Dimitris Evagelopoulos - Ieri Geometria

∆ΗΜΗΤΡΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ

ΙΕΡΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ

ΑΡΧΕΤΥΠΟ

Αφιερώνω αυτό το βιβλίο στην αγαπηµένη µου σύντροφο Γιάννα, η οποία µου χάρισε το λατρευτό µου γιο και η οποία υπέµεινε µε πραγµατική εγκαρτέρηση την ιδιοτροπία µου για πλήρη αποµόνωση και συγκέντρωσή µου µέχρι την ολοκλήρωση της συγγραφής αυτού του έργου.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ Το Γεωµετρικό Όργανο πριν το ∆ιαβητη ● Ο Κύκλος, το Μηδέν, το Ορφικό Αυγό ● Ο Υπερβατικός Αριθµός π ● Το Σηµείο, Η Μονάδα, Η Αρχή της Εκδήλωσης ● Η Ευθεία, η ∆υάδα, η Πρώτη ∆ιάσταση ● Το Τρίγωνο, το Ταυ, η Τριαδα, το Επίπεδο ● Ο Νόµος της Τριαδας ● Το Τετράγωνο, η Τετράδα, το Στερεό ● Τα Μαγικά Τετράγωνα ● Οι Άρρητοι Αριθµοί ● Ο Τετραγωνισµός του Κύκλου ● Η Τριχοτόµηση µιας Γωνίας ● Το Πεντάγωνο, η Πεντάδα, το Πεντάλφα ● Κατασκευή Κανονικού Πενταγώνου ● Το Εξάγωνο, η Εξάδα, ο Εξάκτινος Αστέρας ● Το Επτάγραµµα, η Επτάδα, το Επτάκτινο Άστρο ● Προσεγγιστική Κατασκευή Κανονικού Επταγώνου (µε κανόνα και διαβήτη) ● Ο Νόµος της Επτάδας ή Οκτάβας ● Το Οκτάγωνο, η Ογδοάδα ● Το Εννεάγωνο, η Εννεάδα ● Το Εννεάγραµµα του Γκουρντζιεφ ● Το ∆εκάγωνο, η ∆εκάδα ● Το Ενδεκάγωνο, η Ενδεκάδα ● Το ∆ωδεκαγωνο, η ∆ωδεκάδα ● Κοσµικες ∆ωδεκάδες.

ΤΑ ΠΕΝΤΕ ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Η Πλατωνική Θεωρία για τα Στοιχεία ● Το Μασωνικό Κόσµηµα του Μέλους του Τάγµατος του Βασιλικού Τόξου ● Βασικές Γεωµετρικές Ιδιότητες των Κανονικών Πολυέδρων ● Το Τετράεδρο ● Φιλοσοφια ● Το Μερκαµπά ● Το Οκτάεδρο ● Ο Κύβος ● Το ∆ήλιον Πρόβληµα ● Το Εικοσάεδρο ● Το ∆ωδεκάεδρο ● Η Ψυχή του Κόσµου ● Η Προέλευση του Συστήµατος Μέτρησης του Χρόνου και των Γωνιών ● Αστεροειδή Πολύεδρα ● Αρχιµήδεια Στερεά ● Πλατωνικά Στερεά σε Όλες τις ∆ιαστάσεις.

Ο ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Οι Νεολιθικοί Πέτρινοι Κύκλοι ● Το Στόοουνχεντζ ● Το Avebury ● Το Castle Rigg ● Οι Γίγαντες του Glastonbury ● Οι Crop Circles ● Τα Ινδιάνικα Κίβας ● Θρησκευτικοί Κύκλοι: Το Κυκλικό Φωτοστέφανο ● Το Σταυροειδές Φωτοστέφανο ● Το Ουράνιο Τόξο ● τα Τα Ροζ Παράθυρα ● Η Vesica Piscis ● Οι Μαντάλες ● Οι Τρόχοι ● Άλλοι Κύκλοι ● Το ∆ακτυλίδι ● Ο Ουροβόρος Όφις ● Ο Κύκλος του Χορού και ο Μαγικός Κύκλος ● Το Λουλούδι της Ζωής.

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΜΕΣΟΙ Η Τετάρτη Ανάλογος ● Ο Αριθµητικός Μέσος ● Ο Γεωµετρικός Μέσος ● Ο Αρµονικός Μέσος ● ∆ιαίρεση ενός Ετθύγραµµου Τµήµατος σε ∆οθέντα Λόγο ● Αρµονία και Οµορφιά.

ΜΟΥΣΙΚΗ Το Κσοµικό Μονόχορδο ● Η Θεωρία της Στοιχειακής Μουσικής ● Το Τετράχορδο των Στοιχείων µε τις Αντιστοιχίες του ● Το Μείζον και το Έλασσον Σύστηµα ● Η Σύγχρονη Συγκεκραµένη Κλίµακα.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Γεωµετρική Λύση ● Η Χρυσή Τοµή στοΠεντάγωνο ● Μερικές πρώτες Ιδιότητες του Χρυσού Αριθµού Φ ● Το Χρυσό Τρίγωνο ● Η Χρυσή Γωνία ● Το Χρυσό Ορθογώνιο ● Κατασκευή Χρυσού Ορθογωνίου ● Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο ● Ο Χρυσός Ρόµβος ● Η Χρυσή Έλλειψη ● Ο Χρυσός Σταυρός ● Η Χρυσή Σπείρα ● Η Ιερή Τοµή ● Επιστρώσεις ● Επιστρώσεις Penrose ● Επίστρωση Λαβυρίνθου ● Επίστρωση του Χώρου.

Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI Τα Κουνέλια του Fibonacci ● Τα Ορθογώνια και η Σπείρα Fibonacci ● Το Άθροισµα των Τετραγώνων των Αριθµών Fibonacci ● Οι Λόγοι Fibonacci ● Ο Τύπος του Επόµενου Όρου ● Φιµπονάκειοι Πίνακες ● Αλγεβρικές Σχέσεις ● Ο Τύπος του Binet ● Πρότυπα στους Αριθµούς Fibonacci ● Περίοδοι στους Αριθµούς Fibonacci ● Η Σειρά Fibonacci σαν ένα ∆εκαδικό Κλάσµα ● Αριθµοί Fibonacci και Πυθαγόρεια Τρίγωνα ● Η Χρυσή Χορδή Fibonacci ● Παράσταση Ακεράιων Αριθµών µε τους Αριθµούς Fibonacci ● Ο Μουσικός Συµβολισµός ● Το Σύστηµα µε Βάση το Φ ● Το Σύστηµα Βάσης Fibonacci ● Το Τρίγωνο του Πασκάλ ● Γενικευµένοι Αριθµοί Fibonacci και Χρυσές Τοµές ● Το Τρίγωνο του Πασκάλ και οι Αριθµοί pFibonacci ● Η Γενίκευση της Χρυσής Τοµής ● Η Περιττή Χρυσή Τοµή ● Οι Αριθµοί Lucas ● Υπολογιστές Fibonacci ● Τα Μαθηµατικάτης Αρµονίας.

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI ΣΤΗ ΦΥΣΗ ∆ιακλαδούµενα Φυτά ● Χρυσές Σπείρες και ∆ιατάξεις Σπόρων ● Κουκουνάρια, Ανανάδες και Κάκτοι ● ∆ιευθετήσεις Φύλλων ή Φυλλοταξία ● Γιατί η Χρυσή Τοµή είναι η «Καλύτερη» ∆ιευθέτηση για τα Φυτά ● Τέχνη και Αριθµοί Fibonacci ● ∆άκτυλα και Αριθµοί Fibonacci ● Αριθµοί Fibonacci και Ποίηση ● Μουσική και αριθµοι fibonacci ● Μουσικη Fibonacci-Γκάµελαν

ΙΕΡΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Ανατολική Αρχιτεκτονική: Αίιγυπτος ● Ιουδαία ● Στούπες ● Κλασσική, Ρωµαϊκή και Βυζαντινή Αρχιτεκτονική: Τα ∆υτικά Συστήµατα Αναλογίας ● Οι Αρχαίοι Ελληνικοί Ναοί και ο Παρθενώνας ● Οι Τρεις Γεωµετρικές Αναλογίες της Ρωµαϊκής Αρχιτεκτονικής ● Το Πάνθεον ● Το Βαπτιστήριο της Πίζας ● Βυζαντινή Αρχιτεκτονική: Μεσαίωνας ● Η Μεσαιωνική Αρχιτεκτονική ● Αναγέννηση (1400-1600 µ.χ. περίπου): Η Χρυσή Τοµή στη Τέχνη της Αναγέννησης ● Γεωµετρική Ανάλυση Σχεδίων και Πινάκων Ζωγραφικής ● 17ος - 20ος αιωνας: Η Άνοδος του Ευκλειδισµού το 17ου Αιώνα ● Η Χρυσή Τοµή τον 20ο Αιώνα ● Ο Le Corbusier ● Η Αναλογία στους Πίνακες του Le Corbusier ● Το Σύστηµα «modulor» του Le Corbusier ● Ο Γιάννης Ξενάκης (1922- 4/2/2001) ● Χρυσή Τοµή και Κλασσική Μουσική ● Ετεροδύνωση και ∆υνάµεις του Φ.

ΤΟ INTEGRATRON (ΙΝΤΕΓΚΡΑΤΟΝ) Η Ιστορία του ● Περιγραφή του Integratron και της Λειτουργίας του ● Ο Παράγοντας «Θόλος»

ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΙ Ο Επταδικός Κρητικός Λαβύρινθος ● Πώς να Σχεδιάσουµε έναν Κρητικό Λαβύρινθο ● Ο Μεγάλος Λαβύρινθος της Αρχαίας Αιγύπτου ● Ρωµαϊκοί Λαβύρινθοι ● Χριστιανικοί Λαβύρινθοι ● Μουσικά Πρότυπα των Λαβύρινθων ● Ινδιάνικοι Λαβύρινθοι ● Άλλοι Λαβύρινθοι

ΜΑΝΤΑΛΕΣ Τρόπος Κατασκευής και Λεπτοµέρειες της Μάνταλα ● Η Εσωτερική Μάνταλα ● Σρι Γιάντρα

ΧΑΟΣ ΚΑΙ ΦΡΑΚΤΑΛΣ Φράκταλς και «Κλασµατική» Γεωµετρία ● Η «Κλασµατική» Αρχιτεκτονική.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Οι Αντιστοιχίες των 22 Εβραϊκών Γραµµάτων ● Τα Μαγικά Τετράγωνα ● Οι Ακολουθίες του Νικοµάχου.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η γεωµετρία, λέει ο Σωκράτης στη «Πολιτεία» του Πλάτωνα, αναγκάζει τη ψυχή να αντικρίσει την ουσία των όντων. Έχει σαν αντικείµενό της τη γνώση του αιώνιου («αεί») όντος και όχι του εµφανιζόµενου κι εξαφανιζόµενου («του γιγνοµένου και απολλυµένου»). Έλκει τη ψυχή προς την αλήθεια και αναπτύσσει το φιλοσοφικό εκείνο πνεύµα που εξυψώνει τα βλέµµατά µας προς τα ανώτερα πράγµατα. Συνδέεται στενά µε την αριθµητική, την οποία και πρέπει να ακολουθεί στη διδασκαλία των νέων. Ο Πρόκλος από τη µεριά του στο έργο του πάνω στη Πλατωνική θεολογία προσθέτει ότι ο πρώτος τρόπος αποκάλυψης των θείων αρχών, µε τη βοήθεια συµβόλων, ανήκει στον Ορφέα και γενικά σε αυτούς που αποδίδουν µε γραπτό τρόπο τους θείους µύθους. Ο δεύτερος τρόπος, µε τη βοήθεια εικόνων, ανήκει στον Πυθαγόρα, διότι «η ανακάλυψη των µαθηµατικών έγινε από τους Πυθαγόρειους µε σκοπό την ανάµνηση των θείων αρχών και µε τη βοήθειά τους επεδίωκαν να αναχθούν στις ανώτερες αιτίες. Γι’ αυτό αφιέρωσαν στους θεούς αριθµούς και γεωµετρικά σχήµατα».

Το «Αεί ο Θεός (προφανώς ο Απόλλωνας) ο Μέγας Γεωµετρεί» του Πλάτωνα και το «Μηδείς αγεωµέτρητος εισίτω (να µην εισέλθει κανείς που δε γνωρίζει γεωµετρία)», που ήταν γραµµένο στην είσοδο της Ακαδηµίας του, αποπέµποντας τους «αγεωµέτρητους» σα βέβηλους από το χώρο της, υποστηρίζουν πλήρως την προηγούµενη άποψη του Σωκράτη και του Πρόκλου. Οι αριθµοί λοιπόν και τα γεωµετρικά σχήµατα, συνδεόµενοι στενά µεταξύ τους, είναι τα κατεξοχήν σύµβολα που θα χρησιµοποιήσουµε στην αναζήτηση πρώτων αρχών στο ξεδίπλωµα της ∆ηµιουργίας από την Εν-ότητα στην πολλαπλότητα. Θα εξετάσουµε έτσι τους συµβολισµούς (και γεωµετρικές ιδιότητες) του σηµείου, του κύκλου, της ευθείας και των επιπέδων κανονικών πολυγώνων και στη συνέχεια των πέντε ιδανικών στερεών του Πλάτωνα. Στις αναλύσεις µας και αντιστοιχίες µας θα χρησιµοποιήσουµε τόσο το Πυθαγόρειο Σύστηµα όσο και το σύστηµα της Καβάλας που και τα δύο θα µας βοηθήσουν στη πληρέστερη κατανόησή µας της αποκρυφιστικής και µεταφυσικής σηµασίας των αριθµών και των γεωµετρικών σχηµάτων που συνδέονται µε αυτούς. Τα γεωµετρικά σχήµατα δεν αποτελούν όµως µόνο σύµβολα πρώτων αρχών, φάσεων, δυνάµεων ή νόµων της ∆ηµιουργίας, αλλά και οπτικές παραστάσεις των αόρατων αριθµητικών σχέσεων που διέπουν τα αντικείµενα. Σύµφωνα µε την Πλατωνική άποψη ο αισθητός, «αντικειµενικός», κόσµος είναι το ατελές αντίγραφο ενός ιδανικού, υπεραισθητού προτύπου, του Κόσµου των Ιδεών. Οι Ιδέες παραµένουν αµετάβλητες, άφθαρτες και αιώνιες, ενώ ο αισθητός κόσµος, το αντίγραφο, είναι σε µια συνεχή µεταβολή, ένα διαρκές γίγνεσθαι. Ο Αριθµός των Πυθαγορείων κατέχει µια ανάλογη µεταφυσική θέση µε τις Ιδέες αυτές του Πλάτωνα. Σε κάθε ον ή αντικείµενο µπορεί να αποδοθεί ένας Αριθµός, µια αριθµητική σχέση, µια αναλογία που συγκεκριµενοποιείται µε την προβολή του υπεραισθητού αφηρηµένου αυτού προτύπου στην αισθητή, οπτική, γεωµετρική µορφή του αντικειµένου. Σκοπός των όντων και γενικότερα του κόσµου είναι να γίνουν ένα κατά το δυνατόν τέλειο αντίγραφο της αφηρηµένης υπεραισθητής αρχής που αντιπροσωπεύουν, να παραστήσουν εξωτερικά όσο το δυνατόν πληρέστερα την αόρατη αρµονία των αφηρηµένων δοµών και ιδεών, να αναπαράγουν εξωτερικά το εσωτερικό µαθηµατικό Κάλος.

Πέρα από την υποκειµενική λοιπόν οµορφιά, επηρεασµένη από το πολιτιστικό επίπεδο, εκπαίδευση και ιδιαιτερότητα του καθενός, θεωρείται πως υπάρχει και µια αντικειµενική οµορφιά, την οποία γνωρίζει και αισθάνεται άµεσα όποιος έρχεται σε επαφή µαζί της. Είναι το σωστό µέτρο και η αναλογία που διέπουν τη συγκεκριµένη µορφή, που της προσδίδουν αυτή την ιδιότητα, µε άλλα λόγια το ότι αυτή ακολουθεί τους παγκόσµιους µαθηµατικούς νόµους της αρµονίας που διέπουν το σύµπαν, το «Κόσµο», όπως τόσο όµορφα το ονόµασαν οι αρχαίοι Έλληνες. Μια άλλη λοιπόν σπουδαία πλευρά της Ιερής Γεωµετρίας, εκτός από το κοσµολογικό συµβολικό της περιεχόµενο, που θα εξετάσουµε είναι τα µαθηµατικά της οµορφιάς, οι ιεροί λόγοι και αναλογίες και το πώς αποτυπώθηκαν αυτοί ιστορικά στην ιερή αρχιτεκτονική, και την ιερή ζωγραφική. Μια και θα µελετήσουµε βαθιά τα µαθηµατικά της αρµονίας δεν µπορούµε να µην ασχοληθούµε και µε τη Μουσική, η οποία ήταν και η πρώτη από τις ιερές τέχνες που εντύπωσε στη δοµή της τους παγκόσµιους αριθµητικούς λόγους της αρµονίας. Εκτός όµως από την αρχιτεκτονική του ανθρώπου, στη προσπάθειά του ν’ αποτυπώσει στους ιερούς ναούς τα µαθηµατικά της κοσµικής αρµονίας, θα εξετάσουµε και το πώς η ίδια η φύση αποτυπώνει αυτά τα µαθηµατικά στις δικές της αρχιτεκτονικές δοµές. Τέλος θα εξετάσουµε τη νέα «φράκταλ» ή κλασµατική» γεωµετρία που έχουν δηµιουργήσει τα νέα µαθηµατικά του χάους και της πολυπλοκότητας και πώς η αναδυόµενη «κλασµατική» αρχιτεκτονική και τέχνη θα µας βοηθήσει, µαζί µε τη κλασσική Πυθαγόρεια προσέγγιση, ν’ αποτυπώσουµε ακριβέστερα κι ενδελεχέστερα στις δοµές και µορφές που δηµιουργούµε την κρυµµένη φυσική αρµονία. Θα πούµε επίσης λίγα λόγια για τα νέα Μαθηµατικά της Αρµονίας που αναπτύσσονται πια σαν ένας νέος, ξεχωριστός, αν και συµπληρωµατικός κλάδος της κλασσικής µαθηµατικής ανάλυσης. Υπάρχουν γενικά διάφορες γνώµες για το πια είναι η πραγµατική φύση και σηµασία της Ιερής Γεωµετρίας. Μερικοί θεωρούν πως πρέπει να περιγράφει τα σχήµατα που χρησιµοποιούνται στις κατασκευές ιερών οικοδοµηµάτων, όπως ναών, εκκλησιών και πυραµίδων. Άλλοι θεωρούν ότι οι αρχαίοι λαοί χρησιµοποιούσαν τη λέξη «ιερό» για να περιγράψουν ό,τι εµείς θα ονοµάζαµε σήµερα µαθηµατική «κοµψότητα». Τέλος άλλοι τη συσχετίζουν βασικά µε τους µύθους της δηµιουργίας και τους κοσµολογικούς της συµβολισµούς. Εµείς πιστεύουµε ότι είναι όλα αυτά κι έτσι ασχοληθήκαµε µε όλα αυτά σε αυτό το βιβλίο. Η Ιερή Γεωµετρία δεν είναι παρά η συµβολική, εσωτερική, «ερµητική» πλευρά της Γεωµετρίας. Πολλοί εσωτεριστές, αλλά και γεωµέτρες, πιστεύουν ότι ο διδιάστατος χώρος της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, στη συµβολική και φιλοσοφική του µορφή, είναι στη πραγµατικότητα πολύ πιο κοντά στις κοσµολογικές αρχές από το δεκαδιάστατο σύµπαν της σύγχρονης κβαντοµηχανικής που παρουσιάζεται κάπως ψυχρό, χωρίς φιλοσοφικό βάθος. Τη σηµερινή εποχή της απόλυτης εξειδίκευσης φαίνεται πως η επιστήµη έχει χωριστεί από τη φιλοσοφία, µαζί και η ικανότητά µας να βλέπουµε την ενότητα και αρµονικότητα ακόµα και στα φαινοµενικά διακριτά µέρη ενός στη πραγµατικότητα ενιαίου όλου. ∆ηµήτρης Ευαγγελόπουλος ∆εκέµβριος 2001

Σηµείωση: Θα χρησιµοποιήσουµε παρακάτω τις εξής συµβάσεις γραφής: 1) Για λόγους οικονοµίας χώρου θα χρησιµοποιήσουµε τη πλάγια παύλα ( / ), π.χ. 2/3, για µια γραµµή κλάσµατος (αντί για το

2 3

) και γενικότερα για τη διαίρεση δυο αριθµών, δυο µεταβλητών

ή δύο αλγεβρικών ποσοτήτων. Όπου η αλεβρική µορφή είναι αρκετά σύνθετη, θα αναγκαστούµε να χρησιµοποιήσουµε τη συνήθη κλασµατική µορφή. Για τη διασαφήνηση των πράξεων, όπου χρειαστεί, θα µπαίνουν κατάλληλες παρενθέσεις και αγκύλες. Μερικές φορές, ιδίως για την αντιπροσώπευση λόγων, θα χρησιµοποιηθεί και η σύµβαση της άνω και κάτω τελείας ( : ), δηλαδή α:β αντί για α/β. 2) Ο πολλαπλασιασµός µεταξύ δυο αριθµών ή δυο µεταβλητών θα σηµειώνεται µε µια απλή τελεία ( . ) αντί του Χ του δηµοτικού. Αν πρόκειται για δυο µεταβλητές (γράµµατα), µπορεί και να µην µπαίνει καν η τελεία και να εννοείται πάλι πολλαπλασιασµός (εκτός και αν παρατίθεται µεταξύ τους κάποιο άλλο σύµβολο πράξεως). Γενικά όταν δε σηµειώνεται µε ιδιαίτερο σύµβολο η πράξη, θα είναι πολλαπλασιαµός. Για να ξεχωρίσουµε τα γράµµατα που χρησιµοποιούνται σα µεταβλητές από τα γράµµατα του υπόλοιπου κείµενου, θα τα βάζουµε συνήθως σε πλαγία γραφή π.χ. αβ+γ. Για να µην µπερδευτούν µε τις αναφορές, θα βάζουµε τις αναφορές µε µικρότερα (και όχι µε πλάγια) γράµµατα. Θα χρησιµοποιούµε πάντως µερικές φορές τη πλαγία γραφή και για να τονίσουµε ή ξεχωρίσουµε κάποιες λέξεις στο κείµενο.

Η ∆ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ Σχήµα δε του κόσµου σφαιροειδές, εκ µέσου πάντη προς τας τελευτάς απέχων ίσον, κυκλοτερές αυτό ετορνεύσατο Πλάτων, Τίµαιος

ΤΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΓΑΝΟ ΠΡΙΝ ΤΟ ∆ΙΑΒΗΤΗ

Σχήµα 1

Πριν τη χρησιµοποίηση του διαβήτη, η γεωµετρική κατασκευή γινόταν χρησιµοποιώντας ένα βρόχο σχοινιού ή σπάγκου (αρπεδόνη) µε δώδεκα ισαπέχοντες κόµπους. Η χρησιµότητά του έγκειτο στην ευκολία κατασκευής µε αυτό ενός ορθογωνίου τριγώνου µε πλευρές 3, 4 και 5, ενός τετραγώνου τρία επί τρία, ενός ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς τέσσερα, ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς δύο και άλλων χρήσιµων σχηµάτων, µαζί µε κανονικά πεντάγωνα και δεκάγωνα, χωρίς να χρειάζεται πρακτικά να ξέρεις πώς να κατασκευάσεις αυτά τα σχήµατα µε το παραδοσιακό τρόπο.

Ο ΚΥΚΛΟΣ, ΤΟ ΜΗ∆ΕΝ, ΤΟ ΟΡΦΙΚΟ ΑΥΓΟ Εκείνο το ΕΝ, ο προ της µονάδος Πυθαγόρας ετίθετο..., της αρρήτου αρχής εστί σύµβολον ∆αµάσκιος. Συνήθως θεωρούµε σαν το απλούστερο γεωµετρικό στοιχείο το σηµείο, από τη κίνηση του οποίου µπορούν να παραχθούν όλα τα σχήµατα και στερεά του εποπτικού µας χώρου. Το ίδιο αυτό πρωταρχικό και αδιάστατο σηµείο µε την έννοια µιας περικλείουσας τα πάντα «µοναδικότητας» ή «παραδοξότητας» (singularity), η οποία εκρήγνυται κατά τη διαδικασία της «Μεγάλης Έκρηξης» (Bing Bang) και παράγει το σηµερινό σύµπαν, αποτελεί την απαρχή της σύγχρονης κοσµολογίας. Οι φιλόσοφοι και οι επιστήµονες ασχολήθηκαν ενεργά µε το ζήτηµα των πρώτων αρχών ή αιτιών

από τις οποίες προήλθε ο κόσµος. Επειδή όµως κάθε αιτία µας παραπέµπει πάντα σε µια άλλη προηγούµενη απ’ αυτή, της οποίας η ίδια αποτελεί αποτέλεσµα, είµαστε υποχρεωµένοι να υποθέσουµε την ύπαρξη µιας Πρωταρχικής, Αναίτιας Αιτίας, αν δε θέλουµε να περιπέσουµε σε ένα φαύλο κύκλο άπειρων αναγωγών σε διαρκώς προγενέστερες αιτίες, χωρίς κανένα σηµείο διεξόδου και χωρίς κανένα πρακτικό συµπέρασµα. Πρέπει να τοποθετήσουµε κάπου τον πρωταρχικό και όσον το δυνατόν απλούστερο περιορισµό από τον οποίον ξεπήδησαν όλοι οι άλλοι γνωστοί σε µας πιο σύνθετοι περιορισµοί. Άλλοι τοποθετούν αυτήν την άναρχη, άρρητη και απροσδιόριστη αρχή µέσα στο πεδίο της εκδήλωσης, θεωρώντας την σαν την πρώτη εκδηλωµένη οντότητα και άλλοι πίσω από αυτό, στο ανεκδήλωτο, ή σε µια λεγόµενη κατάσταση "αρνητικής" ύπαρξης, οπότε της αποδίδουν αρνητικούς µόνον προσδιορισµούς, γιατί το µόνο που µπορούν να πουν γι’ αυτήν είναι τι δεν είναι και τίποτα για το τι είναι. Άλλοι την ονοµάζουν Απόλυτο και άλλοι Θεό, Παραµπράχµα, Ταό, Αΐν Σοφ κ.ο.κ. Αν την θεωρήσουµε στο επίπεδο του Ανεκδήλωτου, θα της δώσουµε αναγκαστικά την αριθµητική αξία του Μηδενός, τον προσδιορισµό του Μη-Όντος και το σύµβολο ενός κύκλου χωρίς κέντρο
, ενώ άµα τη θεωρήσουµε στο επίπεδο της Εκδήλωσης θα της αποδώσουµε αναγκαστικά την αριθµητική αξία της Μονάδας από την οποία αρχίζει η διαφόριση και από την οποία πηγάζουν όλοι οι υπόλοιποι αριθµοί κι εποµένως η πολλαπλότητα. Οι Πυθαγόρειοι µιλούσαν για το Απόλυτο ΕΝΑ που προηγείται της Μονάδας. Ο Πρόκλος σχολιάζοντας τη "Πολιτεία" του Πλάτωνα αναφέρει ότι πριν από τους αριθµούς 3,4,5,... «προηγούνται οι αρχές των πάντων, η Μονάδα και η ∆υάδα. Από αυτές η Μονάδα ταυτίζεται µε την ιδέα του πέρατος (του τέλους, τελείου) και η ∆υάδα µε την ιδέα του άπειρου, του ατελούς. Πριν όµως από τη Μονάδα και τη ∆υάδα υπάρχει το ΕΝΑ, που είναι η αιτία και του πέρατος και του απείρου». Παρόµοια ο Ιάµβλιχος διακρίνει τον ΕΝΑ Θεό που είναι "προγενέστερος όλων των όντων", από το Θεό που είναι ο «πρώτος Βασιλέας», ο οποίος µένει "ακίνητος µέσα στη µονότητα της ενότητάς του" και ονοµάζει το δεύτερο "Μονάδα εκ του ΕΝΟΣ". Ανάλογα ο Πλωτίνος παρατηρεί στις Εννεάδες ότι «πριν από κάθε αριθµό (άρα και τη µονάδα) υπάρχει το πρώτο ΕΝΑ» και ότι «το ΕΝΑ αποφεύγει να αποτελέσει αριθµό µε οποιοδήποτε άλλο πράγµα, ούτε καν µε µια άλλη µονάδα, ή µε κάποιον άλλον αριθµό. Γενικά δεν είναι αριθµός». Το ίδιο ακριβώς κάνουν και οι Καβαλιστές που πριν το Κέτερ, την πρώτη εκδηλωµένη Μονάδα, τοποθετούν τα λεγόµενα "Πέπλα της Αρνητικής Ύπαρξης": το Αΐν ή Αρνητικότητα, το Αϊν Σοφ ή Απεριόριστο και το Αΐν Σοφ Άουρ ή Απεριόριστο Φως. Το Αϊν Σοφ θεωρείται σαν η ύστατη κατάσταση όλων των πραγµάτων, η ακατάληπτη Υπέρτατη Θεότητα µέσα από την οποία εκδηλώνονται "όλες οι ουσίες και οι διάνοιες, αλλά που η ίδια παραµένει χωρίς αιτία ή διάνοια". Παρ' όλο που δεν µπορεί να πει κανείς τίποτα γι’ αυτό, ούτε και να το ορίσει, γιατί µε αυτό το τρόπο το µολύνει, έχουν χρησιµοποιηθεί παραδοσιακά µερικά σύµβολα, για να περιγράψουν, µερικά τουλάχιστον, τις δυνάµεις του. Η φύση του συµβολίζεται έτσι µε έναν κύκλο, ο οποίος συµβολίζει επίσης την αιωνιότητα. Αυτός ο υποθετικός κύκλος περικλείει την αδιάστατη περιοχή µιας ακατάληπτης ζωής και το στρογγυλό σύνορό του παριστάνει ένα αφηρηµένο και απροσµέτρητο άπειρο. Η κυκλική µορφή που του δίνεται σηµαίνει ότι ο χώρος περικλείεται υποθετικά από µια µεγάλη κρυσταλλοειδή σφαίρα, έξω από την οποία δεν υπάρχει τίποτα, ούτε ακόµα το κενό. Μέσα σε αυτή την άυλη σφαίρα συµβαίνει η δηµιουργία και η διάλυση, η σύνθεση και αποσύνθεση των πάντων. Είναι το Κοσµικό Αυγό που διατηρείται µέχρι το τέλος του Κύκλου της Ανάγκης, οπότε µε τη διάρρηξή του όλα τα πράγµατα θα επιστρέψουν τελικά στην ύστατη ουσία και αιτία τους. Στην αρχή η Υπέρτατη Ουσία, το Αϊν διαπερνούσε µόνη της την περιοχή του κύκλου και οι

εσωτερικοί κύκλοι δεν είχαν ακόµα εδραιωθεί. Καθώς όµως η θεία ουσία συγκεντρωνόταν στον εαυτό της, άρχισαν να εµφανίζονται τα επόµενα δυο πέπλα της αρνητικής ύπαρξης, το Αΐν Σοφ και το Αΐν Σοφ Άουρ, προχωρώντας προς µεγαλύτερους περιορισµούς. Η φύση έτσι του Υπέρτατου Ενός θεωρείται τριπλή και από αυτή την τριπλή φύση οι δυνάµεις και τα στοιχεία της δηµιουργίας αντικατοπτρίστηκαν µέσα στην Άβυσσο που απόµεινε από την κίνηση του Αΐν Σοφ προς το κέντρο του. Στις µυστικές διδασκαλίες της Καβάλας διδάσκεται ότι το σώµα του ανθρώπου είναι κλεισµένο µέσα σε µια ωοειδή ιριδίζουσα σφαίρα, που ονοµάζεται Αυρικό Αυγό. Αυτό είναι η αιτιατή σφαίρα του ανθρώπου κι έχει µε το φυσικό του σώµα την ίδια σχέση που έχει η σφαίρα του Αϊν Σοφ µε τα δηµιουργηµένα σύµπαντα. Στην πραγµατικότητα αυτό το Αυρικό Αυγό είναι η σφαίρα του Αϊν Σοφ της οντότητας που ονοµάζεται άνθρωπος. Η υπέρτατη λοιπόν συνείδηση του ανθρώπου είναι µέσα σε αυτή την αύρα που εκτείνεται προς όλες τις διευθύνσεις και περικλείει πλήρως όλα τα κατώτερα σώµατά του. Όπως η συνείδηση του Κοσµικού Αυγού αποσύρεται σε ένα κεντρικό σηµείο, το οποίο ονοµάζεται τότε Θεός, έτσι και η συνείδηση µέσα στο Αυρικό Αυγό του ανθρώπου συγκεντρώνεται, δηµιουργώντας µε αυτό τον τρόπο ένα σηµείο συνείδησης που ονοµάζεται Εγώ. Όπως τα σύµπαντα στη φύση δηµιουργούνται από λανθάνουσες δυνάµεις µέσα στο Κοσµικό Αυγό, έτσι και κάθε τι που χρησιµοποιεί ο άνθρωπος σε όλες τις ενσαρκώσεις του σε όλα τα βασίλεια της φύσης αντλείται από τις λανθάνουσες δυνάµεις µέσα στο Αυρικό του Αυγό, το οποίο διατηρείται και µετά το θάνατό του. Όλες οι γεννήσεις, οι θάνατοι και επαναγεννήσεις συµβαίνουν µέσα σε αυτό και αυτό δεν σπάει παρά µόνο την ύστατη µέρα που η ανθρωπότητα και το σύµπαν απελευθερώνονται από τον τροχό της Ανάγκης. Ο συγγραφέας Jeff Love παριστάνει στο βιβλίο του Οι Κβαντικοί Θεοί την κατάσταση του Αΐν σα µια ελλείπουσα (λευκή) σελίδα του βιβλίου, η οποία αντιπροσωπεύει το απόλυτο και απεριόριστο κενό. Μια επόµενη (µαύρη) σελίδα αντιπροσωπεύει τη κατάσταση του Αϊν Σοφ, του Απείρου. Μια επόµενη (επίσης λευκή) σελίδα του βιβλίου του αντιπροσωπεύει τη κατάσταση του Αϊν Σοφ Άουρ, του Απεριόριστου Φωτός. Η επόµενη σελίδα είναι λευκή µε µαύρες κουκίδες και αντιπροσωπεύει τις τρεις καταστάσεις του Αϊν, του Αϊν Σοφ και του Αΐν Σοφ Άουρ υπερτιθέµενες η µια πάνω στην άλλη, αποτελούσες όλες µαζί την Αρνητική Ύπαρξη, που είναι µια κατάσταση που «υπάρχει πριν από κάθε δηµιουργία. Είναι η πηγή όλων των πεπερασµένων και εκδηλωµένων πραγµάτων, που παραµένει εντούτοις άπειρη και ανεκδήλωτη». Ανάλογα η ιδρύτρια της Θεοσοφικής εταιρίας Ε.Π. Μπλαβάτσκυ µας παρουσιάζει τη πρώτη σελίδα του αρχαϊκού χειρόγραφου των «Στάνζας (στροφών του ποιήµατος) του Ντζυάν» στο διάσηµο βιβλίο της «Η Μυστική ∆ιδασκαλία», όπου πραγµατεύεται τα µεγάλα φιλοσοφικά θέµατα της «Κοσµογένεσης» και «Ανθρωπογένεσης», σαν ένα κάτασπρο, ολοκάθαρο κύκλο µέσα σε ένα µουντό µαύρο φόντο, ενώ στην επόµενη σελίδα βλέπουµε τον ίδιο κύκλο, αλλά µε ένα κεντρικό σηµείο. Κι επεξηγεί: Ο καθαρός λευκός δίσκος συµβολίζει το χώρο και την αιωνιότητα στη διάρκεια της Πραλάγια*. Το σηµείο µέσα στον κύκλο δείχνει την έναρξη της διαφόρισης. Είναι το σπέρµα µέσα στο Κοσµικό Αυγό, που θα γίνει το Σύµπαν, η ολότητα του απεριόριστου περιοδικού κόσµου. Το σπέρµα αυτό είναι περιοδικά λανθάνον και ενεργητικό. Ο ένας κύκλος είναι η θεία µονάδα από την οποία πηγάζουν τα πάντα και στην οποία τα πάντα τελικά επιστρέφουν. Η περιφέρειά του δείχνει την αφηρηµένη άγνωστη Παρουσία και το επίπεδό της. Μόνο η λευκή όψη του δίσκου µε όλο το γύρω φόντο µαύρο δείχνει καθαρά ότι το επίπεδό του είναι η µόνη γνώση, αν και ακόµα θαµπή και οµιχλώδης, στην οποία µπορεί να φτάσει ο άνθρωπος.

Πάνω σε αυτό το επίπεδο αρχίζουν οι Μαντβανταρικές** εκδηλώσεις, γιατί µέσα σε αυτή την Παγκόσµια Ψυχή, µέσα σε αυτή τη Θεία Σκέψη, που κοιµάται κατά τη διάρκεια της Πραλάγια, βρίσκεται κρυµµένο το σχέδιο κάθε µελλοντικής Κοσµογονίας και Θεογονίας. Είναι η µία Ζωή, αόρατη και όµως Πανταχού Παρούσα, χωρίς τέλος ή αρχή, εντούτοις περιοδική στις κανονικές εκδηλώσεις της, µεταξύ των οποίων βασιλεύει το σκοτεινό µυστήριο του µη-όντος...

*Περίοδος διάλυσης, εξαφάνισης του κόσµου **Περίοδος Εκδήλωσης του Κόσµου

Οι Βεδαντιστές ονοµάζουν την απόλυτη πραγµατικότητα, που προηγείται κάθε εκδηλωµένης, εξαρτηµένης ύπαρξης, Παραµπράχµα και της αποδίδουν την κατάσταση της Απόλυτης Συνείδησης. Τη συµβολίζουν συνήθως µε δυο µορφές: µε τον απόλυτο αφηρηµένο χώρο, που αντιπροσωπεύει µια καθαρή υποκειµενικότητα, και µε την απόλυτη αφηρηµένη κίνηση, που αντιπροσωπεύει µια ανεξάρτητη συνείδηση (Η «Μεγάλη Πνοή"). Ο κύκλος συµβολίζει επίσης τη περιοδικότητα και κάτω από το παγκόσµιο αυτό νόµο η Άπειρη και Αιώνια Ουσία είναι σε κανονικά διαστήµατα άλλοτε ενεργητική και άλλοτε παθητική, µε αποτέλεσµα τα σύµπαντα να εµφανίζονται και εξαφανίζονται µέσα της σε µια άπειρη διαδοχή. Ποιητικά αυτές οι περίοδοι αναφέρονται σαν οι "Ηµέρες" και οι "Νύχτες" του Μπράχµα, µε τον τελευταίο να είναι µεταφορικά άλλοτε "ξύπνιος" και άλλοτε "κοιµισµένος". Όλοι οι θεοί, µαζί και ο Μπράχµα, πρέπει να πεθάνουν στο τέλος και µόνο το Παραµπράχµα, ή Αΐν Σοφ είναι η Μία µόνη Απόλυτη Πραγµατικότητα. Οι ίδιες περίοδοι της εµφάνισης και της διάλυσης (Μαντβαντάρα και Πραλάγια) έχουν παρουσιαστεί µεταφορικά σαν εκπνοές και εισπνοές της άγνωστης, ακατάληπτης ουσίας, µε µια εκπνοή της να δηµιουργεί τον κόσµο και µια επόµενη εισπνοή της να τον κάνει να εξαφανισθεί, επαναπορροφώντας το µέσα της. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται διαρκώς και το παρόν δικό µας σύµπαν ανήκει σε µια ατέλειωτη σειρά συµπάντων που δεν έχουν καµιά αρχή και δε θα έχουν κανένα τέλος. Θα πρέπει πάντως να τονίσουµε ότι τη διάκριση ανάµεσα στο Απόλυτο (ή ΕΝΑ) και τη Μονάδα δεν τη δέχονται όλες οι θρησκείες, όπως π.χ. ο Καθολικισµός, ο οποίος ανάγει τον πρωταρχικό Θεό, Πατέρα και ∆ηµιουργό στη Μονάδα. Αντίθετα, η Ορθοδοξία, µε επικεφαλής τον Άγιο ∆ιονύσιο τον Αρεοπαγίτη, δέχεται πριν από κάθε εκδήλωση τον ακατάληπτο Θείον Γνόφον (Θείο Σκοτάδι), το οποίο η αποφατική θεολογία προσδιορίζει µε αρνητικά µόνο κατηγορήµατα. Όλες οι προηγούµενες φιλοσοφικές ιδέες παριστάνονται γεωµετρικά µε ένα κύκλο χωρίς κέντρο, ο οποίος είναι όπως είπαµε και το σύµβολο της αιωνιότητας, του απείρου, της αναίτιας άναρχης και ατελεύτητης αιτίας, της περιοδικότητας, αλλά και της οριοθέτησης και εγκλεισµού µιας περιοχής και κατ’ επέκταση της ασφάλειας και προστασίας που παρέχεται στο εσωτερικό της, ιδέα που βρίσκει άµεση εφαρµογή στη µαγεία. Τέλος σηµειώνουµε της ρήση του Πασκάλ ότι ο Θεός είναι ένας κύκλος του οποίου το κέντρο είναι παντού και η περιφέρειά του πουθενά. Αυτός όµως είναι ο εκδηλωµένος Θεός της θετικής ύπαρξης. Πίσω από αυτόν, κρυµµένη πίσω από τα πέπλα της Αρνητικής Ύπαρξης, βρίσκεται η Ανεκδήλωτη Θεότητα που παριστάνεται φιλοσοφικότερα µε το µηδέν, ή τον άκκεντρο κύκλο, ο οποίος, αντιστρέφοντας τη πρόταση του Πασκάλ, µπορούµε να πούµε ότι βρίσκεται παντού και το κέντρο του πουθενά.

Ο Υπερβατικός Αριθµός π Ο κύκλος κρύβει µέσα του το µυστηριώδη άρρητο (δεν µπορεί να γραφεί σαν πηλίκο δυο ακεραίων), υπερβατικό (δεν είναι ρίζα αλγεβρικής εξίσωσης) αριθµό π =3,14159265....., µε άπειρα δεκαδικά ψηφία µη περιοδικά. Από την πολύ αρχαία εποχή οι άνθρωποι είχαν παρατηρήσει ότι ο λόγος του µήκους της περιφέρειας οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάµετρό του είναι σταθερός. Οι αρχαίοι Έλληνες ονόµασαν το σταθερό αυτό λόγο π και για την ενθύµηση των έξη πρώτων ψηφίων του χρησιµοποιήθηκε η πρόταση «αεί ο Θεός ο µέγας γεωµετρεί», στην οποία το πλήθος των γραµµάτων κάθε λέξης µας δίνει και από ένα ψηφίο του (δηλαδή 3,14159). Ο αριθµός αυτός µπορεί να προσδιοριστεί µε διάφορους µαθηµατικούς τύπους σε όποια προσέγγιση θέλουµε και γεωµετρικά µπορούµε να φθάσουµε σε αυτόν από το όριο της ακολουθίας των περιµέτρων κανονικών πολυγώνων εγγεγραµµένων σε κύκλο ακτίνας R µε διπλάσιο συνεχώς αριθµό πλευρών, ξεκινώντας για ευκολία από το τετράγωνο. Η υπολογισθείσα µε αυτό το τρόπο τελική οριακή περίµετρος διαιρούµενη µε τη διάµετρο του κύκλου µας δίνει τον αριθµό π. Μεταξύ των διαφόρων προσεγγιστικών κλασµατικών τιµών που έχουν χρησιµοποιηθεί ή έχουν προταθεί για το π είναι οι 22 / 7 = 3,1428..., 3927 / 1250 = 3,1416 και η καλύτερη µέχρι τώρα 355 / 113 = 3,1415929... Μια άλλη προσεγγιστική τιµή είναι η π = 6Φ2/5 όπου Φ=(1+ 5 )/2 = 1,6180339...ο αριθµός της Χρυσής Τοµής, ο οποίος όπως θα δούµε αργότερα µπορεί να προσεγγιστεί από µια ακολουθία Fibonacci. Παρ’ όλες τις προσπάθειες να ανακαλυφθεί ένα εσωτερικό πρότυπο στη δοµή των δεκαδικών ψηφίων του π, δεν ανακαλύφθηκε κανένα, παρότι χρησιµοποιήθηκαν πάνω από 2 δισεκατοµµύρια ψηφία. Το µήκος της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας R δίνεται από το τύπο Γ= 2πR και το εµβαδόν του από το τύπο Ε= πR2. Του αποδίδεται επίσης µια πλήρη γωνία 360ο. Παρακάτω δίνουµε µερικούς τύπους υπολογισµού του π ή ενός συγκεκριµένου στη τάξη ψηφίου του. Η σειρά του Leibniz π = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9-... συγκλίνει πολύ αργά. ∆ίνει 3 µόνο σωστά δεκαδικά ψηφία µετά από επτά χιλιάδες βήµατα. Η σειρά (π-3)/4 =1/2.3.4 - 1/4.5.6 + 1/6.7.8-... δίνει έξη δεκαδικά ψηφία για το π σε 110 βήµατα, ενώ η σειρά π/6=1/ 3 .{1/30.1-1/31.3+1/32.51/33.7+1/34.9-...}δίνει 6 σωστά δεκαδικά ψηφία σε 13 µόνο βήµατα. Οι David Bailey, Peter Borwein και Simon Plouffe έχουν υπολογίσει πρόσφατα το δέκατο δισεκατοµµυριοστό ψηφίο του π χρησιµοποιώντας το τύπο: ∞

π=

ν

2 1 1  1   4 − − −  .  που βοηθά κάποιον να υπολογίσει το ν-στο ψηφίο του π, 8ν + 1 8ν + 4 8ν + 5 8ν + 6   16  ν =0 

∑

χωρίς να αναγκασθεί να υπολογίσει όλα τα προηγούµενα (ν-1) ψηφία του. Οι Victor Adamchik και Stan Wagon δηµοσίευσαν το 2000 µια διατριβή που παρουσιάζει πολλούς νέους τύπους για το π µεταξύ των οποίων και τον εξής: ∞

π=

κ

8λ 4λ 2 + 8λ 1 + 2λ 1 + 2λ λ  1   4 + 8λ − − − − − +  .  για κάθε πραγµατικό ή µιγαδικό 8κ + 1 8κ + 2 8κ + 3 8κ + 4 8κ + 5 8κ + 6 8κ + 7   16  k =0 

∑

αριθµό r. Αυτός ο τύπος ανάγεται για λ = 0 στο προηγούµενο τύπο των Bailey-Borwein-Plouffe.

Το Σηµείο, η Μονάδα, Η Αρχή της Εκδήλωσης Αριθµώ τα πάντα επεοικέναι. Πλούταρχος

Όπως είδαµε, σύµφωνα µε όλες τις βασικές φιλοσοφίες υπάρχει µια σαφής διάκριση ανάµεσα στο ΕΝΑ και στη Μονάδα, µε την οποία αρχίζει η αρίθµηση κι εποµένως η ετερότητα και ο διαφορισµός. ∆ηλαδή η µονάδα δεν είναι η "Πρώτη Αρχή", αλλά ο πρώτος αριθµός τον οποίο ακολουθούν όλοι οι άλλοι άπειροι αριθµοί. Το καλύτερο γεωµετρικό σύµβολο για τη µονάδα είναι το σηµείο, η εστίαση της περιφέρειας στο κέντρο της
και αριθµητικά ο αριθµός 1. «Η κεντροποίηση», λέει η Καβάλα, «είναι το πρώτο βήµα προς τον περιορισµό. Τα κέντρα έτσι που σχηµατίζονται µέσα στο Αΐν Σοφ στην πορεία της εκδήλωσης είναι πεπερασµένα, γιατί είναι προορισµένα να διαλυθούν µέσα στην αιτία τους, ενώ το ίδιο το Αΐν Σοφ είναι άπειρο, γιατί είναι η ύστατη κατάσταση όλων των πραγµάτων». Στην πορεία της δηµιουργίας η διάχυτη ζωή του Αΐν Σοφ αποσύρεται από την περιφέρεια προς το κέντρο του κύκλου και δηµιουργεί εκεί ένα σηµείο που είναι το πρώτο εκδηλωµένο Ένα, ο πρωταρχικός περιορισµός του διεισδύοντος στα πάντα κύκλου. Όταν η Θεία Ουσία αποσύρεται µε αυτό τον τρόπο από το κυκλικό σύνορό της προς το κέντρο, αφήνει πίσω της την Άβυσσο, ή όπως την ονοµάζουν οι Καβαλιστές τη Μεγάλη Στέρηση. Έτσι στο Αΐν Σοφ δηµιουργείται µια διπλή κατάσταση, εκεί που προηγουµένως υπήρχε µονάχα µία. Η πρώτη κατάσταση είναι το κεντρικό σηµείο, η πρωταρχική αντικειµενοποιηµένη ακτινοβολία της αιώνια υποκειµενικής ζωής. Γύρω από αυτή την ακτινοβολία υπάρχει σκοτάδι που προκαλείται από τη στέρηση της ζωής που αποσύρεται προς το κέντρο για να δηµιουργήσει το πρώτο σηµείο, ή παγκόσµια σπέρµα. Το παγκόσµιο Αΐν Σοφ δεν λάµπει πια δια µέσω του χώρου, αλλά πάνω στο χώρο µέσα από ένα εδραιωµένο πρωταρχικό σηµείο. Όπως λέει ένας µεγάλος Καβαλιστής, στην αρχή το Αΐν Σοφ πληρούσε τα πάντα και µετά έκανε µια απόλυτη συγκέντρωση στον εαυτό του και δηµιούργησε την Άβυσσο, το Χώρο, ή Αρχέγονο Αέρα, το Αζώθ, αλλά αυτό δεν θεωρείται στην Καβάλα σαν ένα τέλειο κενό, ένας τελείως άδειος χώρος, αλλά σαν η «Κρυστάλλινη Χαοτική Θάλασσα, στην οποία υπήρχε ένας ορισµένος βαθµός Φωτός, κατώτερος από αυτόν από τον οποίο δηµιουργήθηκαν όλοι οι κόσµοι και οι ιεραρχίες». Όπως το θέτει ο αλχηµιστής Robert Fludd "το Σκοτάδι προσέλαβε τη φωτεινότητα για να κάνει τον εαυτό του ορατό". Το Φως είναι ύλη και το Σκοτάδι αγνό Πνεύµα. Το Σκοτάδι στη µεταφυσική βάση του, είναι υποκειµενικό και απόλυτο φως, ενώ το τελευταίο, αφού δεν µπορεί ποτέ να είναι αιώνιο, είναι µονάχα ένα ανακάτεµα σκιών και απλά µια ψευδαίσθηση ή Μάγια. Ας σηµειωθεί ότι όλοι οι Θεοί του φωτός στις αρχαίες κοσµογονίες προήλθαν από το σκοτάδι και ότι το «µέλαν σώµα» της φυσικής είναι το µόνο που µπορεί να εκπέµψει όλες τις ακτινοβολίες, γιατί είναι το µόνο που τις απορροφά όλες. Ανάλογες είναι και οι έννοιες της µαύρης και της λευκής τρύπας της σύγχρονης Αστροφυσικής. Η συνεχής λοιπόν κίνηση του Αΐν Σοφ προς το κέντρο του προκάλεσε τη δηµιουργία ενός σηµείου µέσα στον κύκλο. Το σηµείο αυτό ονοµάστηκε Θεός, γιατί είναι η Υπέρτατη ατοµικοποίηση της Παγκόσµιας Ουσίας. Το Όνοµα αυτού του σηµείου είναι Καβαλιστικά το Εχεγιέ, δηλαδή το Εγώ Ειµί (ή σωστότερα Εγώ Έσσοµαι). Οι Καβαλιστές του έχουν δώσει πολλά

ονόµατα όπως Στέµµα (γιατί καταλαµβάνει την υψηλότερη θέση στο δένδρο τη δηµιουργίας), Αρχαίος των Ηµερών (γιατί είναι η πρώτη εκπόρευση), Λευκή Κεφαλή, Μακροπρόσωπος και Ανεξιχνίαστο Ύψος. Είναι η πρωταρχική, µη διαφοροποιηµένη ακόµα σε ζεύγη αντιθέτων, εκδήλωση, αντιστοιχούσα µε το Ταό των Ταοϊστών. Μερικοί το αντιπροσωπεύουν µε ένα αστεροειδές δωδεκάεδρο:

Σχήµα 2

Από το Κέτερ, το Στέµµα της ∆ηµιουργίας εκπορεύτηκαν στη συνέχεια οι επόµενες εννέα σφαίρες (ή Σεφιρώθ, ενικός Σεφίρα) που διατάχθηκαν στη µορφή ενός δέντρου, του περίφηµου Καβαλιστικού «∆ένδρου της Ζωής», του σύνθετου αυτού ιερόγλυφου που παριστάνει όλα τα στάδια της δηµιουργίας και τις δρώσες δυνάµεις του σύµπαντος και πάνω στο οποίο µπορούν να αποτυπωθούν όλες οι γνώσεις µας, οδηγώντας µας σε µια αλυσίδα άπειρων συσχετισµών. Οι εννέα αυτές σφαίρες είναι κατά σειρά εκπόρευσης και αριθµητικής αξίας οι εξής: Χόχµα (Σοφία, 2), Μπίνα (Κατανόηση, 3), Χέσεντ (Έλεος, 4), Γκεβούρα (∆ύναµη ή Αυστηρότητα, 5), Τίφαρετ (Οµορφιά, 6), Νετζά (Νίκη, 7), Χοντ (∆όξα, 8), Γεσούντ (θεµέλιο, 9) και Μαλκούτ (Βασίλειο, 10) και κατατάσσονται σε τρεις κάθετες στήλες µε τρεις σφαίρες η κάθε µία: την αριστερή Στήλη της Αυστηρότητας (Παθητικότητας ή Αρνητικότητας), την δεξιά της Στήλη του Ελέους (Ενεργητικότητας ή Θετικότητας) και τη µεσαία Στήλη της Ισορροπίας, Πραότητας ή Συνείδησης, την κορυφή της οποία καταλαµβάνει σαν τέταρτη σφαίρα το Κέτερ (∆ες σχήµα 3). Οι τρεις αυτές Στήλες αντιστοιχούν στα τρία ρεύµατα της ψυχικής ενέργειας ή πράνα της Ινδουιστικής φιλοσοφίας: Ίντα (το αριστερό κανάλι), Πινγκάλα (το δεξιό κανάλι) και Σουσούµνα (το µεσαίο κανάλι, µέσα από το οποίο ανυψώνεται η Κουνταλίνη από τη βάση της σπονδυλικής στήλης) και στα δυο πολικά πρωτογενή αντίθετα Γιν (Αριστερή Στήλη) και Γιανγκ (∆εξιά Στήλη) της Κινέζικης φιλοσοφίας και το Ταό ή ∆ρόµο (Μεσαία Στήλη) που τα εξισορροπεί.

Σχήµα 3

Οι 10 συνολικά σφαίρες των Σεφιρώθ ήταν ο πρώτος περιορισµός 10 αφηρηµένων σηµείων µέσα στη φύση του Αΐν Σοφ. Η δύναµη του Αΐν Σοφ δεν κατέβηκε µέσα σε αυτές τις σφαίρες, αλλά αντανακλάστηκε πάνω τους, όπως το φως του ήλιου αντανακλάται πάνω στη γη και τους πλανήτες. Οι συνδετικές γραµµές ανάµεσα στα Σεφιρώθ αντιπροσωπεύουν τις λεγόµενες Ατραπούς του ∆ένδρου της Ζωής και είναι 22, όσα και τα γράµµατα του Εβραϊκού αλφαβήτου, σε καθένα των οποίων αντιστοιχούν. Μια Ατραπός γίνεται κατανοητή από τη φύση των δυο Σεφιρώθ που συνδέει. Καταχρηστικά και τα ίδια τα Σεφιρώθ ονοµάζονται Ατραποί, κατέχοντας τις 10 πρώτες θέσεις ενός συνόλου 32 τελικά Ατραπών. Στις 22 Βασικές Ατραπούς του ∆ένδρου της Ζωής αποδίδονται παραδοσιακά τα δώδεκα σηµεία του Ζωδιακού κύκλου (Ζώδια), οι επτά αρχαίοι πλανήτες και τα τέσσερα Στοιχεία (εκτός του Στοιχείου της Γης, στο οποίο βρίσκεται ήδη η συνείδησή µας). Επίσης στις 22 βασικές Ατραπούς αντιστοιχούν οι 22 κάρτες της Μεγάλης Αρκάνας του Ταρώ, ενώ οι τέσσερες άσσοι αντιστοιχούν στην πρώτη Σεφίρα, το Κέτερ, τα τέσσερα δυάρια στη δεύτερη Σεφίρα, το Χόχµα κ.ο.κ., µέχρι τα τέσσερα δεκάρια που αντιστοιχούν στη δέκατη, κατώτερη σφαίρα, το Μαλκούτ. Μπορούµε να πούµε ότι τα Σεφιρώθ είναι µακροκοσµικά ή αντικειµενικά (µόνον αυτά αντιπροσωπεύουν φυσικές δυνάµεις), και οι Ατραποί µικροκοσµικές ή υποκειµενικές, αντιπροσωπεύουν δηλαδή διαδοχικά εξελικτικά στάδια της κοσµικής αντίληψης στην ανθρώπινη συνείδηση.

Σχήµα 4

Για τις αντιστοιχίες του Εβραϊκού αλφαβήτου µε την αστρολογία και το Ταρώ δείτε το Παράρτηµα. Ας σηµειωθεί ότι ο αριθµός 360 έχει 24 διαιρέτες, οι 22 των οποίων (εκτός του 1 και του 2) αντιστοιχούν στις πλευρές 22 αντίστοιχα εγγράψιµων πολυγώνων (3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360), όσα ακριβώς και τα γράµµατα των ιερών αλφαβήτων (Αιγυπτιακού, Εβραϊκού). Με αυτή την έννοια µπορεί η διαίρεση του κύκλου σε 360 µοίρες να µην έγινε τυχαία ή για χάρη ευκολίας υπολογισµών, αλλά για ιδιαίτερους «εσωτερικούς λόγους» αντιστοιχίας µε τα ιερά αλφάβητα. Τα 22 αυτά κανονικά πολύγωνα αντιστοιχούν και στους λεγόµενους 22 Μείζονες αριθµούς που «καθένας αντικατοπτρίζει τον άλλο µε ένα µείζονα τρόπο», όπως αναφέρει ο Μπορίς Μουράβιεφ στη τριλογία του «Γνώση» για τον Εσωτερικό Χριστιανισµό. Οι 22 αυτοί αριθµοί ερµηνεύονται απ’ αυτόν ως εξής: 1. Αγάπη (Απόρροια του Απόλυτου Ι), Βεβαίωση, Ασύλληπτο Φως. 2. Αγάπη (Απόρροια του Απόλυτου ΙΙ), Λόγος. 3. Αγάπη (Απόρροια της Θηλυκής Αρχής), Βασίλισσα των Ουρανών. 4. Αγάπη (Απόρροια του Απόλυτου IΙΙ), Ο Άρχων του Κόσµου Τούτου. 5. Θρέψη (από τη χονδροειδή µορφή µέχρι την ύψιστη γνώση). 6. Αναγέννηση, Ανανέωση. 7. Ζώσα Ύλη. 8. Οµιλία 9. Γράµµα 10. Ζωή, Αιώνια ∆όνηση. 11. Αναζητήσεις, Πορεία 12. Προσοχή 13. Πτώση, Αποσύνθεση, Θάνατος. 14. Χρόνος 15. Σκέψη, Υπολογισµός, Ψεύδος, Πλάνη. 16. Ανόρθωση, Ανύψωση, Επανίδρυση, Επανασύνθεση. 17. Κλήση. 18. Σταθεροποίηση (από την ακινητοποίηση µέχρι την έκσταση), Αναµονή. 19. Επάνοδος (µέχρι την είσδυση στους κόλπους του Κυρίου) 20. Πραγµάτωση. 21. Το Σηµείο, Ο Χρόνος της Παύσεως, το Τελικό Σηµείο. 22. Το Παν µέσα στο χώρο και το χρόνο, έξω από το χώρο και το χρόνο που περιλαµβάνει τα αντιληπτά και τα µη αντιληπτά. Η ολοκληρωµένη αγάπη χαρακτηριστικό του Ανδρόγυνου. Και όπως παρατηρεί: Οι αριθµοί 1-21 συνιστούν τρεις κλίµακες από 7 φθόγγους. Αυτές οι τρεις κλίµακες βρίσκονται κατά κάποιο τρόπο περικλεισµένες µέσα σε ένα Όλο που αποδίδεται µε τον αριθµό 22 και αυτός µε τη σειρά του σχηµατίζεται από το τελευταίο εγγεγραµµένο πολύγωνο µε τις 360 πλευρές. Σύµφωνα µε

την αρχή της ατέλειας, το πολύγωνο αυτό ταυτίζεται, σχεδόν ολοκληρωτικά µε το Κύκλο, σχεδόν αλλά όχι απόλυτα... Η µεγάλη περιοχή που είχε αποµονωθεί µε την απόσυρση του Αΐν Σοφ στο κεντρικό σηµείο, το Κέτερ, ήταν τώρα γεµάτη από τέσσερες συγκεντρικές σφαίρες, που ονοµάζονται Κόσµοι και το φως των Σεφιρώθ αντανακλάτο κατά σειρά µέσα σε καθένα από αυτούς, εγκαθιδρύοντας τέσσερα συµβολικά καβαλιστικά ∆ένδρα ή τέσσερα επίπεδα εκδηλωµένης ύπαρξης: το Ατζιλούθ ή Αρχετυπικό Κόσµο ή ακόµα Κόσµο των Θείων Εκπορεύσεων, το Μπριά ή Κόσµο της ∆ηµιουργίας, το Γετζιρά ή Κόσµο της Μορφής και τον Ασσιά ή Κόσµο της Ύλης και της ∆ράσης. Καθένας από αυτούς τους Κόσµους έχει δέκα δυνάµεις µε κάθε Σεφίρα σε αυτόν να εκπορεύει την αµέσως επόµενή της και κάθε τελικά Κόσµο να εκπορεύει τον επόµενο από αυτόν κατά σειρά από τον ανώτερο Κόσµο του Ατζιλούθ µέχρι το κατώτερο Κόσµο του Ασσιά. Ο τελευταίος παριστάνει το στοιχειακό κόσµος της ύλης στον οποίο κατέβηκε η ανθρωπότητα τον καιρό της Πτώσης του Αδάµ, ενώ οι τρεις ανώτεροι κόσµοι αντιπροσωπεύουν το Κήπο της Εδέµ. Ο Τέταρτος Κόσµος του Ασσιά είναι ο Κόσµος των Ηλιακών Συστηµάτων, όχι µόνον αυτού που ανήκει η Γη, αλλά και όλων των ηλιακών συστηµάτων του σύµπαντος. Ο κυβερνήτης αυτού του κόσµου είναι το Κέτερ του Ασσιά, που ονοµάζεται από µερικούς Πύρινος Ουρανός και από άλλους Πρωταρχικό Κινητό ή Πρώτη Κίνηση. Από αυτή την περιδινιζόµενη φωτιά εκπορεύεται ο υλικός Ζωδιακός Κύκλος ή Χόχµα του Ασσιά, σε αντιπαραβολή µε τον αόρατο Πνευµατικό Ζωδιακό του Γετζιρατικού Κόσµου. Από το Ζωδιακό του Χόχµα του Ασσιά διαφοροποιούνται στη συνέχεια οι σφαίρες των πλανητών από το Μπίνα µέχρι το Γεσούντ κατά σειρά: Κρόνος, ∆ίας, Άρης, Ήλιος, Αφροδίτη, Ερµής και Σελήνη. Τέλος από το Γεσούντ του Ασσιά εκπορεύεται το Μαλκούτ του Ασσιά ή Τέταρτο Βασίλειο, που αντιστοιχεί στη σφαίρα των Τεσσάρων Στοιχείων, το γνωστό κόσµο µας. Μερικοί αντιστοιχούν τον Ατζιλουθικό Κόσµο µε το Κέτερ, το Μπριατικό µε το Χόχµα και το Μπίνα, τα δυο Πρωταρχικά Αντίθετα (Μεγάλος Πατέρας και Μεγάλη Μητέρα), το Γετζιρατικό Κόσµο µε τα έξη Κεντρικά Σεφιρώθ: Χέσεντ, Γκεβούρα, Τίφαρετ, Νετζά, Χοντ και Γεσούντ και τον Ασσιατικό ή Υλικό Κόσµο µε το Μαλκούτ. Οι τέσσερες καβαλιστικοί Κόσµοι αντιστοιχούν στα τέσσερα χρώµατα του Ταρώ και στα τέσσερα Στοιχεία: Οι Ράβδοι του Ταρώ αντιστοιχούν στο Ατζιλούθ και στη Φωτιά, τα Κύπελλα στο Μπριά και το Νερό, τα Ξίφη στο Γετζιρά και στον Αέρα και τα Πεντάκτινα στον Ασσιά και στη Γη. Για να ταιριάξει η αντιστοιχία του δεκαδικού συστήµατος της Καβάλα µε το επταδικό σύστηµα της Θεοσοφίας, τα ∆έκα Σεφιρώθ προσαρµόζονται στα λεγόµενα Επτά Παλάτια. Στο Πρώτο Παλάτι είναι τα Τρία Ανώτερα ή Θεϊκά Σεφιρώθ και στο έβδοµο το Μαλκούτ και το Γεσούντ, ενώ τα υπόλοιπα Σεφιρώθ προσαρµόζονται κατά σειρά από ένα σε κάθε Παλάτι (Χέσεντ ∆εύτερο Παλάτι, Γκεβούρα Τρίτο, Τίφαρετ Τέταρτο, Νετζά Πέµπτο και Χοντ Έκτο Παλάτι). Τα τρία Ανώτερα Σεφιρώθ του ∆ένδρου της Ζωής (Κέτερ, Χόχµα και Μπίνα) σχηµατίζουν το λεγόµενο Ουράνιο Τρίγωνο και αποτελούν την πρωταρχική Τριάδα της ∆ηµιουργίας. Το επόµενο, το λεγόµενο Αστρικό Τρίγωνο, αποτελείται από τα Σεφιρώθ Χέσεντ, Γκεβούρα και Τίφαρετ και µπορεί να θεωρηθεί ότι εκπορεύεται από το πρώτο, ενώ εκπορεύει µε τη σειρά του το τρίτο Ηθικό Τρίγωνο που αποτελείται από τα Σεφιρώθ Νετζά, Χοντ και Γεσούντ. Το τελευταίο αυτό τρίγωνο εκπορεύει τη δέκατη Σεφίρα, το Μαλκούτ, η οποία δέχεται έτσι συνολικά τις εκπορεύσεις όλων των προηγούµενων Σεφιρώθ.

Τα τρία Ουράνια Σεφιρώθ χωρίζονται από τα κατώτερα µε ένα βαθύ χάσµα που οι καβαλιστές ονοµάζουν Άβυσσο. Αιωρούµενη πάνω στην Άβυσσο, στη Μεσαία Στήλη, κάτω ακριβώς από το Κέτερ και το Ουράνιο Τρίγωνο, βρίσκεται η µυστηριώδες Σεφίρα Ντάατ ή Γνώση, η σφαίρα του Γίγνεσθαι, που θα µπορούσε να ερµηνευθεί σαν Αντίληψη, Σύλληψη, Συνειδητότητα, η οποία δεν παριστάνεται συνήθως στο ∆ένδρο της Ζωής. Η Άβυσσος, είναι το οροθετηµένο χάσµα ανάµεσα στο Μικροπρόσωπο (Αδάµ Κάδµον ή Βασιλιά: τα έξη κεντρικά Σεφιρώθ) και το Μακροπρόσωπο (το Κέτερ), το διαχωριστικό σηµείο για το ιδιαίτερο είδος της ύπαρξης που επικρατεί ανάµεσα στα δύο αυτά επίπεδα. Η Νύφη του Βασιλιά (Μικροπρόσωπου), η Βασίλισσα, είναι το Μαλκούτ, το φυσικό πεδίο. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι η δέκατη Σεφίρα, το Μαλκούτ, αντιστοιχεί στο Μοριακό επίπεδο, η έβδοµη, όγδοη και ένατη (το Ηθικό Τρίγωνο) στο ατοµικό επίπεδο, η τέταρτη, πέµπτη και έκτη (το Αστρικό Τρίγωνο) στο υποατοµικό επίπεδο και µετά υπάρχει η Άβυσσος που χωρίζει τα κατώτερα Σεφιρώθ από τα τρία Ανώτερα, τα οποία αποτελούν την αρχή και ουσία της ύλης και της συνείδησης. Στη παρακάτω εικόνα βλέπουµε τις αντιστοιχίες των δέκα Σεφιρώθ µε το ανθρώπινο σώµα. Σε σχέση τώρα µε τα ψυχικά κέντρα ή τσάκρας του ανθρώπου το Κέτερ αντιστοιχεί στο Χιλιοπέταλο Λωτό (Μπραχµαράντρα ή κέντρο της κεφαλής), το Τίφαρετ στο κέντρο της Καρδιάς (Αναχάτα) και το Γεσούντ στο κέντρο των γεννητικών οργάνων. Το µυστηριώδες Σεφίρα Ντάατ αντιστοιχεί στο κέντρο του λαιµού, ενώ στο τρίτο µάτι (Άτζνα) αντιστοιχούν µαζί τα Σεφιρώθ Χόχµα και Μπίνα.

Σχήµα 05

Ο Jeff Love µετά από τις αρχικές «σελίδες» των πεπλών της αρνητικής ύπαρξης συνεχίζει στο βιβλίο του Οι Κβαντικοί θεοί µε µια µεγέθυνση της Αρνητικής Ύπαρξης, που παριστάνεται µε ένα άπειρο αριθµό στιγµών, κατανεµηµένων σε ίσες µεταξύ τους αποστάσεις, εν είδει πλέγµατος σε όλη την έκταση του απείρου. Μια περαιτέρω µεγέθυνση της Αρνητικής Ύπαρξης παρουσιάζει µερικές διακεκριµένες µαύρες στιγµές σε άσπρο φόντο. Εδώ σηµειώνει ο συγγραφέας, κάθε στιγµή µπορεί να ειδωθεί σαν ένα ξεχωριστό άτοµο. Οι στιγµές αρχίζουν να αναλαµβάνουν πια την ιδιότητα της Θετικής Ύπαρξης σε σχέση µε το φόντο του κενού που αντιπροσωπεύει την Αρνητική Ύπαρξη. Στο επόµενο φύλο παρουσιάζει µια µόνο µαύρη στιγµή σε άσπρο φόντο, η οποία, σηµειώνει, ότι αντιπροσωπεύει τον Εαυτό ή το «Εγώ» του ∆ηµιουργού: Η στιγµή υποδεικνύει ένα απειροστά µικρό αδιάστατο σηµείο. Το σηµείο είναι αόρατο ενώ η

ύπαρξή του δεικνύεται µε µια στιγµή. Το σηµείο αντιπροσωπεύει το ∆ηµιουργό στη κατάσταση που ονοµάζεται Εχεγιέ, που σηµαίνει «Εγώ θα γίνω». Ο ∆ηµιουργός προχωρά έξω από την αρνητική ύπαρξη, µέσα στη Θετική Ύπαρξη, στη πράξη του να γίνει ένα άτοµο. Ο ∆ηµιουργός είναι τώρα πεπερασµένος σε σχέση µε την άπειρη Αρνητική ΄Ύπαρξη. Είναι συγχρόνως άπειρος σε σχέση µε τη Θετική Ύπαρξη της οποίας είναι η πηγή. Το αδιάστατο σηµείο αποτελεί µια άπειρη δυνατότητα. Από αυτό το πρωταρχικό, παράδοξο σηµείο άπειρης µάζας, πυκνότητας και θερµοκρασίας θα δηµιουργηθούν στη συνέχεια µέσω της «Μεγάλης Έκρηξης» όλοι οι κόσµοι και γαλαξίες, ο ίδιος ο χώρος και ο χρόνος, η ύλη και η ενέργεια. Η Μονάδα είναι ο πρώτος αριθµός που δηµιουργείται από την εστίαση του Μεγάλου Κενού, του Μηδενός, του Κύκλου, από την περιφέρειά του στο κέντρο του. Από την επανάληψή της, από την κίνηση αυτού του πρωταρχικού σηµείου, θα δηµιουργηθεί στη συνέχεια η απειρία των υπόλοιπων αριθµών και των γεωµετρικών σχηµάτων και στερεών.

Όπως µας λέει ο Ιάµβλιχος η µονάδα παράγεται από το ρήµα µένω, γιατί διατηρεί τη µορφή του αριθµού µε τον οποίο πολλαπλασιάζεται. Αυτή περιέχει µέσα της όλα τα πράγµατα, αν όχι άµεσα, τουλάχιστον δυνητικά ή σπερµατικά, όλες τις αναλογίες µεταξύ των αριθµών. Ονοµάζεται άρτια και περιττή και αρτιοπέριττη, γιατί είναι συγχρόνως άρτια και περιττή, "αφού προστιθέµενη σε έναν άρτιο αριθµό δίνει άθροισµα έναν περιττό αριθµό και προστιθέµενη σε έναν περιττό δίνει άθροισµα έναν άρτιο, πράγµα που δείχνει ότι µετέχει στη φύση και των δυο". Οι Πυθαγόρειοι την ονόµαζαν Νου, Αρσενοθήλυν (ανδρόγυνη), Θεό, Χάσµα, σύγχυση, σύµµειξη, σκότος, Στύγα (λόγω της αµετάβλητης φύσης της), Τρόµο (γιατί το ανέκφραστο µας είναι τελείως άγνωστο), Αµιγή (λόγω της απλότητάς της), Υποχθόνιο Βυθό (λόγω του ακατανόητου βάθους της, το οποίο υπερβαίνει κάθε γνώση), Λήθη (επειδή στο άφατο, όπως µας λέει ο ∆αµάσκιος, η γνώση επιστρέφει στην άγνοια), Άκαµπτο Παρθένο (λόγω της αγνότητάς της), Άτλαντα (γιατί στηρίζει, συνδέει και διαχωρίζει όλα τα πράγµατα), Απόλλωνα (γιατί στερείται του πλήθους, από το στερητικό α + πολλών), Πρωτέα (γιατί περιλαµβάνει µέσα της τις ιδιοµορφίες όλων των πραγµάτων), ∆ία και Μνηµοσύνη. Η Μονάδα παριστάνεται µ' ένα κύκλο κι ένα σηµείο στο κέντρο του, δείχνοντας έτσι την κεντροποίηση ή πρωταρχικό περιορισµό του αρχικά άναρχου και άκεντρου κύκλου, που παριστάνει το Απόλυτο Ένα ή Μηδέν. Επίσης παριστάνεται και µε ένα απλό αδιάστατο σηµείο που αποτελεί την απλούστερη γεωµετρική σύλληψη και το οποίο γεννά µε την κίνησή, ή διαφοροποίησή του όλες τις γραµµές, τα σχήµατα και τα στερεά, µε άλλα λόγια όλες τις µορφές.

Η ΕΥΘΕΙΑ, Η ∆ΥΑ∆Α, Η ΠΡΩΤΗ ∆ΙΑΣΤΑΣΗ Η φύση κρύπτεσθαι φιλεί Ηράκλειτος

Στο τρίτο στάδιο το σηµείο µέσα στον κύκλο µετασχηµατίζεται σε µια οριζόντια διάµετρο (

), συµβολίζοντας έτσι µια αγνή Μητέρα-Φύση µέσα στο περικλείον τα πάντα απόλυτο Άπειρο. Ένα κινούµενο σηµείο παράγει µια ευθεία γραµµή και ορίζει µια αρχική διεύθυνση στο χώρο,

στην οποία αντιστοιχούν δυο κατευθύνσεις. Με τον ίδιο τρόπο που οι αριθµοί διαιρούνται σε άρτιους (θηλυκούς) και περιττούς (αρσενικούς), έτσι και οι ευθείες γραµµές διακρίνονται σε δυο βασικές διευθύνσεις: τη κατακόρυφη διεύθυνση που παριστάνει την ενεργητική ή αρσενική δράση (φαλλό) και την οριζόντια διεύθυνση που παριστάνει τη παθητική ή θηλυκή δράση (γιονί). Επειδή όµως, όπως παρατηρεί σωστά η Μπλαβάτσκυ, η «πρώτη αχνή αντίληψη του ανθρώπου για τη δηµιουργία είναι θηλυκή (γιατί ο άνθρωπος γνωρίζει τη µητέρα του περισσότερο από τον πατέρα του - γι’ αυτό και οι θηλυκές θεότητες ήταν πιο ιερές από τις αρσενικές - προηγείται ο συµβολισµός της οριζόντιας από τη κάθετη γραµµή, όπως ακριβώς δείχνεται και στο τρίτο σύµβολο του Βιβλίου του Ντζυάν που παριστάνει ένα κύκλο διαιρεµένο σε δυο ίσα µέρη από µια οριζόντια διάµετρο. Βλέπουµε λοιπόν εδώ ότι κανονικά η πρώτη δηµιουργική εκδήλωση είναι παθητικής ή θηλυκής αρχής, ταυτιζόµενη µε τη Μεγάλη Μητέρα, σε αντίθεση µε το πιο φαλλοκρατικό καβαλιστικό σύστηµα όπου η δεύτερη Σεφίρα Χόχµα ή Σοφία αντιστοιχεί στο Μεγάλο Πατέρα και η Τρίτη, το Μπίνα ή Κατανόηση στη Μεγάλη Μητέρα. Σε αυτή τη περίπτωση η κάθετη, φαλλική διεύθυνση προηγείται στην εκδήλωση της οριζόντιας γιονικής. Η ∆υάδα είναι ο µόνος αριθµός που πολλαπλασιαζόµενος ή προστιθέµενος µε τον εαυτό του δίνει το ίδιο αποτέλεσµα, γι’ αυτό οι Πυθαγόρειοι την ονόµαζαν Ίση και ∆ιάστηµα ανάµεσα στο πλήθος και τη Μονάδα. Την παροµοίαζαν µε την αρετή της ανδρείας, γιατί έχει προχωρήσει στον αποχωρισµό της από τη Μονάδα. Για τον ίδιο λόγο την ονόµαζαν Τόλµη και από µια άποψη απρεπή τόλµη και αυθάδεια. Την ονόµαζαν επίσης ∆όξα (=γνώµη), γιατί περιέχει µέσα της και το αληθινό και το ψευδές. Επίσης Κίνηση, Γένεση, Μεταβολή, ∆ιαίρεση, Μήκος, Αύξηση, Σύνθεση, Κοινωνία (συµµετοχή), το προς Τι (το σε σύγκριση µε κάτι άλλο) και Λόγο της Αναλογίας. Την αντιδιέστελαν µε τη φύση του Θεού, γιατί αυτή προκαλεί τη µεταβολή, ενώ ο Θεός τη ταυτότητα και την αµετάβλητη διάρκεια. Θεωρούσαν ότι παρήγαγε το όνοµά της από το ρήµα διέναι (διαπερνώ) ή από το ρήµα διαπορεύεσθαι (διαβαίνω) και πίστευαν ότι ενώ η Μονάδα φανερώνει την ένωση, η ∆υάδα, όπου επεισέλθει, φανερώνει το διαχωρισµό. Την ονόµαζαν επίσης Ύλη, που είναι η αιτία της υλικής ύπαρξης, Αιτία της Ανοµοιότητας, γιατί, όπως πίστευαν, η βασική φύση της είναι το άπειρο, από το οποίο εξαρτάται η ανοµοιότητα, µε τον ίδιο τρόπο που η οµοιότητα εξαρτάται από το πεπερασµένο. Ακόµα Άνιση, Ελλιπή, Αφθονία, Άµορφη, Απεριόριστη και αόριστη, σύµφωνα µε την ανάλογη ιδέα που είχαν για την ύλη. Και µάλιστα η Μόνη Άµορφη, επειδή, όπως παρατηρεί ο Ιάµβλιχος, από το τρίγωνο και την τριάδα κατασκευάζονται όλα τα πολύγωνα, ενώ η Μονάδα περιέχει µέσα της όλα τα σχήµατα δυνητικά. Από τη ∆υάδα όµως, είτε αυτή αντιπροσωπεύει ευθείες, είτε γωνίες, δεν µπορεί να κατασκευαστεί κανένα σχήµα. Μόνη αυτή είναι η Αρχή και η Αιτία του Αρτίου. Τη θεωρούσαν σαν την Πηγή κάθε Συµφωνίας, γιατί η συµφωνία του διαπασών, που είναι αρµονικότατη, σχηµατίζεται από διπλό λόγο (1:2). Για τον ίδιο λόγο την ονόµαζαν Αρµονία. Την αποκαλούσαν επίσης Έρωτα και Ερατώ, γιατί προσελκύει µε τον έρωτα την προσχώρηση της Μονάδας και γεννά µε αυτό τον τρόπο όλα τα υπόλοιπα πράγµατα. Επίσης Υποµονή, γιατί ήταν ο πρώτος αριθµός (πλήθος) που ανεχόταν και υπέφερε τον αποχωρισµό του από τη Μονάδα. Ακόµα Ρίζα, γιατί είναι η µητέρα όλων των αριθµών. Επίσης ∆ύναµη, Κορυφή, Ίσιδα, Φύση και Ρέα, γιατί έχοντας θηλυκή φύση ήταν η αιτία-πηγή όλων των θηλυκών θεοτήτων. Την ονόµαζαν επίσης ∆ήµητρα, Ελευσινία, Άρτεµη, Αερία, Αστερία, Αφροδίτη, ∆ιώνη, Μυχία, αλλά και Άγνοια, Αγένεια, Ψεύδος, ∆ιαφορά, Αδιακρισία, ∆ιαµάχη, Έριδα, Μοίρα και Θάνατο για ευνόητους λόγους. Η Αόριστη ∆υάδα αποκαλείτο στον Ιερό Λόγο από τον Πυθαγόρα Χάος και συνδεόταν µε το Νου. Κάθε αριθµός αποτελείται από τις δυο αρχές της Μονάδας και της ∆υάδας, αλλά οι περιττοί χαρακτηρίζονται περισσότερο από την ιδιότητα της Μονάδας, ενώ οι άρτιοι από αυτή της

∆υάδας. Στις γωνίες η Μονάδα αντιστοιχεί στην ορθή γωνία, ενώ οι οξείες και οι αµβλείες γωνίες αντιστοιχούν στην Αόριστη ∆υάδα, αφού αποτελούν πλήθος και χαρακτηρίζονται αντίστοιχα από έλλειψη ή αφθονία. Σε σχέση µε τις µορφές, όσες χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες της ισότητας, ταυτότητας και οµοιότητας σχετίζονται περισσότερο µε τη Μονάδα, ενώ αυτές στις οποίες επικρατούν η ανισότητα, η διαφορά και η ανοµοιότητα σχετίζονται περισσότερο µε τη ∆υάδα. Κάθε µορφή αποτελείται από τις δυο αυτές αρχές. Όπως µας λέει ο Συριανός όλα τα φαινόµενα έχουν τη δική τους µονάδα και δυάδα, µε την πρώτη να είναι σε αυτά η αιτία της ταυτότητας και η δεύτερη η αιτία της διαφοράς και του πλήθους. Σύµφωνα µε τη Καβάλα σαν ένα σηµείο ο ∆ηµιουργός είναι στη κατάσταση του γίγνεσθαι (Εχεγιέ), ενώ σα µια κινούµενη στιγµή είναι στη πράξη της δηµιουργίας ή στη κατάσταση του Ιεχωβά, που σηµαίνει ουσία της ύπαρξης. Όπως παρατηρεί ο Jeff Love: «σαν ∆ηµιουργός είναι άπειρη ικανότητα σε δράση. Η δράση είναι η ουσία της ύπαρξης. Όλες οι γραφικές µορφές δηµιουργούνται µε τη διαδροµή µιας στιγµής. Όλη η εκδηλωµένη ύπαρξη δηµιουργείται από τη δραστηριότητα του ∆ηµιουργού». Στη Καβάλα η ευθεία γραµµή και ο αριθµός 2 αντιστοιχούν στη Σεφίρα Χόχµα ή Σοφία. Όπως έχει επισηµάνει η Μπλαβάτσκυ δεν µπορεί να υπάρχει εκδήλωση χωρίς διαφοροποίηση σε ζεύγη αντιθέτων. Το Κέτερ λοιπόν πριν αποκτήσει φαινοµενική ύπαρξη διαφοροποιείται στα δυο πρωτογενή πολικά αντίθετα της ∆ύναµης και της Μορφής: το Χόχµα και το Μπίνα. Από αυτά το Χόχµα αντιπροσωπεύει την αρσενική αρχή ή το Μεγάλο Πατέρα (Άµπα), τη ρίζα της καθαρής κινητήριας δύναµης ή ενέργειας, ενώ το Μπίνα την θηλυκή αρχή ή Μεγάλη Μητέρα, τη ρίζα της ύλης ή της δυνητικής, στατικής, λανθάνουσας ή παθητικής δύναµης. Αυτά τα δυο Ανώτερα Σεφιρώθ προΐστανται αντίστοιχα της στήλης του Ελέους (∆εξιά) και της Στήλης της Αυστηρότητας (Αριστερά), οι οποίες παριστάνουν αντίστοιχα τις θετικές και αρνητικές δυνάµεις της φύσης, το ενεργητικό και το παθητικό, το εποικοδοµητικό και το καταστροφικό, την ελεύθερα κινούµενη δύναµη και τη συγκεκριµένη, στατική µορφή. Ο Νεοπλατωνικός φιλόσοφος Πρόκλος δίνει πολλές διευκρινήσεις για τη ∆υάδα στα δυο θεµελιώδη σχόλιά του πάνω στον Τίµαιο" και στην "Πολιτεία" του Πλάτωνα. Αρχικά ασχολείται µε το ζήτηµα των συµβολικών "Θεοµαχιών" που περιγράφουν οι ποιητές της Ελληνικής Μυθολογίας λέγοντας: Πού είναι λοιπόν το περίεργο που οι µυθολόγοι, διαπιστώνοντας αυτή την αντίθεση ανάµεσα σε όλα τα είδη που κατάγονται από την αρχική ∆υάδα, υπονοούν µε τους πολέµους ότι αυτή υπάρχει τόσο µεταξύ των θεών, όσο και µεταξύ των πρωταρχικών όντων και ότι τα θεία γένη παρ' όλο που είναι αιώνια ενωµένα µεταξύ τους, εκδηλώνουν εντούτοις τόσο την ένωση, όσο και τη διάκριση; Ο Πρόκλος εξηγεί δηλαδή ότι οι µυθικοί πόλεµοι µεταξύ των πρώτων Αρχών ή των Θεών, παριστάνουν απλώς τις αντιθέσεις των φυσικών και συµπληρωµατικών νόµων, του άρρενος και του θήλεος, του πέρατος και του απείρου, ή της Μονάδας (∆ίας) και της ∆υάδας (Ήρα), µε βάση τους οποίους εκδηλώνονται όλα τα πράγµατα στο σύµπαν. Και στο "Τίµαιο" επισηµαίνει: Τα πάντα διαιρούνται και κατανέµονται µε βάση τους δηµιουργικούς αριθµούς της ∆υάδας, της Τριάδας, της Τετράδας, της Πεντάδας, της Επτάδας και της ∆ωδεκάδας. Μετά τη µοναδική δηµιουργία έχουµε τη διχοτόµηση του Παντός σε Ουρανό και Υποσεληνιαίο Κόσµο. Μετά απ' αυτήν συνέβη η τριαδική διαίρεση του Σύµπαντος (∆ίας, Ποσειδώνας, Άδης) την οποία ακολούθησε η

τετραδική διαίρεση µε τη διανοµή των Τεσσάρων Στοιχείων, όπως λένε οι Πυθαγόρειοι στην περιοχή του ουρανού και του αιθέρος, πάνω από τη Γη και κάτω από τη Γη. Μετά από αυτή έχουµε την πενταµερή διαίρεση, γιατί αν και ο κόσµος είναι ένας, αποτελείται από πέντε µέρη, πέντε σχήµατα. Ακολουθεί η επταµερής διαίρεση, διότι η Επτάδα ξεκινώντας από τη σφαίρα των απλανών διασχίζει όλο το πεδίο των πλανητών. Μετά από όλες αυτές τις υποδιαιρέσεις ο διαµερισµός του Παντός καθορίζεται από τη ∆ωδεκάδα (τα 12 ζώδια). Η κίνηση λοιπόν ενός σηµείου δηµιουργεί την ευθεία και τη πρώτη διάσταση µε όλες τις προηγούµενες ιδέες και προσδιορισµούς τους. Από την άλλη µεριά τα δυο άκρα της ευθείας εξαφανίζονται στο άπειρο, όπου ίσως ενώνονται, δείχνοντας µε αυτό το τρόπο ότι µπορεί η µικροκοσµική της «ευθύτητά» να είναι φαινοµενική και η ίδια να αποτελεί στη πραγµατικότητα µια µακροκοσµική τεράστια καµπύλη ή κύκλο. Ας παρατηρήσουµε επίσης ότι η προβολή µιας κυκλικής κίνησης πάνω σε µια διάµετρο του κύκλου δηµιουργεί µια γραµµική ταλάντωση µε συγκεκριµένα άκρα στη θέση της µέγιστης και ελάχιστης αποµάκρυνσης. Από την άλλη µεριά αν πάρουµε ένα µικρό κοµµάτι µιας οποιασδήποτε ευθείας, µε δοσµένα πεπερασµένα άκρα, ορίζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα, το οποίο εµπεριέχει όλους τους προσδιορισµούς της δυάδας και της πολικότητας, ενώ υποκρύβει µαζί µε το µέσον του την έννοια της τριάδας.

ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ, ΤΟ ΤΑΥ, Η ΤΡΙΑ∆Α, ΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο Υπάρχει ένα παρόν του παρελθόντος, ένα παρόν του παρόντος και ένα παρόν του µέλλοντος Άγ. Αυγουστίνος)

Σχήµα 6

Η κίνηση µιας στιγµής σε δυο διευθύνσεις δηµιουργεί ένα επίπεδο. Ένα επίπεδο είναι επίσης η διαδροµή µιας στιγµής ανάµεσα σε τρία (µη συνευθειακά) σηµεία. Παρόµοια ένα επίπεδο µπορεί να νοηθεί ότι παράγεται από την παράλληλη µετατόπιση µιας ευθείας. Όταν η οριζόντια διάµετρος διασταυρωθεί µε µια κάθετη διάµετρο ⊕, δηµιουργείται ο γήινος (κοσµικός) σταυρός και η ανθρωπότητα, σύµφωνα µε την Μπλαβάτσκυ έχει φτάσει στην Τρίτη Φυλή (των Λεµουρείων). Είναι το σηµείο για την έναρξη της ανθρώπινης ζωής. Όταν η περιφέρεια εξαφανίζεται και αφήνει µόνο το σταυρό, αυτό συµβολίζει την πτώση του ανθρώπου µέσα στην ύλη και αρχίζει η Τετάρτη Φυλή (των Ατλάντων). Με τη πρόσθεση µιας κάθετης (αρσενική ή ενεργητική αρχή) γραµµής στην οριζόντια (θηλυκή ή

παθητική αρχή) γραµµή σχηµατίσθηκε το Ταυ Τ, η αρχαιότερη µορφή του γράµµατος. Αυτό αποτελούσε, σύµφωνα µε τη Μπλαβάτσκυ, το σύµβολο της τρίτης ριζικής φυλής µέχρι τη συµβολική πτώση της, όταν δηλαδή συνέβη µε φυσική εξέλιξη ο διαχωρισµός των φύλων της προηγούµενα ασεξουαλικής ανθρωπότητας και η πτώση στη φυσική γέννηση. Αργότερα το Ταυ βγήκε από τον κύκλο και σχηµάτισε τον Αιγυπτιακό σταυρό της ζωής , που µε τη σειρά του έγινε αργότερα το σύµβολο της Παρθένου Ε. Στη Καβάλα, όπως έχουµε ήδη αναφέρει, η θηλυκή αρχή θεωρείται ύστερη της αρσενικής στο πρωταρχικό διαφορισµό του αρχέγονου Σηµείου ή Στέµµατος της ∆ηµιουργίας Κέτερ στα πρωταρχικά ζεύγη αντιθέτων της ∆ύναµης και της Μορφής. Έτσι θεωρείται ότι η θηλυκή τρίτη Σεφίρα, το Μπίνα ή Κατανόηση, η Μεγάλη Μητέρα (Άµα) ή ακόµα η Μεγάλη Θάλασσα (τα αρχέγονα ύδατα της ∆ηµιουργίας που γονιµοποιούνται από τη Θεία Πνοή του Μεγάλου Πατέρα ή Άµπα) εκπορεύθηκε από το Χόχµα, την αρσενική αρχή. Σε άλλα συστήµατα πάντως, όπως π.χ. στο Ταοϊσµό η θηλυκή αρχή (Γιν) προηγείται της αρσενικής (Γιανγκ) κατά τη διαφόριση της Αρχικής Μονάδας (Ταό) στα δυο πρωταρχικά αυτά κοσµικά αντίθετα . Το Χόχµα αντιστοιχεί στη ∆ύναµη και το Μπίνα στη Μορφή που τη τιθασεύει, την αρχέγονη ρίζα της ύλης. Αστρολογικά το Χόχµα αντιπροσωπεύεται από το Ζωδιακό Κύκλο και το Μπίνα από το πλανήτη Κρόνο. Το όρθιο τρίγωνο (όπως και το τετράεδρο) αντιστοιχεί στο τρίτο Σεφίρα Μπίνα και στο στοιχείο της φωτιάς. Επειδή το χρώµα του Κρόνου είναι το µαύρο, το µαύρο τρίγωνο αντιπροσωπεύει το Κρόνο και το κόκκινο τρίγωνο το στοιχείο της Φωτιάς. Οι τρεις γωνίες του τριγώνου συµβολίζουν επίσης τις τρεις αλχηµικές αρχές: το Θείο, τον Υδράργυρο και το Άλας. Από την Ένωση του Χόχµα και του Μπίνα (Αγίου Πνεύµατος στη Χριστιανική Καβάλα) του Πατέρα και της Μητέρας γεννιέται το Ντάατ ο Υιός, στο οποίο βρίσκεται το µυστικό τόσο της γέννησης όσο και της επαναγέννησης καθώς επίσης της εκδήλωσης όλων των πραγµάτων µέσα από ζεύγη αντιθέτων µε τη σύγχρονη ένωσή τους σε ένα τρίτο συµβιβασιστικό ή συµφιλιωτικό όρο. Τα τρία Ανώτερα Σεφιρώθ Κέτερ, Χόχµα και Μπίνα συνιστούν όπως ήδη είπαµε το Ουράνιο Τρίγωνο που περιλαµβάνει τα αρχέτυπα της δύναµης και της µορφής (ύλης). Το στερεό που αποδίδεται στο Μπίνα είναι το τετράεδρο, το σύµβολο της Φωτιάς και του οποίου αν συναθροίσουµε όλες τις γωνίες, έδρες, ακµές και κορυφές αντίστοιχα παίρνουµε τον αριθµό 12+4+6+4 = 26, ίδιο ακριβώς µε το λεξάριθµο του Τετραγράµµατου Ονόµατος (Γιοντ Χε Βαβ Χε =10+5+6+5). Η Τριάδα είναι ο πρώτος µη σύνθετος αριθµός και θεωρείται από τον Ιαµβλίχο τέλειος, γιατί δίνει µαζί µε τους δυο προηγούµενούς του την εξάδα (1+2+3=6), που είναι τέλεια (διότι ισούται µε το άθροισµα των διαιρετών της) και τέλος διότι, σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη, τρία πράγµατα αποτελούν ένα όλον και το όλον είναι τέλειο, αφού έχει αρχή, µέσον και τέλος. Θεωρείται όµοια µε τη Μονάδα, που είναι επίσης τέλεια, αλλά δυνητικά µόνο γόνιµη, ενώ η ίδια η Τριάδα προκαλεί την πρόοδο και την επέκταση της Μονάδας. Με άλλα λόγια η Μονάδα περιέχει µέσα της την αναλογία κάθε αριθµού σε µια αδιαµόρφωτη και αδιάκριτη ακόµα κατάσταση, σε µια δυνητική ή σπερµατική µορφή. Η ∆υάδα αποτελεί µια κάποια πρόοδο προς τον αριθµό, αλλά η τριάδα είναι αυτή που προκαλεί την ενεργητική εκδήλωση κι επέκταση των δυνάµεων της Μονάδας. Με αυτήν λοιπόν αρχίζουν πρακτικά οι αριθµοί. Στη Μονάδα αντιστοιχεί το αυτό, στη ∆υάδα το καθένα από τα δύο και στην Τριάδα το καθένα και το όλον. Ονοµάζεται από τους Πυθαγορείους Ατειρής (Αδάµαστη και Ακαταπόνητη), διότι δεν µπορεί να χωριστεί σε δυο ίσα µέρη. Θεωρείται ότι εξισορροπεί τους δυο όρους µιας ανισότητας καταλαµβάνοντας την ενδιάµεση ακριβώς θέση. Σε κάθε φυσική επίσης ανάπτυξη διακρίνουµε

τρεις φάσεις: την αρχή, την ακµή και το τέλος, δηλαδή δυο άκρα κι ένα µέσον, έτσι ώστε η φύση της δυάδας να διακρίνεται καθαρά µέσα στην τριάδα. Θεωρείτο σαν η διδασκάλισσα σε κάθε σύνθεση µουσικής, διότι οι αρχαίοι διέκριναν σε κάθε αρµονία τρεις συµφωνίες: τη διαπασών, τη διαπέντε και τη διατέσσερα. Από τις αρετές αντιπροσωπεύει τη φρόνηση, γιατί αυτή είναι η σωστή αναλογία ανάµεσα στην υπερβολή και την έλλειψη. Όπως λέει και ο Όµηρος "τα πάντα έχουν κατανεµηθεί σε τρία µέρη". Οι αρετές π.χ. βρίσκονται στο µέσον δύο κακιών, οι οποίες αντιτίθενται τόσο µεταξύ τους όσο και µε την αρετή. Έτσι στις αρετές αποδίδεται η φύση της µονάδας, ενώ στις κακίες της δυάδας. Για τον ίδιο λόγο την αποκαλούσαν Φιλία, Ειρήνη, Αρµονία, Οµόνοια και Γάµο και τη θεωρούσαν σαν την αιτία της καλής συµβουλής, της νόησης και της γνώσης. Πολλοί παράγουν το όνοµά της από το ρήµα τρειν=φεύγω από φόβο, δειλιάζω και κατ' επέκταση σέβοµαι, γι αυτό και την ονόµαζαν Ευσέβεια. Ο Αριστοτέλης λέει ότι το τρία αποτελεί το Νόµο µε βάση τον οποίο διατάσσονται τα πάντα. Το ίδιο ακριβώς δηλώνει και ο Ερµής ο Τρισµέγιστος, όταν λέει ότι ο Κόσµος υφίσταται µέσω της Τριάδας, δηλαδή µέσω του Μοιραίου, της Ανάγκης και της Τάξης. Ο αριθµός 3 εκφράζει την οργάνωση χωρίς την οποία δεν είναι δυνατή καµιά εκδήλωση και καµιά δραστηριότητα. Ο τρίτος όρος παριστάνει το µέσο µε το οποίο οι δυο ακραίοι όροι, που διαφορίζονται σε µια δυάδα, βρίσκουν ένα κοινό σηµείο ισορροπίας. Θεωρούµενη έτσι σαν το σύµβολο της Γένεσης η Τριάδα εκφράζει το Νόµο της Ισορροπίας ή της Συµφωνίας των Αντιθέτων, αλλά συγχρόνως Συµπληρωµατικών δυνάµεων της ∆υάδας, οι οποίες συµφιλιώνονται µε τη βοήθεια ενός τρίτου όρου. Αντιπροσωπεύει επίσης τη «Μέση Οδό» ανάµεσα στις δυο ακρότητες, η οποία εκφράζεται όµορφα από τα παρακάτω αρχαιοελληνικά ρητά: Μηδέν Άγαν, του Χίλωνα Η µεσότης εν πάσιν ασφαλέστερον, του Μαινάνδρου Μέτρω χρω, του Πιττακού Παν µέτρον άριστον, του Κλεόβουλου Έντεχνον δε το την µέσην εν άπασι τέµνειν, του Πλουτάρχου και Σιτία, ποτά, ύπνος αφροδίσια, πάντα µέτρια, του Ιπποκράτη Σαν ένα Θείο σύµβολο αντιπροσωπεύει παραδοσιακά την πρώτη απόρροια, εκπόρευση ή εξωτερίκευση της Θεότητας και στη συνέχεια τη σειρά των διαδοχικών τριαδικών εκπορεύσεων. Γεωµετρικό σύµβολό της εκτός από το τρίγωνο, είναι και το Kηρύκειο του Eρµή µε τα δυο αλληλοσυµπλεκόµενα και συµφιλιούµενα µέσω της κατακόρυφης ράβδου φίδια και ορισµένα γράµµατα, όπως τα Ελληνικά Α, Η, Ζ, Κ, Ν, Ξ, Π, Υ και τα Άλεφ X και Σιν s του Εβραϊκού αλφαβήτου.

Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΙΑ∆ΑΣ ∆ύω δε µόνω καλώς συνίστασθαι τρίτου χωρίς ου δυνατόν Είναι αδύνατον να συνδεθούν καλά δυο πράγµατα χωρίς την ύπαρξη ενός τρίτου όρου Πλάτωνας

Ο Νόµος της Τριάδας υποστηρίζει ότι όλα τα φαινόµενα της φύσης, όπου και αν συµβαίνουν, είναι αποτέλεσµα του συνδυασµού ή της συνάντησης τριών διαφορετικών ή αντιθέτων δυνάµεων. Συνήθως όµως παρατηρούµε σε αυτά δύο µόνο (ή λιγότερες δυνάµεις) και µας διαφεύγει η τρίτη δύναµη (ή περισσότερες). Η εσωτερική παράδοση ονοµάζει τη πρώτη δύναµη ενεργητική ή θετική, τη δεύτερη παθητική ή αρνητική και τη τρίτη εξουδετερωτική. Αυτά όµως είναι απλά ονόµατα γιατί στη πραγµατικότητα και οι τρεις δυνάµεις είναι το ίδιο ενεργητικές και φαίνονται σαν ενεργητικές, παθητικές και εξουδετερωτικές µονάχα στο σηµείο συνάντησής τους. Μονάχα σε αυτό το σηµείο επαφής τους ή στο «αποτέλεσµα» µπορεί να ανακαλυφθεί η συνήθως διαφεύγουσα εξουδετερωτική δύναµη. Σύµφωνα µε τον Γκουρντζίεφ, το γεγονός ότι οι άνθρωποι δεν µπορούν να παρατηρήσουν τα φαινόµενα σαν εκδηλώσεις τριών δυνάµεων οφείλεται στο ότι δεν µπορούν να παρατηρήσουν τον αντικειµενικό κόσµο µε τις υποκειµενικές συνειδήσεις τους. Η τρίτη δύναµη είναι ιδιότητα του πραγµατικού κόσµου. Ο υποκειµενικός ή φαινοµενικός τρόπος παρατήρησής µας είναι σχετικά πραγµατικός, δηλαδή δεν είναι πλήρης. Το γεωµετρικό (επίπεδο) σχήµα που συνοψίζει όλες τις προηγούµενες ιδέες και αντιστοιχίες για τη τριάδα είναι το τρίγωνο, το οποίο ας σηµειωθεί έχει τρεις γωνίες, τρεις κορυφές, τρεις πλευρές, τρία ύψη, τρεις διχοτόµους, τρεις διαµέσους, τρεις µεσοκαθέτους κ.λ.π. Το Τρίγωνο είναι το µόνο γραµµικό σχήµα στο οποίο µπορούν να αναχθούν όλα τα πολύγωνα, κι εποµένως το απλούστερο από όλα τα γραµµικά σχήµατα. Υπάρχουν τώρα τρία είδη τριγώνων: ανάλογα µε τις γωνίες τους τα οξυγώνια (µε όλες οι γωνίες τους οξείες), τα αµβλυγώνια (µε µια γωνία τους αµβλεία) και τα ορθογώνια (µε µια γωνία τους ορθή) και ανάλογα µε τις πλευρές τους τα ισοσκελή (µε δυο ίσες πλευρές, τα οποία έχουν επίσης τις γωνίες της βάσης τους που πρόσκεινται στις ίσες πλευρές τους ίσες), τα ισόπλευρα (και µε τις τρεις πλευρές τους ίσες, τα οποία είναι συγχρόνως και ισογώνια µε 60ο τη κάθε γωνία τους ) και τα σκαληνά (µε όλες τις πλευρές τους κι εποµένως και όλες τις γωνίες τους - άνισες). Μια γωνία σχηµατιζόµενη από τη τοµή δυο ηµιευθειών ορίζει από µόνη της ένα επίπεδο και εµπεριέχει εκτός των άλλων την ιδέα της δυάδας (των δυο ηµιευθειών της) και της τριάδας (µαζί µε τη κορυφή της). Μια ευθεία χωρίζει ένα επίπεδο σε δυο υποχώρους (ηµιεπίπεδα). ∆υο τεµνόµενες ηµιευθείες το χωρίζουν σε δυο γωνίες, µια κυρτή (εσωτερική και µικρότερη) και µια και µη κυρτή (εξωτερική και µεγαλύτερη), ενώ δυο τεµνόµενες ευθείες το χωρίζουν σε τέσσερες γωνίες, ανά δυο συµµετρικές (κατά κορυφή) και ίσες. Η ευθεία είναι σύµβολο της σταθερής, απαρέγκλιτης διεύθυνσης και πορείας, ενώ το τόξο και ο κύκλος της επανελισσόµενης κίνησης και της ενέργειας που επανακατευθύνεται στον εαυτή της. Σύµφωνα µε τους Πυθαγορείους ο ∆ηµιουργικός Νους χρησιµοποίησε τις δυο αυτές αρχές το ευθύ και το κυκλικό και δηµιούργησε µε αυτές δυο µονάδες, από τις οποίες η µία ενεργεί κυκλικά και συντελεί στην ύπαρξη των νοητών ουσιών, ενώ η άλλη ενεργεί ευθύγραµµα και συντελεί στη γένεση των αισθητών πραγµάτων. Γι’ αυτό το λόγο τα γεωµετρικά προβλήµατα που δεν ελύνοντο µε το κανόνα και το διαβήτη εθεωρούντο άλυτα. Ας σηµειωθεί εδώ ότι ο κύκλος κρύβει µέσα του την έννοια της τριάδας σα περιφέρεια κέντρο και ακτίνα. Η γωνία συµβολίζει τη συνοχή των θείων όντων και τη τάξη που τα συνέχει. Ειδικότερα η ορθή γωνία συµβολίζει την αρετή γι’ αυτό και ονοµάζεται ορθή, ενώ η αµβλεία και η οξεία την αοριστία, τη κακία, την ένδεια, την υπερβολή και την αµετρία. Η ορθή γωνία αντιστοιχεί στο γράµµα Γ του Ελληνικού αλφαβήτου και στο γνώµονα ή «γωνία» των οικοδόµων και ξυλουργών για τη λάξευση των ακατέργαστων λίθων και µεταφορικά των ψυχών των ανθρώπων. Με την

εσωτερική του σηµασία το Γ θεωρείται επίσης σαν το αρχικό γράµµα των λέξεων Γεωµετρία, Γένεση και Γνώση. Το τρίγωνο, το σύµβολο της ένωσης της µονάδας µε τη δυάδα (κορυφή - βάση) είναι σύµφωνα µε τον Πρόκλο «η αρχή της συστάσεως των στοιχείων του κόσµου». Είναι το κατεξοχήν σύµβολο για τη ψυχή και ταιριάζει στη «ζωογόνο Πηγή, την αιτία κάθε ζωής, όπως και ο κύκλος ταιριάζει, όπως λένε, στον Κρόνο». Ειδικότερα το ισόπλευρο τρίγωνο είναι αφιερωµένο στις θείες ψυχές, αφού αυτές «εξουσιάζονται από τη Μονάδα, διότι η ισότητα είναι ενότητα, γι’ αυτό και καλούνται «θείες», διότι το ένα προσιδιάζει στη θεότητα». Από τη µεριά του το ισοσκελές τρίγωνο, µε δυο πλευρές ίσες και µια άνιση, µετέχει τόσο στην ισότητα όσο και στην ανισότητα και είναι εποµένως κατάλληλο σύµβολο για τις ενδιάµεσες «δαιµόνιες» ψυχές. Τέλος το σκαληνό τρίγωνο, µε όλες τις πλευρές του άνισες συµβολίζει γενικά τις ψυχές «που ανέρχονται και κατέρχονται». Εκείνες που «κατέρχονται στη γένεση και έρχονται από τη γένεση» απεικονίζονται µε το ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο που έχει κάθετες πλευρές 3 και 4 και υποτείνουσα 5. Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα ικανοποιούν όπως ξέρουµε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα που λέει ότι το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών τους οφείλει να είναι ίσο µε το τετράγωνο της υποτείνουσας ή συµβολικά α2 = β2 + γ2.

Σχήµα 7

Το απλούστερο ορθογώνιο τρίγωνο µε ακέραιες πλευρές είναι το προηγούµενο µε πλευρές 3, 4 και 5 που αναφέρει ο Πρόκλος, ο οποίος επισηµαίνει ότι οι πλευρές του είναι «οι αρχές των κοσµικών εικόνων», δηλαδή της τριάδας, της τετράδας και της πεντάδας. Ο Πρόκλος αναφέρει επίσης στη «Πολιτεία» του και µια απόρρητη διδασκαλία περί του ορθογωνίου τριγώνου σχετικά µε µια µυστική εµβρυογονία που έµαθε από το Νεστόριο στην οποία παρουσιάζονται οι δυνάµεις των θείων και µυστικών ονοµάτων που πρέπει να επικαλείται κανείς στη διάρκεια της κύησης. Ο Jean Tourniac στην προσπάθειά του να ανεύρει αριθµολογικά το απωλεσθέν όνοµα της θεότητας κατέληξε στο όνοµα El Schaddai (Ελ Σαντάι) του Μεγάλου Αρχιτέκτονα του Σύµπαντος των Ελευθεροτεκτόνων, που έχει αριθµητική αξία 345, δηλαδή µε ψηφία ίσα µε τις πλευρές του βασικού ορθογωνίου τριγώνου. Παραλείποντας το άρθρο El και αθροίζοντας µόνο τα γράµµατα του ονόµατος Schaddai κατέληξε στην αριθµητική αξία 314 του γνωστού αριθµού π. Ο Π. Γράβιγγερ αναφέρει µια άλλη ερµηνεία του ορθογωνίου τριγώνου που έδωσε ο Fabre d’ Olivet ξεκινώντας από τους στίχους των Χρυσών Επών «∆ύναµις γαρ ανάγκης εγγύθι ναίει» και χρησιµοποιώντας µαθηµατικές σχέσεις µεταξύ των τριών παραγόντων «που συνεργάζονται στη διαµόρφωση των ανθρωπίνων πεπρωµένων», δηλαδή της ∆ύναµης (Πρόνοιας), της Θέλησης και της Ειµαρµένης (του Μοιραίου)

Σχήµα 8

Με βάση το προηγούµενο διάγραµµα ο Γράβιγγερ επεξηγεί ότι «η ανθρώπινη θέληση δεν µπορεί να ισοφαρίσει τη δύναµη του Μοιραίου, παρά µόνο µε τη βοήθεια της Θείας Πρόνοιας. Πάνω σε αυτή τη βάση µπορεί να γίνει µια πολύ ενδιαφέρουσα θεωρητική όσο και πρακτική µελέτη για το τρόπο µε τον οποίο µπορεί να µειωθεί η ισχύς του Μοιραίου (Ανάγκης) και συνεπώς να επιτευχθεί η κατάργηση του «κακού», του οποίου το Μοιραίο είναι η φαινοµενική αιτία και όµως στη πραγµατικότητα η µοιραία συνισταµένη. Η φιλοσοφική εξήγηση καταλήγει στο συµπέρασµα ότι «ο µόνος τρόπος για να καταργήσουµε το Μοιραίο είναι να προσαρµόσουµε την ανθρώπινη θέληση στις βουλές της Πρόνοιας (του θεού) και να τη ταυτίσουµε µε την Ύπατη Βούληση». Το Ισοσκελές (ή Ισόπλευρο) τρίγωνο µε τη κορυφή προς τα πάνω  χρησιµοποιήθηκε επίσης για να συµβολίσει το Πνεύµα, το Στοιχείο της Φωτιάς και την αρσενική αρχή, ενώ µε τη κορυφή προς τα κάτω την Ύλη, το Νερό και τη Θηλυκή αρχή. Αργότερα προστέθηκε σε αυτά τα δύο σύµβολα µια εγκάρσια γραµµή για το συµβολισµό των δυο άλλων Στοιχείων, αντίστοιχα του Αέρα και της Γης . Το ίδιο ισοσκελές τρίγωνο σα «Φωτεινό ∆έλτα» περιεβλήθηκε µε ακτίνες και χρησιµοποιήθηκε σα σύµβολο του Θεού ∆ηµιουργού, ενώ στο εσωτερικό του χαράχθηκε ο παντεπόπτης οφθαλµός, ή το Άφατο Τετραγράµµατο Όνοµα του ∆ηµιουργού (Γιωδ Χε Βω Χε) ή ακόµα ένα φαλλικό Ιώδ που παριστάνει τη δηµιουργική δύναµη της θεότητας. Το ισοσκελές και το ισόπλευρο τρίγωνο κατασκευάζονται εύκολα µε διαβήτη. Φέρουµε µια διάµετρο ΑΒ του κύκλου και µετά µια κάθετη χορδή στη µέση της ακτίνας ΟΒ που τέµνει το κύκλο στα σηµεία Γ και ∆. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι τότε ισόπλευρο και η πλευρά του ισούται µε R 3 όπου R η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου.

Σχήµα 9

Αναφέρουµε τις τρεις Χάριτες της Ελληνικής Μυθολογίας (Αγλαΐα, Ευφροσύνη και Θάλεια ή Θαλλώ, Αυξώ και Καρπώ), τις τρεις Μοίρες (Κλωθώ, Λάχεση, Άτροπος), τις τρεις Ώρες (Ευνοµία, ∆ίκη, Ειρήνη), τις τρεις Ερινύες (Αληκτώ, Τισιφόνη, Μέγαιρα), τις τρεις Άρπυιες (Αελλώ, Ωκυπέτη, Κελαινώ), τις τρεις Σειρήνες (Παρθενόπη, Λευκωπία και Λίγεια ή Θελξίπεια, Αγλαόπη και Πεισινόη), τις τρεις Υπερβόρειες Παρθένες, τις τρεις υποδιαιρέσεις του χρόνου (παρελθόν, παρόν και µέλλον), τα τρία βασικά στοιχειώδη σωµατίδια (ηλεκτρόνιο, πρωτόνιο και νετρόνιο), τους τρεις όρους της διαλεκτικής (θέση, αντίθεση και σύνθεση), τα τρία γένη (αρσενικό, θηλυκό και ουδέτερο), ή τους τρεις όρους της πολικότητας (θετικό, αρνητικό και ουδέτερο), τους τρεις όρους της Μηχανικής (δράση, αντίδραση, ισορροπία), τα τρία πρόσωπα της Χριστιανικής Τριάδας (Πατήρ, Υιός και Άγιο Πνεύµα) ή της Ινδουιστικής Τριάδας (Μπράχµα, Σίβα και Βισνού) και τις τρεις Ινδουιστικές µορφές της ενέργειας (Σάττβα, Ράτζας και Τάµας) κ.ο.κ. Τέλος σηµαντική είναι και η τριαδικότητα της ψυχής, η οποία σύµφωνα µε τον Πλάτωνα αποτελείται από το επιθυµητικό ή (στην ανώτερη όψη του το βουλητικό), το θυµοειδές (ή συναισθηµατικό) και το λογιστικό (ή λογικό), τα οποία αντιστοιχούν στα τρία βασικά χρώµατα κόκκινο, κίτρινο και µπλε και στις παρακάτω τριαδικότητες του συστήµατος της Αλίκης Μπέυλη και της Θεοσοφίας: Στο επίπεδο των Επτά Ακτίνων: στη Πρώτη Ακτίνα της Θέλησης, στη ∆εύτερη της Αγάπης- Σοφίας και στη Τρίτη της Ενεργού Νοηµοσύνης. Στο κοσµικό επίπεδο: στη Μεγάλη Άρκτο, το Σείριο και τις Πλειάδες. Στο Ζωδιακό επίπεδο: στο Λέοντα, τους Ιχθείς και τον Αιγόκερω. Στο επίπεδο της Ιεραρχίας: στη Σαµπάλα, την Ιεραρχία και την Ανθρωπότητα. Στο πλανητικό και στο ανθρώπινο επίπεδο: στο Κέντρο της Κεφαλής, το Κέντρο της Καρδιάς και το Κέντρο Άτζνα (Τρίτο Μάτι) και τέλος στο επίπεδο της µαθητείας στη τριαδικότητα Μυηµένος, Μαθητής και Ζηλωτής.

ΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, Η ΤΕΤΡΑ∆Α, ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ

Σχήµα 10

Η διασταύρωση της κάθετης αρσενικής, φαλλικής ευθείας του Μεγάλου Πατέρα µε την οριζόντια γιονική, θηλυκή ευθεία της Μεγάλης Μητέρας δηµιουργεί τον ισοσκελή σταυρό  (που συµβολίζει τα τέσσερα στοιχεία σε ισορροπία), τις τέσσερες ορθές γωνίες και κατ’ επέκταση το Τετράγωνο.

∆υο διακεκριµένα σηµεία ορίζουν µια ευθεία και τη πρώτη διάσταση. Μια ευθεία κι ένα σηµείο εκτός αυτής ορίζουν αντίστοιχα ένα επίπεδο, µια διδιάστατη επιφάνεια. Με τον ίδιο τρόπο ένα επίπεδο κι’ ένα σηµείο εκτός αυτού ορίζουν ένα τρισδιάστατο στερεό. Ακόµα, όπως µια ευθεία παράγεται από τη κίνηση ενός σηµείου και ένα επίπεδο από τη κίνηση µιας ευθείας (ευθειογενής επιφάνεια), έτσι και ένα στερεό µπορεί να παραχθεί από τη κίνηση ενός επιπέδου (παράλληλα π.χ. προς µια δοθείσα διεύθυνση). Τέλος ένα στερεό µπορεί να παραχθεί και από τη κίνηση ενός σηµείου σε τρεις διαφορετικές διευθύνσεις. Είναι ακόµα η διαδροµή µιας στιγµής ανάµεσα σε τέσσερα ή περισσότερα (µη συνεπίπεδα) σηµεία. Βλέπουµε λοιπόν πως η προσθήκη ενός ξεχωριστού σηµείου, που δεν εντάσσεται στο προηγούµενο σύνολο, παράγει µια επιπλέον διάσταση, το ίδιο και η κίνηση του σηµειοσυνόλου «έξω» από τον εαυτό του ή η προσθήκη µιας επιπλέον διεύθυνσης κίνησης για ένα σηµείο. Η Τετράδα λοιπόν αντιστοιχεί καθαρά στη τρίτη διάσταση και στα στερεά, µε κατεξοχήν αντιπρόσωπό της το κανονικό τετράεδρο (κανονική τριγωνική πυραµίδα µε τέσσερες έδρες ισόπλευρα τρίγωνα) και στα σχήµατα το τετράγωνο (µε τέσσερες πλευρές ίσες και τέσσερες γωνίες ορθές), οι κορυφές του οποίου αντιστοιχούν στα τέσσερα στοιχεία (Φωτιά, Αέρα, Νερό και Γη) και οι πλευρές στις τέσσερες βασικές κατευθύνσεις. Το στερεό αντιπροσωπεύει την εκδήλωση όπως είναι γνωστή στις τρισδιάστατες συνειδήσεις µας. ∆εν µπορούµε να κατανοήσουµε µια µονοδιάστατη ή διδιάστατη ύπαρξη, παρά µόνο µαθηµατικά ή συµβολικά. Γενικά το τρία σχετίζεται µε τη δύναµη και το τέσσερα µε την ύλη. Στη Καβάλα το τετράγωνο και η Τετράδα αντιστοιχούν στη τετάρτη Σεφίρα του ∆ένδρου της Ζωής, στο Χέσεντ, στο κέντρο της Στήλης του Ελέους. Ο Μακροπρόσωπος (Κέτερ) και ο Μικροπρόσωπος (τα έξη Κεντρικά Σεφιρώθ) εκφράζουν αντίστοιχα το άδηλο και το πραγµατικό. Η πραγµατική εκδήλωση, έτσι όπως µπορεί να την αντιληφθεί ο πεπερασµένος νους µας, αρχίζει µε το Μικροπρόσωπο και η πρώτη όψη του είναι το Χέσεντ, το Έλεος, που εξισορροπείται στην απέναντι αριστερή στήλη µε το πολικό του αντίθετο, τη Πέµπτη Σεφίρα, το Γκεβούρα ή Αυστηρότητα. Το Χέσεντ εκπροσωπεί την αναβολική και ανοικοδοµητική δράση σε σύγκριση µε το καταβολισµό ή αποσυνθετική δράση του Γκεβούρα. Σαν η πρώτη σφαίρα του Μικροπρόσωπου ή εκδηλωµένου σύµπαντος αντιπροσωπεύει τη διαµόρφωση της αρχετυπικής ιδέας, µε άλλα λόγια τη συγκεκριµενοποίηση του αφηρηµένου. Όπως παρατηρεί ο Jeff Love στο βιβλίο του Οι Κβαντικοί Θεοί «οι τρεις ιδιότητες του σηµείου, της γραµµής και του επιπέδου συνήλθαν για να παράγουν το στερεό στη τετάρτη κατάσταση. Όλα τα φαινοµενικά στατικά πράγµατα µπορούν να περιγραφούν σα διαδικασίες. Όλες οι διαδικασίες µπορούν να περιγραφούν µε όρους τριών ιδιοτήτων που ενεργούν µαζί για να παράγουν µια τετάρτη ιδιότητα. Έτσι η θέση, η αντίθεση και η σύνθεση λειτουργώντας µαζί παράγουν τη λογική. Το πρωτόνιο, το νετρόνιο και το ηλεκτρόνιο ενεργώντας µαζί παράγουν το άτοµο. Το θετικό, το αρνητικό και το ουδέτερο παράγουν τη πολικότητα και το Γιν, Γιανγκ και Ταό παράγουν το Ταοϊσµό». Όπως ήδη αναφέραµε το σηµείο µέσα στο κύκλο
συµβολίζει γενικά τη λειτουργία του Κέτερ, ο σταυρός µέσα στο Κύκλο ⊕ τη λειτουργία του Χόχµα και το τρίγωνο µέσα στο κύκλο τη λειτουργία του Μπίνα. Το Τετράγωνο εποµένως µέσα στο Κύκλο αντιπροσωπεύει το Χέσεντ, το κοσµικό κέντρο του οποίου είναι ο πλανήτης ∆ίας. Το Τετράγωνο αντιπροσωπεύει φυσιολογικά τη σταθερότητα και την ισορροπία και ακόµα την ιδέα του εµβαδού µιας επιφανείας. Τέλος αναφέρεται στις τετραδικότητες ή τα τέσσερα τεταρτηµόρια όλων των τετραπλών διαιρέσεων. Υπάρχει µια ισχυρή καβαλιστική αντιστοιχία των

βασικών τετραδικών ταξινοµήσεων µε τα τέσσερα γράµµατα του Ιερού, Άφατου, Τετραγράµµατου Ονόµατος της Θεότητας , που διαβάζεται από τα αριστερά προς τα δεξιά και προφέρεται γενικά (κατά παραφθορά) σαν Γιεχοβά. Στα Εβραϊκά, που δεν έχουν φωνήεντα, αυτή η λέξη προφέρεται Γιαχβέ ή µε τα ονόµατα αυτών των γραµµάτων Γιοντ-Χε-Βάβ-Χε. Στη Τετράδα και στα τέσσερα γράµµατα του Τετραγράµµατου αντιστοιχούν οι τέσσερες κόσµοι των Καβαλιστών, τα τέσσερα στοιχεία, η τετραπλή ταξινόµηση των σηµείων του Ζωδιακού (σε πύρινα, αέρινα, υδάτινα και γήινα ζώδια) και τα τέσσερα χρώµατα των χαρτιών του Ταρώ που χρησιµοποιούνται στη µαντεία. Επίσης η κλίµακα του Βασιλιά αντιστοιχεί στο Κόσµο του Ατζιλούθ, της Βασίλισσας στο Μπριατικό Κόσµο, του Αυτοκράτορα στο Γετζιρατικό Κόσµο και της Αυτοκράτειρας στον Ασσιατικό. Ο Ατζιλουθικός ή Αρχετυπικός Κόσµος της Αγνής Θεότητας αντιστοιχεί στο Γιοντ του Τετραγράµµατου (σύµβολο επίσης του Χόχµα), στο στοιχείο της Φωτιάς (και τα Ζώδια της Φωτιάς) και στις Ράβδους του Ταρώ. Ο Μπριατικός ή ∆ηµιουργικός Κόσµος συνδέεται µε το Χε του Τετραγράµµατου (σύµβολο επίσης του Μπίνα), µε το Στοιχείο του Νερού (και τα Ζώδια του νερού) και µε το χρώµα των Κυπέλλων του Ταρώ. Ο Γετζιρατικός ή Μορφικός Κόσµος συνδέεται µε το Βαβ του Τετραγράµµατου, µε το στοιχείο του Αέρα (και τα Ζώδια του Αέρα) και µε τα Ξίφη του Ταρώ. Τέλος ο Ασσιατικός Κόσµος αντιστοιχεί στο τελικό Χε του Τετραγράµµατου, στο στοιχείο της Γης (και τα Γήινα Ζώδια) και στα Πεντάκτινα του Ταρώ. Ας σηµειωθεί ότι οι Καβαλιστές γράφουν το Τετράγραµµα µε τέσσερες κυρίως τρόπους: σαν IHVH, ADNI AHIH και AGLA (Γιαχβέ, Αδωνάι. Εχεγιέ και Άγλα). Το όνοµα Άγλα σηµαίνει, σύµφωνα µε τον Ελιφάς Λεβί, τη µονάδα που συµπληρώνει µε την τριάδα τον κύκλο των αριθµών για να επιστρέψει στη µονάδα. Το Γιοντ του Τετραγράµµατου αντιστοιχεί στον Αδάµ και τα υπόλοιπα τρία γράµµατα στην Εύα - κι έτσι το όνοµα της Θεότητας είναι στη πραγµατικότητα η συνεκφορά των ονοµάτων του Αρχέτυπου Αρσενικού και του Αρχέτυπου Θηλυκού. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι εκτός από το Εβραϊκό Τετραγράµµατο Όνοµα της Θεότητας, σε όλους σχεδόν τους λαούς της αρχαιότητας το όνοµα του Θεού αποτελείτο από 4 γράµµατα: ΘΕΟΣ στα Ελληνικά, ADAD στα Συριακά, ΑΜΩΝ στα Αιγυπτιακά, ΣΥΡΕ στα Περσικά, DEUS στα Λατινικά, GOTT στα Γερµανικά, DIEU στα Γαλλικά, ΕΣΑΡ στα Τούρκικα, ALLH = Αλλάχ στα Αραβικά κ.ο.κ.

Οι Πυθαγόρειοι έδιναν πολύ µεγάλη σηµασία στην τετράδα των πρώτων αριθµών, την οποία ονόµαζαν και "Τετρακτύνα". Επειδή οι αριθµοί αυτοί προστιθέµενοι δίνουν τη δεκάδα (1+2+3+4=10) κι επειδή αυτή η δεκάδα, αν αναχθεί θεοσοφικά (1+0=1), δίνει την αρχική µονάδα, συµβολίζοντας µε αυτόν τον τρόπο την επιστροφή όλης της εκδήλωσης στην αρχική πηγή των πάντων, εθεωρείτο ότι η Τετράδα αντιπροσώπευε όλη την εξέλιξη µέχρι το φυσικό πεδίο και την επιστροφή µετά όλης της ύπαρξης στην πρωταρχική Μονάδα. Ο Ιάµβλιχος µας λέει ότι «η τετράδα είναι ο δηµιουργός και η αιτία των πάντων. Ο νοητός θεός και η αιτία του ουράνιου κι αισθητού θεού". Είναι επίσης γνωστός ο όρκος των Πυθαγορείων που επαναλαµβάνεται στα "Χρυσά Έπη" του Πυθαγόρα: "Ναι µα τον αµετέρα ψυχά παραδόντα τετρακτύν, παγάν αενάου φύσεως...". Ορκίζοµαι δηλαδή σε αυτόν (τον Πυθαγόρα), που παρέδωσε στη ψυχή µας τη διδασκαλία για την τετρακτύνα, που είναι η πηγή της αιώνιας φύσης. Ο Ιεροκλής σχολιάζοντας αυτό τον στίχο, αποδεικνύει ότι η δύναµη της δεκάδας και όλων των µετέπειτα δεκάδων (10, 20,..100,...1000) είναι η τετράδα, "διότι πριν καταλήξουµε στην τέλεια και πλήρη δεκάδα, ανακαλύπτουµε όλη την αρετή και όλη την τελειότητα του δέκα µέσα στην τετράδα". Και λίγο παρακάτω προσθέτει: "Και το πρώτο στερεό (το τετράεδρο) αντιπροσωπεύει την τετράδα, διότι το σηµείο αντιστοιχεί στη µονάδα, η γραµµή στη δυάδα, η επιφάνεια (τρίγωνο)

στην τριάδα και το στερεό στην τετράδα, διότι µε την τετράδα σχηµατίζεται η πρώτη πυραµίδα (τετράεδρο) της οποίας το τρία παράγει τη βάση και η µονάδα την κορυφή...∆ιότι όπως είπαµε, το τέσσερα είναι ο δηµιουργός και η αιτία των πάντων και το µεγαλύτερο από τα διδάγµατα που µας παραδόθηκαν από τον Πυθαγόρα είναι η γνώση της δηµιουργικής τετρακτύος". Η βάση της Πυθαγόρειας διδασκαλίας είναι η ενότητα µέσα στην πολλαπλότητα, το ένα αναπτύσσοντας τα πολλά και αποτελώντας τα πολλά. Αυτό είναι µε λίγα λόγια το αρχαίο δόγµα της εκπόρευσης. Η µυστικιστική δεκάδα 1 + 2 + 3 + 4 = 10 είναι ένας τρόπος έκφρασης αυτής της ιδέας. Το Ένα είναι ο Θεός, το ∆ύο η ύλη, το Τρία που συνδέει τη Μονάδα µε τη ∆υάδα και συµµετέχει στη φύση και των δυο είναι ο φαινοµενικός κόσµος. Η Τετράδα ή µορφή τελειότητας, εκφράζει τη κενότητα των πάντων και η δεκάδα ή το άθροισµα όλων περιλαµβάνει ολόκληρο το κόσµο. Το σύµπαν είναι ένας συνδυασµός χιλιάδων στοιχείων και εντούτοις η έκφραση ενός µοναδικού πνεύµατος - ενός χάους για τις αισθήσεις, αλλ’ ενός κόσµου για τη λογική. Ο Ιάµβλιχος ανάγει τη γνώση στις τέσσερες µαθηµατικές επιστήµες την Αριθµητική, τη Γεωµετρία, τη Μουσική και την Αστρονοµία. Αναφερόµενος στο σύγγραµµα του Πυθαγόρα "Περί Θεών" (που έχει χαθεί) δέχεται τέσσερα στάδια για την κατάκτηση της σοφίας και αποδίδει την Αριθµητική στη µονάδα, τη Μουσική στη δυάδα, τη Γεωµετρία στην τριάδα και την Αστρονοµία στην τετράδα. Αναφερόµενος επίσης σε ένα στίχο της «Κατήχησης» των Πυθαγορείων που αναφέρει ο Αριστοτέλης, παρατηρεί ότι η Τετρακτύς αναπτύσσεται στην Ουράνια Αρµονία (Μουσική των Σφαιρών) που ψάλλουν οι Σειρήνες (οι οποίες αποτελούν τα πλανητικά της σύµβολα). Ο Πρόκλος παρατηρεί στο «Τίµαιο» ότι πρώτος έρχεται ο θείος αριθµός, δεύτερος ο ουσιώδης, τρίτος ο ψυχικός και τελευταίος ο φυσικός. Ο πρώτος είναι ενοειδής στο είδος του, ο δεύτερος ακίνητος, ο τρίτος αυτοκίνητος και ο τέταρτος ετεροκίνητος. Όσο για την αρµονία πρώτη έρχεται η αρµονία στους Θεούς, δεύτερη στα όντως όντα, τρίτη των ψυχών και τελευταία εκείνη που υπάρχει στα όντα που εναρµονίζονται υπό των άλλων. Όπως επισηµαίνει ο Π. Γκράβιγγερ η τετράδα παριστάνει το αποτέλεσµα ή την εκδήλωση της δηµιουργικής ενέργειας της τριάδας στη πράξη, µε άλλα λόγια τη Φύση. Εναρµονίζονται δηλαδή οι δυο αντίθετες και οι δυο ενάντιες δυνάµεις σχηµατίζοντας ένα τετράγωνο ισορροπίας προς σχηµατισµό της ηµιτονοειδούς καµπύλης των κύκλων της εκδήλωσης, µε άλλα λόγια του φαινοµένου της δονήσεως. Η κανονική τετρακτύς, η οποία περιλαµβάνει την έννοια της δεκάδας, παριστάνετο µε το παρακάτω σχήµα:

Σχήµα 11

και θεωρείτο σαν ο τέταρτος τριγωνικός αριθµός. Ο πρώτος είναι η µονάδα (1), ο δεύτερος η τριάδα (1+2=3), ο τρίτος η εξάδα (1+2+3=6) και ο τέταρτος η δεκάδα (1+2+3+4=10) κ.λ.π. Υπήρχε όµως και µια διπλή τετρακτύνα που αναφέρει ο Πλάτωνας στο «Τίµαιο», όπου

πραγµατεύεται το ζήτηµα του ρυθµού της ψυχής του Κόσµου σε σχέση µε εκείνης του ανθρώπου. Αυτή αποτελείται από το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων περιττών και των τεσσάρων αρτίων αριθµών (1+3+5+7) + (2+4+6+8)=36 (που αντιστοιχεί στον αριθµό των δεκανών του ζωδιακού κύκλου). Τη διπλή αυτή τετρακτύνα τη χρησιµοποίησε ο Πλάτωνας για να παρουσιάσει την επταπλή ουράνια κλίµακα και την αρµονία των σφαιρών. Οι τριγωνικοί αριθµοί έχουν γενικό τύπο ν(ν+1)/2, όπου ν φυσικός αριθµός. Εκτός όµως από τους τριγωνικούς αριθµούς αναφέρονται και τετραγωνικοί, πενταγωνικοί και γενικά πολυγωνικοί αριθµοί. Οι τετραγωνικοί αριθµοί µπορούν να διαταχθούν ανάλογα σε διαδοχικά αυξανόµενα τετράγωνα µε σταθερή τη µία κορυφή και έχουν γενικό τύπο ν2. Γενικότερα οι κ-γωνικοί αριθµοί έχουν γενικό τύπο ν+(ν-1)(κ-2)/2 Ο ∆αµάσκιος αναφέρει 11 είδη τετρακτύνων: Η πρώτη προέρχεται από την πρόσθεση των τεσσάρων πρώτων αριθµών 1+2+3+4=10. Η δεύτερη προκύπτει από τα τετράγωνα και τους κύβους των τριών πρώτων ακεραίων αριθµών: 1 2 3 4 9 8 27. Αυτές οι δυο πρώτες τετρακτύες "περιέχουν τους µουσικούς, γεωµετρικούς και αριθµητικούς λόγους, από τους οποίους αποτελούνται όλα τα είδη αρµονίας". Τρίτη είναι αυτή που αναφέρεται στο σηµείο, τη γραµµή, το επίπεδο και το στερεό. Τέταρτη είναι η Τετράδα των τεσσάρων Στοιχείων. Η Φωτιά για τη Μονάδα, ο Αέρας για τη ∆υάδα, το Νερό για την Τριάδα και η Γη για την Τετράδα. Αυτή είναι η κανονική σειρά των Στοιχείων, έτσι ώστε ο λόγος της Φωτιάς προς τον Αέρα να είναι 1:2, προς το Νερό 1:3 και προς τη Γη 1:4. Πέµπτη είναι η Τετράδα των απλών σωµάτων (κανονικών στερεών). H Πυραµίδα (τετράεδρο) αντιστοιχεί στη Φωτιά, το οκτάεδρο στον Αέρα, το εικοσάεδρο στο Νερό και ο κύβος στη Γη. Έκτη είναι η Τετράδα των "φυοµένων" πραγµάτων. Ο σπόρος αντιστοιχεί στη µονάδα και το σηµείο, η αύξηση σε µήκος στη ∆υάδα και στη γραµµή, σε πλάτος στην Τριάδα και την επιφάνεια και σε πάχος στην Τετράδα και στο στερεό. Έβδοµη είναι η τετρακτύς των κοινωνιών. Εδώ η Μονάδα αντιστοιχεί στον άνθρωπο, η ∆υάδα στο σπίτι, η Τριάδα στο χωριό και η Τετράδα στην πόλη, που όλα µαζί συνιστούν το έθνος. Όγδοη είναι η τετρακτύς της κριτικής και της νόησης: ο νους, η επιστήµη, η δόξα=γνώµη και η αίσθηση. Ένατη είναι η τετρακτύς που συνθέτει το ζώο σα σώµα και ψυχή. ∆ιότι τα µέρη της ψυχής είναι το λογισµικό, το θυµικό και το επιθυµητικό και τέταρτο έρχεται το σώµα. Τέλος ενδέκατη είναι η τετρακτύς των ηλικιών: νήπιο, νέος, άνδρας και γέροντας. Οι τέσσερες πρώτοι αριθµοί 1, 2, 3, 4 θεωρείται ότι περιέχουν το αρχέτυπο της ψυχής σύµφωνα µε την αρµονική αναλογία. ∆ιότι ο 4 είναι 2σιος του 2 και ο 2 του 1, µέσα στον οποίο βρίσκεται η συµφωνία του διαπασών (1:2) και ο 3 είναι ο ηµιόλιος του 2 (1+1/2=3/2), µέσα στον οποίο βρίσκεται η συµφωνία του διαπέντε, ενώ ο 4 είναι επίτριτος του 3 (1+1/3=4/3), στον οποίο βρίσκεται η συµφωνία του διατέσσερα. Στα τέσσερα στοιχεία των αρχαίων Ελλήνων αντιστοιχούν επίσης οι τέσσερες χυµοί (αίµα-φωτιά, φλέγµα-Γη, µαύρη χολή-Νερό και κίτρινη χολή-Αέρας) του Ιπποκράτη και οι αντίστοιχες τέσσερες ιδιοσυγκρασίες: αιµατώδης (δραστήριος, χαρούµενος, ευγενικός, αισιόδοξος), φλεγµατικός (ήρεµος, αναίσθητος, ασυγκίνητος), µελαγχολικός (ή και κρόνιος) και χολερικός (ευερέθιστος), στις οποίες επικρατεί ένας από τους τέσσερες αυτούς χυµούς. Επίσης οι τέσσερες νότες της τετράχορδης λύρας του Ερµή: Νήτη (Φωτιά), Παραµέση (Αέρας), Μέση (Νερό) και Υπάτη (Γη) και οι τέσσερες φάσεις της Σελήνης, αντίστοιχα πανσέληνος, 1ο τέταρτο, νέα σελήνη και 30 τέταρτο. Ακόµα οι τέσσερες εποχές του έτους και οι τέσσερες ιδιότητες: καλοκαίρι (θερµός), άνοιξη (υγρός), χειµώνας (ψυχρός) και φθινόπωρο (ξηρός). Επίσης οι τέσσερες ποταµοί της Ελληνικής µυθολογίας που διαρρέουν τον υποχθόνιο κόσµο (Περιφλεγέθων, Κοκκυτός, Στύγα και Αχέροντας) και επήγαζαν από τον Ωκεανό. Αντίστοιχα έχουµε τους τέσσερες ποταµούς

του Κήπου της Εδέµ που αναφέρει η Βίβλος (Φυσών, Γεών, Τίγρης και Ευφράτης). Ας σηµειωθεί ακόµα ότι ο Ποσειδώνας, ο άρχοντας του υποσεληνιαίου κόσµου, επέβαινε πάνω σε ένα τέθριππο άρµα και ότι ο Πλάτωνας αναφέρει στο «Φαίδρο» τέσσερες µανίες: των Μουσών, του ∆ιονύσου, του Απόλλωνα και της Αφροδίτης. Τα τέσσερα στοιχεία των αρχαίων συνδέθηκαν από τους Χριστιανούς αλχηµιστές στο σύµβολο του σταυρού µε τα τέσσερα γράµµατα INRI, αρχικά των Λατινικών λέξεων Ιησούς Ναζωραίος Βασιλιάς των Ιουδαίων ή µε τα αντίστοιχα αρχικά των Εβραϊκών λέξεων για τα τέσσερα στοιχεία. Οι ίδιοι αυτοί αλχηµιστές χρησιµοποίησαν το τετράγωνο για να συµβολίσουν την αισθητή ύλη, τον αντικειµενικό συνδυασµό των τεσσάρων στοιχείων, ενώ τα ίδια τα στοιχεία τα παρίσταναν όπως είδαµε µε τέσσερα τρίγωνα και το πέµπτο στοιχείο, την πεµπτουσία ή αιθέρα µε ένα κύκλο. Από δω προέρχεται και ο αλχηµικός συµβολισµός για το τετραγωνισµό του κύκλου ή τη στερεοποίηση του αιθέρα. Σύµφωνα µε τον εσωτερικό Χριστιανισµό ο Ιησούς σταυρώθηκε πάνω στο σταυρό των τεσσάρων στοιχείων, το µέσο του οποίου κατείχε ο ίδιος σαν το ανώτερο πέµπτο στοιχείο, για να συµπληρώσει τη πεντάδα. Παρόµοια στο σύµβολο του Ρόδινου Σταυρού των Ροδοσταύρων το Ρόδο στο κέντρο του Σταυρού παριστάνει τη σταυρωµένη ψυχή στο κόσµο της ύλης και σκοπός και έργο του επίδοξου µύστη είναι να «αποκαθηλώσει το ρόδο από το σταυρό...». Ας θυµηθούµε επίσης τους τέσσερες λεγεωνάριους που διαµοιράστηκαν τα ιµάτια του Ιησού. Σύµφωνα µε τον Πλούταρχο οι Πυθαγόρειοι ονόµαζαν την Τετράδα Κόσµο, δηλαδή Σύµπαν. Την ονόµαζαν ακόµα Μέγιστο Θαύµα, Θεό κατ' άλλο τρόπο, Πηγή της Φύσης και Κλειδοκράτορά της. Επίσης Ηρακλή, Αίολο, Ερµή, Ήφαιστο, Βάκχο και ∆ιεγέρτη της βακχικής µανίας. Από τις µούσες ήταν η Ουρανία. Την έλεγαν επίσης τετλάδα, γιατί τολµά να υποµένει, όπως ακριβώς η πρώτη πλευρά της υπέµεινε την απόσταση από τη µονάδα υποκύπτοντας στις 3 διαστάσεις. Επίσης ∆ικαιοσύνη γιατί το τετράγωνό της, δηλαδή το εµβαδόν ενός τετραγώνου, είναι ίσο µε την περίµετρό του, ενώ για τους µικρότερους από αυτήν αριθµούς η περίµετρος του τετραγώνου είναι µεγαλύτερη από το εµβαδόν του και για τους µεγαλύτερούς της µικρότερη από αυτό. Είναι επίσης ο πρώτος αρτιάρτιος αριθµός (4:2=2, 2:2=1, 4=2+2) και ο πρώτος επίτριτος (1+1/3=4/3) της πρώτης αρµονίας του διατέσσερα (µεταξύ του πρώτου και του τέταρτου τόνου της µουσικής κλίµακας). Τέσσερα είναι τα κλίµατα, τέσσερα τα ουράνια σηµεία (ζενίθ, Ναδίρ, ανατολικό, δυτικό), τέσσερες οι κύριοι άνεµοι, τέσσερες και οι αιτίες κατά τον Αριστοτέλη: η υλική, η τυπική, η κινούσα και η τελική. Ο Πλούταρχος λέει ότι ο κόσµος αποτελείται από µια διπλή Τετραδικότητα, την τετράδα του νοητικού κόσµου, το Αγαθόν, το Νου, την Ψυχή και την Ύλη και την τετράδα του Αισθητού κόσµου που σχηµατίζει τον κόσµο των τεσσάρων Στοιχείων. Τέσσερες είναι και οι αντίστοιχες τάξεις των "στοιχειακών" που τα κατοικούν: Οι σαλαµάνδρες (Φωτιά), οι σύλφες (Αέρας), οι νηρηίδες (Νερό) και οι γνώµες (Γη). Ο Ήφαιστος χάρισε στον Απόλλωνα και την Άρτεµη βέλη την τέταρτη µέρα της γέννησής τους (Ο Ήλιος και η Σελήνη δηµιουργήθηκαν την Τέταρτη µέρα). Τέλος σύµφωνα µε µερικούς συγγραφείς οι Κάβειροι ήταν τέσσερες: Αξίερος, Αξιόκερσος, Αξιόκερσα και Κάσµιλλος. Τέσσερα είναι και τα εµβλήµατα των Χερουβείµ στο γήινο πεδίο: Το Λιοντάρι, ο Αετός, ο Άνθρωπος και ο Ταύρος. Τέσσερες και οι Αρχάγγελοι (Μιχαήλ, Γαβριήλ, Ουριήλ και Ραφαήλ). Τέσσερες ήταν και οι Ευαγγελιστές (Ματθαίος, Μάρκος, Λουκάς και Ιωάννης) που σχετίζονται

µε τις τέσσερες χερουβικές µορφές του Ανθρώπου, του Λιονταριού, του Ταύρου και του Αετού και µε τα τέσσερα σταθερά σηµεία του Ζωδιακού (Υδροχόο, Λέοντα, Ταύρο και Σκορπιό). Τέσσερες είναι και οι Μεγάλοι Πατέρες της Εκκλησίας (Αγ. Αθανάσιος, Αγ. Βασίλειος, Αγ. Γρηγόριος ο Ναζιανζηνός και Αγ. Ιωάννης ο Χρυσόστοµος). Ακόµα η γη, σύµφωνα µε τη «Γένεση», σχηµατίστηκε την 4η µέρα. Τέσσερες είναι οι δορυφόροι του ∆ία και του Ουρανού και σύµφωνα µε τον Τρίτο Νόµο του Κέπλερ τα τετράγωνα των περιόδων των πλανητών κατά την κίνησή τους γύρω από τον Ήλιο είναι ανάλογα µε τους κύβους των αποστάσεών τους από αυτόν. Τέλος τέσσερες είναι και οι καταστάσεις της ύλης: στερεή, υγρή, αέρια και πλάσµα.

Σχήµα 12

Ο Κύκλος µε ένα εγγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο κοινής κορυφής είναι ένα σύµβολο µεγάλης εσωτερικής σηµασίας µε πολλές έννοιες, µια από τις οποίες είναι ότι ο κύκλος αντιστοιχεί στο πνεύµα, το τρίγωνο στη ψυχή και το τετράγωνο στο σώµα. Σηµειώνουµε ότι από το σχήµα του εγγεγραµµένου τετραγώνου σε ένα κύκλο διαγωνίους του θεωρείται ότι προέρχεται το Αραβικό σύστηµα των αριθµών.

µε τις δυο

Τέλος σηµειώνουµε ότι σύµφωνα µε το σύστηµα του Γκουρντζίεφ κάθε ουσία µπορεί να είναι αγωγός οποιασδήποτε από τις τρεις δυνάµεις που συµµετέχουν στη παραγωγή οποιουδήποτε φαινοµένου, δηλαδή µπορεί να είναι ή ενεργητική ή παθητική ή εξουδετερωτική ή καµιά από αυτές, αν δεν την διαπερνά καµιά δύναµη σε µια δεδοµένη στιγµή, ή αν τη µελετήσει κανείς χωρίς να τη συσχετίσει µε την εκδήλωση των δυνάµεων. Έτσι κάθε ουσία εµφανίζεται σε τέσσερες διαφορετικές όψεις ή καταστάσεις. Όταν αυτή είναι αγωγός της πρώτης ή ενεργητικής δύναµης ονοµάζεται άνθρακας και συµβολίζεται µε το γράµµα C. Όταν είναι αγωγός της δεύτερης ή παθητικής δύναµης, ονοµάζεται οξυγόνο και συµβολίζεται µε το O. Όταν είναι αγωγός της τρίτης ή εξουδετερωτικής δύναµης ονοµάζεται άζωτον και συµβολίζεται µε το N και όταν έχουµε να κάνουµε µε µια ουσία ανεξάρτητα από τη δύναµη που τη διαπερνά, τότε την ονοµάζουµε υδρογόνο και την συµβολίζουµε µε H. Οι τέσσερες αυτές καταστάσεις της ουσίας αντιστοιχούν στα τέσσερα Στοιχεία των αρχαίων.

Τα Μαγικά Τετράγωνα Αυτά χρησιµοποιούνται στη µαγεία αλλά και για τη κατασκευή ιπταµένων δίσκων, σύµφωνα µε το Νόµο των (Μαγικών) Τετραγώνων του John Searl. Περιλαµβάνουν τους αριθµούς 1 έως ν2, µε ν=3, 4, 5,... έτσι ώστε το άθροισµα των αριθµών µιας οποιασδήποτε σειράς, στήλης ή διαγωνίου να είναι πάντα το ίδιο. Αναφέρονται συνήθως στους επτά αρχαίους πλανήτες. ∆είτε τα µαγικά τετράγωνα των επτά πλανητών στο Παράρτηµα στο τέλος του βιβλίου

Οι Άρρητοι Αριθµοί Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου τέµνονται κάθετα και διχοτοµούν τις γωνίες των κορυφών του χωρίζοντας το τετράγωνο σε τέσσερα ίσα ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα. Εύκολα µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι το τετράγωνο που γράφεται µε πλευρά τη διαγώνιο d ενός τετραγώνου πλευράς α έχει διπλάσιο εµβαδόν από το αρχικό: Εd=2α2=2Εα, αφού χωρίζεται από τις (νέες) διαγωνίους του σε διπλάσιο αριθµό ισοδυνάµων τριγώνων απ’ ό,τι το αρχικό. Αν η πλευρά του αρχικού τετραγώνου είναι 1 µονάδα, τότε η πλευρά του δεύτερου θα πρέπει να είναι ένας αριθµός του οποίου το τετράγωνο να δίνει τον αριθµό 2. Με αυτό το τρόπο οι αρχαίοι ανακάλυψαν τους άρρητους αριθµούς, µε πρώτο απ’ αυτούς το 2 (τετραγωνική ρίζα του 2), οι οποίοι αποδείχθηκε ότι δεν µπορούν να γραφούν σαν κλάσµατα ακεραίων αριθµών, δηλαδή σα ρητοί αριθµοί, και γι’ αυτό ονοµάστηκαν άρρητοι. Έχουν δηλαδή άπειρα δεκαδικά ψηφία, µη περιοδικά. Ανακαλύφθηκε έτσι ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου πλευράς α είναι πάντα ένας άρρητος αριθµός που ισούται µε τη πλευρά του τετραγώνου επί τη τετραγωνική ρίζα του 2 ή µαθηµατικώς d= α 2 . Ανάλογα η πλευρά ενός τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας ρ ισούται µε λ= ρ 2. Η τετραγωνική ρίζα του 2 συµβολίζει τη σύνθεση, την ανάπτυξη, την ολοκλήρωση και το συµβιβασµό των πολικοτήτων. Θεωρείται ότι οδηγεί σε µια µεγαλύτερη ενότητα Μετά από το τετράγωνο οι αρχαίοι αναζήτησαν µια ανάλογη σχέση για τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου µε πλευρές α και β και βρήκαν µε απλούς αναλυτικούς συλλογισµούς ότι αυτή ισούται µε τη τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος των τετραγώνων των δύο πλευρών του ορθογωνίου ή d = α 2 + β 2 . Οδηγήθηκαν έτσι µε αυτό το τρόπο στη σχέση µεταξύ των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και της υποτείνουσάς του, µε άλλα λόγια στο Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Με την εφαρµογή του Πυθαγορείου θεωρήµατος σε ορθογώνια τρίγωνα διαφόρων πλευρών βρέθηκαν νέοι άρρητοι αριθµοί όπως οι 3 , 5 , κ.λ.π. Εκείνο που φάνηκε αρχικά ιδιαίτερα παράξενο και ανεξήγητο στους Πυθαγορείους µε την ανακάλυψη των αρρήτων αριθµών ήταν ότι υπήρχαν γεωµετρικά µεγέθη, τα οποία παρόλο που ήσαν αντιληπτά, δεν µπορούσαν να µετρηθούν, να υποταχθούν στο λογισµό. Αυτό ερχόταν σε αντίθεση µε τη βασική θεώρησή τους ότι τα πάντα ήσαν αριθµοί, ότι όλα τα όντα ή αντικείµενα ήσαν αριθµήσιµα, ρητά, υποταγµένα στο λόγο. Με την εµφάνιση όµως των αρρήτων ή ασύµµετρων αριθµών φάνηκε να διασπάται η συµµετρία και αρµονία του κόσµου, δηµιουργώντας τους έντονο προβληµατισµό. Η απάντηση στο παράξενο αυτό πρόβληµα ήταν ότι µε τους άρρητους αριθµούς φαινόταν να εκδηλώνονται, αναγκαστικά περιοριστικά προσεγγιστικά, οι σχέσεις ενός ανώτερου επιπέδου, δείχνοντας µια προσπάθεια σύµµειξης του ανώτερου µε το κατώτερο. Φάνηκε δηλαδή πως υπάρχει µια νέα τάξη αριθµών, που δεν προκύπτουν µε απλές σχέσεις από τους εκδηλωµένους «φυσικούς» αριθµούς, αλλά έχουν µια «µεταφυσική» αιτία και ιδιαίτερο νόηµα, για το οποίο λόγο και χρησιµοποιήθηκαν στην ιερή αρχιτεκτονική. Ο 3 έτσι αντιπροσώπευσε τη δηµιουργική ιδέα, ο 2 τη πρώτη δυαδικότητα και ο 5 την εκδήλωση της δηµιουργικής ιδέας, αντιστοιχώντας στις τρεις πρώτες διαιρέσεις του διδιάστατου χώρου στο Τρίγωνο, το Τετράγωνο και το Πεντάγωνο Η προσπάθεια στη συνέχεια «τετραγωνισµού» του κύκλου µε τη βοήθεια αυτών των άρρητων αριθµών, µέσω της πιθανής σχέσης τους µε τον επίσης άρρητο και υπερβατικό αριθµό π, ξεκίνησε το διάλογο µεταξύ του Ουρανού και της Γης, µεταξύ του Άπειρου και του Πεπερασµένου.

Ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Ο τετραγωνισµός του κύκλου, η κατασκευή δηλαδή ενός τετραγώνου ισοδύναµου (σε εµβαδόν ή περίµετρο) µε δοθέντα κύκλο, απασχόλησε από την αρχαιότητα την ανθρωπότητα. Αποτελεί ένα από τα τρία κλασσικά άλυτα προβλήµατα των Ελληνικών µαθηµατικών, η προσπάθεια λύσης των οποίων βοήθησε ιδιαίτερα την ανάπτυξη της Γεωµετρίας. Τα υπόλοιπα δύο ήταν ο διπλασιασµός του όγκου ενός κύβου (∆ήλιον Πρόβληµα) και η τριχοτόµηση µιας γωνίας. Το τετράγωνο είναι το σύµβολο της γης, της Μητέρας, της ύλης, των τεσσάρων στοιχείων, των τεσσάρων κατευθύνσεων, των τεσσάρων εποχών, της αλλαγής, της µεταβατικότητας, της µετάθεσης, της µετατόπισης. Ο κύκλος µε τη σειρά του είναι το σύµβολο του ουρανού, του αιθέρα, του Πατέρα, της πεµπτουσίας, του πνεύµατος, της αιωνιότητας, του αϊδίου, του άναρχου και ατελεύτητου, της κίνησης χωρίς κατεύθυνση, της αναδροµής, της περιοδικότητας, της περιστροφής. Ο τετραγωνισµός λοιπόν του κύκλου αντιπροσωπεύει εσωτερικά την προσπάθεια ένωσης της γης µε τον ουρανό, την επέκταση του πνεύµατος µέσα στην ύλη, την πνευµατικοποίησηαιθεροποίηση της τελευταίας, τη συµπύκνωση του αιθέρα, τη διάλυση των τεσσάρων στοιχείων στην πεµπτουσία, το παγκόσµιο διαλύτη και την επίτευξη του Magnum Opus, του Μεγάλου Έργου των αλχηµιστών. Αντιπροσωπεύει ακόµα γεωµετρικά και µηχανικά τη σύνθεση της µετατόπισης και της περιστροφής, την ελικοειδή κίνηση, την έλικα, τη σπείρα. Αποτελεί το σύµβολο του ιερού γάµου, της ένωσης των αντιθέτων, του ρητού και του άρρητου, του κοσµικού και του θείου, του ηλεκτρικού Πατέρα και της µαγνητικής Μητέρας. Το σχήµα του χρησιµοποιήθηκε από πολύ παλιά στην ιερή τέχνη και αρχιτεκτονική σα σύµβολο της ενότητας και υπέρβασης των αντιθέτων σε ένα ιερό όλον. Το παρατηρούµε ακόµα και σήµερα στις Βυζαντινές εκκλησίες, στους Γοτθικούς Καθεδρικούς ναούς, στους Ινδουιστικούς και Βουδιστικούς ναούς (τα σχέδια των δαπέδων των οποίων είναι µαντάλες), στα τελετουργικά Κίβας των Ινδιάνων και σε πολλά αρχαία µνηµεία όπως το Στόουνχεντζ, το Ρωµαϊκό Πάνθεο και πολλά άλλα. Για να ενωθεί όµως ο Ουρανός µε τη Γη χρειάζεται ένα ενδιάµεσο τρίτο στοιχείο που να µετέχει στη φύση και των δύο. ∆εν είναι δυνατή η απευθείας ένωση µεταξύ τους, όπως αποδεικνύεται και από τη µη δυνατότητα επίλυσης του αντίστοιχου γεωµετρικού προβλήµατος µόνο µε το κανόνα και το διαβήτη. Ο κανόνας κατασκευάζει ευθείες, τεθλασµένες γραµµές, τετράγωνα και πολύγωνα και ο διαβήτης κύκλους και κυκλικά τόξα. Τι βρίσκεται ανάµεσα σε αυτά τα δύο που δεν είναι ούτε ευθεία, ούτε κύκλος, αλλά µετέχει στη φύση και των δυο και του οποίου η χρησιµοποίηση θα έλυνε το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου; Φιλοσοφικά και µαγικά αυτό είναι η ακάσα, το αζώθ, η «µαγνησία» των σοφών αλχηµιστών, το αστρικό φως ή αστρική ψυχή, ο «µεγάλος µαγικός παράγοντας», το «µέγα απόρρητο της µαγείας», όπως το ονοµάζει ο Ελιφάς Λεβί, η σφαίρα του Γεσούντ, οι σεληνιακές απόρροιες, η Άρτεµις και η Εκάτη. Γεωµετρικά είναι η σπείρα, η έλικα ή και άλλες καµπύλες αναγόµενες σε αυτή. Με τη βοήθεια των Καρτεσιανών συντεταγµένων οι µαθηµατικοί µπόρεσαν να µεταφράσουν κάθε γεωµετρικό πρόβληµα σε ένα αντίστοιχο αλγεβρικό που περιέχει µόνο αριθµούς και αριθµητικές σχέσεις. Ένα γεωµετρικό εποµένως πρόβληµα θα µπορούσε να λυθεί µε το κανόνα και το διαβήτη (µε ένα πεπερασµένο αριθµό βηµάτων), µόνο όταν το αντίστοιχο αλγεβρικό εξαρτάτο από έναν αριθµό που µπορούσε να ληφθεί από έναν ακέραιο αριθµό µέσω των

τεσσάρων βασικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµό, διαίρεση) ή µε την εξαγωγή τετραγωνικών ριζών. Οι άρρητοι αριθµοί δεν µπορούν να γραφούν σα πηλίκο δυο ακεραίων και οι υπερβατικοί δεν µπορούν να είναι ρίζα µιας αλγεβρικής εξίσωσης. Το 1882 ο Lindemann απέδειξε ότι ο π είναι ένας υπερβατικός αριθµός και ότι εποµένως ο τετραγωνισµός του κύκλου ήταν αδύνατος µόνο µε το κανόνα και το διαβήτη. Οι «σωστές» λύσεις που έχουν προταθεί µέχρι τώρα είναι πάντα προσεγγιστικές και καλύτερη θεωρείται αυτή που επιτυγχάνει τη καλύτερη προσέγγιση του π. Θα µπορούσαµε να πούµε ανάλογα ότι το «υπερβατικό» µπορεί να εκδηλωθεί στη φύση µόνο µέσω της προσέγγισης, µε άλλα λόγια του περιορισµού. Αν µπορούσαµε να κατασκευάσουµε µε µια καλή προσέγγιση το ευθύγραµµο τµήµα π.R, όπου R η ακτίνα ενός δοσµένου κύκλου και κατασκευάζαµε στη συνέχεια τη µέση ανάλογο των τµηµάτων π.R και R, αυτή θα µας έδινε τη πλευρά α=R π του ζητούµενου ισοδύναµου µε το κύκλο τετραγώνου. Μια άλλη προσεγγιστική λύση δίνεται από τη προσεγγιστική σχέση του π µε τον αριθµό της χρυσής τοµής Φ/π = 4/ Φ = 3,1446... (προσέγγιση δεύτερου δεκαδικού ψηφίου), όπου Φ = 1,618...ο χρυσός αριθµός Η προσεγγιστική αυτή κατασκευή συνδέεται µε το λεγόµενο Τρίγωνο του Price που είναι το µόνο ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι σε γεωµετρική πρόοδο (µε λόγο Φ ), δηλαδή που έχει πλευρές 1, Φ , Φ (διότι ισχύει ότι 1+Φ = Φ2). Το τρίγωνο αυτό θα το δούµε αργότερα στο Κεφάλαιο της Χρυσής Τοµής. Ανάµεσα στις προταθείσες σωστές προσεγγιστικές κατασκευές για το τετραγωνισµό του κύκλου, µία του Hobson το 1913 βασίστηκε στην προσεγγιστική τιµή 3,14164.., αντί για τη σωστή τιµή π=3,14159...Τον ίδιο χρόνο ο Ινδός µαθηµατικός Ramanujan πρότεινε µια κατασκευή που χρησιµοποιούσε τη προσεγγιστική τιµή π = 355/113, η οποία διαφέρει από τη σωστή τιµή µόνο στο έβδοµο δεκαδικό ψηφίο. Τον επόµενο χρόνο (1914) ο Ramanujan έδωσε και άλλες σωστές προσεγγιστικές κατασκευές µεταξύ των οποίων µία που χρησιµοποιούσε τη παράξενη, αλλά αρκετά σηµαντική προσέγγιση για το π ίση µε (92+ 192/22)1/4= 3,141592652582..., η οποία διαφέρει από το π µόνο στο ένατο δεκαδικό ψηφίο (π = 3,14159265358..). Όπως σηµείωσε, το λάθος στη πλευρά κατά τη κατασκευή ενός κύκλου µε ακτίνα ίση µε την ακτίνα της γης είναι σε αυτή τη περίπτωση µόνο ένα κλάσµα του εκατοστού.

Σχήµα 13

Ξέρουµε ότι υπάρχουν αλγεβρικές σειρές που δίνουν προσεγγιστικά τη τιµή του π. Μία προσεγγιστική κατασκευή χρησιµοποιεί µια σειρά γεωµετρικά κατασκευάσιµων ευθυγράµµων τµηµάτων που είναι ίσα µε τις ηµιδιαγωνίους αντίστοιχων τετραγώνων, το εµβαδόν των οποίων τείνει στο π. Τα γεωµετρικά αυτά τµήµατα εναλλάσσονται διαδοχικά κατά έλλειψη και καθ’ υπερβολή καθώς προσεγγίζουν το σωστό ευθύγραµµο τµήµα που αντιστοιχεί σε µήκος π / 2 . Η µέθοδος αρχίζει µε τη λύση του προβλήµατος της χρυσής τοµής για ένα δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ= 2 µονάδων µε τη βοήθεια του ορθογωνίου ΟΒΑ µε κάθετη πλευρά ΟΒ=1 µονάδα και του κύκλου (Ο, 1) που εφάπτεται του ΑΒ στο Β (δες σχήµα 13). Το σηµείο της χρυσής τοµής Γ ικανοποιεί τη σχέση ΑΓ=Α∆. Η ΟΓ υπολογίζεται ίση µε 15 − 6 5 = 1,258... Ένα τετράγωνο µε

ηµιδιαγώνιο την ΟΓ θα έχει εµβαδόν 3,16718... σχετικά «κοντά» στο π. Το σωστό σηµείο Γ΄ πάνω στην ΑΒ που θα αντιστοιχεί στη σωστή ηµιδιαγώνιο ΟΓ΄= π / 2 προσεγγίζεται συνεχώς γεωµετρικά κατά έλλειψη και καθ’ υπερβολή µέχρι τη προσέγγιση που θέλουµε. Με τη πρώτη διόρθωση παίρνουµε εµβαδόν τετραγώνου ίσο µε 3,1417 µε τρία σωστά δεκαδικά ψηφία, µε τη δεύτερη µε έξη δεκαδικά ψηφία και µε τη δέκατη µε 13 σωστά δεκαδικά ψηφία κ.λ.π. Η πλήρης κατασκευή και εξήγηση µπορεί να βρεθεί στη διεύθυνση του Ίντερνετ: http://members.aol.com/iterate/Pi.htm

Πώς όµως η αρχαία ιερή τέχνη και γεωµετρία έλυσε προσεγγιστικά το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου; Με τρεις µεθόδους: 1) µε τη πυραµίδα του Χέοπα στην οποία ένας κύκλος µε ακτίνα το ύψος της έχει την ίδια περίµετρο µε τη βάση της πυραµίδας (τετραγωνισµός κατά περίµετρο) και το ίδιο εµβαδόν µε ένα ορθογώνιο µε πλάτος τη πλευρά της βάσης της πυραµίδας και µήκος δυο φορές το ύψος της (τετραγωνισµός κατά εµβαδόν). 2) Με τη κατασκευή ενός κανονικού οκταγώνου µέσω της Ιερής Τοµής, για την οποία θα µιλήσουµε αργότερα και 3) 4) Με τη vesica piscis, τη κοινή τοµή δυο ίσων, ορθογώνιων σε αυτή τη περίπτωση, κύκλων (που οι ακτίνες τους στο σηµείο τοµής είναι κάθετες µεταξύ τους). Σε αυτή τη περίπτωση το τετράγωνο που σχηµατίζεται άµα φέρουµε τις ακτίνες στα σηµεία τοµής των δύο κύκλων έχει προσεγγιστικά ίδια περίµετρο µε τον αρχικό κύκλο (τετραγωνισµός κατά περίµετρο). 5) Πέρα όµως από τις προσεγγιστικές λύσεις υπάρχουν και ακριβείς λύσεις στο πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου, αρκεί να µην υπακούσουµε στο περιορισµό της χρησιµοποίησης µόνο του κανόνα και του διαβήτη και να χρησιµοποιήσουµε διάφορες κατάλληλες καµπύλες. Μια τέτοια λύση είναι η παρακάτω που δόθηκε από τον Αρχιµήδη, ο οποίος χρησιµοποίησε προς το σκοπό αυτό την «έλικά» του.

Σχήµα 14

Έστω P το σηµείο πάνω στην έλικα του Αρχιµήδη όταν αυτή έχει συµπληρώσει µία στροφή. Έστω ακόµα ότι η εφαπτοµένη στο P τέµνει τη κάθετη στην OP στο T. Τότε ο Αρχιµήδης απέδειξε (Πρόταση 19 Επί των Ελίκων) ότι η OT είναι ίση µε το µήκος της περιφέρειας του κύκλου µε ακτίνα την OP. Όµως, όπως ο ίδιος είχε αποδείξει νωρίτερα, το εµβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο µε το εµβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου που έχει τις δυο κάθετες πλευρές του ίσες αντίστοιχα µε την ακτίνα και το µήκος της περιφέρειας του κύκλου. Έτσι το εµβαδόν του κύκλου µε ακτίνα OP είναι ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου OPT, το οποίο µετατρέπεται εύκολα στη συνέχεια σε ένα ισοδύναµο τετράγωνο.

Η ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Σχήµα 15

Αναφέρεται ότι ο σοφιστής Ιππίας ανακάλυψε µια καµπύλη που ονοµάστηκε τετραγωνίζουσα, το όνοµα της οποίας δείχνει ότι χρησιµοποιόταν όχι µόνο για τη τριχοτόµηση µιας γωνίας, αλλά και για το τετραγωνισµό του κύκλου: Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆. Με κέντρο Α και ακτίνα ΑΒ εγγράφουµε σε αυτό ένα τεταρτηµόριο κύκλου. Ας φαντασθούµε τώρα ότι η ακτίνα ΑΒ κινείται από το Β προς το ∆ µε οµοιόµορφη κίνηση. Επίσης φανταζόµαστε ότι στον ίδιο χρόνο η πλευρά ΒΓ του τετραγώνου (η εφαπτόµενη δηλαδή στο σηµείο Β στο τεταρτηµόριο) κινείται µαζί µε την ΑΒ µε την ίδια οµοιόµορφη κίνηση από το ΒΓ προς το Α∆, µένουσα πάντοτε παράλληλη προς την Α∆. Είναι φανερό η τοµή της κινούµενης ακτίνας ΑΒ και της ΒΓ θα σχηµατίσει κατά τη κίνηση µια καµπύλη. ∆ιότι µετά από κάποιο χρόνο αυτές θα συναντηθούν στο σηµείο Ζ και µετά στο σηµείο Λ. Θα σχηµατισθεί έτσι η καµπύλη ΒΖΛΙ, της οποίας όλα τα σηµεία ικανοποιούν την εξής συνθήκη: Αν από το Ζ φέρουµε τη ΖΘ κάθετη στην Α∆ και προεκτείνουµε την ΑΖ µέχρι να τµήσει τη περιφέρεια στο Ε, ο λόγος της Β∆ προς της Ε∆ θα είναι ίσος µε αυτόν της ΒΑ προς τη ΖΒ. ∆ηλαδή: Β∆:Ε∆ = ΒΑ:ΖΒ. Επίσης θα είναι ΒΕ∆:ΒΑ = ΒΑ:ΑΘ Με τη καµπύλη αυτή τριχοτοµείται εύκολα κάθε γωνία. ∆ιότι αν στο δοθέν σχήµα πάρουµε ΖΘ=3ΖΚ, αποδεικνύεται εύκολα ότι η γωνία ΕΑΝ είναι τριπλάσια της ΝΑ∆. Και γενικά η αναλογία ΒΕ∆:Ε∆ = ΒΑ:ΖΘ λύνει το πρόβληµα της διαιρέσεως µιας γωνίας σε οποιαδήποτε µέρη. Επίσης από το ίδιο σχήµα είναι φανερό ότι η τετραγωνίζουσα βοηθά και στο τετραγωνισµό του κύκλου. ∆ιότι αν καθορίσουµε το σηµείο Ι στο οποίο συναντά αυτή την ευθεία Α∆, είναι εύκολο να δειχθεί ότι ΒΕ∆: ΑΒ = ΑΒ: ΑΙ

ΤΟ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ, Η ΠΕΝΤΑ∆Α, ΤΟ ΠΕΝΤΑΛΦΑ Ένα σηµείο κινούµενο µεταξύ πέντε µη συγχωρικών σηµείων, κινούµενο σε τέσσερες µη συγχωρικές διευθύνσεις, κινούµενο σε τρία µη συγχωρικά επίπεδα ή σε δυο µη συγχωρικά στερεά, ή ακόµα η προσθήκη ενός σηµείου εκτός του τρισδιάστατου (Ευκλείδειου) χώρου ενός

στερεού ή η κίνηση του στερεού παράλληλα προς δυο διαφορετικές διευθύνσεις ή παράλληλα προς ένα επίπεδο δηµιουργεί ένα τετραδιάστατο υπερστερεό που διαφεύγει από την αντίληψή µας και µπορεί να παρασταθεί µόνο µαθηµατικά. Σύµφωνα µε τη θεωρία του Αϊνστάιν το σύµπαν είναι ένα χωροχρονικό συνεχές µε τρεις χωρικές και µία χρονική διάσταση. Η σχηµατική πάντως συµβολική παράσταση της Πεντάδας και των πενταδικών διαιρέσεων µε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραµµένο σε ένα κύκλο είναι σχετικά εύκολη, µε µόνη δυσκολία το χωρισµό του κύκλου σε πέντε ίσα µέρη (72ο), που συνδέεται όπως θα δούµε παρακάτω µε το πρόβληµα της Χρυσής Τοµής. Μπορούµε να δώσουµε όµως προς το παρόν και µια άλλη κατασκευή που βασίζεται στη κοινή τοµή δυο ίσων κύκλων (Vesica Piscis) του Albrecht Durer (1471-1528)

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟΥ 1ος Τρόπος Αποδεικνύεται ότι η πλευρά ενός κανονικού δεκαγώνου εγγεγραµµένου σε ένα κύκλο ακτίνος ρ ισούται µε το µεγαλύτερο από τα δυο τµήµατα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα του κύκλου από τη χρυσή τοµή της (χωρισµός της σε µέσο και άκρο λόγο). Τον τρόπο κατασκευής ενός τέτοιου τµήµατος θα το δούµε στο κεφάλαιο της Χρυσής Τοµής. Με άνοιγµα διαβήτη ίσο µε το µεγαλύτερο αυτό τµήµα της ακτίνας του κύκλου χωρίζουµε το κύκλο σε δέκα ίσα µέρη και κατασκευάζουµε έτσι ένα κανονικό δεκάγωνο εγγεγραµµένο σε αυτόν. Μετά ενώνουµε σηµείο παρά σηµείο αυτού του δεκαγώνου κατασκευάζοντας ένα κανονικό πεντάγωνο.

2ος Τρόπος Με η βοήθεια της κοινής τοµής των δύο κύκλων (ή της Vesica Piscis) του Albrecht Durer

Σχήµα 16

Ξεκινούµε µε µια βάση ΚΛ = α, ίση µε τη πλευρά του κανονικού πενταγώνου που θέλουµε να κατασκευάσουµε. Με κέντρα Κ και Λ κατασκευάζουµε αντίστοιχα τους κύκλους (Κ,α) και (Λ,α), οι οποίοι τέµνονται στα Α και Β. Με κέντρο το Β και ίση ακτίνα α κατασκευάζουµε ένα τρίτο κύκλο, ο οποίος περνά προφανώς από τα Κ και Λ και τέµνει τους δυο προηγούµενους στα σηµεία Γ και ∆. Έστω Ζ το σηµείο τοµής της ΑΒ µε αυτό το τρίτο κύκλο στο τόξο ΚΛ. Φέρνουµε τις ΓΖ

και ∆Ζ οι οποίες τέµνουν τους δυο πρώτους κύκλους στα σηµεία Μ και Π αντιστοίχως. Φέρουµε τις ΚΠ και ΛΜ και έχουµε κατασκευάσει έτσι τις τέσσερες κορυφές του ζητούµενου κανονικού πενταγώνου. Η πέµπτη κορυφή του Ν βρίσκεται από τη τοµή των κύκλων (Π, α) και (Μ, α). Το σχηµατιζόµενο έτσι πεντάγωνο ΚΛΜΝΠ είναι το ζητούµενο. Αν τώρα θέλουµε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραµµένο σε δοθέντα κύκλο (Ο,R), αρκεί να φέρουµε από ένα τυχόν σηµείο αυτού του κύκλου διαδοχικές παραλλήλους προς τις πλευρές του προηγούµενου τυχαίου κανονικού πενταγώνου και να κατασκευάσουµε έτσι ένα εγγεγραµµένο πεντάγωνο σε αυτόν, όµοιο µε το αρχικό, κι’ εποµένως και αυτό κανονικό.

3ος Τρόπος

Σχήµα 17

Έστω ΟΑ µια ακτίνα ενός δοθέντος κύκλου (Ο,R) στον οποίο θέλουµε να εγγράψουµε ένα κανονικό πεντάγωνο. Φέρουµε ένα κύκλο (y) διαµέτρου ΟΑ και την εφαπτοµένη σε αυτόν στο Α που τέµνει τον πρώτο κύκλο (x) στο ∆. Στη συνέχεια µε κέντρο το ∆ κατασκευάζουµε ένα κύκλο (z) που να εφάπτεται του κύκλου (y), ο οποίος τέµνει τον κύκλο (x) στα σηµεία E και Θ. Η EΘ είναι η πλευρά του ζητούµενου κανονικού πενταγώνου του εγγεγραµµένου στο κύκλο (x). Ας σηµειωθεί ότι η Μ∆ τέµνει την ΕΘ στη χρυσή τοµή Η της ΕΘ.

Σχήµα 18

Ό λόγος της πλευράς α προς τη διαγώνιο β είναι ο αριθµός της χρυσής τοµής Φ = (1+ 5 ) / 2 Η πλευρά του κανονικού πενταγώνου σα συνάρτηση της ακτίνας R του περιγεγραµµένου κύκλου δίνεται από το τύπο: λ5 = R. 10 − 2 5 / 2, ενώ το απόστηµά του (η απόσταση του κέντρου του από µια πλευρά του) ισούται µε: α5 = R( 5 +1) / 4 = R.Φ / 2

Σχήµα 19

Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου σχηµατίζουν ένα πεντάγραµµα, ενώ τα σηµεία τοµής τους Α΄, Β΄, Γ΄, ∆΄ και Ε΄ τις διαιρούν στο λόγο της χρυσής τοµής (Φ). Αν φέρουµε όλες τις διαγωνίους ενός κανονικού πενταγώνου καθώς επίσης όλες τις διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου που σχηµατίζεται από τα µέσα των πλευρών του, θα πάρουµε το παρακάτω σχήµα στο οποίο κρύβεται σα προβολή στο επίπεδο ενός κανονικού δωδεκαέδρου (οι πιο έντονες µαύρες γραµµές στο κέντρο). Ο διδιάστατος διαφορισµός δίνει έτσι µια τρισδιάστατη εκδήλωση.

Σχήµα 20

Θεωρούµε κύκλο διαιρεµένο σε πέντε ίσα µέρη (72ο). Μπορούµε να ενώσουµε τα πέντε αυτά σηµεία διαίρεσης µε δυο διαφορετικούς τρόπους: είτε διαδοχικά, οπότε σχηµατίζουµε ένα κανονικό πεντάγωνο, είτε ενώνοντας κάθε σηµείο µε το µεθεπόµενο από αυτό, οπότε σχηµατίζεται ένα αστεροειδές πεντάγωνο που είναι γνωστό σαν Πεντάγραµµα, Πεντάλφα ή ακόµα σαν Πεντάκτινος Αστέρας. Στις κορυφές του πενταγώνου αντιστοιχούν τα πέντε στοιχεία, µε το πέµπτο στοιχείο ή αιθέρα να αντιπροσωπεύεται από το λεγόµενο «Τροχό του Πνεύµατος», ένα µικρό κύκλο διατεµνόµενο από πολλές ακτίνες σαν τις ακτίνες ενός τροχού). Το πεντάγωνο κατασκευάζεται συνήθως µε τη κορυφή προς τα πάνω, την οποία καταλαµβάνει ο τροχός του πνεύµατος και το Εβραϊκό γράµµα Σιν που αντιστοιχεί σε αυτόν (τρεις γλώσσες φωτιάς). Οι τέσσερες κατώτερες κορυφές του πενταγώνου αντιστοιχούν στα τέσσερα υπόλοιπα κατώτερα στοιχεία και στα τέσσερα γράµµατα του Τετραγράµµατου.

Σχήµα 21

Το Πεντάγωνο σαν όλο αναφέρεται στη πέµπτη Σεφίρα, το Γκεβούρα, στο κέντρο της Στήλης της Αυστηρότητας. Αντιπροσωπεύει τη δύναµη της πεντάδας, όπως αυτή λειτουργεί στη φύση µε τη διασπορά του πνεύµατος και των τεσσάρων στοιχείων µέσα σ’ αυτή. Παρόλο που το Γκεβούρα αντιστοιχεί στη πολεµική και καταβολική φύση της Άρειας δύναµης, αυτή η φύση δεν ταιριάζει τόσο πολύ µε το σχήµα του πενταγώνου και αντιστοιχεί περισσότερο στο πεντάλφα ή πεντάκτινο άστρο, στο οποίο βρίσκουν συνάµα αντιστοιχία εκτός από τα πέντε στοιχεία, τα ίδια τα δέκα Σεφιρώθ, οι επτά πλανήτες, οι τέσσερες τριαδικότητες των Ζωδίων (που αντιστοιχούν στα τέσσερα στοιχεία) και τα τέσσερα γράµµατα του Τετραγράµµατου, µε τη κορυφή (Κέτερ και τροχός πνεύµατος) να αντιστοιχεί πάλι στο (τριπλό στη φύση του) Εβραϊκό γράµµα Σιν, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα:

Σχήµα 22 Το Πεντάγραµµο µε µία µόνο κορυφή προς τα πάνω (όρθιο) λέγεται Σύµβολο του Μικρόκοσµου και είναι ένα θετικό σύµβολο που συµβολίζει τον άνθρωπο µε εκτεταµένα τα χέρια και τα πόδια του και ιδιαίτερα τη κυριαρχία του πνεύµατος πάνω στα τέσσερα στοιχεία κι εποµένως της Λογικής πάνω στην Ύλη. Είναι έτσι ένα κατεξοχήν σύµβολο της µαγείας και χρησιµοποιείται τόσο για επικλήσεις απόκρυφων δυνάµεων, όσο και για εξορκισµούς και αποτροπιασµούς χαρασσόµενο κατά κόρον πάνω σε περίαπτα. Ας αφήσουµε όµως το διάσηµο µάγο και φιλόσοφο Ελιφάς Λεβί να µας µιλήσει λίγο για το συµβολισµό και τη µαγική χρήση του πανίσχυρου αυτού συµβόλου: Η κυριαρχία της θέλησης πάνω στο αστρικό φως, το οποίο είναι η φυσική ψυχή των τεσσάρων

στοιχείων, παριστάνεται στη µαγεία µε τον πεντάκτινο αστέρα ή αλλιώς πεντάγραµµα. Για τον λόγο αυτό παρατηρείται ότι τα στοιχειακά πνεύµατα υποτάσσονται σε αυτό το σηµείο. Εφόσον χρησιµοποιείται µε πλήρη επίγνωση των ιδιοτήτων και διδαγµάτων του, µπορούµε τοποθετώντας το µέσα στον κύκλο ή πάνω στον βωµό των επικλήσεων να κατευθύνουµε αυτά πειθαρχικά και πειθήνια, πράξη που στη µαγεία ονοµάζεται εγκάθειρξη.... (Είναι) ένα σύµβολο που περιέχει και εκφράζει όλες τις δυνάµεις της φύσης, ένα σηµείο που παρουσιάζει µπροστά στα στοιχειακά πνεύµατα µια δύναµη ανώτερη από τη δική τους και τα αναγκάζει να το θαυµάσουν και να το υπακούσουν µε τη δύναµη της ισχύος που εξασκεί η γνώση και η θέληση πάνω στην αγνωσία και την αβουλία... Το πεντάγραµµα, που στις γνωστικές σχολές ονοµάζεται ακτινοβόλος αστέρας, είναι το σηµείο της παντοδυναµίας και της απόλυτης κυριαρχίας του νου. Είναι ο αστέρας των µάγων, το σύµβολο του ενσαρκωθέντα Λόγου και ανάλογα µε τη διεύθυνση των ακτίνων του, το απόλυτο αυτό έµβληµα παριστάνει το καλό ή το κακό, την τάξη ή την αταξία. Είναι η µύηση και η βεβήλωση, ο Εωσφόρος ή ο Έσπερος, ο αστέρας της Πρωίας ή της Νυκτός. Είναι η Μαρία ή η Λιλίθ, η νίκη ή ο θάνατος, το φως ή το σκοτάδι. Όταν στρέφει προς τα πάνω τις δυο ακτίνες του, παριστάνει το Σατανά ή τον τράγο των σαβββατιασµών, ενώ όταν στρέφει προς τα πάνω µια από αυτές παριστάνει τον Σωτήρα. Το πεντάγραµµο είναι η εικόνα του ανθρώπινου σώµατος µε τα τέσσερα µέλη του και το πέµπτο που συµβολίζει το κεφάλι. Μια ανθρώπινη µορφή µε το κεφάλι προς τα κάτω συµβολίζει φυσικά το δαίµονα, δηλαδή τη διανοητική διαστροφή, την αταξία και την παραφροσύνη. Το πεντάγραµµα εξασκεί ανυπολόγιστη επίδραση πάνω στα πνεύµατα που έχουν απαλλαγεί από το υλικό τους περίβληµα. Ονοµάζεται επίσης σύµβολο του µικροκόσµου και απεικονίζει αυτό που οι καβαλιστές ονοµάζουν Μικροπρόσωπο. Αντιπροσωπεύει την απόλυτη φιλοσοφία και τη φυσική επιστήµη... Οι παλιοί µάγοι χάραζαν το σηµείο του πεντάκτινου πάνω στο κατώφλι της πόρτας τους για να εµποδίσουν τα κακοποιά πνεύµατα να µπουν και τα αγαθοποιά να εξέλθουν. Η ιδιότητα αυτή στηριζόταν πάνω στη διεύθυνση των ακίδων του αστέρος. ∆υο ακίδες προς τα έξω απωθούσαν τα κακοποιά πνεύµατα, ενώ δυο ακίδες προς τα µέσα τα κρατούσαν αιχµάλωτα. Μια µόνον ακίδα προς τα µέσα κατακρατούσε τα αγαθοποιά πνεύµατα στο εσωτερικό του σπιτιού... Το γράµµα C που οι Ελευθεροτέκτονες τοποθετούν στο κέντρο του πεντάκτινου αστέρα σηµαίνει Γνώση και Γένεση, τις δυο ιερές λέξεις της Καβάλας. Σηµαίνει επίσης Μέγας Αρχιτέκτονας, γιατί το πεντάγραµµο από οποιαδήποτε πλευρά και αν το παρατηρήσουµε παριστάνει ένα Α (πεντάλφα)... Ο Παράκελσος αναγνώριζε τον πεντάκτινο αστέρα σαν το µεγαλύτερο και ισχυρότερο από όλα τα σηµεία. Όσα πνεύµατα παραγνωρίζουν το σηµείο του σταυρού, αισθάνονται φρίκη µπροστά στον πεντάκτινο αστέρα. Επίσης ο µάγος όταν αισθάνεται τη δύναµή του να τον εγκαταλείπει και τη θέλησή του να εξασθενίζει, στρέφει τα µάτια του προς το σηµείο αυτό του µικρόκοσµου, το παίρνει µε το δεξί του χέρι και αµέσως αισθάνεται τον εαυτό του οπλισµένο µε νοητική παντοδυναµία.

Σχήµα 23

Ένα εγγεγραµµένο κανονικό πεντάγωνο µε ένα τριπλό πεντάκτινο αστέρα. ένα κανονικά εξάγωνο µε ένα τριπλό εξάκτινο αστέρα κι ένα κανονικό οκτάγωνο µε ένα τριπλό οκτάκτινο αστέρα, µαζί µε το τρίγωνο και το τετράγωνο, περιλαµβάνουν σύµφωνα µε τον εσωτερικό Χριστιανισµό, όπως παρουσιάζεται στα βιβλία «Γνώση» του Μπορίς Μουράβιεφ, «τον κύκλο της δοµής ολόκληρου του σύµπαντος καθώς και κάθε ζωντανού όντος ξεκινώντας από το κύτταρο του µικρόκοσµου και φθάνοντας ως το Μακρόκοσµο στο σύνολό του». Ο κύκλος που είναι εγγεγραµµένα αυτά τα πολύγωνα συµβολίζει το σύµπαν. Τα παραπάνω σχήµατα θεωρούνται συνήθως σε κίνηση µε ανάλογο τρόπο όπως παράγονται οι Αραβικοί αριθµοί από το σχήµα του εγγεγραµµένου κύκλου µε τις διαγωνίους του. Ο Μπορίς Μουράβιεφ εξηγεί στη «Γνώση» του: Ο σπουδαστής θα πρέπει να προχωρήσει µε τον ίδιο τρόπο αν θελήσει να αναλάβει τη µελέτη σε βάθος αυτών των γεωµετροποιηµένων συµβόλων. Του χρειάζεται όµως και ένα µέσο προσέγγισης. Το µέσο προσέγγισης περιλαµβάνει δυο στοιχεία: Είναι πρώτα η οδήγηση, γιατί ο µαθητής δύσκολα θα την έβρισκε µόνος του και απαιτεί άσκηση στην «επικυκλική» σκέψη µέσα σε ενορατική πνευµατική κατάσταση της τάξεως µε την οποία πρέπει να προχωρήσει κανείς για να εξετάσει το σύµβολο. Η οδήγηση αυτή δίνεται κατά τη τάξη της διαδοχής των αριθµών που αναγράφονται στα σχήµατα. Ο µαθητής θα µάθει κατόπιν ότι οι αριθµοί δεν αντιπροσωπεύουν µόνο τη πορεία, που πρέπει να είναι η πορεία ης σκέψης και της προσοχής του, αλλά ακόµη ότι κάθε αριθµός που αντιστοιχεί σε αυτά - και αυτό είναι ουσιαστικό - περικλείει µια οµάδα ιδεών πάνω στις οποίες πρέπει να διαλογιστεί ο µαθητής σε σχέση µε το συνολικό νόηµα καθενός από τα τρία κοσµικά σύµβολα και µετά µε το νόηµα που έχουν και τα τρία µαζί (αυτά αντανακλούν τη δοµή του σύµπαντος που η τριπλή αρχή του βρίσκεται ενιαία στη βάση τόσο όλου του µακρόκοσµου όπως και των υπαγοµένων σε αυτόν οργανισµών, από τους πιο πρωτόγονους µέχρι τους πιο σύνθετους). Η προσέγγιση αυτών των συµβόλων χρειάζεται υποµονή, ευφυία αλλά και σοφία και συγχρόνως κατάλληλη συναισθηµατική συµµετοχή. Πρέπει να συνεργαστούν µαζί το µυαλό και η καρδιά του στη προσπάθεια του αυτή. Το δεύτερο στοιχείο του τρόπου διεισδύσεως είναι ο πίνακας των Μειζόνων Αριθµών που έχουµε ήδη αναφέρει (το ίδιο κι εµείς..). Το Τριπλό πεντάκτινο άστρο έχει έναν ειδικό συµβολισµό στο σύστηµα του Εσωτερικού Χριστιανισµού του Μουράβιεφ και του Γκουρντζίεφ και αναφέρεται στη λεγόµενη τρίτη κοσµική

οκτάβα. Ο σπουδαστής του συστήµατος αυτού το µελετά υπό αυτή την άποψη, θεωρώντας τις ακτίνες του σε κίνηση, µε συγκεκριµένη καθοδήγηση για το πως πρέπει η προσοχή και το βλέµµα του, µαζί µε την άκρη του µολυβιού του «να ακολουθήσουν µεθοδικά την τάξη του περάσµατος από τη µία στην άλλη τις κορυφές των ακτίνων των τριών αστέρων και των τοµών των γραµµών που τους συνθέτουν». Και συγχρόνως ο µαθητής εφαρµόζει το νόηµα των Μειζόνων Αριθµών που αντιστοιχούν στη σηµειωµένη αρίθµηση. Τα τρία προηγούµενα τριπλά σύµβολα που εκπροσωπούν στο «Σύστηµα» του Μουράβιεφ και του Γκουρντζίεφ τις τρεις κοσµικές οκτάβες είναι σύµφωνα µε τον πρώτο «οι τρεις µεγάλες κλείδες της παγκόσµιας Γνώσης, µε άλλα λόγια της απόλυτης Γνώσης». Ο Ιάµβλιχος αναφέρει στα «Θεολογούµενα της Αριθµητικής» του τα εξής για τη πεντάδα: Η πεντάδα είναι ο πρώτος αριθµός που περιέλαβε µέσα του τις αρχέτυπες µορφές όλων των αριθµών, δηλαδή του 2, του πρώτου άρτιου και του 3 του πρώτου περιττού αριθµού και γι’ αυτό ονοµάσθηκε Γάµος, γιατί αποτελείται από άρρεν και θήλυ. Είναι επίσης το κέντρο της δεκάδας και το τετράγωνό του δίνει τον εαυτό του (52=25). Πέντε είναι επίσης τα ισόπλευρα και ισογώνια (κανονικά) στερεά σώµατα, το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο, ο κύβος και το δωδεκάεδρο, τα οποία, όπως λέει ο Πλάτωνας, έχουν αντίστοιχα το σχήµα της Φωτιάς, του Αέρα, του Νερού, της Γης και το τελευταίο του Παντός (Αιθέρα ή Πεµπτουσίας). Πέντε είναι και οι πλανήτες, εκτός από τον Ήλιο και τη Σελήνης Πέντε λοιπόν στοιχεία συνθέτουν γενικά τον Κόσµο: η Γη, το Νερό, ο Αέρας, η Φωτιά και ο Αιθέρας... Οι Πυθαγόρειοι ονόµαζαν την πεντάδα Αφιλονικία (έλλειψη διαµάχης), όχι µόνο γιατί η φιλονικία και η µεταβολή υπάρχουν στα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από τον αιθέρα, από τη σελήνη µέχρι τη γη, αλλά κι επειδή αυτή συνένωσε και συµφιλίωσε σ' ένα σύνολο τα αρχικά διάφορα και ανόµοια δυο είδη του αριθµού, το άρτιο και το περιττό, µια και γεννήθηκε από την ένωσή τους (2+3=5). Για τον ίδιο λόγο η πεντάδα ονοµάσθη και ∆ικαιοσύνη, η οποία αποτελούσε για τους Πυθαγορείους την ολοκλήρωση των Αρετών και την οποία όριζαν σαν την "ικανότητα απόδοσης του πρέποντος και του ίσου που υπάρχει στο µέσον ενός τετράγωνου και περιττού αριθµού (του 9)". Για τον ίδιο λόγο την ονόµαζαν ΥΓΕΙΑ και τη συνέδεαν µε την αρµονία και το κάλλος για το ανθρώπινο σώµα και έγραφαν στις κορυφές του πενταγράµµατος τα πέντε γράµµατα αυτής της λέξης, αρχίζοντας µε το «Υ» από τη κορυφή. Χρησιµοποιούσαν επίσης το πεντάγραµµα µεταξύ τους σα σηµείο αναγνωρίσεως (για τον ίδιο λόγο χρησιµοποιήθηκε αργότερα και από άλλες µυστικές αδελφότητες). Ονόµαζαν ακόµα τη πεντάδα Νέµεση (γιατί διανέµει τα πάντα µε το σωστό τρόπο), Κρίση (γιατί τιµωρεί το κακό και αποµακρύνει την ανισότητα), Τροποποίηση, Φως, Πεµπάδα, Πρόνοια, ∆ίκη (διχασµό από το δίχα, επειδή καθιστά τα άνισα ίσα), Αφροδίτη (γιατί ενώνει τον αρσενικό-περιττό µε το θηλυκό-άρτιο αριθµό. Για τον ίδιο λόγο ονοµαζόταν Γαµηλία, Ανδρογυνία και Ηµίθεος. Ονοµαζόταν επίσης ∆ίδυµη (γιατί διχάζει τη διαφορετικά αδίχαστη ∆εκάδα), Άµβροτη (Αθάνατη) και Παλλάδα (δηλώνοντας µε αυτό τον τρόπο την Πέµπτη Ουσία ή Στοιχείο) και Καρδιάτιν (Καρδιακή), σε αντιστοιχία µε την καρδιά των ζώων που βρίσκεται στη µέση του σώµατός τους. Με την Πεντάδα, ή Πεµπτουσία ζωογονεί την Τετράδα των Στοιχείων κι εκδηλώνεται το φαινόµενο της Ζωής στη µέχρι τότε άµορφη φύση. Σύµφωνα µε τον Ανατόλιο το γράµµα Ε, που παριστάνει όπως ξέρουµε τον αριθµό 5, προήλθε από τη διχοτόµηση του γράµµατος Θ, που παριστάνει τον αριθµό 9, γιατί το 5 είναι ο ενδιάµεσος ακριβώς αριθµός ανάµεσα στο 1 και το 9

και το σηµείο εποµένως ισορροπίας τους (∆ικαιοσύνη). Επειδή σύµφωνα µε τους αρχαίους φυσικούς τρία πράγµατα µπορούν να δώσουν ζωή µετά την ενσωµάτωση: το φυτικό, το ψυχικό και το λογικό και εφόσον το λογικό αντιστοιχεί στην Επτάδα και το ψυχικό στην Εξάδα, µένει για το φυτικό η Πεντάδα, η οποία αποτελεί και το ελάχιστο όριο της ζωικής φύσης. ∆ιότι "η ρίζα των πάντων είναι η Μονάδα, η κίνηση προς κάτι η ∆υάδα, προς ένα δεύτερο η Τριάδα, προς ένα τρίτο και τελειότερο η Τετράδα και προς την πρόσθεση και αύξηση µε κάθε τρόπο η Πεντάδα σύµφωνα µε τη φυτική έξη της ψυχής". Σε σχέση τώρα µε τις αντιστοιχίες του πέντε µπορούµε να αναφέρουµε επίσης τις πέντε αισθήσεις, τα πέντε δάκτυλα των χεριών και των ποδιών µας, την πενταπλή διαίρεση του κώνου σε κύκλο, έλλειψη, παραβολή, υπερβολή και τρίγωνο, τα πέντε Ινδουιστικά σκάνδας (µορφήρούπα, βιντάνα-αντίληψη, σανίνα-συνείδηση, σανσκάρα-δράση και Βιτζνάνα-γνώση) κ.λ.π. Εκτός από διάφορες σηµαίες και άλλα που φέρουν το σύµβολο του πενταγράµµατος (ακόµα και η Texaco), λέγεται ότι αυτό ήταν χαραγµένο και πάνω στην ασπίδα του Σερ Gawain, ενός από τους Ιππότες της στρογγυλής τράπεζας.

ΤΟ ΕΞΑΓΩΝΟ, Η ΕΞΑ∆Α, Ο ΕΞΑΚΤΙΝΟΣ ΑΣΤΕΡΑΣ Η συναρίθµησις του κόσµου ονόµατος εξακόσια εστίν (Ιάµβλιχος, «Περί Εξάδος») Πάσα ψυχή αθάνατος, το γαρ αυτοκίνητον αθάνατον (Πλάτωνας) Με την αναλογική πρόσθεση µιας ακόµη διάστασης στη συνεχιζόµενη καθοδική κίνηση της πρωταρχικής δύναµης φτάνουµε στο υπερστερεό των πέντε διαστάσεων, τριών χωρικών και δύο χρονικών, που διαφεύγει ακόµα περισσότερο από τη σύλληψή µας, µα που παριστάνεται σχηµατικά απλούστατα από το κανονικό εξάγωνο ή τον εξάκτινο αστέρα. Βρισκόµαστε τώρα στο κέντρο της Μεσαίας Στήλης, στο κέντρο των έξη Σεφιρώθ που αποτελούν το Μικροπρόσωπο, τον Αδάµ Κάδµον ή Αρχέτυπο Άνθρωπο και στο κέντρο ισορροπίας ολόκληρου του ∆ένδρου της Ζωής, στην έκτη Σεφίρα, τη σφαίρα του Τίφαρετ ή Οµορφιάς. Το ίδιο το όνοµα και η θέση αυτής της σφαίρας αντικατοπτρίζει αφενός τη ρήση του Ελιφάς Λεβί ότι η Καβάλα είναι βασικά η επιστήµη της ισορροπίας και αφετέρου το ότι η Οµορφιά δεν είναι τίποτε άλλο από την αρµονία και την ισορροπία των αντιθέτων. Το µυστικιστικό Τίφαρετ ισορροπεί στη Μεσαία Στήλη ανάµεσα στο µεταφυσικό Κέτερ και στο ψυχικό Γεσούντ, θεωρούµενο σαν το πρώτο σε ένα κατώτερο τόξο και το δεύτερο σε ένα ανώτερο τόξο. Από την άποψη του Κέτερ είναι ένα παιδί, «ο Υιός που µας δείχνει το Πατέρα» και από την άποψη του Μαλκούτ, της «Νύφης του Μικροπρόσωπου», είναι ένας Βασιλιάς. Βρίσκεται ακριβώς στο σηµείο µετατροπής ανάµεσα στα πεδία της δύναµης και τα πεδία της µορφής. Από την άποψη έτσι της µετουσίωσης της δύναµης είναι ένας θυσιασµένος θεός και αποτελεί γι’ αυτό το λόγο το Χριστικό Κέντρο. Είναι ο τόπος ενσάρκωσης ή καθόδου του θεού, γι’ αυτό και συνδέεται µε το θυσιαστικό θάνατο. Στο κέντρο αυτό ο Λυτρωτής θεός µεσολαβώντας ανάµεσα στο µικρόκοσµο και το µακρόκοσµο αγωνίζεται να γεφυρώσει το χάσµα της Αβύσσου που δηµιουργήθηκε µε τη συµβολική Πτώση και να επανενώσει έτσι τα κατώτερα Σεφιρώθ, που βρίσκονται κάτω από την Άβυσσο, µε τα Ανώτερα Σεφιρώθ πάνω από αυτήν. Το Τίφαρετ είναι και το κέντρο της (µυστικιστικής) φώτισης της ανθρώπινης συνείδησης καθώς αυτή ανέρχεται πάνω από το ψυχισµό του Γεσούντ ακολουθώντας την λεγόµενη Ατραπό του Τόξου (Μεσαία Στήλη ή Στήλη της Συνείδησης). Θεωρείται επίσης καβαλιστικά σαν η Σφαίρα

του Ηλίου. Όλοι λοιπόν οι ηλιακοί θεοί και οι θεοί που παρέχουν «φώτιση» των διάφορων πανθέων βρίσκουν τη θέση τους σε αυτό (Απόλλωνας, ∆ιόνυσος, Όσιρις, Κρίσνα, Βούδας, Μίθρας, Χριστός κ.λ.π.) Τα τέσσερα Σεφιρώθ κάτω από αυτό (Νετζά, Χοντ, Γεσούντ και Μαλκούτ) αντιπροσωπεύουν τη προσωπικότητα ή κατώτερο εαυτό και τα τέσσερα πάνω από αυτό (Γκεβούρα, Χέσεντ, Μπίνα και Χόχµα) την Ατοµικότητα ή Ανώτερο Εαυτό, ενώ τελευταίο και ανώτερο όλων το Κέτερ αντιπροσωπεύει το Θείο Σπινθήρα, το Πνεύµα. Ο Jeff Love παρατηρεί ότι αν παραστήσουµε το Κέτερ (το ∆ηµιουργό σαν Εχεγιέ) µε ένα κύβο του οποίου φαίνονται µόνο οι τρεις έδρες, αυτός αναπτύσσοντας διαδοχικά σε κάθε επόµενο Σεφίρα µία-µία κάθε έδρα του, καταλήγει στο Τίφαρετ στο πλήρες ανάπτυγµά του τού σταυρού. Στη συνέχεια επαναπτυσσόµενος διαδοχικά καταλήγει στο δέκατο Σεφίρα, το Μαλκούτ, πάλι σε ένα κύβο, αλλά αυτή τη φορά η εξωτερική του επιφάνεια έχει αντιστραφεί κι έχει γίνει εσωτερική. Ο κύβος τώρα αντιπροσωπεύει τη συνείδηση του υλικού κόσµου, που περιέχει µέσα του κρυµµένη τη συνείδηση της θειότητας.

Σχήµα 24

Έξη κύκλοι περιβάλλουν τέλεια έναν άλλο, όπως µπορεί να φανεί εύκολα µε επτά όµοια νοµίσµατα. Η κατασκευή ενός κανονικού εξαγώνου είναι έτσι πολύ εύκολη, αφού οι πλευρές του είναι ίσες µε την ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου. Αν λοιπόν ξεκινήσουµε από οποιοδήποτε σηµείο της περιφέρειας και µε άνοιγµα διαβήτη ίσο µε την ακτίνα του κύκλου αποκόψουµε από αυτόν έξη ίσα τµήµατα, θα καταλήξουµε στο σηµείο αφετηρίας µας. Ενώνοντας µετά τα έξη σηµεία της διαίρεσης θα σχηµατίσουµε ένα κανονικό εξάγωνο. Στις έξη κορυφές του µπορούµε να αντιστοιχίσουµε τους έξη πλανήτες και τον έβδοµο, τον ήλιο, στο κέντρο του, ενώ χρησιµοποιώντας και τα ενδιάµεσα σηµεία ανάµεσα στις κορυφές µπορούµε να αντιστοιχίσουµε και τα 12 ζώδια, όπως δείχνεται στο παρακάτω σχήµα.

Σχήµα 25

Σε όλες τις αντιστοιχίες που χρησιµοποιούµε, ας έχουµε υπ’ όψη µας τα παρακάτω παραδοσιακά σύµβολα των πλανητών και των ζωδίων:

Οι Επτά Πλανήτες Ερµής b, Αφροδίτη C, Κρόνος G, Ήλιος A, Άρης E, ∆ίας F , Σελήνη . Τα ∆ώδεκα Ζώδια Κριός a Ταύρος b ∆ίδυµοι c Καρκίνος d Λιοντάρι e Παρθένος f Ζυγός g Σκορπιός h Τοξότης i Αιγόκερως j Υδροχόος k Ιχθείς l Πύρινα

Γήινα

Αέρινα

Υδάτινα

Το κανονικό Εξάγωνο αντιπροσωπεύει φυσιολογικά τη δύναµη της εξάδας που λειτουργεί στη φύση µε τη διασπορά των ακτίνων των πλανητών και του Ζωδιακού κύκλου που εκπέµπονται από το Κεντρικό Ήλιο. Εντούτοις αυτό δε θεωρείται τόσο σύµφωνο µε την ηλιακή φύση, όσο το εξάγραµµα ή αλλιώς το εξάκτινο άστρο που παίρνουµε άµα συνδέσουµε κάθε σηµείο διαίρεσης του κύκλου µε το µεθεπόµενο από αυτό σηµείο. Το εξάγωνο συµβολίζει τη διασπορά, τη κατανοµή και ακτινοβολία µιας δύναµης ενώ το εξάγραµµα τη συγκέντρωση. Έτσι χρησιµοποιούµε το εξάγωνο για τη διασπορά ή εξάπλωση και το εξάγραµµα για τη συγκέντρωση και σφράγιση. Το ίδιο κάνουµε και για τα υπόλοιπα κανονικά πολύγωνα. Το παρακάτω σχήµα παριστάνει το εξάκτινο άστρο µε τις ανάλογες αντιστοιχίες του

Σχήµα 26

Το εξάγραµµα ονοµάζεται «Σηµείο του Μακρόκοσµου» επειδή οι έξη κορυφές του αντιπροσωπεύουν τις έξη ηµέρες ή περιόδους της δηµιουργίας που αναπτύχθηκαν από την εκδήλωση της τριάδας. Η σύνθεσή του σχηµατίζει την έβδοµη µέρα ή περίοδο ανάπαυσης στο κέντρο του. Αντιπροσωπεύει ιδιαίτερα την συγκεντρωµένη δύναµη των πλανητών που δρουν µέσα από τα Σηµεία του Ζωδιακού και σφραγίζουν έτσι την αστρική εικόνα της φύσης κάτω από τη προεδρία των Σεφιρώθ και επίσης των επτά πλανητών. Αποδίδεται ιδιαίτερα στον Ήλιο. Ονοµάζεται επίσης Ασπίδα ή Άστρο του ∆αβίδ και Σφραγίδα του Σολοµώντα και χρησιµοποιείται

και αυτό σαν ένα ισχυρό, θετικό σύµβολο στη µαγεία, αν και όχι τόσο ισχυρό όσο ο Πεντάκτινος Αστέρας. Στη Χριστιανική Εκκλησία χρησιµοποιείται για να εκφράσει την ένωση της θείας και της ανθρώπινης φύσης στο πρόσωπο του Ιησού Χριστού. Χρησιµοποιήθηκε επίσης για να δείξει την ένωση του στοιχείου της Φωτιάς (όρθιο τρίγωνο) µε το Στοιχείο του Νερού (ανεστραµµένο τρίγωνο). Υπάρχει και µια άλλη µορφή ψευδοεξαγράµµατος ή ανώµαλου εξαγώνου που έχει σχεδιάσει ο Aleister Crowley και χρησιµοποιείται µερικές φορές για να δείξει την προεδρία του Ήλιου και της Σελήνης πάνω στα 4 ενωµένα στοιχεία που απορρέουν από το Πνεύµα:

Σχήµα 27

Τέλος υπάρχει µια σχηµατική παράσταση των δέκα Σεφιρώθ σε ένα ανισοσκελή σταυρό (Σταυρός του Γολγοθά ή Σταυρός της Σταύρωσης) µε έξη τετράγωνα στο κάθετο βραχίονα και πέντε στον οριζόντιο. Το κοινό τετράγωνο καταλαµβάνεται από το Τίφαρετ:

Σχήµα 28 Τα ∆έκα Σεφιρώθ στο Σταυρό του Γολγοθά

Η εξάδα µπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει τη φάση της δηµιουργίας κατά την οποία εµφανίζονται τα έµψυχα όντα. Όπως παρατηρεί ο Ιάµβλιχος "Κανένας άλλος αριθµός δεν αντιστοιχεί τόσο πολύ στην ψυχή όπως η Εξάδα και γι αυτό θα µπορούσαµε να την ονοµάσουµε διάρθρωση του παντός». Είναι και αυτή ένας τριγωνικός αριθµός (6=1+2+3), όπως και η Τριάδα

(3=1+2), ενώ ο Πρόκλος παρατηρεί γι’ αυτή:

Ενώ στον Απόλλωνα ήταν αφιερωµένη η έβδοµη µέρα, στην Άρτεµη ήταν αφιερωµένη η έκτη. Ώστε αυτός ο αριθµός ανάγεται στην ψυχή των υψηλότερων αιτίων, όπως και η Τριάδα, η οποία πηγάζει από τα νοητά, ενώ αυτός από τα νοερά. Ταιριάζει επίσης στους δύο αυτούς θεούς που η περαιτέρω διαίρεση του κόσµου σε 7 µέρη είναι το σύµβολο της ∆ιονυσιακής σειράς και του παραδοσιακού διαµελισµού του ∆ιόνυσου, ενώ η έµφυτη αρµονία των µερών είναι το σύµβολο της Απολλώνιας σειράς. ∆ιότι στα έργα του Ορφέα ο Απόλλωνας είναι αυτός, που σύµφωνα µε τη θέληση του Πατέρα, µαζεύει τα διασκορπισµένα µέλη του ∆ιονύσου. Όπως παρατηρεί ο Π. Γράβιγγερ, σε αυτό το χωρίο γίνεται λόγος για τη νοητή δηµιουργία (Τριάδα, Απόλλωνας-Άρτεµη) και για τη νοερή δηµιουργία (Εξάδα). Αυτή ολοκληρώνεται µε την Επτάδα που ακολουθεί (∆ιόνυσος), η οποία αποδίδεται στη µεσολάβηση της Αθηνάς. Ο Πρόκλος παρατηρεί στο «Τίµαιο» ότι το «φιλόσοφο», όπως το ονοµάζει, γράµµα Υ, µε αριθµητική αξία 400, βρίσκεται στη λέξη ΨΥΧΗ µεταξύ «δύο σφαιρών», του Ψ (700) και του Χ (600), µε «θερµότερο» το Χ και «ζωτικότερο» το Ψ. ∆ηλαδή ότι η ψυχή βρίσκεται στη µέση µεταξύ δυο νοών, δείχνοντας έτσι την οικειότητα και στενή της σχέση µε καθένα από αυτούς. Αξίζει να θυµηθούµε εδώ επίσης τη συµβολική και µυητική σηµασία του γράµµατος Υ στους Πυθαγορείους για τους οποίους αντιπροσώπευε το σταυροδρόµι που φτάνει κάποτε στο δρόµο του ο µαθητής, οπότε ανοίγονται µπροστά του δυο δρόµοι που οδηγούν σε δυο διαφορετικές κατευθύνσεις, οι οποίοι παριστάνονται από τα δυο σκέλη του Υ. ∆εξιά πηγαίνει ο δύσκολος και ανηφορικός Απολλώνιος δρόµος της αρετής και της Μνηµοσύνης, στο τέλος του οποίου θα απολαύσει την ευδαιµονία. Αριστερά βρίσκεται ο εύκολος, κατηφορικός, τιτανικός δρόµος της κακίας και της Λήθης, των χαµερπών απολαύσεων και της αβύσσου, ο δρόµος της απώλειας. Ο µαθητής θα πρέπει να διαλέξει εκείνη τη στιγµή ποιο δρόµο θα ακολουθήσει και αυτή η απόφασή του θα επηρεάσει θεµελιακά όλη την υπόλοιπη ζωή του. «Εντούτοις», παρατηρεί ο Πρόκλος, «ο Πλάτωνας απέδωσε στη Ψυχή σα σύµβολο το Χ, παρόλο που και το Ψ είναι σφαίρα, για να δείξει την ισορροπία της κίνησης της ψυχής, επειδή όλες οι ευθείες στο Χ είναι ίσες και να καταστήσει έτσι αντιληπτό το αυτοκίνητο της ψυχής...Εάν αφετέρου ο ∆ηµιουργός παράγει τη ψυχή µε µόνη την ύπαρξή του, είναι φανερό ότι και αυτός βρίσκεται σε αναλογία µε το Χ. ∆ιότι το Χ είναι ο πρώτιστος νους». Υποστηρίζεται λοιπόν ότι η ψυχή γεννάται αφ’ εαυτής σαν ένα είδος ουσίας µεταξύ των δυο νόων. Σε σχέση δε µε το τελευταίο γράµµα Η (8) της λέξης ΨΥΧΗ, λέγεται ότι πρέπει θεωρήσουµε τη πρόοδο της ψυχής µέχρι του κύβου (23 =8). Η Εξάδα είναι ο πρώτος τέλειος αριθµός, αφού ισούται µε το άθροισµα των διαιρετών της (6=1+2+3) και περιέχεται µέσα στο τετράγωνό της όπως και η Πεντάδα (62=36). Παράγεται µε τον πολλαπλασιασµό του πρώτου άρτιου (2) µε τον πρώτο περιττό (3) αριθµό, δηλαδή του αρσενικού µε το θηλυκό και γι’ αυτό και ονοµάσθηκε αρρενοθήλυς, ή ακόµα Γάµος. Η παραγωγή της όµως τονίζεται ότι δε γίνεται µε πρόσθεση, όπως στη πεντάδα, αλλά µε πολλαπλασιασµό. Ονοµαζόταν επίσης Εκατηβελέτις (µακρά βάλλουσα, διότι αποτελεί εικόνα της Τριάδας κι εποµένως της Εκάτης, που την αντιπροσωπεύει). Επίσης Τριοδίτις (που συχνάζει στα τρίστρατα, λόγω της αντίστοιχης φύσης της Εκάτης), Αµφιτρίτη (επειδή περιέχει από κάθε µεριά της µια τριάδα), Θάλεια (λόγω της αρµονίας των διάφορων πραγµάτων) και Πανάκεια.

Σύµφωνα µε τον Ιάµβλιχο η Εξάδα είναι «ψυχοποιός και δηµιουργός της έξης (συνήθειας) της ζωής και γι’ αυτό ονοµάζεται εξάδα. Την ονοµάζουν επίσης Φιλίωση (συµφιλίωση), γιατί ενώνει το αρσενικό µε το θηλυκό, όχι όµως µε τον τρόπο της πεντάδας, που τα τοποθετεί κοντά το ένα µε το άλλο. Αποκαλείται επίσης Ειρήνη και εύλογα Κόσµος. Άλλωστε και ο λεξάριθµος της λέξης ΚΟΣΜΟΣ είναι ο 600, δηλαδή (αριθµοσοφικά) ο 6". Μια σηµαντική παρατήρηση είναι ότι ο Μέγας Ενιαυτός (το µεγάλο κοσµικό έτος) του Πλάτωνα, που αντιστοιχεί στη µετάπτωση των ισηµεριών, η οποία ολοκληρώνεται κάθε 25.920 χρόνια κατά µήκος του ζωδιακού κύκλου, ισούται ακριβώς µε 6*6*6! δηλαδή µε 6.6.1.2.3.4.5.6 χρόνια. ∆ικαιολογείται έτσι αστρονοµικά η διαίρεση του έτους σε 12 µήνες, της ηµέρας σε 24 ώρες και του ουρανού σε 12 ζωδιακά σηµεία, γιατί όλα αυτά είναι πολλαπλάσια του 6. Ας σηµειωθεί ακόµα ότι σύµφωνα µε τους Πυθαγόρειους όλα τα πράγµατα αναγεννιούνται µετά από µια περίοδο 216 = 63 ετών και αυτή εθεωρείτο ότι ήταν η περίοδος της Μετεµψύχωσης, ή επαναγέννησης του ανθρώπου µετά το θάνατό του. Με βάση διάφορα αρχαία αποσπάσµατα του Ιαµβλίχου και άλλων ο R. Allendy έχει χωρίσει τους δέκα πρώτους αριθµούς σε δυο µέρη από 1-5 και από 6-10. Το πρώτο, το κατιόν τόξο αντιπροσωπεύει τη προοδευτική διαφόριση σε πολλαπλότητα ή κάθοδο του Απόλυτου µέχρι το κόσµο της ύλης και της µορφής: Η άγνωστη αρχική Αιτία (το Μηδέν ή η Μονάδα) µετά την αρχική πολική της διαφόριση (∆υάδα) οργανώθηκε (Τριάδα) και ανέπτυξε µορφή (Τετράδα) και Ζωή (Πεντάδα). Στο δεύτερο τώρα ανιόν τόξο, που ξεκινά µε την εξάδα, αρχίζει ο δρόµος της επιστροφής των δηµιουργηθέντων ατοµικοτήτων προς τη Μονάδα, αφού η δεκάδα δεν είναι παρά µια άλλη µορφή της Μονάδας (θεοσοφικά άλλωστε 1+0=1). Σε σχέση τώρα µε µερικές γνωστές εξαδικές αντιστοιχίες, σηµειώνουµε ότι ο άνθρωπος δηµιουργήθηκε σύµφωνα µε τη Βίβλο την έκτη ηµέρα και ο Ιησούς πέθανε την 6η ηµέρα της εβδοµάδας πάνω στο σταυρό των Τεσσάρων Στοιχείων. Αν σηµειώσουµε το µεσηµέρι µιας ορισµένης µέρας που εµφανίζεται η νέα σελήνη σε ένα συγκεκριµένο σηµείο του ουρανού, αυτό θα ξανασυµβεί µετά από 600 χρόνια, την ίδια στιγµή και στην ίδια θέση και οι πλανήτες θα έχουν την ίδια θέση, όπως και στην πρώτη περίπτωση (αστρονοµική περίοδος του Νάρου). Ο κύκλος έχει οριστεί σε 360 µοίρες, δηλαδή σε έξη 60δες. Η ώρα διαιρείται σε 60 λεπτά και το κάθε λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα. Η µεγάλη Βαβυλωνιακή περίοδος ήταν 3600 ετών, το εξαπλάσιο δηλαδή του Νάρου. Επίσης ο κατακλυσµός συνέβη όταν ο Νώε ήταν 600 χρονών, ενώ οι Ιουδαίοι πίστευαν ότι ο παρόντας κόσµος θα τελείωνε µετά από 6000 χρόνια. Τέλος έξη είναι οι έδρες του κύβου, οι ακµές του τετραέδρου και τα διαστήµατα µεταξύ των επτά πλανητικών σφαιρών. Στις Μοίρες η Εξάδα αντιπροσωπεύει τη Λάχεση. Σηµειώνουµε επίσης ότι εξαδικά πρότυπα παρατηρούνται σε πολλές αρχιτεκτονικές δοµές της φύσης από τις κυψέλες των µελισσών και τις νιφάδες του χιονιού µέχρι το σώµα των εντόµων:

Σχήµα 29 Όπως αναφέρει ο Ουσπένσκυ στο βιβλίο του Αναζητώντας το Κόσµο του θαυµαστού, ο Γκουρνίεφ παρουσίασε σε µια διδασκαλία του στους µαθητές τα απλά γεωµετρικά σύµβολα =
 και , που αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα τη ∆υάδα, τη Τριάδα, τη Τετράδα, τη Πεντάδα και την Εξάδα. Με βάση το πρώτο σχήµα εξήγησε ότι ο άνθρωπος είναι στη φυσική του κατάσταση µια δυαδικότητα, αποτελούµενος αποκλειστικά από ζεύγη αντιθέτων. Χωρίζει τις αισθήσεις, τις εντυπώσεις, τα συναισθήµατά του και τις σκέψεις του σε θετικές και αρνητικές, χρήσιµες και βλαβερές, αναγκαίες και περιττές, καλές και κακές, ευχάριστες και δυσάρεστες. Είναι ολόκληρος µια δυαδικότητα. Κάτω από τη κυριαρχία αυτής της δυαδικότητας ο άνθρωπος έχει µια πλήρη µηχανική συµπεριφορά, τα πάντα γύρω του απλά του «συµβαίνουν», αν και νοµίζει ότι τα προκαλεί ο ίδιος µε τις δράσεις του και τις δήθεν επιλογές του. Η κατανόηση της δυαδικότητας µέσα του αρχίζει µε την αναγνώριση της µηχανικότητάς του, της βασικής διαφοράς της από τη συνειδητότητα. Όταν ο άνθρωπος ξυπνήσει από την αυταπάτη του για τις υποτιθέµενες βουλητικές δράσεις του και αρχίσει να βλέπει τη διαφορά ανάµεσα στο µηχανικό και στο συνειδητό µέσα του, αρχίζει µια πάλη για την ανάπτυξη της συνειδητότητάς του και την υποταγής της µηχανικότητάς του. Με αυτό το τρόπο δηµιουργεί µέσα του µια µόνιµη τρίτη αρχή που είναι η µεταµόρφωση της δυαδικότητας σε τριαδικότητα. Ενισχύοντας την απόφασή του και επεµβαίνοντας συνεχώς στη προηγούµενη συµπτωµατικότητα και µηχανικότητά του προκαλεί µε το καιρό µόνιµα αποτελέσµατα µέσα του και µεταµορφώνει έτσι τη τριαδικότητα σε τετραδικότητα. Στο επόµενο στάδιο µεταµορφώνει τη τετραδικότητα σε πενταδικότητα και «συγκροτεί µέσα του τη πεντάλφα». Ο άνθρωπος έχει πέντε κέντρα: το νοητικό, το συναισθηµατικό, το κινητικό, το ενστικτώδες και το σεξουαλικό. Η υπερβολική ανάπτυξη του ενός κέντρου (συνήθως του σεξουαλικού) σε σχέση µε τα άλλα παράγει «ένα πολύ µονοµερή ανθρώπινο τύπο, ανίκανο για περαιτέρω ανάπτυξη». Όταν όµως ο άνθρωπος συντονίσει αρµονικά τα πέντε κέντρα του, τότε «κλειδώνει την πεντάλφα µέσα του» και γίνεται ο τελειωµένος τύπος του φυσικά τέλειου ανθρώπου. Η πλήρης και σωστή τότε λειτουργία των πέντε κέντρων του τα ενώνει µε τα δυο ανώτερα κέντρα του (ανώτερο συναισθηµατικό και ανώτερο νοητικό), τα οποία «προσθέτουν την αρχή που του λείπει και τον φέρνουν σε άµεση και µόνιµη σύνδεση µε την αντικειµενική συνειδητότητα και µε τη συνειδητή γνώση». «Τότε ο άνθρωπος γίνεται ένα εξάκτινο αστέρι, δηλαδή µε το να περιχαρακωθεί σε ένα κύκλο ζωής ανεξάρτητο και πλήρη, αποµονώνεται από τις ξένες επιδράσεις ή από τα στοιχεία «σοκ». Ενσωµατώνει τη Σφραγίδα του Σολοµώντα».

Ας σηµειώσουµε στα προηγούµενο ότι άµα θεωρήσουµε ότι µε τα δυο επιπλέον κέντρα που αποκτά τότε ο άνθρωπος προσλαµβάνει δυο πρόσθετες αρχές, τότε θα µπορούσαµε να πούµε ότι γίνεται τελικά ένα επτάκτινο αστέρι µε πλήρη και αρµονική λειτουργία όλων των κέντρων του.

ΤΟ ΕΠΤΑΓΡΑΜΜΑ, Η ΕΠΤΑ∆Α, ΤΟ ΕΠΤΑΚΤΙΝΟ ΑΣΤΡΟ

Σχήµα 30 Αν συνεχίζαµε την αναλογική µας µέθοδο της πρόσθεσης µε κάθε επόµενο αριθµό και µιας νέας διάστασης, θα φτάναµε µε την Επτάδα στην έκτη διάσταση µε τρεις χωρικές και τρεις χρονικές διαστάσεις. Μήπως όµως επανερχόµαστε στη πραγµατικότητα συµµετρικά (σύµφωνα µε την άποψη του R. Allendy) µε κέντρο ή επίπεδο συµµετρίας του όλου ∆ένδρου της Ζωής το Τίφαρετ, στις τέσσερες διαστάσεις του Γκεβούρα, πριν ακριβώς την εκδήλωση του Τίφαρετ, και δεν υπάρχουν εποµένως άλλες µεγαλύτερες διαστάσεις; Το κανονικό Επτάγωνο αντιπροσωπεύει φυσιολογικά τη διασπορά των δυνάµεων των επτά πλανητών διά µέσου της εβδοµάδας και διά µέσου του έτους. Υπαινίσσεται ακόµα τη δύναµη της Επτάδας που δρα σε όλα τα πράγµατα σύµφωνα µε το νόµο της οκτάβας, όπως π.χ στα επτά χρώµατα της ίριδας και στούς επτά τόνους της µουσικής κλίµακας. Αντιστοιχεί στην εβδόµη Σεφίρα του ∆ένδρου της Ζωής, το Νετζά, στο κάτω µέρος της Στήλης του Ελέους, το κοσµικό κέντρο της οποίας είναι η Αφροδίτη. Παρόλα αυτά το Επτάγωνο δεν είναι τόσο σύµφωνο µε τη φύση της Αφροδίτης, όσο ο Επτάκτινος Αστέρας που σχεδιάζεται ενώνοντας κάθε τέταρτο σηµείο διαίρεσης του κύκλου.

Σχήµα 31

Η αντιστοιχία των ηµερών της εβδοµάδας µε τους επτά πλανήτες είναι η εξής: ∆ευτέρα (Σελήνη), Τρίτη (Άρης), Τετάρτη (Ερµής), Πέµπτη (∆ίας), Παρασκευή (Αφροδίτη), Σάββατο (Κρόνος) και Κυριακή (Ήλιος).

Ας σηµειωθεί ότι η ακριβής διαίρεση του κύκλου σε επτά ίσα µέρη ( 51o 3 7 ή δεκαδικά 51, 4285714...°) είναι αδύνατη µε το κανόνα και το διαβήτη και αυτό µπορεί να προκαλέσει ένα πλήθος σκέψεων και συνειρµών σε σχέση µε την ιδιαίτερη θέση και ερµηνεία της σφαίρας της Αφροδίτης πάνω στο ∆ένδρο της Ζωής. ∆ίνουµε πάντως παρακάτω µια αρκετά καλή προσεγγιστική κατασκευή του κανονικού επταγώνου.

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΠΤΑΓΩΝΟΥ (ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ∆ΙΑΒΗΤΗ)

Σχήµα 32

Ξεκινάµε µε από ένα κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ∆Ε εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R), για λόγους ευκολίας µε µια κορυφή του προς τα πάνω. Έστω r η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου του πενταγώνου. Αποδεικνύεται ότι οι ακτίνες του περιγεγραµµένου και του εγγεγραµµένου κύκλου του πενταγώνου έχουν λόγο R/r =2/Φ, όπου Φ ο αριθµός της χρυσής τοµής. Έστω ότι α = R-r. και R1 = r-a =2r-R. Κατασκευάζουµε το κύκλο (Ο, R1) και εγγράφουµε σε αυτό το ισόπλευρο τρίγωνο ΖΗΘ, αντίστοιχα µε µια κορυφή του προς τα πάνω. Μετά κατασκευάζουµε το κύκλο (Ο, R2) µε R2= R+2α. Προεκτείνουµε τη βάση ΘΗ του ισοπλεύρου τριγώνου και προς τις δυο µεριές µέχρι να τµήσει το κύκλο (Ο, R2) στα Ξ και Λ αντιστοίχως. Τα δυο αυτά σηµεία Ξ και Λ είναι δυο από τις επτά κορυφές του ζητούµενου κανονικού επταγώνου. Μια ακόµα κορυφή του είναι το σηµείο τοµής της ΟΖΑ µε το κύκλο (Ο, R2). ∆ιχοτοµώντας τις γωνίες ΙΟΛ και ΙΟΞ , µέχρι οι διχοτόµοι να τµήσουν το κύκλο (Ο, R2), βρίσκουµε δυο ακόµα κορυφές Κ και Π του επταγώνου. Έχοντας συµπληρώσει µε αυτό το τρόπο τις τέσσερες από τις επτά πλευρές του µε άνοιγµα διαβήτη ίσο µε µια από αυτές τις πλευρές βρίσκουµε διαδοχικά και τις άλλες κορυφές του επταγώνου, κατασκευάζοντάς το έτσι πλήρως. Σηµειώνουµε ότι µε τη προσεγγιστική αυτή κατασκευή η κεντρική γωνία του κανονικού επταγώνου είναι 51,4604832°, ενώ η πραγµατική της τιµή είναι 51,4285714°, δηλαδή υπάρχει µια διαφορά µόνο ≈ 0,0319117° ή ποσοστιαία µεγαλύτερη κατά 0,06205%. Το Νετζά αντιπροσωπεύει µαζί µε το πολικό του αντίθετο Χοντ (στο κάτω µέρος της αριστερής Στήλης της Αυστηρότητας) αντίστοιχα τη δύναµη και τη µορφή σε ένα κατώτερο τόξο. Βασικά

εκπροσωπεί τα ένστικτα και τα συναισθήµατα που διεγείρονται από αυτά, ενώ το Χοντ το συγκεκριµένο νου. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι στο Νετζά έχει τη βάση του ο οµαδικός νους, ενώ ο ανθρώπινος νους έχει τις ρίζες του στο Χοντ. Πριν από το Τίφαρετ η κατανόησή µας των διαφορετικών ειδών ύπαρξης ήταν διαισθητική και άµορφη, λειτουργούσα µέσα από αφηρηµένα σύµβολα. Μετά από το Τίφαρετ ερχόµαστε σε συγκεκριµένα σύµβολα όπως το ρόδο της Αφροδίτης για το Νετζά και το κηρύκειο του Ερµή για το Χοντ. Λέγεται ότι το Τίφαρετ διέσπασε πρισµατικά το Λευκό Φως της Μιας Ζωής για να το µετατρέψει στο Νετζά σε Ακτινοβόλα ∆όξα µε πολλές πια αποχρώσεις. Έτσι στης έβδοµη Σεφίρα δεν έχουµε να κάνουµε πια µε µια δύναµη ή µε µια ζωή, αλλά µε πολλές δυνάµεις ή ζωές. Έχουµε ήδη πει ότι τα τρία Ανώτερα Σεφιρώθ, µαζί µε το Χέσεντ και το Γκεβούρα, αποτελούν τον Ανώτερο Εαυτό, µε πεδίο προσέγγισης µε το Κατώτερο Εαυτό, που αποτελείται από τα τέσσερα κατώτερα Σεφιρώθ (Νετζά, Χοντ, Γεσούντ και Μαλκούτ), τη «∆ιαµεσολαβητική» σφαίρα του Τίφαρετ. Το Τίφαρετ είναι λοιπόν από την άποψη της προσωπικότητας η ανώτερη συνείδηση που βρίσκεται σε επαφή µε τις πνευµατικές καταστάσεις, ενώ το Νετζά παριστάνει την ενστικτώδη, συγκινησιακή πλευρά της φύσης µας και το Χοντ τη διάνοια. Το Γεσούντ µε τη σειρά του παριστάνει το πέµπτο στοιχείο του Αιθέρα και το Μαλκούτ τα τέσσερα υπόλοιπα στοιχεία που αποτελούν τη λεπτή µορφή της ύλης. Στο Νετζά και στο Χοντ βρίσκονται οι ρίζες της µαγείας, της ενστικτώδους φυσικής µαγείας στο Νετζά και της Ερµητικής, διανοητικής µαγείας στο Χοντ. Το Χοντ, ο συγκεκριµένος νους, όµως από µόνος του είναι στείρος, αν δεν γονιµοποιηθεί από τις ενστικτώδεις, στοιχειακές δυνάµεις του Νετζά. Μόνον τότε µπορεί να έχει πρακτικό αποτέλεσµα ένα µαγικό έργο. Το επτάγωνο που σχεδιάζεται ενώνοντας κάθε τρίτο σηµείο δίνει ανάλογες αντιστοιχίες µε το προηγούµενο κι εδώ οι ηµέρες ακολουθούν κυκλικά τη φυσική τους σειρά. Και αυτό όµως δεν είναι τόσο σύµφωνο µε τη φύση της Αφροδίτης όσο η επόµενη µορφή που σχεδιάζεται ενώνοντας κάθε τέταρτο σηµείο:

Σχήµα 33

Η αντιστοιχία των νοτών της οκτάβας ντο, ρε, µι, φα, σολ, λα, σι, ντο µε τα χρώµατα της ίριδας είναι: µαύρο, κόκκινο, κίτρινο, πράσινο, µπλε, λουλακί, βιολετί, άσπρο και µε τα τσάκρας: το µουλαντάρα (στη βάση της σπονδυλικής στήλης, το κέντρο της σπλήνας, του ηλιακού πλέγµατος, της καρδιάς, του λαιµού, το τρίτο µάτι, της κεφαλής και η Ακάσα. Το επτάγραµµα αυτό ή Επτάκτινο Άστρο είναι επίσης γνωστό σαν Άστρο της Αφροδίτης γιατί ταιριάζει ιδιαίτερα στη φύση της. Σύµφωνα µε τον Ίσραελ Ρεγκαρντιέ, «όπως το επτάγραµµα

είναι το γραµµικό σχήµα των επτά πλανητών, έτσι και η Αφροδίτη είναι η πύλη ή είσοδός τους, το κατάλληλο σύµβολο για την Ίσιδα της φύσης και των 7 κατώτερων Σεφιρώθ». Τα δέκα Σεφιρώθ µπορούν να ταιριάξουν τέλεια στη παρακάτω γεωµετρική µορφή του σταυρού κάτω από το κύκλο, δηλαδή στο σύµβολο τη Αφροδίτης. Αυτό είναι το µοναδικό πλανητικό σύµβολο που αγκαλιάζει και τα δέκα Σεφιρώθ του ∆ένδρου της Ζωής.

Σχήµα 34

Σχήµα 35

Χρησιµοποιείται επίσης παραπάνω ο ισοσκελής Ελληνικός Σταυρός µε επτά κάθετα και οριζόντια τετράγωνα για να αντιπροσωπεύσει τα δώδεκα ζώδια. Το κεντρικό τετράγωνο καταλαµβάνεται από τον ήλιο. Σύµφωνα µε τον Ανατόλιο «ο αριθµός 7 αποκαλείται από όλους τους συγγραφείς Αµήτωρ (δηλαδή χωρίς µητέρα, διότι δεν προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό άλλου αριθµού) και Παρθένος (διότι προέρχεται µόνον από τη Μονάδα-∆ία). Αν και παράγεται από τη Μονάδα, κάνει τον 28 τέλειο αριθµό (1+2+4+7+14=28) και 4.7=28. Επίσης 1+2+3+4+5+6+7=28 και θεοσοφικά 8+2=10 και 1+0=1. Οι µέρες επίσης της σελήνης είναι 28, αφού προέκυψαν σαν άθροισµα του 7 (7+7+7+7), δηλαδή διαιρεµένες σε εβδοµάδες. Λέγεται επίσης ότι ο 7 είναι ο αριθµός της πρώτης συµφωνίας στη µουσική, της διατέσσερα (4+3=7). Ονοµάζεται επίσης και Τελεσφόρος (που οδηγεί στη λύση, στο τέλος). Γι αυτό και Τύχη, γιατί είναι όµοιος µε τη θεά Τύχη που κυβερνά όλα τα θνητά όντα και καθορίζει το µέλλον τους. Οι πλανήτες επίσης είναι 7 και ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η ψυχή αποτελείται από 7 αριθµούς (τους 1,2,3,4,8,9,27, οι οποίοι εκτός του τελευταίου δίνουν άθροισµα 27). Επίσης στους «Νόµους» του ο Πλάτωνας καθορίζει τον πληθυσµό της πόλης σε 5040=7!=1.2.3.4.5.6.7 πολίτες. Ο αριθµός των πολιτών που απαρτίζουν την ευνοµούµενη πόλη λέει πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να µπορεί να διαιρεθεί µε πολλούς αριθµούς για να διευκολύνει τους άρχοντες κατά τις διανοµές. Ο προηγούµενος αριθµός έχει 59 διαιρέτες και διαιρείται από όλους τους αριθµούς από το 1 µέχρι το 10. Επισηµαίνουµε ακόµα ότι στο πρότυπο ορθογώνιο τρίγωνο, µε κάθετες πλευρές 3 και 4, αυτές έχουν άθροισµα 7. Οι αρχαίοι συνέδεσαν την Επτάδα µε τη µυθολογική γέννηση της Αθηνάς από το κεφάλι του ∆ία, ενώ οι Πυθαγόρειοι την ονόµαζαν Σεπτάδα (γιατί είναι σεβαστή, άξια ενός ιδιαίτερου σεβασµού).

∆ηλαδή το επτά υπονοεί τη λέξη σεπτά, όπου το σ του δεύτερου έγινε η δασεία του πρώτου. Ο Ιάµβλιχος παρατηρεί ότι ο ∆ηµιουργός έλαβε σαν όργανο, θεµελιώδη αρχή και σαν ισχύ της δηµιουργίας την Επτάδα. Ο Θέωνας αναφέρει ότι είναι ο µόνος αριθµός µέσα στη δεκάδα που δε γεννά άλλον, ούτε γεννιέται από άλλον, γι’ αυτό και ονοµαζόταν από τους Πυθαγορείους Αθηνά. Ο Ιεροκλής πάλι παρατηρεί ότι ο 7, σαν αµήτωρ και παρθένος, έχει σα δευτερεύουσα σηµασία την αξία της Μονάδας. Σύµφωνα τέλος µε το Πρόκλο, εικόνες της Αθηνάς είναι οι αριθµοί 3 και 7, ο 3 διότι αυτή είναι νοερά και στραµµένη προς τον εαυτό της και τη Μονάδα και ο 7 διότι η Αθηνά προήλθε από τον µοναδικό Πατέρα, ή όπως σηµειώνει ο Ιάµβλιχος από την κεφαλή των αριθµών, δηλαδή τον 1. Ο σεβασµός για την Επτάδα διετηρήθη όλη την Αλεξανδρινή περίοδο και τον Μεσαίωνα. Έτσι οι Γνωστικοί εδέχοντο την ύπαρξη επτά Αιώνων στον ενδιάµεσο κόσµο: τη Σιγή και άλλους 6 διεταγµένους σε τρία ζεύγη: Ουρανό και Γη, Ήλιο και Σελήνη, Αέρα και Νερό. Ο Ποιµάνδρης του Ερµή του Τρισµέγιστου απαριθµεί επίσης επτά σφαίρες: τη Σοφία, την Αγάπη, τη ∆ικαιοσύνη, το Κάλλος, τη Λάµψη, τη Γνώση και την Αθανασία. Οι Ερµητιστές θέλησαν να δουν την Επτάδα, όπως οι Πυθαγόρειοι, σαν τον φορέα της ανθρώπινης ζωής. Αναγνώρισαν µάλιστα στο σταυρό ένα επταδικό σύµβολο κατασκευάζοντας το οριζόντιο τµήµα του από 3 τετράγωνα και το κάθετο από 4 τετράγωνα:

Σχήµα 36

Σχήµα 37

Ας σηµειωθεί ότι ο παραπάνω στερεός Ελληνικός κυβικός σταυρός αποτελείται από 22 τετράγωνα που αντιστοιχούν ακριβώς στα 22 γράµµατα του Εβραϊκού αλφαβήτου και στις 22 Ατραπούς του ∆ένδρου της Ζωής. Σαν άλλες αντιστοιχίες του επτά µπορούµε να αναφέρουµε τα επτά φωνήεντα: α=Σελήνη, ε=Ερµής, η=Αφροδίτη, ι=Ηλιος, ο=Άρης, υ=∆ίας, ω=Κρόνος. Λόγω αυτής της αντιστοιχίας το περίφηµο ΕΙ των ∆ελφών κατά µια εκδοχή αντιπροσωπεύει τον Ήλιο-Απόλλωνα και τον Ερµή σε µια µυστική µεταξύ τους σχέση. Έχουµε επίσης την επτάχορδη Λύρα του Απόλλωνα (ο οποίος, ας σηµειωθεί, γεννήθηκε την έβδοµη ηµέρα του έβδοµου µήνα), τα επτά χρώµατα της Ίριδας, τις επτά Υάδες, τις επτά Πλειάδες (τα 7 αστέρια στο κεφάλι του Ταύρου: Μαία, Ταϋγέτη, Ηλέκτρα, Στερόπη, Κελαινώ, Αλκινόη, Μερόπη) µε µεγάλη µυστικιστική και αστρολογική σηµασία, τα επτά αστέρια της Μεγάλης και της Μικρής Άρκτου, τους επτά σοφούς της αρχαίας Ελλάδας, τα επτά αρχαία θαύµατα του κόσµου, τους επτά Ρίσι των Ινδουιστών, τα επτά Τάγµατα Αγγέλων των Καβαλιστών, την Επτάφωτη Ιουδαϊκή Λυχνία, τα επτά χριστιανικά Μυστήρια, τα επτά ∆ώρα του Αγίου Πνεύµατος, τις επτά Λαµπάδες που καίνε µπροστά από το Θρόνο του Θεού, τα επτά θανάσιµα αµαρτήµατα, τις επτά σφραγίδες της Αποκάλυψης, Τα Επτά Πνεύµατα ενώπιον του Θρόνου του θεού και τους Επτά Πλανητικούς Λόγους και τις Επτά Ακτίνες των εσωτερικών συστηµάτων.

Σχήµα 38 Η Επτάφωτη Λυχνία

Αναφέρονται ακόµα οι επτά ηλικίες του ανθρώπου: νήπιο (Σελήνη), Παιδί (Ερµής), έφηβος (Αφροδίτη), νέος (Ήλιος), ενήλικος (Άρης), µεσήλικας (∆ίας) και γέροντας (Κρόνος). Ως προς τα επτά χρώµατα της Ίριδας έχουµε να παρατηρήσουµε ότι τα τέσσερα δευτερεύοντα χρώµατα προέρχονται από το συνδυασµό των τριών βασικών (κόκκινου, κίτρινου και µπλε). Τρία από τα δευτερεύοντα χρώµατα προκύπτουν από την ανάµειξη ανά δύο των τριών βασικών χρωµάτων και το τέταρτο από την ανάµειξη και των τριών. Τα επτά αυτά χρώµατα αντιστοιχούν βέβαια σε όλες τις προηγούµενες επταδικές διαιρέσεις, π.χ. στους επτά πλανήτες αντιστοιχούν ως εξής: Κρόνος-µαύρο, Σελήνη-µπλε, ∆ίας-βιολετί, Αφροδίτη-πράσινο, Ερµής-κίτρινο, Άρηςκόκκινο και Ήλιος-Πορτοκαλί.

Ο Νόµος της Επτάδας ή Οκτάβας Έχουµε αναφέρει ήδη Νόµο της Τριάδας σύµφωνα µε τον οποίο όλα τα φαινόµενα, χωρίς εξαίρεση, είναι αποτέλεσµα της ταυτόχρονης δράσης τριών δυνάµεων: της θετικής, της αρνητικής και της εξουδετερωτικής. Ο επόµενος βασικός νόµος του σύµπαντος είναι ο Νόµος της Επτάδας ή της Οκτάβας. Η παρακάτω ανάπτυξη βασίζεται στη διδασκαλία του Γκουρντζίεφ, όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο του Ουσπένσκυ Αναζητώντας το Κόσµο του Θαυµατού. Τα πάντα στη φύση αποτελούνται από δονήσεις ή κραδασµούς. Τα πάντα δονούνται, σε όλα τα είδη, πυκνότητες και αραιότητες της ύλης. Οι κραδασµοί αυτοί προέρχονται από διαφορετικές πηγές και διαδίδονται σε διαφορετικές διευθύνσεις, συµβάλλοντας στα σηµεία συνάντησής τους, όπου είτε ενισχύονται, είτε εξασθενούν ή ακόµα αναιρεί ο ένας τον άλλο. Σύµφωνα µε τη συνήθη επιστηµονική άποψη, όσο διαρκεί η αρχική ώθηση και υπερνικάται η αντίσταση του µέσου µετάδοσης (ή όταν δεν υπάρχει αντίσταση) οι κραδασµοί συνεχίζουν αδιάλειπτοι µε αµείωτο πλάτος και ταχύτητα. Εδώ ακριβώς βρίσκεται η βασική διαφορά µε την εσωτερική άποψη, η οποία υποστηρίζει τη διάλειψη των κραδασµών, ότι δηλαδή οι κραδασµοί δεν αναπτύσσονται οµοιόµορφα, αλλά µε περιοδικές επιταχύνσεις και επιβραδύνσεις. Είναι σαν η αρχική ώθηση να γίνεται διαδοχικά ισχυρότερη και ασθενέστερη. Στην αρχή οι κραδασµοί αναπτύσσονται για ένα διάστηµα κανονικά, αλλά σε µια ορισµένη στιγµή αρχίζουν να επιβραδύνονται σα να µην υπακούουν στην συνεχιζόµενη παρόλα αυτά ίδια αρχική ώθηση. Εκτός από το ότι ελαττώνεται τότε η ταχύτητά τους, αλλάζει ως ένα σηµείο και η φύση τους ή η

κατεύθυνσή τους. Μετά την προσωρινή αυτή επιβράδυνση, αναπτύσσονται πάλι κανονικά, όπως και στην αρχή, µέχρι ένα άλλο σηµείο που αρχίζουν πάλι να επιβραδύνονται. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι οι δυο περίοδοι οµοιόµορφης κίνησης δεν είναι ίσες, ούτε και οι στιγµές των επιβραδύνσεων συµµετρικές. Για να καθορίσουµε τις στιγµές της επιβράδυνσης χωρίζουµε τις γραµµές πάνω στις οποίες αναπτύσσονται οι κραδασµοί σε περιόδους που αντιστοιχούν στο διπλασιασµό ή στον υποδιπλασιασµό των συχνοτήτων τους σε ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα. Οι περίοδοι αυτοί χωρίζονται στη συνέχεια σε 8 άνισα διαστήµατα που αντιστοιχούν στο ρυθµό αύξησης της συχνότητας των κραδασµών, µε το όγδοο µέρος να επαναλαµβάνει το πρώτο, αλλά µε διπλάσια συχνότητα. Η περίοδος αυτή διπλασιασµού της συχνότητας των κραδασµών αποτελεί µια οκτάβα. Συνήθως ορίζουµε την αρχή και το τέλος της οκτάβας σα ντο και χωρίζουµε το υπόλοιπο διάστηµα σε επτά άνισα µέρη. Τα έξη ενδιάµεσα σηµεία διαχωρισµού παίρνουν την ονοµασία των υπόλοιπων έξη νοτών της µουσικής κλίµακας: ρε, µι, φα, σολ, λα και σι. Τα δυο σηµεία που συµβαίνει η επιβράδυνση των κραδασµών είναι το ένα κοντά στην αρχή, στο διάστηµα µι-φα και το άλλο σχεδόν στο τέλος, στο διάστηµα σι-ντο. Οι αριθµητικές σχέσεις (λόγοι) µεταξύ των διαστηµάτων δίδονται από την αρχαιότητα σύµφωνα µε το παρακάτω διάγραµµα:

Αν ορίσουµε το ντο µε τον αριθµό ένα, τότε το ρε θα είναι ίσο µε 9/8, το µι µε 5/4, το φα µε 4/3, το σολ µε 3/2, το λα µε 5/3, το σι µε 15/8 και το ντο µε 2. Οι λόγοι ανάµεσα στους διάφορους φθόγγους θα είναι τότε οι παρακάτω: Ανάµεσα στο ντο και στο ρε: Ανάµεσα στο ρε και στο µι: Ανάµεσα στο µι και στο φα:

9/8 : 1 = 9/8 5/4 : 9/8 = 10/9 4/3 :5/4 = 16/15

κι έχουµε εδώ µια επιβράδυνση της ταχύτητας Ανάµεσα στο φα και στο σολ: 3/2 : 4/3 Ανάµεσα στο σολ και στο λα: 5/3 : 3/2 Ανάµεσα στο λα και στο σι: 15/8 : 5/3 Ανάµεσα στο σι και στο ντο: 2 : 15/8

= = = =

9/8 10/9 9/8 16/15

µε µια νέα επιβράδυνση της ταχύτητας. Οι διαφορές στους φθόγγους ή οι διαφορές στο τόνο των φθόγγων ονοµάζονται παύσεις. Βλέπουµε ότι υπάρχουν τριών ειδών παύσεις στην οκτάβα: 9/8, 10/9 και 16/15, που αν τις

πολλαπλασιάσουµε µε το 360 (το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών), αντιστοιχούν στους ακεραίους 405, 400 και 384. Η µικρότερη παύση των 16/15 γίνεται ανάµεσα στο µι και στο φα και ανάµεσα στο σι και στο ντο. Αυτά ακριβώς είναι τα σηµεία επιβράδυνσης στην οκτάβα. Στη θεωρία της επτάτονης µουσικής κλίµακας πιστεύεται γενικά ότι ανάµεσα σε κάθε δυο νότες υπάρχουν δυο ηµιτόνια, µε εξαίρεση τις παύσεις µι-φα και σι-ντο οι οποίες αντιστοιχούν σε ένα ηµιτόνιο. Έχουµε έτσι συνολικά 20 νότες από τις οποίες οι 8 είναι βασικές (ντο, ρε, µι, φα, σολ, λα, σι, ντο), οι 10 ενδιάµεσες (ντο-ρε, ρε-µι, φα-σολ, σολ-λα, λα-σι, µε δυο ηµιτόνια όπως είπαµε για καθένα από αυτά τα πέντε διαστήµατα) και από µία ανάµεσα σε καθένα από τα παρακάτω δύο ζεύγη φθόγγων: µι-φα και σι-ντο (από ένα ηµιτόνιο). Στη πράξη όµως χρησιµοποιούµε στη µουσική µονάχα πέντε (αντί για 12) ενδιάµεσα ηµιτόνια, δηλαδή από ένα ηµιτόνιο ανάµεσα στα: ντο-ρε, ρε-µι, φα-σολ, σολ-λα και λα-σι, ενώ ανάµεσα στο µι και στο φα και ανάµεσα στο σι και στο ντο το ηµιτόνιο δεν υπολογίζεται καθόλου. Η δοµή αυτή της επτάτονης µουσικής κλίµακας µας δίνει, όπως επισηµαίνει ο Γκουρντζίεφ, «ένα σχέδιο του κοσµικού νόµου των παύσεων ή των απόντων ηµιτονίων. Με αυτή την έννοια όταν γίνεται λόγος για τις οκτάβες στη «κοσµική» ή «µηχανική» τους σηµασία, µόνο οι παύσεις ανάµεσα στο µι-φα και στο σι-ντο ονοµάζονται παύσεις». Σύµφωνα µε το Γκουρντζίεφ ο Νόµος των Οκταβών εξηγεί γιατί δεν υπάρχουν ευθείες γραµµές στη φύση, γιατί λειτουργούµε σα µηχανές, γιατί δεν µπορούµε να πράξουµε πραγµατικά, αλλά όλα απλώς «µας συµβαίνουν» και γιατί δρώντας προς µια κατεύθυνση, καταλήγουµε πολλές φορές στην αντίθετη ακριβώς από αυτή. Όλα αυτά οφείλονται στη διάλειψη των κραδασµών και στο φαινόµενο των παύσεων. Κάθε φαινόµενο και κάθε δράση µας µπορεί να θεωρηθεί σα µια οκτάβα. Αρχίζουµε µε το ντο προς µια σταθερή κατεύθυνση µέχρι να φτάσουµε στη παύση µι-φα, όπου µε την αναπόφευκτη επιβράδυνση των κραδασµών συµβαίνει µια παρέκκλιση από την αρχική πορεία µας και βρισκόµαστε να αντικρίζουµε µια διαφορετική κατεύθυνση από την αρχική, χωρίς τις περισσότερες φορές να το αντιλαµβανόµαστε. Συνεχίζουµε να κινούµαστε προς αυτή τη νέα κατεύθυνση µέχρι να φτάσουµε κοντά στο τέλος της οκτάβας, στη δεύτερη παύση σι-ντο, οπότε συµβαίνει µια δεύτερη παρέκκλιση, µια νέα αλλαγή στη πορεία µας, όπως δείχνει το παρακάτω σχήµα:.

Σχήµα 39

Με κάθε επόµενη οκτάβα σηµειώνεται µια ολοένα και µεγαλύτερη συνολική παρέκκλιση από την αρχική κατεύθυνση µε αποτέλεσµα µετά από µερικές οκτάβες να βρεθούµε πολλές φορές σε µια εντελώς αντίθετη πορεία από αυτή που ξεκινήσαµε (Βλέπε π.χ. την Αικατερίνη των Μεδίκων να σφάζει χιλιάδες Ουγενότους τη Νύχτα του Αγίου Βαρθολοµαίου «για την αγάπη του Χριστού και

της Αγίας Αυτού Εκκλησίας...»). Οι παρεκκλίσεις µάλιστα µπορούν να συνεχιστούν µέχρι να σηµειωθεί µια πλήρη στροφή 360 µοιρών και να βρεθούµε τελικά, παρόλες τις συνεχιζόµενες προσπάθειές µας, στο ίδιο σηµείο από το οποίο ξεκινήσαµε και πολλές φορές χωρίς καν να το παρατηρήσουµε, νοµίζοντας ότι συνεχίζουµε να προχωράµε στη σωστή κατεύθυνση προς επίτευξη του σκοπού µας. Με αυτό το τρόπο εξηγείται γιατί δεν υπάρχουν ευθείες γραµµές στο σύµπαν και πολλά άλλα ακατανόητα πράγµατα στη ζωή µας. Στον ίδιο νόµο οφείλεται και η ατέλεια της γνώσης µας. Η Βιβλική παράδοση για τη δηµιουργία του κόσµου σε έξη µέρες και την ανάπαυση του Θεού από την εργασία του την έβδοµη ηµέρα και η αντίστοιχη διαίρεση των ηµερών της εβδοµάδας σε εργάσιµες µέρες και Κυριακές υποδεικνύει, αν και ατελώς, τον ίδιο αυτό κοσµικό νόµο τον οποίο, εκτός από τη µουσική, το βλέπουµε σε πλήρη ισχύ στο περιοδικό σύστηµα των στοιχείων. Αν θέλουµε να συνεχίζουµε κανονικά και απαρέγκλιτα τη πορεία µας µέχρι την επίτευξη του προδιαγεγραµµένου σκοπού µας, θα πρέπει να προσδώσουµε µια πρόσθετη, αντίθετη ενέργεια, τις στιγµές των παύσεων, τα λεγόµενα «πρόσθετα σοκ» του Γκουρντζίεφ, για να αναιρέσουµε µε αυτό το τρόπο τη φυσιολογική παρέκκλιση που συµβαίνει σε αυτά τα σηµεία. Ας σηµειωθεί µάλιστα ότι το «πρόσθετο σοκ» στη δεύτερη παύση σι-ντο σε µια ανερχόµενη οκτάβα θα πρέπει να είναι πολύ πιο ισχυρό από το πρώτο, ανάµεσα στο µι και στο φα, «διότι οι κραδασµοί της οκτάβας σε αυτό το σηµείο έχουν πολύ µεγαλύτερη ταχύτητα και για να υπερνικηθεί ένα εµπόδιο στην ανάπτυξη της οκτάβας απαιτείται µεγαλύτερη ισχύς» ή όπως λέει η λαϊκή παροιµία «φάγαµε το βόδι και µας έµεινε η ουρά..», η οποία, όπως ξέρουµε, δεν τρώγεται και τόσο εύκολα. Από την άλλη µεριά σε µια κατερχόµενη οκτάβα η µεγαλύτερη παύση συµβαίνει στην αρχή της οκτάβας, αµέσως µετά το πρώτο ντο. Όπως επισηµαίνει ο Γκουρντζίεφ, σε αυτή τη περίπτωση «το υλικό για τη πλήρωση του κενού βρίσκεται συχνά ή στο ίδιο το ντο, ή στους πλάγιους κραδασµούς που αυτό προκαλεί. Γι’ αυτό µια κατερχόµενη οκτάβα προχωρεί πολύ πιο εύκολα από µια ανερχόµενη και καθώς περνάει πέρα από το σι, φθάνει στο φα χωρίς εµπόδια. Εδώ χρειάζεται ένα «πρόσθετο σοκ» αν και αρκετά λιγότερο έντονο από το πρώτο σοκ ανάµεσα στο ντο και στο σι». Η ευκολία αυτή στην εκπλήρωση των κατερχόµενων οκταβών σε σχέση µε τις πολύ πιο δύσκολες ανερχόµενες οκτάβες εξηγεί µε έναν άλλο τρόπο γιατί η πτώση είναι πάντα πολύ πιο εύκολη από την άνοδο. Τη θεωρία για το Νόµο των Οκταβών µπορεί να χρησιµοποιήσει επίσης κατάλληλα ο άνθρωπος για την εσωτερική του ανάπτυξη υπερνικώντας τη µηχανική του συµπεριφορά κι εξελισσόµενος σε ένα αυτοσυνείδητο ον. Το µόνο που χρειάζεται είναι να γνωρίζει κάθε φορά τις στιγµές των «παύσεων» και να είναι σε θέση να επιφέρει τα αναγκαία «πρόσθετα σοκ». Αξίζει τέλος να σηµειωθεί ότι οποιαδήποτε νότα µιας οκτάβας µπορεί να θεωρηθεί η ίδια µια οκτάβα σε ένα άλλο επίπεδο, ότι κρύβει δηλαδή µέσα της «εσωτερικούς κραδασµούς». Κάθε νότα έτσι κρύβει µια πλήρη οκτάβα µέσα της και αυτή µια άλλη κ.ο.κ., αλλά αυτό δε συνεχίζεται επ’ άπειρον, «διότι υπάρχουν όρια στην ανάπτυξη των εσωτερικών οκταβών» Οι εσωτερικοί αυτοί κραδασµοί προχωρούν ταυτόχρονα σε φορείς διαφορετικής πυκνότητας που ο ένας διαπερνά τον άλλο. Ο ένας αντανακλά τον άλλο, ο ένας γεννάει τον άλλο, τον σταµατάει ή τον τροποποιεί ή κυριαρχεί πάνω του.

Ο Γκουρντζίεφ εξηγεί µέσω του Ουσπένσκυ πώς ο νόµος των οκταβών περικλείει όλους τελικά τους αριθµούς 1-10: Οι επτά βασικοί τόνοι της οκτάβας εκφράζουν το νόµο της Επτάδας. Η προσθήκη του ντο της επόµενης οκτάβας, δηλαδή το κορύφωµα της πορείας, δίνει το όγδοο σκαλοπάτι. Οι επτά βασικές νότες µε τις δυο «παύσεις» και τα «πρόσθετα σοκ», δίνουν εννέα σκαλοπάτια. Αν ενσωµατωθεί σε αυτά και το ντο της επόµενης οκτάβας, θα έχουµε δέκα σκαλοπάτια. Το τελευταίο, το δέκατο σκαλοπάτι, αποτελεί το τέλος του προηγούµενου και την αρχή του επόµενου κύκλου. Έτσι ο νόµος των οκταβών και η πορεία της ανάπτυξης που εκφράζει περικλείει τους αριθµούς από το 1 µέχρι το 10. Σε αυτό το σηµείο φτάνουµε στο συµβολισµό των αριθµών. Ο συµβολισµός των αριθµών δεν µπορεί να κατανοηθεί χωρίς το νόµο των οκταβών ή χωρίς µια σαφή αντίληψη του πώς εκφράζονται οι οκτάβες στο δεκαδικό σύστηµα και αντίστροφα. Τελικά υπερασπίζεται τη φαινοµενικά εντελώς αυθαίρετη «θεοσοφική πρόσθεση», η οποία, όπως λέει, έχει ένα βαθύ νόηµα, «γιατί αναγάγει όλη τη πολυµορφία στους βασικούς νόµους που τη διέπουν και που εκφράζονται µε τους αριθµούς 1 έως 10».

ΤΟ ΟΚΤΑΓΩΝΟ, Η ΟΓ∆ΟΟ∆Α Το Οκτάγωνο µπορεί να σχεδιαστεί µε τρεις τρόπους (ενώνοντας κάθε δεύτερο, κάθε τρίτο και κάθε τέταρτο σηµείο) διαιρέσεως του κύκλου. Αντιπροσωπεύει φυσιολογικά τη δύναµη της ογδοόδας, όπως αυτή λειτουργεί στη φύση µε τη διασπορά των ακτίνων των στοιχείων στη δυαδική (θετική και αρνητική) τους όψη. ∆εν ταιριάζει πάντως τόσο µε τη φύση του Ερµή, όσο το Οκτάκτινο Άστρο που σχεδιάζεται ενώνοντας κάθε τέταρτο σηµείο. Το Οκτάγωνο που σχεδιάζεται ενώνοντας κάθε τρίτο σηµείο δίνει οκτώ τρίγωνα, τα οποία εκπροσωπούν καβαλιστικά τη Τριάδα, όπως αυτή λειτουργεί σε κάθε στοιχείο στη δυαδική του µορφή (θετική και αρνητική) κάτω από τις δυνάµεις του Τετραγράµµατου Ονόµατος Αδωνάι. Και αυτό το οκτάγωνο δεν ταιριάζει τόσο µε τη φύση του Ερµή, όσο η επόµενη αστεροειδής µορφή. Αποτελείται από δυο τετράγωνα ενωµένα µέσα σε ένα κύκλο.

Σχήµα 40

Το οκτάγραµµα που σχεδιάζεται ενώνοντας κάθε τέταρτο σηµείο είναι το Άστρο του Ερµή και ταιριάζει ιδιαίτερα στη φύση του. Είναι επιπλέον ένα ισχυρό σύµβολο που αντιπροσωπεύει την ένωση των θετικών και αρνητικών δυνάµεων των Στοιχείων κάτω από το όνοµα YHVHADNI (ΓιαχβέΑδωνάι).

Το Οκτάγωνο σχεδιάζεται σχετικά εύκολα µε κανόνα και διαβήτη φέρνοντας αρχικά δυο καθέτους διαµέτρους του κύκλου και µετά τις διχοτόµους των γωνιών τους. Όλες αυτές οι ευθείες ορίζουν στο κύκλο οκτώ σηµεία, που ανά δύο διαδοχικά δέχονται τόξα 45ο και είναι εποµένως κορυφές κανονικού οκταγώνου. Η Ογδοάδα αντιστοιχεί Καβαλιστικά στην όγδοη Σεφίρα, το Χοντ, στη βάση της Στήλης της Αυστηρότητας, απέναντι ακριβώς από το Νετζά, τη σφαίρα του Ερµή του συγκεκριµένου νου και της Ερµητικής µαγείας. Ενώ το Τίφαρετ αντιπροσωπεύει την ανώτερη συνείδηση, το σηµείο επαφής της ατοµικότητας µε τη προσωπικότητα, το Νετζά και το Χοντ αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα τη δυναµική και τη µορφική όψη της αστρικής συνείδησης. Τα δύο τελευταία µαζί µε το Γεσούντ, τη βάση της αιθερικής ουσίας, Ακάσας ή Αστρικού Φωτός, συνιστούν το κατώτερο τρίγωνο του ∆ένδρου της Ζωής. Το Χοντ µπορεί να θεωρηθεί και σαν αντανάκλαση του Χέσεντ µέσω του Τίφαρετ. Όπως επισηµαίνει ο Ιάµβλιχος, o αριθµός 8 είναι ο πρώτος και ο µoναδικός κύβος µέσα στη δεκάδα και ένας αρτιάρτιος αριθµός (το µισό του είναι επίσης άρτιος αριθµός). Λόγω της σηµασίας του στη µουσική αρµονία (ογδόη, οκτάβα) ονοµάζετο Παναρµόνιος και η οκτάδα Καδµεία από το όνοµα της συζύγου του Κάδµου Αρµονίας (ας σηµειώσουµε εδώ ότι σύµφωνα µε τον Ολυµπιόδωρο ο Κάδµος αντιπροσώπευε τον υποσεληνιαίο Κόσµο). Από τις Μούσες αντιπροσώπευε την Ευτέρπη (που είναι η όγδοη στη κανονική σειρά). Τον ονόµαζαν επίσης Μητέρα, και Κυβέλη, γιατί είναι ο κύβος του 2, που αντιπροσωπεύει κατ' εξοχήν τη θηλυκότητα και τη γονιµότητα. Σύµφωνα µε το Φιλόλαο ο έρωτας και η φιλία, ή η σκέψη και η φαντασία, συναντώνται στα όντα που έχουν σχέση µε τον αριθµό 8. Ο Πρόκλος ονοµάζει την Ογδοάδα "αιτία για την πρόοδο όλων των πραγµάτων, διότι ενώ η Εννεάδα συγγενεύει µε τη Μονάδα, αφού είναι ένα καινούργιο Ένα (Εν-νεάς), η Ογδοάδα συγγενεύει µε τη ∆υάδα της οποίας είναι ο κύβος". Τέλος ο Θέων ο Σµυρναίος αναφέρει ότι µερικοί πιστεύουν ότι οι θεοί που κυβερνούν τα πάντα είναι 8, όσες και οι σφαίρες που περιστρέφονται γύρω από τη Γη.

Σχήµα 41

Ο Π. Γράβιγγερ αναφέρει σα σηµαντικότερη παράσταση της Ογδοάδας το Κηρύκειο του Ερµή, που το είδαµε και σα σύµβολο της τριάδας: Το Κηρύκειο µε τα δυο συνεστραµµένα φίδια γύρω από µια κατακόρυφη ράβδο παριστάνει την πτώση της πρωταρχικής ύλης στη σταθµητή ύλη της γέννησης και την κατοπινή επιστροφή της στην αρχική πηγή από την οποία απέρρευσε. Τα δυο φίδια συµβολίζουν τα δυο ρεύµατα του πρωταρχικού Χάους, το πέρας-άπειρο, φως-σκοτάδι, ή άρρεν-θήλυ. Ο κεντρικός λοιπόν άξονας είναι αυτός που διαχωρίζει και συγχρόνως συµβιβάζει τα αιωνίως αντίθετα και αντιστοιχεί στον Άξονα του Κόσµου. Η καθοδική και ανοδική αντίστοιχα κατεύθυνση των δυο φιδιών συµβολίζει επίσης τις δυο πύλες

των ηλιοστασίων και κατ' επέκταση τα δυο λειτουργήµατα του Ερµή σαν αγγελιαφόρου των θεών στους ανθρώπους και σαν ψυχοποµπού, που επαναφέρει δηλαδή τις ψυχές στη πηγή από την οποία προήλθαν. Όπως ο Θύρσος του ∆ιόνυσου έτσι και το Κηρύκειο του Ερµή φαίνεται να αναφέρεται στο "∆ένδρο της Ζωής" και στο νευρικό σύστηµα του ανθρώπου κατά µήκος της σπονδυλικής στήλης, το οποίο πρέπει να κυριαρχήσει ο µύστης. Μερικοί θεωρούν ότι το όνοµα ογδοάς προήλθε από το δυάς (εκ-δυάς, εγ-δυάς, ογδοάς, δηλαδή µε µετατροπή του ε σε ο και του υ σε ο, αφού το 2 έγινε κύβος). Ο αριθµός 8 ήταν αφιερωµένος στον ∆ιόνυσο που είχε γεννηθεί τον 8ο µήνα. Ας σηµειωθεί ότι ο πλανήτης Κρόνος έχει 8 ∆ορυφόρους και ο Νώε ήταν ο όγδοος από τον Αδάµ και το όνοµά του έχει την αριθµολογική αξία 64= 82. Στο ανθρώπινο σώµα τον βρίσκουµε στο πλήθος των δοντιών, που είναι 32=4Χ8, 16 σε κάθε σαγόνι. Τέλος το 888 θεωρείται σαν ο ιδιαίτερος αριθµός του Ιησού Χριστού, επειδή "Αυτός είναι η Ανάσταση και η Ζωή". Είναι έτσι το µεγάλο αντίθετο του 666, του αριθµού του θηρίου, του αριθµού του ανθρώπου. Άλλοι πάλι αποδίδουν στο Χριστό όχι τον αριθµό 888, αλλά τον 999, τον «αντίστροφο» ακριβώς του «Αντίχριστου».

Σχήµα 42

Στις αντιστοιχίες της ογδοάδας µπορούµε να αναφέρουµε και το παραπάνω Pa Kua του Φενγκ Σούι, της Κινέζικης τέχνης της χωροθέτησης, ή της ανάλυσης ενός χώρου και της «θεραπείας» των προβληµάτων που µπορεί να υπάρχουν σε αυτόν εξ’ αιτίας κακών διευθετήσεων ή ακατάλληλων τοποθετήσεων αντικειµένων ή του ίδιου του χώρου σε σχέση µε το περιβάλλον. Ένας σηµαντικός τύπος του Φενγκ Σούι ενδιαφέρεται για τις οκτώ βασικές επιδιώξεις της ζωής, που αντιστοιχούν στα τέσσερα βασικά και στα τέσσερα δευτερεύοντα σηµεία του ορίζοντα. Κάθε µια από αυτές τις επιδιώξεις συµβολίζεται στο οκταγωνικού σχήµατος Pa Kua, το οποίο αναγνωρίζει που βρίσκονται οι ιδιαίτερες θετικές τοποθεσίες στο σπίτι µας ή το χώρο εργασία µας, για να τις ενεργοποιήσουµε και να διεγείρουµε έτσι τη θετική ροή του τσι (της ζωτικής δύναµης) δηµιουργώντας ένα καλό Φενγκ Σούι για µας.

ΤΟ ΕΝΝΕΑΓΩΝΟ, Η ΕΝΝΕΑ∆Α Το Εννεάγωνο µπορεί να σχεδιαστεί µε τέσσερες διαφορετικούς τρόπους (ενώνοντας κάθε δεύτερο, τρίτο, τέταρτο και πέµπτο σηµείο διαίρεσης). Σαν όλο αναφέρεται στην ένατη Σεφίρα, το Γεσούντ. Σύµφωνα µε τον Ίσραελ Ρεγκαρντιέ αντιπροσωπεύει τη δύναµη της Εννεάδας που

λειτουργεί στη φύση µε τη διασπορά των ακτίνων των Επτά πλανητών και της Κεφαλής και της Ουράς του ∆ράκοντα της Σελήνης*. ∆εν ταιριάζει τόσο µε τη φύση της Σελήνης, όσο το εννεάγραµµα που σχεδιάζεται ενώνοντας κάθε πέµπτο σηµείο.

* Ο ∆ράκοντας της Σελήνης δεν είναι τίποτα άλλο από τη συµβολική αντιπροσώπευση της κεκλιµένης τροχιάς της σελήνης γύρω από τη γη. Οι δεσµοί της Σελήνης, τα σηµεία δηλαδή που η τροχιά της τέµνει την εκκλειπτική ονοµάζονται παραδοσιακά Κεφαλή (Βόρειος ∆εσµός, Ρ) και Ουρά (Νότιος ∆εσµός, Σ) του ∆ράκοντα της Σελήνης (Λατινικά Caput Draconis και Cauda Draconis). Η Κεφαλή του ∆ράκοντα θεωρείται αστρολογικά καλής και η Ουρά κακής επιρροής.

Η δεύτερη µορφή του εννεαγώνου (ενώνοντας κάθε τρίτο σηµείο) παριστάνει σύµφωνα µε τον Ίσραελ Ρεγκαρντιέ «τη λειτουργία της Τριπλής Τριάδας τόσο µε τους Επτά Πλανήτες, µαζί µε τη «Κεφαλή και την Ουρά του ∆ράκοντα της Σελήνης, όσο και µε τις Αλχηµικές τους αρχές αντίθετα φορτισµένες και συνδεδεµένες».

Η Τρίτη µορφή (ενώνοντας κάθε τέταρτο σηµείο) αποτελείται από τρία τρίγωνα ενωµένα µέσα σε ένα κύκλο και υποδεικνύει «τη Τριπλή Τριάδα των ίδιων των Τριών Αλχηµικών Αρχών (Θείο, Άλας, Υδράργυρος)». Η τέταρτη µορφή, το Εννεάγραµµα (κάθε πέµπτο σηµείο) είναι το Άστρο της Σελήνης, που ταιριάζει ιδιαίτερα στη φύση του. Την αντιπροσωπεύει σαν «ο διαχειριστής της Γης των αρετών του Ηλιακού Συστήµατος κάτω από την επιστασία των Σεφιρώθ». Το κανονικό εννιάγωνο, όπως και το κανονικό επτάγωνο, δεν κατασκευάζεται µε κανόνα και διαβήτη, γιατί η κατασκευή του ανάγεται στο άλυτο πρόβληµα της τριχοτόµησης µιας γωνίας (η

κεντρική γωνία του των 40ο είναι το ένα τρίτο της αντίστοιχης κεντρικής γωνίας των 120ο του ισοπλεύρου τριγώνου). Το Γεσούντ στη Μεσαία Στήλη, πάνω ακριβώς από το Μαλκούτ και κάτω από το Τίφαρετ, είναι η σφαίρα του Αιθέρα, της Ακάσα ή Αστρικού Φωτός, του ανώτερου πέµπτου των τεσσάρων στοιχείων του Μαλκούτ. Ο αστρικός αυτός Αιθέρας δεν είναι ακριβώς ο πρώην αιθέρας των φυσικών, αλλά η ρίζα του. Είναι η υποδοµή της ύλης και ο φορέας των ζωικών δυνάµεων. Οι βασικές του ιδιότητες είναι να διαπλάθεται σε µορφές από το νου και να συγκρατεί µεταξύ τους τα µόρια της ύλης. Το Γεσούντ είναι ακόµα η σφαίρα της Σελήνης, η οποία συνδέεται απόκρυφα µε τη Γη µέσω ενός κοινού διπλού αιθερικού. Είναι επίσης η σφαίρα της Εκάτης (και της Αρτέµιδος) και κατεξοχήν της µαγείας. Ο εννέα είναι ο µεγαλύτερος αριθµός µέσα στην δεκάδα και το τέλος της πρώτης σειράς των αριθµών που από κει και πέρα επαναλαµβάνεται (Ανυπέρβλητον Πέρας). Και η λέξη ετυµολογικά φαίνεται να συνδέεται µε την Ενάδα (µονάδα), που κατέχει το άλλο άκρο της ∆εκάδας. Τον ονόµαζαν Ωκεανό, γιατί περιβάλει τους άλλους αριθµούς της δεκάδας και Ορίζοντα, γιατί τους περιορίζει. Θεωρείται σαν τρεις φορές τέλειος, διότι περιέχει δυο κύβους, το 1 και το 8 και ο ίδιος είναι τετράγωνος 32. Τον ονόµαζαν επίσης Προµηθέα, Οµόνοια, Τερµατισµό, Άθροισµα, Ανεικία (αδιαφιλονίκητη), Ειλικρίνεια, Οµοίωση, Ήφαιστο, Ήρα (ίσως γιατί η Ήρα, που συµβολίζει τη σφαίρα του Αέρα, έχει τοποθετηθεί στα γήινα µετά την όγδοη σφαίρα, σαν µια εννάτη σφαίρα). Αδελφή και Σύζυγο του ∆ία, λόγω της συζυγίας του µε τη Μονάδα. Εκάεργο (επειδή εµποδίζει, αποκλείει την περαιτέρω πρόοδο των αριθµών) και επίσης Κουρήτιδα, Κόρη, Υπερίωνα, Τερψιχόρη, και Τελεσφόρο Είναι ο πρώτος τετράγωνος περιττός αριθµός της δεκάδας. Θεωρείται το έµβληµα της ύλης, η οποία αν και διαφοροποιείται, δεν καταστρέφεται ποτέ. Έτσι ο αριθµός 9 όταν πολλαπλασιάζεται µε οποιονδήποτε αριθµό αναπαραγάγει τον εαυτό του µέσα στο άθροισµα των ψηφίων του παραγόµενου αριθµού. Μια περίεργη ιδιότητά του είναι ότι η διαφορά µεταξύ ενός πολυψήφιου αριθµού και του αριθµού που προκύπτει από την αντιστροφή των ψηφίων του είναι πάντα πολλαπλάσιο του 9 (π.χ. 41-14 =27). Επίσης ο αριθµός 9.9!=1.2.3.4.5.6.7.8.9.9=1111111101. Επίσης τα πολλαπλάσια του 9 αποτελούν πάντα αριθµούς των οποίων το άθροισµα των ψηφίων είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν το άθροισµα αυτό είναι σύνθετος αριθµός και συνεχίσουµε να αθροίζουµε τα ψηφία του, µέχρι να καταλήξουµε σε µονοψήφιο αριθµό, ο αριθµός αυτός είναι πάντα ο 9. Σύµφωνα µε το Πρόκλο "οι 9 Μούσες είναι µία πολλαπλότητα που προήλθε από τη Μονάδα του Μουσηγέτη Απόλλωνα µέχρι τον πλήρη αριθµό 9.... Η ∆υάδα ταιριάζει στον αριθµό 8=23 και η Μονάδα στην αρχή της Εννεάδας και δεν υπάρχει µέσο µεταξύ των αριθµών αυτών... Έτσι και ο ιερός αριθµός των Μουσών είναι ο αριθµός του Ταυτού και του Οµοίου, γιατί είναι το τετράγωνο του πρώτου περιττού και τέλειου αριθµού (32) και προσδιορίζεται από τρεις τριάδες. Αυτός δεν είναι µόνον τέλειος, αλλά σε όλα τέλειος, γιατί αφ' ενός συνελίσσεται προς τη µονάδα από την οποία προήλθε και αφ' ετέρου αποσκοπεί να καταστεί και αυτός νέος" (Πολιτεία). Συµπληρώνει επίσης στο «Τίµαιο» ότι αριθµός 9 «ταιριάζει στη γέννηση γιατί προοδεύει από τη µονάδα µέχρι το έσχατο όριο...Ο Πλάτωνας τοποθετεί σε αυτή την εννεάδα ολόκληρο το πεδίο των γενεσιουργών θεών, διότι θα έλεγα, η εννεάδα αυτή περιέχει το σύνολο των δηµιουργικών παραγόντων της γέννησης». Η Εννεάδα λοιπόν είναι µια νέα Μονάδα, από την οποία αρχίζει ένας νέος κύκλος Εκδήλωσης

κ.ο.κ. µέχρι το άπειρο. Σε σχέση τώρα µε τις 9 Μούσες ο Π. Γράβιγγερ αναφέρει τις παρακάτω αντιστοιχίες:.

Μούσα

Τέχνη

Καλλιόπη Ουρανία Πολύµνια Τερψιχόρη Κλειώ Μελποµένη Ερατώ Ευτέρπη Θάλεια

Έµπνευση Αστρονοµία Μιµική Χορός Ιστορία Τραγωδία Ποίηση Μουσική Κωµωδία

Αποκ.Σηµασία Μνήµη ∆ιαλογισµός Φαντασία Θαυµασµός Ακοή Όραση Όσφρηση Γεύση Αφή

Αστρολογικά Σφαίρα Σελήνης Αστρικό Στερέωµα Κρόνος ∆ίας Άρης Ήλιος Αφροδίτη Ερµής Θάλασσα

Ας σηµειώσουµε επίσης την εννεάδα της Ορφικής Θεολογίας. Η πρώτη Τριάδα είναι ο Αιθέρας, το Χάος, και το Κοσµογονικό Αυγό. Ο Αιθέρας γονιµοποιεί το χάος και γεννιέται το κοσµικό Αυγό. Το πάνω µέρος του Αυγού διαχωρίζεται από το κάτω µέρος του, ∆ηλαδή ο Ουρανός από τη Γη, και αναπτύσσεται µεταξύ τους Έρωτας (έλξη). Η τρίτη Τριάδα αποτελείται από το Νου (Μήτις), τη ∆ύναµη (Ηρικεπαίος) και από τον Πατέρα (Φάνης Πρωτόγονο, ∆ία, Πάνα). Ανάλογες είναι και οι Εννεάδες του Πλωτίνου όπου η εκδήλωση προχωρά κατά τριάδες και εννεάδες. Η Εννεάδα έχει συνδεθεί επίσης µε το Αζώθ και τον ουροβόρο όφι των Ερµητιστών (σύµβολο του Μεγάλου Μαγικού Παράγοντα ή Αστρικού Φωτός), µε. τον οποίο µοιάζει το ένατο γράµµα Τεθ του Εβραϊκού αλφαβήτου (που ας σηµειωθεί σηµαίνει στα Εβραϊκά ελιγµός, φίδι), το οποίο αντιστοιχεί στην ένατη κλείδα του Ταρώ, τον Ερηµίτη. Με το ίδιο γράµµα µοιάζει και το ένατο Ελληνικό γράµµα θ. Στις περισσότερες αρχαίες γλώσσες ο αριθµός εννέα παριστάνετο µε µια οφιοειδή ή σπειροειδή µορφή. Η Εννεάδα λοιπόν τόσο κατ’ όνοµα όσο και κατά περιεχόµενο µπορεί να θεωρηθεί σαν ένα σύµβολο της επανόδου στη Μονάδα. Ο R. Allendy (αναφερόµενος από τον Π. Γράβιγγερ) παρατηρεί ότι ο Ιησούς σταυρώθηκε κατά την τρίτη ώρα (αρχή του έργου), άρχισε να αγωνιά κατά την έκτη (δράση), ενώ άρχιζε να καλύπτει τη γη το σκοτάδι, κι εξέπνευσε την ενάτη. Μετά επίσης από την Ανάστασή του φανερώθηκε 9 φορές στους µαθητές του. Και συµπεραίνει: «Έτσι ο αριθµός 9 µας αποκαλύπτει την τελική σηµασία του: την απώλεια της προσωπικότητας µέσα από την οικουµενική αγάπη». Σηµειώνουµε τέλος ότι τα Μεγάλα Ελευσίνια Μυστήρια διαρκούσαν 9 ηµέρες, ότι οι Μωαµεθανοί έχουν 99 ονόµατα, ιδιότητες, για τη θεότητά τους και ότι υπάρχουν 9 αγγελικοί χοροί: Σεραφείµ, Χερουβείµ, Θρόνοι, Κυριότητες, ∆υνάµεις, Εξουσίες, Αρχές, Αρχάγγελοι, Άγγελοι.

ΤΟ ΕΝΝΕΑΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ΓΚΟΥΡΝΤΖΙΕΦ Μιλήσαµε προηγούµενα για το νόµο των οκταβών, για τις «παύσεις» και τα «πρόσθετα σοκ» που πρέπει να επιβάλλουµε εξωτερικά για να µη παρεκκλίνει η κίνηση από την αρχική πορεία της και ότι κάθε νότα της επτάτονης κλίµακας κρύβει µέσα της «εσωτερικούς κραδασµούς», άλλες

ολόκληρες οκτάβες. Ο Γκουρντζίεφ, που παρουσίασε στους µαθητές του την αρχαία αυτή εσωτερική διδασκαλία, µίλησε και για µια ειδική µορφή του εννεαγράµµατος «που συνδέει σε ένα σύνολο όλες τις γνώσεις που έχουν σχέση µε το νόµο της υφής της οκτάβας». Χωρίζουµε ένα κύκλο σε εννέα ίσα µέρη και ενώνουµε µετά τα σηµεία διαίρεσης όπως στο παρακάτω σχήµα:

Σχήµα 45

Έχουµε βασικά ένα ισόπλευρο τρίγωνο (εστιγµένο στο σχήµα) µε τη κορυφή στο ανώτερο σηµείο του κύκλου και ένα πιο πολύπλοκο σχήµα, συµµετρικό ως προς τη διάµετρο, που περνάει από αυτή τη κορυφή, µε υπόλοιπες κορυφές τα υπόλοιπα έξη σηµεία (συνεχής, τεθλασµένη γραµµή). Όπως επεσήµανε ο Γκουρντζίεφ: «Αυτό το σύµβολο δεν υπάρχει πουθενά στον «αποκρυφισµό», ούτε σε βιβλία, ούτε σε προφορική µεταβίβαση. Του δόθηκε αυτή η σηµασία από εκείνους που γνώριζαν και που το θεώρησαν απαραίτητο να κρατήσουν µυστική τη γνώση του». Το σύµβολο αυτό εκφράζει το νόµο της Επτάδας στη σύνδεσή του µε το νόµο της Τριάδας. Η οκτάβα έχει επτά τόνους και µε την επανάληψη της πρώτης στην ογδόη (επόµενο ντο), µαζί µε τα πρόσθετα «σοκ» που γεφυρώνουν τις «παύσεις» µι-φα και σι-ντο, έχουµε συνολικά εννέα στοιχεία. Ο Γκουρντζίεφ εξηγεί (σύµφωνα µε τον Ουσπένσκυ): Η ξεχωριστή ύπαρξη ενός πράγµατος ή ενός φαινοµένου που εξετάζει κανείς, είναι ο κλειστός κύκλος µιας κίνησης που αιώνια επιστρέφει και αδιάκοπα ρέει. Ο κύκλος συµβολίζει αυτή τη κίνηση. Τα ξεχωριστά σηµεία της διαίρεσης της περιφέρειας συµβολίζουν τους σταθµούς της κίνησης. Τα σύµβολα, σα σύνολο, είναι ντο, δηλαδή κάτι µε µια τακτική και πλήρη ύπαρξη. Είναι ένας κύκλος, ένας πλήρης κύκλος. Είναι το µηδέν του δεκαδικού µας συστήµατος. Περιέχει µέσα του το κάθε τι που είναι απαραίτητο για την ύπαρξή του. Είναι αποµονωµένο από το περιβάλλον του. Η διαδοχή των σταδίων της κίνησης πρέπει να συνδέεται µε τη διαδοχή των υπόλοιπων αριθµών από το 1 ως το 9. Η παρουσία του ενάτου σταθµού, που γεφυρώνει τη «παύση» σι-ντο, συµπληρώνει το κύκλο, δηλαδή κλείνει το κύκλο που αρχίζει ξανά από αυτό το σηµείο. Η κορυφή του τριγώνου κλείνει τη διττότητα της βάσης του, κάνοντας δυνατή τη πολυµορφία των εκδηλώσεών του µε τα ποικίλα τρίγωνα, µε τον ίδιο τρόπο που το σηµείο της κορυφής του τριγώνου πολλαπλασιάζεται άπειρες φορές στη γραµµή της βάσης. Γι’ αυτό κάθε αρχή και συµπλήρωση του κύκλου είναι τοποθετηµένη στη κορυφή του τριγώνου, στο σηµείο όπου συγχωνεύονται η αρχή και το τέλος, εκεί

που κλείνει ο κύκλος και ακούγεται στον αδιάκοπα κινούµενο κύκλο, σαν τα δύο ντο της οκτάβας. Αλλά ο σταθµός που ανοίγει και ξανακλείνει το κύκλο είναι ο ένατος. Γι’ αυτό στο επάνω σηµείο του τριγώνου που αντιστοιχεί στο ντο βρίσκεται ο αριθµός 9 και οι υπόλοιποι αριθµοί διανέµονται ανάµεσα στα άλλα σηµεία από το 1 ως το 8. Παίρνοντας σα µονάδα µια νότα που περιέχει µέσα της µια ολόκληρη οκτάβα, πρέπει να χωρίσουµε αυτή τη µονάδα σε επτά άνισα µέρη για να καταλήξουµε στις επτά νότες αυτής της οκτάβας. Στο διάγραµµα όµως δεν υπολογίζεται η ανισότητα των µερών και για τη κατασκευή του διαγράµµατος παίρνουµε πρώτα 1/7, µετά 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 και 7/7. Υπολογίζοντας αυτά τα µέρη σε δεκαδικούς αριθµούς έχουµε: 1/7 = 0,142857... 2/7 = 0,28,5714... 3/7 = 0,428571.... 4/7 = 0,571428... 5/7 = 0,714285... 6/7 = 0,857142... 7/7 = 0,9999999...

Παρατηρώντας τα δεκαδικά µέρη (της περιόδου) αυτών των πηλίκων παρατηρούµε ότι όλα (εκτός της τελευταίας µονάδας) περιέχουν τα ίδια πάντα έξη ψηφία 1,4,2,8,5,7, µε την ίδια πάντα (κυκλική) σειρά, µε αποτέλεσµα αν γνωρίζουµε το πρώτο από αυτά να µπορούµε να κατασκευάσουµε από µόνοι µας ολόκληρη τη περίοδο. Έχοντας αριθµήσει, όπως είπαµε, το κορυφαίο σηµείο του κύκλου σαν 9 και αρχίζοντας δεξιά από αυτό και προχωρώντας δεξιόστροφα προς όλα τα υπόλοιπα σηµεία από το 1 ως το 8, συνδέουµε στη συνέχεια τα 6 σηµεία που αντιστοιχούν στα ψηφία της προηγούµενης περιόδου 1,4,2,8,5,7 και παίρνουµε το σύνθετο, συµµετρικό σχήµα (µε τη συνεχή γραµµή) του εννεαγράµµατος που αναφέραµε προηγουµένως. Το εστιγµένο ισόπλευρο τρίγωνο σχηµατίζεται από τα σηµεία που αντιστοιχούν στα υπόλοιπα ψηφία της δεκάδας 3, 6 και 9, που δε µετέχουν στη παραπάνω περίοδο. Ο Γκουρντζίεφ παρατηρεί: Το τρίγωνο 9-3-6 συνδέει σε ένα σύνολο όχι µόνο τα τρία σηµεία της περιφερείας, που δεν περιλαµβάνονται στη περίοδο, αλλά και το νόµο του επτά µε το νόµο του τρία. ∆υο από αυτούς τους αριθµούς, το 3 και το 6 αντιστοιχούν στις δυο «παύσεις» της οκτάβας, ο τρίτος είναι, θα έλεγε κανείς, περιττός και ταυτόχρονα αντικαθιστά τη βασική νότα που δεν είναι µέσα στη περίοδο. Πρόσθετα, κάθε φαινόµενο που µπορεί να δράσει αµοιβαία µε ένα παρόµοιό του ακούγεται σα ντο σε µια αντίστοιχη οκτάβα. Γι αυτό το ντο µπορεί να βγει από το κύκλο του και να συσχετισθεί ικανοποιητικά µε έναν άλλο κύκλο. Να παίξει δηλαδή αυτό το ρόλο σε έναν άλλο κύκλο που, στον κύκλο που εξετάζουµε τώρα, παίζεται από τα «σοκ» των «παύσεων» της οκτάβας. Γι’ αυτό κι εδώ επίσης, χάρη σε αυτή του τη δυνατότητα, το ντο συνδέεται, µε τη βοήθεια του τριγώνου 3-6-9, µε τα σηµεία της οκτάβας που δέχονται το σοκ από εξωτερικές πηγές. Με άλλα λόγια µε τα σηµεία όπου η οκτάβα µπορεί να διαπεραστεί για να συνδεθεί µε ό,τι υπάρχει έξω από αυτή. Θα έλεγε κανείς ότι ο νόµος του τρία ξεχωρίζει από το νόµο του επτά. Το τρίγωνο περνάει µέσα από τη περίοδο και αυτά τα δυο σχήµατα σε συνδυασµό φανερώνουν την εσωτερική δοµή της οκτάβας και των φθόγγων της. Μερικές φαινοµενικές ασυνέπειες στο σχήµα, όπως γιατί ενώ η παύση µι-φα που ορίζεται µε το 3 βρίσκεται στη σωστή θέση ενώ η άλλη που ορίζεται µε το 6 δε βρίσκεται ανάµεσα στο σι και το ντο, όπως θα περιµέναµε, αλλά ανάµεσα στο σολ και το λα, εξηγούνται πλήρως από τον Γκουρντζίεφ:

...Η ίδια η φαινοµενική τοποθέτηση της παύσης στην ακατάλληλη θέση της φανερώνει σε αυτούς που είναι σε θέση να διαβάσουν το σύµβολο τι είδους «σοκ» χρειάζεται για το πέρασµα από το σι στο ντο..... (η πλήρης εξήγηση στο βιβλίο Αναζητώντας το Κόσµο του Θαυµαστού του Ουσπένσκυ). Ο Γκουρντζίεφ µιλά στη συνέχεια για τις αρετές του εννεαγράµµατος: Μιλώντας γενικά µπορείτε να καταλάβετε ότι το εννεάγραµµα είναι ένα παγκόσµιο σύµβολο. Μπορεί να περιλάβει τη γνώση όλου του κόσµου και µε τη βοήθειά του αυτή η γνώση µπορεί να ερµηνευτεί. Και ο άνθρωπος γνωρίζει µόνο ότι µπορεί να τοποθετήσει µέσα στο εννεάγραµµα, δηλαδή µόνο αυτό καταλαβαίνει. Ό,τι δεν µπορεί να τοποθετήσει µέσα στο εννεάγραµµα, δεν το κατανοεί. Για τον άνθρωπο που είναι σε θέση να το χρησιµοποιήσει, το εννεάγραµµα καταργεί πλήρως τα βιβλία και τις βιβλιοθήκες. Τα πάντα µπορούν να περιληφθούν και να διαβαστούν µέσα σε αυτό. Μπορεί κάποιος να βρεθεί ολοµόναχος στην έρηµο, να χαράξει το εννεάγραµµα στην άµµο και να διαβάσει εκεί µέσα τους αιώνιους νόµους του σύµπαντος. Και κάθε φορά µπορεί να µάθει κάτι το καινούργιο, κάτι που δεν ήξερε πριν. Αν συναντηθούν δυο άνθρωποι που ανήκουν σε διαφορετικές σχολές, θα σχεδιάσουν το εννεάγραµµα και µε τη βοήθειά του θα µπορέσουν αµέσως να καταλάβουν ποιος γνωρίζει περισσότερα και σε ποιο σκαλοπάτι στέκει ο καθένας τους, δηλαδή ποιος είναι ο ανώτερος, ποιος ο δάσκαλος και ποιος ο µαθητής. Το εννεάγραµµα είναι το βασικό ιερογλυφικό µιας παγκόσµιας γλώσσας και τα νοήµατά του είναι τόσα, όσα και τα επίπεδα των ανθρώπων. Το εννεάγραµµα είναι το αεικίνητο. Το ίδιο αεικίνητο που οι άνθρωποι έψαχναν να βρουν από τα βάθη της αρχαιότητας και που ποτέ δεν µπόρεσαν να βρουν. Και είναι φανερό το γιατί δεν µπόρεσαν να το βρουν. Ζητούσαν να βρουν έξω τους αυτό που ήταν µέσα τους. Και προσπαθούσαν να κατασκευάσουν το αεικίνητο όπως κατασκευάζεται µια µηχανή, ενώ το πραγµατικό αεικίνητο αποτελεί µέρος ενός άλλου αεικινήτου και δεν µπορεί να κατασκευαστεί ξεχωριστά από αυτό. Το εννεάγραµµα είναι ένα σχηµατικό διάγραµµα του αεικίνητου , αλλά φυσικά είναι απαραίτητο να ξέρει κανείς πώς να το διαβάσει. Η κατανόηση αυτού του συµβόλου και η χρησιµοποίησή του δίνουν στον άνθρωπο πολύ µεγάλη δύναµη. Είναι το αεικίνητο και επίσης η φιλοσοφική λίθος των αλχηµιστών... Για να καταλάβει κανείς το εννεάγραµµα θα πρέπει να το φανταστεί σε κίνηση. Ένα ακίνητο εννεάγραµµα είναι ένα νεκρό σύµβολο. Το ζωντανό σύµβολο είναι σε κίνηση.

Ας σηµειωθεί ότι υπάρχει και µια εξήγηση των διάφορων σωµατικών τύπων µε βάση το Εννεάγραµµα.

ΤΟ ∆ΕΚΑΓΩΝΟ, Η ∆ΕΚΑ∆Α Το ∆εκάγωνο µπορεί να σχεδιαστεί µε τέσσερες τρόπους (ενώνοντας κάθε δύο, τρία, τέσσερα ή πέντε σηµεία διαιρέσεως του κύκλου). Σαν όλο αναφέρεται στη δέκατη Σεφίρα, το Μαλκούτ. Φυσιολογικά αντιπροσωπεύει τις δυνάµεις τις ∆εκάδας, όπως αυτή λειτουργεί στη φύση µε τη

διασπορά των ακτίνων των ∆έκα Σεφιρώθ µέσα σ’ αυτήν.

Σχήµα 46

Όπως αναφέρει ο Ίσραελ Ρεγκαρντιέ, η δεύτερη µορφή (ενώνοντας κάθε τρίτο σηµείο) είναι ιδιαίτερα σύµφωνη µε το Μαλκούτ και δείχνει τη Τριάδα να λειτουργεί µέσα από κάθε γωνία των δυο πενταγώνων από τα οποία αυτή αποτελείται. Υπαινίσσεται συνάµα το συνδυασµό των τριών Αλχηµικών αρχών (Θείο, Υδράργυρος, Άλας) µε το Πνεύµα και τα 4 Στοιχεία στη Θετική και Αρνητική τους µορφή κάτω από τη προεδρία των ∆έκα Σεφιρώθ.

Σχήµα 47 Η τρίτη µορφή του δεκαγώνου (κάθε τέσσερα σηµεία) υπαινίσσεται ιδιαίτερα «τις συγκεντρωµένες και συνεχείς λειτουργίες των δέκα Σεφιρώθ στη φύση». Τέλος η τετάρτη µορφή (κάθε πέµπτο σηµείο) αποτελείται από δυο πενταγράµµατα και δείχνει «τη λειτουργία του αναπαραγόµενου Χε του Τετραγράµµατου και τη συγκέντρωση των θετικών και αρνητικών δυνάµεων του Πνεύµατος και των τεσσάρων Στοιχείων κάτω από τη προεδρία των ∆υνάµεων των Πέντε στο Μπίνα, των Περιστροφών των δυνάµεων κάτω από την Αίµα, τη Μεγάλη Μητέρα». Το κανονικό δεκάγωνο κατασκευάζεται σχετικά εύκολα από το κανονικό πεντάγωνο διχοτοµώντας στη συνέχεια τις κεντρικές γωνίες του (και τα αντίστοιχα τόξα), φέρνοντας από το κέντρο του καθέτους στις πλευρές του µέχρι να τµήσουν την περιφέρεια του περιγεγραµµένου κύκλου. Μπορεί να κατασκευαστεί όµως και ξεχωριστά από τη βασική του ιδιότητα ότι η πλευρά του χωρίζει την ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου σε µέσο και άκρο λόγο (δες το κεφάλαιο της χρυσής τοµής). Ο λόγος δηλαδή της ακτίνας R του περιγεγραµµένου κύκλου προς τη πλευρά του ισούται µε το «χρυσό» αριθµό Φ: λ10= R/Φ=φ.R ,όπου φ=1/Φ Η ∆εκάδα αντιστοιχεί στη δεκάτη και τελευταία Σεφίρα του ∆ένδρου της Ζωής, το Μαλκούτ ή Βασίλειο (εννοείται Βασίλειο του Βασιλιά-Μικροπρόσωπου που αντιπροσωπεύεται από τα έξη κεντρικά Σεφιρώθ) ή ακόµα τη «Νύφη του Μικροπρόσωπου», τη σφαίρα των τεσσάρων

Στοιχείων, στη βάση της Μεσαίας στήλης της Πραότητας ή Συνείδησης, κάτω ακριβώς από το Γεσούντ, τη σφαίρα της αιθερικής ύλης. Το Μαλκούτ, το υλικό επίπεδο, δέχεται συνολικά όλες τις εκπορεύσεις των υπόλοιπων Σεφιρώθ. Όπως σηµειώνει η Ντιόν Φόρτσιουν στη Μυστική Καβάλα, «αποτελεί το Ναδίρ της εξέλιξης, το χαµηλότερο σηµείο του κατερχόµενου τόξου, από το οποίο πρέπει να περάσει όλη η ζωή πριν επιστρέψει στη πηγή της». Το Μαλκούτ είναι η κατεξοχήν σφαίρα της µορφής, οι απαρχές της οποίας βρίσκονται στο Μπίνα, τη Μεγάλη Μητέρα. Είναι έτσι η Κατώτερη Μητέρα, το Μπίνα σε ένα κατώτερο τόξο. Από το Μαλκούτ ξεκινά η εξέλιξη προς τα πίσω, προς το Πατέρα-Μητέρα Κέτερ, από τον οποίο όλα απέρρευσαν. Ο επίδοξος µύστης ανέρχεται τις Ατραπούς του ∆ένδρου της ζωής ακολουθώντας την αντίθετη κατεύθυνση της καθόδου της ∆ύναµης, ή πιο γρήγορα ακολουθώντας την Ατραπό του Τόξου, τη Μεσαία Στήλη, µέσω αρχικά της τριακοστής δεύτερης Ατραπού που συνδέει το Μαλκούτ µε το Γεσούντ, για να ανυψωθεί στη Σφαίρα του Γεσούντ και από εκεί µέσω της εικοστής πέµπτης ατραπού στο Τίφαρετ. Το Μαλκούτ παρέχει την ύλη, τη µορφή, αλλά ο σκελετός, ή υποδοµή της ύλης κτίζεται βασικά από το αιθερικό στοιχείο του Γεσούντ. Όπως επισηµαίνει η Ντιόν Φόρτσιουν, η εξωτερική ύλη δεν είναι παρά το ορατό σηµείο της αόρατης αιθερικής δραστηριότητας. Το Γεσούντ, ο φορέας της ζωής, κτίζει τις µορφές οι οποίες ενσαρκώνονται στη συνέχεια στο Μαλκούτ. Από την µικροκοσµική άποψη το φυσικό σώµα αντιστοιχεί στο Μαλκούτ, το διπλό αιθερικό στο Γεσούντ, το αστρονοητικό σώµα στο Χοντ και το Νετζά και ο ανώτερος νους στο Τίφαρετ. Η ∆εκάδα ανάγεται αριθµοσοφικά στη Μονάδα (1+0=1), ενώ είναι και το άθροισµα της Πυθαγόρειας Τετρακτύος (1+2+3+4=10). Με αυτή αρχίζει λοιπόν µια νέα φάση ανάπτυξης και δηµιουργίας. Το άθροισµα των 10 διαδοχικών αριθµών της ανάγεται πάλι σε αυτή και θεοσοφικά πάλι στη µονάδα (1+2+3+..+10=55, 5+5=10, 1+0=1). Η ∆εκάδα, σύµφωνα µε το Θέωνα, περιέχει µέσα της όλες τις φύσεις και του άρτιου και του περιττού, και του κινούµενου και του ακίνητου και του αγαθού και του κακού κι εποµένως τελειώνει (περατώνει) κάθε αριθµό. Ο Ιάµβλιχος σηµειώνει σα βασική ιδιότητα της ∆εκάδας την ικανότητα να ανακυκλώνει η ίδια τον εαυτό της. Γι αυτό και χρησιµοποιήθηκε σα µέτρο και σα γνώµονας. Οι Πυθαγόρειοι την ονόµαζαν Κόσµο και Ουρανό, διότι δέχεται (∆εκάδα = ∆εχάδα από το ρήµα δέχοµαι) µέσα της τις αρχές όλου του Κόσµου. Επίσης Πάνα (από τον θεό Πάνα, ο οποίος, ας σηµειωθεί, εορτάζετο κάθε δέκα µήνες), διότι, σηµειώνει ο Ιάµβλιχος, "ο αριθµός δέκα ανήκει στη Φύση και δεν υπάρχει µεγαλύτερος από αυτόν και όλοι οι άλλοι αριθµοί που επινοήθηκαν µετά από αυτόν δεν αποτελούν κάτι νέο, αλλά µια επιστροφή στην αρχή της δεκάδας". Τον ονόµαζαν επίσης Ειµαρµένη, Θεό, Φάνη, Ήλιο, Αιώνα, Κράτος, Παντέλεια (διότι οδηγεί όλους τους αριθµούς στο τέλος), Πίστη, Ανάγκη και Κλειδούχο (Κλειδοκράτορα). Ο Πρόκλος σηµειώνει τα εξής για τη δεκάδα στα σχόλιά του πάνω στη Πλάτωνα:

"Πολιτεία" του

Ας πούµε λοιπόν ότι η Μονάδα ταιριάζει στους θεούς, γιατί περιέχει ενιαία τις αιτίες όλων των πραγµάτων και η ∆εκάδα, επειδή είναι µια µονάδα δεύτερης τάξης, στους ∆αίµονες (∆αήµονες =Γνώστες και όχι µε τη Χριστιανική έννοια...), ενώ η Εκατοντάδα, µια και είναι τρίτης τάξης, στις ανθρώπινες ψυχές. ∆ιότι αν η δεκάδα υψωθεί στο τετράγωνο καταλήγει στην εκατοντάδα, όπως και

το γένος των ∆αιµόνων, συνελισσόµενο στον εαυτό του και παραµένοντας στον εαυτό του, γεννά µε τη βοήθεια της Αιτίας των πάντων τις ανθρώπινες ψυχές. Σε διάφορα άλλα σηµεία της «Πολιτείας» εκφράζεται καθαρά για τη ∆εκάδα σαν ένα σύµβολο του Κόσµου, µε τη Μονάδα τη δηµιουργική Αιτία του. Για παράδειγµα: Ώστε η Μονάδα είναι του ∆ία (∆ίιος), η Τετράδα του ∆ιονύσου και η ∆εκάδα η ύπαρξη των κοσµικών ειδών και ολόκληρος ο κόσµος. Με τη Μονάδα του ∆ιός ο Κόσµος είναι µονογενής, µε τη ∆ιονυσιακή Τετράδα τετραµερής κι επειδή η πρωταρχική ουσία της ∆εκάδας λέγεται και είναι η Τετράδα, ο Κόσµος είναι στο εξής ∆εκάδα. Στα σχόλιά του πάνω στο "Τίµαιο" ακόµα λέει: Η Τετράδα περιλαµβάνει µέσα της τα πάντα, όπως και η ∆εκάδα, αλλά η µία τα περιλαµβάνει ενωµένα, ενώ η άλλη διαιρεµένα. Αν και η ∆εκάδα περιέχει όλα όσα και η τετράδα, εντούτοις επειδή τα περιέχει διαιρεµένα, είναι ατελέστερη της τετράδας. Γιατί κάθε τι που είναι πλησιέστερα στη µονάδα είναι και τελειότερο και όσο µικραίνει το µέγεθος, τόσο µεγαλώνει η δύναµη (ή ποιότητα). Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη οι Πυθαγόρειοι αναφέρουν δέκα αρχές: Πέρας (τέλος, τέλειο) και άπειρον (απεριόριστο, ατελές), περιττόν και άρτιον, Έν και πλήθος, δεξιόν και αριστερόν, άρρεν και θήλυ, ηρεµούν και κινούµενον, ευθύ και καµπύλον, φως και σκότος, αγαθόν και κακόν τετράγωνον και ετεροµήκες. Οι αριστερές σε κάθε δυάδα αντιστοιχούν στη Μονάδα ή τον Πατέρα και οι δεξιά στην Αόριστη ∆υάδα ή τη Μητέρα Στη ∆εκάδα αντιστοιχούν συνολικά τα 10 Άγια Σεφιρώθ, οι 10 Πυθαγόρειες αρετές, οι 10 Βουδιστικές τελειώσεις (Παραµίτας) και οι 10 εντολές. Το Άγιο Πνεύµα επίσης κατέβηκε 10 µέρες µετά την Ανάσταση του Χριστού.

ΤΟ ΕΝ∆ΕΚΑΓΩΝΟ, Η ΕΝ∆ΕΚΑ∆Α Το κανονικό ενδεκάγωνο µπορεί να σχεδιαστεί µε πέντε τρόπους, ενώνοντας κάθε δεύτερο, τρίτο, τέταρτο, πέµπτο και κάθε έκτο σηµείο διαιρέσεως του κύκλου). Αναφέρεται σαν όλο στα Κλιφώθ, τα ανεστραµµένα ή Κακά Σεφιρώθ. Ο Ίσραελ Ρεγκαρντιέ παρατηρεί στο βιβλίο του «Το Πλήρες Σύστηµα Μαγείας της Χρυσαυγής» τα εξής: Το ενδεκάγωνο «αντιπροσωπεύει φυσικά τη κακή και ατελή φύση της Ενδεκάδας, τη διασπορά των Ένδεκα Καταρών του όρους Εβάλ διά µέσου του σύµπαντος. Η δεύτερη µορφή του (κάθε τρίτο σηµείο) αντιπροσωπεύει τη συγκεντρωµένη δράση του κακού στην Ενάντια Τριάδα, που συµβολίζεται µε τους Ένδεκα Βασιλιάδες της Εδώµ, τα κέρατα του Κόκκινου ∆ράκοντα όταν εµφανίζεται. Αυτό είναι µια αναφορά σε ένα από τα ∆ιαγράµµατα του Βωµού, το Κήπο της Εδέµ µετά τη Πτώση.

Σχήµα 48 Η τρίτη µορφή του (κάθε τέταρτο σηµείο) συµβολίζει τον περιορισµό των Κλιφώθ Η τέταρτη µορφή του (κάθε πέµπτο σηµείο) δεν είναι τόσο κακή όσο οι υπόλοιπες και αντιπροσωπεύει την αναχαίτιση των κακών (επιρροών). Αυτή η απέχθεια και η ασυµβατότητα µε τον αριθµό τέσσερα, είναι ένα άλλο σηµάδι της ατελούς φύσης της ενδεκάδας, όταν εφαρµοστεί στο συµβολισµό των Κλιφώθ. ∆ιότι µε το που αυτά εµφανίζονται, εµφανίζεται επίσης και ο περιορισµός τους. Εντούτοις ακόµα και αυτό το Ενδεκάγωνο, που σχεδιάζεται κάθε τέταρτο σηµείο, δεν έχει µια καλή λειτουργία, αλλά εκφράζει απλώς τον περιορισµό του κακού όπως θα εµφανιστεί στο εξής. Το Ενδεκάγωνο που σχεδιάζεται κάθε πέµπτο σηµείο αντιπροσωπεύει τη συγκεντρωµένη δύναµη των εναντίων και εχθρικών Σεφιρώθ. Στη πέµπτη µορφή του Ενδεκάγωνου (κάθε έκτο σηµείο) αποδίδονται οι 12 Πρίγκιπες των Κλιφώθ, που είναι οι κεφαλές του Κακού που δρα στους µήνες του χρόνου. Τι είναι όµως τα Κλιφώθ (ενικός Κλιφά = άσεµνη γυναίκα, πόρνη); Αυτά είναι τα λεγόµενα κακά ή ανεστραµµένα Σεφιρώθ που απεικονίζουν τις ανισόρροπες δυνάµεις των αντίστοιχων Σεφιρώθ του ∆ένδρου της Ζωής. Τα Κλιφώθ, επισηµαίνει η Ντιόν Φόρτσιουν, ονοµάζονται αρνητικά Σεφιρώθ «διότι δεν αποτελούν ανεξάρτητες αρχές ή παράγοντες στο κοσµικό σχέδιο, αλλά την ανισόρροπη και καταστροφική όψη των ίδιων των Άγιων Σεφιρώθ. Στη πραγµατικότητα δεν υπάρχει ένα αλλά δύο ∆ένδρα (της Ζωής), µε τα Κλιφώθ να αντιπροσωπεύουν την άλλη όψη του νοµίσµατος, δηλαδή της Σεφίρα. Όποιος χρησιµοποιεί το ∆ένδρο στο µαγικό σύστηµα, πρέπει να γνωρίζει απαραίτητα τις Κλιφωθικές σφαίρες, γιατί θα έρθει οπωσδήποτε σε επαφή µαζί τους». Το «∆αιµονικό» ∆ένδρο, το «∆ένδρο του Κακού», απεικονίζεται σαν αντανάκλαση του Ουράνιου ∆ένδρου πάνω σε ένα καθρέφτη τοποθετηµένου στη βάση του τελευταίου. Η Ντιόν Φόρτσιουν εξηγεί περισσότερο τα Κλιφώθ: ...κάθε Κλιφά ξεκίνησε αρχικά σα µια εκπόρευση ανισόρροπης δύναµης στην εξελικτική ιστορία της αντίστοιχης Σεφίρα. Υπήρξε µια περίοδος που οι δυνάµεις του Κέτερ ξεχείλιζαν για να σχηµατίσουν το Χόχµα και η ∆εύτερη Ατραπός ήταν σε κατάσταση γίγνεσθαι, χωρίς να έχει πλήρως εδραιωθεί. Εξ’ αιτίας αυτού του γεγονότος το Κέτερ βρέθηκε εκτός ισορροπίας ξεχειλίζοντας χωρίς να ισορροπείται....Αυτή η αναπόφευκτη περίοδος ανισόρροπης δύναµης, η παθολογία της µεταβατικής περιόδου, δηµιούργησε διαδοχικά τα Κλιφώθ. Συνεπώς η λύση του προβλήµατος του κακού και της εξάλειψής του από το κόσµο δε δίνεται µε την κατάπνιξη, το ξερίζωµα ή τη καταστροφή του, αλλά µε την εξισορρόπηση και την απορρόφησή του στη σφαίρα από την οποία ξεκίνησε. Η ανισόρροπη δύναµη του Κέτερ που δηµιούργησε τις ∆υαδικές Αντιµαχόµενες ∆υνάµεις πρέπει να εξουδετερωθεί από µια αντίστροφη αύξηση της δραστηριότητας του Χόχµα.... Σηµειώνουµε ότι το κανονικό ενδεκάγωνο, όπως το κανονικό επτάγωνο και το κανονικό εννεάγωνο δεν κατασκευάζεται µε κανόνα και διαβήτη.

Με τον αριθµό δέκα έκλεισε ο πρώτος κύκλος της εκδήλωσης. Σε σχέση µε τον πρώτο αριθµό της επόµενης, δεύτερης δεκάδας, ο Π. Γράβιγγερ, παρατηρεί τα εξής: Αν αυτός προστεθεί θεοσοφικά (1+1=2), µας δίνει την ιδέα της αντίθεσης, ή ανταγωνισµού που εκδηλώνεται ανάµεσα στην πρωταρχική Μονάδα του Ενοποιηµένου Κόσµου και µιας άλλης µονάδας ατοµικοποιηµένης, που ενεργεί σα µια ανεξάρτητη µονάδα. Με βάση αυτές τις ιδέες πολλοί διανοητές και ανάµεσα σε αυτούς ο Άγιος Αυγουστίνος θεώρησαν τον ένδεκα σαν το σύµβολο της εσωτερικής διαµάχης, της δυσαρµονίας και της παραπλάνησης. Ο Άγ. Αυγουστίνος τον θεωρεί σαν τον αριθµό της Παραβίασης του Νόµου, γιατί υπερβαίνει κατά µία τον αριθµό των 10 εντολών. Ένδεκα επίσης ήταν και ο αριθµός των µαθητών του Χριστού µετά την προδοσία του Ιούδα. Πολλοί τον θεωρούν σαν κάτι παραπάνω από την απλή ανθρώπινη αµαρτία και του αποδίδουν µια έννοια Κοσµικής Αµαρτίας, συνδέοντάς τον µε το δόγµα της επανάστασης των Αγγέλων και την εµφάνιση της αµαρτίας στο Σύµπαν. Τον αποδίδουν έτσι στον Πειρασµό ή Εωσφόρο και στον κίνδυνο που διατρέχει κάθε ελεύθερο ον να αποχωριστεί από τον Θεό. Οι Ιουδαίοι µε τη σειρά τους τον αποδίδουν στη πρώτη σύζυγο του Αδάµ, τη δαιµόνισσα Λιλίθ.

ΤΟ ∆Ω∆ΕΚΑΓΩΝΟ, Η ∆Ω∆ΕΚΑ∆Α Σε σχέση µε το ∆ωδεκάγωνο ο Ίσραελ Ρεγκαρντιέ αναφέρει τα εξής: Το (κανονικό) δωδεκάγωνο µπορεί να σχεδιαστεί µε πέντε τρόπους (ενώνοντας κάθε δεύτερο, τρίτο, τέταρτο, πέµπτο και έκτο σηµείο διαίρεσης του κύκλου). Σαν ένα όλον αναφέρεται γενικά στο Ζωδιακό Κύκλο και αντιπροσωπεύει φυσικά τις δυνάµεις της ∆ωδεκάδας. ∆είχνει τη διασπορά των δυνάµεων του Ζωδιακού Κύκλου διά µέσου της φύσης.

Σχήµα 49 Η δεύτερη µορφή (συνδέοντας κάθε τρίτο σηµείο) σχηµατίζεται από δυο εξάγωνα µέσα σε ένα κύκλο και αντιπροσωπεύει τη διασπορά και συγκέντρωση του Ζωδιακού Κύκλου σε αρσενικά και θηλυκά ζώδια. Τα αρσενικά είναι ο Κριός, οι ∆ίδυµοι, ο Ζυγός, ο Τοξότης και ο Υδροχόος. Και τα θηλυκά ο Ταύρος, ο Καρκίνος, η Παρθένος, ο Σκορπιός, ο Αιγόκερως και οι Ιχθείς. Μια και αυτό το δωδεκάγωνο αποτελείται από δώδεκα τρίγωνα, αυτά αντιστοιχούν στους δεκανούς, έδρες ή σύνολα 10ο σε κάθε Ζώδιο. Η τρίτη µορφή του ∆ωδεκάγωνου (σύνδεση κάθε τέταρτου σηµείου) σχηµατίζεται από τρία τετράγωνα που αντιπροσωπεύουν τα τρία τεταρτηµόρια: Γωνιώδες, Κινητό και Σταθερό (οι τρεις

τετραγωνοκρατίες που αναφέρει και ο Πρόκλος: τα τροπικά ζώδια: Καρκίνος, Αιγόκερως, Κριός, Ζυγός), τα δίσωµα: ∆ίδυµοι, Παρθένος, Τοξότης, Ιχθείς και τα στερεά: Ταύρος, Λέων, Σκορπιός και Υδροχόος). Η τέταρτη µορφή του δωδεκάγωνου (σύνδεση κάθε πέµπτου σηµείου) αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα µέσα σε ένα κύκλο και αναφέρεται στη συγκεντρωµένη δύναµη των τεσσάρων τριπλοτήτων των Ζωδιακού Κύκλου που λειτουργούν µέσω της φύσης (Εδώ έχουµε τις τέσσερες τριγωνοκρατίες ισοπλεύρων τριγώνου του Πρόκλου που αντιστοιχούν στα ζώδια της Φωτιάς: Λιοντάρι, Τοξότης, Κριός, του Αέρα: Υδροχόος, Ζυγός, ∆ίδυµοι, του Νερού: Καρκίνος, Σκορπιός, Ιχθείς και της Γης: Αιγόκερως, Παρθένος, Ταύρος).

Σχήµα 50

Η πέµπτη µορφή (σύνδεση κάθε έκτου σηµείου) είναι µια συνεχής µορφή και συµβολίζει τους 24 Θρόνους του σχήµατος που εδραιώνονται πάνω στις Θετικές (στο σχήµα Θ) και Αρνητικές (στο σχήµα Α) δυνάµεις των Στοιχείων στο Ζωδιακό Κύκλο και στη διάρκεια των 24 ωρών της ηµέρας. Η τελευταία µορφή πρόκειται για ένα ∆ωδεκάκτινο Αστέρα.

Σχήµα 51 Τα ∆ώδεκα Ζώδια µέσα στο Σταυρό του Γολγοθά

Η σηµαντικότερη ιδιότητα της δωδεκάδας από αριθµητική άποψη είναι η παραγωγή της από τον πολλαπλασιασµό του 3 µε το 4, που σηµαίνει ότι αυτή είναι µια τριπλή τετράδα και µια τετραπλή τριάδα. Έτσι ο 12 παριστάνει τα τέσσερα στοιχεία της φύσης σε µια τριπλή σηµασία τους, που

µπορεί να είναι είτε οι τρεις Ινδικές Γκούνας (∆ράση, Αδράνεια και Αρµονία), ή οι τρεις αρχές των αλχηµιστών (Άλας, Θείο και Υδράργυρος). Ο Πρόκλος αναφέρει τα εξής για τους αριθµούς 3 και 4 σε σχέση µε τη δωδεκάδα στα σχόλιά του πάνω στην "Πολιτεία" του Πλάτωνα: Από αυτούς τους δυο αριθµούς ο 3 οδηγεί προς τη τελείωση (τελεσιουργός) κι επαναφέρει στις αρχές, ενώ ο 4 είναι γόνιµος, προσφέρει µια βάση εκδήλωσης και είναι συγχρόνως εναρµόνιος. Επειδή λοιπόν η ∆ωδεκάδα προήλθε από τους δυο αυτούς αριθµούς, αφ’ ενός αντιπροσωπεύει την επιστροφή της ψυχής προς τα πάντα, τόσο προς τη νοερή, όσο και προς την ατοµικοποιηµένη ζωή και αφ' ετέρου δρα για τη σταθερή και αµετάβλητη διατήρηση του σώµατος και για την αρµονική σύσταση τόσο της ψυχής που αυτή χρησιµοποιεί, όσο και του σώµατος που είναι το όργανό της.

Κοσµικές ∆ωδεκάδες ∆ώδεκα σφαίρες περιβάλλουν πλήρως µία άλλη στο κέντρο τους και είναι έτσι φυσικό το πρότυπό τους να οδηγήσει στη σύλληψη της δωδεκαδικής διαίρεσης του Ζωδιακού κύκλου και στις άλλες πολλές δωδεκαδικές αντιστοιχίες που συνδέονται µε αυτήν. ∆ωδεκαδική είναι και η διαίρεση του χρόνου, τα αίτια της οποίας, µαζί µε τη διαίρεση του κύκλου σε 360ο, θα τα εξετάσουµε στο κεφάλαιό µας για το δωδεκάεδρο.

Σχήµα 52

Οι δώδεκα ολύµπιοι θεοί αντιστοιχούν στα 12 ζώδια ως εξής: Αθηνά (Κριός), Αφροδίτη (Ταύρος), ∆ίδυµοι (Ερµής), ∆ίας (Καρκίνος), Απόλλωνας (Λέων), ∆ήµητρα (Παρθένος), Ήφαιστος (Ζυγός), Άρης (Σκορπιός), Άρτεµη (Τοξότης), Εστία (Αιγόκερως), Ήρα (Υδροχόος), Ποσειδώνας (Ιχθείς). Αντίστοιχοι είναι και οι 12 Άθλοι του Ηρακλή: Πρώτος Άθλος τα Άλογα του ∆ιοµήδη, που αντιστοιχεί στο ζωδιακό σηµείο του Κριού, ∆εύτερος Άθλος η Σύλληψη του Μινώταυρου (Ταύρος), Τρίτος Άθλος τα Χρυσά Μήλα των Εσπερίδων (∆ίδυµοι), Τέταρτος το Ελάφι της Αρτέµιδος (Καρκίνος), Πέµπτος το Λιοντάρι της Νεµέας (Λέων), Έκτος η Ζώνη της Ιππολύτης (Παρθένος), Έβδοµος ο Ερυµάνθιος Κάπρος (Ζυγός), Όγδοος η Λερναία Ύδρα (Σκορπιός), Ένατος οι Στυµφαλίδες Όρνιθες (Τοξότης), ∆έκατος η Σύλληψη του Κέρβερου (Αιγόκερως), Ενδέκατος οι Στάβλοι του Αυγεία (Υδροχόος) και ∆ωδέκατος τα Βόδια του Γηρυόνη (Ιχθείς). Οι παραπάνω αντιστοιχίες προέρχονται από το βιβλίο της Αλίκης Μπέιλη "Οι Άθλοι του Ηρακλή". Ας σηµειωθεί ότι µερικοί άλλοι συγγραφείς δίνουν διαφορετικές ζωδιακές αντιστοιχίες σε µερικούς απ’ αυτούς τους Άθλους.

Σχετικά µε την ύπαρξη των δώδεκα Ολυµπίων θεών ο Πρόκλος, επισηµαίνει στα σχόλιά του πάνω στον "Τίµαιό" τα εξής: Επειδή το σχήµα της ψυχής είναι σαν ένα Χ και η µορφή της είναι δυαδική (γιατί η τοµή των δυο ηµικυκλίων του Χ γίνεται σε δυο µέρη, αλλά και γιατί το ίδιο το Χ αποτελείται από την τοµή δυο αντίρροπων ηµικυκλίων) κι επειδή η ∆υάδα πολλαπλασιαζόµενη µε την Εξάδα, που είναι ο πρώτος θεµελιώδης αριθµός του Χ (600) δίνει τη ∆ωδεκάδα, µπορούµε να συµπεράνουµε την ύπαρξη των 12 αυτών αρχικών πρώτων ψυχών. Σηµειώνουµε ακόµα τις παρακάτω δωδεκαδικές αντιστοιχίες: Ό Σκανδιναβικός θεός Οντίν είχε 12 ονόµατα ή προσωποποιηµένες ιδιότητες. Ο Χριστός 12 αποστόλους, ο διπρόσωπος θεός Ιανός των Ρωµαίων (από το όνοµα του οποίου προέρχεται και ο µήνας Ιανουάριος) ήταν ο Θεός των 12 Μηνών και παριστάνετο µε 12 βωµούς κάτω από τα πόδια του. Στην Αίγυπτο οι 12 ακόλουθοι του ηλιακού θεού Ρα τραβούσαν τη βάρκα του διά µέσου των 12 πυλών (ωρών της νύχτας) του Ντουάτ (κάτω κόσµου). Υπήρχαν 12 δοκιµασίες του Γιγαλµές, 12 Ρωµαϊκοί Πίνακες του Νόµου, 12 Αργοναύτες µε τον Ιάσονα, 12 βιβλία της Αινειάδας του Βιργιλίου και 12 φυλές του Ισραήλ. Στο µύθο της ίδρυσης της πόλης των Θηβών ο βασιλιάς Κάδµος έσπειρε τα 12 δόντια του δράκοντα από τα οποία προήλθαν οι «Σπαρτές» ιδρυτικές οικογένειες της πόλης. Γνωστοί επίσης είναι οι δώδεκα σύµβουλοι του ∆αλάι Λάµα, οι 12 ιππότες της στρογγυλής τράπεζας του Βασιλιά Αρθούρου, οι 12 νότες της χρωµατικής µουσικής κλίµακας (τα 7 άσπρα συν τα 5 µαύρα πλήκτρα του πιάνου) και οι 12 µεσηµβρινοί του βελονισµού γύρω από έναν κεντρικό µεσηµβρινό. Τέλος 12 είναι τα κρανιακά νεύρα που ενεργοποιούνται στα τελικά στάδια της πνευµατικής εµπειρίας στα εσωτερικά συστήµατα διαλογισµού. Εκτός όµως από τα ηµερολόγια και τους µύθους, και οι ίδιες οι κοινωνίες ακολούθησαν το ουράνιο πρότυπο της δωδεκαδικής διαίρεσης. Όπως αναφέρει ο Ερµής ο Τρισµέγιστος στον Ασκληπιό, η Αίγυπτος ήταν µια εικόνα του ουρανού και η προβολή στη γη της διάταξης των ουρανίων πραγµάτων. Από την άλλη µεριά ο Πλάτωνας συζητώντας τη καλύτερη οργάνωση της ιδανικής πολιτείας προτείνει τη διαίρεση της χώρας, της πόλης και των πολιτών σε 12 τµήµατα, τα οποία θα υποδιαιρεθούν µε τη σειρά τους ξανά σε άλλα τόσα υποτµήµατα. Ένα ανάλογο σχέδιο δωδεκαδικής κατανοµής ακολούθησαν πολλές αρχαίες ευρωπαϊκές πόλεις που διευθετήθηκαν γύρω από µια κεντρική πόλη-πρωτεύουσα, ελαχιστοποιώντας τις µεταξύ τους αποστάσεις και µεγιστοποιώντας το κυβερνητικό έλεγχο των εξωτερικών περιοχών. Ο αριθµός επτά ήταν το σύµβολο των νοµαδικών σεληνιακών κοινοτήτων (σαν τους περιπλανώµενους επτά πλανήτες), ενώ ο αριθµός δώδεκα ήταν σύµβολο των σταθερών, µόνιµα εγκατεστηµένων σε µια περιοχή, ηλιακών κοινοτήτων διαµορφωµένων σύµφωνα µε το µοντέλο του σταθερού ζωδιακού κύκλου που περιστρεφόταν γύρω από το ήλιο. Με αυτή την έννοια υπήρχε συνήθως ένα ηλιακό κέντρο σαν τους ∆ελφούς ή την Αθήνα που περιβαλλόταν από δώδεκα ζωδιακές πόλεις, σε µια αποµίµηση του ουράνιου ζωδιακού πάνω στη γη.

Η Νέα Ιερουσαλήµ Καθαρά δωδεκαδικό αριθµολογικό συµβολισµό βρίσκουµε και στις διαστάσεις της Ουράνιας Ιερουσαλήµ, της υποσχεθείσας για τους ενάρετους και δίκαιους αγίας πόλης του Θεού, όπως αυτή παρουσιάζεται στην Αποκάλυψη του Ιωάννη (ΚΑ΄ 10-24 και ΚΒ΄ 1-2 )

Και είδον ουρανόν καινόν και γην καινήν. ο γαρ πρώτος ουρανός και η πρώτη γη απήλθον, και η θάλασσα ουκ έστιν έτι. Και την πόλιν την αγίαν Ιερουσαλήµ καινήν είδον καταβαίνουσαν εκ του ουρανού από του Θεού, ητοιµασµένην ως νύµφην κεκοσµηµένην τω ανδρί αυτής (Αποκάλυψη ΚΑ΄ 1-2) Η πόλη παρουσιάζεται σαν τετράγωνη 12.000 σταδίων (2.240 χιλιόµετρα), µε 12 πυλώνες και ένα ψηλό τείχος 144 (= 122) πήχεων (60 µέτρα) µε 12 θεµέλια. Ο συγγραφέας John Michell έχει προτείνει στο βιβλίο του Οι ∆ιαστάσεις του Παραδείσου: Οι Αναλογίες και οι Συµβολικοί Αριθµοί της Αρχαίας Κοσµολογίας το παρακάτω διάγραµµα σα µια ανακατασκευή της Νέας Ιερουσαλήµ:

Σχήµα 53

Αρχίζοντας µε το Πυθαγόρειο τρίγωνο µε πλευρές 3, 4 και 5, κατασκευάζεται το µεγάλο τετράγωνο πλευράς 11, έτσι ώστε η περιφέρεια του κύκλου που τέµνει τις πλευρές του (εάν θεωρήσουµε ότι π = 22/7) να έχει µήκος 14.22/7 = 44, ίσο δηλαδή µε τη περίµετρο του τετραγώνου (τετραγωνισµός του κύκλου). Η διάµετρος έτσι αυτού του κύκλου είναι 14. Η διάµετρος του εξωτερικού κύκλου που περιβάλλει τους 12 «σεληνιακούς κύκλους») είναι 17 (οπότε η διάµετρος αυτών των κύκλων είναι 3). Η διάµετρος του εγγεγραµµένου κύκλου στο τετράγωνο («γήινος κύκλος») είναι 11 και η διάµετρος του εγγεγραµµένου κύκλου στα τέσσερα τρίγωνα 5,5 ενώ τέλος η διάµετρος του κεντρικού κύκλου (το «δέκατο τρίτο φεγγάρι») είναι 3. Το σηµείο στο κέντρο του διαγράµµατος λαµβάνεται σα µια «κεντρική στιγµή» (µε σχετική τιµή = 0,033..) περιβαλλόµενη από ένα «κυκλικό χώρο» (µε σχετική τιµή = 0,2), καθένα των οποίων εννοείται ότι αντιπροσωπεύει το «πόλο του σύµπαντος», που περνάει κάθετα διά µέσου του κέντρου του διαγράµµατος. Ολόκληρο το σχήµα περιβάλλεται από ένα δωδεκάγωνο που αντιστοιχεί στο άθροισµα των πλευρών του Πυθαγορείου τριγώνου 3+4+5 = 12. Το γινόµενο των πλευρών αυτού του τριγώνου είναι 3.4.5=60 και έτσι 12+60=72, ενώ 12.60 = 720. Αν οι αρχικές διαστάσεις των διαµέτρων 0,033..., 0,2, 3, 5,5, 11, 14, και 17 πολλαπλασιαστούν επί 720 δίνουν 24, 144, 2160, 3960, 7920, 10080 και 12240, όπου το 7920 αντιστοιχεί, σε µια προσαρµοσµένη κλίµακα, στη πλευρά των 12.000 σταδίων του τετραγώνου της Νέας Ιερουσαλήµ. Υποτίθεται ότι το διάγραµµα της Νέας Ιερουσαλήµ ταιριάζει καθαρά στο σχέδιο των «ουράνιων σφονδύλων» που αποκάλυψε ο Αρµένιος Ηρ στη Πολιτεία του Πλάτωνα, στη τάξη που δίνεται από το Πλάτωνα.

Στο επόµενο βιβλίο του Στο Κέντρο του Κόσµου (1994) ο John Michell συµπλήρωσε τη προηγούµενη ανάλυσή του προσθέτοντας το παρακάτω διάγραµµα:

Σχήµα 54

όπου γύρω από τον αρχικό κύκλο µε ακτίνα 5040 περιγράφεται µια vesica, «το πρώτο σχήµα της συµβολικής γεωµετρίας» (θα µιλήσουµε αργότερα γι’ αυτήν). Ο µακρύτερος άξονας της υπολογίζεται στα 17460, ίσος επίσης µε τη πλευρά του περιγεγραµµένου τετραγώνου. Ο περιγεγραµµένος κύκλος αυτού του τετραγώνου αποδεικνύεται ότι έχει εµβαδόν (εφόσον πάρουµε π = 22/7 ) ακριβώς 12! δηλαδή ίσο µε το γινόµενο 12 πρώτων διαδοχικών ακεραίων αριθµών: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 = 479001600. Η αλληλεπίδραση έτσι των αριθµών από το ένα έως το δώδεκα συνοψίζει συµβολικά ολόκληρη τη κοσµική δοµή.

ΤΑ ΠΕΝΤΕ ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ

Σχήµα 1

Ενώ τα κανονικά πολύγωνα είναι άπειρα σε αριθµό, τα κανονικά στερεά ή πολύεδρα (που έχουν

όλες τις ακµές, έδρες, επίπεδες και στερεές γωνίες τους ίσες) είναι, όπως απέδειξε ο Πλάτωνας στο «Τίµαιο», µόνο πέντε: το Τετράεδρο, ο Κύβος, το Οκτάεδρο, το ∆ωδεκάεδρο και το Εικοσάεδρο. Τα τρία πρώτα ήσαν γνωστά από αρχαιοτάτων χρόνων, ενώ όλα θεωρούνται ότι ήσαν ήδη γνωστά από τους Πυθαγορείους, πριν ασχοληθεί µαζί τους ο Πλάτωνας, ο οποίος και απέδωσε στο καθένα ένα από τα πέντε στοιχεία. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα βασικά χαρακτηριστικά των πέντε αυτών κανονικών πολυέδρων ή ιδανικών στερεών του Πλάτωνα και την αντιστοιχία τους µε τα πέντε στοιχεία των αρχαίων:

Πολύεδρο

Έδρες Ακµές Κορυφές Σύµβολο Schδfli

∆υαδικό

Αντιστοιχία

Τετράεδρο

4

6

4

(3,3)

Tετράεδρο

Φωτιά, θερµότητα

Οκτάεδρο

8

12

6

(3,4)

Κύβος

Αέρας, Αέριο

Κύβος

6

12

8

(4,3)

Οκτάεδρο

Γη, Στερεό

Εικοσάεδρο

20

30

12

(3,5)

∆ωδεκάεδρο

Νερό, Υγρό

∆ωδεκάεδρο 12 30 20 (5,3) Εικοσάεδρο Αιθέρας, Σύµπαν Τα πέντε ιδανικά στερεά του Πλάτωνα παρουσιάστηκαν µαθηµατικά στο Θεαίτητο και στα Στοιχεία του Ευκλείδη πριν 2000 χρόνια.. Το 1596 ο αστρονόµος και µαθηµατικός Κέπλερ (1571-1630) δηµοσίευσε µια µπροσούρα µε τίτλο Το Κοσµικό Μυστήριο, στην οποία οραµατίσθηκε το σύµπαν αποτελούµενο από τα Πλατωνικά στερεά, το ένα µέσα στο άλλο, των οποίων οι εγγεγραµµένες σφαίρες προσδιόριζαν τις τροχιές των πλανητών και περιβάλλονταν όλες από τη σφαίρα του εξωτερικού ουρανού. Επίσης ο Κέπλερ δικαιολόγησε την αντιστοιχία των Πλατωνικών στερεών µε τα πέντε στοιχεία των αρχαίων ως εξής: Από τα 5 στερεά, το τετράεδρο έχει το µικρότερο όγκο για το εµβαδόν της επιφάνειάς του και το εικοσάεδρο το µεγαλύτερο, αυτά δείχνουν συνεπώς αντίστοιχα τις ιδιότητες της ξηρότητας και υγρότητας και αντιστοιχούν έτσι στη Φωτιά και το Νερό. Ο κύβος στεκόµενος σταθερός πάνω στη βάση του αντιστοιχεί στο σταθερό στοιχείο της γης, αλλά το οκτάεδρο που περιστρέφεται ελεύθερα όταν κρατηθεί από δυο απέναντι κορυφές, αντιστοιχεί στο στοιχείο του Αέρα. Το δωδεκάεδρο αντιστοιχεί στο Σύµπαν διότι ο ζωδιακός έχει 12 ζώδια που αντιστοιχούν στις 12 έδρες του δωδεκάεδρου. Αν είναι Α ο αριθµός των ακµών, Κ ο αριθµός των κορυφών και Ε ο αριθµός των εδρών ενός κανονικού πολυέδρου, τότε αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση του Euler: Ε+Κ-Α=2. Το σύµβολο Schδfli δείχνει τον αριθµό των πλευρών κάθε έδρας (ή αριθµό των ακµών ανά έδρα Α/Ε) και τον αριθµό που εδρών που συναντώνται σε κάθε κορυφή (δηλαδή τον αριθµό των εδρών κάθε στερεάς γωνίας ή αλλιώς των εδρών ανά κορυφή Ε/Κ). Ο κύβος π.χ. αποτελείται από τετράγωνα (4), ενώ σε κάθε κορυφή του συναντώνται τρεις έδρες του (3), εποµένως το σύµβολο Schδfli γι’ αυτόν είναι (4,3)

∆υο πολύεδρα θεωρούνται δυαδικά αν ο αριθµός των κορυφών του ενός είναι ίσος µε το πλήθος των εδρών του άλλου. Γενικά τα κέντρα των εδρών ενός κανονικού πολυέδρου είναι κορυφές του δυαδικού του. Το κανονικό τετράεδρο έχει έτσι δυαδικό τον εαυτό του, ο κύβος το κανονικό οκτάεδρο και το εικοσάεδρο το δωδεκάεδρο. Το δυαδικό του δυαδικού ενός πολυέδρου είναι όµοιο µε το αρχικό πολύεδρο, αλλά µικρότερο από αυτό. Μπορούµε έτσι να εφαρµόσουµε διαδοχικά αυτό το µετασχηµατισµό και να πάρουµε µια άπειρη ακολουθία «κατοπτρικά» δυαδικών πολυέδρων µε όλο και µικρότερο όγκο, µε τελικό όριο το κέντρο του πολυέδρου (φράκταλς). Ανάλογη «δυαδικότητα» µπορούµε να διακρίνουµε και µεταξύ των τεσσάρων στοιχείων, η οποία κατοπτρίζεται ακόµα και στο τριγωνικό συµβολισµό τους: τα πνευµατικά ή ενεργητικά στοιχεία (Φωτιά και Αέρας ) και τα υλικά ή παθητικά (Νερό και Γη ), ενώ το πέµπτο στοιχείο της Πεµπτουσίας ή Αιθέρα είναι δυαδικό (αντίθετο) του εαυτού του, θυµίζοντάς µας ως προς αυτό την ιδέα του θετικού και αρνητικού αιθέρα. Με αυτή την έννοια θα ήταν ίσως προτιµότερο να αντιστοιχήσουµε, διαφορετικά από τη παράδοση, τον Αιθέρα στο Τετράεδρο (µια και είναι και τα δυο δυαδικά του εαυτού τους), τη Γη και τον Αέρα κανονικά, όπως συνήθως, στο Κύβο και το Οκτάεδρο και τη Φωτιά και το Νερό αντίστοιχα στο ∆ωδεκάεδρο και στο Εικοσάεδρο. Η παράδοση αποδίδει µια τριπλή σηµασία στα ιδανικά αυτά στερεά µε φυσικές, νοητικές και ανώτερες ιδιότητες. Οι φυσικές τους ιδιότητες αναφέρονται στη συµµετρία τους και την προφανή απλότητά τους. Από την άλλη µεριά αυτά έχουν χρησιµοποιηθεί από παλιά από τους µαθηµατικούς για την ευρύτερη κατανόηση της γεωµετρίας, της τριγωνοµετρίας και της κρυσταλλικής δοµής της ύλης. Οι Πυθαγόρειοι τα χρησιµοποίησαν στην αναζήτησή τους για τη δηµιουργία του σύµπαντος και των στοιχείων. Με βάση τις ιδέες τους συζήτησε γι’ αυτά ο Πλάτωνας στο «Τίµαιο». Πιο πρόσφατα φαίνονται να παίζουν κάποιο ρόλο στο σχηµατισµό φυσικών µορφών όπως το DNA και οι δίνες νερού.

Σχήµα 02 Η ανακάλυψη πάντως των «Πλατωνικών» στερεών φαίνεται να είναι πολύ πιο αρχαία από τον Πλάτωνα και τους Πυθαγορείους, αφού έχουν ανακαλυφθεί σε νεολιθικές κατασκευές ηλικίας τουλάχιστον 3.000 ετών, όπως δείχνει η παραπάνω φωτογραφία (Ashmolean Museum, Oxford, UK).

Η Πλατωνική Θεωρία για τα Στοιχεία Υπάρχει το Ον, ο Χώρος και το γεννητόν, τρία δηλαδή διαφορετικά πράγµατα που υπήρχαν προτού γεννηθεί ο ουρανός. Πριν τη δηµιουργία του σύµπαντος όλα αυτά βρίσκονταν χωρίς λόγο και µέτρο. Όταν όµως άρχισε η δηµιουργία, τότε στην αρχή η Φωτιά, το Νερό , η Γη και ο Αέρας, που είχαν βέβαια µερικά γνωρίσµατα της φύσεώς τους - βρίσκονταν όµως σε τέτοια κατάσταση στην οποία

βρισκόταν το κάθε τι, όταν απουσιάζει από αυτά ο Θεός - αυτά τα 4 λοιπόν (στοιχεία) τα σχηµατοποίησε ο θεός χρησιµοποιώντας τις Ιδέες και τους Αριθµούς. Πλάτωνας: «Τίµαιος» Σύµφωνα µε το Πλάτωνα ο ∆ηµιουργός κατασκεύασε το Σύµπαν και τα δευτερεύοντα στοιχεία του, έµψυχα και άψυχα, από τα τέσσερα στοιχεία: Φωτιά, Αέρα, Νερό και Γη. Στην αρχή συνελήφθη η ιδέα ότι όλη η δηµιουργηµένη ύλη θα πρέπει να είναι ορατή και απτή. Θεωρώντας τη Φωτιά σαν τη πηγή του φωτός ήταν φανερό ότι όλη η δηµιουργηµένη ύλη αποτελείτο από Φωτιά και Γη, τα δυο αυτά στοιχεία που οι Πυθαγόρειοι και οι Ελεάτες θεωρούσαν σαν αρχή όλων των άλλων. Τα δυο όµως αυτά σώµατα δεν µπορούν να ενωθούν άµεσα µεταξύ τους και χρειάζονται κάποιο ενδιάµεσο µέσο να τα ενώσει. ∆υο επίπεδα χρειάζονται ένα τέτοιο µέσο και δυο στερεά δύο. Ο Πλάτωνας θεωρεί τους πρώτους αριθµούς σα πλευρές και τα πολλαπλάσιά τους σαν επίπεδα και στερεά. Συνεπώς λέγοντας ότι για τη σύνδεση δυο επιπέδων αρκεί ένας µόνο µέσος όρος, ενώ για τη σύνδεση δυο στερεών δύο, είχε υπ’ όψη του τετράγωνα και κύβους πρώτων αριθµών. Ο κόσµος συνέστη από τα αντιτιθέµενα στοιχεία Γη και Φωτιά τα οποία παριστάνουν αντίθετες ιδιότητες όπως βαρύτητα και ελαφρότητα ή φως και σκοτάδι.. Αλλά για να ενωθούν καλά η Γη µε τη Φωτιά και να αποτελέσουν ένα στερεό σώµα, συνδέθηκαν µε το στοιχείο του Αέρα και του Νερού µε τέτοιο τρόπο ώστε τα τέσσερα αυτά στοιχεία να αποτελούν µια γεωµετρική αναλογία, δηλαδή έτσι ώστε λόγος της Φωτιάς προς τον Αέρα να είναι ίσος µε το λόγο του Αέρα προς το Νερό και ο λόγος του Αέρα προς το Νερό να είναι ίσος µε το λόγο του Νερό προς της Γη σε µια κανονική και αρµονική διαβάθµιση από το ελαφρύτερο και πιο διεισδυτικό στοιχείο, τη Φωτιά, προς το βαρύτερο και χονδροειδέστερο, τη Γη. Θα είναι λοιπόν Φωτιά/Αέρας = Αέρας/Νερό = Νερό/Γη, µε άλλα λόγια ο Αέρας τέθηκε σαν ο µέσος ανάλογος ανάµεσα στη Φωτιά και το Νερό ( Αέρας = Φωτιά . Νερό ) και το Νερό σαν ο µέσος ανάλογος ανάµεσα στον Αέρα και τη Γη ( Νερό = Αέρας . Φωτιά ). Έτσι τα τετράγωνα δυο αριθµών α2 και β2 µπορούν να ενωθούν µεταξύ τους µε ένα µέσο ανάλόγο ως εξής: α2/αβ =αβ/β2, όπου αβ είναι ο µέσος ανάλογος. ∆υο όµως κυβικοί αριθµοί α3 και β3 δεν µπορούν να συνδεθούν µεταξύ τους παρά µε δυο µέσους αναλόγους, όπως το βλέπουµε στην αναλογία α3/α2β = αβ2/β3. Τα στοιχεία λοιπόν είναι σώµατα, δηλαδή έχουν τρεις διαστάσεις και έχουν έτσι τη φύση κυβικών αριθµών. Γι’ αυτό λέει ο Πλάτωνας ότι η γη και η φωτιά συνδέονται µεταξύ τους διά δύο στοιχείων, του νερού και του αέρα. Όλα τώρα τα στοιχεία, εκτός της γης, είναι καθ’ εαυτά χωρίς µορφή, αλλά για να βοηθήσουµε το νου να διευθετήσει τις ιδέες του, χρειάζεται να τους προσδώσουµε κάποια µορφή. Εφόσον αυτά είναι σώµατα και όλα τα σώµατα είναι στερεά και περιορίζονται από εξωτερικές επιφάνειες, οι οποίες αποτελούνται από τρίγωνα η Πλατωνική θεωρία απέδωσε σε καθένα από τα τέσσερα στοιχεία τη µορφή ενός στερεού, που περιορίζεται από επίπεδες επιφάνειες αποτελούµενες από τρίγωνα.. Όλα τώρα αυτά τα τρίγωνα σχηµατίζονται από δυο είδη ορθογωνίων τριγώνων: το ισοσκελές µε ίσες τις κάθετες πλευρές του και το σκαληνό µε άνισες τις κάθετες πλευρές του. Από τα άπειρα σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα ο Πλάτωνας διαλέγει σαν κάλλιστο εκείνο που επαναλαµβανόµενο σχηµατίζει το ισόπλευρο τρίγωνο. Στο τρίγωνο αυτό το τετράγωνο της µεγαλύτερης κάθετης πλευράς του είναι πάντα τριπλάσιο του τετραγώνου της µικρότερης κάθετης. Με τη βοήθεια αυτών των τριγώνων ο Πλάτωνας κατασκευάζει τα στοιχειώδη στερεά σώµατα το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο και το κύβο. Για να σχηµατισθεί το τετράγωνο ενώθηκαν τέσσερα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα στις ορθές γωνίες τους και για να σχηµατισθεί το ισόπλευρο τρίγωνο ενώθηκαν τελικά έξη σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα σύµφωνα

µε τα παρακάτω σχήµατα:

Σχήµα 03

Ο κύβος θεωρείται από το Πλάτωνα σαν η καθαρότερη µορφή των κανονικών πολυέδρων και γι’ αυτό παριστάνει τη Γη. Το λιγότερο σταθερό και το πιο οξύ στη µορφή είναι το τετράεδρο µε τέσσερες βάσεις ισόπλευρα τρίγωνα. Το πολύεδρο αυτό διαιρεί σε ίσα και όµοια µέρη όλη την επιφάνεια της περιγεγραµµένης σφαίρας και οι επιφάνειες που το ορίζουν αποτελούνται από 6Χ4 =24 στοιχειώδη τρίγωνα. Το τετράεδρο λοιπόν αυτό αποτελεί τη µορφή του πυρός. Το οκτάεδρο µε οκτώ έδρες ισόπλευρα τρίγωνα σχηµατίζεται ανάλογα από 6Χ8=48 στοιχειώδη τρίγωνα και παριστάνει τον αέρα. Τέλος το εικοσάεδρο µε 20 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα σχηµατίζεται από 6Χ20= 120 στοιχειώδη τρίγωνα και αντιστοιχεί στο σχήµα του Νερού. Επειδή δε υπάρχει κατά το Πλάτωνα και πέµπτος συνδυασµός που να δίνει το πέµπτο κανονικό πολύεδρο, το δωδεκάεδρο µε έδρες κανονικά πεντάγωνα, το οποίο µεταχειρίστηκε ο Θεός για να κατασκευάσει το σύµπαν, ο φιλόσοφος δηµιουργεί και πέµπτο στοιχείο, τον Αιθέρα. Τα τέσσερα στοιχειώδη σώµατα µεταµορφώνονται µεταξύ τους. Το στοιχείο Νερό, που είναι το εικοσάεδρο, όταν διαιρεθεί από τη Φωτιά ή τον Αέρα µπορεί να µεταβληθεί σε ένα σωµάτιο Φωτιάς, που είναι το τετράεδρο και σε δυο σωµάτια Αέρα, που είναι τα οκτάεδρα. Το στοιχείο Αέρας όταν διαλυθεί µπορεί να δώσει δύο σωµάτια Φωτιάς. Από τη Φωτιά πάλι γίνεται Αέρας και από τον Αέρα Νερό. Τα στοιχεία όµως αυτά µεταµορφωνόµενα προκαλούν µεταβολές στο χώρο. Όταν ενώνονται µεταξύ τους και µεταµορφώνονται, επειδή δεν εφαρµόζουν µεταξύ τους ακριβώς, όπως π.χ. τα τετράεδρα και τα εικοσάεδρα, αφήνουν µεταξύ τους κενά διαστήµατα σχηµατίζοντας έτσι προσωρινά κενά. Τα κενά αυτά εξ’ ανάγκης γεµίζουν και έτσι γεννιέται η κίνηση. Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα κάθε σωµάτιο καθώς κινείται ωθεί κάποιο άλλο µπροστά από αυτό κ.ο.κ., ενώ όλα αυτά ωθούµενα αποτελούν µια κυκλική αλυσίδα της οποίας ο πρώτος και ο τελευταίος κρίκος εφάπτονται, έτσι ώστε κάθε θέση να πληρώνεται όταν κενωθεί κι έτσι κενό να µην υπάρχει ποτέ. Η θεωρία αυτή είναι η θεωρία της περιώσεως του Πλάτωνα ή της αντιπεριστάσεως του Αριστοτέλη. Επειδή το ένα είδος τριγώνων σχηµατίζει το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο, η φωτιά, ο αέρας και το νερό µπορούν να µετασχηµατίζονται µεταξύ τους. Ο Κύβος σχηµατίζεται από το άλλο είδος τριγώνων και γι’ αυτό η γη δεν µπορεί να µεταµορφώνεται στα άλλα στοιχεία.

ΤΟ ΜΑΣΟΝΙΚΟ ΚΟΣΜΗΜΑ ΤΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΤΟΥ ΤΑΓΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΟΥ ΤΟΞΟΥ

Σχήµα 04

Οι τέκτονες φορούν µερικές φορές κοσµήµατα ή µετάλλια µε ειδικό συµβολισµό που δηλώνουν τη τάξη τους. Ένα από αυτά είναι και το Κόσµηµα του µέλους του Τάγµατος του Βασιλικού Τόξου, το οποίο έχει τη µορφή του Άστρου του ∆αβίδ ή Σφραγίδας του Σολοµώντα µέσα σε ένα χρυσό κύκλο. Σε αυτό µας ενδιαφέρουν κυρίως εδώ οι γεωµετρικές αντιστοιχίες του σε σχέση µε τα πέντε ιδανικά στερεά του Πλάτωνα. Στο κέντρο του εξάκτινου αστέρα βρίσκεται ένα µικρότερο όρθιο τρίγωνο, µε ένα ακτινοβόλο ήλιο στο κέντρο του, από τον οποίο απορρέει ένας διαβήτης. Ο τελευταίος περιβάλλει µια σφαίρα, που αντιπροσωπεύει τη γη. Στο κάτω µέρος του κοσµήµατος, µέσα σε ένα κύκλο που σχηµατίζει µια κορδέλα, βρίσκεται το σύµβολο του τριπλού Ταυ ( ), το οποίο ανάµεσα στα άλλα συµβολίζει το «Ναό της Ιερουσαλήµ», "Ένα Κλειδί προς το Θησαυρό», "Μια θέση όπου κρύβεται το πολύτιµο αντικείµενο» και "Το ίδιο το πολύτιµο αντικείµενο". Γνωρίζουµε ότι το Ερµητικό γράµµα ταυ Τ είναι ένα πανάρχαιο σύµβολο της δηµιουργικής Θεότητας κι εποµένως το τριπλό ταυ δείχνει τη τριαδική φύση της και γεωµετρικά, όπως µπορούµε εύκολα να παρατηρήσουµε, δίνει συνολικά οκτώ ορθές γωνίες. Τον ίδιο ακριβώς αριθµό ορθών γωνιών µπορούµε να πάρουµε συνολικά από τα τέσσερα τρίγωνα που σχηµατίζονται αν ενώσουµε τα µέσα των πλευρών ενός τριγώνου (2 ορθές γωνίες για κάθε τρίγωνο), όπως για παράδειγµα από το τρίγωνο ∆ΕΖ του δεύτερου σχήµατος, µέσω του µικρότερου κεντρικού τριγώνου ΚΛΜ, που έχει τις κορυφές του στα µέσα των πλευρών του πρώτου. Σε αυτή τη περίπτωση το συνολικό πλήθος των 8 ορθών γωνιών, ή ενός τριπλού Ταυ, ισούται ακριβώς µε το άθροισµα των επιπέδων γωνιών των τεσσάρων ισοπλεύρων εδρών του κανονικού τετραέδρου. Παρόµοια άµα πάρουµε τα δυο µεγαλύτερα τρίγωνα ΑΒΓ και Γ∆Ε και σκεφθούµε ανάλογα θα έχουµε ένα σύνολο ορθών γωνιών ίσο µε 2 ή 16 ορθές, που είναι ίσες ακριβώς µε το άθροισµα των γωνιών των 9 ισοπλεύρων εδρών του κανονικού οκταγώνου. Ανάλογα τα τρία τρίγωνα ΑΒΓ, ∆ΕΖ και ΚΛΜ (χωρίς καµιά αναφορά στις τοµές τους), δίνουν µε το ίδιο σκεπτικό συνολικά 3 ή 24 ορθές γωνίες, που είναι ίσες ακριβώς µε το άθροισµα των γωνιών των έξη επιπέδων τετραγωνικών εδρών του κύβου. Στη συνέχεια θεωρούµε τα πέντε τρίγωνα ΑΒΓ, ΕΚΜ, ∆ΚΛ, ΖΛΜ και ΚΛΜ , τα οποία δίνουν ανάλογα συνολικά 5 = 40 ορθές γωνίες, όσο το

άθροισµα των 20 ισοπλεύρων εδρών του κανονικού εικοσαέδρου. Τελευταία µένει η αντιστοιχία µε το ∆ωδεκάεδρο. Τα 6 µικρά περιφερειακά τρίγωνα 1-6 (που σχηµατίζονται από τις τοµές των 2 µεγαλύτερων τριγώνων), µαζί µε το κεντρικό τρίγωνο ΚΛΜ, εάν αναλυθούν µε τον ίδιο τρόπο, δίνουν συνολικά 7 = 56 ορθές γωνίες. Αν σε αυτές προσθέσουµε τις εξωτερικές γωνίες των βάσεων αυτών των τριγώνων (δυο για κάθε τρίγωνο), που κάθε µία ισούται µε 120ο ή 4/3 της ορθής ή συνολικά 12Χ4/3=16 ορθές, παίρνουµε τελικά 56+16=72 ορθές γωνίες. Το άθροισµα τώρα των γωνιών κάθε πενταγωνικής έδρας του κανονικού δωδεκαέδρου είναι από το γνωστό τύπο της γεωµετρία (2ν-4) = 2.5 - 4 = 6 ορθές κι εποµένως συνολικά 12Χ6 =72 πάλι ορθές, ίσες δηλαδή µε το προηγούµενο υπολογισµό. Αποδεικνύεται έτσι µε τη βοήθεια του Κλειδιού ότι το Κόσµηµα του βασιλικού Τόξου είναι ισοδύναµο µε τα πέντε ιδανικά στερεά του Πλάτωνα. Εκτός όµως από αυτό, το Κόσµηµα αποτελεί επίσης ένα έµβληµα των βασικών χαρακτηριστικών της ∆ηµιουργικής Θεότητας, ιδιαίτερα της αιωνιότητα της, αντιπροσωπευόµενης από το κύκλο και της τριαδικής της φύσης, αντιπροσωπευόµενης από τα τρία τρίγωνα και το τριπλό Ταυ.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΕ∆ΡΩΝ Ισχύουν γενικά οι παρακάτω προτάσεις: • Για κάθε κανονικό ν-εδρο υπάρχει ένα και µόνο σηµείο Ο που ισαπέχει από τις κορυφές του, τις έδρες του και τις ακµές του αντιστοίχως. Από το σηµείο αυτό διέρχονται τα µεσοκάθετα επίπεδα των ακµών του, τα διχοτοµούντα επίπεδα των διέδρων γωνιών του και οι άξονες συµµετρίας του, οι κάθετοι στα κέντρα των εδρών του. Το σηµείο αυτό µπορεί να οριστεί έτσι από τη τοµή τριών µεσοκαθέτων επιπέδων του, τριών διχοτοµούντων επιπέδων του ή δύο αξόνων συµµετρίας του. • Η απόσταση του σηµείο αυτού Ο από µια οποιαδήποτε κορυφή του ν-έδρου ισούται µε την ακτίνα Rν της περιγεγραµµένης σφαίρας του, η απόστασή του από µια οποιαδήποτε έδρα του ισούται µε την ακτίνα ρν της εγγεγραµµένης σφαίρας του και η απόστασή του από µια οποιαδήποτε ακµή του ισούται µε την ακτίνα λν της σφαίρας που εφάπτεται των ακµών του. • Αν είναι επιπλέον α η ακµή του ν-έδρου, λ το απόστηµα µιας επιπέδου έδρας του και ρ η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου µιας έδρας του, τότε µεταξύ των Rν, ρν, ρ, λ, λν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: Rν2 = ρν2+ρ2, Rν2 = λν2 + α2/4, Rν2 = ρν2 + λ2+ α2/4. Με βάση τις προηγούµενες σχέσεις για κάθε δοθέν κανονικό ν-εδρο µπορούµε να υπολογίσουµε τις ακτίνες Rν, ρν και λν της περιγεγραµµένης και της εγγεγραµµένης σφαίρας και της σφαίρας που εφάπτεται στις ακµές του σα συνάρτηση µόνο της ακµής του α. Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας Εολ του κανονικού ν-έδρου είναι προφανώς ίσο µε ν φορές το εµβαδόν Ε µιας έδρας του. Αν οι έδρες του είναι ισόπλευρα τρίγωνα (κανονικό τετράεδρο, κανονικό οκτάεδρο και κανονικό εικοσάεδρο), το εµβαδόν κάθε έδρας είναι Ε=α2 3 /4, οπότε Εολ = να2 3 /4. Αν είναι τετράγωνα (κύβος), τότε είναι Ε = α2 κι εποµένως Εολ = να2 και αν είναι

τέλος κανονικά πεντάγωνα (δωδεκάεδρο), τότε Ε=α2

25 + 10 5

/4, οπότε Ε ολ = 3α 2 25 + 10 5 .

Ο όγκος του κανονικού ν-έδρου δίνεται από τη σχέση V=νΕρν /3 = Εολρν/3 Όσο τέλος για τη γωνία θν των ίσων δίεδρων γωνιών του, αυτή υπολογίζεται από τη σχέση: ηµ(θν/2 )=Ο1Ο2 / 2ρ, όπου ρ το απόστηµα των εδρών του κανονικού ν-έδρου και Ο1, Ο2 τα κέντρα δυο διαδοχικών εδρών του. Στο τετράεδρο είναι ν = 4 και ρ = α 3 / 6 και Ο1Ο2 = α / 3 Στο κύβο είναι ν = 6 και ρ= α/2 και Ο1Ο2= α 2 / 2 Στο οκτάεδρο είναι ν =8 και ρ = α 3 / 6 και Ο1Ο2 = α 2 / 3 Στο δωδεκάεδρο είναι ν =12 και ρ=α 10 + 5 5 /2 και Ο1Ο2= α 30 + 14 Στο Εικοσάεδρο είναι ν =20 και ρ = α 3 / 6 και Ο1Ο2=α (1 + 5 ) / 6

5

/2

Τέλος η κεντρική γωνία φν του κανονικού ν-έδρου, που είναι η γωνία από την οποία φαίνεται µια οποιαδήποτε ακµή του από το κέντρο του Ο, όπως αποδεικνύεται εύκολα δίνεται από τη σχέση ηµ(φν/2)=α/2Rν ή ακόµα το συνφν από τη τριγωνοµετρική σχέση συνφν = 1-2ηµ2φν = 1 - α2/2Rν2 Ας εξετάσουµε τώρα ξεχωριστά καθένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα ή ιδανικά στερεά του Πλάτωνα.

ΤΟ ΤΕΤΡΑΕ∆ΡΟ Το δεύτερο σχήµα δείχνει το επίπεδο ανάπτυγµα ενός κανονικού τετραέδρου για το σκοπό της κατασκευής του από χαρτόνι ή άλλο υλικό. Τσακίζουµε τις πλευρές του τριγώνου ΚΛΜ των

Σχήµα 05

µέσων των πλευρών του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ και ανυψώνουµε τις κορυφές Α,Β,Γ µέχρι να ταυτιστούν τα ζεύγη των πλευρών (ΚΑ, ΚΒ), (ΛΑ, ΛΓ) και (ΜΒ, ΜΓ) ώστε τελικά Α≡Β≡Γ.

Βασικές Γεωµετρικές Ιδιότητες Αν Ε = ο αριθµός των εδρών, Α = ο αριθµός των ακµών, Κ= ο αριθµός των Κορυφών, Α/Ε = ο αριθµός των ακµών ανά έδρα, Ε/Κ = ο αριθµός των εδρών ανά κορυφή του κανονικού τετραέδρου, θα έχουµε: Ε = 4 ισόπλευρα τρίγωνα, Α = 6, Κ= 4, Α/Ε=3, Ε/Κ=3, οπότε σύµβολο Schδfli: (3,3)

Έχει 4 έδρες, 5 ακµές και 4 κορυφές.

Σχήµα 6

Το κέντρο της περιγεγραµµένης σφαίρας (περίκεντρο) Ο, το κέντρο βάρους του G (βαρύκεντρο), το κέντρο της εγγεγραµµένης σφαίρας (έκκεντρο) I, το κέντρο Ι΄ της σφαίρας που εφάπτεται των ακµών του και το σηµείο τοµής των υψών του Η (ορθόκεντρο) ταυτίζονται. Αν είναι α η ακµή του, R4 η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας, ρ4 η ακτίνα της εγγεγραµµένης σφαίρας, θ4 η αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης γωνίας του, φ4 η κεντρική γωνία του, λ4 η απόσταση του κέντρου του από µια ακµή του (ακτίνα της σφαίρας που εφάπτεται των ακµών του), h το ύψος του, Εολ το εµβαδόν της ολικής του επιφανείας και V ο όγκος του, τότε αποδεικνύεται ότι: Εολ=3α2 3 /4, h=α 6 /3=AG1, V=α3 2 /12, R=α 6 /4=ΟΑ, ρ4=α 6 /12=ΟG1, λ4=ΟΜ1=Μ1Μ2/2=α 2 /4 , ηµ(θ4/2)= 3 /3 οπότε θ4=70,529° και ηµ(φ4/2)= 6 /3 (ή συνφ4= 1/3), απ’ όπου φ4 =109ο 28΄. Γενικά σε κάθε κανονικό τετράεδρο ισχύουν οι εξής γεωµετρικές ιδιότητες: Οι διάµεσοι του τετραέδρου, δηλαδή οι ευθείες Μ1Μ1΄, Μ2Μ2΄, Μ3Μ3΄ που ενώνουν τα µέσα των απέναντι ακµών του διέρχονται από το κέντρο βάρους του G, το ίδιο και τα διάµεσα επίπεδα που ορίζονται από µια ακµή και το µέσο της απέναντι ακµής (τα οποία τέµνουν κάθε έδρα κατά τη διάµεσό της). Οι διάµεσοι του κανονικού τετραέδρου διχοτοµούνται µεταξύ τους, ενώ τα άκρα δυο διαµέσων του είναι κορυφές τετραγώνου. Το βαρύκεντρο ενός τετραέδρου απέχει από κάθε κορυφή του τα 3/4 του αντίστοιχου ύψους του (που είναι συγχρόνως και εσωτερική διχοτόµος της τρίεδρης γωνίας του). Τα διχοτοµούντα επίπεδα, που διχοτοµούν τις δίεδρες γωνίες µιας τρίεδρης γωνίας του, τέµνονται στην ίδια ευθεία, εσωτερική της τρίεδρης γωνίας του, η οποία λέγεται εσωτερική διχοτόµος του κανονικού τετραέδρου και ταυτίζεται µε το ύψος του. Οι έξη εσωτερικές διχοτόµοι του τετραέδρου (κι εποµένως τα έξη διχοτοµούντα επίπεδά του) διέρχονται από το ίδιο σηµείο, που είναι το κέντρο της εγγεγραµµένης σφαίρας του τετραέδρου (έκκεντρο), η οποία εφάπτεται εσωτερικά στις τέσσερες έδρες του.

Τα µεσοκάθετα επίπεδα των έξη ακµών του τετραέδρου διέρχονται από το ίδιο σηµείο που είναι το κέντρο της περιγεγραµµένης σφαίρας του τετραέδρου (περίκεντρο. το οποίο ταυτίζεται όπως είπαµε µε το έκκεντρο, το βαρύκεντρο, το ορθόκεντρο και το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται των ακµών του), που διέρχεται και από τις τέσσερες κορυφές του. Η ακτίνα αυτής της σφαίρας θα ισούται προφανώς µε τα 3/4 του ύψους του, ενώ της εγγεγραµµένης σφαίρας µε το 1/4 του ύψους του. Οι διάµεσοι επίσης του κανονικού τετραέδρου είναι οι κοινές κάθετες των αντίστοιχων απέναντι ορθογώνιων ακµών του.

Σχήµα 7 Τα µέσα των ακµών κανονικού τετραέδρου ορίζουν κανονικό οκτάεδρο εγγεγραµµένο σε αυτό µε όγκο το µισό του όγκου του τετραέδρου. Τελικά το κανονικό τετράεδρο έχει τρεις άξονες συµµετρίας, τις διαµέσους του, και έξη επίπεδα συµµετρίας, τα διάµεσα επίπεδά του. Ανήκει µαθηµατικά στη Τετραεδρική οµάδα συµµετρία (3,3), τάξης 24. Ένα τετράεδρο µήκους πλευράς 8 έχει συντεταγµένες κορυφών: (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1) και (-1,-1,1).

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Το τετράεδρο αντιπροσωπεύει κλασσικά το στοιχείο της φωτιάς και κάθε έδρα του είναι επίσης το αλχηµικό τρίγωνο της φωτιάς. Το Ερµητικό Τάγµα της Χρυσαυγής το ονόµαζε Πυραµίδα της Φωτιάς και το χρησιµοποίησε σαν το έµβληµα εισόδου στην «Ατραπό του Σιν» (τη 31η Ατραπό από το Μαλκούτ στο Χοντ). Τα τρία ανώτερα τρίγωνά του αντιπροσωπεύουν την Ηλιακή, Ηφαιστειακή και Αστρική Φωτιά, ενώ το τρίγωνο της βάσης του, συνήθως κρυµµένο από τη θέα, τη λανθάνουσα θερµότητα. Τα τρία ανώτερα τρίγωνα συνδέονται επίσης µε τα τρία πύρινα ζωδιακά σηµεία του Κριού, του Τοξότη και του Λέοντα.. Τέσσερα αλληλεπιδρώντα µη συνεπίπεδα σηµεία σχηµατίζουν ένα τετράεδρο, το οποίο

αντιπροσωπεύει έτσι την ιδέα του συστήµατος. Είναι επίσης η δοµική βάση της γεωδαισιακής αρχιτεκτονικής και της στερεοχηµικής δοµής των οργανικών ενώσεων, µε τον άνθρακα στο κέντρο βάρους ενός κανονικού τετραέδρου και τις τέσσερες µονάδες συγγενείας του να κατευθύνονται προς τις τέσσερες κορυφές του τετραέδρου. Κάθε έδρα του και κάθε κορυφή του µπορεί να αντιστοιχηθεί σε καθένα από τα τέσσερα στοιχεία, µε κάθε στοιχείο να έρχεται έτσι σε επαφή µε τα άλλα µέσω των κοινών ακµών των αντίστοιχων εδρών του τετραέδρου. Απ’ αυτό φαίνεται ότι η συνήθης διαίρεση σε τέσσερα διαφορετικά στοιχεία είναι επιφανειακή. Κανένα στοιχείο δεν είναι ανώτερο ενός άλλου και όλα ισορροπούν µεταξύ τους σε µια πολύ σταθερή δοµή. Αυτή αντιστοιχεί στη κατάσταση πριν το χωρισµό τους κι εποµένως µε την πεµπτουσία από την οποία αυτά σχηµατίστηκαν. Την πεµπτουσία αυτή µπορούµε να θεωρήσουµε συµβολικά ότι καταλαµβάνει το κέντρο του τετραέδρου. Το τετράεδρο είναι το δυαδικό του εαυτού του και ανήκει µαθηµατικά στην ίδια οµάδα συµµετρίας µε το οκτάεδρο και το κύβο (γη), θυµίζοντάς µας το Καβαλιστικό αφορισµό ότι το Κέτερ αντανακλάται στο Μαλκούτ και το Μαλκούτ στο Κέτερ, ότι δηλαδή ο υλικός κόσµος αντανακλά µε ένα λεπτό τρόπο το πνευµατικό κόσµο και αντιστρόφως. Οι έξη ακµές του τετραέδρου µπορούν να αντιστοιχηθούν σε οποιαδήποτε εξαδική διαίρεση (εξάκτινο αστέρα κ.λ.π.) και στους πλανήτες, µε τον Ήλιο να καταλαµβάνει (όπως συνήθως) το κέντρο του τετραέδρου. Μια και κάθε ακµή ενώνει δυο έδρες-στοιχεία, θα µπορούσαµε να αντιστοιχίσουµε σε κάθε ακµή-πλανήτη δύο έδρες-στοιχεία, όπως π.χ. παρακάτω: Σελήνη (Νερό-Φωτιά), Ερµής (Αέρας-Φωτιά), Αφροδίτη (Νερό-Γη), Άρης (Φωτιά-Γη), ∆ίας (Αέρας-Νερό) και Κρόνος (Γη-Αέρας). Μπορεί κάποιος µελετώντας βαθύτερα το κανονικό τετράεδρο, τις γεωµετρικές του ιδιότητες και τους βασικούς συµβολισµούς του, να αναχθεί σε ένα πλήθος αντιστοιχιών και φιλοσοφικών προεκτάσεων, πολύ περισσότερων από τις παραπάνω αναφερθείσες. Σηµειώνεται ότι το ορυκτό βορακίτης κρυσταλλοποιείται στο τετραεδρικό σύστηµα.

ΤΟ ΜΕΡΚΑΜΠΑ Η εσωτερική παράδοση µιλάει για ένα όχηµα θείου φωτός που χρησιµοποιείται από τους δασκάλους για να συνδεθούν µε αυτούς που είναι συντονισµένοι µε τα ανώτερα βασίλεια. Αυτό είναι το Μερ-Κα-Μπά. «Μερ» σηµαίνει Φως, "Ka" «πνεύµα» και "Ba" «Σώµα». Το Μερ-Κα-Μπά σηµαίνει έτσι το Πνεύµα-Σώµα που περιβάλλεται από αντίστροφα περιστρεφόµενα πεδία Φωτός (τροχούς µέσα σε τροχούς), που είναι ένα µέσον για τη µεταφορά του Πνεύµατος-Σώµατος από τη µια διάσταση στην άλλη. Το Μερκαµπά µπορεί να πάρει πολλές µορφές φωτός. Αποτελείται βασικά από δυο αστεροειδή τετράεδρα. Όλοι µας έχουµε ένα πεδίο Μερκαµπά γύρω µας, το οποίο θα πρέπει απλώς να το ενεργοποιήσουµε για να συνδεθούµε µε τις ανώτερες διαστάσεις. Όταν το Μερκαµπά ενεργοποιηθεί, αρχίζει να περιστρέφεται και µπορούµε να το µεταβάλλουµε για να

ευθυγραµµιστεί µε διάφορα πράγµατα στα ανώτερα βασίλεια. Λέγεται ότι στις ιερές µυστηριακές σχολές της Λεµουρίας, της Ατλαντίδας και της Αιγύπτου χρησιµοποιούντο διάφορες ιερές γεωµετρικές ασκήσεις. Κατανοείτο ότι για το µετασχηµατισµό του φυσικού µας σώµατος σε φως έπρεπε να δηµιουργήσουµε ένα ενεργειακό πεδίο φωτός γύρω µας για να διαχωριστούµε από τους κατώτερους κραδασµούς.

Σχήµα 8

Υπάρχει ένας αντίστοιχος διαλογισµός-οραµατισµός για την ενεργοποίηση αυτού του σώµατος φωτός, ο διαλογισµός του Μερκαµπά ή της σφαιρικής αναπνοής, που χρησιµοποιεί 18 αναπνοές. Οι πρώτες έξη είναι για την ισορροπία της πολικότητας και οι επόµενες επτά για τη σωστή πρανική ροή διά µέσου ολόκληρου του σώµατος. Οι επόµενες είναι για την µετάβαση της συνείδησης από την 3η στη 4η διάσταση και οι τρεις τελευταίες για την αναδηµιουργία του περιστρεφόµενου Μερκαµπά µέσα και γύρω από το σώµα µας.

ΤΟ ΟΚΤΑΕ∆ΡΟ

Σχήµα 9

Το τελευταίο σχήµα είναι το επίπεδο ανάπτυγµα του κανονικού οκταέδρου που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη κατασκευή του µε χαρτόνι ή άλλο υλικό. Σε αυτή τη περίπτωση, αφού τσακίσουµε τις εσωτερικές πλευρές, κάνουµε να συµπέσουν οι εξής τριάδες κορυφών ξεχωριστά: 1≡2≡3 και 4≡5≡6 προς αντίθετες κατευθύνσεις.

Γεωµετρικές Ιδιότητες Ε = 8 ισόπλευρα τρίγωνα, Α = 12, Κ= 6, Α/Ε = 3, Ε/Κ = 4 Έχει 8 έδρες, 12 ακµές και 6 κορυφές.

Σχήµα 10

Αν α είναι η ακµή του οκταέδρου, Ο το κέντρο του, λ8 η απόσταση του κέντρου του από την ακµή του, h το ύψος του, Εολ το εµβαδόν της ολικής επιφανείας του, V ο όγκος του, R8 η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας, ρ8 η ακτίνα της εγγεγραµµένης σφαίρας, θ8 η αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης γωνίας του και φ8 η κεντρική γωνία του, τότε: h=ΑΟ= α 2 /2, λ8= ΟΘ =α/2, Εολ=2α2 3 , V=α3 2 /3 , R8=α 2 /2=ΟΑ, ρ8= ΟΟ1=α 6 /6, ηµ(θ8/2)=ηµΑΘΟ= 6 /3, δηλαδή θ8 = 109ο 28΄. Προφανώς φ8= 90ο. Ένα οκτάεδρο µε ακµή 2 έχει συντεταγµένες κορυφών: (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1), (0,0,-1).

Το Οκτάεδρο είναι δυαδικό του κύβου και ανήκει µαθηµατικά στην οκταεδρική οµάδα συµµετρίας (3,4), τάξης 48. Ο φυσικός µαγνήτης, το ρουβήνιο, ο αδάµας και το ορυκτό φθοριούχο ασβέστιο κρυσταλλοποιούνται στο οκταεδρικό σύστηµα. Μια άλλη σειρά ορυκτών, όπως το συνηθισµένο χλωριούχο νάτριο, κρυσταλλοποιείται στο κυβικό σύστηµα. Με τα τρία πρώτα κανονικά πολύεδρα όπου επικρατούν οι αριθµοί 3 και 4 αντιπροσωπεύονται κατά κύριο λόγο τα ορυκτά. Τον αριθµό 5 συναντούµε περισσότερο στο φυτικό βασίλειο (ιδίως στη διάταξη των λουλουδιών και των φύλλων). Το Οκτάεδρο αντιστοιχεί κλασσικά στο στοιχείο του Αέρα. Έχει 8 έδρες (Χοντ, συγκεκριµένος νους), 6 κορυφές (Τίφαρετ) και 12 ακµές (Ζωδιακός Κύκλος). Στις 8 έδρες του µπορεί να αντιστοιχηθούν τα 8 στοιχεία στη θετική και αρνητική όψη τους και στις 6 κορυφές του τα 4 στοιχεία, στις 4 ενδιάµεσες, µε το πέµπτο στοιχείο στις 2 ακραίες, ή ακόµα οι έξη πλανήτες µε τον έβδοµο πλανήτη Ήλιο στο κέντρο του οκταέδρου. Αξίζει να σηµειωθεί ότι το οκτάεδρο χρησιµοποιείται σε διάφορες µαγικές τελετές µε τον οριζόντιο τετραγωνικό ισηµερινό του να

αντιστοιχεί συνήθως στα χερουβικά σηµεία.

Ο ΚΥΒΟΣ

Σχήµα 11

Το τελευταίο σχήµα είναι το επίπεδο ανάπτυγµα ενός κύβου για το σκοπό της κατασκευής του από χαρτόνι ή άλλο υλικό. Η κατασκευή είναι εύκολη. Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα η διαίρεση του κόσµου ήταν τριπλή: «κατά µεν τις ιδέες, ουρανίως, αερίως, ενυδρίως και χθονίως, κατά δε τα σχήµατα εις κύβον, εικοσαέδρον, πυραµίδαν και δωδεκάεδρον».

Γεωµετρικές Ιδιότητες Ε =6 έδρες τετράγωνα, Α=12, Κ=8, Α/Ε=4, Ε/Κ=3

Σχήµα 12

Έχει 6 έδρες, 12 ακµές και 8 κορυφές. Αν α είναι η ακµή του κύβου, d η διαγώνιός του, Ο το κέντρο του (σηµείο τοµής δυο διαγωνίων του), λ6 η απόσταση του κέντρου του από την ακµή του, Εολ το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας, V ο όγκος του, R6 η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας, ρ6 η ακτίνα της εγγεγραµµένης σφαίρας, θ6 η αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης γωνίας του και φ6 η κεντρική γωνία του τότε: d =a 3,

Εολ= 6α2, V = α3, λ6=α 2 /2, R6=α 3 /2, ρ6=α/2, θ6 = 90°, συνφ6=1/3, απ’ όπου φ6=

72ο 32΄. Επίσης οι ακµές του κύβου έχουν την ίδια κλίση ως προς οποιαδήποτε διαγώνιό του: συνφ= 3 /3, απ’ όπου φ= 54ο 44΄. Τα µέσα των έξι ακµών του κύβου που δεν έχουν κοινό άκρο µε µια διαγώνιό του είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου του οποίου το επίπεδο είναι κάθετο στη διαγώνιο και περνά από το µέσο της. Τα κέντρα των εδρών κύβου ορίζουν ένα κανονικό οκτάεδρο εγγεγραµµένο σε αυτόν.

Σχήµα 13

Ο κύβος ανήκει µαθηµατικά στην οκταεδρική οµάδα συµµετρίας (3,4), τάξης 48 Ένας κύβος µε ακµή 2 έχει συντεταγµένες κορυφών: (1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1) (1,-1,-1),(-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1).

ΤΟ ∆ΗΛΙΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Κάποτε οι κάτοικοι της νήσου ∆ήλου πιεζόµενοι από λοιµό ρώτησαν το µαντείο µε ποιο τρόπο θα λυτρώνονταν από την επιδηµία. Το µαντείο τους απάντησε ότι για να σταµατήσει ο λοιµός θα έπρεπε να διπλασιάσουν το όγκο κάποιου βωµού. Αν η ακµή του βωµού ήταν α, αυτό σήµαινε ότι έπρεπε να κατασκευάσουν ένα τµήµα x τέτοιο ώστε x3=2α3. Μη µπορώντας να βρουν λύση σε αυτό το πρόβληµα, έστειλαν απεσταλµένους στον Πλάτωνα µήπως και µπορέσει να τους βοηθήσει σε αυτό. Με το πρόβληµα ασχολήθηκε και ο µαθηµατικός Ιπποκράτης ο Χίος. Η λύση που λέγεται ότι έδωσε ο Πλάτωνας διασώθηκε από το σχολιαστή του Αρχιµήδη Ευτόκιο στα σχόλιά του «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου». Η λύση αυτή είναι µια µηχανική κατασκευή που χρησιµοποιεί περιστροφή και µετατόπιση.

Σχήµα 14

Έστω µια ορθή γωνία ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ και οι προεκτάσεις Β∆ και ΒΕ των ΑΒ και ΓΒ προς το µέρος του Β. Αν µπορέσουµε να σχηµατίσουµε µε µηχανική κατασκευή στα Ε και ∆ ορθές γωνίες ΑΕ∆ και Ε∆Γ, τότε η Β∆ θα είναι πλευρά του ζητούµενου κύβου. ∆ιότι από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕ∆ και ∆ΕΓ προκύπτει ότι ΑΒ: ΒΕ = ΒΕ: Β∆= Β∆: ΒΓ. Αν θέσουµε ΑΒ= β, ΒΓ= α, ΒΕ= ψ και Β∆= χ θα έχουµε: β:ψ =ψ:χ = χ: α. Από αυτή την εξίσωση προκύπτει ότι χ=α . 3 2 . Άρα η Β∆ είναι η ζητούµενη πλευρά. Ο Ευτόκιος παραθέτει και µια εικόνα της συσκευής µε την οποία είναι δυνατόν να κατασκευαστούν οι ορθές γωνίες Ε και ∆. Ο Κύβος αντιστοιχεί φυσιολογικά στο στοιχείο της Γης. Αντιπροσωπεύει τη σταθερότητα και είναι η βάση της ∆υτικής αρχιτεκτονικής. Ας σηµειωθεί ότι το αλάτι κρυσταλλοποιείται στο κυβικό σύστηµα. Ο κύβος έχει 6 έδρες (Τίφαρετ και εξαπλές αντιστοιχίες, όπως π.χ. οι επτά πλανήτες µε τον ήλιο στο κέντρο του κύβου), 8 κορυφές (Χοντ, τα τέσσερα στοιχεία στη διπλή όψη τους) και 12 ακµές (Ζωδιακός Κύκλος). Είναι δυαδικός προς το οκτάεδρο µε τις έξη έδρες του να αντιστοιχούν στις έξη κορυφές του οκταέδρου. Μπορούµε να εγγράψουµε ένα τετράεδρο σε ένα κύβο, έτσι ώστε οι κορυφές του να συµπίπτουν µε τέσσερες κορυφές του κύβου και οι ακµές του να βρίσκονται στις έδρες του κύβου. ∆ιαλέγουµε µια κορυφή ενός κύβου και την ενώνουµε µε την απέναντι κορυφή κάθε έδρας:

Σχήµα 15

Εάν εγγράψουµε δυο τετράεδρα χρησιµοποιώντας διαφορετικά σύνολα κορυφών, αυτά τέµνονται και σχηµατίζουν ένα αστεροειδές Οκτάεδρο (ένα οκτάεδρο µε πρόσθετες πυραµίδες πάνω στις έδρες του). Η δυαδικότητα ανάµεσα στο κύβο και το οκτάεδρο ταιριάζει µε τη δυαδικότητα ανάµεσα στον Αέρα και τη Γη. Και τα δυο ανήκουν στην ίδια οµάδα συµµετρίας (ονοµαζόµενη 4.3.2), στην

οποία ανήκουν όλα τα συνήθη ορυκτά και οι κρύσταλλοι (µόνο οι λεγόµενοι ηµικρύσταλλοι ανήκουν στην εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας 5.3.2). Ας σηµειώσουµε επίσης ότι από τα Πλατωνικά στερεά µόνο ο κύβος µπορεί να γεµίσει πλήρως το χώρο, χωρίς κενά ή επικαλύψεις. Αναλογικά θα µπορούσαµε να πούµε ότι ο µόνος τρόπος για να δηµιουργήσουµε ένα συνεπές σύµπαν από ένα µόνο στοιχείο είναι να χρησιµοποιήσουµε ύλη. Τα άλλα στοιχεία δεν µπορούν να ενωθούν µε το σωστό τρόπο για να σχηµατίσουν ένα σταθερό κόσµο. Το παρακάτω σχήµα δείχνει το Κύβο µε το δυαδικό του Οκτάεδρο, ίσων εδώ ακµών, ενώ κανονικά το δυαδικό του κύβου οκτάεδρο µε κορυφές τα κέντρα των εδρών του κύβου είναι µικρότερο απ’ αυτόν και βρίσκεται όλο στο εσωτερικό του.

Σχήµα 16

Στις 12 ακµές του κύβου µπορούν να αντιστοιχηθούν τα 12 «στοιχειακά γράµµατα» του Εβραϊκού αλφάβητου(q, c, [, s, n, l, y, j, x, z, w, h), που αντιστοιχούν στα 12 ζώδια, στις έξης έδρες του και στο κέντρο τα 7 διπλά γράµµατα (t,r,p,k,d,g,b) και οι τρεις βραχίονες του τριπλού στερεού σταυρού που σχηµατίζεται ενώνοντας τα κέντρα των απέναντι εδρών του στα τρία «µητρικά» γράµµατα του Εβραϊκού αλφαβήτου (v,m,a).

ΤΟ ΕΙΚΟΣΑΕ∆ΡΟ Η αριθµητική σχέση (λόγος) που είναι 2:3:4 ανήκει στο Νερό, διότι έχει δυο κοινούς όρους προς τη γη (2,4) και επιπλέον διότι το νερό έχει τη τάση να πολλαπλασιάζεται και διότι περιλαµβάνει την ροπή προς πολλαπλασιασµό, το εικοσάεδρο. Πρόκλος

Σχήµα 17

Το τελευταίο σχήµα δίνει το ανάπτυγµα ενός εικοσαέδρου για τη περίπτωση κατασκευής του από χαρτόνι ή άλλο υλικό. Τα 20 τρίγωνα είναι όλα ισόπλευρα.

Γεωµετρικές Ιδιότητες Ε = 20 ισόπλευρα τρίγωνα, Α = 30, Κ = 12, Α/Ε = 3, Ε/Κ = 5 20 έδρες, 30 ακµές και 12 κορυφές.

Σχήµα 18

Αν α είναι η ακµή του εικοσαέδρου, Ο το κέντρο του, λ20 η απόσταση του κέντρου του από µια ακµή του, Εολ το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας, V ο όγκος του, R20 η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας, ρ20 η ακτίνα της εγγεγραµµένης σφαίρας θ20 η αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης γωνίας του και φ20 η κεντρική γωνία του τότε: Εολ=5α2 3 , V=5α3(3+ 5 )/12, R20=α 10 + 2 5 /4, ρ20=α(3 3 + 15 )/12, λ20=α(1+ 3 )/4, ηµ(θ20/2)=( 3 + 15 )/6 οπότε θ20=138ο 11΄, συνφ20= 5 /5 απ’ όπου φ20= 63ο 26΄. Ένα εικοσάεδρο πλευράς 2 έχει συντεταγµένες κορυφών: (0,1,Φ), (0,-1,Φ), (0,1,-Φ), (0,-1,-Φ),(Φ,0,1), (Φ,0,-1), (-Φ,0,1), (-Φ,0,-1), (1,Φ,0), (1,-Φ,0), (-1,Φ,0), (-1,-Φ,0).

όπου Φ ο λόγος της χρυσής τοµής (1,61803..). Το Εικοσάεδρο αντιστοιχεί παραδοσιακά στο νερό, ίσως γιατί κυλάει αρκετά εύκολα. Οι 20 έδρες του θα µπορούσαν να αντιστοιχηθούν στα Σεφιρώθ και στα Κλιφώθ της Καβάλας. Ενώ το οκτάεδρο και ο κύβος έχουν πολλές συµµετρίες που περιλαµβάνουν τα τέσσερα στοιχεία, τριαδικότητες και δυαδικότητες, το εικοσάεδρο συνδέεται µε τα πέντε στοιχεία και αντίστοιχες τριαδικότητες και δυαδικότητες. Αντιστοιχεί έτσι καλύτερα σε ένα πλήρες σύστηµα.

Στη φύση η εικοσαεδρική συµµετρία είναι σπάνια και συναντάται σε ιούς, µερικά πρωτόζωα και στους ηµικρυστάλλους, για τους οποίους θα µιλήσουµε αργότερα. Οι 12 κορυφές του εικοσαέδρου µπορούν να αντιστοιχηθούν στο Ζωδιακό Κύκλο. Σε αυτή τη περίπτωση κάθε ζώδιο που αντιστοιχεί σε µια κορυφή συνδέεται µέσω των πέντε ακµών που συντρέχουν σε αυτή τη κορυφή (και µπορούν να αντιστοιχηθούν στα πέντε στοιχεία) µε πέντε άλλες κορυφές-ζώδια, δηµιουργώντας µερικές αρκετά ενδιαφέρουσες αντιστοιχίες. Αυτό φαίνεται να δείχνει την ύπαρξη ενός δικτύου ανάµεσα στα ζώδια, όπου κάθε ζώδιο µετασχηµατίζεται σε πέντε άλλα µέσω των δράσεων των πέντε στοιχείων. Οι 30 συνολικά ακµές του Εικοσαέδρου (τριπλή δεκάδα) θα µπορούσαν να αντιστοιχηθούν επίσης στα 10 Σεφιρώθ στους τρεις κατώτερους Κόσµους των Καβαλιστών (Μπριά, Γετζιρά και Ασσιά). Το εικοσάεδρο µπορεί να εγγραφεί στο οκτάεδρο, εφόσον οι κορυφές του τοποθετηθούν πάνω στις ακµές του οκταέδρου στη θέση της χρυσής τοµής. Σε αυτή τη περίπτωση οκτώ (Χοντ, συγκεκριµένος νους) έδρες του εικοσαέδρου (Νερό, συναίσθηµα, δηµιουργικότητα) βρίσκονται στο επίπεδο των εδρών του οκταέδρου (Αέρας, νους) και οι υπόλοιπες στο εσωτερικό του. Μπορεί να κάνει κάποιος αρκετούς φιλοσοφικούς συνειρµούς σε σχέση µε αυτό. Σηµειώνουµε ότι η (εικοσαεδρική) οµάδα συµµετρίας 5.3.2 των πολυέδρων συνδέεται στενά µε τη χρυσή τοµή.

ΤΟ ∆Ω∆ΕΚΑΕ∆ΡΟ Το τελευταίο σχήµα είναι το επίπεδο ανάπτυγµα του ∆ωδεκαέδρου για το σκοπό της κατασκευής του µε χαρτόνι ή άλλο υλικό.

Σχήµα 19

Γεωµετρικές Ιδιότητες Ε=12 κανονικά πεντάγωνα, Α=30, Κ=20, Α/Ε=5, Ε/Κ=3 Έχει 12 έδρες, 30 ακµές και 20 κορυφές.

Σχήµα 20.

Θεωρούµε µια τρίεδρη γωνία Α,ΒΓ∆. ενός κανονικού δωδεκαέδρου ακµής α και την περιφέρεια γ(Κ,r), τοµή της περιγεγραµµένης σφαίρας σ(O, R12) του κανονικού δωδεκαέδρου µε το επίπεδο ΒΓ∆. Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΒΓ, Γ∆, ∆Β είναι διαγώνιοι ίσων κανονικών πενταγώνων κι έτσι το ΒΓ∆ είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς ΒΓ=r 3 . Αποδεικνύεται τελικά ότι αν λ12 είναι η απόσταση του κέντρου του κανονικού δωδεκαγώνου από την ακµή του, Εολ το εµβαδόν της ολικής επιφανείας του, V ο όγκος του, R12 η ακτίνα της περιγεγραµµένης σφαίρας, ρ12 η ακτίνα της εγγεγραµµένης σφαίρας, θ12 η αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης γωνίας του και φ12 η κεντρική γωνία του τότε: Εολ=3α2 25 + 10 5 , V=α3(15+7 5 ) /4, R12= α ( 3 + 15 ) /4, ρ12= α ο

250 + 110 5

/20, λ12=α(3+ 5 )/4,

ο

ηµθ12=2/ 5 οπότε θ =116 34΄, ηµφ12=2/3, οπότε φ12 = 41 49΄ Ένα δωδεκάεδρο πλευράς 2/Φ έχει συντεταγµένες κορυφών: (0,φ,Φ), (0,φ,-Φ), (0,-φ,Φ), (0,-φ,-Φ),(Φ,0,φ), (Φ,0,-φ), (-Φ,0,φ), (-Φ,0,-φ), (φ,Φ,0), (φ,-Φ,0), (-φ,Φ,0), (-φ,-Φ,0),(1, 1, 1), (1,1,-1), (1,-1,1), (1,-1,-1),(-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1).

όπου Φ=(1+ 5 )/2 =1,61803.. ο αριθµός της χρυσής τοµής και φ=1/Φ=Φ-1=0,61803.... Εάν ενώσουµε τα µεσαία σηµεία των εδρών ενός δωδεκαέδρου, παίρνουµε τρία ορθογώνια, όλα κάθετα µεταξύ τους. Επιπλέον αυτά είναι Χρυσά Ορθογώνια, δηλαδή οι πλευρές τους έχουν λόγο 1:Φ

Σχήµα 21

Το ίδιο συµβαίνει και άµα ενώσουµε τις κορυφές του εικοσαέδρου, εφόσον αυτό είναι το δυαδικό του δωδεκαέδρου. Χρησιµοποιώντας αυτά τα χρυσά ορθογώνια είναι εύκολο να δούµε ότι οι συντεταγµένες του εικοσαέδρου είναι αυτές που δώσαµε παραπάνω εφόσον είναι: (0,± 1, ± Φ), (± Φ, 0, ± 1), (± 1, ± Φ, 0) . Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αυτά τα τρία χρυσά ορθογώνια για να κατασκευάσουµε αν θέλουµε ένα µοντέλο του εικοσαέδρου

Σχήµα 22

Χρησιµοποιώντας τα ίδια τρία χρυσά ορθογώνια κάθετα το ένα στο άλλο, µπορούµε να κατασκευάσουµε επίσης ένα οκτάεδρο. Εάν βάλουµε ένα τετράγωνο, όπως δείχνεται παραπάνω γύρω από κάθε ορθογώνιο, τα τετράγωνα θα είναι επίσης κάθετα µεταξύ τους και θα σχηµατίσουν τις πλευρές ενός οκταέδρου. Οι 12 κορυφές του εικοσαέδρου διαιρούν τις ακµές του οκτάεδρου στο λόγο 1:Φ, όπου το οκτάεδρο έχει κορυφές ( ±Φ2 ,0, 0), ( 0, ±Φ2, 0), (0, 0, ±Φ2). Μπορούµε

έτσι να δούµε πώς να προσαρµόσουµε ένα εικοσάεδρο µέσα σε ένα οκτάεδρο χρησιµοποιώντας χρυσές τοµές. Αν Φ είναι ο αριθµός της χρυσής τοµής, τότε ισχύουν οι σχέσεις που δείχνει το παρακάτω σχήµα

Σχήµα 23

Η δωδεκαεδρική γεωµετρία σχετίζεται άµεσα µε τη Χρυσή Τοµή, το νόµο της αρµονίας και της αναλογίας που ενέπνευσε από παλιά τους καλλιτέχνες, αρχιτέκτονες και επιστήµονες. Θα µιλήσουµε ειδικότερα γι’ αυτή αργότερα. Ένα κανονικό δωδεκάεδρο έχει 20 κορυφές κι ένα τετράεδρο 4 κορυφές. Αποδεικνύεται ότι

µπορούµε να εγγράψουµε πέντε τετράεδρα µε τις κορυφές τους στις κορυφές του δωδεκαέδρου χωρίς να επικαλύπτονται, κάτι που φαίνεται να το γνώριζαν οι αρχαίοι Μάγια µια και το χρησιµοποίησαν στο ηµερολόγιό τους. Οι αριθµοί 12, 30, 60, και 360 θεωρούνται σα "φυσικοί" αριθµοί του δωδεκαέδρου, το οποίο ανήκει στην εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας. Ξέρουµε ότι το πεντάγωνο δεν µπορεί να επιστρώσει (γεµίσει) από µόνο του ένα επίπεδο χωρίς ν’ αφήσει κενά, σε αντίθεση µε το τετράγωνο, το εξάγωνο και το ισόπλευρο τρίγωνο. Παρόµοια το δωδεκάεδρο, σε αντίθεση µε το κύβο, δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να γεµίσει το χώρο. Ενώ στα άλλα πολύεδρα το βασικό πολύγωνο είναι το τρίγωνο ή το τετράγωνο, στο δωδεκάεδρο είναι το πεντάγωνο. Αυτός πρέπει να είναι ο λόγος που ο Πλάτωνας το ανήγαγε στη τάξη του πέµπτου στοιχείου, του αιθέρα. Το δωδεκάεδρο σα µια άλλη τάξη κανονικού πολυέδρου, λόγω της αιθέριας σύστασής του σχετίζεται µε την υφή όλου του κόσµου και τη παγκόσµια (αιθερική) ψυχή. Ας δούµε όµως τι αναφέρει ο Πλάτωνας στο «Τίµαιο» για τη κατασκευή της Ψυχής του Κόσµου από το ∆ηµιουργό.

Η ΨΥΧΗ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα ο ∆ηµιουργός κατασκεύασε τη Ψυχή του Κόσµου χρησιµοποιώντας τρεις βασικές ουσίες. Η πρώτη ουσία του ταυτού αντιπροσωπεύει την αδιαίρετη και αµετάβλητη ουσία και η δεύτερη του ετέρου τη διαιρετή και σωµατιδιακή. Η τρίτη ουσία προήλθε από την ανάµειξη των δύο πρώτων. Ο ∆ηµιουργός πήρε το µείγµα των τριών αυτών ουσιών και το διαίρεσε σε επτά µέρη, τα οποία συνδέονται µεταξύ τους όπως οι όροι των γεωµετρικών προόδων 1,2,4,8 και 1,3,9,27, µε λόγο αντίστοιχα 2 και 3. Από τις δυο αυτές προόδους ο ∆ηµιουργός δηµιούργησε µια τρίτη ακολουθία 1,2,3,4,9,8,27 (στην οποία υπάρχουν οι τρεις πρώτοι αριθµοί της δεκάδας, σε σειρά µε τα τετράγωνά τους και τους κύβους τους), στην οποία δεν τηρείται η τάξη των όρων. Μετά ο ∆ηµιουργός συµπλήρωσε τα διαστήµατα µεταξύ των όρων της προόδου χρησιµοποιώντας αριθµητικούς και αρµονικούς µέσους.

Σχήµα 24 Gaffurio, Μιλάνο 1492

Για να συµπληρώσει αυτά τα διαστήµατα ο Πλάτωνας ανέτρεξε στις ιδέες της µουσικής

κλίµακας. Οι επτά προηγούµενοι αριθµοί της προόδου µπορούν να θεωρηθούν ότι αντιστοιχούν στους επτά τόνους µιας µουσικής κλίµακας. Το διάστηµα ορίζεται από την αριθµητική σχέση (λόγο) δύο διαδοχικών όρων (τόνων). Η συµπλήρωση ενός διαστήµατος εννοείται µε την έννοια της τοποθέτησης ανάµεσα στο βαρύτερο και οξύτερο ήχο άλλων τόνων, έτσι ώστε τα νέα οριζόµενα διαστήµατα µεταξύ δύο διαδοχικών τόνων να µην µπορούν να συµπληρωθούν περαιτέρω. Το διάστηµα χωρίστηκε έτσι σε άνισα µέρη που ο Πλάτωνας ονόµασε συµφωνίες. Οι επτά προηγούµενοι όροι της προόδου ή µουσικοί τόνοι ορίζουν 6 συνολικά διαστήµατα: 1:2:3:4:9:8:27. Σε καθένα από αυτά αντιστοιχούν δυο αντίστροφοι µεταξύ τους λόγοι, ανάλογα µε τον πιο από τους δυο όρους της ακολουθίας παίρνουµε στον αριθµητή. Π.χ. στο πρώτο διάστηµα αντιστοιχούν οι λόγοι 1:2 και 2:1. Ο µεγαλύτερος από τους δυο αυτούς άνισους λόγους ενός διαστήµατος λέγεται πρόλογος και ο µικρότερος υπόλογος. Ο Πλάτωνας όρισε έτσι τους αριθµούς των διαστηµάτων όχι εµπειρικά, αλλά a priori µέσω καθαρά µαθηµατικών συλλογισµών, µε έµπνευση θα µπορούσε να πει κάποιος από το Κόσµο των Ιδεών. Ξεκινώντας λοιπόν από τη πρόοδο 1,2,3,4,9,8,27 του Πλάτωνας έχουµε τα εξής έξη διαστήµατα και δώδεκα αντίστοιχα λόγους: 1/2 και 2/1, 2/3 και 3/2, 3/4 και 4/3, 4/9 και 9/4, 9/8 και 8/9, 8/27 και 27/8. Σε µερικά απ’ αυτά τα διαστήµατα ο µεγαλύτερος λόγος συγκρινόµενος προς το µικρότερο είναι ίσος µε µια ακέραιη µονάδα συν τη κλασµατική µονάδα του µικρότερου όρου: 3/2=1 +1/2, 4/3=1+1/3, 9/8=1+1/8, ο πρώτος λόγος 1+1/2 ονοµάζεται ηµιόλιος, ο δεύτερος 1+1/3 επίτριτος και ο τρίτος 1+1/8 επόγδοος. Τους τρεις αυτούς όρους χρησιµοποίησε ο Πλάτωνας σε όλους τους υπολογισµούς του. Ας θυµηθούµε τώρα ότι ο αριθµητικός µέσος δύο αριθµών α και β είναι το ηµιάθροισµά τους ΜΑ= (α+β)/2 και ο αρµονικός τους µέσος το διπλάσιο του γινοµένου τους διά το άθροισµά τους (ή το γινόµενό τους διά του αριθµητικού τους µέσου) ΜΗ=2αβ/(α+β). Αν θεωρήσουµε λοιπόν το διάστηµα της αρµονίας (ή δια πασών) 1:2 ή 2:1, ο αριθµητικός µέσος των όρων 1 και 2 είναι ο ηµιόλιος όρος 3/2 και ο αρµονικός µέσος ο επίτριτος όρος 4/3. Μπορούµε λοιπόν να συµπληρώσουµε αυτό το διάστηµα και να πάρουµε τη σειρά 1:(4/3):(3/2):2. Αντίστοιχα το διάστηµα 3:1 ή 1:3 µπορεί να συµπληρωθεί µε δυο µέσους όρους, τον αριθµητικό 2 και τον αρµονικό 3/2. Παίρνουµε έτσι τη σειρά 1:3/2:2:3. Αν πάρουµε τώρα ξεχωριστά τις προόδους 1,2,4,8 και 1,3,9,27 οι µέσοι αρµονικοί των διαστηµάτων είναι για τη πρώτη πρόοδο 4/3, 8/3, 16/3 και για τη δεύτερη πρόοδο 3/2, 9/2, 27/2. Αντίστοιχα οι µέσοι αριθµητικοί όροι είναι για τα ίδια διαστήµατα της µεν πρώτης προόδου 3/2, 3, 6 και της δεύτερης προόδου 2,6,18. Ο Πλάτωνας συµπλήρωσε τη πρώτη και τη δεύτερη πρόοδο µε τους προηγούµενα υπολογισθέντες αριθµητικούς και αρµονικούς µέσους και πήρε τις εξής σειρές: 1 4/3 3/2 2 7/3 3 4 16/3 6 8 1 3/2 2 3 9/2 6 9 27/2 18 27 Παρατηρούµε ότι στη πρώτη σειρά ο λόγος µεταξύ του µέσου αρµονικού και του µέσου αριθµητικού είναι 9/8. Π.χ. το 3/2:4/3= 9/8 και 6:16/3=9/8. Μπορούµε λοιπόν να συµπληρώσουµε όλα τα διαστήµατα εισάγοντας µεταξύ κάθε όρου της προόδου και του

διαδοχικού αρµονικού ή αριθµητικού µέσου δύο νέους όρους τέτοιους ώστε ο λόγος καθενός από αυτούς µε το προηγούµενό του να είναι 9/8. Επειδή οι πράξεις µεταξύ των προκυπτόντων µε αυτό το τρόπο κλασµατικών αριθµών της σειράς είναι δύσκολες, ο Κράντωρ και ο Εύδοξος µετέτρεψαν τους κλασµατικούς αριθµούς σε ακεραίους πολλαπλασιάζοντας όλα τα κλάσµατα µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονοµαστών (αφού έτσι και αλλιώς οι αναλογίες µεταξύ των όρων της σειράς συνεχίζουν να ισχύουν και στα πολλαπλάσιά τους). Πολλαπλασιάζοντας λοιπόν µε το 384 όλους τους όρους παίρνουµε τις παρακάτω δυο προόδους µε ακέραιους αριθµούς: Στη πρώτη πρόοδο 1:2:4:8 αντιστοιχεί η πρόοδος 384: 768: 1536: 3072 Στη δεύτερη πρόοδο 1:3:9:27 αντιστοιχεί η πρόοδος 384: 1152: 3456: 10368 Και συµπληρώνοντας τα διαστήµατα µε τους µέσους αρµονικούς βρίσκουµε τη σειρά της πρώτης και της δεύτερης προόδου: 384: 512: 768: 1024: 1536: 2048: 3072 384: 576: 1152: 1728: 3456: 5184: 10368 και µετά συµπληρώνοντας πάλι τα διαστήµατα µε τους αριθµητικούς µέσους παίρνουµε τις σειρές: 384: 576: 768: 1152: 1536: 2394: 3072 384: 768: 1152: 2304: 3456: 6912: 10368 Με αυτό το τρόπο το διάστηµα 1:2 ή 384: 768 όταν συµπληρωθεί µε τους προηγούµενους µέσους γίνεται: 384, 432, 486, 512, 576, 729, 768. Όπως µπορούµε να ελέγξουµε πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο επί 9/8 και συγκρίνοντάς τον µε τον επόµενο, το µόνο διάστηµα που µένει να ξανασυµπληρωθεί είναι το 576: 729. Τα 9/8 του 576 είναι 648 και τα 9/8 του 648 το 729. Άρα ανάµεσα στο 576 και το 648 τοποθετείται ο νέος όρος 648. Υπάρχει όµως και κάτι άλλο:. τα 9/8 του 486 είναι 546,75 που υπερβαίνουν τον επόµενο όρο 512. Εδώ σύµφωνα µε το Πλάτωνα υπάρχει ένα λείµµα. Ένα δεύτερο λείµµα στη πρώτη σειρά υπάρχει στο διάστηµα 729:768, αφού τα 9/8 του 729 είναι 820,1, που είναι µεγαλύτερος του τελευταίου όρου 768. Παίρνουµε έτσι τελικά τις σειρές: 1. 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768 2. 768, 864, 972, 1024, 1152 3. 1152, 1296, 1458, 1536 4. 1536, 1728, 1922, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072 8. 3072, 3456 9. 3456, 3888, 4374, 4608, 5184, 5832, 6144, 6561, 6912, 7776, 8748, 9216, 10368 27. 10368 Μεταξύ λοιπόν του 384 και του 10368 περιλαµβάνονται 36 όροι. Η πρώτη σειρά περιλαµβάνει πέντε πλήρεις τόνους και δυο λείµµατα. Οι τόνοι είναι: 384/432, 432/486, 512/576, 576/648 και 648/729 και καθένας από αυτούς τους λόγους είναι ίσος µε 8/9. Τα λείµµατα είναι 486/512 και 729/768. Από τις επτά παραπάνω σειρές, η µόνη πρακτικά εφαρµόσιµη στη µουσική και την οποία χρησιµοποίησε ο Πλάτωνας είναι η πρώτη, η οποία περιλαµβάνει πέντε τόνους και δύο

λείµµατα. Το διάστηµα αυτό 1:2 αντιστοιχεί σε δυο τετράχορδα δηλαδή προς ένα µουσικό όργανο µε οκτώ χορδές που αντιστοιχούν σε επτά τόνους: Η χορδή της λύρας που απέδιδε το βαρύτερο τόνο ονοµαζόταν υπάτη και αυτή που απέδιδε τον οξύτερο τόνο νήτη. Η µουσική κλίµακα έβαινε από την υπάτη προς τη νήτη. Στους αρχαίους όµως Έλληνες ο βαρύτερος ήχος αντιστοιχούσε στο µεγαλύτερο αριθµό (δεν τον είχαν συνδέσει µε τη συχνότητα της παλλόµενης χορδής).

384 νήτη

432

486

παρανήτη τόνος

512

τρίτη

τόνος

576

648

µέση

λιχανός

παραµέση

λείµµα

τόνος

τόνος

729

768

παρυπάτη

τόνος

υπάτη

λείµµα

Τα λείµµατα του Πλάτωνα δεν είναι τίποτε άλλο από τις παύσεις στα ηµιτόνια µι-φα και σι-ντο της θεωρίας του Γκουρντζίεφ για το νόµο της οκτάβας. Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα η αρµονία 2:1 είναι αρκετή για τη µουσική, ενώ η αρµονία της ψυχής του κόσµου είναι πιο εκτεταµένη και περιλαµβάνει «όλες τις δυνατές µουσικές κλίµακες και υπερβαίνει όλες τις αρµονίες που µπορούν να παρουσιάσουν τα µουσικά όργανα». Με τη παραπάνω θεωρία του ο Πλάτωνας απέδειξε ότι η Ψυχή του Κόσµου, όπως και η δικιά µας ψυχή, που δηµιουργήθηκε από τη πρώτη, έχουν σα βάση τους αιώνιες και αναλλοίωτες µαθηµατικές σχέσεις και αναλογίες που τις προσδίδουν αρµονία και κάλλος. Με το τρόπο αυτό, καταλήγει ο Πλάτωνας, ο ∆ηµιουργός κατανάλωσε πλήρως το αρχικό µίγµα από το οποίο ελάµβανε τα διάφορα τµήµατα. Ολόκληρη µετά αυτή τη σύνθεση, αφού την έσχισε κατά µήκος, ένωσε στη µέση ακριβώς τα δυο σκέλη, «ώστε να αποτελέσουν ένα σχήµα όµοιο µε το γράµµα Χ και αφού λύγισε µετά τα άκρα του κάθε σκέλους και τα ένωσε στο αντίθετο µέρος προς το σηµείο της διασταύρωσης, σχηµάτισε ένα κύκλο. Στους δυο αυτούς κύκλους από τους οποίους τον ένα τοποθέτησε εσωτερικά και το άλλο εξωτερικά, έδωσε κίνηση, η οποία γυρίζει πάντοτε κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο τόπο. Και συνεχίζει ο Πλάτωνας: Την εξωτερική κυκλική φορά ο ∆ηµιουργός την έδωσε στη φύση του Ταυτού και την εσωτερική στη φύση του Ετέρου, του µεταβλητού. Τη κίνηση του Ταυτού την εκανόνισε να γίνεται προς τα δεξιά κατά τη πλευρά, ενώ τη φύση του Ετέρου προς τα αριστερά κατά τη διάµετρο. Την ανωτερότητα την έδωσε στη περιφορά του Ταυτού και οµοίου, διότι µόνον αυτή άφησε άσχιστη. Την εσωτερική όµως την έσχισε έξη φορές και σχηµάτισε 7 άνισους κύκλους, σύµφωνα προς το καθένα από τα διπλάσια και τριπλάσια διαστήµατα.

Σχήµα 25

Οι δυο πρώτοι κύκλοι, ο εσωτερικός και ο εξωτερικός, δεν είναι παράλληλοι ούτε της ίδιας φοράς. Ο εξωτερικός κύκλος παριστάνει τον ισηµερινό και την οµαλή κίνηση και συµβολίζει τον ουρανό των απλανών αστέρων. Ο εσωτερικός κύκλος παριστάνει την εκλειπτική και τις µεταβλητές κινήσεις των ουρανίων σωµάτων, των πλανητών. Ο εξωτερικός κύκλος, που αντιστοιχεί στην ουσία του ταυτού, από την οποία κατασκευάστηκε η ψυχή του κόσµου, δεν υποδιαιρείται σε άλλους κύκλους, ενώ ο εσωτερικός κύκλος, που αντιστοιχεί στην ουσία του ετέρου, υποδιαιρείται σε έξη οµόκεντρους κύκλους που αντιστοιχούν στις τροχιές των πλανητών. Οι υποδιαιρέσεις αυτές αντιστοιχούν στους όρους της προόδου 1,2,3,4,9,8,27 από την οποία κατασκευάστηκε η ψυχή του κόσµου. Οι αριθµοί αυτής της προόδου εκφράζουν τις αποστάσεις των πλανητών από τη γη, εφόσον λάβουµε σα µονάδα την απόσταση της σελήνης από τη γη. Οι αποστάσεις λοιπόν αυτές θα είναι: Σελήνη 1, Ήλιος 2, Αφροδίτη 3, Ερµής 4, Άρης 8, ∆ίας 9, Κρόνος 27. Βρισκόµενοι στις αρµονικές αυτές µεταξύ τους αποστάσεις οι πλανήτες των αρχαίων παράγουν τη Μουσική των Σφαιρών καθώς κινούνται διασχίζοντας τον αιθέρα. Το δωδεκάεδρο αποδίδεται λοιπόν κλασσικά στο Πνεύµα, στο Σύµπαν, στον Αιθέρα και στη Ψυχή του Κόσµου. Οι δώδεκα έδρες του έχουν αποδοθεί φυσικά στα ζώδια και έχουν υπάρξει δωδεκαεδρικά ηµερολόγια. Το δωδεκάεδρο σύµφωνα µε το Φίλωνα είναι το µόνο ανάµεσα στα σηµεία του Ζωδιακού που επισκέπτεται ο ήλιος σε δώδεκα µήνες και για να το τιµήσει ακριβώς ο Μωυσής διαίρεσε το έθνος του σε δώδεκα φυλές, καθιέρωσε τους 12 άζυµους άρτους και τοποθέτησε δώδεκα πολύτιµους λίθους γύρω από το εφούδ των αρχιερέων.

Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ. Το δωδεκάεδρο συµβολίζει συγχρόνως ολόκληρο το Σύµπαν (µαζί µε τον υλικό και το πνευµατικό κόσµο). Υπήρξε πηγή µεταφυσικού ενδιαφέροντος για τουλάχιστον 2000 χρόνια.. Μερικοί πιστεύουν ότι αντιπροσωπεύει µια εξιδανικευµένη µορφή της Θείας Σκέψης, θέλησης ή ιδέας. Ο στοχασµός πάνω σε αυτό το σύµβολο θεωρήθηκε σα ο διαλογισµός πάνω στο Θείο. Έχει προταθεί ότι ένας από τους λόγους για την αντιστοιχία του µε το Σύµπαν µπορεί να οφείλεται στις περιόδους περιστροφής των γιγαντιαίων πλανητών ∆ία και Κρόνου. Ο ∆ίας κάνει µια πλήρη περιφορά του γύρω από τον Ήλιο σε 12 περίπου χρόνια. Υπάρχει αρκετός λόγος να πιστεύσουµε ότι αυτό συνδέεται µε τη δηµιουργία του ηµερολογίου του ∆ία, µε τον ουράνιο συµβολισµό του δωδεκαδικού ζωδιακού κύκλου. Εκτός από αυτό, µεγάλη σηµασία στη δηµιουργία του ηµερολογίου έπαιξε επίσης η 30ετής περίοδος περιστροφής του Κρόνου γύρω από τον ήλιο. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (60 έτη) των δύο αυτών περιόδων επιλέχθηκε έτσι σαν ο βασικός κύκλος του ηλιακού συστήµατος. Στη διάρκεια αυτού του χρόνου ο Κρόνος κάνει δυο περιστροφές γύρω από τον Ήλιο και ο ∆ίας πέντε. Ακολουθώντας το δωδεκάεδρο οι Αιγύπτιοι διαίρεσαν το έτος σε 12 µήνες (οι 12 έδρες του δωδεκάεδρου), τον ένα µήνα σε 30 ηµέρες (οι 30 ακµές του δωδεκάεδρου), τη µια µέρα σε 24 ώρες ( 24=2Χ12), τη µια ώρα σε 60 λεπτά (οι 60 επίπεδες γωνίες του δωδεκάεδρου) και το ένα λεπτό σε εξήντα δευτερόλεπτα. Η ίδια ιδέα εφαρµόστηκε στο σύστηµα µέτρησης της τιµής µιας γωνίας. Η διαδροµή του Ήλιου στην εκλειπτική διαιρέθηκε σε 12 ίσα µέρη (τα 12 Ζώδια). Καθένα από αυτά διαιρέθηκε σε 30 µοίρες και κάθε µοίρα σε 60 λεπτά γωνίας. Έτσι η ατραπός

του Ηλίου διαιρέθηκε σε 360 µοίρες, που αντιστοιχούν στο Αιγυπτιακό ηµερολόγιο των 360 ηµερών. Αυτό σήµαινε ότι ο Ήλιος κινιόταν κάθε µέρα 1 µοίρα πάνω στην εκλειπτική. Τα παραπάνω αποτελούν µια αρκετά καλή εξήγηση γιατί οι Βαβυλώνιοι διάλεξαν τον «παράξενο» αριθµό 60 σα βάση του αριθµητικού τους συστήµατος (οι 60 επίπεδες γωνίες του δωδεκαέδρου και ο 60ετής κύκλος του ηλιακού συστήµατος). Μπορούµε να δούµε το δωδεκάεδρο σαν την ένωση πέντε τεµνοµένων κύβων, των οποίων οι κορυφές ακουµπούν στις κορυφές του δωδεκαέδρου. Σε κάθε κορυφή συναντούνται τρεις διαφορετικοί κύβοι. Κατά µήκος κάθε πλευράς του δωδεκαέδρου υπάρχει µια ακµή από ένα κύβο, δηµιουργώντας ένα σύστηµα αντιστοιχιών ανάµεσα στα πέντε στοιχεία και στις ακµές, σαν το σύστηµα που αναφέραµε προηγουµένως για το εικοσάεδρο. Μπορούµε να τοποθετήσουµε επίσης πολύεδρα µέσα στο δωδεκάεδρο χρησιµοποιώντας πέντε αλληλοτεµνόµενα τετράεδρα µε τις κορυφές τους στις κορυφές του δωδεκαέδρου. Τα τετράεδρα αυτά φαίνονται να ελίσσονται το ένα γύρω από το άλλο και η διαµόρφωση υπάρχει σε δυο διαφορετικές µορφές, που αντιστοιχούν στην δεξιόστροφη και αριστερόστροφη περιστροφή. Ο χώρος που καταλαµβάνουν και τα πέντε αυτά τετράεδρα είναι ένα µικρότερο εικοσάεδρο, δείχνοντας για µια ακόµη φορά τη στενή σχέση των δυαδικών στερεών. Ο Anders Sandberg παρατηρεί γι’ αυτή τη διαµόρφωση: Θα µπορούσε ίσως (αυτή) να ιδωθεί σαν ένα «σχέδιο κατασκευής» της Φωτιάς, όπου η Πεµπτουσία αναλαµβάνει τις διάφορες στοιχειακές της ιδιότητες και τις συνδυάζει σε µια αιώνια περιστρεφόµενη και ελισσόµενη µορφή. Η εξέλιξη της Πεµπτουσίας στα τέσσερα στοιχεία µπορεί να περιγραφεί έτσι ως εξής: Η αρχική µορφή του Τετραέδρου δηµιουργείται από το αρχέγονο χάος, όντας η απλούστερη και πιο σταθερή µορφή. Συνδέεται µε πολλούς τρόπους µε αυτή, είτε κινούµενη και µιγνυόµενη, σχηµατίζοντας το ∆ωδεκάεδρο και τη Φωτιά, είτε συνδέοντας µαζί και οικοδοµώντας το Εικοσάεδρο και το Αρχέγονο Νερό. Όµως ενώ και τα δυο πολύεδρα πλησιάζουν στο να είναι τέλειες σφαίρες, δεν ταιριάζουν µαζί. Αυτές οι ατελείς αλληλεπιδράσεις ανάµεσα στον αυξανόµενο αριθµό πολυέδρων τα αναγκάζει να διαταχθούν σύµφωνα µε κυβικές συµµετρίες και σχηµατίζονται έτσι ο Κύβος και ο Αέρας. Αυτό ταιριάζει µε µερικά αποτελέσµατα της (µαθηµατικής) θεωρίας των οµάδων.

Σχήµα 26 Το ∆ωδεκάεδρο µε το δυαδικό του Εικοσάεδρο

ΑΣΤΕΡΟΕΙ∆Η ΠΟΛΥΕ∆ΡΑ

Σχήµα 27

Εκτός από τα Πλατωνικά πολύεδρα, υπάρχουν και άλλα πολύεδρα µε φιλοσοφικό ή µαγικό ενδιαφέρον, όπως για παράδειγµα τα πολύεδρα Kepler-Poinsot, γνωστά και σαν αστεροειδή πολύεδρα. Αυτά είναι µια γενίκευση των Πλατωνικών στερεών, όπου οι έδρες δε χρειάζεται να είναι πια κανονικά πολύγωνα, αλλά µπορεί να είναι αστεροειδή πολύγωνα (σαν το πεντάλφα) και µπορούν να αλληλοτέµνονται. Τα τέσσερα αυτά αστεροειδή πολύεδρα είναι το µικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο, το µεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο, το µεγάλο δωδεκάεδρο και το µεγάλο εικοσάεδρο. Ανήκουν όλα στην ίδια οµάδα συµµετρίας µε το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο και µπορούν να αντιστοιχηθούν στα τέσσερα στοιχεία των αρχαίων. Το µικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο και το δυαδικό του, το µεγάλο δωδεκάεδρο έχουν και τα δυο 12 έδρες, 30 ακµές και 12 κορυφές. ∆ιαφέρουν στο ότι το µεν πρώτο έχει έδρες πενταγράµµατα και σύµβολο Schδfli 5|2 5/2, ενώ το δεύτερο έχει αλληλοτεµνόµενες πενταγωνικές έδρες και σύµβολο Schδfli 5/2 |2 5. Το µεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο έχει 12 έδρες πενταγράµµατα, 30 ακµές, 20 κορυφές και σύµβολο Schδfli 3|2 5/2, ενώ το δυαδικό του, το µεγάλο εικοσάεδρο, έχει 20 τριγωνικές έδρες,. 30 ακµές 12 κορυφές και σύµβολο Schδfli 5/2|2 3. Ο Anders Sandberg αποδίδει το µεγάλο εικοσάεδρο στη Φωτιά «διότι οι έδρες του είναι τρίγωνα και αυτό ανοίγει σα µια εκρηκτική φωτιά» και το δυαδικό του, το µεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο στο Νερό. Το µικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο µε τις πενταγωνικές του πυραµίδες να αναδύονται από τις πεντάκτινες έδρες του το αντιστοιχεί έτσι στον Αέρα και το σχεδόν αστεροειδές µεγάλο ∆ωδεκάεδρο µε τη Γη. Τονίζει ότι η οµάδα συµµετρίας {5.3.2} φαίνεται έτσι να υπάρχει σε ένα ανώτερο επίπεδο, περιέχοντας το συµβολισµό και τα πρότυπα της οµάδας {4.3.2} σε µια αφηρηµένη µορφή. Το παρακάτω είναι ένα αστεροειδές δωδεκάεδρο όπου κάθε πενταγωνική έδρα είναι καλυµµένη µε µια πενταγωνική πυραµίδα αποτελούµενη από 5 χρυσά τρίγωνα, ένα είδος τρισδιάστατου πεντάκτινου άστρου.

Σχήµα 28

Ο παρακάτω κύβος του Μέτατρον περιέχει διδιάστατες εικόνες των Πλατωνικών στερεών και πολλές άλλες πρωτογενείς µορφές.

Σχήµα 29

Εκτός όµως από τα ιδανικά στερεά του Πλάτωνα υπάρχουν και τα πολύεδρα του Αρχιµήδη στα οποία οι έδρες µπορούν να είναι διαφορετικoύ είδους κανονικά πολύγωνα (χωρίς να επιτρέπονται τοµές ή αστεροειδείς έδρες). Υπάρχουν 13 τέτοια πολύεδρα τα οποία δεν έχουν συνδεθεί ακόµα µε αποκρυφιστικές αντιστοιχίες.

ΑΡΧΙΜΗ∆ΕΙΑ ΣΤΕΡΕΑ

Σχήµα 30

Ο Έλληνας µαθηµατικός Παππύς της Αλεξανδρείας, ο οποίος έζησε στις αρχές του 4ου αιώνα µ.χ., µας δίνει τη πρώτη γνωστή αναφορά για τα 13 «Στερεά του Αρχιµήδη», τα οποία αποδίδει στον τελευταίο. Οι έδρες αυτών είναι κανονικά αλλά όχι όµοια πολύγωνα. Υπάρχει ένα στερεό µε 8 έδρες (4 ισόπλευρα τρίγωνα και 4 κανονικά εξάγωνα) που λέγεται Κολοβό Τετράεδρο. Αυτό έχει 12 κορυφές και 18 ακµές και ανήκει στη τετραεδρική οµάδα συµµετρίας. Μετά από αυτό υπάρχουν τρία στερεά µε 14 έδρες. Το πρώτο από αυτά, το Κυβο-οκτάεδρο, έχει 8 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και 6 τετράγωνα. Έχει επίσης 12 κορυφές και 24 ακµές και ανήκει στην οκταεδρική οµάδα συµµετρίας Το δεύτερο, το Κολοβό Οκτάεδρο έχει 6 έδρες τετράγωνα και 8 κανονικά εξάγωνα. Έχει επίσης 24 κορυφές και 36 ακµές και ανήκει στην οκταεδρική οµάδα συµµετρίας. Το τελευταίο, ο Κολοβός Κύβος έχει 8 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και 6 κανονικά εξάγωνα. Έχει επίσης 24 κορυφές και 36 ακµές και ανήκει στη οκταεδρική οµάδα συµµετρίας. Μετά υπάρχουν δυο στερεά µε 26 έδρες µε πρώτο το Ροµβοειδές-κυβο-οκτάεδρο, µε 8 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και 18 τετράγωνα. Αυτό έχει επίσης 24 κορυφές και 48 ακµές και ανήκει στην οκταεδρική οµάδα συµµετρίας. ∆εύτερο είναι το Κολοβό Κυβο-οκτάεδρο µε 12 έδρες τετράγωνα, 8 κανονικά εξάγωνα και 6 κανονικά οκτάγωνα. Έχει επίσης 48 κορυφές και 72 ακµές και ανήκει στην οκταεδρική οµάδα συµµετρίας. Μετά υπάρχουν τρία στερεά µε 32 έδρες. Το πρώτο, το Εικοσι-δωδεκάεδρο, έχει 20 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα. Έχει επίσης 30 κορυφές και 60 ακµές και ανήκει στην εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας. Το δεύτερο, το Κολοβό Εικοσάεδρο, έχει 12 έδρες κανονικά πεντάγωνα και 20 κανονικά εξάγωνα καθώς επίσης 60 κορυφές και 90 ακµές και ανήκει στην εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας. Το τρίτο, το Κολοβό ∆ωδεκάεδρο, έχει 20 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά δεκάγωνα και επίσης 60 κορυφές και 90 ακµές και ανήκει στην εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας. Μετά υπάρχει ένα στερεό, ο Αµβλύς Κύβος (ή κυβο-οκτάεδρο), µε 38 έδρες, 32 ισόπλευρα τρίγωνα και 6 τετράγωνα, 24 κορυφές και 60 ακµές, το οποίο ανήκει στην άµεση οκταεδρική οµάδα συµµετρίας. Μετά από αυτό υπάρχουν δυο στερεά µε 62 έδρες. Το πρώτο, το Ροµβοειδές-εικοσιδωδεκάεδρο, έχει 20 έδρες ισόπλευρα τρίγωνα, 30 τετράγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα. Έχει επίσης 60 κορυφές και 120 ακµές και ανήκει στην εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας. Το δεύτερο, το Κολοβό Εικοσι-δωδεκάεδρο (ή µεγάλο ροµβοειδές εικοσι-δωδεκάεδρο) έχει 30 έδρες τετράγωνα, 20 κανονικά εξάγωνα και 12 κανονικά δεκάγωνα. Έχει επίσης 120 κορυφές και 180 ακµές και ανήκει στην εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας.

Τελευταίο είναι ένα στερεό µε 92 έδρες, 80 ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα που λέγεται Αµβλύ ∆ωδεκάεδρο. Έχει επίσης 60 κορυφές και 150 ακµές, το οποίο ανήκει στην άµεση εικοσαεδρική οµάδα συµµετρίας. Αρχιµηδικά είναι επίσης τα παρακάτω έξη πρίσµατα και αντιπρίσµατα: Το Τριγωνικό Πρίσµα µε 6 κορυφές, 9 ακµές, 2 τριγωνικές και 3 τετραγωνικές έδρες και µε τριγωνική διεδρική οµάδα συµµετρίας. Το Πενταγωνικό Πρίσµα µε 10 κορυφές, 15 ακµές, 5 τετραγωνικές και 2 πενταγωνικές έδρες και µε πενταγωνική διεδρική οµάδα συµµετρίας. Το Εξαγωνικό Πρίσµα µε 12 κορυφές, 18 ακµές, 6 τετραγωνικές και 2 εξαγωνικές έδρες και εξαγωνική διεδρική οµάδα συµµετρίας. Το Οκταγωνικό Πρίσµα µε 16 κορυφές, 24 ακµές, 8 τετραγωνικές και 2 οκταγωνικές έδρες και µε Οκταγωνική διεδρική οµάδα συµµετρίας. Το ∆εκαγωνικό Πρίσµα µε 20 κορυφές, 30 ακµές, 10 τετραγωνικές και 2 δεκαγωνικές έδρες και µε δεκαγωνική διεδρική οµάδα συµµετρίας και το Πενταγωνικό Αντιπρίσµα µε 10 κορυφές, 20 ακµές, 10 τριγωνικές και 2 πενταγωνικές έδρες και µε πενταγωνική αντιπρισµατική οµάδα συµµετρίας.

Σχήµα 31

ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ∆ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ, Τα κανονικά στερεά συνεχίζονται µαθηµατικά και σε ανώτερες διαστάσεις, µόνο που σε αυτή τη περίπτωση δε µιλάµε για «Πλατωνικά στερεά», αλλά για «κανονικά πολύτοπα». Όλες οι έδρες ενός κανονικού πολυτόπου πρέπει να είναι κανονικά πολύτοπα µικρότερης διάστασης, του ίδιου µεγέθους και σχήµατος, και όλες οι ακµές του, πολύεδρες γωνίες του κ.λ.π. ίσες. Με άλλα λόγια πρέπει αυτό να έχει τη µέγιστη δυνατή συµµετρία. Ας σηµειωθεί ότι ενδιαφερόµαστε µόνο για τα κυρτά πολύτοπα. Όπως κάθε οµάδα διδιάστατων κύκλων δίνει διδιάστατα πολύγωνα, τα οποία µε τη σειρά τους δίνουν τρισδιάστατα πολύεδρα, έτσι και κάθε οµάδα τρισδιάστατων σφαιρών δίνει τετραδιάστατα πολύεδρα, γνωστά επίσης σαν Πολύτοπα. Τα τετραδιάστατα πολύεδρα είναι µάλλον πολύπλοκα λόγω του περιορισµού της αντίληψής µας στο τρισδιάστατο χώρο. Στις 4 διαστάσεις υπάρχουν έξη ακριβώς κανονικά πολύτοπα: 1. Το Υπερτετράεδρο, που οι µαθηµατικοί το ονοµάζουν 4-simplex που έχει 5 τετραεδρικές έδρες (πεντάτοπο) και σύµβολο Schδfli (3, 3, 3). Αυτό αποτελείται από ένα τετράεδρο, συν το σηµείο στο κέντρο αυτού του τετραέδρου, µετατοπισµένο στη κατεύθυνση της τετάρτης διάστασης, και τέσσερα άλλα τετράεδρα που συνδέουν κάθε έδρα του πρώτου τετράεδρου µε αυτό το σηµείο.

\ Σχήµα 32

Σηµειώνουµε ότι το σύµβολο Schδfli χρησιµοποιείται όχι µόνο στα κανονικά πολύεδρα στις τρεις διαστάσεις, αλλά και στα κανονικά πολύτοπα (ή πολύχωρα) των ανωτέρων διαστάσεων. Ο πρώτος αριθµός δείχνει τον αριθµό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου µε το οποίο αρχίζουµε και ο δεύτερος πόσα από αυτά τα πολύγωνα (έδρες) συναντώνται στις γωνίες τους για να σχηµατίσουν ένα πολύεδρο. Στις ανώτερες διαστάσεις ο τρίτος αριθµός δείχνει πόσα πολύεδρα συναντιούνται στις ακµές τους για να σχηµατίσουν το τετραδιάστατο πολύχωρο. Και στην επόµενη διάσταση ένας τέταρτος προστιθέµενος αριθµός δείχνει πόσα πολύχωρα συναντώνται σε µια διδιάστατη έδρα για να σχηµατίσουν ένα πενταδιάστατο πολύτοπο κ.ο.κ. 2. Ο Υπερκύβος, τον οποίο συγγραφείς επιστηµονικής φαντασίας ονοµάζουν tesseract, µε 8 κυβικές έδρες και σύµβολο Schδfli (4, 3, 3). Ο Υπερκύβος θα µπορούσε να αποδοθεί σαν ένας µικρότερος κύβος µέσα σε έναν µεγαλύτερο, ή ένα κύβο που προβάλλει κύβους σε κάθε µια από τις έδρες του, µε ένα παραπάνω στο κάτω µέρος του, σαν ένα σταυρό.

Σχήµα 33

Οι οκτώ κύβοι του στερεού ανισοσκελούς σταυρού αναδιπλώνονται σε µια µεγαλύτερη διάσταση για να δηµιουργήσουν τον υπερκύβο µε µια ανάλογη διαδικασία µε την αναδίπλωση των έξη τετραγώνων ενός επιπέδου σταυρού για τη δηµιουργία ενός κύβου. Στις προβολές που βλέπουµε στα επόµενα σχήµατα δεν είναι βέβαια εµφανές που βρίσκεται ο τετραδιάστατος χώρος που περικλείει η επιφάνεια του υπερκύβου. Στη πραγµατικότητα βλέπουµε τη σκιά µιας σκιάς και είναι δύσκολο να οραµατισθούµε από αυτή το αρχικό τετραδιάστατο αντικείµενο που προβλήθηκε αρχικά στο τρισδιάστατο χώρο και στη συνέχεια στο επίπεδο. 3. Το Υπεροκτάεδρο, που οι µαθηµατικοί ονοµάζουν τετραδιάστατο σταυροειδές πολύτοπο, µε 16 τετραεδρικές έδρες και σύµβολο Schδfli (3, 3, 4). Αυτό είναι το δυαδικό του tesseract, µε την

ίδια έννοια που είναι το οκτάεδρο του κύβου. Μπορεί να κατασκευασθεί χρησιµοποιώντας τα κέντρα κάθε κυβικής «έδρας» του υπερκύβου. Μια άλλη κατασκευή του είναι να το θεωρήσουµε ότι αποτελείται από ένα τετράεδρο στο χώρο µας, ένα ανεστραµµένο τετράεδρο και περιεστραµµένο κατά 60 µοίρες, έτσι ώστε να είναι το δυαδικό του πρώτου τετράεδρου, µετατοπισµένου από µια τετραδιάστατη απόσταση, και οκτώ τετράεδρα για να ενώσουν τις τέσσερες έδρες καθενός από τα δύο πρώτα τετράεδρα µε την αντίστοιχη γωνία του άλλου. Το παρακάτω σχήµα δείχνει µια προβολή του σταυροειδούς πολυτόπου.

Σχήµα 34

4. Το Υπερδωδεκάεδρο, που οι µαθηµατικοί ονοµάζουν κύτταρο 120, µε 120 δωδεκαεδρικές έδρες και σύµβολο Schδfli (5,3,3). Το στερεό αυτό δοµείται από δωδεκάεδρα. Εάν τοποθετήσουµε 12 δωδεκάεδρα πάνω στις έδρες ενός άλλου δωδεκαέδρου, οι γειτονικές έδρες της έδρας που ακουµπά στο δωδεκάεδρο σχεδόν θα εφάπτονται, αφήνοντας µια στενή σφήνα χώρου ανάµεσά τους. Ή αναδίπλωση των δώδεκα δωδεκαέδρων στη τετάρτη διάσταση, έτσι ώστε αυτά να ακουµπήσουν, θα οδηγήσει στο σχηµατισµό ενός τετραδιάστατου στερεού µε έδρες 120 δωδεκάεδρα. Το στερεό αυτό εκτός από το ότι κατασκευάζεται από δωδεκάεδρα, θεωρείται επίσης το τετραδιάστατο ανάλογο του δωδεκάεδρου.

Σχήµα 35 Κύτταρο 120

5. Το Υπερεικοσάαεδρο, που οι µαθηµατικοί ονοµάζουν κύτταρο 600, µε 600 τετραεδρικές έδρες και σύµβολο Schδfli (3,3,5). Αυτό το στερεό κατασκευάζεται από τετράεδρα που συναντώνται ανά πέντε σε κάθε ακµή. Είναι το δυαδικό του κυττάρου 120.

Σχήµα36 Κύτταρο 600

6. Τελευταίο είναι το κύτταρο 24, µε 24 οκταεδρικές έδρες και σύµβολο Schδfli (3, 4, 3). Αυτό το πολύτοπο αποτελείται από 24 οκτάεδρα και όπως το πεντάτοπο είναι το δυαδικό του εαυτού του. ∆εν έχει ανάλογο στις κατώτερες διαστάσεις.

Σχήµα 37 Ένα στιγµιότυπο µιας τετραδιάστατης περιστροφής του Κυττάρου Στις µεγαλύτερες διαστάσεις τα πράγµατα δε γίνονται πολυπλοκότερα, όπως ίσως περιµέναµε, αλλά υπάρχουν µόνο τρία υπερστερεά, τα οποία είναι τα ανάλογα του τετραέδρου, του κύβου και του οκτάεδρου. Έτσι στις 5 ή περισσότερες διαστάσεις υπάρχουν τρία µόνο κανονικά πολύτοπα: • Ένα είδος υπερτετραέδρου που ονοµάζεται n-simplex, και έχει (n+1) έδρες, που όλες τους είναι (n-1)-simplices. • Ένα είδος υπερκύβου, που ονοµάζεται n-κύβος, ο οποίος έχει 2n έδρες, που όλες τους είναι (n1)-κύβοι. • Ένα είδος υπεροκταέδρου, που ονοµάζεται σταυροειδές πολύτοπο n-διαστάσεων, το οποίο έχει 2n έδρες, που όλες τους είναι (n-1)-simplices. Γενικά το «δυαδικό» ενός κανονικού πολυτόπου είναι ένα άλλο πολύτοπο, επίσης κανονικό, µε κορυφές τα κέντρα των εδρών του πρώτου πολύτοπου. Το δυαδικό του δυαδικού ενός κανονικού πολύτοπου είναι αυτό µε το οποίο ξεκινήσαµε (µόνο µικρότερο). Έτσι τα πολύτοπα εµφανίζονται σε ζεύγη, εκτός από µερικά που είναι δυαδικά του εαυτού τους. Στις δύο διαστάσεις κάθε κανονικό πολύτοπο είναι το δυαδικό του εαυτού του. Στις τρεις διαστάσεις, το τετράεδρο είναι δυαδικό του εαυτού του. Το δυαδικό του κύβου είναι το

οκτάεδρο και του δωδεκάεδρου το εικοσάεδρο. Στις τέσσερες διαστάσεις το 4-simplex είναι αυτοδυαδικό. Το κύτταρο-24 είναι επίσης αυτοδυαδικό, γι’ αυτό και έχει 24 έδρες και επίσης 24 κορυφές. Το δυαδικό του υπερκύβου είναι το σταυροειδές τετραδιάστατο πολύτοπο και το δυαδικό του κυττάρου 120 το κύτταρο 600. Σε άλλες διαστάσεις το n-simplex είναι αυτοδυαδικό και το δυαδικό του n-κύβου είναι το nδιάστατο σταυροειδές πολύτοπο. Τα έξη πολύχωρα του τετραδιάστατου χώρου και τα τρία µόνο πολύτοπα του υπερδιαστάτου χώρου µπορούν να δώσουν ένα πλήθος συνειρµών και φιλοσοφικών αντιστοιχιών για τον ενδιαφερόµενο ανάλογα στοχαστή.

Η ΣΦΑΙΡΑ Η σφαίρα είναι το αντίστοιχο του κύκλου στις τρεις διαστάσεις και ορίζεται µαθηµατικά σαν ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του χώρου που απέχουν δοσµένη σταθερή απόσταση από ένα δοθέν σηµείο (το κέντρο της σφαίρας). Συµβολίζει ό,τι ακριβώς και ο κύκλος και αποτελεί κατά προσέγγιση τη πραγµατική µορφή των πλανητών και των αστέρων.

Ο ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΟΙ ΝΕΟΛΙΘΙΚΟΙ ΠΕΤΡΙΝΟΙ ΚΥΚΛΟΙ ΤΟ ΣΤΟΟΥΝΧΕΝΤΖ

Σχήµα 1 Το Στόουνχεντζ (οι κρεµάµενες πέτρες) είναι ένα µεγαλιθικό µνηµείο στη πεδιάδα Salisbury στη Νότια Αγγλία που αποτελείται από τρεις συγκεντρικούς κύκλους από µεγάλες πέτρες. Ο εξωτερικός κύκλος αποτελείται από ορθογώνιες πέτρες (sarsens) ύψους πάνω από 3 µέτρα και βάρους 26 τόνων, οι οποίες έφεραν στο παρελθόν οριζόντιες λίθινους δοκούς 6 τόνων σε ένα συνεχή κύκλο διαµέτρου 30 µέτρων (σήµερα παραµένουν ελάχιστες). Μέσα σε αυτό τον εξωτερικό κύκλο υπάρχει ένας κύκλος από µικρότερες µπλε πέτρες (bluestones) που περικλείουν µια πεταλοειδή διάταξη µπλε πετρών, στο εσωτερικό της οποίας βρίσκεται µια πλάκα που είναι γνωστή σαν η Πέτρα του Βωµού (Altar Stone).

Ολόκληρη η οµάδα περιβάλλεται από µια κυκλική τάφρο διαµέτρου 104 µέτρων. Στην εσωτερική της µεριά η τάφρος ανέρχεται σε ένα ανάχωµα µέσα στο οποίο υπάρχει ένας δακτύλιος από 56 λάκκους, γνωστούς σα τρύπες του Aubrey (από το όνοµα του αρχαιολόγου John Aubrey που τις ανακάλυψε). Στη βορειοανατολική πλευρά το ανάχωµα και η τάφρος τέµνονται από τη «Λεωφόρο», έναν υπερυψωµένο τελετουργικό δρόµο πλάτους 23 µ και µήκους σχεδόν 3 χιλ. που συνορεύεται από µια τάφρο. Το µνηµείο θεωρείται ότι πήρε την οριστική του µορφή γύρω στο 2.200 π.χ. Υπάρχουν πολλές θεωρίες για τη λειτουργία του, από ένα αστρονοµικό παρατηρητήριο (είναι ευθυγραµµισµένο έτσι ώστε να µπορεί να προβλέπει εκλείψεις κ.λ.π.), µέχρι ένα αστρονοµικό ηµερολόγιο για τη χρονοµέτρηση και πρόβλεψη των εποχών. Μερικοί ερευνητές το συνδέουν µε το φαινόµενο των Crop Circles οι οποίοι εµφανίζονται κάθε καλοκαίρι σε ακτίνα 80 χιλιοµέτρων από το Στόουνχεντζ.

Σχήµα 2

Έχει υποστηριχθεί ακόµα ότι το σχέδιο του Στόουνχεντζ σα µια µεγαλιθική τεχνολογία ναού περιλαµβάνει επίσης το τετραγωνισµό του κύκλου. Ο τετραγωνισµένος κύκλος και τα συνυφασµένα τρίγωνα είναι και τα δυο σύµβολα µιας τοποθεσίας όπου οι περιπλανώµενες ηλεκτρικές ενέργειες του ουρανού και οι µαγνητικές ενέργειες της γης σταθεροποιήθηκαν σε µια µυστική σύντηξη προκαλώντας τη γονιµοποίηση της γης, των φυτών, των ζώων και των ανθρώπων.

ΤΟ AVEBURY Ένας άλλος µεγάλος νεολιθικός δακτύλιος, ή µάλλον τρεις συγκεντρικοί κύκλοι, υπάρχει και στο Avebury, 144 χιλιόµετρα δυτικά του Λονδίνου και 32 χιλιόµετρα βόρεια του Στόουνχεντζ. Από ανασκαφές και µελέτες της αντίστασης του εδάφους βρέθηκε ότι οι τρεις δακτύλιοι περιείχαν, αρχικά τουλάχιστον, 154 πέτρες από τις οποίες υπάρχουν σήµερα µόνο οι 36.

Σχήµα 3 Στη περιοχή υπάρχει επίσης ένας οχυρώνας, µια τάφρος και δυο µυστηριώδεις λεωφόροι. Ο οχυρώνας ή ανάχωµα είναι στο εξωτερικό µέρος και µετά υπάρχει η τάφρος. Και οι δυο έχουν τέσσερες εισόδους και περιβάλλουν περίπου 113 στρέµµατα. Το Avebury θεωρείται ότι κτίστηκε αρχικά σα µια τοποθεσία για να τιµηθεί η γονιµότητα της Μητέρας Γης. Είναι εντυπωσιακή η οµοιότητά του µε µια σύγχρονη µικροσκοπική φωτογραφία ενός γονιµοποιηµένου ωαρίου. Το 1991 εµφανίσθηκε στο Ogbourne Maizey ένας crop circle (θα δούµε παρακάτω γι’ αυτούς) που το σχήµα του έµοιαζε, πολύ παράξενα, µε το σχέδιο του Avebury. Θεωρείται ότι δυο βασικές ενεργειακές γραµµές, του Αγ. Μιχαήλ και της Αγ. Μαρίας, διασταυρώνονται στη θέση των διπλών δακτυλίων µέσα στο ίδιο το Avebury. Το τελευταίο, όπως πολλοί λίθινοι κύκλοι, θεωρείται ότι ενεργεί σαν ένα κέντρο συγκέντρωσης αυτής της ενέργειας και χρησιµοποιήθηκε τελετουργικά σα ένα µέρος όπου µπορούσε να συνδεθεί κάποιος µε αυτή και να επικοινωνήσει µε ανώτερα επίπεδα ύπαρξης.

ΤΟ CASTLE RIGG Ένας ακόµα από τους πολλούς δακτυλίους στη Βρετανία είναι το Castle Rigg., ο οποίος έχει το χαρακτηριστικό ότι είναι πεπλατυσµένος. Θεωρείται ότι φτιάχτηκε µε αυτό το τρόπο για να κάνει την περίµετρό του ένα ακέραιο πολλαπλάσιο της ακτίνας του, σα µια προσπάθεια να γίνει το άρρητο µήκος της περιφέρειάς του ρητό.

ΟΙ ΓΙΓΑΝΤΕΣ ΤΟΥ GLASTONBURY Οι Γίγαντες του Glastonbury ή ο Ζωδιακός Κύκλος είναι µια µεγάλη διαµόρφωση τοπίου, ένας κύκλος διαµέτρου 16 χιλιοµέτρων, όπου εµφανίζονται τα δώδεκα ζώδια στη σωστή σειρά, σχηµατιζόµενα από λόφους και περιγεγραµµένα από δρόµους και ποταµούς. Η Katherine Maltwood που ξανανακάλυψε το µεγάλο αυτό κύκλο τη δεκαετία του 1930, το θεώρησε σαν την αρχική Στρογγυλή Τράπεζα στο Άβαλον µε τον Αρθούρο, τη Γκουινεβίρη, το Μέρλιν και τους Ιππότες να συνεχίζουν να κάθονται γύρω από αυτή σαν τα σηµεία του ζωδιακού και τις εποχές του έτους. Ο Ζωδιακός Κύκλος του Glastonbury έχει διάµετρο 16 χιλιόµετρα και µπορεί να ιδωθεί πλήρως µόνο από τον αέρα. Φράκτες, δρόµοι και δάση σχεδιάστηκαν για να τον σχηµατίσουν την Εποχή του Ταύρου. Με την πάροδο του χρόνου οι διαδοχικοί πολιτισµοί τον ερµήνευσαν µε τους δικούς τους µύθους και σύµβολα και έχει έτσι θεωρηθεί και σα µια παράσταση της Στρογγυλής

Τράπεζας (που αποτελεί έναν ακόµα κύκλο µε τους δικούς του συµβολισµούς) του Βασιλιά Αρθούρου και της αναζήτησης του Αγίου ∆ισκοπότηρου.

ΟΙ CROP CIRCLES

Σχήµα 4

Οι Crop circles, οι κύκλοι «σοδιάς», είναι διάφορα κυκλικά σχέδια που σχηµατίζονται ξαφνικά τη νύχτα στους αγρούς, ιδίως της Νότιας Αγγλίας, λόγω του ανεξήγητου λυγίσµατος ενός µέρους των φυτών του αγρού, τα οποία χάνουν έτσι ύψος σε σχέση µε τα άλλα φυτά γύρω τους και εµφανίζουν από ψηλά τα παράξενα αυτά γεωµετρικά σχήµατα. Οι κύκλοι αυτοί δεν είναι τεχνητοί, παρόλο που οι κυβερνητικές υπηρεσίες έχουν προσπαθήσει να δώσουν µια τέτοια εξήγηση για να µπερδευτεί ο κόσµος και να θεωρήσει το όλο θέµα σα µια απάτη κάποιων κατεργαρέων γεωργών. Τα σχήµατα δε δηµιουργούνται από µια θεριστική µηχανή, ούτε µε το σπάσιµο των στελεχών των φυτών. Στους γνήσιους crop circles τα φυτά δεν σπάζονται αλλά λυγίζουν, συνήθως 2,5 περίπου εκατοστά από το έδαφος, στη θέση του πρώτου κόµπου τους. Φαίνεται πως ένα απότοµο, ισχυρό κύµα θερµότητας µαλακώνει τα στελέχη τους και τα κάνει να πέσουν λίγο πιο πάνω από το έδαφος, όπου ξανασκληραίνουν στη νέα µόνιµη αυτή θέση τους, χωρίς να βλάψουν τα φυτά. Το φαινόµενο δεν είναι καινούργιο. Αναφέρεται σε ακαδηµαϊκά κείµενα του τέλους του 17ου αιώνα ενώ µέχρι το 1970 είχαν αναφερθεί 200 τέτοιες περιπτώσεις, µερικές µε αφηγήσεις αυτόπτων µαρτύρων. Από τότε ογδόντα περίπου αυτόπτες µάρτυρες έχουν αναφέρει το σχηµατισµό crop circles µέσα σε είκοσι δευτερόλεπτα. Οι περιπτώσεις συνοδεύονται συχνά από θεάσεις λαµπρών έγχρωµων φωτεινών σφαιρών, φωτεινών αξόνων, ή όπως υποστηρίζουν µερικοί ιπταµένων σκαφών (UFO;). Μέχρι τα µέσα της δεκαετίας του 1980 τα σχέδια στη νότια Αγγλία ήσαν κυρίως απλοί κύκλοι, κύκλοι µε δακτυλίους και παραλλαγές πάνω στο Κέλτικο σταυρό. Μετά οι crop circles απέκτησαν ευθείες γραµµές και παρουσίασαν διαγράµµατα σα βραχογραφίες. Μετά το 1990 τα σχέδιά τους έγιναν πολύ πιο πολύπλοκα και δεν είναι ασυνήθιστο σήµερα να συναντήσουµε σχέδια που µιµούνται τα φράκταλς των υπολογιστών και στοιχεία που σχετίζονται µε την τετραδιάστατη κβαντική φυσική. Τα µεγέθη τους έχουν επίσης αυξηθεί και µερικοί καταλαµβάνουν επιφάνειες µέχρι 20 στρέµµατα. Μέχρι σήµερα έχουν αναφερθεί πάνω από 10.000 τεκµηριωµένες περιπτώσεις crop circles σε όλο τον κόσµο, το 90% στη νότια Αγγλία.

ΤΑ ΙΝ∆ΙΑΝΙΚΑ ΚΙΒΑΣ Τα κίβας είναι υπόγειοι κυκλικοί τελετουργικοί θάλαµοι στα χωριά των Ινδιάνων του Πουέµπλο στα νοτιοδυτικά των ΗΠΑ, ιδιαίτερα ονοµαστοί για τις έγχρωµες τοιχογραφίες τους. Παρόλο που ο πιο σπουδαίος σκοπός τους είναι οι τελετουργίες, χρησιµοποιούνται επίσης για πολιτικές συναντήσεις ή συµβούλια των ανδρών του χωριού. Οι γυναίκες αποκλείονταν σχεδόν πάντοτε από αυτά. Μια µικρή τρύπα στο πάτωµά τους, ονοµαζόµενη σιπαπού, χρησίµευε σα ο συµβολικός τόπος προέλευσης της φυλής (όπως π.χ. των Ινδιάνων Χόπι) µέσα από τη γη, όπου όπως λέγεται είχαν καταφύγει να ζήσουν µαζί µε τους «ανθρώπους µερµήγκια» για να ξεφύγουν από το µεγάλο κατακλυσµό που σάρωσε τότε το κόσµο. Ο τόπος ανάδυσής τους από τον υπόγειο κόσµο ήταν µια περιοχή στο Μεγάλο Φαράγγι, από το οποίο µετανάστευσαν µετά σε διάφορα µέρη. Η παραδοσιακή κυκλική µορφή των κίβα είναι σε αντίθεση µε την υπόλοιπη αρχιτεκτονική του Πουέµπλο, που είναι τετραγωνική ή ορθογώνια. Οι τοιχογραφίες τους απεικονίζουν ιερές µορφές ή σκηνές από τη καθηµερινή ζωή της φυλής. Το στυλ τους είναι γεωµετρικό, µε µια έµφαση στις ευθείες παρά στις καµπύλες γραµµές. Τα ζεστά χρώµατα πάνω στο ασβεστοκονίαµα είναι φτιαγµένα από τα πλούσια ορυκτά αποθέµατα της περιοχής.

ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΟΙ ΚΥΚΛΟΙ ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΦΩΤΟΣΤΕΦΑΝΟ Τίθεται συνήθως πίσω από το κεφάλι ενός Χριστιανού αγίου, σαν την άλω που βλέπουµε µερικές φορές γύρω από τον ήλιο ή τη σελήνη. Ας σηµειωθεί ότι ένα τριγωνικό φωτοστέφανο χρησιµοποιείται µόνο για το Θεό Πατέρα.

ΤΟ ΣΤΑΥΡΟΕΙ∆ΕΣ ΦΩΤΟΣΤΕΦΑΝΟ Είναι ένας ισοσκελής σταυρός µέσα σε ένα κύκλο που χρησιµοποιείται µόνο για την απεικόνιση του Ιησού Χριστού. Μπορεί να θεωρηθεί ότι συµβολίζει το τετραγωνισµό του κύκλου, την ένωση του θείου και του ανθρώπινου στη διπλή φύση του Ιησού.

ΤΟ ΟΥΡΑΝΙΟ ΤΟΞΟ Πολλά εδάφια της Παλαιάς και της καινής ∆ιαθήκης αναφέρονται σε αυτό, από τα οποία έχει ληφθεί ως επί το πλείστον και ο χρησιµοποιούµενος στη Χριστιανική τέχνη συµβολισµός του γύρω από το θρόνο του Κυρίου και στις σκηνές της Μέλλουσας Κρίσης. Όταν είναι τρίχρωµο συµβολίζει τη Τριάδα.

Γενικότερα το ουράνιο τόξο καθώς ακουµπά στον ουρανό και τη γη συµβολίζει την ένωσή τους ή ένα µέσο επικοινωνίας ανάµεσα στους δυο αυτούς κόσµους. Με αυτή την έννοια η αγγελιαφόρος των θεών Ίριδα της Ελληνικής µυθολογίας κατέβαινε στη γη πάνω σε ένα ουράνιο τόξο.

ΤΑ ΡΟΖ ΠΑΡΑΘΥΡΑ Είναι τα κυκλικά, περίτεχνα, εντυπωσιακότατα ροζ παράθυρα των µεσαιωνικών Γοτθικών καθεδρικών ναών µε τον αστρολογικό συµβολισµό τους και τη γεωµετρία τους, για τα οποία θα µιλήσουµε εκτενέστερα στο κεφάλαιό µας για την µεσαιωνική αρχιτεκτονική

Η VESICA PISCIS

Σχήµα 5

Η «Κύστη Ιχθύος», όπως είναι το Λατινικό της όνοµα, δεν είναι τίποτε άλλο από τη κοινή τοµή δυο ίσων κύκλων. Θεωρείται σαν ένα από τα ιερά γεωµετρικά σχήµατα και χρησιµοποιήθηκε εκτεταµένα το µεσαίωνα στη Χριστιανική τέχνη σαν ένας φωτοστέφανος που περιβάλλει µια ιερή µορφή καθώς επίσης στην αναγεννησιακή τέχνη και αρχιτεκτονική. Το σχήµα αυτό είναι γνωστό διεθνώς σα vesica Piscis που σηµαίνει Λατινικά «κύστη ιχθύος (από την αντίστοιχη οµοιότητα του σχήµατος). Οι δυο κύκλοι αντιπροσωπεύουν στο Χριστιανισµό τον ουρανό και τη γη και το «µάτι», ή ο «ιχθύς» της κοινής τοµής τους το Ιερό Σώµα του Χριστού. Το σχήµα συµβολίζει γενικότερα τη «κοινή βάση», το «κοινό όραµα» ή την «αµοιβαία κατανόηση» µεταξύ ίσων ατόµων. Η πνευµατική σηµασία του είναι η όραση στο καθρέπτη της ψυχής. Η τοµή δύο κύκλων χρησιµοποιείται συµβολικά στα µαθηµατικά στα λεγόµενα Βέννεια διαγράµµατα, για να παραστήσει γραφικά τη τοµή δύο συνόλων. ∆ίνοντας ένα συµβολικό περιεχόµενο σε αυτή την παράσταση θα µπορούσαµε να πούµε ότι αντιπροσωπεύει την ένωση του Θείου µε το ανθρώπινο βασίλειο. Λόγω του αµυγδαλοειδούς της σχήµατος συµβολίζει επίσης, σαν ξηρός καρπός, το σπόρο από τον οποίο θα αναπτυχθεί ένα φυτό. Ας σηµειωθεί ότι η Ράβδος του Ααρών στη Παλαιά ∆ιαθήκη ήταν φτιαγµένη από ξύλο αµυγδαλιάς. Αν επεκτείνουµε λίγο τα άκρα της προς το πίσω µέρος, παίρνει την υποτυπώδη µορφή ενός ψαριού, στο οποίο και οφείλει το όνοµά της. Μερικές φορές ήταν γραµµένη µέσα της η Ελληνική λέξη ΙΧΘΥΣ από τα αρχικά του Ιησούς Χριστός Θεού Υιός Σωτήρ και µετέφερε αυτό ακριβώς το νόηµα. Σαν ιχθύς αντιπροσώπευσε επίσης το ζωδιακό σηµείο των Ιχθύων, αλλά και άλλα πράγµατα, µεταξύ αυτών και τη βάπτιση: «Όπως ένα ψάρι δεν µπορεί να ζήσει χωρίς νερό, έτσι κι ένας Χριστιανός δεν µπορεί να ζήσει χωρίς το ύδωρ της βαπτίσεως».

Σχήµα 6

Η Vesica χρησιµοποιήθηκε το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και σαν ένα µάτι. Στο παραπάνω Ισλαµικό φυλακτό (δίπλα στον Ιχθύ) αντιπροσωπεύει το µάτι σα µια πνευµατική πύλη προς τη ψυχή, το κεντρικό κύκλο.

ΟΙ ΜΑΝΤΑΛΕΣ Τα πιο όµορφα παραδείγµατα τετραγωνισµού του κύκλου µπορούν να ιδωθούν στις Ινδικές ή Θιβετανικές µαντάλες που χρησιµοποιούνται σα µέσα διαλογισµού και συγκέντρωσης του νου. Μαντάλα στα Σανσκριτικά σηµαίνει «κύκλος» και οι µαντάλες περιέχουν συνήθως ένα κύκλο και ένα τετράγωνο (µαζί µε άλλα σύµβολα) και παρόλο που το τετράγωνο δεν «τετραγωνίζει» πραγµατικά το κύκλο, αυτό ακριβώς εννοεί ο συµβολισµός του. Λόγω της µεγάλης σηµασίας τους στην Ανατολική θρησκευτική παράδοση, θα εξετάσουµε τις µαντάλες αργότερα σε ένα ιδιαίτερο κεφάλαιο.

ΟΙ ΤΡΟΧΟΙ Ο κύκλος σα τροχός µε την έννοια της περιστροφής και της διαρκούς κίνησης χρησιµοποιείται σε πολλά σύµβολα όπως στο Τροχό του Ιξίωνα, όπου τιµωρείται αέναα περιστρεφόµενος ο δεσµώτης του Άδη, ο Τροχός ή µάλλον οι Τροχοί του Ιεζεκιήλ που συνδέονται από µερικούς µε µια στενή επαφή µε άγνωστο ιπτάµενο αντικείµενο εκείνη τη µακρινή εποχή, ο Βουδιστικός Τροχός του Ντάρµα µε τις οκτώ ακτίνες του, σύµβολο της Οκταπλής Ατραπού του, Ο Τροχός του Κάρµα και ο Τροχός της Τύχης.

ΑΛΛΟΙ ΚΥΚΛΟΙ Το ∆ακτυλίδι Τα δακτυλίδι έχει χρησιµοποιηθεί σα σύµβολο ένωσης (τα δακτυλίδια αρραβώνων και γάµων χρησιµοποιήθηκαν αργότερα), εξουσίας, κοινωνικής θέσης ή ισχύος ή ακόµα δέσµευσης σα χαλκάς στη µύτη.., ένας κρίκος αλυσίδας ή το σκουλαρίκι ενός σκλάβου. Τα εκκλησιαστικά δακτυλίδια συµβολίζουν το εκκλησιαστικό αξίωµα ή την ένωση του επισκόπου µε την εκκλησία

και το γάµο της µοναχής µε το Χριστό. Το Παπικό δακτυλίδι ή ∆ακτυλίδι του Ψαρά, που απεικονίζει τον Αγ. Πέτρο να ψαρεύει, σπάζεται κατά το θάνατο του Πάπα. Τέλος έχουµε και τα µαγικά δακτυλίδια σαν του Γύγη που σε κάνει αόρατο ή του Σολοµώντα που σου δίνει εξουσία πάνω στους εχθρούς σου, ή ακόµα που σε προφυλάσσει από διάφορα κακά (φυλακτά). Ο ΟΥΡΟΒΟΡΟΣ ΟΦΙΣ

Σχήµα 7

Το φίδι ή δράκος που τρώει την ουρά του είναι ένα καθαρά εσωτερικό και αλχηµιστικό σύµβολο µε πολλές σηµασίες. Σαν κύκλος συµβολίζει την αιωνιότητα, αλλά και τις κυκλικές διεργασίες της φύσης, την ενότητα όλων των πραγµάτων, τη διαρκή εναλλαγή των µορφών τους, την εξαφάνιση κι΄ επανεµφάνισή τους, τη καταστροφή κι επαναδηµιουργία τους, την αέναη κυκλική µεταβολή της φύσης, τη περιοδικότητα. Είναι ακόµα το αλχηµικό σύµβολο της αλχηµικής µεταστοιχείωσης. Ο χηµικός Κεκιουλέ είδε µια νύχτα στον ύπνο του τον ουροβόρο όφι και ξύπνησε µε τη λύση του συντακτικού τύπου του βενζολίου που τον απασχολούσε τόσο καιρό. Επρόκειτο για έναν εξαµελή κυκλικό δακτύλιο και αυτός έψαχνε µέχρι τότε µάταια σε ευθύγραµµες αλυσίδες και διακλαδώσεις ατόµων άνθρακα.

Ο ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ ΧΟΡΟΥ ΚΑΙ Ο ΜΑΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Βασικά και οι δύο αυτοί κύκλοι είναι µαγικοί. Με το κύκλο του χορού ενώνεται ο θετικός και αρνητικός πόλος της οµήγυρης και αρχίζει να ρέει ενέργεια στο δηµιουργηµένο κύκλωµα, ενώ δοµείται γύρω του ένα µαγνητικό πεδίο, το οποίο, αν συντονιστεί κατάλληλα µε ένα εξωτερικό φυσικό πεδίο, µπορεί να φέρει ακόµα και...βροχή. Κάτι ανάλογο προσπαθεί να κάνει και η οµάδα των πνευµατιστικών συγκεντρώσεων χωρίς εξωτερική κίνηση και ρυθµό, παρά µόνο µε τη µαγνητική επαφή των χεριών της και την εσωτερική της συγκέντρωση στο επιδιωκόµενο αποτέλεσµα. Από την άλλη µεριά ο µάγος χαράσσει το µαγικό κύκλο γύρω του σα µέσο προστασίας του από τις επικίνδυνες δυνάµεις που επικαλείται ή από τις επιστροφές των δικών του µαγνητικών εκπορεύσεων («αντικτυπήµατα»).

ΤΟ ΛΟΥΛΟΥ∆Ι ΤΗΣ ΖΩΗΣ

Σχήµα 8

Ανεξίτηλα χαραγµένο πάνω στους τοίχους του ναού του Όσιρη στην Άβυδο της Αιγύπτου, το Λουλούδι της Ζωής είναι ένα παγκόσµιο σύµβολο που θεωρείται ότι περιλαµβάνει ένα απέραντο σύστηµα πληροφοριών, µαζί µε τα πέντε Πλατωνικά στερεά. Έχει βρεθεί σε πολλά µέρη του κόσµου, όπως π.χ. στον όµορφο µαρµάρινο περίβολο γύρω από τον Χρυσό ναό των Σικχ στην Ινδία µαζί µε πολλά άλλα όµορφα σχέδια.

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΜΕΣΟΙ Και δεσµόν κάλλιστον ο Θεός εποίει...∆εσµός δε κάλλιστος η αναλογία Πλάτωνας, «Τίµαιος» Ουξ εξ’ αριθµού, κατά δε αριθµόν τα πάντα γίγνεται Θεανώ, σύζυγος και µαθήτρια του Πυθαγόρα. Το απόφθεγµα αυτό σηµαίνει ότι οι αριθµοί δε θα πρέπει να λαµβάνονται σα δηµιουργικές αιτίες, αλλά ότι η δηµιουργία συντελείται «κατ’ αριθµόν» δηλαδή µε βάσει αριθµητικές αναλογίες και αρµονικούς κανόνες). Ο κόσµος εθεωρείτο ότι δηµιουργήθηκε από το Χάος µέσω του Ήχου, Λόγου ή Αρµονίας και κατασκευάστηκε µε βάση τις αρχές της µουσικής αναλογίας. Η αναλογία τώρα για τους αρχαίους σήµαινε την ισότητα δύο λόγων (πηλίκων), οι οποίοι εκφράζουν τις αριθµητικές σχέσεις µεταξύ τεσσάρων µεγεθών α, β, γ και δ, οπότε ο λόγος του πρώτου προς το δεύτερο θα πρέπει να είναι ίσος µε το λόγο του τρίτου προς το τέταρτο (α:β=γ:δ). Ειδικότερα µεταξύ τριών αριθµών α, β, γ ορίστηκαν τρία είδη αναλογιών: η αριθµητική αναλογία (β-α):α = (γ-β):β, η γεωµετρική α:β=β:γ και η αρµονική (α-β):(β-γ)=α:γ, οι οποίες αντιστοιχούν στα τρία οµώνυµα είδη προόδων. Όταν ο Ρωµαίος µαθηµατικός και αρχιτέκτονας Andrea Palladio (1508-1580) µιλά στα βιβλία του για το ύψος των δωµατίων, αναφέρεται στα τρία προηγούµενα είδη αναλογίας, που θεωρούνται παραδοσιακά ότι ανακαλύφθηκαν από τον Πυθαγόρα και ορίζουν αντίστοιχα τον αριθµητικό, το γεωµετρικό και τον αρµονικό µέσο µεταξύ δύο ακραίων όρων, που αντιστοιχούν εδώ στις δύο άλλες διαστάσεις των δωµατίων (το µήκος και το πλάτος).

Η ΤΕΤΑΡΤΗ ΑΝΑΛΟΓΟΣ Έστω τέσσερες αριθµοί α, β, γ και δ, τέτοιοι ώστε να σχηµατίζουν µεταξύ τους αναλογία: α:β=γ:δ. Οι όροι α και δ της αναλογίας λέγονται ακραίοι όροι ενώ οι γ και δ µεσαίοι όροι της αναλογίας. Επίσης οι α και γ λέγονται ηγούµενοι και οι β και δ επόµενοι όροι της, Τέλος ο δ θεωρείται σαν ο τέταρτος ανάλογος των α, β και γ. Σε µια αναλογία το γινόµενο των µεσαίων όρων ισούται πάντοτε µε το γινόµενο των ακραίων όρων (α.β=γ.δ) και ο λόγος (πηλίκο) των ηγούµενων είναι ίσος µε το λόγο των επόµενων (α:γ=β:δ) όρων της. Οι αντίστροφοι επίσης των λόγων συνεχίζουν να αποτελούν αναλογία (β:α=δ:γ). Τέλος ο λόγος της αναλογίας παραµένει ίδιος αν εφαρµόσουµε οποιονδήποτε ίδιο, γραµµικό µετασχηµατισµό στους ηγούµενους και στους επόµενους όρους της: α:β=γ:δ=(κα+λβ):(κγ+λδ), όπου οι συντελεστές κ και λ του γραµµικού συνδυασµού είναι πραγµατικοί αριθµοί. Μια αναλογία µε τέσσερες όρους α, β ,γ και δ µπορούµε να έχουµε και µεταξύ τεσσάρων ευθυγράµµων τµηµάτων αρκεί τα µέτρα (µήκη) τους να είναι ανάλογα. Και σε αυτή τη περίπτωση το τέταρτο ευθύγραµµο τµήµα δ θεωρείται σαν η τετάρτη ανάλογος µεταξύ των τµηµάτων α, β και γ. Αν δοθούν τρία µόνο ευθύγραµµα τµήµατα α, β και γ και ζητείται η τετάρτη ανάλογός τους, αρκεί να κατασκευάσουµε ένα άλλο ευθύγραµµο τµήµα x τέτοιο ώστε α:β=γ:x. Η κατασκευή αυτή µπορεί να γίνει εύκολα µε τα θεωρήµατα των παραλλήλων, π.χ. µε το θεώρηµα του Θαλή, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Πάνω σε µια ηµιευθεία ΟΧ παίρνουµε διαδοχικά τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ=α και ΑΓ=γ και πάνω σε µια τυχαία άλλη ηµιευθεία ΟΨ το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=β. Φέρουµε µετά την ΑΒ και ύστερα από το Γ παράλληλη προς αυτή που τέµνει την ΟΨ στο ∆. Το ευθύγραµµο τµήµα Β∆ είναι η ζητούµενη τετάρτη ανάλογος.

Σχήµα 1

Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Ο αριθµητικός µέσος δύο αριθµών α και β είναι ένας αριθµός x που ισαπέχει και από τους δυο, δηλαδή για τον οποίο ισχύει ότι x-α = β-x, απ’ όπου προκύπτει ότι αυτός ισούται µε το ηµιάθροισµα των δυο αριθµών α και β: x = (α+β)/2. Λέγεται αριθµητικός µέσος, γιατί οι τρεις αριθµοί α, γ και β αποτελούν αριθµητική πρόοδο µε διαφορά λ = γ-α = (β-α)/2. Ο Andrea Palladio δίνει ένα παράδειγµα: Έστω ότι η αίθουσα που θα µετατραπεί σε θόλο έχει µήκος 12 µέτρα και πλάτος 6 µέτρα. Προσθέστε έξη και δώδεκα και θα έχετε δεκαοκτώ, το µισό του οποίου είναι το εννέα. Ο θόλος έτσι οφείλει να έχει ύψος εννέα µέτρα. Στο παράδειγµα αυτό το 9 του αριθµητικού µέσου υπερβαίνει το πλάτος 6 κατά 3, όσο ακριβώς υπερβαίνεται αυτός από τον άλλο ακραίο όρος 12 του µήκους.

Το ίδιο πρόβληµα τιθέµενο γεωµετρικά είναι η εύρεση ενός άγνωστου τµήµατος x το οποίο να είναι ο αριθµητικός µέσος δύο δοσµένων ευθυγράµµων τµηµάτων α και β. Εδώ ξεκινάµε µε ένα από τα δύο δοθέντα ευθύγραµµα τµήµατα και πάνω στη προέκτασή του παίρνουµε µε το διαβήτη διαδοχικά ένα ευθύγραµµο τµήµα ίσο µε το άλλο, έτσι ώστε να έχουµε τελικά ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = α+β. Μετά αρκεί να διχοτοµήσουµε το τµήµα αυτό ΑΒ, βρίσκοντας το µέσο του Γ. Τότε οποιοδήποτε από τα τµήµατα ΑΓ ή ΒΓ είναι το ζητούµενο. Η εύρεση του µέσου Γ αυτού του τµήµατος ΑΒ γίνεται µέσω της κοινής χορδής ∆Ε των ίσων κύκλων (Α,ΑΒ) και (Β,ΑΒ) οι οποίοι περνάει ο καθένας από το κέντρο του άλλου και τέµνονται στα ∆ και Ε. Η ∆Ε τέµνει το ΑΒ ακριβώς στο µέσο του Γ. Συνήθως φέρνουµε δυο µικρά µόνο τόξα των δύο κύκλων κοντά στα σηµεία τοµής τους και προσδιορίζουµε µετά µε τον κανόνα τη θέση του σηµείου Γ, χωρίς να χρειαστεί να φέρουµε τη κοινή χορδή των δύο κύκλων.

Σχήµα 2

Η προηγούµενη περίπτωση της τοµής δύο ίσων κύκλων αποτελεί µια ειδική περίπτωση της vesica piscis κατά την οποία ο κάθε κύκλος περνάει από το κέντρο του άλλου (δηλαδή η διάκεντρός τους είναι ίση µε την ακτίνα τους). Το τρίγωνο Α∆Β είναι σε αυτή τη περίπτωση ισόπλευρο, το τετράπλευρο Α∆ΒΕ ρόµβος και η γωνία µε την οποία τέµνονται οι δυο κύκλοι (η γωνία των εφαπτοµένων τους στα κοινά σηµεία τους) ίση µε 120ο. O λόγος της κοινής χορδής ∆Ε των δυο τεµνοµένων κύκλων προς τη διάκεντρό τους ΑΒ είναι εδώ ίσος µε τη τετραγωνική ρίζα του 3, η οποία υποδεικνύει τη βαθύτερη φύση της τριάδας που δεν µπορεί να εκφραστεί επαρκώς µόνο µε τη λογική γλώσσα. Η προηγούµενη κατασκευή µπορεί εποµένως να χρησιµοποιηθεί και για τη κατασκευή ενός ευθυγράµµου τµήµατος που έχει µε ένα δοθέν ευθύγραµµο τµήµα λόγο ίσο µε 3 , ή αν πάρουµε το δοθέν ευθύγραµµο τµήµα ίσο µε τη µονάδα, να χρησιµοποιηθεί για τη γεωµετρική κατασκευή της 3 . Αποδεικνύεται εύκολα ότι το εµβαδόν της vesica είναι σε αυτή τη περίπτωση ρ2(4π-3 3 ) /6, το εµβαδόν του ρόµβου Α∆ΒΕ, ρ2 3 /2, και το εµβαδόν καθενός από τα τέσσερα ίσα κυκλικά τµήµατα µέσα στη vesica piscis, αλλά εκτός του ρόµβου ρ2(2π-3 3 )/12. Έχουµε ήδη χρησιµοποιήσει τη µέθοδο της vesica piscis και για τη κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου. Ο αριθµητικός τώρα µέσος ν αριθµών α1, α2, α3,...., αν ορίζεται σαν το άθροισµά τους διά του πλήθους τους ν: ΜΑ= ( α1+α2+α3+...+αν)/ν

Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Σα γεωµετρικός µέσος (ή µέσος ανάλογος) δύο δοθέντων θετικών αριθµών α και β ορίζεται ένας αριθµός x για τον οποίο ισχύει ότι α:x=x:β ή x2=αβ ή ακόµα x= αβ ∆ηλαδή αυτός είναι ίσος µε τη τετραγωνική ρίζα του γινοµένου των δύο δοθέντων αριθµών. Ο αριθµός αυτός ονοµάζεται γεωµετρικός µέσος, γιατί η προκύπτουσα ακολουθία αριθµών α, χ, β είναι γεωµετρική πρόοδο µε λόγο ω = x/α = β/α (κάθε αριθµός της προόδου ισούται µε το γινόµενο του προηγούµενου απ’ αυτόν επί το λόγο ω). Για µια αίθουσα µε µήκος 9 µ και πλάτος 4µ ένα ζητούµενο ύψος της που να είναι ο γεωµετρικός µέσος του µήκους και τους πλάτους της θα είναι το h = 4.9 = 36 =6µ. Οι διαστάσεις έτσι της αίθουσας θα είναι κατά σειρά µεγέθους 4, 6, 9, οι οποίες αποτελούν γεωµετρική πρόοδο µε λόγο ω=6/4=3/2.

Σχήµα 3

Το αντίστοιχο πρόβληµα στη γεωµετρία είναι η κατασκευή ενός ευθυγράµµου τµήµατος x που να είναι µέσο ανάλογο δύο δοθέντων ευθυγράµµων τµηµάτων α και β. Η κατασκευή αυτή γίνεται µε τη βοήθεια της ιδιότητας του ύψους ενός ορθογωνίου τριγώνου που φέρεται στην υποτείνουσα, το οποίο είναι µέσο ανάλογο των δυο τµηµάτων που ορίζει στην υποτείνουσα. Παίρνουµε έτσι διαδοχικά τα τµήµατα ΑΒ=α και ΒΓ=β και κατασκευάζουµε µια περιφέρεια µε διάµετρο την ΑΒ. Φέρουµε µετά µια ευθεία Γz κάθετη στην ΑΒ που τέµνει τη περιφέρεια στο ∆. Το τµήµα τότε Γ∆ είναι το ζητούµενο, διότι η γωνία ∆ σαν εγγεγραµµένη σε ηµιπεριφέρεια είναι ορθή και το Γ∆ είναι έτσι το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου Α∆Β στην υποτείνουσά του ΑΒ κι εποµένως µέσο ανάλογο των α και β (των δυο τµηµάτων στα οποία χωρίζει την υποτείνουσα). Σηµειώνουµε ότι ο γεωµετρικός µέσος ΜG πολλών αριθµών α1, α2, α3,...., αν ορίζεται µαθηµατικά σαν η νιοστή ρίζα του γινοµένου τους, δηλαδή M G = ν a1.a 2 .a3 ....a ν .

Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ∆οθέντων δύο αριθµών α και β ορίζουµε σαν αρµονικό µέσο τους έναν αριθµό x τέτοιο ώστε (xα):α=(β-x):β ή x=2αβ/(α+β), δηλαδή ο αριθµός αυτός είναι ίσος µε το διπλάσιο γινόµενο των δύο αριθµών διά του αθροίσµατός τους. Ο αριθµός αυτός ορίζεται επίσης σαν τέτοιος ώστε ο αντίστροφός του 1:x να είναι ο αριθµητικός µέσος των αντιστρόφων 1:α και 1:β των α και β. Οι αριθµοί α, x, β λέµε τότε ότι αποτελούν διαδοχικούς όρους µιας αρµονικής προόδου.

Φαίνεται καθαρά ότι ο αρµονικός µέσος ΜΗ ισούται επίσης µε το πηλίκο του τετραγώνου του γεωµετρικού µέσου διά του αριθµητικού µέσου των α και β: ΜΗ= M G2 /ΜΑ ή αλλιώς ότι ο γεωµετρικός µέσος είναι µέσος ανάλογος του αριθµητικού και του αρµονικού µέσου. Η σχέση αυτή δείχνεται γεωµετρικά στο παρακάτω σχήµα:

Σχήµα 4 Από τη δύναµη του σηµείου ∆ ως προς το κύκλο είναι (∆Α).(∆Β)=(∆Ε)2=(∆Ζ)2. Άρα το εφαπτόµενο τµήµα ∆Ε (ή το ∆Ζ) είναι ο γεωµετρικός µέσος των ∆Α και ∆Β Είναι ∆Α + ∆Β = ∆Ο+ΟΑ+∆Ο-ΟΒ=2∆Ο. Άρα το Ο∆=(∆Α+∆Β)/2 είναι ο αριθµητικός µέσος των ∆Α και ∆Β Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΕ∆ είναι (∆Ε)2 =(Ο∆)(∆Γ) οπότε (∆Γ)=(∆Ε)2/(Ο∆) =(∆Α).(∆Β)/(Ο∆)=2(∆Α)(∆Β)/(∆Α+∆Β) κι εποµένως το ∆Γ είναι ο αρµονικός µέσος των ∆Α και ∆Β. Σα παράδειγµα, εάν είχαµε ένα δωµάτιο µήκους 6 µέτρων και πλάτους 3 µέτρων και θέλαµε το ύψος του να ήταν ο αρµονικός µέσος τους, αυτό θα ήταν υ=2.3.6/(3+6) = 4 και οι διαστάσεις του δωµατίου θα ήσαν κατά σειρά µεγέθους 3, 4, 6, των οποίων οι αντίστροφοι 1/3, 1/4 και 1/6 αποτελούν όπως µπορεί να δειχθεί εύκολα αριθµητική πρόοδο µε διαφορά λ = -1/12. Το αντίστοιχο γεωµετρικό πρόβληµα της εύρεσης ενός ευθυγράµµου τµήµατος που να είναι αρµονικός µέσος δύο δοθέντων ευθυγράµµων τµηµάτων α και β ανάγεται στη κατασκευή του ευθυγράµµου τµήµατος x= M G2 /ΜΑ, αφού κατασκευαστούν πρώτα κατά τα γνωστά τα ευθύγραµµα τµήµατα του γεωµετρικού µέσου ΜG και του αριθµητικού µέσου MA των α και β. Η κατασκευή του τµήµατος x µπορεί να γίνει µετά µε πολλούς τρόπους, όπως π.χ. σαν µια τετάρτη ανάλογος, µέσα από τις ιδιότητες του ύψους ορθογωνίου τριγώνου στην υποτείνουσα, µέσα από τη δύναµη σηµείου ως προς κύκλο κ.ο.κ. Παραθέτουµε τη κατασκευή σαν της τετάρτης αναλόγου των ευθυγράµµων τµηµάτων ΜG, MA και MG.

Σχήµα 5

Γράφουµε τη σχέση x= M G2 /ΜΑ σα ΜΑ:MG = MG:x οπότε το ζητούµενο τµήµα x είναι η τετάρτη ανάλογος των ευθυγράµµων τµηµάτων MA, ΜG και MG. Πάνω σε µια ευθεία παίρνουµε λοιπόν διαδοχικά τα τµήµατα ΑΒ=ΜΑ και ΒΓ=ΜG. Στη συνέχεια πάνω σε τυχαία ηµιευθεία ΑΖ παίρνουµε το ευθύγραµµο τµήµα Α∆=ΜG. Φέρουµε τη Β∆ και µετά τη ΓΕ παράλληλη προς τη Β∆ που τέµνει την ΑΖ στο Ε. Το τµήµα ∆Ε είναι το ζητούµενο. Ο αρµονικός µέσος πολλών αριθµών α1, α2, α3,...., αν ορίζεται σα ΜΗ=ν/(1/α1+1/α2+1/α3+...+1/αν) Σηµειώνουµε ότι µεταξύ του αρµονικού, του γεωµετρικού και του αρµονικού µέσου ισχύει πάντα η σχέση: ΜA ≥ ΜG ≥ΜH

∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΕΝΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ∆ΟΘΕΝΤΑ ΛΟΓΟ

Σχήµα 6

∆ίνεται ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και ζητείται να χωριστεί (εσωτερικά ή εξωτερικά) σε δοθέντα λόγο µ:ν. Πάνω σε µια τυχαία ηµιευθεία Αx παίρνουµε διαδοχικά τα ευθύγραµµα τµήµατα Α∆ και ∆Ε µε (Α∆)=µα και (∆Ε)=να όπου α τυχαίο ευθύγραµµο τµήµα (αν ο δοθείς λόγος είναι λόγος είναι αριθµητικός, διαφορετικά αν είναι λόγος δυο δοθέντων ευθυγράµµων τµηµάτων µ και ν τότε παίρνουµε απλώς Α∆=µ και ∆Ε=ν). Φέρουµε τη ΕΒ και από το ∆ τη ∆Γ παράλληλη προς την ΕΒ που τέµνει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ στο Γ. Το σηµείο Γ είναι το ζητούµενο εσωτερικό σηµείο διαίρεσης του ΑΒ και ισχύει ότι ΓΑ:ΓΒ=µ:ν. Φέρουµε επίσης τη ∆Β και από το Ε την ΕΓ΄ παράλληλη προς τη ∆Β που τέµνει τη προέκταση της ΑΒ στο Γ΄. Το σηµείο Γ΄ είναι το ζητούµενο εξωτερικό σηµείο διαίρεσης του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ στο δοθέντα λόγο (Γ΄Α:Γ΄Β=µ:ν). Η απόδειξη βασίζεται στο θεώρηµα του Θαλή. Σε αυτή τη περίπτωση λέµε ότι τα σηµεία Γ και Γ΄ διαιρούν αρµονικά το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ ή ότι τα σηµεία αυτά είναι συζυγή αρµονικά των σηµείων Α και Β (ή και το αντίστροφο ότι τα σηµεία Α και Β διαιρούν αρµονικά το ευθύγραµµο τµήµα ΓΓ΄ και είναι έτσι και αυτά συζυγή αρµονικά των Α και Β) ή ότι τα σηµεία Α, Β, Γ ∆ αποτελούν µια αρµονική τετράδα ή ακόµα ότι η σηµειοσειρά (Α,Β,Γ,∆) είναι αρµονική. Αποδεικνύεται ότι σε αυτή τη περίπτωση τα τµήµατα ΑΓ, ΑΒ και ΑΓ΄ είναι διαδοχικοί όροι αρµονικής προόδου, δηλαδή ότι το ΑΒ είναι ο αρµονικός µέσος των ΑΓ και ΑΓ΄, δηλαδή ότι 1/ΑΓ +1/ΑΓ΄=2/ΑΒ ή (ΑΒ)=2(ΑΓ)(ΑΓ΄) / (ΑΓ+ΑΓ΄) Επίσης αν είναι Ο το µέσο του ΑΒ αποδεικνύεται ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΟΒ=ΟΑ είναι µέσο ανάλογο των ευθυγράµµων τµηµάτων ΟΓ και ΟΓ΄, δηλαδή ότι: (ΟΒ)2=(ΟΓ)(ΟΓ΄)

Σχήµα 7

Αν Ο (κορυφή) είναι ένα σηµείο εκτός µιας αρµονικής τετράδας σηµείων Α, Β, Γ, ∆ και φέρουµε τις ευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ και Ο∆ (ακτίνες), σχηµατίζεται µια δέσµη ευθειών που ονοµάζεται αρµονική δέσµη ευθειών. Αποδεικνύεται ότι µια τυχαία ευθεία (ε) που δε διέρχεται από τη κορυφή Ο τέµνει τις ακτίνες µιας αρµονικής δέσµης ευθειών σε τέσσερα σηµεία που αποτελούν πάντα αρµονική τετράδα, ανεξάρτητα από τη θέση της ευθείας (ε).

Σχήµα 8

Τέλος σηµειώνουµε ότι τα σηµεία στα οποία η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόµος της γωνίας ενός τριγώνου τέµνουν την απέναντι πλευρά αποτελούν µε τις κορυφές αυτής τις πλευράς µια αρµονική τετράδα σηµείων µε λόγο ίσο µε το λόγο των αντίστοιχων προσκείµενων πλευρών αυτού του τριγώνου: ∆Β:∆Γ=ΕΒ:ΕΓ=ΑΒ:ΑΓ.

ΑΝΑΛΟΓΙΑ, ΑΡΜΟΝΙΑ ΚΑΙ ΟΜΟΡΦΙΑ Το αγαθό βέβαια είναι πάντα ωραίο και στο ωραίο δεν ελλείπει ποτέ η αναλογία Πλάτωνας Οι Πυθαγόρειοι εµβαθύνοντας στην επιστήµη των µαθηµατικών συµπέραναν ότι υπάρχει µια σχέση ανάµεσα σε όλα τα όντα, τα οποία συνδέονται µε ένα πλήθος αναλογιών µεταξύ τους.. Όλα τα στοιχεία του κόσµου διέποντο τελικά από το λόγο, την αρµονία και τον αριθµό και η ίδια η οµορφιά θεωρήθηκε έτσι σα µια συµφωνία, σα µια αρµονική σύνδεση των µερών ενός όλου µεταξύ τους. Η αναλογία έτσι σε ένα γεωµετρικό σχήµα, µια µουσική κλίµακα ή σε µια µαθηµατική ακολουθία δεν είναι παρά µια αρµονική σχέση ανάµεσα στα µέρη και στο όλον. Ο διάσηµος αρχιτέκτονας του µεσαίωνα Leon Batista Alberti (1407-1472) όρισε ακριβώς έτσι την οµορφιά: σαν ένα (αρµονικό) µέσο ανάµεσα σε δυο άκρα. Με τη παραδοχή της παγκόσµιας αυτής αρχής της αρµονίας αποδεικνύεται η σχέση και η συγγένεια όλων των όντων µεταξύ τους. Όλες οι ζωικές ψυχές, µαζί και αυτή του ανθρώπου, ακολουθούν τα µαθηµατικά της παγκόσµιας αρµονίας και µετέχουν στη φύση της κοσµικής ψυχής και είναι εποµένως συγγενείς µεταξύ τους.

Ο αριθµός, η αναλογία, υπήρχε για τους Πυθαγόρειους παντού, τόσο στα πράγµατα όσο και στις ιδιότητές τους. Οι αριθµοί δεν ήσαν µόνο ποσοτικοί, αλλά και ειδητικοί, εξέφραζαν δηλαδή και το είδος, τη ποιότητα των όντων. Εκτός λοιπόν από το κόσµο των φαινοµένων, οι Πυθαγόρειοι δέχονταν και έναν άλλο κόσµο, άυλο και αµετάβλητο, το µεταφυσικό κόσµο των αριθµών που µπορεί να γίνει γνωστός µόνο µε τη βοήθεια της νόησης και της διαίσθησης. Όπως η Μονάδα είναι η αιτία της τάξης στο Σύµπαν, έτσι και οι αριθµοί είναι η αιτία της τάξης στα πράγµατα στα οποία αποδίδονται. Ο µεταφυσικός αυτός κόσµος των αριθµών ταυτίζεται πλήρως µε τον κόσµο των Ιδεών του Πλάτωνα. Ο Alberti µιλώντας στο ένατο από τα «∆έκα Βιβλία της Αρχιτεκτονικής» του (1452) για τις αναλογίες επισηµαίνει: Οι αρχαίοι....πρότειναν πράγµατι κυρίως τη µίµηση της Φύσης σαν το µεγαλύτερο αρχιτέκτονα σε όλους του τρόπους των συνθέσεων...Θα ασχοληθούµε τώρα µε το σχήµα. Με το σχήµα κατανοώ µια ορισµένη αµοιβαία αντιστοιχία εκείνων των πολλών γραµµών, µε τις οποίες µετρούνται οι αναλογίες, από τις οποίες η µία είναι το µήκος, η άλλη το πλάτος και η άλλη το ύψος. Ο κανόνας αυτών των αναλογιών συµπεραίνεται καλύτερα από εκείνα τα πράγµατα στα οποία βρίσκουµε τη Φύση να είναι πληρέστατη και θαυµαστότατη, και πράγµατι πείθοµαι κάθε µέρα όλο και περισσότερο για την αλήθεια του ρητού του Πυθαγόρα ότι η Φύση ενεργεί µε συνέπεια και µε σταθερή αναλογία σε όλες τις λειτουργίες της: Απ’ όπου συµπεραίνω ότι οι ίδιοι αριθµοί µέσω των οποίων η συµφωνία των ήχων επηρεάζει τ’ αυτιά µας µε ευχαρίστηση, είναι ακριβώς αυτοί που ευχαριστούν τα µάτια και το µυαλό µας. Θα δανειστούµε εποµένως όλους τους κανόνες µας για το φινίρισµα των αναλογιών µας από τους µουσικούς που είναι οι µεγαλύτεροι δάσκαλοι γι’ αυτό το είδος των αριθµών και από εκείνα τα πράγµατα στα οποία η Φύση δείχνεται πιο εξαιρετική και πλήρης.

ΜΟΥΣΙΚΗ Καθ' αρµονίαν συνεστάναι τα πάντα. ∆ιογένης Λαέρτιος H φιλοσοφία είναι η µεγάλη Μουσική Πλάτωνας: «Φαίδρος» Έχουµε ήδη µιλήσει για τις τέσσερες ιερές, µαθηµατικές επιστήµες των αρχαίων Ελλήνων, τα τέσσερα Πλατωνικά στάδια για τη κατάκτηση της σοφίας: την Αριθµητική, τη Μουσική, τη Γεωµετρία, και την Αστρονοµία, που αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα τη µονάδα, τη δυάδα, τη τριάδα και τη τετράδα. Η µουσική µε τις αναλογίες και αρµονίες της και τον ενσωµατωµένο σε αυτή νόµο της Επτάδας ή Οκτάβας επηρέασε πολύ τη Γεωµετρία και την Αστρονοµία και θα πρέπει να της δοθεί έτσι µια ιδιαίτερη µνεία. Η Πυθαγόρεια άλλωστε Τετρακτύς, όπως αναφέρει ο Αριστοτέλης, «αναπτύσσεται στην Ουράνια Αρµονία που ψάλλουν οι Σειρήνες», τα πλανητικά αυτά σύµβολά της, µε άλλα λόγια στη Μουσική των Σφαιρών. Η µουσική στους αρχαίους δεν είχε σα µοναδικό σκοπό τη δηµιουργία ευχάριστων απλά

συναισθηµάτων ή τη ψυχαγωγία των ανθρώπων, όπως συµβαίνει ως επί το πλείστον σήµερα, αλλά την εκπαίδευση, τον εξευγενισµό και την κάθαρση της ανθρώπινης ψυχής, η οποία έπρεπε να συντονιστεί µε τη θεία ή ουράνια αρµονία, της οποίας όφειλε να αποτελεί µέρος. Η ίδια η µουσική εθεωρείτο σα µια ιδιότητα του Απόλλωνα, του κατεξοχήν θεού της αρµονίας, του λόγου, της τάξεως και του αριθµού, ιδιότητες που αντιπροσωπεύονταν µε τη λύρα του και αντιστοιχούσαν στις τέσσερες δυνάµεις του: τη Μουσική, τη Μαντική, την Ιατρική και την Τοξική ή Καθαρτική. ∆εχόµενοι ότι όλα τα όντα και τα φαινόµενα είναι αριθµοί ή εκφράζονται µε αριθµούς, οι Πυθαγόρειοι µελέτησαν εκτός των άλλων τις σχέσεις των µουσικών τόνων και των αρµονιών και ανακάλυψαν ότι αυτές εκφράζονται µε µεγάλη ακρίβεια µε απλούς αριθµητικούς λόγους. Για παράδειγµα οι τρεις µουσικές αρµονίες: η διαπασών, η πέµπτη και η τετάρτη εκφράζονται µε τις αριθµητικές σχέσεις 2:1, 3:2 και 4:3 Λέγεται ότι ο Πυθαγόρας παρατηρώντας ένα σιδηρουργό που κτυπούσε το αµόνι του, αντελήφθη ότι οι παραγόµενοι µουσικοί τόνοι διέφεραν ανάλογα µε το βάρος του σφυριού που αυτός χρησιµοποιούσε. Έτσι ο αριθµός εδώ (το βάρος του σφυριού) φάνηκε να διέπει το µουσικό τόνο. Στη συνέχεια παρατήρησε ότι άµα έχουµε δυο χορδές τεντωµένες µε την ίδια τάση από τις οποίες η µία έχει το µισό µήκος από την άλλη (ή την ίδια χορδή, την οποία κρατάµε σε αυτή τη περίπτωση από τη µέση, εµποδίζοντας τη δόνηση του υπόλοιπου τµήµατός της) και τις πλήξουµε, το ύψος του ήχου της βραχύτερης χορδής είναι µια οκτάβα ακριβώς ψηλότερο από της µακρύτερης. Πάλι εδώ ο αριθµός (το «διάστηµα») φαίνεται να διέπει το µουσικό τόνο. Όταν το µήκος των δυο χορδών είναι µεταξύ τους σε σχέση 3:2, η διαφορά στο ύψος του ήχου ονοµάζεται πέµπτη και εάν είναι σε σχέση 4:3 ονοµάζεται τετάρτη. Και στις τρεις αυτές περιπτώσεις έχουµε αρµονία. Τι σηµαίνει όµως εδώ αρµονία; Η αρµονία δεν είναι παρά το ευχάριστο και ευάρεστο συναίσθηµα που παράγεται κατά τη συνήχηση δυο ή περισσότερων τόνων. Όταν το παραγόµενο συναίσθηµα είναι δυσάρεστο, τότε λέµε ότι έχουµε παραφωνία. Αν ακούσουµε συγχρόνως δυο ήχους διαφορετικών συχνοτήτων, θα παρατηρήσουµε ότι το υποκειµενικό συναίσθηµα της διαφοράς του ύψους τους δεν εξαρτάται από τη διαφορά των συχνοτήτων τους, αλλ’ από το πηλίκο τους, το οποίο ονοµάζεται µουσικό διάστηµα. Επιπλέον ανακαλύπτουµε ότι το υποκειµενικό αυτό συναίσθηµα δεν εξαρτάται από τις απόλυτες συχνότητες των δυο ήχων, αλλά είναι το ίδιο για οποιαδήποτε ζεύγη ήχων, αρκεί οι ήχοι αυτοί να έχουν το ίδιο διάστηµα (λόγο). Σήµερα στη µουσική ορίζουµε σα τόνο ή φθόγγο ένα σύνθετο ήχο που αποτελείται από ένα ισχυρό θεµελιώδη και από πολλές ανώτερες αρµονικές (µε συχνότητες πολλαπλάσιες του θεµελιώδους). Το ύψος του τόνου εξαρτάται βασικά από τη συχνότητα του θεµελιώδους. Αν ακούσουµε τώρα συγχρόνως ή διαδοχικά δυο τόνους έχουµε αρµονία όταν πολλοί από τους ανώτερους αρµονικούς του ενός τόνου συµπίπτουν µε άλλους ανωτέρους αρµονικούς του δεύτερου τόνου. Αυτό συµβαίνει προφανώς όταν το διάστηµα είναι ίσο µε ένα κλάσµα µικρών ακεραίων αριθµών. Έτσι αρµονικό είναι το διάστηµα 3:2, διότι πολλοί ανώτεροι αρµονικοί του πρώτου τόνου συµπίπτουν µε αρµονικές του δευτέρου (π.χ. η τρίτη αρµονική του πρώτου τόνου µε τη δεύτερη αρµονική του δεύτερου τόνου) Το πιο αρµονικό διάστηµα είναι προφανώς το διάστηµα 2:1 (διαπασών), στο οποίο όλοι οι αρµονικοί του ενός τόνου συµπίπτουν µε τους αρµονικούς του άλλου. Τη θεωρία των διαστηµάτων η ∆υτική µουσική παρέλαβε από την Ελληνική κατά την οποία

υπήρχαν σύµφωνα διαστήµατα που περιελάµβαναν τη ταυτοφωνία (την ογδόη, την πέµπτη και τη τετάρτη), και διάφωνα που περιελάµβαναν το τόνο και το ηµιτόνιο, τη µεγάλη και µικρή τρίτη, την αυξηµένη τετάρτη, τη µεγάλη και µικρή έκτη και τη µεγάλη και µικρή εβδόµη. Σήµερα η τρίτη και η έκτη κατατάσσονται στα ατελώς σύµφωνα. Ας σηµειωθεί ότι η αρχαία Ελληνική µουσική γνώριζε και τα τρία γένη της σηµερινής µουσικής: το διατονικό που ήταν εντελώς σύµφωνο µε το σύγχρονο, το χρωµατικό και το εναρµόνιο, όρος που δηλώνει σήµερα κλίµακες της ίδια οξύτητας αλλά διαφορετικού ονόµατος. Ο µουσικός συµβολισµός λοιπόν των αρχαίων Ελλήνων µπορεί να εκφραστεί µαθηµατικά µε τους απλούς αριθµητικούς λόγους 1:2:3:4. Αν ορίσουµε µε το λόγο 1:1 µια πλήρη χορδή, τότε στο λόγο 3:4 (τετάρτη) θα έχουµε τη συµφωνία του διατέσσερα, στο λόγο 2:3 (πέµπτη) τη συµφωνία του διαπέντε και στο λόγο 1:2 τη συµφωνία του διαπασών. Μια ακόµα συµφωνία που αναγνώρισαν οι Έλληνες ήταν η οκτάβα συν ένα πέµπτο (1:2:3) και τέλος έχουµε τη διπλή οκτάβα ή δυσδιαπασών (1:2:4 ) Ας θυµηθούµε και τη περίφηµο Ελληνικό Λ, τις δυο αριθµητικές ακολουθίες που χρησιµοποίησε ο ∆ηµιουργός για να κατασκευάσει σύµφωνα µε το Πλάτωνα τη Ψυχή του Κόσµου, τοποθετηµένες στη µορφή του Ελληνικού γράµµατος Λ::

Σχήµα 9

Με το πείραµα λοιπόν του Μονόχορδου αποδείχθηκε ότι οι σχέσεις µεταξύ των µουσικών τόνων εξαρτώνται από το µήκος των χορδών και η µουσική συνδέθηκε έτσι µε τα µαθηµατικά. Η αρµονία των µουσικών τόνων αντιστοιχούσε πλήρως στην αρµονία ή αναλογικότητα των αριθµών. Στη συνέχεια οι Πυθαγόρειοι στράφηκαν στην αστρονοµία και απέδωσαν µουσικές αναλογίες και σχέσεις στις αποστάσεις των πλανητών. Όπως αναφέρει ο Αριστοτέλης στο βιβλίο του Περί Ουρανού, οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι και ιδίως ο Φιλόλαος πίστευαν ότι οι επτά πλανήτες Ήλιος, Σελήνη, Ερµής, Αφροδίτη, Άρης, ∆ίας και Κρόνος, µαζί µε τη γη (8η) και τη σφαίρα των απλανών (9η), εκινούντο γύρω από την Εστία (ονοµαζόµενη επίσης Εµπυρείον, Όλυµπος και Ζανός Πύργος), ένα κεντρικό πυρ το οποίο δε βλέπουµε. Με αυτό το τρόπο είχαµε συνολικά εννέα κινήσεις γύρω από την Εστία κι επειδή αυτές θα έπρεπε να ήσαν κανονικά δέκα, όσο και ο ιερός αριθµός που προκύπτει από την ιερή Τετρακτύνα (1+2+3+4), υπέθεσαν την ύπαρξη της Αντιχθώνας, ενός άλλου πλανήτη που βρισκόταν στην αντίθετη πλευρά του κεντρικού πυρός απ’ ό,τι η γη και ο οποίος ήταν γι’ αυτό το λόγο αόρατος. Ο Αριστοτέλης αναφέρει στο προηγούµενο βιβλίο του τις αποστάσεις των πλανητών από το κεντρικό πυρ, σύµφωνα µε την άποψη των Πυθαγορείων. Αυτές φαίνονται να ακολουθούν µια γεωµετρική πρόοδο µε λόγο 3: Κεντρικό Πυρ (1), Αντιχθώνα (3), Γη (9), Σελήνη (27), Ερµής (81), Αφροδίτη (243), Ήλιος (στη µέση, 729), Άρης (2187), ∆ίας (6561) και Κρόνος (19683). Βασικά οι επτά πλανήτες συγκρινόµενοι µε τις επτά χορδές της λύρας έδιναν σύµφωνα µε τους Πυθαγορείους τις εξής αναλογίες:

∆ιαστήµατα

Πλανήτες

Τόνοι

Εκφώνηση

1/2 τόνος 256 Λείµµα 243 Ηµιτόνιο

Κρόνος Σελήνη

Υπάτη Νήτη (οξύτερος ήχος)

9/8 1 Τόνος 9/8 1 Τόνος

Αφροδίτη Ερµής

Παρανήτη Τρίτη ή Παραµέση

Τα (λα) Τη (σολ)

5/3 3/2

256 1/2 Τ. 243 Λείµµα

Ήλιος Άρης

Μέση Λιχανός ή υπερµέση

Τω (φα) Τε (µι)

4/3 5/4

9/8 1 Τόνος 9/8 1 Τόνος

∆ίας Κρόνος

Παρυπάτη Υπάτη (βαρύτερος ήχος)

Τα (ρε) Τη (ντο)

9/8 1

Τη (ντο) Τω (σι)

Αναλογία

2 15/8

Ο Πυθαγόρας δίδαξε ότι καθένας από τους επτά πλανήτες παρήγαγε κατά τη κίνησή του πάνω στη τροχιά του µια ιδιαίτερη νότα, ανάλογα µε την απόστασή του από το Κεντρικό Πυρ. Οι αποστάσεις αυτές ήσαν αρµονικές, ανάλογες µε τα µουσικά διαστήµατα και τις υποδιαιρέσεις της προηγούµενης χορδής. Από τη συνήχηση και συµφωνία των επτά αυτών βασικών ουράνιων φθόγγων παράγεται η ουράνια συναυλία, η περίφηµη Μουσική των Σφαιρών, ο αρµονικός και µελωδικός ήχος των Σειρήνων, τον οποίο συνήθως δεν ακούµε λόγω της λεπτότητάς του ή διότι τ’ αυτιά µας έχουν εξοικειωθεί σε αυτόν. Την ίδια Ουράνια Μουσική πίστευε ο Άγιος Αυγουστίνος ότι άκουγαν οι άνθρωποι τη στιγµή του θανάτου τους και υποτίθεται πως άκουσε, σύµφωνα µε τον Φίλωνα της Αλεξανδρείας, ο Μωυσής στο όρος Σινά, όταν πήρε τις πλάκες µε τις 12 εντολές.

ΤΟ ΚΟΣΜΙΚΟ ΜΟΝΟΧΟΡ∆Ο Σύµφωνα µε τις απόψεις των Πυθαγορείων, όπως τις παρουσιάζει ο Robert Fludd στο βιβλίο του Utriusque Cosmi Historia (1617), ολόκληρο το σύµπαν µπορεί να θεωρηθεί σαν ένα Κοσµικό Μονόχορδο στο οποίο το διάστηµα µεταξύ του στοιχείου της Γης και του ανώτερου ουρανού είναι µια διπλή οκτάβα σε µια αρµονική αναλογία δυσδιαπασών. Ο ανώτερος ουρανός, ο ήλιος και η γη έχουν τον ίδιο τόνο, µε µόνη διαφορά τους το ύψος του ήχου. Ο ήλιος είναι η κατώτερη οκτάβα του ανώτερου ουρανού και η γη η χαµηλότερη οκτάβα του ηλίου. Στη παρακάτω εικόνα του Μονόχορδου έχουµε συνολικά δεκαπέντε υποδιαιρέσεις, όσες και οι τόνοι του αρχαιοελληνικού µουσικού συστήµατος, οι οποίοι κατανέµονταν σε τέσσερα τετράχορδα (των Υπερβολαίων, των ∆ιαζευγµένων, των Μέσων και των Υπάτων). Οι δεκαπέντε αυτοί τόνοι, όπως

Σχήµα 10

και οι χορδές της λύρας, έπαιρναν το όνοµά τους από τη πρόσθεση και του ονόµατος του αντίστοιχου τετράχορδου στο οποίο αναφέρονταν: Νήτη Υπερβολαίων, Παρανήτη Υπερβολαίων, Τρίτη Υπερβολαίων, Νήτη ∆ιεζευγµένων, Παρανήτη διεζευγµένων, Τρίτη ∆ιεζευγµένων, Παραµέση, Μέση, Λιχανός Μέσων, Παρυπάτη Μέσων, Υπάτη Μέσων, Λιχανός Υπατών, Παρυπάτη Υπατών, Υπάτη Υπατών και Προσλαµβανόµενος. Οι κλίµακες ονοµάζονταν αρµονίες ή τρόποι και είχαν αφετηρία έναν από τους επτά φθόγγους της διατονικής κλίµακας. Οι οκτώ αυτοί τρόποι µαζί µε τις αστρολογικές και µε τις σύγχρονες νότες αντιστοιχίες τους ήσαν οι εξής: Υποδώριος (Σελήνη, ∆ευτέρα, ντο), Μιξολύδιος (Ερµής, Τετάρτη, ρε), Λύδιος (Αφροδίτη, Παρασκευή, µι), Φρύγιος (Ήλιος, Κυριακή, φα), ∆ώριος (Άρης, Τρίτη, σολ), Υπολύδιος (∆ίας, Πέµπτη, λα) και Υποφρύγιος (Κρόνος, Σάββατο, σι). Επιστρέφοντας στο Κοσµικό Μονόχορδο του Robert Fludd οι 15 προηγούµενοι αρχαιοελληνικοί τόνοι αντιστοιχούν στις 15 υποδιαιρέσεις (διαστήµατά) του που παριστάνονται µε τα Λατινικά γράµµατα A, B, C, D. E, F, G, a, b,c, d, e, f, g, από τα οποία τα επτά πρώτα αντιστοιχούν στους τόνους της κατώτερης και τα επτά τελευταία (µικρά) στους τόνους της ανώτερης οκτάβας του δυσδιαπασών. Η χαµηλότερη οκτάβα µέχρι το σηµείο G, που αντιστοιχεί στον ήλιο, περιλαµβάνει το µέρος του σύµπαντος στο οποίο κυριαρχεί η ύλη. Οι αρµονίες αυτής της πρώτης οκτάβας είναι πιο τραχείς από αυτές της ανώτερης (από το G µέχρι το ανώτερο σηµείο στήριξης του Μονόχορδου g, που αντιστοιχεί στο Εµπυρείον) όπου κυριαρχεί η ενέργεια. Το κατώτερο σηµείο στήριξης της χορδής αντιστοιχεί στο στοιχείο της Γης και προς τα επάνω τα αντίστοιχα οριζόµενα διαστήµατα καταλαµβάνονται διαδοχικά από τα υπόλοιπα στοιχεία Νερό, Αέρα και Φωτιά και στη συνέχεια προς τα πάνω από τους επτά πλανήτες Σελήνη, Ερµή, Αφροδίτη, Ήλιο, Άρη, ∆ία και Κρόνο. Μετά είναι η σφαίρα των απλανών αστέρων και ύστερα οι τρεις ουρανοί του Εµπυρείου (Κατώτερο, Μεσαίο και Ανώτερο Εµπυρείο) και στο ανώτερο σηµείο η Άπειρη και Αιώνια Ζωή πάνω από την οποία προΐσταται η Θεία Τριάδα. Από τη σφαίρα των απλανών µέχρι το ανώτερο σηµείο της χορδής είναι µια αρµονία διατέσσερα (ανώτερη) όπως και από τη Γη µέχρι τη Σελήνη (υλική, υποσεληνιαίος κόσµος). Από τον Ήλιο µέχρι τη σφαίρα των απλανών είναι µια αρµονία διαπέντε (ανώτερη), όπως και από τη Σελήνη µέχρι τον Ήλιο (υλική). Τέλος από τη γη µέχρι τη σφαίρα των απλανών είναι µια αρµονία. διαπασών κι ενός διαπέντε Υπάρχουν έτσι 15 διαβαθµίσεις ενέργειας και ύλης µεταξύ της στοιχειακής Γης και της απόλυτης

δύναµης. Μπορούµε να θεωρήσουµε µια ανερχόµενη πυραµίδα (ύλης) µε βάση της σφαίρα του στοιχείου της γης και κορυφή στη 15η σφαίρα της Αιώνιας Ζωής, την οποία όµως αυτή δε διαπερνά. Ανάλογα µπορούµε να θεωρήσουµε µια κατερχόµενη πυραµίδα ενέργειας µε βάση τη 15η σφαίρα της Αιώνιας Ζωής και κορυφή πάνω στη πρώτη σφαίρα του στοιχείου της γης, την οποία πάλι αυτή δεν διαπερνά. Οι δυο αυτές πυραµίδες τέµνονται κανονικά πάνω στη Σφαίρα Ισορροπίας που αντιστοιχεί στον Ήλιο. Το κοσµικό µονόχορδο αποτελείται από µια υποθετική χορδή που εκτείνεται από τη βάση της πυραµίδας της ενέργειας µέχρι της βάση της πυραµίδας της ύλης. Εάν το Κοσµικό Μονόχορδο πληγεί στο πνευµατικό του µέρος, γράφει ο Robert Fludd, θα δώσει αιώνια ζωή. Εάν πληγεί στο πιο υλικό του µέρος θα δώσει µια παροδική ζωή. Ορισµένα στοιχεία, πλανήτες και ουράνια σώµατα διατηρούν έναν αρµονικό λόγο µεταξύ τους. Ο Fludd το συνιστά αυτό σαν ένα κλειδί για τη συµπάθεια ή αντιπάθεια των διαφόρων τµηµάτων της φύσης.

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑΚΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ Η Φωτιά αποτελείται από τέσσερα µέρη φωτιάς. Έτσι η Γη και το Νερό έχουν µεταξύ τους λόγο 4:3 ή την αρµονία του διατέσσερα. Το Νερό και η Σφαίρα της Ισορροπίας (µεταξύ του Νερού και του Αέρα) έχουν το λόγο 3:2 ή την αρµονία του διαπέντε. Επειδή το άθροισµα ενός διαπέντε και ενός διατέσσερα ισούται µε ένα διαπασών ή µια οκτάβα, είναι προφανές ότι τόσο η σφαίρα της φωτιάς όσο και η σφαίρα της γης είναι µεταξύ τους σε µια συµφωνία διαπασών. Κι εδώ µπορούµε να θεωρήσουµε δυο πυραµίδες, µια ανερχόµενη µε βάση τη γη και κορυφή τη σφαίρα της φωτιάς, χωρίς να τη διαπερνά (πυραµίδα της γης), και µια κατερχόµενη µε βάση τη σφαίρα της φωτιάς και κορυφή τη σφαίρα της Γης, την οποία επίσης δεν διαπερνά (Πυραµίδα Φωτιάς). Σύµφωνα µε το νόµο της στοιχειακής αρµονίας η Φωτιά δεν εισέρχεται στη σύσταση της Γης, ούτε η γη στη σύσταση της Φωτιάς. Σύµφωνα έτσι µε τον Fludd και τους Πυθαγορείους η γη αποτελείται από τέσσερα µέρη της ίδιας της φύσης της όπως και η φωτιά, ενώ το νερό από τρία µέρη γης και ένα φωτιάς. Η σφαίρα της ισορροπίας είναι ένα υποθετικό σηµείο όπου υπάρχει ισορροπία δύο µερών γης και δύο µερών φωτιάς. Ο Αέρας λοιπόν αποτελείται από 3 µέρη Φωτιάς και ένα Γης. Για τους Πυθαγορείους οι διάφοροι µουσικοί τρόποι έχουν διαφορετικές επιδράσεις πάνω στο άτοµο που τους ακούει. Λέγεται ότι ο Πυθαγόρας θεράπευσε κάποτε ένα νέο από τη µέθη του τραγουδώντας µια µελωδία στον Υποφρυγικό τρόπο µε σπονδαϊκό ρυθµό. Ο Φρυγικός τρόπος θα έφερνε το αντίθετο αποτέλεσµα και θα τον είχε υπερδιεγείρει. Ας σηµειωθεί ότι στα θεραπευτικά κέντρα του Ασκληπιείου της Περγάµου και της Επιδαύρου οι ασθενείς θεραπεύονταν µε τη συνοδεία µουσικής, αφού η ψυχή και το σώµα υπόκεινται στους ίδιους νόµους της παγκόσµιας αρµονίας που διέπουν τη µουσική και το κόσµο. ΤΟ ΤΕΤΡΑΧΟΡ∆Ο ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΕΣ ΤΟΥ Φωνήεντα Στοιχεία Ιδιότητες Εποχές ∆ιευθύνσεις Θεότητες

Έψιλον Γη Ξηρό Φθινόπωρο ∆ύση Ήρα ∆ήµητρα

Άλφα Νερό ∆ροσερό Χειµώνας Βορράς Περσεφόνη Αφροδίτη

Ήτα Αέρας Υγρό Άνοιξη Ανατολή ∆ίας ∆ιόνυσος

Ωµέγα Φωτιά Ζεστό Καλοκαίρι Νότος Άδης Ήφαιστος

Το πρωταρχικό διατονικό τετράχορδο των αρχαίων είναι ηµιτόνιο-τόνος-τόνος (ανερχόµενο), δηλαδή Νερό-Αέρας-Φωτιά-Γη. Κάθε Νότα του τετράχορδου ονοµάζεται Στοιχείο. Τα Στοιχεία και οι Ιδιότητες αποτελούν µαζί τη διπλή Τετρακτύνα, µια Ογδοάδα που αποτελεί µια πλήρη οκτάβα. Το Πλανητικό Οκτάχορδο βασίζεται σε µια διπλή Τετρακτύνα. Ας σηµειωθεί ότι το φωνήεν ιώτα αντιστοιχεί στον Αιθέρα. Τα πιο αρχαία Ελληνικά µουσικά όργανα φαίνονται να βασίζονται σε τέσσερες νότες (νήτη, παραµέση, µέση και υπάτη). Η αρχική λύρα είχε τέσσερες χορδές (τετράχορδη λύρα του Ερµή) και ο αυλός τέσσερες τρύπες δακτύλων. Οι τέσσερες νότες µπορεί να έχουν αποτελέσει ένα τετράχορδο ή τις σταθερές νότες µιας οκτάβας. Αργότερα τόσο η λύρα όσο και ο αυλός επεκτάθηκαν. Κανονικά οι Έλληνες έπαιζαν το διπλό αυλό που ο καθένας είχε τέσσερες τρύπες. που αντιστοιχούσαν ίσως στα δυο αποσυνδεδεµένα τετράχορδα της οκτάβας. Για αρκετό καιρό επικρατούσε η επτάχορδη λύρα, µέχρι που ο Πυθαγόρας ή ο Τέρπανδος πρόσθεσε και µια όγδοη χορδή. Η Μουσική Τετρακτύς ορίζει τα θεµελιώδη διαστήµατα της Πυθαγόρειας αρµονίας: 6:12 είναι η οκτάβα (1:2), 6:9 = 8:12=2:3 η πέµπτη, 6:8 = 9:12=3:4 η τετάρτη, και 8:9 ο πλήρης τόνος. Η δοµή είναι δυο αλληλοσυνδεόµενες πέµπτες (6:9, 8:12), που είναι ισοδύναµες µε δυο τετάρτες (6:8, 9:12) µε ανάµεσά τους το τόνο της διάζευξης (8:9). Οι δυο αλληλοσυνδεόµενες πέµπτες αντιστοιχούν στα αντιτιθέµενα στοιχεία Φωτιά-Νερό και Αέρα-Γη. Ας σηµειωθεί ότι οι αυξανόµενοι αριθµοί αντιστοιχούν σε µικρότερα ύψη, γιατί οι αριθµοί αντιπροσωπεύουν µήκη χορδών. Λέγεται ότι οι λόγοι της γήινης αρµονίας είναι ενσωµατωµένοι στο κύβο, το Πλατωνικό στερεό που αντιστοιχεί στο στοιχείο της Γης, διότι αυτός έχει 24 ορθές γωνίες, 12 ακµές, 8 στερεές γωνίες και 6 έδρες. Έτσι 24:12 δίνει την οκτάβα, 12:8 τη πέµπτη και 8:6 τη τετάρτη.

ΤΟ ΜΕΙΖΟΝ ΚΑΙ ΤΟ ΕΛΑΣΣΟΝ ΣΥΣΤΗΜΑ Το Μείζον Σύστηµα αποτελείτο από τα τετράχορδα των Υπάτων, των Μέσων, των ∆ιεζευγµένων και των Υπερβολαίων και το Έλασσον από τα τετράχορδα των Υπάτων, Μέσων και Συνηµµένων. Οι αντιστοιχίες κάθε χορδής σε καθένα από αυτά τα τετράχορδα µε κάθε φωνήεν και πλανήτη είναι οι εξής: Τετράχορδο Υπερβολαίων (Νήτη (Α, Κρόνος, ντο3), Παρανήτη (Ω, ∆ίας, σι2), Τρίτη (Η, Άρης, λα2). Η επόµενη χορδή είναι η κοινή νήτη µε το τετράχορδο των ∆ιεζευγµένων. Τετράχορδο ∆ιαζευγµένων: Νήτη (Α, Ήλιος, σολ2), Παρανήτη (Ω, Αφροδίτη, φα2), Τρίτη (Η, Ερµής, µι2), Παραµέση (Α, Σελήνη, ρε). Τετράχορδο Συνηµµένων: Νήτη (Α, 4ο Ζωδιακό Τρίγωνο, φα2), Παρανήτη (Ω, 3ο Ζωδιακό Τρίγωνο, µι2), Τρίτη (Η, 2ο Ζωδιακό Τρίγωνο, ρε2 ύφεση), Μέση (Ε, 1ο Ζωδιακό Τρίγωνο, ντο2). Τετράχορδο Μέσων: Μέση (Ε, ντο2), Λιχανός (Ω, Κρόνος, σι), Παρυπάτη (Η, ∆ίας, λα), Υπάτη (Α, Άρης, σολ). Η τελευταία κοινή χορδή µε των Υπάτων Τετράχορδο Υπάτων: Λιχανός (Ω, Ήλιος, φα), Παρυπάτη (Η, Αφροδίτη, µι), Υπάτη (Α, Ερµής, ρε), Προσλαµβανόµενος (Ε, Σελήνη, ντο).

Ως προς τη σηµασία µερικών από τις αρχαίες αυτές λέξεις που µπορεί να µας είναι άγνωστες σηµειώνουµε ότι: Υπάτη =ανώτερη, µακρύτερη. Αναφέρεται όµως στη θέση της χορδής πάνω στη λύρα και όχι στο ύψος του ήχου. Νήτη=χαµηλότερη, κοντινότερη Παρανήτη=δίπλα στη νήτη Λιχανός= ο δείκτης (από το λείχω=γλείφω, το δάκτυλο που γλείφουµε), απ’ όπου η χορδή που πλήττεται µε το δείκτη. Προσλαµβανόµενος=προστιθέµενος Τρίτη =από τη κορυφή του Τετράχορδου Υπερβολαίων=Υπερβαινόντων, στο ζενίθ Συνηµµένων= Προσαρτηµένων Τα πέντε παραπάνω τετράχορδα αντιστοιχούν: • Των Υπερβολαίων (ντο3, σι2, λα2, σολ2 - ΑΩΗΑ) στο γράµµα Ταυ, στο στοιχείο του Αιθέρα, την αίσθηση της Όρασης και στην αρετή της Σοφίας. • Των ∆ιεζευγµένων (σολ2, φα2, µι2, ρε2 - ΑΩΗΑ) στο φωνήεν Ωµέγα, στο στοιχείο της Φωτιάς, στην αίσθηση της Ακοής και στην αρετή του Θάρρους. • Των Συνηµµένων (φα2, µι2, ρε2, ντο2 - ΑΩΗΕ) στο φωνήεν Ήτα, στο Στοιχείο του Αέρα, στην αίσθηση της Όσφρησης και στην αρετή της ∆ικαιοσύνης. • Των Μέσων (ντο2, σι, λα, σολ- ΕΩΗΑ) στο φωνήεν Άλφα, στο Στοιχείο του Νερού, στην αίσθηση της Γεύσης και στην αρετή της Μετριοπάθειας (Απόλαυση) • Των Υπάτων (σολ, φα, µι, ρε - ΑΩΗΑ) στο φωνήεν Έψιλον, στο Στοιχείο της Γης, στην Αίσθηση της Αφής και στην αρετή της Μετριοπάθειας (Εγκράτεια) Ο Προσλαµβανόµενος (ντο-Ε) Ο Προσλαµβανόµενος τόνος δεν ανήκει σε κανένα τετράχορδο, αλλά προστέθηκε στο κάτω µέρος του Μείζονος και Ελάσσονος Συστήµατος σα µια βάση που αντιστοιχεί στη Σελήνη και στον Υποσεληνιαίο Κόσµο. Τα παραπάνω τετράχορδα παρουσιάζονται µε σειρά από τα οξύτερα προς τα βαρύτερα, όπως και οι νότες. Κάθε τετράχορδο έχει (από χαµηλά προς τα ψηλά) τη µορφή ηµιτόνιο-τόνος-τόνος και αρχίζει µε το Α, εκτός από το ότι κάθε οκτάβα αρχίζει µε το Ε (=ντο). Τα πέντε παραπάνω πεντάχορδα συν µια προστιθέµενη νότα κάνουν συνολικά 21 , δίνοντας έτσι τη δυνατότητα αντιστοιχιών µε το Ταρώ. Αυτό είναι επίσης ισοδύναµο µε πέντε περιστροφές διά µέσου των Στοιχείων συν την προστιθέµενη νότα. Τα Φωνήεντα ακολουθούν ένα κύκλο Άλφα-Ήτα-Ωµέγα (AΗΩ), εκτός από τα σηµεία θεµελίωσης: το Προσλαµβανόµενο (ντο) και τη Μέση (ντο2), που αντιστοιχούν αµφότερα στο Έψιλον και στο τετράχορδο των Συνηµµένων, το οποίο αντιστοιχεί στα σταθερά άστρα (στη σφαίρα των απλανών) Η ∆ιπλή Οκτάβα του Μείζονος Συστήµατος είναι η αρµονική δοµή των Πυθαγορείων. Ας σηµειωθεί ότι οι 15 νότες του συστήµατος αντιστοιχούν στις 15 µέρες της αυξανόµενης σελήνης και ξανά στις 15 µέρες της φθίνουσας Σελήνης

Το τετράχορδο των Υπερβολαίων µπορεί να αντιστοιχηθεί στις αστρικές σφαίρες ως εξής: Νήτη (ντο3, 40 Ζωδιακό Τρίγωνο), Παρανήτη (σι2, Τρίτο Ζωδιακό Τρίγωνο), Τρίτη (λα2, 2ο Ζωδιακό Τρίγωνο, Νήτη (σολ2, 1ο Ζωδιακό Τρίγωνο), των ∆ιεζευγµένων: Παρανήτη (φα2, Κρόνος, Σάββατο), Τρίτη (µι2, ∆ίας, Πέµπτη), Παραµέση (ρε2, Άρης, Τρίτη), Μέση (ντο2, Ήλιος, Κυριακή) και των Μέσων: Λιχανός (σι, Αφροδίτη, Παρασκευή), Παρυπάτη (λα, Ερµής, Τετάρτη), Υπάτη (σολ, Σελήνη, ∆ευτέρα) στους πλανήτες και στις επτά ηµέρες της Εβδοµάδας και το τετράχορδο των Υπάτων στις σφαίρες των Στοιχείων: Λιχανός (φα, Φωτιά), Παρυπάτη (µι, Αέρας), Υπάτη (ρε, Νερό) και Προσλαµβανόµενος (ντο, Γη).

Τα Τέσσερα Ζωδιακά Τρίγωνα Τρίγωνα

I

II

III

IV

Κριός

Ταύρος

∆ίδυµοι

Καρκίνος

Λέων

Παρθένος

Ζυγός

Σκορπιός

Πλανήτες

Τοξότης Αιγόκερως Υδροχόος Ήλιος Αφροδίτη Ερµής

Ύψη Φωνήεντα

∆ίας ντο Έψιλον

Σελήνη ρε ύφεση Ήτα

Κρόνος µι Ωµέγα

Ιχθείς Άρης (Σελήνη,Αφροδίτη) φα Άλφα

Θα παρατηρηθεί ότι οι στοιχειακές αντιστοιχίες (I=Γη, II=Αέρας, III=Φωτιά, IV=Νερό), που βασίζονται στα φωνήεντα, δε συµφωνούν µε αυτές τις σύγχρονης αστρολογίας. Οι Πλανητικές Σφαίρες αντιστοιχούν στις νότες µε διάφορους τρόπους, ανάλογα µε το σκοπό που πρόκειται να επιτευχθεί. Εδώ οι υψηλότερες νότες αντιστοιχούν σε υψηλότερες σφαίρες. Η θεµελιώδης δοµή της Ελληνικής αρµονίας είναι το στοιχειώδες τετράχορδο. ∆υο τετράχορδα συνδυάζονται για να κατασκευάσουν ένα πλανητικό σύστηµα. Στο αρχαιότερο αρµονικό σύστηµα τα δυο Τετράχορδα συνδέονται σε ένα Επτάχορδο ταυτίζοντας τον ψηλότερο τόνο του ενός µε το χαµηλότερο του άλλου, όπως τα τετράχορδα των Μέσων και των Συνηµµένων στο Έλασσον Σύστηµα. Αυτό δίνει µια ανερχόµενη δοµή διαστήµατος ΗΤΤ ΗΤΤ (Η = ηµιτόνιο, T = τόνος), µε τον Ήλιο σα µέση νότα (σε συµφωνία µε τη ∆ιδασκαλία του Πυθαγόρα). Μερικές λύρες αγγείων δείχνουν επτά χορδές σε οµάδες τεσσάρων και τριών, µε τις τελευταίες µεγαλύτερου ύψους, υποδηλώνοντας συνενωµένα τετράχορδα. Ο Πυθαγόρας θεωρείται ότι αναθεώρησε το Πλανητικό Σύστηµα µέσα σε ένα Οκτάχορδο αποτελούµενο από δυο διαζευγµένα τετράχορδα µε ένα πλήρη τόνο (διαζευτικός τόνος) ανάµεσά τους (όπως στα τετράχορδα των Μέσων και των ∆ιεζευγµένων στο Μείζον Σύστηµα). Σε αυτό το οκτάχορδο το ανερχόµενο διάστηµα είναι ΗΤΤ Τ ΗΤΤ. Παρόµοια µερικές µεσαίες Μινωικές Λύρες έχουν δυο αποκλίνοντα σύνολα από τέσσερες χορδές, υποδεικνύοντας διαζευγµένα τετράχορδα. Το αποτέλεσµα είναι µια Ογδοάδα ή διπλή Τετράδα που αποτελείται από τους επτά πλανήτες και την όγδοη σφαίρα των απλανών άστρων. Το Πλανητικό Επτάχορδο µπορεί να επεκταθεί διανέµοντας τις τέσσερες χαµηλότερες νότες (τετράχορδο Υπάτων και προσλαµβανόµενος) στις τέσσερες Στοιχειακές Σφαίρες, όπως

αναφέραµε παραπάνω. Όταν γίνουν οι στοιχειακές και αστρικές επεκτάσεις, το σύστηµα αποτελεί δυο πλήρεις οκτάβες ντο-ντο3. Ας έχουµε υπόψη µας ότι ο αρχαίος τόνος και ηµιτόνιο δεν είναι ισοδύναµοι µε τους σύγχρονους, συγκεκραµένους τόνο και ηµιτόνιο (το σύγχρονο ηµιτόνιο είναι λίγο µεγαλύτερο από το Ελληνικό αλλά ο συγκεκραµένος τόνος είναι λίγο µικρότερος από τον Πυθαγόρειο). Προφανώς τα επτά φωνήεντα του Ελληνικού αλφάβητου αντιστοιχούν στους επτά Πλανήτες και στο Επτάχορδο. Οι σταθερές νότες ορίζονται µε τους θεµελιώδεις αριθµούς της Πυθαγόρειας αρµονίας 12-9-8-6. Ο λόγος 12:6 δίνει την Οκτάβα. Οι λόγοι 12:9 και 8:6 είναι οι τετάρτες και οι λόγοι 12:8 και 9:6 οι πέµπτες. Υπάρχει σχέση µιας πέµπτης (3:2) ανάµεσα στις αντίστοιχες νότες του ανώτερου και κατώτερου Τετράχορδου. Οι κινητές νότες στη Πυθαγόρεια ∆ιατονική ορίζονται µε το 9:8 για καθένα από τους πλήρεις τόνους και µε το «υπόλοιπο» 256:243 για το ηµιτόνιο. Ο λόγος του τόνου της διάζευξης είναι επίσης 9:8. Ολόκληρη η κλίµακα µπορεί να κατασκευαστεί από τετάρτες και πέµπτες (δηλαδή µε όρους των τετραχόρδων), πολύ παρόµοια µε το τρόπο που θα κούρδιζε ένας µουσικός µια λύρα, µια άρπα ή µια κιθάρα. Σύµφωνα µε το Πλάτωνα η κλίµακα µπορεί να κατασκευαστεί από τους λόγους 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. Σύµφωνα µε την Πυθαγόρεια διδασκαλία από τους αριθµητικούς λόγους των νοτών αποκαλύπτονται πολλές κοσµικές σχέσεις. Οι περισσότεροι λόγοι είναι επιµερικοί, δηλαδή της µορφής (N+1):Ν, ένα ζευγάρι αριθµών όπου ο ένας είναι περιττός= αρσενικός και ο άλλος άρτιος =θηλυκός. Σύµφωνα µε τον Πτολεµαίο, ο Πυθαγόρειος Αρχύτας έδωσε µια διαφορετική διαίρεση του τετράχορδου: 9:8, 8:7, 28:27 από ψηλά προς τα χαµηλά. Σε µερικές απόψεις αυτό είναι προτιµότερο εξ’ αιτίας των µικρότερων ακεραίων λόγων.

Η ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΣΥΓΚΕΚΡΑΜΕΝΗ ΚΛΙΜΑΚΑ Στη σύγχρονη θεωρία της µουσικής µια κλίµακα ορίζεται από τόνους µε προκαθορισµένα µεταξύ τους διαστήµατα, τα οποία εκλέγονται κατάλληλα. Στην αρχή εκλέγεται ένας τόνος και µετά οι υπόλοιποι έτσι ώστε να παρουσιάζουν ορισµένα διαστήµατα ως προς αυτόν. Σε όλες τις κλίµακες εκλέγεται ένα διάστηµα, το διάστηµα της ογδόης, ίσο µε 2:1. Μεταξύ των δυο αυτών καθοριζόµενων τόνων υπάρχουν οι άλλοι για τους οποίους το διάστηµα έχει τιµές µεταξύ 1:1 και 2:1. Ανάλογα µε τη χρησιµοποιούµενη κλίµακα τα διαστήµατα εκλέγονται κάθε φορά µε διαφορετικό τρόπο. Από τους διάφορους τρόπους οι οποίοι χρησιµοποιήθηκαν σε διάφορους καιρούς, επικράτησε στη σύγχρονη µουσική η λεγόµενη συγκεκραµένη κλίµακα στην οποία το διάστηµα

της ογδόης χωρίζεται σε 12 ίσα διαστήµατα, τα συγκεκραµένα ηµιτόνια, και καθορίζονται µε αυτό το τρόπο 12 τόνοι. Το διάστηµα του ηµιτονίου είναι ίσο µε το δωδέκατο του διαστήµατος της ογδόης, δηλαδή ίσο µε 12 2 = 1,0594. Από αυτούς τους 12 τόνους εκλέγονται για ιστορικούς λόγους ο πρώτος, ο τρίτος, ο πέµπτος, ο έκτος, ο όγδοος, ο δέκατος και ο δωδέκατος, οι οποίοι αποτελούν τη λεγόµενη µείζονα συγκεκραµένη κλίµακα. Οι επτά αυτοί φθόγγοι ονοµάζονται αντίστοιχα ντο, ρε, µι, φα, σολ, λα, σι. Μετά από αυτή την εκλογή, τα διαστήµατα των διαφόρων τόνων από το πρώτο (το ντο), θα είναι 0 2 4 5 7 9 11 ίσα αντίστοιχα µε (12 2 ) , (12 2 ) , (12 2 ) , (12 2 ) , (12 2 ) , (12 2 ) , (12 2 ) και ονοµάζονται διαστήµατα δευτέρας, τρίτης,....εβδόµης και κλείνει η κλίµακα µε το άνω ντο, το κατά µία ογδόη ψηλότερο από το τόνο της πρώτης βαθµίδας. Ο όγδοος φθόγγος (άνω ντο) έχει διάστηµα από το πρώτο ντο 12 ίσο µε (12 2 ) =2, το οποίο ονοµάστηκε στη παραπάνω κλίµακα διάστηµα ογδόης. Στο πιάνο οι επτά φθόγγοι της κλίµακας ντο παράγονται από τα λευκά πλήκτρα, ενώ µε τα µαύρα πλήκτρα παράγονται τόνοι κατά ένα ηµιτόνιο ψηλότεροι ή χαµηλότεροι του φθόγγου του αµέσως γειτονικού λευκού πλήκτρου. Ο κατά ένα ηµιτόνιο ψηλότερος τόνος ενός φθόγγου π.χ. του σολ, ονοµάζεται σολ δίεση και ο κατά ένα ηµιτόνιο χαµηλότερος τόνος του σολ λέγεται σολ ύφεση. Στη συγκεκραµένη κλίµακα ο τόνος σολ δίεση είναι ο ίδιος µε το τόνο λα ύφεση, όπως ο τόνος σι δίεση είναι ο ίδιος µε το τόνο ντο. Οι τόνοι συνεχίζονται εκατέρωθεν της πρώτης και της ογδόης µε τα ίδια ονόµατα, αλλά µε συχνότητες 2,4,8,16 φορές µεγαλύτερης ή µικρότερης από τις συχνότητες των φθόγγων της µεσαίας ογδόης. Οι συχνότητες των φθόγγων αυτών είναι εντελώς καθορισµένες, εάν ορίσουµε τη συχνότητα ενός οποιουδήποτε τόνου. Σαν τέτοιος εκλέγεται ο φθόγγος λα, στον οποίο δίνεται η συχνότητα των 440 Hz. Επειδή τα διαστήµατα της συγκεκραµένης κλίµακας είναι ασύµµετροι αριθµοί και συνεπώς όχι πηλίκα ακεραίων αριθµών, η κλίµακα αυτή είναι παράφωνη, χωρίς όµως αυτό να γίνεται 7 αντιληπτό από το µη εξασκηµένο αυτί. Π.χ. το διάστηµα της πέµπτης είναι (12 2 ) =1,4983, το οποίο είναι πολύ κοντά στη τιµή 3:2=1,5 και έτσι η παραφωνία δε γίνεται αντιληπτή. Γενικά για τη συχνότητα µιας νότας θα ισχύει ο τύπος: νκλ=110 12 2 k −9 2λ-1 Hz όπου κ=0,2,4,5,7,9,11, που αντιστοιχεί στις νότες ντο, ρε, µι, φα, σολ, λα, σι και λ=1,2,3,...,7 για την 1η, 2η, 3η,...οκτάβα. Τα διαδοχικά διαστήµατα ως προς το τονικό θα είναι προσεγγιστικά: ντο

ρε

µι

φα

σολ

λα

σι

ντο

1

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15/8

2

9/8

10/9

16/15

9/8

10/9

9/8

16/15

Σε σχέση τώρα µε τις γεωµετρικές εφαρµογές της µουσικής αρµονίας παρουσιάζουµε την άποψη του Andrea Palladio στα Τέσσερα Βιβλία της Αρχιτεκτονικής του για τα τέσσερα σύνολα των πιο ωραίων και αρµονικών αναλογιών που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τη κατασκευή δωµατίων. Αυτός προτείνει σα σχήµατα το κύκλο, το τετράγωνο, το ορθογώνιο µε µικρότερη

πλευρά τη πλευρά ενός τετραγώνου και µεγαλύτερη τη διαγώνιο αυτού του τετραγώνου και τέσσερα αρµονικά ορθογώνια που προκύπτουν από ένα τετράγωνο µέσω των τεσσάρων µουσικών αρµονικών λόγων 3:4 (ένα τετράγωνο συν ένα τρίτο, διατέσσερα), 2:3 (ένα τετράγωνο συν µισό, διαπέντε), 3:5 (ένα τετράγωνο συν δύο τρίτα) και 1:2 (ένα διπλό τετράγωνο, διαπασών, οκτάβα).

Σχήµα 11

Μπορούµε να δούµε εδώ καθαρά µια αντιστοιχία µε τη µουσική κλίµακα του Πυθαγόρα, µε εξαίρεση την άρρητη αναλογία της πλευράς του τετραγώνου προς της διαγώνιό του. Η αναλογία όµως αυτή συµβαίνει συχνά τόσο στην αρχιτεκτονική όσο και στη ζωγραφική.

Ο Χρυσός Μέσος Φ και η Χρυσή Τοµή Χωρίς µαθηµατικά δεν υπάρχει τέχνη Luca Pacioli Ευρυθµία ...είναι η οµορφιά και η φόρµα στις προσαρµογές των µελών. Αυτή ανευρίσκεται όταν τα µέλη ενός έργου είναι ενός ύψους που ταιριάζει µε το πλάτος του, ενός πλάτους που ταιριάζει µε το µήκος του και µε µια λέξη όταν αντιστοιχούν όλα συµµετρικά... Βιτρούβιος: «∆έκα Βιβλία πάνω στην Αρχιτεκτονική»

Με τη γραµµική κατασκευή του πενταγώνου οι Πυθαγόρειοι οδηγήθηκαν στην ανακάλυψη του άρρητου «χρυσού» αριθµού Φ, που αντιστοιχεί στο λόγο της «Χρυσής ΄Τοµής» ή παραδοσιακά της διαίρεσης ενός ευθύγραµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο. Ο αριθµός αυτός θεωρήθηκε

από την αρχαιότητα σα µια θεία αναλογία, στενά συνυφασµένη µε την αίσθηση του κάλλους και της αρµονίας, και αντιστοιχεί καβαλιστικά στην έκτη Σεφίρα, το Τίφαρετ, την Οµορφιά, το σηµείο ισορροπίας ολόκληρου του ∆ένδρου της Ζωής. Αντιπροσωπεύει έτσι τα µαθηµατικά της Οµορφιάς, την εξωτερίκευση, υλοποίηση της αφηρηµένης ιδέας του Κάλλους από το Κόσµο των Ιδεών ή Αριθµών στο κόσµο των µορφών και των σχηµάτων, τη θεία αρµονία πραγµατοποιούµενη στο πεδίο της γεωµετρίας µε τη διαίρεση ενός όλου σε δυο αρµονικά µέρη, τη παρεµβολή ενός παναρµονικού µέσου ανάµεσα σε δυο ασύµφωνα άκρα. Πραγµατικά οι αρχαίοι Έλληνες το κατάλαβαν πρώτοι ότι η Οµορφιά είναι η σωστή δόση και αναλογία των αντιθέτων και ότι αρµονική διαίρεση δε σηµαίνει αναγκαστικά την ισότητα και συµµετρία, µε άλλα λόγια µια στείρα, στατική διχοτόµηση, αλλά την επίτευξη µιας δυναµικής ισορροπίας µεταξύ δυο αρµονικών, άνισων µερών. Μόνον οι φιλόσοφοι και οι µαθηµατικοί µπορούσαν να συλλάβουν µια τέτοια ιδέα και να βρουν σε µια ανισότητα την ακριβή θέση µιας τέλειας αρµονίας, να γεφυρώσουν µε πραγµατική τάξη το χάος ανάµεσα στα δυο άκρα. Ας σηµειώσουµε άλλωστε ότι το Φ εµφανίζεται πράγµατι στη σύγχρονη θεωρία του χάους και σε διάφορα φράκταλς, υποδηλώνοντας µια σχέση µε την υποδοµή, την αόρατη τάξη της υποτιθέµενης χαοτικής δοµής. Η χρυσή Τοµή συνδέεται πράγµατι τόσο µε την φανερή όσο και µε τη κρυµµένη αρµονία µεταξύ δυο µερών ή του µέρους µε το όλον. Είναι εύλογο λοιπόν γιατί η Χρυσή Τοµή, που είναι γνωστή επίσης σαν η Θεία Αναλογία χρησιµοποιήθηκε τόσο πολύ στην αρχαιότητα (π.χ. στο Παρθενώνα και σε αγγεία), αλλά και µέχρι των ηµερών µας (π.χ. στο κτίριο των Ηνωµένων Εθνών και στο σύστηµα Modulor του Γάλλου αρχιτέκτονα Le Corbusier), στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική. Το όνοµά της το οφείλει στο Λεονάρδο Ντα Βίντσι, που ήταν ο πρώτος που την ονόµασε Sectio Aurea, δηλαδή Χρυσή Τοµή. Μαθηµατικά ορίζεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη σαν η τοµή ενός δοθέντος ευθύγραµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο, δηλαδή σε δυο τµήµατα από τα οποία το µεγαλύτερο είναι µέσο ανάλογο του όλου και του υπολοίπου.

Σχήµα 01

Έστω ΑΒ=α ένα δοθέν ευθύγραµµο τµήµα. Ζητείται να βρεθεί ένα σηµείο Γ ανάµεσα στα Α και Β (ή ακόµα εξωτερικό των Α και Β), τέτοιο ώστε να ισχύει: ΑΒ/ΑΓ=ΑΓ/ΓΒ ή θέτοντας x=ΑΓ: x2 = α.(α-x) ή x2 + αx - α2 = 0, η οποία δίνει αλγεβρικά τις λύσεις x = α( 5 -1)/2 και x = α( 5 +1)/2, από τις οποίες η δεύτερη απορρίπτεται σαν αρνητική, εκτός και αν θεωρήσουµε κι ένα εξωτερικό σηµείο διαίρεσης Γ1 για το οποίο θα ισχύει αντίστοιχα ότι ΑΒ/Γ1Α=Γ1Α/Γ1Β και τελικά Γ1Α=α( 5 +1)/2 Ορίζουµε Φ = ( 5 +1)/2 ≅ 1,618 και φ = ( 5 -1)/2 ≅ 0,618. Όπως εύκολα µπορεί να αποδειχθεί οι αριθµοί Φ και φ είναι αντίστροφοι, δηλαδή φ =1/Φ ή Φ=1/φ. Ο αριθµός Φ ικανοποιεί την εξίσωση Φ2 =1+Φ ή διαιρώντας και τα δύο µέλη της µε το Φ τη Φ = 1/Φ+1 ή 1/Φ = Φ -1 ή ακόµα φ = Φ-1 και φ2 =1-φ.

Για το εσωτερικό σηµείο διαίρεσης Γ (που βασικά µας ενδιαφέρει εδώ) ο λόγος του µεγαλύτερου τµήµατος προς το µικρότερο θα είναι ΓΑ/ΓΒ=x/(α-x)=α/x=1/φ=Φ . Αντίστοιχα για το εξωτερικό σηµείο διαίρεσης Γ1 θα είναι Γ1Β/Γ1Α=x/α=Φ. Και στις δυο δηλαδή περιπτώσεις ο λόγος του µεγαλύτερου προς το µικρότερο τµήµα θα είναι ίσος µε το «χρυσό» αριθµό Φ.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΛΥΣΗ 1η Κατασκευή

Σχήµα 02

Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ= α . Φέρουµε στο Β κάθετη στην ΑΒ και παίρνουµε πάνω σε αυτή τµήµα ΟΒ=α/2. Φέρουµε το κύκλο (Ο, α/2) και µετά την ΑΟ, η οποία τον τέµνει στα σηµεία ∆ και Ε. Με κέντρο το Α µεταφέρουµε µε το διαβήτη τα τµήµατα Α∆ και ΑΕ πάνω στην ΑΒ έτσι ώστε να έχουµε ΑΓ=Α∆ και ΑΓ1=ΑΕ. Τα σηµεία Γ και Γ1 είναι τα ζητούµενα και χωρίζουν το ευθύγραµµο τµήµα εσωτερικά και εξωτερικά σε µέσο και άκρο λόγο ή σε λόγο Φ. Η απόδειξη είναι εύκολη µε τη βοήθεια της δύναµης του σηµείου Α ως προς το κύκλο (Ο, α/2). 2η Κατασκευή

Σχήµα 03

Έστω ευθύγραµµο τµήµα AB= α. Φέρνουµε στο Β την κάθετη Β∆ στην AB, τέτοια ώστε (Β∆)=α και από το µέσο Μ της ΑΒ τη Μ∆ και µετά το κύκλο (Μ, Μ∆). Προεκτείνουµε την ΑΒ προς το µέρος του Β µέχρι να τµήσει το κύκλο στο σηµείο Γ. Το τµήµα ΒΓ ισούται µε το µεγαλύτερο από τα δυο τµήµατα της χρυσής τοµής του δοθέντος ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. Πάνω στην ΑΒ παίρνουµε σηµείο Γ΄ τέτοιο ώστε ΑΓ΄=ΒΓ. Το σηµείο Γ΄ είναι το ζητούµενο. Απόδειξη: Από το

ορθογώνιο τρίγωνο ΜΒ∆ έχουµε: Μ∆2 = ΜΒ2 + Β∆2 = (α/2)2+α2=5α2/4, οπότε (Μ∆) =α 5 /2 κι εποµένως (ΒΓ) = (ΜΓ) - (ΜΒ) = (Μ∆)- (ΜΒ) = α 5 /2-α/2=α( 5 -1)/2 = φ 3η Κατασκευή

Σχήµα 04

Έστω Μ το µέσον ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ=α το οποίο θέλουµε να χωρίσουµε σε µέσο και άκρο λόγο. Κατασκευάζουµε τους κύκλους (x) ≡ (Β, ΑΒ) και (y) ≡ (M,MA), οι οποίοι εφάπτονται στο Α. Φέρουµε µετά την εφαπτοµένη του κύκλου (y) στο Β, η οποία τέµνει το κύκλο (x) στο ∆. Με κέντρο το ∆ κατασκευάζουµε στη συνέχεια το κύκλο (z) που εφάπτεται στο κύκλο (y) και τέµνει τον (x) στα σηµεία Ε και Θ. Η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι ίση µε το µεγαλύτερο από τα δυο τµήµατα της χρυσής τοµής του αρχικού τµήµατος ΑΒ. Πράγµατι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜ∆ έχουµε ότι Μ∆2 = ΜΒ2+ Β∆2 ή αν θέσουµε την ακτίνα του κύκλου (z) ίση µε x: (χ+α/2)2 = (α/2)2 + α2 από την οποία προκύπτει ότι x2 + αx -α2 = 0 ή x=aφ. Ας σηµειωθεί επίσης ότι αν Η είναι η τοµή της ΕΘ µε τη Μ∆, το Η είναι η χρυσή τοµή της κοινής χορδής ΕΘ των δυο κύκλων (x) και (z), ενώ η ΕΘ είναι συγχρόνως η πλευρά κανονικού πενταγώνου εγγεγραµµένου στο κύκλο (x). Μεταφέροντας λοιπόν µε το διαβήτη την ακτίνα ∆Ε του κύκλου (z) πάνω στην ΑΒ, έτσι ώστε ΑΓ=∆Ε έχουµε τη ζητούµενη χρυσή τοµή του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ.

4η Κατασκευή

Σχήµα 05

Έστω το τµήµα AB που θέλουµε να διαιρέσουµε σε µέσο και άκρο λόγο. Φέρουµε τµήµα Α∆=ΑΒ

κάθετο στο ΑΒ στο Α. Έστω Z το µέσον του A∆. Φέρουµε τη ZB. Έστω σηµείο Ε πάνω στην A∆ τέτοιο ώστε ZΕ= ZB. Βρίσκουµε σηµείο Γ πάνω στο AB τέτοιο ώστε ΑΓ =ΑΕ. Το σηµείο Γ είναι το ζητούµενο. Η απόδειξη σχετικά απλή.

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΟ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ Η χρυσή τοµή εµφανίζεται σε ένα πλήθος γεωµετρικών στοιχείων του κανονικού πενταγώνου, θα αναφέρουµε µερικά από αυτά. • Ο λόγος µιας οποιασδήποτε διαγωνίου του πενταγώνου (ή αλλιώς βραχίονα του αντίστοιχου πεντάκτινου αστέρα) προς τη πλευρά του είναι ο χρυσός λόγος Φ. • Κάθε διαγώνιος του κανονικού πενταγώνου (κάθε δηλαδή βραχίονας του πεντάκτινου αστέρα) τέµνεται από µια άλλη (από ένα άλλο βραχίονα) στη θέση της χρυσής τοµής, δηλαδή κάθε διαγώνιος διαιρεί αυτή που τέµνει και διαιρείται από αυτή σε µέσο και άκρο λόγο. • Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου τεµνόµενες γύρω από το κέντρο του πενταγράµµατος σχηµατίζουν ένα άλλο, µικρότερο, κανονικό πεντάγωνο οι διαγώνιοι του οποίου σχηµατίζουν ένα δεύτερο πεντάγραµµα κ.ο.κ. σε µια άπειρη ακολουθία κανονικών πενταγώνων και πενταγραµµάτων το ένα µέσα στο άλλο σα Ρώσικες κούκλες. Οι πλευρές όλων αυτών των πενταγώνων και οι βραχίονες των πενταγραµµάτων θα είναι διαρκώς σε µια ακολουθία χρυσής τοµής µε βάση το Φ. • Οι ακτίνες του εγγεγραµµένου και του περιγεγραµµένου κύκλου στο κανονικό πεντάγωνο έχουν σχέση 2:Φ. • Μια διαγώνιος του πενταγώνου είναι ο γεωµετρικός µέσος του ύψους του πενταγώνου και της διαµέτρου του περιγεγραµµένου κύκλου του. ∆ηλαδή d2=(BK).(ZH)

Σχήµα 06

ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΡΩΤΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ Ο Φ είναι ένας άρρητος αριθµός. Ούτε η δεκαδική ούτε η δυαδική µορφή του ή η γραφή του µε οποιαδήποτε άλλη βάση δεν παρουσιάζει καµιά επαναλαµβανόµενη µορφή στα ψηφία του.

Έχουµε δείξει ότι Φ =1+1/Φ. Αν αρχίσουµε να αντικαθιστούµε συνεχώς το Φ µε το ίσο του 1+1/Φ θα πάρουµε ένα τύπο συνεχούς κλάσµατος για το Φ: Φ = 1+1/ (1+ 1/Φ) = 1+ 1/[1+1/ (1+ 1/Φ)] = 1+1/[1+ 1/[1+1/ (1+ 1/Φ)]] =....1+1/[1+1/[1+1/[1+....]...]]

από το οποίο µπορούµε να πάρουµε διάφορες κλασµατικές προσεγγίσεις για το Φ, τόσο καλύτερες όσο περισσότερα βήµατα χρησιµοποιούµε στον υπολογισµό του. Π.χ. Φ=1, Φ= 1+1/1=2, Φ=1+1/(1+1/1) =3/2, Φ = 1+ 1/[1+1/(1+1/1)] =5/3 κ.λ.π. Η σειρά αυτή των κλασµάτων είναι όπως θα δείξουµε αργότερα οι λόγοι των διαδοχικών αριθµών Fibonacci: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13,.... Όλα τα προκύπτοντα κλάσµατα είναι λόγοι διαδοχικών αριθµών Fibonacci, καθόσον όπως θα δούµε οι λόγοι των διαδοχικών αριθµών της ακολουθίας Fibonacci (επόµενος προς προηγούµενο) τείνουν στο χρυσό αριθµό Φ. Ισχύει επίσης ότι Φ = 1=

1 + 1 + 1 + 1 + ...

1 + 1 + 1 + 1 + ...

. Πράγµατι υψώνοντας στο τετράγωνο έχουµε: x2-

= x. Άρα x2-1 = x ή x2-x-1 = 0, η οποία όµως έχει σα ρίζα το Φ

Σε αυτή τη περίπτωση προσεγγιστικές τιµές για το Φ είναι οι 1+ 1+ 1+ 1

=

1+ 1+ 2

1+ 1

= 2,

1+ 1+ 1

=

1+ 2

,

κ.λ.π.

Ο Φ έχει την ιδιότητα το τετράγωνό του να δίνει τα ίδια δεκαδικά ψηφία µε αυτόν, αφού Φ2 - Φ = 1 = ακέραιος. Υπάρχουν και άλλοι αριθµοί µε αυτή την ιδιότητα και όλοι ικανοποιούν την εξίσωση x2 =x+Ν, µε Ν ακέραιο. Αν περιοριστούµε σε ακεραίους x, αυτοί έχουν τη γενική µορφή x=4κ+1 όπου κ φυσικός αριθµός, δηλαδή οι αριθµοί 5, (9), 13, 17, 21 κ.λ.π. Η εφαπτοµένη της γωνίας της οποίας το συνηµίτονο είναι φ είναι ίση µε το συνηµίτονο αυτής της γωνίας, δηλαδή για ηµχ=φ ισχύει ότι εφχ = συνχ. Πράγµατι η τριγωνοµετρική αυτή εξίσωση είναι ισοδύναµη µε τη ηµx/συνx = συνx ή ηµχ = συν2χ = 1-ηµ2χ ή ηµ2χ +ηµχ -1 = 0 ή ηµχ =( 5 -1)/2= φ = 1/Φ. Η γωνία αυτή είναι x = 38,1727076ο ... Άλλες τριγωνοµετρικές σχέσεις µε το Φ: συν36ο = ηµ54ο =( συν18ο = ηµ72ο =

5

+1)/4=Φ/2, συν72ο = ηµ18ο = (

Φ⋅ 5

/2, συν12ο = ηµ680 = (-φ+

5

-1)/4 = φ/2 = 1/2Φ

3Φ 5

Η χρυσή τοµή εµφανίζεται και στο παρακάτω πρόβληµα:

)/4

Σχήµα 07 ∆εδοµένου ενός ορθογωνίου θέλουµε να αποκόψουµε από τις γωνίες του τρία τρίγωνα, έτσι ώστε αυτά να έχουν ίδιο εµβαδόν, ή αλλιώς να βρούµε ένα τρίγωνο µέσα στο δοθέν ορθογώνιο, το οποίο όταν αποµακρυνθεί από αυτά να αφήνει τρία ισεµβαδικά τρίγωνα. Αναλύοντας µαθηµατικά αυτό το πρόβληµα καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι οι δύο πλευρές του ορθογωνίου διαιρούνται στον ίδιο λόγο Φ από τις κορυφές του µεσαίου τριγώνου: y/x= w/z= Φ. Το Φ συνδέεται προσεγγιστικά µε το π και τον αριθµό e (τη βάση των Νεπερείων λογαρίθµων) µε τη σχέση: Φ= 7/5 π / e

ΤΟ ΧΡΥΣΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Σχήµα 08 Το Χρυσό Τρίγωνο είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο µε γωνία βάσης 72ο (οπότε η γωνία της κορυφής του είναι 36ο). Αν πάρουµε το λόγο µιας από τις ίσες πλευρές του προς τη βάση του θα έχουµε συν 72ο =α/2β ή ( 5 -1)/4 = α/2β ή α/β = ( 5 -1)/2= φ οπότε β:α=1/φ= Φ, δηλαδή αυτές έχουν µεταξύ τους το λόγο της χρυσής τοµής. Αν διχοτοµήσουµε µια από τις γωνίες της βάσης του, θα σχηµατίσουµε µια άλλη χρυσή τοµή: ∆Α:∆Β=β:α=Φ (λόγω του θεωρήµατος της εσωτερικής διχοτόµου τριγώνου). Και αν συνεχίσουµε να διχοτοµούµε µια από τις γωνίες του και συνδέσουµε µε τόξα τις κορυφές των ισοσκελών τριγώνων, θα σχηµατίσουµε τελικά µια χρυσή σπείρα. Εκτός όµως από το οξυγώνιο ισοσκελές χρυσό τρίγωνο ΑΒΓ µε γωνία βάσης 72ο και γωνία κορυφής 36ο, χρυσό είναι και το ισοσκελές αµβλυγώνιο τρίγωνο ∆ΑΒ µε γωνία βάσης 36ο και γωνία κορυφής 108ο. Πράγµατι αν φέρναµε το ύψος ∆∆΄ στην ΑΓ θα είχαµε ότι συν 36ο =Γ∆΄/Γ∆ ή ( 5 +1)/4=ΓΑ/2Γ∆ οπότε ΓΑ/Γ∆=( 5 +1)/2=Φ, δηλαδή ο λόγος της µεγαλύτερης προς τη µικρότερη πλευρά του είναι κι εδώ ίσος µε το χρυσό αριθµό Φ. Η µόνη διαφορά του από το προηγούµενο οξυγώνιο χρυσό ισοσκελές τρίγωνο είναι ότι εδώ η µεγαλύτερη πλευρά του είναι η βάση του και όχι µια από τις ίσες πλευρές του. Θα δούµε αργότερα τα δυο αυτά χρυσά τρίγωνα στις επιστρώσεις Penrose για τη κάλυψη ενός επιπέδου χωρίς κενά. Τα τρίγωνα αυτά έχουν πολλές σχέσεις µε τους αριθµούς Fibonacci όσο και µε το Φ.

Σχήµα 9

Τα χρυσά τρίγωνα εµφανίζονται κατά κόρον στο κανονικό πεντάγωνο (και στο κανονικό δεκάγωνο) και στο συσχετισµένο µε αυτό πεντάγραµµα. Π.χ. τα ισοσκελή οξυγώνια τρίγωνα ΑΖΗ, ΒΗΘ, ΓΘΙ, ∆ΙΚ, ΕΚΖ, ΑΓ∆, ΒΕ∆, ΓΑΕ, ∆ΑΒ, ΕΒΓ είναι όλα χρυσά τρίγωνα. Το ίδιο χρυσά είναι και τα αµβλυγώνια ισοσκελή τρίγωνα ΑΗΒ, ΒΘΓ, ΓΙ∆, ∆ΚΕ, ΕΖΑ, ΖΗΚ, ΖΗΘ, ΗΘΙ, ΘΙΚ και ΙΚΖ. Το πεντάγραµµα έχει βρεθεί να περιέχει πάνω από 200 λόγους Φ. Εάν κατασκευάσουµε ένα κανονικό δεκάγωνο σε ένα κύκλο, ο λόγος της πλευράς του δεκαγώνου προς την ακτίνα του κύκλου είναι ίσος µε τη χρυσή τοµή.

H ΧΡΥΣΗ ΓΩΝΙΑ

Σχήµα 10

Εάν διαιρέσουµε ένα κύκλο σε δυο τόξα στο λόγο της χρυσής τοµής, η επίκεντρη γωνία του µικρότερου τόξου σχηµατίζει τη χρυσή γωνία που είναι περίπου 137,5 µοίρες

ΤΟ ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

Σχήµα 11

Ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο Φ λέγεται «χρυσό ορθογώνιο». Αν πάνω σε ένα χρυσό ορθογώνιο ΑΒΓ∆ κατασκευάσουµε ένα τετράγωνο ΑΕΖ∆, το αποµένον ορθογώνιο ΕΒΓΖ είναι και αυτό χρυσό, διότι είναι: α/β=Φ οπότε: ΖΕ/ΖΓ=β/(α-β) =1/(α/β1)=1/(Φ-1)=1/φ=Φ Εάν κατασκευάσουµε τώρα ένα ορθογώνιο ύψους 1 µονάδας και µήκους 5 (χρησιµοποιώντας την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου µε κάθετες πλευρές 1 και 2 µονάδες) και κατασκευάσουµε ένα τετράγωνο µέσα σε αυτό, αν το τοποθετήσουµε κεντρικά, θα αφήσει δεξιά και αριστερά του δυο ορθογώνια καθένα από τα οποία θα έχει πλάτος ( 5 -1)/2 = φ και βέβαια ύψος 1 µονάδα. Τα δυο αυτά ορθογώνια έχουν λόγο πλευρών 1:φ = Φ κι εποµένως είναι και αυτά δυο χρυσά ορθογώνια. Το ορθογώνιο µε πλευρές µε λόγο 5 έχει χρησιµοποιηθεί από µερικούς καλλιτέχνες καθώς είναι ένα άλλο ευχάριστο ορθογώνιο σχήµα όπως το χρυσό ορθογώνιο. Από την άλλη µεριά κυκλοφορεί στο εµπόριο και µια σειρά «χρυσών» φύλλων χαρτιού (χαρτιά Fibonacci), το σχήµα των οποίων είναι χρυσά ορθογώνια.

Σχήµα 12

Αν πάρουµε ένα φύλλο χαρτί και διπλώσουµε µια γωνία του για να φτιάξουµε ένα τετράγωνο και αποκόψουµε µετά αυτό το τετράγωνο, θα µας µείνει ένα νέο µικρότερο κοµµάτι χαρτί. Αν θέλουµε το µικρότερο αυτό χαρτί να έχει το ίδιο σχήµα µε το αρχικό, τότε εάν η µεγαλύτερη πλευρά του Αρχικού χαρτιού είναι x και η µικρότερη 1, το µικρότερο χαρτί που µένει µετά την αποκοπή του τετραγώνου θα έχει µικρότερη πλευρά x-1 και µεγαλύτερη 1. Επειδή ο λόγος των πλευρών τους θα πρέπει να είναι ίδιος, για να έχουν αυτά το ίδιο σχήµα (να είναι όµοια), θα έχουµε: 1:x = (x-1):1 ή x2 - x = 1, που είναι ακριβώς η εξίσωση που δίνει το Φ.

Έτσι αν θέλουµε τα φύλλα να έχουν το ίδιο σχήµα, οι πλευρές τους θα πρέπει να έχουν λόγο 1:Φ, να είναι δηλαδή χρυσά ορθογώνια. Για σύγκριση µπορούµε να θεωρήσουµε τη σειρά χαρτιού «Α», στην οποία οι πλευρές του χαρτιού έχουν λόγο 1: 2 . Αυτό γίνεται µε το σκεπτικό ότι όταν τα χαρτιά αυτά διπλωθούν στη µέση, τα δυο µισά να συνεχίσουν να έχουν το ίδιο σχήµα µε το αρχικό. Εάν η µικρότερη πλευρά του αρχικού φύλου έχει µήκος 1 και η µεγαλύτερη λ, τότε µε το δίπλωµά του στη µέση η µεγαλύτερη πλευρά του γίνεται η 1 και η µικρότερη η λ/2. Επειδή τώρα ο λόγος της µεγαλύτερης προς τη µικρότερη πλευρά θα πρέπει να µείνει ο ίδιος, για να έχουν τα δυο χαρτιά το ίδιο σχήµα, θα πρέπει να ισχύει ότι λ/1 = 1:λ/2 =2/λ ή λ2 = 2 κι εποµένως λ= 2 . Αν ξεκινήσουµε από ένα χαρτί A4 και το διπλώσουµε στη µέση και µετά το περιστρέφουµε κατά 90ο, παίρνουµε ένα χαρτί Α5, του ίδιου ακριβώς σχήµατος µε το αρχικό, αλλά της µισής επιφάνειας µε αυτό. Μάλιστα η µεγάλη πλευρά του Α5 θα είναι ίση µε τη µικρή πλευρά του Α4, ενώ η µικρή πλευρά του Α5 θα είναι ίση µε το µισό της µεγάλης πλευράς του Α4. Ο λόγος εποµένως της µεγάλης πλευράς του Α4 προς τη µεγάλη πλευρά του Α5 θα είναι ίσος µε 2 :1 = 2 , το ίδιο και ο λόγος των µικρότερων πλευρών τους. Άρα οι πλευρές του χαρτιού χαρτί Α4 είναι 2 φορές µεγαλύτερες από αυτές του A5. Το ίδιο ισχύει ανάλογα για το χαρτί Α3 σε σχέση µε το Α4.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

Σχήµα 13

Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκους 2 µονάδων και Μ το µέσο του. Με πλευρά το ΑΒ κατασκευάζουµε τετράγωνο ΑΒΓ∆ και µε κέντρο το Μ φέρουµε µετά το κύκλο (Μ, ΜΓ), ο οποίος τέµνει την προέκταση του ΑΒ προς το µέρος του Β στο σηµείο Ζ. Φέρουµε στη συνέχεια τη ΖΕ κάθετη στην ΑΖ που τέµνει την προέκταση της ∆Ε στο Ε. Το ορθογώνιο ΑΖΕ∆ έχει τότε πλευρές ΑΖ= 5 + 1 και Α∆ =2, οι οποίες έχουν έτσι λόγο ΑΖ:Α∆=( 5 +1)/2 = Φ κι εποµένως είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Πράγµατι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΒΓ η ακτίνα ΜΓ=ΜΖ του κύκλου υπολογίζεται ίση µε 5 κι εποµένως ΑΖ=ΑΜ+ΜΖ = 5 +1. Οποιοδήποτε άλλο χρυσό ορθογώνιο µε συγκεκριµένη µια από τις πλευρές του α και β µπορεί να βρεθεί κατασκευάζοντας µε βάση αυτή τη πλευρά ένα ορθογώνιο µε πλευρές παράλληλες (όµοιο) προς το προηγούµενο.

Άλλη Κατασκευή

Σχήµα 14

Ξεκινάµε από ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆. Έστω Ζ το µέσο της ΑΒ. Με κέντρο το Ζ και ακτίνα τη ΓΖ κατασκευάζουµε ένα τόξο κύκλου που τέµνει τη προέκταση της ΑΒ στο Θ. Φέρουµε µετά τη ΘΗ κάθετη στην ΑΘ που τέµνει τη προέκταση της ∆Γ στο Η. Το σχηµατιζόµενο µε αυτό το τρόπο ορθογώνιο ΑΘΗ∆ είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Πράγµατι είναι ΑΘ=β=ΑΖ+ΖΘ=ΑΖ+ΖΓ= α/2+ (a / 2)2 + a 2 = α/2+α 5 /2 = α( 5 +1)/2 = αΦ Θα µπορούσαµε βέβαια πιο απλά να χωρίσουµε ένα τυχαίο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µέσω της χρυσής τοµής Γ σε δύο τµήµατα ΑΓ και ΓΒ και να κατασκευάσουµε µετά ένα ορθογώνιο µε πλευρές αυτά τα δυο ευθύγραµµα τµήµατα. Επειδή, όπως ξέρουµε, αυτά έχουν λόγο Φ, το ορθογώνιο που κατασκευάζουµε θα είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Ξεκινώντας τώρα από ένα χρυσό ορθογώνιο, υπάρχει µια φυσική ακολουθία εσωτερικών του χρυσών ορθογωνίων που λαµβάνονται µε την αποµάκρυνση του αριστερότερου τετραγώνου από το πρώτο ορθογώνιο, του υψηλότερου τετραγώνου από το δεύτερο ορθογώνιο κ.ο.κ.

Σχήµα 15

Το µήκος και το πλάτος του ν-στού ορθογωνίου µπορεί να γραφεί σα µια γραµµική σχέση της µορφής α+βφ όπου οι συντελεστές α και β είναι αριθµοί Fibonacci Τα χρυσά αυτά ορθογώνια µπορούν να εγγραφούν, όπως δείχνεται στο σχήµα, σε µιας λογαριθµική έλικα. Τις τελευταίες τις συναντάµε παντού στη φύση π.χ. στο κέλυφος του σαλιγκαριού και του ναυτίλου, στους χαυλιόδοντες του ελέφαντα και σε πρότυπα διάταξης των σπόρων στους ηλίανθους και τα κουκουνάρια.

ΤΟ ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ Είναι ένα σκαληνό ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν λόγο Φ

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΡΟΜΒΟΣ Είναι ένας ρόµβος του οποίου οι διαγώνιοι έχουν λόγο Φ

Η ΧΡΥΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗ Η Χρυσή έλλειψη είναι µια έλλειψη στην οποία ο λόγος των δυο ηµιαξόνων (ή των αξόνων) είναι ίσος µε το χρυσό λόγο Φ. ∆ηλαδή ΟΑ/Ο∆=ΑΒ/Γ∆=α/β=Φ

Σχήµα 16

Ο Jan Grejzdelsky θεωρεί στο βιβλίο του "Energy-Geometric Code of Nature" (1986) τη χρυσή έλλειψη σαν ένα βέλτιστο µοντέλο για την επίδειξη της θερµοδυναµικής ισορροπίας στους οπτικούς κρυστάλλους. Η χρυσή έλλειψη σχηµατίζεται µε τη βοήθεια των δυο χρυσών ρόµβων Κ∆ΛΓ και Α∆ΒΓ των εγγεγραµµένων στην έλλειψη. Οι χρυσοί αυτοί ρόµβοι αποτελούνται από τέσσερα χρυσά ορθογώνια τρίγωνα του είδους Ο∆Λ ή Ο∆Β. Ας σηµειωθεί ότι τα ισοσκελή χρυσά τρίγωνα Κ∆Λ και ∆ΒΓ είναι όµοια µε το τρίγωνο που σχηµατίζει τη διατοµή της Πυραµίδας του Χέοπα.

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Σχήµα 17

Είναι ένας ανισοσκελής σταυρός που ο λόγος των βραχιόνων του είναι ίσος µε το λόγο της χρυσής τοµής Φ. Όπως απέδειξε η έρευνα του Γερµανού ψυχολόγου Gustav Fechner πολλοί σταυροί στα νεκροταφεία έχουν κατασκευαστεί «διαισθητικά» σα χρυσοί σταυροί.

Η ΧΡΥΣΗ ΣΠΕΙΡΑ Η χρυσή σπείρα κατασκευάζεται στο εσωτερικό ενός χρυσού ορθογωνίου ενώνοντας µε εφαπτόµενα εσωτερικά τόξα τα διαδοχικά τετράγωνα που κατασκευάζουµε πάνω στις πλευρές κάθε νέου χρυσού ορθογωνίου που αποµένει. Ξεκινάµε από ένα χρυσό ορθογώνιο ΑΒΓ∆ και κατασκευάζουµε πάνω στις πλευρές του το τετράγωνο ΑΖΕ∆, οπότε αποµένει µέσα στο αρχικό το µικρό, χρυσό επίσης, ορθογώνιο ΖΒΓΕ. Ανάλογα πάνω στις πλευρές του ΖΒΓΕ κατασκευάζουµε το τετράγωνο ΕΗΘΗ, οπότε αποµένει το νέο χρυσό ορθογώνιο ΗΘΒΖ. Πάνω σε αυτό κατασκευάζουµε το τετράγωνο ΒΘΙΚ, οπότε αποµένει το ορθογώνιο ΖΚΙΗ κ.ο.κ. ∆ηµιουργούµε έτσι µια ακολουθία διαρκώς µικρότερων τετραγώνων στα οποία φέρουµε διαδοχικά τα αντίστοιχα εφαπτόµενα εσωτερικά τόξα στις πλευρές τους (µε κέντρο µια αντίστοιχη κορυφή τους και ακτίνα τη πλευρά του τετραγώνου), δηµιουργώντας µε αυτό το τρόπο µια λογαριθµική καµπύλη που ονοµάζεται «χρυσή σπείρα (ή έλικα)», η οποία εφάπτεται εσωτερικά στις πλευρές αυτών των τετραγώνων.

Σχήµα 18

Η λογαριθµική αυτή σπείρα που παράγουν τα περιδινιζόµενα χρυσά ορθογώνια συγκλίνει στο σηµείο τοµής των Β∆ και ΓΖ, των οποίων ο λόγος είναι ο λόγος της χρυσής τοµής Φ. Τα σηµεία πάνω στη χρυσή σπείρα ικανοποιούν την εξίσωση r = Φn και θ= n.π/2 σε πολικές 2θ/π θ 2/π συντεταγµένες και τελικά µε την απαλοιφή του n: r = Φ ή r = M όπου M = Φ Η πραγµατική αυτή σπείρα προσεγγίζεται αρκετά καλά από τη τεχνητή σπείρα που σχηµατίζεται από τα τεταρτοκύκλια που εγγράφονται στα διαδοχικά τετράγωνα, όπως κάναµε προηγουµένως (η πραγµατική όµως σπείρα τέµνει λίγο τις πλευρές των τετραγώνων αντί να εφάπτεται σε αυτές). Πολλαπλές αλληλοσυνδεόµενες σπείρες δηµιουργούν το γνωστό πρότυπο του ηλίανθου:

Σχήµα 19

Η χρυσή τοµή µπορεί να βρεθεί σε όλη την έκταση της φύσης: στα κόκαλα των δακτύλων, στο χέρι και στο πήχη του χεριού, στη θέση του αφαλού κι εκεί που οι άκρες των δακτύλων αγγίζουν το µηρό σε σχέση µε το ύψος του σώµατος ενός ενήλικου ανθρώπου. Επίσης στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού για να επιτευχθεί η µέγιστη δυνατή έκθεσή τους στο ηλιακό φως χωρίς τα αποπάνω φύλλα να σκιάζουν τα αποκάτω και στη σχέση των πετάλων πολλών λουλουδιών µε τη διάµετρο του περικαρπίου τους. Ακόµα στα σπειροειδή πρότυπα των σπόρων σε έναν ηλίανθο, ένα κουκουνάρι, ένα µαρούλι ή µια µαργαρίτα, στα κελύφη µερικών κοχυλιών όπως ο ναυτίλος, σε ένα γαλαξία ή σε ένα σπειροειδές νεφέλωµα. Η παρακάτω γαλαξιακή µορφή παράγεται από ζεύγη χρυσών σπειρών.

Σχήµα 20

Έχει λεχθεί ότι το καβαλιστικό Τίφαρετ είναι ο Χρυσός Μέσος που συνδέει το µακροσκοπικό µε το µικροσκοπικό µέσω της χρυσής σπείρας. Επίσης η ακολουθία Fibonacci, που θα δούµε παρακάτω, έχει παροµοιαστεί µε την ανθρώπινη ψυχή, που αρχίζει τραχέως, αλλά αναπτύσσεται εσωτερικά και συγκλίνει µαζί µε τη χρυσή σπείρα της Φύσης.

Η ΙΕΡΗ ΤΟΜΗ Αυτό το όνοµα επινοήθηκε από το ∆ανό Μηχανικό Tons Brunes στο βιβλίο του Τα Μυστικά και η Χρήση της Αρχαίας Γεωµετρίας (The Secrets of Ancient Geometry and Its Use), στο οποίο υποστήριξε ότι η ιερή τοµή ανευρίσκεται στα σχέδια πολλών αρχαίων κτιρίων, µαζί και του Παρθενώνα.

Σχήµα 21

Η κατασκευή της Ιερής Τοµής γίνεται ως εξής: Κατασκευάζουµε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆, έστω πλευράς 1. Με κέντρο µια κορυφή του τετραγώνου και ακτίνα ίση µε το µισό της διαγωνίου του γράφουµε ένα τόξο που περνά από το κέντρο του και τέµνει σε δυο σηµεία τις προσκείµενες πλευρές του. Τα σηµεία αυτά ακριβώς είναι η θέση της ιερής τοµής (1/ 2 = 2 /2). Επαναλαµβάνουµε το ίδιο και για τις άλλες τρεις κορυφές του τετραγώνου. Μετά φέρουµε τις ευθείες ΕΡ, ΖΠ, ΤΗ και ΣΘ που ενώνουν ανά δυο απέναντι σηµεία τοµής των τόξων µε τις πλευρές του τετραγώνου, σχηµατίζοντας µε αυτό το τρόπο το κεντρικό τετράγωνο ΚΛΜΝ, που είναι και το τετράγωνο της ιερής τοµής. Αν συνδέσουµε τώρα διαδοχικά τα οκτώ σηµεία τοµής των τόξων και των πλευρών του τετραγώνου θα σχηµατιστεί ένα οκτάγωνο. Θεωρώντας τη πλευρά του τετραγώνου ίση µε 1, η διαγώνιός του ∆Β=ΑΓ θα είναι 2 και η ηµιδιαγώνιος και ακτίνα των τόξων 2 /2. Εποµένως θα είναι ΑΕ=ΖΒ=ΒΗ=ΘΓ=ΓΠ=Ρ∆=∆Σ=ΑΤ= 1- 2 /2 και ΕΖ=ΗΘ=ΠΡ=ΣΤ=ΚΛ=ΛΜ=ΜΝ=ΝΡ= 2 /2 (1- 2 /2) = 2 2 /2 - 1 = 2 -1. Επίσης η διαγώνιος ΕΤ του τετραγώνου ΑΕΚΤ θα είναι ίση µε (12 /2) 2 = 2 -1 κι εποµένως ΕΖ=ΕΤ= 2 -1. Άρα το προηγούµενο σχηµατιζόµενο οκτάγωνο είναι κανονικό. Παρατηρούµε ότι µέσω των ιερών τοµών σχηµατίζονται µέσα στο αρχικό τετράγωνο τέσσερα τετράγωνα (Τ) του τύπου του ΑΕΚΤ µε πλευρά 1- 2 /2 = (2- 2 )/2 και λόγο πλευρών 1:1, τέσσερα ορθογώνια (ΤΤΡ) του τύπου του ΕΖ∆Κ µε πλευρές (2- 2 )/2 = 2 ( 2 -1)/2 και 2 -1 και λόγο πλευρών 2 /2=1/ 2 , τα οποία είναι έτσι ορθογώνια τετραγωνικής ρίζας του 2, και το τετράγωνο της ιερής τοµής µε πλευρά 2 -1. Αν θεωρήσουµε και το ορθογώνιο ΑΖΛΤ, αυτό έχει πλευρές (2- 2 )/2 και 2 /2 και λόγο πλευρών (2- 2 ): 2 = 2 ( 2 -1): 2 = 2 -1=1:( 2 +1). Το ορθογώνιο αυτό ονοµάζεται Ρωµαϊκό ορθογώνιο (ΡΟ). Παρατηρούµε ότι το Ρωµαϊκό Ορθογώνιο (ΡΟ) είναι ίσο µε το άθροισµα ενός τετραγώνου (Τ) κι ενός τετραγώνου τετραγωνικής ρίζας του 2, (ΤΤΡ), δηλαδή: (ΡΟ)= (Τ)+(ΤΤΡ). Μπορούµε να δείξουµε ότι και µε την αφαίρεση (ΤΤΡ) - (Τ) δηµιουργείται πάλι ένα Ρωµαϊκό ορθογώνιο. Πράγµατι η µία πλευρά αυτού του ορθογωνίου θα είναι ΕΖ-ΑΕ= ( 2 -1)- 2 ( 2 -1)/2 = ( 2 -1)(1- 2 /2) και η άλλη 1- 2 /2, οπότε ο λόγος τους θα είναι 2 1=1 / ( 2 +1). Εποµένως είναι πράγµατι (ΡΟ)=(ΤΤΡ) - (Τ). Αν είναι Ι το µέσο της ΑΒ, τότε η (καταχρηστικά) «ηµιδιαγώνιος» ∆Ι θα ισούται µε 1 + 1/4 = 5 /2 και οι τέσσερες σχηµατιζόµενες µε αυτό το τρόπο «ηµιδιαγώνιοι» θα έχουν συνολικό µήκος 2 5 ≈ 4,47. Τα τέσσερα τώρα προηγούµενα τόξα έχουν συνολικό µήκος όσο ο περιγεγραµµένος κύκλος του τετραγώνου: 2π. 2 /2=π 2 ≈ 4,44. ∆ηλαδή η κατασκευή της ιερής τοµής «τετραγωνίζει» προσεγγιστικά το περιγεγραµµένο κύκλο κατά περίµετρο ίση µε το άθροισµα των τεσσάρων «ηµιδιαγωνίων» του τετραγώνου ή το τετραπλάσιο µιας εξ’ αυτών. Αυτός είναι ένας από τους λόγους που ο Brunes ονόµασε αυτή τη κατασκευή «ιερή». Οι άλλοι λόγοι είναι ότι αυτή περιλαµβάνει το τετράγωνο και το κύκλο, ενώνοντας έτσι το γήινο και το θείο, όπως στον άνθρωπο του Βιτρούβιου, που θα δούµε αργότερα, και ότι η κατασκευή δίνει το κανονικό οκτάγωνο, που είναι το σχήµα που χρησιµοποιείται στη Χριστιανοσύνη για τα βαπτιστήρια και τις κολυµβήθρες.

Η κατασκευή µπορεί να επεκταθεί προς τα µέσα, επαναλαµβάνοντάς τη στο τετράγωνο της ιερής τοµής, ή προς τα έξω, συνδέοντας τα σηµεία τοµής των πλήρων κύκλων µε τις διαγωνίους του αρχικού τετραγώνου, οπότε σχηµατίζεται ένα νέο τετράγωνο του οποίου το τετράγωνο ιερής τοµής είναι το αρχικό τετράγωνο.

ΕΠΙΣΤΡΩΣΕΙΣ Η επίστρωση ενός επιπέδου µε κανονικά πολύγωνα, χωρίς να αφήνονται µεταξύ τους κενά, µπορεί να γίνει µόνο µε τρίγωνα, τετράγωνα και εξάγωνα.

Σχήµα 22

Το εξάγωνο είναι ένα ευνοούµενο σχήµα για πλακοστρώσεις, όπως στα παρακάτω Ισλαµικά σχέδια, που δεν είναι όµως κανονικές επιστρώσεις γιατί χρησιµοποιούν περισσότερα από ένα σχήµατα.

Σχήµα 23

Το εξάγωνο χρησιµοποιείται µερικές φορές για να δηµιουργήσει τη ψευδαίσθηση ενός κύβου συνδέοντας κορυφή παρά κορυφή µε το κέντρο, σχηµατίζοντας έτσι τρεις ρόµβους και χρωµατίζοντας το καθένα διαφορετικά. Η τεχνική αυτή έχει χρησιµοποιηθεί σε πλακόστρωτα της Ποµπηίας.

Σχήµα 24 ΕΠΙΣΤΡΩΣΕΙΣ PENROSE Ο Βρετανός φυσικός και µαθηµατικός Roger Penrose έχει επινοήσει µερικές επιστρώσεις, που θεωρούντο προηγουµένως αδύνατες, οι οποίες εµφανίζουν πενταγωνική συµµετρία, χωρίς εντούτοις να επαναλαµβάνεται το πρότυπο και ονοµάζονται γι’ αυτό απεριοδικές. Μια τέτοια απεριοδική επίστρωση εµπεριέχει τη χρυσή τοµή και αποτελείται από δυο ρόµβους µε ίσες πλευρές, ένα µε γωνίες 36ο και 144ο, ο οποίος είναι δυο χρυσά τρίγωνα ενωµένα στη βάση τους, κι ένα µε γωνίες 72ο και 108ο. Ο Penrose απέδειξε πώς αν ακολουθηθούν ορισµένοι κανόνες «συνταιριάσµατος», τότε κάθε επίστρωση µε αυτούς τους ρόµβους µπορεί να είναι περιοδική. Οι επιστρώσεις Penrose έχουν την ιδιότητα της αντικατάστασης, τα σχέδια δηλαδή σε µια επίστρωση µπορούν να οµαδοποιηθούν σε µεγαλύτερες επιστρώσεις και το σύνολο των µεγαλύτερων «πλακών» είναι πάλι µια επίστρωση Penrose. Στο Wadham College του Πανεπιστηµίου της Οξφόρδης έχει επιστρωθεί ένα πάτωµα µε τους ρόµβους του Penrose.

Σχήµα 25

Σχήµα 26

Εάν προσπαθήσουµε να επιστρώσουµε ένα επίπεδο µε ρόµβους Penrose, που είναι όλοι ενός χρώµατος, είναι πολύ εύκολο να ανακαλύψουµε πώς να τους συνταιριάξουµε. Στη πραγµατικότητα υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι. Όταν προσθέσουµε όµως χρώµατα και βάλουµε τους ρόµβους έτσι ώστε να ταιριάζουν τα χρώµατα κατά µήκος των ακµών τους, τότε είναι πολύ πιο δύσκολο να επιστρώσουµε το επίπεδο.

Εκτός από την ασυνήθιστη συµµετρία τους, οι επιστρώσεις Penrose αποκαλύπτουν επίσης ένα πρότυπο επικαλυπτόµενων δεκαγώνων. Κάθε «πλάκα» µέσα στο πρότυπο περιλαµβάνεται µέσα σε ένα από δύο τύπους δεκαγώνων και ο λόγος τρων πληθυσµών των δεκαγώνων είναι βέβαια ο λόγος της Χρυσής Τοµής. Στο παρακάτω σχέδιο τονίζονται οι δυο τύποι δεκαγώνων.

Σχήµα 27

Το 1981 ο N.G. deBruijn απέδειξε ότι οι επιστρώσεις Penrose µπορούν να ιδωθούν σα η προβολή ενός σχετικά απλού αντικείµενου στον πενταδιάστατο χώρο. Με αυτό το τρόπο µπορούν να παραχθούν σχετικά εύκολα µε το πρόγραµµα ενός υπολογιστή. Από τότε που ο Penrose ανέπτυξε την πρώτη του επίστρωση, άλλοι επιστήµονες µαζί και αυτός συνεχίζουν να επινοούν νέες απεριοδικές επιστρώσεις. Το Φεβρουαρίου του 1992 οι Peter W. Stephens και Alan I. Goldman ανέφεραν σε ένα άρθρο τους στο επιστηµονικό περιοδικό Scientific American ότι οι ηµικρύσταλλοι, κράµατα που σχηµατίζονται µε σύντηξη αλουµινίου, χαλκού και σίδηρου, αποκάλυψαν πολλές φορές την ίδια συµµετρία µε τις επιστρώσεις Penrose.

ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΥ Αυτή η απεριοδική αντικατάσταση της επίστρωσης µε ισόπλευρα και ισοσκελή τρίγωνα σχηµατίζει φράκταλ λαβύρινθους που γεµίζουν το χώρο.

Σχήµα 28

ΕΠΙΣΤΡΩΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ

Αφού είδαµε την επίστρωση ενός επιπέδου µε ρόµβους Penrose, εξετάζουµε αν υπάρχει µια ανάλογη δυνατότητα και για την επίστρωση ενός χώρου. Από τα κανονικά πολύεδρα µόνο ο κύβος, το τετράεδρο και το οκτάεδρο µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να γεµίσουν ένα χώρο χωρίς κενά. Το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν, όπως δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο επίπεδο το πεντάγωνο που παρουσιάζει ανάλογη συµµετρία µε αυτά. Τα ανάλογα στερεά που χρησιµοποιούνται για την επίστρωση ενός χώρου είναι δυο ροµβόεδρα (σα γερµένοι κύβοι), µε έδρες χρυσούς ρόµβους, διαφορετικούς από τους ρόµβους Penrose. Οι διαγώνιοι αυτών των ρόµβων έχουν λόγο Φ κι εποµένως οι εφαπτόµενες των ηµιγωνιών τους θα είναι ίσες αντίστοιχα µε Φ και φ = 1/Φ. Οι γωνίες των ρόµβων αυτών θα είναι εποµένως αντίστοιχα 116,565ο... και 63,435ο.., διαφορετικές από τις γωνίες των ρόµβων Penrose. Το πρώτο από τα δυο ροµβόεδρα κατασκευάζεται συνδέοντας τρεις χρυσούς ρόµβους στις µικρότερες γωνίες τους και το δεύτερο συνδέοντάς τους στις µεγαλύτερες γωνίες του. Με τα δυο αυτά ροµβόεδρα µπορούµε να γεµίσουµε ένα χώρο όσο µεγάλο θέλουµε, µόνο που θα πρέπει κατά το συνταίριασµά τους να περιστρέψουµε µερικά από αυτά για να ταιριάξουν µε τα άλλα. Τα στερεά αυτά εµφανίζονται επίσης στη φύση, αν και ανακαλύφθηκαν µόνο κατά τη δεκαετία του 1950. Επειδή δεν είναι τόσο συµµετρικά όσο οι κρύσταλλοι, ονοµάζονται ηµικρύσταλλοι. Οι κρύσταλλοι, οι πιο συµµετρικές δοµές (µε ταυτόσηµο προσανατολισµό για όλες τις δοµικές µονάδες) συναντώνται π.χ. στη ζάχαρη, στο αλάτι, στα διαµάντια και στους χαλαζίες. Οι ηµικρύσταλλοι είναι σε µια νέα κατάσταση ύλης που έχει µερικές από τις ιδιότητες των κρυστάλλων και µερικές των άµορφων υλικών (όπως το γυαλί). Το 1984 η θεωρούµενη προηγουµένως «αδύνατη» πενταγωνική συµµετρία παρατηρήθηκε σε ένα κράµα αλουµινίουµαγγανίου (Al6Mn), οπότε κι επινοήθηκε γι’ αυτό ο όρος ηµικρύσταλλος.

Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI ΤΑ ΚΟΥΝΕΛΙΑ ΤΟΥ FIBONACCI Ο Ιταλός µαθηµατικός Fibonacci, ή πληρέστερα ο Leonardo Pisano, δηλαδή ο Λεονάρδο της Πίζας, από το όνοµα της πόλης που γεννήθηκε (1175 µ.χ.), έχει θεωρηθεί από µερικούς σαν ο µεγαλύτερος µαθηµατικός του µεσαίωνα. Μεγάλωσε βασικά στη βόρεια Αφρική όπου γνώρισε το Ινδο-Αραβικό σύστηµα αριθµήσεως, του οποίου αναγνώρισε αµέσως την αξία. Με το βιβλίο του Liber Αbbaci (Βιβλίο Υπολογισµών) εισήγαγε στην Ευρώπη το δεκαδικό σύστηµα µε τα δέκα Αραβικά ψηφία, πείθοντας τους µαθηµατικούς της εποχής του να το υιοθετήσουν. Στο βιβλίο αυτό περιέγραψε τους κανόνες των βασικών αριθµητικών πράξεων που µαθαίνουµε και σήµερα στη στοιχειώδη εκπαίδευση και παρέθεσε πολλές επεξηγηµατικές ασκήσεις και προβλήµατα για την εµπέδωση του συστήµατος. Ένα από τα προβλήµατα που παρουσίασε σε αυτό ήταν και το παρακάτω: Υποθέστε ότι βάζουµε σε ένα χωράφι ένα ζευγάρι κουνελιών, τα οποία χρειάζονται έναν ακριβώς

µήνα για να ωριµάσουν και µετά απ’ αυτό γεννούν κάθε µήνα ένα νέο ζευγάρι κουνελιών. Πόσα ζευγάρια θα υπάρχουν στο χωράφι σε ένα χρόνο; Στο τέλος του πρώτου µήνα θα υπάρχει 1 µόνο ζευγάρι, το αρχικό, το οποίο έχει τότε ωριµάσει και µπορεί µετά από ένα µήνα να γεννήσει. Στο τέλος του δεύτερου µήνα το πρώτο ζευγάρι γεννάει ένα νέο ζευγάρι, (2ο ζευγάρι) και έτσι υπάρχουν τώρα στο χωράφι 2 ζευγάρια κουνελιών. Στο τέλος του τρίτου µήνα, το πρώτο ζευγάρι γεννάει ένα ακόµα ζευγάρι κουνελιών (3ο ζευγάρι), ενώ το δεύτερο ζευγάρι απλώς ωριµάζει. Έτσι θα υπάρχουν στο χωράφι 3 τώρα ζευγάρια. Στο τέλος του τέταρτου µήνα, το πρώτο ζευγάρι γεννάει ένα ακόµα ζευγάρι (4ο ζευγάρι), το ίδιο και το δεύτερο ζευγάρι (5ο ζευγάρι), ενώ το τρίτο ζευγάρι απλώς ωριµάζει. Έτσι θα υπάρχουν τώρα συνολικά στο χωράφι 5 ζευγάρια κουνελιών. Στο πέµπτο µήνα το πρώτο ζευγάρι γεννάει ένα ακόµα ζευγάρι (6ο ζευγάρι), το ίδιο και το δεύτερο και το τρίτο ζευγάρι (7ο και 8ο ζευγάρι). Έτσι θα υπάρχουν τώρα στο χωράφι 8 συνολικά ζευγάρια κουνελιών κ.ο.κ. Ας δούµε όµως πώς σχηµατίζονται οι διαδοχικοί όροι αυτής της ακολουθίας 1,2,3,5,8,...του αριθµού των ζευγαριών που υπάρχουν στο τέλος κάθε µήνα, έτσι ώστε να µπορούµε να προβλέψουµε χωρίς πολύπλοκους συλλογισµούς κάθε φορά τον επόµενο και χωρίς να κάνουµε λάθος στους υπολογισµούς µας. Έστω α, β, γ τρεις διαδοχικοί όροι αυτής της ακολουθίας, που παριστάνουν τον αριθµό των ζευγαριών που υπάρχουν στο τέλος αντίστοιχα του ν-στου, του (ν+1)στού και του (ν+2)στού µήνα. Τα α ζευγάρια θα γεννήσουν όλα το µεθεπόµενο (ν+2)στό µήνα, είτε γεννήθηκαν το ν-στό µήνα είτε κάποιον άλλο προηγούµενο απ’ αυτόν. Αντίθετα, κανένα ζευγάρι που γεννήθηκε το (ν+1)στό µήνα δε θα γεννήσει τον επόµενο (ν+2)στό µήνα. Εποµένως τα ζευγάρια που θα υπάρχουν συνολικά το (ν+2)στό µήνα θα είναι όσα υπήρχαν το προηγούµενο µήνα συν αυτά που θα γεννηθούν τότε. Με άλλα λόγια θα είναι γ=α+β ή F(ν+2)= F(ν+1) + F(ν), δηλαδή κάθε όρος αυτής της ακολουθίας αριθµών θα προκύπτει από το άθροισµα των δυο προηγούµενων όρων της. Ξεκινώντας λοιπόν από τους δύο πρώτους όρους της F(1)=1 και F(2)=1, θα µπορούµε να υπολογίσουµε όλους τους υπόλοιπους. Στα προηγούµενα συµπεράσµατα µπορούµε να καταλήξουµε και όταν φτιάξουµε για ευκολία µας ένα δενδροειδές διάγραµµα για να παρακολουθήσουµε από κοντά την εξέλιξη του αριθµού των ζευγαριών κάθε µήνα. Μια τέτοια ακολουθία στην οποία κάθε όρος εξαρτάται από προηγούµενους όρους λέγεται στα µαθηµατικά αναδροµική ακολουθία. Η προηγούµενη ακολουθία είναι η απλούστερη µορφή µιας αναδροµικής ακολουθίας δευτέρας τάξεως (δευτέρας γιατί κάθε όρος της εξαρτάται - είναι γραµµικός συνδυασµός τους - από τους δύο προηγούµενους όρους της). Οι όροι της θα είναι έτσι σύµφωνα µε τον προηγούµενο νόµο: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.... Μια και ο 12ος όρος της είναι ο 144, αυτός θα είναι και η απάντηση για το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών που θα υπάρχουν στο χωράφι στο τέλος του πρώτου χρόνου. Οι όροι της προηγούµενης ακολουθίας ονοµάστηκαν αργότερα από το Γάλλο µαθηµατικό Edouard Lucas (1842-1891) αριθµοί Fibonacci και από αυτούς πήρε και το όνοµά της η ακολουθία. Μπορεί το προηγούµενο πρόβληµα που γεννάει τους αριθµούς Fibonacci να µη φαίνεται τόσο ρεαλιστικό (αφού πρέπει να ισχύουν διάφορες εξωπραγµατικές υποθέσεις, όπως για παράδειγµα κάθε κουνέλι να γεννάει κάθε µήνα ένα ακριβώς ζευγάρι ενός θηλυκού και ενός αρσενικού κουνελιού) ή ακόµα και ηθικές (αφού επιτρέπει την αιµοµειξία), αλλά µπορεί να βελτιωθεί αρκετά στη παρουσίασή του. Τη πρώτη βελτίωσή του την έκανε ο Άγγλος γριφολόγος Henry E Dudeney (1857-1930) που παρουσίασε το ίδιο πρόβληµα σε ένα βιβλίο του µε γρίφους, αλλά χρησιµοποίησε αγελάδες αντί για κουνέλια, οι οποίες µπορούν να ζευγαρώνουν µε διάφορους

ξένους ταύρους κάθε χρόνο. Εδώ µας ενδιαφέρει µόνον ο αριθµός των αγελάδων που θα υπάρχουν µετά από 12 χρόνια, όταν είναι γνωστό ότι κάθε µία γεννάει το πρώτο θηλυκό µοσχαράκι της σε ηλικία 2 ετών και µετά από αυτό γεννάει ένα άλλο θηλυκό µοσχαράκι κάθε χρόνο και µε την προϋπόθεση ότι δε πεθαίνει κανένα από αυτά. Ένα τελείως ρεαλιστικό όµως παράδειγµα είναι µε µέλισσες και τους προγόνους τους. Το βασικό παράξενο, αλλά πραγµατικό στοιχείο εδώ είναι ότι δεν έχουν όλες οι µέλισσες δυο γονείς: Σε µια αποικία µελισσών υπάρχει µια ειδική θηλυκή µέλισσα, η βασίλισσα, που είναι η µόνη που γεννά αυγά. Οι υπόλοιπες είναι οι θηλυκές εργάτριες µέλισσες που δε γεννούν οι ίδιες αυγά και γεννιούνται από τα γονιµοποιηµένα αυγά της βασίλισσας, όταν δηλαδή αυτή ζευγαρώσει µε µια αρσενική µέλισσα. Εποµένως οι εργάτριες έχουν δυο γονείς. Μετά υπάρχουν οι αρσενικές µέλισσες, οι κηφήνες, που παράγονται από τα µη γονιµοποιηµένα αυγά της βασίλισσας κι έχουν εποµένως ένα µόνο γονέα (µόνο µητέρα και όχι πατέρα). Βασικά µας ενδιαφέρει το γενεαλογικό δένδρο ενός αρσενικού κηφήνα. Αυτός έχει 1 γονέα, µια θηλυκιά µέλισσα. Έχει 2 προγόνους δεύτερης γενεάς, εφόσον η µητέρα του είχε δυο γονείς, µία αρσενική και µία θηλυκή µέλισσα. 3 προγόνους τρίτης γενεάς, εφόσον η γιαγιά του είχε δυο γονείς, αλλά ο παππούς του µόνον ένα. 5 προγόνους τετάρτης γενεάς, 8 πέµπτης γενεάς κ.ο.κ. Βλέπουµε δηλαδή να σχηµατίζονται πάλι οι αριθµοί 1,2,3,5,8,13,21,....Ένα δενδροειδές διάγραµµα θα έκανε πιο εύκολους τους υπολογισµούς µας. Ας σηµειωθεί ότι το γενεαλογικό δένδρο για δυο γονείς κάθε προγόνου, όπως συµβαίνει στα υπόλοιπα ζώα και στους ανθρώπους, ακολουθεί µια διαφορετική ακολουθία, αφού σε κάθε προηγούµενη γενιά ο αριθµός των προγόνων διπλασιάζεται ακολουθώντας προφανώς µια γεωµετρική πρόοδο µε λόγο 2: 1,2,4,8,16,32, ...Έτσι όσο περισσότερο προχωράµε προς τα πίσω τόσους περισσότερους προγόνους µας ανακαλύπτουµε. Π.χ. την 50η προς τα πίσω γενεά (ας πούµε περίπου πριν από 1500 χρόνια) είχαµε περίπου ένα πεντάκις εκατοµµύρια προγόνους! ένα τροµερό αριθµό, πολύ περισσότερους από όλους τους ανθρώπους σήµερα πάνω στη γη. Τι συµβαίνει άραγε µήπως ο πληθυσµός της γης όσο πάει και µικραίνει ή µήπως δε ζούσαν ταυτόχρονα όλοι αυτοί οι πρόγονοί µας, γιατί οι περισσότεροι από αυτούς αποδεκατίζονταν από πολέµους και αρρώστιες, µε αποτέλεσµα σε µια συγκεκριµένη στιγµή να υπάρχει σε µια γενεά ένας περιορισµένος µόνο αριθµός από αυτούς; Ένα ακόµα πρόβληµα είναι ότι τα ζευγάρια δεν γεννούν πάντα στην ίδια ηλικία παιδιά και οι ηλικίες των γονέων διαφέρουν µεταξύ τους µε αποτέλεσµα αυτή η διαφορά ηλικιών να αυξάνεται διαρκώς µεταξύ ενός προπάππου από το πατέρα και µιας προγιαγιάς από τη µητέρα (ή και προπάππου από τη µητέρα), µε αποτέλεσµα µερικοί προ...παππούδες και προ..γιαγιάδες παρόλο που ανήκουν θεωρητικά στην ίδια γενιά να βρεθούν στη πραγµατικότητα σε διαφορετικές πρακτικά γενιές, αφού η διαφορά της ηλικίας τους θα υπερβαίνει το πρακτικά τιθέµενο όριο για την ηλικία κάθε γενιάς ή ακόµα και την διάρκεια ζωής του ανθρώπου! Από την άλλη µεριά αν πάρουµε τα οικογενειακά δένδρα και άλλων ανθρώπων, τότε θα πρέπει να δεχθούµε τροµερές αλληλοεπικαλύψεις τους, αν δε θέλουµε να αναχθούµε σε παράλογους πληθυσµούς ανθρώπων σε µια δεδοµένη παρελθούσα εποχή της ανθρωπότητας. Με λίγα έτσι µαθηµατικά µπορούµε να αποδείξουµε έµµεσα ότι οι περισσότεροι άνθρωποι στο κόσµο είµαστε αν όχι πραγµατικά «αδέλφια», τουλάχιστον σίγουρα συγγενείς µεταξύ µας µέσω των επικαλυπτόµενων συγγενολογικά προγόνων µας.

ΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΚΑΙ Η ΣΠΕΙΡΑ FIBONACCI

Σχήµα 1

Σχήµα 2

Η ακολουθία Fibonacci µπορεί να δηµιουργηθεί γεωµετρικά µε µια αντίστροφη διαδικασία από αυτή που χρησιµοποιήσαµε για να σχηµατίσουµε µια χρυσή σπείρα ξεκινώντας από ένα χρυσό ορθογώνιο. Αρχίζουµε τώρα µε ένα τετράγωνο και προσθέτουµε ένα παρόµοιο τετράγωνο για να σχηµατίσουµε ένα νέο ορθογώνιο. Συνεχίζουµε να προσθέτουµε τετράγωνα των οποίων οι πλευρές να έχουν το µήκος της µεγαλύτερης πλευράς του ορθογωνίου (δηλαδή κάθε νέο τετράγωνο να έχει πλευρά ίση µε το άθροισµα των πλευρών των δυο προηγούµενων από αυτό τετραγώνων). Η µεγαλύτερη αυτή πλευρά θα είναι πάντα ένας διαδοχικός αριθµός Fibonacci. Τα σχηµατιζόµενα µε αυτό το τρόπο διαδοχικά µεγαλύτερα ορθογώνια λέγονται ορθογώνια Fibonacci και θα πλησιάζουν συνεχώς να γίνουν ένα χρυσό ορθογώνιο. Αν ενώσουµε µε τεταρτοκύκλια εσωτερικά αυτά τα τετράγωνα, όπως κάναµε και µε τη χρυσή σπείρα, θα πάρουµε αντίστοιχα τη σπείρα Fibonacci. Μια παρόµοια καµπύλη µε αυτή συµβαίνει στο κέλυφος ενός µικρού σαλίγκαρου ή µερικών κοχυλιών της θάλασσας. Ενώ η σπείρα των ορθογωνίων Fibonacci αυξάνει περίπου κατά ένα παράγοντα του Φ κάθε τέταρτο της στροφής (και απέχει αντίστοιχα Φ φορές περισσότερο από το κέντρο), στη σπείρα του ναυτίλου αυτό συµβαίνει κάθε µία πλήρη στροφή. Τα σπειροειδή αυτά σχήµατα ονοµάζονται ισογώνιες ή λογαριθµικές έλικες.

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ FIBONACCI Επανερχόµαστε στα προηγούµενα ορθογώνια Fibonacci που µας βοήθησαν να κατασκευάσουµε τη σπείρα Fibonacci. Καθένα από αυτά είναι ένα παζλ, το οποίο αποτελείται από όλα τα προηγούµενα τετράγωνα. Εκφράζουµε το εµβαδόν κάθε ορθογωνίου σαν το άθροισµα των επιφανειών των τετραγώνων που το αποτελούν:

Σχήµα 3 Από το σχήµα έχουµε ότι 12+12 +22+32 +52+82 +132=13.21 και επίσης από τα µικρότερα ορθογώνια έχουµε: 12+12=1.2, 12+12+22=2.3, 12+12+22+32=3.5, 12+12+22+32 +52=5.8 και 12+12+22+32+52+82=8.13 Γενικότερα αποδεικνύεται ότι: 12+12+22+32+ ...+ F(ν)2 = F(ν)F(ν+1) για κάθε ν≥1

ΟΙ ΛΟΓΟΙ FIBONACCI Θεωρούµε την ακολουθία Fibonacci που ορίζεται από τις αρχικές συνθήκες F(1)=1, F(2)=1 και την αναδροµική σχέση F(ν)= F(ν-1)+F(ν-2), όπου ν φυσικός αριθµός µεγαλύτερος ή ίσος του 3. Από την ακολουθία αυτή για ν=1,2,3,... παίρνουµε τους αριθµούς Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21... Από αυτούς σχηµατίζουµε το λόγο κάθε αριθµού προς το προηγούµενό του (αρχίζοντας από το δεύτερο) και παίρνουµε έτσι την ακολουθία: λ1 = 1/1 = 1, λ2 = 2/1 = 2, λ3 = 3/2 = 1,5, λ4 = 5/3 =1,67, λ5 =8/5=1,6, λ6 = 13/8 = 1,625, λ7 = 21/13 = 1,615,..., λ15=1,6180328,... Παρατηρούµε ότι οι λόγοι αυτοί πλησιάζουν συνεχώς το χρυσό λόγο Φ≈1,6180339 και µπορούν έτσι να θεωρηθούν σαν κλασµατικές προσεγγίσεις του. Το όριο της προηγούµενης ακολουθίας όταν το ν τείνει στο άπειρο είναι εποµένως ο χρυσός αριθµός Φ, αποδεικνύοντας έτσι ότι υπάρχει µια στενή σχέση ανάµεσα στην ακολουθία Fibonacci και σε αυτόν

Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΕΠΟΜΕΝΟ ΟΡΟΥ Έστω ότι ξέρουµε ένα όρο στη σειρά Fibonacci και θέλουµε να ξέρουµε τον αµέσως επόµενο όρο. Ο παρακάτω τύπος µας δίνει τον επόµενο όρο Fibonacci: F(ν+1)= [{1+F(ν)+F(ν) 5 } / 2] όπου η πρώτη αγκύλη στο δεύτερο µέρος σηµαίνει το ακέραιο µέρος του αριθµού (της αλγεβρικής παράστασης) που είναι µέσα σε αυτή. Ένας άλλος απλούστερος τύπος είναι ο F(ν+1) = [Φ.F(ν)], όπου ν>1 µε την αγκύλη να σηµαίνει πάλι το ακέραιο µέρος του αριθµού που είναι µέσα σε αυτή. Π.χ. γνωρίζοντας ότι F(4) = 3, θα έχουµε ότι F(5) = [3Φ] = [3.1,618...) = [4,854...] = 5.

ΦΙΜΠΟΝΑΚΕΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ονοµάζουµε σα Φιµπονάκειο πίνακα Q το τετραγωνικό πίνακα δευτέρας τάξεως Q =  1 1  µε 1 0 



F F ορίζουσα ίση µε -1. Η βασική ιδιότητα αυτού του πίνακα είναι ότι Q =  Fν +1 F ν  , δηλαδή η νν −1   ν

ν

στή του δύναµη εκφράζεται µε αριθµούς Fibonacci. Αποδεικνύεται εύκολα ότι η ορίζουσα του πίνακα Qν είναι ίση µε Q ν = Fν-1 Fν+1 - F2ν.= (-1)ν. Η τελευταία είναι µια πολύ σηµαντική σχέση που συνδέει τρεις διαδοχικούς αριθµούς Fibonacci. Ο προηγούµενος πίνακας γενικεύεται και για πίνακες µεγαλύτερης τάξεως η δύναµη των οποίων συνδέεται επίσης µε τους αριθµούς Fibonacci.

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Σχέσεις ανάµεσα σε δυνάµεις των αριθµών Φ, φ και των αριθµών Fibonacci που ισχύουν για όλες τις ακέραιες τιµές του ν (θετικές, αρνητικές ή µηδέν): Φν = φ-ν = F(ν-1) + Φ.F(ν) = F(ν+1) + φ.F(ν) φν = Φ-ν = (-1)ν {F(ν+1) - Φ.F(ν)} = (-1)νF(ν-1) - φ.F(ν) (-φ)ν = (-Φ)-ν = F(ν+1) - Φ.F(ν) = F(ν-1) - φ.F(ν) Φν = {L(ν)+F(ν) 5 } / 2, (-φ)ν = {L(ν) - F(ν) 5 } / 2 όπου L(ν) είναι ο νστός αριθµός Lucas που ορίζεται από τη σχέση L(ν) = F(ν+1) + F(ν-1). Οι τύποι αυτοί ισχύουν και για αρνητικά ν, εφόσον επεκτείνουµε την ακολουθία Fibonacci προς τα πίσω: ..,-8, 5,- 3, 2,- 1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...όπου συνεχίζουµε να έχουµε την ιδιότητα F(ν) = F(ν-1) + F(ν-2), η οποία τώρα ισχύει για όλες τις τιµές του ν, θετικές, αρνητικές και µηδέν. Μια άλλη ιδιότητα της επεκτεταµένης αυτής σειράς Fibonacci είναι ότι: F(-ν) = - F(ν) για ν άρτιο και F(-ν) = F(ν) για ν περιττό.

Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ BINET Ο τύπος αυτός δίνει κατευθείαν το νστό αριθµό Fibonacci σα συνάρτηση µόνο του ν, χωρίς να χρειάζεται να υπολογιστούν προηγουµένως όλοι οι προηγούµενοι ν-1 όροι. Ο τύπος αυτός χρησιµοποιεί τους χρυσούς αριθµούς Φ και φ = 1/Φ:

F(ν)= {Φν- (-Φ)-ν} / 5 = {Φν-(-φ)ν} / 5 = {Φν - (-1)ν / Φν} / 5 επίσης F(ν) = { { 1+ 5 ) / 2}ν - {(1- 5 ) / 2}ν } / 5 Ο τύπος αυτός, παρόλο που περιλαµβάνει τετραγωνικές ρίζες, δίνει πάντα έναν ακέραιο αριθµό για όλες τις ακέραιες τιµές του ν. Εφόσον το φ είναι µικρότερο από 1, οι δυνάµεις του µειώνονται γρήγορα τείνουσες στο µηδέν. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αυτό το γεγονός για να πάρουµε τον επόµενο απλούστερο τύπο: F(ν)= [Φν / 5 ], όπου η αγκύλη σηµαίνει το ακέραιο µέρος, δηλαδή τη στρογγυλοποίηση του αριθµού που υπάρχει µέσα της στον πλησιέστερο ακέραιο. Καθώς το ν αυξάνει, η τιµή του Φν / 5 είναι ένας σχεδόν ακέραιος αριθµός. Αν θεωρήσουµε ότι η ακολουθία Fibonacci F(ν) επεκτείνεται προς τα πίσω και για αρνητικά ν, τότε ο τύπος του Binet ισχύει και για αρνητικούς ακεραίους ν και µπορεί να γενικευθεί ακόµα και για µιγαδικούς αριθµούς ν = χ+iψ. Σε αυτή τη περίπτωση οι µιγαδικοί αριθµοί F(ν), F(ν-1) και F(ν-2) µπορούν να θεωρηθούν σα διανύσµατα, οπότε ο τύπος F(ν) = F(ν-1)+F(ν-2) γίνεται µια διανυσµατική εξίσωση που δείχνει ότι το διάνυσµα F(ν) είναι το διανυσµατικό άθροισµα των διανυσµάτων F(ν-1) και F(ν-2). Αν για δυο θετικούς ακεραίους (φυσικούς) αριθµούς α και β ο α διαιρεί το β, τότε και ο F(α) διαιρεί το F(β). Π.χ. εάν είναι α = 5 και β = 10, τότε θα είναι F(α) = 5 και F(β) = 55. Ισχύει και το αντίστροφο δηλαδή εάν το F(α) διαιρεί το F(β), τότε και το α διαιρεί το β. Αυτό σηµαίνει µαθηµατικά ότι το F(νk) είναι πολλαπλάσιο του F(k) για όλες τις τιµές του ν και k = 1,2,... Αυτό σηµαίνει ότι εάν ο δείκτης της ακολουθίας (η τάξη του όρου της) είναι ένας σύνθετος αριθµός, τότε το ίδιο είναι και ο αντίστοιχος αριθµός Fibonacci (µε µόνη εξαίρεση το F(4)=3). Έτσι κάθε πρώτος αριθµός Fibonacci πρέπει να έχει σα δείκτη ένα πρώτο αριθµό. Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει, δηλαδή εάν ένας δείκτης είναι πρώτος αριθµός, αυτό δε σηµαίνει αναγκαστικά ότι το ίδιο θα είναι και ο αριθµός Fibonacci. Π.χ. το 19 είναι πρώτος αριθµός, αλλά το F(19) = 4181=113.37 (κι εποµένως σύνθετος αριθµός). Οι αριθµοί Fibonacci φαίνονται πιθανότερο να αρχίζουν µε "1" από οποιοδήποτε άλλο αριθµό. Τα επόµενα πιο δηµοφιλές ψηφίο είναι το "2", ενώ το "9" είναι το λιγότερο πιθανό Αυτός ο νόµος ονοµάζεται «Νόµος του Benford' και εµφανίζεται σε πολλούς πίνακες στατιστικής. Μια άλλη ιδιότητα των αριθµών Fibonacci είναι ότι δυο οποιοδήποτε διαδοχικοί αριθµοί στην ακολουθία είναι πρώτοι µεταξύ τους (ο µόνος κοινός διαιρέτης τους είναι η µονάδα). Μια ακόµα ιδιότητα είναι ότι η ακολουθία Fibonacci είναι πλήρης ως προς τους θετικούς ακεραίους, δηλαδή κάθε θετικός ακέραιος µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα πεπερασµένων όρων της ακολουθίας, χωρίς κανένας όρος της να χρησιµοποιηθεί περισσότερο από µια φορά. Π.χ έστω ο ακέραιος 257. Είναι: 257 = 233+21+3 = F(13) + F(8) + F(4) Σηµειώνεται ότι η γραφή αυτή δεν είναι µοναδική εφόσον: 257=233+13+8+2+1= F(13)+F(7)+F(6)+F(3)+F(2). Τέλος ισχύoυν οι σχέσεις: F(ν -1).F(ν + 1) - F2(ν) = (-1)ν , F(ν) - F(ν-5) = 10 F(ν-5) + F(ν-10)

F(ν+κ) = F(ν-1).F(κ) + F(ν).F(κ+1),

F(ν-2)+F(ν+2) = 3 F(ν)

F(n-k)+F(n+k) = L(k)F(n), εάν κ άρτιο και = F(k)L(n), εάν k περιττό.

ΠΡΟΤΥΠΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ FIBONACCI ΠΕΡΙΟ∆ΟΙ ΣΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ FIBONACCI Έχουν παρατηρηθεί τα εξής πρότυπα: • Υπάρχει µια περίοδος στα ψηφία των µονάδων επαναλαµβάνεται από το ν = 60 και ξανά κάθε 60 τιµές.

(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...)

που

• Υπάρχει επίσης µια περίοδος στα δυο τελευταία ψηφία (00, 01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, ...) που επαναλαµβάνονται από το ν = 300 µε µια περίοδο µήκους 300. • Για τα τρία τελευταία ψηφία, η περίοδος είναι 1.500, για τα τέσσερα τελευταία 15.000 και για τα πέντε τελευταία ψηφία είναι 150.000 κ.λ.π.

Η ΣΕΙΡΑ FIBONACCI ΣΑΝ ΕΝΑ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΚΛΑΣΜΑ Ο αριθµός 1/89 είναι ένας πολύ ιδιαίτερος αριθµός. Αναπτυγµένος σε δεκαδική µορφή δίνει τον αριθµό 1/89 = 0,011235955056179..Παρόλο που είναι ένας ρητός αριθµός, η δεκαδική του µορφή ποτέ δεν τελειώνει. Έχει ένα άπειρο αριθµό δεκαδικών ψηφίων. Παρατηρούµε επίσης ότι τα πρώτα του δεκαδικά ψηφία είναι ίδια µε τους πέντε πρώτους όρους της σειράς Fibonacci. Έχουµε: 0,01 = 1.10-2, 0,001 = 1.10-3, 0,0002 = 2. 10-4, 0,00003 = 3.10-5, 0,000005 = 5. 10-6 και αν συνεχίσουµε µε αυτό το τρόπο: 0,0000008 = 8.10-7, 0,00000013 = 13.10-8, 0,000000021 = 21.10-9, 0,0000000034 = 34.10-10..... και προσθέσουµε στο τέλος όλους αυτούς τους δεκαδικούς αριθµούς, βρίσκουµε 0,011235955056..., δηλαδή τον αριθµό 1/89, ο οποίος κρύβει µέσα του αυτό το πρότυπο των αριθµών Fibonacci, το οποίο αποδεικνύεται ότι ισχύει για όλα τα ψηφία του δεκαδικού αναπτύγµατος του 1/89. Έστω Π(x) το πολυώνυµο του x του οποίου οι συντελεστές είναι οι αριθµοί Fibonacci: Π(x)= 0+1x2+1x3+2x4+3x5+5x6+... ή Π(x)=F(0)x+F(1)x2+F(2)x3+..+F(ν-1)xν + ...

Αποδεικνύεται ότι µπορούµε να γράψουµε αυτό το πολυώνυµο µε τη µορφή του ρητού κλάσµατος: Π(x) = x2 / (1-x-x2) =1 / (x -2-x -1-1) Από το οποίο για x = 1/10 παίρνουµε από την αρχική πολυωνυµική µορφή το δεκαδικό κλάσµα Π(1/10) = 0,011235955... που είδαµε προηγουµένως και από την ισοδύναµη κλασµατική µορφή του Π(1/10) =1 / (100-10-1) = 1/89 αποδεικνύοντας έτσι και αντίστροφα τη προηγούµενη ιδιότητα του 1/89. Από τη κλασµατική έκφραση του Π(x) για x = 1/100, έχουµε: Π(1/100) = 0,00 01 01 02 03 05 08 13 21 34 55 ... = 1 / (10000-100-1) = 1 / 9899. Εποµένως 100 / 9899 = 0,01010203050813213455...στα δεκαδικά ψηφία του οποίου µπορούµε να βρούµε διαδοχικά τους αριθµούς Fibonacci.

ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Ένα Πυθαγόρειο Τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε όλες τις πλευρές του ακεραίους αριθµούς. Έχουµε ήδη εξετάσει το ορθογώνιο τρίγωνο µε κάθετες πλευρές 3 και 4 και υποτείνουσα 5. Παίρνοντας πολλαπλάσια αυτών των αριθµών βρίσκουµε και άλλες τριάδες ακεραίων που να µας δίνουν Πυθαγόρεια τρίγωνα, όπως π.χ. (6,8,10), (9,12,15) και γενικότερα (3k,4k,5k) µε k έναν ακέραιο θετικό αριθµό. Υπάρχουν όµως και άλλες πρωτότυπες τριάδες που δεν είναι πολλαπλάσια του θεµελιώδους Πυθαγόρειου τριγώνου (3,4,5), όπως π.χ. οι (5,12,13), (7,24,25) και (20,21,29). Οποιοδήποτε Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι είτε «πρωτότυπο» ή πολλαπλάσιο ενός πρωτότυπου. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µαθηµατική ταυτότητα: (α2+β2)2 - 4α2β2=(α2-β2)2 ή (α2+β2)2 = (α2-β2)2 +(2αβ)2 για να κατασκευάσουµε ένα Πυθαγόρειο τρίγωνο. Προς το σκοπό ξεκινάµε από δυο τυχαίους ακεραίους α και β µε α>β και υπολογίζουµε σαν α2-β2 τη µία κάθετη πλευρά του, σα 2αβ την άλλη κάθετη πλευρά του και σαν α2+β2 την υποτείνουσά του. π.χ. για α=4, β=2 παίρνουµε τη τριάδα (12,16,20), που είναι πολλαπλάσια της βασικής τριάδας (3,4,5). Για α=5 και β=3 παίρνουµε τη τριάδα (16,30,34), που είναι πολλαπλάσια της πρωτότυπης τριάδας (8,15,17) κ.λ.π. Με αυτό το τρόπο µπορούν να παραχθούν όλα τα Πυθαγόρεια τρίγωνα χρησιµοποιώντας κατάλληλες αρχικές τιµές των α και β. Μπορούµε να δηµιουργήσουµε Πυθαγόρεια τρίγωνα και αν χρησιµοποιήσουµε 4 διαδοχικούς αριθµούς Fibonacci. Έστω για παράδειγµα οι τέσσερες αριθµούς Fibonacci: 1, 2, 3, 5 Βρίσκουµε το διπλάσιο γινόµενο των δυο µεσαίων αριθµών (εδώ του 2 και του 3, που δίνει 2.2.3=12. Αυτή είναι η µία κάθετη πλευρά του Πυθαγόρειου Τρίγωνου,

Πολλαπλασιάζουµε τους δυο ακραίους αριθµούς (εδώ το 1 και το 5, που δίνει 5). Αυτή είναι η δεύτερη κάθετη πλευρά του Πυθαγόρειου τριγώνου. Η υποτείνουσα βρίσκεται προσθέτοντας τα τετράγωνα των δυο µεσαίων αριθµών (εδώ 22=4 και 32=9 και το άθροισµά τους: 4+9=13). Αυτή είναι η τρίτη πλευρά (υποτείνουσα) του Πυθαγορείου τριγώνου. Έχουµε δηµιουργήσει έτσι το Πυθαγόρειο τρίγωνο 5,12,13 Στη πραγµατικότητα αυτή η µέθοδος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για οποιουσδήποτε δύο αριθµούς α και β από τους οποίους υπολογίζουµε τους δυο άλλους µε το κανόνα του Fibonacci: προσθέτοντας δηλαδή τις δυο προηγούµενες τιµές για να πάρουµε την επόµενη: α, β, α+β, α+2β, οπότε µε βάση τη προηγούµενη µέθοδο θα πρέπει να ισχύει η ταυτότητα: {2β(α+β)}2+{α(α+2β)}2={β2+(α+β)2}2, που όντως ισχύει. Τέσσερες τέτοιοι αριθµοί είναι µέρος µιας γενικευµένης ακολουθίας Fibonacci, που ορίζεται µε αρχικές τιµές G(0) = γ, G(1) = δ και γενικό κανόνα ή αναδροµικό τύπο υπολογισµού: G(ν) = α.G(ν-1)+β.G(ν-2), µε α και β ακεραίους. Ας σηµειωθεί ότι για τη «συνηθισµένη» ακολουθία Fibonacci είναι α=β=1 και γ=δ=1. Όλα τα Πυθαγόρεια τρίγωνα µπορούν να παραχθούν και µε αυτό το τρόπο διαλέγοντας κατάλληλους αρχικούς αριθµούς α και β. Το παρακάτω γεωµετρικό σχήµα περιέχει πολλά από αυτά τα τρίγωνα

Σχήµα 04

Το τρίγωνο (3,4,5) περιλαµβάνεται µέσα στο Θάλαµο του Βασιλιά της Πυραµίδας του Χέοπα µαζί µε τα άρρητα ορθογώνια τρίγωνα (2, 5 ,3) και ( 5 , 2 5 ,5). Σηµειώνουµε ακόµη ότι υπάρχουν 5 Πλατωνικά στερεά και 13 στερεά του Αρχιµήδη, που είναι και οι δυο αριθµοί Fibonacci, ενώ οι αριθµοί 5, 12 και 13 σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Η ΧΡΥΣΗ ΧΟΡ∆Η FIBONACCI Γυρίζουµε πίσω στο οικογενειακό δένδρο των κηφήνων που είδαµε στην αρχή του κεφαλαίου µας. Σηµειώνουµε µε Α κάθε αρσενική µέλισσα και µε Θ κάθε θηλυκή. Το γενεαλογικό δένδρο ενός κηφήνα θα δίνει τότε τα εξής αποτελέσµατα:

πρόγονος

Α

Α

1η γενεά

Θ

Θ

2η γενεά

Θ

3η γενεά

Θ

...

Α

ΘΑ

Θ

ΘΑΘ

ΘΑ Θ

ΘΑ

ΘΑΘΘΑ

...

ΘΑΘΘΑ

ΘΑΘ

ΘΑΘΘΑΘΑΘ

...

ΘΑΘΘΑΘΑΘ

ΘΑΘΘΑ

ΘΑΘΘΑΘΑΘΘΑΘΘΑ

Α

Στο τέλος κάθε γενιάς γράφουµε την ακολουθία των Θ και Α χωρίς κενά. Η ακολουθία αυτή έχει µερικές πολύ σηµαντικές ιδιότητες και αν γραφεί µε τα δυαδικά ψηφία 0 και 1, όπου Θ =1 και Α=0 λέγεται Χρυσή Χορδή Fibonacci. Και σε αυτή βέβαια ισχύει ότι κάθε όρος είναι ίσος µε το άθροισµα των δυο προηγούµενων απ’ αυτόν. Η χρυσή χορδή θα είναι λοιπόν η 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 ... Η χρυσή χορδή µπορεί να µεταφραστεί µουσικά και να παιχτεί δίνοντας µια πολύ ενδιαφέρουσα µουσική Fibonacci. Το Φ είναι προσεγγιστικά ίσο µε 1,618. Αν πάρουµε τα διαδοχικά πολλαπλάσια του, αγνοώντας τα δεκαδικά ψηφία τους και κρατώντας µόνο το ακέραιο µέρος των αριθµών και υπολογίσουµε µετά τις διαφορές τους, παίρνουµε µια σειρά αριθµών που µοιάζει πολύ µε τη χρυσή χορδή, µόνο που έχει 2 αντί για 1 και 1 αντί για 0:

Αριθµός:

1

2

3

Πολλαπλάσιο: 9.708203..

1.618034..

3.223606..

Ακέραιο Μέρος:

1

3

∆ιαφορά :

2

4

4.854101..

4 1

5

6.472135..

6 2

6

8.090169..

8 2

9 1

ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ FIBONACCI Το ∆υαδικό Σύστηµα Αριθµήσεως Στο δεκαδικό σύστηµα αριθµήσεως χρησιµοποιούµε τα 10 ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ακολουθώντας τη σύµβαση της θέσεως ενός ψηφίου (του τελευταίου) σα ψηφίο των µονάδων, του προηγούµενου απ’ αυτό σα ψηφίο των δεκάδων, του αντιπροηγούµενου σαν ψηφίο των εκατοντάδων κ.λ.π., καθώς προχωράµε αριστερότερα. Έτσι π.χ. γράφοντας µε αυτά τα ψηφία τον

αριθµό 259 εννοούµε ότι ο αριθµός αυτός έχει 9 µονάδες 5 δεκάδες και 2 εκατοντάδες, δηλαδή ότι είναι ο αριθµός 2.102 + 5.101 + 9.100. Γενικότερα έτσι ένας ακέραιος αριθµός µε ν ψηφία ο (α1α2α3...αν)10, όπου εδώ ο δείκτης 10 δηλώνει ότι δεν πρόκειται για το γινόµενο των ν αριθµών α1,α2,α3,...αν, αλλά για τη παράσταση ενός αριθµού στο δεκαδικό σύστηµα αριθµήσεως, ισούται µε: (α1α2α3...αν-1αν)10= α110ν-1 + α2.10ν-2 + α3.10ν-3 +...+ αν-1.101 + αν100 όπου οι συντελεστές α1, α2 ,α3,...,αν-1, αν είναι οποιοδήποτε από τα ψηφία 0,1,2,3,...,9. Ανάλογα θα µπορούσαµε να ορίσουµε την παράσταση ενός αριθµού σε ένα άλλο σύστηµα αριθµήσεως µε βάση τον αριθµό x (το οποίο χρησιµοποιεί x ψηφία, αντί για τα δέκα ψηφία του δεκαδικού συστήµατος) µε την πολυωνυµική παράσταση: (α1α2α3...αν-1αν)x = Π(x) = α1xν-1 + α2.xν-2 + α3.xν-3 +...+ αν-1.x1 + ανx0 Ανάλογη σύµβαση χρησιµοποιείται και για τη παράσταση ενός δεκαδικού αριθµού σε ένα σύστηµα αριθµήσεως, µόνο που εδώ µετά την υποδιαστολή θα έχουµε αρνητικές δυνάµεις της βάσης. Π.χ. ο δεκαδικός αριθµός (α1α2α3...αν-1αν, β1β2β3...βν-1βν)x γραµµένος σε ένα σύστηµα αριθµήσεως µε βάση το x θα ισούται µε τον αριθµό: (α1α2α3...αν-1αν, β1β2β3...βν-1βν)x = α1xν-1 + α2.xν-2 + α3.xν-3 +...+αν-1.x1 + ανx0 + β1x-1 + β2.x-2 + β3.x-3 +...+βν-1.x-(ν+1) + βνx-ν. Ένα τέτοιο απλούστερο σύστηµα είναι το δυαδικό σύστηµα αριθµήσεως (µε βάση τον αριθµό 2) που χρησιµοποιεί µόνο τα ψηφία 0 και 1 (που λέγονται bits) και το οποίο χρησιµοποιείται στους υπολογιστές. Σε αυτό λοιπόν το σύστηµα η παράθεση ν διαδοχικών ψηφίων 0 και 1 το ένα δίπλα στο άλλο µε τη µορφή α1α2α3...αν-1αν θα σηµαίνει τον αριθµό (α1α2α3...αν-1αν)2= α12ν-1 + α2.2ν-2 + α3.2ν-3 +...+ αν-1 .21 +αν20. π.χ. ο αριθµός (1011)2 ισούται µε τον αριθµό 1.23+0.22+1.21+1.20 =8+0+2+1= ο αριθµός 11 του δεκαδικού συστήµατος.

Ο ΜΟΥΣΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Εάν ληφθεί σα µονάδα χρόνου το ένα τέταρτο (ένα beat), τότε το «ολόκληρο» είναι 4 beats, το ηµιτόνιο 2, το τέταρτο, όπως υποθέσαµε 1, το ένα όγδοο 1/2, το ένα δέκατο έκτο 1/4 και το ένα τριακοστό δεύτερο 1/8. Αυτά γράφονται µε µουσικό συµβολισµό ως εξής:

Μια στιγµή που τοποθετείται µετά από µια νότα προσθέσει το µισό της τιµής της. Έτσι ένα τέταρτο µε στιγµή είναι ένα τέταρτο συν ένα όγδοο και έχει διάρκεια 1+1/2=1,5 χρονικών

µονάδων. ∆ύο στιγµές µετά από ένα τέταρτο δίνουν µια διάρκεια 1 + 1/2 + 1/4 = 1,75 µονάδων:

ένα δυαδικό κλάσµα, όπως π.χ. το 1/2, επειδή είναι ίσο µε 2-1 θα γράφεται στο δυαδικό σύστηµα σαν (1/2)2 = 0,1. Ανάλογα το κλάσµα 1/4=2-2 θα γράφεται (1/4)2 = 0,01 και το (1/8)2 = 0,001 και (3/8)2 = 0,011, αφού 3/8=1/8+2/8=1/8+1/4 = 2-2 + 2-3 Στο δυαδικό σύστηµα µια στιγµή µετά από ένα µουσικό τέταρτο προσθέτει µια µονάδα σε µια δεκαδική στήλη: τέταρτο = 1, τέταρτο µε στιγµή = 1,12, τέταρτο µε δυο στιγµές = 1,112, τέταρτο µε τρεις στιγµές = 1,1112 κ.λ.π.

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ Φ Αποδεικνύεται ότι κάθε ακέραιος αριθµός µπορεί να γραφεί σαν ένα άθροισµα (θετικών και αρνητικών δυνάµεων) της χρυσής τοµής Φ, π.χ. 4 = 3 + 1 = (Φ2 + Φ-2) + Φ0, 8 = 7 + 1 = (Φ4 + Φ-4) + Φ0, 9 = 2 + 7 = (Φ1 + Φ-2) + (Φ4 + Φ-4) 10 = 3 + 7 = (Φ2 + Φ-2) + (Φ4 + Φ-4) κ.λ.π. Χρησιµοποιώντας τη δυνατότητα παράστασης ενός ακεραίου αριθµού σαν ένα άθροισµα δυνάµεων του Φ, µπορούµε να δηµιουργήσουµε ένα αριθµητικό σύστηµα µε βάση το Φ, ακολουθώντας τις γνωστές συµβάσεις γραφής για όλα τα αριθµητικά συστήµατα οποιασδήποτε βάσης x. Π.χ. 10,01Φ = 1.Φ1 +0.Φ0+0.Φ-1 +1.Φ-2 =Φ+ 1/Φ2 =2 Η γνωστή τώρα σχέση Φν = Φν-1 + Φν-2 µας λέει ότι εάν συναντήσουµε ποτέ δυο διαδοχικά 1 σε ένα σύστηµα µε βάση Φ, µπορούµε να τα αντικαταστήσουµε µε ένα πρόσθετο 1 στην αριστερή θέση. Π.χ. 3 = 2 + 1 = 10,01Φ + 1,0Φ = 11,01Φ και αντικαθιστώντας τα δυο διαδοχικά 1 µε ένα στην αριστερή θέση έχουµε: 3 = 100,01Φ. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται ∆ιαδικασία Αναγωγής των 1. Εφαρµόζοντας επανειληµµένα τη διαδικασία αναγωγής των 1 µπορούµε να ανάγουµε τη παράσταση ενός αριθµού σε µια βάση Φ µέχρι να µην έχουµε τελικά κανένα ζευγάρι διαδοχικών 1. Αν τώρα πάρουµε περισσότερες από µία όµοιες δυνάµεις του Φ, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την αντίστροφη ∆ιαδικασία Επέκτασης των 1, αντικαθιστώντας ένα 1 µε δυο 1 δεξιά του, έτσι ώστε το ...100... να αντικατασταθεί µε το...011..: Π.χ. 2 = 1+1 = 1,0Φ+1,0Φ, αφού 1.Φ0+0.Φ-1=1=1,0Φ. Επεκτείνοντας το δεύτερο 1,0 στο 0,11 έχουµε: 2=1,0Φ+0,11Φ =1,11Φ και εφαρµόζοντας τη ∆ιαδικασία Αναγωγής των 1 παίρνουµε τελικά 2=10,01Φ. Εφαρµόζοντας της ∆ιαδικασία Αναγωγής των 1 όσο χρειάζεται, µπορούµε να βρούµε πάντοτε µια παράσταση µε βάση Φ που να έχει ένα ελάχιστο αριθµό 1 και να µην υπάρχουν σε αυτή δυο συνεχόµενες µονάδες. Τελικά χρησιµοποιώντας µόνο τα ψηφία 0 και 1 µπορούµε να εκφράσουµε

κάθε αριθµό σαν άθροισµα διακεκριµένων δυνάµεων του Φ Αν χρησιµοποιήσουµε τώρα το συµβολισµό της πολυωνυµικής παράστασης ενός αριθµού ως προς µια ορισµένη βάση µε µόνη τη διαφορά να αντικαταστήσουµε τη βάση x στις διαδοχικές δυνάµεις του x αντίστοιχα µε τους αριθµούς Fibonacci: (α1α2α3...αν-1αν)Fib= αν10+αν-1.11+αν-2.22+αν-3.33 +αν-454+... και χρησιµοποιήσουµε για τη παράσταση του αριθµού µόνο τα ψηφία 0 και 1 (όπως και στο δυαδικό σύστηµα. Αυτό το κάνουµε για να έχουµε µια µοναδική παράσταση ενός ακεραίου αριθµού σε αυτό το σύστηµα), θα δηµιουργήσουµε ένα σύστηµα βάσης Fibonacci. Για το σκοπό της µοναδικής παράστασης ενός αριθµού σε αυτό το σύστηµα χρησιµοποιούµε συγχρόνως και τον εξής κανόνα: δεν επιτρέπεται να υπάρχουν δύο µονάδες η µία δίπλα στην άλλη. Αυτό γίνεται γιατί το άθροισµα δυο οποιωνδήποτε διαδοχικών αριθµών Fibonacci είναι ο επόµενος ακριβώς αριθµός Fibonacci, έτσι µπορούµε πάντοτε να αντικαταστήσουµε το ..011.. µε το ..100.. Για παραδείγµατα :παραθέτουµε παρακάτω τη γραφή των 20 πρώτων ακεραίων αριθµών (αρχίζοντας από το 0) στο σύστηµα Fibonacci: 0

1

10

100

101

1000

1001

1010

10000

10001

10100

10101

100000

100001

100010

100100

100101

101000

101001

101010

10010

Στο προηγούµενο σύστηµα Fibonacci µπορούµε αν ορίσουµε αλγορίθµους για τις αριθµητικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµό και διαίρεση Fibonacci) έτσι ώστε αυτό να αποτελέσει ένα πλήρες σύστηµα αριθµήσεως.

ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΠΑΣΚΑΛ

Σχήµα 5

Το τρίγωνο του Πασκάλ είναι ένα τρίγωνο κλιµακωτών αριθµών, του οποίου οι δυο ακραίες πλευρές περιλαµβάνουν µόνο µονάδες, ενώ κάθε άλλος αριθµός ισούται µε το άθροισµα των δυο αριθµών πάνω ακριβώς απ’ αυτόν π.χ. ο 2ος αριθµός (εκτός της µονάδας) στη 4η σειρά: 6 =3+3

Σχήµα 6 Οι αριθµοί που εµφανίζονται στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι βασικά οι συντελεστές του διωνυµικού αναπτύγµατος (α+β)ν µε ν = 0, 1, 2, 3,... Π.χ. είναι (α+β)3 = 1α3+3α2β+3αβ2 +1β3, που είναι ακριβώς οι αριθµοί του τριγώνου του Πασκάλ στη 3η σειρά. Οι διωνυµικοί συντελεστές συνδέονται και µε τους συνδυασµούς των ν πραγµάτων ανά κ, που συµβολίζονται µαθηµατικά µε το  ν  και υπολογίζονται από το τύπο  ν  = κ k  

 

ν! κ! (ν − κ)!

, όπου το ν!

διαβάζεται «ν παραγοντικό» και ισούται µε το γινόµενο των ν διαδοχικών ακεραίων αριθµών µέχρι το ν: ν!=1.2.3.4...ν. Π..χ. 4!=1.2.3.4=24, 6!=1.2.3.4.5.6=720 κ.λ.π. Το διωνυµικό ανάπτυγµα εκφράζεται µέσω αυτών των συµβολισµών ως εξής: (α+β)ν=  ν  αν +  ν  αν-1β+  ν  αν-2β2+  ν  αν-3β3+....  ν  βν, κι εποµένως οι διωνυµικοί συντελεστές 0 1 2 3 ν  

 

 

 

 

δεν είναι άλλοι από τους  ν  ,  ν  ,  ν  ,  ν  , ....  ν  , οι οποίοι µπορούν να βρεθούν κατευθείαν 0 1 2 3 ν  

 

 

 

 

από το τρίγωνο του Πασκάλ πηγαίνοντας στη ν-στή σειρά και αντίστοιχα στη θέση 0,1,2,3,...,ν. Π.χ. για να βρούµε πόσο κάνει το  5  πηγαίνουµε στη 5η σειρά του τριγώνου του Πασκάλ και 2  

η

στη 2 θέση (προσοχή αρχίζουµε να µετράµε από τη µηδενική θέση όπως και από τη µηδενική σειρά) και βρίσκουµε τον αριθµό 10. Άρα  5  =10. 2  

Μιλήσαµε για το τρίγωνο του Πασκάλ και τις προηγούµενες αντιστοιχίες διότι οι αριθµοί Fibonacci συνδέονται µε τους προηγούµενους διωνυµικούς συντελεστές και µπορούν εποµένως να υπολογιστούν και µε τη βοήθεια του τριγώνου Πασκάλ. Ο αντίστοιχος τύπος είναι ο εξής:  ν +1     2 

ν − κ F (ν ) = ∑ ⋅   όπου ο συµβολισµός κ =1  κ − 1 

 ν +1     2 

∑ κ =1

σηµαίνει το άθροισµα των δεξιά αναγραφόµενων

συνδυασµών από κ=1 µέχρι κ = ακέραιο µέρος του κλάσµατος (ν+1)/2 (π.χ. αν ν=5, το ακέραιο αυτό µέρος θα είναι (5+1)/2=3, ενώ αν ν=6, θα είναι ο µικρότερος ακέραιος που είναι κοντά στο κλάσµα (6+1):2 =7/2=3,5, δηλαδή το 3). Με βάση το προηγούµενο τύπο θα είναι: F(4)= ∑  4 − κ  =  4 − 1 +  4 − 2  =  3  +  2  =1+2=3, αφού από το τρίγωνο του Πασκάλ βρίσκουµε ότι 2

1

 κ −1  1 −1  2 −1  0  1

3 2  0  =1 και  1  =2. Για µεγάλα ν µπορούµε να χρησιµοποιούµε αντί του τριγώνου του Πασκάλ το    

τύπο  ν  = k

ν! κ! (ν − κ)!

=

(ν − κ + 1)(ν − κ + 2)....(ν − 1).ν 1.2.3...κ

ν 5 =  1  =ν. Π.χ. είναι  2  =     2!.3! 5.!

4.5

, γνωρίζοντας όπου χρειαστεί ότι 0!=  ν  =  ν  =1 και 0 ν    

= 10

1.2

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI ΚΑΙ ΧΡΥΣΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΠΑΣΚΑΛ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ P-FIBONACCI

Τρίγωνο-0 του Πασκάλ 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1

2

4

8

1 4 6 4 1

1 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10 15 21 28 36 10 20 35 56 84 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28 84 1 8 36 1 9 1 16 32 64 128 256 512

Θα µπορούσαµε να γράψουµε τον προηγούµενο πίνακα των διωνυµικών συντελεστών ή Τρίγωνο του Πασκάλ και σε κατακόρυφη διάταξη έτσι ώστε οι διωνυµικοί συντελεστές του αναπτύγµατος του (α+β)ν να εµφανίζονται σε στήλες και όχι οριζόντια σε σειρές. Σε αυτή τη διάταξη εύκολα µπορεί να παρατηρηθεί ότι κάθε διαγώνιος ισούται µε το άθροισµα των δυο προηγούµενων διαγωνίων από αυτή, ενώ κάθε στοιχείο τώρα ισούται µε το άθροισµα του αριστερού του και του αριστερού και πάνω απ’ αυτό στοιχείου. Τα αθροίσµατα των στοιχείων κάθε διαγωνίου είναι διαδοχικοί αριθµοί Fibonacci. Το άθροισµα όλων των διωνυµικών συντελεστών κάθε στήλης θα ισούται επίσης µε 2ν, το οποίο παρατίθεται στο κάτω µέρος του πίνακα. Σηµειώνουµε ότι κι εδώ η πάνω γραµµή στο τρίγωνο του Πασκάλ αριθµείται σαν η 0η σειρά και η αριστερή ακραία στήλη που αποτελείται από 1 σαν η 0η στήλη. Στη µορφή αυτή το ονοµάζουµε τρίγωνο-0 του Πασκάλ. Αν µετακινήσουµε κάθε σειρά του 0Τριγώνου του Πασκάλ κατά µία στήλη δεξιά ως προς τη προηγούµενη σειρά, θα πάρουµε τον παρακάτω πίνακα που ονοµάζεται Τρίγωνο-1 του Πασκάλ:

Τρίγωνο-1 του Πασκάλ 1 1

1 1

1 2

1 3 1

1 4 3

1 1

2

3

5

8

1 5 6 1

1 1 1 1 1 6 7 8 9 10 10 15 21 28 36 4 10 20 35 56 1 5 15 35 1 6 13 21 34 55 89 144

Εύκολα δείχνεται σε αυτή τη περίπτωση ότι το άθροισµα των διωνυµικών συντελεστών στην νστήλη του Τριγώνου-1 του Πασκάλ είναι ίσο µε τον αριθµό Fibonacci Fν+1. Εάν τώρα µετακινήσουµε κάθε σειρά του Τριγώνου-0 του Πασκάλ p στήλες δεξιά ως προς τη προηγούµενη σειρά ( µε p = 0, 1, 2, 3, ... ), θα πάρουµε ένα πίνακα αριθµών που ονοµάζεται τρίγωνο-p του Πασκάλ. Π.χ. τα τρίγωνα-p του Πασκάλ που αντιστοιχούν στις τιµές p = 2 και p = 3 έχουν αντίστοιχα τις παρακάτω µορφές:

Τρίγωνο-2 του Πασκάλ 1

1

1

1 1

1 2

1 3

1 4 1

1 5 3

1

1

1

2

3

4

6

9

1 6 6

1 1 1 1 7 8 9 10 10 15 21 28 1 4 10 20 1 13 19 28 41 60

Τρίγωνο-3 του Πασκάλ 1 1

1

1

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5 1

1 1

1

1

2

3

4

5

7

1 6 3

1 7 6

1 1 8 9 10 15 1 10 14 19 26

Προσθέτοντας τους διωνυµικούς συντελεστές στις στήλες των τριγώνων 2 και 3 του Πασκάλ παίρνουµε δυο νέες αριθµητικές ακολουθίες που έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: Ο ν-στός όρος της ακολουθίας 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, ...αρχίζοντας από ν = 4 είναι ίσος µε το άθροισµα των (ν-1) και (ν-3) όρων, αλλά ο ν-στός όρος της ακολουθίας 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, ... αρχίζοντας από ν= 5 είναι ίσος µε το άθροισµα των όρων (ν-1) και (ν-4). Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι στη γενική περίπτωση το Τρίγωνο-p του Πασκάλ παράγει τις αριθµητικές ακολουθίες Fp(ν) που δίνονται από την παρακάτω αναδροµική σχέση: Fp(ν) = Fp(ν-1)+Fp(ν-p-1) µε ν>p+1 και Fp(1) = Fp(2) =...= Fp(p+1) = 1 Οι αριθµοί Fp(ν) ονοµάζονται αριθµοί p-Fibonacci. Είναι φανερό ότι στη περίπτωση p = 0 οι αριθµοί-p Fibonacci συµπίπτουν µε τους διωνυµικούς αριθµούς και στη περίπτωση p = 1 µε τους κλασσικούς αριθµούς Fibonacci. Οι αριθµοί-p Fibonacci είναι µια ευρεία γενίκευση των αριθµών Fibonacci και µια πολύ χρήσιµη µαθηµατική έννοια. Μπορούµε να γενικεύσουµε έτσι το πρόβληµα της αναπαραγωγής των κουνελιών που έθεσε πρώτος ο Fibonacci, χρησιµοποιώντας την ιδέα των αριθµών-p Fibonacci. Θεωρούµε σε αυτή τη περίπτωση ότι τα κουνέλια ωριµάζουν όχι σε ένα µήνα, αλλά σε p µήνες µε p = 0,1,2,3, ...Το πρόβληµα µπορεί να λυθεί αρχίζοντας µε ένα ζευγάρι «βρεφών» κουνελιών ή µε ένα ενήλικο ζευγάρι. Στη πρώτη περίπτωση ο «νόµος αναπαραγωγής» περιγράφεται από τους αριθµούς-p Fibonacci που ορίσαµε προηγουµένως. Στη δεύτερη περίπτωση ο «νόµος αναπαραγωγής» περιγράφεται µε τον ίδιο αναδροµικό τύπο Fp(ν) = Fp(ν-1)+Fp(ν-p-1) µε ν>p+1, µε τις αρχικές συνθήκες Fp(1)=1,

Fp(2)=2, ...,Fp(p+1)= p+1. Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι αυξάνοντας τον αριθµό p προς το άπειρο οδηγούµαστε στους φυσικούς αριθµούς 1,2,3,....

Η ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ Ξέρουµε ότι ο λόγος δυο διαδοχικών αριθµών Fibonacci συγκλίνει προς τη χρυσή τοµή. Αν πάρουµε αντίστοιχα το λόγο του επόµενου αριθµού-p Fibonacci προς το προηγούµενο απ’ αυτόν Fp(ν) / Fp(ν-1) µπορούµε να αποδείξουµε ότι αυτός συγκλίνει στη πραγµατική ρίζα της αλγεβρικής εξίσωσης xp+1 = xp + 1, όπου p = 0, 1, 2, 3, ... . Για p = 0 η εξίσωση αυτή ανάγεται στην απλή εξίσωση x = 2, ενώ για p=1 ανάγεται στην εξίσωση της Χρυσής Τοµής : x2 = x + 1, της οποίας η ρίζα είναι ίση µε τη κλασσική χρυσή τοµή. Οι πραγµατικές ρίζες της αρχικής εξίσωσης που αντιστοιχούν στη γενική περίπτωση p ονοµάζονται Χρυσές Τοµές- p. Οι προσεγγιστικές τιµές των χρυσών τοµών- p που αντιστοιχούν στα διάφορα p είναι ίσες µε: 2 (για p = 0), 1, 618 (για p=1), 1, 465 (για p=2), 1,380 (για p=3), 1,324 (για p=4).

Η ΠΕΡΙΤΤΗ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Αν χρησιµοποιήσουµε σα κανόνα για τη λήψη του επόµενου όρου της ακολουθίας όχι το άθροισµα των δυο, αλλά των τριών προηγούµενων όρων της, τότε παίρνουµε µια γενίκευση της ακολουθίας Fibonacci, όπου οι όροι της είναι µόνο περιττοί αριθµοί:. 1,1,1,3,5,9,17,31,.. (εδώ θεωρούµε δεδοµένους τους τρεις πρώτους όρους, όλους ίσους µε τη 1. Η ακολουθία αυτή αναφέρεται συχνά σαν 'Tribonacci' και η οριακή τιµή των λόγων της είναι η λύση της τριτοβάθµιας εξίσωσης x3-x2-x-1 = 0, η οποία είναι προσεγγιστικά 1,839286755 και η ακριβής τιµής της: 1

 19 x=  +  27

3  27  11

+

4  19

 + 9  27

  27 

11

−

1 3

+

1 3

Μπορoύµε να κατασκευάσουµε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε πλευρές α, β, γ έτσι ώστε α/β = β/γ = γ/(α+β+γ).

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ LUCAS Υπάρχει µια άλλη ακολουθία, πολύ παρόµοια µε την ακολουθία Fibonacci, που παρουσιάζεται συχνά µαζί µε αυτή. Τη µελέτησε πρώτος ο Edward Lucas (1842-1891), που ήταν αυτός που ονόµασε τους αριθµούς της ακολουθίας του Λεονάρδο της Πίζας «αριθµούς Fibonacci». Η ακολουθία αυτή 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,..πήρε ανάλογο όνοµα προς τιµή του Lucas. Ο κανόνας σχηµατισµού των αριθµών Lucas είναι ο ίδιος µε αυτόν για τους αριθµούς Fibonacci και το µόνο που διαφέρει από την ακολουθία Fibonacci είναι οι αρχικές συνθήκες, που ενώ στην τελευταία

είναι F(0)=0 και F(1) =1, στην ακολουθία Lucas είναι F(0) = 2 και F(1) = 1. Ας σηµειωθεί ότι ο λόγος δυο διαδοχικών όρων συγκλίνει κι εδώ στη χρυσή τοµή, αφού αυτή η σύγκλιση εξαρτάται µόνο από την αναδροµική σχέση ορισµού της ακολουθίας που παραµένει και στις δυο περιπτώσεις η ίδια. Η ακολουθία Lucas ορίζεται λοιπόν ως εξής: L(ν)=L(ν-1)+L(ν-2) για ν>1 µε αρχικές συνθήκες: L(0)=2 και L(1) Οι αριθµοί Lucas έχουν πολλές ιδιότητες παρόµοιες µε αυτές των αριθµών Fibonacci και συχνά εµφανίζονται σε διάφορους τύπους για τους αριθµούς Fibonacci. Η σχέση που συνδέει τους αριθµούς Lucas µε τους αριθµούς Fibonacci είναι η εξής: L(ν)= F(ν-1) + F(ν+1) για όλους τους ακεραίους ν. =2F(ν-1)+F(ν) Αντίστοιχος τύπος για τους αριθµούς Fibonacci δίνει: 5 F(ν) = L(ν-1) + L(ν+1), για όλους τους ακεραίους ν. Επίσης ισχύει ο τύπος: 5.F(2κ).F(2κ+1) = L(4κ+1)-1 Σχέση των αριθµών Lucas µε τους χρυσούς αριθµούς Φ και φ L(ν) = Φν +(–φ)-ν Σχεδιάζοντας το τρίγωνο του Πασκάλ µε όλες τις σειρές µετακινούµενες κατά 1 θέση, έχουµε µια σαφέστερη διάταξη που δείχνει τους αριθµούς Fibonacci σαν αθροίσµατα στηλών. Η µορφή αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό των αριθµών Lucas. Προς το σκοπό αυτό παίρνουµε τα στοιχεία κάθε στήλης και πολλαπλασιάζουµε το καθένα τους επί τον αύξοντα αριθµό της στήλης και µετά διαιρούµε αυτό το γινόµενο µε τον αύξοντα αριθµό της αντίστοιχης σειράς στην οποία ανήκει αυτό το στοιχείο και αθροίζουµε µετά όλα αυτά τα γινόµενα. Το αποτέλεσµα θα είναι ο αριθµός Lucas της τάξεως της αντίστοιχης στήλης. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 . . . . . . . . . 1 . 1 1 . . . . . . . 2 . . 1 2 1 . . . . . 3 . . . 1 3 3 1 . . . 4 . . . . 1 4 6 4 1 . 5 . . . . . 1 5 10 10 5 6 . . . . . . 1 6 15 20 7 . . . . . . . 1 7 21 8 . . . . . . . . 1 8

9

. . . . . . . . . 1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Π.χ. η τετάρτη στήλη περιλαµβάνει τους αριθµούς 1,3 και 1. Έχουµε λοιπό αντίστοιχα: 1.4/2=2, 3.4/3 = 4 και 1.4/4 = 1 και προσθέτοντας όλα αυτά τα γινόµενα: 2+4+1=7. Άρα ο 4ος αριθµός Lucas είναι ο 7.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ FIBONACCI Η σύγχρονη ψηφιακή επεξεργασία των πληροφοριών µε υπολογιστές δεν έχει το βαθµό αξιοπιστίας που χρειαζόµαστε. Και η παραµικρότερη διαταραχή της κατάστασης του υπολογιστή (π.χ. η ανταλλαγή του ψηφίου 0 µε το ψηφίο 1) µπορεί να οδηγήσει σε µια παταγώδη αποτυχία σε σχέση µε την εφαρµοζόµενη λύση. Η βασική λοιπόν κατεύθυνση της ανάπτυξης των σύγχρονων υπολογιστών είναι προς υπολογιστές που µπορούν µε τη χρήση κατάλληλου κώδικα να ανιχνεύουν σφάλµατα που εµφανίζονται στα κυκλώµατά τους. Η παραδοσιακή λύση ως προς αυτό είναι µετά την επιλογή του αριθµητικού συστήµατος να εισάγουµε µε κώδικα στον υπολογιστή ένα τρόπο επανάληψης των µηνυµάτων για τη µείωση της πιθανότητας του λάθους στη µετάδοση (redundancy). Έχει προταθεί έτσι η χρησιµοποίηση υπολογιστών Fibonacci που µπορούν να προσφέρουν µια ασφάλεια υψηλής αξιοπιστίας στην επεξεργασία πληροφοριών χρησιµοποιώντας την redundancy των κωδίκων του Fibonacci και της χρυσής τοµής.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ Ο πρώτος άρρητος αριθµός που µελετήθηκε ήταν η τετραγωνική ρίζα του 2, ο λόγος της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς τη πλευρά του, που οδήγησε στη θεωρία των αρρήτων αριθµών. Μετά ήλθε ο π που εκφράζει το λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάµετρό του και πολύ αργότερα ο e, η βάση των νεπερείων λογαρίθµων ή το όριο της ακολουθίας (1+1/ν)ν. Οι αριθµοί π και e συνδέονται µε τη µαθηµατική εξίσωση 1+eiπ=0, όπου i η φανταστική µονάδα. Οι αριθµοί π και e παράγουν µια σειρά θεµελιωδών µαθηµατικών συναρτήσεων που ονοµάζονται στοιχειώδεις συναρτήσεις. Ο αριθµός π παράγει τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ηµx και συνx και ο αριθµός e την εκθετική συνάρτηση ex, τη λογαριθµική συνάρτηση lnx και τις υπερβολικές συναρτήσεις, το υπερβολικό ηµίτονο και υπερβολικό συνηµίτονο που ορίζονται από τους τύπους: sh x =(ex-e-x)/2 και ch x =(ex+e-x)/2. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις συνδέονται µε την εκθετική συνάρτηση µέσω των τύπων του Euler: συνx =(eix+e-ix)/2 και ηµx = (eix-e-ix)/2i. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις (που λέγονται και κυκλικές αρµονικές συναρτήσεις) και η εκθετική συνάρτηση έχουν τη βασική ιδιότητα να είναι αναλλοίωτες ως προς τη παραγώγιση και την ολοκλήρωση και παίζουν έτσι ένα σηµαντικό ρόλο στο διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισµό: (συν x)΄= - ηµ x, (ηµ x)΄= συν x, (ex)΄= ex Ένας ακόµα θεµελιώδης άρρητος αριθµός είναι ο Φ, που είναι γνωστός από την αρχαία εποχή µαζί µε τον π. Ενώ ο π συνδέεται µε το κύκλο, τη σφαίρα και τις πλανητικές τροχιές, ο Φ συνδέεται µε το πεντάγωνο, το δωδεκάεδρο-εικοσάεδρο και σύµφωνα µε την αρχαία φιλοσοφική

αντίληψη µε τη δοµή του σύµπαντος. Ο αριθµός e, όπως αποδεικνύει ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισµός, φαίνεται να κυριαρχεί στις φυσικές διεργασίες της άβιας ύλης. Αντίθετα ο αριθµός Φ σχετίζεται πιο πολύ µε τη τέχνη και τις βιολογικές διαδικασίες. Σύγχρονες επιστηµονικές ανακαλύψεις σχετικά µε τη χρυσή τοµή (ηµικρύσταλλοι, θεωρία συντονισµού του Ηλιακού Συστήµατος, νέα γεωµετρική θεωρία της φυλλοταξίας, κυµατικές ιδιότητες των νουκλεονίων κ.λ.π.) φαίνεται να δείχνουν ότι η χρυσή τοµή είναι πράγµατι η βασική αναλογία του Σύµπαντος. Όπως οι αριθµοί π και e κυριαρχούν στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισµό και είναι οι βασικές σταθερές της κλασσικής µαθηµατικής ανάλυσης, έτσι και η Χρυσή Τοµή φαίνεται να γίνεται η βασική σταθερά των Μαθηµατικών της Αρµονίας. Στα τέλη του 20ου αιώνα Αµερικανοί µαθηµατικοί δηµιούργησαν την οργάνωση Fibonacci Association και το «The Fibonacci Quarterly». Αντίστοιχα Σλάβοι Φιµπονατσικοί επιστήµονες συνδέθηκαν στο ∆ιεθνές Σεµινάριο «Η Χρυσή Τοµή και Προβλήµατα της Αρµονίας των Συστηµάτων» (Κίεβο, 1992 και 1993, Σταυρούπολη 1994 και 1995). Και οι δυο οµάδες προδιέγραψαν τη βάση µιας νέας µαθηµατικής θεωρίας, των Μαθηµατικών της Αρµονίας, που θα αναφέρονται στη τέχνη, στη βιολογία και στην επιστήµη των υπολογιστών. Με τις νέες µαθηµατικές ανακαλύψεις της Θεωρίας των Αριθµών Fibonacci, της Θεωρίας της Αλγοριθµικής Μέτρησης, των Αριθµητικών Συστηµάτων µε Άρρητες Βάσεις, των υπερβολικών συναρτήσεων Fibonacci και Lucas (άµεσα παραγόµενες από τη γενίκευση των τύπων του Binet), της Νέας Γεωµετρικής Θεωρίας της Φυλλοταξίας κ.α., πρόβαλε η ιδέα της διάκρισης του τµήµατος των µαθηµατικών που συνδέεται µε τους αριθµούς Fibonacci και τη Χρυσή Τοµή µε το κοινό όνοµα «Μαθηµατικά της Αρµονίας». Η ιδέα αυτή έχει δώσει µέχρι σήµερα δύο τουλάχιστον σηµαντικές σύγχρονες εφαρµογές των αριθµών Fibonacci και της θεωρίας της χρυσής τοµής: την εξοµοίωση βιολογικών διαδικασιών (γεωµετρία του Bodnar) και µια νέα θεωρία υπολογιστών (υπολογιστές Fibonacci). Τα µαθηµατικά της Αρµονίας φαίνεται έτσι να συµπληρώνουν τη κλασσική µαθηµατική ανάλυση και να καταλαµβάνουν µελλοντικά µια εξέχουσα θέση στα µαθηµατικά Επιπρόσθετα τα Μαθηµατικά της Αρµονίας παρήγαγαν νέες γεωµετρικές αναλογίες (τις Χρυσές Τοµές-p), οι οποίες µπορούν να εφαρµοστούν επίσης στη τέχνη. Φαίνεται πως η πρόοδος των Μαθηµατικών της Αρµονίας θα επηρεάσει τελικά και τη πρόοδο της σύγχρονης τέχνης.

Προβλήµατα Fibonacci Παρακάτω παραθέτουµε µερικά µόνο από ένα πλήθος προβληµάτων ή γρίφων η λύση των οποίων οδηγεί στην ακολουθία Fibonacci, χωρίς να δίνουµε, (για λόγους έλλειψης χώρου) τη λύση τους.

Πρόβληµα 1: Με πόσους τρόπους µπορούµε να πληρώσουµε ν=10.κ δραχµές χρησιµοποιώντας µόνο δεκάρικα (∆) και εικοσάρικα (Ε) και δεδοµένου ότι µας ενδιαφέρει η τάξη των νοµισµάτων

έτσι ώστε για µια πληρωµή π.χ 80 δρχ το 2∆+3Ε να θεωρείται διαφορετικό από το 3Ε +2∆; Πρόβληµα 2: Τοποθετούµε δεκάρικα σε σειρές υπό τους εξής δυο όρους: α)κάθε δεκάρικο πρέπει να αγγίζει το επόµενό του στη σειρά και β) κάθε δεκάρικο, εκτός από αυτά στη τελευταία σειρά, αγγίζει δυο δεκάρικα στην από κάτω σειρά. Έστω ότι έχουµε ν δεκάρικα, πόσες διατάξεις P(ν) υπάρχουν; Είναι οι αριθµοί P(ν) πάντα αριθµοί Fibonacci; Ένα ανάλογο πρόβληµα είναι όταν ζητάµε τον αριθµό των διατάξεων P(ν) που έχουν ν δραχµές στην τελευταία σειρά. Πρόβληµα 3: Το Παιχνίδι του Wythoff . Εδώ οι αριθµοί Fibonacci προσφέρουν µια στρατηγική νίκης για το παίξιµο ενός παιχνιδιού µε δυο σωρούς από σπίρτα (µάρκες ή νοµίσµατα), που περιγράφηκε για πρώτη φορά το 1906 από τον W A Wythoff. Οι παίκτες αναλαµβάνουν µε τη σειρά να αποµακρύνουν µερικά σπίρτα (τουλάχιστον ένα) µόνο από τον ένα ή τον άλλο σωρό ή διαφορετικά ίσο αριθµό και από τους δυο σωρούς. Μπορούν να αποφασίσουν πόσο µεγάλος θα είναι κάθε σωρός πριν αρχίσει το παιχνίδι και ο νικητής είναι αυτός που θα πάρει το τελευταίο σπίρτο. Μπορούµε αν θέλουµε να αποµακρύνουµε έναν ολόκληρο σωρό, πράγµα που όµως δε συνιστάται, γιατί ο αντίπαλός µας µπορεί να κάνει το ίδιο στην επόµενη κίνηση και να µας κερδίσει έτσι παίρνοντας το τελευταίο σπίρτο. Χρειάζεται να ακολουθήσουµε µια συγκεκριµένη στρατηγική για να οδηγηθούµε στη νίκη, αδιάφορα από το τι κάνει ο αντίπαλός µας. Πρόβληµα 4: Θέλουµε να κτίσουµε ένα τοίχο µε τούβλα των οποίων το µήκος είναι διπλάσιο του ύψους τους. Αν ο τοίχος θα έχει ύψος 2 µονάδες, µε πόσους τρόπους µπορούµε να τον φτιάξουµε, ανάλογα µε το πόσο µακρύ τον θέλουµε (µήκος τοίχου 1,2, 3,..µονάδες). Αντί για τούβλα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ντόµινο αδιαφορώντας για τις κηλίδες τους και χρησιµοποιώντας µόνο το σχήµα τους. Πρόβληµα 5: Έχουµε µια µέλισσα που αρχίζει να κινείται στην άκρη µερικών κελιών στη κυψέλη της. Αυτή µπορεί να αρχίσει είτε από το κελί 1 είτε από το 2 και κινείται µόνο προς τα δεξιά (δηλαδή µόνο προς ένα κελί µε ένα µεγαλύτερο αριθµό σε αυτό).Πόσοι δρόµοι υπάρχουν από την αρχή µέχρι το κελί µε αριθµό ν;

Σχήµα 7

Πρόβληµα 6: Σε ένα δωµάτιο υπάρχουν ν (ν =1,2,...) καρέκλες σε µια σειρά και πολλοί άνθρωποι, µερικοί δάσκαλοι και άλλοι όχι, που πρόκειται να καθίσουν σε αυτές. Ζητείται ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων που µπορούν να καθίσουν αυτοί ο ένας δίπλα στον άλλο µε τη δέσµευση να µην κάθονται πουθενά δίπλα-δίπλα δύο δάσκαλοι. Υπάρχουν αρκετές παραλλαγές αυτού του προβλήµατος. Πρόβληµα 7: Το Πέρασµα ενός Ποταµού. Αν στεκόµαστε πάνω στη ν-στή πέτρα, πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιστρέψουµε στην ακτή, δεδοµένου ότι µπορούµε να βαδίσουµε στην επόµενη πέτρα ή να πηδήξουµε πάνω από αυτή προς τη µεθεπόµενη; Αντίστοιχο πρόβληµα είναι για το ανέβασµα µιας σκάλας µε ν σκαλοπάτια. Ζητούνται πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να ανέβουµε τη σκάλα όταν µπορούµε να πηδάµε δυο σκαλοπάτια τη φορά ή να ανεβαίνουµε κανονικά ένα-ένα σκαλοπάτι.

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI ΣΤΗ ΦΥΣΗ

Σχήµα 1 Ηλίανθος µε 34 πέταλα - ένας Αριθµός Fibonacci

Οι αριθµοί Fibonacci δεν είναι µια αφηρηµένη µαθηµατική επινόηση, αλλά η αποτύπωση µιας φυσικής πραγµατικότητας, όπως µπορούµε να αποδείξουµε παρατηρώντας τη φύση γύρω µας. Γιατί νοµίζετε ότι οι περισσότερες µαργαρίτες έχουν 34, 55 ή 89 πέταλα και τα τριφύλλια µε τέσσερα φύλλα είναι τόσο σπάνια; ∆ιότι απλούστατα οι τρεις πρώτοι είναι αριθµοί Fibonacci (9ος, 10ος και 11ος), ενώ ο 4 όχι.. Παρακάτω δίνουµε ένας µικρό κατάλογο λουλουδιών µε τον συνηθισµένο αριθµό πετάλων τους:

Αριθµός Πετάλων

Λουλούδι

3 πέταλα (ή 2 σύνολα από 3)

κρίνος (ανεµώνη), (συνήθως σε 2 σύνολα των 3 για συνολικά 6), αγριόκρινο

5 πέταλα

νεραγκούλα, άγριο τριαντάφυλλο, καπουτσίνος, κολοµπίνα (ακουϊλεγία)

8 πέταλα

δελφίνιο, κορέοψις

13 πέταλα

µαρτιάτικο,κατιφές, κινεραρία

21 πέταλα

αστράκι, πικραλίδα, black-eyed susan

34 πέταλα

πλαντάγον, µαργαρίτα, χρυσάνθεµο

55 πέταλα

µαργαρίτα, οικογένεια asteraceae

89 πέταλα

µαργαρίτα, οικογένεια asteraceae

Μερικά είδη είναι πολύ ακριβή στον αριθµό των πετάλων τους και µερικά άλλα πολύ κοντά στους παραπάνω αριθµούς. Οι εξαιρέσεις µπορεί να περιλαµβάνουν ένα διπλάσιο αριθµό πετάλων ή την εµφάνιση της συγγενικής ακολουθίας Lucas, αντί της Fibonacci. Οι µεταλλάξεις και οι παραλλαγές από είδος σε είδος εξηγούν τις εξαιρέσεις, αλλά όταν πάρουµε το µέσο όρο του αριθµού των πετάλων, αυτός είναι συνήθως ένας αριθµός Fibonacci ή Lucas. Μπορούµε να κοιτάξουµε µόνοι µας τα διάφορα άνθη γύρω µας και να ελέγξουµε αυτό το γεγονός.

∆ΙΑΚΛΑ∆ΟΥΜΕΝΑ ΦΥΤΑ, ΧΡΥΣΕΣ ΣΠΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΣΠΟΡΩΝ Μπορούµε να δούµε τους αριθµούς Fibonacci και στον αριθµό των αναπτυσσόµενων σηµείων ενός φυτού. Έστω ότι ένα νέο φυτό βγάζει ένα νέο βλαστό που πρέπει να αναπτυχθεί για δυο µήνες πριν γίνει αρκετά ισχυρός για να δεχθεί µία διακλάδωση. Εάν διακλαδώνεται κάθε µήνα παίρνουµε στο σηµείο ανάπτυξης την παρακάτω εικόνα.

Σχήµα 2

Οι πιο γοητευτικές πάντως εµφανίσεις των αριθµών Fibonacci στη φύση είναι οι «χρυσές» σπείρες που µπορούµε να παρατηρήσουµε σε πολλά φυτά από τους ηλίανθους µέχρι τα κουκουνάρια, τους ανανάδες και τους κάκτους. Οι αριθµοί Fibonacci εµφανίζονται επίσης στη διάταξη των σπόρων στα καρπόφυλλα ή στο καρπό

Σχήµα 3

Όπως βλέπουµε στις παραπάνω εικόνες οι σπείρες εκπορεύονται από το κέντρο και ελίσσονται σε αντίθετες κατευθύνσεις σχηµατίζοντας µε αυτό το τρόπο δυο οικογένειες: τις δεξιόστροφες και τις αριστερόστροφες σπείρες. Αν είχαµε µεγενθυµένες εικόνες, θα µπορούσαµε να µετρήσουµε τους αριθµούς των σπειρών κάθε οικογένειας. Στο επόµενο σχήµα που είναι η φωτογραφία µιας µαργαρίτας οι δυο οικογένειες έχουν µαρκαριστεί για να µπορούµε να τις ξεχωρίσουµε και να µετρήσουµε τον αριθµό των σπειρών κάθε µίας. Οι δεξιόστροφες σπείρες στην αριστερή εικόνα είναι 21 και οι αριστερόστροφες στη δεξιά 34. Οι αριθµοί αυτοί είναι δυο γειτονικοί αριθµοί Fibonacci.

Σχήµα 4

Τα ίδια σπειροειδή πρότυπα µπορούµε να παρατηρήσουµε σε πολλά φυτά και σχεδόν πάντα ο αριθµός των σπειρών στις δυο οικογένειες είναι δυο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci (π.χ. 21 και 34 ή 55 και 34). Ο λόγος της σπειροειδούς αυτής διευθέτησης φαίνεται να είναι ότι αυτή προσφέρει µια βέλτιστη διάταξη των σπόρων, χωρίς αυτοί να συνωστίζονται στο κέντρο, ούτε να είναι πολλοί αραιοί στα άκρα. Οι πιο «καµπύλες» σπείρες εµφανίζονται κοντά στο κέντρο και οι πιο επίπεδες (και περισσότερες) προς τα έξω. Ας σηµειωθεί ότι η σπείρα είναι το πιο διαδεδοµένο σχήµα στη φύση, από τα θαλάσσια κοχύλια, τις δίνες και τους ανεµοστρόβιλους µέχρι τα άτοµα, τα έµβρυα και τους γαλαξίες. Είναι επίσης ένα παγκόσµιο σύµβολο της εξέλιξης ή ακόµα του αυτοµετασχηµατισµού.

ΚΟΥΚΟΥΝΑΡΙΑ, ΑΝΑΝΑ∆ΕΣ ΚΑΙ ΚΑΚΤΟΙ

Σχήµα 5

Προηγούµενα παρατηρήσαµε σπειροειδείς δοµές κοιτώντας ένα άνθος από πάνω (ή κι ένα κουκουνάρι από κάτω). Τα ίδια σπειροειδή πρότυπα πολλές φορές τυλίσσονται γύρω από το στέλεχος του άνθους, το σώµα ενός κάκτου, ενός ανανά ή ενός κουκουναριού. Η γεωµετρία δεν είναι πια επίπεδη µε ένα κέντρο, αλλά κυλινδρική. Κι εδώ τις περισσότερες φορές οι αριθµοί των σπειρών είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci.

∆ΙΕΥΘΕΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΩΝ Η ΦΥΛΛΟΤΑΞΙΑ

Σχήµα 6

Πολλά επίσης φυτά παρουσιάζουν αριθµούς Fibonacci στις διευθετήσεις των φύλλων τους γύρω από το στέλεχός τους. Εάν εξετάσουµε ένα φυτό θα παρατηρήσουµε ότι τα φύλλα του διευθετούνται συνήθως µε τέτοιο τρόπο ώστε τα από πάνω φύλλα να µη κρύβουν τα από κάτω. Με αυτό το τρόπο έρχονται όλα σε επαφή µε το ηλιακό φως και συλλαµβάνουν περισσότερη βροχή που διοχετεύεται κυλώντας µέσω του στελέχους προς τις ρίζες του φυτού. Εδώ βρίσκουµε τους αριθµούς Fibonacci όταν µετράµε τον αριθµό των στροφών γύρω από το στέλεχος καθώς προχωράµε από φύλλο σε φύλλο και επίσης όταν υπολογίζουµε τον αριθµό των φύλλων µέχρι να συναντήσουµε ένα φύλλο κατευθείαν πάνω από αυτό που ξεκινήσαµε. Εάν κάνουµε τις ίδιες µετρήσεις προς την άλλη κατεύθυνση, θα πάρουµε ένα διαφορετικό αριθµό στροφών για τον ίδιο αριθµό φύλλων. Ο αριθµός των στροφών σε κάθε µία από τις δυο κατευθύνσεις (δεξιόστροφη και αριστερόστροφη) και ο αριθµός των φύλλων που συναντάµε είναι συνήθως τρεις συνεχόµενοι αριθµοί Fibonacci. Για παράδειγµα στο φυτό που είναι στη κορυφή της παραπάνω εικόνας έχουµε 3 δεξιόστροφες περιστροφές πριν συναντήσουµε ένα φύλλο κατευθείαν πάνω από το πρώτο, περνώντας από 5 φύλλα στο δρόµο µας. Εάν προχωρήσουµε αριστερόστροφα, χρειαζόµαστε µόνο 2 στροφές. Παρατηρούµε ότι ι αριθµοί 2, 3 και 5 είναι διαδοχικοί αριθµοί Fibonacci. Για το χαµηλότερο φυτό στην εικόνα, έχουµε 5 δεξιόστροφες περιστροφές, περνώντας από 8 φύλλα ή µόνο 3

αριστερόστροφες περιστροφές. Αυτή τη φορά οι αριθµοί 3, 5 και 8 είναι διαδοχικοί όροι στην ακολουθία Fibonacci. Μπορούµε να σηµειώσουµε αυτά τα αποτελέσµατα σαν 3/5 δεξιόστροφες περιστροφές ανά φύλλο (ή 2/5 αριστερόστροφες) για το φυτό στη κορυφή και σαν 5/8 στροφές ανά φύλλο (ή αντίστοιχα 3/8 αριστερόστροφες) για το δεύτερο φυτό. Το 90% όλων των φυτών εµφανίζουν το προηγούµενο πρότυπο στη διάταξη των φύλλων τους, η οποία περιλαµβάνει τους αριθµούς Fibonacci. Μερικά κοινά δένδρα που εµφανίζουν αυτή τη διάταξη είναι τα εξής: 1/2 η φτελιά και η φλαµουριά, 1/3 η οξιά, η φουντουκιά και η βατοµουριά, 2/5 η βελανιδιά, η κερασιά, η µηλιά, το πουρνάρι, η δαµασκηνιά και το µαρτιάτικο, 3/8 η λεύκα, η τριανταφυλλιά, η αχλαδιά και η ιτιά και 5/13 η αµυγδαλιά. Τα αγκάθια των κάκτων εµφανίζουν συχνά τις ίδιες σπείρες όπως τα κουκουνάρια, τα πέταλα και οι διευθετήσεις των φύλλων, αλλά αυτές είναι τώρα πολύ πιο εµφανείς. Μπορούµε να πειραµατισθούµε µόνοι µας παίρνοντας ένα απλό κουνουπίδι, κοιτώντας στην αρχή τα ανθύλλια του, τα οποία είναι διευθετηµένα σε σπείρες, όπως ακριβώς οι σπόροι και τα φύλλα στα φυτά. Μετράµε τον αριθµό αυτών των ανθυλλίων σε µια σταθερή απόσταση από το κέντρο. Ο αριθµός τους στη µια ή στην άλλη κατεύθυνση θα είναι ένας αριθµός Fibonacci. Στη συνέχεια παρατηρούµε ένα ξεχωριστό ανθύλλιο. Βλέπουµε ότι είναι ένα µίνι κουνουπίδι µε τα δικά του ανθύλλια, διευθετηµένα όλα σε σπείρες. Εάν µπορούµε να µετρήσουµε τις σπείρες και στις δυο κατευθύνσεις, θα βρούµε ότι και αυτές είναι αριθµοί Fibonacci. Μετά αρχίζοντας από το κάτω µέρος κόβουµε το µεγαλύτερο ανθύλλιο παράλληλα µε το βασικό του «στέλεχος» και προχωράµε προς το επόµενο. Αυτό θα είναι περίπου στα 0,618 µιας στροφής (στη µια κατεύθυνση). Το κόβουµε µε τον ίδιο τρόπο. Επαναλαµβάνουµε το ίδιο όσο θέλουµε και κοιτάµε µετά το στέλεχος. Εκεί που τα ανθύλλια είναι σαν ένα κουκουνάρι ή έναν ανανά, διευθετήθηκαν σε σπείρες προς τα πάνω στο στέλεχος. Μετρώντας τα βρίσκουµε πάλι αριθµούς Fibonacci. Μπορούµε να δοκιµάσουµε µε ένα µπρόκολο, ένα µαρούλι ή ακόµα µε διάφορα φρούτα και να βρούµε διάφορους συσχετισµούς µε αριθµούς Fibonacci. Μπορούµε να αναζητήσουµε αριθµούς Fibonacci ακόµα και στα φρούτα. Αν ξεφλουδίσουµε π.χ. µια µπανάνα και τη κόψουµε στη µέση, θα µας αποκαλυφθεί ένας αριθµός Fibonacci, το ίδιο αν µετρήσουµε από πόσες «επίπεδες» επιφάνειες αυτή αποτελείται (3 ή 5). Αν πάλι κόψουµε ένα µήλο κατά µήκος του «ισηµερινού» του, θα βρούµε κι εκεί έναν αριθµό Fibonacci. Μπορούµε να πειραµατιζόµαστε και µε άλλα φρούτα και λαχανικά. Θα πρέπει να σηµειώσουµε όµως ότι παρόλο που οι αριθµοί Fibonacci και η χρυσή τοµή εµφανίζονται σε πολλές καταστάσεις στη φύση, δεν είναι οι µόνοι τέτοιοι αριθµοί. όπως επισηµαίνει ο S. M. Coxeter στο βιβλίο του Εισαγωγή στη Γεωµετρία: Θα πρέπει να γίνει παραδεκτό µε ειλικρίνεια ότι σε µερικά φυτά οι αριθµοί δεν ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci, αλλά στην ακολουθία Lucas, ή ακόµα στις ακόµα στις πιο ανώµαλες ακολουθίες 3,1,4,5,9,... ή 5,2,7,9,16,...Έτσι πρέπει να αντιµετωπίσουµε το γεγονός ότι η φυλλοταξία δεν είναι στη πραγµατικότητα ένας παγκόσµιος νόµος, αλλά απλά µια γοητευτική επικρατούσα τάση.

Σηµειώνουµε όµως ότι όλες αυτές οι ακολουθίες, ακόµα και οι προαναφερθείσες από τον Coxeter σαν «ανώµαλες», ακολουθούν το ίδιο γενικό κανόνα Fibonacci: κάθε όρος τους ισούται µε το άθροισµα των δυο προηγούµενων όρων. ∆ιαφέρουν µόνο ως προς το ζεύγος των αρχικών τιµών τους. Σε όλες πάλι ο λόγος του επόµενου όρου προς το προηγούµενο τείνει πάντα στη χρυσή τοµή Φ. Φαίνεται έτσι ότι η χρυσή τοµή είναι µια πιο γενική σταθερά στη φύση απ’ ό,τι ακολουθία Fibonacci.

ΓΙΑΤΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΕΙΝΑΙ Η «ΚΑΛΥΤΕΡΗ» ∆ΙΕΥΘΕΤΗΣΗ ΓΙΑ ΤΑ ΦΥΤΑ Το φαινόµενο της εµφάνισης των αριθµών Fibonacci στις σπειροειδείς διατάξεις των σπόρων των φυτών και στη φυλλοταξία δεν είναι αποτέλεσµα µιας φυσικής εξέλιξης και τελείωσης, αλλά της δυναµικής ανάπτυξης του φυτού. Για να καταλάβουµε πώς δηµιουργούνται αυτές οι σπείρες θα πρέπει να εστιάσουµε τη προσοχή µας στο σηµείο που ξεκινούν τα άνθη, οι καρποί και οι σπόροι του φυτού: τη κορυφή, την άκρη του βλασταριού ενός αναπτυσσόµενου φυτού. Οι βοτανολόγοι έχουν δείξει ότι τα φυτά αναπτύσσονται από µια ξεχωριστή µικροσκοπική οµάδα αδιαφοροποίητων κυττάρων στην κορυφή οποιουδήποτε αναπτυσσόµενου φυτού που ονοµάζεται µερίστηµα. Υπάρχει επίσης ένα ξεχωριστό µερίστηµα στην άκρη κάθε κλάδου, όπου σχηµατίζονται νέα κύτταρα. Μόλις αυτά σχηµατισθούν, αυξάνουν σε µέγεθος, αλλά τα καινούργια κύτταρα σχηµατίζονται µόνο σε αυτά τα σηµεία ανάπτυξης. Προηγούµενα κύτταρα κάτω στο στέλεχος διαστέλλονται κι έτσι το αναπτυσσόµενο σηµείο ανέρχεται. Επίσης αυτά τα κύτταρα αναπτύσσονται µε ένα σπειροειδή τρόπο σαν το στέλεχος να στρέφεται κατά µια γωνία και µετά να εµφανίζεται ένα νέο κύτταρο, να στρέφεται µετά ξανά και να σχηµατίζεται ένα νέο κύτταρο κ.ο.κ. Αυτά τα κύτταρα µπορούν µετά να γίνουν ένα νέο κλαδί, ή σε ένα άνθος να γίνουν πέταλα και στήµονες. Το βασικό σηµείο εδώ είναι ότι µία µοναδική, σταθερή γωνία µπορεί να δηµιουργήσει τη βέλτιστη διάταξη, αδιάφορα από το πόσο αναπτύσσεται το φυτό. Μόλις σταθεροποιηθεί λοιπόν µια γωνία, ας πούµε για ένα φύλλο, αυτό το φύλλο θα αποκρύψει ελάχιστα τα από κάτω του και θα αποκρυβεί ελάχιστα από τα µελλοντικά φύλλα πάνω από αυτό. Παρόµοια µόλις τοποθετηθεί ένας σπόρος στη κεφαλίδα του, αυτός συνεχίζει προς τα έξω σε µια ευθεία γραµµή σπρωχνόµενος από άλλους νέους σπόρους, αλλά διατηρώντας την αρχική γωνία στη κεφαλίδα. Αδιάφορα από το πόσο µεγάλη είναι η κεφαλίδα, οι σπόροι θα διατάσσονται πάντα οµοιόµορφα πάνω σε αυτή. Όλα αυτά συµβαίνουν λόγω µιας µοναδικής, σταθερής γωνίας περιστροφής µεταξύ των νέων κυττάρων. Η αρχή ότι µια µοναδική γωνία παράγει οµοιόµορφες διατάξεις, αδιάφορα από το πόσο αναπτύσσεται µετά το φυτό, αποδείχθηκε µαθηµατικά το 1993 από τους Γάλλους µαθηµατικούς Douady και Couder. Η σταθερή, µοναδική αυτή γωνία βέβαια δεν είναι άλλη από τη «χρυσή γωνία», δηλαδή Φ κύτταρα ανά στροφή ή φ στροφές ανά νέο κύτταρο. Ο συνδυασµός της ευθύγραµµης µετατόπισης του σπόρου και της περιστροφής του στελέχους δηµιουργεί έτσι τις παρατηρούµενες τελικά σπείρες στο φυτό. Οι διευθετήσεις των φύλλων είναι ίδιες, όπως για τους σπόρους και τα πέταλα. Όλα τοποθετούνται στα 1,618034.. φύλλα (σπόροι, πέταλα) ανά στροφή ή στις 0,618034 στροφές ανά φύλλο (σπόρο ή πέταλο). Το 0,618034 τώρα των 360° είναι 222,492... ≈ 222,5°.

Σχήµα 7 Επειδή όµως έχουµε τη τάση να «βλέπουµε» τη µικρότερη (κυρτή) γωνία, αντί της µη κυρτής γωνίας των 222,5ο, θα έχουµε 360ο- 222,5° = 137,5°, που δεν είναι άλλη από τη «χρυσή» γωνία. Εάν υπάρχουν λοιπόν Φ (1,618...) φύλλα ανά στροφή (ή ισοδύναµα, φ= 0,618...στροφές ανά φύλλο), τότε θα έχουµε τη καλύτερη διευθέτηση, έτσι ώστε κάθε φύλλο να έχει τη µέγιστη δυνατή έκθεση στο φως, ρίχνοντας την ελάχιστη σκιά πάνω στα άλλα. καθώς και τη µεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια έκθεσης στη βροχή, η οποία θα κατευθυνθεί µετά κυλώντας µέσω του στελέχους προς τις ρίζες. Για τα λουλούδια ή πέταλα θα υπάρχει η βέλτιστη δυνατή έκθεση στα έντοµα για την προσέλκυσή τους µε σκοπό τη γονιµοποίηση. Ολόκληρο το φυτό φαίνεται να παράγει τα φύλλα του, τα πέταλα της κεφαλίδας και µετά τους σπόρους του µε βάση το χρυσό αριθµό φ. Αυτός αποδεικνύεται ότι δίνει τη καλύτερη γωνία σε σχέση µε οποιονδήποτε άλλο αριθµό. Γενικότερα αποδεικνύεται ότι οποιοσδήποτε ρητός αριθµός (που µπορεί να γραφεί σαν πηλίκο δυο ακεραίων) δε θα ήταν καλός σα µια γωνία στροφής ανά σπόρο, γιατί σε πολύ µεγάλες κεφαλίδες οι σπόροι θα κατέληγαν τελικά να βρίσκονταν σε ευθείες γραµµές. ∆ίνουν επίσης µεγάλο συνωστισµό ή µεγάλη αραίωση των σπόρων. Ο ζητούµενος λοιπόν αριθµός πρέπει να είναι άρρητος και από τους άρρητους τελικά ο φ που αντιστοιχεί στην απλούστερη µορφή ενός συνεχούς κλάσµατος. Ως προς το γιατί εµφανίζονται τώρα οι αριθµοί Fibonacci στις διατάξεις των φύλλων και στον αριθµό των σπειρών πάνω στις κεφαλίδες των σπόρων, ο λόγος είναι ότι οι αριθµοί Fibonacci αποτελούν τις καλύτερες ακέραιες προσεγγίσεις προς το χρυσό αριθµό.

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI

Σχήµα 8

Η Billie Ruth Sudduth, που ζει στις Ηνωµένες Πολιτείες, στα βουνά της Βόρειας Καρολίνα, είναι γνωστή διεθνώς για τα περίτεχνα καλάθια που κατασκευάζει. Έχει ονοµασθεί µάλιστα σαν ένας «Ζωντανός Θησαυρός» από τη πολιτεία της Βόρειας Καρολίνας. Στην αρχή αυτή χρησιµοποιούσε

διάφορες παραδοσιακές τεχνικές κατασκευής, όταν ένας δάσκαλος στο σχολείο που δίδασκε τη τέχνη της, της επεσήµανε ότι τα καλάθια της και τα σχέδιά τους περιελάµβαναν µέσα τους τη χρυσή τοµή, όπως αποδεικνυόταν από το λόγο του ύψους προς το πλάτος τους και από την απόσταση των διάφορων µοτίβων σε αυτά. Χωρίς να το γνωρίζει η ίδια, είχε διαλέξει διαισθητικά τη «χρυσή αναλογία», γι’ αυτό τα καλάθια της ήταν τόσο όµορφα. Η Billie Ruth αποφάσισε στη συνέχεια να χρησιµοποιήσει τη χρυσή τοµή σκόπιµα στη κατασκευή των καλαθιών της Η συνειδητή αυτή επιλογή κατέληξε στα πιο θαυµαστά κοµµάτια και σε περισσότερες εφαρµογές και πιο σύνθετα µοτίβα για τα καλάθια της. Η Billie Ruth χρησιµοποιεί τώρα τη χρυσή τοµή εκτός από το λόγο του πλάτους προς το ύψος και στη "φυσική ακολουθία», όπως την ονοµάζει, στο τρόπο του πλεξίµατος των καλαθιών. Ένα τυπικό πλέξιµο καλαθιού εναλλάσσεται µεταξύ της από πάνω και της από κάτω πλέξης. Το πλέξιµο της φυσικής ακολουθίας είναι ένα από πάνω, ένα από κάτω, δυο από πάνω και τρία από κάτω, µε άλλα λόγια οι τέσσερες πρώτοι όροι της ακολουθίας Fibonacci. Η Billie Ruth χρησιµοποιεί τη χρυσή τοµή και στα γραµµικά σχέδια των καλαθιών της. Το σχέδιο ζικ-ζακ που συνήθως χρησιµοποιεί δεν είναι τυχαίο, αλλά παρακολουθεί την ακολουθία Fibonacci. και το ονοµάζει µάλιστα «Fibonacci-Πέντε». Αρχίζοντας από το κάτω µέρος µια γραµµή κάνει ζικ για πέντε σειρές από το πυθµένα, ύστερα για οκτώ σειρές και µετά συνεχίζει µε ζικ και ζακ σε διαστήµατα 13, 21 και 24 σειρών. Η αρχική της διαίσθηση έχει αντικατασταθεί τώρα από ένα πολύ µαθηµατικό πρότυπο που ικανοποιεί ειδικές µαθηµατικές σχέσεις στο µέγεθος του καλαθιού, τη πλέξη του και τα γραµµικά του σχέδια. Χρησιµοποιεί δυο βασικά χρώµατα: το µαύρο ή το κόκκινο. Όλες οι βαφές της είναι φυσικές, γιατί όπως επισηµαίνει «οι Ινδιάνοι, όπως οι Τσερόκι, χρησιµοποίησαν µόνο φυσικές βαφές. Είχαν ένα σεβασµό για τη γη και νοµίζω ότι χρησιµοποιώντας φυσικά υλικά και τη χρυσή τοµή, δείχνω τον ίδιο σεβασµό για τη γη που έχουν δείξει αυτοί για τόσους πολλούς αιώνες». Όποιος ενδιαφέρεται να γνωρίσει περισσότερα για τα καλάθια και τη κατασκευή τους µπορεί να επισκεφθεί το Web site της στη διεύθυνση http://www.brsbasket.com/.

∆ΑΚΤΥΛΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI Αν κοιτάξουµε τα χέρια µας θα παρατηρήσουµε ότι έχουµε: 2 χέρια που καθένα τους έχει: 5 δάκτυλα, καθένα των οποίων έχει 3 µέρη που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις. Εάν µετρήσουµε το µήκος των οστών σε ένα δάκτυλό µας (γέρνοντάς το καλύτερα λίγο), θα δούµε ότι ο λόγος του µακρύτερου προς το µεσαίο κόκαλο σε ένα δάκτυλο είναι ίσος µε Φ, το ίδιο και ο λόγος του µεσαίου προς το µικρότερο στο τέλος του δακτύλου. Μήπως υπάρχει κάποια σχέση και ανάµεσα στα µήκη των δακτύλων µας;

ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI ΚΑΙ ΠΟΙΗΣΗ Ο καθηγητής George Eckel Duckworth στο βιβλίο του ∆οµικά πρότυπα και αναλογίες στην Αινειάδα του Βιργιλίου (University of Michigan Press, 1962) υποστηρίζει ότι ο Βιργίλιος

χρησιµοποίησε συνειδητά αριθµούς Fibonacci για να δηµιουργήσει τη ποίησή του και το ίδιο έκαναν και άλλοι Ρωµαίοι ποιητές της εποχής. Η καπνοδόχος του εργοστασίου παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας στο Τούρκου της Φιλανδίας έχει πάνω της τους αριθµούς Fibonacci σε φώτα νέου ύψους 2 µέτρων. Ο καλλιτέχνης που τα έφτιαξε ανέφερε ότι είναι µια µεταφορά για την ανθρώπινη αναζήτηση για τάξη και αρµονία µέσα στο χάος.

ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI

Σχήµα 9

∆ιάφοροι συνθέτες έχουν χρησιµοποιήσει τους αριθµούς Fibonacci στις µουσικές τους συνθέσεις. Ο Trudi Hammel Garland αναφέρει πολλά ανάλογα παραδείγµατα στο κεφάλαιο για τη µουσική του βιβλίου του Fascinating Fibonaccis (Dale Seymours publications, 1987).

ΜΟΥΣΙΚΗ FIBONACCI-ΓΚΑΜΕΛΑΝ Η Γκάµελαν είναι η µουσική της Ινδονησίας. Είναι ένας ιδιαίτερος τρόπος να παίζεις και να σκέφτεσαι τη µουσική. Μπορεί να γίνει µε ένα γκονγκ, µερικές ξύλινες πλάκες, µια χορδή ή ένα διπλό καλαµένιο κόρνο. Προτιµούνται συνήθως τα κρουστά. ∆ιάφορα νησιά ή περιοχές της Ινδονησίας έχουν τα δικά τους µοναδικά όργανα Γκάµελαν και τις δικές τους µουσικές παραδόσεις. Ο µαθηµατικός David Canright συνδύασε τη σειρά Fibonacci µε Ινδονησιακές µουσικές µορφές Γκάµελαν δηµιουργώντας µια ενδιαφέρουσα «στρωµατοποιηµένη µουσική» στην οποία κάθε στρώµα αποτελείται από όργανα ενός ορισµένου πεδίου οξύτητας που παίζουν µε ένα ορισµένο ρυθµό. Σύµφωνα µε αυτόν, ο πιο προφανής τρόπος για να πάρεις στρωµατοποιηµένους ρυθµούς Fibonacci µουσικής γκάµελαν είναι να κάνεις το στρώµα µε τον οξύτερο τόνο να παίζει κάθε µπιτ, το επόµενο (στη σειρά ύψους) κάθε δύο µπιτς, το µεθεπόµενο κάθε τρία µπιτς, το αντιµεθεπόµενο κάθε πέντε κ.ο.κ. Παρόλο που αυτή η δοµή παρουσιάζει ενδιαφέρον σαν ένα σηµείο αφετηρίας, δεν παρουσιάζει ενίσχυση των τόνων ανάµεσα στα στρώµατα, σαν αυτή που παρατηρείται στη µουσική γκάµελαν. Ο µόνος τρόπος για να πάρουµε αυτό το είδος ενίσχυσης µε αριθµούς Fibonacci είναι να έχουµε για κάθε στρώµα δύο τουλάχιστον διαφορετικά «µήκη» νότας.

Έτσι ο Caright χρησιµοποίησε την ιδέα των µακρών (L) και των βραχέων (S) νοτών σε κάθε στρώµα, µε το οξύτερο στρώµα να παίζει µία νότα ενός και δύο µπιτς, το επόµενο µια νότα δύο και τριών µπιτς κ.ο.κ. Έτσι µια µακρά νότα (L) στο ένα στρώµα διαρκεί όσο µια µακρά και βραχεία (LS ή SL) του επόµενου ψηλότερου στρώµατος και µια βραχεία νότα (S) στο ένα στρώµα αντιστοιχεί σε µια µακρά (L) στο επόµενο στρώµα. Επειδή ήθελε να έχει το ίδιο πρότυπο µακρών και βραχέων νοτών σε κάθε στρώµα (για οποιοδήποτε αριθµό στρωµάτων), κατέληξε πειραµατιζόµενος ότι αυτό µπορούσε να γίνει µόνο εάν το πρότυπο αρχίζει µε LSL. Η απόφαση αυτή για το ίδιο πρότυπο απαιτούσε όλα τα χαµηλότερα στρώµατα να αρχίζουν µε τον ίδιο τρόπο, ενώ η απόφαση για την ενίσχυση των τόνων ανάµεσα στα στρώµατα απαιτούσε τα ανώτερα στρώµατα να ενισχύουν τα κατώτερα. Με αυτές τις δυο αποφάσεις προσδιορίζονται επίσης ορισµένες κατοπινές θέσεις του προτύπου. Συνεχίζουν όµως να υπάρχουν άλλες επιλογές που πρέπει να γίνουν, αρχίζοντας µε το εάν η τετάρτη νότα του προτύπου θα πρέπει να είναι βραχεία ή µακρά (L S L S L ή L S L L S, εφόσον τότε προσδιορίζεται η επόµενη νότα). Παρόλο που θα µπορούσαν να επινοηθούν πολλά διαφορετικά σχήµατα παίρνοντας αντίστοιχες αποφάσεις για τις επόµενες επιλογές που πρέπει να γίνουν, ο Caright κατέληξε, από προσωπική εκτίµηση και αισθητική µετά από πειραµατισµό, σε τρία διαφορετικά απλά σχήµατα. Στο πρώτο θέτει πάντα πρώτη τη µακρά νότα (LS), στο δεύτερο, δοσµένης µιας επιλογής, θέτει πάντα πρώτη τη βραχεία νότα (SL), που είναι βασικά το αντίστροφο του προηγούµενου και στο τρίτο σχήµα βάζει το µακρύ µπιτ κοντά στο «βαθύτερα ενισχυµένο από τα δυο µπιτ που οροθετούν την διαιρούµενη διάρκεια». Το τελευταίο σχήµα τράβηξε περισσότερο το ενδιαφέρον του. Συνοψίζοντας δηλώνει Σε συντοµία αυτοί οι ρυθµοί Fibonacci-γκάµελαν είναι το αποτέλεσµα του συνδυασµού της ακολουθίας Fibonacci µε στρώµατα γκάµελαν, που χρειάζονται ενίσχυση και το ίδιο πρότυπο σε κάθε στρώµα κι επιλέγοντας ένα απλό σχήµα για να γεµίσεις τα εναποµείναντα κενά στο πρότυπο. Από αυτές τις λίγες ιδέες έχει προέλθει εύκολα µια δοµή που τη βρίσκω πλούσια, συναρπαστική και αισθητικά ικανοποιητική.

Ο David Canright επεσήµανε ακόµα ότι αν τα πρότυπα της βραχείας και της µακράς νότας που παράγονται από τα τρία προηγούµενα σχήµατα επεκταθούν σε άπειρο µήκος, θα δώσουν µια απεριοδική ακολουθία, η οποία µαζί µε τη σχέση µε τη χρυσή τοµή µας θυµίζει την απεριοδική επίστρωση ενός επιπέδου µε τους ρόµβους Penrose καθώς επίσης τη δοµή των ηµικρυστάλλων, για τα οποία θα µιλήσουµε αργότερα. Κατ’ αυτόν και οι δυο περιπτώσεις περιέχουν τα ίδια πρότυπα µε αυτά της µουσικής Fibonacci-gamelan. Για περισσότερες πληροφορίες και πληρέστερη κατανόηση του θέµατος, µαζί µε µουσικά διαγράµµατα, επισκεφθείτε τις διευθύνσεις: http://www.mbay.net/~anne/david/fibgam/ http://www.dnai.com/~jinetwk/one-one.html ή http://www.dnai.com/~jinetwk/one-one.html.

ΙΕΡΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η οµορφιά πείθει από µόνη της τα µάτια των ανθρώπων χωρίς κανένα ρήτορα Γουίλιαµ Σαίξπηρ Και θα συνέθετα τις γραµµές του πλακόστρωτου µε µουσικές και γεωµετρικές αναλογίες, έτσι ώστε µε όποιον τρόπο και να στρέψουµε τα µάτια µας, να είµαστε σίγουροι ότι θα ανακαλύψουµε µια απασχόληση για το Νου µας. Leon Battisti Alberti: «∆έκα Βιβλία της Αρχιτεκτονικής»

Ο Γκουρντζίεφ διακρίνει µε εµβρίθεια την υποκειµενική από την αντικειµενική τέχνη. Η πρώτη είναι µια «µηχανική αναπαραγωγή, µίµηση της φύσης ή άλλων ανθρώπων, ή απλώς φαντασία, ή µια προσπάθεια για πρωτοτυπία». Σε αυτή τα πάντα είναι υποκειµενικά, τόσο οι εντυπώσεις του καλλιτέχνη και οι µορφές που αυτός χρησιµοποιεί, όσο και η ερµηνεία των έργων του από τους άλλους. Όλα είναι τελικά αποτέλεσµα τυχαίων συνειρµών είτε του ίδιου είτε των ακροατών ή θεατών του. Αντίθετα, στην αληθινή τέχνη, την αντικειµενική, τα πάντα είναι µαθηµατικά, «µπορούν να υπολογιστούν και είναι δυνατόν να είναι γνωστά από πριν. Ο καλλιτέχνης γνωρίζει και κατανοεί αυτό που θέλει να µεταδώσει και το έργο του µεταδίδει σε όλους την ίδια εντύπωση όπως ένα επιστηµονικό βιβλίο».

ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΑΙΓΥΠΤΟΣ Αυτά τα διαχρονικά, αντικειµενικά έργα τέχνης, που εµπερικλείουν και ενσωµατώνουν τα ιερά µαθηµατικά, τους κοσµικούς νόµους της τάξης, της αρµονίας και του Αριθµού είναι που µας ενδιαφέρουν εδώ, ή έστω και οι προσπάθειες για µια πιο αντικειµενική τέχνη. Ένα τέτοιο αντικειµενικό πανάρχαιο έργο τέχνης είναι βέβαια οι Πυραµίδας της Γκίζας και ιδιαίτερα η Πυραµίδα του Χέοπα, το µόνο διασωζόµενο σήµερα από τα επτά θαύµατα του αρχαίου κόσµου.

Σχήµα 1

Από την αρχαιότητα ήταν γνωστό ότι η µεγάλη πυραµίδα του Χέοπα, εκτός των αστρονοµικών και άλλων συσχετισµών της, εµπεριείχε συγκεκριµένες µαθηµατικές σχέσεις στη γεωµετρική της δοµή µε τις οποίες αποτύπωνε ορισµένα ιερά µαθηµατικά, αποτελώντας έτσι πραγµατικά ένα έργο αντικειµενικής τέχνης. Η Πυραµίδα του Χέοπα είναι µια κανονική τετραγωνική πυραµίδα ύψους περίπου 148 µέτρων, µε τετραγωνική βάση πλευράς περίπου 231 µέτρα και παράπλευρες έδρες ισοσκελή τρίγωνα. Αριθµολογικά συνθέτει τους αριθµούς 3, 4, 5 και 7. Το 3 από τις τριγωνικές παράπλευρες έδρες της, το 4 από τη τετραγωνική βάση της, το 5 από τις πέντε κορυφές τους και το 7 από τη σύνθεση της βάσης τους µε µια παράπλευρη έδρα τους. Οι συµβολικές αντιπροσωπεύσεις της είναι εποµένως πολλές µε βάση όλα όσα έχουµε ήδη αναφέρει γι’ αυτούς τους αριθµούς. Η Έλενα Πέτροβα Μπλαβάτσκυ παρατηρεί για το συµβολισµό της και τη χρήση της τα εξής: Η Αιγυπτιακή Πυραµίδα αντιπροσωπεύει επίσης συµβολικά την ιδέα του κοσµικού δένδρου. Η κορυφή της είναι ο µυστικός σύνδεσµος ανάµεσα στον ουρανό και τη γη και συµβολίζει τη ρίζα, ενώ η βάση της αντιπροσωπεύει τους κλάδους που εκτείνονται στα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα του σύµπαντος της ύλης, Μεταδίδει την ιδέα ότι όλα τα πράγµατα είχαν την προέλευσή τους στο πνεύµα - µε την εξέλιξη να έχει ξεκινήσει αρχικά από τα πάνω και προχωρήσει µετά προς τα κάτω, αντί για το αντίστροφο, όπως διδάσκει η ∆αρβινική θεωρία... Εσωτερικά συµβόλιζε τη δηµιουργική αρχή της φύσης, και διασαφήνιζε επίσης τις αρχές της γεωµετρίας, των µαθηµατικών, της αστρολογίας και της αστρονοµίας. Εσωτερικά ήταν ένας µεγαλειώδης ναός, στου οποίου τα σκοτεινά κοιλώµατα εκτελούντο τα Μυστήρια και του οποίου οι τοίχοι υπήρξαν συχνά µάρτυρες των σκηνών µύησης µελών της βασιλικής οικογενείας. Η πορφυρή σαρκοφάγος...ήταν µια κολυµβήθρα βαπτίσµατος, όπου αναδυόµενος ο νεόφυτος «αναγεννάτο» και γινόταν ένας µύστης. Ο ονοµαζόµενος Θάλαµος του Βασιλιά... ήταν πιθανά ο τόπος στον οποίο γινόταν δεκτός ο µυούµενος, αφού είχε περάσει διά µέσου της στενής ανηφορικής διάβασης και της Μεγάλης Στοάς...Ο «Θάλαµος του Βασιλιά» είναι έτσι ένα «Άγιο των Αγίων». Τις ηµέρες των Μυστηρίων της Μύησης ο υποψήφιος, αντιπροσωπεύοντας τον ηλιακό θεό, έπρεπε να κατέλθει µέσα στη σαρκοφάγο και να παραστήσει την ενεργοποιούσα ακτίνα που εισέρχεται µέσα στη γόνιµη µήτρα της Φύσης. Αναδυόµενος από αυτή το ερχόµενο πρωί, συµβόλιζε την ανάσταση της ζωής µετά την αλλαγή που ονοµάζεται Θάνατος. Στα Μεγάλα Μυστήρια ο συµβολικός του θάνατος κρατούσε δύο ηµέρες, οπότε αυτός αναδυόταν µαζί µε τον ήλιο το τρίτο πρωί, µετά τη τελευταία νύχτα των πιο σκληρών δοκιµασιών.... Ήδη ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι η κανονική τετραγωνική αυτή Πυραµίδα είχε κατασκευαστεί µε τέτοιο τρόπο ώστε η περίµετρος της βάσης της να είναι ίση µε το µήκος της περιφέρειας ενός κύκλου που έχει ακτίνα ίση µε το ύψος της ( Π = 4α = 2πυ). Ξεκινώντας από αυτή τη βασική σχέση µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα µε τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήµατος την ακµή της και το παράπλευρο ύψος της και µετά οποιαδήποτε άλλα δευτερεύοντα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της. Εκείνο που µας ενδιαφέρει βασικά εδώ είναι οι γεωµετρικές σχέσεις µεταξύ των βασικών στοιχείων της και όχι τόσο για το αν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήσαν ικανοί να κατασκευάσουν γεωµετρικά (µε πόση ακρίβεια µπορούσαν να τους υπολογίσουν) τους άρρητους ή υπερβατικούς αριθµούς που αναδύονται από την έρευνά µας. Αυτό βασικά που φαίνεται να έχει επιδιωχθεί γεωµετρικά µε τη κατασκευή της Πυραµίδας του

Χέοπα είναι η σύνδεση του υπερβατικού αριθµού π µε τον άρρητο αριθµό της Φ χρυσής τοµής µέσω της προσεγγιστικής σχέσης π = 4/ Φ . Το π ανάγεται στο βασίλειο του κύκλου και το Φ σε αυτό του τετραγώνου, µέσω του οποίου µπορεί να κατασκευαστεί, και η σχέση τους σε µια ακόµα ιερή προσπάθεια τετραγωνισµού του κύκλου. Από τη σχέση που δίνει ο Ηρόδοτος, έχουµε αµέσως ότι ο λόγος του ύψους της πυραµίδας προς το µισό της πλευράς της βάσης της είναι ίσος µε 4/π =1,273239... Η τετραγωνική τώρα ρίζα του χρυσού αριθµού Φ ισούται µε Φ =1,272019.., δηλαδή έχουµε µια απόκλιση µόνο κατά 0,096%. Θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε λοιπόν σα µια καλή προσέγγιση τη σχέση 4/π = Φ , η οποία είναι αποτυπωµένη γεωµετρικά στη δοµή της πυραµίδας. Αν για λόγους ευκολίας υπολογισµών (άλλωστε εδώ µας ενδιαφέρουν οι αναλογίες των γεωµετρικών στοιχείων µεταξύ τους και όχι τόσο οι ακριβείς τιµές τους) θεωρήσουµε ότι η πλευρά της βάσης της πυραµίδας είναι 2 µονάδες, οπότε το µισό αυτής της πλευράς είναι 1 µονάδα, τότε το ύψος της πυραµίδας ισούται µε Φ και από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΕ που σχηµατίζει το ύψος ΚΟ µε το παράπλευρο ύψος ΚΕ και το µισό της πλευράς της βάσης ΟΕ έχουµε από το Πυθαγόρειο θεώρηµα ότι (ΚΕ)2 = Φ+1=Φ2 κι’ εποµένως (ΚΕ)=Φ. Το βασικό αυτό τρίγωνο της πυραµίδας που είναι γνωστό σαν Αιγυπτιακό Τρίγωνο ή επίσης Τρίγωνο του Price έχει εποµένως πλευρές κατά σειρά µεγέθους 1, Φ , Φ, οι οποίες αποτελούν γεωµετρική πρόοδο µε λόγο Φ . Είναι το µόνο σκαληνό ορθογώνιο τρίγωνο που ικανοποιεί µια τέτοια σχέση. Στη Πυραµίδα του Χέοπα υπάρχουν τρία βασικά ορθογώνια τρίγωνα. Το προηγούµενο ΚΟΕ που αναφέραµε, το τρίγωνο ΚΟΓ που σχηµατίζει η ακµή της ΚΓ µε το ύψος της ΚΟ µέσω του µισού της διαγωνίου της βάσης της ΟΓ και το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΓΖ που σχηµατίζει το παράπλευρο ύψος της µε την ακµή της και τη βάση της Εύκολα βρίσκουµε ότι η ακµή της ισούται µε λ= (ΚΓ)= Φ + 2 . Τελικά όλα τα βασικά γεωµετρικά στοιχεία της Πυραµίδας µπορούν να εκφραστούν µέσω του χρυσού λόγου Φ. Συνοψίζοντας βλέπουµε ότι η Πυραµίδα του Χέοπα ενσωµατώνει τις κατασκευές των άρρητων τµηµάτων, Φ, Φ , Φ + 2 , 2 και π και επιλύει το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου (κατά µήκος) µέσω της αποτυπωµένης σχέσης 4/π = Φ µεταξύ του ύψους και της βάσης της. Η ίδια όµως αυτή σχέση επιλύει πρακτικά (προσεγγιστικά βέβαια) και το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου κατά εµβαδόν: Το εµβαδόν του κύκλου που έχει ακτίνα ίση µε το ύψος της πρότυπης πυραµίδας είναι π.υ2 = π.Φ = π.(4/π)2=16/π, ενώ το εµβαδόν του Τριγώνου Price είναι Φ /2= 2/π, δηλαδή είναι ίσο µε το ένα όγδοο του εµβαδού του προηγούµενου κύκλου. Αν αντί του προηγούµενου, παίρναµε ένα κύκλο µε διάµετρο ίση µε το ύψος της πυραµίδας (κύκλος John Taylor), το εµβαδόν του θα ήταν ίσο µε το εµβαδόν της τοµής της (δύο Τρίγωνα Price) µε το µεσοκάθετο επίπεδο σε µια πλευρά της βάσης της.. Το εµβαδόν µιας παράπλευρης έδρας της πρότυπης πυραµίδας ισούται µε το παράπλευρο ύψος της Φ (αφού η βάση αυτού του τριγώνου είναι ίση µε 2 µονάδες) κι εποµένως µε το τετράγωνο του ύψους της Φ . Ο τετραγωνισµός όµως επιτυγχάνεται και µέσω του ισοδύναµου προσεγγιστικά ορθογωνίου που έχει µήκος το διπλάσιο του ύψους της πυραµίδας και πλάτος µια πλευρά της βάσης της. Το εµβαδόν αυτού του ορθογωνίου θα είναι 2.2υ = 4 Φ =16/π, ίσο δηλαδή µε το εµβαδόν του κύκλου µε ακτίνα το ύψος της πυραµίδας. Τέλος η κλίση της, δηλαδή η γωνία ΚΕΟ θα δίνεται από τη σχέση συνθ = 1/Φ, απ’ όπου θ = 51ο 49΄. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η κεντρική γωνία του κανονικού επταγώνου είναι αρκετά κοντά σε αυτή: 51ο 25'. Αν η Πυραµίδα του Χέοπα συγκριθεί µε τη Πυραµίδα του Ηλίου στο Τεοτιχουακάν του

κεντρικού Μεξικού, θα παρατηρηθεί ότι αυτές έχουν την ίδια περίπου περίµετρο, αλλά η δεύτερη έχει το µισό σχεδόν ύψος από τη πρώτη. Στη πυραµίδα του Ηλίου ο λόγος της περιµέτρου βάσεως προς το ύψος είναι διπλάσιος (4π) απ’ ό,τι στη πυραµίδα του Χέοπα (2π) και ο λόγος του ύψους προς το µισό της βάσης είναι ίσος περίπου µε τον αντίστροφο του Φ.

Σχήµα 2

Αν θεωρήσουµε ένα φανταστικό ηµισφαιρικό θόλο ακτίνας R να στέκεται πάνω στη βάση της πρότυπης πυραµίδας και να εφάπτεται στις τέσσερες έδρες της εσωτερικά, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΗ έχουµε: (OΗ)2=(ΛΗ).(ΚΗ) ή 1=(ΛΗ).Φ ή (ΛΗ)=(ΜΖ)=1/Φ=φ, οπότε ΚΛ=Φ-1/Φ=1. Εποµένως ΚΛ:ΒΛ=1/φ =Φ. Άρα τα σηµεία Λ και Μ είναι αντίστοιχα οι χρυσές τοµές των ακµών ΚΒ και ΚΓ. Επίσης είναι (ΟΛ)2=R2=(ΚΛ).(ΒΛ)=1/Φ, άρα R=ΟΣ=1/ Φ και ΟΣ:ΚΟ = 1/Φ =φ, οπότε και το Σ είναι η χρυσή τοµή του ύψους ΚΟ. Εποµένως το ηµισφαίριο αυτό είναι ένα «χρυσό» ηµισφαίριο που τέµνει το ύψος και τις έδρες (παράπλευρα ύψη) στα σηµεία των χρυσών τοµών τους. Το ηµισφαίριο αυτό µας θυµίζει την απεικόνιση της Αιγυπτιακής θεάς του ουρανού Νουτ όπως αυτή καµπυλώνει το σώµα της πάνω από τον άνδρα της Κεµπ (συµβολιζόµενο εδώ µε τη τετραγωνική βάση της Πυραµίδας), ενώ στέκεται στον ανατολικό ορίζοντα και ακουµπά µε τα χέρια της πάνω στο δυτικό ορίζοντα. Εδώ υπάρχουν πολλοί συµβολισµοί και σε σχέση µε τη γέννηση του ηλιακού παιδιού από την µητέρα του ουρανού, τους οποίου λόγω έλλειψης χώρου παραλείπουµε, σηµειώνοντας απλώς ότι εάν υπάρχει ένας κρυµµένος θάλαµος στη Πυραµίδα του Χέοπα, αυτός θα µπορούσε να βρίσκεται στη κορυφή του προηγούµενου φανταστικού, χρυσού, ηµισφαιρίου, 90,6 περίπου µέτρα πάνω από τη βάση της. Ο όγκος της πρότυπης πυραµίδας είναι VΠ =4 Φ /3 και του ηµισφαιρίου VHM =2π/3Φ Φ , οπότε ο λόγος των όγκων τους προκύπτει 0,6, δηλαδή ο όγκος του ηµισφαιρίου είναι ίσος µε τα 3/5 του όγκου της πυραµίδας.

Σχήµα 3

Για να κατασκευάσουµε το Τρίγωνο του Price ξεκινάµε από ένα χρυσό ορθογώνιο ΗΛΜΟ µε (ΗΟ)=1 και (ΗΛ)=Φ. Με κέντρο το Η και ακτίνα ίση µε ΗΛ γράφουµε τόξο ΛΚ που τέµνει την ΟΜ στο Κ. Φέρουµε την ΗΚ=ΗΛ=Φ, Το τρίγωνο ΟΚΗ είναι το ζητούµενο. Προφανώς (ΚΟ)= Φ . Αν στη συνέχεια βρούµε το συµµετρικό Ζ του Η ως προς το Ο και φέρουµε τη ΚΖ, θα έχουµε τη µεσοκάθετη τοµή ΚΗΖ της πυραµίδας του Χέοπα, αποτελούµενη από δυο Τρίγωνα Price. Αν τώρα κατασκευάσουµε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆ κέντρου Ο και πλευράς ίση µε τη πλευρά της βάσεως της (τυπικής) πυραµίδας, αυτό θα τέµνει την ΚΟ στο Μ. Φέρουµε τους κύκλους (Ο,ΟΗ) και (Κ, ΚΜ), οι οποίοι εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά στο Μ και ο πρώτος στις πλευρές του τετραγώνου της βάσεως. Μπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι οι δύο αυτοί κύκλοι αντιπροσωπεύουν τα σχετικά µεγέθη της Γης και της Σελήνης! Το τετράγωνο της βάσεως αντιπροσωπεύει συµβολικά τη Γη και ο εγγεγραµµένος σε αυτό κύκλος το ίδιο το σχετικό µέγεθος της Γης, της οποίας εδώ την σχετική ακτίνα θωρούµε ίση µε τη µονάδα. Αντίστοιχα ο κύκλος της Σελήνης θα έχει ακτίνα ίση µε (ΚΜ)=(ΚΟ)-(ΟΜ)= Φ -1 και ο λόγος των ακτίνων των δυο αυτών κύκλων θα είναι 1: ( Φ -1)= 3,676... Η πραγµατική τώρα µέση ακτίνα της Γης είναι 6370 χιλ. και της Σελήνης 1.738 χιλ. και ο λόγος τους 12.756: 3476=3,665.. µια αρκετά καλή λοιπόν προσέγγιση. Αποδεικνύεται ότι η γεωµετρική κατασκευή της Πυραµίδας του Ηλίου µπορεί να προκύψει µε µια πολύ καλή προσέγγιση από τη γεωµετρική κατασκευή της Πυραµίδας του Χέοπα σύµφωνα µε τα όσο έχουµε πει µέχρι τώρα. Ο µαθηµατικός αυτός συσχετισµός των δύο πυραµίδων είναι αρκετά παράξενος, αφού αυτές κτίσθηκαν σε µια εποχή που η δυνατότητα επικοινωνίας των αντίστοιχων πολιτισµών τους θεωρείται ιστορικά απίθανη.

Σχήµα 4

Το Τρίγωνο του Price προκύπτει γενικά φέρνοντας τη διαγώνιο σε ένα ορθογώνιο της τετραγωνικής ρίζας του Φ (π.χ. µε πλευρές 1 και Φ ). Έστω ΛΜΝΠ ένα τέτοιο ορθογώνιο µε πλευρές µε µέτρα (ΠΛ)= 1 και (ΠΝ)= Φ . Φέρουµε µια διαγώνιο του ορθογωνίου, έστω τη ΛΝ. Από µία από τις δυο άλλες κορυφές του, έστω τη Π, φέρουµε την ΠΡ κάθετη στη διαγώνιο, που τέµνει τη ΛΝ στο Σ και την ΛΜ στο Ρ. Φέρουµε στη συνέχεια τη ΠΤ κάθετη στη ΠΝ. Θα δείξουµε ότι το σχηµατιζόµενο ορθογώνιο ΛΡΤΠ είναι επίσης ένα ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του Φ, ενώ τα σηµεία Σ και Ρ είναι οι χρυσές τοµές αντίστοιχα των ΛΝ και ΛΜ. Έστω Ι το σηµείο τοµής της ΡΤ µε τη ΛΝ. Φέρουµε τη ΙΘ παράλληλη της ΤΝ που τέµνει τη ΜΝ στο Θ. ΘΑ δείξουµε ότι και τα σχηµατιζόµενα µε αυτό το τρόπο ορθογώνια ΤΙΘΝ και ΡΜΘΙ είναι επίσης ορθογώνια τετραγωνικής ρίζας του Φ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΠΛΝ το ύψος ΠΣ στην υποτείνουσα ΛΝ υπολογίζεται ίσο µε: (ΠΣ)=(ΠΛ).(ΠΝ)/(ΛΝ)= Φ /Φ=1/ Φ . Από το ίδιο τρίγωνο έχουµε επίσης: (ΛΣ)= (ΠΛ)2/(ΛΝ)=1/Φ=φ οπότε (ΣΝ)=(ΛΝ)-(ΛΣ)=Φ-1/Φ = (Φ2-1)/Φ=Φ/Φ=1και το Σ είναι έτσι η χρυσή τοµή της διαγωνίου ΛΝ. Από το ορθογώνιο τώρα τρίγωνο ΠΛΡ έχουµε: (ΠΡ)= (ΠΛ)2/(ΠΣ)=1/ (1/ Φ )= Φ κι εποµένως (ΛΡ)= (ΠΡ) 2 − (ΠΛ) 2 = Φ − 1 = 1/Φ =1/ Φ (διότι Φ2Φ=Φ(Φ-1)=1 κι εποµένως Φ-1=1/Φ), οπότε (ΡΜ)=(ΛΜ)-(ΛΡ)= Φ -1/ Φ =(Φ-1)/ Φ =1/Φ Φ κι έτσι (ΛΡ):(ΡΜ) =Φ κι εποµένως το Ρ είναι η χρυσή τοµή της ΛΜ. Ας σηµειωθεί εδώ σε σχέση µε τον αριθµό Φ Φ =2,05817… ότι αν αφαιρεθεί από αυτόν η µονάδα, δίνει τον αριθµό 1,058170… που είναι αρκετά κοντά στη 12 2 =1,0594...= το διάστηµα ενός συγκεκραµένου ηµιτονίου που συναντήσαµε νωρίτερα στο κεφάλαιο της µουσικής. Το ορθογώνιο ΛΡΤΠ έχει (ΛΠ):(ΛΡ)= Φ και είναι εποµένως και αυτό ένα ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του Φ. Λέγεται µάλιστα αντίστροφο ορθογώνιο του αρχικού αφού ήταν (ΛΜ):(ΛΠ)= Φ και τώρα είναι (ΛΡ):(ΛΠ)=1/ Φ . Το σηµείο Σ λέγεται απόκρυφο κέντρο. Είναι ένα από τα τέσσερα απόκρυφα κέντρα του ορθογωνίου, δυο σε κάθε διαγώνιο. Μόνο στο ορθογώνιο της τετραγωνικής ρίζας του Φ, τα απόκρυφα κέντρα δίνουν τις χρυσές τοµές των υψών και πλατών του ορθογωνίου. Και το σηµείο Ι είναι ένα απόκρυφο κέντρο. Τα απόκρυφα κέντρα βοηθούν και στη σχεδίαση της Πυραµίδας του Ηλίου κατευθείαν από τις γεωµετρικές σχέσεις της πυραµίδας του Χέοπα, δείχνοντας ότι οι αρχιτέκτονές τους ακολουθούσαν ίσως, παράξενα πώς, ένα παρόµοιο σχέδιο. Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΛΜΝ είναι (ΡΙ):(ΜΝ)=(ΛΙ):(ΛΝ)=(ΛΡ):(ΛΜ)=1/Φ=φ. Άρα το Ι είναι η χρυσή τοµή της ΡΤ και της ΛΝ. και (ΡΙ)=1/Φ=φ. Ακόµα επειδή (ΛΡ):(ΡΙ)=(1/ Φ )/(1/Φ)=Φ/ Φ = Φ και το ορθογώνιο µε πλευρές ΛΡ και ΡΙ είναι ένα ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του Φ. Τέλος είναι (ΙΤ)=1-(ΡΙ)=1-φ = φ2 =1/Φ2 οπότε (ΤΝ):(ΤΙ)=(1/Φ Φ )/(1/Φ2)= Φ/ Φ = Φ , άρα και το ορθογώνιο µε πλευρές ΤΝ και ΤΙ είναι ένα ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του Φ. Παρόµοια επειδή (ΡΙ):(ΡΜ)=(1/Φ)/(1/Φ Φ )= Φ και το ορθογώνιο ΡΜΘΙ είναι ένα ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του Φ. Στην Αίγυπτο έχουµε και το αρχαιότερο µνηµείο της θρησκευτικής αρχιτεκτονικής των αρχαίων λαών. Είναι ο τετραγωνικός ναός της Σφίγγας στην Γκίζα, κτισµένος κατά τη τρίτη χιλιετία π.Χ. Αυτός περιβαλλόταν για λόγους ασφάλειας από τείχος, η είσοδος του οποίου είχε φρουριακή όψη

µε ψηλές και ορθογώνιες πύλες, πύργους κλπ. Το καλύτερο όµως παράδειγµα Αιγυπτιακού ναού είναι ο Ναός του Καρνάκ, ο µεγαλύτερος όλων των ναών του αρχαίου κόσµου. Μέσα στο τεράστιο τετράγωνο οικοδόµηµά του (πλάτους µέχρι 1400 µ.) περιέχονται ένδεκα ναοί διαφόρων διαστάσεων. Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι την Ιερή γεωµετρία, εκτός από την αρχιτεκτονική, τη συναντάµε στην αρχαία Αίγυπτο και στα αγάλµατα των θεών, στη ζωγραφική ή ακόµα και στη σχεδίαση των κοσµηµάτων. Για παράδειγµα το "sma taui", το Αιγυπτιακό σύµβολο της ενοποίησης των δυο χωρών (Βόρειου και Νότιου Βασιλείου) έχει σχεδιαστεί µε µια δωδεκαδική συµµετρία, ακολουθώντας το πρότυπο του ουράνιου Ζωδιακού, όπως και η ίδια η κοινωνία:

Σχήµα 5

Ή ακόµα το παρακάτω θωρακικό κόσµηµα του φαραώ Senwosret που δείχνει το δωδεκαδικό ηλιακό συµβολισµό να αναδύεται από το κέντρο όπου ο σκαραβαίος γεννά τον Ήλιο.

Σχήµα 6

ΙΟΥ∆ΑΙΑ ...Αλλά πάντα µέτρω και αριθµώ και σταθµώ διέταξας.. (Σοφία Σολοµώντος, ΙΑ΄,20)

Οι Ιουδαίοι µιµήθηκαν τους Αιγύπτιους στην κατασκευή των ναών τους, κτίζοντάς τους συνήθως στις κορυφές λόφων ή βουνών και περιτειχίζοντάς τους επίσης για λόγους προστασίας. Η εξέλιξη της αρχιτεκτονικής τους οδήγησε τελικά στον περίφηµο ναό του Σολοµώντα στα Ιεροσόλυµα (11ος αιώνας π.Χ.) που κτίστηκε από το διδάσκαλο Χιράµ της Τύρου µε τον οποίο συνδέονται οι Τεκτονικές παραδόσεις. Ο ναός κτίστηκε πάνω στα πρότυπα της Σκηνής του Μαρτυρίου όπου φυλασσόταν η Κιβωτός της ∆ιαθήκης. Η Σκηνή του Μαρτυρίου ήταν κατασκευασµένη πάνω σε καθαρά γεωµετρικές και µαθηµατικές αρχές µετά από οδηγίες που δόθηκαν στο Μωυσή, υποτίθεται από τον ίδιο το Θεό. Αποτελείτο από ένα ορθογώνιο, την Αυλή, στο πίσω µισό του οποίου βρισκόταν η σκηνή ή κάλυµµα του Ιερού. Κάτω από τη σκηνή υπήρχε το Άγιο και το Άγιο των Αγίων που ορίζονταν µε χωρίσµατα από ξύλινες σανίδες επενδεδυµένες µε χρυσό και συνδεδεµένες µε ασφάλεια µε ράβδους, δακτυλίους κ.λ.π. Ως προς τις επί µέρους µαθηµατικές διαστάσεις της, αυτές χρησιµοποιούσαν ως επί το πλείστον πολλαπλάσια του 10 (σε Ιουδαϊκούς πήχεις: 1 πήχης = 0,6 µέτρα) και είχαν ως εξής: Η «Αυλή» που περιέβαλλε το Άγιο και το Άγιο των Αγίων, µε τα σκεύη της, τη σκηνή, το τελετουργικό νιπτήρα, το Θυσιαστικό Βωµό και άλλα, ήταν ορθογώνια διαστάσεων 100Χ50 πήχεων (60Χ30 µέτρα). Περιβαλλόταν από ένα υφασµάτινο τοίχο ύψους 5 πήχεων (3 µ.) που στηριζόταν σε 60 ορειχάλκινους στύλους. Ο Βωµός, ένα µεγάλο ξύλινο κούφιο κιβώτιο, είχε διαστάσεις 5Χ5Χ3 πήχεις (3Χ3Χ1,8 µ.) και βρισκόταν στο ανατολικό µέρος του εγκλείσµατος, ενώ οι θυσιαστικές Τράπεζες και τα σκεύη βρίσκονταν στο αριστερό.

Το Ιερό ανυψωνόταν στο κέντρο του δυτικού τµήµατος της ορθογώνιας Αυλής και αποτελείτο από δυο θαλάµους: το Άγιο και το Άγιο των Αγίων. Η σκηνή προστάτευε και σχηµάτιζε ένα κάλυµµα γύρω από το Ιερό και χρησιµοποιήθηκε από τους ιερείς και τους ακολούθους τους σα θάλαµοι ανάπαυσης. Το Άγιο των Αγίων χωριζόταν από το Άγιο µε τέσσερες ξύλινους στύλους καλυµµένους µε φύλλα χρυσού. Το Άγιο ήταν ένα ορθογώνιο δωµάτιο διαστάσεων 20Χ10Χ10 πήχεις (12Χ6Χ6 µ.) που περιείχε στο κέντρο το Βωµό του Θυµιάµατος, το Χρυσό Κηροπήγιο µε όλα τα δοχεία του αριστερά του κέντρου και το Τραπέζι του Άζυµου Άρτου µε τα πιάτα, κουτάλια, καλύµµατα και κούπες δεξιά του κέντρου. Οι ιερείς έµπαιναν στο Άγιο κάθε µέρα για να προσφέρουν θυµίαµα και να ανανεώσουν τα φώτα στο Χρυσό Κηροπήγιο. Ο Βωµός του Θυµιάµατος ήταν ξύλινος, επενδυµένος µε χρυσό, τετραγωνικής βάσης πλευράς 1 πήχη (0,6µ) και ύψους 2 πήχεων (1,2µ). Η ξύλινη, επενδεδυµένη µε χρυσό, Τράπεζα του Άζυµου Άρτου είχε µήκος 2 πήχεις, πλάτος 1 πήχη και ύψος 1,5 πήχεις (1,2µΧ0,6µΧ0,9µ). Πάνω του τοποθετούνταν 12 άρτοι από λεπτό αλεύρι σε δυο σειρές από 6 που ονοµάζονταν Άζυµος άρτος. Ο δεύτερος εσωτερικός θάλαµος, το Άγιο των Αγίων, ήταν ένας τέλειος κύβος πλευράς 10 πήχεων (6µ). Περιείχε τη Κιβωτό της ∆ιαθήκης στην οποία υπήρχαν οι δυο µαρµάρινες Πλάκες των ∆έκα Εντολών Ήταν το πιο ιερό τµήµα της όλης δοµής και περιβαλλόταν από τρεις µεριές στους τοίχους από στιλβωµένα φύλλα καθαρού χρυσού. Η Κιβωτός της ∆ιαθήκης ήταν ένα ξύλινο κιβώτιο µήκους 2,5 πήχεων και ύψους 1,5 πήχεων (1,5µΧ0,9µΧ0,9µ), επενδεδυµένη µε χρυσό. Τέσσεροι δακτύλιοι καθαρού χρυσού στις τέσσερες γωνίες της, δυο στη κάθε πλευρά χρησίµευσαν για να περνάνε οι ξύλινοι ράβδοι, επενδυµένοι µε χρυσό, που χρησιµοποιούντο για τη µεταφορά της. Το κάλυµµα της Κιβωτού ήταν η Έδρα του Ελέους, ένα κοµµάτι από καθαρό χρυσό µήκους 2,5 πήχεων και πλάτους 1,5 πήχεων (1,5µΧ0,9µ). Στις άκρες τους υπήρχαν τα Χερουβείµ, φτιαγµένο από καθαρό χρυσάφι που άπλωναν τα φτερά τους ψηλά έτσι ώστε να καλύπτουν την ¨Εδρα του Ελέους, µε τα πρόσωπά τους στραµµένα προς αυτήν. Μέσα στη κιβωτό και αµέσως κάτω από την Έδρα του Ελέους υπήρχαν τα πιο ιερά θρησκευτικά αντικείµενα του Ιουδαϊσµού: οι πέτρινες Πλάκες των ∆έκα Εντολών, το Μάνα που έπεσε από τον ουρανό και η Ράβδος του Ααρών.

Σχήµα 7

Ο Ναός του Σολοµώντας ακολούθησε όπως είπαµε την αρχιτεκτονική της Σκηνής του Μαρτυρίου. Βασικά ο ναός µαζί µε το Παλάτι του βασιλιά αποτελούνταν σα µια µονάδα από µια σειρά αναβαθµίδων γύρω από το όρος Μορία, το υψηλότερο σηµείο του οποίου έφερε στη κορυφή το Άγιο των Αγίων. Στην είσοδο του ναού υπήρχαν οι δυο ονοµαστοί ορειχάλκινοι στύλοι Ζακείν και Μποάζ ύψους 35 πήχεων (21µ) και περιφέρειας 12 πήχεων (7,2µ). Αυτοί αντιστοιχούν στη Καβάλα µε τις δυο ακραίες Στήλες του ∆ένδρου της Ζωής, ενώ εισερχόµενος στο Ναό αποτελούσε τη Στήλη Ισορροπίας. Το Άγιο ήταν ένα διπλός κύβος µήκους 40 πήχεων, πλάτους 20 και ύψους 20 πήχεων (24µΧ12µΧ12µ) επιστρωµένος µε ξύλο ελάτης, επενδεδυµένο µε χρυσό, µε χαραγµένους φοίνικες και χερουβείµ πάνω στους τοίχους. Περιείχε 10 κηροπήγια από καθαρό χρυσάφι, 5 αριστερά και 5 δεξιά µαζί µε τις λάµπες τους και τα σβηστήρια τους, τις κούπες, τα κουτάλια και τα καλύµµατα. Περιείχε επίσης το χρυσό βωµό του θυµιάµατος και στο κέντρο του τη Τράπεζα του Άζυµου Άρτου και το χρυσό Κηροπήγιο της Σκηνής του Μαρτυρίου. Το Άγιο των Αγίων ήταν ένας τέλειος κύβος 20 πήχεων (12µ). Όλοι οι τοίχοι του έφεραν σµιλευµένες µορφές χερουβείµ, φοινίκων και ανοιχτών λουλουδιών, επενδεδυµένων όλων µε καθαρό χρυσάφι, ακόµα και το πάτωµα, και στολισµένα όλα µε πολύτιµους λίθους. Οι δυο ξύλινες πόρτες που οδηγούσαν σε αυτό ήσαν από ελιά, πάνω στις οποίες είχαν σµιλευτεί περίτεχνα πάλι χερουβείµ, φοίνικες και ανοιχτά λουλούδια, καλυµµένα µε χρυσό. Κάθε πόρτα είχε δυο φύλλα που δίπλωναν. Το µόνο έπιπλο ήταν η Ιερή Κιβωτός της ∆ιαθήκης. Ο χώρος επισκιάζετο από τα φτερά των δυο γιγαντιαίων χερουβείµ από ξύλο ελιάς, καλυµµένα µε χρυσό. Κάθε Χερουβείµ είχε ύψος 10 πήχεις (6µ) µ’ ένα άνοιγµα φτερών 20 πήχεων (12µ).

Σχήµα 8

Αξίζει να αναφέρουµε εδώ και την αρχιτεκτονική των Ζιγκουράτ, των ναών-πύργων της αρχαίας Μεσοποταµίας. Τα ζιγκουράτ κτίστηκαν µε τούβλα από λάσπη τη περίοδο από την 4η χιλιετία π.χ. µέχρι το 600 και υψώνονταν κατά αναβαθµίδες προς ένα µικρό ναό ή ιερό στη κορυφή τους. Το πιο διάσηµο ήταν ο ναός-πύργος του Ετεµενάνκι, που συνδέεται λαϊκά µε το Πύργο της Βαβέλ, στο ναό του Μαρδούκ στη Βαβυλώνα.

ΣΤΟΥΠΕΣ Μη διαθέτοντας χώρο να ασχοληθούµε µε την Περσική, Ινδική, Κινεζική ή Ιαπωνική ιερή αρχιτεκτονική, θα αναφερθούµε µόνο για λίγο στη σχετικά απλή αρχιτεκτονική των Βουδιστικών ναών που ονοµάζονται Στούπες. Οι Στούπες είναι ηµισφαιρικές λοφοειδείς κατασκευές, µερικές φορές µεγάλου µεγέθους, που αντιπροσωπεύουν το Κοσµικό Όρος Μερού, ανυψούµενες από βάσεις που συµβολίζουν τη γη. Ένα τετράγωνος πέτρινος φράκτης (χαρίκα) στη κορυφή του θόλου παριστάνει τον ουρανό και περιβάλλει τη γιάστι, ένα οβελίσκο µε τρεις δίσκους (τσάτρας) που παριστάνει τον άξονα του κόσµου, γύρω από το οποίο περιστρέφεται το Όρος Μερού. Οι τρεις δίσκοι συµβολίζουν τη τριπλή Βουδιστική Προστασία (Βούδα, Ντάρµα, Σάνγκα). Αντιπροσωπευτικό παράδειγµα είναι η Μεγάλη Στούπα στη Sanchi (3ος π.χ.- 1µ.χ. αιώνας) των Ινδιών. Ο στερεός αυτός ναός περιβάλλεται από έναν εξωτερικό πέτρινο φράκτη µε τοράνας (πύλες) και στις τέσσερες πλευρές του. Η ιερή γεωµετρία µε τους συµβολισµούς της είναι εµφανής σε όλη τη κατασκευή. Η λατρεία συνίστατο στην αρχή στο τελετουργικό περπάτηµα γύρω από τη Στούπα κατά τη φορά κατεύθυνσης του Ηλίου, αλλά αυτό άλλαξε αργότερα στο

Μαχαγιανικό Βουδισµό. Με την εξάπλωση του Βουδισµού οι Στούπες έγιναν πιο σύνθετες και έτειναν σε ένα συνδυασµό του θόλου και του οβελίσκου σε µια µοναδική κωνική µορφή. Οι Στούπες στο Θιβετανικό Βουδισµό κτίζονται ή σχεδιάζονται (στην εικονογραφία) µε συγκεκριµένους µαθηµατικούς κανόνες µέτρου και συµµετρίας.

Σχήµα 9

ΚΛΑΣΣΙΚΗ, ΡΩΜΑΪΚΗ ΚΑΙ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΑ ∆ΥΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Η συµµετρία είναι µια κατάλληλη συµφωνία ανάµεσα στα µέρη του έργου και µια σχέση ανάµεσα σε αυτά και στη συνολική µορφή, σύµφωνα µε ένα ορισµένο µέρος που επιλέγεται σαν πρότυπο.....Συνεπώς εφόσον η φύση έχει φτιάξει το ανθρώπινο σώµα έτσι ώστε τα µέρη του να είναι ανάλογα µε τη µορφή του σαν όλο... στα τέλεια κτίρια τα διάφορα µέρη πρέπει να είναι σε ακριβή αναλογία µε το όλο γενικό σχήµα (Βιτρούβιος)

Σχήµα 1 Villa Capra Rotunda, σχεδιασθείσα από τον Adrea Palladio

Η ιδέα ότι οι ίδιοι λόγοι που είναι ευχάριστοι στο αυτιά µας θα ήσαν επίσης ευχάριστοι και στα µάτια µας παρουσιάζεται στα γραπτά του Πλάτωνα, του Πλωτίνου, του Αγ. Αυγουστίνου και του Αγ. Θωµά του Ακυινάτη. Η πιο άµεση όµως δήλωση πάνω σε αυτό προέρχεται από το διάσηµο αρχιτέκτονα αρχιτέκτονα της Αναγέννησης Leone Battista Alberti (1404-1472): «Οι ίδιοι αριθµοί µέσω των οποίων η συµφωνία των ήχων επηρεάζει τ’ αυτιά µας µε ευχαρίστηση, είναι οι ίδιοι ακριβώς που ευχαριστούν τα µάτια µας και το µυαλό µας». Είναι φανερό λοιπόν γιατί οι αρχιτέκτονες και οι οικοδόµοι αναζητούσαν πάντοτε συστήµατα αναλογιών για να εξασφαλίσουν αρµονία και ενότητα στις κατασκευές τους. Ένα τέτοιο σύστηµα έπρεπε να είχε προσθετικές ιδιότητες, έτσι ώστε να µπορεί να εξισωθεί µε τα µέρη του µε πολλούς συνδυασµούς και συγχρόνως να επαναλαµβάνει µερικούς βασικούς λόγους, όπως αυτοί επαναλαµβάνονται και στη µουσική, που είναι η κατεξοχήν τέχνη της αρµονίας. Τέλος επειδή οι οικοδόµοι είναι πιο εξοικειωµένοι µε τη χρήση ακεραίων αριθµών, το σύστηµα αυτό έπρεπε να βασιζόταν ως επί το πλείστον σε ακεραίους αριθµούς, ή αν όχι, τα στοιχεία του να κατασκευάζονται τουλάχιστον εύκολα γεωµετρικά. Τρία είναι τα βασικά συστήµατα αναλογιών που χρησιµοποιήθηκαν από την αρχαιότητα µέχρι σήµερα στο ∆υτικό κόσµο: 1) Τη κλασσική Ελληνική εποχή χρησιµοποιήθηκε το Πυθαγόρειο σύστηµα των µουσικών λόγων καθώς επίσης ένα σύστηµα χρυσής τοµής βασισµένο κυρίως σε χρυσά ορθογώνια και χρυσά τρίγωνα. Το ίδιο σύστηµα χρησιµοποιήθηκε µε την αναβίωση του κλασικισµού και στην Αναγέννηση από τους νεοπυθαγόρειους αρχιτέκτονες Alberti και Palladio και από τους µεγαλύτερους ζωγράφους και γλύπτες της εποχής. 2) Τη Ρωµαϊκή εποχή ένα σύστηµα βασισµένο στο τετράγωνο (Τ) µε λόγο πλευρών 1:1, στο

ορθογώνιο της τετραγωνικής ρίζας του δύο (ΟΤΡ∆) µε λόγο πλευρών 1: 2 , το οποίο κατασκευάζεται εύκολα από το τετράγωνο, αν πάρουµε σα δεύτερη πλευρά του ορθογωνίου τη διαγώνιο του τετραγώνου, και στο λεγόµενο Ρωµαϊκό Ορθογώνιο (ΡΟ) µε λόγο πλευρών 1:θ, όπου θ= 2 +1, το οποίο κατασκευάζεται µέσω της «ιερής τοµής» που ανέλυσε ο ∆ανός µηχανικός Tons Brunes. 3. Τον 20ο αιώνα χρησιµοποιήθηκε ένα σύστηµα (Modulor) βασισµένο στη χρυσή τοµή από το Γάλλο αρχιτέκτονα Le Corbusier. Αφού εξετάσαµε την Ιερή Μουσική και τους ιερούς λόγους που δοµούν αρµονικά διαστήµατα και συστήµατα, την εφαρµογή του χρυσού αριθµού Φ στην αρχαία Αιγυπτιακή αρχιτεκτονική κατά τη κατασκευή της Μεγάλης Πυραµίδας του Χέοπα και ελάχιστα µόνο και αποσπασµατικά την Ιερή αρχιτεκτονική της Ανατολής, θα εξετάσουµε στη συνέχεια πιο επιµελώς τη ∆υτική Ιερή Αρχιτεκτονική, σα τη δεύτερη βασική όψη της Ιερής Γεωµετρίας, σε όλη την ιστορική της διαδροµή από την κλασσική Ελληνική αρχαιότητα µέχρι τον αιώνα µας.

ΟΙ ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΙΚΟΙ ΝΑΟΙ ΚΑΙ Ο ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ Τη Μυκηναϊκή εποχή στην Ελλάδα κυριαρχούν τα ανάκτορα όπου οι βασιλείς λατρεύουν τους θεούς που προστατεύουν τη βασιλική οικογένεια και µαζί ολόκληρη τη πολιτεία. Οι πρώτοι ξεχωριστοί Ελληνικοί ναοί αρχίζουν να κτίζονται στους ιστορικούς χρόνους µε την εξασθένιση της βασιλικής εξουσίας και την ενίσχυση του ρόλου της κοινότητας. Την ίδια εποχή εφευρίσκεται ο κεραµικός τροχός και αναπτύσσεται η αγγειοπλαστική και η αγγειογραφία µε τις χαρακτηριστικές γεωµετρικές της µορφές που χαρακτήρισαν ολόκληρη την εποχή σα «γεωµετρική». Η αγγειογραφία τελειοποιείται αργότερα στο µελανόµορφο και µετά στον ερυθρόµορφο ρυθµό. Η γλυπτική είναι στην αρχή πενιχρή, περιοριζόµενη κυρίως σε ειδώλια, ενώ η αρχιτεκτονική διαµορφώνει µικρά ευθύγραµµα οικοδοµήµατα µε έναν ή δύο χώρους και "περίπτερους» ναούς. Η τελειοποίηση των ναών γίνεται στον 7ο αιώνα. π.Χ µε τη τοποθέτησή τους, εν είδει αγάλµατος, πάνω σε µια υπερυψωµένη βάση, το κρηπίδωµα, που περιβάλλεται από µία έως τρεις ψηλές βαθµίδες. Ο ναός αυτός χωρίζεται στο πρόδοµο ή πρόναο, µε είσοδο από την ανατολική πλευρά, στο κυρίως ναό ή σηκό, στο άδυτο, ένα δωµάτιο που βρισκόταν πίσω από το σηκό, και στον οπισθόδοµο. Περιβάλλεται απ' όλες τις πλευρές («περίπτερος») µε µια κιονοστοιχία, την περίστασι. Σε αυτό το είδος ανήκουν ο ναός του ∆ιός στην Ολυµπία και του Παρθενώνα στην Ακρόπολη. Ανάλογα µε τους κίονες της περιστάσεως οι ναοί διακρίνονται σε ∆ωρικούς (µε το πιο λιτό κιονόκρανο) και Ιωνικούς (κιονόκρανο µε έλικες). Τον 4ο αιώνα π.Χ. έκανε την εµφάνισή του και ο Κορινθιακός ρυθµός µε κιονόκρανο διακοσµηµένο µε φύλλα ακάνθου.

Ο ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ

Σχήµα 2 Αναλογίες του Παρθενώνα σύµφωνα µε τον Tons Brunes

Ο Παρθενώνας, το καλλιµάρµαρο αυτό αριστούργηµα της ιερής τέχνης της Ελληνικής αρχαιότητος συνεχίζει να συγκεντρώνει πάνω του τα βλέµµατα και το θαυµασµό της πολιτισµένης ανθρωπότητας. Ο περίτεχνος αυτός ναός, έργο των λαµπρών αρχιτεκτόνων Ικτίνου και Καλλικράτη, κτίστηκε τον 5ο π.χ. αιώνα, την εποχή του Περικλέους, και αφιερώθηκε στη σεπτή θεά της σοφίας, τη πολιούχο θεά των Αθηνών. Είναι ένας περίπτερος ορθογώνιος ναός που περιβάλλεται σε κάθε πλευρά από µια σειρά χαµηλών βαθµίδων και µια κιονοστοιχία δωρικού ρυθµού µε 8 κίονες στη µικρή και 17 στη µεγάλη πλευρά του (8Χ17), µε τους γωνιακούς κίονες να υπολογίζονται έτσι δυο φορές. Ο συνολικός δηλαδή αριθµός των κιόνων του, οι οποίοι έχουν ύψος 10,5 m, είναι 46 (αριθµοσοφικά: 4+6=10, 1+0=1) και πάνω τους στηρίζονται επιστύλια, µετώπες, τρίγλυφα, γείσα και αετώµατα. Το κεντρικό οικοδόµηµα χωριζόταν κατά πλάτος µε ένα εγκάρσιο µαρµάρινο τοίχο σε δυο τελείως ανεξάρτητα µεταξύ τους τµήµατα. Το µεγαλύτερο, προς την ανατολή, αποτελούσε το κυρίως ναό ή σηκό και το άλλο προς τη δύση τον οπισθόδοµο. Τα δυο αυτά τµήµατα δεν επικοινωνούσαν µεταξύ τους (το χώρισµα αυτό βέβαια δεν υπάρχει σήµερα), αλλά είχε το καθένα τη δικιά του είσοδο, αντίστοιχα ανατολικά και δυτικά, και µια ιδιαίτερη στοά σα πρόδροµο. Ο οπισθόδοµος, του οποίου η οροφή στηριζόταν από τέσσερες κίονες (οι µόνοι Ιωνικού ρυθµού), δεν είχε λατρευτικό σκοπό, αλλά φυλάσσονταν εκεί διάφορα πολύτιµα αναθήµατα της θεάς και έµεναν σε αυτόν οι παρθένες ιέρειές της. Από το όνοµα παρθενών αυτού του τµήµατος πήρε στη συνέχεια το όνοµά του και όλο το οικοδόµηµα. Ο κυρίως ναός που περιελάµβανε τη κυρία είσοδο είχε εσωτερικό µήκος 100 αττικούς πόδες

(εκατόµπεδος). Εσωτερικά διαιρείτο σε τρία κλίτη µε µια διπλή σειρά κιόνων οι οποίοι ενώνονταν πίσω από το άγαλµα της θεάς µε µια άλλη εγκάρσια σειρά κιόνων σε σχήµα Π. Όλοι οι κίονες εσωτερικοί κι εξωτερικοί ήσαν δωρικού ρυθµού, αλλά οι εσωτερικοί ήσαν µικρότεροι γιατί δεν έφταναν µέχρι την οροφή. Αφού έφταναν µέχρι ένα ορισµένο ύψος, υποβάσταζαν ένα επιστύλιο πάνω στο οποίο υπήρχε µια άλλη σειρά, µικρότερων κιόνων, οι οποίοι έφταναν τελικά µέχρι την οροφή. Υπήρχε δηλαδή εσωτερικά µια διπλή κιονοστοιχία καθ’ ύψος και µε αυτό το τέχνασµα οι αρχιτέκτονες µπόρεσαν να στηρίξουν τη στέγη χωρίς να τοποθετήσουν πολύ ψηλούς και συνεπώς πολύ χονδρούς κίονες που θα κατελάµβαναν µεγάλο χώρο. Στο κέντρο του σηκού υψωνόταν επιβλητικό, πάνω σε ένα βάθρο το µεγάλο χρυσοελαφάντινο άγαλµα της θεάς, έργο του λαµπρού γλύπτη Φειδία, από το αρχικό γράµµα του ονόµατος του οποίου πήρε το όνοµά του και ο χρυσός αριθµός Φ. Εκτός από το λατρευτικό αυτό άγαλµα της θεάς υπήρχαν στο εσωτερικό του σηκού και στη στοά του πρόναου πολλά άλλα πολύτιµα αφιερώµατα της θεάς. Ο ναός δεν είχε παράθυρα και φαίνεται προβληµατικό πώς φωτιζόταν, αν και έχουν προταθεί διάφορες εξηγήσεις γι’ αυτό. Στο πάνω µέρος του τοίχου του κεντρικού οικοδοµήµατος υπήρχε προς τα έξω η περίφηµη «Ζωφόρος» του Παρθενώνα, µια συνεχής ανάγλυφη ταινία ύψους 1 µέτρου και µήκους 192 µέτρων που παρίστανε τη ποµπή των Παναθηναίων.

Σχήµα 3

Η υπέρβαρη στέγη πιέζοντας προς τα κάτω αντισταθµίζετο από την αντίρροπη αντίδραση στήριξης των κιόνων. Τη πάλη των δύο αυτών δυνάµεων εκφράζει η καµπυλότητα των κιονοκράνων. Πάνω από τους κίονες υπάρχει το απλό επιστύλιο και µετά το διάζωµα, το οποίο χωρίζεται σε «τρίγλυφα» και «µετώπες». Οι 92 µετώπες του Παρθενώνα έφεραν ανάγλυφα που απεικόνιζαν τη γιγαντοµαχία, την αµαζονοµαχία, τη κενταυροµαχία και διάφορα επεισόδια από την άλωση της Τροίας. Πάνω από το διάζωµα υπάρχει το γείσο και η σαµαρωτή στέγη, η οποία αφήνει κατά πλάτος δυο ανοιχτά τρίγωνα, τα οποία φράσσονταν µε µαρµάρινες πλάκες. Τα τρίγωνα αυτά ονοµάζονταν αετώµατα και διακοσµούντο µε αγάλµατα. Στο ανατολικό αέτωµα απεικονίζεται η γέννηση της Αθηνάς και στο δυτικό η φιλονικία της µε το Ποσειδώνα για τη κατοχή της Αθήνας. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι καµιά φαινοµενικά οριζόντια ή κάθετη γραµµή του Παρθενώνα δεν είναι απόλυτα οριζόντια ή τελείως κάθετη, αλλά δηµιουργούνται µε αρχιτεκτονικές επεµβάσεις διάφορες ελαφρές καµπυλώσεις, οι οποίες παρόλο που δεν παρατηρούνται άµεσα, γιατί σβήνουν σιγά-σιγά οµαλά, προσφέρουν εντούτοις στο οικοδόµηµα µια τάση ελαστικότητας και «ελαφρύτητας». Ακόµα και οι κίονες καθώς προχωρούν από τη βάση τους προς το κιονόκρανο,

λεπτυνόµενες λίγο, πριν από το µέσο υφίστανται µια µικρή εξόγκωση («έντασις»), η οποία δηµιουργεί επίσης καµπυλότητα. Ας σηµειωθεί ακόµα ότι αυτοί δεν είναι τελείως κάθετοι, αλλά γέρνουν ελαφρά προς τα µέσα, έτσι ώστε προεκτεινόµενοι νοερά να τέµνονται σε ένα ορισµένο ύψος (υποτίθεται στα 1852 µέτρα) και να σχηµατίζουν έτσι µια πυραµίδα! Έχει ειπωθεί µάλιστα ότι ο όγκος αυτής της «ιδανικής» πυραµίδας του Παρθενώνα είναι το µισό ακριβώς της Πυραµίδας του Χέοπα (45 και 90 αντίστοιχα εκατοµµύρια κυβικοί πόδες) και ότι οι δυο γιγάντιες αυτές πυραµίδες βρίσκονται έτσι σε λόγο διαπασών µεταξύ τους.

Σχήµα 4

Αν και δεν υπάρχουν αρχικά σχέδια του ναού, υποστηρίζεται ότι αυτός κτίσθηκε πάνω σε ένα ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 5, δηλαδή ότι το µήκος του είναι 5 (=2,236) φορές το πλάτος του. Οι διαστάσεις του Παρθενώνα δίνονται από την εγκυκλοπαίδεια του Ηλίου κατά το στυλοβάτη 30,87 µ. πλάτος και 69,51 µ. µήκος ή αντίστοιχα 100 και 225 αττικά πόδια, µε λόγο έτσι πλευρών 2,25. Η πρόσοψή του, εφόσον αποκατασταθεί το κατεστραµµένο τριγωνικό του αέτωµα, εφαρµόζει πλήρως µέσα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, του οποίου το πλάτος είναι Φ φορές το ύψος του. Περαιτέρω υποδιαιρέσεις αυτού του ορθογωνίου ευθυγραµµίζονται τέλεια µε τα βασικά χαρακτηριστικά της κατασκευής. Μπορούν να αναγνωριστούν και άλλα χρυσά ορθογώνια στη παρακάτω κάτοψη του κτιρίου.

Σχήµα 5

Εκτός από τα διάφορα χρυσά ορθογώνια που ανευρίσκουµε στο Παρθενώνα ή σε άλλους διάσηµους αρχαίους ναούς, υπάρχει ένα πλήθος άλλων µαθηµατικών και φιλοσοφικών συσχετίσεων όλων γενικά των αρχιτεκτονικών τους στοιχείων. Όπως γενικά πιστεύεται, τα περίλαµπρα µνηµεία της αρχαιότητας δεν κτίστηκαν µόνο χρηστικά, σα λατρευτικοί ή άλλοι χώροι για την ικανοποίηση συγκεκριµένων κοινωνικών αναγκών, αλλά και σα ζωντανά, διαχρονικά αρχιτεκτονικά βιβλία στα οποία οι κατασκευαστές τους αποτύπωσαν τις δοξασίες, πεποιθήσεις και µαθηµατικές γνώσεις της εποχής τους. Η αποτύπωση αυτή έγινε είτε µε τη µορφή ιερών λόγων και αρµονιών που εµπεριέχονται στις βασικές ή επί µέρους διαστάσεις τους ή µε τη µορφή καθαρών αριθµών που µεταφέρουν άµεσα ή συµβολικά συγκεκριµένα νοήµατα, µηνύµατα. και πληροφορίες. Από αυτή την άποψη ο αριθµός των κιόνων, των σπονδύλων των κιόνων, των ραβδώσεών τους, των βαθµίδων του κρηπιδώµατος, των λαξευµένων λίθων που χρησιµοποιήθηκαν σε αυτές και πολλοί άλλοι άµεσα λαµβανόµενοι αριθµοί δεν είναι τυχαίοι, αλλά εντελώς σκόπιµοι και αλληλεπιδρούν µεταξύ τους για να συντάξουν τις σελίδες του προαναφερθέντος βιβλίου. Θα αναφέρουµε µερικές τέτοιες αριθµητικές συσχετίσεις για το Παρθενώνα, χωρίς να τις αναλύσουµε, ελλείψει χώρου, ιδιαίτερα. Ας σηµειωθεί ότι ο ιερός αριθµός της Αθηνάς είναι το 7 και δευτερευόντως το 3 Η αριθµητική αξία πρώτα απ’ όλα της λέξης Παρθενών, όπως προκύπτει από την πρόσθεση των αριθµών που αντιστοιχούν στα γράµµατά της, είναι 1095 =365 (οι µέρες του έτους)Χ3. Ας σηµειωθεί ότι το διπλάσιο του 365, το 730, είναι η αριθµητική αξία του ονόµατος «Φειδίας». Ανάλογα, η αριθµητική αξία (λεξάριθµος) του Οµηρικού προσωνυµίου της Αθηνάς «Γλαυκώπις Αθήνη» (=Γαλανοµάτα Αθηνά) είναι 1620= 1,62Χ1000 όπου 1,62 είναι κατά προσέγγιση ο χρυσός αριθµός Φ. Ο αριθµός όλων των κιόνων του Παρθενώνα, µαζί µε το πανύψηλο άγαλµα της θεάς, θεωρούµενο και αυτό σαν «κίονας», είναι 84=7Χ12 (επτάδα και δωδεκάδα), ένας αριθµός ιδιαίτερα συνδεδεµένος µε την Αθηνά και τον Παρθενώνα. Είναι συγχρόνως ο λεξάριθµος της λέξης «Θεά

7

Αθηνά» και

ισούται συγχρόνως µε το άθροισµα

∑ 1

k (k + 1) 2

=1+ (1+2) + (1+2+3)

+...+(1+2+3+...+7). Αν αντί της λέξης «Θεά Αθηνά» πάρουµε τη λέξη «Η Θεά Αθηνά», µαζί δηλαδή µε το άρθρο, βρίσκουµε τον αριθµό 92, όσος και ο αριθµός των µετωπών του Παρθενώνα, ο οποίος είναι σε αρµονία µε τον αριθµό των 46 εξωτερικών κιόνων του. Το 84 εµφανίζεται ακόµα σαν 8.400.000 από το πολλαπλασιασµό λεξαριθµητικά των γραµµάτων της λέξης «Καλός» (Τα προηγούµενα είναι παρατηρήσεις του ερευνητή Θεοφάνη Μανιά). Το χρυσοελαφάντινο άγαλµα της θεάς περιστοιχίζετο από 21 συνολικά εσωτερικούς κίονες διατεταγµένους σε σχήµα Π και προφανώς 21=3Χ7. Στη νότια πλευρά, στο στυλοβάτη και στη πρώτη και δεύτερη βαθµίδα υπάρχουν αντίστοιχα 47, 48 και 49 κατεργασµένες πέτρες που δίνουν άθροισµα 144=122. Η πρώτη βαθµίδα µετά το στυλοβάτη της βόρειας πλευράς έχει 25 κατεργασµένους λίθους µε µέσο µήκος περίπου 3 µέτρα. Ο αριθµός των κατεργασµένων λίθων του στυλοβάτη και των δυο βαθµίδων είναι 385=55Χ7 Οι 100 αττικοί πόδες του εσωτερικού µήκους του κυρίως ναού, το ένα έκτο του αρχαίου ιερού σταδίου, έχουν µεγάλη συµβολική αξία. Κατά το Πρόκλο ο αριθµός αυτός αντιπροσωπεύει το γένος των δαηµόνων (γνωστών)= δαιµόνων και είναι το τετράγωνο της ιερής τετρακτύος ή ακόµα το άθροισµα των κύβων των τεσσάρων αριθµών της (13+23+33+43=100). Τέλος δυτικά καθένας από τους 8 κίονες που υπάρχουν κατά πλάτος έχει 12 σπονδύλους και υπάρχουν πάνω τους 7 επιστήλια. Κατά µήκος υπάρχουν 17 κίονες µε 16 επιστήλια πάνω τους. Χρυσούς λόγους ή χρυσά σχήµατα βρίσκουµε και σε άλλους ναούς ή µνηµεία της αρχαιότητας. Για παράδειγµα το θέατρο της Επιδαύρου έχει 55 (αριθµός της χρυσής σειράς Fibonacci) σειρές καθισµάτων σε δυο ζώνες. Η µια ζώνη έχει 34 σειρές και η άλλη 21, ενώ ο λόγος 34:21 δίνει το χρυσό αριθµό Φ. Έχει επίσης και 34 κερκίδες. Οι αριθµοί 21,34,55 είναι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci. Επίσης ο Ναός του Σουνίου της Αττικής, ο Ναός του Ηφαίστου των Αθηνών, Ο ναός του ∆ιός της Ολυµπίας και άλλοι έχουν εξωτερικά 34 κίονες και 13 κατά µήκος (αριθµός Fibonacci και αυτός). Λέγεται γενικά ότι η τέχνη µιµείται τη φύση και σαν ένα γενικό κανόνα οι αρχαίοι καλλιτέχνες, τεχνίτες και αρχιτέκτονες σχεδίασαν τις δηµιουργίες τους έχοντας στο µυαλό τους τις φυσικές αρµονίες και ενσωµάτωσαν έτσι στα έργα τους τις κοσµικές αναλογίες.

Σχήµα 6 Πενταγωνική Συµµετρία στην Αρχαία Ελληνική Ζωγραφική

Οι παρακάτω δυο εικόνες δείχνουν τη χρησιµοποίηση της δωδεκαδικής συµµετρίας στην αρχαία Ελληνική ζωγραφική. Η πρώτη παριστά ένα συµβουλευόµενο το χρησµό της Πυθίας και η δεύτερη το Θησέα να σκοτώνει το Μινώταυρο.

Σχήµα 7

Σχήµα 8

ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΤΗΣ ΡΩΜΑΪΚΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ Στη ∆ύση οι Ετρούσκοι κατασκεύαζαν διάφορα κοντόχοντρα κτίρια χωρισµένα σε δύο ίσα µέρη, από τα οποία το µπροστινό ήταν µια στοά µε διπλή κιονοστοιχία και αέτωµα. Το πίσω χωριζόταν σε τρία άδυτα όπου λατρευόταν µια τρισυπόστατη θεότητα. Οι Ρωµαίοι στην αρχή µιµήθηκαν τους Ετρούσκους, αλλά από το 338 π.Χ. αρχίζουν να µιµούνται σε όλες τις τέχνες τους Έλληνες. Την εποχή του Αυγούστου ο Ρωµαίος αρχιτέκτονας και µηχανικός Μάρκος Βιτρούβιος Πόλλιο (70-25 π.χ.) έγινε διάσηµος για τα δέκα βιβλία του πάνω στην αρχιτεκτονική, που αποτελούν το αρχαιότερο διασωζόµενο έργο πάνω σε αυτό το θέµα. Μεγάλο µέρος του υλικού του προερχόταν από προηγούµενες πραγµατείες Ελλήνων αρχιτεκτόνων, οι οποίες δεν έχουν διασωθεί. Τα γραπτά του, καθαρά επηρεασµένα από τη κλασσική Ελληνική αρχαιότητα και τη Πυθαγόρεια φιλοσοφία περί αρµονίας µελετήθηκαν και εκτιµήθηκαν ιδιαίτερα κατά την Αναγέννηση. Η ανάλυση των κτιρίων στην Ποµπηία και στην Ηράκλεια που θάφτηκαν κάτω από τις στάχτες του Βεζούβιου το 79 µ.χ. έδειξε ότι η Ρωµαϊκή οικία και ο διάκοσµός της (π.χ. εγγεγραµµένα τετράγωνα σε τετράγωνα στη πλακόστρωση των δαπέδων) βασιζόταν κατεξοχήν στη γεωµετρία του τετραγώνου, γι’ αυτό και λέγεται συνήθως ότι αυτές έχουν κτιστεί ad quadratum. Εκτός όµως από την εκτεταµένη αυτή χρήση της τετραγωνικής συµµετρίας, η Ρωµαϊκή εποχή χρησιµοποίησε και τα ορθογώνια τετραγωνικής ρίζας του δύο, τα οποία κατασκευάζονται εύκολα από την πλευρά ενός τετραγώνου και τη διαγώνιό του. Ο Βιτρούβιος αναφέρει καθαρά τη χρησιµοποίηση της διαγωνίου ενός τετραγώνου σαν το µόνο τρόπο για να προσδιορίσεις τις διαστάσεις ενός Ρωµαϊκού µεγάρου. Από την άλλη µεριά έχουµε τη η λεγόµενη Οσκική Κιονοστοιχία στην Ηράκλεια, ενός τυπικού σπιτιού ενός µέσου πατρικίου που µελέτησαν οι Donald και Carol Watts και αποκάλυψαν ότι οι διαστάσεις της υποδείκνυαν τη χρησιµοποίηση του Ρωµαϊκού Ορθογωνίου και της «ιερής τοµής»

του Tons Brunes. Οι ίδιοι ερευνητές µελέτησαν τα κηπόσπιτα της Όστιας κοντά στη Ρώµη των οποίων το σχέδιο συµµορφώνεται πλήρως µε τη κατασκευή της ιερής τοµής. Από τα παραδείγµατα αυτά υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις αν όχι αποδείξεις, ότι οι Ρωµαίοι χρησιµοποίησαν πράγµατι, τουλάχιστον σε αυτές τις περιπτώσεις, την ιερή τοµή του Tons Brunes (∆είτε το άρθρο A Roman Apartment Complex των Donald και Carol Watts στο περιοδικό Scientific American, Dec. 1986, p. 132-138). Ένας από τους λαµπρότερους και καλύτερα διατηρηµένους σήµερα Ρωµαϊκούς ναούς, µε σαφή αναφορά στην ιερή αρχιτεκτονική και µ’ ένα πλήθος µαθηµατικών σχέσεων είναι το περίφηµο Πάνθεον της Ρώµης, αφιερωµένο στους 12 Ολύµπιους Θεούς.

ΤΟ ΠΑΝΘΕΟΝ

Σχήµα 9

Το Πάνθεο της Ρώµης, µια τεράστια κυλινδρική κατασκευή µετά θόλου µε πρόσοψη αρχαιοελληνικού ναού, είναι ένα από τα πιο σπουδαία οικοδοµήµατα στην ιστορία της αρχιτεκτονικής και το καλύτερα διατηρηµένο σηµαντικό κτίριο της αρχαίας Ρώµης. Κτίστηκε αρχικά σαν ένα µικρό ορθογώνιο από το Μάρκο Βεσπασιανό Αγρίππα το 27 µ.χ. και αφού κάηκε δυο φορές ξανακτίστηκε στη τωρινή µορφή του σα µια τεράστια στρογγυλή αίθουσα µετά θόλου από τον αυτοκράτορα Αδριανό (118-128). Στις αρχές του 7ου αιώνα καθιερώθηκε σαν εκκλησία της Αγίας Μαρίας των Μαρτύρων, στο οποίο και οφείλει τη διάσωσή του. Ο τεράστιος κύλινδρος έχει ύψος 43 µέτρα, όσα ακριβώς και η διάµετρός του και µπορεί έτσι να εγγραφεί πλήρως σε αυτόν µια σφαίρα αυτής της διαµέτρου, εφαρµόζοντας πρακτικά τη διδασκαλία του Ευκλείδη «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου», δυο στερεά που τον συνόδευαν πάνω στο τάφο του, όπως µας πληροφορεί ο Κικέρων που τον επισκέφθηκε.

Το µόνο φυσικό φως στη µεγάλη κυκλική αίθουσα εισέρχεται από το «µάτι», ένα άνοιγµα 8,9 µέτρων στο κέντρο του θόλου και από τις µπρούτζινες πόρτες προς τον πρόναο. Με τη κίνηση του ηλίου δηµιουργούνται εντυπωσιακά φωτεινά σχέδια πάνω στους τοίχους και στα γρανιτένια και µαρµάρινα πατώµατα. Ο ίδιος ο θόλος δεν είναι τόσο βαρύς όσο θα περιµέναµε. Είναι κατασκευασµένος από κλιµακωτούς τσιµεντένιους δακτυλίους µε όλο και µικρότερη πυκνότητα, καθώς χρησιµοποιείται ελαφρύτερο υλικό και λεπταίνει συνεχώς σε πάχος µέχρι τα 1,2 περίπου µέτρα στην άκρη του «µατιού». Ο θόλος ακουµπά πάνω στη στεφάνη του κυλινδρικού τοίχου, πάχους 6 µέτρων, ο οποίος όµως δεν είναι συµπαγής, αλλά έχει εσωτερικά κενά που κοιλώνουν τη κατασκευή ώστε αυτή να λειτουργεί λιγότερο σαν µια συµπαγής µάζα και περισσότερο σαν τρεις συνεχείς τοξωτές στοές οι οποίες αντιστοιχούν στις τρεις σειρές ανακουφιστικών τόξων που είναι ορατές στο εξωτερικό του κτιρίου. Στο χαµηλότερο επίπεδο υπάρχουν επτά κόγχες µε ένα ζευγάρι Κορινθιακών κιόνων. Το πρώτο και το δεύτερο επίπεδο χωρίζονται από το περίζωµα στο λόγο της τετραγωνικής ρίζας του δύο. Ο πρόναος είναι ακανόνιστος, µε πλάτος 34 µέτρα και βάθος 13,60 µέτρα και έχει τρεις σειρές Κορινθιακών κιόνων, 8 από γκρίζο γρανίτη στη µπροστινή σειρά και 4 από κόκκινο γρανίτη σε κάθε µια από τη δεύτερη και τη τρίτη σειρά. Οι κίονες στηρίζουν ένα τριγωνικό αέτωµα όπου υπήρχαν µπρούτζινες διακοσµήσεις. Στο διάζωµα υπάρχει η επιγραφή του Αγρίππα που αναφέρει τη κατασκευή του πρώτου ναού απ’ αυτόν. Το µνηµείο συµβολίζει το κόσµο και βρίθει από µαθηµατικές σχέσεις. Συνεχίζονται να γίνονται

ακόµα και σήµερα µαθηµατικές µελέτες επ’ αυτού. Οι περισσότεροι κριτικοί αποδίδουν το σχέδιό του στον Απολλόδωρο της ∆αµασκού, έναν από τους µεγαλύτερους αρχιτέκτονες του κόσµου.

ΤΟ ΒΑΠΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΠΙΖΑΣ Το καθεδρικό σύνθετο της Πίζας περιείχε ένα στρογγυλό βαπτιστήριο, ένα duomo (κύριο καθεδρικό ναό) και ένα ξεχωριστό καµπαναριό, όλα κτισµένα µε το ίδιο ρυθµό. Το κωδωνοστάσιο άρχισε να γέρνει προς τη µια πλευρά σύντοµα µετά την ολοκλήρωση της κατασκευής του και είναι τώρα γνωστό σαν ο «κεκλιµένος Πύργος της Πίζας»

Σχήµα 10

Ιταλοί µουσικολόγοι έχουν αποκαλύψει ότι το µεγαλύτερο βαπτιστήριο της Χριστιανοσύνης είναι ένα µουσικό όργανο. Μια ανάλυση µε υπολογιστή της αντήχησης µέσα στη κυκλική, µαρµάρινη δοµή δείχνει ότι οι αρχιτέκτονές του το σχεδίασαν για να µιµηθούν τους σωλήνες ενός εκκλησιαστικού οργάνου. Η ακουστική κάτω από το 75-µέτρων τρούλο του είναι τόσο τέλεια που όπως παρατηρούν οι ερευνητές, θα πρέπει να είναι είτε µια απίστευτη σύµπτωση ή το έργο µιας µεγαλοφυΐας. Επιστήµονες έχουν επεξεργαστεί µε µαθηµατικά µοντέλα τις εγγραφές της αντήχησης των τοίχων ακόµα και στο παραµικρότερο θόρυβο για να αποκαλύψουν το µυστικό για το πώς οι αρχιτέκτονες κατάφεραν να χρησιµοποιήσουν τόσο τέλεια τη γεωµετρία του κτιρίου για να έχουν αυτά τα ηχητικά αποτελέσµατα Φαίνεται πώς οι αρχιτέκτονες του 15ου αιώνα που πρόσθεσαν τον τρούλο στο βαπτιστήριο, το οποίο κτίστηκε το 1152, σκόπευαν να δηµιουργήσουν όχι τόσο ένα θαύµα αισθητικής αλλά ακουστικής. Οι συνοδοί των τουριστών που επισκέπτονται το Βαπτιστήριο κερδίζουν συχνά φιλοδωρήµατα τραγουδώντας τους για να θαυµάσουν την αντήχηση του κτιρίου.

ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Έχει ειπωθεί ότι η φιλοσοφική λίθος και το διαφεύγον συνεχώς από τα χέρια του επίδοξου αλχηµιστή ελιξίριο µπορούν να συγκριθούν µε την αναζήτηση από το γεωµέτρη µιας ιδανικής κατασκευής που θα τον συνδέσει µε µια πιο πνευµατική ύπαρξη και µια βαθύτερη κατανόηση του σύµπαντος. Το Άστρο του ∆αβίδ των Ισραηλιτών, ο οριζόντιος και ο κάθετος άξονας του Σταυρού Χριστιανών και το Κινέζικο σύµβολο του Γιν-Γιανγκ είναι τρία παραδείγµατα αυτής της ιδέας. Ένα τέταρτο είναι οι µαντάλες, για τις οποίες θα µιλήσουµε ειδικότερα αργότερα και οι οποίες επίσης στο συµβολισµό τους του κύκλου και του τετραγώνου προσπαθούν να ενώσουν το ανώτερο µε το κατώτερο, αν και παραδοσιακά χρησιµοποιούνται σαν εργαλεία συγκέντρωσης και διαλογισµού. Έχουµε ήδη αναφέρει ότι στη γεωµετρία µια από τις βασικότερες επιδιώξεις µε τεράστιο συµβολικό περιεχόµενο ήταν ο τετραγωνισµός του κύκλου. Η πρακτική λύση που προσπάθησε να δώσει η Ιερή Αρχιτεκτονική σε αυτό το πρόβληµα ήταν να στηρίξει ένα ηµισφαιρικό τρούλο πάνω σε µια τετραγωνική βάση που οριζόταν από τέσσερες κίονες (πεσσούς). Το Πάνθεον ήταν η πρώτη κατασκευή ηµισφαιρικού τρούλου, δηµιούργηµα καθαρά της ρωµαϊκής αρχιτεκτονικής. Οι Ρωµαίοι χρησιµοποίησαν αυτή τη µέθοδο για να ελαφρύνουν τα οικοδοµήµατα και να συντοµεύσουν το χρόνο κατασκευής τους. Στη συνέχεια το χρησιµοποίησαν οι Βυζαντινοί σα βασικό στοιχείο για τη κατασκευή µνηµείων για τη στέγαση µεγάλων χώρων και βασικά για να δηµιουργήσουν την αίσθηση του ουράνιου θόλου µε τον Παντοκράτορα. Οι πρώτοι Χριστιανικοί ναοί ήσαν βασιλικές, µακρόστενα ορθογώνια οικοδοµήµατα χωριζόµενα εσωτερικά µε κιονοστοιχίες σε κλίτη. Η ανατολική στενή πλευρά του κτιρίου καταλήγει σε µια ηµικυκλική αψίδα και η δυτική σε ένα στενόµακρο νάρθηκα. Επειδή η εξωτερική όψη τους ήταν πολύ απλή προσπαθήθηκε να τονιστεί η εσωτερική τους διακόσµηση. Τελικά αντικατεστάθηκαν από το Βυζαντινό ρυθµό που αναπτύχθηκε την εποχή του Ιουστιανιανού. Αυτός είναι ίδιος περίπου µε τη βασιλική, µε εξαίρεση το τρούλο που προστέθηκε στο κεντρικό κλίτος. Ο τρούλος αυτός κατασκευαζόταν µε τούβλα κατά δακτυλίους και µπορούσε να γίνει πολύ λεπτός. Με τη στήριξη τελικά του τρούλου πάνω σε ένα τετραγωνικό χώρο, µε την παρεµβολή τεσσάρων σφαιρικών τριγώνων ανάµεσά τους, επιτεύχθηκε αρχιτεκτονικά ο «τετραγωνισµός του κύκλου» και η ένωση του ουρανού µε τη γη, ενώ το εκστασιασµένο εκκλησίασµα δεχόταν µε δέος πάνω από τα κεφάλια του την ευλογία του Παντοκράτορος. Το αποκορύφωµα αυτής της τεχνικής ήταν βέβαια ο τρούλος του ναού της Αγίας Σοφίας (532537 µ.χ.) στην Κωνσταντινούπολη µε άνοιγµα 33 µέτρων που κτίσθηκε από τους αρχιτέκτονες Ισίδωρο και Ανθέµιο την εποχή του Ιουστιανιανού. Συριακά κείµενα του έβδοµου αιώνα αναφέρουν ότι η συγκεκριµένη κατασκευή αποσκοπούσε να δείξει την εκκλησία σα µια εικόνα του κόσµου µε το θόλο του ουρανού κρεµασµένο από πάνω, από το οποίο κατήρχετο το Άγιο Πνεύµα στη διάρκεια της λειτουργίας.

Ο ναός αποτελείται από το αίθριο, τους δύο νάρθηκες και τον κύριο ναό. Το αίθριο είναι µια ορθογώνια αυλή περιστοιχιζόµενη από κολώνες στα δυτικά του ναού µε µια βρύση στο κέντρο που έφερε την περίφηµη καρκινική επιγραφή "ΝΙΨΟΝ ΑΝΟΜΗΜΑΤΑ ΜΗ ΜΟΝΑΝ ΟΨΙΝ".

Από το αίθριο πέντε πόρτες οδηγούν στο εξωνάρθηκα και από εκεί άλλες πέντε στον εσωνάρθηκα, που είναι διπλάσιος από τον πρώτο. Στον εσωνάρθηκα υπάρχει µια σκάλα για το γυναικωνίτη, ενώ εννέα πόρτες οδηγούν στον κύριο ναό, από τις οποίες οι τρεις µεσαίες ονοµάζονται βασιλικές. Ο ναός χωρίζεται σε τρία µέρη, τα κλίτη, µε τέσσερες µεγάλες κολώνες (πεσσούς) που συνδέονται µεταξύ τους µε τόξα, πάνω στα οποία στηρίζεται ο τρούλος. Τέσσερις µικρότεροι πεσσοί, από δύο στην ανατολική και δυτική πλευρά, µαζί µε τους τέσσερις κεντρικούς πεσσούς, σχηµατίζουν κόγχες, που καλύπτονται µε ηµιθόλια. Στην ανατολική πλευρά ανάµεσα στους µικρούς πεσσούς, στο µέσο του ανατολικού ηµιθόλιου ανοίγεται η αψίδα του ιερού βήµατος που είναι ηµικυκλική εσωτερικά και ηµιεξαγωνική εξωτερικά. Ο θόλος υψώνεται στο κέντρο του τεράστιου χώρου εγγεγραµµένος σε τετράγωνο, που σχηµατίζεται από τους τέσσερις µεγάλους πεσσούς, που συνδέονται µεταξύ τους σε ισάριθµα πελώρια τόξα, που µαζί µε τα σφαιρικά τρίγωνα υποβαστάζουν τη στεφάνη του. Εξωτερικά ο θόλος ασφαλίζεται µε µικρούς πεσσούς, που είναι χτισµένοι ανάµεσα στα παράθυρα. Από τα τελευταία µπαίνει άπλετο φως που φωτίζει έντονα το εσωτερικό του ναού δίνοντας την εντύπωση ενός ακτινοβόλου ήλιου στον ουρανό κι ενός αιωρούµενου θόλου κρεµασµένου από τον ουρανό. Το µήκος του ναού από τη βασιλική πύλη µέχρι την κορυφή της αψίδας του ιερού είναι 80,90 µ., το πλάτος 69,5 µ. και το ύψος από το δάπεδο µέχρι την κορυφή του τρούλου 55,6 µ. Η διάµετρος του τρούλου είναι 33 µ. και το ύψος του 13,8 µ. Εποµένως αυτός τελικά δεν είναι ηµισφαιρικός.

Σχήµα 11

Σχήµα 12

Τα ακριβή χαρακτηριστικά του σύνθετου σχεδίου της Αγίας Σοφίας δεν επαναλήφθηκαν στους µεταγενέστερους ναούς. Από εκείνη όµως την εποχή κι έπειτα οι περισσότερες Βυζαντινές εκκλησίες κτίζονταν µε τρούλο διατηρώντας το κοσµικό συµβολισµό τους και συνδυάζοντας στενά πια το σχέδιο του ναού και την εσωτερική του διακόσµηση µε την επιτελούµενη σε αυτόν λειτουργία. Με την εξάπλωση της Βυζαντινής αυτοκρατορίας ο τρούλος διαδόθηκε στη συνέχεια στην Ευρώπη, ενώ υιοθετήθηκε σα βασικό στοιχείο και από την Ισλαµική αρχιτεκτονική. Την περίοδο της Αναγέννησης ξαναχρησιµοποιήθηκε στους ναούς, µε ιδιαίτερα ονοµαστό το τρούλο του ναού του Αγίου Πέτρου στο Βατικανό, που διακοσµήθηκε από τον Μιχαήλ Άγγελο και άλλους ονοµαστούς καλλιτέχνες. Αργότερα οι τρούλοι. πήραν διάφορες µορφές καταλήγοντας στη µορφή των Ρωσικών εκκλησιών.

ΜΕΣΑΙΩΝΑΣ Υµών δε και αι τρίχες της κεφαλής πάσαι ηριθµηµέναι εισί Ματθαίος Ι,31

Ο Μεσαίωνας αρχίζει ιστορικά µετά τη πτώση της Ρωµαϊκής αυτοκρατορίας περίπου το 476 µ.χ. και τελειώνει µε την έναρξη της Αναγέννησης στην Ιταλία κατά το 1400 µ.χ. Σύµβολό του είναι οι µεγάλοι καθεδρικοί ναοί των «µυηµένων» τεκτονικών αδελφοτήτων, τα φωτεινά αυτά παραδείγµατα των κατά τα άλλα «σκοτεινών» πολιτιστικά αυτών αιώνων, όπου θριάµβευε η θρησκευτική µισαλλοδοξία. Μια άλλη φωτεινή του επίσης πλευρά είναι οι µυηµένοι αλχηµιστές που αναζητώντας τα µυστικά της Ερµητικής τέχνης και της µεταστοιχείωσης των αγενών µετάλλων, εξωτερικά κι εσωτερικά, έθεσαν τις βάσεις της εξωτερικής κι εσωτερικής χηµείας.

Η εποχή αυτή χαρακτηρίζεται από µια µανία των ανθρώπων για τους αριθµούς και τις απόκρυφες σηµασίες τους. Οι αιτίες ανάγονται στις ισχυρές επιδράσεις ενός µεγάλου πλήθους συστηµάτων και θρησκειών: Παλαιά ∆ιαθήκη, Καβάλα και Γεµάτρια του Ιουδαϊσµού, Καινή ∆ιαθήκη και Αποκάλυψη του Χριστιανισµού, Πυθαγορισµός, Πλατωνισµός, αλλά και µαγεία της παλαιάς θρησκείας, Ισιακά και Οσιριδιακά µυστήρια, Ταρώ, Μιθραϊσµός, Γνωστικισµός, τεκτονικές παραδόσεις, Ισλαµική Γεωµετρία και τόσα άλλα άφησαν τα αποτυπώµατά τους πάνω στην εποχή, παρόλες τις προσπάθειες της αναγνωρισµένης θρησκείας να τα καταπνίξει και αποπέµψει κατηγορώντας τα σαν έργα και θεωρίες του Σατανά. Ο ίδιος άλλωστε ο Χριστιανισµός κάτω από τις ισχυρές αυτές επιδράσεις αναγκάστηκε να δηµιουργήσει το δικό του θεολογικό αριθµολογικό σύστηµα, το οποίο χρησιµοποίησε στους εξωτερικούς συµβολισµούς των ναών του, προπαγανδίζοντας τις δοξασίες του. Οι µυηµένες τεκτονικές αδελφότητες υπάκουσαν βέβαια σε αυτή τη προτροπή, αλλά αποτύπωσαν µυστικά σε αυτούς τους ναούς και ορισµένα αόρατα, αλλά άµεσα διαισθανόµενα από το θεατή, εσωτερικά στοιχεία των µυστικών παραδόσεων µε τις οποίες συνδέονταν. Αναφέρουµε παρακάτω συνοπτικά το Θεολογικό αριθµητικό σύστηµα του Μεσαίωνα. Ένα Η Πηγή, όχι µια αφηρηµένη πρώτη αιτία όπως στους Πυθαγορείους, αλλά απλά ο ένας Θεός. ∆ύο Η δυαδικότητα της θεότητας: Ο Θεός Πατέρας και ο Χριστός ή οι δυο φύσεις του Χριστού, η θεία και η ανθρώπινη. Τρία Κατανοώντας το φιλοσοφικό του λάθος ο Χριστιανισµός να βλέπει τη θεότητα σα µια ∆υάδα (ανισόρροπη) και όχι σα µια Τριάδα, προσέθεσε αργότερα το Άγιο Πνεύµα και θεµελίωσε θεολογικά το τρισυπόστατο της θεότητας. Η τριάδα σχετίζεται επίσης µε τις τρεις µέρες που πέρασε ο Χριστός στο τάφο και µε τις τρεις εποχές του κόσµου: πριν το Νόµο (του Θεού), από τον Αδάµ µέχρι το Μωυσή, την Εποχή του Νόµου από το Μωυσή µέχρι το Χριστό και την Εποχή της Θείας Χάριτος από τον Ιησού µέχρι τη Τελική Κρίση. Μια ακόµα αντιστοιχία είναι µε τις τρεις θεολογικές αρετές: τη Πίστη, την Ελπίδα και την Αγάπη. Τέσσερα Ο σταυρός, τα τέσσερα Ευαγγέλια και οι τέσσερες Ευαγγελιστές. Επίσης τα τέσσερα όντα και οι τέσσερες καβαλάρηδες της Αποκαλύψεως. Πέντε Τα πέντε στίγµατα του Αγίου Φραγκίσκου, αλλά και µια πενταπλή ερµηνεία του σταυρού µε την πρόσθεση του σηµείου τοµής των δύο βραχιόνων του. Με αυτή την έννοια συµβολίζει τις τέσσερες κατευθύνσεις και το εδώ και εσωτερικά τα πέντε στοιχεία. Έξη Το Άστρο του ∆αβίδ, το Τίφαρετ, η Σεφίρα της Ισορροπίας και της Οµορφιάς για τους µυηµένους. Επτά

Οι επτά Αρετές και οι Επτά Κακίες. Στις τρεις θεολογικές αρετές της πίστεως, ελπίδας και αγάπης προστέθηκαν οι τέσσερες Πλατωνικές της σύνεσης, γενναιότητας, µετριοπάθειας και δικαιοσύνης και δηµιούργησαν µια επτάδα. Σε αντιπαράθεση ορίστηκαν οι Επτά Κακίες ή τα Επτά Θανάσιµα Αµαρτήµατα (λαιµαργία, φιληδονία, φιλαργυρία, χλιδή, οργή, φθόνος και νωθρότητα. Οι τελευταίες συµβολίζονται µερικές φορές σαν το επτακέφαλο δράκοντα της Αποκάλυψης. Επίσης έχουµε τα επτά δώρα του Αγίου Πνεύµατος, τις επτά λύπες και τις επτά χαρές της Παρθένου και τις επτά παρακλήσεις της Κυριακής Προσευχής. Σηµειώνουµε ότι σε όλη την έκταση του Μεσαίωνα το επτά αντιπροσώπευε το σύνολο της ανθρώπινης µάθησης. Οι µεσαιωνικές σπουδές αποτελούντο από το trivium: γραµµατική, ρητορική και λογική, για ένα ας πούµε απλό πτυχίο (Bachelor), και το quadrivium: αριθµητική, µουσική, γεωµετρία και αστρονοµία για ένα µάστερ στην επιστήµη. Οκτώ Το οκτώ και το οκτάγωνο αντιπροσωπεύουν την ανάσταση και την επαναγέννηση, γιατί ο Χριστός αναστήθηκε από το τάφο 8 µέρες µετά την είσοδό του στα Ιεροσόλυµα. Έγινε έτσι σύµβολο του βαπτίσµατος, της πνευµατικής δηλαδή αναγέννησης ενός ατόµου και πολλά βαπτιστήρια και κολυµβήθρες έχουν οκταγωνικό σχήµα.

Σχήµα 1 Κολυµβήθρα Βαπτίσµατος στη Πίζα

Εννέα Οι Εννέα τάξεις των αγγέλων που αντιστοιχούν στις εννέα σφαίρες ή ουρανούς των αρχαίων σε σχέση µε τον υπερσεληνιαίο κόσµο: το εµπυρείο, τη σφαίρα των απλανών αστέρων και τις επτά σφαίρες των πλανητών ∆έκα Εδώ η αντιστοιχία είναι εµφανής µε τα δέκα Σεφιρώθ του Καβαλιστικού ∆ένδρου της Ζωής. ∆ώδεκα Οι 12 Απόστολοι. Στους καθεδρικούς ναούς διευθετούνται συνήθως σε 4 οµάδες από τρεις. Το 12

θεωρείται ότι συνδέεται µε το επτά γιατί παράγονται και τα δυο από το 3 και το 4, το ένα µε πρόσθεση και το άλλο µε πολλαπλασιασµό. ∆εκατρία Κακοτυχία, ο αριθµός της απιστίας και προδοσίας, ο αριθµός των 12 αποστόλων συν τον Ιούδα. Σαράντα Περισσότερη Κακοτυχία, ο Πειρασµός του Ιησού στην έρηµο. Ο αριθµός της δοκιµασίας και της στέρησης. Η αιτία για το δυσοίωνο αυτού του αριθµού µπορεί να ανάγεται στη παρατήρηση από τους Βαβυλωνίους τις εξαφάνισης για σαράντα ηµέρες των Πλειάδων που συνέπεφτε µε την εποχή των πληµµυρών και των καταιγίδων, δηλαδή µε µια περίοδο δοκιµασίας και κινδύνου. Άλλοι αρνητικοί συνειρµοί είναι τα 40 χρόνια περιπλάνηση των Ιουδαίων στην Έρηµο, οι 20 ηµέρες και νύχτες του Κατακλυσµού, οι 40 ηµέρες του Μωυσή πάνω στο όρος Σινά, η Τεσσαρακοστή η περίοδος της νηστείας, αυταρπάνησης και µετάνοιας για τη προετοιµασία του Πάσχα.

Η ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η µεσαιωνική αρχιτεκτονική ανέπτυξε δύο ρυθµούς το Ρωµανικό και το Γοτθικό. Η Ρωµανική αρχιτεκτονική αναπτύχθηκε τον 11ο και 12ο αιώνα µ.χ. συνδυάζοντας αρχαία και νεότερα Ρωµαϊκά στοιχεία. ∆ιατήρησε την επιµήκη µορφή της παλαιοχριστιανικής βασιλικής ενώ πρόσθεσε στη πρόσοψη ένα ή δύο πύργους. Ο ρυθµός της χαρακτηρίζεται από ογκώδεις τοίχους χωρίς αντιστήριξη, µέτρια κεκλιµένες στέγες, στρογγυλά τόξα και στηριγµένα µε κίονες υπέρθυρα, ενώ οι ναοί της είναι σκοτεινοί από το µικρό αριθµό και µέγεθος των παραθύρων της. Το 12ο αιώνα, ξεκινώντας από τη Γαλλία, αναπτύχθηκε στην Ευρώπη ένα νέο είδος αρχιτεκτονικής που χαρακτηρίζεται από λεπτότερους, ψηλούς τοίχους, κάθετες γραµµές, αιχµηρά τόξα και µυτερούς οβελίσκους, µαζί µε µεγάλα παράθυρα µε πολύχρωµα υαλογραφήµατα (βιτρώ) από τα οποία διερχόµενο το φως έδινε στους επισκέπτες την εντύπωση ότι περιβάλλονταν από πολύτιµα πετράδια. Τα χρησιµοποιούµενα χρώµατα ήσαν συνήθως το µπλε του σάπφειρου, το κόκκινο του ρουµπινιού και το πράσινου του σµαραγδιού. Εξωτερικά ο ναός διακοσµείτο από έναν ή δύο πύργους, ενώ στο εσωτερικό επικρατούσε ένας πλούσιος ανάγλυφος διάκοσµος που άφηνε ελάχιστο ελεύθερο χώρο για ζωγραφική. Ο ρυθµός αυτός που περιλαµβάνει µια περίοδο 400 ετών, από το 12ο αιώνα µέχρι τις πρώτες δεκαετίες του 16ου αιώνα και ο οποίος σηµάδεψε τα τέλη της µεσαιωνικής εποχής ονοµάστηκε «Γοτθικός», όρος που επινοήθηκε στην Ιταλία στη διάρκεια της Αναγέννησης σα µια υποτιµητική αναφορά στη τέχνη και αρχιτεκτονική των προηγούµενων αιώνων. Η δυσφήµηση σχετιζόταν µε µια υποτιθέµενη σύγκρισή τους µε τους προηγούµενους βαρβάρους Γότθους. Ένας Γοτθικός καθεδρικός ναός είναι βασικά η έδρα ενός Καθολικού Επισκόπου. Η λέξη καθεδρικός προέρχεται από την Ελληνική λέξη «καθέδρα», το όνοµα του θρόνου πάνω στον οποίο καθόταν ο επίσκοπος στην εκκλησία του. Το σχέδιο ενός καθεδρικού ναού ακολουθεί το σχήµα ενός σταυρού και η είσοδος βρίσκεται δυτικά. Ο νάρθηκας βρίσκεται µέσα στην είσοδο, ενώ ο κυρίως ναός είναι το µακρύτερο τµήµα του σταυρού και χρησιµεύει σαν η αίθουσα συγκεντρώσεως για το εκκλησίασµα. Οι δυο πτέρυγες του ναού τέµνουν κάθετα το κυρίως ναό

σχηµατίζοντας τους βραχίονες του σταυρού. Στις µικρές πόλεις οι καθεδρικοί ναοί ήσαν το µακρύτερο, φαρδύτερο και ψηλότερο από όλα τα κτίρια της περιοχής. Στο κέντρο του, στην πρόσοψη, υπάρχει ένα τεράστιο κυκλικό παράθυρο φτιαγµένο από διαφορετικά κοµµάτια χρωµατιστής υάλου, το περίφηµο Ροζ Παράθυρο. Στο Παρίσι τα τόξα είναι ύψους 30 µέτρων. Μερικά τόξα είναι ακόµα ψηλότερα µέχρι και 37 µέτρα. Η Παναγία των Παρισίων (1136) πρωτοστάτησε στην ανάπτυξη του Γαλλικού Γοτθικού ρυθµού. Έχει ύψος 33 µέτρα και είναι ο πρώτος καθεδρικός ναός που κτίσθηκε σε µια πραγµατικά µνηµειακή κλίµακα αποτελώντας το πρωτότυπο για τους µελλοντικούς Γαλλικούς καθεδρικούς ναούς. Άλλοι ονοµαστοί καθεδρικοί ναοί στη Γαλλία είναι του Σαρτρ (1194), µια µικρή πόλη κοντά στο Παρίσι, της Ρενς (1211) και της Αµιένης (1215). Ονοµαστοί είναι επίσης του Στρασβούργου (1277), της Κολονίας, του Αγίου Στεφάνου της Βιέννης, του Μιλάνου κ.ά. Ο Γοτθικός ρυθµός δεν ήταν όµως «βάρβαρος», όπως άφηναν να υπονοηθεί οι οπαδοί της Αναγέννησης, αλλά µια γεωµετρική και αστρολογική εγκυκλοπαίδεια, µε σκοπό όχι µόνο να αρέσει και να εξάρει το θρησκευτικό συναίσθηµα, αλλά και να διδάξει και να µεταβιβάσει γνώσεις στις επόµενες γενεές. Ο Μεσαίωνας έχει κατηγορηθεί σαν τους σκοτεινούς πολιτιστικά αιώνες της ανθρωπότητας στη διάρκεια των οποίων εκτός των άλλων εξέλειπαν και τα µαθηµατικά. Οι τέκτονες όµως του µεσαίωνα είχαν µια ισχυρή αντίληψη της γεωµετρίας που τους βοήθησε να κατασκευάσουν τους µεγάλους καθεδρικούς ναούς πάνω σε καθαρά µαθηµατικές αρχές. Τα µαθηµατικά τους είναι αποτυπωµένα σε αυτά ακριβώς τα ζωντανά µνηµεία της ιερής αρχιτεκτονικής, αντί να τα έχουν καταγράψει στο χαρτί για να διαδηλώσουν στους µεταγενέστερους τη παιδεία τους. Οι µαθηµατικές σχέσεις και αναλογίες, οι συµµετρίες σε µια κατασκευή δεν µπορούν να παρατηρηθούν πάντα άµεσα, αλλά κρύβονται στην αισθητική της, στη συναισθηµατική και γνωστική επίδραση που εξασκεί πάνω στο θεατή. Το αρχιτεκτονικό αποτέλεσµα είναι ως επί το πλείστον αισθητικό και τα µαθηµατικά του η κρυµµένη αρµονία του σχεδιασµού του. Η παρουσία της χρυσής τοµής Φ, των λόγων 5:3, 8:5, της τετραγωνικής ρίζας του 2, του κύκλου και του ισόπλευρου τριγώνου και πλήθος άλλων αναλογιών και µαθηµατικών ιδεών κρύβονται έτσι έντεχνα από το µάτι του αµύητου παρατηρητή, ο οποίος εντούτοις θαυµάζει το αποτέλεσµα. Η λατρεία της απόκρυφης και θρησκευτικής αριθµολογίας στο Μεσαίωνα συνδυάσθηκε µε µια ιδιαίτερη αφοσίωση στη γεωµετρία. Όπως επισηµαίνει ο Kenneth Clark «για τον άνθρωπο του Μεσαίωνα η γεωµετρία ήταν µια θεία δραστηριότητα». Αυτό συµβολίστηκε στη τέχνη µε το Θεό να κρατάει ένα διαβήτη, ένα συνηθισµένο θέµα ζωγραφικής στο µεσαίωνα. Στους Γοτθικούς καθεδρικούς ναούς η γεωµετρία κυριαρχεί παντού. Η κάτοψη ήταν πάντα σταυροειδής, η κολυµβήθρα οκταγωνική, το ίδιο και το βαπτιστήριο και ο κύκλος ανευρίσκετο παντού. Στο καθεδρικό ναό του Σαρτρ, κοντά στο Παρίσι, η µεσαιωνική τρέλα για τους αριθµούς και τη γεωµετρία έφτασε στο αποκορύφωµά της. Σύµφωνα µε τον Painton Cowan "οι λόγιοι στο Σάρτρ ήσαν καθαρά γοητευµένοι από τον αριθµό και...τη γεωµετρία σαν ένα κλειδί για τη κατανόηση της φύσης. Η προκατάληψή τους οδήγησε σε µια τάση αναγωγής σχεδόν της θεολογίας στη γεωµετρία». Και σύµφωνα µε τον Έκο: «Η σχολή του Σαρτρ παρέµεινε πιστή στη Πλατωνική κληρονοµιά του Τίµαιου και ανέπτυξε ένα είδος Τιµαϊκής κοσµολογίας. Για τη σχολή του Σαρτρ ο Θεός ήταν τάξη, αντίθετη του αρχέγονου χάους».

Σχήµα 2 Καθεδρικός Ναός του Σαρτρ

Η έσχατη όµως έκφραση της Μεσαιωνικής απόκρυφης γνώσης της γεωµετρίας και του κύκλου είναι το ροζ παράθυρο, που ονοµάζεται επίσης και Τροχός. Φαίνεται αρκετά µεγαλοπρεπές από το εξωτερικό της εκκλησίας, αλλά από το εσωτερικό της είναι εξαίσιο, ένα πραγµατικό κοµψοτέχνηµα, ένα αριστούργηµα

Σχήµα 3 Το Ροζ Παράθυρο εξωτερικά

Σχήµα 4 Το Βόρειο Ροζ Παράθυρο του καθεδρικού ναού του Σαρτρ. Μπορούµε να Παρατηρήσουµε 36 πέταλα, γύρω από τα 6 κεντρικά (Άστρο του ∆αβίδ), γύρω τελικά από το Ένα. Φαίνεται σα µια µαντάλα.

Σύµφωνα µε τον Cowan τα Ροζ Παράθυρα χρησιµοποιούν τη γεωµετρία µε τρεις διαφορετικούς τρόπους: τη φανερή, τη κρυµµένη και τη συµβολική. Φανερή Αυτό που επιδρά πιο άµεσα στο µάτι..ο ιστός της πολυπλοκότητας και ακρίβειας..κάθε διάστηµα ορισµένο από ένα ακόµα µικρότερο γεωµετρικό σχήµα - τριφύλλι, τετράφυλλο, ροζέτα, σφαιρικό τρίγωνο...µέσα σε αυτά µπορεί να φανεί συχνά ένα ακόµα ωραιότερο πρότυπο υφασµένο µέσα στο υαλούργηµα... µέσα σε κάθε ίνα και γωνία του κοσµικού ρόδου Κρυµµένη Η µυστική γεωµετρία των σχέσεων και αναλογιών των µερών. Συµβολική Ένα είδος συντόµευσης, όπου τα γεωµετρικά σχήµατα αντιπροσωπεύουν διάφορα πράγµατα.

Σύµφωνα µε τον Cowan, ο αστρολογικός αριθµός 12 είναι ο πιο συνηθισµένος στα ροζ παράθυρα, ιδίως στις νότιες πτέρυγες των ναών. Στο Σαρτρ υπάρχουν τρία µεγάλα ροζ παράθυρα: το Βόρειο, το Νότιο και το ∆υτικό, καθένα διαιρεµένο σε 12 τµήµατα. Η επίδραση της αστρολογίας στο Σαρτρ δείχνεται επίσης στα ζωδιακά σηµεία που υπάρχουν στο πάνω µέρος της εισόδου στη ∆υτική πλευρά, σε ένα ζωδιακό παράθυρο, στους πύργους του ήλιου και της σελήνης, σ’ ένα εξωτερικό ηλιακό ωρολόγιο και σ’ ένα αστρονοµικό ρολόι.

Ο Han Vandevyvere έκανε µια γραφική ανάλυση στα σχέδια και στις προσόψεις µερικών Φλαµανδικών Γοτθικών ∆ηµαρχείων (όπως των Βρυξελών, της Louvain, Oudenaarde και της Bruges), όλα τους κτισµένα από τα τέλη του 14ου µέχρι τις αρχές του 16ου αιώνα, αναζητώντας σε αυτά µαθηµατικές σχέσεις. Όπως παρατηρεί «το τετράγωνο και ο κύκλος συνοψίζονται σε µια µαντάλα, µια αρχετυπική µορφή που παριστάνει τη σχέση ανάµεσα στη γη (το τετράγωνο, το πεπερασµένο) και το σύµπαν (το κύκλο, το άπειρο). Η πρόσοψη των δηµαρχείων στην ανάλυσή µας είναι ένα τετράγωνο, και έτσι η απόλυτη έκφραση της γήινης δύναµης και σταθερότητας. Αλλά στη σχέση της µε το κύκλο, αναφέρεται επίσης στο µεταφυσικό. Αυτός ο συνδυασµός και των δυο στοιχείων είναι πολύ ουσιαστικός, διότι το Μεσαίωνα ποτέ δεν εισηγείτο κάποιος κάτι χωρίς να θεωρήσει τη κατάλληλη θέση του στη κοσµική τάξη». Το παρακάτω σχήµα δείχνει σε µικρογραφία δυο από τις γραφικές αναλύσεις του

Σχήµα 5

ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ (1400 - 1600 Μ.Χ. ΠΕΡΙΠΟΥ) Η Γεωµετρία έχει δυο θησαυρούς: ο ένας είναι το Πυθαγόρειο Θεώρηµα, το άλλο είναι η διαίρεση ενός ευθύγραµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο. Το πρώτο µπορούµε να το συγκρίνουµε µε ένα µέτρο χρυσού, το δεύτερο µπορούµε να το ονοµάσουµε ένα ανεκτίµητο κόσµηµα. Johannes Kepler

Ο κυνικός φιλόσοφος Λουκιανός Μένιππος έγραψε µερικές διάσηµες περιγραφές έργων τέχνης και θεωρείται ο ιδρυτής της κριτικής της τέχνης. Μια από αυτές τις περιγραφές, Το ∆ωµάτιο, είναι για την αρχιτεκτονική και τη ρητορική. Το δωµάτιο του Μένιππου δεν είναι κανενός ιδιαίτερου κτιρίου αλλά ένα δωµάτιο µοντέλο: είναι ορθογώνιο, αψιδοειδές, αντικρίζει την ανατολή και «η σχέση ανάµεσα στο µήκος και το πλάτος του και ανάµεσα σε αυτά και στο ύψος του είναι αρµονική». Ο Μένιππος µιλά επίσης για την «ακατανίκητη ευχαρίστηση των µατιών» και για τη ρητορική «διακόσµηση» της αρχιτεκτονικής από µερικούς επισηµαίνοντας τους κινδύνους της κριτικής της τέχνης. Παρόµοια κριτήρια αισθητικής εξέφρασε στο τέλος της κλασσικής αρχαιότητας και ο Προκόπιος, ο οποίος έγραψε το βιβλίο Επί των κτιρίων του Αυτοκράτορος Ιουστιανιανού. Η αρχιτεκτονική θεωρήθηκε απ’ αυτούς σαν ένας σύνθετος οργανισµός, που ενώνει την ύλη και τις ιδέες σε ένα αισθητικό, αρµονικό όλον. Τα µαθηµατικά ήταν, σύµφωνα µε τη κλασσική αντίληψη, η κρυµµένη ακριβώς αρµονία και αισθητική αυτού του όλου Η αρχιτεκτονική είναι, σχεδιαστικά τουλάχιστον, κατεξοχήν Ευκλείδεια. Οι νέοι κλάδοι της αναλυτικής και της προβολικής γεωµετρίας που εµφανίστηκαν στα µέσα του 17ου αιώνα δε µείωσαν την ισχύ της, αλλά απέβησαν απλώς συµπληρωµατικές κατανοήσεις της. Ούτε οι σύγχρονες επιστηµονικές αντιευκλείδειες θεωρίες της κβαντικής φυσικής και της γενικής θεωρίας της σχετικότητας φαίνονται να επηρεάζουν το κύρος της Ευκλείδειας γεωµετρίας στην αρχιτεκτονική και αυτή συνεχίζει να αποτελεί ένα από τα βασικά διδασκόµενα µαθήµατα στα Γυµνάσια όλου του κόσµου. Αυτό δε σηµαίνει βέβαια ότι δεν έχει αµφισβητηθεί ποτέ µέχρι τώρα, είναι γνωστή άλλωστε η πολεµική και οι επιθέσεις που δέχθηκαν µερικά βασικά αξιώµατά της, ιδιαίτερα αυτό των παραλλήλων (ότι από ένα σηµείο εκτός ευθείας άγεται µία και µόνη παράλληλη ευθεία προς αυτήν) και η προσπάθεια θέσπισης µη Ευκλείδειων γεωµετριών. Εκτός από Ευκλείδεια όµως η ∆υτική αρχιτεκτονική έχει επηρεασθεί κατά καιρούς πολύ από τη κλασσική αρχαιότητα και τη Πλατωνική και Πυθαγόρεια ερµηνεία περί αρµονίας. Σαν τη µουσική, χώρο επικράτειας της ακοής, έτσι και η αρχιτεκτονική, χώρος επικράτησης της όρασης, φαινόταν πως έπρεπε να υπακούει στους παγκόσµιους µαθηµατικούς νόµους της αρµονίας. Κάτω από αυτό το σκεπτικό οι αριθµοί φάνηκαν να διέπουν όχι µόνο τις γενικές αναλογίες των κτιρίων αλλά και τον ορισµό της αρχιτεκτονικής µονάδας (module) - γενικά το µισό της διαµέτρου του κίονα ή κολώνας - από την οποία µπορούσαν να παραχθούν όλες οι υπόλοιπες διαστάσεις των αρχιτεκτονικών τάξεων. Με αυτό το τρόπο κάθε στοιχείο µιας αρχιτεκτονικής τάξης προσδιορίζετο από ένα λόγο που αναφέρετο στο module και µπορούσες να εκφράσεις έτσι τελικά την αρχιτεκτονική µε ένα µαθηµατικό αλγόριθµο. Επιλέγοντας απλά το ρυθµό, εφάρµοζες ένα αριθµητικό τύπο και µπορούσες να βρεις όλες τις διαστάσεις των αρχιτεκτονικών µερών που θα χρησιµοποιούσες σε µια δοθείσα κατασκευή. Αυτή η φαινοµενική αντίφαση µεταξύ του Ευκλείδειου, βασισµένου στις κατασκευές µε το

κανόνα και το διαβήτη, και του νεοπλατωνικού ή νεοπυθαγόρειου συστήµατος, βασισµένου στον αριθµό και την αναλογία, φάνηκε να δηµιουργεί µια πολικότητα στην αρχιτεκτονική, αντανακλώντας βασικά τη φαινοµενική αντίθεση ανάµεσα στην αριθµητική και τη γεωµετρία. Τη λύση όµως σε αυτό το φαινοµενικό δυισµό, δυο βασικά συµπληρωµατικών συστηµάτων, την είχε δώσει ήδη ο Σωκράτης στο «Μένωνα» του Πλάτωνα, όταν προέτρεψε το σκλάβο του, που δίσταζε να υπολογίσει τη διαγώνιο ενός τετραγώνου, απλώς να τη σχεδιάσει. Στην Αναγέννηση εντούτοις η πλάστιγγα φάνηκε να γέρνει καθαρά υπέρ του Πυθαγόρειου συστήµατος και η Ευκλείδεια γεωµετρία να καταλαµβάνει µια δευτερεύουσα θέση, αν και συνέχιζε να χρησιµοποιείται στη σχεδίαση. Ο µεγάλος Ιταλός αρχιτέκτονας Αλµπέρτι Λεόν Μπατίστα (1404-1472), ο πιο σηµαντικός θεωρητικός της αρχιτεκτονικής της Αναγέννησης, καλλιέργησε µια καθαρά νεοπυθαγόρεια, αριθµητική άποψη, για την αρχιτεκτονική. Στο µνηµειώδες έργο του De Re Aedificatoria, (∆έκα Βιβλία Επί της Αρχιτεκτονικής, 1485), το πρώτο εκτυπωµένο έργο πάνω στην αρχιτεκτονική της Αναγέννησης, φαίνεται να αµελεί το Ευκλείδειο Σύστηµα, το οποίο εντούτοις είχε διδαχθεί και γνώριζε πολύ καλά, και να εστιάζεται κυρίως σε αριθµητικά θέµατα. Σχετικά µε τη θεωρία της οµορφιάς δηλώνει καθαρά ότι οι τρεις βασικές συνιστώσες της είναι «ο αριθµός (numerus), αυτό που µπορούµε να ονοµάσουµε περίγραµµα (finitio) και η θέση (collocatio)", αν και στη πραγµατικότητα θεωρούσε τον αριθµό σαν τη βασικότερη συνιστώσα. Ο Μπατίστα ήταν από τους πρώτους που σχεδίασαν κτίρια µε ένα καθαρά κλασσικό στυλ, βασισµένο στη µελέτη της αρχαίας Ρωµαϊκής αρχιτεκτονικής. Ένα από τα πιο διάσηµα επιτεύγµατά του είναι η ανακαινισθείσα πρόσοψη της Γοτθικής εκκλησίας Santa Maria Novella της Φλωρεντίας (1456-1470) που παρουσιάζουµε παρακάτω.

Σχήµα 1

Τα έργα εποµένως της Αναγέννησης είναι κατεξοχήν µαθηµατικά και µε αυτή την έννοια πιο ακριβή και πιο αντικειµενικά από τα υπόλοιπα έργα του µεσαίωνα. Την εποχή αυτή αναπτύχθηκε και ο λεγόµενοςΣφάλµα! ∆εν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Αναγεννησιακός ρυθµός, που είναι ο

συνδυασµός Βυζαντινού ρυθµού και βασιλικής. Στο προηγούµενο Γοτθικό ρυθµό είχαµε δει την αντίθεση των µυτερών οβελίσκων µε τους Βυζαντινούς τρούλους. Ο Γοτθικός ρυθµός φαίνεται επιθετικός, αρσενικός, διαπεραστικός, φαλλοκρατικός, ενώ ο Βυζαντινός θηλυκός, ευαίσθητος, συναισθηµατικός, παθητικός και δεκτικός, η αντιπαράθεση του φαλλού µε τη µήτρα, το ένα διαπερνά, το άλλο αγκαλιάζει, προστατεύει, ζεσταίνει, τρέφει, αναπτύσσει, ο νους και η καρδιά, η ανατολή και η δύση. Με τον αναγεννησιακό ρυθµό επιτυγχάνεται ο συγκερασµός, η ένωση των αντιθέτων, η ισορροπία, η αρµονία, το κάλλος. Ο πιο αντιπροσωπευτικός ναός αυτού του ρυθµού είναι ο Άγιος Πέτρος της Ρώµης (1506-1667), ο µεγαλύτερος της Χριστιανοσύνης για τη κατασκευή του οποίου εργάστηκαν δυο από τα µεγαλύτερα ονόµατα της Αναγέννησης ο Ραφαήλ και ο Μιχαήλ Άγγελος. Ο ναός έχει µήκος 213,5 µ. και πλάτος 137,25 µ. Το ύψος του φτάνει τα 45 µ. χωρίς τον τρούλο. Ο τρούλος έχει από το δάπεδο ύψος 138 µ. και διάµετρο 42 µ. Το πλάτος της δυτικής πρόσοψης είναι 120 µ. και το ύψος 48,80 µ. Ολόκληρος ο ναός έχει συνολικά 748 µικρές και µεγάλες κολώνες και µπορεί να χωρέσει 20.000 άτοµα. Ο ναός άρχισε να κτίζεται το 1506 µε σχέδια του αρχιτέκτονα Μπραµάντε, ο οποίος όµως πέθανε το 1514 πριν αποπερατωθεί ο ναός και το έργο ανέλαβαν διαδοχικά άλλοι αρχιτέκτονες, όπως ο Ραφαήλ, ο Μιχαήλ Άγγελος, ο Τζιάκοµο ντε λα Πόρτα και ο Κάρλο Μαντέρα. Τα αρχιτεκτονικά σχέδια τροποποιήθηκαν πολλές φορές µέχρι την αποπεράτωσή του. Η κατασκευή του µεγαλοπρεπούς τρούλου ανήκει βασικά στο Μιχαήλ Άγγελο, ενώ η στοά της πλατείας που βρίσκεται στη δυτική πλευρά είναι κατασκευή του Μπερνίνι. Έχει σχήµα Ελληνικού σταυρού και ο κυρίαρχος τρούλος του επηρέασε την εκκλησιαστική αρχιτεκτονική τα επόµενα 300 χρόνια.

Σχήµα 2 Ο Τρούλος του Αγίου Πέτρου της Ρώµης

Σε Αναγεννησιακό ρυθµό είναι κτισµένος και ο Καθεδρικός Ναός του Αγίου Παύλου στο Λονδίνο (1675 - 1710). Αυτός έχει µήκος 170 µ και είναι από τους µεγαλύτερους του κόσµου. Έχει σχήµα σταυρού και ο κεντρικός τρούλος του βρίσκεται σε ύψος 110 µ. από το έδαφος.

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΤΕΧΝΗ ΤΗΣ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ

Ο µαθηµατικός Luca Pacioli (1445-1517), φίλος των µεγάλων ζωγράφων της Αναγέννησης, έγραψε το Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494), µια σύνοψη αριθµητικής, γεωµετρίας και άλγεβρας, που ήταν και από τα πρώτα βιβλία που τυπώθηκε στη Βενετία µε τη νέα µέθοδο του Γουτεµβέργιου. Παρόλο που το έργο αυτό δε διακρίνεται για τη πρωτοτυπία του, αποτέλεσε τη βάση για µια µεγαλύτερη πρόοδο στα µαθηµατικά σύντοµα µετά την κυκλοφορία του στην Ευρώπη. To 1497 o Λεονάρντο ντα Βίντσι εντυπωσιασµένος από το βιβλίο του Pacioli τον ενθάρρυνε µέσω τρίτου κοινού γνωστού να έλθει στο Μιλάνο να τον διδάξει µαθηµατικά, γεωµετρία και αναλογία. Έµειναν µαζί για 10 χρόνια στο Μιλάνο και στη Φλωρεντία. Ο Pacioli αναφέρεται αρκετές φορές στις σηµειώσεις του Λεονάρδο αυτής της περιόδου και ο Λεονάρδο διδάχθηκε προοπτική από τον µεγάλο δάσκαλο της προοπτικής και της γεωµετρίας και εξαίρετο ζωγράφο Piero della Francesca, γνωστού και διδασκάλου του Pacioli. Ο Francesca είχε γνωρίσει εν τω µεταξύ τον Pacioli και στον Batista. που τον είχε παροτρύνει να

γράψει µαθηµατικά στα Ιταλικά. Ο Batista πίστευε στη κοσµική σηµασία των µουσικών λόγων και αυτή η πίστη συνεχίστηκε από τον Pacioli. Ο Pacioli δηµοσίευσε τελικά τη Θεία Αναλογία το 1509, στην καθοµιλουµένη Ιταλική όπως είχε παροτρυνθεί από το Batista. Σε αυτή αναφέρεται στο χρυσό λόγο σαν "dal ciel mandata" ουρανόσταλτο. Γιατί όµως τον ονοµάζει θείο; 1. ∆ιότι σαν το Θεό είναι µοναδικός 2. Όπως η τριάδα είναι µια ουσία σε τρία πρόσωπα, η θεία αναλογία είναι µια µοναδική αναλογία σε τρεις όρους 3. Όπως ο Θεός δεν µπορεί να περιγραφεί µε λέξεις, έτσι και η θεία αναλογία δεν µπορεί να εκφραστεί µε ένα ρητό αριθµό. Είναι απόκρυφη και µυστική (secretissima scientia). 4. Σαν το Θεό είναι πάντοτε όµοια µε τον εαυτό της. Έτσι µετά από αιώνες προφορικής µετάδοσης ο χρυσός λόγος γράφτηκε τελικά στο χαρτί. Και τι συνέβη; Όλοι φάνηκαν να χάνουν το ενδιαφέρον τους γι’ αυτόν, γιατί όπως παρατηρεί ο Bouleau, "το άναµµα ίσως ενός λαµπερού φωτός πάνω στα αρχαία µυστικά είναι η αναγγελία του θανάτου τους. Στη πραγµατικότητα, σηµείωσε την αρχή της πτώσης της. Η θεία αναλογία είχε χάσει τη µαγική της έλξη...» Ο Pacioli αφιέρωσε ολόκληρο το δεύτερο µέρος της Θείας Αναλογίας στα Πλατωνικά στερεά, συσχετίζοντάς τα µε το χρυσό λόγο ως εξής: Όπως ο Θεός έφερε σε ύπαρξη την ουράνια αρετή, την πέµπτη ουσία, και µέσω αυτής δηµιούργησε τα τέσσερα στερεά . . .τη γη, τον αέρα, το νερό και τη φωτιά...έτσι και η ιερή αναλογία µας έδωσε σχήµα στον ίδιο τον ουρανό, αποδίδοντάς το στο δωδεκάεδρο. . .το στερεό των δώδεκα πενταγώνων τα οποία δεν µπορούν να κατασκευαστούν χωρίς την ιερή αναλογία µας, όπως περιέγραψε ο ηλικιωµένος Πλάτωνας στο Τίµαιο.

Σχήµα 3 Τα Κανονικά Στερεά: µια από τις εικόνες του Λεονάρντο ντα Βίντσι για τη Θεία Αναλογία του Πατσιόλι.

Ο Πατσιόλι επιβεβαιώνει ότι ο Ντα Βίντσι σχεδίασε τις εικόνες της Θείας Αναλογίας του: ο πιο εξαίρετος ζωγράφος στην προοπτική, αρχιτέκτονας, µουσικός και άνθρωπος de tutte vertu doctato, Leonardo da Vinci, ο οποίος εξήγαγε κι επεξεργάστηκε µια σειρά διαγραµµάτων των κανονικών στερεών... Η επίδραση που εξάσκησε ο Πατσιόλι δείχνεται και στο παρακάτω πίνακα του Jacopo de Barbari που παρουσιάζει το Pacioli µε ένα µαθητή του. Το έργο αυτό χρησιµοποιεί µια πενταγωνική συµµετρία που ρυθµίζει τη τοποθέτηση κάθε βασικού στοιχείου στη σύνθεση.

Σχήµα 4

1. Η πρώτη γραµµή δίνεται από τη χαµηλότερη άκρη της µυτερής ράβδου στο δεξί χέρι του Pacioli. Αυτή η γραµµή τέµνει το πάνω µέρος της εικόνας σε ένα κατακόρυφο άξονα που ορίζεται από το κενό, σχήµατος V, στη φράντζα των µαλλιών του Pacioli και από το µεσαίο κόµπο της ζώνης του. 2. Πάνω σε αυτή τη κατακόρυφη σχεδιάζεται ένας κύκλος µε διάµετρο το ύψος της εικόνας, ο οποίος τέµνει τη ράβδο ακριβώς εκεί που αυτή συναντά την πάνω άκρη του πίνακα. 3. Σε αυτό το κύκλο εγγράφονται δυο κανονικά πενταγράµµατα, το ένα «όρθιο» και το άλλο «ανεστραµµένο». Το σηµείο που αυτά τέµνονται πάνω στην οριζόντια διάµετρο του κύκλου είναι το σηµείο ακριβώς στο οποίο τη τέµνει η ράβδος. Έτσι η ράβδος είναι ακριβώς τοποθετηµένη για να ορίζει τα δύο πενταγράµµατα. Οι πλευρές των πενταγραµµάτων περνούν από το δεξί µάτι του Pacioli, τους δυο άλλους κόµπους στη ζώνη του, το κενό µεταξύ του 2ου και του 3ου δακτύλου του στο αριστερό του χέρι, την άκρη του «µελανοδοχείου» και το ρούχο του Pacioli και του µυστηριώδη φίλου του. O δεξιός του αντίχειρας αγγίζει ακριβώς την οριζόντια γραµµή του ανεστραµµένου πενταγράµµατος. 4. Η ευθεία που ορίζεται από την άκρη της ράβδου και το κέντρο του κύκλου περνάει και από

άλλα σηµεία τοµής των δυο πενταγραµµάτων. Η κορυφή τώρα της ράβδου ορίζεται µε µια οριζόντια γραµµή µέσω άλλων σηµείων τοµής. 5. Το βιβλίο στο οποίο αναφέρεται ο Pacioli µε το αριστερό του χέρι µάλλον είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Η δεξιά σελίδα έχει στην επικεφαλίδα τα Ρωµαϊκά αριθµητικά XI. Θεωρείται ότι αυτή είναι ανοιχτή στη Πρόταση XI του 4ου τόµου: του πάνω στο πώς να εγγράψεις ένα κανονικό πεντάγωνο σε ένα δοσµένο κύκλο. 6. Ο παραπάνω πίνακας Fra Luca Pacioli και του µαθητή του, του είναι ο διασηµότερος ίσως πίνακας της Αναγέννησης µε ένα γεωµετρικό θέµα. Βρίσκεται τώρα στο Μουσείο di Capodimonte της Νάπολης. ∆ηµιουργήθηκε το 1495 και εκτός των ήδη αναφερθέντων παρουσιάζει ένα όµορφο γυάλινο µοντέλο ενός ροµβοειδούς κυβοοκτάεδρου κρεµασµένο από ένα σπάγκο και ένα χάρτινο ή ξύλινο µοντέλο ενός κανονικού δωδεκάεδρου πάνω στο πάγκο.

Στο Τρίτο Βιβλίο του της Αρχιτεκτονικής του (De architectura), Ο Βιτρούβιος γράφει: Χωρίς συµµετρία και αναλογία δεν µπορούν να υπάρχουν αρχές στο σχέδιο οποιουδήποτε ναού, δηλαδή εάν δεν υπάρχει µια ακριβής σχέση ανάµεσα στα µέλη του όπως στη περίπτωση ενός καλοσχηµατισµένου ανθρώπου. Και συνεχίζει: . . . εάν ένας άνθρωπος ετίθετο µε τη πλάτη στο τοίχο, µε εκτεταµένα τα χέρια και τα πόδια του και τοποθετείτο ένας διαβήτης στον αφαλό του...τα δάκτυλα των χεριών και των ποδιών του θα ακουµπούσαν στη περιφέρεια του περιγράφεται γύρω του. Και όπως ακριβώς το ανθρώπινο σώµα δίνει ένα κυκλικό περίγραµµα, έτσι επίσης µπορεί να βρεθεί και η µορφή ενός τετραγώνου από αυτό. Γιατί εάν µετρήσουµε την απόσταση από τις πατούσες των ποδιών του µέχρι τη κορυφή της κεφαλής του και εφαρµόσουµε µετά αυτό το µέτρο στα εκτεταµένα χέρια του, το πλάτος θα βρεθεί το ίδιο µε το ύψος του... Αυτή η παράγραφος έχει δηµιουργήσει πάρα πολλές εικόνες ανθρώπων µέσα σε τετράγωνα και κύκλους, που είναι γνωστοί σαν «άνθρωποι του Βιτρούβιου», µαζί µε τη διάσηµη αντίστοιχη εικόνα του Λεονάρντο ντα Βίντσι που θα δούµε παρακάτω. Όπως είναι φυσικό ο Λεονάρδο ντα Βίντσι (1451-1519) από προσωπικό ενδιαφέρον, αλλά και επηρεασµένος από τον ενθουσιώδη οπαδό της χρυσής τοµής φίλο του, τη χρησιµοποίησε κατά κόρον στα έργα του. Είχε κάνει προηγουµένως µια εκτεταµένη µελέτη των αναλογιών του ανθρώπινου σώµατος και είχε δείξει πώς πολλά µέρη του σχετίζονται µε τη χρυσή τοµή. Το παρακάτω διάγραµµα, ενός ανθρώπου εγγεγραµµένου σε ένα κύκλο, είναι ένα αντίγραφο ενός χειρογράφου του Ντα Βίντσι (1500) που επεξηγεί τη θεωρία του Βιτρούβιου για τις (ιδανικές) αναλογίες του ανθρώπινου σώµατος. Σε αυτό το µήκος του βραχίονα βρίσκεται σε σχέση χρυσής τοµής µε ολόκληρο το χέρι. Ας σηµειωθεί ότι τα χρυσά τετράγωνα που βλέπουµε δεν υπάρχουν στο αρχικό σχέδιο, αλλά έχουν προστεθεί από αναλυτές για να δείξουν περισσότερες χρυσές τοµές στο ανθρώπινο σώµα.

Σχήµα 5

Στο σχήµα διακρίνουµε τρία ξεχωριστά σύνολα χρυσών ορθογωνίων: ένα για το κεφάλι, ένα για το κορµό και ένα για τα πόδια Για να βρούµε το πρώτο σύνολο ορθογωνίων φέρουµε ένα ορθογώνιο του οποίου η βάση προχωρά κατά µήκος του λαιµού του ανθρώπου από τον ένα ώµο στον άλλο και σταµατάµε στις γραµµές των ώµων που δίνει ο Ντα Βίντσι. Η κορυφή του ορθογωνίου θα πρέπει να συναντά τη κορυφή του κεφαλιού του ανθρώπου. Έχουµε έτσι το πρώτο χρυσό ορθογώνιο. Μετά εγγράφουµε ένα τετράγωνο στην αριστερή πλευρά αυτού του ορθογωνίου και δηµιουργούµε έτσι ένα µικρότερο χρυσό ορθογώνιο στη δεξιά µεριά του κεφαλιού του ανθρώπου. Μετά κάνουµε το ίδιο µε τη δεξιά πλευρά του αρχικού ορθογωνίου δηµιουργώντας ένα µακρύ, λεπτό ορθογώνιο που προχωρά κάθετα διά µέσου του κέντρου του κεφαλιού του ανθρώπου. Παρατηρούµε ότι τα µικρότερα χρυσά ορθογώνια τέµνονται µε τα µάτια. Το δεύτερο σύνολο ορθογωνίων βρίσκεται µε παρόµοιο τρόπο. Αυτή τη φορά, όλες οι γραµµές δίνονται από τον Ντα Βίντσι. Σχεδιάζουµε ένα ορθογώνιο µε µία πλευρά από αγκώνα σε αγκώνα και την άλλη από λαιµό σε µέση. Αυτό είναι επίσης ένα χρυσό ορθογώνιο. Μετά µε ανάλογο τρόπο όπως και στο πρώτο σύνολο εγγράφουµε ένα τετράγωνο σε κάθε πλευρά του ορθογωνίου δηµιουργώντας δυο ακόµα χρυσά ορθογώνια. Παρατηρούµε ότι αυτή τη φορά αυτά τα νέα µικρότερα χρυσά ορθογώνια τέµνονται κατά µήκος του εσωτερικού τµήµατος του κορµού του ανθρώπου. Για το τρίτο σύνολο σχεδιάζουµε ένα ορθογώνιο του οποίου οι δυο κατώτερες κορυφές είναι οι θέσεις όπου τα έξω δάκτυλα των εκτεταµένων ποδιών του ανθρώπου ακουµπούν πάνω στον κύκλο. Το ορθογώνιο αυτό πρέπει να εκτείνεται κάθετα µέχρι τη µέση του ανθρώπου. Με αυτό το

τρόπο δηµιουργείται ένα ακόµη χρυσό ορθογώνιο. Μετά εγγράφουµε δυο τετράγωνα στις πλευρές του, όπως και προηγουµένως. Αυτή τη φορά φαίνεται ότι τα δυο µικρότερα ορθογώνια φτάνουν µέχρι εκεί που θα ήταν τα πόδια του ανθρώπου εάν δεν είχαν εκταθεί προς τα έξω. Το κείµενο που συνοδεύει το διάγραµµα αναφέρει τα εξής: Ο αρχιτέκτονας Βιτρούβιος δηλώνει στην εργασία του πάνω στην αρχιτεκτονική ότι τα µέτρα του ανθρωπίνου σώµατος διευθετούνται από τη Φύση ως εξής: "...αυτό

σηµαίνει ότι τέσσερα δάκτυλα κάνουν µία παλάµη και τέσσερες παλάµες ένα πόδι. Έξη παλάµες κάνουν ένα πήχη και τέσσερες πήχεις το ύψος ενός ανθρώπου. Τέσσερες παλάµες κάνουν ένα βήµα και 24 παλάµες το ύψος ενός ανθρώπου. Αυτά τα µέτρα είναι και στα κτίριά του.

Εάν βάλτε τα πόδια σας τόσο µακριά µεταξύ τους, ώστε να πάρετε το ένα δέκατο τέταρτο του ύψους σας και ανοίξτε και σηκώστε τα χέρια σας µέχρι να ακουµπήστε µε τα µεσαία σας δάκτυλα την (οριζόντια) γραµµή που περνά από τη κορυφή της κεφαλής σας, θα πρέπει να ξέρετε ότι το κέντρο του κύκλου που σχηµατίζεται από τα άκρα των εκτεταµένων µελών σας θα είναι ο αφαλός σας και ο χώρος ανάµεσα στα πόδια σας θα σχηµατίζει (µε αυτά) ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Το διάστηµα των εκτεταµένων χεριών ενός ανθρώπου είναι ίσο µε το ύψος του. Από την αρχή των µαλλιών µέχρι το τέλος του κάτω µέρους του πηγουνιού είναι το ένα δέκατο του ύψους ενός ανθρώπου. Από τη κορυφή του στήθους µέχρι τις ρίζες των µαλλιών είναι το ένα έβδοµο του ανθρώπου. Από τις θηλές µέχρι τη κορυφή του κεφαλιού είναι το ένα τέταρτο του ανθρώπου. Το µέγιστο πλάτος των ώµων είναι ίσο µε το ένα τέταρτο του ανθρώπου. Από τον αγκώνα µέχρι την (κάτω) άκρη του µεσαίου δακτύλου είναι το ένα πέµπτο. Από αυτό τον αγκώνα µέχρι τη γωνία της µασχάλης είναι το ένα όγδοο. Ολόκληρο το χέρι θα είναι το ένα δέκατο του (ύψους του) ανθρώπου. Η απόσταση από το κάτω µέρος του πηγουνιού µέχρι τη µύτη και από τις ρίζες των µαλλιών µέχρι τα φρύδια είναι σε κάθε περίπτωση η ίδια, και όπως το αυτί, το ένα τρίτο του προσώπου. Το πέος αρχίζει από το κέντρο του ανθρώπου. Το πόδι είναι το ένα έβδοµο του ανθρώπου. Από το πέλµα του ποδιού µέχρι µόλις πιο κάτω από το γόνατο είναι το τέταρτο του ανθρώπου. Από κάτω από το γόνατο µέχρι εκεί που αρχίζει το πέος είναι το ένα τέταρτο του ανθρώπου. Από τις ρίζες των µαλλιών µέχρι τη κορυφή του στήθους είναι το ένα έκτο του ύψους ενός ανθρώπου και αυτό το µέτρο δε µεταβάλλεται ποτέ. Οι ώµοι απέχουν εξωτερικά όσο η κορυφή του στήθους από τον αφαλό και αυτό είναι τέσσερες φορές η απόσταση από το πέλµα του ποδιού µέχρι εκεί που αρχίζει το κάτω µέρος της µύτης. Ο βραχίονας από το σηµείο που διαχωρίζεται από τον ώµο µέχρι µπροστά, χωρά έξη φορές στο διάστηµα ανάµεσα στα δυο άκρα των ώµων, τρεις φορές στο κεφάλι ενός ανθρώπου, τέσσερες φορές στο µήκος του ποδιού και τρεις φορές στο χέρι στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό. Είναι φανερό βέβαια ότι το µέτρο της «παλάµης» ή των «τεσσάρων δακτύλων» θα διαφέρει από άνθρωπο σε άνθρωπο. Παρόλο που «ο άνθρωπος σε ένα κύκλο» του ντα Βίντσι είναι το καλύτερο γνωστό παράδειγµα, δεν είναι µε τίποτα η µόνη προσπάθεια της Αναγέννησης να φτιάξει ένα σχέδιο µε βάση τη δήλωση του Βιτρούβιου. Τα παρακάτω παραδείγµατα συνδέουν τον «άνθρωπο σε ένα κύκλο» µε τα γράµµατα του αλφαβήτου.

Σχήµα 6

Μπορούµε να συµπληρώσουµε τις παραπάνω αναφορές του ντα Βίντσι για τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώµατος, αν λάβουµε σα µονάδα το κεφάλι του: Το τυπικό µέσο ύψος του ανθρώπους είναι ίσο µε 7 κεφάλια. Το πλάτος από ώµο σε ώµο είναι 3 κεφάλια. Η απόσταση από το γοφό µέχρι το στήθος είναι 2 κεφάλια. Η απόσταση από τη κορυφή του κεφαλιού µέχρι το κάτω µέρος του στήθους είναι 2 κεφάλια. Η απόσταση από το καρπό µέχρι το τέλος των εκτεταµένων δακτύλων του χεριού είναι ένα κεφάλι. Το µήκος από το πάνω µέχρι το κάτω µέρος των γλουτών είναι 1 κεφάλι. Η απόσταση από τον αγκώνα µέχρι την άκρη των εκτεταµένων δακτύλων είναι 2 κεφάλια. Η «Μόνα Λίζα» είναι αναµφίβολα ο πιο διάσηµος πίνακας του Λεονάρντο ντα Βίντσι και είναι γεµάτος από Χρυσά Ορθογώνια. Εάν σχηµατίσουµε ένα ορθογώνιο του οποίου η βάση εκτείνεται από το δεξιό καρπό της γυναίκας προς τον αριστερό αγκώνα της και το επεκτείνουµε κάθετα µέχρι τη κορυφή του κεφαλιού της, αυτό θα είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Εάν µετά σχεδιάσουµε, κατά τα γνωστά, τετράγωνα µέσα σε αυτό, θα ανακαλύψουµε ότι οι ακµές αυτών των νέων τετραγώνων διέρχονται απ’ όλα τα σηµαντικά εστιακά σηµεία της γυναίκας: το πηγούνι της, το µάτι της, τη µύτη της και τη στραµµένη προς τα πάνω γωνία του µυστηριώδους στόµατός της. Το όλο σχήµα επίσης της γυναίκας είναι ένα τρίγωνο µε βάση τα χέρια της και κορυφή το κεφάλι της. Αυτό εννοείται ότι γίνεται για να τραβήξει τη προσοχή στο πρόσωπο της γυναίκας στο πορτραίτο. Ο Λεονάρντο σα µαθηµατικός θεωρείται ότι ενσωµάτωσε πολλές µαθηµατικές σχέσεις σε αυτό το πίνακα.

Σχήµα 7

Επίσης ο «Ατελείωτος Καµβάς του Αγίου Ιερώνυµου» του Ντα Βίντσι, που τον δείχνει µε ένα λιοντάρι στα πόδια του, περιέχει ένα χρυσό ορθογώνιο που ταιριάζει τόσο καθαρά γύρω από τη κεντρική µορφή που λέγεται συχνά ότι ο ζωγράφος ζωγράφισε εσκεµµένα τη µορφή ώστε να συµµορφωθεί µε αυτές τις αναλογίες. Ο παρακάτω πίνακας του 1493 (τέµπερα πάνω σε ξύλο 178Χ164 εκ.) «Η Παρθένα µε το Τέκνο της και τους Αγίους» του Pietro Vannucci είναι σε ένα τετράγωνο πλαίσιο. Αν σηµειώσουµε πάνω του τις γραµµές της χρυσής τοµής (0,618 του δρόµου προς τα κάτω και προς τα πάνω στο πλαίσιο και 0,618 του δρόµου εγκάρσια από τα αριστερά και από τα δεξιά), θα παρατηρήσουµε ότι αυτές διέρχονται από σηµαντικά µέρη της εικόνας.

Σχήµα 8

O Μιχαήλ Άγγελος (1475-1564), ο µεγαλύτερος καλλιτέχνης της Αναγέννησης, είναι διάσηµος για τους πίνακες και τα αγάλµατά του. Οι αναλογίες του «∆αβίδ» του συµµορφώνονται µε τη χρυσή τοµή από τη θέση του αφαλού σε σχέση µε το ύψος του µέχρι τη θέση των αρθρώσεων στα δάκτυλά του.

Σχήµα 9

Η Αγία Οικογένεια του Μιχαήλ Αγγέλου είναι αξιοσηµείωτη επίσης για τη τοποθέτηση των βασικών µορφών σε ευθυγράµµιση µε ένα πεντάγραµµα ή χρυσό άστρο:

Σχήµα 10

Η Σταύρωση του µεγάλου επίσης ζωγράφου και αρχιτέκτονα Ραφαήλ (1483-1530) είναι ένα ακόµα γνωστό παράδειγµα χρυσής τοµής. Οι βασικές µορφές σκιαγραφούν ένα χρυσό τρίγωνο το οποίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον εντοπισµό ενός πενταγράµµατος.

Σχήµα 11

Η Αυτοπροσωπογραφία του Ρέµπραντ (1606-1669) είναι ένα παράδειγµα τργωνικής σύνθεσης κρατώντας ένα πολύπλοκο θέµα µέσα σε τρεις ευθείες γραµµές. Τα διαφορετικά µήκη των πλευρών προσθέτουν λίγη ποικιλία. Μια κάθετη γραµµή από την κορυφή του τριγώνου προς τη βάση θα την έκοβε στη χρυσή τοµή.

Σχήµα 12

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΧΕ∆ΙΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗΣ (ίσως και αγαλµάτων υπό ορισµένες προϋποθέσεις) Το πρώτο σηµαντικό στοιχείο είναι να έχουµε από πρώτο χέρι τα ακριβή µέτρα και διαστάσεις του σχεδίου που θέλουµε να αναλύσουµε, έτσι ώστε να µην υπάρχει δυνατότητα να τις αµφισβητήσουµε στο ελάχιστο. Ας µην έχουµε απόλυτη εµπιστοσύνη στις φωτογραφίες, οι οποίες περιλαµβάνουν αρκετές φορές παραµορφώσεις. Μετά διαλέγουµε ένα εύχρηστο για µας σύστηµα µέτρησης και το χρησιµοποιούµε για όλα τα µέτρα, ανεξάρτητα από αυτό που έχει χρησιµοποιήσει ο δηµιουργός. Έτσι κι αλλιώς µας

ενδιαφέρουν οι κρυµµένες αναλογίες και όχι τα ακριβή µέτρα των επί µέρους στοιχείων του σχεδίου σε οποιοδήποτε σύστηµα. Ας µην εµπλακούµε λοιπόν σε µετατροπές µονάδων από το ένα σύστηµα στο άλλο που είναι πολλές φορές πηγές αξιοσηµείωτων λαθών. Σχεδιάζουµε στη συνέχεια ένα ορθογώνιο πλαίσιο γύρω από το έργο, έτσι ώστε να εφάπτεται σε αυτό και µετράµε τις διαστάσεις τις µικρότερης και της µεγαλύτερης πλευράς του. Στη συνέχεια βρίσκουµε το λόγο της µεγαλύτερης προς τη µικρότερη πλευρά ορίζοντας µε αυτό το τρόπο τη µικρότερη πλευρά σα µονάδα (1). Με αυτό το τρόπο µπορούµε να βρούµε άµεσα αν έχει χρησιµοποιηθεί κανένας κλασσικός λόγος της ιερής γεωµετρίας και να αναγνωρίσουµε έτσι ευκολότερα τις µεθόδους που χρησιµοποίησε ο καλλιτέχνης ή ο σχεδιαστής. Αυτή η 1 µπορεί στη πορεία της ανάλυσης να αλλάξει, αλλά µας δίνει µια πρώτη γεύση για τους σκοπούς του δηµιουργού. Μπορούµε έτσι να δούµε αν χρησιµοποιήθηκαν ακέραιοι ή άρρητοι αριθµοί ( 2 , 3 , 5 ) ή κάποιο σύστηµα χρυσής τοµής (Φ =1,618). Φέρουµε στη συνέχεια τις διαγωνίους του ορθογωνίου που ορίζουν το κέντρο του. Από αυτό το κέντρο διχοτοµούµε µετά τις τέσσερες γωνίες των διαγωνίων, ορίζοντας µε αυτό το τρόπο την οριζόντια και κάθετη µεσοπαράλληλη των πλευρών του. Φέρουµε τις 8 «ηµι-διαγωνίους». Αυτές συνδέουν κάθε κορυφή του πλαισίου µας µε τα µέσα των απέναντι πλευρών. Αυτές χρησιµοποιούνται µαζί µε τις διαγωνίους, έτσι ώστε να µπορούν να βρεθούν τρίτα, τέταρτα και άλλα κλασµατικά µέρη της ορθογώνιας επιφάνειας. Εάν θέλουµε µπορούµε να κάνουµε κατασκευές και για τα άλλα κλασµατικά µέρη του ορθογωνίου, όπως πέµπτα, έκτα, όγδοα, δέκατα κ.λ.π. Π.χ. εάν βρεθούν πέµπτα, τρία από αυτά θα δώσουν 3/5 = 60%. Αυτός ο αριθµός είναι πολύ κοντά στη χρυσή τοµή, η οποία είναι 0,618033…= 61,8033% του ύψους ή του πλάτους. Με βάση τις µικρές πλευρές του ορθογωνίου κατασκευάζουµε στο εσωτερικό του δυο τετράγωνα (βασικά µε κέντρο τις κορυφές περιστρέφουµε µε το διαβήτη τις µικρές πλευρές µεταφέροντάς τες πάνω στις µεγάλες πλευρές του ορθογωνίου). Παίρνουµε έτσι δυο τετράγωνα, ένα σε κάθε άκρη. Αυτή η τεχνική µπορεί να βρεθεί πολλές φορές σε κλασσικούς πίνακες ζωγραφικής και οι διαγώνιοι αυτών των δύο τετραγώνων µπορεί να χρησιµοποιήθηκαν επίσης στη τοποθέτηση της εικόνας. Ανάλογα, µπορούµε να βρούµε τις µεσοπαραλλήλους αυτών των τετραγώνων. Μερικές φορές µπορεί να είναι µια καλή ιδέα να κατασκευάσουµε ένα τετράγωνο στο κέντρο του ορθογωνίου. Με αυτό µπορεί να βρούµε επίσης µερικές φορές ότι έχει χρησιµοποιηθεί ένας κύκλος στο κέντρο. Εάν θέλουµε, βρίσκουµε τα «απόκρυφα κέντρα». Ένα απόκρυφο κέντρο είναι το σηµείο τοµής µιας διαγωνίου και της καθέτου που φέρνεται από µια απέναντι κορυφή προς αυτή (αντίστροφη της διαγωνίου). Η κάθετη αυτή γραµµή στη διαγώνιο δηµιουργεί ένα µικρότερο ορθογώνιο που έχει το ίδιο λόγο πλευρών µε το αρχικό στο οποίο ανήκει η διαγώνιος, αλλά µε αντίστροφη τώρα τάξη. Το ορθογώνιο αυτό λέγεται αντίστροφο του αρχικού. Από τις τοµές των διαγωνίων του αρχικού ορθογωνίου και των αντιστρόφων τους δηµιουργούνται λοιπόν 4 απόκρυφα κέντρα, δύο για κάθε διαγώνιο. Τα 4 αυτά απόκρυφα κέντρα περιβάλλουν το νεκρό κέντρο του ορθογωνίου και δηµιουργούν ένα τρίτο ορθογώνιο όµοιο µε το αρχικό και το αντίστροφο ορθογώνιο (του ίδιου λόγου µε αυτά). Τα σηµεία αυτά ονοµάζονται «απόκρυφα» γιατί είναι «κρυµµένα από τα µάτια». Πολλοί µεγάλοι καλλιτέχνες έχουν χρησιµοποιήσει αυτά τα απόκρυφα κέντρα. Περιστασιακά µπορούµε να φέρουµε κάθετες και οριζόντιες γραµµές διά µέσου ενός απόκρυφου κέντρου.

Το απόκρυφο κέντρο διαιρεί τη διαγώνιο και την αντίστροφη γραµµή σε τέσσερα µήκη µιας γεωµετρικής προόδου. Ο λόγος της προόδου είναι ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου. Οποιαδήποτε 2 µήκη στην ακολουθία από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο µπορούν να φτιάξουν ένα νέο ορθογώνιο που είναι στον ίδιο λόγο µε το αρχικό ορθογώνιο. Αυτά τα µήκη µπορούν να χρησιµοποιηθούν επίσης για τη κατασκευή µιας σπείρας. Μια άλλη υπόδειξη στην ανάλυση είναι να εφαρµόσουµε στο έργο τις χρυσές τοµές. Μετά την ολοκλήρωση µερικών αναλύσεων µπορεί να έχει ενδιαφέρον να δούµε εάν χρησιµοποιήθηκε κανένας ιδιαίτερος κανόνας ή µονάδα µέτρησης, για να δούµε εάν χρησιµοποιήθηκε κανένας αριθµητικός συµβολισµός ή αν παίχτηκαν παιχνίδια. µε αριθµούς. Συνιστάται να δούµε εάν µερικοί αριθµοί προτιµήθηκαν από άλλους, ιδιαίτερα στην αρχιτεκτονική. Παρακάτω παραθέτουµε τους πιο συχνά χρησιµοποιούµενους λόγους που µπορούµε να συναντήσουµε σε µια γεωµετρική ανάλυση. Ας έχουµε υπόψη µας πάντως ότι δεν είναι οι µοναδικοί: 1:1 (Τετράγωνο), π : ακτίνα (κύκλος), 1,366…: 1 = ( 3 -1)/2 + 1. Ορθογώνια τετραγωνικής ρίζας: 2 = 1,4142…:1, 3 =1, 732…:1, 5 = 2, 236…:1 Η Οµάδα της Χρυσής Τοµής Φ: Φ ή 1, 618…:1, φ =1/Φ, ή 0,618…:1 (αντίστροφος), 1,118…: 1 = 5 /2, 1,272…:1 = Φ : 1 2,618…:1 = (φ + 1):1 Οι "Μουσικοί Λόγοι " 1 : 1 (Τετράγωνο), 1 : 2 (∆ιπλό Τετράγωνο, ∆ιαπασών), 2 : 3 (µείζονα πέµπτη), 3 : 4 (µείζονα τετάρτη), 3 : 5 (µείζονα έκτη), 5 : 8 (ελάσσονα έκτη), 4 : 5 (µείζονα δευτέρα), 8 : 9 ( Τόνος) 2,4142… : 1= 2 +1:1

17ος - 20ος ΑΙΩΝΑΣ Η ΑΝΟ∆ΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙ∆ΙΣΜΟΥ ΤΟ 17ου ΑΙΩΝΑ Τι είναι τελικά ο Θεός ένας Μέγας Γεωµέτρης, σύµφωνα µε το Πλάτωνα, ή ένας Μέγας Αριθµοθέτης, σύµφωνα µε τον Πυθαγόρα; Ο φαινοµενικός δυισµός της αριθµητικής και της γεωµετρίας και τη πρωτοκαθεδρία που θα πρέπει να έχει η µία ή η άλλη στην αρχιτεκτονική ξαναπαρουσιάστηκε σα δίληµµα στο προσκήνιο τον 17ο αιώνα. Παρουσιάστηκαν τότε στο προσκήνιο µερικοί µαθηµατικοί, αρχιτέκτονες και αστρονόµοι που άρχισαν να αµφισβητούν το διαποτισµένο µέχρι τότε από Πυθαγόρειες ιδέες κόσµο της τέχνης, αλλά και της επιστήµης. Η πρώτη µεγάλη αµφισβήτηση άρχισε µε το καθηγητής των µαθηµατικών και αρχιτέκτονα Guarino

Guariniο οποίος συµπεριέλαβε για πρώτη φορά εκτεταµένα την Ευκλείδεια γεωµετρία στην αρχιτεκτονική πραγµατεία του Architettura Civile, όπου υποστηρίζει µια θεµελιώδη σχέση ανάµεσα στον Ευκλειδισµό και τη θεωρία της αρχιτεκτονικής, ενώ χρησιµοποιεί συγχρόνως ένα πλήθος γεωµετρικών σχηµάτων για τα κτίριά του. Από την άλλη µεριά η αστρονοµία θεώρησε τη Σελήνη σαν ένα δορυφόρο της γης απορρίπτοντάς τη από το σύστηµα των επτά ιερών πλανητών της αρχαιότητας, το οποίο άφησε µετέωρο µε έξη µόνο πλανήτες, κλονίζοντας την ισχύ του. Το πρόβληµα προσπάθησε να λύσει κάπως µε Πυθαγορικό τρόπο ο αστρονόµος Rheticus επισηµαίνοντας ότι «ο αριθµός έξη τιµάται πάνω από όλους τους άλλους στις ιερές προφητείες του θεού και από τους Πυθαγόρειους και τους άλλους φιλοσόφους....» Από τη µεριά του ο Κέπλερ είχε µια διαφορετική άποψη δίνοντας µια γεωµετρική απάντηση ότι οι πλανήτες ήσαν έξη γιατί όριζαν τα διαστήµατα µεταξύ των πέντε ιδανικών στερεών. Από την άλλη µεριά στο βιβλίο του Harmonices Mundi όρισε τους µουσικούς λόγους πάνω σε µια καθαρά γεωµετρική βάση τονίζοντας ότι «θα πρέπει αναζητήσουµε τις αιτίες των αρµονικών αναλογιών στις διαιρέσεις του κύκλου σε ίσα µέρη µέσω γεωµετρικών κατασκευών, δηλαδή από τα κανονικά επίπεδα σχήµατα που µπορούν αν κατασκευαστούν (µε κανόνα και διαβήτη)». Όπως έχουµε τονίσει, ο δυισµός µεταξύ του Ευκλειδισµού και του Πυθαγορισµού, της γεωµετρίας και της αριθµητικής, όπως και τόσοι άλλοι διανοητικά επιβληθέντες δυισµοί, είναι φαινοµενικός, επιφανειακός, προσπαθεί να χωρίσει δύο στη πραγµατικότητα αλληλοσυσχετιζόµενα και αλληλοσυµπληρούµενα µέρη, δυο όψεις του ίδιου ενιαίου όλου και ότι είναι ένα πρωταρχικό διαλεκτικό σφάλµα να προσπαθούµε να ταχθούµε περισσότερο µε τη µια ή την άλλη µεριά δηµιουργώντας µια µανιχαϊστική ελλιπή κατανόηση. Η τοποθέτησή µας στο ένα άκρο θα µας φέρει µε το καιρό στον αντίποδα και αργότερα πάλι πίσω, σε ένα διαρκή φαύλο κύκλο, µια αέναη άνοη και άσκοπη ταλάντωση, που στη πραγµατικότητα δεν οδηγεί πουθενά παρά µονάχα στο κέντρο και στη σύνθεση των δυο φαινοµενικά αντιτιθέµενων απόψεων. Η φαινοµενική αντίθεση αριθµητικής και γεωµετρίας ανάγεται τελικά στη φαινοµενική αντίθεση µεταξύ διακριτών και συνεχών ποσοτήτων, µεταξύ γραµµών και αριθµών. Η γεωµετρία υποστηρίζει από τη φύση της τη συνέχεια που δηµιουργείται από την αδιάκοπη, χωρίς άλµατα και κενά, ροή των σηµείων, τα οποία δηµιουργούν µε αυτό το τρόπο, γραµµές, επιφάνειες, σχήµατα όγκους. Η αριθµητική από τη µεριά της υποδεικνύει τη διακρισηµότητα των πραγµάτων, τα οποία µπορούν έτσι να απαριθµηθούν χωρίς να συγχέεται το ένα µε το άλλο. Με ποιανού το µέρος λοιπόν να ταχθούµε, τι είναι τελικά τα σχήµατα, τα αντικείµενα τα όντα, συνεχή ή διακριτά ή µήπως και τα δύο, ανάλογα µε τη σκοπιά που τα παρατηρούµε; Το δίληµµα είναι ανάλογο µε το φαινοµενικό δυισµό της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας σε σωµατίδια και κύµατα και η απάντηση επιστηµονικά σε αυτό είναι γνωστή.

Σχέδιο 13

Η Πυθαγόρεια, αριθµητική άποψη περί αρµονίας, ποτέ πάντως δεν εγκαταλείφθηκε από τη τέχνη, παρά το µετριασµό της ισχύος της. Το 19ο αιώνα ο Γάλλος νεοιµπρεσιονιστής ζωγράφος Seurat (1859-1891) χρησιµοποίησε ένα πλήθος χρυσών αναλογιών στα έργα του. Εδώ στους «Λουόµενους» υπάρχει ένα πλήθος χρυσών ορθογωνίων, αρκετά περισσότερα από αυτά που έχουν σηµειωθεί.

Ο Μυστικός ∆είπνος επίσης του Σαλβαντόρ Νταλί (1904-1989) είναι ζωγραφισµένος µέσα σε ένα χρυσό τρίγωνο. Χρυσές αναλογίες χρησιµοποιήθηκαν και για τη τοποθέτηση των µορφών. Ένα µέρος ενός τεράστιου δωδεκάεδρου, που όπως ξέρουµε περιλαµβάνει θεµελιώδεις χρυσές τοµές, επιπλέει πάνω από το τραπέζι.

Σχήµα 14 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΤΟΝ 20ο ΑΙΩΝΑ Ο Νεοπλατωνισµός και Νεοπυθαγορισµός της Αναγέννησης ανύψωσε τις γεωµετρικές µορφές σε µια υπερβατική κατάσταση προσδίδοντάς τους µέσω της χρυσής τοµής κριτήρια αντικειµενικής οµορφιάς, χρησιµοποιώντας ως επί το πλείστον σα βάση το τετράγωνο (ή το ορθογώνιο) και το κύκλο. Ο Βιτρούβιος άλλωστε είχε ισχυριστεί ότι ο κύκλος και το τετράγωνο είναι τέλεια για τους σκοπούς της αρχιτεκτονικής «γιατί προσεγγίζουν τη γεωµετρία εν είδει αετού µε ανοιχτά φτερά του ανθρώπινου σώµατος, ενός σώµατος φτιαγµένου κατ’ εικόνα του Θεού». Με τη µορφή της χρυσής σπείρας από την άλλη µεριά, η οποία παράγεται όπως είδαµε από την «ηµιδιαγώνιο» ενός τετραγώνου και προσεγγίζει το σχήµα ενός ναυτίλου και το τρόπο διάταξης των σπόρων στον ηλίανθο, καθώς επίσης τη χρυσή γωνία και τους αριθµούς Fibonacci που συναντάµε στη διάταξη των φύλλων των φυτών, η χρυσή τοµή συνδέθηκε µε την ουσία της φύσης. Εκτός από το Βιτρούβιο, το Μπατίστα και άλλους µεγάλους οπαδούς του Πυθαγορισµού, ακόµα και ο Ευκλειδιστής Κέπλερ υποστήριξε ότι τα συστήµατα της αναλογίας ήσαν ουσιαστικά για τη κατανόηση της τέχνης και της φύσης και ευθύνεται από µέρους του για τη πολλές µελέτες που έγιναν γι’ αυτά τους δύο επόµενους αιώνες. Το 19ο αιώνα έχουµε µια γενική τάση για τη γεωµετρική ανάλυση των προσόψεων και κατόψεων σηµαντικών έργων για την αποκάλυψη αοράτων συστηµάτων αναλογίας που µπορεί να κρύβονται σε αυτά. Σε αυτή εντάσσεται και η πρωτοπόρα ανάλυση του Heinrich Wolfflin των

εκκλησιών της Αναγέννησης και του Μπαρόκ, η οποία αποτέλεσε ορόσηµο γι’ αυτή τη προσέγγιση. Στα µέσα του εικοστού αιώνα οι ιστορικοί της τέχνης και της αρχιτεκτονικής αναζητούσαν τη χρυσή τοµή σε αµέτρητα ιστορικά κτίρια, πίνακες και γλυπτά. Το 1947 ο Colin Rowe δηµοσίευσε τη διατριβή "Τα Μαθηµατικά της Ιδανικής Έπαυλης», όπου διερεύνησε τα παράλληλα αναλογικά συστήµατα στο έργο του Palladio και του Le Corbusier. Η εργασία του διεύρυνε το γενικό ενδιαφέρον για τις εφαρµογές της χρυσής τοµής τόσο στην αρχιτεκτονική όσο και στην αισθητική. Ακολούθησαν συµπόσια στην Αµερική, στο Καναδά και την Ευρώπη που απαίτησαν να αναγνωριστεί η χρυσή τοµή παγκόσµια σα µια βάση για την αισθητική της οµορφιάς. Στη διάρκεια όµως της δεκαετίας του 1970 άρχισαν να εµφανίζονται επικρίσεις για το ρόλο της στην αρχιτεκτονική, οι οποίες διευρύνθηκαν σε συµπόσια τις δυο επόµενες δεκαετίες. Στη διάσκεψη του περιοδικού Nexus το 1998 οι Frascari και Ghirardini υποστήριξαν ότι η έρευνα για τη χρυσή τοµή είχε γίνει από φανατικούς, τους οποίους αποκάλεσαν ειρωνικά "Φaithful", που αγνόησαν τη πραγµατικότητα της αρχιτεκτονικής και τη διαδικασία κατασκευής προσπαθώντας να βρουν τη χρυσή τοµή σε κάθε σχεδόν διάσηµο κτίριο από την αρχαιότητα µέχρι σήµερα. Σε αντίθεση µε αυτούς ο µαθηµατικός Vera de Spinadel πήρε τη πιο κοινή στάση αποδοχής ότι η χρυσή τοµή είναι πράγµατι η γεωµετρική βάση για πολλά ιστορικά αρχιτεκτονικά έργα και ο θεολόγος Gert Sperling απέρριψε τη θέση των Frascari και Ghirardini στη γεωµετρική και αριθµητική του ανάλυση του Πανθέου. Ένας από τους βασικούς λόγους της αµφισβήτησης ήταν η προσεγγιστική αναγκαστικά χρησιµοποίηση του άρρητου αριθµού Φ της χρυσής τοµής µέσω κάποιου ρητού λόγου στις αρχιτεκτονικές εφαρµογές (π.χ. το 5:3, 5:8 ή 8:5).

Ο LE CORBUSIER

Σχήµα 15

Ο διάσηµος Γάλλος αρχιτέκτονας Charles Edouard Jeanneret (1887–1965), γνωστός πιο πολύ στο ευρύ κοινό µε το ψευδώνυµο Le Corbusier, άσκησε µεγάλη επίδραση στην ανάπτυξη της σύγχρονης αρχιτεκτονικής, γενόµενος τελικά οπαδός της χρυσής τοµής. Στην αρχή η χρησιµοποίηση αναλογιών στα αρχιτεκτονικά του σχέδια συνδεόταν µε τη λεγόµενη «θέση της ορθής γωνίας». Όπως ο ίδιος αναφέρει, ανακάλυψε αυτή την αρχή ενώ ανέλυε το κιονόκρανο του Μιχαήλ Αγγέλου στη Ρώµη. Η «θέση της ορθής γωνίας» δεν είναι τίποτα άλλο από ένα από τα τέσσερα «απόκρυφα κέντρα» ενός ορθογωνίου για τα οποία έχουµε ήδη µιλήσει. Σε ένα αυθαίρετο ορθογώνιο ΑΒΓ∆ φέρουµε τη διαγώνιο ΑΓ και µετά την ευθεία ΒΕ κάθετη σε αυτή. Το

σηµείο τοµής τους είναι τότε η «θέση της ορθής γωνίας». Εάν κατασκευάσουµε τώρα το ορθογώνιο ΒΓΕΖ, αυτό θα είναι όµοιο µε το αρχικό ΑΒΓ∆. Το ίδιο θα συµβεί εάν επαναλάβουµε την ίδια διαδικασία στο σηµείο Γ, έτσι ώστε το ορθογώνιο BΘΗΓ να είναι τώρα εξωτερικό ως προς το ΑΒΓ∆, ή εάν αρχίσουµε από ένα αυθαίρετο σηµείο, όπως το Ι, µιας πλευράς, θα πάρουµε πάλι ένα όµοιο ορθογώνιο.

Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΟΥ LE CORBUSIER Εκτός από αρχιτέκτονας ο Le Corbusier ήταν και ζωγράφος. Μαζί µε τον Amedee Ozenfant ίδρυσε τη λεγόµενη «πιουριστική (καθαρολογική)» σχολή ζωγραφικής σε αντίδραση προς ορισµένες τάσεις προς στο Κυβισµό. Στη διάρκεια αυτής της περιόδου ήταν που υιοθέτησε το όνοµα Le Corbusier, "ο κόρακας".

Σχήµα 16

Οι πιουριστικοί πίνακες του Jeanneret και του Ozenfant βασίστηκαν σε ένα καλά οριζόµενο σύστηµα, το οποίο µεταβλήθηκε όµως κάπως από τη µια περίοδο στην άλλη. Ο βασικός καµβάς είχε µέγεθος 81 εκ. x 100 εκ. και σχεδιάζονταν σε αυτόν δυο ισόπλευρα τρίγωνα, ένα όρθιο κι’ ένα ανεστραµµένο µε τη κορυφή του καθενός στο µέσον της βάσης του άλλου. Τα δυο σηµεία τοµής τους προσδιόριζαν τότε δυο «θέσεις της ορθής γωνίας» και αυτές µε τη σειρά τους τις κορυφές δυο ορθογωνίων τριγώνων µε δεύτερη κορυφή µια κορυφή του ισόπλευρου τρίγωνου. Ο πιο διάσηµος πίνακας του Le Corbusier, ο Nature morte a la pile d'assiettes (1920), χρησιµοποιεί αυτή ακριβώς την ανάλυση και τις δυο «θέσεις της ορθής γωνίας».

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ «MODULOR» ΤΟΥ LE CORBUSIER Μήπως δεν υπάρχουν δυο είδη αριθµητικής, αυτό των ανθρώπων και αυτό των φιλοσόφων; Πλάτωνας, Φίληβος

Το σύστηµα αναλογίας που είναι γνωστό σα Modulor, βασισµένο στο ύψος ενός τυπικού ανθρώπου (1,83 µ) µε το αφαλό του στη θέση της χρυσής τοµής (1,13 µ), παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο οµώνυµο βιβλίο του Le Corbusier το 1948. Στο σύστηµα αυτό επιλέγονται βασικά ύψη α και 2α (113 εκ. για την «ερυθρά» σειρά και 226 εκ. για την «µπλε» σειρά), τα οποία πολλαπλασιάζονται µετά µε διαδοχικές θετικές και αρνητικές δυνάµεις του χρυσού αριθµού Φ

για να πάρουµε τις τιµές των επόµενων δυο σειρών: aΦ-2, aΦ-1,

a,

aΦ,

aΦ2,....

2aΦ-2, 2aΦ-1, 2a, 2aΦ, 2aΦ2,....

κόκκινη σειρά µπλε σειρά

οι οποίες είναι προφανώς γεωµετρικές µε λόγο Φ. Οι πραγµατικές τιµές παρουσιάζονται µε τη µορφή πίνακα στο βιβλίο Le Modulor του Le Corbusier. Το γιατί αυτοί οι αριθµοί δηµιουργούν ένα σύστηµα modulor οφείλεται στο γεγονός ότι αν προσθέσουµε οποιουσδήποτε δυο αριθµούς της σειράς παίρνουµε τον επόµενο όρο της (ιδιότητα Fibonacci), π.χ. α+αΦ=αφ2, 2αΦ-1+2α =2αΦ κ.λ.π.. Κάθε όρος επίσης της κόκκινης σειράς είναι ο αριθµητικός µέσος των δυο κάτω αριστερά απ’ αυτόν όρων της µπλε σειράς. Π.χ. ο όρος α της κόκκινης σειράς είναι ο αριθµητικός µέσος των όρων 2aΦ-2 και 2aΦ-1, ο όρος αΦ των όρων 2aΦ-1 και 2a κ.ο.κ. Αυτό το σύστηµα έχει πολλές προσθετικές ιδιότητες, που βοηθούν στην επίστρωση ενός ορθογωνίου µε άπειρους τρόπους µε ένα µικρό αριθµό modules. Το παρακάτω σχήµα δείχνει ένα τετράγωνο επιστρωµένο µε τρεις τρόπους µε το ίδιο είδος ορθογωνίων των οποίων τα µήκη και τα πλάτη είναι αριθµοί από τη κόκκινη και τη µπλε σειρά. Το επόµενο σχήµα δείχνει το εξωτερικό του Unite d'Habitation του Le Corbusier που κτίσθηκε τη περίοδο 1947-52 στα προάστια της Μασσαλίας, µε τα παράθυρά του να επιδεικνύουν την επίστρωση Modulor.

Σχήµα 17

Σχήµα 18

Ο Le Corbusier, όµως δεν ικανοποιήθηκε µε τη παρουσίαση του συστήµατος Modulor σε αυτή µόνο την άµεση µορφή. Η επιθυµία του ήταν να συνδέσει τη βασισµένη στο χρυσό αριθµό Φ αυτή σειρά µε τη «θέση της ορθής γωνίας» Η λύση που έδωσε σε αυτό παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήµα:

Σχήµα 19

Με πλευρά καθένα από τα δυο διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα Γ∆ και ∆Ε µήκους h κατασκευάζουµε δύο τετράγωνα. Έστω Ζ και Η τα σηµεία της χρυσής τοµής αντίστοιχα των Γ∆ και ∆Ε. Φέρουµε τις διαγωνίους των δυο αυτών τετραγώνων στο ∆ σχηµατίζοντας έτσι µια ορθή γωνία µε κορυφή το ∆. Από τα Ζ και Η φέρουµε τώρα παραλλήλους προς τις πλευρές των τετραγώνων (ή κάθετες στη ΓΕ), που τέµνουν τις προηγούµενες διαγωνίους των τετραγώνων στα σηµεία Α-1 και Α0. Φέρουµε την Α-1Α0, η οποία τέµνει τη προέκταση της ΓΕ στο Σ.. Με κορυφή το Α0 σχεδιάζουµε στη συνέχεια µια άλλη ορθή γωνία ∆Α0G1. Μια επόµενη ορθή γωνία Α0G1Α1 προσδιορίζει το Α1 κ.ο.κ. Μπορούµε να εργαστούµε και προς τα πάνω αρχίζοντας από το A-1. Το

σηµείο Βi είναι απλώς το σηµείο πάνω στη γραµµή ΓΣ που είναι απέναντι από το σηµείο Ai. Σε σχέση µε το παραπάνω σχήµα ισχύουν τα εξής: Το σηµείο Β1 (όπως αποδεικνύεται) ταυτίζεται µε το Ε. Το σηµείο G1 είναι πάντα το σηµείο της χρυσής τοµής του ευθυγράµµου τµήµατος Βi-1Bi. Ισχύει ότι Β-1B0=h και οι αποστάσεις ΒiBi+1 είναι απλά οι όροι της σειράς του Modulor. Το παρακάτω σχήµα δείχνει τον άνθρωπο Modulor του Le Corbusier µε το αφαλό του στη θέση της χρυσής τοµής του ύψους του. Τα αντίστοιχα µήκη (που δε φαίνονται στο σχήµα λόγω της σµίκρυνσής του) είναι 1,13µ. (µέχρι τον αφαλό) και το διπλάσιο 2,26 (µέχρι την άκρη του υπερυψωµένου χεριού του), δηλαδή αυτά που χρησιµοποιήθηκαν σα βάση στο σύστηµα Modulor του Le Corbusier.

Σχήµα 20

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΝΑΚΗΣ (1922- 4/2/2001) Μαθητής και για αρκετά χρόνια βοηθός του Le Corbusier υπήρξε ο διάσηµος Έλληνας µουσικός, µαθηµατικός και αρχιτέκτονας Γιάννης Ξενάκης, ο πρωτοπόρος στοχαστής αλλά και πρακτικός θεµελιωτής του αρµονικού πολυαισθητικού αποτελέσµατος που παράγεται από τη µαθηµατική, µεταπυθαγόρεια σύζευξη µουσικής και αρχιτεκτονικής. Το πρώτο ορχηστρικό έργο του η «Μετάσταση» επηρεάστηκε ισχυρά από την αναλογική κλίµακα του Le Corbusier και τη χρησιµοποίηση της χρυσής τοµής. Με βάση τις αναλογίες της Μετάστασης σχεδίασε στη συνέχεια, σα µέλος της οµάδας του Le Corbusier, το περίπτερο της εταιρίας Philips για τη ∆ιεθνή Έκθεση των Βρυξελλών το 1956. Σα µια «ποιητική αντίδραση» στην άκαµπτη στερεοµετρία των ορθών γωνιών και στους «καθαρούς» όγκους, το σχήµα του Περιπτέρου παρήχθηκε από το συνδυασµό της αρχικής ιδέας για µια φιάλη που περιέχει το «νέκταρ» της έκθεσης και τις µαθηµατικές µελέτες του Ξενάκη πάνω στα υπερβολικά κωνοειδή. Ο Le Corbusier του εµπιστεύθηκε τα σχέδιά του «να τα µεταφράσει στα µαθηµατικά». Στο βιβλίο του Musique Architecture, ο Ξενάκης αφιερώνει ένα ολόκληρο κεφάλαιο για το Περίπτερο της Φίλιπς όπου προαναγγέλλει την αυριανή ύπαρξη πλαστικών υλικών που «θα σχηµατίσουν ένα πλούσιο ποταµό από µορφές και όγκους που ανευρίσκονται όχι µόνο στις βιολογικές οντότητες, αλλά πάνω από όλα στα πιο αφηρηµένα µαθηµατικά». Και συµπληρώνει: ...Είναι σαφές ότι η µουσική και η αρχιτεκτονική είναι και οι δυο τέχνες που δεν χρειάζεται να µιµηθούν πράγµατα. Είναι τέχνες στις οποίες η ύλη και η µορφή έχουν συνδεθεί πιο στενά απ’ οπουδήποτε αλλού, απευθυνόµενες και οι δυο στη γενική ευαισθησία. Και οι δυο δέχονται την επανάληψη, ένα παντοδύναµο εργαλείο, και οι δυο εφαρµόζονται στα φυσικά αποτελέσµατα του µεγέθους και της έντασης, µέσω των οποίων µπορούν να καταπλήξουν τις αισθήσεις και το νου, ακόµα και σε εκµηδένιση. Τελικά, η αντίστοιχη

φύση τους επιτρέπει µια αφθονία συνδυασµών και κανονικών αναπτύξεων που τις συνδέουν ή τις συγκρίνουν µε τη γεωµετρία και την ανάλυση.

Τη δεκαετία του πενήντα ο Ξενάκης προβληµατιζόταν αν είναι απαραίτητοι οι κανόνες στη µουσική σύνθεση, όπως διατείνετο ο Στραβίσκυ, ή εάν µπορούµε να δηµιουργήσουµε κάτι σε αυτήν, ή οπουδήποτε αλλού, µε την πλήρη απουσία κανόνων, µε ένα δηλαδή απόλυτα ελεύθερο τρόπο. Αναρχική ίσως η σύλληψη και το αποτέλεσµα άραγε χάος; Εδώ ακριβώς ο βαθύς στοχασµός του Ξενάκη ορθολογεί ότι «η ανάγκη, η τυχαιότητα και η δικαιοσύνη αναµιγνύονται µε τη λογική και, εφόσον το ον γεννιέται από αυτή τη λογική, η απόλυτη τυχαιότητα είναι τόσο απίθανη όσο και η ανυπαρξία». Το ιντετερµινιστικό χάος κρύβει µέσα του ένα αόρατο κοµµάτι εσωτερικής οργάνωσης και τάξης, όπως τουλάχιστον αποδεικνύουν οι σύγχρονες µαθηµατικές θεωρίες. Πάνω σε αυτές τις σκέψεις, βασισµένος σε µαθηµατικές έννοιες όπως η θεωρία των συνόλων, η συµβολική λογική, η θεωρία των πιθανοτήτων και οι στοχαστικές ανελίξεις, όπως η Μαρκοβιανή αλυσίδα, δηµιούργησε τη στοχαστική µουσική αποδεικνύοντας ότι η ασυµµετρία ή η µη-κανονικότητα δεν προϋποθέτει αναγκαστικά την απουσία κανόνων, αλλά είναι στη πραγµατικότητα µια επέκταση της συµµετρίας: Σαν ένα αποτέλεσµα της αδιεξόδου στη σειριακή µουσική, καθώς επίσης άλλες αιτίες, δηµιούργησα το 1954 µια µουσική κατασκευασµένη από την αρχή του ιντετερµινισµού. Μετά από δυο χρόνια την ονόµασα «Στοχαστική Μουσική». Οι νόµοι του λογισµού των πιθανοτήτων εισήλθαν στη σύνθεση µέσω µουσικής ανάγκης. Αλλά και άλλοι δρόµοι οδήγησαν στα ίδια σταυροδρόµια, πρώτα απ’ όλα τα φυσικά συµβάντα όπως η σύγκρουση του χαλαζιού ή της βροχής µε σκληρές επιφάνειες ή το τραγούδι των τζιτζικιών σε ένα καλοκαιρινό λιβάδι. Αυτά τα ηχητικά συµβάντα αποτελούνται από χιλιάδες αποµονωµένους ήχους. Αυτό το πλήθος ήχων, ιδωµένο σα µια ολότητα, είναι ένα νέο ηχητικό γεγονός. Αυτό το µαζικό γεγονός αρθρώνεται και σχηµατίζει ένα πλαστικό χρονικό πρότυπο που ακολουθεί τυχαίους και στοχαστικούς νόµους. Εάν θέλει τότε κάποιος να σχηµατίσει µια µεγάλη µάζα από σηµειακές νότες, όπως το πιτσικάτο, πρέπει να γνωρίζει αυτούς τους µαθηµατικούς νόµους, οι οποίοι εν πάση περιπτώσει δεν είναι τίποτα περισσότερο από µια σφιχτή και συνειδητή έκφραση αλυσίδων λογικού συλλογισµού. Ο καθένας έχει παρατηρήσει τα ηχητικά φαινόµενα ενός πολιτικού πλήθους από δεκάδες εκατοντάδες χιλιάδες άτοµα. Ο ανθρώπινος αυτός ποταµός φωνάζει ένα σλόγκαν µε ένα οµοιόµορφο τρόπο. Μετά ένα άλλο σλόγκαν πετάγεται από τον αρχηγό της συγκέντρωσης κι εξαπλώνεται προς την ουρά, αντικαθιστώντας το πρώτο. Ένα κύµα µετάβασης περνά έτσι από τη κορυφή προς την ουρά. Οι στατιστικοί νόµοι αυτών των γεγονότων, διαχωρισµένοι από το πολιτικό ή ηθικό τους πλαίσιο, είναι οι ίδιοι σαν αυτούς των τζιτζικιών ή της βροχής. Είναι οι νόµοι της µετάβασης από τη πλήρη τάξη στη πλήρη αταξία µε ένα συνεχή ή εκρηκτικό τρόπο. Αυτοί είναι στοχαστικοί νόµοι. Στη συνέχεια ο Ξενάκης προχώρησε στη δηµιουργία των «Πολυτόπων», µουσικοαρχιτεκτονικών δοµών που περιελάµβαναν ήχο, φως, κίνηση και αρχιτεκτονική, τα οποία απαιτούσαν µια σύγχρονη σύνθεση του χώρου και της µουσικής. Ο αρχιτεκτονικός χώρος περιείχε µεγάφωνα και φωτεινούς προβολείς σε προσδιορισµένες θέσεις, ώστε να µπορούν να αλληλεπιδρούν µεταξύ τους και µε τους θεατές, οι οποίοι δέχονταν τα διαχεόµενα από τους εσωτερικούς τοίχους µελετηµένα και µεταβλητά µερικές φορές οπτικοακουστικά αποτελέσµατα µέσω µιας πολυαισθητικής αντίληψης. Ο Ξενάκης παρουσιάζεται από πολλούς σαν ένας αρχαίος Έλληνας, γεννηµένος τυχαία στο σύγχρονο κόσµο µας, του οποίου το ενδιαφέρον για τα αρχαία (αλλά και τα σύγχρονα) µαθηµατικά θέµατα δεν εξαλείφθηκε ποτέ. Η Πυθαγόρεια σκέψη που συνεχίζει να επηρεάζει, όπως επισηµαίνει ο Matila Ghyka στο βιβλίο του Η Γεωµετρία της Τέχνης και της Ζωής, σαν ένας

υπόγειος ποταµός το ∆υτικό πολιτισµό, βρήκε ένα γόνιµο εκφραστή της στο πρόσωπο του Ξενάκη, ο οποίος ενδιαφερόταν για µια έννοια της µουσικής που θα µπορούσε να ξεπεράσει τα όρια της, διασταυρούµενη κατ’ ανάγκη µε άλλα εκφραστικά µέσα. Αυτό ακριβώς συνέβη υπογραµµίζει η Alessadra Capanna, «µε το µετασχηµατισµό των γραφικοµουσικών σκίτσων της Μετάστασης σε αρχιτεκτονικά σχήµατα για το σχήµα του Περιπτέρου της Φίλιπς και µέσω της πολυαισθητικής έννοιας των πολυτόπων και των ∆ιατόπων, καθώς επίσης µέσω τεχνικών, συχνά µε τη βοήθεια υπολογιστών, που συσχέτισαν τη γραφική κατασκευή (για τη σύνθεση, όπως στη γραφή µιας παρτιτούρας) µε την ηχητική παρουσίαση (της σύνθεσης όπως στη παραγωγή ενός ηχητικού αποτελέσµατος)». Το ∆ιάτοπο κτίσθηκε µπροστά από το Beaubourg, το διάσηµο Κέντρο Σύγχρονης Τέχνης στο Παρίσι. Το τελικό σχέδιο περιελάµβανε µια τέντα 1.000 τετραγωνικών µέτρων από ηµιδιαφανές κόκκινο βινύλιο, έτσι ώστε η παρουσίαση να είναι ορατή και απέξω. Το κέλυφος είχε την κατά το µάλλον ή ήττον απλοποιηµένη µορφή του Περιπτέρου της Φίλιος και περιελάµβανε την παρουσίαση του µύθου του Ηρός από τη ∆ηµοκρατία του Πλάτωνα που αφηγείται την επιστροφή του Αρµενίου αυτού ανδρός από το κόσµο των αποθανόντων.

Σχήµα 21 Το ∆ιάτοπο

Ο Έλληνας πρωτοπόρος της αλγοριθµικής και της ψηφιακής σύνθεσης, ο ιδρυτής του Κέντρου Μαθηµατικής Μουσικής του Παρισιού (12965) και του Κέντρο Μαθηµατικής και Αυτόµατης Μουσικής στο Πανεπιστήµιο της Ιντιάνα (1977) και συνάµα ο Καθηγητής της Σορβόννης και του City University του Λονδίνου µε ένα πλήθος επιστηµονικές και συγγραφικές εργασίες πέθανε δυστυχώς πρόσφατα το Φεβρουάριο του 2001.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΚΑΙ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Λέγεται ότι ο Σραντιβάρι γνώριζε τη χρυσή τοµή και τη χρησιµοποίησε για να τοποθετήσει τις τρύπες f στα διάσηµα «χρυσά» βιολιά του (The Violin, The New Oxford Companion to Music, Vol. 2). Η µέθοδος επίσης κατασκευής βιολιών του Baginsky (βλ:. http://www.violin.odessa.ua/method.html) βασίζεται σε χρυσές τοµές. Ο Derek Haylock αποδεικνύει σε ένα άρθρο του στο Mathematics Teaching (vol. 84, 1978, δες http://www.nctm.org/mtms/mtms.htm) ότι ο Μπετόβεν τυχαία ή σκόπιµα χρησιµοποίησε τη χρυσή τοµή στη διάσηµη Πέµπτη Συµφωνία του. Υπάρχουν επίσης πολλά άρθρα και βιβλία που υποστηρίζουν ότι οι συνθέτες Μπέλα Μπάρτοκ, Ντιµπισύ, Σούµπερτ, Μπαχ, Έρικ Σάτιε και Χούγκο Νόρντεν χρησιµοποίησαν εσκεµµένα τη χρυσή τοµή στη µουσική τους - π.χ. Bela Bartok: an analkysis of his music του Erno Lendvai (Kahn & Averill, 1971), Debussy in Proportion-a musical analysis του Roy Howat (Cambridge Univ. Press, 1986, 2000) και Schubert Studies (Brian Newbould, London, Ashgate Press, 1998) Κάτι ανάλογο έχει ειπωθεί -αν και δεν έχει τεκµηριωθεί πλήρως-και για τις σονάτες για πιάνο του Μότσαρτ. Πρώτα απ’ όλα ας σηµειωθεί ότι µε τη χρυσή τοµή µπορούν να διαιρεθούν όχι µόνο ευθύγραµµα τµήµατα, αλλά και ένα πλήθος άλλων πραγµάτων, όπως για παράδειγµα µουσικά κοµµάτια που αποτελούνται από δυο µέρη, η χρονική διάρκεια των οποίων θα µπορούσε να καθοριστεί κάλλιστα µέσω της χρυσής τοµής για µια πιο αρµονική αίσθηση του όλου. Αυτό ακριβώς έχει ειπωθεί για τις σονάτες για πιάνο του Μότσαρτ. Την εποχή του Μότσαρτ η µορφή της σονάτας περιελάµβανε δυο µέρη: την Έκθεση, στην οποία εισάγεται η µουσική µορφή και την Ανάπτυξη και Ανακεφαλαίωση όπου το θέµα αναπτύσσεται και επαναλαµβάνεται. Το πρώτο µέρος διαρκεί λιγότερο από το δεύτερο. Τα δυο αυτά τµήµατα µπορούν να αντιπροσωπευθούν από τον αριθµό των µέτρων στο καθένα από αυτά. Στη πρώτη έτσι κίνηση της Σονάτα No. 1 σε C Ματζόρε η έκθεση περιλαµβάνει 38 µέτρα, ενώ η ανακεφαλαίωση και η ανάπτυξη 62, που ο λόγος τους (1,63) είναι πολύ κοντά στη χρυσή τοµή. Μια εξίσου καλή προσέγγιση προς τη χρυσή τοµή υπάρχει και στη δεύτερη κίνηση αυτής της σονάτας, ενώ η τρίτη κίνηση αποκλίνει από τη χρυσή τοµή. Ο µαθηµατικός John F. Putz αποφάσισε να µελετήσει περισσότερες σονάτες για πιάνο του Μότσαρτ για να αποφανθεί τελικά για το τι πραγµατικά συνέβαινε. Η γραφική παράσταση των αποτελεσµάτων του έδωσε µια πολύ ευθεία γραµµή που αποδείκνυε ένα συντελεστή συσχέτισης 0,99 ή σχεδόν 1.00. Επίσης η κατανοµή των λόγων του αριθµού των µέτρων στην ανάπτυξη και την ανακεφαλαίωση προς το ολικό αριθµό των µέτρων σε κάθε κίνηση βρέθηκε να είναι πολύ κοντά και ουσιαστικά πάνω στη κορυφή της χρυσής τοµής. Χωρίς να ενθουσιαστεί όµως από αυτό το αποτέλεσµα προχώρησε στον επόµενο έλεγχο, βρίσκοντας τη κατανοµή τώρα του λόγου του αριθµού των µέτρων σε µια έκθεση προς αυτά στην ανακεφαλαίωση και ανάπτυξη, που θα πρέπει να είναι επίσης ίσος µε τη χρυσή τοµή. Σε αυτή τη περίπτωση όµως πήρε µεν πάλι µια ευθεία γραµµή, αλλά µε ένα µικρότερο τώρα συντελεστή συσχέτισης 0,938. Επιπλέον η κατανοµή των λόγων κορυφωνόταν κοντά στη χρυσή τοµή 0,618, αλλά παρουσίαζε ένα σηµαντικό «άνοιγµα» από 0,534 µέχρι 0,833. Τα αποτελέσµατα από τις δυο αναλύσεις φαίνονταν να συγκρούονται. Η πρώτη ανάλυση έδειχνε

ότι ο Μότσαρτ χρησιµοποίησε πράγµατι τη χρυσή τοµή, ενώ η µεταβλητότητα των λόγων από τη δεύτερη ανάλυση ότι δεν τη χρησιµοποίησε. Όµως, σύµφωνα µε τα µαθηµατικά, ο λόγος του µεγαλύτερου τµήµατος προς το συνολικό µήκος είναι πάντα κοντύτερα στη χρυσή τοµή από ό,τι ο λόγος του µικρότερου τµήµατος προς το µεγαλύτερο τµήµα. Εστιαζόµενος εποµένως ο Putz περισσότερο στη κατανοµή του δεύτερου λόγου συµπέρανε ότι ο Μότσαρτ δε χρησιµοποίησε τη χρυσή τοµή στις σονάτες του. Παρόλα αυτά, επισηµαίνοντας το γενικότερο ενδιαφέρον του Μότσαρτ για τους αριθµούς µε τους οποίους συχνά έπαιζε, έγραψε ότι «πρέπει να θυµόµαστε ότι αυτές οι σονάτες είναι το έργο µιας µεγαλοφυίας και κάποιου που του άρεσε να παίζει µε τους αριθµούς. Ίσως ο Μότσαρτ να γνώριζε τη χρυσή τοµή και να τη χρησιµοποίησε». Ή λόγω της µεγαλοφυίας του, συµπληρώνουµε εµείς, να τη χρησιµοποίησε, εν µέρει έστω, ασυνείδητα.

ΕΤΕΡΟ∆ΥΝΩΣΗ ΚΑΙ ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ Φ Ο Dan Winter (http://www.danwinter.com) παρουσιάζει στο site του µε πιο τρόπο µπορούν τα κύµατα όταν οργανωθούν µε ένα ορισµένο τρόπο να ελιχθούν εσωτερικά προς ένα κεντρικό µηδενικό σηµείο όπως οι ελκυστές Lorenz στη θεωρία του Χάους. ∆ηµιούργησε µια θεωρία συνδυάζοντας ιδέες όπως η ενδόρρηξη, η φράκταλ ενσωµάτωση και η συµπίεση µε βάση το γεγονός ότι τα κύµατα που έχουν λόγο Φ µπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν µηκαταστροφικά. Το τι σηµαίνει αυτό θα εξηγηθεί παρακάτω. Σε ένα παλµογράφο µπορούµε να δούµε τις κυµατοµορφές δυο κυµάτων σε σχέση µε το χρόνο καθώς και του νέου κύµατος που προκύπτει από το άθροισµά (συµβολή) τους. Υπάρχει όµως και ένας άλλος τρόπος για να δούµε ένα κύµα ή ένα άθροισµα κυµάτων: σε σχέση µε τη συχνότητά τους. Για το σκοπό αυτό χρειαζόµαστε έναν αναλυτή φάσµατος. Στον αναλυτή αυτό, στη περίπτωση της πρόσθεσης δυο κυµάτων, θα δούµε δυο «αιχµές» που αντιστοιχούν στις συχνότητες των δυο αρχικών κυµάτων. Όταν ένας ντιντζέι µιξάρει τη φωνή του µε τη µουσική, δηµιουργεί ένα άθροισµα (µείξη) ηχητικών κυµάτων, τα οποία συνυπάρχουν σε αυτό το άθροισµα, χωρίς παρόλα αυτά να επηρεάζει ή να µεταβάλλει το ένα το άλλο. Σε αυτή τη περίπτωση µιλάµε για µια υπέρθεση των κυµάτων. Έστω τώρα ότι θέλουµε να µεταδώσουµε τη φωνή µας (χαµηλή συχνότητα) σε µια µεγάλη απόσταση. Σύµφωνα µε τη γενικό τύπο των κυµάτων c= νλ, το µήκος κύµατος λ είναι αντιστρόφως ανάλογο µε τη συχνότητα ν κι εποµένως για µια µικρή συχνότητα, όπως οι ακουστικές συχνότητες, το µήκος κύµατος που προκύπτει είναι πολύ µεγάλο και θα χρειαζόµασταν εποµένως µια τεράστια κεραία για να ακτινοβολήσουµε κατευθείαν τη φωνή µας σε µια µακρινή απόσταση. Επειδή αυτό δεν µπορεί να συµβεί, χρησιµοποιούµε το τέχνασµα της µεταφοράς της «πάνω στις πλάτες» µιας υψηλής συχνότητας που ακτινοβολείται πολύ πιο εύκολα από αυτή. Όταν αυτή η υψηλή συχνότητα-µεταφορέας που λέγεται φέρουσα συχνότητα φτάσει στο µακρινό δέκτη, απαλλασσόµαστε από αυτή, αφού δεν τη χρειαζόµαστε πια, και µένουµε πάλι µε τη χαµηλή συχνότητα, την οποία διοχετεύοντας στο µεγάφωνο µετατρέπουµε από ηλεκτρική σε ακουστική πάλι µορφή, µεταδίδοντας τελικά µε αυτό το τρόπο τη φωνή µας στη µακρινή αυτή απόσταση. Και πώς κάνουµε τη χαµηλή ακουστική συχνότητα στο ποµπό να καβαλήσει στις πλάτες της υψηλής συχνότητας που παράγει ανεξάρτητα ένας ταλαντωτής; Με τη διαµόρφωση ή τη µη γραµµική µείξη τους χρησιµοποιώντας την επαφή PN µιας διόδου ή ενός τρανσίστορ. Σε αυτή τη περίπτωση το αποτέλεσµα που παίρνουµε δεν είναι η πρόσθεση, όπως στη γραµµική µείξη των

ηχητικών κυµάτων του ντιτζέι και της µουσικής, αλλά ο πολλαπλασιασµός των κυµάτων. Είναι όπως όταν πολλαπλασιάζουµε δυνάµεις της ίδιας βάσης προσθέτοντας τους εκθέτες τους, η µη γραµµική πρόσθεση ισοδυναµεί µε πολλαπλασιασµό. Στη ραδιοφωνία αυτό ονοµάζεται ετεροδύνωση. Η διαµόρφωση του υψίσυχνου φέροντος κύµατος ανάλογα µε το τρόπο µεταβολής του ακουστικού κύµατος µπορεί να γίνει κατά πλάτος (ΑΜ) και κατά συχνότητα (FM). Εµείς εδώ αναφερόµαστε στη διαµόρφωση κατά πλάτος. Αν κοιτάξουµε τώρα το διαµορφωµένο κατά πλάτος κύµα σε έναν αναλυτή φάσµατος, θα βρούµε κατά παράξενο τρόπο τέσσερες ξεχωριστές αιχµές συχνότητας! Τις δύο αρχικές συχνότητες, συν µία νέα που είναι ίση µε το άθροισµα των αρχικών συχνοτήτων και µία άλλη ακόµα, σαν ένα κατοπτρικό είδωλο της προηγούµενης, που είναι ίση µε τη διαφορά τους. Ανακαλύπτουµε έτσι ότι ο πολλαπλασιασµός δυο κυµάτων στο πεδίο του χρόνου είναι ίδιος µε δυο µεταβαλλόµενες συχνότητες πάνω και κάτω στο πεδίο της συχνότητας. Αυτές οι δυο νέες συχνότητες αποτελούν τη λεγόµενη πάνω και κάτω πλευρική συχνότητα και εµφανίζονται κάθε φορά που αλληλοδιαµορφώνονται δύο ή περισσότερα κύµατα µεταξύ τους. Αυτή η οµάδα ραδιοσυχνοτήτων (που αποτελείται από το φέρον κύµα συν τις δυο πλευρικές συχνότητες) ακτινοβολείται τελικά από τη κεραία του ραδιοφωνικού σταθµού. Στο παλµογράφο όµως το µόνο που βλέπουµε είναι το άθροισµα και των τριών, που καταλήγει να φαίνεται σαν ένας πολλαπλασιασµός σηµείο προς σηµείο του φέροντος κύµατος και του ακουστικού κύµατος της φωνής µας. Αν λοιπόν παίξουµε στο µικρόφωνό µας µια νότα 1KHz (=1000 χερτζ) η οποία διαµορφώνει στη συνέχεια κατά πλάτος µια φέρουσα συχνότητα 1 MHz (1.000.000 χερτζ), οι τέσσερες συχνότητες που θα πάρουµε στην έξοδο του διαµορφωτή θα είναι: 1 KHz,1 MHz, 1,001 MHz (το άθροισµα ή η άνω πλευρική συχνότητα) και 0,999 MHz (η διαφορά ή η κάτω πλευρική συχνότητα). Η ακουστική συχνότητα του 1 KHz είναι πάρα πολύ χαµηλή για να ακτινοβοληθεί από τη κεραία, οπότε φιλτράρεται και µεταδίδονται τελικά µόνο οι άλλες τρεις ραδιοσυχνότητες. Όπως µπορούµε να δούµε οι νέες αυτές πλευρικές συχνότητες εξαρτώνται µόνο από τη πρόσθεση και την αφαίρεση του φέροντος και του ακουστικού κύµατος. ∆εν υπάρχει καµιά αρµονική σχέση µεταξύ τους. Τι σχέση όµως έχουν όλα αυτά µε το χρυσό αριθµό Φ; Το Φ, όπως ξέρουµε, έχει τη βασική ιδιότητα το άθροισµα δυο διαδοχικών δυνάµεών του να παράγει την αµέσως επόµενη δύναµη: Φ0+Φ1=Φ2, Φ1+Φ2=Φ3, Φ2+Φ3=Φ4. Αν λοιπόν ετεροδυνώσουµε (αναµείξουµε µη γραµµικά, διαµορφώσουµε) δυο συχνότητες που έχουν λόγο Φ, έστω τις συχνότητες f1=1Hz και f2=ΦHz κ.ο.κ., θα πάρουµε στο διαµορφωτή ΑΜ το άθροισµά τους 1+Φ, το οποίο που είναι ίσο µε Φ2, και τη διαφορά τους Φ-1, που είναι ίση Φ-1. Παρατηρούµε δηλαδή ότι οι δυνάµεις του Φ παράγονται αυτόµατα κάθε φορά που διαµορφώνουµε (ετεροδυνώνουµε) συχνότητες που έχουν ένα λόγο ίσο µε Φ. Την ιδιότητα αυτή του Φ δεν την έχει κανένας άλλος αριθµός. Εάν χρησιµοποιήσουµε ένα λίγο πιο ανεπτυγµένης µορφής διαµορφωτή AM, µπορούµε να καταστείλουµε πλήρως τη φέρουσα συχνότητα (και το ακουστικό κύµα) και να πάρουµε στην έξοδο µόνο τις δυο πλευρικές συχνότητες, το άθροισµα δηλαδή και τη διαφορά των συχνοτήτων. Αυτό ακριβώς γίνεται σε ένα ισορροπηµένο διαµορφωτή και ονοµάζεται µετάδοση πλευρικών συχνοτήτων του κατεσταλµένου φέροντος κύµατος.

Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε έτσι µια σειρά ισορροπηµένων διαµορφωτών χρησιµοποιώντας τις εξόδους σα νέες εισόδους σε ένα επόµενο στη σειρά διαµορφωτή και να πάρουµε έτσι µια πολύ µεγάλη σειρά συχνοτήτων που σχετίζονται µε τις δυνάµεις του Φ. Το τι µπορούµε να κάνουµε στη συνέχεια µε αυτές, συζητείται και µερικοί σαν τον Dan Winter έχουν πολλά να πουν πάνω σε αυτό, αν επισκεφθείτε το site του, όπου υποστηρίζει την ιδέα της ενδόρρηξης (implosion) αρµονικών Φ και πολλά άλλα Ας µη ξεχνάµε συγχρόνως και τη προτροπή του Tom Bearden για µη γραµµική µείξη για να επιτύχουµε τη δωρεάν ενέργεια.

ΤΟ INTEGRATRON (ΙΝΤΗΓΚΡΑΤΟΝ) ∆εν υπάρχει κανένα άλλο παρόµοιο κτίριο στις ΗΠΑ. Η πηγή της νεότητας δε βρίσκεται στη Φλόριδα, αλλά στη νότια Καλιφόρνια, στο Integraton Weekend Travel Update

Σχήµα 1 Το Integratron είναι µια θολωτή κατασκευή ύψους 11,6 µέτρων και διαµέτρου 15 µέτρων που σχεδιάστηκε από το µηχανικό George Van Tassel σα µια µηχανή ανανέωσης, µακροζωίας και νεανικής ενέργειας.

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ Ο George Van Tassel, µηχανικός αεροσκαφών της Λόκχηντ, παράτησε το 1947 τη δουλειά του και µετακόµισε µαζί µε την οικογένειά του στην έρηµο κοντά στο Landers της Νότιας Καλιφόρνια. Νοίκιασε εκεί από τη κυβέρνηση µια µεγάλη έκταση, µαζί µε τον τεράστιο όρθιο ογκόλιθο Giant Rock, που θεωρείτο παλιά ιερός από τους Ινδιάνους της περιοχής, και δηµιούργησε ένα «καφενείο» για τους επισκέπτες. Το 1953 ξεκίνησε εβδοµαδιαίες συνεδρίες διαλογισµού για κάθε ενδιαφερόµενο, οι οποίες οδήγησαν, όπως ισχυρίστηκε, σε µια στενή του επαφή µε εξωγήινους, οι οποίοι του έµαθαν το µυστικό της ανανέωσης των κυττάρων. Επηρεασµένος από ένα πλήθος πηγές, µαζί µε αυτή των εξωγήινων, βάλθηκε να κατασκευάσει τον επόµενο χρόνο το Integraton, ένα κτίριο που θα προσέφερε αυτές τις δυνατότητες. Για να βοηθηθεί οικονοµικά διοργάνωσε συνέδρια για UFO

στο Giant Rock, ζητώντας συγχρόνως δωρεές από διάφορους υποστηρικτές του, ενώ έγραψε κι έναν αριθµό βιβλίων για την ανανέωση των κυττάρων. Τελικά χρειάστηκε 18 χρόνια για να κατασκευάσει το Integraton. Πέθανε το 1978. Το Ιntegraton συνεχίζει να διατηρείται από µια οµάδα ατόµων που το προσφέρουν για ενοικίαση, περιοδείες, εξωτερικά γυρίσµατα ταινιών κ.α. Σύµφωνα µε τους ιδιοκτήτες του αποτελεί «µια πολύ ισχυρή δίνη για µια φυσική και πνευµατική θεραπεία».

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ INTEGRATRON ΚΑΙ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ Το Integraton θεωρείται ότι βρίσκεται πάνω σε µια µαγνητική δίνη. Η τοποθεσία του είναι ένα ουσιαστικό στοιχείο της λειτουργίας του. Η θέση του προέκυψε από ένα σύνολο θεωριών που περιλαµβάνουν το µαγνητικό πεδίο της γης και τη σχέση του µε τη πυραµίδα του Χέοπα και τον ογκόλιθο του Giant Rock. Σύµφωνα µε το Van Tassel γύρω από τον ογκόλιθο υπάρχει µια γιγάντια µαγνητική δίνη ακτίνας αρκετών χιλιοµέτρων, η οποία µπορεί να µετρηθεί µε µαγνητόµετρα. Πίστευε ότι το µεγάλο βάρος του βράχου προκαλούσε ένα πιεζοηλεκτρικό φαινόµενο στους γρανιτικούς του κρυστάλλους, δηµιουργώντας µε αυτό το τρόπο το απαραίτητο µαγνητικό πεδίο. Η κατασκευή του Integraton στηρίχθηκε επίσης σε ιδέες σε σχέση µε τη Σκηνή του Μαρτυρίου και τη Πυραµίδα του Χέοπα. Στην εργασία του «Η Σκηνή του Μαρτυρίου», ο Van Tassel εξηγεί τη σχέση του Integraton µε αυτή: Το κτίριο που διδάχθηκα να κατασκευάσω είναι µια σύγχρονη απόδοση της Σκηνής του Μαρτυρίου που κατασκεύασε ο Μωυσής. Μεγάλο µέρος της χρησιµοποιούµενης ορολογίας για τα διάφορα µέρη του και τη συσκευή που υπάρχει σε αυτό είναι διαφορετική σήµερα, αλλά οι λειτουργίες τους είναι επιστηµονικά οι ίδιες. Ευτυχώς, µε τη σύγχρονη τεχνολογία και τις µεθόδους κατασκευών δε χρειάζεται να φτιάξουµε τα διάφορα µέρη από ξύλο ακακίας και να τα καλύψουµε µετά µε φύλλα µετάλλου. Αυτή µέθοδος χρησιµοποιήθηκε την εποχή του Μωυσή γιατί δεν είχαν τότε µηχανές για να φτιάξουν µεταλλικά µέρη. Συνεπώς έφτιαξαν τα ξύλινα τµήµατα και τα κάλυψαν µε µέταλλο, για να τους δώσουν την ίδια ιδιότητα της αγωγιµότητας ηλεκτρικά και τις ίδιες δυνατότητες πολικότητας µαγνητικά. Η Κιβωτός του Μωυσή χρησιµοποίησε την αρχή της θετικής δύναµης της Πυραµίδας του Χέοπα, την ίδια ακριβώς αρχή που χρησιµοποιούµε κι εµείς σε αυτό το κτίριο. Σήµερα θα ονοµάζαµε τους «δακτυλίους» του Μωυσή πηνία, τις σανίδες συµπυκνωτές και τις «προεξοχές των ξύλων" σύρµατα, αν και οι «ασηµένιοι υποδοχείς» του Μωυσή συνεχίζουν να ονοµάζονται υποδοχείς ή έξοδοι. Ο Μωυσής περιέβαλε τη Κιβωτό του µε δέρµατα και υφασµάτινες κουρτίνες. Έτσι είχε όλη ένα µη µεταλλικό κάλυµµα. Το ίδιο κάνουµε κι εµείς, αλλά µε κοντραπλακέ και φάιµπεργκλας. Η συσκευή που αυτοί έφτιαξαν µέσα στη Σκηνή του Μαρτυρίου ονοµάσθηκε «κιβωτός». Ο εξοπλισµός µας θα είναι ο ίδιος και θα δηµιουργεί ένα ηλεκτροστατικό τόξο. Συνεχίζει παραθέτοντας εδάφια από την Έξοδο (ΚΕ΄,11,22) αποσυµβολίζοντάς τα και επισηµαίνοντας κάθε φορά ότι µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο κατασκευάζει και αυτός το Integraton. Θεωρεί τα φτερά των χερουβείµ στη Κιβωτό της ∆ιαθήκης σα σηµεία εκφόρτισης, σα τα

σηµερινά διάκενα αέρος και αναφέρει ότι όπως τα χερουβείµ απεικονίστηκαν από τον Ιεζεκιήλ σαν «άνθρακες φωτιάς», το ίδιο θα φαίνεται και η συσκευή του όταν είναι σε λειτουργία. Το µαλλί της κατσίκας (Έξοδος ΚΣΤ΄,7) για το κάλυµµα και τα πετάσµατα θεωρεί ότι χρησιµοποιήθηκε σα πηγή στατικού ηλεκτρισµού (µε τριβή) και για τους σαράντα υποδοχείς από ασήµι κάτω από τις 20 σανίδες (Έξοδος ΚΣΤ΄,19) επισηµαίνει ότι το Integraton έχει «ένα δακτύλιο» που περιστρέφεται πάνω σε µια τροχιά γύρω από το εξωτερικό του κτιρίου». Παρόλες όµως τις λεπτοµέρειες της «Εξόδου» για τη κατασκευή της Σκηνής του Μαρτυρίου και της Κιβωτού της ∆ιαθήκης, αυτή δεν περιλαµβάνει «όλα τα απαραίτητα τεχνικά δεδοµένα». Όπως επισηµαίνει ο van Tassel, αυτά «δεν είναι αρκετά για να κατασκευάσεις τον ανανεωτή. Μου δόθηκαν πρόσθετα δεδοµένα για να µπορέσω να φτιάξω µια λειτουργική σύγχρονη Κιβωτό». Όσο για το σύννεφο του θεού που ήταν γύρω από τη Κιβωτό τη µέρα και τη φωτιά τη νύχτα (Έξοδος Μ΄,38), η τελευταία ήταν σύµφωνα µε το Van Tassel «µια ηλεκτροστατική εκφόρτιση κορώνας», ενώ το σύννεφο την ηµέρα ήταν «ο ιονισµός της υγρασίας του αέρα που έκανε να συµπυκνωθεί ένα σύννεφο γύρω από τη Κιβωτό». Και συµπληρώνει:. «Το αποτέλεσµα γύρω από το κτίριό µας θα είναι το ίδιο». Τελικά επισηµαίνει: Η δουλειά µου δεν είναι να σώσω το κόσµο...Ήλθα µόνο για να ετοιµάσω ένα όργανο που χρειάζεται πολύ για τα µελλοντικά γεγονότα που θα συµβούν στη γη. Η έρευνά µας είναι για το καλό της ανθρωπότητας... Από την άλλη µεριά στη διατριβή του µε τίτλο "Περισσότερες Σκέψεις για τη Πυραµίδα» υποστηρίζει τα εξής: Το πάτωµα και οι τέσσερες τοίχοι του Θαλάµου του Βασιλιά είναι από γρανίτη...Όταν κτίστηκε η Πυραµίδα του Χέοπα όλος ο γρανιτένιος Θάλαµος του Βασιλιά κατασκευάστηκε µέσα σε αυτήν για ένα συγκεκριµένο λόγο. Με το βάρος των χιλιάδων τόνων ασβεστόλιθου αυτού του γρανιτένιου θαλάµου η πιεζοηλεκτρική αύρα που εκπέµπεται µέσα του πρέπει να προκαλεί κορεσµό του αέρα µε ένα ιονισµό υψηλού φορτίου. Τα πέντε στρώµατα γρανιτένιων δοκών και τα πέντε στρώµατα αέρα ανάµεσά τους πρέπει να σχηµατίζουν ένα πυκνωτή σταθερού φορτίου. Ο ασβεστόλιθος είναι ως επί το πλείστον ανθρακικό ασβέστιο. Είναι δυνατόν το πιεζοηλεκτρικό αυτό φαινόµενο να αφοµοίωνε το ασβέστιο από το ασβεστόλιθο και να το διοχέτευε στα σώµατα που βρίσκονταν µέσα στο Θάλαµο του Βασιλιά. Η υγρασία έτσι θα διίστατο σε ιόντα και το νεκρό σώµα θα διατηρείτο επ’ αόριστον καθώς θ’ απορροφούσε το ανθρακικό ασβέστιο, από το οποίο φτιάχνουµε σήµερα το τσιµέντο. Τέλος στην εργασία του «Το Integratron" µιλάει ειδικότερα για το σκοπό του Integraton: Ο σκοπός του Integraton είναι να επαναφορτίσει µε ενέργεια κάθε ζωντανή κυτταρική δοµή και να αυξήσει τη διάρκεια της ζωής, δίνοντας συγχρόνως νεανική ενέργεια. Αυτός υπήρξε ο σκοπός πολλών ανθρώπων από τότε που ο Ponce De Leon άρχισε να αναζητά τη πηγή της νεότητας. Η προσπάθειά µας εδώ δεν είναι η πρώτη ιδέα αυτού του είδους. Είναι απλώς η πρώτη φορά που άλλες ερευνητικές προσπάθειες έχουν συνδεθεί µαζί και έχουν εφαρµοστεί συγχρόνως.

Η εργασία των Georges Lakhovsky, του ∆ρ. George Crile, του Barnothy, του Oneil, του Τέσλα, του Σµιθ και πολλών άλλων, συνδυάζεται από εµάς σε µια βασική έρευνα για να κάνουµε τις αρχές τους λειτουργικές. Το µόνο νέο πράγµα που έχουµε προσθέσει είναι να κάνουµε τρεις αρχές να συµβούν στιγµιαία και ταυτόχρονα... Σηµειώνουµε ότι ο Georges Lakhovsky εφηύρε τη συσκευή του Ταλαντωτή Πολλαπλών Κυµάτων µε την οποία θεράπευσε πολλές περιπτώσεις κυτταρικών δυσλειτουργιών. Αυτός χρησιµοποίησε ένα ευρέους φάσµατος ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µε µήκη κύµατος από 10 εκατοστά µέχρι 400 µέτρα, έτσι ώστε να συντονίζονται µε αυτό όσο το δυνατόν περισσότερα στοιχεία του οργανισµού. Παρουσίασε τη συσκευή του και τα αποτελέσµατά της στο βιβλίο του Το Μυστικό της Ζωής (1939). Υποτίθεται ότι η καθηµερινή χρησιµοποίησή της για ένα διάστηµα το πολύ µέχρι τρεις εβδοµάδες έφερνε πολύ θετικά αποτελέσµατα. Για τον Van Tassel είµαστε «ηλεκτρικά όντα που χρησιµοποιούν ένα βιοχηµικό σώµα για να υπάρχουν σε ένα ηλεκτροχηµικό περιβάλλον». Τα κύτταρά µας εξαρτώνται βασικά από το πυρήνα τους που είναι «το κέντρο των ταλαντώσεων και εκποµπής ακτινοβολιών» κατ’ αναλογία µε τον ήλιο στο κέντρο του ηλιακού µας συστήµατος. Το DNA είναι «ένα κηρύκειο πηνίο περιελιγµένο σε αντίθετες κατευθύνσεις». Τα νηµάτια στο πυρήνα ενός κυττάρου «εµφανίζουν τη διαµόρφωση πηνίου και πλάκας. Είναι µικροσκοπικά ηλεκτρικά κυκλώµατα που λειτουργούν σαν ταλαντωτές». Οι βλεφαρίδες στους πνεύµονες και στο αναπνευστικό σύστηµα είναι «κεραίες που εξάγουν ακτινοβολίες από τον αέρα και µεταδίδουν αυτή την ενέργεια στα κύτταρα του αίµατος για να µεταβιβαστούν σε όλη την έκταση του σώµατος». Τα σωµατικά υγρά µας είναι «ένας αλατούχος ηλεκτρολύτης που περιέχει κύτταρα σε αιώρηση». Κάθε µικροσκοπικό µέρος ενός κυττάρου «εκπέµπει ακτινοβολίες σύµφωνα µε την ατοµική του δοµή. Σαν τις µπαταρίες, τα κύτταρα αδειάζουν, τα σώµατα αδειάζουν και η απώλεια ενεργείας εκδηλώνεται σα γήρανση». Τα παλιά χρόνια, σύµφωνα µε τη Βίβλο, οι άνθρωποι ζούσαν πολλά χρόνια. Ο Αδάµ έζησε 930, ο Σηθ 912, και ο Μαθουσάλας 969 χρόνια. Το πρόβληµα άρχισε µε το σµίξιµο αυτών των προανθρώπων µε τις λεγόµενες «θυγατέρες των ανθρώπων», οπότε η διάρκεια της ζωής τους µειώθηκε, σύµφωνα µε τη βίβλο, στα 120 χρόνια. Για τον Tassel δεν υπάρχει λόγος που να απαγορεύει στους ανθρώπους να ζήσουν όσο και ο Μαθουσάλας, ο οποίος κατά την άποψή του χρησιµοποίησε το ενεργειακό πεδίο της Πυραµίδας του Χέοπα για να ζήσει τόσο πολύ χωρίς να γεράσει. Ο γρανίτης ονοµαζόταν από τους Αιγυπτίους "πνευµατικός βράχος", λόγω της αυρικής ακτινοβολίας του. Η ενέργεια όµως που παράγεται από µια πυραµίδα σε µια δίνη, σηµειώνει ο Tassel, δεν είναι ούτε ηλεκτρική ούτε µαγνητική. Αποτελείται από την «άλλη µορφή ενέργειας που ακτινοβολεί την ιδιότητα της ζωής». Αυτή ακριβώς την ενέργεια θα προσπαθήσει να ελέγξει στο Integraton και να την ολοκληρώσει (integrate, απ’ όπου και το όνοµα της συσκευής του Integraton) µε τη κυτταρική δοµή του σώµατος. Ο κατεξοχήν σκοπός του ήταν να επιµηκύνει τη ζωή χωρίς περαιτέρω γήρανση: Ο σκοπός µας είναι να µπορέσουµε να ανανεώσουµε τους παγκόσµιους ηγέτες µας, τη παγκόσµια ανθρωπότητά µας και να νικήσουµε το τελευταίο εχθρό µας - το θάνατο...Ο Jeno M. και η Madeleine F. Barnothy, του Βιοµαγνητικού Ιδρύµατος Ερευνών στο Evanston του Ιλινόις πήραν εκπληκτικά αποτελέσµατα στη µαγνητική τους έρευνα µε το κάθε τι, από ένζυµα µέχρι κουνέλια. Απέδειξαν µια επιβράδυνση της γήρανσης και µια αυξηµένη δραστηριότητα κατά 30% σε µια έρευνα πάνω σε ποντίκια, τα οποία έχουν ανάλογη κυτταρική δοµή µε τους ανθρώπους.

Ο Νικόλαος Τέσλα και άλλοι απέδειξαν ότι ο στατικός ηλεκτρισµός υψηλής τάσης προκαλεί ιονισµό...Ο ∆ρ. George Crile, σε µια µυθική έρευνα στην οποία αφιέρωσε τη ζωή του, απέδειξε ότι κάθε ζωντανό κύτταρο είναι µια µπαταρία, ένας µορφοτροπέας και ένας συµπυκνωτής. Στο βιβλίο του «Τα Φαινόµενα της Ζωής», που εκδόθηκε το 1936, δηλώνει ότι «η ενέργεια που κινεί τον οργανισµό είναι ο ηλεκτρισµός». Επιπλέον δηλώνει ότι «είναι σαφές ότι στον ηλικιωµένο ασθενή το ηλεκτρικό δυναµικό του σαν όλον ή του ενός ή του άλλου οργάνου έχει µειωθεί σηµαντικά, µε συνέπεια να έχει µειωθεί επικίνδυνα και η ασφάλειά του». Ο Hugo Fricke, εργαζόµενος µαζί µε το ∆ρ. Crile, ανακάλυψε ότι η µεµβράνη που περιβάλλει τα ερυθρά αιµοσφαίρια έχει πάχος της τάξης των 3/10.000.000 εκ. και ότι αυτή η λιποειδής δοµή έχει µια ηλεκτρική ικανότητα υψηλής τάξης, δηλ. 0,8 µικροφαράντ ανά τετραγωνικό εκατοστό. Ο ∆ρ. Crile δήλωσε περαιτέρω ότι «η δοµική και λειτουργική µονάδα του ζωντανού οργανισµού είναι το κύτταρο...Ο πυρήνας του κυττάρου είναι συγκριτικά όξινος. Το κυτταρόπλασµα είναι συγκριτικά αλκαλικό. Ο πυρήνας και το κυτταρόπλασµα διαχωρίζονται από µία ηµιπερατή µεµβράνη. Συνεπώς το κύτταρο είναι ένας διπολικός οργανισµός ή µια ηλεκτρική µπαταρία, µε το πυρήνα να αποτελεί το θετικό στοιχείο και το κυτταρόπλασµα το αρνητικό στοιχείο». Αυτές οι κυτταρικές µπαταρίες του σώµατος είναι που σχεδιάζουµε να φορτίσουµε µε το Integraton. Κάθε κύτταρο έχει µια χωρητικότητα σαν τη µπαταρία του αυτοκινήτου σας. Το ανθρώπινο σώµα αποτελείται από πάνω από 100 τρισεκατοµµύρια κύτταρα. Η αρχή λειτουργίας µας είναι τόσο απλή όσο η εφαρµογή της ταλάντωσης πολλαπλών κυµάτων του Lakhovsky στα µαγνητικά πεδία του Barnothy, κορεσµένα µε ιονισµό Τέσλα, για να φορτίσουµε τις κυτταρικές µπαταρίες του ∆ρ. George Crile. Η µέθοδος ελέγχου που χρησιµοποιούµε είναι µέσω µιας χρονικής συνάρτησης συχνότητας από χρόνο µηδέν µέχρι άπειρο. Αυτή είναι η συνεισφορά µας. Το κύκλωµα είναι εκατό φορές πιο απλό από ό,τι της συσκευής της τηλεόρασης. Ο ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ «ΘΟΛΟΣ» Μια εξήγηση για τη λειτουργία του Integraton έχει να κάνει µε την ιδιότητα των θόλων να εστιάζουν, σαν τους κυρτούς φακούς και τις παραβολικές κεραίες, τις ακτινοβολίες. Ένας ψίθυρος στη µια πλευρά ενός θολωτού κτιρίου µπορεί να ακουστεί εύκολα στην άλλη µεριά, γιατί ο ήχος εστιάζεται προς το κέντρο, εξ’ αιτίας του σφαιρικού σχήµατος. Αυτή η ιδιότητα εστίασης της ενέργειας λήφθηκε υπ’ όψη κατά τη σχεδίαση του Integraton και εξηγεί µερικά από τα αποτελέσµατά του. Ποια όµως είναι η διαφορά του Integraton από τους άλλους θόλους; Αυτό που το κάνει διαφορετικό υποτίθεται πως είναι το µέγεθός του, που έχει επιλεχθεί έτσι ώστε να συντονίζεται µε τις συχνότητες που χρησιµοποιεί. Το Integraton είναι σχεδιασµένο να ανακλά και να εστιάζει µια περιοχή συχνοτήτων που είναι χρήσιµες για την ανανέωση των ανθρώπινων όντων. Υποτίθεται πως τα κύτταρα ακτινοβολούµενα µε µια ειδική περιοχή ηλεκτροµαγνητικών ταλαντώσεων, µπορούν να «επαναφορτιστούν» κι εποµένως να ανανεωθούν. Το γεγονός ότι χρειάζεται µια περιοχή συχνοτήτων και όχι ένα «κανάλι», όπως π.χ. στη ραδιοτηλεοπτική επικοινωνία, οφείλεται στο ότι το κύτταρο και τα µέρη του συντονίζονται σε διαφορετικές συχνότητες.

Το Integratron είναι έτσι τελικά µια ηλεκτροστατική γεννήτρια υψηλής τάσης που παρέχει το εύρος συχνοτήτων που χρειάζεται για την επαναφόρτιση της κυτταρικής δοµής. Εκτός από αυτό χρησιµοποιούνται και ορισµένες ιδιότητες του µαγνητικού πεδίου και η τεχνική του Τέσλα για τη δηµιουργία στατικών πεδίων υψηλού ιονισµού. Λειτουργεί πραγµατικά; Γιατί τότε ο Tassel πέθανε χωρίς να προλάβει να γίνει υπεραιωνόβιος, όπως το επιθυµούσε και όπως προϋπόθεταν οι αναλύσεις του και οι αρκετά ενδιαφέρουσες επεξηγήσεις του; Μήπως απλά άρχισε ήδη πολύ αργά τη «κυτταρική του ανανέωση», όταν ήταν ήδη αρκετά µεγάλος όταν τελείωσε τη κατασκευή του Integraton ή µήπως του διέφυγε κάποιο σηµαντικό στοιχείο από την όλη «συνταγή»; Αναφέρουµε την ιστορία του τόσο γιατί έχει σχέση µε τους θόλους και τη πιθανή λειτουργία τους πράγµατι σα συσσωρευτών ενέργειας, όσο και για την εµπνευστική και θετική του προσπάθεια να παρατείνει το όριο της ανθρώπινης ζωής µε ολιστικές µεθόδους συνταιριάζοντας αρχαϊκά και νέα επιστηµονικά δεδοµένα.

ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΙ Ο λαβύρινθος είναι ένα αρχαίο σύµβολο που συνδυάζει την εικόνα του κύκλου και της σπείρας σε ένα οφιοειδές, σκόπιµο µονοπάτι. Αντιπροσωπεύει ένα ταξίδι προς το κέντρο µας, προς τη µήτρα, τη µυστική σπηλιά, και µετά αναγεννηµένοι πάλι πίσω στο κόσµο. Είναι ένα αρχέτυπο µε το οποίο µπορούµε να έχουµε µια άµεση εµπειρία. ∆ηµιουργεί έναν ιερό χώρο βοηθώντας µας να βγούµε από το εγώ µας και να επισκεφτούµε το µύχιο είναι µας. Είναι η γενέθλια µήτρα της Μεγάλης Θεάς, µια άσκηση αναγέννησης και αυτο-ολοκλήρωσης και µαζί ένα εργαλείο διαλογισµού και προσευχής. Οι «εσωτερικοί» αυτοί λαβύρινθοι δεν πρέπει να συγχέονται µε τους αντίστοιχους εξωτερικούς γρίφους των περιοδικών που µπορούν να δοκιµάσουν, αν θέλουν, να λύσουν οι αναγνώστες τους. Αυτοί περιλαµβάνουν µια νοητική εργασία του αριστερού ηµισφαιρίου του εγκεφάλου, ενώ ο «εσωτερικός» λαβύρινθος εµπλέκει περισσότερο τη διαίσθηση και το δεξιό ηµισφαίριο. Με το γρίφο πρέπει να γίνουν πολλές επιλογές και χρειάζεται ένα ενεργητικό µυαλό για να λυθεί το πρόβληµα και να βρεθεί το κέντρο του λαβυρίνθου. Στον εσωτερικό όµως λαβύρινθο υπάρχει ένας µόνο, καλά καθορισµένος δρόµος, που µας οδηγεί στο κέντρο και µετά πίσω ξανά. ∆εν υπάρχουν κόλπα, τυφλοί ή διατεµνόµενοι δρόµοι και υπάρχει µία µόνο επιλογή: το να µπούµε ή να µη µπούµε µέσα στο λαβύρινθο. Χρειάζεται ένας πιο παθητικός, δεκτικός νους. Η επιλογή είναι να βαδίσουµε ή όχι ένα πνευµατικό δρόµο. Ο εσωτερικός λαβύρινθος, σαν τις µαντάλες, περιλαµβάνει µια ολιστική πορεία από τη περιφέρεια προς το κέντρο, ένα «βασιλικό µονοπάτι», ένα τελετουργικό δρόµο, σχεδιασµένο σύµφωνα µε τις αρχές της αρµονικής αναλογίας και της εναλλαγής της ενέργειας. Όταν περπατάµε σε αυτόν ακολουθούµε µια δαιδαλώδη διαδροµή µπρος - πίσω, στρεφόµενοι κατά 180ο κάθε φορά που εισερχόµαστε σε ένα διαφορετικό κύκλωµα. Καθώς αλλάζουµε κατεύθυνση, αλλάζουµε επίσης την επίγνωσή µας από το δεξιό στο αριστερό ηµισφαίριο του εγκεφάλου µας. Αυτός είναι ένας από τους λόγους που ο λαβύρινθος µπορεί να προκαλέσει δεκτικές καταστάσεις συνείδησης. Μόλις φθάσουµε στο κέντρο του λαβύρινθου µπορούµε να. χαλαρώσουµε, να διαλογιστούµε ή να αναζητήσουµε απαντήσεις σε διάφορα ερωτήµατα.

Οι λαβύρινθοι σαν τις µαντάλες είναι αρχετυπικά συλλογικά σύµβολα που ξεπερνούν τους διάφορους πολιτισµούς, θεµελιωµένοι πάνω στην ίδια βασική συνείδηση της ανθρωπότητας. Παρουσιάζονται σε όλα τα µεγέθη, µερικοί στο µέγεθος ενός επιτραπέζιου παιχνιδιού, τους οποίους µπορούµε να διαβούµε απλά µε το δείκτη µας. Μπορούν να κατασκευαστούν από διάφορα υλικά: µε πέτρες, µε χώµα, µε κλαδιά δένδρων, µε άµµο, µε νεροµπογιά, πάνω σε ύφασµα, µε ψηλό γρασίσι ή φράκτες. Μερικοί συνδέονται µε τους Crop Circles, οι οποίοι παρουσιάζουν µερικές φορές πρότυπα λαβυρίνθων.

Ο ΕΠΤΑ∆ΙΚΟΣ ΚΡΗΤΙΚΟΣ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΣ

Σχήµα 1 Ένας κλασσικός λαβύρινθος µε 7 δακτυλίους. Υπάρχουν αντιστοιχίες του µε τα επτά τσάκρας, τα επτά χρώµατα, τις επτά µουσικές νότες κ.λ.π.. Η σειριακή τάξη των ατραπών είναι 3-2-1-4 και 76-5-8 και κατά την επιστροφή αντιστρόφως.

Σχήµα 2 ∆υο νοµίσµατα από τη Κρήτη. Το τετράγωνο είναι από το πρώτο αιώνα π.χ. Το στρογγυλό είναι περίπου 2.000 ετών. Ο λαβύρινθος σε αυτή τη µορφή ήταν το εθνικό σύµβολο του Κρητικού πολιτισµού για τουλάχιστον χίλια χρόνια.

Ο κλασσικός λαβύρινθος συνδέεται µε το µύθο του Μινώταυρου, του ∆αίδαλου, του Θησέα και της Αριάδνης. Σύµφωνα µε την Ελληνική µυθολογία ο λαβύρινθος της Κρήτης κατασκευάστηκε από το τεχνίτη ∆αίδαλο κατόπιν διαταγής του βασιλιά Μίνωα για να κρύψει µέσα του το φοβερό Μινώταυρο, παιδί της γυναίκας του Πασιφάης κι ενός ταύρου. Όταν ο Μίνωας πληροφορήθηκε

ότι ο ∆αίδαλος παρέδωσε το µίτο στην Αριάδνη, που βοήθησε το Θησέα να σκοτώσει το Μινώταυρο, τον φυλάκισε µαζί µε το γιο του Ίκαρο. Για να δραπετεύσουν αυτοί έφτιαξαν φτερά που τα κόλλησαν στο κορµί τους µε κερί. Μ' αυτόν τον τρόπο έφυγαν από την Κρήτη. Ο Ίκαρος όµως πέταξε τόσο ψηλά που έλιωσε το κερί των φτερών του από τον ήλιο, µε αποτέλεσµα να πέσει στη θάλασσα και να πνιγεί. Το µέρος που έπεσε ονοµάστηκε Ικάριο πέλαγος. ΠΩΣ ΝΑ ΣΧΕ∆ΙΑΣΟΥΜΕ ΕΝΑ ΚΡΗΤΙΚΟ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟ

Σχήµα 3

Ο ΜΕΓΑΛΟΣ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΣ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ Ο Ηρόδοτος αναφέρει στο βιβλίο του Ευτέρπη» (148-149) το µεγάλο λαβύρινθο που υπήρχε «πιο κάτω από τη λίµνη Μοίριδα και κοντά στη λεγόµενη Κροκοδειλούπολη», τον οποίο θεωρούσε σαν ανώτερο από κάθε Ελληνικό έργο καθώς και από τις πυραµίδες. Αυτός περιελάµβανε 3.000 αίθουσες, από τις οποίες οι µισές ήσαν υπόγειες. Τις πάνω αίθουσες τις είδε ο ίδιος, αλλά δεν τον άφησαν να µπει στις υπόγειες γιατί περιείχαν τους τάφους των βασιλέων που έκτισαν το λαβύρινθο καθώς επίσης των ιερών κροκοδείλων. Στη γωνία που κατέληγε ο λαβύρινθος βρισκόταν µια πυραµίδα ύψους σαράντα οργιών που είχε πάνω της σκαλισµένες παραστάσεις. Ο δρόµος προς αυτή ήταν υπόγειος.

ΡΩΜΑΪΚΟΙ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΙ

Σχήµα 4 Τη Ρωµαϊκή εποχή το σχέδιο του Λαβύρινθου χρησιµοποιήθηκε σε µωσαϊκά δάπεδα σε όλη την έκταση της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας. Αυτά τα µωσαϊκά ήσαν συνήθως τετράγωνα και στο µέγεθος ενός δωµατίου, µε µια ρωµαλέα συνήθως εικόνα του Μινώταυρου, ή του Θησέα να σκοτώνει το Μινώταυρο στο κέντρο τους. Οι ατραποί του λαβύρινθου που περιέβαλαν την εικόνα σχηµάτιζαν ένα ελκυστικό πρότυπο.

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΟΙ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΙ Οι οικοδόµοι του Μεσαίωνα ενσωµάτωσαν την ιερή αρχιτεκτονική στο σχέδιο και τη τοποθεσία των λαβυρίνθων, οι οποίοι ετοποθετούντο συνήθως κοντά στην είσοδο, στο δυτικό άκρο του κυρίως ναού, δίπλα στη κολυµβήθρα του βαπτίσµατος, στα πόδια της Εκκλησίας. Αυτή η θέση συµβόλιζε τα πρώτα βήµατα του πιστού στο πνευµατικό του ταξίδι. Ο πιο διάσηµος απ’ αυτούς του λαβύρινθους είναι ο µεγάλος πέτρινος λαβύρινθος, διαµέτρου δώδεκα µέτρων, του καθεδρικού ναού του Σαρτρ, που κατασκευάστηκε το 1230 πάνω στο λίθινο δάπεδο του κυρίως ναού από µπλε και λευκές πέτρες. Παρόµοιοι λαβύρινθοι τοποθετήθηκαν και σε άλλους Γαλλικούς Γοτθικούς καθεδρικούς ναούς όπως των Amiens, Rheims, Sens, Arras και Auxerre.

Σχήµα 6 Ο Λαβύρινθος στο Καθεδρικό Ναό του Σαρτρ

Όλοι αυτοί οι λαβύρινθοι ακολουθούσαν το ίδιο γενικό πρότυπο των δώδεκα δακτυλίων που περιβάλλουν ένα µοναδικό ελισσόµενο µονοπάτι που οδηγεί σιγά-σιγά στη κεντρική ροζέτα. Η ατραπός σχηµατίζει 28 βρόχους: επτά αριστερά και µετά επτά δεξιά προς το κέντρο και ύστερα επτά δεξιά και επτά αριστερά προς το εξωτερικό, που τελειώνουν σε ένα στενό µονοπάτι προς τη ροζέτα.

Σχήµα 5 Ο Μεσαίωνας ήταν η εποχή των προσκυνηµάτων. Εφόσον οι περισσότεροι άνθρωποι δεν µπορούσαν να κάνουν το µεγάλο προσκύνηµα στα Ιεροσόλυµα, το κέντρο του Χριστιανικού

κόσµου και το σύµβολο της Βασιλείας των Ουρανών, το έκαναν συµβολικά σε διάφορους σπουδαίους καθεδρικούς ναούς όπως του Σαρτρ, του Canterbury και του Santiago de Compostella. Το προσκύνηµα στο Σαρτρ τελείωνε µε το περπάτηµα του λαβυρίνθου του, πολλές φορές µε τα γόνατα, προς το κέντρο και µετά σιγά-σιγά προς τα πίσω, προς τον «εξωτερικό κόσµο». Εθεωρείτο σα µια ιερή εµπειρία που αν γινόταν µε πλήρη αφοσίωση και θρησκευτική πίστη, προκαλούσε την αναγέννηση του προσκυνητή, ο οποίος εξαγνισµένος κατά την έξοδο, έχοντας εγκαταλείψει τον παλιό του εαυτό στη πέτρα του κατωφλίου, ήταν έτοιµος να ακολουθήσει µια νέα ζωή. Ο λαβύρινθος του Σαρτρ ονοµαζόταν µε τέσσερα διαφορετικά ονόµατα: ∆αίδαλος (για ευνόητους λόγους), Λεύγα, Ο ∆ρόµος προς την Ιερουσαλήµ και ο ∆ρόµος προς το Παράδεισο. Μια λεύγα τώρα είναι µια απόσταση 4.452 µέτρων. Παρόλο που το µήκος του λαβυρίνθου είναι µόνο 260 µέτρα, γινόταν πραγµατικά µια «λεύγα» το Μεσαίωνα όταν µερικοί προσκυνητές τον περπατούσαν µε τα γόνατα για µια περίπου µια ώρα, όσο χρόνο χρειάζονταν για να περπατήσουν 4,5 περίπου χιλιόµετρα. Από την άλλη µεριά ήταν ο ∆ρόµος προς την Ιερουσαλήµ (Le chemin de Jerusalem), γιατί περπατώντας το λαβύρινθο ο πιστός µπορούσε να αντικαταστήσει το προσκύνηµα προς την Ιερή Χώρα όταν τα µακρινά ταξίδια έγιναν επικίνδυνα στη διάρκεια των αναταραχών του Μεσαίωνα. Τέλος ονοµαζόταν Ο ∆ρόµος προς το Παράδεισο (Le chemin du paradis), την ουράνια Ιερουσαλήµ, γιατί περπατώντας το λαβύρινθο ο πιστός ακολουθεί το µονοπάτι της µακράς και δύσκολης ζωής µας πάνω στη γη, αρχίζοντας µε τη γέννηση κατά την είσοδό του σε αυτόν και καταλήγοντας στο θάνατο στο κέντρο του. Η έξοδος συµβόλιζε έτσι το καθαρτήριο και την ανάσταση. Παραδοσιακά οι µεσαιωνικοί καθεδρικοί λαβύρινθοι ήσαν εσωτερικοί, συχνότατα της µορφής του Σαρτρ. Σιγά-σιγά όµως σχεδιάστηκαν κι έξω από τους ναούς, ζωγραφιζόµενοι πάνω στο τσιµέντο ή την άσφαλτο ή κατασκευασµένοι από γρανίτη, τούβλα ή µωσαϊκό.

ΜΟΥΣΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΤΩΝ ΛΑΒΥΡΙΝΘΩΝ

Μέσα στο κόσµο των ιερών αντιστοιχιών υπάρχουν και αντίστοιχα µουσικά πρότυπα για τους δυο βασικούς λαβύρινθους, τον Κρητικό και του Σαρτρ.

Σχήµα 6

ΙΝ∆ΙΑΝΙΚΟΙ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΙ Οι Ινδιάνοι έχουν δυο σύµβολα λαβυρίνθων, το στρογγυλό και το τετραγωνικό λαβύρινθο των Χόπι.

Σχήµα 8

Με µια έννοια ο λαβύρινθος συµβολίζει τη θηλυκή µήτρα και το περπάτηµά του τη διείσδυσή µας σε αυτή, µέχρι το κέντρο της όπου θα γονιµοποιήσουµε, σα µια αρσενική αρχή, το ωάριο, και θα δηµιουργήσουµε µια νέα ζωή, µια νέα γέννηση, που θα προβάλλει µετά κατά την έξοδό µας απ’ αυτόν. Κάτι ανάλογο µπορούµε να δούµε στη παραπάνω αρσενική µορφή στην είσοδο του Ινδιάνικου λαβύρινθου, έτοιµη να διεισδύσει στη µήτρα του.

ΑΛΛΟΙ ΛΑΒΥΡΙΝΘΟΙ Στη Βρετανία υπάρχουν πολλοί λαβύρινθοι χλόης, ενώ στη Σκανδιναβία υπάρχουν στις ακτές της Βαλτικής Θάλασσας πάνω από 600 πέτρινοι λαβύρινθοι, οι περισσότεροι στη Σουηδία. Πολλοί λέγεται ότι έχουν κατασκευαστεί από ψαράδες που τους βάδιζαν µε την ελπίδα µιας καλής ψαριάς και µια ασφαλούς επιστροφής. Τα ονόµατά τους πάντως µας αποκαλύπτουν περισσότερο το σκοπό τους σα µια έκφραση του κυνηγιού παρθένων, ερωτοτροπίας, της πράξη της γονιµότητας, της διείσδυση στη µήτρα, της δηµιουργίας του εµβρύου µε τον οµφάλιο λώρο του και τη γέννηση µιας καινούργιας ζωής. Ένας αριθµός αντιγράφων των αρχαίων αυτών λαβυρίνθων έχει σχεδιαστεί σε διάφορους δηµόσιους χώρους, ιδίως στη ∆ανία. Οι γυναίκες της Σουηδίας έχουν κατασκευάσει επίσης πολλούς σύγχρονους λαβύρινθους σε αρµονία µε το φυσικό περιβάλλον, περιλαµβάνοντας στα σχέδιά τους δέντρα, βράχους και ρυάκια. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι εκτός από τα πρότυπα του Σαρτρ και της Κρήτης ένα άλλο συνηθισµένο σχέδιο στη Σκανδιναβία είναι ο Σκανδιναβικός ή Βαλτικός Τροχός που επιτρέπει την επιλογή ανάµεσα σε ένα µακρύτερο και ένα συντοµότερο δρόµο, ένα ιδιαίτερα χρήσιµο χαρακτηριστικό σε πολύ µεγάλους λαβυρίνθους. Η Ελβετία είναι η χώρα που περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη χρησιµοποιεί τους λαβύρινθους σε δηµόσιους χώρους. Ο µεγαλύτερος λαβύρινθός της στην Ακαδηµία της Boldern πάνω στη λίµνη της Ζυρίχης, τοποθετηµένος µπροστά από ένα Γιαπωνέζικο περίπτερο, δίνει την αίσθηση ενός κήπου του Ζεν.

ΜΑΝΤΑΛΕΣ

Σχήµα 1

Οι µαντάλες, οι αισθητικά όµορφες και ευχάριστες γεωµετρικές αυτές παραστάσεις του σύµπαντος, οι κατοικίες των θεοτήτων, η αρµονική ένωση του κύκλου και του τετραγώνου, ο τετραγωνισµός του κύκλου, τα διεισδυτικά αυτά εργαλεία διαλογισµού και συγκέντρωσης της Ινδουιστικής και Βουδιστικής παράδοσης µε τα ζωντανά τους χρώµατα, την έµφυτη συµµετρία τους, τ’ απολυτρωτικά µυστικά τους, αναταράσσουν µυστικιστικά το είναι µας προκαλώντας µέσα µας αρχέγονες µνήµες µιας ανείπωτης γαληνότητας και φωτεινής τελειότητας. Ακόµα και οι εικονιζόµενες «άγριες» όψεις των «οργισµένων» θεοτήτων διεγείρουν ελκυστικά το ενδιαφέρον µας, εστιάζοντας τα µέγιστα τη προσοχή µας, έστω και χωρίς ασκητικό ενδιαφέρον. Οι σιωπηλοί αυτοί πνευµατικοί διδάσκαλοι µε το άπειρο νοηµατικό περιεχόµενο δεν είναι έργα µεγάλων καλλιτεχνών, αλλά «αντικειµενικά» οράµατα µεγάλων ασκητών από το κόσµο του πνεύµατος. Η µαντάλα είναι µια Σανσκριτική λέξη για το κύκλο, το πολύγωνο, τη κοινότητα και την ένωση. Είναι συγχρόνως ένα σύµβολο για τη θέση του του ανθρώπου στο σύµπαν κι’ ένα «στήριγµα για το διαλογισµό». Οι ρίζες της ανάγονται στη δηµιουργία ενός καθαγιασµένου χώρου που ταυτίζεται συµβολικά µε το σύµπαν. Η ιδέα για τη δηµιουργία ενός ιερού χώρου, προστατευµένου από αρνητικές ενέργειες, ο οποίος

παριστάνει το κόσµο που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, ξεκίνησε από τα ζιγκουράτ, τους πύργους-ναούς της αρχαίας Μεσοποταµίας και προχώρησε στο σχέδιο του ιερού παλατιού του Παγκόσµιου Μονάρχη της Ινδικής παράδοσης. Στο παλάτι αυτό ο θρόνος του βασιλιά παρίστανε τον κοσµικό άξονα που ταυτιζόταν µε το κεντρικό βουνό του σύµπαντος ή µε το Πολικό Αστέρα, γύρω από τον οποίο περιστρεφόταν ο κόσµος. Εκτός όµως από τα παλάτια, και οι συνηθισµένες κατοικίες των ανθρώπων παρήγαγαν έναν ανάλογο συµβολισµό. Η τρύπα στη κορυφή της σκηνής των νοµάδων της Ανατολής, από την οποία περνούσε ο καπνός, συµβόλιζε τη «σχισµή» του ουρανού, το Πολικό Αστέρα, και ολόκληρος ο κόσµος συλλαµβανόταν έτσι σα µια γιγάντια σκηνή. Και οι Ινδιάνοι της Αµερικής έχουν σκεφτεί το κόσµο κάπως ανάλογα. Παρόµοια ο αρχαίος ιερέας ή µάγος χάρασσε πάνω στο έδαφος µια ιερή κυκλική περιοχή, η οποία δηµιουργούσε µια γραµµή άµυνας ενάντια στις µυστηριώδεις δυνάµεις που απειλούσαν την ιερότητα του τόπου ή τη δική του ασφάλεια κατά την εκτέλεση της τελετουργίας. Στεκόµενος ο ιερουργός στο κέντρο αυτής της προστατευµένης περιοχής ταυτιζόταν µε τις δυνάµεις του σύµπαντος και συγκέντρωνε µέσα του τη θαυµατουργική τους δύναµη. Η µαγική αυτή κατασκευή του κόσµου ακολουθείται και στις τελετουργίες εξορκισµού των Μπόνπο, της αυτόχθονης θρησκείας του Θιβέτ. Οι δάσκαλοι των Μπόνπο κατασκευάζουν τις mdos, µαγικές συµβολικές παραστάσεις του κόσµου, οι οποίες µέσω µιας µαγικής µεταµόρφωσης γίνονται ο ίδιος ο κόσµος, στον οποίο κυριαρχεί τελικά ο µάγος. Προερχόµενη από τέτοιες ιδέες η µαντάλα αποτελεί µια συµβολική παράσταση ενός δυναµικού σύµπαντος στρεφόµενου γύρω από το Όρος Σουµερού, καθώς επίσης µια ιερή, καθαγιασµένη περιοχή που προστατεύεται από την εισβολή αρνητικών και αποσυνθετικών δυνάµεων. Στην αρχαία Ινδία η συµβολική αυτή αντιπροσώπευση πήρε τη µορφή ενός βάζου, ενός στρογγυλού δοχείου, που συνεχίζει να χρησιµοποιείται στις Ινδουιστικές τελετουργίες για τη κάθοδο και συγκέντρωση της θείας ουσίας σε αυτό και τη µετέπειτα προβολή της µε τη βοήθεια του ιερουργού σε ένα άγαλµα ή άλλο ιερό αντικείµενο που θα γίνει η κατοικία της. Παρόλο που ο τρόπος κατασκευής και απεικόνισης της µαντάλα έχει αλλάξει πολύ από τότε, συνεχίζουν να χρησιµοποιούνται σε αυτή πέντε βάζα, ένα στο κέντρο της και τα υπόλοιπα στις τέσσερες πλευρές της. Από µια αρχική συµβολική γεωµετρική απεικόνιση ή ένα κοσµογράφηµα του σύµπαντος, η µαντάλα απέκτησε στη συνέχεια µια ψυχολογική υπόσταση κι έγινε ένα εργαλείο διαλογισµού για την ολοκλήρωση κι επανενοποίηση της διασπασµένης συνείδησης του ατόµου, διατηρώντας παράλληλα το κοσµικό εξελικτικό κι’ ενελικτικό της συµβολισµό: τη διάσπαση του Ενός στα πολλά και την επανολοκλήρωση των πολλών στο Ένα. Το κέντρο ενός κύκλου έχει από παλιά ταυτιστεί συµβολικά µε το κέντρο του εσώτατου είναι µας, µε το θείο σπινθήρα µέσα µας, µε το µυστικό κέντρο της καρδιάς. Στο χώρο της καρδιάς, µαγικά µεταµορφωµένο σε κοσµικό χώρο, συµβαίνει η επανανακάλυψη της εσωτερικής µας πραγµατικότητας, η σταδιακή µεταµόρφωση της σαµσάρα σε νιρβάνα και η επανολοκλήρωση της διασπασµένης µας συνείδησης στη συνείδηση της καθαρής παρουσίας. Η βαθιά ενδοσκόπηση µεγάλων διδασκάλων στο κέντρο της καρδιάς προκάλεσε οράµατα γεωµετρικών µορφών, χρωµάτων και λουλουδιών, κυκλικών και τετραγωνικών προτύπων γύρω από µια κεντρική φωτεινή πηγή. Τα οραµατισθέντα αυτά αρχέτυπα έδειξαν µια κανονικότητα, οµοιότητα κι επαναληψιµότητα ως προς τη µορφή τους σε διάφορους οραµατιστές,

αποκαλύπτοντας έτσι µια «αντικειµενικότητα». Οι δάσκαλοι τα συνέδεσαν στη συνέχεια µε κοσµολογικά πρότυπα και τα ταξινόµησαν σε διάφορα συστήµατα απ’ όπου και χρησιµοποιούνται στη συνέχεια σαν εξωτερικά βοηθήµατα για τη συγκέντρωση και το διαλογισµό, βοηθώντας τους ασκητές να φτάσουν στη δική τους εσωτερική πραγµατικότητα και ενότητα. Οι Θιβετανοί τα κατατάσσουν στα στηρίγµατα του νου (όπως και τις στούπες) και ονοµάζουν αυτές τις µαντάλες dkyil khor, δηλαδή κέντρο-περιφέρεια, όπου, όπως διασαφηνίζει το σχόλιο, «το κέντρο αυτό είναι η ουσία» και η περιφέρεια «η κατανόηση της ουσίας».

ΤΡΟΠΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ ΤΗΣ ΜΑΝΤΑΛΑ Οι µαντάλες κατασκευάζονται από χαρτί, υφαντουργικά προϊόντα και χρωµατιστή άµµο, διαφόρων χρωµάτων, πάνω σε µια επίπεδη επιφάνεια, η οποία εξαγνίζεται µε κατάλληλες τελετουργίες. Η ίδια η κατασκευή της αποτελεί µια τελετουργία, στην οποία το άτοµο πρέπει να συµµετέχει µε όλη του τη προσοχή. Οποιοδήποτε λάθος ή παράβλεψη θα καταστήσουν το έργο άχρηστο, γιατί θα αποδείξουν µια έλλειψη προσοχής και συγκέντρωσης εκ µέρους του ασκητή κι εποµένως ένα αντίστοιχο έλλειµµα στους ψυχολογικούς όρους µε τους οποίους θα παραγόταν στο πνεύµα του η διαδικασία της απελευθέρωσης. Αυτός είναι και ο λόγος που οι Βουδιστές διδάσκαλοι δίνουν µε εξονυχιστικές λεπτοµέρειες τους κανόνες που πρέπει να ακολουθηθούν στη κατασκευή µιας µαντάλα. Η κατασκευή ξεκινά µε τον έλεγχο της ποιότητας της κλωστής που θα χρησιµοποιηθεί για τη σχεδίαση των διαφόρων σχηµάτων. Οι κλωστές αυτές πρέπει να αποτελούνται από πέντε στριµµένους κλώνους, ο καθένας διαφορετικού χρώµατος (αντιπροσωπεύοντας τα πέντε στοιχεία). Μια τέτοια κλωστή, βυθισµένη σε χρωµατιστή σκόνη, κρατιέται τεντωµένη από τις άκρες της πάνω στην επιφάνεια που πρόκειται να κατασκευαστεί η µαντάλα και µετά σηκώνεται ψηλά και αφήνεται ξαφνικά να πέσει κάτω, οπότε η σκόνη σχηµατίζει µια ευθεία γραµµή. Επαναλαµβάνοντάς το αυτό αρκετές φορές, σύµφωνα µε το διάγραµµα, κατασκευάζονται τα επί µέρους περιγράµµατα που θα περιλάβουν τα διαδοχικά σχέδια. Τα κείµενα περιγράφουν ακόµα τα µέτρα αυτής της κλωστής και τις τελετουργίες κάθαρσης που θα πρέπει να εκτελεστούν για τα διάφορα σκεύη που θα χρησιµοποιηθούν στο τελετουργικό έργο. Μια µαντάλα περιλαµβάνει γενικά έναν εξωτερικό, περιγραφόµενο κύκλο κι έναν ή περισσότερους συγκεντρικούς κύκλους οι οποίοι περιβάλλουν το σχήµα ενός τετραγώνου, που χωρίζεται από τις διαγωνίους του σε τέσσερα τρίγωνα. Στο κέντρο του τετραγώνου και στη µέση καθενός τριγώνου υπάρχουν πέντε συνολικά κύκλοι µε εµβλήµατα ή µορφές θεοτήτων. Οι κύκλοι αυτοί συµβολίζουν τη φώτιση που πρέπει να αποκτήσει το διαλογιζόµενο άτοµο προτού µπορέσει να εισέλθει στο φωτισµένο παλάτι.

Σχήµα 2

Ο εξωτερικός κύκλος περιλαµβάνει µια συνεχή ελικοειδή διακόσµηση, που είναι γνωστή σαν το Όρος της Φωτιάς ή η Φωτιά της Σοφίας, ένα φλεγόµενο εµπόδιο που φαίνεται σα να εµποδίζει τη πρόσβαση, αλλά στη πραγµατικότητα αντιπροσωπεύει την εξαγνιστική φωτιά της σοφίας που πρέπει να κάψει την άγνοια για να οδηγήσει τον ασκητή στην επιζητούµενη γνώση. Αµέσως µετά σχεδιάζεται µια γιρλάντα διαµαντιών (ο κύκλος του Βάτζρα). Το βάτζρα αποτελεί το αρσενικό τµήµα της Ταντρικής πολικότητας: το σύµβολο των αποτελεσµατικών µέσων και του ενεργητικού ελέους του Βούδα για το διαλογιζόµενο άτοµο. Αρχικά ήταν ο κεραυνός του θεού Ίντρα, αλλ’ αργότερα έφτασε να αντιπροσωπεύει το διαµάντι. Συµβολίζει την Υπέρτατη Γνώση, τη Φώτιση, την Απόλυτη Ουσία, και τη Κοσµική Συνείδηση, η οποία όταν επιτευχθεί, δεν ξαναχάνεται ποτέ. Είναι γενικά ένα σύµβολο για τη φύση του πνεύµατος. Το θηλυκό τµήµα της Ταντρικής πολικότητας είναι η καµπάνα, το σύµβολο της κενότητας, το απεριόριστο άνοιγµα, που δίνει χώρο για τη σοφία

Σχήµα 3

Μετά, ιδιαίτερα στις µαντάλες που είναι αφιερωµένες στις λεγόµενες «οργισµένες» θεότητες, ακολουθεί ένας κύκλος στον οποίο παρουσιάζονται οκτώ τάφοι. Στην εξωτερική παράδοση αυτοί είναι οκτώ τροµακτικά µέρη σε διάφορα µέρη της Ινδίας, όπου αποσύρονται οι ασκητές για να διαλογιστούν. Παρουσιάζονται στο σχήµα ενός σταυρού, όπως το διάγραµµα της µαντάλα, τέσσερες στα βασικά και τέσσερες στα ενδιάµεσα σηµεία του ορίζοντα.. Εσωτερικά συµβολίζουν τις οκτώ όψεις της εξατοµικευµένης συνείδησης, πέρα από τις οποίες πρέπει να προχωρήσει το άτοµο για να ξεπεράσει το φαύλο κύκλο της σαµσάρα, το κύκλο της εξαρτηµένης ύπαρξης, των διαδοχικών γεννήσεων και θανάτων, όπου άγεται και φέρεται από τις δυνάµειες του ασυνειδήτου του. Οι οκτώ αυτές όψεις είναι οι πέντε αισθητηριακές συνειδήσεις: της όρασης, της ακοής, της γεύσης, της οσµής και η συνείδηση του σώµατος και επίσης η συνείδηση της σκέψης, η συνείδηση του Εγώ και η Βασική Συνείδηση. Οι οκτώ τάφοι παριστάνονται αρκετά λεπτοµερειακά. Καθένας έχει το βουνό του, τη δικιά του στούπα, ποταµό και ασκητή. Η παράστασή τους είναι ανάλογη µε αυτή των Βουδιστικών παραδείσων που τοποθετούνται ανάλογα στα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα και οι οποίοι έχουν τα δένδρα τους (µε πετράδια και πολύτιµους λίθους) και τις στούπες τους. Η στούπα είναι ένα σύµβολο του Νταρµακάγια ή Σώµατος του Νόµου, της αιώνιας αλήθειας εκφρασµένης σε αρχιτεκτονική δοµή. Μετά τους τάφους ακολουθεί µια γιρλάντα από φύλλα λωτού (ο κύκλος του λωτού), που συµβολίζει τη πνευµατική αναγέννηση και την ανοικτή κατάσταση της αφοσίωσης που είναι απαραίτητη για να εισέλθεις στο παλάτι. Ο λωτός είναι ένα βασικό σύµβολο της διδασκαλίας του Βούδα. Το φυτό αυτό, παρόλο που έχει τις ρίζες του µέσα στη λάσπη, ανυψώνει το όµορφο άνθος

του προς το φως, Τα φύλλα του λωτού ανοίγουν εδώ προς τα έξω, σα να εκτείνονται προς το νεόφυτο, ενώ αντίθετα οι θεοί, που ανήκουν σε ένα άλλο, ανώτερο επίπεδο, κάθονται πάνω σε ένα κλειστό λωτό. Στο εσωτερικό του πρώτου κύκλου σχεδιάζεται η µαντάλα που ονοµάζεται επίσης «παλάτι», δηλαδή ο τόπος που παρουσιάζονται οι εικόνες των θεών (οι οποίοι παριστάνονται συνήθως µε Σανσκριτικές σπερµατικές συλλαβές). Το παρακάτω σχήµα δείχνει τις βασικές γραµµές για τη κατασκευή της µαντάλα, µετά από τις οποίες σχεδιάζονται οι γραµµές καθοδήγησης για τη τελική παράστασή της. Η κεντρική γκρίζα περιοχή εδώ παριστάνει το κεντρικό τετράγωνο, που είναι 8Χ8 αναλογικών µονάδων.

Σχήµα 4

Οι γραµµές καθοδήγησης περιλαµβάνουν την παράσταση του τετράγωνου τοίχου του «παλατιού», κάθε πλευρά του οποίου περιέχει ένα άνοιγµα ή «πόρτα» στα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα, στη µέση ακριβώς κάθε πλευράς του. Το άνοιγµα αυτό περιβάλλεται από µια «πύλη» στο σχήµα ενός Τ, που φέρει στα πλάγια επτά µάντρες από πέντε χρώµατα που επεκτείνονται κατά µήκος των τεσσάρων πλευρών, ενώνοντας έτσι πύλη µε πύλη και αποτελώντας τους τοίχους αυτής της ιερής πόλης. Ας θυµηθούµε εδώ ότι τα ζιγκουράτ της Μεσοποταµίας, που ήταν επίσης ένα κοσµογράφηµα του σύµπαντος, είχαν αρχικά πέντε και αργότερα, γι’ αστρολογικούς λόγους, επτά επίπεδα. Πάνω από τις πύλες εµφανίζεται µια τοράνα, ένα είδος θριαµβευτικού τόξου, που ακουµπά πάνω σε δυο ή περισσότερες πλευρικές στήλες. Αυτή η τοράνα αποτελείται από ένδεκα µικρές στέγες, η µία πάνω στην άλλη και µικρότερη από τη προηγούµενη. Στη κορυφή αυτού του τόξου είναι ένας δίσκος πάνω στον οποίο παρουσιάζεται ο Οκταπλός Τροχός του Ντάρµα*. Στα δεξιά και στ’ αριστερά δυο γαζέλες υπενθυµίζουν το κήρυγµα της πρώτης διδασκαλίας του Βούδα στο πάρκο των ελαφιών. Οι γραµµές καθοδήγησης περιλαµβάνουν και τους τέσσερες εξωτερικούς κύκλους στους οποίους έχουµε αναφερθεί και οι οποίοι ορίζουν τα όρια του φυσικού χώρου της µαντάλα. Αυτές οι καθοδηγητικές γραµµές σχεδιάζονται παραδοσιακά µε κιµωλία και χρησιµεύουν σα µια βάση για

τη τελική απόδοση της µαντάλα µε χρωµατιστή άµµο. Στην ολοκληρωµένη µαντάλα η χρωµατιστή άµµος καλύπτει πλήρως τις γραµµές κατασκευής, καταλήγοντας στην τρίτη παραπάνω µορφή.

Σχήµα 5 Πύλη

* Ο Τροχός του Ντάρµα παριστάνει τα οκτώ κοµβικά σηµεία της Οκταπλής Ατραπού που οδηγεί στη τελειότητα. Αυτά είναι τα εξής: ορθή πίστη, ορθή αποφασιστικότητα, ορθός λόγος, ορθή δράση, ορθή ζωή, ορθή προσπάθεια, ορθή σκέψη και ειρήνη του νου µέσω διαλογισµού. Πριν το διαλογιζόµενο άτοµο φτάσει στις πύλες θα πρέπει να περάσει τους τέσσερες εξωτερικούς κύκλους που αναφέραµε: την εξαγνιστική φωτιά της σοφίας, το κύκλο του βάτζρα, το κύκλο µε τους οκτώ τάφους και το κύκλο του λωτού. Οι τέσσερες πύλες προστατεύονται γενικά από έναν άγριο φρουρό η µια τροµακτική όψη. Οι τερατώδεις στην εµφάνιση και εµπνέουσες φόβο αυτές µορφές, φρουρούν τις πύλες είτε µόνες τους είτε συνοδευόµενες από από το θυλυκό τους πανοµοιότυπο, µε το οποίο χορεύουν φρενίτιδες χορούς. Οι ίδιοι «δαίµονες» συναντιώνται στις Ινδουιστικές αρχιτεκτονικές µαντάλες που ονοµάζουµε ναούς. Είναι αυτοί που «θέτουν ένα τέλος στα εµπόδια», σε εκείνες δηλαδή τις δυνάµεις που απειλούν την ιερή καθαρότητα των τόπων όπου εκτελούνται οι τελετουργίες, και επίσης εκείνες οι δυνάµεις µέσα στη σκοτεινή πλευρά τους εαυτού µας που εµποδίζουν το ταξίδι µας προς το φως. Ελάχιστοι από αυτούς τους «δαίµονες» αντιπροσωπεύονται ευκρινώς. Συνήθως είναι µια συγκεχυµένη και αδιάκριτη µάζα, που στροβιλίζεται στα βάθη του ασυνειδήτου µας, έτοιµοι να ξεσπάσουν στη πρώτη περίσταση ώστε να καταλάβουν τη ψυχή µας και να την διεγείρουν µε τη ταραχή τους. Είναι σκοτεινοί και σχεδόν αόρατοι στο σκοτάδι που τους κατακλύζει. Ο υπέρτατος κυβερνήτης τους είναι ο Γιάµα, ο Θεός του Θανάτου που παριστάνεται καβάλα σε ένα βουβάλι κραδαίνοντας ένα ρόπαλο που είναι η σπονδυλική στήλη ενός τεράστιου σκελετού, που έχει στη κορυφή του ένα ανθρώπινο κρανίο. Σα Θάνατος ο Γιάντρα είναι η σαµσάρα, ο αιώνιος κύκλος της γέννησης και του θανάτου, του επιπέδου της ζωής του οποίου οι καρποί είναι ο πόνος και η λύπη. Η µαντάλα ακολουθεί γενικά µια πενταδική διαίρεση και µια πενταδική οµαδοποίηση εικόνων και συµβόλων, αντιστοιχώντας στη περιστροφή των τεσσσάρων σηµείων του ορίζοντα γύρω από ένα κεντρικό σηµείο, που τα κυβερνά. Ο πενταδικός Ινδουιστικός συµβολισµός ξεκινά από τα πέντε στοιχεία, τα τέσσερα βασικά των αρχαίων και το πέµπτο του χώρου ή συνείδησης που αντιστοιχεί εδώ στο κέντρο της µαντάλα. Ακολουθούν τα πέντε βασικά χρώµατα, τα πέντε αντικείµενα των αισθήσεων και οι ίδιες οι πέντε αισθήσεις κ.ο.κ.. Ανάλογα, σύµφωνα µε το

Βουδισµό του ∆ιαµαντένιου ∆ρόµου (Βατζραγιάνα), η πρωταρχική συνείδηση συµβολιζόµενη από τον Μαχαβαϊροκάνα, το Βατζραντάρα και το Βατζρασάτβα, ακτινοβολείται στους Πέντε ∆ιαλογιζόµενους Βούδες (Βαϊροκάνα, Ακσόµπυα, Ρατνασαµπάβα και Αµιτάµπα). Οι τελευταίοι τοποθετούνται στο κέντρο της µαντάλα, όπου καταλαµβάνουν τις τέσσερες βασικές κατευθύνσεις, ενώ τις τέσσερες δευτερεύουσες κατευθύνσεις καταλαµβάνουν οι τέσσερες θηλυκοί Βούδες (Μαµάκι, Πανταραβασίνι, Λοκάνα και Τάρα). Και οι οκτώ µαζί συνθέτουν τα οκτώ πέταλλα ενός λωτού, που ακουµπά σε ένα στρώµα πετραδιών, στο κέντρο της µαντάλα.

Σχήµα 6

Οι αντιστοιχίες των πέντε αρσενικών ∆ιαλογιζόµενων Βουδών είναι οι εξής: Βαϊροκάνα ο «λαµπερός» (Λευκός, Αιθέρας, στο Κέντρο της µαντάλα), Ακσόµπυα ο «Ακλόνητος» (Βαθύ Μπλε, Νερό, στην Ανατολή), Ρατνασαµπάβα η «Μίτρα του Κοσµήµατος» (Κίτρινο, Γη, στο Νότο), Αµιτάµπα το «Άπειρο Φως» (Κόκκινο, Φωτιά, στη ∆ύση) και ο Αµογκασίντι η «Αλάθητη Πραγµάτωση» (Πράσινο, Αέρας, στο Βορά). Και στις τέσσερες δευτερεύουσες κατευθύνσεις οι τέσσερες θηλυκές Βούδες: Μαµάκι (Νοτιοδυτικά), Πανταραβασίνι (Βορειοδυτικά), Λοκάνα (Νοτιανατολικά) και Τάρα (Βορειανατολικά).

Η ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΑΝΤΑΛΑ Κατ’ αναλογία του µικρόκοσµου µε το µακρόσκοσµο το ανθρώπινο σώµα είναι µια µικρογραφία του σύµπαντος και µπορούµε έτσι να αντιστοιχήσουµε τους συµβολισµούς της εξωτερικής µαντάλα του µακρόκοσµου σε µια εσωτερική µαντάλα στο ανθρώπινο σώµα. Το ιδανικό κέντρο αυτής της εσωτερικής µαντάλα είναι η µπραχµαράντρα, η «κοιλότητα του Μπράχµα» στη κορυφή του κεφαλιού, όπου εκβάλλει η σουσούµνα, το µεσαίο ή κεντρικό κανάλι, το οποίο διασχίζει κατά µήκος της σπονδυλικής στήλης το ανθρώπινο σώµα από το περίναιο µέχρι τη κορυφή της κεφαλής. Στη κοσµική αντιστοιχία η σπονδυλική στήλη είναι το Όρος Σουµερού, το κεντρικό βουνό του σύµπαντος, στις πλευρές του οποίου εµφανίζονται τα διάφορα ουράνια επίπεδα, όπως ακριβώς στο ανθρώπινο σώµα κατά µήκος του κεντρικού καναλιού εµφανίζονται τα διάφορα «τσάκρας», τα αναπόφευκτα στάδια στη διαδικασία της επανολοκλήρωσης.

ΣΡΙ ΓΙΑΝΤΡΑ

Σχήµα 7

Ο όρος γιάντρα, «ένα όργανο για κράτηµα ή συγκράτηση», εκφράζει στον Ταντρικό Ινδουισµό µια ποικιλία γραµµικών σχεδίων που παίζουν σηµαντικό ρόλο στο διαλογισµό. Οι γιάντρας µπορεί να είναι απλά σχέδια, όπως ο σταυρός, το τρίγωνο, το τετράγωνο, ο κύκλος ή ο λωτός, συµβολίζοντας µε αυτό το τρόπο διάφορες βασικές έννοιες, ή µπορεί να είναι πιο σύνθετοι συνδυασµοί που αντιπροσωπεύουν σε αφηρηµένη µορφή διάφορες «θεότητες», δηµιουργικές δηλαδή δυνάµεις του κόσµου οι οποίες παριστάνουν µε τις ποικίλες µορφές και χαρακτηριστικά τους τις διάφορες όψεις της κρυµµένης πραγµατικότητας. Μπορούµε να πούµε ότι η γιάντρα είναι µια «γραµµική» µαντάλα, που εκφράζει τις ίδιες αρχές µε αυτή σε µια γεωµετρική µορφή. Χρησιµοποιούνται και αυτές στο διαλογισµό σαν οπτικά βοηθήµατα για τη συγκέντρωση του νου, η οποία θα οδηγήσει στη συνειδητοποίηση της αφηρηµένης εσωτερικής αρχής που αυτές αντιπροσωπεύουν. Η πιο γνωστή και η πιο σύνθετη γεωµετρικά γιάντρα είναι η Σρι-γιάντρα, που χρησιµοποιείται από τη Ταντρική σχολή Σάκτα, η οποία οραµατίζεται το θείο κυρίως µε θηλυκή µορφή. Η Σριγιάντρα είναι µια συµµετρική µορφή από εννέα αλληλοκαλυπτόµενα ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία περιβάλλονται από διάφορους κύκλους και τελικά από ένα τεράγωνο µε τέσσερες «πύλες». Πέντε τρίγωνα έχουν τη κορυφή τους προς τα κάτω και συµβολίζουν το Σίβα ή το λιγκάµ, τη στατική αρσενική αρχή της σοφίας, ενώ τα υπόλοια τέσσερα έχουν τη κορυφή τους προς τα πάνω και αντιπροσωπεύουν τη Σάκτι ή το γιονί, τη δυναµική θηλυκή αρχή της ενέργειας. Σηµειώνουµε εδώ ότι Βουδιστές Ταντρίκα θεωρούν, αντίθετα, την αρσενική αρχή σα δυναµική και τη θηλυκή σα στατική. Η στιγµή στο κέντρο του διαγράµµατος ονοµάζεται µπιντού και αντιπροσωπεύει την αρχική ενότητα της αρσενικής και της θηλυκής αρχής, πριν τη δηµιουργία του σύµπαντος, καθώς επίσης τις παράξενες σηµειακές θηλυκές αρχές πριν τη δηµιουργία και το παράδοξο σηµείο από το οποίο πρόβαλε η εκδήλωση. Η αλληλοδιείσδυση των εννεά βασικών τριγώνων δηµιουργεί έναν αριθµό δευτερευόντων

τριγώνων (43 µαζί µε το κεντρικό τρίγωνο που περικλείει το µπιντού), τα οποία σχηµατίζουν τις κατοικίες των θεοτήτων, που παριστάνουν τη συγκεκριµενοποίηση των αρχικών δηµιουργικών δυνάµεων σε πιο ιδιαίτερες εκδηλώσεις. Μερικές φορές γράφονται µέσα στα τρίγωνα τα ονόµατα των θεοτήτων και Σανσκρτιτικές συλλαβές ή τοποθετούνται απλά οι εικόνες τους. Στις περισσότερες γιάντρα το κεντρικό αυτό σχέδιο περιβάλλεται από δυο εξωτερικούς δακτυλίους που αποτελούνται από έναν οκταπέταλο λωτό, που περιβάλλεται από έναν δεκαεξαπέταλλο λωτό, ο οποίος µε τη σειρά του περιβάλλεται από τρεις κύκλους και τελικά από ένα τετράγωνο µε τέσσερα ανοίγµατα ή πόρτες στο µέσον κάθε πλευράς, στα βασικά σηµεία του ορίζοντα, το οποίο ονοµάζεται Παγκόσµιο Σπίτι (µπούγρα).. Αυτό το τετραγωνικό περίγραµµα, που συναντάται και στις µαντάλες, συµβολίζει το βασιλικό παλάτι στο οποίο κατοικούν οι θεότητες, προστατευµένες από το χάος και την αταξία του εξωτερικού κόσµου. Η Σρι-γιάντρα είναι γενικά µια συµβολική γραφική παράσταση των διαδικασιών της εκποµπής και επαναπορρόφησης του σύµπαντος ή όπως το θέτει ο Mircya Eliade µια «έκφραση µε όρους γραµµικού συµβολισµού των κοσµικών εκδηλώσεων, αρχίζοντας από µε την αρχέγονη ενότητα». Η Ταντρική παράδοση υποδεικνύει δύο τρόπους χρησιµοποίησης της Σρι-γιάντρα για διαλογισµό. Στην «εξωτερική» µέθοδο ο διαλογιζόµενος αρχίζει από το µπιντού και προχωρεί σταδιακά προς τα έξω προχωρώντας στο µικρότερο τρίγωνο µέσα στο οποίο αυτό βρίσκεται, µετά στα δυο επόµενα τρίγωνα κ.ο.κ., µέχρι τους εξωτερικούς κύκλους και το τετράγωνο στα οποία περιέχεται ολόκληρη η µορφή. Αυτός ο εξωτερικός διαλογισµός σχετίζεται µε την εξελικτική άποψη της ανάπτυξης του σύµπαντος όπου, αρχίζοντας µε την αρχέγονη ύλη που παριστάνεται µε τη στιγµή ή µπιντού, ο διαλογιζόµενος συγκεντρώνεται σε διαρκώς συνθετότερους οργανισµούς, όπως δείχνεται από τα διαρκώς συνθετότερα σχήµατα, µέχρι να φτάσει στα ίδια τα σύνορα του σύµπαντος. απ’ όπου η διαφυγή είναι δυνατή µόνο µέσω µιας από τις τέσσερες πόρτες µέσα στο χάος. Η «εσωτερική» µέθοδος από την άλλη µεριά αρχίζει αντίστροφα από ένα κύκλο και προχωρά σταδιακά προς τα µέσα. Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή στο ταντρισµό σαν η διαδικασία της καταστροφής. Το µαθηµατικό ενδιαφέρον για τη Σρι-γιάντρα βρίσκεται στη κατασκευή των κεντρικών εννέα τριγώνων της, η οποία µπορεί να είναι δυσκολότερη απ’ ό,τι φαίνεται µε τη πρώτη µατιά. Το πρόβληµα είναι να κατασκευάσεις µια Σρι-γιάντρα στην οποία όλες οι τοµές να είναι σωστές και οι κορυφές των µεγαλύτερων τριγώνων να πέφτουν πάνω στη περιφέρεια του περιγεγραµµένου κύκλου. Ένα περίεργο γεγονός στα αριθµητικά-γεωµετρικά στοιχεία µιας σωστά κατασκευασµένης Σριγιάντρα είναι ότι η γωνία της βάσης των µεγαλύτερων τριγώνων είναι περίπου 51°, όσο περίπου και η κλίση της Πυραµίδας του Χέοπα (51°50'). Το µεγαλύτερο ισοσσκελές τρίγωνο του διαγράµµατος της Σρι-γιάντρα είναι µια µικρογραφία µιας παράπλευρης έδρας της Πυραµίδας του Χέοπα κι επιδεικνύει έτσι την ίδια σχέση ανάµεσα στους αριθµούς π και Φ. Μερικές από τις κατασκευές της Σρι-γιάντρα είναι ιδιαίτερα πολύπλοκες και µερικές αποτελούνται από σφαιρικά τρίγωνα η ακριβής κατασκευή των οποίων προϋποθέτει τη γνώση «ανωτέρων µαθηµατικών», τα οποία υποτίθεται ότι αγνοούσαν οι µεσαιωνικοί και οι αρχαίοι Ινδοί κατασκευαστές τους. Μερικοί το εξηγούν αυτό µε µια «διαισθητικά» σωστή κατασκευή.

ΜΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΣΡΙ-ΓΙΑΝΤΡΑ

Σχήµα 8

1. Σχεδιάζουµε ένα κύκλο του απαιτούµενου µεγέθους και µια κατακόρυφη διάµετρό του, την οποία διαιρούµε σε 48 ίσες µονάδες. 2. Πάνω σε αυτή τη γραµµή σηµειώνουµε εννέα σηµάδια σε απόσταση αντίστοιχα 6, 12, 17, 20, 23, 27, 30, 36, και 42 µονάδων από τη κορυφή και φέρουµε δι’ αυτών οριζόντιες γραµµές (αριθµούµενες από το 1 ως το 9) µέχρι να συναντήσουν το κύκλο. 3. Και στα δυο µέρη της 1ης, 2ης, 4ης, 5ης, 6ης, 8ης και 9ης γραµµής σβήνουµε τις 3, 5, 16, 18, 16, 4 και 3 µονάδες αντιστοίχως. 4. Συνδέουµε στη συνέχεια τα άκρα της 1ης γραµµής µε το κέντρο της 6ης, τα άκρα της 2ης µε το κέντρο της 9ης, τα άκρα της 3ης µε το κύκλο στο κάτω µέρος του άξονα, τα άκρα της 4ης µε το κέντρο της 8ης, τα άκρα της 5ης µε το κέντρο της 7ης, τα άκρα της 6ης µε το κέντρο της 2ης, τα άκρα της 7ης µε το κύκλο στη κορυφή του κατακόρυφου άξονα, τα άκρα της 8ης µε το κέντρο της 1ης και τα άκρα της 9ης µε το κέντρο της 3ης .

ΧΑΟΣ ΚΑΙ ΦΡΑΚΤΑΛΣ Πολλές φορές οι άνθρωποι στη διάρκεια της ιστορίας έχουν παρατηρήσει ότι µικρές αιτίες µπορούν να προκαλέσουν µεγάλα αποτελέσµατα και ότι είναι γενικά δύσκολο να προβλέψουν µε σιγουριά οτιδήποτε. Μελετώντας οι επιστήµονες µερικά συστήµατα, παρατήρησαν ότι µια µικρή µεταβολή των αρχικών τους συνθηκών µπορούσε να οδηγήσει σε τόσο διαφορετικές προβλέψεις, που η πρόβλεψη καθίστατο τελικά άχρηστη. Η θεωρία του Χάους προσπαθεί να εξηγήσει την πολύπλοκη και απρόβλεπτη συµπεριφορά τέτοιων ασταθών ή µη περιοδικών συστηµάτων που είναι ευαίσθητα σε αρχικές συνθήκες. Η ανθρώπινη ιστορία προσφέρει ένα παράδειγµα µιας τέτοιας απεριοδικής συµπεριφοράς µε τους πολιτισµούς να ανέρχονται και να κατέρχονται και µικρά γεγονότα ή µοναδικές προσωπικότητες να αλλάζουν σηµαντικά το κόσµο γύρω τους.

Το φαινόµενο αυτό της υπερβολικής απόκρισης ασταθών συστηµάτων σε µικρές µεταβολές των αρχικών τους συνθηκών ονοµάστηκε «φαινόµενο της πεταλούδας», µε την έννοια ότι το κτύπηµα των φτερών µιας πεταλούδας στο Χονγκ Κονγκ µπορεί να προκαλέσει έναν ανεµοστρόβιλο στη Νέα Υόρκη!. Το χάος µπορεί να εµφανιστεί σε όλες τις τάξεις των φαινοµένων, φυσικών ή τεχνητών, καθώς επίσης στις κοινωνικές δοµές και στα ανθρώπινα όντα. Ένα τέτοιο σύστηµα δεν είναι ούτε

εντελώς ντετερµινιστικό, ούτε εντελώς τυχαίο, επιδεικνύοντας και τα δυο χαρακτηριστικά. Το χάος δηλαδή µε την έννοια της πλήρους αταξίας δεν υπάρχει µαθηµατικά, ακόµα και για τα τυχαία γεγονότα. Η τάξη προϋποθέτει µαθηµατικά την ύπαρξη µιας συµµετρίας στο µοντέλο ή µιας αναλλοιώτου κάτω από µια οµάδα µετασχηµατισµών. Με βάση αυτή τη συµµετρία, γνωρίζοντας ένα µέρος του προτύπου, µπορείς να ανακατασκευάσεις το όλον. Η αταξία από τη µεριά της περιλαµβάνει επίσης τη συµµετρία των πιθανοτήτων ότι µια συνιστώσα θα βρεθεί σε µια ορισµένη θέση. Ακόµα και µια τυχαία διαδικασία µπορεί να οριστεί από το γεγονός ότι όλες οι δυνατές µεταβάσεις ή κινήσεις είναι εξίσου πιθανές.

Η πολυπλοκότητα θεωρείται σαν η πιο δύσκολη περιοχή του χάους και έχει οριστεί σαν «η ικανότητα να αλλάζεις µεταξύ διαφόρων τρόπων συµπεριφοράς καθώς µεταβάλλονται οι συνθήκες του περιβάλλοντός σου». Χαρακτηρίζεται σα µια έλλειψη ή µια «διάσπαση» της συµµετρίας: κανένα µέρος ή όψη ενός σύνθετου αντικείµενου δεν µπορεί να δώσει επαρκείς πληροφορίες για να προβλέψουµε πραγµατικά ή στατιστικά τις ιδιότητες των άλλων µερών.

ΦΡΑΚΤΑΛΣ ΚΑΙ «ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ» ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φράκταλ ονοµάζουµε ένα µαθηµατικό κλασµατικό αντικείµενο (από το Λατινικό fractus=τεµαχισµένος) που παρουσιάζει δοµή (συνθετότητα) σε κάθε κλίµακα, σε κάθε επίπεδο µεγέθυνσης. Αν η δοµή αυτή παραµένει ίδια σε όλες τις κλίµακες, µιλάµε για ένα αυτο-όµοιο

φράκταλ, ανάλογο µε τις Ρωσικές κούκλες µατρούσκες, πιστό αντίγραφο υπό κλίµακα η µία της άλλης, που τοποθετούνται η µία µέσα στην άλλη, παρουσιάζοντας σε κάθε επίπεδο την ίδια εσωτερική δοµή. Τα φράκταλς θεωρείται ότι αποτελούν τη βαθιά πλευρά του χάους.

Η «κλασµατική» γεωµετρία µελετά τα φράκταλς. Η κλασσική γεωµετρία έχει βοηθήσει σίγουρα πολύ την ανάπτυξη της επιστήµης και της τεχνολογίας, αλλά δεν µπορεί να περιγράψει πλήρως το πραγµατικό κόσµο γύρω µας, ο οποίος δεν αποτελείται από τέλειες καµπύλες ή ιδανικά στερεά. Ο µαθηµατικός Benoit Mandelbrot που πρώτος εισήγαγε τα φράκταλς µε την πρωτοποριακή εργασία του το 1977 Φράκταλς: Μορφή, Τύχη και ∆ιάσταση, περιγράφει σε ένα άλλο βιβλίο του, τη Κλασµατική Γεωµετρία της Φύσης, την Ευκλείδεια γεωµετρία ως εξής: Γιατί η γεωµετρία αποκαλείται συχνά ψυχρή και στεγνή; Ένας λόγος είναι η ανικανότητά της να περιγράψει το σχήµα ενός σύννεφου, ενός βουνού, µια ακτογραµµής ή ενός δένδρου. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραµµές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός του δένδρου δεν είναι λείος, ούτε ο κεραυνός ταξιδεύει σε µια ευθεία γραµµή. Η «κλασµατική» γεωµετρία είναι εποµένως αυτό που δεν είναι η Ευκλείδεια γεωµετρία, δηλαδή µια γεωµετρία της φύσης µε την οποία µπορούµε να προσπαθήσουµε να περιγράψουµε και να µιµηθούµε τη φύση µε έναν αδιανόητο προηγουµένως τρόπο. Η συµµετρία είναι ένα σηµαντικό στοιχείο των φυσικών δοµών και η απλούστερη µορφή της είναι η κατοπτρική (αµφίπλευρη) συµµετρία, όπως π.χ. στο ανθρώπινο σώµα. Η φύση όµως δεν είναι µόνο συµµετρική, αλλά και διαφορετική. ∆εν είναι όλοι οι άνθρωποι του ίδιου µεγέθους και σχήµατος, ούτε και τα δένδρα. Μπορούµε να ορίσουµε όµως µια πιο γενικευµένη µορφή συµµετρίας που να περιλαµβάνει τη διαφορετικότητα του µεγέθους διατηρώντας όµως την οµοιότητα του γενικού σχήµατος. Λέµε σε αυτή τη περίπτωση ότι η συµµετρία είναι «αναλλοίωτη» ως προς το µέγεθος (ή ως προς τη κλίµακα), όπως ακριβώς µε τις Ρωσικές κούκλες που παραµένουν όµοιες, αν και διαφορετικού µεγέθους. Σε αυτή τη περίπτωση λέµε ότι η συµµετρία έχει αυτο-οµοιότητα και τα µικρά µέρη ενός αντικειµένου είναι όµοια µε τα µεγαλύτερα µέρη του. Την αυτοοοµοιότητα µπορούµε να το παρατηρήσουµε σε πολλά πράγµατα στη φύση. Για παράδειγµα σε ένα δένδρο, στα φύλλα του και στις διακλαδώσεις του ή ακόµα στις ρίζες του. Τα δενδροειδή επίσης διαγράµµατα που χρησιµοποιούµε στις αναλύσεις µας έχουν και αυτά µια

µορφή αυτο-οµοιότητας. Άλλα παραδείγµατα είναι µια οροσειρά, µια ακτογραµµή (όπου µεγεθύνοντας ένα µικρό κοµµάτι της βλέπουµε µέσα της µια άλλη ακτογραµµή και µέσα σε αυτή µια άλλη κ.ο.κ., σε µια άπειρη ακολουθία), ή ακόµα ένας γαλαξίας. Μια αυτοµοιότητα κλίµακας µπορούµε να παρατηρήσουµε και στη χρυσή τοµή κατά τη διαδικασία δηµιουργίας µιας χρυσής σπείρας από αυτοόµοια χρυσά ορθογώνια εγγεγραµµένα το ένα µέσα στο άλλο σε µια άπειρη ακολουθία. Υπάρχει και µια άλλη σηµαντική διαφορά ανάµεσα στη Ευκλείδεια και την «κλασµατική» γεωµετρία. Στην Ευκλείδεια γεωµετρία οι διαστάσεις είναι πάντα ακέραιοι αριθµοί: το αδιάστατο σηµείο, η µονοδιάστατη ευθεία ή καµπύλη, ο διδιάστατος κύκλος ή µια επιφάνεια και τέλος το τρισδιάστατο στερεό. Στην «κλασµατική» γεωµετρία τα φράκταλς έχουν κλασµατικές διαστάσεις! Μια φράκταλ καµπύλη µπορεί να έχει µια διάσταση ανάµεσα στο ένα και στο δύο, ανάλογα µε το πόσο χώρο καταλαµβάνει καθώς ελίσσεται ή καµπυλώνεται. Παρόµοια ένα λοφώδες φράκταλ µπορεί να έχει µία διάσταση ανάµεσα στο δύο και στο τρία. Ένα τοπίο φτιαγµένο από ένα µεγάλο λόφο καλυµµένο µε µικροσκοπικές προεξοχές έχει µια διάσταση κοντύτερα στο δύο, ενώ µια τραχιά επιφάνεια, αποτελούµενη από πολλούς λόφους µεσαίου µεγέθους, είναι κοντά στη τρίτη διάσταση. Από µαθηµατικής άποψης ένα φράκταλ είναι το διάγραµµα µια αναδροµικής συνάρτησης στο µιγαδικό επίπεδο. Οι συντεταγµένες των σηµείων (που είναι µιγαδικοί αριθµοί) προσδιορίζονται διαδοχικά µέσω της επαναληπτικής διαδικασίας που δίνει η αναδροµική σχέση, ξεκινώντας από ένα αρχικό δοσµένο σηµείο. Π.χ. η αναδροµική σχέση Fν(z)= Fν2−1 (z) +c όπου c µια µιγαδική σταθερά προσδιορίζει το φράκταλ «Julian Set». Ένα καλό παράδειγµα ενός φράκταλ που επιδεικνύει µια αυτοοµοιότητα σε όλο και µικρότερες κλίµακες είναι η λεγόµενη καµπύλη του Koch που παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα:

Σχήµα 2

Η καµπύλη αυτή κατασκευάστηκε από το Σουηδό µαθηµατικό Helge von Koch (1870 - 1924) σαν ένα παράδειγµα µιας συνεχούς επίπεδης καµπύλης που δεν έχει εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της. Η ίδια καµπύλη είναι επίσης ένα παράδειγµα µιας µη παραγωγίσηµης συνεχούς συνάρτησης. Για να σχεδιάσουµε µια καµπύλη Koch χρειαζόµαστε δύο µόνο βασικές εντολές για τον υπολογιστή: K0 = "Μ" Kν+1 = Kν+"Α"+Kν+"∆"+Kν+"Α"+Kν

όπου "Μ» σηµαίνει µπροστά, "Α" = στρίψε αριστερά κατά 60ο µοίρες και "∆" στρίψε δεξιά κατά

120ο. Η παραπάνω καµπύλη του Koch δεν είναι ούτε µονοδιάστατη ούτε διδιάστατη. Σα µια ακτογραµµή (µε την οποία µοιάζει), καλύπτει µια πεπερασµένη έκταση, αλλά έχει άπειρο µήκος. Ο Mandelbrot απέδειξε ότι η διάστασή της είναι log4/log3=1,2618595... Αυτή η «κλασµατική» διάσταση δεν µπορεί να εξηγηθεί µε την Ευκλείδεια γεωµετρία. Υπάρχουν πολλά αντικείµενα στη φύση που έχουν µια κλασµατική διάσταση όπως τα σύννεφα, οι ακτογραµµές και οι επιφάνειες νερού. Οι ιδέες των φράκταλς χρησιµοποιούνται σε πολλά πεδία από τη φυσική µέχρι τη µουσική. Η «φράκταλ» µουσική είναι το αποτέλεσµα µιας επαναληπτικής διαδικασίας όπου εφαρµόζεται πολλές φορές ένας αλγόριθµος για να επεξεργαστεί την προηγούµενη έξοδό του. Σε µια ευρύτερη προοπτική όλες οι µουσικές µορφές, σε µικροσκοπικό και µακροσκοπικό επίπεδο µπορούν να διαµορφωθούν µε αυτή τη διαδικασία. Τα µουσικά αποτελέσµατα είναι ενδιαφέροντα και το πεδίο είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα της νέας µουσικής έρευνας. Ας σηµειωθεί επίσης ότι αν µια σύνθετη δοµή εµφανίζει ιεραρχική κλιµάκωση, τότε µπορεί να περιγραφεί µε έναν απλό αλγόριθµο, όπως για παράδειγµα το σχέδιο ενός φύλλου φτέρης ή ενός κουνουπιδιού. Με αυτή την έννοια διάφορες φαινοµενικώς σύνθετες διαδικασίες στο ανθρώπινο νου και οι αλληλεπιδράσεις τους µε το περιβάλλον θα µπορούσαν να είναι πολύ απλές µε µια «κλασµατική» έννοια. Ο εγκέφαλος είναι γνωστός ότι είναι ένα δοµηµένο σύστηµα ιεραρχικά οργανωµένων µονάδων (modules). Αυτές οι αλληλεπιδρώσες µονάδες επικοινωνούν η µία µε την άλλη και µε τη σειρά τους περιέχουν µέσα τους άλλες υποµονάδες (sub-modules) που επικοινωνούν µεταξύ τους. Αυτό το πρότυπο επαναλαµβάνεται σε πολλά διαφορετικά επίπεδα κλίµακας, αποκορυφούµενο σε ένα µοριακό και βιοχηµικό φράκταλ αλληλεπιδρώντων και επικοινωνούντων συστηµάτων. Με ένα παρόµοιο τρόπο µπορούµε να συλλάβουµε το νου σαν αποτελούµενο από αυτοόµοιες πολυπλοκότητες ιεραρχικά διατεταγµένων µονάδων συνδεδεµένων µε ένα τρόπο που µπορεί να εκφραστεί σύµφωνα µε µερικούς αλγορίθµους. Έχει προταθεί ακόµα ότι ο νους µπορεί να χρησιµοποιεί µια «κλασµατική» κωδικοποίηση για τη κωδικοποίηση τεράστιων αλυσίδων συνειρµικών σκέψεων σε µια µοναδική «κλασµατική» οντότητα.

Η «ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ» ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Ο Mandelbrot στο βιβλίο του για τα φράκταλς δεν περιορίζεται µόνο στις παρατηρήσεις του για τη γεωµετρία της φύσης, αλλά ασχολείται επίσης µε τη τέχνη και την ιστορία της αρχιτεκτονικής. Τελειώνει την εισαγωγή του µε µια συζήτηση των αρχιτεκτονικών ρυθµών σε µια προσπάθεια διαφοροποίησης της Ευκλείδειας γεωµετρίας από την «κλασµατική» γεωµετρία. Αυτή είναι και η πρώτη αναγνωρισµένη προσπάθεια σύνδεσης της κλασµατικής γεωµετρίας µε την αρχιτεκτονική. Μπορούµε να πούµε ότι η κλασσική αρχιτεκτονική είναι µια κλασµατική αρχιτεκτονική, αφού διατηρεί τα βασικά στοιχεία της σε πολλές κλίµακες, από τους δοµικούς λίθους ή βαθµίδες της, µέχρι όλες τις υποδιαιρέσεις και υποσυµµετρίες της. Πολλοί πάντως σύγχρονοι αρχιτέκτονες έχουν πάρει την ορθογώνια γεωµετρία της αλλά εξάλειψαν τις διατεταγµένες υποδιαιρέσεις της κι εποµένως τη φυσική κλασµατική δοµή της.

Όπως ήταν φυσικό µετά τη δηµοσίευση του έργου του Mandelbrot άρχισαν πολλές συζητήσεις στο χώρο της αρχιτεκτονικής για τη χρησιµοποίηση της κλασµατικής γεωµετρίας, οι οποίες διέφεραν τις περισσότερες φορές από τις απόψεις των ίδιων των µαθηµατικών. Οι αρχιτέκτονες µαθηµένοι να δανείζονται ιδέες από τα µαθηµατικά και τη γεωµετρία, χωρίς να ενδιαφέρονται γι’ αυτά καθεαυτά, έκαναν το ίδιο και µε τις νέες θεωρίες τις πολυπλοκότητας και του χάους, χωρίς να ενδιαφέρονται ιδιαίτερα για τα µαθηµατικά τους. Εκείνο που τους ενέπνευσε πάντως περισσότερο ήταν η σύνδεση των φράκταλς µε τη φύση και θέλησαν να τα χρησιµοποιήσουν για να δώσουν ένα νέο φυσικό περιεχόµενο στη τέχνη τους. Αρχιτέκτονες πάντως και µαθηµατικοί πρότειναν διάφορα ιστορικά οικοδοµήµατα σα κτίρια που επιδεικνύουν µια κλασµατική δοµή. Μεταξύ αυτών είναι διάφορα µεσαιωνικά κάστρα, εκκλησίες µπαρόκ, Ινδουιστικοί ναοί και έργα του Frank Lloyd Wright ή του Louis Sullivan, που όλα εκδηλώνουν µια διαισθητική σύλληψη της κλασµατικής γεωµετρίας. Η αρχιτεκτονική µπορεί να επωφεληθεί πάντως αρκετά από τη χρησιµοποίηση των «κλασµατικών» ιδεών. Το ενδιαφέρον άλλωστε του θεατή πρέπει να διατηρείται αµείωτο από τη πρόσοψη µέχρι τις κοντινές λεπτοµέρειες. Καθώς ο θεατής πλησιάζει κοντύτερα στο κτίριο θα πρέπει να τον τραβήξουν άλλες, µικρότερης κλίµακας ενδιαφέρουσες λεπτοµέρειες. Αυτή είναι η βασική ιδέα του φράκταλ.. Βασικά υπάρχουν δυο τρόποι µε τους οποίους µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι ιδέες των φράκταλς στην αρχιτεκτονική. Ο πρώτος είναι µετρώντας τη κλασµατική διάσταση ενός σχεδίου και χρησιµοποιώντας τη µετά σαν ένα κριτικό µέσο. Η συνήθης έλλειψη οργανικών υποδιαιρέσεων στη µοντέρνα αρχιτεκτονική µπορεί να εξηγήσει ίσως γιατί αυτή δεν έγινε ποτέ αποδεκτή από το ευρύ κοινό. Σε µια τέτοια περίπτωση το προηγούµενο κριτήριο της διάστασης θα µπορούσε να απορρίψει τη λύση σα πολύ «επίπεδη», χωρίς δηλαδή κλασµατικές υποσυµµετρίες. Ο δεύτερος τρόπος είναι η χρησιµοποίηση «κλασµατικών» κατανοµών για τη παραγωγή σύνθετων ρυθµών σε ένα αρχιτεκτονικό σχέδιο. Για παράδειγµα θα µπορούσε να µετρηθεί η κλασµατική διάσταση µιας οροσειράς στο φόντο ενός αρχιτεκτονικού σχεδίου για να καθοδηγήσει τους κλασµατικούς ρυθµούς του ίδιου του σχεδίου. Με αυτό το τρόπο το σχέδιο και το φόντο (ή περιβάλλον) θα έχουν παρόµοια ρυθµικά χαρακτηριστικά.. Αναφέρονται σαν παραδείγµατα τα σπίτια του Frank Lloyd Wright που περιλαµβάνουν µια πρόοδο λεπτοµερειών από τη µεγαλύτερη προς τις µικρότερες διαστάσεις και η κεντρική ιδέα συντονισµού των σχεδίων τους προέρχεται από τη φύση. Έχει ακόµα προταθεί ότι τα σπίτια µιας πόλης θα µπορούσαν να σχεδιαστούν έτσι ώστε τα πλάτη και τα ύψη τους να µεταβάλλονται σύµφωνα µε µια φράκταλ κατανοµή (προερχόµενη από το περιβάλλον τους). Ένα χρόνο µετά την εµφάνιση του βιβλίου του Mandelbrot ο αρχιτέκτονας Peter Eisenman επηρεασµένος από τις νέες θεωρίες σχεδίασε το House 11a που παρουσίασε στη διάρκεια του σεµιναρίου σχεδίασης στο Cannaregio της Βενετίας. Ο Eisenman υιοθέτησε ιδιαίτερα την ιδέα της κλίµακας των φράκταλς, µιας διαδικασίας που περιγράφει φιλοσοφικά ότι απαιτεί «τρεις αποσταθεροποιητικές έννοιες: την ασυνέχεια, η οποία αντιµετωπίζει τη µεταφυσική της παρουσίας, την επαναληπτικότητα, η οποία αντιµετωπίζει την προέλευση (origin) και την αυτοοµοιότητα, η οποία αντιµετωπίζει την αντιπροσώπευση και το αισθητικό αντικείµενο». Το House 11a, στη χαρακτηριστική µορφή «L» του Eisenman, συνδυάζει τα παραπάνω στοιχεία σε σύνθετες περιστροφικές και κάθετες συµµετρίες. Το "L" είναι στη πραγµατικότητα ένα τετράγωνο που έχει διαιρεθεί σε τέσσερα τέταρτα και έχει αποµακρυνθεί µετά το ένα τέταρτο απ’

αυτό. Ο Eisenman θεώρησε ότι το προκύπτον αυτό σχήµα "L" συµβολίζει µια «ασταθή» ή «ενδιάµεση» κατάσταση: ούτε ένα ορθογώνιο, ούτε ένα τετράγωνο. Η τρισδιάστατη απόδοσή του είναι η αφαίρεση ενός κυβικού όγδοου από ένα πλήρη κύβο. Κάθε "L" σύµφωνα µε τον Eisenman αντιπροσωπεύει µια έµφυτα ασταθή γεωµετρία, µια µορφή που ταλαντώνεται ανάµεσα σε πιο σταθερές, πιο πλήρεις γεωµετρικές µορφές. Μετά ο Eisenman τοποθέτησε µια σειρά από ταυτόσηµα σπίτια σε όλη την έκταση της πλατείας του Cannaregio. Καθένα από αυτά ήταν µια κλίµακα του House 11a µε το µικρότερο στο ύψος του ανθρώπου, φανερά όχι για κατοίκιση, και το µεγαλύτερο πολύ µεγάλο για να είναι ένα σπίτι, ενώ αυτό που ήταν στο µέγεθος σπιτιού ήταν γεµάτο από µια άπειρη σειρά κλιµακούµενων πανοµοιότυπων µορφών του, κάνοντας το επίσης άχρηστο για σπίτι. Το House 11a αυτοκλιµακώνεται έναν άπειρο αριθµό φορών σχηµατίζοντας ένα είδος κλασµατικής αρχιτεκτονικής. Τις δυο επόµενες δεκαετίες, µετά τη δηµοσίευση του House 11a του Eisenman, δηµοσιεύθηκαν πάνω από διακόσια αρχιτεκτονικά σχέδια ή έργα αρχιτεκτονικής θεωρίας που περιελάµβαναν µε κάποιο τρόπο όψεις της κλασµατικής γεωµετρίας ή κάποιας σχετικής περιοχής. Το 1985 ο Eisenman δηµιούργησε το πρόγραµµα Ρωµαίος και Ιουλιέτα (ή αλλιώς Moving Arrows, Eros and other Errors) µε βάση την λεγόµενη διαδικασία της κλιµάκωσης (scaling), η οποία αντιµετωπίζει την «παρουσία, την προέλευση και το αισθητικό αντικείµενο» µέσα στο γενικό πλαίσιο του τόπου, του προγράµµατος οικοδόµησης, και του τρόπου αντιπροσώπευσής τους. Παρόλο που η κλιµάκωση παρείχετο µε διάφορους τρόπους και στα προηγούµενα προγράµµατά του, απόκτησε εδώ µια µεγαλύτερη σηµασία. Σύµφωνα µε τον Betsky ο Eisenman: Χρησιµοποιώντας ένα τύπο που ανέπτυξε ο Benoit Mandelbrot, ο οποίος προσδιορίζει την αυτοοµοιότητα ή αυτόνοµη αναπαραγωγή που είναι έµφυτη σε ορισµένες µορφές, σχεδίασε σχέδια αχανών περιοχών το ένα πάνω στο άλλο. Αυτή η τεχνική αµφισβήτησε τη σχέση της αρχιτεκτονικής σε µια «κανονική κλίµακα» και «προβληµατοποίησε» την ιδέα της ανθρώπινης προοπτικής. Ο Eisenman χρησιµοποίησε τους επαναδρασιακούς µηχανισµούς και τις µορφές φράκταλ που σχετίζονται µε τη τάξη σε φαινοµενικά χαοτικά συστήµατα για να υπονοµεύσει, όπως ο ίδιος δήλωσε, την παρωχηµένη ανθρωποµορφική άποψη που επηρεάζει για αιώνες µέχρι τώρα την αρχιτεκτονική. Το τελευταίο έργο του Eisenman σε σχέση µε τη κλασµατική αρχιτεκτονική είναι το πρόγραµµα Choral Works, βασισµένο πάνω στο «Τίµαιο» του Πλάτωνα, που σχεδίασε µε τη βοήθεια του φιλοσόφου Jacques Derrida. Όπως ο ίδιος δηλώνει: Σε κάθε κλιµάκωση (του σχεδίου) εισάγονται όψεις των µεταβολών στο χρόνο, µεταβολές σε ποταµούς, σύνορα κ.λ.π. Έτσι συµβαίνουν αντηχήσεις όχι µόνο σε κλίµακα, αλλά και στο χρόνο, καταλήγοντας σε αυτοόµοιες, αλλά όχι αυτο-ίδιες αναλογίες. Είναι σα να υπήρχαν άπειρες ανακλάσεις σε ένα ατελή καθρέφτη. Η κλιµάκωση, η αυτοοµοιότητα και η αυτοαναφορικότητα είναι όλες παρούσες στο Choral Works, αν και αυτές έχουν αναλάβει τώρα µια πιο φιλοσοφική και λιγότερο γεωµετρική παρουσία. Μετά την αρχική ανάπτυξη των ιδεών της κλασµατικής αρχιτεκτονικής τη δεκαετία του ογδόντα,

ακολούθησε µια σχετική πτώση της την επόµενη δεκαετία, προερχόµενη ίσως από τη σατυρική της αντιµετώπισή της από µερικούς αρχιτέκτονες συγγραφείς που αρνούντο οποιαδήποτε σύνδεση ανάµεσα στη φιλοσοφία της αρχιτεκτονικής, την επιστήµη της πολυπλοκότητας και τη κλασµατική γεωµετρία. Παρόλα αυτά το 1996 δηµοσιεύτηκε το βιβλίο Κλασµατική Γεωµετρία στην Αρχιτεκτονική και στο Σχέδιο του Carl Bovill, ο οποίος εµβαθύνοντας στα µαθηµατικά της θεωρίας του χάους υποστήριξε ότι η κλασµατική γεωµετρία είναι ένα ισχυρό εργαλείο για τους αρχιτέκτονες, αλλά ένα εργαλείο που πρέπει να χρησιµοποιηθεί µε σύνεση. Από την άλλη µεριά την ίδια περίοδο η αρχιτεκτονική εταιρία Ushida Findlay δηµιούργησε µια σειρά αρχιτεκτονικών σχεδίων χρησιµοποιώντας χρυσές τοµές και κλασµατική γεωµετρία για να δηµιουργήσει ένα κλασµατικό δίκτυο που ενσωµατώνει συστήµατα «ροής και οµαδοποίησης» λειτουργώντας συγχρόνως σε πολλές κλίµακες. Ήταν ένα σχέδιο για την αλλαγή µέσων µαζικής µεταφοράς στο Τόκιο σε ένα σηµείο διασταύρωσης βασικών δρόµων και µιας σιδηροδροµικής γραµµής. Το σχέδιο εξερεύνησε την ιδέα της «πόλης σαν σπίτι» και περιγράφηκε από την εταιρία σαν ένα δοχείο σχεδιασµένο να διευκολύνει την «κίνηση Μπράουν» ανθρώπων, αυτοκινήτων, τρένων και πληροφοριών. Το αποτέλεσµα ήταν «ένα νέος χώρος, ένα νέο είδος τοπογραφίας» που κατέχει δυναµικές οµοιότητες σε πολλές κλίµακες. Κατά την άποψή µας η κλασµατική γεωµετρία και η κλασµατική αρχιτεκτονική µπολιασµένες από τα κλασσικά αναλογικά συστήµατα θα αποτελέσουν τη νέα µορφή της Ιερής Γεωµετρίας και Αρχιτεκτονικής στο µέλλον.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΟΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΕΣ ΤΩΝ 22 ΕΒΡΑΪΚΩΝ ΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ Το µαγικό Τετράγωνο του Κρόνου 4

9

2

3

5

7

8

1

6

Έχει γενικό άθροισµα 15 και περιέχει τους αριθµούς 1 - 32.

Το µαγικό τετράγωνο του ∆ία 4

14

15

1

9

7

6

12

5

11

10

8

16

2

3

13

Έχει γενικό άθροισµα 34 και περιέχει τους αριθµούς 1 - 42.

Το µαγικό τετράγωνο του Άρη 11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15

Έχει γενικό άθροισµα 65 και περιέχει τους αριθµούς 1 - 52.

Το µαγικό τετράγωνο του Ηλίου

6

32

3

34

35

1

7

11

27

28

8

30

19

14

16

15

23

24

18

20

22

21

17

13

25

29

10

9

26

12

36

5

33

4

2

31

Έχει γενικό άθροισµα 111 και περιέχει τους αριθµούς 1 - 62. Το µαγικό Τετράγωνο της Αφροδίτης 22

47

16

41

10

35

4

5

23

48

17

42

11

29

30

6

24

49

18

36

12

13

31

7

25

43

19

37

38

14

32

1

26

44

20

21

39

8

33

2

27

45

46

15

40

9

34

3

28

Έχει γενικό άθροισµα 175 και περιέχει τους αριθµούς 1 - 72.

Το Μαγικό Τετράγωνο του Ερµή 8

58

59

5

4

62

63

1

49

15

14

52

53

11

10

56

41

23

22

44

45

19

18

48

32

34

35

29

28

38

39

25

40

26

27

37

36

30

31

33

17

47

46

20

21

43

42

24

9

55

54

12

13

51

50

16

64

2

3

61

60

6

7

57

Έχει γενικό άθροισµα 260 και περιέχει τους αριθµούς 1 - 82.

Το µαγικό Τετράγωνο της Σελήνης 37 78 29 70 21 62 13 54 5 6

38 79 30 71 22 63 14 46

47 7

39 80 31 72 23 55 15

16 48 8

40 81 32 64 24 56

57 17 49 9

41 73 33 65 25

26 58 18 50 1

42 74 34 66

67 27 59 10 51 2

43 75 35

36 68 19 60 11 52 3

44 76

77 28 69 20 61 12 53 4

45

Έχει γενικό άθροισµα 369 και περιέχει τους αριθµούς 1 - 92.

ΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΤΟΥ ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ Ο Έλληνας µαθηµατικός Νικόµαχος της Καισαρείας έζησε στα µέσα του πρώτου έως δευτέρου αιώνα µ.χ. και είναι γνωστός ιδιαίτερα για το βιβλίο του Εισαγωγή στην Αριθµητική. Σε αυτό παρουσιάζει ένα ζευγάρι απλών αριθµητικών πινάκων οι οποίοι µπορούν να οδηγήσουν φυσικά σε µια γενική θεωρία της αναλογίας περιλαµβάνοντας το σύστηµα των µουσικών αναλογιών που ανέπτυξαν οι νεοπλατωνικοί αρχιτέκτονες της Αναγέννησης Leon Battista Alberti και Andrea Palladio, το Ρωµαϊκό σύστηµα των αναλογιών που περιγράφει ο Θέωνας της Σµύρνης καθώς επίσης το σύστηµα Modulor του Le Corbusier Η παρακάτω ανάλυση βασίζεται στην έρευνα του µαθηµατικού Jay Kappraff του Τεχνολογικού Ινστιτούτου του New Jersey, όπως αυτή δηµοσιεύθηκε σε ένα άρθρο του στο περιοδικό Nexus. Το ζευγάρι αριθµητικών πινάκων του Νικόµαχου είναι το εξής:

Πίνακας 1. 1 2 4 8

Πίνακας 2. 16 32

64...

3 6 12 24 48

96...

243

729...

4 12 36 108 324

972...

144...

16 48 144 432

1296

27 54 108 216...

64 192 576

1728...

81 162 324...

256 768

2304...

9 18 36 72

1 3 9 27 81

1 2

243 486...

1 3

3

729...

4

1024 3072... 4096

Οι αριθµοί στις σειρές των δυο πινάκων αποτελούν γεωµετρικές προόδους µε λόγο 2 στο πρώτο πίνακα και µε λόγο 3 στο δεύτερο πίνακα. Εποµένως τα διαδοχικά στοιχεία στις σειρές του πρώτου πίνακα έχουν λόγο 1:2 και στις σειρές του δεύτερου πίνακας 1:3. Αντίστοιχα τα διαδοχικά στοιχεία των στηλών έχουν στο πρώτο πίνακα λόγο 2:3 και στο δεύτερο πίνακα λόγο 3:4. Όσον αφορά τις δευτερεύουσες διαγωνίους (δεξιές) τα στοιχεία τους έχουν λόγο 4:3 στο πρώτο πίνακα και 9:4 στο δεύτερο πίνακα. Κάθε στήλη στο πρώτο πίνακα τελειώνει όταν φτάνουµε σε έναν ακέραιο που δεν είναι πια διαιρετός µε το 2 και στο δεύτερο πίνακα όταν φτάνουµε σε έναν ακέραιο που δεν είναι πια διαιρετός µε το 3. Οι πρώτοι όροι των γεωµετρικών αυτών προόδων σε κάθε σειρά ακολουθούν επίσης γεωµετρική πρόοδο, µε λόγο τώρα 3 για το πρώτο πίνακα και 4 για το δεύτερο πίνακα. Όπως µπορούµε επίσης να παρατηρήσουµε οι δυο πίνακες φαίνονται να ακολουθούν τη γενική ιδιότητα του Τριγώνου του Πασκάλ, δηλαδή κάθε αριθµός σε µια σειρά είναι ίσος µε το άθροισµα των δυο αριθµών από πάνω και από πάνω αριστερά, στη προηγούµενη σειρά, απ’ αυτόν.

Οι προηγούµενοι Πίνακες 1 και 2 µπορούν να γενικευθούν για κάθε πραγµατικό αριθµό x σύµφωνα µε το παρακάτω Πίνακα 3:

Πίνακας 3. 1

1

x

x2

x3

x4 ...

x+1

x2+x

x3+x2

x4+x3 ...

x2+2x+1

x3+2x2+x

x4+2x3+x2 ...

x3+3x2+3x+1

x4+3x3+3x2+x ...

x

x4+4x3+6x2+4x+1 ...

x+1

Πάλι εδώ κάθε στήλη θα σταµατήσει όταν φτάσουµε σε ένα στοιχείο που δεν είναι διαιρετό πια µε το x. Οι όροι της γεωµετρικής ακολουθίας στην (αριστερή) διαγώνιο που περιλαµβάνει τους πρώτους όρους των γεωµετρικών προόδων κάθε σειράς αποτελούν γεωµετρική πρόοδο µε λόγο 1+x κι εποµένως είναι ίσοι µε (1+x)ν για ν = 0,1,2,… Το τρίγωνο των αριθµών 1, x, x+1 µπορεί να θεωρηθεί σαν ο µετασχηµατισµός: x : 1→ 1: (1+x) και x: (1+x). Ο Νικόµαχος σύµφωνα µε όσα γράφει στο βιβλίο του φαίνεται πως σκέφθηκε πράγµατι αυτή τη σχέση σαν ένα µετασχηµατισµό. Ο µετασχηµατισµός αυτός φαίνεται να σχετίζεται µε την παρακάτω ακολουθία του Farey που συνδέεται µε πολλές σύγχρονες εφαρµογές στα δυναµικά συστήµατα και στα συστήµατα µουσικού συντονισµού. Ο αριθµητής (κ) και ο παρονοµαστής (λ) οποιουδήποτε ρητού αριθµού κ:λ στην ακολουθία Farey βρίσκεται προσθέτοντας τους αριθµητές και παρονοµαστές των δυο όρων που βρίσκονται αµέσως πάνω αριστερά του και δεξιά του. Π.χ. το 2/5 έχει από πάνω του αριστερά το 1/3 και δεξιά το 1/2 οπότε είναι (1+1): (3+2). Στην ακολουθία Farey κάθε ρητός αριθµός x = κ/λ σε µια σειρά δηµιουργεί δυο ρητούς: 1: (1+x) =λ/(κ+λ) και x:(1+x) = κ/(κ+λ) στην επόµενη σειρά, π.χ. ο 2/5 δηµιουργεί τους 2/7 και 5/7.

Πίνακας 4.

Ακολουθία Farey

0/1

1/1

Σειρά 0

1/2

Σειρά 1

1/3

Σειρά 2 Σειρά 3

κ.λ.π.

2/3

1/4 1/5

2/5 2/7

3/8

3/5 3/7

4/7

3/4 5/8

5/7

4/5

Σχήµα1

Εάν µ1/ν1, µ2/2 είναι δυο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας, τότε ισχύουν οι σχέσεις: 1) µ2/ν1- µ1/ν2=1 2) Για τρεις διαδοχικούς όρους µ1/ν1, µ2/ν2, µ3/ν3 ισχύει ότι µ2/ν2 = (µ1 + µ3)/(ν1 + ν3), δηλαδή ο µεσαίος όρος είναι ο αντίστοιχος µέσος µουσικός τόνος ανάµεσα στη τονική και στη δεσπόζουσα. Η ακολουθία µπορεί να συνεχιστεί και µετά το 1/2. Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι νέοι αριθµοί είναι οι ίδιοι όροι της ακολουθίας Farey ανεστραµµένοι και σε αντίστροφη σειρά.

Σχήµα 2

Το παραπάνω σχήµα δείχνει µια γεωµετρική κατασκευή που οδηγεί από το x στο 1:(1+x) και x:(1+x). Από τη κάτω αριστερή κορυφή ενός ορθογωνίου φέρουµε µια γραµµή προς το σηµείο x= κ/λ πάνω στον άξονα των ρητών που ταυτίζεται µε τη πάνω πλευρά του ορθογώνιου. Στο σηµείο όπου αυτή τέµνει τη διαγώνιο του ορθογωνίου φέρουµε µια κάθετη στις βάσεις του που τέµνει τον άξονα των ρητών στο πάνω µέρος στο σηµείο x/(1+x)=κ/(κ+λ) και εάν περιστρέψουµε τον άξονα των ρητών κατά 180ο ώστε να ταυτιστεί σε αντίστροφη τάξη µε τη κάτω πλευρά του ορθογωνίου, η προηγούµενη κάθετη το τέµνει στο σηµείο 1/(1+x)=λ/(κ+λ). Αυτή η κατασκευή είναι έµφυτη επίσης στην ικανότητα του παρακάτω οκτάκτινου άστρου που ανακάλυψε ο Tons Brunes να διαιρεί µια ευθεία σε 2,3,4,5,…,8 ίσα ευθύγραµµα τµήµατα. Ο Brunes ισχυρίζεται ότι

είδε αυτό το άστρο σε ένα ναό στη Ποµπηία που χρονολογείτο κάπου στο πρώτο αιώνα µ.χ.

Σχήµα 3

Θα δούµε τώρα πώς προκύπτει ένα σύστηµα αναλογιών άµεσα από τις ακολουθίες του Νικοµάχου. Ξαναγράφουµε τους Πίνακες 1 και 2 µετατοπίζοντας κάθε σειρά κατά µία θέση δεξιά σχετικά µε την προηγούµενη από αυτή, έτσι ώστε κάθε στοιχείο µιας δοσµένης σειράς να είναι τώρα ανάµεσα σε δυο στοιχεία της προηγούµενης και της επόµενης σειράς απ’ αυτό.

Πίνακας 5. 1 2 4 8

Πίνακας 6. 16

3 6 12 9

32 24

18

64... 48

36 27

96... 72

54

1 3 9 4 12

144... 108

216...

27

81 36

16

243 108

48

729... 324

144 64

972... 432

192

1296... 576

1728...

Στη γραφή αυτή ο Πίνακας 5 εµφανίζει καθαρά τους τρεις µαθηµατικούς µέσους: το γεωµετρικό, τον αριθµητικό και τον αρµονικό µέσο: Κάθε στοιχείο σε µια σειρά είναι ο γεωµετρικός µέσος των δυο στοιχείων της ίδιας σειράς αριστερά και δεξιά από αυτό. Είναι επίσης ο αριθµητικός µέσος των δυο στοιχείων της προηγούµενης σειράς, πάνω αριστερά και δεξιά απ’ αυτό και ο αρµονικός µέσος των δυο στοιχείων της επόµενης σειράς, κάτω αριστερά και κάτω δεξιά από αυτό. Π.χ. ο αριθµός 12 της δεύτερης σειράς είναι ο γεωµετρικός µέσος των αριθµών 6 και 24 (122=6.24) της ίδιας σειράς δεξιά και αριστερά από αυτό, ο αριθµητικός µέσος των αριθµών 8 και 16 {12= (8+16)/2} της προηγούµενης σειράς πάνω αριστερά και δεξιά από αυτό και ο αρµονικός µέσος των αριθµών 9 και 18 {12=2.9.18/(9+18)}της επόµενης σειράς κάτω αριστερά και δεξιά απ’ αυτό. Σε σχέση τώρα µε το Πίνακα 2 κάθε στοιχείο είναι κανονικά ο γεωµετρικός µέσος των δυο

στοιχείων της ίδιας σειράς αριστερά και δεξιά από αυτό, αλλά δεν είναι τώρα ο απλός αριθµητικός µέσος (α+β)/2 των δυο στοιχείων πάνω από αυτό, αλλά ο γενικευµένος αριθµητικός µέσος (α+β)/3. Ανάλογα δεν είναι ο απλός αρµονικός µέσος 2αβ/(α+β), αλλά ο γενικευµένος αρµονικός µέσος 3αβ/(α+β) των δυο στοιχείων α και β κάτω από αυτό. Μη ξεχνάµε άλλωστε ότι εδώ έχουµε σα λόγο των γεωµετρικών προόδων το 3 αντί του 2 του πρώτου πίνακα. Οι προηγούµενες σχέσεις µπορούν να γενικευθούν στο Πίνακα 3 όπου τώρα ο γενικευµένος αριθµητικός µέσος θα οριστεί σα (α+β)/x και ο γενικευµένος αρµονικός µέσος σαν xαβ/(α+β). Όµως υπάρχει τώρα ένας σηµαντικός περιορισµός. Όπως αποδεικνύει ο Jay Kappraff για να βρίσκονται οι µέσοι µεταξύ των αντίστοιχων ζευγαριών αριθµών, θα πρέπει το x να ικανοποιεί την ανισότητα x>Φ όπου Φ η χρυσή τοµή. Για τα στοιχεία του Πίνακα 2 µπορούµε να ορίσουµε έναν άλλο πίνακα στον οποίο κάθε στοιχείο είναι ο συνήθης και όχι ο γενικευµένος αριθµητικός µέσος των δυο στοιχείων πάνω απ’ αυτό και ο συνήθης αρµονικός µέσος των δυο στοιχείων κάτω από αυτό, όπως δείχνεται στο παρακάτω Πίνακα 7.

Πίνακας 7. 1 3

9

27

6 18

81 54

36

243... 162...

108...

Μπορούµε να δηµιουργήσουµε ένα παρόµοιο πίνακα για τη γεωµετρική σειρά που βασίζεται στη 1:x, αν και ο πίνακας για x=2 είναι βέβαια ταυτόσηµος µε τον αρχικό και ο πίνακας για x = Φ καταρρέει σε µια µοναδική σειρά µε τις άλλες σειρές επαναλήψεις αυτής της σειράς. Μπορούµε να βρούµε µια αξιοσηµείωτη σχέση ανάµεσα στον απλό και το γενικευµένο µέσο (αριθµητικό και αρµονικό) για ένα δοσµένο x. Ανάµεσα σε οποιοδήποτε ζευγάρι αριθµών του Πίνακα 1 ή του Πίνακα 2 τοποθετούµε τους απλούς και τους γενικευµένους αριθµητικούς και αρµονικούς µέσους τους κατά σειρά µεγέθους (στο πρώτο πίνακα οι απλοί και οι γενικευµένοι µέσοι ταυτίζονται) και παίρνουµε µια νέα ακολουθία. Π.χ. ανάµεσα στους αριθµούς 6 και 12 του πρώτου πίνακα τοποθετούµε τον αρµονικό µέσο τους 8 και τον αριθµητικό µέσος τους 9, ενώ ανάµεσα στους αριθµούς 12 και 36 του δεύτερου πίνακα τοποθετούµε κατά σειρά το γενικευµένο αριθµητικό µέσο τους 16=(12+36)/3, τον απλό αρµονικό µέσο τους 18= 2.12.36/(12+36), τον απλό αριθµητικό µέσο τους 24=(12+36)/2 και το γενικευµένο αρµονικό µέσο τους 27=3.12.36(12+36) και έχουµε έτσι τις ακολουθίες:

6

8

9

3:4 8:9 3:4

12

12

16 3:4

18 8:9

24 3:4

27 8:9

36 3:4

Κάτω από κάθε ακολουθία έχουµε γράψει το λόγο δυο διαδοχικών όρων της. Αν

πολλαπλασιάσουµε του τρεις αυτούς λόγους της πρώτης ακολουθίας θα βρούµε γινόµενο 1/2 για την πρώτη και 1/3 για τη δεύτερη. Με ανάλογο τρόπο µπορούµε να δείξουµε ότι το γινόµενο αυτών των λόγων για µια ακολουθία 1:x είναι 1/x.

Το Σύστηµα Μουσικών Αναλογιών του Alberti Οποιοδήποτε σύστηµα αναλογιών χρήσιµο στην αρχιτεκτονική, επισηµαίνει ο Jay Kappraff, «πρέπει να έχει προσθετικές ιδιότητες έτσι ώστε τα µέρη ενός σχεδίου να µπορούν να προστεθούν στο όλον και θα πρέπει επίσης να περιλαµβάνει την επανάληψη βασικών λόγων, έτσι ώστε το σχέδιο να επιδεικνύει αρµονία µε την οποία σχετίζονται τα διάφορα µέρη µεταξύ τους. Είδαµε ότι οι πίνακες του Νικόµαχου έχουν προσθετικές ιδιότητες. Παρόλο που µπορεί να φαινόταν κάπως προχωρηµένο ότι ο Alberti βάσισε τις αναλογίες του πάνω σε αυτόν τον κλασσικό µαθηµατικό, ξέρουµε σίγουρα ότι τον εκτιµούσε ιδιαίτερα θεωρώντας τον σαν ένα µεγάλο µαθηµατικό στη πραγµατεία του De re aedificatoria». Η βάση του συστήµατος µουσικών αναλογιών που χρησιµοποίησε Ο Leon Battista Alberti στην Αναγέννηση στην Ιταλία ήταν ο Πίνακας 5. Ο λόγος των αριθµών στις σειρές του Πίνακα είναι 1:2, που αντιπροσωπεύει τη µουσική οκτάβα. Οι ακέραιοι στην αριστερή διαγώνιο έχουν λόγο 2:3 αντιπροσωπεύοντας τη µουσική πέµπτη (πέντε τόνους από τη θεµελιώδη). Η πέµπτη και η τετάρτη αντιστοιχούν σε µήκη χορδών 2/3 και 3/4 του µήκους της θεµελιώδους. Το σύστηµα αναλογιών του Alberti δοµήθηκε πάνω στις νεοπλατωνικές ιδέες της εποχής στις οποίες ένα ζευγάρι γεωµετρικών σειρών που πλαισιώνουν τις άκρες του Πίνακα 5 αντιστοιχούν στη µορφή του περίφηµου «Λάµδα» του Πλάτωνα που αντιστοιχεί στο Τίµαιο στην «Κοσµική Ψυχή»

Επιλέχθηκε ένα «εξάγωνο» από το Πίνακα 5, δηλαδή έτσι ώστε οι επιλεγµένοι αριθµοί να φαίνονται ότι σχηµατίζουν τις κορυφές ενός εξαγώνου, όπως οι αριθµοί 8-16-24-18-9-6 µε το 12 στη µέση), στο οποίο γειτονικοί αριθµοί αντιπροσώπευαν το λόγο µήκους, πλάτους και υψών αρχιτεκτονικών χώρων όπως τοίχοι, οροφές, πόρτες κ.λ.π. Το ότι αυτό το σύστηµα αναλογιών είναι αρµονικό εξηγείται παίρνοντας ένα ζευγάρι ακεραίων από µια δοσµένη σειρά, π.χ. 6 και 12 και παρεµβάλλοντας ανάµεσά τους τον αριθµητικό και αρµονικό µέσο τους.

6

9 2:3

12 3:4

6 και

8 3:4

12 2:3

Σηµειώνουµε ότι ο αριθµητικός και αρµονικός µέσος εξασφαλίζει την επανάληψη των λόγων 2:3

και 3:4 προς τους οποίους αντιστοιχούν. Επίσης 2/3 . 3/4 = 1/2, δηλαδή προσθέτοντας τα διαστήµατα ενός πέµπτου και ενός τετάρτου παίρνουµε µια οκτάβα. Παρόµοιες αρµονικές σχέσεις ισχύουν για τους Πίνακες 6 και 7. Π.χ. αν τοποθετήσουµε το γενικευµένο αριθµητικό και αρµονικό µέσο ανάµεσα στους 18 και 54 στο Πίνακα 7 θα έχουµε:

12

16 3:4

36 4:9

12

27 4:9

36

και

3:4

18

36 1:2

54 2:3

18

27 2:3

54 1:2

Παρατηρούµε ότι έχουµε µια επανάληψη των λόγων 3:4 και 4:9 στη πρώτη περίπτωση και 1:2 και 2:3 στη δεύτερη. Επίσης παρατηρούµε ότι 3/4 . 4/9 = 1/2 . 2/3 = 1/3. Αυτή η επανάληψη λόγων ισχύει στη γενική περίπτωση της ακολουθίας 1:x µε το πολλαπλασιασµό των λόγων που ισούνται µε 1/x.

Το Ρωµαϊκό Σύστηµα Αναλογιών Το σύστηµα που βασίζεται στη τιµή x= θ όπου θ= 1+ 2 και παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Μια ακέραια απόδοση αυτού του συστήµατος χρησιµοποιήθηκε στην αρχαία Ρωµαϊκή αρχιτεκτονική και παρουσιάστηκε στο βιβλίο του µαθηµατικού και πλατωνιστή φιλοσόφου, σύγχρονου του Νικοµάχου, Θέωνα του Σµυρναίου, µε τίτλο Τα Μαθηµατικά Χρήσιµα για τη Κατανόηση του Πλάτωνα. Σύµφωνα µε µια µελέτη των Donald και Carol Watts αυτό το σύστηµα αναλογιών χρησιµοποιήθηκε για τη σχεδίαση των Κηπόσπιτων της Όστιας, της πόλης λιµάνι της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας. Η βάση για τη κατανόηση του Ρωµαϊκού συστήµατος αναλογιών είναι η ιερή τοµή του Tons Brunes. Θα ξεκινήσουµε από το Πίνακα 3 θέτοντας x=θ, έχοντας υπ’ όψη µας ότι θ= 1+ 2 , οπότε θ+1=2+ 2 = 2 ( 2 +1) =θ 2 . Επίσης εδώ θα επεκτείνουµε κάθε γεωµετρική πρόοδο προς τ’ αριστερά διαιρώντας διαδοχικά µε το κοινό λόγο θ όλων των προόδων. Θα επεκταθούµε επίσης και πάνω από την αρχική γεωµετρική πρόοδο 1 θ θ2 θ3 θ4 προς άλλες γεωµετρικές προόδους σε προηγούµενες σειρές απ’ αυτήν έχοντας υπ’ όψη µας ότι ο λόγος των στοιχείων κάθε στήλης παραµένει σταθερός και ίσος µε θ: θ+1. Εποµένως προχωράµε σε ένα στοιχείο στην ίδια στήλη πάνω από αυτό αν πολλαπλασιάσουµε το στοιχείο αυτό επί θ/(θ+1)=θ/θ 2 =1/ 2 . Π.χ. το στοιχείο πάνω από το 1 στην ίδια στήλη µε αυτό θα είναι το 1.1/ 2 =1/ 2 . Με βάση αυτό το στοιχείο µπορούµε µετά αν υπολογίσουµε εύκολα τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς του, γνωρίζοντας ότι αποτελούν γεωµετρική πρόοδο µε λόγο θ. Παρόµοια το στοιχείο πάνω από το προηγούµενο 1/ 2 θα είναι το 1/ 2 .1/ 2 =1/2 κ.λ.π. Αντίστοιχα για να βρούµε ένα στοιχείο κάτω από ένα γνωστό στοιχείο πολλαπλασιάζουµε το γνωστό στοιχείο επί (θ+1)/θ = 2 . Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις υπολογίζουµε το παρακάτω Πίνακα 8:

...1:2θ

2

... 1/2θ ... 1/θ

2

2

2

θ/

θ

2

2

θ2/2

2

θ2/

2

θ2

2

θ3/

2

θ4 2

2θ3

2 θ2

2

θ4/

2

θ3

2

2 θ3

2

2

...

θ4/2 ...

θ3

2θ2

2θ

θ4/2

2

θ3/2

θ2

2θ 2

θ3/2

2

θ2/2

θ

2 /θ

θ/2 θ/2

1

... 2/θ ... 2

1/

/θ

2

2

1/2

... 1/θ ...

1: 2

2

2

...

...

θ4/

2

2θ4

...

2θ4

2

...

...

Στο πίνακα αυτό µε βάση τη κεντρική γεωµετρική πρόοδο ...1 θ θ2 θ3 θ4....παρατηρούµε τα εξής: Κάθε στοιχείο κάτω από τη κεντρική ακολουθία είναι ο γενικευµένος αριθµητικός µέσος του από πάνω του (πάνω και πάνω δεξιά αριθµών) ζεύγους, π.χ. το στοιχείο θ 2 είναι ο γενικευµένος αριθµητικός µέσος των στοιχείων θ και θ2 πάνω από αυτό. Πράγµατι είναι (θ+θ2)/θ=1+θ=θ 2 Αντίστοιχα κάθε στοιχείο πάνω από τη κεντρική ακολουθία είναι ο κοινός αριθµητικός µέσος του από κάτω του (κάτω και κάτω αριστερά αριθµών) ζεύγους, π.χ. το θ2/ 2 είναι ο αριθµητικός µέσος των θ και θ2, αφού (θ+θ2)/2=θ.(1+θ)/2=θ.θ 2 /2=θ2/ 2 Επίσης κάθε στοιχείο κάτω από τη κεντρική ακολουθία είναι ο γενικευµένος αρµονικός µέσος του ζεύγους κάτω από αυτό (κάτω και κάτω αριστερά αριθµών). Π.χ. το στοιχείο θ 2 είναι ο γενικευµένος αρµονικός µέσος των στοιχείων 2 και 2θ. Πράγµατι είναι θ.2.(2θ)/(θ+2θ)=4θ/ 2(1+θ)=2θ2 /θ 2 = 2θ/ 2 =θ 2 . Αντίστοιχα κάθε στοιχείο πάνω από τη κεντρική ακολουθία είναι ο κοινός αρµονικός µέσος του ζεύγους πάνω από αυτό. Η χρησιµοποιούµενη άλγεβρα για την εκτέλεση αυτών των πράξεων µπορεί να φανεί πιο καθαρά συγκρίνοντας την ακολουθία θ µε την ακολουθία Pell:

1 2 5 12 29 70... 1 3 7 17 41 99... 2 4 10 24 58 140...

...1/θ (1α) .

1

2

θ

2

...θ/ 2 1

θ 2

θ

..2/θ

2θ

2θ

2

3

θ

4

θ 2

2

3

θ

2 3

2θ

5

θ 4

θ

2 4

2θ

θ ...

(1β) 5

2θ ...

Και οι τρεις αυτές τριάδες ακολουθιών έχουν την ιδιότητα ορισµού της ακολουθίας Pell από την αναδροµική σχέση: αν+2 = 2αν+1 + αν και ο λόγος των διαδοχικών όρων των ακολουθιών (1α) τείνει στο θ για ν → ∞ . Οποιαδήποτε αλγεβρική πράξη που ισχύει για την ακολουθία ακεραίων Pell, ισχύει επίσης και για την ακολουθία θ. Αυτή η ακολουθία έχει πολλές πρόσθετες ιδιότητες, εκτός από τις παρακάτω τέσσερες θεµελιώδεις:

1)Κάθε ακολουθία Pell έχει την ιδιότητα ορισµού: κάθε όρος είναι ίσος µε το διπλάσιο του προηγουµένου του και του αντιπροηγουµένου του: γ=2α+β, 5=2.2+1, 12=2.5+2. Ανάλογα για την ακολουθία θ: 1+2θ=θ2. 2) Το άθροισµα δυο διαδοχικών όρων της ακολουθίας είναι ίσο µε τον όρο της επόµενης ακολουθίας κάτω από το δεύτερο προσθετέο, π.χ. 2+5=7, 7+17=24 και αντίστοιχα 1+θ=θ 2 . 3) 4) Το άθροισµα δυο διαδοχικών στοιχείων της ίδιας στήλης είναι ίσο µε τον επόµενο όρο του αποπάνω στοιχείου, π.χ. 2+3=5, 7+10=17 και αντίστοιχα θ+θ 2 =θ2. 5) 4) Οποιοδήποτε στοιχείο είναι το διπλάσιο του στοιχείου δυο σειρές πάνω από αυτό. Επίσης ο λόγος οποιουδήποτε όρου από την ακολουθία (1β) προς τον από πάνω από αυτόν όρο, ισούται µε 2 , ενώ ο λόγος οποιουδήποτε ακεραίου από την ακολουθία (1α) προς τον από πάνω από αυτόν τείνει στο 2 καθώς ν → ∞ . Οι αλγεβρικές ιδιότητες του Ρωµαϊκού συστήµατος µπορούν να γίνουν κατανοητές αν θεωρήσουµε τις ισοδύναµες γεωµετρικές ιδιότητες που βασίζονται στην αλληλοσυσχέτιση των αναλογιών: 1, 2 και θ=1+ 2 χρησιµοποιώντας αντίστοιχα ένα τετράγωνο (Τ,1:1), ένα ορθογώνιο τετραγωνικής ρίζας του 2 (ΤΡ, 1: 2 ) και το Ρωµαϊκό Ορθογώνιο (ΡΟ, 1:θ). Αν το Τ αποµακρυνθεί ή προστεθεί στο ΤΡ, καταλήγει στο ΡΟ, όπως έχουµε δείξει στην ιερή τοµή και όπως δείχνει το παρακάτω σχήµα. (α). Αυτό είναι ισοδύναµο µε τις ιδιότητες (2) και (3). Το ότι 2Τ +ΡΟ = ΡΟ είναι ισοδύναµο µε την ιδιότητα (1) (σχήµα β). Τελικά, εάν το ΤΡ κοπεί στη µέση σχηµατίζει δύο ΤΡ σε µια µικρότερη κλίµακα (σχήµα γ), ενώ δύο ΤΡ προστιθέµενα µαζί σχηµατίζουν ένα µεγενθυµένο ΤΡ (σχήµα δ), όπως προβλέφθηκε µε την ιδιότητα 4, την ιδιότητα διπλασιασµού του Πίνακα 8.

Το αρχιτεκτονικό σύστηµα που βασίζεται σε αυτές τις αναλογίες έχει πολλές προσθετικές ιδιότητες µε τις οποίες ένας µικρός αριθµός modules µπορεί να ταιριάξει µε αµέτρητους τρόπους. Το παρακάτω σχήµα δείχνει την διάσπαση ενός τετραγώνου διαστάσεων θ3xθ3 σε δεκαέξι υπορθογώνια µε διαστάσεις από το Πίνακα 8 που ικανοποιούν τις σχέσεις:

3

θ = 1 + 2θ + 2θ + θ√2 3

θ = θ√2 + 2θ + θ + θ√2

Σχήµα 6

Μπορούµε να επαληθεύσουµε τις παραπάνω δυο εξισώσεις για το θ3 χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες 1-4 του Ρωµαϊκού συστήµατος. Εξ’ αιτίας των προσθετικών ιδιοτήτων αυτά τα ορθογώνια µπορούν να επαναδιευθετηθούν µε πολλούς τρόπους για να επιστρώσουν το ίδιο ορθογώνιο. Αυτή η µεταβλητότητα διασαφηνίζεται στο παρακάτω σχέδιο το οποίο περιέχει τα Τ, ΤΡ και RΟ σε τρεις διαφορετικές κλίµακες.

Σχήµα 7

Σχήµα 8

Όλοι τώρα οι τόνοι της Πυθαγόρειας κλίµακας βασίζονται στο λόγο µηκών χορδής στους οποίους ο αριθµητής και ο παρονοµαστής διαιρούνται µε τους πρώτους αριθµούς 2 και 3, δηλαδή η µουσική πέµπτη, τετάρτη και οκτάβα: 2/3, 3/4, και ½. Το ορθογώνιο ΤΡ ταιριάζει ιδιαίτερα για τη δηµιουργία των µουσικών αναλογιών της Πυθαγόρειας κλίµακας, εφόσον έχει µια φυσική ιδιότητα διχοτόµησης και τριχοτόµησης. Αν για παράδειγµα σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆ φέρουµε την ∆Ε όπου Ε το µέσο της ΑΒ, αυτή τριχοτοµεί τη διαγώνιο ΑΓ (δηλαδή ΑΖ=ΑΓ/3), ενώ η διχοτόµηση του ορθογωνίου ΤΡ, όπως είδαµε, το διαιρεί σε δυο ορθογώνια ΤΡ. Ο Kim Williams έχει δείξει ότι το παρεκκλήσι Medici του Μιχαήλ Αγγέλου περιλαµβάνει αναρίθµητα ορθογώνια ΤΡ βοηθώντας το σχέδιο να συµπεριλάβει πολλούς µουσικούς λόγους.

Το Σύστηµα Modulor του Le Corbusier Όπως αναφέραµε εάν x = Φ η ακολουθία του Νικοµάχου καταρρέει σε µια µοναδική γραµµή, αυτή της ακολουθίας Fibonacci, γνωστής σαν η ακολουθία της χρυσής τοµής Φ: 1, Φ, Φ2, Φ3, Φ4 ... όπου Φν + Φν+1 = Φν+2. Για να χρησιµοποιήσει ο Le Corbusier την ακολουθία Φ σε ένα σύστηµα αρχιτεκτονικών αναλογιών προσάρτησε µια δεύτερη σειρά πολλαπλασιασµένη επί 2 για να σχηµατίσει τη λεγόµενη «κόκκινη και µπλε ακολουθία», την οποία ονόµασε Modulor

Μπλε: Κόκκινη:

2/Φ

2 Φ

2

2Φ 2

Φ

3

2Φ 3

Φ

4

2Φ 4

Φ

3Φ 5

Φ

5

2Φ ..... 6

Φ ......

Κάθε ακολουθία είναι µια γεωµετρική πρόοδος µε λόγο 1:Φ. Κάθε στοιχείο µιας ακολουθίας βρίσκεται ανάµεσα σε δυο στοιχεία της άλλης ακολουθίας. Κάθε στοιχείο της Κόκκινης ακολουθίας είναι µε αυτή τη µορφή ο αριθµητικός µέσος του ζεύγους των στοιχείων της Μπλε ακολουθίας που είναι ακριβώς από πάνω του. Εφόσον το άθροισµα ενός ζεύγους ακεραίων είτε από τη Κόκκινη είτε από τη Μπλε ακολουθία καταλήγει σε έναν άλλο ακέραιο σε αυτή την ίδια ακολουθία, µόνο αυτές οι δυο ακολουθίες είναι απαραίτητες να εξασφαλίσουν ότι έχουν προσθετικές ιδιότητες, διαφορετικά από το Ρωµαϊκό σύστηµα που απαιτεί µια απειρία ακολουθιών.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ελληνική Βιβλιογραφία Αναζητώντας το Κόσµο του θαυµαστού του Πήτερ Ουσπένσκυ, Εκδόσεις Πύρινος Κόσµος Αριθµοσοφία του Γουίλιαµ Γουέστκοτ, Εκδόσεις Πύρινος Κόσµος Αρχαίοι Έλληνες Φιλόσοφοι του Α. Ανδριανόπουλου Γεωµετρία και Στερεοµετρία του Γιάννη Ντάνη Γνώση του Μουράβιεφ (Τριλογία), Εκδόσεις Πύρινος Κόσµος. Εγκυκλοπαίδεια Ηλίου Εις Πολιτείαν και Εις Τίµαιον του Πρόκλου. Εννεάδες του Πλωτίνου, Εκδόσεις Κάκτος. Εσωτερική Αστρολογία της Αλίκης Μπέυλη, Εκδόσεις Κέδρος Η Αποκεκαλυµµένη Ίσιδα της Ε.Π. Μπλαβάτσκυ, Εκδόσεις Ιάµβλιχος Η Ελληνιστική Φιλόσοφία του Α.Α. Long, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τράπεζας. Η Μυστική ∆ιδασκαλία της Ε. Π. Μπλαβάτσκυ, Εκδόσεις Πνευµατικός Ήλιος. Η Μυστική Καβάλα της Ντιόν Φόρτσιουν, Εκδόσεις Ιάµβλιχος Ηροδότου Ιστορίες, Εκδόσεις Γκοβόστη Κριτίας του Πλάτωνα, Εκδόσεις Ζαχαρόπουλος Μυστική Θεολογία V (Περί Θείων Ονοµάτων) του ∆ιονυσίου Αρεοπαγίτη Ο Αριστοτέλης του Ingemar During, Μορφωτικό Ίδρυµα της Εθνικής Τράπεζας Ο Νέος Νους του Αυτοκράτορα του Roger Penrose, Εκδόσεις Γκοβόστη. Ο Πλάτων: Ο Άνθρωπος και το Έργο του, του A. E. Taylor, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τράπεζας Ο Πυθαγόρας και η Μυστική ∆ιδασκαλία του Πυθαγορισµού του Π. Γκράβιγγερ, Εκδόσεις Σφιγγός. Οι Άθλοι του Ηρακλή της Αλίκης Μπέυλη, Lucis Trust (τώρα Κέδρος) Οι Κβαντικοί Θεοί του Jeff Love, Εκδόσεις Ιάµβίχος Περί Αριθµητικής του Νικόµαχου Γερασηνού, Εκδόσεις Σφιγγός. Περί πρώτων Αρχών του ∆αµάσκιου. Πολιτεία Πλάτωνος του Ν. Γρυπάρη, Βιβλιοθήκη Αρχαίων Ελλήνων Συγγραφέων. Πραγµατεία επί του Κοσµικού Πυρός της Αλίκης Μπέυλη, Κέδρος

Πυθαγορικός Βίος του Ιάµβλιχου, Εκδόσεις Πύρινος Κόσµος Σηµειώσεις Εβραϊκής Γραµµατικής του Παναγιώτου Σιµώτα, Αδελφοί Κυριακίδη, Θεσ/κη. Σωκράτης του W.K.C. Guthrie, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τράπεζας. Τα Άγνωστα Μεγαλουργήµατα των Αρχαίων Ελλήνων, του Θεοφάνη Μανιά , Πύρινος Κόσµος. Τα Θεολογούµενα της Αριθµητικής του Ιάµβλιχου, Εκδόσεςι Σφιγγός. Τίµαιος του Πλάτωνα, Εκδόσεις Ζαχαρόπουλος Τυπικό Υψηλής Μαγείας του Ελιφάς Λεβί, Εκδόσεις Σφιγγός Φίληβος του Πλάτωνα, Εκδόσεις Ζαχαρόπουλος Ωγυγία ή Αρχαιολογία του Αθανάσιου Σταγειρίτου, Ελεύθερη Σκέψη

Ξένη Βιβλιογραφία A History of Architecture by Sir Banister Fletcher, Boston: Butterworths, 1987. A History of pi by Pertr. Beckmann, The Golem Press, NY,1971. A Secret of Ancient Geometry by Jay Kappraff, Cathy Gorini, et al., eds, Math.Association of America Press,2000. Abstract Algebra by John B. Fraleigh. Arabic Geometrical Pattern and Design by J. Bourgoin, Dover, 1973. Architecture and the Burdens of Linearity by Catherine T. Ingraham, Yale University Press, 1998). Art and Physics by Leonard Shlain Cathedrals and Castles: Building in the Middle Ages by Erlande- Alain Brandenburg, Harry N. Abrams, NY,1995. Chartres and the Birth of the Cathedral by Titus Burckhardt. Connections: The Geometric Bridge between Art and Science by Jay Kappraff., McGraw-Hill, NY, 1991. Discrete Mathematics and its Applications by K. H. Rosen, McGraw-Hill, 1991. Fascinating Fibonaccis by Trudi Hammel Garland. Fibonacci And Lucas Numbers, And The Golden Section, by Steven Vajda, John Wiley and Sons, N.Y., 1989. Formalized Music; thought and mathematics in composition by Iannis Xenakis, University of Indiana Press, Bloomington, 1971. Fractal Geometry in Architecture and Design by Carl Bovill, Boston, Birkhauser, 1996. Fractals, Chaos and Power Laws by M Schroeder, W H Freeman publishers, 1991. T Fractals: Form, Chance, and Dimension by Benoit Mandelbrot, 1977. Great Architecture of The World by John Julius Norwich, Random House, NY, 1975.

Groups, A Path to Geometry by R. P. Burn, Cambridge Univ. Press, 1985 Iannis Xenakis, the Man and His Music by Mario Bois, Greenwood Publishing, 1980. Introduction to Tessellations by Britton, Jill, and Dale Seymour, Dale Seymour Publications, Palo Alto,1989. Linking the Musical Proportions of Renaissance, the Modulor, and Roman Systems of Proportions by Jay Kappraff, Lucas and Primality Teating

by Hugh C Williams, Wiley, 1998

Space Structures, Vol. 11, Nos. 1 and 2 ,1996. Magic Squares and Cubes by Andrews, W. S., Dover Publications. Mandala Symbolism by Carl G. Jung, Princeton University Press, 1973. Math and Music by Garland, Trudi Hammel, Dale Seymour Publications, Palo Alto,1995). Mathematical Mystery Tour by by Mark Wahl, 1989 Mathematical Recreations by Martin Gardner, Scientific American, 236, January 1977, 110-121. Michelangelo's Medici Chapel: The Cube, the Square, and the Root-2 Rectangle by Kim Williams, Leonardo. vol. 30, no. 2, 1997, pp. 105-112. Modulor and Modulor 2 by Le Corbusier, Basel, Birkhauser 2000. Music and the Occult by Joscelyn Godwin Musique Architecture by Iannis Xenakis, Casterman, Paris, 1976. Mysteries of the Mexican Pyramids by Tompkins, Peter, Harper & Row, NY,1976). Nature's Harmonic Unity: A Treatise on Its Relation to Proportional Form by Samuel Colman, Benjamin Blom, 1971. On the Art of Building in Ten Books by Alberti Leon Battista, trls. Neil Leach & Robert Tavernor, MIT Press, 1991. On the Relation of Phyllotaxis to Mechanical Laws by A. H. Church, Williams and Norgate, 1904. Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers by Martin Gardner, W.H.Freeman, NY, 1989. Pentagonal and icosahedral order in rapidly cooled metals by D. R. Nelson & B. I. Halperin, Science, 229, 19 July 1985, 233-238. Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity by J. M. Borwein and P. B. Borwein, Wiley, 1987. Quasicrystals by D. R. Nelson, Scientific American, 255, August 1986, 42-51. Quasicrystals and Geometry by Marjorie Senechal, Cambridge University Press, 1995. Regular Polytopes by H.S.M. Coxeter, Dover, 1973. Regular Polytopes by H.S.M. Coxeter. Sacred Architecture by A. T. Mann, Element Books, Rockport, 1993.

Sacred Art in East and West: Its Principles and Methods by Titus Burckhardt. Sacred Geometry by Robert Lawler, Thames and Hudson, London, 1982). Sacred Geometry - Philosophy and Practice by Robert Lawlor, Crossroad. Sacred Geometry by Miranda Lundy, Wooden Books. Sacred Geometry Design Sourcebook by Bruce Rawles (Elysian Press). Sacred Science by Rene A. Schwaller de Lubicz, Inner Traditions International, Rochester,1988). Secrets of Glastonbury by John Michell Secrets of the Great Pyramid by Peter Tompkins, Harper Collins, NY,1971. Symmetries of Islamic Geometrical Patterns by Syed Jan Abas, Amer Shaker Salman, World Scientific, 1995 Symmetry and Pattern, The Art of Oriental Carpets by Carol Bier and Melissa June Dershewitz. The Algorithmic Beauty of Plants by P Prusinkiewicz and A Lindenmayer, Springer-Verlag, 1996. The Beginners Guide to Constructing the Universe by Michael Schneider, Harper Collins, NY, 1995. The City of Tomorrow and its Planning by Le Corbusier, Dover, 1987. The Complete Golden Dawn System of Magic by Israel Regardie, Falcon Press, Phoenix, Arizona,1984. The Curves Of Life by T. A. Cook, Dover Publications. The Curves of Life: Being an Account of Spiral Formations and Their Application to Growth in Nature, to Science, and to Art by Sir Theodore A Cook, Dover, 1979. The Dimensions of Paradise by John Michell, Thames & Hudson. The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty by H. E. Huntley, Dover, 1970. The Elements of Dynamic Symmetry by Jay Hambidge, Dover Publications, 1967. The Fractal Geometry of Nature by Benoit B. Mandelbrot, W. H. Freeman and Company, NY, 1982. The Garden Houses of Ostia by Donald J. and Carol Martin Watts, Scientific American, Dec. 1986. The Geometrical Foundation of Natural Structure by Robert Williams. The Geometry of Art and Life by Ghyka, Matila, Dover Publications, N.Y., 1977. The Golden Mean: Mathematics and the Fine Arts by C. F. Linn, Doubleday, 1974. The Golden Relationship: Art, Math, Nature by M. Boles, Pythagorean Press, 1987. The Golden Section by Garth E. Runion, Dale Seymour Publications. The Laws of Architecture from a Physicist's Perspective by Nikos A. Salingaros, Physics Essays, 8, 1995, 638-643. The Manual of Harmonics by . Nicomachus, trasl. by F.R. Levin, Grand Rapids, MI, Phanes Press 1994. The Mathematics of the Ideal Villa and Other Essays, by Colin Rowe, Cambridge, MIT Press, 1976.

The Mathematics Useful for Understanding Plato by Theon of Smyrna, trans. R. and D. Lawlor, Wizard's Bookshelf, Sand Diego, 1979. The Music of the Spheres by Jamie James The Mystery of Numbers by Annemarie Schimmel, Oxford University Press. The Mystic Spiral by Jill Purce, Crossroads The Painter's Secret Geometry: A Study of Composition in Art by Charles Bouleau, Hacker Art Books. The Pantheon Metrological System - a consistent, anthropometrical, time-calendar system based on golden section approximation ratios by Billdal L. Alvegard, Chalmers University of Technology,1987. The Pantheon: Design, Meaning and Progeny by William L. MacDonald, London, 1976. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture by Gyorgy Doczi, Shambhala The Secrets of Ancient Geometry and its Use by Tons Brunes, Rhodos Press, Copenhagen,1967. The Ten Books on Architecture by Vitruvius, trans. by Ingrid Rowland and Thomas Howe, Cambridge, Cambridge University Press. The Theory and Practice of thw Mandala by Giuseppe Tucci, Rider and Company, London, 1974 The Theory of Architecture: Concepts, Themes and Practices, by Paul-Alan Johnson, V. N. Reinhold, NY,1994). The Tree of Evil by William G. Gray, Samuel Weiser, 1984 The Universal History of Numbers by Georges Ifrah, Harvill, London, 1998. Tibetan Iconography by Dhingo Khyntse Rinpoche Tiling and Patterns by B. Grunbaum, G. C. Shephard, Freeman, 1987.

∆ιευθύνσεις Internet: http://comp.uark.edu/~cgstraus/symmetry.unit/ http://forum.swarthmore.edu/sum95/suzanne/tess.intro.html. http://home6.inet.tele.dk/bergmann/. http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/pattrn/PatternE.html. http://ourworld.compuserve.com/homepages/robert_conroy/ http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/ http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrefs.html" \l "links http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrefs.html http://www.geom.umn.edu/~math5337/ http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/tiling.html http://www.infi.net/~drmatrix/progchal.htm http://www.ornl.gov/ortep/topology.html http://www.sewanee.edu/Phy_Students/byerscl0/coriefractals.html http://www.treasure-troves.com/books/FibonacciNumbers.html http://www.tu-harburg.de/b/kuehn/lec5.html http://www.ucs.mun.ca/~mathed/Geometry/Transformations/symmetry.html. http://www2.SPSU.edu/math/tile/index.htm. http://xahlee.org/Wallpaper_dir/c0_WallPaper.html http://xahlee.org/MathGraphicsGallery_dir/Tiling_dir/tiling.html