Diseño Sismico de Reservorios 2009

1 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez DISEÑO SISMICO DE RESERVORIOS.

Los reservorios para almacenamiento de líquidos son estructuras importantes en zonas sísmicas los cuales pueden ser enterrados, apoyados sobre el suelo o bien sobre torres de sustentación y deben funcionar para servir las emergencias de los pobladores tras la ocurrencia de eventos sísmicos severos. Dada la importancia de tales estructuras, consideramos oportuno incorporar el diseño sísmico para tanques de acero al carbono apoyados sobre torres y directamente en el suelo para los cuales se proponen modelos dinámicos que consideran las presiones impulsivas y convectivas generadas en el fluido por el movimiento vibratorio del terreno.

Las presiones impulsivas se asocian con las fuerzas inerciales producidas por movimientos impulsivos proporcionales a la aceleración de las paredes del tanque. Las presiones convectivas son generadas por las oscilaciones del fluido y por ende son consecuencia de las presiones impulsivas.

2 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Las presiones impulsivas se originan por el impacto del agua contra las paredes del tanque cuando éste es acelerado por la perturbación sísmica, en cambio las presiones convectivas son debidas a las oscilaciones del liquido contenido en el reservorio por efecto de las vibraciones de la torre de soporte, o transmitidas directamente por el suelo. Las presiones impulsivas se modelan como una masa mi rígida fijada a las paredes del cilindro mientras que las presiones convectivas se modelan como una masa mc fijada mediante resortes al cuerpo cilíndrico. (1) Las presiones hidrodinámicas inducidas representan un porcentaje de las presiones hidrostáticas con las que se dimensionan las paredes y el fondo del tanque por tanto es necesario considerar dichos efectos para el dimensionamiento del tanque. Los efectos hidrodinámicos inducidos son importantes para determinar la fuerza cortante y el momento de volteo transmitidos al sistema de cimentación. Para cuantificar la fuerza cortante y el momento de volteo de diseño en la base de cimentación basta emplear un modelo equivalente con dos grados de libertad en traslación definidos por los desplazamientos laterales xI y xc de las masas ( M i + M T ) y M c donde M T representa la masa del tanque y la estructura de soporte en el caso de tanques elevados sobre torres. Las posiciones de las masas quedan determinadas por la localización del centro de gravedad de sus componentes.

Para el diseño de la cimentación, el momento de volteo es la superposición de los momentos que provienen de las presiones hidrodinámicas que actúan en las paredes y el fondo del depósito. Debido a que las máximas respuestas impulsivas y convectivas no ocurren simultáneamente, la fuerza cortante y el momento de volteo máximos probables se 1

deberán obtener mediante la combinación de ambos: S = éë S 2 I + S 2C ùû 2

3 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

La fuerza cortante y el momento de volteo impulsivos en la base VI y M I serán determinados considerando los efectos interactivos liquido-recipiente y suelo-estructura, para lo cual pueden emplearse las siguientes expresiones: VI = M I × g ×

a [T0 ]

Q ' [T0 ]

×x

M I = VI × hI Donde: T0 Es el periodo efectivo de la estructura con cimentación flexible.

a [T0 ] Es la ordenada espectral. Q ' [T0 ] Es el factor reductivo por ductilidad considerando el periodo efectivo y la cimentación flexible.

x Es el factor de amortiguamiento como función del amortiguamiento x 0 por este factor hay que multiplicar las ordenadas espectrales con amortiguamiento x 0 para obtener el amortiguamiento efectivo. Si T0 p Ta

éæ 0.05 ök ù T 0 x = 1 + êç ÷ - 1ú êè x 0 ø ú [Ta ] ë û

Si T0 f Ta x =

0.05 x0

k Es un factor que depende del tipo de suelo y adopta los siguientes valores: k = 0.4 para suelos tipo I; k = 0.5 para suelos tipo II; k = 0.6 para suelos tipo III. La fuerza inercial actuando en el centro de gravedad de la masa de las paredes y el fondo del tanque, se puede considerar como un efecto impulsivo adicional y se determina de manera similar al efecto impulsivo. Para cuantificar la fuerza cortante y el momento de volteo convectivo, no se requiere considerar la interacción liquido-recipiente ni la interacción suelo-estructura. Para ello pueden emplearse las siguientes expresiones:

4 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Vc = M c × g ×

a [Tc ]

Q ' [Tc ]

M c = Vc × hc

a [Tc ] Es la ordenada espectral y Q ' [Tc ] es el factor reductivo por ductilidad æM ö correspondiente al periodo fundamental de vibración del líquido Tc = 2p ç c ÷ è kc ø

(1) ACI350.3-01 ACI350.3R-01

1 2

5 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

TANQUES ESBELTOS DIRECTAMENTE APOYADOS SOBRE SUELO VIGAS DE FLEXION CON PARÁMETROS DISTRIBUIDOS.

Los sistemas previamente estudiados suponen que las masas son agrupadas en puntos discretos y unidas entre sí y al terreno mediante resortes y amortiguadores carentes de masa, lo cual puede considerarse como una aproximación a los sistemas de parámetros continuos en los cuales las masas están distribuidas, y poseen un numero infinito de grados de libertad. Podemos acercarnos a los sistemas de parámetros distribuidos discretizando la masa en un número suficientemente grande de puntos y elementos de conexión que nos permitan la aproximación deseada. Diversas estructuras directamente apoyadas en el suelo tales como torres, chimeneas y tanques cilíndricos cuyas frecuencias de vibración son suficientemente pequeñas, pueden analizarse satisfactoriamente como vigas en las que predominan las deformaciones por flexión despreciándose las deformaciones por cortante, los efectos de la inercia rotacional, y del amortiguamiento interno. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se convierten en ecuaciones diferenciales parciales donde las variables independientes son las coordenadas del tiempo y del espacio. Bajo estas suposiciones empleando el principio de D’Alembert considerando que los desplazamientos son pequeños y que no obran fuerzas externas, es posible escribir las ecuaciones difenciales del movimiento para vibración libre no amortiguada para la viga en cantiliver mostrada en la Figura.

Ejemplos de vigas de flexión con parámetros distribuidos.

6 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

La ecuación Bernoulli – Euler del movimiento en vibración libre de la viga de flexión, se obtiene aplicando el principio de D`Alembert al elemento diferencial de viga dy mostrado en la Figura, considerando que los parámetros de masa y rigidez, están distribuidos longitudinalmente, y que la viga es solicitada por fuerzas de inercia cuya intensidad varia a lo largo de su eje. Las propiedades de la viga son: EI = rigidez flexionante de la viga. L = longitud. m = W/gL = es la masa por unidad de longitud de la viga

¶ 2 æ ¶ 2u ö ¶ 2u EI + m =0 ç ÷ ¶y 2 è ¶y 2 ø ¶y 2 EI

(5.1)

¶ 4u ¶ 2u + =0 m ¶y 4 ¶t 2

(5.2)

Cuya solución puede obtenerse empleando el recurso de separación de variables empleado en el Art 1.7, para lo cual asumimos que la solución de la ecuación (5.2) es de la forma:

u ( y, t ) = f ( y ) Z ( t )

(5.3)

Donde ф (y) es la figura modal característica, y Z (t) es la amplitud del movimiento variable con el tiempo. Sustituyendo la ecuación (5.3) en la (5.2), obtenemos

d4 f - a 4f ( y ) = 0 4 ( ) dy d2 Z +w 2 Z ( t ) = 0 dy 2

Siendo

w 2m an 4 = n EI

(5.4)

(5.5)

(5.6)

La solución de la ecuación (5.5) el la correspondiente al oscilador simple y tiene la forma armónica de la ecuación (1.67), ésta es:

7 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Z (t ) =

z '(0) sen (w t ) + z ( 0 ) cos (w t ) w

(5.7)

Por otro lado la ecuación (5.4) se resuelve usualmente asumiendo una solución de la forma siguiente:

f ( y ) = e sy

(5.8)

Sustituyendo (5.8) en (5.4), tenemos:

(s

4

- a 4 ) ce sy = 0

(5.9)

Donde: s = ± a, ±ia Introduciendo estos cuatro valores de s en la ecuación (5.8), obtenemos la siguiente solución exponencial en serie para la ecuación (5.4):

f ( y ) = c1eiay + c2 e-iay + c3eiay + c4eiay

(5.10)

Esta solución puede escribirse en términos de funciones trigonométricas e hiperbólicas del modo siguiente:

f ( y ) = a1sen ( ay ) + a2 cos ( ay ) + a3 senh ( ay ) + a4 cosh ( ay ) (5.11) Las cuatro constantes an definen las formas modales y las amplitudes de vibración, y se determinan considerando las condiciones de fronteras y dos condiciones que expresan los desplazamientos en términos de momento – curvatura. Estas cuatro condiciones para el caso de una viga cantiliver son los siguientes: En el empotramiento y = 0: f ( 0 ) = 0 f ' ( 0 ) = 0 En el extremo libre y =L: EIf '' ( L ) = 0 EIf ''' ( L ) = 0 Reemplazando en la función de forma (5.11) o en su derivada, las condiciones establecidas, tenemos que a1 = - a3 y a2 = - a4 y la solución para este caso puede escribirse mediante la siguiente notación matricial: æ sen ( aL ) + senh ( aL ) cos ( aL ) + cosh ( aL ) ö æ a1 ö æ 0 ö ç ÷ç ÷ = ç ÷ è cos ( aL ) + cosh ( aL ) senh ( aL ) - sen ( aL ) ø è a2 ø è 0 ø

(5.12)

En vista de que los coeficientes a1 y a2 son distintos de cero, la ecuación (5.12) queda satisfecha únicamente si el determinantes es cero. Esta condición genera una ecuación

8 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

trascendente, cuya solución genera la ecuación siguiente: cos ( aL ) cosh ( aL ) = -1

cos ( aL ) = -

1 cosh ( aL )

(5.13)

Cuyas seis primeras raíces son Z n = 1.875, 4.649, 7.855, 10.996, 14.137 ,17.279 con lo cual queda resuelto el cálculo de las frecuencias, y de los periodos naturales de la viga. Los valores de las frecuencias y de las formas modales correspondientes a los tres primeros modos de vibración de la viga en cantiliver de parámetros distribuidos son entonces los æZ ö siguientes: w1 = ç n ÷ è L ø æ 1.875 ö w1 = ç ÷ è L ø

2

EI m

2

EI m

æ 4.649 ö w2 = ç ÷ è L ø

2

EI m

æ 7.855 ö w3 = ç ÷ è L ø

2

EI m

(5.14)

La solución para las formas características, se obtiene escribiendo el valor del coeficiente a2 correlacionado con el valor de a1 . a2 = -

sen ( aL ) + senh ( aL )

cos ( aL ) + cosh ( aL )

× a1

Esta ecuación junto a las dos condiciones de fronteras, posibilitan escribir la función de formas en términos del primer coeficiente. é ù sen ( aL ) + senh ( aL ) f ( y ) = a1 ê sen ( ay ) - seh ( ay ) + cosh ( ay ) - cos ( ay )}ú { cos ( aL ) + cosh ( aL ) ë û (5.16) 4.5 (EJEMPLO TANQUE SOBRE SUELO DE 2000m³) 4.5.1 DINÁMICA DE LA ESTRUCTURA Y DEL LÍQUIDO.

Las estructuras de tanques esbeltos cilíndricos o rectangulares las chimeneas, las torres de transmisión, en las cuales las propiedades de masa y de rigidez lateral se distribuyen uniformemente a lo largo del eje de la pieza, son ejemplos de vigas de flexión con parámetros distribuidos. Ilustraremos el tratamiento de los sistemas de flexión con parámetros distribuidos mediante el análisis lateral del tanque de A-36 para almacenamiento de agua potable, en el cual las propiedades de masa y rigidez lateral se distribuyen uniformemente con la altura Fig. (5.2). Si el cuerpo y techo del tanque son suficientemente rígidos y se encuentra totalmente lleno, la masa liquida se mueve con el tanque como una masa rígida. Cuando existe un pequeño espacio entre la superficie libre del líquido y el techo, las presiones ejercidas por el líquido contra las paredes y el fondo serán prácticamente iguales

9 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

a las presiones correspondientes a las de líquidos con superficie libre. Para fines prácticos es suficiente estudiar las condiciones de un tanque lleno con la superficie libre. Para oscilaciones pequeñas, el potencial de velocidad f y las presiones hidrodinámicas pueden expresarse como la suma de eigenfunciones multiplicadas por el senw nt y el cos w nt siendo w n la enésima frecuencia natural de vibración. Esta forma de solución es idéntica a la de estructuras lineales y conservadoras con varios grados de libertad y permite demostrar que el líquido puede reemplazarse por un cierto número de masas discretizadas unidas al tanque mediante resortes lineales, asociándose una masa con cada modo de vibración. Para nuestro propósito basta considerar las soluciones correspondientes al primer modo de vibración para tanques cilíndricos rígidos sujetos a traslación horizontal.

Fig. (5.2): Análisis sísmico de un tanque tratado como una viga de flexión con parámetros distribuidos.

Básicamente el fenómeno hidrodinámico de los tanques se asocia al oleaje superficial esquematizándose el fenómeno como lineal mientras las olas sean pequeñas.

10 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

El núcleo de cada modo natural es una función armónica seno por lo que es valido aplicar los métodos para estructuras lineales con múltiples grados de libertad. Un aspecto que debe considerarse en tanques de grandes dimensiones relacionado con el análisis sísmico de recipientes es la compresibilidad del agua. Para determinar la fuerza resultante ejercida por el liquido contra el tanque y el momento de volteo correspondiente, el liquido puede sustituirse por una masa M i fija rígidamente al tanque, localizada a una elevación hi sobre el piso del tanque, mas una masa M c unida mediante resortes con rigidez total K localizada a la elevación hc . Estos parámetros se obtienen mediante las expresiones debidas a Housner (1963): æR tanh1.7 ç èH Mi = æRö 1.7 ç ÷ èHø

ö ÷ øM

é æM öù hi = 0.38H ê1 + a ç - 1÷ ú çM ÷ è i ø úû ëê

æRö 0.71tanh1.8 ç ÷ 4.75 gM c 2 H Hø è Mc = M K= MR 2 æRö 1.8 ç ÷ èHø 2 2 é ù æ ö M R R RM æ ö æ ö ú hc = H ê1 - 0.21 + 0.55 b 0.15 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ê ú Mc è H ø HM c ø èHø è ë û

Geometría y propiedades de la pieza: Altura total del cuerpo cilíndrico H t = 24.0m Altura de la columna de agua H a = 23.10m Diámetro interno di = 10.50m Diámetro externo de = 10.525m Diámetro al centro del espesor dc = 10.5125m Peso del cuerpo cilíndrico con accesorios Wc = 80.0t Peso del techo Wt = 5.0t Peso total de la estructura WT = 85.0t tseg 2 cm 2 2 -4 tseg ma = 8.873 x10 cm 2

Masa por unidad de longitud del cilindro mc = 3.613 x10 -5 Masa del agua hasta el nivel de rebose

11 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Masa total por unidad de longitud del cilindro y agua m = 9.2343 x10-4

tseg 2 cm2

Propiedades mecánicas y elásticas del cilindro de A-36. t E = 2.043 x103 2 cm Área de la seccion circular A = 4.133 x103 cm2 p 2

Momento de inercia de la sección circular I = 4t ò rc 2 sen 2q dq = p trc 3 = 5.723 x108 cm 4 0

Modulo de flexión

S = p tr 2 = 1.087 x106 cm3

El periodo fundamental de vibración libre no amortiguada será determinado empleando la æ 1.875 ö Ec (5.14): w1 = ç ÷ è L ø

2

EI rad = 23.645 m seg

® T1 =

2p = 0.26 seg w1

ANALISIS SISMICO EMPLEANDO EL RNC-2007

El actual Reglamento no dedica ningún espacio al tema específico de las estructuras de tanques sobre suelo. No obstante realizaremos el análisis sísmico modal empleando el espectro de aceleraciones y el coeficiente sísmico de conformidad con el RNC-2007.

12 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

La reducción por ductilidad deberá ser baja dado que en este tipo de estructuras no convienen ductilidades altas. Q = 1.5 Determinación del factor de sitio S para la formación de suelo explorada donde se emplaza el reservorio sobre suelo. El periodo fundamental de vibración del suelo para la formación bajo consideración será determinado mediante el uso de matrices de transferencia Para determinar el periodo fundamental de la formación se considera como basamento el m estrato cuyo techo se localiza en la elevación 0-10.06m con VS = 450 . seg El periodo fundamental TS será cuantificado mediante la función de transferencia de la Ec. (2.28) determinada a partir de los parámetros sísmicos contenidos en la estructura del subsuelo. 5

.

å l k = 0.05009w n

k =1

Para esta consideración el periodo fundamental resulta ser: p 2p = 0.20 seg 0.05009w n = ( 2n - 2 ) ® T1 = 2 31.359 Magnitud M ( Richter ) 6.2

Aceleración (base rocosa) æ cm ö ÷ 2÷ è seg ø

Amax çç

281

Periodo del sismo Ts ( seg )

Duración del evento D ( seg )

0.26

16

Periodo de retorno P ( años )

RESPUESTAS DEL SITIO DONDE SE EMPLAZA EL TANQUE

50

Profundidad focal R ( km ) 5

13 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Factor de amplificación dinámica para un porcentaje del amortiguamiento critico interno del suelo b = 0.05 -0.5 é ù 2 2 êæ T 2 ö ú ç g ÷ çæ Tg ÷ö ú = 1.42 S = D (w n ) = êê ç1÷ + 2b ç Ts ÷ø úú 2 è ê çç T s ÷÷ ø êè ú ë

û

Tg = 0.20seg Ts = 0.26 seg b = 0.05

Coeficiente sísmico:

14 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Ta p T p Tb ® a = Sc , T f Ta ® Q ' = Q = 1.5 S = 1.5 W = 2.0 a0 = 0.31

c=

S ( 2.7 a0 ) 1.5 x ( 2.7 x0.31) = = 0.42 1.5 x 2.0 Q 'W

Cortante sísmica basal según el RNC-2007 Cortante debida al cilindro y techo de A-36 Localización del centro de gravedad del cilindro y techo: Wt = 85t Vt = 0.42 x85 = 35.70t yc =

11.50 x80.0 + 24.2625 x5.0 = 12.25m 85.0

Para determinar el valor de la masa hidrodinámica efectiva referida a la masa total del fluido, así como el centroide de la masa hidrodinámica efectiva emplearemos las y 9-4-2 contenidas en la Sección 9 Articulo 9-04 “Vertical Tanks on Ground” Seismic Design for Buildings. Masa hidrodinámica efectiva: Charts 9-4-1 HL m = 4.38 ® 0 = 0.90 ® m0 = 0.90m R m HL m tseg 2 = 4.38 ® 0 = 0.90 ® m0 = 1.8367 R m cm Cortante sísmica hidrodinámica efectiva. VL = 0.42 x1800 = 756t

Cortante sísmica basal total V0 = 7562 + 35.7 2 = 756.84t Centroide de la masa hidrodinámica efectiva: Charts 9-4-2

HL h = 4.38 ® 0 = 0.42 x 23m = 9.70m R HL Momento de volteo sísmico considerando los efectos hidrodinámicos del fluido.

15 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

M 0 = 12.25 x35.7 + 9.70 x756 = 7770.53mt

ANALISIS SISMICO EMPLEANDO EL UBC-2000

Para obtener el momento de vuelco sísmico se consideran los efectos impulsivos y convectivos conforme al Capitulo 9 del ACI350.3-01 y Comentarios ACI350.3R-01 æ D ö h D = 0.45 p 1.333 ® i = 0.5 - 0.09375 ç = 0.4572 ® hi = 10.51m ç H ÷÷ HL HL è Lø

h D = 0.45 ® c HL HL

é æ h öù cosh ê3.68 ç c ÷ ú - 1 çH ÷ ê è L ø ûú ë = 1= 0.85 ® hc = 19.55m é æ hc ö æ hc ö ù 3.68 ç senh ê3.68 ç ç H ÷÷ ç H ÷÷ ú è Lø è L ø ûú ëê

16 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Modelo dinámico para calcular el momento de volteo.

17 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Masa hidrodinámica efectiva.

W D = 0.45 ® i HL WL W D = 0.45 ® c HL WL

é æ D öù tanh ê0.866 ç ç H ÷÷ ú êë è L ø úû = = 0.94 ® Wi = 21.85WL = 1900t æ D ö 0.866 ç ç H ÷÷ è Lø é æ D ö æ D öù tanh ê3.68 ç = 0.230 ç = 0.10 ® Wc = 0.10WL = 200t ÷ çH ÷ ç H ÷÷ úú ê è Lø è L øû ë

Momento de vuelco sísmico. M T = M 2i + M 2c Localización del centro de gravedad del cilindro y techo: Wt = 85t yc =

11.50 x80.0 + 24.2625 x5.0 = 12.25m 85.0

Momento de vuelco sísmico impulsivo: cSI =

S DS I S DI I £ R RTI

18 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

S DS = 0.73 S D1 = 0.42 T1616.3 (1) T1616.3 (2) IBC2000 cSI =

0.73 x1.0 0.42 x1.0 = 0.37 £ = 0.81 Emplear cSI = 0.37 2 2 x0.26

M i = csi (Wt yc + Wi hi ) = 0.37 ( 85 x12.25 + 1900 x10.51) = 7773.79mt

Momento de vuelco sísmico convectivo: cSC =

S DS I S DI I £ R RTc

Tc =

2p l

D

D 2p = 0.45 ® = 0.575 Charts Fig 4-9 “Design of Liquid-Containing Concrete HL l Structures for Earthquake Forces” PCA 2002” 2p D = 0.575 10.5 = 1.86 seg l 0.73 x1.0 0.42 x1.0 = = 0.37 ³ = 0.11 Emplear csc = 0.11 2 2 x1.86

Tc = cSC

M c = csc (Wc hc ) = 0.11x 200 x19.55 = 430.10mt Momento de vuelco total: M T = 7773.792 + 430.102 = 7786.68mt Cortante sísmica basal espectral según el ACI 350.3R-01 Cortante basal impulsiva:

VI = cSI (Wt + WI ) = 0.37 x1985 = 734.45t Cortante basal convectiva:

VC = cSC (WC ) = 0.11x 200 = 22.0t Cortante basal total: VT = VI 2 + VC 2 = 734.452 + 22.0 2 = 735.0t

19 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Comparación de los resultados obtenidos: REGLAMENTO R.N.C-2007 U.B.C-2000

Cortante basal V0 (t) 756.84 735.00

Momento de volteo M 0 (mt) 7770.53 7786.68

Chequeo de la resistencia en flexión pura del cilindro: S = p tr 2 = 1.087 x106 cm3

20 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

fb =

7786.68 x102 t t = 0.72 2 p 1.52 2 6 1.087 x10 cm cm

Fb = 0.60 Fy = 0.60 x 2.536 = 1.52

t cm 2

Puede demostrarse que la fuerza cortante en la base para el modo n esta dada por: Qn = Bn AnTn (5.1) Donde Bn es un coeficiente asintótico que tiende a un valor finito mientras n tiende a infinito, An es la aceleración espectral asociada al modo n, y Tn es el periodo de vibración para el modo n. Encontramos que estas estructuras tienen el mismo periodo natural equivalente que para los sistemas elastoplásticos, y para los bilineales elásticos, los cuales poseen la misma curva esqueleto. En las chimeneas y tanques de láminas delgadas de acero, pueden ocurrir deformaciones locales perjudiciales, y como no hay ventajas con la ductilidad, deben adoptarse aceleraciones de diseño elevadas.

El factor de seguridad contra el volteo y el deslizamiento en estructuras hidráulicas deberá ser como mínimo FS = 2.0 DISEÑO DEL SISTEMA DE CIMENTACION

Las cimentaciones para tanques, chimeneas y otras estructuras industriales, generalmente consisten en zapatas circulares u octogonales sobre las que se apoya un cilindro con muros de concreto el cual se lastra con grava para estabilizar el vuelco sísmico transmitido por la superestructura Los efectos mecánicos generados por la estructura tubular, se transmiten al cimiento mediante el uso de pernos de anclajes por lo que es importante considerar que un perno que fluye en tensión no soporta compresión, lo cual no contribuye a resistir el momento de volteo.

21 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Las cimentaciones industriales de este tipo, son incluidas en el ACI Committee 351 “Foundations for Equipment and Machinery”

La carga sísmica crítica es transitoria y representa un límite superior en muchos casos. Es importante establecer si el proyecto de la zapata se realiza empleando qa o qu kg El estudio geotécnico establece un valor qa = 3.0 2 a una profundidad de desplante cm D f = 4.0m

4.5.2 DESCRIPCIÓN DEL SUBSUELO EN EL SITIO DE LA OBRA

22 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

23 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Peso de zapata octogonal con espesor t z = 1.00m

Cálculo de la excentricidad. Peso total de la estructura de A-36 incluyéndose la máxima carga de líquido y el peso de la cimentación incluyéndose el peso del suelo. SWT = 4141.73t e=

MT 7786.68 B = = 1.88m e = = 2.0m f 1.88m SWT 4141.73 4

A = 201.0m2

I x = 0.6381R 4 = 2613.65m 4

S x = 0.6906 R 3 = 353.58m3

Primera estimación de las presiones de contacto zapata-suelo de cimentación. e 1.88 = = 0.358 » 0.36 RL 5.25

® k1 = 2.48 ® qS =

t 4141.73 2.48 = 51.10 2 f qa 201.0 m

SWT M T t 4141.73 7786.68 ± £ qa 0 p ± = 42.62 2 ³ qa A S 201.0 353.58 m t t q1 = 46.62 2 q2 = -1.416 2 k2 = 1.66 ® z = 1.66 x5.25m = 8.715m m m

0p

s=

42.62 - ( -1.41) = 2.75 Tanteo con t = 1.20m d = 1.20 - 0.075 - 0.025 = 1.10m 16

24 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

qad = 42.62 - sx = 42.62 - 2.75 x = 42.62 - 2.75 x1.10 = 39.595

Vad = 1.4

( 42.62 + 39.595 ) x 2.75 = 158.26 t

2 m Vc = 0.53 f c 'bd = 0.53 x 280 x100 x110 = 97.55t p 158.26t

Tanteo con t z = 1.50m ® d = 1.50 - 0.075 - 0.025 = 1.40m R = 9.0m Ws = ( 9.0 2 - 5.52 )p x1.65 x3.0 = 789.20t Wz = p x9.02 x1.50 x 2.40 = 916.08t SWT = 4369.20t SWT = 4369.20t SWT = 4369.20t ® e =

7786.68 = 1.78m p 2.25m 4369.41

4369.41 8928.0 t + = 34.90 2 p 39 254.47 503.44 m

4369.41 7786.68 t = 1.703 2 254.47 503.44 m kg Revisión de la resistencia al cortante: vc = 0.53 280 = 8.868 2 cm 32.63 - 1.703 s= = 1.718 ® q = 32.63 - sx = 32.63 - 1.718 x = 32.63 - 1.718 x2.35 = 28.59t ad 18 q1 =

Va = 1.4

q2 =

( 32.63 + 28.59 ) x 2.35 = 100.70t p 8.868 x100 x140 = 124.15t

2 La zapata con 2 R = 18m t = 1.50m d = 1.50 - 0.075 - 0.025 = 1.40m satisface los requerimientos de cortante y transmite presiones aceptables al estrato de cimentación, sin considerar los efectos debidos a las reactivas del suelo circundante a la zapata y pedestal. kg kg qu = 1.33qa = 3.99 2 f 3.20 2 cm cm

25 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Estabilidad contra el volteo. Mu ³ 2.0 Mr Inicialmente serán despreciados los efectos estabilizadores debidos a las presiones reactivas de Rankine considerando únicamente el momento estabilizador proveído por la carga gravitatoria máxima de servicio del reservorio. Se muestran el espectro estandarizado de aceleraciones del RNC2007 y el espectro de aceleraciones del sitio, según el cual existe la probabilidad de que sea excedido el umbral de aceleraciones, definiendo el riesgo sísmico local como una integral doble de amplitudes de frecuencia versus tiempo.

El mínimo factor se seguridad contra el volteo sísmico deberá ser

R = 1.0824 ® B = 8.31m B

Flexión en voladizo de la zapata: q = qmax - sx = 32.63 - 1.718 x

26 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

L L

M = ò ò qdz = 0 0

32.63L2 1.718 L3 32.63 x3.752 1.718 x3.753 mt = = 214.33 2 6 2 6 m

M u = 1.4 x 214.33

mt mt = 300.062 m m

Se especifica acero con f y = 4200 Ku =

kg kg concreto con f 'c = 280 2 2 cm cm

1.8559 x107 cm 2 = psi ® r = ® A = x x = 266.92 0.0046 0.0046 100 140 64.40 s 0.9 x 40 x52 2 m

Refuerzo principal radial por flexión conforme al A.C.I 318S-05 Art 10-5 Empleando piñas de tres N°8 A60 ® As = 15.20cm 2 @ 23.60cm Empleando como alternativa piñas de dos N°8 A60 ® As = 10.134cm 2 @15.73cm El refuerzo tangencial debe proporcionarse para el momento flector calculado del siguiente mt mt modo: M t = 0.05q1 R 2 = 0.05 x32.63 x92 = 132.15 M u = 1.4 M = 185 m m 7 1.601x10 cm 2 Ku = = 164.56 psi ® r = 0.0034 ® A = 0.0034 x 100 x 140 = 47.60 s 0.9 x 40 x52 2 m Piñas de dos N°8 A60 As = 10.134cm 2 @ 21.0cm

El análisis puede refinarse considerando las reducciones al momento de volteo y a las cortantes sísmicas debido a las presiones de Rankine obrando contra la zapata y el pedestal.

27 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

f = 320 g = 1.60

t m3

p =gh

1 - senf = 3.0h 1 + senf

Dz = 18.0m

D p = 10.5m

Momento debido a la resistencia lateral del suelo M s = 415mt Resultante de las fuerzas reactivas del suelo Vs = 368.43t Cortante basal neta Momento neto en zapata

VN = V0 - Vs = 388.0t M Nz = M T + VN D f - M s = 8928mt

Momento neto en base del pedestal

M Np = M T + VN × hp - M s = 8342mt

Dimensionamiento del refuerzo del ring-wall pedestal. El pedestal deberá dimensionarse para resistir el momento de volteo y las cortantes en la base. Longitud del pedestal L p = p DZ = p x10.70 = 33.615m disponiendo refuerzos en dos lechos cada 20cm, tendremos aproximadamente Nb = 134 elementos verticales en el círculo equivalente de refuerzo. Peso del tanque lleno y del pedestal lastrado con grava: Wt + p = 2664t Db = 10.70m t f s = 1.409 2 M T = 8342mt cm As =

1 fs

æ 4 M T Wt + p ç çN D Nb è b b

ö 2 0 2 ÷ = 2.40cm ® N 6 ® As = 2.85cm @ 29.0cm ÷ ø

Chequeo del esfuerzo cortante horizontal en el pedestal.

28 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Esfuerzo cortante horizontal Ap = 8.40m 2 vc =

388t kg kg = 4.63 2 p 8.86 2 2 840m cm cm

Refuerzo vertical por flexión del pedestal A60 N 0 6@ 29cm en dos lechos. Refuerzo horizontal por flexión del pedestal A60 As = 0.0033bd = 2.55cm 2 dos lechos N 0 6 ® As = 2.85cm2 @ 33cm

Para estas condiciones finales el esfuerzo transmitido al suelo es el siguiente: e=

8928 = 2.04m p 2.25m 4369

q1 =

4369.41 8928.0 t t + = 34.90 2 p 39.90 2 254.47 503.44 m m

q2 =

4369.41 8928.00 t = -0.56 2 254.47 503.44 m

El factor de seguridad contra el volteo sísmico será determinado considerando la naturaleza aleatoria de las ocurrencias sísmicas, evaluando la probabilidad de que el umbral de la aceleración espectral de diseño sea excedido en un determinado periodo de tiempo e -l t (l t ) El modelo de distribución de Poisson es generalmente empleado Pn ( t ) = n! mediante relaciones para obtener el numero de ocurrencias que excedan la magnitud M para una determinada fuente N ( M ) = f ( M , A, T ) definiendo el riesgo sísmico local como n

una integral doble de amplitudes de frecuencia versus tiempo p ( f ) = òò A ( f ) dfdt A representa las características de la fuente y T es el periodo de ocurrencia obtenido de registros estadísticos.

29 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

El factor de seguridad contra el volteo para garantizar estabilidad sísmica es el siguiente 1.40 M NZ F .S = = 2.9 f 2.0 Mr Dimensionamiento de los pernos de anclaje. Un aspecto fundamental del problema consiste en lograr el dimensionamiento de los pernos de anclaje de manera que se garantice la transmisión efectiva de los esfuerzos por cortante, flexión y carga axial entre el cilindro y la estructura de cimentación. Para determinar el numero requerido de pernos de anclajes, emplearemos un método simple, según el cual, los pernos son reemplazados por un anillo continuo, cuyo diámetro es igual al del circulo de pernos. 85.0 t = 0.02576 Peso unitario del tanque y del techo: Wt = p ×1050 cm Despreciándose el efecto de la CM, una primera aproximación para determinar el espesor del círculo de pernos equivalentes es la siguiente. 1.4 M T 1.4M T = 10901.0mt tb = = 1.17cm p Rb f s

30 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Longitud del circulo de pernos Lb = p ×10.70 = 33.615m con N = 134@ 25cm f s = 1.056

N = 134

Ab =

2p Rbtb N

-

t Rb = 5.35m Wt +liq = 2085t cm 2

Wt = 14.61cm 2 Nf s

La tensión en cada perno, por efecto del vuelco sísmico, se determina considerando los elementos mecánicos externos, el número de pernos N = 134 y el diámetro del círculo de pernos equivalentes Db = 10.70m . Tensión en cada perno M u = 1.4 M T = 10901mt

W 4M u Tb = - t + = 15.07t N NDb

Modulo de flexión del círculo de pernos equivalentes S = p tb Rb 2 = 1.032 x106 cm3 1.0901x106 t Esfuerzo por flexión en los pernos fb = = 1.057 2 tensión o compresión. 6 1.032 x10 cm 7.2 Esfuerzo cortante fv =

V0 756.45t t = = 0.225 2p Rb 2p × 535 cm

Área requerida de pernos por cortante unitaria del cimiento f t 0.225 cm 2 = 0.213 ® @ 25cm ® Av = 5.325cm 2 Fv = 1.056 2 Av = v = cm Fv 1.056 cm 2

æ 2.8575 ö 2 2 Empleando pernos A-325 28.575mmf Ab = p ç ÷ = 6.413cm f 5.325cm , è 2 ø

7.3 Revisión de los pernos para cortante y tensión combinada. El esfuerzo permisible en tensión, para la combinación de cortante y tensión en los pernos A-325, deberá ser la especificada en el Articulo 1.6.3 Cortante y tensión “Manual de Construcción en Acero” IMCA-A.I.S.C/ 2009 æ kg ö f Ft = 3870 - 1.8 f v £ 3090 ç 2 ÷ f = 0.75 è cm ø

f Ft = 3870 - 1.8 × 225 = 3465 ³ 3090 Emplear f Ft = 3090

kg cm2

El dimensionamiento definitivo de los pernos, se hará considerando, la combinación de cortante y tensión, debida al volteo sísmico, para lo cual el esfuerzo permisible en tensión, será calculado empleando la ecuación para determinar la resistencia en tensión como una función del esfuerzo cortante externo fv .

31 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

T 19.82 Ts = f Ft Ab = 3090 × 6.413 = 19.816t f 15.07t F .S = s = = 1.32 Tb 15.0

Para la fijación del tanque al cimiento, serán empleados 134 pernos A325, de 28.575mmf distanciados cada 25cm, entre centros. La longitud de anclaje de los pernos, será 17d, Tabla 8-26 Ld = 50cm 8.0 Dimensionamiento de los elementos de fijación tanque – cimiento. 8.1 Platinas de anclaje de los pernos: La unión del cuerpo cilíndrico con el pedestal consiste en un conjunto perimetral de pernos A325 fijados superiormente a un elemento anular continuamente soldado a la pared del cilindro. Cada uno de los pernos se confina mediante la incorporación de elementos rigidizantes verticales. Estos elementos deben dimensionarse para garantizar la transmisibilidad de los efectos mecánicos del cilindro al pedestal. Se especifica un índice de resistencia en compresión para el concreto f c ' = 280 el acero de refuerzo será A60 con límite de fluencia f y = 4200

kg cm 2

Los elementos conectores serán de A36 con límite de fluencia f y = 2520

kg cm 2

kg , todo cm 2

32 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

El esfuerzo permisible al aplastamiento de conformidad con el ACI318S-05 Capitulo10 Sección 10.17 es igual a: f a = f ( 0.85 f c ' A1 ) f = 0.70 A1 es el área de aplicación de la carga. fa =

0.85 × 0.70 × 280 t = 0.098 2 1.7 cm

Av =

19.82t = 202.24cm2 0.098

Área requerida para desarrollar la tensión máxima en cada perno: T = 19.82t Empleando 2 platinas de 17.78x17.78x2.54cm c/u de A-36 Ap = 316.1284 - 6.413 = 309.71cm 2 Esfuerzo de tensión en la platina ft =

19.82 t = 0.064 2 309.71 cm

w t = 0.064 x17.78 = 1.137

t cm

Esfuerzo por flexión: 1.72685 x8.892 = 68.23cmt 2 17.78 - 2.857 Sp = x 2.02 = 29.846cm3 2 Mp =

fb =

44.96 t t = 1.506 2 f 1.550 2 29.846 cm cm

33 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Las dimensiones de la platina, son suficientes, ensayaremos platinas de 17.78x17.78x3.81cm para anclaje de los pernos.

8.2 Dimensionamiento del anillo de base para la fijación de los pernos.

Revisión del cortante periférico de cada perno Longitud de anclaje minima ld = 50cm t1 = 15.87 mm t2 = 25.4mm Capacidad ultima de cada perno T = 19.82t e = 10.0cm Rb = 535cm hb = 60.0cm Q=

Te 19.82 x10 = = 3.30t hb 60.0

Área de la sección T formada por el anillo de fijación y el segmento del cuerpo del tanque. h1 = 1.56 Rbt1 + t2 = 20.26" = 51.46cm

34 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

A = 51.46 x1.587 + 20.0 x 2.54 = 132.46cm 2

Momento de inercia de la tee:

yc =

81.69 x 20.793 + 50.80 x10 = 16.65cm 132.46

I = I1 + A1d12 + I 2 + A2 d 2 2 =

1 1 x51.46 x1.5873 + 81.66 x 4.142 + x 2.54 x 203 + 50.80 x 6.652 = 5356.59cm 4 12 12

Modulo de flexión: S min =

5356.59 = 321.71cm3 16.65

9. Esfuerzos en el anillo rigidizante. Las aceleraciones del terreno generan estados de esfuerzos en el anillo rigidizante de fijación de los pernos, (Bracket) los cuales es necesario conocer para dimensionar eficientemente los elementos de fijación. 9.1 Por efecto de la presión hidrostática. f1 =

g a H t Rt h0 A

= 0.56

t cm2

h0 = 60cm

9.2 Esfuerzo f 2 debido a la tensión en los pernos de anclaje.

La tensión en el anillo debida a la tensión de los pernos separados un ángulo q entre centro, se obtiene mediante una hipótesis conservadora según la cual: T1 Es máxima para q = 00 T2 = 0 Para q = 900

35

Entonces T1 = 19.82t ,

PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

T = T1 cos q = 19.82 x0.9989 = 17.70t

Momento debido a la excentricidad M e = T1e cosq = 19.82 x0.10 x cosq = 1.982 cos q La fuerza radial resistente en la parte superior e inferior del bracket es la siguiente: Q=

1.982 × cosq = 3.30 cosq 0.60

Qmax = 3.30t Correspondiente a q = 00 La magnitud de la fuerza resistente para un ángulo q = 2.686567 0 correspondiente a una separación d 0 = 25cm entre centro de los pernos, es la siguiente: Tr =

Qmax t cosq = 13.20 cosq m d0

(

)

(

)

Qmax cosq Rb Dq senq = 13.20 cosq Rb Dq senq d0 La fuerza radial resultante en la dirección x en el primer cuadrante es entonces la siguiente: DTr =

36 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez p 2

Tr = Qmax Rb ò cosq senq dq = 8.83t 0

p 2

yc =

Qmax × Rb 2 ò senq cos 2 q dq 0 p 2

= 3.56m

Qmax Rb ò cosq senq dq 0

El máximo esfuerzo en la sección del tanque correspondiente al anillo rigidizante es el siguiente:

Trx =

8.83x8.91 = 7.35t 10.70

T t f 2 = rx = 0.055 2 A cm

9.3 Esfuerzo por flexión f3 asumiendo que todos los pernos son sujetados a su máxima capacidad tensionante. æ1 1 ö æ1 1 ö M = Qmax Rb ç - senq ÷ = 17.655 ç - sen 2.6865 ÷ = 5.206mt èp 2 ø èp 2 ø 2 M 5.206 x10 t f3 = = = 1.64 2 S 316.87 cm

Finalmente, el esfuerzo total al que estará sometido el anillo de fijación de los pernos, es la superposición de los esfuerzos de tensión en el anillo rigidizante. 3

å fi = f

1

1

+ f 2 + f 3 = 2.25

t t f 1.55 2 2 cm cm

37 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Es necesario modificar las dimensiones del sistema de fijación tanque-pernos para aumentar la capacidad según la demanda de esfuerzos. Una posibilidad consiste en aumentar el brazo del elemento perimetral de fijación (Brackect) para disminuir el valor del par Q: Q=

Te 19.82 x10 = = 2.64t hb 75.0

h0 = 75cm

æ1 1 ö æ1 1 ö M = Qmax Rb ç - senq ÷ = 14.138 ç - sen2.6865 ÷ = 4.16mt èp 2 ø èp 2 ø

f3 =

M 4.16 x10 2 t = = 1.31 2 S 316.87 cm

3

å fi = f

1

1

+ f 2 + f 3 = 1.92

t t p 1.33 x1.55 = 2.06 2 2 cm cm

Filete de soldadura requerida para fijar el Bracket al cuerpo cilíndrico. 198.2 198.2 t M = 19.82 x10 = 198.20cmt f h = = 2.64t f v = = 1.49 2 75.0 132.46 cm

Empleando soldadura de 4.76mm la resistencia unitaria es: t t 0.0476 x0.7071x8.1818 = 2.75 f 2.64 cm cm

38 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

El problema puede refinarse considerando los efectos de interacción suelo estructura (ISE) para lo cual el sistema se modela mediante resortes elásticos y amortiguadores viscosos en sustitución de las propiedades dinámicas del suelo. La respuesta sísmica de una cimentación rígida se analiza fundamentalmente por el fenómeno de rotación del cimiento provocado por el momento de volteo sísmico de la superestructura. Durante al ocurrencia de un evento sísmico, se incrementan los esfuerzos de contacto del suelo con la estructura de cimentación, siendo necesario determinar el valor del modulo dinámico de rotación del suelo Kq para obtener el periodo de rotación Tq y los sobreesfuerzos inducido temporalmente en la amasa de suelo por la perturbación sísmica. Consideramos que el movimiento sísmico en el estrato superficial empujara la cimentación, originando una fuerza horizontal Q localizada en el centro de masa de la superestructura, tal a como se aprecia en la Fig. (7.7). El momento de vuelco debido a la fuerza de inercia para este caso puede expresarse como M v = m × wq

Donde wq

2

2

× dq

×h

(7.1)

es la frecuencia circular por la rotación del cimiento, dq es el desplazamiento

del centro de masa y q es la amplitud del ángulo de rotación provocado por el momento de volteo. M Definimos el modulo de rotación del cimiento como Kq = NZ (7.2) q

Fig. (7.7): Rotación del conjunto Tanque - Cimiento.

39 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Como el valor de q es muy pequeño podemos escribir: d 2 m × wq × dq × h = Kq × q (7.3) h m Tq = 2p × h × Kq (7.4) Es el periodo de rotación del cimiento y se determina conociendo el valor del modulo de rotación Kq el cual depende de las propiedades dinámicas de deformación de la masa del suelo.

Los esfuerzos verticales en la masa de suelo debidos a las cargas aplicadas en la superficie, se distribuyen según la teoría de Frölich (1942), el cálculo de los desplazamientos verticales de la superficie del suelo requiere del conocimiento de las propiedades esfuerzo – deformación – tiempo para los diferentes estratos del sub-suelo. Si llamamos a e a la deformación volumétrica de un estrato para determinado tiempo t y Ds ji al incremento medio de esfuerzo en un punto j para un estrato debido a la carga aplicada en un área tributaria ai el valor de la deformación del estrato Ds ji en el punto considerado será la suma de las deformaciones de todos los estratos. D ×d ji = a e × D ×s ji

40 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Fig. (7.9): Esfuerzo vertical en un punto de la masa de suelo por efecto de la carga aplicada. El valor de D ×s ji en cualquier punto de la masa de suelo se puede expresar en función de una carga unitaria qi , aplicada en un área tributaria ai , conociendo los valores de los coeficientes de influencia del suelo, mediante la siguiente notación matricial:

( ) T = ( I ji ) × a e

s ji = I ji × qi

(7.5)

d ji

(7.6)

I ji Es el coeficiente de influencia del suelo.

Para el caso de un área circular uniformemente cargada

41 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez 5 3 ì ü 2 æ ö2 é ù ï ï ç ÷ ê ú ï 2p a ï qrdq dr 3 ç 1 1 ÷ = q ï1 - ê ú ï I ji = ò ò (7.8) í ê 2 ÷ 2ú ý 2 ç y 2p æ ö æ ö R r 0 0 ï ï z ú ç 1+ ç ÷ ÷ ê ç ÷ ï ê1 - ç y ÷ ú ï y è è ø ø ïî ë è ø û ïþ Para el uso de las tablas de influencias de Fadum, definimos los radios vectores del centro geométrico de los segmentos en que ha sido dividida el área de contacto de la cimentación con los cuales quedan definidos todos los coeficientes de influencia de la matriz por existir simetría geométrica. Resumimos los valores de los coeficientes de influencia del suelo a las profundidades de 2.40, 1.80 y 1.320m bajo el estrato de cimentación de la zapata. Los valores de a e expresan las deformaciones para condiciones dinámicas elásticas unitarias del estrato de suelo, mide el cambio de espesor del estrato por efecto de la deformación unitaria El modulo dinámico elástico se define mediante la relación entre el esfuerzo cortante unitario y la distorsión angular d Dt m= ae = i Dg 3×m (7.9)

r/y

1

2

3

4

5

6

r/8 r/6 r/4

0.1026 0.0400 0.0080

0.032 0.0098 0.0018

0.008 0.0022 0.00028

0.0022 0.0003 0.000045

0.0008 0.0002 0.00002

0.00028 0 0

ae 0.050 0.025 0.025

Matriz de influencia del suelo para el punto considerado.

0 0 0 0ö æ 0.008 0.002 ÷ æ I ö = ç 0.040 0.010 0.0022 0 0 0÷ ç ji ÷ ç è ø ç ÷ è 0.1026 0.032 0.008 0.002 0 0 ø La columna de los desplazamientos verticales d ji se obtiene mediante la ecuación (7.6).

(I p)

T

× a e = d ji

42 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Fig. (7.10): Esquema para el cálculo de los coeficientes de influencia del suelo. La columna de los desplazamientos verticales d ji se obtiene mediante la ecuación (7.6).

(I p)

T

× a e = d ji

(I p)

T

ae

d ji

3.965 x10-3 1.150 x10-3 T 0 0 0 0 ö 0.050 æ 0.008 0.002 2.550 x10-4 ç ÷ × = 0.040 0.010 0.0022 0 0 0 0.025 -5 ç ÷ ç 0.1026 0.032 0.008 0.002 0 0 ÷ 0.025 5.000 x10 è ø 0 0

43 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

La ecuación matricial de deformaciones sísmicas EMAS del Dr Leonardo Zeevaert (1973), es la siguiente:

d ji

T

× D × qi = d i

(7.10)

d ji

T

× 10

-4

d1 0 0 ö Dq1 æ 3.96 1.15 0.255 0.05 ç ÷ Dq d2 0 ÷ 2 ç 1.15 3.96 1.15 0.255 0.05 ç 0.255 1.15 3.96 1.15 0.255 0.05 ÷ Dq3 d = 3 ç ÷ -d 3 ç 0.05 0.255 1.15 3.96 1.15 0.255 ÷ -Dq3 ç 0 ÷ -d 2 0.05 0.255 1.15 3.96 1.15 -Dq2 çç ÷÷ -d 1 0 0.05 0.255 1.15 3.96 ø -Dq1 è 0 Dividiendo por q y reduciendo EMAS por tratarse de rotación simétrica tenemos: Dq1 æ 3.96 1.15 0.205 ö q 7.50 ç ÷ Dq 2 ç 1.15 3.91 0.895 ÷ = 4.50 ç ÷ q ç 0.205 0.895 2.810 ÷ 1.50 è ø Dq 3 q

Resolviendo el sistema

æ 3.96 1.15 0.205 ö ç 1.15 3.91 0.895 ÷ ç ÷ è 0.205 0.895 2.81 ø

Dqi q

-1

æ 7.5 ö × ç 4.5 ÷ ç ÷ è 1.5 ø

æ 1.709 ö ç = 0.598 ÷ ç ÷ è 0.219 ø

æ 3.96 1.15 0.205 ö æ 1.709 ö ç 1.15 3.91 0.895 ÷ × ç 0.598 ÷ ç ÷ç ÷ è 0.205 0.895 2.81 ø è 0.219 ø

æ 7.5 ö ç = 4.5 ÷ ç ÷ è 1.501 ø

Dq1 = 1.709 ×104 q

Dq2 = 0.598 ×104 q

Dq3 = 0.219 ×104 q

El valor del modulo de cimentación por rotación de la base, queda determinado del siguiente modo:

44 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

n Dqi mt Kq = a × å × xi = 3 × 84.66 (1.709 × 7.50 + 0.598 × 4.5 + 0.219 ×1.50 ) = 4.02 ×107 rad i =1 q

d1 = -d1 d 2 = -d 2

d 3 = -d 3

d i = q × xi El periodo de rotación del cimiento es entonces el siguiente: Tq = 2p × hcm × hcm =

35.7 ×12.25 + 756.0 × 9.70 = 9.81m 791.70

Kq = 4.02 ×106

mt rad

4142 t × seg 2 m= = 422.653 9.80 m

Tq = 2 ×p × 9.81×

422.653 = 0.20seg 4.02 ×107

El periodo acoplado de la superestructura y el cimiento es el siguiente: T0 = T 2n + T 2q = 0.262 + 0.202 = 0.33seg T0 = 0.33seg

m Kq

45 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Fig. (7.11): Rotación simétrica del cimiento.

d 1 = -d 1

d 2 = -d 2 d 3 = -d 3

d i = q × xi

46 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

T0 p 0.50 seg ® c = 0.42 No se modifican las aceleraciones espectrales debido al giro del cimiento, no obstante es necesario determinar el estado de esfuerzos de contacto suelo zapata, debidos al momento de vuelco y al giro del cimiento inducidos por las perturbaciones sísmicas del terreno, lo que significa que los efectos de interacción suelo estructura para estas condiciones no permiten reducciones a las ordenadas espectrales de aceleración. El momento de volteo es M NZ = 8928mt Y el giro del cimiento q =

M NZ Kq

=

8928 = 2.22 ×10-4 rad 7 4.02 ×10

Finalmente el máximo esfuerzo inducido en el suelo debido al giro del cimiento es el siguiente: t qq = 1.709 ×104 × 2.22 ×10-4 = 3.79 2 Representa el 11.615% respecto al máximo esfuerzo m obtenido para la condición gravitacional y de volteo sin rotación del estrato. t qad = 30.0 2 m

t 1.33 × qad = 39.9 2 m t t qs + qq = 32.63 + 3.79 = 36.42 2 p 39.90 2 m m

47 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez EJEMPLO DE UN OSCILADOR SIMPLE CON UN GRADO DE LIBERTAD TANQUE SOBRE TORRE:

Los tanques para reservorios sustentados sobre torres, son sistemas estructurales asimilables a los péndulos invertidos, y tienen frecuente demanda en instalaciones industriales de diversas índoles tales como ingenios azucareros, plantas destiladoras, sistemas de abastecimiento de agua potable etc. Estas estructuras Fig. (8.1), se caracterizan por poseer una masa concentrada M en el nivel superior, cuyo valor es considerablemente mayor que el valor de la masa distribuida m a lo alto de la estructura de sustentación, y tienen en común los siguientes aspectos: a) La mayor parte la masa esta concentrada en el nivel superior b) Son susceptibles a colapsar por la formación de rotulas plásticas c) Las cargas gravitacionales disminuyen la capacidad para soportar cargas laterales. d) La estructura del tanque y la torre, se modelan como un oscilador elástico simple con un grado de libertad en traslación requiriéndose conocer la masa y la rigidez lateral elástica del sistema masa resorte para determinar el periodo fundamental de vibración del oscilador simple. e) Los efectos hidrodinámicos El enfoque analítico para el diseño sísmico de tanques sobre torres, se refiere fundamentalmente a la estabilidad contra el volteo, y al diseño seguro de la cimentación. para lo cual es necesario conocer las condiciones del sitio y las propiedades dinámicas del sistema de sustentación del tanque. El conjunto tanque-torre se modela como un oscilador simple masa-resorte, al que inicialmente asociamos un grado de libertad en traslación simple, mientras no se consideren los efectos hidrodinámicos impulsivos y convectivos. En el diseño sísmico de tanques sobre torres deberá preverse el pandeo local en la base del cilindro, la elongación de los miembros diagonales del nivel superior, el desplazamiento de la cimentación, fallas en las conexiones especialmente de los pernos de anclaje. Consideremos el tanque de 189m3 mostrado en la Figura 1.6, el cual será diseñado sobre una torre de 16.0m de altura en la ciudad de Managua, considerando las acciones sísmicas del sitio las que asumimos actúan concentradas en el C.G del cuerpo del tanque, mientras no se hagan consideraciones hidrodinámicas. El sitio donde será emplazada la obra presenta condiciones estratigráficas correspondientes a suelos moderadamente blandos con 180≤ Vs ≤ 360 m/seg. p × D2 El volumen del tanque es: × h = 189.0m3 4 El tanque más económico se obtiene haciendo el diámetro igual a la altura D = h

h = 3 241 = 6.22m

48 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Fig. 1.6: Geometría y solicitaciones del tanque sobre torre. Como criterio de diseño asumimos que las diagonales D-1 únicamente funcionan a tensión, por lo que el sistema es isostático. Inicialmente se proponen las siguientes piezas para los miembros de A-36 de la torre: Miembro Columnas C1

Vigas V1

Diagonales D1

Descripción No 1 al 8 13 14 15 9 10 11 12

A

L

L/AE

Cajas 12”x12”x3/8”

18 in²

4.00m (157.44”)

8.74/E

Cajas de 6”x7”x1/4”

6.5 in²

2∟ de 3”x3”x1/4”

3.0 in²

6.72m (264.43”) 7.12m (280.24”) 7.52m (295.98”) 7.60m (299.13”) 8.00m (314.88”) 8.40m(330.62”) 8.80m(346.36”)

40.68/E 43.11/E 45.53/E 99.71/E 104.96/E 110.20/E 115.45/E

La inclinación α de la diagonal respecto al plano horizontal, despreciando la inclinación de las columnas, es la siguiente:

49 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

æ 6.22 ö 0 a = a tan ç ÷ = 57.25 è 4.00 ø sen ( 57.250 ) = 0.841 cos ( 57.250 ) = 0.541

Por equilibrio estático: D1 =

1 1 = = 1.189 sena 0.841

C1 = 1.189 cos (a ) = 0.643 V1 = 1.0 T1 = C1 = 0.643 D2 = 1.189

C2 = C1 + D2 cos (a ) = T2 = 1.286 V2 = 1.0 D3 = 1.189 V3 = 1.0

C3 = C2 + D3 cos (a ) = T3 = 1.929 C4 = 2.57 D4 = 1.189

El valor de f 0 correspondiente al par flexionante, se calcula del siguiente modo: f0 =

1 × 6.7 × 0.5 6.22

50 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Fig. 1.7: Acciones sísmicas en la estructura isostática. MIEMBRO N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1.181 1.824 2.467 3.108 -0.538 -1.181 -1.824 -2.467 -1.189 -1.189 -1.189 -1.189 1.000 1.000 1.000

L

N ×L

A× E 8.74/E 8.74/E 8.74/E 8.74/E 8.74/E 8.74/E 8.74/E 8.74/E 99.71/E 104.96/E 110.20/E 115.45/E 40.68/E 43.11/E 45.53/E

A× E 10.32/E 15.94/E 21.56/E 27.16/E -4.70/E -10.32/E -15.94/E -21.56/E -118.55/E -124.79/E -131.02/E -137.27/E 40.68/E 43.11/E 45.53/E fij =

N i N j Ds A× E

æ N ×L ö N ×ç ÷ è A×E ø

12.20/E 29.08/E 53.19/E 84.42/E 2.52/E 12.20/E 29.10/E 53.10/E 140.95/E 148.37/E 155.78/E 163.21/E 40.68/E 43.11/E 45.53/E =

1013.44 in = 3.495 ×10-5 E lb

E = 2.9 ×107 psi

Con la información disponible podemos calcular la flexibilidad de la estructura de sustentación del tanque, empleando el teorema de Castigliano para armaduras:

51 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

f ij =

Ni N j Ds A× E

El valor de la flexibilidad para las dos armaduras en cada dirección es el siguiente: fij =

Ni N j Ds A× E

=

1013.44 in = 3.495 ×10-5 E lb

La flexibilidad para una armadura es entonces la siguiente: in 0.5 × fij = 1.748 ×10-5 lb La rigidez lateral correspondiente a cada armadura es: K=

k t 1 1 = = 57.21 = 10.238 -5 in cm D 1.748 ×10

La masa gravitacional del tanque lleno con la torre es la siguiente: 1. Peso del agua = 189t 2. Peso del tanque y las armaduras de soporte = 50000glx0.8lb/gl = 18.18t 3. Peso total W=207.18t 4. W tseg 2 = 0.211 5. m = g cm El periodo de vibración natural de la estructura del tipo péndulo invertido es entonces el siguiente:

T1 = 2 ×p ×

m 0.211 = 2 ×p = 0.902seg k 10.238

La clasificación sísmica del sistema estructural conforme al RNC 1983 es la siguiente: Coeficiente sísmico último: De Tabla 14 del RNC 1983. ìGrupo2 ü ïTipo7 ï ï ï í ý ® cu = 0.452 ïGradoC ï ïî Zona6 ïþ

52 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Fig. 1.9: Espectro de aceleraciones del RNC 1983. Según dicho espectro para suelos blandos, el valor de la aceleración espectral es el siguiente: 0.5

æ 0.8 ö ü (T1 ) = ç T1>0.5seg ÷ = 0.941 è T1 ø La fuerza sísmica elástica Q inducida por la aceleración del terreno es la siguiente: Q = 0.941 × 0.452 × 0.71 × 207.18 = 62.679t

A cada armadura le corresponde el 50% de esta fuerza, o sea: Qt = 0.5 × 62.679t = 31.395t / armadura Para obtener las fuerzas en cada uno de los miembros de las armaduras, basta multiplicar el valor Qt por el valor de N correspondiente a cada una.

53 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Fig. 1.10: Fuerzas debidas a las acciones sísmicas en las armaduras El desplazamiento en el nivel superior del tanque es: D=

Q 31.34 = = 3.06cm K 10.238

h D perm = cm = 4.03cm f 3.06cm 480

Con el Reglamento Nacional de la Construcción 2007 obtenemos los resultados siguientes

54 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Tb T1

=

0.60 = 0.666 0.90

c=

S ( 2.7 a0 ) æ Tb ö S × ( 2.7 x0.31) × 0.666 = 0.28 × S ç ÷= Q ' W è T1 ø 1.0 x 2.0

A partir de la información disponible de las propiedades geo-eléctricas del lugar serán determinadas las propiedades dinámicas del sitio empleando las técnicas de Nakamura.

En la tabla se observan resultados después de aplicar el método de Nakamura para analizar los conjuntos de datos obtenidos para cada punto de medición del ruido sísmico cultural en ambos sitios estudiados, el ruido cultural es medido con sismógrafo portátil de tres componentes (NS, EO y Z), se efectúa análisis de Fourier (Método Nakamura) utilizando el programa SPEC, mediante el cual se calcula el espectro correspondientes para cada medición del punto analizado y luego efectúa un promedio del total para cada componente y por ultimo calcula el cociente entre las componentes Horizontales y Verticales æ NS EO ö y ç ÷ , lo cual genera datos de amplificaciones del suelo y genera frecuencias Z ø è Z naturales del mismo en forma de gráficos logarítmicos.

Tg = 0.20seg

b = 0.05 S = 1.42

c=

S ( 2.7 a0 ) æ Tb ö 1.5 × ( 2.7 x0.31) × 0.666 = 0.42 ç ÷= 1.0 x 2.0 Q ' W è T1 ø

Resultados obtenidos mediante el uso del RNC-2007

55 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Los componentes impulsivos y convectivo del movimiento del líquido poseen sus propios periodos de vibración por separado, como si se tratara de un sistema con dos grados de libertad en traslación. La respuesta total se obtiene combinando las respuestas asociadas con los dos periodos mediante el recurso SRSS. El problema puede afinarse considerando los efectos impulsivos y convectivos por la vibración del líquido, determinando los correspondientes periodos de vibración para cada una de las masas. Para obtener la masa impulsiva y convectiva haremos uso de las expresiones de Housner

Mi =

3.11 2 6.70 × M = 0.834 × M = 0.1759 tseg 3.11 cm 1.7 × 6.70

tanh1.7 ×

56 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Mc =

3.11 2 6.7 × M = 0.581 × M = 0.1225 tseg 3.11 cm 1.8 × 6.7

0.71 × tanh1.8 ×

H i = 0.38 × 6.70 = 2.546m a = 00 Por no considerarse los efectos hidrodinámicos del fondo del tanque.

H c = 6.7 [1 - 0.21 ×1.72 × 0.2154] = 6.18m Ti = 2p

0.1759 = 0.823seg 10.238

æ Tb ö 0.60 = 0.73 çç ÷÷ = T 0.823 è iø

Ai = 0.73 × 0.42 × 9.80 = 3.00

Tc = 2p

0.1225 = 0.687 seg 10.238

æ Tb ö 0.60 = 0.87 ç ÷= è Tc ø 0.687

Ac = 0.87 × 0.42 × 9.80 = 3.58

Periodo acoplado T = T12 + T0 2 = 0.6862 + 0.8232 = 1.07 seg Configuración para los desplazamientos espectrales para las masas impulsivas y A (T ) convectivas M c y M i : xn = n 2 n w rad 3.00 w i 2 = 58.235 xi = = 5.14cm 2 seg 58.285 rad 3.58 w c 2 = 83.646 xc = = 4.28cm 2 seg 83.646 Vector de desplazamientos modales:

zi 0.83 1.00 = ® zc 1.00 0.83 Primer modo de vibración: Qi = 1.00 × 0.1759 × 300.00 = 52.77t

Segundo modo de vibración: Qc = 0.83 × 0.1225 × 358.0 = 36.40t

QT = 52.77 2 + 36.402 = 64.10t

m seg 2 m seg 2

57 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Otro recurso para determinar las cortantes basales es mediante el uso de las velocidades medias espectrales. Para el primer modo de vibración la cortante basal es la siguiente: T ×V (T ) æ 1 + zi ö Q1 = i i ×z ×K çç 2 ÷ ÷ n 2p 1 + z i ø è

Para los valores de los periodos inductivos y conectivos, la velocidad espectral medias es: cm v = 50 seg La cortante basal espectral considerando los efectos hidrodinámicos del líquido es la siguiente: Q1 =

0.687 × 45 æ 1.83 ö ç ÷ ×1.0 ×10.238 = 54.58t 2p è 1.6889 ø

58 PROBLEMAS DE SISMORRESISTENCIA Autor: Profesor Ingeniero Gilberto Lacayo Bermúdez

Q2 =

0.823 × 30 æ 1.83 ö ç ÷ × 0.83 ×10.238 = 36.18t 2p è 1.6889 ø

QT = 54.582 + 36.182 = 65.48t

El momento de volteo considerando los efectos hidrodinámicos del líquido se obtiene directamente: ycm =

52.77 × 2.54 + 6.18 × 36.40 = 4.025m 89.17

H + ycm = 20.025m

QT = 52.77 2 + 36.402 = 64.10t

M v = 20.0 × 64.0 = 1280mt