Din Mathcad

Manual de Mathcad® para

Ingeniería Mecánica

Dinámica Edición Computacional

Robert W. Soutas-Little Michigan State University

Daniel J. Inman Virginia Polytechnic Institute and State University

Daniel S. Balint Imperial College London

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Contenido

Introducción

5

Calculadora numérica Cálculos algebraicos Cálculos simbólicos

6 9 12

Capítulo 1

14

Cinemática de la partícula

1.4 Problema de dinámica inversa Efecto del ruido en los datos Problema de ejemplo 1.1 Problema de ejemplo 1.2 Problema de ejemplo 1.6 Problema de ejemplo 1.7 Problema de ejemplo 1.10 Problema de ejemplo 1.11 Problema de ejemplo 1.12 Problema de ejemplo 1.14 Problema de ejemplo 1.15 Problema de ejemplo 1.16 Problema de ejemplo 1.17 Problema de ejemplo 1.18 Problema de ejemplo 1.19 Problema de ejemplo 1.20 Problema de ejemplo 1.22 Problema de ejemplo 1.24 1.5 Movimiento relativo Problema de ejemplo 1.25 Problema de ejemplo 1.26 Problema de ejemplo 1.34 Problema de ejemplo 1.35

14 17 18 20 21 25 26 28 30 32 35 36 37 38 39 41 43 45 47 47 48 50 51

Capítulo 2

52

Cinemática de las partículas

Problema de ejemplo 2.1 Problema de ejemplo 2.3 Problema de ejemplo 2.4 Problema de ejemplo 2.5 Problema de ejemplo 2.6 Problema de ejemplo 2.7 Problema de ejemplo 2.8

52 56 57 58 61 63 64

Problema de ejemplo 2.10 Problema de ejemplo 2.12 Problema de ejemplo 2.13 Problema de ejemplo 2.14 Problema de ejemplo 2.15 Problema de ejemplo 2.17 Problema de ejemplo 2.22 Problema de ejemplo 2.23

Capítulo 3

Primeras integrales de movimiento trabajo-energía e impulso-cantidad de movimiento

65 69 71 72 74 76 78 80

83

Problemas de impacto Problema de ejemplo 3.11

83 84

Capítulo 4

87

Sistemas de partículas

Problema de ejemplo 4.2 Problema de ejemplo 4.3

87 88

Capítulo 5

91

Cinemática de cuerpos rígidos

Problema de ejemplo 5.8 91 Problema de ejemplo 5.14 93 Problema de ejemplo 5.15 94 Problema de ejemplo 5.16 95 5.10 Análisis de movimiento plano en términos de un parámetro 96 Problema de ejemplo 5.21 97 Problema de ejemplo 5.23 98 Problema de ejemplo 5.24 99 Problema de ejemplo 5.25 101 Problema de ejemplo 5.26 101 Problema de ejemplo 5.31 104

Capítulo 6

Dinámica de cuerpos rígidos en movimiento plano

Problema de ejemplo 6.1 Problema de ejemplo 6.3 Problema de ejemplo 6.4

106 107 108 110

3

4

CONTENIDO

Problema de ejemplo 6.5 Problema de ejemplo 6.6 Problema de ejemplo 6.8 Problema de ejemplo 6.9 Problema de ejemplo 6.11

Capítulo 7

Potencia, trabajo, energía, impulso y cantidad de movimiento de un cuerpo rígido

Problema de ejemplo 7.9

Capítulo 8

Dinámica tridimensional de cuerpos rígidos

Problema de ejemplo 8.2

112 114 115 116 118

121

Problema de ejemplo 8.3 Problema de ejemplo 8.4 8.7 Ecuaciones de movimiento de Euler

Capítulo 9

Vibración

Problema de ejemplo 9.6 Problema de ejemplo 9.9 Problema de ejemplo 9.10 Problema de ejemplo 9.11

129 130 132

136 136 138 139 140

122

128 128

Apéndice A

142

Índice

143

Introducción

Este suplemento para Ingeniería Mecánica: Dinámica de Soutas-Little, Inman y Balint pretende mostrar cómo los programas de cómputo pueden ayudar a resolver problemas de dinámica. Mathcad es un producto de MathSoft Engineering and Education, Inc. con domicilio en el 101 de Main Street, Cambridge, MA 02142. Es recomendable tener en cuenta, antes de usar este software para resolver problemas de dinámica, el correcto modelado de dichos problemas. Esto es, se debe construir un diagrama de cuerpo libre y las ecuaciones de movimiento así como las de restricción, tienen que ser escritas y reducidas a la forma escalar de una ecuación diferencial. El software computacional puede ser utilizado para resolver estas ecuaciones diferenciales y trazar las trayectorias de movimiento. Si usted está familiarizado con estas instrucciones básicas, continúe con el análisis de la solución de los problemas de ejemplo en el texto. Este suplemento pretende guiar al lector a través del uso de Mathcad para resolver problemas de dinámica. Debido a esto, esfuércese en abrir su versión de Mathcad y ejecute los pasos descritos en el suplemento tal como los lee. El material es de suma importancia para acompañar al texto Ingeniería Mecánica: Dinámica y trabajar a detalle muchos de los problemas de ejemplo usando Mathcad. Se sugiere que trabaje con el programa abierto 5

6

INTRODUCCIÓN

mientras lee esta introducción. Entonces refiérase al suplemento cuando sea necesario para resolver los problemas de tarea utilizando las soluciones de los ejemplos resaltadas en cada capítulo. Mientras el suplemento sugiere formas de utilizar Mathcad para mejorar su comprensión de la dinámica y le enseña a mejorar sus habilidades con la computadora, usted puede echar un vistazo al manual de Mathcad e idear sus propias aplicaciones para resolver problemas de dinámica así como su aplicación en otros cursos. Hasta donde fue posible, la hoja de trabajo actual de Mathcad se copió y pegó directamente en el suplemento. El tipo de letra se modificó para mostrar exactamente lo que el lector puede teclear para reproducir los resultados analizados. La hoja de trabajo de Mathcad se diseñó con un formato tal y como el que el paquete utiliza para leer y analizar matemáticas, trabajando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Usted puede trabajar con fórmulas, números, texto y gráficas y puede insertar material en cualquier parte de la hoja de cálculo, sólo con seleccionar un punto y haciendo clic con el botón del ratón. Sin embargo, no podrá solicitar variables o funciones antes de que sean definidas; esto significa que deberá usar el formato de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. El suplemento consta de 10 capítulos en seguida de esta introducción general, correspondiendo a los nueve capítulos y los apéndices del texto Ingeniería Mecánica: Dinámica de Soutas-Little, Inman y Balint. Cada capítulo de este suplemento presenta las soluciones apropiadas en Mathcad a los problemas de ejemplo dados en el texto.

Calculadora numérica Mathcad puede ser utilizado como una calculadora numérica, vectorial o matricial que incluye las funciones estándar. Para cálculos numéricos, los resultados se obtienen usando el signo igual (=). Ejemplos de cálculos numéricos se muestran en la siguiente ventana computacional:

CÁLCULOS NUMÉRICOS Suma, Resta, Multiplicación y División.

(8

3 ).

3 = 8.25 4

5

2 . 4 3

32

= 56.333

Los símbolos de suma, resta y división son los normales en el teclado de la computadora. El símbolo de la multiplicación se encuentra oprimiendo shift-8 y para la raíz o potencia de un número se oprime shift-6. La barra espaciadora se usa para moverse desde el denominador o desde el exponente y regresar a trabajar con la expresión completa.

CALCULADORA NUMÉRICA

Los cálculos pueden estar incluidos en las funciones estándar. Recuerde que muchos de los paquetes de software asumen que los ángulos están dados en radianes. Para expresarlos en grados, se debe multiplicar por (deg) que es una constante para cambiar a radianes en cualquier software, por ejemplo:

acos ( 0.866 ) = 30.003 grados

12. sen ( 30. grados) = 14

8

Observe que, para el cálculo del arco coseno, la respuesta puede estar dada en radianes pero la división entre la constante (deg) convierte el resultado a grados.

Los cálculos numéricos de vectores se realizan de manera similar. Mathcad trata a un vector como una matriz columna de tres renglones y una columna. La suma y la resta vectorial se realizan utilizando las teclas estándar. El producto punto utiliza el símbolo de multiplicación (shift-8) y el producto cruz se obtiene presionando control 8. Ambos se encuentran en la paleta del vector matriz. La división vectorial no está definida. La magnitud de un vector puede obtenerse utilizando el símbolo de magnitud de la paleta o presionando el signo (|) en el teclado. Ejemplos de cálculos vectoriales se muestran en la siguiente ventana computacional:

VENTANA COMPUTACIONAL Las siguientes expresiones son ejemplos de suma y resta de vectores (en algunos casos, las componentes vectoriales están dadas como funciones):

3. sen ( 45. grados)

3

4 5

1 6

52 3 4 12

= 13

5.121 =

42

0.2 15

7

8

INTRODUCCIÓN

Ejemplos del producto punto y del producto cruz son los siguientes:

1 8 .

4 2

3

4

= 8

1 8 3

1 8

4 2

3

4

=

38 16 30

4 2 4

= 50.99

Observe que las componentes del vector pueden requerir cálculos y pueden involucrar funciones de manera similar a las que se usan en cálculos de escalares.

Los cálculos numéricos de matrices se realizan de la misma forma que con los vectores. Matrices del mismo tamaño pueden ser sumadas o restadas. La multiplicación de matrices sólo puede ser llevada a cabo entre una matriz (m × k) y otra (k × n) resultando en una matriz (m × n). Los sistemas lineales de ecuaciones se pueden resolver tomando el coeficiente de la inversa de una matriz. En general, Mathcad limita el tamaño de la matriz a 100 elementos o para el caso de una matriz cuadrada, ésta debe ser no mayor a (10 × 10). Ejemplos de operaciones con matrices se muestran en la siguiente ventana computacional:

VENTANA DE CÁLCULOS CON MATRICES La multiplicación de una matriz de tamaño (m × k) por otra de tamaño (k × n) puede lograrse usando la paleta matricial. En el siguiente ejemplo, se multiplican juntas dos matrices de (3 × 3):

3 3. sen 20. grados 423 34

1 5. 3

3

12

π 10. cos 3 12 . . 3 2 3 8 4

8

29 0 8

32

14 3 12

=

23 3

1.982 10 210.206

Observe que todos los cálculos requeridos en los elementos de la matriz original son realizados antes de que la multiplicación matricial se ejecute. Una de las aplicaciones más utilizadas de matrices es en la solución de ecuaciones simultáneas. Para esta aplicación, la inversa de la matriz de coeficientes premultiplica el lado derecho conocido de las ecuaciones. A continuación se da un ejemplo:

51

125.756 246.635 424.794 234.176

CÁLCULOS ALGEBRAICOS

2

0

4

1 0

5 3

1 2

1

2

0

1 2 1 3

1

.

100 250 0

65.169 =

300

8.989 28.652 84.27

El lado derecho es la solución de las cuatro incógnitas en la columna ordenada. Por ejemplo, la primera ecuación puede aparecer como 2X1 + 0X2 – 4X3 + X4 = 100 El resultado de la solución del sistema es X1= 65.169, X2 = –8.989, X3 = 28.652 y X4 = 84.27.

Cálculos algebraicos Cuando una variable o una constante es usada más de una vez o cuando siente que puede cambiar este valor dentro del programa, es mejor definir un símbolo que corresponda a esta constante o variable. Para definir un símbolo algebraico que sea equivalente a un escalar, vector o matriz utilice la definición del símbolo, la que se puede obtener presionando la tecla de los dos puntos (:) o seleccionando el símbolo de la paleta. El símbolo de definición puede aparecer como (:=). Las variables o las constantes son nombradas de acuerdo a las letras del alfabeto griego, seleccionando la letra adecuada de la paleta o tecleando la letra romana equivalente y presionando control-G. Ejemplos de cálculos y definiciones algebraicas se muestran en la siguiente ventana computacional:

VENTANA COMPUTACIONAL ALGEBRAICA Los siguientes símbolos pueden ser usados para definir escalares, vectores y matrices constantes o variables:

r g

9.81

β

30. deg

20 15 30 3 V

2. sin β 2. cos β

9

10

INTRODUCCIÓN

Cuando trabajamos con símbolos algebraicos, debemos recordar que Mathcad está basado en un tipo de hoja de análisis. Además se lee de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Si usted llama un símbolo que no fue definido desde antes, Mathcad le indicará que éste se encuentra indefinido. En este caso, definimos g para la aceleración gravitacional en unidades SI. Actualmente, g está definida automáticamente en Mathcad pero en unidades predefinidas y siempre que el programa realice cálculos y verifique unidades, esto puede ser demorado hasta que usted esté más familiarizado con el programa. Utilizando las variables definidas previamente, tenemos:

55.981 r r. V = 96.962

V=

55.359 65

tan β = 0.577

Ahora definimos dos matrices A y B y examinamos diferentes operaciones matemáticas usando estas matrices y la matriz V definida previamente:

2 3 3

1 6 0 4 1 7

B =

1 4 12 0 11 5

A

A

2 B. A =

9 14

6

B

11 7 1

A. B =

49

6 75 2 74

1 5 9 0 8 4

5 3 6 59 34 35 31 44 13

29 9 54

15.392 A. V =

15.928 4.124

Una de las variables más importantes es el rango variable, el cual es usado cuando desea definir funciones de esta variable sobre un rango de valores. Cuando se define un rango variable, usted especifica esta primera variable seguida por una coma, entonces se especifica el siguiente valor seguido de punto y coma. Por último se especifica el valor final. Mathcad puede calcular automáticamente los incrementos. Ejemplos del uso de un rango variable y la graficación de funciones de esta variable se muestran en la siguiente ventana computacional:

CÁLCULOS ALGEBRAICOS

RANGOS VARIABLES Y FUNCIONES DE ESTAS VARIABLES Definamos un rango variable x que comience en –10 con incrementos de 1 hasta x = +10. x := –10, –9..10 Calculamos

f x

x2. sin

π. x 10

Observe que la función f debe estar claramente definida como una función de x, por definición esto es f(x). Ahora podemos trazar la gráfica de la función sobre este rango utilizando la paleta para gráficas.

Gráfica de la función f(x)

Función f(x)

50

f x

0

50 10

5

0 x

5

Rango variable x

En este caso, la gráfica puede alargarse seleccionando y expandiéndola en la caja negra. La gráfica es formateada para incluir cuadrículas, símbolos y etiquetas. Esto se hace usando el menú Format y seleccionando trazo Graph->x-y o bien haciendo doble clic en la gráfica.

Analizaremos la capacidad de graficación de Mathcad con más detalle en otros ejemplos.

10

11

12

INTRODUCCIÓN

Cálculos simbólicos La capacidad para ejecutar cálculos simbólicamente es una aplicación muy utilizada en Mathcad. Operaciones algebraicas entre escalares, vectores y matrices pueden realizarse simbólicamente. También es posible diferenciar e integrar simbólicamente, obteniendo la misma forma analítica que hallamos en tablas de cálculo. La expresión para diferenciar o integrar puede ser evaluada simbólicamente usando el menú Symbolic o tecleando Cntr period. La siguiente ventana computacional simbólica, demuestra algunas de estas operaciones:

VENTANA COMPUTACIONAL SIMBÓLICA En esta ventana computacional, las expresiones son ingresadas como se muestra y entonces se selecciona Evaluate Symbolic del menú Symbolic. El resultado aparecerá en la línea debajo de la expresión. El resultado puede ser obtenido tecleando Cntr period después de ingresar la expresión a evaluar simbólicamente. Una flecha aparecerá a la derecha de la expresión y el resultado puede ser obtenido haciendo clic fuera de la región que contiene a la expresión. Expresión general para el producto punto entre dos vectores

Ax

Bx

Ay . By Bz Az

A x. B x

A y. B y

A z. B z

Expresión general para el producto cruz entre dos vectores

Ay

Bx By

A y. B z A z. B x

A z. B y A x. B z

Az

Bz

A x. B y

A y. B x

Ax

Diferenciación simbólica

π. x d sen L dx

cos π .

x π . L L

CÁLCULOS SIMBÓLICOS

Evaluación simbólica de una integral definida

a x. sen 0

π. x dx L

sen π .

a . L L

π . cos π .

a . L a . L π2

Más detalles del uso de matemáticas simbólicas se presentarán más adelante en este suplemento cuando sea necesario.

13

1 Cinemática de la partícula

1.4 Problema de dinámica inversa Si se conoce el desplazamiento rectilíneo de una partícula, la velocidad y la aceleración pueden ser obtenidas por diferenciación numérica y graficadas usando Mathcad. El símbolo de diferenciación es seleccionado en la paleta de cálculo. Observe que primero se define el rango variable, en este caso el tiempo, y entonces podemos definir la función de desplazamiento.

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Y GRAFICACIÓN DE UN PROBLEMA DE DINÁMICA INVERSO Cuando el desplazamiento es conocido como una función del tiempo, la velocidad y la aceleración pueden ser determinadas por diferenciación numérica. Los resultados se pueden graficar sobre un periodo definido. Las variables son

14

PROBLEMA DE DINÁMICA INVERSA

t

0 , 0.1 . . 2

x( t )

sin π . t . et

v( t )

d x( t ) dt

a( t )

d v( t ) dt

80

60

40 x( t ) v( t ) 20 a( t ) 0

20

40 0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

Desplazamiento, velocidad y aceleración versus tiempo

La diferenciación fue hecha numéricamente. Para hacerlo, primero se debe definir el rango variable, en este caso el tiempo (t). El rango variable t es definido por la instrucción t := 0,0.1..2. El símbolo := puede obtenerse de la paleta de matemáticas o bien tecleando dos puntos (:). El primer número en seguida del símbolo de definición es el primer valor del rango variable y el segundo número es el siguiente valor del rango variable y está separado del primero por una coma. El valor final está separado del segundo valor por dos períodos, obtenidos al presionar la tecla de punto y coma (;). La función x(t) es ingresada como se muestra y el paréntesis determina que x es función del tiempo. Después del símbolo de definición la función queda definida. Los valores numéricos de x(t) son calculados en el momento que se presiona la tecla return. La diferenciación numérica es realizada al seleccionar el símbolo de diferenciación de la paleta de cálculo. Una gráfica x-y es seleccionada de la paleta de gráficas o bajando las gráficas del menú. En este caso la posición, la velocidad y la aceleración son todas trazadas en la misma gráfica. La gráfica puede ser formateada para

15

16

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

añadir cuadrículas, símbolos, títulos, etc. y pueden ser reproducidas en un formato de reporte. La diferenciación simbólica también está disponible en Mathcad. Ésta es similar a encontrar las diferenciales en una tabla de integrales y los resultados están dados en términos de constantes y variables. La diferenciación simbólica puede ser completada por el uso del menú Symbolics. El problema de dinámica inverso x (t) : sin(pt).et puede ser resuelta simbólicamente, como se muestra en la siguiente ventana computacional:

DETERMINACIÓN SIMBÓLICA DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN t

0 , 0.1 . . 2

x( t )

sin π . t . et

v( t )

d sin π . t . et dt

v( t )

cos π . t . π . exp ( t )

a( t )

d cos π . t . π . et dt

sin π . t . exp ( t ) sin π . t . et

2

sin π . t . π . exp ( t )

a( t )

2. cos π . t . π . exp ( t )

sin π . t . exp ( t )

80 60

x( t )

40

v( t ) 20 a( t ) 0 20 40 0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Efecto del ruido en los datos En la sección 1.4 del texto de dinámica, se investiga el efecto del ruido en el vector desplazamiento. Para conducir esta investigación, Mathcad es usado para generar datos ruidosos y muestra cómo está compuesto el ruido cuando los datos son diferenciados. Un generador de números aleatorios es utilizado para determinar el efecto del ruido en los datos de posición en el problema de dinámica inverso. Para investigar el efecto del ruido, la función seno es calculada en 40 intervalos de 0 a π y entonces la función misma agrega errores aleatorios a cada valor, generando un conjunto de datos f(i). Los datos son diferenciados numéricamente, como en la ventana siguiente, para apreciar el efecto de los datos ruidosos:

DIFERENCIACIÓN DE DATOS: FIGURAS 1.5 Y 1.6 i

0 . . 40 8. sin

g i

i. π 40

f i

8. sin

i. π 40

1 i. rnd 0.3

Efecto del ruido en los datos

Función y función con ruido

10

8

g i

6

f i 4

2

0 0

dg i

g i

10

1

g i 4

1

20 i Rango variable i

df i

f i

30

1

40

f i 4

1

17

18

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Datos diferenciados

Datos diferenciados

0.4

0.2 dg i df i

0

0.2

0.4 0

10

20 i Rango variable i

30

40

Problema de ejemplo 1.1 Un automóvil se mueve a lo largo de una sección del camino recta y a nivel, tal que su desplazamiento es x(t) = 0.4t3 + 8t + 10, donde t está en segundos y x está dada en pies. Calcule el tiempo que le toma al automóvil llegar a una velocidad de 60 mph desde un estado inicial t = 0. ¿Qué tan lejos viaja el automóvil durante este tiempo y cuál es el valor de la aceleración cuando el vehículo corre a 60 mph?

Observe que la velocidad es la derivada de la posición o desplazamiento y que el desplazamiento puede ser un extremo, un máximo o un mínimo local cuando la velocidad es cero. De manera similar, la velocidad es un extremo local cuando la aceleración es cero.

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.1 t

0 , 0.1 . . 10

x( t )

0.4. t3

v( t )

d x( t ) dt

a( t )

d v( t ) dt

8. t

10

600

x( t )

400

v( t ) 200 a( t ) 0 200 0

2

4

6

8

10

t

La función raíz puede ser usada para determinar el momento cuando v(t) = 88 pies/s. Primero, utilice la gráfica para estimar el tiempo:

t

8

raíz ( v( t )

88 , t ) = 8.165

segundos

x(8.165) = 293.055 pies. De modo que, la posición es 293 pies y la partícula viajó 283 pies a(8.165) = 19.596 pies/s/s. La distancia viajada durante un intervalo de tiempo cualquiera puede determinarse integrando el valor absoluto de la velocidad sobre el intervalo. t2

Lt 1

8.1265

ƒ v(t) ƒ dt

L0

ƒ v(t) ƒ dt

282.6 pies

19

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Problema de ejemplo 1.2 Durante una caminata, el centro de masa de un tipo que sube y baja, sigue un movimiento senoidal y(t) C cos (2pt p) y0 donde y0 es la altura del centro de masa cuando el individuo está detenido y C es la amplitud del desplazamiento del centro de masa. Determine la velocidad vertical y la aceleración del centro de masa y grafique el cambio en el desplazamiento vertical, la velocidad y la aceleración para un tiempo de 1 s.

Desplazamiento

CAPÍTULO 1

120

100 80 0

10 cos(2pt

p)

100 cm

La velocidad y la aceleración pueden determinarse fácilmente a mano para este problema, pero una hoja de trabajo de Mathcad puede ser creada para ilustrar la diferenciación numérica y para dibujar el desplazamiento, velocidad y aceleración del centro de masa.

Aceleración

y(t)

0.2

0.6 0.8 1.0 t Desplazamiento-tiempo

t

0 , 0.01 . . 1 C. cos 2. π . t

π

v t

2. π . C. sin 2. π . t

y0 π

a t

2 4. π . C. cos 2. π . t

π

y t

Desplazamiento vertical del centro de masa

Desplazamiento en cm

120

y t 100

80 0

0.2

0.4

0.6 t Tiempo en segundos

0.8

1

80 1.2

v(t)

0.2

0.4 0.6 0.8 t Velocidad-tiempo

1.0

1.2

0.6 0.8 1.0 t Aceleración-tiempo

1.2

500 100

–500 0

a(t) 0.2

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.2 C 10 y 0 := 100

0.4

0

–100 0

Con C = 10 cm y y0= 100 cm, el desplazamiento del centro de masa de un individuo que camina está dado por;

120 y(t)

100 Velocidad

20

0.4

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Velocidad del centro de masa Velocidad en cm/s

100

v t 0

100 0

0.2

0.4

0.6 t Tiempo en segundos

0.8

1

Aceleración en cm/s2

Aceleración vertical del centro de masa 500

at 0

500 0

0.2

0.4

0.6 t Tiempo en segundos

0.8

1

Problema de ejemplo 1.6 Determine la aceleración, velocidad y desplazamiento como funciones del tiempo, si la aceleración está dada como 3x2

a(x)

8 pies s2

Desplazamiento (m), velocidad (m/s)

y la posición inicial es x0= 0. La velocidad inicial es v0 = 2 pies/s. 5 vi(t) 0 xi(t) –5 0

1

2 dt Tiempo (s)

4

5

21

22

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

La ecuación diferencial no lineal es separable y la primera integral para la velocidad puede ser obtenida. La solución analítica para la integral de velocidad tiene que obtenerse de la siguiente manera, utilizando el procesador simbólico en Mathcad:

v

z g

c. z2

dz

1 . ln g . 2 c

c. v2

1 . ln g 2. c

c. v 02

v0 1 . ln g 2

c. v2

c. v 02

ln g c

La dificultad surge cuando se investiga el tiempo como función del desplazamiento. Esta dificultad se analiza a detalle en el texto de Dinámica y se recomienda usar una solución numérica. La ecuación diferencial no lineal del Problema de ejemplo 1.6 puede resolverse por medio de integración numérica utilizando el método de Euler (método de la línea tangente) o por el método Runge-Kutta. El método de Euler puede ser ejecutado en Mathcad usando una serie de iteraciones o también puede usarse la solución diferencial directa de Mathcad empleando el método Runge-Kutta de cuarto orden. El método de Euler se desarrolla a detalle en la Sección 1.5.6 del libro de texto y la solución numérica se muestra aquí como demostración. Los detalles de la solución numérica de ecuaciones diferenciales se ilustran en el Problema de ejemplo 1.10. La exactitud de cualquier solución numérica dada es dependiente sobre el valor Δt seleccionado. Entre más corto sea el paso numérico, más exacta es la solución; esto sugiere que la solución puede ser calculada para diferentes valores. Los resultados de la integración numérica se muestran en la ventana computacional para el problema de ejemplo 1.6.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.6 Método de Euler Defina el número de pasos de integración y el incremento de tiempo como sigue:

i

0 . . 4000

Δt

0.001

El tiempo actual es el resultado del número de paso y del incremento de tiempo:

ti

i. Δt

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Defina los valores iniciales como sigue:

v0

2

x0

0

Establezca la serie de iteraciones con la velocidad en cualquier punto igual a la velocidad previa más la pendiente de la curva de velocidad (aceleración) multiplicado por el incremento del tiempo. La posición, de forma similar, es igual a la posición previa más la curva de posición (velocidad) por el incremento del tiempo. En Mathcad, las dos ecuaciones pueden establecerse en forma matricial como

vi

1

xi

1

vi

3. xi 2 8 . Δt xi vi. Δt

Método Runge-Kutta Defina los valores iniciales en un vector y; y0 es la posición y y1 es la velocidad. Así

0 2

y

Defina la función D(t,y) tal que D0 es la velocidad o primera derivada y D1 es la segunda derivada o en este caso, la ecuación diferencial:

D t, y

y1 3. y0 2

8

Establezca una matriz Z igual a la función Runge-Kutta rkfixed (y, t1, t2, npoints, D), donde y es el vector de posición y es la primera componente, la velocidad es la segunda componente, t1 es el tiempo inicial, t2 es el tiempo final, npoints es el número de puntos más allá del punto inicial para el que la solución fue calculada y D ha sido definida previamente. La matriz Z (401 × 3) tiene tres columnas: Z0 tiempo, Z1 posición 2 y Z velocidad o primera derivada.

Z

rkfixed y , 0 , 4 , 400 , D

Podemos seleccionar un entero n para designar los renglones de Z para propósitos de dibujo. Observe que resolviendo el problema con el método de Euler, 4000 puntos son elegidos con un incremento de 0.001 s y con el método Runge-Kutta, se eligen 400 puntos con un

23

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

incremento de 0.01 s. La demora puede ser causada por la alta exactitud del método Runge-Kutta. Por consiguiente: n:= 0..400

Desplazamiento (pies); velocidad (pies/s)

La velocidad y la posición pueden ser trazadas como función del tiempo para ambas soluciones.

Desplazamiento (pies); velocidad (pies/s)

24

Solución de Euler: incremento 0.001 s 5 xi vi

0

5 0

1

2 ti Tiempo (s)

3

4

Solución Runge-Kutta: incremento 0.01 s 5 < 1> Z n < 2> Z n

0

5 0

1

2 < 0> Z n Tiempo (s)

3

Observe que las soluciones son idénticas, aunque el método Runge–Kutta use un incremento de tiempo 10 veces más grande que el incremento para el método de Euler. Sin embargo, muchas de las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales en este suplemento, se pueden realizar con el método de Euler para que usted obtenga una mejor comprensión de la solución de ecuaciones diferenciales con este sencillo método.

4

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Problema de ejemplo 1.7 Durante un derrape cerrado, un automóvil tiene una aceleración negativa constante (desaceleración de frenado). Si ahí el tiempo de reacción es 1.75 s antes de frenar (el promedio observado por los conductores) y la desaceleración de frenado es 22.5 pies/s2, determine la distancia para detenerse si la velocidad inicial es (a) 60 mph; (b) 45 mph y (c) 30 mph.

Distancia de frenado versus velocidad 400

xf(v0)

200

0

0

40

20

60

v0 (mph)

Los resultados del problema de ejemplo 1.7 pueden graficarse para una fácil interpretación o inclusión en un reporte. Mathcad puede generar gráficas de barras para reportes o manuales de conductores y estas gráficas pueden ser pegadas en un documento de Microsoft Word.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.7 S

0 , 5 . . 75

v 0( S )

1.467. S

X f( S )

1.75. v 0 ( S )

1 . v ( S )2 . 2 22.5 0

25

26

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

600

400 Xf ( S ) 200

0 0

20

40 S

60

80

Distancia de frenado con una velocidad de 0 a 80 mph

La gráfica muestra que la distancia de frenado no es una función lineal de la velocidad. Por ejemplo, se necesitan 120 pies con una velocidad inicial de 30 mph y 326 pies son necesarios para una velocidad inicial de 60 mph. Tablas de este tipo están incluidas en la mayoría de los manuales para conducir. (Estos datos se basan sobre distancias de frenado en pavimento seco.)

Problema de ejemplo 1.10 Una bola es lanzada hacia arriba en contra de la atracción gravitacional y la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. La resistencia del aire siempre se opone al movimiento; esto es, que tiene signo opuesto a la velocidad. La aceleración puede especificarse como a(v) g cv2 sign(v), donde c = 0.001 (1/m) y g = 9.81 m/s2. Si la bola es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s, determine la relación velocidad-desplazamiento. Encuentre la altura máxima que alcanza la bola con y sin resistencia del aire.

La aceleración puede escribirse como a(v)

g

cv v m/s2

La ecuación diferencial de movimiento es no lineal, contiene el producto de la velocidad y el valor absoluto de v y puede ser numéricamente integrable usando el método de Euler.

v0 30 m/s

x (m)

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.10 Defina las constantes:

g

9.81

c

0.001

Seleccione un rango entero para el número de veces que se calculará la posición y la velocidad:

i

0 . . 6000

Defina el incremento de tiempo:

Δt

0.001

Defina el tiempo de cada paso, observe que el tiempo tiene un rango de 0 a 6 segundos. El resultado es

ti

i. Δt

Establezca las condiciones iniciales. La velocidad v y la posición x pueden ser vectores cuyas componentes representan el paso de tiempo. El subíndice es llamado al presionar la tecla v y el corchete ([). Mathcad llevará el subíndice y entonces teclee 0, indicando paso 0. El código Mathcad es

v0

30 0

x0

Defina la aceleración como función de la velocidad, la posición y el tiempo. En este caso, la aceleración es una función sólo de la velocidad. El signo de valor absoluto puede ser obtenido en la paleta de la matriz vector o presionando la tecla |. El resultado de la ecuación es

a v

g

c. v. v

Ahora, la serie de iteraciones puede ser usada para resolver numéricamente la ecuación diferencial. Nuevamente, la velocidad es ingresada al presionar la tecla v y [ para el subíndice, entonces utilice ahora i + 1 como subíndice. Golpeé la barra espaciadora para regresar a la ecuación y dejar el subíndice. Cada subíndice en la ecuación matricial se obtiene de esta manera. El código es

vi

1

xi

1

vi

a vi . Δt xi vi. Δt

27

28

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

La posición y la velocidad ahora pueden trazarse para interpretar fácilmente los resultados:

Posición y velocidad vs. tiempo Posición (m), velocidad (m/s)

60 40 xi

20

vi 0 20 40 0

1

2

3 ti Tiempo (s)

4

5

6

La constante c puede cambiarse haciendo clic en el punto donde está definida en la hoja de trabajo de Mathcad. La hoja puede actualizar todos los cálculos y gráficas. Por consiguiente, la solución sin resistencia del aire puede obtenerse fácilmente. El desplazamiento máximo se determina usando la función trazo en la paleta de gráficas o por observación, esto ocurre cuando el tiempo es 3 segundos (i = 3000) y entonces tecleamos “x3000 =” para denominar al valor numérico de la posición cuando la velocidad es cero.

Problema de ejemplo 1.11 Un jugador de futbol americano desea anotar un punto desde una distancia de 65 yardas y tiene sólo 5 segundos para conectarlo. ¿Qué velocidad inicial debe tener el balón al dejar su pie?

Este es un problema de proyectil común que implica la solución de dos ecuaciones algebraicas no lineales. Aunque estas ecuaciones pueden resolverse a mano, como se mostró en el problema de ejemplo 1.11 del texto, también se pueden resolver usando la función Given-Find de Mathcad y la trayectoria del objeto trazada como una gráfica x-y. El problema del proyectil común es bidimensional, usando dos dimensiones del plano de movimiento, con

y V0

q

x

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

aceleración sólo en la dirección vertical. Suponiendo que el proyectil es liberado con una velocidad inicial V0 en un ángulo u en una posición x0,y0, las ecuaciones para la posición final del objeto son xf

V0 cos utf gt2f

yf

x0 V0 sen utf

2

y0

Existen siete variables en estas dos ecuaciones: x0, y0, V0, u, xf, yf, y tf en las dos ecuaciones algebraicas no lineales. Cinco de las variables deben especificarse y dos deben ser determinadas. En este problema, conocemos la posición inicial, la posición y el tiempo final y deseamos determinar la magnitud y el ángulo del vector velocidad inicial. La ventana muestra cómo hallar estas dos cantidades usando Mathcad

SOLUCIÓN DE MATHCAD PARA EL PROBLEMA DEL PROYECTIL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.11 Especifique las cantidades conocidas

g

32.2

x0

0

y0

0

xf

65. 3

yf

0

Especifique una suposición inicial para las dos cantidades desconocidas:

V0

100

θ

45. deg

Ahora especifique las dos ecuaciones algebraicas no lineales en el bloque de ecuaciones Given: Given

x f V 0. cos θ . t f x 0 g. t f2 yf V 0. sin θ . t f 2

y0

Llame ahora a la función Find para determinar las dos incógnitas:

Find V 0 , θ =

89.45 1.12

El ángulo está dado en radianes, pero necesitamos especificarlo en grados. Esto se hace como sigue:

1.12 = 64.171 deg

tf

5

29

30

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

La trayectoria del balón puede ser mostrada creando una gráfica x-y para 5 segundos de movimiento. Debe especificar las variables en caso de que éstas no se hayan especificado al principio de la hoja de trabajo. En este caso, los valores actuales de V0 y de u se ingresaron cuando la suposición fue hecha, así que estos valores pueden usarse en la trayectoria.

t 0 , 0.1 . . 5 V 0. cos θ . t x t y t

g. t2

x0

V 0. sin θ . t

2

y0

Posición vertical pies

Trayectoria del balón de futbol 150

y t

100

50

0 0

50

100 150 x t Posición horizontal pies

Otros problemas de proyectiles pueden resolverse usando la misma hoja de trabajo. Todo lo que hay que hacer es cambiar los valores iniciales de las cantidades conocidas y de las cantidades desconocidas. El bloque de ecuaciones permanece sin cambios, pero la función Find debe ajustarse para determinar las cantidades desconocidas.

Problema de ejemplo 1.12 Considere una partícula con movimiento helicoidal de paso constante. El vector de posición se puede dar como r(t)

(R cos vt)iN

(R sen vt)jN

(pt)kN

donde R es el radio de la hélice, p es el paso de la curva helicoidal en el espacio y v determina el tiempo para completar un ciclo alrededor de la hélice. Determine la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier tiempo en términos de las constantes R, p y v.

200

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Aunque no se necesita un software computacional para resolver este problema ya que la diferenciación puede ser fácilmente realizada; si fueran necesarios valores numéricos, el software puede ser útil. Sin embargo la opción gráfica tridimensional de trazado disperso puede ser usada para visualizar mejor la trayectoria espiral en el espacio. Cuarenta y un puntos son generados en la hélice, tal como se muestra en la ventana computacional para el problema de ejemplo 1.12. Se ha elegido 5 como el radio y 0.2 como el tiro. El parámetro tiempo se ha seleccionado tal que tome 20 segundos completar un ciclo alrededor de la hélice.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.12 Una gráfica tridimensional dispersa es creada especificando el número de puntos y entonces se crea un arreglo de vectores para cada una de las tres coordenadas, como en el siguiente código: i

0 . . 40

xi

5. cos 0.1. i. π

yi

5. sin 0.1. i. π

zi

0.2. i

La gráfica tridimensional dispersa es seleccionada de la paleta de gráficas. Cuando aparezca la gráfica en blanco en la hoja de trabajo, haga clic en el marcador de posición e ingrese las tres coordenadas, separadas por comas. Entonces la gráfica puede ser formateada para agregar el título y una cuadrícula y usted podrá cambiar la orientación de la gráfica (por ejemplo inclinarla y rotarla).

31

32

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Movimiento helicoidal en el espacio 8 6 4 2 4 0 4

2

0

2

4

2 0 2 4

Problema de ejemplo 1.14 El pateador patea el balón hacia una lluvia copiosa tal que el aire resiste el movimiento de una manera proporcional a la velocidad al cuadrado. Si la velocidad inicial del balón es 80 pies/s y el balón sale del pie del pateador en un ángulo de 45°, determine la distancia que recorre el balón. La aceleragj cv|v|, donde c = 0.001 (pie-1). ción es a

En el problema de ejemplo 1.14, la ecuación diferencial vectorial de movimiento es no lineal y las dos ecuaciones escalares están acopladas. En contraste, la ecuación diferencial vectorial del problema de ejemplo 1.13 era lineal y las componentes escalares eran desacopladas. El software computacional no fue usado en la solución. Sin embargo, ambos problemas pueden resolverse con la misma hoja de trabajo de Mathcad igualando el coeficiente c de amortiguamiento con cero. El método de integración numérica de Euler de una ecuación diferencial vectorial es similar al mostrado para la ecuación diferencial escalar. Primero, se define el número de pasos como i: 0..3400; el cual es ajustado durante la solución en la que el tiempo termina cuando el pateador toca el suelo. Esto es realizado cam-

Desplazamiento y (pies)

x, y, z

60 40

yi

20 0 –20 0

50

100 150 xi Desplazamiento (pies)

200

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

biando el valor superior después de que la hoja de trabajo ha sido creada. El incremento de tiempo Δt es definido y cualquier incremento en el tiempo es i Δt. El incremento del tiempo puede ser ajustado para mejorar la exactitud de la solución numérica, la cual se muestra en la siguiente ventana computacional:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.14

i

Δt

0 . . 3400 vx0 vy0

vyi yi

0.001

g

32.2

0

y0

xi

c

80. cos( 45. deg ) 0 . 80 sin ( 45. deg )

x0

vxi

0.001

c. vxi .

vxi

1

xi

1 1

vyi

c. vyi .

g

1

yi

vxi

2

vyi

2.

Δt

vxi . Δt vxi

2

vyi

2

. Δt

vyi . Δt

60 40 y

i

20 0 20 0

50

100 x i

150

200

La aceleración es más compleja en este problema. En tales casos, puede ser útil definir las dos componentes de la aceleración como funciones. Esto permite que los términos en la serie de iteraciones estén más organizados y sean utilizados múltiples ocasiones en la misma hoja de trabajo de Mathcad.

33

34

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

El siguiente es un método alternativo de solución del problema de ejemplo 1.14:

HOJA DE TRABAJO ALTERNATIVA PARA EL PROBLEMA DE EJEMPLO 1.14 g

32.2

c

i Δt

V0

0.001

80

θ

45. deg

0 . . 3400 0.001

Defina dos funciones para las dos componentes de la aceleración como sigue:

c. vx. vx2

ax vx , vy ay vx , vy

vxi

1

xi

1

vyi

1

yi

1

vy2

c. vy. vx2

g

vx0

V 0. cos θ

x0

0

vy0

V 0. sin θ

y0

0

vy2

vxi

ax vxi , vyi . Δt xi vxi. Δt

vyi

ay vxi , vyi . Δt vy . Δt y i

i

Trayectoria del balón Posición vertical (pies)

60 40 yi

20 0 20 0

50

100 xi Posición horizontal (pies)

150

200

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Problema de ejemplo 1.15 Un automóvil, que parte del reposo, se conduce alrededor de una curva con un radio de 1000 pies. Si el automóvil experimenta una aceleración tangencial constante de 8 pies/s2, determine la aceleración total después de 10 segundos.

Los cálculos en el problema de ejemplo 1.15 son directos, pero pueden hacerse usando Mathcad. La aceleración es calculada y escrita como un vector. Cada componente y la magnitud del vector aceleración son graficados utilizando un software computacional. Observe en la siguiente ventana computacional que el valor absoluto del vector es calculado en la operación gráfica:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.15 t

0 , 0.5 .. 12

a t( t )

8

v( t )

8. t

s( t )

4. t2

ρ

1000

8 v( t ) 2

a( t )

ρ

20

a( t ) a( t ) a( t )

010 1

0 0

2

4

6 t

8

a( 10 )

10

= 10.245

12

35

36

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Problema de ejemplo 1.16 Una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular experimenta una aceleración angular dada por a = –2v + 3t2 rad/s2. Si la partícula parte del reposo, determine la velocidad angular y la posición angular como funciones del tiempo.

Velocidad angular (rad/s), ángulo (rad)

25 20 15 10 v(t) 5 u (t) 0 –5 1

3 4 t v(t)rad/s y u(t)rad versus tiempo t(s)

0

2

5

SOLUCIÓN La aceleración angular se puede escribir como la ecuación diferencial lineal de primer orden en la ecuación (1.91): dv dt

3t2

2v

sujeta a la condición inicial v(0) = v0 = 0. El factor integrante es l(t) 2dt e1 e2t. Por tanto, la solución general es v(t)

2 2t 1 3t e dt e2t

C

3 2 Qt 2

1 R 2

t

Ce

2t

Como la velocidad angular es cero en t = 0, la constante es C = –3/4. De aquí, la velocidad angular es 3 2 Qt 2

v(t)

1 R 2

t

3 e 4

2t

La posición angular (en radianes) se puede obtener integrando v(t). Al hacer eso, obtenemos u(t)

t3 2

3t2 4

t 2

3 e 8

2t

C2

donde C2 es una constante de integración. Si u(0) = 0, el valor de esta constante es C2 = –3/8.

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Problema de ejemplo 1.17 Si el radio de la trayectoria circular en el problema de ejemplo 1.16 es 1.2 metros, determine las funciones generales del tiempo para las aceleraciones tangencial y normal, y la magnitud de la aceleración total. Grafique los resultados. Los cálculos numéricos y las gráficas requeridas pueden generarse a partir de la solución del problema de ejemplo 1.17, como se muestra en la siguiente ventana:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.17 r

1.2

t

0 , 0.1 .. 2

w( t)

3. 2 t 2

a ( t)

3. t

1

t

2

3 . 2.t e 4

3 . 2.t e 2

1 2

r .a ( t )

a t( t) a n ( t)

2 r .w( t )

a( t)

a t( t)

2

a n ( t)

2

20

15 a t( t ) a n ( t ) 10 a( t ) 5

0 0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

37

38

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Problema de ejemplo 1.18 Considere el vector de posición de la partícula, dado en metros: r(t)

t 2i

t 3k

3tj

Determine los vectores tangencial base, normal principal y binormal, y el radio de curvatura cuando el tiempo es igual a 2 segundos.

En el problema de ejemplo 1.18, el vector de posición fue diferenciado a mano y la posición, velocidad y la aceleración se ingresaron entonces como vectores después de que se definió al tiempo como un intervalo variable. Los cálculos vectoriales se ejecutan como función del tiempo usando Mathcad ya sea numérica o simbólicamente. La siguiente ventana muestra estos cálculos:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.18 t

0 , 0.1 . . 3 2. t

t2 3. t

r( t )

v( t )

e t( t )

v( t ) v( t )

a t( t )

a( t ). e t( t ) . e t( t ) a( t )

a( t )

6. t

3. t2

t3

a n( t )

3

2 0

a t( t )

v( t ). v( t ) a n( t )

ρ ( t)

a( 2 ) =

2 0 12

a t( 2 ) =

ρ ( 2 ) = 50.297

3.598 2.698 10.793

a n( 2 ) =

1.598 2.698 1.207

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

400

ρ( t )200

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

t

Problema de ejemplo 1.19 Considere la trayectoria del movimiento de una partícula, dada por u(t)

pt rad

r(t)

2 sen 3u(t) m

Trace la trayectoria del movimiento y determine la velocidad y la aceleración de la partícula.

3

Desplazamiento en y

2 1 0 –1 –2 –3 –3

–2

–1 0 1 Desplazamiento en x(t) (m)

2

3

xy = gráfica de movimiento

En el problema de ejemplo 1.19, el vector de posición está dado en coordenadas polares, pero, para visualizar el movimiento, se genera una gráfica para la posición en el plano x-y. En resumen, los componentes de la acele-

39

40

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

ración son calculados y trazados. La siguiente ventana muestra los cálculos y las gráficas:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.19

t

0 , 0.01 . . 2

θ t

π. t

x t

r t . cos θ t

r t

2. sin 3. θ t r t . sin θ t

y t

Trayectoria de la partícula

Posición en y (m)

2

1

y t 0

1

2 2

1

0 x t Posición en x (m)

1

2

La trayectoria de la partícula es una “rosa de tres pétalos”. Los componentes de la aceleración pueden ser calculados numéricamente y graficados como sigue:

ar t

d2 r t d t2

aθ t

2.

d r t dt

d θ t r t . dt .d θ t dt

2

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Aceleración (m(s*s))

Componentes polares de la aceleración 200 ar t 0

aq t

200 0

0.5

1 t Tiempo (s)

1.5

2

Problema de ejemplo 1.20 Una trayectoria espiral de una partícula está dada por las ecuaciones u(t)

pt rad

r(t)

e0.2u m

Trace la trayectoria en el espacio y determine las componentes r y u de la aceleración.

Desplazamiento en y (m)

5

0

–5

–10

–5

0

5

Desplazamiento en x(t) (m)

10

15

41

42

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.20

t

0 , 0.02 . . 4 π. t θ t x t

r t

r t . cos θ t

. e0.2 θ t

y t

r t . sin θ t Trayectoria de la partícula

Posición en y (m)

5

0 y t

5

10 10

5

0

5 x t Posición en x (m)

10

La partícula sale en espiral desde su posición inicial (1,0) con incremento en la aceleración. Los componentes polares de la aceleración son calculados numéricamente (observe que la segunda derivada del águlo es cero):

d r t dt

aθ t

2.

ar t

d2 r t d t2

.d θ t dt d r t . θ t dt

2

15

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Aceleración (m/s*s))

Componentes polares de la aceleración 100 ar t

0

aq t 100

200 0

1

2 t Tiempo (s)

3

4

Problema de ejemplo 1.22 Determine la trayectoria de movimiento de una partícula si su aceleración es ar = 0.5 m/s2 y au = 2 m/s2 y su velocidad inicial es vr = 1 m/s y vu = 0.5 m/s. En un tiempo igual a cero, la partícula tiene coordenadas iniciales r = 0.2 m y u = 0.

Desplazamiento en y (m)

6

4

2

0 –0.5

0.5 1 1.5 0 Desplazamiento en xn (m) Trayectoria del movimiento para los primeros 2 s

43

44

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Las dos ecuaciones diferenciales en este problema de ejemplo son acopladas y se resuelven simultáneamente, como se muestra en la siguiente ventana computacional:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.22 n

0 . . 2000

Δt

0.001

Defina la segunda derivada de las coordenadas polares como sigue:

ddr r , ω

r. ω

0.5

2

ddθ r , vr , ω

2. vr .

ω

2

r

r

Defina las condiciones iniciales:

vr0

1 0.2 2.5

r0 ω0

0

θ0

Establezca la integración de Euler de las dos ecuaciones diferenciales acopladas.

vr n rn

1

ωn

1

θn

1

xn

vrn

1

ddr rn , ω n . Δt rn

ωn

rn . cos θn

vrn . Δt

ddθ rn , vrn , ω n . Δt θn

ω n. Δt yn

rn . sin θn

En seguida se muestra la trayectoria de la partícula:

EFECTO DEL RUIDO EN LOS DATOS

Trayectoria de la partícula

Posición en y (m)

6

4 yn 2

0 0

0.5

1 xn Posición en x (m)

1.5

Problema de ejemplo 1.24

1000 mm/s

Una partícula se libera en el borde de un tazón hemisférico liso de radio 200 mm con una velocidad inicial en la dirección circunferencial de Ru˙ = 1000 mm/s, y se desliza hacia el tazón ante la influencia de la gravedad (g = 9810 mm/s2). Escriba las ecuaciones cinemáticas del movimiento y resuelva las ecuaciones diferenciales no lineales resultantes empleando software computacional.

200 mm

En este problema de ejemplo, las dos ecuaciones diferenciales son acopladas y se resuelven simultáneamente utilizando un vector de cuatro componentes. Las aceleraciones se pueden definir como funciones al igual que en una sola ecuación diferencial. La siguiente ventana computacional proporciona la solución con Mathcad y la gráfica de la trayectoria de la partícula:

z f R

q x

Ángulo f (rad)

3 2.5 2 1.5

0

2 4 6 Ángulo u (rad)

8

y

45

46

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.24 i

Δt

0 . . 9000

0.0001

Defina la segunda derivada de las coordenadas:

cos φ

ddθ dθ , dφ , φ

2. dθ . dφ .

ddφ dθ , dφ , φ

49.05. sin φ

sin φ dθ2 . sin φ . cos φ

Las condiciones iniciales son:

dθ0

5 0

θ0

0

dφ 0

π 2

φ0

La solución numérica de Euler para los primeros 9 segundos es:

dθ i θi dφ i φi

1

dθi

ddθ dθi , dφ i , φ i . Δt θ i dθi . Δt

dφ i

ddφ dθi , dφ i , φ i . Δt φ i dφ i. Δt

1 1 1

Construya una gráfica tridimensional dispersa del movimiento de la partícula como sigue:

R

0.2

xi

R. sin φ i . cos θ i zi

R. cos φ i

yi

R. sin φ i . sin θ i

MOVIMIENTO RELATIVO

Ángulo de elevación vs. ángulo circular 200

φ i 150 grado 100

50

0

100

200

300

400

500

θi grado

1.5 Movimiento relativo Mathcad puede ser usado para rastrear dos partículas diferentes y graficar sus trayectorias. Esto le permite a usted determinar dónde se intersectan las dos partículas y para examinar los cambios paramétricos.

Problema de ejemplo 1.25 Dos automóviles parten del reposo y se mueven al mismo tiempo, pero al inicio el automóvil A está 100 pies detrás del automóvil B. El automóvil A mantiene una aceleración constante de 8 pies/s2 y el automóvil B tiene una aceleración constante de 6 pies/s2. ¿Qué tiempo se requiere para que el automóvil A pase al automóvil B y qué distancia ha recorrido el automóvil A cuando pasa al automóvil B?

47

48

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

En el problema de ejemplo 1.25, el movimiento relativo entre los dos automóviles puede ser calculado y la posición de cada uno se obtiene a partir de una gráfica del movimiento absoluto de cada automóvil durante el periodo dado, como sigue:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.25 t

0 , 0.5 . . 15 2

x A( t )

t 8. 2

x B( t )

6.

t2 2

100

1000

500 x A( t ) x B( t ) 0

500 2

4

6

8 t

10

12

14

16

Problema de ejemplo 1.26 Una surfista rema su tabla contra las olas de llegada; la velocidad constante de su tabla relativa al agua es vB/W. La velocidad de la ola es senoidal con el tiempo y disminuye con la distancia desde la playa de acuerdo con la ecuación vW

Ve

cx

sen (vt)

Desplazamiento (m)

0

200 150

xi

100 50 0

0

20

40

60

80 100

Tiempo (s) Desplazamiento (m) vs. Tiempo (s)

MOVIMIENTO RELATIVO

donde V m/s es la velocidad máxima de onda, c m-1 es el decaimiento de la velocidad de onda y v s-1 es la frecuencia de onda. Determine la velocidad absoluta de la surfista y el tiempo requerido para que ella reme 150 m desde la playa, en términos de las cantidades v, c y v.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.26 La solución numérica de la ecuación diferencial es como sigue:

i

0 . . 5000

Δt

0.02

V

6

x0

10

xi

v BW

xi

1

V. e

1.5

c. x

i.

sin ω. i. Δt

ω

1 100

c

π 4

v BW . Δt

La siguiente gráfica muestra la posición en cualquier instante:

200

150

x

i

100

50

0 0

20

40

60 i . Δt

80

100

49

50

CAPÍTULO 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Problema de ejemplo 1.34 Un automóvil que parte del reposo acelera a una tasa constante de 10 m/s2, conduciendo en un círculo de radio 1000 m. Determine qué longitud y a qué distancia estará el automóvil antes que la componente normal de la aceleración iguale a la aceleración tangencial.

Este problema se resuelve analíticamente en el texto de Dinámica, pero la trayectoria de la partícula para los primeros 10 segundos puede ser graficada usando Mathcad, como se muestra en la siguiente ventana computacional:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.34 t

0 , 0.5 .. 10

s( t )

5. t2

θ( s )

s 1000

v( s )

d

s( t )

dt

s

s cos( θ( u ) ) d u

x( s )

sin( θ( u ) ) d u

y( s )

0

0

v( s ) 2 1000

a n( s ) 10

a n( s ) 5

0 0

200 400 600 s( t ) 200

y( s( t ) )100 0 0

100

200 300 x( s( t ) )

400

500

Problema de ejemplo 1.35 Resuelva el problema de ejemplo 1.34 para un automóvil siguiendo una trayectoria curva dada por u(s)

s s R sen Q 400 200

Aceleración normal (an(t)–10)

MOVIMIENTO RELATIVO

10 5 f(t) 0 –5 –10 0

2

4

6 t

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 1.35 t

0 , 0.1 . . 10

s ( t)

5. t2

θ ( t)

s ( t) . s ( t) sin 400 200

d s ( t) dt

v( t )

dθ ( t )

d dt

θ ( t)

dθ ( t ). v( t )

a n( t ) 20

10 0 a n( t ) 20

40 0

2

4

6

8

10

t

El tiempo cuando la aceleración normal es igual a 10 se puede determinar usando la función root como sigue:

t

5

root a n( t )

s ( 5.621 ) = 157.978

10 , t = 5.621

51

8

10

2 Cinemática de las partículas

En el capítulo 1, vimos cómo resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento cuando la aceleración está dada como una función de la velocidad, la posición y el tiempo. En este capítulo, investigaremos las relaciones causa y efecto, es decir, cómo determinar la aceleración a partir de las fuerzas que la producen.

Problema de ejemplo 2.1 El automóvil de 3000 lb de peso que se muestra se conduce por una pendiente de 30° cuando el conductor frena en una parada por pánico. Si el coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento es de 0.7, ¿qué tan lejos se deslizará el automóvil antes de detenerse si su velocidad inicial era de 45 mph?

En este problema, la aceleración y la distancia de frenado del automóvil sobre el plano inclinado son independientes de la masa del mismo. Por lo tanto, la aceleración depende sólo del ángulo de inclinación y el coeficiente de fricción cinética.

52

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

W

W

W y

Y

30° X

x F

N

F

N

F (a)

N

(b)

El problema se resuelve en el texto de Dinámica para un ángulo de inclinación de 30° y un coeficiente de fricción de 0.7, pero esto se puede comprender mejor si examinamos la dependencia de la aceleración en estos dos parámetros. La expresión general para la aceleración es a(u, m)

g(sen u

mcos u)

El término seno acelera el automóvil cuesta abajo, mientras que el segundo término proporciona la desaceleración del frenado. Para que el vehículo se detenga, la aceleración debe ser negativa, esto es, la tangente del ángulo de inclinación debe ser menor que el coeficiente de fricción cinética. En algunas ocasiones esto es útil para crear una gráfica de la superficie para mostrar la dependencia como una función de dos variables. En este caso, generamos una gráfica de la superficie para la aceleración en términos del ángulo de inclinación y del coeficiente de fricción cinética. Podemos variar el ángulo de 0° a 45° y el coeficiente de fricción desde 0.2 hasta 1.0. La gráfica es generada como sigue:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.1 Establezca el número de puntos de cada eje de la superficie graficada

N i g

20 0.. N 32.2

j

0.. N

53

54

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Defina el intervalo de puntos del ángulo de inclinación y del coeficiente de fricción cinética:

θi

π. i 80

μj

0.2

j 25

Defina la aceleración como una función del ángulo de inclinación y del coeficiente de fricción cinética:

a θ,μ

g. sin θ

μ . cos θ

Establezca una matriz para formar puntos en una gráfica tridimensional de superficie:

Mi , j

a θi , μ j La aceleración es negativa en todos los puntos debajo de esta línea: es posible frenar.

0

a

20

0 5

i 20

15

10 10

M Incremento en el i ángulo de inclinación 80

15 5

0

20 j

Incremento en el coeficiente de fricción cinética = 0.2 + j/25.

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

La línea en la gráfica de la superficie representa el cambio entre la aceleración positiva y la negativa. Para que el automóvil se detenga, la aceleración debe ser negativa. g:

32.2

s(u, v0, mk) :

v02 2 # g # (mk # cos(u)

sin(u))

Primero investiguemos la distancia de frenado al nivel del suelo con diferentes velocidades iniciales y diferentes coeficientes de fricción. u: v0 :

0 0, 5 .. 90 Distancia de frenado vs. velocidad inicial

Feet 1500

Ice

s (0, v0, 0.7) 1000 s (0, v0, 0.5) s (0, v0, 0.3) s (0, v0, 0.1) 500

Snow

Wet Dry 0

0

20

40

60

80

100

v0 ft/s

Las curvas son para diferentes coeficientes de fricción: 0.7, 0.5, 0.3 y 0.1 respectivamente.

55

56

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

W = mg

Problema de ejemplo 2.3 Considere una partícula de masa m cayendo en la atmósfera de la Tierra y suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la partícula. Determine la velocidad como una función del tiempo.

x

F = cv

Una solución analítica de la ecuación diferencial 1 m (g

a(v)

cv)

Con la condición inicial v(t = 0) = 0 se presenta en el libro de texto. Mathcad puede utilizarse para graficar la velocidad con el tiempo de la solución analítica. La ecuación para la velocidad es mg c Q1

v(t)

e

c m

tR

para los parámetros m = 5 slugs, c = 0.6 lbs·s/pie y g = 32.2 pies/s2. La ventana computacional para el problema de ejemplo 2.3 muestra los cálculos y la gráfica:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.3 Suponga que la masa es igual a 5 slugs y que el coeficiente de resistencia del aire es 0.6:

m

5

t

c

0.6

g

32.2

0 , 1 . . 40

v( t )

m. g . 1 c

e

5

10

c. t m

300

200 v( t ) 100

0 0

15

20 t

25

30

35

40

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

57

t x( t )

x( 30 ) = 5.875 103

v( t ) d t 0

La partícula alcanza una velocidad final de 268 pies/s o 183 mph (menudo consuelo para una persona cayendo sin paracaídas desde un avión). La velocidad final se obtiene después de caer 5875 pies o 1.1 millas.

Un mejor modelo de una partícula cayendo en la atmósfera de la Tierra considera el hecho de que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. La constante c, el coeficiente de resistencia aerodinámico, es proporcional al producto de la densidad del aire por el área transversal del objeto, y normalmente se determina de manera experimental. Determine la relación velocidad-tiempo y la velocidad terminal para este caso.

Velocidad (pies/s)

300

Problema de ejemplo 2.4

v(t) 200 100

0

30 40 50 t Velocidad (pies/s) vs. Tiempo (s)

La ecuación diferencial del movimiento para este problema se resuelve analíticamente en el libro de texto. Utilicemos Mathcad para graficar la velocidad de la partícula en orden para examinar su velocidad final. La velocidad como función del tiempo es g (1 k (1

v(t)

e e

2kt 2kt

) , donde k )

cg Am

La solución se grafica en la siguiente ventana para valores específicos de los parámetros:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.4 m

5

c

t

0 , 1 . . 40

k

g c. m

v( t )

g. 1 k 1

e e

2 . k. t 2 . k. t

0.002

g

32.2

10

20

58

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

300

200 v( t ) 100

0 0

10

20 t

30

40

t x( t )

v( t ) d t

x( 25 ) = 5.369 103

pies

0 La velocidad final es 284 pies/s y se alcanza 25 segundos después de caer 5369 pies. El parámetro c puede variarse en la hoja de Mathcad y la solución gráfica se actualiza inmediatamente. De esta manera usted puede estudiar fácilmente la variación del coeficiente de arrastre.

Problema de ejemplo 2.5 a) Compare la distancia que se puede lanzar una pelota cuando la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, con la distancia que se puede lanzar una pelota cuando se desprecia la resistencia del aire. La pelota tiene una velocidad inicial de v0 en un ángulo u con la horizontal. b) Escriba las ecuaciones del movimiento si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad y analice las dificultades al resolver las ecuaciones.

20

Altura (m)

15 10 5

y(t1)

0

y2(t2)

–5 0

1

2 3 4 5 Movimiento horizontal (m)

6

Gráfica de vuelo, en metros, muestra el efecto de la resistencia del aire

7

v0 q

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Las trayectorias con (x, y) y sin (x2, y2) resistencia del aire se comparan numéricamente en la siguiente ventana:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.5

m

0.5

g

9.81

t1

c

0.01

v0

θ

25

45. deg

0 , 0.1 . . 3.6 m. v . cos θ c 0

x t1

m2 . g

y t1 t2

2

c

. 1

m. . v sin θ c 0

c. t1 m

e

. 1

e

c. t1 m

g m. . t 1 c

0 , 0.1 . . 3.6

x2 t2

v 0. cos θ . t 2

y2 t2

v 0. sin θ . t 2

t 22 . g 2

20 15 y( t 1 ) y 2( t 2 )

10 5 0 5 0

10

20

30 40 x( t 1 ) , x 2 ( t 2 )

50

60

70

59

60

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

CONTINUACIÓN DEL PROBLEMA DE EJEMPLO 2.5: ACELERACIÓN PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA VELOCIDAD En este caso, la ecuación diferencial vectorial produce dos ecuaciones diferenciales acopladas no lineales, que deben resolverse numéricamente utilizando el método de Euler. La solución de estas ecuaciones diferenciales es la siguiente: N

234

i

0 .. N

Δt

0.01

θ

45. deg

g

32.2

c

0.0001

m

1 2. 32.2

V

60

x0

0

y0

0 . V sin( θ ) V. cos( θ )

vx0 vy0

xi

1

yi

1

vxi

1

vyi

1

c. vxi

vxi vyi

y234 =

m

.

vxi . Δt

yi

vyi . Δt

.

m

c. vyi

xi

( vxi ) 2

( vxi ) 2

0.103

( vyi ) 2 . Δt

( vyi ) 2 . Δt

g. Δt

x234 = 74.053

30 20 y

i

10 0 10 0

20

40 x i

60

80

La pelota viaja 74 pies contra una caída de 0.0001. La caída es proporcional al cuadrado de la velocidad.

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

x0

Problema de ejemplo 2.6 Para producir movimiento oscilatorio se utiliza un mecanismo de corredera y resorte. Si la longitud sin estirar del resorte, que tiene una constante del resorte k, es l, y la corredera de masa m se libera a partir del reposo en la posición que se muestra en el diagrama siguiente, escriba la ecuación de movimiento. Desprecie la masa del resorte. mg

ᐉ u

x

sen u =

N x ᐉ2 + x2

Movimiento de la corredera (m)

x

y

Fs

0.3 0.2 0.1 0

x(i)

–0.1 Senoidal

–0.2 –0.3 0

ᐉ cos u = 2 ᐉ + x2

0.5

1

1.5

2 2.5 i Δt Tiempo (s)

d 2x dt 2 . Esta solución, presentada en la ventana

La ecuación diferencial de movimiento para este problema es k 2 m C 2l

x2

lD

ᐉ

x

2l x2 computacional para el problema 2.6, es graficada junto con una oscilación armónica pura yi para propósitos de comparación. Observe que las dos soluciones son similares para un resorte largo constante. 2

3

3.5

4

61

62

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.6 i

0 . . 4000

Δt

0.001

m

1

l

v0

1.0

k

200

0.2. cos i.

yi

Δt .π 1.875

0 0.2

x0 vi

1

xi

1

vi

k.

l2

xi

xi

l .

2

l2

. Δt xi

2

vi . Δt

xi 0.3

0.2

0.1 x

i 0

y

i 0.1

0.2

0.3 0

0.5

1

1.5

2 i . Δt

2.5

3

3.5

4

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

z

Problema de ejemplo 2.7 Se aplica una fuerza constante P = – 500i – 300j a un bloque de 20 kg para empujarlo hacia arriba por una superficie inclinada. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de 0.3. Si el bloque parte del reposo del punto D, como se muestra en el diagrama adjunto, determine la posición del bloque después de 2 s.

D (3.5,5,0) A (7,0,0) x

En este problema, la aceleración es constante, ya que las fuerzas y el movimiento ascendente por la superficie inclinada son constantes. Sin embargo, éstos son muchos cálculos vectoriales que son manejados fácilmente con Mathcad. La siguiente ventana computacional muestra la solución para el problema de ejemplo 2.7:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.7 Todos los cálculos vectoriales se ejecutan utilizando Mathcad. Así tenemos

7 AB

n

p t

AC

AC AC

W

0.813 0.488 0.319

p

10 0 0.634

AB AB

500 300 0

P

p =

7

0 7

p n

n =

0.444 0.634

0 0 . 20 9.81

p n

p t =

p

P P

( p. n ) . n

W W

p n =

0.221 0.074 0.273

f

p t p t

f =

0.617 0.205 0.76

B (0,0,7)

0.592 0.414 0.592

C (0,10,0) P

y

63

64

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

3.5 5 0

r 0 t

0 , 0.1 . . 5 t2 2.44. . f 2

r( t )

r 0

r( 2 ) =

0.491 3.999 3.709

Problema de ejemplo 2.8 Si el sistema de poleas que se muestra en el dibujo adjunto se libera a partir del reposo, determine la velocidad del bloque C de 100 kg después que se ha movido 0.5 m. Desprecie la fricción y el peso de las poleas. mA

T1

T1

25 kg

mB

40 kg mC

100 kg

x P

T2

T2

C P B

A

A

C B

mA g

mB g

mC g T1

T1

En la siguiente ventana, se utiliza Mathcad para reducir el esfuerzo requerido para resolver el sistema de ecuaciones dado:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.8 La única dificultad para resolver este problema, es que debe resolverse un sistema de ecuaciones lineales de 4 × 4 para determinar las tres aceleraciones y la tensión en el cable. Mathcad puede usarse para resolver esta ecuaciones ya sea numérica o simbólicamente. Así tenemos

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

mA

25

1 0

1 mA 0 0

mB

2

0

0

1

1

mB 0 1 0 mC 2

40

mC

0

5.139

m A. g . m B. g m C. g

=

100

g

9.81

0.467 2.336 373.714

La solución simbólica se obtuvo primero, al pedir una evaluación simbólica. Entonces, la expresión anterior fue pedida y evaluada numéricamente usando el signo igual (=). La solución simbólica es la siguiente:

m A. m C 4. m A. m B 3. m B. m C m B. m C m A. m C 4. m A. m B 3. m A. m C m B. m C 4. m A. m B g. m B. m C m A. m C 4. m A. m B 4. m A. m B m B. m C m A. m C . g m B. m C m A. m C 4. m A. m B mC .m .g 4. m B. A m B. m C m A. m C 4. m A. m B g.

Problema de ejemplo 2.10 Un doble de 200 lb salta desde una plataforma a 20 pies y aterriza sobre un colchón para amortiguar su caída, como se representa en el dibujo adjunto. El colchón tiene una constante de resorte de 100 lb/pie y un amortiguamiento linealmente proporcional a la velocidad de 40 lb s/pie. Observe que el amortiguamiento sólo sucede cuando el colchón se está comprimiendo. Escriba la ecuación de movimiento para la caída del doble y trace su movimiento en el tiempo. Determine la fuerza ejercida durante el contacto con el colchón.

20 pies

65

66

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

30

Fuerza(lb)

Desplazamiento (pies)

1500

xi

20

1000

Sin contacto con el colchón

Fi

Sin contacto con el colchón

500

10

0

1

2

3

0

4

1

2

t Fuerza del colchón (lb) vs. Tiempo (s)

t Tiempo (s)

Mathcad utiliza el símbolo ≥(x) para la función escalón de Heaviside. Si el argumento es negativo, la función de Heaviside es cero, en cualquier otro caso es igual a la unidad. La siguiente ventana presenta la solución con Mathcad para el problema de ejemplo 2.10:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.10 Especifique las constantes conocidas como sigue:

g m

32.2 200 g k

100

c

40

Especifique el número de incrementos y el incremento del tiempo:

i Δt

0 . . 4000 0.001

El tiempo para cualquier incremento es:

ti

i. Δt

La fuerza del colchón está activa sólo cuando el doble hace contacto con éste y esto se logra usando la función de Heaviside con el argumento (x – 20). La segunda función de Heaviside se utiliza para asegurarnos de que el amortiguamiento del colchón ocurre sólo cuando la velocidad es positiva (hacia abajo). Por lo tanto, la aceleración es definida por la función

a v, x

g

Φ x

3

k. 20 . x m

20

c Φ v . .v m

4

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Especifique las condiciones iniciales:

v0

0

x0

0

La solución de la ecuación diferencial utilizando el método de Euler es

vi

1

xi

1

vi

a vi , xi . Δt v . Δt x i

i

La fuerza del colchón, calculada después de que la ecuación diferencial se resuelve numéricamente es:

20 . k. xi

Φ xi

Fi

20

Φ vi . c. vi

La posición y la fuerza del colchón pueden graficarse ahora como funciones del tiempo. Posición vertical 30

20

xi

10

0 0

1

2 ti Tiempo (s)

3

4

Fuerza del colchón durante el contacto 1500

1000 Fi 500

0 0

1

2 ti Tiempo (s)

3

4

67

68

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Observe que la fuerza del colchón es cero cuando el hombre se separa de éste; la fuerza se vuelve una constante de 200 lb. cuando el movimiento termina. Esto es, cuando el colchón soporta el peso del hombre.

Una solución numérica alternativa usando la técnica Runge-Kutta de cuarto orden con un incremento de tiempo grande puede ser utilizada como se muestra en la siguiente ventana:

SOLUCIÓN RUNGE-KUTTA: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.10 Sea y un vector cuya primera componente es la posición x y la segunda es la velocidad V. Defina los valores iniciales:

0

y

0

Defina una función D(t, y) tal que la primera componente sea la velocidad y la segunda sea la aceleración que previamente habíamos definido como una función:

D t, y

y1 a y1 , y0

La ecuación diferencial se resuelve usando la función rkfixed (y, t1,t2,número de puntos, D). Observe que se requieren 4000 pasos cuando se utiliza el método de Euler y sólo 400 cuando utilizamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Tenemos

Z

rkfixed y , 0 , 4 , 400 , D

La posición vertical se grafica ahora en contra del tiempo para 400 pasos. El tiempo es la primera columna en la matriz resultante Z y la posición es la segunda. Especificamos la columna a ingresar (Z y entonces presionamos (Cntr-6) para obtener el superíndice en la forma (Z). El superíndice requerido es ingresado en el marcador de posición y la barra espaciadora nos regresa a la línea matemática, donde se cierra el paréntesis y la tecla ”[“ es utilizada para colocar un subíndice en la variable. Tenemos

n

0 . . 400

La gráfica de la posición contra el tiempo es la siguiente:

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Posición vertical Posición (pies)

30

Z n

20

10

0 0

1

2 Z n Tiempo (s)

3

4

Observe que obtenemos la misma exactitud usando una décima parte de los pasos de tiempo. La solución está bien aproximada utilizando sólo 40 puntos, como en la gráfica siguiente. Sólo 40 puntos son especificados en la función rkfixed:

Z

rkfixed y , 0 , 4 , 40 , D

n

0 . . 40 Posición vertical

Posición (pies)

30

Z n

20

10

0 0

1

2 Z n Tiempo (s)

3

4

Problema de ejemplo 2.12 Determine la ecuación diferencial de movimiento para el mecanismo de resorte-corredera que se muestra en el diagrama adjunto. Desprecie la fricción entre la corredera y la barra curva, y la masa del resorte. La corredera de masa m se libera a partir del reposo cuando u = 30° y la longitud sin estirar del resorte con constante de resorte k es R.

69

70

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

4 mg Ángulo (rad)

q

e^ t

R q

3 2 1

Fs N

e^ n

ᐉ

b

b

R

0.2

0

q

0.4 i . t Tiempo (s)

R

Ángulo (rad) vs. Tiempo (s) 200

150 ui (grados)

100

50

0

0

0.2

0.4 i . t (s)

0.6

0.8

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.12 R

0.2

i

1

k

600

g

9.81

Δt

0.0001

0 . . 8000

ω

0

θ

π 6

i

i

ωi

1

θ

1

i

m

ωi

g. sin θ i R

θ k. . i 2 cos m 2 θi

ωi . Δt

1 . sin

θ

i

2

. Δt

0.6

0.8

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Ángulo en grados vs. Tiempo en segundos 200

150 θi grados 100

50

0

0

0.2

0.4 i.Δt Segundos

0.6

0.8

q

Problema de ejemplo 2.13

L

Determine las ecuaciones de movimiento para un péndulo simple plano compuesto de una masa m en el extremo de una cuerda de longitud L. El péndulo se libera a partir del reposo con un ángulo inicial u0. Resuelva las ecuaciones lineales y no lineales.

T

m

q mg

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.13 g

9.81

L

2

Una solución lineal para los primeros seis segundos es la siguiente con t1 como el tiempo y u1 como el ángulo en radianes:

tl

0 , 0.001 . . 6 π θ0 3 θl tl

θ 0. cos

g. tl L

71

72

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Una solución no lineal para los primeros seis segundos:

i Δt

0 . . 6000 0.001

ti

i. Δt

g.

α θ

L

sin θ

ω0

0

ωi

1

θ0

θ0

θi

1

ωi θi

α θ i . Δt ω . Δt i

Compare las dos soluciones (la línea continua es la solución lineal, la línea punteada es la solución no lineal) para un ángulo inicial de 60° en la siguiente gráfica: Posición angular vs. Tiempo

Posición angular (rad)

2

1 θl tl qi

0

1

2 0

1

2

3 tl , ti

4

5

Tiempo (s)

Revisando las gráficas del movimiento vemos que el periodo de oscilación es diferente para un ángulo inicial grande. Suposiciones de ángulos pequeños están restringidas a no mayores de 10° y para este caso, las soluciones concuerdan.

Problema de ejemplo 2.14 Un conductor quiere probar la conducción de un vehículo en una trayectoria espiral que se agudiza, con una velocidad constante sobre las planicies de Utah. Si el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el suelo

6

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

es 0.5 y el conductor de prueba conduce a 60 pies/s, determine el punto en el cual el automóvil se sale de la curva si la curva está dada por u(s)

1

Q

s 2 R 1000

1200

800 600 400 y(s)

Fn

200 0 200 –600 –400 –200 0 x(s) Posición x (pies)

400

El vehículo sale de la trayectoria a 2236 pies 1200

1000

Desplazamiento en y (pies)

Posición y (pies)

1000

800

600

400 y(s) 200

0 –600

200 0 x(s) Desplazamiento en x (pies)

–400

–200

400

73

74

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Mathcad se puede utilizar para generar una gráfica de la trayectoria en espiral del vehículo en el Problema de ejemplo 2.14. Después de definir la dependencia del ángulo en el parámetro s de la trayectoria, podemos trazar las coordenadas x-y de la trayectoria del movimiento como una gráfica x-y, como en la siguiente ventana computacional:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.14 s

0 , 100 .. 2300

θ( s )

s

1

2

1000 s

s cos( θ( η ) ) d η

x( s )

sin( θ( η ) ) d η

y( s )

0

0

1500

1000 y( s ) 500

0 500

0 x( s )

500

Problema de ejemplo 2.15 Un niño con una masa de 20 kg se desliza hacia abajo por un tobogán de 3 m de longitud en el patio de juegos. La curva del tobogán se puede expresar en forma paramétrica como u(s)

60° c1

s 2 Q R d 3

Si la longitud del tobogán es de 1 m y el niño parte con velocidad cero, determine la velocidad del niño en el fondo del tobogán. El coeficiente de fricción cinética entre su ropa y la superficie del tobogán es de 0.2.

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

W 60°

^

t

^ n

s

f N s

q(s)

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.15 Utilizamos el método de Euler para resolver la ecuación diferencial no lineal. La longitud del tobogán es de 3 m. Tomamos N incrementos de tiempo y los ajustamos de tal modo que la distancia total recorrida sea 3 m. Tenemos

N

965

i

0.. N

g

μ

9.81

Δt

0.2

m

20

0.001

Observe que la masa no se considera en las ecuaciones. El ángulo y su derivada pueden ser escritos en términos de s. Sea v un punto para la magnitud de la velocidad ds/dt para cualquier posición. La solución numérica ahora puede ser escrita como sigue:

v0 s0 θ

0

dθ

0 vi

1

si

1

dθ i

0 60. deg

0

vi θi

0

1 1

g. sin θ

i

μ. g. cos θ si

dθ . vi

i

i

vi . Δt

60. deg . 1 2. 60. deg .

si 3 si 32

2

2

. Δt

75

76

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

6

s965 = 3.002 v965 = 4.418

4 v

i 2

0 0

0.5

1

1.5

2 s

2.5

3

3.5

i

El tiempo para que el niño alcance el final del tobogán es 0.965 s, con el valor de N ajustado durante la solución de tal manera que la distancia total a lo largo del tobogán sea 3 m. La velocidad del niño al final del tobogán es de 4.418 m/s. Este problema puede resolverse analíticamente si la fricción es ignorada. En este caso la velocidad es de 6.03 m/s. Fs

Problema de ejemplo 2.17

q

Una masa de 2 kg sujeta a un resorte se libera a partir del reposo en un ángulo u = 30° y con el resorte sin estirar. Si la longitud sin estirar del resorte es 300 mm y la constante del resorte es 1600 N/m, determine el movimiento de la masa.

k

q m

mg

Punto de partida

0

Posición vertical (m)

50

ui

–50 0

0.5

1 1.5 ti tiempo (s)

Ángulo (grados) vs. Tiempo (s)

2

0.05 0 0.3 – yi –0.05 –0.1 –0.2 –0.15 –0.1 –0.05 0 0.05 xi x posición (m)

0.1

0.15

xy = gráfica de la posición de la masa en metros

0.2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.17 m 2 i 0.. N r0 v0

k

1600

g

9.81

Δt

0.0005

N

2400

0.3 0 . 30 deg

θ0

0

ω0

Tenemos ahora agrupadas numéricamente a las constantes y a los valores iniciales de la posición y la velocidad. Definamos las aceleraciones como funciones de la velocidad y la posición como sigue:

a r, v, θ , ω

r. ω

α r, v, θ , ω

1

ri

1

vi

1

θi

1

ωi

1

2

g. sin θ

.

r ri vi

m

. r

0.3

2. v. ω

vi. Δt

a ri , vi , θ i , ω i . Δt θi

ωi

k

g. cos θ

ω i. Δt

α ri , vi , θ i , ω i . Δt

xi

ri . sin θ i

yi

Posición vertical (m) + arriba

Se puede visualizar el movimiento de la masa graficando la posición x-y de la partícula sobre un ciclo del movimiento: x-y trayectoria de la masa 0.25

yi

0.3

0.35 0.2

0.15

0.1

0.05

0 0.05 0.1 xi Posición horizontal (m) + hacia la derecha

0.15

0.2

ri . cos θ i

77

78

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

Problema de ejemplo 2.22 Un péndulo esférico se pone en movimiento cuando f = 30°, con una velocidad inicial en la dirección u de 0.5 m/s. Si el péndulo tiene una longitud de 2 m y una masa de 3 kg, determine su movimiento para los primeros 5 s.

Observe la cresta de la solución no lineal

T

Ángulo f (rad)

0.6

mg

0.4 fi 0.2

0

1

2 3 4 ti tiempo (s) Ángulo f (rad) vs. Tiempo (s)

5

0.5

Posición y (m)

0

yi

–0.5

Punto de partida

–1

–1.5 –1

–0.5

0 0.5 1 Posición x (m) Vista superior del movimiento (plano xy)

1.5

En la siguiente ventana computacional utilizamos Mathcad para resolver las ecuaciones diferenciales para los dos ángulos esféricos y entonces graficamos los resultados:

2m y

x f

z m

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.22 i

0 .. 10000

Δt

0.0005 0 df0 π f0 6

vθ 0

R

2

g

9.81

i . Δt

ti

du 0

0.25

u0

0

0.5 2 2 cos( φi ) . sin( φ 0 ) . vθ 0

dfi

1

fi

1

R2 . sin( φ i ) 2

g. R

sin( φ i ) . Δt

dφ i . Δ t

φi

0.6

0.4 φ

i 0.2

0

0

1

2

3 t

dui

1

ui

1

xi

dui

2. dφ i. dθi . cos( φi )

R. sin( φ i ) . cos( θi )

sin( φi ) θi

4

5

i

. Δt

dθi . Δ t yi

R. sin( φ i ) . sin( θi )

dφi

79

80

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

0.5

0 yi

0.5

1

1.5 1

0.5

0

0.5 x

1

1.5

i

Problema de ejemplo 2.23 El carro de una montaña rusa pesa 1000 kg y se mueve a lo largo de una pista circular que varía en elevación de una manera senoidal como se muestra en la figura. La trayectoria de 2000 m de la montaña rusa está dada por ps 1000

u(s)

b(s)

ps p sen Q R rad 2 500

3000

N (s) z (s)

Elevación (m)

Determine la fuerza normal ejercida sobre los pasajeros si el carro de la montaña rusa se mueve a una velocidad constante de 15 m/s. 400

200 z(s)

500

1500 1000 s Elevación a lo largo de la vía

0

300

+++++++++++++++++++++ ++++ +++++++ +++ + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ +++++ ++++++++ +++++

200

++++ ++++++++ +++++ ++ + + + + + + + + +

y (s)

2000

100

0

300 200 100

–100 –200

–100

0 100 200 x (s) Vista del plano (xy) de la vía

0 –100

0 100 200

0 100

2000 1000 0

500 1000 1500 2000 s

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 2.23 s

0 , 10 . . 2000 π. s θ( s ) 1000

π. π. s sin 2 500

β( s )

s x( s )

cos θ ζ

. cos β ζ

dζ

sin θ ζ

. cos β ζ

dζ

sin β ζ

dζ

0 s y( s ) 0 s z( s ) 0

300

200

y( s )

100

0

100 200

100

0 x( s )

100

200

400

z( s )

200

0 0

500

1000 s

1500

2000

81

82

CAPÍTULO 2

CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS

2

dθ

π 1000

dβ ( s )

2

dθ . cos β ( s )

N( s )

π . π. s cos 1000 500

2

2

dβ ( s ) . 152 . 1000

3000

2000 N( s ) z( s ) 1000

0 0

500

1000 s

1500

2000

3 Primeras integrales de movimiento trabajo-energía e impulso-cantidad de movimiento

El capítulo 3 cubre los temas de trabajo-energía e impulso-cantidad de movimiento, los cuales son las primeras integrales de movimiento de un objeto, pero la solución de la ecuación diferencial no requiere en general de software computacional. Sin embargo, estos son algunos problemas cuyas soluciones se facilitan al utilizar software.

Problemas de impacto Los problemas de impacto involucran la solución de ecuaciones simultáneas que pueden resolverse a mano, pero el software computacional reduce la probabilidad de errores aritméticos. El problema de la reconstrucción del accidente mostrado en el Problema de ejemplo 3.11 puede ser cargado en un programa y desarrollado para llegar a una solución general.

83

84

CAPÍTULO 3 PRIMERAS INTEGRALES DE MOVIMIENTO TRABAJO-ENERGÍA E IMPULSO-CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Problema de ejemplo 3.11 La policía investiga un accidente que trata con la colisión de frente entre dos automóviles. Se identifica el punto de impacto y se miden las marcas de deslizamiento antes y después de la colisión para cada vehículo. En el diagrama adjunto se muestra el diagrama de la policía de la escena del choque. El peso del vehículo A es de 4000 lb y el del vehículo B es de 3200 lb. Pruebas sobre el pavimento demuestran que el coeficiente de fricción cinética es de 0.7 para los dos vehículos, y la evaluación del daño conduce a una estimación de un coeficiente de restitución de 0.5. Como recreador de accidentes, determine las velocidades iniciales de los vehículos. Reporte de accidente # 307921

Fecha: 5/6/94, Clima: atardecer seco, Hora: 9:20 pm, Ubicación: camino descuidado 120 pies A 30 pies

Punto de impacto 50 pies

B 150 pies

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 3.11 Sea Si la matriz distancia de deslizamiento inicial y Sf el deslizamiento final desde el punto de impacto. Las masas de los vehículos pueden designarse como mA y mB, μ será el coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento y e será el coeficiente de restitución. La codificación en Mathcad es la siguiente:

PROBLEMAS DE IMPACTO

SiA e

120

SiB μ

0.5 v Apost

150 0.7

g

30

SfB

32.2

SfA

2. μ. g.

v Bpost

SfA

85

50

WA

4000

WB

3600

SfB

v Apost = 36.775

v Bpost = 47.476

v Apre

WA

v Bpre

e

WB

1

.

W B. v Bpost

v Apost

e

v Apre = 82.951

W A. v Apost

v Bpost

v Bpre = 85.552

v Ai

2. μ. g. SiA

v Apre 2

v Bi

2. μ. g. SiB

v Bpre 2

v Ai = 110.862

v Bi = 118.664

Las condiciones se pueden cambiar fácilmente en el programa. Por ejemplo, si el accidente ocurriera durante la lluvia, el coeficiente de fricción sería 0.5.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 3.11, CONTINUACIÓN Sea Si la matriz distancia de deslizamiento inicial y Sf el deslizamiento final desde el punto de impacto. Las masas de los vehículos pueden designarse como mA y mB, μ será el coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento y e será el coeficiente de restitución. La solución vía Mathcad es la siguiente: SiA e

120

SiB μ

0.5 v Apost v Bpost

150

SfA

0.5

g

30

SfB

32.2

SfA

2. μ. g.

WA

4000

WB

3600

SfB

v Apost = 31.081 v Apre

WA

v Bpre

e

v Bpost = 40.125 WB e

1

.

W A. v Apost v Apost

W B. v Bpost v Bpost

50

86

CAPÍTULO 3 PRIMERAS INTEGRALES DE MOVIMIENTO TRABAJO-ENERGÍA E IMPULSO-CANTIDAD DE MOVIMIENTO

v Apre = 70.106

v Bpre = 72.305

v Ai

2. μ. g. SiA

v Apre 2

v Bi

2. μ. g. SiB

v Bpre 2

v Ai = 93.696

v Bi = 100.289

En este tipo de análisis se estima el coeficiente de restitución y la sensibilidad del análisis; para el valor de e vemos que ha cambiado a 0.8. La fricción cinética está dada por el valor de 0.7. Como el coeficiente de restitución se ha incrementado, se pierde menos energía durante el impacto y como se conoce la energía después del mismo, un valor alto del coeficiente de restitución resulta en una energía cinética inicial baja y por tanto, en bajas velocidades.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 3.11, CONTINUACIÓN Sea Si la matriz distancia de deslizamiento inicial y Sf el deslizamiento final desde el punto de impacto. Las masas de los vehículos pueden designarse como mA y mB, μ será el coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y el pavimento y e será el coeficiente de restitución. La codificación en Mathcad para este problema es la siguiente: SiA e

120

SiB μ

0.8 v Apost

SfA

0.7

2. μ. g.

v Bpost

150 g

30

SfB

32.2

SfA

WA

4000

WB

3600

SfB

v Apost = 36.775 v Apre

WA

v Bpre

e

v Bpost = 47.476 W A. v Apost WB 1 . v Apost e

v Apre = 53.019

v Bpre = 52.295

v Ai

2. μ. g. SiA

v Apre 2

v Bi

2. μ. g. SiB

v Bpre 2

v Ai = 90.668

v Bi = 97.451

W B. v Bpost v Bpost

50

4 Sistemas de partículas

El capítulo 4 del libro de texto introduce la dinámica de los sistemas de partículas y establece los fundamentos de la dinámica para todos los cuerpos rígidos. El software computacional se utiliza en problemas de esta área sólo cuando éste reduce la carga de cálculos numéricos.

Problema de ejemplo 4.2 Una partícula de 2 kg explota y se divide en tres fragmentos iguales cuando tiene una velocidad V 10i m s.. Si se observa que los fragmentos viajan en las direcciones siguientes, con respecto a la partícula después de la explosión, determine la velocidad de cada fragmento y la energía perdida en la explosión: Va

Va (0.577 i

0.577 j

0.577 k)

Vb

Vb (0.333 i

0.667 j

0.667 k)

Vc

Vc ( 0.667 i

0.667 j

0.333 k)

87

88

CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE PARTÍCULAS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 4.2 M

2

M 3

m

0.577 ea

0.333 eb

0.577

ec

0.667

0.577

0.667

0.667

m. e a

m. e b

m. e c

m. e

m. e

m. e

0

C

0.667

a1

m. e a

2

0

0.333

0

b1

m. e b

M. 10 Li

c1

0 0

m. e c

2

2

Va C 1. L i

Vb Vc

V a = 20.791

Vc=

V b = 6.007

23.993

Problema de ejemplo 4.3 Tres partículas con masas iguales en un sistema cerrado —es decir, se conservan las cantidades de movimiento lineal y angular— tienen vectores de posición y velocidad medidos, en metros y metros/segundo, respectivamente, en el tiempo t1: 3iN

rA

4jN

2kN

20iN

vA

15jN

20kN

rB

Ni

3jN

3kN

vB

5iN

10jN

10kN

rC

2iN

jN

5kN

vC

10iN

5jN

10kN

Al tiempo t2, sólo se puede obtener la velocidad y la posición de dos de las masas: rA

5iN

rB

Ni

2jN 2jN

3kN 2kN

vA

15iN

vB

5iN

20jN 10jN

25kN 5kN

SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Determine la velocidad de la partícula C en un punto en la tangente a la trayectoria en el tiempo t2.

VENTANA COMPUTACIONAL: SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE EJEMPLO 4.3 3 r A1

20

4

v A1

2

15

v C1

1 2 2

v B2

5 10 5

v A1

v B1

v C1

v C2

Lm

v A2

v B2

v C2 =

15 20 10

v A1

r B1

Hm=

185 45 150

H C2

r A1

Hm

r A2

v A2

H C2 =

145 30 60

v B1

r A2

v B1

r B2

r C1

v B2

2 3

v C1

10 10

5

5 10

Lm

Hm

3

5

3

10

1 5

r B2

r B1

20

2 r C1

1

15 v A2

20 25

89

90

CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE PARTÍCULAS

p C2

v C2

H C2

v C2 . v C2 1.241 p C2 =

3.241 4.621

5 Cinemática de cuerpos rígidos

Problema de ejemplo 5.8 La ecuación diferencial de movimiento para un disco girando con respecto a su eje está dada por a

0.2 v2

4u

sen (t)

Velocidad angular (rad/s) Ángulo (rad)

Muchos de los problemas en este capítulo pueden resolverse usando Mathcad ya sea para reducir la dificultad en los cálculos o para visualizar el movimiento graficando la posición, velocidad o aceleración de un cuerpo rígido.

0.5 0 –0.5 –1

0

1

2 t Tiempo (s)

Determine la velocidad angular y la posición angular como funciones del tiempo si las condiciones iniciales son u0 = 0 y v0 = 0.1.

91

u1

v1

3

4

92

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.8 Defina el incremento y el número de incrementos del tiempo:

Δt

0.001

T

4000

Defina el rango de la variable i:

i

0.. T

El tiempo para cualquier incremento se define como

i. Δt

ti

La aceleración angular es:

0.2. ω

α ω,θ,t

2

4. θ

sin t

Los valores iniciales de la velocidad y la posición angular son

ω0

0.1 0

θ0 ωi

1

θi

1

ωi

α ω i , θ i , ti . Δt θ i ω i. Δt

Velocidad angular (rad/s) Posición angular (rad/s)

La siguiente gráfica muestra la velocidad angular y la posición contra el tiempo: Velocidad angular y posición 0.5

vi

0

ui 0.5

1 0

1

2 ti Tiempo (s)

3

4

CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

Problema de ejemplo 5.14

y q

Considere el ensamblaje de una rueda automotriz ilustrado en la figura adjunta. Si la rueda gira sin deslizarse y la velocidad del automóvil es v hacia la derecha en el instante que se muestra en la figura, determine la velocidad del punto B en el neumático. Deje la solución en términos del radio r, el ángulo u y la velocidad v.

r

v C

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.14 Grafique la velocidad del punto D (un punto en la parte alta de la rueda cuando el tiempo es igual a cero). La rueda gira con una velocidad constante de 100 pulg/s sin deslizarse y tiene un radio de 10 pulg. Analice el movimiento para intervalos de 1 a 0.5 s. El código y la gráfica asociados son los siguientes:

t

0 , 0.05 . . 1 100

v0

0 0

ω0

10

0

10. sin ω 0. t

0 100 10

ω

v

t

r t

ω

r t

v0

10. 1

cos ω 0. t 0

B x

93

94

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

Componentes de la velocidad del punto D y valor absoluto

Velocidad (pulg/s)

300

200 vDt 0 vDt 1

100

vDt 0

100 0

0.2

0.4

0.6 t Tiempo (s)

0.8

1

Las tres gráficas son los componentes x y y la magnitud de la velocidad del punto D.

a = 20 pulg b = 40 pulg

Problema de ejemplo 5.15

B

La rueda compuesta en la figura adjunta gira sin deslizarse sobre el eje interior de la rueda que tiene un radio de 20 pulg. Si la velocidad angular de la rueda es de 4 rad/s en sentido contrario al horario, determine la velocidad del punto B.

a

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.15 30. deg

θ

40. sin( θ ) 20 40. cos( θ )

r

0 ω

ω

0 4

0

vB

30°

218.564

r vB=

80

v B = 232.745

0

La velocidad de cualquier punto en cualquier tiempo, se calcula fácilmente.

b

C

CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

y

Problema de ejemplo 5.16

rB

En el problema de ejemplo 5.9, un cuerpo rígido que se mueve en movimiento plano tuvo las velocidades y posiciones de dos puntos, A y B, especificados como sigue: 1.60iN 2.00iN

rA rB vB

x

1.50jN m 1.80jN m

Determinamos que la velocidad angular es igual a 2 rad/s en el instante de tiempo considerado en el problema de ejemplo. Si las aceleraciones lineales de los puntos A y B son 3iN

2jN m s2 1.1iN 1.2jN m s2

aA aB

determine la aceleración angular del cuerpo rígido en este instante.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.16 2 rB

1.8

1.6 rA

0

aB

2

α

aB

r BA

0 2

0

r BA

1.2

rB

rA

v BA

0

aA

ω

a BA

r BA

v BA r BA. r BA

r CA

r BA. r BA

0 ω =

0

0.8

1.1

0

a BA

2.4 vB

0

0

3 aA

3 vA

1.5

0 α =

0 1

ω

0 r CA =

1.5 0

vA ω. ω

vB

A

z

3.00iN m s 2.40iN 0.80jN m s

vA

B

rA

vA

95

96

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

5.10 Análisis de movimiento plano en términos de un parámetro Muchos problemas en cinemática pueden formularse en términos de parámetros. Considere la barra que se desliza hacia abajo en un plano inclinado como se muestra en la figura 5.32. El ángulo u que la barra forma con la superficie horizontal puede utilizarse como un parámetro para caracterizar el movimiento.

VENTANA COMPUTACIONAL: SECCIÓN 5.10 El problema de la barra deslizante puede resolverse y la solución graficarse por medio de Mathcad o de otro software comercial. Como ejemplo, suponga que la aceleración en un punto A es de 2 metros por segundo al cuadrado y que la longitud de la barra es de 9 m. El ángulo b es igual a 60° o bien π/3. El tiempo para que la barra se deslice hacia debajo de la superficie es 3 s. Por lo tanto, a continuación examinaremos la solución para t = 0 hasta 3 s: t a l

0 , 0.2 .. 3 2 9 π

β

3

θ( t ) ω( t )

sin( β ) asin a. t2 . 2. l

β d

θ( t )

dt 0 1.5 0.5

1 θ( t )

ω( t )

0.5

1

0 1.5 0

0.5 0

1

2 t

3

4

Ángulo en radianes vs. Tiempo

1

2 t

3

4

Velocidad angular vs. Tiempo

ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO

Problema de ejemplo 5.21 Desarrolle una solución general para el movimiento del émbolo que se muestra en el diagrama siguiente si el disco gira en sentido contrario al horario con una razón constante v. y

B x w A

R

A

R q

b D

C

B q

C

b

D

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.21 Una solución general para el problema del émbolo se mostró en el libro de texto de Dinámica. Como solución numérica considere los primeros 5 s del movimiento, con los siguientes valores: t

0 , 0.1 .. 5

R

6

L

ω

18

2

La velocidad angular de la barra de conexión es determinada de la siguiente manera: ω BC ( t )

cos( ω . t )

R. ω . L.

1

R2 .

sin( ω . t ) 2 L2

La velocidad del émbolo es:

v C( t )

R . ω . sin( ω . t )

cos( ω . t )

R 2 . ω . sin( ω . t ) . L.

1

R.

sin( ω . t ) 2 L

97

98

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

15

10

5 ω BC ( t )

0 v C( t ) 5

10

15 0

1

2

3

4

5

t

Problema de ejemplo 5.23 En la figura adjunta, una barra con longitud L está fija a una rueda con radio r en el punto P. Si la rueda gira a una velocidad angular constante v sin deslizarse, desarrolle una expresión general para la velocidad del punto Q con el tiempo. y w x

L

P

A

Q

P

u

x L

r

b Q

C

A

u

r r

b

u

r

r (1 + sen u )

y

C

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.23 La solución general de la rueda que gira con una barra fija se proporciona en el libro de texto. Se debe seleccionar la longitud de la barra para que sea mayor al diámetro de la rueda para satisfacer la restricción que indica que el final Q de la barra siempre debe estar en contacto con el suelo. Se utilizan los siguientes valores en el ejemplo: r

200 mm

L

800 mm

ω

2. π

Se analizará un periodo de 2 s con incrementos de 0.01 s: t

0 , 0.01 .. 2

rad/s

ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO

La tangente de beta aparece en las ecuaciones y puede escribirse como tβ( t )

r. L

sin( ω . t )

1 1

r 2. (1 L

sin( ω . t )2 )

2. sin( ω . t )

El ángulo beta se calcula β( t )

atan ( tβ( t ) )

La velocidad del punto Q es vQ( t )

r. ω . ( 1

sin( ω . t )

( cos( ω . t ) ). tβ( t ) )

1

0

β( t ) 0.5

vQ( t )

0

2000

4000 0

1

2

3

0

1

t

2

3

t

Gráfica del ángulo beta para dos revoluciones de la rueda

Velocidad del punto Q

y

Problema de ejemplo 5.24 B

La posición, las velocidades lineales y las aceleraciones de tres puntos no colineales en un cuerpo rígido se dan en la tabla siguiente: A

A B C

x 100 300 220

r mm y 100 300 180

z 0 0 0

x 600 200 440

v mm s y 400 0 160

z 100 0 40

x 850 200 420

a mm s 2 y 1200 200 760

z 240 0 140

C

z

x

Determine la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo.

99

100

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.24 0

C

0

0

0

20

20

20

0

0

0

8

0

0

12

8

12

0

T C .C

ω

1

4.885 10 ω =

40

20

. C T. v

40 10

v rel

16 24 6

rel

15

0.5 2

La matriz [C] es la misma para la ecuación de la aceleración. 20 20 q rel

4 8 12 2 0.1

α =

0.1 1

α

T C .C

1

. C T. q

rel

ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO

z

Problema de ejemplo 5.25 A

Considere el cuerpo rígido, que se muestra en la figura en la página siguiente, que tiene la posición y la velocidad de tres puntos dadas como sigue: rA

2iN

jN

3kN m

rB

3jN

kN m

rC

Ni

2jN

2kN m

vA

3iN

2jN

kN m s

vB

19iN

10jN

5kN m s

vC

23iN

15jN

5kN m s

B

x

y C

Determine la velocidad angular del cuerpo.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.25 0

C

ω

4

4

0

4

2

0

5

5

0

3

1

T C .C

16

4

12

2 0

v rel

3

15

1

5

0 1

. C T. v

4 20

rel

3 ω =

4 0

Problema de ejemplo 5.26 El mecanismo que se muestra en la figura siguiente convierte al movimiento rotacional en movimiento de traslación. Desarrolle una relación entre la velocidad angular de la rueda y la velocidad lineal del collarín en el eje. Las conexiones en la barra AB en los puntos A y B son de bola y receptáculo.

101

102

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

y

d

D

A

B L

r

q

C x

z

y

d

q

A L

z

r

B

C x

Sea r la distancia desde el centro del disco C hasta el receptáculo B. Suponga que el disco gira con una velocidad angular constante v.

ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.26 La velocidad y la aceleración del collarín A para los primeros 2 s se determina de la siguiente manera: t

ω

0 , 0.05 .. 2

10

L

21

d

9

r

6

r. d. sin( ω . t ). ω

v( t ) L2

d

a( t )

r2

d2

2. r. d. cos( ω . t )

v( t )

dt 50

v( t )

0

50 0

0.5

1

1.5

2

2.5

1.5

2

2.5

t

500

a( t )

0

500 0

0.5

1 t

103

104

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

Problema de ejemplo 5.31 A

Un dispositivo de movimiento intermitente denominado mecanismo Geneva o Malta, se muestra en la figura adjunta. Este mecanismo permite el giro intermitente del disco A conforme el disco B gira a una razón constante. La rueda Geneva, disco A, está dispuesta con al menos tres ranuras igualmente espaciadas. El disco B tiene un perno que ingresa en la ranura radial y causa que la rueda Geneva gire una fracción de una revolución. Cuando el perno sale de la ranura, la rueda Geneva permanecerá en reposo hasta que el perno ingrese a la ranura siguiente. Una rueda Geneva necesita un mínimo de tres ranuras para que funcione, pero el número máximo de ranuras está limitado sólo por el tamaño de la rueda. En este caso, el disco A girará ¼ de vuelta por cada rotación completa del disco B. Esta información permite un método de conteo de rotaciones y es útil para muchas máquinas. Si el disco B gira en sentido contrario al horario con una razón constante v, determine la velocidad angular y la aceleración angular del disco A cuando se activa el perno P. Determine la velocidad del perno con respecto al disco A durante la activación.

B R

冑2R

x

y P

q

X

冑2R

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 5.31 Solución del mecanismo Geneva La velocidad del perno respecto a la rueda Geneva y la velocidad angular de la misma, puede ser calculada y graficada para el ángulo theta, el cual varía de 135° hasta 225°.

θ

R

0.75. π , 0.80. π .. 1.25. π

ω

10 t( θ )

vx( θ )

R.

ω

2. sin( θ ). 3

vβ( θ )

ω.

2. cos( θ )

1 3

2.

2. cos( θ )

2.

2. cos( θ )

2 θ ω

Y

ANÁLISIS DE MOVIMIENTO PLANO EN TÉRMINOS DE UN PARÁMETRO

40

0

20 vx ( θ )

2 v β( θ )

0

4

20 40

6 2

2.5

3

3.5

4

2

2.5

3

θ

d

aβ( θ )

3.5

4

θ

vβ( θ ). ω

dθ d

ax( θ )

vx( θ ). ω

dθ 40

200

20 100

aβ( θ ) 0

ax ( θ ) 0

20 40

100 2

2.5

3 θ

3.5

4

2

2.5

3 θ

3.5

4

105

6 Dinámica de cuerpos rígidos en movimiento plano

En este capítulo, Mathcad es utilizado inicialmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En estos casos, la aceleración es una constante y por tanto, las ecuaciones diferenciales resultantes pueden resolverse analíticamente, por lo que la solución numérica no es necesaria. Conforme avancemos hacia movimientos más complejos, muchas de las ecuaciones diferenciales serán no lineales y no se pueden resolver analíticamente. El uso de software computacional nos permite resolver estos problemas completamente. Anteriormente, tales problemas eran resueltos sólo de manera cuasiestática, es decir, para ”la posición o instante mostrado”. Usted se ha esforzado para obtener soluciones completas a problemas de dinámica plana y entonces graficar los resultados de modo tal que ha desarrollado una comprensión completa del movimiento y del efecto de diferentes parámetros. Esta comprensión es fundamental para un ingeniero que diseña sistemas dinámicos. Antes de la disponibilidad del software computacional, un gran número de problemas de dinámica no se resolvían o si lo eran, la solución requería de complejos programas de computadora.

106

DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

Problema de ejemplo 6.1 Considere una persona que está intentando empujar una caja grande por el piso, como se muestra en el diagrama adjunto. Determine el movimiento resultante de la caja cuando se conocen su tamaño y peso. Desarrolle una aproximación general para cualquier fuerza aplicada, en cualquier posición, y para un coeficiente de fricción estática y cinética particular entre la caja y el piso. w

W

P

y

h

cm

x

c

f d N

En el primero de los dos casos, el de no movimiento y deslizamiento de la caja, no requiere de Mathcad para una solución completa. Sin embargo, cuando la caja se vuelca, se puede obtener una solución simbólica utilizando Mathcad, como se muestra en la ventana computacional 6.1.

VENTANA COMPUTACIONAL 6.1: CAJA VOLCADA ⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢w ⎢2 ⎣

−1 0 −

h 2

⎤ Wh ⎥ ⎡ ⎤ g 2 ⎥ ⎡ N⎤ ⎢ − P ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ww ⎥ ⎢ f ⎥ = ⎢W ⎥ g 2 ⎥ ⎢⎣ α ⎥⎦ ⎢ h ⎥ ⎥ ⎢ P(c − )⎥ 1 W 2 − (w + h2 )⎥ 2 ⎦ ⎣ 12 g ⎦

Multiplicando la inversa de la matriz de coeficientes por el miembro derecho de la ecuación, tenemos

107

108

CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

0

1

W. h g 2

1

0

W. w g 2

w 2

h 2

1 . ( 4. P. w2

1

P W

.

P. c

1 . W. 2 (w 12 g 1 . ( W. w2 4

4

1

h2 )

4. W. h2 2

(w

4. P. h2 2

h 2

6. w. P. c ) 2

h ) 3. w. h. W

6. h. P. c )

2

(w h ) 3 . . ( w. W 2. P. c ) g 2 ( W. ( w2 h2 ) )

cm

Problema de ejemplo 6.3 Determine la aceleración máxima que puede obtener un automóvil cuando sube por una colina con pendiente u si el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el camino es μs. El centro de masa del automóvil está hacia el frente del automóvil, debido al peso del motor. (Consulte el diagrama adjunto.) Determine la aceleración máxima si el automóvil es un vehículo (a) con impulsión en los cuatro neumáticos, (b) de impulsión trasera y (c) de impulsión delantera.

h d1

W y cm

x

h fF

d1

d2

NF

Las tres ecuaciones para las fuerzas normales en los neumáticos y la aceleración se pueden resolver usando el operador simbólico de Mathcad, como se muestra en la siguiente ventana computacional:

q

d2

NR

fR q

DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.3A μs

μs

1

1 μ s. h ) ( d 2

( d1

d1 ) μ s. h ) .

( d1

Nb =

( d2

d1 )

g. sin( θ )

a

W. sin( θ ) . W. cos( θ ) 0

0

μ s. h )

( d2

1

0 μ s. h )

( d2

Na

W g

. W. cos( θ )

W. cos( θ )

g. μ s. cos( θ )

Observe que se utilizó un procesador simbólico para obtener la solución y para evitar los detalles algebraicos. Observe también que la aceleración no depende del peso del automóvil o de la posición del centro de masa del mismo. A nivel del suelo, la aceleración máxima es a

msg

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.3B 0

μs

1

1

d1 ( d2

W g 0

μ s. h )

0

( d 2 μ s. h ) . W. cos( θ ) ( d 2 μ s. h d 1 ) d1

=

. W. cos( θ ) μ s. h d 1 ) sin( θ ). μ s. h sin( θ ). d 1 μ s. d 1. cos( θ ) ) ( d 2 μ s. h d 1 )

( d2 a

W. sin( θ ) . W. cos( θ )

0

Na Nb

1

g.

( sin( θ ). d 2

109

110

CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

En este caso, la aceleración depende de la ubicación del centro de masa. A nivel del suelo, la aceleración es a

gms d1 ms h d2)

(d1

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.3C μs

0

W g

1

1

0

d2

0

μ s. h )

( d1

1

W. sin( θ ) . W. cos( θ ) 0 d2

. W. cos( θ ) μ s. h ) ( d 1 μ s. h ) . W. cos( θ ) ( d 2 d 1 μ s. h ) ( sin( θ ). d 2 sin( θ ). d 1 sin( θ ). μ s. h μ s. d 2. cos( θ ) ) g. ( d 2 d 1 μ s. h )

Na

( d2

Nb

=

a

d1

A nivel del suelo, la aceleración es: a

d1

ms ggd2 msh d2

Problema de ejemplo 6.4 El péndulo uniforme en el diagrama adjunto se libera desde una posición horizontal. Determine el movimiento del péndulo. El movimiento se retrasa por la fricción en el perno, la cual siempre se opone al movimiento. Cf

Rn

L t=0 q

^

n Rt

^

t

mg

t=t

DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

VENTANA COMPUTACIONAL. PROBLEMA DE EJEMPLO 6.4 Suponga valores de la longitud del péndulo y del momento de fricción y agrupe los incrementos de tiempo para una integración numérica. Recuerde que un incremento grande del tiempo, disminuye la exactitud de la integración de la ecuación diferencial no lineal. Para resolverla, proceda del siguiente modo:

Δt

0.01

L

i

1

g Mf

0 .. 2000 θ0

0

ω0

0 θi

θi

1

ωi

1

ωi

3. g . 2 L

9.81 .8

ω i . Δt

cos( θi ). Δt

M f.

ωi ωi

. Δt

La siguiente gráfica corresponde al ángulo del péndulo (en grados) para nueve ciclos bajo la influencia de la fricción con el soporte. El periodo del péndulo es aproximadamente 2 segundos.

200

θ

i deg

100 90

0 0

5

10 i . Δt

15

20

111

112

CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

Las oscilaciones del péndulo son amortiguadas después de 17 s, debido a la fricción con el pivote.

Problema de ejemplo 6.5 Considere una escalera uniforme con peso W que se desliza cuando está apoyada contra un edificio:

A

NA y fA

q

W q +

x

z fB NB

Las ecuaciones de movimiento y las de restricción, pueden formularse como un sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas, como se vio en el libro de texto. Con el uso de Mathcad estas ecuaciones se pueden resolver numéricamente para una fricción y fuerzas normales particulares, como la aceleración lineal y angular, en el instante en el que la escalera se libera desde el reposo.

B

DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.5 W

50

l

12

g

θ

32.2

35. deg

μk

μk

0

1

0

0

0

0

0

μk

0

1

0

0

0

1

0

0

1

W g

0

0

0

1

1

0

0

W g

0

0

0

W. l2 12. g

C 1. cos( θ ) 2

1. sin( θ ) 2

1. sin( θ ) 2

1. cos( θ ) 2

0

0

0

0

1

0

1. cos( θ ) 2

0

0

0

0

0

1

1. sin( θ ) 2

0 0 0 L

W 0 0

NA

0

NB fA fB

C 1. L

a cmx a cmy α N A = 9.764

0.2

N B = 47.922

a cmx = 0.116

f A = 1.953

a cmy =

0.081

f B = 9.584

α = 0.282

113

114

CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

Problema de ejemplo 6.6

r2

Un yo-yo se enrolla jalándolo por el piso aplicando una fuerza constante P, como se ilustra en el diagrama siguiente. Si el radio interno del yo-yo es r1, el radio externo es r2, y el radio de giro es k, determine el coeficiente de fricción mínimo para que el yo-yo se enrolle por la cuerda sin deslizarse. y

mg

+

P

x z

f N

Las dos ecuaciones para la fuerza de fricción y la aceleración pueden resolverse usando el procesador simbólico de Mathcad como sigue:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.6 mr2 a mk2 a

f r2f

P Pr1

Resolviendo por medio del procesador simbólico tenemos los siguientes resultados:

f

m. r 2

1 = r2

m. k2

1

.

P . P r1

P. = P.

k2 k2

r 2. r 1 r 22

(r2

r1)

m. k2

r 22

Para el yo-yo que se enrolla sin deslizarse, f ≤ μsmg, por tanto, ms

2 P (k mg (k2

r2r1) . r22)

r1

P

DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

R

Problema de ejemplo 6.8 q

En el problema de ejemplo 6.7, se hace rodar una bola hacia arriba por un plano inclinado. Si ahora la bola rueda hacia arriba por una superficie curva (consulte el diagrama siguiente), las ecuaciones diferenciales serán no lineales. En este caso, se utilizan coordenadas normales y tangenciales para formular el problema.

^

100

V0

r

3

0.5 i

g

μk

9.81

q

V0 z

Δt

0.2

0.01

0 .. 50

0

θ0

V0

dθ0

R

θi

1

dθi

1

θi dθi

g. ( sin( θi ) R

dθi . Δt μ k. ( dθi )2 . Δt

μ k. cos( θi ) )

3

0.02

2.5 R. dθ i

θ

i

0.01

2 1.5

0 0

0.2

0.4

0.6

0

i . Δt

ω0

1

vi

R. dθi

5. μ k . g. cos( θ ) i 2. r

0.4 i . Δt

0 ωi

0.2

R. ( dθi )2 . Δt

ωi

t

^

n

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.8 R

115

0.6

116

CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

R. θ43 = 1.108 t

0.43

4

r. ω 43 = 2.124

r. ω i R. dθ i

R. dθ43 = 2.126

2

0 0

0.2

0.4

0.6

i . Δt

El radio de curvatura de la superficie para este ejemplo, se fijó en 100 m y la solución es aproximadamente como la de la bola rueda y se desliza en una superficie plana.

Problema de ejemplo 6.9 Considere la escalera que se desliza hacia abajo por una pared en el problema de ejemplo 6.5 y resuelva la ecuación diferencial resultante para la posición angular como sigue:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.9 W θ0 ω0

50

l

12

Δt

0 0

ω0

0

θ0

θ

i

1

i

1

θ

μk

32.2

0.2

35. deg

ω

ω

g

ω

3 i

2

μ k2 . l

0.01

.

1

N

114

μ k2 . g. sin θ i θ

i

i

2. μ k. g. cos θ i ω . Δt i

0 .. N

l 2. μ k. . ω 2 . Δt i 2

DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

3 θ

2

i

ω

i

1

0 0

0.2

0.4

0.6 i . Δt

0.8

1

1.2

θ

114

4

ω

114

= 1.571 = 2.551

ω

i2

0 0.6

0.8

1

1.2

θ

1.4

1.6

i

El problema de ejemplo 6.9 puede resolverse despreciando el efecto de la fricción. En la siguiente ventana se muestra la solución:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.9 DESPRECIANDO LA FRICCIÓN W

50

l

θ0

1. deg

ω0

0

12

Δt ω

0

ω0

0

θ0

θ

ω

i

1

i

1

θ

ω

g

3 i

2

μ k2 . l

0.01

.

1

μk

32.2

N

264

μ k2 . g. sin θ i θ

i

0.0

i

2. μ k. g. cos θ i ω . Δt i

0 .. N

l 2. μ k. . ω 2 . Δt i 2

117

118

CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

4 θ

i

ω

2

i

0 0

0.5

1

1.5 i . Δt

2

2.5

3

θ

= 1.571

264

4

ω

ω

264

= 2.841

2

i

0 0

0.5

1

1.5

2

θ

i

Problema de ejemplo 6.11 Una rueda gira hacia abajo por una inclinación sin deslizarse. Se enrolla una cuerda, que está sujeta a una masa, alrededor del exterior de la rueda, como se muestra en el diagrama siguiente. Conforme la rueda gira hacia abajo por la inclinación, la masa se jala hacia la rueda. El sistema estará en un estado de aceleración en régimen permanente hasta que la masa se jale por completo. Determine la velocidad angular de la rueda. y mw g

y

z B

z r

r

x

x C

T f

q q

b

b N

mA

mA g

DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

El sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que surge puede resolverse usando el operador Given-Find en Mathcad como sigue:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 6.11 Ingrese los siguientes valores numéricos y las suposiciones iniciales para utilizarse en el programa Given-Find: mw

40

g

9.81

T

90

a cm

r

0.4

β

0.5 α

2

mA

f 5

10

150 a Ax

2.5

1. m w. r2 2

I zz

Sean m w. g. sin( θ ) N T. r

f

T. sin( β )

m w. g. cos( θ ) f. r

m w. a cm 0

T. cos( β ) 0

I zz . α 0

T. sin( β )

m A. g. sin( θ )

m A. a Ax 0

T. cos( β )

m A. g. cos( θ )

m A. a Ay 0

a cm

r. α 0

a Ax

a cm

a Ay

r. α. cos( β ) 0

r. α. sin( β ) 0

θ

30 . deg

N

400

a Ay

2

119

120

CAPÍTULO 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN MOVIMIENTO PLANO

T f N β Find( T , f , N , β, a cm , a Ax, a Ay , α )

a cm a Ax a Ay α T = 109.96 β=

0.327

α = 5.064

a cm = 2.026

f = 150.472

N = 443.97

a Ax = 1.375

a Ay = 1.918

7 Potencia, trabajo, energía, impulso y cantidad de movimiento de un cuerpo rígido

El capítulo 7 del texto de Dinámica planteó problemas de dinámica plana utilizando los principios de trabajo-energía e impulso-cantidad de movimiento, los que se basan en la primera integral de movimiento. En general, los problemas no requieren de la solución de ecuaciones diferenciales. El software computacional puede usarse para graficar muchas de las soluciones y de esta manera comprender mucho mejor el problema. El problema de ejemplo 7.9 tenía el contexto de cómo un programa genera la reconstrucción de accidentes para las velocidades iniciales, la orientación del vehículo, el vector normal al área dañada y el coeficiente de restitución. Cuando se usan programas comerciales para la reconstrucción de accidentes, el ingeniero debe variar los parámetros hasta que él o ella tengan la mejor forma para los datos disponibles. En este ejemplo suponemos que los datos previos al impacto se conocen o son estimados y que podemos calcular los datos posteriores al mismo. En muchas reconstrucciones de accidentes, la ubicación final de los vehículos puede medirse exactamente en la escena del accidente y el ingeniero puede trabajar en retroceso para establecer los datos después del impacto. El análisis en la ventana computacional es usado para determinar los datos previos al impacto y así establecer las velocidades iniciales de los vehículos involucrados.

121

122

CAPÍTULO 7 POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

Problema de ejemplo 7.9

^

En el diagrama siguiente, el vehículo Pontiac (vehículo B), mientras espera hacer una vuelta a la izquierda se impacta con el vehículo Toyota (vehículo A). Determine la dinámica posterior al impacto si, mientras reconstruye el impacto, usted basa su análisis en los datos siguientes: los testigos reportan que el Pontiac estaba parado esperando hacer una vuelta a la izquierda y la velocidad del Toyota era de 50 mph al tiempo del impacto—es decir, el Toyota no frenó antes del impacto. Esto se podría comprobar por la ausencia de marcas de deslizamiento. La dirección del vector velocidad de A se supone de –10° con respecto a la horizontal. La dirección del vector normal n se supone de 5° desde la horizontal. Esta dirección se puede obtener examinando el daño en los dos vehículos. El coeficiente de restitución se obtiene examinando el daño en los vehículos y a partir de la posición de los vehículos después de finalizar el accidente. Los valores determinados para los diversos parámetros son mA

82.3 lb-s2 pie

mB

87.6 lb-s2 pie

IA

1,686 lb-pie-s2

IB

1,795 lb-pie-s2

rP A vA

6iN

2jN pies

73.3(cos10°iN

vA nN

cos5°iN

e

0.8

7iN

rP B sen10°jN) pies s

n

y

vB

0

vB

0

2.2jN pies

sen5°jN

En una reconstrucción real, el ingeniero debe comprobar la sensibilidad de la solución para cualquier variación en la dirección del vector unitario n, las velocidades y el coeficiente de restitución. Las cuatro ecuaciones para la componente normal posterior al impacto de la velocidad y la velocidad angular se resuelven empleando notación matricial.

x

rP/BB

A rP/A vA

POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 7.9 Las condiciones iniciales son las siguientes:

IA

5. deg

βn

10. deg

θA

1686 6 0

vB

v At

cos( β n ) n

v A. t

v An

sin( β n )

0 0 1

k

0

k. ( r PA

XA

v A. n

n)

0

73.3. sin( θ A ) 0

vA

0

0 0 0

ω B cos( θ A )

2.2

r PB

87.6

mB

0

7

2

r PA

ω A

1795

IB

82.3

mA

XB

v Bt

v B. t

k. ( r PB

n)

t

k

e

0.8

n

v Bn

v B. n

Las velocidades posteriores al impacto están designadas por el subíndice p:

v Apn

mA

mB

v Bpn

X A. m A

0

ω Ap

0

X B. m B

ω Bp

1

1

v Apn. n

v At. t

v Ap

v Ap =

13.398 17.872

1

0

0

IA

0

0

IB

XA XB

m A. v An m B. v Bn X A. m A. v An I A. ω A . X B. m B. v Bn I B. ω B e. ( v An X A. ω A v Bn X B. ω B )

v Bp

v Bpn. n

v Bp =

0 ω Ap =

4.233

55.232 4.832 0

ω Bp =

4.279

v Bt. t

123

124

CAPÍTULO 7 POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 7.9, ANÁLISIS POSTERIOR AL IMPACTO DEL VEHÍCULO A Primero especifique las constantes y las condiciones iniciales del vehículo:

m L1 β

82.3 2.52

atan

ω0

4.2

X0

0

i

I

μ

1686

3.22

2.5 3.2

L3 α

Vx0

atan 13.4

Y0

0.7 2.52

W1

Vy0 θ

0.3

W3

17.9 10. deg

0

Δt

32.2

4.82

2.5 4.8

0

0 . . 2000

g

0.001

Exprese la velocidad de cada neumático en función de la velocidad lineal del centro de masa, la velocidad angular del automóvil y el vector de posición del centro de masa del neumático:

v1x Vx , Vy , ω , θ

Vx

ω. L 1. sin θ

β

v1y Vx , Vy , ω , θ

Vy

ω. L 1. cos θ

β

v2x Vx , Vy , ω , θ

Vx

ω. L 1. sin θ

β

v2y Vx , Vy , ω , θ

Vy

ω. L 1. cos θ

β

v3x Vx , Vy , ω , θ

Vx

ω. L 3. sin α

θ

v3y Vx , Vy , ω , θ

Vy

ω. L 3. cos α

θ

v4x Vx , Vy , ω , θ

Vx

ω. L 3. sin α

θ

v4y Vx , Vy , ω , θ

Vy

ω. L 3. cos α

θ

Ahora, utilice estas velocidades para especificar los cuatro momentos y los cuatro vectores de fuerza que actúan en los neumáticos:

0.2

POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

F1x Vx , Vy , ω , θ

g. μ. W 1.

v1x Vx , Vy , ω , θ v1x Vx , Vy , ω , θ

F1y Vx , Vy , ω , θ

g. μ. W 1.

g. μ. W 1.

2

g. μ. W 1.

g. μ. W 3.

g. μ. W 3.

g. μ. W 3.

2

g. μ. W 1.

2

v2y Vx , Vy , ω , θ

2

v3y Vx , Vy , ω , θ

2

v3y Vx , Vy , ω , θ 2

v3y Vx , Vy , ω , θ

2

v4x Vx , Vy , ω , θ v4x Vx , Vy , ω , θ

F4y Vx , Vy , ω , θ

2

v2y Vx , Vy , ω , θ

v3x Vx , Vy , ω , θ

v3x Vx , Vy , ω , θ F4x Vx , Vy , ω , θ

2

v2y Vx , Vy , ω , θ

v3x Vx , Vy , ω , θ F3y Vx , Vy , ω , θ

v1y Vx , Vy , ω , θ

2

v2x Vx , Vy , ω , θ F3x Vx , Vy , ω , θ

2

v2x Vx , Vy , ω , θ v2x Vx , Vy , ω , θ

F2y Vx , Vy , ω , θ

v1y Vx , Vy , ω , θ

v1y Vx , Vy , ω , θ v1x Vx , Vy , ω , θ

F2x Vx , Vy , ω , θ

2

2

v4y Vx , Vy , ω , θ

2

v4y Vx , Vy , ω , θ v4x Vx , Vy , ω , θ

2

v4y Vx , Vy , ω , θ

2

125

126

CAPÍTULO 7 POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

L 12 . ω L 1. cos θ β . Vy L 1. sin θ β . Vx m g. μ. . W 1. I 2 2 v1x Vx , Vy , ω , θ v1y Vx , Vy , ω , θ

M1 Vx , Vy , ω , θ

L 12 . ω L 1. cos θ β . Vy L 1. sin θ β . Vx m. W 1. I 2 2 v2x Vx , Vy , ω , θ v2y Vx , Vy , ω , θ

M2 Vx , Vy , ω , θ

g. μ.

M3 Vx , Vy , ω , θ

m g. μ. . W 3. I

m g. μ. . W 3. I

M4 Vx , Vy , ω , θ

Vxi

F1x Vxi , Vyi , ω , θ

Vyi

F1y Vxi , Vyi , ωi , θ i

L 32 . ω

L 3. cos α

v3x Vx , Vy , ω , θ L 32 . ω

L 3. cos α

v4x Vx , Vy , ω , θ F2x Vxi , Vyi , ω , θ

1

Vyi

1

Xi

1

Xi

Vxi. Δt

Yi

1

ωi

Yi

Vyi. Δt

1

θ

i

ωi

i

M1 Vxi , Vyi , ωi , θ i

i

i

θ

i

θ . Vy 2

L 3. sin α

i

M3 Vxi , Vyi , ωi , θi

i

M4 Vxi , Vyi , ωi , θi

ω . Δt i

ωi 2 0 2 1

1.5

i . Δt

Velocidad angular vs. Tiempo en segundos

i

F4y Vxi , Vyi , ωi , θi

4

0.5

2

F4x Vxi , Vyi , ω , θ

6

0

2

θ . Vx

v4y Vx , Vy , ω , θ

F3y Vxi , Vyi , ωi , θ i

M2 Vxi , Vyi , ωi , θi

θ . Vx

v3y Vx , Vy , ω , θ

i

F2y Vxi , Vyi , ωi , θi

1

2

L 3. sin α

F3x Vxi , Vyi , ω , θ

Vxi

i

θ . Vy

2

. Δt . Δt

. Δt

POTENCIA, TRABAJO, ENERGÍA, IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

20

10 Vx

i 0

Vy

i 10

20 0

0.5

1

1.5

2

i . Δt

Velocidad del centro de masa vs. Tiempo en segundos 3

2 θi 1 0

1 0

0.5

1

1.5

2

i . Δt

Velocidad angular en radianes vs. Tiempo en segundos 0

5 Y i 10

15 0

5 X i

10

Vista del plano de desplazamiento del centro de gravedad del automóvil

127

8 Dinámica tridimensional de cuerpos rígidos El capítulo 8 introduce el primer planteamiento tridimensional completo de la dinámica de los cuerpos rígidos. La mayor dificultad en la solución de problemas tridimensionales de dinámica es que las rotaciones angulares finitas no son vectores y sí una secuencia dependiente. Por tanto, antes de desarrollar las ecuaciones diferenciales de movimiento, debe usted examinar los métodos para describir la posición angular de un cuerpo en tres dimensiones. Esto se conduce mejor con una matriz de transformación ortogonal de un sistema coordenado de orientación a otro.

Problema de ejemplo 8.2 Desarrolle una matriz de transformación correspondiente a una rotación a con respecto al eje x seguida por una rotación b con respecto al eje y´.

Mathcad puede utilizarse para desarrollar simbólicamente el producto de las dos matrices en este problema para formar una matriz simple que represente la rotación, primero alrededor del eje x y después alrededor del eje y. El procedimiento es el siguiente:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 8.2 Las dos matrices de transformación son ingresadas simbólicamente en Mathcad en el orden correcto y el programa calcula simbólicamente la matriz producto requerida de la siguiente manera:

cos β 0

0 1

sin β 0

sin β

0

cos β

0

0

cos β

. 0

cos α

sin α

0

0

sin α

cos α

sin β

1

128

sin β . sin α cos α cos β . sin α

sin β . cos α sin α cos β . cos α

DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS

Problema de ejemplo 8.3 Considere la matriz de transformación dada en el problema 8.8: 0.177 0.884 0.433

0.918 0.306 0.25

0.353 0.353 0.866

[R]

Determine los ángulos de Euler empleando la ecuación (8.34).

En este problema, nos han dado la matriz numérica que representa tres transformaciones sucesivas, primero sobre el eje x, luego sobre el eje y, y por último sobre el eje z. Primero utilizaremos Mathcad para formar simbólicamente las tres transformaciones sobre ángulos no especificados. Entonces, podemos determinar numéricamente ángulos particulares. Esto se realiza en la siguiente ventana:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 8.3, ÁNGULOS DE EULER cos ψ

sin ψ

0

1

0

0

sin ψ

cos ψ

0 .

0

cos θ

sin θ

0

0

1

0

sin θ

cos θ

cos ψ . cos φ sin ψ . cos φ

sin ψ . cos θ . sin φ cos ψ . cos θ . sin φ

.

cos φ

sin φ

0

sin φ

cos φ

0

0

0

1

cos ψ . sin φ sin ψ . sin φ

sin θ . sin φ

sin ψ . cos θ . cos φ cos ψ . cos θ . cos φ

sin θ . cos φ

Ahora utilicemos el algoritmo Given–Find para resolver los siguientes ángulos:

θ

60. deg

60. deg

φ

Se tiene

cos θ = 0.433 sin θ . sin φ = 0.866 sin θ . cos φ = 0.25 sin ψ . sin θ = 0.177 cos ψ . sin θ = 0.884 1.29 Se tiene φ , θ , ψ =

1.123 0.198

ψ

0. deg

sin ψ . sin θ cos ψ . sin θ cos θ

129

130

CAPÍTULO 8 DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS

1.29 deg 1.123

= 73.912

= 64.343 deg 0.198 = 11.345 deg

Segundo conjunto de ángulos del Problema de ejemplo 8.3

θ φ ψ

60. deg 200. deg 180. deg

Cambiemos las consideraciones iniciales ya que tenemos ángulos grandes.

Se tiene:

cos θ = 0.433 sin θ . sin φ = 0.866 sin θ . cos φ = 0.25 sin ψ . sin θ = 0.177 cos ψ . sin θ = 0.884 Determine φ , θ , ψ = 4.431 = 253.878 deg

4.431 1.123 2.944 1.123 = 64.343 deg

2.944 = 168.679 deg

La solución concuerda con la que se presentó en el libro de texto, pero con menos trabajo numérico realizado. Resolvimos un conjunto sobredeterminado de ecuaciones algebraicas para los tres ángulos.

Problema de ejemplo 8.4 Un anillo homogéneo con masa m y radio R está soportado por un collarín liso como se muestra en la figura PE8.4a. Si el collarín está sujeto a un eje vertical que se rota con velocidad angular constante, determine el ángulo b que alcanzará el anillo. Determine la velocidad angular mínima para que el anillo deje la posición vertical.

SOLUCIÓN Pondremos el sistema coordenado al anillo con x dirigida hacia fuera hacia el plano del anillo y y hacia arriba en el collarín, como se muestra en la figura PE8.4b. Los momentos principales de inercia de masa con respecto al punto A son:

DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS

IxxA

mR2

mR2

IyyA

1 mR2 2

IzzA

1 mR2 2

2mR2 w

mR2

3 mR2 2

La velocidad angular del anillo en el sistema coordenado del anillo es y

vx

v sen b

vy

v cos b # b

vz

x z

El único momento es con respecto al eje z y por tanto, de la ecuación (8.54) obtenemos Mz

# Izvz

( Iy

Ix)vyvx

(a)

3 mR2v2 sen b cos b 2

$ 3 mR2 b 2

mgR sen b

La ecuación diferencial de movimiento se transforma en $ b

Q

b

v2 cos b R sen b

2 g 3R

cos 1 Q

x

y

Ax

0

La posición estable que alcanzará el anillo se puede determinar examinando cuando b = 0: b

Ay w

b

R sin b

2g R 3Rv2

mg (b)

Si el anillo debe permanecer en la posición vertical, entonces b v

0 2g 3R

Una solución numérica de la ecuación diferencial no lineal puede obtenerse para R = 0.2 m, v = 2π rad/s si el anillo se libera con un ángulo inicial b0 = 10 grados.

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 8.4 g:

bs :

9.81 acos a

R: 2#g b 3 # # v2

0.2

y

v:

2#p

131

132

CAPÍTULO 8 DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS

bs deg

34.075

a

dd b ( b ) : n: t:

2# g 3 R

v2 # cos( b )b # sin( b )

0..5000 0.001 n#

tn : db 0 d: c b0

t

0 c d 30 deg dd b ( b n) # t d bn c d bn dbn # t

db n 1 c d: bn 1

Ángulo (grados) vs. Tiempo (s) 40

βn 35 deg βs deg 30

25

0

1

2

3

4

5

tn

8.7 Ecuaciones de movimiento de Euler Mathcad puede utilizarse para resolver numéricamente las ecuaciones de Euler de movimiento para casos particulares. Considere una solución numérica para el trompo pesado simétrico estudiado en la sección 8.7.3 del texto de Dinámica.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL TROMPO PESADO i: t1 :

0 .. 2000 i#

t

t: m:

0.5

0.001 I:

0.02

IXX :

10

3

IZZ :

1.2 # 10

3

g:

9.81

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE EULER

du0 u0 df0 : f0 dc0 c0

0 10 # deg 3 0 100 0

a:

IZZ # [df0 # cos(u0) IXX

b:

df0 # sin(u0)2

ddu(u, df):

dc0]

a # cossu0 d

1 # [m # g # l # sin(u) IXX

IXX # df2 # sin(u) # cos(u)

dd[ui, dfi] # t ui dui # t b a # cos[ui] sin[ui] fi dfi # t # b cos[ui] a # [ui]2 IXX # a 2 IZZ sin[ui] ci dci # t dui

Ángulo de nutación (grados)

dui ui dfi fi dci ci

1 1 1

:

1 1 1

Ángulo de nutación 30 qi

20

(grados) 10

0 0

1

ti Tiempo (s)

2

IXX # sin(u) # df # a]

133

134

CAPÍTULO 8 DINÁMICA TRIDIMENSIONAL DE CUERPOS RÍGIDOS

Ángulo de precesión (grados)

b a

0.989

1000 fi 500 (grados)

0 0

1

2

ti Tiempo (s)

Las propiedades geométricas del trompo pueden cambiarse para obtener diferentes movimientos de la siguiente manera: m:

1

I:

IXX :

0.6 # 10

3

IZZ :

0

du0 u0 df0 V: F f0 dc0 c0 b a

0.03

10 # deg F

3 V 0 120 0

0.987

Ángulo de nutación (grados)

Ángulo de nutación 60 qi

40

(grados) 20

0 0

0.5

ti Tiempo (s)

1

0.2 # 10

3

g:

9.81

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE EULER

Ángulo de precesión (grados)

1000

f

i 500

(grados)

0 0

0.5

1

ti Tiempo (s)

El movimiento también puede ser observado en una gráfica tridimensional dispersa, si es necesario. Tenemos

zi :

cos[ui]

xi :

sin[ui] # sin[fi]

yi :

Eje z del movimiento en el espacio 1 0.8 0.6 0.4 0.2 01 0.5 0 0.5 1

x, y, z

1

0.5

0

0.5

1

sin[ui] # cos[fi]

135

9 Vibración El capítulo 9 del texto de Dinámica considera un movimiento de vibración particular, es decir, el movimiento repetitivo de un objeto en relación a un marco de referencia estacionario. Consideramos un gran número de problemas de vibración en los primeros capítulos pero no analizamos por completo el movimiento. Como los problemas de vibración son comunes en aplicaciones industriales, los estudiaremos con detalle en este capítulo.

20 xi 10 0

2

4

6

4

6

t • i

Problema de ejemplo 9.6 Calcule y trace la respuesta del péndulo # del ejemplo anterior si g/L = 10 y 1 rad s. Repita el cálculo para las las condiciones iniciales son u = π rad y u # 1 rad s. Compare las dos soluciones. condiciones iníciales u = 1 rad y u

0.5 xi

0

–0.5 0

2 t • i

La ecuación diferencial para el movimiento del péndulo es $ u # Con condiciones iniciales: (a) u u = 1 rad

g sen u l 1 rad s, u

# p rad y (b) u

rad s,

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.6 a) Sea c = g/L Entonces c 10 i 0 . . 10000 Δt 0.001 ti i. Δt

136

VIBRACIÓN

ω0

1

θ0

π c. sin θ

α θ 1

θi

1

Posición angular (radianes)

ωi

ωi θi

α θ i . Δt ω . Δt i

Posición angular vs. Tiempo 40

qi

20

0 0

2

4

6 ti Tiempo (s)

8

b) Usando un ángulo inicial de 1 radián se produce un movimiento armónico:

c 10 i 0 . . 10000 Δt 0.001 . ti i Δt ω0

1 1

θ0

c. sin θ

α θ ωi

1

θi

1

α θ i . Δt θ i ω i. Δt

ωi

10

137

138

CAPÍTULO 9 VIBRACIÓN

1 qi

0 1 2 0

2

4

6 ti Tiempo (s)

8

Problema de ejemplo 9.9 Calcule y trace la respuesta del sistema de la figura 9.9 con un coeficiente de fricción μ = 0.3, masa m = 100 kg y rigidez k = 500 N/m para las dos condiciones iniciales diferentes (a) v0 = 0 y x0 = 4.5 m y (b) v0 = 0 y x0 = 5.0 m.

10

Desplazamiento (m)

Posición angular (radianes)

Posición angular vs. Tiempo 2

5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4

0

1

2

3 4 5 Tiempo (s)

6

La ecuación diferencial puede resolverse numéricamente utilizando el método Runge-Kutta:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.9

y

a v, x

D t, y

4.5 0

El primer elemento es el desplazamiento inicial y el segundo es la velocidad inicial.

0.3. 1. 9.81.

y1 a y1 , y0

v v

5. x Aceleración (nota: la fuerza debe dividirse entre la masa).

7

VIBRACIÓN

Runge-Kutta con incremento de tiempo de 0.01.

Z

rkfixed y , 0 , 7 , 700 , D Gráfica desplazamiento-tiempo

Desplazamiento (m)

6

4

Z i

2

0

2

4 0

2

4 Z i Tiempo (s)

6

8

0.5

Problema de ejemplo 9.10 xi

Calcule la solución del sistema siguiente, que modela el amortiguamiento debido a la viscosidad del aire que actúa contra un sistema resorte-masa, y trace el resultado: $ mx

# # cx ƒ x ƒ

kx

–0.5

0

Aquí, m = 50 kg, k = 200 N/m, c = 25 kg/s, x0 = 0 y v0 = 1 m/s. Compare este resultado con el obtenido de un sistema con amortiguamiento lineal viscoso con el mismo coeficiente de amortiguamiento.

0

0

5 Δt • i

10

5

10

0.5 xi

0

–0.5 0

t • i

Este problema se resuelve en el texto de Dinámica con el uso del método de Euler. Como alternativa, la siguiente ventana presenta la solución con Mathcad utilizando el método Runge-Kutta de cuarto orden:

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.10

y

0 Especifique la posición y la velocidad. 1

Defina la aceleración

a v, x

0.5. v. v

4. x

139

140

CAPÍTULO 9 VIBRACIÓN

Defina la ecuación diferencial, es decir, defina la primera y la segunda derivadas:

D t, y

y1 a y1 , y0

Establezca el algoritmo Runge-Kutta:

Z i

rkfixed y , 0 , 10 , 1000 , D 0 . . 1000 Desplazamiento-tiempo

Desplazamiento (m)

0.6

0.4

Z i

0.2

0

0.2

0.4 0

2

4

6

8

Z i Tiempo (s)

Problema de ejemplo 9.11 Considere la vibración forzada de una masa m conectada a un resorte con rigidez de 2000 N/m, excitado por una fuerza armónica a 10 Hz. La amplitud máxima de la vibración se mide de 0.1 m y el movimiento se supone que partió del reposo (x0 = v0 = 0). Calcule la masa del sistema.

Resolvamos numéricamente la ecuación diferencial en este problema, utilizando el método Runge-Kutta de cuarto orden:

10

VIBRACIÓN

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO 9.11 Condiciones iniciales:

0.01

y

0.01

Especifique la aceleración:

a v, x, t

1.02. x

0.1. cos 2.0. t

Especifique la primera y segunda derivadas:

D t, y

Z i

y1 a y1 , y0 , t

rkfixed y , 0 , 80 , 800 , D 0 . . 800 Gráfica desplazamiento-tiempo

Desplazamiento (m)

0.05

0 Z i

0.05

0.1 0

20

40 Z i Tiempo (s)

60

80

141

Apéndice A Mathcad es usado frecuentemente para determinar los momentos de inercia principales de un cuerpo, particularmente si el problema es formulado como un problema de eigenvalores, como el problema de ejemplo A.1

VENTANA COMPUTACIONAL: PROBLEMA DE EJEMPLO A.1 Tensor de momento de inercia de masa:

10 5 3

I

5 3 8 4 4 7

Determinante del tensor:

I = 33 Ecuación cúbica para los valores principales:

f β β

β

3

2 25. β

156. β

33

0 , 1 . . 15 Ecuación cúbica para el momento principal

Valor de la ecuación cúbica

300

200 f β

100

0

100 0

5 10 β Momentos de inercia (kg*m*m)

15

Establezca las rutinas eigenfunction y eigenvector:

eigenvals I =

14.109 10.672 0.219

eigenvecs I =

0.758 0.415 0.651 0.426 0.046 0.804

Revise para determinar si el eigenvalor es la raíz de la ecuación cúbica:

β

15 root f β , β = 14.109

142

0.503 0.628 0.593

Índice A Aceleración 14-15, 16, 20-22, 26-28, 33-34, 35, 36, 47-48, 52-82, 95, 108-110. Véase también Movimiento y resistencia del aire, 26-28, 33-34, 56-60 angular, 36, 95, 99-101 cinemática de, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 33-34, 35, 36, 47-48, 52-82 constante, 47-48 cuerpos rígidos, 95, 99-101, 108-110 determinación simbólica de, 16 distancia de frenado, 52-55 fuerzas de movimiento y, 52-82 gráfica, 14-15, 16 tiempo, como una función de, 20-22 trayectorias y, 33-34 vectorial, calculada y escrita como, 35 Aceleración angular, 36, 95, 99-100

C Cantidad de movimiento de un cuerpo rígido, 121-127 Calculadora numérica, Mathcad como una, 6-9 Cálculo numérico de matrices usando Mathcad, 8-9 Cálculos algebraicos, uso de Mathcad en, 9-11 Cálculos simbólicos, uso de Mathcad, 12-13 Coeficiente de amortiguamiento, 141-142 Coeficientes de fricción, 72-74, 74-76, 84-86 cinética, 74-76, 84-86 estática, 72-74 Colon (:) símbolo, 9 Cinemática, 14-51, 52-82, 91-105. Véase también Movimiento aceleración, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 33-34, 35, 36, 47-48, 52-82, 95 aceleración angular, 36, 95, 99-100 centro de masa, 20-21 constante de resorte, 65-68 cuerpos rígidos de, 91-105 desplazamiento, 20-22, 26-28 determinación simbólica de, 16 diferenciación numérica, 14-15 distancia de frenado, 52-55 ecuaciones de movimiento, 14-51, 69-71, 71-72 fuerza constante, 63-64 función escalón de Heaviside, 66-67 gráfica y, 14-51 método de Euler, 22-23, 24, 26-28, 75-76 método Runge-Kutta, 23-24, 68-69 movimiento deslizante, 74-76 movimiento relativo, 47-51 partículas, 14-51, 52-82 péndulo, 71-72, 78-80 poleas, movimiento de, 64 posición angular, 36, 91-92 problema inverso de dinámica, 14-47 relación fuerza-tiempo, 65-69 relación velocidad-desplazamiento, 26-28 relación velocidad-tiempo, 56-60, 93-94 resistencia del aire, 26-28, 32-34, 56-60 resortes, 61-62, 69-71 rodamiento, 98-99 ruido en datos, efecto del, 17-18 trayectoria de movimiento de una partícula, 39-47 trayectorias, 28-30, 32-34, 39-47 vector de posición, 38-41

velocidad, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 48-49, 5660, 91-92, 93-94, 98-99, 99-101 velocidad angular, 36, 95, 99-100 Constante de resorte, 65-68, 76-77 Cuerpos rígidos, 91-105, 106-120, 121-127, 128-136 aceleración, 95, 99-101, 108-110 aceleración angular, 95, 99-100 dinámica de, en movimiento plano, 106-120, 121-127, 128-136 dinámica tridimensional de, 128-136 ecuaciones de movimiento de Euler para, 133-136 émbolos, 97-98 fuerza aplicada, 107-108 fuerza de, 121-127 fuerza de fricción, 114 impulso de, 121-127 matriz de transformación, 128-130 movimiento deslizante, 112-113, 116-118 movimiento intermitente, 104-105 movimiento plano y, 96-105, 106-120 movimiento rotacional a traslacional, conversión de, 101-103 parámetros, análisis de movimiento plano en términos de, 96-105 péndulos, 93-94, 98-100 posición angular, 91-92 relación velocidad-tiempo, 93-94, 96, 98-99 rodamiento, 98-99, 114-116, 118-120 rotación sobre un eje, 91-92, 128-130 ruedas, 93-95, 989-99, 118-120 trabajo de, 121-127 velocidad, 91-92, 93-94, 96, 98-99, 99-101, 118-120, 131-132 velocidad angular, 91-92, 96, 99-101, 118120, 131-132

D Desplazamiento, 20-25,26-28 partículas y, 20-25, 26-28 relación con velocidad, 26-28 resistencia del aire y, 26-28 tiempo, como una función de, 20-25 Dinámica tridimensional de un cuerpo rígido, 128-136

E Ecuaciones de movimiento de Euler, 133-136 Émbolos, movimiento de, 97-98 Espirales, 41-43 trayectoria, 41-43 trayectoria de movimiento, 72-74

F Fricción cinética, coeficiente de, 74-76, 84-86 Fricción estática, coeficiente de, 72-74 Fuerza, 63-64, 65-69, 107-108, 114 aplicada, 107-108 constante, 63-64 fricción, 114 función escalón de Heaviside, 66-67 tiempo, como una función de, 65-69 Fuerza de un cuerpo rígido, 121-127 Fuerzas de movimiento, véase Aceleración: Movimiento Función escalón de Heaviside, 66-67

G Graficación, 14-47, 48-82 aceleración, 14-15, 16, 20-22

143

centro de masa, 20-21 distancia de frenado, 52-55 gráficas de barras, 25-26 gráficas de superficie, 54 gráficas dispersas, 31-32 movimiento de masa, 76-77, 78-79 movimiento esférico, 78-79 movimiento helicoidal, 30-32 pista circular, 80-82 problema inverso de dinámica, 14-47 relación velocidad-tiempo, 56-60 relaciones fuerza-tiempo, 65-69 ruido en datos, efecto del, 17-18 tiempo, funciones de, 20-22 trayectoria circular, 37 trayectorias, 28-30, 32-34, 39-47 velocidad, 14-15, 16, 20-22 Gráficas de barras, 25-26 Gráficas dispersas, 31-32

I Impulso de un cuerpo rígido, 121-127 Impulso-cantidad de movimiento, 83

M Masa, 56-57, 76-77, 78-80 movimiento de, 76-77, 78-80 velocidad de una partícula y, 56-57 Mathcad, 5-13, 17-47, 119-120, 144-155 cálculo numérico de matrices, 8-9 cálculos algebraicos, 9-11 cálculos simbólicos, 12-13 cálculos vectoriales, 7-8 diferenciación de datos, 17-21 función root, 19 generador aleatorio de números, 17-18 introducción a, 5-13 operador Given-Find, 119-120 problema para eigenvalor, 144-145 producto cruz, 8, 12 producto punto, 8, 12 rango de variables, 11 símbolo de barra (|), 7 símbolo de colon (:), 9 símbolo igual (=), 6 Matriz de transformación, 128-130 Mecanismo Geneva (Malta), 104-105 Método de Euler, 22-23, 24, 26-28 Método Runge-Kutta, 23-24, 68-69, 140, 142-143, Movimiento, 47-51, 52-82, 83-86, 91-105, 106-120, 121-127, 128-136 Véase también Vibración aceleración angular, 95, 99-100 aceleración máxima, 108-110 aceleración y fuerzas de, 52-82 cinemático de una partícula, 47-51 cinemático, ecuaciones de, 45-47, 69-71, 71-72 constante de resorte, 65-68, 76-77 cuerpos rígidos, 91-105, 106-120, 121-127, 128-136 deslizamiento, 74-76, 112-113, 116-118 dinámica tridimensional de cuerpos rígidos, 128-136 distancia de frenado, 52-55 ecuación diferencial no lineal de, 26-28 ecuaciones de Euler, 133-136 émbolos, 97-98 esférico, 78-79 fricción cinética, coeficiente de, 74-76, 84-86, fricción estática, coeficiente de, 72-74

144

ÍNDICE

fuerza aplicada, 107-108 helicoidal, 30-32 impulso-cantidad de movimiento, 83 masa, 76-77, 78-80 movimiento intermitente, 104-105 oscilatorio, 61-62 partículas, 47-51, 52-82, 83-86 péndulos, 71-72, 78-80, 110-112 plano, 96-105, 106-120 poleas, 64 posición angular, 91-92 primeras integrales de, 83-86 relación fuerza-tiempo, 65-69 relación velocidad-tiempo, 56-60, 93-94, 96, 98-100 relativo, 47-51 resistencia del aire, y, 26-28, 32-34, 56-60 resortes, 61-62, 69-71, 76-77 restitución, coeficiente de, 84-86 rodamiento, 98-99, 114-116, 118-120 rotación sobre un eje, 91-92, 128-130 rotacional a traslacional, conversión de, 101-103 ruedas, 93-95, 98-99, 118-120 trabajo-energía, 83-86 trayectoria de una partícula, 39-47 trayectoria en espiral, 72-74 trayectorias, 28-30, 32-34, 40, 41-43 velocidad angular, 91-92, 96, 99-101, 118120, 131-132 Movimiento deslizante, 74-76, 112-113, 116-118 Movimiento helicoidal, 30-32 Movimiento intermitente, 104-105 Movimiento plano, 96-105 aceleración máxima, 108-110 análisis de, 96-105 cuerpos rígidos y, 96-105, 106-120 deslizamiento, 112-113 dinámica de, 106-120 émbolos, 97-98 fuerza aplicada, 107-108 intermitente, 104-105 mecanismo de Geneva (Malta), 104-105 parámetros en términos de, 96-105 péndulos, 98-100 relación velocidad angular-tiempo, 96 rodamiento, 98-99, 114-116, 118-120 rotacional a traslacional, conversión de, 101-103 ruedas, 93-95, 98-99, 118-120 velocidad angular, 118-120 Movimiento relativo, 47-51 Movimiento rodante, 98-99, 114-116, 118-120 Movimiento rotacional a traslacional, conversión de, 101-103

cinemática de, 14-51,52-82 desplazamiento, 20-25, 26-28 diferenciación de datos, 17-18 ecuación diferencial no lineal de movimiento, 26-28 ecuaciones de movimiento cinemático, 45-47 función root, 19 generador de números aleatorios, 17-18 método de Euler, 22-23, 26-28 método Runge-Kutta, 23-24 movimiento helicoidal, 30-32 movimiento relativo, 47-51 relación velocidad-desplazamiento, 26-28 relación velocidad-tiempo, 56-60 resistencia del aire, 26-28, 32-34, 56-60 ruido en datos, efecto del, 17-18 sistemas de, 87-90 tiempo, funciones de, 20-22 trayectoria, 40 trayectoria de movimiento, 39-47 trayectoria en espiral, 41-43 vector de posición, 38-41 velocidad, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 48-49 Péndulos, 71-72, 78-80, 110-112, 137-139 ecuaciones de movimiento para, 71-72 movimiento de masa, 78-80 movimiento de una partícula, 71-72, 78-80 movimiento de cuerpo rígido, 93-94 esférico, 78-80 respuesta a la vibración, 137-139 Poleas, movimiento de, 64-65 Posición, véase Posición angular Posición angular, 36, 91-92 Problema de eigenvalor para Mathcad, 144-145 Problema inverso de dinámica, 14-47 diferenciación numérica, 14-15 gráfica y, 14-47 método de Euler, 22-23, 24 método Runge-Kutta, 23-24 ruido en datos, efecto del, 17-18 Producto punto, 8, 12

R

Notación matricial, 122-124, solución usando, 122-124 transformación, 128-130

Rango de variables, 11 Resistencia del aire, 26-28, 32-34, 56-60 Resortes, 61-62, 69-71, 76-77 cinemática de, 61-62, 69-71, 76-77 ecuaciones de movimiento para, 69-71 movimiento de masa,76-77 movimiento oscilatorio, 61-62 Restitución, coeficiente de, 84-86 Rotación sobre un eje, 91-92 Ruedas, 93-95, 98-99, 118-120 aceleración angular, 95 movimiento plano, 95, 98-100 relación velocidad-tiempo, 93-94, 98-99 rodamiento, 98-99, 118-120 velocidad angular, 118-120 Ruido en datos, efecto del, 17-18

O

S

Operador Given-Find, 28-29, 119-120

Símbolo de barra (|), 7 Símbolo igual (=), 6

N

P Partículas, 14-51, 52-82, 87-90. Véase también Trayectorias aceleración, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 3334,35,36,47-48

T Tiempo, 20-24, 56-60, 65-69, 93-94, 98-100 aceleración como función de, 20-22 análisis de movimiento plano, 93-94

desplazamiento, como una función de, 20-24, 65-66 fuerza, como una función de, 65-69 funciones de, 20-22 método de Euler, 22-23, 24 método Runge-Kutta, 23-24, 68-69 movimiento de cuerpo rígido, 93-94, 98-100 movimiento de la partícula, 20-24, 56-60, 65-69 relación de velocidad, 56-60, 93-94, 98-100 resistencia del aire y, 56-58 velocidad como una función de, 20-22 Trabajo de un cuerpo rígido, 121-127 Trabajo-energía, 83-86 Trayectorias, 28-30, 32-34, 39-47, 47-50 aceleración y, 33-34 ecuaciones cinemáticas de movimiento para, 45-47 espiral, 41-43 función Given-Find, 28-29 graficación, 28-29 intersección de partículas, 47-50 movimiento relativo, 47-50 resistencia del aire y, 32-34 rosa de tres hojas, 40 trayectoria de movimiento de una partícula, 39-47 Trazado, véase Gráficas

V Vector de posición, 38-41 Vectores, 7-8, 35, 38-39 aceleración calculada y escrita como un, 35 cálculos, uso de Mathcad, 7-8 posición, partículas, 38-41 Velocidad angular, 36, 91-92, 96, 99-101, 118-120, 131-132 dinámica tridimensional, 131-132 mínima, 131-132 movimiento de un cuerpo rígido, 91-92, 96, 99-101, 118-120, 131-132 movimiento de una partícula, 36 movimiento plano, 96, 99-101, 118-120, operador Given-Find, 119-120 relación con el tiempo, 96 Velocidad, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 36, 48-49, 5660, 91-92, 93-94, 98-100, 118-120, 131-132 análisis de movimiento plano, 98-99, 99-101 angular, 36, 91-92, 99-101, 118-120, 131-132 constante, 48-49 determinación simbólica de, 16 diferenciación numérica, 14-15 dinámica tridimensional y, 131-132 graficación, 14-15, 16 movimiento de cuerpo rígido, 91-92, 93-94, 98-99, 99-101, 118-120, 131-132 partículas y, 14-15, 16, 20-22, 26-28, 48-49, 56-60 relación angular-tiempo, 96 relación con desplazamiento, 26-28 relación con el tiempo, 56-60, 93-94, 98-99 resistencia del aire y, 26-28, 56-58 tiempo, como una función de, 20-22 Vibración, 137-143 coeficiente de amortiguamiento, 141-142 forzada, 142-143 método Runge-Kutta, 140, 142-143 respuesta del péndulo, 137-139 Vibración forzada, 142-143