Dinamica de Estructuras Con Matlab

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

PRÓLOGO

Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los diferentes capítulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para comprender mejor el marco teórico expuesto. Además de ello el lector contará con programas que le faciliten su aplicación práctica a futuro. En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas, cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia. El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos, se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en Chile. En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad. La forma espectral obtenida fue comparada con las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulación de espectros de diseño en varias normativas sísmicas de América Latina. Por ser de actualidad el Análisis Sísmico por Desempeño, en el capítulo tres, también se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente. Con el propósito de entender el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, con el cual se pasa del espectro de diseño elástico al espectro de diseño inelástico, se deducen las reglas de igual desplazamiento y de igual energía. Luego se muestra el trabajo desarrollado por Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reducción por ductilidad, considerando el tipo de suelo. En este contexto también se presenta los resultados de las investigaciones realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas por el autor de este libro (2005)

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos ocurridos en Colombia, Perú, Chile y Argentina. En la mayoría de normativas sísmicas vigentes se presentan valores para determinar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas en diferentes tipologías estructurales. Estos factores tienen un carácter cualitativo, razón por la cual en este libro se indica una metodología de cálculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se debe hallar el producto del factor de reducción por ductilidad, del factor de resistencia y del factor de redundancia. Se presentan propuestas para el cálculo de estos factores. El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los elementos. Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocación y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computación. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss. El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el cual se involucra la interacción suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica. Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez, masa y amortiguamiento, estará en capacidad de encontrar la respuesta dinámica de cualquier estructura. Por esta razón, en el capítulo cuatro se estudia con detenimiento el cálculo de la matriz de rigidez, en el capítulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el capítulo siete se dedica a la matriz de amortiguamiento. Todo esto orientado al análisis dinámico de estructuras. En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que el cálculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de M 1 / 2 para que el lector aprecie la bondad del MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el capítulo con el cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la estructura. En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios son números complejos. El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark para sistemas de múltiples grados de libertad. Como aplicación práctica se halla la respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma artificial que es compatible con el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y columnas.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras con disipadores de energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica. Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión, de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, todo esto modelado como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. Aparentemente la solución de estos tres capítulos tiene más un enfoque teórico pero no es así ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido acogidas por varias normativas sísmicas. En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la interacción suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o no el cálculo con la interacción suelo estructura. La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto en el capítulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el cálculo de la respuesta sísmica, de las vigas de flexión y de corte ante una determinada acción sísmica. Como se ha venido indicando el capítulo once está dedicado al cálculo de una viga de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica. Se obtiene el primer modo de vibración de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibración de una viga de flexión con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el comportamiento es al revés. Una viga de flexión, es el modelo numérico de cálculo de un edificio conformado solo por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numérico de un edificio conformado solo por vigas y columnas sin muros de corte. Al comparar el primer modo de vibración de estas dos vigas se concluye que lo más adecuado es tener edificios con vigas, columnas y muros de corte ya que la viga de flexión en los primeros pisos sostiene a la viga de corte y en los últimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexión. El acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexión se lo estudia con detenimiento en el capítulo doce. Con el propósito de ilustrar la aplicación práctica y actual del estudio de una viga de corte acoplada a una viga de flexión se presenta en el capítulo doce, el trabajo desarrollado por Miranda (1999) con el que estima la deriva máxima de piso en sistemas de múltiples grados de libertad, en forma rápida. Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un predominio de la viga de flexión sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales. Miranda a partir del modelo de una viga de flexión acoplada a una viga de corte determina dos parámetros que son utilizados en la evaluación rápida de la deriva máxima de pisos. Esos parámetros son el que relaciona el desplazamiento máximo en un sistema de múltiples grados de libertad con el desplazamiento máximo en un sistema de un grado de libertad. El otro parámetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la estructura con la deriva máxima de piso. Por último, se investigación realizado Politécnica del Ejército edificios de Hormigón

presenta en forma resumida el resultado del proyecto de en el 2005, en el Centro de Investigaciones Científicas de la titulado: “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en Armado”, con el propósito de que el lector compare los dos

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y además para que lo apliquen en la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras. No puedo finalizar este prólogo, sin reconocer una vez más, que este libro ha sido posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera página pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce capítulos que se consideran básicos en el Análisis Dinámico de Estructuras. De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falconí Vda. de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos años y espero contar con sus consejos y bendiciones por muchos años más. Por último, pero ellos saben que son lo más importante, quiero agradecer a mi esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás que acaba de graduarse de bachiller, Gabriel y Felipe. Por la felicidad que reina en nuestro hogar.

Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí Centro de Investigaciones Científicas Escuela Superior Politécnica del Ejército

Quito, Agosto de 2006

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

ÍNDICE GENERAL

MANUAL RÁPIDO DE MATLAB..................................................1 1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD RESUMEN…………………………………… ………………………………………17 1.1 VIBRACIONES LIBRES…………………………………………….…………..17 1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……………………………………...19 1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento……………………………………..19 1.1.3 Vibración libre subamortiguada………………………………………….20 1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada……………………………………….23 1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada…………………………........24 1.1.6 Factor de amortiguamiento……………………………………………….26 1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA……….……………27 1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal………………...................27 1.2.2 Factor de amplificación………..…………………………………..…….31 1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación…………………...………………….34 1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS………………….…………………………...36

1.3.1 Escalón unitario…..………………………………………………………36 1.3.2 Pulso rectangular…………………………………………………………39

2. ESPECTROS DE RESPUESTA RESUMEN…………………………………………………………………………….41

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…..…….41 2.2 PROGRAMA LINEAL………………………………………………….………..43 2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD……………………….…..……..46 2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA..................................................................47 2.5 PROGRAMA ESPECTRO………………………………………………...……50 2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA………………………………….……….....52 2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………….………….55 2.8 SEUDO ESPECTROS…………………………………………………………..57

3. ESPECTROS DE DISEÑO RESUMEN…………………………………………………………………………….59 3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO…….…………..…………..60 3.2 RESEÑA HISTÓRICA…………………………………..…............................63 3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000……….........................................64 3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO…………………………………..……….66 3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS.....................................................................69 3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO..................................................71 3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA………………………….…............................73 3.8 NEWMARK Y HALL (1982)…………………………….…...…………………74 3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)…………………………...………………….78 3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000….………..79 3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA………….…………79 3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA……………………….……….82 3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R…………………….……….83

4. MATRIZ DE RIGIDEZ RESUMEN……………………………………………………………………………87 4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO…………………………………..87 4.1.1 Análisis sin nudo rígido………………………...…………………………88

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 4.1.2 Análisis con nudo rígido…………………….……………………………92 4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……………………….……….96 4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………….96 4.2.2 Vector de Colocación…………………………………………………..…99 4.2.3 Ensamblaje directo………………………………………………………101 4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………….………….105 4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………106 4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………106 4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES…….……107 4.4.1 Caso en que Qb = 0……………………………………………………...108 4.4.2 Caso en que Qa = 0……………………………………………………...109 4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS………….…...109 4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL………………………………………….….112 4.6.1 Vigas axialmente rígidas……………………………………………..…112 4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas………………………………….114

5. MATRIZ DE MASAS RESUMEN…………………………………………………………………………..119 5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………….……………………………….119 5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS……..………………..121 5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA…….…..……………122 5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………….……………….125 5.5 ANÁLISIS PLANO…………………………………………….………………..128 5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso…………………..128 5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………………………………………130 5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………….132 5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA………………….………………....132

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………….…………………134 5.9 ANÁLISIS ESPACIAL……………………………………….………………...135

6. MODOS DE VIBRACIÓN RESUMEN…………………………………………………………………………..139 6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO……………………………139 6.1.1 Valores propios………………………………………………………….140 6.1.2 Propiedades dinámicas………………………………..……………….142 6.1.3 Modos de vibración……………………………………………………..142 1

6.2 ALGORITMO DE M 2 .………………………………………….…………….145 6.3 MÉTODO DE JACOBI………………………………………………………...150 6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………….151 6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………152 6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios………………………………………153 6.4 MODOS RITZ…………………………………………………………………..153

7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO RESUMEN…………………………………………………………………………..157 7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………157 7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN……………………………………..159 7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS……………………..163 7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO…………………………..167 7.4.1 Exponencial de una matriz…………………………………………….168 7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………171 7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS………………………………..175 7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos…………………175

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos……………………...177 7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………177

8. ANÁLISIS LINEAL RESUMEN…………………………………………………………………………..181 8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………….181 8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK……………………………...186 8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO…………………………………………...187 8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO…………………………..191 8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MÍNIMO……………………199

9. PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO RESUMEN…………………………………………………………………………..201 9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………..201 9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA………………………………………203 9.3 PROGRAMA PSE……………………………………………………………...204 9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN…………………………………..…….……...206 9.5 INTRODUCCIÓN A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………...209

10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN RESUMEN…………………………………………………………………..………213 10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………….…214 10.2 VIBRACIÓN LIBRE…………………………………………………………...216 10.2.1 Viga en Voladizo……………………………………………………...218 10.2.2 Viga apoyada………………………………………………………….220 10.2.3 Interacción suelo estructura…………………………………………224 10.2.4 Variación del período con la interacción…………………………...227

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION………………….228 10.3.1 Valores propios y modos normalizados……………………………231 10.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...232 10.4.1 Masas modales……………………………………………………….234 10.4.2 Respuesta en el tiempo…………………………………………...…236

11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE RESUMEN…………………………………………………………………………..241 11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO………………………….241 11.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………………...…244 11.2.1 Viga en Voladizo…………………………………………………...…246 11.2.2 Comparación de formas modales…………………………………..248 11.2.3 Frecuencias de vibración………………………………………….…249 11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN………………………..250 11.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...252 11.5 CORTANTE BASAL……………………………………………………….…254 11.6 MASA MODAL………………………………………………………………...256

12. VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXIÓN RESUMEN…………………………………………………………………………..261 12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO……………………………………………...262 12.2 MODELO DE MIRANDA……………………………………………………..264 12.2.1 Respuesta en desplazamiento………………………………………266 12.2.2 Efecto de la distribución de cargas…………………………………269 12.3 APLICACIONES………………………………………………………………272 12.3.1 Parámetro β1................................................................................273 12.3.2 Desplazamiento lateral……………………………………………….276

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 12.4 DERIVA DE PISO…………………………………………………………….280 12.4.1 Parámetro β2................................................................................282 12.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO…………….283

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

MANUAL RÁPIDO DE MATLAB

RESUMEN

Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual manera en Internet se puede encontrar información muy útil sobre el manejo de este programa pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la información y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la elaboración de los programas que aquí se presentan. Por este motivo se presenta un manual rápido de uso del manual, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en cada capítulo. MATLAB es un software muy fácil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que facilitan su uso y lo fundamental la graficación de los resultados en forma elemental. Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teoría que se expone, razón por la cual, se recomienda su lectura e implementación de los mismos.

1.

FORMAS DE TRABAJO

MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta tecnología que integra en un solo ambiente la programación y la visualización gráfica. Existen dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina. •

En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operación. En esta modalidad los cálculos se realizan en forma inmediata por medio de los comandos adecuados. Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y después utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad.

•

En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las líneas están numeradas. Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar numeradas cada una de las líneas se facilita la corrección de los errores. Una vez que

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE se realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automáticamente a este archivo le asigna la extensión .m Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicará únicamente >> de aquí se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos. Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia se coloca ; no se imprimen los resultados. Si se omite el punto y coma si aparecerán los resultados.

2.

MATRICES Y VECTORES

Dada la siguiente matriz A y el vector B, estas se cargan en MATLAB como se indica a continuación.

⎡10.5 A=⎢ ⎣23.1

23.1 80.2

30.4⎤ 19.7 ⎥⎦

⎡15 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣20⎦

>> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7] >> B=[15 ; 20] ƒ ƒ ƒ

Después de cada número se deja uno o varios espacios. Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el programa sabe que a continuación se tiene una nueva fila Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ].

Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones de la siguiente forma: ƒ

Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a continuación el apóstrofo que está entre paréntesis. (‘). Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +. Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -. Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo *. Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A. El comando es inv (A). Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la multiplicación de una matriz.

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

•

EJEMPLO 1 Dadas las matrices:

⎡2 A=⎢ ⎣1

4⎤ 3 ⎥⎦

⎡1 B=⎢ ⎣2

− 1⎤ 1 ⎥⎦

⎡3 C=⎢ ⎣2

Encontrar: i. ii. iii.

D = A t . La transpuesta de la matriz A . E = A B . El producto de la matriz A por la matriz B . F = C −1 . La matriz inversa de C .

2⎤ 6⎥⎦

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE iv. v. •

G = A + B . La suma de la matriz A con la matriz B . H = A − C . La diferencia de las matrices A con la C .

SOLUCIÓN

>> A=[ 2 4; 1 3]; B=[ 1 -1; 2 1]; C=[ 3 2; 2 6 ] >> D=A’ >> E=A*B >> F=inv(C) >> G=A+B >> H=A-C ƒ ƒ

El colocar el punto y coma después del corchete hace que no se imprima a continuación la matriz. En este caso no se imprimirá las matrices A y B pero si se imprimirá la matriz C. Después de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, así luego de colocar D=A’, aparece

⎡2 D=⎢ ⎣4 ƒ

1⎤ 3⎥⎦

Los restantes resultados que se obtienen son:

⎡10 E=⎢ ⎣7

2⎤ 2 ⎥⎦

⎡0.42857 F =⎢ ⎣− 0.14286

− 0.14286⎤ 0.21429⎥⎦

⎡3 G=⎢ ⎣3

3⎤ 4⎥⎦

⎡− 1 H =⎢ ⎣− 1

2⎤ − 3⎥⎦

Si en el ejemplo, por desconocimiento o descuido, se colocaba: >> E=a*B MATLAB no puede hacer la operación ya que la matriz a no está definida. De tal manera que en MATLAB se diferencian las minúsculas de las mayúsculas.

3.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la siguiente manera: >> X= A\B

•

EJEMPLO 2 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

⎡8 ⎢2 ⎢ ⎢⎣3 •

SOLUCIÓN

2 10 1

3⎤ 1⎥⎥ 5 ⎥⎦

⎡ X 1 ⎤ ⎡42⎤ ⎢ X ⎥ = ⎢50 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ X 3 ⎥⎦ ⎢⎣40⎥⎦

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= A\B ƒ ƒ

En este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;) . Se pudo haber colocado la matriz A en una línea, el vector B en otra y el cálculo de las incógnitas en otra. La solución del ejercicio es:

⎡2.00⎤ X = ⎢⎢4.00⎥⎥ ⎢⎣6.00 ⎥⎦

4.

CÁLCULO AVANZADO CON MATRICES

En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios de una matriz A y también el exponencial de una matriz eA. Esto se lo hace con los siguientes comandos: ƒ ƒ

[V,D] = eig ( A ) expm(A)

•

EJEMPLO 3

En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A. El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz.

Encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz A.

−2

⎡5 A = ⎢⎢− 2 ⎢⎣0 •

3 −1

0⎤ − 1⎥⎥ 1 ⎥⎦

SOLUCIÓN

>> A=[ 5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; [V,D] = eig (A)

⎡0.2149 V = ⎢⎢0.4927 ⎢⎣0.8433 ⎡0.4158 D = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣ 0.0

− 0.5049 − 0.6831 0.5277 0 .0 2.2943 0 .0

− 0.8360⎤ 0.5392 ⎥⎥ − 0.1019 ⎥⎦ 0 .0 ⎤ 0.0 ⎥⎥ 6.2899⎥⎦

Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es: ƒ

[V,D] = eig (K,M)

K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas. Las dos son de orden (n x n) siendo n el número de grados de libertad. En

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE V vienen los modos de vibración y en D los valores propios con los cuales se obtienen las frecuencias naturales.

•

EJEMPLO 4 Calcular el exponencial de la siguiente matriz A

⎡4 A=⎢ ⎣2 •

2⎤ 9 ⎥⎦

SOLUCIÓN

>> A = [ 4 2 ; 2 9]; >> expm(A) ans = 1.0e+004 * 0.1815 0.5096

0.5096 1.4555

En este caso no se le asignó el nombre de una matriz al resultado de eA. En este caso MATLAB asigna la respuesta a ans. El cálculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de Estado, para encontrar la respuesta sísmica de un sistema de n grados de libertad.

5.

CÁLCULO DE INTEGRALES

MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla del trapecio y su formato de uso es: •

trapz (X,Y)

Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X. Por otra parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la función Y en los puntos discretos X.

•

trapz (Y)

Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran espaciados cada unidad.

6.

MATRIZ IDENTIDAD Y NULA

MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera: ƒ

A = eye (m)

ƒ

A = ones (m)

m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos de la matriz son unos.

ƒ

A = zeros (m)

m es el orden de la matriz A que está compuesta por ceros.

m es el orden de la matriz A identidad.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 7.

FUNCIONES MATEMÁTICA ELEMENTALES En la tabla 1 se indican las funciones elementales que más se utilizan en este libro.

Función sin (x) cos (x) tan (x) sinh (x) cosh (x) asin (x) asinh (x) log (x)

8.

Tabla 1 Funciones matemáticas elementales. Comentario Función Seno trigonométrico abs (x) Coseno angle (x) Tangente sqrt (x) Seno hiperbólico real (x) Coseno hiperbólico imag (x) Seno inverso trigon. conj (x) Seno inverso hiperbólico exp (x) Logaritmo de base e log10 (x)

Comentario Valor absoluto Angulo de fase Raíz cuadrada Parte real del complejo Parte imaginaria Conjugado de complejo Base exponencial e Logaritmo de base 10

GRÁFICAS EN MATLAB

Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboración de figuras, aquí únicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que están en este texto. ƒ

Para realizar un simple gráfico en dos dimensiones el comando es: plot (x,y) xlabel (‘Titulo para eje de las x’); ylabel (‘Titulo para eje de las y’); title (‘Titulo de la figura’) Previamente se habrán obtenido los vectores x, y.

ƒ

Para realizar varias curvas en un solo gráfico, se procede de la siguiente manera: hold off plot (x,y,’+’) hold on plot (x,z,’o‘) El comando hold on mantiene la gráfica para realizar otra curva. Es conveniente apagarla con hold off para que no quede activado este comando. Cuando se construyen varias curvas en una gráfica es conveniente dibujar cada una de ellas con un símbolo diferente los mismos que se indican entre ‘ ‘. En el ejemplo la primera curva se dibujara con el signo más y la segunda curva con círculo, en este caso se escribió la o no el cero. En la tabla 2 se indican varios símbolos disponibles.

Tipo de marca Punto Líneas muy pequeñas

Signo más Círculo

Tabla 2 Símbolos disponibles Símbolo Tipo de Marca Línea-Punto . Líneas entrecortadas : Signo estrella + Marca x O

Símbolo -. -* x

En lugar de utilizar símbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar colores, colocando en lugar del símbolo la letra de un color, las mismas que se indican en la tabla 3.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ƒ

Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden presentar m por n gráficas. La sintaxis es:

•

subplot (m,n,k)

Color de línea Rojo Magenta

Verde Blanco

•

k es el número de la gráfica que se dibuja, m y n se refiere a m por n gráficas que se quieren dibujar. Tabla 3 Colores disponibles Símbolo Color de línea Amarillo R Turquesa M Azul G Negro W

Símbolo y C B K

EJEMPLO 5 Encontrar en forma gráfica las raíces de la siguiente ecuación:

1 + cos p cosh p = 0 •

SOLUCIÓN

Esta ecuación aparece cuando se resuelve una viga en flexión modelado como un sistema continuo. La ecuación propuesta se puede escribir de la siguiente manera:

cos p = −

1 cosh p

Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son:

cos p , por una parte, y

− 1 / cosh p , por otra. Se presenta a continuación la forma de graficar en la modalidad consola. >> dx=0.01; >> for i = 1:500 p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); end >> plot (p,y,’r’); hold on; plot (p,z,’b’) En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 1 Gráfica de dos funciones.

Se puede colocar mayor información en el gráfico de la figura 1, con el propósito de explicar mejor cuales son las raíces, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es más fácil realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del cálculo gráfico de las raíces que ha sido realizado con MATLAB y PAINT.

Figura 2 Raíces encontradas.

9.

PROGRAMAS

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Si bien en el apartado anterior se realizó un pequeño programa, para dibujar las dos curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina. La primera instrucción de un programa es: function [resultados] = nombre (datos) En resultados vendrá el nombre de las variables que contienen los resultados del programa, puede ser una o varias variables o arreglos. El nombre corresponde a la forma de identificar el programa, no hay limitación en el número de letras que se utilicen para el efecto. Por último en datos vienen de consola, la información que requiere el programa para su ejecución. Normalmente se deben colocar datos pero también el programa puede pedir los datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma que no es obligatorio que existan siempre datos. Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarán comentarios, esto se lo hace con % y a continuación se indican todos los comentarios que se requieran. Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios. En una fila de datos se puede tener una o más sentencias en el ejemplo anterior se escribió tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace que los programas sean más cortos. Para programar básicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma de escribir las decisiones condicionales. En otras palabras saber el manejo del for y del if.

™

Bucles

Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end. Luego de un índice el mismo que va a variar en la forma que el usuario desee. La sintaxis del for es la siguiente: for i = ni:nf ………….. end Donde ni es el número inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es el número en que termina el bucle. En la forma indicada el índice i variará de uno en uno. Si se desea otro tipo de variación la sintaxis en la siguiente: for i = ni,dx,nf ………….. end En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir variando el índice i. Los …………., significan que en ese lugar se colocarán las sentencias del programa.

™

Condicionales La forma más sencilla de un condicional es la siguiente: if condición .............. else ………… end Si se cumple la condición que está al lado del if se ejecutan las líneas que están a continuación, caso contrario no se ejecutan estas líneas y se ejecutan las líneas posteriores a else. En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los condicionales:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Nombre Mayor que Mayor o igual Igual

Tabla 3 Lista de condicionales Operador Nombre > Menor que >= Menor o igual == No es igual

Operador < >=

=

La forma general de un condicional es: if condición .............. elseif ………… else ………… end

En este caso se tiene opción de hacer varias preguntas adicionales, en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif pero se pueden hacer tantas como sea necesario.

•

EJEMPLO 6

Elaborar un programa para encontrar una de las raíces de un polinomio de tercer grado aplicando el Método de Newton Raphson. •

SOLUCIÓN La fórmula del Método de Newton Raphson es la siguiente:

X i +1 = X i −

f (X i ) f ' (X i )

Donde f ( X i ) es el valor de la función en el punto X i ; derivada en

f ' ( X i ) es el valor de la

X i . Por facilidad se desarrolla un programa específico para un polinomio de tercer

grado de la forma: f ( x ) = ax + bx + cx + d modalidad consola. La ecuación a programar es: 3

2

X i +1 = X i −

Los datos

a, b, c, d se indicarán en la

a X i3 + bX i2 + cX i + d 3aX i2 + 2bX i + c

El cálculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de

X i y el programa

X i +1 con este valor se ve si f ( X i +1 ) es menor o igual a una tolerancia, si es menor se halló la raíz, caso contrario se continua con el cálculo para lo cual X i = X i +1 . El programa determina

que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuación.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tíldes en los programas de tal manera que aparecerán ciertas palabras con error gramatical.

function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi) % % Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el % Metodo de Newton Raphson % % a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado. % xi es dato el valor inicial que el usuario propone. % raiz es una de las raices que se obtienen % tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular. %f es el valor de la funcion en el punto xi tol=0.01;xx=xi; for i=1:100 f=a*xi^3+b*xi^2+c*xi+d; if f > [raiz] = newtonraphson (2,-5,1,2,3) El valor de

X i inicial propuesto es 3. El programa reporta:

raiz = 2.0006 Con relación al programa es necesario explicar dos sentencias que son: break y continue •

break

Sirve para salir del bucle. En el programa realizado en principio se debía realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la pregunta que se realiza si f > p = [ 2 -5 1 2] >> raiz = roots (p) El programa en el vector raiz reporta todas las raíces que son: raiz = 2.0000 1.0000 -0.5000 Si se conocen las raíces de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que contiene las raíces. Para el ejemplo se tendría: >> r = [ 2 1 -0.5] >> poly (r) El programa reporta: ans = 1.0000 -2.5000

0.5000

1.0000

Que son los coeficientes del polinomio del ejemplo, dividido para 2.

Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de un determinado programa o no recuerda que hace el programa. En este caso, en la modalidad consola se escribirá help y el nombre del programa. Luego va a aparecer todas las primeras instrucciones que son comentarios.

10.

ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS

En el libro se encuentra la respuesta sísmica de varias estructuras ante un acelerograma, de un sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las líneas de comentarios que normalmente traen los archivos y después darle un nombre con extensión .dat En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat. Este archivo debe grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK. Se destaca que debe ser un archivo ASCII. Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat; Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res;

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados pero pueden tener cualquier nombre.

11. FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICES MATLAB facilita, la forma de trabajar con matrices y vectores. A continuación se indican algunas de estas formas: ¾

Creación de una matriz diagonal

Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo: A = diag ( [ 5 4 3 ] ) Se crea la matriz:

⎡5 A = ⎢⎢0 ⎢⎣0 ¾

0⎤ 0⎥⎥ 3 ⎥⎦

0 4 0

Obtención de una submatriz

Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas. B = A ( 1:2,1:2) Se crea la submatriz:

⎡5 B=⎢ ⎣0

0⎤ 4⎥⎦

La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz. Luego entre paréntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la columna final Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notación clásica. Por ejemplo de la matriz A se desea obtener el número 4. A (2,2) ans= 4 ¾

Símbolo :

Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A. A(:,3)

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ans= 0 0 3 ¾

Máximo y Mínimo de un vector

Para encontrar el valor máximo o mínimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A). Siendo A. El nombre del vector. ¾

Dimensión de un vector o matriz

Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el nombre de la matriz o vector.

12.

FUNCIONES

Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente como vectores o matrices. Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera: >> t = linspace (0,1,11)

Con lo que se obtiene: t=0 ƒ ƒ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

La primera cantidad de linspace corresponde al número inicial, la segunda al número final y la tercera al número de valores que se desea, entre los números inicial y final. Se ha creado t como un vector fila. Esto es muy importante tener en cuenta ya que para graficar funciones se necesita tener un vector columna. En este caso se escribe de la siguiente manera: >> t = linspace (0,1,11)’ Si se desea obtener el seno para cada uno de los valores de t se procede de la siguiente manera:

>> a=sin(t) Con lo que se halla:

a= 0

0.0998 0.8415

0.1987

0.2955

0.3894

0.4794

0.5646

0.6442

0.7174

0.7833

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Se ha presentado un manual rápido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector comprenda los programas que en libro se presentan. Con tantas ventajas que ofrece MATLAB, los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad, son muy cortos. Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a entender perfectamente el tema que se está exponiendo. Para quienes deseen profundizar más en MATLAB se les recomienda el libro de Shoichiro Nakamura (1997), Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, 476 p., Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

CAPÍTULO 1

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

RESUMEN

Se deduce la ecuación diferencial del movimiento para sistemas de un grado de libertad y se resuelve en forma analítica para el caso de vibración: libre, forzada ante carga armónica y arbitraria ante pulsos rectangulares. Para el primer caso se obtiene la respuesta para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y críticamente amortiguada. Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificación dinámica y se ilustra el problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundación por efecto de vibración armónica. Finalmente para el tercer caso, se presenta la solución ante un escalón unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular. Se complementa el marco teórico con la presentación de programas en MatLab para resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificación dinámica de desplazamiento.

1.1 VIBRACIONES LIBRES En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y vibración forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se indica el modelo numérico de cálculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se aprecia en la posición ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I. a la posición inicial del sistema. Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición ( 2 ) de la figura 1.1 en que coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad δ y ahora la

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Posición Inicial P.I., pasa a la posición de equilibrio estático que se ha llamado P.E.E. En la posición ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:

mg=kδ ( 1.2 ) En la posición ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento ya que el sistema está en reposo. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la velocidad. En consecuencia se tendrá fuerza en el amortiguador cuando el sistema se encuentra en movimiento. En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo .

t = 0 la masa se desplaza una cantidad qo con una velocidad q o .

Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre. Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera q (t ) se mide a partir de P.E.E. Finalmente en ( 5 ) se presenta una posición genérica del movimiento en la que se ha colocado que la fuerza en el resorte vale k ( q + δ ) hacia arriba, el peso del sistema vale .

..

m g hacia abajo, la fuerza en el amortiguador c q hacia arriba y la fuerza inercial m q hacia arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene: .

..

k (q + δ ) + c q + m q − m g = 0 Al sustituir ( 1.1 ) en ésta última ecuación, se tiene: ..

.

m q + c q+ k q = 0

( 1.2 )

Se conoce que la frecuencia natural Wn y el período de vibración T , valen:

k m

Wn =

T=

Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento

ξ=

2π Wn

ξ

( 1.3 )

como:

c 2 mk

Si la ecuación diferencial ( 1.2 ) se divide para m se tiene: ..

q+

c . q + Wn2 q = 0 m

( 1.4 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Al multiplicar y dividir el término c/m por

2 mk y al utilizar la ecuación ( 1.4 ) se tiene:

c c 2 mk = = 2 ξ Wn m 2 mk m Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es: ..

.

q + 2ξ Wn q + Wn2 q = 0 1.1.1

( 1.5 )

Solución de la ecuación diferencial

Se plantea la solución de la ecuación diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma:

q(t ) = a e λ t

( 1.6 )

Donde a es una constante de integración y λ es una variable a determinar. Al derivar la ecuación ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene: .

q = a λ eλ t ..

q = a λ2 e λ t a λ2 e λ t + 2 ξ Wn a λ e λ t + Wn2 a e λ t = 0

(

)

a e λ t λ2 + 2 ξ Wn λ + Wn2 = 0 Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del paréntesis sea cero.

λ2 + 2 ξ Wn λ + Wn2 = 0 λ=

− 2ξ Wn ± 4ξ 2 Wn2 − 4 Wn2 2

λ = −ξ Wn ± Wn ξ 2 − 1 Las raíces de negativo.

1.1.2

λ

dependen del valor de

ξ

( 1.7 )

ya que el radical puede ser positivo, cero o

Vibración libre sin amortiguamiento

ξ = 0 , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando indefinidamente. Al ser ξ = 0 las raíces que se obtienen de ( 1.7 ) son: En este caso

λ = ±Wn Luego la solución se transforma en:

−1

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE q (t ) = A cos(Wn t ) + B sen(Wn t ) = C sen(Wn t + γ ) C= Siendo

•

γ

A2 + B 2

( 1.8 )

el ángulo de fase.

EJEMPLO 1

Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s. •

SOLUCIÓN

2π 2π 1 = = 31.416 T 0.2 s q(t ) = A cos(Wn t ) + Bsen(Wn t )

Wn =

q(t ) = − A Wn sen(Wn t ) + B Wn cos(Wn t ) .

Para t = 0 se tiene:

2= A 10 = B Wn Luego:

→B=

10 10 = = 0.3183 Wn 31.416

q (t ) = 2 cos(31.416 t ) + 0.3183 sen(31.416 t )

En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los siguientes comentarios: 9 9 9 9

La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva razón por la cual la curva va hacia arriba. El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde al período de vibración. Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece.

1.1.3

Vibración libre subamortiguada

Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de este caso las raíces son también números complejos. Las raíces son:

λ = −ξ Wn ± Wa W a = Wn 1 − ξ 2

0 < ξ ≤ 1 . En

−1 ( 1.9 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 2,5

2

1,5

Desplazamiento (cm.)

1

0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5 Tiempo (s.)

Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento.

Luego la solución es:

q (t ) = e −ξ Wnt [A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )]

q (t ) = exp(−ξ Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )]

( 1.10 )

La respuesta en el tiempo para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se ha escrito de dos formas en la ecuación (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armónicos es otro armónico por lo que la ecuación ( 1.10 ) en función del ángulo de fase queda: ( 1.11 )

q (t ) = C exp( −ξ Wn t ) sen(Wa t + γ ) C= •

A2 + B 2

EJEMPLO 2

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior si sistema es 0.2 s.

t=0

ξ = 0.05 .

q(0) = 2 cm. .

q (0) = 10 cm / s. •

SOLUCIÓN

q (t ) = exp(−ξ Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )] q (t ) = −ξWn exp(−ξ Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )] + .

exp(−ξWn t )[ A Wa cos(Wa t ) − B Wa sen(Wa t )]

Wa = 31.416 1 − 0.05 2 = 31.3767

El período del

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Para t=0 se tiene:

2=B 10 = −0.05 ∗ 31.416 ∗ 2 + A ∗ 31.3767

A = 0.41883

Luego la respuesta en el tiempo es:

q (t ) = exp(− 1.5708 ∗ t ) ∗ [0.41883 sen(31.3767 t ) + 2 cos(31.3767 t )] En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5% de amortiguamiento.

2,5

2

1,5

Desplazamiento (cm.)

1

0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

-0,5

-1

-1,5

-2 Tiempo (s.)

Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con

ξ = 0.05

Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes: 9 9 9

La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. La pendiente en t=0 es positiva. El período de la oscilación en este caso vale:

Ta = 9

2π Wa

Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero.

1.1.4

Vibración libre sobre amortiguada

Corresponde al caso en que ξ es mayor que la unidad. En este aso las dos raíces son reales. Luego la respuesta en el tiempo vale:

[(

)]

[(

)]

q(t ) = A exp − ξ Wn + Wn ξ 2 − 1 t + B exp − ξ Wn − Wn ξ 2 − 1 t •

EJEMPLO 3

( 1.12 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si

ξ = 1.2 . El período del sistema es

0.2 s.

t=0 •

.

q(0) = 2 cm.

q(0) = 10 cm / s.

SOLUCIÓN

Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es la siguiente:

q (t ) = 3.049 exp(− 16.8602 t ) − 1.049 exp(− 58.5382 t ) 2,5

Desplazamiento (cm.)

2

1,5

1

0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Tiempo (s.)

Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para

ξ = 1.2

Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son: 9 9 9

La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. La pendiente en t=0 es positiva. El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila.

1.1.5

Vibración libre críticamente amortiguada

En caso ξ = 1 . El radical de la ecuación ( 1.7 ) es cero y las dos raíces son iguales. Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es:

q(t ) = ( A t + B ) exp(− Wn t ) •

EJEMPLO 4 Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si

0.2 s.

( 1.13 )

ξ = 1.0 . El período del sistema es

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

t=0

q(0) = 2 cm. .

q (0) = 10 cm / s. •

SOLUCIÓN

q (t ) = exp(− Wn t ) [A − ( A t + B ) Wn ] .

Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra:

A = 72.832

B=2

La respuesta en el tiempo viene dada por:

q (t ) = (72.832 t + 2 ) exp(− 31.416 t ) La gráfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4

function [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) % % Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) %------------------------------------------------------------% zi: factor de amortiguamiento % w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl. % qo: desplazamiento en t=0 % qpo: velocidad en t=0 % tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos. t=linspace(0,0.6,500)'; if zi T se tiene que el tiempo de duración de la fuerza F0 es t − T .

Luego:

q (t ) = F0 g (t − T ) 1.3.2

Pulso rectangular

Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura 1.17 en que la fuerza vale F0 hasta el tiempo T y luego es nula.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 1.17 Pulso rectangular. Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver la ecuación diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta g (t ) . Para el primer caso se procedería así: ..

.

m q + c q + k q = F0

0> load Peru04.dat >> zeda=[0.05; 0.10; 0.20] >> [Sd,Sv,Sa]=espectro (Peru04,0.02,zeda)

En la figura 2.6 se ha indicado los espectros que reporta el programa ESPECTRO. Los comentarios que se realizan al respecto, son los siguientes: ƒ ƒ

La identificación del tipo de línea, que se encuentra en la parte inferior de la figura 2.6 se lo realizó con el programa PAINT. El último de los espectros es de aceleración relativa. No se ha encontrado el espectro de aceleración absoluta. La diferencia entre los dos, radica en que el espectro de aceleraciones relativas, se encuentra de la respuesta máxima en valor absoluto de las ..

aceleraciones q (t ) . En cambio, para hallar de la aceleración absoluta se debe hallar ..

el valor máximo en valor absoluto de ƒ ƒ ƒ

..

q (t )+ U g (t ) , es decir se debe sumar la

aceleración del suelo. A medida que los valores de ξ se incrementan, las formas espectrales disminuyen. Al presentar los tres espectros de respuesta de: desplazamiento, velocidad y aceleración relativa, en un solo gráfico, la escala vertical se redujo con lo que se deforma un poco las formas espectrales. Se denominan espectros de respuesta, ya que son espectros para un determinado sismo. Los espectros de diseño se obtienen en base a los espectros de respuesta de varios sismos, como se ilustra en el próximo capítulo.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 2.6 Espectros de respuesta elástica para el sismo del 9 de noviembre de 1974.

2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA Un programa muy versátil para el análisis dinámico de sistemas de 1 gdl es el programa DEGTRA desarrollado por Ordaz et al (2002) en el Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México, por lo que en este apartado se presenta su uso. Una vez que se tiene instalado el programa DEGTRA, lo primero que se debe hacer, es abrir una ventana para lo cual se selecciona el icono que está indicado con una flecha en la figura 2.7. Después se busca el archivo en el cual se halla el acelerograma, para el efecto se selecciona el icono que está indicado en la figura 2.8. Una vez que se ha seleccionado el archivo que contiene el acelerograma se debe indicar el número de líneas inútiles y el incremento de tiempo con el cual fueron grabados estas aceleraciones. En la figura 2.9 están en blanco los casilleros que deben ser llenados para que se cargue el acelerograma.

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Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA.

Figura 2.8 Selección del archivo que contiene el acelerograma.

Normalmente en las primeras líneas del archivo que contiene el acelerograma se tiene información sobre el registro, como la fecha del sismo, la magnitud, el tipo de suelo en que fue registrado el evento, la distancia epicentral, el nombre de la estación sismológica, el incremento de tiempo, la dirección de la componente sísmica, etc. Esta información es muy valiosa pero para fines de cálculo del espectro se convierte en líneas inútiles. Para el ejemplo de la figura 2.9 se tiene 11 líneas inútiles. Por otra parte el valor de DT = 0.02 s . Luego de llenar los casilleros en blanco con el número de líneas inútiles y el valor de

DT se presiona el icono OK apareciendo inmediatamente el acelerograma que está indicado en la figura 2.10.

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Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma. Posteriormente se selecciona el icono que calcula el espectro de respuesta que está indicado en la figura 2.10. Luego de presionar el icono que está bajo la flecha aparece el cuadro de datos que se presenta en la figura 2.11 y el usuario debe ratificar o rectificar esa información que aparece.

Figura 2.10 Acelerograma y selección del icono que obtiene el espectro de respuesta. Se debe indicar el número de puntos NT que se desean considerar para obtener el espectro. Por defecto considera 50 puntos. Es el número de osciladores de 1 gdl que se desean. Mientras más puntos se considera es mejor pero demanda más tiempo. El segundo dato es el período mínimo a partir del cual se desea hallar el espectro, por defecto este valor es 0.01 s., luego el período final hasta el cual se obtendra el espectro, por defecto se considera 3 s., Estos dos valores son adecuados razón por la que no deben modificarse.

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Figura 2.11 Información que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta. Finalmente se indica el valor de ξ que en la figura 2.11 se ha notado como Csi . Una vez llenado estos datos se selecciona el tipo de espectro que se desea encontrar. En la figura 2.11 se ha seleccionado el icono que corresponde al espectro de desplazamiento.

Figura 2.12 Acelerograma y Espectro de respuesta.

En la figura 2.12 se aprecia a la izquierda el acelerograma y a la derecha el espectro de respuesta elástico de desplazamiento, obtenido para ξ = 0.05 .

2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES Los espectros de respuesta proporcionan información muy valiosa para el proyectista estructural, ya que se puede inferir los edificios que van a estar sujetos a mayores fuerzas sísmicas. Por ejemplo, el sismo del 19 de septiembre de 1985, que tuvo una magnitud de 8.1 y una profundidad focal de 33 Km., se registro a 20 Km., de la costa de Guerrero y en el centro de Ciudad de México que se halla a 400 km., de la zona epicentral se tuvo gran daño en las edificaciones de mediana altura que están asociadas a períodos entre 1.5 y 2.5 segundos debido a que en esa zona se tuvo las mayores amplitudes como se aprecia a la derecha de la figura 2.13 en que se presenta el espectro de respuesta elástico de aceleraciones absolutas.

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Figura 2.13 Acelerograma y espectro de aceleraciones del sismo del 19 de septiembre de 1985. En la figura 2.13, a la izquierda se aprecia que la aceleración máxima del registro fue de 0.17 g., 17% de la aceleración de la gravedad y de baja frecuencia semejante a una excitación de tipo armónico que resultan ser muy destructivos. A la derecha de la figura 2.15 se observa que la aceleración máxima espectral fue de 1 g., y está asociado a un período de 2 s.

Figura 2.14 Acelerograma y espectro del sismo de Chile de 1985.

En el espectro de aceleraciones de la figura 2.13 se ve que para períodos menores a 1.5 s., las ordenadas espectrales son bajas. Luego las estructuras que tienen estos períodos que son las de pocos pisos, no fueron afectadas por el sismo de septiembre de 1985, como lo fueron las estructuras que tienen períodos entre 1.5 y 2.5 s. En el centro del Distrito Federal la velocidad de la onda de corte es muy baja. Por lo tanto, el período de vibración se debe calcular considerando interacción suelo estructura, lo que implica que el período es mayor que el que se obtiene con reglas como 0.11 N, siendo N el número de pisos. El 3 de marzo de 1985 tuvo lugar en Chile un sismo, también de subducción, con una profundidad focal de 15 km., y de una magnitud de 7.8. Aproximadamente a 140 km., del epicentro, en Lloleo se tuvo un registro sísmico con una aceleración máxima de 698 gals que corresponde a 0.71 g., cuyo acelerograma se indica a la izquierda de la figura 2.14 pero este sismo causó menos daño en las estructuras, que el sismo del Distrito Federal a pesar de que la aceleración máxima fue 4.17 veces mayor. A la derecha de la figura 2.14 se presenta el espectro de aceleraciones absolutas del registro de Llolleo, se aprecia que las aceleraciones espectrales máximas están asociadas a períodos comprendidos entre 0.3 y 0.5 s. En consecuencia fueron las edificaciones pequeñas las que sufrieron más daño. La aceleración máxima fue de 1880 gals que corresponde a 1.92 g., y está asociada a un período de 0.29 s. Se ha presentado dos espectros, el uno, el de Ciudad de México de 1985 en el cual las estructuras intermedias de 6 a 18 pisos fueron las más afectadas y el otro el del sismo de Chile de 1985 en que las estructuras de 2 a 4 pisos fueron afectadas. De tal manera que en Ciudad de México se tendrá mayor precaución en la construcción de edificaciones de 6 a 18 pisos y de

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ser posible se evitará tener edificios con estos pisos. En cambio en Chile habrá que tener cuidado con las edificaciones de pocos pisos ya que se esperan fuerzas sísmicas muy altas. Evidentemente que en base a dos eventos sísmicos no se pueden dar conclusiones generales sin embargo de ello se hace notar que es muy importante conocer las formas espectrales con el propósito de saber que tipo de edificaciones se verán más afectadas durante un sismo de similares características.

2.8 SEUDO ESPECTROS A partir del espectro de desplazamientos se puede obtener en forma aproximada el espectro de velocidades y el espectro de aceleraciones, utilizando la definición de seudo espectro.

PS v ≈ Wn S d

( 2.11 )

PS a ≈ Wn PS v ≈ Wn2 S d

( 2.12 )

Siendo PS v y PS a los seudo espectros de velocidad y aceleración. Si bien es cierto desde el punto de vista numérico encontrar los espectros de velocidad o aceleración, aplicando cualquier algoritmo de cálculo, no es ningún problema, de tal manera que no tendría mayor importancia la definición de seudo espectros y las ecuaciones ( 2.11 ) y ( 2.12 ). Pero la importancia de estas ecuaciones radica en la aplicación práctica para hallar el desplazamiento espectral elástico a partir de la aceleración espectral, utilizando para el efecto la siguiente ecuación.

⎛ T S d = ⎜⎜ ⎝2π

2

⎞ ⎟⎟ S a ⎠

( 2.13 )

Donde T es el período de vibración. De esta forma se obtiene el desplazamiento espectral a partir de la aceleración espectral.

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CAPÍTULO 3

ESPECTROS DE DISEÑO

RESUMEN

Se inicia el capítulo presentando en forma didáctica como se obtiene un espectro de diseño para 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú. Luego se realiza una reseña histórica sobre los espectros de diseño y se indican los resultados del trabajo desarrollado por Seed, Ugas y Lysmer desarrollado en 1976, que han servido de base para la formulación de formas espectrales en varias normativas sísmicas publicadas por la década de los años ochenta. Posteriormente se presentan los Espectros Elásticos e Inelásticos del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, se realiza un estudió muy detallado del factor de reducción de las fuerzas sísmicas R por comportamiento inelástico de la estructura, se indica la forma como se evalúa este factor en base al factor de ductilidad Rµ , al factor de sobrerresistencia RS y al factor de redundancia R R . Varias normativas sísmicas, entre ellas el CEC-2000 no indican como debe evaluarse el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , únicamente se asignan valores para determinadas tipologías estructurales, los mismos que provienen de la experiencia y poco rigor cuantitativo, que al no ser utilizados en forma eficiente por desconocimiento de cómo se calcula este factor puede llevar a sobre estimar o subestimar significativamente las fuerzas sísmicas de diseño, razón por la cual en este capítulo se da bastante énfasis al cálculo del factor R . También se presenta los resultados de dos investigaciones realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas, CEINCI, la primera, sobre el cálculo del factor Rµ en base al estudio de las respuestas elástica e inelástica de 63 acelerogramas de sismos registrados en Colombia, Perú, Chile y Argentina. La segunda investigación que se presenta tiene que ver con la propuesta que se hace para obtener espectros, para ser utilizados en el análisis sísmico por desempeño. En efecto se proponen formas espectrales para los sismos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente. Estas formas espectrales se derivan a partir del sismo raro estipulado por el CEC-2000. Se presenta,

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE además, programas de computación en MATLAB para hallar los espectros por desempeño y el factor de reducción por ductilidad.

3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO Para encontrar un espectro de diseño se deben clasificar los registros sísmicos de acuerdo al lugar en que fueron registrados ya que la forma espectral depende del tipo de suelo. Una vez que se tienen clasificados los eventos se procede a obtener los espectros de respuesta de cada uno de ellos, posteriormente se aplican las estadísticas con las que se determina el espectro de diseño. Realmente es muy sencillo encontrar un espectro de diseño lo difícil es tener una muestra de datos que se la pueda considerar confiable. Es deseable que los registros sísmicos con los cuales se vayan a obtener los espectros de diseño tengan una aceleración máxima de suelo considerable, por lo menos que sean mayores al 10% de la aceleración de la gravedad. En la mayor parte de países de Latinoamérica no se cuenta con una cantidad suficiente de eventos fuertes por lo que han trabajado con sismos de aceleraciones pequeñas normalizados a aceleraciones grandes, este procedimiento no es correcto pero ante la ausencia de registros fuertes no queda otra opción. •

EJEMPLO 1

Obtener un espectro de diseño a partir de los registros sísmicos indicados en la tabla 3.1, que fueron sentidos o registrados en el Perú. En la última columna se muestra el tipo de suelo en el cual se obtuvo el registro, cuando no se tiene información del tipo de suelo en el que se ha obtenido el acelerograma se acostumbra colocar suelo a secas.

Cod 01 b 02 a 02 b 03 a 03 b 04 a 04 b 05 a 05 b 06 a 06 b 07 a 07 b 08 a 08 b 09 a 09 b •

Tabla 3.1 Registros sísmicos considerados para obtener espectro de diseño Fecha Lugar Distancia Magnitud Aceleración Tipo de Epicentral Máxima Suelo 13-06-05 Iquique 387.79 km. 7.8 Mw 125.43 gals Roca 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Mw 119.10 gals Suelo 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Nw. 111.15 gals Suelo 17-10-66 Perú 225.26 km. 6.4 Mb. 180.59 gals Grava guesa 17-10-66 Perú 225.26 km. 6.4 Mb. 269.34 gals Grava gruesa 9-11-74 Perú 80.55 km. 6.0 Mb. 116.79 gals Limo arcilloso 9-11-74 Perú 80.55 km. 6.0 Mb. 93.71 gals Limo arcilloso 23-06-01 Perú 338.46 km. 8.3 Mw 295.22 gals Suelo 23-06-01 Perú 338.46 km. 8.3 Mw 220.04 gals Suelo 31-05-70 Perú 369.17 km. 7.9 Mw 104.82 gals Grava gruesa 31-05-70 Perú 369.17 km. 7.9 Mw. 97.749 gals Grava gruesa 3-10-74 Perú 59.74 km. 8.1 Mw 97.96 gals Grava gruesa 3-10-74 Perú 59.74 km. 8.1 Mw. 178.95 gals Grava gruesa 3-10-74 Perú 63.89 km. 6.2 Mb. 192.35 gals Aluvional 3-10-74 Perú 63.89 km. 6.2 Mb. 207.12 gals Aluvional 5-01-74 Perú 90.10 km. 6.5 Mw. 139.59 gals Suelo 5-01-74 Perú 90.10 km. 6.5 Mw. 156.18 gals Suelo

SOLUCIÓN

En la tabla 3.1 se tiene un total de 17 registros, cantidad que es pequeña como para pensar en separarlos de acuerdo al tipo de suelo en que fueron registrados, razón por la que se trabaja con todos ellos. Cada uno de estos registros fue normalizado a 392 gals (0.4 g) de tal manera que los registros se multiplicaron por un factor tal que la aceleración máxima sea la indicada. Los espectros se obtuvieron para ξ = 0.05

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En la figura 3.1 se indican los espectros de respuesta, de aceleraciones absolutas, de cada uno de ellos y con una línea más gruesa se presenta el espectro medio. Para cada período de vibración se tienen 17 aceleraciones espectrales de tal manera que se puede hallar la media y la desviación estándar para cada período. La línea más gruesa de la figura 3.1 corresponde al espectro medio que se sería el espectro de diseño del grupo de datos, la misma que se presenta en la figura 3.2. Nótese que para T = 0 la aceleración espectral vale 0.4 g = 392 gals tiene un valor que está alrededor de 975 gals. La relación entre estos dos valores se denomina β que será comentado cuando se hable del Espectro de Diseño del Código Ecuatoriano. Retomando el ejemplo, con los datos se tiene que β = 2.49

ESPECTROS RESPUESTA 2000 1800 1600 Aceleració

1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

01b 02a 02b 03a 03b 04a 04b 05a 05b 06a 06b 07a 07b 08a 08b 09a 09b Media

Periodo

Figura 3.1 Espectros de respuesta y espectro medio de la muestra considerada.

Al trabajar con el espectro medio se tiene que la probabilidad de excedencia de las ordenadas espectrales es del 50%. En efecto, se aprecia que existe una cantidad significativa de aceleraciones que están sobre la curva media. Si se desea disminuir esta probabilidad de excedencia a la curva de valores medios se deberá sumar una desviación estándar o más dependiendo de la probabilidad de excedencia con la cual se desea trabajar. Una vez que se tiene el espectro medio, para dar ecuaciones para una normativa sísmica, se definen líneas y curvas que más se aproxime al espectro medio, como se ilustra en la figura 3.3 en que se ha definido una línea ascendente, luego una recta, posteriormente una curva descendente y finalmente una recta. El punto de inicio del espectro tiene una aceleración espectral que vale: α A0 , siendo α el coeficiente de importancia y A0 la aceleración máxima del suelo. La recta de aceleración constante, que va desde el período T0 hasta el período T

*

tiene un valor de

α β A0 .

Habrá que definir la ecuación de la curva

descendente del espectro que va desde el período T +

períodos mayores a T .

∗

hasta T

+

y finalmente la ecuación para

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Figura 3.2 Espectro medio, de diseño de grupo de datos. Con el propósito de ser conservador y teniendo presente que el valor del período T0 es muy bajo se puede pensar en eliminar la recta ascendente y dejar el espectro para la normativa sísmica como se indica en la figura 3.4. En este caso se tienen dos rectas y una curva. Se hace hincapié en que para períodos menores a T0 se está sobredimensionando la aceleración espectral y por ende la fuerza sísmica resultante.

Figura 3.3 Espectro medio y formas spectrales para normativa sísmica

3.2 RESEÑA HISTÓRICA En 1959, Housner propuso el primer grupo de formas espectrales promedio, normalizando para el efecto 8 registros obtenidos de los siguientes terremotos: El Centro 1934 y 1940, Western Washington, (Olympia) 1949 y Kerb County (Taft) 1952. Trabajando en forma similar a la indicada en el apartado anterior.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Hayashi, Tsuchida y Kurata en 1971, presentan formas espectrales promedio trabajando con 61 acelerogramas registrados en Japón, lamentablemente muchos de los registros tenían aceleraciones muy bajas y las condiciones del subsuelo en las estaciones de los registros se conocen parcialmente, por estos motivos los resultados obtenidos son considerados como preliminares.

Figura 3.4 Modelo de 2 rectas y una curva para el espectro de diseño. Newmark, Blume y Kapur en 1973 presentaron los resultados a los que llegaron trabajando con acelerogramas cuya aceleración máxima del suelo es mayor que 0.1g. Los estudios realizados los dividieron en dos grupos. ... En el primer grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la aceleración máxima del suelo ..., para el efecto trabajaron con 33 registros. ... En el segundo grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la velocidad máxima del suelo ..., en este caso trabajaron con 28 registros. En los estudios realizados no se clasificó los registros de acuerdo al tipo de suelo. Seed, Ugas y Lysmer en 1976 ampliaron el estudio y consideran 104 registros obtenidos en sitios en los cuales se conoce con cierta exactitud las condiciones del suelo. Este trabajo ha servido de base para la formulación de varios códigos en América del Sur. Razón por la cual a continuación se presentan los resultados del trabajo en la figura 3.5. Seed et al (1976) clasificaron los 104 registros en cuatro tipos de suelo, a saber: i) Registros en roca (28), ii) Registros en suelo duro con espesor inferior a 60 m., (suelo rígido) (31), iii) Registros en suelos granulares con profundidad superior a 75 m. (30), y iv) registros para arcillas medias o arenas (15). Seed et al (1976), luego de la clasificación de los registros, construyeron los espectros de respuesta elásticos para un 5% de amortiguamiento y en la figura 3.5 se indican los espectros de aceleración promedios para los cuatro tipos de suelo, indicados. Del análisis de la figura 3.5 se puede indicar: •

La respuesta máxima espectral de los registros en roca se da para un período de 0.2 s., y tiene un factor de amplificación de 2.5.

•

En los suelos duros con espesores inferiores a los 60 m, la respuesta máxima se dio para períodos de 0.4 s con un factor de amplificación de 2.8.

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El espectro promedio de suelos no cohesivos profundos tiene dos picos máximos, uno a los 0.45 s de período con un factor de amplificación de 2.7 y otro a los 0.90 s de período con un factor de 1.9.

• Los registros de arcillas blandas a medias, producen un espectro con un factor de amplificación de 2.1, que se da para un rango de períodos que varía de 0.3 a 1.0 s.

Figura 3.5

Espectros promedios, para diferentes condiciones de suelo.

3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000 El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 considera cuatro zonas sísmicas que van desde 0.15 g . , en la región oriental, hasta la zona cuatro que tiene un valor

Ao = 0.4 g . , en parte de la costa y de la sierra. En la figura 3.6 se presenta la forma del espectro de diseño elástico del CEC-2000 que está definido por las siguientes ecuaciones:

T > [Ru]=newmarkhall(u) En la figura 3.13 se indican las curvas que reporta el programa NEWMARKHALL. La identificación de cada curva se la realizó utilizando PAINT.

3.9

AGUIAR Y GUERRERO (2005)

En base al análisis de 63 registros sísmicos con aceleración máxima del suelo mayor al 10% de la aceleración de la gravedad, Aguiar y Guerrero en el 2005 encuentran relaciones para el desplazamiento máximo inelástico ∆ i con respecto al desplazamiento máximo elástico

∆ e . Si se aprecia la ecuación ( 3.13 ) está relación reporta µ / Rµ . Lo importante es determinar el valor de Rµ que pueda ser utilizado en el Ecuador o en alguno de los países de donde proceden los acelerogramas con que se ha trabajado. Las ecuaciones obtenidas son las siguientes:

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∆i = β3 ∆e

β3 =

( 3.16 )

µ

[c (µ − 1) + 1]

1/ c

=

µ

( 3.17 )

Rµ

0.381 T 2.07 + 2.07 T 1+ T 1.247 0.248 T + c(T , α ) = 1.247 T 1+ T

c(T , α ) =

para α = 0.0 para α = 0.05

( 3.18 )

( 3.19 )

Donde α es la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica, para el modelo elasto plato perfecto indicado en las figuras 3.10 y 3.11 el valor de α = 0 ya que la rigidez post fluencia es cero (recta Y-I). El denominador de la ecuación ( 3.17 ) viene a ser el valor de Rµ que se ha comentado en los últimos apartados. En la figura 3.14 se indica la curva que dio origen a la ecuación ( 3.17 ) para el caso de

α = 0 , para demandas de ductilidad de 2 a 4. Se destaca que los sismos del estudio fueron registrados en Colombia, Perú, Argentina y Chile.

Se observa en la figura 3.14 que para períodos mayores a 0.5 s., el desplazamiento máximo inelástico es prácticamente igual al desplazamiento máximo elástico. Por lo tanto para períodos mayores a 0.5 s., se cumple la regla de igual desplazamiento. Para períodos menores a 0.5 s., la regla de igual desplazamiento subestima el cálculo del desplazamiento máximo inelástico. Se aprecia en la figura 3.14 que cuando el período tiende a cero la relación entre el desplazamiento máximo inelástico con respecto al desplazamiento máximo elástico tiende a la ductilidad, de acuerdo al trabajo desarrollado por Newmark y Hall (1982). Con los datos indicados en la figura 3.14 se puede indicar que para períodos menores a 0.5 s., la regla de igual energía es apropiada para calcular el desplazamiento máximo inelástico.

Figura 3.14 Parámetro

β3

obtenido en base a sismos registrados en América del Sur.

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3.10

APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000 Con relación a las figuras 3.10 y 3.11 se tiene que la fuerza elástica Fe es igual al

producto de la masa m por la aceleración elástica Ae . De igual manera la fuerza inelástica Fy es igual a la masa m por la aceleración inelástica Ai .

Fe = m Ae Fy = m Ai Al dividir estas dos ecuaciones y teniendo en cuenta que Fe / Fy = Rµ se tiene que la aceleración inelástica es igual a la aceleración elástica dividida para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas.

Ai =

Ae Rµ

( 3.20 )

Esta ecuación ha sido adoptada por el CEC-2000 y por algunas otras normativas sísmicas, de tal manera que a partir del espectro elástico se halla el espectro inelástico dividiendo para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas.

3.11

INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA

Cuando se realiza el análisis sísmico se encuentran las fuerzas laterales, estáticas equivalentes con las que se procede al diseño de la estructura. La sumatoria de estas fuerzas laterales representa el cortante basal de diseño V0 . Ahora bien, cuando se diseñan los elementos estructurales, para facilitar el sistema constructivo, se coloca más armadura o se agrandan las secciones de los elementos para poder utilizar los mismos encofrados o para facilitar el armado. Adicionalmente, en el cálculo se deben realizar una serie de controles, como por ejemplo, el control de la conexión viga columna, el mismo que algunas veces conduce a incrementar la sección de los elementos. Todo esto ocasiona un incremento en la capacidad al corte basal de la estructura lo que da origen al factor de resistencia RS que no es más que la relación entre la verdadera capacidad al corte en la base que tiene la estructura con relación al corte basal de diseño. Únicamente para mantener el esquema de la explicación se hace una abstracción a la nomenclatura utilizada en las figuras 3.10 y 3.11 y se emplea una figura realizada por Julio Hernández (1997) la misma que se presenta en la figura 3.15. El modelo elasto perfectamente plástico es un modelo ideal, en la realidad la rigidez post fluencia es diferente de cero. Por otra parte, ante un sismo severo no se forma una sola rótula plástica sino que se forman varias rótulas como lo ilustra la figura 3.15. La primera rótula está identificada en la figura con la letra D de diseño que vendría a representar la letra Y de las figuras 3.10 y 3.11 pero ahora el nuevo modelo elasto plasto se encuentra más arriba porque la estructura tiene una mayor capacidad sísmica. Con esta indicación el factor de resistencia RS viene definida por:

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RS =

Fy ( 3.21 )

Fd

Por relación de triángulos semejantes, de la figura 3.15 se tiene que:

∆y ∆d

=

Fy Fd

= RS

De donde:

Fy = RS Fd ∆ y = RS ∆ d Luego:

Rµ =

µ=

Fe Fe = Fy RS Fd

⇒ Fe = Rµ RS Fd

∆i ∆i = ∆ y RS ∆ d

⇒ ∆ i = µ RS ∆ d

( 3.22 )

( 3.23 )

Por lo tanto, al considerar el factor de resistencia, se tiene que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R y la ductilidad global del sistema D, valen:

R = RS Rµ D = RS µ

( 3.24 )

Figura 3.15 Capacidad sísmica resistente.

Es importante ver con detenimiento la ecuación ( 3.24 ) que indica que la ductilidad global del sistema es igual al producto del factor de resistencia por la demanda de ductilidad. En estructuras muy bien detalladas que tengan ductilidades por curvatura en las vigas mayores a 12 se puede pensar en tener una ductilidad µ = 4 y un factor

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE de resistencia de 1.5 de tal manera que la ductilidad global es de 6. Para estas condiciones, en la figura 3.16, se indica el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .

Figura 3.16 Factor de reducción R para una demanda de ductilidad global 6. El factor de reducción de las fuerzas por ductilidad Rµ se halló con la siguiente ecuación:

Rµ = [c(µ − 1) + 1]

1/ c

c=

T 2.07 0.381 + 2.07 T 1+ T

Nótese, en la figura 3.16, que para períodos menores a 0.5 s., los valores de R son menores a 6. De tal manera que para este rango de períodos no se puede trabajar considerar un factor de reducción de las fuerzas sísmicas igual a 10 ya que el sismo le va a demandar mayores fuerzas sísmicas. Es verdad que en el ejemplo se ha considerado que el factor de redundancia es igual a la unidad pero al considerar este factor tampoco se llega a 10. El desconocimiento de la forma como se evalúa el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R puede llevar a que emplee el mayor valor que estipula el Código y de esa manera se obtienen fuerzas estáticas por sismo muy bajas que están mal evaluadas.

3.12

INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA

Cuando la estructura ingresa al rango no lineal, es importante que la mayor parte de elementos tome partido soportando las fuerzas sísmicas, para que de esta manera se de una redistribución de esfuerzos en la estructura. El Índice de redundancia, es el parámetro que permite calificar la redistribución de esfuerzos en la estructura cuando esta incursiona en el rango no lineal. Guendelman (2000). Como se podrá apreciar el índice de redundancia depende de que resistencia adicional tenga el elemento cuando ha llegado a la fluencia, cuando ha llegado al límite del rango elástico. En efecto, habrá elementos que han llegado a la fluencia y otros no pero si los primeros tienen todavía una capacidad de soportar más fuerzas sísmicas o tienen una gran ductilidad, de seguro que esto obligará a que los elementos que están menos solicitados

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE absorban mayores cargas y deformaciones, de esta forma no se permite tener elementos ociosos y así la estructura disipará la mayor cantidad de energía sísmica. El índice de redundancia también es función del número de elementos que tenga el pórtico y del número de pórticos que tenga la estructura, ya que a mayor cantidad de elementos se tendrá una mayor cantidad de rótulas plásticas. Pero no es función únicamente del número de rótulas plásticas el índice de redundancia si no también de que tanto permite esa rótula plástica incursionar en el rango no lineal, de tal manera que el índice de redundancia se puede calcular en base al número de rótulas plásticas y a la capacidad de incursionar en el rango inelástico de ese elemento. El ATC (1995) penaliza a las estructuras que tienen menos de 4 ejes de columnas, asignado valores para el factor de redundancia R R menores a la unidad, como se aprecia en la tabla 3.4. Donde, por ejemplo, para estructuras compuestas por 3 ejes de columnas en cada dirección el factor R R , de acuerdo al ATC es de 0.86 Estas son estructuras compuestas por 9 columnas. Tabla 3.4 Valores propuesto de R R por el ATC-1995 Número de ejes de columnas Factor R R 2 0.71 3 0.86 4 1.00 En forma implícita se incorporaba el factor de redundancia, en el factor de ductilidad global del sistema D y para efecto se consideraba que si una estructura tiene una mayor cantidad de ejes de columnas, tendrá un mayor valor de D. La tendencia actual es transparentar ese valor y para el efecto se están realizando numerosas investigaciones entre las que se destacan las realizadas por Tsopelas y Husain (2004) en que proponen el cálculo del factor de redundancia R R en función de dos índices, el uno denominado índice de redundancia por resistencia rs y el otro denominado índice de redundancia por formación de rótulas plásticas rv .

⎛ 1 − k ve rv RR = rs ⎜⎜ ⎝ 1 − k ve

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( 3.25 )

Donde k es un parámetro estadístico que está relacionado con una función normal de resistencia de los elementos de la estructura. Este parámetro varía entre 1.5 y 2.5. (Nowak y Collins, 2000). ν e es el coeficiente de variación de la resistencia de los elementos, varía entre 0.08 y 0.14 (Ellingwood et al. 1980).

rv =

1 1 n m −1

( 3.26 )

Siendo n el número de rótulas plásticas que se esperan en un pórtico plano; m el número de pórticos que tiene la estructura en la dirección analizada.

rs =

Su S nr

( 3.27 )

Donde S u es la máxima resistencia de la estructura, que no está asociada al colapso de la misma. S nr es la resistencia de la estructura como que no tuviera redundancia. Se ha presentado únicamente el modelo desarrollado por Tsopelas y Husain (2004) para determinar

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE para determinar el factor de redundancia y tener idea de las variables que intervienen en su formulación. La determinación de R R se la realiza en cada dirección principal de la estructura.

3.13

CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R

Para iniciar el análisis sísmico de una estructura, el proyectista estructural debe imponerse un valor de reducción de las fuerzas sísmicas R y para el efecto acude al Código o Normativa Sísmica y selecciona el mayor valor estipulado de acuerdo a la tipología estructural. Es conveniente que el lector conozca que esos valores no tienen un respaldo cuantitativo más bien tienen un respaldo cualitativo y están basados en el criterio de expertos. Por lo que se recomienda ser cautelosos con la selección de los mismos y no tomar el mayor estipulado especialmente si el período de la estructura es menor a 0.5 segundos, (figura 3.16 ). Una vez que el proyectista selecciona el valor de R , también selecciona el valor de la ductilidad µ . Si R es alto el valor de µ también será alto y para lograr un µ alto deberá seguir al pie de la letra todo lo requerido en el Código A.C.I. (American Concrete Institute). Una vez que ha finalizado el diseño, es obligación del calculista calcular el factor R , para lo cual debe proceder de la siguiente manera: i.

Calcular el factor de reducción por ductilidad Rµ , el mismo que está en función del período de vibración

T y de la ductilidad del sistema µ Rµ = [c(µ − 1) + 1]

1/ c

T 2.07 0.381 + c= 2.07 T 1+ T ii.

Determinar el factor de resistencia RS para el efecto debe encontrar la curva de capacidad sísmica resistente, empleando la técnica del pushover. La curva de capacidad sísmica relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio Dt . Aguiar (2003). En la figura 3.17, a la izquierda se indica con líneas entrecortadas esta curva y con línea continua se presenta el modelo bilineal.

∗

Figura 3.17 Descripción del modelo utilizado para calcular VU .

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE El modelo bilineal está definido por el cortante de fluencia V y , el desplazamiento a nivel de fluencia Dty , el cortante a nivel de fallo Vu y el desplazamiento asociado Dtu . En Aguiar (2002) se enseñan varios criterios con los cuales se puede hallar el modelo bilineal. Una vez que se halla el modelo bilineal, que contempla incremento de resistencia en el rango no lineal, se halla el modelo elasto perfectamente plástico que se muestra en la gráfica de la derecha de la figura 3.17, mediante las siguientes ecuaciones: ∗ U

V =

V y + Vu

VU∗ Dty D = Vy ∗ ty

2

( 3.28 )

∗

Donde VU es la capacidad de cortante último de la estructura. Para encontrar el factor de resistencia RS se debe conocer el cortante de diseño V0 ya que:

RS =

VU∗ V0

( 3.29 )

El valor de V0 debe encontrarse con cualquier método en el cual no intervenga el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ya que este el valor se está calculando. Se recomienda utilizar el Método del Espectro de Capacidad descrito con detalle en el libro: “Análisis Sísmico por Desempeño”, Aguiar (2003). En el Método del Espectro de Capacidad se coloca en un mismo grafico, el espectro de capacidad de la estructura y el espectro de demanda sísmica como se tiene en la figura 3.18. En el eje de las X, se representa el desplazamiento espectral que se ha denominado S d y en el eje de las Y, la aceleración espectral denominada S a . De tal manera que el espectro de diseño que relaciona el período de la estructura con la aceleración espectral debe pasarse al formato desplazamiento aceleración. Lo propio debe ejecutarse con la curva de capacidad sísmica de la estructura que está en el formato desplazamiento lateral máximo vs. cortante basal. En el Método del Espectro de capacidad básicamente se halla el punto de desempeño que en la figura 3.18 se ha identificado como dt.

Figura 3.18 Descripción del Método del Espectro de capacidad.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE El desplazamiento dt está asociado a un sistema de un grado de libertad por lo que para encontrar el desplazamiento máximo Dt en el sistema real que tiene múltiples grados de libertad se debe multiplicar este valor por el factor

β1 .

Dt = β 1 d t

( 3.30 )

Donde d t es el desplazamiento lateral máximo, en un sistema de un grado de libertad, que se halla en el Método del Espectro de Capacidad.

β1

es el factor de amplificación

que permite encontrar el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio Dt . Se recomienda la ecuación propuesta por Algan (1982) para calcular

β1 =

3N 2 N +1

β 1 . Esta es: ( 3.31 )

Siendo N el número de pisos de la estructura. Una vez que se ha determinado Dt se ingresa a la curva de capacidad sísmica de la estructura, con este valor y se halla el cortante basal V0 . Finalmente se aplica la ecuación ( 3.29 ) y se halla RS . iii.

Se halla el factor de redundancia R R para el efecto se recurre a la técnica del pushover para ver el número de rótulas plásticas que se pueden formar en la estructura. Más fácil es ver el número de rótulas plásticas n que se forman en un pórtico hasta llegar al fallo de la estructura. Para una determina dirección se tiene el número de pórticos m . Por lo tanto al aplicar la ecuación ( 3.26 ) que se copia a continuación, se halla el índice de redundancia por formación de rótulas plásticas.

rv =

1 1 n m −1

Para encontrar el índice de resistencia rs se recomienda trabajar con la siguiente expresión:

rs =

ns

∑ i =1

M ui M yi

( 3.32 )

ns

Donde M ui , M yi son los momentos último y de fluencia en la sección i. La sumatoria va desde i=1 hasta ns siendo ns el número total de secciones del pórtico . Por lo tanto, se debe hallar la relación momento curvatura en cada uno de los elementos del pórtico y encontrar el valor promedio indicado en ( 3.32 ). Para cada elemento se hallan seis valores de la relación M u / M y dos en el nudo inicial, dos en el centro de luz y dos en el nudo. Son dos valores ya que se debe considerar que el elemento trabaja a flexión en forma cóncava y convexa. De estos seis valores se halla el promedio en el elemento y con estos promedios se encuentra el valor medio de todo el pórtico. Se entiende que el programa que se está empleando para hallar la curva de capacidad sísmica de la estructura aplicando la técnica del pushover, obtiene también la relación momento curvatura en la forma anotada en el párrafo anterior. Finalmente se recomienda el cálculo del factor de redundancia con la siguiente ecuación:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

⎛ 1 − 0.12 rV ⎞ R R = rS ⎜ ⎟ ⎝ 0.88 ⎠

( 3.33 )

En la ecuación propuesta por Tsopelas y Husain (2004) se ha reemplazado k v e = 0.12 . Al aplicar la técnica del pushover y el Método del Espectro de capacidad para hallar el punto de desempeño, el proyectista estructural estará conociendo más de cerca el probable comportamiento sísmico que va a tener la estructura ya que podrá apreciar cual es la secuencia de formación de las rótulas plásticas, la capacidad de incursionar en el rango no lineal cada elemento y la estructura en si. Un programa de computación que facilita el cálculo del factor de resistencia RS y del factor de redundancia R R es el CEINCI 3. Aguiar (2003).

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

CAPÍTULO 4

MATRIZ DE RIGIDEZ

RESUMEN

La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el análisis sísmico de estructuras, tanto en el rango lineal como en el rango no lineal. Por este motivo, en el presente capítulo se presenta esta temática orientada al uso del computador. Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, a saber: la primera involucra la inversión de una matriz, la segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales y la tercera, que es la más se utiliza, mediante la eliminación de Gauss. Por otra parte, se presenta la matriz de rigidez de los elementos para el análisis sísmico de pórticos planos, de dos maneras, la primera sin considerar nudos rígidos y la segunda considerando nudos rígidos. El análisis sísmico de una estructura puede realizarse considerando pisos rígidos o considerando pisos flexibles, temas que también son analizados en el presente capítulo. Para el primer caso, se presentan dos formas de modelar los elementos, en la primera se considera que solo las vigas son axialmente rígidas y en la segunda todos los elementos son axialmente rígidos. Para todos los tópicos presentados en este capítulo se han desarrollado programas de computación en MATLAB los mismos que ayudan a entender la teoría expuesta y además para su utilización práctica.

4.1

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es constante y lo mismo sucede con la matriz de rigidez de la estructura. La obtención de las matrices indicadas se presenta con detenimiento en la tercera edición del libro: “Análisis

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Matricial de Estructuras”, Aguiar ( 2004), aquí se omite la deducción y únicamente se presentan los formularios de cálculo.

4.1.1 Análisis sin nudo rígido En la figura 4.1, se indica el sistema de coordenadas locales de un elemento horizontal de un pórtico plano, en el que no se considera la deformación axial, hipótesis de cálculo que se puede utilizar en el análisis sísmico de estructuras para los elementos horizontales.

Figura 4.1 Sistema de coordenadas locales para un elemento axialmente rígido. Para el elemento horizontal indicado en la figura 4.1, se tiene que el sistema de coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales. Por otra parte, se recuerda que las estructuras se resuelven en coordenadas globales. La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal, razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. Con relación al sistema de coordenadas locales de la figura 4.1, la matriz de rigidez es la siguiente.

⎡t b − t b' ⎤ ⎢ ⎥ k −b a ⎥ ⎢ k= ⎢ t − b' ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ k '⎥⎦

( 4.1 )

La forma de la matriz de rigidez, indicada en ( 4.1 ) es válida para elementos de sección constante o de variable. Para elementos de sección constante, se tiene:

4( EI ) o ⎡ 1 + φ ⎤ L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦ k'= k 2( EI ) o ⎡1 − 2φ ⎤ a= L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦ k=

6( EI ) o ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ L2 ⎣1 + 4φ ⎦ b' = b 12( EI ) o ⎡ 1 ⎤ t= ⎢ ⎥ L3 ⎣1 + 4φ ⎦ b=

( 4.2.1 ) ( 4.2.2 ) ( 4.2.3 )

( 4.2.4 ) ( 4.2.5 ) ( 4.2.6 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

φ=

3( EI ) o β (GA) o L2

( 4.2.7 )

Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia a flexión de la sección transversal, β es el factor de forma por corte de la sección, A es el área de la sección transversal, G es el módulo de corte y L la longitud del elemento. •

EJEMPLO 1

Encontrar la matriz de rigidez, sin considerar nudos rígidos, para una viga de sección constante de 30cm de base por 30 cm. de altura y tiene una longitud de 3.7m. Por otra parte, E=2100000 T/m2 y G=840000 T/m2. •

SOLUCIÓN

A = 0.3 × 0.3 = 0.09m 2 0.3 × 0.33 = 0.000675m 4 12 3 × 1.2 × 2100000 × 0.000675 = 0.004931 φ= 0.09 × 840000 × 3.7 2 I=

k=

4 × 2100000 × 0.000675 ⎡ 1 + 0.004931 ⎤ ⎢⎣1 + 4 × 0.004931⎥⎦ = 1510.21Tm 3.7

k ' = k = 1510.21Tm 2 × 2100000 × 0.000675 ⎡1 − 2 × 0.004931⎤ ⎢⎣1 + 4 × 0.004931⎥⎦ = 743.99Tm 3.7 6 × 2100000 × 0.000675 ⎡ 1 ⎤ b= 2 ⎢ ⎥ = 609.24T 3 .7 ⎣1 + 4 × 0.004931⎦ a=

b' = b = 609.24T t=

12 × 2100000 × 0.000675 ⎡ 1 ⎤ 3 ⎢ ⎥ = 329.32T / m 3 .7 ⎣1 + 4 × 0.004931⎦

⎡329.32 609.24 − 329.32 609.24 ⎤ ⎢ ⎥ 1510.20 − 609.24 743.99 ⎥ ⎢ k= ⎢ 329.32 − 609.24⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1510.20⎥⎦ El programa que calcula la matriz de rigidez de un elemento viga sin considerar nudos rígidos se denomina kviga y la forma de uso es la siguiente:

[k] = kviga (b,h,L,E)

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE • • • •

b es la base de la sección transversal del elemento. h es la altura de la sección transversal del elemento. L es la longitud del elemento. E es el módulo de elasticidad del elemento. Para el ejemplo 1, los datos de entrada, son:

>> [k]=kviga (0.30,0.30,3.70,2100000)

function [k]=kviga(b,h,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento viga sin nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [k]=kviga(b,h,L,E) %------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L; k(1,1)=t; k(1,2)=b; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp; k(2,2)=kf; k(2,3)=-b; k(2,4)=a; k(3,3)=t; k(3,4)=-bp; k(4,4)=kpf; for i=1:3; for j=i+1:4; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n') for i=1:4 for j=1:4 fprintf ('%10.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin---

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 4.2 Sistema de coordenadas globales para un elemento vertical, totalmente flexible.

Para un elemento vertical, en la figura 4.2, se indica el sistema de coordenadas globales, para el caso de que el elemento sea totalmente flexible. La matriz de rigidez es:

⎡t 0 − b − t 0 ⎢ 0 −r ⎢ r 0 ⎢ k b 0 k= ⎢ ⎢ t 0 ⎢ r ⎢ ⎢ ⎣ EA r= L

− b'⎤ ⎥ 0 ⎥ a ⎥ ⎥ b' ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ k' ⎦

( 4.3 )

( 4.4 )

Los restantes términos de la matriz de rigidez, fueron indicados en las ecuaciones anteriores. function [k]=kcolumna(b,h,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento columna sin nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [k]=kcolumna(b,h,L,E) %------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L k=zeros(6); k(1,1)=t; k(1,3)=-b; k(1,4)=-t; k(1,6)=-bp; k(2,2)=r; k(2,5)=-r; k(3,3)=kf; k(3,4)=b; k(3,6)=a; k(4,4)=t; k(4,6)=bp; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf; for i=1:5; for j=i+1:6; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n') for i=1:6 for j=1:6 fprintf ('%12.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin---

El programa que determina la matriz de rigidez de un elemento columna, sin nudos rígidos es kcolumna y la forma de utilizarlo es:

[k] = columna (b,h,L,E)

El significado de las variables de entrada, son iguales a las del programa kviga.

4.1.2

Análisis con nudo rígido

En el análisis estructural se puede considerar que los nudos son completamente rígidos. En consecuencia, la longitud de los elementos que ingresa al nudo, tienen rigidez axial infinita y rigidez a flexión infinita. Sean c1 y c 2 las longitudes de rigidez infinita de un elemento, como el indicado en la figura 4.3.

Figura 4.3 Coordenadas locales para un elemento A = ∞ , con dos sectores de rigidez infinita. Ahora, la matriz de rigidez del elemento, es la siguiente.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

⎡t ⎢ ⎢ k= ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

b + c1t

−t

k + 2c1b + c1 t 2

− (b + c1t ) t

b'+ c 2 t

⎤ ⎥ a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥ ⎥ − (b'+c 2 t ) ⎥ ⎥ 2 k '+2c 2 b'+c 2 t ⎦

( 4.5 )

Los términos de rigidez k, a, k', b, b', t, son los indicados en las ecuaciones ( 4.2.1 a 4.2.7 ). •

EJEMPLO 2

Encontrar la matriz de rigidez, para la viga de sección constante del ejemplo 1, considerando nudos rígidos, para el caso de la figura 4.4.

Figura 4.4 Geometría de la viga con dos sectores de rigidez infinita. •

SOLUCIÓN

Al reemplazar c1 = c2 = 0.15 y los restantes datos indicados en el ejemplo anterior, en (4.5 ), se obtiene:

⎡329.32 658.64 − 329.32 658.64 ⎤ ⎥ ⎢ 1700.39 − 658.64 934.17 ⎥ ⎢ k= ⎢ 329.32 − 658.64⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1700.39 ⎥⎦ function [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento viga con nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %-------------------------------------------------------------------% [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E) %-------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % c1 longitud del nudo rigido en el nudo inicial. % c2 longitud del nudo rigido en el nudo final. % L: longitud del elemento de borde a borde sin los nudos rigidos % E: modulo de elasticidad del material

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L; k(1,1)=t; k(1,2)=b+c1*t; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp+c2*t; k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(2,3)=-(b+c1*t); k(2,4)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t; k(3,3)=t; k(3,4)=-(bp+c2*t); k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t; for i=1:3; for j=i+1:4; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n') for i=1:4 for j=1:4 fprintf ('%10.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin---

El programa que determina la matriz de rigidez de un elemento viga, considerando nudos rígidos, se denomina: kviganr . La forma de uso y los datos de entrada son: [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E) • • •

b,h son la base y altura de la sección transversal del elemento. c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente. L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.

Figura 4.5 Coordenadas globales para un elemento vertical, con dos sectores de rigidez infinita. En la figura 4.5, se indica el sistema de coordenadas globales, de un elemento vertical, en el cual se consideran dos sectores de rigidez infinita de longitudes c1, para el nudo inicial y c2, para el nudo final. La matriz de rigidez del elemento, en este caso es la indicada en ( 4.6 ).

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

⎡t ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ k= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0 − (b + c1t )

−t

r

0

0 k + 2c1b + c1 t 2

0 −r

b + c1t

0

t

0 r

− (b'+ c 2 t )

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥ ⎥ b'+ c 2 t ⎥ ⎥ 0 ⎥ 2 ⎥⎦ k '+2c 2 b'+c 2 t

( 4.6 )

Por facilidad de escritura se han presentado la matriz triangular superior de todas las matrices de rigidez, pero en los respectivos programas se obtiene toda la matriz de rigidez. Primero se han programado los elementos de la matriz triangular superior y después mediante dos lazos se ha encontrado los elementos de la matriz triangular inferior, sabiendo que estas matrices son simétricas, con respecto a la diagonal principal. EL programa que determina la matriz de rigidez de un elemento columna, con nudos rígidos es:

[k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E) • • •

b,h son la base y altura de la sección transversal del elemento. c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente. L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.

function [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento columna con nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %--------------------------------------------------------------------------------% [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E) %--------------------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L k=zeros(6); k(1,1)=t; k(1,3)=-(b+c1*t); k(1,4)=-t; k(1,6)=-(bp+c2*t);k(2,2)=r; k(2,5)=-r; k(3,3)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(3,4)=b+c1*t; k(3,6)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t; k(4,4)=t; k(4,6)=bp+c2*t; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t; for i=1:5; for j=i+1:6; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n') for i=1:6 for j=1:6

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE fprintf ('%12.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin---

4.2

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Se presenta en forma rápida, la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura, orientada al cálculo de la matriz de rigidez lateral. Para el efecto se verá como se obtiene la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG; la matriz que contiene a los Vectores de Colocación, VC, el ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura y finalmente el cálculo de la matriz de rigidez lateral.

4.2.1

Coordenadas Generalizadas

Para ilustrar el cálculo de la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG, en la figura 4.6 se ha dibujado un pórtico de 1 vano y dos pisos. Para el análisis sísmico se considera que las vigas son axialmente rígidas, de tal forma que se tiene un solo desplazamiento lateral por piso. Las columnas son totalmente flexibles. Con estas hipótesis se tiene que cada nudo interior de un pórtico plano tiene dos grados de libertad que son: la componente de desplazamiento vertical y la rotación. Además en cada piso se tiene un desplazamiento lateral. Se puede numerar primero los dos grados de libertad de cada nudo interior y al final los desplazamientos horizontales de piso, así se ha procedido en la figura 4.6. Se pudo también numerar en primer lugar los desplazamientos horizontales de piso y al final los dos grados de libertad de cada nudo.

Figura 4.6 Numeración de los nudos y grados de libertad. A continuación se indica el programa CG, que obtiene los grados de libertad de un pórtico plano en el que primero se numeran los dos grados de libertad por nudo (desplazamiento vertical y giro) y posteriormente el desplazamiento horizontal por piso. La forma para utilizar el programa es:

[CG]=cg(nod,np,nr) • •

nod np

Número de nudos del pórtico plano. Número de pisos del pórtico

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE •

nr

Número de nudos restringidos.

Con esta información de entrada el programa se ejecuta y empieza un dialogo entre el programa, que hace preguntas y el usuario que suministra los datos. Con la información del número de nudos, el programa genera una matriz de (nod,3) llena de 1. El número de filas es igual al número de nudos y el número de columnas es igual a 3, que son los tres grados de libertad que tiene un nudo de un pórtico plano. La primera columna define el desplazamiento horizontal, la segunda el desplazamiento vertical y la tercera el giro. A esta matriz se ha denominado CG. Posteriormente cuando se indica el número de nudos restringidos, se genera un lazo en que el usuario debe responder, con letra minúscula, si el nudo restringido puede desplazarse horizontalmente, verticalmente o si puede rotar. Para la estructura de la figura 4.6, las dos primeras filas de la matriz CG que estaban con 1 se cambian por 0. Finalmente en la última parte del programa se obtienen todos los grados de libertad. En resumen, los valores que tiene la matriz CG, en cada etapa son:

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎣⎢1

1 1 1 1 1 1

1⎤ 1⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 1⎦⎥

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎣⎢1

0 0 1 1 1 1

0⎤ 0⎥⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 ⎦⎥

function [CG]=cg(nod,np,nr) % % Programa para encontrar las coordenadas generalizadas % orientado al calculo de la matriz de rigidez lateral % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [CG]=cg(nod,np.nr) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % nod Numero de nudos % np Numero de pisos % nr Numero de nudos restringidos % ngl=0; CG=ones(nod,3); for i=1:np fprintf ('Nudo mayor del piso, %d ',i) nn(i)=input (' Numero del nudo:'); end % analisis de restricciones for i=1:nr nudres= input ('\n Numero del nudo restringido:'); X1 = input (' Desplazamiento en X ,si(s) o no(n):','s'); if X1=='n' CG(nudres,1)=0; else ngl=ngl+1; CG(nudres,1)=ngl; end

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢9 ⎢ ⎢9 ⎢10 ⎢ ⎣⎢10

0 0 1 3 5 7

0⎤ 0⎥⎥ 2⎥ ⎥ 4⎥ 6⎥ ⎥ 8⎦⎥

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Y1 = input (' Desplazamiento en Y ,si(s) o no(n):','s'); if Y1=='n' CG(nudres,2)=0; else ngl=ngl+1; CG(nudres,2)=ngl; end R1 = input (' Rotacion ,si(s) o no(n):','s'); if R1=='n' CG(nudres,3)=0; else ngl=ngl+1; CG(nudres,3)=ngl; end end % grados de libertad for i=1:nod for j=1:2 if CG(i,j+1)~=0 ngl=ngl+1; CG(i,j+1)=ngl; else,end end end ico=0;ii=1; for i=1:nod-nr j=nr+i; if ico==0 ngl=ngl+1; ico=1; else, end if j> M=[0.004898] >> C=[0.003775] >> K=[0.193366] >> Qo=[-0.004898] >> load Peru04.dat >> [q]=pse(M,C,K,Qo,Peru04,0.02)

Las matrices F , F

−1

0 ⎡ F =⎢ ⎣− 39.4786

⎡ 0.0199 P1 = ⎢ ⎣− 0.0079

, A, P1 , P2 , son: 1 ⎤ − 0.6283⎥⎦

⎡− 0.0159 F −1 = ⎢ 1 ⎣

⎡ 0.9921 A=⎢ ⎣− 0.7826

0.0198 ⎤ 0.9797 ⎥⎦

0.0002 ⎤ 0.0198⎥⎦

⎡− 0.010 P2 = ⎢ ⎣0.0052

− 0.0253⎤ 0 ⎥⎦

− 0.0001 ⎤ − 0.0099⎥⎦

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 9.1 Respuesta en el tiempo de ejemplo 1.

•

EJEMPLO 2

Encontrar la respuesta en el tiempo, del tercer piso, de la estructura indicada en la figura 9.2, ante el sismo de Perú del 9 de noviembre de 1974. Las unidades con las cuales se obtuvieron las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento son T., y m.

⎡ 2761.1 K = ⎢⎢− 1538.1 ⎢⎣ 285.7

− 1538.1 2278.0 − 1080.6

⎡ 6.3608 C = ⎢⎢− 2.1516 ⎢⎣ 0.0124 La

matriz

ξ1 = ξ 2 = ξ 3 = 0.05 .

de

285.7 ⎤ − 1080.6⎥⎥ 836.9 ⎥⎦

− 2.1516

se

obtuvo

0 ⎤ 1.633 0 ⎥⎥ 0 1.633⎥⎦ 0

⎡− 1.633⎤ Q0 = ⎢⎢− 1.633⎥⎥ ⎢⎣− 1.633⎥⎦

0.0124 ⎤ − 2.1143⎥⎥ 3.0325 ⎥⎦

5.3010 − 2.1143

amortiguamiento

⎡1.633 M = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

con

los

siguientes

valores

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 9.2 Pórtico plano sometido a dos ensayos de vibración libre.

•

SOLUCIÓN

Se modificó al programa PSE debido a que el acelerograma está en cm./s2 y se desea tener en m/s2. Las sentencias que se incrementaron son:

for i=1:n p(i)=p(i)/100; end

En la figura 9.3 se indica la respuesta de desplazamientos del tercer piso, se aprecia que prácticamente se obtuvieron los mismos resultados cuando se aplicó el Método de Newmark, en el capítulo anterior. Los desplazamientos laterales máximos, para cada uno de los pisos y el cálculo de la deriva máxima de piso se indican en la tabla 9.1. La deriva máxima de piso es el desplazamiento relativo de piso dividido para la altura de piso.

Piso

3 2 1

Tabla 9.1 Cálculo de la deriva máxima de piso Desplazamiento Desplazamiento Altura de Piso Máximo Relativo (m) (m) (m) 0.0227 0.0063 3.00 0.0164 0.0092 3.00 0.0072 0.0072 3.00

Deriva de Piso (%) 0.21 0.31 0.24

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 9.3 Desplazamientos del tercer piso de ejemplo 2.

En la última columna de la tabla 9.1 se indica la deriva máxima de piso en porcentaje. Interesa el mayor valor de todos ellos. Este es 0.31%.

9.5 INTRODUCCION A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA A la izquierda de la figura 9.4 se presenta un modelo de cálculo de una estructura en forma de péndulo invertido que tiene una masa m y su correspondiente cimentación que tiene una masa mo. Este modelo fue presentado en el capítulo 5, cuando se calculó la matriz de masas. La diferencia que se tiene ahora es que los giros se consideran horario positivos. En el libro “Análisis Sísmico de estructuras en forma de Péndulo Invertido” de Roberto Aguiar (1991) se presenta un estudio muy detallado. Aquí se presentan la forma de la matrices de rigidez, masa y del vector de cargas generalizadas y se realiza un ejemplo de cálculo utilizando el Procedimiento de Espacio de Estado.

•

Figura 9.4 Modelo de Péndulo Invertido considerando la interacción suelo estructura. Matriz de rigidez

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ⎡t ⎢ ' b K=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣0 '

b'

0

k' 0

0 kd

0

0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ k r ⎥⎦

( 9.14 )

'

Donde t , b , k son elementos de la matriz de rigidez, considerando base empotrada. En el capítulo 4 se indicó como se obtienen estos valores. k d es la rigidez lineal del conjunto suelo-cimentación. k r es la rigidez angular del conjunto suelo-cimentación. •

Matriz de masas

⎡ m ⎢ 0 M=⎢ ⎢ m ⎢ ⎣⎢− mH

0 J

−m H J

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ − mH ⎥ mH 2 + J * J c ⎦⎥

m 0

0

m + m0

J

−m H

( 9.15 )

Donde m, m0 son las masas de la estructura y de la cimentación; J , J c son los momentos de inercia de las masas de la estructura y de la cimentación; cimentación y la losa como se aprecia en la figura 5.4. •

H es la altura entre la

Matriz de amortiguamiento

⎡C E C = ⎢⎢ ⎢⎣

Cd

⎤ ⎥ ⎥ C r ⎥⎦

( 9.16 )

Donde C E es la matriz de amortiguamiento que se obtiene con la base empotrada, puede calcularse utilizando el Método de Rayleigh o el algoritmo propuesto por Wilson y Penzien, estudiados en el capítulo 7; C d es el amortiguamiento viscoso lineal del conjunto suelo-cimentación; C r es el amortiguamiento viscoso angular del conjunto suelo-cimentación.

•

Vector de Cargas

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ⎡ m ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎥ a (t ) Q = Q0 a (t ) = − ⎢ ⎢m + m0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− m H ⎦ La variable todavía no definida es

•

( 9.17 )

a (t ) que es la aceleración del suelo.

EJEMPLO 3

Encontrar la respuesta en el tiempo, del desplazamiento horizontal de la estructura, de la banda transportadora de material indicada en el capítulo 6 del libro: “Análisis Sísmico de estructuras en forma de péndulo invertido”, Aguiar (1991); ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, si las matrices que definen el problema dinámico, son:

0.0 0.596 ⎡0.596 ⎢0.0 0.091 0.00 M =⎢ ⎢0.596 0.0 0.787 ⎢ ⎣− 2.682 0.091 − 2.682 ⎡2060.995 ⎢3091.493 K =⎢ ⎢ 0.0 ⎢ ⎣ 0.0 •

3091.493 6182.987 0.0 0.0

− 2.682⎤ ⎡0.898 ⎢0.417 0.091 ⎥⎥ C=⎢ ⎢0.0 − 2.682⎥ ⎥ ⎢ 12.185 ⎦ ⎣0.0

0.417 0.0 0.930 0.0 0.0 41.232 0.0 0.0

0.0 0.0 ⎤ ⎥ 0.0 0.0 ⎥ ⎥ 38539.311 0.0 ⎥ 0.0 38151.929⎦

0.0 ⎤ 0.0 ⎥⎥ 0.0 ⎥ ⎥ 5.593⎦

⎡0.596 ⎤ ⎢0.00 ⎥ ⎥ Q0 = − ⎢ ⎢0.787 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2.682⎦

SOLUCIÓN

El desplazamiento lateral máximo de la banda transportadora ante el sismo del 9 de noviembre de 1974 es de 6.5 mm. Se destaca que la aceleración máxima del sismo es de 116.785 gals.

En la figura 9.5 se presenta la respuesta en el tiempo solicitada.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 9.5 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal de la estructura.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

CAPÍTULO 10

SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN

RESUMEN El análisis de una viga en voladizo, que trabaja a flexión, es muy utilizado para modelar edificios con muros de corte, razón por la cual en este capítulo se deduce en primer lugar la ecuación diferencial de una viga a flexión de sección constante o variable, modelada como un sistema continuo, sometida a cargas transversales al eje del elemento. Todo el estudio se enfoca hacia vigas de sección constante. Posteriormente se estudia con detenimiento el problema de vibración libre en sistemas continuos, para tres casos que son: viga en voladizo, viga apoyada-apoyada y viga en voladizo considerando la interacción suelo estructura; es importante reconocer las formas modales especialmente de la viga en voladizo con base empotrada. Luego se realiza un estudio bastante detallado sobre la ortogonalidad de lo modos de vibración en sistemas continuos y finalmente se resuelve el caso de vibración forzada de una viga en voladizo con base empotrada ante una acción sísmica definida por un acelerograma. El marco teórico se complementa con la realización de ejemplos y programas de computación. Se han elaborado los siguientes programas: VLIBREVOLADIZO, que presenta las formas modales para una viga en voladizo con base empotrada; VLIBREAPOYADO, que halla las formas modales para una viga apoyada apoyada; VLIBREINTERACCION, que demuestra como se incrementa el período de vibración, de una estructura si se halla en suelos blandos, obtiene curvas para diferentes relaciones de la rigidez trasnacional del suelocimentación con respecto a la rigidez de la estructura y también de la rigidez rotacional del suelo-cimentación con respecto a la rigidez de la estructura. Se presenta también el programa MASAMODALFLEXION, que determina la masa modal equivalente de una viga en flexión, para los cinco primeros modos y se demuestra que es el mínimo número de modos que se deben considerar en la respuesta sísmica. El último programa desarrollado es VFORZADAVOLADIZO, que halla la respuesta en el tiempo del desplazamiento lateral en el tope de la viga en voladizo, con base empotrada, ante un sismo caracterizado por su acelerograma.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO Se estudian las vibraciones de una viga de flexión, de sección constante o variable, sometido a unas fuerzas transversales al eje de elemento, P ( x, t ) las mismas que varían en el __

tiempo, como se ilustra en la figura 10.1. Se denomina m a la masa por unidad de longitud; L a la longitud del elemento. Si bien en la figura 10.1 se han colocado dos apoyos fijos para presentar el problema, se puede tener cualquier tipo de apoyo.

Figura 10.1 Viga transversal con carga transversal al eje del elemento. Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna el problema, es necesario considerar un elemento diferencial como el mostrado en la figura 10.2 y en el describir las cargas actuantes; el peso propio no está en la dirección en que se realiza la suma de fuerzas. Sean V , M el cortante y momento a la izquierda del elemento diferencial, se considera únicamente el primer término de variación de la serie de Taylor para el cortante y momento a la derecha del elemento diferencial. Del equilibrio de fuerzas verticales, se tiene:

V − (V + Donde

__ dV d 2Y dx) + P dx − m dx 2 = 0 dx dt

( 10.1 )

Y ( x, t ) es el desplazamiento vertical en el punto x y en el instante de tiempo

t . De paso nótese la convención de signos positiva considerada para el cortante y la flexión. Simplificando la expresión y dividiéndola para dx se tiene: __ dV d 2Y = P −m 2 dx dt

( 10.2 )

Del equilibrio de momentos, con respecto al punto A, se tiene: 2 ( dx ) Vdx + M + P

2

− (M +

dM dx) = 0 dx

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 10.2 Elemento diferencial y cargas actuantes Por ser un elemento diferencial, se puede considerar que dx elevado al cuadrado es igual a cero. Luego de simplificar los momentos y dividiendo para dx , se halla:

V =

dM dx

( 10.3 )

De la resistencia de materiales se conoce que:

d 2Y M = 2 EI ( x) dx

⇒ M = EI ( x)

d 2Y dx 2

Derivando esta última expresión obtenemos el cortante, como sigue:

V =

d ⎡ d 2Y ⎤ ( ) EI x ⎥ ⎢ dx ⎣ dx 2 ⎦

V =E

dI ( x) d 2Y d 3Y EI x + ( ) dx dx 2 dx 3

Ahora al derivar esta última ecuación y al reemplazar en ( 10.2 ) se halla:

d 4Y dI ( x) d 3Y d 2 I ( x) d 2Y d 2Y EI ( x) 4 + 2 E +E = P−m 2 dx dx 3 dx dx 2 dx 2 dt

( 10.4 )

Que es la ecuación diferencial general para una viga de flexión, de inercia variable, que está sujeto a cargas transversales al eje. Para elementos de sección constante la derivada de la inercia con respecto a x es cero, con lo que la ecuación (10.4) queda:

EI

d 4Y d 2Y + m =P dx 4 dt 2

( 10.5 )

Se deja constancia, desde un punto de vista riguroso, que las derivadas que intervienen en ( 10.5 ) no son derivadas ordinarias, sino derivadas parciales ya que Y es función de ( x,t ). Por lo tanto, la ecuación ( 10.5 ) debió haberse escrito de la siguiente manera:

EI

∂ 4Y ∂ 2Y m =P + ∂x 4 ∂t 2

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

10.2 VIBRACIÓN LIBRE Para el caso de vibración libre se tiene que la fuerza transversal P = 0 . Luego la ecuación diferencial a resolver es:

EI

d 4Y d 2Y + =0 m dx 4 dt 2

Se plantea la solución como el producto de una función modal del tiempo

( 10.6 )

v( x) por una función

y (t ) Y ( x, t ) = v( x) y (t )

( 10.7 )

Al obtener la derivada cuarta de Y con respecto a x, y la derivada segunda de Y con respecto al tiempo y al reemplazar en ( 10.6 ) se halla: __

d 4v m d2y ( ) + ( ) =0 y t v x EI dx 4 dt 2 Al dividir todo por v( x) se halla:

d 4v __ 2 dx 4 y (t ) + m d y = 0 v( x) EI dt 2 De donde:

d2y d 4v __ dx 4 = − m dt 2 v( x) EI y (t )

( 10.8 )

El lado izquierdo de la ecuación (10.8) solo depende de la variable x, y el lado derecho depende de la variable t . Luego para que se cumpla ( 10.8 ) es importante y necesario que sea igual esta igualdad sea igual a una constante a4

d2y d 4v __ dx 4 = − m dt 2 = a 4 v( x) EI y (t ) Luego el problema de vibración libre, definido en ( 10.6 ) se ha desacoplado en dos problemas, que son:

d 4v dx 4 = a 4 v( x) d2y m dt 2 − = a4 EI y (t )

⇒

__

⇒

d 4v − a 4 v( x) = 0 4 dx

d 2 y EI 4 + __ a y (t ) = 0 dt 2 m

( 10.9 )

( 10.10 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Se aprecia que la ecuación ( 10.10 ) representa un problema de vibración libre sin amortiguamiento en un sistema de un grado de libertad pero para ello debe cumplirse que:

Wn2 =

EI __

a4

( 10.11 )

m Por lo tanto, para encontrar la frecuencia natural

Wn del sistema, se debe calcular

primero el valor de a mediante la ecuación ( 10.9 ) cuya solución es:

v( x) = A sen(ax) + B cos(ax) + C senh(ax) + D cosh(ax) Las constantes de integración:

( 10.12 )

A, B, C , D dependen de las condiciones de contorno.

Figura 10.3 Viga en voladizo de flexión.

10.2.1 Viga en Voladizo •

EJEMPLO 1

Encontrar los modos de vibración de la viga de flexión en voladizo presentada en la figura 10.3, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m. •

SOLUCIÓN

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Para la viga en voladizo, las condiciones de borde, son: i. ii. iii. iv.

x=0 En x = 0 En x = L En x = L En

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

v( x) = 0 θ ( x) = 0 V =0 M =0

Para reemplazar las condiciones de borde es necesario calcular las derivadas de

v( x)

v ' ( x) = A a cos(ax) − B a sen(ax) + C a cosh(ax) + D a senh(ax) v '' ( x) = − A a 2 sen(ax) − B a 2 cos(ax) + C a 2 senh(ax) + D a 2 cosh(ax) v ''' ( x) = − A a 3 cos(ax) + B a 3 sen(ax) + C a 3 cosh(ax) + D a 3 senh(ax) El cortante se calcula con la tercera derivada y el momento con la segunda derivada. Con esta indicación al reemplazar las condiciones de borde, se tiene en forma matricial:

⎡ 0 ⎢ 1 ⎢ ⎢cos(aL) ⎢ ⎣ sen(aL)

1 0 − sen(aL) cos(aL)

0 1 − cosh(aL) − senh(aL)

1 ⎤ ⎥ 0 ⎥ − senh(aL)⎥ ⎥ − cosh(aL) ⎦

⎡A⎤ ⎢B ⎥ ⎢ ⎥=0 ⎢C ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ D⎦

( 10.13 )

Para que se cumpla ( 10.3 ) debe cumplir que el determinante de los coeficientes debe ser cero. Luego:

⎡ 0 ⎢ 1 det ⎢ ⎢cos(aL) ⎢ ⎣ sen(aL)

1 0 − sen(aL) cos(aL)

0 1 − cosh(aL) − senh(aL)

1 ⎤ ⎥ 0 ⎥=0 − senh(aL)⎥ ⎥ − cosh(aL) ⎦

Al desarrollar el determinante y después de algunas simplificaciones, se tiene:

1 + cos( p) cosh( p) = 0

( 10.14 )

Siendo:

p=aL Las tres primeras raíces de

( 10.15 )

p , son:

p1 = 1.875

p 2 = 4.694

p3 = 7.854

A partir de la tercera raíz se cumple, aproximadamente que:

p n ≈ (2 n − 1)

π 2

n≥3

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE El sistema de ecuaciones definido en ( 10.13 ) en linealmente dependiente, luego es necesario imponerse el valor de una variable y hallar las restantes. Para A = 1 las constantes de integración, son:

A =1

C = −1

D=

cos( p ) + cosh( p ) senh( p ) − sen( p )

B = −D

( 10.16 )

Para hallar las formas modales, se debe reemplazar el valor de las constantes de integración en la ecuación ( 10.12 ). El programa VLIBREVOLADIZO encuentra en forma gráfica los tres primeros modos de vibración de una viga de sección constante en voladizo. La forma de uso del programa, es: [v]=vlibrevoladizo(L) • •

L es la longitud de la viga en voladizo. v es la forma modal.

function [V]=vlibrevoladizo(L) % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga de flexion en voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [v]=vlibrevoladizo(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las tres primeras raices de: 1+cos(p)*cosh(p)=0 % son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 % p=aL % Constantes de Integracion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2; D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3; for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3); end hold off plot(v1,x,'--'); hold on plot(v2,x,':'); plot(v3,x,'-.') ylabel('Altura'); title('Formas modales de una viga en voladizo') hold off %---fin---

En la figura 10.4, se indican las tres primeras formas modales de la viga en voladizo del ejemplo 1.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 10.4 Formas modales para una viga de 4.0 m., de longitud.

10.2.2 Viga apoyada •

EJEMPLO 2

Encontrar los modos de vibración de la viga apoyada-apoyada, de sección constante, presentada en la figura 10.5, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.

Figura 10.5 Viga apoyada-apoyada.

•

SOLUCIÓN

Para la viga apoyada-apoyada, las condiciones de borde, son:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE i. ii. iii. iv.

x=0 En x = 0 En x = L En x = L En

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

v( x) = 0 M ( x) = 0 v( x) = 0 M ( x) = 0

Las condiciones de borde, conducen al planteamiento del siguiente sistema de ecuaciones.

⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ sen( p ) ⎢ ⎣− sen( p )

1 −1 cos( p) − cos( p)

1 ⎤ ⎥ 1 ⎥ cosh( p) ⎥ ⎥ cosh( p)⎦

0 0 senh( p ) senh( p)

⎡A⎤ ⎢B ⎥ ⎢ ⎥=0 ⎢C ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ D⎦

( 10.17 )

Procediendo de igual manera, que el ejemplo anterior, se halla que el polinomio característico es:

sen( p) senh( p ) = 0

( 10.18 )

Las raíces de ( 10.18 ) son:

p1 = π

p 2 = 2π

p3 = 3π

En general, se tiene que:

pi = i π

( 10.19 )

De las dos primeras condiciones de borde se concluye que:

B=D=0 Luego quedan dos ecuaciones dependientes, al imponernos

C=−

sen( p) senh( p)

( 10.20 )

A = 1 se encuentra: ( 10.21 )

En la figura 10.6 se indican las tres primeras formas modales de la viga apoyadaapoyada.

El programa que encuentra los modos de vibración de una viga de sección constante, apoyada-apoyada, se denomina VLIBREAPOYADO y la forma de uso es la siguiente: [v]=vlibreapoyado (L) • •

L es la longitud de la viga en voladizo. v es la forma modal.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 10.6 Modos de vibración de una viga apoyada-apoyada.

function [V]=vlibreapoyado(L) % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [v]=vlibreapoyado(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las cuatro primeras raices de: sen(p)*senh(p)=0 % son: p1=3.1416 p2=6.2832 p3=9,4248 p4=12.5664 % p=aL % Constantes de Integracion p1=pi;a1=p1/L;dx=L/100; p2=2*pi; a2=p2/L; p3=3*pi; a3=p3/L; p4=4*pi; a4=p4/L; B=0; D=0; A=1; C1=-sin(p1)/sinh(p1); C2=-sin(p2)/sinh(p2); C3=-sin(p3)/sinh(p3); for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B*cos(x(i)*a1)+C1*sinh(x(i)*a1)+D*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B*cos(x(i)*a2)+C2*sinh(x(i)*a2)+D*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B*cos(x(i)*a3)+C3*sinh(x(i)*a3)+D*cosh(x(i)*a3); end hold off plot(x,v1,'--'); hold on plot(x,v2,':'); plot(x,v3,'-.'); xlabel('Longitud'); title('Formas modales de una viga apoyada-apoyada') hold off %---fin---

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 10.7 Modelo considerado para el estudio de la interacción suelo-estructura

10.2.3 Interacción suelo estructura

En la figura 10.7 se indica el modelo que se considera la para el estudio de la interacción suelo-estructura. Se tiene la viga a flexión de sección constante, con masa uniforme distribuida, la misma que está simplemente apoyada y en su base existen dos resortes: un horizontal de rigidez lineal k d y uno rotacional de rigidez k r . Para el modelo numérico de las figura 10.7, las condiciones de borde, son:

i. ii. iii. iv.

x=0 En x = 0 En x = L En x = L En

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V = − K d ∗ v(0) M = k r ∗ θ ( 0) V =0 M =0

Para ver el signo negativo de la primera condición se recomienda mirar la convención de signos positiva de la figura 10.1 al tener un desplazamiento lateral en la base se genera en el resorte una fuerza de sentido contrario a la convención positiva en el resorte por lo que es negativo. Por facilidad se denomina:

µ= Se conoce que:

kd EI

λ=

kr EI

( 10.22 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

V = EI

d 3v = EI v ''' 3 dx

Luego la condición i., conduce a:

EI v ''' (0) = − k d v(0)

⇒ v '' ' ( 0 ) +

kd v ( 0) EI

( 10.23 )

De donde

− A a3 + C a3 +

Kd (B + D ) = 0 EI

A a 3 − C a 3 − µ (B + D ) = 0 ( 10.24 )

⇒

Para la condición ii., se tiene:

EI

d 2v (0) − k r v ' (0) = 0 dx 2

⇒ v '' (0) −

kr ' v (0) = 0 EI

Luego:

− B a2 + D a2 −

kr (A a + C a) = 0 EI

Al cambiar de signo y teniendo en cuenta ( 10.22 ) se halla:

B a 2 − D a 2 + λ (A a + C a) = 0

⇒ B a − D a + λ ( A + C ) = 0 ( 10.25 )

La tercera y cuarta condición fue desarrollada en el sub apartado 10.2.1, cuando se analizó una viga en voladizo. Por consiguiente, las condiciones de contorno, escrito en forma matricial son:

⎡ a3 ⎢ ⎢ λ ⎢cos(aL) ⎢ ⎢⎣ sen(aL)

−µ

− a3

a

λ

− sen(aL)

− cosh(aL)

cos(aL)

− senh(aL)

⎤ ⎥ −a ⎥ − senh(aL)⎥ ⎥ − cosh(aL) ⎥⎦ −µ

⎡A⎤ ⎢B ⎥ ⎢ ⎥=0 ⎢C ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ D⎦

( 10.26 )

Para que ( 10.26 ) tenga solución diferente de cero, se debe cumplir que el determinante de la matriz de coeficientes debe ser igual a cero. Esta condición reporta:

⎛ 1 a2 ⎞ ⎛ a2 1 ⎞ ⎟⎟ cos(aL) senh(aL) a ⎜⎜ + ⎟⎟ sen(aL) cosh(aL) − a ⎜⎜ − ⎝λ µ ⎠ ⎝ µ λ⎠ ⎛ ⎛ a4 ⎞ a4 ⎞ ⎟⎟ cos(aL) cosh(aL) − ⎜⎜ − ⎜⎜1 − + 1⎟⎟ = 0 µλ ⎠ ⎝ ⎝ µλ ⎠ Se define:

i=

kr EI / L

j=

kd EI / L3

( 10.27 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Con estas definiciones y con la ecuación ( 10.15 ). La ecuación del determinante se transforma en:

⎛1 p2 ⎞ ⎛ p2 1⎞ ⎟ cos( p ) senh( p ) p ⎜⎜ + ⎟⎟ sen( p ) cosh ( p ) − p ⎜⎜ − j ⎟⎠ ⎝i ⎝ j i⎠

( 10.28)

⎛ ⎛ p4 ⎞ p4 ⎞ ⎟⎟ = 0 ⎟⎟ cos( p ) cosh ( p ) − ⎜⎜1 + − ⎜⎜1 − ⎝ i j⎠ ⎝ i j⎠

•

EJEMPLO 3

Presentar en una figura la variación del parámetro p , para el primer modo de vibración, para valores de j de 1 a 500 y para los siguientes valores de i : 0.5; 5; 50; 500.

•

SOLUCIÓN Antes de presentar la solución del ejercicio, se destaca que:

p=aL

⇒

a=

p L

Al sustituir este valor en la ecuación ( 10.11 ) se tiene:

Wn2 =

EI __

a4

m De tal manera que el parámetro vibración.

Wn2 =

EI __

p4

( 10.29 )

4

mL

p conduce al cálculo de la frecuencia natural de

Para resolver el ejercicio se elaboró el programa VLIBREINTERACCION cuya forma de utilización es la siguiente:

[p] = vlibreinteraccion

function [p]=vlibreinteraccion % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo % considerando la interaccion suelo estructura. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [p]=vlibreinteraccion %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % ii = kr/(EI/L) jj = kd/(EI/L3)

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE % kr : Rigidez rotacional del conjunto suelo-cimentacion % kd : Rigidez traslacional del conjunto suelo-cimentacion % p=aL % Constantes de Integracion tol=0.1; valores=[0.5; 5; 50; 500]; for k=1:4 ii=valores(k); for jj=1:500 dx=0.001; icod=0; for i=1:3000 p=i*dx; f1= p*((p*p/jj)+(1/ii))*sin(p)*cosh(p); f2= p*((1/ii)-(p*p/jj))*cos(p)*sinh(p); f3=(1-(p^4/(ii*jj)))*cos(p)*cosh(p); f4=1+(p^4/(ii*jj)); ft=abs(f1-f2-f3-f4); if ft 100 el parámetro

p = 1.875 que corresponde al valor que se obtiene, para el primer modo de vibración considerando base empotrada. De tal manera que las curvas de la figura 10.8 para valores de i ≤ 50 indican que la frecuencia natural disminuye a medida que la rigidez relativa lineal disminuye. Lo propio se puede indicar con los valores de j . El período de vibración se halla con la siguiente expresión

T = 2π / Wn . De tal

manera que para suelos de dureza intermedia y de baja resistencia, existe una amplificación del período fundamental de vibración. Amplificación que es mayor en los suelos blandos que corresponden a valores de i, j , muy bajos. En la figura 10.8 se aprecia un notable incremento de p para valores de j < 10 luego el incremento disminuye hasta valores que de j que están alrededor de 30 y finalmente son constantes estos valores. Con respecto a la variación de las curvas de la figura 10.8, en lo concerniente al parámetro i se puede indicar que la variación de p es notable entre i = 0.5 e i = 5 . Luego este incremento disminuye pero también es notable entre i = 5 e i = 50 . Para valores mayores de i la variación de p es mínima.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Arboleda (1989), en base al modelo presentado concluye en lo siguiente:

0 < j < 10 el suelo no es apto para una cimentación superficial. y 10 < j < 20 se debe considerar el efecto de la interacción suelo

•

Si 0 < i < 5

•

Si 5 < i < 50 estructura en el análisis. Si i > 50 y j > 60 se debe analizar con base empotrada.

•

o

10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN La ecuación diferencial ( 10.5 ) se la reescribe de la siguiente manera:

EI

d 4Y d 2Y + m =P dx 4 dt 2

[EI Y ] + m Y = P

⇒

''

''

__ ..

Para el caso de vibración libre se tiene:

[EI Y ] ''

''

__ ..

+ mY =0

En la forma de solución, planteada en la ecuación ( 10.7 ) en lugar de llamar a la forma modal v( x) se la va a denominar φ ( x) . De tal manera que:

Y ( x, t ) = v( x) y (t )

⇒

Y ( x, t ) = φ ( x) y (t )

Luego la ecuación diferencial del movimiento de vibración libre, queda:

[EI φ ( x)] ''

''

__

..

y (t ) + m φ ( x) y (t ) = 0

__

Al dividir para

m φ ( x) y (t ) se halla:

[EI φ ( x)] ''

__

m φ ( x)

''

..

y (t ) + =0 y (t )

[EI φ ( x)] ''

__

m φ ( x)

''

..

y (t ) =− y (t )

( 10.30 )

Se vuelve a copiar de nuevo las ecuaciones ( 10.10 ) y ( 10.11 ) para demostrar que el lado derecho de la ecuación ( 10.30 ) vale

Wn2

d 2 y EI 4 + __ a y (t ) = 0 dt 2 m

..

y (t ) EI = − __ a 4 y (t ) m

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

EI

Wn2 =

a4

__

m Luego: ..

y (t ) − = Wn2 y (t )

..

y (t ) + λ y (t ) = 0

⇒

( 10.31 )

Siendo

λ = Wn2 Retomando la ecuación ( 10.30 ) se tiene:

[EI φ ( x)] ''

__

m φ ( x)

''

..

y (t ) =− = Wn2 y (t )

De donde:

[EI φ ( x)] − m φ ( x) W ''

__

''

2 n

=0

Para el modo j se tiene:

[EI φ ( x)] − m φ ( x) W '' j

__

''

j

Al multiplicar esta última expresión por

φi ( x)

=0

i ≠ j e integrando la ecuación

en que

L se halla:

resultante entre 0 y

∫ [EI φ L

'' j

]

( x) φi ( x) dx − W ''

0

ƒ

2 nj

2 nj

L __

∫mφ

j

( x) φ i ( x) dx = 0

0

Al integrar por partes la primera integral, considerando

u = φi ( x) y dv a lo restante,

se tiene:

{[EI φ ( x)] φ ( x)} − ∫ [EI φ ( x)] φ ( x) dx L

L

'

'' j

i

'' j

0

'

' i

0

Luego:

{[EI φ ( x)] φ ( x)} − ∫ [EI φ ( x)] φ ( x) dx '' j

L

'

i

L

'' j

0

0

'

' i

L __

− Wnj2 ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx = 0 0

Para una viga en voladizo, se tiene que en x = L el cortante vale cero pero el cortante está relacionado con la tercera derivada de φ ( x) . De igual manera en el desplazamiento vale cero luego en x = 0 se tiene que φ ( x) = 0 . Estas dos condiciones conducen a que el primer término valga cero. Por lo tanto, la ecuación queda:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE L

[

]

L __

− ∫ EI φ j'' ( x ) φi' ( x ) dx

− Wnj2 ∫ m φ j ( x ) φi ( x ) dx = 0

'

0

ƒ

0

Nuevamente al integrar por partes la primera integral pero ahora se considera

u = φi' ( x) y dv a lo restante: ƒ

− {EI φ 'j' ( x) φi' ( x)}0 + ∫ EI φ 'j' ( x) φi'' ( x) dx L

L

0

La expresión completa queda:

{

} + ∫ EI φ

− EI φ 'j' ( x) φi' ( x)

L

L

0

0

'' j

L __

( x) φ i'' ( x) dx − Wnj2 ∫ m φ j ( x) φ i ( x) dx = 0 0

Otra vez, para la viga en voladizo se tiene que en x = L el momento es igual a cero pero el momento está relacionado con la segunda derivada de φ ( x) . También se tiene que

φ ' ( x) . Con estas dos condiciones se anula la

para x = 0 el giro es igual a cero, esto es que primera expresión, con lo que se tiene: L

L __

0

0

'' '' 2 ∫ EI φ j ( x) φi ( x) dx − Wnj ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx = 0

De donde: L

L __

0

0

'' '' 2 ∫ EI φ j ( x) φi ( x) dx = Wnj ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx

( 10.32 )

Procediendo de un modo similar para el modo i, se tendría:

[EI φ ( x)] − m φ ( x) W '' i

φ j ( x)

Ahora al multiplicar por

''

__

i

2 ni

=0

e integrando entre 0 y

L (se vuelve a repetir el proceso

de cálculo) se halla: L

∫ EI φ

'' i

( x) φ ( x) dx = W '' j

2 ni

L __

∫ m φ ( x) φ i

j

( x) dx

( 10.33 )

0

0

Para el caso de que Wnj ≠ Wni al restar la ecuación ( 10.32 ) menos ( 10.33 ) se halla: 2

2

L __

∫ m φ ( x) φ i

j

( x ) dx = 0

( 10.34 )

0

Al sustituir la ecuación ( 10.34 ) en cualquiera de las ecuaciones ( 10.32 ) o ( 10.33 ) se encuentra:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE L

∫ EI φ

( x ) φ j'' ( x ) dx = 0

'' i

( 10.35 )

0

En resumen, las condiciones de ortogonalidad para una viga en voladizo que trabaja a flexión, son:

L __

∫ m φ ( x) φ i

j

( x ) dx = 0

0

L

∫ EI φ

( x ) φ j'' ( x ) dx = 0

'' i

0

10.3.1 Valores propios y modos normalizados Para el caso en que el modo i sea igual al modo j, se tiene de la ecuación ( 10.33 )

[

L

W = 2 ni

'' ∫ EI φi ( x) 0 L __

]

∫ m [φ ( x)]

2

dx = λi

2

( 10.36 )

dx

i

0

Que es la ecuación con la cual, también se pueden encontrar los valores propios en la viga en voladizo. Para este mismo caso en que el modo i = j se tiene que las dos condiciones de ortogonalidad son diferentes de cero. L __

∫mφ

∫ EI (φ ) dx ≠ 0 L

2 i

( x) dx ≠ 0

0

'' 2 i

0

Se normalizan los modos de vibración, de la siguiente manera:

φi ( x)

φi ( x) =

L __

∫mφ

2 i

( 10.37 )

( x) dx

0

Con lo que se halla: L __

∫mφ

2 i

( x)dx = 1

( 10.38 )

0

Con esto, la ecuación ( 10.36 ) queda: L

[

W = ∫ EI φi'' ( x) 2 ni

0

]

2

dx

( 10.39 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 10.4 VIBRACIÓN FORZADA Se resuelve el caso de una viga de flexión en voladizo sometida a una acción sísmica definida por su acelerograma. La ecuación diferencial para este caso es:

[EI Y ] ''

Donde

''

__ ..

__

+ m Y = − m a(t )

( 10.40 )

a (t ) es la aceleración del suelo. Se plantea la solución de la siguiente manera: ∞

Y ( x, t ) = ∑ φi ( x) y i (t )

( 10.41 )

i =1

Reemplazando ( 10.41 ) en ( 10.40 ) se halla:

∑ (EI φ ) ∞

''

i

i =1

''

∞ __

__

..

y i (t ) + ∑ m φi ( x) y i (t ) = − m a (t ) i =1

Al multiplicar esta última ecuación por

φ j ( x)

e integrar entre 0 y

L se halla:

∑ yi (t ) ∫ (EI φi'' ) φ j ( x) dx + ∑ y i (t ) ∫ m φi ( x) φ j ( x) dx = −a(t ) ∫ m φ j ( x) dx ∞

L

i =1

0

∞

''

..

i =1

L __

L __

0

0

En forma similar, a la del apartado anterior, al integrar por partes la primera integral y aplicar las condiciones de borde para una viga en voladizo se halla: ∞

∑ y (t ) ∫ EI φ i =1

∞

L

i

'' i

0

..

L __

L __

0

0

φ ( x) dx + ∑ y i (t ) ∫ m φi ( x) φ j ( x) dx = − a(t ) ∫ m φ j ( x) dx '' j

i =1

De la ortogonalidad de los modos de vibración (solo hay valores para para el modo j

( )

L

y j (t )

'' ∫ EI φ j

2

0

L __

Al dividir por

∫mφ

2 j

..

L __

L __

0

0

i = j ) se tiene

dx + y j (t ) ∫ m φ j2 ( x) dx = −a (t ) ∫ m φ j ( x) dx

( x) dx y teniendo en cuenta la ecuación ( 10.36 ), se halla,

0

escribiendo en primer lugar el segundo término. L __

..

y j (t ) + y j (t ) W = − a (t ) 2 nj

∫mφ

0 L __

∫mφ 0

*

Se denomina masa modal m j

j

( x) dx

2 j

( x) dx

( 10.42 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ⎡ L __ ⎤ ⎢ ∫ m φ j ( x) dx ⎥ ⎦ m *j = ⎣ 0L __ 2 ∫ m φ j ( x) dx

2

( 10.43 )

0

Con lo cual, la ecuación ( 10.42 ) queda: ..

y j (t ) + W y j (t ) = −a (t ) 2 nj

m *j L __

∫mφ

j

( x) dx

0

La respuesta en el tiempo es:

− m *j

y j (t ) =

t

∫ a(τ ) sen W (t − τ )dτ

Wnj

∫mφ

( 10.44 )

nj

L __

j

( x) dx

0

0

10.4.1 Masas modales •

EJEMPLO 4

Encontrar las cinco primeras masas modales para una viga de flexión, en voladizo, de 4.0 m., de longitud.

•

SOLUCIÓN En el sub apartado 10.2.1 se encontró la siguiente ecuación:

1 + cos( p) cosh( p) = 0 Las 5 raíces de esta ecuación, son:

p1 = 1.875

p 2 = 4.694

p3 = 7.854

La forma modal se había denominado

p 4 = 10.996

p5 = 14.137

v( x) que ahora se llama φ ( x) es:

φ ( x) = A sen(ax) + B cos(ax) + C senh(ax) + D cosh(ax) Las constantes de integración encontradas en el sub apartado 10.2.1 son:

A =1

C = −1

D=

cos( p ) + cosh( p ) senh( p ) − sen( p )

B = −D

p = a L de donde a = p / L . Con toda esta información se elaboró el * programa MASAMODALFLEXION que obtiene m j con la ecuación ( 10.43 ), que queda: Por otra parte

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ⎡L ⎤ m L ⎢ ∫ φ j ( x) dx ⎥ ⎣0 ⎦ m *j = L 2 ∫ φ j ( x) dx __

2

0

El programa reporta las siguientes masas modales

Tabla 10.1 Masas modales de viga en flexión en voladizo Modo j 1 5 m* j

__

m 1 2 3 4 5

0.6130 0.1882 0.0648 0.0315 0.0391

__

m

∑m j =1

* j

0.6130 0.8012 0.8660 0.8975 0.9366

Las normativas sísmicas establecen que el mínimo número de modos de vibración que se consideren en el cálculo sea tal que la suma de las masas modales sea mayor a 0.9, de tal manera que con los resultados encontrados se debe trabajar con 5 modos de vibración.

La forma de uso del programa, es: >> L=4 >> [m]= masamodalflexion (L)

function [m]=masamodalflexion (L) % % Calculo de masas modales de viga en flexion en voladizo. % Calculo para los cinco primeros modos de vibracion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [m]=masamodalflexion(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las cinco primeras raices de: 1+cos(p)+cosh(p)=0 % son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 p4=10.996 p5=14.137 % p=aL % Constantes de Integracion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; p4=10.996; a4=p4/L; p5=14.137; a5=p5/L; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2; D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3; D4=(cos(p4)+cosh(p4))/(sinh(p4)-sin(p4));B4=-D4; D5=(cos(p5)+cosh(p5))/(sinh(p5)-sin(p5));B5=-D5; for i=1:100 x(i)=i*dx;

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3); v4(i)=A*sin(x(i)*a3)+B4*cos(x(i)*a4)+C*sinh(x(i)*a4)+D4*cosh(x(i)*a4); v5(i)=A*sin(x(i)*a3)+B5*cos(x(i)*a5)+C*sinh(x(i)*a5)+D5*cosh(x(i)*a5); v11(i)=v1(i)*v1(i); v22(i)=v2(i)*v2(i); v33(i)=v3(i)*v3(i); v44(i)=v4(i)*v4(i); v55(i)=v5(i)*v5(i); end NUM1=trapz(x,v1);NUM2=trapz(x,v2);NUM3=trapz(x,v3); NUM4=trapz(x,v4);NUM5=trapz(x,v5) DEN1=trapz(x,v11);DEN2=trapz(x,v22);DEN3=trapz(x,v33); DEN4=trapz(x,v44);DEN5=trapz(x,v55); m1=NUM1*NUM1/DEN1;m2=NUM2*NUM2/DEN2;m3=NUM3*NUM3/DEN3; m4=NUM4*NUM4/DEN4;m5=NUM5*NUM5/DEN5; m=[m1/L; m2/L; m3/L; m4/L; m5/L]; suma=sum(m) %---fin---

10.4.2 Respuesta en el tiempo Para hallar la respuesta en el tiempo de una viga de flexión en voladizo ante una acción sísmica se debe desarrollar un poco más la ecuación ( 10.44 ) que se copia a continuación.

− m *j

y j (t ) =

t

∫ a(τ ) sen W (t − τ )dτ nj

L __

Wnj

∫mφ

j

( x) dx

0

0

La integral que contiene a la aceleración del tiempo es la que se desarrolla a continuación: t

t

0

0

[

]

∫ a(τ ) sen Wnj (t − τ )dτ = ∫ a(τ ) senWnj t cosτ − senτ cosWnj t dτ t

t

t

0

0

0

∫ a(τ ) sen Wnj (t − τ )dτ = senWnj t ∫ a(τ ) cosτ dτ − cosWnj t ∫ a(τ )senτ dτ De tal manera que la ecuación ( 10.44 ) queda:

− m *j

t t ⎫ ⎧ y j (t ) = senW t a ( τ ) cos τ d τ cos W t a ( τ ) sen τ d τ − ⎬ ⎨ nj nj L __ ∫0 ∫0 ⎭ ⎩ Wnj ∫ m φ j ( x) dx 0

Para calcular las frecuencias naturales de vibración se trabaja con la ecuación ( 10.11 ) en la que se sustituye a = p / L

Wn2 =

EI __

m

a4 =

EI p 4 __ L4 m

⇒ Wn =

p2 L2

EI __

m

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Al reemplazar:

p1 = 1.875

p 2 = 4.694

p3 = 7.854

p 4 = 10.996

p5 = 14.137

Se tiene:

Wn1 =

3.5156 EI __ L2 m

Wn 2 =

22.0336 EI __ L2 m

Wn 4 =

120.9120 EI __ L2 m

Wn 5 =

199.8548 EI __ L2 m

Wn 3 =

61.6853 EI __ L2 m ( 10.45 )

Finalmente la respuesta en el tiempo se obtiene con la ecuación ( 10.41 ) ∞

Y ( x, t ) = ∑ φ j ( x) y j (t ) j =1

•

EJEMPLO 5

Encontrar la respuesta en el tiempo de una viga de flexión en voladizo, ante el sismo registrado el 9 de noviembre de 1974 en Perú. Se desea la respuesta en el tiempo en el tope de la viga. La geometría y masa por unidad de longitud, son:

EI = 231862.028 T .m . 2

•

L = 15 m.

T .s 2 . m = 0.2694 2 m . __

SOLUCIÓN Se consideran los cinco primeros modos para hallar la respuesta en x = L . ∞

Y ( x, t ) = ∑ φ j ( x) y j (t ) j =1

Y ( x = L, t ) = φ1 ( x) y1 (t ) + φ 2 ( x) y 2 (t ) + φ3 ( x) y 3 (t ) + φ 4 ( x) y 4 (t ) + φ5 ( x) y 5 (t )

El programa VFORZADAVOLADIZO encuentra la respuesta en el tope del edificio ante un sismo definido por un acelerograma. Es importante que las unidades de los datos sean compatibles. En este caso el acelerograma tiene que estar en m/s2. La forma de uso del programa es:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

[des]=vforzadavoladizo (EI,mu,L,Sismo,dt) •

EI

• • • •

mu L Sismo dt

Valor de la rigidez a flexión de la viga en voladizo. __

Es el valor de la masa por unidad de longitud m . Es la longitud de la viga en voladizo Es el nombre del archivo que contiene el acelerograma. Es el incremento de tiempo del archivo del acelerograma.

Para el ejemplo se debe proceder de la siguiente manera:

>> EI=231862.028 >>mu=0.2694 >>L=15 >>load Peru04.dat >>[des]=vforzadavoladizo (EI,mu,L,Peru04,0.02)

La respuesta en el tiempo se presenta en la figura 10.9. A continuación se lista el programa.

function[des]=vforzadavoladizo(EI,mu,L,sismo,dt) % % Calculo de la respuesta en el tiempo, de una viga de flexion % en voladizo. Calculo de desplazamiento en el tope del voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [des]=vforzadavoladizo(EI,mu,L,sismo,dt) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % EI : es la rigidez a flexion de la viga en voladizo % mu : es la masa por unidad de longitud de la viga en voladizo % sismo : es el vector que contiene al archivo del acelerograma. % dt : incremento de tiempo del acelerograma. % des : desplazamiento en el tope del voladizo % Las cinco primeras raices de: 1+cos(p)*cosh(p)=0 % son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 p4=10.996 p5=14.137 % % Constantes de Integracion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; p4=10.996; a4=p4/L; p5=14.137; a5=p5/L; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2; D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3; D4=(cos(p4)+cosh(p4))/(sinh(p4)-sin(p4));B4=-D4; D5=(cos(p5)+cosh(p5))/(sinh(p5)-sin(p5));B5=-D5; % Calculo de Integrales donde interviene accion sismica np=length(sismo);tmax=dt*np;t=linspace(0,tmax,np)'; for i=1:np

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE F1(i)=sismo(i)*cos(i*dt);F2(i)=sismo(i)*sin(i*dt); end F1=F1';F2=F2';INT1=trapz(t,F1);INT2=trapz(t,F2); % Calculo de frecuencias de los cinco primeros modos aux1=sqrt(EI/mu); aux2=1/(L*L); aux=aux1*aux2; Wn1=3.5156*aux; Wn2=22.0336*aux; Wn3=61.6853*aux; Wn4=120.912*aux; Wn5=199.8548*aux; % Calculo de numerador que contiene al acelerograma para 5 primeros modos for i=1:np NSIS1(i)=sin(Wn1*i*dt)*INT1-cos(Wn1*i*dt)*INT2; NSIS2(i)=sin(Wn2*i*dt)*INT1-cos(Wn2*i*dt)*INT2; NSIS3(i)=sin(Wn3*i*dt)*INT1-cos(Wn3*i*dt)*INT2; NSIS4(i)=sin(Wn4*i*dt)*INT1-cos(Wn4*i*dt)*INT2; NSIS5(i)=sin(Wn5*i*dt)*INT1-cos(Wn5*i*dt)*INT2; end % Calculo de la Integral del denominador en funcion del modo de vibracion for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3); v4(i)=A*sin(x(i)*a3)+B4*cos(x(i)*a4)+C*sinh(x(i)*a4)+D4*cosh(x(i)*a4); v5(i)=A*sin(x(i)*a3)+B5*cos(x(i)*a5)+C*sinh(x(i)*a5)+D5*cosh(x(i)*a5); v1(i)=v1(i)*mu; v2(i)=v2(i)*mu; v3(i)=v3(i)*mu; v4(i)=v4(i)*mu; v5(i)=v5(i)*mu; end INT31=trapz(x,v1);INT32=trapz(x,v2);INT33=trapz(x,v3); INT34=trapz(x,v4);INT35=trapz(x,v5); % Masas modales aux3=mu*L; Mj1=0.6130*aux3; Mj2=0.1882*aux3; Mj3=0.0648*aux3; Mj4=0.0315*aux3;Mj5=0.0391*aux3; %Calculo de y(t) FAC1=-Mj1/(Wn1*INT31);FAC2=-Mj2/(Wn2*INT32);FAC3=-Mj3/(Wn3*INT33); FAC4=-Mj4/(Wn1*INT34);FAC5=-Mj5/(Wn1*INT35); y1=FAC1*NSIS1;y2=FAC2*NSIS2;y3=FAC3*NSIS3;y4=FAC4*NSIS4;y5=FAC5*NSIS5; %Desplazamientos en el ultimo piso v1L=A*sin(p1)+B1*cos(p1)+C*sinh(p1)+D1*cosh(p1); v2L=A*sin(p2)+B2*cos(p2)+C*sinh(p2)+D2*cosh(p2); v3L=A*sin(p3)+B3*cos(p3)+C*sinh(p3)+D3*cosh(p3); v4L=A*sin(p4)+B4*cos(p4)+C*sinh(p4)+D4*cosh(p4); v5L=A*sin(p5)+B5*cos(p5)+C*sinh(p5)+D5*cosh(p5); des=v1L*y1+v2L*y2+v3L*y3+v4L*y4+v5L*y5; plot(t,des); xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento lateral en el tope') %---fin---

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 10.9 Respuesta de desplazamientos ante el sismo de nov., de 1974.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

CAPÍTULO 11

SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE

RESUMEN Se presenta el desarrollo numérico de una viga de corte de sección constante, modelada como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. Este modelo se utiliza para el estudio de pórticos conformado por vigas y columnas sin muros de corte. Se resuelve, en primer lugar, el problema de vibración libre y se compara el primer modo de vibración de una viga de corte con una viga de flexión. Posteriormente se estudia la ortogonalidad de los modos de vibración y finalmente se resuelve el problema de vibración forzada ante acciones sísmicas definidas por un acelerograma. Se han elaborado los siguientes programas de computación: VLIBREVIGACORTE con el cual se obtienen los modos de vibración de la viga de corte; VLIBRECOMPARACION que sirve para comparar el primer modo de vibración de las vigas de corte y de flexión; VIGACORTEBASAL con el cual se halla la respuesta en el tiempo del cortante basal de una viga de corte ante una acción sísmica.

11.1

ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO

Un pórtico plano, compuesto únicamente por vigas y columnas, puede modelarse como una viga de corte, en voladizo, como se aprecia en la figura 11.1. En el presente capítulo se estudia, esta viga de corte como un sistema continuo, de tal manera que tiene infinito número de grados de libertad. Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna a una viga de corte, al igual que en el capítulo anterior se considera que actúan cargas transversales P ( x, t ) al eje del elemento. De ésta viga se toma un elemento diferencial de longitud dx , el mismo que se presenta en la figura 11.2.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 11.1 Modelo numérico de una viga de corte.

Figura 11.2 Elemento diferencial y cargas actuantes

Del equilibrio de fuerzas se tiene:

V − (V +

__ dV d 2Y dx) + P dx + m dx 2 = 0 dx dt

( 11.1 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Donde

Y ( x, t ) es el desplazamiento vertical en el punto x y en el instante de tiempo

__

t ; m es la masa por unidad de longitud. Simplificando la expresión y dividiéndola para dx se tiene:

dV __ d 2Y −m 2 = − P dx dt

( 11.2 )

De la teoría de la elasticidad se conoce que:

γ xy =

Siendo

τ xy G

⇒ θ ( x, t ) =

V ( x, t ) / Ac ( x, t ) G ( x)

Ac el área efectiva de corte que es igual al área de la sección transversal A

dividida para el factor de corte

β . De donde: θ ( x, t ) = β

V ( x, t ) G ( x) A( x )

Por otra parte se conoce que la rotación

θ

es la derivada de

Y ( x, t ) con respecto a

x . Luego:

θ ( x, t ) = β

V dY = G ( x) A( x ) dx

De donde el cortante V es igual a:

V =

G ( x) A( x) dY β dx

( 11.3 )

Para una viga de sección constante, al derivar ( 11.3 ) con respecto a x y reemplazar en ( 11.2 ) se tiene:

GA d 2Y __ d 2Y − m 2 = −P β dx 2 dt

11.2

VIBRACIÓN LIBRE

( 11.4 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Para este caso la ecuación diferencial se reduce a:

GA d 2Y __ d 2Y −m 2 =0 β dx 2 dt Se plantea la solución como el producto de una función modal del tiempo

( 11.5 )

φ ( x)

por una función

y (t ) Y ( x, t ) = φ ( x) y (t )

Al encontrar las derivadas de ( 11.6 ) con respecto a x y con respecto ha

( 11.6 )

t se halla:

__ GA d 2φ d2y y t m x ( ) − φ ( ) =0 β dx 2 dt 2

Luego: __

mβ d 2φ d2y y t x ( ) − φ ( ) =0 GA dx 2 dt 2 Al dividir todo por

φ ( x)

se halla:

d 2φ __ 2 dx 2 y (t ) − m β d y = 0 φ ( x) GA dt 2 De donde:

d 2φ d2y __ dx 2 = m β dt 2 φ ( x) GA y (t )

( 11.7 )

Con igual razonamiento que en el capítulo anterior, para que ( 11.7 ) se cumpla es importante que esta igualdad sea igual a menos una constante a2

d 2φ d2y __ dx 2 = m β dt 2 = −a 2 φ ( x) GA y (t ) Luego el problema de vibración libre se ha desacoplado en dos problemas, que son:

d 2φ dx 2 = − a 2 φ ( x)

⇒

d 2φ + a 2 φ ( x) = 0 2 dx

( 11.8 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE d2y m β dt 2 = −a 2 GA y (t ) __

⇒

d 2 y GA 2 + a y (t ) = 0 dt 2 __ mβ

( 11.9 )

La ecuación ( 11.9 ) representa un problema de vibración libre sin amortiguamiento en un sistema de un grado de libertad pero para ello debe cumplirse que:

Wn2 =

GA __

a2

( 11.10 )

mβ

La solución de la ecuación diferencial ( 11.8 ) es:

φ ( x) = A sen(ax) + B cos(ax) Las constantes de integración:

( 11.11 )

A, B dependen de las condiciones de contorno.

Figura 11.3 Viga en voladizo de corte

11.2.1 Viga en Voladizo •

EJEMPLO 1

Encontrar los modos de vibración de la viga de corte en voladizo presentada en la figura 11.3, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

•

SOLUCIÓN

Para la viga en voladizo, las condiciones de borde, son: v. vi.

x=0 En x = L En

⇒ φ ( x) = 0 ⇒ V =0

Antes de calcular las constantes de integración, es necesario desarrollar la ecuación con la cual se calcula el cortante. Para ello se reemplaza ( 11.6 ) en ( 11.3 ), se tiene:

GA

V =

β

φ ' ( x) y (t )

Para que el cortante sea cero en x = L se debe cumplir que:

φ ' ( L) = 0 De la primera condición se tiene que:

φ (0) = 0

⇒ B=0

La segunda condición conduce a:

φ ' ( x) = A a cos(ax ) − B a sen(ax) Luego:

φ ' ( L) = 0 = cos p Luego la ecuación que se debe resolver para hallar el valor de p es:

cos p = 0 Siendo:

p=aL

Las raíces son:

p=

(2n − 1)π 2

Al reemplazar n=1, 2 y 3 se halla p1 = 1.5708 ; p 2 = 4.7124 ; p 3 = 7.854 , etc.

( 11.12 )

( 11.13 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 11.4 Modos de vibración de una viga de corte en voladizo. En la figura 11.4 se presentan los tres primeros modos de vibración de la viga de corte, en voladizo. Esta figura fue realizada con el programa VLIBREVIGACORTE, que se utiliza de la siguiente manera:

[V]=vlibrevigacorte (L) •

L

Es la longitud del elemento.

function [V]=vlibrevigacorte(L) % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga de corte en voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [v]=vlibrevigacorte(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las tres primeras raices son: % p1=1.5708 p2=4.7124 p3=7.854 % p=aL % Constantes de Integracion p1=1.578;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.7124; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; A=1; for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2);v3(i)=A*sin(x(i)*a3); end hold off plot(v1,x,'--'); hold on plot(v2,x,':'); plot(v3,x,'-.')

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ylabel('Altura'); title('Formas modales de una viga de corte') hold off %---fin---

11.2.2 Comparación de formas modales •

EJEMPLO 2

Presentar en un grafico el primer modo de vibración de una viga de flexión y de una viga de corte, en voladizo. •

SOLUCIÓN

En la figura 11.5 se presenta el primer modo de vibración de una viga de corte en la cual se aprecia que en la parte inferior tiene mayores amplitudes que la viga de flexión y en la parte superior se tiene mayores amplitudes en la viga de flexión que en la de corte. Este ejemplo es muy ilustrativo del comportamiento de las estructuras e indica que los edificios compuestos únicamente por vigas y columnas tienen mayores desplazamientos en los pisos inferiores que un edificio solo con muros de corte pero en la parte superior el comportamiento es al revés, de ahí que lo ideal es tener una combinación entre el comportamiento de una viga de flexión con una viga de corte. El programa que compara los modos de VLIBRECOMPARACION y se utiliza de la siguiente manera:

vibración

[A]=vlibrecomparacion (L) •

L Es la longitud del elemento

function [A]=vlibrecomparacion(L) % % Comparacion del primer modo de vibracion de una viga de flexion % y del primer modo de vibracion de una viga de corte. % Normalizados en los dos casos a la unidad en el tope del voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [A]=vlibrecomparacion(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Viga de flexion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; for i=1:100 x(i)=i*dx; vf(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); end % Viga de corte

se

denomina:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE p1=1.578;a1=p1/L; A=1; for i=1:100 x(i)=i*dx; vc(i)=A*sin(x(i)*a1); end hold off plot(vf,x,'--'); hold on plot(vc,x,':'); ylabel('Altura'); title('Comparacion de formas modales') hold off %---fin-

Se destaca que la figura 11.5 ha sido complementada con la ayuda del programa PAINT. De igual manera se utilizó un artificio que no consta en el programa VLIBRECOMPARACION que se indica a continuación para que el eje horizontal vaya de -3 a 3.

Figura 11.5 Comparación del primer modo de vibración

11.2.3 Frecuencias de vibración Las frecuencias de vibración de una viga de corte, se obtiene con la ecuación ( 11.10 ) la misma que se escribe a continuación.

Wn = a

GA __

mβ

Al reemplazar ( 11.13 ) en ( 11.12 ) y despejar el valor de a se halla:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

a=

(2 n − 1) π 2L

Luego:

Wn =

(2 n − 1) π

GA

( 11.14 )

__

2L

mβ

Al reemplazar n = 1 se halla la frecuencia del primer modo de vibración

Wn1 ; con

n = 2 se halla Wn 2 , etc. Las relaciones de estas frecuencias son:

Wn 2 =3 Wn1

Wn 3 =5 Wn1

Wn 4 =7 Wn1

Por lo tanto en una viga de corte de sección constante se cumplen las relaciones indicadas de las frecuencias naturales de vibración.

11.3

ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN

La ecuación ( 11.18 ) puede escribirse de la siguiente manera:

[φ ( x)] '

+ a 2 φ ( x) = 0

'

Para el modo i se tiene:

[φ ( x)] ' i

'

+ a 2 φi ( x) = 0

φ j ( x)

Al multiplicar esta ecuación por

e integrar entre 0 y

L se tiene:

' ' 2 ∫ φ j ( x) [φi ( x)] dx + a ∫ φ j ( x) φi ( x) dx = 0

ƒ

L

L

0

0

Primera Integral Sea:

u = φ j ( x)

[

⇒ du = φ 'j ( x) dx

]

dv = φi' ( x) dx

⇒ v = φi' ( x)

'

Luego al integrar por partes se tiene:

[φ ( x) φ ( x)] − ∫ φ ( x) φ ( x) dx j

' i

L

L

' i

0

0

' j

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En x = 0 por empotramiento se tiene que

φ j (0) = 0 .

Por otro lado en x = L el L

cortante es cero, luego

φi' ( L) = 0 . Luego la primera integral queda: − ∫ φi' ( x) φ 'j ( x) dx 0

Por lo tanto, se tiene: L

L

0

0

− ∫ φi' ( x) φ 'j ( x) dx + a 2 ∫ φ j ( x) φi ( x) dx = 0 De donde: L

L

0

0

a 2 ∫ φ j ( x) φ i ( x) dx = ∫ φ i' ( x) φ 'j ( x) dx Pero el valor de

a 2 en función de la frecuencia natural, para el modo i, vale: __

mβ a =W GA 2

2 ni

De donde:

W

2 ni

L __

∫mφ

j

( x) φi ( x) dx =

GA

β

0

L

∫ φ ( x) φ ' i

' j

( x) dx

( 11.15 )

0

Considerando ahora el modo j y repitiendo el mismo proceso de cálculo se llega a: L __

Wnj2 ∫ m φ i ( x) φ j ( x) dx =

GA

0

β

L

∫φ

' j

( x) φ i' ( x) dx

( 11.16 )

0

Al restar ( 11.16 ) menos ( 11.15 ) se tiene:

(W

2 nj

− Wni2 ) ∫ m φ i ( x) φ j ( x) dx = 0 L __

0

Para i ≠ j L __

∫ m φ ( x) φ i

j

( x ) dx = 0

( 11.17 )

0

De la ecuación ( 11.15 ) o de la ecuación ( 11.16 ) se concluye: L

∫ 0

GA

β

φ i' ( x ) φ j' ( x ) dx = 0

( 11.18 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En resumen, de la condición de ortogonalidad de los modos de vibración se tiene que

para

i≠ j

L __

∫ m φ ( x) φ i

0 L

∫ 0

11.4

GA

β

j

( x ) dx = 0

φ i' ( x ) φ j' ( x ) dx = 0

VIBRACIÓN FORZADA

Para el caso de tener una viga de corte sometida a un movimiento del suelo, definido por su aceleración a (t ) . La ecuación ( 11.4 ) queda: '

__ ⎡ GA ' ⎤ __ .. ⎢ β Y ⎥ − m Y = − m a (t ) ⎣ ⎦

( 11.19 )

Se plantea la solución, de la siguiente manera: ∞

Y = ∑ φi ( x) y i (t )

( 11.20 )

i =1

Al reemplazar ( 11.20 ) en ( 11.19 ) se tiene: '

∞ .. __ __ ⎡ GA ' ⎤ y ( t ) φ ( x ) − y ( t ) m φ ( x ) = − m a(t ) ∑ ∑ i i i ⎢ β i ⎥ i =1 i =1 ⎣ ⎦ ∞

Al multiplicar por

φ j ( x)

e integrando entre 0 y

L.

'

∞ .. L __ L __ ⎡ GA ' ⎤ y ( t ) φ ( x ) φ ( x ) dx − y ( t ) m φ ( x ) φ ( x ) dx = − a ( t ) ∑ ∑ i i i ∫0 j ⎢⎣ β i ⎥⎦ ∫0 j ∫0 m φ j ( x)dx i =1 i =1 ∞

L

Al integrar por partes la primera integral y considerando las condiciones de borde: ∞

− ∑ y i (t ) ∫ i =1

L

0

GA

β

∞

L __

..

L __

φi' ( x) φ 'j ( x) dx − ∑ y i (t ) ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx = − a(t ) ∫ m φ j ( x)dx 0

i =1

0

Cambiando de signo a la expresión y para un modo L

y i (t ) ∫ 0

GA

β

[φ ( x)] dx + y (t ) ∫ m φ ' i

2

L __

..

i

0

2 i

i ≠ j se tiene: L __

( x) dx = a (t ) ∫ m φ i ( x) dx 0

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE L __

Al dividir para

∫mφ

2 i

( x) dx se tiene:

0

L

..

y i (t ) +

∫

GA

β

0

[φ ( x)] dx

L __

∫mφ

L __

2

' i

i

y i (t ) = a (t ) 2 i

∫ m φ ( x)dx

( x) dx

0 L __

∫mφ

2 i

( x)dx

0

0

y i (t ) es Wni2 . Luego:

Por la ecuación ( 11.16 ) el coeficiente de

mi*

..

y i (t ) + Wni2 y i (t ) =

a (t )

L __

∫ m φ ( x)dx i

0

∗

Donde mi es la masa modal y vale:

⎡ L __ ⎤ ⎢ ∫ m φi ( x) dx ⎥ ⎦ mi∗ = ⎣ 0L __ 2 ∫ m φi ( x) dx

2

( 11.21 )

0

Finalmente, la respuesta en el tiempo, para el modo i, vale:

mi∗

y i (t ) =

t

Wni

∫mφ

i

a (τ ) sen Wni (t − τ ) dτ

∫

L __

( x) dx

0

0

11.5

CORTANTE BASAL

La ecuación con la cual se obtiene el cortante es:

V ( x, t ) =

GA

β

φ ' ( x) y (t )

Al reemplazar el valor de y (t ) hallado, para el modo i, se tiene: t

mi∗ V ( x, t ) = ∑ i =1 Wni ∞

∫

a (τ ) sen Wni (t − τ ) dτ

0

L __

∫mφ 0

i

( x) dx

GA

β

φi' ( x)

( 11.22 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Se denomina: t

Ai (t ) = Wni ∫ a (τ ) senWni (t − τ ) dτ

( 11.23 )

0

Luego el cortante en cualquier punto de la viga se obtiene con la siguiente ecuación:

GA ∗ i 2 ni

∞

β

m i =1 W

V ( x, t ) = ∑

φi' ( x) Ai (t )

L __

∫mφ

i

( 11.24 )

( x) dx

0

Sea V0 el cortante en la base de la viga de corte, denominado cortante basal.

GA ∞

∗ i 2 ni

φi' (0)

β

m V0 = ∑ i =1 W

Ai (t )

L __

∫mφ

i

( 11.25 )

( x) dx

0

Se va a demostrar que:

GA

φi' (0)

β

= −1

L __

Wni2 ∫ m φi ( x) dx 0

Con lo que se simplifica notablemente el cálculo del cortante basal, para ello se reescribe la ecuación ( 11.8 ), de la siguiente manera, para el modo i. '

d 2φ + a 2 φ ( x) = 0 2 dx

__ ⎡ GA ' ⎤ φi ( x)⎥ − Wni2 m φi ( x) = 0 ⇒⎢ ⎦ ⎣ β

Al multiplicar por dx e integrar entre 0 y

L se tiene:

'

L __ ⎡ GA ' ⎤ 2 φ ( x ) dx − W ni ∫ m φ i ( x ) dx = 0 ∫0 ⎢⎣ β i ⎥⎦ 0 L

La primera integral es directa, con lo que se halla:

__ ⎡ GA ' ⎤ ⎡ GA ' ⎤ 2 φ ( x ) − φ ( x ) − W m φi ( x) dx = 0 i ni ∫ ⎢ β i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ X =L ⎣ β ⎦ X =0 0 L

Pero

φi' ( x = L) = 0

por condición de borde de cortante en voladizo. Luego:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE __ ⎡ GA ' ⎤ −⎢ φ i ( 0) ⎥ − Wni2 ∫ m φi ( x) dx = 0 ⎣ β ⎦ X =0 0 L

Al pasar el segundo término al lado derecho y dividir para esa cantidad se halla:

GA

φi' (0)

β W

2 ni

= −1

L __

∫mφ

i

( x) dx

0

Con lo que la ecuación ( 11.25 ) queda: ∞

V0 = −∑ mi∗ Ai (t ) i =1

∞

t

V0 = ∑ m Wni ∫ a (τ ) senWni (t − τ ) dτ i =1

∗ i

0

No tiene importancia el signo del cortante basal por lo que se lo ha omitido, al desarrollar el senWni (t − τ ) se tiene: t t ⎡ ⎤ V0 = ∑ m Wni ⎢ senWni t ∫ a (τ ) cosτ dτ − cos Wni t ∫ a(τ ) senτ dτ ⎥ i =1 0 0 ⎣ ⎦

∞

11.6

∗ i

MASA MODAL

Para una viga de corte se tiene que:

φi ( x) = A sen

(2i − 1)π x 2L

Al reemplazar este valor en ( 11.21 ) se encuentra:

2

⎡ L __ ⎤ ⎢ ∫ m φi ( x) dx ⎥ ⎦ = mi∗ = ⎣ 0L __ 2 ∫ m φi ( x) dx 0

2 L ⎤ (2i − 1)π ⎛ __ ⎞ ⎡ m xdx ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ∫ A sen 2L ⎝ ⎠ ⎣0 ⎦ L __ (2i − 1)π m ∫ A 2 sen 2 xdx 2L 0

2

( 11.26 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE L ⎡⎛ ( 2L 2i − 1)πx ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ cos m ⎢⎜⎜ − 2 L ⎟⎠ 0 ⎥⎦ ⎢⎣⎝ (2i − 1)π

2

__

mi∗ =

⎛x (2i − 1)πx cos (2i − 1)πx ⎞⎟ L /π ⎜⎜ − sen 2L 2 L ⎟⎠ 0 ⎝ 2 2(2i − 1)

L

4 L2

__

m mi* =

(2i − 1)2 π 2 L 2 __

∗ i

m =

8 mL

(2i − 1)2 π 2

__

Pero el producto m L es la masa total M t . De donde la masa modal, queda:

mi* =

8 Mt

( 11.27 )

(2i − 1)2 π 2

En la tabla 11.1 se presentan las masas modales en los cinco primeros modos de vibración y la sumatoria de las mismas. Se destaca que algunas normativas sísmicas recomiendan que el número de modos a considerar sea aquel en que la sumatoria de las masas modales es mayor al 90% de la masa total.

Tabla 11.1 Masas modales de viga de corte Modo i

1 2 3 4 5

•

mi* Mt

5

∑m i =1

0.811 0.090 0.032 0.017 0.010

* i

Mt

0.811 0.901 0.933 0.950 0.960

EJEMPLO 3

Encontrar las cinco primeras frecuencias naturales y sus correspondientes períodos, de una viga de corte de las siguientes características:

T G = 695586.08 2 m

A = 0.36 m

2

L = 15 m.

Ts 2 m = 0.68 2 m __

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE •

SOLUCION Las frecuencias y períodos de vibración, se hallan con las siguientes ecuaciones:

Wni =

(2 i − 1) π

GA __

2L

mβ

Ti =

2π Wni

Tabla 11.2 Frecuencias y períodos de vibración Modo i

1 2 3 4 5

Wni

Ti

(1/s)

(s)

58.0110 174.0330 290.0549 406.0769 522.0989

0.1083 0.0361 0.0217 0.0155 0.0120

Los resultados obtenidos se indican en la tabla 11.2

•

EJEMPLO 4

Encontrar la respuesta en el tiempo del cortante basal en los primeros 5 segundos, de la viga de corte del ejemplo anterior, ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en Perú, que dura 40 segundos. Hallar el cortante basal máximo considerando los cinco primeros modos de vibración y presentar la contribución, al cortante basal, de cada uno de los modos.

G = 695586.08

•

T m2

A = 0.36 m 2

L = 15 m.

__

m = 0.68

Ts 2 m2

SOLUCIÓN

Para resolver este problema se desarrolló el programa VIGACORTEBASAL, cuya forma de uso es la siguiente:

[Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,Sismo,dt) • •

G A

Es el módulo de corte de la viga. Es el área de la viga de corte.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE • • • •

__

mu L Sismo dt

Es el valor de la masa por unidad de longitud m Es la longitud de la viga de corte. Es el nombre del archivo que contiene el acelerograma. Es el incremento de tiempo en que viene el acelerograma.

function [Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,sismo,dt) % % Frecuencias Naturales de una viga de corte en voladizo para % los cinco primeros modos de vibracion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,sismo,dt) %------------------------------------------------------------% G : Modulo de corte % A : Area de la seccion transversal de la viga de corte % mu : Masa por unidad de longitud % L : Longitud de la viga de corte % beta : factor de forma por corte se considera igual a 1.2 % sismo: Nombre del archivo que contiene al acelerograma. % dt : Incremento de tiempo del acelerograma. beta=1.2;aux1= sqrt((G*A)/(mu*beta)); aux2=pi/(2*L); aux=aux1*aux2; % Frecuencias Naturales y periodos Wn1=aux; Wn2=3*aux; Wn3=5*aux; Wn4=7*aux; Wn5=9*aux; % Calculo de Integrales donde interviene accion sismica np=length(sismo);tmax=dt*np;t=linspace(0,tmax,np)'; % cambio de unidades del acelerograma de cm/s2 a m/s2 for i=1:np sismo(i)=sismo(i)/100; end for i=1:np F1(i)=sismo(i)*cos(i*dt);F2(i)=sismo(i)*sin(i*dt); end F1=F1';F2=F2';INT1=trapz(t,F1);INT2=trapz(t,F2); % masas modales Mt=mu*L;m1=0.811*Mt; m2=0.090*Mt; m3=0.032*Mt; m4=0.017*Mt; m5=0.010*Mt; FAC1=m1*Wn1;FAC2=m2*Wn2; FAC3=m3*Wn3;FAC4=m4*Wn4;FAC5=m5*Wn5; % Calculo de numerador que contiene al acelerograma para 5 primeros modos for i=1:np NSIS1(i)=sin(Wn1*i*dt)*INT1-cos(Wn1*i*dt)*INT2; NSIS2(i)=sin(Wn2*i*dt)*INT1-cos(Wn2*i*dt)*INT2; NSIS3(i)=sin(Wn3*i*dt)*INT1-cos(Wn3*i*dt)*INT2; NSIS4(i)=sin(Wn4*i*dt)*INT1-cos(Wn4*i*dt)*INT2; NSIS5(i)=sin(Wn5*i*dt)*INT1-cos(Wn5*i*dt)*INT2; end % Calculo del Cortante Basal Vo=FAC1*NSIS1+FAC2*NSIS2+FAC3*NSIS3+FAC4*NSIS4+FAC5*NSIS5; plot (t,Vo) xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Cortante Basal') Vmax=max(abs(Vo)) %---fin---

En la figura 11.6, se presenta la respuesta del cortante en la base para los primeros cinco segundos. No se indica la respuesta para los 40 segundos debido a que ve una gran mancha de resultados y no se visualiza bien.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE El cortante máximo considerando los cinco primeros modos de vibración es 37.2611 T., y en la tabla 11.3 se presentan los cortantes máximos que se obtienen en cada modo de vibración.

Modo V0 (T.)

Tabla 11.3 Cortante Basal, máximo, hallados en cada modo de vibración 1 2 3 4 38.8588 12.9370 7.6663 5.7018

5 4.3123

Se aprecia en la tabla 11.3 que el cortante basal del primer modo es ligeramente mayor al cortante basal que se halla con los cinco primeros modos de vibración; esto se al signo que tiene el cortante en cada modo. La suma de los cortantes en cada modo, de la tabla 11.3, es 69.4607 T. Este vendría a ser el valor que se obtiene al aplicar el criterio de combinación modal de la suma de los valores absolutos de cada modo de vibración, que por cierto es un criterio muy conservador. Si se aplica el criterio del valor máximo probable que es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados se tendría que el cortante vale 42.2759 T.

Figura 11.6 Respuesta del cortante para los primeros 5 segundos. En base al ejemplo realizado se ha visto la importancia que tiene en estudiar con detenimiento los criterios de combinación, tema que se utiliza fundamentalmente cuando se realiza el análisis sísmico por el Método de Superposición Modal.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

CAPÍTULO 12

VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXION

RESUMEN Se presenta, en primer lugar, la teoría de una viga de corte acoplada a una viga de flexión, que sirve para analizar edificios compuestos por vigas, columnas y muros de corte, en el mismo formato indicado en los dos capítulos anteriores, como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. Luego, por considerarlo de interés y ser muy actual se presenta el modelo desarrollado por Eduardo Miranda en ( 1999 ) para una viga de corte acoplada a una viga de flexión. Para complementar el marco teórico de este modelo se han elaborado los siguientes programas en MATLAB: VARIACIONCARGA que sirve para visualizar los modelos de carga distribuida que considera el modelo de Miranda. DESPLAZAMIENTOMIRANDA este programa encuentra los desplazamientos laterales a lo largo de la viga en voladizo para varios tipos de carga lateral. COMPARACIONDESPLAZAMIENTO es otro de los programas desarrollados. Este programa sirve para comparar los desplazamientos laterales que se hallan en una viga en voladizo cuando sobre ella actúan una carga triangular y una carga uniforme distribuida. BETAUNO es el programa que obtiene el parámetro β 1 que permite pasar el desplazamiento lateral obtenido de un sistema de un grado de liberad al desplazamiento lateral máximo en el tope de un edificio. Este parámetro es muy importante para evaluar en forma rápida la deriva máxima de pisos y también para encontrar la respuesta elástica de un edificio ante la acción de un sismo definido por su espectro de desplazamientos; por este motivo se presenta también la propuesta de Algan ( 1982) para hallar β 1 en edificios sin muros de corte. Para comparar los resultados que se hallan con la propuesta de Algan con los que se obtienen a partir de una viga de corte se elaboró el programa ALGAN que presenta en forma gráfica esta comparación.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE DESPLAZAMIENTOLATERAL es otro de los programas elaborados en MATLAB, que presenta la variación de los desplazamientos laterales, en una viga de corte acoplada a una de flexión. VARIACIÓNDERIVA es un programa que permite visualizar la deriva de piso en forma continua en toda la altura del edificio. Para la mayor parte de los programas se presentan curvas para diferentes tipos de edificios mediante un parámetro α se podrá ver el comportamiento de un edificio en el cual predomina más el efecto de flexión sobre el de corte o al revés. Finalmente y como una aplicación práctica se presenta un resumen del proyecto desarrollado por el autor de este libro en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército, en el 2005 sobre la “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en edificios de hormigón armado”. Se presenta debido a que dos de los parámetros que intervienen en la evaluación β 1 y β 2 fueron estudiados en este capítulo. De tal manera que es muy importante conocer la teoría de sistemas continuos.

12.1

IMPORTANCIA DEL ESTUDIO

En el capítulo 10 se estudio el comportamiento de una viga en flexión, que es el modelo de un edificio con muros de corte; en el capítulo 11 se estudio el comportamiento de una viga de corte que es el modelo de un edificio con columnas y vigas. Ahora se va a estudiar el comportamiento de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, que es el modelo numérico de cálculo de un edificio con columnas, muros de corte y vigas. En los pisos inferiores el muro de corte es más rígido y sujeta al pórtico, ante cargas laterales; en cambio, en los pisos superiores el pórtico es más rígido y sujeta al muro de corte. De tal manera que es muy apropiado tener estructuras con vigas, columnas y muros de corte. En la figura 12.1, a la izquierda se presenta el modelo de un pórtico acoplado a una viga de flexión y a la derecha la viga en voladizo. Se ha cambiado la nomenclatura, ahora al eje del elemento se denomina eje z y a la altura de la viga en voladizo H. El modelo está caracterizado por dos parámetros de rigidez, uno de corte que se denomina C1 ( z ) y uno de flexión C 2 ( z ) .

C1 ( z ) =

GA( z )

C 2 ( z ) = EI ( z )

β

( 12.1 )

E es el módulo de elasticidad; β es el factor de forma por corte; A( z ) es el área transversal de la viga de corte e I ( z ) es el Donde: G es el módulo de corte de la viga;

momento de inercia a flexión de la viga a flexión. Del equilibrio de fuerzas horizontales se tiene:

[C ( z) Y

''

2

( z)

] − [C ( z) Y ( z )] = w( z ) ''

'

'

1

( 12.2 )

Ahora se denomina w( z ) a la variación de la carga perpendicular al eje del elemento. Al extenderse la ecuación ( 12.2 ) a fuerzas inerciales se tiene:

[C ( z) Y 2

''

( z)

] − [C ( z) Y ( z )] ''

'

1

'

__ ..

+ m Y = w( z )

( 12.3 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.1 Modelo numérico de una viga de corte acoplada a una de flexión.

Se ha notado ( ‘ ) la derivada de Y con respecto a z, ( . ) la derivada de Y con respecto __

al tiempo t. Por otra parte m es la masa por unidad de longitud. Para el caso de vibración libre se tiene:

[C ( z) Y

''

2

( z)

] − [C ( z ) Y ( z)] ''

'

'

1

__ ..

+ mY =0

( 12.4 )

Se plantea la solución, de la forma: ( 12.5 )

Y ( z , t ) = φ ( z ) y (t ) Al reemplazar ( 12.5 ) en ( 12.4 ) se halla:

[C ( z) φ ( z)] − [C ( z ) φ ( z )] ''

2

''

'

1

Las condiciones de borde son las siguientes:

i.

En z = 0

φ ( z) = 0 .

'

__ ..

+m y=0

( 12.6 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ii.

En z = 0

iii.

En z = L

iv.

En z = L

φ ' ( z) = 0 φ '' ( z ) = 0 [C2 ( z) φ '' ( z)] ' − [C1 ( z) φ ' ( z)] = 0

Se puede continuar con la solución, en forma similar a la desarrollada en los capítulos anteriores pero se considera más importante presentar el modelo desarrollado por Eduardo Miranda en (1999) y publicado en el Journal of Structural Engineering.

12.2

MODELO DE MIRANDA

Al desarrollar la ecuación ( 12.2 ) para el caso de una viga se sección constante pero sin considerar la respuesta en el tiempo se tiene:

[EI u ( z)] ''

''

⎡ GA ' ⎤ ' −⎢ u ( z )⎥ = w( z ) ⎣ β ⎦

Siendo u ( z ) es el desplazamiento en el punto z. Al dividir todo para EI se halla:

u ( z) − ' '''

α2 H

2

u '' ( z ) =

w( z ) EI

( 12.7 )

Donde:

α2 H

2

=

GAc EI

( 12.8 )

Para valores muy pequeños de α el comportamiento es de una viga de flexión, para α = 0 sería viga de flexión. Por el otro lado, para valores muy altos de α el comportamiento es de una viga de corte; concretamente para α = ∞ es viga de corte. De tal manera que de acuerdo al valor de α se puede tener una viga de flexión o una de corte o una que tenga las propiedades de las dos. La forma de distribución de la carga lateral considerada por Miranda, está definida por:

w( z ) = Wmax

1 − e −a z / H 1 − e −a

( 12.9 )

Donde Wmax es el valor máximo de la carga distribuida. Mediante el parámetro a se puede tener variaciones de carga: triangular si a = 0.01 ; parabólica si a = 2.03 ; uniforme distribuida si a tiene un valor muy alto.

•

EJEMPLO 1

Presentar la variación de la carga a lo largo de la altura de la viga, para los siguientes valores de a: 0.01, 2, 5 y 2000. La variación e la carga dividirla para Wmax . •

SOLUCIÓN

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Para resolver el problema se elaboró el programa VARIACIONCARGA cuya forma de uso es la siguiente:

[w]=variacioncarga (a) •

a

Es un vector que contiene 4 valores de a para los cuales se desea hallar la variación de la carga.

>>a=[ 0.01; 2; 5; 2000] >> [w]=variacioncarga(a) En la figura 12.2 se presenta la variación de la carga para los valores de a solicitados.

Figura 12.2 Diferentes variaciones de carga transversal

function [w]=variacioncarga(a) % % Variacion de la carga en viga de corte acoplada a la flexion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [w]=variacioncarga(a) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % Es un vector que se da como dato, el programa obtiene la % distribucion de carga para 4 valores de a. % Wmax : intensidad de la carga uniforme distribuida. Programado para 1 dz=0.01; hold off; for k=1:4

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE aa=a(k); for z=1:101 zh=(z-1)*dz;num=1-exp(-aa*zh);den=1-exp(-aa);w(z)=num/den;zz(z)=zh; end if k==1 plot(w,zz,'--'); hold on; elseif k==2 plot(w,zz,':'); elseif k==3 plot(w,zz,'-.'); else plot(w,zz) end end xlabel ('Valor w(z) / Wmax'); ylabel ('z / H'); %---fin---

12.2.1

Respuesta en desplazamiento

La respuesta de la ecuación diferencial ( 12.7 ) encontrada por Miranda (1999) para la variación de carga definida en ( 12.9 ) es: 2 ⎤ Wmax H 4 ⎡ z ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ − az / H + + + + + u( z) = C senh α C cosh α C e C C C ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ 1 2 3 4 5 6 H EI 1 − e − a ⎣⎢ ⎝H⎠ ⎝ H⎠ ⎝ H⎠ ⎦⎥

(

)

( 12.10 )

Las constantes de integración para la viga en voladizo son:

C1 =

α 2 e −a − a 2 e −a − a 3 + a α 2 − α 2 a α 3 (a 2 − α 2 )

( 12.11 )

a 2 e − a − α 2 e − a + a 3 − aα 2 + α 2 senhα α 2 e − a + a 2 − α 2 1 C2 = + cosh α aα 3 a 2 − α 2 α 4 a 2 − α 2 cosh α

(

)

(

)

( 12.12 )

C3 =

−1 a a2 −α 2 2

(

C4 =

C5 =

C 6 = C1

)

( 12.13 )

−1 2α2

( 12.14 )

a 2 e −a − α 2 e −a + a 3 − a α 2 a α 2 a2 −α 2

(

)

( 12.15 )

α 2e −a + a 2 − α 2 1 1 senhα + 2 2 − 2 4 2 2 cosh α a a − α cosh α α a −α

(

)

(

)

( 12.16 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.3 Viga en voladizo sometida a carga triangular.

•

EJEMPLO 2 La viga en voladizo indicada en la figura 12.3 de 15 m., de altura tiene una rigidez

EI = 1 y sobre ella actúa una carga triangular cuyo valor máximo es 2 T./m., Se desea presentar un gráfico para la variación del desplazamiento transversal dividido para el desplazamiento máximo. Para los siguientes valores de α : 1; 2; 10 y 50.

•

SOLUCIÓN

Para resolver este problema se elaboró el programa DESPLAZAMIENTOMIRANDA cuya forma de uso es la siguiente: [u] = desplazamiento(Wmax,alfa,H,EI) • • • •

Wmax alfa H EI

Valor máximo de la carga distribuida. Vector que contiene los cuatro valores de Altura de la viga en voladizo. Rigidez a flexión de la viga en voladizo.

α

que definen la estructura.

function [u]=desplazamientomiranda(Wmax,alf,H,EI) % % Respuesta de una viga de flexion acoplada a una de corte, propuesta % por Miranda (1999). Valida para vigas de seccion constante. % Programado para distribucion de carga triangular. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=desplazamientomiranda(Wmax,alf,H,EI) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % Wmax :Intensidad de la carga uniforme distribuida % alf :Vector que contiene los cuatro valores de alfa para los cuales % :se encuentra el desplazamiento de la viga % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion % EI :Rigidez a flexion de la viga. %Constantes de Integracion a=0.01; for k=1:4 alfa=alf(k); num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de desplazamientos aux7=EI*(1-exp(-a));aux=Wmax*H^4/aux7;dz=0.01;hold off for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=aux*(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)/u(101); hold on end if k==1 plot(u,y,'--') elseif k==2 plot(u,y,':') elseif k==3 plot(u,y,'-.') else plot(u,y) end xlabel ('Relacion u(z) / u(H) '); ylabel (' z / H ' ); title ('Variacion de carga triangular'); end %---fin---

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.4 Variación del desplazamiento lateral con la altura.

En la figura 12.4 se presenta el desplazamiento lateral de las cuatro vigas. Nótese las elásticas de deformación para α = 1 y α = 2 corresponden a estructuras cuyo comportamiento es en flexión y las elásticas de deformación para α = 10 y α = 50 son para estructuras de corte.

12.2.2

Efecto de la distribución de cargas

La forma como se aplica las cargas en la viga en voladizo, influye en la respuesta en desplazamientos, para ver este efecto se resuelve el siguiente ejemplo.

•

EJEMPLO 3

Se desea hallar la variación de los desplazamientos, con la altura, de la viga indicada en la figura 12.5 si sobre ella actúa una carga uniforme distribuida de magnitud 2 T./m. y comparar con los resultados que se obtienen cuando sobre ella actúa una carga triangular con magnitud máxima de 2 T/m. Para los dos casos considerar:

α =6

EI = 1

H = 15 m.

Wmax = 2.0 T / m.

Se desea comparar la respuesta de desplazamiento lateral u ( z ) con relación al desplazamiento en el tope de la viga.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.5 Viga en voladizo sometida a carga uniforme distribuida y triangular.

•

SOLUCIÓN

En la figura 12.6 se indica la respuesta en desplazamientos para los dos tipos de carga. Al haber obtenido la respuesta para u ( z ) / u ( H ) se pueden comparar las respuestas ya que en los dos casos esta relación tiene un valor máximo en el tope de uno. Se aprecia que con la carga triangular esta relación es menor a la que se obtiene con la carga uniforme distribuida.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.6 Comparación del efecto de aplicación de las cargas. El programa, elaborado en MATLAB, con el cual se resolvió este ejemplo se llama: COMPARACIONDESPLAZAMIENTO. Su forma de uso es:

[u] = comparaciondesplazamiento (Wmax,alfa,H,EI) • • • •

Wmax es la carga máxima por unidad de longitud. alfa es el valor α que define el comportamiento estructural. H es la altura de la viga en voladizo. EI es la rigidez a flexión de la viga en voladizo.

function [u]=comparaciondesplazamiento(Wmax,alfa,H,EI) % % Compara los desplazamientos laterales de una viga en voladizo % ante carga triangular y carga uniforme distribuida. % Utilizando desarrollo numerico de Miranda (1999). % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=comparaciondesplazamiento(Wmax,alfa,H,EI) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % Wmax :Intensidad de la carga uniforme distribuida % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion % EI :Rigidez a flexion de la viga. %Constantes de Integracion aa(1)=0.01; aa(2)=2000; for k=1:2

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE a=aa(k); num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de desplazamientos aux7=EI*(1-exp(-a));aux=Wmax*H^4/aux7;dz=0.01;hold off for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=aux*(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)/u(101); hold on end if k==1 plot(u,y) else k==2 plot(u,y,':') end xlabel ('Relacion u(z) / u(H) '); ylabel (' z / H ' ); title ('Comparacion de cargas'); end %---fin---

12.3

APLICACIONES

Una de las principales aplicaciones de la temática que se ha venido estudiando es poder evaluar en forma sencilla y rápida el desplazamiento lateral de un edificio, que en este capítulo se ha denominado u ( z ) , ante un sismo definido por su espectro de respuesta elástica. Sea S d el desplazamiento espectral elástico asociado al período de vibración T , el desplazamiento lateral en cualquier punto del edificio se obtiene en forma aproximada con la siguiente relación:

u j = β1 ψ j S d

( 12.17 )

Donde β 1 es un parámetro que permite pasar los desplazamientos de un sistema de un grado de libertad, que se tiene al utilizar el espectro, a un sistema de múltiples grados de libertad, que se tiene en el edificio. Tema que será desarrollado en el próximo sub apartado. ψ j es la forma del desplazamiento lateral evaluado en el piso j; u j es el desplazamiento lateral en el piso j.

12.3.1 Parámetro β 1

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Se define el parámetro β 1 como el factor de participación modal desplazamiento modal en el tope del edificio. N

β1 =

∑m

j

φj

j

φ

j =1 N

∑m j =1

γ1

φN

( 12.18 )

2 j

Donde N es el número de pisos; m j es la masa del piso j; vibración en el piso j;

φN

multiplicado por el

φj

es el modo de

es el valor modal en el último piso. Para el caso de que la masa sea

igual en todos los pisos y encontrando los modos de vibración normalizados a la unidad en el último piso, la ecuación ( 12.18 ) se convierte en: N

β1 =

∑φ j =1

j

N

∑φ j =1

2 j

Con la nomenclatura, utilizada por Miranda (1999) se tiene: N

β1 =

∑ψ j =1

j

( 12.19 )

N

∑ψ j =1

2 j

Siendo:

ψ j = ψ (z j ) =

u( z j )

( 12.20 )

u(H )

Donde z j la altura desde la base del suelo hasta el piso j. Al reemplazar ( 12.10 ) en (12.20) y evaluando el desplazamiento lateral en u ( H ) se tiene: 2

zj ⎛ zj ⎞ ⎛ zj ⎞ ⎛ zj ⎞ − az / H C1 senh⎜⎜ α ⎟⎟ + C 2 cosh⎜⎜ α ⎟⎟ + C 3 e j + C 4 ⎜⎜ ⎟⎟ + C 5 + C6 H H H H ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ψ (z j ) = C1 senh(α ) + C 2 cosh (α ) + C 3 e − a + C 4 + C 5 + C 6 ( 12.21 )

•

EJEMPLO 4

Presentar curvas del parámetro β 1 para edificios de 1 a 20 pisos y para los siguientes valores de α : 2, 4, 8 y 30. Considerar que la altura de cada piso es igual y vale 3.0 m.

•

SOLUCIÓN

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Antes de presentar el programa BETAUNO con el cual se hallan las curvas pedidas, veamos como se procedería para el caso de un edificio de 2 pisos. En este caso la altura total es H = 6 m. Por lo tanto se debe evaluar ψ ( z1 = 3.0 m.) y ψ ( z 2 = 6.0 m.) con la ecuación (12.21) . Luego de lo cual se realiza la sumatoria de la ecuación ( 12.19 ) para hallar forma de uso del programa BETAUNO es la siguiente:

β1 . La

[beta]=betauno(alfa) •

alfa

Es un vector que contiene los valores de las curvas de

β1 .

α

para los cuales se desean hallar

>> alfa = [ 2; 4; 8; 30 ] >> [beta]=betauno(alfa)

function [beta]=betauno(alf) % % Calculo del parametro beta1 utilizando el modelo de Miranda (1999) % Obtiene la curva para 1 a 10 pisos para varios valores de alfa. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [beta]=betauno(alf) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario. % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6 % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador for N=1:20 H=3*N;dz=H/N; for z=1:N zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H); coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador;

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE end % Calculo de sumatorias sumn=0; sumd=0; for z=1:N sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z); end beta(N)=sumn/sumd; end if K==1 plot(beta,'--'); hold on; elseif K==2 plot(beta,'-.') elseif K==3 plot(beta,':') else plot(beta) end xlabel ('Numero de pisos '); end % ---fin---

En la figura 12.7 se presentan las curvas obtenidas con el programa BETAUNO. Como se indicó anteriormente valores bajos de α corresponden al comportamiento de edificios que trabajan como una viga de corte, en esos edificios se tienen valores altos de β 1 . Por el otro lado, valores altos de α corresponden a edificios que trabajan como una viga de flexión, para este caso los valores del parámetro β 1 son bajos.

•

EJEMPLO 5

Comparar las curvas del parámetro

β1

que se obtienen para

α = 0 .5

y

α = 1 con las

que se hallan con la ecuación propuesta por Algan ( 1982 ) en función del número de pisos N siguiente:

β1 =

3N 2 N +1

( 12.22 )

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.7 Variación de

•

β1

en función del número de pisos.

SOLUCIÓN

La ecuación propuesta por Algan (1982) fue deducida para una viga de corte de sección constante. Por lo tanto, es aplicable a estructuras en base a vigas y columnas, sin muros de corte. El parámetro

β1

varía muy poco a partir de los 10 pisos, razón por la que se comparan

las curvas para edificios de 1 a 10 pisos, en la figura 12.8. Para un valor de curva con la de Algan.

α =2

coinciden la

En base al programa BETAUNO se elaboró el programa denominado ALGAN añadiendo las siguientes sentencias:

% Propuesta de Algan for N=1:10 beta(N)=3*N/(2*N+1); end plot(beta)

12.3.2 Desplazamiento lateral La ecuación ( 12.17 ) sirve para encontrar la respuesta elástica, en desplazamientos, de un edificio ante un espectro elástico. En este sub apartado interesa encontrar la relación u ( z ) / S d = β 1 ψ j para ver como varían los desplazamientos en diferentes estructuras caracterizadas por el valor

α.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.8 Comparación de

•

β1

con ecuación propuesta por Algan.

EJEMPLO 6 Encontrar la relación u ( z ) / S d para cuatro estructuras definidas por los siguientes

valores de α : 0.5; 3; 8 y 30. Considerando que son edificios de 20 pisos. Calcular con la función ψ j normalizada a unidad en el tope.

•

SOLUCIÓN

En la figura 12.9 se presenta la respuesta del problema, la misma que se encontró con el programa DESPLAZAMIENTOLATERAL que se utiliza de la siguiente forma:

[u] = desplazamientolateral (N,alfa) • •

N Alfa

es el número de pisos. es el vector que contiene los valores de

Para el ejemplo se tiene: >> alfa=[0.5; 3; 8; 30] >> desplazamientolateral (20,alfa)

α.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.9 Variación del desplazamiento en altura para diferentes estructuras. Es interesante notar en la figura 12.9 que existe un punto en z / H = 0.85 que define el comportamiento para valores menores y para valores mayores. Es como un punto de inflexión donde cambia el comportamiento de las estructuras, las que se deforman menos antes de este valor a partir de este punto se deforman más.

function [u]=desplazamientolateral(N,alf) % % Determina la variacion del desplazamiento lateral en altura, como un % sistema continuo para diferentes valores de alfa. Utilizando el modelo % propuesto por Miranda (1999) % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=desplazamientolateral(N,alf) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario. % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos % Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2;

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador H=3*N;dz=H/N; for z=1:N zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H); coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador; end % Calculo de sumatorias sumn=0; sumd=0; for z=1:N sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z); end beta=sumn/sumd; dz=0.01; if K==1 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,'--'); hold on; elseif K==2 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,'-.') elseif K==3 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,':') else for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE plot(u,y) end xlabel ('u(z) / Sd '); ylabel (' z / H ' ) end % ---fin---

12.4

DERIVA DE PISO

En el diseño de las estructuras, interesa conocer cuales son las derivas en cada uno de los pisos, para saber si se encuentran dentro de lo tolerable por las normativas sísmicas y sobre todo para tomar ciertas precauciones en los lugares en que se tengan mayores derivas de piso. Se define la deriva de piso

γj

como la relación entre el desplazamiento relativo de piso

dividido para la altura de piso h j .

γj =

u j +1 − u j

( 12.23 )

hj

La deriva de piso es aproximadamente igual a la derivada de u con respecto a z . A continuación se halla la deriva a lo largo de la viga multiplicada por H / u ( H ) .

du ( z / H ) H = dz u(H )

z z z + C 2α senhα − C 3 a e − az / H + 2C 4 + C5 H H H C1 senhα + C 2 cosh α + C 3 e − a + C 4 + C 5 + C 6

C1α cosh α

( 12.24 )

•

EJEMPLO 7

Presentar la variación de la deriva de piso normalizada por el producto H / u ( H ) para valores de α : 2; 5; 10 y 30. El valor del desplazamiento en el último piso dividido para la altura total es la deriva global, luego lo que se pide en el ejercicio es la relación entre la deriva de piso dividida para la deriva global.

•

SOLUCIÓN En la figura 12.10 se presenta la variación de la deriva de piso solicitada. Nótese que

los mayores valores se hallan para valores de

z ≤ 0.5 es decir en los pisos inferiores. H

El programa con el cual se obtiene la figura 12.10 se denomina: VARIACIONDERIVA y la forma de uso es la siguiente:

[u] = variacionderiva (alfa) •

alfa

es el vector que contiene los valores de

α

La entrada de datos para el ejemplo es la siguiente:

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE >> alfa = [ 2; 5; 10; 30] >> [u] = variacionderiva (alfa)

Figura 12.10 Variación de la deriva a lo largo de la altura. function [u]=variacionderiva(alf) % % Determina la variacion de la deriva de piso con la altura, multiplicada % por H/u(H). Trabajo de Miranda (1999) Calcula la variacion de la deriva % para varios valores de alfa. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=variacionderiva(alf) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario. % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos % Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3;

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador dz=0.01; for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*alfa*cosh(alfa*zh)+c2*alfa*sinh(alfa*zh)-c3*a*exp(-a*zh); coef2=2*c4*zh+c5; u(z)=(coef1+coef2)/denominador;y(z)=zh; end if K==1 plot(u,y,'--'); hold on; elseif K==2 plot(u,y,'-.') elseif K==3 plot(u,y,':') else plot(u,y) end ylabel (' z / H ' ) end % ---fin---

12.4.1 Parámetro β 2

Se define el parámetro deriva global

γg

β2

como la relación entre la deriva de piso con respecto a la

del edificio. La deriva global relaciona el desplazamiento lateral máxima en el

tope con respecto a la altura total del edificio H .

β2 =

Max(γ j )

γg

=

Max(γ j ) ⎡ du ( z ) H ⎤ = Max ⎢ ⎥ u( H ) ⎣ dz u ( H ) ⎦ H

Para encontrar los valores máximos de

( 12.25 )

du se debe hallar la segunda derivada e dz

igualar a cero.

d 2u ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ = C1 α 2 senh⎜ α ⎟ + C 2 α 2 cosh⎜ α ⎟ + C 3 a 2 e − a z / H + 2 C 4 = 0 2 dz ⎝ H⎠ ⎝ H⎠ ( 12.26 ) Una vez que se halla el valor de z / H con la ecuación ( 12.26 ) se reemplaza en la ecuación ( 12.24 ) y se encuentra el valor de β 2 .

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Los parámetros β 1 , β 2 tienen varias aplicaciones, una de ellas es para encontrar la deriva máxima de piso en forma rápida. En el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército en el 2005 se desarrolló el proyecto denominado “Evaluación rápida de la deriva máxima de piso en edificios de hormigón armado” que por considerarlo de importancia se presenta a continuación un resumen del mismo.

12.5

EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO

Se incluyó el parámetro deriva máxima de piso siguiente manera:

γ

β5

en la forma propuesta por Miranda (2000) para evaluar la

, en edificios de hormigón armado, quedando la ecuación de la

γ = Donde

β1

β1 β 2 β 3 β 4 β 5 H

Sd

( 12.27 )

es el valor de paso del sistema de un grado de libertad al sistema de

múltiples grados de libertad;

β2

es un factor de amplificación que permite determinar la

distorsión máxima de entrepiso a partir de la deriva global de la estructura;

β3

es un factor que

permite calcular los desplazamientos laterales máximos con comportamiento inelástico a partir de los máximos desplazamientos laterales con comportamiento elástico; β 4 es un factor que sirve para determinar el cociente entre la distorsión máxima de entrepiso y la distorsión global pero calculado en una estructura con comportamiento inelástico con relación a la misma relación pero calculada con comportamiento elástico; β 5 es un factor que toma en cuenta el modelo de histéresis utilizado para hallar la respuesta no lineal; H es la altura total del edificio y S d es el desplazamiento espectral elástico asociado al período efectivo Te de la estructura. De la investigación realizada, se recomienda utilizar la ecuación de Algan (1982) para el cálculo de β 1 . Para el parámetro β 2 en base al análisis de 3840 resultados de120 edificios de 1 a 10 pisos, se obtuvo:

β 2 = −0.0231 N 2 + 0.3018 N + 0.6759 Donde N es el número de pisos. Para el parámetro

β3

( 12.28 )

en base a 63 acelerogramas

de sismos registrados en Colombia, Perú, Argentina y Chile, con aceleraciones mayores al 10 % de la aceleración de la gravedad, se encontró la siguiente expresión:

β3 =

µ

[c (µ − 1) + 1]1 / c

c(T , α ) = c(T , α ) =

Te

2.07

1 + Te Te

2.07

+

0.381 Te

para α = 0.0

+

0.248 Te

para α = 0.05

1.247

1 + Te

1.247

( 12.29 ) ( 12.30 )

( 12.31 )

Donde µ es la ductilidad del sistema, α es la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica. Las ecuaciones ( 12.29 ) a ( 12.31 ) fueron obtenidas sin

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE considerar el tipo de suelo. Para tener en cuenta el tipo de suelo se trabajó con 24 acelerogramas artificiales que reportan los espectros del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC_2000, se encontró las siguientes ecuaciones:

d ⎡⎛ a ⎞⎛ T ⎞ ⎤ β 3 = 1 + ⎢⎜⎜ b + c ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ µ ⎠ ⎝ TS ⎠ ⎥⎦

−1

( 12.32 )

Tabla 12.1 Valores de a, b, c, d encontrados en el estudio. Perfil de Suelo

a

b

c

d

TS

S1 S2 S3 S4

30.00 71.80 81.04 86.00

1.34 2.00 2.00 2.10

-1.49 -1.50 -2.55 -2.60

0.60 0.50 0.50 0.48

0.50 0.52 0.82 2.00

En la tabla 12.1 se indican los valores de a, b, c, d hallados en el estudio para los perfiles de suelo S1 (roca o muy duro), S2 (de dureza intermedia), S3 (blando) y S4 (muy blando). Para el parámetro β 4 del análisis de 1944 casos, correspondientes a 72 edificios de 1 a 6 pisos, se obtuvo la siguiente relación: ( 12.33 )

β 4 = 0.029 N + 0.9796 Finalmente, para el parámetro

β5

se recomienda utilizar los resultados presentados en

la tabla 12.2; los mismos que se infirieron a partir del estudio de Lee et al (1999).

Tabla 12.2 Valores de Ductilidad

β5

1 1.00

2 1.14

β5

en función de la demanda de ductilidad.

3 1.17

4 1.19

5 1.22

6 1.23

Para ver la bondad de la propuesta realizada se encontró la deriva máxima de piso aplicando la metodología propuesta y se comparó con la obtenida con el programa IDARC mediante análisis no lineal dinámico, en 72 estructuras sometidas a 25 registros sísmicos y se encontró una muy buena aproximación como se ilustra en la figura 12.11.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

Figura 12.11 Relación

γ IDARC / γ

encontrada en el estudio.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

REFERENCIAS

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