DIOP-U1-EA-PUT.docx

de aprendizaje. Solución a problemas de de programación EvidenciaEvidencia de aprendizaje. Solución a problemas programación lineal lineal

Ingeniería en Desarrollo de software Semestre 5 Asignatura: Investigación de Operaciones Unidad 1. Programación lineal

Facilitador: Jorge Alberto Galan Montero Alumno: Vicente Díaz Ayala Mat: AL12505732

Evidencia de aprendizaje. Solución a problemas de programación lineal Introducción: Como actividad final de la unidad, aplicarás lo aprendido en dos ejercicios que deberán ser resueltos por los Métodos llamados de la M y de las Dos fases. Recuerda que para resolverlos debidamente es necesario estudiar todo el material propuesto en la Unidad y realizar las actividades anteriores. Propósito: Al lograr terminar ésta actividad satisfactoriamente, comprobarás que cada concepto y cada procedimiento descrito aquí fueron asimilado debidamente, por lo tanto, estarás listo para entrar a la siguiente unidad. Instrucciones: I) Resuelve los siguientes ejercicios

Tenemos:

X 1 -2X2 + X3 + S1 + 0 + 0 = 20 2 X1 +4X2 + X3 + 0 + S2 + 0 = 50 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + S3 = 0 Z - 2X 1 - 5X2 - 3X3 + 0 + 0 + 0 = 0

1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.

Z

X1

Variable básica entrante inicial X2 X3 S1 S2

Básica S1

0

1

-2

1

1

0

0

20

--

S2

0

2

4

1

0

1

0

50

25/2

S3

0

0

0

0

0

0

1

0

--

Z

1

-2

-5

-3

0

0

0

0

--

Variable

Variable básica saliente

S3

CD

2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema.

S2 =X2

S1

S3

Z

0

2

4

1

0

1

0

50

4

4

4

4

4

4

4

4

0

1/2

1

1/4

0

1/4

0

25/2

0

1

-2

1

1

0

0

20

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

0

1/2

1

1/4

0

1/4

0

25/2

0

2

0

3/2

1

1/2

0

45

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1/2

1

1/4

0

1/4

0

25/2

0

0

0

0

0

0

1

0

1

-2

-5

-3

0

0

0

0

-5

-5

-5

-5

-5

-5

-5

-5

0

1/2

1

1/4

0

1/4

0

25/2

1

1/2

0

-7/4

0

5/4

0

125/2

COMPLETANDO LAS TABLAS OBTENIDAS

Z

X1

X2

X3

S1

S2

S3

CD

Básica X3 =S1

0

2

0

3/2

1

1/2

0

45

20

X2 = S2

0

1/2

1

1/4

0

1/4

0

25/2

50

S3

0

0

0

0

0

0

1

0

--

Z

1

1/2

0

-7/4

0

5/4

0

125/2

--

Variable

COMO EXISTE UN VALOR NEGATIVO EN Z SE RESUELVE NUEVAMENTE

S1 = X3

S2 = X2

S3

Z

0

2

0

3/2

1

1/2

0

45

3/2

3/2

3/2

3/2

3/2

3/2

3/2

3/2

0

4/3

0

1

2/3

1/3

0

30

0

1/2

1

1/4

0

1/4

0

25/2

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

0

4/3

0

1

2/3

1/3

0

30

0

1/14

1

0

-1/6

1/6

0

5

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4/3

0

1

2/3

1/3

0

30

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1/2

0

-7/4

0

5/4

0

125/2

-7/4

-7/4

-7/4

-7/4

-7/4

-7/4

-7/4

-7/4

0

4/3

0

1

2/3

1/3

0

30

1

17/6

0

0

7/6

11/6

0

115

COMPLETANDO LAS TABLAS OBTENIDAS Z

X1

X2

X3

S1

S2

S3

CD

Básica X3= S1

0

4/3

0

1

2/3

1/3

0

30

X2 = S2

0

1/14

1

0

-1/6

1/6

0

5

S3

0

0

0

0

0

0

1

0

Z

1

17/6

0

0

7/6

11/6

0

115

Variable

Checando resultado X1= 0 , X2 = 5, X3 = 30

Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 = 2(0) + 5(5) +3(30) =25 + 90 Z= 115 3.-Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.

Tenemos: W=R1+ R2 FASE 1 X1 -2X2 + X3 + R1 = 20 R1 = 20-X1 +2X2 - X3

=

2 X1 +4X2 + X3 + R2-X4 = 50 = R2=50-2 X1 -4X2 - X3 + X4

X1 -2X2 + X3 + R1 =20 2 X1 +4X2 + X3 + R2-X4 = 50

ENTONCES: W=(20-X1 +2X2 - X3) +L (50-2 X1 -4X2 - X3 + X4 ) W=70-3X1 -2X2 - 2X3+ X4 W+3X1 +2X2 + 2X3 - X4 =70

Variable Básica W R1 R2

X1

X2

Variable básica entrante Xinicial X4 R1 R2 3

CD

3 1 2

2 -2 4

2 1 1

70 20 50

Variable básica saliente inicial

-1 0 -1

0 1 0

0 0 1

20 25

4.- Aplica la fase 1 paso a paso. Variable a W R1=X1 R2

X1

X2

X3

X4

R1

R2

CD

3 1 2

2 -2 4

2 1 1

-1 0 -1

0 1 0

0 0 1

70 20 50

20 25

R1=X1

1 1 1

-2 1 -2

1 1 1

0 1 0

1 1 1

0 1 0

20 1 20

R2

2 2 1 0

4 2 -2 8

1 2 1 -1

-1 2 0 -1

0 2 1 -2

1 2 0 1

50 2 20 10

W

3 3 1 0

2 3 -2 8

2 3 1 -1

-1 3 0 -1

0 3 1 -3

0 3 0 0

70 3 20 10

X1

X2

X3

X4

R1

R2

CD

a W

0

8

-1

-1

-3

0

10

R1=X1

1

-2

1

0

1

0

20

R2

0

8

-1

-1

-2

1

10

Variable

Llenamos la nueva tabla y resolvemos

R2=X2

R1 = X1

0

8

-1

-1

-2

1

10

8

8

8

8

8

8

8

0

1

-1/8

-1/8

-1/4

1/8

10/8

0 1 -2

8 -2 -2

-11 -2

-10 -2

-21 -2

10 -2

20 10 -2

0

1

-1/8

-1/8

-1/4

1/8

10/8

1

0

3/4

-1/4

1/2

-1/4

45/2

8

8

8

8

8

8

8

0

1

-1/8

-1/8

-1/4

1/8

10/8

0

0

0

0

-1

-1

0

W

Tabla de primera fase 5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.

Variable a W R1= X1 R2=X2

X1

X2

X3

X4

R1

R2

CD

0 1 0

0 0 1

0 3/4 -1/8

0 -1/4 -1/8

-1 1/2 -1/4

-1 -1/4 1/8

0 45/2 10/8

Como no hay números positivos se pasa a la segunda fase. 6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. X1 + 3/4X3 – 1/4X4 =45/2

X1 =-3/4X3+ 1/4X4 +45/2

X2 - 1/8X3 – 1/8 X4 =5/4 X2 = 1/8X3 +1/8 X4 +5/4 SE SUSTITUYEN EN LA ECUACION ORIGINAL Z= 2x1 +5X2 +3X3

Z = 2(-3/4X2 + 1/4X4 +45/2) +5(1/8X3 +1/8 X4 +5/4) + 3(0)

Z + 7/8X3 -9/8X4= 115/4 X1

X2

X3

X4

CD

a Z

0

0

7/8

-9/8

115/4

R1= X1

1

0

3/4

-1/4

45/2

R2=X2

0

1

-1/8

-1/8

5/4

Variable

Se resuelve la nueva tabla

Variable a Variable Z a Variable R 1= X1 X3= X1 R2=X a2 Variable R2=X2 a z

X1

X2 X1

0 X 1 1 1 0 X1 3/4 0 4/3 -1/8 0 4/3 7/8 -1/6 4/3 -7/6

X3 X2

0 0 1

X2 X02 3/4 1 0 -1/8 0 0 7/8 1 0

X4 X3

7/8 3/4 -1/8

X3

CD X4

-9/8 -1/4

3/4 X3 -1/8 3/4 -1/8 1 -1/8 7/8 1 7/8 0 1

X4 115/4 45/2 -1/4 X4 5/4 3/4 -1/8 -1/3 -1/8 -9/8 -1/3 7/8 -1/6 -1/3

CD CD 30 145/2 CD-3/4 5/4 30 -1/8 115/4 30 7/8 5 30

0

0

-5/6

5

X1

X2

X3

X4

CD

a z

-7/6

0

0

-5/6

5

X3= X1

4/3

0

1

-1/3

30

R2= X2

-1/6

1

0

-1/6

5

Completamos la nueva tabla Variable

Tenemos: X1 = 0, X2 =5 y X3 =30 7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? Las soluciones más factibles pienso que se dan con el método simplex que con el método de la dos fases se complica un poco más. 8.-Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

1.- Utiliza el método de la gran M para aplicar el método simplex paso a paso a fin de resolver el problema. Tenemos:

2X 1 + X2 + 3X3 + S1 + 0 + 0 = 60 3X1 +3X2 + 5X3 + 0 + S2 + 0 = 50 Z - 3X 1 - 2X2 - 4X3 + 0 + 0 + 0 = 0

Z

X1

X2

X3

S1

S2

S3

CD

Básica S1

0

2

1

3

1

0

0

60

20

S2

0

3

3

5

0

1

0

120

24

Z

1

-3

-2

-4

0

0

0

0

--

Variable

Método simplex paso a paso para resolver el problema. S1 =X3

0

2

1

3

1

0

0

60

3

3

3

3

3

3

3

3

S2

Z

0

2/3

1/3

1

1/3

0

0

20

0 5 0

3 5 2/3

3 5 1/3

5 5 1

0 5 1/3

1 5 0

0 5 0

120 5 20

0

-1/3

4/3

0

-5/3

1

0

20

1

-3

-2

-4

0

0

0

0

-4

-4

-4

-4

-4

-4

-4

-4

0

2/3

1/3

1

1/3

0

0

20

1

-1/3

-2/3

0

4/3

0

0

80

COMPLETANDO LAS TABLAS OBTENIDAS

Z

X1

X2

X3

S1

S2

S3

CD

Básica X3 =S1

0

2/3

1/3

1

1/3

0

0

20

60

S2

0

-1/3

4/3

0

-5/3

1

0

20

15

Z

1

-1/3

-2/3

0

4/3

0

0

80

--

Variable

Resolvemos pues hay números negativos en Z X2 = S2 S1 =X3

Z

0 0 4/3 1/3 00

-1/3 2/3 4/3 1/3 -1/4 -1/4

4/3 1/3 4/3 1/3 1 1

0 1 4/3 1/3 0 0

-5/3 1/3 4/3 1/3 -15/12 -15/12

1 0 4/3 1/3 3/4 3/4

0 0 4/3 1/3 00

20 20 4/3 1/3 15 15

0

9/12

0

1

27/36

-1/4

0

15

1

-1/3

-2/3

0

4/3

0

0

80

-2/3

-2/3

-2/3

-2/3

-2/3

-2/3

-2/3

-2/3

0

-1/4

1

0

-15/12

3/4

0

15

1

-1/2

0

0

1/2

1/2

0

90

COMPLETANDO LAS TABLAS OBTENIDAS Z

X1

X2

X3

S1

S2

S3

CD

Básica X3 =X1

0

9/12

0

1

9/12

-1/4

0

15

20

X2= S2

0

-1/4

1

0

-15/12

3/4

0

15

---

Z

1

-1/2

0

0

1/2

1/2

0

90

---

Variable

Resolvemos pues hay números negativos en Z X1 = X3 S2 =X2

0 0 9/12 -1/4 00

9/12 -1/4 9/12 -1/4 11

0 1 9/12 -1/4 0 0

1 0 9/12 -1/4 12/9 12/9

9/12 -15/12 9/12 -1/4 11

-1/4 3/4 9/12 -1/4 -1/3 -1/3

0 0 9/12 -1/4 00

15 15 9/12 -1/4 20 20

0

0

1

1/3

-1

8/12

0

20

1

-1/2

0

0

1/2

1/2

0

90

-1/2

-1/2

-1/2

-1/2

-1/2

-1/2

-1/2

-1/2

0

1

0

12/9

1

1/3

0

20

1

0

0

6/9

1

2/3

0

100

Z

TABLA FINAL Z

X1

X2

X3

S1

S2

S3

CD

Básica X1

0

1

0

12/9

1

-1/3

0

20

X2

0

0

1

1/3

-1

8/12

0

20

Z

1

0

0

6/9

1

2/3

0

100

Variable

Checando resultado X1= 20 , X2 = 20, X3 = 0 Y Z=100

Z = 3(20)+ 2(20) + 4(0) = 60 + 40 + 0 = 100 Z= 100

2.- Emplea el método de las dos fases para aplicar el método simplex paso a paso y resolver el problema.

Tenemos: W=R1+ R2 FASE 1 2X1 + X2 + 3X3 + R1 = 60

=

R 1 = -2X1 -X2 - 3X3 +

60 3X1 +3X2 + 5X3 + R2-X4 = 120 =

R 2=-2 X1 -4X2 - X3 + X4

=120 ENTONCES: W+5X1 +4X2 + 8X3 - X4 =180

Variable Básica W R1 R2

X1

X2

Variable básica entrante Xinicial X4 R1 R2 3

CD

5 2 3

4 1 3

8 3 5

180 60 120

Variable básica saliente inicial 4.- Aplica la fase 1 paso a paso.

-1 0 -1

0 1 0

0 0 1

20 25

R1=X3

2 3 2/3

1 3 1/3

3 3 1

0 3 0

1 3 1/3

0 3 0

60 3 20

R2

3 5 2/3 -1/3

3 5 1/3 4/3

5 5 1 0

-1 5 0 -1

0 5 1/3 -5/3

1 5 0 1

120 5 20 20

W

5 8 2/3 -1/3

4 8 1/3 4/3

8 8 1 0

-1 8 0 -1

0 8 1/3 -8/3

0 8 0 0

180 8 20 20

X1

X2

X3

X4

R1

R2

CD

a W

-1/3

4/3

0

-1

-8/3

0

20

R1=X3

2/3

1/3

1

0

1/3

0

20

R2

-1/3

4/3

0

-1

-5/3

1

20

Variable

Llenamos la nueva tabla y resolvemos R2=X2

R1 = X3

W

-1/3

4/3

0

-1

-5/3

1

20

4/3

4/3

4/3

4/3

4/3

4/3

4/3

-1/4

1

0

-3/4

-5/4

3/4

15

2/3

1/3

1

0

1/3

0

20

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

-1/4

1

0

-3/4

-5/3

3/4

15

3/4

0

1

1/4

3/4

-1/4

15

-1/3

4/3

0

-1

-8/3

0

20

4/3

4/3

4/3

4/3

4/3

4/3

4/3

-1/4

1

0

-3/4

-5/3

3/4

15

0

0

0

0

-1

-1

0

Tabla de primera fase 5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.

Variable

X1

X2

X3

X4

R1

a W 0 0 0 0 -1 R1= X3 3/4 0 1 1/4 3/4 R2=X2 -1/4 1 0 -3/4 -5/4 Como no hay números positivos se pasa a la segunda fase. 6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. 3/4X1 + X3 +1/4X4 =15

X3 =-3/4X1- 1/4X4 +15

-1/4X1 + X2 – 3/4X4 =5/4

X2 = 1/4X1 +3/4 X4 + 15

R2

CD

-1 -1/4 3/4

0 15 15

SE SUSTITUYEN EN LA ECUACION ORIGINAL Z= 3x1 +2(1/4X1 +3/4 X4 + 15) +4(-3/4X1- 1/4X4 +15)

Z = -5/2X1 + 1/2X4 =90 Z + 5/2 X1 – 1/2X4= 90 X1

X2

X3

X4

CD

a Z

5/2

0

0

-1/2

90

R1= X3

3/4

0

1

1/4

15

R2=X2

-1/4

1

0

-3/4

15

Variable

Se resuelve la nueva tabla

X3= X1 R2=X2 z

X1

X2

X3

X4

CD

3/4 X1 3/4 -1/4 X1

0 X2 3/4 X10

1 X3 3/4 4/3 X0

1/4 X4 3/4 -3/4 X3 -1/4 -1/2 3 5/2 0 3

15 CD 3/4 15 20 CD

-1/4 90 20 5/2 20 20

7

40

1

2

3

-1/4 5/2 1 5/2 0 1

-1/4 0 0 5/2 1 0

-1/4 0 4/3 5/2 1/3 4/3

0

0

10/3

Completamos la nueva tabla

4

X1

X2

X3

X4

CD

a z

0

0

10/3

7

40

X1

1

0

4/3

3

20

X2

0

1

1/3

0

20

Variable

Tenemos: X1 = 20, X2 =20 y X3 =0 Z=3X1 +2 X2 +4X3 Z= 60+40 Z=100

3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? Yo pienso que el método simplex de la m es más fácil y me costó menos trabajo llegar a la solución. 4.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software. II) Guarda los 2 ejercicios en un archivo de Microsoft Word con el nombre DIOP_U1_EA_XXYZ.Doc. Sustituye las XX por las dos primeras letras del primer nombre, la Y por la inicial del apellido paterno y la Z por la inicial del apellido materno III) Envía el archivo a tu Facilitador mediante la sección de Tareas para recibir retroalimentación. IV) Revisa la escala de evaluación de la Evidencia de aprendizaje que encontrarás en el archivo Instrumentos de evaluación.