Dinamica Unidad 2

INDICE. UNIDAD 2

Cinemática de partículas. 2.1 Introducción……………Pág. 3 2.2 Traslación………………..Pág. 6 2.3 Rotación con respecto a un eje fijo………………….Pág. 7 2.4 movimiento general en el plano……………..……Pág. 14 Glosario....……………………Pág. 18 Conclusiones…….………….Pág. 19 Bibliografía…………..……....Pág. 20

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PROLOGO. La cinemática de cuerpos, es decir, la descripción y el análisis del movimiento de los cuerpos sin considerar las fuerzas y pares que lo generan. Los movimientos de puntos individuales de un cuerpo se relacionan con su movimiento angular. Hasta ahora hemos considerado situaciones en el que el movimiento del centro de masa de un cuerpo se podía determinar con la segunda ley de newton. Sin embargo, suele ser necesario determinar el movimiento rotacional de un cuerpo, aun cuando el único objetivo sea determinar el movimiento de su centro de masa. Además, el movimiento rotacional en si puede ser interés o incluso ser fundamental en el caso que se considere, como ocurre en los movimientos de engranes, generadores, turbinas y giróscopos. Aquí analizamos la cinemática de cuerpos, es decir, la descripción y el análisis del movimiento de los cuerpos sin considerar las fuerzas y pares que lo generan. En particular, mostraremos la forma como los movimientos de puntos individuales de un cuerpo se relacionan con su movimiento angular.

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2.1 INTRODUCCIÓN. Aquí solo nos ocuparemos del movimiento de las partículas. Tal restricción no significa que nos limitemos a cuerpos puntuales, sino que solo estudiaremos cuerpos tan pequeños que cualquier diferencia en el movimiento de sus partes puede ser despreciada o que los cuerpos no tienen movimiento angular. El movimiento de traslación de los cuerpos rígidos es de este tipo. La traslación se define como el movimiento de un cuerpo rígido en el que la línea recta que pasa atreves de dos de sus partículas siempre permanece paralela a su posición inicial. La condición de que el cuerpo sea dirigido significa que la distancia que separa dos partículas cualesquiera permanece constante. Esto, junto con el requisito de que una línea recta en el cuerpo se conserva paralela a su posición inicial, significa que todas las partículas recorren trayectorias iguales o paralelas. Por tanto, la característica cinemática de un cuerpo rígido en traslación es que todas sus partículas tienen los mismos valores de desplazamiento, velocidad y aceleración. El movimiento queda completamente descrito por el movimiento de cualquier partícula del cuerpo. La partícula que usualmente se selecciona es la del centro de masa de dicho cuerpo. Además como vimos en la sección 10.6, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en traslación pasa por su centro de masa. La traslación puede ser rectilínea o curvilínea, ello depende de que la trayectoria descrita por cualquier partícula del cuerpo que sea recta o curva. Esto se ilustra en la figura 11-1.1 donde el movimiento de la parte (a) se llama traslación rectilínea y el movimiento de la parte (b) se llama traslación curvilínea. En cualquier caso, la educación cinética correspondiente es R= Ma=

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a, la cual se obtiene de la ecuación (10-5.2).

Para identificar la aceleración del centro de masa, puede omitirse puesto que todas las partículas tienen el mismo movimiento. El problema general de dinámica es determinar la relación entre el movimiento de un cuerpo y el sistema de fuerzas que actúan sobre él. Cuando se especifica el movimiento de ma. El problema inverso, de determinar el movimiento de una partícula cuando se especifica la fuerza, es más complicado. Requiere resolver R= ma para la aceleración de a y luego integrar una o más de las ecuaciones deferentes de la cinemática (como la sección 9-3) para obtener la relación s-t, v-t o v-s deseada. Otro procedimiento consiste en integrar R= ma directamente, en función del desplazamiento o del tiempo. La integral del tiempo nos lleva a lo que se conoce como la relación trabajo energía, mientras que la integral del tiempo nos da la relación impulso desplazamiento y la velocidad. Además, también veremos que se trata de una ecuación el cual hace mucho más simple que la del impulso-cantidad de movimiento, que es una ecuación vectorial que se relaciona la fuerza, velocidad y el tiempo. Cada uno de estos métodos –fuerza-aceleración, trabajo, energía, impulso- cantidad de movimiento – y sus respectivos movimientos ventajas se analizan en los capítulos siguientes. Nuestras consideraciones de la cinética del movimiento de las partículas nos permiten despreciar temporalmente las complicaciones debidas al movimiento angular del movimiento general de un cuerpo rígido.

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CUERPO RÍGIDO. Es un modelo idealizado de un cuerpo que no se deforma. La definición precisa es que la distancia entre todo par de puntos del cuerpo rígido permanece constante. Si bien cualquier cuerpo se deforma al moverse, si su deformación es pequeña su movimiento puede aproximarse modelándolo como cuerpo rígido. Hay tres tipos de movimiento plano de un cuerpo rígido y, en orden de complejidad creciente son: 1.- traslación a) rectilínea

b) curvilínea

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c) Rotación

2.2 TRASLACIÒN Traslación si un cuerpo rígido en movimiento no gira, se dice que está en traslación. Cada punto de un cuerpo rígido en traslación tiene la misma velocidad y aceleración, por lo que el movimiento de un punto de él. El punto se puede mover en línea recta o en forma curvilínea. Las direcciones de los ejes de un sistema coordenado fijo al cuerpo permanecen constantes. Las ecuaciones cinéticas para la traslación de una partícula se obtienen de la ecuación general se gobierna el movimiento del centro de masa cualquier cuerpo en traslación puede tratarse como si fuera una partícula que fuera una misma partícula que tiene la misma masa que el cuerpo y el mismo movimiento del centro de masa del cuerpo, es decir R= a. cuando la ecuación se aplica al movimiento de traslación, el signo barra sobre ä puede omitirse. Así, obtenemos R= a que es idéntica a la ecuación. Para el movimiento rectilíneo, conviene seleccionar la línea del movimiento eje X. considérese positivo este eje en la dirección inicial de movimiento. Sirviéndolos de esta convención, consideramos que el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y los componentes en X de las fuerzas, son positivas cuando siguen la dirección inicial del movimiento.

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Como la aceleración coincide con el eje X, tenemos ax = ay = ax =0. Entonces, los componentes de la ecuación cinética del movimiento rectilíneo vienen a ser ∑X= a ∑Y=∑Z=0 Donde la suma de fuerzas ∑X . ∑y, ∑Z Son los mas componentes de la aceleracion normal y tangencial a la trayectoria o en ocaciones las componentes radial y transversal. Llamando N al eje tangencial , las formas escalares correspondienmtes de R .

MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL los movimientos bidimensinales de un cuerpo rigido. Un cuerpo rigido de un movimiento plano bidimencional si su centro de masa se muestra perpendicular al plano.

2.3 ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO. Podemos presentar algunos de los conceptos implícitos en la descripción del movimiento de un cuerpo rígido considerando primero un cuerpo gira alrededor de un eje fijo para describir la posición del cuerpo, o su orientación respecto al eje, se 7

especifica el Angulo ɵ entre razón o giro del cuerpo de aceleración.

Cada punto que no está sobre el eje fijo se mueve en una trayectoria circular alrededor de él. Con nuestro conocimiento del movimiento de uno en una trayectoria circular podemos relacionar la velocidad y la aceleración de un punto con la velocidad y la aceleración de angulares del cuerpo.

Rotación alrededor de un eje fijo es un caso especial del movimiento rotacional. La hipótesis del eje fijo excluye la posibilidad de un eje en movimiento, y no puede describir fenómenos como el “bamboleo”. De acuerdo al teorema de la rotación de Euler, la rotación alrededor de más de un eje al mismo tiempo es imposible, así pues, si dos rotaciones son forzadas al mismo tiempo en diferente eje, aparecerá un nuevo eje de rotación. Las siguientes fórmulas y conceptos son útiles para comprender más a fondo la rotación sobre un eje fijo.

RELACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Y EL LINEAL El movimiento de rotación tiene una estrecha relación con el movimiento lineal. 8

El desplazamiento lineal es el producto del desplazamiento angular por el radio del círculo descrito por el movimiento. s=θR La velocidad lineal es el producto de la velocidad angular por el radio del círculo descrito por el movimiento. v=ωR La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular por el radio del círculo descrito por el movimiento. a=αR Así mismo, tomando en cuenta lo anterior, las fórmulas de la cinemática mantienen esta misma relación. Mientras que las fórmulas de la cinemática del movimiento lineal son:

Para la cinemática del movimiento rotacional utilizaremos las siguientes: ω_f ^2 = ω_o ^2 + 2αθ ω_f=ω_o+αt θ=ω_o t+1/2 αt^2

DESPLAZAMIENTO ANGULAR Θ El desplazamiento angular de un objeto determina la cantidad de rotación del mismo y es descrito por la siguiente fórmula: ∆θ=θ_2-θ_1 El desplazamiento angular se mide en radianes (rad), aunque también se puede medir en revoluciones (rev). A continuación se presentan la comparación entre unidades. 1 rad = 57.3° 1 rev = 360° = 2π rad

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VELOCIDAD ANGULAR Ω La velocidad angular es el cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo, como se presenta en la siguiente fórmula: ω= ∆θ/∆t =(θ_2-θ_1)/(t_2-t_1 ) La velocidad angular, es siempre la misma sin importar la distancia que haya entre una partícula y el eje de rotación. Las unidades en que se expresa comúnmente la velocidad angular es en radianes por segundo (rad/s), pero también puede expresarse en revoluciones por minuto (rpm o rev/min) y en revoluciones por segundo (rev/s).

ACELERACIÓN ANGULAR α Al igual que en el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede tener aceleración. La velocidad angular puede alterarse por la influencia de un momento de torsión resultante. La fórmula para calcular la aceleración angular es la siguiente: α= ∆ω/∆t = (ω_2-ω_1)/(t_2-t_1 ) Momento de torsión (torque) En la ley del movimiento rotacional, Newton menciona lo siguiente: Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo. 1 τ=Iα

ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL. Tomando en cuenta que la energía cinética lineal está dada por la siguiente fórmula: K=1/2 mv^2 Y manteniendo la misma relación que ya se expresó más arriba, la energía cinética rotacional está dada por la fórmula: K=1/2 mω^2 R^2 Pero, si consideramos que un cuerpo está formado por diversas partículas de masas diferentes y localizadas a diferentes distancias del eje de 10

rotación, la energía cinética total del cuerpo sería la sumatoria de las energías cinéticas de todas las partículas del cuerpo. K_T=∑▒〖1/2 mω^2 R^2 〗 Y tomando en cuenta que la velocidad angular es la misma para todas las partículas, la fórmula podríamos ordenarla de la siguiente manera: K_T=1/2 ω^2 (∑▒〖mR^2 〗) Viendo que la cantidad en paréntesis no considera si la partícula está en movimiento o en reposo, definiremos a esa cantidad como momento de inercia.

MOMENTO DE INERCIA

La inercia es una propiedad de la materia para resistirse a cualquier cambio en su estado, ya sea de reposo o de movimiento como lo describe la Primera Ley de Newton: Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él. Primera Ley de Newton2 Todos los cuerpos que giran alrededor de un eje desarrollan una inercia a la rotación (se resisten a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su giro. La inercia de un cuerpo a la rotación está determinada por su momento de inercia, que es la resistencia que opone un cuerpo en rotación al cambio de su velocidad de rotación. La fórmula para calcular el momento de inercia de un cuerpo compuesto por partículas de masas dispersas es la siguiente: I=∑▒〖mR^2〗 Para calcular el momento de inercia de cuerpos con distribuciones parejas de masa, se utilizan fórmulas específicas para cada cuerpo. Algunos de los más comunes son los siguientes: Aro delgado: Aro delgado alrededor de uno de sus diámetros: Disco sólido: Cilindro sólido: Cilindro hueco: Barra delgada con eje a través de su centro: Barra delgada con eje en uno de sus extremos: Esfera sólida con eje en su diámetro: Esfera hueca de pared delgada:

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Dada la fórmula del momento de inercia, podemos darnos cuenta de que la unidad en que se mide la inercia es en kilogramo-metro al cuadrado (kg m²).3

ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE

Un planteamiento común para todos los problemas de movimiento plano consiste en el método siguiente:

Determinar la relación cinemática entre la aceleración a dentro de masa y aceleración. Aplicar ecuaciones por medio de esquemas, igualando al diagrama de cuerpo libre de cuerpo. Una alternativa ala paso Consiste en usar un solo diagrama donde se vean las fuerzas aplicadas y los efectos dinámicos invertidos ., creando así un equilibrio es que solo hay que trazar un diagrama y no es necesario ningún símbolo especial. En términos de la velocidad y de la aceleración angulares del cuerpo, los componentes están dados por

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ROTACIÓN CENTROIDAL Se llama rotación centroidal a la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento. Figura 3-20En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y porconsiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultante es igual a

ROTACIÓN NO CENTROIDAL. El sistema equivalente para esteDonde IO es el momento de caso se representa en la figura 3-inercia del cuerpo con respecto al eje que pasa por O y es 21. perpendicular al plano de Si se toma momentos conmovimiento. A diferencia de la respecto a O se tienerotación centroidal, la fuerza resultante en el caso de rotación , no centroidal es diferente de ya que el momento de escero ya que el centro de masa cero. Pero yposee aceleración. El hecho de resaltar en la rotación no como entonces centroidal es que la ecuación [313] es de la misma forma que la 13

[3-13]

ecuación [3-11] lo cual no se cumple para cualquier otro punto.

2.4 MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO. Cuando un cuerpo se sujeta a un movimiento plano general, experimenta una combinación de una traslación y una rotación. La traslación ocurre dentro de un plano de referencia, y la rotación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia. La ecuación [3-13] también se cumple en movimiento plano general en dos casos: 1. Si se toman momentos Veamos: con respecto a un punto que 14

no tenga aceleración pero Si el punto O no tiene aceleración, que se puede estar moviendo. [Fig. 3-22], al tomar momentos con respecto a O se tiene 2. Cuando se toman momentos con respecto a un punto cuya aceleración está dirigida hacia el centro de masa.

Figura 3-22

Si el punto O tiene aceleración dirigida hacia C, [Fig. 3-23], la aceleración de C es

Figura 3-23 Tomando momentos con respecto a O se tiene:

MOVIMIENTO DE RODADURA 15

Si un cuerpo rueda sobre otro, puede ocurrir que en el punto de contacto no haya movimiento relativo, en cuyo caso se dice que el movimiento es de rodadura pura, o que haya movimiento relativo; en este caso se habla de rodadura con deslizamiento. Si por ejemplo una rueda, disco, cilindro o esfera rueda sin deslizar sobre una superficie plana, [Fig. 3-24], la fuerza de fricción f puede tomar cualquier valor entre 0 y mSN, pero la aceleración del centro de masa es ar, entonces las ecuaciones

y

se utilizan para determinar f y a.

Figura 3-24

Si el cuerpo no está en rodadura pura, [Fig. 3-25] la fuerza de fricción es ecuaciones

y la aceleración del centro de masa es diferente de ar. Con las y

se determinan aC y a.

Figura 3-25 Cuando en una situación determinada no se sabe si hay o no rodadura pura, se supone inicialmente que no hay deslizamiento, entonces la fuerza de fricción es desconocida pero se conoce la relación entre aC y a.Si al 16

determinar se encuentra que es mayor que , quiere decir que el cuerpo está deslizando y que la fuerza de fricción debe tomarse como

y que

.

GLOSARIO: Partícula: es la idealización más simple de la mecánica, definiéndose como un punto dotado de masa. Traslación: movimiento que cambia la posición de un objeto. Rotación: es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo. Teorema: es una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. 17

Hipótesis: es una suposición.1 Es una idea que puede no ser verdadera, basada en información previa. Momento: se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector fuerza, en ese orden. Rodadura: implica que el cuerpo que rueda sobre una superficie lo hace sin resbalar o deslizarse con respecto a ésta, de modo que el punto o puntos del cuerpo que se hallan instantáneamente en contacto con la superficie se encuentran instantáneamente en reposo Centroide: El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

CONCLUSIONES: Este esta unidad vimos que la partícula o punto material es un modelo matemático consistente en un punto geométrico (sin dimensiones) dotado de una masa finita y distinta de cero (densidad másica infinita). La utilidad de este modelo radica en que: proporciona un punto de partida relativamente simple para el desarrollo teórico de la mecánica de modelos más complejos; aproxima el comportamiento dinámico de aquellos cuerpos cuyas dimensiones propias son muy inferiores a las dimensiones promedio de sus desplazamientos (por ejemplo, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol); permite estudiar el movimiento del centro de masa de cualquier sistema mecánico. Esto lo hace especialmente útil, ya que el modelo puede aplicarse a situaciones en las que los cuerpos no son en absoluto pequeños. Así, por ejemplo, muchos de los problemas 18

típicos de bloques que deslizan por planos, pueden resolverse con la dinámica de la partícula, ya que movimiento del bloque entero es igual al de su centro de masa, que se puede estudiar como un punto material. También nos habla sobre el movimiento de un cuerpo cambia cuando este interactúa con otros cuerpos. Dichos cambios dependerán por un lado de las propiedades del cuerpo y por otro del medio que lo rodea. El problema central de la dinámica de la partícula es el siguiente: Dada una partícula cuyas características (masa, carga, momento magnético) son conocidas, colocada en determinadas condiciones de movimiento en cierto medio del cual se tiene una descripción completa, determinar cuál será el movimiento subsiguiente de la partícula.

BIBLIOGRAFÍA: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

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Mecánica Para Ingenieros.Dinámica.Ferdinand L. Singler. Mecánica Para Ingenieros. Dinámica. Bedford Fowl. http://laplace.us.es/wiki/index.php/Introducci%C3%B3n_a_la_cinem%C3%A1tica_ de_la_part%C3%ADcula_(GIE). https://es.wikipedia.org/wiki/Traslaci%C3%B3n_(f%C3%ADsica). http://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica1/3.cinematica-de-la-particula.pdf. https://www.monografias.com/trabajos916/rotacion-y-traslacion/rotacion-ytraslacion2.shtml. https://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3n_alrededor_de_un_eje_fijo http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/solid o/rodar/mov_rodar.htm.

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