DINÁMICA
Introducción El material presentado a continuación es un resumen de una parte de los contenidos de la segunda unidad. Mientras en la Primera Unidad el objetivo de estudio fue describir el movimiento de los objetos, en esta ocasión el objetivo es analizar las causas de dicho movimiento.
Contenido La dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas. La fuerza se puede definir como una magnitud vectorial capaz de: 1. deformar los cuerpos (efecto estático), 2. modificar su velocidad, 3. o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles. Suele ser común hablar de la fuerza aplicada sobre un objeto, sin tener en cuenta al otro objeto con el que está interactuando; en este sentido la fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimiéndole una aceleración que modifica el módulo (magnitud), dirección, o sentido de su velocidad), o bien de deformarlo. La inercia es la dificultad o resistencia que opone un sistema físico a posibles cambios. En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado físico del mismo.
Clasificación de las Fuerzas Las fuerzas se clasifican de la siguiente manera: De campo: No es necesario el contacto físico entre los objetos para que se presenten. Ejemplo: fuerza gravitacional, eléctrica entre dos partículas cargadas.
Fuerza
De contacto: Es necesario el contacto físico entre los objetos para que se presenten. Ejemplo: tensión en una cuerda, fricción, normal. Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Página 1
Leyes de Newton Las Leyes de Newton, también conocidas como Leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la dinámica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo. Su formulación matemática fue publicada por Isaac Newton (1642-1727) en el año de 1687 en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. La dinámica de Newton, también llamada dinámica clásica, sólo se cumple en los sistemas de referencia inerciales; es decir, sólo es aplicable a cuerpos cuya velocidad dista considerablemente de la velocidad de la luz.
Primera ley de Newton o ley de la inercia La primera ley del movimiento expone que: “Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.” Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza neta sobre él. Un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta. La bola se mantendrá en reposo sobre la mesa a menos que una fuerza neta externa (el golpe con el taco) se aplique sobre ella.
Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Página 2
Segunda ley de Newton o ley de fuerza La segunda ley del movimiento de Newton dice que “el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.” Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en magnitud o dirección. Las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están relacionadas. En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:
⃑
⃑
donde ⃑ es la aceleración y ⃑ la fuerza total, bajo la hipótesis de constancia de la masa y pequeñas velocidades. Esta es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad distinta para cada cuerpo es su masa de inercia, pues las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo sirven para vencer su inercia, con lo que masa e inercia se identifican. Es por esta razón por la que la masa se define como una medida de la inercia del cuerpo. Por tanto, si la fuerza resultante (es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo) que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta. De la ecuación fundamental se deriva también la definición de la unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleración valen 1, la fuerza también valdrá 1; así, pues, el newton es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/s². Se entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y sentido. La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el problema de la dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme (m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).
Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Página 3
Si sobre el cuerpo actúan muchas fuerzas, habría que determinar primero el vector suma de todas esas fuerzas. Por último, si se tratase de un objeto que cayese hacia la tierra con una resistencia del aire igual a cero, la fuerza sería su peso, que provocaría una aceleración descendente igual a la de la gravedad.
ΣF a
a
Para que un objeto experimente una aceleración (a), se necesita la aplicación una fuerza neta (ΣF) sobre él. La dirección de la fuerza neta determina la dirección de la aceleración.
ΣF
Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción “Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.” La tercera ley expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza de igual intensidad y dirección pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta.
F12: Fuerza que hace el martillo (objeto 1) sobre el clavo (objeto 2).
F12
F21: Fuerza que hace el clavo (objeto 2) sobre el martillo (objeto 1).
F21 Línea de acción
Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Las fuerzas F12 y F21 tienen la misma magnitud, direcciones opuestas y están ubicadas sobre la misma línea de acción. Además, actúan sobre objetos diferentes.
Página 4
Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley.
EJEMPLO 1 Un automóvil de 2000 kg se frena uniformemente de 20.0 m/s a 5.0 m/s en 4.0 s. ¿Cuál es la fuerza media que actúa durante este tiempo sobre el auto, y qué distancia recorre el mismo durante la desaceleración? Solución Primero debemos elaborar un diagrama de la situación que ayude a analizar el caso:
final
inicio
a= ¿?
vf = 5 m/s
v0= 20 m/s
ΣF
t= 4.0 s
x0=0 m
Datos: xi = 0 m xf = ¿? v0 = 20 m/s vf = 5 m/s a = ¿? t=4s
xf = ¿?
t= t= Sabemos que cuando la velocidad de un objeto cambia, 4.2s el objeto experimenta una 4.2s aceleración, cuya dirección es la misma que la del cambio de la velocidad. En este caso, donde la rapidez del objeto disminuye, la aceleración del objeto apunta en sentido contrario a la velocidad. Para encontrar su valor aplicamos las reglas de oro de cinemática:
Según la Segunda Ley de Newton,
(
)(
Ambas tienen la misma dirección (hacia la izquierda)
)
Para encontrar el valor de la distancia recorrida recurrimos nuevamente a las reglas de oro:
Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Página 5
(
)(
)
(
)(
)
EJEMPLO 2 Una cubeta de agua de 5.0 kg se saca de un pozo por medio de una cuerda. Si la aceleración ascendente de la cubeta es de 3.0 m/s2, calcule la fuerza que la cuerda ejerce sobre la cubeta. Solución Podemos elaborar un esquema de la situación:
Pero es mucho más útil representar las fuerzas externas sobre la cubeta mediante un diagrama de cuerpo libre (D.C.L.): T
a movimiento
m (cubeta)
movimiento
mg
En base al D.C.L. se plantean ecuaciones utilizando la Segunda Ley de Newton: Para el eje horizontal, notamos Para el eje vertical debemos que no hay fuerzas externas ni notar cuál fuerza apunta en la tampoco aceleración, por lo misma dirección que la aceleración (signo positivo) y tanto: cuál fuerza apunta en dirección ΣFx = 0 opuesta (signo negativo): ΣFy = ma T- mg = ma T = ma + mg = m(a + g) T = (5.0 kg)[ 3.0 m/s2 + 9.8 m/ s2] T = 64.0 N Respuesta Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Página 6
Bibliografía Serway, F. Física Para Ciencias Médicas (Quinta ed.). México D.F.: McGraw-Hill. Wikipedia. (01 de Febrero de 2010). Recuperado en Marzo de 2010, de http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Las masas M1 y M2, de 5 Kg y 8 Kg respectivamente, se encuentran inicialmente en reposo. Al soltarlas, se mueven con una aceleración constante, como se muestra en la Figura 1. La superficie sobre la que se encuentra M1 no tiene fricción. Determine: a.) D.C.L. para cada cuerpo b.) La magnitud de la aceleración de las masas. c.) La tensión en la cuerda d.) La velocidad de M2 después de 2 segundos de movimiento.
a = ¿? M1
Figura 1
2. Una caja de 50 kg se suelta desde la parte superior de una rampa que tiene 25º de inclinación, como se muestra en la Figura 2. ¿Cuál es el valor del coeficiente de fricción que permite que la caja se mueva hacia abajo con una aceleración 2 de 1 m/s ? ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción?
M2
M
a
25° Figura 2
H 3. El sistema mostrado en la Figura 3 se encuentra en equilibrio estático. La fuerza H, de 60 N, evita que los cuerpos se muevan hacia la izquierda. Determine: a.) El valor de la tensión en la cuerda ligera que une a las dos masas. b.) El valor de la masa M2.
M1
40°
μs= 0.21
M2 40°
M1=20Kg
Figura 3
Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Página 7
4. Una moneda de 3.10 g de masa descansa sobre un pequeño bloque de 20.0 g soportado por un disco giratorio. Si los coeficientes de fricción entre el bloque y el disco son de 0.750 (estático) y de 0.640 (cinético), en tanto que para la moneda y el bloque son de 0.520 (estático) y de 0.450 (cinético), ¿cuál es la rapidez máxima del disco en revoluciones por minuto antes de que la moneda o el bloque se deslicen?
5. Tarzán (cuyo peso es 188 libras) trata de cruzar un río balanceándose en una liana. La liana tiene una longitud de 33 pies y la máxima tensión que puede soportar antes de romperse es de 325 libras. Cuando Tarzán está en el punto más bajo de la trayectoria circular, su rapidez es de 26 pies/s. En estas condiciones: a.) Elabore un D.C.L. de la situación. b.) Determine la tensión que soporta la liana. c.) ¿Logrará Tarzán cruzar el río sin que la liana se rompa? Valor 20%
33 pies
26 pies/s
6. Un grupo de estudiantes realiza una práctica de laboratorio para medir el coeficiente de fricción estático. La práctica consiste en colocar una caja de 60 kg en la parte superior de un plano inclinado de acero (Ver Figura 6). El ángulo del plano inclinado se aumenta progresivamente hasta que el bloque, que inicialmente se encuentra en reposo, comienza a deslizarse. Ellos determinan que el ángulo crítico es igual a 36.50º (el ángulo crítico es el ángulo en el que el bloque comienza su deslizamiento). Con esta información determine: a.) El D.C.L. para el bloque. b.) ¿Cuál es el valor del coeficiente de fricción estático entre la caja y el plano inclinado? c.) ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción? d.) ¿De qué material está hecha la caja? (Compare la respuesta del primer inciso con la Tabla de coeficientes de fricción mostrada a continuación.) Valor 20%
μe
μc
Acero sobre acero
0.74
0.57
Aluminio sobre acero
0.61
0.47
Cobre sobre acero
0.53
0.36
Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
M
36.50°
Figura 6
Página 8
7. Un bloque de 2kg, mostrado en la Figura 7 desciende sobre un plano inclinado de superficie rugosa a una rapidez inicial de 5.0 m/s, cuando se aplica una fuerza F, horizontal y constante, que detiene su movimiento. Determine el valor de F para que el bloque se detenga en un tiempo de 10 segundos.
m=2.0Kg F μ= 0.30 18° Figura 7
Ing. Alex Fernando Santos (
[email protected])
Página 9
