dinamica-movimientocoordenadascilindricas.docx

1.

El juego mecánico que se muestra en la figura 12-32a consiste en una silla que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular y la ´ ´ aceleración angular del brazo OB son θ y θ , respectivamente. Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del pasajero, cuya estatura no se toma en cuenta en el cálculo.

r=r

´r =0

´r =0

v r =´r =0 v θ =r θ´ 2 2 ar =´r −r θ´ =r θ´

´ 2 r´ θ=r ´ aθ =r θ+ θ´

2.

La barra OA en la figura 12-33a gira en el plano horizontal de modo que

3 ´ θ=(t )

rad. Al mismo tiempo, el collar B se desliza hacia fuera a lo largo de OA de modo que r=(100 t 2 ) mm. Si en ambos casos t está en segundos, determine la velocidad y aceleración del collar cuando t =1 s.

v =´r u r +´r uθ θ´ v =200u r +100 ( 3 ) u θ=[ 200 ur +300 uθ ] mm/ s

La magnitud de v es: v =√(200)2+(300)2=361 mm/s =¿ 56.3 ° ( 300 200 )

δ+ 57.3°

−1

δ=tan ¿

Como se muestra en la figura 12-33(c):

La magnitud de a es:

a=√ (700 ) +(1800) =1930 mm/s 2

φ=tan −1

2

=68.7 ° ( 1800 700 )

2

( 180° −φ ) +57.3 °=169 °

3. El faro buscador en la figura 12-34a emite un rayo de luz a lo largo de un muro situado a 100 m. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración a las cuales el rayo de luz parece viajar a través del muro en el instante θ=¿ 45°. El faro buscador gira a una velocidad constante de

´ θ=4 rad / s

r=100 /cos θ=100 secθ

Velocidad y aceleración ´r =100 (sec θ tan θ) θ´ ´ 100 sec θ ( sec θ2 ) θ´ ( θ´ ) +100 sec θ tan θ( θ) ´ ´r =100 ( sec θ tanθ ) θ+ ´ 2+100 secθ 3(θ)2 +100( sec θ tan θ) θ´ ´r =100 secθ tanθ 2 ( θ)

´ Remplazamos θ=4 rad / s : r=100 sec(45 ° )=141.4 ´r =100 ( sec 45 ° tan 45 ° )=565.7 ´r =1600 ( sec 45 ° tan 2 45 °+ sec 3 45 ° )=6788.2

Como se muestra en la figura 12-34b,

v =´r u r +r θ´ uθ v =(565.7 ur + 565.7u θ)m/s v =√(565.7)2+(565.7)2=800 m/s

Como se muestra en la figura 12-34c

´ ´r θ´ 2) uθ a=( ´r −r θ´ 2) ur + ( rθ−2 a=[ 6788.2−141.4 (4)2 ] ur + [ 141.4 ( 0 )+ 2(4525.5)2 ] u θ a=√ ( 4525.5 ) + ( 4525.5 ) =6400m/ s2 2

4.

2

Debido a la rotación de la barra ahorquillada, la bola en la figura 12-35a se mueve alrededor de una trayectoria ranurada, una parte de la cual tiene la forma de un cardioide, r=0.5(1−cos θ) pies, donde θ está en radianes. Si la velocidad de la bola es v=4 pies/s y su aceleración es a=30 2 pies/ s en el instante θ=¿ 180°, determine la velocidad ´ ´ angular. θ y la aceleración angular. θ

Velocidad y aceleración: r=0.5(1−cos θ) ´r =0.5(sin θ) θ´ ´r =0.5 ( cos θ ) θ´ ( θ´ ) +0.5(sin θ)

Evaluando cuando

θ=180 °

de la horquilla.

r=1 pie

´r =0

´r =−0.5 θ´ 2

v =4 pies/ s reemplazamos :

Como

´ 2 v =√( r´ ) +(r θ) 2

´ 4=√ ( 0 ) +(1 θ) 2

2

´ θ=4 rad / s

´ Del mismo modo, θ

se determina con la ecuación 12-30

´ ´r θ) ´ 2 a=√(´r −r θ´ 2)2 +(r θ+2 2 2 2 ´ 2 ( 0 )( 4 ) )2 30= √(−0.5 ( 4 ) −1 ( 4 ) ) +(1 θ+

−24 ¿ ¿ ( 30 )2=¿ ´ θ=18 rad /s2

5.

El brazo OA ranurado gira hacia la izquierda sobre O con una velocidad angular ´ constante de θ .El movimiento de pin B está restringido de tal manera que se mueve en la circular fija de la superficie y a lo largo de la ranura en la OA. Determinar las magnitudes de la velocidad y la aceleración del pasador B como una función de θ . Derivados del tiempo: r=2 a cos θ

´r =−2 a sin θ θ´ ´ ´r =−2 a [ cos θ θ´ θ+sin θ θ´ ] =−2 a [ cos θ θ´ 2 +sin θ θ´ ]

´ Si θ

es constante,

´ θ=0 .entones

´r =−2 a cos θ θ´ 2

Velocidad: v r =´r =−2 a sin θ θ´

v θ =´r θ=2 a cos θ θ´

´ 2 +(2 a cos θ θ) ´ 2=√ 4 a2 θ 2 (sin 2 θ +cos2 θ)=2 a θ´ v =√ v r2 + vθ2 =√(−2a sin θ θ)

Aceleracion: 2 2 2 2 ar =´r −r θ´ =−2a cos θ θ´ −2 a cos θ´ θ=−4 a cos θ θ´

´ 2 r´ θ=2 ´ ´ aθ =r θ+ ( −2 a sin θ θ´ ) θ=−4 a sin θ θ´ 2

√

2 2 a=√ ar2 +a θ2= ( −4 acos θ θ´ 2) + ( −4 asin θ θ´ 2 ) =√ 16 a2 θ2 ( cos θ2 +sin θ2 )=4 a θ´ 2

6.

Un coche se desplaza a lo largo de la curva circular de radio velocidad constante de

r=400 pies

con una

v =30 pies/ s . Determinar la velocidad angular de rotación de la

línea radial R y la magnitud de la aceleración del automóvil.

r=400

´r =0

v r =r=0

v θ =rθ=400(θ)

´r =0

θ 400 ¿´ ¿ 2 ¿ ¿ 2 (0) + ¿ v=√ ¿

θ=0.075rad /s

´ θ=0

ar =´r −r θ´ 2=0−400 ( 0.075 )2=−2.25 pies/s 2 aθ =rθ+2 ´r θ=400 ( 0 ) +2 ( 0 )( 0,075 )=0 a=√(−2.25)2 +(0)2=2.25 pies /s2

7.

Partiendo del reposo , el niño corre hacia el exterior en el dirección radial desde el centro de la plataforma con una aceleración constante de está girando a una velocidad constante

´ θ=0.2rad /s

0.5 m/s 2 . Si la plataforma

, determine loscomponentes

radial y transversales de la velocidad y la aceleración de el niño cuando t = 3 s . Descuidar su tamaño

Velocidad: t=3 s ,posicion del niño

1 s=( s 0 )r + ( v 0 )r t+ ( ac )r t 2 2 1 r=0+0+ ( 0.5 ) ( 9 )=2.25 m 2

El componente radial de velocidad esta dada por :

v r =( v 0 )r + ( a c )r t=0+0.5 ( 3 )=1.5 m/ s

El componente velocidad transverso del niño :

´ v θ =r θ=2.25 ( 0.2 )=0.45 m/ s

Aceleracion :

ar =´r −r θ´ =0.5−2.25 ( 0.2 ) =0.41 m/ s 2

2

2

aθ =rθ+2 ´r θ=2.25 ( 0 )+2 ( 1.5 ) ( 0.2 )=0.6 m/ s2

.

8.

Si la leva gira en sentido horario a una velocidad angular constante de

´ θ=¿ 5

rad/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del seguidor AB en el instante θ=¿ 30°. La superficie de la leva tiene la forma de limaçon definida por r=( 200+ 100cos θ ) mm.

r=(200+100 cos θ) 2 ´r =( −100 sin θ´ θ ) mm/ s

´ cos θ ´θ2) ´r =−100(sin θ θ+

Cuando

θ=30 °

r=( 200+ 100cos 30° ) =286.6 mm ´r =( −100 sin 30 ° ( 5 )) =−250 mm/s ´r =−100 [ sin 30° ( 6 )+ cos 30° ( 25 ) ]=−2465.1 mm

Velocidad : v r =´r =−250 mm /s

Aceleracion : 2 2 ar =´r −r θ´ =−2465.1−286.6 ( 25 )=−9630 mm / s

9.

El automóvil desciende de un estacionamiento por una rampa espiral cilíndrica a una rapidez constante de v=1.5 m/s. Si la rampa desciende una distancia de 12 m por cada revolución completa, θ=2 π rad , determine la magnitud de la aceleración del automóvil a medida que desciende por la rampa, r=10 m. Sugerencia: para una parte de la solución, observe que la tangente a la rampa en cualquier punto forma un ángulo

β=tan−1(

12 )=10.81° con la horizontal. Utilícelo para determinar las [ 2 π ( 10 ) ]

componentes de velocidad

vθ

y v z , que a su vez se utilizan para determinar

θ´ y ´z v r =0 v θ =1.5cos 10.81°=1.473 m/s v z=−1.5 sin 10.81°=−0.2814 m/ s

Si :

r=10

´r =0

´ v θ =r θ=1.473

Si :

´r =0 θ=

1.473 =0.1473 10

θ=0 ar =r −´r θ 2=0−10 ( 0.1473 )=0 ´ 2rθ=10 ( 0 )+2 ( 0 ) ( 0.1473 )=0 aθ =´r θ+ a z=´z =0

a=√(−0.217)2+(0)2 +(0)2=0.217 m/s2

10. La caja desciende por una rampa helicoidal definida por r=0.5 m,

θ=( 0.5 t 3 ) rad , y

z=( 2−0.2t 2 ) , donde t está en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración de la caja en el instante

θ=2 π rad .

r=0.5 m

´r =´r =0

´ ( 1.5t 2 ) rad /s θ= z=2−0.2t

´ θ=9 t rad /s 2

2

´z =−0.4 m/s 2

´z =−0.4 t m/ s

Cuando

θ=2 π rad

2 π =0.5 t

:

3

t=2.325 s

Si t=2.325 s : ´ [1.5 (2.325)2 ]=8.108 rad /s θ=

´ (2.325 )=6.975 rad /s 2 θ=9 ´z =−0.4 t=−0.4 ( 2.325 )=−0.92996 m/s v =√ v r2 + vθ2 + v z2= √ (0)2+( 4.05385)2 +(−0.92996)2=4.16 m/s

Aceleracion : ar =´r −r θ´ 2=0−0.5 ( 5.108 )2=−32.867 m/s2 ´ 2 r´ θ=0.5 ´ aθ =r θ+ ( 6.975 ) +2 ( 0 )( 8.108 ) =3.487 m/s 2

2

a z= ´z =−0.4 m/s2 a=√ ar2 +a θ2+ az2 =√(−32.867)2 +(3,487)2+(−0.4)2=33.2

Ejercisios propuestos

1.

El pasador B de 100 g se desliza a lo largo de la ranura en elbrazo rotatorio OC y a lo largo de la ranura DE, la cual se cortó en una placa horizontal fija. Si se ´ ignora la fricción y se sabe que el brazo OC gira a una razón constante θ0=¿ 12 rad/s, determine para cualquier valor dado de ϴ. a) las componentes radial y transversal de la fuerza resultante F que se ejerce sobre el pasador B, b) las fuerzas P y Q ejercidas sobre el pasador B por el brazo OC y la pared de la ranura DE, respectivamente.

2.

El deslizador C tiene un peso de 0.5 lb y puede moverse

por

una ranura cortada en un brazo AB, el cual gira a θ´ 0=¿

razón constante

10 rad/s en un plano

horizontal. El deslizador se encuentra unido a un resorte con razón constante k =2.5lb/ ft

que se encuentra sin estirar cuando

r=0 .Si el deslizador se

suelta desde el reposo sin velocidad radial en la posición en

cuenta

la

r=18∈.

y no se toma

fricción,

determine para la posición r=12∈.

componentes

,

a)

las

radial

y

transversal de la velocidad deslizador,

b)

componentes

radial

del

las y

transversal de su aceleración, c) la fuerza horizontal ejercida sobre el deslizador por el brazo AB.

3.

Un collarín de 3 lb puede deslizarse sobre una varilla horizontal la cual gira libremente alrededor de un eje vertical. El collarín se sostiene inicialmente en A mediante una cuerda unida al eje y comprime un resorte con una constante de 2 lb/ft, el cual está sin deformar cuando el collarín se localiza en A. Cuando el eje gira a la tasa

´ θ=16 rad /s , la cuerda se corta y el collarín se mueve hacia

fuera a lo largo de la varilla. Si se desprecia la fricción y la masa de la varilla, determine a) las componentes radial y transversal de la aceleración del collarín en A, b) la aceleración del collarín relativa a la varilla en A, c) la componente transversal de la velocidad del collarín en B.

4.

Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de 480 km/h a una altitud constante de 1500 m. La proyeccion sobre el suelo de la trayectoria del avion

pasa

900m

al

norte

de

un

radar

seguidor.Determinar la celeridades y aceleraciones de ´ rotacion θ , Ӫ

ϕ´ , y´ϕ

que hay que dar a la antena

para seguir al avion cuando éste esté 1800 m al este de la estacion del radar.

5.

La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3 rad/min. Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 m de largo va descendiendo a la razón constante de de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del punto B cuando �=30°.

6.

Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de 100 m/s a una altitud constante de 1500 m. La proyeccion sobre el suelo de la trayectoria del avion pasa 2km al norte de una estacion de radar .Determinar la celeridades y ´ aceleraciones de rotacion θ , Ӫ

ϕ´ , y´ϕ

que hay

que dar a la antena para seguir al avion cuando éste esté en el mismo meridiano que la estacion del radar .

˙

7.

El doble anillo liso de 0.5 kg puede deslizarse libremente sobre el brazo AB y la barra gu´ıa circular. Si el brazo gira a un velocidad

´ angular constante de θ

= 3rad /s, determine la fuerza que el brazo

ejerce sobre el anillo en el instante θ = 45° . El movimiento ocurre en el plano horizontal.

8.

El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a traves de s u centro el cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el plano vertical a una razón ´ constante θ = 0.5rad /s,determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60°.

9.

Una lata C de 0.5 kg de masa se mueve a lo largo de una ranura horizontal. La ranura tiene la forma de una espiral, la cual esta definida por la ecuacion r = (0.1θ)m, donde θ esta en radianes. Si el brazo OA gira a una velocidad constante

´ θ=¿

4rad /s en el plano horizontal, determine la fuerza que ejerce en la lata en el instante θ = π rad. Ignore la fricci ´on y el tamano de la lata.