Dinámica-Isaac Dominguez.docx

PROBLEMA 1

Los auto automó móvi vile les s de car carreras eras A y B se desp despla laza zan n sobr sobre e por porcion ciones es circul circular ares es de una una pista pista de carre carrera ras. s. En el insta instant nte e que que se indic indica, a, la rapi rapide dez z de A dism dismin inuy uye e a razó razón n de 2

2 m/s

inc increme ementa a una tasa de

7 m/ s

2

y la rapide idez de B se

. Para ara las las posic posicio iones nes mostr mostrad adas, as,

Determine: a) la velocidad de B relativa a A, b) la aceleración de B relativa a A.

!L"#$!%: Pasamos asamos las velocida velocidades des de m/s

a

km / h

, asi:

v A =162

v B=144

1h km  1000 m  m × × =45 1 km 3600 s h s

1h  km  1000 m  m × × =40 h s 1 km 3600 s

a. A&ora A&ora bien la ecuación ecuación de velocida velocidad d relativa relativa de B con respecto respecto a la de A se muestra a continuación: v B= v A + v B / A ⃗

⃗

⃗

A&ora bien viendo la 'r(ca podemos &allar la ma'nitud de la velocidad relativa usando la ley del coseno, de la si'uiente *orma: 2

2

v B/ A =303,4

 km h

2

cos 165 165 ° ( v B  A ) =( 162 ) + (144 ) −2 ( 162 ) ( 144 ) cos /

La dirección de la velocidad se &alla as+:

 km  km 303,4 h h = → α = 7,056 ° sin α  sin 165

144

b. A&ora bien la ecuación de la aceleración transversal y normal se muestran de la si'uiente manera:

( a A )t =7 ⃗

 m 2

s

300 ∢

° ∧( aB )t =2

m

⃗

s

2

315 ∢

°

( )

( )

2

2

 m m 45 40 2 2 v v s s ( a A )n= ρ A = 300 m = 6,75 m2 ∢210 ° ∧( aB ) n= ρB = 250 m =6,40  m2 ∢45 ° s s  A B ⃗

⃗

Por lo tanto: a A =7 ( cos300 i + sin 300  j ) + 6,75 ( cos210 i+ sin 210 j )=(−2.3457 i− 9,4372  j )

 m

⃗

a B=2 ( cos315 i+ sin 315  j )+ 6,4 ( cos 45i + sin 45 j )=( 5.9397 i + 3,1113 j )

s

⃗

⃗

a B / A =5.9397 i + 3,1113  j − (−2.3457 i −9,4372  j ) =8,2854 i+ 12,5485  j

La ma'nitud y dirección se &allan de la si'uiente manera: a B / A =√ ( 8,2854 ) + ( 12,5485 ) =15,04 2

2

 m

tan ∅=

12,5485 8,2854

→ ∅=56,6 °

s

2

2

a B / A =a B−a A , por lo tanto: ⃗

⃗

⃗

2

 m

⃗

A&ora bien de la suma vectorial tenemos que

s

PROBLEMA 2

e descar'a carbón desde la puerta trasera de un camión de volteo con una velocidad inicial de

v A =6 ft / s

∡ 50 °

.

Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por el carbón: a) en el punto  A, b) en el punto de la trayectoria  *t por deba-o del punto  A. !L"#$!%: a. El radio de curvatura para el punto A, se calcula de la si'uiente manera: 2

2

v v ( a A )n= ρ A → ρ A = a  A (  A )n  A

 ρ A =

( 6 ft / s )2

( 32.2 ft / s ) cos50 ° 2

=1,739 ft 

b. Debemos &allar la ma'nitud de la velocidad en el punto B de la si'uiente manera Para el movimiento uni*orme &orizontal en el punto B, tenemos:

( v B ) x =( v A ) x =( 6 ft / s ) cos50 °=3,8567 ft / s Para el movimiento uni*ormemente acelerado vertical en el punto B, tenemos: 2

2

( v B ) y =( v A ) y −2 g ( y − y A ) ( v B ) y = ( 6sin50 ° ) −2 ( 32,2 ) (−3 ) =214,326 ft  / s 2

2

2

2

( v B ) y =14,6399 ft / s Entonces la ma'nitud de la velocidad en el punto B se &alla as+:

v B=√ ( v B ) x + ( v B ) y =√ ( 3,8567 ft / s ) + ( 14,6399 ft / s ) = 15,1394 ft / s 2

2

2

2

  la dirección de la velocidad en el punto B se &alla as+: tan ∅=

( v B ) y 14,6399 ft / s = → ∅=75,24 ° ( v B ) x 3,8567 ft / s

El radio de curvatura para el punto B, se calcula de la si'uiente manera: 2

2

v v ( a B )n= ρB → ρ A= a B ( B)n B

 ρB =

( 15,1394 ft / s )2

( 32.2 ft / s ) cos75,24 ° 2

= 27,9 ft 

PROBLEMA 3

Determine la rapidez m(/ima que los carros de la monta0a rusa pueden alcanzar a lo lar'o de la porción circular AB de la pista, si la componente normal de su aceleración no puede ser mayor que '. !L"#$!%: La velocidad normal m(/ima entre los puntos AB se calcula de la si'uiente manera:

( v max ) AB= aρ=3 gρ 2

1eemplazando valores tenemos:

( v max ) AB=3 ( 32.2 ft / s ) ( 80 ft )=7728 ft  / s 2

2

2

2

→ v max =87.909 ft / s

A&ora calculemos la velocidad en millas &ora y tenemos que: v max =87.909

 ft  1 mi 3600 s ×  × =59,93 mi / h 1h s 5280 ft