Dinámica de Estructuras Apuntes de Clase
Rubén Boroschek REVISION 0 Julio 2012
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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En el desarrollo de gráficas de estos apuntes contribuyeron inicialmente: Daniela Burgos M. Luís Miranda Cesar Urra Los Alumnos del CI42G y CI72A Universidad de Chile A estas alturas ya esta todo bastante modificado. Pero su apoyo se agradece siempre.
Estas son las notas del Curso de Dinámica de Estructuras que dicto en el Departamento de Ingeniería Civil de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile. Es un curso de pregrado obligatorio. Es dictado en aproximadamente 45 horas presenciales. El curso se complementa con tareas semanales de tipo computacional en el cual el alumno prácticamente debe programar y verificar toda la teoría enseñada. Adicionalmente se desarrollan dos proyectos experimentales en el cual el alumno debe primero crear un sistema de un grado de libertad y ensayalo bajo condiciones iniciales, forzadas y arbitrarias bajo dos condiciones de disipación de energía. El segundo laboratorio corresponde a un sistema de varios grados de libertad al cual se le deben identificar sus propiedades. En todo curso los alumnos además van a terreno a medir estructuras reales.
NOTA:
El texto está en condición preliminar. Si bien he tratado de eliminar los errores tipográficos, siempre se descubren nuevos. Por tanto úsese con cuidado. El texto en amarillo no lo he revisado El texto en azul no requiere ser leído para la comprensión del problema
Si desea indicar un error u omisión por favor mandar correo a
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INDICE 1.
REFERENCIAS .................................................................................................................................................. 6
2.
FORMULARIO BASE ....................................................................................................................................... 7
3.
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................. 8
4.
3.1.1.
Demandas - Acciones: ......................................................................................................................... 8
3.1.2.
¿Cómo modelar estructuras? .............................................................................................................. 9
3.1.3.
Equilibrio .......................................................................................................................................... 10
SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD .......................................................................... 10 4.1.
SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO ........................................................................... 10
4.2.
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO, ....................................................................... 11
4.3.
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE ........................................................................... 11
4.4.
PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO ....................................................................................... 14
4.5.
ENERGÍA .................................................................................................................................................. 16
4.6.
SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO ......................................................................... 17
4.7.
SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ................................................... 18
4.8.
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE ........................................................................... 21
4.9.
ELAMORTIGUAMIENTO ....................................................................................................................... 22
4.10.
DECAIMIENTO LOGARITMICO ........................................................................................................... 23
4.11.
ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ............................................................................... 25
4.12.
EXITACIÓN ARMONICA C=0 ................................................................................................................ 26
4.13.
EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO ........................................................................................... 27
4.13.1.
Factor de Amplificación Máximo ...................................................................................................... 29
4.13.2.
Análisis de la Amplificación Dinámica ............................................................................................. 30
4.13.3.
Ancho de Banda del Factor de Amplificación ................................................................................... 30
4.14.
5.
4.14.1.
Casos Básicos sensores ..................................................................................................................... 32
4.14.2.
Sensor de Aceleración: Acelerómetro ............................................................................................... 35
4.14.3.
Sensor de Desplazamiento Inercial ................................................................................................... 36
4.15.
AISLAMIENTO DE VIBRACIONES ....................................................................................................... 38
4.16.
RESPUESTA EN RESONANCIA ............................................................................................................. 39
4.17.
ENERGÍA DISIPADA ............................................................................................................................... 43
SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL ......................................................................... 45 5.1.
6.
EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE ......................................................................... 32
MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO ....................................................................................................... 45
ENSAYOS EXPERIMENTALES ................................................................................................................... 49 6.1.
CONDICIONES INICIALES O PULL BACK: ..................................................................................................... 49
6.2.
VIBRACIÓN FORZADA: ................................................................................................................................ 52
6.3.
EXCITACIÓN AMBIENTAL............................................................................................................................ 54
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7.
ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA.................................................................................. 54 7.1.
8.
SERIE DE FOURIER ...................................................................................................................................... 54
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN OSCILADOR DE 1GDL........................................................... 56 8.1.
CASO SERIE DE FOURIER BASE .................................................................................................................... 56
8.2.
RELACIÓN DE COEFICIENTES DE SERIE DE FOURIER ARMÓNICOS Y EXPONENCIAL COMPLEJO. ................... 56
8.3.
REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA SERIE DE FOUIER................................................................................ 56
8.4.
PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER ........................................................................................................ 57
8.5.
RESPUESTA UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER......................................................................... 57
9.
PULSO ............................................................................................................................................................... 59 9.1.
PULSO RECTANGULAR ................................................................................................................................ 60
9.1.1.
Fase I: Respuesta Máxima Bajo Aplicación de la Carga .................................................................. 60
9.1.2.
Fase II: Respuesta Máxima Bajo Aplicación Nula ............................................................................ 61
9.1.3.
Espectro de Respuesta al Impulso ..................................................................................................... 62
9.2.
PULSO SENOSOIDAL .................................................................................................................................... 63
9.3.
PULSO ASCENDENTE ................................................................................................................................... 64
9.4.
COMPARACIÓN PULSOS .............................................................................................................................. 65
10.
IMPACTO ..................................................................................................................................................... 66
11.
CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO ................................................................................................. 67
12.
ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA ...................................................................... 69
12.1.
CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMICIDAD Y ONDAS. .......................................................................................... 69
12.2.
RESPUESTA SÍSMICA DE 1 GDL .................................................................................................................. 76
12.3.
ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS .......................................................................... 77
12.4.
ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS ...................................................................................... 79
12.5.
ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS ................................................................................ 81
12.6.
ESPECTRO DE DISEÑO EN CHILE ................................................................................................................. 83
12.7.
PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION ......................... 85
12.8.
ESPECTRO TRIPARTITA ............................................................................................................................ 87
12.9.
OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA ................................................................................. 89
13.
12.9.1.
Integral de Housner........................................................................................................................... 89
12.9.2.
Relación entre Energía y Espectro de Fourier .................................................................................. 90
12.9.3.
Intensidad de Arias ............................................................................................................................ 92
MÉTODO DE RAYLEIGH ......................................................................................................................... 93
13.1.
BALANCE DE ENERGÍA ................................................................................................................................ 93
13.2.
COORDENADAS GENERALIZADAS ............................................................................................................... 96
14.
SISTEMA DE N GDL ................................................................................................................................. 97 14.1.1.
Fuerza Elástica.................................................................................................................................. 98
14.1.2.
Fuerza Inercial .................................................................................................................................. 98
14.1.3.
Disipación ......................................................................................................................................... 98
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14.2.
RELACIONES BÁSICAS: RIGIDEZ, FLEXIBILIDAD Y TRABAJO ...................................................................... 99
14.2.1.
Condensación Estática ...................................................................................................................... 99
14.2.2.
Trabajo y Energía de Deformación ................................................................................................... 99
14.2.3.
Ley de Betti ...................................................................................................................................... 100
14.2.4.
Ecuación de Equilibrio Dinámico ................................................................................................... 101
14.3.
FORMULACION DE VALORES PROPIOS CON FLEXIBILIDAD ........................................................................ 102
14.4.
PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS ......................................................................................... 103
14.4.1.
Condiciones Adicionales de Ortogonalidad .................................................................................... 104
14.5.
NORMALIZACIÓN MODAL ......................................................................................................................... 105
14.6.
COORDENADAS MODALES ......................................................................................................................... 105
14.7.
¿CÓMO RESOLVEMOS? .............................................................................................................................. 106
14.8.
¿COMO CALCULAMOS LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO? ...................................................................... 109
15.
14.8.1.
Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh ................................................................................... 110
14.8.2.
Amortiguamiento Proporcional de Caughy..................................................................................... 111
14.8.3.
Amortiguamiento Proporcional de Penzien – Wilson ..................................................................... 112
RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD .................. 114
15.1.
CASO SÍSMICO SOLUCIÓN EN EL TIEMPO .................................................................................................. 114
15.1.1.
Cortante Basal................................................................................................................................. 115
15.1.2.
Aceleración de Piso ......................................................................................................................... 116
15.1.3.
Desplazamiento de Entrepiso .......................................................................................................... 117
15.2.
RESPUESTA ESPECTRAL ............................................................................................................................ 117
15.2.1.
Combinación Modal ........................................................................................................................ 118
16.
VECTOR DE INFLUENCIA .................................................................................................................... 122
17.
TORSIÓN.................................................................................................................................................... 123
18.
SISTEMAS CONTINUOS ......................................................................................................................... 126 18.1.1.
Viga simplemente apoyada. ............................................................................................................. 128
18.1.2.
Viga Cantiléver................................................................................................................................ 129
18.1.3.
Ortogonalidad ................................................................................................................................. 130
18.1.4.
Deformación por Corte (distorsión angular) .................................................................................. 132
19.
ANEXO A .................................................................................................................................................... 134
20.
FRICCION .................................................................................................................................................. 135
20.1.
MOVIMIENTO SIN RESORTE ....................................................................................................................... 137
20.2.
ENERGÍA DISIPADA EN REGIMEN PERMANENTE ......................................................................................... 137
20.3.
INESTABILIDAD ......................................................................................................................................... 137
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1. REFERENCIAS Clough, R. y Penzien, J. “Dynamics of Structures”. McGraw – Hill. Segunda Edición, 1993.
Chopra, A. “Dynamics of Structures”. Prentice Hall. Tercera Edición, 2006.
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2. FORMULARIO BASE 1 GDL Equilibrio
Dinámico
mv t cv t kv t p t
N GDL
k m
Frecuencia Angular:
M v(t ) C v(t ) K v(t ) P(t ) Rayleigh : C aM bK
Amort Crítico ccrítico 2 km 2 m Razón Amort Crítico: c
c 2m
cc
Frec. Angular amortiguada;
n
v(t ) yi (t ) i i 1
D 1 2
K i2 M i 0 2 ,
Respuesta a Condición Inicial: v v v(t ) e t 0 0 sin D t v0 cos D t D Respuesta permanente Forzada: P0 sin( t ) mv t cv t kv t P0 cos( t ) i (t ) P0 e sin(t ) P v(t ) e t A sin D t B cos D t 0 D cos(t ) k i (t ) Transiente e
Obtenemos los parámetros modales
M i i M i T
T
T
i
0
Respuesta Sísmica: Factor de Participación Li
L
L
N
k k x x dx EI ( x) dx kn xn 2
0
2
n 1
0
L
N
0
n 1
2
i M r T
Li V ( i , i , vg ) M i i
i2 Li Vi (t ) M ii
Fuerza Elástica
FE (t ) M i
Cortante Basal
Q(t )
Aceleración de Piso:
2
n 1
0
2
yi t
n 1
N
2
i = 1…n
v(t ) yi (t ) i v(t ) yi (t ) i v(t ) yi (t ) i
N
c c x x dx cn xn
Mi
f E (t ) i2 M i yi (t ) M i2 i yi (t )
m m x x dx M n xn I 0 n in ( x) ' L
i
Respuesta
m z t c z t k z t p t Donde en general
T
yi (t ) 2i i y i (t ) yi (t ) Pi (t ) / M i
Coordenadas Generalizadas
2
Mi
M v(0) y (0) i
2 i
t
n i
i = 1…n
M v(0) y (0) i
1 v (t ) P ( ) exp( (t )) sen( D (t )) d m D 0
2
i2 M i
Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.
Permanente
N
=1…n K i
i
Pi (t ) i P (t )
Factor de Amplificación Dinámica 1 D 1 2 2 2 2 1 2 Decremento Logarítmico: ln vi vi N 2 N Integral de Duhamel:
L
* Y 2 k m*
vi i
L2i iVi (t ) Mi
v (t ) Y t T
2 i
i
i
Li S d ( i , Ti ) Mi
p (t ) p x, t x dx p xn xn
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3. INTRODUCCIÓN La respuesta de estructuras se puede clasificar según el tipo de carga a la cual estén sometidas o por el tipo de respuesta que presenten. Las cargas pueden ser estáticas o dinámicas; las cargas dinámicas dependen del tiempo, de la posición y de su magnitud. La respuesta de una estructura, a su vez, puede ser estática o dinámica, si es dinámica actuarán en la estructura fuerzas de inercia, pudiendo estar presentes además fuerzas disipativas. 3.1.1.Demandas - Acciones: Pull Back o Condiciones Iniciales: La estructura está sometida condiciones iniciales.
Figura 3.1 Condiciones Iniciales: Desplazamiento y velocidad (Impacto).
Figura 3.2Ensayo de Impacto (salto grupal) sobre pasarela Demanda Armónica: Demanda armónicas con período característico, T, armónica simple puede ser la base de una respuesta dinámica compleja.
f t f t T . La respuesta
Figura 3.3. Excitación periódica. Maquinarias y otros.
Acciones Periódicas No Armónicas: Presentan un periodo T característico, repitiéndose la función en el tiempo. Se pueden resolver como suma de armónicos por medio de series de Fourier.
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Figura 3.4 Excitación periódica. Impacto
Figura 3.5. Impacto: Acción de corta duración. DemandaArbitraria: No obedece a ningún patrón regular. Un ejemplo son los terremotos.
Figura 3.6 Respuesta a acción arbitraria. 3.1.2.¿Cómo modelar estructuras? 1. Por medio de discretización utilizando elementos uniaxiales. 2. Mediante ecuaciones diferenciales como la siguiente:
2 v x, t 2 v x, t 2 P x, t EI x m x 2 x 2 t 2 3. Por medio de elementos finitos. 4. Usando coordenadas generalizadas, donde se establece una función de desplazamiento del tipo
v x, t x t DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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3.1.3.Equilibrio Para determina el estado de equilibrio de una estructura se pueden utilizar los siguientes métodos: Métodos de Energía: Suma de Fuerzas:
Fxt , Fy t , Fz t Mx t , Myt , Mz t .
Trabajo Virtual.
4. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD 4.1. SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO Algunos ejemplos de sistemas de un GDL son los siguientes:
Figura 4.1 Ejemplos de sistema de 1GDL. Diagrama de Cuerpo Libre:
Por la 2ª ley de Newton se tiene:
FE (t ) P (t ) mv(t ) Dónde: FE (t )
kv (t ) :Fuerza elástica
Utilizando Principio de D’Alambert: fuerza de inercia movimiento:
FI (t ) m v(t ) que va en dirección opuesta al
FI (t ) FE (t ) P (t ) mv(t ) kv(t ) P(t ) La ecuación 2.1 describe el movimiento de un sistema de 1GDL sin amortiguamiento en forma general. Esta ecuación se puede obtener, también, aplicando el Principio de Trabajos Virtuales, como se muestra a continuación:
Para un sistema en equilibrio se debe cumplir que:
W 0
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Para el sistema mostrado se tiene:
W P (t ) v FE (t ) v FI (t ) v 0 FI (t ) FE (t ) P (t ) 4.2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO,
mv(t ) kv(t ) P(t ) v(t ) v h (t ) v p (t ) , donde v h (t )
es la solución homogénea y
v p (t )
es la solución particular.
Solución homogénea:
mv(t ) kv (t ) 0 v h ( t ) A sin( Ct ) B cos( Dt ) Dónde:
v1 (t ) A sin(Ct ) v2 (t ) B cos( Dt )
Remplazando
v1 (t )
en la ecuación 2.2:
mAC 2 sin(Ct ) kA sin(Ct ) 0
k m
A mC 2 k 0 C Del mismo modo con
v 2 (t ) :
mBD 2 cos( Dt ) kB cos( Dt ) 0
k m
B mD 2 k 0 D
Entonces, C
D ,donde
k m
[rad/seg] es la frecuencia angular natural del sistema.
Entonces la solución homogénea del sistema está dada por:
v h (t ) A sin(t ) B cos(t ) 4.3. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE Para un sistema con iniciales v ( 0)
v0
y
P(t ) 0
se tiene que
v p (t ) 0 . Si este sistema tiene como condiciones
v(0) v 0 , se obtiene:
v (0) A sin( 0) B cos( 0) v 0 B v 0
v(t ) A cos(t ) B sin(t ) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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v(0) A cos(0) B sin(0) v 0 A
v 0
Luego, la solución está dada por:
v (t )
v0
sin( t ) v0 cos( t )
Al ver un sistema de este tipo vibrar se observa la suma de las proyecciones de los vectores sobre el eje real.
Figura 4.2 v (t )
v0
sin( t ) v0 cos( t )
Del gráfico anterior se tiene que:
v v 0
2
2 0
v0 v0
arctg
Luego el desplazamiento se puede escribir como:
v(t ) cos(t )
Figura 4.3: Desplazamiento versus tiempo.
f
1 T DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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Las condiciones iniciales generan el desfase aparente del armónico.
Figura 4.4Desfase asociado a condiciones iniciales. En resumen, para el sistema en análisis se tiene: Desplazamiento:
v(t ) cos(t )
Velocidad:
v(t ) sin(t )
Aceleración:
v(t ) 2 cos(t ) 2 v (t )
Al graficar los vectores de desplazamiento, velocidad y se desprende que para un desplazamiento máximo la velocidad debe ser nula, mientras que para máxima velocidad el desplazamiento debe ser cero.
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Figura 4.5 Comparación en el tiempo de fase para desplazamiento, velocidad y aceleración. Sin amortiguamiento y bajo condiciones iniciales.
Figura 4.6. Vectores de respuesta. 4.4. PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO
Figura 4.7: Ejemplo de sistema de 1GDL. Al realizar el equilibrio el sistema mostrado en la figura:
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x(t ) v(t ) est x (t ) v(t ) x(t ) v(t ) El DCL del cuerpo es:
Donde:
FE kx(t ) kv(t ) k est FI mx(t )
Luego:
F 0 kv(t ) k
est
y
k est W
mv(t ) W
kv(t ) mv(t ) 0 En este caso el peso no se considera. Ejemplo:
Figura 4.8: Ejemplo de sistema de 1GDL. En
este
caso
v(t ) b (t )
Figura 4.9Diagrama de cuerpo libre. y
las
ecuaciones
de
movimiento
a
obtener
son,
m*'(t ) k *' (t ) P*' (t ) m * v(t ) k * v (t ) P * (t ) Donde m*, k* y P*(t) son formas generalizadas de la masa, la elasticidad y la solicitación del sistema. DCL Entonces:
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M
b a a 0 FE (t )b FIx (t ) FIy (t ) M 0 (t ) P (t ) 2 2 2
A
Además:
v(t ) 2 a v(t ) a a 2 v(t ) FIy (t ) ab(t ) ab 2 b 2 2 2 ab 2 2 v(t ) a a b M 0 (t ) I 0 (t ) a b b 12 v(t ) 12 FE (t ) kv(t ) FIx (t ) ab
a b a2 a 2 b2 P(t ) bkv(t ) m v(t ) m v(t ) m v(t ) 2 4 4b 12b a 2 2 2 b a a b2 m* m 12b 4 4b k * kb P *(t ) P(t )
m * v(t ) k * v ( t ) P * ( t ) 4.5. ENERGÍA Para un sistema en oscilación libre la ecuación de movimiento es esta ecuación en función de v se tiene:
m v(t ) k v(t ) 0 , si se integra
dv FI (t ) FE (t ) 0
mv(t )dv kv(t ) dv 0 .Resolviendo las integrales: t2
1 2 kv(t )dv 2 k v ti
mv(t )dv m
d 2 v dt 1 2 t2 dv m v t1 dt 2 dt 2
1 1 2 t2 2 t2 m v t k v t E 0 t1 t1 2 2
Luego:
1 1 2 2 mv t kv t Ec 2 2 Energía _ cinética
Energía _ elastica
Entonces la energía del sistema, E c ,es constante.
Figura 4.10: Gráfico energía versus desplazamiento
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4.6. SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO Los sistemas con amortiguamiento son aquellos donde actúan fuerzas disipativas.
Figura 4.11: Sistemas de un GDL amortiguado.
Las fuerzas disipativas,
FD , se pueden deber a diferentes factores:
Al graficar la fuerza disipativa en función del desplazamiento del sistema se obtienen diferentes figuras:
Figura 4.12: Histéresis de disipación. Equilibrio Dinámico DCL:
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De donde:
F 0 F t F t F t Pt I
D
E
Y como:
FI (t ) mv(t ) : Fuerza de inercia FD (t ) cv(t ) : Fuerza disipativas FE (t ) kv (t ) : Fuerza elástica
mv t cv t kv t P t Si en un sistema se consideran la fuerza elástica y la fuerza disipativas juntas, como en el sistema del ejemplo, se dice que el sistema es viscoelástico. 4.7. SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para determinar la solución homogénea se tiene:
mv t cv t kv t 0
v(t ) A sin(t ) B cos(t ) v(t ) Ge st v(t ) Gse st v(t ) Gs 2 e st Remplazando estos valores en la ecuación de movimiento (ec. 2.4):
mGs 2 est cGse st kGe st 0 ms 2 cs k 0
: Ecuación característica (ec. 2.5).
c c 2 4km s 2m
c c k s 2m 2m m 2
c c s 1 2m 2m 2
c c cc 2m
s 2 1 De donde las características de la vibración de un sistema están dadas por:
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c c c : Sobreamortiguamiento c c c : Amortiguamiento _ crítico c c c : Subamortiguamiento _ crítico Caso 1: c
s
ccrítico 2 km 2m
c 2m
Luego: t v(t) Ge G2tet v(t) G1 G2t et 1
X Si
c cc
el sistema no vibra.
Figura 4.13 Respuesta bajo amortiguamiento crítico. Varias velocidades iniciales. Caso Sub Amortiguado:
c ccrítico
Desarrollando la ecuación anterior:
s 2 1 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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s i 1 2 D
Frecuencia angular amortiguada es
D 1 2
s iD
v(t ) G1e iD t G2e iD t
v (t ) e t G1eiD t G2 e iD t Se sabe que:
1 i i e e e cos i sin 2 1 e i cos i sin sin e i e i 2i cos
i
Entonces para los términos:
d (t ) G1eiD t G2 e iD t reconociendo
G1 G1R iG1I
G2 G2 R iG2 I
ordenado
d (t ) G1R G2 R cos D t G1I G2 I sen( D t ) i G1I G2 I cos D t G1R G2 R sin D t pero d (t ) es real por tanto
G1I G2 I GI y G1R G2 R G R Es decir son un par conjugado G1 G2
*
G1 GR iGI y G2 GR iGI Entonces:
d (t ) G1eiD t G2 e iD t
d (t ) GR iGI eiDt GR iGI eiDt pero GR iGI e
iD t
GeiDt y GR iGI e iD t Ge iD t
Es decir son dos vectores de magnitud
G rotando con ángulo D t pero en direcciones
contrarias por tanto se cancela la parte compleja y se suman las proyecciones en el eje real:
d (t ) 2G cos Dt AsenDt B cos D t donde A 2GR y B 2GI
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De donde se obtiene la respuesta al caso amortiguado sin excitación externa.
v (t ) e t A sin D t B cos D t
Figura 4.14 Decaimiento libre. 4.8. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE
Para un sistema con
P(t ) 0
y con condiciones iniciales
v ( 0) v 0
y
v(0) v 0
se tiene que
el desplazamiento está dado por:
v v sin cos v(t ) e t 0 0 t v t D D 0 D Lo que es equivalente a:
v(t ) e t cos(Dt ) 2
v v0 2 0 v0 D Donde: v v0 arctg 0 D v0 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
21
: Amplitud máxima.
Envolvente e t
Periodo TD
2
D
Figura 4.15 Decaimiento para distintos valores de amortiguamiento. 4.9. EL AMORTIGUAMIENTO El valor de la razón de amortiguamiento varía según el tipo de material, como se ve en la siguiente lista. Sin daño
Acero / Hormigon 0, 01 0.03 Albañilería 0, 03 0, 05 En el límite de daño (fluencia)
Acero / Hormigon 0, 03 0.10 Albañilería 0, 05 0,15 Al desarrollar la ecuación que define la frecuencia angular amortiguada se tiene:
D2 D 2 D 1 1 2 2 1 2
2
Algunos valores para Valores para
0,01
según esta última ecuación se muestran en la tabla 2.1.
D T TD 0,9999
0,05
0,9987
0,10
0,9950
0,20
0,9798
0,40
0,9165
Figura 4.16 Variación de la razón de periodo amortiguado y no amortiguado en función de la razón de amortiguamiento crítico.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
22
4.10. DECAIMIENTO LOGARITMICO De la respuesta a condiciones iniciales se conoce la envolvente de respuesta y con ella se puede determinar la razón de amortiguamiento, :
vi e ti y vi m e t
i N
v ln i vi N 1
2
entonces
vi e TD N vi m
sacando el logaritmo
2 N TD N 2 1
ln vi vi N 2 N
aproximando
ln vi vi N 2 N
pendiente
Figura 4.17 Cálculo de amortiguamiento: I) Deteccion de la envolvente, II) Identificacion de cruces por cero y extremos. III ) Grafico de amplitud maxima y número del maximo. Caso Particular reducción de la mitad de la respuesta.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
23
ln vi vi N 2 N
Cuando vi N
vi 2
v 1 ln i 2 N vi 2 ln 2 N 2 Número de Ciclos para obtener un 50% de reducción de amplitud inicial
N
ln 2 2
0,01
11,03
0,05
2,2
0,10
1,1
Figura 4.18 Número de Ciclos completos para alcanzar un decaimiento respecto de un valor inicial de referencia. Las líneas corresponden a porcentajes de reducción de amplitud inicial.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
24
Figura 4.19 Decaimiento logarítmico de dos frecuencias cercanas. Ambas con distinto amortiguamiento.
Figura 4.20 Decaimiento logarítmico de tres frecuencias cercanas. Todas con distinto amortiguamiento.
4.11. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación de movimiento de un sistema de 1GDL con amortiguamiento es:
mv t cv t kv t f t Para la solución homogénea se tiene:
mv1 (t ) cv1 (t ) kv1 (t ) 0 v (0) v0 v(0) v0
(1)
Para la solución particular:
mv2 (t ) cv2 (t ) kv2 (t ) f (t ) v (0) 0 v(0) 0
(2)
Sumando ambas soluciones:
(1) (2) m v1 (t ) v2 (t ) c v1 (t ) v2 (t ) k v1 (t ) v2 (t ) 0 f (t ) v0 0 v 0 v0 0 v 0
vt v1 t v 2 t mv t cv t kv t Ci f t v t Ci v t DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
25
n
mv t cv t kv t Ci fi t i 1
v t Ci vi t 4.12. EXITACIÓN ARMONICA C=0 Ecuación de equilibrio dinámico:
mv t cv t kv t p t p(t ) P0 sin(t ) c 0 Resolviendo:
mv t kv t P0 sin(t ) vh (t ) A sin(t ) B cos(t ) v p (t ) G sin(t ) vp (t ) G 2 sin(t ) Remplazando la solución particular:
sin( t ) G 2 m Gk P0 sin( t ) G
P0 m k 1 k 2
P0 2 k 1 2
Luego, el desplazamiento total está dado por:
P0 1 sin( t ) v(t ) A sin(t ) B cos(t ) k 2 1 Si:
v ( 0) v 0 0 v(0) v 0 0
P0 1 sin( t ) sin(t ) v(t ) 2 k 1 Donde:
P0 : estático ( est ) k
1 1
2
: Factor de amplificación dinámico (FAD).
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
26
Figura 4.21 Respuesta a forzante armónica con amortiguamiento nulo. No se elimina el transiente. Es periódica. Cuando
1 se alcanza la resonancia del sistema, es decir, el FAD se vuelve infinito.
Figure 4.22. Factor de Amplificación Dinámica.
4.13. EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO Entonces, si se tiene:
mv t cv t kv t
P0 sin(t ) i t P0e P0 cos(t ) P0 sin(t ) i P0 cos(t )
P c k v t v t 0 eit m m m P v t 2v t 2v t 0 eit m v t
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
27
La solución particular es:
v p (t ) Geit v p (t ) Gi eit vp (t ) G 2 eit Al remplazar en la ecuación de movimiento:
Gei t 2 2 i 2 G
Si
P0 1 2 2 m 1 2 i
v p (t )
P0 it e m
, entonces:
P0 1 eit 2 k 1 2 i
v p (t )
P0 1 it e k A e i
con :
1 2 2 2
A
2
2 2 1
tan 1 Entonces:
v p (t )
D
Figura 4.23 Representación de número complejo.
P0 it De k
1 A
1
1 2 2 2
2
Con este resultado se tiene:
P0 D cos t k P p (t ) P0 sin t v p (t ) 0 D sin t k p (t ) P0 cos t v p (t )
En resumen:
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
28
P0 sin(t ) mv t cv t kv t P0 cos(t ) i ( t ) P0e El desplazamiento es:
sin(t ) P v(t ) e t A sin D t B cos D t 0 D cos( t ) k i (t ) Transiente e Permanente
Figura 4.24 Respuesta bajo excitación armónica a partir de condiciones iniciales nulas. Notar el gran efecto inicial transiente y su decaimiento para pasar a un régimen permanente controlado por la frecuencia de excitación.
4.13.1. Factor de Amplificación Máximo
D
1 2 2 2 1 2
2 2 D 1 2 2
1
1
2
2
2 dD 1 2 Derivando 1 2 2 d 2
3
2
2 1 2 2 2 2 0 2
4 1 2 8 2 0 una posible solución es 0 Eliminando esta solución: De donde: Por tanto
2
1 2 2 0
1 2 2
1 2 2
Máximo existe solo si 1 2 0 2
1 1 2 2
El valor del máximo es:
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
29
Dmax
1
1 2 2 4 4 4 1 2
Dmax
1 2 1 2
1
2
1
2 4 4 4
1
2 2 2 1 2 2 1 1 2
2
2
1
2
1 2 1 2
1 2
4.13.2. Análisis de la Amplificación Dinámica Factor de amplificación dinámico de desplazamiento. Ojo que no es lo mismo para el caso de velocidad y aceleración.
D
Dmax 1 2 2 1
1
1 2 2 2
2
Dmax
1 2 1 2
1 2
Figura 4.25 Factor de amplificación dinámica y ángulo de desfase para distinto amortiguamiento y razón de frecuencia. 4.13.3. Ancho de Banda del Factor de Amplificación Dado el factor de amplificación:
D
1 1 2 2 2 2
1
2
Y su máximo aproximado. Buscamos las frecuencias para un factor del máximo.
1 1 1 Dmax 2 2 2 Igualando:
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
30
1
1
1 2 2 2 2
2
1 2 2 2
2
2
2
1 8 2
8 2
1 2 2 4 4 2 2 8 2
4 2 4 2 2 1 8 2 0 Buscamos las raíces:
2
4 2 2
4
2
2 4 1 8 2 2
2
1 2 2
1 16 4 16 2 4 4 32 2 2 16 4 16 2 4 2 1
2 1 2 2 2 1 2 si 1 Eliminamos radical y:
12 1 2 2 2 22 1 2 2 2 Pero
1 2 2 2 1 2
1 2 2 2
1 2
0.01
0.9898
0.9899
0.05
0.9460
0.9475
0.10
0.8832
0.8900
Simplificamos
1 1 2 y 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 de donde:
2 1 2
f 2 f1 f f2 y dado que es muy simétrica f 1 entonces 2f 2
f 2 f1 Podemos obtener la razón de amortiguamiento del ancho de banda. f 2 f1 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
31
4.14. EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE Analizando
mv t cv t kv t p (t ) , con p (t ) P0 sin( t )
P0 D sin( t ) k P v p (t ) 0 D cos( t ) k P vp (t ) 0 D 2 sin( t ) k v p (t )
mv t cv t kv t P0 sin( t ) FI (t ) FD (t ) FE (t ) p (t ) FI (t ) FD (t ) FE (t ) p(t ) 0 Figura 4.26 Vectores de respuesta dinámica Todos los vectores giran con velocidad
t
Figura 4.27 Para ángulo arbitrario y para
Como
2
2 1 Se produce resonancia. 2 1
tan 1
4.14.1. Casos Básicos sensores El sensor se puede representar como un sistema de un grado de libertad amortiguado. Analizaremos el caso de que este sensor esta adosado a una superficie que vibra bajo excitación armónica.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
32
Figura 4.28 Esquema simplificado de un sensor mecánico. En el sistema mostrado en la figura la estructura tiene una ecuación de movimiento del tipo:
mv t cv t kv t p0 sin( t ) Analizamos preliminarmente el caso de respuesta permanente. Luego se generaliza para condición transientes y permanente y carga arbitraria. La solución permanente es:
vP (t )
P0 D sin t k
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
33
DEWEY and PERRY BYERLY JAMES The early history of seismometry (to 1900) Bulletin of the Seismological Society of America, Feb 1969; 59: 183 - 227
James Forbes Seismometer 1844The screws(E) acting on the support (D) are used to help set the pendulum in an upright position
Horizontal pendulum seismograph, as invented by English seismologist John Milne in 1880.
Wood Anderson 1927
Figura 4.29 Sensores de movimiento.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
34
4.14.2. Sensor de Aceleración: Acelerómetro
Figura 4.30 Acelerómetros y acelerógrafos. Si se tiene una aceleración aplicada a la estructura del tipo
vg (t ) vgo sin t :
mvT t cv t kv t 0
m v t vg t cv t kv t 0 m v t vgo sin t cv t kv t 0 mv t cv t kv t mvgo sin t v(t )
mvgo k
D sin t vgo
D
2
sin t
Requerimos que la observación sea proporcional a la aceleración. En el caso básico que la amplitud máxima de respuesta de desplazamiento sea proporcional a la aceleración.
v (t ) vg 0 Esto es la base de un acelerómetro.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
35
Para que funcione, requerimos que la dependencia del Factor de Amplificación Dinámica (D) sea mínima o inexistente. Esto ocurre bajo dos condiciones: a) Sistema con amortiguamiento arbitrario y
0.2
b) O sistemas con razón de amortiguamiento En ambos casos y debe ser muy grande, es decir ( k se requiere un lector muy sensible.
o,
0,6 0,7 .
m ). Esto es difícil de realizar y finalmente
En la Figura 4.31 se observa el efecto de la frecuencia y el amortiguamiento del sensor en la reproducción fiel de la aceleración. En estas figuras se grafica el desplazamiento de la masa del sensor contra la aceleración de excitación. Para el caso de amortiguamiento 0.7 y frecuencias altas se obtiene una reproducción casi perfecta. Esto son los valores que utilizan acelerómetros comerciales orientados a ingeniería sísmica.
Figura 4.31 Respuesta de sensor de aceleración bajo excitación arbitraria de aceleración. Notar el ajuste de amplitud y fase. Las diferencias están asociadas a la banda de frecuencias y amortiguamiento del sensor.
4.14.3. Sensor de Desplazamiento Inercial Cuando deseamos medir el desplazamiento del terreno se tiene la misma estructura anterior:
mv t cv t kv t p0 sin( t )
vP (t )
P0 D sin t k
En este caso se tiene el desplazamiento de la carcasa como incógnita y se deriva dos veces para obtener su aceleración en función de la amplitud de desplazamiento de la carcasa:
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
36
vg (t ) vgo sin t vg (t ) vgo 2 sin t La aceleración total sobre la masa del sensor y la respuesta es:
m vg 0 2
D sin t k v(t ) vg 0 2 D sin v(t )
Figura 4.32Factor de amplificación dinámica de modificado por la razón cuadrática de frecuencias de excitación y natural de un sistema de un grado de libertad.
Para que el resultado obtenido sea independiente de la relación que la rigidez ( m
2 D , la masa debe ser mucho mayor
k ) y 1.5 para 0,6 0,7 .
Un resultado similar se utiliza en medidores de velocidad inerciales, sismómetros o geófonos.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
37
Figura 4.33Sensor medición directa de desplazamiento
4.15.
AISLAMIENTO DE VIBRACIONES Si se tiene la estructura mostrada en la figura, con
P(t ) P0 sin t ,
la solución particular
está dada por:
vP (t )
P0 D sin t k
Entonces, las fuerzas son:
FE (t ) kv p (t ) P0 D sin t FD (t ) c
P0 2 k P0 D cos t D cos t k k
FD (t ) 2
Como
FE y FD
FR
P D cos t 0
están a 90 grados la fuerza resultante, FR , es:
FD 2 FE
2
2 Po D 1 2
1
2
2 1 2 Po 2 2 2 1 2
1
2
La Transmisibilidad de fuerzas es:
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
38
2 1 2 F TR R 2 2 Po 2 1 2
1
2
Se puede demostrar que la TR es idéntica para razones de aceleración y desplazamiento absolutos.
Figura 4.34 Función de Transmisibilidad. 4.16. RESPUESTA EN RESONANCIA
Figura. 4.35 Caso básico.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
39
Dado:
v(t ) e t A sin D t B cos D t En resonancia
yD
1
1 2 2 2
2
2
P0 D sin t k
1 2
Si las condiciones iniciales son nulas:
v ( 0) v 0 0 v(0) v 0 0 Entonces:
A
P0 1 k 2 1 2
B
P0 1 k 2
de donde
1 P0 t v(t ) sin D t cos D t cos t e 1 2 k 2 v est
Si:
1 d
Luego:
v(t ) 1 t e 1 cos(t ) vest 2
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
40
Figura 4.36 Envolvente sistema amortiguado.
Entonces la envolvente de la función está dada por
1 e t
Figure 4.37. Respuesta resonante para un desplazamiento normalizado. Normalización 1 / 2 . T 0.5 s , v0 0 , v0 0 .
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
41
Si se analiza la envolvente es posible estimar la taza de crecimiento para un tiempo dado amplitud es
Ae
t
e
2 t T
t nT la
e 2 n .
Figura 4.38 Taza de crecimiento de la respuesta resonante. A menor amortiguamiento más tiempo para alcanzar respuesta máxima. Si una estructura no tiene amortiguamiento,
v(t ) vest
0
utilizando la regla de L’Hospital’s:
1 P0 t e t t t sin cos cos D D 1 2 2 k
1 t sin D t cos D t cos t t ... e 1 2 v(t ) 2 lim 0 v 1 est 1 3 1 ....e t sin D t 1 2 2 sin D t 1 2 2 Al evaluar
0 encontramos el límite
v(t ) 1 sin(t ) t cos(t ) vest 2 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
42
Figura 4.39 Respuesta resonante para distintos valores de amortiguamiento. Notar que la amplitud y el tiempo para alcanzar la máxima amplitud es sensible al valor de la razón de amortiguamiento 4.17. ENERGÍA DISIPADA Para calcular la energía disipada en un sistema se integra la ecuación de movimiento del sistema en función del desplazamiento entre dos instantes de tiempo dados, de la siguiente manera: v t2
F (t ) F
v t1
I
D
(t ) FE (t ) dv 0 vt
2 t2 t2 1 1 m v(t ) 2 k v(t ) 2 FD (t )dv 0 t1 t1 2 2 v t1
E K
EV
Desarrollando la última integral se tiene: v t2
v t1
FD (t )dv cv
dv dt cv 2 dt dt
Finalmente se tiene que: t2
EK EV cv 2 t dt
t1 Energía _ disipada
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
43
En resonancia se tiene que Si
, entonces
Pt FD t .
P (t ) P0 sin( t ) , entonces:
v t
P0 1 sin t k 2
pero como se está en resonancia:
v t
2
P0 1 cos t k 2
Luego: 2
P 1 2 P0 sin(t ) 0 cos t r t k 2 2
Entonces, la energía disipada corresponde al área de la elipse que se forma al graficar en función de
FD (t )
v(t ) , como se muestra en la figura
Figura 4.40 Trabajo realizado por las fuerzas disipativas. Entonces:
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
44
Aelipse ab ED P (t ) P0 2 FD cvmax c A elipse c P 1 ED P0 0 k 2 E c D2
Notar que c depende de la frecuencia Como
c c cc 2m
. Esto es característico de sistemas viscoelásticos.
se tiene:
ED c para cc 2 m 2 Con EV
1 kv (t ) 2 2
ED E D 2 2 k 4 EV
Notar que en la derivación anterior se incluye la existencia de una masa.
5. SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL 5.1. MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO
vave
vn 1 vn 2
(1)
n 1 vn vn Si llamamos v ave vn Entonces v
vn 2
(2)
La velocidad se obtiene integrando
vn 1 vn vn
(3)
El incremento de velocidad vn está dado por
vn vave t y utilizando (2)
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
45
vn vn t
vn t 2
(4)
El desplazamiento se obtiene integrando nuevamente
vn 1 vn vn
(5)
El cambio de desplazamiento en el paso es:
vn
vn 1 vn t 2
(6)
Remplazando (3) en (6)
vn
vn vn vn t v t 1 v t n
2
n
2
(7)
Usando (4)
vn vn t
1 1 vn t 2 vn t 2 2 4
(8)
n 1 en términos de n , vn , vn despejamos vn de (8) Para obtener v vn
4 1 vn vn t vn t 2 2 t 2
vn
4 4 vn vn 2vn 2 t t
(9)
n 1 vn vn Dado que v n 1 Entonces v
4 4 vn vn vn vn 1 f vn 1 , vn , vn 2 t v v t
n1
n
n t Remplazando (9) en (4) vn v Reduciendo: vn
(10)
4vn t 4 2vn 2 vn 2 t t
2 vn 2vn t
Entonces vn1 vn 2 2 vn 1 vn vn 2vn vn vn t t
(11)
vn 1 f vn 1 , vn , vn Sustituyendo (5), (10) y (11) en
mvn 1 cvn 1 kvn 1 Pn 1 4 4 2 m 2 vn vn vn c vn vn kvn 1 Pn 1 t t t DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
46
2 4 4 4 2 2 m c k vn 1 Pn 1 m 2 vn vn vn c vn vn t t t t t Si
4 2 K 2 m c k constante para todo el proceso, y t t 4 4 2 Pn 1 Pn 1 m 2 vn vn vn c vn vn t t t Entonces:
vn 1 K 1 Pn 1 Finalmente el algoritmo a utilizar es: Inicialización:
4 2 K 2 m c k t t
v0 m1 cv0 kv0 For n=0:length(P)
4 4 2 Pn 1 Pn 1 m 2 vn vn vn c vn vn t t t 1 b. vn 1 K Pn 1 2 c. vn 1 vn vn t n 1 m1 Pn 1 cvn 1 kvn 1 d. v
a.
end Método Alternativo Alternativamente para casos no lineales es mejor restar dos pasos consecutivos
mvn 1 cvn 1 k vn 1 Pn 1 En este caso se puede utilizar el valor tangente para cada una de las propiedades de la estructura.
4 4 2 m 2 n n 2n c n 2n k n Pn t t t 2 4 4 2 m c k n P m n 2n 2cn t t t 4 2 4 n kˆ 1Pˆn con kˆ 2 m c k y Pˆn Pn m n 2n 2cn t t t Finalmente el procedimiento es el siguiente
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
47
Dados n, n ,n ,n , Pn Pn 1 Pn ; n, c, k
kˆ
1. Calcular 2.
Pˆn
3.
n kˆ 1Pˆn
4.
n 1 n n
5.
n
6.
n 1 n n
7.
n
8.
n 1 n n
2 n 2n t
4 4 n n 2n 2 t t
o
n1 m1 Pn 1 cn1 k n1
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
48
6. ENSAYOS EXPERIMENTALES Se dispone de un gran número de opciones para realizar ensayos sobre estructuras. Entre las técnicas más utilizadas están: ensayo por condiciones iniciales o Pull Back, ensayo por vibración forzada y ensayo por excitación ambiental. La aplicación de uno u otro ensayo depende entre otros de: 1. Las condiciones de la estructura o sistema. 2. El uso de la estructura. 3. La disponibilidad de equipos excitación y registro. 4. Los plazos de realización del ensayo. 5. La precisión que se quiera obtener en los datos. 6. El costo del ensayo. A continuación se describen en forma general las técnicas más comunes para la realización de ensayos. En el texto de Dinámica Estructural Avanzada se pueden encontrar con mayores detalles las técnicas utilizadas para la ubicación de la instrumentación de excitación y medición, las características técnicas del equipo de registros y los procedimientos más comunes de determinación de propiedades dinámicas. 6.1. CONDICIONES INICIALES O PULL BACK: Aplicando condiciones iniciales de velocidad o desplazamiento se obtiene un régimen de oscilación libre ( f (t ) 0 ). Al graficar la respuesta del sistema en términos del desplazamiento, velocidad, aceleración,
fuerza u otro, se puede determinar el período (T) y la razón de amortiguamiento . Si el desplazamiento y velocidad inicial es conocido en conjunto con la fuerza que los produce es posible determinar también constantes de rigidez, la masa y el amortiguamiento de la estructura. Si el sistema es de varios grados de libertad es relativamente difícil conocer las matrices básicas de masa, rigidez y amortiguamiento. Generalmente lo que se obtienen son los las propiedades modales de la estructura.
Figura 6.1 Condiciones Iniciales: Desplazamiento y velocidad (Impacto).
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
49
Figura 6.2 Sistema de tiro para provocar desplazamiento inicial en Muelle de ventanas.
Figura 6.3 Respuesta ante liberación abrupta en muelle de ventanas. A) Registro de aceleración. B) Espectrograma de la respuesta.
Figura 6.4 Definición de Espectrograma.
Figura 6.5 Ejemplo de espectrograma en un funciona armónica con frecuencia con variación lineal.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
50
Figura 6.6 Ejemplo de aplicación del método de decremento logarítmico en estructuras de varios grados de liberad con frecuencias características bien separadas. A. Separación utilizando filtros de las distintas bandas predominantes. B) Señal filtrada. C) Selección de máximos absolutos. D) Grafica de máximos absolutos e identificación de amortiguamiento medio.
Figura 6.7 Impacto por salto en pasarela peatonal. Respuesta y ajuste a varias frecuencias mediante técnicas de optimización.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
51
Figura 6.8 Aplicación de impactos mediante el golpe de una pala mecánica. Respuesta ante el impacto. 6.2. VIBRACIÓN FORZADA: En este ensayo se instala una máquina en la estructura que genera una vibración con frecuencia y fuerza conocida. Normalmente este equipo de excitación se compone de dos masas excéntricas que rotan en dirección contraria. Alternativamente se utilizan gatos hidráulicos que mueven en forma unidireccional masas variables en la estructura. La máquina se hace oscilar a frecuencias conocidas y se determina el desplazamiento máximo. Posteriormente se grafica la respuesta máxima en función de la frecuencia de excitación. La grafica es posteriormente normalizada por el valor de frecuencia en el máximo. La grafica resultante es utilizada para determinar la frecuencia de la estructura y la razón de amortiguamiento utilizando el método de ancho de banda. Para el caso de excitación fuerzas excéntricas, el valor de la fuerza aplicada depende de la maza 2 excéntrica, su distancia al eje de rotación y la frecuencia de excitación ( p (t ) 2 me e ).
Figura 6.9. Excitación forzada. Arreglo básico.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
52
Diseñada por Dino Morelli, Thomas Caughey desarrollo sistema eléctrico.
Figura 6.10Hudson, Donald E. (1961) A New vibration exciter for dynamic tests of full scale structures.Technical Report: CaltechEERL:1961.EERL.1961.001. California Institute of Technology.
Keightley, W. O. (1964) A Dynamic investigation of BouquetCanyon Dam.Technical Report: CaltechEERL:1964.EERL.1964.002. California Institute of Technology
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
53
Figura 6.11Utilización de masa excéntrica en viaducto Cypress EEUU, 1989. 6.3. EXCITACIÓN AMBIENTAL Este ensayo es el más económico y consiste en colocar una serie de censores en la estructura de modo que registren los desplazamientos obtenidos gracias a la excitación ambiental a la que está expuesta la estructura diariamente (viento, transito, microtemblores, uso, otros). De los datos obtenidos se identifican por medio de métodos estadísticos los parámetros modales fundamentales de la estructura. Los métodos más conocidos son la Descomposición en el Dominio de la Frecuencia y la Identificación del Subespacio Estocástico en el dominio del Tiempo. Una descripción de estos métodos se encuentra en el texto de Dinámica Avanzada de Estructuras.
Figura 6.12: Ensayo con excitación ambiental.
7. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA 7.1. SERIE DE FOURIER Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. Cualquier excitación periódica, P (t ) , puede ser transformada en una sumatoria de funciones trigonométricas básicas de acuerdo a los conceptos de Serie de Fourier:
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2 nt 2 nt bn sen P (t ) a0 an cos T n 1 T n 1 p p
Donde:
1 a0 Tp
Tp
2 0 P(t )dt ; a n T p
2nt dt ; bn 2 ( ) cos P t 0 T Tp p
Tp
2nt dt ( ) P t sen 0 T p
Tp
T p Es el período de la función P (t ) Definimos las siguientes variables
1
2 y n n Tp
Ejemplo: Dada la función rampa de la Figura. Su composición se presenta en las Figuras para 7 y 201 coeficientes (dinaFourieCoef.m).
Figura 7.1 Aproximación de Serie de Fourier para distinto numero de coeficientes.
Figura 7.2 Detalle de aproximación de serie de Fourier con 7 coeficientes.
Figura 7.3 Detalle de aproximación de serie de Fourier con 201 coeficientes.
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8. RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN OSCILADOR DE 1GDL 8.1. CASO SERIE DE FOURIER BASE 2 n 2 n mv(t ) cv(t ) kv (t ) p (t ) con p (t ) a0 an cos t bn sin t T n 1 T n 1 p p
1 a0 2 2 2 n 1 n n 1 v(t ) 1 2 k 2 2 n n a b 1 sen n t an 1 n bn 2 n cos nt 2 n n
n n y 8.2. RELACIÓN DE COEFICIENTES DE SERIE DE FOURIER ARMÓNICOS Y EXPONENCIAL COMPLEJO. 2 n 2 n p (t ) a0 an cos t bn sin t T n 1 T n 1 p p
cos( x)
1 ix ix 1 (e e ) sin( x ) i (eix e ix ) 2 2
1 int 1 e e int i bn eint ie int 2 2 n 1 n 1 1 1 p (t ) a0 eint an ibn e int an ibn 2 n 1 2 n 1
p (t ) a0 an
Si c n
1 1 an ibn c*n an ibn y con co ao 2 2
p (t ) c0 cn eint cn* e int n 1
n 1
ce
n
in t
n
8.3. REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA SERIE DE FOUIER
(t ) cv(t ) kv (t ) cn e A partir de la ecuación de equilibrio mv Solución
in t
v p (t ) Gn eint ; v p (t ) in Gn eint ; vp (t ) n 2 Gn eint
Remplazando en la ecuación de equilibrio
Gn ( mn 2 cin k ) cn
Gn cn
1 (k mn 2 icn ) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
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Gn
cn 1 entonces Gn cn H (n ) 2 k 1 n i n 2 n n
H (n )
1 1 n con n 2 k 1 n 2 ni
Finalmente la respuesta permanente es:
v p (t ) cn H (n )eint
La solución a una excitación periódica arbitraria
ce
p (t )
in t
n
n
Como v (t )
c H ( )e
n
n
in t
n
8.4. PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER
Tp n
cn c ( )
Para extender a señales no periódicas, se hace tender el límite de T p
8.5. RESPUESTA UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER A partir del par de Transformada de Fourier
1 p (t ) 2 c( )
c( ) exp(it )d
P(t ) exp(it )dt
Encontramos la respuesta continua:
v(t )
1 2
H ( )c( ) exp(it )d
Otros parámetros de respuesta pueden obtenerse de la propiedad de derivada en el espacio de la frecuencia Dado una excitación:
p(t ) P( f )
1 1 FRF: H ( ) k 2 1 2i Dado que la derivada en el espacio de la frecuencia
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d n v(t ) n i v(t ) n dt
v(t ) 1 P( ) H ( ) v(t ) 1 i P( ) H ( ) v(t ) 1 i P( ) H ( ) 2
Debido a la forma en que se entrega el espectro de Fourier para índices positivos solamente es necesario desdoblar las frecuencias y la respuesta al impulso en el espacio de frecuencia. (respfre.m) % senal en el espacio de la frecuencia vw=fft(vg); %%Definicion de simetria de FRF if ~any(any(imag(vg)~=0)), % if vg is not complex if rem(nvg,2), % nfft odd select = (1:(nvg+1)/2)'; else select = (1:nvg/2+1)'; %% par end else select = (1:nvg)'; %% complejo end f = (select - 1)*Fs/nvg; % Funcion de Respuesta en Frecuencia Single Sided FRF=zeros(nvg,1); fratio=f/fo; unos=ones(length(f),1); % Para señal compleja. FRF(select)=(unos/k)./(unos(fratio).^2+(j*2*beta).*(fratio)); %% Correccion para doble sidedspectra %Si no es necesario corregir para el otro lado if ~any(any(imag(vg)~=0)), % if x is not complex % correcion de frecuencia f=[f ; zeros(nvg-length(f),1)]; if rem(nvg,2), % nfft odd FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(((nvg+1)/2):-1:2)); % Simetriacompleta f(select(end)+1:end)=-f(((nvg+1)/2):-1:2); % Notarsignonegativo else FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(nvg/2:-1:2)); %% par no se consider punto central f(select(end)+1:end)=-f((nvg/2):-1:2); end end d=real(ifft(FRF.*vw)); v=real(ifft((j*f*2*pi).*FRF.*vw)); a=real(ifft((j*f*2*pi).^2.*FRF.*vw));
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9. PULSO Un pulso es una acción que está acotada en el tiempo y se puede tratar en forma aproximada separando en dos posibles fases la respuesta de la estructura:
Figura 9.1La Fase 1 bajo la presencia de una acción externa y la fase II bajo oscilación libre con condiciones iniciales. Dinapulso.m.
Figura 9.2La respuesta varía de acuerdo a la relación entre duración del pulso y periodo del sistema.
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Es conveniente estudiar el comportamiento ante algunos pulsos básicos. Se desarrolla el caso de pulso rectangular. En general la respuesta máxima no está influida por el amortiguamiento en forma significativa. Los desarrollos se realizan sin amortiguamiento y luego se comparan con respuestas amortiguadas. 9.1. PULSO RECTANGULAR
Figura 9.3 Respuesta a Impulso Rectangular. Dinapulsorec.m. 9.1.1.Fase I: Respuesta Máxima Bajo Aplicación de la Carga
si t td m v(t ) k v(t ) p (t ) p0 Solución
v p (t ) G G
p0 k
v (t ) A sen t B cos t
si v 0 0 v 0 0 B
p0 k
0 0 p0 k
B
p0 k
v(t ) A cos t B sen t 0 entonces A 0 Final solución: v (t )
p0 1 cos t k
El valor máximo es:
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60
vmax
p0 p 1 cos t 2 0 y ocurre para td T 1/ 2 dado que 2 T k k
Figura 9.4 Respuesta a impulso rectangular. Varias duraciones. 9.1.2.Fase II: Respuesta Máxima Bajo Aplicación Nula
si t td m v(t ) k v (t ) p (t ) 0 Por tanto la solución es oscilación libre
v(t td ) A cos t td B sen t td t ' t td Condición inicial para oscilación libre
v t ' 0 v td
p0 1 cos td k
v t ' 0 v td
po sen td k
Sabemos que:
v (t td ) v (t ' 0) cos t td
v(t ' 0)
v(0) P0 vmax A2 B 2 v 2 0 k
sen t td
1 cos td 2
2 sen 2td 2
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p0 sen 2td 1 2 cos td cos 2 td 2 k 2
p0 k
2 1 cos td
vmax 2
p0 t 2 2 cos 2 d k T
p0 t t 1 sen d para d k T T 2
9.1.3.Espectro de Respuesta al Impulso Sea D
vmax P0 k
Espectro (envolvente de todas las respuestas)
Figura 9.5Se presenta la respuesta para todas las razones de duración período y distinto amortiguamiento. Dinapulsosen.
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62
9.2. PULSO SENOSOIDAL
Figura 9.6 Respuesta impulso semi seno.
Figura 9.7 Se presenta la respuesta para varias duraciones.
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63
Figura 9.8 Se presenta la respuesta para todas las razones de duración período y distinto amortiguamiento. 9.3. PULSO ASCENDENTE
Figura 9.9 Respuesta a impulso triangular.
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64
9.4. COMPARACIÓN PULSOS
Figura 9.10 Compara pulsos de igual amplitud y duración. dinaPulsoCompara.m. Si no hay cruces por cero Dmax 2
Figura 9.11 Compara pulsos de igual área bajo el pulso. (Normalizada para el caso de rectangular).
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65
Ejemplo: Suponga una excitación tipo Seno de duración un segundo
P0 1000; td 1 k 4; m 1
td 1 4 0.333 D 1.2 T 2 1 P vmax 0 D Qmax kvmax P0 D k
Figura 9.12 Respuesta de oscilador a impulso.
10. IMPACTO En impacto se dice que el t es tan pequeño que el amortiguador y el resorte no alcanzan a ser excitados. Por tanto el impacto es una acción muy corta en el cual los desplazamientos durante la aplicación de la carga se pueden despreciar. Si
td 1 se cumplen las simplificaciones asociadas a las ecuaciones de impacto T 4
mv(t ) cv(t ) kv (t ) P (t ) Y c 0
v(t )
0 P (t ) k v (t ) v (t ) 0 m m td
P(t ) dt m
v(t ) v(t )dt 0
Movimiento libre:
v (t ) v0 cos(t ) v II (t td )
v(td )
vo
sen(t )
sen(t td )
t 1 d v II (t td ) P(t )dt sen( (t td )) m 0
Ejemplo
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P0 50 td 0.1 T 1.2
P (t )dt 3td 0.3 1/ 4 1.2 T
vmax
1 *10 m
11. CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO La respuesta de UN impacto unitario se escribe como:
1 v ( t td ) md
td ( t td ) sen (d (t td )) P (t )dt e 0
Figura 11.1 Respuesta impulso. Para varios impactos
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67
Figura 11.2 Secuencia de impulsos.
v (t )
1 m D
P( )t exp( (t )) sen(
D
(t ))
En el caso de una secuencia infinita de impactos
mv (t ) cv (t ) kv (t ) P (t )
v (t )
1 m D
t
P( ) exp( (t )) sen(
D
(t )) d Integral de Duhamel
0
t
v (t ) P ( ) h(t ) d
Integral de Convolución
0
h( )
1 exp( ) sen( D ) m D
Respuesta impulso unitario
La convolución implica tres pasos fundamentales:
Figura 11.3 Dinaconvu.m Función original.
Figura 11.4 Desdoblamiento.
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68
Figura 11.5 Desplazamiento.
Figura 11.6 Convolución.
12. ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA 12.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMICIDAD Y ONDAS.
Figura 12.1 Distribución de sismos en el planeta en un periodo de un año.
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69
Figura 12.2 Generación e interacción de placas de la corteza terrestre.
Figura 12.3 Placas tectónicas principales
Figura 12.4 Topografía digital de américa. Los bordes de placa quedan identificados.
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70
Figura 12.5 Ondas de cuerpo
Figura 12.6 Ondas superficiales.
Figura 12.7 Esquema básico de un registrador sísmico inercial.
Figura 12.8 Sistema real de registro.
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71
Figura 12.9 Distribución de sismos en Chile en un siglo.
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72
Figura 12.10 Características de Aceleración Distintos Sismos
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73
Figura 12.11 Registro epicentral obtenido en roca. Terremoto de Tocopilla del 14 de Noviembre del 2007.
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74
Figura 12.12 Registro epicentral obtenido en suelo Ciudad de Concepción. Terremoto del 27 de Febrero de 2010.
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75
Figura 12.13 Integración Componente Horizontal. Registro epicentral obtenido en suelo Ciudad de Concepción. Terremoto del 27 de Febrero de 2010. 12.2. RESPUESTA SÍSMICA DE 1 GDL
FI (t ) FD (t ) FE (t ) 0 mvT (t ) cv(t ) kv (t ) 0 vT (t ) vg (t ) v(t ) mv(t ) cv (t ) kv (t ) mvg (t ) Pe (t ) La respuesta a esta excitación es la integral de Duhamel t
1 v (t ) Pe ( ) exp( (t )) sen (D (t ))d mD 0 1 mvg ( ) exp( (t ))sen (d (t ))d md 0 t
v (t ) v (t )
1
D
t
v ( ) exp( (t ))sen( (t ))d g
d
0
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76
Maurice Biot (1905 - 1985) desarrolló el concepto de espectro de respuesta en su tesis doctoral de 1932. Es importante notar que indicó, que si bien este se generaba para base fija, esto era generalmente conservador debido a posibles flexibilidades del medio de soporte. 12.3. ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS
v (t )
1
d
t
v ( ) exp( (t ))sen( (t ))d g
d
0
Sd (T , ) max v (t )
vg (t ) T Nota: Si T0 0 La estructura es infinitamente rígida
El desplazamiento relativo suelo oscilador es nulo Si T0 La estructura es muy flexible. El desplazamiento relativo oscilador base es igual al desplazamiento de la base T Sd v g max
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77
Figura 12.14 Espectro de Respuesta de Desplazamiento.
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78
Figura 12.15 Espectro de Respuesta de Desplazamiento. 12.4. ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS Sabemos:
v (t )
1
d
t
v ( ) exp( (t ))sen( (t ))d g
d
0
Recordando que: b (t )
(t )
G (t , )d
a (t )
d (t ) dG (t , ) db da d G (t , b(t )) G (t , a (t )) dt dt dt dt a (t ) b(t )
0 t v(t ) v ( ) exp( (t )) sen( D (t ))d ... D 0 g
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79
D
D
t
v ( ) exp( (t ) cos( g
D
(t )) d ...
0
dt d0 vg (t ) exp (t t ) sen(d (t t )) vg (0) exp( (t 0)) sen(d (t 0)) dt dt 0
v(t )
0
t
1 2
v ( ) exp( (t ))sen( (t ))d g
d
0
t
vg ( ) exp( (t )) cos(d (t ))d 0
Se define: S v (T , ) max v(t )
T 0 k Sv 0 T k 0 Sv vg max
Figura 12.16 Espectro de Respuesta de Velocidad.
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80
12.5. ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS
vT vg (t ) v(t ) La importancia de determinar la aceleración absoluta máxima del sistema radica en que depende de las fuerzas inerciales en el sistema
v(t )
dv(t ) dt
g (t ) para obtener v (t ) Luego sumar v T
A partir de la ecuación de movimiento (conocidas v (t ) y v (t ) )
mvT (t ) cv(t ) kv(t ) 0 c k vT (t ) v(t ) v(t ) m m (t ) por cualquier método Conocido v T
Sa (T , ) max vT (t )
T 0 k Sa PGA T Sa 0
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81
Figura 12.17 Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta.
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82
12.6. ESPECTRO DE DISEÑO EN CHILE
Figura 12.18 Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta para Varios Sismo Chilenos comparado con la Norma Nacional NCh433 Of 96.
Figura 12.19 Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta Normalizados a PGA=1, para Varios Sismo Chilenos comparado con la Norma Nacional NCh433 Of 96
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Sa (T )
Ao I R
T 1 4.5 n T0 T 1 n T0
P
3
Figura 12.20 Forma del Espectro de Diseño NCh433 of 96.
Zona 3: Ao=0.4
Figura 12.21 Zonas Sísmicas Nacionales
Zona 2: Ao=0.3 Zona 1: Ao=0.2
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84
Figura 12.22 Factor de Modificación de la Respuesta. 12.7. PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION Se define como:
Sd (T , ) Sd (T , ) Para la velocidad podemos simplificar la expresión tomando en cuenta el bajo valor del amortiguamiento y suponiendo que es caótica:
v(t )
t
vg ( ) exp( (t )) sen(d (t ))d 1 2 0 0
t
vg ( ) exp( (t )) cos(d (t ))d 0 t
vg ( ) exp( (t )) sen(d (t ))d 0
Y por tanto PSv (T , ) Sd (T , ) En forma similar y considerando
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85
vT (t )
c k v(t ) v (t ) m m
PSa (T , ) 2 Sd (T , ) y por tanto
PSa(T , ) PSv(T , ) Los pseudo espectros presentan un buen comportamiento en general excepto para periodos grandes y mayores amortiguamientos.
Figura 12.23 Comparación Espectro y Pseudo Espectro de Aceleración
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86
Figura 12.24 Comparación Espectro y Pseudo Espectro de Aceleración 12.8. ESPECTRO TRIPARTITA Resume los contenidos de los pseudoespectros de desplazamientos y aceleración Dado que:
PS d
T PS v log( PS d ) log(T ) log(2 ) log( PS v ) 2
Entonces
PS a
2 PS v log( PS a ) log(T ) log(2 ) log( PS v ) T
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87
Figura 12.25 Gráfico Tripartita. Ejemplo:
Tn 1 sec PSv (Tn, ) 2 cm
s
Entonces
log( PS d (Tn , )) log(1) log(2 ) log(2 ) PS d (Tn , ) 1 cm log( PS a (Tn , )) log(2 ) log(Tn ) log( PSv (Tn , ))
log( PSa ) 2 log(2 ) PSa (Tn , ) (2 ) 2
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88
Figura 12.26 Representación Unificada en Grafico Tripartita. 12.9. OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA 12.9.1. Integral de Housner
George W. Housner (December 9, 1910 (Saginaw, Michigan) - November 10, 2008 (Pasadena, California)) Housner, George (1989) Interview with George W. Housner. Oral History Project, California Institute of Technology Archives, Pasadena, California.
2.5
1 Sv(T , 0.20)dT Integral de Housner SI 2.4 0.1 La Banda de Períodos utilizada es la más frecuente en edificios. Muy sensible al amortiguamiento utilizado por tanto se recomienda utilizar 20% de razón de amortiguamiento crítico. Al usar Sv no considera comportamiento inelástico de estructuras.
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89
Figura 12.27 Bandas Definidas en el Espectro de Velocidad.
Figura 12.28 Kobe EQ. Dirección Predominante SI. 12.9.2. Relación entre Energía y Espectro de Fourier
v (t )
1
D
t
v ( ) exp( (t )) sen( g
D
(t )) d
0
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90
0
Si
v (t )
1
t
0
vg ( ) sen( (t )) d
La energía Total de 1 GDL: E (t )
1 2 1 kv (t ) mv 2 (t ) 2 2 2
t 1 t 1 1 k vg ( ) sen( (t ))d m vg ( ) cos( (t ))d 2 0 2 0 2
2
t E (t )* 2 2 t v ( ) sen ( ( t )) d vg ( ) cos( (t ))d 2 g m 0 0
2
Si desarrollamos sen ( t ) y cos( t )
sen(t ) sen t cos sen cos t cos(t ) cos t cos sen t sen Por tanto
cos 2 (t ) sen 2 (t ) cos 2 (t ) cos 2 ( ) 2 cos t cos sen t sen ... ... sen 2 t sen 2 sen t cos 2 2sen t cos sen cos t sen 2 cos 2 t 2
cos 2 ( ) 2 sen 2 ( ) 1/ 2
2 2 t t 2 E (t ) vg ( ) cos( ) vg ( ) sen ( ) m 0 0
La Transformada de Fourier de la aceleración
vg (t )
0
vg (t ) exp(it )dt vg (t ) exp(it )dt
exp(it ) cos(t ) isen(t )
0
0
vg (t ) vg (t ) cos(t ) dt i vg (t ) sen(t ) dt 2 2 vg (t ) vg (t ) cos(t )dt vg (t ) sen(t )dt 0 0
1/ 2
Lo anterior indica que la Transformada de Fourier es una medida de Energía al final del sismo. Máximos en el Espectro de Fourier son indicadores que gran energía se ha introducido al sistema.
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91
Figura 12.29 Registro de Concepción 2010. Espectro de Fourier y Espectro de Respuesta para amortiguamiento nulo. dinafftSv.m Normalmente la energía máxima no ocurre al final del sismo por tanto la transformada de Fourier es siempre menor a Sv. Sin embargo es muy importante dado que el amortiguamiento es nulo que el espectro de respuesta se calcule con un gran numero de ceros para incluir la respuesta libre después de terminado el registro. Notar que la velocidad máxima del sistema se puede estimar a partir de la evolución dela energía.
E (tmax ) Emax por tanto se puede estimar la velocidad máxima posible como
1 2 Emax mvmax 2 2 Emax vmax m 12.9.3. Intensidad de Arias
IA
2g
t
v (t )dt g
0
(falta desarrollar esta ecuación)
Escala de medida de energía
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92
Figura 12.30 Kobe EQ Intensidad de Arias (Arturo Arias Prof. Univ. de Chile). Rotated Record IA (trace)= 1569.23 I=
vect =
543.4058 -228.3716
2.1706
-228.3716 839.0633 -15.5247 2.1706 -15.5247 186.7571
vals =
0.0118
0.8785 -0.4776
0.0279
0.4771
0.8784
0.9995 -0.0236 -0.0189
186.3495
0
0 419.3228 0
0 0
0 963.5540
traza = 1.5692e+003
13. MÉTODO DE RAYLEIGH 13.1. BALANCE DE ENERGÍA
Figura 13.1: Sistemas de un GDL amortiguado.
v(t ) z0 sen(t ) v(t ) z0 cos(t )
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93
E. cinética Ek (t )
1 1 mv(t ) 2 E. potencial E p (t ) kv 2 (t ) 2 2
E p (t ) Ek (t ) E cte
E p max E Ek max E
debe cumplirse pues el máximo de una se encuentra cuando la otra es cero.
1 1 1 2 2 2 k v m v m 2 v 2 2 2
A partir de la energía obtenemos la frecuencia 2
k m
Este método parte de establecer para una estructura la forma de vibrar (x ) , luego
v( x, t ) ( x) y (t ) ( x) z0 sen(t )
2
l 2v 1 1 2 Ek (t ) m( x ) x 2 ( x, t ) m( x ) ( x ) z0 cos(t ) x 2 20 t 0 l
l
Ek
1 2 2 z0 ( x ) 2 m( x) x 2 0
Falta calcular la energía potencia:
Ep
1 2 k 2
Ep
1 1 1 M ( k ) k 2 2 2 2 l
1 E p M ( x, t ) ( x, t ) x 2 0
2v M ( x, t ) EI ( x ) 2 ( x, t ) x 2
2v 1 E p EI ( x ) 2 ( x, t ) x 20 x l
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94
Remplazando el
(x) :
l
1 2 E p EI ( x) z02 sen 2 (t ) ''( x) x 20 l
1 2 EI ( x) z02 ''( x) x 20
Ep
Ek E p l
EI ( x) ''( x)
2
2
x
0
l
m( x) ( x)
2
x
k* m*
0
Ejemplo: viga simplemente apoyada. Construimos como una parábola talque cumpla las condiciones de borde en los apoyos
x
x
x
x2
( x) 1 2 L L L L ''( x)
2 cte L2
120 EI mL4 EI ( x) M cte
2
No puede ser.
Veamos
como una sinusoide.
( x) sen(
x L
)
x ''( x) sen L L 2
2 97.4
EI mL4
La frecuencia menos es la que más se acerca a la forma de vibrar real.
k1 375 k 2 192
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
95
Nos damos un
1 como primer modo. 0 .9
1
Energía Cinética
Ek
1 1 2 mi vi mi 2 vi 2 2
2
1 2 z0 mi i 2 2 1 50.5 2 2 z0 2 50*0.92 10*12 z0 *1000 2 2
Energía Potencial.
Ev
2 1 k piso i vi vi 1 2
1 2 2 z0 k piso i i i 1 2 1 2 2 2 z0 3750 1 0.9 1920 0.9 *1000 2 1 z021592.7 *103 2
Luego
2
1592.7 31.54 50.5
5.6 rad/seg
(para el primer modo)
13.2. COORDENADAS GENERALIZADAS
Generamos la ecuación de equilibrio dinámico a partir de una forma de vibrar mediante Desplazamientos Virtuales v Ecuación de trabajo:
W F (t ) v FD (t ) v FE (t ) v P(t ) v 0
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
96
L
N
N
0
n 1
n 1
L
L
N
0
0
n 1
m x z t x vdx M n z t xn v I 0 n z t xn v ... EI x z t ( x ) vdx k x z t x dx v kn xn z t ... L
N
L
0
n 1
0
c x z t x vdx cn xn z t v p x, t vdx 0 Agrupando por variable de movimiento: N N L z t m x x x zdx M n xn xn z I 0 n xn xn z ... n 1 n 1 0 L N L z t EI x ( x) ( x) zdx k x x x dx z kn xn xn z ... n 1 0 0
L N L 2 z t c( x ) x dx z cn xn xn z p( x, t ) x zdx n 1 0 0
Así
m z t c z t k z t p t Donde en general L
N
N
m m x x dx M n xn I 0 n in ( x) '
2
2
n i
0
L
n 1
N
c c x x dx cn xn 2
2
2
n 1
0
L
L
N
k k x x dx EI ( x ) dx kn xn 2
0
2
2
n 1
0
L
N
0
n 1
p (t ) p x, t x dx p xn xn
Y
2
k* m* 14. SISTEMA DE N GDL
Siempre trabajamos con los GDL dinámicos. Si tenemos exceso de estáticos, debemos condensar hasta tener solo los dinámicos. Para NGD, se tiene que en el equilibrio de fuerzas:
f I (t ) nx1 f D (t )nx1 f E (t )nx1 P(t ) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
97
Donde las fuerzas elásticas, de inercia y disipación, se definen como:
f E (t )nx1 K nxn v(t )nx1 f I (t ) M nxn v(t )nx1 f D (t )nx1 C nxn v(t ) nxn 14.1.1. Fuerza Elástica Uno de los primeros pasos para resolver esto, es el cálculo de la matriz de rigidez, identificar los grados de libertad del sistema la matriz de masa, para esta última debemos poner preferentemente los GDL en el centro de masa. Ejemplo:
EA L K 0 0
0 12 EI L3 6 EI 12 EI R L2 L3
6 EI 12 EI R 2 3 L L 6 EIR 4 EI 12 EIR 6 EI R 2 2 L2 L L L 0
Figura 14.1 Ejemplo de matriz de rigidez. Para K33: si giro 1, se tiene
14.1.2. Fuerza Inercial
m0 M 0 0
0 m0 0
0 0 I 0
Cuando escogemos GDL en el centro de masa, la matriz es diagonal, lo que facilita enormemente los cálculos. 14.1.3. Disipación
f D (t )nx1 C nxn v(t ) nx1 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
98
En general no calculamos C dado que normalmente el disipador no existe. 14.2. RELACIONES BÁSICAS: RIGIDEZ, FLEXIBILIDAD Y TRABAJO 14.2.1. Condensación Estática
K v(t ) FE (t ) K 00 K10
K 01 v0 (t ) F0 (t ) K11 v1 (t ) F1 (t ) 0
K10 v0 (t ) K11 v1 (t ) F1 (t ) 0 v1 (t ) K11 K10 v0 (t ) 1
K 00 v0 (t ) K 01 K11 K10 v0 (t ) F0 (t ) 1
K
K01 K11 K10 v0 (t ) F0 (t ) 1
00
I v0 (t ) v(t ) T v0 (t ) 1 K11 K10
K~ T
T nxn
K nxn T nxn
T , no depende del tiempo, entonces: v(t ) T v0 (t ) v(t ) T v0 (t ) v(t ) T v0 (t )
C~ T C T T
T M T M T
14.2.2. Trabajo y Energía de Deformación Matriz de flexibilidad
v1 f11 p1 f12 p2 ... f1n pn
v F P Rigidez
P K v
Energía de deformación. (V)
V
1 N 1 T Pi vi P v 2 i 2
Utilizando flexibilidad
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
99
V
1 T P F P 2
De manera alternativa utilizando matriz de rigidez
V
1 1 T T P v v K v 2 2
Como la energía de deformación es positiva
v K v 0 T
P F P 0 T
Por tanto para v y P arbitrario [K], [F] son positiva definidas no singulares o invertibles. Entonces
v F P P K v 1 1 K P K K v 1 K P v K F 1
14.2.3. Ley de Betti Tenemos dos sistemas de cargas 1 y 2 sobre un cuerpo Trabajo de Carga 1 a través de desplazamientos 1. W11
1 T P1 v11 2
Luego se aplica carga 2 lo que genera un trabajo adicional de: W22 W12 El trabajo total es: WTotal W11 W22 W12
1 T T P2 v22 P1 v12 2
1 1 T T T P1 v11 P2 v22 P1 v12 2 2
Si aplicamos en orden inverso: Carga 2: W22
1 T P2 v22 2
Trabajo Adicional W11 W21
1 T T P1 v11 P2 v21 2
Trabajo Total: WTotal W11 W22 W21
1 1 T T T P2 v2 P1 v11 P2 v21 2 2
Debido a que la energía de deformación es independiente de la aplicación a la carga
P1 v12 P2 v21 T
T
“El trabajo hecho por un grupo de fuerzas debido a las deformaciones de un segundo grupo de fuerza es igual al trabajo hecho por el segundo grupo de fuerza debido a las deformaciones del primer grupo”
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
100
14.2.4. Ecuación de Equilibrio Dinámico Luego la ecuación característica de equilibrio, para un sistema de NGD es:
M v(t ) C v(t ) K v(t ) P(t ) Solución a la ecuación: Primero resolvemos para [C] = 0 Problema homogéneo:
M v(t ) K v(t ) 0 Donde su solución es conocida:
y (t ) y0 sen (t )
v(t )nx1 nx1 y (t ) y0 sen(t )
v(t ) 2 y0 sen(t ) Si remplazo la solución.
M v(t ) K v(t ) 0 2 M y0 sen(t ) K y0 sen(t ) 0 K nxn 2 M nxn nx1 0nx1 det K 2 M 0 De esta ecuación se obtiene i (Valores propios.), los que representan las frecuencias de cada modo. Problemas de valores propios n soluciones. n frecuencias. n valores propios.
Ejemplo 1
1 0 2 2 K 0 2 2 4 0.7071 0.7071 0.5000 0.5000
M
0 0.5858 2 0 3.4142 polcaract =
[1
-4
2]
Figura 14.2 Polinomio característico 2 DOF.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
101
Ejemplo 2 DOF: 5
M Piso 2 K Piso 3 0.05
Polinomio característico:
1.00, 13.50,63.00, 118.13,75.94, 7.59 0.4221 0.3879 0.3223 0.2305 0.1201 0.3879 0.1201 0.2305 0.4221 0.3223 0.3223 0.2305 0.3879 0.1201 0.4221 0.2305 .04221 0.1201 0.3223 0.3879 0.1201 0.3223 0.4221 0.3879 0.2305 2 0.1215 1.0354 2.5731 4.2462 5.5238
Figura 14.3 Polinomio característico 20 DOF 14.3. FORMULACION DE VALORES PROPIOS CON FLEXIBILIDAD
K 2 M 0
K K 2 M 0 1
2 I F M 0 nxn 1 2 I F M 0 No es un problema simétrico por tanto es más difícil de resolver y converge a los valores mayores.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
102
14.4. PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS
K i2 M i 0
i 2 M i K i Multiplicando por
T
j
i 2 j M i j K i T
T
(1)
1 x1
1 x1
Consideremos la ecuación para el modo j
2j M j K j => j
2
// pre-multiplicando por
i
T
T T i M j i K j 2
Restando (2) – (1)
2j i M j i2 i M j 0. T
2 j
T
i2 i M j 0 T
j => i
si i
=> i
T
j.
M j 0
i M j T
Ortogonalidad de modos respecto a la matriz de masa [M].
Mi i j 0i j
mi Masa modal
En forma similar para la matriz de rigidez
i K j 2j i M j 0 si i T
T
j
En general
i K j T
Ki i j 0i j
k i Rigidez modal
K j f j
Dado esta propiedad si consideremos las fuerzas asociadas a un modo como Entonces debido a la ortogonalidad el trabajo de esas fuerzas es nulo: => i
T
f 0 j
En resumen
i M j T
Mi i j 0i j
mi Masa modal
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
103
Ki i j
i K j T
0i j
k i Rigidez modal
14.4.1. Condiciones Adicionales de Ortogonalidad Considerando
K n n2 M n y con m n
Si premultiplicamos por
m K M
1
T
m K M K n n2 m K M M n 0 1
T
1
T
m K M K n 0 que es otra regla de ortogonalidad 1
T
Adicionalmente si premultiplicamos por
m K M K M 1
T
1
m K M K M K n n2 m K M K n y dado la regla anterior 1
T
1
1
T
m K M K M n 0 1
T
1
Otra familia es utilizar la matriz de flexibilidad: K
1
Considerando
1
K n n2 M n , con m n y premultiplicando por
M F K n 2 m T
n
De donde:
1
2 n
F
1
2 n
m M F T
n2 T M F M n 2 m n
m M n m M F M n de donde se genera la ortogonalidad T
T
m M F M n 0 T
Ahora si premultiplicamos
1
K n n2 M n por
M F M F K n 2 m T
n
De donde:
1
2 n
1
2 n
m M F M F T
n2 T M F M F M n 2 m n
m M F M n m M F M F M n y se genera la ortogonalidad T
T
m M F M F M n 0 T
Estas dos familias de propiedades ortogonales se pueden presentar mediante
m M M K n 0 T
1
b
b
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
104
b0
m M n 0
b 1
m K n 0
b2
m M M K M K n 0 1 T m K M K n 0
T
T
1
T
1
m M K M K M n
b 2
1
T
1
m M F M F M n 0 T
Estas reglas de ortogonalidad permitirán generar luego matrices de
C proporcionales.
14.5. NORMALIZACIÓN MODAL Dado las características de diagonalidad de la matriz de masa: n
i M i M i m j ji2 T
j 1
Si normalizamos los modos talque:
'i
i n
m j
j 1
=>
2 ji
'i M 'i 1
=> i
2
'i M 'i 'i K 'i T
=> i 'i 2
T
T
K 'i
T
14.6. COORDENADAS MODALES
La respuesta de una estructura de puede ver como una combinación de todas sus formas de vibrar.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
105
n
v(t ) yi (t ) i i 1
v(t ) y1 (t ) 1 .... yi (t ) i ... i M v(t ) i M y1 (t ) 1 .... i M yi (t ) i ... T
T
T
Donde por ortogonalidad todos los términos son = 0, menos
i M v(t ) M i yi (t ) T
i M yi (t ) i T
//Mi masa modal
Luego
M v(t ) y (t ) i T
i
Mi
14.7. ¿CÓMO RESOLVEMOS?
Figura 14.4 Sistemas equivalentes de 1 GDL. n
v(t ) yi (t ) i i 1
v1 (t ) v2 (t ) 1 y1 (t ) 2 y2 (t ) 3 y3 (t ) v (t ) 3 Encontrar
M v(t ) C v(t ) K v(t ) P(t ) Platear problemas de valores propios sin amortiguamiento (la aproximación es muy buena)
K i2 M i 0 Encontrar todas las formas modales
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
106
, 2
Obtenemos los parámetros modales
M i i M i
Pi (t ) i P (t )
K i i2 M i
T
T
i = 1…n
Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.
M v(0) y (0) i T
i
M v(0) y (0) i T
;
Mi
i
Mi
Entonces se resuelve de la siguiente manera:
M v(t ) C v(t ) K v(t ) P(t ) n n n M y ( t ) C y ( t ) K j j j j y j (t ) j P(t ) j 1 j 1 j 1
Premultiplicando por i
T
i
T
n n n M y j (t ) j C y j (t ) j K y j (t ) j P(t ) j 1 j 1 j 1
Y reconociendo los valores nulos debido a las propiedades de ortogonalidad, extendidas a la matriz de amortiguamiento:
i M i yi (t ) i C i yi (t ) i K i yi (t ) i T
T
Por ahora asumimos que conocemos i
T
i =1…n y que
T
Pi (t )
i C i Ci T
Tenemos finalmente
M i yi (t ) Ci y i (t ) K i yi (t ) Pi (t ) o
yi (t ) 2i i y i (t ) i2 yi (t ) Pi (t ) / M i
i = 1…n
Encontramos las solución: yi (t ) , y i (t ) , yi (t ) y la respuesta final del sistema.
v(t ) yi (t ) i v(t ) yi (t ) i v(t ) yi (t ) i Las fuerzas elásticas
f E (t ) K v(t ) f Ei (t ) K i yi (t ) Dado el problema de valores propios
K i2 M i 0
K i i2 M i f E (t ) i2 M i yi (t ) M i2 i yi (t ) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
107
El cortante total dado por las suma de las fuerzas en cada dirección
Q (t ) 1
T
f E (t ) i2 1 M i yi (t ) i2 Li yi (t ) T
Donde se define e factor de participación modal como
Li 1 M i T
Figura 14.5Contribución modal a respuesta total de un GDL. (dinaRespSismoNGDLModal
NGDL=5; m=100 k=12183)
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
108
Figura 14.6 Efecto del amortiguamiento en el cálculo del corte basal. Tres formas de calcular. (dinaRespSismoNGDLModal
NGDL=5; m=100 k=12183)
14.8. ¿COMO CALCULAMOS LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO? Tenemos que desacoplar el problema (usando la ortogonalidad de las formas modales)
M v(t ) C v(t ) K v(t ) P(t )
j 1
j 1
M y j (t ) j C y j (t ) j K y j (t ) j P(t ) n
j 1
n
n
Premultiplicando por i
T
j 1
j 1
j 1
i M y j (t ) j C y j (t ) j K y j (t ) j P(t ) T
n
n
n
i M i yi (t ) i C y j (t ) j i K i yi (t ) i T
T
n
j 1
C
T
T
Pi (t )
no es una matriz necesariamente diagonal ya que no participa en el problema de valores propios.
Se puede construir una matriz proporcional de varias maneras.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
109
14.8.1. Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh John William Strutt, tercer Barón de Rayleigh. (n. Essex, 12 de noviembre de 1842 - m. Witham, Essex, 30 de junio de 1919) fue un físico y profesor universitario británico galardonado con el Premio Nobel de Física en 1904. Strutt descubrió la existencia de los gases inertes principalmente el Argón y el Radón. Las primeras investigaciones de Rayleigh son en matemáticas específicamente óptica y sistemas vibratorios. Posteriormente cubrió casi todo el mundo de la física: sonido, ondas, visión del color, electrodinámica, hidrodinámica, viscosidad, etc. “Lord Rayleigh, Theory of Sound. (Dover Publications, New York, 1945), Vol. I.” Decimos que [C] es combinación lineal de [M] y [K].
C aM bK
C a M b K T
T
j
i
j
C T
j
i
i
aM i bK i Ci i j 0i j
Ci aM i bK i Cci 2 M ii
i
1 Ci 2 M ii
i
Ci aM i bK i b 1 a i Cci 2 M i 2i 2
Si asumo dos i con los
i
obtengo las constantes
ayb
La matriz de Rayleigh tiene las mismas propiedades de ortogonalidad de [M] y [K], es decir:
1 1 a i b 2 i
i
1 i 1 i j 2 1 j
i
a b j
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
110
Figure 14.7. Amortiguamiento de Rayleigh. Control utilizando dos modos. Dinaraleyghdamp.m
14.8.2. Amortiguamiento Proporcional de Caughy T.K. Caughey, 1927 – 2004Profesor de Caltech. Classical normal modes in damped linear dynamic systems, J. Appl. Mech. 27 (1960) 269-271.Ver http://oralhistories.library.caltech.edu/142/01/OH_Caughey.pdf
C Cb M ab M 1 K
b
i
1 2i
a b
2b i
b
Para ajustar con b entero: 2
b 0,1
3
b 1,0,1
4
b 2,1,0,1 o 1,0,1,2
Para el caso de dos valores de amortiguamiento obtenemos el caso de Rayleigh:
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
111
1 2
1 1 a0 a112 ab12b 21 b 0,1 21 1
a0 a122 22 14.8.3. Amortiguamiento Proporcional de Penzien – Wilson
Joseph Penzien
Edward Wilson
http://www.eeri.org/site/images/projects/oralhistory/penzien.pdf
http://www.edwilson.org/
Si conozco todos los i puedo entrar un
C proporcional
Luego:
0 2 11M 1 0 .... 0 C 0 0 0 2 nn M n T
Luego, se puede calcular [C] como:
C
T
1
1
Pero:
M i M T
Considerando que
M i M i I 1
M i M I 1
T
1
Post multiplicando por
M i 1 T M 1 I 1
M i M 1
1
T
En forma similar
M i M i
1
I
T Pre multiplicando por
1
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
112
M M i
1
T
M M i
1
I
T
1
Por tanto
C M M i M i M 1
1
T
Pero
2 ii 1 1 M i M i Mi
por tanto
N 2 ii C M i Mi i 1
T M i
N
C M i 1
2ii T i i M Mi
Para aquellos vectores que no se coloque amortiguamiento tendrán valor cero en la solución del problema. Adicionalmente podemos utilizar una combinación de Rayleigh y Wilson – Penzien. Siguiendo la recomendación de Clough y Penzien. Sumamos ambos efectos. Se define el último modo al cual se le asigna un amortiguamiento c , c y se estable Rayleigh:
C ac K de donde y ac 2c el amortiguamiento para cualquier otra frecuencia es c
1 2 c 2 c
1 2
i aci
i i c c
Para las frecuencias bajo
c se debe modificar su valor
i c
i i c Finalmente
c 2ii T C a K M i i M c i 1 M i
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
113
15. RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
v T
nx1
vnx1 rnx1 vg (t )1x1
1 r 1 1
Figura 15.1 Ejemplo de Matriz de Influencia r.
M vT (t ) C v(t ) K v(t ) 0 M v(t ) r vg (t ) C v(t ) K v (t ) 0
M v(t ) C v(t ) K v(t ) M r vg (t ) Pefectivo (t ) K i2 M i 0
i M i yi (t ) i C i yi (t ) i K i yi (t ) i M r vg t T
T
T
M i yi (t ) Ci y i (t ) K i yi (t ) Li vg (t )
T
i =1…n
M i C i K i : Masa, Disipación y Rigidez modal Li : Factor de participación modal 15.1. CASO SÍSMICO SOLUCIÓN EN EL TIEMPO
yi t
1 M iDi
t
p
i _ eff
( )e ii ( t ) sen (Di (t ))d
0
yi t
1 Li vg ( )e ii ( t ) sen (Di (t ))d M iDi 0
yi t
t ii ( t ) sen(Di (t ))d vg ( )e M iDi 0
t
Li
Vi ( t ) V ( t , i ,i ,vg )
yi t
Li V ( i , i , vg ) M i i
La desplazamientos totales son la suma de los modales
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
114
v(t ) i yi (t ) i
Li Vi (t ) M ii
FE (t ) K v(t ) K i FE (t ) M i
i2 Li Vi (t ) M ii
FE (t ) M i
i Li Mi
Li Vi (t ) M ii
Vi (t )
La ventaja de esto, es que [M] es típicamente diagonal y [K] no. Ejemplo
Si m m1 m2 m3 y k k1 k 2 k3 encontrar matriz de masa, rigidez, formas modales y factor de participación. Repetir caso aislado asumiendo k1 0.05k 15.1.1. Cortante Basal
Q (t ) 1 FE (t ) T
1
T
Lii
M M
Q (t )
i
Vi (t )
i
L2i iVi (t ) Mi
L2i Se llama masa modal efectiva Mi Una propiedad importante asociada a la masa modal efectiva es:
L2i T 1 M 1 La norma exige un 90 o 95% i 1 M i n
M total
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
115
Demostración Si definimos un vector unitario en forma modal
1 vi Y Cada coeficiente es:
M v M i T
yi
Mi
yi i M 1 Li que es el factor de participación modal. T
i
L Li por tanto 1 i Mi Mi
yi
La masa total de la estructura es:
L T T M T diag M 1 M 1 1 M i Mi L N L2 M T L1........Ln i i M i i 1 M i 15.1.2. Aceleración de Piso
M vT (t ) C v(t ) K v(t ) 0 Reordenando
M vT (t ) C v(t ) K v(t ) Además
K i i2 M i 1 M K i i2 i Si
v(t ) i yi (t )
M vT (t ) C i y i t K i yi ( t ) Usando amortiguamiento Rayleigh e identidad de valores propios:
M vT (t ) a M i y i t b K i y i t i2 M i yi t 1 M Premultiplicando por
vT t a i y i t i2b i y i t i2 i yi t Pero
Ci aM i bK i aM i 2bM i
Ci a i2b M i DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
116
Ci
Mi
a i2b 2i i
Remplazando
2 y t y t v (t ) T
i
i
i
i
2 i
i
i
i 10
v (t ) y t T
2 i
i
i
En caso espectral el máximo valor modal es i
2
Li Li Sd i i Sai . Luego se aplica la Mi Mi
i
combinación correspondiente. 15.1.3. Desplazamiento de Entrepiso
v(t ) i yi (t ) v j v j (t ) v j 1 (t ) j ,i j 1,i yi (t ) 15.2. RESPUESTA ESPECTRAL
Figura 15.2 Espectros de Respuesta El Centro 1940. dinaRespSismoNGLDEspectr.m Utilizando la respuesta modal
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
117
J N
J N
i 1
i 1
v(t ) vi (t ) i yi (t ) Respuesta Modal Máxima
yi t yi
Li V ( i , i , vg ) M i i
Li Sd ( i , Ti ) Mi
Desplazamiento Modal Máximo
vi i
Li S d ( i , Ti ) Mi
Fuerza Modal Máxima
Li i2 Li Vi (t ) M i Vi (t ) FEi (t ) [ K ]vi (t ) [ K ]i M ii M ii Para el valor máximo
FEi M i
Lii2 Sd ( i , Ti ) Mi
F M L PSM( , T ) i
Ei
a
i
i
i
i
Desplazamiento Modal Máximo de Entrepiso Edificio de Corte
v j ,i v j ,i (t ) v j 1,i (t ) j ,i j 1,i yi (t ) Para un edificio de corte. Esta expresión debe variarse para cada caso.
v j ,i j ,i j 1,i
Li Sd ( i , Ti ) Mi
15.2.1. Combinación Modal ABS
R R
Conservador, pues sabemos que sumando todos los máximos, nunca se va a tener
i
respuestas mayores
SRSS: Importante esto es válido para situaciones de duraciones importantes, no impulsivas y no monofrecuenciales
R R
1 2 2
i
NCH433 OF 72
R NCH 1972 12 Ri
Ri
1 2 2
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
118
CQC N
N
R
j 1 i 1
ij
Ri R j CQC
Donde: Según Der Kiureghian (1981)
ij
1 r 2
8 i j i r j r 2
3
2
4 i j r 1 r 2 4 i2 j2 r 2
con r
Ti Tj
Para amortiguamientos iguales:
ij
8 2 1 r r
1 r 2
2
3
2
4 2 r 1 r
2
En la norma Chilena NCh433 que es lo misma anterior dividida por (1 r )
ij
8 2 r 3/ 2 (1 r )(1 r ) 2 4 2 r (1 r )
Rosemblueth y Elorduy (~1969) propuso una solución intuitiva similar.
Figura 15.3 Norma Chilena NCh433 y original.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
119
Ejemplo EQ: El Centro; NGDL= 5 M=
m=100; k=12183; beta=0.05;
K=
100
C=
0
0
0
0
12183
-12183
0 100
0
0
0
-12183
24366
0
0 100
0
0
0
0
0
0 100
0
0
0
0
0
0 100
0
0
w=
T=
0
0
0
94.6621 -55.1846 -12.2270 -4.8649 -1.8935
-12183
0
0
-55.1846 137.6197 -47.8225 -9.2556 -2.9714
-12183
24366
-12183
0
-12.2270 -47.8225 140.5910 -45.9290 -7.3622
0
-12183 0
24366 -12183 -12183
24366
-4.8649 -9.2556 -45.9290 142.4845 -42.9576 -1.8935 -2.9714 -7.3622 -42.9576 149.8467
phi =
3.1416
2.0000
0.0597
0.0549
9.1704
0.6852
0.0549
0.0170 -0.0326
14.4563
0.4346
0.0456 -0.0326 -0.0549 -0.0170
18.5709
0.3383
0.0326 -0.0597
0.0170 -0.0456 -0.0549
21.1811
0.2966
0.0170 -0.0456
0.0597
SaTn =
Yn =
Ln =
0.0456 -0.0326
0.0170
0.0597 -0.0456
0.0549
0.0597
0.0326
Mn =
0.1787
20.9706
20.9706
1.0000
0.6502
-6.6022
-6.6022
1.0000
0.6914
3.4796
3.4796
1.0000
0.6439
1.9377
1.9377
1.0000
0.7043
0.8853
0.8853
1.0000
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
120
Figura 15.4 Compara respuesta espectral y tiempo historia.
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
121
16. VECTOR DE INFLUENCIA Para la siguiente estructura, se tiene:
v T
nx1
vnx1 rnx1 vg (t )1x1
1 r 1 1
hn r h 1
M
m1 m 2
0
0 m1
FI (t ) M vT (t ) M v(t ) r vg (t ) 1 r 0
M
m1 m 2
0
0 m1
FI (t ) M vT (t ) M v(t ) r vg (t ) h r L
m1 m1 M m2 1 0 r 1 0
0 h 1 L 0 h 1 0
m2 vgx (t ) vg (t ) vgy (t ) (t ) g
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
122
17. TORSIÓN
0 m M 0 mr 2 1 I 0 ma 2 b 2 0 0 12
m ab
1 v 0 0
k 22 k xi y k yi x k
k 31 0
k 21 k xi y i k xi K k xi yi 0
0 v 0 1
0 v 1 0
k11 k ix * 1
k xi yi k22
k
x
yi i
0 0 m
2 i
2 i
k 33 k yi
k 23 k yi xi
k yi xi k yi 0
k x k xi
k y k yi
k k xi yi2 k yi xi2 k
k x e y k xi y i k y e x k yi xi
Excentricidad del centro de masa
ex
1 ky
k
x
yi i
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
123
ey
1 kx
k
xi
kx K e y k x 0
yi ey kx k ex k y
0 ex k y k y
Ejemplo:
1 0 M 0 r 2 0 0
k1 1
k 0
0 0 1
r
kx k y k 1
I0 m
m 1 a 10
k2 1
k3 1
k11 3k 2
k 31 0 k 21
2
2
k 33 3k
a a a k 22 ka 2 k ka 2 k ka 2 k k 23 ka 2 2 2 k 0 a a a a k k k k 13 2 2 2 2
3k K ak 2 0
ak 2
2 a2 3 ka k 4 ak
5 3 1500 K k 5 4 0 10
0 ak 3k
0 1 0 100 10 k 1 M 0 0 60 3
0 0 1
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
124
3.8 0.45 0.89 0.21 0 0.87 T 3.6 0.03 1.3 0.9 0.45 0.43 Excentricidad
ex
1 ky
1 ey kx
k
yi
xi
10 ak 3k 3
a 10 k xi yi 3k2 6 k
10 10 CR , . 6 3 Si tenemos una acción arbitraria:
M v(t ) C v(t ) K v(t ) P(t )
K i2 M i 0 En caso de movimiento en la base:
vg1 (t ) P(t ) M r vg 2 (t ) vg 3 (t )
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
125
18. SISTEMAS CONTINUOS Se tiene el siguiente estado de cargas:
Figura 18.1 Equilibrio de un elemento en flexión. Luego, con un diagrama de cuerpo libre se identifican las fuerzas que intervienen en el sistema, trabajando siempre, sobre el eje neutro Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:
F
0
y
V ( x, t ) p ( x, t ) dx V ( x, t )
V ( x, t ) dx f I ( x, t ) dx x
Despejando se obtiene
p ( x, t )
V f I ( x, t ) (1) x
f I ( x, t ) m( x )
Pero, se sabe
2 v ( x, t ) t 2
Luego haciendo sumatoria sobre los momentos a los que está sometido el cuerpo:
M
0
0
M ( x, t ) p ( x, t ) dx
dx dx V ( x, t ) M ( x, t ) f I ( x, t ) dx V ( x, t ) dx dxdx M ( x, t ) dx 0 x x 2 2
Con lo que se obtiene
M ( x, t ) V ( x, t ) 2 x
Sabemos además (ecuación de la elástica)
M ( x, t ) EI ( x)
2 v ( x, t ) 3 x 2
Sustituyendo en (3) y (2) en (1)
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
126
m( x)
2 v x, t 2 2 t 2 x
2 v x, t EI x ( ) p ( x, t ) 2 x
Caso básico m ( x ) m EI ( x , t ) EI :
2 v x, t 4 x, t m EI p ( x, t ) t 2 x 4 Solución homogénea
m
2 v x, t 4 v x, t EI 0 t 2 x 4
Solución del tipo: v ( x, t ) ( x ) y (t )
my(t ) ( x) EI IV ( x) y (t ) 0.
m y (t ) IV ( x) a 4 cte EI y (t ) ( x) De lo anterior se obtienen 2 ecuaciones, una en función del tiempo, la otra función del espacio. y (t ) y
(x) respectivamente y (t ) a 4
EI y (t ) 0 Solución del tipo y (t ) Asen( t ) B cos( t ) m
IV ( x) a 4 ( x) 0
Solución del tipo
( x) Ae xb
Ab 4e xb a 4 Ae xb 0
b
4
a 4 0 b 4 a 4 b a , a , ia, ia
( x) A1e ax A2 e ax A3 e iax A4 e iax
( x) A1e ax A2 e ax A3 cos(ax) isen(ax) A4 cos(ax) isen(ax) ( x) A1e ax A2 e ax B3 sen( ax) B4 cos( ax) ( x) B1senh( ax) B2 cosh( ax) B3 sen( ax) B4 cos( ax) e x e x 2 x e e x sinh( x) 2 cosh( x)
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
127
18.1.1. Viga simplemente apoyada. Condiciones de borde en x = 0:
v (0, t ) 0 y (t ) (0) 0 M (0, t ) 0 EIy (t ) ' ' (0) 0
(0) B1 * 0 B2 * 1 B4 * 1 B3 * 0 0 B2 B4 0
(1)
' ' (0) B1 a 2 * 0 B2 a 2 B4 a 2 B3 a 2 * 0 0 B2 B4 0
(2)
Condición de borde en x = L.
v ( L, t ) 0 y (t ) ( L) 0 M ( L, t ) 0 EI ' ' ( L) 0
( L) B1 senh(aL) B3 sen(aL) 0
(3)
' ' ( L ) B1 a 2 senh ( aL ) B3 a 2 sen ( aL ) 0 (4) 2 B1senh( aL) 0 B1 0 B3 0 B3 sen(aL) 0 n aL n a L n L
( x ) B3 sen
2
x
a 4 EI n 4 4 EI n 2 2 4 2 m L m L
EI m
Tenemos infinitos modos, como corresponde a una viga en un sistema continuo. Los primeros 3 serian:
x 1 ( x ) Bsen L
1
2
EI m
2
L
2 x 2 4 2 L L
EI m
3 x 3 9 2 L L
EI m
2 ( x ) Bsen
3 ( x ) Bsen
2
2
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
128
18.1.2. Viga Cantiléver En x = 0, el desplazamiento y el giro es nulo
v(0, t ) 0 (0) 0 B2 B4 0 v(0, t ) 0 '(0) 0 B1 B3 En el extremo libre: momento nulo
M ( L, t ) 0 EI ''( L) 0 B3 sen(aL) B4 cos(aL) cosh(aL) 0 Corte nulo:
V ( L, t ) 0 EI '''( L) 0 B cos(aL) cosh(aL) B sen(aL) senh(aL) 0 Rescribiendo:
sen(aL) senh(aL) cos(aL) cosh(aL) B3 0 cos(aL) cosh(aL) sen(aL) senh(aL) B 0 4 Desarrollando se encuentra
1 cosh( aL ) cos( aL ) 0 Reordenando cos(aL)
1 cosh(aL) Ceros de Ecuación
a1 L 1.8751 a2 L 4.6941 a3 L 7.8548 a4 L 10.996
Figura 18.2 Ceros de la ecuación de voladizo. Dinacantilev.m Dado que la exponencial converge rápidamente a cero los otros ceros se pueden aproximar a partir de cos( aL ) 0 : Para n>4 a n L ( 2n 1)
2
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
129
n ( x) B3 cosh(an x) cos(an x)
cosh(an L) cos(an L) senh(an x) sen(an x senh(an L) sen(an L)
1 ( x )
2 ( x )
3 ( x )
4 ( x )
18.1.3. Ortogonalidad Sea una viga cuya deformada tenga la siguiente forma:
vi ( x, t ) yi (t )i ( x) yi sen(i t )i ( x) f I ( x, t ) m( x)i2 yi sen(i t )i ( x)
vi ( x, t ) yii ( x) f I ( x, t ) yii2 m( x)i ( x) v j ( x, t ) y j j ( x) f i ( x, t ) y j 2j m( x) j ( x) L
0
L
f i ( x, t )v j (t , x ) dx f j ( x, t )vi ( x, t )dx
(Betti)
0
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
130
L
L
2 2 m( x) yii i ( x) j ( x) y j dx m( x) y j j j ( x) yii ( x)dx 0
0
L
(i2 2j ) m( x)i ( x) j ( x) dx 0 0
Ortogonalidad de Masa
Mi i j
m( x) ( x) ( x)dx i
m( x)
2 i
0i j
j
( x ) dx M i
Para
i j
Masa Modal
Ortogonalidad de Rigidez
m( x ) Pero
2 v x, t 2 2 EI ( x )v ''( x, t ) 0 t 2 x
vi i ( x) y i (t )
j ( x) m( x) yi (t )i ( x)
2 EI ( x) yi (t )i'' ( x) dx 0 2 x
2 yi (t ) m( x)i ( x) j ( x)dx yi (t ) j ( x) 2 EI ( x)i'' ( x) dx 0 x
0 i j 2 ( x ) EI ( x ) ''( x ) dx 2 i 0 j x2 i M i Ki i j L
El
dx va a lo largo del eje neutro. Integrando, por partes
j ( x) EI ( x)i' ( x) 'j EI ( x)i'' ( x) dx 0 x x 0 L
j ( x)Q( x) 0 'j ( x) EI ( x)i'' ( x) ''j ( x) EI ( x)i'' dx 0 L
L
0
Esto indica que cuando las condiciones de borde trabajan la Ortogonalidad es más compleja. Para apoyos que no trabajan:
0 i j '' '' EI ( x ) ( x ) ( x ) dx 2 j i i M i Ki i j Con estas condiciones de Ortogonalidad podemos desacoplar la solución:
m( x)
2 v x, t 2 2 v x, t EI x ( ) p ( x, t ) t 2 x 2 x2
v ( x , t ) i ( x ) y i (t ) i 1
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
131
Luego la respuesta final real, se puede expresar como una suma de todas las respuestas asociadas a cada modo. Para condiciones iniciales
v ( x, 0) i ( x) yi (0) i 1
m( x) ( x)v( x, 0)dx m( x) ( x) ( x) y (0) dx m( x) ( x)v( x, 0)dx y (0) m( x) ( x)dx j
j
j
y j (0)
j
i
i
2 j
m( x) ( x)v( x, 0)dx m( x) ( x)dx j
2 j
2 EI ( x) yi (t )i ''( x) 2 x
j ( x)m( x) i ( x) yi (t ) dx j ( x)
y j (t ) m( x ) j2 ( x ) dx y j (t ) 2j M j p*j (t )
dx p( x, t ) ( x)dx
j
y j (t ) M j 2j M j y j (t ) p*j (t ) j 1... M j y j (t ) 2 j j M j y j (t ) 2j M j y j (t ) p*j (t ) y j (0)
m( x) ( x)v( x, 0)x j
Mj
FI ( x, t ) m( x )vT ( x, t ) Caso Sísmico
m( x ) v( x, t ) r ( x )vg (t )
pef ( x, t ) m( x )r ( x )vg (t )
r ( x ) 1
18.1.4. Deformación por Corte (distorsión angular)
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
132
Luego haciendo un diagrama de fuerzas, se tiene:
Con lo que se puede plantear las siguientes ecuaciones:
2 v x, t V x, t V ( x, t ) m( x ) p ( x, t ) FI ( x, t ) dx V ( x, t ) V ( x, t ) dx p ( x, t ) dx 0 t x x ( x, t ) G ( x) ( x, t ) v x, t V ( x, t ) G ( x) x Aˆ ( x ) V x, t x
v x, t ˆ GA( x ) x x
2 v x, t ˆ v x, t m GA( x) p ( x, t ) t 2 x x mv( x, t ) GAˆ ( x)v ''( x, t ) p ( x, t ) v( x, t ) ( x) y (t )
m m ax B cos ax ˆ ˆ GA GA
( x) Asen
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
133
19. ANEXO A Respuesta a Impulso Sinusoidal Fase I
c 0
P (t ) P0 sen( t )
v0 0, v 0 0 1 sen( t ) v(t ) ( Asen(t ) B cos(t )) 2 1
P 1 sen( t ) sen(t ) v(t ) 0 2 k 1 P0 1 cos( t ) cos(t ) v(t ) k 2 1 v(t ) 0
//Para obtener el máximo
cos(t ) cos(t ) t t 2 n 2 n t t 2 t t
2 /
t
2
1
(Ya que t1 )
Para forzar que el máximo esté en la Fase I
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
134
T 1 T 2 2 T t1 2t1
t 1 1 T 2
vmax
P 1 sen 2 0 2 k 1 1
Para que ocurra Fase II
t1 1 T vmax
v v0 o
2
2
Donde las condiciones iniciales son las del término de la Fase I
v0 v(t1 ) v0 v(t1 ) vmax
P0 k
cos 2 1 2
2
20. FRICCION Ecuación de Equilibrio Dinámico sin Amortiguamiento Viscoso:
mv t sign v(t ) N kv t p t Para vibración libre
p t 0
Se resuelve por partes dependiendo del signo de la velocidad v (t ) 0
mv t N kv(t ) 0 mv t kv(t ) N Para movimiento libre homogénea base
vk t Asen t B cost
p (t ) 0 Solución particular v p (t ) G y por tanto v DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
135
G
N k
v (t ) Asen t Bcos t
N k
Para condiciones iniciales vo , vo
vo B
N k
B vo
N k
vo A Solución final para caso uno:
v t
N sen t vo k
vo
N cos t k
Segundo caso: vo 0
mv t N kv(t ) 0 mv t kv t N v t
N N sen t vo cos t k k
vo
Evaluamos decaimiento libre a partir de un desplazamiento inicial no nulo y vo 0 En este caso controla la ecuación con vo 0 para
v t
N sen t vo k
vo
v t T
2
/ vo
N cos t k
0t T /2 El desplazamiento final de este segmento es:
N
N cos k k
N v (T ) vo 2 2 k En forma recursiva podemos encontrar la envolvente de decaimiento. Si en medio ciclo decae
N N F En T decae 4 4 D 4 k Decay (T ) 2 2 k k k Angulo de la pendiente: tan 4
N Tk
4
N 4 mg g 4 2 k 2 k 2
¿Cuándo se detiene?
kv (t ) N y vk 0 por tanto
mv 0 este desplazamiento es vk
N k
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
136
20.1. MOVIMIENTO SIN RESORTE Cuando no hay resorte y con una velocidad inicial v0 la distancia máxima recorrida se obtiene del balance de la energía cinética inicial y el trabajo de la fuerza disipada:
1 2 mv0 Nd 2 1 mv02 1 v02 d 2 mg 2 g
W
20.2. ENERGÍA DISIPADA EN REGIMEN PERMANENTE
E p 4 N vmax 20.3. INESTABILIDAD Si estamos en resonancia puede ser inestable:
FD Wentrada
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K
137
