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Dinámica Avanzada de Estructuras Apuntes de Clase
Modelo y Determinación Experimental Torre Titanium la Portada Alfonso Larraín y Asoc. Ltda. - RBA
Rubén Boroschek REVISION E Diciembre del 2012 DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
1
En el desarrollo de gráficas de estos apuntes contribuyeron: Los Alumnos del CI42G y CI72A Universidad de Chile
NOTA: El texto está en condición preliminar. Mis clases han sido transcritas inicialmente por los alumnos. He logrado revisar alguna de ellas. Si bien he tratado de eliminar los errores tipográficos, siempre se descubren nuevos. Por tanto úsese con cuidado. El texto en amarillo no lo he revisado y está incompleto Algunos temas con apoyo especial de alumnos: Tomas Yañez: Linealización de parámetros en amortiguadores, Método PSD. Manuel Rivera Linealización de parámetros en amortiguadores Rodrigo Carreño: Vectores Ritz P. Bartolomé y J Caroca: Métodos iterativos para valores y vectores propios. M. Bravo S. Varela: Masas Consistentes P. León Alfaro: Método Moesp V. Contreras Luengo: Método ERA. Por agregar. Solución numérica y ajustes Incorporación de amortiguamiento por métodos de energía. Condensación
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
2
INDICE 1.
Referencias........................................................................................................................ 9
2.
Formulario Base .............................................................................................................. 10
3.
Introducción ..................................................................................................................... 12
4.
Demanda Estructural ....................................................................................................... 12
4.1.
5.
Tipos de Análisis ........................................................................................................... 14 4.1.1.
¿Cómo Modelar Estructuras? ............................................................................ 14
4.1.2.
Equilibrio ............................................................................................................ 14
Sistemas Lineales de un Grado de Libertad.................................................................... 14
5.1.
Sistemas de un GDL Sin Amortiguamiento .................................................................. 14
5.2.
Análisis de Sistemas en Oscilación Libre ..................................................................... 15
5.3.
Consideración del Peso en la Ecuación de Movimiento ............................................... 18
5.4.
El Amortiguamiento....................................................................................................... 18
5.5.
Sistemas de un GDL Con Amortiguamiento ................................................................. 21
5.6.
5.7.
5.8. 6.
5.5.1.
Disipadores ........................................................................................................ 22
5.5.2.
Solución del Equilibrio Dinámico ........................................................................ 26
Solución Homogénea de la Ecuación de Movimiento ................................................... 26 5.6.1.
Decaimiento Libre .............................................................................................. 28
5.6.2.
Decaimiento Logarítmico ................................................................................... 30
Métodos Experimentales Bajo Condiciones Iniciales o Pull Back: ............................... 32 5.7.1.
Excitación Armónica. Caso C arbitrario ............................................................. 35
5.7.2.
Análisis de la Amplificación Dinámica ................................................................ 36
5.7.3.
Factor de Amplificación Dinámica para Velocidad y Aceleración ...................... 37
5.7.4.
Ancho de Banda del Factor de Amplificación .................................................... 37
5.7.5.
Excitación Armónica Régimen Permanente ....................................................... 38
5.7.6.
Aislamiento de Vibraciones ................................................................................ 39
5.7.7.
Respuesta en Resonancia ................................................................................. 42
Vibración Forzada ......................................................................................................... 45 Solucion Numerica de la Ecuacion de 1 GDL .................................................................. 48
6.1. 7.
Método de Aceleración Promedio ................................................................................. 48 Energía ............................................................................................................................ 51
7.1.
Energía Disipada .......................................................................................................... 51
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3
7.2.
Evolución de la Energía en el Tiempo En Regimen Permanente ................................. 52 7.2.1.
Energía de Entrada Régimen Permanente ........................................................ 52
7.2.2.
Energía de Disipada Régimen Permanente ....................................................... 52
7.2.3.
Balance de Energía ............................................................................................ 53
7.2.4.
Extensión para Varios Grados de Libertad ........................................................ 53
7.2.5.
Caso Modelo con Masa en Resonancia ............................................................ 59
7.3.
Definiciones Importantes .............................................................................................. 60
7.4.
Caso Modelo sin Masa ................................................................................................. 60
7.5.
Caso de Fricción ........................................................................................................... 62
7.6.
Amortiguamiento Independiente de la Frecuencia ....................................................... 62
7.7.
Amortiguamiento Equivalente ....................................................................................... 64
7.8.
Generalización Modelo Lineal Equivalente de un Disipador ......................................... 65 7.8.1.
Tipos de disipadores .......................................................................................... 69
7.8.2.
Friccional Puro ................................................................................................... 70
7.8.3.
Constitutiva Triangular ....................................................................................... 72
7.8.4.
Elemento Viscoso no-lineal ................................................................................ 74
7.9.
Calor Disipado .............................................................................................................. 79
7.1.
Sistemas de N Grados de Libertad ............................................................................... 79
7.2.
7.3.
7.1.1.
Condensación Estática ...................................................................................... 80
7.1.2.
Solución a la Ecuación Homogénea .................................................................. 80
7.1.3.
Determinación de valores propios a través de polinomios característicos ........ 81
Manejo Eficiente de Matrices ........................................................................................ 82 7.2.1.
Ortogonalización de Gram-Schmidt ................................................................... 83
7.2.2.
Descomposición LDL ......................................................................................... 87
Método de Iteración del Subespacio............................................................................. 88 7.3.1.
Algoritmo ............................................................................................................ 89
7.4.
Formulación de Valores Propios con Flexibilidad ......................................................... 91
7.5.
Propiedades de Ortogonalidad de Modos .................................................................... 92 7.5.1.
Condiciones Adicionales de Ortogonalidad ....................................................... 92
7.6.
Normalización Modal .................................................................................................... 94
7.7.
Coordenadas Modales .................................................................................................. 94
7.8.
¿Cómo Resolvemos? ................................................................................................... 95
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4
7.9.
Matriz de Disipación Proporcional ................................................................................ 98 7.9.1.
Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh ....................................................... 99
7.9.2.
Amortiguamiento Proporcional de Caughy ...................................................... 100
7.9.3.
Amortiguamiento Proporcional de Penzien – Wilson ....................................... 101
7.9.4.
Matriz No Proporcional..................................................................................... 103
8.
Reducción del Tamaño de la Ecuación Dinámica ......................................................... 104
9.
Rayleig-Ritz y Load Dependent Vectors ........................................................................ 106
9.1.
Justificación de Método de LDV por E. Wilson ........................................................... 107
9.2.
Algoritmos Computacional de Vector Dependiente de la Carga ................................. 108 9.2.1.
Procedimiento con Vector Unico ...................................................................... 108
9.2.2.
Algoritmo Computacional de E. Wilson ............................................................ 108
10.
Excitación Múltiple de Apoyos ....................................................................................... 111
11.
Truncación Modal .......................................................................................................... 113
11.1.
Correccion Estática ................................................................................................. 114
11.2.
Metodo de Aceleración Modal ................................................................................. 115
12.
Ecuación de Movimiento Utilizando Espacio Estado ..................................................... 116
12.1.
Ecuaciones Básicas ................................................................................................ 116
12.2.
Cálculo de la Exponencial de una Matriz ................................................................ 117
12.3.
Solución Numerica Discreta .................................................................................... 119
12.3.1. Excitación Considerada como Delta Dirac. ...................................................... 119 12.3.2. Excitación Constante ....................................................................................... 120 12.1.
Valores Propios ....................................................................................................... 120
12.1.1. Modos Complejos ............................................................................................ 121 12.1.2. Expansión de Matriz de A ............................................................................. 122 12.1.3. Relación de Valores Propios Continuos y Discretos ........................................ 122 12.2.
Ejemplo ................................................................................................................... 123
12.2.1. Método modal complejo ................................................................................... 129 12.2.2. Representación Simétrica ................................................................................ 129 13.
Análisis en el Espacio de la Frecuencia ........................................................................ 132
13.1.
Serie de Fourier....................................................................................................... 132
13.2.
Caso Serie de Fourier base .................................................................................... 134
13.3.
Relación de Coeficientes de Serie de Fourier armónicos y exponencial complejo. 134
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
5
13.4.
Respuesta a una Excitacion de Tipo Complejo ....................................................... 135
13.5.
Par de Transformada de Fourier ............................................................................. 136
13.1.
Respuesta utilizando la Transformada de Fourier .................................................. 136
13.1.1. Transformada de Fourier de la Ecuación de Movimiento Caso Particular ....... 137 13.2.
Algunas propiedades de la Transformada de Fourier ............................................. 139
13.2.1. Derivada en el Espacio de la Frecuencia......................................................... 139 13.2.2. Transformada de la Función Delta de Dirac. ................................................... 139 13.2.3. Transformada de Funciones Sinusoidales ....................................................... 140 13.2.4. Transformada de Secuencia de Pulsos. .......................................................... 141 13.2.5. Transformada de Rectángulo........................................................................... 142 13.3.
Propiedades de la Transformada de Fourier. ......................................................... 143
13.3.1. Linealidad ......................................................................................................... 143 13.3.2. Simetría ............................................................................................................ 144 13.3.3. Escalamiento.................................................................................................... 145 13.3.4. Desplazamiento en el Tiempo .......................................................................... 146 13.3.5. Desplazamiento en la Frecuencia .................................................................... 147 13.3.6. Señales Pares e Impares ................................................................................. 147 13.4.
Integral de Convolución........................................................................................... 148
13.5.
Teorema de Parseval. ............................................................................................. 149
13.6.
Relación entre Transformada Continua y Discreta ................................................. 150
13.6.1. Teoría de Muestreo .......................................................................................... 150 13.7.
Detalles de FFT en Matlab ...................................................................................... 154
13.8.
Transformada Rápida Algunos Ejemplos ................................................................ 155
13.9.
Resolucion, Muestreo y Desdoblamiento ................................................................ 157
14.
Ventanas y Pérdida de Energía ..................................................................................... 161
14.1.
Ventanas ................................................................................................................. 166
15.
Otras Temas Asociado a Energía.................................................................................. 174
16.
El Espectro de Potencia ................................................................................................ 177 16.1.1. Teorema de Parseval ....................................................................................... 178
16.2.
Estimacion de Espectro de Densidad de Potencia ................................................. 184
16.3.
Cálculo de la Función de Respuesta en Frecuencia FRF ....................................... 186
16.4.
Correlacion y covarianza ......................................................................................... 191
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6
16.5.
Conceptos Básicos de PSD .................................................................................... 193
16.5.1. Resumen .......................................................................................................... 193 16.6.
Promedio de Series de Tiempo y Espectro de Potencia ......................................... 194
16.1.
AnalyticalSignal ....................................................................................................... 194
17.
Instrumentacion y Registro de Vibraciones ................................................................... 195 17.1.1. Casos Básicos sensores .................................................................................. 195 17.1.2. Sensor de Aceleración: Acelerómetro .............................................................. 196 17.1.3. Sensor de Desplazamiento Inercial ................................................................. 198
18.
Criterio de Calidad Modal .............................................................................................. 201
19.
Método de espectro de potencia ................................................................................... 202
19.1.
Introducción ............................................................................................................. 202
19.1.1. Método de Welch ............................................................................................. 203 20.
Bases para la Identificacion en el Espacio del Tiempo ................................................. 205
20.1.
Ecuación de Datos Observados .............................................................................. 205
20.2.
Ecuación de Espacio Estado con Componentes de Ruido ..................................... 206
20.3.
Conceptos de Procesos Estocásticos ..................................................................... 206
20.4.
Algunas Propiedades de los Sistemas Estocásticos. .............................................. 207
21.
Métodos en el Espacio del Tiempo ................................................................................ 211
21.1.
Método de Identificación ERA ................................................................................. 211
21.1.1. Desarrollo ......................................................................................................... 211 21.1.2. Algoritmo .......................................................................................................... 217 21.2.
Método MOESP ...................................................................................................... 222
21.3.
Metodo SSI-COV..................................................................................................... 232
1.
Valores y Vectores propios mediante iteración matricial ............................................... 238
1.1.
Motivación ................................................................................................................... 238
1.2.
Metodo de Iteración Directa ........................................................................................ 239
1.3.
1.2.1.
Obtención del Valor Propio Dominante ............................................................ 240
1.2.2.
Demostración de la Convergencia del 1º Modo ............................................... 241
1.2.3.
Algoritmo .......................................................................................................... 244
Obtencion de Vectores Superiores con Matriz de Barrido .......................................... 245 1.3.1.
1.4.
Algoritmo de Generación de Vectores con Matriz de Barrido .......................... 248
Metodo de Iteración Inversa ....................................................................................... 248
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
7
1.5.
1.4.1.
Descomposición LDU ....................................................................................... 248
1.4.2.
Ejemplo ............................................................................................................ 249
1.4.3.
Resolución del Sistema Ax=b .......................................................................... 250
1.4.4.
Formulación del Método de Iteración Inversa .................................................. 251
1.4.5.
Algoritmo de Iteración Inversa ......................................................................... 253
Método de Iteracion Inversa con Desplazamientos .................................................... 253 1.5.1.
1.6. 2.
Algoritmo del Método Iteración Inversa con Desplazamientos ........................ 257
Rutinas Matlab ............................................................................................................ 258 Matrices Consistentes ................................................................................................... 260
2.1.
Matriz de Rigidez Consistente .................................................................................... 260
2.2.
Matriz de Masa Consistente. ...................................................................................... 263
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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1. REFERENCIAS Clough, R. y Penzien, J. “Dynamics of Structures”. McGraw – Hill. Segunda Edición, 1993
Chopra, A. “Dynamics of Structures”. Prentice Hall. Tercera Edición, 2006.
E.L. Wilson (2002). “Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures”. Computers and Structures, Inc.
E. Oran Brigham. “The Fast Fourier Transform”, Prentice Hall, 1974.
Heylen, W., Lammens, S. and Sas, P. “Modal Analysis Theory and Testing”. Katholieke Universiteit Leuven, PMA, 1998.
Peeters, B y De Roeck, G (2000). “Reference Based Stochastic Subspace Identification in Civil Engineering”. Inverse Problems in Engineering, 8 (1), 47-74.
Van Overschee P., De Moor B. Subspace Identification for Linear Systems: Theory – Implementation – Application. Kluwer Academic Publishers, 1996.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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2. FORMULARIO BASE 1 GDL Equilibrio
Dinámico
mv t cv t kv t p t
Frecuencia Angular:
m
N GDL
k m
M v(t ) C v(t ) K v(t ) P (t )
Amort Crítico ccrítico 2 km 2 m
C aM bK
Rayleigh :
Razón Amort Crítico: c c cc 2m
n
v (t ) yi (t ) i i 1
D 1 2
Frec. Angular amortiguada;
* Y 2 k *
K i2 M i 0 2 ,
Respuesta a Condición Inicial: v v v (t ) e t 0 0 sin D t v0 cos D t D
Obtenemos los parámetros modales
Respuesta permanente Forzada:
Pi (t ) i P (t )
M i i M i T
T
P0 sin(t ) mv t cv t kv t P0 cos( t ) i (t ) P0 e
M v(0) y (0) i T
i
2 2
1
v(t ) yi (t ) i v(t ) yi (t ) i v(t ) yi (t ) i
2
Respuesta Sísmica:
Decremento Logarítmico: ln vi vi N 2 N Integral
de
Factor de Participación Li
yi t
m z t c z t k z t p t
N
N
m m x x dx M n xn I 0 n in ( x) ' 0
2
n i
2
2
i2 Li Vi (t ) M i i
Fuerza Elástica
FE (t ) M i
Cortante Basal
Q (t )
Donde en general L
T
Li V ( i , i , vg ) M ii
Coordenadas Generalizadas
i M r
Duhamel:
t
1 v(t ) P ( ) exp( (t )) sen( D (t ))d m D 0
i = 1…n
f E (t ) i2 M i yi (t ) M i2 i yi (t )
1 1
Mi
Respuesta
Factor de Amplificación Dinámica
2
Mi
i M v(0) T
yi (0)
yi (t ) 2i i y i (t ) i2 yi (t ) Pi (t ) / M i
Permanente
2
i = 1…n
Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.
sin(t ) P v(t ) e t A sin Dt B cos Dt 0 D cos(t ) k i (t ) Transiente e
D
K i i2 M i
i =1…n
L2i iVi (t ) Mi
n 1
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
10
L
N
c c x x dx cn xn 2
v (t ) Y t T
2 i
i
i
n 1
0
L
L
N
k k x x dx EI ( x) dx kn xn
Aceleración de Piso:
2
2
0
2
n 1
0
L
N
0
n 1
2
vi i
Li S d ( i , Ti ) Mi
p (t ) p x, t x dx p xn xn
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
11
3. INTRODUCCIÓN Las acciones pueden ser estáticas o dinámicas. Las acciones dinámicas dependen del tiempo, posición y magnitud. La respuesta de la estructura puede ser analizada en forma estática o dinámica. 4. DEMANDA ESTRUCTURAL Pull Back o Condiciones Iniciales: La estructura está sometida condiciones iniciales.
Figura 1 Condiciones Iniciales: Desplazamiento y Velocidad (Impacto)
Figura 2Ensayo de Impacto (salto grupal) sobre pasarela Demanda Armónica: Demanda armónicas con período característico, T, f t f t T . La respuesta armónica simple puede ser la base de una respuesta dinámica compleja.
Figura 3. Excitación Periódica. Maquinarias y otros.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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Acciones Periódicas No Armónicas: Presentan un periodo T característico, repitiéndose la función en el tiempo. Se pueden resolver como suma de armónicos por medio de series de Fourier.
Figura 4Excitación Periódica Impacto: Acción relativamente corta sobre la estructura
Figure 5. Impacto. Acción de corta duración
Excitación Arbitraria: Sin un patrón definido (i.e. terremoto)
Figure 6. Demanda Sísmica
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
13
4.1. TIPOS DE ANÁLISIS La estructura puede analizarse con métodos determinísticos o probabilísticos. 4.1.1. ¿Cómo Modelar Estructuras? 1. Por medio de discretización utilizando elementos uniaxiales. 2. Mediante ecuaciones diferenciales como la siguiente:
2 v x, t 2 v x, t 2 P x, t EI x m x 2 x 2 t 2 3. Por medio de elementos finitos. 4. Usando coordenadas generalizadas, donde se establece una función de desplazamiento del tipo
v x, t x t
4.1.2. Equilibrio Para determina el estado de equilibrio de una estructura se pueden utilizar los siguientes métodos: Métodos de Energía: Suma de Fuerzas:
Fxt , Fyt , Fzt Mxt , Myt , Mzt .
Trabajo Virtual. 5. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD 5.1. SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO Algunos ejemplos de sistemas de un GDL son los siguientes:
Figura 7 Ejemplos de sistema de 1GDL
FI (t ) FE (t ) P(t ) DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
14
mv(t ) kv(t ) P(t ) mv(t ) kv(t ) P(t ) v(t ) v h (t ) v p (t ) , donde v h (t ) es la solución homogénea y v p (t ) es la solución particular. Solución homogénea:
mv(t ) kv (t ) 0 La solución homogénea es:
v h (t ) A sin(t ) B cos(t ) 5.2. ANÁLISIS DE SISTEMAS EN OSCILACIÓN LIBRE Para un sistema con P (t ) 0 se tiene que
v p (t ) 0 . Si este sistema tiene como
condiciones iniciales v ( 0) v 0 y v ( 0) v 0 , se obtiene:
v(t )
v0
sin(t ) v0 cos(t )
Al ver un sistema de este tipo vibrar se observa la suma de las proyecciones de los vectores sobre el eje real.
Figura 8 v(t )
v0
sin(t ) v0 cos(t )
Del gráfico anterior se tiene que:
v v 0 2 0
2
v0 v0
arctg
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
15
Luego el desplazamiento se puede escribir como:
v (t ) cos( t )
Figura 9: Desplazamiento versus tiempo.
f
1 T
Figura 10Desfase asociado a condiciones iniciales En resumen, para el sistema en análisis se tiene: Desplazamiento:
v (t ) cos(t )
Velocidad:
v(t ) sin(t )
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
16
Aceleración:
v(t ) 2 cos(t ) 2 v (t )
Las condiciones iniciales generan el desfase aparente del armónico.
Figura 11 Comparación en el tiempo de fase para desplazamiento, velocidad y aceleración. Sin amortiguamiento y bajo condiciones iniciales. Matlab rutina: dinaDespinicial.m
Figure 12. Vectores de Respuesta
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
17
5.3. CONSIDERACIÓN DEL PESO EN LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Figura 13 Ejemplo de sistema de 1GDL Al realizar el equilibrio el sistema mostrado en la figura:
x(t ) v(t ) est x (t ) v(t )
El DCL del cuerpo es:
x(t ) v(t ) Dónde:
FE kx(t ) kv(t ) k est FI mx(t ) k est W
y Luego:
F 0 kv(t ) k
est
mv(t ) W
kv (t ) mv(t ) 0 En este caso el peso no se considera. 5.4. EL AMORTIGUAMIENTO El valor de la razón de amortiguamiento varía según: a. El tipo de material, como se ve en la siguiente lista. Sin daño
Acero / Hormigon 0,01 0.03 Albañilería 0,03 0,05 En el límite de daño (fluencia)
Acero / Hormigon 0, 03 0.10 Albañilería 0, 05 0,15
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
18
b. Condiciones de apoyo (tipo de suelo y fundación) c. Componentes no estructurales d. Tipo de conexión e. Amplitud de la vibración Existe una gran incertidumbre por tanto en la identificación y definición de un valor de amortiguamiento a considerar. Además no es extraño obtener una variación del amortiguamiento en función de la amplitud del movimiento (nolineal elástico). Por ejemplo durante vibraciones ambientales (0.0005 g) el valor puede variar entre 0.8% a 2% de la razón de amortiguamiento crítico. En caso sísmico este valor es considerablemente mayor ante la ausencia de daño o daño leve (1% a 9% en un mismo caso ver Carreño – Boroschek 2010).
(a)
(b)
(c)
(d)
: Evolución de la frecuencia y amortiguamiento modal con respecto a la amplitud modal
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
19
Existe una serie de fórmulas para escalar la respuesta para distintos amortiguamientos. Estas fórmulas son aproximaciones. En el caso Chileno la más utilizada es la fórmula de escalamiento de la norma NCh2369
0.05 A
0.4
Figura 14Sistemas de un GDL amortiguado
A0.8% 0.02 En el caso mencionado obtenemos diferencias de amplitud de A2% 0.008 A1% 0.09 Y A9% 0.01
0.4
1.44
0.4
2.41
Existen grandes dificultades en la definición de un amortiguamiento apropiado y como incorporarlo en forma eficiente en modelos. Algunas normas proponen valores y fórmulas de cálculo: NCh433: Amortiguamiento constante de 5% NCh2369: Amortiguamiento constante en una estructura dado su material y estructuración. Permite la incorporación del amortiguamiento asociado a la interacción suelo estructura hasta en 50% del valor de referencia. Límite inferior de amortiguamiento 2% NCh2745: Valor de referencia variable de acuerdo al sistema de aislación y período. ASCE 7: En sistemas normales 5%. Se permite la modificación por interacción suelo estructura pero mínimo es un 5%. Para sistemas de disipación y aislación se permite su incremento. Para el caso de viento se recomienda valores menores entre 0.5 y 1.5%. Ver DIN1055 y Eurocodigo., ISO4354 Un caso interesante es la NRCXX
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
20
5.5. SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO Los sistemas con amortiguamiento son aquellos donde actúan fuerzas disipativas.
Figura 15 Sistemas de un GDL amortiguado Las fuerzas disipativas,
FD , se pueden deber a diferentes factores:
Al graficar la fuerza disipativa en función del desplazamiento del sistema se obtienen diferentes figuras:
Figura 16 Gráficos de disipación.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
21
5.5.1. Disipadores En algunos casos se utilizan disipadores reales en las estructuras. Acá algunos casos: Figure 17: Disipadores Metálicos (J.M. Kelly, R. I Skinner 1972)
Figure 18: Disipador Friccional (RINGFEDER)
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
22
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
23
Figure 19: Disipador Viscoso y Viscoelástico
F t C x t sgn x t
Possible values 0.15 2.0 But for seismic 0.3 1.0
`
Una historia de los disipadores:http://www.taylordevices.com/papers/history/design.htm
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24
Figure 20: Disipador Elastomérico (R. Boroschek)
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
25
Figure 21: Uniones friccionales
Figure 22: Péndulo friccional (Daniel Fenz)
5.5.2. Solución del Equilibrio Dinámico Equilibrio Dinámico DCL:
De donde:
F 0 F t F t F t Pt I
D
E
Y como:
FI (t ) mv(t ) : Fuerza de inercia FD (t ) cv(t ) : Fuerza disipativas FE (t ) kv (t ) : Fuerza elástica
mv t cv t kv t P t 5.6. SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para determinar la solución homogénea se tiene:
mv t cv t kv t 0
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
26
v(t ) A sin(t ) B cos(t ) v(t ) Ge st v(t ) Gse st v(t ) Gs 2 e st Reemplazando estos valores en la ecuación de movimiento
mGs 2 e st cGse st kGe st 0 Si
c c cc 2m
Entonces la solución es: s
2 1
De donde las características de la vibración de un sistema están dadas por:
c c c : Sobreamortiguamiento c c c : Amortiguamiento _ crítico c c c : Subamortiguamiento _ crítico Caso Sub Amortiguado: c ccrítico Desarrollando la ecuación anterior:
s 2 1 s i 1 2 D
De donde se obtiene la respuesta al caso amortiguado sin excitación externa.
v(t ) e t A sin Dt B cos Dt Al desarrollar la ecuación que define la frecuencia angular amortiguada se tiene:
2 D 1 D 1 2 D2 2 1 2
2
Algunos valores para según esta última ecuación se muestran en la tabla 2.1. Valores para
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
27
D T TD
0,01
0,9999
0,05
0,9987
0,10
0,9950
0,20
0,9798
0,40
0,9165
Figura 23 Variación de la razón de periodo amortiguado y no amortiguado en función de la razón de amortiguamiento crítico.
5.6.1. Decaimiento Libre Para un sistema con P (t ) 0 y con condiciones iniciales v ( 0) v 0 y v ( 0) v 0 se tiene que el desplazamiento está dado por:
v v v(t ) e t 0 0 sin Dt v0 cos Dt D Lo que es equivalente a:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
28
v(t ) e t cos(D t ) 2
v0 v0 2 v0 D
Dónde:
v0 v0 D v0
arctg
v(t ) e t A sin Dt B cos Dt
Figura 24 Decaimiento bajo condiciones iniciales.
Figura 25 Efecto del amortiguamiento en el decaimiento.
: Amplitud máxima. Envolvente
e t
Periodo TD
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
2
D 29
5.6.2. Decaimiento Logarítmico De la respuesta a condiciones iniciales se conoce la envolvente de respuesta y con ella se puede determinar la razón de amortiguamiento, :
vi e ti y vi m e ti N entonces
vi e TD N sacando el logaritmo vi m
v 2 ln i TD N N 1 2 vi m
1
2
ln vi vi N 2 N
aproximando
ln vi vi N 2 N
Figura 26 Cruces por cero y máximos de la repuesta
Figura 27 Calculo de Amortiguamiento
pendiente
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
30
Caso Particular reducción de la mitad de la respuesta.
ln vi vi N 2 N
Cuando vi N vi 2
v 1 ln i 2 N vi 2 ln 2 N 2
Number of cycle to obtain 50% reduction of an amplitude
0,01 0,05 0,10
N
ln 2 2
11,03 2,2 1,1
Figura 28 Número de Ciclos completos para alcanzar un decaimiento respecto de un valor inicial de referencia. Las líneas corresponden a porcentajes de reducción de amplitud inicial.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
31
Sin embargo este criterio no es útil para sistema de varios grados de libertad. En estos casos es posible encontrar decaimientos como los indicados en las figuras siguientes:
Figura 29 Respuesta decayente para dos y tres formas modales observadas en un grado de libertad de la estructura. 5.7. MÉTODOS EXPERIMENTALES BAJO CONDICIONES INICIALES O PULL BACK: Aplicando condiciones iniciales de velocidad o desplazamiento se obtiene un régimen de oscilación libre ( f (t ) 0 ). Al graficar la respuesta del sistema en términos del desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza u otro, se puede determinar el período (T) y la razón de amortiguamiento . Si el desplazamiento y velocidad inicial es conocido en conjunto con la fuerza que los produce es posible determinar también constantes de rigidez, la masa y el amortiguamiento de la estructura. Si el sistema es de varios grados de libertad es relativamente difícil conocer las matrices básicas de masa, rigidez y amortiguamiento. Generalmente lo que se obtienen son los las propiedades modales de la estructura.
Figura 30 Condiciones Iniciales: Desplazamiento y Velocidad (Impacto)
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
32
Figura 31 Sistema de tiro para provocar desplazamiento inicial en Muelle de ventanas
Figura 32 Respuesta ante liberación abrupta en muelle de ventanas. A) Registro de aceleración. B) Espectrograma de la respuesta
Figura 33Definición de Espectrograma.
Figura 34Ejemplo de espectrograma en un funciona armónica con frecuencia con variación lineal
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
33
Figura 35 Ejemplo de aplicación del método de decremento logarítmico en estructuras de varios grados de liberad con frecuencias características bien separadas. A. Separación utilizando filtros de las distintas bandas predominantes. B) Señal filtrada. C) Selección de máximos absolutos. D) Grafica de máximos absolutos e identificación de amortiguamiento medio.
Figura 36 Impacto por salto en pasarela peatonal. Respuesta y ajuste a varias frecuencias mediante técnicas de optimización.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
34
Figura 37 Aplicación de impactos mediante el golpe de una pala mecánica. Respuesta ante el impacto. 5.7.1. Excitación Armónica. Caso C arbitrario
P0 sin(t ) mv t cv t kv t P0 cos(t ) P ei ( t ) 0 El desplazamiento es:
sin(t ) P0 v(t ) e t B cos D t D cos( t ) A sin D k i (t ) Transiente e t
Permanente
Figura 38 Respuesta bajo excitación armónica a partir de condiciones iniciales nulas. Notar el gran efecto inicial transiente y su decaimiento para pasar a un régimen permanente controlado por la frecuencia de excitación.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
35
5.7.2. Análisis de la Amplificación Dinámica Factor de amplificación dinámico de desplazamiento. Ojo que no es lo mismo para el caso de velocidad y aceleración.
D
Dmax 1 2 2 1
1
1 2 2 2
2
Dmax
1 2 1
2
1 2
Figura 39 Factor de amplificación dinámica para distinto amortiguamiento y razón de frecuencia
Figura 40 Angulo de desfase para distinto amortiguamiento y razón de frecuencia.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
36
5.7.3. Factor de Amplificación Dinámica para Velocidad y Aceleración Los casos a considerar son derivados del caso básico
vP (t )
P0 D sin t derivando una y dos veces k
Caso Velocidad
vP (t )
P0 P P D cos t 0 D cos t 0 D cos t k k k
De donde Dv D que tiene como Dv max
1 para v 1 2
Caso Aceleración
vP (t )
P0 P D 2 sin t 0 D 2 sin t ; k m
De donde Dv D 2 que tiene como Dvmax
1 2 1
2
para v 1
1 2 2
Figura 41 Factor de amplificación dinámica de velocidad y aceleración para distinto amortiguamiento y razón de frecuencia. 5.7.4. Ancho de Banda del Factor de Amplificación Given DAF (D) and the maximum value of DAF, we can find the frequencies for different fractions of the maximum amplitude.
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37
D
1 1 2 2 2 2
1
2
El caso más común:
1 1 1 Dmax 2 2 2 De donde
f 2 f1 f 2 f1
5.7.5. Excitación Armónica Régimen Permanente Analizando
mv t cv t kv t p(t ) , con p (t ) P0 sin( t )
P0 D sin( t ) k P v p (t ) 0 D cos( t ) k P vp (t ) 0 D 2 sin( t ) k
v p (t )
mv t cv t kv t P0 sin(t ) FI (t ) FD (t ) FE (t ) p(t ) FI (t ) FD (t ) FE (t ) p (t ) 0 Figure 42. Vector Response. All vectors rotate with velocity:
t
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
38
Figure 43. Para un ángulo
2
.
2 1 corresponde a resonancia. 2 1
Porque tan 1
5.7.6. Aislamiento de Vibraciones Si se tiene la estructura mostrada en la figura, con
P(t ) P0 sin t , la solución
particular está dada por:
vP (t )
P0 D sin t k
Entonces, las fuerzas son:
FE (t ) kv p (t ) P0 D sin t FD (t ) c
P0 D cos t P0 D cos t k
Como FE y FD están a 90 grados la fuerza resultante, FR , es:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
39
FR
FD FE 2
2
2 Po D 1 2
1
2
2 1 2 Po 2 2 1 2
1
2
La Transmisibilidad de fuerzas es: 2 1 2 FR TR 2 2 Po 1 2
1
2
Se puede demostrar que la TR es idéntica para razones de aceleración y desplazamiento absolutos.
Figure 44. Función de Transmisibilidad Es posible analizar la Transmisibilidad en función del desplazamiento estático producido por la acción. Para ello estudiamos el caso de 0
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
40
1
TR
Si
2 1
2 entonces
2 1 despejando 1 TR TR 2 1 1
k 1 W 1 1 1 1 y 1 1 1 TR TR m TR m TR est 2
g 1 1 est TR
Figura. 45 Aislamiento de Maquinas. Desplazamiento estático necesario para obtener un TR dada un frecuencia de excitación para 0
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
41
Para el caso normal de diseño en cual se asume un est 1/ 4" y para las frecuencias típicas de excitación:
F (Hz)
TR
1 est 1 g 2
25 12.5 6.25 Presentar Ejemplos Caso real chancador Caso 2 GDL Masa sintonizada Caso General 6 GDL Caso Plano con rocking 5.7.7. Respuesta en Resonancia
Figura. 46Caso Básico Dado:
v(t ) e t A sin Dt B cos Dt En resonancia
P0 D sin t k
2
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
42
yD
1
1 2 2 2
2
1 2
Si las condiciones iniciales son nulas:
v (0) v0 0
v (0) v0 0
Se obtiene
1 P0 t sin D t cos D t cos t v(t ) e 1 2 2 k v static
If:
1 d
Entonces:
v (t ) 1 t e 1 cos(t ) vest 2 Entonces la envolvente de la función está dada por 1 e
t
Figura 47 Envolvente sistema amortiguado.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
43
Figure 48. Respuesta Resonante para un Desplazamiento Normalizado. Normalización 1 / 2 . T 0.5 s , v0 0 , v0 0 . Si se analiza la envolvente es posible estimar la tasa de crecimiento para un tiempo dado
t nT la amplitud es
Ae
t
e
2 t T
e 2 n .
Figura 49 Taza de crecimiento de la respuesta resonante. A menor amortiguamiento más tiempo para alcanzar respuesta máxima.
Si una estructura no tiene amortiguamiento, 0 utilizando la regla de L’Hospital’s:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
44
v (t ) 1 sin( t ) t cos( t ) vest 2
Figura 50 Respuesta resonante para distintos valores de amortiguamiento. Notar que la amplitud y el tiempo para alcanzar la máxima amplitud es sensible al valor de la razón de amortiguamiento 5.8. VIBRACIÓN FORZADA En este ensayo se instala una máquina en la estructura que genera una vibración con frecuencia y fuerza conocida. Normalmente este equipo de excitación se compone de dos masas excéntricas que rotan en dirección contraria. Alternativamente se utilizan gatos hidráulicos que mueven en forma unidireccional masas variables en la estructura. La máquina se hace oscilar a frecuencias conocidas y se determina el desplazamiento máximo. Posteriormente se grafica la respuesta máxima en función de la frecuencia de excitación. La grafica es posteriormente normalizada por el valor de frecuencia en el máximo. La grafica
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
45
resultante es utilizada para determinar la frecuencia de la estructura y la razón de amortiguamiento utilizando el método de ancho de banda. Para el caso de excitación fuerzas excéntricas, el valor de la fuerza aplicada depende de la maza excéntrica, su distancia al eje de rotación y la frecuencia de excitación ( p (t ) 2 me e 2 ).
Figura 51. Arreglo básico
Diseñada por Dino Morelli, Thomas Caughey desarrollo sistema eléctrico.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
46
Figura 52 Hudson, Donald E. (1961) structures. Technical Report: Caltech EERL: 1961.EERL.1961.001. California Institute of Technology. Keightley, W. O. (1964) A Dynamic investigation of Bouquet Canyon Dam. Technical Report: Caltech EERL: 1 964.EERL. 1964.002. California Institute of Technology
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
47
Figura 53 Utilización de masa excéntrica en viaducto Cypress EEUU, 1989. 6. SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL 6.1. MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO
vave
vn 1 vn 2
(1)
Si llamamos vn 1 vn vn Entonces vave vn
vn 2
(2)
La velocidad se obtiene integrando
vn 1 vn vn
(3)
El incremento de velocidad vn está dado por
vn vave t y utilizando (2)
vn vn t
vn t 2
(4)
El desplazamiento se obtiene integrando nuevamente
vn 1 vn vn
(5)
El cambio de desplazamiento en el paso es:
vn
vn 1 vn t 2
(6)
Reemplazando (3) en (6)
vn
vn vn vn t v t 1 v t 2
n
2
n
(7)
Usando (4)
vn vn t
1 1 vn t 2 vn t 2 2 4
(8)
Para obtener vn 1 en términos de n , vn , vn despejamos vn de (8)
vn
4 1 vn vn t vn t 2 2 2 t
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
48
vn
4 4 vn vn 2vn 2 t t
(9)
Dado que vn 1 vn vn Entonces vn 1
4 4 vn vn vn vn 1 f vn 1 , vn , vn 2 t v v t
n1
n
Reemplazando (9) en (4) vn vn t Reduciendo: vn
(10)
4vn t 4 2vn 2 vn 2 t t
2 vn 2vn t
Entonces
vn 1
vn1 vn 2 2 vn vn 2vn vn vn t t
(11)
vn 1 f vn 1 , vn , vn Sustituyendo (5), (10) y (11) en
mvn 1 cvn 1 kvn 1 Pn 1
4 4 2 m 2 vn vn vn c vn vn kvn 1 Pn 1 t t t 2 4 4 4 2 2 m c k vn 1 Pn 1 m 2 vn vn vn c vn vn t t t t t Si
4 2 K 2 m c k constante para todo el proceso, y t t
4 4 2 Pn 1 Pn 1 m 2 vn vn vn c vn vn t t t Entonces:
vn 1 K 1 Pn 1 Finalmente el algoritmo a utilizar es: Inicialización:
4 2 K 2 m c k t t
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49
v0 m 1 cv0 kv0 For n=0:length(P) a.
4 4 2 Pn 1 Pn 1 m 2 vn vn vn c vn vn t t t
b. vn 1 K 1 Pn 1 c.
2 vn vn t m 1 Pn 1 cvn 1 kvn 1
vn 1
d. vn 1 end
Método Alternativo Alternativamente para casos no lineales es mejor restar dos pasos consecutivos
m vn 1 c vn 1 k vn 1 Pn 1 En este caso se puede utilizar el valor tangente para cada una de las propiedades de la estructura.
4 4 2 m 2 n n 2n c n 2n k n Pn t t t 2 4 4 c k n P m n 2n 2cn 2 m t t t
4 2 4 n kˆ 1Pˆn con kˆ 2 m c k y Pˆn Pn m n 2n 2 cn t t t Finalmente el procedimiento es el siguiente Dados n , n ,n ,n , Pn Pn 1 Pn ; n , c , k 1. Calcular kˆ 2. Pˆn 3. n kˆ 1 Pˆn 4. n 1 n n 5. n
2 n 2n t
6. n 1 n n
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
50
7. n
4 4 n n 2n 2 t t
8. n 1 n n o
n 1 m 1 Pn 1 cn 1 k n 1
Caso adicionales: Wilson Hilbert Huangn Chopra Lineal Precisión de Métodos variación de periodos. 7. ENERGÍA 7.1. ENERGÍA DISIPADA Para calcular la energía disipada en un sistema se integra la ecuación de movimiento del sistema en función del desplazamiento entre dos instantes de tiempo dados, de la siguiente manera: v t2
F (t ) F I
v t1
D
(t ) FE (t ) dv 0 vt
2 1 1 2 t2 2 t2 m v(t ) k v(t ) FD (t ) dv 0 t1 t1 2 2 v t1
E K
EV
Desarrollando la última integral se tiene: v t 2
F
D
v t1
(t )dv cv
dv dt c v 2 dt dt
Finalmente se tiene que: t2
E K EV c v 2 t dt
t1 Energía _ disipada
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
51
7.2. EVOLUCIÓN DE LA ENERGÍA EN EL TIEMPO EN REGIMEN PERMANENTE
A partir de la ecuación de equilibrio dinámico mv En régimen permanente
v t
t cv t kv t p(t ) po sen(t )
p0 p D sin t y v t 0 D cos t k k
7.2.1. Energía de Entrada Régimen Permanente La energía de entrada es v (T )
WE (t )
v (0)
t
t
0
0
p(t )dv p(t )v(t )dt po sin(t ) cos(t )dt donde
po D k
t
t 1 WE (t ) po cos(2t ) sin( ) 2 4 0 t 1 1 WE (t ) po cos(2 t ) sin( ) cos( ) 4 2 4 lineal Oscilante Para un ciclo de oscilación t T 2 / :
2 / 1 2 / 1 cos(2 2 / ) sin( ) cos( ) po sin( ) WE po 2 4 2 4 0 W E po sin( ) Pero sin( ) 2 D y
po D ; reemplazando k
estos valores tenemos
W E 2
k 2 D 2 2 k D
7.2.2. Energía de Disipada Régimen Permanente La fuerza disipadora: FD cv(t ) c
FD 2
c 2 m
p0 p 2 D cos t c 0 2 D cos t 2 k m
Dp0 cos t 2 Dp0 cos t
La energía disipada es:
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52
v (T )
ED
v (0)
t
t
0
0
FD (t )dv FD (t )v2 (t )dt c
t
po 2 2 2 D cos2 (t )dt c 2 2 cos2 (t )dt 2 k 0
t sin(2( t )) ED c 4 2 0 t
2
2
t sin(2( t )) sin(2 ) E D c 2 2 4 4 2
sin(2( t )) t sin(2 ) ED c 4 2 4 Lineal Oscilante 2
Para un ciclo de oscilación t T 2 / :
2 2 sin(2( )) sin(2 ) 2 E D c c 2 2 c 2 4 4 2 2 2
2
c 2 k
Con
ED 2 2 k
7.2.3. Balance de Energía Por inspección en un ciclo WE E D ; Es fácil de mostrar que la energía cinética y potencial, en un ciclo de régimen permanente, se anulan:
EK
1 2 T mv (t ) 0 2
EV
1 2 T kv (t ) 0 2 7.2.4. Extensión para Varios Grados de Libertad
Para sistemas de varios grados de libertad debemos modificar levemente nuestras ecuaciones: Energía Cinética: EK (t )
1 T v(t ) M v(t ) 2
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53
Energía Potencial: EV (t ) Trabajo Externo: WE (t )
1 T v(t ) K v(t ) 2 T
T
P(t ) dv 0 P(t ) v(t ) dt
Energía Disipada: ED (t )
t
T
T
T
FD (t ) dv 0 FD (t ) v(t ) dt 0 v(t ) C v(t ) dt t
t
La energía en cualquier instante de tiempo es: ETOTAL (t ) E K (0) EV (0) W E (t ) E D (t ) Ejemplos Energía en Vibración
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54
Figura 54. Energía en Decaimiento Libre. Caso 1 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05.
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55
Figura 55. Energía en Forzante Armónico. Caso 1 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05.
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56
Figura 56. Energía en Sismo. Caso 1 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05.
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57
Figura 57. Energía en Forzante Armónico. Caso 5 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05 todos los modos.
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58
7.2.5. Caso Modelo con Masa en Resonancia
mv t cv t kv t p(t ) po sen(t ) En resonancia se tiene que , entonces
p t FD t .
Si p (t ) p0 sin( t ) , entonces:
p0 1 sin t k 2
En régimen permanente v t
Pero como está en resonancia:
v t
2
P0 1 cos t k 2
Luego la resultante de un gráfico fuerza desplazamiento para un instante de tiempo t es: 2
P0 sin( t ) P0 1 cos t r t 2 k 2 2
Entonces, la energía disipada corresponde al área de la elipse que se forma al graficar
FD (t )
en función de v (t ) , como se muestra en la Figura 58.
Figura 58.Trabajo realizado por las fuerzas disipativas.
Finalmente:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
59
Aelipse ab ED P (t ) P0 2 FD cvmax c A elipse c P 1 ED P0 0 k 2 E c D2
Notar que c depende de la frecuencia . Esto es característico de sistemas viscoelásticos. Como
c c se tiene: cc 2m
c ED para 2 m 2 cc Con EV
1 kv (t ) 2 2
ED ED 2 2 k 4 EV
Notar que en la derivación anterior se incluye la existencia de una masa. 7.3. DEFINICIONES IMPORTANTES Capacidad de Amortiguamiento Específica (Specific Damping Capacity): Factor de Amortiguamiento Específico (Specific Damping Factor):
ED EV
ED 2 2 EV
Factor de Calidad (Quality Factor): Q 1 g 1 2 7.4. CASO MODELO SIN MASA
cv t kv t p(t ) Si se hace un ensayo de desplazamiento controlado la respuesta y fuerza resultantes son:
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60
v(t ) sen( t ) v(t ) cos( t ) p(t ) c cos(t ) k sen(t ) Existe un equilibrio entre el trabajo desarrollado en un ciclo de régimen permanente de la carga externa y la energía disipada en ese ciclo. Sino no sería un régimen permanente. Adicionalmente es fácil demostrar que la componente elástica se cancela en un ciclo dado que es antisimétrica. 2 /
v (T )
We
p(t )dv
v (0)
2 /
p(t )v(t )dt
0
cv(t )2 k 2 sin(t ) cos(t ) dt
0
2 /
2 /
cv(t )2 dt
0
f d dv ED
0
Por tanto la energía disipada en un ciclo: 2 /
v (T )
ED
p(t )dv
v (0)
0
2 /
p(t )v(t )dt
f d (t )v(t )dt c 2
0
De donde se observa la dependencia de Ed y
c
c de
ED
2
Y la energía potencia máxima almacenada en un ciclo sigue siendo:
1 EV k 2 2 Figura 59 Ejemplo de ciclo histerético: c=5 k=1000 f =0.120 Hz Notar: Para frecuencias bajas se genera la curva linealelástica. Al aumentar la frecuencia de 0.1 a valores mayores los ciclos se ensanchan. A pesar que c es constante en este problema es variable dado que la energía potencia no varía y si el área de la elipse. El desplazamiento máximo es fijo e impuesto y la fuerza máxima estática es k . Sin embargo la fuerza máxima es mayor.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
61
7.5. CASO DE FRICCIÓN En el caso de fricción es interesante notar que para el caso de resonancia no es posible encontrar un equilibrio si la fuerza máxima de fricción es FD N y la fuerza de excitación tiene una amplitud po 4 FD / debido a que la energía disipada en un ciclo de friccional es
E D 4 FD y por tanto proporcional al desplazamiento. La energía de entrada es XXX Ver Den Hartog Y por tanto en el caso indicado se tiene que siempre
Ed EI 7.6. AMORTIGUAMIENTO INDEPENDIENTE DE LA FRECUENCIA Rate independent damping: se asocia a lo que se denomina histéresis estática o que no dependen de la frecuencia de excitación. Esta se debe a deformaciones plásticas, flujo plástico, o plasticidad de cristales. Pero no es el caso de daño macroscópico del material o inelástico del material. Ejemplo de un modelo:
fd
k v o f d igkv donde g es el coeficiente de amortiguamiento histerético.
En este caso ED k 2 o ED gk 2 Por tanto no depende de La ecuación de equilibrio dinámico es en este caso:
mv t
k v t kv t p(t )
mv t ( gi 1)kv t p(t )
Estas ecuaciones no pueden resolverse en el espacio del tiempo. Para el caso de excitación armónica se puede encontrar de la primera ecuación de arriba: Dado que podemos aproximar:
D
c c k entonces cc 2m 2m 2
1
i
1
2
y
D
1
2
1 2 2
Y el ángulo de fase:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
62
tan
1
2
En forma similar D
1
2 /
La energía disipada es:
2
1 2 g 2
Ed
f d (t )v(t )dt kg 2
0
De una gráfica de comparación del sistema viscoso e independiente de frecuencia:
Figura 60Amplificación dinámica para caso viscoso e independiente de frecuencia. Scprit: Damplificacionyfase.m Notar:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
63
1. Las diferencias son muy pequeñas en amplitud y las máximas diferencias ocurren en resonancia. 2. La máxima amplificación para el caso de independiente de la frecuencia se da en resonancia. 3. La fase en / = 0 no es cero para independiente de la frecuencia sino que es tan 1 ( ) 4. Dado que se ajustó al caso de que
2
se tiene una respuesta idéntica para ambos
casos. Todo lo anterior permite resolver con un error pequeño el problema complicado de resolver en el tiempo el caso independiente de la frecuencia.
Figura 61 Fase caso viscoso e independiente de frecuencia 7.7. AMORTIGUAMIENTO EQUIVALENTE Varias opciones de definición:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
64
a. Aquel que tiene el mismo ancho de banda que un sistema viscoelástico. b. A partir de ciclos histeréticos Si deseamos generar el valor de razón de amortiguamiento crítico es necesario establecer una masa o frecuencia natural del sistema.
c c De donde obtenemos la relación cc 2m
eqv
ED ED ED c 2 2 2 cc 2 m 2 m / 4 / k 2 / 2
eqv
ED
4 EV /
La norma de aislación permite estimar la rigidez utilizando el eje mayor de la elipse y la propuesta de amortiguamiento equivalente siempre que se ensaye en resonancia :
ED 4 EV
kequiv
F F
Lo cierto es que el efecto de más sensible en resonancia y si bien esta aproximación es correcta solo en resonancia las diferencia fuera de esta área son generalmente menores. 7.8. GENERALIZACIÓN MODELO LINEAL EQUIVALENTE DE UN DISIPADOR (CI72C / CI62V: Dinámica Avanzada de Estructuras, Manuel Rivera B, José Tomas Yañez C. mod. Rev. RBK 9 junio 2008)
Dado un disipador con comportamiento no lineal f f (v ,v, z, t )
En la expresión anterior la fuerza f del disipador, depende de la posición, la velocidad, el tiempo y el estado z del disipador, que puede representar temperatura, presión, dirección de movimiento etc. Se propone un estado lineal de la forma:
fˆ (t ) k e v (t ) ce v (t ) Donde ke y ce son la rigidez y el amortiguamiento equivalente. El error que se comete en la aproximación se define como: e(t ) f (v ,v, z, t ) fˆ(t )
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
65
Se elige defino:
key ce
talque minimicen la suma de los errores al cuadrado en un periodo, para eso 2π
J (k e ,c e )
ω
e dt 2
0
Para minimizar la expresión anterior se impone: J 0 k e
J 0 ce
;
Al asumir que la respuesta es de forma sinusoidal se obtienen la rigidez y el amortiguamiento equivalente para el disipador. 2
ke
2
f v 0 sin( t ) dt
0
v o2
f v cos(t )dt 0
ce
0
vo2
Demostración
Dado la fuerza no-lineal y el modelo lineal: f f (v,v, z,t )
~ f k e v ce v Se define
v (t ) v0 sin( t ) ~ e f f 2π
J (c e , k e )
e
2
dt
0
Con propiedades J 0 c e
J 0 k e
J representa la función que minimiza la diferencia entre la fuerza lineal y la no-lineal. Desarrollo J 0 c e
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
66
J ce
2
ce
2
2
( f f ) dt 0 2
0
( f (c v k v)) dt 2
e
e
0
f
2( f c v k v) ( c
e
e
(cev) (kev) )dt ce ce
e
0
Con ( k e v ) f 0y 0 c e c e
Se tiene 2
2
( fv c v
ke v v)dt
2
e
0
2 fvdt ce 0 2
2
0
v dt ke v vdt 0 0 2
2
Con 2
2
v dt v 2 0
2
0
2
cos ( t )dt 2
0
t sin( 2 t ) 2 2 v v0 4 0 2 v02 2
2 0
2
0
Y 2
2
v vdt v cos( t ) sin(t )dt 2 0
0
0
sin 2 ( t ) v02 0 0 0 v 2 0 2
2 0
Luego 2
f
vdt ce v02 ke 0 0
0
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67
2
1
ce
f vdt notar que esto es el área de la energía disipada.
v02
0
Desarrollo J 0 k e
J ke ke 2
2
( f (c v k v)) dt 2
e
e
0
f
2 ( f c v k v) ( k e
e
0
e
(ce v) (ke v) )dt ke ke
Con (c e v ) f 0y 0 k e k e
Se tiene 2
2
0
( f v ce v v ke v )dt 2 f vdt ce 0 2
2
2
2
ke v vdt
0
0
v 2 dt 0
Con 2
2
v dt v 2
2 0
0
0
2 t sin(2 t ) 2 v0 v sin ( t )dt v 0 0 4 0 2 2
2
2 0
Luego 2
f (t )v(t )dt ce 0 ke
0
ke 2 v0
2
v02
0
f (t )v(t )dt
0
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
68
7.8.1. Tipos de disipadores
Caso de 2 tenemos
8 Ed c 3 2 y ce 8 c 3 3
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
69
Figura 62 Modelo no lineal y lineal equivalente para = 2 (dinaviscosonolineal.m) 7.8.2. Friccional Puro La ley constitutiva de estos disipadores sigue la siguiente forma
Para calcular ke, se ocupa la formula general, 2
ke
f v 0 sin( t ) dt
0
v o2
,
la integral se define como la suma de 4 integrales cuyos límites y valores quedan definidos según el signo que toma f para cada valor de v Para v 0, v 0 en dirección 1 f F y
aquí t 0 , π / 2 ω
Para v v 0 ,0 en dirección 2 f Fy aquí t π / 2 ω , π / ω Para v 0, v 0 en dirección 3 f Fy aquí t π / ω ,3 π / 2 ω Para v v 0 ,0 en dirección 4 f F y aquí t 3 π / 2 ω ,2 π / ω Reemplazando en la expresión ke, se obtiene:
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
70
2w k e 2 F y v 0 sin( t ) dt vo 0 w 1
tf
F v sen ( wt )dt F v y 0
3 2w
2 w
F y v 0 sin( t ) dt F y v 0 sin( t ) dt 3 F y v 0 sin( t ) dt 2w 2w w w
cos( w tf ) cos( w ti )
y 0
w
ti
Reemplazando en la expresión anterior y factorizando por
Fy v0
, queda
Fy 3 3 cos( ) cos(0) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos(2 ) cos( ) 2 2 4 4 v0 F ke y 0 1 1 0 0 1 1 0 v0 ke
ke 0
Desarrollo de la expresión del Ce para disipador friccional puro Para calcular Ce, ocupo la formula general, 2
ce
f 0
v0 cos(t )dt vo2
,
la integral se define como la suma de 4 integrales cuyos límites y valores quedan definidos según el signo que toma f para cada valor de v Para v 0, v 0 en dirección 1 f F y
aquí t 0 , π / 2 ω
Para v v 0 ,0 en dirección 2 f Fy aquí t π / 2 ω , π / ω Para v 0, v 0 en dirección 3 f Fy aquí t π / ω ,3 π / 2 ω Para v v 0 ,0 en dirección 4 f F y aquí t 3 π / 2 ,2 π / ω Reemplazando en la expresión Ce, se obtiene: 3 2 2w 2w w w ce 2 Fy v0 cos(t ) dt Fy v0 cos(t ) dt Fy v0 cos(t )dt Fy v0 cos(t ) dt vo 0 3 2w 2w w Calculando la primitiva de esta expresión, tenemos:
1
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
71
tf
F
y
v0 cos(t ) dt Fy v0 sin( tf ) sin( ti )
ti
Reemplazando en la expresión anterior y factorizando por
Fy v0
, queda
3 3 sen( ) sen(0) sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen(2 ) sen( ) 2 2 4 4 v0 Fy 1 0 0 1 1 0 0 1 ce v0
ce
Fy
ce
4 Fy v0
7.8.3. Constitutiva Triangular La ley constitutiva de estos disipadores sigue la siguiente forma
Para calcular ke, ocupo la formula general, 2
ke
f v 0 sen ( t ) dt
0
v o2
, aquí la integral se define como la suma de 4 integrales cuyos límites
y valores quedan definidos según el signo que toma f para cada valor de v Para v 0, v 0 (a) f k 1 v
aquí t 0 , π / 2 ω
Para v v 0 ,0 (b) f k 2 v aquí t π / 2 ω , π / ω Para v 0, v 0 (c) f k 2 v aquí t π / ω ,3 π / 2 ω Para v v 0 ,0 (d) f k 1 v aquí t 3 π / 2 ω ,2 π / ω Notar que para todas las trayectorias el signo está dado por el signo de v.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
72
Reemplazando en la expresión de f en ke teniendo en cuenta que v v o sin(wt ) , se obtiene: 3 2w 0 2w w 1 2 2 2 2 ke 2 k1 (v0 sin(wt)) dt k 2(v0 sin(wt)) dt k2 (v0 sin(wt)) dt k1 (v0 sin(wt)) dt vo 0 3 w 2w 2w w
Calculando la primitiva de esta expresión, tenemos: tf
k (v
0
sin( wt )) 2 dt kv02
sin( wtf ) cos( wtf ) tf sin( wti ) cos( wti ) ti
ti
2w
Viendo los límites observamos que siempre cuando el seno es distinto de cero el coseno es nulo y viceversa, por lo que la primitiva con los límites tratados en las integrales queda: tf
k (v sen ( wt ))
2
0
dt k v02
ti
tf ti 2w
Reemplazando en la expresión anterior y factorizando por
v 02 , queda 2w
ke
1 2
3 3 k1 2 0 k2 2 k2 4 k1 2 2
ke
Fy
k1 k2
ke
2
k1 k 2 2
Desarrollo de la expresión del Ce para disipador con ley constitutiva triangular La ley constitutiva de estos disipadores sigue la siguiente forma
Para calcular Ce, ocupo la formula general,
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
73
2
f v w cos( wt )dt 0
ce
0
vo2 w
La integral se define como la suma de 4 integrales cuyos límites y valores quedan definidos según el signo que toma f para cada valor de v Para v 0, v 0 (a) f k 1 v
aquí t 0 , π / 2 w
Para v v 0 ,0 (b) f k 2 v aquí t π / 2 w , π / w Para v 0, v 0 (c) f k 2 v aquí t π / w ,3 π / 2 w Para v v 0 ,0 (d) f k 1 v aquí t 3 π / 2 w ,2 π / w Notar que para todas las trayectorias el signo está dado por el signo de v. Reemplazando en la expresión de f en ke teniendo en cuenta que v v o sen(wt ) , se obtiene: ce
1 vo2w
2w
w
3 2w
2w
w
k (v 1
0
0
0
sin(wt))(v0 w cos(wt))dt k 2(v0 sin(wt))(v0 w cos(wt))dt k 2 (v0 sin(wt))(v0 w cos(wt))dt k1 (v0 sin(wt))(v0 w cos(wt))d 3 2w
Calculando la primitiva de esta expresión, tenemos: tf
2 k (v0 sin( wt ))(v0 w cos( wt )) dt kv0
cos( wtf )
2
ti
cos( wti ) 2 2
v02 Reemplazando en la expresión anterior y factorizando por , queda 2
ce ce
1 3 3 cos( )2 cos(0)2 cos( )2 cos( )2 cos( )2 cos( )2 cos(2 )2 cos( )2 2 2 2 2 2
1 2
0 1 1 0 0 1 1 0 ce 0
7.8.4. Elemento Viscoso no-lineal Una fuerza viscosa no-lineal se modela según: f c α v
α
sgn( v )
Donde
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74
Cα: constante α: número real < 2. Si α > 2 la energía liberada disminuye y deja de ser un elemento atractivo para reducir vibraciones Parámetros lineales elemento viscoso ce cα
4(α 2)
2
α 2
(α 2 3 2)
2
ω α 1v 0α 1
ke 0
Para v sin(t ) v cos(t ) f v
α
sgn(v )
Curvas no lineales para α =[0 0.5 1 1.5 2]
Curva no lineal y aproximación lineal para α = 2 Ce = 0.849·w·Vo
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75
Figura 63 Demostración Dado f c α v
α
sgn( v )
v (t ) v0 sin( t ) Desarrollo de Ce 2
ce
1 v02 2
1 v 2 0
f (t )vdt 0
c v
sgn(v)v0 cos(t )dt
0
Separando los límites de integración
c v0
3 2 2 2 v cos(t )dt (v) cos(t )dt v cos(t )dt 3 0 2
c v0
3 2 2 2 1 v0 cos (t )dt (v0 cos (t )) cos(t )dt v0 cos 1 (t )dt 3 0 2
Con
cos(t ) cos( t ) Se tiene 3 2 2 2 1 v0 cos (t )dt (v0 cos( t ) cos( t )dt v0 cos 1 (t )dt 3 0 2 2 3 2 c v0 1 2 1 1 cos (t )dt cos( t ) dt cos 1 (t )dt 3 0 2
c v0
Paralelamente. Integrando por partes se tiene:
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76
v cos n 1 ( x) dv (n 1) cos n 2 ( x) sin( x) u sin( x) du cos( x)
udv uv vdu
cos n ( x )dx
sin( x ) cos n 1 ( x ) n 1 cos n 2 ( x )dx n n
i.e. F ( n) An
n 1 F ( n 2) n
se puede demostrar para el caso en estudio que An 0
Valido para α = n
F ( )
1 1 3 ( 1)( 3)( 5) ( 2 )( 4 ) F ( 2 ) F ( 4 ) 2 ( 2 )( 4 ) ( 2 )( 4 )
( 1) ( 1) 4( 1) 2 2 2 2 4 ( ( 2)( 4)) 2 ( 2 1) 2 2 ( 2 )( 2 2 )( 2 2 )
NOTA: No está demostrado para α < 2, que es el rango de interés del problema. Continuando 3 2 2 c v0 1 2 1 1 cos (t )dt cos( t ) dt cos 1 (t )dt 3 0 2 c v0 1 2 1 2 cos (t )dt 2 4( 2) c v 1 0 2 3 1 2 2 ( 2 1)
Luego
4 ( 2) 1 1 ( 2) 3 2 ce c v0 1 1 2 c v 0 2 3 2 ( 2 2 ) 2 ( 2 2 ) Para el caso de 2
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77
c
Ed
2 /
Ed f d (t )dv 2 ce
/
f d (t )v(t )dt
0
/
c v2 vdt
0
0
3 8 c sen t dt c 3 2 3
8 c 3
Desarrollo de ke
ke 2 v0
v02
2
2
f (t )vdt 0
c v
sgn(v)v0 sin(t )dt
0
Separando los límites de integración 3 2 2 c 2 v sin(t )dt (v) sin(t )dt v sin(t )dt v0 0 3 2 3 2 2 c 2 v cos ( t ) sin( t ) dt ( v cos ( t )) sin( t ) dt v cos ( t ) sin( t ) dt 0 0 0 v0 0 3 2
Con
cos( t ) cos( t ) sin( t ) sin( t ) Se tiene c v0 1 1 2 cos (t )sin(t )dt 0
3
2
cos (t )sin(t )dt 3 2 2
cos ( t )sin( t )dt
2 2 cos 1 (t ) c v0 1 1 cos 1 (t ) cos 1 ( t ) ( 1) ( 1) 3 ( 1) 0 2 2
3
2
c v0 1 1 1 1 0 0 ( 1) ( 1) Luego ke 0
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78
Códigos MATLAB %Grafico de una fuerza viscosa no lineal y su aproximación lineal %en función del desplazamiento % Fuerzo nolineal = Cnl*abs(velocidad)^alfa*sign(velocidad) vo=1; wd=1; t=0:2*pi/(wd*100):2*pi/wd; v1=vo*sin(wd*t); v2=vo*wd*cos(wd*t); % Parametro alfa-alfa=1.75; % -------------Cnl=1; ce=Cnl*vo^(alfa-1)*wd^(alfa-1)*(gamma(alfa+2)/((2^alfa)*gamma(alfa/2+1.5)^2)); fnl=Cnl*abs(v2).^alfa.*sign(v2); fl=ce*v2; plot(v1,fnl,v1,fl); legend('No-lineal','Lineal'); title(['Fuerza viscosa no-lineal y aproximacion lineal xlabel('Desplazamiento'); ylabel('Fuerza');
\alpha =',num2str(alfa)])
7.9. CALOR DISIPADO La energía disipada se puede traducir directamente en calor el cual se calcula directamente del trabajo de la fuerza disipadora 2 /
Ed
f d (t )v(t )dt kg 2
0
La unidades de la energía es Fuerza-Distancia por ciclo, también en Joules/seg =N x m/seg=Watts x seg / seg = Watt. Esta energía se debe evaluar como se puede disipar a nivel de superficie ya que no es extraño tener valores de varias decenas de Watt. 7.1. SISTEMAS DE N GRADOS DE LIBERTAD Siempre trabajamos con los GDL dinámicos. Sí tenemos exceso de estáticos, debemos condensar hasta tener solo los dinámicos. Para NGD, se tiene que en el equilibrio de fuerzas:
f I (t ) nx1 f D (t )nx1 f E (t )nx1 P (t ) Donde las fuerzas elásticas, de inercia y disipación, se definen como:
f E (t )nx1 K nxn v (t )nx1
f
I
(t ) M nxn v(t )nx1
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
79
Luego la ecuación característica de equilibrio, para un sistema de NGD es:
M v(t ) C v(t ) K v (t ) P (t ) 7.1.1. Condensación Estática
K v (t ) FE (t ) K 00 K10
K01 v0 (t ) F0 (t ) K11 v1 (t ) F1 (t ) 0
K10 v0 (t ) K11 v1 (t ) F1 (t ) 0
v1 (t ) K11 K10 v0 (t ) 1
K00 v0 (t ) K01 K11 K10 v0 (t ) F0 (t ) 1
K
K 01 K11 K10 v0 (t ) F0 (t ) 1
00
I v0 (t ) v(t ) T v0 (t ) 1 K11 K10
K~ T
T nxn
K nxn T nxn
T , no depende del tiempo, entonces: v(t ) T v0 (t ) v(t ) T v0 (t ) v(t ) T v0 (t )
C~ T C T T
T M T M T
7.1.2. Solución a la Ecuación Homogénea Primero resolvemos para [C] = 0 Problema homogéneo Donde su solución es conocida:
v ( t )nx1 nx1 y ( t ) y0 ( t ) sen ( t )
v(t ) 2 y0 sen ( t ) DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
80
Si reemplazo la solución.
K nxn 2 M nxn nx1 0nx1 det K 2 M 0 De esta ecuación se obtiene i (Valores propios.), los que representan las frecuencias de cada modo. Problemas de valores propios n soluciones. n frecuencias. n valores propios. 7.1.3. Determinación de valores propios a través de polinomios característicos Este método no se utiliza porque es muy costoso en matrices de grande dimensiones. En esencia se encuentra las raíces del polinomio característico. Ejemplo 1
1 0 0 2
M
2 2 2 4
K
0.7071 0.7071 0.5000 0.5000
0 0.5858 0 3.4142
2
Characteristic polynomial factors 1, 4, 2
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
81
Figura 64 Polinomio Característico 2 DOF. Ejemplo 2 DOF: 5
M 2
K 3 0.05 Polinomio característico: 1.00, 13.50, 63.00, 118.13, 75.94, 7.59
0.4221 0.3879 0.3223 0.2305 0.1201 0.3879 0.1201 0.2305 0.4221 0.3223 0.3223 0.2305 0.3879 0.1201 0.4221 0.2305 .04221 0.1201 0.3223 0.3879 0.1201 0.3223 0.4221 0.3879 0.2305 2 0.1215 1.0354 2.5731 4.2462 5.5238
Figura 65 Polinomio Característico 5 DOF
Figura 66 Polinomio Característico 20 DOF
7.2. MANEJO EFICIENTE DE MATRICES Para la evaluación de vectores propios, Ritz y LDV se requiere un manejo eficiente de la ortogonalización y descomposición de matrices. Para esto vemos dos temas ortogonalización de Gram-Schmidt y Factorización LU.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
82
7.2.1. Ortogonalización de Gram-Schmidt En el proceso de generación de los vectores Ritz, se requiere la ortogonalización de los vectores formados, este proceso se llevará a cabo utilizando el método de Gram-Schmidt.
V un
Sea
vector inicial que tiene componentes de varios vectores. Se requiere
ortogonalizaren base a la matriz [M], el vector
V al vector V existente. Definiendo
V al
n
vector resultante de la ortogonalización se tiene:
V V Vn Donde el valor , que indica la magnitud de la proyección del vector
V
sobre
Vn ,
corresponde a la incógnita a determinar para lograr la ortogonalización. Multiplicando por la izquierda a cada lado de la ecuación por
Vn M resulta: T
Vn M V Vn M V Vn M Vn 0 dado que Vn y V T
T
T
son ortogonales por definición:
0
Vn M V T Vn M Vn T
Este método, aunque adecuado matemáticamente, resulta inestable computacionalmente, debido a que, al generar en cada paso los valores de correspondientes a todos los vectores precedentes en base al vector original i , no es considerada la acumulación de errores al ir ortogonalizando el vector por los que lo anteceden uno por uno, perdiéndose la ortogonalidad entre los vectores generados. Es por ello que es mejor emplear uno de los métodos de GramSchmidt modificado. Uno de los algoritmos más sencillos y estables de este método es el siguiente, expresado de 2 formas: for i=1:n
Vi
for j = 1:n
Vi T Vi M Vi
for i=1:j-1
ij Vi M V j T
V V V
for j=i+1:n
j
ij Vi M V j T
V V V j
j
ij
i
ij
i
end
V j
V V M V j
T
j
end end
j
j
end
Aunque ambos algoritmos solucionan en igual medida el problema que presenta el método de Gram-Schmidt, el de la izquierda (ortogonalización “hacia delante”) permite trabajar
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
83
matricialmente el problema, permitiendo realizar cada paso iterativo con solo 2 operaciones matriciales (evitando un proceso iterativo dentro de otro), aumentando la velocidad del proceso.
DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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GSM.m: Función que realiza ortogonalización de vectores con método de Gram-Schmidt modificado. function [V]=GSM(V,M,V_b) % [V]=GSM(V,M,V_b); % Gram - Schmidt Modificado %Esta funcion deja normalizados y ortogonales entre si(en base a la matriz %M)los vectores de entrada, mediante el metodo de Gram-Schmidt modificado, %sistema mas estable que el Gram-Schmitclasico dado que itera por bloques. % V : matriz cuyas columnas corresponden a los vectores a ortonormalizar. % M : Matriz de base para ortonormalizacion (Vector phi esta normalizado % en M si phi'*M*phi=1. Vectores a y b son ortogonales si a'*M*b=0) % V_b (opcional): matriz cuyas columnas ya estanortonormalizadas en M. %% DOCUMENTOS. % rc 20080428 revrbk 20080429, 20080527 % En una primera etapa, si se tiene matriz V_b, se ortogonalizan todos los % vectores en V a los vectores en esta matriz. ifnargin==3 k=1; [m1,n1]=size(V_b); for k=1:n1 alpha=V_b(:,k)'*M*V; V=V-V_b(:,k)*alpha; end end [m1,n1]=size(V); %El metodo de Gram-Schmidt modificado consiste en, asumiendo en cada % iteracion que el vector considerado ya es ortogonal a los procesados % anteriormente, se normaliza el vector y ortogonalizan a este con todos % los vectores posteriores. for k=1:n1-1 V(:,k)=V(:,k)/(V(:,k)'*M*V(:,k))^0.5;% normalizando vector k alpha=V(:,k)'*M*V(:,(k+1):n1); %cte de ortogonalizacion(proyeccion) % considera todos los vectores de k+1 % hasta n V(:,(k+1):n1)=V(:,(k+1):n1)-V(:,k)*alpha; % Elimina contribucion de % modo k end V(:,n1)=V(:,n1)/(V(:,n1)'*M*V(:,n1))^0.5; % ultimo vector.
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modonorm.m: Rutina que realiza normalización de vectores con distintos criterios. Esta rutina es utilizada tanto en las funciones LDV_wilson.m como GSM.m. function [phi]=modonorm(phi,M,opt) % [phi]=modonorm(phi,[m],[opt]); % Normaliza formas modales % opt= 0 NO realiza normalizacion... Generalizacion necesaria. % opt= 1 Normaliza maximo primera linea [def ]. No necesita ingresar M % opt= 2 Si M existe phi'*m*phi=I % opt= 3 Si no se entrega M normaliza por el maximo de cada columna % rbk 2004-01-08, 2006-mar-06 incluye opt 0 ifnargin< 2 opt=1; end ifnargin< 3 || ~isempty(M) opt=2; end %%% para caso general. if opt==0 phi=phi; end if opt==1; % normaliza con primeralinea aux=(phi(1,:)); [pn,pm]=size(phi); if min(abs(aux))
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