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DINÁMICA Facultad de Ingeniería Civil ICV5101 Profesora: Mag. Ing. Carolina Paola Briceño Meléndez
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La aceleración puede descomponerse en sus componentes tangencial y normal. C: Centro de curvatura
C
e t
a dv(e t) de t dt v
2
a dtdvt (e ) n dt v (e
e n
Radio de curvatura
Vector tangencial unitario. Vector normal unitario.
a dv dt dt d (vet ) a tan dt dv 2 an v ρ
Aceleración instantánea . Aceleració n tangencial. Aceleració n normal.
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El problema 3 está relacionado a la definición de radio de curvatura Desde el punto A se dispara un proyectil con velocidad vo. a) Si se denota mediante α el ángulo formado por la tangente a la trayectoria y la horizontal en el punto dado C, hallar el radio de curvatura de la trayectoria en C es
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El problema 3 está relacionado definición de radio de curvatura.
(1) vB del aire, la vO.cC..o..Sin s..(resistencia . aceleración θ. ) ....t.o..tv.a .. en cualquier punto (2) es C ..lX g. ..(...o θ. Os.c (3) vvOCc..ov..cos(α ..s.(.θ.. ).
Y
O
X
Curvatura en el punto C
ρ vC
2
a..... C n
En el punto / C:a
(4) (Definición ) (5)
n C g.actan..Co..s.(.α..
g).s..e..n..(.α..) .
a
(6)
)
)
Se reemplaza (3) y (5) en (4): v
ρC
O
3 2.... c.co ..g .. .so2..mínima .(s.θ. .). ocurre cuando la La curvatura (α) aceleración… n…o…rm…a…l ..es
máxima.
la
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Un automovilista que viaja a lo largo de la parte recta de una carretera, está disminuyendo la rapidez de su automóvil a razón constante antes de salir de la carretera por una rampa circular con radio de 560 ft. Continúa desacelerando a la misma tasa constante de manera que 10 s después de entrar a la rampa, su rapidez ha bajado a 20 mi/h, a partir de entonces mantiene dicha rapidez. Si se sabe que a esta rapidez constante la aceleración total del automóvil es igual a un cuarto de su valor antes de entrar a la rampa, determine el valor máximo de la aceleración total del automóvil.
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El problema 1está relacionado a la definición de radio de curvatura Un auto inicia su movimiento desde el reposo en A y su velocidad incrementa en atan = (6 0,06s) m/s2. Determinar la magnitud de la aceleración total del auto cuando alcance el punto B de la trayectoria donde sB = 40 m.
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El problema 1 está relacionado a la definición de radio de curvatura a tan (6 0,06s) m/s
2
a
sB 40 m
v
tan
Aceleración tangencial en B.
2
3..,.6...0..
0...m/s B
B) Aceleración normal en B
A) Radio de curvatura
1 y' ρ
2 3/2
…(1) radio de curvatura
y"
y' dy dx
a tands vdv
6s 0,03s
…(2)
.0..,.0..2..x
y ..0...,.0. y' .0..,.6..0. 2 2 En …(3) x=30 m: y'' d dx
..
y"
B
s
a tan ds v vdv
A....... v
v .... .. A.
.B .
…(a) v2 0 1 .. . vB 2 0.... 2 2 4,842 ,.B6..0... an ............m/s an.1 ..v9 B ./ρ
(relación
2
s
útil)....40
m/s
2
..
B
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El movimiento relativo de 2 partículas se definen en base a sistemas de referencia. x-y: Sistema de referencia fijo. x’-y’:Sistema de referencia en movimiento (traslación)
Vectores de posición en rA , A y B. rB Posición relativa r rB/ A r v Velocidad relativa vB/ B A A v Aceleración relativa a B A a B/A
a
B A
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El problema7 está relacionado a la relativa.
definición de aceleración
El automóvil A viaja hacia el este con una rapidez constante de 36 km/h. Cuando el automóvil A cruza la intersección que se muestra, el automóvil B parte del reposo desde una distancia de 35 m al norte de la intersección y se mueve hacia el sur con una aceleración constante de 1.2 m/s2. Determine la posición, velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s después de que A cruza la intersección.
3
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El problema7 está relacionado a la relativa.
definición de aceleración
En un instante dado en una carrera de aviones, el avión A vuela horizontalmente en línea recta, y su rapidez aumenta a razón de 8 m/s2. El avión B vuela a la misma altura que el avión A y, al rodear un pilar, sigue una trayectoria circular de 300 m de radio. Si se sabe que en un instante dado la rapidez de B está disminuyendo a razón de 3 m/s2, determine, para las posiciones mostradas, a) la velocidad de B relativa a A, b) la aceleración de B en relación con A.
3
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El problema7 está relacionado a la definición de aceleración relativa. El movimiento del pin P está controlado por los movimientos de las guías deslizantes A y B con respecto a las cuales el pin desliza. Si el movimiento de las guías está dado por las velocidades y aceleraciones mostradas, determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración del pin P en ese instante.
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El problema7 está relacionado a la definición de aceleración relativa.
A) Calculo de velocidades
vP vA Definición vP/A vP (.0...,.4...) vP/A (.-.1..,..0..) Definición vP vB vP/B P (.-.3..,..0..) vP/B (.-
.c..o..s...6..0.,.s..e..n..6..0..)
(2)
Se iguala las ecuaciones (1) y (2):
-5.309 4.000 vP (..........,..........) m/s
(1)
La dirección de velocidad:
e tan
v
P (.v .0..P..7..9..8..7.,0....6. .0..1..7..)
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El problema7 está relacionado a la definición de aceleración relativa.
B) Calculo de aceleraciones
C) Componentes tangencial y normal
Definición a a P a A a aPtang P P/A (3) ..a..P.. a P (.0...,-..5..) a P/A a a Pnormal 2 ............m/ e tan Ptang 0,276 Definición (..-.1.,...0.) a a P a B a aPtang s Pnorm 6 (4) P/B a P (.-.7..,..0..) a P/B (. .6..,4..6..9.. a P -4,113 -5,000 .c..o ...6..(3) 0.,.y s(4): ..e..n..6..0..) ...m/s2 2 Se..s iguala (.........,.........) a P 6,474 ..........m/s
Definición
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La aceleración puede expresarse en componentes radiales y transversales. der eθ dθ de θdθ er
Vector transversal unitario. Vector radial unitario.
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CAPÍTULO 2 CINÉTICA DE PARTÍCULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON
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Si la fuerza resultante en una partícula no es nula, el modulo de su aceleración será proporcional al modulo de la fuerza. OXY: Sistema de referencia fijo.
Y
F:
a O
Resultante de fuerzas. Aceleración absoluta de la partícula.
X
F ma F : my: a escalar vectores
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Los sistemas de unidades más usados son el Sistema Internacional (SI) yel Foot-PoundSecond (FPS) 1 kgf 1kg *9,8 m 9,8 N
s
2
Sistema Internacional
1 N kg. sm 2
1 lbf= 32.2 pound 1 lb* 32.2 ft/s2 Unidades FPS
1 pound 1lb.
sft 2
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La segunda ley de Newton puede expresarse en: F ma
Componentes rectangulares Fx i Fy j Fz k m a x i a y j a z k Fx ma x Fy ma y Fz ma z
Fx mx
Fy my
Fz mz
Componentes tangenciales y normales
F
t
mat
dv F t m dt
F F
n
n
man m
v2
20
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La segunda ley de Newton puede expresarse en:
Componentes radiales y transversales
2 Fr ma r m r r
F ma m r 2 r
21
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El problema 4 está relacionado a la relación entre posición, velocidad y aceleración. En el instante mostrado, el bloque (m =1,8 kg) está conectado a un resorte no deformado. a)Si el bloque es liberado desde el reposo en la posición mostrada, determine su velocidad cuando llega al suelo. b)Si es jalado hasta que toque el suelo y luego liberado desde el reposo en esta posición, halle la máxima altura (medida desde el suelo) que alcanza el bloque.
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El problema 6 está relacionado a la relación entre posición, velocidad y aceleración. Los bloques A y B pesan 150 N y 100 N, respectivamente. El coeficiente de rozamiento cinético entre A y el plano inclinado es 0,30. La superficie horizontal sobre la que se apoya B es lisa. Cuando los bloques están en la posición representada, el bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad de 1,5 m/s. Hallar la tensión de la cuerda y las aceleraciones de los bloques.
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El problema 1 está relacionado al movimiento en un péndulo Una bola para demolición B (mB = 60 kg) está unida a un cable de acero AB de 14 m de largo y oscila en el arco vertical que se indica en la figura. C es el punto de máximo alcance en el péndulo (parte superior). Determine la tensión en el cable en C cuando: a) El camión se encuentra en reposo. b) El camión se mueve con velocidad constante. c) El camión se mueve con aceleración constante a=2m/s2
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El problema 5 estudia la relación entre posición, velocidad y aceleración. El bloque A (m = 20 kg) se encuentra en reposo en x = 6 m cuando repentinamente se empieza a aplicar sobre él una fuerza horizontal constante hacia la izquierda de 5 kN. Determine la velocidad de A después de que ésta haya recorrido 2 m. La placa B triangular homogénea (m = 100 kg) es lisa, y no se mueve durante el movimiento del bloque A. El coeficiente de fricción entre el bloque A y el suelo es μk = 0,30.
5000 N
μ K 0,30
v ...3..0..,3..4...m/s
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Los dos bloques (mA=mB=m) son soltados del reposo. Determinar la aceleración de los bloques. Desprecie la fricción en todas las superficies de contacto.
2 3,153 a B ...........m/s a A ...8 , 6 62 2..m/s
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El problema 7 está relacionado a la relación entre posición, velocidad y aceleración. El bloque mostrado reposa sobre la superficie lisa cuando se empieza a jalar la cuerda con una fuerza vertical constante P desde x = 2 m. Determinar la velocidad del bloque en x = 0,6 m.
v .2..,.3..0..m/
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Una partícula (m = 3 kg) se mueve a lo largo de una varilla vertical
parabólica lisa de ecuación y 0,3x .Un resorte de rigidez k = 50 N/m está conectado a la masa y tiene una longitud sin deformar de 0,6 m. Cuando la partícula pasa por el punto A se está moviendo a 2,80 m/s. En ese instante, ¿Cuál es la fuerza que ejerce la varilla sobre la partícula?
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El sistema se suelta del reposo, determinar las tensiones en las cuerdas y las aceleraciones de los bloques. Desprecie la fricción. ma=60kg, mb= 40kg
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CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: Métodos de trabajo y energía
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Trabajo de una fuerza
dr
•Desplazamiento de una partícula • Trabajo de una fuerza correspondiente a un desplazamiento: F dr
dU F dr F ds cos Fx dx Fy dy El trabajo es una cantidad escalar en unidades [Nm o J] Si
Si Si
F y dr tienen la misma dirección F y dr tienen direcciones opuestas dr F es perpendicular a
dU Fds dU Fds dU 0
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El trabajo de una fuerza durante un desplazamiento finito:
U12
A2
F
dr
A1
s2
s2
F cos ds F
t
s1
ds
s1
Ft = Componente tangencial
El trabajo entonces se puede representar como el área bajo la curva de la gráfica Ft vs s.
Y si usamos coordenadas rectangulares
U12
A2
F dx F dy x
A1
y
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Diferentes casos particulares Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo
U 1 2 F cos x Trabajo de la fuerza del peso
dU Fx dx Fy dy W dy y2
U12 W dy y1
W y2 y1 W y • Trabajo hecho por el peso = producto del peso W por el desplazamiento vertical Dy • El trabajo por el peso es + cuando Dy < 0, es decir el cuerpo se mueve hacia abajo
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Diferentes casos particulares • La magnitud de una fuerza ejercida por un resorte es proporcional a su deformación F kx k spring constant N/m or lb/in. • Trabajo por una fuerza ejercida por resorte, dU F dx kx dx x2
2 1 kx 2 U1 2 kx dx 1 kx 1 2 2 2 x1
• El trabajo de este tipo de fuerza es positivo cuando x2 < x1, cuando el resorte está retornando a la posición indeformada.
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Energía cinética de una partícula: Principio de trabajo y energía Ft mat m
dv dt
F m dv ds mv dv
ds dt F t ds mv dv
ds
• Integrando desde A1 a A2 , s2
v2
F ds m v dv t
s1
1 2
mv22
1 2
mv12
v1
U 1 2 T2 T1
T
1 2
mv 2 EnergíaCinética
Trabajo de F = cambia la energía cinética
T1 U12 T2 • Unidades T 1 mv 2
2
m kg s
2
Principio de trabajo y energía
m kg 2 m N m J s
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[email protected] Los dos bloques que se muestran en la figura se encuentran originalmente en reposo. Si se desprecian las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas y entre el bloque A y la superficie horizontal, determine a) la aceleración de cada bloque, b) la tensión en el cable
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El bloque A (mA = 300 g) de latón (no magnético) y el imán B de acero (mB = 200 g) están en equilibrio dentro de un tubo de latón bajo el efecto de la fuerza repelente del imán C de acero localizado x = 4 mm del punto B. La fuerza repelente es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre B y C. Si A se retira repentinamente, determinar la máxima velocidad de B.
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[email protected] Un vehículo de 2 000 lb parte del reposo en el punto 1 y desciende sin fricción por la pista que se indica. a) Determine la fuerza que ejerce la pista sobre el vehículo en el punto 2, donde el radio de curvatura de la pista es de 20 ft. b) Determine el valor mínimo seguro del radio de curvatura en el punto 3.
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[email protected] Se utiliza un resorte para detener un paquete de 60 kg que se desliza sobre una superficie horizontal. El resorte tiene una constante k 20 kN/m y se sostiene mediante cables de manera que se encuentre inicialmente comprimido 120 mm. Sabiendo que el paquete tiene una velocidad de 2.5 m/s en la posición que se indica y que la máxima compresión adicional del resorte es de 40 mm, determine a) el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la superficie, b) la velocidad del paquete cuando éste pasa otra vez por la posición mostrada..
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[email protected] Un tractocamión entra a una pendiente descendente de 2 por ciento viajando a 108 km/h y debe bajar su velocidad a 72 km/h en 300 m. La cabina tiene una masa de 1 800 kg y el remolque de 5 400 kg. Determine a) la fuerza de frenado promedio que se debe aplicar, b) la fuerza promedio ejercida sobre el acoplamiento si 70 por ciento de la fuerza de frenado la proporciona el remolque y 30 por ciento la cabina.
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[email protected] Los dos bloques idénticos que se muestran en la figura se sueltan desde el reposo. Si se ignoran las masas de las poleas y se sabe que los coeficientes de fricción estática y cinética son µs 0.30 y µk 0.20, determine a) la velocidad del bloque B después de que éste se ha movido 2 m, b) la tensión en el cable.
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[email protected] El sistema que se muestra, compuesto por un collarín A de 40 lb y un contrapeso B de 20 lb está en reposo cuando se aplica una fuerza constante de 100 lb al collarín A. a) Determine la rapidez de A justo antes de que golpee el soporte en C. b) Resuelva el inciso a) suponiendo que el contrapeso B se sustituye por una fuerza hacia abajo de 20 lb. No tome en cuenta la fricción ni las masas de las poleas.
