Dinamika Elektricnih Masina

3. ANALIZA STACIONARNIH I DINAMIČKIH STANJA ELEKTRIČNIH MAŠINA Razmatranja provedena u prvoj i drugoj glavi su pokazala osnovne principe elektromehaničkog pretvaranja energije i metode nalaženja jednačina kretanja. Navedeni primjeri su više služili kao ilustracija, a ne kao izomorfni modeli pojedinih pretvarača. U ovom poglavlju će biti detaljnije razmotreni pretvarači sa kontinualnim kretanjem, i to posebno sa stanovišta dinamičkih osobina i analize kao objekta automatskog upravljanja. Pored matematičke analize, biće dati i rezultati modeliranja pojedinih pretvarača. Imajući u vidu postavljeni cilj i ranije napomenuta ograničenja vezana za metode proračuna akumulisane energije u sistemu, pri izvođenju matematičkih modela pretvarača usvojene su zajedničke polazne pretpostavke koje obuhvataju: • • • •

zanemarenje prostornog rasprostiranja elektromagnetnog polja; neprekidnost procesa i mehaničke dimenzije znatno manje od dužine elektromagnetnih talasa generisanih strujama koje protiču u pretvaraču; nezasićenost magnetnog materijala i odsustvo gubitaka u njemu; zanemarenje graničnih efekata pri računanju rasporeda magnetnog polja.

Navedene pretpostavke omogućavaju analizu mašina kao dinamičkih sistema sa koncentrisanim parametrima. Treba uočiti da nisu navedene pretpostavke o prostornom rasporedu magnetnog polja, linearnosti magnetskih osobina materijala i sl., jer one predstavljaju specifične uslove rada sistema koji mogu biti obuhvaćeni u okviru modela sa koncentrisanim parametrima.

3.1. MAŠINE JEDNOSMJERNE STRUJE U ranijim razmatranjima je pokazano da u slučaju sinhronih mašina postoji mogućnost pridruživanja mašini mehaničkog ili poluprovodničkog komutatora koji omogućava da 65

se takva mašina tretira kao da je napajana jednosmjernom strujom. Uloga komutatora je da obezbijedi preraspodjelu proticanja struje kroz namotaj (ili namotaje) tako da se u potrebnom vremenskom intervalu obezbijedi napajanje namotaja koji u datom vremenskom intervalu omogućava generisanje maksimalnog elektromagnetnog momenta. Poprečni presjek mašine sa pobudom na statoru i mehaničkim komutatorom na rotoru dat je na slici 3.1.a a presjek mašine sa pobudom na rotoru i poluprovodničkim komutatorom na statoru na slici 3.1.b.: uF ΦS

ΦS uF

ΦR

ΦR

ua

ua

(a)

(b)

Slika.3.1. (a) Poprečni presjek komutatorske mašine sa pobudom na statoru (b) Poprečni presjek komutatorske mašine sa pobudom na rotoru Konstrukcija mašine jednosmjerne struje sa elektromagnetnom pobudom prikazana je na slici 3.1.c Glavni polovi nose namotaje statora (namotaji pobude) kroz koje kao posljedica priključenja na napon izvora pobude UP, protiče struja pobude iP koja formira glavni magnetni fluks. U utorima rotora leži zatvoreni namotaj koji se preko četkica spaja sa izvorom rotorskog napona UA, i pri proticanju struje iA formira rotorski magnetni fluks u smjeru osa četkica, te se na taj način formiraju dva fluksa - statorski duž uzdužne d-ose mašine i rotorski duž poprečne q-ose mašine.

Slika 3.1.c. Funkcionalna struktura dvopolne mašine jednosmjerne struje 66

Pojednostavljena struktura mašine izvedena, pod pretpostavkom da je moguće zanemariti: histerezisne gubitke, više harmonijske članove izazvane utorima na rotor,u uticaj broja lamela na kolektoru te reakciju rotora, predstavljena je na slici 3.1.c. Navedena zanemarenja nisu prihvatljiva za neke primjene, međutim, za naša razmatranja daju dovoljan stepen izomorfizma modela.

Slika 3.2. Dinamička struktura mašine jednosmjerne struje Jednačine kretanja se mogu napisati u obliku:

di A = − R Ai A − K E wΦ + U A dt dΦ = −R pi p + U p dt dθ =w dt dw J = − Bw − M T + K M i A Φ; i p = i p (Φ ) dt

LA

(3.1)

Jednačine kretanja (3.1) su slične jednačinama (2.62), uz napomenu da su uvedene drugačije oznake koordinata (indeks p za statorske promjenljive i indeks A za rotorske promjenljive). Razlika koja se pojavljuje u drugoj jednačini nastaje zbog toga što pri izvođenju ovih jednačina nije pretpostavljena linearna zavisnost fluksa i struje statora nego je njihova veza razmatrana kao jednoznačna funkcija iP=iP(Φ). Ova karakteristika se može odrediti na osnovu dijagrama praznog hoda mašine koji daje zavisnost napona induciranog u rotoru EA=EA(iP) i struje pobude iP pri konstantnoj (obično nazivnoj) ugaonoj brzini. Korištenjem relacije:

E A = E A (iP ) = K E wΦ

(3.2)

na osnovu poznate funkcije EA(iP) dobije se zavisnost Φ=Φ(iP), a odatle inverzna funkcija iP=iP(Φ). 67

Izborom radne tačke u linearnom dijelu karakteristike magnećenja moguće je odrediti i ostale konstante sistema. Dinamički model mašine jednosmjerne struje opisan jednačinama kretanja (3.1) prikazan je na slici 3.2. Za razliku od dinamičkog modela sa slike 2.9 u ovom modelu statorsko kolo (kolo pobude) sadrži nelinearni blok za izračunavanje struje na bazi informacije o fluksu. Ako sistem radi u linearnom području, tada je Φ=Lpip i strukture na slikama 3.2 i 2.9 su jednake. Kako se vidi, mašina jednosmjerne struje je dinamički sistem četvrtog reda. Zavisno od funkcije koju obavlja - motor ili generator, ulazne i izlazne veličine su različite. U tabeli 3.1. su sumirane moguće kombinacije ulaza i izlaza. Tabela 3.1. Funkcija Motor Generator

Ulazne varijable Upravljanje

Smetnje

Izlazne varijable

UA, UP MT, UP

MT iA, w

θ, w, M

UA

Razmotrena dinamička struktura je definisana za slučaj da su statorski i rotorski podsistemi nezavisno napajani. Česta je situacija da su namotaji na statoru i rotoru vezani u zajedničko električno kolo i napajani iz jednog izvora. U slučaju paralelne veze namotaja govori se o mašini sa paralelnom pobudom, a u slučaju serijske veze o mašini sa serijskom pobudom. U oba slučaja sistem ima samo jedno ulazno dejstvo. Lako je, na bazi modela (3.1), izvesti relacije koje opisuju ponašanje mašina jednosmjerne struje sa drukčijim rasporedom namotaja i njihovom međusobnom spregom. Prije nego detaljno razmotrimo dinamičko ponašanje mašine jednosmjerne struje, izvršimo analizu stacionarnih stanja koja se dobiju pri konstantnim naponima napajanja i konstantnom momentu opterećenja.

3.1.1. Stacionarna stanja mašine jednosmjerne struje sa nezavisnom pobudom Polazeći od modela (3.1) ponašanje mašine u stacionarnim stanjima može biti određeno uvrštavanjem vrijednosti nula za sve vremenske izvode promjenljivih izuzev ugla zakretanja. Ugao zakretanja je integral ugaone brzine i u svim stacionarnim stanjima pri w≠0 se povećava linearno sa vremenom pa će, u daljim razmatranjima, biti izostavljen iz jednačina kretanja. Stacionarna stanja sistema (3.1) su opisana skupom jednačina:

U A = R A i A + K E wΦ U p = R pi p

(3.3)

M T = − Bw + K M i A Φ

68

U razmatranjima stacionarnih stanja je, radi kompaktnosti matematičkih, izraza član Bw pridružen momentu opterećenja. Pored toga, kao nezavisna promjenljiva je uzet fluks statora Φ. Sa praktičnog stanovišta potrebno je razmotriti promjene izlaznih veličina pri promjeni ulaznih veličina i smetnji. Osnovni pokazatelj osobina mašine u motornom režimu je tzv. mehanička karakteristika w=w(MT) pri UA=const. i Φ=const. Iz relacije (3.3) se lako dobiva:

w=

RA KM Φ MT UA − 2 BR A + K M K E Φ 2 BR A + K M K E Φ

Mehanička karakteristika je prikazana na slici 3.3.a. Φ=const., definisan otporom armaturnog kruga RA.

(3.4)

Nagib karakteristike je, pri

Slika 3.3. Karakteristike stacionarnih stanja mašine jednosmjerne struje Mehaničke karakteristike predstavljaju snop pravaca. Treba uočiti da napon rotora UA određuje presječnu tačku na ordinati. Međutim, nagib karakteristike ne zavisi od njega. To se posebno uočava na slici 3.3.b. gdje se vidi da nagib karakteristika uopšte ne zavisi od napona, tj. ako je napon dovoljno visok da može biti dostignuta određena brzina u praznom hodu (određena presjekom na osi ordinata na slici 3.3.a), dalje ponašanje mašine, u stacionarnim stanjima, ne zavisi od napona. 3.1.1.1. Ponašanje mašine pri promjeni napona rotora Kako je pokazano, presjek mehaničke karakteristike sa osom ordinata (odnosno brzina praznog hoda) je funkcija napona napajanja. Iz izraza (3.4) slijedi funkcionalna zavisnost koja povezuje brzinu praznog hoda i narinuti napon armature u obliku w0=UA/KEΦ. Odgovarajuće mehaničke karakteristike se dobijaju translacijom originalne karakteristike (slika 3.3.a) duž ordinatne ose. Očito je da pri promjeni znaka armaturnog napona, w0 mijenja znak, odakle slijedi da karakteristike mogu ležati u sve četiri kvadranta (slika 3.4). 69

Slika 3.4. Mehaničke karakteristike mašine jednosmjerne struje pri promjeni napona napajanja UA Karakteristike na slici 3.4. vrijede unutar pokazanih granica. Izvan ovog područja oblik karakteristika se formira kao posljedica zahtjeva da budu zadovoljene određene funkcionalne zavisnosti, koje se svode na ograničenje momenta opterećenja pri brzinama većim od nazivne (zbog niza pojava kao što su ograničnje snage mašine reakcija rotora, iskrenje kolektora i sl.) a koje nisu preporučljive u normalnom radu mašine jednosmjerne struje. 3.1.1.2. Karakteristike mašine pri promjeni polja Relacija 3.4. pokazuje da je promjenu mehaničkih karakteristika moguće ostvariti promjenom intenziteta polja. Zbog zasićenja željeza znatno povećanje iznad nominalne vrijednosti nije moguće te u obzir dolazi samo slabljenje polja. Pri konstantnoj vrijednosti armaturnog napona lako je za pojedine vrijednosti polja dobiti mehaničke karakteristike koje su predstavljene pravcima sa odsječcima na osi ordinata w0(MT=0)=UA/KEΦ i na apscisi MT(w=0)=UAKMΦ/RA. Iz relacije iA=MT/KMΦ je očito da se nagib pravca koji definiše promjenu struje pri smanjenju fluksa povećava. Obje krive su date na dijagramima slika 3.5.a i b. Očigledno je da, pri smanjenju fluksa, karakteristike postaju strmije, tj. pri istoj promjeni momenta tereta promjena struje i brzine su veće, što je nepovoljno kod regulisanih mašina jer predstavlja smanjenje koeficijenta pojačanja po upravljačkom kanalu. Pošto se smanjenjem fluksa, uz isti momenat, povećava strujno opterećenje motora upravljanje promjenom polja treba primijeniti samo onda kad promjena napona rotora nije moguća.

70

Slika 3.5. Mehaničke karakteristike pri promjeni polja (a) i struja rotora pri promjeni polja (b) 1) Φ=ΦN, 2) Φ=ΦN/2, 3) Φ=ΦN/5 Sa dijagrama se vidi da smanjenje polja kod većih obrtnih momenata može rezultirati smanjenjem brzine. Diferenciranjem izraza 3.4. po fluksu dobija se:

dw dΦ

M T = const Φ ≠0

=

2RA M T − U A K M Φ KE KM Φ3

(3.5)

odakle slijedi da se, kod konstantnog obrtnog momenta, maksimalna brzina dobije pri vrijednosti polja određenoj sa:

Φ* =

2 RA MT K MU A

(3.6)

i ima vrijednost:

wMAX

M T = const Φ≠0

=

K M U A2 1 4 K E RA M T

(3.7)

Dakle, obvojnica na slici 3.4.a je predstavljena hiperbolom. Relacija (3.5a) može biti interpretirana na sljedeći način:

MT =

U 1 1 K M Φ A = K M Φi AK RA 2 2

(3.8)

iAK = struja kratkog spoja mašine, tj. pri datoj vrijednosti polja kriva maksimalne brzine (3.7) i mehanička karakteristika imaju dodirnu tačku za vrijednost momenta jednaku polovini poteznog momenta motora. 71

3.1.1.3. Kombinacija promjene napona armature i polja

Provedena razmatranja pokazuju način na koji promjene napona armature i promjene polja određuju stacionarna stanja mašine jednosmjerne struje. Područja u kojima se stacionarna stanja mijenjaju promjenom napona armature ili promjenom polja se, u opštem slučaju, isključuju, izuzev nekih primjena kod višemotornih pogona napajanih iz istog izvora armaturnog napona. U tim je pogonima neophodno, zbog individualnih razlika karakteristika i opterećenja motora, mijenjati obje veličine da bi se usaglasila međusobna kretanja motora. Na slici 3.6. su prikazana uobičajena područja promjene navedenih veličina.

Slika 3.6.Karakteristike mašine jednosmjerne struje u područjima promjene UA i Φ zavisno od maksimalne vrijednosti struje rotora

Dok brzina obrtanja ne dostigne nazivnu vrijednost wN, polje se održava na konstantnoj - nazivnoj vrijednosti ΦN, a promjena stacionarnih stanja se vrši promjenom napona armature. Povećanje brzine iznad nazivne vrijednosti se postiže slabljenjem polja. Rijetko se slabljenje polja primjenjuje za postizanje brzina većih od 3wN, iako je, strogo govoreći, gornji nivo brzine ograničen mehaničkim osobinama mašine i komutacionim mogućnostima kolektora. Na slici 3.6. radna područja mašine jednosmjerne struje su predstavljena na dijagramu mehaničkih karatkeristika. Područje mogućih struja armature (a time i momenata) je ograničeno termičkim karakteristikama namotaja rotora i komutacionom sposobnoscu kolektora. U području povećanih brzina komutaciona sposobnost definisana tzv. granicom komutacije je obično limitirajući faktor. Razmotrene karakteristike stacionarnih stanja se odnose na mašinu jednosmjerne struje sa nezavisnom pobudom. Karakteristike za druge spojeve uzbudnog i armaturnog namotaja se dobijaju uzimanjem u obzir funkcionalnih zavisnosti među fluksom i armaturnom strujom (ili naponom).

72

3.1.2. Dinamička ponašanja mašina jednosmjerne struje Provedena razmatranja stacionarnih stanja mašine jednosmjerne struje ukazuju na potrebu analize dinamičkih procesa u dva odvojena slučaja: pri konstantnom polju i u području slabljenja polja 3.1.2.1. Dinamičko ponašanje mašine pri konstantnom polju

Kod konstantne jačine magnetnog polja pobude, jednačine kretanja (3.1.) opisuju linearan sistem koji može biti predstavljen kao na slici 3.7. Dinamičko ponašanje sistema je opisano jednačinama:

LA

di A = − R Ai A − K E Φ 0 w + U A dt

dθ =w dt dw J = − Bw − M T + K M Φ 0 i A dt

(3.9)

Slika 3.7. Dinamička struktura mašine jednosmjerne struje pri konstantnoj vrijednosti polja

Interesantno je razmotriti promjene brzine w i armaturne struje iA pri promjeni armaturnog napona i momenta opterećenja, pri čemu je UA-upravljačko dejstvo a MTspoljnja smetnja. Primjenjujući Laplaceovu transformaciju na jednačine (3.9), dobijamo:

w=

KM Φ0 UA − ( L A s + R A )( Js + B ) + K M K E Φ 02 −

LA s + RA MT L s R ( A + A )( Js + B ) + K M K E Φ 20

(310)

73

iA =

Js + B UA − ( L A s + R A )( Js + B ) + K M K E Φ 02 KEΦ0 − MT ( L A s + R A )( Js + B ) + K M K E Φ 02

(3.11)

Ponašanje sistema (3.10) i (3.11) je definisano karakterističnom jednačinom:

L A Js 2 + ( L A B + JR A ) s + ( R A B + K M K E Φ 20 ) = 0

(3.12)

Korijene karakteristične jednačine (3.12) je moguće izraziti u obliku:

µ1, 2 =

− ( L A B + JR A ) ± ( L A B + JR A ) 2 − 4 L A J ( R A B + K M K E Φ 02 ) 2LA J

(3.13)

Vlastita frekvencija i koeficijent prigušenja se mogu izraziti kao:

Ω 0 = µ1 µ 2 =

R A B + K M K E Φ 02 LA J

(3.14)

L A B + JR A 2

LA J R A B + K M K E Φ 02

(3.15)

Q=

Korištenjem izraza (3.13) do (3.15) moguće je analizirati uticaj pojedinih parametara jednosmjerne mašine na promjenu dinamičkih ponašanja mašine. U dosta praktičnih slučajeva koeficijent viskoznog trenja B je mali i može se zanemariti, odnosno ovaj momenat je moguće uvrstiti u sumarni momenat opterećenja, čime se gornji izrazi pojednostavljuju. Interesantno je u tom slučaju analizirati uticaj slabljenja jačine magnetnog polja na dinamičko ponašanje mašine. Sopstvena frekvencija se pri B=0 dobije kao:

Ω0 = Φ0

KM KE LA J

(3.16)

a koeficijent prigušenja postaje:

Q=

JR A 2Φ 0

LA J KM KE

(3.17)

odakle slijedi da se slabljenjem polja smanjuje vlastita frekvencija sistema i povećava prigušenje. Korijeni karakteristične jednačine (3.12) pri B=0 mogu biti izraženi u obliku: 74

µ1, 2 =

RA 4L K K Φ 2 (−1 ± 1 − A M 2 E 0 ) JR A 2 LA

(3.18)

Korištenjem aproksimacije: 1 − x ≈ 1 − x / 2 (koja važi za x