DINAMICA DE SISTEMAS.pdf

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PROGRAMACIÓN GENERAL INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS Autoaprendizaje 3 horas Unidad 1 MODELOS DE SISTEMAS Autoaprendizaje 3 horas Unidad 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE REALIMENTACIÓN Autoaprendizaje 3 horas Unidad 3 DIAGRAMA DE FORRESTER Y MODELOS MATEMÁTICOS Autoaprendizaje 3 horas Unidad 4 USO DEL SOFTWARE DE SIMULACIÓN Autoaprendizaje 3 horas Unidad 5 RETRASOS EN LOS SISTEMAS Autoaprendizaje 3 horas Unidad 6 SIGNIFICANCIA Y ANÁLISIS DE MODELOS DINÁMICOS Autoaprendizaje 3 horas Unidad 7 TÓPICOS AVANZADOS Y DESARROLLO DE CASOS Autoaprendizaje 3 horas Unidad 8

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TABLA DE CONTENIDO Pag. 3 5

Presentación Programa General UNIDAD TEMÁTICA N° 01: INTRODUCCIÓN ALA DINÁMICA DE SISTEMAS ¿Qué es un Sistema? Características de los Sistemas Clasificación de los Sistemas ¿Qué es un Sistema Dinámico? Como Nace la Dinámica de Sistemas La Dinámica de Sistemas

9 9 10 11 13 14 16

UNIDAD TEMÁTICA N° 02: MODELADO DE SISTEMAS El Desarrollo de Modelos de Sistemas Desarrollo de Diagramas Causales Los Ciclos Causales Descripción de la Metodología para Desarrollo de Modelos

21 23 25 27

UNIDAD TEMÁTICA N° 03: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE REALIMENTACIÓN 33 Bucle de Realimentación Negativa Bucle de Realimentación Positiva Sistemas Complejos y Estructuras Genéricas

34 38 41

UNIDAD TEMÁTICA N° 04: Diagrama de Forrester y Modelos Matemáticos 47 Como Iniciar la Construcción de un Diagrama de Forrester Clasificación de Variables Modelo Matemático UNIDAD TEMÁTICA N° 05:

47 48 54

Uso del Software de Simulación Paseando por el Stella Un Ejemplo para Aprender a Manejar Stella® Relaciones Analíticas

59 59

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Simulando con el Software Stella UNIDAD TEMÁTICA N° 06:

60 64 68

Retrasos en los Sistemas Retrasos en la Transmisión de Material Retrasos en la Transmisión de Información Reglas para Aplicar Retrasos UNIDAD TEMÁTICA N° 07:

75 77 84 86

Significancia y Análisis de Modelos Dinámicos Significancia Análisis de Sensibilidad del Modelo Dinámico Implantación de Políticas en el Sistema UNIDAD TEMÁTICA N° 08:

89 89 91 92

Tópicos Avanzados y Desarrollo de Casos Realimentación Negativa de Segundo Orden Realimentación Positiva de Segundo Orden Desarrollo de Casos

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99 99 101 104

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INTRODUCCIÓN ALA DINÁMICA DE SISTEMAS La sistémica con sus diversas metodologías aporta instrumentos para estudiar aquellos problemas que resultan de las interacciones que se producen en el seno de un sistema complejo. La Dinámica de sistemas, constituyéndose como la metodología mas acertada dentro del mundo sistémico, propone el tratamiento de dichas complejidades considerando la causa y el efecto que las enmarca. En esta primera unidad, vamos a recordar algunos conceptos básicos de la teoría de sistemas, y su relación con la Dinámica de Sistemas, formalizaremos su concepción y veremos su evolución en el tiempo.

Al terminar el estudio de la presente unidad, el estudiante: 

Repasa los conceptos generales de la sistémica



Describe las características y elementos de los sistemas



Conoce la historia y precedentes de la Dinámica de Sistemas.



Entiende el concepto de Dinámica de Sistemas

¿QUÉ ES UN SISTEMA? Vamos a ver algunas definiciones de lo que es un sistema: L. Von Bertalanffy (1968): "Un sistema es un conjunto de unidades en interrelación." Ferdinand de Saussure (1931): "Sistema es una totalidad organizada, hecha de elementos solidarios que no pueden ser definidos más que los unos con relación a los otros en función de su lugar en esa totalidad." IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms: "Sistema es un todo integrado, aunque compuesto de estructuras diversas, interactuantes y especializadas. Cualquier sistema tiene un número de objetivos, y los pesos asignados a cada uno de ellos pueden variar ampliamente de un sistema a otro. Un

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sistema ejecuta una función imposible de realizar por cualquiera de las partes individuales. La complejidad de la combinación está implícita." Estándar X3.121970 (ANSI), Estándar 2382/V, VI (ISO) Vocabulary for Information Processing: "Sistema es una colección organizada de hombres, máquinas y métodos necesarios para cumplir un objetivo específico." Resumiendo y obteniendo aspectos relevantes: 

La presencia de elementos heterogéneos pero interconectados.



El concepto de partes formando un todo global.



La presencia del exterior influenciando en el sistema.



El surgimiento de nuevas propiedades, resultado de las interrelaciones de las partes.



El objetivo común compartido por todos los elementos participantes en el sistema.

Figura 1.1. Visión sistémica

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS 1. Globalismo.- Dentro del funcionamiento de los sistemas surge un acontecimiento llamado globalismo, el cual se da cuando un elemento presenta un cambio que inevitablemente repercutirá en todos los demás afectando así al sistema. Todo sistema tiene naturaleza orgánica; cualquier estimulo en cualquier unidad del sistema afectará a todas las demás unidades debido a la relación existente entre ellas.

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2. Entropía.- Predisposición que tienen los sistemas al deterioro o desintegración, es decir, a medida que la entropía acrecienta los sistemas se descomponen en estados más simples. El segundo principio de la termodinámica establece el crecimiento de la entropía, es decir, la máxima probabilidad que los sistemas caigan en la desorganización y, finalmente, homogeneización con el ambiente. Los sistemas cerrados están irremediablemente condenados a la desorganización. No obstante, hay sistemas que, al menos temporalmente, revierten esta tendencia al aumentar sus estados de organización (negentropía, información). 3. Homeostasis.- Equilibrio dinámico entre las partes del sistema, esto es, la tendencia de los sistemas a adecuarse al equilibrio de los cambios internos y externos del ambiente. Este concepto está referido con énfasis a los organismos vivos, por lo tanto, sistemas adaptables. Los procesos homeostáticos operan ante variaciones de las condiciones del ambiente, corresponden a las compensaciones internas al sistema que sustituyen, bloquean o complementan estos cambios con el objeto de mantener invariable la estructura sistémica, es decir, hacia la conservación de su forma. La subsistencia de formas dinámicas o trayectorias se denomina homeorrosis (sistemas cibernéticos) 4. Equifinalidad.- Se refiere al hecho que un sistema vivo a partir de distintas condiciones iniciales y por distintos caminos llega a un mismo estado final. No importa el proceso que reciba, el resultado es el mismo. El fin se refiere a mantener un estado de equilibrio fluyente. “Puede alcanzarse el mismo estado final, la misma meta, partiendo de diferentes condiciones iniciales y siguiendo distintos itinerarios en los procesos orgánicos”. El proceso inverso se denomina multifinalidad, es decir, “condiciones iniciales similares pueden llevar a estados finales diferentes”.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS 

Sistemas naturales: Los sistemas naturales nacen en respuesta a fenómenos físicos, químicos y biológicos creados por la naturaleza. Son los existentes en el ambiente. Una célula, un ser vivo, la Biosfera o la Tierra entera son ejemplos de sistemas naturales.



Sistemas artificiales: Los sistemas artificiales son aquellos que fueron logrados por la intervención directa de la mano del hombre. El hombre participa de manera activa en su diseño, manejo, control y ejecución.

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

Sistemas sociales: Integrados por personas cuyo objetivo tiene un fin común. Considera el contenido y significado de mensajes, la naturaleza y dimensiones del sistema de valores, la trascripción de imágenes en registros históricos, sutiles simbolizaciones artísticas, música, poesía y la compleja gama de emociones humanas.



Sistemas hombre-máquina: Emplean equipos u otra clase de objetos, que a veces se desean logren autosuficiencia. Representa una combinación de uno o más seres humanos y uno o más componentes físicos, que actúan recíprocamente para efectuar, a partir de unas entradas de energía e información determinadas, una producción o salida deseada.



Sistemas abiertos: Se caracteriza porque su estado original se transforma constantemente por la acción retroalimentadora del ambiente, desde su creación hasta su declive. Su vida útil depende de su adaptabilidad a las exigencias del ambiente (homeostasis). Intercambian materia y energía con el ambiente continuamente.



Sistemas cerrados: Se caracteriza porque no tiene capacidad de cambio por si mismo para adaptarse a los requerimientos del ambiente. Es irreversible y su estado presente y final esta determinado por su estado original. Son efímeros por desgaste (entropía).



Sistemas temporales: Duran cierto periodo de tiempo y posteriormente desaparecen.



Sistemas permanentes: Duran mucho más que las operaciones que en ellos realiza el ser humano, es decir, el factor tiempo es más constante.



Sistemas estables: Un sistema se dice estable cuando puede mantenerse en equilibrio a través del flujo continuo de materiales, energía e información. La estabilidad de los sistemas ocurre mientras los mismos pueden mantener su funcionamiento y trabajen de manera efectiva (mantenibilidad).



Sistemas no estables: No siempre es constante y cambia o se ajusta al tiempo y a los recursos.



Sistemas adaptativos: Reaccionan con su ambiente, mejora su funcionamiento, logro y supervivencia.



Sistemas no adaptativos: tienen problemas con su integración, de tal modo que pueden ser eliminados o bien fracasar.



Sistemas determinísticos: Interactúan en forma predecible.

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

Sistemas probabilísticos: Presentan incertidumbre.



Subsistemas: Sistemas más pequeños incorporados al sistema original.



Supersistemas: Sistemas extremadamente grandes y complejos, que pueden referirse a una parte del sistema original.

1. En sus propias palabras defina lo que es un sistema. 2. Mencione ejemplos relevantes de cada uno de los tipos de sistemas.

¿QUÉ ES UN SISTEMA DINÁMICO? Un sistema dinámico es un sistema complejo que presenta un cambio o evolución de su estado en el tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema. Al especificar los límites del sistema, en primer lugar, se selecciona a aquellos elementos que contribuyan a establecer las formas de comportamiento, y seguidamente debemos determinar el lugar donde se llevará a cabo el estudio, dejando de lado toda clase de aspectos irrelevantes. En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta que: 1. Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción. 2. El comportamiento del sistema se puede modelar a través de diagramas causales. 3. Hay varios tipos de variables: variables exógenas (son aquellas que afectan al sistema sin que éste las provoque) y las variables endógenas (afectan al sistema pero éste sí las provoca).

Tipos de sistemas dinámicos Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se calcula en pequeños lapsos; éstos son modelados como relaciones recursivas, tal como se muestra en la

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ecuación logística: , donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la variable que cambia con éste. Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo:

, donde x es la variable que cambia con el tiempo t. La variable cambiante x es normalmente un número real, aunque también puede ser un vector en Rk.

Sistemas lineales y no lineales Se distingue entre sistemas dinámicos lineales y sistemas dinámicos no lineales. En los sistemas lineales, el lado derecho de la ecuación es una expresión que depende en forma lineal de x, tal como:

Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es también una solución; esto se conoce como principio de superposición. En general, las soluciones provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del álgebra lineal y simplifican significativamente el análisis. Para sistemas lineales continuos, el método de la transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles.

COMO NACE LA DINÁMICA DE SISTEMAS Jay Wright Forrester (Fig. 1.2), es considerado el patriarca de la Dinámica de Sistemas, una metodología derivada de la Teoría de Sistemas, especializada en el estudio de toda clase de sistemas complejos, con conceptos aplicados originalmente en ingeniería. La aportación personal de Forrester incluye la aplicación a problemas del campo de las ciencias sociales, inicialmente a través del modelado de organizaciones empresariales. Forrester es también el autor de una de las formalizaciones más empleadas en la formulación de modelos cibernéticos, el llamado diagrama de Forrester.

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Forrester nació en 1918 en Nebraska, EUA, y después de haber obtenido el título de Ingeniero Eléctrico en la Universidad de Nebraska, continuó sus estudios en el MIT. Forrester fue un pionero del desarrollo de la informática, que participó hacia 1950 en la invención de la memoria de acceso aleatorio RAM y es considerado autor de la primera imagen animada sintética, la representación del bote de una pelota usando un osciloscopio. Jay W. Forrester planteaba que el mundo esta lleno de sistemas, la mayoría de éstos son bastante simples y fácilmente entendibles para el ser humano. No obstante, los problemas sociales son sistemas con una gran cantidad de variables y sumamente complicados.Por esa razón, Forrester plantea el uso de computadores para la simulación de sistemas reales, mediante la enunciación de modelos sencillamente traducibles a programas informáticos. De esta manera, el ser humano aspira a prever el comportamiento de sistemas complejos como los que se presentan en las sociedades. En su libro "Industrial Dynamics" (considerado el punto de partida de la Dinámica de Sistemas), Forrester pone de manifiesto el hecho de que el actual crecimiento de la población es insostenible por más de 100 años. Forrester, junto con otras personalidades fundó el Club de Roma, organización Internacional cuyo objetivo es la concienciación de que el actual sistema es insostenible y está próximo al colapso. Forrester estableció un paralelismo entre los sistemas dinámicos (o en evolución) y los hidrodinámicos, constituido por depósitos, intercomunicados por canales con o sin retardos, variando mediante flujos su nivel, con la concurrencia de fenómenos exógenos. La dinámica de sistemas, permite en estos días ir más allá de los estudios de casos y las teorías descriptivas. La dinámica de sistemas no está restringida a sistemas lineales, pudiendo hacer pleno uso de las características no-lineales de los sistemas. Combinados con los ordenadores, los modelos de dinámica de sistemas permiten una simulación eficaz de sistemas complejos. Dicha simulación representa la única forma de determinar el comportamiento en los sistemas no-lineales complejos.

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Figura 1.2. Jay W. Forrester

LA DINÁMICA DE SISTEMAS La Dinámica de Sistemas es una metodología para la construcción de modelos de simulación para sistemas complejos, como los estudiados por las ciencias sociales, la economía o la ecología. La Dinámica de Sistemas aplica métodos de sistemas duros, básicamente las ideas de realimentación y sistema dinámico, junto con la teoría de modelos en el espacio de estados y procedimientos de análisis numérico. Por tanto sería una metodología más entre las de sistemas duros. Sin embargo, en su punto de mira están los problemas no estructurados (blandos), como los que aparecen en los sistemas socioeconómicos. Planteando esto dos tipos de dificultades: 

Cuantificación: En Dinámica de Sistemas se comienza por identificar las variables de interés y las relaciones que ligan entre sí a estas variables. A continuación es imprescindible cuantificar dichas relaciones, lo que en ocasiones plantea dificultades insalvables.



Validación: Una vez construido el modelo hay que preguntarse si refleja razonablemente la realidad. Esta cuestión puede resolverse por ejemplo en caso de que se

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disponga de informaciones cuantitativas de la evolución del sistema real en el pasado. Si el modelo es capaz de generar los comportamientos característicos del sistema real, entonces obtendremos una cierta confianza en la validez del modelo. En Dinámica de Sistemas la simulación permite obtener trayectorias para las variables incluidas en cualquier modelo mediante la aplicación de técnicas de integración numérica. Sin embargo, estas trayectorias nunca se interpretan como predicciones, sino como proyecciones o tendencias. El objeto de los modelos dinámicos es, como ocurre en todas las metodologías de sistemas blandos, llegar a comprender cómo la estructura del sistema es responsable de su comportamiento. Esta comprensión normalmente debe generar un marco favorable para la determinación de las acciones que puedan mejorar el funcionamiento del sistema o resolver los problemas observados. La ventaja de la Dinámica de Sistemas consiste en que estas acciones pueden ser simuladas a bajo coste, con lo que es posible valorar sus resultados sin necesidad de ponerlas en práctica sobre el sistema real. Lo que distingue a la dinámica de sistemas de otras aproximaciones al estudio de los mismos problemas, es el uso de bucles de realimentación. La construcción de modelos por la dinámica de sistemas parte de la distinción esencial entre depósitos y flujos. Con estos elementos se edifican modelos que describen sistemas internamente conectados por bucles de realimentación; sistemas que muestran el carácter no lineal que se suele encontrar en los problemas del mundo real.

1. Cuales son las características de un Sistema Dinámico. 2. Que relación encuentra entre la Dinámica de sistemas y las demás metodologías sistémicas

En esta primera unidad, hemos recordado lo que es un sistema, llegando a la conclusión que en un sistema existen conceptos muy importantes como: la presencia de elementos heterogéneos pero interconectados, partes formando un todo global, el exterior influenciando en el sistema, el surgimiento de nuevas propiedades, resultantes de las interrelaciones de las partes y el objetivo común compartido par todos los elementos participantes en el sistema. 17

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También vimos las características, más relevantes, ligados a los sistemas, como lo es el Globalismo, la Entropía, la Homeostasis y finalmente la Equifinalidad, se detallo su implicancia y presencia en la estructura orgánica de los sistemas, se aprecio su necesidad y la diferencia que implicaban cada uno de ellos. Seguidamente especificamos la clasificación de los sistemas, esto se dio en base a su tamaño, comportamiento, tiempo de vida, naturaleza; tomando en cuenta todo tipo de características que permitan ofrecer una amplia gama de tipos de sistemas. Finalmente vimos la historia predecesora a la Dinámica de Sistemas, como es que Jay W. Forrester, su fundador, impulso su crecimiento y su formalización a través del tiempo y como el mundo pudo apreciar su valides a través de las distintas aplicaciones que se desarrollaron. Definimos lo que es la Dinámica de Sistemas, de que trata, cual es la importancia de su estudio e impulso.

Forrester, J. W., Principies of Systems, Wright-AIIen Press, Inc., Cambridge, Massachusetts, 1968. Roberts, R. B., System Dynamics - An Introduction, Managerial Appiications of System Dynamics, ed. by R. B. Roberts, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978. Forrester, J. W., Industrial Dynamics, Productivity Press, inc., Portland, Oregon, 1961. Direcciones de Internet http://www.catunesco.upc.es/bads/bads.htm http://www.isdefe.es/webisdefe.nsf/0/6878CA75CB854180C12570F90036EDC2?Op enDocument

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La siguiente unidad se encarga de abordar aspectos del modelado de los sistemas, siguiendo las especificaciones que nos ofrece la Dinámica de Sistemas, recuerden que en esta unidad se ha comprendido dicho concepto.

Introducción ala Dinámica de Sistemas – Unidad Nº 1 Responda las siguientes preguntas: 1. Halle aplicaciones en el mundo real de Dinámica de Sistemas (4 ejemplos) 2. ¿Que relación existe entre los sistemas complejos y la Dinámica de Sistemas?

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MODELADO DE SISTEMAS Un aspecto importante del enfoque sistémico es la construcción de modelos. Un modelo es una abstracción de la realidad que captura aspectos relevantes y funcionales de los sistemas, considerando los suficientes detalles como para poder usarse en la investigación y la experimentación en lugar de hacerlo con el sistema real, evidentemente esto implica menor riesgo, tiempo y costo. En la medida que un modelo particular represente acertadamente a un sistema, este modelo puede representar una ayuda muy valiosa para el análisis de políticas, la toma de decisiones y la resolución de problemas. En esta segunda unidad incorporamos conceptos y técnicas que nos ayudaran a modelar diferentes tipos de sistemas, nos valdremos de los diagramas Causales para la representación de dichos sistemas.

1. Entiende la importancia de planificar, plasmar y desarrollar modelos de sistemas. 2. Valora el uso de diagramas causales para explicar el comportamiento de un sistema. . 3. Decide el método adecuado a seguir observando el contexto organizacional.

EL DESARROLLO DE MODELOS DE SISTEMAS En la ingeniería de sistemas aplicada, se utilizan tres formas complementarias de construir modelos y son: verbal, gráfica y matemática. Los modelos verbales tienden a ser descripciones escritas o expresiones orales del fenómeno en cuestión, de forma evidente, reflejan las ideas implícitas de un modelo mental (Fig. 2.1), y constituyen un medio esencial para mejorarlo. Los modelos gráficos están formados por diagramas que proporcionan un nexo de unión entre los modelos matemáticos y verbales, por una parte el autor del modelo y su audiencia, por la otra.

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Los modelos matemáticos son “simbólicos”, ya que para describir un sistema emplean normalmente notaciones matemáticas en forma de ecuaciones. A menudo estas ecuaciones matemáticas tienen representaciones gráficas análogas. Hay tres características de los modelos matemáticos que los hacen particularmente útiles: son precisos, concisos y manejables. Desafortunadamente, por otra parte, estas características tan deseables no son en general apreciadas por los políticos, por los gerentes, por aquellos que tienen la batuta de la organización, ya que no comprenden la simbología o las reglas de utilización. Idealmente, esta barrera en la comunicación entre los autores de los modelos y sus usuarios se salva gracias al uso de modelos verbales o gráficos.

Figura 2.1 Modelos Mentales Con el advenimiento de la Era de los Sistemas han aparecido varias tendencias metodológicas basadas en procedimientos, herramientas y técnicas diferenciadas. Estas incluyen la programación lineal, la econometría, el análisis de entradas y salidas (input-output), la simulación estocástica y la dinámica de sistemas. Todas estas tendencias existentes para el desarrollo de modelos y tienen en común varios conceptos relativos a las propiedades de los sistemas del mundo real, el proceso de desarrollo de modelos, el uso del ordenador y el papel de los modelos en el proceso de toma de decisiones. Además de estos conceptos comunes y generales entre todos los modelos matemáticos, cada tendencia metodológica emplea sus propias y únicas hipótesis básicas, o paradigmas, las cuales proporcionan una perspectiva

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única del mundo, desde el punto de vista de una disciplina particular del desarrollo de modelos, influyendo, de este modo, en el contenido y la forma de sus modelos. Las distintas metodologías de sistemas pueden diferenciarse por la forma en que los desarrolladores consideran el concepto de modelos. Se pone de manifiesto tres tendencias. En la primera, se tiene una fe completa en un tipo de modelo matemático, dentro de cuyas limitaciones tiene que representarse; a programación lineal y los modelos de entradas y salidas (input-output) son ejemplos de esto. En la segunda, se mantiene que los datos lo son todo; en lugar de desarrollar modelos, los miembros de esta tendencia se limitan a obtener curvas que se ajusten a los datos; la econometría es una metodología de este tipo. En la tercera tendencia, se busca la realidad a través de un proceso interactivo entre la experiencia y la información, entre la mente y los datos. La dinámica de sistemas forma parte de esta última tendencia. Estas tres tendencias del desarrollo de modelos se describen generalmente de la forma siguiente: 

Orientadas hacia la optimización,



Casuales y



Causales.

Se cree que los modelos causales tienen la máxima aplicación en la ingeniería de sistemas y reciben la atención central de esta unidad. Con todo esto en mente, y con lo visto en la unidad anterior, definimos un “sistema” como un conjunto interconectado de elementos cuya “estructura” determina todas las modalidades del “comportamiento” dinámico. El comportamiento, se refiere a los valores de las variables del sistema a lo largo del tiempo. La estructura se puede describir como el número, la disposición, la polaridad y el orden de los bucles de realimentación en el modelo del sistema.

DESARROLLO DE DIAGRAMAS CAUSALES La premisa de una metodología de sistemas, tal como lo es la dinámica de sistemas, es que las tendencias dinámicas persistentes en cualquier sistema complejo surgen a partir de sus estructuras causales, y a partir de los objetivos sociales, progreso tecnológico, limitaciones económicas, limites físicos y presiones políticas, que hacen que la gente se comporte de la manera en que lo hace, y generan de forma acumulada las tendencias dinámicas del sistema total. Por consiguiente, un aspecto esencial del enfoque sistémico para desarrollar modelos es pensar en función de 23

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relaciones causa-efecto. Una herramienta importante para mostrar interacciones causa-efecto entre las variables claves durante el desarrollo del modelo de un sistema dinámico es el diagrama causal. El primer paso para desarrollar un diagrama causal es identificar las variables clave que describen la situación problema, y registrar la manera de funcionamiento del sistema que está siendo analizado. Estas variables clave, deducidas de un modelo mental o de una descripción verbal de un sistema, se representan en una hoja de papel. Las relaciones causa-efecto entre pares de variables se representan en la segunda fase por medio de flechas. Por ejemplo, la construcción de departamentos causa el aumento de la cantidad de departamentos y la relación causal se representa como: CONSTRUCCIONES



CANTIDAD DE DEPARTAMENTOS

En donde la flecha entre las dos variables puede ser interpretada como “causa”. A veces estos diagramas con flecha son más claros si uno se imagina la palabra “afecta” o “influye” en vez de causa, como en el ejemplo: BEBER ALCOHOL 

SALUD

En esta expresión causal en donde se describe una relación entre dos elementos, está implícita la declaración: “mientras que todas las otras cosas sigan siendo iguales”. Para mostrar la acción de una variable sobre otra se utiliza una flecha, pero además es necesario indicar la polaridad. La polaridad indica como el crecimiento o decrecimiento de una variable hace que la otra variable aumente o disminuya.

Polaridad positiva La polaridad positiva indica que el cambio en la variable raíz hace que la variable resultante varié en el mismo sentido. Es decir que al aumentar la variable causa aumenta la variable efecto y al disminuir la variable causa disminuye la variable efecto.

El aumento o la disminución de madres adolescentes causan el aumento o disminución de los niños abandonados en relación a las madres adolescentes.

Madres adolescentes 24

Niños abandonados

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Polaridad negativa La polaridad negativa indica que el cambio en la variable causa hace que la variable efecto varié en sentido contrario. Es decir que al aumentar la variable causa disminuye la variable efecto y al disminuir la variable causa aumenta la variable efecto.

En el mismo problema de los niños abandonados, la respuesta o acciones del gobierno, a través de las entidades encargadas, que se dan para luchar contra este problema, relacionado con el número de niños abandonados y puede ser representando por la siguiente relación: Respuesta del gobierno

Número de Niños abandonados

Al aumentar o disminuir la respuesta del gobierno disminuye / aumenta el número de niños abandonados en dirección contraria. Con este ejemplo no se pretende decir que para solucionar el problema solo el gobierno debe intervenir, lo que se pretende es dar un ejemplo con una de las tantas relaciones, que existen para solucionar este problema.

2.1. 1. ¿Cuál es la importancia del modelado en la Dinámica de Sistemas? 2. Mencione 5 ejemplos de causa y efecto en el problema de pobreza en el Perú.

LOS CICLOS CAUSALES

Las relaciones causales entre las variables a veces se afianzan sobre sí mismas y forman bucles de realimentación. Dentro de un bucle de realimentación, un cambio en una variable se transmite a través de la cadena entera de variables que forman el 25

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bucle, hasta que la causa inicial produce un efecto indirecto sobre sí misma. Un aspecto clave del análisis de un sistema es centrar la atención sobre los bucles de realimentación. Roberts [1] se refiere a cuatro niveles jerárquicamente distintos de la estructura del sistema de realimentación: variable, enlace, bucle de realimentación y sistema de realimentación. Una variable es una cantidad que puede cambiar en función del tiempo. Puede ser una variable de decisión o una cantidad que se ve afectada por dichas decisiones. Cuando la variable no es afectada por otras variables del sistema, se denomina como “exógena” o externa al sistema. Una variable que es afectada por las otras variables del sistema se denomina “endógena”. Un enlace es la conexión causa-efecto entre dos variables ilustrada mediante una flecha en el diagrama causal. Un bucle de realimentación consiste en dos o más enlaces conectados de tal modo que, a partir de cualquier variable, se puedan seguir las flechas y volver a la variable inicial. En toda representación causa-efecto de un bucle de realimentación están implícitos los retardos de tiempo desde cada decisión hasta cada una de sus consecuencias, y los retardos en la realimentación de la información de cada consecuencia hasta que influyen sobre la próxima decisión. Para lograr una mayor sencillez, las notaciones relativas a estos retardos de tiempo se omiten en los diagramas causales. Del mismo modo que los enlaces tienen dos direcciones posibles, los bucles de realimentación poseen también dos polaridades posibles, positiva o negativa. En el centro del bucle de realimentación se encuentra un símbolo que indica su polaridad, un signo positivo si el bucle actúa para reforzar los cambios de variables en la misma dirección que el cambio inicial, con lo que se favorece al crecimiento o disminución continua de las variables del bucle, y un signo menos si el bucle actúa para resistirse u oponerse a los cambios de variables, y de este modo produce una tendencia contraria al cambio inicial y contribuye al mantenimiento del equilibrio en el bucle. Una manera sencilla de determinar la polaridad de un bucle de realimentación es contar el número de enlaces negativos: si es par, el bucle es positivo; si es impar, el bucle es negativo. Para evitar ecuaciones simultáneas en el modelo matemático derivado del diagrama causal, dentro del procedimiento del desarrollo del modelo se requiere un tratamiento especial para un bucle de realimentación. Una técnica, empleada en dinámica de sistemas, consiste en introducir en todo bucle de realimentación dos tipos especiales de variables: de niveles y de flujo. Una variable de nivel indica el estado del sistema, y una variable de flujo produce cambios en las variables de nivel a lo largo del tiempo. En el contexto de los diagramas causales, la relación causal entre una variable de flujo, tal como el índice de construcción de departamentos

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(departamentos / año), y una variable de nivel, tal corno el inventario (departamentos), es un “flujo físico” que estará representado por una línea sólida. No obstante, la relación entre la variable de nivel (departamentos) y la variable de tasa de cambio (índice de construcción) constituye un “flujo de información”, siendo la información relativa al estado de la cantidad de departamentos la que influye en el índice de construcción. Pero la cantidad de departamentos, medido en departamentos por año, se acumula como entidades físicas en cantidad de departamentos

DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA PARA DESARROLLO DE MODELOS La metodología propuesta, en este texto auto-instructivo, utiliza todas las clases principales empleadas en la dinámica de sistemas, variables de nivel, variables de tasa de cambio (flujo), variables auxiliares y constantes. (Fig. 2.2) La diferencia estriba en que en los diagramas dinámicos de sistemas son innecesarias las formas geométricas: rectángulos, válvulas, círculos, etc. Por ejemplo, una variable de nivel siempre está en la punta de una flecha continua, y una variable de flujo siempre está en el origen de una flecha continua. El signo sobre una flecha continua nos indica si la tasa de cambio se añade o se sustrae de una variable de nivel (estado). Mientras que las flechas continuas indican flujos físicos, las flechas discontinuas en el diagrama causal definen flujos de información desde las variables de nivel hasta las tasas de cambio o variables de flujo. Se llama variable auxiliar a cualquier variable intermedia en el camino desde una variable de nivel, o de una entrada exógena, hasta una variable de tasa de cambio. Las entradas exógenas en un diagrama causal se identifican fácilmente porque no tienen flechas que terminen en las mismas, pero tienen una o más flechas cortadas que salen de ellas, En contraste, las variables auxiliares no forman parte del mismo sistema, sino que indican solamente su rendimiento y, por consiguiente, se identifican siempre porque están al final de una flecha discontinua, y no tienen flechas que emanen de ellas. Resumamos la convención de los diagramas causales: 

Las flechas describen la dirección de la causalidad entre pares de variables;



Las líneas (continuas o discontinuas) denotan flujos (físicos o de información)



Y los signos nos indican la naturaleza de la relación (directa o inversa) entre un par de variables dependientes-independientes.

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Figura 2.2. Representación de un Diagrama Causal La metodología para el desarrollo del curso utiliza el lenguaje de ordenador Stella® asociado con la dinámica de sistemas. En terminología de ecuaciones diferenciales, cualquier variable de nivel se expresa como función de las variables de tasa de cambio R1 y el valor previo del nivel: n

Li (t  dt )  l i (t )  ( dt )  R j (t ) .

i  1 ,... m ,

i 1

(Ec. 2.1)

En donde las Rj’s se suponen constantes en el intervalo desde t a t +dt. Las variables de tasa de cambio tienen la forma



R j ( t )  F L i ( t ), E k ( t ), A ij ( t ), A kj ( t )



(Ec 2.2)

En donde Ek son los impactos de las variables auxiliares en los flujos causales desde la variable i y la entrada exógena k, respectivamente. Puesto que las entradas exógenas son funciones conocidas del tiempo, o constantes, si se conocen los valores iniciales de las variables de nivel, todas las otras variables pueden calcularse a partir de ellas y para dicho intervalo de tiempo. Entonces, a partir de la ecuación (2.1), se pueden encontrar los nuevos valores de las variables de nivel para el próximo instante de tiempo.

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2.2. 1. Del los ejemplos desarrollados en la actividad 2.1, sobre el tema de pobreza, intente construir bules de realimentación (3 ejemplos), asigne a cada relación la respectiva polaridad.

2. Dado el siguiente diagrama:

a)

precio + + cambio en el precio + tasa de inflación

Realice una descripción del comportamiento presente en el diagrama, considere la polaridad de las relaciones.

[Richmond] identifica tres calificaciones relativas al pensamiento sistémico: pensamiento sobre sistemas como causa, pensamiento sobre bucles cerrados y pensamiento operativo. “Pensamiento sistémico como causa” es la noción de que es útil considerar la estructura de un sistema como la causa de los comportamientos exhibidos por los sistemas, en ves de considerar estos comportamientos como resultado de factores externos. “Pensamiento sobre bucles cerrados” es el siguiente paso en la progresión: si la estructura es la causa del comportamiento, ¿cuáles son sus características, cómo se organiza? El “pensamiento operativo” completa la progresión.

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Roberts, R. B., System Dynamics - An Introduction, Managerial Applications of System Dynamics, ed. by R. B. Roberts, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1978. Espejo, R., What is Systems Thinking?, System Dynamics Review, Vol. 10, No. 3, 1994. Richmond, 8. Systems Thinking/Systems Dynamics, System Dynamics Review, Vol. 10, No. 3, 1994. Forrester, J. W, Market Growth as Influenced by Capital Investment, Collected Papers of Jay W. Forrester, Wright-AIlen Press, Inc., Cambridge, Massachusetts, 1975. Direcciones de Internet http://www.wiphala.net/courses/IS0850/2007-I/index.html http://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_de_sistemas http://dinamicasistemas.utalca.cl/din_sis/DS%20en%20la%20Educaci%F3n.htm

Los bucles cerrados (realimentación) están compuestos de inventarios (niveles) y flujos (tasas de cambio), de forma que puedan evitarse las ecuaciones simultáneas. Estas aplicaciones del pensamiento sistémico son el tema del siguiente capítulo.

Modelado de Sistemas – Unidad Nº 2

Desarrolle los siguientes casos: 1. El siguiente ejemplo es un caso de Control de los Inventarios de un Almacén, el cual cuenta inicialmente con 100 unidades; el sistema funciona de la siguiente forma:

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Los pedidos son salidas de productos para su venta, estas son supongamos constantes al día en 20 unidades/día. La producción de cada unidad se da con una razón de producción diaria del 15%, para lograr mantener un inventario deseado, el sistema tiene un sistema de prevención, que esta en función de lo que se quiere mantener como inventario deseado y lo que se tiene en el almacén como inventario físico (diferencia entre lo deseado y lo real), El sistema funciona en un tiempo de 30 días a partir del día 0 con la revisión de cada día en la simulación dinámica. 

Obtenga las variables relevantes, desarrolle del diagrama causal, y relaciones, así como el tipo de comportamiento que sigue

2. Observe el siguiente diagrama causal:

Realice una descripción del comportamiento presente en el diagrama, considere la polaridad de las relaciones.

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ANÁLISIS DE SISTEMAS DE REALIMENTACIÓN Un sistema de realimentación es uno o más ciclos de realimentación relacionados entre sí. El grado del sistema es determinado por aquel ciclo de realimentación que contengas el número máximo de variables de nivel dentro del bucle. El comportamiento de las variables en cada bucle de realimentación se puede propagar a través de la conexión, y afectar a otras variables de otros bucles dentro del sistema de realimentación. Estos sistemas, integrados por muchos bucles de realimentación conectados entre sí, describen problemas complejos de organización. Los métodos analíticos formales son difíciles de aplicar a medida que la complejidad de la realimentación aumenta. Esta unidad centra su atención en el área de análisis de sistemas de realimentación con la presencia de uno o de múltiples bucles. Un modelo es una representación abreviada de ciertas características relevantes de un sistema real. Cuando construimos modelos matemáticos, dejamos de lado el mundo real para introducimos en un mundo abstracto de conceptos matemáticos. Y luego dejamos al computador y a sus técnicas matemáticas que manipule dicho modelo para la obtención de resultado que luego analizaremos para finalmente, regresar al mundo real con la posible solución del problema matemático, que posteriormente se convierte en una solución útil al problema real. Es importante recalcar que el principio y el fin del proceso se sitúan en el mundo real. En conformidad con la metodología propuesta por la Dinámica de Sistemas, es importante comprender la incorporación de modelos matemáticos para resolver problemas. Aun que debemos recordar que la formulación inicial es conceptual y necesitamos buscar expresiones cuantitativas que representen a nuestras formulaciones verbales. Todo modelo debe tener un objetivo específico que tiene que indicarse con claridad, desde el principio. Es evidente que el Weltanschau del modelador y el objetivo, influirán en la concepción de dicho modelo. Sin embargo, al construir modelos bajo la perspectiva de la Dinámica de Sistemas, se busca una nueva percepción, se trata de comprender las consecuencias de líneas de acción alternativas, y no una previsión relativa al futuro. Mediante esta metodología se desarrollan modelos matemáticos y se dan soluciones analíticas, se utiliza la simulación para llegar a conclusiones fiables acerca del comportamiento, tratando de comprender cada vez más la estructura de realimentación subyacente.

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Es bien conocido que ciertos tipos de sistema realimentación crean ciertos tipos de comportamiento. Entonces, si se conoce el modo de comportamiento de referencia existente (patrón de comportamiento), debería ser posible deducir la estructura del sistema de realimentación, como el número y la estructura de los bucles de realimentación, su polaridad y orden. En esta unidad se analizará el comportamiento de estructuras básicas de sistemas de realimentación usando para ello distintas aplicaciones.

1. Comprende la importancia de analizar los ciclos de realimentación. 2. Diferencia con claridad un bule de realimentación positiva con uno negativo. 3. Incorpora complejidad en la elaboración de los diagramas Causa - Efecto

BUCLE DE REALIMENTACIÓN NEGATIVA El proceso considerado en la Figura 3.1, al que se le asocia un diagrama causa efecto que puede ser apreciado en la Figura 3.2, es un caso particular de la situación general de un bucle de realimentación negativa (Figura 3.3). En esta figura se tiene que el nivel definido por cierta cantidad (el nivel de agua en el ejemplo anterior) viene determinado por la acumulación del flujo (el flujo de agua) que a su vez es resultado de la discrepancia entre el estado alcanzado y lo deseado, que en la Figura 3.3 se denomina objetivo. Es decir, la discrepancia entre el nivel actual y objetivo (nivel deseado) determina la acción que modificara el estado actual con la finalidad de alcanzar el objetivo deseado (que la discrepancia sea cero).

Figura 3.1: Llenando un vaso de agua

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NIVEL DESEADO NIVEL

DISCREPANCIA

NIVEL

Figura 3.2 Diagrama causal para el proceso de llenar agua

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NIVEL

OBJETIVO

FLUJO

DISCREPANCIA

Figura 3.3 Diagrama elemental de un ciclo de realimentación negativa

El diagrama de la Figura 3.3 recibe la denominación de bucle de realimentación negativa, y representa un tipo de situación muy frecuente en el que se trata de decidir acciones para modificar el comportamiento, con el fin de alcanzar un determinado objetivo. Un diagrama de esta naturaleza se puede aplicar tanto al sencillo acto de pintar una casa, detectando mediante la vista la discrepancia entre las posiciones de la mano y de la brocha; otro ejemplo a mencionar se hallaría en el proceso de regulación de la temperatura en una habitación, en el que la discrepancia entre la temperatura actual y la considerada agradable determina la actuación de un agente calefactor para corregir esa discrepancia (ver Figura 3.4); y tantos otros procesos de naturaleza semejante. El diagrama de un bucle de realimentación negativa aporta el esquema básico de todo comportamiento orientado a un objetivo.

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Su ubicuidad fue puesta de manifiesto por Norbert Wiener cuando, en el decenio de los años 40, sentó las bases de la cibernética. TEMPERATURA EN LA HABITACIÓN

EFECTO DEL CALEFACTOR

TEMPERATURA DESEADA

DISCREPANCIA

Figura 3.4 Ciclo de realimentación negativa, en el proceso de regulación de la Temperatura

Un bucle de realimentación negativa tiene la notable propiedad de que si, por una acción exterior, se perturba alguno de sus elementos, el sistema, en virtud de su estructura, reacciona tendiendo a anular esa perturbación. En efecto, consideremos el bucle de la Figura 3.5, en el que los elementos se han representado, de forma general, mediante las letras A, B y C. Supongamos que uno cualquiera de ellos, por ejemplo B, se incrementa. En virtud de las relaciones de influencia, el incremento de B determinará el de C, ya que la polaridad de influencia es positiva. A su vez, el incremento de C determinará el decrecimiento de A, ya que así lo determina el carácter negativo de la polaridad. El decrecimiento de A dará lugar al de B, pues la relación es positiva. Por tanto, el incremento inicial de B le “retorna”, a lo largo de la cadena realimentación, como un decremento; es decir, la propia estructura de realimentación tiende a anular la perturbación inicial, lo que era un incremento, generando un decremento. De este modo se comprende que los bucles de realimentación negativa son bucles equilibradores, que tienden a anular las perturbaciones exteriores. Por ello, los ingenieros que diseñan sistemas de regulación automática los incorporan en sus proyectos como elementos básicos para conseguir la acción reguladora. El efecto de un bucle de realimentación negativa es, por tanto, tratar de conseguir que las cosas continúen como están, que no varíen. Son bucles que estabilizan los sistemas.

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B

A

C

Figura 3.5 Estructura y Comportamiento de Realimentación Negativa Ejemplo 3.1: Modelo de control de almacenamiento de agua.

Vamos a considerar un depósito como los que pueden ser utilizados en una ciudad pequeña. El depósito se llena mediante cañerías que provienen de una estación de bombeo, y a su vez da agua a la ciudad a través de una red de distribución. El tanque del depósito tiene un área de 750 metros cuadrados y una altura de 9 metros, con una capacidad de almacenamiento de 6750 metros cúbicos. Se considera que una altura de agua de 7.5 metros es conveniente para el almacenamiento de emergencia y para garantizar una presión adecuada en las redes de distribución. El depósito está provisto de un sistema automático de control para regular el flujo de entrada, de forma que la discrepancia entre la altura real y la

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deseada estaría conectada a una constante de tiempo igual a diez minutos. Se supone que el ritmo de salida es una constante igual a 500 metros cúbicos por minuto. Inicialmente el depósito tiene una altura de dos metros. El diagrama causal de la Figura 3.6. muestra que se ha elegido el volumen del tanque, como la variable de nivel con variables de flujo, flujo de entrada y flujo de salida. Mas adelante, en las próximas unidades veremos el planteamiento de las ecuaciones matemáticas

CONSTANTE

FLUJO DE SALIDA

ALTURA

DISCREPANCIA

VOLUMEN DEL TANQUE

FLUJO DE ENTRADA

ALTURA DESEADA ÁREA

CONSTANTE DE TIEMPO

Figura 3.6 Diagrama Causal del Modelo de control de almacenamiento de agua

BUCLE DE REALIMENTACIÓN POSITIVA La otra forma que puede adoptar un bucle de realimentación es la que se muestra en la Figura 3.7, en la que se tiene un bucle de realimentación positiva. Se trata de un bucle en el que todas las influencias son positivas (o si las hubiese negativas, tendrían que compensarse por pares). En general la Figura 3.7 representa un proceso en el que un estado determina una acción, que a su vez refuerza este estado, y así indefinidamente. En este caso el estado es una población, y la acción son los nacimientos. En tal caso, cuanto mayor sea la población, habrá mayores nacimientos, por lo que a su vez mayor será la población, y así sucesivamente. Se tiene, por tanto, un crecimiento explosivo de la población.

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POBLACIÓN

NACIMIENTOS

Figura 3.7 Ciclo de Realimentación Positiva: Crecimiento de la Población

En la Figura 3.8 se representa de forma esquemática, mediante las letras A, B y C, un bucle de esta naturaleza. Con ayuda de este diagrama se puede razonar, de forma general, el comportamiento que deriva de los bucles de realimentación positiva. Si cualquiera de sus elementos sufre un cambio, éste se propaga, reforzándose, a lo largo del bucle. En efecto, si A crece, entonces, en virtud del signo de la influencia, lo hará B, lo que a su vez determinará el crecimiento de C y, de nuevo, el de A. Por lo tanto, la propia estructura del sistema determina que el crecimiento inicial de A “vuelva” a reforzar a A, iniciándose de este modo un proceso sin fin que determinará el crecimiento de A (Figura 3.8). Este efecto se conoce chabacanamente como “círculo vicioso” o “efecto bola de nieve”. El cambio se amplifica produciendo más cambio.

B

A

C

t

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Figura 3.8 Estructura y Comportamiento de Realimentación Negativa

Se trata, por tanto, de una realimentación que incrementa las perturbaciones y que, por tanto, desequilibra al sistema. En este sentido se puede decir que su efecto es inverso al del bucle de realimentación negativa. Si aquella equilibra, esta desequilibra. Antes de terminar con esta presentación elemental de los bucles de realimentación positiva y negativa debe quedar bien claro que el comportamiento asociado a estos bucles, sea el comportamiento autorregulador del bucle de realimentación negativa o el comportamiento exponencial del positivo, son modos de comportamiento que derivan de la estructura del sistema, y no a las partes que lo forman. Recuérdense las Figuras 3.5 y 3.8 que nos han suministrado el esquema básico de estos bucles de realimentación. Con estas Figuras hemos podido entender el comportamiento correspondiente, prescindiendo de los elementos concretos que representasen A, B y C. En este sentido decimos que los bucles de realimentación son elementos básicos para la generación endógena (desde dentro del propio sistema) del comportamiento. Ejemplo 3.2: El Modelo de Crecimiento de Autopistas

Aunque el crecimiento del transporte por autopista es un fenómeno mundial, es de especial interés en los Estados Unidos porque es el resultado lógico de la creación de un fondo reservado para autopistas, en el que todos los ingresos de las autopistas deben ser utilizados para el mantenimiento y construcción de éstas. Considérese la siguiente descripción verbal del modelo: Las Autopistas, son incrementadas por la Construcción de Autopistas y reducidas por el Abandono de Autopistas. Dicho abandono esta dado por una constante C, pero la Construcción de Autopistas se incrementa cuando aumentan los Ingresos que provienen de las Autopistas y baja cuando aumenta los Costes de Construcción CC. El Ingreso varía directamente con la cantidad de Autopistas, con los Ingresos Generados por Vehículo/Milla y con el Volumen Anual de Tráfico. El diagrama causal que corresponde a la descripción verbal aparece en la Figura 3.9.

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CONSTRUCCIÓN DE AUTOPISTAS

COSTE DE CONSTRUCCIÓN

AUTOPISTAS CONSTANTE ABANDONO DE AUTOPISTAS

INGRESOS GENERADOS POR VEHICULO/MILLA

INGRESOS POR AUTOPISTAS VOLUMEN ANUAL DE TRAFICO

Figura 3.9 Diagrama Causal del Modelo de crecimiento de Autopistas

1. Dado el siguiente caso: Se maneja la siguiente hipótesis sobre el funcionamiento urbano. La Disponibilidad de Empleos produce una Migración hacia la ciudad. Los emigrantes que llegan expanden la Población de Empleados de la ciudad. La población absorbe los trabajos disponibles, disminuyendo la Disponibilidad de Empleos. A la larga, la población empleada demanda más servicios urbanos lo cual facilita un nuevo incremento en el número total de Empleos. Más Empleos incrementan la Disponibilidad de Empleos Construir un diagrama Causa Efecto, asignarle las polaridades a las relaciones y definir que tipo de bule (positivo / negativo).

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SISTEMAS COMPLEJOS Y ESTRUCTURAS GENÉRICAS

Los bucles de realimentación positiva y negativa constituyen los ejemplos más simples de estructura de un sistema capaces de generar comportamiento de forma autónoma. Sin embargo, en los sistemas usuales no es frecuente que consideren descripciones en la que surja únicamente uno de estos bucles (negativo / positivo). Por el contrario, lo habitual es que nos encontremos con sistemas complejos en los que convivan múltiples bucles de realimentación, tanto positivos como negativos. En tal caso el comportamiento resultante dependerá de cuáles de los bucles sean dominantes en cada momento. El ejemplo más simple de un sistema con varios bucles de realimentación es el que se muestra en la Figura 3.10, en el que se tiene una estructura en la que coexiste un bucle de realimentación positiva con uno negativo. Existen muchos procesos en la realidad a los que es aplicable este diagrama. En este caso se trata de procesos en los que inicialmente se produce un crecimiento (construcción de departamentos); es decir, al principio el bucle de realimentación positiva es el dominante. Sin embargo, sabemos que todo proceso de crecimiento tarde o temprano debe cesar. No hay un crecimiento indefinido. Este efecto limitador del crecimiento se incorpora mediante un bucle de realimentación negativa (demolición de departamentos), como el que se muestra a la derecha de la Figura 3.10. Cuando el estado (cantidad de departamentos) ha alcanzado un considerable nivel de crecimiento, como consecuencia de que el bucle de realimentación positiva es dominante, se invierte la dominancia de los bucles, de modo que el nuevo bucle dominante es el negativo y se produce la limitación del crecimiento.

+ CONSTRUCCIONES

+

-

DEPARTAMENTOS

-

DEMOLICIONES

+

+

+ DEPARTAMENTOS DESEADOS

Figura 3.10 Diagrama Causal del Modelo de crecimiento de Autopistas

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Al analizar el comportamiento resultante de este tipo de modelos, pareciese combinarse el crecimiento exponencial asociado a un bucle de realimentación positiva (recuérdese la Figura 3.8), con un comportamiento asintótico, el cual corresponde a un bucle de realimentación negativa (Figura 3.5), en la fase final. En la Figura 3.11 se muestra la combinación de estos dos modos de comportamiento, que da lugar a la conocida curva de crecimiento sigmoidal. El número de procesos a los que se puede aplicar esta estructura de dos bucles es muy amplio y comprende desde el fenómeno poblacional en el mundo (con una fase inicial de crecimiento, con los nacimientos, y una fase final de saturación y estabilización a través de las muertes) hasta situaciones sociales como la inflación de un país que al inicio tiende a crecer exponencialmente y luego mediante la intervención del gobierno y otros factores logra estabilizarse. La estructura de la Figura 3.10 permite dar una interpretación estructural del comportamiento que aparece en la Figura 3.11. De este modo vamos viendo cómo es posible asociar estructura y comportamiento, que ya hemos dicho que es el objetivo fundamental de la Dinámica de Sistemas.

P1

P2

Figura 3.11 Comportamiento Sigmoidal presente en bucles que combinan ciclos de realimentación positiva y negativa

La estructura que se ha representado en la Figura 3.10 constituye un ejemplo de lo que se conoce como arquetipos sistémicos o patrones estructurales. Se trata de situaciones representativas que aparecen en problemas muy variados, pero que repiten la misma descripción básica desde un punto de vista sistémico. Aquí hemos presentado una de las más sencillas, pero en la literatura se encuentra un gran

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número de ellas. Una presentación más completa de los arquetipos sistémicos puede verse en el libro de Senge, La quinta disciplina. La Dinámica de Sistemas clásica solo considera algunos patrones básicos como son los de realimentación. Ello es debido a que se trabaja con un alto grado de acoplamiento y se prescinde normalmente de la estructura exterior al sistema en estudio. Cuando esto no es así, e interesa analizar la organización y su ambiente, entonces ya no es suficiente considerar solo las estructuras de realimentación. Hay que recurrir a otra estructura, que es la de reacción-difusión, que permite dar cuenta de cómo se produce la ordenación espacial en el seno de un sistema.

1. Tomar de referencia la Figura 3.10 y explicar el comportamiento, considerando las respectivas polaridades. 2. Dado el siguiente caso: Se tiene dos existencias, gente saludable y gente enferma. La probabilidad de una persona saludable de estar en contacto con una persona enferma es proporcional al número total de gente enferma en la población. Por lo tanto, mientras más gente enferma exista en la población hay mayor oportunidad de estar en contacto con una. También existe una posibilidad de contraer la enfermedad cuando estas en contacto con una persona enferma. Esto es un valor constante. Otro valor que afecta, si una persona se enferma o no, es el número total de interacciones o contactos que cualquier persona tiene con otra en la población por unidad de tiempo. El ritmo al cual la gente saludable se enferma se basa en la probabilidad de enfermarse cuando el contacto es efectuado, el número de interacciones que cada persona tiene con otros en la población y la probabilidad de que la interacción sea con una persona enferma. Otro factor que afecta el número de personas enfermas y saludables es el ritmo en el cual la gente enferma se recupera de su enfermedad y regresa a las existencias de gente saludable, asumiendo que la enfermedad no proporciona inmunidad permanente. Desarrolle el respectivo diagrama causal.

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Hemos visto los modelos de realimentación, los cuales emplean dos tipos variables para evitar ecuaciones simultáneas: niveles que representan el estado de alguna parte del sistema y los de flujo que definen cuánto cambiarán los niveles durante el próximo intervalo de tiempo. Los comportamientos globales pueden ser positivos, lo cual conduce a un crecimiento exponencial o un colapso; o negativos, lo cual en el transcurso del tiempo conduce al equilibrio. Modelar bajo la vista de la Dinámica de Sistemas, involucra un proceso secuencial e iterativo. Todo empieza con una descripción verbal, que luego es llevada a un diagrama causal, en donde se debe considerar las polaridades para cada una de las relaciones incluidas. El modelo se somete a crítica, se revisa, se critica de nuevo y así sucesivamente, en un proceso iterativo que continúa mientras siga siendo útil. El uso de gráficos, tal como se usan en los diagramas causales facilitan hacer una declaración conceptual sobre un problema complejo, en la que se identifica su estructura, elementos e interacciones.

Javier Aracil; “Introducción a la Dinámica de Sistemas”; Segunda Edición, Editorial Alianza, Sevilla,España, 1977. Forrester, J. W, Market Growth as Influenced by Capital Investment, Collected Papers of Jay W. Forrester, Wright-AIlen Press, Inc., Cambridge, Massachusetts, 1975. Direcciones de Internet http://dinamica-sistemas.mty.itesm.mx/

Hemos realizado modelados de forma eminentemente cualitativa. En la próxima unidad, Diagrama de Forrester y Modelos Matemáticos, veremos cómo efectivamente se pueden obtener los comportamientos, como expresar nuestros bucles con variables cuantitativas para emplear finalmente modelos matemáticos.

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Análisis de Sistemas de Realimentación – Unidad Nº 3 Desarrolle el siguiente caso: 1. Este es el enunciado correspondiente a la interacción, que ocurre en el mar, entre tiburones y pequeños peces que pertenecen a la dieta de los tiburones. El área se supone acotada de tal manera que el cruce migratorio no es posible, al menos no tiene ningún efecto mayor. Se asume que los pescadores se abstienen de pescar a los peces (que se alimentan de plancton) por un par de años entonces se debiera esperar que esta población de peces crezca en tamaño. Una vez que haya crecido, los tiburones deberían tener suficiente alimento para sostener una gran población de tiburones. Entonces la población de tiburones debería aumentar, y en un tiempo corto plantear un severo trato a los peces. Eventualmente la población de peces debería disminuir. Una vez que la población de peces haya disminuido en número, los tiburones no podrán sostener su gran población y deberá disminuir su población. Esto permitirá a su vez que la población de peces vuelva al tamaño de la población original. Es posible que este proceso continúe indefinidamente, en cuyo caso el ecosistema consistirá en una población de variación periódica. Desarrolle el respectivo diagrama causal, defina el tipo de bucles que se presentan en este caso.

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DIAGRAMA DE FORRESTER Y MODELOS MATEMÁTICOS En la unidad anterior se ha presentado un lenguaje sistémico que aporta los elementos básicos para una descripción esquemática de un sistema. De acuerdo con esta descripción, un sistema se reduce a un conjunto de variables o de elementos interrelacionados, los cuales influyen unos sobre otros. Podría asemejarse a un grafo dirigido en donde los nodos representarían las variables y las aristas las relaciones. Se pudo observar el comportamiento asociado a ciertas estructuras. Sabemos que un bucle de realimentación positiva presenta una tendencia creciente (exponencial); sabemos también que un bucle de realimentación negativa presenta comportamientos equilibrantes. En esta unidad vamos a presentar instrumentos adicionales que nos van a permitir reelaborar los diagramas causales y convertirlos en diagramas de Forrester, seguidamente asociar, a las variables, las ecuaciones matemáticas adecuadas que expliquen su comportamiento en forma cuantitativa, para que puedan ser denominados sistemas dinámicos y que finalmente con la ayuda del computador puedan ser programados y simulados, para definir trayectorias en el comportamiento de los sistemas que se están analizando.

1. Encuentra la correspondencia entre los diagramas causales y los de Forrester. 2. Clasifica de forma adecuada a las variables propuestas en el modelo. 3. Desarrolla ecuaciones matemáticas para las variables del sistema analizado.

COMO INICIAR LA CONSTRUCCIÓN DE UN DIAGRAMA DE FORRESTER La estructura de un sistema representado mediante los diagramas causales, tal como se ha presentado en la unidad anterior, puede aparentar tener un comportamiento esencialmente estático. Ahora cabe preguntarse cómo relacionar dicho modelo a un comportamiento dinámico. A ello vamos a dedicar esta sección.

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Se ha observado la presencia de los distintos elementos en los nodos del diagrama causal, algunos representan variaciones con respecto al tiempo de otras magnitudes consideradas en ese mismo diagrama. Por ejemplo, en el diagrama de la Figura 3.2 la variable flujo de agua representa la variación con respecto al tiempo del nivel alcanzado por el chorreado en el vaso. Recordando esa figura se tiene: FLUJO

NIVEL



Esta influencia es un caso particular de otra más general que podemos expresar de la forma: dx  X dt

(Ec. 4.1)

Aquí dx/dt indica la variación con respecto al tiempo de la magnitud X. Esta expresión representa una relación redundante: “la variación con respecto al tiempo de X influye en el crecimiento de la propia variable X”. Sin embargo, lo que importa por el momento es resaltar la presencia, en el diagrama causal, de variables que representan variaciones con respecto al tiempo de otras. En este sencillo suceso, se basa el que podamos decir que en la estructura está implícito el comportamiento del sistema. La variable X es producto de la acumulación del cambio contenido en la variable dx/dt. Por tanto, siempre que aparezca una variable como la dx/dt aparecerá una X, y entre ambas se establecerá una relación como la dada en la Ec 4.1. Por equivalencia con el ejemplo de la Figura 3.2, la variable X se denomina variable de nivel y la variable dx/dt variable de flujo. En la literatura matemática a la variable de nivel se la conoce también como variable de estado.

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES Los anteriores argumentos nos llevan a postular una clasificación, de las distintas variables que aparecen en un diagrama de Forrester, en tres grupos: variables de nivel o estado, variables de flujo y variables auxiliares. 1. Niveles Los niveles son conocidos también como acumulaciones o variables de estado. Los niveles varían a través de un período de tiempo. Lo niveles cambian en función de los flujos o válvulas y en algunas ocasiones por variables auxiliares

Símbolo

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N(t+dt) Representación Matemática N(t+dt) =No+dt[(Fe(t)]

2. Flujos Los flujos o válvula, como también se les conoce, son variables que están conectadas a una tubería y son las que hacen que un nivel aumente o disminuya su valor. Los flujos se utilizan cuando los niveles están incrementándose (o disminuyendo) en partículas reales o concretas, es decir “algo” está siendo acumulado en dicho nivel. Símbolo

Representación Matemática Fe(t) =N(t)*K

3. Auxiliares Una variable auxiliar es aquella que realiza cálculos auxiliares. Las variables auxiliares se introducen al modelo para dar una mayor claridad de los pasos que se llevan a cabo para hacer los cálculos que dan como resultado cambios en las variables de nivel. En muchas ocasiones las variables auxiliares determinan el valor de una variable de flujo y la variable de flujo es la que determina como se comporta una variable de nivel. De vez en cuando, las variables auxiliares llevan a cabo cálculos que determinan directamente el comportamiento de un nivel, en estos casos es cuando no tiene mucho sentido la utilización de flujos, especialmente cuando cambian los flujos de información. Símbolo

Representación Matemática

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PS(t)= PT-PE(t)

Si somos capaces de realizar esta clasificación vamos a poder dar un paso muy significativo en la descripción del sistema, más formalmente. Como en muchos casos, un ejemplo nos permitirá ilustrar lo que estamos diciendo. Supongamos que tenemos un lago de volumen constante (V), de manera que los flujos de entrada y salida son constantes (I), Supongamos también, que el lago ya se encuentra contaminado, de manera que por el flujo de entrada solo fluye agua limpia, y es por el flujo de salida que sale agua contaminada. Vamos a suponer también, que la contaminación está distribuida homogéneamente por todo el lago, esto significa que todo punto del lago tiene la misma concentración de contaminante. Ahora bien, se desea estudiar la evolución dinámica de la concentración de contaminante en el lago con las hipótesis anteriores. La descripción del proceso, en lenguaje ordinario, se puede reducir a los cinco enunciados siguientes: E1: cuanto mayor es el flujo de salida del contaminante, menor es la contaminación; E2: a su vez, cuanto mayor es la contaminación, mayor es la concentración (volumen de polución), E3: cerrando el ciclo, cuanto mayor sea la concentración, mayor será la salida del flujo contaminante, E4: por otro lado, el flujo de contaminante que sale del lago será proporcional al flujo de salida, y el factor de proporción es justamente la concentración de polución; E5: finalmente, cuanto mayor sea el volumen del lago, menor será la concentración (volumen de polución)

Estos enunciados, que constituyen la descripción básica del proceso, se pueden convertir en relaciones de influencia entre las diferentes variables con las que se puede describir el proceso. Para esto, definamos las siguientes variables, V = volumen del lago (metros cúbicos) I = Flujo de entrada y salida del lago (metro cúbico por segundo) C(t) = Concentración {Volumen de polución en el tiempo t (metro cúbico)} FSC(t) = Flujo de Salida del contaminante {C(t) / V(t) = concentración de polución (adimensional)} CT = Contaminación {Volumen del contaminante (metro cúbico}

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Entre estas variables, de acuerdo con los anteriores enunciados, se pueden establecer las relaciones de influencia: R1

:

FSC

-

CT

R2

:

CT

+

C

R3

:

C

+

FSC

R4

:

I

+

FSC

R5

:

V

-

C

Al integrar todas estas relaciones en un solo bloque, logramos obtener el diagrama causal de todo el sistema de contaminación que se muestra en la Figura 4.1. En este diagrama se pone de manifiesto que el proceso posee una estructura con un bucle de realimentación negativo. En la unidad anterior hemos considerado estructuras de este tipo. De momento, sin embargo, lo que interesa es resaltar cómo los enunciados básicos del proceso han conducido a un diagrama de influencias. Estos enunciados básicos, en un caso real de modelado, corresponderían al conocimiento disponible con relación al proceso que se trata de modelar, y normalmente será facilitado por los especialistas en ese tipo de procesos. En la literatura clásica de dinámica de sistemas es frecuente referirse a este conjunto de enunciados como “modelo mental” de los correspondientes especialistas.

CONTAMINACION

-

I

+ CONCENTRACION

VOLUMEN DEL LAGO

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+ FLUJO DE SALIDA DEL CONTAMINANTE

+

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Figura 4.1 Diagrama Causal del Modelo de contaminación del lago

Atañe ahora clasificar los distintos elementos que aparecen en el diagrama de la Figura 4.1 en los tres tipos de variables propuestos: niveles, flujos y auxiliares. Para ello, en primer lugar, deben identificarse las variables de nivel del proceso en cuestión. En este caso es fácil ver que existe una única variable de nivel que corresponde a la contaminación CT. La salida del contaminante es una variable de flujo, ya que su significado es precisamente el de la variación del volumen de contaminación con respecto al tiempo. Es decir la influencia SALIDA DEL CONTAMINANTE

-

CONTAMINACIÓN

La forma coincide con la ecuación 4.1 y por tanto al volumen de contaminación CT le corresponde el carácter de variable de nivel X y a la salida del contaminante FSC el de flujo dx/dt. Algunos autores proponen realizar un análisis dimensional para llevar a cabo la identificación de las variables de nivel y de flujo. En efecto, en la Ecuación 4.1 tenemos una relación de influencia en la que el consecuente viene medido en unas ciertas unidades y el antecedente en esas mismas unidades partidas por tiempo. A las variables de nivel y de flujo se asocian unos iconos (gráficos) como los que se indican en la Figura 4.2, en la que a una variable de nivel se asocia un rectángulo y a una de flujo un icono que recuerda una válvula, cuya apertura se regula precisamente mediante el flujo que representa esta variable. Para representar una variable de flujo también existe otra notación que se vio en el momento de la clasificación.

NIVEL

FLUJO

Figura 4.2 Representación gráfica de las variables de Flujo y nivel en el diagrama de Forrester

Las variables auxiliares se representan mediante círculos. El diagrama que se obtiene a partir de un diagrama de influencias, clasificando sus nodos en variables de nivel, flujo o auxiliares y asociando a esos nodos los iconos correspondientes recibe la denominación de diagrama de Forrester o diagrama de Flujo. En la Figura 4.3 se tiene el diagrama de Forrester del proceso de contaminación de un lago. Este diagrama se ha obtenido particularizando los elementos que aparecen

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en el de la Figura 4.1, convirtiendo cada uno de ellos en una variable de estado, de flujo o auxiliar. Ya hemos identificado la variable CT como de nivel y la FSC como de flujo. La restante C es una variable auxiliar, ya que representa un paso intermedio en la determinación de CT a partir de FSC. Además, en la Figura 4.3 se indican mediante los símbolos V, y I las constantes que representan al volumen de lago y los flujos de entrada y salida del lago, respectivamente. Por último, en la misma Figura, aparece, en el extremo superior derecho, una nube que representa una fuente, o un sumidero, que no es relevante para la descripción del sistema. Se podría prescindir de él pero se incluye para dar mayor coherencia al diagrama. CT

FSC

I

V C

Figura 4.3 Diagrama de Forrester del Modelo de contaminación del lago

1. Vamos a considerar el proceso de difusión de una infección en una población inicialmente sana. Esta población sufre el efecto de una epidemia, de modo que, mediante una tasa de contagio, la enfermedad se va propagando hasta infectar a toda la población. La descripción del proceso, en lenguaje ordinario, se puede reducir a los cuatro enunciados siguientes: E1: cuanto más grande es la tasa de contagio, mayor es la población infectada; E2: a su vez, cuanto mayor es la población infectada más grande será la tasa de contagio (la infección se difundirá a mayor E3: por otra parte, cuanto mayor es la población infectada, menor será la población aún vulnerable; y,

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E4: cuanto mayor sea la población vulnerable a la epidemia, mayor será la tasa de contagio.

A partir de estos enunciados, diseñar el diagrama causal, el diagrama de Forrester

MODELO MATEMÁTICO

Veamos ahora cómo al diagrama de Forrester se asocian, a su vez, las ecuaciones funcionales del modelo. Usaremos el mismo ejemplo. En primer lugar, consideremos la relación entre el flujo de salida del contaminante FSC y la contaminación CT. La evolución del volumen de la contaminación viene dada por la expresión CT ( t )  CT ( t   t )   t * FSC

Ecuación 4.2

que indica que la contaminación CT en el instante de tiempo t se obtiene restando el volumen de contaminación en el tiempo t - Δt menos el volumen del contaminante se han producido en el período de tiempo entre t y t - Δt. La ecuación anterior recibe la denominación de ecuación de nivel o de estado, e indica cómo evoluciona la variable de estado CT en función del flujo FSC que determina su variación. Esta ecuación se puede escribir también, empleando notación diferencial, de forma alternativa: dCT  FSC (t ) dt

Ecuación 4.3

El flujo de salida del contaminante FSC se determina con ayuda de la expresión: FSC ( t ) = C * I {metros cúbicos de contaminante por día)

Ecuación 4.4

que establece que el flujo de salida del contaminante se obtiene multiplicando la concentración (volumen de polución) C, con el Flujo de entrada y salida del lago (metro cúbico por segundo) I. Esta ecuación es una muestra de lo que se conoce como una ecuación de flujo. Las ecuaciones de este tipo permiten determinar una variable de flujo a partir de determinados parámetros del modelo (en este caso I), de variables auxiliares (como C). El parámetro I toma un valor constante para cada simulación del modelo. En el modelo aparece también la variable auxiliar contaminante (volumen de polución) C, que viene dada por: C = CT / V

Ecuación 4.5

es decir, como la división entre la contaminación (volumen del contaminante) CT y el volumen del lago V.

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En la Tabla 1 se reúne el conjunto de las ecuaciones (4.2), (4.4) y (4.5) que constituyen una descripción matemática del proceso de contaminación del lago. Cada ecuación se asocia a la relación Ri de la descripción verbal del proceso.

R1 R3 y R4 R2 y R5

CT ( t )  CT ( t   t )   t * FSC

FSC ( t ) = C * I C = CT / V

TABLA 1 - Relaciones que forman la descripción verbal y ecuaciones del modelo.

Conviene observar que en el modelo además de la variable de estado CT, el flujo FSC y la variable auxiliar C también han aparecido unos parámetros I y V. A los parámetros hay que darles un valor numérico para que el modelo se refiera a una situación concreta. Ello se hace habitualmente de una de las dos formas siguientes: 1. Bien se atiende al significado concreto de esos parámetros, y se dispone de información numérica suficiente para conocer sus valores. En este caso, se requeriría el conocimiento del volumen del lago, que nos daría el parámetro V, y del flujo de salida y de entrada I. Esta información será suministrada por los correspondientes especialistas. 2. O bien, en los casos en los que no se disponga de información sobre los valores de los parámetros, pero sin embargo se disponga de datos con relación a la evolución de las magnitudes significativas del sistema en un período de tiempo determinado, se puede emplear técnicas de ajuste de los parámetros. Estas técnicas consisten, esencialmente, en determinar los valores numéricos de los parámetros que minimizan algún índice que mida la discrepancia entre los datos históricos de evolución del proceso y los generados por el sistema dinámico. Resulta interesante observar que hasta la escritura de las expresiones de la Tabla 4.1, o lo que es lo mismo del diagrama de Forrester, la única información que se ha considerado es de naturaleza cualitativa. La información cuantitativa se emplea posteriormente para asignar valores numéricos a los parámetros que intervienen en esas expresiones. Con lo visto hasta aquí hemos completado el proceso mediante el cual a partir de un diagrama causal, que representa la descripción más elemental que podemos hacer de un sistema, hemos sido capaces de obtener el diagrama de Forrester, clasificando los distintos elementos que aparecen en el diagrama, a partir del cual tenemos un objeto matemático muy elaborado, que es un sistema dinámico, el cual

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puede ser programado en un computador. Para ello se recurre a lenguajes o entornos informáticos de simulación adecuados. Aunque la programación de un modelo como el que se tiene en la Tabla 1 puede hacerse en cualquier lenguaje de alto nivel, resulta más cómodo emplear los que se han sido creados a medida. El que usaremos aquí será el Stella, ya que es uno de los más empleados en la cátedra de Dinámica de Sistemas. Con ayuda de este lenguaje, el modelo que estamos viendo se programaría como sigue:

Si se comparan las líneas de este programa con las de la Tabla 4.1 se verá que resultan muy fáciles de entender. En cada línea, a la izquierda, aparece un icono que representa el tipo de variable, rectángulo si es nivel, una cañería si es flujo y un círculo si es una variable auxiliar. Para indicar los instantes de tiempo se emplea (t). Por cada ecuación se acompaña un cometario entre llaves {} para especificar su unidad de medida. Con estas indicaciones es fácil leer el programa del modelo. En la actualidad se dispone de entornos de simulación muy flexibles que permiten construir un modelo de forma gráfica, en la pantalla del ordenador, empleando iconos, de modo que, combinando éstos, se llega al diagrama de Forrester de forma directa. Estos entornos, una vez construido el diagrama en la pantalla, generan automáticamente las ecuaciones. Una vez programado el computador generara las trayectorias del sistema, que muestran la evolución de las variables correspondientes, especialmente de los niveles (Figura 4.4). Por lo que respecta a nuestro modelo, se observa que la variables de estado CT (volumen de contaminante), ha ido disminuyendo a través del tiempo en virtud de que el lago ya está contaminado y que la contaminación fluirá por el flujo de salida mostrando un decrecimiento. Ello no debe extrañarnos, después de lo que habíamos visto en la unidad anterior. En efecto, vimos allí cómo un sistema cuya estructura presenta un bucle de realimentación positiva, mostraba un comportamiento decreciente (creciente).

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1: C 1:

0 1

1:

0

1

1 1:

0

Page 1

1 0

15

30 dias

45 60 09:59 a.m. Lun, 25 de Ago de 1997

CONTAMINACION

Figura 4.4 Trayectoria del modelo de contaminación del lago

El ejemplo que acabamos de ver constituye una muestra sencilla de las posibilidades que posee el lenguaje que estamos presentando. Se trata de un sistema con una variable de nivel y cuyo comportamiento se muestra en la Figura 4.4. En sistemas más elaborados, con estructuras más complejas, podemos tener comportamientos con otras pautas. Por ejemplo, si en un mismo bucle de realimentación hay dos o más variables de nivel, entonces pueden presentarse fenómenos oscilatorios.

1. Bajo el mismo ejemplo propuesto en la actividad 4.1, formule las ecuaciones para cada una de las variables que ha propuesto en su modelo.

Como resumen de todo lo anterior, hemos sido capaces de establecer un nexo entre la estructura de un sistema (su diagrama causal) y su comportamiento (las trayectorias que describen las magnitudes asociadas a él) a la que se alude en el título de esta unidad. A ello es a lo que nos referimos cuando decimos que mediante la dinámica de sistemas estamos tratando de relacionar estructura y comportamiento; de modo que en una descripción como la Tabla 4.1 están implícitas las dos caras de una misma moneda.

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Wolstenholme, E. F., A Systematic Approach to Model Creation, Modeling For Learning Organizations, ed. by J. Morecroft and J. Steman, Productivity Press, Portland, Oregon, 1994. Drew, D. R., System Dynamics: Modeling and Applications, Virginia Tech, Blacksburg, VA. Direcciones de Internet http://ar.geocities.com/alas_pies/Libro/Libro_Prefacio.PDF www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/Dinamica/powerpoint/diapositivasesion1.PPT

Es verdad que se a cumplido con las fases de modelado y propuesta de relaciones analíticas de las variables consideradas en el modelo; pero necesitamos llevar este modelo a la fase de simulación, por ello la siguiente unidad nos permitirá conocer el manejo de un software de simulación (STELLA®) para poder realizar pruebas con diferentes valores.

Diagrama de Forrester y modelos matemáticos – Unidad Nº 4 En base a los casos presentados en la actividad 3.1, la actividad 3.2 (los dos casos) y la Auto Evaluación Formativa de la unidad 3. Realice los diagramas de Forrester respectivos, para c/u; proponga también las ecuaciones matemáticas subyacentes a todas las variables propuestas en cada uno de los modelos.

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USO DEL SOFTWARE DE SIMULACIÓN Como hemos podido ver, la Dinámica de Sistemas se basa en un lenguaje formal bastante simple, y en la que inicialmente podemos reconocer tres tipos de elementos: variable de nivel, variable de flujo y variable auxiliar. Es necesario hacer la respectiva clasificación de variables en el proceso de modelado de un sistema, ya que esto representa un punto importante para iniciar correctamente el proyecto. En seguida debemos identificar las relaciones existentes entre las diferentes variables propuestas, asignarles la respectiva polaridad y definir el tipo de comportamiento que cada bucle presenta, dentro de nuestro modelo; luego, traducir todo esto en un diagrama causal y hacer su correspondiente en un diagrama de Forrester. Una vez obtenido esto, es hora de plantear las ecuaciones que gobiernan a las variables. Concluidos todos esos procesos, plasmaremos nuestro diagrama de Forrester en el software simulador, también introduciremos las ecuaciones ya formuladas, de tal manera que sea el programa el encargado de compilar y entregarnos los resultados y trayectorias que sigue el comportamiento del sistema analizado. En esta unidad nos encargaremos de dar a conocer a detalle el manejo del software simulador; se ha elegido al STELLA®, en su versión 8.0, ya que presenta una interfaz sencilla y bastante comprensible. STELLA®, nos permitirá proseguir con la secuencia de la metodología y obtener resultados que nos dirijan al propósito general de la Dinámica de Sistemas, un soporte a la toma de decisiones.

1. Maneja de forma adecuada el software de simulación Stella® 2. Realiza la simulación de los casos previamente visto 3. Presenta resultados a través del programa

PASEANDO POR EL STELLA La Figura 5.1, nos presenta la ventana principal del STELLA®, como se puede observar, presenta una barra de herramientas, un espacio de trabajo en donde se diagrama el modelo. En la barra de herramientas, fácilmente podemos identificar los

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símbolos correspondientes a las variables de flujo, nivel y auxiliares; adicionalmente se presentan herramientas que apoyan a la edición y presentación de resultados, como lo son los gráficos, tablas entre otros. La creación de un proyecto en STELLA®, es sencilla, todos los procedimientos son como en cualquier otro programa, vamos a explicar el funcionamiento de STELLA®, a través de un ejemplo, ya que esta será la forma más simple y rápida de conocer el potencial que ofrece este software.

VARIABLE AUXILIAR VARIABLE DE FLUJO

DECISIÓN

CONECTOR

TABLA

GRAFICO

VARIABLE DE NIVEL

Figura 5.1 Ventana principal del STELLA®

UN EJEMPLO PARA APRENDER A MANEJAR STELLA® Vamos a dar el enunciado del ejemplo que nos permitirá conocer las funcionalidades del software. Consideremos el proceso de población de nuestro país, vamos a considerar solo algunas variables para darle simplicidad al modelo, ya que la intención es aprender el manejo del aplicativo. Esta población presenta dos flujos,

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uno de entrada (Nacimientos) y uno de salida (Muertes). La descripción del proceso, en lenguaje ordinario, se puede reducir a los cuatro enunciados siguientes: E1: cuantos más nacimientos existen, mayor es la población; E2: a su vez, cuanto mayor es la población, mayor es la cantidad de nacimientos; E3: por otra parte, cuanto mayor es la cantidad de muertes, menor será la población; y, E4: cuanto mayor sea la población, mayor será la cantidad de muertes.

A partir de estos enunciados, construiremos en papel el diagrama Causa – Efecto, que se muestra en la Figura 5.2.

+ NACIMIENTOS

+

+

-

POBLACIÓN

-

MUERTES

+

Figura 5.2 Diagrama Causal del proceso de población

Es momento de clasificar las variables, evidentemente Población será nuestra variable de nivel, Nacimientos y Muertes serán las variables de flujo. Vamos a dibujar esta relaciones en Stella®, comenzaremos por dibujar la variable de nivel Población (Figura 5.3).

Figura 5.3 Dibujando la variable de nivel POBLACIÓN

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Ahora bien, vamos a dibujar el flujo de entrada hacía la Población. Nos dirigimos a nuestro mouse hacia el icono de la variable de flujo, pinchamos haciendo un clic con el botón izquierdo, arrastramos la figura de manera conveniente, a la altura del lado izquierdo de Población, una vez elegido el sitio desde donde va a empezar a dibujarse la variable de flujo, presionamos el botón izquierdo (sin soltarlo) a la vez que arrastramos la figura dirigiéndola hacia población (Figura 5.4), y toda vez que la variable de flujo llegue de manera adecuada este avisará con un leve cambio de color gris, en ese momento dejamos de presionar el botón izquierdo y soltamos.

Figura 5.4 Conectando la variable de flujo a la de nivel

La situación final debería lucir como lo indica la Figura 5.5, toda vez que conectemos las dos variables de flujo al de nivel; la de Nacimientos como flujo de entrada y la de Muertes como flujo de salida (partiendo del nivel).

Figura 5.5 Variables de flujo conectadas a la variable de nivel

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Este sencillo dibujo, nos muestra que la variación de la Población a través del tiempo (años) será causada por los flujos de entrada (Nacimientos) y salida (Muertes). Ahora bien, supongamos que los Nacimientos obedecen a una Tasa de Natalidad y que las Muertes obedecen a una Tasa de Mortalidad, entonces con el hacemos un clic, para coger la figura, y la posicionamos en mouse sobre el icono un lugar adecuado nombrando esta figura con el nombre de Tasa de Natalidad; repetimos el mismo procedimiento para definir el convertidor Tasa de Mortalidad; lo que toca a continuación es conectar las variables auxiliares a sus correspondientes variables de flujo. El resultado final debería lucir como lo indica la Figura 5.6

Figura 5.6 Variables auxiliares conectadas a sus correspondientes variables de flujo

Continuamos con nuestro modelado, observando el diagrama causal (Figura 5.1), vemos que también la variable Población incide en los flujos que lo originan, entonces debemos conectar la Población a Nacimientos y Muertes (Figura 5.7); con esto habremos terminado la construcción del diagrama en el STELLA®, faltando aun la asignación de las ecuaciones.

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Figura 5.7 Diagrama completo

RELACIONES ANALÍTICAS

Una vez que hemos “dibujado” nuestro sistema-población, vamos a entregar las relaciones analíticas establecidas entre las variables que están unidas por el conector. Observemos atentamente el sector izquierdo de nuestro dibujo anterior, . Si ubicamos el mouse sobre ese icono, y hacemos click donde aparece el icono con el botón izquierdo, tendremos la siguiente situación indicada en la Figura 5.8.

Figura 5.8 Mapa de definición de relaciones analíticas

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Los signos de interrogación que aparecen sobre las variables de nuestro modelo están indicando que sobre ellas hay que definir su relación analítica cuando corresponda, o entregar el valor que tienen. Vamos a fijar nuestra atención en la variable de flujo Nacimientos. Recordemos que ella está definida extensivamente como “Los Nacimientos están en relación a la Tasa de Natalidad, que deriva de la Población”. Bien, hagamos doble click sobre la variable de flujo Nacimientos, debe aparecer la siguiente caja de diálogo como se puede observar en la Figura 5.9,

1 4

2

3

Figura 5.9 Ventana de asignación de relaciones analíticas

Sobre esta caja de diálogo (Figura 5.9) haremos algunas precisiones. Hemos marcado cuatro sectores con rotulador de sendos 1,2,3,4, como lo indica la Figura 5.9, que nos servirá para las precisiones. La zona 1 nos indica que la variable de flujo, por defecto y conforme está activado el rótulo UNIFLOW, es un flujo unidireccional, esto es tiene la propiedad de que fluye “material” sobre la variable de estado (Población en nuestro caso) y que no tiene opción de “inhalar” material desde la variable de estado, en términos hidráulicos esta variable de flujo no puede bombear para extraer agua, solo puede depositar agua. El caso es que nuestra variable Nacimientos solamente transmite personas hacia la Población La zona 2 indica lo que ya hemos establecido, que sea la forma analítica que tenga nuestra variable de flujo Nacimientos, ella debe requerir para su definición las variables de Población y Tasa de Natalidad.

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La zona 3 está indicando la función analítica con la que quedará definida nuestra variable de flujo, y es en el lugar marcado por el video reverso donde dice “Place right hand side...” donde se debe poner la fórmula. Finalmente la zona 4 entrega una lista de funciones que posee en su estructura el software STELLA, en que eventualmente podamos necesitar. Vamos ahora a definir la variable de flujo. La expresión “Los Nacimientos están en relación a la Tasa de Natalidad, que deriva de la Población” es equivalente matemáticamente a lo que indica la Figura 5.10

Figura 5.10 Asignando ecuación a la variable Nacimientos

Una vez entregada esta instrucción, y convenciéndonos que es la adecuada para definir el comportamiento creciente de la Población, hacemos click en la opción OK. Deberá aparecer el diagrama indicado en la figura 5.8, dónde ha desaparecido el signo de interrogación sobre la variable de flujo Nacimientos. Ahora vamos a definir la variable de flujo (de salida) Muertes, haciendo doble click en esta variable, aparecerá una caja de diálogo similar al de la figura 5.9, y se indica en la figura 5.11.

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Figura 5.11 Asignando ecuación a la variable Muertes

Ahora vamos a definir las constantes Tasa de Natalidad y Tasa de Mortalidad, quedando lo indicado en la Figura 5.12 y 5.13.

Figura 5.12 Asignando valor a la constante Tasa de Natalidad

Figura 5.13 Asignando valor a la constante Tasa de Mortalidad

Bien, ¿qué hemos hecho? La verdad es que hemos realizado un programa computacional. En efecto, observe el icono de la Figura 5.8, y hagamos un click en la flecha inferior, obtendremos el siguiente código computacional (figura 5.14)

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Figura 5.14 Modelo matemático subyacente

A este nivel, hemos realizado un programa computacional que nos permitirá hacer una simulación sobre el comportamiento de la Población. Observemos cuidadosamente estas ecuaciones para convencernos que efectivamente corresponden a un sistema de ecuaciones dinámicas que mostrarán la evolución a través del tiempo del sistema dinámico que estamos modelando.

5.1. 1. En la figura 5.9, en la zona 1, observamos que una variable de flujo puede ser Uniflow o Biflow; explique cuando se utilizaría el tipo Biflow, menciones dos ejemplos. 2. En la Figura 5.14, se presenta el modelo matemático del caso visto, realce una interpretación de la siguiente relación analítica: POBLACION(t) = POBLACION(t - dt) + (NACIMIENTOS + MUERTES) * dt

SIMULANDO CON EL SOFTWARE STELLA Vamos a enseñar como realizar simulación para el modelo que hemos realizado. Para esto, fijémonos en el sector izquierdo de la pantalla, aparece el icono . Si ubicamos el mouse sobre ese icono, y hacemos click con el botón izquierdo, sobresale una ventana pequeña, en donde definiremos algunos valores necesarios para la simulación, esto se indicada en la Figura 5.15

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Figura 5.15 Interfaz para la simulación

Vamos a enseñar como realizar simulación para el modelo que hemos realizado. Para esto, hacemos clic en Specs elegimos la opción “Time Specs...”, como se ve en la figura 5.15. En esta opción vamos a determinar que el tiempo es discreto, toda vez que la evolución de este sistema es en tiempo discreto, en rigor la unidad de tiempo en “años”, de modo que al hacer un click en la caja de diálogo que aparece lo completamos de la forma que lo indica la figura 5.16.

Figura 5.16 Ventana de dialogo para especificar la longitud de la simulación

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Como se puede observar, hemos determinado un periodo entre el año 1995 y 2050, de manera arbitraria, con un DT igual a 1, y hemos elegido la unidad de tiempo “Years” (años). Una vez realizado esto hacemos un click en OK. Con esto volvemos a nuestro diagrama original. Ahora bien, vamos a ver la evolución de la variable Población mediante una gráfica, para esto hacemos un clic en el icono arrastrándolo a un sitio conveniente, al fijarla aparecerá la siguiente caja de diálogo que indica la Figura 5.17,

Figura 5.17 Ventana de dialogo para la gráfica del tiempo de simulación

Como podemos ver, solo en el eje vertical aparece la dimensión tiempo que hemos indicado anteriormente al definir la “longitud de la simulación”. Para poder definir la variable Población que queremos graficar hacemos doble click en cualquier parte gris de este plano cartesiano. Deberá aparecer la siguiente caja de diálogo.

Figura 5.18 Ventana de dialogo para la especificación del tiempo de simulación 71

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Como podemos observar, hay dos cajas principales, una que dice “Allowable” (Accesibles), y otra titulada “Selected” (Seleccionada). Como nuestro interés es graficar la evolución de la variable Población, es que seleccionamos esta variable haciendo doble click a Población en la caja “Allowable”, con esto logramos entonces que Población pase a la columna “Selected”. De momento solo elijamos esa opción y el resto de los botones, que están por defecto lo dejamos tal cual se ve en la figura 4. Una vez realizado esto hacemos un click en OK, aquí podemos observar que el eje Y está tabulado con la variable Población. Nuevamente nos vamos a Specs y elegimos la opción RUN Figura 5.19.

, debería aparecer una gráfica como la que indica la

Figura 5.19 Grafica que representa la trayectoria de la Población

Finalmente si queremos ver una tabulación de los valores de una, o alguna, o todas las variables involucradas en nuestro modelo podemos utilizar el icono

, cuyo uso

. Trate usted de llegar al siguiente resultado en tabla como lo es análogo al de indica la Figura 5.20.

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Figura 5.20 Tabla de valores para las variables del modelo

5.2.

1. Investigar la existencia de otros programas de simulación para la Dinámica de Sistemas y realizar un cuadro de comparación técnica de dichos programas.

Como hemos podido observar, los modelos provenientes de la Dinámica de Sistemas representan una etapa que inmediatamente permite a los analistas experimentar sus supuestos acerca del sistema, para ello usan la simulación por computadora, en esta unidad se a considera los aspectos básicos mínimos para poder realizar dichas simulaciones; sin embargo es necesario tener presente que, la simulación por computadora, no garantiza buenas respuestas; esto es, si el modelo esta mal concebido, por inercia la simulación nos llevara a resultados erróneos. También necesitamos saber que con la simulación no termina todo el proceso de la Dinámica de Sistemas, es necesario aun realizar el análisis de los resultados, para finalmente proponer cambios en el sistema.

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Direcciones de Internet http://virtualmoodle.umanizales.edu.co/moodle/mod/resource/view.php?id=4053 http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/Dinam ica/manualstella/manual.html

Ya conocemos una herramienta que nos permitirá llevar a cabo la simulación, pero aun existen temas mas avanzados en cuanto al modelado de los sistemas dinámicos. En la siguiente unidad vamos a considerar los retrasos en los sistemas, estera será un punto adicional que permitirá enriquecer nuestro modelado.

Uso del software de simulación – Unidad Nº 5

1. Dado el siguiente caso: Usted ha sido contratado para desempeñarse como Ingeniero de Sistemas en "AduranNet", una importante organización que se dedica a la prestación de servicios de acceso a Internet. El Gerente General está preocupado por los efectos de los virus en la cantidad de usuarios actuales y en las expectativas de los futuros clientes de AduranNet En el mundo aparecen unos doscientos nuevos virus mensuales los cuales se difunden rápidamente a través de Internet, causando enormes daños a los equipos, pérdidas de tiempo y dinero a las personas y a las empresas. Al menos un nuevo virus de alta peligrosidad aparece cada mes, hasta ahora los virus han aparecido regularmente en la primera, segunda, tercera o cuarta semana de ese mes. La mayoría de estos virus se distribuyen a través de la lista de correo del Outlook Express (el gestor de correo desarrollado, y proporcionado por Microsoft. Si no lo

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conoces, averigua un poco acerca de él), de manera que si en el mundo existen unos 500 millones de usuarios de Internet y si consideramos que cada uno de ellos tiene unas 40 direcciones registradas, el proceso de infección es exponencial. La tasa de crecimiento de los usuarios de Internet es de un 12% anual. De los nuevos usuarios, el 10% está consciente de la necesidad de utilizar antivirus. El 90% por ciento restante debe aprender, a veces previa amarga experiencia de pérdida de datos, que los virus y antivirus existen. Ese 90% de usuarios tarda en promedio unos dos meses, después de hacerse usuario, en obtener un antivirus. Los antivirus se pueden producir muy rápidamente, una vez detectado el nuevo virus, unas 48 horas después es liberado el antivirus por las empresas (Symantec, Panda, McAffe, etc.). Los usuarios registrados pueden entonces obtener la versión actualizada de la base de datos del antivirus y proteger su equipo. La capacidad de atención para ofrecer las actualizaciones a través de Internet alcanza a 10.000 usuarios por minuto. Se estima que la tercera parte de los usuarios de antivirus lo actualiza semanalmente, la otra tercera parte cada quince días y la tercera parte restante lo actualiza cada seis semanas. De manera que el proceso de difusión, en muchos casos depende también de que el usuario abra o no el archivo infectado que recibe, lo que ocurre en seis de cada diez correos infectados que llegan a los usuarios sin antivirus, o con él no actualizado. Esto depende de la formación del usuario y del conocimiento que tenga acerca del virus y sus características, las cuales son difundidas por servicios de alerta (ver: www.alerta-antivirus.es) y medios de comunicación unos cinco días después de la aparición del virus. Cada usuario le dice a 10 personas en promedio de la existencia del nuevo virus de manera que la difusión de la existencia del virus es exponencial. El gerente general de AduranNet estima que los virus afectan la imagen de Internet como negocio y disminuye el atractivo para los usuarios, así que le pide que le ayude a identificar posibles acciones que permitan a los suscriptores de AduranNet disminuir las infecciones y las pérdidas de dinero y tiempo. Usted comprende que el problema no es la falta de datos o de información, sino que el problema es la complejidad dinámica del sistema y por lo tanto, es necesario desarrollar un modelo para ilustrar la situación y conocer los efectos de las decisiones antes de actuar en el mundo real. Entonces, usted, reunido con el gerente general y con el conocimiento que él posee de la situación:

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

En primer lugar, realiza el diagrama causal.



A partir del diagrama causal, desarrolla el diagrama Forrester.



Luego, realiza las ecuaciones correspondientes.



Realizar la simulación en el Stella®.

Gracias a su intervención, luego de probar el modelo y realizar simulaciones el gerente sabe que hacer. Ahora él, y usted, tienen trabajo seguro el próximo año. Sugerencias: No olvide identificar e incluir en la concepción del sistema, las costumbres, puntos de vista, modelos mentales o hábitos de las personas que pueden afectar la dinámica del sistema.

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Excelencia Académica

RETRASOS EN LOS SISTEMAS Una característica muy significativa, en la cual se debe reflexionar, en el estudio de sistemas dinámicos son los retrasos que se originan en la transmisión de información o de materiales a lo largo de las relaciones. Al diseñar el diagrama causa - efecto de un sistema se debe considerar que al unir dos variables, dicha relación puede involucrar la transmisión de información o material el cual se da en un lapso de tiempo (retraso). Un retraso es conocido también por retardo o demora. Para formarse una idea sobre la situación de cierto problema es necesario que trascurra cierto tiempo antes de tomar una decisión, y una vez tomada está, debe transcurrir algún tiempo hasta que se observen los efectos en la misma. Los retrasos están presentes en muchos procesos. Por ejemplo, en la construcción de departamentos, dicha construcción se llevara en un periodo de tiempo relativamente largo y no de forma inmediata como se podría traducir al ver el diagrama causal; por ello es necesario incluir retrasos en el modelado de algunos sistemas. Los retrasos pueden tener una enorme influencia en el comportamiento de un sistema. En los bucles de realimentación positiva determinan que el crecimiento no se produzca de forma tan rápida como cabría esperar. En los de realimentación negativa su efecto es más patente. Su presencia puede determinar que ante la lentitud de los resultados se tomen decisiones drásticas que conduzcan a una oscilación del sistema.

1. Conoce el significado de los retrasos en el comportamiento de los sistemas 2. Introduce retrasos en el modelado de los sistemas dinámicos. 3. Valora el uso de retrasos y realiza análisis en base a su incorporación en los modelos

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RETRASOS EN LA TRANSMISIÓN DE MATERIAL

Los retrasos de materiales se originan cuando coexisten componentes en el sistema que acumulan el material que fluye por el mismo. En la Figura 6.1, se muestra el diagrama causal que representa un retraso de material de primer orden. El orden viene dado por el número de niveles necesarios para la simulación del mismo. El retraso es producido a través de la acción combinada del nivel y el flujo como se observa en el recuadro de la Figura 6.1.

FLUJO DE ENTRADA

FLUJO DE SALIDA

-

+

MATERIAL EN RETRASO

+

Figura 6.1 Diagrama Causal que representa un retraso de primer orden

Su correspondiente en el Stella se muestra en la Figura 6.2

Figura 6.2 Diagrama Forrester que representa un retraso de primer orden

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Aquí observamos como el flujo de entrada se almacena en la variable de nivel Material en Transito y el flujo de salida es equivalente a lo acumulado dentro del nivel dividido por un tiempo promedio de retraso que precisamente es el encargado de ajustar a la variable de nivel. En el software de simulación Stella®, se cuenta con una función que permite simplificar el diagrama presentado en la Figura 6.1. En esta nueva propuesta (Figura 6.3), la ecuación que rige el comportamiento del flujo de salida es: flujo de salida = SMTH1 (flujo de entrada, tiempo promedio de retraso)

Figura 6.3 Diagrama Forrester simplificado

El comportamiento que generan en el sistema es el que se observa en la Figura 6.4, 6.5 y 6.6

Figura 6.4 Comportamiento de la variable de nivel

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El Figura 6.5 Comportamiento de la variable de flujo de entrada

Figura 6.6 Comportamiento de la variable de flujo de salida Ejemplo 6.1: Proceso de construcción de departamentos

El modelo para la construcción de departamentos, asume que el número deseado de apartamentos es desde 8000 a 12000. Cada año se inicia la construcción de apartamentos y este tiene un tiempo de culminación de 4 años. El diagrama causal inicial para este modelo se muestra en la Figura 6.7

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+

CANTIDAD DE DEPARTAMENTOS DEPARTAMENTOS DESEADOS

CONSTRUCCIÓN

+

DISCREPANCIA

+

Figura 6.7 Diagrama causal del proceso de construcción de departamentos

El modelado de este caso en Stella® se muestra en la Figura 6.8. Este modelo es presentado si considerar los retrasos, por que es evidente que lo existe, desde el inicio de la construcción del departamento, hasta que el departamento esta concluido; es decir, el tiempo de construcción del departamento:

Figura 6.8 Diagrama de Forrester del proceso de construcción de departamentos sin retrasos

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Vamos a mejorar la propuesta anterior, para ello, añadimos el retraso que produce el tiempo de construcción (figura 6.9).

Figura 6.9 Diagrama de Forrester del proceso de construcción de departamentos con retrasos

Las ecuaciones que gobiernan este modelo se observan el la Figura 6.10

Figura 6.10 Ecuaciones para el proceso de construcción de departamentos 83

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En las ecuaciones definimos Departamentos con el valor inicial de 8000. La función STEP es utilizada para incrementar los apartamentos deseados de 8000 a 12000, que ocurrirá en un medio año (0.5). El gráfico de la simulación siguiente (Figura 6.11) muestra como el sistema genera un comportamiento oscilatorio, debido al ciclo de realimentación negativo. La variable de nivel Departamentos oscila alrededor de los 12000 y eventualmente converge hacia este valor. El incremento en el número de departamentos de 8000 a 12000 retrasa la demanda bastante, de manera que el constructor tiende a tener una razón de construcción máxima cuando la demanda esta descendiendo rápidamente.

Figura 6.11 Comportamiento oscilatorio del proceso de construcción de departamentos

1. Realice la simulación para el siguiente caso: SEDAM Huancayo envía los recibos por el servicio de agua potable a sus clientes, una vez cada mes, tomando cerca de tres días para llegar por medio del courier. La cantidad de de recibos que en vía es de 15000. La razón de envió

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esta dado por la siguiente función PULSE (l5000, l, 0). Deberá presentar el diagrama causal y la simulación en el Stella

RETRASOS EN LA TRANSMISIÓN DE INFORMACIÓN

Este tipo de retrasos resulta de la necesidad de conservar y almacenar información del sistema antes de tomar una decisión. Los retrasos en la transmisión de información actúan como filtros que son capaces de aislar los picos que presenta la evolución de una variable (Figura 6.12), tomando un valor promedio de la misma. Al promediarse ponderaran los datos disponibles de manera que los más recientes influyan significativamente en los más antiguos. ENTRADA

SALIDA

Figura 6.12 Gráfica de filtración de la transmisión de la información

Normalmente la información empleada para tomar decisiones con lleva a irregularidades debido a errores, comportamientos individuales o de grupo, periodos no uniformes, intermitencias, etc. Estas irregularidades se deben filtrar para determinar las variaciones significativas subyacentes. El proceso para lograr esto es llamado proceso de promedio o aislado. Este proceso elimina el ruido de alta frecuencia e introduce retrasos en la transmisión de la información. En cualquier proceso aislado se debe establecer un compromiso entre realizar un aislado intenso para reducir el ruido significativo, a costa de un retraso importante o de un aislado menor que arrastrara a un cierto ruido, pero con un tiempo de retraso mucho menor Veamos un ejemplo de sistemas en donde se presentan retrasos de información, el proceso en este sistema consiste en hacer llegar un mensaje a un grupo de personas, este evento se simulara con la función especial Smth (suavización)

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La Figura 6.13 muestra el diagrama de Forrester en donde se consideran dos niveles y tres flujos la variable de flujo FSB será la que considera la función especial y esta es igual a SMTH1(llegada, tr1)

Figura 6.13 Retraso en la transmisión de información

La simulación de este evento se presenta en la Figura 6.14 en donde sé vario el parámetro de tiempo de recepción de 0.8 y 0.5 minutos para que llegara el mensaje a las personas.

Figura 6.14 Retrasos en la información

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REGLAS PARA APLICAR RETRASOS

La introducción de retrasos en la dinámica de sistemas sólo esta justificada por la bondad de los resultados finales que desde un punto de vista práctico se alcanza con ellos. Para lograr una correcta utilización de los retrasos es necesaria la utilización de ciertas reglas prácticas basadas en la experiencia. Estas son: 

Cuando incluir un retraso: Se debe de hacer siempre que el tiempo de ajuste este comprendido entre 1/20 y 10 veces el horizonte temporal del modelo.



Selección del orden del sistema: Se debe seleccionar de primer orden si el retraso responde inmediatamente a un cambio en el flujo de entrada. Por otro lado si lo que se requiere es un cierto tiempo para que la salida responda, debe usarse un retraso de hasta tercer orden. Se debe considerar que el orden de un retraso tiene normalmente poco efecto en el comportamiento del modelo. La variable más importante que caracteriza a un retraso es el tiempo de ajuste, el cual es el tiempo medio empleado en un retraso material o de información.

1. En base a la Autoevaluación de la unidad 5, incorpore algunos retrasos y rediseñe su modelo original, con estos nuevos cambios y haga un cuadro de comparación técnica que refleja la diferencia entre los dos modelos (con retrasos y sin retrasos)

Lo importante de esta unidad, se centra en la incorporación y la valides que tiene la inserción de los retrasos en el modelo dinámico. Se vio la existencia de dos tipos de retrasos: el de materiales y el de información; cada uno de ellos tienen sus respectivas aplicaciones, solo queda decir que es necesario un análisis concienzudo para saber cuando y donde incorporarlos, para ello también se menciono algunas reglas que ayudaran a realizar este análisis.

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J. Aracil y F. Gordillo. “Dinámica de sistemas”. Alianza Editorial, 1997. M. Glick and T. Duhon. “Generic structures: S-shaped growth I”. Massachussets Institute of Technology, 1994. J. Martín. “Teoría y ejercicios prácticos de Dinámica de Sistemas”. Direcciones de Internet http://www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/Dinamica/retrasos.htm

Incorporado los retrasos en el modelo, viene a la mente un par de preguntas ¿Qué tan bueno es mi modelo?; ¿Cómo implantar cambios acertados en el sistema que estoy modelando?, la siguiente unidad se encarga de dar respuesta a estas interrogantes.

Retrasos en los sistemas – Unidad Nº 6

Dado el siguiente caso: El proceso de Admisión de la UPLA se vale de la publicidad, para incorporar la mayor cantidad de postulantes al examen de admisión y de esta manera mediante la captación de nuevos alumnos. En este proceso se puede observar la presencia de dos retrasos de información, el primero se produce entre el tiempo de publicidad y de inscripción de los postulantes, por que los postulantes no se inscriben inmediatamente luego de haber incrementado la publicidad. Además, supongamos que necesitamos conocer el promedio de las inscripciones de las dos últimas semanas, el cual determina el monto a gastar en publicidad, existiendo otro retraso de información. Para invertir en publicidad se gastará el 10% de los ingresos. Además se incrementará las inscripciones en 500/semana para la siguiente semana. 

En primer lugar, realiza el diagrama causal.



A partir del diagrama causal, desarrolla el diagrama Forrester.

Luego, realiza las ecuaciones correspondientes y presentar la simulación en el Stella

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SIGNIFICANCIA Y ANÁLISIS DE MODELOS DINÁMICOS ¿Y ahora que sigue? Realizada la simulación y antes de analizar los resultados es necesario validar el modelo, esto implica realizar una revisión del modelo propuesto, ver si cumple con los parámetros de aceptación, es necesario en esta etapa nuevamente contar con la opinión de un experto en el tema, de tal manera que el modelo refleje acertadamente la realidad que esta representando. Si se cuanta con data histórica, deberíamos probar con dichos valores y lograr darle significancia al modelo. Bien, una vez validado el modelo, es hora de implantar políticas, es decir tomar decisiones para cambiar el comportamiento del sistema real, primero simulando y viendo posibles resultados y luego trasladando esas pruebas a cuestiones reales. Esta unidad abarca estos temas de gran relevancia en conclusión del proyecto; el analista de sistemas, debe entregar las conclusiones y las sugerencias a seguir una ves concluido el proceso de simulación, vamos a dar pautas que le ayuden a esta labor tan importante.

1. Comprende la importancia de los modelos de procesos de software. 2. Reconoce a RUP como un marco de trabajo genérico para una gran variedad de sistemas de software.

SIGNIFICANCIA La significancia de un modelo va de acorde al propósito para el cual fue creado. Un modelo es adecuando si el resultado que ofrece es lo que se esperaba de él. Esto quiere decir que si la significancia del modelo no esta acompañada por el objetivo, establecido al inicio del modelado, no presenta valides alguna. Significancia es que el modelo represente a la situación real considerando las variables significativas, es decir, no tiene que ver la cantidad si no la calidad de las variables, por ejemplo si

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nuestro modelo presenta 100 variables será difícil buscar puntos (variables) de apalancamiento para realizar cambios significativos, por eso se debe estudiar y analizar detenidamente las variables que se incluirán en el modelo. Vamos a dar a conocer algunos criterios a tomar en cuenta para poder valorar la utilidad de un modelo dinámico: 

El tiempo de construcción del modelo, se debe evaluar si el tiempo de construcción y simulación del modelo es adecuado ya que existe una proporción entre tiempo y costo.



Posibilidad de obtener arquetipos sistémicos, a partir del modelo creado, esto en concordancia con uno de los principios de la Teoría General de Sistemas; dichos arquetipos nos servirán para futuros proyectos que presenten similar comportamiento.



La probabilidad de incluir aspectos no lineales en el modelo, incluir retrasos y variables significativas.



Que el modelo pueda ser analizado por personas especialistas en el tema y que estos acrediten la debida significancia al modelo



Que el modelo pueda ser simulado en diferentes periodos de tiempo



Que le modelo incorpore la posibilidad de realizar procesos de ingeniería inversa, de tal manera que al implantar cambios posteriores estos puedan ser reflejados en los modelos iniciales.



Que el modelo caracterice el comportamiento que se pretende percibir y que finalmente permita realizar los respectivos cambios.



Que el modelo contenga variables de apalancamiento; de tal forma que puedan modificarse su valor y obtener cambios significativos en todo el modelo



Que los cambios que se deseen implantar puedan darse de forma rápida.



Que el modelo pueda ser validado en base a los datos históricos con los que se cuenta.



Que al observar el modelo y se compare con la situación real exista un grado de semejanza alto.



Que el modelo permita realizar análisis de sensibilidad de forma mecánica así como de aplicar técnicas de optimización en el espacio de los parámetros.

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 Que las variables identificadas en el modelo tengan un respaldo cuantitativo y se pueda encontrar información sobre estas en el mundo real.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL MODELO DINÁMICO La realidad a la cual nos enfrentamos al modelar los sistemas, es que, en algunos casos, estos presentan relaciones y variables de las cuales no disponemos mucha información. Recordemos que el punto de partida es a través de enunciados que normalmente dan referencia a parámetros cualitativos y que luego debemos trasfórmalos a aspectos cuantitativos. Este proceso puede causar serios problemas. En algún momento inevitablemente encontraremos enunciados que no puedan ser expresados de forma cuantitativa. El acto de asignar valores numéricos o ecuaciones matemáticas a una variable, nos lleva a preguntarnos que tan certeros son esos valores, que pasara si no son los adecuados. Bien, es por ello que el proceso de análisis de sensibilidad, encargado de hacer frente a esas dificultades, se aborda en esta sección. Un motivo adicional que invita a realizar análisis de sensibilidad, es la complejidad de algunos modelos, ya que su entendimiento podría resultar dificultoso. El análisis de sensibilidad aportará herramientas que permiten dilucidar cuales son aquellos puntos de apalancamiento que permitan producir cambios significativos Mediante el análisis de sensibilidad, vamos a estudiar los cambios que se presentan en los resultados a partir de los valores que asumen las variables del modelo. Una forma sencilla de realizar este análisis es modificando los valores de la variable que nos interesa analizar, para ello incrementamos la variable en un cierto porcentaje y observamos como varía el comportamiento global del modelo, esto es que trayectorias se modifican y cuales permaneces inalterables ante dichos cambios. Efectuándolo sistémicamente para todas las variables, con aumentos y disminuciones preestablecidas, se puede tener una evaluación completa de los efectos de las variables sobre el modelo. Con esto, lograremos clasificar a las variables en significativas y en poco relevantes. Este tipo de análisis presenta una gran debilidad, ya que examinar las variables de forma individual relega los efectos de variaciones conjuntas que varios de ellos presentan (propiedades emergentes). Para superar este inconveniente, tenemos que valernos de métodos mas elaborados y aquí entra a tallar algunos algoritmos matemáticos y estocásticos como podría ser el método de Montecarlo, siguiendo este método, se elije aleatoriamente valores para las variables siguiendo una distribución que represente adecuadamente su dispersión en base a las variables normales y con estas especificaciones se da inicio a la simulación. Este proceso es

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cíclico hasta conseguir un número significativo de iteraciones y que luego son analizadas estadísticamente para observar la dispersión que presentan. Dicha dispersión representara un indicador de sensibilidad del modelo. Cuando hablamos de análisis de sensibilidad no solo nos abocamos al modificar los valores de las variables, también analizamos las relaciones existentes en el modelo. Modificar las relaciones resulta mucho más complicado que el cambio de valores en las variables; no existe un método que aborde esta situación, se debe trabajar según el caso específico y abordarlo de forma individual cuando la necesidad se presente. Realizar el análisis de sensibilidad constituye un punto neurálgico dentro de la evaluación del modelo. Permite dar respuesta a dos tipos de cuestionamiento: por una parte, en qué medida el modelo es insensible a variaciones en su estructura y, por tanto, resulta robusto; y, por otra, cuales son los puntos de apalancamiento que nos indican donde debemos realizar los cambios más significativos.

7.1 1. Nuevamente utilice el ejemplo de la Autoevaluación de la unidad 5, el caso de los virus en Internet; en vista que el caso ya esta implementado y simulado: 

Realice una evaluación del modelo en base a los criterios de significancia.



Realice un análisis de sensibilidad con le método mas sencillo expuesto en líneas anteriores y determine cuales son las variables que podrían comportarse como puntos de apalancamiento.

IMPLANTACIÓN DE POLÍTICAS EN EL SISTEMA Una vez modelado y simulado el sistema, es momento de valernos del conocimiento de la estructura y las reglas que guían su comportamiento. En este punto, necesitamos conocer quien y como se toman las decisiones, una técnica que nos ayudara serán las entrevistas. Las afirmaciones que sustentan las razones que conllevan a la toma de decisiones representan las políticas que rigen ciertas acciones. Un modelo dinámico esta constituido por estructuras de políticas en constante interacción. Las políticas decretan las decisiones del día a día, son la origen de las acciones. Cuando entrevistemos a las personas, debemos tener en cuenta que estas serán muy largas y detalladas, orientadas a muchos individuos, el objetivo detrás de estas,

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es buscar los intereses particulares y los focos de poder; debemos captar todo aquello que se realiza para resolver los problemas en los que esta inmersa la organización. A través de la interacción con los gerentes, podemos hallar las reglas explicitas que gobiernan las decisiones. Afortunadamente con las entrevistas sale a relucir el comportamiento de las personas cuando estas toman decisiones, se da una apreciación sobre como los demás enfrentan esta situación. Encontramos similitudes en la descripción de las políticas que rigen la organización. Resumido todo esto en un informe, es momento de representar estas descripciones en el modelo de simulación. Este modelo permitirá representar el papel de cada punto de decisión presente en el sistema. Entra a tallar en este momento el análisis de sensibilidad en cada punto de decisión y la aplicación de las diferentes técnicas que el análisis encierra. Ahora bien, la naturaleza compleja de los sistemas dinámicos se traslada al modelo, de tal forma que el modelo reproduce las mismas dificultades que experimenta el sistema real. Estas dificultades son las consecuencias secundarias que acarrean la implantación de políticas, agravando incluso el problema y llegando a tener un comportamiento en espiral descendente. Mediante el modelado, podemos descubrir ciertos comportamientos repetitivos presentes en casi todos los sistemas. Por mencionar algunos: 

La mayor parte de los problemas presentes en los sistemas son de origen interno y se dedican la mayor cantidad de recursos a los problemas externos.



Al tratar de resolver los problemas, normalmente se atacan las situaciones sintomáticas y esto en muchos casos agrava el problema raíz.



La abundante información que se dispone en nuestros tiempos, garantiza el éxito del modelado, o por lo menos un buen respaldo.

Predicciones y estrategias

Es evidente que una de las funciones principales de la Dinámica de Sistemas es proporcionar conocimientos a los que toman decisiones, referentes a las consecuencias de líneas de acción o inacción. Las decisiones racionales se basan en proyecciones y trayectorias. El analista debería poder prever la dirección de las consecuencias de los cambios en las variables de nivel, de flujo y el tiempo de demora promedio entre la aplicación y las consecuencias. También sería muy esperado saber algo acerca de la magnitud de las consecuencias

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Las proyecciones obtenidas de un modelo simulado en el computador están basadas en el conocimiento de las relaciones existentes entre las variables, obtenidas de la praxis pasada y presente. El enfoque es sistemático y esta en constante aprendizaje, expone hipótesis basados en las relaciones de las variables, y las confronta con nuevas experiencias. Sólo el modelo nos ofrece la posibilidad de probar varias hipótesis sin causar daños en el sistema real. El modelo de simulación por ordenador ofrece la oportunidad de poner a prueba cuestiones relativas a las estructuras y la organización, la estrategia y las tácticas, y la política y los procedimientos. Promesa del enfoque sistémico

Hemos llegado finalmente a la desagradable conclusión que la civilización mundial es un sistema que está siendo frenado por su propia ineficacia. El sistema funciona a través de un conjunto de instituciones que eran bastante adecuadas en una era más tranquila. Pero ahora sus tiempos de respuesta ya no se corresponden a la frecuencia de las perturbaciones, y nuestros sistemas a todos los niveles de gobierno están diseñados en realidad para producir salidas desechables. Cuando el desarrollo, el control de nuestro destino, se considera en términos de sistemas, desaparece parte de la complejidad sorprendente de nuestro mundo, ciudades y regiones. Los objetivos amplios y subjetívos de nuestro desarrollo parecen encontrar significado con el concepto de entropía. Mientras que el desarrollo en este contexto es la maximización de la entropía negativa, esto no es una aplicación de una ley física, sino simplemente un método de razonamiento que nos ayuda a conocer fo que debe hacerse. Debemos diseñar de nuevo nuestras instituciones, porque los distintos conocimientos que se necesitan para gobernar el mundo, una nación, o incluso una gran ciudad, no los posee ningún individuo, ya sea primer ministro, presidente, secretario de partido, gobernador, alcaide, diputado, economista, ingeniero o sacerdote. Mientras que es posible que los expertos comprendan bastante bien partes de los sistemas de desarrollo, el establecimiento de algunas de las relaciones mutuas que hay entre ellos de una manera internamente consistente es imposible sin recurrir a una técnica formal. Los sistemas de desarrollo están integrados por muchos bucles de realimentación con retardos, efectos no lineales, y ruido en los canales de comunicación, por lo que su comportamiento no puede preverse estudiando porciones aisladas de forma secuencial. Estas dificultades se multiplican cuando es preciso considerar la formulación de las políticas y sus impactos.

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Si hemos de relacionar entre sí e interpretar nuestras observaciones del proceso de desarrollo, necesitaremos una estructura integradora. En la actualidad, la técnica política óptima se puede describir como una mezcla de fragmentos de observaciones hechas por expertos muy especializados que no se comunican entre sí, y por las intuiciones políticas convencionales de los burócratas. Nuestra hipótesis es que la ingeniería de sistemas puede hacer lo mismo para los problemas de desarrollo que lo que ha hecho para los sistemas industriales: elaborar una teoría de sistemas tan general y tan equilibrada como para tener una amplia aplicación en el proceso. Si se acepta esta hipótesis, entonces la dinámica del desarrollo proporcionará un marco conceptual muy deseable para llevar a cabo lo siguiente: (1) superar las barreras artificiales que separan los distintos sectores del desarrollo, transporte, agricultura, industria, etc.; (2) tratar los problemas que van desde el nivel hombre-máquina, hasta el nivel del sistema SaTEP (socialtecnológico-económico-político); y (3) transmitir a los profesionales, educadores y estudiantes una mayor capacidad de comunicación interdisciplinar La premisa es que existe un núcleo común de elementos, principios, variables controladas, variables sin controlar, objetivos y estrategias que están presentes en todos los problemas que son independientes de geografía, cultura, economía y dogma. Con nuestros conocimientos, es perfectamente posible mejorar nuestros modelos mentales para análisis y planificación. Quizá el obstáculo mayor para la aplicación del enfoque sistémico a la gestión del futuro es la enajenación actual que existe contra la ciencia y la tecnología. Ningún sistema físico para guiar el destino de miles de personas, y con un costo de miles de millones de dólares, se debería diseñar sin desarrollar primero un modelo del mismo. No obstante, se planifican, diseñan y operan sistemas de desarrollo continuamente, sin que se lleven a cabo pruebas de sus posibles consecuencias. Deben establecerse instituciones experimentales para realizar pruebas de decisiones políticas, las cuales pueden considerarse como software, del mismo modo que tenemos laboratorios para llevar a cabo ensayos del hardware. Para esto sólo se precisa un equipo reducido y ninguna clase de burocracia.

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7.2 1. En vista que ya valido y analizó el modelo de “Virus en Internet”; sugiera 5 medidas que cambien el estado crítico por el cual esta pasando “AduranNet”; sustente sus respuesta tomado en cuenta al modelo plantado.

El ingeniero de sistemas sabe que su labor no es predecir el futuro, sino hacerlo posible. El desarrollo de escenarios en los que se usan diagramas causales y modelos matemáticos no consiste en predecir el futuro, sino en describir el presente con una comprensión tal que podamos: (1) describir el futuro que deseamos a partir de todos los otros objetivos del desarrollo; y (2) decidir como lo lograremos (el proceso de desarrollo). El enfoque sistémico aplicable al desarrollo sostenido es un método experimental. Implica experimentar con distintas políticas, antes de que sean puestas en práctica, en vez de experimentarlas sobre una nación y descubrir al cabo de veinte años que eran políticas equivocadas. El uso del enfoque sistémico para representar los problemas del desarrollo tiene una consecuencia importante. Supone el fin de la inocencia, ya que un modelo formal y lógico es más fácil de criticar que algo más difuso como pueda ser un programa político.

Halloran ME. Concept of Infectious Disease in Epidemiology (ch. 27). In: Rothman KJ, Greenland S. (eds). Modern Epidemiology. Philadelphia: Lippincott-Raven. 1998. Anderson R, Nokes DJ. Mathematical models of transmission and control (ch.6.14). In: Detels R, McEwen J, Beaglehole R and Tanaka H.(eds). Oxford Textbook of Public Health. New York: Oxford University Press. Fourth edition Volume 2. 2002.

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Significancia y análisis de modelos dinámicos – Unidad Nº 7

1. Recordando el caso presentado en la Autoevaluacion de la unidad 3: La interacción, que ocurre en el mar, entre tiburones y pequeños peces que pertenecen a la dieta de los tiburones. El área se supone acotada de tal manera que el cruce migratorio no es posible, al menos no tiene ningún efecto mayor. Se asume que los pescadores se abstienen de pescar a los peces (que se alimentan de plancton) por un par de años entonces se debiera esperar que esta población de peces crezca en tamaño. Una vez que haya crecido, los tiburones deberían tener suficiente alimento para sostener una gran población de tiburones. Entonces la población de tiburones debería aumentar, y en un tiempo corto plantear un severo trato a los peces. Eventualmente la población de peces debería disminuir. Una vez que la población de peces haya disminuido en número, los tiburones no podrán sostener su gran población y deberá disminuir su población. Esto permitirá a su vez que la población de peces vuelva al tamaño de la población original. Es posible que este proceso continúe indefinidamente, en cuyo caso el ecosistema consistirá en una población de variación periódica.

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

Realice la respectiva simulación;



Valide y realice análisis de sensibilidad al modelo



Finalmente sugiera políticas a aplicar para mejorar la situación presente.

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TÓPICOS AVANZADOS Y DESARROLLO DE CASOS Es evidente que hemos completado el proceso básico sugerido por la Dinámica de Sistemas, para le tratamiento de sistemas complejos, sin embargo aun quedan temas que por su complejidad, tamaño y variedad, no han sido mencionados aun. En esta ultima unidad abordaremos de forma breve pero clara estos conceptos avanzados de tal forma que queden referencias, he inviten a los señores estudiante a investigar y ampliar horizontes En el desarrollo de las unidades previas, dejamos inconclusos algunos ejemplos, en esta unidad completaremos su modelado, de tal forma que se tenga casos completos de referencia

Identifica los procesos de negocio y quienes participan 1. describe el flujo de trabajo mediante diagramas de actividades 2. Usa el CASE Racional rose para la implementación de su modelado

REALIMENTACIÓN NEGATIVA DE SEGUNDO ORDEN Tanto los bucles de realimentación positiva, como los de realimentación negativa de primer orden, generan una respuesta en el tiempo de forma exponencial. En cambio los bucles de realimentación negativa de segundo orden o de mayor, pueden generar un comportamiento sinusoidal. Inicialmente, examinaremos el comportamiento de un sistema de realimentación negativa de segundo orden mediante un ejemplo: Ejemplo 8.1: Modelo del Tren Gravitacional Tubular

Con el logro de velocidades más elevadas en los sistemas de transporte terrestre, aumentan los problemas de seguridad, de contaminación medioambiental y de obtención de derechos de paso. Estos problemas podrían solventarse con el concepto del Tren Gravitacional Tubular, en el que una cápsula viajaría por un tubo muy por debajo de la superficie de la Tierra. La gravedad aceleraría o desaceleraría

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la cápsula. Para ilustrar el concepto, supongamos que Lima y Huancayo están conectados por un tubo dentro de un túnel construido sobre una cuerda a través de la Tierra. Las ecuaciones de movimiento escritas en Stella para el sistema con la cápsula inicialmente en Lima están en la Figura 8.1(c). El diagrama causal correspondiente está representado en la Figura 8.1(a), y el correspondiente diagrama de Forrester en la Figura 8.1(c). + CAMBIO DE Ó

POSICIÓN DE LA CAPSULA

+

VELOCIDAD DE LA CAPSULA

+

RADIO TERRESTRE

ACELERACIÓN DE LA

-

+

ACELERACIÓN DE

Figura 8.1(a) Diagrama Causal del modelo del tren gravitacional tubular

Figura 8.1(b) Diagrama de Forrester del modelo del tren gravitacional tubular

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Figura 8.1(c) Ecuaciones del modelo dinámico del tren gravitacional tubular

En este modelo, es evidente que los valores de equilibrio de las variables de nivel (la posición y velocidad de la cápsula) son iguales a cero, y que ambas variables pueden tomar valores positivos y negativos si no están en equilibrio. Esta es una característica que raramente existe fuera del ámbito de los sistemas mecánicos. En la mayoría de los sistemas del mundo real, es mucho más frecuente que los valores de equilibrio de los niveles tengan valores positivos con fluctuaciones que nunca caen por debajo de cero. Para lograr este tipo de comportamiento, un sistema de realimentación negativa de segundo orden debe tener un “rate-out” (tasa de salida) referente a uno de los niveles.

REALIMENTACIÓN POSITIVA DE SEGUNDO ORDEN

Como vimos en los ciclos de realimentación positiva de primer orden (unidad 3); las variables que interactúan se realimentan entre si y causan el comportamiento exponencial creciente o decreciente. Cada variable estimula la respuesta de la otra. En la historia humana siempre ha estado latente el debate constante sobre las causas de la guerra. Una teoría atribuye las guerras al armamento. Otra teoría opuesta dice que el armamento sólo es un síntoma del conflicto de ambiciones e ideales. Vamos a ver el comportamiento de un ciclo de realimentación positiva de segundo orden mediante el planteamiento de la siguiente hipótesis militar.

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Ejemplo 8.2: Modelo del proceso de guerra entre dos países

Este ejemplo, basa su discusión en parte de la historia de nuestro país (aun que todo es hipotético) desde el momento del conflicto hasta el combate, a una “guerra caliente”. El ejército peruano, que tiene 10000 soldados, está a punto de atacar al ejército chileno, que sólo tiene 5000 soldados. Sin embargo el ejercito chileno tiene un equipo militar superior, lo que hace que cada soldado Chile sea 1,5 veces más efectivo que un soldado peruano. La Figura 8.2(a) contiene el modelo visual, la figura 8.2 (b) el modelo matemático y la Figura 8.2 (c) el comportamiento simulado del modelo. Vemos que nuestro Modelo de Batalla es de realimentación positiva de segundo orden, nuestro modelo genera decrecimiento exponencial de las dos variables de nivel. Este modelo de realimentación positiva de segundo orden contiene «rates-out» (tasas de salida) en vez de «rates-in» (tasas de entrada), se llama modelo de atrición.

Figura 8.2(a) Diagrama de Forrester del modelo del proceso de guerra

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Figura 8.2 (b) Modelo matemático del proceso de guerra

Figura 8.2 (c) Comportamiento simulado del proceso de guerra

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8.1. 1. Consideremos el Modelo de Oferta-Demanda. El índice de Producción, PR, aumenta el Inventario, 1, y el índice de Consumo, CR, lo disminuye. El índice de Producción es una fracción de la Capacidad de Producción, PC. El índice de Cambio de Capacidad, CCR, aumenta (o disminuye) la Capacidad de Producción. El índice de Cambio de Capacidad es una respuesta a la diferencia entre el Inventario Deseado, DI, y el Inventario real, 1. Vamos a suponer que la capacidad de producción se determina por el número de trabajadores multiplicado por la producción por trabajador Las fluctuaciones en la capacidad de producción corresponden a la contratación y despido de trabajadores, o a las horas extras seguidas por un recorte de horas. Para el planteamiento de los valores iniciales del modelo, realice investigación de valores dados en el mercado peruano y haga referencia a sus fuentes. Realice todos los pasos que sugiere la dinámica de sistemas, incluido análisis de sensibilidad y validación

DESARROLLO DE CASOS Ejemplo 8.3: Modelo de control de almacenamiento de agua.

Vamos a considerar un depósito como los que pueden ser utilizados en una ciudad pequeña. El depósito se llena mediante cañerías que provienen de una estación de bombeo, y a su vez da agua a la ciudad a través de una red de distribución. El tanque del depósito tiene un área de 750 metros cuadrados y una altura de 9 metros, con una capacidad de almacenamiento de 6750 metros cúbicos. Se considera que una altura de agua de 7.5 metros es conveniente para el almacenamiento de emergencia y para garantizar una presión adecuada en las redes de distribución. El depósito está provisto de un sistema automático de control para regular el flujo de entrada, de forma que la discrepancia entre la altura real y la deseada estaría conectada a una constante de tiempo igual a diez minutos. Se supone que el ritmo de salida es una constante igual a 500 metros cúbicos por minuto. Inicialmente el depósito tiene una altura de dos metros. (Referencia Unidad 3; Ejemplo 3.1).

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Figura 8.3 (a) Diagrama de Forrester del modelo de control de almacenamiento de agua

Figura 8.3 (b) Modelo matemático del proceso de control de almacenamiento de agua

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Figura 8.3 (c) Comportamiento simulado DEL proceso de control de almacenamiento de agua Ejemplo 8.4: El Modelo de Crecimiento de Autopistas.

Aunque el crecimiento del transporte por autopista es un fenómeno mundial, es de especial interés en los Estados Unidos porque es el resultado lógico de la creación de un fondo reservado para autopistas, en el que todos los ingresos de las autopistas deben ser utilizados para el mantenimiento y construcción de éstas. Considérese la siguiente descripción verbal del modelo: Las Autopistas, son incrementadas por la Construcción de Autopistas y reducidas por el Abandono de Autopistas. Dicho abandono esta dado por una constante C, pero la Construcción de Autopistas se incrementa cuando aumentan los Ingresos que provienen de las Autopistas y baja cuando aumenta los Costes de Construcción CC. El Ingreso varía directamente con la cantidad de Autopistas, con los Ingresos Generados por Vehículo/Milla y con el Volumen Anual de Tráfico. (Referencia Unidad 3; Ejemplo 3.2).

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Figura 8.4 (a) Diagrama de Forrester del Modelo de Crecimiento de Autopistas

Figura 8.4 (b) Modelo matemático del proceso de Crecimiento de Autopistas

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Figura 8.4 (c) Comportamiento simulado del proceso de Crecimiento de Autopistas

1. Desarrollados los ejemplos 8.1, 8.2, 8.3 y 8.4, sugiera soluciones a esos casos; sustente sus respuestas tomado en cuenta al modelo plantado.

Esta última unidad ha tenido la intención de mostrar temas que denotan mayor complejidad, evidentemente quedan pendientes algunos detalles que serna parte de las investigaciones propias de la labor universitaria; se ha incluido ciclos de realimentación que presentan grados mas complejos; por ello implican mas análisis y tiempo en su desarrollo. También se ha querido dar solución completa a los problemas planteados en unidades anteriores, tal y como se había convenido, de tal forma que los estudiantes puedan hacer un seguimiento completo a los casos.

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Drew, D. R. and C. Hsieh, A Systems View of Development: Methodology of Systems Engineering and Management, Cheng Yang Publishing Co., Taipei, 1984. Drew, D. R., The Growth Shapers: infrastructure induced Qevelopment, Systems Modeis for Decision Making Chapter 5, ed. by N. Sharif and R Abulbhan, Asian institute of Technology, Bangkok, May 1978.

UML – Unidad Nº 8

1. Para le caso de Madres Adolescentes que se vive en el Perú; desarrolle un

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