Análisis Estático Está tico y Dinámico iná mico de Estr Estr uctur uctur as Un Enfoque Físico Con Énfasis en Ingeniería Sísmica ísmica
Edwar d L. Wils Wilson
Profesor Emérito de Ingeniería Estructural Universidad de California en Berkeley Traducción
www.morrisoningenieros.com Revisión Técnica Ing. C a a r r los los A. A. Prat o o , Ph.D. Profesor Titular Titular P lenario del Departa mento mento de Estructuras Universidad Nacional de Córdoba, Argentina Ing. Fe r r nando nando G o o n n z zalo a lo Vásq ue ue z z , Ph.D. Profesor Asociado Universidad Nacional de Ingeniería, Perú I ng. ng. Al Al be be rt rt o Guz mán mán De L a C ru z ru z , Ph.D. Coordinador del Area Area de Estructuras Universidad Politécnica de Puerto Rico, Puerto Rico Ing. E m m i il l io i o C ruz ruz He ras ra s me me , M.Sc. Profesor Asociado Universidad Nacional Pedro Henríquez Ureña, República Dominicana
Computers and Structur es, Inc. Berkeley, California, USA
Primera Edición en Español
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LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES Que Tienen Propiedades Que Sólo Pueden Ser Estimadas
PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES Que Sólo Pueden Ser Analizadas Aproximadamente
QUE SOPORTAN FUERZAS Que No son Conocidas con Precisión
DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD CON
EL PÚBLICO SEA SATISFECHA. Adoptado de un Autor Anónimo
Análisis Estático y Dinámico de Estructuras
Edward L. Wilson, D. Ing. El Profesor Wilson posee más de 45 años de experiencia profesional en la Ingeniería Civil, Mecánica y A eroespacial. Fue P rofesor de I ngeniería E structural d e l a Universidad d e C alifornia e n B erkeley dur ante e l p eríodo d e 1965 a l 1991 , y ha publicado más de 180 artículos y libros. Sus aportes a la investigación y al desarrollo le ha n cosechado numerosos p remios, incluyendo su elección a la A cademia Nacional de Ingeniería en el año 1985. En e l a ño 1961, el Profesor W ilson e scribió e l p rimer pr ograma a utomatizado de computadora de análisis de elementos finitos, y fue quien originó el desarrollo de la serie de programas de computadora CAL, SAP y ETABS. Estos programas s on conocidos por s u precisión y velocidad, y s u empleo de a lgoritmos numéricos muy eficientes y elementos finitos precisos. Durante los últimos diez años, Ed Wilson ha trabajado como Consultor Senior de l a CSI e n la pr ogramación y la documentación de dichos nuevos métodos de análisis estructural computacional. El principal objetivo de este l ibro es resumir el de sarrollo teórico de los elementos finitos y los métodos numéricos empleados en las últimas versiones de los programas SAP y ETABS. La mayoría de los elementos y métodos numéricos que se usan en estos programas son nuevos, y no se pres entan en libros de texto actuales sobre el análisis e structural. Además, este libro resume las ec uaciones fundamentales de l a mecánica.
Se requieren conocimientos m atemáticos m ínimos pa ra comprender p lenamente e l material presentado en este libro. Sin embargo, es i mprescindible una comprensión del c omportamiento f ísico de e structuras. N o s e r equieren c onocimientos de programación de computadoras. Se presenta un nuevo elemento de CÁSCAR A cuadrilateral con grados de libertad de rotación normales, el cual es preciso para placas finas y gruesas, y cáscaras. Por lo tanto, se pueden conectar los elementos de cáscara fácilmente a los elementos clásicos de PÓRTICO. Se puede utilizar el elemento SOLIDO tridimensional para modelar tanto líquidos como sólidos. Se pr esenta el an álisis d inámico como una e xtensión lógica de l análisis es tático donde se agregan fuerzas de inercia y amortiguamiento para satisfacer el e quilibrio en cada punto cronológico. El uso de Vectores Dependientes de Carga Ritz (LDR, por sus si glas en inglés) en un análisis d inámico produce resultados m ucho más precisos que el empleo de los autovectores dinámicos exactos. El uso de vectores LDR permite que se extienda el método clásico de superposición modal al aná lisis dinámico no-lineal, utilizando el m étodo de Análisis Rápido NoLineal (FNA, por sus siglas en inglés). Este nuevo método de análisis dinámico nolineal permite que estructuras con un número limitado de elementos no-lineales sean analizadas casi en el mismo tiempo de computación que lo que s e requiere para un análisis dinámico de la misma estructura. Este libro es de lectura obligator ia para todo investigador y profesional que trabaja en el campo de la ingeniería estructural moderna.
Prólogo de la Cuart a Ed ición Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de Julio del 2000. A juzgar por los comentarios de los lectores, el libro ha sido muy exitoso desde la publicación de la primera e dición en 1998. De todas formas, t odos los libros t écnicos tienen existencia limitada y deben ser modificados y expandidos periódicamente. Ha sido agregado el Capítulo 23 acerca de la interacción fluido-estructura de los tipos de cargas d urante t erremotos. E n es te ca pitulo e sta d emostrado q ue el elemento S OLID tridimensional en SAP2000 puede ser utilizado para modelar f luidos interactuando c on estructuras sólidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de los fluidos. Un Pequeño modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y para aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta sísmica de los sistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa con el programa SAP2000. Por t anto, la necesidad de utilizar programas para objetivos específicos p ara es ta clase de problemas ha si do eliminado. A demás, ya n o es requerida la adición de aproximación de masa. Esta edición puede ser utilizada como un libro de referencia básica por el elemento tecnología y el método numérico utilizado en S AP2000, ETABS y S AFE. De todos modos estos programas contienen muchas opciones practicas que no son cubiertas en el libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construcción, análisis de pushover, y degradación de la rigidez de los elementos. Muchos de estos temas est án disponibles en la p agina w eb www.csiberkeley.com o www.edwilson.org. Si usted tiene alguna pregunta teórica relacionada con el material presentado en este libro me puede contactar a t ravés de co rreo electrónico en
[email protected]. Para preguntas relacionadas con e l uso de los programas de computadoras por favor contacte a CSI. Edward L. Wilson Agosto 2004
Prólogo de la Tercera Ed ición Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de julio del 2000. L a mayor parte del material nuevo ha sido agregado en respuesta a l as preguntas y comentarios de los usuarios del SAP2000, ETABS, y SAFE. El Capítulo 22 ha sido escrito acerca del empleo directo de cargas sísmicas por desplazamiento absolutos que a ctúan en la b ase d e la estructura. Varios t ipos nuevos de er rores numéricos han s ido identificados para ca rgas de desplazamiento ab soluto. Primero, l a naturaleza f undamental de la ca rga por desplazamiento absoluto es significativamente diferente a la carga por aceleración en la base empleada tradicionalmente en l a i ngeniería s ísmica. Segundo, s e requiere u n intervalo de i ntegración menor para de finir los desplazamientos sísmicos y p ara resolver l as ecu aciones d el equilibrio d inámico. Tercero, s e necesita de un núm ero elevado de m odos para que la carga de desplazamiento absoluta arroje la misma precisión que la producida cuando una aceleración en la base es utilizada como carga. Cuarto, la regla del 90 por ciento de la masa, no se aplica para la carga de desplazamiento absoluto. Finalmente el amortiguamiento modal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando se emplea la carga por aceleración. Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento, se ha introducido en el cap ítulo 13 un m étodo de or den superior d e integración b asado en u na variación cúbica de las cargas con respecto al lapso. Adicionalmente, los factores por participación estático y dinámico han sido definidos para permitir al ingeniero estructural m inimizar los errores as ociados c on c argas por desplazamiento. Adicionalmente el capítulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado para ilustrar el e fecto físico del amortiguamiento modal en los resultados del análisis dinámico. El Apéndice H, acerca de la velocidad de las computadoras personales modernas ha sido actualizado. H oy e s pos ible c omprar un a c omputadora pe rsonal por aproximadamente $1 ,500.00 que e s 2 5 v eces m ás r ápida que la CRAY d e $10,000,000 producida en 1974. Otras adiciones y modificaciones han sido realizadas en esta impresión. Por favor envíe sus comentarios y preguntas a e d@ c sibe rkele y.c om . Edward L. Wilson Agosto 2000
Coment arios Personales Mi profesor de física de primer año de la universidad advertía dogmáticamente a la clase “no usen una ecuación que no puedan demostrar”. El mismo instructor una vez declaró “Si un a pe rsona tiene cinco minutos p ara r esolver u n problema de l cual dependiera su vida, el individuo debe de emplear tres minutos leyendo y entendiendo claramente el pr oblema”. En los ú ltimos cuarenta años e sta simple observación práctica ha guiado mi trabajo y espero que la misma filosofía haya sido transmitida a mis est udiantes. Con respecto a la i ngeniería estructural m oderna uno pu ede reformular esas observaciones como “no utilicen un programa de análisis estructural a menos que usted entienda completamente la teoría y aproximaciones contenidas en el pr ograma” y “ no ha ga un m odelo d e c omputadora hasta que l as cargas, propiedades de l os m ateriales y c ondiciones de frontera no estén claramente definidos.” Por lo tanto, el propósito principal de este libro es presentar los antecedentes teóricos necesarios de manera que el usuario de programas de computadoras para el análisis estructural pueda e ntender l as ap roximaciones bá sicas implementadas dentro de l programa, verifique y asuma su responsabilidad profesional de los resultados. Se asume que el lector tiene conocimientos de es tática, mecánica de só lidos y a nálisis estructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igual al de un individuo con una licenciatura en Ingeniería Civil o Mecánica. Notación matricial y vectorial elementales son definidos en los apéndices y son usados profusamente. Antecedentes en notación tensorial y variables complejas no son requeridos. Todas l as ecuaciones son desarrolladas usando un enfoque físico puesto que este libro está escrito para estudiantes y profesionales de l a i ngeniería, y no pa ra mis colegas académicos. E l análisis es tructural tridimensional e s r elativamente simple debido a l a a lta v elocidad de l a computadora m oderna. P or l o t anto, todas l as ecuaciones son presentadas en forma tridimensional, y se incluyen automáticamente las pr opiedades de los materiales anisotrópicos. N o se r equieren antecedentes de programación de com putadoras para ut ilizar un pr ograma de c omputadora inteligentemente. Sin embargo, algoritmos numéricos detallados han sido dados para que el lector entienda completamente los métodos computacionales que se resumen en e ste l ibro. Los apéndices contienen un sumario elemental de los métodos numéricos usados; sin embargo, no debería ser necesario emplear tiempo adicional leyendo artículos de investigación para entender la teoría presentada en este libro. El autor h a d esarrollado y p ublicado m uchas t écnicas de computación p ara el análisis estático y dinámico de estructuras. H a sido motivo de satisfacción personal el hecho de que muchos profesionales de la ingeniería hayan encontrado ú tiles estos m étodos d e computación. Por lo tanto, una razón por la cual compilar este libro teórico y de aplicación
es co nsolidar en una p ublicación dicha investigación y d esarrollo. Adicionalmente, e l reciente d esarrollado an álisis n o lineal rápido (FNA), y ot ros m étodos numéricos s on presentados en detalle por primera vez. Las leyes fundamentales de la física, que son la base del análisis estático y dinámico de estructuras, tienen más de 100 años de edad. Por lo tanto, cualquiera que crea que haya descubierto un principio nuevo de mecánica, es víctima de su propia ignorancia. Este libro contiene trucos computacionales que el autor ha considerado efectivos para el desarrollo de programas de análisis estructural. El análisis estático y dinámico ha sido automatizado a un alto grado por la existencia de computadoras personales económicas. Sin embargo, el campo de la ingeniería estructural, en mi opinión, nunca será automatizado. La idea de que un sistema experto de programas de c omputadoras con in teligencia ar tificial r eemplazará la c reatividad hum ana e s un insulto a todos los ingenieros estructurales. El material en este libro ha evolucionado a través de lo últimos 35 años con la ayuda de mis antiguos estudiantes y colegas profesionales. Sus contribuciones s on reconocidas. Ashraf H abibullah I qbal S ubarwardy, R obert M orris, S yed H asanain, Dolly G urola, M arilyn Wilkes y Randy C orson de C omputers and Structures, Inc., merecen un reconocimiento especial. Adicionalmente, me gustaría agradecer al gran número de i ngenieros es tructurales que ha n usado la ser ie de p rogramas T ABS y SAP. Ellos han provisto la motivación para esta publicación. El material presentado en la primera edición de Análisis Dinámico Tridimensional de Estructuras está inc luido y actualizado en e ste l ibro. E spero a nsiosamente por comentarios y preguntas adicionales de los lectores en orden de expandir el material en futuras ediciones de este libro. Edward L. Wilson
Agosto 2004
CONTENIDO 1.
Propiedades de los Materiales 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13
2.
Introducción Materiales Anisotrópicos Uso de las Propiedades de los Materiales en Programas de Computadora Materiales Ortotrópicos Materiales Isotrópicos Deformación en el Plano en Materiales Isotrópicos Esfuerzo en el Plano en Materiales Isotrópicos Propiedades Materiales Parecidos a Fluidos Velocidades de Onda de Cortante y Compresión Propiedades de Materiales Axisimétricos Relaciones de Fuerza-Deformación Resumen Referencias
Equilibrio y Compatibilidad 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12
Introducción Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio Resultantes de Esfuerzo - Fuerzas y Momentos Requisitos de Compatibilidad Ecuaciones de Desplazamiento de Deformación Definición de Rotación Ecuaciones en la Frontera entre Materiales Ecuaciones de Acoplamiento en Sistemas de Elementos Finitos Estructuras Estáticamente Determinadas Matriz de Transformación de Desplazamientos Matrices de Rigidez y Flexibilidad del Elemento Solución de Sistemas Estáticamente Determinados
ii
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
2.13 2.14 2.15
3.
Energía y Trabajo 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11
4.
Introducción Trabajo Virtual y Trabajo Real Energía Potencial y Energía Cinética Energía de Deformación Trabajo Externo Principio de Energía Estacionaria Método de la Fuerza Ecuación de Movimiento de Lagrange Conservación del Momento Resumen Refererencias
Elementos Unidimensionales 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
5.
Solución General de Sistemas Estructurales Resumen Referencias
Introducción Análisis de un Elemento Axial Elemento de Pórtico Bidimensional Elemento de Pórtico Tridimensional Liberación del Extremo del Elemento Resumen 4-13
Elementos Isoparamétricos 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Introducción 5-1 Ejemplo Sencillo Unidimensional Fórmulas de Integración Unidimensionales Restricción sobre las ubicaciones de los Nodos Intermedios Funciones de Formas Bidimensionales Integración Numérica en Dos Dimensiones Funciones de Forma Tridimensionales
CONTENIDO
5.8 Elementos Triangulares y Tetraédricos 5.9 Resumen 5.10 Referencias
6.
Elementos Incomp atibles 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
7.
Introducción Elementos con Cortante Fijo Adición de Modos Incompatibles Formación de la Matriz de Rigidez del Elemento Elementos Bidimensionales Incompatibles Ejemplo Usando Desplazamientos Incompatibles Elementos Tridimensionales Incompatibles Resumen Referencias
Condiciones de Bordes y Restricciones Generales 7.1 Introducción 7.2 Condiciones de Frontera de Desplazamientos 7.3 Problemas Numéricos en el Análisis Estructural 7.4 Teoría General Asociada a las Restricciones 7.5 Restricciones sobre el Diafragma del Piso Restricciones Rígidas Uso de Restricciones en Análisis de Viga-Losa Uso de Restricciones en el Análisis de Muro de Cortante Uso de Restricciones para Transiciones de Malla Multiplicadores Lagrange y Funciones de Penalidad Resumen
8.
Elementos de Flexión en Losa 8.1 8.2 8.3 8.4
Introducción El Elemento Cuadrilateral Ecuaciones Deformación-Desplazamiento La Rigidez del Elemento Cuadrilateral
iii
iv
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
8.10 8.11
9.
Elemento de Membrana con Rotaciones Normales 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11
10.
Satisfaciendo la Prueba de Grupo Condensación Estática Elemento de Flexión en Placa Triangular Otros Elementos de Flexión de Placa Ejemplos Numéricos 8.9.1 Un Elemento Viga 8.9.2 Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.3 Carga Uniforme en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.4 Evaluación de Elementos de Flexión en Placa Triangular 8.9.5 Uso de Elementos Placas para Modelar Torsión en Vigas Resumen Referencias Introducción Suposiciones Básicas Aproximación de Desplazamiento Introducción de Rotación de Nodo Ecuaciones de Deformación - Desplazamiento Relación Esfuerzo - Deformación Transformación Relativa a Rotaciones Absolutas Elemento de Membrana Triangular Ejemplo Numérico Resumen Referencias
Elementos de Cáscara 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7
Introducción Un Simple Elemento de Cáscara Cuadrilateral Modelos de Cáscaras Curvos con Elementos Planos Elementos de Cáscara Triangulares Elementos Sólidos para Análisis de Cáscaras Análisis de Bóveda de Cañón Scordelis-Lo Ejemplo de Cáscara Hemisférica
CONTENIDO
10.8 10.9
11.
Resumen Referencias
Rigidez Geométrica y Efectos P-Delta 11.1 Definición de Rigidez Geométrica Análisis Aproximado de Pandeo Análisis P-Delta de Edificios Ecuaciones para Edificios Tridimensionales Magnitud de Efectos P-Delta Análisis P-Delta usando Programa de Computo sin Modificación Longitud Efectiva – Factores K Formulación General de la Rigidez Geométrica Resumen Referencias
12.
An álisis Dinámico 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11
13.
Introducción Equilibrio Dinámico Método de Solución Paso a Paso Método de Superposición Modal Análisis Espectral Solución en el Dominio de Frecuencia Solución de Ecuaciones Lineales Respuesta Armónica no Amortiguada Vibración Libre no Amortiguada Resumen Referencias
Análisis Dinámico Utilizando la Superposición de Modo 13.1 13.2 13.3 13.4
Ecuaciones a Resolver Transformación a Ecuaciones Modales Respuesta Debida a Condiciones Iniciales Solución General Debido a Carga Arbitraria
v
vi
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
13.5 13.6 13.7 13.8 13.9
14.
Cálculo de Vectores Ortogonales de Rigidez y Masa 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14
15.
Solución para Cargas Periódicas Factores de Masa Participante Factores de Participación de Cargas Estáticas Coeficientes de Participación de Carga Dinámica Resumen Introducción Método de Búsqueda del Determinante Chequeo de Secuencia Sturm Iteración Inversa Ortogonalización de Gram-Schmidt Iteración en el Sub-espacio Solución de Sistemas Singulares Generación de Vectores Ritz Dependientes de Carga Explicación Física del Algoritmo LDR Comparación de Soluciones usando Vectores Eigen y Ritz Corrección para Truncado de Modos Superiores Respuesta Sísmica en la Dirección Vertical Resumen Referencias
Análisis Dinámico con Carga Sísmica de Espectro de Respuesta 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8
Introducción Definición de un Espectro de Respuesta Cálculo de Respuesta Modal Curvas Típicas del Espectro de Respuesta Método CQC de Combinación Modal Ejemplo Numérico de Combinación Modal Espectros de Diseño Efectos Ortogonales en el Análisis Espectral 15.8.1 Ecuaciones Básicas para el Cálculo de Fuerzas Espectrales 15.8.2 El Método General CQC3
CONTENIDO
15.8.3 Ejemplos de Análisis de Espectros Tridimensionales 15.8.4 Recomendaciones sobre Efectos Ortogonales 15.9 Limitaciones del Método de Espectro de Respuesta 15.9.1 Cálculos de las Deriva de Piso 15.9.2 Estimación de Esfuerzos Espectrales en Vigas 15.9.3 Revisión de Diseño para Vigas de Acero y Concreto 15.9.4 Cálculo de Fuerza Cortante en Pernos 15.10 Resumen 15.11 Referencias
16.
Interacción Suelo Estructura 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10
17.
Introducción Análisis de Respuesta de Sitio Cinemática o Interacción Suelo Estructura Respuesta debido a Movimientos Múltiples de Apoyos Análisis de Presa de Gravedad y Fundación Aproximación de Fundación sin Masa Condiciones Aproximadas de Radiación de Frontera Uso de Resortes en la Base de una Estructura Resumen Referencias
Modelado en Análisis Sísmico Cumpliendo con Códigos de Edificaciones 17.1 17.2 17.3 17.4
17.5
Introducción Modelo Computarizado Tridimensional Formas y Frecuencias de los Modos Tridimensionales Análisis Dinámico Tridimensional 17.4.1 Cortante Dinámico de Cortante Base 17.4.2 Definición de Direcciones Principales 17.4.3 Efectos Direccionales y Ortogonales 17.4.4 Método Básico de Análisis Sísmico 17.4.5 Escalando Resultados 17.4.6 Desplazamientos Dinámicos y Fuerzas de Elementos 17.4.7 Efectos por Torsión Ejemplo Numérico
vii
viii
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
17.6 17.7 17.8
18.
Análisis No-Lineal Rápido 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10
19.
Introducción Estructuras que Tengan un Número Limitado de Elementos No-Lineales Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio Cálculo de Fuerzas No-Lineales Transformación a Coordenadas Modales Solución de Ecuaciones Modales No-Lineales Análisis Estático No-Lineal para Estructura de Pórtico Análisis Dinámico No-Lineal para Estructura de Pórtico Análisis Sísmico de Tanque Elevado de Agua Resumen
Amortiguamiento Viscoso Lineal 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 19.10 19.11
20.
Resumen del Método de Análisis Dinámico Resumen Referencias
Introducción Disipación de Energía en Estructuras Reales Interpretación Física del Amortiguamiento Viscoso El Amortiguación Modal Viola Equilibrio Dinámico Ejemplo Numérico Amortiguamiento Proporcional de Rigidez y Masa Cálculo de Matriz Ortogonal de Amortiguamiento Estructuras con Amortiguamiento No-Clásico Disipación No-Lineal de Energía Resumen Referencias
Análisis Dinámico Utilizando la Integración Numérica 20.1 20.2 20.3
Introducción Familia de Métodos Newmark Estabilidad del Método Newmark
CONTENIDO
20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 20.10 20.11
21.
Elementos No-Lineales 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9
22.
El Método de la Aceleración Promedio El Factor de Wilson Uso de Amortiguamiento Proporcional de Rigidez Método Hilber, Hughes y Taylor Selección de un Método de Integración Directa Análisis No-Lineal Resumen Referencias Introducción Elemento General Tridimensional de Dos Nudos Elemento de Plasticidad General Diferentes Propiedades Positivas y Negativas Elemento Brecha Bilineal de Tensión-Fluencia Elemento No-Lineal Brecha-Choque Elementos de Amortiguamiento Viscoso Elemento Tridimensional Fricción-Brecha Resumen
Análisis Sísmico Utilizando Carga de Desplazamiento 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5
22.6 22.7 22.8
Introducción Ecuaciones de Equilibrio para entrada de Desplazamiento Uso de Desplazamientos Pseudo-Estáticos Solución de Ecuaciones de Equilibrio Dinámico Ejemplo Numérico 22.5.1 Estructura de Ejemplo 22.5.2 Carga Sísmica 22.5.3 Efecto del Lapso para Amortiguamiento Cero 22.5.4 Análisis Sísmico Para Amortiguamiento Finito 22.5.5 Efecto del Truncamiento de Modos Uso de Vectores Dependendientes de Carga Ritz Solución usando Integración Paso-a-Paso Resumen
ix
x
23.
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.10 23.11 23.12 23.13 23.14 23.15 23.16 23.17 23.18 23.19 23.20
Introducción Interacción Fluido-Estructura Modelo De Elementos Finitos De La Interfaz Presa-Fundación Cargas Debidas Al Empuje De Boyamiento Y Presión De Poro Del Agua Cálculo De Las Presiones De Poro Del Agua Empleando El Sap 2000 Selección Del Valor De La Rigidez Del Elemento “Gap” Ecuaciones Fundamentales De La Dinámica De Fluidos Relación Entre Presión Y Velocidad Equilibrio En La Interfaz De Dos Materiales Condiciones De Frontera De Irradiación Modos De Oleaje De La Superficie Propagación Vertical De Las Ondas El Documento Westergaard Análisis Dinámico De Emblases Rectangulares Fronteras Absorbedoras De Energía Del Embalse Formulaciones Relativa Vs Absoluta Efecto Del Escalón De La Compuerta En La Presión Análisis Sísmico De Compuertas Radiales Observaciones Finales Referencias
Apéndice A Notación de Vector A.1 A.2 A.3 A.4
Introducción Producto Vectorial Vectores para Definir un Sistema Referencia Local Subrutinas Fortran para Operaciones Vectoriales
xi
CONTENIDO
Apéndice B Notación de Matricial B.1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7
Introducción Definición de notación Matricial Transpuesta de una Matriz y Multiplicación Escalar Definición de una Operación Numérica Programación de Productos Matriciales Orden de Multiplicación de Matriz Resumen
Apéndice C Solución o Inversión de Ecuaciones Lineales C.1 C.2 C.3 C.4 C.5 C.6 C.7 C.8 C.9 C.10
C.11 C.12 C.13
Introducción Ejemplo Numérico Algoritmo de Eliminación Gauss Solución de un Sistema General de Ecuaciones Lineales Alternativa de Pivotaje Inversión de Matrices Interpretación Física de Inversión de Matricial Eliminación Parcial Gauss, Condensación Estática y de Sub-estructura Almacenamiento de Ecuaciones en Banda o de Perfil Factorización LDL C10.1 Triangularización o Factorización de la Matriz A C10.2 Reducción por Adelantado de Matriz b C10.3 Cálculo de X por Substitución Regresiva Cancelación Diagonal y Precisión Numérica Resumen Referencias
Apéndice D El Problema de Autovalores D.1 D.2
Introducción El Método Jacobi
xii
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
D.3 D.4 D.5
Cálculo de Esfuerzos Principales 3d Solución del Problema General de Valores Característicos Resumen
Apéndice E Transformación de Propiedades de Materiales E.1 E.2
Introducción Resumen
Apéndice F Un Elemento de Viga en Base a Desplazamiento c on Deformaciones a Cortante F.1 F.2 F.3
Introducción Suposiciones Básicas Área Efectiva de Cortante
Apéndice G Integración Numérica G.1 G.2 G.3 G.4 G.5 G.6 G.7 G.8
G.9
Introducción Cuadratura Unidimensional Gauss Integración Numérica en Dos Dimensiones Una Regla Bidimensional de Ocho Puntos Una Regla de Orden Inferior de Ocho Puntos Una Regla de Integración de Cinco Puntos Reglas de Integración Tridimensional Integración Selectiva Resumen
Apéndice H Velocidad de Sistemas De Computadora H.1 H.2 H.3 H.4 H.5 H.6
Introducción Definición de Una Operación Numérica Velocidad de Diferentes Sistemas de Computadoras Velocidad de Sistemas de Computadoras Personales Sistemas Operativo de Enlace Resumen
xiii
CONTENIDO
Apéndice I Método del Mínimo Cuadrado I.1 I-2 I-3
Ejemplo Simple Formulación General Cálculo de Esfuerzos Dentro de Elementos Finitos
Apéndice J Registros Consistentes de Aceleración y Desplazamiento Sísmicos J.1 J.2 J.3 J.4 J.5
Índice
Introducción Registros de Aceleración del Terreno Cálculo de Registros de Aceleración por Registros de Desplazamiento Creación de un Registro Consistente de Aceleración Resumen
1. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES Las Propiedades de los Mater iales Deben Ser Evalua das Mediante Pr uebas de Labor a torio o de Campo 1.1
INTRODUCCIÓN Las ecuaciones fundamentales de la mecánica estructural pueden ser clasificadas en tres categorías [1]. En primer lugar, la relación esfuerzo-deformación contiene información s obre l as propiedades de los materiales que de ben ser ev aluadas mediante expe rimentos d e l aboratorio o d e c ampo. E n s egundo l ugar, l a estructura g lobal, c ada e lemento, y c ada pa rtícula infinitesimal de ntro de c ada elemento deben estar en equilibrio de f uerzas e n su pos ición de formada. En tercer l ugar, se deben cumplir las condiciones de com patibilidad de desplazamientos. De cum plirse l as tres ec uaciones en todo momento, se s atisfacen de m anera automática otras c ondiciones. Por e jemplo, e n c ualquier m omento da do, el trabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energía cinética y de deformación almacenada d entro del s istema est ructural, más cua lquier e nergía que ha ya sido di sipada por el si stema. El trabajo virtual y los pr incipios d e variación son de un v alor i mportante en la de rivación matemática de ciertas ecuaciones; sin e mbargo, no c onstituyen ecuaciones fundamentales de la mecánica.
1.2
MATERIALES ANISOTRÓPICOS Las relaciones l ineales es fuerzo-deformación contienen las co nstantes d e l as propiedades de m ateriales, que únicamente pueden ser ev aluadas a través de experimentos de l aboratorio o de c ampo. Las p ropiedades m ecánicas para l a mayoría de los materiales comunes, tales como el acero, son bien conocidas, y se
1-2
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
definen en función de tres números: el módulo de elasticidad E , la relación de Poisson ν , y el coeficiente de dilatación térmica α . Además, el peso específico w y la densidad ρ se consideran propiedades fundamentales de los materiales. Antes del desarrollo del método del elemento finito, la mayoría de las soluciones analíticas en la mecánica de sólidos se limitaban a los m ateriales i sotrópicos (propiedades i guales en t odas d irecciones) y hom ogéneos ( las m ismas propiedades en todos los puntos de ntro de l s ólido). Desde l a i ntroducción del método de elemento finito, ya no existe esta limitación. Por lo tanto, es razonable comenzar c on una de finición de m aterial a nisotrópico, qu e pue de s er m uy diferente en cada elemento de una estructura. La de finición d e los esfuerzos positivos, en referencia a un sistema 1-2-3 ortogonal, se presenta en la Figura 1.1.
3
σ 3 23
13
32 31
2 21 12
1 1
Fig u ra 1.1 Conve nción de los Esf ue rzos Positiv os
2
PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
1-3
Por de finición, t odos los esfuerzos vienen dados en uni dades de fuerza-porunidad de área. En notación matricial, los seis esfuerzos independientes pueden ser definidos mediante: f
T
=
[σ 1
σ 3 τ 21 τ 31 τ 23 ]
σ 2
(1.1)
Del e quilibrio, τ 12 = τ 21 , τ 31 = τ 13 y τ 32 = τ 23 . Las s eis de formaciones correspondientes de ingeniería son: d
T
= [ε 1 ε 2
ε 3
γ 21
γ 23 ]
γ 31
(1.2)
La forma más g eneral de l a r elación tridimensional esfuerzo-deformación para materiales estructurales lineales sujetos tanto a los esfuerzos mecánicos como a cambios de temperatura puede expresarse de manera matricial como [2]: 1 E 1 ν 21 ε 1 − E 1 ε ν 2 − 31 ε 3 E 1 = ν γ 21 − 41 γ 31 E 1 ν 51 γ 23 − E 1 − ν 61 E 1
−
ν 12 E 2 1
E 2 ν 32
− −
− −
E 2 ν 42 E 2 ν 52 E 2 ν 62 E 2
− −
ν 13 E 3 ν 23 E 3 1
E 3 ν 43
−
− −
E 3 ν 53 E 3 ν 63 E 3
− − −
ν 14 E 4 ν 24 E 4 ν 34 E 4 1
E 4 ν 54
− −
E 4 ν 64 E 4
− − − −
ν 15 E 5 ν 25 E 5 ν 35 E 4 ν 45 E 5 1
E 5 ν 65
−
E 5
− −
ν 16
E 6 ν 26
σ α 1 E 6 1 α ν 36 σ 2 2 − α 3 E 6 σ 3 + ∆ T (1.3) ν 46 τ 21 α 21
−
E 6 τ 31 ν 56 τ 23 − E 6 1
α 31 α 23
E 6
O en forma matricial simbólica: d
= Cf + ∆T a
(1.4)
La matriz C se conoce como la matriz de correlación, y puede considerarse como la definición más fundamental de las propiedades de materiales porque todos los términos pueden ser evaluados directamente a través de sencillos experimentos de l aboratorio. C ada columna de l a m atriz C representa las de formaciones causadas por la aplicación de un esfuerzo unitario. El incremento de temperatura ∆T viene dado en referencia a la temperatura a esfuerzo cero. La matriz a indica las deformaciones causadas por un incremento unitario de temperatura.
1-4
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
Los pr incipios bá sicos de e nergía requieren qu e l a m atriz lineales sea simétrica. Por lo tanto, ν ij E j
=
C
para m ateriales
ν ji E i
(1.5)
Sin embargo, debido a errores de medición o algún pequeño comportamiento no lineal del material, no se satisface esta co ndición de manera idéntica para l a mayoría de l os materiales. Por ende, esos valores e xperimentales normalmente son promediados de manera que los valores simétricos puedan ser aprovechados en el análisis.
1.3
USO DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES EN PROGRAMAS DE COMPUTADORA La ma yoría de l os pr ogramas modernos de c omputadoras para e l análisis d e elementos finitos exigen que l os e sfuerzos sean expresados en términos de l as deformaciones y cambios de temperatura. Por lo tanto, se requiere una ecuación de la siguiente forma dentro del programa: f
= Ed + f 0
(1.6)
donde E = C-1. Por lo tanto, los e sfuerzos térmicos de cero-deformación se definen como sigue: f 0
= - ∆T Ea
(1.7)
La i nversión num érica d e l a matriz C 6x6 para m ateriales a nisotrópicos complejos s e realiza de ntro del p rograma de computadora. Por l o tanto, no s e requiere calcular la matriz E en forma analítica según se indica en muchos libros clásicos sobre la mecánica de sólidos. Además, los esfuerzos térmicos iniciales se evalúan numéricamente dentro del programa. Por consiguiente, para l a mayoría de los m ateriales an isotrópicos, los da tos b ásicos di gitados se rán veintiuna constantes elásticas, más seis coeficientes de dilatación térmica. Además de los esfuerzos térmicos, pueden existir esfuerzos iniciales para muchos tipos diferentes de sistemas estructurales. Dichos esfuerzos iniciales pueden ser el resultado de la fabricación o el historial de la construcción de la estructura. De
PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
1-5
conocerse dichos esfuerzos iniciales, éstos pueden ser agregados directamente a la Ecuación (1.7).
1.4
MATERIALES ORTOTRÓPICOS El t ipo de m aterial anisotrópico más com ún es aquel en el cua l los esfuerzos cortantes, actuando en los tres planos de referencia, no provocan deformaciones normales. Para este c aso espe cial, el m aterial se de fine c omo ortotrópico, pudiéndose expresarse la Ecuación (1.3) como sigue: 1 E 1 − ν 21 ε 1 E 1 ε 2 ν − 31 ε 3 E 1 = γ 21 0 γ 31 γ 23 0 0
−
ν 12 E 2 1
E 2 ν 32
−
E 2
− −
ν 13 E 3 ν 23 E 3 1
E 3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
G4
0 1 G5 0
0
0 σ 1 α 1 α σ 2 2 0 σ 3 + ∆T α 3 τ 21 0 0 0 τ 31 τ 0 0 23 1 G6
(1.8)
Para el material ortotrópico, la m atriz c tiene nueve c onstantes de materiales independientes, y existen tres coeficientes de dilatación térmica independientes. Este tipo de propiedad material es muy común. Por ejemplo, las rocas, el concreto, la m adera y muchos m ateriales r eforzados c on f ibra e xhiben un comportamiento or totrópico. S in e mbargo, s e d ebe s eñalar que pr uebas d e laboratorio indican que la Ecuación (1.8) constituye solamente una aproximación al comportamiento real de los materiales.
1.5
MATERIALES ISOTRÓPICOS Un material isotrópico posee propiedades iguales en todas direcciones, siendo la aproximación d e mayor us o pa ra pronosticar e l comportamiento de materiales elásticos lineales. Para materiales isotrópicos, la E cuación (1.3) adopta la siguiente forma:
1-6
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
ν ν 1 0 − − E E E ν 1 ε 1 − ν 0 − ε E E E ν 1 2 ν − − ε 3 E E E 0 = 1 γ 21 0 0 0 G γ 31 0 0 0 γ 23 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 G
0
0
1 0 σ 1 1 σ 2 0 σ 1 3 α T + ∆ τ 21 0 0 0 τ 31 0 τ 23 0 1 G
(1.9)
Parece que l a m atriz de corr elación posee t res co nstantes de l os materiales independientes. Se puede demostrar fácilmente que la aplicación de un esfuerzo cortante pur o de be pr oducir de formaciones pur as de t ensión y de c ompresión sobre el e lemento si é ste se g ira unos 4 5 grados. Usando e sta restricción, s e puede demostrar que: G=
E
2(1 + ν )
(1.10)
Por l o tanto, para m ateriales isotrópicos, se t ienen que de finir sol amente el módulo de Young E y la relación de Poisson ν . La mayoría de los programas de computadora usan la Ecuación (1.10) para calcular el módulo de c ortante, en e l caso de que no sea especificado.
1.6
DEFORMACIÓN EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRÓPICOS En los c asos donde ε 1 , γ 13 , γ 23 , τ 13 , y τ 23 son cero, la estructura se enc uentra en un e stado de de formación en el plano. Para este ca so se r educe l a matriz a un arreglo de 3x3. Puede co nsiderarse que l as secciones t ransversales de m uchas presas, túneles y sólidos con una dimensión casi infinita a l o largo del eje 3, se encuentran en un estado de deformación en el plano para carga constante en e l plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de deformación en el plano, la r elación esfuerzo-deformación es:
PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
− ν ν 1 0 σ 1 1 ε 1 σ = E ν 1 − ν 0 ε 2 − α ∆T E 1 2 1 − 2ν τ 12 0 0 0 γ 12 2
1-7
(1.11)
donde E =
E
(1 + ν )(1 − 2ν )
(1.12)
Para el caso de deformación en el plano, el desplazamiento y la deformación en la dirección 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuación (1.8) el esfuerzo normal en la dirección 3 es: σ 3 = ν (σ 1 + σ 2 ) − E α ∆T
(1.13)
Es importante notar que a medida que la relación ν de Poisson se acerca a 0.5, algunos términos en l a relación esfuerzo-deformación t ienden al infinito. Estas propiedades reales existen para un material casi incomprensible con un m ódulo de cortante relativamente bajo.
1.7
ESFUERZO EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRÓPICOS Si σ 33 , τ 1 , y τ 23 son cero, la estructura se encuentra en un estado de esfuerzo en el plano. Para este caso la matriz esfuerzo-deformación se reduce a un arreglo 3x3. El comportamiento como membrana de l osas y l as estructuras de muro de cortante puede considerarse en un estado de deformación en el plano para carga constante en el plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de esfuerzo en el plano, la relación esfuerzo-deformación es: 1 ν 0 1 σ 1 ε 1 σ = E ν 1 0 ε 2 − α ∆T E 1 2 1 − ν τ 12 0 γ 0 0 12 2
(1.14)
donde E =
E (1 − ν 2 )
(1.15)
1-8
1.8
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
PROPIEDADES DE MATERIALES PARECIDOS A FLUIDOS Muchos materiales isotrópicos diferentes, que tienen un módulo de cortante muy bajo en c omparación c on su m ódulo de v olumen, pos een u n c omportamiento parecido al de un fluido. Muchas veces se refiere a estos materiales como sólidos casi incompresibles. La terminología incompresible es engañosa, puesto que la compresibilidad, o el módulo volumétrico, de dichos materiales es normalmente inferior a la de otros sólidos. La relación presión-volumen de un s ólido o de un fluido puede expresarse como sigue: (1.16)
σ = λ ε
donde λ es e l m ódulo de e xpansión volumétrica del m aterial, q ue debe s er evaluado m ediante pr uebas de l aboratorio de pr esión-volumen. E l c ambio de volumen ε es equivalente a ε 1 + ε 2 + ε 3 , y la presión hidrostática σ indica esfuerzo constante en todas las d irecciones. De la E cuación (1.9) se pue de exp resar e l módulo volumétrico en términos del módulo de Young y la relación de Poisson como sigue: λ =
E
(1.17)
3 (1 - 2 ν )
Para l os fluidos, e l m ódulo volumétrico es un a c onstante i ndependiente, la relación de Poisson es 0.5, y el módulo de Young y el módulo de cortante son cero. Para l os materiales isotrópicos, e l m ódulo v olumétrico y e l m ódulo d e cortante se conocen como constantes elásticas de Lame, y deben ser considerados como propiedades fundamentales de los materiales tanto para sólidos como para fluidos. De la Ecuación (1.10), l a relación de P oisson y e l m ódulo de Y oung pueden ser calculados en base a lo siguiente: 3 −2 ν = 6+ 2
G λ G
y E = 2 (1 + ν )G
(1.18a y 1.18b)
λ
Si e l m ódulo de cortante s e v uelve pe queño en c omparación con e l m ódulo volumétrico, entonces ν ≈ 0.5 y E ≈ 3G . La Tabla 1.1 resume las propiedades materiales aproximadas de varios materiales comunes.
PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
1-9
Tabla 1.1 Propiedades Mecánicas Apr oxi madas de Materiales Típicos
Material
E
ν
Módulo de Young ksi
Relación de Poisson
α
λ
w
G Módulo de Cortante ksi
Módulo Volumétrico ksi
Dilatación Térmica
× 10 -6
Peso específico lb/in3
Acero
29,000
0.30
11,154
16,730
6.5
0.283
Aluminio
10,000
0.33
3,750
7,300
13.0
0.100
Concreto
4,000
0.20
1,667
1,100
6.0
0.087
Mercurio
0
0.50
0
3,300
-
0.540
Agua
0
0.50
0
300
-
0.036
0.3
300
-
0.036
Agua*
0.9
0.4995
* Estas son propiedades aproximadas q ue pueden ser utilizadas para modelar el agua como un material sólido.
Es aparente que la principal diferencia entre líquidos y sólidos es que los líquidos poseen un m ódulo de c ortante m uy pe queño en comparación c on e l módulo volumétrico, y que los líquido s no so n inc om pre sible s .
1.9
VELOCIDADES DE ONDA DE CORTANTE Y COMPRESIÓN La medición de las velocidades de onda de compresión y de corte de materiales, que utilizan experimentos de laboratorio o campo constituye otro método sencillo que se utiliza frecuentemente para definir las propiedades de los materiales. La velocidad de la onda compresiva, V c , y la velocidad de onda de corte, V s vienen dadas por: V c =
V s =
λ + 2 G ρ G ρ
(1.19) (1.20)
donde ρ es la densidad del material. Por lo tanto, es posible calcular todas las demás prop iedades el ásticas d e los materiales is otrópicos a p artir d e estas ecuaciones. Está claro que las ondas de corte no pueden propagarse en los fluidos porque el módulo de cortante es cero.
1-10
ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
1.10 PROPIEDADES MATERIALES AXISIMÉTRICAS Muchas clases comunes de estructuras, tales como tuberías, recipientes a presión, tanques para a lmacenar l íquidos, cohetes, y ot ras estructuras e spaciales, es tán incluidas en la c ategoría de estructuras axi simétricas. Un g ran núne ro d e estructuras axi simétricas pos een materiales an isotrópicos. Para el c aso de l os sólidos axisimétricos que quedan sujetos a c argas no-axisimétricas, la matriz de correlación, según se define en l a Ecuación (1.3), puede expresarse en términos del sistema de r eferencia r , z y θ como la Ecuación (1.21). Se puede obtener la solución de e ste caso e special de un s ólido tridimensional expresando l os desplazamientos y cargas del punto nodal por una serie de funciones armónicas. Luego se expr esa la solución como la suma de l os r esultados de una s erie d e problemas axisimétricos bidimensionales [3]. 1 E 1 ν 21 ε r − ε E 1 z − ν 31 ε θ E 1 = ν γ rz − 41 γ r θ E 1 γ z θ 0 0
−
ν 12 E 2
1
E 2
−
ν 13
−
ν 23
E 3 E 3
−
ν 32
1
E 2
E 3
−
ν 42 E 2
−
−
ν 14
−
ν 24
−
ν 34
0
E 4
0
E 4
0
E 4
ν 43
1
E 3
E 4
0
0
0
0
0
0
0 1 E 5
−
ν 65 E 5
0
0 σ r α r α σ z z 0 σ θ + ∆T α θ α rz 0 τ rz 0 τ r θ ν − 56 τ z θ 0 E 6 1 E 6
(1.21)
1.11 RELACIONES DE FUERZA-DEFORMACIÓN Las ecua ciones e sfuerzo-deformación que s e pre sentan en las se cciones anteriores cons tituyen las leyes constitutivas fundamentales d e los materiales lineales. Sin em bargo, para elementos un idimensionales en l a i ngeniería estructural, muchas v eces r eformulamos di chas ecuaciones en términos de esfuerzos y de formaciones. Por e jemplo, pa ra un e lemento uni dimensional axialmente cargado de l ongitud L y ár ea A , la deformación axial total ∆ y e l esfuerzo axial P son ∆ = L ε y P = Aσ . Ya que σ = E ε, la relación esfuerzodeformación es:
PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
1-11
(1.22)
P = k a ∆
donde
k a =
AE
y se define com o la rigidez axial del elemento. También, s e
L
puede expresar la Ecuación (1.22) en la siguiente forma: ∆ = f a P
donde
f a =
(1.23)
L AE
y se de fine como la flexibilidad axial d el e lemento. Es
importante notar que los términos de rigidez y flexibilidad no son una función de la c arga, s ino que dependen solamente de las p ropiedades de los materiales y geométricas del elemento. Para u n e lemento un idimensional de sección transversal cons tante, la f uerza torsional T en términos de la r otación relativa ϕ entre los ext remos del elemento viene dada por: T = k T ϕ
donde
k T =
JG L
(1.24) y J es el momento torsional de inercia. Asimismo, el inverso de
la rigidez torsional es la flexibilidad torsional. En el caso de flexión pura de una viga con un e xtremo fijo, la integración de la distribución de l e sfuerzo t orsional s obre l a sección t ransversal p roduce u n momento M . La distribución del deformación lineal produce una rotación en el extremo de la viga de φ . Para esta viga de longitud finita, la relación momentorotación es: (1.25)
M = k bφ
donde la r igidez de f lexión
k b =
EI L
. Para una s ección transversal t ípica de la
viga de longitud dx , la relación momento-curvatura en el punto x es: M ( x) = EI ψ ( x)
(1.26)
Estas relaciones fuerza-deformación se consideran fundamentales en los campos tradicionales del análisis y el diseño estructurales.
