Diseño de Datos Experimentales-ejercicios-resueltos

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL 6-7. Se llevó a cabo un experimento para mejorar el rendimiento de un proceso químico. Se seleccionaron cuatro factores y se corrieron dos réplicas de un experimento completamente aleatorizado. Los resultados se presentan en la tabla siguiente:

Diseño factorial completo Factores: 4 Corridas : 32 Bloques: 1

Diseño de la base: Réplicas: Puntos centrales (total):

4, 16 2 0

Todos los términos están libres de estructuras alias

a) Estimar los efectos de los factores. Efectos y coeficientes estimados para y (unidades codificadas) Término Constante A B C D A*B A*C A*D B*C B*D C*D A*B*C A*B*D A*C*D B*C*D A*B*C*D

Efecto -9.063 -1.312 -2.687 3.937 4.062 0.688 -2.187 -0.563 -0.188 1.688 -5.187 4.687 -0.938 -0.938 2.437

S = 2.76699 R-cuad. = 92.47%

Coef 82.781 -4.531 -0.656 -1.344 1.969 2.031 0.344 -1.094 -0.281 -0.094 0.844 -2.594 2.344 -0.469 -0.469 1.219

SE Coef 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891 0.4891

T 169.24 -9.26 -1.34 -2.75 4.02 4.15 0.70 -2.24 -0.57 -0.19 1.72 -5.30 4.79 -0.96 -0.96 2.49

PRESS = 490 R-cuad.(pred.) = 69.89%

P 0.000 0.000 0.198 0.014 0.001 0.001 0.492 0.040 0.573 0.850 0.104 0.000 0.000 0.352 0.352 0.024

R-cuad.(ajustado) = 85.42%

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL Diagrama de Pareto de efectos estandarizados (la respuesta es y, Alfa = 0.05) 2.120 F actor A B C D

A ABC ABD AB

Nombre A B C D

Término

D C ABCD AD CD B BCD ACD AC BC BD

0

1

2

3

4 5 6 7 Efecto estandarizado

8

9

Gráfica de efectos principales para Rendimiento Medias de datos A

B

86 84 82

Media

80 78 -1

1

-1

C

1 D

86 84 82 80 78 -1

1

-1

1

Se muestra que el efecto potencialmente importante es el factor A, donde igualmente todos los factores pasando la línea 2.12 son significativos; Y la mejor condición para mejorar el rendimiento del proceso en los factores A, B y C es en -1, mientras que en D es 1.

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL

b) Construir la tabla del análisis de varianza y determinar cuáles factores son importantes para explicar el rendimiento. Análisis de varianza para y (unidades codificadas) Fuente Efectos principales A B C D 2-Interacciones de (No.) factores A*B A*C A*D B*C B*D C*D 3-Interacciones de (No.) factores A*B*C A*B*D A*C*D B*C*D 4-Interacciones de (No.) factores A*B*C*D Error residual Error puro Total

GL 4 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 16 16 31

SC Sec. 852.63 657.03 13.78 57.78 124.03 199.69 132.03 3.78 38.28 2.53 0.28 22.78 405.12 215.28 175.78 7.03 7.03 47.53 47.53 122.50 122.50 1627.47

Fuente Efectos principales A B C D 2-Interacciones de (No.) factores A*B A*C A*D B*C B*D C*D 3-Interacciones de (No.) factores A*B*C A*B*D A*C*D B*C*D 4-Interacciones de (No.) factores A*B*C*D Error residual Error puro Total

P 0.000 0.000 0.198 0.014 0.001 0.009 0.001 0.492 0.040 0.573 0.850 0.104 0.000 0.000 0.000 0.352 0.352 0.024 0.024

SC Ajust. 852.625 657.031 13.781 57.781 124.031 199.687 132.031 3.781 38.281 2.531 0.281 22.781 405.125 215.281 175.781 7.031 7.031 47.531 47.531 122.500 122.500

CM Ajust. 213.156 657.031 13.781 57.781 124.031 33.281 132.031 3.781 38.281 2.531 0.281 22.781 101.281 215.281 175.781 7.031 7.031 47.531 47.531 7.656 7.656

Los factores importantes para explicar el rendimiento son el A, D y las interacciones entre A*B, A*D, A*B*C y A*B*D ya que muestran valores significativos en el análisis de varianza y además sus valores P son menores que el nivel de significancia de alfa = 0.05.

Observaciones inusuales de Rendimiento Obs 13 29

OrdenEst. 13 29

Rendimiento 99.0000 90.0000

Ajuste 94.5000 94.5000

EE de ajuste 1.9566 1.9566

F 27.84 85.82 1.80 7.55 16.20 4.35 17.24 0.49 5.00 0.33 0.04 2.98 13.23 28.12 22.96 0.92 0.92 6.21 6.21

Residuo 4.5000 -4.5000

Residuo estándar 2.30R -2.30R

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

c) Escribir un modelo de regresión para predecir el rendimiento, suponiendo que los cuatro factores se hicieron variar en el rango -1 a +1 (en unidades codificadas). S = 2.76699 R-cuad. = 92.47%

PRESS = 490 R-cuad.(pred.) = 69.89%

R-cuad.(ajustado) = 85.42%

Y = 82.781 - 4.531 A - 0.656 B - 1.344 C + 1.969 D + 2.031 A*B + 0.344 A*C - 1.094 A*D - 0.281 B*C - 0.094 B*D + 0.844 C*D - 2.594 A*B*C + 2.344 A*B*D - 0.469 A*C*D - 0.469 B*C*D + 1.219 A*B*C*D

d) Graficar los residuales contra el rendimiento predicho y en una escala de probabilidad normal. ¿El análisis residual parece ser satisfactorio?

Gráficas de residuos para Rendimiento Gráfica de probabilidad normal 90 50 10 1

vs. ajustes Residuo estandarizado

Porcentaje

99

-2

-1 0 1 Residuo estandarizado

2 1 0 -1 -2

2

70

Histograma Residuo estandarizado

Frecuencia

7.5 5.0 2.5

-2

-1 0 1 Residuo estandarizado

100

vs. orden

10.0

0.0

80 90 Valor ajustado

2

2 1 0 -1 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

Orden de observación

Si, ya que presenta una normalidad distribuida cerca del ajuste. Además hay una predominancia en 1 y -1, dónde los puntos por encima de la línea denotan una independencia y se puede apreciar el patrón aleatorio alrededor de la línea central, lo que valida el experimento.

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL

e) Dos interacciones de tres factores, ABC y ABD, aparentemente tienen efectos grandes. Trazar una gráfica de cubo en los factores A, B y C con los rendimientos promedio indicados en cada vértice. Repetir lo anterior utilizando los factores A, B y D. ¿Estas dos gráficas ayudan a la interpretación de los datos? ¿Dónde se recomendaría que se corriera el proceso con respecto a las cuatro variables? Gráfica de cubos (medias de los datos) para Rendimiento 85.25

75.75

84.00

83.50

1

B

86.00

78.75 1 C

94.00

75.00

-1

1

-1

-1 A

Gráfica de cubos (medias de los datos) para Rendimiento 85.25

82.75

84.00

76.50

1

B

95.50

75.50 1

84.50

78.25

-1

1

-1

D -1

A

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL  

Solo nos ayudan a interpretar cuál es el efecto más significativo, mostrando la relación existente entre varios factores. Es más recomendable correr el proceso en donde el valor del rendimiento sea más significativo, en este caso en la interacción A*B*C.

6-8. Un bacteriólogo está interesado en los efectos de dos medios de cultivo diferentes y dos tiempos diferentes sobre el crecimiento de un virus particular. Realiza seis réplicas de un diseño 2^2, haciendo las corridas de manera aleatoria. Analizar los datos del crecimiento viral que se presenta enseguida y sacar las conclusiones apropiadas. Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo.

Diseño factorial de múltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:

2 4 1

Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:

6 24 1

Número de niveles: 2, 2

Modelo lineal general: Crecimiento vs. Tiempo, Cultivo Factor Tiempo Cultivo

Tipo fijo fijo

Niveles 2 2

Valores 12, 18 1, 2

Análisis de varianza para Crecimiento, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Tiempo Cultivo Tiempo*Cultivo Error Total S = 2.26016

GL 1 1 1 20 23

SC Sec. 590.04 9.38 92.04 102.17 793.63

SC Ajust. 590.04 9.38 92.04 102.17

R-cuad. = 87.13%

CM Ajust. 590.04 9.38 92.04 5.11

F 115.51 1.84 18.02

R-cuad.(ajustado) = 85.20%

P 0.000 0.191 0.000

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL Observaciones inusuales de Crecimiento Obs 17

Crecimiento 28.0000

EE de ajuste 0.9227

Ajuste 23.3333

Residuo 4.6667

Residuo estándar 2.26 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Medias de cuadrado mínimo para Crecimiento

Tiempo 12 18 Cultivo 1 2 Tiempo*Cultivo 12 1 12 2 18 1 18 2

Media 24.67 34.58

Error estándar de la media 0.6525 0.6525

30.25 29.00

0.6525 0.6525

23.33 26.00 37.17 32.00

0.9227 0.9227 0.9227 0.9227

Gráficas de residuos para Crecimiento Gráfica de probabilidad normal Residuo estandarizado

Porcentaje

99 90 50 10 1

vs. ajustes

-2

-1 0 1 Residuo estandarizado

2 1 0 -1 -2

2

25

30 Valor ajustado

vs. orden Residuo estandarizado

Histograma

Frecuencia

4.8 3.6 2.4 1.2 0.0

-1

0 1 Residuo estandarizado

35

2

2 1 0 -1 -2 2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 Orden de observación

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL El análisis de varianza nos muestra que los efectos más significativos sobre el crecimiento de un virus en particular son el tiempo y su interacción con el medio de cultivo. Por lo que las gráficas residuales presentan una distribución normal con los datos muy cerca unos de otros de la línea de ajuste. Esto quiere decir que el crecimiento dado en los intervalos de tiempo es satisfactorio.

Gráfica de efectos principales para Crecimiento Medias de datos Tiempo

35.0

Cultivo

Media

32.5

30.0

27.5

25.0 12

18

1

2

Gráfica de interacción para Crecimiento Medias de datos 38

Tiempo 12 18

36 34

Media

32 30 28 26 24 22 1

2 Cultivo

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL

La gráfica de efectos muestra que las mejores condiciones para el crecimiento del virus se deben dar en un tiempo de 18hrs y con el cultivo número 1. Además, se puede apreciar que no hay una interacción entre ambas variables, por lo que si alguna cambia, no afectaría directamente en el rendimiento.

6-9. Un ingeniero industrial empleado por una compañía refresquera está interesado en los efectos de dos diferentes tipos de botellas de 32 onzas sobre el tiempo de entrega de cajas de 12 botellas del producto. Los dos tipos de botellas son de vidrio y plástico. Se usan dos empleados para realizar una tarea que consiste en mover 40 cajas del producto 50 pies de una plataforma de carga estándar y acomodarlas en un estante de venta. Se hacen cuatro réplicas de un diseño factorial 2^2 y los tiempos observados se enlistan en la siguiente tabla. Analizar los datos y sacar las conclusiones apropiadas. Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo.

Diseño factorial de múltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:

2 4 1

Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:

4 16 1

Número de niveles: 2, 2

Modelo lineal general: Tiempo vs. Tipo de botella, Empleado Factor Tipo de botella Empleado

Tipo fijo fijo

Niveles 2 2

Valores Vidrio, Plástico 1, 2

Análisis de varianza para Tiempo, utilizando SC ajustada para pruebas

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL Fuente Tipo de botella Empleado Tipo de botella*Empleado Error Total S = 0.370487

GL 1 1 1 12 15

SC Sec. 2.1389 1.6706 0.4590 1.6471 5.9156

R-cuad. = 72.16%

SC Ajust. 2.1389 1.6706 0.4590 1.6471

CM Ajust. 2.1389 1.6706 0.4590 0.1373

R-cuad.(ajustado) = 65.20%

F 15.58 12.17 3.34

Observaciones inusuales de Tiempo Obs 2

Tiempo 6.65000

Ajuste 5.98250

EE de ajuste 0.18524

Residuo 0.66750

Residuo estándar 2.08 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Medias de cuadrado mínimo para Tiempo

Tipo de bote Vidrio Plástico Empleado 1 2 Tipo de bote*Empleado Vidrio 1 Vidrio 2 Plástico 1 Plástico 2

Media 5.490 4.759

Error estándar de la media 0.1310 0.1310

4.801 5.447

0.1310 0.1310

4.997 5.982 4.605 4.913

0.1852 0.1852 0.1852 0.1852

P 0.002 0.004 0.092

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL

Gráficas de residuos para Tiempo Gráfica de probabilidad normal 90 50 10 1

vs. ajustes Residuo estandarizado

Porcentaje

99

-2

-1 0 1 Residuo estandarizado

2

2 1 0 -1 -2

Histograma Residuo estandarizado

Frecuencia

3 2 1

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Residuo estandarizado

5.0 5.5 Valor ajustado

6.0

vs. orden

4

0

4.5

2.0

2 1 0 -1 -2

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16

Orden de observación

Los efectos más significativos sobre el tiempo de entrega son el tipo de botella y el empleado. La gráfica de residuos presenta una normalidad cercana al ajuste, lo que valida el modelo. Además la variabilidad en los factores es independiente, donde el tipo de botella afecta más al tiempo de entrega que la relación entre empleado-tipo de botella, y se puede apreciar con el patrón aleatorio alrededor de la línea central.

DATOS EXPERIMENTALES

EXAMEN 4TO PARCIAL Gráfica de efectos principales para Tiempo Medias de datos Tipo de botella

Empleado

5.5 5.4

Media

5.3 5.2 5.1 5.0 4.9 4.8 4.7 Vidrio

Plástico

1

2

Gráfica de interacción para Tiempo Medias de datos 6.00

Tipo de botella Vidrio Plástico

5.75

Media

5.50 5.25 5.00 4.75 4.50 1

2 Empleado

Es notorio que tiene un mayor efecto con el tiempo el tipo de botellas de vidrio que las de plástico, al igual que el empleado 2, por lo que para hacer un menor tiempo de entrega es recomendable las botellas de plástico y el empleado 1, pero para una mejor calidad de producto es mejor el tipo de botella de vidrio y el empleado 2. Como se puede apreciar no hay interacción entre ambos factores, por lo que si alguno cambia, no afectará directamente al tiempo de entrega de la compañía refresquera.