Dinamica Cap8 Vibraciones Mecanicas

Introducci´ on Vibraciones no amortiguadas Vibraciones amortiguadas

´ FUNDAMENTOS DE DINAMICA ´ CAP. 8: VIBRACIONES MECANICAS Dennis Santos Cavalho. [email protected] Pontificia Universidad Cat´ olica del Per´ u Facultad de Ciencias e Ingenier´ıa Ciclo 2015-2

Mi´ercoles 11 de noviembre de 2015

Dennis Santos Cavalho. [email protected]

´ FUNDAMENTOS DE DINAMICA

Introducci´ on Vibraciones no amortiguadas Vibraciones amortiguadas

La presentaci´on comprender´a: 1

Introducci´on Definici´on e importancia del estudio de vibraciones mec´anicas Casos de vibraciones y aplicaciones Clasificaci´on de la vibraci´ on Partes elementales de un sistema vibratorio

2

Vibraciones no amortiguadas Vibraci´on libre Vibraci´on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´on forzada

3

Vibraciones amortiguadas Elementos de amortiguamiento Vibraci´on libre Vibraci´on forzada Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Introducci´on Definici´on e importancia del estudio de vibraciones mec´anicas Casos de vibraciones y aplicaciones Clasificaci´on de la vibraci´ on Partes elementales de un sistema vibratorio

2

Vibraciones no amortiguadas Vibraci´on libre Vibraci´on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´on forzada

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Introducci´on Definici´on e importancia del estudio de vibraciones mec´anicas Casos de vibraciones y aplicaciones Clasificaci´on de la vibraci´ on Partes elementales de un sistema vibratorio

2

Vibraciones no amortiguadas Vibraci´on libre Vibraci´on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´on forzada

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Definici´ on e importancia del estudio de vibraciones mec´ anicas Casos de vibraciones y aplicaciones Clasificaci´ on de la vibraci´ on Partes elementales de un sistema vibratorio

Secci´on 1

Introducci´on

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Definici´ on e importancia del estudio de vibraciones mec´ anicas Casos de vibraciones y aplicaciones Clasificaci´ on de la vibraci´ on Partes elementales de un sistema vibratorio

Una vibraci´on mec´anica es la oscilaci´ on repetida de un punto material o de un cuerpo r´ıgido en torno a una posici´on de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como el vibrador que se utiliza para dar una forma compacta al concreto, y en la mayor´ıa de casos se consideran indeseables como el ruido producido por el motor de una compactadora y hasta catastr´oficas como el fallo estructural de una aeronave o las vibraciones en un edificio causados por un terremoto. La vibraci´on excesiva en m´aquinas o estructuras puede aflojar juntas y conexiones, y causar desgaste prematuro y fatiga del metal (rotura debida a carga c´ıclica). Considerando lo anterior, la misi´ on del ingeniero es eliminar o al menos minimizar las vibraciones mediante un adecuado an´alisis y dise˜ no de las partes componentes de un sistema. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Una vibraci´on mec´anica es la oscilaci´ on repetida de un punto material o de un cuerpo r´ıgido en torno a una posici´on de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como el vibrador que se utiliza para dar una forma compacta al concreto, y en la mayor´ıa de casos se consideran indeseables como el ruido producido por el motor de una compactadora y hasta catastr´oficas como el fallo estructural de una aeronave o las vibraciones en un edificio causados por un terremoto. La vibraci´on excesiva en m´aquinas o estructuras puede aflojar juntas y conexiones, y causar desgaste prematuro y fatiga del metal (rotura debida a carga c´ıclica). Considerando lo anterior, la misi´ on del ingeniero es eliminar o al menos minimizar las vibraciones mediante un adecuado an´alisis y dise˜ no de las partes componentes de un sistema. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Una vibraci´on mec´anica es la oscilaci´ on repetida de un punto material o de un cuerpo r´ıgido en torno a una posici´on de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como el vibrador que se utiliza para dar una forma compacta al concreto, y en la mayor´ıa de casos se consideran indeseables como el ruido producido por el motor de una compactadora y hasta catastr´oficas como el fallo estructural de una aeronave o las vibraciones en un edificio causados por un terremoto. La vibraci´on excesiva en m´aquinas o estructuras puede aflojar juntas y conexiones, y causar desgaste prematuro y fatiga del metal (rotura debida a carga c´ıclica). Considerando lo anterior, la misi´ on del ingeniero es eliminar o al menos minimizar las vibraciones mediante un adecuado an´alisis y dise˜ no de las partes componentes de un sistema. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Una vibraci´on mec´anica es la oscilaci´ on repetida de un punto material o de un cuerpo r´ıgido en torno a una posici´on de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como el vibrador que se utiliza para dar una forma compacta al concreto, y en la mayor´ıa de casos se consideran indeseables como el ruido producido por el motor de una compactadora y hasta catastr´oficas como el fallo estructural de una aeronave o las vibraciones en un edificio causados por un terremoto. La vibraci´on excesiva en m´aquinas o estructuras puede aflojar juntas y conexiones, y causar desgaste prematuro y fatiga del metal (rotura debida a carga c´ıclica). Considerando lo anterior, la misi´ on del ingeniero es eliminar o al menos minimizar las vibraciones mediante un adecuado an´alisis y dise˜ no de las partes componentes de un sistema. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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En la industria automotriz La suspensi´on de un autom´ ovil es el ejemplo de un sistema masa-resorte amortiguado, donde el amortiguador disminuye progresiva la intensidad de las vibraciones.

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Importancia del estudio de vibraciones Se pens´o que por efecto de la resonancia cay´ o este puente (estudios indican que fue por v´ ortices alternativamente por arriba y por debajo del tablero). [Puente Tacoma Narrows, 1940]

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Importancia del estudio de vibraciones Los sismos (vibraciones naturales de la tierra) representan un gran desaf´ıo para el an´alisis y el dise˜ no en la ingenier´ıa. Edificio Alto R´ıo, terremoto del Maule de 2010

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Importancia del estudio de vibraciones Fuente: diario El Mercurio, Chile. Leamos el cuadro en rojo...

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Sistema de reducci´on de vibraciones Edificio Taipei 101, Taiwan. Edificio de 509m.

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Sistema de reducci´on de vibraciones Qu´e se encuentra en el piso 88?...

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Sistema de reducci´on de vibraciones Un amortiguador de masa sintonizada (AMS).

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Sistema de reducci´on de vibraciones Veamos algunos videos...

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on libre: es cuando un sistema vibra por s´ı mismo despu´es de una perturbaci´ on inicial. Ninguna fuerza externa act´ ua en el sistema. Ej: la oscilaci´ on de un p´endulo simple. Vibraci´on forzada: es cuando un sistema se somete a una fuerza (a menudo, una fuerza repetitiva). Ej: la oscilaci´on que aparece en m´aquinas de motores diesel. Si la frecuencia externa coincide con la una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condici´ on conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosas. Fallas en estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avi´on est´an asociadas con la resonancia.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on libre: es cuando un sistema vibra por s´ı mismo despu´es de una perturbaci´ on inicial. Ninguna fuerza externa act´ ua en el sistema. Ej: la oscilaci´ on de un p´endulo simple. Vibraci´on forzada: es cuando un sistema se somete a una fuerza (a menudo, una fuerza repetitiva). Ej: la oscilaci´on que aparece en m´aquinas de motores diesel. Si la frecuencia externa coincide con la una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condici´ on conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosas. Fallas en estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avi´on est´an asociadas con la resonancia.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on libre: es cuando un sistema vibra por s´ı mismo despu´es de una perturbaci´ on inicial. Ninguna fuerza externa act´ ua en el sistema. Ej: la oscilaci´ on de un p´endulo simple. Vibraci´on forzada: es cuando un sistema se somete a una fuerza (a menudo, una fuerza repetitiva). Ej: la oscilaci´on que aparece en m´aquinas de motores diesel. Si la frecuencia externa coincide con la una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condici´ on conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosas. Fallas en estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avi´on est´an asociadas con la resonancia.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on no amortiguada y amortiguada: si no se pierde o disipa energ´ıa por fricci´ on u otra resistencia durante la oscilaci´on, la vibraci´ on se conoce como vibraci´on no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energ´ıa se llama vibraci´on amortiguada. En muchos sistemas f´ısicos, la cantidad de amortiguamiento es tan peque˜ na que puede ser ignorada. No obstante, la consideraci´on del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios pr´ oximos a la resonancia.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on no amortiguada y amortiguada: si no se pierde o disipa energ´ıa por fricci´ on u otra resistencia durante la oscilaci´on, la vibraci´ on se conoce como vibraci´on no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energ´ıa se llama vibraci´on amortiguada. En muchos sistemas f´ısicos, la cantidad de amortiguamiento es tan peque˜ na que puede ser ignorada. No obstante, la consideraci´on del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios pr´ oximos a la resonancia.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on no amortiguada y amortiguada: si no se pierde o disipa energ´ıa por fricci´ on u otra resistencia durante la oscilaci´on, la vibraci´ on se conoce como vibraci´on no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energ´ıa se llama vibraci´on amortiguada. En muchos sistemas f´ısicos, la cantidad de amortiguamiento es tan peque˜ na que puede ser ignorada. No obstante, la consideraci´on del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios pr´ oximos a la resonancia.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on lineal y no lineal: si todos los componentes b´asicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se comportan linealmente, la vibraci´ on resultante se conoce como vibraci´on lineal. Pero si cualquiera de los componente b´asicos se comporta de manera no lineal, la vibraci´ on se conoce como vibraci´on no lineal. Como los sistemas vibratorios tienden a comportarse no linealmente con amplitud de oscilaci´ on creciente, es deseable un conocimiento de la vibraci´ on no lineal cuando se trate con sistemas vibratorios.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on lineal y no lineal: si todos los componentes b´asicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se comportan linealmente, la vibraci´ on resultante se conoce como vibraci´on lineal. Pero si cualquiera de los componente b´asicos se comporta de manera no lineal, la vibraci´ on se conoce como vibraci´on no lineal. Como los sistemas vibratorios tienden a comportarse no linealmente con amplitud de oscilaci´ on creciente, es deseable un conocimiento de la vibraci´ on no lineal cuando se trate con sistemas vibratorios.

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Algunas clasificaciones importantes son: Vibraci´on lineal y no lineal: si todos los componentes b´asicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se comportan linealmente, la vibraci´ on resultante se conoce como vibraci´on lineal. Pero si cualquiera de los componente b´asicos se comporta de manera no lineal, la vibraci´ on se conoce como vibraci´on no lineal. Como los sistemas vibratorios tienden a comportarse no linealmente con amplitud de oscilaci´ on creciente, es deseable un conocimiento de la vibraci´ on no lineal cuando se trate con sistemas vibratorios.

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Partes elementales de un sistema vibratorio Las dos componentes b´asicas de todo sistema vibratorio son la masa y la fuerza restauradora. Es frecuente que un mecanismo el´astico origine la fuerza restauradora, como un resorte, que tiende a que la masa del sistema regrese a su posici´on de equilibrio. Cuando la masa se desplaza de dicha posici´on y se libera, rebasa la posici´on de equilibrio, se detiene de manera moment´anea e invierte su direcci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Partes elementales de un sistema vibratorio Las dos componentes b´asicas de todo sistema vibratorio son la masa y la fuerza restauradora. Es frecuente que un mecanismo el´astico origine la fuerza restauradora, como un resorte, que tiende a que la masa del sistema regrese a su posici´on de equilibrio. Cuando la masa se desplaza de dicha posici´on y se libera, rebasa la posici´on de equilibrio, se detiene de manera moment´anea e invierte su direcci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Partes elementales de un sistema vibratorio Las dos componentes b´asicas de todo sistema vibratorio son la masa y la fuerza restauradora. Es frecuente que un mecanismo el´astico origine la fuerza restauradora, como un resorte, que tiende a que la masa del sistema regrese a su posici´on de equilibrio. Cuando la masa se desplaza de dicha posici´on y se libera, rebasa la posici´on de equilibrio, se detiene de manera moment´anea e invierte su direcci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Partes elementales de un sistema vibratorio Esta oscilaci´on entre dos posiciones estacionarias es un ejemplo de movimiento vibratorio. Otra forma de verlo, un sistema vibratorio consta de un medio para almacenar energ´ıa potencial (resorte o elasticidad), un medio para conservar energ´ıa cin´etica (masa o inercia) y un medio por el cual la energ´ıa se pierde gradualmente (amortiguador). La vibraci´on de un sistema implica transformaci´on de su EP en EC y ´esta en EP, de manera alterna. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Partes elementales de un sistema vibratorio Esta oscilaci´on entre dos posiciones estacionarias es un ejemplo de movimiento vibratorio. Otra forma de verlo, un sistema vibratorio consta de un medio para almacenar energ´ıa potencial (resorte o elasticidad), un medio para conservar energ´ıa cin´etica (masa o inercia) y un medio por el cual la energ´ıa se pierde gradualmente (amortiguador). La vibraci´on de un sistema implica transformaci´on de su EP en EC y ´esta en EP, de manera alterna. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Partes elementales de un sistema vibratorio Esta oscilaci´on entre dos posiciones estacionarias es un ejemplo de movimiento vibratorio. Otra forma de verlo, un sistema vibratorio consta de un medio para almacenar energ´ıa potencial (resorte o elasticidad), un medio para conservar energ´ıa cin´etica (masa o inercia) y un medio por el cual la energ´ıa se pierde gradualmente (amortiguador). La vibraci´on de un sistema implica transformaci´on de su EP en EC y ´esta en EP, de manera alterna. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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GDL Y per´ıodo En muchos casos, la posici´ on o el movimiento del cuerpo se pueden especificar por completo por una coordenada. Por ejemplo... Se dice que estos cuerpos tienen un GDL, los cuales estudiaremos en este curso.

Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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GDL Y per´ıodo En muchos casos, la posici´ on o el movimiento del cuerpo se pueden especificar por completo por una coordenada. Por ejemplo... Se dice que estos cuerpos tienen un GDL, los cuales estudiaremos en este curso.

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GDL Y per´ıodo

Se aprecian los desplazamientos (x, y o θ) respecto a la posici´on de equilibrio en funci´ on del tiempo. Las oscilaciones que se repiten uniformemente se denominan vibraciones peri´odicas. Una caracter´ıstica importante de una oscilaci´ on peri´odica es su per´ıodo T, que es el menor tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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GDL Y per´ıodo

Se aprecian los desplazamientos (x, y o θ) respecto a la posici´on de equilibrio en funci´ on del tiempo. Las oscilaciones que se repiten uniformemente se denominan vibraciones peri´odicas. Una caracter´ıstica importante de una oscilaci´ on peri´odica es su per´ıodo T, que es el menor tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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GDL Y per´ıodo

Se aprecian los desplazamientos (x, y o θ) respecto a la posici´on de equilibrio en funci´ on del tiempo. Las oscilaciones que se repiten uniformemente se denominan vibraciones peri´odicas. Una caracter´ıstica importante de una oscilaci´ on peri´odica es su per´ıodo T, que es el menor tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Modelo matem´atico El prop´osito del modelamiento matem´atico es representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar todas las ecuaciones matem´aticas (o anal´ıticas) que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matem´atico puede ser lineal o no lineal. Los modelos lineales permiten soluciones r´apidas y sencillas, sin embargo, un modelo no lineal puede revelar ciertas caracter´ısticas que no pueden ser reveladas siguiendo modelos lineales. Un modelo matem´atico puede mejorar gradualmente para obtener resultados m´as precisos.

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Modelo matem´atico El prop´osito del modelamiento matem´atico es representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar todas las ecuaciones matem´aticas (o anal´ıticas) que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matem´atico puede ser lineal o no lineal. Los modelos lineales permiten soluciones r´apidas y sencillas, sin embargo, un modelo no lineal puede revelar ciertas caracter´ısticas que no pueden ser reveladas siguiendo modelos lineales. Un modelo matem´atico puede mejorar gradualmente para obtener resultados m´as precisos.

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Modelo matem´atico El prop´osito del modelamiento matem´atico es representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar todas las ecuaciones matem´aticas (o anal´ıticas) que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matem´atico puede ser lineal o no lineal. Los modelos lineales permiten soluciones r´apidas y sencillas, sin embargo, un modelo no lineal puede revelar ciertas caracter´ısticas que no pueden ser reveladas siguiendo modelos lineales. Un modelo matem´atico puede mejorar gradualmente para obtener resultados m´as precisos.

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Modelo matem´atico El prop´osito del modelamiento matem´atico es representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar todas las ecuaciones matem´aticas (o anal´ıticas) que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matem´atico puede ser lineal o no lineal. Los modelos lineales permiten soluciones r´apidas y sencillas, sin embargo, un modelo no lineal puede revelar ciertas caracter´ısticas que no pueden ser reveladas siguiendo modelos lineales. Un modelo matem´atico puede mejorar gradualmente para obtener resultados m´as precisos.

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Modelo matem´atico de una viga en voladizo Viga en voladizo con una fuerza aplicada en un extremo

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Modelo matem´atico de una gr´ ua - parte 1 Gr´ ua izando una carga.

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Modelo matem´atico de una gr´ ua - parte 2

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Modelo matem´atico de un tanque elevado - parte 1

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Modelo matem´atico de un tanque elevado - parte 2

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Definici´ on e importancia del estudio de vibraciones mec´ anicas Casos de vibraciones y aplicaciones Clasificaci´ on de la vibraci´ on Partes elementales de un sistema vibratorio

Modelo matem´atico de una motocicleta - parte 1

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Modelo matem´atico de una motocicleta - parte 2

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Modelo matem´atico de una motocicleta - parte 3

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Secci´on 2

Vibraciones no amortiguadas

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre Considere el movimiento vertical del sistema masa-resorte En reposo, la masa colgar´a en una posici´on llamada posici´ on de equilibrio est´atico, en la cual la fuerza del resorte dirigida hacia arriba balancea con exactitud la fuerza de gravedad dirigida hacia abajo que act´ ua en la masa. En esa posici´on planteamos equilibrio. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre Considere el movimiento vertical del sistema masa-resorte En reposo, la masa colgar´a en una posici´on llamada posici´ on de equilibrio est´atico, en la cual la fuerza del resorte dirigida hacia arriba balancea con exactitud la fuerza de gravedad dirigida hacia abajo que act´ ua en la masa. En esa posici´on planteamos equilibrio. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre Considere el movimiento vertical del sistema masa-resorte En reposo, la masa colgar´a en una posici´on llamada posici´ on de equilibrio est´atico, en la cual la fuerza del resorte dirigida hacia arriba balancea con exactitud la fuerza de gravedad dirigida hacia abajo que act´ ua en la masa. En esa posici´on planteamos equilibrio. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre Si la masa se deflexiona una distancia +x con respecto a su posici´on de equilibrio est´atico, entonces la fuerza del resorte ser´a: −k(x + δest ) Si aplicamos la segunda ley de Newton a la masa m: m¨ x = −k(x + δest ) + mg Y si consideramos la expresi´ on hallada anteriormente kδest = mg , tenemos que: m¨ x + kx = 0

( 1)

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Vibraci´on libre Si la masa se deflexiona una distancia +x con respecto a su posici´on de equilibrio est´atico, entonces la fuerza del resorte ser´a: −k(x + δest ) Si aplicamos la segunda ley de Newton a la masa m: m¨ x = −k(x + δest ) + mg Y si consideramos la expresi´ on hallada anteriormente kδest = mg , tenemos que: m¨ x + kx = 0

( 1)

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Vibraci´on libre Si la masa se deflexiona una distancia +x con respecto a su posici´on de equilibrio est´atico, entonces la fuerza del resorte ser´a: −k(x + δest ) Si aplicamos la segunda ley de Newton a la masa m: m¨ x = −k(x + δest ) + mg Y si consideramos la expresi´ on hallada anteriormente kδest = mg , tenemos que: m¨ x + kx = 0

( 1)

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre La ecuaci´on: m¨ x + kx = 0, nos indica que cuando una masa se mueve en direcci´ on vertical, podemos ignorar su peso, siempre que midamos x a partir de su posici´ on de equilibrio. Esta ecuaci´on pudo derivarse aplicando el principio de D’Alembert, el principio de desplazamientos virtuales o el principio de conservaci´ on de energ´ıa. Tambi´en es posible escribir la ecuaci´ on como: x¨ + ωn 2 x, q k siendo ωn = m . El movimiento definido por la u ´ltima ecuaci´ on obtenida se le conoce como movimiento arm´ onico simple.

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Vibraci´on libre La ecuaci´on: m¨ x + kx = 0, nos indica que cuando una masa se mueve en direcci´ on vertical, podemos ignorar su peso, siempre que midamos x a partir de su posici´ on de equilibrio. Esta ecuaci´on pudo derivarse aplicando el principio de D’Alembert, el principio de desplazamientos virtuales o el principio de conservaci´ on de energ´ıa. Tambi´en es posible escribir la ecuaci´ on como: x¨ + ωn 2 x, q k siendo ωn = m . El movimiento definido por la u ´ltima ecuaci´ on obtenida se le conoce como movimiento arm´ onico simple.

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Vibraci´on libre La ecuaci´on: m¨ x + kx = 0, nos indica que cuando una masa se mueve en direcci´ on vertical, podemos ignorar su peso, siempre que midamos x a partir de su posici´ on de equilibrio. Esta ecuaci´on pudo derivarse aplicando el principio de D’Alembert, el principio de desplazamientos virtuales o el principio de conservaci´ on de energ´ıa. Tambi´en es posible escribir la ecuaci´ on como: x¨ + ωn 2 x, q k siendo ωn = m . El movimiento definido por la u ´ltima ecuaci´ on obtenida se le conoce como movimiento arm´ onico simple.

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Vibraci´on libre: movimiento arm´ onico simple La soluci´on general para la ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden tiene la siguiente forma: x(t) = A sin(ωn t) + B cos(ωn t) Donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (CI). La soluci´on general anterior se puede presentar como: x(t) = xm sin(ωn t + φ) Siendo ωn la frecuencia circular angular, luego, xm es la amplitud de la vibraci´ on (es el m´aximo desplazamiento del cuerpo desde su posici´ on de equilibrio) y se determina a partir de las CI, y φ es el ´angulo de fase. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre: movimiento arm´ onico simple La soluci´on general para la ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden tiene la siguiente forma: x(t) = A sin(ωn t) + B cos(ωn t) Donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (CI). La soluci´on general anterior se puede presentar como: x(t) = xm sin(ωn t + φ) Siendo ωn la frecuencia circular angular, luego, xm es la amplitud de la vibraci´ on (es el m´aximo desplazamiento del cuerpo desde su posici´ on de equilibrio) y se determina a partir de las CI, y φ es el ´angulo de fase. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre: movimiento arm´ onico simple La soluci´on general para la ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden tiene la siguiente forma: x(t) = A sin(ωn t) + B cos(ωn t) Donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (CI). La soluci´on general anterior se puede presentar como: x(t) = xm sin(ωn t + φ) Siendo ωn la frecuencia circular angular, luego, xm es la amplitud de la vibraci´ on (es el m´aximo desplazamiento del cuerpo desde su posici´ on de equilibrio) y se determina a partir de las CI, y φ es el ´angulo de fase. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre: movimiento arm´ onico simple √ Se puede demostrar que xm = A2 + B 2 Y se cumple que: φ = tan−1 ( BA ) A partir de la ecuaci´ on x(t) = xm sin(ωn t + φ) se pueden obtener las expresiones para velocidad y aceleraci´on si derivamos una y otra vez, respectivamente: x(t) ˙ = xm ωn cos(ωn t + φ)

x¨(t) = −xm ω 2 n sin(ωn t + φ)

Entonces, tenemos un movimiento sim´etrico con respecto a la posici´on de equilibrio de la masa m. La velocidad es m´axima y la aceleraci´on cero cada vez que la masa pasa por esa posici´on. Y en los desplazamiento extremos la velocidad es cero y la aceleraci´on m´axima. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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x¨(t) = −xm ω 2 n sin(ωn t + φ)

Entonces, tenemos un movimiento sim´etrico con respecto a la posici´on de equilibrio de la masa m. La velocidad es m´axima y la aceleraci´on cero cada vez que la masa pasa por esa posici´on. Y en los desplazamiento extremos la velocidad es cero y la aceleraci´on m´axima. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre: movimiento arm´ onico simple √ Se puede demostrar que xm = A2 + B 2 Y se cumple que: φ = tan−1 ( BA ) A partir de la ecuaci´ on x(t) = xm sin(ωn t + φ) se pueden obtener las expresiones para velocidad y aceleraci´on si derivamos una y otra vez, respectivamente: x(t) ˙ = xm ωn cos(ωn t + φ)

x¨(t) = −xm ω 2 n sin(ωn t + φ)

Entonces, tenemos un movimiento sim´etrico con respecto a la posici´on de equilibrio de la masa m. La velocidad es m´axima y la aceleraci´on cero cada vez que la masa pasa por esa posici´on. Y en los desplazamiento extremos la velocidad es cero y la aceleraci´on m´axima. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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x¨(t) = −xm ω 2 n sin(ωn t + φ)

Entonces, tenemos un movimiento sim´etrico con respecto a la posici´on de equilibrio de la masa m. La velocidad es m´axima y la aceleraci´on cero cada vez que la masa pasa por esa posici´on. Y en los desplazamiento extremos la velocidad es cero y la aceleraci´on m´axima. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre: movimiento arm´ onico simple √ Se puede demostrar que xm = A2 + B 2 Y se cumple que: φ = tan−1 ( BA ) A partir de la ecuaci´ on x(t) = xm sin(ωn t + φ) se pueden obtener las expresiones para velocidad y aceleraci´on si derivamos una y otra vez, respectivamente: x(t) ˙ = xm ωn cos(ωn t + φ)

x¨(t) = −xm ω 2 n sin(ωn t + φ)

Entonces, tenemos un movimiento sim´etrico con respecto a la posici´on de equilibrio de la masa m. La velocidad es m´axima y la aceleraci´on cero cada vez que la masa pasa por esa posici´on. Y en los desplazamiento extremos la velocidad es cero y la aceleraci´on m´axima. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Per´ıodo y frecuencia natural

Las ecuaciones de la diapositiva anterior son peri´odicas, por tanto tienen un ”per´ıodo” que ya definimos antes: Tn = 2π on la denominaremos ωn [s], y para este tipo de vibraci´ per´ıodo natural Ahora definimos la fracuencia natural como el n´ umero de ωn 1 oscilaciones en una unidad de tiempo fn = Tn = 2π con unidad [1/s = hertz] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Per´ıodo y frecuencia natural

Las ecuaciones de la diapositiva anterior son peri´odicas, por tanto tienen un ”per´ıodo” que ya definimos antes: Tn = 2π on la denominaremos ωn [s], y para este tipo de vibraci´ per´ıodo natural Ahora definimos la fracuencia natural como el n´ umero de ωn 1 oscilaciones en una unidad de tiempo fn = Tn = 2π con unidad [1/s = hertz] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 1 La columna del tanque de agua tiene 300pies de altura y es de concreto reforzado con una secci´on transversal tubular de 8pies de di´ametro interno y de 10pies de di´ametro externo. El tanque pesa 6x105 lb cuando est´a lleno de agua. Ignorando la masa de la columna y suponiendo el m´ odulo de Young del concreto reforzado como 4x106 lb/pulg 2 se pide....

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Ejemplo 1 - continuaci´on Se pide terminar: La frecuencia natural y el per´ıodo de vibraci´on transversal del tanque de agua La respuesta de vibraci´ on del tanque de agua debido a un desplazamiento transversal inicial de 10pulg . Los valores m´aximos de la velocidad y aceleraci´on experimentadas por el tanque de agua. [Rao Ej. 2.1] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 1 - continuaci´on Se pide terminar: La frecuencia natural y el per´ıodo de vibraci´on transversal del tanque de agua La respuesta de vibraci´ on del tanque de agua debido a un desplazamiento transversal inicial de 10pulg . Los valores m´aximos de la velocidad y aceleraci´on experimentadas por el tanque de agua. [Rao Ej. 2.1] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 1 - continuaci´on Se pide terminar: La frecuencia natural y el per´ıodo de vibraci´on transversal del tanque de agua La respuesta de vibraci´ on del tanque de agua debido a un desplazamiento transversal inicial de 10pulg . Los valores m´aximos de la velocidad y aceleraci´on experimentadas por el tanque de agua. [Rao Ej. 2.1] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 2 Determine la frecuencia de oscilaci´ on del cilinro de masa m cuando se tira ´el hacia abajo y se deja libre. Ignore las masas de las poleas peque˜ nas. [Hibbeler, P. 22-39]

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Vibraci´on libre: p´endulo simple

El p´endulo simple consta de una bola de masa m unida al extremo de un cuerda de longitud L y masa despreciable El desplazamiento angular del ´angulo del p´endulo respecto a la vertical se mide con el ´angulo θ. El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas actuando sobre la bola. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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El p´endulo simple consta de una bola de masa m unida al extremo de un cuerda de longitud L y masa despreciable El desplazamiento angular del ´angulo del p´endulo respecto a la vertical se mide con el ´angulo θ. El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas actuando sobre la bola. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre: p´endulo simple

Las componentes normal y tangencial (n-t) del vector de inercia se muestran en el diagrama de masa-aceleraci´on. Observar que la fuerza restauradora es una funci´on no lineal del desplazamiento angular. Al sumar las fuerzas en ”t”: −mg sin θ = mat = mLθ¨ Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Las componentes normal y tangencial (n-t) del vector de inercia se muestran en el diagrama de masa-aceleraci´on. Observar que la fuerza restauradora es una funci´on no lineal del desplazamiento angular. Al sumar las fuerzas en ”t”: −mg sin θ = mat = mLθ¨ Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre: p´endulo simple Es decir: θ¨ +

g L

sin θ = 0

La soluci´on de esta ecuaci´ on diferencial no lineal debe obtenerse num´ericamente. Tenemos que el movimiento del p´endulo es peri´odico, no es arm´onico; y la soluci´ on no puede expresarse en t´erminos de las funciones seno y coseno. Es posible obtener de manera aproximada el movimiento del p´endulo con una soluci´ on arm´ onica s´ olo si se supone que la amplitud de la vibraci´ on es peque˜ na.

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Vibraci´on libre: p´endulo simple Es decir: θ¨ +

g L

sin θ = 0

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Vibraci´on libre: p´endulo simple Es decir: θ¨ +

g L

sin θ = 0

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g L

sin θ = 0

La soluci´on de esta ecuaci´ on diferencial no lineal debe obtenerse num´ericamente. Tenemos que el movimiento del p´endulo es peri´odico, no es arm´onico; y la soluci´ on no puede expresarse en t´erminos de las funciones seno y coseno. Es posible obtener de manera aproximada el movimiento del p´endulo con una soluci´ on arm´ onica s´ olo si se supone que la amplitud de la vibraci´ on es peque˜ na.

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Vibraci´on libre: p´endulo simple Al emplear sin θ ≈ θ, la ecuaci´ on se reduce a: θ¨ + gL θ = 0 La ecuaci´on anterior tiene la misma forma que la ecuaci´on de movimiento arm´onico. Por tanto, el movimiento del p´endulo simple es arm´onico para oscilaciones peque˜ nas. La soluci´on a esta ecuaci´ on es: θ(t) = θm sin(ωn t + φ) Dondeqla amplitud m´axima es θm y su frecuencia angular ωn = gL

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Vibraci´on libre: p´endulo simple Al emplear sin θ ≈ θ, la ecuaci´ on se reduce a: θ¨ + gL θ = 0 La ecuaci´on anterior tiene la misma forma que la ecuaci´on de movimiento arm´onico. Por tanto, el movimiento del p´endulo simple es arm´onico para oscilaciones peque˜ nas. La soluci´on a esta ecuaci´ on es: θ(t) = θm sin(ωn t + φ) Dondeqla amplitud m´axima es θm y su frecuencia angular ωn = gL

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Vibraci´on libre: p´endulo simple Al emplear sin θ ≈ θ, la ecuaci´ on se reduce a: θ¨ + gL θ = 0 La ecuaci´on anterior tiene la misma forma que la ecuaci´on de movimiento arm´onico. Por tanto, el movimiento del p´endulo simple es arm´onico para oscilaciones peque˜ nas. La soluci´on a esta ecuaci´ on es: θ(t) = θm sin(ωn t + φ) Dondeqla amplitud m´axima es θm y su frecuencia angular ωn = gL

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Vibraci´on libre en SR El an´alisis de las vibraciones de un SR no es en esencia distinto del de las part´ıculas que vibran. Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio pueden derivarse mediante varios m´etodos. Principio de D’Alembert. A partir de la ecuaciones F (t) − m¨ x = 0 y M(t) − J θ¨ = 0 y siempre que el segundo t´ermino de ambas ecuaciones sean vistos como fuerza y momento, respectivamente puede obtenerse la ecuaci´on de movimiento (para un sistema masa-resorte): m¨ x + kx = 0

Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre en SR Principio de conservaci´ on de energ´ıa. Se dice que un sistema es conservativo si no pierde energ´ıa debido a fricci´on o a miembros no el´asticos que disipan energ´ıa. Si otras fuerzas externas no realizan trabajo en un sistema conservativo (aparte de la gravedad u otras fuerzas potenciales), entonces la energ´ıa potencial del sistema permanece constante. Como la energ´ıa cin´etica T se almacena en la masa por efecto de la velocidad y la energ´ıa potencial U se almacena en el resorte a causa de su deformaci´ on el´astica. Aplicamos el principio de conservaci´ on: T + U = constante y si derivamos d (T + U) = 0 dt Siendo T = 12 mx˙ 2 y U = 21 kx 2 , si reemplazamos en la u ´ltima ecuaci´on tendremos: m¨ x + kx = 0 Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre en SR Principio de desplazamientos virtuales. Este principio establece que si un sistema est´a en equilibrio por la acci´on de un conjunto de fuerzas se somete a un desplazamiento virtual, entonces el trabajo virtual total realizado ser´a cero. El desplazamiento debe ser f´ısicamente posible compatible con las restricciones del sistema En la siguiente diapositiva consideraremos un sistema masa-resorte, al cual experimenta un desplazamiento virtual δx...

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Vibraci´on libre en SR

El trabajo virtual realizado por el resorte = δWs = −(kx)δx; y el trabajo realizado por la fuerza de inercia = δWi = −(m¨ x )δx. El trabajo virtual total realizado por todas las fuerzas se hace igual a cero: −m¨ x δx − kxδx = 0 Como el desplazamiento virtual puede tener un valor arbitrario, δx = 1, entonces: m¨ x + kx = 0 Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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El trabajo virtual realizado por el resorte = δWs = −(kx)δx; y el trabajo realizado por la fuerza de inercia = δWi = −(m¨ x )δx. El trabajo virtual total realizado por todas las fuerzas se hace igual a cero: −m¨ x δx − kxδx = 0 Como el desplazamiento virtual puede tener un valor arbitrario, δx = 1, entonces: m¨ x + kx = 0 Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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El trabajo virtual realizado por el resorte = δWs = −(kx)δx; y el trabajo realizado por la fuerza de inercia = δWi = −(m¨ x )δx. El trabajo virtual total realizado por todas las fuerzas se hace igual a cero: −m¨ x δx − kxδx = 0 Como el desplazamiento virtual puede tener un valor arbitrario, δx = 1, entonces: m¨ x + kx = 0 Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 3 Una barra uniforme AB de 8kg se articula en un soporte fijo en A y se conecta por medio de los pasadores B y C a un disco de 12kg y 400mm de radio. Un resorte unido en D mantiene a la barra en reposo en la posici´on mostrada.

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Ejemplo 3 - continuaci´ on Si el punto B se mueve hacia abajo 25mm y se suelta, determine: (a) Tn y (b) la velocidad m´axima del punto B. [Beer, P. 19.39]

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Ejemplo 4 Un disco uniforme de radio r y masa m puede rodar sin deslizar sobre una superficie cil´ındrica y est´a unido a una barra ABC d longitud L y masa despreciable. La barra est´a unida a un resorte constante k y puede girar con libertad en el plano vertical en torno al punto B. Si se sabe que al extremo A se le da un peque˜ no desplazamiento y se suelta, determine la frecuencia de las oscilaciones. [Beer, P. 19.77]

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Vibraci´on forzada En las vibraciones libres, las oscilaciones se inician con una perturbaci´on que origina un desplazamiento inicial, una velocidad inicial, o ambos. No se requieren fuerzas externas para mantener el movimiento. En una vibraci´on forzada, una fuente externa sostenida es la responsable de mantenerla. Un ejemplo com´ un es el ”golpeteo” en un autom´ovil, causado por el motor o por la irregularidad del terreno. Aqu´ı se consideran las vibraciones forzadas originadas por una funci´on de fuerza arm´ onica es decir, que var´ıa de manera senoidal, o por un desplazamiento arm´ onico del soporte.

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Vibraci´on forzada En las vibraciones libres, las oscilaciones se inician con una perturbaci´on que origina un desplazamiento inicial, una velocidad inicial, o ambos. No se requieren fuerzas externas para mantener el movimiento. En una vibraci´on forzada, una fuente externa sostenida es la responsable de mantenerla. Un ejemplo com´ un es el ”golpeteo” en un autom´ovil, causado por el motor o por la irregularidad del terreno. Aqu´ı se consideran las vibraciones forzadas originadas por una funci´on de fuerza arm´ onica es decir, que var´ıa de manera senoidal, o por un desplazamiento arm´ onico del soporte.

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Vibraci´on forzada Considere un primer caso en el cual un cuerpo de masa m suspendido de un resorte est´a sujeto a una fuerza peri´ odica P de magnitud P = Pm sin ωf t Siendo ωf la frecuencia circular de P y se conoce como la frecuencia angular forzada del movimiento. Sea x el desplazamiento del cuerpo medido desde su posici´on de equilibrio. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on forzada Escribimos laPecuaci´on de movimiento F = ma : Pm sin ωf t + W − k(δest + x) = m¨ x De lo visto en vibraci´on libre: W = kδest , la ecuaci´on anterior queda como: m¨ x + kx = Pm sin ωf t

( 2)

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Vibraci´on forzada Escribimos laPecuaci´on de movimiento F = ma : Pm sin ωf t + W − k(δest + x) = m¨ x De lo visto en vibraci´on libre: W = kδest , la ecuaci´on anterior queda como: m¨ x + kx = Pm sin ωf t

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Vibraci´on forzada Escribimos laPecuaci´on de movimiento F = ma : Pm sin ωf t + W − k(δest + x) = m¨ x De lo visto en vibraci´on libre: W = kδest , la ecuaci´on anterior queda como: m¨ x + kx = Pm sin ωf t

( 2)

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Vibraci´on forzada Como segundo caso, un cuerpo de masa m suspendido de un resorte unido a un soporte m´ovil cuyo desplazamiento δ es igual a δm sin ωf t. En equilibrio est´atico ωf t = 0 y se tiene una posici´on x del cuerpo. Luego, la elongaci´on total del resorte en el tiempo: δest + x − δm sin ωf t

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Vibraci´on forzada Escribimos laPecuaci´on de movimiento F = ma : W − k(δest + x − δm sin ωf t) = m¨ x Nuevamente recordar que: W = kδest , la ecuaci´on anterior queda como... m¨ x + kx = kδm sin ωf t

( 3)

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Vibraci´on forzada Notar que las ecuaciones (2) y (3) tienen la misma forma y por tanto podemos concluir que tienen la misma soluci´on. La ecuaci´on (2) y (3) son ecuaciones diferenciales no homog´eneas. Y su soluci´ on general se obtiene de sumar una soluci´on homog´enea (xh ) y una soluci´ on particular (xp ). Una soluci´on particular puede tener la forma xp = xm sin ωf t, si la sustituimos en la ec. (2) se obtiene: −mω 2 f xm sin ωf t + kxm sin ωf t = Pm sin ωf t Despejando la amplitud de la vibraci´ on forzada: xm = Ya sabemos que k/m = ω 2 n , entonces reescribimos la Pm /k ecuaci´on: xm = 1−(ω /ωn )2 f

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Pm k−mω 2 f

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Vibraci´on forzada Notar que las ecuaciones (2) y (3) tienen la misma forma y por tanto podemos concluir que tienen la misma soluci´on. La ecuaci´on (2) y (3) son ecuaciones diferenciales no homog´eneas. Y su soluci´ on general se obtiene de sumar una soluci´on homog´enea (xh ) y una soluci´ on particular (xp ). Una soluci´on particular puede tener la forma xp = xm sin ωf t, si la sustituimos en la ec. (2) se obtiene: −mω 2 f xm sin ωf t + kxm sin ωf t = Pm sin ωf t Despejando la amplitud de la vibraci´ on forzada: xm = Ya sabemos que k/m = ω 2 n , entonces reescribimos la Pm /k ecuaci´on: xm = 1−(ω /ωn )2 f

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Vibraci´on forzada Notar que las ecuaciones (2) y (3) tienen la misma forma y por tanto podemos concluir que tienen la misma soluci´on. La ecuaci´on (2) y (3) son ecuaciones diferenciales no homog´eneas. Y su soluci´ on general se obtiene de sumar una soluci´on homog´enea (xh ) y una soluci´ on particular (xp ). Una soluci´on particular puede tener la forma xp = xm sin ωf t, si la sustituimos en la ec. (2) se obtiene: −mω 2 f xm sin ωf t + kxm sin ωf t = Pm sin ωf t Despejando la amplitud de la vibraci´ on forzada: xm = Ya sabemos que k/m = ω 2 n , entonces reescribimos la Pm /k ecuaci´on: xm = 1−(ω /ωn )2 f

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Vibraci´on forzada Notar que las ecuaciones (2) y (3) tienen la misma forma y por tanto podemos concluir que tienen la misma soluci´on. La ecuaci´on (2) y (3) son ecuaciones diferenciales no homog´eneas. Y su soluci´ on general se obtiene de sumar una soluci´on homog´enea (xh ) y una soluci´ on particular (xp ). Una soluci´on particular puede tener la forma xp = xm sin ωf t, si la sustituimos en la ec. (2) se obtiene: −mω 2 f xm sin ωf t + kxm sin ωf t = Pm sin ωf t Despejando la amplitud de la vibraci´ on forzada: xm = Ya sabemos que k/m = ω 2 n , entonces reescribimos la Pm /k ecuaci´on: xm = 1−(ω /ωn )2 f

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Vibraci´on forzada Notar que las ecuaciones (2) y (3) tienen la misma forma y por tanto podemos concluir que tienen la misma soluci´on. La ecuaci´on (2) y (3) son ecuaciones diferenciales no homog´eneas. Y su soluci´ on general se obtiene de sumar una soluci´on homog´enea (xh ) y una soluci´ on particular (xp ). Una soluci´on particular puede tener la forma xp = xm sin ωf t, si la sustituimos en la ec. (2) se obtiene: −mω 2 f xm sin ωf t + kxm sin ωf t = Pm sin ωf t Despejando la amplitud de la vibraci´ on forzada: xm = Ya sabemos que k/m = ω 2 n , entonces reescribimos la Pm /k ecuaci´on: xm = 1−(ω /ωn )2 f

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Vibraci´on forzada Si sustituimos la soluci´ on particular xp = xm sin ωf t en la ec. (3) tenemos: xm = 1−(ωδm/ωn )2 f

Ahora, la soluci´on homog´enea xh ya la hemos visto en vibraci´on libre y es: xh = xmh sin(ωn t + φ) o tambi´en xh = A sin ωn t + B cos ωn t Entonces queda ”armada” la soluci´ on general: x = xp + xh Al observar la soluci´ on notamos que el primer t´ermino representa la vibraci´ on de estado estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o movimiento aplicado en el apoyo. La amplitud xm depende de la raz´ on de frecuencias ωf /ωn . La raz´on xm /δm se le llama factor de amplificaci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on forzada Si sustituimos la soluci´ on particular xp = xm sin ωf t en la ec. (3) tenemos: xm = 1−(ωδm/ωn )2 f

Ahora, la soluci´on homog´enea xh ya la hemos visto en vibraci´on libre y es: xh = xmh sin(ωn t + φ) o tambi´en xh = A sin ωn t + B cos ωn t Entonces queda ”armada” la soluci´ on general: x = xp + xh Al observar la soluci´ on notamos que el primer t´ermino representa la vibraci´ on de estado estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o movimiento aplicado en el apoyo. La amplitud xm depende de la raz´ on de frecuencias ωf /ωn . La raz´on xm /δm se le llama factor de amplificaci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on forzada Si sustituimos la soluci´ on particular xp = xm sin ωf t en la ec. (3) tenemos: xm = 1−(ωδm/ωn )2 f

Ahora, la soluci´on homog´enea xh ya la hemos visto en vibraci´on libre y es: xh = xmh sin(ωn t + φ) o tambi´en xh = A sin ωn t + B cos ωn t Entonces queda ”armada” la soluci´ on general: x = xp + xh Al observar la soluci´ on notamos que el primer t´ermino representa la vibraci´ on de estado estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o movimiento aplicado en el apoyo. La amplitud xm depende de la raz´ on de frecuencias ωf /ωn . La raz´on xm /δm se le llama factor de amplificaci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ahora, la soluci´on homog´enea xh ya la hemos visto en vibraci´on libre y es: xh = xmh sin(ωn t + φ) o tambi´en xh = A sin ωn t + B cos ωn t Entonces queda ”armada” la soluci´ on general: x = xp + xh Al observar la soluci´ on notamos que el primer t´ermino representa la vibraci´ on de estado estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o movimiento aplicado en el apoyo. La amplitud xm depende de la raz´ on de frecuencias ωf /ωn . La raz´on xm /δm se le llama factor de amplificaci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ahora, la soluci´on homog´enea xh ya la hemos visto en vibraci´on libre y es: xh = xmh sin(ωn t + φ) o tambi´en xh = A sin ωn t + B cos ωn t Entonces queda ”armada” la soluci´ on general: x = xp + xh Al observar la soluci´ on notamos que el primer t´ermino representa la vibraci´ on de estado estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o movimiento aplicado en el apoyo. La amplitud xm depende de la raz´ on de frecuencias ωf /ωn . La raz´on xm /δm se le llama factor de amplificaci´on. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Vibraci´on forzada Si observamos el segundo y tercer t´ermino de la soluci´on general representan una vibraci´ on libre y la frecuencia de vibraci´on es la frecuencia natural del sistema, la cual depende u ´nicamente de k y m; las constantes A y B pueden determinarse a partir de las CI. Esta vibraci´on libre se le llama vibraci´ on transitoria, ya que en la pr´actica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricci´on.

Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on forzada Si observamos el segundo y tercer t´ermino de la soluci´on general representan una vibraci´ on libre y la frecuencia de vibraci´on es la frecuencia natural del sistema, la cual depende u ´nicamente de k y m; las constantes A y B pueden determinarse a partir de las CI. Esta vibraci´on libre se le llama vibraci´ on transitoria, ya que en la pr´actica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricci´on.

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Factor de amplificaci´on Ya definimos a xm /δm como el factor de amplificaci´on, es decir: FA = xm /δm = 1−(ω1/ωn )2 . f

De la gr´afica se advierte que cuando ωf = ωn , la amplitud de la vibraci´on se vuelve infinita. Se dice que el sistema est´a en resonancia con la fuerza o movimiento aplicado. Si ωf < ωn el coeficiente de sin ωf t es positivo y se dice que el sistema est´a en fase. Si ωf > ωn el coeficiente de sin ωf t es negativo y se dice que el sistema a en contrafase. Dennisest´ Santos Cavalho. [email protected]

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Factor de amplificaci´on Ya definimos a xm /δm como el factor de amplificaci´on, es decir: FA = xm /δm = 1−(ω1/ωn )2 . f

De la gr´afica se advierte que cuando ωf = ωn , la amplitud de la vibraci´on se vuelve infinita. Se dice que el sistema est´a en resonancia con la fuerza o movimiento aplicado. Si ωf < ωn el coeficiente de sin ωf t es positivo y se dice que el sistema est´a en fase. Si ωf > ωn el coeficiente de sin ωf t es negativo y se dice que el sistema a en contrafase. Dennisest´ Santos Cavalho. [email protected]

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Factor de amplificaci´on Ya definimos a xm /δm como el factor de amplificaci´on, es decir: FA = xm /δm = 1−(ω1/ωn )2 . f

De la gr´afica se advierte que cuando ωf = ωn , la amplitud de la vibraci´on se vuelve infinita. Se dice que el sistema est´a en resonancia con la fuerza o movimiento aplicado. Si ωf < ωn el coeficiente de sin ωf t es positivo y se dice que el sistema est´a en fase. Si ωf > ωn el coeficiente de sin ωf t es negativo y se dice que el sistema a en contrafase. Dennisest´ Santos Cavalho. [email protected]

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Factor de amplificaci´on Ya definimos a xm /δm como el factor de amplificaci´on, es decir: FA = xm /δm = 1−(ω1/ωn )2 . f

De la gr´afica se advierte que cuando ωf = ωn , la amplitud de la vibraci´on se vuelve infinita. Se dice que el sistema est´a en resonancia con la fuerza o movimiento aplicado. Si ωf < ωn el coeficiente de sin ωf t es positivo y se dice que el sistema est´a en fase. Si ωf > ωn el coeficiente de sin ωf t es negativo y se dice que el sistema a en contrafase. Dennisest´ Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Ejemplo 5 Un bloque de 20kg se une a un resorte de constante k = 8kN/m y puede moverse sin fricci´on en una ranura vertical. Sobre el bloque act´ ua una fuerza peri´odica de magnitud P = Pm sin ωf t, donde Pm = 100N. Determine la amplitud del movimiento del bloque si: (a) ωf = 10rad/s. (b) ωf = 19rad/s. (c) ωf = 30rad/s. [Beer, P. 19.99] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 5 Un bloque de 20kg se une a un resorte de constante k = 8kN/m y puede moverse sin fricci´on en una ranura vertical. Sobre el bloque act´ ua una fuerza peri´odica de magnitud P = Pm sin ωf t, donde Pm = 100N. Determine la amplitud del movimiento del bloque si: (a) ωf = 10rad/s. (b) ωf = 19rad/s. (c) ωf = 30rad/s. [Beer, P. 19.99] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Ejemplo 6 El asiento del conductor de un autom´ovil puede modelarse como un sistema de un grado de libertad. El asiento pesa 50 lb. Si se aplica un desplazamiento senoidal de a cos ωt siendo a = 0.25 in a la base del resorte de sustentaci´on, ’cu´al es la amplitud de la vibraci´on de estado estable del asiento?. Sea ωf = 60 rad/s y k = 700 lb/in [Tongue/Sheppard, P. 9.2.8] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´ on libre Vibraci´ on libre en s´ olidos r´ıgidos Vibraci´ on forzada

Ejemplo 7 La plomada de un p´endulo simple de longitud l = 24pulg se suspende de un collar´ın C de 3lb. El collar´ın es obligado a moverse de acuerdo con la relaci´on xc = δm sin ωf t, con una amplitud δm = 0.4pulg y una frecuencia ff = 0.5Hz. Determine: (a) La amplitud del movimiento de la plomada, (b) la fuerza que debe aplicarse al collar´ın C para mantener el movimiento. [Beer, P. 19.110] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 7 La plomada de un p´endulo simple de longitud l = 24pulg se suspende de un collar´ın C de 3lb. El collar´ın es obligado a moverse de acuerdo con la relaci´on xc = δm sin ωf t, con una amplitud δm = 0.4pulg y una frecuencia ff = 0.5Hz. Determine: (a) La amplitud del movimiento de la plomada, (b) la fuerza que debe aplicarse al collar´ın C para mantener el movimiento. [Beer, P. 19.110] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 7 La plomada de un p´endulo simple de longitud l = 24pulg se suspende de un collar´ın C de 3lb. El collar´ın es obligado a moverse de acuerdo con la relaci´on xc = δm sin ωf t, con una amplitud δm = 0.4pulg y una frecuencia ff = 0.5Hz. Determine: (a) La amplitud del movimiento de la plomada, (b) la fuerza que debe aplicarse al collar´ın C para mantener el movimiento. [Beer, P. 19.110] Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Secci´on 3

Vibraciones amortiguadas

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Elementos de amortiguamiento Es frecuente que en muchos sistemas, la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido. Debido a la reducci´on de energ´ıa, la respuesta, como el desplazamiento del sistema, se reduce gradualmente. El mecanismo mediante el cual la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido se conoce como amortiguamiento. Se supone que un amortiguador no tiene masa ni elasticidad, y que la fuerza de amortiguamiento existe s´ olo si hay una velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador.

Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Elementos de amortiguamiento Es frecuente que en muchos sistemas, la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido. Debido a la reducci´on de energ´ıa, la respuesta, como el desplazamiento del sistema, se reduce gradualmente. El mecanismo mediante el cual la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido se conoce como amortiguamiento. Se supone que un amortiguador no tiene masa ni elasticidad, y que la fuerza de amortiguamiento existe s´ olo si hay una velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador.

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Elementos de amortiguamiento Es frecuente que en muchos sistemas, la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido. Debido a la reducci´on de energ´ıa, la respuesta, como el desplazamiento del sistema, se reduce gradualmente. El mecanismo mediante el cual la energ´ıa vibratoria se convierte gradualmente en calor o sonido se conoce como amortiguamiento. Se supone que un amortiguador no tiene masa ni elasticidad, y que la fuerza de amortiguamiento existe s´ olo si hay una velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador.

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Tipos de amortiguamiento Amortiguamiento viscoso. Cuando un sistema mec´anico vibra en un medio fluido como gas, agua o aceite, la resistencia ofrecida por el fluido en el cuerpo en movimiento hace que se disipe la energ´ıa. Amortiguamiento de Coulomb o fricci´on seca. Aqu´ı la fuerza de amortiguamiento es de magnitud constante pero de direcci´ on opuesta al movimiento del cuerpo vibratorio. Es resultado de la fricci´on entre superficies que al frotarse est´an secas. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Tipos de amortiguamiento Amortiguamiento viscoso. Cuando un sistema mec´anico vibra en un medio fluido como gas, agua o aceite, la resistencia ofrecida por el fluido en el cuerpo en movimiento hace que se disipe la energ´ıa. Amortiguamiento de Coulomb o fricci´on seca. Aqu´ı la fuerza de amortiguamiento es de magnitud constante pero de direcci´ on opuesta al movimiento del cuerpo vibratorio. Es resultado de la fricci´on entre superficies que al frotarse est´an secas. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Tipos de amortiguamiento Amortiguamiento debido a un material o s´olido hister´etico. Cuando un material se deforme, absorbe o disipa energ´ıa. El efecto se debe a la fricci´ on entre planos internos. Cuando un cuerpo que experimenta amortiguamiento producido por el material se somete a vibraci´on, el diagrama de esfuerzo-deformaci´on muestra un lazo de hist´eresis como el que se muestra en la figura.... Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Tipos de amortiguamiento Amortiguamiento debido a un material o s´olido hister´etico. Cuando un material se deforme, absorbe o disipa energ´ıa. El efecto se debe a la fricci´ on entre planos internos. Cuando un cuerpo que experimenta amortiguamiento producido por el material se somete a vibraci´on, el diagrama de esfuerzo-deformaci´on muestra un lazo de hist´eresis como el que se muestra en la figura.... Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre Se muestra un sistema masa-resorte al cual se le ha a˜ nadido un amortiguador viscoso. Al elegir x como el desplazamiento hacia abajo de la masa, medido desde su posici´ on de equilibrio... Resulta el DCL de la masa, donde ∆ es la deflexi´on est´atica del resorte. Luego, se muestra el vector de inercia m¨ x a la derecha.

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Vibraci´on libre Se muestra un sistema masa-resorte al cual se le ha a˜ nadido un amortiguador viscoso. Al elegir x como el desplazamiento hacia abajo de la masa, medido desde su posici´ on de equilibrio... Resulta el DCL de la masa, donde ∆ es la deflexi´on est´atica del resorte. Luego, se muestra el vector de inercia m¨ x a la derecha.

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Vibraci´on libre Se muestra un sistema masa-resorte al cual se le ha a˜ nadido un amortiguador viscoso. Al elegir x como el desplazamiento hacia abajo de la masa, medido desde su posici´ on de equilibrio... Resulta el DCL de la masa, donde ∆ es la deflexi´on est´atica del resorte. Luego, se muestra el vector de inercia m¨ x a la derecha.

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre Planteamos sumatoria de fuerzas P Fx = max y tenemos que: mg − k(x + ∆) − c x˙ = m¨ x Recordando que mg − k∆ = 0, se obtiene: m¨ x + c x˙ + kx = 0

( 4)

Esta ecuaci´on diferencial con coeficientes constantes admite una soluci´on de la forma x = Ae λt Donde A y λ son constantes. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre Planteamos sumatoria de fuerzas P Fx = max y tenemos que: mg − k(x + ∆) − c x˙ = m¨ x Recordando que mg − k∆ = 0, se obtiene: m¨ x + c x˙ + kx = 0

( 4)

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Vibraci´on libre Planteamos sumatoria de fuerzas P Fx = max y tenemos que: mg − k(x + ∆) − c x˙ = m¨ x Recordando que mg − k∆ = 0, se obtiene: m¨ x + c x˙ + kx = 0

( 4)

Esta ecuaci´on diferencial con coeficientes constantes admite una soluci´on de la forma x = Ae λt Donde A y λ son constantes. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre Planteamos sumatoria de fuerzas P Fx = max y tenemos que: mg − k(x + ∆) − c x˙ = m¨ x Recordando que mg − k∆ = 0, se obtiene: m¨ x + c x˙ + kx = 0

( 4)

Esta ecuaci´on diferencial con coeficientes constantes admite una soluci´on de la forma x = Ae λt Donde A y λ son constantes. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre Al sustituirla en la ec. (4) y dividir c/t´ermino entre x = Ae λt se obtiene la ecuaci´ on caracter´ıstica: mλ2 + cλ + k = 0 la cual es una ecuaci´ on algebraica f´acil de resolver. q c c 2 k Las ra´ıces son: λ1,2 = − 2m ± ( 2m ) −m 5) (

El coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico ccr se define como el valor depc para que el radical se convierta en cero: ccr = 2m k/m = 2mωn , donde ωn es la frecuencia circular no amortiguada del sistema. Es conveniente presentar el factor de amortiguamiento cr´ıtico ζ, que se define como la raz´ on del amortiguamiento real para c el amortiguamiento cr´ıtico: ζ = cccr = 2mω = √c n 2

Dennis Santos Cavalho. [email protected]

k/m

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Vibraci´on libre Al sustituirla en la ec. (4) y dividir c/t´ermino entre x = Ae λt se obtiene la ecuaci´ on caracter´ıstica: mλ2 + cλ + k = 0 la cual es una ecuaci´ on algebraica f´acil de resolver. q c c 2 k Las ra´ıces son: λ1,2 = − 2m ± ( 2m ) −m 5) (

El coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico ccr se define como el valor depc para que el radical se convierta en cero: ccr = 2m k/m = 2mωn , donde ωn es la frecuencia circular no amortiguada del sistema. Es conveniente presentar el factor de amortiguamiento cr´ıtico ζ, que se define como la raz´ on del amortiguamiento real para c el amortiguamiento cr´ıtico: ζ = cccr = 2mω = √c n 2

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Vibraci´on libre Al sustituirla en la ec. (4) y dividir c/t´ermino entre x = Ae λt se obtiene la ecuaci´ on caracter´ıstica: mλ2 + cλ + k = 0 la cual es una ecuaci´ on algebraica f´acil de resolver. q c c 2 k Las ra´ıces son: λ1,2 = − 2m ± ( 2m ) −m 5) (

El coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico ccr se define como el valor depc para que el radical se convierta en cero: ccr = 2m k/m = 2mωn , donde ωn es la frecuencia circular no amortiguada del sistema. Es conveniente presentar el factor de amortiguamiento cr´ıtico ζ, que se define como la raz´ on del amortiguamiento real para c el amortiguamiento cr´ıtico: ζ = cccr = 2mω = √c n 2

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Vibraci´on libre Al sustituirla en la ec. (4) y dividir c/t´ermino entre x = Ae λt se obtiene la ecuaci´ on caracter´ıstica: mλ2 + cλ + k = 0 la cual es una ecuaci´ on algebraica f´acil de resolver. q c c 2 k Las ra´ıces son: λ1,2 = − 2m ± ( 2m ) −m 5) (

El coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico ccr se define como el valor depc para que el radical se convierta en cero: ccr = 2m k/m = 2mωn , donde ωn es la frecuencia circular no amortiguada del sistema. Es conveniente presentar el factor de amortiguamiento cr´ıtico ζ, que se define como la raz´ on del amortiguamiento real para c el amortiguamiento cr´ıtico: ζ = cccr = 2mω = √c n 2

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Vibraci´on libre Luego, la ec. (5) puede p escribirse en forma: λ1,2 = −ωn (−ζ ± ζ 2 − 1) La soluci´on general de la ec. (4) es cualquier combinaci´on lineal de las dos ecuaciones correspondientes a λ1 λ2 : x = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t Donde A1 y A2 son constantes arbitrarias. Si sustituimos en la soluci´on general anterior: √ √ 2 2 x = A1 e (−ζ+ ζ −1)ωn t + A2 e (−ζ− ζ −1)ωn t 6) (

Existen tres categor´ıas de amortiguamiento, determinadas por el valor del factor de amortiguamiento ζ.

Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Vibraci´on libre Luego, la ec. (5) puede p escribirse en forma: λ1,2 = −ωn (−ζ ± ζ 2 − 1) La soluci´on general de la ec. (4) es cualquier combinaci´on lineal de las dos ecuaciones correspondientes a λ1 λ2 : x = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t Donde A1 y A2 son constantes arbitrarias. Si sustituimos en la soluci´on general anterior: √ √ 2 2 x = A1 e (−ζ+ ζ −1)ωn t + A2 e (−ζ− ζ −1)ωn t 6) (

Existen tres categor´ıas de amortiguamiento, determinadas por el valor del factor de amortiguamiento ζ.

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Vibraci´on libre Luego, la ec. (5) puede p escribirse en forma: λ1,2 = −ωn (−ζ ± ζ 2 − 1) La soluci´on general de la ec. (4) es cualquier combinaci´on lineal de las dos ecuaciones correspondientes a λ1 λ2 : x = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t Donde A1 y A2 son constantes arbitrarias. Si sustituimos en la soluci´on general anterior: √ √ 2 2 x = A1 e (−ζ+ ζ −1)ωn t + A2 e (−ζ− ζ −1)ωn t 6) (

Existen tres categor´ıas de amortiguamiento, determinadas por el valor del factor de amortiguamiento ζ.

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Vibraci´on libre Luego, la ec. (5) puede p escribirse en forma: λ1,2 = −ωn (−ζ ± ζ 2 − 1) La soluci´on general de la ec. (4) es cualquier combinaci´on lineal de las dos ecuaciones correspondientes a λ1 λ2 : x = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t Donde A1 y A2 son constantes arbitrarias. Si sustituimos en la soluci´on general anterior: √ √ 2 2 x = A1 e (−ζ+ ζ −1)ωn t + A2 e (−ζ− ζ −1)ωn t 6) (

Existen tres categor´ıas de amortiguamiento, determinadas por el valor del factor de amortiguamiento ζ.

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Categor´ıas de amortiguamiento Sobreamortiguamiento ζ > 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son reales y distintas. En consecuencia, el movimiento es no oscilatorio y decae despu´es de un tiempo muy grande. Su soluci´on es: x = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t Amortiguamiento cr´ıtico ζ = 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son iguales a −ωn y la soluci´ on de la ec. (6): x = (A1 + A2 t)e −ωn t Este movimiento recobra su posici´on de equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Categor´ıas de amortiguamiento Sobreamortiguamiento ζ > 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son reales y distintas. En consecuencia, el movimiento es no oscilatorio y decae despu´es de un tiempo muy grande. Su soluci´on es: x = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t Amortiguamiento cr´ıtico ζ = 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son iguales a −ωn y la soluci´ on de la ec. (6): x = (A1 + A2 t)e −ωn t Este movimiento recobra su posici´on de equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Categor´ıas de amortiguamiento Sobreamortiguamiento ζ > 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son reales y distintas. En consecuencia, el movimiento es no oscilatorio y decae despu´es de un tiempo muy grande. Su soluci´on es: x = A1 e λ1 t + A2 e λ2 t Amortiguamiento cr´ıtico ζ = 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son iguales a −ωn y la soluci´ on de la ec. (6): x = (A1 + A2 t)e −ωn t Este movimiento recobra su posici´on de equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar. Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Categor´ıas de amortiguamiento Subamortiguamiento ζ < 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son complejos conjugados. Es posible demostrar que la ecuaci´ on (6) adquiere la forma: x = Ee −ζωn t sin(ωd t + α) Donde E y α son constantes p arbitrarias y ωd = ωn 1 − ζ 2 El movimiento es oscilatorio con amplitud decreciente. ωd es la frecuencia circular amortiguada y el per´ıodo amortiguado est´a dado por: Td = 2π/ωd Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Categor´ıas de amortiguamiento Subamortiguamiento ζ < 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son complejos conjugados. Es posible demostrar que la ecuaci´ on (6) adquiere la forma: x = Ee −ζωn t sin(ωd t + α) Donde E y α son constantes p arbitrarias y ωd = ωn 1 − ζ 2 El movimiento es oscilatorio con amplitud decreciente. ωd es la frecuencia circular amortiguada y el per´ıodo amortiguado est´a dado por: Td = 2π/ωd Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Elementos de amortiguamiento Vibraci´ on libre Vibraci´ on forzada

Categor´ıas de amortiguamiento Subamortiguamiento ζ < 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son complejos conjugados. Es posible demostrar que la ecuaci´ on (6) adquiere la forma: x = Ee −ζωn t sin(ωd t + α) Donde E y α son constantes p arbitrarias y ωd = ωn 1 − ζ 2 El movimiento es oscilatorio con amplitud decreciente. ωd es la frecuencia circular amortiguada y el per´ıodo amortiguado est´a dado por: Td = 2π/ωd Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Categor´ıas de amortiguamiento Subamortiguamiento ζ < 1. Las ra´ıces λ1 y λ2 en la ec. (5) son complejos conjugados. Es posible demostrar que la ecuaci´ on (6) adquiere la forma: x = Ee −ζωn t sin(ωd t + α) Donde E y α son constantes p arbitrarias y ωd = ωn 1 − ζ 2 El movimiento es oscilatorio con amplitud decreciente. ωd es la frecuencia circular amortiguada y el per´ıodo amortiguado est´a dado por: Td = 2π/ωd Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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Ejemplo 8 El bloque de masa m est´a en reposo en la posici´ on de equilibrio en x = 0 cuando recibe un impulso que resulta en la velocidad inicial x˙ = υ0 . (a) Deduzca la ecuaci´ on diferencial de movimiento para el bloque. (b) Si se sabe que el sistema est´a cr´ıticamente amortiguado, determine el coeficiente de amortiguamiento y el desplazamiento m´aximo del bloque. [Pytel. P.E. 20.3]

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Ejemplo 9 Una barra uniforme de masa m se sostiene por medio de un pasador en A y un resorte de constante de k en B y se conecta en D a un amortiguador de coeficiente de amortiguamiento c.

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Ejemplo 9 - continuaci´ on Determine en t´erminos de m, k y c, para peque˜ nas oscilaciones, (a) la ecuaci´on diferencial de movimiento, y (b) el coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico ccr . [Beer. P. 19.138]

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Bibliograf´ıa. . . I Beer, Johnston y Cornwell Din´amica - Mec´anica Vectorial para Ingenieros, 10 Ed., 2013. Rao, Singiresu Vibraciones mec´anicas, Editorial Pearson, 5 Ed., 2012 Pytel, Andrew y Kiusalaas, Jaan Ingenier´ıa Mec´anica - Din´amica , 3 Ed., 2012 Riley, William y Sturges, Leroy Ingenier´ıa Mec´anica - Din´amica , Editorial Revert´e, 2005 Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 10Ed., Editorial Cengage Learning, 2013 Dennis Santos Cavalho. [email protected]

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