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DINAMICA ESTRUCTURAL SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Componente de un sistema dinámico básico: 1. Masa 2. Propiedades Elásticas (Flexibilidad o Rigidez) 3. Mecanismo de perdida de energía o Amortiguamiento.

Ecuación de movimiento: Principio de A’lembert: Equilibrio de las fuerzas actuando sobre la masa.

Las fuerzas resistente son dependientes del desplazamiento.

Ecuación de movimiento: Fuerza Inercial: Fuerza de amortiguamiento: Fuerza elástica:

Influencia de la fuerza gravitacional

Influencia de la fuerza gravitacional Desplazamiento total: Causado por el peso y el desplazamiento dinámico adicional

Fuerza en el resorte:

En el t=0 sin fuerza dinámica se nota que

Influencia de la fuerza gravitacional Por derivación de la ecuación

donde

no varia con el tiempo, es evidente que:

Conclusión: Comparando con la ecuación de movimiento inicial, se demuestra que la ecuación es expresada con referencia a una posición de equilibrio estático, por ende, el sistema dinámico no es afectado por las fuerzas gravitacionales. Los desplazamientos son referidos a la posición de equilibrio estático. Las deflexiones totales, esfuerzos etc, son obtenidos por la agregación de las correspondientes cantidades estáticas.

Eje fijo de referencia

Influencia de los apoyos en la excitación. Equilibrio de fuerzas

Fuerza inercial

La ecuación se debe expresar en términos de una sola variable.

Eje fijo de referencia

Influencia de los apoyos en la excitación.

El signo negativo nos indica que la fuerza es opuesta a la aceleración del terreno. En ingeniería este signo no tiene gran interés, ya que solo interesa el máximo valor absoluto del desplazamiento. Una forma alternativa es derivando la ecuación

Vibración libre El sistema no se le aplican fuerzas, pero depende de las condiciones iniciales de Desplazamiento y velocidad.

Sistema lineal de segundo orden, homogéneo tiene como solución: C es una constante Se deriva z.

Se divide entre

se obtiene la ecuación característica

Vibración libre Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos

Que consiste en dos raíces:

Entonces se tiene dos soluciones: La suma es la solución general: C1 y C2 se obtiene de las condiciones iniciales

Sistema no amortiguado Si no existe amortiguamiento c = 0 en la ecuación Entonces queda: y Donde i es el operador Estableciendo. Sustituyendo en la solución general, se obtiene

Frecuencia natural no amortiguada

Sistema no amortiguado

Aplicando las identidades de euler

Estableciendo valores C1=C2=1 y C1=1,C2 =-1, se suman y restan las ecuaciones de identidad.

Sistema no amortiguado Los valores de las constantes A y B pueden ser obtenidas de las condiciones Iniciales de desplazamiento z(0) y velocidad z’(0) en el tiempo t= 0.

Sistema no amortiguado La solución de la ecuación representa un movimiento armónico que se representa gráficamente de la siguiente forma.

Ciclos por segundo (Hz)

Periodo en segundos (seg)

Sistema no amortiguado Una forma alternativa de expresar el movimiento vibratorio no amortiguado es la siguiente.

Donde ρ es la amplitud o máximo desplazamiento del movimiento y θ es ángulo fase.

Sistema amortiguado Retornamos a la ecuación:

La naturaleza de las soluciones depende de la cantidad debajo de la raíz cuadrada. 1. Raíz es positiva (Sistema sobreamortiguado) 2. Raíz es igual a cero (Sistema con amortiguamiento critico) 3. Raíz es negativa (Sistema subamortiguado) Sistema con amortiguamiento critico

Este valor es llamado amortiguamiento critico

Marca el limite entre el movimiento oscilatorio y no oscilatorio.

Sistema amortiguado El amortiguamiento viscoso no dimensional es definido como.

Fracción de amortiguamiento critico es expresado en términos de porcentajes por ejemplo Dividiendo la ecuación dinámica entre la masa, utilizando el amortiguamiento natural y el factor de amortiguamiento obtenemos.

Estableciendo nuevamente la ecuación característica, para la solucionar la la ecuación. o

Sistema amortiguado La solución de la ecuación ahora depende de si. 1. 2. 3.

< 1 Amortiguamiento menor que el critico = 1 Amortiguamiento critico > 1 Amortiguamiento mayor que el critico

Amortiguamiento critico

La primera solución es igual:

Pero existe una segunda solución que se obtiene por el método de reducción de segundo orden.

Entonces la solución general queda:

Sistema amortiguado Amortiguamiento mayor que el critico Utilizando la ecuación

Y la solución general

Se obtiene:

Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico Este caso es de mayor interés, ya que las estructuras tiene un amortiguamiento menor que el amortiguamiento menor que el critico Utilizamos la ecuación

La cual puede ser escribida como

donde

Frecuencia natural Amortiguada, la cual menor que Wn y es despreciable para muy pequeños

Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico Utilizando la ecuación general

Resulta

Se utilizan las siguiente identidades para eliminar la parte imaginaria.

Estableciendo valores C1=C2=1 y C1=1,C2 =-1, se suman y restan las ecuaciones de identidad y se utiliza el método reducción de segundo orden para comprobar las soluciones, finalmente la solución general es igual a la suma de las soluciones.

Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico Los valores de las constantes A y B pueden ser obtenidas de las condiciones Iniciales de desplazamiento z(0) y velocidad z’(0) en el tiempo t= 0.

Una forma alternativa de expresar esta ecuación es de la siguiente forma:

Amplitud

Ángulo fase

Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico La respuesta de un sistema subamortiguado, sujeto a un desplazamiento inicial con velocidad inicial igual a cero, se muestra en la siguiente figura.

Td

Sistema amortiguado Decremento logarítmico El amortiguamiento interno de una estructura puede ser experimentalmente calculado, a partir del movimiento vibratorio de un sistema subamortiguado, estableciendo dos amplitudes máximas consecutivas, por ejemplo Z1 y Z2.

z1 = ρ cos(ωd t + θ )e −γωt

z 2 = ρ cos(ωd t + θ )e −γω ( t +Td )

( )

Dividir z1 entre z2 y se le aplica el logaritmo

ln(e −γω ( t ) ) δ= ln(e −γω ( t +Td ) )

δ = ln (e ) + γωTd

δ=

2πγ 1− γ

2

 e −γω (t ) δ = ln −γωt −γωTd e e

  

δ = ln e

Se remplaza Td en Función de la frecuencia

γω 2π δ= ωd

δ = γωTd

Para valores pequeños De amortiguamiento

δ = 2πγ

+ γωTd

Se remplaza Wd

Sistema amortiguado Decremento logarítmico

Relación lineal

Para determinar el numero de ciclos para un 50% de reducción de amplitud de desplazamiento puede ser obtenida de la siguiente relación.

Sistema amortiguado Ejemplo: Se tiene las siguientes propiedades de un sistema

Dibuje la respuesta en el tiempo para las condiciones iniciales z=0.1m y z’ = 0

en el tiempo igual a cero. Solución:

Amortiguamiento menor que el critico, se utiliza la siguiente ecuación

Calculamos frecuencia amortiguada

Sistema amortiguado Ejemplo Se requiere la velocidad del sistema derivando la ecuación

Las constantes A y B son encontradas remplazando las frecuencias y evaluando Las ecuaciones en z=0.1 y z’=0 en t= 0; Donde surge dos ecuaciones con dos incógnitas. Esto resulta A=0.1 y B = 0.0204.

Modelamiento en MATLAB de sistema de vibración libre Simulink