diseño 1

Índice general 1. Metología Metología del diseño diseño 1.1. 1.1. Concepto Conceptoss de diseño diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. Filosofí Filosofíaa del diseño diseño   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.3. Proces Procesoo del diseño diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Reconocimiento Reconocimiento de una necesidad necesidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Definición Definición del problema problema   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.3.3. 3. Sínt Síntesi esiss   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. 1.3.4. Análisis Análisis y optimiz optimizació aciónn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. 1.3.5. Evaluac Evaluación ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. 1.3.6. Presen Presentac tación ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. 1.4. Factore Factoress de diseño diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Fundamentos Fundamentos de ergonomía ergonomía   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Consideraciones Consideraciones ergonómicas ergonómicas sobre el diseño diseño de equipos . . . . 1.5.2. Factores Factores ergonómicos ergonómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Teorías y criterios de de falla por por cargas cargas estáticas 2.1. 2.1. Cargas Cargas estáti estáticas cas . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Concentrador Concentradores es de esfuerzo esfuerzo   . . . . . . . . 2.3. Teoría de cortant cortantee máximo máximo   . . . . . . . . . 2.4. Energía Energía de distorsión distorsión   . . . . . . . . . . . . 2.5. Esfuerzo normal máximo . . . . . . . . . 2.6. 2.6. Coulomb Coulomb Mohr Mohr . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. 2.7. Mohr Mohr modifica modificado do . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8

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9 9 9 12 15 17 18 21

3. Teorías y criterios de de falla por por cargas cargas dinámicas dinámicas 3.1. 3.1. Cargas Cargas dinámic dinámicas as   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2. Fatiga Fatiga   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Esfuerzo fluctuante fluctuante   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Límite de resistenc resistencia ia a la fatiga fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Factores Factores que modifican la resistencia resistencia a la fatiga fatiga   . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Sensibilidad Sensibilidad de la muesca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Teoría de Goodman  Goodman   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Teoría de Soderberg Soderberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Teoría de Gerber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Resistencia a la fatiga por torsión   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1. Resistencia a la fatiga por carga torsional inversa . . . . . . . . 3.10.2. Resistencia a la fatiga por torsión bajo esfuerzos fluctuantes   . .

23 23 24 25 27 28 29 31 32 32 33 33 34

1

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3.11. Análisis de carga de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.11.1. Esfuerzo y deflexión producidos por impacto lineal y a la flexión 35 3.11.2. Esfuerzo y deflexión producidos en el impacto por torsión   . . . 38 4. Ejes Ejes 4.1. Análisis de resistencia resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. 4.1.1. Bajo cargas cargas estáti estáticas cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. 4.1.2. Bajo cargas cargas dinámic dinámicas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Restricciones Restricciones geométricas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. 4.3. Ejes huecos huecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Análisis por rigidez  rigidez  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Velocidad crítica  crítica  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Materiales Materiales para ejes  ejes   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. 4.7. Flechas Flechas flexible flexibless   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. 4.8. Cigueñal Cigueñales es   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Análisis por resistencia resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 42 42 43 44 44 44 46 49 50 51 51

5. Selección de elementos elementos mecánicos y materiales materiales 5.1. Tipos, aplicacione aplicacioness y selección selección de elementos elementos mecánico mecánicoss . . . . . . . . . 5.1.1. 5.1.1. Rodamien Rodamientos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. 5.1.2. Bandas Bandas y poleas poleas   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. 5.1.3. Cadenas Cadenas y catari catarinas nas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.1.4. 4. Cople Copless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.1.5. 5. Cables Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Norma para selección selección de de materiales materiales (DGN, AISI, AISI, SAE, ASTM, ASM) ASM) .

53 53 53 55 56 56 56 56

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Capítulo 1 Metología del diseño El diseño mecánico es una tarea compleja que requiere muchas habilidades. Es necesario subdividir relaciones complejas en una serie de tareas simples. La dificultad del tema requiere una secuencia en la cual las ideas se presentan y se revisan. Diseñar es formular un plan para satisfacer una necesidad específica o resolver un problema particular. Si el plan resulta en la creación de algo físicamente real, entonces tonces el produc producto to debe ser funcion funcional, al, seguro seguro,, con confiab fiable, le, competi competitiv tivo, o, útil, útil, que pueda pueda fabricarse y comercializarse.

1.1. 1.1. Concep Conceptos tos de diseño diseño Existe un sin número de definiciones de lo que es el diseño, sin embargo mencionaremos solamente algunas que consideramos importantes y que fueron dadas por diferentes autores. Podemos decir entonces que: a).- El diseño es una actividad creativa creativa que supone la consecución consecución de algo nuevo y útil, sin existencia previa. (Reswick, 1965).  b).- El diseño es la solución óptima de un conjunto de verdaderas necesidades en un conjunto particular de circunstancias. (Matchett, 1968). c).- El diseño consiste en simular lo que queremos construir (o hacer), antes de construirlo (o hacerlo), tantas veces como sea necesario para confiar en el resultado final. (Booker, 1964). d).d).- El diseñ diseñoo técn técnic icoo es la utili utilizac zación ión de prin princip cipios ios cient científi íficos cos,, infor informa mació ciónn técn técnica ica e imaginación en la definición de una estructura estructura mecánica, máquina o sistema que realice funciones específicas con el máximo de economía y eficiencia. (Fielden, 1963). Tomando como apoyo las definiciones anteriores podemos establecer el siguiente concepto: El ”diseño mecánico” es el proceso lógico que ordena y planea la actividad creativa que, utilizando principios científicos, científicos, información información técnica e imaginación, imaginación, define estructuras mecánicas, máquinas o sistemas para realizar funciones específicas con el máximo de economía y eficiencia. 3

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CAPÍTULO 1. METOLOGÍA METOLOGÍA DEL DISEÑO 

1.2. 1.2. Filoso Filosofía fía del diseño diseño El diseño es una disciplina común a muchos casos. En todos participa con características similares, cuya enumeración facilita su definición. definic ión. El diseño está ligado a la concepción, concepción, construcción construcción o implementación implementación de objetos, sistemas o dispositivos dispositivos que no existen aún, o que existiendo requieren modificaciones para cumplir con nuevos requerimientos. Implica la toma de decisiones frente a la incertidumbre causada por la falta de información o antecedentes. El diseño es acción, actividad, romper el equilibrio, ya que sin esto no se iniciaría el proceso de diseño.

1.3. 1.3. Proces Procesoo del diseño diseño El proceso del diseño se refiere a la metodología que debe seguirse durante el desarrollodecualquiertipodediseño.Esteprocesooetapasdeldiseñoserepresentan en la figura (1.1).

Figura 1.1: Procesos o etapas de diseño

1.3.1. 1.3.1. Reconocimi Reconocimiento ento de una necesidad necesidad Generalmente el diseño comienza cuando nos damos cuenta de una necesidad y decidimos hacer algo al respecto. Una necesidad se identifica fácilmente después de que alguien la ha planteado.

1.3.2. 1.3.2. Definición Definición del problema problema Debeabarcartodaslascondicionesparaelobjetoquesehadediseñar.Talescondiciones o especificaciones son las cantidades de entrada y salida, las características y dimensiones que deberá ocupar el objeto y, todas las limitaciones a estas cantidades.

1.3. PROCESO DEL DISEÑO 

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1.3. 1.3.3. 3. Sínt Síntes esis is Este paso se refiere a la búsqueda de muchos procedimientos alternativos de diseños posibles, sin preocuparse preocuparse de su valor o calidad. Este paso se conoce a veces como paso de ideas de invención, en el cual se genera en número número mayor posible de soluciones creativas.

1.3.4. 1.3.4. Análisi Análisiss y optimi optimizac zación ión En esta etapa se requiere que se ideen o imaginen modelos abstractos del sistema que admitan alguna forma de análisis matemático. Tales modelos reciben el nombre de modelos matemáticos. Al crearlos se espera encontrar alguno que reproduzca lo mejor posible el sistema físico real.

1.3. 1.3.5. 5. Eval Evalua uaci ción ón Esta fase es muy importante dentro del proceso total del diseño, pues es la demostración definitiva de que el diseño es acertado y, generalmente incluye pruebas con un prototipo en el laboratorio. En este punto es cuando se desea observar si el diseño satisface realmente realmente las necesidades. necesidades. Por ejemplo: ¿Es confiable? ¿Competirá conéx con éxit itoo con contr traa produ product ctos os semej semejan ante tes? s? ¿Es ¿Es fácil fácil de mante mantene nerr y ajus ajusta tar? r? ¿Se ¿Se obtend obtendrá ránn ganancias por su venta o uso?

1.3.6. 1.3.6. Presen Presentac tación ión La presentación del diseño a otras personas es el paso final y vital del diseño. Es indudable que muchos diseños importantes, inventos y trabajos creativos se han perdido en el tiempo, sencillamente porque los creadores se rehusaron o no fueron capaces de explicar sus creaciones a otras personas. En esencia hay tres medios de comunica comunicación ción que se pueden pueden utiliza utilizar: r: a) Forma Forma oral. oral.  b) Forma escrita. c) Representación gráfica. Estas tres formas de comunicación, son habilidades o conocimientos que puede adquirir adquirir o desarrollar desarrollar una persona inteligente. inteligente. La habilidad habilidad o destreza destreza se adquiere adquiere solo solo porla por la prác prácti tica. ca.Po Porr lo genera generall lasco las comu muni nicac cacion iones es habla habladas dasoo escri escrita tass requ requie iere renn de estudio para comprenderlas, pero las imágenes pueden comprenderse con facilidad y deben usarse libremente. libremente. El ingeniero ingeniero competente no debe temer a la posibilidad de no tener éxito en una presentación. De hecho es de esperar que tenga fracasos ocasionales, porque generalmente, se encuentra con críticas negativas cada vez que surge una idea creativa. De cada fracaso puede aprender muchísimo muchísimo y las mayores ganancias ganancias las obtienen obtienen quienes no rehuyen al riesgo de la derrota. A fin de cuentas cuentas el verdadero fracaso será abstenerse en absoluto de presentar ideas.

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CAPÍTULO 1. METOLOGÍA DEL DISEÑO 

1.4. Factores de diseño La expresión factor de diseño significa alguna característica o consideración que influye en el diseño de un elemento, o quizá en todo el sistema. Por lo general se tienen que tomar en cuenta varios de esos factores para un diseño determinado. En ocasiones algunos de esos factores será crítico y, si se satisfacen sus condiciones no será necesario considerar los demás. A continuación se indican algunos de los factores que hay que tomar en cuenta: Resistencia mecánica Confiabilidad Rendimiento Cantidad de material Mantenimiento Costo Vida útil Forma acabado exterior Seguridad Peso Ruido Algunos de estos factores se refieren directamente a las dimensiones, al tipo de material, al proceso de fabricación, o bien a la unión o ensamble de los elementos del sistema. Otros se relacionan con la configuración total del sistema. Con el fin de tomar en cuenta en el diseño los factores anteriores, se emplea lo que se conoce como "factor de seguridad". Para materiales dúctiles en los cuales se considera que el esfuerzo último a la tensión y compresión tienen el mismo valor, se tiene: nu (diseño)  =

Esfuerzo último Esfuerzo de trabajo

 

(1.1)

 Esfuerzo de cedencia   (1.2) Esfuerzo de trabajo Resulta aparente que la relación del factor de seguridad apropiada es empírica y depende mucho de la experiencia que se tenga. Cuando un dispositivo tiene mucho tiempo de uso, los factores referentes a su comportamiento son confiables. De hecho se puede depender de tales datos aunque hayan tenido modificaciones en el diseño.  Joseph P Vidosic considera razonables los siguientes factores de seguridad, los cuales están basados en la resistencia a la cedencia: 1. ns =  1 .25 − 1.5, para materiales muy confiables usados bajo condiciones controladas y, sujetos a carga y esfuerzo que puedan determinarse con exactitud. 2. ns = 1.5 − 2, para materiales con características perfectamente conocidas con condiciones ambientales fijas y, sujetos a cargas y esfuerzos que puedan determinarse con facilidad. 3. ns = 2 − 2.5, para materiales que trabajan en condiciones normales y sujetos a carga y esfuerzo que puedan calcularse 4. ns = 2.5 − 3, para materiales poco experimentados o para materiales frágiles en condiciones normales de medio ambiente, carga y esfuerzo. nu (diseño)  =

1.5. FUNDAMENTOS DE ERGONOMÍA

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5. ns = 3 − 4, para materiales no experimentados en condiciones normales de medio ambiente, carga y esfuerzo. 6. ns = 2 − 4,parafuerzasdeimpacto,dondedeberáincluirseunfactordeimpacto. 7. ns = 3 − 8, para materiales frágiles, considerando a la resistencia última como la máxima teórica.

1.5. Fundamentos de ergonomía La ergonomía es una disciplina técnico-científica y de diseño que estudia integralmente al hombre (o grupos de hombres) en su marco de actuación relacionado con el manejo de equipos y máquinas, dentro de un ambiente laboral específico, y que busca la optimización de los tres sistemas (hombre-máquina-entorno). El objetivo principal de la ergonomía, es la actividad concreta del hombre aplicado al trabajo utilizando medios técnicos, siendo su objetivo de investigación el sistema hombre-máquina-entorno. El término ergonomía proviene del griego ergón(trabajo) y nomos(leyes naturales). Fue propuesto por el naturalista polaco Woitej Yastembowski en 1987 en su estudio “ensayos de ergonomía o ciencia del trabajo”, basado en las leyes objetivas dela ciencia sobre la naturaleza, en la cual se proponía construir un modelo de la actividad laboral humana. Frederic Taylor da los primeros pasos en el estudio de la actividad laboral con su obra “Organización científica del trabajo”, donde se aplica el diseño de instrumentos elementales de trabajo tales como palas de diferentes formas y dimensiones. En los años veintes del siglo pasado se desarrolla con gran intensidad la fisiología, la sicología y la higiene del trabajo, y sus resultados adquieren gran aplicación en la producción. La sociología industrial nace en esa época con los experimentos de Howtorn de Elton Mayo, que demuestran que los estímulos morales y psicológicos no están por debajo de las económicos, surgiendo así una corriente de humanización del trabajo. Con el advenimiento de la Segunda Guerra mundial puede considerarse que en el mundo occidental surge la ergonomía como disciplina ya formada el 12 de Julio de 1949 (Sociedad de investigación Ergonómica). En ésta fecha se formó un grupo interdisciplinario interesado en los problemas laborales humanos. El 16 de Febrero de 1950 se adoptó el término ergonomía, dando lugar a su bautizo definitivo. En1961sefundólaAsociaciónErgonómicaInternacionalconmásde30paísesmiem bros. Como disciplina independiente en los países socialistas, la Ergonomía empezó a desarrollarse en los años cincuentas con base a la mecanización y automatización de la producción.

1.5.1. Consideraciones ergonómicas sobre el diseño de equipos Las consideraciones ergonómicas que hay que tomar en cuenta en el diseño de equipos se representan en la figura (1.2)

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CAPÍTULO 1. METOLOGÍA DEL DISEÑO 

Figura 1.2: Consideraciones ergonómicas sobre el diseño de equipos

1.5.2. Factores ergonómicos Son aquellos que inciden en el comportamiento del sistema hombre-máquinaentorno. Entre los factores ergonómicos figuran: a) Diseño del equipo. Un diseño normalizado del equipo que obedece a las características somáticas y fisiológicas del trabajador, con estudios específicos de los puntos críticos de accidentes, como cuchillas, elimina posibles causas de accidentes, permitiendo al trabajador desarrollar su trabajo en situaciones menos riesgosas mejorando su rendimiento y productividad.  b) Diseño del puesto. El diseño del puesto se considera en sus aspectos dimensionales y de acondicionamiento, lo que permite mayor soltura y desenvolvimiento del tra bajador. c) Equipos y herramientas. Los equipos auxiliares y herramientas de trabajo están diseñados para un uso específico, considerando las características antropométricas y biomecánicas del individuo, con el fin de evitar riesgos de accidentes tanto en su manipulación como en su almacenamiento. d) Comunicación. La racionalización y el concepto ergonómico sobre señales, localización y símbolos afecta sensiblemente la atención del trabajador, aumentando o reduciendo su eficacia. La ausencia de indicaciones o su mala interpretación son causa de errores humanos. e) Medio ambiente. Una serie de situaciones correspondientes al espacio de trabajo incide en la actividad laboral del individuo en gran parte; entre ellas se tienen: - Grado de insalubridad del medio de trabajo y contaminación. - Agentes físicos, como ruido, vibraciones e iluminación. - El propio ambiente de trabajo (temperatura, ventilación, calefacción, etc.).

Capítulo 2 Teorías y criterios de falla por cargas estáticas 2.1. Cargas estáticas Una carga estática es una fuerza estacionaria o un par de torsión que se aplica a un elemento. Para ser estacionaria, la fuerza o el par de torsión no deben cambiar su magnitud, ni el punto o los puntos de aplicación, ni su dirección. Una carga estática produce tensión o compresión axial, una carga cortante, una carga flexionante, una carga torsional o cualquier combinación de éstas. Para que se considere estática, la carga no puede cambiar de ninguna manera.

2.2. Concentradores de esfuerzo En el desarrollo de las ecuaciones básicas de los esfuerzos de tensión, compresión, flexión y torsión se supuso que no había irregularidades en el elemento bajo consideración. Pero es difícil diseñar una máquina sin permitir algunos cambios en la sección transversal de los elementos. Los ejes rotatorios deben tener cambios de sección diseñados de tal manera que los cojinetes se asienten apropiadamente y tomen cargas de empuje; además, los ejes deben tener ranuras maquinadas para las cuñas, a fin de sujetar poleas y engranes. Un tornillo tiene una cabeza en un extremo y roscas en el otro, y tanto la cabeza como las roscas tienen cambios abruptos en su sección transversal. Otras partes requieren agujeros, ranuras para la lubricación con aceite y muescas de varias clases. Cualquier discontinuidad en una parte de una máquina altera la distribución del esfuerzo en las inmediaciones de la discontinuidad, de manera que las ecuaciones elementales del esfuerzo ya no describen el estado de esfuerzo en la parte. A estas discontinuidades se les denomina   intensificadores de esfuerzo, mientras que las regiones en las que ocurren se les llaman áreas de concentración de esfuerzos. Otras causas de concentraciones de esfuerzos (llamadas también elevadores de esfuerzos) son muy variadas y numerosas. Se deben principalmente a acabados superficiales, inclusiones no metálicas y a otras causas. Una concentración de esfuerzos es cualquier condición que causa que el esfuerzo 9

10 CAPÍTULO 2. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS  local sea mayor que el esfuerzo nominal. La geometría o forma del espécimen, es uno de los factores más importantes que contribuyen a la concentración del esfuerzo con  bases muy racionales. A continuación podemos observar en las figuras (2.1) y (2.2) como se distribuyen los esfuerzos:

Figura 2.1: Concentración de esfuerzos causada porun cambio repentino en la sección transversal

Figura 2.2: Concentración de esfuerzos para una barra cargada en tensión y con un agujero Se emplea un  factor teórico o geométrico de la concentración de esfuerzosK t o  K ts  para relacionar el  esfuerzo máximo real en la discontinuidad con el  esfuerzo nominal. Los factores se definen por medio de las ecuaciones K t =

σmáx σ0

K ts =

τmáx τ0

(2.1)

donde K t se usa para esfuerzos normales y K ts para esfuerzos cortantes. Los esfuerzos nominales son calculados para la carga aplicada específica y la sección transversal neta, suponiendo la distribución de esfuerzo, a través de la sección, que se obtendría con una geometría uniforme. Los factores K t o K ts sólo depende de la geometría de la parte y no consideran cómo se comporta el material en presencia de concentraciones de esfuerzos. La ductilidad o fragilidad del material, así como la carga, ya sea estática o dinámica, también afectan la respuesta a las concentraciones de esfuerzo. El análisis de las formas geométricas para determinar los factores de concentración de esfuerzos se convierte en un problema difícil y no se encuentran muchas

2.2. CONCENTRADORES DE ESFUERZO 

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soluciones. La mayoría de los concentradores de esfuerzos se determina por medio de técnicas experimentales. Aunque se ha manejado el método del elemento finito, el hechodequeloselementosson,enefecto,finitos,impideencontraresfuerzomáximo real. Por lo general, en las aproximaciones experimentales se incluye la fotoelasticidad, método de malla, método de recubrimiento frágil y métodos eléctricos con medidores de deformación. Los métodos de malla y con medidores de deformación presentan el mismo inconveniente que el método del elemento finito. Actualmente se continúan los trabajos con el fin de obtener dichos factores para el caso de esfuerzos combinados En las tablas A–15 y A–16 del libro de la 9a edición de Shigley pueden encontrarse los factores de concentración de esfuerzos de una variedad de geometrías. Si todos los materiales fueran uniformemente homogéneos y estuvieran libres sus superficies de rayas o marcas, podría justificarse usar "tal cual"para el cálculo de esfuerzos por fatiga, ya que éste depende solamente de su geometría. Sin embargo, los materiales no son homogéneos y en la superficie no están libres de defectos. Las pruebas de fatiga han demostrado que el factor teórico de concentración de esfuerzos raramente se obtiene (excepto para algunos aceros de alta resistencia). En su lugar se utiliza un valor menor que  K t . Por lo tanto es necesario definir un factor de concentración de esfuerzos debido a la fatiga, designado por K  f . σmáx (con muesca)   (2.2) K  f  = σmáx (sin muesca) σmáx =esfuerzo máximo por carga fluctuante con muesca o sin muesca. En la sec. 3.6 se tratará con más detalle el uso de la ecuación 2.2 TEORÍAS DE FALLA Aunque los materiales dúctiles se fracturán si se esfuerzan estáticamente más allá de su resistencia máxima a tensión, en piezas de maquinaria generalmente se considera que su falla ocurre cuando se deforma o cede bajo carga estática. El límite de fluencia elástico de un material dúctil es apreciablemente inferior a su resistencia máxima. Desde antaño se han planteado varias teorías para explicar esta falla:la teoría del esfuerzo normal máximo, la teoría de la deformación normal máxima, la teoría de la energía de distorsión (Von Mises–Hencky) y la teoría del esfuerzo cortante máximo. De todas éstas

sólo las dos últimas concuerdan de cerca con datos experimentales para este caso, y de ellas, la teoría de Von Mises– Hencky es la más exacta. El comportamiento del metal estructural se clasifica de manera típica como dúctil o fragil, aunque bajo situaciones especiales un material considerado normalmente como dútil puede fallar de una manera frágil. Normalmente, los materiales se clasifican como dútiles cuando  ǫ f  <  0 .05 y cuando tienen una resistencia a la fluencia identificable que a menudo es la misma en compresión que en tensión ( S yt = S yc = S y). Los materiales frágiles, no presentan una resistencia a la fluencia identificable y se clasifican por sus resistencias últimas a la tensión y a la compresión, Sut y Suc, respectivamente. Las teorías generalmente aceptadas son: Materiales dútiles (criterio de fluencia) Esfuerzo cortante máximo (ECM)

12 CAPÍTULO 2. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS  Energía de distorsión (ED) Mohr- Coulomb para materiales dútiles (CMD) Materiales frágiles (criterios de fractura) Esfuerzo normal máximo (ENM) Mohr-Coulomb para materiales frágiles (CMF) Mohr modificada (MM) Sería muy útil tener una teoría aceptada universalmente para cada tipo de material, pero por una razón u otra se utilizan todas las anteriores.

2.3. Teoría de cortante máximo Se considera que ésta es la teoría más antigua de las fallas. Fue propuesta originalmente por el gran científico francés C.A. Coulomb (1736–1806), quien realizó contribuciones importantes al campo de la mecánica lo mismo que al de la electricidad. Tresca escribió un importante trabajo relacionado con la teoría del esfuerzo cortante máximo en 1864, y J.J. Guest de Inglaterra realizó pruebas por el año 1900 que condujeron a la aceptación de la teoría. Por estas razones, la teoría del esfuerzo cortante máximo algunas veces se llama teoría de Tresca o ley de Guest. La teoría del esfuerzo cortante máximo establece que la fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante máximo de cualquier elemento iguala el esfuerzo cortante máximo en una pieza de ensayo a tensión del mismo material cuando esa pieza comienza a fluir. Si se ordenan los esfuerzos normales principales como σ1 > σ2 > σ3 ,entonceslateoría del esfuerzo cortante máximo anticipa que la fluencia ocurrirá siempre que τmáx

 ≥ S2

 y

o bien σ1 − σ3 ≥ S y

 

(2.3)

Nótese que esta teoría señala asimismo que la resistencia de fluencia en cortante está dada por la ecuación   (2.4) Ssy = 0.50S y Para lograr un mejor entendimiento de esta teoría se escribe aquí las ecuaciones de los tres esfuerzos cortantes principales, que son σ1

− σ2

σ2

− σ3

σ1

− σ3

  (2.5) 2 2 2 La figura 2.3 muestra la envolvente de fallas hexagonal para la teoría del cortante máximo en dos dimensiones, superpuesta sobre la elipse de energía de distorsión. Queda inscrita en el interior de la elipse y entra en contacto con la misma en seis puntos. Las combinaciones de los esfuerzos principales σ 1  y  σ 3  que ocurren dentro de este hexágono se consideran como seguros, y se considera que se presentará falla τ12 =

τ23 =

τ13 =

13

2.3. TEORÍA DE CORTANTE MÁXIMO 

cuando el estado de esfuerzos combinado llega a las fronteras del hexágono. Es obvio que se trata de una teoría de fallas más conservadora que la energía de distorsión, ya que queda contenida dentro de esta última. Las condiciones para el cortante a torsión (pura) aparecen en los puntos C y D. Paraaplicarestateoría—yaseaparaesfuerzoestáticodedosodetresdimensiones—

Figura 2.3: El hexágono de teoría del esfuerzo cortante máximo en dos dimensiones inscrito dentro de la elipse de energía de distorsión en materiales homogéneos isotrópicos y dúctiles, primero calcule los tres esfuerzos normales principales σ1 , σ2 , σ3 ( en el caso de dos dimensiones, uno de ellos será cero) y el  esfuerzo cortante máximo, τ13 = |σ1 −2 σ3 | . A continuación compare el esfuerzo cortante máximo con el criterio de falla de la Ecuación   2.4. El factor de seguridad para la teoría del esfuerzo cortante máximo se determina a partir de 0.50S y Ssy S y/2 S y   (2.6) N  = = = = τmáx τmáx (σ1 − σ3 )/2 (σ1 − σ3 ) donde  τ máx  es el resultado más grande de la ecuación de  τ 13 . Recuerde que incluso en un caso de esfuerzo aplicado en dos dimensiones, puede haber tres esfuerzos de cortante principal, siendo el mayor el que se toma como  τmáx . Otra forma de entender esta teoría se representa en forma gráfica en la figura 2.4 Obsérvese cuidadosamente en la figura 2.4b que, en los cuadrantes primero y tercero, el esfuerzo principal cero, interviene en el circulo principal de Mohr, en tanto que no lo hace en los cuadrantes segundo y cuarto. El punto único de prueba está marcado como “Syt ”, resistencia a la cedencia a la tensión, de un material que se supone es dúctil. Puede servir también un punto de información en compresión o torsión, pero la prueba a la tensión es la más común y la más exacta; por lo tanto, se usa comúnmente. Por supuesto, si el material se comporta en forma verdadera según la teoría del maximo esfuerzo cortante, toda la información de la prueba debe coincidir en el nivel de esfuerzo cortante asociado con la falla. Esta teoría se correlaciona en forma razonable con la cedencia de los materiales dúctiles. Sin embargo,se recomienda la teoría de la energíapara la máxima distorsión, expuesta en la siguiente sección, debido a que correlaciona mejor con la información de pruebas reales para conocer la cedencia de los materiales dúctiles. Con el fin de ilustrar de manera gráfica la teoría del ECM en el esfuerzo plano, lo primero que debe hacerse es etiquetar los esfuerzos principales dados por σ1 , σ2 =

σx + σ y

2

  −  ±

σ y 2

σx

2

+ τ2xy

 

(2.7)

14 CAPÍTULO 2. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS 

Figura 2.4:  Dos representaciones gráficas de la teoría del máximo esfuerzo cortante como σ A y σB , y luego ordenarlos con el esfuerzo principal de valor cero según la convención σ1 > σ2 > σ3 . Si se supone que  σ A ≤ σB , existen tres casos a considerar cuando se usa la ecuación (2.3) para el esfuerzo plano. Caso 1: σ A ≥  σ B ≥ 0. En este caso,  σ1 = σ A y  σ3 = 0. La ecuación (2.3) se reduce a una condición de fluencia de   (2.8) σ A ≥ S y Caso 2: σ A ≥ 0 ≥  σ B. Aquí,  σ1 = σ A y  σ3 =  σB , y la ecuación (2.3) se convierte en σ A

 

− σ  ≥ S B

 y

(2.9)

Caso 3: 0 ≥  σ A ≥ σ B. En este caso,  σ1 = 0 y  σ3 = σ B y la ecuación (2.3) da

 ≤ −S

σB

 y

 

(2.10)

Las ecuaciones (2.8) a (2.10) se representan en la figura 2.5 mediante tres líneas

Figura 2.5:  Teoría del esfuerzo cortante máximo (ECM) de esfuerzo plano, donde  σ A y  σB son dos esfuerzos diferentes de cero.

indicadas en el plano σ A, σB . Las líneas restantes no marcadas son casos para σB ≥ σ A, los cuales completan la  envolvente del esfuerzo a la fluencia, pero que normalmente no se usan.

15

2.4. ENERGÍA DE DISTORSIÓN 

2.4. Energía de distorsión La teoría de la energía de deformación máxima predice que la falla por fluencia ocurre cuando la energía de deformación total por unidad de volumen alcanza o excede la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente a la resistencia a la fluencia en tensión o en compresión del mismo material. La teoría de Von Mises-Hencky o de energía de distorsión. El mecanismo micróscopico de fluencia se entiende que se debe al deslizamiento relativo de los átomos del material dentro de su estructura de red. Este deslizamiento es causado por esfuerzos cortantes acompañados por distorsión en la forma de la pieza. La energía almacenada en la pieza por causa de esta distorsión es un indicador de la magnitud del esfuerzo cortante presente. ENERGIA TOTAL DE DEFORMACIÓN Se pensó alguna vez que la energía

Figura 2.6:  Energía de deformación interna almacenada en una pieza deformada total de deformación almacenada en el material era la cauasa de la falla por fluencia (cedencia), pero las pruebas experimentales no lo han confirmado. La energía de deformación U  en un volumen unitario asociado con cualquier esfuerzo es el área  bajo la curva esfuerzo-deformación hasta el punto del esfuerzo aplicado, según se aprecia en la figura 2.6 para un estado de esfuerzo unidireccional. Suponiendo que la curva esfuerzo-deformación es en esencia lineal hasta el punto de fluencia, entonces podemos expresar la energía de deformación total, en cualquier punto de este rango, de la forma: 1   (2.11) U  = σǫ 2 Aplicando lo anterior a un estado de esfuerzos tridimensional obtenemos 1 2

U  = (σ1 ǫ1 + σ2 ǫ2 + σ3 ǫ3 )

(2.12)

según los esfuerzos principales y deformaciones principales que actúan sobre los planos de cero esfuerzo cortante. Esta expresión se puede proponer en función de sólo esfuerzo principales, efec-

16 CAPÍTULO 2. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS  tuando las siguientes sustituciones ǫ1 = ǫ2 = ǫ3 =

1 E

(σ1 − νσ2 − νσ3)

E

(σ2 − νσ1 − νσ3)

E

(σ3 − νσ1 − νσ2)

1 1

(2.13)

Sustituyendo la Ecuación 2.13 en la Ecuación 2.12, donde ν es la relación de Poisson, nos da: 1 2 2 2 [σ + σ + σ − 2 ν(σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 ) (2.14) U  = 2E 1 2 3 COMPONENTES DE LA ENERGIA DE DEFORMACIÓN La energía total de deformación en una pieza cargada ( Ecuación 2.14) se puede considerar como formada por dos componentes, uno por carga hidrostática, que cambia su volumen, y el otro por distorsión, que modifica su forma. Si separamos ambas componentes, la porción energía de distorsión nos dará una medida del esfuerzo cortante presente. Si  U h  representa el componente hidrostático o volumétrico y  U d  el componente de energía de distorsión, entonces  

U  = U h + U d

(2.15)

ENERGÍA DE DISTORSIÓN Se puede demostrar que la energía de deformación hidrostática esta dado por la ecuación 1 − 2 ν 2 2 2 [σ + σ + σ + 2(σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 )] (2.16) 6E 1 2 3 Ahora se determinará la energía de distorsión U d  restando la Ecuación   2.16 de la Ecuación   2.14, según la Ecuación   2.15: U h =

 1 + ν 2 2 2 [σ + σ + σ − σ σ − σ σ − σ σ ] (2.17) 3E 1 2 3 1 2 2 3 1 3 Observe que la energía de distorsión es cero si σ1 = σ2 = σ3 . A fin de obtener un criterio de falla, compararemos la energía de distorsión por volumen unitario dada mediantelaEcuación 2.17,conlaenergíadedistorsiónporvolumenunitariopresente a la falla en una probeta de prueba a tensión, ya que la prueba a tensión es nuestra fuente principal de datos de resistencia de materiales. El esfuerzo a la falla, de interés aquí, es el límite de fluencia elástico S y.Lapruebaatensiónesun estado de esfuerzos uniaxial donde, a la fluencia,  σ 1 = S y, y  σ 2 = σ3 =  0. Sustituyendo estos valores en la Ecuación   2.17 se determina la energía de distorsión asociada con la fluencia en la prueba a tensión: 1 + ν 2   (2.18) U d = S 3E  y En el caso del estado general de esfuerzo dado por la ecuación   2.17, se predice la fluencia si la ecuación   2.17es igual o mayor que la ecuación   2.18. Esto da U d = U  U h =

−

 

σ21 + σ22 + σ23

− σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3 ≥ S

 y

 

(2.19)

17

2.5. ESFUERZO NORMAL MÁXIMO 

que es aplicable al estado de esfuerzos tridimensional. El lado izquierdo de la ecuación   2.19 se llama esfuerzo de von Mises,  σ ′ , en honor del Dr. R. von Mises, quien contribuyó a elaborar la teoría. Así, la ecuación   2.19, de la fluencia, puede escribirse como σ′ ≥ S y donde el esfuerzo de von Mises es σ′ =

 

σ21 + σ22 + σ23

 

− σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3

(2.20)

En el caso de esfuerzos en dos dimensiones  σ2 = 0, y la ecuación anterior se reduce a σ′ =

  − σ21

σ1 σ3 + σ23

 

(2.21)

2.5. Esfuerzo normal máximo La teoría del esfuerzo normal máximo (ENM) estipula que la falla ocurre cuando uno de los tres esfuerzos principales es igual o excede la resistencia.  De nuevo se colocan los esfuerzos principales de un estado general de esfuerzo en la forma ordenada σ1  > σ2  > σ3 . Entonces, esta teoría predice que la falla ocurre cuando

 ≥ S

σ1

ut

o σ3

 

 ≤ −S

uc

(2.22)

donde Sut y Suc son resistencias a la tensión y a la compresión, respectivamente, dadas como cantidades positivas. En el caso de esfuerzo plano, con los esfuerzos principales dados por la ecuación (2.7), con σ A ≥ σ B, la ecuación (2.22) puede escribirse como

 ≥ S

σ A

ut

o σB

 

 ≤ −S

uc

(2.23)

lo cual se gráfica en la figura 2.7. Como antes, las ecuaciones de criterio de falla pueden convertirse en ecuaciones

Figura 2.7:  Gráfica de la teoría de falla del esfuerzo normal máximo (ENM), para estados de esfuerzo plano de diseño. Se consideran dos conjuntos de ecuaciones de las líneas de carga donde σ A ≥ σ B como Sut S o bien σB = − uc   (2.24) σ A = n

n

Como se verá más adelante, la teoría del esfuerzo normal máximo no es muy  bueno para predecir la falla en el cuarto cuadrante del plano σ A , σB. Por lo tanto, no se recomienda emplear esta teoría y se ha incluido aquí por razones históricas. Esta teoría, por lo general atribuida al científico y educador inglés W.J.M. Rankine

18 CAPÍTULO 2. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS  (1802–1872) es tal vez la más simple de todas las teorías de las fallas. Otra manera de expresar esta teoría es que la falla ocurrirá siempre que el mayor esfuerzo a la tensión tienda a exceder la resistencia uniaxial a la tensión, o siempre que el esfuerzo más grande a la compresión tienda a exceder la resistencia uniaxial a la compresión.ConrespectoalagráficadelcirculodeMohrdelafigura2.8a,sepronostica falla para cualquier condición de esfuerzos para la cual el circulo principal de Mohr se prolongue más allá de cualquiera de las fronteras verticales indicadas con líneas discontinuas. En la gráfica  σ 1 − σ2  de los esfuerzos biaxiales (es decir  σ 3 =  0) mostrada en la figura 2.8b se pronostica la falla para todas las combinaciones de  σ1 y σ2  que caen fuera del área sombreada. Se ha encontrado que esta teoría correlaciona en forma razonable con la información de pruebas para fracturas cuando el material es frágil. Como puede esperarse, no es adecuada para predecir las fallas de materiales dúctiles. Por esta razón, los puntos de prueba en la figura 2.8 se han designado como las resistencias finales a la tensión y a la compresión “Sut ” y “Suc ” respectivamente, en un material que se ha supuesto frágil.

Figura 2.8:  Dos representaciones gráficas de la teoría del máximo esfuerzo normal.

2.6. Coulomb Mohr Históricamente, la teoría de Mohr se remonta a 1900, una fecha que es relevante para su presentación. No había computadoras, solo reglas de cálculo, compases y curvas francesas. Los procedimientos gráficos, comunes en ese tiempo, aún son útiles. La idea de Mohr se basa en tres ensayos "simples": tensión, compresión y cortante, a la fluencia si el material puede fluir, o a la ruptura. Es más fácil definir la resistencia de fluencia por cortante como  Ssy , que realizar un ensayo. Si se hacen a un lado las dificultades prácticas, la hipótesis de Mohr consistía en usar los resultados de los ensayos de tensión, compresión y cortante a fin de elaborar

19

2.6. COULOMB MOHR 

los tres tres circulos de la figura 2.9, con objeto de definir una envolvente de falla, representada como la línea ABCD en la figura, arriba del eje. La envolvente de falla no es necesario que sea recta. El argumento se basaba en los tres circulos de Mohr que describen el estado de esfuerzos de un cuerpo ( vea la figura 2.9) y que crucen durante la carga hasta que uno de ellos se hace tangente a la envolvente de falla, definiendo ésta. ¿Era la forma de la envolvente de falla recta, circular o cuadrática? Un compás o una curva francesa definían la envolvente de falla. Una variación de la teoría de Mohr, llamada la teoría de Mohr-Coulomb, o teoría de la fricción interna, supone que la frontera BCD de la figura 2.9 es recta. Con este supuesto sólo son necesarias las resistencias a la tensión y a la compresión. Considere el ordenamiento convensional de los esfuerzos principales como σ1 > σ2 > σ3 . El circulo más grande conecta a  σ 1  y  σ 3 . Los centros de la figura 2.10 son  C 1 , C2 y  C 3 . Los triángulos OBiCi son similares, por lo tanto, B2 C2 B1 C1 B3 C3 B1 C1 = OC2 OC1 OC3 OC1 B2 C2 B1 C1 B3 C3 B1 C1 = C1 C2 C1 C3

− − −

o bien donde  B 1 C1

− − −

= St /2, B2 C2 =  ( σ1

 − σ3)/2 y  B 3C3 = S /2, son los radios de los circulos c

Figura 2.9:  Tres circulos de Mohr, uno para el ensayo de compresión uniaxial, otro para el ensayo de cortante puro y otro más para el ensayo de tensión uniaxial, se utilizan para definir la falla mediante la hipótesis de Mohr. Las resistencias  Sc  y  St son las resistencias de compresión y de tensión; se pueden usar para la resistencia a la fluencia o última.

de la derecha, el centro y la izquierda, respectivamente. La distancia desde el origen hasta C1 es de St /2, hasta C3 es Sc /2yhasta C2 (en la dirección σ positiva) es (σ1 + σ3 )/2. Así σ1 −σ3 − St Sc − St 2

St

2

2

 −

σ1 +σ3

=

2

2

2

St

Sc

2 + 2

Al cancelar los 2 en cada término, multiplicara cruzado y simplificar, esta ecuación se reduce a σ1  σ 3 (2.25) − =1 St

Sc

donde pueden usarse la resistencia a la fluencia o a la resistencia última. Para el esfuerzo plano, cuando los dos esfuerzos principales diferentes de cero son σ A > σB , se tiene una situación similar a los tres casos dados para la teoría del ECM, en las ecuaciones (2.8) a (2.10). Es decir, las condiciones de falla son

20 CAPÍTULO 2. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS 

Figura 2.10:  Círculo más grande de Mohr para un estado general de esfuerzo. Caso 1: σ A ≥  σ B ≥  0. Para este caso,  σ1 =  σ A y  σ3 = 0. Las ecuación (2.25) se reduce a la condición de falla de σ A ≥ S t   (2.26) Caso 2: σ A ≥ 0 ≥  σ B. Aquí,  σ1 = σ A y  σ3 =  σB , y la ecuación (2.25) se convierte en σ A St

− σS

B

(2.27)

c

Caso 3: 0 ≥  σ A ≥ σ B. Para este caso,  σ1 = 0 y  σ3 = σ B , y la ecuación (2.25) da σB St

− σS3 = 1

(2.28)

c

En la figura 2.11 se muestra una gráfica de estos casos, junto con los que normalmente no se usan correspondientes a  σB ≥ σ A. En el caso de ecuaciones de diseño, la incorporación del factor de seguridad n divide todas las resistencias entre  n . Por ejemplo, la ecuación (2.25) como una ecuación de diseño, σ1 σ3 1 − =   (2.29) St

Sc

n

Como la teoría de Mohr-Coulomb no se necesita el circulo de la resistencia cortante

Figura 2.11:  Grafica de la teoría de falla de Mohr-Coulomb, para estados de esfuerzo plano. torcional, ésta puede deducirse de la ecuación (2.25). Para el cortante puro τ, σ1 = σ3 = τ. La resistencia a la fluencia torsional ocurre cuando  τ mx = Ssy . Sustituyendo σ1 = −σ3 = S sy  en la ecuación (2.25) y simplificando se obtiene Ssy =

S yt S yc S yt + S yc

(2.30)

21

2.7. MOHR MODIFICADO 

2.7. Mohr modificado Se explicaran dos modificaciones de la teoría de Mohr para materiales frágiles: la teoría de Mohr-Coulomb frágil (MCF) y la teoría de Mohr modificada (MM). Las ecuaciones dadas para las teorías se restringirán al esfuerzo plano y serán del tipo de diseño, incorporando el factor de seguridad. La teoría de Mohr-Coulomb se estudió en la sección anterior, con las ecuaciones (2.26), (2.27) y (2.28). Escritas como ecuaciones de diseño para un material frágil, éstas son: Mohr-Coulomb frágil Sut n

σ A = σ A Sut

− Sσ

B

 ≥ σ  ≥ 0

σ A

=

uc

1

 ≥ 0 ≥ σ

σ A

n

− Sn

uc

σB =

(2.31)

B

 

B

0 ≥  σ A ≥ σ B

 

(2.32) (2.33)

Con base en los datos observados para el cuarto cuadrante, la teoría de Mohr modificada se expandeal cuarto cuadrante conlas líneas sólidas mostradas enloscuadrantes segundo y cuarto de la figura 2.12. Mohr-modificada Sut σ A = n

(Suc − Sut) σ A Suc Sut

 ≥ σ  ≥ 0

σ A

B

− Sσ

=

σB =

− Sn

B

uc

1 n

uc

 ≥ 0 ≥ σ

σ A

B

 ≥ 0 ≥ σ

σ A

B

0 ≥  σ A ≥ σ B

y y

  

σB σ A

 ≤  

1

(2.34)

σB >1 σ A

(2.35)

 

(2.36)

Los datos aún están fuera de esta región extendida. La línea recta que introduce la teoría de Mohr modificada, pra  σ A ≥ 0  ≥ σ B y |σB /σ A|  >  1, puede sustituirse con una relación parabólica, la cual puede representar de manera más cercana algunos de los datos. Sin embargo, esto introduce una ecuación no lineal sólo para obtener una corrección menor, y no se presentará aquí.

22 CAPÍTULO 2. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS 

Figura 2.12:  Datos de fractura biaxial de hierro fundido gris comparados con varios criterios de falla

Capítulo 3 Teorías y criterios de falla por cargas dinámicas En su mayoría, las fallas en las máquinas se deben a cargas que varían con el tiempo y no a cargas estáticas. Estas fallas suelen ocurrir a niveles de esfuerzo muy por debajo del límite elástico de los materiales. Por lo tanto, de manejar sólo las teorías de fallas estáticas presentadas en la unidad anterior, puede llevar a diseños poco seguros cuando las cargas sean dinámicas.

3.1. Cargas dinámicas El tipo de carga de un sistema se divide en diversas clases, con base en el carácter de las cargas aplicadas y en la presencia o ausencia de movimiento en el sistema. Una vez definida la configuración general de un sistema mecánico y calculados sus movimientos cinemáticos,la siguiente tarea será determinar la magnitud y la dirección de todas las fuerzas y los pares de fuerzas presentes en los diversos elementos. Estas cargas pueden ser constantes o variables a lo largo del tiempo. Los elementos del sistema pueden ser estacionarios o estar en movimiento. La clase más general es la de un sistema en movimiento, con cargas que varían con el tiempo. Las demás combinaciones son subconjuntos de la clase general. La tabla 3-1 muestra las cuatro clases posibles. La clase 1 es un sistema estacionario con cargas constantes. Un ejemplo de clase 1 es el bastidor base de una prensa de husillo, constante en esencia a lo largo del tiempo, y el bastidor base no se mueve. En un sistema de clase 1, todo lo que se necesita es un análisis de cargas estáticas. La  clase 2 describe un sistema estacionario con cargas que varían con el tiempo. Un ejemplo es un puente que, aunque estacionario en esencia, está sujeto a cargas que cambian al ir pasando vehículos por encima de él, y sobre cuya estructura,actúa el viento. La  clase 3  define un sistema en movimiento con gargas constantes. Aun cuando las cargas externas aplicadas pudieran ser constantes, cualquier aceleración significativa de los miembros en movimiento pueden crear fuerzas de reacción que varían con el tiempo.Un ejemplo pudiera ser la cegadora de hierva. 23

24  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS  Tabla 3.1 Clases de cargas

Cargas constantes Cargas que varían con el tiempo Elementos estacionarios Clase 1 Clase 2 Elementos en movimiento Clase 3 Clase 4 Excepto cuando siega una que otra piedra, las aspas experimentan una carga externa casi constante proviniente del corte de la hierba. No obstante, las aceleraciones de las aspas en rotación llegan a crear cargas elevadas en su sujeción. Tanto la  clase 2 como  para la 3 es necesario un análisis de cargas dinámicas. La  clase 4 describe el caso general de un sistema en movimiento rápido, sujeto a cargas que varían con el tiempo. Observe que aun cuando en algún caso dado las cargas externas aplicadas son más o menos constantes, las cargas dinámicas provinientes de sus aceleraciones que se producen sobre los elementos variarán con el tiempo. Un ejemplo de un sistema de la clase 4 es el motor de un automóvil. Las partes internas(cigueñal, bielas, pistones, etc) están sujetas a cargas que varían con el tiempo–provenientes de la explosión de la gasolina– y también experimentan cargas de inercia variables con el tiempo, originadas por sus propias aceleraciones. Para la clase 4 es necesario un análisis de cargas dinámicas.

3.2. Fatiga Este fenómeno se observó por primera vez en los años 1800, cuando empezaron a fallarejesdeloscarrosdeferrocarrildespuésdesólopocotiempodeservicio.Estaban fabricados de acero dútil, pero mostraban falla súbita de tipo fragil. En 1843 Rankine publicó un estudio sobre las causas de la ruptura inesperada de los rodamientos de los ejes de ferrocarril en el cual se postuló que el material se habia “cristalizado” y hecho frágil debido a los esfuerzos fluctuantes. Las fallas por fatiga siempre empiezan en una grieta. La grieta pudiera haber estado presente en el material desde su manufactura o haberse presentado a lo largo del tiempo, por causa de las deformaciones cíclicas cerca de las concentraciones de esfuerzos. Fisher y Yen han demostrado que casi todos los miembros estructurales contienen discontinuidades, desde microscópicos(  103 ciclos. El  método de esfuerzo-vida, que se basa sólo en niveles de esfuerzo, es el enfoque menos exacto, especialmente para aplicaciones de bajo ciclaje. Sin embargo, es el métodomástradicional,puesto que es fácil de implementar para una amplia variedad de aplicaciones de diseño, tiene una gran cantidad de datos de soporte y representa de manera adecuada las aplicaciones de alto ciclaje. El  método de deformacón-vida implica un análisi más detallado de la deformación plástica en regiones localizadas donde se considera a los esfuerzos y deformaciones para la estimación de la vida. Este método es especialmente bueno para aplicaciones con fatiga de bajo ciclaje. Al aplicar este método, deben realizarse algunas ideali zaciones, y existiran algunas incertidumbres en los resultados. Por esta razón, se estudiará sólo debido al valor que tiene al ayudar a compreder la naturaleza de la fatiga. En el método de la mecánica de la fractura se supone que ya existe una grieta y que ésta se ha detectado. Entonces, se emplea para predecir el crecimiento de la grieta con respecto a la intensidad del esfuerzo. Es más práctico cuando se aplica a estructuras grandes junto con códigos de computadora y un programa de inspección periódica.

3.3. Esfuerzo fluctuante A menudo los esfuerzos fluctuantes sobre la maquinaria adoptan la forma de un patrón sinusoidal debido a la naturaleza de algunas máquinas rotatorias. Sin embargo, también ocurren otros tipos de patrones, algunos muy irregulares. Se ha determinado que en los patrones periódicos que presentan sólo un máximo y sólo un mínimo de la fuerza, la forma de la onda no resulta fundamental, pero los picos en el lado alto (máximo) y en el lado bajo (mínimo) son importantes. En consecuencia, Fmáx y  Fmín en un ciclo de fuerza se emplean para caracterizar el patrón de la fuerza. También es cierto que al variar por arriba y debajo de alguna línea base resulte igualmente eficaz para caracterizar el patrón de la fuerza. Si la fuerza mayor es  Fmáx y la fuerza menor es  Fmín , se construye una componente uniforme y una alternante como sigue: Fm =

Fmáx + Fmín

F =

 

Fmáx

− Fmín

 

a 2 2 donde  F m  es la componente de intervalo medio de la fuerza y  F a  es la componente de la amplitud de la fuerza. Las funciones típicas esfuerzo-tiempo experimentadas por maquinaria rotativa se pueden modelar como se observa en la figura 3-1. Las componentes del esfuerzo, algunas de las cuales están en la figura 3-1d), son:

26  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS 

Figura 3.1:  Algunas relaciones esfuerzo-tiempo: a)esfuerzo fluctuante con pulsaciones de alta frecuencia; b) y c) esfuerzo fluctuante no sinusoidal;d) esfuerzo fluctuante sinusoidal;e) esfuerzo repetido; f) esfuerzo sinusoidalcompletamente invertido

σmin = esfuerzo mínimo σm =componente de esfuerzo medio σmáx = esfuerzo máximo σr =intervalo de esfuerzo σa =componente de la amplitud σs =esfuerzo estático o constante

El esfuerzo constante, o estático, no es el mismo que el esfuerzo medio; de hecho, puede tener cualquier valor entre  σmin y σmáx . El estado constante existe debido a una carga fija o a una precarga aplicada a la parte, y por lo general es independiente de la parte variante de la carga. Por ejemplo, un resorte helicoidal de compresión siempre está cargado en un espacio más corto que la longitud libre del resorte. El esfuerzo creado por esta componente inicial se llama componente constante o estática del esfuerzo. No es la misma que el esfuerzo medio. Las siguientes relaciones resultan evidentes en la figura 3-1.:

σm =

σmáx + σmín

2

σa =



σmáx

− σmín 2



(3.1)

27

3.4. LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA

Además de la ecuación 3.1, la razón de esfuerzo R  =

σmín σmáx

(3.2)

 A  =

σa σm

(3.3)

y la razón de amplitud

también se definen y emplean en conexión con los esfuerzos fluctuantes. En las ecuaciones 3.1 se emplean los símbolos σa y σm , como las componentes del esfuerzo en la ubicaciónbajo estudio. Lo anterior significa que en ausencia de una muesca, σa y σm  son iguales a los esfuerzos σao y σmo  inducidos por las cargas Fa y Fm ; en presencia de una muesca son K k σ   ao y K  f  σ mo , respectivamente, siempre y cuando el material permanezca sin deformación plástica. En otras palabras, el factor de concentración de esfuerzo a la fatiga  K  f  se aplica en  ambas componentes.

3.4. Límite de resistencia a la fatiga En la actualidad, determinar los límites de resistencia mediante ensayos a la fatiga es una rutina, aunque resulta un procedimiento extenso. En general, para los límites de resistecia los ensayos de esfuerzo se prefieren a los ensayos de deformación. Para el diseño preliminar y de prototipos, así como para algunos análisis de falla, se requiere un método rápido para estimar los límites de resistencia. Existen grandes cantidades de datos en la literatura técnica sobre los resultados de ensayos con viga rotativaydeensayosalatensióndemuestrastomadasdelamismabarraolingote.Si se grafican estos datos, como en la figura 6.17, se verá si hay alguna correlación entre los dos conjuntos de resultados. La gráfica parece sugerir que el límite de resistencia varía desde aproximadamente 40 hasta 60 por ciento de la resitencia a la tensión para aceros, y hasta alrededor de 210 kpsi(1450 Mpa). Comenzando en alrededor de Sut =  210kpsi (1450 Mpa), la dispersión parece incrementarse, pero la tendencia se ′ nivela, como lo sugiere la línea horizontal discontinua en  Se = 105 kpsi Ahora se presentará un modelo para estimar los límites de resistencia a la fatiga. Observe que las estimaciones que se obtuvieron a partir de las cantidades de datos provenientes de muchas fuentes, probablemente tendrán una amplia dispersión y podrían desviarse de manera sgnificativa de los resultados de ensayos de laboratorio reales acerca de las propiedades mecánicas de muestras obtenidas a través de ordenes de compra con especificaciones estrictas. Como el área de incentidumbre es más grande, debe realizarse una compensación mediante el empleo de factores de diseño más grandes que podrían usarse para el diseño estático. En el caso de los aceros, al simplificar la observación de la figura 6.17, se estimará el límite de resistencia como: ′

Se =

 

0.5Sut Sut ≤ 200 kpsi(1400 Mpa) 100 kpsi Sut  >  200 kpsi 700 Mpa Sut  >  1400 Mpa

(3.4) ′

donde Sut  es la resistencia a la tensión  mínima. El símbolo de prima en Se  en esta ecuación se refiere a la propia muestra de viga rotativa. Se desea reservar el símbolo sin

28  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS  prima  Se para el límite de resistencia de un elemento de máquina particular sujeto a cualquier tipo de carga.

3.5. Factores que modifican la resistencia a la fatiga Se ha visto que la muestra para el ensayo en máquina rotativa en el laboratorio para determinar los límites de resistencia a la fatiga se prepara con mucho cuidado y se ensaya bajo condiciones muy controladas. No es posible esperar que el límite de resistencia a la fatiga de un elemento mecánico o estructural iguale los valores que se obtuvieron en el laboratorio. Algunas diferencian incluyen,  Material: composición, base de falla, variabilidad.  Manufactura: método, tratamiento térmico, corrosión superficial por frotamien-

to, acabado superficial, concentración de esfuerzo.

Entorno: corrosión, temperatura, estado de esfuerzos, tiempos de relajación. Diseño: tamaño, forma, vida, estado de esfuerzos, concentración de esfuerzos,

velocidad, rozamiento, excoriación.

Marin1 identificó factores que cuantifican los efectos de la condición superficial, el tamaño, la carga, la temperatura y varios otros puntos. La cuestión respecto de ajustar el límite de resistencia a la fatiga por medio de correcciones sustractivas o multiplicativas se resolvió mediante un extenso análisis estadístico del acero 4340 ( horno eléctrico, calidad de aeronave), en el que se determinó un coeficiente de correlación de 0.85 para la forma multiplicativa, y 0.40 para la forma aditiva. Por lo tanto, la ecuación de Marin se escribe ′

Se = k a k b k c k d k e k  f Se

donde

 

(3.5)

k a = factor de modificación por la condición superficial k b = factor de modificación por el tamaño k c = factor de modificación por la carga k d = factor de modificación por la temperatura k e = factor de confiabilidad k  f  = factor de modificación por efectos varios ′

Se = límite de resistencia a la fatiga en viga rotatoria 1 Joseph

p.224.

Marin, Mechanical Behavior of Engineering, Prentice Hall, Englewood Cliff s, N.J.,1962,

29

3.6. SENSIBILIDAD DE LA MUESCA Se = límite de resistencia a la fatiga en la ubicación crítica de

una parte de máquina en la geometría y en la condición de uso. Cuando no se dispone de ensayos de resistencia a la fatiga de partes, las estimaciones se hacen aplicando los factores de Marin al límite de resistencia a la fatiga. Factor de superficie k a El factor de modificación depende de la calidad del acabado de la superficie de la parte y de la resistencia a la tensión. A fin de determinar expresiones cuantitativas para acabados comunes de parte de máquinas (esmerilada, maquinada o estirada en frio, laminada en caliente y forjada), las coordenadas de los puntos de datos se recopilaron nuevamente de una gráfica del límite de resistencia a la fatiga contra la resistencia última a la tensión, a partir de datos recolectados por Lipson y Noll y reproducidos por Horger. Los datos pueden representarse mediante  

k a = aS but

(3.6)

donde Sut es la resistencia mínima a la tensión y los valores de a y b se encuentran en la tabla 3-2. Tabla 3.2 Parámetros en el factor de la condición de Marin, Ecuación 3.6 Factor a   Exponente acabado superficial Sut, kpsi Sut, Mpa b

Esmerilado Maquinado o laminado en frío Laminado en caliente Como sale de la forja

1.34 2.70 14.4 39.9

1.58 4.51 57.7 272

-0.085 -0.265 -0.718 -0.995

Ejemplo 1 Un acero tiene una resistencia última mínima de 520 Mpa y una superficie maquinada. Estime k a Solución De la tabla 3-1, a  =  4.51 y  b  =  −0.265. Entonces de la ecuación (3.3) k a = 4.5(520)−0.265 = 0.860

resp. De nuevo, es importante observar que ésta es una aproximación, dado que por lo general los datos están muy dispersos. Además, ésta no es una corrección que pueda tomarse a la ligera. Por ejemplo, si en el ejemplo anterior el acero fuera forjado, el factor de correción sería de 0.540, una reducción significativa de la resistencia.

3.6. Sensibilidad de la muesca Enlasec.2.2sepuntualizóquelaexistenciadeirregularidadesodiscontinuidades, como orificios, ranuras o muescas incrementa de manera significativa los esfuerzos teóricos en la vecindad inmediata de la discontinuidad La ecuación 2.1 definió un factor de concentración del esfuerzo K t  ( o  K ts ), que se usa con el esfuerzo nominal

30  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS  para obtener el esfuerzo máximo resultante debido a la irreguladidad o defecto. De aquí que algunos materiales no sean completamente sensibles a la presencia de muescas y, por lo tanto, para ellos puede usarse un valor reducido de  K t . En el caso de estos materiales, el esfuerzo máximo es, en realidad, σmáx = K  f  σ 0

o bien

τmáx = K fs τ0

 

(3.7)

donde K  f  es un valor reducido de K t y σ0  es el esfuerzo nominal. El factor K  f  se llama comúnmente   factor de concentración del esfuerzo por fatiga, y a eso se debe el subíndice f . Entonces, es conveniente pensar en  K  f  como un factor de concentración del esfuerzo reducido de  K t debido a la disminución de la sensibilidad a la muesca. El factor resultante se define mediante la ecuación esfuerzo máximo en la pieza de prueba con muesca   (3.8) K  f  = esfuerzo en la pieza de prueba sin muesca R.E. Peterson sugiere la siguiente relación conocida como  sensibilidad a la muesca, q, y está definida por

 − 1 −1

o bien

− 1)

o bien

K  f  q  = K t

qcortante =

K fs K ts

−1 −1

 

(3.9)

donde  q  se encuentra entre cero y la unidad. La Ecuación 3.9 muestra que si  q =  0, entonces K  f  =  1, y el material no tiene ninguna sensibilidad a la muesca. Por otro lado, si q = 1, entonces  K  f  =  K t y el material tiene sensibilidad total a la muesca. En el trabajo de análisis o diseño, primero encuentre  K t , a partir de la geometría de la parte. Después, especifique el material, encuentre  q, y despeje para K  f  de la ecuación K  f  = 1 + q (K t

K fs = 1 + qcortante (K ts

− 1)

 

(3.10)

Las sensibilidades a la muesca para materiales específicos se obtienen de manera experimental.Losvoloresexperimentalespublicadossonlimitados,perohayalgunos disponibles para el acero y el aluminio. Las tendencias de la sensibilidad a la muesca como función del radio de la muesca y la resistencia última se muestran en la figura 3-2 para la flexión inversa o la carga axial, y en la figura 3-3 para la torsión inversa. La figura 3-2 se basa en la  ecuación de Neuber, la cual está dada por K  f  = 1 +

√ 

K t

1+

−1

a r

 

(3.11)

donde a  se define como   constante de Neuber  y es una constante del material. Si se igualan las ecuciones (3.9) y (3.11) se obtiene la ecuación de la sensibilidad a la muesca 1 (3.12) q  = √ a 1 + √ r que se relaciona con las figuras 3-2 y 3-3 de la siguiente manera √ a  =  0.246 − 3.08 × 10−3S + 1.51 × 10−5S2 − 2.67 × 10−8S3   (3.13) Flexión o axial : ut ut ut Torsión

√ a  =  0.190 − 2.51 × 10−3S

ut + 1.35

× 10−5S2ut − 2.67 × 10−8S3ut

  (3.14)

31

3.7. TEORÍA DE GOODMAN 

 √ 

Tabla 3.3 Valores de a Sut (kpsi) a(pul0.5 )

√ 

50 55 60 70 80 90 100 110 120 130 140 160 180 200 220 240

0.130 0.118 0.108 0.093 0.080 0.070 0.062 0.055 0.049 0.044 0.039 0.031 0.024 0.018 0.013 0.009

donde las ecuaciones se aplican al acero y S ut está en kpsi. La ecuación (3.12) usada  junto con las ecuaciones (3.13) y (3.14) es equivalente a las figuras (3-2) y (3-3). La sensibilidad a la muesca del hierro fundido es muy baja, varía de 0 hasta aproximadamente 0.20, dependiendo de la resistencia a la tensión. Para estar del lado conservador, se recomienda usar el valor de q  =  0.20 para todos los grados del hierro  √  fundido. Valores de a se representan en la tabla 3.3 para aceros.

3.7. Teoría de Goodman En la figura 3.2 se representan cinco criterios de falla: de Soderberg, de Goodman modificado, de Gerber, de ASME elíptica y de fluencia. En el diagrama se prueba que sólo el criterio de Soderberg ofrece protección contra la fluencia, pero tiene un sesgo  bajo. Si se considera la recta de Goodman modificada como un criterio, el punto A

Figura 3.2:  Diagrama de fatiga donde se proporciona varios criterios de falla. Para cada criterio, los puntos en o «arriba»

de la recta respectiva indican falla. Por ejemplo, un punto A en la recta de Goodman proporciona la resistencia  S m  como el valor límite de  σm correspondiente a la resistencia  Sa , la cual, emparejada con σm , es el valor límite de  σa .

32  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS  repre senta un punto límite con una resistencia alternante  Sa y una resistencia media Sm. La pendiente de la línea de carga que se muestra se define con  r  =  S a /Sm . Esta teoría propone la conexión del límite a la fatiga modificado Se  sobre el eje de esfuerzo alternante con la resistencia última a la tensión  Sut  sobre el eje de esfuerzo medio, mediante una línea recta. Matemáticamente se tiene: Sa Sm + =1 Se Sut

(3.15)

Introduciendo el factor de seguridad  n se obtiene: 1 σa σm + = Se Sut n

 

(3.16)

3.8. Teoría de Soderberg La línea de Soderberg es moderada y se define por S a Sm + =1 Se S y

(3.17)

Introduciendo el factor de seguridad  n se obtiene: σa σm 1 + = Se S y n

 

(3.18)

donde S y=límite de fluencia a la tensión

3.9. Teoría de Gerber El criterio de Gerber o línea de Gerber, llamado algunas veces «relación parabólica de Gerber» se expresa como sigue: Sa Sm + Se Sut

2

 

=1

(3.19)

Introduciendo el factor de seguridad  n se obtiene: nσa nσm + Se Sut

2

 

=1

en donde: σa =esfuerzo alternante σm =esfuerzo medio Sa =valor límite de  σa Sm=valor limite de σm Se = límite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico Sut = resistencia última (de rotura) a la tensión n= factor de seguridad

(3.20)

3.10. RESISTENCIA A LA FATIGA POR TORSIÓN 

33

3.10. Resistencia a la fatiga por torsión 3.10.1. Resistencia a la fatiga por carga torsional inversa Como las fallas a la fatiga están asociadas con cedencia en puntos muy bien delimitadosyyaquesehaencontradoquelacedenciadematerialesdúctilescorrelaciona  bien con la teoría de la energía de distorsión, tal vez no sorprenda que esta teoría es útil para pronosticar el límite de resistencia a la fatiga de los materiales dúctiles bajo diversas combinaciones de carga inversa biaxial, incluyendo la torsión. Lo anterior se ilustra en la figura 3.3. Por lo tanto, para metales dúctiles, el límite de resistencia a la fatiga ( o resistencia a la fatiga de larga vida) en la torsión inversa es casi el 58 por ciento del límite de resistencia a la fatiga ( o resistencia a la fatiga de larga vida) en la flexión reversible. Esto se incluye multiplicando el límite básico de resistencia a la ′ fatiga. Se. por un factor de carga ,  k c de 0.58.

Figura 3.3:  Gráfica σ1 − σ2 , para carga completamente invertida, materiales dúctiles Ya que los esfuerzos a la torsión implican gradientes de esfuerzo similares a la flexión, no es sorprendente que, como la flexión, la resistencia a la fatiga de 10 3 ciclos por lo general sea 0.9 veces la resistencia última apropiada. Por lo tanto, para la torsióninversa,laresistenciade103 ciclosesaproximadamente0.9veceslaresistencia última al cortante. Si existen valores experimentales para la resistencia torsional al cortante máximo, deben usarse. Si no, deben aproximarse en forma poco elaborada con: Sus = 0.8Su (para acero) Sus = 0.7Su (para otros metales dúctiles)

La curva inferior de la figura 3.2 muestra una curva S-N para la torsión estimada del acero con base en las relaciones anteriores. Existe muy poca información que respalde un procedimiento generalizado para elaborar las curvas torsionales S-N para materiales frágiles, lo cual hace que sea necesaria la información experimental real de la fatiga para el material específico y

34  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS  la condición de carga que hay en el problema que se presente. Si no se tiene dicha información, algunas veces se elaboran las curvas torsionales S-N para materiales frágiles basándose en a) la suposición de un límite de resistencia a la fatiga, a 10 6 ciclos, de 0.8 veces el límite estándar de resistencia a la fatiga por la flexión reversible ( esto se correlaciona en cierta forma con el uso de la teoría de las fallas de Mohr para relacionar la flexión y la torsión en la misma forma que la teoría de la energía de la distorsión se aplica en materiales dúctiles), y b) la suposición de una resistencia a 103 ciclos de 0.9Sus , la misma que para materiales dúctiles.

3.10.2. Resistencia a la fatiga por torsión bajo esfuerzos fluctuantes Extensos ensayos realizados por Smith 2 proporcionan algunos resultados muy interesantes sobre la fatiga por torsión pulsante. El primer resultado de Smith, sustentado en 72 ensayos, demuestra que la existencia de un esfuerzo uniforme torsional no mayor que la resistencia a la fluencia en torsión no tiene efecto en el límite de resistencia a la fatiga torsional, a condición de que el material sea  dúctil, pulido, libre de mellas y cilíndrico.

El segundo resultado de Smith se aplica a materiales con esfuerzos concentrados, muescas o imperfecciones superficiales.En este caso,determina que el límite de fatiga por torsión disminuye en forma monótona con el esfuerzo por torsión constante. como la gran mayoría de las partes tienen superficies con algunas imperfecciones, este resultado indica que son útiles la aproximación de Gerber, la de ASME-elíptica y otras. Joerres, de Associated Spring-Barnes Group, confirma los resultados de Smith y recomienda el uso de la relación de Goodman modificada para torsión pulsante. Al construir el diagrama de Goodman, Joerres utiliza Ssu = 0.67Sut

 

(3.21)

3.11. Análisis de carga de impacto Muchas máquinas tienen elementos sujetos a cargas súbitas, es decir a impacto. Un ejemplo es el mecanismo de cigüeñal, está sujeto a una elevación explosiva de presión, al estallar la carga de combustible dentro del cilindro, y el juego entre el perímetro del pistón y pared del cilindro puede aceptar un golpe de estas superficies al invertirse la carga en cada ciclo. Un ejemplo más extremo es el martillo neumático, cuya finalidad es golpear pavimento y romperlo. Las cargas que resultan del impacto pueden ser mucho mayores que las que resultarían de los mismos elementos en un contacto gradual. Imagínese clavar un clavo colocando la cabeza del martillo suavemente sobre él en vez de golpearlo. Lo que distingue la carga por impacto de la carga estática es la duración en tiempo de aplicación de la carga. Si la carga se aplica con lentitud, se considera estática; si se aplica con rapidez, entonces se trata de un impacto. Un criterio utilizado para distinguir ambas es comparando el tiempo de aplicación de la carga tl  (definido como el tiempo que toma la carga desde cero hasta su valor pico) con el periodo de 2 James O.

Smith, “The E ff ects of Range of Stress on the Fatige Strength of Metals”, en Univ. of Ill Eng. Exp. Sta. Bull, 334,1942.

3.11. ANÁLISIS DE CARGA DE IMPACTO 

35

la fracuencia natural  T n del sistema. Si  t l  es menor que la mitad de  T n, se considera impacto.Si tl es superior a tres veces T n , se considera estático. Entre ambos límites hay un área de penumbra, en la cual puede existir cualquiera de estas dos condiciones. En la carga por impacto se considera la existencia de dos casos generales, aunque veremos que uno simplemente es un caso límite del otro.Burr 3 identifica estos dos casos como impacto por golpe e impacto por fuerza. El impacto por golpe se refiere a una colisión real de dos cuerpos, como el martillar o la desaparición del juego entre dos piezas incidentes. El impacto por fuerza se refiere a una carga aplicada súbitamente, sin velocidad alguna de colisión, como en el caso de un peso tomado de repente por un soporte. Este estado es común en embragues y frenos de fricción. Estos casos pueden ocurrir de manera independiente o combinados. Las colisiones severas entre objetos en movimiento pueden dar como resultado una deformación permanente de los cuerpos en colisión, como en un accidente de automóvil. En estos casos la deformación permanente es deseable, a fin de absorver grancantidaddeenergíadelacolisión,protegiendoalosocupantescontradañosmás severos. Aquí estamos interesados sólo en impactos que no causen deformación permanente, esto es, los esfuerzos se mantendran en la región elástica. Esto es necesario para después del impacto poder permitir un uso continuado del componente. Si la masa del objeto que golpea m  es grande en comparación con el objeto mb golpeado,yelobjetoquegolpeasepuedeconsiderarcomorígido,entonceslaenergía cinética que posee el objeto que golpea se puede igualar con la energía elásticamente almacenada con el objeto golpeado, a su máxima deflexión. Este procedimiento por energía da un valor aproximado  de la carga por impacto. No es exacto, porque supone que los esfuerzos en todo el miembro impactado alcanzan valores pico al mismo tiempo. Más bien se establecen ondas de esfuerzo en el cuerpo golpeado, que avanzan con él a la velocidad del sonido y se reflejan en sus fronteras. El cálculo del efecto de estas ondas longitudinales sobre los esfuerzos en medios elásticos da resultados exactos y es necesario cuando es pequeña la relación de la masa del objeto que golpea con el objeto golpeado. El método ondulatorio no se estudiará aquí. Se invita a consultar la referencia 3 para mayor información. Las cargas de impacto pueden actuar a la compresión, tensión, flexión, torsión o en una combinación de éstas. La aplicación repentina de un enbrague y el choque de una obstrucción en la broca de un taladro eléctrico son ejemplos de impacto torsional. Una diferencia importante entre la carga estática y la de impacto es que las partes con carga estática deben diseñarse para soportar cargas, en tanto que las partes sujetas a impacto deben diseñarse para absorver energía.

3.11.1. Esfuerzo y deflexión producidos por impacto lineal y a la flexión La figura 3.4 muestra una versión idealizada de una masa en caida libre ( de peso W   ) que golpea una estructura.( la estructura se presenta por un resorte, lo cual es apropiado debido a que todas las estructuras tienen cierta elasticidad.) Para deducir de la figura 3.4 las ecuaciones simplificadas de esfuerzo y deflexión, se 3 A.H.

Burr y J.B. Cheathamm, Mechanical Analisis and Design, 2a. edición Prentice Hall: Englewood Cliff s., pág. 835-863, 1995.

36  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS  hacen las mismas suposiciones que cuando se dedujo la ecuación para la frecuencia natural de un sistema simple masa-resorte: 1) la masa de la estructura (resorte) es insignificante, 2) las deflexiones dentro de la misma masa son insignificantes y 3) el amortiguamiento tambien es insignificante. Estas suposiciones tienen algunas implicaciones importantes: 1. La primera suposición implica que la curva de deflexión dinámica (es decir, que las deflexiones instantáneas son el resultado del impacto) es idéntica a la causada por la aplicación estática de la misma carga, multiplicada por un factor de impacto. En realidad, la curva de deflexión dinámica en forma inestable implica puntos de mayor deformación local (por lo tanto, esfuerzo local mayor) que en la curva estática. 2. Es inevitable que ocurra alguna deflexión dentro de la misma masa impactante. En el grado en que esto suceda, se absorbe una parte de la energía dentro de la masa, ocacionando por lo tanto que los esfuerzos y las deflexiones en la estructura sean un poco  más bajos que los valore calculados. 3. Cualquiercasorealimplicacierto(aunquetalvezseamuypoco)amortiguamiento por fricción en la forma de resistencia al aire, rozamiento de la masa en la  barra guía y en el extremo del resorte (en la figura 3.4), y fricción interna dentro del cuerpo de la estructura que se deflexiona. Este amortiguamiento provoca que los esfuerzos reales y las deflexiones sean considerablemente menores que las calculadas en el caso idealizado.

Figura 3.4:  Carga por impacto aplicada a una estructura elástica al caer un peso. a) Posición inicial; b) posición al instante de la deflexión; c) relaciones fuerza-deflexión-energía

37

3.11. ANÁLISIS DE CARGA DE IMPACTO 

En la figura 3.4, la masa que cae tiene (en el campo gravitacional implicado) un peso, W  (newton o libras). Se supone que la estructura responde al impacto en forma elástica, con una constante de elásticidad de k   (newtons por metro o libras por pulgadas). El valor máximo de la deflexión debida al impacto es δ  (metros o pulgadas).  F e  se define como una  fuerza estática equivalente que produciría la misma deflexión,  δ ; es decir,  F e = k δ. La deflexión estática que existe después de que se ha amortiguado la energía y que el peso alcanza el reposo en la estructura se denomina por δst , donde δst = W /k . Al igualar la energía potencial dada por la masa que cae con la energía elástica absorbida por el resorte (estructura), se tiene W (h + δ)  =

1 Fδ 2 e

 

(3.22)

Obsérvese que aparece el factor de 1 /2 debido a que el resorte recibe la carga en forma gradual. Por definición, Fe = (δ/δst )W 

o bien,

 

δst = F e /W 

(3.23)

La sustitución de 3.23 en 3.22,  1 δ2 W (h + δ)  = W  2 δst

 

(3.24)

La ecuación 3.24 es una ecuación de segundo grado en δ,la cual se resuelve en forma rutinaría para dar  2 h (3.25) δ  =  δ st 1 + 1 +

            δst

Fe = W  1 +

1+

 2 h δst

(3.26)

Ya que se supone que la estructura responde en forma elástica al impacto. el esfuerzo producido es proporcional a la carga. El término entre paréntesis en la ecuaciones 3.25y3.26sellama factor de impacto. Es el factor por el cual la carga, esfuerzo, esfuerzo y deflexión causados por el peso aplicado en forma dinámica, W , excede a aquellos causados por la aplicación lenta, estática del mismo peso. En algunos casos es más conveniente expresar las ecuaciones 3.25 y 3.26 en términos de la velocidad al impacto v (metros por segundo o pulgadas por segundo) en lugar de la altura  h. Para la caída libre, la relación entre estas cantidades es 2

v = 2 gh

o

v2 h = 2 g

La sustitución de esta última ecuación en 3.25 y 3.26 da δ  =  δ st

      1+

v2 1+  gδst

(3.27)

38  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS 

     

Fe = W  1 +

1+

v2  gδst

(3.28)

La reducción de la distancia h a cero muestra el caso especial de una carga aplicada en  forma repentina,paralacual,elfactordeimpactoenlasecuaciones3.25y3.26,esiguala 2. Esto pudo haber sido una base para que, anteriormente, los diseñadores duplicaran algunas veces los factores de seguridad cuando se esperaba hubiera impacto. En muchos problemas que implican impacto, la deflexión es casi insignificante en comparación con h  (véase la figura 3.3). Para este caso, las ecuaciones 3.25 y 3.26 pueden simplificarse a 2h   (3.29) = 2hδst δ  =  δ st

      √  δst

Fe = W 

2h

δst

=

2Whk 

 

(3.30)

En forma similar las ecuaciones 3.27 y 3.28 se simplifican a δ  =  δ st

Fe = W 

        v2 =  gδst

δst v2  g

 

(3.31)

v2 =  gδst

v2 kW   g

 

(3.32)

En las cuatro ecuaciones anteriores, se consideró a la gravedad sólo como el medio para desarrollar la velocidad del peso en el punto del impacto(no se considera la acción de la gravedad después del impacto). Por lo tanto,las ecuaciones 3.31 y 3.32 se aplican también al caso de un peso que, moviéndose en forma horizontal, choca contra una estructura, y en el cual la velocidad del impacto se desarrolla por otros medios diferentes a la gravedad. Es útil expresar las ecuaciones para la deflexión y la fuerza estática equivalente como funciones de la energía cinética de impacto U , donde  U  =  1 /2mv2 = Wv2 /2 g. La sustitución de esta última ecuación y  δst = W /k  en las ecuaciones 3.31 y 3.32 da δ  =

Fe =

 

2U  k 

√ 

2Uk 

 

(3.33)  

(3.34)

3.11.2. Esfuerzo y deflexión producidos en el impacto por torsión En el análisis de la sección precedente se podría repetir para el caso de los sistemas torsionales, y desarrollar un conjunto correspondiente de ecuaciones. En su lugar, puede sacarse ventaja de la analogía directa entre los sistemas lineales y torsionales para obtener directamente las ecuaciones finales. Las cantidades análogas son:

39

3.11. ANÁLISIS DE CARGA DE IMPACTO 

Lineal δ, deflexión (m) Fe , fuerza estática equivalente (N) m, masa (kg ) k, constante de elasticidad (N / m) v, velocidad de impacto (m / s) U , energía cinética (N.m)

Torsional θ, deflexión (rad) T e , par de torsión equivalente (N-m) I, momento de inercia (N .s2 .m ) K, constante de elasticidad (N.m / rad) ω, velocidad de impacto (rad / s) energía cinética (N.m)

Las dos ecuaciones para el caso torsional son: θ  =

 

2U  K 

 

(3.35)

√ 

2UK    (3.36) Para el importante caso especial del impacto torsional en una barra redonda y macisa de diámetro d: 1. Mediante la tabla 5.1, T  πd4 G   (3.37) K  = = 32L θ 2. De la ecuación τ  =  16T /Πd3 con T  reemplazada por T e , T e =

τ  =

16T e πd3

 

(3.38)

3. Volumen, V  = π d2 L/4 La sustitución de 3.37, 3.38 y esta última ecuación en la ecuación 3.36 da τ  =  2

 

UG V 

 

(3.39)

40  CAPÍTULO 3. TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS DINÁMICAS 

Capítulo 4 Ejes Introducción Un   eje de transmisión  (o árbol) es un elemento cilíndrico de sección circular cuya función es la de transmitir movimiento y potencia, que puede estar fijo o estar girando, sobre el que se montan engranes, poleas, volantes, ruedas de cadena o manubrios, así como otros elementos mecánicos de transmisión de fuerza o potencia. Los ejes de transmisión, o simplemente ejes, son barras sometidas a cargas de flexión tensión, compresión o torsión que actúan individualmente o combinadas. En este últimocasoesdeesperarquelaresistenciaestáticayladefatigaseanconsideraciones importantes de diseño, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultánea a la acción de esfuerzos estáticos completamente invertidos en forma alternante y repetidos sin cambio de sentido. El término “eje” abarca otras variedades, como los ejes de soporte y los husillos. Un  eje de soporte es el que no transmite carga de torsión y puede ser fijo o rotatorio. Un eje de transmisión rotatorio de corta longitud se denomina  husillo. Diseñar un eje consiste básicamente en la determinación del diámetro correcto del eje para asegurar una rigidez y una resistencia satisfactorias, cuando el eje transmite potencia bajo diferentes condiciones de carga. Las cargas en los ejes de transmisión rotatoria son principalmente de uno de dos tipos: torsión debida al par de torsión transmitido o deflexión proveniente de cargas transversales por engranes, poleas o ruedas dentadas. Estas cargas suelen ocurrir combinadas, ya que, por ejemplo, el par de torsión transmitido puede estar asociado con fuerzas en los dientes de engranes o ruedas dentadas de los ejes.

41

42

CAPÍTULO 4. EJES 

4.1. Análisis de resistencia El diseño de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes puntos de vista:

4.1.1. Bajo cargas estáticas Los esfuerzos en un punto de la superficie de un eje redondo macizo de diámetro d, que se someten a cargas de flexión, axiales y de torsión son: σx =

32 M

τxy =

4F

(a)

+ πd3 πd2

16T 

(b)

πd3

donde σx =esfuerzo de flexión τxy = esfuerzo de torsión d = diámetro del eje  M  = momento flexionante en la sección crítica T  = momento torsionante en la sección crítica La componente axial de σx  puede ser aditiva o sustractiva. Obsérvese que las tres cargas, M, F y T  ocurren en la sección que contiene el punto superficial específico. Utilizando un circulo de Mohr puede demostrarse que los dos esfuerzos principales no nulos son σx 2

±   

σx

1/2

+ τ2xy

(4.1) 2 2 Estos esfuerzos pueden combinarse para obtener el esfuerzo cortante máximo  τmáx y ′ el esfuerzo de von Mises  σ . Los resultados son σ A, σB =

τmáx =



σ = σ A2 ′

σ A

B

2

−σ

σx 2

1/2

          −σ

 A σB

=

+ σ2B

2

1/2

+ τ2xy

= σ2x + 3τ2xy

(4.2) 1/2

(4.3)

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en las ecuaciones 4.2 y 4.3 se tiene τmáx = ′

σ =

2

πd3

4 πd3

(8 M + Fd)2 + (8T )2

(8 M + Fd)2 + 48T 2

1/2

(4.4)

1/2

(4.5)

′

Estas ecuaciones permiten determinar τ máx  o bien  σ cuando se da  d, o determinar  d ′ cuando se conoce el valor permisible de τmáx  o  σ . Si el análisis o diseño ha de ser con base en la teoría del esfuerzo cortante máximo, entonces el valor admisible de τmáx es τadm =

Sxy S y = 2n n

 

(4.6)

43

4.1. ANÁLISIS DE RESISTENCIA

Las ecuaciones 4.4 y 4.6  sirven juntas para determinar el factor de seguridad n  si se conoce el diámetro d, o bien para hallar el diámetro si es un dato el factor de seguridad. Un análisi similar puede efectuarse con base en la teoría de la energía de distorsión en la falla. En este caso el esfuerzo de von Mises permisible es ′

σadm =

S y n

 

(4.7)

FLEXIÓN Y TORSIÓN En muchos casos, la componente axial F  en las ecuaciones 4.4 y  4.5 es nula o tan pequeña que puede ser despreciada. Con  F  =  0, las ecuaciones 4.4 y 4.5 se convierten en 16 2 2 1/2 τmáx = (4.8)  M + T  3



πd

′

σ =

16 πd3



4 M2 + 3T 2

 

1/2

(4.9)

Es más fácil resolver estas ecuaciones para evaluar el diámetro que las ecuaciones (4.4) y (4.5). Introduciendo los valores de los esfuerzos permisibles a partir de las ecuaciones (4.6) y (4.7), se obtiene que 1/3 32n 2 2 1/2 (4.10) d  =  M + T 

 



πS y

aplicando la  teoría del esfuerzo cortante máximo. Alternativamente, si se conoce el diámetro, el factor de seguridad se calcula por 1 n

=

32 πd3 S y



 M2 + T 2



1/2

(4.11)

Relaciones similares pueden obtenerse mediante la teoría de distorsión. Los resultados correspondientes son 1/3 1 /2 16n 4 M2 + 3T 2 (4.12) d  =

  πS y

1 n

=

16

πd3 S y



 

4 M2 + 3T 2

1/2

(4.13)

4.1.2. Bajo cargas dinámicas En cualquier eje rotatorio cargado por momentos estacionarios de flexión y torsión, actuarán esfuerzos por flexión completamente invertida debido a la rotación del árbol, pero el esfuerzo torsional permanecerá estable. Utilizando el subíndice a  para señalar la  amplitud de esfuerzo alternante y  m  para el  esfuerzo de punto medio o esfuerzo estable. Pueden expresarse las ecuaciones (a) y (b) de la subsección (4.1.1) como σxa =

32 Ma πd3

amplitud del esfuerzo alternante

(a)′

44

CAPÍTULO 4. EJES 

τxym =

16T m πd3

esfuerzo de punto medio o estable

(b)′

De acuerdo con lo anterior se han desarrollado una serie de teorías para el diseño por fatiga, siendo las más populares: Relación elíptica ASME para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. (Norma ANSI B106.1M-1985). d  =

           √   32ns π

K  f  Ma Se

2

+

 3 T m 4 S y

2

1/3

(4.14)

Relación de Goodman modificada para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. 1/3 32ns K  f  Ma 3T m (4.15) d  = + 2Sm π Se en donde ′

Se = K a K bK c K d K r Se

 

(4.16)

siendo, ′ Se = Límite de resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria. Se  = límite de resistencia a la fatiga corregido para todos los efectos, excepto concentración de esfuerzo S y= límite de fluencia del material Su = resistencia última del material  Ma = momento flector alternante T m = Valor promedio del momento torsional

4.2. Restricciones geométricas Las restricciones geométricas asocian objetos geométricos o especifican una ubicación o un ángulo fijos. Por ejemplo, es posible hacer que una línea siempre sea perpendicular a otra línea, que un arco y un círculo siempre tengan el mismo centro o que una línea siempre sea tangente a un arco. Una vez aplicadas, las restricciones sólo permiten hacer cambios en la geometría si éstos cumplen con las restricciones. Esto permite explorar distintas opciones de diseño o hacer cambios en el diseño al mismo tiempo que se mantienen los requisitos y especificaciones del mismo.

4.3. Ejes huecos 4.4. Análisis por rigidez Deformación en los ejes El problema de la deflexión en un eje es de suma importancia cuando este efecto es una limitante en el diseño del mismo. Para determinar

45

4.4. ANÁLISIS POR RIGIDEZ 

la deflexión de un eje en cualquier punto, podemos utilizar los siguientes criterios: Método de la doble integración Método del área de momentos El "método de la doble integración" recomendado para ejes de sección uniforme, se  basa principalmente en determinar la ecuación de la curva elástica, a partir de la ecuación de momentos (4.17) EIy′′ = M (x) Resolviendo la ecuación 4.17 y aplicando las condiciones iniciales, se obtiene una ecuación de la forma 1 (4.18)  y  = F(x) EI 

A partir de la ecuación 4.18 , se obtienen las deflexiones en los puntos deseados. El "método del área de momentos" recomendado para ejes de sección variable, está fundamentado en dos teoremas básicos (Ver figura 4.1): Teorema1:ElángulodelastangentesAyBesigualaláreadeldiagramademomentos flectores entre esos dos puntos divididos por el producto EI . θ  =

B

1 EI 

 

 Mdx

 

(4.19)

 A

Teorema 2: La distancia vertical entre el punto B de la elástica y la tangente trazada a la curva por A es igual al momento respecto a la vertical por B del área del diagrama de momentos flectores entre A y B divididas por EI . ∆=

1 EI 

B

 

 Mxdx

 A

Figura 4.1:

 

(4.20)

46

CAPÍTULO 4. EJES 

4.5. Velocidad crítica Todos aquellos sistemas que contienen elementos de almacenamiento de energía poseerán un conjunto de frecuencias naturales, a las cuales vibrará con potencialmente gran amplitud. Cualquier masa en movimiento almacena energía cinética y cualquier resorte almacena energía potencial. Todos los elementos de máquinas están fabricados de materiales elásticos y, po lo tanto, actúan como resortes. Todos los elementos tienen masa y almacenarán energía cinética si además tienen velocidad. Cuando un sistema dinámico vibra, ocurre de manera repentina una transferencia de energía de potencial a cinética a potencial, etc, dentro del sistema mismo. Los ejes llenan estas condiciones, girando a alguna velocidad y flexionándose tanto a torsión como a flexión. Si un eje o cualquier elemento está sujeto a una carga que varía con el tiempo, vibrará. Aun si sólo recibiera una carga transitoria, como un martillazo, vibrará a sus frecuencias naturales, de la misma manera que una campana vibra al ser golpeada. Esta vibración se conoce como vibración  vibración libre. Esta vibración transitoria o libre desaparece a final de cuentas, debido al amortiguamiento presente en el sistema. Silacargaquevaríaconeltiempoessostenida,comodemanerasenoidal,elejeuotro elemento seguirán vibrando a la frecuencia forzadora por la función propulsora. Si la frecuencia forzadora coincide con alguna de las frecuencias naturales del elemento, entonces la amplitud de la respuesta vibratoria será mucho mayor que la amplitud en la función propulsora. Se dice entonces que el elemento está en  resonancia. La figura 4.2a muestra la respuesta en amplitud de una vibración forzada, y la figura 4.2b una vibración autoexcitada, como una función de la razón de frecuencias forzadora a frecuencia natural del sistema, ω f /ωn. Cuando esta razón es 1, el sistema está en resonancia y en ausencia de amortiguación la amplitud de respuesta se acerca a infinito. La respuesta de amplitud de la figura 4.2 se muestran como una razón sin dimensiones de amplitud de salida a amplitudes de entrada. Cualquier amortiguación, mostrada como razón de amortiguamiento ζ, reduce la razón de amplitud en resonancia. A la frecuencia natural se le conoce como frecuencia crítica o velocidad crítica.  Debe evitarse la excitación de un sistema a sus frecuencias críticas (resonantes) o a cerca de ellas, ya que las deflexiones resultantes a menudo causarán esfuerzos lo suficientemente grandes para que las piezas rápidamente fallen.

Un sistema formado por agrupamientos discretos de masas conectadas con elementos discretos de resorte puede considerarse con un número finito de frecuencias naturales, equivalente a su número de grados de libertad cinemáticos. Pero un sistema continuo, como una viga o un eje, tiene un número infinito de partículas, cada una de las cuales es capaz de un movimiento elástico en relación con sus vecinas. Por lo que un sistema continuo tiene un número infinito de frecuencias naturales. En cualquier caso, la frecuencia natural más baja, es decir, la fundamental, es por lo común la de mayor interés. Las frecuencias naturales de vibración de un sistema pueden expresarse como una frecuencia circular ωn con unidades en rad / s o en rpm, o como una frecuencia lineal  f n  con unidades en hertzios (Hz). Se trata de las mismas frecuencias, representadas en unidades distintas. La expresión general para la frecuencia natural fundamental

47

4.5. VELOCIDAD CRÍTICA

Figura 4.2:  Respuesta de un sistema con un solo grado de libertad a frecuencias forzadas o de autoexcitación variables es ωn =

     k  m

rad / sec

(4.21)

1  k  Hz (4.22) 2π m donde k  es la constante del resorte y  m es su masa. Las ecuaciones anteriores definen la frecuencia natural sin amortiguar. El amortiguamiento reduce ligeramente la frecuencia natural. Los ejes, vigas y la mayor parte de las piezas de maquinaria tienen tendencia a estar ligeramente amortiguadas, por lo que el valor sin amortiguar puede manejarse con ligero error. La estrategia acostumbrada de diseño es mantener todas las frecuencias forzadas o de autoexcitación por debajo de la primera frecuencia crítica, por lo menos con algún margen comodo. Cuanto mayor sea este margen, tanto mejor, pero es deseable por lo menos un factor de 3 o 4. Esto mantiene la razón amplitud-respuesta cerca de uno o de cero como se muestra en la figura 4.1a y 4.1b.  f n =

En los ejes nos preocupan tres tipos de vibraciones: 1. vibración lateral 2. Balanceo de la flecha 3. Vibración torsional Los dos primeros implican deflexiones a flexión, y el último, deflexión a torsión del eje. Todos los ejes, aún sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de: La rigidez del eje y de sus soportes

48

CAPÍTULO 4. EJES 

De la masa total del eje y de las partes que se adicionan Del desequilibrio de la masa respecto al eje de rotación Del amortiguamiento presente en el sistema La deformación, considerada como una función de la velocidad, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas, pero solo la más baja (primera) y ocasionalmentelasegundatieneimportanciaeneldiseño.Lasotrassongeneralmente tanaltasqueestánmuyalejadasdelasvelocidadesdeoperación.Loanteriorseilustra en la figura 4.3. La frecuencia natural de un eje en flexión es prácticamente igual a la velocidad

Figura 4.3:  Representación de la primera y segunda velocidad crítica crítica. Existe una pequeña diferencia debida a la acción giroscópica de las masas. Parauneje con una sola masa, en donde la masa del eje es pequeña encomparación a la masa que lleva unida, la primera velocidad crítica se puede calcular de manera aproximada por

 

 k    (4.23) m en donde k  es la constante de resorte del eje y  m es la masa soportada por el eje ωc =

La primera velocidad crítica puede calcularse también por ωc =

 

 g δ

 

(4.24)

en donde  g  es la aceleración de la gravedad y  δ es la deflexión del eje en el punto de ubicación de la masa. La figura 4.4 muestra un eje flexionado que gira a una velocidad ω. El eje, debido a su propia masa, tiene una velocidad crítica. De igual forma, el ensamble de elementos a un eje tiene una velocidad crítica que es mucho menor que la velocidad intrínseca del eje. La estimación de estas velocidades críticas (y sus armónicas) es una tarea del diseñador. Cuando la geometría es simple, como la de un eje de diámetro uniforme, simplemente apoyado, la tarea es fácil. Puede expresarse como

       

π 2 ωc = l

π EI  = m l

2

 gEI   Aγ

 

(4.25)

49

4.6. MATERIALES PARA EJES 

Figura 4.4:  Deflexión en un eje de una sola masa con peso W donde  m  es la masa por unidad de longitud,  A  el área de la sección transversal y  γ el peso específico. En el caso de un ensamble de elementos, el método de Rayleigh para masas concentradas establece ωc =

     g

wi yi wi y2i

(4.26)

donde  w i  es el peso de  i −ésima ubicación y yi  es la deflexión en la ubicación del  i ésimo cuerpo. Se puede usar la ecuación4.26 enelcasodelaecuación4.25 dividiendo el eje en segmentos y colocando la fuerza del peso en el centroide del segmento como se muestra en la figura 4.5. Con frecuencia se recurre a la ayuda de una computadora para aminorar la dificultad al calcular las deflexiones transversales de un eje escalonado. La ecuación de Rayleigh sobrestima la velocidad crítica. Para contrarestar la complejidad mayor del detalle, se adopta un punto de vista útil. Puesto que el eje es un cuerpo elástico, se utilizan coeficientes de influencia, que son las deflexiones transversales en la ubicación  i  de un eje, debida a una carga unitaria en la ubicación j  del eje. De la tabla A-9-6 (Sigley), se obtiene, para una viga simplemente apoyada con una sola carga unitaria, como la que se muestra en la figura 4.6, b j xi 2 2 2 si xi ≤ a i 6EIl l − b j − xi (4.27) δij = a j (l−xi ) 2 − x2 2 si − > lx a  x  a i i i 6EIl i i

   





Para tres cargas los coeficientes de influencia se presentarían como

i

1

 j

2

3

1 δ11 δ12 δ13 2 δ21 δ22 δ23 3 δ31 δ32 δ33

4.6. Materiales para ejes La deflexión no se ve afectada por la resistencia sino por la rigidez, representada por el módulo de elasticidad, que es esencialmente constante en todos los aceros. Por

50

CAPÍTULO 4. EJES 

esta razón, la rigidez no puede controlarse mediante decisione sobre el material, sino sólo por decisiones geométricas. La resistencia necesaria para soportar esfuerzos de carga afecta la elección de los materiales y sus tratamientos. Muchos ejes están hechos de aceros de bajo carbono, acero estirado en frío o acero laminado en caliente, como lo son los aceros ANSI 1020-1050. A menudo no está garantizado el incremento significativo de la resistencia proveniente del tratamiento térmico ni el contenido de alta aleación. La falla por fatiga se reduce moderadamente mediante el incremento de la resistencia, y después sólo a cierto nivel antes de que los efectos adversos en el límite de resistencia a la fatiga y la sensibilidad a la muesca comience a contrarrestar los beneficios de una resistencia mayor. Una buena práctica consiste en iniciar con un acero de bajo o medio carbono de bajo costo, como primer paso en los cálculos del diseño. Si las consideraciones de resistencia resultan dominar sobre las de deflexión, entonces debe probarse un material con mayor resistencia, lo que permite que los tamaños del eje se reduzcan hasta que el exceso de deflexión adquiera importancia. El costo del material y su procesamiento debe ponderarse en relación con la necesidad de contar con diámetros de ejes más pequeños. Cuando están garantizadas, las aleaciones de acero típicas para tratamiento térmico incluyen ANSI 1340-50, 3140-50, 4140, 4340, 5140 Y 8650. Por lo general,losejes no requieren endurecimiento superficiala menosque sirvan como un recubrimiento real en una superficie de contacto. Las elecciones típicas del material para el endurecimiento superficial incluyen los grados de carburización ANSI 1020, 4320, 4820 Y 8620. Por lo general, el acero estirado en frío se usa para diámetros menores a 3 pulgadas.Eldiámetronominaldelabarrapuededejarsesinmaquinarenáreasquenorequieren el ajuste de los componentes. El acero laminado en caliente debe maquinarse por completo. En el caso de ejes grandes que requieren la remoción de mucho material, los esfuerzos residuales pueden tender a causar pandeo. Si la concentridad es importante, puede ser necesario maquinar las rugosidades, después tratar térmicamente para remover los esfuerzos residuales e incrementar la resistencia, luego maquinar para el terminado y llegar a las dimensiones finales. El acero inoxidable puede resultar apropiado para algunos entornos.

4.7. Flechas flexibles Una de las limitaciones de un eje de transmisión usual es que no puede transmitir movimiento o potencia al otro lado de una esquina. Por consiguiente, es necesario recurrir a bandas, cadenas o engranes, junto con sus cojinetes y las estructuras de soporte correspondientes. El eje flexible suele ser una solución económica a este problema de transmisión de movimiento. Además de la eliminación de piezas costosas, su empleo puede reducir el ruido considerablemente. Hay dos tipos principales de ejes flexibles: el eje de fuerza motriz para la transmisión de potencia (o movimiento) en un solo sentido, y el eje de control (remoto o manual) para la transmisión de movimiento en uno u otro sentido. En la figura 4.3 se muestra la estructura de un eje flexible. El cable se forma enrollando varias capas de vueltas de alambre alrededor de un núcleo central. Para

4.8. CIGUEÑALES 

51

un eje de fuerza, la rotación de trabajo debe ser en tal sentido que la capa exterior tienda a enrollarse. Los cables de control remoto tienen un torcido diferente en los alambres que forman el cable, con más alambres en cada capa, de modo que la deformación torcional es aproximadamente la misma para uno u otro sentido de rotación. Los ejes flexibles se designan especificando el momento torsional correspondiente a diversos radios de curvatura de la cubierta. Por ejemplo, un radio de curvatura de 15 pul dará 2 a 5 veces más capacidad de momento de torsión que un radio de 7 pul. Cuando se utilizan ejes flexibles en una transmisión en la que también hay engranes, a estos últimos hay que colocarlos de modo que el eje flexible gire a la velocidad más alta posible. Esto permite la transmisión de potencia máxima.

Figura 4.5: Estructura de un eje flexible. El cable de alambre enrorrollado y las conexiones de extremos se muestran en A. Estos elementos deben quedar encerrados en la cubierta flexible y con las conexiones de extremo que se ven en B. En C se tiene el eje flexible completo.(Cortesía de F.W. Stewart Corporation)

4.8. Cigueñales 4.8.1. Análisis por resistencia

52

CAPÍTULO 4. EJES 

Capítulo 5 Selección de elementos mecánicos y materiales 5.1. Tipos, aplicaciones y selección deelementos mecánicos 5.1.1. Rodamientos Los rodillos se conocen como un medio para mover ob jetos pesados desde tiempos remotos, y hay evidencia del uso de cojinetes de bolas de empuje en el primer siglo a.C.; no obstante, fue hasta el siglo XX que la mejora en los materiales y la tecnología de manufactura permitió que se obtuvieran cojinetes de rodamientos de precisión. La necesidad de mayores rapideces, con resistencia a temperaturas más altas en cojinetes de baja fricción, fue provocada por el desarrollodeturbinasdegasparalaaviación.Muchostrabajos de investigación desde la Segunda Guerra Mundial han dado como resultado que cojinetes de rodamientos (REB) de alta calidad y alta precisión estén disponibles a un costo  bastante razonable. Es interesante notar que, a partir de los primeros diseños de principios del siglo XX, los cojinetes de bolas y rodillos se estandarizaron mundialmente en medidas métricas. Por ejemplo, es posible eliminar un REB del montaje de la rueda de un viejo automóvil fabricado en casi cualquier país en la década de 1920, y encontrar el repuesto adecuado en un catálogo de cojinetes actual. El nuevo cojinete estará basFigura 5.1: Cojinetes de tante más mejorado que el original, en términos de diseño,  bolas. Cortesía de NTN calidad y confiabilidad, pero con las mismas dimensiones externas. corporation

53

54

CAPÍTULO 5. SELECCIÓN DE ELEMENTOS MECÁNICOS Y MATERIALES 

TIPOS DE COJINETES Los cojinetes de elementos rodantes se agrupan en dos grandes categorías, cojinetes de bolas y cojinetes de rodillos; ambos con muchas variantes dentro de esas divisiones. Los cojinetes de bolas son más adecuados para aplicaciones pequeñas de alta rapidez. Para sistemas grandes, con cargas pesadas, son preferibles los cojinetes de rodillos. Si es posible que se presenten desalineaciones entre el eje y la carcasa, entonces se necesitan cojinetes de autoalineación. Los cojinetes de rodillos cónicos son capaces de manejar cargas pesadas, tanto en la dirección radial como en la dirección de empuje, a rapideces moderadas. En situaciones de cargas pesadas radiales y de empuje a grandes velocidades, lo mejor son los cojinetes de bolas con pista profunda. En la tabla 5-1 se presentan los coeficientes de fricción de varios tipos de cojinetes. COJINETES DE BOLAS Aprisionan varias esferas de acero endurecido y esmerilado entre dos canaletas: una interior y una exterior, para cojinetes radiales; o superior e inferior, para cojinetes de empuje. Se utiliza un retén ( también llamado  jaula o separador) para mantener las bolas adecuadamente espaciadas alrededor de las pistas, como indica la figura 5.1. Los cojinetes de bolas pueden soportar cargas radiales y de empuje combinadas. La figura 5.1a muestra un cojinete de bolas de pista profunda, o de tipo Conrad, que soporta cargas radiales y cargas de empuje moderadas. La figura 5.1b presenta un cojinete de contacto angular, diseñado para manejar cargas de empuje más grandes en una dirección, así como cargas radiales. Los cojinetes de bolas son más adecuados para tamaños pequeños, rapideces altas y cargas más ligeras. COJINETES DE RODILLOS Utilizan entre las pistas de rodillos rectos, cónicos o contorneados, como se ilustra en la figura 5.2. En general, los cojinetes de rodillos pueden soportar cargas estáticas y dinámicas (de choque) más grandes que los cojinetes de bolas, debido a su línea de contacto, a la vez que son menos costosos en tamaños mayores y cargas más pesadas. A menos que los rodillos sean cónicos o contorneados, pueden soportar una carga en una sola dirección, sea radial o de empuje, de acuerdo con el diseño del cojinete. La figura 5.2a muestra un cojinete de rodillos cilíndricos rectos, diseñado para soportar sólo cargas radiales. Tiene fricción muy baja y flota axialmente, lo cual puede ser una ventaja en ejes grandes, donde la expansión térmica carga con un Figura 5.2: Cojinetes con rodillos par de bolas del cojinete en la dirección axial, si no se monta adecuadamente. La figura 5.2b nuestra un cojinete de aguja que usa rodillos de diámetro pequeño, a la vez que puede o no tener una pista o jaula interior. Sus ventajas son mayor capacidad de carga debido al complemento total de los rodillos y su dimensión radial compacta, sobre todo si se utiliza sin una pista interior. La figura 5.2c ilustra un cojinete de rodillos cónicos diseñado para soportar cargas de empuje y radiales grandes, los cuales se utilizan con frecuencia como cojinetes en

5.1. TIPOS, APLICACIONES Y SELECCIÓN DE ELEMENTOS MECÁNICOS 

55

las ruedas de automóviles y camiones. Los cojinetes de rodillos cónicos (y otros) se separan axialmente, lo que hace más fácil el montaje que en los cojinetes de bolas que normalmente se ensamblan de forma permanente. La figura 5.2d muestra un cojinete de rodillos esféricos de autoalineación, lo cual evita que se generen momentos en el cojinete. COJINETES DE EMPUJE Los cojinetes de bolas y de rodillos también estan fabricados para cargas de empuje puro, como se ilustra en la figura 5.3. Los cojinetes de empuje de rodillos cilíndricos tienen mayor fricción que los cojinetes de empuje de bolas debido al deslizamiento que ocurren entre el rodillo y las pistas (porque sólo un punto sobre el rodillo puede cumplir con la velocida lineal variable sobre los radios de las pistas), por lo que no deberían utilizar aplicaciones de alta velocidad.

5.1.2. Bandas y poleas Introducción. Las bandas son elementos flexibles utilizados en los sistemas de transporte y en la transmisión de potencia mecánica a distancias relativamente grandes. Existen varios tipos de bandas tales como: Planas Redondas Trapezoidales o en V Reguladoras La siguiente tabla muestra los cuatro tipos de bandas antes mencionados:

56

CAPÍTULO 5. SELECCIÓN DE ELEMENTOS MECÁNICOS Y MATERIALES 

5.1.3. Cadenas y catarinas 5.1.4. Coples 5.1.5. Cables

5.2. Norma para selección de materiales (DGN, AISI, SAE, ASTM, ASM)