.dinamica ejercicios

Capítulo 

  Concepto 

Es una pa rte de la mecá nica nica q ue se encarga de estud iar el movimiento movimiento de los cuerpos cuerpos teniendo en cuenta las causas que lo prod prod ucen. Ilustración  ¿P  ¿Porquésemovió la bola?  Por que q ue se le  aplicó una  fuerza de  100 N 

DINÁMICA

2DA LEYDE LEYDENEWTON “La ace a celeración leración que qu e adquiere adqu iere una part par t ícula som ometid etidaa a una fuerza fu erza resul-  resul-  tante tan te que no es cero, cero, es directamente directament e proporcional a la fuerza f uerza res resultant ult ant e e  inversamente inversament e proporcion propo rcional al a la l a masa m asa de dicha dich a partí par tícula, y que tiene ti ene la mis-  ma direc dir ección ción y sent sentido ido que est est a result result ant e”. FR = ma 

(si m es cte )

a 

F1 F2

F3 F4

a 

FR



   

PESO (W)

Solución:

Es la fuerza g ravita toria con la cual un cuerpo celeste (en nuestro ca so la Tierra) atrae a ot ro, relat ivament e cercano a él.

a) b)

Por lo visto en el concepto de peso ; a mayor altura men os peso, luego la respuesta sería; el saco de pa pas pesa más en la costa. La cantidad de papas, tanto en la sierra como en la costa es la misma si es q ue es el mismo saco, luego la respuesta sería: El saco de papas tiene la misma masa tanto en la costa como en la sierra.

Cuanto más lejos seencuentre un cuerpo con respecto a l centro de la Tierra, la  atracci ón serámenor (el peso serámenor).

MASA(m) Es una ma gn itud escalar que m ide la inercia d e un cuerpo. Sin emb argo la inercia d e un cuerpo está en función de la cantidad de materia que lo forma; es acept ab le ento nces afirmar tamb ién que: Masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo; por ejemplo: La ma sa de un vaso es la cantida d d e vidrio q ue lo forma. La masa de una carpeta, es la cantidad de ma dera, clavos y pintura q ue lo forma. Unid ad d e masa en el S.I.

kilogramo (kg) Otr as Unid ades : 

- gramos (g) - libra (lb), etc.

CUAN TIFICACIÓNDE LAMASA ASA CUANTI FICACIÓNDELAM Para esto se utiliza d os mét od os, en cuyos casos la masa t oma para cad a uno de ellos nombres particulares, esto s son:

   m i Se obtiene dividiendo la fuerza aplicada entre la aceleración producida

mi =

F1 a

1

=

F2 a

2

=

F3

= ct e

a 

3

PREGUNTAS 

Se tiene un saco de papas en la sierra a (5 000 m.s.n.m.); es lleva do a la co sta (± 0,00 m.s.n.m.) se q uiere saber: a) b)

¿Dónde pesa más el saco de papas? (costa o sierra). ¿Dónde tiene mayor masa el saco de papas? (costa o sierra).

   m g  Se obtiene dividiendo el peso del cuerpo, entre su respectiva aceleración (g)



 

mg =

WA gA

=

WB gB

=

WC

da 

EXPERIENCIA: 2   LEY DE NEWTON 

gC

 Demostrar que pa ra una ma sa consta nte, la fuerza resulta nte es d irecta mente proporciona l a la aceleración; es d ecir:  a  F  2a  2F  3a  3F etc.

NOTA

El valor de la masa inercial y la masa gravitacional son igua les, mot ivo po r el cual se dice q ue ambos son equivalentes.

Uni da d de Fuer za en el S.I.

Newton (N) Unidades Tradi cionales 

F

m

C.G.S.

dina

g

cm/s2

M.K.S.

Newton (N)

kg

m/s2

F.P.S.

Poundal

lb

pie/s2

kg

m.M. U.T

m/s2

lb

pie Slug

pie/s2

M.K.S M.K.S. F.P.S.

g

1.-

Insta lar los ma teriales como muestra la figura.

W a  cm/s2

g



fig. (1)

cm/s2 j ecm

C.G.S.

Un soport e Una polea Dos baldes peq ueños Una cuerda de nylon Un cronómetro Un juego de pesa s

a 

Sist em a Té cnico  m d

− − − − − −

   Dos(uno de ellos con su cronómetro).

Sistema Absolut o 

F

  

Equivalencias: 

FUERZA

MASA

1 N = 105 dinas 1 N = 0,102 kg

1 kg = 1 000 g 1 kg = 2,2 lb 1 U.T.M. = 9,8 kg 1 kg = 0,102 U.T.M. 1 lb = 453, 6 g

1 g  = 981 dinas 1 kg  = 9,8 N 1 kg  = 2,2 lb

U.T.M. = Unidad técnica d e masa

2.-

Colocar la pesa d e 5 kg  en el recipiente B.

3.-

Colocar un conjunto de pesas de mod o q ue sumen en total 4,90 kg  en el recipiente “A” y sujetar ambos baldes en la posición que muest ra la figura (1).



   

4.-

Soltar ambos baldes simultáneamente.

5.-

Toma r el tiempo q ue d emora el ba lde “B”en llegar a l piso y a not arlo en la libreta .

6.-

B

2 

1° vez 4,90 kg 5 kg

5 kg

F

1,5

2° vez 4,80 kg 5 kg

5 kg

2F

1,5

3° vez 4,70 kg 5 kg

5 kg

3F

1,5

3.-

Asumiendo q ue : F = 0,1 kg  (q ue es lo q ue se supone en la libreta), Diga Ud. ¿Cuánto vale la resulta nte en “B” y hacía do nde está dirigido (hacía a rriba ó hacía a ba jo)? Compa rar con la libreta.

4.-

Una vez llena do la libreta , ha cer un resumen: FR

 

2.-

B

Repet ir los pasos 3,4 y 5 camb iand o las pesas en “A”, seg ún mue stra la libret a. Peso A Peso B Masa B FR    en B e(m) t(s) a = e/ t  

1.-

B

B

¿Es cierto q ue si un cuerpo pesa 1 kg , su ma sa será 1 kg? Si – No, demuest re. Diga Ud. ¿Cuál de los gráficos, correspond e a l D.C.L. del cuerpo B. Considere despreciable el peso del balde.

 Isaac Newton nació en Inglaterra, en la navidad del mismo año que murió Galileo, 1 642. Su nacimiento fue bastante accidentado, pues el parto  prematuro casi lleva a su madre y a él a la muerte. Paradójicamente el destino le había separado un lugar  especial en la humanidad. Su padre fue hacendado, quien falleciera tres meses antes que Isaac naciera. A los dos años, su madre contrajo su segundo matrimonio y dejó a su hijo en manos de sus abuelos maternos; así Isaac creció toda su niñez huérfano de padre y prácticamente también de madre, esto hizo que sea un niño tímido, retraído pero a la vez maduro.  En ese lapso Newton no pasó de ser un alumno más en la escuela; se caracterizaba por no tener amigos y

¿Se cumple? aprox.

1° vez

F

----------

a? Si ó No  

2° vez

2F

----------

2a? Si ó No  

3° vez

3F

----------

3a? Si ó No  

5.-

Isaac Newt on 

 (m/s2) a 

¿Se cumplió? Si ó no.

F = m a 

 



muchas veces era el blanco de sus compañeros bromistas; sin embargo ya mostraba síntomas de genialidad.  A los catorce años de edad, cuando falleció su padrastro, su madre regresó al lado de su hijo y pidió a  Isaac a organizarse en la agricultura para mantenerla, a lo cual él accedió haciéndolo de manera desastrosa, pues su mente ya estaba inclinada hacia la ciencia. Posteriormente con ayuda de su tío materno volvió al colegio donde empezó a sobresalir entre sus compañeros; sus profesores lo vieron con grandes dotes que le dieron su ingreso a cursos más avanzados.  En 1 661 Newton ingresó a la Universidad de Cambridge donde aún prevalecía los principios  Aristotélicos.  Estuvo estudiando bajo la tutoría del Dr. Isaac Barrow, en los cuales estudió Física y óptica. Fue  precisamente su tutor quien incentivó a Newton al estudio por las ciencias.  Habían oportunidades en que Isaac colocaba en aprietos a sus profesores pues los consejos del Dr.  Barrow hacían que Newton, un hombre bastante joven, concentrara todas sus energías en absorber  mediante los libros los conocimientos de los grandes científicos que lo antecedieron.  En agosto de 1 665 la peste bubónica amenazó con barrer toda Inglaterra, se tomó como medida aislar y cerrar las universidades y centros públicos. Fue así que Newton tuvo que abandonar la universidad y regresar a su ciudad natal: Woolsthorpe, pero no llegaría con las manos vacías por cuanto llevo consigo todos los libros y material de investigación que pudo reunir.  Newton pasó ahí 20 meses, lo cual marcó su etapa más productiva desde el punto de vista científico,  ya que en ese lapso de soledad, tranquilidad y concentración desarrolló, maduró y sentó las bases de todos sus descubrimientos, así podemos mencionar:

− Concluyó sus trabajos que inició en la universidad sobre el “ Coeficiente del Binomio”   al que se conoce con el nombre de “ Binomio de Newton”, así como el cálculo infinitesimal, inventando el cálculo diferencial e integral , los cuales son hoy en día herramientas poderosas en las matemáticas. − Sofisticando el telescopio de Galileo descubrió que la luz estaba conformada por todos los colores del arco iris, hasta ese entonces se tenía la idea que la luz del Sol era perfectamente blanca. −  Inició los estudios sobre sus futuras leyes de la mecánica. −  Estableció los principios básicos de la ley de la gravitación universal.  Durante su época de investigación solitaria no comentó con nadie sobre sus descubrimientos, pues el  joven Newton era bastante introvertido.  En 1 668 presentó a la Real Academia de Ciencias de Londres, sus trabajos sobre la naturaleza de la luz blanca y en 1 672 siendo ya catedrático de Matemáticas en la Universidad de Cambridge expuso  públicamente su teoría de la luz. Si bien es cierto su exposición tuvo gran acogida a tal punto que  publicaron su trabajo, también es cierto que originó fuertes objeciones por parte de un sector de científicos contemporáneos, siendo los más resaltantes: Robert Hooke y Cristian Huyhens. Por tal motivo  Newton juró nunca más publicar sus investigaciones y se enclaustró dentro de sí, como ya sabemos  Newton era fácilmente vulnerable del punto de vista emocional. Sin embargo Newton, prosiguió con sus investigaciones de Física y Matemáticas. Fue así que ese mismo año (1 672) concluyó con su teoría de la gravitación universal, en la cual determinó la causa del movimiento de los planetas, basándose en los estudios de Galileo y Kepler, por cuanto ellos determinaron como se movían dichos cuerpos mas no la causa.  Revisó su trabajo una y otra vez, pero no se atrevió a publicar su descubrimiento por temor a haber  cometido algún gran error, pues bastaría uno sólo para que su credibilidad y prestigio se vengan abajo,  ya que el sabía que los científicos opositores a su línea aprovecharían de ello para desprestigiarlo.



   

 En los años venideros siguió con la cátedra universitaria y sus estudios de investigación.  En 1 684 Edmud Halley, un famoso científico realizaba investigaciones referente a la Astronomía, su trabajo se trunco por un problema matemático que él ni nadie podía resolverlo. Fue entonces que acudió donde el catedrático Newton, pero grande fue su sorpresa cuando éste le demostró que ese problema  ya lo había resuelto. Newton sintió cierta confianza en Halley a tal punto que le entregó el manuscrito de su inédito libro: “Principios Matemáticos de Filosofía Natural” para que él lo revisara.  Halley al revisar los manuscritos se quedó pasmado ante los precisos cálculos de Newton. Se dió cuenta que estaba al frente de varios tratados que revolucionarían la humanidad; fue entonces que  Halley se prometió convencer a Newton para que ampliara sus estudios para luego publicarlos.  Es evidente que los trabajos de Newton tal vez nunca se hubiesen conocido de no haber sido por la influencia de su amigo Edmund Halley.  En 1 687 se publicó la obra maestra de Isaac Newton “PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE  FILOSOFÍA NATURAL”  , libro que cubrió de gloria al Genio de Newton, cabe resaltar que dicho libro fue financiado por Halley y escrito en latín.  En esta obra, Newton enuncia las leyes clásicas de la mecánica (1°, 2° 3° ley de Newton) así como la ley de la gravitación universal entre otros.  A partir de ese momento Newton se alejó del campo de la ciencia y pasó al campo de la política y la burocracia. Su debut en la política lo hizo en la Cámara de los Comunes, no teniendo suerte en sus funciones,  pues era neófito en dicha materia. Terminando su período en la cámara , se enclaustró nuevamente en sí  mismo durante cuatro años pues el fracaso como político lo había deteriorado moralmente.  En 1 696, el gobierno inglés lo nombró Inspector de la Casa de la Moneda de Londres y en 1 699  Director de la misma institución, percibiendo emolumentos que lo hacían un hombre rico. Fue entonces que Newton demostró que así como era un genio en las ciencias, lo era también en la administración ya que desempeñó su cargo brillantemente logrando restaurar las finanza s del país, que en ese entonces se encontraban en mala situación. Paralelo a su cargo como director, dedicó gran parte de su tiempo a la Religión por cuanto siempre había sido un hombre de fé.  En 1 703, fue elegido Presidente de la Real Academia de Ciencias de Londres, cargo que habrían de ratificarle cada año hasta su muerte. De ahí en adelante Newton era galardonado contínuamente, sus obras que publicaba producto de sus investigaciones anteriores, aplaudidas.  En 1 705 fue nombrado Caballero de la Corona de Inglaterra, lo cual le confería el título de Sir Isaac  Newton.  En 1 727, a los 84 años, después de una penosa agonía, Newton muere y fue enterrado con grandes honores. Cuenta la historia que Newton fue uno de los científicos con gran fe en Dios, humilde y extravagante en su forma de vestir. Su humildad llegó al punto que afirmó sin prejuicios: “Si yo pude ver más lejos que mis Colegas, fue  porque me apoye en hombros de Gigantes” haciendo alusión a Galileo, Kepler, Copérnico, entre otros científicos que lo antecedieron.  Días antes de su muerte, en el momento de serenidad en su lecho, expresó un pensamiento hermoso,  producto de su humildad y que pasaría a la historia. “ No sé que imagen tenga de mí el mundo; yo

 pienso que he sido algo así como un chico que jugando en la playa se divierte, hallando de vez en  cuando una piedrecita más suave que las demás o una concha más hermosa que otras, en tanto que el   gran océano de la verdad permanece aún sin descubrir”.



 

TEST

1.-

Marcar la afirmación verdad era: a) b) c) d) e)

2.-

3.-

6.-

Con la masa se mide la gravedad. La masa depende del lugar donde se mida. La masa depende del tamaño. La medida de la inercia es la masa. Ninguna de las anteriores.

Indicar la proposición co rrecta

Relacione correctamente:

a) Una persona pesa igual en la costa y en la sierra. b) Una persona tiene la misma masa en la costa como en la sierra. c) El valor de masa gravitacional es diferente al valor de la ma sa inercial. d ) 1 New to n = 1 kg e) Toda fuerza resultante diferente de cero produce un M.R.U.

I.- Estando el bloque en reposo, si .... empezará a moverse. II.- Estando el bloq ue en movimiento, si .... mantendrá su velocidad con stante. III.- Estan do e l bloq ue en reposo, si .... estará a punto de moverse. IV.- Estan do el bloq ue en mo vimiento, si ... frenará. V.- Estando el bloq ue en movimiento, si .... aumenta rá su velocidad .

Cuál (es) de las siguientes situaciones se explica (n) con la primera ley d e Newto n (principio de inercia)

A) B) C) D) E)

I.- Al arrancar un auto los pasajeros son impulsado s hacía atrás. II.- El peso de un hombre es mayor en el polo. III.- Un mago q uita el mantel de una mesa sin mover los objetos que están sobre ella. a) I y III b) I y II c) II y III 4.-

d) Solo I e) Solo II

b) c) d) e)

7.-

Para mover un cuerpo hay que aplicarle una fuerza interna. Si un cuerpo se mueve en línea recta no hay fuerzas actuan do sob re él. La masa y el peso de un objeto son iguales. Las fuerzas de acción y reacción son fuerzas que se eq uilibran siempre. N.A.

Relacione cad a uno d e los siguientes casos con el número de la Ley de New to n q ue lo explica. I.- En la Luna el peso de un hombre es 1/6 de su peso en la Tierra. II.- Cuando un ascensor sube, los pasajeros aumentan de peso. III.- Para hacer avanzar un bote, se rema ha cía a trás. a) I1, II2, III3 b) I2 , II1, III3 c) I3, II2, III1

d) I2, II3, III1 e) I1, II3, III2

F= F= F= F= F=

3N 4N 5N 6N 7N

a) IE, IIB, IIIA, IVC, VD b) ID, IIE, IIIB, IVA, VC c) ID, IIB, IIID, IVA, VC

Marque la afirmación verdadera: a)

5.-

El bloq ue de la figura pued e estar en reposo o desplazándose hacia la derecha. Los coeficientes de rozamiento estát ico y cinético son 0,3 y 0,2 respectivamente (g = 10 m/s2).

d) ID, IIA, IIIB, IVC, VE e) IC, IIB, IIID, IVA, VE

Dos esferas “P” y “Q” idén ticas d e ma sa “M” se suspend en d e hilos ingrávidos como indica la figura. Entonces podemos afirmar que: a)

Si cortamos el hilo 1,“P” cae con a  = g/2. b) Si cortamos el hilo 2,“Q” cae con a  = 2g. c) Si cortamos el hilo 2, la tensión en “1” disminuye. d) Si cortamos el hilo 1, en ese instant e la fuerza resulta nte sobre “P” es 2mg. e) Todas son falsas. 8.-

Si Ud. tira d e una cuerda hacia a bajo con una fuerza q ue es el doble de su peso, pod remos esperar q ue: a) b) c) d) e)

Suba con una aceleración g/2. Suba con una aceleración g. Suba con velocidad constante. No suba ni baje. Depende de mi peso.



9.-

    Si una fuerza “F” provoca en una masa “m” una a celeración “a ”, ent onces una fuerza “F/2” en una ma sa “2 m” provocará: a) b) c)

a 

10.-

Un ascensor subía con velocidad constante y comienza a frenar con una aceleración “-g/2. Si Ud. estaba sobre una balanza. ¿Qué pasaría con el peso aparente que le señalaría?

d) 4a 

2

2a 

e)

a) b) c) d) e)

3a  4

a 

4

Señalaría el doble de mi peso. Señalaría la cuarta parte de mi peso. Señalaría la tercera parte de mi peso. Señalaría la mitad de mi peso. Señalaría mi peso.

PROBLEMASRESUELTOS

      1.-

Un bloque se mueve por la a cción d e una fuerza constante de 200 N, sabiendo que la masa del cuerpo es de 50 kg. Calcular el valor de la aceleración. Despreciar el roza miento.

Ya que: m : kg F: N 3.-

Solución:  Horizont almente ; no existe e q uilibrio.

U V W

a  : m/s2

En la figura, se tienen do s bloq ues m1 y m 2 de 2 y 4 kg, respectivamente. Si se aplica una fuerza const ant e de 30 N al primer bloq ue, calcular la t ensión en la cuerda. Desprecie el rozamient o.

Luego: ΣFx = m a 

200 = 50a  a 

= 4 m /s2

Ya que: m : kg F: N 2.-

Solución:

U V W

a  : m/s

2

D.C.L. (2) 

En la figura mostrad a, hallar la aceleración del bloque.

ΣFx = m2 a 

T= 4a  .......... (α)

 Con t odo el sistema:

Solución:

b

ΣFx = m1 + m2

 Horizontalmente: ΣFx = m a  20 cos 60° = 2a 

F G 1J I  = 2 H 2K 

20

a 

 = 5 m /s2

a 

D.C.L.

b

30 = 2 + 4

g

g

a 

a 

 = 5 m /s2

a 

 En (α):

bg

T= 4 5

⇒

T= 20 N

 

  4.-

Solución:

En la figura mostrada , el cuerpo tiene una m asa d e 8 kg, si la fuerza a plicada e s de 80 Newto n y µk = 0,2 . Calcular la a celeración del bloq ue (g = 10 m/s2).

D.C.L. (Bloque)

Solución:

 Eje “y”:

D.C.L. (Bloque)

mov.

Equilibrio: (ΣFy = 0) N = mg cos60° .......... (1)  Eje “x” : FR = m a  mg sen 60° − fk = m a  mg sen 60° − µkN = m a  .......... (2)

  Vertica lment e:

 (1) en (2):

ΣFv = 0

mg sen 60° − µ kmg cos 60° = m a 

N= mg

b gb g

N= 8 10

 = g sen 60° − µ kg cos 60°

a 

N= 80 New ton  Horizontalmente:

a 

F  3 I  F  4 I  F 1I  GH  2 J K  − GH 10 J K b10gGH 2J K 

= 10

ΣF = m a 

 = 6 , 6 m /s2

80 − fk = m a  .......... (1)

a 

Pero:

   

fk = µkN

b g

fk = 0 ,2 80

1.-

fk = 16 N  En (1): 80 − 16 = 8a

5.-

⇒

a 

= 8 m /s 2

Dos bloques están en cont acto, como se muestra en la figura, sobre una mesa sin fricción. Se aplica una fuerza horizonta l a un bloq ue, si m1 = 2 kg, m2 = 1 kg y F = 3 N; encuent re la fuerza de co nta cto entre los dos bloques.

Calcúlese la aceleración con q ue ba jaría po r un plano inclinado de 60° un cuerpo tal que su coeficiente de rozamiento con el plano sea µk = 0,4 (g = 10 m/s2). Solución:  Analizando tod o el sistema

horizontalmente ΣF = Mtotal a 

b

F = m1 + m2

b

g

3= 2+1 a

g

a 

⇒

a 

= 1 m /s 2



     Analizando el cuerpo (m 2) horizontalmente: ΣFH = Mtotal a 

 Analizando el cuerpo A:

D.C.L. (m 2)

Dato: N = A

R = m2 a 

b gb g

2.-

En el eje X:

R= 1N

ΣFx = 0

WA

WAsen α = 30 ........ (1)

En el eje Y: ΣFy = 0 NA = WA cos α 3

 Analizando el cuerpo (10 kg), verticalmente:

2

WA = WA cos α 3

cos α =

ΣFV = Mtotal a 

bg

10g − R = 10 4

⇒

2

α = 30°

Luego:

100 − R = 40

WA = 60 N

R = 60 N

4.-

Calcular el peso de “A” pa ra q ue el sistema se mueva con velocidad consta nte deb ido a la fuerza constant e F = 30 N aplicada en B; si la reacc ión en A es igua l a 2

D.C.L. (A)

WAsen α = T

Una placa ho rizontal plana cae verticalmente con una aceleración con stant e de 4 m/s2 (dirigida hacia abajo). Sobre ella descansa un cuerpo de 10 kg. Hallar la fuerza que este cuerpo ejerce sobre la placa durante el descen so ( g = 10 m/s2).

3

2

R= 1 1

Solución:

3.-

3

Sobre la barra homogénea mostrada, se aplican las fuerzas F1 = 50 N y F2 = 150 N. Determinar la t racción q ue sop ort ará a 20 cm del extremo “A”.

WA Solución:  Analizando tod a la ba rra horizontalmente: ΣFH = m a 

150 − 50 = m a  ma  = 100 ........ (1)  Analizando la po rción d e 20 cm.

Solución:

m20 =

 Analizando el cuerpo B, horizonta lmente:

20 100

ΣFH = m20 a 

V = cte ⇒ a  = 0 Luego:

m

T− 50 =

D.C.L. (B)

ΣFH = 0

F G 20 mJ I  H 100 K 

T− 50 =

T= F = 30

a 

m a  5

........ (2)

T= 70 N

T= 30 N

5.-

Calcular la aceleración de los cuerpos m 1 y m2 y las tensiones de las cuerda s (m 1 = m 2 = 10 kg; mpolea  = 0).



  De (1):

b g

100 − 5a1 = 10 2a 1 100 = 25a1 ⇒ a

2

= 2a 1

⇒

a 1

= 4 m /s2

a 2

= 8 m /s2

Luego:

bg

⇒

T= 20 N

b g

⇒

T' = 40 N

T= 5a 1 = 5 4

Tamb ién:

Solución:

T' = 2T= 2 20

6.-

Determinar la a celeración máxima q ue puede tener un cam ión q ue transpo rta lad rillos, si el coeficiente de rozamiento estát ico es 0,5; ba jo la con dición q ue ningún lad rillo se caiga .

Observamos q ue cuando “m 1” avanza una dista ncia “e”, la polea móvil baja t amb ién un espa cio “e”, lo cual permite al bloq ue “m2” ba jar un espac io “2e”. Mediant e este an álisis se puede d educir: a

2 = 2a 1

.......... (1)

 Analizando el bloq ue m 2 ΣFV = m2 a 2

Solución:  Horizontalmente.

D.C.L. (m 2)

La a celeración d el camión puede ir aumenta ndo sin q ue los ladrillos se muevan uno respecto al ot ro, pero hasta un valor máximo do nde fmax  = fs , después de lo cual se moverán uno respecto d el otro.

m2g − T= m2 a 2

b g

10 10 − T= 10a 2 100 − T= 10a 2 .......... (2)  Analizando la po lea

ingrávida móvil

fs = m a  µ sN= m a 

D.C.L. (po lea mó vil)

µ smg = m a 

ΣFV = mpolea a 1

b 1g

2T− T' = 0

a 

= µ sg

a 

=   0 ,5 9 , 8

a 

T' = 2T

b gb g

 = 4 , 9 m /s2

a 

 Analizando el bloq ue m 1 ΣFH = m1 a 1 2T= 10a 1 T= 5a 1 .......... (3)

 (3) en (2): 100 − 5a1 = 10a 2

D.C.L. (m 1)

7.-

Un bloque d e 3 kg está colocado sobre otro de 5 kg de masa; µs = 0,2. ¿Cuál es la fuerza máxima “F” para q ue los bloques se muevan junto s? (g = 10 m/s2).

D.C.L. (de un ladrillo)



     Verticalmente: Equilibrio

Solución:

b g F = b3 + 5g

F = m + M a  a 

N1 = mg + Fsen 37°

b g GH F 35J K I 

N1 = 3 10 + F

F = 8a  .......... (1)

N1 = 30 +

Para q ue F” sea má xima “m” deb erá esta r a punto de m overse respecto a “M” (movimiento inm inente donde µs = 0,2) D.C.L. (m)

3F 5

.......... (1)

 Horizontalmente: ΣF = m a 

Fcos 37° − fk = m a  Fcos 37° − µ kN1 = m a  .......... (2)  (1) en (2):

 Verticalmente: N= mg

 Horizontalmente: f = m a 

F G 4 J I  − 1 F G 30 + 3FJ I  = 3 H 5 K  3 H  5 K 

F

3F 5

a 

− 10 = 3a  .......... (3)

2do  caso:

µ sN = m a  µ smg = m a  a 

= µ sg .......... (2)

(2) en (1):

b g b gb g

F = 8 µ sg = 8 0,2 10 F = 16 N

8.-

La fuerza “F” se aplica a un b loq ue de 3 kg en las dos formas mostradas, produciendo en el segundo caso el do ble de la a celeración producida en el primer caso. Det erminar “F”, si µk = 1/3, (g = 10 m /s2).

 Verticalmente: Equilibrio. N2 + Fsen 37° = mg N2 = mg − Fsen 37° 3 N2 = 30 − F .......... (a) 5  Horizontalmente:

b g

ΣF = m 2a 

b g

Fcos 37° − fk = m 2a 

F G 4 J I  − µ N = mb2 g H 5 K  k 2

F

Solución:

1er. caso

a 

.......... (b)

 (a) en (b):

F G 4 J I  − 1 F G 30 − 3FJ I  = 3b2 g H 5 K  3 H  5 K 

F

F − 10 = 6a  .......... (c)

 De (3) y (c): F = 50 N

a 



  9.-

Una ba la q ue lleva una velocidad de 50 m/s hace impacto en un costal de a rena y llega al reposo en 1 /25 s. Si la b ala tiene un a masa de 50 g, det erminar la fuerza de fricción ejercida p or el costal de a rena, suponiend o q ue es uniforme (g = 10 m/s2).

10.-

La figura m uestra un b loque de peso 280 N, sabiendo que existe rozamiento. Determinar la fuerza que actúa so bre el bloq ue cuand o se le aplica una fuerza “F” igual a 270 N. El cuerpo inicialmente está en reposo.

Solución: 

v o = 50 m /s v f  = 0 t=

1 25

Solución: s  Analizando el bloque cuando está en equilibrio: 2

 = ? (m /s )

a 

fs bmax g = µ sN = 0 ,5 N

v f = v o − a t

GH F 251 J K I 

D.C.L.

Pero: N = 280

0 = 50 − a 

b g

fs bmaxg = 0,5 280

 = 1250 m /s2

a 

fs bmaxg = 140 N

 Horizontalmente: ΣF = m a   Ana lizan do : F = 270 N − f = ma

F  50 I 1250 −f = G H 1000 J K 

Es notorio que: f = 270 > fs(max)

f = − 62,5 N

Nos piden fk = ?

Por lo ta nto el bloq ue se mueve.

b g

fk = µkN = 0, 4 280

El signo negativo i ndica que dicha fuerza actúa en senti-  do contrario al movim iento.

fk = 112 N

PROBLEMAS PROPUES TOS

      1.-

Calcular la a celeración (en m/s2), si: m = 5 kg, F1 = 20 N y F2 = 60 N, el plano es liso. Rpta.

2.-

3.-

8 m/s2

Hallar la t ensión en la cue rda ( en Newto n) y la a celeración del sistema ( en m/s2), en la siguiente figura. Desprecie el roza miento (m 1 = 4 kg ; m2 = 6 kg). Rpta.

12 y 2

En el siguient e sistema, se aplica una fuerza, de 30 N al primer bloq ue y 10 N al segund o b loque. Calcular la tensión en la cuerda en Newton. Desprecie el rozamiento (m1 = m2 = 10 kg).

Rpta.

4.-

20

En la figura , las ma sas d e los bloq ues A y B son 3 kg y 2 kg respectivament e. Determinar la fuerza de reacción entre amb os bloq ues y la aceleración del sistema (no hay rozamiento). F1 = 60 N ; F2 = 40 N



   

Rpta.

Rpta.

5.-

b

R = 52 N a  = 4 m/s2

Calcular la ten sión (N) de la cuerda q ue sostiene al último bloq ue (g = 10 m/s2).

    1.-

Rpta.

6.-

200 3

Calcular el mód ulo de la fuerza F si el bloque se desplaza hacia la derecha con velocidad constante de 10 m/s sobre el plano rug oso (µ = 0,4).

Rpta.

Si el cuerpo B desciende con una aceleración “a ”, encont rar la a celeración co n q ue asciende el cuerpo A.

43,4 m/s2 Rpta.

8.-

0,2 3.-

Calcular la aceleración con la q ue se desplaza el cuerpo C. Si MA = 50 kg ; MB = 20 kg ; MC = 30 kg ; g = 10 m/s2

Calcular la aceleración del cuerpo de 20 kg de masa (m/s2).

Rpta.

10.-

a A = 4a 

Si la masa de 2 kg está en reposo con respecto a B. Hallar µ.

Rpta.

9.-

θ = 37°

18 N

Calcular la aceleración que a dq uiere el bloque d e 2 kg mostrad o en la figura (g = 10 m/s2).

Rpta.

El carrito de la figura se mueve con una aceleración a  = 4 g y el dinamó metro indica una lectura de 4 mg. ¿Cuál será el valor d el áng ulo “θ”?. Despreciar la ma sa del dinamómetro.

Rpta.

2.7.-

g µg

F= M+ m

1,2 m/s2

Hallar el mínimo va lor de F para q ue el bloq ue se encuent re en reposo con respecto a l carro. Despreciar el rozamiento del piso.

Rpta.

5 m/s2



  4.-

¿Que deforma ción experimen ta el resorte d e 5 N /cm? (m = 3 kg).

Rpta.

5.-

8.-

6 cm

Hallar la m áxima ace leración q ue deb e ten er el carril sin q ue “M” se mueva respecto al ca rril. (µs = coeficiente de fricción estát ico)

Rpta.

9.-

Rpta.

6.-

En el sistema mostrado, determinar la aceleración y la tensión en la cuerda que une a los trineos, si m 1 = m 2 = 50 kg ; µk = 0,2 ; F = 600 N

a  = 3,52 m/s2 T= 276 N

En la figura mo strada se pide det erminar el coeficiente de fricción “µ” entre el bloq ue y el piso d el “ascensor” para q ue estén en reposo uno con respecto al otro. El ascensor asciende con una a celeración a  = 2g (g = aceleración de la g ravedad ).

a ma x = µsg

Determine el módulo de “F” aplicada a la p olea de peso despreciable y que se desplaza con una aceleración consta nte d e mód ulo 2 m/s2. Las ma sas de los bloq ues “A” y “B” son de 10 kg ca da uno y µk = 0,4 ; g = 10 m/s2. La ma sa de la po lea es despreciab le.  θ

Rpta.

10.Rpta.

7.-

cos θ 2 + sen θ

Calcular la máxima aceleración de la plat afo rma para q ue el cajón rectangular no resbale respecto de él.

F = 120 N

Calcular la aceleración del sistema deb ido a la fuerza con sta nte P. Considerar despreciable la reacc ión debido a P.

θ

Rpta.

µ=

 =

a 

g 2sen θ

Rpta.

a 

=

 L H

g