Diplops Virtual Estadística Semana 3

 

“ESTADÍSTICA” Diplomatura de Estudio Gestión de Operac Operaciones iones Virtual Prof. Juan Narro Lavi

 

Sem Se m ana 3

 

Tema: Probabilidad

 

La a “ L

probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas  rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un  accidente” 

 

1 •

 Probabilidad   Probabilida d 

Cierto

  Es la medida numérica numéric a de la pos posibi ibi lid ad de que un evento pueda ocurrir. .5

0 ≤ P(A) ≤ 1 Para Para cu cual alqu quie ierr even evento to A

0

Imposible

 

•

 Experimento estadístico  Proceso  Proc eso que ge genera nera un con jun junto to de da datos tos  Cada uno ti ene varios resul tados pos ibl es  Inseguridad del resultado •

 Probabilidad   Probabilida d 

•

•

 Puede ser repetid repetid o en en las mism as condi cio ciones nes  Espacio Muestral   Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico (Ω). •

•

•

•

 Punto muestral  Cada elemento del espacio muestral  Evento o Suceso  Subconjunto de un espacio muestral •

•

•

 

Ejemplo:  Probabilidad   Probabilida d  Se lanzan dos dados. El espacio muestral de este experimento es:

Ω= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

 

Podemos co nsiderar los sig uientes Podemos uientes suc esos:  A: l a su m a de de p pu u n t ajes aj es es 7 7,, es d ec ecir  ir   A  A={ ={(1,6) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (2,5) (1,6)} B: l a suma de pu puntajes ntajes es 1 11, 1, es decir  B={(5,6) (6,5)} C: la sum a de pun puntajes tajes es 7 u 11 11,, e es s deci r  C={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (2,5) (1,6) (5,6) (6,5)}

 Probabilidad   Probabilida d 

 

Experimento

Es Experimentos pacio Muestral y Eventos

Lanzar una moneda

Cara, Sello.

Lanzar dos monedas Sacar una carta (valor) Sacar una carta (color) Lanzar un dado. Jugar un partido

CC, CS, SC, SS 2 , 2 , ..., A (52) Roja, Negra 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ganar, Empatar, Perder Defectuoso, Bueno

Inspeccionar una parte

 

Complemento

Complemento de A Evento A

Espacio Muestral

Ac

 

 No Mutuamente Mutuamente Excluyentes

(A U B)

Evento A

Espacio Muestral

 

(A ∩ B)

Evento B

 

 Mutuamente Excluyentes

Evento A

Evento B (A∩B=ø)

Espacio Muestral

 

 Definiciones de de Probabilidad  Probabilidad  •

 Probabil idad Clásica Clásica u Objetiv Objetiv a  Caract  Cara cterí erísti sti cas físic físicas as de dell objeto estudi ado  Con n(Ω) resultados posibles y mutuamente excluyentes  A Priori •

•

•

          =

..        ..        

(   )) =

(   )) ()

 

 

 

 Definiciones de de Probabilidad  Probabilidad  •

 ¿Si llanz  ¿Si anzamos amos 2 dados, cu cuál ál es la prob probabili abilidad dad de obtener un pun puntaje taje de 7 7? ?

Prob =

 Númer  Núm ero o de Resultados Favorables  Núm  Nú mero ero de Resultados Posibles

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 6

2

 

=

6 36

=

0.1667

 

 Definiciones de de Probabilidad  Probabilidad  •

¿Cuál es la pro ¿Cuál probabi babilidad lidad d de e sacar un as al sac sacar ar un naipe de una baraja?

Prob =

 Númer  Núm ero o de Resultados Favorables  Núm  Nú mero ero de Resultados Posibles

As de Corazones, As de Tréboles, As de Diamantes, As de Espadas  52 Nai  Naipes pes

=

4 1 = = 0.0769 52 13

 

•

 Frecuencia relativ relativ a de ocu rrenci rrencia a  Definiciones de Probabilidad  de Probabilidad    Repetición Repetición de suceso, mismas condic iones.  Empírica •

•

.     ó ó                    = . ..      ( ) =

( ) 

 

Se efectuó un estudio de 751 graduados en administración de empresas en la Universidad de Lima. Reveló que 383 de los 751 no estaban empleados según su área de estudio, por ejemplo un contador es ahora gerente de ventas de una empresa procesador procesadora a de tomates. ¿Cuál es la probabilidad que un graduado de administrac administración ión esté empleado en un área diferente a su carrera?

P(A) = 383/751=0.5099  

 Definiciones de de Probabilidad  Probabilidad  •

 Probabilidad subjetiva  Creencia personal, grado de confi anz anza a re respecto specto a la ocu ocurrenci rrencia a de un evento  Personalist  Persona list a •

•

•

 Ejemplos   Estima stimarr la po posib sibil ilid ida ad qu que e la sele selecci cción ón de Futbo utboll de dell Perú clasifiq clasi fiq ue al al mu ndi ndial al de Rusi Rusia a 201 2018. 8.  Esti mar la posibi pos ibilid lid ad de que ust ed obtenga una calific ación de 2 20 0 en este este curs o. •

•

 

1. 0  ≤ P(A)  ≤ 1 2. P(A) P(A) + P(A’)=1

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

 Ad  A dición 3. P(A o B) B)= =P(A) + P(B), B), pa para ra eve ventos ntos mutua mutuame mente nte excluyentes. 4. P(A o B)= B)=P(A)+ A)+P(B)B)-P(A y B), B), para para eve ventos ntos no mut uamente excluy entes (Conjun (Conjunta) ta).. Multiplicación 5. P(A P(A y B)=P( B)=P(A) A) * P( P(B), B), para e event ventos os independ i ndependient ientes es 6. P(A y B )= P(A ) * P(B /A ), independientes (Condicional).

p ar a

ev en t o s

no

 

•

  Una máquina automática llena bolsas de plástico con  Reglasy Básicas Básica s de Probabilidad  Probabili una mezcla de frijoles, brócolis otras legumbres. La dad  mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a las ligeras variaciones en el tamaño de los frijole frij oles s y de la las s otr otra as le legum gumbre bres, s, un paque paquete te puede puede t en en e err u n p e es s o l iig ge err a am m en en te te m a ay yo orr o m e en n or o r. Un a verificación anterior de muchos p aquetes aquetes indic ó:

Peso Con peso menor

Satisfactorio Con peso Con peso mayor

Nro. de Paquetes 100

3600 300

Total

4000

 

•

•

•

 ¿Cuál es la probabilidad que una bolsa seleccionada al azar tenga un peso peso me menor nor a all correcto?

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

 ¿Cual es la probabilidad que una bolsa seleccionada al azar tenga un peso menor al correcto o satisfactorio?  ¿Cuál es la probabilidad una bolsa seleccionada al azar tenga peso menor o peso mayorque al correcto?  Ap li c amo amos s l a reg regla la p para ara ev event entos os mu tu amen amentt e exc exclu lu yen yentes tes :

P(peso  correcto) = 4000 100 = 0.025 100 3600 + = 0.025 + 0.90 = 0.925 P(peso menor o correcto) = 4000 4000 P(peso menor o mayor) = 100

+

300

=

0.025 + 0.075 = 0.10

4000

4000

 

•

•

  Cómo parte de un programa de servicio a la saludSe para los empleados se efectúan anualmente exámenes físicos de rutina. encontró que 8% de de su losempresa, empleados necesitaban zapatos correctivos, 15%, trabajos dentales importantes, y 3% necesitaban tanto zapatos zapatos cor rectivos c omo tr abajo de dental ntal mayor.

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

  ¿C ¿Cuál uál es la probabilidad de que un emple empleado ado seleccionado seleccionado al aza azarr nece necesite site o za zapatos patos correctivos o trabajo dental mayor?

 

¿Quéeventos estamos tratando? No mutuamente excluyentes Definamos: Zapatos Correctivos= ZC, y Trabajos Dentales = TD

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

P (ZC)=0.08 P (TD)= 0.15 P (ZC & TD) = 0.03

P(ZC o TD) = P( ZC ) + P  (TD) − P ( ZCyTD ) P(ZC o TD) = 0.08 + 0.15 − 0.03 P(ZC o TD) = 0.20

 

•

•

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

  Debido a su larga larga expe xperie riencia ncia FIRESTONE sa sabe be que la probabilidad probabil idad de que su neumá neumático tico CAD ADE ENZA dure 80,0 0,000 kiló metros antes d de e perder el dibuj o o f allar es 0 0.8 .80. 0.   Si compramos cuatro neumáticos, ¿cuál es la probabilidad que estos duren d uren al menos 80,0 80,000 00 kiló metros?

 

¿Qué eve ¿Qué eventos ntos estamos tr atando? Independientes

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

Definamos: Ni = Neumático # i

P( Ni  80,000) = 0.80 P( N1 & N2 & N3 & N4) = (0.8)(0.8)(0.8)(0.8) P(

1

&

2

&

3

&

 N  N  N  N

4

) = 0.4096

 

•

  De nuestro s datos d e la máquina automática empacadora sa sabemos bemos que:

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

Peso

•

Probabilidad

Con peso menor

0.025

Satisfactorio

0.900

  ¿Cuál e es s la prob abil abilidad idad de selecc seleccion ion ar, el día de hoy, tr tres es paquetes Con Co nypeso pe so de la línea línea de e empaque mpaque encont rar que a los0.075 ttres res les falta peso? mayor Total

1.000

 

¿D ¿De e igual manera debemos identific ar el tipo de eventos estamos analiza analizando? ndo? Se trata de eventos Independientes.

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

Definiendo Bi = Bolsa # con peso menor 

P( B con pes  peso o menor) = 0.025 i

P( B & B & B ) = (0.025)(0.025)(0.025) P( B & B & B ) = 0.0000156 1

2

3

1

2

3

 

•

 Sabemos que en una caja de papel aluminio , hay 10 rollos y que por esta estadística dística tres son defectuosos en su envoltu ra. En un m uestre uestreo o d e control, se seleccionó un a ca caja ja de un lote, y se van a seleccionar do dos s roll os, uno después del otro .

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

•

  ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un rollo defectuoso

•

seguido de otro tambié también n defectuoso?  Y ¿cuál es la probabilidad que los tres primeros rollos sean defectuosos?

 

¿De igual manera debemos identificar el tipo de eventos estamos analizando?

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

Se trata de eventos No Independientes. Definiendo:  A = Primer rol lo defectuoso

B = Segundo rollo defectuoso

C = Tercer rollo defectuoso

P(A y B) = P( A) * P( B /  A)

( )( )

2 = 0.0667 P(A y B) = 3 10 9 P(A y By C) = P( A) * P( B /  A) * P(C / B ) P(A y By C) = 3

2

1

=

0.0083

( 10)( 9 )( 8 )  

Tabla de Contingenc Contingencia ia Evento Evento

B1

A1

P(A1 y B1)

A

P(A y B )

2

Total Probabilidad Conjunta

2

1

P(B1)

B2 P(A1 y B2) P(A y B ) 2

2

P(B2)

Total P(A1)

P(A ) 2

1

Probabilidad Marginal (Simple)

 

Tabla de Contingenc Contingencia ia ¿Cuál es la Probabilidad? P (A) = P (D) =

  Evento  

Evento C  D 

Total  

 A

4

2

6

P (C y B) =

B

1

3

4

P (A o D) = P (B y D) =

Total Tot al

5

5

10

 

Tabla de Contingenc Contingencia ia

Las probabilidades son: P (A) = 6/10

 

P (D) = 5/10 P (C y B) = 1/10

Evento  

Evento C 

D 

Total  

 A

4

2

6

P (A o D) = 9/10

B

1

3

4

P (B y D) = 3/10

Tot al

5

5

10

 

•

  Una e encuesta ncuesta aplica aplicada da a eje ejecutivos cutivos se enfocó s obre su lea lealtad ltad a la empresa. Una Una de las pregun tas pl antea anteadas das fu e  “¿si otra empresa le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor a la de su puesto actua ctual, l, pe perma rmane nece cerí ría a ud. con la empre mpresa sa o se   cambiaría?”   La respuesta de los 200 ejecutivos se clasificaron en forma cruzada

 Reglas Básicas Básicas de Probabilidad  Probabilidad 

con su tiempo servicio, según la un tabla siguiente. la probabilidad dede seleccionar al azar ejecutivo que ¿Cuál es leales a la empresa (se quedaría) y que tiene más de 10 años de servicio?

Tiem iempo po de servicio servicio Menos de 1 año

1–5 años

6 – 10 años

Más de 10 años

Total

Se quedaría

10

30

5

75

120

No se quedaría

25

15

10

30

80

Lealtad

200  

Probabilidades Marginales

Probabilidade s Condicionales < 1 año

Se quedaría (120/200)

(10/120) 1-5 años (30/120)

 Diagrama de Árbol  Probabilidades Conjuntas (120/200) (10/120)=0.05 (120/200) (30/120)=0.15

6-10 años (5/120)

(120/200) (5/120)=0.025

> 10 años (75/120)

(120/200) (75/120)=0.375

1.00

No se quedaría (80/200)

< 1 año (25/80)

(80/200) (25/80)=0.125

1-5 años (15/80)

(80/200) (15/80)=0.075

6-10 años (10/80)

(80/200) (10/80)=0.05

> 10 años (30/80)

(80/200) (30/80)=0.15

 

 Independencia Estadística •

 Dos eventos A y B son iindependientes ndependientes si y sol o si se cumpl e: •

•

•

 P(A y B)=P(A) * P(B), o  P(B/A)= P(B)

 Esto significa que el conocimiento de la ocurrencia de un evento no tiene valor valor pr edicti vo para la ocurrencia ocurrenc ia de otr otro o evento evento..

 

 Independencia Estadística ¿Cuál es la probabilidad? P (A|D) = P (C|B) = ¿Son A y D, C y B independientes?

  Evento  

Evento C 

D 

Total  

 A

4

2

6

B

1

3

4

Total

5

5

10

 

 Independencia Estadística 2  

P(A | D) =

Evento

Evento  

C 

D 

Total  

B

1

3

4

Total Tot al

5

5

10

 A

4

2

6

P(C | B) =

P(A y D) P(D)

10 = 2 5 5 10 1 P(C y B) 10 1 = = P(B)

P(C) =

5 10



=

4 4 10 1 6 2    P(A) = 4 10 5

 

Teorema de Bayes •

 Sigl o X XVI VIII II,, min minist ist ro presbi teriano ingl és se preguntó : ¿Exis ¿Exis te D Dios ios realmente? realmente?

•

•

  Laplace le dio el nombr no mbre e.   Método todo pa para ra revisa revisarr pro proba babil bilida idade des s con base base en infor mación nueva o adici adici onal. •

•

  Una probabilidad A priori indica la probabilidad evaluada eva luada a antes ntes de contar con nu eva inf ormación. orm ación.   La proba probabil bilida idad d re revisa visada da o post poste erio riori ri se ha halla lla luego de incorpor ar la información nu eva.

P( B i  A) =

  

P( A

B i ) P( B i )

P( A  B1) P( B 1) + P( A

B 2) P( B 2)+.+ P( A B k ) P( B k )

 

Teorema de Bayes

Posibilidades a priori

Información Nueva

Teorema de Bayes

P ( B |  A) = P ( AyB) P ( A)

Posibilidades posteriores

 

Teorema de Bayes •

•

  En un pueblo ale alejado, jado, 5% % dicho de la població padece una enfermeda enfe rmedad d origin aria 5 de lugar lugar.. A npriori podemos afirmar que la pro probabili babili dad de que una pe perso rsona na sele seleccio ccio nada al azar azar p padezca adezca la enfermedad es 0.05, 0.05, y d de e que n no o la padezca pad ezca es 0.95.   enfermedad. Existe una prueba de diagnóstic diagnó stic o para dete detectar ctar la •

•

  Si una person persona a tiene la e enfermedad, nfermedad, la prueba sale posi tiva en 90% de los casos.   La estadístic a muestr muestra a además que en 1 15% 5% de los caso s, a pesar pesar salió d elió que la perso persona na no padecía la enfermedad, la prueba sa positiva.

•

  Si e escog scog emos a una persona, person a, y al hacerle la pru eba de diagnóstic diagnó stic o, é ésta sta sale pos itiv a, ¿Cuál ¿Cuál es la pro probabili babili dad de que la perso na tenga realmente la enfermedad?

 

P(P|E)

P(EyP)=0.05x0.90=0.0450

P(E) P(EyN)=0.05x0.10=0.0050 P(N|E)

0.1875

P(P|E’) P(E’yP)=0.95x0.15=0.1425

P(E’)

P(N|E’)

P( E ) P( P |  E )

0.0450 + 0.1425

P(E’y N)=0.95x0.85=0.8075 N)=0.95x0.85=0.8075

P( EyP)

0.0450

P( E  | P)

 

P( E ) P( P | E ) + P( E ' ) P( P |  E ' )

P( P )

0.1875

0.24

 

Teorema de Bayes

•

 Una manufacturera recibe embarques de piezas de dos proveedores. El 65% de las piezas adquiridas provienen del proveedor 1 y el 35% restante del proveedor 2. Según la estadística existente, de las 100 últimas piezas recibidas del proveedor 1, 98 estuvieron buenas y 2 estuvie stuvieron ron mala malas. s. En el caso caso del del provee proveedor 2, 95 piez piezas de 100 estuvieron buenas y 5 fueron malas. Suponga que una de las piezas recibidas de dos está laaprobabilidad que qu e prov pr ove enga nglos a del de l proveedores prove pr ovee edo dorr 1? ¿Cmala, uá uáll e¿cuál s la es pr prob oba bili bilida dad d qu que e provenga pro venga del del pro vee veedor dor 2?

 

P(1yB)=0.65x0.98=0.6370

P(B|1)

P(1) P(1yM)=0.65x0.02=0.0130 P(M|1)

P(B|2) P(2yB)=0.35x0.95=0.3325

0.0130 + 0.0175 0.0305

P(2)

P(M|2)   ) P(1 | M ) = P(1 yM 

=

0.0130

=

0.4262

P(2yM)=0.35x0.05=0.0175

) P(2 | M ) = P(2 yM   

=

0.0175 = 0.5738

P( M )

0.0305

P ( M )

0.0305

 

Pr Pr.. Margin Marginal al Pr Pr.. Condic Condicional ional Pr Pr.. Conjunt Conjunta a Ev e n to

P(Ev e n t o )

Proveedor 1

0,02

0,0130

0, 35

0,05

0,0175 0,0305

P(1|M)

0,4262

P(2|M)

0,5738

P(1 | M    )=

P(Ma l a a||Ev e n t o ) P(Ev e n to ,Ma l a) a)

0, 65

Proveedor 2

P(1 yM ) P( M )

Tabla de Excel 

P(2 | M    )=

P(1yMala) P(2yMala) P(Mala)

P( 2 yM ) P ( M )

 

Teorema de Bayes

•

•

 En una fábrica fábric a existe exist e una máquina que produc e automátic ame amente nte engranajes. engranaje s. Si la máqui máqui na está está correctamente co rrectamente calibr ada pro produc ducirá irá 90% 90 % de piezas piezas b uenas. Si Si está est á mal calib calibrada rada produ producir cir á sólo 40 40% % de piezas buenas. La experiencia pasada indica que el 70% de los trabajos traba jos de calibración calibración dan buenos resultados. Luego de un t rabajo rabajo de mantenimiento , la máquina produce prod uce 3 engranajes engranajes buenos , como las primeras pri meras tres piezas. piezas.   Se desea con ocer la prob probabilid abilid ad revis revis ada que la ca calib lib ración halla sido buena? buena?

 

Tabla de Excel 

Pr. Pr. M Marg arginal inal Pr. Pr. C Condic ondicional ional Pr. Pr. C Condic ondicional ional Pr. Pr. Conjunt Conjunta a Ev e n t o

P(Eve n to )

P(B|Eve n to )

P(BBB|Ev e n t o )

P(Ev e n to y BBB)

Calibrada

0,70

0, 90

0, 7290

0, 5103

P(Calibrada y BBB)

No Calibrada

0,30

0, 40

0, 0640

0, 0192

P(No P(N o Calib rada y BBB)

0,5295

P(BBB)

P(Ca lili b rra a da da |B |B B BB B)

0,9637

P( P(N No Ca l i b brr ad ad a ||BB BBB) B)

0,0 ,03 363

P(Calibrada , B  BB BB )   |  B P(Calibrada  BB BB ) =

P( No Calibrada    BBB ) = |  BB

P( B  BB BB )

P( No Calibrada , B  BB BB ) P( B  BB BB )

 

Teorema de Bayes Un fabricante está consid era erando ndo comprar un lote de 10 1000 000 0 pieza piezas s de u n p ro ro v ve eed o orr. El fab fab ri ri c ca an te te est stii m ma a l a p rro op po o rci rció ó n d e p ie iezas defectuos as e en n el lot lote ee en n la sig uiente form a. Nro

Proporción de Piezas

Probabilida

(i)

Defectuosa s (πi)

d P( P(π πi)

1

0.10

0 .2 0

2

0.15

0 .3 0

3

0.25

0 .5 0

Esto si Est sig gnif ific ica a qu que e el fab abrric ican antte no es esttá se seg gur uro o ac ace erca de la pr pro opo porrción ión de piezas defectuosos en el lote, sin embargo, basándose en experiencias anteriores, cree que hay una probabilidad de 0,20 de que qu e el lote teng nga a 10% de pi pie eza zass de defe fec ctuo uosa sas, s, un una a prob obab abil ilid idad ad de 0,3 0,30 de que tenga 15%. Y finalmente, de 0,50 de que tenga 25% de piezas

defectuosas.  

Teorema de Bayes Supongamos que elige una pieza al azar en el lote: ¿Cuál es la probabilidad de qué esta sea defectuosa? Dado que la pieza resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el lote tenga 25% de piezas defectuosas?

 

Teorema de Bayes 1=0,10

P(D/1)= 0,10



P(   yD) =  0,20  0,10 = 0,0200 1

P(D/2)= 0,15 =0,15 P(  2 yD) =  0,30  0,15 = 0,045 2



P(2) = 0,30

3=0,25



P(D/3)= 0,25

P(    yD) =  0,50  0,25 = 0,1250 3

P( D) = 0,1900  

Teorema de Bayes Supongamos que elige una pieza al azar en el lote: ¿Cuál es la probabilidad de qué esta sea defectuosa? Dado que la pieza resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el lote tenga 25% de piezas defectuosas? Hay tres maneras posibles de obtener una pieza defectuosa del lote. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una pieza defectuosa, cualquiera que se la tasa porcentual de defectuosos 10, 15 ó 25 es:

P ( D ) = P(  1 yD )  + P  (  2 yD   ) + P(  3 yD ) =

+

+

0,0200 0,0450 0,1250 = 0,19  

Teorema de Bayes De acuerdo con el Teorema de Bayes, la probabilidad de que el lote contenga 25% de piezas defectuosas, dado que la pieza ele leg gida es defectuosa, es:

P(  

3

P(    yD ) 0.1250 / D ) =   = P( D ) 0.1900  

3

=

0.6579