Dinámica de Fluidos

8: DINÁMICA DE FLUIDOS 8.1 INTRODUCCIÓN La hidrodinámica estudia el movimiento de los líquidos y junto con la hidrostática constituyen la hidráulica. En general, el estudio del movimiento de los líquidos es muy complejo. Sin embargo, en un modelo teórico en el cual consideramos el movimiento de un fluido ideal, éste estudio es simple y es el que aquí presentamos. A pesar de ser un modelo válido para fluidos ideales, en las aplicaciones prácticas existen diversas situaciones físicas en las cuales éste modelo se cumple con mucha aproximación.

8.2 FLUIDO IDEAL Un fluido se puede considerar ideal si presenta las siguientes características: FLUIDO INCOMPRESIBLE La densidad del fluido es constante en el tiempo. Los líquidos presentan ésta característica.

FLUJO UNIFORME, ESTABLE O LAMINAR La velocidad de las partículas y la presión del fluido, presenta el mismo valor al pasar por un punto determinado de la conducción (tubería, canal, ducto, etc.). Esto sucede para valores de velocidad relativamente bajos, dependiendo de la naturaleza del fluido, y en este caso las trayectorias que describen las partículas en su movimiento o líneas de corriente, no se cruzan entre sí, ver fig.8.1.

vsalida

v’salida

Fig. 8.1 Flujo uniforme y no uniforme

FLUJO NO VISCOSO En el movimiento de un fluido real, existe una fuerza de fricción interna asociada al desplazamiento relativo entre capas adyacentes. Esto se conoce como viscosidad. Si el flujo es a través de una conducción, la fricción del fluido con las paredes del conducto dan como resultado que las capas de fluido próximas a las paredes tengan una menor velocidad, ver fig. 8.2. Si el fluido es no viscoso, la velocidad de sus partículas es la misma sobre toda la sección transversal de la conducción.

Flujo

Flujo Fig. 8.2 Flujo viscoso y no viscoso

FLUJO IRROTACIONAL Si las partículas del fluido en su movimiento no presentan un momento angular resultante. Experimentalmente esto se verifica observando el movimiento de una rueda de paletas ubicada dentro del fluido. Si la rueda no rota, el flujo es irrotacional, ver fig.8.3.

Flujo

=0

Flujo

0

Fig. 8.3 Flujo rotacional e irrotacional

8.3 CAUDAL O GASTO CONTINUIDAD

Y

LA

ECUACIÓN

DE

CAUDAL Se define como caudal al volumen del fluido que pasa por la sección transversal de la conducción en la unidad de tiempo. Expresado matemáticamente: G

V t

(8.1)

Dónde, “V”, es el volumen de fluido que atraviesa la sección transversal de la conducción en el tiempo “t". El gasto se expresa en unidades de volumen por unidad de tiempo. En el S.I., en m3/s. Se puede demostrar qué, para un fluido ideal, una relación equivalente para el caudal es: G

V Av t

(8.2)

Donde, “A” es el área de la sección transversal y “v”, la velocidad del fluido en ese punto de la conducción. A2 v2

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD A1 ecuación v1 Si el fluido es ideal, la de continuidad establece que, “cualquiera que sea la forma del conducto, el caudal es constante a lo largo de la Fig. 8.4 Flujo ideal a través de una conducción de sección variable

conducción”, esto es, G = A1 v1 = A2 v2

(8.3)

Es decir, G = A v = constante, Una consecuencia inmediata de la ecuación de continuidad es que la velocidad del fluido es mayor en los puntos de la conducción donde la sección se reduce y es mayor en los ensanchamientos, ver fig.8.4.

8.4 LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Cuando un líquido que se mueve a través de una conducción de sección transversal y altitud variable, varía la presión a lo largo del mismo. En 1738, El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) dedujo una expresión que relaciona la velocidad, la presión y la altitud en cada punto de la conducción. Ésta relación se puede obtener aplicando el teorema del trabajo y la energía, el cual relaciona el trabajo neto con la variación en la energía cinética, al movimiento de una “porción” del líquido cuando éste se encuentra en dos posiciones diferentes de la conducción. El teorema del trabajo y la energía establece que: Wneto 

mv 22 2

mv12 2

Apliquemos éste teorema al flujo a través de una conducción de altitud variable. Consideremos una “porción” de volumen del líquido que avanza por la conducción, como se muestra en la fig.8.5. El resultado neto de éste movimiento es como si el elemento de volumen, de masa “m”, cambiara de la posición con altitud h1 a la posición h2, respecto al nivel de referencia.

Δx2

p2A2 v2

mg Flujo

Δx1 p1A1 h1

mg

h2 v1

v 1

Nivel de referencia

Fig. 8.5 Flujo a través de una conducción de altitud Variable.

Así, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas en éste proceso es: Wfuerzasde  Wfuerza de  presión

gravedad

mv 22 mv12 2 2

p1A1Δx 1  p 2 A 2 Δx 2  mgh1  mgh 2 

1 1 mv 22  mv12 2 2

Notando que: A1Δx1 = A2Δx2 = V y m = líquidoV, en la ec. anterior, simplificando y ordenando términos con igual subíndice, obtenemos: 1 1 p1  ρgh 1  ρv12  p 2  ρgh 2  ρv 22 2 2

(8.4)

Por tanto, a lo largo de la conducción: p  ρgh 

1 2 ρv  constante 2

Ésta relación se conoce como la Ecuación de Bernoulli. Los dos primeros términos en ésta ecuación se denominan presión estática y el tercer término, presión dinámica, luego, podemos afirmar que a lo largo de la

conducción la suma de las presiones estática y dinámica permanece constante. La ecuación de Bernoulli, aun cuando se ha obtenido para un líquido, es válida para todo fluido que pueda ser considerado “ideal”. El trabajo realizado por las fuerzas de presión, es decir, el trabajo realizado por el medio circundante para mover el líquido, es:

Wfuerzas de  p1A1Δx1  p 2 A 2 Δx 2  Δp V presión

(8.5)

Luego, la rapidez con la cual se realiza éste trabajo o potencia, será: P  p

V  p G t

(8.6)

8.5 ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI TOREMA DE TORRICELLI Consideremos un depósito abierto que contiene un líquido, el cual sale a través de un orificio practicado en él a una cierta profundidad, ver fig.8.6. Si se desea obtener la velocidad de salida del líquido, podemos considerar el caso como el flujo de un líquido a través de una conducción en la cual la sección transversal se reduce considerablemente.

po

2

2

vsalida

h2

Nivel de referencia

1

Fig. 8.6 Fuga del líquido de un depósito a través de un orificio

Note qué, el área de la sección transversal del orificio es mucho menor que la del depósito (A1 A2), luego, la aplicación de la ecuación de continuidad nos reporta que v2 v1  0. Luego, al aplicar la ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2, con un nivel de referencia pasando por el punto 1 (h1 = 0), obtenemos: po 

 líquido v 12 2

 p o   líquido g h 2

De donde: v1  2g h 2

O simplemente, v salida  2gh ,

(8.7)

Donde, h, es la profundidad a la cual se ha practicado el orificio. Éste resultado se conoce como el Teorema de Torricelli.

MEDIDOR DE VENTURI O VENTURÍMETRO Es un dispositivo que sirve para medir la velocidad del flujo de un fluido de densidad conocida. Básicamente consiste de un tubo en forma de “U” que generalmente contiene mercurio; una rama se fija al punto donde se desea conocer la velocidad y la otra rama, a un punto cercano donde previamente se ha practicado un estrechamiento, de modo que el área de las secciones transversales también es conocida, ver fig.8.7.

1 2

Nivel de referencia

Flujo de gas

ho Diferencia de alturas en la ramas del mercurio Fig. 8.7 Medidor de Venturi

En el caso particular de que el fluido es un gas, después que el mercurio alcanza el equilibrio se registra la diferencia de niveles en las dos ramas y = ho. Éste desnivel se debe a la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2; el flujo es de izquierda a derecha, debido a que p1p2. Si hacemos coincidir el nivel de referencia con el eje de la conducción (h 1 = 0 y h2 = 0) y aplicamos la ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2, obtenemos:

1 1  gas v12  p 2   gas v 22 2 2

p1 

De donde: p1  p 2 

1  gas ( v 22  v12 ) 2

(A)

Ésta diferencia de presiones se puede hallar observando que el mercurio se encuentra en equilibrio, luego, aplicando la ec. fundamental de la hidrostática, obtenemos: p1- p2 = mercurio g ho

(B)

Igualando (A) y (B), se tiene: 1  gas ( v 22  v12 )   mercurio g h o 2

(C)

Además, haciendo uso de la ec. de continuidad, A1v1 =A2v2, tenemos:  A 12  2  v  A2  1  2

v 22  

Usando éste resultado en la ec. (C) y resolviendo para v1, obtenemos: v1



2 ρ mercurio g h o  A  2  ρ gas   1   1   A 2  

(8.8)

Ésta es la velocidad del fluido en ése punto de la conducción.

8.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Por una manguera contra incendios de 6,35 cm de diámetro fluye agua a razón de 3π Litros/s. La manguera termina en una boquilla de 2 cm de diámetro interior. ¿A qué velocidad sale el agua de la boquilla? 2. En una tubería horizontal, fluye el agua con una velocidad de 4 m/s bajo una presión de 280000 N/m2. La tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro original. Determinar el valor de la velocidad y de la presión del agua en la parte más estrecha? 3. Por una tubería horizontal, que tiene un estrangulamiento, fluye agua. La presión es 45 KPa en un punto donde la rapidez es 2 m/s. Encuentre la presión en donde el área de la sección se reduce a la cuarta parte. 4. Un tubo horizontal de 10 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que lo conecta con un tubo de 5,0 cm de diámetro. Si la presión del agua en el tubo más grueso es 8,0 x 10 4 Pa, y la presión en el tubo más delgado es 5,0 x 104 Pa. Determínese el caudal del flujo de agua que pasa a través del tubo de área mayor. 5. En un gran tanque de almacenamiento lleno de agua se forma un pequeño orificio en su costado en un punto 5.0 m debajo de la superficie libre del agua. Si el caudal de agua en la fuga es 2,5 πL/s, el diámetro del orificio es:

6. Hallar a la velocidad de salida del agua a través del orificio. El aire en el recipiente cerrado está a una presión manométrica de 1,88 x105 Pa.

7. Por un orificio, en el fondo de un depósito abierto y lleno de agua hasta una altura de 4 m, se escapa un caudal de 50 L/min. Calcular el nuevo caudal si sobre la superficie libre se aplica una sobrepresión de 50 KPa. 8. El

tubo

de

Venturi,

ver

figura,

tiene

secciones

transversales de áreas A en (1) y A/5 en (2), respectivamente. La diferencia de alturas de las columnas de Hg es H = 480/12,6 m. Hallar la velocidad del agua en el estrechamiento (2).

9. En el tubo de la figura pasa aire con una rapidez de 36 litros por segundo. Si las secciones transversales de la parte ancha y estrecha son 2 cm2 y 0,5 cm2, respectivamente. ¿Cuál es la diferencia de niveles que tendrá el agua en el manómetro insertado?

10. Se impulsa un

gas, que se encuentra a

presión

atmosférica, a través del

tubo horizontal

que se muestra. Si la

densidad

gas es 1,36 Kg/m3, hallar la

del

velocidad del flujo en el punto A. La altura de la columna de mercurio es 16 cm. 2cm A

B

6cm Hg

C

6cm 16cm

11. Un barquillo de helado, en forma de un cono circular, tiene 27 cm2 de sección en su parte ancha. En el fondo del barquillo se practica un orificio de 1 mm2, por el cual el helado fundido ( =1,2 g/cm3) empieza a salir. Si inicialmente en el barquillo lleno al ras hay 108 gramos de helado, determinar el caudal de salida del helado por el orificio, inmediatamente después de practicar el orificio. Desprecie la viscosidad. 12. Mediante una fuerza constante F aplicada a un émbolo se expulsa completamente un litro de agua contenida en un cilindro que tiene un orificio de salida, ver fig., en un tiempo de 100 segundos. Si el orificio de salida tiene una sección transversal de 1 cm 2, determinar el trabajo realizado.

F

V