Din #23334 Lon Sede Migratratorio

November 14, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A

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Calibraci´ on de Lux´ on ometros ometros

y su uso en la medici´ o on n de niveles de iluminaci´ o on n

    Í    A    G    O    L   A    O    C   a    I   í    R   r    S   t     Í    T   e    E   F  m   o    A    i     Í    M    d    G  a    R    O    E    D    L  y   a    L   O   c    i    t    R    A    T  p     Ó    N    E   e    O    M    I    d   n    E   ó    C    i    D   s    A    i    A   v    i    N    E   D    R    O     Á

   R    T    N    E    C

PUBLICACIÓN TÉCNICA CNM-MFO-PT-004

Calibración de Luxómetros y su uso en la medición de niveles de iluminación

Eric Rosas Rocío Cardoso

Los Cués, El Marqués, Qro., México. Julio de 2010.

iv

DERECHOS RESERVADOS c 2010, Centro Nacion Nacional al de Metrolog´ııa. a.

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Todos los derechos están an reservados. Ninguna parte de este documento puede ser reproducida, guardada en alg´ u un n sistema de recuperacióon, n, o transcrita, en ninguna forma o por ningú un n medio -electróonico, nico, mecáanico, nico, de fotocopiado, grabado, o alg´ un un otro- con fines de lucro, sin el previo permiso escrito del Centro Naciona Nacionall de Metrolog´ııa. a.

Para citar esta referencia use: E. Rosas, R. Cardoso, “Calibracióon n de Luxóometros met ros,, y su uso en la med medici ici´óon n de niv nivele eless de ilu ilumin minaci aci´óon”, n”, Publi Publicaci´ caci´ on on Téecnica cni ca CNMCNM-MFO-PT MFO-PT-00 -004, 4, CENA CENAM, M, Méexico, xic o, 201 2010. 0.

Impresa en el Centro de Naciona Nacionall de Metrolog´ııa, a, (CENAM), Méexico, xico, 2010. Escrito con LATEX 2ε .

Contenido Lista de Figuras

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Lista de Tablas

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Introducci´ on

xiii

1 Fotometr otometr´ ´ıa y Lux´ ometros ´ ptica . . . . . . . . . . . 1.1 1.1 Ra Radi diac aci´ i´ on on O 1.2 Fotometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Iluminante A . . . . . . . . . 1. 1.2. 2.22 Fun unci ci´óon n V( V(λ λ) . . . . . . . . . 1.3 1.3 Ma Magn gnit itud udes es y U Uni nida dade dess F Fot otom om´étri e trica cass 1.3.1 Flujo Luminoso . . . . . . . . 1.3.2 Intensidad Luminosa . . . . . 1.3.3 Luminancia . . . . . . . . . . 1.3.4 Iluminancia . . . . . . . . . . 1. 1.3. 3.55 Re Respo spons nsiv ivid idad ad Fotom otom´étri e trica ca . .

1 1 3 4 5 6 7 8 8 9 10

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1.4 Me Medid didore oress de Il Ilumi uminan nancia cia ((Lux Lux´ómetros) . . . . . . . . . . . . 10 1. 1.4. 4.11 Par´ aráametros metros de Desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Ca Cali libr brac aci´ i´ o on n de Lux´ ometros 2.1 Iluminan anccias de Referencia . . . . . 2.1.1 Principio F´ısico de Medici´ on 2.1.2 Bancos Fotométricos . . . . 2.1.3 Láamparas mparas Patrón . . . . . . 2.1.4 Condiciones Ambientales . . 2.2 2.2 Erro Errorr de Me Medi dici ci´óon n del Luxómetro . 2. 2.2. 2.11 Prep Prepar arac aci´ i´ on on del Luxómetro v

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15 15 16 16 18 20 21 21

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CONTENIDO

2.2. 2.2.22 Al Alin inea eaci ci´ón del Sistema . . . . . . . . . . . . . 2.2. 2.2.33 En Ence cend ndid idoo d dee la L´ aampara mpara Patrón . . . . . . . 2.2. 2.2.44 Ad Adqu quis isic ici´ i´ on de Lecturas . . . . . . . . . . . . 2.2. 2.2.55 Ap Apaga agado do de la L´ aampara mpara Patrón . . . . . . . . 2.2.6 2.2 .6 Det Deter ermin minaci aci´ón del Error . . . . . . . . . . . . 2.2.7 2.2 .7 Fact actor or de Cor Correc recci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Incertidumbre del Error . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3 .1 Ide Ident ntific ificaci aci´óon nd dee la lass F Fuen uentes tes de IInce ncerti rtidum dumbre bre 2.3. 2.3.22 Or Organ ganiz izac aci´ i´ oon nd dee la lass F Fue uent ntes es d dee In Ince cert rtid idum umbr bree 2.3.3 2.3 .3 Cua Cuant ntific ificaci ación ó n de la lass Co Con ntrib tribuc ucio ione ness . . . . . 2.3. 2.3.44 Co Comb mbin inac aci´ i´ oon n de la lass Con onttri ribu buci cion onees . . . . . . 2.3. 2.3.55 Ex Expa pans nsi´ i´ oon n de la Incertidumbre Combinada . 2.4 Ince Incertidu rtidumbr mbree del Factor de Co Correc rrecci´ ci´ on . . . . . . . .

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3 Ejemplo

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3.1 3.1 3.2 3.2 3.3 3.4

Se Sele lecc cci´ i´ oon n de Puntos de Medición . . . . . Ob Obte tenc nci´ i´ on del Error . . . . . . . . . . . . Det Deter ermin minaci ación ón del Factor de Corrección . Incertidumbre del Error . . . . . . . . . 3.4.1 3.4 .1 Inc Incert ertidu idumb mbres res Est Est´ándar . . . . . 3.4.2 Coe oefi ficientes de Sensibilidad . . . 3.4.3 Contribuciones . . . . . . . . . . 3.4.4 Incertidumbres Combinadas . . . 3.4.5 Grados de Libertad . . . . . . . . 3.4.6 Incertidumbres Expandidas . . . 3.5 Ince Incertidu rtidumbr mbree del Factor de Co Correc rrecci´ ci´ on . 3.5.1 3.5 .1 Inc Incert ertidu idumb mbres res Est Est´ándar . . . . . 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6

22 23 24 25 25 26 27 28 31 33 36 37 39

Coe oefi ficientes de Sensibilidad Contribuciones . . . . . . . Incertidumbres Combinadas Grados de Libertad . . . . . Incertidumbres Expandidas

4 Me Medi dici ci´ o ´ on n de Niveles de Iluminaci´ on 4.1 Consideraciones Im Impo porrtantes . . . . 4.1.1 4.1 .1 Niv Nivel el de Ilu Ilumin minaci aci´ón . . . . 4.1.2 Plano de Trabaj ajoo . . . . . . 4.1. 4.1.33 Lu Lux xómetro . . . . . . . . . .

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CONTENIDO

4.1.4 Traz 4.1.4 razabi abilid lidad ad Met Metrol rol´ó g i c a . . . . . . . . . . . 4.2 Uso d del el C Cert ertific ificado ado d dee Ca Calib librac raci´ i´ on . . . . . . . . . . 4.3 4.3 Ob Obte tenc nci´ i´ oon n del del N Niv ivel el de Il Ilum umin inac aci´ i´ oon n . . . . . . . . . 4.4 4.4 Esti Estima maci ci´ón de la Incertidumbre . . . . . . . . . . . 4.4.1 4.4 .1 Inc Incert ertidu idumb mbres res Est Est´ándar . . . . . . . . . . . 4.4.2 Coe oefi ficientes de Sensibilidad . . . . . . . . . 4.4.3 Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Incertidumbre Combinada . . . . . . . . . . 4.4.5 Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . 4.4.6 Incertidumbre Expan and dida . . . . . . . . . .

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Ap´ endices

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A Varia arianza nza de Distrib Distribuci´ uci´ on Rectangular

85

B Repetibilidad de Lecturas

87

C Certificad Certificado o de Cali Calibrac braci´ i´ on

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Referencias

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viii

CONTENIDO

Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

El espectro electromag elec tromagn´ nético. etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iluminante Iluminantess estandarizad estandarizados os por la CIE. . . . . . . . . . . . . . . Las funciones V(λ) y V’(λ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de la relación on entre las l as distintas dis tintas magnitu m agnitudes des fotom´ fot ométricas. etrica s. Luxómetro ometro t´ıpico y diagram di agramaa esquem´ es quemático atico de su fotodetector. . . . Diferencia Diferenci a tt´´ıpica entre la funci´ funci on ón V(λ) y la responsividad responsividad espectral espectral de un luxómetro ometro comercial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4 5 6 10 12

atico de la propagación on de una onda esférica. erica. . . 16 2.1 Diagrama esquemático 2.2 Bancos fotométricos etricos del CENAM con (a) distancia variable y (b) transmitancia variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Lámpara ampara incandescente tipo FEL desarrollada en CENAM como patr´ on on para intensidad luminosa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Circuito Circuito usado en CENAM para monitorear monitorear la intensidad intensidad de corriente eléctrica ectrica directa que alimenta a la lámpara ampara patrón o n y la tensi´ oon n eléctr ec tric icaa en éesta. st a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 en la calibraci´ on on de luxómetros. ometros. . . . . . 32 2.5 Fuentes de incertidumbre en

4.1 Ruta de trazabilidad trazabilidad para las calibraciones calibraciones en iluminancia iluminancia que se realizan en el CENAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2 Fuentes de incertidumbre para para la medici´ on on del nivel de iluminación. on. 77 A.1 Función on de densidad de probabilidad rectangular de tamañ noo b − a. 85 C.1 Carátula atula del certificado de calibración on del luxómetro ometro de CENAM. . 90 C.2 Reporte del error de medición, on, de la inc incert ertidu idumb mbre re estima estimada da y de los certificados de calibración o n de la lámpara ampara patrón on usada, que respaldan la ruta de trazabilidad brindada. . . . . . . . . . . . . 91

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LISTA LIST A DE FIGURAS

C.3 Informe Informe de la metodolog´ metodolog´ıa aplicada aplicada para estimar estimar la incertidumincertidumbre, reporte de los factores de corrección on y recomendación on para su utilización. on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Lista de Tablas 1.1 Magnitudes fotométricas etricas y sus unidades del SI [4]. . . . . . . . . . 7 3.1 Lecturas Lecturas de iluminancia iluminancia obtenidas obtenidas con el lux´ luxometro o´metro bajo calibraci´ calibraci´ oon. n. 43 3.2 Sinopsis de la determinaci´ determinación on de errores de medición on del luxómetro ometro y los factores de corrección on correspondientes. . . . . . . . . . . . 46 Sinopsis de la determin determinaci´ aci´ on on de las incertidumbres estándar andar para 3.3 Sinopsis el error de medición on del luxómetro. ometro. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Sinopsis de la determinación on de los coeficientes de sensibilidad para el error de medición on del luxómetro. ometro. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Sinopsis is de la determ determina inaci´ ci´ on on de las incertidum incertidumbres bres combinadas combinadas 3.5 Sinops para el error de medición on del luxómetro, ometro, con sus contribuciones correspondientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Sinopsis Sinopsis de la determinac determinaci´ i´ on on de los n´ umeros umeros de grados de libertad efecti efe ctivo voss para para las funcio funciones nes de densid densidad ad de probab probabilid ilidad ad de las incertiumbres combinadas estimadas para el error de medición on del lux´ ometro. ometro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinopsis Sinopsis de la estimaci´ estimaci´ on on de las incertidumbres expandidas para 3.7 los errores de medición on del luxómetro. ometro. . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Sinopsis de la determinación on de los coeficientes de sensibilidad para el factor de corrección on del luxómetro. ometro. . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Sinops Sinopsis is de la determ determina inaci´ ci´ on on de las incertidum incertidumbres bres combinadas combinadas para el factor de corrección on del luxómetro, ometro, con sus contribuc contribuciones iones correspondientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Sinopsis de la determinación on de los n´ umeros umeros de grados de libertad efecti efe ctivo voss para para las funcio funciones nes de densid densidad ad de probab probabilid ilidad ad de las incertiumbres combinadas estimadas para los factores de correccióon n del la escala 1x del luxómetro. ometro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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LISTA DE TABLAS

3.11 Sinopsis de la estimación on de las incertidumbres expandidas para los factores de corrección on del luxómetro. ometro. . . . . . . . . . . . . . . 70 on m´ınimos dados en la NOM-025-STPS-2008 4.1 Niveles de iluminación [33]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Lecturas de iluminancia sobre el escritorio de una oficina, tomadas con el luxómetro ometro calibrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Sinopsis Sinopsis de la determin determinaci´ aci´ on on de las incertidumbres estándar andar y los coeficientes se sensibilidad, para el nivel de iluminación. on. . . . . . . 79 4.4 Sinopsis de la determinación on de las contribuciones a la incertidumbre y de la incertidumbre combinada, para el nivel de iluminación. on. 80 4.5 Sinopsis de la determinación on del n´ umero umero de grados de libertad efectivos para el nivel de iluminación. on. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6 Sinopsis Sinopsis de la estimac estimaci´ ión on de la incertidumbre expandida para el nivel niv el de iluminaci´ iluminaci´ on. on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Introducci´ on on ´ La Divis Divisi´ ióon n de Optica y Radiometr Radiometr´´ıa (DOR) del Centro Nacional de Metrolog´´ıa (CENAM) de Méexico log xico tiene a su cargo la realiza realizaci´ ción on de una de las siete unidades de base del Sistema Internacional de Unidades (SI), la candela, que a través es del mantenimie mantenimiento nto de dell Patr Patr´óon n Nacional de Intensidad Luminosa, ofrece una ruta de trazabilidad hacia las unidades del SI a las mediciones fotom´ eetricas tricas que seuerida realizan pa´ ııs; s; en medidores particular adelasiluminancia, mediciones de ilu ilumin minanc ancia ia req requer idass enenlanuestro cal calibr ibraci aci´ óon n de com´ u unmente nmente conocid conocidos os como lux´ ometros. ometros. En cumplimiento de una de las misiones del CENAM de brindar soporte metrol´ oogico gico a la indust industria ria nacio nacional nal para que éesta sta pueda alcanzar los niv niveeles de productividad, competividad y calidad deseados en sus productos y servicios, ha sido elaborada la presente publicación on téecnica cnica dirigid dirigidaa a toda todass las entidades, p´ u ublicas blicas o priv privadas, adas, que utili utilizan zan los medid medidores ores de ilumi iluminancia nancia o luxóometros, metros, p por or ejemplo para realizar mediciones de iluminancia, verificar niveles de iluminacióon, n, promo promover ver el uso efici eficient entee de la energ energ´´ıa en siste sistemas mas de iluminacióon, n, corroborar el diseñ noo de ambientes especialmente iluminados, etc´ eetera; tera; y entre quienes se encuentran los laboratorios de calibraci´ oon n secundarios, los laboratorios de pruebas, las unidades de verificaci´ oon n autorizadas, los departamentos de seguridad e higiene de las empresas, entre otros. “Calibracióon n de luxóometros, metros, y su uso en la medicióon n de niveles de iluminacióon” n” bus busca ca dif difund undir ir de for forma ma sen sencil cilla, la, pero com comple pleta, ta, los aspe aspecto ctoss metrol´ oogicos gicos importantes involucrados en la calibracióon n de los luxóometros; metros; para de esta forma promover su adecuada utilizacióon n en campo y la aplicación on correcta de la informacióon n que se provee en sus certificados o informes de calibracióon, n, como el error de medicióon n del luxóometro, metro, el factor de corrección on de sus escalas de medicióon, n, las incer incertidum tidumbres bres estim estimadas adas para éestos, stos, y su propagacióon n en la estimacióon n de la incertidumbre de la medicióon n de niveles de iluminacióon. n. xiii

xiv

´ INTRODUCCI ON

Para ello esta publicacióon n presenta de forma suscinta los conceptos teóoricos báasicos sicos utili utilizados zados en la fotom fotometr etr´´ıa y aplica aplicables bles en la calib calibraci´ raci´ oon n de luxóometro metros, s, com comoo la nat natura uralez lezaa ond ondula ulator toria ia de la rad radiac iaci´ i´ oon n óoptica ptica y los modelos existentes y aceptados internacionalmente para iluminantes y observadores estáandar. ndar. Tambiéen n se describ describen en cinco unidad unidades es fotoméetricas tricas de importancia y amplia aplicabilidad en la industria, como lo son el flujo luminoso total, la intensidad luminosa, la luminancia, la iluminancia y la sensibilidad fotoméetrica trica de detectores; y se incluye una descripcióon n breve de los paráametros metros de desempeñ noo de los luxóometros. metros. Posteriormente Posteriorm ente se menciona mencionan n el princip principio io f´ısico y el método etodo de medición on que se utiliz utilizan an en la calibraci calibraci´óon n de un luxóometro; metro; mismos que se traducen en los modelos matemáaticos ticos que se usan para determinar el error de medición on y el factor de correccióon. n. Se descri describen ben los arreglos experim experiment entales ales que habitualmente se requieren para realizar estas mediciones y se resaltan los aspectos que deben cuidarse para lograr buenas calibraciones, mencionando las caracter´ıısticas sticas clave que deben reunir los bancos fotoméetricos, tricos, las láamparas mparas patróon, n, la instrumentacióon n electróonica nica de sop soporte; orte; as´ as´ı como las condici condiciones ones ambientales que deben mantenerse en el laboratorio. Se muestra a detalle la estimacióon n de la incertidumbre para el error de medici´ oon n del luxóometro metro y para el factor de correcci´ oon n correspondiente a una de sus escalas; destacando todos los aspectos importantes que definen esta metodol meto dolog´ og´ıa ıa estáandar ndar que actua actualmen lmente te se aplica interna internacional cionalmen mente; te; ent entre re los que se incluyen la identificacióon n de las fuentes de incertidumbre y su organizacióon; n; su cuantificación, on, que involuc involucra ra la estandarizaci´ oon n de sus variabilidades y la determinacióon n de su influencia a trav trav´és es del cáalculo lculo de sus coeficientes de sensibilidad; su propagacióon n al integrarse en una incertidumbre combinada; y su expresióon n como una incertidumbre expandida para un determinado nivel de confianza, lo que requiere del conocimiento de los grados de libertad efectivos correspondientes a la distribucióon n de densidad de probabilidad resultante. Por ultimo u ´ ltimo se ejemplifica la forma adecuada en que debe usarse la informacióon n obtenida en la calibracióon, n, cuando se utiliza el luxóometro metro para verificar el nivel de iluminacióon n en un plano de trabajo; destacando la forma en que la incertimbre estimada para el factor de corrección on se propag propagaa hacia aquéella lla para el nivel de iluminacióon n encon encontra trado. do. Todos los mode modelos los de med medici ición ón discutidos discu tidos son aplic aplicados ados a datos reale realess obten obtenidos idos duran durante te la calib calibraci´ raci´ oon n de un luxóometro metro realizada en el Laboratorio de Fotometr otometr´´ıa de CENAM, para obtener los valores de los mensurandos involucrados y sus incertidumbres.

Cap´ıtulo 1 Fotome ometr´ tr´ıa y Lux Lux´ ometros ometros En este Cap Cap´´ıtulo se prese presenta ntan n los conce conceptos ptos báasicos sicos de la fotometr fotometr´´ıa necesari ces arios os par paraa com compre prende nderr ade adecua cuadam damen ente te el proc proceso eso de la cal calibr ibraci acióón n de luxóometros, metros, como los iluminantes y observadores estáandar ndar y las definiciones de cinco magnitudes fotoméetricas: tricas: el flujo luminoso, la intensidad luminosa, la luminancia, la iluminancia y la responsividad fotoméetrica. trica. Ademáas, s, se ofrece una breve descripcióon n de los medidores de iluminancia, incluyendo la mencióon n de las diferencias principales entre los luxóometros metros analóogicos gicos y dig digita itales les;; y se expli explican can los par par´áametros metros de desempe˜ n noo caracter´ısticos ıst icos de los lux lux´óometros, metros, que resultan máass importantes para la realización on de mediciones, como su intervalo nominal de medición, on, resoluc resoluci´ ióon, n, escala, tipo de respuesta, estabilidad, exactitud y deriva, entre otros.

1.1

´ Radia adiacci´ o on n Optica

La energ energ´´ıa existente en el Universo puede manifestarse en forma mec´ aanica, nica, qu´ qu´ımi ımica, ca, nucle nuclear, ar, elec electro tromag magn´ néetica, tic a, calórica, ori ca, etc. La eenerg´ nerg´ıa ıa elect electrom romagn´ agnéetica tic a es transp tr ansportada ortada por camp campos os eel´ léectricos ctricos y ma magn´ gnéeticos ticos de n naturalez aturalezaa oondulato ndulato-ria, y en esta categor categor´´ıa encon encontramo tramoss al calor calor,, la luz, las ondas de radio, las de tele televisi´ visi´ on, on, los ray rayos os X, los ray rayos os gamma, entre otros. La maner maneraa en que la energ energ´´ıa electroma electromagn´ gnéetica tica se propag propagaa se cono conoce ce como radiaci radiaci´óon n y lo hace a . 1 velocidades cercanas a los 300 000 km s . Al ser de n naturale aturaleza za oondulat ndulatoria, oria, la energ energ´´ıa electrom electromagn´ agnéetica tica puede caracterizarse por dos paráametros, metros, la longitud de onda y la frecuencia de oscilacióon. n. La longitud de onda λ onda λ es es la distancia existente entre dos crestas sucesivas de −

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´ CAP ÍTULO 1. FO FOTOM TOMETR ETR ÍA Y LUX OMETROS

Figuraa 1.1: El espec Figur espectro tro electro electromagn´ magnético. etico.

la onda y su unidad de medida es el metro, cuyo ss´´ımbolo es m, y es expresada com´ u unmente nmente en nanóometros metros1 ; mientras que la frecuencia frecuencia f f  es es el nú umero mero de crestas que pasan por un punto dado por cada unidad de tiempo y su unidad de medida es el hertz, cuyo s´ımbolo es Hz o s 1 . Como conse consecuen cuencia, cia, estos dos paráametros metros estáan n rrelacion elacionados ados mediante la expresióon n [[1]: 1]: −

λf   = v, v ,

(1.1)

donde v es la velocidad de propagacióon donde v n de la onda; que para el vac vac´´ıo corres1 ponde a c a c = = 299 792 458 m s [2]. En funcióon n de la Ec. (1.1) se clasifican sucesivamente todas las formas de radiacióon n electromagn electromagn´éetica tica existentes de aacuerdo cuerdo a su longitud de onda, o su frecuencia, como lo muestra el esp espectro ectro electromagnéetico tico de la Fig. 1.1. Asimismo los diferentes “colores”, que son una percepcióon n del ojo, se pueden identificar especificando su longitud de onda, por ejemplo la longitud de onda de 632.8 nm se percibe como rojo, 594 nm como amarillo, 543.5 nm como verde y 450 nm como azul [3]. Una porc porci´ i´ oon n importan importante te del espect espectro ro elec electroma tromagn´ gn´ etico etico es el int interv ervalo alo óptico, que incluye la radiacióon optico, n ultra ultravio violet leta, a, la visib visible le y la infra infrarroja rroja.. La radiacióon n ultra ultraviole violeta ta abarc abarcaa longit longitudes udes de onda menor menores es al l´ımite de detecci´ on on del ojo humano (por debajo del violeta, alrededor de los 400 nm) y

·

1

−

Un nanómetro ometro es una millonésima esima parte de un mil mil´´ımetro y su s´ımbolo es nm [4].

1.2. FO FOTOME TOMETR TR ÍA

3

hasta los rayos X (con longitudes de onda de una decena de nanóometros). metros). Por otro lado, la radiacióon n infrarroja abarca longitudes de onda mayores a la radiacióon n percibida por el ojo humano, desde 780 nm hasta 1 mm [5]. El Sol, que es nue nuestra stra princ principal ipal fuen fuente te de ener energg´ıa, emite radiaci´ oon n en casi todas las longitudes de onda, desde largas ondas de radio hasta rayos cóosmicos; smicos; sin emb embargo, argo, apro aproximada ximadamen mente te un 99.9 % de la ener energg´ıa solar se encuentra en las porciones visible, infrarroja y ultravioleta del espectro electromagn´ trom agnéetico tic o [3] [3]..

≈

1.2

Fotom otometr etr´ ´ıa

La fotom fotometr etr´´ıa es la discip disciplina lina que se ocupa del estud estudio io de la medic medici´ ióon n de la luz visible evaluáandola ndola en funcióon n de su capacidad para estimular el sentido ocular humano. Esta radiacióon n visible se presenta con suficiente intensidad entre las longitudes de onda de 360 nm y 830 nm; aunque no existen ll´´ımites claramente definidos para el intervalo del espectro visible, debido a que éestos stos dependen del flujo radiante que llega a la retina y de la sensibilidad del observador. observ ador. Generalment Generalmentee se acepta que el l´ımite inferior se encuentra entre 360 nm y 400 nm, mientras que el l´ımite sup superior erior se encuent encuentra ra entre 760 nm y 830 nm [5, 6, 7]. La sensibilidad espectral del ojo humano depende de la percepcióon n visual del color, que es un atributo que se puede describir por una serie de elementos cromáaticos ticos (amarillo, naranj naranja, a, azul, ro rojo, jo, verde verde,, etc.) y acromáaticos ticos (blanco, negro o gris) ademáass del tamaño, no, la forma, la estructura y los alrededores de la superficie del est est´´ımulo, que tienen tambi´ een n un alto grado de importancia para obtener una definicióon n completa del objeto bajo observacióon. n. Para tener bases de medicióon n conv convenientes enientes para la fotometr fotometr´´ıa; es decir, referencias exactas y reproducibles tanto para su aplicacióon n en la ciencia como en el comercio, la Comisióon n Internacional de la Iluminacióon n (CIE2 ) ha generado ciertas convenciones que permiten realizar la caracterización on de la radiacióon n óoptica ptica en téerminos rminos puramente f´ısicos. Estas conv convenciones enciones se traducen en la estandarizacióon n de modelos teóoricos ricos que atienden tanto las caracter´ıısticas sticas de emisión on de las fuentes de luz, como las de respuesta espectral de los dispositivos utilizados para la detecci´ oon n de esta radiacióon. n. 2

Por las siglas para Commission International de l’Eclairage .

´ CAP ÍTULO 1. FO FOTOM TOMETR ETR ÍA Y LUX OMETROS

4

250 25 0 Iluminante Ilumina nte est estánd ándar ar A de CI CIE E Ilumina Ilum inante nte est estánd ándar ar C de CI CIE E Ilumina Ilum inante nte est estánd ándar ar D55 de CIE Ilumina Ilum inante nte est estánd ándar ar D65 de CIE Ilumina Ilum inante nte est estánd ándar ar D75 de CIE

200 20 0     s     a      i     r     a 150 0     r 15      t      i      b     r      A     s     e 100 0      d 10     a      d      i     n      U

50

0 300

400

500

600

700

800

Long Lo ngitu itud d de On Onda da,, (n (nm m)

Figuraa 1.2: Iluminantes estandarizados por la CIE. Figur

1.2. 1. 2.1 1

Ilum Ilumin inan ante te A

La CIE ha establecido ilu ilumin minant antes es est est´ ´ a andar nd ar, que son espectros de emisión on de radiacióon n generados teóricamente oricamente y que en algunos casos pueden ser reproducidos por artefactos construidos por los humanos. Algunos iluminantes estáandar ndar de la CIE se muestran en la Fig. 1.2 [8, 9]. Entre estos iluminantes estandarizados hay algunos que buscan simular condiciones naturales de iluminacióon, n, com comoo la luz de d´ıa o de los ata atarde rde-ceres; mientras que otros tratan de reproducir condiciones de iluminación on espec´ııficas ficas para ciertas aplica aplicaciones. ciones. En fotometr´ııaa el más as utilizado es el iluminante estáandar ndar A de la CIE, que corresponde a un espectro de emisióon n teóorico rico llamado radiador Planckiano a 2 856 K. Afortunadamente, este iluminante estáandar ndar A de la CIE es

1.2. FO FOTOME TOMETR TR ÍA

5

1.2 1. 2

   a    v      i     t 1. 0    a 1.0      l    e      R      l    a 0.8 8    r 0.     t    c    e    p    s      E0. 0.6 6    a    s    o    n      i    m0. 4    u 0.4      L    a      i    c    n 0. 2    e 0.2      i    c      i      f      E 0.0 0. 0

V() Fo Fotópi tópica ca V'() Es Escotóp cotópic icaa

400

500

600

700

Lon ongitu gitud d de Onda nda,, (nm (nm))

Figura 1.3: Las funciones V(λ) y V’(λ).

relativamente fáacil cil de realizar utilizando láamparas mparas incandescentes cuya intensidad tensida d de corriente eléectrica ctrica de ooperac peraci´ ióon n es ajustada a fin de producir una temperatura de color cercana a los 2 856 K [10].

1. 1.2. 2.2 2

Funci unci´ on on V(λ) ´

La CIE tambiéen n defin defini´ ió desde el a˜ n noo de 1924 la res respuesta puesta t´ıpica estanda estandarizada rizada 2 de la percepci p ercepci´óon n visu visual al diu diurna rna del ser humano (máass de 10 cd m ), que descri´ be la responsividad espectral del ojo humano “estáandar”. ndar”. Esta se basa en la observacióon n promedio de los colores hecha por aproximadamente doscientas personas de distintas edades. El promedio de las observaciones se denomina observador fotom´ e etrico trico patr´ o on n CIE para visióon n fotóopica pica y se conoce com´ u unmente nmente como la “funcióon n V( V(λ λ)”, Fig. 1.3 [11, 12, 13].

·

−

´ CAP ÍTULO 1. FO FOTOM TOMETR ETR ÍA Y LUX OMETROS

6

v



A

I v E v

Lv

sv

on entre las distintas magnitudes fotométricas. etricas. Figuraa 1.4: Esquema de la relación Figur

Existen otras respuestas del ojo humano estandarizadas por la CIE, conocidas como escot escot´óopica pica y mesotóopica; pica; la primera, representada por la función on V’(λ V’( λ), corresponde a la visióon n en condiciones de mediana oscuridad (menos 2 4 n noo de 1949 y es el promedio de la de 10 cd m ), fue adoptada en el a˜ percepcióon n del color de una población on de cincuenta observadores menores de treinta a˜ n nos; os; mientras que la segunda corresponde a un estado intermedio de adaptación on del ojo humano que se ubica entre las regiones fotóopica pica y escot´ oopica pica [6, 14]. La Fig. 1.3 muestra la eficiencia luminosa espectral relativa para las visiones fotóopica, pica, V( V(λ λ), y escotóopica, pica, V’( V’(λ λ); aqu aqu´´ı se puede apreciar que la responsividad del ojo bajo iluminacióon n fotóopica pica alcanza su máass alto nivel a una longitud de onda de 555 nm, que corresponde al color verde; mientras que en el caso de la iluminacióon n escotóopica, pica, el máximo aximo se encuentra en 507 nm. −

1.3

·

−

Magnitudes y Unidades F Fotom´ otom´ e etricas tricas

Al medir de manera integral la luz que es visible al ojo humano se pueden obtener diferentes magnitudes fotoméetricas tricas dep dependiendo endiendo de lo que se desee conocer, ya sea la luz emitida por una fuente en todas direcciones o en alguna

´ 1.3. MAG MAGNITUD NITUDES ES Y UNIDADES UNIDADES F FOTOM OTOM ETRICAS

7

Tabla 1.1: Magnitudes fotom´ foto métricas etricas y sus unidades del SI [4]. FM otaogmnéittruidca

olIoE dSe´ım labC

Flujo Luminoso Intensidad Luminosa

Φv

I v

Luminancia

Lv

Iluminancia

E v

Responsi Resp onsivid vidad ad Fotométrica etr ica

sv

UdneildSaId

de N laom Ub nride ad

lm cd

Lumen Candela Candela sobre metro cuadrado Lux Ampere sobre lux Volt sobre lux Lectura sobre lux

cd m−2

·

lx A lx−1 V lx−1 Lectura lx−1

· ·

·

direcci´ on on determinada; o bien, la luz que llega a una superficie, o el brillo de éesta, sta, como se mue muestra stra de forma esque esquem´ mátic aticaa en la Fig. Fig. 1.4 1.4.. Algu Alguna nass de estas magnitudes fotoméetricas tricas junto con sus correspondientes unidades del Sistema Internacional de Unidades (SI) se listan en la Tabla 1.1 y se discutir´ aan n brevemente a continuacióon n [3, 7].

1.3. 1.3.1 1

Fluj Flujo o Lumi Lumino noso so

El flujo luminoso Φv es la cantidad de radiacióon n el electro ectromag magn´ néetica tic a que emit emitee una fuente y puede ser detectada por el oojo jo humano; éeste ste se obtiene a partir de la interaccióon n del flujo radiante o potencia óoptica ptica Φ, y la respuesta definida por la CIE para el observ observador ador estáandar. ndar. En el caso de la visióon n fotóopica pica la respuesta correspondiente es la funcióon n V( V(λ λ) y por tanto: ∞

Φv = K m

 0

·

V(λ V( λ) Φ(λ Φ(λ)dλ

(1.2)

donde K m = 683 lm W 1 es la donde K l a eeficacia ficacia lum lum´´ınica de rradiaci´ adiacióon n [5]. La unidad de medida del flujo luminoso es el lumen y su s´ımbolo es lm [4].

·

−

´ CAP ÍTULO 1. FO FOTOM TOMETR ETR ÍA Y LUX OMETROS

8

1.3.2 1.3 .2

In Inten tensid sidad ad Lumino Luminosa sa

La intensidad luminosa I v está definida como el flujo luminoso Φv emitido por una fuente por unidad de áangulo ngulo sóolido lido3 Ω [5]: I v =

Φv . Ω

(1.3)

La unidad de medida de la intensidad luminosa es la candela, cu cuy yo s´ımbolo es cd; que es una de las siete unidades de base del SI y tam tambi´ bi´ een n la unidad báasica sica en la fotometr fotometr´´ıa [4]. La candela se define como la intensidad luminosa, lumino sa, en una cier cierta ta direc direcci´ ci´ oon, n, de una fuen fuente te que emite una radiac radiaci´ ión on 12 monocromáatica tica con frecuencia de 540 10 Hz y cuya intensidad energéetica tica 1 es de 1/683 W sr [5]. La candela puede realizarse midiendo la energ energ´´ıa de una fuente a trav trav´és es de un detector cuya respuesta esp espectral ectral de detecci´ oon n reproduzca la función on V(λ V( λ), que simula la respuesta del sistema visual humano en funcióon n de la longitud de onda. La candela se disemina mediante méetodos todos de comparación on con láamparas mparas patróon n y fotodiodos [15].

·

1. 1.3. 3.3 3

×

−

Lumi Lumina nanc ncia ia

La luminancia L v es la intensidad luminosa luminosa I v emitida por unidad de áarea rea determinad rminadaa [5]: A de la superficie de una fuente extendida en una dirección dete I v Lv = A .

(1.4)

La unidad de medida de la luminancia es la candela sobre metro cuadrado, cuyo s´ımbo ımbolo lo es cd m 2 y no tiene un nombre particular [4]; en cambio, los equipos que se encargan de medir dicha magnitud, identificada habitualmente como el brillo, se conocen como medidores de luminancia y encuentran su principal aplicacióon n en la industria manufacturera de televisores y monitores, as´ as´ı com comoo en los anuncios especta espectaculares. culares.

·

3

−

El ángulo angulo sólido olido es un cono cuyo vértice ertice coincide con el centro c entro de d e la fuente. La unidad −1 de medida del ángulo angulo sólido olido es el esteroradián, an, cuyo s´ımbolo es sr .

´ 1.3. MAG MAGNITUD NITUDES ES Y UNIDADES UNIDADES F FOTOM OTOM ETRICAS

1.3. 1.3.4 4

9

Il Ilum umin inan anci cia a

La iluminancia E v se define como el flujo luminoso Φv que incide en una superficie por unidad de áarea rea A iluminada [5]: E v =

Φv . A

(1.5)

En esta definicióon n se asume que el área area es perpendicular a la dirección on del cono de iluminación; on; es decir, si una superficie de determinado tamañ noo es iluminada por un flujo luminoso, la iluminancia tendrá un valor máaximo ximo cuandoo la superficie sea p cuand perpendi erpendicular cular a la direcci´ oon n del haz luminoso debido a que en esta posición on la superficie es iluminada por la mayor parte del haz. Si se despeja el flujo luminoso Φv de la definicióon n para la intensidad luminosa   I v , Ec. (1.3), y se sustituye en la Ec. (1.5) entonces vemos que: luminosa v E v = I Ω ; A

·

(1.6)

donde es posible sustituir expl expl´´ıcitamente la definici´ oon n para el áangulo ngulo sóolido lido Ω = A/d2 para obtener: I v A E v = ; (1.7) A d2 por lo que encontramos que si la intensidad luminosa I luminosa I v de una fuente puntual en una determinada direccióon n es conocida, entonces es posible calcular la iluminancia E iluminancia E v producida por la fuente puntual a una distancia d distancia d a lo largo de esa misma direccióon, n, usando la relacióon: n:

· ·

E v = I v2 , d

(1.8)

f otomé etrica tri ca d de e la dist distanci ancia a que se conoce como la Ley de Bouguer, Ley fotom´ o Ley del inverso al cuadrado [7]. La unidad de medida de la iluminancia4 es el lux, cuyo s´ımbolo es lx; y su relacióon n con otras unidades fotoméetricas tricas es la siguiente [4]:

·

−2

1 lx = 1 cd m 4

·

−2

= 1 lm m

· sr

−1

.

(1.9)

En el Sistema Británico anico de Unidades, la unidad de medida de la iluminancia es el foot-candle foot -candle  (fc); (fc); cuyo factor de conversión on a unidades del SI es 1 fc=10.763 91 lx [2].

10

´ CAP ÍTULO 1. FO FOTOM TOMETR ETR ÍA Y LUX OMETROS Fotodetector Corrector Cosenoidal

Filtro V() Fotodiodo

Instrumentación Electrónica

ometro t´ıpico ıpico y diagrama di agrama esquemático atico de su fotodetector. Figuraa 1.5: Luxómetro Figur

1.3.5

Responsividad Resp onsividad Fotom´ e etrica trica

respo ponsi nsivida vidad d foto fotom´ m´ e etrica tri ca sv de un detector es la razóon La res n de la respuesta que produce el detector cuando sobre éeste ste incide radiacióon n que puede expresarse en téerminos rminos de una magnitud fotoméetrica trica [5]. Por ejemplo, si la señ nal al fotoméetrica trica que incide sobre el detector se mide en unidades de iluminancia y su respues res puesta ta es un unaa corr corriente iente eléectrica ctr ica i i,, entonces la respo responsivid nsividad ad ffotom´ otoméetrica trica puede expresarse como: i sv = , (1.10) E v −

y su unidad de medida será el ampere sobre lux, cuyo ss´´ımbolo es A lx 1 [4]. La se˜ n nal al de respuesta del detector tambiéen n puede ser una tensióon n eléctri ect rica ca o alguna otra lectura; y en esos casos la responsividad fotoméetrica trica tendrá las unidades que correspondan, como se muestra en la Tabla 1.1.

·

1.4 1. 4

Me Medi dido dore ress de Il Ilum umin inan anci cia a (Lu (Lux´ x´ o ometros) metros)

Un medidor de iluminancia o luxóometro metro,, es un ins instru trumen mento to que perm permite ite medir la cantidad de luz visible que incide sobre una determinada superficie; por ejemplo, el nivel de iluminación on que se tiene en un plano de trabajo.

´ 1.4. MEDID MEDIDORES ORES DE DE ILUMINANC ILUMINANCIA IA (LUX OMETROS)

11

Un medidor de iluminancia consta de un fotodetector usualmente compuesto por p or un fotodiodo de silicio y un filtro verde esp espec ec´´ıficamente diseñ nado ado para que en conjunto con el fotodiodo puedan reproducir la responsividad espectral de la funcióon n V( V(λ λ). El arreglo genera generalmen lmente te se compl complemen ementa ta con una cubierta hecha de un material translú ucido, cido, conocido como “corrector cosenoidal”, y la instrumentacióon n electróonica nica necesaria para la amplificacióon, n, procesamiento y despliegue de la señ nal, al, como se muestra en la Fig. 1.5 [16, 17]. En cuanto a su mecanismo de respuesta, los luxóometros metros se clasifican en digitales y analógicos, ogicos, y actualmente en el mercado se encuentran de ambos tipos aunque los instrumentos analóogicos gicos tienden a quedar en desuso dada la desventaja que les ocasiona su pobre resolucióon, n, pues son equipos con grandes intervalos nominales de medicióon n y esto ocasiona grandes variabilidades de sus lecturas, lo que repercute en la incertidumb incertidumbre re de los valor valores es de iluminancia obtenidos con este tipo de luxóometros, metros, que en ocasiones excede las tolerancias permitidas permit idas por las disti distintas ntas regulaci regulaciones. ones.

1.4.1

Par´ ametros ametros de Desempe˜ Desempe˜ no no

En el mercado existe una gran diversidad de instrumentos que miden iluminancia, y difieren entre ellos por algunos de sus paráametros metros de desempe˜ n noo importantes como la resolucióon, n, el intervalo nominal de medicióon, n, la escala, la linealidad de su respuesta, la estabilidad, la exactitud, la sensibilidad, la deriva, entre otros. A continuacióon n se descr describen iben estos paráametros metros instrumentales con máass detalle.

Responsividad Espectral. Al igual q que ue como lo h hace ace el ojo hum humano, ano, los fotodetectores de los luxóometros metros detectan selectivamente las distintas componentes nen tes espectr espectrales ales (“color (“colores”) es”) de la luz. Esta select selectividad ividad en la capac capacidad idad de detecci´ oon n del fotodetect fotodetector or constituy constituyee su respons responsivida ividad d espect espectral ral y le permit permitee construir una interpretacióon n integral (fotom´ eetrica) trica) del nivel de iluminancia que le está incidiendo. De esta forma, dos detectores con responsividades espectrales iguales interpretar´ aan n id´ enticame enticamente nte un mismo niv nivel el de ilumi iluminancia nancia,, lo que impli implica ca que para que el fotodetector de un luxóometro metro funci funcione one como lo har har´´ıa el ojo humano, simulado por el observ observador ador fotoméetrico trico patróon n CIE para visión on fotóopica; pica; éeste ste debe tener una respo responsivid nsividad ad es espectra pectrall ig igual ual a la l a fun funci´ cióon n V( V(λ λ). Aunque lo anterior no siempre se logra, es importante buscar que el con junto filtro-fotodiodo que constituye el fotodetector de un luxóometro metro repro-

´ CAP ÍTULO 1. FO FOTOM TOMETR ETR ÍA Y LUX OMETROS

12

1.2 1. 2 V() Fo Fotópi tópica ca Luxómetro Lux ómetro Típico

1.0 0     a 1.     v       i      t     a       l     e      R0. 0.8 8       l     a     r      t     c     e     p 0. 6     s 0.6      E       d     a       d       i 0. 0.4 4     v       i     s     n     o     p     s 0. 2     e 0.2      R 0.0 0. 0 400

500

600

700

Lon ongitu gitud d de Onda nda,, (nm (nm))

Figura 1.6: Diferencia t´ıpica entre la función on V(λ) y la responsividad espectral de un luxómetro ometro comercial.

duzca la funcióon n V( V(λ λ) con suficiente fidelidad, a fin de evitar que las lecturas de ilu ilumin minanc ancia ia que se obt obteng engan an res result ulten en ina inadec decuad uadas. as. Los lux´ oometros metros comerciales tienen t´ıpicamente una desviac desviaci´ ióon np promedio romedio de eentre ntre un 3 % y un 5 % con respecto a la funcióon n V( V(λ λ), Fig. 1.6 [18].

Err or M´ Error a aximo xi mo Pe Permi rmitid tido. o. El error máximo aximo permitido de un instrumento de medicióon n se refiere a los valores extremos del error que son aceptados por las especifi especificaci caciones, ones, regula regulacione ciones, s, etc. Como ya se menci mencion´ on´ oo,, aunque el error que presenta un luxóometro metro al medir es el resultado de todas sus caracter ract er´´ısticas ıst icas de de desemp sempe˜ eñ no, o, es importante seleccionar de inicio un luxóometro metro cuya responsividad espectral fotópica opica se aproxime lo máass posible a la función on V(λ V( λ), pues esto le p permitir´ ermitirá cumpli cumplirr con lo loss requerim requerimientos ientos máass demandantes establecidos para los errores máaximos ximos permitidos.

´ 1.4. MEDID MEDIDORES ORES DE DE ILUMINANC ILUMINANCIA IA (LUX OMETROS)

13

Resoluci´ o on. n. La resol resoluci´ uci´ oon n de un instrumento se refiere a la m´ınima diferencia de indicacióon n que puede ser percibida de manera significativa [19, 20]. Algunos luxóometros metros que miden iluminancia en cantidades finas proporcionan una resolucióon n de déecimas cimas o centéesimas simas de lux; pero tambiéen n existen otros instrumentos que proporcionan lecturas con resolución on m´ınima de la unidad unidad,, decena o centena de lux. Escala. La escala de un instrumento de medicióon n es el conjunto de marcas, asociadas a una numeracióon, n, que forma parte del dispositivo indicador del instrumen instr umento to [19, 20]. Exist Existen en luxóometros metros que poseen diferentes opciones de escalas, como x1, x5, x10, x20, x60, x100, x1 k, x10 k, etc., que representa el factor por el que debe ser multiplicada la lectura que entrega el luxóometro metro para obtener la ilumina iluminancia ncia le le´´ıda. Intervalo Interv alo Nomi Nominal nal de Indica Indicacione ciones. s. El inter interv valo nominal de indicaciones de un instrumento se refiere al intervalo de la escala obtenido por la posicióon n dada de los controles en sus l´ımites inferior y sup superior erior de medición on [19, 20]; por ejemplo, hay equipos con intervalos nominales de indicacióon n de (0 a 2) lx, (0 a 199) lx, (200 a 1 999) lx, (0 a 2 000) lx, (0 a 5 000) lx, (0 a 20 000) lx, (0 a 50 000) lx, de (0 a 100 000) lx, (0 a 200 000) lx, etc. Estabilidad. Se dice que un ins instru trumen mento to de med medici ici´óon n es estable o tiene buena estabil estabilidad idad cuando éeste ste mantiene sus caracter´ıısticas sticas metrolóogicas gicas constantes durante el tiempo que dura una medicióon n [19, 20]. Exist Existen en algunos ins ins-trumentoss cuyas caracter´ıısticas trumento sticas metrolóogicas gicas varian significativamente mientras se está realizando una medicióon, n, lo que los vuelve inadecuados. En algunos casos la estabilidad de un instrumento se califica en función de otra magnitud distinta al tiempo; si es as´ as´ı, deb debee ser mencionado claramente. Deriva Instrumental. Por ot otro ro lado, si el erro errorr que come comente nte eell lux´ oometro metro al medir cambia conforme transcurren periodos largos de tiempo; entonces se dice que éeste ste presenta deriva instrum instrumental, ental, pues éesta sta representa la variación on lenta de una caracter´ııstica stica metrolóogica gica del in instrumento strumento de med medici´ icióon n [1 [19, 9, 220]. 0]. En un luxómetro ometro la deriva puede deberse por ejemplo al envejecimiento del detector, al oscurecimiento del difusor, a la descarga de las pilas que se usan para su operacióon, n, etc.; y por ello se recomienda realizar verificaciones

14

´ CAP ÍTULO 1. FO FOTOM TOMETR ETR ÍA Y LUX OMETROS

frecuentes de su funcionamiento a fin de determinar con oportunidad cuando un equipo presente deriva. Al igual que la estabilidad, en ciertos casos la deriva instrumental puede calificarse en función on de otra magnitud, como la temperatura; lo que debe ser mencionado con claridad cuando as as´´ı suceda.

Linealidad de Respuesta. Se dice que un instr instrumen umento to prese presenta nta una res res-puesta lineal cuando la razóon n de proporcionalidad entre sus señ nales ales de entrada y de salida puede ser expr expresada esada como la ecuac ecuaci´ ióon n de una l´ınea recta. La mayor´´ıa de los luxóometros mayor metros presentan una respuesta lineal, lo que permite extrapolar la determinacióon n del error que presentará el luxóometro metro cuando mida niveles de iluminancia distintos a los valores calibrados. Sensibilidad. La sensib sensibilidad ilidad de dell instrum instrument entoo es la razóon n entre el cambio que sufre su respuesta a un est est´´ımulo y el cambio del est est´´ımulo mismo [19], [20]. [20 ]. Un lux lux´óometro metro con una alta sensibilidad permitirá detectar variaciones peque˜ n nas as en los niveles de iluminancia que esté midiendo, lo que se reflejará en la repetibilidad de sus lecturas. En este caso será necesario asegurar que el nivel de iluminancia que se est´ e midiendo se mantenga estable. Exactitud Exactitu d de Medi Medida. da. La exact exactitu itud d de medid medidaa de un ins instru trumen mento to de medici´ on on se refiere a su capacidad para dar respuestas próximas oximas al valor verdadero del mensurando [19, 20]. Este téermino rmino es meramente cualitativo y debe cuantificarse mediante la determinacióon n del error que presentan las mediciones medicio nes realizad realizadas as con éel. l. Correcci´ on n Cosenoidal. La correcci´ nindependientemente cosenoidal en un lux´ oometro metro se refiere a su o capacidad para colectar la luzoon del áangulo ngulo de incidencia y dirigirla hacia el detector, cuya áarea rea sensible es habitualmente peque˜ n naa [7]. En gener general, al, el dete detector ctor de un lux´ ometro ometro est´ a cubierto por un difusor difus or que dispers dispersaa la luz al tiempo que la trans transmite, mite, pro provocan vocando do as´ as´ı una iluminancia ilumin ancia u uniforme niforme sobre toda el áarea rea efect efectiva iva de deteccióon, n, que es normalmente menor al áarea rea del difusor.

Cap´ıtulo 2 Calibraci´ on de Lux´ on ometros ometros En este Cap Cap´´ıtulo se muestra el pro procedimiento cedimiento que se sigue en el Lab Laboratorio oratorio de Fotometr´ Fotometr´ıa de CENAM para la calibra calibraci´ ción on de luxóometros, metros, que consiste en la determinacióon n del error que estos instrumentos presentan al medir iluminancia, y que com´ u unmente nmente se utilizan para verificar los niveles de iluminación on con los que se cuentan en las distintas áareas reas de trabajo. Como en cualquier calibración, on, este error se reporta acompañ nado ado de su incertidumbree y por ello en este Cap incertidumbr Cap´´ıtulo tambi tambi´éen n se detalla la aplicación on del méetodo todo usado en el Lab Laboratori oratorioo d dee Fotometr Fotometr´´ıa de CE CENAM NAM p para ara obtener esta estimacióon; n; mismo que se conoce como el M´ eto et o do GU GUM M y que es una recomendaci´ oon n de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM 1 ) [21].

2.1 2. 1

Il Ilum umin inan anci cias as de Re Refe fere renc ncia ia

Una calibraci´ o on n es una oper operaci ación ón realizada bajo condiciones espec espec´´ıficas que primero establece una relacióon n entre los valores y sus incertidumbres de medicióon n asoc asociad iadas as obt obteni enidas das a par partir tir de los pat patron rones es de med medici ici´óon, n, y las corre correspondie spondiente ntess indic indicacion aciones es con sus incer incertidum tidumbres bres asociadas; y posteriormente utiliza esta informacióon n para establecer una relacióon n que permita obtener un resultado de medicióon n a partir de una indicacióon n [[19 19,, 20 20]. ]. El patr´ o on n de medici´ o on n puede ser una medida materializada, un instrumento de medicióon, n, un material, o un sistema de medici´ oon n destinado a definir, realizar, conservar o reproducir una unidad o varios valores de una magnitud para que sirvan como referencia [19, 20]. 1

Por las siglas para Bureau International des Poids et Mesures .

15

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

16

Fuente

E 1

E 2

d 1 d 2

Figuraa 2.1: Diagrama esquemático Figur atico de la propagación on de una onda esférica. erica.

Como en el caso de los luxóometros metros la magnitud que miden es la iluminancia, entonces es necesario contar con valores de iluminancia que sirvan como referencia referencia a las lect lecturas uras que de éestos stos se obten obtengan gan con el lux´ ometro ometro que se dese deseaa calib calibrar. rar. Estos va valores lores de iluminanci iluminanciaa de refere referencia, ncia, o simple simple-mente iluminancias de referencia, son unas medidas que se materializan al implementar un p principi rincipioo f´ıısico sico de m medici´ edicióon n a trav´ tr avés es de un méto etodo esp es pec´ıfico ıfi co..

2.1.1

Principio F´ F´ısico de Medici´ Medici´ on on

El principio f´ıısico sico que se utiliza para la generaci´ oon n de las iluminancias de referencia es el principio de la conservacióon n de la energ energ´´ıa, que permite asumir que cuando la luz que emite una fuente luminosa se propaga, éesta sta mantiene uniforme su densidad sobre las superficies de esferas virtuales concéentricas ntricas a la fuente, llamadas frente frentess de onda esféericos, ricos, como se muestra en la Fig. 2.1 [1]. Este principio ff´´ısico de medic medici´ ióon n puede ser realizado al implementar experimentalmente modelos matemáaticos ticos que relacionen a la iluminancia con otras magnitudes; como los mostrados en las Ecs. (1.8) y (1.10).

2.1.2

Bancos Fotom´ etricos etricos

En el Laborat Laboratorio orio de Fotome otometr tr´´ıa del CENAM se cuen cuenta ta con dos arreg arreglos los ban cos foto fotom´ m´ etricos etri cos, que se experimen experi mentales tales,, usual usualmen mente te refe referidos ridos como bancos

2.1. ILUMI ILUMINANC NANCIAS IAS DE REFE REFERENC RENCIA IA Abertura Ajustable

I v

Distancia Variable

17 (a)) (a

Pantallas Móviles

Lámpara Patrón

E v Luxómetro bajo Calibración

Láser para Alineación

d

Abertura Ajustable

I v Lámpara Patrón

Rueda de Filtros

( b)

Pantallas

Distancia Fija

E v Luxómetro bajo Calibración

Láser para Alineación

d

Figura 2.2: Bancos fotométricos etricos del CENAM con (a) distan distancia cia variabl ariablee y (b) transmitancia variable.

utilizan para materializar iluminancias de referencia a partir de la implementacióon n de la Ley de Bouguer, Ec. (1.8). En uno de ellos, constituido por una mesa estable en la que estáan n montados dos rieles que corren paralelos a lo largo de la mesa, la Ley de Bouguer se implementa directamente a partir de su forma mostrada en la Ec. (1.8); colocando la fuente luminosa, una láampara mpara incandescente tipo FEL, en uno de los extremos del riel principal y deslizando sobre éeste ste monturas que sirven para portar el detector del luxóometro metro bajo calib calibraci´ raci´ oon n a fin de ubicarlo en la posicióon n adecuada. En el otro riel hay instalado un sistema de alineacióon n con el que se puede determinar con suficiente exactitud la distancia de referencia entre la fuente y el detector del luxóometro; metro; de esta forma, al conocer el valor de intensidad luminosa I luminosa I v de la láampa mpara ra sólo olo es necesario variar la distancia d distancia d para para obtener distintos valores de iluminancia E iluminancia E v , Fig. 2.2.a [22].

18

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

En el otro banco con que cuenta CENAM en su Laboratorio de Fotometr´´ıa, Fi tometr Fig. g. 2.2 2.2.b, .b, llaa Ley de B Bouguer ouguer ssee implem implementa enta con una ligera variante: 

E v = I v2 = T 2I   , d d

  ··

v

(2.1)

donde T  representa donde T representa el valor de transmitancia de un filtro de densidad óoptica ptica neutra que, dependiendo de su valor, modifica la intensidad luminosa original I v de la láampara mpara para producir una nueva intensidad luminosa I v . Este segundo banco tambi tambi´éen n está ensamblado sobre una mesa estable que cuenta con un sistema de alineacióon n y ajuste de posicióon n similar al del anterior; la diferencia es que este banco cuenta con un porta-filtros colocado frente a la láampara mpara y controlado electróonicam nicamen ente, te, con el que es posib posible le seleccionar un valor de transmitancia adecuado de entre aquéellos llos que pueden lograrse con combinaciones de filtros de densidad óoptica ptica neutra con distintas 

transmitancias. transmitanc ias. De esta maner manera, a, el cambio en el valor de la transmitan transmitancia cia T T permite generar los valores de iluminancia de referencia E v manteniendo el detector del luxóometro metro bajo calib calibraci´ raci´ oon n siempre a la misma distancia distancia d d [23]. Adicionalmente, ambos bancos fotoméetricos tricos cuentan con pantallas que se colocan sobre sus rieles principales y perpendicularmente a sus ejes óopticos, pticos, formados por p or la l´ınea recta que une a la láampara mpara y al dete detector ctor del luxóometro. metro. Estas pantallas poseen una abertura circular que debe centrarse con respecto a estos ejes ópticos opticos y que sirven para definir el cono de luz (áangulo ngulo sóolido) lido) que iluminará al detector del luxóometro; metro; y tambi´ een n para bloquear las reflexiones que de otra forma alcanzar alcanzar´´ıan a incidir sobre el detector del luxóometro metro y que se conocen como “luz extraviada”. En ambos bancos fotoméetricos tricos instalados en CENAM se compara el valor de la iluminancia de referencia realizada seometro ha descrito anteriormente, contra la lectura que de éesta sta prop proporciona orcionacomo el lux´ ometro bajo calibraci´ oon; n; sin embargo, tambiéen n es posible comparar las lecturas que de una misma iluminancia proporcionen dos luxóometros; metros; uno de ellos se utilizará como patrón on y su lectura servirá de referencia, y el otro será el calibrando; aunque esta posibilidad no será pres presentad entadaa aqu´ıı..

2.1.3

L´ amparas amparas Patr´ o on n

Como se puede observar, cuando se utiliza la Ley de Bouguer para generar iluminancias de referencia, la láampara mpara constituye un elemento clave del banco fo-

2.1. ILUMI ILUMINANC NANCIAS IAS DE REFE REFERENC RENCIA IA

19

ampara inc incand andesc escen ente te tipo FEL des desarr arrolla ollada da en CEN CENAM AM com comoo Figura 2.3: Lámpara patrón on para inte intensidad nsidad luminosa.

toméetrico, trico, por ello, a continuacióon n se ofrecen algunas recomendaciones ú utiles tiles para la eleccióon n y uso de éestas. stas. En fotometr´ııaa se u utilizan tilizan habitu habitualmente almente láamparas mparas incandescentes con filamento de tungsteno, debido a la similitud que su espectro de emisióon n tiene con el del iluminante estáandar ndar A de la CIE. De esta forma, ademáass de calibrarse en intensidad luminosa, estas láamparas mparas tambi´ een n se calibran en temperatur pera turaa de col color or bus buscan cando do que éesta sta sea tan cer cercan canaa a 2 856 K com comoo sea posible posi ble.. Est Estas as láamparas mparas suelen montarse en bases que permiten su soporte, alimentaci´ oon n eléectrica ctr ica y aalin lineaci eaci´óon, n, como se muestra en la Fig. 2.3. Un aspecto importante a considerar en las láamparas mparas incandescentes es el envejecimiento que sufren debido a su uso, lo que hace necesaria su verificacióon n frecuente para constatar que su intensidad luminosa no haya sufrido cambios significativos. Adicionalmente a la realizacióon n de estas verifi verificacio caciones nes p peri´ eri´ oodicas, dicas, resulta conveniente monitorear la variacióon n de la intensidad de corriente eléectrica ctrica directa y de la tensióon n el´ eectrica ctrica a las que opera la láampara, mpara, para de esta

20

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

RSh V S h fem

i

V  L

R L

Figura 2.4: Circuito usado en CENAM para monitorear la intensidad de corriente eléctrica ectrica direct directaa que alime alimenta nta a la lámpara ampara patrón on y la tensión on eléctri ect rica ca en ésta es ta..

manera vigilar la estab manera estabilida ilidad d de su intens intensidad idad luminosa luminosa.. Esta vigila vigilancia ncia de los paráametros metros eléectricos ctricos de oper operaci´ ación o n de la láampara mpara puede realizarse con la ayuda de un par de volt volt´´ımetros y un resistor tipo Shunt, adecuadamente calibrados y conectados, por ejemplo como se muestra en la Fig. 2.4. En el Laborat Laboratorio orio de Fotome otometr tr´´ıa del CENA CENAM M se cuen cuenta ta con láamparas mparas incandescentes con filamento de tungsteno tipo FEL de fabricacióon n especi especial, al, cuyas caracter´ caracter´ısticas de estabilidad y repetibilidad son las apropiadas para su uso como patrones de trabajo. Estas láamparas mparas se op operan eran a tens tensiones iones eléectricas ctricas del orden de (90-95) V, e intensidades de corriente eléectrica ctrica directa del orden de (7.0-7.5) A, a fin de alcanzar temperaturas de color cercanas a 2 856 K. Las lámparas amparas son alimentadas con una fuente de potencia de alta estabilidad

±

en corriente cor riente eléectrica ctrica directa, con variaci variaciones ones menores que 0.01 %. Es importante mencionar que los bulbos de las láamparas mparas nunca deben ser tocados con las manos desnudas, pues la grasa que se les depositar´ııaa en dado caso, actuar actuar´´ıa en detriment detrimentoo de su durabilidad.

2.1.4

Condicion Condiciones es Ambien Ambientale taless

Iróonicamente, nicamente, la medicióon n exacta de luz requiere de un ambiente oscuro, de manera que la calibracióon n de un medidor de iluminancia debe realizarse en un recinto con su iluminacióon n apagada y sin superficies que generen reflexiones, ya que de esta manera se reduce la posibilidad de que exista luz extraviada

´ DEL LUX OMETRO ´ 2.2 2.2.. ERR ERROR OR DE MED MEDICI ICI ON

21

que pueda ser detectada por el sensor del luxóometro metro bajo calib calibraci´ raci´ oon, n, lo que se traducir traducir´´ıa en ruido para la medicióon. n. En este sentido, lo más as conv conveniente eniente es contar con un espacio totalmente oscurecido. Tambiéen n es recomend recomendable able m mantener antener co constante nstante llaa temp temperatura eratura ambiental del lugar donde se realizará la calibracióon, n, por ejemplo a 22 C 2 C, para de esta forma evitar que el detector del luxóometro metro modifique su respuesta espectral por este motivo; además as de monitorearla para mantener el registro correspondiente. Con lo que respecta a la humedad, no se tiene registro de que su efecto en las mediciones sea determinante; sin embargo, es importante cuidar que éesta sta no sea muy alta, por ejemplo 60 %; pues de otra forma se incrementa la probabilidad de que ocurra una descarga eléctrica ectrica en la fuente de p potencia otencia que alimenta a la láampara. mpara. ◦

±

◦

≤

2.2

Er Erro rorr de Me Medi dicci´ on on del Lux´ ometro ometro

El objet objetiv ivoo de la cal calibr ibraci ación ón de un lux´ ometro ometro es conocer el error ε de medici´ oon n que éeste ste presenta cuando se utiliza para determinar iluminancias, o niveles de iluminacióon. n. En el Laborato Laboratorio rio de Fotome otometr tr´´ıa del CENA CENAM M el error se obtiene mediante el método etodo de comparacióon, n, al contrastar los valores de iluminancia de referencia realizados en el banco fotoméetrico trico contra los valore aloress prome promedio dio de las lectu lecturas ras de ilumin iluminancia ancia que el lux´ ometro ometro bajo calibraci´ oon n entrega para esos mismos niveles de iluminancia. A continuacióon n se describiráan n las práacticas cticas que se siguen en el Laboratorio de Fotometr otometr´´ıa del CENAM para la calibracióon n de luxóometros metros y posteriormente sedatos ejemplificar´ a launa obtenci´ oon n de resultados cada aprovechando reales de calibraci´ oon n los realizada a un de lux´ oometro metretapa, o propiedad del d el CENAM en el banco fo fotom´ toméetrico trico con distan distancia cia variable, Fig. 2. 2.2.a. 2.a.

2.2.1

Preparaci´ on on del del Lux´ ometro ometro

Previamente al env Previamente env´´ıo de un luxóometro metro para su calibracióon, n, y sobre todo si existen antecedentes o recomendaciones que as´ as´ı lo sugieran, es deseable que éeste ste haya sido enviado con el fabricante para su limpieza, mantenimiento o ajuste, ya que una vez calibrado, cualquier modificacióon n en estos sentidos invalidará los resultados que se reporten como producto de la calibracióon. n.

22

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

Una vez que el luxóometro metro se encuentre ambientado en el laboratorio donde se reali r ealizar´ zará la cali calibra braci´ ción, on, o quizá incluso mientras se permite esta ambientacióon n al luxóometro, metro, es importante que el metróologo logo que realizará la calibración on estudie con detenimiento el manual de operacióon n del luxóometro metro a fin de que pueda operarlo adecuadamente. En el manual de operacióon n provisto por el fabricante del luxóometro, metro, el metr´ oologo logo podrá encontrar todas las especificaciones téecnicas cnicas del luxóometro metro as as´´ı como las instrucciones para su operacióon, n, tales como la seleccióon n de la escala, la tolerancia con que cuenta, la identificacióon n del plano de referencia, etc. La ubicacióon n de éste es te ultimo u ´ltimo es importante porque determina la distancia efectiva a la que se estará midiendo la iluminancia de referencia. Tambi´ een n es muy imp importante ortante aajustar justar a cero la señ nal al en oscuro o nivel de cero de cada escala del luxóometro metro antes de comenzar con su calibracióon; n; esto se logra encendiendo el luxóometro metro en total oscuridad y girando la perilla apropiada hasta que el valor deplegado en la pantalla del luxóometro metro sea cero. Si no es posible realizar este ajuste, entonces será necesario anotar el valor desplegado por el luxómetro ometro en ausencia de iluminacióon n y corregir las lecturas que se tomen durante la calibracióon n substray substray´éendoles ndoles a cada una el nivel de señal nal en oscuro que tenga el luxóometro metro para esa escala. Como regla general, entre máass cuidados se tengan al momento de calibrar, más as fuentes de incertidumbre para la medicióon n podráan n ser despreciadas.

2.2. 2. 2.2 2

Alin Alinea eaci ci´ on on del Sistema ´

Una vez preparado el luxóometro, met ro, éeste ste deb debee in incorp corpora orarse rse aall ba banco nco foto fotom´ métrico etri co para su calibracióon, n, considerando de entrada que la intensidad luminosa de una láampara mpara está determinada para una direccióon n espec espec´´ıfica, por lo que la medici´ oon n de las ilumi iluminancia nanciass de refe referenc rencia ia que éesta sta gener generee debe reali realizarse zarse u unicamente ´ nicamente a lo largo de esta direccióon; n; lo que requiere de la definicióon n de un eje óoptico ptico a lo largo del que deberáan n alinearse la láampara, mpara, las pantallas y el luxóometro. metro. Como este eje óoptico ptico queda definido en el plano horizontal del banco fotoméetrico trico mediante el eje longitudinal del riel, sóolo lo se requiere ajustar la altura de los elementos involucrados, lo que puede hacerse con la ayuda de un haz láaser ser visible que incida perpendicularmente al plano de referencia del detector tect or del luxóometro. metro. El haz láaser ser debe alinearse de manera que incida en la parte central d del el fil filamento amento d dee la láampara mpara patróon. n. Es conveniente utilizar una mirilla miril la para lograr una mejo mejorr alinea alineaci´ ci´ oon n de la altura del eje óoptico, ptico, tomando

´ DEL LUX OMETRO ´ 2.2 2.2.. ERR ERROR OR DE MED MEDICI ICI ON

23

los ejes horizontal y vertical de la mirilla como referencia para ubicar en su interseccióon n al centro del difusor del luxóometro. metro. La mirilla tambi´ een n permite ajustar máass finamente la perpendicularidad del plano de referencia del fotodetector. La superficie sensible de la cabeza detectora del luxómetro ometro debe ser utilizada como plano de referencia para medir la distancia a la que se leerá la iluminancia de referencia durante la calibracióon; n; sin embargo, generalmente esta cabeza sensora está cubierta por un difusor para correccióon n cosenoidal que impide conocer la ubicacióon n exacta de la superficie sensible cuando éesta sta no es reportada en el manual de operacióon n del luxóometro metro o marcada en la cabeza detectora. En estos casos la separacióon n entre los planos del difusor y de la superficie sensible del detector deberá ser estimada para considerarse como una contribución on a la incertidumbre del error de medicióon. n. Una indefinicióon n clara del plano de referencia puede ocasionar errores de lecturacercanas importantes, especialmente cuando se coloca el luxóometro metro en posiciones a la láampara. mpara.

2.2.3

Encendido de de la L´ ampara ampara Patr´ Patr´ on on

Cuando la alineacióon n del eje óoptico ptico se haya logrado con satisfacci´ oon, n, será necesario encender la fuente de alimentaci´ oon n de la láampara mp ara pat patr´ róon n oper´ op erándola andola conforme a las especificaciones de su certificado para lograr la estabilidad y funcionalidad deseadas en la láampara mpara patróon. n. El ini inicio cio de ope operac raci´ i´ oon n de la láampara mpara debe ser lento, con incrementos pequeñ nos os de intensidad de corriente eléctrica, ectrica, de tal manera que se forme una rampa de encendido. Tambiéen n se recomiend recomiendaa encender las láamparas mparas con suficiente antelación on para permitir que el flujo de luz se estab estabilice ilice y reduc reducir ir as´ as´ı la posibili posibilidad dad de que variaciones en las iluminancias de referencia ocasionadas por este motivo sean atribu´ııdas das incorrecta incorrectamente mente al luxómetro. ometro. Este tiempo de estabilización on varia dependiendo del tipo de láampara mpara que se esté utilizando [24]; en el caso de las lámparas amparas incandescentes tipo FEL, treinta minutos resultan suficientes habitualmente [25]. Tambiéen n deb debee regi registrase strase la h hora ora d dee encend encendido ido de la láampara mp ara pat patr´ róon, n, pues esto permitirá llevar un conteo del nú umero mero de horas que la láampara mpara ha estado encendida ence ndida y p podr´ odrá usarse como criterio de decisióon n en el dise˜ n noo del programa de verificacióon n o calibra calibraci´ cióon n de la láampara. mpara.

24

2.2. 2. 2.4 4

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

Adqu Adquis isic ici´ i´ on on de Lecturas

Para iniciar con la adquisicióon n de lecturas es necesario determinar los valores de iluminancia de referencia que seráan n utilizados para la calibraci´ oon n del luxóometro; metro; ya sean aquéellos llos que hayan sido solicitados expresamen expresamente te por el cliente, los que requiera una norma o especificacióon n téecnica, cni ca, o un unaa serie s erie de valores convenientemente dist distribu ribu´´ıdos dentro del intervalo nomi nominal nal de medición on que resulte en la escala en que se vaya a calibrar el luxóometro; metro; p por or ejemplo los correspondientes al 10 %, 35 %, 65 % y 90 % de la escala. Posteriormente, si el banco no cuenta con filtros de densidad óoptica ptica neutra, se debe considerar T   T   = 1 en la Ec. (2.1) y calcular las distancias que correspondan a los valores de iluminancia de referencia seleccionados para as as´´ı determinar las posiciones a lo largo del riel del banco fotoméetrico trico a las que se s e col colocar´ ocará el detector del luxómetro ometro para obtener sus lecturas. Si por el contrario, el banco cuenta con filtros de densidad óoptica ptica neutra, entonces será necesario identificar los valore valoress de transmitancia que permitiráan n reproducir las iluminancias de referencia necesarias, usando éestos stos en la Ec. (2.1) para una distancia d distancia d conveniente. En cualquier caso y para cada nivel de iluminancia de referencia realizado, el fotodetector del luxóometro metro deberá ser colocado a la distancia adecuada para adquirir tantas lecturas como se desee o como sea posible; pues la dispers dispersi´ ióon n de la media aritméetica tica de éestas stas se reduce conforme aumenta su número, umero, presentando entonces una mejor repetibilidad. Paraa los valores de ilumi Par iluminancia nancia de refe referenc rencia ia bajos se vuel vuelve ve cr´ cr´ıtica la colocación on de las pantallas que forman el cono de luz que ilumina al fotodetector del luxóometro metro bajo calib calibraci´ raci´ oon n y que ayudan as´ı a reducir la cantidad de luz extra extravia viada da que pud pudier ieraa alc alcanz anzar ar a inc incidi idirle rle;; mie mient ntras ras que par paraa los valores de iluminancia de referencia altos la eventual contribucióon n por luz extraviada puede incluso resultar insignificante al compararse contra el nivel de iluminancia que está detectand detectandoo el luxómetro. ometro. Por otro lado, para nive niveles les de ilumin iluminancia ancia altos, como los que se alcan alcanzan zan cuando el fotodetector del luxóometro metro se encuentra muy cercano a la láampara, mpara, la respuesta de algunos luxóometros metros puede resultar seriamente afectada por el calor producido por la lámpara, ampara, lo que induce una deriva en las lecturas proporcionadas por el luxóometro metro y ocasiona errores graves en la adquisicióon n de las lecturas ya que éestas stas tienden a variar de manera imp importante. ortante. En este caso, debe procurarse acortar el tiempo de exposición on del fotodetector al calor emitido por la láampara mpara patróon, n, adquiriendo ráapidamente pidamente las lecturas.

´ DEL LUX OMETRO ´ 2.2 2.2.. ERR ERROR OR DE MED MEDICI ICI ON

25

Se recomienda que al inicio de la toma de lecturas se registren los valores de temperatura y humedad que se tengan en el laboratorio, pues de esta forma se podráan n identificar variaciones en estos paráametros metros ambientales y será posible vincularlos con eventuales variaciones en las lecturas.

2.2.5

Apagado de de la L´ ampara ampara Patr´ Patr´ on on

Al concluir la adquisicióon n de las lecturas se procede a apagar la fuente de alimentaci´ oon n de la láampara mpara patrón, on, realizando preferentemente decrementos suaves suav es de la corr corriente iente eléectrica ctrica en forma de una rampa desce descenden ndente. te. Al alcanzar el final de la rampa, se apaga totalmente la fuente de alimentación on y se desmonta el luxóometro metro bajo calibracióon. n. Se recomienda que a continuacióon n vuelv vuelvan an a regis registrars trarsee la temper temperatura atura y la humedad del laboratorio para contar con un historial de la estabilidad de éestas stas y as as´´ı tener op oportunidad ortunidad de determinar si afectaron o no a las lecturas. Por u ultimo ´ltimo tambiéen n deb debee registrarse la hora de apag apagado ado de la láampara mpara patrón on y calcular el tiempo que estuvo encendida para realizar la calibracióon. n.

2.2. 2.2.6 6

Dete Determ rmin inac aci´ i´ o on n del Error

El error de medición ε on ε Oj que el luxóometro metro comete al medir el nivel de iluminancia de referencia referencia E v, aampara mpara patróon n en el punto punto   O j v, Oj generado por la l´ de alguna escala de medicióon n del luxóometro, metro, puede expresarse mediante la relaci´ oon n siguiente: ¯v, (2.2) εOj = E E vv,, Oj , v, Oj

−

¯v, donde E v, Oj representa el promedio de las lecturas de iluminancia dadas por el luxóometro metro bajo calibracióon n para el mismo punto punto O O j . Es importante mencionar que el signo que resulte para el error debe respetarse,, pues éeste petarse ste indic indicaa la forma como est´ a midiendo el luxóometro metro;; por ejemplo, si el signo del error resultara p positivo, ositivo, significar significar´´ıa que el luxóometro metro está sobre-leyendo los niveles de iluminancia; y viceversa. Como ya se dijo, la iluminancia generada por una lámpara ampara patróon n con intensidad luminosa I luminosa I v, punto O j ubicado a una distancia d distancia d Oj puede v, Oj en un punto O calcularse usando la Ec. (1.8), o su generalizacióon n dada en la Ec. (2.1): E v, v,

Oj =

·

T Oj I vv,, 2 dO j

Oj

;

(2.3)

26

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

mientras que el valor promedio de las lecturas de iluminancia obtenidas con el luxóometro metro bajo calibracióon n puede calcular calcularse se usando usando:: n

¯v, E v,

1 Oj = n

 ·

E vi ,

Oj ;

(2.4)

i=1

donde E vi , Oj representa a cada una de las n lecturas de iluminancia que se obtengan en el punto punto O j , mismas que previamente deben haber sido corregidas por ejemplo restáandoles ndoles la señ nal al de fondo2 E vv,, F   para la escala del luxóometro metro que se est est´é usando usando,, y que puede estar compues compuesta ta por la se˜ nal nal en oscuro del luxóometro E metro E v, n nal al debida a la luz extraviada extraviada E E v, v , SO y por la se˜ v , LE Oj que alcanza el punto O punto O j : E v, v, F   = E v, v , SO + E v, v , LE Oj .

(2.5)

De esta forma, la Ec. (2.2) tambi´ een n puede escribirse como: 1 εOj = n

n

 ·

(E vi ,

Oj )

− T ·d I Oj

v v,, Oj

2

,

(2.6)

Oj

i=1

y constituye el modelo matemáatico tico de medicióon n que se usa en la calibración on de un luxóometro metro para el valor de iluminancia de referencia que sea realizado en alg´ u un n punto punto   O j .

2.2.7 2.2 .7

Factor actor de Corre Correcci cci´ on on ´

Como muchos de los luxóometros metros actualmente disponibles en el mercado presentan una respuesta con comportamiento lineal, entonces es posible detero on n F C  para minar un factor de correcci´ para cada escala de medicióon n que tenga el luxómetro ometro a partir del conocimiento de su error de medicióon, n, ev evaluado aluado en varios puntos distribuidos convenientemente en el intervalo nominal de medici´ oon n definido por la escala. Como una aproximación on muy conveniente, este factor de correccióon n puede obtenerse calculando la media aritméetica tica de los factores de correcci´ oon n obtenidos para cada uno de los m los m puntos de medición on O j considerados para una escala, es decir: m 1 F C   = F C Oj , (2.7) m j=1

·

2



El anglicismo com´ unmente utilizado en este caso es offset . unmente

2.3. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

27

donde el factor de corrección on F C Oj para cada punto de medición on O j de la escala está dado por: E vv,, O j F C Oj = E (2.8) ¯vv,, Oj , ¯vv,, Oj dados por las Ecs. (2.3) y (2.4), respectivamente; por lo con E vv,, Oj y E con que la Ec. (2.7) tambi´ een n puede escribirse como: m

E vv,, ¯vv,, E

 

1 F C   = m j=1

Oj

.

(2.9)

Oj

El factor de corrección on para una escala permite conocer las lecturas de iluminancia corregidas E corregidas E vC , Oj que en esa escala se obtengan con el luxóometro metro calibrado. Para ello, bastará utilizarlo de la siguiente forma: E vC ,

2.3 2. 3

Oj = F C

· E ¯

v v,, Oj .

(2.10)

In Ince cert rtid idum umbre bre del Er Erro rorr

Como puede entenderse el resultado del cáalculo lculo del error que presenta el luxóometro metro dep depende ende de qué tan exactos sean los valores usados para las magnitudes que conforman este modelo matemáatico, tico, conocid conocidas as como magnitudes de entrada en el modelo de medicióon n de la Ec Ec.. (2.6 (2.6)) [19, 20] 20].. A su vez, quizá estas magnitudes de entrada tambi tambi´éen n dep dependan endan de algunas otras magnitude magn itudess de influe influencia ncia [19, 20] 20],, com comoo la tem tempera peratur turaa am ambie bient ntal, al, la humedad, etc.; o su valor requiera ser calculado a partir de otras magnitudes de entrada en su modelo matemáatico tico parti particular cular.. Por esta estass razones el valor del error del luxóometro metro no debe ser considerado como un valor totalmente cierto y será necesario estimar su incertidumbre. on on es un paráametro Como la incertidumbre de medici´ metro no negativo que caracteriza la dispersióon n de los valores atribuidos a un mensurando [19, 20]; entonces para el caso de particular inter inter´ées, s, éesta sta permite cuantificar la confiabilidad de las lecturas realizadas con el luxóometro. metro. En el caso de los luxóometros metros que se calibran en el CENAM la estimación on de iincertidu ncertidumbre mbre se realiza siguien siguiendo do el método etodo establec establecido ido en llaa ““Gu Gu´´ıa ISO/BIPM para la expresióon n de la incertidumbre de la medicióon” n” [26, 27].

28

2.3.1 2.3 .1

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

Ide Iden ntificac tificaci´ i´ on on de las Fuentes de Incertidumbre

El primer paso en la estimacióon n de la incertidumbre consiste en identificar las fuentes relevantes, que estaráan n dadas por las diferentes magnitudes de entra en trada da y de infl influen uencia cia que afe afecta ctan n el valor del men mensur surand ando, o, el err error or de medici´ oon n del luxóometro metro en este caso. A contin continuac uaci´ i´ oon n se describiráan n algunas de las fuentes de incertidumbre máass relevantes para la calibracióon n de luxóometros. metros. Resu Resulta lta important importantee mencionar que aunque no todas influyen de manera significativa, de inicio siempre debe analizarse su efecto y cuantificar su contribucióon n a la incertidumbre, para con base en esta informacióon n decidir si éestas stas pueden o no ser despreciadas.

Intensidad Luminosa de la L´ a ampara mpara Patr´ o on. n. La láampara mpara patróon, n, cuyo valor de intensidad luminosa I luminosa I v es conocido; es la que permite realizar la calibracióon n del luxóometro metro al comparar las lecturas de éeste ste con la iluminancia de referencia que se calcule que deba producir la láampara mpara patróon n en la posición on donde se coloque el luxóometro. metro. Cuando se determina la intensidad luminosa de la lámpara ampara patróon n también en se estima la incertidumbr incertidumbree de este valor, misma que se propaga al calcular la iluminancia de referencia ya descrita y por ello la incertidumbre asociada a la intensidad luminosa de la láampara mpara patróon n debe ser consi considerad deradaa como una fuente de incertidumbre del error de medicióon n de un luxóometro. metro. La incertidumbre del valor de intensidad luminosa de la láampara mpara patróon n aparece reportada en su certificado o informe de calibracióon. n.

Corriente de Alimentaci´ o on n de la L´ a ampara mp ara.. El v valor alor de intensidad luminosa reportado en el certificado de la láampara mpara patróon, n, ha sido determin determinado ado mientras éesta sta se opera operaba ba con una intensidad de corriente eléctrica ectrica directa espec´´ıfica; que po pec podr dr´´ıa ser distinta de llaa q que ue ef efectivamente ectivamente se use para alimentar a la láampara mpara durante la calibracióon n del luxóometro, metro, provocando entonces que la intensidad luminosa producida difiera de la reportada en el certificado. Adicionalmente, esta intensidad de la corriente eléectrica ctrica directa con la que se alimenta a la láampara mpara patróon n puede estar variando dependiendo de la estabilidad estabil idad de llaa fuente de al alimentaci´ imentacióon n que se u use, se, oocasion casionando ando un cambio en la intensidad luminosa y, por consecuencia, provocando que las iluminancias de referencia calculadas a partir de la intensidad luminosa reportada en el certificado de la láampara mpara sean distintas a las que en ese momento éesta sta esté produciendo en realidad.

2.3. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

29

Distancia. Dad Dadoo que las lec lectur turas as de ilu ilumin minanc ancia ia pro proporc porcion ionada adass por el luxóometro metro ba jo calibracióon n se comparan contra la iluminancia de referencia provista por la láampara mpara patróon, n, calculada para la distancia a la que se coloca el luxóometro metro;; est estaa dis distan tancia cia debe ser med medida ida con la exa exacti ctitud tud apr apropi opiada ada,, considerando el error que tenga la graduacióon n del riel o regla que se utilice para determinarla; y por tanto se convierte en una fuente de incertidumbre en la determinacióon n de la iluminancia de referencia. Esta fuen fuente te de incer incertidum tidumbre bre puede vol volver verse se cr cr´´ıtic ıticaa cuand cuandoo se trabaja a distancias cortas; es decir, cuando se coloca el luxóometro metro muy cerca a la láampara, mpara, ya que entre menor sea esta separacióon, n , más as ráapidamente pidamente variará la iluminancia, lo que significa que un error pequeño no en la determinacióon n de la dista distancia ncia producir´ a un valor de iluminancia muy distinto al esperado. Transmita ransmitancia ncia del Filt Filtro. ro. Aun Aunque que los filtr filtros os de den densid sidad ad óoptica ptica neutra quel se usan alguno algunos s bancos eetricos tric os seteacomp acompa˜ añ nan an dealunlote valor nomina nominal para suen trans transmitan mitancia, cia, éeste stefotom´ habitu habitualmen almente corr corresponde esponde de fabricaci´ on on del filtro y puede diferir del valor de transmitancia que efectivamente men te tenga ese filtro en parti particular cular.. Por ello, siempre es con conve venien niente te medir la transmitancia de cada filtro de densidad óoptica ptica neutra para as´ as´ı co conoce nocerr el valor real de su transmitancia y estimar su incertidumbre. Como el valor de transmitancia que se obtenga será usado para calcular las iluminacias de referencia, entonces su incertidumbre se propagará en la calibraci´ oon n del luxóometro metro a trav trav´és es del valor de la iluminancia de referencia. Tambiéen n resulta imp importante ortante verificar perióodicamente dicamente los valores de transmitanciaa oobtenido mitanci btenidoss p para ara los filtros, pues éestos stos po podr dr´´ıan cambiar signifi significativacativamente debido a su envejecimiento natural o a algú un n deterioro imprevisto.

Resoluci´ o on n del Lux´ o ometro. metro. La resoluci´ oon n del luxóometro metro limita la exactitud con la cual se pueden realizar las mediciones de iluminancia; y por ello éesta sta tambiéen n es una fuent fuentee d dee iincer ncertid tidumbre umbre.. Repetibilidad de las Lecturas. El mejor estimado del error de medición on que presenta un luxóometro metro se obtiene con el promedio de una serie de lecturas repetidas; repeti das; mien mientras tras que la dispers dispersi´ ióon n que presentan estas lecturas, que es causada por algunas de las mú ultiples ltiples contribuciones a la incertidumbr incertidumbre, e, puede cuantificarse mediante la desviacióon n estáandar ndar experimental del promedio de las lect lecturas uras tomada tomadas. s.

30

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

Luz Extraviada. Como y yaa se me mencion ncion´óo,, la luz extraviada es aquéella lla que incide de manera indirecta en el detector del luxóometro metro después es de hab haberse erse reflejado en alguna otra superficie, como puede ser la mesa sobre la que se encuentr encue ntree instal instalado ado el banco fotoméetrico trico o las pared paredes es del laborato laboratorio. rio. En ocasiones se logra reducir suficientemente esta luz extraviada al colocar las pantallas y al pintar las paredes del laboratorio con pintura mate negra; sin embargo, si no es el caso entonces su contribucióon n a la incertidumbre debe ser considerada. Temperatura Ambien Ambiental. tal. Las var variacion iaciones es en la temper temperatura atura ambi ambien ental tal que se susciten en el laboratorio durante la calibracióon n del luxómetro ometro cambiaráan n la temperatura de su fotodetector, pudiendo alterar su responsividad y ocasionando como consecuencia lecturas de iluminancia distintas a las verdadera dad eras. s. De est estaa for forma, ma, cua cuando ndo no pue pueda da con contro trolar larse se ade adecua cuadam damen ente te la temperatura su contribuci´ n a la incertidumbre en la calibración on del luxóometro me troambiental, tambiéen n tend tendr´ rá que seroon considerada. Al igu igual al que en el cas casoo de la dis distan tancia cia,, est estaa fue fuent ntee de inc incert ertidu idumb mbre re adquiere mayor relevancia relevancia cuando el luxóometro metro se acerca a la láampara mpara patróon, n, pues el fotodetector del luxóometro metro se calienta máass ráapidamente pidamente modificando considerablemente su responsividad. En este caso se sugiere registrar las lecturas ráapidamente. pidamente.

Perpendicularidad del Detector. La in intensidad tensidad luminosa de la láampara mpara patróon n está determinada para una direccióon n espec espec´´ıfica, y la iluminancia que éesta sta causa a una dete determinad rminadaa distan distancia cia consid considera era que el áarea rea ilumin iluminada ada es perpendicular a la direccióon n mencio mencionada. nada. Cualq Cualquier uier des desviaci viaci´óon n de esta condición on de perpendicularidad entre el plano donde se encuentra el fotodetector del luxómetro ometro y llaa direccióon n a la que se determinó la intensidad luminosa de la láampara mpara ocas ocasionar´ ionará un cambio en la iluminancia que éesta sta pro produzca, duzca, pues en este caso la luz sóolo lo incidirá sobre un áarea rea inclinada que es igual a la proyeccióon n del áarea rea perpendicular originalmente considerada y por tanto menor men or a éesta. st a.

Correcci´ o on n de Color. El fotod fotodetector etector del luxóometro metro se dise dise˜ n na ã cuidadosamente para reproducir la funcióon n V( V(λ λ) mientras para ello se utiliza una realizacióon n particular del iluminante estáandar ndar A de la CIE; sin embargo, como ya se mencionóo,, en la realidad esta reproduccióon n no se logra a la perfeccióon. n.

2.3. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

31

Esta diferencia entre el modelo teóorico rico para el oobservador bservador estáandar ndar de llaa CI CIE E y la respo responsivida nsividad d rea reall de dell fot fotodetec odetector tor d del el lu lux´ xóometro, metro, tendrá efecto efectoss di distinstintos sobre las lecturas de iluminancia que se obtengan para diferentes tipos de fuentes luminosas; y por ello constituye una fuente de incertidumbre en la determinacióon n del error de medicióon n del luxóometro. metro. Para reducir este efecto lo deseable es conocer la responsividad espectral del fotod fotodetector etector del luxómetro ometro y ca calcular lcular con éeste ste su ccorresp orrespondiente ondiente factor de correccióon n por diferencias espectrales a fin de aplicar la correccióon n de color a las lecturas que se obtengan con el luxóometro metro.. Sin em embar bargo, go, aú un n en este caso el factor de corrección on por diferencias espectrales que haya sido calculado tendr´ a asociada una incertidumbre que deberá propagarse al determinar el error del luxóometro metro durante su calibracióon. n.

Linealidad del Fotodetector. Cuand Cuandoo los nivel niveles es de ilumina iluminancia ncia son altos, el fotodetector del luxóometro metro puede presentar saturacióon n o superlinealidad [28]; ambos fenóomenos menos consisten en generar una lectura difererente a la correspondie corr espondiente nte al niv nivel el de iluminanci iluminanciaa que se tiene tiene,, menor o may mayor, or, respectivamente. Este comportamiento se conoce como no-linealidad del fotodetector y es posible medirla para corregir las lecturas de iluminancia que se obtengan con éel, l, estimando de igual forma la incertidumbre de esta falta de linealidad para considerarla como fuente de incertidumbre en la determinacióon n del error del luxóometro. metro.

2.3. 2.3.2 2

Orga Organi niza zaci ci´ on on de las Fuentes de Incertidumbre ´

Como se mencionó anteriormente, siempre es necesario realizar un anáalisis lisis exhaustivo de todas las fuentes de incertidumbre que sean identificadas, para determinar que tan importante resulta la contribución on de cada una de ellas en la determinacióon n de la incertidumbre del error de medicióon n del luxóometro. metro. Sóolo lo después es de conocer esta informaci´ oon, n, será posible o aceptable la exclusióon n de alguna de ellas en la estimacióon n de incertidumbre ya mencionada. Este análisis alisis completo se ha realizado en CENAM y con los resultados obtenidos se han perfeccionado los bancos fotoméetricos tricos cuidando todos los detalles con la intencióon n de disminuir al máaximo ximo el impacto de las fuentes de incertidumbr incertidumbre. e. Por ello, actualmen actualmente te es posible alcanza alcanzarr altos niveles niveles de exactitud en la calibracióon n de luxóometros metros en el Laboratorio de Fotometr otometr´´ıa

32

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

Señal de Fondo Resolución del Luxómetro Temperatura Ambiental

Repetibilidad de las Lecturas

Lectura del Luxómetro

Estabilidad de la Corriente Error del Voltí metro

Intensidad Luminosa

Error

Resolución del Voltímetro Error del

Transmitancia del Filtro

Espectrofotómetro

Iluminancia de Referencia

Error del Riel Resolución del Riel

Distancia

Figuraa 2.5: Fuentes de incertidumbre en la calibración Figur on de luxómetros. ometros.

del CENAM, al requerir de la consideracióon n de sóolo lo unas cuantas fuentes de incertidumbre. El anáalisis lisis de las fuentes de incertidumbre comienza con su ordenamiento de acuerdo a la relacióon n existente entre ellas, para lo que resulta muy útil util tomar como punto de inicio el modelo matemáatico tico del mensurando y dibuj dibujar ar un diagrama de áarbol rbo l a p partir artir d dee éeste. ste. Para el eerror rror de medicióon n del luxómetro ometro se ha considerado la Ec. (2.6) y se ha elaborado el diagrama de árbol que se muestra en la Fig. 2.5; éeste ste no pretende mostrar exhaustiv exhaustivamente amente las fuentes de incertidumbre involucradas, sino solamente servir de ejemplo del resultado que se pretende alcanzar al organizar las fuentes de incertidumbre. El diagrama de áarbol rbol nos permitirá identificar visualmente si estamos omitiendo alguna fuente de incertidumbre, la estamos considerando doblemente o la estam estamos os propa propagando gando incor incorrect rectament amentee a tra trav´ vés es de alguna otra fuen fuente; te; ademáass de que tambi´ een n nos hará consientes de las posibles consideraciones bajo las que quedará estim estimada ada la incer incertidum tidumbre. bre. Por ejemplo, podr podr´´ıamos

2.3. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

33

preferir aceptar una cierta sobre-estimacióon n generada porque la repetibilidad de las lecturas estuviera incluyendo la contribucióon n de otra fuente de incertidumbre ya considerada; que realizar el estudio de correlacióon n que se requerir´ııaa p para ara justifica justificarr la elimina eliminaci´ cióon n de esta sobre-est sobre-estimaci imaci´óon. n.

2.3.3 2.3 .3

Cu Cuan antifi tificac caci´ i´ on on de las Contribuciones

Después es de haber identificado y organizado las fuentes de incertidumbr incertidumbre, e, se contribuciones deben cuantificar sus variabilidades a fin de determinar sus contribuciones a la incertidumbre del mensurando. mensurando. Par Paraa realizar lo anterior prim primero ero es necesario obtener las incertidumbres estáandar ndar correspondientes a cada fuente de incertidumbre y posteriomente multiplicarlas por el coeficiente de sensibilidad que les corresponda.

Incerti Inc ertidumbr dumbres es Est´ a andar nda r incert certidu idumbre mbre est´ a andar nda r de una fuente de incertidumbre sigObtener la in nifica calcular la desviacióon n estáandar ndar de la distribucióon n de densidad de probabilidad babili dad que corre corresponda sponda a los valores que podr podr´´ıa tomar la magnit magnitud ud de entrada o de influencia asociada a esa fuente de incertidumbre [26, 27, 29], y que modificar modificar´´ıa el valor obtenido para el mejor estimado del mensurando. En el caso de la calibracióon n de luxóometros metros las distribuciones de densidad de probabilidad de las que com´ u unmente nmente se hace uso son la normal, la Student, la uniforme y la triangular. Repetibilidad Repetibilid ad de las Lectu Lecturas. ras. En el ca caso so de la repe repeti tibi bili lida dad d de las lecturas se asume que si el proceso de medicióon n está bien diseñ nado ado e implementado, entonces los valores que se obtengan tendrán an una distribución on de densidad de probabilidad t probabilidad t o o de Student, que es subyacente a una correspondiente distribucióon n de densidad de probabilidad Gaussiana [30]. Por lo anterior, en este caso la incertidumbre estándar andar para la repetibilidad de n lecturas de iluminancia o repeticiones E vi , Oj se calcula como la desviacióon n estáandar ndar experimental de la media de estas lecturas repetidas [26, 27]:

   √ ·  − ·

1 ¯v, u(E v, Oj ) = n ¯v, donde E v,

a Oj est´

n

1

n

1

dada por la Ec. (2.4).

¯vv,, (E

i=1

Oj

− E

vi , Oj )

2

,

(2.11)

34

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

Resoluci´ o on n de Instrumentos Digitales. Las le lecturas cturas que proporcionan los instrumentos digitales, como los luxóometros metros digitales o los volt volt´´ımetros que se usan para monit monitorear orear la int intensida ensidad d de corie coriente nte eléectrica ctrica con que se operan las láamparas mparas patróon; n; pueden tomar valores entre los dos l´ımites ımites a ad, min y ad, max de la resolución on Rd del instrumento; sin embargo, éestos stos no podrán an ser resueltos por el instrumento y siempre seráan n desplegados como uno de cualquiera de estos dos valores extremos y no será fáacil cil obtener máass informacióon n sobre la forma real de la distribucióon n de densidad de probabilidad con la que realmente se estáan n generando estas lecturas dentro del instrumento. Por ello se considera conveniente asignar una distribucióon n de densidad de probabilidad probabilidad rect rectangula angularr o unifo uniforme rme a las lecturas proporcion proporcionadas adas p por or un instrumento digital, aceptando as as´´ı que éestas stas pueden estar tomando valore valoress en todo el intervalo ∆R ∆Rd = ad, max ad, min , con la misma probabilidad de ocurrencia; o currencia; y en este caso la incertidumbre estáandar ndar correspondiente a la resoluci´ on on de instrumentos digitales se obtiene mediante [26, 27]:

|

u(Rd ) =

−

|

|

√ −

|

ad, max ad, min ∆Rd . = 12 12

√

(2.12)

La Ec. (2.12) representa la desviacióon n estáandar ndar para una distribución on de densidad de probabilidad rectangular y el cáalculo lculo para su obtencióon n se muestra a detalle en el Apéendice ndice A.

Resoluci´ o on n de Instrumentos Anal´ o ogicos. gicos. Pa Para ra el caso de los inst instrurumentos analóogicos, gicos, como los luxóometros metros analóogicos gicos o los rieles usados para colocar colo car éestos stos a lo largo del banco fotoméetrico, trico, quien interpreta las lecturas del instrumento y decide su valor es el metróologo, logo, de quien se asume que aplica su criterio para decidir si la lectura está máass próoxima xima a alguno de los dos valores a valores a a, min o o a a a, max de la resolución R on R a del instrumento, correspondientes a los valores extremos de la divisióon n menor de su escala; o quizá incluso más as cercano al valor intermedio entre ellos. Por esta razóon n el intervalo ∆ ∆R Ra = aa, max aa, min se ve reducido al conjugarse con el criterio del metróologo, logo, lo que vuelve apropiada la utilización on de la distribucióon n de densidad de probabilidad triangular y acepta con esto que las lecturas pueden tomar valores que varian entre los l´ımites de la resolución on del instrumento con una probabilidad de ocurrencia mayor para el valor medio y menor para los valores extremos. De esta forma, la incertidumbre estáandar ndar correspondiente a la resolución on de instrumentos analóogicos gicos puede obtenerse con la Ec. (2.12) si se considera

|

−

|

2.3. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

35

una distribucióon n de densidad de probabilidad rectangular; o mediante [26, 27]: ∆Ra

aa, max

aa, min

u(Ra ) = 2244 = 2244 , (2.13) que representa la desviación on estáandar ndar para una distribucióon n de densidad de probabilidad triangular, y cuya derivaci´ oon n puede obtenerse de forma similar a la presentada en el Apéendice ndice A para la distribuci´ oon n uniforme.

√

|

√ −

|

Valores Certificados. Para el caso de los v valores alores certificados certificados Q Q,, como los valores de intensidad luminosa de la láampara mpara patróon n o de transmitancia del filtro de densida densidad d óoptica ptica neutra, éestos stos deben venir acompa acompa˜ n nados ãdos de su correspondiente incertidumbre, habitualmente reportada como una incertidumbre expandida U expandida U  con con un factor de cobertura k cobertura k;; y habrá sido estimada utilizando el mis mismo mo método eto do que aqu´ı se está presentando. Por raz´ oon, n, lapara incertidumbre U   U   es en incertidumbre s´ı una desviaci´ on on estáandar ndaresta y por tanto, cuantificarexpandida su correspondiente estáandar ndar sólo olo se requiere dividirla entre el factor de cobertura k que haya sido utilizado para expandirla [26, 27]: u(Q) =

U . k

(2.14)

Coeficientes de Sensibilidad Como el grado de influencia que una magnitud de entrada tenga en la determinacióon n del error del luxóometro metro dependerá de su aportacióon n en el modelo matemáatico tico mostrado en la Ec. (2.6), entonces es necesario cuantificar este grado de influencia para cada una de las magnitudes de entrada X entrada X i mostradas en el modelo matemáatico, tico, calculando su correspondiente coeficiente de sensibilidad c ε, X i . Este coeficiente de sensibilidad representa entonces la razóon n de cambio del error de medicióon n del luxóometro metro con respecto a la magnitud de entrada X i y por tanto se puede determinar obteniendo simplemente la derivada parcial de la Ec. (2.6) con respecto a la magnitud de influencia particular [26, 27]: cε,

X i =

∂ε . ∂X i

(2.15)

Como puede observarse de la Fig. 2.5, la Ec. (2.15) debe aplicarse para cada una de las cuatro magnitudes de entrada del modelo matemáatico tico para

36

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

el error de medicióon n del luxómetro, ometro, mostrado en la Ec. (2.6) para obtener: cε, E ¯vv,, cε, cε, y, cε,

dOj

=

T Oj

I vv,,

=

Oj

= 1,

− I d

v, v, Oj 2

(2.16a)

,

(2.16b)

,

(2.16c)

Oj

Oj

=

− T d

Oj

2

Oj

2 T Oj I vv,, d3Oj

· ·

Oj

;

(2.16d)

donde el signo de los coeficientes, como el de cualquier derivada, da información on del sentido del cambio en el valor del mensurando respecto al cambio de la magnit magnitud ud de influe influencia; ncia; sin emb embargo, argo, éeste ste no afec afecta ta el resul resultado tado de la incertidumbre que se estime, como se verá más as adelante.

2.3. 2. 3.4 4

Com Combi bina naci ci´ on on de las Contribuciones ´

Una vez cuantificadas las incertidumbres estáandar u ndar u((X i ) para todas las magnitudes de entrada X entrada X i y de influencia a considerar, y calculados sus correspondientes coeficientes de sensibilidad sensibilidad cε, X i ; éstos estos se multiplican para obtener las contribuciones u contribuciones u ε, X i de cada fuente a la incertidumbre del mensurando: uε,

X i = c ε, X i

· u(X ).

i

(2.17)

Posteriormente todas las contribuciones se combinan para obtener la incertidumbre combinada del erro errorr de medi medici´ cióon n del luxómetro omet ro u u c (εOj ) mediante Le y de Pro Propag pagaci aci´ o ´ on n de la Inc Incert ertidu idumb mbre re para el caso de fuentes la no Ley correlacionadas [26, 27]: uc (εOj ) =

{[c

¯v ε, E v,,

+ [cε,

I v, v,

Oj

Oj

¯ · u(E

2

v, v, Oj )]

· u(I

2

v, v, Oj )]

+ [c [cε,

+ [c [cε,

T Oj

dOj

· u(T

2

Oj )]

· u(d

2

Oj )]

+

(2.18) 1/2

···}

,

donde la sumatoria puede considerar muchas otras contribuciones, como las debidas a las resoluciones de los instrumentos utilizados, entre otras. De la Ec. (2.18) queda claro que no importa el signo que tenga el coeficiente de sensibilid sens ibilidad, ad, p pues ues éeste ste es multi multiplicado plicado por la incert incertidumbre idumbre estáandar ndar correspondiente y el producto es luego elevado al cuadrado, por lo que al final todas las contribuciones resultan ser nú umeros meros positivos.

2.3. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

2. 2.3. 3.5 5

37

Expa Expans nsi´ i´ on on de la Incertidumbre Combinada

La incertidumbre combinada mostrada en la Ec. (2.18) es una desviación on estándar andar que resulta de la suma de varianzas de las distribuciones de densidad de probabilidad de cada una de las magnitudes de entrada o de influencia que afectan afectan al resul resultado tado del mensuran mensurando. do. Como ya se mostr´ oo,, estas distribuciones de densidad de probabilidad pueden tener formas distintas, normales o Gaussianas, rectangulares o uniformes, triangulares, etc.; y por tanto, la Ec. (2.18) escencialmente representa la convolucióon n de todas estas distribuciones de densidad de probabilidad, cuya forma resultante quedará dominada por aquéella lla de la distrib distribuci´ ucióon n de densidad de probabilidad de la contribución on mayor [29]. En un experimento bien diseñ nado ado la fuente de incertidumbre dominante suele ser de naturaleza totalmente aleatoria, cuya distribucióon n de densidad de probabilidad es normal. Por tanto en esos casos la incertidumbre combinada que re resulta sulta tambiéen n tien tienee una distribu distribuci´ cióon n de densidad de probabilidad Gaussiana y cubre aproximadamente al al p = 68 68..3 % de los valores posibles que puede tomar el mensurando. mensurando. Sin embar embargo, go, en ocasione ocasioness se requi requiere ere que un mayor porcentaje de los valores que pueda tomar el mensurando queden cubiertos por la incertidumbre estimada y entonces es necesario multiplicar la incertidumbre combinada por el factor de cobertura cobertura k adecuado, a fin de obtener la incertidumbre expandida U εOj , p con el nivel de confianza p deseado [27]: U εOj , p = k = k u(εOj ); (2.19)

·

donde una k una k = = 2 cubrirá aproximadamente al al p p = = 95 95..4 % de los valores que pueda tomar el mensurando y una k = 3 a máass del del p = 99 99..7 %. p = La incertidumbre expandida obtenida en la Ec. (2.19) significa que el mejor estimado para el error de medicióon n presentado en la Ec. (2.6) podrá tomar valores dentro del intervalo [ε [ε U εOj , p , ε + U + U εOj , p ] con una probabilidad p bilidad p.. Resulta importante mencionar que cuando la distribucióon n de densidad de probabilidad de la contribucióon n mayor no es Gaussiana, entonces es necesario mejorar el sistema o procedimiento de medicióon. n.

−

Grados de Libertad Otro aspecto a destacar es que la forma Gaussiana es un modelo ideal y que un modelo máass aproximado en la realidad de los procesos de medición on

38

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

frecuentemente está dado por su correspondiente distribucióon n de densidad de probab probabilidad ilidad   t o de Student subyacen subyacente, te, de manera que éesta sta tiende a la Gaussiana se incrementa el tama˜ n noo delalaEc. muestra genera [30], por lo que conforme para determinar si es posible usar (2.19)que conlalos factores de cobertura k cobertura k y niveles de confianza p confianza p ya mencionados, o con otros factores t y sus correspondientes niveles de confianza p, resulta necesario conocer el nú umero mero de grados de libertad efectivos de la distribucióon n de densidad de probabilidad que corresponda a la incertidumbre combinada [31]. El n´ u umero mero de grados de libertad libertad ν ν  de de las contribuciones que son obtenidas a partir de mediciones hechas en el lab laboratorio, oratorio, tambi tambi´éen n llamadas Tipo A, puede obtenerse a partir del nú umero n mero n de de lecturas tomadas como [26, 27, 31]: ν   = n

− 1;

(2.20)

mientras que para las contribuciones estimadas por medios distintos al anáalisis lisis estad´´ıstico de series de obervaciones, cono estad conocidas cidas como Tipo B, este n´ u umero mero de grados de libertad puede estimarse a partir de [26, 27, 32]:

 ≈ · ≈

1 ν 2

∆u(X i ) u(X i )

−2



,

(2.21)

donde ∆u ∆u(X i )/u( /u(X i ) es la variacióon n relativa de la contribución u on u((X i ), conocida como la confiabilidad de de u(X i ), y que cada quien estima de acuerdo al conocimiento que tiene de su sistema de medicióon. n. Escencialmente Escencia lmente esta co confiabil nfiabilidad idad exp expresa resa qué tanto cons considera idera cad cadaa quien que podr´ p odr´ııaa variar el valor de la contribucióon n estimada, de forma que un valor ∆u(X i )/u( /u(X i ) = 0.1 quiere decir que se conf conf´´ıa en que ∆u(X i ) a lo máass es del tama˜ n noo de una déecima cima parte de u de u((X i ):

·

∆u(X i ) = (0. (0.1) [u(X i )]. )].

(2.22)

Una vez calculados o estimados los nú umeros meros de grados de libertad para todas las contribuciones involucradas es posible calcular el numero de grados de libertad efectivos de la incertidumbre combinada para el punto O punto O j usando [26, 27, 31]: [uc (εOj )]4 ν eef f , εOj = M , (2.23) 4 [ c u ( X )] /ν X , O i i, , O i i, , O i j j j i=1



·

donde M donde M  es es el nú umero mero de contribuciones estimadas.

´ 2.4. INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE DEL FACTOR FACTOR DE CORRECCI ON

2.4

39

Inc Incert ertidu idum mbre del Fac actor tor de C Corr orrecc ecci´ i´ on on

De forma similar a como se hizo para el error de medicióon n que presenta el luxóometro, metro, tam tambi´ bi´ en en es posible estim estimar ar una incer incertidum tidumbre bre para el fact factor or este te ccas aso, o, el mo mo-de corrección on F C Oj calculado para cada punto O j . En es delo matemáatico tico de medicióon n que deberá considerarse es el mostrado en la Ec. (2.8), donde puede sustituirse la Ec. (2.3) para obtener: F C Oj =

· ·

T Oj I vv,, Oj ¯vv,, Oj , d2Oj E

(2.24)

¯vv,, Oj dada como antes por la Ec. (2.4); y de donde pueden obtenerse con E los coeficientes de sensibilidad para el factor de correccióon, n, como:

· ¯ = − d · E

T Oj I vv,,

¯

cF C,

E v,

Oj

2 O j

cF C , T Oj = cF C , I v,

Oj

=

(2.25a)

(2.25b)

,

(2.25c)

(2.25d)

Oj

− 2d· T ·   ·E ¯ I Oj

,

·

3

,

Oj

T Oj 2 E ¯vv,, dO j

y, cF C , dOj =

2 O v, j

I vv,, Oj ¯vv,, d2Oj E

·

Oj

v v,, Oj

.

v v,, Oj

Oj

En este caso es posible apreciar que las incertidumbres estáandar ndar involucradas siguen siendo las mismas que para el error de medicióon n del luxóometro; metro; por lo que teniendo la precaución on de utilizar los coeficientes sensibilidad dados en las Ecs. (2.25a)-(2.25d) sser´ erá posible calcular la incertidumbre combinada para el factor de corrección on uc (F C Oj ) como: uc (F C Oj ) =

{[c

¯v F C, E v,,

+ [cF C , I v,

Oj

Oj

¯ · u(E

2

v, v, Oj )] 2

· u(I

v, v, Oj )]

+ [c [cF C , T Oj u(T Oj )]2

·

+ [c [cF C , dOj u(dOj )]2 +

·

(2.26) 1/2

···}

;

y expan ex pandi´ diéndola endo la medi mediante: ante: U F C Oj , p = k = k uc (F C Oj );

·

(2.27)

40

´ DE LUX OMETROS ´ CAP ÍTULO 2. CALIB CALIBRA RACI CI ON

realizando previame realizando previamente nte las consid considerac eraciones iones relativ relativas as a los grados de liberta libertad d a fin de utilizar el factor k factor k adecuado; de manera similar a como se hizo para el caso de laforma, incertidumbre expandida del aerror de medici´ oon n incertidumbres del luxóometro. metro. De esta es posible considerar la mayor de las estimadas para los factores de correccióon n de los puntos medidos en una escala, como la correspondiente a la incertidumbre del factor de correccióon n para esa escala. Por u ultimo, ´ltimo, resulta oportuno mencionar que cuando el modelo matemáatico tico del mensurando es un producto multiplicativo de las magnitudes de entrada, como es el caso para el modelo del factor de correccióon n mostrado en la Ec. (2.8), o su forma expl expl´´ıcita dada en la Ec. (2.24); entonces la estimaci´ on on de la incertidumbre combinada puede realizarse de una manera máass sencilla a como se presenta en la Ec. (2.26), utilizando para su combinacióon n las contribuciones a la incertidumbre expresadas de forma relativ relativaa para as´ as´ı evitar el cálculo alculo de los coeficientes de sensibilidad [26, 27].

Cap´ıtulo 3 Ejemplo En este es te Cap´ııtulo tulo se ejem ejemplifica plifica la ca calibraci libraci´óon n de un luxómetro, ometro, de llaa m manera anera en que t´ıpicamente se hace en el Laboratorio de Fotometr otometr´´ıa de CENAM. Para esto se utilizan los resultados obtenidos para el intervalo nominal de medici´ oon n de 0 lx a 999 lx (resolucióon n de 1 lx), definido por la escala 1x de un luxóometro metro digital propiedad de CENAM que se usa para verificar niveles de iluminacióon n en áareas reas de trabajo conforme se establece en la norma oficial mexicana mexic ana vigen vigente te [33]. Esta calibr calibraci´ aci´ on on fue hecha en el banco fotoméetrico trico con distancia variable, Fig. 2.2.a, utilizando una láampara mpara patróon n con una intensidad luminosa de I v = 1 038. 038.75 cd y una incertidumbre expandida, (k = 2). expresada de forma relativa porcentual, de U de U II v , 95.4 = 1 %, (k Tambiéen n en este Cap Cap´´ıtulo se muestra la estimaci estimaci´óon n de la incertidumbre de los errores de medicióon n del luxóometro metro obtenidos, considerando solamente cuatro fuentes de incertidumbre a fin de favorecer la claridad y sencillez de los cáalculos lculos involucrados; fuentes que por otra parte, se han identificado en el Laborato Laboratorio rio de Fotome otometr tr´´ıa de CENA CENAM M como las más as significa significativ tivas. as. Es importante mencionar que los datos utilizados en este ejemplo no deben ser considerad consi derados os como aplica aplicables bles a cualq cualquier uier lux´ ometro, ometro, sino que u unicamente ńicamente deben tomarse como referencia para adaptarse al instrumento y al sistema de medicióon n esp espec´ ec´ıfico ıfi co..

3.1

Seleccion on de Puntos de Medici´ ´ o on n

Habiéendose ndose seleccio seleccionado nado los puntos O1 = 200 lx, lx, O2 = 300 lx, lx, O3 = 500 lx y O4 = 750 lx, cuatro de los niveles de iluminacióon n m´ınimos establec establecidos idos 41

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

42

en esta norma y que p pod od´´ıan ser medidos con esa escala del luxóometro; metro; se determinaron las distancias a las que la láampara mpara patróon n prod producir ucir´´ıa las correspondientes iluminancias usando la Ec. (1.8) de la siguiente manera: 1 038. 038.75 cd I v, v, 200 = 22..28 m, (3.1a) = d200 = 200 lx E v, v, O =200 lx d300 =

d500 =

  

1

I v, v, 300 = E v, v, O =300 lx 2

I v, v, 500 = E v, v, O =500 lx 3

  

1 038. 038.75 cd = 11..86 m, 300 lx

(3.1b)

1 038. 038.75 cd = 11..44 m, 500 lx

(3.1c)

(3.1d)

y, I v, v, 750 d750 =



v, E v,

O4 =750 lx

1 038. 038.75 cd =



750 lx = 11..18 m,

donde los resultados se han redondeado hasta el segundo d´ıgito después es del punto decimal porque p orque el riel del banco fotoméetrico trico en el que se realizó la calibracióon n está graduado en mil mil´´ımetros. Por esta misma razóon n estas distanci distancias as vuelven a utilizarse junto con la intensidad luminosa de la láampara mpara patróon n y la Ec. (2.3), considerando T considerando T Oj = 1 (pues no hay filtro), para conocer los valores de las iluminancias de referencia que efectivamente podráan n ser realizadas: E v, v, 200 =

E v, 300

·

·

(1) (1 038. 038.75 cd) T 200 v, 200 200 I v, = = 200 lx, lx, (3.2a) 2 d200 (2 (2..28 mm)2

(1) (1 038. 038.75 cd) T 300 v, 300 300 I v, 2 = = lx, (3.2b) d300 (1 (1..86 mm)2 = 300 lx,

·

·

·

·

E v, v, 500 =

(1) (1 038. 038.75 cd) T 500 v, 500 500 I v, = = 501 lx, lx, (3.2c) 2 d500 (1 (1..44 mm)2

E v, v, 750 =

(1) (1 038. 038.75 cd) T 750 v, 750 750 I v, = = 746 lx, lx, (3.2d) 2 (1 (1..18 mm)2 d750

y,

·

·

donde nuevamente se han redondeado los resultados, ahora en consideración on a la resolucióon n del luxóometro metro de 1 lx para esa escala.

´ DEL ERROR 3.2.. OB 3.2 OBTEN TENCI CI ON

43

Tabla 3.1: Lecturas de iluminancia obtenidas con el luxómetro ometro bajo calibración. on. Lectura i = 1 i = 2 i = 3 i = 4

E vi , O1

(lx)

E v1 , 200 =202 E v2 , 200 =202 E v3 , 200 =202 E v4 , 200 =201

E vi , O2

(lx)

E v1 , 300 =302 E v2 , 300 =302 E v3 , 300 =302 E v4 , 300 =302

E vi , O3

(lx)

E v1 , 500=504 E v2 , 500=505 E v3 , 500=505 E v4 , 500=504

E vi , O4

(lx)

E v1 , 750=751 E v2 , 750=751 E v3 , 750=751 E v4 , 750=750

i = 5 E v5 , 200 =201 E v5 , 300 =302 E v5 , 500=505 E v5 , 750=750 i = 6 E v6 , 200 =201 E v6 , 300 =302 E v6 , 500=504 E v6 , 750=751 i = 7 E v7 , 200 =201 i = 8 E v8 , 200 =201 i = 9 E v9 , 200 =201 i = 10 E v10 , 200=202

3.2

E v7 , 300 =302 E v7 , 500=504 E v8 , 300 =302 E v8 , 500=504 E v9 , 300 =302 E v9 , 500=504 E v10 , 300=301 E v10 , 500=504

E v7 , 750=751 E v8 , 750=750 E v9 , 750=751 E v10 , 750=750

Obtenci´ o on n del Error

Los resultados de las Ecs. (3.2a)-(3.2d) son lo loss valores para el segundo téerrminoo de la Ec. (2.6) min (2.6);; ahor ahora, a, par paraa cal calcul cular ar los cor corres respond pondien ientes tes al pri primer mer téermino, rmi no, uti utiliza lizamos mos las las n n = = 10 lecturas obtenidas con el luxóometro metro para cada iluminancia de referencia, y que se muestran en la Tabla 3.1. Considerando que el luxóometro metro bajo calibración on tiene una señ nal al en oscuro nula y que las pantallas del banco fotoméetrico trico de CENAM son muy eficientes para eliminar la luz extraviada a las distancias a las que se tomaron las lecturas, entonces la señ nal al de fondo dada en la Ec. (2.5) será igual a cero E vv,, F  = 0, y por tanto no será necesario corregir las lecturas; por lo que es posible calcular directamente sus promedios usando la Ec. (2.4) como:

 ·

1 (202 lx + 202 lx + 202 lx + 201 lx (3.3a) 10 + 201 lx + 201 lx + 201 lx + 201 lx + 201 lx + 202 lx) 2 0014 14 lx = 10 = 201.4 lx lx,,

¯v, E v, 200 =

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

44 ¯vv,, 300 = E

 · 1 10

(302 lx + 302 lx + 302 lx + 302 lx

(3.3b)

+ 302 lx lx + 302 lx + 302 lx + 302 lx + 302 lx + 301 lx) 3 0019 19 = 10 = 301.9 lx lx,,

 ·

1 (504 lx + 505 lx + 505 lx + 504 lx (3.3c) 10 + 505 lx + 504 lx + 504 lx + 504 lx + 504 lx + 504 lx) 5 0043 43 lx = 10 = 504.3 lx lx,,

¯vv,, 500 = E

y,

 ·

1 (751 lx + 751 lx + 751 lx + 750 lx (3.3d) 10 + 750 lx + 751 lx + 751 lx + 750 lx + 751 lx + 750 lx) 7 5506 06 lx = 10 = 750.6 lx lx,,

¯vv,, 750 = E

y est estos os son los valo alores res del pri primer mer t´ eermino rmino de la Ec. (2. (2.6); 6); por lo tan tanto, to, ahora puede obtenerse la mejor estimacióon, n, o mejor estimado del error de medici´ oon n del luxóometro metro de CENAM para cada punto, usando los resultados de las Ecs. (3.2a)-(3.2d) y (3.3a)-(3.3d) como: ε200 = 201.4 lx 200 lx = 1. 1.4 lx, lx,

−

(3.4a)

ε300 = 301.9 lx

− 300 lx = 1.1.9 lx, lx,

(3.4b)

ε500 = 504.3 lx

− 501 lx = 3.3.3 lx, lx,

(3.4c)

ε750 = 750.6 lx

− 746 lx = 4.4.6 lx. lx.

(3.4d)

y,

´ DEL FACTOR DE CORRECCI ON ´ 3.3. DETER DETERMINA MINACI CI ON

45

Adicionalmente es posible expresar estos errores en téerminos rminos relativos a los valores de iluminancia de referencia correspondientes, y de forma porcentual, Tabla 3.2, de la siguiente manera: 1.4 lx ε200 100 % = εr, 200 = 200 lx E v, v, 200

×

× 100 % = 0.0.7 %,

(3.5a)

εr, 300 =

ε300 E v, v, 300

1.9 lx × 100 % = 300 × 100 % = 0.0.6 %, lx

(3.5b)

εr, 500 =

ε500 E v, v, 500

3.3 lx × 100 % = 501 × 100 % = 0.0.7 %, lx

(3.5c)

εr, 750 = E ε750 v, v, 750

× 100 % = 746 4.6 lx 0.6 %. lx × 100 % = 0.

(3.5d)

y,

Los errores dados por las Ecs. (3.4a)-(3.4d), al ser positivos, indican que el luxóometro metro está sobre-leyendo los niveles de iluminancia; es decir, que está entregando valores de iluminacia mayores a los que realmente se tienen, por lo que es necesario obtener el factor de correccióon n que nos permita corregirlos.

3.3 3. 3

De Dete term rmin inac aci´ i´ on on del Facto actorr de Cor Correcc recci´ i´ on on

Para cada punto punto O j de la escala bajo calibracióon n el factor de correccióon n se calcula con los resultados de las Ecs. (3.2a)-(3.2d) y (3.3a)-(3.3d) mediante la Ec. (2.8), Tabla 3.2:

y,

E v, 200 lx v, 200 = 0.993 993,, = F C 200 200 = ¯v, 201.4 lx 201. E v, 200

(3.6a)

300 lx E v, v, 300 = F C 300 = 0.994 994,, 300 = ¯v, 301.9 lx 301. E v, 300

(3.6b)

501 lx E v, v, 500 = F C 500 = 0.993 993,, 500 = ¯v, 504.3 lx 504. E v, 500

(3.6c)

E v, 746 lx v, 750 F C 750 = = 0.994 994,, 750 = ¯v, 750.6 lx 750. E v, 750

(3.6d)

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

46

Tabla 3.2: Sinopsis de la determinación on de errores de medición on del luxómetro ometro y los factores de corrección on correspondientes. Iluminancia Nom omin inal al

Iluminancia Ref efer eren enci ciaa

O j

E v, v, Oj

(lx)

(lx)

200 300 500 750

200 300 501 746

Iluminancia Error Error Factor de Prom Pr omed edio io Absolu Abso luto to Re Rela lati tiv vo Co Corr rrec ecci ción ón ¯ E v, εOj εr, Oj F C Oj v, Oj (lx) (lx) (%) (1)

201.4 1.4 0.7 301.9 1.9 0.6 504.3 3.3 0.7 750.6 4.6 0.6 Factor de Corrección o n pa para ra la Es Esca cala la 1x 1x::

0.993 0.994 0.993 0.994 0.99 0. 993. 3.55

por lo que usando los factores de correccióon n de estos cuatro puntos (m (m = 4) en la Ec. (2.9) se obtiene el factor de correccióon n para esta escala del luxóometro, metro, Tabla 3.2:

 ·

1 (F C 200 200 + F C 300 300 + F C 500 500 + F C 750 750 ) 4 0.993 + 0. 0.994 + 0. 0.993 + 0. 0.994 = = 00..993 5; 4

F C =

(3.7)

que permitirá corregir las lecturas que se obtengan con el luxómetro. ometro. El adecuado funcionamiento del factor de correccióon n obtenido puede comprobarse al aplicarlo a los mejores estimados de las lecturas utilizadas para este ejemplo, y que fueron obtenidos mediante las Ecs. (3.3a)-(3.3d):

· E ¯ ¯ = F = F C · E ¯ = F = F C · E

· = (0. (0.993 5) · (301 (301..9 lx) = 300 lx, lx , = (0 (0..993 5) · (504 (504..3 lx) = 501 lx, lx ,

(3.8a)

(3.8b)

(3.8c)

· E ¯

(0. (0.993 5) (750 (750..6 lx) = 746 lx, lx ,

(3.8d)

C

= F C , 200 = F

v, v, 200 =

C

, 300

v, v, 300

E v E v

E v

, 500

E v

= F C , 750 = F

C

(0 (0..993 5) (201 (201..4 lx) = 200 lx, lx,

v, v, 500

y, C

v, v, 750 =

·

que son los valores efectivamente generados como iluminancias de referencia.

3.4. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

3.4 3. 4

47

In Ince cert rtid idum umbre bre del Er Erro rorr

A continuaci´ oon n oon sen presenta una estimaci´ oon n de incertidumbr incertidumbre e ton. para el error de medici´ de un lux´ oometro, metro, producto de su calibraci´ o´ıpica n. Esta Es ta eesstimacióon n de incertidumbre se realizará para el mismo luxóometro metro digital de CENAM con que fueron obtenidas las lecturas presentadas en la Tabla 3.1; y se considerarán an solamente las cuatro fuentes de incertidumbre más as significativas, que son las debidas al valor de intensidad luminosa de la láampara mpara patrón on usada, a la distancia, a la resolucióon n del luxóometro metro y a la repetibilidad de las lecturas. lect uras. Adem Adem´áass de que se asumirá que la temperatura ambiental se mantuvo estable durante todo el tiempo en que se realizó la calibracióon n y que la perpendicularidad del fotodetector del luxóometro metro se logró satisfactoriamente satisfactoriamente..

3.4.1

Incertidumbres Est´ andar andar

Comenzamos estandarizando las variaciones de cada una de estas cuatro fuentes, utilizando las expresiones mostradas en la Seccióon n 2.3.3, de acuerdo a la distribucióon n de densidad de probabilidad de la fuente de que se trate.

Repetibilidad de las Lecturas. Las incertidumbre incertidumbress estáandar ndar por repetibilidad de las lecturas se calculan utilizando la Ec. (2.11) escrita para n = n = 10 y aplicada a las lecturas listadas en la Tabla 3.1 para cada uno de los cuatro puntos medidos de la forma como se muestra a detalle en el Apéendice ndice B para el punto de 200 lx. As As´´ı, estas incertidumbres son: ¯v, lx, u(E v, 200) = 0.16 lx,

(3.9a)

¯v, lx, u(E v, 300) = 0.10 lx,

(3.9b)

¯v, lx, u(E v, 500) = 0.15 lx,

(3.9c)

¯v, lx. u(E v, 750) = 0.16 lx.

(3.9d)

y,

Resoluci´ o on n del Lux´ o ometro. metro. En el caso d dee la rresoluc esoluci´ ióon n del luxóometro, metro, se sabe que éeste ste es un instrumento digital y que en la escala usada su resoluci´ on on es de ∆R ∆RL = 1 lx, por lo que usando la Ec. (2.12) resulta que la incertidumbre

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

48

estáandar ndar correspondiente es: u(RL )

u(RL, 200)

≡≡ u(R

L, 500

=

)

u(RL, 300)

≡≡ u(R

L, 750

(3.10)

) = ∆R 12

√

L

1 lx = 0.289 lx. lx. 12

√

Distancia. La m medici edici´óon n de la distancia depende de la resolucióon n del riel en el que se posiciona el luxóometro metro que, como ya se mencionóo,, en el caso del banco fotoméetrico trico usado se trata de una regla con separaci´ oon n m´ınima ıni ma de escala de 1 mm; por lo que la incertidumbre estáandar ndar asociada a la distancia se puede calcular considerando ∆R ∆Rriel = 0.001 m en la Ec. (2.13) para obtener: u(d)

≡ u(d ) ≡ u(d ) ≡ u(d ) ≡ u(d ) = ∆√ R24 0.001 m √ 24 = 0.000 2 m. = m. 200

300

500

750

(3.11)

riel

Intensidad Luminosa. Por tra tratarse tarse de un v valor alor cert certificado ificado,, a parti partirr de la incertidumbre expandida expandida U I I v , p y del factor de cobertura k reportados en el certificado de calibracióon n de la láampara mpara patróon n usada, es posible obtener el valor de la incertidumbre estáandar ndar mediante la Ec. (2.14). De esta for forma, ma, com comoo U I I v , 95.4 = 1 % está expresada de manera relativa al valor certificado de intensidad luminosa de la láampa mpara ra,, qu quee es de 10..387 5 cd; y I v = 1 038. 038.75 cd, cd , enton entonces ces en candelas éesta sta es d dee U II v , 95.4 = 10 1

como k = como k = 2, entonces la incertidumbre estáandar ndar por la intensidad luminosa de la láampara mpara patróon n es: u(I v )

≡ u(I ≡ u(I =

1

≡ u(I ) ≡ u(I

v, v, 200)

v, v, 300)

v, v, 500

v, v, 750)

=

(3.12)

U II v , 95.4 k

10 10..387 5 cd = 55..193 75 cd. cd. 2

Aunque las incertidumbres deben ser expresadas con un máximo aximo de dos cifras significativas [26, 27]; para aportar mayor claridad a los cálculos alculos de este ejemplo se buscará conservar un mayor n´ umero de cifras; salvo en la expresión umero on de la incertidumbre expandida final.

3.4. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

49

Tabla 3.3: Sinopsis de la determinación on de las incertidumbres estándar andar para el error de medición on del luxómetro. ometro. Iluminanc Ilumin ancia ia Nominal O j

(lx) 200 300 500 750

Repetibilid Repetibi lidad ad Resoluc Resoluci´ i´ o n Dist on Distan anci ciaa Inte Intens nsid idad ad Lecturas Luxómetro Luminosa ¯ u(E v, v, Oj ) u(RL, Oj ) u(dOj ) u(I v, v, Oj ) (lx) (lx) (m) (cd) 0.16 0.10 0.15 0.16

0.289 0.289 0.289 0.289

0.000 0.000 0.000 0.000

2 2 2 2

5.193 5.193 5.193 5.193

75 75 75 75

La Tabla 3.3 muestra de forma resumida, las incertidumbres estáandar ndar calculadas para las cuatro fuentes de incertidumbre consideradas y para cada una de las iluminancias nominales o puntos de medicióon. n.

3.4.2 3.4 .2

Coefi Coeficie cien ntes de Sensi Sensibil bilida idad d

Una vez obtenidas las incertidumbres estáandar ndar para estas cuatro fuentes es necesario calcular tambi tambi´éen n sus correspondientes coeficientes de sensibilidad a par partir tir de las Ecs Ecs.. (2. (2.16a 16a)-( )-(2.1 2.16d) 6d).. Aqu Aqu´´ı es impo importa rtant ntee rec record ordar ar que la calibraci´ oon n presentada en este ejemplo se realizó en un banco fotoméetrico trico con distancia variable; es decir, sin filtros de densidad óoptica ptica neutra, Fig. 2.2.a; lo que significa que en este caso se deberá considerar a T Oj = 1 y a l a incertidumbree de este valor como nula; con lo que tambiéen incertidumbr n la contribuci´ on on por transmitancia a la incertidumbre del error de medicióon n del luxóometro metro será igual a cero y por tanto no será necesario calcular los coeficientes de sensibilidad por transmitancia. As´´ı, los co As coeficientes eficientes de sensibilidad por repetibilidad de las lecturas son: cε, E ¯v, v,

200

= 11,,

(3.13a)

cε, E ¯v, v,

300

= 11,,

(3.13b)

cε, E ¯v, v,

500

= 11,,

(3.13c)

cε, E ¯v, v,

750

= 1;

y, (3.13d)

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

50

adicionalmente, como se muestra en la Fig. 2.5, estos mismos coeficientes de sensi sensibilida bilidad d ser´ an an los que se utilicen para las incetidumbres estáandar ndar por resoluci´ oon n del luxóometro, metro, de forma que: cε, E ¯v, cε, R , v, L 200

cε,

RL, 300

cε,

RL, 500

cε,

RL, 750

y,

≡ ≡ c ≡ c

= 1,

(3.14a)

= ¯v, ε, E v, 300

1,

(3.14b)

= ¯v, ε, E v, 500

1,

(3.14c)

≡ c

200

= ¯v, ε, E v, 750

1;

(3.14d)

mientras que para las distancias los coeficientes de sensibilidad son: cε,

d200

·

2 I v, v, 200 3 d200 (2) (1 038. 038.75 cd) 3 3 = (2. (2.28 m) = 175 175..52 cd m ,

=

(3.15a)

−

·

cε,

d300

·

·

2 I v, v, 300 3 d300 (2) (1 038. 038.75 cd) = = 322 322..45 cd m 3 , 3 (1. (1.86 m)

=

·

cε,

d500

−

·

2 I v, v, 500 3 d500 (2) (1 038. 038.75 cd) = = 693 693..79 cd m 3 , 3 (1. (1.44 m)

·

=

·

(3.15b)

(3.15c)

−

·

y, cε,

d750

·

2 I v, v, 750 3 d750 (2) (1 038. 038.75 cd) = = 1 274 274..58 cd m 3 ; 3 (1. (1.18 m)

=

·

·

(3.15d)

−

y para la intensidad luminosa resultan: cε,

I v, v, 200

= =

− d 1

(3.16a)

2 200

1 − (2. = −0.193 m (2.28 m)

−2

2

,

3.4. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

51

Tabla 3.4: Sinopsis de la determinación on de los coeficientes de sensibilidad para el error de medición on del luxómetro. ometro. Iluminanc Ilumin ancia ia Nominal O j

Repetibilid Repetib ilidad ad Lecturas cε, E ¯v, v,

Resoluci´ Resolu ci´ on on Luxómetro cε, RL,

Oj

(lx)

(1)

(1)

200 300 500 750

1 1 1 1

1 1 1 1

cε,

cε,

I v, 300

I v, v, 500

− = −

=

Oj

Dist Di stan anci ciaa cε, dO j

·

cε, I v, v,

−3

( cd m (c

(m

175.52 322.45 693.79 1 274.58

1 2 d300 1 = (1. (1.86 m)2

Oj

−2

)

)

--00.193 -0.289 -0 -0.481 -0 -0.722

(3.16b) −2

−0.289 m

− d 1 1 = − = −0.481 m (1. (1.44 m)

=

Intens Inte nsid idad ad Luminosa

,

(3.16c)

2 500

−2

2

,

y, cε,

I v, v, 750

=

1

(3.16d)

2 750

−d 1 = − = −0.722 m (1. (1.18 m)

−2

2

.

En la Tabla 3.4 se resumen los resultados obtenidos para los coeficientes de sensibilidad, correspondientes a las cuatro fuentes de incertidumbre consideradas y para cada una de las iluminancias nominales o puntos de medicióon. n.

3.4.3 3.4 .3

Co Con ntribu tribucio cione ness

Conociendo Conocie ndo ya las inc incer ertid tidum umbre bress est est´áandar ndar y sus cor corres respondi pondien entes tes coefi coefi-cientes de sensibilidad para cada uno de los cuatro puntos medidos, es posible

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

52

calcular las contribuciones por cada una de las cuatro fuentes consideradas y para todos los puntos de calibracióon n usando la Ec. (2.17). As´´ı, las contribucione As contribucioness por repetibilidad de las lecturas son: ¯vv,, 200) uε, E ¯v, = cε, E ¯v, u(E v, v, = (1) (0 (0..16 lx) = 0. 0.16 lx, lx, 200

200

·

·

(3.17a)

¯vv,, 300) = cε, E ¯v, u(E v, = (1) (0 (0..10 lx) = 0. 0.10 lx, lx,

·

(3.17b)

¯vv,, 500) = cε, E ¯v, u(E v, = (1) (0 (0..15 lx) = 0. 0.15 lx, lx,

·

(3.17c)

¯vv,, 750) u(E = cε, E ¯v, v, = (1) (0 (0..16 lx) = 0. 0.16 lx;

(3.17d)

u(RL, 200) = cε, R , = (1) (0 (0..289 lx) = 0. 0.289 lx, lx,

(3.18a)

= cε, R , u(RL, 300) = (1) (0 (0..289 lx) = 0. 0.289 lx, lx,

(3.18b)

= cε, R , u(RL, 500) = (1) (0 (0..289 lx) = 0. 0.289 lx, lx,

(3.18c)

= cε, R , u(RL, 750) = (1) (0 (0..289 lx) = 0. 0.289 lx;

·

(3.18d)

= cε, d u(d200) 3 = (175.52 cd m ) (0. (0.000 2 m) = 0. 0.036 lx, lx,

(3.19a)

uε, E ¯v, v,

300

300

·

uε, E ¯v, v,

500

500

·

y, uε, E ¯v, v,

750

750

·

·

las contribuciones por resolucióon n del luxóometro metro son: uε,

RL, 200

L 200

·

uε,

RL, 300

L 300

·

uε,

RL, 500

L 500

·

·

· ·

y, uε,

RL, 750

L 750

·

las con contribu tribucione cioness por dista distancia ncia son: uε,

d200

200

·

·

−

·

3.4. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R uε,

uε,

53

= cε, d u(d300) (0.000 2 m) = 0. 0 .066 lx, lx, = (322.45 cd m 3 ) (0.

d300

300

·

−

·

·

(3.19b)

·

u(d500) = cε, d = (693.79 cd m 3 ) (0. (0.000 2 m) = 0. 0 .142 lx, lx,

(3.19c)

= cε, d u(d750) 3 (0..000 2 m) = 0. 0.26 lx; = (1 274.58 cd m ) (0

(3.19d)

d500

500

−

·

·

y, uε,

d750

750

·

−

·

·

y por u ultimo, ´ ltimo, las contribu contribucione cioness por int intensid ensidad ad lumin luminosa osa son: uε,

uε,

I v, v, 200

200

−

I v, v, 300

I v, v, 500

·

(3.20a)

−

·

1 lx, lx,

−

= cε, I v, u(I v, v, 300) v, (5.193 75 cd) = 1.5 lx, lx, = ( 0.289 m 2 ) (5. 300

−

uε,

·

u(I vv,, 200) = cε, I v, v, = ( 0.193 m 2 ) (5 (5..193 75 cd) =

·

−

·

(3.20b)

−

u(I v, = cε, I v, v, 500) v, = ( 0.481 m 2 ) (5. (5.193 75 cd) = 2.5 lx, lx,

(3.20c)

= cε, I v, u(I v, v, 750 ) v, = ( 0.722 m 2 ) (5. (5.193 75 cd) = 3.75 lx. lx.

(3.20d)

500

−

−

·

−

y, uε,

I v, v, 750

750

−

3.4.4

·

−

·

−

Incertid Incertidum umbre bress Com Combina binadas das

Aplicando la Ec. (2.18) a los resultado Aplicando resultadoss obten obtenidos idos para todas estas con contribu tribu-ciones, cione s, Ecs. (3.17a)-( (3.17a)-(3.20d) 3.20d),, es posible conocer las incer incertidum tidumbres bres combinadas de los errores de medicióon n del luxóometro metro que se obtuvieron en las Ecs. (3.4a)-(3.4d) de la siguiente forma: uc (ε200) = = =

  

u2ε, E ¯v, v,

200

+ u2ε,

RL, 200

+ u2ε,

d200

2 + uε,

I v, v, 200

(3.21a)

(0. (0.16 lx)2 + (0. (0.289 lx)2 + (0. (0.036 lx)2 + ( 1 lx)2

2.348 lx2 = 1.05 lx, lx,

−

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

54

Tabla 3.5: Sinopsis de la determinación on de las incertidumbres combinadas para el error de medición on del luxómetro, ometro, con sus contribuciones correspondientes.

Iluminanc Ilumin ancia ia Nominal O j

Repetibilid Repetib ilidad ad Lecturas uε, E ¯v, v,

Resoluci´ Resolu ci´ on Luxómetro uε, RL,

Oj

Oj

Distancia uε, dO j

Inttensidad In Luminosa uε, I v, v,

Oj

Inc. Combinada uc (εOj )

(lx)

(lx)

(lx)

(lx)

(lx)

(lx)

200 300 500 750

0.16 0.10 0.15 0.16

0.289 0.289 0.289 0.289

0.036 0.066 0.142 0.26

-1 -1.5 -2.5 -3.75

1.05 1.53 2.53 3.77

uc (ε300) = = =

uc (ε500) = = =

     

u2ε, E ¯v, v,

300

+ u2ε,

RL, 300

+ u2ε,

d300

+ u2ε,

I v, v, 300

(3.21b)

(0 (0..10 lx)2 + (0. (0.289 lx)2 + (0. (0.066 lx)2 + ( 1.5 lx)2

−

1.111 lx2 = 1. 1 .53 lx, lx,

u2ε, E ¯v, v,

500

+ u2ε,

RL, 500

+ u2ε,

d500

+ u2ε,

I v, v, 500

(3.21c)

(0 (0..15 lx)2 + (0. (0.289 lx)2 + (0. (0.142 lx)2 + ( 2.5 lx)2

−

6.377 lx2 = 2. 2 .53 lx, lx,

y, uc (ε750) = = =

  

u2ε, E ¯v, v,

750

+ u2ε,

RL, 750

+ u2ε,

d750

+ u2ε,

I v, v, 750

(3.21d)

(0 (0..16 lx)2 + (0. (0.289 lx)2 + (0. (0.26 lx)2 + ( 3.75 lx)2

14 14..24 lx2 = 3. 3 .77 lx. lx.

−

Las incertidumbres combinadas para el error de medicióon n que presenta el luxóometro, metro, junto con sus respectivas contribuciones debidas a cada una de las cuatro fuentes de incertidumbre consideradas, y para los cuatro puntos de medición on seleccionados en esta escala, se listan en la Tabla 3.5.

3.4. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

3.4. 3.4.5 5

55

Grad Grados os de Liber Liberta tad d

Como puede verse de las Ecs. (3.21a)-(3.21d) la mayor contribucióon n es la aportada por el valor de intensidad luminosa de la láampara mpara patróon n usada, cuya incertidumbre se asume que corresponde a una distribucióon n de densidad de probabilidad Gaussiana. Por esta razóon n se espera que las distribuciones de densidad de probabilidad para las incertidumb incertidumbres res combinadas tambiéen n sean Gaussianas; sin embargo, es posible aportar mayor sustento a esta suposición on calculando calcu lando los n n´ u umeros ´meros de grados de libertad efectivos para las distribuciones de densi densidad dad de proba probabilida bilidad d de las ince incertidu rtidumbr mbres es com combinada binadass obten obtenidas. idas. De esta forma, para obtener los grados de libertad correspondientes a las contribuciones por repetibilidad de las lecturas, utilizamos la Ec. (2.20) con n = 10, de forma que obtenemos: ¯vv,, 300) ¯v, ν ε (E ν ε (E v, 200) ν ε (E ¯v, ν ε (E ¯vv,, 750) = n v, 500) = 10 1 = 9.

¯v ) ν ε (E

≡

≡

−

(3.22)

−1

Por otra parte, antes de calcular los grados de libertad para la resolución on del luxóometro metro se debe reflexionar sobre la confiabilidad de su contribucióon. n. En este caso, dado que el luxóometro metro es digital, ya se ha supuesto que tiene una distribuci´ on on de densidad de probabilidad uniforme, aceptando con esto que se desconoce el proceso interno con el que el luxóometro metro interpereta las lecturas que despliega; por lo que la contribucióon n estimada es ya de por s´ı generosa y por tanto su variabilidad relativa ∆u ∆u(RL) debe ser ´ıınfima. nfima. Mencionado lo anterior ant erior,, podremos utilizar una confia confiabilida bilidad d de 0.1 para la con contribu tribuci´ ci´ on on por resoluci´ oon n del luxóometro metro en la Ec. (2.21) para obtener: ν ε (RL )

≡ ν (R ≡ ν (R ε

ε

=

L, 200

L, 500

1 (0. (0.1) 2

·

≡ ν (R ) ≡ ν (R

)

−2

ε

ε

L, 300

)

 ·

1 L, 750) = 2

∆u(RL) u(RL)

(3.23) −2



= 50 50..

Algo similar a lo explicado en el caso de la resolucióon n del luxóometro metro sucede para la confiabilidad de la contribucióon n por distancia, que está basada en la resoluci´ oon n de la regla del riel con que cuenta el banco fotoméetrico trico utilizado, por tanto, tambiéen n podemos usar una confiabilidad de ∆ ∆u u(d)/u /u((d) = 0.1 en

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

56

la Ec. (2.21) para obtener los grados de libertad por distancia como: ν ε (d)

ν ε (d200)

≡≡ ν (d ε

500

)

ν ε (d300)

≡≡ ν (d ε

750

)=

(3.24)

 · 

1 2

∆u(d) u(d)

−2

1 50.. (0. (0.1) 2 = 50 2 Y para finalizar, en el caso de los grados de libertad para la intensidad luminosa de la láampara mpara patróon, n, y bajo en razonamiento ya expresado anteriormente, es posible asumir una confiabilidad aú un n mayor que las anteriores, al menos un orden de magnitud, lo que significa que podemos usar por ejemplo ∆u ∆u(I v )/u( /u(I v ) = 0.01 en la Ec. (2.21), lo que resultará en: ν ε (I v )

−

·

=

≡ ν (I ) ≡ ν (I ) ≡ ν (I ) ≡ ν (I ) = 12 · 1 = · (0. 000. (0.01) = 5 000. 2 ε

ε

ε

v, v, 200

v, v, 500

v, v, 300

ε

v, v, 750

−2

(3.25) −2



∆uu(I (I v)) v



Usando la Ec. (2.23) junto con los resultados de las Ecs. (3.22)-(3.25) y las incertidumbres combinadas presentadas en las Ecs. (3.21a)-(3.21d), se pueden obtener sus nú umeros meros de grados de liberta libertad d efec efectiv tivos os media mediante nte:: ν eef f ,

ε200

= uc4 (ε200)

¯

4

· {[u

/ν ε (E v )] ¯v, ε, E v, 200

+ [u4ε,

RL, 200 /ν ε (RL )]

+ [u4ε,

/ν ε (I v )] I v, v, 200

+ [u [u4ε,

(3.26a)

d200 ν ε (d)]

−1

}

[(0..16 lx)4 /9] + [(0. [(0.289 lx)4 /50] = (1 (1..05 lx)4 [(0 + [(0.036 lx)4 /50] + [( 1 lx)4 /5 000] 1 2 955, 955,

·{

≈ ν eef f ,

ε300

= uc4 (ε300)

−

−

}

¯

4

/ν ε (E v )] ¯v, ε, E v, 300

· {[u

+ [u4ε,

RL, 300 /ν ε (RL )]

+ [u4ε,

/ν ε (I v )] I v, v, 300

+ [u [u4ε,

d300 ν ε (d)]

−1

}

[(0..10 lx)4 /9] + [(0. [(0.289 lx)4 /50] = (1 (1..53 lx)4 [(0 + [(0.066 lx)4 /50] + [( 1.5 lx)4/5 000] 1 4 740, 740,

·{

≈

−

−

}

(3.26b)

3.4. INCER INCERTIDUM TIDUMBRE BRE DEL ERRO ERROR R

57

Tabla 3.6: Sinopsis de la determinación o n de los n´ umeros de grados de libertad umeros efectivos para las funciones de densidad de probabilidad de las incertiumbres combinadas estimadas para el error de medición on del luxómetro. ometro. Iluminanci Ilumina nciaa Nominal O j

(lx)

Repetibilid Repetib ilidad ad Resolu Resoluci´ ci´ o n Dist on Distan anci ciaa Inte Intens nsid idad ad Grad ados os Lecturas Luxómetro Luminosa Efectivos ¯ ν ε (E v, v, Oj ) ν ε (RL, Oj ) ν ε (dOj ) ν ε (I v, v, Oj ) ν ef ef , εOj (1) (1) (1) (1) (1)

200 300 500 750

9 9 9 9

ν ef ef ,

ε500

= uc4 (ε500)

50 50 50 50

50 50 50 50

4

¯

· {[u

5 5 5 5

000 000 000 000

/ν ε (E v )] ¯v, ε, E v, 500

4 + [uε,

RL, 500 /ν ε (RL )]

4 + [uε,

/ν ε (I v )] I v, v, 500

+ [u [u4ε,

2 4 5 5

955 740 070 087

(3.26c)

d500 ν ε (d)]

−1

}

[(0..15 lx)4 /9] + [(0. [(0.289 lx)4 /50] = (2. (2.53 lx)4 [(0 + [(0.142 lx)4 /50] + [( 2.5 lx)4 /5 000] 1 5 070, 070,

·{

−

−

≈

}

y, ν ef ef ,

ε750

= uc4 (ε750)

· {[u

¯

4

/ν ε (E v )] ¯v, ε, E v, 750

4 + [uε,

RL, 750 /ν ε (RL )]

4 + [uε,

/ν ε (I v )] I v, v, 750

+ [u [u4ε,

(3.26d)

d750 ν ε (d)]

−1

}

= (3. (3.77 lx)4 [(0 [(0..16 lx)4 /9] + [(0. [(0.289 lx)4 /50] + [(0.26 lx)4 /50] + [( 3.75 lx)4 /5 000] 1 5 087. 087.

·{

≈

−

−

}

La Tabla 3.6 muestra un resumen del cáalculo lculo de los nú umeros meros de grados de libertad efectivos para las funciones de densidad de probabilidad de las incertiumbres combinadas estimadas en las Ecs. (3.21a)-(3.21d) para los errores de medicióon n del luxóometro. metro.

3.4.6

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

58

Incertid Incertidum umbres bres Expandid Expandidas as

Los n´ u umeros meros de grados de libert libertad ad efec efectiv tivos os obten obtenidos, idos, Ecs. (3.26a (3.26a)-(3. )-(3.26d), 26d), permiten asumir como Gaussianas a las distribuciones de densidad de probabilidad para las incertidumbres combinadas dadas en las Ecs. (3.21a)-(3.21d); lo que significa que éestas stas cubrir´ aan n aproximadamente al 68 68..3 % de los valores que podr´ııan an tomar los errores de medici´ oon n del luxóometro; metro; sin embargo, todav´´ıa es posible aumen todav aumentar tar esta cobert cobertura ura mult multiplica iplicando ndo las ince incertidu rtidummbres combinadas por k = 2 para obtener las incertidumbres expandidas al 95. 95.4 %, de la siguiente forma:

≈

U ε

U ε

U ε

200

, 95.4

300

, 95.4

500

, 95.4

·

= k uc (ε200) = (2) (1 (1..05 lx) = 2. 2.10 lx, lx,

(3.27a)

= k uc (ε300) = (2) (1 (1..53 lx) = 3. 3.06 lx, lx,

··

(3.27b)

= k uc (ε500) = (2) (2 (2..53 lx) = 5. 5.06 lx, lx,

·

(3.27c)

= k uc (ε750) = (2) (3 (3..77 lx) = 7. 7.55 lx;

(3.27d)

·

·

y, U ε

750

, 95.4

·

·

mismas que pueden expresarse de forma porcentual y relativa al valor de iluminancia ilumin ancia de refe referenc rencia ia de la siguie siguiente nte manera: U r,

ε200 , 95.4

U ε , 95.4 100 % E v, v, 200 2.1 lx = 100 % = 1. 1.05 %, 200 lx

=

200

·

(3.28a)

·

U r,

ε300 , 95.4

U ε , 95.4 100 % E v, v, 300 3.06 lx = 100 % = 1. 1.02 %, 300 lx

=

300

·

·

(3.28b)

´ 3.5. INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE DEL FACTOR FACTOR DE CORRECCI ON

59

Tabla 3.7: Sinopsis de la estimación on de las incertidumbres expandidas para los errores de medición on del luxómetro. ometro. Iluminancia Nom omin inal al

Grados Efec Ef ecti tiv vos

Fac acto torr de Cobe Co bert rtur uraa

O j

ν ef ef , εOj

k Oj

(1)

(1)

(%)

(lx)

(%)

2 2 2 2

95.4 95.4 95.4 95.4

2.10 3.06 5.06 7.55

1.05 1.02 1.01 1.01

(lx) 200 300 500 750

2 4 5 5

955 740 070 087

Nivel de Confi Co nfian anza za

p Oj

Inc. Exp. Abs bsol olut utaa

Inc. Exp. Rel elat ativ ivaa

U εOj , p U r, εOj , p

U ε , 95.4 100 % = E v, v, 500 5.06 lx = 100 % = 1. 1.01 %, 501 lx 500

r,

U

ε500 , 95.4

·

(3.28c)

·

y, U r,

ε750 , 95.4

U ε , 95.4 100 % E v, v, 750 7.55 lx = 100 % = 1. 1.01 %. 746 lx

=

750

·

(3.28d)

·

Las incertidumbres inc ertidumbres eexpandid xpandidas as estim estimadas adas pa para ra los er errores rores de m medici´ edicióon n del luxómetro ometro encontrados, expresadas tanto de forma absoluta como relativa a los valo alores res de las ilumin iluminanc ancias ias de refer referenc encia ia y en for forma ma porc porcen entua tual, l, se muestran de forma resumida en la Tabla 3.7.

3.5

Inc Incert ertidu idum mbre del Fac actor tor de C Corr orrecc ecci´ i´ on on

Tambi´ een n es posible estimar la inceridumbre del factor de correcci´ oon n para cada punto O punto O j de medicióon; n; para lo que deb debee aplicarse la misma metodolog metodolog´´ıa que se desarrolló para el caso de la incertidumbr incertidumbree del error de medicióon n del luxóometro. metro.

3.5.1

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

60

Incertidumbres Est´ andar andar

Como ya se mencionó en el Cap Cap´´ıtulo 2, dado que en los modelos matemáaticos ticos para el error de medicióon n del luxóometro metro y para el factor de correcci´ oon n están an involucr inv olucradas adas las mismas magnitud magnitudes es de ent entrada rada y de influe influencia, ncia, ent entonces onces las incertidumbres estáandar ndar en este caso seráan n exactamente aquéellas llas que ya fueron presentadas p resentadas para eell error de medi medici´ cióon n del luxómetro; ometro; y que están an dadas por las Ecs. (3.9a)-(3.12) y listadas en la Tabla 3.3.

3.5.2 3.5 .2

Coefi Coeficie cien ntes de Sensi Sensibil bilida idad d

Son entonces los coeficientes de sensibilidad los que requieren ser calculados nuevamente para el factor de correccióon n mediante la aplicacióon n de las Ecs. (2.25a), (2.25c) y (2.25d), de forma que los coeficientes de sensibilidad para la repetibilidad de las lecturas son: cF C, E ¯v, v,

200

− d I · E ¯ 1 038 038..75 cd = − = −0.005 lx (2 (2..28 m) · (201 (201..4 lx)

=

v, v, 200

2 200

v, 200

−1

2

cF C, E ¯v, v,

300

2

− d I · E ¯ 1 038 038..75 cd = − = −0.003 lx (1 (1..86 m) · (301 (301..9 lx)

=

500

(3.29b)

2

v, 300

−1

2

− d I · E ¯ 1 038 038..75 cd = − = −0.002 lx (1 (1..44 m) · (504 (504..3 lx)

=

,

v, v, 300

2 300

2

cF C, E ¯v, v,

(3.29a)

2

,

v, v, 500

2 500

(3.29c)

2

v, 500

−1

2

2

,

y, cF C, E ¯v, v,

750

− d I · E ¯ 1 038 038..75 cd = − = −0.001 lx (1 (1..18 m) · (750 (750..6 lx)

=

v, v, 750

2 750

(3.29d)

2

v, 750

−1

2

2

;

´ 3.5. INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE DEL FACTOR FACTOR DE CORRECCI ON

61

y nuevamente, como se muestra en la Fig. 2.5, estos mismos coeficientes de sensibilidad seráan n los que se utilicen para las incetidumbres estáandar ndar por resoluci´ oon n del luxóometro, metro, de forma que: cF C, E ¯v, cF C , R , v, L 200

cF C , R

L, 300

cF C , R

L, 500

y, cF C , R

L, 750

≡ ≡ c ≡ c

200

¯v, F C, E v, 300

¯v, F C, E v, 500

≡ c

−0.005 lx = −0.003 lx = −0.002 lx =

= ¯v, F C, E v, 750

−0.001 lx

−1

,

(3.30a)

−1

,

(3.30b)

−1

,

(3.30c)

−1

;

(3.30d)

mientras que para las distancias los coeficientes de sensibilidad son: cF C , d

200

= =

cF C , d

300

− d 2 · ·I  E ¯

v, v, 200

3 200

−

(3.31a)

v, v, 200

(2) (1 038. 038.75 cd) (2. (2.28 m)3 (201 (201..4 lx) =

·

·

−1

−0.871 m

− d 2 · ·I  E ¯ (2) · (1 038. 038.75 cd) = − = −1.068 m (301..9 lx) (1. (1.86 m) · (301 2 · I = − ¯ d · E (2) · (1 038. 038.75 cd) = − = −1.376 m (1. (1.44 m) · (504 (504..3 lx) v, v, 300

=

3 300

(3.31b)

v, v, 300

−1

3

cF C , d

,

,

v, v, 500

500

3 500

(3.31c)

v, v, 500

−1

3

,

y, cF C , d

750

− d 2 · ·I  E ¯ (2) · (1 038. 038.75 cd) = − = −1.698 m (750..6 lx) (1. (1.18 m) · (750 v, v, 750

=

3 750

(3.31d)

v, v, 750

−1

3

;

y para la intensidad luminosa resultan: cF C , I v,

200

1 2 E ¯v, d200 v, 200 1 = = 0.001 m 2 (2 (2..28 m) (201 (201..4 lx)

=

(3.32a)

·

−2

·

−1

· lx

,

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

62

Tabla 3.8: Sinopsis de la determinación on de los coeficientes de sensibilidad para el factor de corre correcci´ cci´ on del luxómetro. on ometro. Iluminanc Ilumin ancia ia Nominal O j

Repetibilid Repetibi lidad ad Lecturas cF C, E ¯v, v, −1

(lx)

(lx

200 300 500 750

-0.005 -0.003 -0.002 -0.001

Oj

Resoluci´ Resolu ci´ on on Luxómetro cFC, RL,

)

(lx

−1

)

-0.005 -0.003 -0.002 -0.001

Oj

Dist Di stan anci ciaa

Intens Inte nsid idad ad Luminosa

cF C , dO j −1

(m

cFC, I v, v, −2

)

(m

-0.871 -1.068 -1.376 -1.698

Oj −1

· l lxx

)

0.001 0.001 0.001 0.001

cF C , I v,

300

1 2 E ¯v, = d300 v, 300 1 = = 0.001 m (1. (1.86 m)2 (301 (301..9 lx)

·

−2

·

cF C , I v,

500

1 E ¯v, d v, 500 1 = = 0.001 m (1. (1.44 m)2 (504 (504..3 lx)

=

y, = =

,

(3.32c)

·

·

750

−1

· lx

2 500

−2

cF C , I v,

(3.32b)

−1

· lx

,

1 E ¯v, v, 750

2 d750

·

(3.32d)

1 = 0.001 m 2 (1. (1.18 m) (750 (750..6 lx)

−2

·

−1

· lx

.

Los coeficientes de sensibilidad calculados para las cuatro fuentes de incertidumbre consideradas en la estimacióon n de incertidumbre para el factor de correcci´ oon, n, se muestran de forma resumida en la Tabla 3.8.

3.5.3 3.5 .3

Con Contri tribu bucio cione ness

Y utilizando nuevamente la Ec. (2.17) con estos nuevos coeficientes de sensibilidad y las incertidumbres estáandar ndar ya calculadas, obtenemos las contribuciones para todas las fuentes de incertidumbre consideradas; que en el caso

´ 3.5. INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE DEL FACTOR FACTOR DE CORRECCI ON

63

de la repetibilidad de las lecturas son: u F C,

= c

¯

E v, 200

uF C, E ¯v, v,

300

F C,

500

E v, 200

· ·

200

)

v,

(0..16 lx) = = ( 0.005 lx 1 ) (0

−

−

(3.33a)

−0.000 8,8,

¯ · u(E ) (0..10 lx) = −0.000 3, 3, (−0.003 lx ) · (0

(3.33b)

¯ ) · u(E (−0.002 lx ) · (0 (0..15 lx) = −0.000 3, 3,

(3.33c)

= cF C, E ¯v, v,

v v,, 300

300

−1

= uF C, E ¯v, v,

¯ u(E

¯

= cF C, E ¯v, v,

v v,, 500

500

−1

= y, uF C, E ¯v, 750

¯ = u(E v, 750) 1 (0..16 lx) = = ( 0.001 lx ) (0 cF C, E ¯v, 750

· ·

−0.000 2;

(3.33d)

· u(R ) (−0.005 lx ) · (0. (0.289 lx) = −0.000 4, 4,

(3.34a)

−

−

las contribuciones por resolucióon n del luxóometro metro son: uF C , R

L, 200

= cF C , R =

uF C , R

L, 300

L, 200

L, 200

−1

= cF C , R

· u(R ) = (0.289 lx) = −0.000 6, 6, (−0.003 lx ) · (0. L, 300

L, 300

=

−1

uF C , R

= cF C , R , u(RL, 500) 1 = ( 0.002 lx ) (0. (0.289 lx) =

uF C , R

= cF C , R

L, 500

(3.34b)

L 500

·

−

−

·

−0.001 0,0,

(3.34c)

y, L, 750

· u(R ) (−0.001 lx ) · (0. (0.289 lx) = −0.001 4; L, 750

L, 750

=

(3.34d)

−1

las con contribu tribucione cioness por dista distancia ncia son: uF C , d

200

= cF C , d u(d200) 1 = ( 0.871 m ) (0. (0.00 0000 2 m) = 0.000 2, 2, 200

−

·

−

·

−

(3.35a)

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

64 uF C , d

uF C , d

300

= cF C , d u(d300) (0..00 0000 2 m) = 0.000 2, 2, = ( 1.068 m 1 ) (0 300

−

500

·

−

·

·

−

·

−

u(d500) = cF C , d (0..00 0000 2 m) = 0.000 3, 3, = ( 1.376 m 1 ) (0 500

−

(3.35b)

−

(3.35c)

y, uF C , d

750

·

u(d750) = cF C , d = ( 1.698 m 1 ) (0 (0..00 0000 2 m) = 0.000 3; 750

−

−

·

(3.35d)

−

y por u ultimo, ´ ltimo, las contribu contribucione cioness por int intensid ensidad ad lumino luminosa sa son: uF C , I v,

200

= cF C , I v, = (0. (0.001 m

200

· u(I

−2

uF C , I v,

300

uF C , I v,

500

−

· u(I

= cF C , I v, = (0. (0.001 m

· u(I

= cF C , I v, = (0. (0.001 m

· u(I

500

·

v, v, 300 )

−2

(3.36b)

lx 1 ) (5. (5.193 75 cd) = 0. 0.005 005,, −

·

v, v, 500 )

−2

(3.36a)

(5.193 75 cd) = 0. 0.005 005,, lx 1 ) (5.

= cF C , I v, = (0. (0.001 m

300

v, v, 200 )

(3.36c)

lx 1 ) (5. (5.193 75 cd) = 0. 0.005 005,, −

·

y, uF C , I v,

750

750

−2

3.5.4

v, v, 750 )

(3.36d)

(5.193 75 cd) = 0. 0.005 005.. lx 1 ) (5. −

·

Incertid Incertidum umbres bres Combina Combinadas das

Y sustituyendo los resultados obtenidos en las Ecs. (3.33a)-(3.36d) en la Ec. (2.26), se obtienen las incertidumbres combinadas de los factores de correcci´ oon n que se muestran en las Ecs. (3.6a)-(3.6d) de la siguiente forma: 2 uc (F C 200 ¯v, 200) = [uF C, E v,

+ u2F C , I v, = =

 −

200

200

+ u2F C , R

L, 200

+ u2F C , d

200

(3.37a)

]1/2

( 0.000 8)2 + ( 0.001 4)2 + ( 0.000 2)2 + (0. (0.005)2

√

−

0.000 027 = 0. 0.005 005,,

−

´ 3.5. INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE DEL FACTOR FACTOR DE CORRECCI ON

65

Tabla 3.9: Sinopsis de la determinación on de las incertidumbres combinadas para el factor de corre correcci´ cci´ on del luxómetro, on ometro, con sus contribuciones correspondientes.

Iluminanc Ilumin ancia ia Nominal O j

Repetibilid Repetib ilidad ad Lecturas uF C, E ¯v, v,

(lx)

(1)

200 300 500 750

-0.000 -0.000 -0.000 -0.000

Oj

 −

√ (

uFC, dO j

uFC, I v, v,

Oj

300

300

(1) 4 6 0 4

-0.000 -0.000 -0.000 -0.000

+ u2F C , R

L, 300

2 2 3 3

+ u2F C , d

300

Oj

Inc. Combinada uc (F C Oj )

(1)

(1)

0.005 0.005 0.005 0.005

0.005 0.005 0.005 0.005

(3.37b)

]1/2

0.000 3)2 + ( 0.001 0)2 + ( 0.000 2)2 + (0. (0.005)2

−

0.000 026 = 0. 0.005 005,,

+ u2F C , I v, =

uFC, RL,

-0.000 -0.000 -0.001 -0.001

2 uc (F C 500 ¯v, 500) = [uF C, E v,

=

Inttensidad In Luminosa

8 3 3 2

+ u2F C , I v, =

Distancia

(1)

2 uc (F C 300 ¯v, 300) = [uF C, E v,

=

Resoluci´ Resolu ci´ on Luxómetro

500

500

+ u2F C , R

L, 500

−

+ u2F C , d

500

(3.37c)

]1/2

 −

( 0.000 3)2 + ( 0.000 6)2 + ( 0.000 3)2 + (0. (0.005)2

−

√

0.000 025 = 0. 0.005 005,,

−

y, 2 uc (F C 750 ¯v, 750) = [uF C, E v,

+ u2F C , I v, = =

 −

√ (

750

750

+ u2F C , R

L, 750

+ u2F C , d

750

(3.37d)

]1/2

0.000 2)2 + ( 0.000 4)2 + ( 0.000 3)2 + (0. (0.005)2

−

0.000 025 = 0. 0.005 005..

−

Las incertidumbres combinadas para el factor de correccióon n que presenta el luxóometro, metro, junto con sus respectivas contribuciones debidas a cada una de las cuatro fuentes de incertidumbre consideradas, y para los cuatro puntos de medición on seleccionados en esta escala, se listan en la Tabla 3.9.

66

3.5. 3. 5.5 5

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

Grad Grados os de Liber Liberta tad d

Nuevamente la mayor contribucióon n en las Ecs. (3.37a)-(3.37d) es la del valor de intensidad luminosa de la láampara mpara patróon n usada, lo que sugiere que otra vez las distribuciones de densidad de probabilidad para estas incertidumbres combinadas tambiéen n sean Gaussianas; lo que puede verificarse calculando los correspondientes n´ u umeros meros de grados de libertad efectivos. Como las incertidumbres estáandar ndar siguen siendo las mismas que en la estimación on de la incertidumbre para el error de medicióon nd del el llux´ uxómetro, omet ro, enton entonces ces los grados de libertad obtenidos en las Ecs. (3.22)-(3.25) son los mismos que aplican para este caso, de forma que: ¯ ¯v, 500) F C (E v, ¯ ) = ν (E ε v = 9,

¯ ¯v,, 750) F C (E v

¯v ) ν F C (E

≡ ν ≡ ν

≡ ν ≡ ν

(3.38a)

ν F C (RL )

≡ ν ≡ ν

≡ ν ) ≡ ν

(3.38b)

F C (E v, v, 200)

F C (RL, 200)

F C (RL, 300)

F C (RL, 500

F C (RL, 750)

= ν ε (RL ) = 50 50,,

ν F C (d)

F C (E v v,, 300 )

≡ ν ≡ ν

≡ ν ) ≡ ν

F C (d200 )

F C (d300)

F C (d500

F C (d750)

(3.38c)

= ν ε (d) = 50 50,, ν F C (I v )

≡ ν ≡ ν

≡ ν ) ≡ ν

F C (I v, v, 200)

F C (I v v,, 300)

F C (I v, v, 500

F C (I v v,, 750)

= ν ε (I v ) = 5 000.

(3.38d)

Y éestos stos pueden utilizarse nuevame nuevamente nte como en la Ec. (2.23), pero ahora con las incertidumbres combinadas dadas en las Ecs. (3.37a)-(3.37d) para

´ 3.5. INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE DEL FACTOR FACTOR DE CORRECCI ON

67

conocer sus n´ u umeros meros de grados de libertad efectivos, que resultan ser: 4 ef ,

ν

F C 200

¯

4

[uE ¯v, 200 /ν F C (E v )]

= u (F C ) + [uR , /ν F C (RL )] + [u [u4d /ν F C (d)] c 4

200

·{

L 200

4

+ [uI v, v,

200

(3.39a)

200

−1

}

/ν F C (I v )]

= (0. (0.005)4 [( 0.000 8)4 /9] + [( 0.000 4)4 /50] + [( 0.000 2)4 /50] + [(0. [(0.005)4 /5 000] 1 2 990, 990,

≈ ν ef ef ,

F C 300 300

·{ −

−

= uc4 (F C 300 300)

−

¯

4

· {[u

/ν F C (E v )] ¯v, E v, 300

+ [u4R

/ν F C (RL )] + [u [u4d /ν F C (d)]

+ [u4

/ν (I )]

L, 300

(3.39b)

300

F C

I v, 300

−

}

−1

v

·{ − }

= (0. (0.005)4 [( 0.000 3)4 /9] + [( 0.000 6)4 /50] + [( 0.000 2)4 /50] + [(0. [(0.005)4 /5 000] 1 4 750, 750,

≈ ν ef ef ,

F C 500 500

−

= uc4 (F C 500 500) + [u4R

L, 500

4

+ [uI v, v,

500

−

−

}

¯

4

· {[u

/ν F C (E v )] ¯v, E v, 500

(3.39c)

/ν F C (RL )] + [u [u4d /ν F C (d)] 500

/ν F C (I v )]

−1

}

= (0. (0.005)4 [( 0.000 3)4 /9] + [( 0.001 0)4 /50] + [( 0.000 3)4 /50] + [(0. [(0.005)4 /5 000] 1 5 072, 072,

·{ −

−

≈ −

−

}

y, ν ef ef ,

F C 750 750

= uc4 (F C 750 750) + [u4R

L, 750

+ [uI 4v, v,

750

¯

4

· {[u

/ν F C (E v )] ¯v, E v, 750

/ν F C (RL )] + [u [u4d /ν F C (d)] 750

−1

}

/ν F C (I v )]

= (0. (0.005)4 [( 0.000 2)4 /9] + [( 0.001 4)4 /50] + [( 0.000 3)4 /50] + [(0. [(0.005)4 /5 000] 1 5 087. 087.

≈

−

·{ −

−

−

}

(3.39d)

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

68

Tabla 3.10: Sinopsis de la determinación o n de los números umeros de grados de libertad efectivos para las funciones de densidad de probabilidad de las incertiumbres combinadas estimadas para los factores de corrección on del la escala 1x del luxómetro. ometro. Ilum Il umin inan anci ciaa Nominal O j

(lx) 200 300 500 750

Repetib Repet ibili ilida dad d Reso Resolu luci´ ci´ on Distancia Intensidad Grados Lecturas Luxómetro Luminosa Efectivos ¯ ν F C (E v, v, Oj ) ν F C (RL, Oj ) ν F C (dOj ) ν F C (I v, v, Oj ) ν ef ef , F C Oj (1) (1) (1) (1) (1) 9 9 9 9

50 50 50 50

50 50 50 50

5 5 5 5

000 000 000 000

2 4 5 5

990 750 072 087

La Tabla 3.10 muestra un resumen del cáalculo lculo de los nú umeros meros de grados de libertad efectivos para las funciones de densidad de probabilidad de las incertiumbres combinadas estimadas en las Ecs. (3.37a)-(3.37d) para los factores de corrección on de la escala 1x del luxóometro. metro.

3.5.6

Incertid Incertidum umbres bres Expandid Expandidas as

Si recordamos que el nú umero mero de grados de libertad de una distribucióon n de densidad de probabilidad refleja el tama˜ n noo de la muestra que representa; lo que significa que entre máass grande sea el n´ u umero mero de grados de libertad, mayor tama˜ n noo tendrá la muestra; entonces los números umeros de grados de libertad efectivos obtenidos en las Ecs. (3.37a)-(3.37d), y que corresponden a las distribuciones de densidad de probabilidad de las incertidumbres combinadas estimadas para los factores de correccióon n presentados en las Ecs. (3.39a)(3.39d), ofrecen un respaldo razonable y fundamentado para considerar que estas distribuciones distribuciones de densi densidad dad de proba probabilida bilidad d tiene tienen n forma Gaussiana Gaussiana.. Por el argumento anteriormente expuesto, para expandir las incertidumbres combinadas encontradas, sóolo lo será necesario multiplicarlas por k = 2 para obtener las incertidumbres expandidas correspondientes, con un nivel

´ 3.5. INCER INCERTIDUMBRE TIDUMBRE DEL FACTOR FACTOR DE CORRECCI ON de confianza de

69

≈ 95 95..4 %; de la siguiente forma: U F C

200 200

, 95.4

= k uc (F C 200 200) = (2) (0 (0..005) = 0. 0.01 01,,

(3.40a)

(3.40b)

(3.40c)

(3.40d)

··

U F C

300 300

U F C

500 500

, 95.4

, 95.4

·

= k uc (F C 300 300) = (2) (0 (0..005) = 0. 0.01 01,,

·

·

= k uc (F C 500 500) = (2) (0 (0..005) = 0. 0.01 01,,

·

y, U F C

750 750

, 95.4

·

= k uc (F C 750 750)

= (2) (0 (0..005) = 0. 0.01; mismas que pueden expresarse de forma relativa al valor del factor de corrección on y en téerminos rminos porcentuales, de la siguiente manera:

·

U r,

F C 200 200 , 95.4

U F C , 95.4 100 % F C 200 200 0.01 = 100 % = 1. 1.05 %, 0.994

=

200 200

·

(3.41a)

·

U r,

F C 300 300 , 95.4

=

U F C , 95.4 100 % F C 300 300 0.01 300 300

·

(3.41b)

= 0.993 100 % = 1. 1.02 %,

·

U r,

F C 500 500 , 95.4

U F C , 95.4 100 % F C 500 500 0.01 = 100 % = 1. 1.01 %, 0.994

=

500 500

·

(3.41c)

·

y, U r,

F C 750 750 , 95.4

U F C , 95.4 100 % F C 750 750 0.01 = 100 % = 1. 1.01 %. 0.993

=

750 750

·

·

(3.41d)

CAP ÍTU ITULO LO 3. EJE EJEMPL MPLO O

70

Tabla 3.11: Sinopsis de la estimación on de las incertidumbres expandidas para los factores factor es de correcci correcci´ón on del luxómetro. ometro. Ilu lum min inan anccia Nomi No mina nall

Grados Efeect Ef ctiv ivos os

Factor de Cobe Co berrtu tura ra

O j

ν ef ef , F C Oj

k Oj

(1)

(1)

(%)

(1)

(%)

2 2 2 2

95.4 95.4 95.4 95.4

0.01 0.01 0.01 0.01

1.05 1.02 1.01 1.01

(lx) 200 300 500 750

2 4 5 5

990 750 072 087

Nivel de Confi Co nfian anzza

p Oj

Inc. Exp. Abs bsol olut utaa

Inc. Exp. Rel elat ativ ivaa

U F C Oj , p U r, F C Oj , p

Las incertidumbres expandidas estimadas los factores on on determinados para la escala 1x del lux´ oometro, metro, para expresadas tantode decorrecci´ forma absoluta como relativ relativaa a estos factores y en téerminos rminos porcentuales, se muestran de forma resumida en la Tabla 3.11.

Cap´ıtulo 4 Medici´ on de Niveles de on Iluminaci´ on En este Cap Cap´´ıtulo se resal resaltan tan los aspecto aspectoss que deben ser consi considerad derados os para utilizar utili zar adecu adecuadame adamente nte la infor informaci´ maci´ oon n obten obtenida ida a parti partirr de la calibr calibraci´ aci´ on on de un luxóometro, metro, por ejem ejemplo plo cuand cuandoo éeste ste se utiliz utilizaa para medir nivele niveless de iluminacióon n en las distintas áareas reas de trabajo a fin verificar el cumplimiento de la normatividad obligatoria. Se muestra la relevancia de la trazabilidad metrológica ogica que un luxóometro metro calibrado puede proporcionar en la verificacióon n de niveles de iluminacióon, n, y se enfatiza la correccióon n de las lecturas mediante la adecuada aplicacióon n del factor de correccióon. n. Tambiéen n se muestra cóomo mo deben utilizarse las incertidumbres proporcionadas en el certificado o informe de calibracióon, n, al momento de estimar la incertidumbre del nivel de iluminacióon n medido.

4.1

Con Consid sidera eracio ciones nes Impor Importan tantes tes

La ilumin iluminaci´ aci´ on on ambi ambient ental al influy influyee de forma importa importante nte en el áanimo nimo de las personas; por ejemplo, es sabido que un d d´´ıa nublado genera en la gente una sensacióon n de fr´ fr´ıo e infunde sentimientos de tristeza o nostalgia, mientras que un d´ıa soleado llena de alegr alegr´´ıa a la personas y las incita a divertirse divertirse.. De la misma manera la iluminacióon n juega un papel importante en los centros cen tros de trabajo, donde los niv niveles eles de ilumin iluminaci´ aci´ oon n difieren de acuerdo a las necesidades de cada actividad; por ejemplo, el nivel de iluminacióon n requerido en una oficina difiere al de una sala para conferencias, al del áarea rea de pro71

72

´ DE NIVELES DE ILUMINACI ON ´ CAP ÍTU ITULO LO 4. MED MEDICI ICI ON

Tabla 4.1: Niveles de iluminación on m´ m´ınimo ınimoss dados en la NOM-025N OM-025-STPS-20 STPS-2008 08 [33]. [3 3]. Tarea Visual del Puesto de Traba jo En exteriores. En interiores.

´ ea de Trab Ar Area abaj ajoo

´ reas generales exteriores. A ´ reas generales interiores. A ´ reas de servic Requerimiento visual simple. A icio ioss al pe perrsonal. Distinción moderada de Talleres. detalles. Distinción o n cl clar araa de de detal talle les. s. Tal aller leres es de pr prec ecis isi´ i´ on. Distinción o n fin finaa de de deta tall lles es.. Tal alle lere ress de al alta ta pr prec ecis isi´ i´ on. ´ reas de pro ceso. Alta exactitud en la distinción on A de detalle detalles. s. ´ reas de pro ceso de gran Alto grado de especialización on A en la distinción o n de det etal alle les. s.

Nivel M´ın Niv ınim imoo de Iluminacion ón (lx) 20 50 200 300 500 750 1 000 2 000

exac ex acti titu tud. d.

ducc ióon ducci´ n o en ensamb samble le een nu una na fáabrica, bri ca, al de u un n qu quir´ iróofano, fano, etc. Inclu Incluso so dentro de un mismo sitio de trabajo estos requerimientos pueden variar; por ejemplo, en una escuela se necesitan niveles de iluminacióon n diferentes para un salón on de clases, un laboratorio o una biblioteca.

4.1. 4. 1.1 1

Niv Nivel de Il Ilum umin inac aci´ i´ on on

El nivel nivel de ilumi iluminaci´ naci´ o on n es la iluminancia producida por un sistema de iluminacióon n sobre alguna superfici superficiee en parti particular cular.. Al conocer los nivele niveless de iluminacióon n dentro de un áarea rea de trabajo es posible mejorarlos para favorecer el desempe˜ n noo de los trabajadores; as as´´ı como eliminar reflexiones que deslumbren al trabajador provocáandole ndole acciden accidentes, tes, molestias o fatig fatigaa visual visual.. Para evitar que una iluminacióon n deficiente se convierta en un factor de riesgoo para la salud de los trabajado riesg trabajadores res al reali realizar zar sus activ actividades idades laborale laboraless y garantizar su seguridad en el áarea rea de trabajo, las naciones generan normatividad de cumplimiento obligatorio en la que establecen los niveles m m´´ınimos y las condici condiciones ones espec´ııficas ficas de il iluminaci uminaci´óon n para las diferen diferentes tes áareas reas de trabajo [34, 35]. Para el caso de Méexico, xico, estos niveles m m´´ınimos se especifican en la 1 norma NOM-025-STPS-2008 [33], y se muestran en la Tabla 4.1. 1

Norma vigente al momento de la publicación on de este documento, pero sujeta a revi-

4.1. CONSIDERAC CONSIDERACIONES IONES IMPOR IMPORT TANTES

4.1. 4.1.2 2

73

Plan Plano o de Trabajo rabajo

El plano de trabajo es la superficie horizontal, vertical u oblicua, en la cual el trabajo es usualmente realizado, y cuyos niveles de iluminacióon n deben ser especificados y medidos. Estos puntos de un áarea rea determinada donde se vaya a medir la iluminancia, deben escogerse en funcióon n de las necesidades y caracter caracter´´ısticas de cada centro de trabajo, de tal manera que en su conjunto puedan producir una descripci´ on on confiable del entorno que produce la iluminacióon, n, consid considerand erando: o: el procesoo de producci´ proces oon, n, la ubicacióon n de los luminarios, de las áareas reas y puestos de trabajo, as as´´ı como la posicióon n de la maquinaria y del equipo. Com´ u unmente, nmente, la normatividad aplicable en cada lugar sugiere o inclusive establece metodolog metodolog´´ıas para seleccionar el nú umero mero de puntos de medicióon ny su distribucióon n en el áarea rea ba bajo jo evaluacióon n [33, 34, 35].

4.1.3

Lux´ ometro ometro

Para que la medición on del nivel de iluminación on en un plano de trabajo sea confiable y legalmente váalida lida en Méexico, xico, es imprescindible que el luxóometro metro que se utilice ut ilice esté calibr calibrado ado [3 [36], 6], lloo que ne necesariam cesariamente ente deber deber´á ser evidenciado con el do documento cumento que aass´ı lo av avale. ale. El L Labor aboratorio atorio de Fotometr Fotometr´´ıa d del el CEN CENAM AM puede realizar la calibra calibraci´ cióon n de llux´ uxómetros ometros y está facultado para expedir los certificados de calibracióon n que se requieren para respaldar la confiabilidad de las lecturas que puedan obtenerse cuando se usan adecuadamente estos luxóometros metros calibrados. De igual forma, es importante que el luxóometro metro sea capaz de reproducir suficientemente bien la curva V(λ V(λ); cuente con la resolucióon, n, el intervalo de operacióon n y las escalas adecuadas a los niveles de iluminacióon n que se esp espera era tener; y tenga la posibilidad de aplicar correcciones para distintos tipos de iluminantes, para el caso en que se desee medir fuentes con espectros de emisióon n diferentes al del iluminante estándar andar A de la CIE. Otro aspecto que debe cuidarse es que el luxóometro metro mantenga sus paráametros de desempe˜ n noo dentro de los máargenes rgenes establecidos por la aplicación on para la que se tiene destinado, pues p por or ejemplo, dado que éestos stos son equipos cuyo detector tiende a degradarse con su uso, algunos equipos pueden llegar a sufrir cambios que se traducen en derivas que alcanzan a presentar errores de medicióon n mayores al 10 % en el transcurso de un añ no. o. As As´´ı, la respuest respuestaa de siones periódicas; odicas; por lo que su contenido podr´ıa ıa variar en el futuro.

74

´ DE NIVELES DE ILUMINACI ON ´ CAP ÍTU ITULO LO 4. MED MEDICI ICI ON

Patrón Nacional de Longitud [m] Láseres Estabilizados

Patrón Nacional de Irradiancia Espectral 2

[W/m nm] Lámparas Incandescentes

Patrón Nacional de Intensidad de Corriente Continua [A] Amperímetros

TCC [K] Espectrorradiómetro

Patrón Nacional de Intensidad Luminosa

[cd] Lámparas y Fotodetectores

Sensibilidad Fotométrica [A/lx] Detectores Fotométricos

Intensidad Luminosa [cd] Lámparas

Longitud [m] Riel

CENAM Diseminación Disemin ación

Iluminancia [lx] Luxómetros

Figura 4.1: Ruta de trazabilidad para las calibraciones en iluminancia que se realizan en el CENAM.

un luxómetro ometro puede volverse poco confiable a medida que se utilice y, dependiendo de este uso, será necesario programar sus calibraciones posteriores. Adicionalmente, el usuario tambi´ een n debe determinar cuando sea conv conveeniente enviar el luxóometro metro con el fabricante del equipo para que sea ajustado, y deberá hacerlo antes de enviarlo a calibrar, pues cualquier ajuste posterior a la calibracióon n dejará sin efecto los resu resultados ltados de éesta. sta. En cualq cualquier uier caso, siempre será necesario que el usuario aplique las correcciones pertinentes basadas en los factores de correccióon n que se reporten en el informe de medici´ oon n proporcionado por el laboratorio que haya realizado la calibracióon. n.

4.1.4 4.1 .4

Trazabi razabilid lidad ad Metro Metrol´ l´ o ogica gica

La trazabilidad metrol´ o ogica gica es la propiedad del resultado de una medición on mediante la que éeste ste puede quedar relacionado con una referencia a trav trav´és es

´ 4.2. USO DEL CERTIFIC CERTIFICADO ADO DE CALIBRAC CALIBRACI I ON

75

Tabla 4.2: Lectu Lecturas ras de ilumin iluminancia ancia sobre el escritorio de una oficina, tomadas con el luxómetro ometro calibrado. Lectura

Li

(lx)

Lectura

Li

(lx)

Lectura

Li

(lx)

i = 1 L1 = 220 i = 2 L2 = 226 i = 3 L3 = 228 i = 4 L4 = 230 i = 5 L5 = 215 i = 6 L6 = 220 i = 7 L7 = 229 i = 8 L8 = 221 i = 9 L9 = 218

de una cad cadena ena ini inint nterr errump umpida ida y docu documen mentad tadaa de cal calibr ibraci acione ones, s, cad cadaa una de las cuales contribuye a la incertidumbre de medicióon n [19 [19,, 20]. Co Como mo un luxóometro metro calibr calibrado ado siemp siempre re cuen cuenta ta con una estim estimaci´ aci´ oon n de la incertidumbre de su error medicióon, n, que entonces la trazabilidad gica aporta confiabilidad a lasdemediciones se realicen con éeste. ste. metrolóogica Los patrones patr ones naci nacionales onales d dee Méexico xico par paraa Intensida Intensidad d Lumino Luminosa, sa, Ir Irradianc radiancia ia Espectral, Longitud e Intensidad de Corriente (Eléectrica) ctrica) Continua, mantenidos en los laboratorios de CENAM, permiten asignar valores en estas magnit mag nitude udess a los pat patron rones es e ins instru trumen mentos tos que se usa usan n en la cal calibr ibraci ación ón de luxóometros; metros; ofre ofreciend ciendoo as as´´ı una ruta de traz trazabilid abilidad ad metr metrol´ ol´ oogica gica hacia unidades del SI para las mediciones de iluminancia que se realizan en Méexico, xico, a trav trav´és es de los patrones nacionales ya mencionados, Fig. 4.1.

4.2 4. 2

Us Uso od del el Cer Certi tific ficad ado o de Ca Cali libra braci ci´ on on ´

El fin u ultimo ´ltimo de toda calibracióon n es la uti utilizaci´ lizacióon n adec adecuada uada d dee sus resulta resultados, dos, el error de medicióon n que comete el luxóometro, metro, los factores de correccióon n para cada escala y las incertidumbres correspondientes, informados todos en el certificado de calibracióon, n, como el mostr mostrado ado en el Ap´ eendice ndice C; pues esto permite entregar mediciones correctas. A fin de ilustrar la manera adecuada en que debe utilizarse esta informacióon, n, consideraremos que el luxóometro metro cuya calibracióon n para la escala de 1x fue presentada en el Cap Cap´´ıtulo 3 es utilizado para verificar si la iluminación on sobre el escritorio de una oficina cumple con los valores m´ıınimos nimos establecidos en la NOM-025-STPS-2008; y que en ese plano de trabajo se han obtenido las lecturas mostradas en la Tabla 4.2.

76

4.3

´ DE NIVELES DE ILUMINACI ON ´ CAP ÍTU ITULO LO 4. MED MEDICI ICI ON

Obten Obtenci´ ci´ on on del Nivel Nivel de Ilumin Iluminaci´ aci´ on on

Para conocer nivel de iluminación on N   N   podemos considerar como modelo matem´ aatico tico alelsiguiente: ¯ c, N   = L (4.1) ¯ c es la media de las lecturas del nivel de iluminación donde L on corregidas con el factor de corrección F on F C  del del luxóometro metro para la escala en uso; es decir: N   = F C ¯ L,

·

(4.2)

¯ de las n con la media L las n lecturas lecturas L L i dada por: n

¯ = 1 L n

·

Li ;

(4.3)

i=1

  · ·

por lo que la Ec. (4.2) tambi tambi´éen n puede escribirse como: 1 N   = F C n

n

Li .

(4.4)

i=1

Aplicando la Ec. (4.3) a las las n = 9 lecturas de la Tabla 4.2 se obtiene: ¯ = 1 L 9

9

 ·

Li

(4.5)

i=1

1 (220 lx + 226 lx + 228 lx + 230 lx 9 + 215 lx + 220 lx + 229 lx + 2221 21 lx + 218 lx) = 223 lx, =

·

media que deberá ser multiplicada por el factor de correccióon n que corresponde a la escala 1x del luxómetro ometro utilizado, y que fue obtenido en la Ec. (3.7) y reportado en su certificado de calibracióon n mostrado en el Apéendice ndice C; a fin de conocer el nivel de iluminacióon n que se tiene sobre el escritorio: ¯ N = F C L = (0. (0.993 5) (223 lx) = 221.551 lx. lx.

·

·

(4.6)

´ DE LA INCERTIDUMBRE 4.4 4.4.. EST ESTIMA IMACI CI ON Error del Luxómetro

77

Factor de Corrección del Luxómetro

Resolución del Luxómetro Temperatura Ambiental Posicionamiento del Luxómetro

Nivel de Iluminación

Señal de Fondo

Repetibilidad de las Lecturas

Media de las Lecturas

Figuraa 4.2: Fuentes de incertidumbre para la medición Figur on del nivel de iluminación. on.

El valor obtenido en la Ec. (4.6) sobrepasa los 200 lx que la Tabla 4.1 establece como el nivel de iluminacióon n m´ınimo para aquellos planos de trabajo donde se realizan actividades con requerimientos visuales simples, como podr´´ıan ser los que se desar podr desarrollan rollan sobre el escr escritori itorioo de una oficina; sin embargo, ser ser´´ıa muy ave aventurado nturado asegurar que se está cumpliendo con la norma solamente a partir del valor obtenido, pues para tener mayor certeza sobre éeste ste falta estimar su incertidu incertidumbre. mbre.

4.4

Estimaci´ o on n de la Incertidum Incertidumbre bre

La estimacióon n de la incertidumbre del valor obtenido en la Ec. (4.6) tiene que seguir la misma metodolog metodolog´´ıa presentada en el Cap Cap´´ıtulo 2 y ejemplificada en el Cap´ Cap´ıtulo 3, [26, 27]. De esta forma, será necesario identificar y organizar las fuentes de incertidumbre, Fig. 4.2, para posteriormente cuantificarlas y combinar sus contribuciones.

78

4.4.1

´ DE NIVELES DE ILUMINACI ON ´ CAP ÍTU ITULO LO 4. MED MEDICI ICI ON

Incertidumbres Est´ andar andar

De acuerdo al modelo matemáatico tico de medicióon n mostrado en la Ec. (4.4) es posible dibuj dibujar ar un diagr diagrama ama de áarbol rbol para las fuen fuentes tes de incer incertidum tidumbre bre involucradas, como el mostrado en la Fig. 4.2; y para simplificar este ejercicio consideraremos solamente aquéellas llas debidas al factor de correcci´ oon n del luxóometro, metro, a la rep repetibilidad etibilidad de las lecturas y a la resolucióon n del luxóometro. metro.

Repetibilidad de las Lecturas. De esta forma, la incertidumbr incertidumbree est est´áandar ndar ¯ u(L) para la repetibilidad de las lecturas de la Tabla 4.2 se obtiene como antes, calculando la desviacióon n eest´ stáandar ndar experi experimental mental de ssu u me media: dia:

   √ · − · 

¯) = 1 u(L n

n

1

n

1

¯ (L

i=1

2

−L) , i

de la que considerando n considerando n = = 9 resulta: ¯ ) = 1.787 lx. u(L lx.

(4.7)

(4.8)

Resoluci´ o on n del Lux´ o ometro. metro. Por otra part parte, e, la incer incertidum tidumbre bre est´ aandar ndar para la resolucióon n del luxóometro metro u(RL) es la misma que se obtuvo durante su calibracióon, n, Ec. (3.10); es decir: u(RL ) = 00..289 lx. lx.

(4.9)

Factor de Correcci´ o on n del Lux´ o ometro. metro. Y por u ultimo, ´ ltimo, como ya se mencionóo,, podemos tomar como incertidumbre estáandar ndar para el factor de corrección u on u((F C ) a la mayor de las obtenidas para los factores de corrección de los puntos medidos en esa escala, que en este caso es U r, r , FC, 95.4 = 1.05 % con (k = 2), que para el factor de correcci´ oon n usado en la Ec. (4.6) resulta ser de: 005.. u(F C ) = 00..005

4.4.2 4.4 .2

(4.10)

Coefi Coeficie cien ntes de Sensi Sensibil bilida idad d

De acuerdo al modelo mostrado en la Ec. (4.2), sóolo lo se tend tendr´ ráan n dos coeficie coeficienntes de sensibilidad, por la media de las lecturas y por el factor de corrección del luxóometro; me tro; y éestos sto s son son:: cN, L¯ = F = F C   = 00..993 5, 5,

(4.11a)

´ DE LA INCERTIDUMBRE 4.4 4.4.. EST ESTIMA IMACI CI ON

79

Tabla 4.3: Sinops Sinopsis is de la determinaci´ determinación on de las inc incert ertidu idumb mbres res est estándar á ndar y los coeficientes se sensibilidad, para el nivel de iluminación. on. Repetibilid Repetibi lidad ad Resolu Resoluci´ ci´ o n Fac on acto torr de Rep epet etib ibil ilid idad ad Fac acto torr de Lecturas Luxóomet metro ro Cor Corre recc cci´ i´ on on Lecturas Corrección ¯ u(L) u(RL ) u(F C ) cN, L¯ cN , F C (lx) (lx) (1) (1) (lx) 1.787

0.289

y,

0.005

0.993 5

¯ = 223 lx. cN , F C    = L lx.

223

(4.11b)

La Tabla 4.3 muestra de forma resumida, las incertidumbres estáandar ndar obtenidas para las tres fuentes incertidumbre consideradas para el nivel de iluminaci´ oon; n; aas s´ı como lo loss dos de co coeficientes eficientes de sen sensibili sibilidad dad corre correspon spondientes. dientes.

4.4.3 4.4 .3

Co Con ntribu tribucio cione ness

Como puede apreciarse en el diagrama de áarbol rbol de la Fig. 4.2, el coeficiente de sensibilidad de la Ec. (4.11a) afectará a las incertidumbres estáandar ndar por repetibilidad de las lecturas y por resolucióon n del luxóometro; metro; mientras que el segundo, mostrado en la Ec. (4.11b), deberá aplicarse a la incertidumbre estáandar ndar por el factor de correccióon n del luxóometro metro.. De esta for forma, ma, las contribuciones por estas tres fuentes de incertidumbre son: ¯ ) = F C u(L ¯) (4.12a) uN, L¯ = cN, L¯ u(L

·

·

= (0 (0..993 5) (1. (1.787 lx) = 1.776 lx, lx,

·

uN,

= cN, L¯ u(RL) = F C u(RL) = (0. (0.993 5) (0 (0..289 lx) = 0.287 lx, lx,

(4.12b)

¯ u(F C ) uN , F C = cN , F C u(F C ) = L = (2 (223 23 lx lx)) (0 (0..005) = 1.163 lx;

(4.12c)

RL

·

·

·

y,

·

·

·

80

´ DE NIVELES DE ILUMINACI ON ´ CAP ÍTU ITULO LO 4. MED MEDICI ICI ON

Tabla 4.4: Sinopsis de la determinación on de las contribuciones a la incertidumbre y de la incertidumbre combinada, para el nivel de iluminación. on.

4.4.4

Repetibilid Repetib ilidad ad Lecturas

Resoluci´ Resoluc i´ on Luxomet ó metro ro

uN, L¯

(lx)

(lx)

(lx)

Inc. Combi Com bina nada da uc (N ) (lx)

uN, RL

1.776

0.287

1.163

2.142

Factor de Corr Co rrec ecci ción ó n

uN , F C

Incertid Incertidum umbre bre Combina Combinada da

Usando los resultados obtenidos en las Ecs. (4.12a)-(4.12c) para las contribuciones involucradas, es posible calcular la incertidumbre combinada para el nivel de iluminación on obtenido en la Ec. (4.6), como: uc (N ) = + = = =

≈

· u(L¯ )] + [c[c · u(R )] [c · u(F C ))]] } ¯ )] + [F ¯ · u(F C )] [F C · u(L [F C · u(R )] + [L )]

{[c

¯ N, L

2

N, FC

  

2

¯ N, L 2 1/2

2

(uN, L¯ )2 + (u (uN,

L

L

2

RL )

+ (u (uN ,

2

F C )

(4.13)

2

2

(1. (1.776 lx)2 + (0. (0.287 lx)2 + (1. (1.163 lx)2 2.142 lx. lx.

resulta obvio la Ec. (4.13), la contribuci´ on mayor on es la a laComo repetibilidad de lasdelecturas mostradas en la Tabla 4.2; por lo debida que se espera que sea la distribucióon n de densidad de probabilidad de esta fuente de incertidumbre, incertidumbr e, la que domine en aaqu´ quéella lla de la incertidumbr incertidumbree combinada del nivel de iluminación on dado por la Ec. (4.6) que, dado el reducido n´ u umero mero de lecturas tomadas en este caso, se espera que sea una Student cuyo nú umero mero de grados de libertad efectivos tendrá que ser calculado, a fin de seleccionar un factor de cobertura que permita ofrecer un alto nivel de confianza a este nivel de iluminacióon. n. La Tabla 4.4 muestra de forma resumida, las contribuciones a la incertidumbre de medicióon n obtenidas para el nivel de iluminacióon, n, as´ as´ı como su incertidumbre combinada.

´ DE LA INCERTIDUMBRE 4.4 4.4.. EST ESTIMA IMACI CI ON

4.4. 4.4.5 5

81

Grad Grados os de Liber Liberta tad d

Como para esta medicióon n del nivel de iluminacióon n sóolo lo se consideraron tres fuentes de incertidumbre incertidumbre,, la repetibilidad de las lecturas, la resolucióon n del luxóometro metro y su factor de correccióon; n; entonces será necesario conocer primero los grados de libertad para estas tres fuentes. En el caso de los grados de libertad para la repetibilidad de las lecturas, vemos que como n como n = = 9 entonces: ¯ ν N 1 N (L) = n = 9 1 = 8.

− −

(4.14)

Como antes, es posible considerar una confiabilidad de 0.1 para la contribuci´ oon n por la resolucióon n del luxóometro metro y entonces obtener:

 ·

1 ∆u(RL ) ν N N (RL ) = 2 u(RL ) 1 = (0. (0.1) 2 2 = 50 50..



−2

(4.15)

−

·

Y por u ultimo, ´ltimo, considerando el nivel de iluminacióon n medido, es posible utilizar el número umero de grados de libertad ya obtenido en la Ec. (3.39a) para el factor de correccióon: n: ν N 2 990. 990. (4.16) N (F C 200 200 )

≈

Usando ahora los resultados para incertidumbre combinada, Ec. (4.13), para sus contribuciones, Ecs.calcular (4.12a)-(4.12c), y para sus grados de libertad, Ecs. (4.14)-(4.16), podemos el nú umero mero de grados de libertad efectivos para la distribucióon n de densidad de probabilidad de la incertidumbre combinada para el nivel de iluminacióon: n: ν eef f ,

N

= uc4 (N )

·



4 uN, u4N, R u4N , F C L ¯ + ¯ + ν N ν N ν N N (F C 200 N (RL ) 200) N (L) L

4

= (2. (2.142 lx) = 16 16..93 16 16..

≈

·

−1



(1. (1.776 lx)4 (0 (0..287 lx)4 (1 (1..163 lx)4 + + 8 50 2 990

(4.17) −1



82

´ DE NIVELES DE ILUMINACI ON ´ CAP ÍTU ITULO LO 4. MED MEDICI ICI ON

Tabla 4.5: Sinopsis de la determinación on del n´ umero de grados de libertad efectivos umero para el nivel de iluminación. on. Repetib Repet ibil ilid idad ad Reso Resolu luci ci´ón o n Fac actor tor de Grad Gr ados os Lecturas Luxóomet metro ro Corre Correcc cci´ i´ o n Ef on Efec ecti tivo voss ¯ ν N ν N N (L) N (RL ) ν N N (F C 200 200 ) ν ef ef , N (1) (1) (1) (1) 8

50

2 990

16

Resulta importante mencionar que a pesar de que el n´ u umero mero de grados de libertad efectivos obtenidos en la Ec. (4.17) se aproxima más a dieci diecisiete siete,, es recomendable truncarlo a dieciseis. La raz´ ngrados para de esto es que,lacomo ya seoon mencion´ o, o, entre entre may or sea el nú umero mero deoon libertad, distribuci´ n de densidad de mayor probabilidad tipo Student correspondiente se aproximará máass a una Gaussiana; o dicho de otra forma, los factores de cobertura t seráan n mayores entre menor sea el n´ u umero mero de gra grados dos de libe liberta rtad d efe efecti ctivo vos; s; por eje ejempl mplo, o, par paraa un niv nivel el de confianza   p = 97 confianza 97..5 %, los factores de cobertura en comento son t son t ν =16 =16 = 2.12 As´´ı, al redondear el nú umero mero de grados de libertad efectivos y tν =17 =17 = 2.11. As a dieci diecisiet siete, e, se corre correrr´ıa el riesg riesgoo de dejar sin cobert cobertura ura una fracc fracci´ ióon n de ese 97. 97.5 % de las lecturas que deseamos amparar; mientras que al truncarlo a dieciseis, sucede precisamente lo contrario, ampliamos la cobertura a un poco más as del 97. 97.5 % de las lecturas. La Tabla 4.5 muestra de forma resumida, el anáalisis lisis de grados de libertad y n´ u umero mero de deprobabilidad grados de libertad efectivos obtenidos para la distribuci´ on on deeldensidad correspondiente a la incertidumbre combinada estimada para el nivel de iluminacióon. n.

4.4.6 4.4 .6

Inc Incert ertidu idum mbr bre e Expand Expandida ida

Un n´ umero umero de grados de libertad efectivos como el obtenido en este caso, fortalece la consideracióon n de que la distribución on de densidad de probabilidad de la incertidumbre combinada del nivel de iluminacióon n es del tipo tipo   t, o de Student; por lo que resulta necesario buscar el factor t apropiado en tablas de probabilidad para la distribucióon n de Student, a fin de identificar el valor apropiado apropi ado que nos otorg otorgee un niv nivel el de confia confianza nza suficien suficiente. te. Si hacemos esto,

´ DE LA INCERTIDUMBRE 4.4 4.4.. EST ESTIMA IMACI CI ON

83

Tabla 4.6: Si Sinopsis nopsis de la estimación on de la incertidumbre expandida para el nivel de ilumina iluminaci´ ci´ on. on. Nivel de Iluminación on

Grados Efec Ef ecti tiv vos

N

ν ef ef , N

(lx)

(1)

221.551

16

Factor de Cobe Co bert rtur uraa

Nivel de Confi Co nfian anza za

Inc. Exp. Abso Ab solu luta ta

p

U N, N, p

(1)

(%)

(lx)

(%)

2.12

97.5

4.541

2.05

tν =16 =16

Inc. Exp. Rela Re lati tiv va

U r, N , p

podremos utilizar por ejemplo t ejemplo tν =16 =16 = 2.12 para obtener un nivel de confianza de de p p = = 97 97..5 % [29], de forma que la incertidumbre expandida será: a: =16 uc (N ) U N, 97.5 = tν =16 N ) = (2. (2.12) (2 (2..142 lx) = 4.541 lx, lx,

··

(4.18)

que expresada de forma porcentual y relativa al valor del nivel de iluminación on detectado, es: U r,

N, 97.5

U N, N, 97.5 100 % N 4.541 lx = 100 % 221..551 lx 221 = 2.05 %.

=

·

(4.19)

·

La incertidumbre expandida estimada para el nivel de iluminacióon n determinado, expresada tanto de forma absoluta como relativa a este nivel de iluminacióon n y en téerminos rminos p porcentuales, orcentuales, se muestra de forma resumida en la Tabla 4.6. El resultado obtenido en la Ec. (4.18) significa que el valor obtenido para el nivel de iluminancia bajo verificacióon, n, Ec. (4.6), puede ser tan alto como: N + = N  + + U N N,, 97.5 = 221.551 lx + 4. 4.541 lx 226 lx, lx,

≈

(4.20)

84

´ DE NIVELES DE ILUMINACI ON ´ CAP ÍTU ITULO LO 4. MED MEDICI ICI ON

o tan bajo como: −

N

= N U N, 97.5 = 221.551 lx 4.541 lx 217 lx;

− −

≈

−

(4.21)

y que esto se cumple con una probabilidad p probabilidad p de al menos el 97. 97.5 %. Como Co mo es pos posib ible le ver de lo loss resu result ltad ados os en las las Ec Ecs. s. (4.2 (4.20) 0) y (4.2 (4.21) 1),, en cualquiera cualqui era de los d dos os ca casos, sos, el nivel de ilu iluminaci´ minacióon n med medido ido ssupera uperarr´ıa lo loss 20 2000 lx que establece la norma, por lo que efectivamen efectivamente te se estar estar´´ıa cumpliendo con lo que éesta sta requ requiere iere..

Ap´ endice A Varianza de Distribuci´ on on Rectangular F(x)

1

(b

a)

a

( a + b)

b

x

2

Figuraa A.1: Función Figur on de densidad de probabilidad rectangular de tamaño no b − a. La funcióon n de densidad de probabilidad rectangular o uniforme, representada gráficamente aficamente en la Fig. A.1, tiene la siguiente forma matemáatica: tica: F F ((x) =



(b

− a)

−1

≤ ≤

: a x b, 0 : Cu Cual alqu quie ierr otro otro ca caso so..

(A.1)

Para obtener su segundo momento o varianza, proponemos la variable 85

´ ´ RECT 86 AP ENDIC ENDICE E A. VARIAN ARIANZA ZA DE DISTRIBUCI DISTRIBUCI ON RECTANGULAR ANGULAR aleatoria:

(a ( a + b) , 2 que desplaza la media a cero, de forma que su esperanza E (Y ) Y ) es: Y Y    = x

(A.2)

−

( a + b) − (a . 2 Si definimos ahora la variable θ variable θ = (b − a), entonces tenemos que: E (Y Y )) = E (x)

f f ((y, θ) = θ

−1

(A.3)

(A.4)

−θ/ θ/22 ≤ y ≤ θ/2; θ/2; y por lo tanto:

para

θ/2

Var(Y Var( Y )) = θ

−1



Y 2 dy

(A.5)

θ/2 3 θ/ 2

−

1 Y = θ 3

    −   · · −    − · · −     · · · · · ·

θ/2

−

θ 2

1 1 = θ 3

3

θ 2

3

1 1 θ3 θ3 = θ 3 23 23 1 1 θ3 θ 3 1 1 = + = θ 3 23 23 θ 3 2 θ ; = 12 a), entonces:

y como θ como θ = (b

−

2 θ3 23

1 1 θ 3 = θ 3 22

· ·

θ2 (b a)2 Var(Y Var( Y )) = ; 12 12 y dado que la desviacióon n estáandar ndar σ de una distribucióon n de probabilida probab ilidad d es igual a la ra ra´´ız cuadr cuadrada ada de la varianz arianzaa de la entonces: (b a)2 (b a) , = σ(Y Y )) = Var( Var(Y Y )) = 12 12 es decir, (a ( a + b) (b a) σ(F F ((x)) σ x . = 2 12

≡ −

 −



≡

−

(A.6) densidad de distr distribuci ibuci´óon, n,

√ −



√ −

(A.7)

(A.8)

Ap´ endice B Repetibilidad de Lecturas A continuacióon n se muestra detalladamente el cáalculo lculo para la determinación on de la incertidumbre estáandar ndar p por or rep repetibilidad etibilidad de las lecturas, realizado utilizando la Ec. (2.11) escrita para n para n = = 10 de la siguiente manera:

¯v, u(E v,

1 Oj ) = 10

√

   · − ·   · √ · 10

¯vv,, (E

1

Oj

i=1

2

− E

vi , Oj )

(B.1)

10

1 1 = 9 10

√

10

1

¯vv,, (E

i=1

− E

Oj

vi , Oj )

2

,

donde es posible desglosar los diez téerminos rminos de la sumatoria como: ¯v, u(E v,

Oj )

1 ¯v, ¯vv,, Oj E v , Oj )2 [(E E v , Oj )2 + (E v, Oj 90 ¯vv,, O ¯v, E v , Oj )2 E v , Oj )2 + (E + (E v, Oj j ¯v, ¯vv,, Oj E v , Oj )2 + (E E v , Oj )2 + (E v, Oj ¯vv,, Oj E v , Oj )2 ¯v, E v , Oj )2 + (E + (E v, Oj ¯v, ¯vv,, Oj E v , Oj )2 ]1/2 . + (E E v , Oj )2 + (E v, Oj

=

√ ·

−

− − − −

−

1

− − − −

3

5

7

9

2

(B.2)

4

6

8

10

Escribiendo la Ec. (B.2) de forma particular para el punto O1 = 200 lx, 87

´ AP ENDIC ENDICE E B. REPE REPETIBIL TIBILIDA IDAD D DE LECTURAS LECTURAS

88 tenemos:

¯ u(E v, 200) = + + + +

1

2 2 ¯ ¯ 9900 [(E v, 200 E v , 200) + (E v, 200 E v , 200) (B.3) ¯vv,, 200 E v , 200)2 ¯v, E v , 200)2 + (E (E v, 200 ¯vv,, 200 E v , 200)2 ¯v, E v , 200)2 + (E (E v, 200 ¯vv,, 200 E v , 200)2 ¯v, E v , 200)2 + (E (E v, 200 ¯vv,, 200 E v , 200)2 ]1/2 ; ¯v, E v , 200)2 + (E (E v, 200 ¯vv,, 200 y y sustituyendo en la Ec.(B.3) el valor obtenido con la Ec. (3.3a) para E los datos presentados en la Tabla 3.1 para las lecturas en el punto O punto O1 = 200 lx, podemos obtener el valor para la repeti repetibilida bilidad d de las lecturas correspon correspondiendientes a ese punto, como: ¯vv,, 200) = 1 [(201 u(E [(201..4 lx 202 lx)2 + (201. (201.4 lx 202 lx)2 (B.4)

√ ·

− − − −

(2090 1.4 (201.4 (201.4 (201.4

− − − −

3

5

7

9

√ ·

+ + + +

1

−

4

6

8

10

−

lx lx lx lx

− 202 lx) − 201 lx) − 201 lx) − 201 lx)

2

−

−

2

+ (201. (201.4 2 + (201. (201.4 2 + (201. (201.4 2 + (201. (201.4

lx lx lx lx

2

− 201 lx) − 201 lx) − 201 lx) − 202 lx) ] 2

2

2 1/2

,

que efectuadas las restas resulta en: ¯vv,, 200) = 1 [( 0.6 lx)2 + ( 0.6 lx)2 + ( 0.6 lx)2 (B.5) u(E 90 + ( 0.4 lx)2 + ( 0.4 lx)2 + ( 0.4 lx)2 + ( 0.4 lx)2 + ( 0.4 lx)2 + ( 0.4 lx)2 + ( 0.6 lx)2 ]1/2 ,

√ · − − − − −

−

−

− −

−

donde obteniendo obteniendo los cuadrados cuadrados tenemos: ¯vv,, 200) = 1 (0. u(E (0.36 lx2 + 0. 0.36 lx2 + 0. 0.36 lx2 + 0. 0.16 lx2 (B.6) 90 + 0.16 lx2 + 0. 0.16 lx2 + 0. 0.16 lx2 + 0. 0.16 lx2 + 0.16 lx2 + 0. 0.36 lx2 )1/2 ;

√ ·

y por tanto, la repetibilidad de las lecturas para el punto O punto O1 = 200 lx resulta ser:

√ √



2.4 2.4 ¯vv,, 200) = 1 u(E 2.4 lx2 = lx = lx 90 90 90 = 0.026 666 667 lx = 0. 0.163 299 316 lx

√ √

 ·

≈ 0.16 lx. lx.

(B.7)

Ap´ endice C Certificado de Calibraci´ on on Las Figs. C.1, C.2 y C.3 muestran las tres páaginas ginas de un certificado de calibraci´ oon n comoy los t´ıpicamen ıpicamente e em emiten iten oon por el L Labo aboratorio ratorio Fotometr´ıa ıa de CENAM queque contiene todate lasse informaci´ n requerida por la de normatividad aplicable [37]. En este caso la informacióon n mostrada en el certificado corresponde a la obtenida para los errores de medicióon n y el factor de correccióon n de la escala 1x, con intervalo nominal de medicióon n de 0 lx a 999 lx, en el ejemplo realizado en el Cap Cap´´ıtulo 3. Aqu Aqu´´ı tambiéen n se muestra la informa informaci´ ción on sobre la láampara mpara patróon n utilizada como referencia para la intensidad luminosa que, al ir acompa˜ n nada ada del n´ u umero mero de su certificado, brinda evidencia de la existencia de una ruta de traza trazabilida bilidad d hacia unidades del SI a tra trav´ v´ es es de los patron patrones es nacionales que mantiene el CENAM. Resulta importante hacer hincapié en el hecho de que aparecen referidos dos n´ u umeros meros de certificados para la láampara mpara patróon, n, uno correspondiente al valor de intensidad luminosa y otro al de su temperatura de color, lo que asegura que éesta sta se comporta como un iluminante estáandar ndar A de la CIE. De igual i gual forma, el cer certificado tificado tambiéen n exp expresa resa con detalle la m metodo etodolog log´´ıa utilizada para estimar las incertidumbres reportadas, mismas que como ya se vióo,, ssee obtien obtienen en apli aplicando cando el méetodo todo GUM. Por u ultimo, ´ltimo, el certificado entrega algunas observaciones que indican cóomo mo debe utilizarse el factor de corrección on encontrado y ta tambi´ mbiéen n rrecomienda ecomienda su u utilizac tilizaci´ ióon n adecuada, de la forma como se ejemplificó en el Cap Cap´´ıtulo 4.

89

90

´ ´ AP ENDICE C. CERTIFICADO DE CALIBRACI ON

Figura C.1: Carátula atula del certificado de calibración on del luxómetro ometro de CENAM.

´ ´ AP ENDICE C. CERTIFICADO DE CALIBRACI ON

91

Figura C.2: Reporte del error de medición, on, de la incertidumbre estimada y de los certificados de calibración o n de la lámpara ampara patrón on usada, que respaldan la ruta de trazabilidad brindada.

92

´ ´ AP ENDICE C. CERTIFICADO DE CALIBRACI ON

Figura C.3: Informe de la metodolog meto dolog´´ıa aplicada apli cada para estimar la incertidumbre, reporte de los factores de correcci´ on y recomendaci´ on on para su utilización. on on.

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