DIOP_U1_EA_RUMM

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INVESTIGACION DE OPERACIONES EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. UNIDAD 1. SOLUCION A PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL. ALUMNO: RUBEN ANTONIO MENDOZA MIRAMONTES. MATRICULA: AL12523881. NIVEL: 5 SEMESTRE BLOQUE 1. FACILITADOR: MTRO. ROMAN HUMBERTO GARMA MANZANILLA. UNAD MEXICO.

Evidencia de aprendizaje. Solución a problemas de programación lineal Instrucciones: I)

Resuelve los siguientes ejercicios

Ejercicio 1 Considera el siguiente problema.

1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale. Pasar restricciones a forma estándar agregando según sea el caso variable de holgura y artificial, y la función objetivo se iguala a Zero por lo tanto queda de la siguiente manera

PRIMERA TABLA BAS X1 X2 E Renglón 1 Z -2 -5 Renglón 2 R1 1 -2 Renglón 3 R2 2 4 De aquí se deriva la primera solución inicial

X3

S1

R1

R1

Sol

-3 1 1

0 -1 0

M 1 0

M 0 1

0 20 50

Debemos volver Zero las M de nuestra función objetivo, multiplicando por –M los valores del Renglón 2 al resultado le sumamos el valor del Renglón 1 y de estas operaciones obtenemos los valores de nuestra función objetivo para obtener la siguiente tabla.

Renglón 1

BAS E Z

Renglón 2 Renglón 3

R1 R2

X1

X2

X3

S1

R1

R1

Sol

-M2 1 2

2M5 -2 4

-M3 1 1

M

0

M

-1 0

1 0

0 1

20M 20 50

De la misma forma se realizan las operaciones solo que ahora involucramos al Renglón 1 y 3 para obtener nuestra función objetivo para la siguiente tabla. X1

X2

X3

S1

R1

R1

Sol

Renglón 1

BAS E Z

-3M-2

-2M-5

-2M-3

M

0

0

Renglón 2 Renglón 3

R1 R2

1 2

-2 4

1 1

-1 0

1 0

0 1

70M 20 50

2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema. La variable de entrada será X1 y tomaremos la variable de salida R1 que contiene un pivote = 1 BAS E Z

X1

X2

X3

S1

R1

R1

-3M-2

-2M-3

M

0

0

R1 R2

1 2

-2M5 -2 4

1 1

-1 0

1 0

0 1

Sol

Razó n

20 50

20 25

Volvemos Zero los valores de columna pivote, para esto empezamos multiplicando por 3M+2

Enseguida multiplicamos -2 para continuar

De estos resultados obtendremos la siguiente tabla en la cual X 2 entra y R2 sale. BASE Z

X1 0

X2 -8M-9

X3 M-1

S1 -2M-2

X1 1 -2 1 -1 R2 0 8 -1 2 Realizamos las siguientes operaciones 8M+9 (R3)+(R1)

R1 3M+2

R1 0

1 -2

0 1

Sol 10M+4 0 20 10

Continuamos con la siguiente operación 2 (R3) + (R2)

Con los resultados obtenidos de las operaciones formamos la tabla siguiente. BASE Z X1 X2

X1 0 1 0

X2 0 0 1

X3 -1.08 0.75 -0.12

BASE Z

X1 2.83

X2 0

X3 0

X3

1.33

0

1

X2

0

1

-0.12

BASE Z

X1 4

X2 7

X3 S1

2 1

4 6

S1 0.25 -0.5 0.25

R1 M-0.25 0.5 -0.25

R1 1.08 0.25 0.13

Sol 51.25 22.5 1.25

S1 1.17 0.67 0.25

R1 M+1.1 7 0.67

R1 M+1.8 3 0.33

Sol 115

-0.25

0.12

5

X3 0

S1 0

R1 M

1 0

0 1

0 -1

R1 M+ 3 1 1

30

Sol 150 50 30

3.-Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale. 4.- Aplica la fase 1 paso a paso. 5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.

FASE 1 MINIMIZAR

BASE Z R1 R2

X1 0 1 2

X2 0 -2 4

X3 0 1 1

S1 0 -1 0

R1 -1 1 0

R1 -1 0 1

Sol 0 20 50

Realizamos la siguiente operación para obtener el nuevo valor de nuestra función objetivo Z + [1*R1+1*R2]

BASE Z R1 R2

X1 3 1 2

X2 2 -2 4

X3 2 1 1

S1 -1 -1 0

R1 0 1 0

R1 0 0 1

Sol 70 20 50

Para convertir a Zero los valores de la columna pivote debemos realizar las siguiente operación NZ = R1 * -3 + Z NR2 = R1 * -2 + R2 Así obtenemos la siguiente tabla donde la variable de entrada es X 1 y la de salida X1. BASE Z X1 R2

X1 0 1 0

X2 8 -2 8

X3 -1 1 -1

S1 2 -1 2

R1 -3 1 -2

R1 0 0 1

Sol 10 20 10

Variable de entrada X2 Variable de salida R2 Para convertir celda pivote a 1 lo multiplicaremos por 1/8. Además convertiremos a Zero los números 8 y -2 de nuestra columna pivote mediante las siguientes operaciones. NZ = R2 * -8 + Z NX1 = R2 * 2 + X1 BASE Z X1 X2

X1 0 1 0

X2 0 0 1

X3 0 ¾ -1/8

S1 0 -1/2 ¼

R1 -1 ½ -1/4

R1 -1 ¼ 1/8

Sol 0 45/2 5/4

En este resultado se observa la inexistencia de variables artificiales y nuestra solución se refleja en Zero por lo que damos por terminado la fase 1 y de esta manera nuestra BF inicial seria este resultado.

6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. Utilizaremos la solución factible de nuestra primera fase con la función objetivo original, en donde se eliminaran las columnas que hayan albergado a las variables artificiales y nuestra tabla quedaría como sigue.

BASE Z X1 X2

X1 0 1 0

X2 0 0 1

X3 0 ¾ -1/8

S1 0 -1/2 ¼

Sol 0 45/2 5/4

Usando el método para maximizar una función objetivo obtenemos que la variable de entrada seria X2 y la de salida x2, realizando la siguiente operación obtendremos la tabla NZ = R3 * 5 + Z BASE Z X1 X2

X1 -2 1 0

X2 0 0 1

X3 -29/8 ¾ -1/8

S1 5/4 -1/2 ¼

Sol 25/4 45/2 5/4

La variable que entra será X3 y la saliente es X1. Mediante las siguientes operaciones obtendremos la siguiente tabla. Pivote * 4/3 NZ = X1 * 29/8 + Z NX2 = X1 * 1/8 + X2 BASE Z X3 X2

X1 17/6 4/3 1/6

X2 0 0 1

X3 0 1 0

S1 -7/6 -2/3 1/6

Sol 115 30 5

Así tenemos que la variable que entra es S1 y la que sale es X2. Mediante las siguientes operaciones obtendremos la siguiente tabla Pivote *6 NZ = Z + X2 * 7/6 NX3 = X3 +X2 *2/3

BASE Z X3 S2

X1 4 2 1

X2 7/6 2/3 1

X3 0 1 0

S1 0 0 1

Sol 150 50 30

Ya que no contamos con valores negativos en nuestra función objetivo terminan las iteraciones y obtenemos como resultado SOLUCION ÓPTIMA

7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? En los pasos 2 y 6 serán factibles solo para el problema real y tan solo el paso 4 será factible para un problema artificial. 8.-Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

Ejercicio 2 Considera el siguiente problema.

1.- Utiliza el método de la gran M para aplicar el método simplex paso a paso a fin de resolver el problema. Pasar restricciones a forma estándar agregando según sea el caso variable de holgura y artificial, y la función objetivo se iguala a Zero por lo tanto queda de la siguiente manera

PRIMERA TABLA donde podemos apreciar la primera solución básica de inicio. BAS E Z R1 R2

Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3

X1

X2

X3

S1

R1

R1

Sol

-3 2 3

-2 1 3

-4 3 5

0 0 -1

-M 1 0

-M 0 1

0 6 120

Con la siguiente operación obtendremos la nueva función objetivo: NZ = Z + [M + R1 + M * R2] BASE Z

R1 R2

X1 3+5 M 2 3

X2 2+4 M 1 3

X3 4+8 M 3 5

S1 -M

R1 0

R1 0

Sol 126M

0 -1

1 0

0 1

6 120

La variable de entrada será X3 y la de salida será R1. Mediante la realización de las siguientes operaciones podremos obtener la siguiente tabla. Pivote * 1/3 NZ = pivote * 4-8M + Z NR2 = pivote * -5 + R2 BASE Z X3 R2

X1 -1/3-1/3M 2/3 -1/3

X2 -2/3+4/3M 1/3 4/3

X3 0 1 0

S1 -M 0 -1

R1 4/3-8/3M 1/3 -5/3

R1 0 0 1

Sol 8-110M 2 110

De nueva cuenta tenemos que la variable de entrada será X 2 y en la de salida tomaremos R2. Mediante las siguientes operaciones debemos obtener la siguiente tabla. Pivote * 3 NZ = Z + PIVOTE * 2/3 – 4/3M NR2 = R2 – PIVOTE * -4/3

BASE Z

X1 1-3M

X2 0

X3 2-4M

S1 -M

X2 R2

2 -3

1 0

3 -4

0 -1

R1 232/9M 1 -3

R1 0 0 1

Sol 12118M 6 102

Al observar los resultados en la tabla nos damos cuenta que ya no queda ningún resultado positivo que pudiera servir como variable entrante y aún queda un numero positivo en la solución por lo que se toma por determinar que el problema no tiene solución. 2.- Emplea el método de las dos fases para aplicar el método simplex paso a paso y resolver el problema.

FASE 1 MINIMIZAR

BASE Z R1 R2

X1 0 2 3

X2 0 1 3

X3 0 3 5

S1 0 0 -1

R1 -1 1 0

R1 -1 0 1

Sol 0 6 120

Para obtener la nueva función objetivo y la siguiente tabla realizamos la siguiente operación Z + [1 * R1 +9 1 * R2]

BASE Z R1 R2

X1 5 2 3

X2 4 1 3

X3 8 3 5

S1 -1 0 -1

R1 0 1 0

R1 0 0 1

Sol 126 6 120

En función de estos resultados nuestra variable entrante será X 3 la que sale R1 Con las siguientes operaciones debemos obtener la nueva tabla. Pivote * 1/3 NZ = Z + PIVOTE * -8 NR2 = R2 + PIVOTE * -5 BASE Z X3 R2

X1 -1/3 2/3 1/3

X2 4/3 1/3 4/3

X3 0 1 0

S1 -1 0 -1

R1 -8/3 1/3 -5/3

R1 0 0 1

Sol 280/3 2 -1200

Ahora tendremos una variable de entrada X 2 y una variable de salida X3 Y al realizar las siguientes operaciones obtendremos la tabla final, que alberga un resultado. NZ = Z + pivote * -4/3 NR2 = R2 + pivote * -4/3 BASE

X1

X2

X3

S1

R1

R1

Sol

Z X2 R2

-3 2 -3

0 1 0

-4 3 -4

-1 0 -1

-4 1 -3

0 0 1

356/3 6 -1208

Debido a que el valor mínimo de nuestra suma es positivo esta ecuación no tiene solución factible. 3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? Paso 1: Factibilidad para el problema real Paso 2: En la fase primaria solo resulto factible para una solución artificial, mientras que en la fase 2 si se refleja como factible para un problema real. 4.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

REFERENCIAS https://www.youtube.com/watch?v=lgh1aANj0qE https://www.youtube.com/watch?v=zrBrb2Vyk5U