimos calculando la aceleración para que posteriormente calculemos la fuerza que nos pide el ejercicio. Ejercicio 1.8 Un sistema de leva-seguidor, similar al mostrado en la figura tiene una masa de m = 1kg, una constante del resorte k = 1000N/m y un coeficiente de amortiguamiento d = 19.4 N/m. Obtenga las frecuencias naturales amortiguada y sin amortiguamiento del sistema.

DATOS m1  1

kg

N

k  1000

m Ns

d  19.4

m

SOLUCIÓN

FRECUENCIA SIN AMORTIGUAMIENTO k

Wn 

m1

Wn  31.623

fn  

1

1 s

  Wn

  2  

fn  5.033

Hz

FRECUENCIA AMORTIGUADA k  d  Wd        m1   2 m1  Wd  30.098

1  fd     Wd fd  4.79 Hz  2  

2

1 s

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Comentario: Partimos por el cálculo de la frecuencia sin amortiguamiento y posteriormente calculamos la frecuencia amortiguada. Ejercicio 1.9 En la figura P1-3 están dibujadas a escala las pinzas de presión ViseGrip. Escale el dibujo para obtener las dimensiones. Calcule las fuerzas que actúan sobre cada perno y cada elemento del montaje, para una fuerza de sujeción supuesta de P=4000N en la posición mostrada. ¿Qué fuerza F se requiere para mantener en la posición de sujeción mostrada? Nota: Probablemente una herramienta similar esté a su disposición para revisarla en el taller de su escuela. Datos P=4000N

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D.C.L. cuerpo 1

D.C.L. cuerpo 2

D.C.L. cuerpo 3

D.C.L. cuerpo 4

F

x

0

F41  cos(180  21)  F21  cos(129.2  180)  0

F

y

ECUACIÓN (1)

0

P  F41  sin( 180  21)  F21  sin( 129.2  180)  0

Despejo

F21 

F21

ECUACIÓN (2)

de (1)

F41  cos(180  21) cos(129.2  180)

ECUACIÓN (3)

Remplaza (3) en (2)

 F41  cos(180  21)   (sin( 129.2  180))  0 cos( 129 . 2  180 )  

P  F41  sin( 180  21)  

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F41  

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P cos(180  21) sin( 180  21)   sin( 129.2  180) cos(129.2  180)

(4)

F21  2.161kN F41  5.429kN Componentes x y x del cuerpo 1

F41x  F41  cos(180  21)

F41x  1.859kN

F41y  F41  sin( 180  21)

F41y  5.101kN

F21x  F21  cos(129.2  180)

F21x  1.859kN

F21y  F21  sin( 129.2  180)

F21y  1.101kN

Reacciones en el cuerpo 2

F14  F41

F14  5.429kN

F34  F14

F34  5.429kN

Reacciones en el cuerpo 3

F43  F34

F43  5.429kN

F23  F43

F23  5.429kN

Reacciones en el cuerpo 4

F12  F21

F12  2.161kN

F32  F23

F32  5.429kN

Comentario: En este ejercicio analizamos las reacciones existentes por puntos descomponiendo la pieza para poder resolver todas las reacciones.

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Ejercicio 1.10

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En la figuraP1-4a se ilustra un trampolin indeterminado . Encuentre la fuerza de reaccion . Luego elabore los diagramas de fuerza cortante y momento para la tabla cuando una persona de 100kg se para en su extremo libre .determine la fuerza de corte maximo, el momento maximo y sus posiciones.

Solución en Word

Datos Longitud 2000mm Distancia del soporte 700mm Masa 100kg Magnitud

p=M × g p=100 kg × 9.807 p=980.7 N

R 1= p ×

l −a a

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R 1=980.7 ×

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2−0.7 0.7

R 1=¿ 1821 N

R 2= p+ R 1 R2=980.7+1821

R 2=¿ 2802 N M =−R1 × L+ R 2 ( L−a )=0 M =−4.657 ×10−10

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Comentario: Primero realizamos los diagramas de cuerpo libre para poder realizar los cálculos de las reacciones y momentos que se presentan en el trampolín.

Ejercicio 1.12 En la figura P1-4b se ilustra un trampolín indeterminado. Encuentre las fuerzas de reacción, elabore los diagramas de fuerza cortante y momento para la tabla, cuando una persona de 100 kg se para en su extremo libre. Determine la fuerza de corte máxima, el momento máximo y sus posiciones

DCL MA

RA

P=m . g

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P=100 kg .9 .8

m 2 s

P=980 N Σ Fy=0 RA−P=0 RA=P Vmax=P RA=980 N Σ M =0 MA−P .1.3 m=0 MA=P .1.3 m MA=930 N 1.3 m MA=1274 Nm

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Comentario: Al realizar el ejercicio debemos tomar en cuenta que la barra se encontrara Empotrada por lo cual realizamos el análisis de momentos y la fuerza de corte máximo.

Ejercicio 1.13 Repita el problema 1-11 usando el diseño del trampolín de la figura P1-3b. Suponga que la tabla pesa 19 kg y se flexiona 8.5 cm cuando la persona está parada sobre ella. Determine la fuerza de impacto y la deflexión dinámica que se producirán cuando la persona de 100 kg, del problema 1-10, salte hacia arriba 25 cm y

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caiga de regreso sobre la tabla. Suponga que la tabla pesa 29 kg y se flexiona 13.1 cm estáticamente cuando la persona está parada sobre ella. Obtenga las fuerzas de reacción, luego elabore los diagramas de corte y momento para la carga dinámica. Determine la fuerza de corte máxima, el momento máximo y sus posiciones a lo largo de la longitud de la tabla

Datos:

Ltrampolion=2 m l a=0.7 m mtabla=19 kg δ tabla=0.085 m m persona=100 kg h=0.025 m n=

n=

1 mt 1+ 3∗mp

1 19 kg 1+ 3∗100 kg

n=0.94

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√

F1=mP∗g∗(1+ 1+

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2∗n∗h ) δ max

√

F1=100∗9.81∗(1+ 1+

2∗0.94∗0.25 ) 0.085

F1=3.48 K N

∑ M =0 −2

−1

−1

q ( x )=−M 1 ( X −0 ) + R1 ( X−0 ) −F1 ( X−l ) 0

−1

0

V ( x ) =−M 1 ( X−0 ) + R1 ( X −0 ) −F 1 ( X−l ) +C 1 0

1

1

M ( x )=−M 1 ( X −0 ) + R1 ( X −0 ) −F 1 ( X −l ) + C1 X +C 2

C1 =C2=0 X=l=1.3 l=2-0.7=1.3

V (1.3 )=−M 1 ( 1.3−0 )−1+ R 1 ( 1.3−0 )0−F 1 ( 1.3−l )0=0 V=0 M=0 V=R1-Fi=0 R1=Fi R1=3.48 KN 0

1

1

M ( 1.3 ) =−M 1 ( 1.3−0 ) + R 1 ( 1.3−0 ) −F 1 ( 1.3−l ) =0 M =−M 1+ R 1∗l Ml=R 1∗l=3.48 KN∗1.3 m Ml=4533 N∗m

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Vmax=V ( 0 ) =R 1 ( X −0 )0 −F1 ( 0−l )0 =R 1 Vmax = 3.48 KN 0

1

0

Mmax=M ( 0 )=−M 1 ( 0−0 ) + R 1(0−0) −F 1 ( 0−l ) =−M 1 M max=I -M1I = 4533 Nm

Comentario: Realizamos el mismo análisis del ejercicio anterior pero tomando en cuenta que esta barra estará sometida a flexión hay que realizar los cálculos en base a los diagramas para calcular las reacciones a las que está sometida la barra. Ejercicio 1.14 La figura P1 – 5. Muestra un juguete infantil llamado “cangurin”. Un niño se para en las almohadillas del soporte y aplica la mitad de su peso en cada lado. Luego salta hacia arriba del suelo, manteniendo las almohadillas contra sus pies, y rebota junto con el resorte que amortigua el impacto y almacena energía para ayudar a cada rebote. Suponga un niño de 60 lb y una constante de resorte de 100 lb/in. El cangurin pesa 5 lb. Obtenga la frecuencia natural del sistema, la flexión estática del resorte con el niño aun parado, así como la fuerza dinámica y la flexión cuando el niño aterriza después de saltar 2 in arriba del suelo.

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Datos: Peso del niño Constante del resorte Peso del cangurin Altura de caída

W c =60 lbf K=100

lbf ¿

W p=5lbf h=2∈¿

Un método de energía aproximada será aceptable Se aplicará el factor de corrección para la disipación de energía Masa del niño

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m=

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W c 60 = =0.155 g 387

Masa del cangurin

m b=

Wp 5 = =0.013 g 387

Frecuencia natural del sistema

W=

f=

√ √

K 100 rad = =25.369 m 0.155 seg

W = 2∙ π

rad seg =4.037 Hz 2∙ π

25.369

Flexión estática del resorte con el niño aun parado

δ st =

W c 60 lbf = =0.6∈¿ K lbf 100 ¿

Factor de corrección

n=

1 =0.973 mb 1+ 3∙ m

Fuerza dinámica

( √

Fi =W c 1+ 1+

)

2 ∙ n∙ h =224 lbf δ st

Comentario: En este ejercicio realizamos el cálculo del niño y del cangurín lo cual se toma en Cuenta para realizar los cálculos de la frecuencia del sistema y la flexión estática que tendrá el cangurín cuando el niño este encima de este.

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Ejercicio 1.15 El marcador de un graficador imparte una aceleración constante de 2,5 m/s 2 al montaje del marcador, el cual viaja en línea recta por el papel. El montaje móvil del graficador pesa 0,5 kg. El graficador pesa 5 kg. ¿Qué coeficiente de fricción se necesita entre las patas del graficador y la cubierta de la mesa, sobre la cual se asienta, para evitar que el graficador se mueva cuando el marcador acelera?

Datos

m

a  2.5

seg mes  0.5 mg  5 g  9.81

2

kg kg

m s

2

Resolución Fes  mes  a Wgr  mg  g

 

Fes Wgr

Fes  1.25

N

Wgr  49.05   0.025

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Comentario: Realizamos un análisis cinético de este ejercicio. Ejercicio 1.16 La guía de unas bolas de boliche se diseñó con dos varillas redondas, como se muestra en la figura. Las varillas so son paralelas, sino que forman un ángulo pequeño entre sí. Las bolas ruedan sobre las varillas hasta que caen entre ellas y pasan a otra guía. El ángulo entre las varillas se modifica para hacer que las bolas caigan en diferentes lugares. La longitud del claro de cada varilla es de 30 in y el ángulo entre ellas es de 3.2 0 . Las bolas tiene 4.5 in de diámetro y pesan 2.5 lb. La distancia central entre las varillas de 1 in de diámetro es de 4.2 in en el extremo angosto. Encuentre la distancia desde el extremo angosto a la cual cae la bola, y determine la fuerza cortante y el momento máximo en el peor de los casos, mientras la bola rueda una distancia desde el extremo angosto que está al 98% de las distancia de caída. Suponga que las varillas están simplemente soportadas en cada extremo y tienen una flexión igual a cero bajo la carga aplicada. (Observe que suponer una flexión igual a cero no es realista. Este supuesto se desechara en el siguiente capítulo, después de estudiar la flexión) Datos: Longitud de la varilla sin apoyo L= 30 in Angulo entre varillas

α

=1.6 deg

Diámetro de la bola de bolos D=4.5 in Beso bola de bolos W= 2.5 lbf La mitad de la anchura de la brecha de varilla c=2.1 in Calcular la distancia entre el centro de la barra de rótula Distancia entre centros

h=

D+d =2.75∈¿ 2

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Sea x la distancia a lo largo de las barras de rollo y u la distancia correspondiente al punto de contacto entre la bola y varillas, medida a lo largo de las varillas. Entonces la distancia desde el plano de centro de la bola hacia el centro de una varilla como se muestra en la figura.

x=c∗cos ( α )+ x∗sin ⁡( α ) Y la distancia desde el estrecho y hasta el punto de que la bola cae es

x=

h−c∗cos ⁡(α ) =23.31∈¿ sin ⁡( α )

La distancia a lo largo de la varilla correspondiente a x es

u=

x−h∗sin ⁡(α ) =23.24∈¿ cos ⁡( α )

El ángulo formado por una línea a través de los centros bola y el plano horizontal es

x ∅ ( x )=cos ⁡( ) h Cuando x= 0, esto es

∅0=0

∅0=40,241deg

Cuando x= 0,98, esto es

∅98 =∅(0.98)

∅98 =5.57 deg

La carga en la pelota es simétrica alrededor de su plano central a lo largo del eje x. La Figura muestra un FBD de media una de la pelota con las fuerzas internas a lo largo del plano de simetría debido a la reacción en la otra varilla omitido. Con estas fuerzas comprometidas podemos Cely fuerzas en la dirección vertical

w

∑ F y=F∗sin ( ∅ ) + μF∗cons (θ )− 2 =0 F=

W 2∗(sin ( θ )+ μ∗cos ( θ ))

La bola caerá a través de las barras cuando fuerza de fricción presente ( μ

θ

es cero. Si no existiera la

= 0) entonces F se convertiría muy grande

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como θ

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aproxima a cero. La presencia del término de fricción en el

denominador de la ecuación F limita a valores finitos. Sin embargo, con las hipótesis que las varillas son rígidos, no hay manera para que las varillas para proporcionar una fuerza normal cuando necesitaremos para limitar el rango de

θ

θ

llega a cero, esto

para este análisis.

μ=0 y θ=θ98

Cuando

x max=

μmax =

h∗cos ( θ )−c∗cos ⁡( α ) sin ⁡( α )

x mas =94.7∈¿

x mas −h∗sin ⁡( α ) μ max=94.66∈¿ cos(α )

Fmax =

W F =12,086 lbf 2 sin ⁡( ∅min ) max

Determine el esfuerzo cortante del peor caso y momento máximo de las barras como la bola rueda a lo largo de su longitud de figura en el apéndice D, donde

(

M max=F max 1−

μmax M max =49.94 ∈lbf L

)

Para el corte, debemos encontrar las reacciones, que son

(

R1=F max 1−

μ max Rl=3.10lbf L

)

R2=F max −R 1 R2 =8.91lbf El valor máximo absoluto de corte es el más grande de estos dos. Así

V max =R2 V max =8.91lbf

Ejercicio 1.17

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En la figura P1-7 se muestran unas tenazas para hielo. El hielo pesa 50 lb y tiene un ancho de 10 in de donde está sujeto a las tenazas. La distancia entre los mangos es de 4 in y el radio medio r de una tenaza es de 6 in. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de las dos tenazas y encuentre todas las fuerzas que actúan sobre ellas. Determine el momento de flexión en el punto A. Datos: W =50lbf F=25 lbf

Análisis elemento izquierdo de la tenaza

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DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

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F=25 lb Fuerza axial(tensi ó n)

∑ M p=0 12 right ) =0 −F ( 2 right ) -F left (5 )+ P x ¿

2 right ) - 25 lb left (5 ¿ 12 right ) −25lb ¿ Px =14,58 lb

∑ M A =0 6 )+ {M} rsub {D} = 0 −25 lb ( 6 ) −14 , 58lb ¿ M D =237 lb

Comentario: Realizamos el diagrama de cuerpo libre porque de ahí partimos para calcular las Reacciones y el esfuerzo de flexión. Ejercicio 1.18 Un camión con remolque se volteó mientras entraba a una vía de acceso al New York Thruway. La carretera tiene un radio de 50 ft en ese punto y se inclina 3° hacia el lado externo de la curva. La caja del remolque de 45 ft de largo, por 8 ft de ancho, por 8.5 ft de altura (13 ft desde el suelo a la parte superior), se cargó con 44 415 lb de rollos de papel en dos filas por dos de altura, como se ilustra en la figura 8. Los rollos tienen 40 in de diámetro por 38 in de largo y pesan aproximadamente 900 lb cada uno. A los rollos se les ponen cuñas para evitar el rodamiento hacia atrás, aunque no se evita su deslizamiento lateral. El remolque vacío pesa 14 000 lb. El conductor alega que viajaba a menos de 15 mph y que la carga de papel se corrió dentro del remolque, golpeó la pared lateral del remolque y volteó el camión. La

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Tema: Deber 1 Versión: 14

compañía de papel que cargó el camión alega que éste fue estibado adecuadamente y la carga no se movería internamente a esa velocidad. Pruebas independientes del coeficiente de fricción entre rollos de papel similares y un piso similar al del remolque dan un valor de 0.43 +/- 0.08. Se estima que el centro de gravedad compuesto del remolque cargado es de 7.5 ft por encima de la carretera. Determine la rapidez del camión que causaría que éste empezara justo a inclinarse y la rapidez a la cual los rollos empezaran justo a deslizarse en forma lateral. ¿Qué cree el lector que causó el accidente?

Datos: r vía= 50ft. Θ= 3° L cam= 45ft. Ancho cam= 8ft. h cam= 8.5ft. w papel= 44415 lb. w cami= 14000 lb. u nom= 0.43 uu= 0.08

a=h∗tgθ a=7.5∗tg(3 ° )

a=0 .393 ft .

h b= −a 2 8 b= −0.393 2 b=3 .607 ft .

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x ´ =b∗cosθ x ´ =3.607∗cos ⁡( 3 °)

x ´ =3 . 062 ft . y´=

b∗senθ∗h cosθ

y ´ =3.607∗sen

( 3 ° )∗7.5 cos ( 3 ° )

y´=1.607ft. D.C.L.

ƩM=0

Fw∗x ´−Fc∗y ´=0 Fw=℘+ wc Fw=44415+14000 Fw=58415 lbf .

Fc=27451. 96 lbf . 2

v a= r

Fc=m∗a

v 1=

√

Fc∗r∗g Fw

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v 1=

√

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27451.96∗50 ft∗32 ft / s 2 58415lbf v 1=28 . 33 ft / s

Fuerza normal papel-piso

Fn=℘∗cos ( θ ) −Fcp

(1)

Fuerza tangencial del papel

Ft=℘∗sen ( θ ) + Fcp∗cos ⁡(θ)

(2)

Fuerza centrífuga papel

Fcp=

℘ ∗a g

℘ 2 ∗v g Fcp= r Fuerza de fricción.

Ff =e∗Fn

Ff =Ft Remplazando las ecuaciones.

u∗cos ( θ )−sen(θ) ¿ ℘¿ Fcp=¿



v =√

(

u .cos ( θ )−sen ( θ ) ∗r∗g u∗sen ( θ ) +cos ( θ )

Umax=Unom+Uu

Umax=0.43+0.08 Umax=0 . 51

)

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Umin=Unom−U u Umin=0.43−0.08

Umin=0 .35

Vmax=

√(

u . cos ( θ )−sen ( θ ) ∗r∗g u max∗sen ( θ ) +cos ( θ )

)

Vmax=¿

Vmin=

√(

16.78 ft/s

u . cos ( θ ) −sen ( θ ) ∗r∗g u min∗sen ( θ )+ cos ( θ )

)

Vmin=¿ 21.6 ft/s

Comentario: En este ejercicio necesitamos una velocidad mínima y un coeficiente de fricción Mínima, hay que tomar en cuenta en la resolución de este ejercicio el ángulo de 3°. Ejercicio 1.21 La figura P1-9 muestra la rueda de un automóvil con dos estilos de llaves comunes que se utilizan para apretar los birlos, una llave con solo extremo en (a) y una llave con dos extremos en (b). En cada caso, se requiere las dos manos para proporcionar las respectivas fuerzas en A y B, como se indica. La distancia entre los puntos A y B es de 1ft en ambos casos. Los birlos requieren un torque de 70 ft-lb. Dibuje diagramas de cuerpo libre para ambas llaves, luego determine las magnitudes de todas las fuerzas y todos los momentos sobre cada llave. ¿Existe alguna diferencia entre los nodos en que las dos llaves ejecutan su tarea? ¿Un diseño es mejor que otro? Si es así. ¿Por qué? Explique su respuesta.

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Datos: dAB=1ft=12 in T=70 ft.lb Diagramas de Cuerpo Libre: a)

b)

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Calculo de Fuerzas y Momentos: a)

b)

T =F∗dAB

T =F∗dAB/2+ F∗dAB/2

F=

T dAB

F=

T 2∗dAB/2

F=

70 ft . lb 1 ft

F=

70 ft . lb 2 ft /2

F=70lb

F=70lb

∑ M A =F∗dAB

∑ M A =∑ M B =F∗dAB/2

∑ M A =70 lb∗12∈¿

∑ M A =∑ M B =70lb∗6∈¿

∑ M A =840 lb .∈¿

∑ M A =∑ M B

¿ 420 lb.∈¿

Preguntas: ¿Existe alguna diferencia entre los nodos en que las dos llaves ejecutan su tarea? No existe ninguna diferencia entre los nodos en los dos el torque resultante es el mismo. ¿Un diseño es mejor que otro? Dependería de los gustos del usuario y de las capacidades del mismo. Ya que en el uno se distribuyen los momentos de una manera más distribuida y en el otro no; debemos tomar en cuenta que en los dos casos se aplica la misma fuerza.

Ejercicio 1.22 En la fi gura 9, se muestra un patín de ruedas. Las ruedas de poliuretano tienen un diámetro de 72mm. La combinación pie-bota-patín pesa 2kg. La “razón efectiva del resorte” del sistema patín-persona es de 6000N/m. Encuentre las fuerzas sobre los ejes de las ruedas para una persona de 100kg que aterriza sobre un pie luego de un salto de 0.5m. a) Suponga que las cuatro ruedas llegan al suelo simultáneamente. b) Suponga que una rueda absorbe toda la fuerza de aterrizaje .

Datos: D=72mm m1=2kg k=6000N/m m2=100kg h=0.5m Fi=?

Solución Peso de la persona

W p=m2 g

W p=100∗9,81

W p=981 kg

Deflexión estática

δ st =

W k

δ st =

981 6000

δ st =0.1635m

Factor de corrección

η=

1 m 1+ 1 3 m2

1

η= 1+

2 3 (100 )

η=0.993

Fuerza de impacto

( √

Fi = 1+ 1+

)

2η h ∗W δ st

( √

Fi = 1+ 1+

Fi =3.59 kN → Para una rueda

Fi =

)

2 ( 0.993 ) ( 0.5 ) ∗981 0.1635

3.59 4

Fi =0.8975 kN → Para cuatro ruedas

Comentario: Cada rueda soportara una fuerza independiente, por lo cual el eje debe soportar una Carga mayor para evitar la ruptura del mismo o la flexión que se puede producir. Ejercicio 1.23

Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-11a. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en las filas asignada(s) en la tabla P1-1.

Datos

l=1 m

a=0.4 m

b=0.6 m

w=200

N m

F=500 N

CALCULO DE REACCIONES

∑ Fx=0

R 1 x + R 2 x=0

∑ Fy=0 ( arriba positivo ) R 1 y + R 2 y−w . a−F=0

∑ M 1=0( antihorario positivo) R 2 y . l−F . b−

R2 y=

(

F . b+

( w .a ) . a =0 2

( w . a 2) 2

)

l

R 1 y =264.0000000 N

R 2 y =316.0000000 N

R 1 y =w . a+F−R 2 y

Calculo de fuerza cortante y momento máximos 0