dinamica estructural ejemplos

Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Capítulo 2

Medidas cerca de París) y estará en función de la aceleración

Conceptos básicos de Dinámica Estructural

De acuerdo con la segunda ley de Newton: La fuerza resultante

de la gravedad (g).

aplicada a un cuerpo es igual al producto de la masa y la acele2.1 Introducción a las vibraciones mecánicas

ración del cuerpo:

Los problemas de vibraciones los podemos encontrar en diver-

Por lo tanto, el peso o la fuerza debida a la atracción gravitacio-

sos sistemas y van desde problemas de vibraciones en maqui-

nal, es:

naria debido a desbalanceos en sus masas, vibraciones en las

Y la masa en nuestro sistema, es una unidad derivada:

estructuras que soportan dichas maquinarias, vibraciones en

La

unidad de masa se denomina unidad técnica de masa

edificaciones debidas a movimientos sísmicos, hasta vibraciones en fuselajes de aeronaves, solo por mencionar algunos de

(UTM):

los problemas en donde se deben de evaluar los efectos de las

En cambio en el sistema internacional (SI), la masa es una can-

vibraciones mecánicas.

tidad base y es la cantidad de masa del Kilogramo Patrón que

En México se emplea el sistema métrico decimal, en donde las

convencionalmente se le asignó una masa de un kilogramo. En

unidades base son:

el SI, la unidad de fuerza es derivada, teniendo la idea de que una fuerza se mide por la aceleración que produce, así, la fuer-

Longitud: Metro( m) Fuerza: Kilogramo (kg) Tiempo: Segundo (s)

za necesaria para que un cuerpo de 1 kg (masa) se acelere 1 m/s2 recibe el nombre de Newton (N) :

Este es un sistema gravitacional en donde las fuerzas depen-

Entonces, el kilogramo masa pesa 9.81 N, considerando que la

den del valor de la aceleración de la gravedad.

aceleración gravitacional vale 9.81 m/s2. Así, si en el sistema

El Kilogramo (kg) también llamado kilogramo fuerza, es lo que

métrico decimal un kilogramo fuerza es lo que pesa un kilogra-

pesa un Kilogramo masa o kilogramo patrón (cilindro de Platino

mo masa, esto es, 1 kgfza= 9.81 N, entonces, 1 N = 0.10191

e Iridio que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesas y

kgfza.

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

En el estudio de la dinámica estructural se debe de tener en

Con esta función se puede representar el problema que apare-

cuenta que las cargas o excitaciones, son fuerzas cuya magni-

ce en maquinarias que tienen ciertas excentricidades.

tud, dirección o punto de aplicación puede variar en función del tiempo.

b).- Excitaciones no-periódicas: Se identifican según su dura-

Debido a lo anterior, en nuestro estudio se considera con carác-

ción, como cortas, medianas y de larga duración.

ter dinámico cualquier acción, propiedad o respuesta de la estructura que varíe en función del tiempo.

F (t)

2.1.1 TIPOS DE EXCITACIONES DINAMICAS a).- Excitaciones Periódicas: Son aquellas que se repiten por

t

ciclos a lo largo del tiempo:

Figura 2.2 Cargas de corta duración, se aplican en períodos de T

tiempo pequeños que se denominan impulsos.

Figura 2.1 Función periódica con amplitud F0, repite todas sus características después de un tiempo determinado llamado periodo T.

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Para saber si la duración es pequeña o no, se debe de comparar con el período de la estructura. Por ejemplo, las explosiones

2.1.2 Características de los problemas dinámicos

son cargas de impulso. Ya que su duración puede ser mucho menor que la del periodo de oscilación de la estructura:

A diferencia de los problemas estáticos, los parámetros

A,(g)

en los problemas dinámicos están en función del tiempo, esto es, tanto las características de la carga o excitación,

como las de las propiedades de la estructura,

varían o dependen del tiempo.

También se generan fuerzas de inercia al perturbar el equilibrio de las masas de la estructura, tales fuerzas de Figura 2.3 Cargas de mediana duración. En caso de registros

inercia son de sentido contrario al desplazamiento x, ya

sísmicos, hay grandes impulsos que dañan la estructura.

que la inercia es la propiedad de la masa de oponerse al cambio de movimiento. Las fuerzas de inercia son pro-

Aunque los sismos pueden ser cargas que contengan impulsos,

porcionales a la aceleración y valen:

se consideran cargas de mediana duración. La aceleración del terreno debido a un sismo, es un ejemplo de este tipo de carga.

2.1.3 Equilibrio Dinámico Imaginemos que podemos tomar una fotografía de una estruc-

Cargas dinámicas de Larga Duración

tura en movimiento en un instante de tiempo, para que se pueda plantear la ecuación de equilibrio con todas las fuerzas que

Cargas de Viento en estructuras (puede durar horas)

intervienen en ese instante, a este planteamiento se le conoce

Fuerzas de oleaje en Plataformas Marinas

como equilibrio dinámico o Principio de D´Alembert.

Cargas de corrientes submarinas Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Con el procedimiento anterior se puede establecer la ecuación

Considerando que la masa de la estructura de la figura 2.4 se

de movimiento de la estructura.

concentra principalmente al nivel de la trabe y de la losa, el diagrama de cuerpo libre para aplicar el equilibrio dinámico en la

x

m

P(t)

dirección del movimiento, será:

fd fs

fs

(2.1) Figura 2.4 Fuerzas que intervienen en el equilibrio dinámico de una estructura: Fuerzas elásticas to

(2.2)

, Fuerzas de amortiguamien-

, Fuerzas de inercia .

1.- Fuerzas Restauradoras (fs): En el ejemplo anterior las co-

En ese instante de tiempo (t), se tienen que considerar las siguientes fuerzas que intervienen cuando a la estructura se le perturba con la aplicación de una fuerza dinámica: 1. Fuerzas restauradoras elásticas (o inelásticas) 2. Fuerzas de amortiguamiento 3. Fuerzas de inercia

lumnas del marco se deforman elásticamente y proporcionan una fuerza de sentido contrario al desplazamiento. Si las columnas se mantienen trabajando elásticamente siguen una ley de variación elástica en función de su rigidez y del desplazamiento. En este caso habría fuerzas elásticas restauradoras en ambos sentidos, ya que la masa se desplazaría de izquierda a derecha y después en sentido contrario, hasta el des-

4. Fuerzas excitadoras Autor: Alfredo A. Páez Robles

Por lo tanto, la ecuación de movimiento del sistema es:

plazamiento máximo xo. ESIA-ZAC

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fS

En el punto C de la figura 2.6 se inicia la descarga después de k

que la estructura ha fluido por primera vez y en ese instante la

1 -xo

velocidad de la masa vale cero ( xo

x

), para comenzar a incre-

mentarse pero con un movimiento de sentido contrario de la masa por lo que la deformación disminuye e incluso puede cambiar de signo cuando la velocidad de la masa es negativa .

Figura 2.5 Relación fuerza-deformación para un sistema elástico, fs = k x (obviando que el desplazamiento está en función del

También se observa que en los ciclos de carga y descarga pos-

tiempo x ≡ x(t) ).

teriores hay pérdida de resistencia y también pérdida de rigidez (tramo D-E con menor pendiente), debida a la degradación del

Cuando los desplazamientos de las columnas son grandes, el

material de la estructura, como por ejemplo el agrietamiento del

comportamiento elástico deja de ser válido y pasa a ser inelásti-

concreto o pandeos locales en la estructura de acero, entre

co, a partir del punto A de la fig. 2.6, en tal caso las fuerzas ya

otros factores.

no dependen solo del desplazamiento , sino también de la velocidad de la masa y de la historia de desplazamiento previa, es decir, cuando los elementos resistentes llegan a la fluencia, sufren deformaciones más grandes que las que se presentaron en la etapa elástica, por lo que el material de la estructura se degrada perdiendo tanto rigidez como resistencia en cada ciclo de carga.

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ría, y también de la fricción entre la estructura y los elementos no estructurales.

En la práctica, solo es posible medir la cantidad de amortiguamiento en cada estructura a través de instrumentación y medición del decremento de las amplitudes de cada ciclo cuando la estructura se encuentra vibrando libremente. Analíticamente, la fuerza de amortiguamiento se puede idealizar por medio de un amortiguamiento viscoso que genera una fuerza directamente proporcional a la velocidad de la masa :

En donde c es el coeficiente de amortiguamiento de la estructura. Figura 2.6 Relación fuerza-deformación para un sistema inelás-

3.- Fuerzas de inercia (fi): Las fuerzas de inercia también son de sentido contrario al movimiento ya que la inercia es la propiedad

tico.

de la masa de oponerse al cambio de movimiento y también son 2.- Fuerzas de amortiguamiento (fd): Las fuerzas de amortiguamiento son de sentido opuesto al movimiento y disminuyen su

proporcionales a la aceleración de la masa de acuerdo con la segunda ley de Newton:

amplitud en cada ciclo. En un edificio tales fuerzas pueden generarse en la fricción de las conexiones en el caso de estructuras de acero, de la fricción que se genera al abrirse y cerrarse las grietas en el caso de estructuras de concreto y mamposte-

Es por eso que en estructuras con poca masa, como es el caso de las techumbres ligeras de los almacenes y bodegas, las fuerzas de inercia son pequeñas en comparación con las fuerzas del empuje del viento y no rige el diseño por sismo.

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4.- Fuerzas Excitadoras

: Las fuerzas excitadoras pueden

ser periódicas o no periódicas aplicadas al nivel de las masa o

El modelo puede representar todas las fuerzas consideradas en

pueden ser fuerzas equivalentes debidas a la aceleración del

el modelo de la figura 2.4 y se le puede llamar oscilador simple

terreno en la base de la estructura debidas al sismo.

con amortiguamiento.

En el caso de estructuras que soportan maquinaria las fuerzas se pueden definir como: En donde

.

es la frecuencia de vibración de la maquinaria o

fuerza excitadora. Y las fuerzas equivalentes debidas al sismo: En donde:

es la aceleración del terreno debido al sismo.

2.1.4 Modelación de la estructura

En los textos de vibraciones mecánicas se acostumbra a utilizar

Figura 2.7 Oscilador simple con amortiguamiento

el modelo que se muestra en la figura 2.7, en tal modelo se desprecia la fricción de las ruedas con las que se desplaza la

Por otra parte, se sabe que el grado de libertad de una estructu-

masa y su peso queda equilibrado por la reacción vertical entre

ra, es el número de coordenadas independientes, necesarias

el piso y las ruedas, tales fuerzas no se consideran en la ecua-

para describir la posición o configuración deformada de una

ción de movimiento en el sentido horizontal.

estructura y para los problemas dinámicos, en cualquier instante de tiempo, en el plano, una partícula tiene 2 grados de libertad (dx, dy) y un cuerpo rígido en tiene 3 Grados de Libertad (dx, dy, ).

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En una estructura se pueden tener un número infinito de grados

Si consideramos que la viga es totalmente rígida en flexión,

de libertad, ya que tiene una infinidad de puntos, por ser conti-

entonces solo tendríamos el desplazamiento horizontal desco-

nua, pero para el marco de la figura 2.8, se pueden discretizar

nocido, entonces GL=1. A esta deformación de las columnas de

los grados de libertad a seis grados de libertad, dos desplaza-

la estructura, sin giro en ambos extremos, se le conoce como

mientos y un giro en cada nodo libre del siguiente marco:

deformación de cortante.

GL = 6 GL = 1 Pero si: 1.- Las columnas son muy rígidas axialmente. 2.- Y la viga también. Figura 2.8 Grados de libertad de un marco plano GL=6

Figura 2.9 Marco con deformación por cortante GL=1

Si no consideramos la deformación axial de la viga y de las columnas, solo necesitamos calcular uno de los dos desplazamientos horizontales y no hay desplazamiento vertical en las direcciones 2 y 5, por lo tanto el grado de libertad se reduce de 6 a 3 desplazamientos desconocidos, es decir, dos desplazamientos angulares en las direcciones 3 y 6 y un desplazamiento lineal horizontal en la dirección 1. Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Si sometemos al sistema anterior a una excitación o carga dinámica y tendremos un sistema dinámico de un solo grado de libertad:

Figura 2.11 Rigidez al corte de columnas de marco plano.

Y por las dos columnas la rigidez lateral valdrá: Figura 2.10 Marco plano para análisis dinámico. El modelo anterior se puede hacer equivalente a un Oscilador La masa de las columnas es muy pequeña comparada con la

simple sin amortiguamiento, como el mostrado en la figura 2.12.

de la viga o sistema de piso, entonces se considera que la masa está concentrada al nivel de la viga o sistema de piso y es ahí donde se deben considerar las fuerzas de inercia. Las columnas aportan rigidez o fuerzas elásticas:

Figura 2.12 Oscilador simple sin amortiguamiento

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Cuando se analizan estructuras en 3 dimensiones como la que

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo T, se le

se muestra en el problema 2.1, se puede considerar la defor-

llama movimiento periódico, y la frecuencia con que se repite un

mación de cortante si el diafragma o sistema de piso es muy

ciclo es:

en Hertz o ciclos por segundo.

rígido y entonces se tendrían 3 grados de libertad al nivel de cada losa donde se supone que se concentra la masa, esto es, desplazamiento de traslación en X en Y y la rotación o torsión del entrepiso con respecto al centro de masas alrededor del eje vertical Z. 2.2 Respuesta de sistemas con un grado de libertad

A continuación se desarrollará el planteamiento para encontrar la respuesta de sistemas de un solo grado de libertad ante diferentes tipos de excitaciones, lo anterior es importante, debido a que el comportamiento general de modelos de múltiples grados de libertad se puede entender a través de planteamientos de sistemas más simples.

Figura 2.13 Sistema masa-resorte con movimiento armónico.

También como se explicó en el capítulo anterior los espectros

En la figura 2.13 se ilustra el registro del movimiento armónico

de respuestas se construyen a partir del análisis de modelos de

en una tira de papel, en donde A es la amplitud de la oscilación

un solo grado de libertad.

medida a partir de la posición de equilibrio de la masa y T es el periodo del movimiento.

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El movimiento periódico más simple es el armónico, y se puede

El movimiento armónico se repite cada 2 radianes y sabiendo

representar a través de una función armónica como el seno o el

que el tiempo que transcurre al completarse cada ciclo es el

coseno, en el caso del sistema masa-resorte de la figura 2.13,

periodo T, entonces la frecuencia de vibración del movimiento

el movimiento se puede representar como:

expresada en radianes por segundo es:

.

Si el desplazamiento del movimiento armónico lo representamos como: (2.3)

Podemos obtener la velocidad y la aceleración derivando con respecto al tiempo: (2.4) (2.5) Figura 2.14 Proyección sobre una circunferencia del movimien-

De donde:

(2.6)

to armónico.

El movimiento armónico se puede representar como la proyección de un punto sobre una circunferencia cuyo ángulo está en función de la frecuencia angular y del tiempo, como se muestra en la figura 2.14:

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2.2.1 Respuesta en vibración libre sin amortiguamiento

La solución general es la combinación lineal empleando las dos raices:

La ecuación que describe el movimiento de un sistema en vi-

(2.9)

bración libre sin amortiguamiento, como nuestro sistema masa-

A partir de las condiciones iniciales del movimiento y empleando

resorte de la figura 2.13 es:

la ecuación de Euler : (2.7)

Sustituyendo la ecuación 2.6 en la expresión anterior:

La ecuación 2.9 se puede transformar en: (2.10)

De donde:

La transformación anterior es similar a la que se presenta más

o también:

adelante para la ecuación 2.23. También la ec. 2.10, es equivaLa frecuencia

se le denomina frecuencia natural de vibración

y en lo consiguiente se designará como

lente a la ec. 2.3, pero considerando un ángulo de fase

.

(2.11)

La solución de esta ecuación diferencial lineal de segundo orden, con coeficientes constantes y homogénea es:

Se considera un ángulo de fase

, ya que al desplazar la masa

de la figura 2.13 de su posición de equilibrio, el movimiento no (2.8)

Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación 2.7:

:

inicia necesariamente en fase, es decir, desde el origen, más bien, adelantado con un desplazamiento inicial x0 , que es necesario aplicar, para que el sistema quede vibrando libremente, como se muestra en la figura 2.15.

En donde se tienen dos raíces: Empleando la siguiente identidad trigonométrica, la ecuación Las raíces anteriores son complejos conjugados:

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2.11 se transforma en:

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Llamando:

C1=

y

C2 =

(2.12)

Ahora podemos calcular la amplitud A, empleando las ecuaciones 2.12:

Sustituyendo C1 y C2 en la expresión anterior se obtiene la ecuación 2.10.

(2.14)

Debe de inducirse un desplazamiento y una velocidad inicial al sistema para sacarlo de su posición de equilibrio para que el sistema comience a vibrar, y a partir de esas condiciones inicia-

Y el ángulo de fase es: (2.15)

les, se pueden determinar las constantes de la ecuación 2.10.

Sustituyendo t=0 en la ecuación 2.10 : Y para la velocidad inicial, derivamos la ec. 2.10 :

Entonces la velocidad inicial para t=0: Por lo tanto, C1 es igual al desplazamiento inicial: Y C2 está en función de la frecuencia y la velocidad inicial:

Sustituyendo las constantes en la ecuación 2.10: Figura 2.15 Vibración libre a partir de las condiciones iniciales. (2.13)

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Problema 2.1 Considere la siguiente estructura de un puente,

Datos:

en donde se desea calcular la frecuencia y periodo natural de

La dimensiones de la losa del puente son: 10 x 7 x 0.3 m

vibración de:

Sobre carga de la estructura: Cm adicional + Cv = 1000 kg/m2 Z

Las columnas son IR 203 X 46.2, cuyas propiedades son: Ixx= 3446.4 cm4

d = 10 m

Iyy= 762 cm4

E = 2´038,000 kg/cm2

Y b=7m

Solución: a) Dirección Este-Oeste Cálculo de rigidez lateral por cada columna: Kx = 12EIxx/h3 = 1317 kg/cm

h=4m

X

Como hay cuatro columnas en esta dirección: KE-W = 4 (131700)= 526800 kg/m N

Determinación de la masa de la estructura: El peso sobre la losa es: W= 1000 x 10 x 7= 70,000 kg El peso propio vale: W popo= 2400 x 10 x 7 x 0.3= 50,400 kg

a) Del movimiento en la dirección Este-Oeste

Cálculo de la frecuencia natural y el periodo:

b) Del movimiento en la dirección Norte-Sur c) Del movimiento de Torsión con respecto el eje vertical centroidal Z

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b) Dirección Norte-Sur

Cálculo de la rigidez torsional del entrepiso:

Cálculo de rigidez lateral por cada columna: Ky = 12EIyy/h3 = 291 kg/cm Como hay cuatro columnas en esta dirección:

En donde:

y

es la distancia del centroide de la columna

al centro de rigidez o centro de torsión Ct del entrepiso, que en

KN-S = 4 (29100)= 116400 kg/m Cálculo de la frecuencia natural y el periodo:

este caso, coincide con el centro de masas por tener una distribución simétrica de rigideces como se ilustra en la planta de la estructura en la figura 2.16. Como se ha considerado el origen del sistema de referencia en el centroide de la planta, entonces las coordenadas del centro de torsión Ct son: xt= 0, Yt=0

c) Cálculo de la frecuencia torsional del entrepiso:

En donde: Cálculo de la Inercia rotacional: es la rigidez torsional del entrepiso es la inercia rotacional de la masa del entrepiso

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Problema 2.2 Calcular la historia de desplazamientos para la dirección Norte –Sur, de la estructura del ejercicio anterior, a la cual se le ha sacado de su posición de equilibrio a partir de las condiciones iniciales que se indican a continuación, y ha quedado vibrando libremente. a) Desplazamiento inicial

15 cm ; Velocidad inicial

=0

cm/s b)

15 cm ;

= 80 cm/s

Considere los 5 primeros segundos del movimiento: Solución: Empleando la ecuación 2.13:

La frecuencia y el periodo calculados anteriormente son:

Figura 2.16 Planta de la estructura en torsión

La frecuencia rotacional de la estructura vale:

Como cada ciclo de vibración se completa en 2.04 s, se propone realizar los cálculos a cada 0.05 s, para tener alrededor de 40 puntos de la gráfica en cada ciclo. Se propone utilizar una hoja electrónica para facilitar los cálculos:

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Se observan más de dos ciclos durante 5 s; para el primer caso la velocidad inicial es cero, por lo que la pendiente de la tangente en ese punto es nula, entonces el desplazamiento inicial de 15 cm es la amplitud máxima. Para el segundo caso, se tiene una velocidad inicial de 80 cm/s, por lo que la amplitud máxima crece hasta 30 cm. 2.2.2 Respuesta en vibración libre con amortiguamiento

La ecuación de movimiento que incluye fuerzas de amortiguamiento es: (2.16) Consideraremos que la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad de la masa, y se conoce como amortiguamiento viscoso:

En donde:

c = Coeficiente de amortiguamiento del sistema

Las fuerzas de amortiguamiento son también restitutivas, es decir, que se oponen al sentido del movimiento.

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La estructura que se muestra a continuación, incluye ahora una

Entonces la solución de la ecuación 2.16 es:

fuerza de amortiguamiento viscoso que se debe considerar en la ecuación de movimiento:

Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación 2.16: m

x En donde se tienen dos raíces:

FA

Kc

Kc Si el amortiguamiento de la estructura se puede expresar como: y el valor del amortiguamiento crítico es:

,

Figura 2.17 Estructura en vibración libre con amortiguamiento. tenemos que: El diagrama de cuerpo libre para la masa del sistema ahora Entonces las raíces son:

será: Diagrama de Cuerpo libre

(2.17)

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Dependiendo del valor del amortiguamiento del sistema se deri-

La solución del caso sub-amortiguado es la combinación lineal

van 3 casos para la solución de las raíces anteriores:

empleando las dos raíces resultantes: (2.18)

Caso 1. Sistema con amortiguamiento crítico:

Como el porcentaje de amortiguamiento es

Cuando

valor dentro del radical de la ecuación (2.17) es:

entonces

, entonces el

Por lo tanto:

Solo hay una raíz y el movimiento no presenta oscilaciones.

Caso 2. Sistema Sub-amortiguado: Cuando

entonces

El sistema oscilará disminuyendo progresivamente la amplitud

Llamando frecuencia natural amortiguada Las dos raíces son complejas y conjugadas:

del movimiento. Por lo tanto, la solución general es la combinación lineal empleCaso 3. Sistema Sobre-amortiguado: Cuando

ando las dos raíces: (2.19)

entonces

El sistema regresa a su posición de equilibrio sin oscilar pero

Despejando las constantes de la ecuación a partir de las condi-

más lentamente que en el caso del amortiguamiento crítico.

ciones iniciales:

Estudiaremos el caso 2 para sistemas sub-amortiguados por ser

Para t=0 el desplazamiento inicial es:

(a)

de mayor interés práctico en dinámica estructural.

Y la velocidad inicial es:

(b)

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Multiplicando la ec.(a) por

Recordando que la suma de dos complejos conjugados es dos

y sumando a la (b):

veces la parte real: (2.21) Recordando también que el producto de dos complejos es: Recordando que la resta de los conjugados complejos es dos veces la parte imaginaria: La parte real del producto es:

(c)

En nuestro caso el producto de complejos es: En donde C y Sustituyendo el valor de

valen:

:

(d)

(e) Despejando C2 de la ec. (a):

Calculando la parte real del producto empleando la ecs. c,d y e:

Por lo tanto, también las constantes son complejos conjugados:

Por lo tanto:

Sustituyendo en la ecuación 2.19: Sustituyendo en la ecuación (2.21): (2.20) (2.22)

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La ecuación anterior se puede escribir como:

Empleando la expresión anterior, podemos escribir la relación: ]

(2.23)

En donde las constantes valen:

(2.29) Por otra parte, el rango de valores de amortiguamiento estructural está entre 2% y 20%, por ejemplo para

La expresión 2.23, es similar a la 2.10 que corresponde al caso

, la relación

anterior resulta cercana a la unidad:

de vibración libre no amortiguada pero ahora se ha atenuado

Lo anterior indica que si el amortiguamiento es bajo, la fre-

por la función exponencial, que hace que las amplitudes dismi-

cuencia natural amortiguada es casi igual a la del sistema en

nuyan en el tiempo debido al amortiguamiento del sistema ξ.

vibración libre sin amortiguamiento.

Análogamente la expresión anterior también se puede escribir Problema 2.3 Repetir el inciso b) del ejemplo 2.2 para los si-

como: (2.24)

guientes valores de amortiguamiento y comente los resultados:

Y la amplitud se calcula ahora como: Considere 10 segundos del movimiento (2.25)

Solución: Utilizaremos ahora la ecuación 2.22 y 2.27 correspondientes al

Y el ángulo de fase es:

caso de vibración libre amortiguada: (2.26)

Donde la frecuencia natural amortiguada y el periodo amorti-

Para

:

guado son: (2.27) (2.28)

A continuación se muestran algunos valores empleando la hoja electrónica de cálculo para facilitar los cálculos:

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Se observa que los sistemas con mayor amortiguamiento, redu-

Si consideramos la razón entre dos amplitudes del movimiento

cen la amplitud en menor tiempo y menor número de ciclos.

consecutivas, empleando la ecuación 2.24,

:

2.2.3 Decremento logarítmico

Es de interés práctico poder conocer el valor del amortiguamiento de un sistema estructural, lo anterior se puede realizar

Al logaritmo natural del cociente de dos amplitudes consecuti-

de manera experimental a través de la observación de las am-

vas lo llamaremos Decremento Logarítmico :

plitudes de dos ciclos consecutivos cuando el sistema se encuentra en vibración libre. Tal metodología recibe el nombre de Decremento Logarítmico y a continuación se establece su planteamiento y se dan algunos

Cuando el amortiguamiento del sistema es bajo como es el caso del amortiguamiento estructural, la expresión anterior se simplifica:

ejemplos prácticos:

(2.30) Si las amplitudes se miden durante m ciclos de observación del movimiento, el cual se repite cada TD, y procedemos análogamente:

(2.31)

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Despejando el valor del amortiguamiento de la ecuación 2.31: (2.32) También es usual, escoger dos valores de amplitud hasta que la amplitud después de m ciclos sea la mitad del valor inicial, esto

2% 5% 10% 20%

(ciclos) 5.5 2.2 1.1 0.55

es: No es posible evaluar analíticamente la fracción del amortiguaCuando ocurre lo anterior, la expresión 2.32 se puede aproxi-

miento de determinada estructura, debido a la incertidumbre que hay en los valores de su rigidez k y de su masa m.

mar de la siguiente manera:

(2.33)

Por eso, en la práctica, es posible instrumentar modelos de laboratorio o estructuras reales para poder determinar su porcentaje de amortiguamiento . Como es más fácil medir las acele-

Habrá que observar en cuantos ciclos la amplitud se reduce a la

raciones experimentalmente, la expresión 2.32, se puede em-

mitad de su valor inicial, esto es, determinar

plear como:

.

Así, empleando la ecuación 2.33, se puede establecer la rela-

(2.34)

ción entre el valor del porcentaje de amortiguamiento y el número de ciclos

, además se puede comprobar los valores de la

tabla siguiente de manera aproximada observando las gráficas del problema 2.3:

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Problema 2.4 A partir del registro de aceleraciones de un mom

P(t)

delo en vibración libre, determinar el porcentaje de amortigua-

x

miento del sistema.

Ciclo 1 21

Tiempo (s) 1.2 5.4

Aceleración máx.(g) 0.82 0.033

FA

Kc

Kc

Solución:

Emplearemos la ecuación 2.34

Diagrama de Cuerpo libre

2.2.4 Respuesta ante excitación armónica

Las cargas armónicas se presentan en los problemas de desbalanceo de maquinarias pero su estudio es de utilidad para el

Figura 2.18 Estructura en vibración libre con amortiguamiento.

análisis símico dinámico. Para el sistema de la figura anterior, la ecuación de movimiento En la figura 2.18 se incluye una fuerza externa o excitadora que hace que el sistema se comporte dinámicamente:

Autor: Alfredo A. Páez Robles

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es: (2.35)

Página 47

Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

En este caso, podemos definir la carga o fuerza de excitación

Sustituyendo H en la ecuación 2.37, se tiene la respuesta del

con una magnitud

movimiento debido a la carga armónica y recibe el nombre de

que varía de acuerdo a una función armó-

nica como el seno en función del tiempo y con una frecuencia angular

solución particular:

:

La ecuación de movimiento sin considerar amortiguamiento es:

La relación de la frecuencia de la excitación a la frecuencia natural del sistema la podemos designar como:

(2.36)

Además, en la expresión anterior se puede sustituir la deformación estática

La solución de la ecuación de movimiento anterior, también es

(2.38)

armónica y tiene ahora la siguiente forma:

(2.37)

La solución particular corresponde a la vibración forzada, en este caso debido a una fuerza armónica y también se le conoce

Sustituyendo el valor de

y de

en 2.35:

como respuesta estacionaria o permanente, porque permanece debido a la fuerza excitadora en el sistema.

La solución debe incluir la parte complementaria que corresponde al caso de vibración libre ecuación 2.10:

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Página 48

Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Esta parte de la respuesta también se le conoce como respuesta transitoria, porque aunque en teoría, la vibración libre permanecería indefinidamente, en realidad la vibración disminuye paulatinamente, debido a las fuerzas de amortiguamiento inherentes en todos los sistemas y eventualmente el movimiento cesa,

Sustituyendo las constantes en la ec. 2.39:

por lo que la respuesta se denomina transitoria.

Por lo tanto, la solución completa incluyendo las dos partes es: (2.40) (2.39)

La parte de la solución que considera la respuesta permanente o estacionaria, contiene el término

Se pueden determinar las dos constantes de la expresión anterior, a partir de las condiciones iniciales:

Aplicando la primera condición a la ec. 2.39, para t=0 :

.

deformación estática

, el cual amplifica la

, por lo que se le llama “factor de ampli-

ficación dinámica”.

Para el caso de vibración con carga armónica con amortiguamiento, se puede realizar un desarrollo análogo y llegar a la siguiente expresión, que también es la suma de la solución

Derivando la ecuación 2.39:

complementaria o transitoria más la solución particular o estacionaria:

Aplicando la segunda condición, para t=0, y despejando C2 :

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(2.41)

Página 49

Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

En este caso la respuesta permanente o estacionaria contiene el término la deformación estática

2.3 Respuesta de sistemas con varios grados de libertad

, que es el factor de amplificación de A continuación se plantearán las ecuaciones de movimiento

.

Las constantes de la ecuación

y

, se calculan aplicando las

para sistemas de varios grados de libertad:

condiciones iniciales empleando la respuesta total de la ecua-

Z

ción 2.41. d = 10 m

Se puede plantear como ejercicio la deducción de la ecuación

Y b=7m

2.41 y la gráfica del factor de amplificación dinámica para este caso en función de la relación de la frecuencia de la excitación con respecto a la del sistema, para observar la tendencia de la amplificación cuando

.

X h=4m

N

Figura 2.19 Estructura de 6 grados de libertad, 3 por cada nivel Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

En la figura 2.19 se muestra una estructura con 6 grados de libertad, considerando que cada sistema de piso es un diafragma rígido, esto es, la rigidez en su plano es mucho mayor que la de las columnas portantes, por lo que tendremos 3 grados de libertad por cada losa, traslación en la dirección X, traslación en la dirección Y, y el giro del entrepiso alrededor del eje vertical Z.

Y para el primer nivel:

Figura 2.20 Equilibrio dinámico de Estructura de 2 grados de Tomando en cuenta que la aceleración total de cada una de las

libertad

masas es la suma de la aceleración del terreno Si planteamos el equilibrio dinámico solo en la dirección X, la

leración propia de cada masa

, más la ace-

:

estructura tendría un grado de libertad por nivel, como se muestra en la figura 2.20, observe que los desplazamientos que se consideran x1 y x2 son desplazamientos relativos, así, el diagrama de cuerpo libre para la masa del segundo nivel será: Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Para la masa 1:

Finalmente, la ecuación de movimiento en forma matricial es:

(2.42)

Para la masa 2:

La ecuación matricial anterior, se puede generalizar para n masas e incluir fuerzas de amortiguamiento, así tendremos un sistema de ecuaciones de n x n :

(2.43)

Rescribiendo las ecuaciones anteriores en forma matricial:

2.3.1 Valores propios o característicos

Si consideramos a la estructura en vibración libre y sin amortiEn la expresión anterior observamos que la aceleración del te-

guamiento, la ecuación 2.42 se transforma en:

rreno debida al sismo, se puede tomar como una fuerza equivalente de excitación y la podemos escribir en función de la matriz de masas

multiplicada por un vector unitario J, como:

(2.44) Se planteará la siguiente solución para la estructura vibrando libremente, que es una solución análoga a la de un sistema de un grado de libertad, en este caso , es un vector de amplitudes para cada una de las masas:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

(2.45)

tud A distintos de cero, el determinante del sistema debe ser nulo:

Desarrollando el determinante se llega a un polinomio de grado Derivando dos veces:

n igualado a cero, el cual tendrá n raíces ( (2.46)

), al cual se le co-

noce como polinomio característico.

(2.47) En algebra lineal a este problema se le conoce como problema Sustituyendo en la ecuación de movimiento:

de valores característicos, valores propios o eigen-valores.

Los valores de las raíces del polinomio característico son las (2.48)

En la ecuación anterior, hay tres posibles soluciones:

frecuencias naturales de vibración de la estructura

.

La estructura que se muestra en la figura 2.21, con dos grados de libertad, un desplazamiento horizontal por cada nivel, tendrá

a) Cuando A = 0 ;

no hay amplitud del movimiento esta solu-

dos modos de vibración, a cada modo de vibración le corres-

ción no interesa y se le denomina trivial.

ponde una frecuencia de vibración.

b) Cuando

A la primera frecuencia natural de vibración, que es la de menor

; solo se cumple para determina-

valor, se le llama frecuencia o modo fundamental de la estructu-

dos valores del argumento.

ra. c) Cuando

; Este es un sistema de ecuacio-

nes lineales homogéneo y para que existan valores de la ampliAutor: Alfredo A. Páez Robles

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Página 53

Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

La estructura del marco de dos niveles de la figura 2.21, se

En la figura 2.22 se representa el marco de la figura 2.21 por

puede idealizar a través de un modelo de masas y resortes, en

medio de un sistema de masas y resortes, y las configuraciones

donde cada resorte representa la rigidez lateral de cada entre-

deformadas que adopta la estructura cuando vibran libremente

piso, como se representa en la figura 2.22. En cada masa se

a la frecuencia correspondiente a sus dos primeros modos de

concentra el peso de cada entrepiso, esto es, carga muerta más

vibración.

carga viva accidental.

M2 K2

K2

K1

M1

K1

Figura 2.21 Estructura con dos grados de libertad, una traslación por nivel.

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Figura 2.22 Primer y segundo modo de vibración

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Llamando

, tenemos el siguiente polinomio de segundo

grado:

Problema 2.5 Determinar las frecuencias y modos de vibrar de la estructura de la figura 2.20:

Despejando las raíces:

La rigidez lateral de las columnas es

, y para dos co-

lumnas por entrepiso se tiene una rigidez lateral equivalente de:

a) Frecuencias de vibración

Como

, entonces sacaremos raíz cuadrada:

Matriz de rigideces:

rad/s rad/s

La menor de estas frecuencias, es la del primer modo de vibra-

Matriz de masas

ción o modo fundamental, por lo tanto: Se debe de anular el determinante del sistema:

rad/s rad/s Y los periodos de vibración son:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Podemos asignar arbitrariamente un valor para pejar de cualquiera de las dos ecuaciones a

, y des:

Lo anterior lo podemos hacer ya que las configuraciones modales solo representan la posición relativa de las masas con respecto a las demás, así la configuración para el primer modo, se ilustra en la figura 2.23. b) Formas modales

Procediendo en forma similar, la ecuación característica para el

La ecuación característica para el primer modo de vibrar con

segundo modo de vibrar con

, es:

, es:

Realizando operaciones, queda:

En la expresión anterior, los subíndices de los elementos del

Podemos asignar arbitrariamente un valor para

vector de amplitudes

pejar de cualquiera de las dos ecuaciones a

, significan:

, y des:

Entonces la configuración para el segundo modo es: Realizando operaciones, queda:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

A continuación presentaremos dos métodos numéricos de aproximaciones sucesivas que se pueden implementar fácilmente en hoja electrónica de cálculo y servirán para calcular los modos y frecuencias naturales de vibración del edificio que se muestra en la figura 2.24.

El edificio mostrado se puede idealizar a través de un modelo de masas y resortes como se muestra en la secuela del método. Las masas se obtienen dividiendo el peso de cada entrepiso entre la aceleración de la gravedad Figura 2.23 Frecuencias y formas modales de la estructura

2.3.2 Métodos numéricos para calcular modos de vibración

En un modelo de un solo nivel la rigidez lateral del entrepiso esta bien definido como se ilustró en la figura 2.10 y 2.11.

Cuando la estructura tiene más grados de libertad ya no es práctico resolver el polinomio característico como se hizo en el problema anterior.

Cuando la estructura es de varios niveles, las rigideces de cada entrepiso dependen de la distribución de fuerzas laterales en cada marco y en cada nivel.

Se pueden emplear métodos numéricos de aproximaciones sucesivas o métodos matriciales para implementarse en la computadora.

Lo anterior, se hace tomando en cuenta que la rigidez de entrepiso se puede definir como la relación entre la fuerza cortante que actúa en determinado entrepiso de un marco y el despla-

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Página 57

Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

zamiento horizontal relativo de los dos pisos que lo componen,

las fórmulas de Wilbur o por medio de un programa de compu-

es decir, para determinar la rigidez de entrepiso es necesario

tadora basado en el método matricial de rigideces.

conocer la configuración del sistema de fuerzas laterales que obran sobre cada marco de la estructura, lo cual inicialmente no se conoce con precisión.

Para resolver lo anterior, es posible adoptar hipótesis simplificatorias, como las de las fórmulas de Wilbur (Bazán y Meli, 2003, pp.62), que para edificios de marcos regulares suponen una configuración de fuerzas laterales proporcional a la definitiva del análisis y dan una buena aproximación de las rigideces de entrepiso.

En la práctica, el procedimiento anterior se emplea cada vez

Problema 2.6 Determinar el modo y la frecuencia fundamental

menos, y el análisis dinámico de edificios se realiza empleando

de vibración de la siguiente estructura, empleando el método de

un programa de computadora comercial sin necesidad de calcu-

Newmark, a continuación se describe la secuela del método

lar las rigideces laterales de manera aproximada.

idealizando la estructura a través de un modelo de masas y resortes.

En el capítulo 4, se explicará como realizar el análisis dinámico de un edificio empleando un programa de computadora e incluyendo los efectos de torsión que indican las normas de diseño.

Para el ejemplo que se ilustra a continuación se supone que las rigideces de entrepiso ya se han calculado, ya sea empleando Autor: Alfredo A. Páez Robles

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W3=196.2 t Página 58

Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

1) Suponer una configuración inicial de desplazamientos para el K3=100 t/cm

primer modo de vibrar, usualmente se proponen valores de

W2=294.3 t

desplazamiento cuyo valor sea igual al número de nivel correspondiente a cada masa

:

K2=200 t/cm W1=392.4 t K1=300 t/cm

Figura 2.24 Edificio de tres niveles

2) Fuerzas de inercia en cada masa. Las fuerzas de inercia son

a) Método de Newmark.

iguales a Este método se aplica para calcular el primer modo de vibración de estructuras estrechamente acopladas, es decir, estructuras

, pero como aún no conocemos

, entonces se trabaja con las fuerzas de inercia divididas entre la frecuencia del primer modo,

:

cuyas masas se conectan solamente a las de los pisos superior e inferior por medio de resortes que idealizan la rigidez lateral los entrepisos correspondientes.

Secuela del método de Newmark:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

3) Cortantes de entrepiso. Los cortantes son las fuerzas de inercia acumuladas desde la masa del último nivel:

: 5) Configuración de desplazamientos. Los desplazamientos se obtienen acumulando las deformaciones de entrepiso desde el primer nivel:

:

4) Deformación de entrepiso. Se obtienen dividiendo cada fuerza cortante entre la rigidez de entrepiso correspondiente:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

6) Frecuencia aproximada del primer modo. Se obtiene dividiendo el valor de desplazamiento inicial entre el obtenido en el paso anterior,

, cuando el cociente es

aproximadamente el mismo para todas las masas, se ha encontrado la configuración y la frecuencia de vibración correspondiente al primer modo de vibración:

Como aún no hay convergencia, se tiene que realizar otra iteración repitiendo los pasos del 1 al 6, solo que ahora la configuración inicial se obtiene normalizando los desplazamientos del renglón 5 de la primera iteración con respecto al desplazamiento de la primer masa (dividir entre el valor señalado):

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Entonces se puede sacar un promedio de los tres valores de frecuencia de la última iteración: También es recomendable determinarla a partir del cociente de Schwartz: (2.49)

Después de la tercera iteración se observan valores de la frecuencia fundamental

aproximadamente iguales:

Finalmente, la configuración del primer modo se obtiene normalizando los valores del 5 paso de la última iteración con respecto al menor valor del desplazamiento:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

b) Método de Holzer

5) Calcular la fuerza cortante del segundo entrepiso, aplicando

Una vez calculada la frecuencia y la configuración del primer

el equilibrio de fuerzas horizontales:

y despejando:

modo, podemos utilizar el método de Holzer para los modos superiores, el cual también es aplicable para estructuras estrechamente acopladas.

6) Calcular la deformación del segundo entrepiso: 7) Calcular el desplazamiento de la segunda masa:

Secuela del método de Holzer: 1) Suponer un valor de

, mayor que el de la frecuencia del

8) Calcular la fuerza de inercia de la segunda masa:

primer modo obtenida por algún otro método, se propone 500. 2) Suponer el desplazamiento de la primera masa 3) Calcular la fuerza cortante del primer entrepiso:

,

tomando en cuenta que 4) Calcular la fuerza de inercia de la masa 1:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

9) Repetir los pasos del 5 al 8 para las masas de los niveles

10) Se propone un valor de

superiores hasta el último entrepiso, en donde por lo general

inicialmente, y se repite la secuela de los 9 pasos anteriores

resultará una diferencia o residuo entre el valor de la fuerza

hasta que el residuo del paso 9 es muy pequeño del orden de

cortante y la fuerza de inercia, en esta iteración (-125-25)= -150:

algunas décimas.

, mayor que el propuesto

En esta iteración, se observa que el residuo ha cambiado de signo, por lo tanto el valor de

debe ser menor de 850 que se

propuso para la segunda iteración. Recuerde que el valor de la frecuencia

es una de las raíces del polinomio característico y

por lo tanto al cambiar de signo nos indica que el valor propuesto debe reducirse.

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Después de varias iteraciones se llega al valor de:

La configuración del segundo modo se toma de las deformaciones de la ultima iteración, entonces tenemos para el segundo modo una frecuencia natural de:

Repitiendo el procedimiento anterior para el cálculo del tercer modo de vibrar de la estructura, obtenemos:

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2.3.3 Propiedades de Ortogonalidad de las matrices de Masas

y de Rigideces

A partir de la ecuación 2.48, que establece la solución para el Recopilando los resultados para los tres modos de vibración calculados:

caso de vibración libre sin amortiguamiento de un sistema de varios grados de libertad :

1

1

1

2.148

0.893

-1.042

3.310

-1.473

0.410

En donde planteamos que se debería de cumplir la siguiente ecuación característica:

Cada valor característico o frecuencia natural de vibración

,

satisface la ecuación anterior y a cada una le corresponde un vector de amplitudes

.

Así, para un sistema de n grados de libertad le corresponderán n frecuencias y n vectores de amplitud que satisfacen la ecuación característica.

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Los vectores de amplitud

, se les denomina vectores carac-

Analicemos la ecuación característica para los modos de vibra-

terísticos o formas modales y no representan la configuración

ción

y

:

de desplazamientos reales de la estructura sino únicamente la

Para el modo i:

proporcionalidad entre los desplazamientos de cada una de las masas: (a)

Análogamente para el modo j: (b) Premultiplicando la ecuación (a) por el vector modal transpuesto : (c) Premultiplicando la ecuación (b) por el vector modal transpuesto : (d) Como ambas matrices

y

son simétricas, las siguientes

igualdades se cumplen: Figura 2.25 Proporcionalidad entre configuraciones modales

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Restando la ecuación (d) de la (c):

Que se cumple cuando

. Análogamente, la ecuación ante-

rior nos indica también la propiedad de ortogonalidad de la matriz de rigideces

.

Empleando otra vez la ecuación (d), pero cuando

, enton-

Como las frecuencias de los modos en estudio son diferentes,

ces:

entonces la diferencia del paréntesis anterior no es cero, por lo

Similarmente, el triple producto de la expresión anterior, da un

tanto:

escalar que llamaremos rigidez modal o rigidez generalizada del (2.50)

modo i : (2.53)

La ecuación anterior nos indica la propiedad de ortogonalidad de la matriz de masas Cuando

.

De donde: (2.54)

, entonces: (2.51)

El triple producto de la expresión anterior, da un escalar que llamaremos masa modal o masa generalizada del modo i :

Sustituyendo la propiedad de ortogonalidad de la masa de la ecuación 2.50 en la ecuación (d), tendremos:

(2.52)

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

2.3.4 Modos Ortonormales

Cuando

, resulta: (h)

Es conveniente trabajar con los modos normalizados con respecto a la raíz de la masa generalizada

. Entonces las rigideces generalizadas de los modos normalizados son iguales a

.

Así, el modo normalizado i, será: Recopilando las expresiones (e), (f), (g) y (h): Y la propiedad de ortogonalidad de la matriz de masas con los modos normalizados también se cumple:

(2.55) (e)

Cuando

(2.56) (2.57)

, entonces:

(2.58)

(f) Entonces los modos normalizados tienen masas generalizadas

Si agrupamos todos los

vectores modales normalizados en

iguales a la unidad.

una matriz que llamaremos Matriz Modal

:

Análogamente, la propiedad de ortogonalidad de la matriz de rigidez con los modos normalizados también se cumple:

(g)

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Entonces, podemos aplicar la propiedad de ortogonalidad para

2.3.5 Ecuaciones de movimiento en coordenadas modales

la matriz de masas empleando los modos normalizados aplicando la expresión 2.55 para todos los términos fuera de la di-

En una estructura con n grados de libertad, con un vector de

agonal y la 2.56 para los términos de la diagonal:

excitación

, tenemos que resolver un sistema de ecuacio-

nes de movimiento de

.

De manera similar a la ecuación 2.35, podemos plantear la ecuación de movimiento: (2.59)

Procediendo de igual forma con la matriz de rigidez y aplicando la expresión 2.57 para todos los términos fuera de la diagonal y la 2.58 para los términos de la diagonal:

Mediante un cambio de variable, podemos transformar tal sistema y trabajar con

ecuaciones desacopladas equivalentes a

la ecuación de movimiento para un sistema de un grado de libertad que llamaremos oscilador modal.

Así, la suma de las respuestas modales, es decir, debidas a la participación de cada oscilador modal son igual a los desplazamientos del sistema acoplado en un instante de tiempo dado.

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Introduciremos el siguiente cambio de variable en la ecuación

Las expresiones anteriores las podemos rescribir como:

anterior de movimiento:

(2.60) En donde:

Es decir, la sumatoria del producto de cada forma modal por

Vector de desplazamientos relativos al apoyo del sistema

cada coordenada generalizada:

Matriz modal Vector de coordenadas generalizadas o modales de los

(2.61)

modos de vibración en función del tiempo. La coordenada generalizada

modifica o escala a la confi-

Aplicando la ecuación 2.60 para un sistema de 3 grados de li-

guración modal

bertad:

sumatoria, cada modo tiene determinada participación en la

en cada instante de tiempo. Como es una

respuesta acoplada de la estructura

.

A partir de la ecuación 2.60 y obviando que los vectores están

En forma algebraica:

en función del tiempo, podemos establecer que:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Sustituyendo en la ecuación 2.59: Para la matriz de amortiguamiento, se considera un amortiguamiento proporcional a la combinación lineal de las matrices de rigideces y masas:

y en tal caso también

es

Ahora, emplearemos las propiedades de ortogonalidad de los

diagonal con elementos nulos excepto en la diagonal, en tal

modos, premultiplicando la ecuación anterior por la matriz mo-

caso se dice que el sistema tiene un Amortiguamiento Clásico,

dal transpuesta

ya que se puede aplicar el análisis clásico modal.

:

(2.62)

Por propiedad de ortogonalidad, los triples productos matriciales arrojan la matriz de masas modales o generalizadas matriz de rigideces modales o generalizadas

Desarrollando la ecuación 2.62:

y la

, ambas con

elementos nulos excepto en la diagonal: (2.63)

Entonces para la i-ésima ecuación:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

En el segundo miembro de la ecuación anterior, tenemos

La solución de la ecuación anterior es similar a la ecuación 2.16

que es el i-ésimo vector renglón de la matriz modal transpuesta

y para el caso subamortiguado en vibración libre es:

, que multiplicado por el vector columna de cargas

da un

escalar, por lo tanto, la expresión anterior es igual a la ecuación de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad,

Que también se puede expresar como:

ecuación 2.2. ] Con el procedimiento anterior, hemos podido transformar un problema de n ecuaciones acopladas en uno de n ecuaciones

Por lo tanto, tendremos 2 incógnitas por cada oscilador modal,

desacopladas correspondientes a un oscilador modal de un

, o sea, se tienen 2n incógnitas pero tenemos 2n datos a

grado de libertad.

partir de las condiciones iniciales para cada oscilador modal, .

Cada oscilador modal tiene la masa la rigidez

, el amortiguamiento

y

de cada uno de los modos de vibrar de la estructu-

ra.

Realizando el cambio de variable a la expresión anterior, a partir de las ecuaciones 2.60 y 2.61:

Si consideramos el oscilador modal en vibración libre, tendremos la siguiente ecuación de movimiento:

Dividiendo entre

]

(2.64)

:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Para encontrar las 2n incógnitas, emplearemos las propiedades de ortogonalidad de los modos normalizados y las condiciones

Cuando t=0 , las n constantes

valen:

iniciales de cada oscilador modal, así, cuando t=0 , las n constantes

valen: Premultiplicando por

Premultiplicando por

:

: Los productos triples del segundo término, son nulos excepto cuando i=j , en cuyo caso, son igual a la masa generalizada del modo normalizado

:

El triple producto del segundo término, es nulo excepto cuando i=j , en cuyo caso: (2.65) Despejando Derivando la ecuación (2.64):

y, sustituyendo el valor de

de la ecuación

2.65:

Y así, tendríamos las n constantes conocidas.

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Como se dijo antes la respuesta también se puede escribir co-

2.3.6 Ecuaciones de movimiento en coordenadas modales

mo:

para excitación debida al sismo

Aplicando el cambio de variable

, para el caso de

la respuesta debida a la aceleración del terreno debida al sismo, Que particularizando para sistemas de un grado de libertad, la forma modal vale

la ecuación 2.43 se puede expresar como:

, y entonces: (2.66)

Premultiplicando por la matriz modal transpuesta

y en base

a las propiedades de ortogonalidad:

(2.67)

En la ecuación anterior, las matrices de masas, amortiguamiento y de rigidez generalizadas, en el primer miembro de la igualdad, son diagonales con elementos nulos fuera de la diagonal y, por lo tanto, el sistema quedaría desacoplado, es decir, cada ecuación es independiente de las demás.

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

La ecuación anterior es equivalente a la ecuación (2.43) que aquí repetimos para comparación: (2.68)

(2.71)

Ambas ecuaciones tienen la misma aceleración del terreno como fuerza excitadora, pero para el caso de la ecuación Entonces la i-ésima ecuación sería: 2.70, multiplicada por el factor (2.69)

, al cual llamaremos coefi-

ciente de participación del modo i: (2.72)

En el segundo miembro de la ecuación anterior, tenemos que es el i-ésimo vector renglón de la matriz modal transpuesta , el cual, multiplicado por la matriz de masas

y por el vec-

de amortiguamiento fueran iguales a los del modo i y llamando al desplazamiento

tor columna unitario da un escalar.

Dividiendo entre

Si en la ecuación 2.71, el valor de la frecuencia y del porcentaje

, tendremos:

, tenemos: (2.70)

Entonces la respuesta

, sería el desplazamiento de la ma-

sa en relación con la base de un sistema de un grado de libertad de igual frecuencia y amortiguamiento que el del modo iésimo. Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Así, el desplazamiento total de la masa k, de un sistema de Si multiplicamos esta respuesta por el factor de participación

varios grados de libertad, es igual a la sumatoria del producto

modal

de la amplitud modal

, obtendremos la respuesta de la ecuación 2.70:

por

que es el desplazamiento

del sistema de un grado de libertad, con las características de (2.73)

masa, amortiguamiento y rigidez del modo i, por su coeficiente de participación modal

Lo anterior se deduce observando que el acelerograma

,

para ambas ecuaciones, es el mismo y está factorizado por el coeficiente de participación modal

, en donde,

, se puede obtener

con algún método numérico de los expuestos para los sistemas de un grado de libertad:

en la ecuación 2.70. (2.75)

Una vez obtenida la respuesta de cada ecuación desacoplada, podemos pasar de las coordenadas modales reales

a las

, empleando la ecuación 2.60, que particularizándola

El coeficiente de participación modal se puede desarrollar como:

para la masa k-ésima, y para el i-ésimo modo, es: (2.76)

(2.74)

Ahora, se sumarán las participaciones de todos los modos con-

Como hemos trabajado con las formas modales normalizadas,

siderados, para obtener el desplazamiento total de la masa k:

entonces

, y entonces el coeficiente de participación

modal se puede escribir como: (2.77)

Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Podemos obtener las fuerzas en cada nivel de nuestra estructu-

2.4 Respuesta Sísmica no-lineal

ra, recordando que la fuerza sísmica en el nivel k debida a la 2.5 Análisis Modal Espectral

contribución del modo i es: (2.78)

La ecuación 2.75 nos sirve para conocer el desplazamiento de cada masa de la estructura para cualquier instante de tiempo,

Empleando las ecuaciones 2.73 y 2.74:

partiendo del hecho, de que conocemos el acelerograma del (2.79)

temblor que nos interesa

.

Para obtener el cortante en la base de la estructura debida al

Pero para fines de diseño, nos interesaría más la respuesta

modo i, sumaremos las fuerzas sísmicas en cada nivel:

máxima de la estructura ante un temblor que puede ocurrir durante su vida útil. (2.80) Por lo anterior, dicho temblor va a ocurrir en el futuro y sus in-

La última sumatoria de la expresión anterior es el coeficiente de

tensidades no se pueden predecir, por lo tanto, tenemos que

participación modal como se expresó en la ecuación 2.77, por lo

recurrir a los llamados espectros de diseño que especifican las

que:

normas o reglamentos de la localidad donde se pretende cons(2.81)

En esta ecuación, el término

truir la estructura.

debe tener unidades de masa,

por lo que se le conoce como masa efectiva del modo i.

La suma de las masas efectivas considerando todos los modos es igual a la suma de las masas de la estructura. Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

A diferencia de los espectros de respuesta que se estudiaron al final del primer capítulo, los espectros de diseño carecen de los

Los espectros de diseño también son gráficas de la seudo-

picos o máximos de los espectros de respuesta.

aceleración como fracción de la gravedad

Los espectros de diseño, se caracterizan por envolver las respuestas máximas de manera suavizada como se muestran en la

en el eje de las or-

denadas, y los periodos de las estructuras T, en el de las abscisas.

figura 2.26. De la ecuación 1.2, en donde la seudo-aceleración máxima (A), ocurre en el instante que se presenta el máximo desplazamiento

, teníamos:

De donde:

Podemos particularizar la ecuación 2.74 para conocer la contribución del modo i al desplazamiento máximo de la masa k, : (2.82) Figura 2.26 Espectro de diseño de la zona de suelo firme según

y para todas las masas del sistema:

las NTC-Sismo-2004. Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

(2.83) Esta es una regla de combinación modal muy conservadora, ya que las respuestas máximas de cada modo

2.3.7 Reglas de combinación modal A continuación se enunciarán algunas reglas de combinación modal, las cuales emplearemos en los ejemplos de aplicación.

, no ocurren

en el mismo instante de tiempo, por lo que la expresión anterior sería como el límite superior para el valor de la respuesta máxima.

Cabe mencionar que existen algunas otras reglas que se expoRosenblueth (1951), desarrolló otra regla de combinación modal

nen en Chopra, (2001).

en su tesis doctoral, que se conoce como regla de la Raíz CuaEmpleando la expresión anterior podríamos calcular la defor-

drada de la Suma los Cuadrados (RCSC):

mación máxima de la masa k-ésima, sumando la participación (2.85)

de todos los modos calculados:

Esta regla de combinación modal es apropiada, cuando las frecuencias naturales difieren al menos en 10 por ciento entre sí. En general cualquier respuesta máxima de la estructura rmáx ,

Entonces para el caso de edificios de plantas asimétricas en

como las deformaciones de entrepiso, las fuerzas cortantes,

donde los valores de las frecuencias están muy cercanos y la

etc., podrían calcularse sumando las respuestas máximas con-

limitación mencionada no se cumple, podemos emplear la regla

siderando su valor absoluto:

de Combinación Cuadrática Completa (CRC), propuesta por Rosenblueth y Elorduy, (1969): (2.84)

Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

(2.86)

Problema 2.7 En base al Análisis Modal Espectral, determine los desplazamientos, fuerzas sísmicas y el cortante basal de la

En donde:

estructura del problema 2.6, considerando que el edificio tendrá un uso de escuela y que se ubicará en Zona II y que se puede considerar un factor de reducción de las fuerzas sísmicas por comportamiento sísmico Q= 3, según las NTC-Sismo-2004: Las formas modales las podemos concentrar en la siguiente

y

matriz modal:

En la penúltima expresión s es la duración de la fase intensa del temblor, Rosenblueth, (1979) propuso para las normas de dise-

Calculando los periodos para cada uno de los modos:

ño sísmico del D.F., valores de s iguales a 20, 30 y 40 segundos para las zonas I, II y III respectivamente y de 50 segundos para suelos donde se desconocen sus características geotécnicas.

Autor: Alfredo A. Páez Robles

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T1= 0.473 s

T2= 0.222 s

T3= 0.149 s

1

1

1

2.148

0.893

-1.042

3.310

-1.473

0.410

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Los desplazamientos máximos para cada modo de vibración los

En donde la matriz de masas de la estructura es:

podemos determinar con la ecuación 2.82: (ton-seg2/cm) Por lo que tendremos que calcular los factores de participación y las seudo-Aceleraciones

, para cada uno de los modos

Para el modo 1:

de vibración calculados:

-Cálculo de los factores de participación, empleando la ec. 2.76:

El denominador de la expresión anterior, es igual a la unidad cuando los modos se normalizan con respecto a la raíz cuadrada de la masa generalizada

Análogamente para los modos 2 y 3:

, ecuación 2.77, por lo que

primero normalizaremos los modos:

Cálculo de las masas generalizadas, empleando la ecuación 2.51: Autor: Alfredo A. Páez Robles

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Ahora normalizaremos los modos con respecto a la raíz cuadrada de la masa generalizada

:

Modos Normalizados:

- Cálculo de las seudo-Aceleraciones

, para cada uno de los

modos de vibración:

Empleando la ecuación 2.77 para calcular los modos de partici-

Ahora emplearemos el espectro de diseño para la zona II cuyos

pación de cada modo:

parámetros se especifican en la sección 3 de las NTC-Sismo2004, y a continuación se trascriben para poder graficar el espectro de diseño correspondiente:

Para el modo 1:

Análogamente para los modos 2 y 3:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

En base al Espectro de diseño para zona II, obtenemos los va-

Para estructuras en donde

lores de las Aceleraciones como fracción de la gravedad:

del factor de reducción

, se emplea un valor menor

. Esta reducción se realiza para es-

tructuras o modos de vibración con un periodo muy corto lo que T1= 0.473 s

T2= 0.222 s

T3= 0.149 s

indica que se trata de una estructura muy rígida y por lo tanto se

A / g = 0.32

A / g = 0.32

A / g = 0.26

espera que tenga un menor comportamiento dúctil.

Las aceleraciones correspondientes a cada modo, se pueden reducir empleando el factor de reducción del factor de comportamiento sísmico

, el cual depende

, como se indica en la

sección 4 de las NTC-Sismo-2004. Como se expondrá en adelante, esta reducción se hace para considerar que la estructura se puede comportar inelásticamente sin fallar, siempre y cuando se especifiquen materiales y detalles constructivos que garanticen tal comportamiento sísmico.

En nuestro problema, para los dos primeros modos, como , entonces: Únicamente el periodo del tercer modo es menor que el Ta :

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

La reducción de las aceleraciones para cada modo será:

Cálculo de los desplazamientos relativos: Los desplazamientos relativos serán la diferencia de los desplazamientos de dos niveles consecutivos:

Desplazamientos máximos para cada uno de los modos: Empelando la ecuación 2.76:

Cálculo de los cortantes de entrepiso: Se obtienen multiplicando las rigideces de entrepiso por el desplazamiento relativo: Del problema 2.6 las rigideces de entrepiso son: K1 = 300 ton/ cm; K2 = 200 ton/ cm; K3 = 100 ton/ cm. Para el modo 1:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Para el modo 2:

Para el modo 3:

Una vez calculados las respuestas de interés, y no antes, en este caso, desplazamientos y cortantes, podemos emplear algún criterio de combinación modal para obtener la respuesta total ya que las respuestas máximas de cada modo no ocurren en el mismo instante de tiempo. En nuestro problema los periodos calculados resultaron: La expresión 9.2 de las Normas es equivalente a nuestra ecuaT1= 0.473 s

T2= 0.222 s

T3= 0.149 s

ción 2.78, que se conoce como regla de la Raíz Cuadrada de la Suma los Cuadrados (RCSC):

Por lo tanto, podemos observar que los periodos naturales de vibración difieren entre sí, en al menos 10%, y aplicando lo especificado en la sección 9 de las NTC-Sismo-2004:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Desplazamientos totales:

Cálculo de las masas modales efectivas:

Sabemos que la masa efectiva del modo i-ésimo es:

Desplazamientos relativos totales:

Suma de masas del edificio:

La suma de las masas modales efectivas es aproximadamente igual a la suma de las masas reales de la estructura analizada, Cortantes de entrepiso:

lo que nos indica que el número de modos considerados en nuestro análisis modal es suficientemente aproximado.

Finalmente verificaremos el valor del cortante basal que de conformidad con lo especificado en la sección 9.3 de las NTCSismo-2004 se establece que:

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Capítulo 2 Conceptos básicos de Dinámica Estructural

Por lo tanto:

Y de acuerdo a la sección 9.3 de las NTC-Sismo:

Entonces aceptamos los resultados obtenidos en nuestro análisis dinámico.

En nuestro análisis dinámico modal, el cortante basal es:

Y el cortante basal estático es:

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2.2.4 Vibración Forzada con carga periódica

2.2.5 Vibración forzada con carga arbitraria

2.2.6 Métodos numéricos para evaluar la respuesta

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